/
Author: Юшкевич А.П. Рыбкин Г.Ф.
Tags: история науки математические исследования история математики
Year: 1958
Text
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Выпуск
XI
ИСТОРИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК XI
под редакцией
Г. ф. РЫБКИНА и А. П. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
11-5-4
Историно-мате матичесние после до вания
Выпуск XI
Редактор А. А. Боноплянкин
Техн, редактор Н. Я. Муратова Корректор Е. А. Белицкая
Сдано в набор 7/VIII 1958 г. Подписано к печати 10/XI 1958 г. Бумага
84x 108 / 32- Физ. печ. л. 24,75. У слови. печ. л. 40,59. Уч.-изд. л. 40,98.
Тираж 3000 экз. Т-11510. Цена книги 22 руб. 50 коп. Заказ № 413
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
16-я типография Московского городского Совнархоза.
Москва, Трехпрудный пер., д. 9
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции ......................................... 7
ИЗ РАБОТ СЕКЦИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
III ВСЕСОЮЗНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЪЕЗДА
А. П. Юшкевич (Москва). О новых работах в СССР по
истории математики.................................... 11
7>. В. Гнеденко (Киев). О некоторых задачах истории ма-
тематики ............................................. 47
С. А. Яновская (Москва). Из истории аксиоматики .... 63
А. II. Цорден (Казань). Вопросы обоснования геометрии
в работах И. II. Лобачевского......................... 97
С. Я. Ниро (Одесса). Математика на съездах русских ес-
тествоиспытателей и врачей........................... 133
Э. Яолгман (Москва). О некоторых нерешенных вопросах
истории античной математики.......................... 159
А. Е. Раик (Саранск). Новые реконструкции некоторых
задач из древнеегипетских и вавилонских текстов . . . 171
ИЗ ЛЕКЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Программа по истории математики в Московском государ-
ственном университете........................"... 185
С. А. Яновская (Москва). Вводная лекция к курсу «Ис-
тория математики».................................... 193
К. А. Рыбников (Москва). О предмете истории математики 209
II. Г. Валимакова (Москва). Лекции по истории математи-
ки в Древней Греции.........................• . . . 225
It
СОДЕРЖАНИЕ
СТАТЬИ РАЗЛИЧНОГО СОДЕРЖАНИЯ
Б. В. Гнеденко и И. Б. Погребысский (Киев). Об истории
математики и ее значении для математики и других наук 441
Гвидо Феттер (Прага). Краткий обзор развития математи-
ки в чешских землях до Белогорской битвы............ 461
Карел Рыхлик (Прага). Теория вещественных чисел в ру-
кописном наследии Больцано.......................... 515
Илие Попа (Яссы). Из истории математики в Румынии . . 533
А. Н. Гливич (Кишинев). Из истории румынского матема-
тического общества (связи между математиками Румынии
и СССР)............................................. 563
К. А. Рыбников (Москва). Об алгебраических корнях диф-
ференциального исчисления .......................... 583
М. И. Медовой (Тула). Об одном случае применения от-
рицательных чисел у Абу-л-Вафы...................... 593
ТЕКСТЫ И ДОКУМЕНТЫ
В. П. Зубов (Москва). Трактат Николая Орема «О конфи-
гурации качеств».................................... 601
Н. Орем. Трактат о конфигурации качеств............. 636
В. П. Зубов (Москва). Примечания к трактату Н. Орема . 720
Б. А. Розенфельд (Коломна). Доказательства пятого посту-
лата Евклида средневековых математиков Хасана Ибн ал-
Хайсама и Льва Герсонида.......................... . 733
Хасан Ибн ал-Хайсам. Книга комментариев к введениям
книги Евклида «Начала» (отрывок).................... 743
Лее Герсонид. Комментарии к введениям книги Евклида
(отрывок)........................................... 763
Б. А. Розенфельд (Коломна). Примечания к доказатель-
ствам Ибн ал-Хайсама и Герсонида.................. 777
Указатель имен.................................... 783
SOMMAIRE
fiditorial..............................................
TRAVAUX DU 3-ME CONGRES MATHEMATIQUE DE L’URSS
(SECTION D’HISTOIRE DeS MATHEMATIQUES)
A. P. Youschkevitch (Moscou). Les recherches recentes faites
en URSS sur I’histoire des mathematiques................. 11
B. F. Gnedenko (Kiev). Sur quelques problemes de I’histoire
des mathematiques............*........................... 47
•S'. A. Y anovskaia (Moscou). Sur I’histoire de la methode axi-
omatique................................................. 63
A. P. Norden (Kazan). Les fondements de la geometrie se-
lon N. I. Lobatschevski.................................. 97
5. N. Kiro (Odessa). Les mathematiques aux congres des na-
turalistes et des medecins russes....................... 133
E. Kolman (Moscou). Sur quelques questions non resolues
de I’histoire des mathematiques dans 1’antiquite........ 159
A. E. Balk (Saransk). Nouvelles reconstructions de quel-
ques problemes dans les textes de 1’Ancien Egypte et de
Babylon................................................. 171
FRAGMENTS DE COURS D’HISTOIRE DES MATHEMATIQUES
Programme de cours d’histoire des mathematiques a 1’Uni-
versite d’fitat de Moscou............................... 185
<$'. A. Yanovskaia (Moscou). Introduction au cours d’histoire
des mathematiques....................................... 193
C. A. Bybnikov (Moscou). L’objet d’histoire des mathema-
tiques ................................................. 209
Z. G. Baschmakova (Moscou). Lemons sur I’histoire des ma-
thematiques grecques.................................... 225
6
SOMMAIRE
VARIA
В. V. GnedSnko et /. B. Pogrebisski (Kiev). Sur la valeur
d’histoire des mathematiques pour les mathematiques et
les autres sciences....................................... 441
Q. Vetter (Prague). Esquisse du progres des mathematiques
dans les regions tscheques jusqu’& la bataille de Biela
Gora...................................................... 461
K. Rychlik (Prague). La theorie des nombres reels de Bol-
zano d’apres ses manuscrits inedits....................... 515
I. Popa. (Jasi). Contributions a 1’histoirc des mathematiques
en Roumanie............................................... 533
A. N. Glivitsch (Kischinev). Sur 1’histoire de la Societe ma-
thematique de Roumanie (les rapports entre les niathema-
ticiens roumains et sovietiques)............................ 563
C. A. Rybnikov (Moscou). Les racines algebriques du cal-
cul differentiel.......................................... 583
M. I. Medovoi (Toula). Un cas d’application des nombres
negatifs chez Ahu-l-Wafa.................................. 593
TEXTES ET DOCUMENTS
V. P. Zoubov (Moscou). Le traite «De conficuratione quali-
tatum» de Nicole Oresme................................... 601
IV. Oresme. Traite de la configuration des qualites (traduc-
tion russe)............................................... 636
V. P. Zoubov (Moscou). Notes an traite de N. Oresme . . . 720
B. A. Rosenfeld (Kolomna). Les demonstrations du 5-mc
postulat d’Euclide chez Ibn-al-Haytam et Leon Gersonide 733
Ibn-al-Haytam. Livre des commentaires aux introductions
des «Ё1ётеп1з» d’Euclide (extraits; traduction russe). . . 743
Leon Gersonide. Commentaire des introductions an livre
d’Euclide (extraits; traduction russe).................... 763
B. A. Rosenfeld (Kolomna). Notes aux textes d’lbn-al-
Haytam et Leon Gersonide - .... 777
Index des noms ... .......... . . 783
ОТ РЕДАКЦИИ
Выдающимся событием математической жизни послед-
них лет явился III Всесоюзный съезд, происходивший
в Москве с 25 июня по 4 июля 1956 г. Активно проходила
работа секции истории математики этого съезда, на ко-
торой было заслушано свыше 30 докладов. Эти доклады
частично публикуются в «Трудах» съезда, частично в пер-
вом отделе настоящего выпуска «Историко-математиче-
ских исследований». Всего мы помещаем семь поступив-
ших в редакцию докладов, посвященных разнообразным
темам: общему обзору советских работ по истории мате-
матики за время со II по III Всесоюзный съезд, поста-
новке ряда актуальных задач нашей науки, проблемам
истории аксиоматики в Древней Греции, пересмотру
некоторых установившихся взглядов на обоснование гео-
метрии в трудах Н. И. Лобачевского и другим вопросам.
Одним из наиболее заметных пробелов в нашей лите-
ратуре по истории математики является отсутствие учеб-
ных руководств для университетов. Об этом, в частности,
много говорилось и на III съезде советских математиков.
В докладах и выступлениях участников подчеркивалось,
что отсутствие таких руководств чрезвычайно затрудняет
преподавателей и особенно студентов; в некоторых слу-
чаях оно является основной помехой в организации учеб-
ных курсов. Редакция «Историко-математических иссле-
дований» предоставляет, начиная с XI выпуска, страницы
издания для отдельных лекций по истории математики,
отражающих те или иные уже прочитанные курсы или
их части. Во втором отделе данного выпуска мы поме-
щаем две различные по характеру вступительные лекции,
8
ОТ РЕДАКЦИИ
а также цикл лекций о древнегреческой математике,
читанных в Московском университете. Можно надеяться,
что таким образом будет положена основа для создания
в последующем полноценного руководства, однако при
условии, что за этой публикацией последуют дальнейшие.
Редакция предполагает и впредь печатать как изолиро-
ванные лекции, так и циклы их, с тем чтобы они в своей
совокупности охватили университетскую программу, текст
которой (составленный для МГУ) помещен в начале
этого отдела. Не ставя своей целью открывать в нашем
издании большую дискуссию об университетском препо-
давании истории математики, редакция, однако, готова
помещать наиболее важные и принципиальные замечания
как по программе, так и по публикуемым лекциям.
Отдел статей различного содержания открывается
докладом о значении истории математики как для самой
математики, так и для других наук — значении, которое
до сих пор недооценивается многими. Далее следуют
четыре статьи по истории математики в Чехословакии
и Румынии. Редакция придает особое значение разра-
ботке истории математики в странах социалистического
лагеря и ознакомлению с нею советских читателей.
Следующая статья посвящена исследованию алге-
браических корней дифференциального исчисления,
связанному с изучением математических рукописей
К. Маркса. В последней статье отдела впервые устанавли-
вается употребление отрицательных чисел одним из
крупных арабских математиков — Абу-л-Вафой.
В предыдущих выпусках «Историко-математических
исследований» уже печатались различные первоисточ-
ники по истории математики. Мы выделяем теперь такие
материалы в особый отдел. В этом выпуске мы даем ком-
ментированные переводы одного из наиболее оригиналь-
ных трудов европейской средневековой математики —
«Трактата о конфигурации качеств» Николая Орема,
а также впервые публикуемые отрывки из рукописных
сочинений Ибн ал-Хайсама и Льва Герсонида, содержа-
щие оригинальные попытки доказать постулат Евклида
о параллельных.
ИЗ РАБОТ СЕКЦИИ
ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
III ВСЕСОЮЗНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО СЪЕЗДА
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ
МАТЕМАТИКИ')
А. П. Юшкевич
В настоящем докладе рассмотрены работы советских
ученых йо истории математики со времени II Всесоюзного
математического съезда, т. е. с 1934 г. Преимущественное
внимание уделяется работам последнего десятилетия;
для этого есть своп основания. В ЗО-е годы исследования
по истории математики у нас были малочисленны и мало
систематичны. Конечно, еще тогда начаты были изыска-
ния в направлениях, которые успешно развиваются
ныне, например, по истории математики в эпоху созда-
ния аналитической геометрии и исчисления бесконечно
малых, по истории обоснования анализа, по истории оте-
чественной математики. Но после окончания Второй ми-
ровой войны исследования по истории математики, как
и по истории науки вообще, получили в Советском Союзе
гораздо более широкий размах. Важное значение здесь
имели известные решения партии по вопросам идеологии,
а также значительное усиление интереса к путям разви-
тия науки и техники в различных кругах советской
интеллигенции.
От подробного разбора работ 30-х годов меня освобож-
дает также наличие соответствующего печатного обзора
в сборнике «Математика в СССР за 30 лет» (М., 1948).
0 Обработанный текст доклада, прочитанного 3 июля 1956 г.
в секции истории математики II] Всесоюзного математического
съезда в Москве.
12
А. П. ЮШКЕВИЧ
Росту исследований по истории математики способст-
вовала интенсивная работа кафедры истории математики
Московского университета и существующего уже более
20 лет научного семинара, в котором активно уча-
ствуют историки математики всего Советского Союза.
Весьма существенно было далее развитие учебных кур-
сов по нашему предмету в ряде университетов и педаго-
гических -институтов; особо следует отметить создание
в МГУ студенческих семинаров по истории математики.
Эти курсы и семинары привлекли немало способной моло-
дежи. Работа по истории математики была организована
и в созданном еще до окончания войны, зимой 1945 г.,
Институте исторпи естествознания (с осени 1953 г.—Инсти-
тут истории естествознания и техники). Большую пользу
принесли созванные последние два Всесоюзных совеща-
ния по истории естествознания, в декабре 1946 г. и в мае
1953 г., в математических секциях которых встречались
многие наши товарищи.
Выросло число работающих над историей матема-
тики людей, особенно молодых ученых; был защищен ряд
диссертаций, кандидатских и докторских. Если ранее
работа наша велась почти исключительно в Москве, то
ныне ею занимаются во многих городах РСФСР, Украины,
Белоруссии, Грузии, Узбекистана и других республик,
от Риги до Владивостока и от Еревана до Тюмени. Пока-
зателем роста работ в нашей области явилось издание
с 1948 г. ежегодных выпусков «Историко-математических
исследований». В девяти выпусках, вышедших за 1948—
1956 гг., было опубликовано 127 работ 68 авторов из
23 городов СССР. Замечу для сравнения, что за 30 лет,
с 1917 по 1946 г., в Советском Союзе было напечатано
около 250 работ. А ведь работы по истории математики
печатались после войны не только в «Историко-математи-
ческих исследованиях», но и в «Трудах» Института исто-
рии естествознания, в журналах «Успехи математических
наук», «Математика в школе», в различных ученых запис-
ках, а также в виде отдельных книг и сборников. Вряд ли
я ошибусь, если скажу, что за 10 послевоенных лет было
обнародовано значительно больше работ, чем за все пред-
шествующее время Советской эпохи.
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 13
Другим показателем наших успехов служит издание
классиков математики. К этому делу мы приступили
ранее, в ЗО-е годы, но и здесь в последнее время сделано
было гораздо больше прежнего. Достаточно указать на
такие фундаментальные вещи, как многотомные Полные
собрания сочинений Н. II. Лобачевского, П. Л. Чебышева
и Г. Ф. Вороного или на издание отдельных сочинений
или избранных трудов А. А. Маркова, А. М. Ляпунова,
Н. Н. Лузина и других крупнейших русских матема-
тиков. О многочисленных переводах сочинений зарубеж-
ных классиков математики я скажу далее. Все эти изда-
ния с их великолепным аппаратом комментариев и пояс-
нительных статей имеют очень серьезное значение для
последующей исследовательской работы, не говоря уже
о воспитательной их функции. Следует сразу подчерк-
нуть в этой связи, что в подготовке изданий классических
работ по математике большую, иногда главную, роль
играли наши крупные специалисты по геометрии, ана-
лизу, теории чисел, теории вероятностей и т. д. Вообще
участие представителей различных специальных дисцип-
лин в работе по истории науки сильно возросло и это
очень заметно отразилось на наших успехах.
Конечно, в нашей общей работе были не одни только
успехи, но имелись и недостатки; я остановлюсь на них
далее.
Мне удастся осветить в докладе только несколько ос-
новных направлений. Должен предупредить, что место,
отводимое в докладе тем пли иным вопросам, часто не
пропорционально их важности, так как некоторые из них
в кратких словах охарактеризовать невозможно. Я не
привожу никаких библиографических справок1). Нако-
нец, я заранее прошу извинения, если за недостатком
времени не назову некоторых уважаемых авторов.
В некоторых случаях я постараюсь наметить актуаль-
ные научные задачи (но не задачи воспитательные и ор-
ганизационные). Здесь я буду весьма краток, так как
J) Относительно полная библиография вопроса будет приведе-
на в сборнике «Математика в СССР за сорок лет» (издаваемом Физ-
матгизом).
14
А. П. ЮШКЕВИЧ
этому вопросу на секции посвящается специальный док-
лад. Но говорить о современном состоянии науки, со-
вершенно отвлекаясь от перспективы ее развития, не-
удобно, да и нецелесообразно.
Основными, хотя и не единственными, направлениями
наших работ являются:
1) история математики на Древнем Востоке;
2) история математики в Древней Греции;
3) история математики в странах Востока и России
в эпоху Средних веков;
4) история математики в XVII—XVIII вв.;
5) история математики в России и СССР в XIX—
XX вв.
Порядку, указанному в этих пунктах, я и следую
далее.
1
В последние десятилетия повсеместно уделялось боль-
шое внимание истории математики в Древних Египте
и Вавилоне. Основное значение имели издание так назы-
ваемого Московского папируса В. В. Струве, завершив-
шего труд, начатый Б. А. Тураевым, и публикации клино-
писных текстов Ф. Тюро-Данженом и 0. Нейгебауэром.
Эти издания, а также развитые Нейгебауэром идеи по-
влекли за собой ряд работ К. Фогеля, в недавнее время
Е. М. Бруинса и др. В результате получила совершенно
новое освещение вавилонская математическая культура,
по-новому были поставлены важные вопросы об истоках
позиционной нумерации, о происхождении алгебраиче-
ских методов, о началах теоретической математики, о свя-
зях греческой и древневосточной науки.
Понятен интерес наших ученых к этому комплексу
вопросов; ему посвятили свои докторские диссертации
М. Я. Выгодский (1938 г.) и с промежутком свыше 10 лет
И. Н. Веселовский. Оба они опирались на уже опублико-
ванные тексты, но выдвинули ряд оригинальных концеп-
ций. Сказанное относится, например, к изложению у
М. Я. Выгодского египетского учения о дробях (в част-
ности, таблицы представления дробей 2/2n -f-1 в виде
сумм долей единицы) пли к его общей оценке египетской
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 15
математики, уровень которой он на основании косвенных
соображений считает более близким к уровню математики
Вавилона, чем Нейгебауэр. Другие предположения о
происхождении только что упомянутой таблицы дробей
выдвинули С. А. Яновская и И. Н. Веселовский. До-
вольно близко примыкая в общей трактовке математики
Вавилона к Нейгебауэру, М. Я. Выгодский расходится
с последним в вопросе о происхождении таблиц умноже-
ния, в толковании приемов решения ряда линейных
задач и т. д. Заслуживает внимания анализ у М. Я. Вы
годского задач, приводящих к квадратному уравнению,
о чем я скажу далее.
Несколько работ в середине 30-х годов посвятил мате-
матике Древнего Востока С. Я. Лурье. Он дал оригиналь-
ные реконструкции египетского вывода правила вычисле-
ния объема усеченной пирамиды и вавилонского правила
суммирования натуральных квадратов. В противовес
Нейгебауэру, особенно подчеркивающему алгебраический
характер математики вавилонян, Лурье выдвигает мне-
ние о значительной роли геометрических построений
в решении задач на квадратные уравнения.
Расхождения во взглядах на алгебру вавилонян между
М. Я. Выгодским и С. Я. Лурье повлекли за собой дис-
куссию, в которой позднее участвовала на стороне
М. Я. Выгодского А. Е. Рапк.
И. Н. Веселовский подошел к работам Нейгебауэра
и его последователей с еще более широкой критикой, чем
Выгодский и Лурье. Веселовский отверг известную гипо-
тезу Нейгебауэра о происхождении позиционной шести-
десятерпчной нумерации из наслоения различных де-
нежно-весовых систем. Отправляясь от некоторых вы-
сказываний Н. М. Бубнова и К. Фогеля, И. Н. Весе-
ловский связывает появление позиционного принципа
с (вероятным) применением абака; шестидесятерпчность
он объясняет счетом на пальцах. Исходя из той же гипо-
тезы абака, Веселовский реконструирует приемы произ-
водства вычислений в вавилонской математике. Не отри-
цая в математике вавплонян значительной алгебраиче-
ской компоненты (квадратные уравнения), Веселовский
высказал несогласие с трактовкой у Нейгебауэра и
16
А. П. ЮШКЕВИЧ
Фогеля тех задач, которые названные ученые рассматрива-
ют как задачи на кубические уравнения, решаемые с по-
мощью специальных таблиц чисел тг34-п2. И. Н. Веселов-
ский предложил собственное объяснение хода решения
с помощью проб, не предполагающее явного выражения
задачи кубическим уравнением.
Задачи на квадратные уравнения были недавно вновь
подробно разобраны А. Е. Раик. В этих задачах лежат
истоки алгебры и, шире, математики как теоретической
науки. Задачи на квадратные уравнения, не имеющие
прямого прикладного значения, возникали при теорети-
ческой обработке вопросов, рожденных практикой, именно
путем обращения этих вопросов, при котором данные
величины рассматриваются как искомые, и обратно. Со-
ставление и решение отвлеченных задач имели целью
изощрение математических методов и их проверку на
практике. Во всем этом А. Е. Раик развивает положения,
ранее высказывавшиеся М. Я. Выгодским и С. А. Янов-
ской (в ее лекциях, читанных в Московском университете).
Подобно многим советским и зарубежным ученым
А. Е. Раик усматривает у Нейгебауэра чрезмерную мо-
дернизацию вавилонской математики. Она, в частности,
указывает, что некоторые задачи, трактуемые Нейгебауэ-
ром как задачи на биквадратные уравнения, можно
понимать проще, как примеры на своеобразное сочета-
ние метода замены переменных и правила ложного поло-
жения.
Древневосточные тексты обладают особой заманчи-
востью, доставляя, в силу своей лаконичности, широкое
поле для разнообразных реконструкций методов решения
задач. Некоторые такие реконструкции уже упомянуты,
а А. Е. Раик предложила на нашей секции новые.
Отметим еще работу Г. П. Боева, выдвинувшего соб-
ственное истолкование задачи № 10 Московского папи-
руса. По Боеву речь идет здесь о вычислении площади
поверхности конуса, а не полушара (мнение В. В. Струве)
или полуцилиндра (мнение Т. Пита).
А. А. Вайман опубликовал в прошлом году одну кли-
нописную табличку, хранящуюся в Эрмитаже. Вайман
показывает, что в этой табличке содержатся интересные
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССГ ПО ИСТОРИК МАТЕМАТИКИ 17
для оценки уровня вавилонской математики решения
задачи о делении трапеции на попарно равновеликие
полосы при условии рационального отношения длин
оснований и делящих линий. Решения даются тропками
натуральных чисел, которые Вайман назвал вавилон-
скими и которые тесно связаны с так называемыми пифа-
горейскими числами.
Описанные работы имеют несомненную ценность, но все
же мы сейчас отстаем в изучении истории математики
Древнего Востока.
В последнее время по истории науки Древнего Во-
стока публикуются все новые и новые материалы, выдви-
гающие новые важные проблемы. Таковы, например,
работы Бруинса и особенно Нейгебауера, который дал рас-
шифровку в анализ вавилонских астрономических тек-
стов, весьма существенных и для истории математики
Вавилона. В нашей литературе эти работы еще не полу-
чили отражения. Следует надеяться, что этот очевидный
пробел будет восполнен,
II
Математика Древней Греции и эллинистических госу-
дарств чем далее, тем более привлекает внимание. Это
неудивительно в наше переломное для развития естество-
знания и математики время с его обостренным интересом
к фундаментальным понятиям и методам науки. В пол-
ную силу звучат сейчас слова Энгельса, писавшего, что
в греческой философии имелись в процессе возникнове-
ния почти все позднейшие типы мировоззрения, так что
теоретическое естествознание, если оно хочет проследить
историю возникновения и развития своих теперешних
общих положении, вынуждено возвращаться к грекам.
Для понимания настоящего, для предвидения, хотя бы
в общих чертах, будущего науки сейчас особенно остро
необходимо знать ее прошлое; недаром многие, Вероятно
оолыппнетво, ведущих математиков современности живо
интересуются проблемами истории своей науки.
Древних греков изучают давно, но теперь их труды
читают совсем по-другому, к ним подходят с новых
2 Истор.-матем. псслед., вып. XI
18
А. П. ЮШКЕВИЧ
методологических и математических позиции, с более
совершенными методами анализа текстов. Попятно, на-
пример, что развитие математической логики заста-
вило совсем по-пному подойти к теории доказательства
Аристотеля и аксиоматике Евклида, в чем мы убедились
на днях из доклада С. А. Яновской. Кроме того, мы
теперь лучше знаем восточных предшественников греков,
а, с другой стороны, арабскую литературу, дающую мно-
гие важные сведения о греческой математике.
Ценным вкладом в нашу литературу явился полный
русский перевод «Начал» Евклида, выполненный покой-
ным Д. Д. Мордухай-Болтовскпм прп участии II. Н. Ве-
селовского и М. Я. Выгодского. Д. Д. Мордухай-Болтов-
ской приложил к переводу обширнейшие комментарии,
плод огромной эрудиции и оригинальной мысли. Ком-
ментарии эти касаются самых различных тем. Ни один
наш исследователь «Начал» не может пройти мимо этой
работы Мордухай-Болтовского при всей спорности его
отдельных мнений.
«Началам» Евклида в советской литературе был по-
священ ряд исследований и дискуссий.
М. Я. Выгодский детально и во многом оригинально
рассмотрел систему определений и аксиом, теорию отно-
шений и содержание отдельных книг «Начал». Он защи-
щает Евклида от ряда упреков (не от всех, разумеется)
в неполноте аксиоматики и в бессодержательности неко-
торых определений. Так, М. Я. Выгодский полагает, что
в системе Евклида не нужны были аксиомы порядка,
поскольку понятие «между» для него являлось перво-
начальным логическим понятием, подобно союзу «и».
Большое место Выгодский отвел вопросу о философских
взглядах п методологических установках «Начал»; он
особо подчеркивает влияние идеалистической филосо-
фии Платоиа, усматривая последнее п в сугубо абстракт-
ном характере «Начал» и во многих определениях (точки,
прямой п др.), которые, по Выгодскому, суть не описания
геометрических образов, но средство вызвать в читателе
«воспоминание» в платоновском смысле о понятиях,
врожденных душе. Платонизм и пифагореизм трактуются
как идеологическая основа «Начал» и в работе А. Е. Раик
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 19
о X кише это1'о произведения; вслед за К. Райдемаи-
стером она полагает, что целью подробно рассмотренной
ею евклидовой классификации квадратичных иррацио-
нальностей сложило возрождение пифагорейского те-
зиса «все есть число».
Против трактовки «Начал» М. Я. Выгодского высту-
пили В. Н. Молодшпй и Л. Е. Майстров. По их мнению,
нет основании приписывать Евклиду теорию познания
Платона; в теории доказательства и в понимании крите-
рия истины Евклид в целом примыкает к Аристотелю.
Концепция А. Е. Раик вызвала в свою очередь критик}
со стороны В. Ф. Рогаченко.
Успехи теоретической арифметики определили рост
интереса к VI— ]Х книгам «Начал» как за рубежом —
в последнее время, например, Б. Л. Ван-дер-Вардена—
так и в СССР. Оригинальное освещение вопроса о пост-
роении и месте этих книг дала II. Г. Башмакова. Исходя
из того, что Евклид различает отвлеченные числа-крат-
ности, свойства которых считает известными, и числа-
меры или числа-отрезки, учение о которых и должно
быть построено, II. Г. Башмакова показывает, что теория
делимости последних обоснована не менее строго, чем
собственно геометрические отделы «Начал». В частности,
опровергается мнение Г. Г. Цейтена о наличии порочного
круга в самом фундаменте теории делимости — теореме
о том, что простое чпсло, делящее произведение двух
целых, делит, по крайней мере, одпн из сомножителей.
Выясняется, далее, смысл отдельного построения теории
отношении целых чисел, после того как в V книге уже
изложена была общая теория отношений: такая специа-
лизация необходима для развития всей теоретической
арифметики. Наконец, II. Г. Башмакова указывает, что
VII—IX книги являются неотъемлемой частью «Начал»,
как предпосылка X книги.
Иную позицию занял Н. Г. Алимов, считающий тео-
рию отношении VII книги логически необработанным
соединением доевклидовой теории пропорции с более
поздней формой ее развития. Анализируя общую теорию
отношений V книги, Н. Г. Алимов приходит к выводу,
что Евклид стремился обойтись без предположения
2*
20
A II ЮШКЕВИЧ
делимости величин как в смысле деления па равные части,
так и в смысле вычитаемости меныпеп величины из боль-
шей. Сохранение старой теории пропорций в VII книге
при наличии в V книге более общей теории, охватываю-
щей как непрерывные, так и дискретные величины, Али-
мов объясняет стремлением Евклида отгородиться от
острых споров между влиятельными платониками и ато-
мистами.
Перехожу к исследованиям об античных инфинитези-
мальных методах. Этот круг вопросов с большим инте-
ресом изучается в последние десятилетня; достаточно
напомнить о работах Е. Закс, Э. Франка, Г. Гассе и
Г. Шольца, О. Беккера, Э. Декстергойза. Современные
споры вокруг проблем обоснования математики привлекли
особое внимание ученых к парадоксам Зенона и атомистике
Демокрита, к учению пифагорейцев, к эволюции так на-
зываемого способа исчерпывания и др. Ряд интересных
работ посвятили всем этим вопросам п советские исто-
рики-математики,
В 1У35 г. с книгой о теории бесконечно малых у древ-
них атомистов выступил С. Я. Лурье. Привлекая боль-
шой, хотя весьма фрагментарный материал, Лурье сде-
лал попытку реконструировать «математический авто-
мпзм» Демокрита как некоторое развитое и последова-
тельное учение. В этой книге, как и в более поздней
книге об Архимеде, Лурье высказал мнение, что един-
ственным средством открытий греков в области квадра-
тур и кубатур служил (да и мог служить) метод недели-
мых и что доказательства по методу исчерпывания Ев-
докса — Евклида служили (и могли служить) только
для узаконения результатов, уже найденных с помощью
нестрогих атомистических рассмотрений. Эту же точку
зрения отстаивал, а также перенес на историю исчисле-
ния бесконечно малых в Новое время М. Я. Выгодский.
Концепция Лурье — Выгодского, распространенная и
среди некоторых зарубежных историков надки, вызвала
и в целом, и в частностях ряд возражении исторического,
математического и филологического характера со стороны
Н. И. Идельсона, В. П. Зубова, С. А. Яновской,
А. П. Юшкевича и др. Отмечалось, что реконструкция «ме-
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 21
тода неделимых» Демокрита опирается на недостаточные и
частью ненадежные данные, что, далее, употребление «неде-
лимых линий» не имеет принципиальных эвристических
преимуществ по сравнению с применением весьма узких
полосок и т. п., что метод исчерпывания по существу
является одной из разновидностей предельного перехода
п в нем нет принципиального разрыва между путем
открытия и способом доказательства результата.
В ряде работ были подробнее рассмотрены различные
стадии развития метода исчерпывания вплоть до создания
Архимедом методов, которые можно назвать интегра-
ционными.
Еще АТ. Симон, 1'. Цептен и др. писали о применении
Архимедом инфинитезимальных соображений в задаче
на построение касательной к спирали. С большой пол-
нотой дифференциальные методы Архимеда изучила
II. Г. Башмакова. Она показала, что Архимед примени
тельно к спирали ввел общий способ построения каса-
тельных к кривым в полярных координатах, основанный
на так называемом характеристическом треугольнике.
Полемизируя с Т. Хпсом и А. Чвалина, Башмакова уста-
навливает, что и в этой области, как и в методах квадра-
тур и кубатур, способ доказательства результата являлся,
вообще говоря, лишь более точным и развитым оформле-
нием пути его открытия х). Архимед разработал также*
прием сведения задачи о максимуме функции одного
переменного (точнее, о необходимом условии максимума)
к построению общей касательной к двум подходяще
выбранным плоским кривым в их общей точке. Разумеется,
У Архимеда речь идет о максимуме конкретной вели-
чины, выражающейся целым многочленом невысокой
степени. II. Г. Башмакова выделяет запас общих
теорем о предельных переходах, фактически использовав-
шихся древними. В работе ставится вопрос о вероятием
г) Конечно, некоторые результаты, как об этом свидетельство-
вал сам Архимед, он получил с помощью так называемого механиче-
ского метода (существеннейшим моментом которого является при-
менение теории рычага) и уже в ином плане доказал по методу исчер-
пывания.
22
А. П. ЮШКЕВИЧ
влиянии этих методов Архимеда на развитие диффе-
ренциального исчисления в XVII в.
Из-за недостатка времени я только упомянх ряд дру-
гих работ о древнегреческой математике: А. И. \1арку-
шевича о X книге «Начал», Д. Д. Мордухай-Болтовского
о «Порпзмах» и «Данных» Евклида, С. Я. Лурье о при-
ближенных вычислениях, К. А. Рыбникова об пзопери-
метричсскпх задачах Зенодора, М. Я. Выгодского
об античных способах извлечения квадратных и
кубических корней, Э. Кольмана о проблеме бесконечного
и т. д.
Советские ученые внесли немало ценного в изучение
центральных проблем греческой математики. Желательно
подвести основные итоги этих исследований в отдельной
монографии; такая книга несомненно сообщила бы тол-
чок дальнейшей работе.
Работа по истории математики в Древней Греции
должна быть продолжена в различных направлениях.
У пас мало занимались античным учением о конических
сечениях, т. с. предысторией, а, по мнению некоторых,
ранней историей аналитической и проективной геометрии.
Более всего важно, с моей точки зрения, приступить к ис-
следованию развития математики в эллинистических го-
сударствах после классического периода и в Римской
империи. Прежняя концепция, согласно которой здесь
имел место регресс математики, причем картину нару-
шает лишь неожиданный взлет арифметического твор-
чества Диофанта, является крайне односторонней. Это
выразительно показал в своих лекциях в Корнеллевском
университете О. Нейгебауер (1949). Действительно, в рас-
сматриваемое время ослабло творчество в классических
направлениях; однако вместе с тем происходил новый
подъем в других областях математики, тесно связанных
с астрономией и географией. Промежуток со II в. до н. э.
до III в. п. э. отмечен плодотворным соединением грече-
ской теоретической математики с вычислительными прие-
мами Востока; оно сменяется подлинным эпигонством на
закате античной культуры. Необходимо обратиться к тру-
дам Герона, Птолемея и других ученых вновь, в свете
новых знаний о математике Древнего и Средневекового
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 23
---- ’ 5 '
Востока и новых складывающихся концепций. Это
принесет не меньшие результаты, чем изучение
Аристотеля, Евклида и Архимеда. Продолжавшееся не-
которое время развитие вычислительно-алгоритмического
направления в странах греко-римской культуры заслу-
живает пристального внимания и по своему несомненному
влиянию на математику арабских, а затем и европейских
стран. Здесь снова следует подчеркнуть важность соче-
тания исследований по истории математики и по истории
астрономии.
Замечу еще, что на русском языке бедно представлена
греческая математическая литература. До сих пор не опуб-
ликован полный перевод Архимеда, есть только начало
первой книги «Конических сечений» Аполлония, нет Дио-
фанта, Птолемея, Паппа и т. д. Это сильно затрудняет
движение вперед в данном направлении.
Ш
Большое число работ посвящено было в последние
годы математике стран Востока и математике в России
в эпоху Средних веков.
Над вопросами истории так называемой арабской ма-
тематики работали М. У. Гашим-заде, Ф. А. Касумханов,
Г. Д. А1амедбейли, Б. А. Розенфельд, Р. AI. Султанов
и 3. II. Халилов в Баку, Т. Н. Кары-Ниязов в Ташкенте,
X. У. Садыков в Сталипабадс и другие. Прежде всего
нужно указать на издания переводов сочинений Насир-
эддпна ат-Тусп, Омара Хайяма и Джемшпда ал-Каши.
Часть переводов явилась первыми переводами с араб-
ского, а некоторые сделаны непосредственно по руко-
писям. Значение этих переводов очень велико; чуть ли
не каждый открывает новые стороны арабской матема-
тики, иногда первостепенные по значению. Эту успешно
начатую работу следует продолжить и усилить. Есть
много рукописных сочинений на арабском, иногда на
персидском языках, и в древнееврейских переводах,
которые известны лпшь по названию пли в неполно-
ценном изложении. Для советских ученых эта работа
24
А. И. ЮШКЕВИЧ
представляет тем больший интерес, что позволяет полнее и
точнее выяснить тот выдающийся вклад, который внесли
в науку математики и астрономы государств Средней
Азии.
Я прежде всего остановлюсь на грудах, в которых пе-
реплетаются проблемы истории математики и астроно-
мии. Т. Н. Кары-Нпязов выпустил книгу об астрономи-
ческой школе, недолго процветавшей в первой половине
ХА в. в Самарка де под покровительством и при участии
Улугбека, школе, к которой принадлежал и Джемшид
ал-Кашп. Автор использовал новые рукописные мате-
риалы и подробно разобрал знаменитые таблицы Улуг-
бека. Оригинальные материалы использованы и в книге
X. У. Садыкова о трудах по астрономии и математической
географии ал-Бпруни. К сожалению, изучение астро-
номических сочинений под углом зрения истории мате-
матики проводится нами явно недостаточно и для этого
периода. За рубежом эти вопросы привлекают большое
внимание, укажу хотя бы па исследования американского
ученого Е. С. Кеннеди.
Целая серия работ имела своим предметом творчество
отдельных среднеазиатских математиков. Это работы на-
званных уже бакинских ученых о Наспрэддпне ат-Туси,
Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича о Хайяме и ал-Каши,
А. П. Юшкевича о Мухаммеде ибн-Муса ал-Хорезми и др.
Обозреть пх содержание здесь пет возможности. Укажу
для примера, что теперь мы гораздо глубже познакоми-
лись с работами Омара Хайяма и следовавшего за ним
Наспрэддина ат-Тусппо теории параллельных и по теории
отношений. В результате удалось вписать новые главы
в предысторию неевклидовой геометрии и в историю
учения о число. Некоторые исследования соприкасались
при этом с зарубежными, особенно немецкого арабиста
П. Люкея, который первый подверг разбор) математи-
ческие трактаты ал-Каши, и голландца Ё. Б. Плооя,
который опубликовал краткий обзор арабских сочинений
по общей теории отношений.
Еще недавно преобладало мнение, что арабская мате-
матика — разрешите пользоваться этим привычным, хотя
и неточным термином представляла собой мало ори-
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР По ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 23
гинальное продолжение древнегреческой с некоторыми
заимствованиями у науки Индии; за арабскими учеными
признавали только частные продвижения по пути, намечен-
ному’ в основном греками. Считалось, что после XII в.
начинается упадок арабской науки. Как мы знаем теперь,
эта концепция неверна. Конечно, математики Ближнего
и Среднего Востока — арабы, сирийцы, хорезмийцы,
таджики, иранцы и т. д.— оыли учениками греков, в мень-
шей степени — индийцев и отчасти — китайцев. Но уче-
ники не только продолжали классическую тематику
своих западных учителей. В условиях феодального об-
щества и в тесной связи с задачами астрономии и геогра-
фии математика в государствах Ближнего и Среднего
Востока уже на ранней стадии приобретает специфиче-
ские особенности, которые со временем усиливаются и
становятся доминирующими. Преимущественное внима-
ние привлекает разработка расчетных, вычислительных
алгоритмов арифметики и алгебры и их приложения при
посредстве тригонометрии в тогдашнем математическом
естествознании. Это — то направление, которое начало
развиваться в эллинистических странах после встречи
греческой и древневосточной культур, но еще более от-
четливо вычислительно-алгоритмическое. При этом следует
иметь в виду, что вычислительно-алгоритмическая мате-
матика нс успела расцвести ярким цветом в эпоху распада
Римской империи. В странах ислама это направление не-
долго приобретает жизненную силу и достигает кульми-
нации далеко за пределами XII в., в XV столетии в Са-
маркандской научной школе. Пдсп и методы греческой
науки получают здесь новое развитие в применении к
новым проблемам.
Намеченная схема будет в дальнейшем уточняться
и дополняться. Большая часть работы впереди. Одну
проблему я хочу отметить особо: это вопрос о взаимо-
связях между наукой Средней Азин и наукой Китая,
особенно начиная с XIII в. Кое-что о таких связях мы
уже знаем, но в общем фактические сведения пока весьма
скудны. Между тем, чем далее, тем более несомненными
становятся глубокие взаимосвязи в развитии матема-
тики в странах ислама, Индии и Китае.
2(>
А. П. ЮШКЕВИЧ
Естественно встает задача более пристального изу-
чения истории математики в Китае, которое у себя па
родине с таким успехом ведут наш уважаемый гость
нроф. Ли Янь, а также проф. Цянь Бао-Цзун, Сюй
Чунь-фан, Ду Шп-жань, а в Европе—английский историк
науки Дж. Нидем вместе с Ван Лином и некоторые дру-
гие. Не так давно А. П. Юшкевич в одной статье обратил
внимание на некоторые характерные черты в развитии
математики в Китае и поставил в этой связи несколько
вопросов. Этот почин получил уже продолжение, и первый
большой вклад советских ученых в историю математики
в Китае вскоре станет достоянием читателей. Я имею
в виду комментированный перевод составленной около
2000 лет назад основоположной «Математики в девяти
книгах», выполненный аспиранткой Э. П. Березки
поп. Перевод будет напечатан в X выпуске «Псторпко-
математических исследований». В комментариях пере
водчпцы много ценных соображений, например, анализ
различных приемов решения задач, приводящихся к од
пому нлп нескольким линейным уравнениям.
Отмечу еще статью Л. С. Барановской о первой работе
по математике на монгольском языке. Это — математи-
ческие, собственно тригонометрические, отделы книги
ио астрономии, напечатанной с помощью ксилографии
в 1712 г. и представлявшей собой, по всей вероятности,
переработку одного китайского трактата.
Сопоставление математической деятельности в стра-
нах Азии, от Средиземного моря до Тихого океана, при-
водит к выводу о наличии большого средневекового во-
сточного цикла в развитии математики. В Китае, Индии,
арабских странах наблюдается существенное единство
математической культуры. Объединяющим началом здесь
служит преобладание вычислительно-алгоритмических
методов, возникавших на основе сходных задач. В ряде
случаев такие методы создавались параллельно, но не-
сомненно и взаимное влияние в результате идейных кон-
тактов, сопровождавших торговые и политические связи.
В те времена научные контакты были, конечно, гораздо
менее регулярны, чем, скажем, между европейскими стра-
нами в Новое время, по постепенное накопление пх в те-
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 27
чение столетий приносило своп плоды. Изучение связей
здесь затруднено из-за отсутствия у старых авторов пря-
мых ссылок на источники, тем не менее оно возможно
и представляет собой важную проблему. Замечу, что
интересной задачей является установление вероятных
связей с древневавилонской традицией; к сожалению,
материалы здесь пока совершенно недостаточны.
Я сказал, что математику в странах Востока на исходе
Древности и в Средние века можно рассматривать как
некое триединое целое. Однако при общности в главном
развитие математики в Китае, Индии и арабских странах
имело свои отличительные особенности. Для развития
арабской математики, в частности, весьма важно было
владение великим наследием греков, позволившее в ши-
роком масштабе привлекать классические теории к раз-
работке калькуляционной математики и, обратно, на
основе последней строить теоретические обобщения. В са-
мом тесном родстве с математикой Востока развивается
с XI в. математика в Европе. Это давно известно, но
и здесь перед историками науки много работы впереди.
Очевидна важность разностороннего продолжения ис-
следований в этой области, имеющих, помимо научного
интереса, серьезное культурное и общественное значение.
Среди различных стоящих при этом вопросов укажу еще
вопрос о причинах упадка математики в Китае после
Х1П в. и, шире, о причинах, по которым развитие науки
на Востоке и в Европе пошло столь различными путями,
хотя еще в XIV—XV вв. техника и наука восточных стран
не уступали, а кое в чем были п впереди техники и науки
европейских стран.
История математики в Индии остается у нас пока
в стороне. К сожалению, средп нас нет человека, владею-
щего санскритом. В мои цели не входит постановка орга-
низационных вопросов, но все же я считаю нужным ска-
зать, что пора позаботиться о подготовке молодых уче-
ных, способных читать в оригинале сочинения старинных
индийских математиков и астрономов. Пример Э. II. Бе-
резкиной показывает, что таким образом можно olictj о
достичь хороших результатов. Конечно, нам нужны
также аспиранты-арабисты, латинисты, эллинисты.
28
X. П. ЮШКЕВИЧ
В изучении математики в Западной Европе в Средние
века было сделано немногое. В конце 20-х годов с рядом
работ по истории средневековой алгебры и схоластиче-
ской математики выступил Д. Д. А1ордухай-Болтовской,
но он нс имел продолжателей. Некоторые вопросы из
истории математических учений о непрерывном и дис-
кретном затронуты только в работах В. П. Зубова
о средневековой атомистике у Роберта Гроссетеста, Род-
жера Бэкона, Николая из Отрекура, Николя Орема и др.
Гораздо больше было сделано, как уже говорилось,
ио истории математики в России. Начало изучению рус-
ских математических рукописей XVII в. положил 70 лет
назад В. В. Бобынин. Заслуги Бобынина велики, однако
некоторые общие положения его устарели. В. В. Бобы-
нин считал, что математические интересы в допетровской
Руси ограничивались элементарными задачами земле-
мерия и коммерческой арифметики. Он низко оценивал
«интеллектуальные средства», находившиеся в распоря-
жении составителей рукописей XVII в., полагая, напри-
мер, что они плохо разбирались в существе задач на трой-
ное правило. Ни то, ни другое положения Бобынина
не верны. Новые материалы, исследованные Т. II. Райко-
вым, а затем в более широком масштабе В. П. Зубовым,
показали, что уже с XI в. в России имелись люди, инте-
ресовавшиеся отвлеченными математическими пробле-
мами, которые волновали западноевропейскую схола-
стику, в частности, спорами о строении и свойствах
континуума. Соответствующие античные споры, требо-
вавшие определений ряда основных математических по-
нятий, стали у нас известны, по-видимому, более всего
в изложении восточных авторов, но проникали также
и с Запада. Т. II. Райнов, далее, обратил внимание на
элементы теоретической математики в одной космографи-
ческой рукописи XVI в. В. П. Зубов исследовал курсы
лекций по физике, т. е. натурфилософии, читавшиеся
в русских духовных школах XVII и начала XVIII в.
В этих курсах многое восходило к Аристотелю и, в част
пости, уделялось место тем же проблемам связи между
непрерывным и дискретным. Попутно В. П. Зубов раз-
бирает ряд аналогичных западноевропейских руководств
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР НО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 2'1
Р. Арриага, Ф. Овиедо и др. Непосредственной целью
автора было определить значение, которое имели для
формирования взглядов М. В. Ломоносова годы его уче-
ния в Московской славяно-греко-латинской академии.
Не бу у задерживаться на критике данной Бобыни-
ным оценки знаний авторов русских математических
рукописей XVII в. и добавлю немногое. Т. И. Райнов
впервые изучил математические отделы одной рукописи
но военному делу. И. Г. Спасский опубликовал статью
ио истории русских счетов, в которой отстаивает мнение
об их самобытном создании в России; он рассмотрел при
этом ряд особенностей старорусского инструментального
счета. К. II. Швецов кратко описал большое число со-
хранившихся русских математических рукописей XVII -
XVIII вв. В. И. Зубов и Т. 11. Коншина опубликовали
критический текст древнейшего русского математиче-
ского памятника XII в. сочинения о летоисчислении
Кирпка Новгородца с комментариями и статьей Зубова.
Изучение средневековой русской математической куль-
туры отнюдь не завершено. До сих пор не опубликована
ни одна типичная рукопись XVII в. (рукопись, изданная
в конце прошлого века Руш кпм обществом любителей
древней письменности, мало характерна). Критическое
издание с основными разночтениями и комментариями
русских рукописей по арифметике и геометрии является
насущной задачей. Примером в смысле сопровождающего
научного аппарата может послужить Регенсбургский
арифметический задачник, недавно опубликованный
К. Фогелем. Весьма заслуживает внимания геометриче-
ская рукопись начала XVII в., находившаяся ранее
в Московской синодальной библиотеке под № 42,
а ныне хранящаяся в Московском историческом музее;
эта рукопись —.по теоретической геометрии и изложе-
ние в ней сопровождается доказательствами.
В заключение этого отдела отмечу исследования по
истории математической культуры в Грузии и Армении.
Д. Г. Цхакая подробно оппсал старогрузинскую нуме-
рацию, метрологию, календарные расчеты и ряд ру-
кописей XVII—XIX вв., Г. Б. Петросян — труды Анании
Ширикацп, Ованеса Саркавага, Николая Артавасда и
30
А. П. ЮШКЕВИЧ
армянскую математическую литературу XVII—XVIII вв.
В работах обоих авторов ставятся вопросы о культур-
ных связях стран Кавказа с государствами Средней Азии
и с Россией. Отдельные вопросы истории математики
в Армении изучали также А. Г. Абрамян и Г. Т. Тума-
нян. Большая часть всех этих работ опубликована па
грузинском п армянском языке и потому многим недо-
ступна. Желательно, чтобы основные результаты были
изложены п по-русски.
IV
Большое число работ посвящено было математике
XVII—XVIII вв., особенно становлению аналитической
геометрии и исчисления бесконечно малых. Специальное
внимание привлекала история проблем обоснования ма-
тематического анализа, интерес к которой, как я уже гово-
рил, в наше время совершенно закономерен.
Значительная работа проведена была по изданию
на русском языке сочинений классиков математики:
Кеплера, Кавальери, Декарта, Ньютона, Эйлера, Монжа,
Карно и др. Как правило, по качеству переводов и научно-
комментаторского аппарата эти издания стоят на высоком
уровне. Назову для примера комментарии Д. Д. АТорду-
хай-Болтовского к его переводу математических сочи-
нений Ньютона илп статью и комментарии AI. Я. Выгод-
ского к книге Монжа по дифференциальной геометрии.
В связп с различными юбилейными датами появился
ряд сборников, посвященных Ньютону, Эйлеру, А1онжу,
Лагранжу. В этих сборниках есть статьи, содержащие
компетентный и глубокий анализ самых различных сто-
рон творчества названных классиков науки. Таковы, среди
многих других, блестящие очерки творчества Ньютона,
Эйлера и Лагранжа, принадлежащие А. Н. Крылову,
и содержательные статьп Н. Г. Чеботарева о значении
работ Лагранжа по теорпп чисел и алгебре и о много-
угольнике Ньютона и его роли в современном развитии
математики.
Издание классиков математики XVII—XVIII вв. имеет
большую научную и воспитательную ценность и должно
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 31
быть продолжено. Мы все еще не располагаем русским
переводом работ Ферма, Лейбница (публиковались только
немногие их мемуары или отрывки) и Лагранжа (издан
лишь перевод его аналитической механики), многих заме-
чательных книг и мемуаров Эйлера *)— я назвал только
крупнейшие.
В 1933 г. С. А. Яновская с сотрудниками опубликовала
основную часть рукописей Карла Маркса по матема-
тике. Уже тогда привлекла интерес замечательная ха-
рактеристика, данная Марксом главным этапам —«ми-
стическому», «рациональному» и «алгебраическому»— в
обосновании анализа в XVIII в. Высказывания и оценки
Маркса, его мысли об оперативной роли символики и пр.
дополнительно стимулировали занятия историей идей
обоснования анализа, начатые несколько ранее. Правда,
некоторые авторы, догматически следуя букве математи-
ческих рукописей Маркса, который не был знаком с ре-
формой анализа в трудах Коши, Дедекинда, Вейер-
штрасса, пришли тогда к неправильным выводам, предла-
гая, например, отказаться от современных определений
бесконечно малой или производной и т. и. Эти предло-
жения, конечно, не получили поддержки и остались без
всякого влияния.
С успехом применены были идеи, высказанные в мате-
матических рукописях Маркса, В. II. Гливенко в его
известной статье о понятии дифференциала, С. А. Янов-
ской прп рассмотрении некоторых идей обоснования ана-
лиза в XVIII в. и позднее в статье о М. Ролле как кри-
тике исчисления бесконечно малых.
Сравнительно недавно С. А. Яновская и К. А. Рыбников
вновь обратились к рукописям Маркса. Подробный ана-
лиз рукописей и ряд основанных на них умозаключений
содержится в недавно защищенной докторской диссер-
тации К. А. Рыбникова. Я могу не останавливаться спе-
циально на этой работе, так как ее автор уже выступил
на нашей секции с докладом. Скажу только, что тексты
Маркса изучались теперь с учетом достижений математп-
1) С 1956 г. начато издание «Интегрального исчисления»
Л. Эйлера. Вышли т. I (1956), т. И (1957) и т. III (1958).
32
A П. ЮШКЕВИЧ
ческой логики, и это привело к тому, что на видное место
в истории обоснования анализа выдвинулось рассмотре-
ние алгоритмической стороны проблемы. Прежний под-
ход, в котором все или почти все внимание отводилось
развитию отдельных понятий пли концепций и борьбе
вокруг них, был недостаточен. Сами эти понятия п концом
пни должны быть осмыслены еще и под углом зрения работы
конкретного аппарата анализа, его различных но эффектив-
ности и значимости алгоритмов. Один из интересных
примеров новое освещение у К. Л. Рыбникова метода
флюксий Ньютона.
Среди множества работ по истории проблем обосно-
вания анализа в XVII XVIII вв. я могу упомянуть
лишь единичные. Ф. Д. Крамар показал преемственность
между той формой, какую теория пределов имела у Вал-
лиса, и методом первых и последних отношений Нью-
гопа обстоятельство, мимо которого прошли в своей
известной книге по истории обоснования анализа К. Бопер
(2-е изд. 1949) п в монографии о Валлисе — Д. Ф. Скотт
(1939). О взглядах Ньютона писали А. Н. Колмогоров,
А. Я. Крылов, Н. Н. Лузин, С. Я. Лурье, А. П. Юшкевич
и др. Здесь оценки весьма разнообразны. А. II. Кол
моторов, в частности, пришел к заключению, что,
поскольку функции у Ньютона непрерывны по опре-
делению, творец метода флюксий во всех своих утвержде-
ниях о свойствах пределов и о способах их нахождения
совершенно точен. Укаж\ еще на анализ так называе-
мого «исчисления нулей» Эйлера, данный С. Я. Лурье,
и работы М. Я. Выгодского о понимании математической
строгости в XVIII в. и специально у того же Эйлера.
В тесной связи со всем этим кругом проблем стоят
некоторые общие вопросы истории математики. Распро-
страненным является мнение, что предпосылкой про-
гресса исчисления бесконечно малых в XVII в. (как и
в древности) были «нестрогость» соответствующих иссле-
дований и беззаботность его создателей но части проблем
обоснования. Это • точка зрения тех же С. Я. Лурье
и М. Я. Выгодского. С этой концепцией связано отчасти
(хотя и не обязательным образом) представление о регу-
лярной смене в развитии математики периодов творче-
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 33
ских п не- (или мало-) критических и периодов критиче-
ских и малотворческих — представление, которое мы
находим у Ф. Клейна и других крупных ученых. Такие
суждения имеют, очевидно, не один историко-научный
интерес. В устных выступлениях и статьях С. Л. Янов-
ской, К. А. Рыбникова и др. эти взгляды были подверг-
нуты критике; здесь отстаивается другая точка зрения,
согласно которой разработка новых методов исчисления
бесконечно малых не была органически связана с отхо-
дом от строгости (в понимании соответствующей эпохи),
хотя у отдельных ученых подобный отход мог иметь и
имел место. Основой движения вперед было создание не
только новых эффективных инфинитезимальных методов,
ио и соответствующих новых понятий, вначале, разу-
меется, несовершенных, которое сопровождалось работой
над обоснованием новых методов. Ни в XVII, ни
в XVIII вв. не было простого отказа от античной стро-
гости, но происходила разработка новых критериев
научной строгости, и этим занимались все крупные мате-
матики XVII п XVIII вв. задолго до Коши и Вейер-
штрасса.
По истории аналитической геометрии от древности до
XIX в. интересную статью опубликовал Д. Д. Мордухай-
Болтовской. Исходя из того, что для аналитической гео-
метрии характерны координатный принцип п принцип
определяемости геометрического образа уравненном между
какими-либо числовыми характеристиками элементов об-
раза, Мордухай-Болтовской считает неправильным гово-
рить об аналитической геометрии у древних и даже у Де-
карта и Ферма: собственно аналитическая геометрия
начинается с Эйлера и Монжа. Мордухай-Болтовской
полагает, далее, что у Декарта еще нс было понятия о
функции н что французский философ со своим мфороно-
мическим» мышлением лишь сделал важный шаг в на-
правлении к «функциональному» мышлению Лейбница. Во
взглядах покойного Д. Д. Мордухай-Болтовского немало
парадоксального. Моя точка зрения по этим вопросам
изложена в печати, и я не буду на этом останавливаться.
Переходя к работам о русской математике XVIII в.,
я считаю полезным заметить, что в последние десяти-
Истор.-матем. псслед., вып. XI
34
А. П. ЮШКЕВИЧ
летия почти во всех странах ведется интенсивное изучение
истории национальной культуры и науки. Мы приступили
к этому делу даже несколько позже других. Как известно,
тут не обошлось без ошибок п преувеличений в вопросах
приоритета, иногда в искусственной изоляции трудов оте-
чественных авторов от общего развития математики. Такие
ошибки, весьма свойственные и некоторым зарубежным
авторам, мы старались исправлять и исправляем. Мне
думается, впрочем, что в области истории математики
удельный вес подобных ошибок не был значителен.
В целом, несмотря на некоторые неудачи, наука оказа-
лась в выигрыше. За последние 10 лет мы весьма расши-
рили знания о развитии математики в России и СССР,
а следовательно и мировой математики. Вклад нашей страна!
в пауку выступает в результате гораздо более значитель-
ным, чем представлялось ранее, — я имею в вид\
не только математику, но все естествознание.
Были полнее изучены «Арифметика» < I. Ф. Магниц-
кого и другие первые печатные книги по математике пет-
ровского времени; преподавание и учебники XVIII сто-
летия; роль Эйлера п его учеников в успехах математи-
ческого просвещения; деятельность С. Е. Гурьева и его
последователей. В этом направлении работали Б. В. Гне-
денко, II. Я. Денман, В. Е. Прудников, В. Н. Молодший,
В. II. Смирнов п Е. С. Кулябко. Пробелы в нашем зна-
комстве с математической культурой в России того вре-
мени и с деятельностью нашей первой научной математи-
ческой школы, руководимой Эйлером, значительно умень-
шились. Эти работы имеют ценность и для общей истории
России. Весьма жаль, что историки проявляют довольно
мало интереса к этой стороне истории деятельности че-
ловека.
Ряд работ был посвящен Эйлеру. Помимо упомянутых
ранее, назову статьп о его деятельности в теории чисел
(Б. А. Венков, II. Г. Башмакова), вариационному исчис-
лению (Н. С. Кошляков, К. А. Рыбников), функциям
комплексного переменного (С. Е. Белозеров, А. И. Мар-
кушевич), дифференциальному исчислению и дифферен-
циальной геометрии (М. Я. Выгодский), механике
(Ю. А. Прутков, Г. К. Михайлов). Наследие Эйлера
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 35
в области дифференциальных уравнений изучали
ср. II. Франкльи особенно Н. II. Симонов, выступавший на
нашей секции со специальным докладом. Эти исследова-
ния впервые с достаточной полнотой показали богатство
открытий Эйлера по дифференциальным уравнениям,
обыкновенным п с частными производными; некоторые
забытые результаты Эйлера сохраняют актуальный ин-
терес и ныне. Можно полагать, что в связи с предстоящим
в будущем году 250-лстием со дня рождения Эйлера по-
явятся новые ценные работы об этом крупнейшем ученом.
Огромный интерес представляет корреспонденция
Эйлера, который состоял в переписке почти со всеми
выдающимися геометрамп-совремепнпкамп. Переписка
эта, как мы могли судить по докладу В. И. Смирнова,
ярко освещает многие стороны деятельности самого Эй
лера. Опубликована она только в незначительной части.
Одной из ближайших задач является подготовка к
изданию переписки Эйлера. Впрочем, предстоит более
широкая задача освоения богатейших материалов по
XVIII в., хранящихся в Архиве Академии наук СССР.
Эта работа исподволь ведется сотрудниками Архива,
которых, однако, немного; желательно, чтобы на помощь
им пришли другие историки науки. Петербургская
Академия наук уже в XVIII в. являлась одним из миро-
вых научных центров и деятельность се должна быть
описана гораздо полнее, чем это сделано до спх пор.
Другая задача, к решению которой мы достаточно
подготовлены,— это создание обобщающих работ по об-
щей истории математики XVII—XVIII вв. н по истории
обоснования анализа, по крайней мерс до середины
XIX в. Особенно нужна первая книга. Быть может, пока
нет такого труда, написанного советским автором, следо-
вало бы издать перевод известного обзора Г. Вплейтнера
или другой аналогичной книги.
V
Перехожу к исследованиям по истории математики
в современный период ее развития, т. е. за последние
полтора столетия.
36
V II. ЮШКЕВИЧ
Работ о развитии математики за рубежом было у нас
немного. По большей части они были связаны с изданием
русских переводов классиков пли юбилейными датами.
Гаковы, например, статьи В. Ф. Кагана о Яноше Больап,
Н. Г. Чеботарева о Галуа, В. Л. Гончарова о Римане и
немногие другие. В связи со 100-летием дня рождения
Гаусса в самое последнее время опубликованы были
циклы статей II. М. Виноградова, Б. Н. Делоне,
А. П. Нордена, А. П. Маркушевпча, Б. В. Гнеденко
и М. Ф. Субботина, с одной стороны, и К. А. Рыбникова,
Б. А. Венкова и А. Г. Погорелова, с другой, содержащих
детальный анализ творчества великого ученого в различ-
ных областях математики, астрономии и геодезии.
Э. Кольман выпустил недавно книгу о Б. Больцано, в
которой наряду с математическими открытиями Боль-
цано рассмотрены его философские и общественные
взгляды.
Следует признать, что в изучении общей историп мате-
матики XIX—XX вв. сделано совершенно недостаточно,
причем не только нами, но и иностранными коллегами.
Причины этого общеизвестны. Усиление работы в этом
направлении совершенно необходимо, в частности для по-
вышения уровня преподавания нашей дисциплины в уни
верситетах. Почти половина лекций приходится па XIX —
XX вв., и слушатели с особым интересом относятся как
раз к этой части курса. Нужно издавать больше трудов
крупнейших математиков этого времени, от Когпп и
Абеля до Пуанкаре и Гильберта. Быть может, имеет
смысл наряду с объемистыми и потому недешевыми кни-
гами наших серий классиков науки выпускать книги и
брошюры поменьше и подешевле, в духе известной Ост-
вальдовской серин классиков. Но особенно важно при-
ступить к изучению отдельных дисциплин и проблем.
Мы начали такого рода исследования, но преимущест-
венно в границах истории науки в Росспп. Только на
основе тщательно разработанной истории отдельных
математических наук возможно создание полноценной
общей истории математики. П здесь сил .одних историков
науки мало, здесь нужны активная работа математиков-
специалистов и сотрудничество тех и других. Многие
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 37
советские математики уже работают в этом направлении,
по и целом масштаб этой работы еще не велик.
Серьезные результаты были получены, преимущест-
венно за последние 10 лет, в изучении математики в Рос-
сии. Подготовка сочинении отечественных ученых по-
следнего периода, широкое использование архивных ма-
териалов, изучение развития математики в отдельных
университетах и нр. раскрыли многие стороны твор-
чества отечественных математиков и позволили устано-
вить их первенство в ряде открытии. В результате
мы сейчас значительно полнее и точнее, чем ранее,
знаем вклад наших математиков в развитие мировой
науки. Следует подчеркнуть, что здесь представители
различных математических дисциплин сделали особенно
много.
Укажу прежде всего на статьи по истории математи
ческого образования в университетах, пролившие новый
свет на становление наших научных школ: это работы
II. С. Александрова, Б. В. Гнеденко и В. В. Степанова.
М. Я. Выгодского, Л. А. Люстерника, Н. П. Лихолетова
н С. А. Яновской, В. Е. Прудникова и др. - по истории
Московского университета и Московского математиче-
ского общества, С. Е. Белозерова — по истории Вар-
шавского, ныне Ростовского университета, Н. П. Ахиезе-
ра, Я. П. Бланка, Д. 3. Гордеевского, М. Н. Марчевского,
В. А. Марченко, А. К. Сушкевпча и др.—по истории Харь-
ковского университета и Математического общества, недав-
но защищенная кандидатская диссертация В. А. Доброволь-
ского по истории Киевского увиверентета и др. Русские
университетские деятели отдали немало времени и сил
средней и низшей школе. Зта сторона деятельности
таких крупных математиков, как Лобачевский, Остро-
градскпи. Марков, Чебышев и др., была освещена
в работах В. М. Нагаевой, II. А. Марона, В. Е. Прудни-
кова, В. Л. Минковского. Методические и научно-попу-
лярные журналы XIX в. были описаны С. А. Дахия и
Н. Я. Депманом. В статьях и книгах А. В. Ланкова,
В. Е. Прудникова, Б. П. Бычкова и др. освещаются исто-
рия педагогической мысли и деятельность крупных рус-
ских педагогов.
38
A. II. ЮШКЕВИЧ
По существу заново были подвергнуты изучению
жизнь и творчество Н. II. Лобачевского. Масса ценных
архивных материалов, содержащих новые данные о го-
дах его учения и его деятельности в качестве профессора
и ректора Казанского университета, была введена в науч-
ный оборот Л. Б. Модзалсвским; эту работу продолжили
А. А. Андронов, Б. В. Федоренко п др. В изучении п ком-
ментировании геометрических сочинений Лобачевского,
предыстории неевклидовой геометрпп и истории ее даль-
нейшего развития очень много сделали В. Ф. Каган,
главный редактор пятитомного Полного собрания сочи-
нений Лобачевского, А. П. Котельников, А. П. Норден,
Б. Л. Лаптев. Издание сочинений Лобачевского во мно-
гих отношениях является образцовым. В каждом томе
даются весьма тщательно составленные историко-мате-
матические п пояснительные комментарии и ценные иссле-
довательские статьи. Работы Лобачевского по анализу
были изучены Г. Л. Лунцем, Б. М. Гагаевым, Б. Л. Лап-
тевым; его работы по алгебре — Н. Г. Чеботаревым,
П. Г. Конторовичем и Д. II. Мильманом, П. Г. Башмаковой
п А. П. Юшкевичем, В. Ф. Рогаченко; работы по теории
ошибок — Б. В. Гнеденко и A. IT. Колмогоровым (я остав-
ляю в стороне вопросы механики и астрономии). Г. Ф. Рыб-
кин п особенно С. А. Яновская подвергли анализу мировоз-
зрение Лобачевского, его взгляды на основания мате-
матики, аксиоматику и пр.
В своей совокупности эти исследования дают гораздо
более полную и еще более яркую картину деятельности
Лобачевского. Достаточно сказать, что ранее мы знали
его как великого геометра, теперь он выступает также
как выдающийся аналист и алгебраист. Попутно были
впервые установлены права Лобачевского на первенство
в некоторых открытиях по анализу и алгебре. Лучшей
монографией о Лобачевском является книга В. ф. Ка-
гана, вторым изданием вышедшая в 1948 г. При всех
достоинствах этого труда сегодня он нуждается в довольно
существенных уточнениях и дополнениях,— так много
было сделано за прошедшие 8 лет!
Несмотря на все эти успехи, далеко не все разобрано
до конца даже в наиболее тщательно изученном собственно
о НОВЫХ ГУ.БОТАК В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 39
геометрическом наследии Лобачевского. Только недавно
А. И. Норден и Б. А. Розенфельд ответили на вопрос
о том, можно ли доказать непротиворечивость геометрии
Лобачевского на пути, намеченном ее творцом. Недавно
же А. П. Норден указал, что вопрос о проверке Лобачев-
ским свойств реального пространства па основе астроно-
мических данных получал в литературе совершенно не-
точное толкование. И мы слышали здесь доклад А. П. Нор-
дена, поразивший многих из нас своими, казалось бы
парадоксальными, переопепками общих методологических
установок Лобачевского-геометра.
Э. К. Хилькевпч п Ю. М. Гайдук изучали дальней-
шее развитие идей Лобачевского в Россип и отчасти за
рубежом, Б. А. Розенфельд — историю интерпретаций
геометрии Лобачевского.
В статьях П. VI. Олоничева и Б. А. Розенфельда
подробно рассмотрены жизнь и творчество двух выдаю-
щихся русских геометров, внесших значительный вклад
в неевклидову геометрию,— Ф. М. Суворова и А. П. Ко-
тельникова, которым принадлежат также важные работы
по неевклидовой механике.
Вышел ряд работ о М. В. Остроградском, в том числе
известная книга Б. В. Гнеденко, ценное описание руко-
писей Остроградского, данное Е. Я. Ремезом и Б. В. Гне-
денко, статьи Гнеденко о работах Остроградского по
теории вероятностей, 10. Л. Рабиновича и В. И. Антро-
повой о его интегральной теореме, Г. Ф. Рыбкина о миро-
воззрении Остроградского п др. В кандидатской диссер-
тации В. II. Антроповой, отдельные результаты которой
уже напечатаны, изучено развитие теории потенциала
и теории теплопроводностп до Остроградского включи-
тельно. Можно полагать, что вклад Остроградского в эти
отделы математической физики выяснен основательно,
так же как история интегральной теоремы. В. II. Антро-
пова опубликовала также статью о лекциях Остроград-
ского по определенным интегралам, записанных одним
из слушателей. Г. М. Фпхтенгольц подробно разобрал
историю вопроса о замене переменных в кратных инте-
гралах от Эйлера до Остроградского; некоторые дополне-
ния имеются в только что упомянутой статье В. II. Аптро-
40
А. 1Г. ЮШКЕВИЧ
повой. Вее же значительная часть трудов Остроград-
ского псследоваыа недостаточно. Подготовляемое ныне
издание его сочинений, несомненно, раскроет новые ин-
тересные моменты в его математическом наследии. Упо-
мяну в данной связи о статьях Э. Я. Бахмутскоп п
Г. Ф. Рыбкина об учителе Остроградского —Т. Ф. Осн
поиском.
В. Е. Прудников опубликовал брошюру о В. Я. Бу-
няковском. Желательно, чтобы работы этого математика
по теории чисел и анализу получили компетентную
оценку специалистов. Буняковскому принадлежат за-
служивающие внимания результаты в обоих направле-
ниях, между тем в широких кругах он известен более как
резкий противник неевклидовой геометрии.
Многое было сделано в изучении творчества П. Л. Че-
бышева. В первую очередь надо указать на издание пяти
томов Полного собрания сочинений (председатель редак-
ционной коллегии С. Н. Бернштейн). По своему типу это
пзданпс отличается от Полного собрания сочинений Лоба-
чевского: комментарии, составленные весьма компетент-
ными учеными, направлены в большинстве случаев на
оценку мемуаров Чебышева с современной вам точки
зрения и отчасти освещают дальнейшее развитие вопросов,
между тем как комментарии в издании Лобачевского
содержат объяснения трудных для читателя мест, воспол-
няют пробелы в доказательствах и т. п. В собрании сочи-
нений Чебышева нет пояснительных статей, как в изда-
нии сочинений Лобачевского. Глубокий и многосторон-
ний историко-математический анализ научного насле-
дия Чебышева содержится в двух выпусках специального
сборника, в который вошли статьи Н. II. Ахиезера,
С. Н. Бернштейна, II. М. Виноградова и Б. Н. Делоне,
В. В. Голубева, В. Л. Гончарова и, по теорпи механизмов,
И. II. Артоболевского и Н. II. Левитского. Выпук-
лую общую характеристику творчества Чебышева дал
С. Н. Бернштейн. Новые богатые материалы к биогра-
фии Чебышева — о годах его ученпя в Московском уни-
верситете, в значительной степени определивших направ-
ление его последующих занятий, деятельности в Артил-
лерийском комитете, в Ученом комитете Министерства
О НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 41
народного просвещения, переписка и т. д., были обна
р ужены В. Е. Прудниковым. С. М. Лозинским, М. II. Ра-
довским, С. А. Яновской. Совсем недавно A. V. Гусак
в кандидатской диссертации обстоятельно изложил
предысторию теории наилучшего приближения функций,
начиная с Эйлера, и предложил реконструкцию до-
казательства ряда сформулированных Чебышевым
теорем о напвыгоднейшем устройстве параллелограмма
Уатта.
С большой тщательностью и на очень высоком уровне
издан был в Киеве трехтомник собрания сочинений
Г. Ф. Вороного (ответственный редактор II. М. Виногра-
дов), в который вошли и некоторые заметки из научного
архива Вороного. Комментарии принадлежат Б. А. Вен-
кову, Б. Н. Делоне, 10. В. Линнику, А. А. Киселеву,
II. Б. Погребысскому, II. Р. Шафаревичу, Н. Г. Чуда-
кову; большая статья о жизни и научной деятельности
Вороного — II. 3. Штокало и II. Б. Погребысскому.
В послевоенные годы развернулась работа по изданию
отдельных сочинений крупных русских математиков
XIX и начала XX в. Так, вышли из печати избранные
труды А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, С. В. Ковалев-
ской, Н. Я. Сонина п др.; начато также издание Полного
собрания сочинений Ляпунова.
Большое число статей было посвящено другим выдаю-
щимся русским математикам, многие такие статьи появ-
лялись в упомянутых только что изданиях избранных
трудов. Время не позволяет мне войти здесь в какие-либо
подробности, н я принужден лишь упомянуть неко-
торые интересные работы, а именно: Р. О. Кузьмина
о Е. И. Золотареве, В. II. Смирнова об А. М. Ляпунове,
В. II. Смирнова, Н. М. Гюнтера и др. о В. А. Стеклове,
Н. II. Ахиезера, А. А. Маркова младшего, Ю. В. Лин
ника, Н. \. Сапогова и Б. Н. Тимофеева об А. А. Мар-
кове старшем В. II. Смирнова, Л. А. Люстерника
и др. об А. Н. Крылове, 11. Я. Нолтбариновой-Кочинол
и др. о С. В. Ковалевской, А. II. Маркушевпча о Ю. В. Со-
хоцком, Р. Я. Шостака об А. В. Летпикове, С. Д. Рос
синского и II. Я. Депмана о К. М. Петерсоне, С. Д. Рос-
сийского о Б. К. Млодзеевском, К. А. Рыбникова и
42
II. ЮШКНВПЧ
В. П. Зубова о В. В. Бобынине, Л. Н. Грацианской
и К. Я. Латышевой о В. П. Ермакове п др. Одни
статьи носят общий обзорный характер, другие посвя-
щены разбору отдельных направлений творчества на-
званных математиков; все они содержат весьма ценные
материалы для истории науки.
Я уже подчеркивал чрезвычайную важность работ по
истории отдельных дисциплин и проблем. Кое-что в этом
направлении уже сделано. Большую книгу о Петербург-
ской школе теории чисел опубликовал Б. Н. Делоне:
н центре здесь стоят несколько наиболее крупных фигур,
по история соответствующих проблем доведена до на-
стоящего времени. А. II. Маркушевич выпустил краткие
очерки по истории теории аналитических функций с пре-
имущественным вниманием к работам отечественных ма-
тематиков; изложение доведено здесь также до наших
дней. Укажу далее работы II. Б. Башмаковой по истории
теории делимости (в центре стоят работы Золотарева),
\. О. Гельфонда по истории учения о трансцендентных
числах, Я. Л. Геронимуса по истории теории ортогональ-
ных многочленов, Б. В. Гнеденко о развитии н России
и СССР теории вероятностей, В. В. Гуссова по исто-
рии гамма-функции и цилиндрических функций, кан-
дидатскую диссертацию В. В. Лихина по истории
чисел и функций Бернулли. Во всех названных работах
история исследований в России рассматривается
в связи с соответствующими изысканиями за рубе-
жом. Но нее это—только начало работы в данном на-
правлении.
Сводных обобщающих работ по истории математики
в России было немного. Это — всем знакомые очерки
Б. В. Гнеденко и серия статей А. П. Юшкевича, печатавшая-
ся в журнале «Математика в школе». Пора приступать к
подготовке более полного труда по истории математики и
России. Это — одна из самых первых на очереди задач
ближайшего времени. Совершенно не предвосхищая содер-
жания будущей такой монографии, позволю себе указать
на одни вывод, естественно вытекающий, как мне кажется,
из проведенных исследований. До сих пор распростра-
нено мнение, что после Лобачевского и Остроградского
о НОВЫХ РАБОТАХ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 43
в России до Октябрьской революции активно работали
н области математики лишь Чебышев и его знаменитые
ученики. Блеск достижений Петербургской школы остав-
ляет как бы в тейп деятельность других русских мате-
матиков того времени. Однако в исторической перспективе
приобретает весьма серьезное значение и менее примет-
ная деятельность математиков Москвы, Казани, Киева,
Харькова, Одессы, Юрьева (Тарту). П вне тогдашней
столицы, в других университетских центрах, велась
большая работа, все значение которой выяснилось только
в советское время, когда в новых общественных условиях
она смогла быстро принести замечательные плоды. Про-
гресс математики в нашей стране обусловили не только
Чебышев и его последователи, ему содействовали, при-
том в других направлениях, многие «провинциальные»
ученые, которые своей педагогической, литературной,
научной деятельностью подготовляли почву для создания
отечественных школ теории функций, алгебры, гео-
метрии и т. д.
Высокий интерес имеют проблемы истории матема-
тики в советское время, изучение которых, как это всем
понятно, представляет особые трудности, хотя некоторые
моменты в развитии советской математики уже стано-
вятся историей и о многих выдающихся советских мате-
матиках мы должны говорить уже в прошлом времени.
Работы по истории математики в советскую эпоху пред-
ставляют собой по большей части обзоры развития
отдельных дисциплин и статьи и книги об отдельных
ученых. Наряду с этим в некоторых статьях содержится
попытка выявить особенности развития математики в на-
шей стране после Октябрьской революции. Как правило,
авторы этих статей — очень крупные советские специа-
листы, активно участвовавшие или участвующие в раз-
работке соответствующих отделов пауки. Собственно го-
воря, только такие специалисты и могут достаточно ком
петентпо, с подлинным проникновением в суть дела, писать
ио этим вопросам. Вышедшие из-под их пора работы не-
редко имеют ценность показаний очевидцев; с другой
стороны, им передко свойственна известная субъектив-
ность.
44
V П. ЮШКЕВИЧ
Средн статей о советской математике большую цен-
ность для будущего ее историка составят детальные об-
зоры о развитии отдельных дисциплин в сборниках «Ма
тематика в СССР за 15 лет» п «Математика в СССР за
3U лет», к которым н близком будущем добавится соответ-
ствующий сборник за сорокалетний срок. Важные сведе-
ния, а также оценки и личные воспоминания содер-
жатся в многочисленных статьях таких наших известных
математиков, как В. В. Степанова о Московской школе
теории функций, Н. К. Бари, В. В. Голубева, Л. А. Лю-
стерника, Д. А. Меньшова и др. о жизни и творчестве
Н. Н. Лузина, II. С. Александрова о математике н Мо-
сковском университете и его же о II. С. Урысоне,
Л. С. Понтрягина о топологии в Советском Союзе.
А. Д. Александрова о развитии у нас геометрии.
С. П. Финпкова о дифференциально-геометрически*
исследованиях, В. В. Морозова, А. П. Пордена и Б. М. Га
гаена о работах казанских математиков и т. д. Общие
характеристики советской математики даны были в раз-
ное время П. С. Хлексаидровым, А. Н. Колмогоровым
и М. А. Лаврентьевым. Эти характеристики хорошо всем
известны, и я могу на них не останавливаться.
Все перечисленные материалы ждут обобщения н книге
о развитии математики в советскую эпоху. И полагаю,
что это — одна из наиболее актуальных задач. Не знаю,
будет ли такая книга написана одним автором или кол-
лективом, но думаю, что одни историки математики
успешно справиться с этим делом не могут. Первое место
должно принадлежать здесь математикам широких инте-
ресов и глубокой интуиции. Будем надеяться, что в бли-
жайшие годы такая книга появится.
Все мы стремимся в своей работе подходить к изучае-
мым историческим явлениям с позиций творческого
марксизма-ленинизма, и нее же следует признать, что в
изучении общих закономерностей развития математики сде-
лано недостаточно. Вопросы об общественных движущих
силах развития математики и внутренних его закономер-
ностях, об исторических связях математики и других
наук, техники, философии и т. д. ставились и решались,
по большей частью, по частным поводам для отдельных
О НОВЫХ Г\ГОТ\\ В СССР ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 43
этапов или стран. Можно указать лишь на немногие
работы, в которых ставился в широком плане этот круг
проблем. Здесь в первую очередь должны быть названы
некоторые статьи в Большой Советской Энциклопедии,
прежде всего статья «Математика» X. II. Колмогорова
и статьи но геометрии А. Д. Александрова. В зтпх рабо-
тах, в частности, дается содержательная характеристика
основных периодов в развитии математики: периодиза-
ция А. II. Колмогорова, иногда с небольшими измене-
ниями, является у нас общепринятой. История матема-
тики привлекается обоими авторами для раскрытия
существа математики, для определения ее предмета и ме-
тода; здесь тесно соприкасаются история и методология
науки. Вряд ли нужно подчеркивать особую важность
и актуальность значительного усиления работы в этом
направлении.
В заключение несколько слов об одном весьма боль-
ном вопросе. Чем дальше, тем острее все мы ощущаем
недостаток в учебном руководстве пи истории математики,
точнее в двух таких руководствах: для университетов
и для педагогических институтов, программы которых
по нашему предмету значительно отличаются друг от
друга. Отсутствие этих руководств затрудняет всю учеб-
ную работу и даже является главным препятствием для
постановки соответствующих курсов в ряде периферий-
ных учебных заведений. В этой беде, которая серьезно
отражается на воспитании учащихся и на подготовке
молодых историков науки, виноваты мы сами. Курсы по
истории математики в университетах и педагогических
институтах читаются, по крайней мере, четверть века,
в известной мерс основные черты их определились. Ко-
нечно, первый печатный курс лекций будет нуждаться
в улучшениях, но перспектива последующих исправле-
ний и дополнений не должна мешать сделать первый
и решающий шаг. Я перечислял много важных
задач, создание учебных книг самая неотложная и
главная.
46
А. П. ЮШКЕВИЧ
За 22 года, прошедших после 1] Всесоюзного матема-
тического съезда, советские историки математики дали
немало ценных работ и значительно расширили область
своих исследований. В ходе изложения я указывал не-
которые научные задачи, исходя как из их важнос ти, так
и из наших реальных возможностей. Думаю, что группа
советских историков математики настолько выросла, что
задачи эти, если только они были правильно поставлены,
иолучат в близком будущем удовлетворительное решение.
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ
ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ ')
Б. В. Гнеденко
Мы вес испытываем \довлетворение от того, что в про-
грамме секции истории математики 3-го Всесоюзного
математического съезда представлено много докладов
и сообщений, посвященных отдельным конкретным во-
просам нашей пауки, что в Советском Союзе имеется боль-
шой коллектив ученых, отдающих своп силы и время раз-
решению и разработке проблем истории математики.
Несомненно, что общий подъем культуры, расцвет науки
и возрастание технической мощп Советского Союза не
могли не сказаться на развитии математики в нашей
стране. Развитие же математики неизбежно должно было
вызвать и повышение интереса к ее истории. Прп этом
мы должны отметить тот отрадный факт, что вопросами
истории математики у пас серьезно занимаются нс только
специалисты в этой области, но и представители различ-
ных математических дисциплин. Это явление вполне
закономерно, так как отчетливое понимание математики
в целом невозможно без знания ее прошлого, без изуче-
ния формирования и развития ее основных идей.
Математика во все времена была важной составной
частью культуры человеческого общества, а потому исто-
рия математики является неотъемлемой частью общей
истории. II собственно без того, чтобы выяснить развитие
математики у тех или иных народов, без того, чтобы выяс-
г) Доклад, прочитанный 3 июля 1956 г. в секции истории мате-
матики III Всесоюзного математического съезда в Москве.
48
В. В. ГНЕДЕНКО
нить ее связи с другими науками, техникой и различными
вопросами практики, невозможно полное познание исто-
рии культуры этих народов.
История математики является наукой нс только мате-
матической, но и социальной. В ее задачи входят не только
изучение и описание того пути, который прошла мате-
матика в своем развитии, и закономерностей ее развития,
но и выяснение причин этого прогресса. Несомненно,
что на развитие математики, па причины появления
н становления ее руководящих идей влияли многие об-
стоятельства: состояние других паук, общий культур-
ный уровень страны, количество ученых и их способ-
ности. Названные факторы очень важны, они играют
несомненную роль в развитии математики, но определяю-
щая роль нее же принадлежит не им, а материальным ус-
ловиям жизни общества, т. е. развитию производительных
сил и производственных отношений. Попытки строить
историю математики без учета особенностей обществен-
ного строя, а также его материальной основы нс способны
вскрыть истинных закономерностей развития математи-
ческих идей. А история математики в значительной сте-
пени должна выяснить именно эти закономерности. Нас
не могут, например, удовлетворить объяснения причин
превращения геометрии древней Греции в дедуктивную
пауку «особым складом духовного облика древних гре-
ков», «особыми математическими способностями этого
народа» пли же «последовательным и логическим умом,
которым отличались древние эллпны». Для нас ясно,
что последовательным, ясным и логическим умом обла-
дали далеко не все греки и что другие пароды также имели
многих представителей, обладавших только что перечис-
ленными прекрасными качествами. Но даже если не об-
ращать на это внимания и принять приведенные слона
в качестве объяснений, то все равно остается непонятным
и требует выяснения вопрос: чем был вызван этот особый
духовный склад древних греков, что приучило их к ло-
гическому и последовательному мышлению, почему они
утеряли эти особенности впоследствии? Для нас ясно
также, что подобные объяснения ничего не объясняют
в истории математики и всех последующих эпох.
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
49
Я ужо сказал, что знание истории математики крайне
необходимо для выработки верного взгляда на матема-
тику в целом, для познания общих закономерностей ее
развития и перспектив ее дальнейшего прогресса. Мне
хотелось бы проиллюстрировать это положение одним
общим примером. 13о все времена возникал волнующий
вопрос о причинах, в силу которых математика обладает
огромными возможностями практических применений.
В литературе имеется большое число попыток разреше-
ния этого вопроса и в подавляющем большинстве попыток
неудовлетворительных. Я не хочу здесь приводить хо-
рошо известные решения Платона и Лейбница, а останов-
люсь на двух других, гораздо более близких нам по вре-
мени. Согласно мнению группы видных французских
ученых, печатающихся под псевдонимом Николай Бур-
баки, «неясно и возможно навсегда останется неразреши-
мой загадкой, каким образом результаты математики
находят применение в практике» (N icolas Bourbaki,
L’architecture de matliematiques. См. сборник статей «Les
grands courants de la pensee mathematique», 1948, стр. 46).
Имеется и другое мнение, согласно которому возможность
применений математики объясняется случайностью. При-
веду здесь хорошо известное мнение Пьера Бутру, вы-
сказанное нм еще в 1920 г.: «Если математика почти точно
согласуется с эмпирическими условиями, то это не ре-
зультат ее внутренних свойств, а лишь внешних обстоя-
тельств. Выяснилось, что сравнительно простая наука
способна объяснить явления природы. Это счастливая
случайность, которая не должна была с необходимостью
наступить» (Р. Bout го их, L’Ideal scientifique des
mathematicians, Paris, 1920, стр. 200).
Сам вывод, что возможность применения математики
к задачам практики является счастливой случайностью,
на мой взгляд, не является случайностью — он представляет
собой логическое продолжение определенных представле-
ний о формировании математических понятий. Согласно
мнениям, высказанным и высказываемым рядом крупных
математиков, математические понятия свободно творятся
человеческим разумом, они определяются темп свойст-
вами, которые математик им произвольно приписывает.
4 Истор.-матеи. псслед., вып. XI
50
Б. В. ГНЕДЕНКО
Ошибочность таких взглядов становится ясной, когда
перед глазами находится не только окончательно форма-
лизованная математическая дисциплина, а весь истори-
ческий путь ее развития. При этом удается проследить
путь возникновения и становления ее понятий из почти
интуитивных представлений, подсказанных практикой
или частными задачами других областей знания. Если
же замкнуться в уже сформировавшейся формализован-
ной математической схеме п за ее пределами не желать
ничего видеть, то связи математики с практикой, с проб-
лемами, стоящими или стоявшими перед обществом, теря-
ются; при этом теряется и искажается также сам процесс
возникновения и развития основных понятий науки.
Мы должны также отметить важность истории мате-
матики для целей преподавания и воспитания молодежи.
Преподаватели прекрасно знают, что беседы из истории
математики оживляют преподавание, повышают интерес
учащихся к предмету, расширяют их кругозор, знакомят
их со значением математики для развития техники и есте-
ствознания. К тому же на примерах творческой жизни
ученых, на примерах истории их открытий можно при
вить учащимся веру в пх собственные силы, желание ис-
пытать эти силы на тех задачах, которые возникают перед
современной наукой. Такие исторические беседы позво-
ляют подвести учащихся к современным вопросам науки,
к пониманию того, что современное состояние науки ба-
зируется на ее прошлом и содержит в зародыше ее буду-
щее. Мы видим, таким образом, что интерес преподава-
телей школ и высших учебных заведений, а также сту-
дентов и учащихся средних школ к истории математики,
а особенно к истории математики в нашей стране не мо-
жет быть временным и преходящим. Нам только нужно
помочь удовлетворить существующие запросы и удовле-
творить их возможно полнее и быстрее.
Для того чтобы говорить о задачах, стоящих перед
советскими историками математики, необходимо хотя бы
вкратце остановиться на том, что нами уже сделано,
в каких направлениях мы имеем успехи, за какие вопросы
мы принимались недостаточно интенсивно и что осталось
в стороне от нашего внпманпя. Я хочу остановиться на этих
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
51
вопросах совсем кратко, не претендуя на полноту ан а
лпза. Я надеюсь, что у меня имеется на это право хотя бы
потому, что обзору советских работ в области истории
математики посвящен специальный доклад на этом съезде,
а также ряд статей, опубликованных в печати.
В статье А. П. Юшкевича, посвященной обзору работ
по истории математики, выполненных в СССР за 30 лет
Советской власти, указано 232 названия. Если учесть,
что в приложенном к статье библиографическом указа-
теле имеются некоторые незначительные пробелы, то
общее число напечатанных за 30 лет работ следует счи-
тать приблизительно равным 250. В первых десяти вы-
пусках «Историко-математических исследований», начало
издания которых относится к 1948 г., напечатано свыше
100 оригинальных исследований по истории математики.
За девять лет, истекших с 1947 г., появился ряд статей
ио истории математики в различных других изданиях
в «Трудах института истории естествознания» в журнале
«Успехи математических наук», в ученых записках уни-
верситетов, педагогических институтов и других высших
учебных заведений, а также большое число книг. Я думаю,
что не будет ошибки преувеличения, если принять общее
число статей и книг советских авторов по истории мате-
матики равным 500. Однако этим нс исчерпывается работа
советских ученых по истории математики. Мы должны
записать себе в актив также подготовку и издание собра-
ний сочинений выдающихся математиков прошлого, как
наших соотечественников, так и ученых других стран.
Средн собраний сочинений особо следовало бы отме-
тить издания работ Лобачевского, Жуковского, Чаплы-
гина, Чебышева, Ковалевской, Золотарева, Вороного.
Все они снабжены прекрасно составленными коммента-
риями и примечаниями. Большое значение имеют изда-
ния «Начал» Евклида, «Аппепдпкса» Яноша Больаи, из-
бранных произведений Декарта, отдельных произведений
Ньютона, Эйлера п др. Научный уровень всех э|пх изда-
ний весьма высок и представляет собой ценный вклад
в советскую математическую литературу.
Основная масса работ советских исследователей по
исторшг математики за последние 15 лет была, однако,
4*
52
Б. В. ГНЕДЕНКО
посвящена изучению развития математики в нашей
стране. В результате этой важной и нужной работы мы
теперь знаем историю отечественной математики несрав-
ненно лучше и полнее, чем это было до последнего вре-
мени.
Мы теперь лучше знаем вклад в науку отдельных
выдающихся наших ученых и те основные идеи, которыми
питалась наша наука. Мы получили теперь возможность
исправить многочисленные ошибки предшествующих по-
колений и объективнее взглянуть на роль русской мате-
матики в деле развития мировой науки. В качестве итога
этой работы мы можем назвать большое число статей,
появившихся в периодической печати, посвященных изу-
чению творчества отдельных выдающихся ученых и изу-
чению связанных с их деятельностью архивных мате-
риалов, а также статей, направленных на изучение раз-
вития в России различных областей математики. Появи-
лись превосходные монографические исследования, по-
священные крупнейшим отечественным ученым. Здесь
мне хотелось бы особо отметить книги В. Ф. Кагана,
В. В. Голубева, Л. С. Лейбензона соответственно о
Н. И. Лобачевском, С. А. Чаплыгине и Н. Е. Жуковском.
Следует также отметить архивные изыскания, продви-
нутые особенно далеко в отношении Н. И. Лобачевского
и М. В. Остро градского. Эти исследования принесли
много нового и интересного исторического, биографиче-
ского, методического и собственно математического ма-
териала.
Очень важные исследования были проведены истори-
ками математики Армении, Грузии, Азербайджана, Уз-
бекистана и других республик Советского Союза. По-
мимо оригинальных исследований советских ученых, мне
хотелось бы отметить работу, выполненную по изданию
классических произведений Джемшпда Гиясэддина
ал-Каши «Трактат об окружности» и «Ключ арифметики»,
Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры и ал-
мукабалы», «Комментарии к трудным постулатам книги
Евклида» и «Об искусстве определения золота и серебра в
состоящем из них теле», Мохаммеда Насирэддпна ат-Тусп
«Трактат о полном четырехстороннике».
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
53
За последние годы сделаны попытки изучить историю
отдельных математических дисциплин — теории функций
комплексного переменного, вариационного псчисления,
теории вероятностей, теории устойчивости движения.
Большинство учебников для высшей школы снабжается
теперь кратким дополнением по истории соответствующей
дисциплины. Написано несколько брошюр, которые
можно назвать «Беседы по истории математики на уро-
ках в средней школе». На мой взгляд это очень важное
мероприятие.
История математики в древности, естественно, не
могла остаться в стороне от интересов советских исследо-
вателей. Значительным стимулом к работе над матема-
тикой в древнем Вавилоне явилось издание Непгебауе-
ром клинописных текстов. В советской литературе были
предложены новые объяснения для ряда спорных вопро-
сов этого периода истории нашей науки. Интересные
гипотезы были выдвинуты относительно математических
знаний в древнем Египте. Большое внимание было обра-
щено на развитие математики в древней Греции. Значи-
тельным стимулом для этих исследований явилось изда-
ние «Начал» Евклида. Прекрасные комментарии сделали
это издание особенно ценным. В процессе печатания
«Начал» появился ряд работ об отдельных их книгах
п даны оригинальные объяснения многих неясностей в си-
стеме построения Евклидом геометрии и теории отноше-
ний. Необходимо также отметить работы, посвященные
Архимеду.
Понятно, что период создания математического ана-
лиза п предшествовавшая ему эпоха вызывали особый
интерес у советских историков математики. Ньютону
в связи с трехсотлетием со дня его рождения был посвя-
щен специальный сборник, содержащий весьма глубокий
анализ различных сторон его математического творче-
ства. Подверглась изучению связь общеметодологических
идей Лейбница с его работами по созданию математиче-
ского анализа. Математические работы Декарта, Кеплера,
Кавальерп и многих других ученых, связанных с возник-
новением новой математики, также подверглись интерес-
ному анализу. Интересные мысли были высказаны в ряде
54
Б. В. ГНЕДЕНКО
статей относительно понятия математической строгости.
Мне кажется, что при создании крупных трактатов по
истории математики эти исследования не могут быть
обойдены.
В связи с изучением периода создания основ анализа,
а также формирования его современного построения осо-
бый интерес представляет изучение математических руко-
писей К. Маркса. Результаты этой работы опубликованы
только частично, однако на съезде представлен доста-
точно подробный отчет о результатах, полученных в итоге
длительных исследований новых рукописных фондов,
которые проводились в последние годы.
Из попыток дать общий обзор развития математики
и се основных идей особого внимания заслуживает статья
А. Н. Колмогорова «Математика» в Большой Советской
Энциклопедии (т. 38 1-го изд., т. 26 2-го изд.). Эта
статья во втором издании подверглась значительному
изменению, но не принципиального характера. В ней дан
марксистский анализ основных этапов истории матема-
тики, ее связен с другими науками, состоянием техники
и производительными силами общества, а также пред-
ложена периодизация истории математики. Таких перио-
дов согласно А. Н. Колмогорову имеется четыре, а именно:
период первоначального накопления математических зна-
ний, период элементарной математики (или же матема-
тики как науки о числах, величинах и геометрических
фигурах), период создания математики переменных вели-
чин и период современной математики. Йесомненно, что
эта работа сыграет существенную роль в будущем при
создании сводных произведений по истории математики.
Нужно сказать, что в новом издании БСЭ имеется еще
одна статья, обращающая на себя внпмаппе широким
философским подходом к предмету; я имею в вид} статью
А. Д. Александрова «Геометрия».
После этого беглого и, конечно, недостаточного обзора
направлений исследований советских работ по истории
математики можно перейти к рассмотрению основных
задач, которые стоят перед нами.
Центральной задачей, стоящей перед советской исто-
рией математики, я считаю создание курса истории мате-
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
55
матикп. Такой курс должен быть отличен по своим мето-
дологическим установкам от всего, что было в этом на-
правлении создано в мировой литературе. Он ни в коем
случае не должен сводиться к голому перечислению исто-
рических фактов и к вульгарному соцпологизпрованпю.
В этом курсе па фоне общей исторической канвы, указы-
вающей формы общественного устройства, состояние про-
изводительных сил и производственных отношений, раз-
витие естествознания и господствующие философские
взгляды, история математики должна строиться как исто-
рия возникновения и развития математических идей. Но
эти общие выводы не должны повисать в воздухе, а
должны вытекать из фактов истории и подкрепляться
ими. В учебнике должна быть дана четкая картина раз-
вития математических понятий в процессе их историче-
ского развития, показана борьба материалистических
концепций с идеалистическими на протяжении всей исто-
рии существования математики, а также отчетливо вскрыт
диалектический характер ее развития. К указанным тре-
бованиям необходимо добавить еще одно. До последнего
времени почти все учебники истории математики (в миро-
вой литературе), так же как и устные курсы по этому
предмету, ограничивались историей до конца XVIII века,
а в лучшем случае до начала XIX столетия. Несомненно,
что это следует считать недостатком, так как в последние
1U0—150 лет возникло исключительно много важнейших
новых идей, получено огромное количество новых фак-
тов принципиального значения. Нх нельзя игнорировать,
если иметь в виду, что история математики должна осве-
щать путь современному развитию математики. Требо-
вание доведения курса истории математики до нашего
времени является очень серьезным, и его осуществление
возможно только при условии привлечения широкого
круга самих математиков.
Хотелось бы сказать здесь, что с написанием курса
истории математики мы непростительно запаздываем.
Мне известно, что было несколько попыток такой курс
написать, однако мне не известно, чтобы хотя бы одна
из них закончилась его изданием. Прошло 40 лет со дня
Великой Октябрьской социалистической революции. За
If-
Б. В. ГНЕДЕНКО
ЭТО время народ создал и укрепил советское государство,
выиграл гражданскую и отечественную войны, построил
промышленность п не только дважды после войн восста-
новил народное хозяйство, но и неизмеримо его расши-
рил. За это время гигантски выросла советская наука,
в том числе и математика, а курс исторпп математики все
еще нс написан. И это не сделано, несмотря па то, что
общекультурная, научная, философская и политическая
важность скорейшего выполнения такой работы абсо-
лютно ясна.
Мне кажется, что нам нужно принять решение о не-
обходимости организации двух илп трех авторских кол-
лективов для написания учебника истории математики
в течение сравнительно короткого срока, скажем, 2—
3 лет.
Безусловно написание курса или даже нескольких
курсов истории математики, приноровленных для раз-
ных целей, еще не исчерпывает всех задач создания сводных
произведений. Наряду с такой первичной книгой должны
быть написаны монографии по специальным вопросам
истории в различных направлениях, а именно: 1) книги
по истории математики в различные эпохи (в Древних
Ассирии, Вавилоне и Египте; в Древней Греции; о мате-
матике в эпоху Возрождения, о развитии математики
в XVII—XVIII вв. и пр.); 2) книги по истории матема-
тики в различных странах (в Индии, Китае, Японии
и др.); 3) книги по истории отдельных математических
дисциплин; 4) серия книг, посвященных выдающимся
математикам прошлого; 5) хрестоматии, особенно отно-
сящиеся к развитию отдельных дисциплин. К пункту
третьему следует добавить, что для начала очень полезно
составить аннотированные библиографические обзоры,
хотя бы наподобие тех, какие были в середине прошлого
века составлены по теории вероятностей, теории упруго-
стей и вариационному исчислению Тодгентером. Без
такого предварительного библиографического изучения
опубликованных работ и их хронологического, а также
идейного упорядочивания невозможно будет создание
полноценных монографий по псторип отдельных матема-
тических дисциплин.
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
57
К указанному направлению деятельности примыкает
работа по истории возникновения и развития математи-
ческих понятий и методов. На нашем съезде поставлен
доклад, посвященный истории аксиоматического метода.
Однако едва ли этот один доклад почерпает проблему даже
только относительно аксиоматического метода. Мы же
должны помнить, что в математике существуют и другие
методы доказательств.
Я уже говорил раньше о философской важности изу-
чения истории возникновения математических понятий.
Ясно, что эта проблема имеет значение и для современ-
ного развития собственно математики. Опыт историп по-
казывает, что нередко математика (как и другие науки)
время от времени возвращается к взглядам и понятиям,
развивавшимся ранее и затем позабытым. Наверняка
такие исследования позволят нам увидеть в далеком или
близком прошлом идеи, опередившие свое время, а потому
оставшиеся незамеченными и тем самым оказавшиеся про-
павшими для человечества. Мне кажется, что представляет
значительный интерес проследить, как постепенно дости
гали современного уровня абстракции, скажем, основные
понятия алгебры или функционального анализа.
Специальное внимание мы должны уделить изданию
книг для учащихся. Прежде всего должны быть хорошо
продуманы и написаны книги под общим названием «Бе-
седы по историп математики на уроках в средней школе».
В этих книгах нужно, следуя программе каждого класса
и в соответствии с возрастными особенностями школь-
ников, поместить серию коротких — на 3 или 5 минут —
рассказов из истории математики и ее применений в жи-
тейской практике и в науке. Конечно, при этом нет ни-
какой нужды выдерживать историческую последователь-
ность и опасаться перекрытия таких бесед в книгах,
написанных для разных классов. Эти беседы могут быть
одинаковыми по теме, но должны быть различными по
глубине и широте охвата исторического и фактического
материала. Мне кажется, что весьма полезно подгото-
вить к изданию книги для школьника под наименова-
ниями «История отечественной .математики в биогра-
фиях», «История мировой математики в биографиях».
58
Б. В. ГНЕДЕНКО
Эти издания должны быть снабжены большими и хорошо
выполненными портретами, содержать краткие биогра-
фические сведения, давать оценку научного творчества
ученых, показать путь ученого в науку и, если возможно,
охарактеризовать значение его исследований как для даль-
нейшего развития науки, так и для практики. В тех слу-
чаях, когда имеется возможность, необходимо указывать,
как перед учеными возникали научные проблемы.
Вне всяких сомнении мы должны продолжать изуче-
ние развития математики в нашей стране. Здесь пред-
стоит еще огромная и кропотливая работа. Действительно,
до сих пор у нас нет достаточно полной аннотированной
библиографии старых русских математических рукописей,
у нас совсем не выяснены вопросы взаимосвязей в раз-
витии первичных математических понятий у древних сла-
вян и окружавших их народов, мы не знаем особенностей
счета у народов Крайнего Севера. А для истории это
может иметь значительный интерес. Для примера на-
помню, что в известном романе Тихона Семушкина «Али-
тет уходит в горы» имеется интересное указание на то,
что у чукчей система счета была пятерично-десятичной.
К сожалению, до сих пор у нас не изданы старые русские
арифметические и геометрические рукописи с хорошими
вводными статьями и хорошо составленными коммента-
риями. Было бы неплохо переиздать «Арифметику» Маг-
ницкого, к содержанию которой проявляется сейчас
большой интерес. Было бы полезно начать сравнитель-
ное изучение наших рукописей (а особенно рукописей Мол-
давии) с аналогичными рукописями соседних государств —
Польши, Чехословакии, Венгрии, Румынии. Необходимо
начать систематическое изучение архивов и публико-
вать хранящиеся там материалы или, по крайней
мере, описание того, что в них можно найти.
В связи с 250-летней годовщиной со дня рождения
Эйлера следовало бы, помимо сборников, посвященных
творчеству Эйлера, подготовить серьезную его научную
биографию, а также хорошие брошюры для широкого
читателя. Я не говорю здесь о необходимости более сме-
лого выпуска его сочинений, а быть может даже подго-
товке русского полного собрания его сочинений. После
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
59
того как уже несколько десятков лет в Швейцарии ве-
дется работа по изданию собрания сочинений Эйлера,
наша работа будет значительно облегчена и может быть
осуществлена с большей научной широтой. Мне кажется,
что эта работа могла бы вестись совместно со швейцарскими
и немецкими математиками.
Несомненно, что одним из самых срочных дел, касаю-
щихся истории отечественной математики, является соз-
дание монографии, посвященной истории математики
в России, а также более популярных книг, рассчитанных
не на специалистов, а на более широкие круги читате-
лей: учителей, школьников, инженеров и др. В настоя-
щее время эта задача уже не должна казаться такой недо-
ступной, какой она была еще совсем недавно. Действи-
тельно, теперь мы лучше знаем историю отечественной
математики, чем знали ее, скажем, в 1944 г.; к тому же
ряд книг и статей, написанных в последние годы на эту
тему, позволят, по крайней мере, избежать ошибок,
которые были допущены зачинателями этого важного дела.
Наша математика возрастала не на пустом месте. Она,
с одной стороны, была подготовлена многочисленными
просветителями, имена которых, возможно, даже оста-
лись неизвестными, а с другой стороны, развивалась
в тесной связи с западноевропейской наукой. Естественно
поэтому, что каждое серьезное исследование, посвящен-
ное развитию математики в России, должно учитывать
и выявлять взаимные влияния и связи-, которые сказы-
вались на формировании научных математических инте-
ресов как в нашей стране, так и в других странах.
Помимо книг, содержащих общую картину развития
отечественной математики, необходимы также книги бо-
лее специального характера. Так нам нужны хорошо
составленные обзоры по истории отдельных математиче-
ских дисциплин в нашей стране, особенно за послерево-
люционный период. Эти статьи должны быть снабжены
хорошо составленной библиографией и удовлетворять
всем условиям серьезных научных исследований. Теперь,
в период повышенного интереса к Советскому Союзу
и к советской науке, такого рода обзоры способны по-
мочь не только советским ученым, но и многочисленным
GO Б. В. ГНЕДЕНКО
математикам, работающим за пределами нашей страны,
лучше и проще познакомиться с теми основными идеями,
которые разрабатывались и разрабатываются у нас.
Несомненно, что нужно продолжать работу по напи-
санию монографий об отдельных выдающихся математи-
ках нашей страны. Ведь до сих пор нет монографических
описаний творчества таких замечательных ученых, как
Л. Эйлер, А. М. Ляпунов, С. В. Ковалевская, А. А. Мар-
ков, Н. Н. Лузин. К тому же в связи с новыми материа-
лами, которые удалось уже найти в архивах и еще
удастся найти, придется, возможно, заново переписывать
книги, уже написанные о других математиках.
При этом мне хотелось бы предупредить возможную
опасность — написание книг монографического харак-
тера о всех математиках, которые когда-либо у пас
в стране работали, независимо от того вклада, который
был сделан ими в науку, в педагогическое искусство и
в культуру. Лучше написать книги о немногих ученых,
ио зато об ученых первого ранга, о которых должны
широко знать как в нашей стране, так и за рубежом.
Говоря об истории математики нашей страны, мы не
можем забывать и того, что на территории республик
Средней Азии, Армении, Азербайджана, Грузии, Ук-
раины и др. еще в давние времена были высоко развитые
культуры, что здесь выросли многие ученые, обогатившие
математику первоклассными исследованиями. Мы должны
обратить несравненно большее внимание на изучение
прошлого математики в этих республиках. Есть опас-
ность, что мы еще плохо знаем те архивные богатства,
которыми обладаем, что нам плохо известны рукописные
собрания, которые пока бережно охраняются даже от
исследователей. К сожалению, до настоящего времени
советский читатель лишен возможности познакомиться со
сводными произведениями о развитии математики, ска-
жем, в Армении и это при условии, что там работает
прекрасный математический коллектив и имеются хорошие
ученые в области истории математики.
Поскольку развитие математики в значительной сте-
пени зависит от состояния математического преподава-
ния, представляет интерес изучение математического про-
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
61
свещения. Имея в виду необходимость обновления содер-
жания и характера математического образования в связи
с изменением состояния науки и интересами общества,
было бы полезно изучить особенности преподавания мате-
матики в разных странах как в средней школе, так и па
математических факультетах.
Мне хотелось бы теперь несколько слов сказать о двух
взаимно связанных сторонах нашей работы, которой мы
также должны уделить достаточно большое внимание.
Я имею в виду библиографическую работу и научную
критику. Мы должны быть в курсе того, что делается
в различных странах в области истории математики,
а потому необходимо давать в наших журналах доста-
точно подробную информацию о вновь выходящих кни-
гах и наиболее интересных статьях. Быть может это сле-
довало бы делать на страницах сборника «Историко-мате-
матические исследования» и журнала «Успехи математи-
ческих наук». С этим тесно связана необходимость нала-
дить систематическую критическую деятельность. К со-
жалению, до сих пор большинство как наших, так и ино-
странных работ по истории математики проходит без
суда общественности. Немногие же статьи критического
характера, которые появились в прошлом, носили иногда
характер разгрома автора, а не спокойного анализа,
направленного на исправление недостатков и на повыше-
ние уровня исторических исследований.
Я упомяну еще об одной задаче, решение которой
крайне необходимо нашей общественности. Наши жур-
налы, пользующиеся широким распространением, такие,
как «Математика в школе», «Успехи математических
наук», а также сборник «Историко-математические ис-
следования», должны начать печатать календарь юбилей-
ных математических дат.
Может возникнуть вопрос: почему я так много го-
ворю о написании монографий, книг и курсов вместо
того, чтобы говорить о направлениях исследований? Хо-
рошо известно, что любая книга должна быть итогом
большой предварительной работы, суммарным резуль-
татом первоначальных исследований. Вот именно потом}
я и обращаю внимание на эту завершающую стадию
62
Б. В. ГНЕДЕНКО
нашей работы, так как, по моему убеждению, работа, не
доведенная до конца, в лучшем случае только половина
работы. От советской же истории математики требуется
не только эта начальная стадия работы, но и завершающая
ее стадия, в которой в полной мере должен проявить
силу марксистский анализ исторических явлений и тем
самым выявить идейные особенности советской науки.
Говоря о том, что нам предстоит сделать, я не претен-
довал на всеобъемлющий охват всех сторон деятельности
советских историков математики. Несомненно, могут
быть указаны и другие направления нашей работы, о ко-
торых я не упомянул. Имеется, однако, один вопрос, ко-
торый я не имею права оставить в стороне и должен по-
святить ему несколько слов. Этот вопрос касается под-
готовки молодых историков математики. Ясно, что этот
вопрос не может рассматриваться оторванно от подго-
товки математиков вообще. Но все же, поскольку под-
готовка исторпков науки предъявляет некоторые специ-
фические требования, о них придется сказать. Эти тре-
бования таковы: историк математики должен: 1) быть
подготовлен на уровне развития современной матема-
тики; 2) хорошо знать историю своей науки; 3) быть ши-
роко подготовлен в области всеобщей истории и фило-
софии; 4) свободно владеть теми иностранными языками,
как современными европейскими, так и некоторыми древ-
ними и современными восточными, на которых представ-
лена литература по исследуемому периоду истории мате-
матики или разделу математики; 5) быть подготовлен
к архивной работе и к работе с первоисточниками. Я
исхожу при формулировке этих требований из того
положения, что историк математики должен быть но
только компилятором, но и исследователем первоисточ-
ников; он должен быть подготовлен к тому, чтобы уви-
деть исторический процесс в целом, а не только отдель-
ные его части; его исследования должны не только бес-
страстно описывать прошлое, но и активно содействовать
осмысливанию задач и методов современной математики.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ1)
С. А. Яновская
Быть может, одним из наиболее поучительных явле-
ний в истории математики XX века является история
аксиоматического метода. После выхода в свет «Основа-
ний геометрии» Гильберта аксиоматический метод быстро
стал не только основным инструментом, используемым
в целях обоснования математики, но сделался важнейшим
орудием развития самой математики: топологии, алгебры,
теории вероятностей и многих других ее областей. За
волной широкого увлечения аксиоматическим методом,
гребень которой приходится на начало 311-х годов теку-
щего столетия, последовала, однако, волна реакции.
В литературе теперь нередко можно встретить высказы-
вания в духе того, что «с помощью подходящим образом
выбранных аксиом можно, правда, все что угодно дока-
зать, но ничего нельзя обосновать» (Лоренцен). В раз-
витии самого аксиоматического метода в то же время по-
явились новые черты, заслуживающие внимания не только
математиков и логиков, но и историков математики и фи-
лософов, так как в нпх наглядно сказываются законо-
мерности развития математики и получают надлежащую
проверку различные методологические концепции. Сточки
*) Доклад, прочитанный на секции истории математики
III Всесоюзного съезда математиков 26 июня 1956 г. Дополнения
вносились по преимуществу в виде примечаний, рассчитанных на
читателя, интересующегося более специальными вопросами, свя-
занными со взглядами Аристотеля на сущность математики как
«Доказывающей» науки.
64 с. А. ЯНОВСКАЯ
зрения такой проверки особенно интересно, например,
перенесение центра тяжести с вопросов, относящихся
к внутренней характеристике системы аксиом, па вопросы
ее отношения к моделям — к тому, что она способна
отразить. История аксиоматики становится, таким обра-
зом, увлекательной темой для историка математики тем
более, что материал для обобщений фактически уже на-
коплен. Так, в частности, обстоит дело в области аксио-
матики геометрии, истории которой посвящено большое
число работ.
Этот доклад не претендует, однако, на попытку на-
рисовать хотя бы в общих чертах историческую картину
возникновения и развития аксиоматики. Для этого у меня
еще нет возможностей. Я хочу остановиться только на
одном моменте этой истории, заслуживающем внимания
уже потому, что он связан с «Началами» Евклида— этим
столь широко известным и в то же время до сих пор порож-
дающим столь много спорных историко-математических
вопросов классическим произведением.
§ 1
Почему в «Началах» Евклида геометрия строится
аксиоматически, арифметика же нет? Почему вообще так
поздно вошла в математический обиход система аксиом
для арифметики натуральных чисел? Известно ведь, что
наиболее распространенная теперь в литературе систе-
ма аксиом Пеапо была опубликована лишь в 1891 г.1),
между тем как система аксиом Евклида стала обще-
употребительной в геометрии со времен древних
греков.
Для ответа на этот вопрос нужно начать издалека:
с трудов первого исследователя вопросов аксиоматики —
1) G. Pean о, Sul concetto di numero, Rivista di matema-
tico, Turin, vol. 1, 18э1.
Несколько отличающаяся от системы аксиом Пеано система
аксиом арифметики Дедекинда, не вошедшая, по-видимому, в оби-
ход в силу громоздкости формулировок, была опубликована лишь
на 3 года раньше (R. Dedekind, Was sind" uud was sollen
die Zahlen? 1888).
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
65
Аристотеля1). Аристотель не оставил сочинения, отно-
сящегося непосредственно к задачам обоснования мате-
матики. Но теория доказательства, изложенная им во
Второй Аналитике, в значительной мерс основана именно
на анализе структуры математики как «доказывающей»,
дедуктивной, науки. «Аналитики», как, впрочем, и дру-
гие труды Аристотеля — прежде всего «Топика», «Фи-
зика» и «Метафизика» — изобилуют примерами, заимст-
вованными из математики.
Взглядам Аристотеля на вопросы математики и ее
обоснования посвящена в настоящее время довольно зна-
чительная литература. Здесь нужно назвать прежде
всего книгу Хиса «Математика у Аристотеля»2); затем
книгу Эиосла «Аристотелева философия математики»3).
Взгляды Аристотеля па математику освещены также
в книге Беккера «Основания математики в историческом
развитии»4).
Аристотелевой теории аксиоматики специально по-
священы статьи Шольца «Аксиоматика древних»5) и
Бета «Предыстория исследовании в области основании»6).
Взгляды Бета на теорию аксиоматики у Аристотеля из-
ложены нм также в книге «Логические основания мате-
матики»7 * * * 11), где можно найти и ряд дальнейших указаний
на литературу вопроса.
!) Читатель, которого интересует только формулировка пред-
лагаемого памп ответа на этот вопрос, может ограничиться послед-
ним, седьмым, параграфом настоящей статьи.
2) Th. Heath, Mathematics in Aristotle, Oxford, 1949.
3) H. G. Apostle, Aristotle’s Philosophy of Mathematics,
Chicago, 19a2.
4) <). Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtli-
cher Entwicklung, Freiburg-Aliinchen, 1954; выдержки из сочине-
нии Аристотеля приводятся здесь наряду с выдержками из других
греческих авторов (математиков, философов и их комментаторов,
таких, например, как Симиликий или Прокл).
5) Н. Scholz, Die Axiomatik der Alten, Blatter fiir deutschc
1 hilosophie, Bd 4, H. 3/4, 1930, стр. 259—278.
) E Beth, lhe prehistory of research into foundations,
Brit. Journ. f. the Philosophy of Science, май 1952, т. Ill, А» 9,
стр. 58—87.
’) E. \V. Beth, Les fondements logiques des mathematiques,
11 изд., Paris/Louxain, 1955.
5 Истор.-матем. исслед., вып. XI
60
С. А. ЯНОВСКАЯ
Особо следует отметить статью М,. Я. Выгодского,
«„Начала” Евклида»1), в которой выясняются связи аксио-
матики Евклида со взглядами Аристотеля на аксиома-
тику2).
Здесь не будет поэтому излагаться в деталях аристо-
телева теория аксиоматики. Поскольку, однако, в извест-
ной мне литературе нет прямого ответа на поставленный
выше вопрос, придется остановиться на некоторых мо-
ментах этой теории, на счет которых я хочу высказать
гипотезу, представляющуюся мне убедительной.
§ 2
В своей упомянутой выше статье Шольц представляет
теорию аксиоматики у Аристотеля, отличающейся от со-
ответствующей теории Гильберта по существ} только
отсутствием у Аристотеля требования непротиворечивости
системы аксиом. (Такое требование не нужно Аристо-
телю, так как аксиомы носят у него характер абсолют-
ных — безусловных — истин.) Все предложения деду-
ктивной науки Аристотель подразделяет, по Шольцу, па
доказываемые (теоремы) п недоказываемые (аксиомы), все
понятия — на определяемые и неопределяемые. Система
недоказываемых предложений и неопределяемых поня-
тий каждой данной дедуктивной науки, относящейся
к одному определенному роду вещей, должна удовлет-
ворять при этом требованию полноты, т. е. все свойства
вещей данного рода, присущие им как таковым (как пред-
’) Историко-математические исследования (в дальнейшем цити-
руются ИМИ), вып. I, 1948, стр. 217—295.
2) Большой интерес в этой связи представляют также коммен-
тарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к русскому изданию «Начал»
Евклида. Здесь читатель может найти не только освещение точки
зрения древних авторов XIX и XX столетий, но и подробные
указания на историю вопросов аксиоматики в XVII и XVIII вв.
Из более старых работ, указания на которые приводятся
Д. Д. Мордухай-Болтовским, следует упомянуть: G б г 1 а и d,
Aristoteles und Mathematik, Marburg, 1899; Michaud, Aristo-
teles et les mathematiques, Arcliiv d. Philosophic, t. 16, 1913;
P. Tannery, Sur I’authentieite des axiomes d’Euclide, Bull,
sc. math, de IJarboux, t. 8, 1888; Mansion, Sur les postulats et
axiomes d’Euclide, Ann. Soc. Bruxelles, 14, 1889.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
67
метам арифметики или геометрии, например), должны
быть выводимы при помощи определений из аксиом
системы* 1).
В подтверждение наличия \ Аристотеля такого требо-
вания полноты Шольц ссылается прежде всего на извест-
ный постулат однородности Аристотеля, согласно кото-
рому свойства вещей одного рода не должны доказы-
ваться, опираясь на начала, относящиеся к другому роду:
«Нельзя, следовательно, вести доказательство так, чтобы
из одного рода переходить в другой, как, например,
нельзя геометрическое положение доказать при помощи
арифметики» (Вторая Аналитика, I, 7)2). Шольц заключает
из этого, что «начал» (аксиом и неопределяемых понятий)
в каждом роде должно быть достаточно для определения
всех понятий и доказательства всех теорем, относящихся
к вещам этого рода3).
1) Точку зрения Шольца полностью разделяет и Бет. Бет пред-
ставляет аристотелево определение «дедуктивной» пауки так.
Дедуктивная наука, но Аристотелю, это —система S терминов
п предложений, такая, что:
(1) все предложения системы S относятся к одной и той же об-
ласти реальных объектов;
(2) всякое предложение системы S истинно;
(3) если какие-нибудь предложения принадлежат к S, то вся-
кое логическое следствие из этих предложений также принадле-
жит к А;
(4) в А1 имеется конечное число терминов, таких, что:
а) значение этих терминов не нуждается в объяснении;
Ь) значение всякого другого термина, встречающегося в А1,
может быть определено с помощью этих терминов;
(5) в S имеется конечное число предложений, таких, что:
а) истинность этих предложений очевидна;
Ь) всякое другое предложение из S является логическим след-
ствием этих предложений.
См. Е. W. Beth, Lesfondenients logiques des matheinatiques,
Il изд. Paris/Louvain, стр. 1—20. Возражения Бета, направленные
против Аристотеля, относятся только к исключению Аристотелем
вопросов обоснования «начал» науки из ведения самой этой пауки.
") Аристотель, Аналитики, Госполитиздат, 1952, стр. 195.
Ь дальнейшем оудет упоминаться как «Аналитики».
3) В пользу' того, что я арифметику Аристотель считал «дока-
зывающей наукой», строящейся, исходя из некоторых «начал»,
можно привести уже здесь такой пример: «математические числа»
(единица, по Аристотелю,—не число), «два», «три» и т. д. Аристотель
считает производными понятиями. «Два и три,—говорит оп,—
5*
68
С. А. ЯНОВСКАЯ
На вопросе о том, в какой мере эта трактовка аристо-
телева понятия «дедуктивной (доказывающей)» пауки
может считаться достаточно оправданной, нам еще при
дется остановиться ниже. Пока же заметим только, что
из «постулата однородности» Аристотеля заключение о
полноте системы начал в каждом отдельном роде, рассмат-
риваемом изолированно от остальных, во всяком случае
вряд ли следует. С трактовкой этого постулата связаны
вообще некоторые трудности и, быть может, даже недо-
разумения.
В этом постулате идет речь (см. Вторая Аналитика,
кн. I, гл. VII) о таких предложениях, которые выска-
зываются о вещах двух разных родов, но звучат при этом
одинаково и, больше того, которые выводятся из одина-
ково же звучащих основных положений (аксиом, т. с.
«начал» пауки). Но если бы в доказательстве участвовали
•только эти — общие для обоих родов — начала, то не-
понятно, почему доказательство нельзя было бы обоб-
щить, проведя его сразу для вещей того рода, подродами
(видами) которого являются оба рассматриваемых рода.
Тем более, что сам Аристотель рассматривает такое обоб-
щение как существенный прогресс науки. Так, в V
главе той же I книги Второй Аналитики он пишет, что
было время, когда предложение о том, что члены про-
порции можно взаимно переставлять, доказывалось
по особому для каждого пз родов: чисел, линий (отрезков),
тел и интервалов времени. «Теперь же доказательство
касается того, что есть общее <в них>», поскольку рас-
сматриваемое свойство присуще предметам не как чис-
лам, линиям п т. д., но как отличающимся особым ха-
рактером, «который предполагается имеющимся у ппх
производные имена (паронимы) так же, как венкое другое число»
(Физика, III, 7, стр. 66, русск. изд.). В «Метафизике» (XIII, 6,
стр. 226, русск. изд.) он, ссылаясь па математиков, приводит и опре-
деления этих чисел: «после одного идет два—помимо первой единицы
имеем другую, потом три—рядом с этими двумя едппицами имеем
еще одну, и в дальнейшем числа плут таким же путем». О щако.
говоря о бесконечности не «по прибавлению» (как в арифметике),
а «по делению» (как в геометрии, где мы имеем дело с непрерывными
величинами), он указывает и другой способ порождения все боль-
ших чисел—дихотомию (см. «физика», XIII, 7).
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
69
всех» (б ха0б7.оч u-oTiSivzai wrap/siv). Речь идет о введении
общего понятия, под которое подпадают как числа, так
и отрезки, тела и временные интервалы. Ван-дер-Варден1)
считает, что этим общим понятием — мы бы сказали ро-
дом — является понятие величины; другие авторы—
Хис, например,— полагают, что Аристотель не считал
(дискретные) числа величинами, поскольку с «величиной»
связывал всегда свойство непрерывности2); как бы там
ни было, во всяком случае ясно, что, по Аристотелю,
существует некоторый общий род вещей, включающий
как числа, так и геометрические и физические величины.
Теоремы о вещах этого (обобщенного) рода относятся одно-
временно и к арифметическим, и к геометрическим, и к
другим объектам3). Таким образом, в «постулате однород-
ности» вряд лп имеются в виду такие теоремы.
К чему именно этот постулат относится, ясно, впрочем,
\же из того, что Аристотель запрещает арифметические
доказательства лишь для случайных (а нс необходимых)
свойств величин (когда последние не являются числами).
Действительно, он пишет: «Следовательно, <положепия>,
на основании которых ведется доказательство [ аксиомы—
С. Я.], могут быть одними и темп же, но в <науках>,
род которых различен, как, например, <род> арифме-
тики и геометрии, не годится арифметическое доказа-
тельство для случайных4) <свойств> величин, если
4) В. L. Van der Waerden, Erwachende Wissenschaft,
Basel u. Stuttgart, 1956, стр. 289.
2) «Всякая величина непрерывна» (An истоте л ь, Физика,
кн. VI, 2 (стр. 126, русск. изд., 1937).
3) На необходимости такого рода теорем (о вещах разных
родов) в геометрии Аристотель особенно настаивал. Так, он считал,
что лишь введение общего понятия пропорции позволило доказать
теорему о том, что прямая, параллельная одной стороне параллело-
грамма, делит другую сторону и площадь в одном и том же отно-
шении (Топика. 1->8 в). Ведь для этого существенно знать, что хотя
отрезки н площади разные веши, но отношении отрезков и пло-
щадей могут быть одними и теми же (и как именно могут быть).
) Поскольку речь идет о том, какие доказательства
годятся для «случайных» свойств величин, ясно, что имеются в виду
лишь относительно (данных исходных положений) случайные свой-
ства, так как об (абсолютно) случайном, но Аристотелю, вообще
не может быть доказательства.
70
С. А. ЯНОВСКАЯ
только <эти> величины не являются числами» (Вторая
Аналитика, I, 7, стр. 195- 196, русск. изд.). Иными сло-
вами, в доказательстве фигурируют не только общие
(для обоих родов) исходные положения, но и не вытекаю-
щие из них («случайные») свойства тех или иных «вели-
чин». Ситуацию, очевидно, можно представлять себе так.
Пусть имеем общую для «величин» обоих родов систему
аксиом SI п общее же «случайное» их свойство S, подле-
жащее доказательству. Так как свойство S не вытекает
(логически) из одной только системы аксиом 91 (оно «слу -
чайное» в пей), то в доказательстве его в науке ф участ-
вуют «случайные» же свойства Рг, Р2,..., Ph объектов,
изучаемых в этой науке, между тем как в науке £i для
этого могут служить совсем другие свойства Qlt Qt
объектов наукп С. Ясно, что такое доказательство дей-
ствительно нельзя переносить автоматически из одной
на)-ки в Другую, что свойство S нуждается в специальном
доказательстве в каждой из нпх. По такое требование
является вполне оправданным и во всякой строгой мате-
матической теории всегда соблюдается. Соблюдается оно
и Евклидом в его «Началах».
Так, например, мы теперь знаем (это убедительно по-
казала И. Г. Башмакова1), что в «Началах» имеются
числа двух родов: отвлеченные (скалярные) числа и
числа-меры (пли числа-отрезки). Предполагая теорию
отвлеченных чисел уже известной, Евклид строит в «На-
чалах» теорию чисел-мер. В арифметике отвлеченных чи-
сел умножение коммутативно, но из этого не следует еще
коммутативность умножения чисел-мер2). Последнюю
нужно доказать особо, опираясь на специфические свой-
ства чисел-мер (на определения их п операций с нпми).
Но так как в этих определенпях фигурируют и отвле-
ченные числа, то в доказательствах свойств чисел-мер
приходится пользоваться аналогичными свойствами от-
*) II. Г. Башмакова, Арифметические книги «Начал»
Евклида, ПМП, вып. I, 1948, стр. 296—328.
2) Даваемое Евклидом определение умножения чисел-мер («На-
чала», VII, определение 15) несимметрично, почему Евклиду и при
ходится доказывать (VII, предложение 16) коммутативность утоп
операции (см. II. Г. Башмакова, стр. 301 и 308—309).
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
71
влеченных чисел: однако только в применении к ним,
а не к числам-мерам.
Но если числа могут появиться и в геометрии1), то
в геометрических доказательствах могут понадобиться
и теоремы арифметики (применяемые, однако, только
к тем объектам, для которых онп уже установлены, а не
переносимые просто на геометрические объекты на том
основании, что онп уже доказаны в арифметике). А в та-
ком случае ясно, что и арифметика может понадобиться
в геометрии, как и, наоборот, геометрия в арифметике
(для чисел-отрезков, например), т. е. что самих по себе
«начал» данной доказывающей науки может оказаться
и недостаточно для доказательства всех ее предложений2).
Дрхгое положение, в отношении которого большин-
ство исследователей теории доказательства Аристотеля
и «Начал» Евклида единодушно сходятся, состоит в том,
что, согласно Аристотелю, аксиомы, положенные в основу
пауки, должны быть совершенно необходимыми, простей-
шими, непосредственно очевидными, первыми по по-
рядку в науке п поэтому даже принципиально недоказуе-
мыми истинами. Шольц к этому добавляет только, что
и первые, т. е. неопределяемые, понятия науки должны
быть непосредственно понятными. В подтверждение пра-
вильности такой трактовки можно привести достаточное
число мест пз сочинений Аристотеля,— прежде всего из
«Второй Аналитики» и «Метафизики»3).
!) Вспомним, что теория пропорций (и связанное с ней отноше-
ние подобия) строится у Евклида в V п VI книгах «Начал» арифме-
тически (через числа-кратности, предполагающие возможность
прибавить величину к самой себе любое число (ТэЮ) раз).
2) О том, что могут понадобиться и некоторые общие (дли вещей
разных родов) определения и предложения, у нас уже шла речь
выше (см., например, сноску 3 на стр. 69).
3) Вот, например, одно из них:
«Тому, кто намерен приобрести знание посредством доказатель-
ства, следует не только больше знать начала и считать их более
достоверными, чем доказываемое из них, но для него не должен
су чествовать никакой противоречащий этим началам принцип,
который был бы с большей очевидностью и несомненностью позна-
ваем как истинный» (Вторая Аналитика, I, 2, 72а, 37 и сл.).
Конечно, под «очевидностью» Аристотель здесь не имел в
виду какую-то особую способность нашего духа в смысле, например,
Ti
С. А. ЯНОВСКАЯ
Но хотя таким образом оба утверждения: (1) и о трак
товке Аристотелем «доказывающей» науки как конечно
аксиоматизируемой дедуктивной теории, (2) и о пони-
мании им «начал» доказывающей науки, как состоящих
из первых, непосредственно необходимых, само-
очевидных, истин и непосредственно (без объяснения)
понятных, первичных, понятий,— представляются
вполне обоснованными, они нуждаются тем не менее,
на мой взгляд, в существенном уточнении.
Известно1), что, по Аристотелю, исследование самых
общих «начал» науки не является вообще задачей самой
этой наукп. Начала физики исследуются но в физике,
а в метафизике и подлежат, по Аристотелю, ведению не
физика, а философа.
Начала математики,— по крайней мере, поскольку
они относятся к используемым в ней общим категориям
{.материи, формы, вещи, количества, величины, непрерыв-
ности, дискретности и т. п.) и к логическим средствам
вывода («общим понятиям», т. е. необходимым аксиомам
всякой «доказывающей» науки2)), — также принадлежат
наглядного созерцания Канта. Речь шла и >осто о вещах, практиче-
ски проверенных огромное число раз и поэтому настолько привычных,
что онп представлялись даже самоочевидными. Наука (и практика)
должна достичь высокой ступени ра шптия, чтобы она могла обна-
ружить трудности в вещах, казавшихся очень простыми и нривыч
ними. Неудивительно поэтому, что, как правильно отмечает
Д. Д. Мордухай-Болтовской, «при развитии геометрии аксиомы
высокой степени очевидности выплывают только .постепенно; мож-
но даже сказать, что чем более очевидной являлась аксиома, тем
позднее она включалась в систему геометрии» («Начала» Евклида,
I—VI, М-—Л., 1948, стр. 239).
х) См., например, Heth, стр. 2.
2) Доказывать нужно не то, что п без того ясно, а д л я того,
чтобы заставить признать цетину. «Ставить вопросы следует не так,
чтобы (заключение) было необходимым через (положения,
данные в виде'> вопросов, но (так), чтобы его необходимо при-
знали, если признают эти (положения), и (притом) как нечто
истинное, если эти (положения) истинны» (Вторая Аналитика, I.
6, стр. 194, русск. изд ). В этом отношении Лейбниц занимает уже
другую позицию: он считает, что доказательство должно не только
убеждать в истинности чего-либо, но и раскрывать связи между
вещами, разлагая их (анализируя) вплоть до самых общих катего-
рий и законов, под которыми имеет в виду, однако, только законы
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
73
к компетенции философа, а не математика. Математику
«следует приступать к [доказательству], уже будучи
знакомым с этими аксиомами, а нс заниматься [только
еще] их установлением, услышав про них» (Метафизика,
IV, 3, стр. 62, русск. изд.). Ведь «изучаемое некоторым
образом знают, некоторым пет» (Вторая Аналитика, 1, 1,
сгр. 181, русск. изд.).
Так вот, задача математика состоит не в установлении
того, что знают и без него, а в получении па этой основе
нового знания. Поэтому он может формулировать из начал
пауки только то, -что ему действительно понадобится прп
доказательстве истин, о которых «не имеют безусловного
знания» (Вторая Аналитика I, 1, стр. 180, русск. изд.).
К тому же большинство доказательств являются на
самом деле эптпмемами, т. е. содержат посылки, которые
молча подразумеваются, так как не вызывают сомнений
ни у самого доказывающего, нп у его ученика или чело-
века, спорящего с ним. Л то, что не вызывает сомнений,
нс нужно и оговаривать.
Аналогично, определяя свои понятия, математик нс
обязан доходить до последних категорий бытия, количе-
ства, материи, формы, вещи, причины и других, а может
удовлетвориться такой формулировкой, которая сделает
его определение понятным.
Различая три стороны дедуктивной науки: ес предмет
(«то, относительно чего доказывается»), ее теоремы («то,
что доказывается») и ее аксиомы и правила вывода («то,
на основании чего доказывается»), Аристотель замечает:
«Ничто не мешает, чтобы некоторые науки не обращали
внимания на некоторые из <этих сторон>, как, напри-
мер, не предполагать, что род существует, если оче-
видно, что он существует (ибо нс в одинаковой мере ясно,
логики. Поэтому, с его точки зрения, пужно доказывать (исходя
из определений) не только такие истины, как 2 [2 =4, но и аксиомы
математики (сводя их к логике). В современных (формализованных)
дедуктивных теориях аксиомы принимаются за непосредственно
доказанные, все же другие положения теории выводятся из аксиом
по правилам вывода, принятым в данной (формализованной) теории.
Наиболее интересными в связи с такой теорией являются поэтому
вопросы ее содержательного истолкования, т. е. вопросы о том, что
именно она выявляет и уточняет (и в какой мере ей это удается).
Ill
С. А. ЯНОВСКАЯ
что есть число и что есть холодное п теплое), и не рас-
сматривать обозначения свойств, если они ясны, и точно
так же не рассматривать обозначения общих < понятий:
акспом>, как, например, что значит отнять равное от
равного, ибо это известно» (Вторая Аналитика, I, 10,
76в и сл., стр. 200, русск. изд.).
На анализе этого места нам еще придется остано-
виться.
Пока же заметим только, что из него во всяком слу-
чае, ясно, что, несмотря на постулат однородности,
у Аристотеля нет требования явной формулировки всех
«начал» специальной «доказывающей» науки, в том числе
даже такой, как арифметика или геометрия, т. е. нет
требования полного перечисления (и, следовательно, вы-
явления) в самой науке всех нужных ей для доказатель-
ства аксиом1).
Но и требование необходимости в смысле безусловной,
абсолютной, истинности относится у Аристотеля не ко
всем исходным, т. е. принимаемым без доказательства
предложениям специальной математической науки, а толь-
ко к аксиомам, имеющим общефилософский характер,
которые он называет иногда также «общими понятиями»2).
Дело в том, что хотя, говоря о «доказывающей» науке,
Аристотель всегда имеет в виду прежде всего матема-
тику, он не считает тем не менее последнюю идеальной
дедуктивной наукой. Это ясно уже из того, что арифме-
тику он считает более совершенной наукой, чем геомет-
рию: «... наука, не имеющая дела с <материальной>
основой, точнее и выше науки, имеющей с ней дело, как,
х) Говоря о том, что он не решается делать из приведенного
нами места из «Второй Аналитики» вывод, сделанный Таннери
в упомянутой в примечании 10 статье: «что древние (до Евклида? —
С.77.) не имели обыкновения ставить аксиомы в начале изложения»,—
Д. Д. Мордухай-Болтовской замечает: «я только заключаю отсюда,
что опи позволяли себе выставлять не все употреблявшиеся ими
положения, но только те, про которые можно было сказать, что онп
должны быть признаваемыми, но могли и не признаваться при
софистическом настроении того времени» («Начала» Евклида,
I—VI, стр. 246).
2) Общими для всех паук определенного рода, а не только для
ряда разных объектов данной науки.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
75
например, арифметика по сравнению с гармонией. Далее,
наука, псходящая из меньшего <числа начал>, точнее
и выше науки, <требующей некоторого добавления,
например арифметика по сравнению с геометрией. Под
требующим добавления я понимаю то, что, например,
единица есть сущность без положения <в пространстве> ,
точка же — сущность, имеющая положение <в прост-
ранстве >; это <последнее > п есть добавление»1) (Вто-
рая Аналитика, I, 27, 87а, 31 и сл., стр. 239—240,
русск. изд.).
Это увеличение числа начал сказывается на пониже-
нии точности науки потому, что, говоря о «началах»
специальной науки, Аристотель имеет в виду не только
неопределяемые простые понятия и необходимые первич-
ные истины (аксиомы), но и «тезисы или положения».
Последние тоже носят неопосредованный характер, т. с.
не обосновываются чем-нибудь другим, хотя и исполь-
зуются в доказательствах. Однако в отличие от аксиом
они не являются необходимыми. Такие «положения»
в свою очередь подразделяются Аристотелем на: (1) опре-
деления (которые вообще не являются суждениями, по-
чему по самой своей сущности не могут доказываться,
хотя п полагаются в основу доказательства), и (2) пред-
поло жения.
Общее понятие «предположения», т. е. такого сужде-
ния, истинность которого не является необходимой,
хотя и принимается без доказательства, введенное Аристо-
телем во II главе I книги Второй Аналптпкп, подвер-
гается пм в X главе дальнейшему уточнению: оно подраз-
деляется на предположения лишь в относительном смысле
слова и на постулаты.
«То, что необходимо истинно само по себе и должно
необходимо мыслиться таким [т. е. аксиома.—С. Я.],
не есть ни предположение, ни*постулат», говорит здесь
Аристотель. «Итак, все то, что, хотя и подлежит доказа-
тельству, но сам <доказывающпп> принимает нс дока-
х) 1 аким образом, увеличение числа начал есть не просто
количественное увеличение их списка, а некоторое усложнение
исходных понятии п предложений.
76
С. А. ЯНОВСКХЯ
зывая и ччащемуся это кажется <правпльным>, это
есть предположение, и <прптом> предположение ве
безусловное, а лишь для этого <учащегося>. Но если
принимают <что-то >, в то время как <учащийся> не
имеет никакого мнения <об этом> или имеет мнение,
противное <этому>, то постулируют <это>. II в этом-то
и заключается различие между предположением и посту-
латом. Ибо постулат есть нечто противное мнению уча-
щегося или <нечто>> такое, что, хотя и подлежит дока-
зательству , ио принимается и применяется недоказанным»
(Вторая Аналитика, I, 10, стр. 201, русск. изд.)1).
Итак, постулат это не только нс простая, очевидная
и необходимая пли хотя бы представляющаяся такой
истина, но вообще нечто такое, что может даже быть
«противным мнению учащегося».
Нетрудно показать, что постулаты Евклида, по су-
ществу, все именно таковы. Ибо, хотя, например,
\1. Я. Выгодский полагает, что «такое предложение, как
«через две точки можно провести прямую линию», вряд ли
могло вызвать не только возражение, но и какое-либо
сомнение у античного мыслителя»2), хотя по свидетель-
ству Прокла эту точку зрения разделял уже Спсвзпп
(ссылаясь, правда, на равномерное движение без откло-
нений вправо или влево, каковой ссылки не могло быть
у Евклида, не допускавшего — в явной форме — движе-
ния в геометрии), однако всякому геодезисту хорошо
известно, насколько трудно на самом деле соединить две
точки, даже на открытой местности, прямой линией. Еще
труднее соединить две точки, разделенные горою или на-
ходящиеся одна на земле, а другая на той стороне луны,
которую мы никогда не видим. Тем не менее мы постули-
руем, что это всегда возможно (I-й постулат Евклида),
равно как постулируем и возможность продолжить дальше
любой отрезок (II постулат Евклида), и иритом продол-
х) Изменения (здесь, впрочем, лишь незначительные) вноси-
лись мною в перевод только в тех случаях, где была достаточная
уверенность в правильности передачи при их помощи смысла тек-
ста, проверенная, в частности, на нескольких других переводах
«Аналитик» на современные языки.
2) ПМП, вып. I, 1948, с гр. 250.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
жить однозначно (IV постулат о равенстве между собою
всех прямых углов).
О неочевидности V постулата написано так много, что
здесь на этом можно не останавливаться. Однако, и
III постулат (о том, что из всякого центра п всяким ради-
ксом можно описать окружность) также не является, на
мой взгляд, само собою разумеющимся1).
Иногда впдят разногласие между Евклидом и Аристо-
телем в том, что у Евклида нет вообще никаких предпо-
ложений (см., например, Л1. II. Выгодскпй, там же).
На мои взгляд, здесь никакого разногласия нет: ибо
предположения — это, по Аристотелю, нечто пе вызы-
вающее сомнений у учащегося и поэтому не доказывае-
мое, т. с. нечто такое, что можно предполагать молча, на
чем можно не останавливаться. Другое дело постулат.
Его нельзя предполагать молча, потому что с ним можно
не соглашаться. На его счет следует договориться прежде,
чем приступать к доказательству, п поэтому его нужно
формулировать явно.
§ 3
Но в таком случае естественно встает вопрос: если
тривиальные истины можно пропускать, то почему же
у Евклпда имеются аксиомы («общие попятпя») такпе.
например, как «равные одному п тому же равны друг
другу» или «если от равных отнять равные, то остатки
равны»? Ведь в приведенной нами выше (см. стр. 74)
цитате из Аристотеля речь даже шла как будто о том,
что вторую из этих акспом заведомо можпо опускать
«как известную»?
На этот счет мне представляется весьма естественным
объяснение, основанное иа трактовке этих акспом как
1) Особенно, если учесть, что, как это явствует из применения
этого постулата Евклидом, практическим источником его является
1аже не циркуль, а веревка, «с помощью которой описывается
окружность радиусом, равным всей веревке или только ее части»
(Д. Д. Мордухай-Болтовской, «„Начала” Евклида»,!—VI, стр. 242).
т. е. заведомо не сколь угодпо большим и не измеряемым в микро
пах радиусом.
78
С. А. ЯНОВСКАЯ
логических правил вывода1). II действительно, возвра-
щаясь опять к Аристотелю, мы еще раз должны напом-
нить, что он предлагает различать в дедуктивной науке
три стороны: ее предмет («то, относительно чего ведется
доказательство»), ее предложения («то, что доказывается»)
и ее средства вывода («то, на основании чего доказы-
вается»), И предмет наукп, и ее предложенпя являются
специфическими именно для данной науки. Не так об-
стоит дело для ее средств вывода. Они являются общими
для всех наук, или для всех паук определенного рода.
Однако помимо общелогических «начал», таких, как прин-
цип противоречия или исключенного третьего, есть еще
и такие средства вывода («общие понятия»), которые хотя
и общи всем наукам, но в каждой науке приобретают свой
особый смысл. Таковы прежде всего свойства равенства
и отношений «больше», «меньше», которые имеют, ко-
нечно, общий характер во всех науках, занимающихся
количеством, однако в каждой из них применяются по-
своему. Правильность этого изложения точки зрения
Аристотеля явствует уже из следующих мест из «Второй
Аналитики» и «Метафизики»:
«Связаны же все науки между собой <чем-то> об-
щим <всем пм>. Общпм же < всем> я называю то, чем
пользуются для того, чтобы из пего [т. е. пользуясь им.—
С. Я. ] вести доказательство, а не то, относительно чего
ведется доказательство, и не то, что доказывается» (Вто-
рая Аналитика, I, 11, 77а, стр. 203, русск. изд.).
«Положение, что если равные отнимаются от равных,
то и остатки равны, есть общий <принцпп> для случая
всех количеств; но математика избирает определенную
область и делает предметом своего рассмотрения ту или
иную часть относящегося к ней матсрпала, например
лпнип пли углы, чпсла или какие-нибудь другие из ко-
личеств» (Метафизика, XI, 4, 1061в, 17—27в, русск. изд.,
стр. 186, с поправками по Heath’y, цпт. кнпга, стр. 54).
В соответствии с этим те принципы вывода, которые
являются общими для всех наук, но по особому прпме-
х) Так трактует, например, аксиомы Евклида в своей выше-
упомянутой (см. сноску 5 на стр. 65) статье Шольц. Его моти-
вировка, впрочем, не совпадает с нашей.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
79
пяются и каждой науке, надо и особо для пес сформули-
ровать. Так, в частности, нужно указать, когда два гео-
метрических объекта будут считаться равными (IV ак-
сиома Евклида: «Налагающиеся равны»)1). Понятие
«больше» в применении к углам, отрезкам и другим гео-
метрическим объектам также нуждается в определении,
позволяющем установить наличие этого соотношения,
почему и для него нужно сформулировать общее пра-
вило: «целое больше части» (V аксиома Евклида),— озна-
чающее, по-видимому, что если при наложении одни
объект оказался частью другого (поместился в нем, не
исчерпав его), то мы можем сделать заключение, что
первый меньше второго.
С другой стороны, принцип противоречия приме-
няется к математическим предложенпям так же, как
к любым другим предложениям, почему^ и не подлежит
какой-нибудь особой формулировке в геометрии.
Известно, что Евклид своп аксиомы называет «об-
1ЦИМИ понятиями». Мы видим, что это полностью соответ-
ствует тому, что говорит об «общих понятиях» Аристо-
тель. На мой взгляд, это соответствие распространяется
вплоть до деталей, состоящих, например, в том, что,
формулируя правило, гласящее, что если от равных отнять
равные, то и остатки будут равны, можно не останавли-
ваться на объяснении того, что значит «отнять» или
«остаток», так как это можно считать известным (см. ци-
тату, приведенную на стр. 74). Ведь если при наложении
геометрических величин одна оказалась правильной
частью другой, то ясно, что такое «остаток».
В системе «Начал» Евклида аксиомы, таким образом,
играют роль не посылок, а правил вывода2), подлежащих
явной формулировке, потому что они по-особому должны
применяться в геометрии.
т) Аксиомы, помещенные в русском издании «Начал»
(М. JI-, 1948) в квадратные скобки (поскольку их принадлежность
Евклиду заведомо не установлена), не включены мною в общую
нумерацию аксиом, число которых, таким образом, сводится
к пяти.
2) Ср. термин «несиллогистические выводы», связанный с это-
го рода аксиомами!
80
С. А. ЯНОВСКАЯ
§ *
Почему же все-таки в геометрии у Евклида имеются
постулаты и аксиомы, а в арифметических книгах «На-
чал» есть только определения? II почему это положение
сохранялось в науке вплоть до конца XIX века?— На
этот счет вполне удовлетворительным ответом, на первый
взгляд, может показаться следующий. Мы уже приво-
дили место пз Аристотеля, свидетельствующее о том, что
оп считал арифметику более совершенной наукой, чем
геометрию1). В арифметике древних греков, включавшей
в себя только арифметику натуральных чисел, нет ника-
ких несоизмеримостей, ее операции выполняются всегда
лпшь над конечными объектами; в ней нет особого поня-
тия равенства, отличного от тождества (два числа равны,
если оба они суть «то же самое» число), п ей не нужны
поэтому особые правила, позволяющие установить ра-
венство двух разных чисел; ее единственным принципом,
представляющим собой необходимую истину, является,
по Аристотелю, существование единицы, по этот принцип
носит общефилософский характер и нс применяется по
особому в арифметике. Ее понятия «единица», «число»,
«простое число» и др. достаточно поэтому определить,
чтобы о нпх можно было доказывать теоремы, в част-
ности доказывать (опираясь на существование единицы)
3) Число таких мест можно было бы увеличить. Так, в «Мета-
физике» мы читаем: «... те науки, которые основаны па меньшем
числе принципов [начал.—С. //.], более точны, чем те, которые
более обусловлены [зависят от большего числа усяовип.—С. Я.}-.
так, арифметика точнее геометрии» (Метафизика, А, 2, 982а, 25—8;
цпт. по Heatli’y, стр. 5).
Объяснение причины большей точности арифметики по сравне-
нию с геометрией Аристотель дает и в следующем месте из «Метафи-
зики»: «II чем более мы имеем дело с тем, что с логической точки
зрения идет раньше и что более просто, тем в большей мере [нашему
познанпю] присуща точность [а точность эта —в простоте], а поэто-
му рассмотрение, которое отвлекается от величины, точнее, чем то,
которое включает величину» (.Метафизика, XIII, 3, 1078а, 9—11,
стр. 222, русск. изд.). (Здесь, очевидно, Аристотель считает непре-
рывность необходимым свойством величины, почему и не относит
числа к величинам. Дискретными числами занимается, по Аристоте-
лю, арифметика. В геометрии мы имеем дело уже с непрерывными
величинами.)
ИЗ ИСТОРИП АКСИОМАТИКИ
81
существование предметов, удовлетворяющих этим опре-
делениям. Больше того, если не у Аристотеля, то
в арифметических книгах «Начал» Евклида, по существу,
пет не только каких-нибудь арифметических аксиом,
по нет и определении отвлеченных натуральных чисел
(пх арифметика предполагается известной) и все опреде-
ления и теоремы формулируются только для чисел-мер
(т. с. чпсел, измеряющих — после выбора какого-ни-
будь отрезка за единицу — некоторые геометрические
отрезки)1).
Поскольку эти чпсла-мсры относятся к геометрии, на
них распространяются и общие геометрические посту-
латы и аксиомы. В арифметических книгах так же доста-
точно поэтому одних только определений, как их доста-
точно во всех остальных книгах «Начал», за исключением
первой.
Объяснение того, почему у древних геометрия строи-
лась аксиоматически, арифметика же пет, таким образом,
представляется состоящим в следующем:
а) Арифметика отвлеченных натуральных чпсел каза-
лась древппм более простой и поэтому более совершенной
наукой, чем геометрия; в исходных принципах этой ариф-
метики нельзя было сомневаться и поэтому о них не при-
ходилось спорить, а раз не о чем было спорить, то незачем
было и договариваться о постулатах, «могущих быть
противными мнению учащегося»,— таких попросту не
существовало.
б) Арифметика же чпеел-мер есть часть геометрии и по-
этому не нуждается в особой аксиоматике. Все ее тео-
ремы должны доказываться исходя из постулатов и ак-
сиом геометрии и опираясь на определения чисел-мер пли
пх видов: простых и составных чисел, плоскостных и
телесных чпсел, совершенных чпсел и т. п.
в) Вокруг начал (принципов) геометрии велись,' на-
оборот, уже в античной древности ожесточенные споры.
В Древней Греции существовали фактически, по меньшей
г) См. статью II. Г. Башмаковой, указанную в сноске 1 на
стр. 70.
6 Пстор.-матем. псслсд., выл. XI
82
С. А. ЯНОВСКАЯ
мере, три разных подхода к геометрии, мы сказали бы трп
разные системы геометрии:
(1) Спстема Демокрита, в которой все фигуры строи-
лись, по-видимому, из конечного числа «неделимых»
(атомов), имеющих конечные же размеры; в этой геомет-
рии не могло быть поэтому такой фигуры, как идеально
точный квадрат.
(2) Спстема Анаксагора, в которой никаких «недели-
мых», по-видимому, не существовало, поскольку Анакса-
гор, с одной стороны, признает, что «в малом не сущест-
вует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо
то, что существует, не может исчезнуть, как бы далеко
ни было продолжено деление»1); с другой стороны,
«утверждает, что любая из частиц есть смесь, подобная
целому»2). В такой геометрии фигуры вообще (т. е. ни
в каком смысле) не могли состоять из неделимых далее
точек.
(3) Система Евклида, в которой «неделимые» (точки)
существовали, но не имели никаких измерений: «Точка
есть то, что не имеет частей» (Евклид, «Начала», первое
определение); в этой геометрии фигуры содержат в себе
(потенциально) точки (являются их геометрическими ме-
стами), но не состоят из них как из частей: если
позволить себе отождествить геометрическое место точек
с множеством3) их, то могцностъ множества (точек) надо
х) Аристотель, Физика.
2) Аристотель, Физика, кн. 3, 4, стр. 56, русск. изд.
3) На том основании, что «поскольку нечто может существовать
в потенции, постольку возможна и актуальность» (Аристотель,
Физика, кн. 3, 7, стр. 67, русск. изд.). Подробнее это место гласит
так: «Надо признать логичным и то положение, что путем прибав-
ления бесконечное не является таким, чтобы могло превосходить
всякую величину, а бесконечное от деления может..., так как непре-
рывное делится до бесконечности, а в направлении к большему бес-
конечного нет. Ибо поскольку нечто может существовать в потенции,
постольку возможна и актуальность».
Вообще аристотелево понимание потенциальной бесконечности
«согласно делению» заставляет иногда думать, что его можно совме-
стить и с теоретике множественной трактовкой непрерывного
множества. Так, опровергая апории Зенона, Аристотель пишет:
«...ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти беско-
нечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
83
отличать от его меры. (Отрезок есть множество
точек, но не есть их сум м а. «Время не слагается из
неделимых «теперь», а также и никакая другая величи-
на»1). Думается, что смело можно сказать, что Арпстотлеь,
соответствующие взгляды которого разделяет и Евклид,
отличает уже в каком-то смысле отношение принадлеж-
в ограниченное время... бесконечного в количественном отношении
нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно
делению — возможно, так как само время в этом смысле бесконеч-
но. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконеч-
ное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества
частей бесконечным, а не ограниченным множеством» (Физика, 6,
2, стр. 128—129, русск. изд.).
Правда, в другом месте, возвращаясь к этому же вопросу,
Аристотель замечает: «Мы разрешили этот вопрос, исходя из того,
что время заключает в себе бесконечное число частей; ибо нет ничего
странного, если в бесконечное время кто-нибудь пройдет бесконеч-
ное множество; подобным же образом бесконечность присуща и дли-
не, как и времени. Но такое разрешение достаточно для ответа
тому, кто так поставил вопрос (спрашивалось ведь, можно ли в огра-
ниченное время пройти или сосчитать бесконечно многое), а для
сути дела и для истины недостаточно... Кто делит непрерывную
линию на две половины, тот пользуется одной точкой как двумя,
так как он делает ее началом и концом..., а в непрерывном заклю-
чается бесконечное число половин, но только не актуально, а потен-
циально. Если же их сделать действительными, то движение не
будет непрерывным, а будет останавливаться... Таким образом,
на вопрос, можно ли пройти бесконечное множество частей во вре-
мени или по длине, следует ответить, что в одном отношении можно,
а в другом нет. Если они будут актуально—нельзя, если в потен-
ции—возможно» (Физика, кн. 8, 8, стр. 197—198, русск. изд.).
Еще яснее о том, что для бесконечности,.—которая существует
всегда только в потенции,—актуальность — вопреки приведенной
выше цитате — все же невозможна, Аристотель пишет в следующем
месте той же «Физики»: «Не следует, однако, брать здесь потен-
циальное бытие в том смысле, что как возможная статуя будет ста-
туей, так и бесконечное будет актуальным... Вообще говоря, бес-
конечное существует таким образом, что всегда берется ипое и иное,
и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным»
(там же, кн. 3, 6, стр. 63, русск. изд.).
*) Аристотель, Физика, кн. 6, 9, стр. 143, русск. изд.
«А „теперь” не есть часть, так как часть измеряет целое, и из частей
оно должно слагаться, время же, по всей видимости, не слагается из
„теперь” (там же, кн. 4, 10, стр. 92, русск. изд.), «...ни время не
слагается из „теперь”, ни линии из точек, ни двияГение из моменталь-
ных перемещений» (там же, кн. 6, 10, стр. 147, русск. изд.).
6*
84
С. А. ЯНОВСКТЯ
пости элемента множеству от отношения части к це-
лом у).
Но раз возможны столь различные точки зрения, то
в геомстрип должны были быть (и были) постулаты,
«могущие быть противными мнению» (не только!) уча-
щегося, и о них нужно было сначала договориться. Ведь
«геометр не должен возражать тому, кто отрицает его
начала,— это дело другой науки или общей всем» (А р и-
с т о т е л ь, Физика, I, 2, стр. 8, русск. изд.).
В таком объяснении необходимости аксиоматики для
геометрии есть, конечно, доля пстины, поскольку факти-
чески оно относится к трудностям, связанным с матема-
тическим выражением непрерывности. Мне представ-
ляется однако: (а) что оно еще нуждается в уточнении,
которое должно объяснить, в частности, ту специальную
форму аксиоматики, которая избрана Евклидом в его
«Началах»; (б) что такое уточнение действительно вполне
возможно, и притом, по существу, давно известно и до
тривиальности просто.
§ 5
Заметим прежде всего, что в «Началах» Евклида есть
не только теоремы, но и задачи. Больше того, венцом
«Начал» является построение пяти правильных много-
гранников, т. е. решение некоторых задач на построение.
«Начала» содержат алгоритм решения (с помощью пост-
роения, а не вычисления) любого квадратного уравнения.
А вершиною арифметических книг «Начал» является,
как это убедительно показано в литературе, в том числе
в статье А. Е. Раик «Десятая книга „Начал” Евклида»
(ИМИ, вын. I, стр. 343—384), доведение решения квад-
ратного уравнения в особом смысле до числа, ибо класси-
фикация иррациональностей, которой посвящена послед-
няя арифметическая книга «Начал» (десятая), основана
па приведении их к каноническим видам и отнесении
г; каждой иррациональности наименования ее вида и
числа (или группы чисел натуральных!) в качестве ее
индивидуального имени («бином», т. е. «двойное имя»,
пара чисел как имя). Таким образом, с помощью пост-
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
85
роения задача, приводящаяся к цепочке квадратных
уравнений, пол) чает каноническое решение, доведенное
(принципиально) при численном задании коэффициентов
уравнения до номера вида данной иррациональности и се
индивидуального имени — простого илп сложного: ряда
имен (мы сказали бы •— фамилии, имени и отчества).
В применении к квадратичным иррациональностям труд-
ности, связанные с проблемой несоизмеримости, оказы-
ваются действительно преодоленными. Однако за счет
чего?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим прежде всего,
что математика нс есть только теоретическая дедуктивная
наука в смысле Христотеля. II непосредственно и опо-
средованно (через другие науки, прежде всего физик) )
математика связана с практикой. И ее связь с практикой
проявляется, в особенности, в построении алгоритмов,
решающих, как говорит в таких случаях А. А. Марков,
массовые проблемы', каждый алгоритм свою массовую
проблему.
В соответствии с этим исторически построение алго-
ритмов предшествовало созданию математических тео-
рий. Но для построения алгоритмов, уже самых древних,
связанных, например, с оперированием с целыми числами
и с дробями, с решением различных классов арифмети-
ческих и геометрических задач, оказалось необходимым
введение новых понятий, такпх, как понятия -числа,
дроби, площади, объема, сложения, умножения и многих
других, а также выяснение свойств и законов операций
с числами и многих других вопросов познавательного
характера, образующих элементы научного знанпя, науч-
ной теории, для которой прежде всего характерна воз-
можность использовать одни знания (непосредственно
данные нам посылки) для получения из нпх других: за-
ключений. Нетрудно показать, что вопреки распростра-
ненному на этот счет мненшо с такого рода элементами
научной теории мы встречаемся уже у древнпх египтян
и вавилонян. Роль же древнпх греков состояла скорее
в том, что они построили теорию такпх теорий — теорию
доказательства, в соответствии с которой и создавали уже
стройные математические системы. Однако первенство
86
С. А. ЯНОВСКАЯ
правила (алгоритма) над теоремой сохранялось еще долго
в математике. Достаточно открыть, например, сочинения
Декарта, Ньютона и даже такого «чистого» логика, как
Лейбниц, чтобы убедиться в этом.
Вот, например, «Анализ с помощью уравнений с
бесконечным числом членов» Ньютона. Из чего он со-
стоит?
Сначала излагается Правило I: «Квадратура простых
кривых» (т. е. степенной функции с рациональным пока-
зателем). Затем Правило II: «Квадратура сложных кри-
вых с помощью простых» (т. е. интеграл суммы). Далее,
Правило III: «Квадратура всех других кривых» (через
разложение функции в степенной ряд, для чего дается
ряд приемов, в том числе знаменитый «параллелограмм
Ньютона» в связи с задачей «оборачивания» степенного
ряда или, как говорил Ньютон, «решения неявных урав-
нений»).
Каждое правило поясняется большим числом приме-
ров. Затем следуют применения правил к решению са-
мых разнообразных и трудных задач, и лишь в заклю-
чение, на двух страничках, приводятся: «Доказательство
квадратуры простых кривых по первому правилу» и «До-
казательство решения неявных уравнений».
Таких примеров можно было бы привести множество.
Не думаю, чтобы в этом была нужда.
§ 6
Но алгоритмы («правила») в математике бывают
разные.
Такие алгоритмы, как, например, решето Эрато-
сфена для получения всех простых чисел, не превосходя-
щих данного числа N, или алгоритм Евклида для нахож-
дения общего наибольшего делителя двух чисел, носят
так сказать, абсолютный характер: они доводят реше-
ние задачи до числа или до конечной последовательности
чисел.
Другие же алгоритмы не дают ответа как такового,
а лишь сводят решение данной задачи к решению других
задач, принятых за решенные. По существу, в этом п со-
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
87
стоит, например, решение задач на построение. Решить
такую задачу значит либо просто принять ее за решен-
ную (такова, например, у Евклида задача описать из
данного центра данным радиусом окружность), либо
свести ее решение к последовательности шагов, состоя-
щих каждый в предполагаемом решении одной из задач,
принятых за решенные (так, в частности, решаются
у Евклида задачи на приложение площадей, соответствую-
щие решению квадратного уравнения построением). Я не
буду здесь останавливаться подробнее на вопросе о том,
что следует понимать под словом «свести». Отмечу лишь,
что сведение должно носить алгоритмический характер,
т. е. состоять, как говорил в таких случаях Маркс,
в «стратегеме действия» — совокупности предписаний,
составленных так, чтобы в случае, когда задачи, при-
нятые за решенные, действительно могут быть решены,
было ясно: (1) с решения какой из них нужно начинать
после того, как заданы параметры, выделяющие данную
индивидуальную задачу из класса задач, входящих
в «массовую проблему»; (2) к какой переходить после
того, как данное предписание решить такую-то из приня-
тых за решенные задач выполнено; (3) когда прекратить
дальнейшие операции, т. е. когда ответ следует считать
полученным.
В сущности говоря, и в арифметике мы имеем дело
с алгоритмами, программы которых также состоят в сово-
купности предписаний, сводящихся к выполнению неко-
торых операций, предполагаемых осуществимыми. И
в арифметике мы прибегаем при этом к идеализации,
состоящей, например, в том, что мы считаем осуществи-
мой операцию прибавления единицы к любому сколь
угодно большому числу. И различие арифметикп от гео-
метрии в конечном счете сведется действительно к под-
меченному уже в античной древности — и глубоко про-
анализированному Аристотелем — различию дискретного
п непрерывного. Но только теперь сущность этого раз-
личия можно более точно сформулировать. Так, в част-
ности, в настоящее время на основе анализа всех факти-
чески существующих в математике алгоритмов можно
считать установленным, например, что для решения
88
С. А. ЯНОВСКАЯ
любой вычислительной массовой проблемы, допускающей
решение (алгоритм), достаточно умения осуществлять
следующие операции, предложенные как достаточные
Э. Постом1).
Имея неограниченно продолжаемую в обе стороны
ленту, разделенную на клеточки («ящики»), и представляя
себе рабочего, который может находиться в «ящике»:
(1) отметить каким-нибудь знаком (например, крестом)
ящик, в котором он находится (если ящик не отмечен);
(2) стереть отметку на ящике (если он отмечен);
(3) перейти в соседний ящик справа;
(4) перейти в соседний ящик слева;
(о) находясь в ящике, установить, отмечен он пли нет.
Предположение, что такого рода операции могут быть
осуществлены машпной, встречается на практике с зна-
чительно меньшими трудностями, чем, например, пред-
положение, что мы умеем начертить окружность сколь
угодно малого радиуса: ведь последнее даже находится
в противоречии с атомистическим строением листа бумаги
и инструмента, с помощью которого мы попытаемся ре-
шать эту задачу. Поэтому, если мы собираемся принять
такого рода задачу за решенную, то нам придется спе-
циально договориться на этот счет. Однако это будет
не условное соглашение, а только некоторое обобщение,
«идеализация» того, с чем мы пмеем дело на практике,
оперируя с такими инструментами, как циркуль и ли-
нейка. Но тогда и алгоритмы наши приобретут в извест-
ном смысле условный (обусловленный чем-то, относи-
тельный) характер: они будут практически решать задачу
только в тех случаях, когда практически окажутся раз-
решимыми задачи, принятые за решенные.
У Евклида нет упоминания о циркуле и линейке в его
«Началах».
Теория черчения, как и вычислительная матема-
тика, с его точки зрения, весьма характерной для
х) См. J. Symb. Logic, т. I, № 3, стр. 103 (1936).
Общее исследование совокупностей операций, достаточных для
осуществления любого «вычислительного алгоритма)', выполнено
в последнее время (1957) молодым советским математиком А. ГГ. Ер-
шовым.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
89
господствующего класса рабовладельческого оощества,
есть лишь второсортная — «производственная» наука.
Тем не менее, как это хорошо известно всем, геометрия
«Начал» Евклида есть геометрия циркуля и линепкп,
но только «идеализированных» циркуля и линейки —
таких, с помощью которых можно, например, удвоить
любой сколь угодно большой отрезок илп разделить
пополам сколь угодно малый. На значении такого рода
«идеализации» для математики нам еще придется немного
остановиться. Здесь для нас существенно только, что
причиной того, что в «Началах» Евклида постулаты отно-
сятся именно к геометрии, а не к арифметике, является
не просто большая сложность геометрии по сравнению
с арифметикой, а именно то обстоятельство, что геомет-
рия у Евклида есть геометрия идеализированных циркуля
и линейки, алгоритмы которой носят не абсолютный,
как в арифметике, а относительный характер: являются
так называемыми алгоритмами сводимости.
§ 7
О том, как постулаты Евклида связаны с его задачами,
прекрасно рассказал С. О. Шатуновский (см., напри-
мер, его комментарии к «Геометрическим построениям»
Адлера).
Само по себе это обстоятельство было подмечено
уже очень давно. Что постулаты Евклида, хотя бы ча-
стично (первые три), связаны именно с его задачами,
подчеркивал уже Прокл, считавший, правда, что за
решенные принимаются только такие задачи, разреши-
мость которых сама собою разумеется: «Общим для
аксиом и для постулатов является то, что они не требуют
обоснования и геометрического доказательства, но при-
нимаются за известные и служат началами для последую-
щего. Но они отличаются друг от друга так же, как тео-
ремы от задач» (цитирую по упомянутой выше книге
О. Becker, стр. 102).
Так как IА’и особенно V постулат Евклида требова-
нию очевидности явно не удовлетворяли, Прокл считал
90
С. А. ЯНОВСКАЯ
эти предложения ошибочно отнесенными к числу посту-
латов:
«Разве не смешно причислять к недоказуемым пред-
ложения, обратные для которых являются доказуе-
мыми теоремами?»,— спрашивал он. Между тем нетрудно
убедиться в том, что все постулаты Евклида относятся
к формулировкам задач, принятых им за решенные.
Из того, что было уже сказано выше о постулатах
Евклида, ясно, что III обеспечивается возможность оты-
скать все те и только те точки, которые находятся на дан-
ном расстоянии от данной точки1); I принимается за ре-
шенную задача построить прямолинейный отрезок по
заданным его концам; II — задача продолжить уже пост-
роенный отрезок; IV обеспечивается однозначность такого
продолжения. Здесь мы отметим только, что всеми тремя
последними постулатами вместе не обеспечивается воз-
можность построить всю бесконечную прямую, проходя-
щую через две данные точки. Евклид считает только
возможным сколь угодно далеко продолжить соединяю-
щий эти точки отрезок.
Но и с V постулатом дело обстоит достаточно просто.
Если бы мы умели построить полностью всю (бесконеч-
ную) прямую, то задача отыскать точку пересече-
ния двух прямых, заданных каждая парой ее точек,
должна была бы также считаться решенной, и притом
как в смысле построения этой точки, если она сущест-
вует, так и в смысле обнаружения ее несуществования
в противном случае. Но, по Евклиду, мы не можем
построить всю бесконечную прямую. Правда, имея два
заданных отрезка, мы можем их ^неограниченно про-
должать.
Однако на этом пути вопрос об отыскании точки пере-
сечения продолжающих их прямых нельзя считать в общем
случае решенным, поскольку такой точки может и не
быть. Ведь Евклиду известно (теорема I, 28), что суще-
ствуют непересекающиеся прямые. Таким образом, нужно
сформулировать особо, когда нам разрешается считать
’) В действительности у Евклида принимается за решенную
даже более скромная задача: имея точку и «прпвязапнып к ней»
радиус ('<веревку»), описать окружность.
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
91
решенной задачу отыскать точку пересечения двух пря-
мых. V постулат, необходимость которого, как соответ-
ствующего особой задаче, обусловливается именно тем,
чтообратная ему теорема (I, 28) оказывается доказанной1),
в точности это и делает: он содержит такой критерий
того, когда задача отыскать точку пересечения двух пря-
мых должна считаться решенной, для проверки выпол-
нения которого достаточно только уметь решать дру-
гие задачи, принятые Евклидом за
решенные, и притом решать их, не выходя за пре-
делы заранее ограниченной части плоскости. Действи-
тельно, требуется только соединить прямой р любую
точку одного из двух заданных нам отрезков прямых
с точкой другого, построить суммы и с2 внутренних
односторонних углов, образованных прямою р с обеими
заданными прямыми, распознать лежат ли обе стороны
угла сх (или с2) на одной прямой2), и если нет, то выяс-
х) Наличие трудностей, связанных во времена Аристотеля,
(т . е. до Евклида) с вопросом о существовании параллельных пря-
мых, достаточно ясно уже из того, что Аристотель упрекал математи-
ков своего времени, занимавшихся теорией параллельных, в по-
рочном круге, поскольку те, «кто думает, что <опи) проводят
параллели», «неосознанно допускают вещи, которые невозможно
доказать, если параллельных (т. е. вепересекающпхся.—С. Я.)
пе существует» (Первая Аналитика, II, 16, 65а, 4—9, цит. по
Heath’y). Что порочный круг состоит именно в том, что доказывают
существование параллельных прямых («думают, что проводят па-
раллели»), опираясь на теоремы, в доказательстве которых это суще-
ствование уже предполагается, ясно и из заключительных слов
Аристотеля: «Поэтому выходит, что те, кто таким образом выводит
заключение, утверждают, что каждан вещь существует, если она
существует» (там же, 65а, 9 и сл., стр. 155, русск. изд.).
2) Вспомним, что в силу IV постулата всякий отрезок в некото-
ром смысле однозначно определяет свое продолжение,
поэтому если вторая сторона угла а не является продолжением пер-
вой, то мы должны уметь распознать это. (Можно сказать, что задача
такого распознания IV постулатом: «Все прямые углы равны между
собой»,—принимается за решенную. Ведь прямым углом, по Евкли-
ду, называется один из двух равных смежных углов. Если бы отре-
зок можно было продолжить неоднозначно, то существовали бы
такие прямые углы d1 и rZ2, что мы имели бы 2dj=#2d2, почему и
</,=4rZ2. Про «Начала» же Евклида можно сказать, что в них прини-
мается за решенную задачу однозначно продолжить данный
отрезок.)
92
С. А. ЯНОВСКАЯ
пять, какой из двух углов с1 п с2 меньше другого (может
образовать — в произвольной окрестности общей вер-
шины — часть другого). Именно этим и объясняется,
на мой взгляд, то, что V постулат имеет у Евклида столь
своеобразною форм), а нс сформулирован по Плейферу:
«Через каждую точку плоскости, не лежащую на
данной (в этой же плоскости) прямой, можно провести
только одно' прямую, не пересекающую данную».
Евклидов постулат непосредственно отвечает на воп-
рос о том, когда задача отыскать точку пересечения двух
прямых (лежащих на одной плоскости) должна считаться
решенной1).
Ответ на поставленный нами вопрос после этого естест-
венно сформулировать так.
Трудности, связанные с математическим выражением
непрерывности, были известны древппм грекам еще со
времен Анаксагора и Зенона. Открытие иррациональ-
ности (несоизмеримости длины диагонали квадрата с его
стороной и других несоизмеримых отношений) еще усув
губили их.
Но это открытие нс явилось следствием аксиомати-
ческого построения геометрии. Наоборот, опо пред-
шествовало последнему. В основе этого открытия лежали
эмпирически обнаруженная с помощью оперирования
с циркулем п линейкой теорема Пифагора и основан
ное па идеализации этого же оперирования допущение
о существовании идеально точного квадрата. Однако из
этого открытия напрашивался вывод, что геометрические
задачи может быть лучше решать не вычислением, а пост-
роением.
х) Само собою разумеется, что когда, например, точка пересече-
ния двух отрезков непосредственно задана вместе с ними (как их
общая точка), то и согласно критерию, устанавливаемому постула-
том, задача отыскать точку пересечения соответствующих прямых
должна оказаться уже решенной. Вряд ли есть необходимость на-
поминать, что—несмотря на такого рода ограничения—в гео-
метрии циркуля и линейки возможны все-таки разные ответы на
вопрос о том, когда следует считать решенной задачу об отыска-
нии точки пересечения двух прямых (независимость \ постулат.!
от остальных постулатов геометрпи Евклпда).
ИЗ ИСТОРИИ ЧИСЛОМ VTI1K1J
93
Дело в том, что как и арифметика, геометрия нужна
была прежде всего как руководство к действию, как опе-
ративная наука, разрабатывающая конструктивные об-
щие методы (алгоритмы) решения целых классов одно-
родных геометрических задач (или соответствующей каж-
дом\ такому классу «массовой задачи», такой, например,
как «разделить (произвольный!) отрезок пополам»), Алго-
ритм (приближенного) извлечения квадратного корня
был известен еще древним вавилонянам. Зналп его и
древние грекп (такой алгоритм имелся по только у Ар-
химеда,— в несколько замаскированной форме он при-
сутствует, как известно, и в «Началах» Евклида (9-е пред-
ложение II книги «Начал»), Но этот алгоритм нс давал
«точного» значения квадратного корпя, между тем как
(идеальными) циркулем и линейкой может быть точно
построен отрезок, служащий стороной квадрата равно-
великого данной (ограниченной прямыми линиями) фи-
гуре.
Алгорптмам построения естественно могло отдаваться
поэтому предпочтение перед алгоритмами вычисления,
особенно если учесть, что у древнпх греков вычислитель-
ная работа считалась, по-впдпмому, недостаточно «благо-
родным» для свободного человека занятием.
Но в отличие от алгоритмов арифметики, где всегда
предполагается только потенциальная осуществимость
любого натурального числа, алгоритмы, решающие мас-
совую задачу построением, зависят от того, какие
и м е п н о инструменты допускаются. Програм-
му решения задачи построением нельзя даже сформули-
ровать, если не договориться о том, какими инструмен-
тами можно пользоваться: какие операции предпола-
гаются непосредственно осуществимыми, хотя практи-
чески, может быть, и не всегда являются таковымп. Реше-
ние задачи состоит таким образом в сведении ее к зада-
чам, принятым за решенные, а алгоритм, решающий мас-
совую геометрическую задачу построением, есть уже —
в отличие от алгоритмов арпфметпкп натуральных чпсел—
алгоритм сводимости. Постулаты Евклида, как мы здесь
пытались показать, формулируют точно задачи, которые
принимаются им за уже решенные.
94
С. А. ЯНОВСКАЯ
Но после того как постулаты были уже сформулиро-
ваны, и притом так, что с них должно было начинаться
изложение геометрии, превращение последней в дедук-
тивную аксиоматическую теорию должно было стать,
и стало, естественным следующим этапом истории гео-
метрии.
Не всякую задачу ведь можно принять за уже решен-
ную: так, если, например, в обычной арифметике
принять за решенную задачу отыскать число, большее
трех, но меньшее двух, то всякая арифметическая задача
(в том числе п просто бессмысленная) окажется уже ре-
шенной.
В том обстоятельстве, что именно такие-то задачи
принимаются за уже решенные, содержится фактически
гипотеза о непротиворечивости соответствующей си-
стемы постулатов, равносильная, по существу, предполо-
жению об осуществимости этой системы. А
такое предположение имеет уже не просто оперативный,
но и онтологический и познавательный теоретический
характер. В исходном пункте этого теорети-
ческого познания лежит, однако, не предложение, а за-
дача.
Не случайно именно с решения задач и началось
развитие математики как науки.
Возникновение геометрии как дедуктивной науки
в отличие от арифметики, остававшейся по преимуществу
оперативной наукой, таким образом, обусловлено осо-
бым, оперативным же характером геометрпи: тем обстоя-
тельством, что алгоритмы «Начал» Евклида являются не
абсолютными, а алгоритмами сводимости.
Но разве с такого рода алгорптмами люди не имеют
дела и в арифметике? Разве и в арифметике люди не
прпнпмали за решенные такие задачи, которые е неко-
торой данной числовой области заведомо даже не имели
решения?
В арифметике натуральных чисел этого, конечно, не
было. Но ведь при всяком расширении понятия числа
именно это и приходилось делать.
В этой связи нужно прежде всего сказать, что расши-
рение понятия числа и операций с числами исторически
ИЗ ИСТОРИИ АКСИОМАТИКИ
95
было сопряжено с большими трудностями, над которыми
математики бьются в применении к арифметике действи-
тельных чисел вплоть до нашпх дней (и которые и при-
вели в конечном счете к тому, что пришлось и в арифме-
тике заняться аксиоматикой). В ряде случаев, когда,
например, речь шла о дробных, отрицательных пли ком-
плексных числах, введение постулатов, обеспечивающих
существование этих чисел, заменялось указанием такой
интерпретации для понятия числа и операций с числами,
в которой эти понятия оказывались отражающими соот-
ношения, в реальном смысле которых не приходилось
сомневаться.
Конечно, тут существенную роль играло и то обстоя-
тельство, что геометрия Евклида оказалась хорошо прове-
ренной практикою, почему геометрические интерпрета-
ции, обладающие к тому же большой наглядностью, каза-
лись особенно убедительными.
Большую роль играло также и то, что введение новых
чисел сопровождалось созданием для них специальных
обозначений.
Роль такого рода обозначений в дифференциаль-
ном исчислении, и притом именно в связи с разра-
боткой программы алгоритма — «стратегемы действия»,
особенно подчеркнул Маркс в своих математических
рукописях. За таким обозначением, как, например, 3/5,
—5, |/2, |/ —3 и другие, естественно скрывается постулат,
которым обеспечивается разрешимость соответствующей
задачи: разделить 3 на 5, вычесть из какого-нибудь числа
число, большее его на 5, отыскать такое число, квадрат
которого равен двум или минус трем, и т. п.
Развитие науки приводило к тому, что такого
рода постулаты приобретали и явную формулировку,
как было, например, с известным признаком сходимостп
Коши.
Но наиболее существенно при этом все же то, что
в практических вопросах, связанных всегда только с при-
олиженными измерениями и вычислениями, оперировать
в конечном счете приходится только с натуральными
числами, почему и все арифметические алгоритмы могут
быть отнесены только к натуральным числам.
96 С. У. ЯНОВСКАЯ
Ясно таким образом, почему геометрия строилась
уже со времен древних греков аксиоматически, арифме-
тика же нет.
Краткий ответ на этот вопрос может быть сформу-
лирован в заключение так: суть дела прежде всего
в том, что в арифметике натуральных чисел алгоритмы
носят абсолютный характер, в геометрии же мы имеем
дело с алгоритмами сводимости.
ВОПРОСЫ ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В РАБОТАХ
Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
А. П. Норден
В литературе, посвященной жизни и деятельности
Лобачевского, мы тщетно будем искать ответа на важный
неестественный вопрос: каклю цель ставил перед собою
творец неевклидовой геометрии, развивая ее основные
положения?
Общеизвестно, что он начал свои работы по теории
параллельных линий с попыток доказать постулат Ев-
клида. Записки его лекций 1817 г. содержат такое дока-
зательство, которое, несмотря на свое исключительное
остроумие, неявно опирается на положение, равносиль-
ное постулату1). Этот недостаток, однако, вскоре был
обнаружен самим Лобачевским, который пишет в обозре-
нии преподавания, относящемся к 1822 г.2), что проблема
параллельных представляет до сих пор непобедимую
трудность, а в учебнике геометрии, составленном в то же
время, говорит о постулате: «строгого доказательства сей
истины до сих пор не могли сыскать».
I! теченпс следующих 4 лет Лобачевский приходит
к открытию своей воображаемой геометрии и развивает
ее вплоть до вывода основных формул тригонометрии,
которыми заканчивался доклад, представленный им 23
х) Б. Л. Лапте в, Теории параллельных линий в ранних
работах Лобачевского, Историко-математические исследования,
вып. IV, М.—Л., 1951. стр. 201, 229.
2) П Н. Бронштейн, К истории обозрений преподавания
чистой математики, там же, вып. Ill М.—Л., 1950, стр. 171—194.
Истор.-матем. исслед., вып XI
! b
А. П. НОРДЕН
(11) февраля 1826 г. физико-математическому факуль-
тету Казанского университета.
Таким образом, \же первое сочинение Лобачевского
содержит в законченном виде элементарною часть его
системы; в дальнейшем он добавляет к ней только факты,
относящиеся к аналитической и дифференциальной гео-
метрии своего пространства.
У нас нет прямых свидетельств Лобачевского или его
современников о том, как совершался переход от попы-
ток доказательства пятого постулата к построению неев-
клидовой геометрии. В. Ф. Каган предполагает, что этот
переход совершался на пути попыток Лобачевского полу-
чить доказательство постулата с помощью рассуждений
от противного1); эту же точку зрения, хотя и с некото-
рыми оговорками, разделял автор этих строк2).
Эта точка зрения кажется нам теперь неудовлетвори-
тельной, так как согласно ей мы должны считать, что
открытие неевклидовой геометрии в какой-то мере обус-
ловлено случайностью. Анализ сочинений Лобачевского
показывает, что, строя свою геометрию, он имел перед
собою ясно поставленную цель. Для Лобачевского эта
цель не сводилась просто к доказательству независи-
мости пятого постулата от остальных постулатов и ак-
сиом «Начал» Евклида. Ведь доказав эту независимость,
Лобачевский должен был бы признать полную правоту
великого геометра древности, включившего постулат о
параллельных в число положений, не сопровождающихся
доказательствами. Однако Лобачевский во всех своих
работах указывал на несовершенство евклидовой теории
параллельных.
Возможность приложения воображаемой геометрии
к анализу, которому Лобачевский посвятил ряд своих
работ, тоже не являлась его основной целью. Она, по-
видимому, еще не учитывалась в докладе 1826 г., а в даль-
нейшем играла скорее служебную роль как средство
доказательства непротиворечивости повои теории парал-
лельных.
!) В. Ф. Каган, Лобачевский, М.—Л., 1948, стр. 180.
2) А. П. Норден, Элементарное введение в геометрию
Лобачевского, М.—Л., 1953, стр. 23.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У И 11. ЛОБАЧЕВСКОГО 99
Наконец мнение, что Лобачевский с громился «опро-
вергнуть» Евклида, не заслуживало бы упоминаний,
если бы оно все еще не было распространено среди чи-
тателей популярном литераторы вследствие встречаю-
щихся там некоторых недостаточно ясных формулировок.
Переходя к анализу взглядов Лобачевского на осно-
вания геометрии, мы последовательно остановимся на
< ледующих вопросах:
L Взгляды Лобачевского па основания абсолютной
геометрии.
II. Взгляды Лобачевского на обоснование теории па-
раллельных в его первых работах.
III. Астрономические соображения, изложенные в ра-
боте «О Началах геометрии».
IV. Изменение первоначальной точки зрения в позд-
нейших работах- Лобачевского.
I
Одной из руководящих идей во всем творчестве Лоба-
чевского было сознание недостаточной строгости обосно-
вания современной ему математики и стремление до-
биться полной строгости.
В предисловии к своему учебнику «Алгебра» (1823)
<>н писал:
«Для самой науки надобно было всегда желать, чтоб
она стала на твердом основании, чтоб строгость и ясность
(охранялись в самых ее началах...»1).
Этому требованию он старался удовлетворить и в ал-
। ебре и в анализе. Но с этой точки зрения особенно не-
удовлетворительным казалось ему’ то изложение основа-
нии геометрии, которое он находил в литературе, начиная
с Евклида и кончая современными ему учебниками.
Унге в «Обозрении преподавания на 1824—1825 год»
. 1обачевский пишет:
«Начала геометрии казались некоторым столь легки,
что онп предлагали проходить их прежде арифметики
х) Н. II. Л ооачевский, Полное собрание сочинений
(в дальнейшем II С. С.), т. IV, стр. 370.
7*
100
А. П. НОРДЕН
и алгебры. Однако ж еетьли в математике строгость
необходима, то начала геометрии представляют трудности.
Еетьли собственные чувства предохраняют от ложных
заключений в продолжении геометрии, то все остается
желать избавить одну из частей математики от нарекания
погрешать против обыкновенной своей строгости, быть
темной и недостаточной в самых основаниях»1).
В своем сочинении «О началах геометрии» он говорит:
«В самом деле, кто нс согласится, что никакая Мате-
матическая наука не должна бы начинаться с такпх
темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем
мы Геометрию»2 3)...
Ту же мысль Лобачевский повторил и в своей «Лан
геометрип», отмечая недостаточность понятий, приводи
мых в началах геометрии8).
Формулируя свои положительные требования, Лоба-
чевский говорил в сочинении «О началах геометрии»:
«Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь
наука, должны быть ясны и приведены к самому мень-
шему числу. Тогда только они могут служить прочным
я достаточным основанием учения»4 *).
Из этих, твердо установленных и сведенных к наи
меньшему числу понятий «... суждение производит уже
все прочее, выводя тотчас из первых его данных новые,
так потом и далее расширяя пределы наших познаний во
всех направлениях до бесконечности»6).
Что касается самих оснований математики, то Лобачев-
ский говорит, что «они должны быть несомнительцые для
нас истины, первые наши понятия о природе вещей, кото-
рые, будучи раз приобретены, сохраняются навсегда»6).
Как же приобретаются эти понятия и что обеспечивает
их несомненность? К решению этого вопроса Лобачев-
ский подходил с материалистических позиций, считая
*) См. «Материалы для биографии Н. II. Лобачевского». Собрал
и редактировал Л. Б. М о д з а л е в с к и й. М.—Л., 1948,
стр 177. В дальнейшем эта книга цитируется: Модзалевский.
2) П. С. С., т. I, стр. 185.
3) Там же, т. III. стр. 43.э.
4) Там же, т. I, стр. 186.
fi) Там же, т. II, стр. 164.
®) Модзалевский, стр. 177
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 1(Д
опыт основой всякого познания, в том числе п математи-
ческого. В своей речи о важнейших предметах воспита-
ния он говорит:
«Надобно согласиться и с тем, что математики открыли
прямые средства к приобретению познаний. Еще не с дав-
него времени пользуемся мы сими средствами. Их ука-
зал нам знаменитый Бакон1). Оставьте, говорил он, тру-
диться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю
мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины
и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и
удовлетворительно»2).
В соответствии с этим общим тезисом Лобачевский
рассматривает и основания математики:
«Первыми данными без сомнения будут всегда те по-
нятия, которые мы приобретаем в природе посредством
наших чувств»3).
«Такие понятия приобретаются чувствами; врожден-
ным — не должно верить»4).
Исходя из своих общих гносеологических принци-
пов, Лобачевский подходит к выборуг основных понятий
геометрии. Прежде всего он устанавливает различие
между понятиями начальными или приобретенными и со-
ставленными или произведенными. Первые заимствуются
непосредственно из опыта, вторые же должны быть опрс
делены с помощью первых. Основными, не требующими
определения понятиями геометрии, он считает понятия
тела и прикосновения. «Мы познаем в природе одни
только тела»5), говорит он еще в обозрении 1822 г., а си-
(темалический обзор геометрии начинает словами: «Между
свойствами, общими всем телам, одно должно назваться
Геометрическим — прикосновение. Словами нельзя пе-
редать совершенно того, что мы под этим разу'меем: поня-
тие приобретено чувствами...»6). Все остальные понятия
*) Френсис Бэкон — выдающийся аш.нгйскпй фило-
соф-материалист (1561- 1626).
2) М о д з а л с в с к п й, стр. 323.
3) II. С. С., т. II, стр. 164.
4) Там же, т. I, стр. 186.
’) М о д з а л с в с к п й, стр. 204.
") II. С. С , т. I, стр. 187.
1(12
A. II. ЦОРДЕН
геометрии: точка, линия, поверхность, прямая, пло-
скости п т. д., Лобачевский считает составленными или
произведенными:
«Понятия о линиях и поверхностях суть понятия про
изведенные, а не приобретенные, и посему не должны
быть принимаемы за основания математической науки»1).
Основываясь на понятии прикосновения, он дает
определения одинаковости и равенства тел, которые соот-
ветствуют современным понятиям конгруэнтности и равно
еоставленностп. Затем он вводит понятие сечения: «Во
ображаемое разделение тела на две части будем называть
сечением»2). Свойства сечений он характеризует следую
щимн тремя положениями, о которых говорит предвари-
тельно, что «они служат основанием геометрии»3).
«I. Всякое тело может быть разделено на части, кото-
рые не касаются через одну. Такие сечения назовем по-
ступательными', число их не ограничено.
II. Всякое тело может быть разделено на части, кото-
рые все касаются взаимно и которых число с каждым
новым сечением увеличивается двумя. Такие сечения на-
зовем обращателъными', число их не ограничено.
III. Всякое тело может быть разделено тремя сече-
ниями на 8 частей, которые все касаются взаимно; но
далее невозможно уже новым сечением удваивать число
частей. Такне сечения назовем тремя главными»4).
По форме эти положения представляют собой настоя-
щие аксиомы, которые не просто определяют понятия
сечений различного вида, но и требуют их существова-
ния в том или другом числе. В развернутом изложении
«Новых начал» Лобачевский посвящает введению основ-
ных понятий и основных положений геометрии первую
главу этого сочинения, в которой указанные три поло
женил приводятся в рубриках 3, 4 и 3, где они не сопро-
вождаются доказательствами, а только чертежами и по-
яснениями5). Характерно п самое название главы: «Пер-
’) М о Д з а .1 с в с к и й. < 1]'. 204.
2) II. С. С., т. I, стр. 187.
') Там же. Курсив наш. 1. //.
4) Там же, стр. 187.
5) Там же, т. II, стр. 170 — 173.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ЮЗ
ные понятия в геометрии». Нужно иметь в виду, что
в учебниках, современных Лобачевскому, термин «пер-
вые пли общие понятия» был синонимом термина «ак
сиомы». Так, например, Петрушевский в переводе «На-
чал» Евклида дает следующий заголовок: «Аксиомы, или
общие понятия»1).
Опираясь на своп аксиомы, Лобачевским дает опреде-
юния точки, шара, круга, прямой и плоскости и приво-
дит доказательства основных положений геометрии, не
зависящих от постулата о параллельных. Среди этих
положений мы находим следующее:
«Прямые. сливаются, как скоро проходят ‘через две
точки»2).
«Прямая может быть продолжаема до беско-
нечности, когда накладывается сама на себя частию,
продвигаясь остальною вперед»3 4).
«Всякую точку на плоскости можно принимать за на-
чало кругов»11).
Однако эти положения исчерпывают в основном со-
держание постулатов и геометрических аксиом Евклида,
не считая, конечно, постулата о параллельных. Лобачев-
ский полагал необходимым принести доказательства этих
положений, так как они говорят не о приобретенных,
а о произведенных понятиях точки, прямой, окружности
н г. д. С его точки зрения в доказательствах не нужда-
лись только такие положения, которые говорят о поня-
тиях. приобретенных непосредственно из опыта, т. е.
<> понятии тела и прикосновения. Такими положениями
он и считал аксиомы, приведенные им в «Началах гео-
метрии».
По поводу построения Лобачевским начал абсолютном
геометрии в нашей литературе высказывались две точки
зрения: одна из них принадлежит В. Ф. Кагаву. Он ука-
зывает. что согласно Даламберу изложение геометрии
не следует начинать с аксиом, чтобы избежать «топ .дп-
мерической” точности, которая, оставаясь сомнительной
*) Евклидовых начал восемь квит, СПб, 1819 сто 48п
2) П. С. С., т. TI, стр. 189.
’) Там же, стр. 190.
4) Там же, стр. 192.
104
А. П. НОРДЕН
в научном отношении, в учебной книге вредна и чаги>
даже переходит в софистику»1).
Обращаясь к Лобачевскому, Каган пишет: «„химерп
ческая” схоластическая строгость Лобачевскому совер-
шенно чужда. Следует ли он в этом отношении Даламберх
или в воззрениях Даламбера он нашел опору для своих
собственных взглядов на этот предмет,— но аксиом Ло-
бачевский не приводит нигде»2). В подтверждение он ука-
зывает, что из 15 начальных положений «Геометрических
исследований» «большинство... представляет собой тео-
ремы, доказательства которых общеизвестны, другш
обычно входят в определения пли аксиомы; Лобачевский
не делает между ними различия»3).
Нам кажется, что приведенный выше анализ построе-
ния начал абсолютной геометрии у Лобачевского пол-
ностью опровергает все эти утверждения. Основным стрем-
лением Лобачевского было достижение наибольшей стро-
гости в том виде, в котором она ему представлялась.
Кроме того, он считает положение I, II, III, приводимые
им в «Началах геометрии», аксиомами, хотя и не употреб
ляет этого термина, называя их «основаниями Геомет-
рии» или ее «первыми понятиями».
Что касается положений, приводимых в начале «Гео-
метрических исследований», то два из них действительно
совпадают с постулатами Евклида, но Лобачевский перед
тем, как изложить 15 положений, в число которых вхо-
дят и эти два, прямо пишет, что их «доказательства не
представляют затруднений»4), т. е. считает все эти поло-
жения теоремами и приводит доказательства больший
ства из них в «Новых началах».
Другой точки зрения придерживался автор этих строк
полагая, что Лобачевский пытался построить начала абсо
лютной геометрии на двух неопределяемых понятиях (тела
и прикосновения), на явных определениях и без аксиом5)
В настоящее время это мнение кажется нам ошибочным.
4) В. Ф. Каган, Лобачевский, М.—Л., 1948, стр. 125
3) Та.м же, стр. 137. Курсив наш.—А. И.
3) Там же.
4) II. С. С., т. I, стр. 80.
5) Там же, т. 1] стр. 140, 141.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ i Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 105-
Следует сказать, что попытку Лобачевского пере
строить начала абсолютной геометрии нельзя считать удав-
шейся. Его аксиомы, носящие топологический характер,
справедливы в лучшем случае только для тел, гомеоморф-
ных шару. Он неявно использует понятие движения, не
характеризуя аксиоматически его свойств. Доказательства
его теорем недостаточно строги.
Тем не менее мы не можем отнестись без уважения
к смелой попытке великого геометра преодолеть те труд-
ности в основаниях геометрии, которые были осознаны
и разрешены только через столетие на основе изучения
наиболее ценного из наследия Лобачевского и прежде
всего его гениальной теории параллелей.
II
Еще в обозрении преподавания 1822 г. Лобачевский
пишет:
«Другого рода трудность в Геометрии представляет
параллелизм линий, трудность, до сих пор непобедимую,
но между тем заключающую в себе истины ощутительные
вне всякого сомнения и столь важные для целой науки
что нпкак не могут быть обойдены1)».
Чтобы обойти эти трудности в преподавании, Лобачев
ский предлагает «... все сии истины привести к одной та
кой, которая бы могла легко убеждать в ее справедли-
вости, присоединяя сюда некоторые пояснения, несмотря
на недостаток строгости»2).
Понимая под «одной истиной» постулат Евклида или
равносильное ему положение, Лобачевский и приводит
его в своем сочинении «Геометрия», сопровождая в ка
честве пояснения рассуждениями Бертрана3). Однако
такое решение вопроса его явно не удовлетворяет; он его
считает недостаточно строгим.
В чем же впдит Лобачевский трудность теории парал-
лелей и почему не удовлетворяет его постулат, положен-
ный н ее основу Евклидом, или другие равносильные
*) М о д з а л е в с к и й, стр. 205.
-) 'Гам же.
3) П. С.. С., т. II, стр. 70.
10t V II. НОРДЕН
ему постулаты, принятые в более поздних руководствах
геометрии? На этот вопрос мы можем легко ответить,
принимая во внимание общие установки Лобачевского
н вопросах обоснования геометрии. Постулат Евклида
и равносильные ему положения говорят не о «приобретен-
ных», т. е. основных понятиях, а о прямых, точках, углах
и т. д., т. е. о понятиях «произведенных». Вследствие
>гого Лобачевский считает, что постулат о параллельных
должен быть либо доказан, либо, если это окажется не-
возможным, обоснован каким-либо другим способом. Мы
указывали, что Лобачевский действительно пытался май
ги доказательство постулата, но уже в конце десятых
годов убедился в невозможности такого доказательства.
«Напрасные старания со времен Евклида, в продолжение
двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в самых
понятиях еще не заключается той истины, которую хо-
тели доказывать...»,— пишет он во введении к «Новым
началам»1).
Придя к убеждению о невозможности логического вы-
вода постулата, Лобачевский, однако, не мог, н силу всей
своей концепции обоснования геометрии, согласиться
с Евклидом, который принимает этот постулат без вся-
ких дополнительных обоснований. Для Лобачевского это
равносильно произволу, недопустимому' в науке.
«Недостаточность начальных понятий для доказа-
тельства приведенной теоремы (о сумме углов треуголь-
ника, равносильной постулату Евклида.—А. Н.) прину-
дила геометров допускать прямо или косвенно вспомога-
тельные положения, которые как ни просты кажутся, тем
не менее произвольны и, следовательно, допущены быть
не могут»,— говорит он в Пангеометрии2).
С другой стороны, с точки зрения Лобачевского в во-
просе о постулате Евклида дело обстоит совершенно
иначе, чем с аксиомами абсолютной геометрии, которую
он кладет в основу своей системы. Характеризуя только
основные понятия тела и прикосновения, эти положения
не произвольны; опи отражают простейшие и постоянно
*) ГТ. С. С., т. II, стр. 147.
г) Там же, т. ПТ, стр. 435.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ Ъ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 107
наблюдаемые свойства физических тел, т. е. находя г
ч ное основание в нашем повседневном опыте.
Если постулат Евклида не может быть ни доказан,
ин допущен, "то как обосновать теорию параллельных
|иний, а вместе с ней и последующие важнейшие разделы
геометрии? Для Лобачевского, признающего общий ма
юриалистический тезис об опытном происхождении вся-
кого познания, этот вопрос решался однозначно: допуще
ние Евклида должно было быть проверено опытом. Од
пако этот опыт уже не может быть тем простым и всеоб-
щим опытом, который сводится к повседневном} наблю
1ению над телами и их соприкосновением и является
источником основных понятий геометрии. Сложной и аб
страктной природе постулата о параллельных, выражато
щего свойства «произведенных» понятий, может соответ-
ствовать только сложный и глубоко продуманный экспе-
римент. Но всякий эксперимент требует теории, а тот,
который имеется в виду в данном случае,— разработан-
ной геометрической базы. Однако если за эту базу при-
нять евклидову геометрию, то, даже в случае положи
тельного исхода эксперимента, мы можем оказаться
в плену порочного круга. Вот почему для обоснования
теории параллельных необходимо разработать такую
геометрическую базу, которая опирается не на постулат
Евклида, а на некоторые более общие положения.
Однако абсолютная геометрия, которую Лобачевский
1 читает уже обоснованной, оставляет возможность только
1ля двух предположений: либо вместе с Евклидом можно
предполагать, что через точку вне данной прямой можно
провести в ее плоскости только одна не пересекающую
ее прямую, либо следует принять, что такая прямая не
является единственной.
Нужно со всей определенностью сказать, что послед-
нее допущение не было для Лобачевского простым отри-
цанием постулата Евклида; Лобачевский рассматривает
<ч’о как обобщение и притом единственно возможное обоб-
щение постулата о параллельных, которое вследствие
своей единственности является не произвольным, а необ-
ходимым. Определив в «Новых началах» параллельные
как такие прямые, которые составляют переход от «свод-
108
А. П, H ОРДЕН
пых» (т. e. пересекающих данную) к «разводным» (т. е.
сверхпараллельным), Лобачевский пишет:
«Под этим видом параллельность уже рассматривается
во всей обширности. Евклид, не будучи в состоянии дать
удовлетворительное доказательство, допускал в Употре-
бительной Геометрии тот частный случай, когда две парал-
лельные должны быть вместе перпендпкулами к одной
прямой»1).
Становясь на формальную точку зрения, конечно,
нельзя согласиться с этим утверждением Лобачевского:
предположения о существовании одной или большего
числа не пересекающих прямых исключают друг друга.
Однако нужно заметить, что математики и до настоящего
времени так часто вступают в подобного же рода коп
фликты с формальной логикой, что мы этого просто не
замечаем. Достаточно вспомнить, что круг часто безого-
ворочно считается частным случаем эллипса, хотя по
следний определяется как место точек с постоянной сум-
мой расстояний от двух фокусов. Еще чаще говорят о сои
павших корнях пли совпавших прямых и т. д. При пра
вильном понимании, все это нс приводит к ошибкам
наоборот, такие терминологические вольности вполне
оправданы методически, а может быть и методологически.
Во всяком случае, идея о том, что воображаемая гео-
метрия, основанная на предположении о существовании
пучка «разводных» прямых, является не просто отрица-
нием, а обобщением геометрии Евклида, оказалась для
Лобачевского руководящей во всей его дальнейшей работе.
Чтобы показать это, обратимся к разбору первого со-
чинения Лобачевского «О началах геометрии», которое,
по его свидетельству содержит изложение и его первого
доклада или «Рассужденпя» 1826 г. и, следовательно,
наиболее точно передает первоначальный ход его мыслей.
Введя свое обобщенное определение параллелей и от-
метив их основные свойства, Лобачевский вводит понятия
предельной линии и предельной сферы: «Сфера... будет
приближаться также к кривой поверхности, которую
.назовем предельной сферой. Эта поверхность
Т) П. С. С., т. II, стр. 267. Курени наш. .1. Н.
О Б О СН О В АННЕ ГЕОМЕТРИИ > Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 109
в пересечении с плоскостью дает или круг или предельную
круга»1).
Далее Лобачевский отмечает, что предельные линии,
которые играют роль прямых на предельной сфере, «тем
ближе подходят к прямым линиям, чем дуги их менее...»
и в этом случае «все, что принадлежит одним, принадле-
жит п другим». Отсюда он заключает, что, если геометрия,
существующая в природе, воображаемая, то все же «Гео-
метрия употребительная нами будет Геометрия чрезвы-
чайно малых линий»2). Этот факт еще укрепляет Лоба-
чевского в мысли о том, что воображаемая геометрия
является более общей, чем геометрия Евклида, так как
последняя приближенно выражает свойства достаточно
малых фпгур первой.
Окончательное подтверждение той же мысли Лоба-
чевский получает, установив формулы «воображаемой»,
।. е. гиперболической, тригонометрии. Он заменяет в этих
формулах функции сторон треугольника первыми членами
их разложений в ряд и показывает, что после этого фор-
мулы его тригонометрии переходят в тригонометрические
формулы евклидовой плоскости. Основанное на этих вы-
водах убеждение о более общем характере воображаемой
геометрип по сравнению с «употребительной» геометрией
Евклида он подчеркивает во всех своих сочинениях
«О Началах геометрии»3), «Новых началах»4), «Вообра-
жаемой геометрпи»5), «Геометрических исследованиях»6)
и, наконец, в «Пангеометрии», самое название которой
он поясняет следующим образом: «... это последнее пред-
положение (о том, что сумма углов треугольника меньше
та.—А. Н.) служит основанпем особой геометрии, которой
дал я название воображаемой геометрией, но которую
может быть приличнее было бы назвать пангеометрией,
потому что это название означает геометрию в обширном
виде, где обыкновенная геометрия будет частный случай»7).
*) П. С. С., т. I, стр. 195.
2) Там же, стр. 196.
3) Там же, стр. 199.
4) Там же, т. II, стр. 336.
®) Там же, т. III, стр. 26.
*) Там же, т. I, стр. 126.
7) Там же, т. III, стр. 437.
110
A. II. НОРДЕН
Важно отмегпть. что изложенные здесь мысли выска-
заны Лобачевским уже в топ частп «Начал геометрии»,
которая совпадает < содержанием его доклада 1826 г.
Это имеет место и в отношении перехода от формул гипер-
болической к формулам евклидовой тригонометрии. Хотя
этот перевод помещен Лобачевскпм после формул (17).
которые по его словам «и все, что за нпмп следует, при-
бавлены уже сочинителем после к тому рассуждению,
которое было им представлено 1826 года...»1), тем не
менее, еще до формул (17) мы находим следующее место:
«Другое предположение (т. е. постулат Евклида — Я. Н.}
и одно, которое до сих пор допускали Геометры, заклю-
чается также в этом общем, с тем ограничением, что ли-
нии должно рассматривать бесконечно малыми, следова-
тельно, в исчислении пренебрегать их произведениями
нторымп и далее степенями в сравнении с первыми»2).
Это место показывает, что Лобачевский уже располагал
выкладкой перехода к формулам евклидовой тригоно-
метрии, хотя и не включил их в своп доклад.
Остановимся еще на вопросе о смысле названия док-
лада 1826 г.: «Exposition succiiicte des principes de la
Geometric avec line demonstratioji rigourense du theorenie
des paralleles», пли в русском переводе: «Сжатое изложе-
ние оснований геометрии со строгим доказательством
теоремы о параллельных».
Какую «теорему о параллельных» имел в виду Лоба-
чевский? Нам кажется, что на этот вопрос можно ответит!,
однозначно, предполагая, что первая часть «Начал гео-
метрии» точно передает содержание доклада. Действи-
тельно, переходя к выводу метрических соотношении
своей геометрии, Лобачевский пишет: «Теперь займемся
измерением треугольников и решением задачи о парал-
лельных »3). Однако в дальнейшем тексте «Начал геомел-
рии», который, согласно примечанию Лобачевского,
заканчивается формулами (16), мы находим только одно
уравнение, прямо относящееся не к «измерению треуголь-
1) П. С. С., т. I, стр. 207.
г) Там же, стр. 199.
3) Там же Курсив наш. - 1. Н
обоснование геометрии у Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 111
ников», а к «задаче о параллельных». Эю уравнение (12)*)
1с|г(а) =
которое выражает зависимость между углом паралле-
лизм /Да) и длиной перпендикуляра я. опущенного и-
точки на данную прямую. Какое важное значение прида-
вал Лобачевский этой формуле, указывает следующее
место «Новых начал», в которых она фигурирует под но-
мером 62: «Уравнение (62) служит основанием Вообра-
жаемой Геометрии»* 2).
Таким образом представляется несомненным, что у рав
пение (12) и выражает ту «теорему о параллельных»,
которую имел в виду Лобачевский в своем докладе. Во
всяком случае нельзя согласиться с мнением А. П. Ко
тельникова3) и II. Н. Бронштейна4), которые считают,
что «теорема о параллельных» связана с астрономиче-
скими соображениями Лобачевского. Действительно, они
основаны на использовании параллаксов, измеренных
Дасса — Мондардье и опубликованных только в 1828 i
т. е. через два года после доклада.
Ш
Как мы уже говорили выше, Лобачевский был у беж
ден, что для окончательного обоснования теории парал-
лельных неизбежно придется обратиться к сравнению
данных разработанной им теории воображаемой геомет-
рии с данными опыта. Одним из важнейших выводов этой
теории был вывод о том, что свойства геометрических
фигур тем резче отличаются от свойств соответствующих
фигур евклидовой геометрии, чем больше» их размер
Отсюда с необходимостью следовало, что наивыгодней
1ПИМИ объектами сравнения должны быть наиболь-
') П. С. С., т. I, стр. 205.
2) Там же, т. II, стр. 321.
’) Там же, т. I, стр. 413.
4) Историко-бибтиографпческие сведении <> сочинениях Лоба
невского по геометрии в кн. Н. II. Лобачевский, Три сочинения ип
геометрии, М., 1956, стр. 393.
112
А. П. НОРДЕН
шие доступные измерению фигуры, т. е. такие фигуры,
которые изучаются астрономией.
О том, что Лобачевский учитывал все эти соображе
ния уже в то время, когда подготовлял свой первый
доклад, свидетельствует следующее место из его «Новых
начал»:
«Напрасное старание со времен Евклида, в продолже-
ние двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в са-
мых понятиях еще не заключается той истины, которую
хотели доказывать и которую поверить, подобно другим
физическим законам, могут лишь опыты, каковы, напри-
мер, Астрономические наблюдения. В справедливости
моей догадки, будучи наконец убежден и почитая затруд-
нительный вопрос решенным вполне, писал об этом я
рассуждение в 1826 году»1).
С другой стороны, схема будущего сопоставления гео-
метрических и астрономических данных не была в то
время еще ясна Лобачевскому. Хотя он и упоминает об
астрономических наблюдениях в первых абзацах «Начал
геометрии», однако соответствующий текст, кажется, на
первый взгляд даже противоречит приведенном} выска-
зыванию из «Новых начал».
Действительно, Лобачевский пишет, что «в справедли-
вости принятых истин без доказательства убеждаемся
простотою их и опытом, например астрономическими
наблюдениями; однако ж все это нисколько не может удов-
летворить ум, приученный к строгому суждению»2).
По-видимому, говоря в этом случае об астрономиче-
ских наблюдениях, Лобачевский имел в виду такие на-
блюдения, теория которых основана на евклидовой гео-
метрии, и такой подход не мог удовлетворить его пол-
ностью. Только получив в 1828—1829 гг. данные о наблю-
дениях параллаксов неподвижных звезд, произведенных
Дасса — Мондардье, Лобачевский продумал схему со-
поставления этих наблюдений с выводами воображаемой
геометрии и добавил результат этого сопоставления к из-
южению доклада 1826 г. Соответствующий раздел статьи
г) П. С. С., т. II, стр. 147.
2) Там же, т. I, стр. 186. Курсив наш.—А. Н.
ОБОСНОВЯШЕ ГЕОМЕТРИИ У И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО ИЗ
«О Началах геометрия »> оыл оп^оликован в апрельском
номере «Казанского вестыпка» за 1830 г.
Обратимся теперь к анализу этого раздела.
С самого начала своего рассуждения Лобачевский ста-
новится па точку зрения воображаемой геометрии. Это
заставляет его прежде всего уточнить понятие годичного
параллакса. Обычно в астрономии параллакс опреде-
ляется как угол, под которым был бы впдеп со звезды
радиус земной орбиты. На самом деле этот угол никогда
но измеряется непосредственно, а вычисляется на основе
очень простых геометрических соображений.
Действнтельпо, если <S’ — звезда, 1 и В — два поло-
жения, которые Земля занимает в начале и в конце полу-
годия, то, измеряя углы, под которыми лучи зрения AS
и BS наклонены к диаметру земной орбиты АВ, мы полу-
чим, что разность этих углов и равна углу 6 при вершине
S, т. е. удвоенному параллаксу. Однако это равенство
предполагает справедливой теорему о том, что внешний
угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных
с ним, а эта теорема равносильна постулату Евклпда.
В воображаемой геометрии указанное равенство пе имеет
места, вследствие чего нужно различать угол и/2, под
которым впдеп со звезды радиус земной орбиты, и полу-
разность углов между прямой, направленной по диа-
метру земной орбиты, и лучами зрения, направленными
на звезду в начале и конце полугодия. Мы будем называть
первый из этих параллаксов собственным параллаксом
звезды S, а второй ее измеренным параллаксом. Во всем
своем рассуждении Лобачевский говорит только об изме-
ренном параллаксе и вводит для него обозначение р.
Отметим, что удвоенная разность между измеренным и
п собственным параллаксами равна дефекту треугольника
с вершинами на звезде и в двух концах диаметра земной
ороиты. Обозначая, по Лобачевскому, этот дефект через
2ю, мы будем иметь соотношение
2(о = л — а — (3 — о = 2р — 3. (1)
Предположим теперь вместе с Лобачевским, что треуголь-
ник имеет прямой угол в вершине А. В таком случае
О
Исгор.-матем. псслед., вып. XI
114
А. П. НОРДЕН
угол Р=2—2р будет заведомо меньше угла параллелиз-
ма, соответствующего отрезку АВ, т. е. диаметру зем-
ной орбиты а или (3 = у — 2р < П(а). Но если а есть
абсолютная мера диаметра земной орбиты, то созП(а) =
= sin — ll(a)^ = thaх), так что tha<sin2p, откуда
следует, что порядок малости абсолютной меры диа-
метра земной орбиты не превышает порядка малости
измеренного параллакса любой неподвижной звезды.
Ввиду того, что эти параллаксы весьма малы, мы можем
заменить последнее неравенство более простым и нагляд-
ным неравенством, которое несущественно отличается от
неравенства, приводимого Лобачевским * 2):
а < 2р, (2)
которое выражает следующий важный факт: абсолютная
мера радиуса земной орбиты меньше измеренного парал-
лакса любой неподвижной звезды. Удобно отметить также
следующее неравенство:
а < 2р0, (2')
где Ро—наименьший из измеренных параллаксов.
Придя к результату, выраженному последними нера-
венствами, Лобачевский приводит параллаксы, изме-
ренные Дасса — Мондардье, и, выбирая наименьший из
них параллакс Сприуса, для которого 2р0 = 0,00000602,
заключает, что при разложении в ряд функций отрезков,
сравнимых по величине с размерами земной орбиты, можно
сохранять только члены низших порядков, т. е. пользо-
ваться формулами евклидовой геометрии, совершая прак-
тически совершенно ничтожную ошибку.
Отметив этот общий результат, Лобачевский хочет
рассмотреть его подробнее для частного случая, который
считает особенно важным. Придавая особое значение
теореме о сумме углов треугольника, он намеревается по-
г) А. П. Н о р де н, Элементарное введение в геометрию Лоба-
чевского, М.—Л., 1953, стр. 182, ф-ла (2).
2) П. С. С., т. I, стр. 207.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 115
казать, что «сумма углов, даже п в таких треугольниках,
которые теперь рассматриваем (т. е. треугольниках:
земля, звезда, земля.—Л. Я.), чрезвычайно мало раз-
нится от двух прямых»1). Для этого он рассматривает два
треугольника, опирающихся на диаметр земной орбиты
с вершинами в двух звездах S и б1,,, из которых первая
имеет произвольный измеренный параллакс р, а вторая—
наименьший из измеренных параллаксов р0, и выводит
следующее неравенство для дефекта 2ш треугольника ABS
с вершиной в первой звезде:
. г, . 9 А х \ . sin д0 , Z соз2д ,Q,
<« <2psin2( -тг ); snu =—1/ -----------. (3)
г 2 J ’ sm р у cos 2д0 v '
Вывод этого неравенства, только намеченный Лобачев-
ским, довольно сложен. Однако всякому знакомому
с работами Лобачевского хорошо известно, что в них
встречаются еще значительно более трудные и сжато из-
ложенные выводы. Тем более удивительно, что в данном
случае эти трудности как бы отпугивали комментаторов,
п ни один из них не попытался вскрыть до конца простой
смысл приведенного неравенства. Прежде всего упростим
его, основываясь на малости величин р и р0, которую сам
Лобачевский использует только в некоторых местах
своего вывода. После этого мы будем иметь со столь же
хорошим приближением sina; = -^-, а исключая вспо-
_____ р
могательную величину х, приведем неравенство к виду
(4)
Но вывод этого неравенства уже не представляет труда.
Действительно, предполагая по-прежнему треугольник
ABS прямоугольным, мы будем пметь: cos б = ch a sin [3 =
= ch a cos 2р2) или, отбрасывая малые четвертого порядка,
1 Г = + т- е- й2 = (2р)2-и2, п фор-
мула (1), выражающая дефект треугольника, прини-
*) п. С. С., т. I, стр. 208.
) А. П. Норден, Элементарное введение в геометрию
Лобачевского, § 54, формула (6), М,—Л., 1953.
8*
116
Л. П. ПоРДЕН
мает вид 2<о = 2р ( 1 — у 1 — (л к\да вслед-
ствие неравенства (2') вытекает неравенство (4).
Смысл неравенства (4) легко выяснить за счет некото-
рого его ослабления.
Действительно, < С1 —/00 /0' отк'да
1--^- < пли 1-<^ .
Таким образом, из неравенства (4) следует неравенство
2<« < 2/у, (5)
имеющее следующий смысл: если вершина треугольника
лежит на звезде с измеренным параллаксом, а его противо-
лежащая сторона совпадает с диаметром земной орбиты,
то половина дефекта этого треугольника меньше наимень-
шего измеренного параллакса.
К этому результату можно прийти еще более простым
путем, который, по-видимому, был известен и самому
Лобачевскому. Действительно, получив неравенство (3)
и сделав пз пего выводы, Лобачевский приводит формулу
tg (|) = 111-1-th А , (6)
выражающу ю половину дефекта прямо} гольного тре-
jголышка через его катеты1). Если а — по-прежнему
абсолютная мера диаметра земной орбиты, то ввиду ее
малостп отсюда сразу следует неравенство 2ш < а, что
при сопоставлении с (2') опять дает неравенство (5).
С другой стороны, если длины всех сторон треугольника
имеют порядок дпаметра земной орбиты, то из (6) следует
новое неравенство:
01 < Pi, (7)
равносильное которому тоже приводится у Лобачевского2),
и выражает следующий факт: если стороны треугольника
]) П. С. С., т. I, стр. 209.
2) Там же, стр. 208, последняя строка снизу.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. II. ЛОБАЧЕВСКОГО П7
имеют порядок малости диаметра земной орбиты, то
половина его дефекта не превышает квадрат наименьшего
измеренного параллакса.
Установив все эти результаты, Лобачевский формули-
рует выводы в пяти абзацах текста «Начал геометрии».
Мы приведем выдержки из этого текста1), перенумеровав
соответствующие абзацы для удобства дальнейших ссылок.
1. «Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма
углов его менее разнится от двух прямых. После этого
можно воображать, сколько эта разность, на которой
основана наша теория параллельных, оправдывает точ-
ность всех вычислений обыкновенной Геометрии и дозволяет
принятые начала этой последней рассматривать как бы
строго доказанными».
2. Основываясь на мнении Лапласа о существовании
весьма удаленных от нас туманностей, «которые у сма-
грпваем как слабо мерцающие пятна», Лобачевский про-
должает: «Итак, не говоря о том, что в воображении про-
странство может быть продолжаемо неограниченно, сама
Природа указывает нам такие расстояния, в сравнении
с которыми исчезают за малостию даже и расстояния
пашей земли до неподвижных звезд».
3. Грамматическая структура следующего абзаца
весьма сложна и нередко дает повод для недоразумения.
Ввиду этого мы обратим внимание, что «предположение,
будто мера линий не зависит от углов,— предположение,
которое многие Геометры хотели принимать за строгую
истину, не требующую доказательства», есть не что иное,
как аксиома Евклида о параллельных. Если мы назовем
эту аксиому для краткости предположением Евклида,
то формулировка Лобачевского примет следующий вид:
«После этого нельзя утверждать более, что предполо-
жение (Евклида.—J. Н.)... может быть оказалось бы
приметно .южным еще прежде, нежели перейдем за пре-
делы видимого нами мира».
4. «С другой стороны, мы не в состоянии постигать,
какая бы связь могла существовать в природе вещей и
соединять в ней величины столь разнородные, каковы
1) П. С. С., т. I, стр. 209—210. Курсив всюду наni. I. II.
118
А. П. НОРДЕН
линии и углы. Итак, очень вероятно, что Евклидовы поло-
жения одни только истинные, хотя и останутся навсегда
недоказанными».
5. «Как бы то ни было, новая Геометрия, основание
которой уже здесь положено, если и не существует в при-
роде, тем не менее может существовать в нашем вообра-
жении и, оставаясь без употребления для измерений на
самом деле, открывает новое, обширное поле для взаим-
ных применений Геометрии и Аналитики».
Смысл первой из этих выдержек совершенно ясен:
в пей утверждается, что сопоставление фактов воображае-
мой геометрии с данными астрономии приводит к выводу
о том, что геометрия Евклида дает хорошее приближение
к действительности.
В следующем абзаце отмечается существование весьма
удаленных от нас, но все же видимых объектов — туман-
ностей. Этот факт служит основанием утверждения треть-
его абзаца, согласно которому геометрия Евклида не
может противоречить результатам астрономических на-
блюдений видимой части вселенной.
Это истолкование является единственно возможным
и по прямому смыслу фразы, содержащейся в третьем
абзаце, и по тому, что оно непосредственно вытекает
из предыдущих астрономических соображений Лобачев-
ского.
Действительно, если считать дефект треугольника
мерой отклонения от геометрии Евклида, то это отклоне-
ние тем меньше, чем меньше наименьшие наблюдаемые
параллаксы. Но параллаксы должны убывать по мере
удаления наблюдаемых объектов. Однако в дальнейшем,
с усовершенствованием техники наблюдений, которая
позволит измерять параллаксы все более и более отдален-
ных объектов, наименьшие наблюдаемые параллаксы
могут только убывать. Таким образом, наша уверенность
в хорошем согласии евклидовой геометрии с действи-
тельностью, основанная на возможности измерения годич-
ных параллаксов неподвижных звезд, может только
возрастать.
Следующие абзацы «Начал геометрии» только под-
тверждают наши истолкования.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Цд
Приведенные выдержки показывают, что целью acmpG^
номических соображений, приведенных в статье «О Н0>ч
вых началах», было обоснование евклидовой геометрии.
Сформулируем теперь точку зрения Лобачевского tqx
кой, какая она нам представляется на основе приведет^
кого анализа его первых работ.
Евклидова геометрия не может быть обоснована пупге^
логического вывода из положений абсолютной геометры^
Однако единственно возможное обобщение евклидовой ге^'
метрии — геометрия воображаемая приводит к вывод-^
что первая справедлива, по крайней мере приближеш^'
для достаточно малых фигур, а сопоставление воображц^
мой геометрии с данными опыта показывает, что coornj/^
шения евклидовой геометрии выполняются с высокой сгщ^\
пенью точности и для наибольших фигур, доступы\
нашему наблюдению, причем эта точность может толе.^лУ
возрастать по мере того, как все более и более удалены
объекты будут становиться доступными нашим изл^
рениям.
В заключение мы остановимся на изложении acTpoijv
мических соображений Лобачевского и связанных с
вопросов в нашей литературе. Особенно подробного
бора заслуживают соответствующие места работ В. Ф. I\*
гана, посвященных Лобачевскому, так как эти рабо^^
являются одним из наиболее авторитетных и широко ргу х
пространенных источников, из которых черпают сведен ^
авторы популярных статей и лекций. Приведем, напу^
мер, выдержку из книги В. Ф. Кагана «Лобачсвски ♦ V
в которой мысли автора даны в наиболее развернут?^
виде.
«Попытку опытной проверки того, имеет ли в нап> Ч
пространстве место, как выражается Лобачевский, „у> -?>,
требительная пли же воображаемая геометрия”, он дел^Ч. V
исходя из другого принципа. Мы знаем уже, что Дилоа^ ч * л ,
между евклидовой и неевклидовой геометрией Лобач 4
ского эквивалентна тому, равна ли сумма впутрстш
углов прямолинейного треугольника 2d или она мень^ ЧЛр
2d. Это Лобачевский и хотел экспериментально провери
С этой целью, опираясь на значения параллаксов
неподвижных звезд (по его номенклатуре — Кейд^л/^Чь
120
А. П. НОРДЕН
Ригеля и Сириуса), Лобачевский вычисляет сумму углов
в треугольнике, вершины которого находятся в Земле,
в Солнце и в одной из этих звезд. В частности, выполнив
вычисления для того случая, когда третьей вершиной
треугольника служит Сириус, он приходит к выводу, что
эта сумма отличается от 2d меньше чем на 0 000372".
Нужно, однако, сказать, что самое это вычисление пред-
ставляет значительные трудности. Дело в том, что парал-
лаксы, которыми прпходится пользоваться, рассчитаны
средствами евклидовой геометрии, и возникает вопрос,
в какой мере допустимо пользоваться этими значениями
в тех вычислениях, которые Лобачевский предпринимает.
Он придумал для этого обходный путь, с обоснования
которого он п начинает своп вычисления» 3).
По поводу этого изложения мы должны сделать еле
дующие замечания.
1. Лобачевский не делал «попытки опытной провер-
ки», а основывался на готовых результатах измерения
параллаксов 2).
2. Астрономические рассуждения Лобачевского, по
самому своему существу, не могли дать ответа на вопрос
о том, какая геометрия, воображаемая пли употребитель-
ная, имеет место в нашем пространство; они отвечали
только на вопрос о том, с какою точностью осуществляются
в этом пространстве соотношения евклидовой геометрии.
3. Треугольник, рассматриваемый Лобачевским, нс
имел одной из верпшн в Солнце; вершины, противолежа-
щие звезде, совпадали с двумя положениями Земли3).
*) В. Ф. Kara н, Лобачевский, М,— Л., 1948, стр. 220—221.
Сокращенное изложение в книгах: В. Ф. Kara н, Великий рус-
ский ученый Н. II. Лобачевский, М.—Л., 1948, стр. 40, 41 и
В. Ф. Каган, Лобачевский и его геометрия, М.—Л., 1955,
стр. 108, 109.
2) Утверждение о том, что Лобачевский производил опыты для
разрешения вопроса о характере геометрия космического простран-
ства, встречаем также у многих других авторов: Б. II. Делоне,
Б. В. Кутузова, М. Б. Вильницкого и т. д. Художественное описа-
ние этих «наблюдений» содержится и в широко распространенном
романе В. И. Заботпна «Лобачевский».
s) Эта ошибочная формулировка заимствована, по-видимому,
из примечаний А. П. Котельникова к «Началам геометрии», П. С. С.,
т. I, стр. 207.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ X И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
121
4. Лобачевский не вычислял сумму углов этого-тре-
угольника. а устанавливал только верхнюю границу его
дефекта.
5. Лобачевский установил, что для треугольника
с вершиной в Сириусе эта верхняя граница равна 0,43",
а не 0,000372"; последняя цифра относится к треуголь-
нику со сторонами порядка диаметра земной орбиты1).
6. Утверждение, что «сумма (углов треугольника)
отличается от 2d меньше чем...» и т. д., может быть по-
нято недостаточно подготовленным читателем в том
смысле, что отличие, хотя п незначительное, было фак-
тически обнаружено Лобачевским2).
7. Неверно, что «параллаксы рассчитаны средствами
евклидовой геометрии»; измерения склонения звезды
к диаметру земной орбиты требуют только средств, опи-
рающихся на абсолютную геометрию.
Астрономические соображения Лобачевского изложены
значительно лучше в статье Н. И. Пдельсона «Лобачев-
ский — астроном»3). Однако математическая сторона во-
проса там не освещена, а астрономическая перегружена
несущественными подробностями технического харак-
тера, выводы недостаточно четки, а с некоторыми из них
нельзя согласиться. Так, например, автор неосновательно
отрицает значение мыслей, высказанных Лобачевским
в «Пангеометрии», о которых мы еще будем говорить ниже.
Выводы Лобачевского из его астрономических сообра-
жений, которые приведены нами в впде пяти выдержек
из статьи о «Началах геометрии», тоже часто толкуются
неправильно. Напомним еще раз, что в них на основании
допущения о существовании весьма удаленных объектов
Лобачевский приходит к следующему выводу: «... нельзя
утверждать, что предположение (т. е. постулат Евклида)
*) II. С. С., т. I, стр. 208, 209. Эта же ошибка бы ia воспроиз-
ведена и в примечаниях В. Ф. Кагана к «Трем сочинениям по гео-
метрии» Лобачевского, 1956, стр. 378, изданных под моей редакцией.
2) Нам действительно приходилось встречаться с таким понима-
нием при просмотре pjKonHccii, предназначенных для опубликова-
ния в широкой печати.
3) Историко-математические исследования, вып. II, стр. 143—
154, 162, 163, М,—Л., 1949.
8*
122
А. П. НОРДЕН
... может быть оказалось бы... ложным...». Однако во-
преки своему прямому смыслу и смыслу астрономиче-
ских рассуждений Лобачевского эта фраза приводится
в подтверждение того, что Лобачевский будто бы допускал
возможность обнаружить неевклидову природу простран-
ства с помощью астрономических наблюдений1).
IV
Установив в своей первой работе, что астрономиче-
ские наблюдения подтверждают евклидову геометрию,
Лобачевский не считал, однако, окончательно решенньш
вопрос о структуре реального пространства. Он только
утверждал, что отличие геометрии этого пространства от
геометрии Евклида не сможет быть обнаружено «.прежде,
нежели перейдем за пределы видимого нами мира». Но
эти пределы не являлись для Лобачевского ни пределами
объективно существующего, ни пределами возможного
опыта. Об этом свидетельствует прежде всего вступление
к «Новым началам геометрии», которое было опублико-
вано в 1835 г.
Соображения Лобачевского, относящиеся к указан-
ному вопросу, содержатся в большом абзаце этого вступ-
ления, который мы для удобства анализа разобьем на
три части, начав с разбора второй из них.
«В природе мы познаем собственно только движение,
без которого чувственные впечатления невозможны.
Итак, все прочие понятия, например, Геометрические,
произведены нашим умом искусственно, будучи взяты
в свойствах движения; а потому пространство, само собой,
отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме
не может быть никакого противоречия, когда мы допу-
скаем, что некоторые силы в природе следуют одной,
другие своей особой Геометрии. Чтобы пояснить эту
мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы
п) Примечания Энгеля к книге: N. I. I.obatschefskij, Zwei
geometrische Abhandlungen, Leipzig, 1898, стр. 252; В. Ф. К а г а н,
Лобачевский, М.—Л., 1948, стр 220; С. А. Яновская, Передо-
вые идеи Н. И. Лобачевского, М.—Л., 1950, стр. 25; М. В. Вил ь-
н и ц к и й, К истории развития представлений о пространстве
и времени, Киев, 1955, стр. 168, 169.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У II. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
123
притягательные слабеют от распространения своего дей-
ствия по сфере. В употребительной Геометрии величии}
сферы принимают 4№ для полупоперечника г, от чего
сила должна уменьшаться в содержании к квадрату
расстояния. В воображаемой Геометрии нашел я по-
верхность шара тс (ег—е“г)2, и такой Геометрии, может
быть, следуют молекулярные силы, которых затем все
разнообразие будет зависеть от числа е, всегда весьма
большого. Впрочем, пусть это чистое предположение
только, для подтверждения которого надобно поискать
других убедительнее доводов; но в том однако ж нельзя
сомневаться, что силы все производят одни: движение,
скорость, время, массу, даже расстояния и углы»1).
Для того чтобы лучше уяснить себе содержание
этого текста, сопоставим его с некоторыми высказыва-
ниями Лапласа в его книге «Exposition du systeme du mon-
de», которая была хорошо известна Лобачевскому и кото-
рую он не мог не иметь в виду, формулируя приведенные
выше соображения.
Говоря о законе обратной пропорциональности квад-
рату расстояния для силы тяжести, Лаплас продолжает.
«Он тождествен для всех истечений, исходящих из какого-
либо центра, как, например, для света. Кажется даже,
что все силы, которых действие замечается на чувстви-
тельных расстояниях, следуют этому закону. Еще недавно
открыли, что электрические и магнитные притяжения
и оттолкновенпя уменьшаются в отношении квадрата
расстояний, так что все эти силы ослабевают, распрости-
раясь, только потому, что они разливаются подобно
свету, а их количества остаются притом всегда одинако-
выми на различных сферических поверхностях, которые
можно вообразить вокруг их фокусов или источников»2).
Излагая те же мысли в более кратком виде ниже, Ла-
плас сопровождает их следующими словами, относящи-
мися к закону тяготения, которые тоже не могли нс
обратить на себя внимание Лобачевского: «Одно из
*) П. С. С., т. II, стр. 158—159.
) одесь и виже цитируется по изданию «Изложение системы
мира», т. II, 1861, перевод М. С. Хотимского, стр. 171—172.
124
V 11. НОРДЕН
замечательных его свойств заключается в том, что если
размеры всех тел вселенной, пх взаимные расстояния
и их скорости увеличились бы пли уменьшились бы про-
порционально, то они продолжали бы описывать кривые
совершенно подобные прежним, так что вселенная, умень-
шенная таким образом последовательно до малейшего
воображаемого пространства, представляла бы наблюда-
телю те же видимые явления. Спи последние, значит,
независимы от размеров вселенной, точно так же, как
вследствие закона пропорциональности силы к скорости
они независимы от безусловного движения в простран-
стве. Следовательно, простота законов природы позво-
ляет нам наблюдать и познавать одни только отноше-
ния». Далее следует особенно интересная сноска: «По-
пытки геометров для доказательства предложения (postu-
latum) Евклида о параллелях были до сих пор тщетными.
Однако ж никто не сомневается в этом постулатуме и
в теоремах, выведенных из него Евклидом. Следовательно,
понятно о пространстве заключает в себе особенное свой-
ство, очевидное самим собою, и без которого невозможно
с строгостью установить свойства параллелей. Идея огра-
ниченного пространства, например круга, не заключает
в себе ничего, зависящего от его безусловной величины.
Но если мы уменьшаем мысленно его радиус, то мы непо-
бедимо побуждаемся к уменьшению, в том же отношении,
его окружности п боков всех вписанных в ибй фигур.
Эта пропорциональность кажется мне постулатумом бо-
лее естественным, чем Евклидов. Любопытно встретить
ее в результатах всемирного тяготения»* 2).
Таким образом, Лаплас определенно связывает гео-
метрию пространства с законом действия гравитационных
и электрических сил. С другой стороны, Лаплас противо-
поставляет этпм силам силы молекулярные или частич-
ные, посвящая им особую главу своей «Системы» и при-
влекая пх для объяснения явлений поверхностного натя-
жения, капиллярности и некоторых оптических явлений2).
В начале этой главы мы находим следующее место: «Ма-
J) «Изложение системы мира», стр. 333—334.
2) В оптике Лаплас придерживался теории истечения, которую,
как известно, принимал и Лобачевский.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
125
терпя подвержена власти различных притягательных
сил. Одна из них, безгранично распространяясь в про-
странстве, управляет движениями земли и небесных тел;
псе же, что относится к внутреннему строению веществ,
их образующих, зависит преимущественно от других
сил, которых действие чувствительно только па незамет-
ных расстояниях. По этой причине почти невозможно
узнать законы их изменения вместе с пространством»1).
Здесь и в других местах своей книги Лаплас отмечает
как характерную особенность молекулярных сил то,
что онп весьма быстро убывают по мере возрастания рас-
стояния между взаимодействующими молекулами.
Возвратимся теперь к высказываниям Лобачевского,
которые, как нам кажется, могут быть развернуты сле-
дующим образом.
Все силы, характер действия которых до сих пор изу-
чен, подчиняются общему закону. Если поле этих сил
определено источником (массой или зарядом), сосредото-
ченным в точке А, то сила, действующая в любой точке
пространства М па данную массу или заряд, подчинена
следующим трем условиям:
1. Она направлена по прямой AM.
2. Ее величина / зависит только от расстояния г=АМ.
3. Эта величина обратно пропорциональна поверх-
ности сферы радиуса г.
На языке современной теории поля последнее требо-
вание может быть выражено так: поток силы / через замк-
нуту ю поверхность, окружающую источник А, не зависит
от выбора этой поверхности или, иначе говоря, поле /соле-
поидально во всех точках, не совпадающих с псточнпком.
Из этих трех требований и из предположения, что
пространство евклидово, вытекает, что сила, действующая
в точке М, обратно пропорциональна квадрату расстоя-
ния г точки Л/ от источника Л.
Природа сил притяжения между молекулами была еще
совершенно неясна современникам Лобачевского, тем
не менее, не было никаких оснований предполагать, что
они не подчиняются первым двум из приведенных выше
*) «Изложение системы мира», стр. 176.
126
А. П. НОРДЕН
требований. С другой стороны, быстрота их убывания,
по-видимому, превосходит быстроту убывания г-2 и ско-
рее носит характер убывания экспоненциальной функ-
ции. Это позволяет Лобачевскому, не вступая в противо-
речие с опытом, предположить, что зависимость силы от
расстояния т между взаимодействующими молекулами
выражается формулой
/=с(Г-^"г)-2, (*)
где if—число, большее единицы. Однако если по-прежнему
предполагать, что пространство, в котором действует
молекулярная сила /, евклидово, то требование 3 для нее
уже не будет выполнено: сила, действующая в точке М,
не будет обратно пропорциональна площади сферы ра-
диуса AM, т. е. поле этих сил не будет соленоидальным.
Далее Лобачевский делает предположение, которое
предвосхищает одну из наиболее смелых концепций со-
временной фпзики. Можно, говорит он, добиться того, что
сила, действующая по закону (*), будет удовлетворять
условию 3, если предположить, что она действует в та-
ком неевклидовом пространстве, в котором площадь
сферы пропорциональна величине (£г—’ё~т)2, т. е. в про- ’
странстве, в котором господствует, например, «вообра-
жаемая геометрия».
Нельзя не отметить глубокого сходства между этими
рассуждениями Лобачевского и рассуждением, привед-
шим Эйнштейна к его теории тяготения. Действительно,
с точки зрения специального принципа относительности,
только точки, движущиеся по инерции, имеют мировые
линии, совпадающие с прямыми, т. е. геодезическими
линиями плоского пространства. Переход к общей теории
относительности сводится к допущению, что мировые
линии точек, движущихся в поле тяготения, тоже яв-
ляются геодезическими линиями пространственно-вре-
менного континуума, и это достигается за счет того, что
его геометрия предполагается римановой, т. е. более
общей, чем геометрия пространства Лоренца.
Обратимся теперь к начальной и заключительной
частям того абзаца «Новых начал», среднюю часть кото-
рого мы разобрали.
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ у Н. и. ЛОБАЧЕВСКОГО
127
«В теории параллельных думали принять еще за осно-
вание, что в треугольниках углы должны зависеть от содер-
жания сторон. С первого раза такое положение кажется
столько же простым, сколько необходимым; но когда
вникнем в наши понятия, откуда берет оно свое начало,
то принуждены называть его так же произвольным, как
и все другие, к которым до сих пор прибегали» *).
Приведя далее уже разобранное нами рассуждение
о силах, Лобачевский продолжает:
«С силами все находится в тесной связи, которую не
постигая в сущности, не можем утверждать, будто в от-
ношение разнородных величин между собою должны
только входить их содержания. Допуская зависимость
от содержания, почему не предполагать и зависимости
прямой? Некоторые случаи говорят уже в пользу такого
мнения: величина притягательной силы, например, выра-
жается массою, разделенной на квадрат расстояния.
Для расстояния нуль это выражение, собственно, ничего
не представляет. Надобно начинать с какого-нибудь,
большого или малого, но всегда действительного расстоя-
ния, и тогда только сила появляется. Теперь спраши-
вается, как же расстояние производит эту силу? Как эта
связь между двумя столько разнородными предметами
существует в природе? Этого, вероятно, мы никогда не
постигнем; но когда верно, что силы зависят от расстоя-
ния, то линии могут быть также в зависимости с углами.
По крайней мере разнородность одинакова в обоих слу-
чаях, которых различие не заключается собственно в по-
нятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость
из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны
предполагать умственно, либо за пределами видимого
мира, либо в тесной сфере молекулярных прптяженпй»2).
Как известно, вопрос о зависимости углов и отрезков
связан с так называемым принципом однородности, с по-
мощью которого Лежандр пытался обосновать геометрию
Евклида. В геометрии Евклида угол треугольника (на-
пример, прямоугольного) всегда выражается через содер-
п) П. С. С., т. И, стр. 158.
2) Там же, стр. 159—160.
128
А. П. НОРДЕН
жание (т. е. отношение) двух сторон. 13 противополож-
ность этому в геометрии Лобачевского угол треугольника
(например, равностороннего) будет функцией одной его
стороны:
а = /(а).
Невозможность подобных равенств Лежандр пытался обо-
сновать, исходя из того, что мера угла и длина являются
разнородными величинами, и их единицы могут быть
выбраны независимо друг от друга, вследствие чего при-
веденное равенство должно якобы нарушиться при изме-
нении единицы мер. Оспаривая правильность этих рас-
суждений, Лобачевский обращает внимание на то, что
аналогичные равенства, выражающие зависимость между
разнородными величинами, встречаются в физике. При-
мер такого равенства дает закон Ньютона /=Zc'w‘^2, где
сила, имеющая размерность [Z] выражается через
произведение, имеющее размерность [Z] 2 [и?]2. Это
кажущееся противоречие разрешается, однако, присут-
ствием в правой части множителя к, выражающего так
называемую постоянную тяготения, имеющую размер-
ность [Z]3 [ t]'2 [ш]'1. Аналогично этому и зависимость
длины от утла в геометрии Лобачевского, а =
указывает па существование постоянного отрезка к,
который и был назван позднее радиусом кривизны про-
странства. О существовании этого отрезка говорит и сам
Лобачевский в дальнейших абзацах введения к «Новым
началам».
В заключение обратим внимание на последнюю фразу
приведенного выше абзаца. Говоря о зависимости длины
от угла, которая, как мы отмечали, характерна для гео-
метрии Лобачевского, он говорит, что эту «зависимость
при недостатке наблюдений следует предполагать умст-
венно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной
сфере молекулярных притяжений».
Таким образом, как и в своей первой статье, во время
работы под «Новыми началами» Лобачевский продолжал
считать, что отклонение геометрии космического про-
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У 11. И. ЛИГАЧЕВСКОГО
129
странства не может быть обнару жено из наблюдений «ви-
димого мира», т. е. с помощью визуальных астрономиче-
ских наблюдений.
Совершенно новый подход к тому же вопросу об астро-
номических наблюдениях, способных обнаружить неев-
клидову природу пространства, мы находим в последних
абзацах «Пангеомстрпп», которые были вообще послед-
ними написанными или, вернее, продиктованными Ло-
бачевским перед смертью. Приведем полностью соответ-
ствующий текст.
«Расстояние между небесными телами доставляет нам
случаи наблюдать углы треугольников, которых бока
очень велики. Называем а геоцентрическую шпроту не-
подвижной звезды в данную эпоху, а 3 - другую геоцентри-
ческую широту топ же звезды, которая отвечает времени,
когда земля снова находится в плоскости, перпендику-
лярной к эклиптике и проведенной чрез первое место
звезды. Пусть 2а — расстояние между этими двумя поло-
жениями земли, 3— угол, под которым видно расстоя-
ние 2а из звезды. Если углы а, [3, й нс удовлетворяют
уравнению а=3-рй, то это будет знаком, что сумма трех
углов этого треугольника не равна двум прямым углам.
Можно так выбрать звезду, что 3=0, и можно всегда пред-
положить, что существует линия х такая, для которой
11(.т) = а. Если 3 = 0, то прямые, проведенные от двух
положений земли к звезде, могут почитаться за парал-
лельные, вследствие чего должно быть 8=П откуда
следует согласно с доказанным выше, что
rf О
tang—= е*х, tang = = е~х"га. (*)
Z ° Z X * Z
Всякий раз, когда а и [3 в наблюдениях звезды, для
которой 3=0, окажутся различными, два последних
уравнения дадут х и а, выраженные посредством линии,
принятой за единицу в пангеометрпп. Таким образом,
зная угол параллельности П(ж) для определенной линии х,
можно вычислить угол П(г/) для всякой линии у»1).
*) П. С. С., т. III, стр. 523—524.
о „
истор.-матем. исслед., вып. XI
130
А. П. НОРДЕН
Сопоставим эти рассуждения с соответствующими рас-
суждениями в «Началах геометрии».
Здесь, как и там, рассматривается треугольник с вер-
шиной в неподвижной звезде и со стороной, опирающейся
на диаметр земной орбиты, абсолютная длина которого
теперь обозначается нс через а, а через 2а.
Геоцентрические шпроты аир являются вместе внеш-
ним и внутренним углами этого треугольника в концах
диаметра АВ, а нолуразность этих углов представ-
ляет то, что мы называли измеренным параллаксом
звезды. Угол же о при звезде есть се собственный парал-
лакс. Пользуясь этой терминологией и замечая, что зада-
ние функции определяет кривизну пространства,
мы можем следующим образом сформулировать резуль-
тат рассуждения Лобачевского: если существует звезда
с собственным параллаксом, равным нулю, но с не равным
нулю измеренным параллаксом, то кривизна пространства
отлична от нуля и ее радиус может быть вычислен.
Рассуждение Лобачевского вызывает два вопроса.
1. Какой смысл имеет уравнение 6=0, т. е. равенство
нулю собственного параллакса звезды?
2. Какпм образом может быть установлено это ра-
венство?
Еслп понимать условие 6=0 буквально, то опо будет
обозначать, что звезда находится на бесконечном расстоя-
нии от наблюдателя. Но в таком случае лучи зрения, на-
правленные на звезду, будут строго параллельными, тогда
как Лобачевскпй говорит о них только то, что опп «могут
почитаться за параллельные». Отсюда с несомненностью
вытекает, что он понимает равенство о = 0 приближенно,
т. о. предполагает, что собственный параллакс звезды
исчезающе мал. Таким образом, Лобачевский предпола-
гает, что звезда находится от наблюдателя на весьма
большом расстоянии.
Приняв такое истолкование, которое представляется
нам единственно возможным, мы видим, что второй во-
прос сводится к вопросу о том, каким образом можно уста-
новить факт весьма большой удаленности астрономиче-
ского объекта от наблюдателя?
ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ У И. И. ЛОБАЧЕВСКОГО 131
Если МЫ будем заранее предполагать, что простран-
ство евклидово, то весьма удаленными будут такие объ-
екты, измеренные параллаксы которых исчезающе малы.
Однако Лобачевский предполагает, что пространство
неевклидово, считая, что равенство а—р=о, т. е. ра-
венство измеренного и собственного параллакса не вы-
полняется, а так как последний исчезающе мал, то, сле-
довательно, первый заметно отличается от нуля. Он не
может предполагать разность а—Р псчезающе малой
п потому, что в таком случае система С) потеряла бы
смысл, сводясь к приближенному равенству 2а=0.
Таким образом, мы приходим к уточненной поста-
новке второго вопроса:
Можно ли охарактеризовать удаленность объекта от
наблюдателя таким способом, который не сводится к из-
мерению годичного параллакса этого объекта!
Что касается современной нам наукп, то она знает
ряд таких способов, основанных на соображениях спект-
роскопического, динамического, статистического нлп фо*
тометрического характера, а также на различных сочета-
ниях этпх способов.
Хотя в середине прошлого столетия не все эти способы
были известны, однако п способ оценки расстояний с по-
мощью измеренпя тригонометрических параллаксов и
тогда не был единственным. Так, например, в своей клас-
сической работе «Etudes d'Astronomic stellaire», издан-
ной в Петербурге в 1847 г.1), В. Я. Струве оценивает рас-
стояние неподвижных звезд, пользуясь комбинированным
методом, основанным на фотометрических, статистиче-
ских и геометрических соображениях, а в историческом
очерке, с которого начинается работа, он указывает,
что первые попытки определения абсолютных расстояний
до неподвижных звезд носили чисто фотометрический
характер.
Таким ооразом, и для Лобачевского, который всегда
тщательно следил за современной ему астрономической
литератл рой, не могла быть чуждой мысль о возможности
мии/п^дВАНПГССре: 1953Я’ С Т р у в е’ Этюды звездной астроно-
9*
132
A. II. НОРДЕН
таких способов оценки удаленности неподвижных звезд,
которые не основаны на тригонометрических соображе-
ниях. Приняв это во внимание, мы можем резюмировать
результаты последних рассуждений Лобачевского следую-
щим образом: если, не основываясь на геометрических
соображениях, мы сможем доказать, что некоторая звезда
находится от нас на таком расстоянии, которое заведомо
больше расстояния, соответствующего ее измеренному
параллаксу с точки зренпя евклидовой геометрии, то
это будет свидетельствовать о неевклидовой структу ре
пространства.
Важность разобранного нами места «Пангеометрпн»
состоит в том, что оно является единственным местом всех
сочинений Лобачевского, в котором он высказывает мысль
о возможности обнаружить неевклидову природу7 про-
странства с помощью астрономических наблюдений.
Однако в литературе эти высказывания Лобачевского
либо вовсе не упоминаются, либо не разбираются по су-
ществу1), либо считаются содержащими противоречия2).
Произведенный здесь разбор показывает, как нам кажется,
что последнее мнение основано только па недопонимании
мысли Лобачевского3).
]) Примечания В. Ф. Кагана и Либмана к «Пангеометрии» в из-
даниях П. С. С., т. III, стр. 523—524 и N. I. Lobatschef-
s k i j, Pangeometrie, Leipzig, 1902, стр. 94—95.
2) Примечания Энгеля к изданию: N. I. Lobatsclicf-
s k i j, Zweig eometrisclie Abhandlungen, Leipzig, 1898, стр. 251—252;
II. II. II д e л ь с о н, Лобачевский—астроном, Историко-матема-
тические исследования, вып. II, М.—Л., 1949, стр. 162—163.
®) Возможность истолкования, приводимого в настоящей статье,
была ьпервые отмечена ее автором во вводной статье и примечаниях
к изданию: Н.П. Лобачевский, Три сочинения по геометрии,
JL, 1956, стр. 23, 379, 380.
МАТЕМАТИКА Н \ СЪЕЗДАХ РУССКИХ
ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ И ВРАЧЕЙ1)
С. Н. Нири
Одним из проявлений общественно-демократического
движения 60-х годов в России, имевшим большое значе-
ние для развития науки и просвещения в нашей стране,
явилось проведение съездов по различным отраслям зна-
ния. Высшей формой их были Всероссийские съезды есте-
ствоиспытателей и врачей, которые, несмотря на препят-
ствия, чинимые официальными кругами, проводились
с 1867 по 1913 г. с различными промежутками. Съезды
состоялись в Петербурге, в Москве, в других универси-
тетских городах России: Киеве, Казани, Варшаве,
Одессе, а также в Тифлисе2). На всех съездах работала
математическая секция (включавшая механику и астроно-
мию). На первых съездах она объединяла деятельность
в среднем около 50 членов, на последних съездах — 400—
500 при общем числе членов порядка 400 на первых съез-
дах и до 5000 на последних. Наряду с учеными, препода-
на гелямп высших учебных заведений в работе математи-
ческ< •" секции принимали участие "гногпе преподаватели
средних учебных заведении.
Правила съездов предусматривали, что съезд «имеет
целью споспешествовать учепой п учебной деятельности
г) Доклад па секции истории математики III Всесоюзного мате-
матического съезда 2АП 1956 г. Краткое содержание напечатано
в Трудах съезда (т. I, 1956, стр. 231—232).
2) Полный список съездов с указанием их места и времени см.
на стр. 145 и далее.
134
С. И. КИРО
на поприще естественных наук, направлять эту деятель-
ность главным образом па ближайшее исследование Рос-
сип п доставлять русским естествоиспытателям случай
лично знакомиться между собою». В соответствии с этим
съезды оказалп значительное содействие успехам отече-
ственной науки п распространению научных знаний.
Вместе с тем деятельность пх мало освещена. В частности,
математическая деятельность только первых четырех съез-
дов была достаточно подробно рассмотрена В. В. Бобы-
ппным в его журнале «Физико-математические науки
в их настоящем п прошедшем» за 1893—1894 гг. В лите-
ратуре, посвященной ведущим деятелям русской матема-
тики, иногда можно встретить упоминания об отдельных
докладах съездов. Эти упоминания, естественно, не могут
дать полной характеристики математической деятельности
съездов.
В работах математических секций принимали деятель-
ное участие П. Л. Чебышев, В. Г. Пмшенецкпй, А. А. Мар-
ков, Н. Я. Сонин, В. А. Стеклов, А. Н. Коркпн, Е. II. Зо-
лотарев, Г. Ф. Вороной, 10. В. Сохоцкий, С. В. Ковалев-
ская, Н. Е. Жуковский, А. Ю. Давидов, Н. В. Бугаев,
Б. К. Млодзеевскпй, Д. Ф. Егоров, В. П. Ермаков,
К. А. Андреев, Д. М. Синцов, А. В. Васильев и другие
известные отечественные математики. Значительна роль
многих из них, особенно II. Л. Чебышева, Н. Е. Жуков-
ского, В. П. Ермакова, в организации съездов, в руко-
водстве математической секцией.
Как показывает приложенный к настоящему очерку
список сообщений по математике на съездах русских есте-
ствоиспытателей и врачей, составленный по материалам
съездов, всего на математической секции съездов по мате-
матике состоялось 238 докладов и сообщений. Онп отно-
сились к математическому анализу, теории дифференциаль-
ных уравнений и математической физике, теории чисел,
алгебре, геометрии, истории математики, элементарной
математике и вопросам преподавания математики, а также
к некоторым общим плп специальным вопросам мате-
матики.
Многие пз сообщений были опубликованы полностью
или в кратком изложении в изданиях съездов, в «Матема-
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 135
тическом сборнике» и других изданиях. Ценность сооб-
щений различна: одни сохраняют свое значение до на-
стоящего времени, другие имеют лишь исторический ин-
терес, третьи малозначительны. Рассматриваемые вместе,
они хотя и являются лишь частичным отражением ма-
тематической деятельности в России того времени, пока-
зывают сравнительный рост отечественной математики,
как количественный, так и качественный. На первых
съездах было примерно по 10 сообщении, па четвертом
только четыре, на последующих число сообщений значи-
тельно возросло, находясь на уровне 20—30. На I съезде
были представлены теория дифференциальных уравне-
ний, теория чпсел и математический анализ. В дальней-
шем сообщения съездов все шире охватывают другие
области математики.
В рамках настоящего очерка не представляется воз-
можным остановиться на многих сообщениях съездов,
представляющих интерес с той или иной точки зрения.
Только некоторые из них, прежде всего содержавшие вы-
дающиеся открытия русской математической мысли, по-
лучат краткое освещение в дальнейшем.
Наибольшее число сообщений, пмеппо 48, относится
к математическому анализу. Среди них наиболее значи-
тельны доклады П. Л. Чебышева на II съезде в 1869 г.
и на III съезде в 1871 г. о его исследованиях по теории
функций, наименее уклоняющихся от нуля. Они допол-
нялись сообщениями И. <1. Чебышева на других секциях
о параллелограммах, дающих высокую точность преобра-
зования кругового движения в прямолинейное. К до-
кладам П. Л. Чебышева по теории приближения функций
примыкают сообщения К. А. Поссе «Об одном вопросе
о наименьших величинах» на VI съезде в 1879 г., К. А. То-
ропова «Об одном неопределенном уравнении» и Д. А. Гра-
ве «О задаче Менделеева» на VIII съезде в 1890г. П. Л. Че-
бышев высоко оценил доложенный на III съезде II. П. Ер-
маковым признак сходимости числовых рядов, являю-
щийся одним пз наиболее сильных среди известных,
и указал на теенхю связь признака Ермакова с условием
того, бл дет ли данное решение обыкновенного дифферен-
циального уравнения первого порядка его особенным
136
С. Н. КИРО
решением. Именно, решение y=V уравнения = Ст, у)
будет пли ис будет особенным, смотря по тому, прпво-
1
eyF(x, у) п -
дится ли выражение -----------—у при y=v Kjiy лю илп к бес-
y'2F(x, еу)
конечности1). На II съезде состоялся доклад Н. Я. Сонина
о дифференцировании с произвольным показателем2). По
пницпатпве П. Л. Чебышева на VI съезде состоялся до-
клад С. В. Ковалевской об абелевых интегралах, явив-
шийся важным шагом на пути возвращения С. В. Кова-
левской после длительного перерыва к научной деятель-
ности. Абелевым интегралам, и в частности эллиптиче-
ским и псевдоэллпптическпм, посвящен также ряд дру-
гих сообщений на съездах, из которых обращают на себя
внимание доклады П. П. Долбни и II. i\I. Покровского
па последующих съездах. В остававшемся длительное
время не замеченным докладе на XI съезде в 1901 г.
Г. Ф. Вороной дал оригинальный метод суммирования
расходящихся рядов, подушивший известность под не-
оправданным названием метода Нерлунда (Нерлунд
пришел к этому же методу 18 годами позже.) В докладе
дано также соответствующее обобщение понятия сходи-
мости для несобственных интегралов 3). Большинство дру-
Ии одно из сообщений П Л. Чебышева но математике на
съездах не нашло отражения в полном собрании его сочинений
(П. С. С.), несмотря на то, что сам П. Л. Чебышев в одной из работ
упоминает о своем сообщении на III съезде (т. III, 1950, стр. 25).
Между тем в П. С. С. приведены доклады П. Л. Чебышева во
французской Ассоциации содействия преуспеванию наук (т. V,
1953, стр. 163—171). Деятельность П. Л. Чебышева на съездах
освещена в заметке Н. Д. Беспамятных «Участие П. Л. Чебышева
в работе съездов русских естествоиспытателей» (Ученые записки
Гродненского педагогического института, вып. I,'Математика, 1955,
стр. 13—16).
-) В трудах III Всесоюзного математического съезда (т. I,
1956, стр. 231) неправильно указано, что доклад Н. Я. Сонина
состоялся на III съезде русских естествоиспытателей.
®) Доклады Г. Ф. Вороного на сьездах русских естествоиспыта-
телей и врачей приведены в извлечениях из дневников съездов в из-
дании: Г. Ф. Вороной, Собрание сочинений, т. III, 1953,
стр. 8—11.
М ХТЕМАТПКЛ НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫЛ АГЕЛЕП 137
гпх докладов но математическому анализу посвящено
различным вопросам теории рядов и интегрального ис-
числения, среди них сообщения А. А. Маркова на
VIII съезде «Пример распространения способа Маклорена
решать вопрос о сходимости рядов на многократные
суммы», А. К). Давидова на VI съезде, содержавшее про-
стои вывод весьма общей квадратурной формулы, не-
сколько сообщений Н. Н. Зинппа по определенным п крат-
ным интегралам и другпе.
Из 37 сообщении по теории дифференциальных урав-
нений и математической фпзике 24 относятся к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям и 13 к урав-
нениям в частных производных. Значительная часть сооб-
щений по теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений состоялась на первых съездах. Они касались
в основном теории интегрирующего множителя, теории
линейных уравнений, прежде всего второго порядка,
особенных решений и вопросов интегрирования в квадра-
турах и с помощью рядов. Среди них отметим сообщения
II. Н. Алексеева «Об интегрирующем факторе дифферен-
циальных уравнений первого порядка» на II съезде,
А. Попова «Об интегрировании уравнений с произвол
иымп второго порядка и во второй степени» па V съезде
в 1876 г., Г. О. Миттаг-Леффлера «О дифференциальных
линейных уравнениях», А. В. Васильева «Об алгебраи-
ческих интегралах дифференциальных линейных уравне-
ний» и П. А. Шифф «О некоторых условиях интегрируе-
мости уравнения вида у"-\ Py'AQy 0 при переменных
коэффициентах» на АП съезде, а также В. Г. Пмшепецкого
«Об интегрировании некоторых дифференциальных урав-
нений» иа А III съезде. В 1910 г. на XII съезде состоялся
доклад С. \. Чаплыгина «О приближенном вычислении
интегралов дифференциальных уравнений.), явившийся
после сообщения по этому же вопросу в 1905 г. па засе-
дании Aloeконского математического общества важным
моментом в разработке нового метода приближенного ре-
шения дифференциальных у'равнений. На этом же съезде
А. Н. Крылов изложил теорию и схему устройства машины
для интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений, которая строплась в то время в Петербурге
138
С. И. НПРО
и первое сообщение о которой было сделано в 1904 г.
Сообщения М. Н. Лагу тинского на XII и XIII (1913 г.)
съездах: содержали условия существования алгебраических
интегралов у системы дифференциальных уравнений.
Пз сообщений по теории уравнений в частных произ-
водных наиболее важные относились к математической
физике. Это прежде всего доклады В. А. Стеклова «Об
уравнениях математической физики» и Г. В. Колосова
«Плоская задача математической теории упругости», со-
стоявшиеся, как и ранее отмеченный доклад А. Н. Кры-
лова, на объединенном заседании Московского матема-
тического общества и секции математики ХИ съезда.
Доклад В- С Стеклова, подытоживавший многочисленные
его работы, результаты первой из которых были сообщены
в докладе «О задаче Фурье» еще в 1898 г. на X съезде,
содержал изложение нового метода решения широкого
класса задач математической физики. Стеклов доказывает
существование фундаментальных функций краевых задач
обыкновенных лпнейных дифференциальных уравнений,
получающихся в результате применения метода разде-
ления переменных к задачам математической физики, замк-
ну гость спстемы указанных функций и разложимость
произвольной функции в ряд по этим функциям. Теоремы
замкнутости позволили В. А. Стеклову установить экви-
валентность его метода н метода интегральных уравнений
Гильберта—Шмидта, разрабатывавшегося в те же годы
за границей. Упомянутый доклад Г. В. Колосова, как
и другой его доклад на том же XII съезде «Применение
теории функций комплексного переменного к интегриро-
ванию гипергармонического уравнения V2 V2 и=0 при за-
данных условиях на контуре», показывал новое приме-
нение теории функций комплексного переменного к тео-
рии упругости. Хотя этим работам Г. В. Колосова и пред-
шествовали некоторые результаты С. А. Чаплыгина, пе
опубликованные нм, значение исследований Г. В. Колосова
несомненно, поскольку они явились основой развития
советской школы математической теории упругости
Н. II. Мусхелишвплп (бывшего учеником Г. В. Колосова).
Пз друтпх сообщений по уравнениям в частных произ-
водных отметим доклад С. В. Ковалевской «Об интегриро-
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОПСПЫТАТЕЛЕП 139
данпи дифференциальных уравнений с частными произ-
водными, определяющих преломление света в прозрач-
ной кристаллической среде» на VII съезде в 1883 г., до-
клады В. В. Преображенского на IV (1873 г.) и VI съез-
дах, а также доклады Д. Ф. Егорова на X съезде по не-
которым геометрическим вопросам теории хравнений
в частных производных.
Теория чисел была представлена на съездах 25 сооб-
щениями. Несколько докладов И. В. Бугаева па I—III
и VI съездах отражали наиболее важные результаты его
многочисленных работ по изучению различных числовых
функций. Теоретическое обобщение этих результатов долж-
но было по замыслам Бугаева привести к созданию общей
пауки о прерывных функциях, названной им аритмоло-
гиеп, которой Бугаев в речи на X съезде «Математика
и научно-философское миросозерцание» приписывал
такую же роль, как и математическому анализу. Однако
прогнозы Бугаева не оправдались, а многие его философ-
ские высказывания противоречивы по существу, идеали-
стичны и метафизичны по направленности. Используя
одну из формул, сообщенную Бугаевым на III съезде,
Чебышев дал на основе свопх работ по распределению
простых чисел в натуральном ряде границы, между кото-
рыми заключены значения функции Н^п), определяющей
число чисел, не делящихся на квадрат и меньших п, имен-
но: Е L
539-36 . Q log/г
900-35^ *4og 36 ’ пРПЧем левая часть неравенства может
быть заменена величиной —3. Эти оценки не упомп-
паются в Полном собрании сочинении II. Л. Чебышева.
На III съезде Е. II. Золотаревым было сделано сообщение,
касающееся закона взаимности простых чисел, а па VI—
А. Н. Коркиным «Относительно выбора знака в сравнении
1-2-3... = -£ 1 (мод. р) при р простом вида 4«4-3»,
А. А. Марковым «О бернуллпевом вопросе», 10. В. Со-
хоцкпм «Начала теории идеальных кубических чисел» и
«О разложении простых чисел вида 4л-)-1 на сумму двух
140
С. Н ЬИРО
полных квадратов». Из нескольких сообщений по элемен-
тарной теории чпсел, состоявшихся на последующих съез-
дах, отметим доклады по теории сравнении третьей сте-
пени Н. Сорокина иа IX съезде в 1894 г. и Г. Ф. Во-
роного на X съезде. В (окладе Г. Ф. Вороного рассмотрен
вопрос о числе корней сравнения третьей степени при про-
стом модуле. На XIII съезде Я. В. Успенский сообщил
одно из известных данных им арифметических тождеств и.
основываясь на нем, показал простой вывод ряда важных
теорем теории чисел, ранее доказанных видными матема-
тиками XIX века с помощью теории эллиптических функ-
ций. Сообщение Д. А. Граве на XII съезде о вычислении
таблиц индексов для второй тысячи, проведенном под его
руководством 63 студентами Киевского университета, за-
служивает упоминания как само по себе, так и как ред-
кий пример коллективной работы по математике в доре-
волюционное время.
Из 19 сообщений по алгебре два касались теории под-
становок, именно М. Барансцкого на V съезде (линейные
подстановки) и Н. П. Соколова на IX съезде (круговые
подстановки), а остальные — различных вопросов теории
алгебраических уравнений и теории определителей. Среди
последних укажем доклады Г. С. Шапиро «О полном ре-
шении общего алгебраического уравнения п-й степени
с переменными коэффициентами помощью кофункций
от степенных рядов» на VII съезде и С. О. Шатуновского
«О сравнениях по системе модулей» па XII съезде.
Значительная часть из 32 сообщений по геометрии,
включающая наиболее интересные доклады, состоялась
на последних съездах. Так, на VIII съезде было прочитано
шесть докладов по геометрии, в том числе Н. В. Бугаевым
«Об одной теореме общей теории алгебраических кривых
высшего порядка», А. Н. Коркиным «О географических
картах», Б. К. Млодзеевскпм «Уравнение с частными
производными, которому удовлетворяют координаты всех
поверхностей, налагающихся на данную». Эти уравнения
сыграли большое значение в исследованиях московских
геометров по изгпбапию поверхностей на главном осно-
вании. В докладе Г. К. Суслова на IX съезде при помощи
кинетических аналогий устанавливалось, что трехмерным
UXlEMAltlKV ИХ СЪЕЗДАХ ЕСТЕС1ВО11СНЫ1А1ЕЛЕП 141
пространствам Лобачевского п Римана соответствуют дви-
, .. 2R* 2R2
/Копия для силовых фхнкции и (j р2)2’ (1 | р2)2при~
левой начальной энергии. Вопросы обоснования геомет-
рии получили освещение в докладах С. О. Шатуновского
«Основания теории площадей и объемов» на X съезде
и В. Ф. Кагана «Система посылок, определяющих евклп-
дову геометрию» на XI съезде. В первом из них одновре-
менно с Гильбертом было дано обоснование теории пло-
щадей и объемов, во втором — уже после знаменитой
работы Гильберта «Основания геометрии» — была сооб-
щена оригинальная аксиоматика евклидовой геометрии,
на основе которой в последующие годы В. Ф. Каган дал
систематическое и развернутое построение евклидовой
геометрии, дополненное большим историческим очерком
развития обоснования геометрии. Интересны доклады
Д. М. Синцова по теории коннсксов на X, XII и XIII
съездах и А. К. Власова «Геометрическое определение
алгебраических кривых, поверхностей и вообще много-
мерных форм высших порядков» на XII съезде. Доклад
II. М. Герсеванова на XII съезде «О номографии» отра-
жал, с одной стороны, научные успехи автора в возник-
шей в те годы номографии, а, с другой, — служил распро-
странению номографических знаний в России.
Весьма незначительно па съездах были представлены
другие разделы высшей математики. По вариационному
исчислению было сделано четыре сообщения, по теории
вероятностей и теории функций комплексного перемен-
ного—пять, по математической логике два, по теории
множеств - одно. Среди этих сообщений особо }по-
мянем доклад II. И. Жегалклпа «О бесконечных множе-
ствах» на XII съезде, а также доклады известных жен-
щин-математиков II. Н. Герпет по вариационному исчис-
лению на XI и XII съездах и Е. Ф. Литвиновой «Превра-
щение одной римановой поверхности в круг» на XI съезде.
Из сделанных на VII и последующих съездах 14 сообще-
ний по истории математики 10 принадлежат В. В. Бобы-
нину. Они касались различных вопросов развития матема-
тики в древности, в России и других проблем. Отметим
также «Исторический очерк деятельности Московского
142
С. Н. НПРО
математического общества» Б. К. Млодзеевского, сообщен-
ный на совместном заседании Московского математиче-
ского общества п IX съезда русских естествоиспытателей
и врачей в связи с 25-летнем общества.
По элементарной математике и вопросам преподава-
ния математики состоялось 35 сообщений. По большей
части они касались вопросов преподавания, поскольку
сообщения по элементарной математике обычно не вхо-
дили в программу заседаний математической секции. По-
становка на съездах вопросов преподавания встречала
значительные затруднения. Хотя положения о съездах
предусматривали учебную деятельность, ходатайства
съездов об организации педагогической секции многократ-
но отклонялись правительственными кругами с целью
избежать возможных нежелательных дискуссий, и только
па последнем XIII съезде работала педагогическая сек-
ция. Как на VIII, XI, так и особенно на XIII съездах
сообщения по вопросам преподавания математики отно-
сились к методике преподавания наиболее трудных разде-
лов математики и к рассмотренгпо программ, изменяв-
шихся в связи с реформой образования. Руководящую
роль в обсуждении вопросов преподавания играли В. П. Ер-
маков, II. М. Занчевский, Д. М. Синцов, а также веду-
щие преподаватели средних учебных заведений. В ходе
съездов устраивались выставки как по педагогическим
вопросам, так и по другим. В частности, на IX съезде
большой успех имела выставка моделей и приборов по
математике, механике и астрономии, устроенная в Мос-
ковском университете его профессорами Н. Е. Жуков-
скпм и Б. К. Млодзеевскпм. На выставке демонстрирова-
лись также арифмометры Томаса п Одпера.
Значительное число сообщений математического харак-
тера состоялось па заседаниях подсекции механики мате-
матической секции, секции физики, а также секции ста-
тпстпки. Таковы, например, многочисленные доклады
II. Е. Жуковского по механике, доклад А. Н. Дпннпка
«Приложение цилиндрических функций к теории упру-
гости» на XIII съезде и другие.
Съезды содействовали развитию русской науки не
только многочисленными научными докладами по самым
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕМ 143
разнообразным вопросам, общением ученых на съездах,
в ходе которого складывалось и укреплялось содружество
ученых различных частей России, в частности содруже-
ство русских и украинских ученых, ио и борьбой за осу-
ществление ряда мер общенаучного значения. Уже с пер-
вых съездов внимание их участников привлекало отстал
ванне русского языка как языка научных работ и созда-
ние русской научной терминологии. Заявление Д. II. Мен-
делеева о метрической системе на I съезде, доклад
А. Ю. Давидова «Единство мер и весов» на II, а также
решения съездов по ним содействовали введению метри-
ческой системы в нашей стране. На съездах неоднократно
подчеркивалась необходимость реферирования работ рус-
ских ученых, составления обзоров русской литературы
и ее библиографии, организации Русской ассоциации
для содействия развитию и распространению знаний, но
отсутствие необходимых средств и поддержки со стороны
правящих кругов привело к весьма скромным успехам
в упомянутых направлениях. С другой стороны, общества
естествоиспытателей, созданные при университетах по ре-
шению I съезда, сыграли значительную роль в развитии
русской пауки. Среди них оживленной математической
деятельностью выделяются Новороссийское общество
естествоиспытателей в Одессе, математическое отделеппе
которого объединило ведущих одесских математиков
и позволило создать научную школу по математике (это
отделение издавало иа протяжении многих лет ценные
«Записки математического отделения Новороссийского
общества естествоиспытателей»), Варшавское общество,
в работе которого принимали участие Н. Я. Сонпн,
Г. ф. Вороной п другие математики Варшавского уни-
верситета, а также Киевское, длительно издававшее «Ука-
затель русской литературы по математике, чистым и при-
кладным естественным наукам»1). Съезды добились выде-
ления дополнительных средств обществам естествоиспы-
тателей, а также Московскому математическому' обществу,
прежде всего для издания их трудов. Съезды отмечали за-
слуги выдающихся русских и иностранных ученых в раз-
*) Мы не касаемся здесь деятельности математических обществ.
144
с. Н. киро
витии наукп; в частности, IX съезд принял участие в уста-
новлении премии Н. II. Лобачевского, а X съезд — пре-
мии английского математика Сильвестра. Съезды прини-
мали меры к установлению связей с учеными других стран.
Отдельные доклады на съездах имели идеалистиче-
скую направленность. Примерами их могут служить до-
клады В. Я. Цпнгера «Недоразумения во взглядах на
основания геометрии» па IX съезде, II. В. Бугаева «Ма-
тематика и налчно-философское миросозерцание» па
X съезде, П. С. Флорова па XIII съезде о преподавании
теории вероятностей в средней школе в целях поддержка
ипя царского режима (в этом Флоров следовал за Некра-
совым). Подобные доклады получали отпор со стороны пере-
довых русских ученых. Если борьба против лженаучных
притязаний П. А. Некрасова была организована А. А. Мар-
ковым вне рамок съезда, то с другими выступлениями
указанного рода борьба велась на самих съездах. К при-
меру можно назвать доклад В. В. Бобынина «О древних
и новых пападках на чистую математику» па XII съезде,
полностью опубликованный только в советское время.
Подлинное научное лицо съездов определялось заме-
чательной деятельностью ведущих русских естествоиспы-
тателей-материалистов II. 11. Мечникова, \. О. Ковалев-
ского, К. А. Тимирязева, II. II. Павлова, физика Н. А. Умо-
ва, математиков и механиков П. Л. Чебышева, Н. Е. Жу-
ковского и многих других передовых русских ученых,
благодаря которым резко возрос за время деятельности
съездов авторитет русской науки. Эта деятельность пре-
вращала съезды в настоящие праздники русской пауки,
на которых пе только отмечались достигнутые успехи,
по и определялись пути дальнейшего ее развития. Убеж-
денность в великой силе пауки и ее беспредельных воз-
можностях познания мира позволяли ведущим деятелям
русской наукп впдеть будущее наукп. Как созвучны,
например, современным успехам наукп слова пз речи
II. П. II авлова на XII съезде «Естествознание и мозг»:
«... вся жизнь от простейших до сложнейших организмов,
включая, конечно, и человека, есть длинный ряд все услож-
няющихся до высочайшей степени уравновешиваний
внешней среды. Прпдет время — пусть отдаленное, —
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 14$
когда математический анализ, опираясь па естественно-
научный, охватит величественными формулами уравнении
все эти уравновешивания, включая в них и самого себя».
Громадные потенциальные возможности наших ученых
полностью развернулись лишь после Великой Октябрь-
ской социалистической революции, когда были созданы
все условия для развития науки, когда паука стала
важнейшим средством социалистического строительства.
В советское время получило осуществление предло-
жение, выдвинутое на последних съездах русских есте-
ствоиспытателей, о проведении самостоятельных мате-
матических съездов в нашей стране. Первый Всероссий-
ский съезд 1927 г. в Москве, первый Всесоюзный 1930 г.
в Харькове, второй Всесоюзный 1934 г. в Ленинграде
и третий Всесоюзный 1956 г. в Москве. Съезды математиков
свидетельствуют о бурном расцвете советской математики,
которая своими истоками упирается в лучшие достижения
дореволюционной математики, развитию которой содей-
ствовали съезды русских естествоиспытателей и врачей.
СООБЩЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
на съездах русских естествоиспытателей (п врачей)
(1867-1913)!)
ПЕРВЫЙ СЪЕЗД
С.-Петербург, 28 декабря 1867—4 января 1868 г.
1. И. В. Бу гаев. *Новая теорема из теории чисел.
2. М. Ф. Ковальский. О числе постоянных произволь-
ных, входящих в общий интеграл дифференциального уравнения
между двумя переменными ([‘J, стр. 14—20).
3. М. Ф. Ковальский. *Условие, при котором уравнение
A/rfz+A <?!/=() имеет интегрирующий множитель вида ср (х) ф (у).
г) Даты даны по старому стилю. Сообщения перечислены в том
порядК0> в котором они докладывались. После названия сообщений,
которые полностью или в кратком изложении напечатаны в изданиях
съездов, в скобках даются ссылки па соответствующие издания,
указанные в конце статьи (стр. 158) под названием «Литература»,
ри отсутствии в протоколах заседаний точного названия сообщения
оно восстанавливалось но другим данным материалов съездов. Та-
кие сооощепия отмечены звездочкой. В названиях первых четырех
съездов не содержалось слов: «и врачей».
Ю Истор.-матем. послед., вып. XI
146
С. Н. КИРО
4. М. II. Т а л ы а и н. О линейных дифференциальных уравне-
ниях второго порядка (I1], стр. 27—56).
5. М. А. Андреевски й. Условия пнтегралъности одно-
родных дифференциальных выражений второго, третьего и выспшх
порядков и интегралы этих выражений в случае удовлетворения
всем условиям ([*}, стр. 11—13).
6. Н. И. Алексеев. О сложении и вычитании двух эллип-
тических интегралов первого рода с различными модулями ([Ч,
стр. 9—10).
ВТОРОП СЪЕЗД
Москва, 20 30 августа 7S6.9 г.
1. П. Л. Чебышев. *06 особом методе исследования
функции при помощи суммованпй.
2 Г. В. Б у л ю б а ш ’Несколько замечаний о логарифми-
ческих модулях.
3. М. А. Андреевский. Об одной теореме, доставляемой
способом взаимных поляр ([2], стр. 48—59).
4. 11.11. Алексеев. Об интегрирующем факторе дифферен-
циальных уравнений первого порядка ([2j, стр. 6—9).
5. Е. <Р. Сабини п. .Замечания к теории maximum и mini-
mum определенных интегралов по поводу мемуара Клебша: Uebei-
die zweite Variation viell'acher Integrale ([2], стр. 65—71).
6. II. В. Б у г a e в. О разложении функций в некоторые чис-
ловые и аналитические ряды особого вида ([2], стр. 13—15), а также
([2 J > стр. 71 - 119).
7. М. Ф. Окатов. ’Другой вывод формул Плюкера, свя-
зывающих числовые характеристики плоских кривых ([2].
стр. 16—17).
8. М. Ф. К о в а л ь с к и и. *06 одном случае интегрирования
d2y dy
уравнения Р + Q у + 7?р = 0 в квадратурах ([2], стр. 17—18).
<1 л и Л'
9. II Я. Сон и я. О дпффере цпрованпи с прспзвольнь и
указателем ([21, стр. 18—21).
10. И. Л. Ч <• б ы ш е в. *0 функциях, напближе подходящих
к нулю в данных пределах.
ТРЕТИЙ СЪЕЗД
Киев, 20—30 августа 1871 г.
1. П. Л. Чебышев. *0 полиномах, которые, постоянно
возрастая или убывая в дапных пределах, наименее уклоняются
от нуля ([3J, cip. 1—2).
2. И. Б. Бугаев. ’Некоторые приложения учения о чис-
ловых производных (I3J, стр. 3—4).
3. В. Г. И м ш е п е ц к и й. *06 одной формуле для кривизны
поверхностей ([’], стр. 5).
Л1 XTEMATIIIi V НА СЪЕЗДАХ ЕСЗ ЕС1 ВОНСПЫТАТЕЛЕН 147
4. П. Л. Чебыше в. *0 чпслс чисел в ряду 1, 2, 3.п,
не делящихся на квадрат ([»], (:ТР- 6)-
5. Ф. Л. С л у д с к и й. *0 способах ооработкп наблю-
дений. _ _ _
6. П. .9. Рочмер. *Оо особенных решениях дифференциаль-
ных уравнений.
7. Е. II. Золота р е в. *Гри леммы, приводящие к закону
взаимности простых чисел.
8. В. П. Ермаков. *0 признаках сходимости рядов ([“],
стр. 6—7).
9. Г. М. Сидоров. * Доказательство одного замечания
Берну лли.
10. Г. М. С и д о р о в. *О делимости чисел специального ви-
да (I3], <тр. 9—10). ..
И. В. Г. И м ш с п е ц к и и. *0 применении функции Бер-
нулли к разложению функций в ряды.
12. 11. Л. Ч с б ы ш е в. *0 признаке сходимости В. П. Ерма-
кова и связи’ его с признаком особенных решений дифференциаль-
ных уравнений ([3], стр. 13).
ЧЕТВЕРТЫЙ СЪЕЗД
Кааат, 20—30 августа 1873 г.
1. П. II Котельников. О преобразовании дифферен-
ту? Д2у,’ ^2у?
ниа.п.пого параметра ДоГ= 2-+^-2" + у^- ([’°]> 24 авг. 1873 г.,
стр. 1—3).
2. А. К. Я? б и к о в с к и й. Обобщение теорем Моавра и Ко-
теса (там же, стр. 7—10).
3. В. В. Преображенский. О разложении функций
в ряды ([’], 29 авг. 1873 г., стр. 5 -7).
4. В. В. П р е о б р а ж е и с к и п. Об интегрировании си-
стемы у равнений с частными производными 1-го порядка в случае
нескольких неизвестных функций (там же, стр. 7- 10).
ПЯТЫЙ СЪЕЗД
Картава, 31 августа—9 сентября 1870 г.
1. II. А. Востоков. О разложении функции
1 --
yy = (rL—2гГ1 cos (г, Г1)+г=) 2
по
М.
всех
в ряд
2.
стемы
стр. 29—38).
степеппм эксцентриситетов ([5], вып. V, стр. 1—27).
Баранецкий. О составлении сопряженной си-
лннепных субституций вида | А2Ха2+ь | (там же,
10*
148
С. Н. КИРО
3. Н. Алексеев. О функциях Лежандра в приложении
к эллиптическим функциям (там же, стр. 39—47).
4. А. Полов. Об интегрировании уравнений с производными
второго порядка и во второй степени (там же, стр. 49—55)г).
ШЕС'ГоП СЪЕЗД
С.-Петербург, 20—3U декабря 1870 г.
1. А. Ю. Давидов. Заметка об определенных интегралах
([в], стр. 141—143).
2. В. В. Преображенский. Об интегрировании Ла-
пласова уравнения посредси.^м кватерпионов ([6], стр. 145—149)
3. В. II. Максимов и ч. Условия для того, чтобы произволь-
ные постоянные были между собой различны ([6], стр. 155—157).
4. В. П. М а к с и м о в и ч. Вычисление отделенного корпя
([в], стр. 157—159).
5. А. Н. Корки п. Относительно выбора знака в сравнении
V—1
1-2-3... —^zfcl (мод. р) нрп р простом вида 4п-|-3 ([°], стр. 169).
6. II. В. Б угле в. О связи между двумя числовыми фупкцпп-
мп ([«], стр. 170).
7. 10. В. С о х о ц к и й. Начала теории идеальных кубиче-
ских чисел ([»], стр. 170 175).
8. Г. А. Орлов. О некоторых полиномах со многими пере
мениымп. ([6], стр. 175—181).
9. К. А. Поссе. Об одном вопросе о наименьших величинах
(161> стр. 182).
10. Н. И. Зинин. Замечание об Эйлеровых функциях ([®],
стр. 183).
11. П. В. Буга е в. Некоторые свойства вычетов и числовых
сумм ([“), стр. 183—185).
12. Г. О. Миттаг-Леффлер. О дифференциальных
линейных уравнениях ([®], стр. 186—188).
13. 1. А Марков. О Бернуллиевом вопросе ([6],
стр. 188—189).
14. А. В. Васильев. Об алгебраических интегралах диф-
ференциальных линейных уравнений ([6], стр. 196—200).
15. Н. П. Алексеев. Об интегрировании дифференциаль-
ного уравнения 2-го порядка ([®1, стр. 202).
16. IO. В. С о х о ц к и й. Доказательство, что функция / (z)
не может иметь более двух периодов (["], стр. 203—205).
17. Н. П. Билибин. О поверхностях minimum, проходя-
щих через данную кривую, причем ряд нормалей к поверхности,
’) В Математическом сборнике, т. XIV, 1888 опубликованы по-
смертно две работы А. В. Летпикова, о которых (см. стр. 202—203,
303—304) говорится, что онп были доложены А. В. Летппковымпа
Варшавском съезде.
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 149
вдоль заданной линии, должен следовать наперед заданному зако-
ну ([6], стр. 20о—206).
18. С. В. Ковалевская. *О некоторых абелевских инте-
гралах высшего порядка.
19 Г II. Морозов. О распределительном символе.
2(у М. Ф. Ковальский. *О линейном дифференциальном
сравнении о двтх переменных 2-го порядка ([6], стр. 208)
? 21. П. А. Шифф. О некоторых условиях интегрируемости
уравнения вида y"+Py'-rQy~O при переменных коэффициентах
([6], стр. 210—211).
22 В. К. Ч е х о в и ч. Об интерполировании ио спосооу
наименьших квадратов.
23. А. А. Марков. *06 одной формуле ([CJ, стр. 211).
24. Б. А. Р о з е н б е р г. О графическом исследовании
уравнении 3-й степени.
25. Б. А. Розенберг. Физико-геометрическое решепие
уравнений высших степенен.
26 10. В. С о х о ц к и й. О разложении простых чисел вида
4п-Н на сумму двух полных квадратов ([6J, стр. 212).
СЕДЬМО!! СЪЕЗД
Одесса, 1S—28 августа 1883 г.
1. A. II. Старков. Об определителях в применении к ис-
следованию свойств уравнений ([7], 19 августа, стр. 2—3).
2. Б. В. Боб ы пин. Философское, iiaj4Hoe и педагогиче-
ское значение истории математики.
3. В. II. Е р маков. О сходимости рядов ([’], 20 августа,
стр. 2—3).
4. Н. II. 6.1 у г в но в. О тождестве (I7], 22 августа, стр. 2—3).
5. Ману и лов. О форме записей прп вычислениях по алгеб-
раической формуле ([7], 20 августа, стр. 1—2).
6. С. В. Ковалевская. Об интегрировании дифферен-
ту альиы.х уравнений е частными производными, определяющих
преломление светт в прозрачной кристаллической среде ([’],
22 августа, стр. 1—2).
7. В. В. Б о б ы н и н. О собирании памятников народной
математики.
8. Н. । Л а п ш и н. О бесконечных рядах, которыми индий-
ские ыатемашкп выражали отношенпе окружности к диаметру.
9. В. В. Преображенский. Об упрощенном способе
преобразовании второй вариации простых интегралов ([7], 24 авгу-
10. Н. С. II о ч и н с к и й. О возможности и пользе истолко-
вания всего курса чистой математики посредством элементарной
геометрии на плоскости.
11. К. А. Андреев. Об одном соотношении, дающем в ча-
стности формулу П. ,1. Чебышева, представляющую разложеппе
и ряд определенного интеграла от произведения функций.
150
С. Н. КИРО
12. М. Ф. Хапдриков. О решении задачи Кеплера * 2) ([7],
25 августа, стр. 3—fl).
13. Г. С. Ill а и и р о. О полном решении общего алгебраиче-
ского уравнения л-й степени с переменными коэффициентами по-
мощью кофункцмп от степенных рядов.
14. А. 11. Старков. О решении уравнении ([7], 26 августа,
стр. 1—3).
15. И. Я. Сонин. Обобщение одной формулы Абеля’2).
16. Г. С. III а п и р о. Основание для решения дифференциаль-
ного гомогенного уравнения n-го порядка помощью кофункций и
обобщенно такого общего решения каких либо линейных оператив-
ных уравнений л-го порядка.
17. В. В. В о б ы п и п. Приемы официального землемеряя
в России XVII столетия ([7J, 26 авг)Ста, стр. 3—4).
ВОСЬМОЙ СЪЕЗД
С.-Петербург, 28 декабря 1889—7 января 1890 г.3 * * *)
1. Н. В. Буг а е в. Об одной теореме общей теории алгебраи-
ческих кривых высшего порядка.
2. В. II. Ермаков. О разложении произвольной функции
по знаменателям подходящих дробен.
3. П. \. Некрасов. О предельном круге Фукса.
4. В. В. Преображенский. О сведении некоторых
вопросов теории чисел к алгебре.
5. А. II. Корки н. О географических картах.
6. II. П. Д о л б н я. О псевдоэллиптпче кис интегралах.
7. II. \. Некрасов. О некоторых функциях, выражаю-
щихся при помощи символов общего дифференцирования (опреде-
ленных интегралов).
8. И. В Преображенский. О характеристических
кривых алгебраических уравнений.
9. А. 11. Б о г у с л а в с к и й. Обобщение вопроса о гео-
метрическом исчислении и о способе М. Мари изображения мнимых
элементов в геометрии.
10. А. А. М а р к о в. Пример pai пространенмя способа Мак
лорена решать вопрос о сходимости рядов на многократные суммы.
11. В. II. С т а н е в и ч. Об одной двукратной сумме.
12. В. В. Боб ы н и н. Современное состояние преподавания
истории математики.
13. Б. К. М л о д з е е в с к и й. Уравнение с частными про-
изводными, котором) удовлетворяют координаты всех поверхно-
стей, налагающихся на данную.
*) Доложено А. К. Кононовичем.
2) Доложено В. В. Преображенским.
3) Краткое, в несколько строк, содержание сообщении приве-
дено в дневнике съезда [8J, именно, сообщений 1—5 в № 3 дневни-
ка, стр 1—2; 6—9 в № 4, стр. 2; 10—12 в № 6, стр. 2; 13—15
в № 8, стр. 3; 16- -17 в Л» 9. стр. 2; 25 —31 в № 10, стр. 8—9.
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 151
14 И. А. К л е й б е р. О функциях, связанных с эллиптиче-
скими интегралами и сходных с функциями Лежандра.
15. К. А. Торопов. Об одном неопределенном уравнении.
16^ В. П. Ермаков. О постулате Евклида1).
17* П. В. Преображенский. Об углах с параллель-
ными и перпендикулярными сторонами.
18. И. II. Александре в. *06 умножении па дробь.
19* В. В. Преображенский/ *Пекоторые изменения
в способе обучения делению полых чпсел.
20. А. П. Киселе в. *0 различных определениях понятия
предела.
21. П. Л. Щ е и а н с к и й. *0 необходимости пропедевтиче-
ского курса геометрии в средних учебных заведениях.
22. Ш а ц о я. *06 умножении на именованное число.
23. II. II. Ill е н р о к. *0 наложении плоскостей.
24. Г. В. Б у л ю б а ш. *0 решении системы уравнений по
способу Безу.
25’ В. Г. II м ш е н е ц к и й. Об интегрировании некоторых
шфференцпальных у равнений.
26. В. В. Б о б ы н и н. Несколько фактов из истории донауч-
ного состояния геометрии.
27. Г. К. Суслов. О кривизне поверхностей.
28. II. II. П л а м е и е в с к и й. Характеристическое свой-
ство секущей, проходящей через замечательные точки треугольника.
29. И. В. Мещерски й. О теореме llj ассона при существо-
вании условных уравнений.
30. Д. А. Граве. О задаче Менделеева.
31. II. Н. Зпппн. Об одпом кратпом интеграле.
ДЕВЯТЫЙ СЪЕЗД
Москва, 3- 11 января 1894 г.
1. В. В. Бобынин. Обозрение деятельности секции мате-
матики, механики и астрономии за 25 лет существования съездов
естествоиспытателей п врачей в России (1867—1892) ([»J, № 4,
2. II. М. 3 а и ч с в с к п й. К теории дифференциальных
} равнений (там же, стр. 2—3).
3. Г. К. С у с л о в. По кинетической геометрии (там же, стр. 4).
ч. II. П. Долбня. О псевдоэллпптпческих интегралах,
зависящих от радикалов 4-п и 6-й степеней ([®J, А5 5, стр. 8).
5. П. С. II о р е ц к и й. Новый способ для составления таб-
лиц Hal меньших делителей2) (там же, стр. 8—9).
6. Н. Б. Делоне. Об одном способе черчения трохоид
(там же, стр. 9—10).
*) Сообщения 16—24 были сделаны на собрании преподавателей
математики и членов ст.езда в Педагогическом музее 4 января 1890 г.
2) Доложено Д. Ф. Селивановым.
152
С. Н. НПРО
7. Н. А. Сорок и я. О сумме цпфр при различных системах
счисления (там же, стр. 10).
8. II. М. Покровским. Теорема Абеля и ее значение
в теории трансцендентных функции ([91, № 6, стр. И).
9. П. М. П о к р о в с к и й. Новые приложения теоремы
Абеля к теории ультраэллиптических функций (там же).
10. II. М. 3 а н ч е в с к и й. Из теории определителей (там же,
стр. 11—12).
11. П. В. Преображенский. О работах священника
II. М. Первушина ([9], А» 9, стр. 1—2).
12. II. П. С околов, О группах круговых подстановок
([»], № 7, стр. 19—20).
13. II. П. Соколов. О новой точке в плоскости четырех-
угольника (там ясе, стр. 20).
14. В. В. Бобынин. Первичные методы решения вопросов
из области науки чисел (там же. стр. 20—21).
15. X. 11. Г о х м а н. Вычерчивание эллипса помощью трех
различных кругов (около 8 центров) (там же, стр. 21).
16. Н. Б. Делоне. О механическом черчении эллипса и
гиперболы (там же, стр. 21—22).
17. Б. К. М л о д з е е в с к и й. Исторический очерк дея-
тельности Московского математического общества Д.
18. Н. Е. Жуковский. Значение геометрического истол-
кования в теоретической механике.
19. П. В. Преображснски й. Видоизменение форму 1ы
Лежандра, относящейся к числу простых чисел до данного предела
([9], № 9, стр. 1—2).
20. II. А. Сороки н. Решение сравнений 3-й степени
(там же, стр. 3—4).
21. П. С. П о р е ц к и й. О желательности включения мате-
матической логики в круг предметов университетского образова-
ния 2).
22. В. П. Ц и и г с р. Недоразумения во взглядах на основа-
ния геометрии.
ДЕСЯТЫП СЪЕЗД
Iiuee, 21—30 августа 1898 г.
1. II. В. Бугаев. Математика и научно философское миро-
созерцание ([10], стр. 36—52).
2. В. А. Стеклов. 6 задаче Фурье ([10J, стр. 105 —106).
3. П. С. Пазимо в. О распространении способов Ньютона
и Лагранжа наименьших и наибольших показателен к двум уравне-
ниям ([101, стр. 106).
Д Сообщения 17 и 18 состоялись на объединенном заседании
Московского математического общества и IX с ьезда русских есте-
ствоиспытателей и врачей в связи с 25-летием общества.
-) Доложено К. А. Андреевым.
МАТЕМАТИКА на СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 153
4 Д. Ф. Егоров. Особые элементы сравнений с частными
производными 1-го порядка ([10], стр. 106—107).
5. П. II- П л а м е н е в с к и й. Одно из применении теории
указателей ([10], стр. 107).
6. II. П. Долби я. Обращение абелевых интегралов пер
вого ранга ([10Ь стр. 227). о
7. Н. Б. Д е л о н е. О поверхностях об одной стороне и об
особых точках кривых ([10J, стр. 140—141).
8. Г. Ф. Вороной. О числе корней сравнения 3-й степени
при простом модуле ([10], стр. 329).
9. П. А. Некрасов. Общие свойства .массовых независи
мых явлений в связи с приближенным вычислением функций
весьма больших чисел х).
10. Л. Ф. Рисе. Общий признак делимости па все первоначаль-
ные числа в частности и па нечетные числа (кроме 5, 15, 25, 35...)
вообще ([10[, стр. 329—331).
11. П. В. Преображенский. Распространение теории
квадратичных форм на мнимое переменное ([10], стр. 331).
12. В. Л. Некрасов. К теории функций действительной
переменной ([10], стр. 427—430).
13. В. П. Е р м а к о в. О правильных рпмановых поверх-
ностях.
14. Д. М. Синцов. К теории коннексов ([10], стр. 430).
15. Д. Ф. Е г о р о в. Геометрическая интерпретация били-
нейного уравнения с частными производными второго порядка и
дифференциальных уравнений его характеристик ([10], стр. 430—•
131).
16. II. С. Ф л о р о в. Некоторые свойства коэффициентов
целой рациональной функции, обладающей исключительно вещест-
вепныуш корнями ([10], стр. 431).
17. II. А. Столяров. Аналитический признак осп симмет-
рии, содержащей фокусы ([10], стр. 431—432).
18. II. А. Долгуши н. Приложение принципа линейного
интерполирования к извлечению квадратных п кубичных корней
([101. стр. 432 -433). ’ 1
19. С. О. Ш а т у н о в с к п й. Основания теории площадей
и об ьемов.
20. А. В. Васильев. О педавпо п поденном учебнике гео-
метрии II. П. Лобачевского.
ОДППНАДЦ\ТЫ П СЪЕЗД
С.-Петербург, 20—30 аекабря 1901 г.
1. Д. Н. 3 е й л п г е р. По поводу формул Serret— Frenct (I11],
стр. 60).
2. Г. Ф. В о р о н о й. Расширение понятия о пределе суммы
членов бесконечного ряда (I11], стр. 60—61).
*) Доложено Б. Я Букреевым.
154
С. Н. НИРО
3. II. И. Белянкин. Обобщение теоремы Гюльдена отно-
сительно объемов ([1Х], стр. 121).
4. Г>. II. Е р м а к о в. Однозначные функции с дефектными
площадями.
5. II. II. Д о л б н я. О некоторых свойствах абелевых инте-
гралов.
6. М. II. Л а г у т и н с к и й. К вопросу об определении про-
изводной (I11], стр? 121—122).
7. М. А. Т и х о м а н д р и ц к и й. Формула Стокса ([1Т],
стр. 178—179).
8. II. II. Гернет. О новых основаниях вариационною
исчисления ([X1J, стр. 179—180).
9. II. II. Шенрок. О кривых линиях, имеющих отношение
к графическому изображению системы элементов Д. II. Менделеева
([“I, 180—181).
10. А. Я. Г о д н е в. К вопросу о постановке изучения ариф-
метики и геометрии в курсе интенсивного образования1).
1 I Г. А. Г е л ь б а к. Об умножении чисел в уме.
12. Г. Ф. В о р о и о и. О суммировании ря н’в при помощи
определенных интегралов.
13. 11. II. Белянкин. Обобщение теоремы Гюльдена,
относящейся к поверхностям ([1Х], стр. 241—-242).
14. А. С. Ф а м и и ц ы н. О двух международных предприя-
тиях: I) о международной библиографии по естествознанию и мате-
матике; 2) о международной ассоциации академий ([хх1, стр. 690—-
699).
Io. Д. Ф. Селиванов. О бесконечном произведении,
соответствующем знакопеременному ряду ([rlJ, стр. 325—326).
16. Е. Ф. Л и т в п н о в а. Превращение одной римановой
поверхности в круг.
17. А. Д. А леи и цын. Новая теорема в геометрии п се
следствия (I11!, стр. 326—327).
18. II. М. А н о щ с н к о. Элементарный способ решения
численных уравнений 2) ([хх], стр. 393—394).
19. II. С. Фролов. Элементарное доказательство теоремы
Якова Бернулли ([хх], стр. 394—395).
20. Б. Ф. К а г а и. Система посылок, определяющих евкли-
дову геометрию ([хх1. стр. 395).
21. Б. М. К о я л о в и ч. Об одном обобщении формулы
Грина ([х11, стр. 616—617).
22. Б. М. К о я л о в и ч. К вопросу об единственности неко-
торых решений линейных дифференциальных уравнений (там же).
23. Г. Ф. Г> о р о н о й. Об одной задаче теории вероятностен.
24. II. С. II о р е ц к и й. О распространении таблицы, за-
ключающей все главные следствия и причины для каждого из про-
х) Сообщения 10 и I 1 состоялись па объединенном заседании
учебно-воспитательною комитета lie iaroi iiuci koiо музея и секции
математики и механики съезда 24 декабря 19UI г.
2) Доложено М А. Тихомандрпцкпм.
МАТЕМАТИКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕЙ 15а
тивоноложных равенств P=Q и P-=Q0 на случай неравенств
р Be=Q и Р не=@0.
95. д. ф. Селиванов. О решении линейных уравнении
ним помощи определителей.
1 26. Н. Н. Парфентьев. *0 курсе математики средней
школы1) ([1Х1, стр. 600).
•> 7 В. П. Е р м а к о в. *0 ведении преподавания1) (там же).
28 ^ П. М. Новиков. *0 характере преподавания матема-
тики1) ([“]> СТР- 600—601).
ДВЕНАДЦАТЫЙ съезд
Москва, 28 декабря 1909—6 января 1910 г.
1. А. П. Коте л ьнпков. Обобщение средней арифметико-
геометрической ([12I, № 3, стр. 1—2).
2. А. П. К о т е л ь н и к о в. Графическое построение перио-
дов эллиптического интеграла (там же).
3. П. П. Г е р н е т. О вариационном исчислении ([12J,
стр. 124).
4. С. А. Ч а п л ы г и и. О приближенном вычислении инте-
гралов дифференциальных уравнений ([12], стр. 2—3).
5. И. И. Чистяков. Обобщение теоремы Эйлера в теории
чисел Ц12], стр. 124).
6. Г. В. К о л о с о в. Применение теории функций комплекс-
ного переменного к интегрированию гипергармонического уравне-
ния и —0 при заданных условиях па контуре ([12J, стр. 123).
7. 1О. Г. Рабинович. (1 лпнейпоп вектор-функшгп и ее
приложениях ([13J. стр. 247—248).
8. II. В. С т ап ксви ч. О некоторых применениях контакт-
ного преобразования ([121, стр. 248—249).
9. Д. М. Синцов Этюды но теории коннсксов (I1’2], стр. 249).
10. А. К. Власов. Геометрическое определение алгебраи-
ческих кривых, поверхностей н вообще многомерных форм высшпх
порядков ([12]. стр. 249—250).
11. Г. В. П ф е й ф ф е р. Об упиплапарных точках алгебраи-
ческих поверхностей ([121, стр. 250—251).
12. М. II. Лагутпнски й. Об интегрировании алгебраи-
ческих дифференциальных уравнений ([12J, стр. 251).
13. Д. М. С и н ц о в. Доклад об организации текущей рус-
ской математической библиографии ([121, стр. 223—224).
14. С. О. Шатхновски й. О сравнениях по системе моду-
лей (P2L стр. 314—315).
la. Н. М. Г ю п т е р. К теории характеристик систем уравне-
ний в частных производных с одной неизвестной функцией от т
независимых переменных ([121, стр. 316).
х) Состоялись на объединенном заседании секции математики
и отдела математики педагогического музея военно-учебных заведе-
ний 29 декабря 1901 г.
156
С. 11. КИРО
16. II. С. Флоров. Способ вычисления отношения окружно-
сти к диаметру с пятью десятичными знаками, пригодный для препо-
давания в средних школах (I12], стр. 316).
17. В. А. Стеклов. 05 уравнениях математической физи-
ки1) (I1®], стр. 425—426).
18. А. Н. Крылов. Об интеграторе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений ([12], стр. 427).
19. Г. В. Колосов. Плоская задача математической тео-
рии упругости ([12J, стр. 427—428).
20. II. II. «К е г а л к и н. О бесконечных множествах (I12],
стр. 428).
21. В. В. Бобынин. О древних и новых нападках на чи-
стую математику ([13], стр. 429).
22. П. М А н о щ е н к о. Элементарный способ решения
уравнений2) ([121, стр. 429—430).
23. Н. М. Г е р с е в а н о в. О номографии.
24. В. В. Б о б ы н п п. Естественные п искусственные пути
восстановления историками математики древних доказательств
и выводов ([12], стр. 430—431).
25. Д. А. Граве. О вычислении таблицы индексов для вто-
рой тысячи ([121, стр. 431).
26. Д. М. Синцов. О системах кривых, связанных с глав-
ной копнцпденцией коннскса (хри) (I1-), стр. 432).
27. П. С. Э р е н ф е с т. О двух неразрешенных вопросах
математической физики.
ТРИНАДЦАТЫХ! СЪЕЗД
Тифлис, 16—24 июня 1913 г.
1. В. В. Бобынин. Древнеиндусская математика и отно-
шение к ней древней Греции ([13], стр. 108).
2. Д. М. С и н ц о в. Теория коннексов.
3. Д. М. С и н ц о в. По поводу одной геометрической задачи,
а именно—построить треугольник по биссектрисе, стороне и углу,
лежащему против этой стороны.
4. Я. II. Г р д и н а. Динамика живых организмов ([13],
стр. 413—414).
5. М. II. Л а г у т и и с к и и. Об алгебраическом интегриро-
вании дифференциальных" уравнений ([13], стр. 414).
6 II. С. Ф л о р о в. Элехшитариое решение задачи Бюффона
по теории вероятностей.
7. Я. В. Успей с к и й. О некоторых арифметических тео-
ремах, вытекающих из теории эллиптических функций ([I3J,
стр. 414—416).
*) Доклады 17—19 состоялись на объединенном заседании
Московского математического общества и секции математики
съезда 3 января 1910 г.
-) Доложено Д. Ф. Егоровым.
МДГЕМАГНКА НА СЪЕЗДАХ ЕСТЕСТВОИСПЫТАТЕЛЕ!! 157
8 10 Г. Рабинович. О площади кривой поверхности
(psi стр. 416—417).
' 9 В. В. Б о б ы н и н. Об изучении кавказских народных
математических знаний (1131, стр. 417).
10. М. Н. Л а г у т и н с к и и. К теории исключения (L13),
стр. 256). .
11. М. О’. Ефимов. Об эллиптических интегралах.
12* 11. 11. К у р п л к о. Элементарное, независимое от поло-
жений высшей алгебры, доказательство трансцендентности гонио-
метрических функций.
13. А. А. В о л к о в. Об аксиомах и определениях в матема
тике ([13], стр. 418—419).
14. Т. II. А с т а п о в. О знаке расстояния точки от прямой.
15. В. В. Бобынин. Распространение клинообразных
числовых знаков (I13], стр. 419).
16. Ю. Г. Рабинович. Обобщение понятия о движении
стр. 417—418).
17. А. II. Ш у к а р е в. Математические основания кинетики
общественных процессов ’).
18. Б. К. Крамаренко. Об анкете по вопросу препода
вапия математики в мужских гимназиях и реальных училищах
Кавказского у гебного округа ®).
19. М. П. П е е о ц к и й. *06 анкете по вопросу преподава
иия математики в женских гимназиях Кавказского учебного
округа.
20. В. П. С в е н ц и ц к и й. Математика в средних промыш
11‘пных училищах ([J4J, СТР- 642—651).
21. Д. Д. Галанин. Об именованных числах ([141,
<-тр. 585—598).
22. П. Е. Я рал ап ц. Об усовершенствованных действиях
над периодическими дробями.
23. М. П. В о с к р е с е п с к и й. Желате п.пыс и возможные
изменения курса анализа и аналитической геометрии средней школы
([141, стр. 582—584).
24. А. М. А м м о с о в. К вопросу о прораоотке курса анализа
бесконечно малых в средней школе п о его пропедевтике ([14J,
стр. 565—57о).
2ж ‘I и пкип. Некоторые теоремы стереометрии ([14],
26. Н. А. Григорянц. Как преподавать геометрию в
среднем школе ([“], стр. 599—613).
4) Состоялось на обьедпненном заседании подсекций стати
стики и математики 23 июня 1913 г.
2) Сооощения 18 31 состоялись на заседанпях физико-матема-
тического отдела секции педагогических вопросов съезда. Они,
иногда с несколько измененными названиями, напечатаны в [14],
где помещена также статья В. М У сиенского «О решении арифме
тическпх задач в с ре щей школе,) (|и). стр. 652 664)
158
С. Н. НИРО
27. М. П. Песоцкл й. Лабораторный метод в преподава-
нии математики ([и], етр. 717).
28. П. С. Ф л о р о в. Теория вероятностей как учебный пред-
мет в средней школе ([141, стр. 665—679).
29. II. II. Курилко. Гониометрические уравнения ([14],
стр. 625—632).
30. П. II. Курилко. О преподавании тригонометрии в
сроднен школе ([li], стр. 614—623).
31. К. 11. А с л а и о в. Об определении объемов и поверхно-
стей тел вращения ([и], стр. 576—581).
Л II Т ЕРЛ Т J I’ А
1. Груды первого съезда русских естествоиспытателей, СПб.,
1868.
2. Труды второго съезда русских естествоиспытателей, М.,
1870.
3- Труди третьего съезда русских естествоиспытателей, Киев,
1873.
4. а) Протоколы и речи общих собраний четвертого съезда
русских естествоиспытателей, Казань, 1873.
б) Протоколы секционных заседаний IV съезда русских есте-
ствоиспытателей в Казани, Казань, 1873.
5. Труды пятого съезда русских естествоиспытателей и врачей,
Картава, 1877.
6. Речи и протоколы 5 1 съезда русских естествоиспытателей
и врачей, СПб., 1880.
7. Протоколы VII съезда русских естествоиспытателей п вра-
чей, Одесса, 1883.
8. Дневник VIII съезда русских естествоиспытателей и врачей,
СПб., 1890.
9. Дневник IX съезда русских естествоиспытателей и врачей,
М„ 1894.
10. Дневник X съезда русских естествоиспытателей и врачей,
Киев, 1898.
11. Дневник XI съезда русских естествоиспытателей п врачей,
СПб., 1901.
12. Дневник XII съезда русских естествоиспытателей и врачей,
М., 1910.
13. Дневник XIII съезда русских естествоиспытателей п вра-
чей, Тифлис, 1913.
14. Труды XIII съезда русских естествоиспытателей п врачей,
т. V, 2-й полутом, Тифлис, 1916.
О НЕКОТОРЫХ НЕРЕШЕННЫХ ВОПРОСАХ ИСТОРИИ
АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ ')
•9. Колъман
История математики, являясь, как и всякая история,
наукой о прошедших событиях, может содержать досто-
верные сведения лишь постольку, поскольку эти события
оставили после себя прямые пли косвенные следы, со-
хранившиеся для нас. Однако развитие математических
знаний не всегда фиксировалось в развернутом виде
в письменной форме. Частично оно передавалось устно:
например, египтяне и вавплоняпе записывали лишь пред-
писания для решения задач, оставив пас в неведении
относительно метода открытия ими этих предписаний.
Далее, многочисленные математические' памятники были
полностью или частично утеряны либо вследствие войн
н общественных переворотов, приведших к гибели целых
культур (например, этрусков, майя, пародов Океании),
либо из-за непрочности материала (например, у древних
индийцев и китайцев до изобретения бумаги), либо вслед-
ствие потери интереса к предмету (например, в Риме после
упадка эллинистической культуры).
Затем, многие дошедшпе до пас тексты либо пока еще
вовсе не изучены (как, например, десятки тысяч клино-
писных табличек в разных музеях мира), либо из-за фи-
лологических трудностей приводят к разночтениям (при-
мером могут служить различные толкования Московского
1) Доклад, читанный па секции истории математики 1Г1 Все-
союзного математического съез (а 27 июня 1956 г.
J Oil
J. КОЛЬМАН
математического папируса, данные Струве и Питом, или
различная интерпретация некоторых клинописных тек-
стов Нейгебауэром, Тюро-Данженом, Бройнсом и др.).
Наконец, немалая часть исторических сведении дошла
до нас в поздних копиях и переводах, содержащих мно-
жество новых наслоений, а то и вовсе в передаче коммеи
таторов, исказивших ненамеренно или даже умышленно
тенденциозно действительный ход событий, как это сде-
лал, например, Прокл Дпадох, стремившийся выдвинуть
иеоппфагорсйцев и неоплатоников и -умолчать о матема-
тиках-материалистах. Таким образом, условие, требуемое
для нау чпого освещения фактов, выполняется далеко пе
всегда, и чем более отдалена от нас эпоха, тем реже. По-
этому в истории математики, особенно древней, встре-
чается множество нерешенных вопросов.
При таком положении вещей возможен, вообще го-
воря, двоякий подход к подобного рода вопросам.
Понимая под историей математики изложение одних
только лишь фактов, можно стараться избежать попыток
воссоздать утерянные звенья. Разумеется, без объектив-
ных фактов никакая научная история невозможна, и уста
повленпе их имеет псключптелыю большое значение. Од-
нако подход, превращающий историю математики в «фак-
тологию», исходит из желания избежать всяких методологи-
ческих проблем, как чреватых опасностью впасть в ка-
кой-нибудь идеологический «уклон», и на деле является
худшим видом идеологических блужданий — позитивиз-
мом. Он изгоняет из историп наукп теоретическое мыш-
ление, лишает ее всякой научности. Понятно, что при
таком подходе напболес жестоко расправляются с исто-
рией древней математики, как содержащей, естественно,
наибольшее количество «белых пятен». Неудивительно,
что у стоящи на этой точке зрения историков наукп четко
выражена тенденция к пренебрежению историей древности.
Незачем доказывать, что развитие исторической нау-
ки должно содействовать строптельству коммунисти-
ческого общества, которое ведь невозможно завершить
ле только без создания технпко-экономической базы, но
и без дальнейшего повышения идеологического уровня
и всестороннего расширения культурного кругозора.
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ 1НТИЧ1ЮП МАТЕМАТИКИ 161
А последнее требует знаний всех исторических истоков
нашей культуры, в том числе и столь важной ее ком-
поненты, какой является математика. Великий Ленин
завещал нам разработку истории науки и техники как
одного из важнейших путей подтверждения и дальнейшего
развития материалистической диалектики, и эту задачу
отнюдь нельзя перекладывать на одних лишь философов.
С другой стороны, нельзя одобрительно относиться к тем
историкам математики, которые предпочитают изучать
древнюю математику ради нее самой, тщательно избе-
гая всяких обобщений, связывающих ее с современно-
стью, с проблемами математики наших дней.
Иной, единственно верный подход состоит в том, чтобы
доискиваться решения нерешенных вопросов, чему, ко-
нечно, может послужить открытие новых исторических
источников, как это наглядно показывает пример с давно
дискутируемым вопросом о происхождении шестидесяте-
ричной системы счета. По поводу пего высказывались
самые различные сомнительные предположения, пока
Хильдегардом Леви ]) не были найдены и расшифрованы
шумерийские и вавилонские хозяйственные тексты, поз-
волившие с большой степенью вероятности установить
связь этого счисления с ведением сельского хозяйства
в условиях домашне-рабского строя. Однако, какие бы
перспективы ни сулили подобные новые открытия, они
являются лишь спорадическими и не могут избавить нас
от необходимости выдвижения научных гипотез. Как
и всякая другая наука, история математики без гипотез
развиваться не может. Здесь они относятся к трем основ-
ным группам нерешенных вопросов.
К первой группе принадлежат вопросы, касающиеся
хронологии, установления дат тех или других научных
открытий или сочинений, а также биографических дан-
ных о тех пли других математиках. Конечно, история ма-
тематики является прежде всего историей математиче-
ских идей, и ее не следует сводить ни к истории матема-
тических произведений, ни тем более к истории жизни
1) Hildegard Lewy, Origin and Development of Sexage-
simal System of Numeration, Journal of the American Oriental Soci-
ety, v. 69, № 1, 1949.
11 Истор.-матем. исслед., вып. XI
162
Э. КОЛЬ MAH
и деятельности отдельных математиков. Однако матема-
тические идеи воплощаются в математических сочине-
ниях, и те и другие создаются живыми людьми.
Поэтому неверно было бы обходить эти вопросы пли
считать, что они не имеют значения. Разумеется, было бы
весьма ценно установить, например, какие из приписы-
ваемых Фалесу геометрических теорем, а в особенности
доказательств их, принадлежат в самом деле ему, или
по крайней мере его веку, и какие из них являются про-
дуктом более позднего развития. Такое хронологическое
уточнение значительно содействовало бы решению боль-
шого принципиального вопроса о том, насколько и в ка-
ком виде математические знания египтян и вавилонян
были переняты греками, насколько последние находились
под влиянием своих древних восточных предшественников
не только в смысле накопления большого количества ма-
тематических фактов, но и развития доказательств.
Если бы это удалось, то пресловутый «эллинский дух»,
которому некоторые историки математики капиталисти-
ческих стран упорно приписывают возникновение теоре-
тической математики, оказался бы, надо полагать, нако-
нец, призраком. Следует иметь в виду, что, отрицая за
географическим и антропологическим факторами роль
причины развития математики, мы вовсе не отрицаем их
значения как условий, придающих этому развитию его
национальное своеобразие.
Во вторую группу входят вопросы, относящиеся к ма-
тематическим приемам, с помощью которых древние по-
лучали свои результаты. Так, например, у египтян име-
лись обширные таблицы превращения дроби 2/п в али-
квотные дроби, таблицы, идущие от п=5 до п=101.
Однако на вопрос о том, каким методом они пользо-
вались для составления этих таблиц, можно дать лишь ги-
потетический ответ. И, в самом деле, выдвинуто несколько
различных предположенпй, в том числе и советскими
историками математики. Иногда представляется затруд-
нительным напасть хотя бы на след пусть лишь гипо-
тетического ответа. Так, например, новейшие открытия
Бройнса показали, что вавилоняне пользовались табли-
цами сумм ж2-Тж3 для решения уравнений высших по-
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ 163
рядков, однако у нас мет никакого представления о том,
как именно опп применяли эти таблицы.
Самого большого внимания заслуживает третья группа
нерешенных вопросов, наиболее тесно связанных с общей
характеристикой развития математики данной эпохи, если,
конечно, принять во внимание некоторую неизбежную
условность предложенного здесь деления. Для примера
укажем такие вопросы, как уже упомянутый выше:
почему математика как теоретическая наука оформилась
именно в Греции и чем был вызван ее особый характер;
какова была сущность кризиса, связанного с открытием
несоизмеримых и как развивалась идея бесконечности
в древнегреческой математике; почему греки применяли
в качестве подлинно геометрических построений лишь
построения при помощи линейки и циркуля, да и то
с известными ограничениями; почему в «Начала» Евклида
не вошли все геометрические знания его эпохи; каков
был характер п причины упадка эллинистической мате-
матики и др. Остановимся вкратце на этих вопросах.
В новейшем большом труде по истории математики,
в вышедшей в 1954 г. в Голландии книге «Пробуждаю-
щаяся наука» Б. Л. Ван-дер-Вардена, последний при-
знает, что «мы должны расстаться с традиционным убеж-
дением, будто древние греческие математики полностью
сами открыли геометрию и едва ли были обязаны чем-
либо более древним культурам, убеждением, которое
можно было поддерживать лишь до тех пор, пока ничего
не было известно о вавплонской математике» г). Однако,
признавая преемственность, автор понимает ее лишь как
относящуюся к «разрозненному строительному материалу»,
между тем как «доказательства одной теоремы из другой...
логическая структура геометрии... стпль, в котором
оыло построено ее здание»—. все это, согласно Ван-дер-
Вардену, целиком принадлежит гению Фалеса и «сви-
детельствует о ясном мышлении греков, мышлении, кото-
рое не терпит ничего темного, никаких сомнений отно-
сительно правильности сделанных выводов».
9 В. L. Van der VV а е г d е n, Science awakening, 1954,
тр. 89—90 (русский перевод выходит в Физматгизе).
И*
164
э. кольмлп
Для того чтобы поддержать эту новую версию зарож-
дения теоретической математики из особенностей гре-
ческого духа, Ван-дер-Варден пытается опровергнуть —
но тщетно — убедительную аргументацию Т. Хпса. По-
следний обратил внимание на то, что даже Евклид спустя
три века после Фалеса не доказывал теорему о делении
круга пополам его диаметром, доказательство которой
будто бы дал Фалес. На деле вряд ли возможно отрицать,
что доказательства в зародышево!! форме имелись уже
у египтян и вавилонян. Ведь нельзя, например, до-
пустить, чтобы известный египтянам способ определения
объема усеченной пирамиды или вавилонский способ де-
ления площади трапеции прямой, параллельной основа-
нию, на две равные части, был найден эмпирически, чего,
конечно, не допускает и Ван-дер-Варден. Следовательно,
приходится признать, что логические методы вывода
в какой-то мере имелись ужо у предшественников греков,
и если они не сохранились в письменности, то по при-
чинам не математического, а общественно-организацион-
ного порядка, наложившим свой кастовый отпечаток
на весь догматический изустный способ передачи знании
в школах писцов.
На долю греков выпало развить дальше дошедшие
до них методы, и если они смогли осуществить это с та-
ким блестящим успехом, сделав их вместе с тем достоя-
нием потомков, то не благодаря особенностям своего духа,
порожденного то ли их кровью, то ли благодатным клима-
том Эгейского моря, а вследствие благоприятно сложив-
шихся в Элладе общественных условий. Именно рабовла-
дельческая демократия за счет рабского труда дала для
свободных граждан полисов досуг, но не лишила господ-
ствующий класс —ио крайней мере в период восходящего
развития — его организаторской роли. Вместе с тем она
развила в политических диспутах и в публичных судах
уменье доказывать и опровергать, логически мыслить
и сделала логическое обоснование математических теорем
как возможным, так и необходимым.
Развивавшаяся в рабовладельческой демократии про-
тивоположность между умственным и физическим тру-
дом в конце концов привела к отделению теоретической
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ 165
математики от практической. Постепенно и «черная ра-
бота» умственного труда — труд переписчика и счетчика —
передавалась рабам. Господствующий класс получил до-
статочно досуга для теоретического мышления. От «ло-
гистики» и «геодезии» отделились теоретическая арифме-
тика и теоретическая геометрия, задачей которых было
выяснять не только как решать задачи, но и почему верно
решение. Созданпе вместо простых рецептов строго логи-
ческих методов давало возможность обобщать получаемые
частные результаты и получать новые выводы. Таким
образом, высвобождение теоретической математики от ее
подчинения узкоприкладным задачам являлось непосред-
ственной причиной чрезвычайного ускорения ее разви-
тия, обусловленного в конечном счете материальными по-
требностями греческого общества, по типу более высоко-
го, чем рабовладельческие общества Египта и Вавилона.
В дальнейшем отрыв господствующих классов рабо-
владельческой демократии от производительного труда
усилился настолько, что под конец они не осуществляли
даже свои организаторские функции. Вследствие этого раз-
личие между практической и теоретической математикой
превратилось в пх противопоставление. Это деление, на
котором настаивал еще Платон, а также и Аристотель,
деление, не признававшее прикладную математику нау-
кой, по относившее ее к ремеслам, начало проявляться
уже в математике александрийского периода; однако оно
встречало здесь, в лице Архимеда и Герона, сопротивле-
ние. Лишь позднее, в I—-II вв. н. э. это деление узакони-
лось, превратилось в дурную традицию, что было обу-
словлено расшатыванием в древнем Риме основ рабовла-
дельческого строя, ликвидацией последних остатков па-
триархальных форм рабства, управленческой деятель-
ности рабовладельцев, превращением их в паразитирую-
щии класс, бесцельно тратящий свой досуг, презирающий
всякий, в том числе и умственный труд г).
) Хже в 1958 г. автор ознакомился с работами венгерского
историка математики Арпада Сабо, развивающего те же идеи,
ьм. Ada antique academiae scientiarum hungaricae, t. Ill, fsc. 1—2,
ь- П, Isc. 1— 4; Elemente der Mathematik, Bd. XI/5, Basel, 1956.
166
Э. КОЛЬМАП
Что же касается сущности кризиса, вызванного откры-
тием несоизмеримых, а также развития идеи бесконеч-
ности в древнегреческой математике, то этот вопрос осве-
щается в докладе, воспроизведенном в X томе Трудов
Института истории естествознания и техники АН СССР,
где содержатся ценные замечания А. П. Юшкевича,
И. Н. Веселовского, И. Г. Башмаковой и В. П. Зубова
к напечатанному там докладу. Поэтому освещать здесь
этот вопрос нет надобности. Замечу лишь, что ни до-
кладчик, ни кто-либо из выступавших не претендовали
на решение этого крайне сложного и трудного вопроса.
Значительный интерес представляет вопрос о характере
геометрических построений, применявшихся греками. Как
известно, построения, допускаемые постулатами «Начал»
Евклида, предполагают линейку без делений, а следова-
тельно, пе разрешают измерять ею расстояния. Линей-
кой разрешено пользоваться лишь для соединения двух
точек или для продолжения отрезка. Отсутствие меток
на линейке не давало возможности пользоваться методом
«вставок». Однако этот метод, при котором требовалось
поместить отрезок данной длины так, чтобы его концы на-
ходились на данных линиях (прямых или окружностях),
а его продолженпе проходило через данную точку, при-
менялся еще Гиппократом Хиосским для квадратуры
луночек, а также Архимедом, Никомедом и Аполлонием
для разных задач. Циркуль в «Началах» разрешается упо-
треблять только для описания из данной точки как центра
окружности с данным радиусом, а не для переноса данной
длины. При этом в «Началах» вообще не содержится пря-
мого упоминания о линейке и циркуле. Тем более пе при-
знавались за строго геометрические другие инструменты,
хотя они и применялись (прибор, приписываемый Платону,
для построения двух средних пропорциональных пли
прпбор Никомеда для построения конхоиды и др.).
Узаконенные «Началами» ограничения, наложенные
па употребление линейки и циркуля, не могли исходить
из стремления к точности. Практически точность «встав-
ки» не меньше, чем точность, даваемая пересечением двух
прямых при небольшом угле между ними, да теоретиче-
ская геометрия греков и не интересовалась этой стороной
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ 167
вопроса. По-видимому, эти ограничения связаны с тем,
что линейка и циркуль заменили собой веревку, перво-
начально служившую как для проведения прямых, так
п __при помощи колышка — для описания окружностей.
Отметим, что общераспространенное, идущее от М. Кан-
тора представление, будто египетские гарпедонавты поль-
зовались веревкой с узлами, в частности разделенной
на 3+4+5 равных частей и служившей для построения
прямоугольного треугольника, не имеет под собой ника-
ких документальных данных. Правила, установившиеся
для пользования веревкой, не допускавшие при желании
соблюдения элементарной точности построения столь
свободного обращения, которое возможно с жесткими ин-
струментами, сохранились затем по традиции и тогда,
когда эти инструменты сменили веревку.
Важно отметить, что эти ограничения не только услож-
нили производство построений, но и привели к тому, что
в «Начала» не были включены те геометрические теории,
которые требовали либо «вставок», либо других линий,
кроме прямой п окружности. Именно поэтому здесь не
излагалась теория коническпх сечений, хотя она была
тогда уже хорошо развита. Но в «Начала» не вошла п ло-
гистпка, так как она, как уже сказано, считалась скорее
ремеслом, чем наукой.
Многие исторпки математики объясняют, однако,
произведенный Евклидом отбор материалов тем, что он,
следуя Платону и вместе с ним пифагорейцам, считал
единственно прямую и круг «совершенными» линиями
и что он не допускал «вставку» как механическое движение,
чужеродное геометрии, имеющей дело с идеальными пла-
тоновскими объектами.
Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением кони-
ческих сечений и даже сам написал о них отдельное сочи-
нение. Что же касается «вставки», то верно, что по логике
Аристотеля такие механические понятия, которые содер-
жат вес, считались по логическим соображениям чуже-
родными для геометрии, как имеющие больше признаков,
чем понятия геометрические. Допущение их в нее счи-
талось паралогизмом — ими можно было пользоваться
лишь с эвристической целью, как это делал Архимед.
168
Э. КОЛЬМАН
Однако механическое движение, которое требуется для
осуществления «вставки», принципиально ничем не отли-
чается от механического движения, которое требуется для
соединения двух точек прямой. Таким образом, это объ-
яснение, исходящее из «платонизма» Евклпда, отпадает.
Отпадает и предположение, будто «вставка» не была вклю-
чена в «Начала» потому, что для доказательств построе-
ний, производимых с ее помощью, требуются знания, вы-
ходящие за пределы «Начал». Ведь, например, для обо-
снования трисекции угла, осуществленной Гиппократом
при помощи «вставки», не требуется других знаний, кроме
содержащихся в «Началах», несмотря на то, что алгебраи-
ческое решение этой задачи приводит к кубическому урав-
нению. Таким образом, остается лишь одно объяснение
того, почему в «Начала» не вошли все геометрические зна-
ния той эпохи, когда они были написаны. Причиной тому
была прочная традиция пользования линейкой и цирку-
лем, которую Евклид считал нужным сохранить в этом
элементарном сочинении. Именно благодаря этому, а вовсе
не по соображениям философского идеалистического ха-
рактера, в «Началах» решаются лишь те задачи, — но дале-
ко не все из них, решение которых уже тогда было из-
вестно, — которые в переводе на язык алгебры приводят
к линейным и квадратным уравнениям.
Перейдем, наконец, к вопросу об упадке эллинисти-
ческой математики и о характере математики римлян.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в период
наивысшего расцвета теоретической математики у греков
ее приложения к практике были сравнительно скудны.
Объясняется это тем, что слабо развиты были сами есте-
ственные науки, что, следовательно, отсутствовала сама
потребность и возможность широкого применения мате-
матики. Естествознание состояло, собственно, лишь из
начал астрономии и механики. Физика — та наука,
которая в будущем стала основным потребителем математи-
ческого метода и вместе с тем давала важнейшие стимулы
его развития, — тогда еще не родилась. Некоторые ис-
торики математики, как, например, Цейтен, разделяя
идеалистический взгляд на мпр, «объясняют» низкий
уровень приложений математики к прикладным задачам
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ АНТИЧНОЙ МАТЕМАТИКИ
169
тем, что «греки не обладали необходимыми для настоя-
щих вычислений способностями», а также тем, что «прак-
тические вычисления чаще всего бывают приближенными,
между тем как греки стремились в своей геометрии к аб-
солютно точным определениям»1). Между тем греки, широ-
ко развившие мореплавание и торговлю, прекрасно справ-
лялись с практическим счетом, несмотря на то, что в их
спстеме записи чисел это было труднее, чем в нашей.
Недостаточное применение математики к естествозна-
нию и технике в период расцвета греческой математики
объясняется, следовательно, не мистической особенно-
стью «эллинского духа», якобы устремленного как в ис-
кусстве, так и в науке лпшь к царству чистых идей, а не-
развитостью естествознания и техники этого периода.
Ведь как только в астрономпи появились новые потреб-
ности, математики немедленно взялись за их удовлетво-
рение, не остановившись перед тем, чтобы изменить все
направленпе исследований и обратиться от чисто теорети-
ческих проблем к проблемам вычислительным, создать
сферическую тригонометрию.
Тем же обстоятельством — отсутствием потребностей
естествознания в широких математических обобщениях
(кроме простейших потребностей механики, земной и не-
бесной, и геометрической оптики), — собственно, объяс-
няется и то, что греческая теоретическая математика,
достигнув в трудах Архимеда и Аполлония столь высо-
кого уровня, остановилась на нем, что математика в Гре-
ции прекратила развиваться дальше в этом направлении.
Не получая стимулов в виде запросов извне, математики
не стали развивать дальше те мощные новые методы, кото-
рые по существу уже имелись, — методы будущего ана-
лиза и будущей аналитической геометрии, а ограничились
лпшь доделками системы, казавшейся в общем завер-
шенной.
Наряду с этой основной причиной столь своеобраз-
ного поворота в истории греческой математики действова-
ла и вторая, внутренняя. Метод геометрической алгебры,
в котором рассматривались лишь отрезки, площади и объе-
х) Г. Г. Цейтеи, История математики в древности и в сре i-
чпе века, д|., 1932, стр. 51.
170
Э. КОЛЬМАН
мы, был сам по себе ограничен, не давал возможности
обобщений на произвольные величины или во всяком слу-
чае сильно затруднял такие обобщения.
Однако, если и эллинистическая математика остано-
вилась в развитии теоретической геометрии на уровне,
до которого она поднялась около 200 г. до н. э., было бы,
тем не менее, ошибочным считать, как до недавнего вре-
мени считало большинство историков математики на За-
паде, будто отсюда начался для эллинистической матема-
тики период упадка, для которого появление таких круп-
ных ученых, как Герои Александрийский и Диофант,
является лишь блестящим исключением. Подобные ут-
верждения, иногда подкрепляемые такими с виду убе-
дительными доводами, как то, что это якобы нисходящее
развитие эллинистической математики являлось лишь не-
отделимой частью общего экономического, политического
и культурного упадка, на деле исходят из недооценки прак-
тической математики и прикладных знаний вообще.
Разумеется, в конце концов прогрессирующее разло-
жение греческой рабовладельческой системы привело
и к вырождению греческой математики, однако оба про-
цесса вовсе не происходили одновременно. Греческая ма-
тематика не только не начала вырождаться, а, наоборот,
достигла своего наивысшего расцвета тогда, когда уже
давно начался и продолжался период политического упадка
Греции, и только лишь в III в. н. э. классическая мате-
матика начала приходить в упадок.
Нельзя по этому случаю не заметить, что данный исто-
рический факт убедительно опровергает распространен-
ное измышление идеалистов, будто математика диктует
естествознанию, будто она является основной движущей
силой его развития, в то время как дело происходит как
раз наоборот: как бы велико ни было значение математики
для естественных наук и какую бы относительную само-
стоятельность она ни проявляла в своем развитии, тем
не менее, в общем и целом это развитие математики под-
чинено развитию естествознания и техники, материаль-
ных потребностей общества.
НОВЫЕ РЕКОНСТРУКЦИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПЗ
ДРЕВНЕЕГИПЕТСКИХ И ВАВИЛОНСКИХ ТЕКСТОВ1)
A. JE. Faun
В древнеегипетских и вавилонских текстах имеется
еще значительное число задач, решения которых не пред-
ставлены достаточно убедительными реконструкциями.
Некоторые из этих задач играют известную роль в общей
оценке египетской и вавилонской математики. Нс претен-
дуя на то, что предлагаемые мною реконструкции яв-
ляются единственно возможными, я все же предлагаю их
вниманию интересующихся историей античной матема-
тики.
§ 1
Большой интерес вызывает решение следующей задачи
пз Московского папируса.
«Форма вычисления усеченной пирамиды, когда тебе
называют усеченную пирамиду высотой в 6 локтей с [«пло-
скостями»] по 4 локтя на нижней стороне и по 2 локтя на
верхней стороне. Считай ты с этой 4, возведенной в квад-
рат, чтобы запомнить. Получается 16. Удвой 4. Полу-
чается 8. Считай ты с этой 2, возведенной в квадрат, чтобы
запомнить. Получается 4. Сложи вместе эти 16 с этими 8
и с этими 4. Получается 28. Сосчитай от 6. Получается 2.
’) Расширенный текст доклада, прочитанного 27 июня 1956 г
на секции истории математики III Всесоюзного математического
с ьезда Доклад содержал 1 и 3 настоящей статьи, S 2 был добав-
лен позднее.
172
A. E. РАН К
Считай ты с 28 два раза. Получается 56. Смотри: это равно
56. Ты правильно нашел» 4).
В задаче вычисляется объем усеченной пирамиды с квад-
ратными основаниями. Сторона нижнего основания равна
4 локтям, верхнего — 2,
а высота равна 6 лок-
тям 2).
Если обозначим сто-
рону нижнего основания
а, сторону верхнего Ъ, а
высоту h, то решение сво-
дится к образованию слсду-
। \ тощих выражений: «2, аЬ,
i2, и, наконец,
О
h (а2+ аЬ-\-Ъ2}.
Последнее выражение и
представляет объем усечен-
ной пирамиды3).
О. Нейгебауер рассматривает этот результат как самое
замечательное достижение египетской математики.
Известная реконструкция предполагает разбиение
усеченной пирамиды вертикальными плоскостями, как
показано на рис. 1, на три призмы и пирамиду4).
Тогда ее объем составится из объемов:
Рис. 1.
b2h,'2 [fc(a-t)-|-l н (a-fc)2y,
х) W. \V. S truwe, Mathematischer Papyrus des Staatliclien
Museums der Schonen Kiinste in Moskau.—Quellen und Studien zur
Geschicbte der Mathematik. Abt . A. Bd. I, Berlin, J Springer, 1930
стр. 135.
2) Судя во фотографии папируса, две грани пирамиды верти-
кальные.
3) В последних двух фразах текста речь идет, по-впдимомг.
о какой-нибудь, может быть и эмпирической, проверке получен-
ного результата. Как опа осуществлялась, остается неясным.
4) О. II е в г е б а у э р, .Лекции ио истории античных мате
магических наук, т. I, М Л., 1937, стр. 145.
РЕКОНСТРУКЦИИ ЗАДАЧ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ 173
что в сумме дает:
b2h + 2 [ b (а - Ь) ] + (я - Ь\2 =
= b-h + abh — Ь-h + 4" а2Л —^-abh^-~ b2h = (a2+«b+ b2).
О О о о
Но при такой реконструкции, как правильно отме-
чает М. Я. Выгодский1), следует постулировать умение
выполнять некоторые
алгебрапческпе преобра-
зования, как, например,
знание формул:
(л ± b)2 = а~ ± 2аЬ + Ь2.
Между тем явных
подтверждений того,
что египтяне применяли
алгебраические преобра-
зования нет.
Я думаю, что египет-
ский математик получил
этот замечательный ре-
зультат гораздо проще.
Двумя плоскостями
данная усеченная пира- рис
мида рассекается на
четыре пирамиды, как указано на рис. 2:
ABCDDV, BCCyDx и ABA1D1, из них
BCC1D1 = ABA1D1.
Объемы полученных пирамид будут равны:
BabcdD] =-|-а2/г,
KliBiCiDiB = у b2h,
VbCCiDi = VABAiDi = 4'С<г'т)^ = 'ё'
') М. Я В ы го дс к и й, Арифметика и алгебра в Древнем
'•пре, М —Л., 1941. г
А. Е. РАИК
откуда объем данной усеченной пирамиды будет равен:
V = 4"а2й + 4-b-h4-2 Г4-abh>\ = (а2 + аЪ + Ъ2).
О О О у О
Такая реконструкция исключает необходимость обра-
щаться к сложным алгебраическим преобразованиям,
требуется только знать объем пирамиды1).
Естественно возникает вопрос, как древние египтяне
установили, что объем пирамиды равен | объема соответ-
ствующей ей призмы? В египетских источниках нет ответа
на этот вопрос. Наиболее вероятно, что объем пирамиды
был найден эмпирически для частных случаев, приблизи-
тельно так, как это демонстрируется в средней школе, —
разбиением призмы на три пирамиды. А может быть
и еще проще: сравнением вместимости пирамиды и
призмы.
Такое сравнение напрашивается само собой. Так, не-
трудно было установить, что для того, чтобы наполнить
призматический ящик зерном, достаточно взять три ящика,
имеющих каждый форму пирамиды, площадь основания
и высота которой равны площади основания и высоте
призматического ящика.
На мой взгляд, не приходится сомневаться в том, что
объем пирамиды был известен раньше объема усеченной
пирамиды.
§ 2
Известно, что древние египтяне считали площадь круга
диаметра d равной т. е. равной площади квадрата
- 8,
со стороной дй.
*) Само собой разумеется, п здесь приходится пользоваться
ассоциативностью и коммутативностью умножения и дистрибутив-
ностью у'множенпи относ тельпо сложения, однако лишь в такой
форме, владение которой древними египтянами не вызывает
сомнений
РЕКОПСТРУЦИИ ЗАДАЧ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ 175
□та формула поражает пае большой степенью точности:
ей соответствует значение тс=3,16, а это значение превы-
шает известное приближение у, получениое Архимедом,
меньше чем на 0,02.
Большой интерес представляет, конечно, вопрос о том,
как был получен этот результат.
Вполне понятно желание исходить пз сравнения пло-
щади круга с площадью описанного около него квадрата.
Если у описанного около круга квадрата срезать углы,
то площадь полученного восьмиугольника (рис. 3) есте-
Рис. 3.
Рис. 4.
ственно было считать достаточно мало отличающейся от
площади круга. На такую мысль наталкивает нас имею-
щийся в приложении к задаче № 48 папируса Рпнда ри-
сунок (рис. 4).
Если обозначить диаметр круга d, то площадь такого
•7
восьмиугольника будет gd2.
Но площадь круга египтянами принимается не за g d2,
« га (?</)«.
Следовательно, приходится допустить, что древнееги-
петский математик совершил какой-то переход от одного
значения к другому.
«Трудно понять, говорит Нейгебауэр, — как можно
было от этого выражения (т. е. — А. Р.) прийти к выра-
176
A. E. РАИК
агонию для у. (т. e. QQ2-—-Л- ^-) в египетской фор-
муле.
Поэтому вряд ли рационально до нахождения нового
материала в текстах строить предположения об истории
возникновения этой формулы,так как естественный и сам
собой напрашивающийся путь, очевидно, не ведет к
к цели» ’).
Конечно, можно допустить, что вполне естественное
стремление представить площадь круга площадью квад-
рата, сторона которого рационально выражается через
диаметр круга, привело древнеегипетского математика
к мысли искать такое рациональное число, квадрат кото-
7 „ 8
рого мало отличается от g. Jthm числом и оказалось g:
7 8 у 7 64 63 1
V 9 ) 9 ~ 81 81 — 81
Но п в данном случае замечание Нейгебауэра остается,
на наш взгляд, в силе. Как догадался древнеегипетский
7
математик при извлечении квадратного корня из g взять
именно квадрат девяти в знаменателе? И правомерно ли
исторически предположение, что оп вообще умел заменить
геометрическую задачу о площади круга чисто арифме-
тической задачей о приближенном извлечении квадрат-
ного корня? Нельзя ли рассмотреть рис. 4 как простое
указание на то, что исходить нужно из площади описан-
ного квадрата, которую следует как-то обрезать? Нако-
нец, нельзя ли думать, что, получив каким-то геометри-
ческим способом в качестве приближенной меры для
площади круга, древнеегипетский математик мог лишь
затем обнаружить, что почти к этому же результату (
пли -g- d2 можно прийти и простым описанным выше
обрезанием углов квадрата?
х) О. Нейгебауэр, Лекции по истории античных матема-
тических наук, стр. 141.
РЕКОНСТРУКЦИИ ЗАДАЧ ПЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ 177
Мне представляется, что для ответа на эти вопросы
во всяком случае следует обратиться к задаче № 10
из Московского папируса.
Приведем эту задачу:
«Форма вычисления корзины, если тебе называют кор-
зину, с устьем диаметра к-?-. О, дай мне знать ее поверх-
I
ность! Сосчитай -ц- от 9, потому что корзина есть половина
1
яйца. Получается 1. Посчитай остаток за 8. Сосчитай у
2 11 2 11
от 8. Получается у + у + ^. Отними от 8 эти у + у + Jg •
1 1 1
Получается 7у. Сосчитай 7 у 4 у раза. Получается 32.
Смотри. Это л есть ее поверхность. Ты правильно на-
шел»1).
Обозначим данную в условии задачи величину 4 у
через d. Тогда результат решения может быть выражен
формулой
Если вынесем за фигурные скобки 2cZ, то в скобках
остается выражение
тт 64 Z 8 \2
Но это равно как раз §1 = ( у ) • Тогда
Итак, искомая в задаче величина равна площади двух
кругов диаметра d.
Не будем останавливаться в данном случае на весьма
спорном вопросе о том, площадь какой поверхности
1) \V. W. S t г u w с, ццт. соч., стр. 157—169.
12 Пстор.-матем псслед., вып. XI
178
A. E. PAIIK
требуется найти в задаче, а обратимся к формуле
0-4)40-1)-
Я считаю, что такое представление j является ре-
зультатом того приема, которым древнеегипетский мате-
матик прпшел к цели, и что оно раскрывает основную идею
древнеегипетского метода вычисления площади круга.
А метод заключается в следующем.
Чтобы найти площадь круга, древнеегипетский мате-
матик прежде всего описывает около круга квадрат.
Обозначим этот квадрат через /1и. Теперь надо как-то
рационально выделить ту
часть, на которую площадь
описанного квадрата Ло
больше площади круга.
Для этого древнеегипетский
математик делит сторону
квадрата -40, т. е. диаметра
круга, на шесть частей и
строит по углам описан-
ного квадрата четыре
квадрата Аг (рис. 5), сто-
1
роны которых равны -g-
диамстра круга. Площадь
каждого квадрата At рав-
1 .
на gg площади квадрата Ло,
т. е. А ^2, а ПЛОщадИ всех четырех квадратов Аъ равны
1
в сумме -у- d2.
Следовательно, если выбросить все четыре квадрата
А1( то оставшаяся площадь будет равна
^-4-<г’-4л
Но оставшаяся площадь явно больше' площади круга.
Значит, надо удалить еще некоторую часть этой площади.
РЕКОНСТРЪ КЦИИ ЗАДАЧ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ 1 /9
Теперь древнеегипетский математик строит восемь
меньших квадратов Л2, стороны которых составляют
у стороны квадрата Alt т. е. -д- стороны квадрата 40.
Площадь каждого квадрата Л2 равна
— rf2
81 ’
а в сумме они дают
Если теперь отбросить все восемь квадратов А2, то
оставшаяся площадь будет равна
(“•-тО-тО’-тО-
На этом шаге древнеегипетский математик и останав-
ливается, предполагая, как я думаю, что площади тех
частей круга, которые удалены выброшенными квадра-
тами Аг и А.2у в достаточной мере компенсируются площа-
дями тех частей квадрата 40, которые расположены вне
круга.
Таков мог быть путь, по которому древнеегипетский
математик нашел площадь круга. Вычитая последова-
тельно из описанного квадрата Ло четыре меньших квад-
рата /1, п восемь еще меньших квадратов Л2, он полу-
64
чал многоугольник, площадь которого есть ^d2 и кото-
о!
рый он считал равновеликим кругу.
Последовательное вычитание площадей квадратов . Ц
п соответствует последовательности операций над
числами в задаче № 10 Московского папируса. То, что
делал древнеегипетский математик, можно назвать опре-
делением плошадп круга с помощью последовательного
наложения квадратных сеток. В самом деле, сначала
накладывается квадратная сетка со стороной, равной d\
затем вторая, более густая сетка со стороной, равной
d
, и, наконец, еще более густая сетка со стороной, рав-
.. d
нои
18»)
V Е. 1’ЛИК
Конечно, это только гипотеза, но меня она соблаз-
няет сходством со способом вычисления поверхности кор-
зины, документально засвидетельствованным в дошедших
до нас текстах, и геометрическим своим характером.
§ 3
В математических клинописных текстах имеется за-
дача, в решении которой Нейгсбауэр склонен видеть эле-
менты теории логарифмов. Вот текст и решение этой
задачи:
«Один гур он отдал в рост, через сколько лет он [гур!
вырастет на самого себя?1).
Ты своим способом: продли на 4-й год. На сколько это
превышает два гура? Что он добавляет, чем превышается
3-й год? Что вычитывается пз 4-го года для 2 гур?
0;2, 33,202) есть это, и пз 4-го года это вычитывается.
Полные годы и дни это дает»3).
Эта задача на сложные проценты. В ней требуется
определить срок, на который п икно отдать капитал в рост
из расчета 0;12 годовых, чтобы он вырос вдвое. Нейгс-
бауэр считает, что мы имеем здесь дело с решением уравне-
ния
(1 + 0;12)х = 2,
что эквивалентно уравнению
log2
Х log (1 + 0; 12) ’
и склонен думать, что вавилоняне владели чем-то вроде
понятия логарифма и оперировали им.
Мы считаем, что Нейгсбауэр преувеличивает в дан-
ном случае возможности вавилонян. Ведь как решает
х) Во всех задачах па проценты годовое приращение состав-
ляет 0,12 капитала.
2) Числа будем записывать в шестидесятеричной системе счи-
сления, отделяя разряды друг от друга запятой, а целое от шест п-
десятерпчпой дроби точкой с запятой.—А. Р.
3) О. Neugebauer, Mathematiscbe Keilsclirifttexte Quel
len und Studien zur Geschichte der Mathematik. kbl. A. Bd. 1H
zweiter Tell, стр. 40 (таблица № VOG770).
РЕКОНСТРУКЦИИ ЗАДАЧ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ ]81
вавилонский математик эту задачу? Он сначала подсчиты-
вает наращенный капитал год за годом. Оказывается, что
через 3 года капитал еще не удвоится. Тогда он берет
4 года и убеждается, что через 4 года капитал увеличится
больше чем вдвое.
Чтобы получить нужный результат, вавилонский ма-
тематик предлагает от 4 лет отнять 0; 2, 33, 20 года.
Откуда взято число 0; 2, 33, 20, затрудняется объяснить
и Лейгсбауэр.
Попытаемся выяснить происхождение этого числа
и объяснить ход решения вавилонского математика.
Из текста задачи ясно, что вавилонскпй математик
прежде всего подсчитывает год за годом рост капитала
и устанавливает, что 3 лет мало для удвоения капитала,
а 4 много, т. е.
(1+0; 12)3= 1; 43, 40, 48 < 2,
(1 + 0; 12)4 = 2; 4, 24, 57, 36 > 2.
Теперь он предлагает от 4-го года отнять 0; 2, 33, 20
года. Здесь явная ошибка. Надо отнять не 0; 2, 33, 20, а
О; 12, 46,40. Но психологию этой ошибки, как у видим ниже,
можно весьма просто объяснить.
Рассуждения вавилонского математика выглядят сле-
дующим образом: за целый год капитал, который мы при-
мем за 1, увеличивается на 0; 12 его суммы к началу года,
а за часть года — соответственно на 0; 12 этой части
года.
Следовательно, если обозначим избыток времени че-
рез X, то для того, чтобы получить удвоенный капитал,
надо из всей суммы наращенного капитала за четыре года
вычесть сумму, которая получилась за три года, умно-
женную на 0; 12Л", т. е. приходим к уравнению:
(1+0; 12)4 - (1 + 0; 12)3.0; 12Х=2.
Решая это уравнение, получаем:
У = 0; 12,46, 40.
182
A. E. РАИК
Вот тут-то и могла произойти ошибка: вместо X, озна-
чавшего часть года, взято 0; 12А', что равно 0; 2, 33, 20.
Заметим также, что число 0; 2, 33, 20 можс т быть по-
лучено и как ответ на вопрос, насколько нужно снизить
«процент» приращения капитала в 4-м году, чтобы за 4 года
капитал удвоился. Действительно,
0; 12 - 0, 2, 33, 20 = 0; 9, 26, 40.
(1 + 0; 12)3(! + 0; 9, 26, 40) = 1; 43, 40, 48-1; 9, 26,40 = 2.
Как бы ни истолковывать эту задачу, мы считаем мало
убедительной мысль о том, что вавилонский математик
представлял себе хоть в малейшей степени идею лога-
рифмов.
ИЗ ЛЕКЦИЙ
ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
ПРОГРАММА ПО ИСТОРИП МАТЕМАТИКИ
В МОСКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ
УНИВЕРСИТЕТЕ
Программу составили: И. Г- Башмакова,
К. А. Рыбников, А. И. Юшкевич, С. А. Яновская
Задачи курса
Курсом историп математики завершается математи-
ческая подготовка студентов. Курс имеет целью дать об-
щую картину возникновения и развития основных поня-
тий и методов математики, выявить основную материали-
стическую линию развития математики, ведущую роль
практики в истории математики, ее связь с развитием
техники и естествознания. В курсе должна быть пока-
зана роль русской математики и математики народов
СССР в истории мировой наукп и культуры. Курс дово-
дится до современности и завершается очерком развития
советской математики.
В курсе должно быть показано:
а) как идеалистические тенденции в математике при-
водят к кризису ее основ;
б) какое научное значение имеет применение маркси-
стского диалектического метода для развития передовой со-
ветской математики, планомерно развивающейся па службе
народу и проникнутой большевистской партийностью.
В соответствии с этим в задачи курса должно входить
освещение руководящего значения работ классиков марк-
сизма-ленинизма для математики и истории математики.
(86
С. к. ЯНОВСКАЯ
Введение
Предмет и метод истории математики. Периодизация
истории математики. Взаимосвязь математики с экономи-
кой, историей классовой борьбы и политической историей
общества. Связь развития математики с развитием тех-
ники и естествознания. Борьба материализма с идеа-
лизмом в математике. Роль марксистского метода для со-
здания советской истории математики. Источники.
Возникновение первых математических понятий и методов
1. Геометрические представления и счет в первобытном
обществе. Возникновение первых понятий и операций
арифметики. Проблема измерения и дробные числа. Зна-
чение марксистского принципа связи между историческим
и логическим для понимания сущности числа и операций
с числами в современной математике. История систем
нумерации.
2. Математика пародов древнего Востока. Арифмети-
ческие и геометрические сведения древних египтян. Эле-
менты алгебры по вавилонским текстам и связанные с ни-
ми начальные формы научной теории.
Образование математики как науки; возникновение
математических теорий
1. Математика в античной Греции. Общий обзор. Ма-
тематические проблемы в натурфилософии и практиче-
ской деятельности. Проблемы бесконечного и знаменитые
задачи древности. Открытие несоизмеримых величин
и его роль в истории греческой математики. Создание
геометрической алгебры. Общая теория отношений Евдокса.
2. «Начала» Евклида; их содержание и метод изложе-
ния. Определения, аксиомы и постулаты. Значение «Начал»
в развитии математики.
3. Архимед, его труды по математике и ее приложе-
ниям к механике. Метод «исчерпывания». Интеграцион-
ные и дифференциальные методы Архимеда.
ПРОГРАММА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
187
4. Теория конических сечений Аполлония. Матема-
тика и астрономия; начала сферической и плоской три-
гонометрии; Птолемей. «Арифметика» Диофанта. Зна-
чение античной математики.
Развитие математики постоянных величин
1. Математика древнего и средневекового Китая. Клас-
сический трактат «Математика в девяти книгах». Развитие
алгебры и вычислительных методов.
2. Особенности развития математики в Индии.
3. Математика народов Средней Азии и Ближнего Во-
стока. Выделение алгебры и тригонометрии как особых
математических дисциплин. Трактаты по арифметике
и алгебре ал-Хорезми. Алгебра ал-Хайяма. Насспрэд-
дин ат-Туси и развитие тригонометрии. Извлечение кор-
ней, численное решение уравнений и спстема десятичных
дробей у ал-Каши. Значение математики народов Востока
для последующего развития математики в Европе.
4. Математика раннего европейского средневековья.
Практические арифметика и геометрия. Русские матема-
тические рукописи.
5. Математика эпохи Возрождения. Решение уравне-
ний третьей и четвертой степеней в радикалах. Неприво-
димый случай и комплексные числа. Развитие алгебраи-
ческой символики.
Развитие математики переменных величин
1. Введение движения и переменной величины в ма-
тематику. Проблема метода в математике XVII в. Бук-
венные исчисления Виета и Декарта. Аналитическая гео-
метрия Декарта и Ферма.
2. Новые задачи техники и астропомии в XVI в. Рост
значения приближенных вычислений и их включение
в область теоретических исследований. Десятичные дроби.
Логарифмы и связанные с ними проолемы интерполяции
и конечных разностей.
3. Проблемы механики, оптики и астрономии XVII г.
Галилей. Задача о касательных; зародыши методов диф-
ференциального исчисления.
188
С. А. ЯНОВСКАЯ
4. Измерение площадей и объемов и определение цен-
тров тяжести. Развитие интеграционных методов в рабо
тах Кеплера, Кавальерп, Паскаля п Ферма.
5. Индуктивные методы в математике XVII в. При-
ближенные вычисления п бесконечные ряды. Арифмети-
ческие приемы интегрирования у Валлиса. Установление
взапмообратной зависимости задач на касательные п пло-
щади; Барроу.
6. Ньютон и его работы по механике, оптике и мате-
матике. Метод флюксии и бесконечных рядов.
7. Лейбниц п его школа. Взгляды Лейбница на при-
род} математики. Создание алгоритмов дифференциаль-
ного и интегрального исчислений.
8. Первые работы по теории вероятностей, теории
чпсел и проективной геометрии.
9. Общая характеристика математики XVIII в. Про-
блемы техники п естествознания и развитие математиче-
ского анализа. Возникновение новых дисциплин в рамках
анализа (дифференциальная геометрия, вариационное ис-
числение, теория дифференциальных уравнений).
Организация научной работы в XVIII в. Развитие
математики в различных странах Европы.
10. Основные черты развития математики в России
XVIII в> Открытие Академии наук в Петербурге и ее ве-
дущая роль в прогрессе естествознания; М. В. Ломоно-
сов и Л. Эйлер. Развитие математического и техниче-
ского образования; первая учебная литература. Про-
блемы развития производительных сил государства и под-
готовка кадров русской интеллигенции. Ломоносов и ор-
ганизация Московского университета.
11. Общий обзор научной деятельности Эйлера; роль
практики в его творчестве. Трактаты «Введение в анализ»,
«Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчис-
ление».
Разработка и систематизация математического анализа
в XVIII в. Превращение математического анализа в ана-
лиз функций. Элементарные функции комплексного пере-
менного .
12. Бесконечные ряды в математике XVIII в. Ряд
Гейлора. Воззрения Эйлера на природу сходящихся и рас-
ПРОГРАММА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
189
ходящихся рядов. Идеи обоснования математического
анализа в трудах Эйлера, Даламбера и Лагранжа. Мате-
матические рукописи К. Маркса.
13. Работы по интегральному исчислению и диффе-
ренциальным уравнениям. Проблемы математической
физики. Введение тригонометрических рядов. Спор о по-
нятии функций; вопрос о разложимости функции в триго-
нометрический ряд (Эйлер, Даламбер, Д. Бернулли, Ла-
гранж).
Разработка вариационного исчисления Эйлером и Ла-
гранжей.
14. Успехи геометрии в XII веке. Формирование ана-
литической геометрии трех измерений и начертательной
геометрии. Образование классической дифференциальной
геометрии: теории пространственных кривых и поверх-
ностей; Клеро, Эйлер. Связи дифференциальной геомет-
рии и теории дифференциальных уравнений в работах
Г. Монжа и его учеников.
15. Алгебраическая теория чисел Эйлера, Лагранжа
и Гаусса. Начатки аналитической теории чисел.
Период современной математики
1. Общая характеристика математики XIX века.
Условия и формы развития математики во Франции, Гер-
мании, России и других странах. Роль высшей школы
в развитии математики XIX в. (Парижская политехни-
ческая школа, университеты и др.).
2. Математическая физика и связанные с ее прогрессом
новые задачи математического анализа. Работы Фурье
и Остроградского по теории тепла. Теория потенциала.
N равнения математической физики и тригонометрические
ряды. Обоснование математического анализа в трудах
Гаусса, Коши, Больцано, Вейерштрасса, Г. Кантора.
3. Возникновение теории функций комплексного пере-
менного как самостоятельной математической дисципли-
ны; Коши п Абель. Идеи Римана и Вейерштрасса; рпма-
новы поверхности п аналитическое продолжение. Спе-
циальные функции.
190
С. А. ЯП О ВС К Ml
4. Алгебра в XIX в. Результаты Руффини и Абеля
о разрешимости уравнений в радикалах. Работы Галуа
и создание теории групп. Непрерывные группы С. Ли.
Расширение понятия числа, кватернионы, алгебраи-
ческие числа.
5. Лобачевский, его жизнь и творчество, создание
первой системы неевклидовой геометрии. Работы Гаусса
и Больаи по неевклидовой геометрии.
6. Внутренняя геометрия поверхностей Гаусса. Рп-
манова геометрия. Интерпретации неевклидовой геомет-
рии. Эрлангенская программа Клейна. Проективная,
аффинная и метрическая геометрии. Аксиоматический ме-
тод п «Основания геометрии» Гильберта. Значение не-
евклидовых геометрий в современной математике и физике.
7. Создание Петербургской математической школы.
Жизнь и творчество П. Л. Чебышева. Теория и практика
в трудах Чебышева. Его работы по теории интерполиро-
вания и приближения функций, по теории вероятностей,
теории интегрирования, теории чисел.
8. Развитие идей Чебышева и его учеников. Труды
71. А. Маркова и А. М. Ляпунова по теории вероятностей.
Исследования В. А. Стеклова по математической физике
и проблеме замкнутости. Теоретико-числовые работы
Е. И. Золотарева, А. А. Маркова и Г. Ф. Вороного.
9. Создание качественной теории дифференциальных
уравнений в трудах А. Пуанкаре n А. М. Ляпунова. Ра-
боты Ляпунова по теорпп устойчивости.
10. Жизнь п творчество С. В. Ковалевской и ее ра-
боты по теории дифференциальных уравнений н теорети-
ческой механике.
11. Математика в Московском университете и в Мос-
ковском математическом обществе. Возникновение мос-
ковской математической школы. Деятельность К. М. Пе-
терсона, Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина.
Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин и проблемы при-
кладной математики. Математика в России перед Великой
Октябрьской социалистпческой революцией.
12. Значение Великой Октябрьской социалистической
революции для расцвета математики в СССР. Математика
и практические задачи социалистического строительства.
ПРОГРАММА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
191
Новые методы научной работы и успехи математического
просвещения. Возникновение научных центров в респуб-
ликах Советского Союза. Значение диалектического ма-
териализма для советской математики.
13. Основные направления советской математики. Син-
тез идей Московской и Ленинградской математических
школ. Достижения советских ученых в основных обла-
стях современной математики и ее приложений.
Л II Т Е Р А Т у Р \
Клас с и к и м а р к с и з м а - л е н и н и з м а
К. М а р к с., Математические рукописи, Журнал «Под знаме-
нем марксизма», А» 1, 1933.
Ф. Энгель с, Диалектика природы, Госполитиздат, 1955.
Ф. Энгельс, Антп-Дюринг, Госполитиздат, 1957.
В. II. Ленин, Философские тетради, Госполитиздат, 1947.
Специальная
11. С. Александров, Советская математическая школа,
«Вопросы истории отечественном науки», Изд. АП СССР, М.—Л.,
1949.
М. Я. В ы г о д с к и и, Арифметика и алгебра в древнем мире,
М,- Л., 1941.
Е. В. Г н е д е п к о, Очерки по истории математики в России,
М. Л., 1946.
A. II. Колмогоров, Математика, БСЭ, 2-е изд., т. 26.
«Люди русской науки», т. I, М.—Л., 1948.
Г. Центен, История математики в древности л в средние
века, 2-е изд., М.—Л., 1938.
Г. Ц е й т е и, История математики в XVI и XX П веках,
М. Л., 1938.
В. И. 111 е р е м е т с в с к и и, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, М., 1940.
Дополнительная
ЬСЭ, 2-е изд., статьи «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»,
«Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление» и др.
1 . В и л е и т и е р, Хрестоматия ио истории математики,
-XI.- Л., [935.
Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, Изд.
АП СССР, М,—Л., 1947.
Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии,
XI.—Л., 1937.
I 92
С. Л. ЯНОВСКАЯ
В. Ф. К a г a ir, Лобачевский. 2-е изд., Изд. АП СССР,
М,— Л., 1948.
Научное наследие И. Л. Чебышева, вып. 1, Математика,
Изд. АН СССР, М.—Л., 1945.
О. Нейгсбауэр, Лекции ио истории античных матема-
тических наук, М.—Л., 1937.
В. И. С м и р н о в, Жизнь и деятельность А. М. Ляпунова,
• Вопросы истории отечественной пауки», Изд. АН СССР, М.—Л.,
1949. Историко-математические исследования. Под редакцией
Г. Ф. Рыбкина и А. II. Юшкевича, вып. I—X, М., 1948—1957.
А. II. Ю ш к е в и и, Главы по истории математики в книге
«Истории естествознания в России», т. I, ч. 1—2, Изд. АН СССР,
М., 1957.
Издания классиков
Евклид, Начала, кн. I—VI, кн. VII—X, кн. XI XV,
П.— Л., 1948.
А р х и м е д, Исчисление пеечкнок (Псаммит), М.—Л., 1932.
Архимед, Измерение круга, «О квадратуре круга», М. Л.,
1934.
И. К е п л е р. Новая стереометрия винных бочек..., М. -Л.,
1935.
Б. Кава лье р и, Геометрия неделимых, М.—Л., 1940.
Р. Д е к а р т, Геометрия, М.—Л., 1938.
X. Гюйгенс, Три мемуара по механике, Изд. АН СССР, 1951.
Г. Л е й б и и и. Избранные математические работы, «Успехи
математических наук», вып. 1, 1948.
II. II ь ю т о н, Всеобщая арифметика, Пзд. АН СССР, 1948.
II. Н ь ю т о п, Математические работы, М.—Л., 1937.
Л. Эйлер, Метод нахождения кривых линий..., М.—Л., 1934.
Л. Э й л е р, Введение в апалпз бесконечно малых..., т. I,
М.-Л., 1936.
Л. Э й л о р, Дифференциальное исчиодепие, М.- Л., 1949.
Л. Э й л е р, Интегральное исчисление, т. I, II, М., 1956—1957.
Г. М о п ж, Приложение анализа к геометрии, М.—Л., 1936.
Э. Галуа, Сочинения, М.—Л., 1936.
Л. Карно, Размышления о метафизике исчисления бесконеч-
но малых, М.—Л., 1933.
И. II. Лобачевский, Полное собрание сочинений,
т. 1—V, М.—Л., 1946—1951.
В. Рима н, Сочинения, М.—Л., 1948.
П. Л. Ч е б ы ш е в, Полное собрание сочинений, т. I—IV,
М.— Л., Пзд. АП СССР, 1946.
А. М. Ляпунов, Избранные труды, Пзд. АН СССР, М., 1948.
А. А. Марков, Избранные труды, М., 1951.
С. В. К о в а л е в с к а я. Научные работы, Изд. АН СССР,
М.. 1948.
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ
« ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ » ’)
С. А. Яновская
Курсом истории математики в университете завер-
шается общее математическое образование студента.
Естественно, что от такого итогового курса следует ожи-
дать, что он даст возможность оглянуться на весь прой-
денный за годы учения материал, сделать из него общие
выводы, разобраться во взаимоотношении частей целого,
представить себе ход исторического развития науки, ее
основных понятий и методов и, хотя бы в самых общих
чертах, перспективу ее дальнейшего развития.
В то же время история математики не есть просто об-
щий, хотя бы п исторический, обзор прочитанного в уни-
верситете материала. Она имеет своп содержание и ме-
тоды, свои, характерные для нее, задачи и цели.
Чем же занимается история математики? Кому и для
чего она нужна?
Прежде всего ясно, что история математики должна
осветить путь, пройденный математикой от зарождения
первых математических понятий и алгоритмов до совре-
менных вершин математики, показать ее не статически,
а в ее становлении и развитии. Она должна ответить на
вопросы о том, как возникали и развивались основные
математические понятия, идеи и методы, какие основные
Ч Написана в 19.>5 г. и отражает опыт чтения курса, относя-
щийся к еще более раннему времени. Небольшие изменения
внесены только в отдельных местах.
13 Пстор.-чатсмат. исслед., пып. XI
194
С."Л. ЯНОВСКАЯ
периоды прошла в своем развитии математика, каков
исторический путь отдельных математических дисциплин
и теорий, в какой связи с практическими потребностями
людей и задачами других наук происходило развитие
математики, как проявлялась в нем внутренняя логика
развития, какой характер носила математика различных
народов, чем прославили себя великие математики прош-
лого, с именами которых должен быть знаком всякий
культурный математик, какой вклад в историю науки
внесли отечественные математики, достижения которых
вызывают естественное чувство патриотической гордости.
История математики должна помочь разобраться в том,
чем стимулируются математические открытия, какую роль
играют техника, естествознание и логика в развитии ма-
тематики, как сказывается на этом развитии идеологи-
ческая борьба, происходящая вокруг ее понятий и мето-
дов, в чем состоит вообще влияние базиса и надстройки
общества на развитие математики, как влияет в свою
очередь математика на другие области науки, техники
и культуры, какое место принадлежит народу в истории ма-
тематики и в чем состоят роль личности математика и зна-
чение коллективных усилий математических школ и на-
правлений. Хотя такого рода вопросы относятся к общей
теории науки, их нельзя решить без помощи истории ма-
тематики. Общие закономерности не только могут по-
разному проявляться в разных научных областях, но —
и зто особенно существенно — нельзя решить основной
вопрос об объективных законах развития данной науки,
не обращаясь к ее истории.
Ряд философских вопросов, связанных с математи-
кой, также требует обращения к истории математики для
своего решения. Таковы прежде всего вопросы об отно-
шении математики к материальной действительности, т. е.
о самом предмете математики, и о диалектике развития
ее основных понятий и методов.
Именно поэтому история математики имеет существен-
ное значение для развития самой математики. Чтобы по-
нять настоящее, нужно обратиться к прошлому. Матема-
тики издавна испытывали потребность в историческом
освещении содержания работ по интересующим их во-
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ -ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 195
просам. Особенно остро ощущается потребность в исто-
рии науки в моменты, когда речь идет о коренном пере-
смотре "ее основных понятий и методов. Известное поло-
жение диалектического материализма гласит, что логи-
ческое есть переработанное и очпщенное историческое.
Чтобы разобраться в логической природе таких основных
понятий математики, как понятия числа, функции, бес-
конечности, непрерывности, пространства, множества
и многие другие, нужно обратиться к пх истории. Чтобы
дать ответ па вопрос о том, что такое математика, нужно
знать ее историю. Не случайно основным содержанием
статьи «Математика» в Большой Советской Энциклопе-
дии является история математики. Не случайно к ней
приходится обращаться в таких статьях, как «Геометрия»,
«Алгебра», «Бесконечность в математике», «Дифферен-
циальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Диф-
ференциальные уравнения», «Функции», «Число»—вообще
во всех статьях, посвященных основным понятиям мате-
матики пли каким-нибудь математическим дисциплинам.
Основной интерес и в то же время основная трудность
исследований по истории математики состоят в работе
с первоисточниками. Только обращение к первоисточни-
кам может доказать правильность тех или иных историко-
математических положений. Но первоисточники по исто-
рии математики очень разнообразны. Ими могут быть и дан-
ные археологических раскопок, и языки первобытных на-
родов, и древние, написанные египетскими иероглифами,
иадппсп, и клинописные таблпчкп древних вавилонян,
и всевозможные дошедшие до нас папирусы и рукописи
и особенно, труды классиков математики. Ознакомление
со всеми этими источниками сопряжено часто не только
с филологическими трудностями. Подобно тому как пале-
онтологу приходится по одной кости восстанавливать весь
облик первобытного животного, историк математики по
отрывочным дошедшим до нас данным должен восстано-
вить математические знания людей, в том числе живших
за четыре—шесть тысяч лет до нас, и методы, которыми
они были приооретены. С задачей восстановить по ре-
зультатам путь, к нему ведущий могут быть связаны, од-
нако, значительные трудности, и притом как псториче-
13*
196
С. 4. ЯНОВСКХЯ
скоро, так л математического .характера. С примерами
такого рода трудностей нам неоднократно придется встре-
чаться в курсе. Здесь же отметим только, что уже работа
над первоисточниками по истории античной математики
может потребовать глубокого знакомства с современной
математикой и что задачи, с которыми люди впервые встре-
тились уже во времена Древней Греции, оказали суще-
ственное влияние на развитие математики, иногда вплоть
до наших дней, потребовав для преодоления связанных
с ними трудностей усилий крупнейших математиков.
В пояснение папомним некоторые факты. (Если что-
нибудь пока еще будет непонятно, оно разъяснится в даль-
нейших лекциях.) Вспомним прежде всего знаменитую
задачу древности о квадратуре круга, на которой про-
верялся и оттачивался при его создании аппарат матема-
тического анализа, вплоть до открытия трансцендент-
ности числа it (Линдеман, 1882 г.). Напомним, что лишь
в 1801 г. молодой еще тогда Гаусс решил древнюю задачу
о правильных многоугольниках, которые могут быть по-
строены циркулем и линейкой (задача о делении круга).
Полное решение задачи о построениях с помощью цир-
куля и линейки, которыми так много занимались еще
древние греки, могло быть получено только с помощью
аппарата теории Галуа (созданной в 1832 г.). Тонких
исследований по теории Галуа потребовала задача о квад-
рируемых луночках Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.),
которую решил Н. Г. Чеботарев (1933 г.). Только II. Л.Че-
бышев своими классическими работами о простых числах
(1848—1850 гг.) продвинул вперед после Евклида
(III в. до н. э. ) задачу о распределении простых чисел.
Лишь Н. II. Лобачевский (1826, опубликовано в 1829 г.),
Я. Больап (опубликовано в 1832 г.) и Гаусс (отдельные
места из переписки, особенно после 1818 г., опубликован-
ные, однако, только после смерти Гаусса), создавшие и раз-
вившие первую неевклидову геометрию, решили вместе
с тем знаменитую задачу, над которой бились еще древ-
ние комментаторы Евклида. Полное обоснование пра-
вильности этого решения было получено вместе с доказа-
тельством непротиворечивости геометрии Лобачевского
только после 70-х гг. прошлого века Ф. Клейном (1871 г.)
ВВОДИ У.Н ЛЕКЦИЯ К КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 197
и А. Пуанкаре (1881 г.). Дальнейший анализ аксиом
геометрии Евклида был связан с работами Римана (ри-
манова эллиптическая геометрия, 1854 г.), Паша (1882 г.,
постулат Паша, относящийся к понятию «между») и ряда
геометров конца XIX —начала XX столетий. Полная ак-
сиоматика для геометрии Евклида явилась задачей, ко-
торой были посвящены «Основания геометрии» Гильберта
(1899 г.). Древний парадокс о лжеце («Эпименпд») обнару-
жил свое подлинное лицо в связи с труднейшими пробле-
мами обоснования математики, теории множеств и мате
матической логики; парадоксы же Зенона оказались тесно
связанными с задачей обоснования математического ана-
лиза, с проблемой соотношения непрерывного и дискрет-
ного в математике и отображения в ней движения.
Неудивительно, что при решении историко-математи-
ческих проблем, связанных с такими источниками, как
«Начала» Евклида, сочинения Архимеда, Аполлония,
Диофанта, приходится пользоваться аппаратом матема-
тического анализа, теории групп, теории чисел, неев
клидовой геометрии и многих других разделов современ-
ной математики. Разумеется, что нельзя разобраться
в трудах классиков математики, более близких к со-
временности, не владея современной математикой1).
Пз чего же будет состоять наш курс? Какие разделы
он будет содержать?
Не приходится доказывать, что самой интересной
частью истории математики является история матема-
тики XIX и XX столетий — история современной мате-
матики, но это в то же время и самая трудная часть курса.
В ней именно и должен содержаться тот общий обзор всего
пройденного в университете материала, который дает воз-
можность взглянуть на него с точки зрения общего, целого,
увидеть его характерные особенности, его связь с зада-
чами естествознания п техники, его практическую и по-
знавательную ценность, его основные трудности и перспек-
тивы, который может помочь разобраться в пдеологи-
') Я не буду приводить здесь ссылок на многочисленные рабо-
ты, посвященные трудам великих математиков прошлого. Неко-
торые указания читатель найдет в списке литературы, приложенном
к программе курса «История математики» (см. стр. 191—192).
198
G. V ЯНОВСКАЯ
ческой борьбе, происходящей между материализмом и идеа-
лизмом в вопросах обоснования математики, и выяснить
точку зрения диалектического материализма па эти во-
просы. Но именно потому, что речь идет об основных особен-
ностях важнейшего периода истории математики и объек-
тивных законах ее развития, необходимо иметь представ-
ление и о других периодах ее истории. Мы уже говорили,
что для понимания настоящего его нужно сравнить с прош-
лым, увидеть его не статически, а в движении.
В истории математики можно различить несколько
больших периодов, отличающихся рядом характерных
особенностей. Раньше всего, конечно, следует остано-
виться на том из них, когда впервые возникали основные,
первичные и важнейшие математические понятия и опе-
рации. Математика — очень древняя наука, может быть,
даже самая древняя пз всех. Существуют специально ма-
тематические тексты, давность которых исчисляется в че-
тыре и более тысяч лет и которые, как теперь можно счи-
тать доказанным, представляли уже собой материал для
упражнений в школе. Но считать и оперировать с чис-
лами люди умели и раньше. Раньше у них образовались
и такие абстрактные понятия, как угол, площадь,
объем и др. II если мы хотим выяснить логическую сущ-
ность понятий числа, площади, объема и других важней-
ших для математики понятий, их отношение к материаль-
ной действительности, роль практики в их возникновении
и развитии, мы должны обратиться к этому периоду исто-
рии математики, который естественно назвать д о н а у ч-
н ы м, поскольку в этот период хотя и существуют уже
общие алгоритмы для решения некоторых классов задач,
но демонстрируются они только на примерах. Сформули-
ровать общее правило математик еще пе умеет. К этому
периоду мы относим математику'- первобытных народов
и математические знания древнпх египтян и вавилонян-
Познакомившись с содержанием математики этого вре-
мени, учащийся убедится в том, сколь важные и труд-
ные историко-математические задачи могут быть связаны
со столь отдаленными временами.
Вторым, естественным периодом в истории математики
является история античной г р е ч е с к о й мате-
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 199
матпки, о которой мы уже достаточно сказали выше,
чтобы было ясно, что речь идет о таком периоде в истории
нашей науки, не разобравшись в котором нельзя понять
многого и в современной математике. В это время мате-
матика стала уже наукой, обладающей основными харак-
терными для нее — вплоть до нашего времени — особен-
ностями. А ряд задач (относящихся, например, к истории
понятий величины и действительного числа, истории тео-
рии делимости, предыстории дифференциального и инте-
грального исчислений, истории алгебры, аналитической
геометрии и других разделов и понятий математики),
которые естественно вспоминаются потому, что над ними
и теперь еще работают историки математики, в том числе
и некоторые наши студенты, свидетельствует о том, что
и по отношению к этому периоду перед историками мате-
матики стоит еще ряд интересных и важных задач.
Третий большой период в истории математики, кото-
рый естественно назвать периодом элементарной матема-
тики, охватывает историю математики у разных народов
не всегда одного и того же времени: древних и средневе-
ковых Китая и Индии; народов Средней Азии и Кавказа,
входящих теперь в состав народностей СССР; арабов
и средневековых европейцев, вплоть до эпохи Возрож-
дения включительно. Здесь речь идет прежде всего о раз-
работке важнейших вычислительных алгоритмов, в том
числе необходимого для нужд астрономии приближенного
вычисления с любой наперед заданной степенью точности
тригонометрических функций, а также связанного с ним
приближенного решения кубических уравнений. К этому
же периоду относятся русские математические рукописи
XI—XVI вв. История математики этого периода в основ-
ном только сейчас стала предметом интенсивного научного
исследования, и новые данные, особенно связанные с исто-
рией математики народов Средней Азии, Китая и Индии,
опровергают ряд прочно установившихся среди историков
математики неверных представлений.
Четвертый период охватывает историю европейской
математики XVI—XVIII столетий, в том числе деятель-
ность Петербургской Академии наук в XVIII в. Он по
праву может быть назван периодом создания б у к в е н-
200
С. А. ЯНОВСКАЯ
ных исчислений и математического
анализа и должен быть связан с введением в матема-
тику переменной величины и общего понятия функции,
достаточного для отображения движения твердого тела
(прежде всего для нужд динамики и астрономии) и потреб-
ностей косвенного измерения величин (через другие ве-
личины). «Поворотным пунктом в математике была декар-
това переменная величина», —ппсал Энгельс. «Благодаря
этому в математику вошли движение и диалектика и бла-
годаря этому же стало немедленно необходимым диффе-
ренциальное и интегральное исчисление, которое тотчас
и возникает и которое было в общем и целом завер-
шено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»1). За-
нимаясь вопросами диалектико-материалистического обос-
нования дифференциального исчисления, К. Маркс
в своих математических рукописях посвятил истории
дифференциального исчисления этого времени специаль-
ный очерк. Без изучения трудов великих математиков
этого периода: Кеплера, Кавальери, Декарта, Ферма,
Паскаля, Гюйгенса, Валлиса, Ньютона, Лейбница, Бернул-
ли (Якова, Ивана и Даниила), Эйлера, Лагранжа, Лапла-
са и других, нельзя понять и историю математики XIX в.
Последний, пятый, период—история математики XIX—
XX столетий — уже был назван нами периодом со вре-
менной математики. Для него характерны пере-
смотр и расширение всех основных понятий математики,
начиная с понятия функции, расширение которого было
связано с потребностями теперь уже не только механики
и астрономии, но и, особенно, математической физики;
разработка теории специальных функций (особенно эллип-
тических); создание новых, абстрактных, математических
дисциплин, таких, как теория инвариантов, теории групп,
полей, колец, структур и других алгебраических систем
(«современная алгебра»), неевклидовы геометрии, теория
функций комплексного переменного, теория множеств
и теория функций действительного переменного, функцио-
нальный анализ, топология; разработка аксиоматиче-
ского метода и задач обоснования математики, матема-
!) Ф. Энге.дь с. Диалектика природы, 1948, стр. 208.
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 201
тической логики и теории алгоритмов, математической
статистики и теории информации, теории автоматов.
Историко-математическая проблематика, связанная
с этим периодом, особенно интересна, но, нужно признать,
до сих пор недостаточно разработана. О работах, относя-
щихся к этому времени, у нас еще будет идти речь.
Здесь же отметим только, что студенты — авторы дип-
ломных и курсовых работ, основанных на изучении клас-
сических произведений Монжа, Фурье, Гаусса, Коши,
Абеля, Больцано, Дирихле, Остроградского, Лобачев-
ского, Больаи, Римана, Чебышева, Ляпунова, Маркова,
Золотарева, Куммера, Штейнера, Штаудта, Грассмана,
Гамильтона, Вейерштрасса, Дедекинда, Г. Кантора,
Пуанкаре, Гильберта, Лузина и других крупнейших ма-
тематиков XIX—XX столетий,—обнаружили ряд новых
и интересных историко-математических обстоятельств.
Рассмотренная нами периодизация истории матема-
тики составлена в соответствии с основным содержанием
математических исследований, характерных для каждого
пз периодов. Конечно, и в древнегреческий период суще-
ствовали работы вроде «Метрики» Герона Александрий-
ского, которые по содержанию более сходны, с одной сто-
роны, с древнеегипетскими и вавилонскими, а с другой,—
с отнесенными нами к третьему периоду сборниками за-
дач и правил. Еще ранее в трудах Архимеда мы находим
начатки методов интегрирования и дифференцирования,
а в «Конических сечениях» Аполлония элементы анали-
тической геометрии. В средневековой европейской мате-
матике, в том числе в русских математических рукописях,
встречаются вопросы, относящиеся, например, к теории
математической непрерывности и понятию «неделимых».
•Гго и понятно: в развитии математики, как вообще во вся-
ком развитии, господствуют законы материалистической
диалектики. Зародышевые формы нового могут иметься
уже в старом, и математик, развивающий свою науку, но
может не встретиться с этими корнями и пх побегами,
даже если он вынужден разговаривать о них в терминах
средневековой схоластики, исключительно затрудняющих
его работу. В то же время не следует смешивать зароды-
шевые формы с цветущим растением. В нашей классы-
202
С. 4. ЯНОВСКАЯ
фпкацпп, говоря о характерных чертах каждого периода,
мы всегда имеем в виду именно таковое.
В основу периодизации мы положили, таким образом,
важнейшпе математические идеи, результаты и методы,
определяющие содержание работ и характерные черты каж-
дого периода. В то же время нетрудно заметить, что наме-
ченные нами периоды оказались в общем и целом соответ-
ствующими основным этапам истории развития произ-
водительных сил и производственных отношений общества:
сначала мы имели дело с математическими знаниями людей
первобытного общества и раннпх ступеней рабовладель-
ческого строя, затем перешли к математике древних гре-
ков, т. с. математике наиболее развитого рабовладель-
ческого общества, третий период соответствует, в основ-
ном, феодальному способу производства, четвертый —
эпохе возникновения капитализма.
В несколько особом положении оказался у пас только
последний, пятый, период, соответствующий сначала раз-
витому капитализму, затем — его высшей стадии, эпохе
империализма п пролетарских революций, и, когда речь
идет об истории математики в Советском Союзе, — раз-
витию математики в условиях победы социализма. Но,
как уже было отмечено, история современной математики
до сих пор еще недостаточно разработана. Огромный ма-
териал, относящийся к этому периоду, приходится систе-
матизировать, придерживаясь новых принципов; теперь
уже трудно говорить об истории математики вообще —
нужно рассматривать историю отдельных математиче-
ских дисциплин. Но даже занимаясь какой-нибудь част-
ной проблемой истории математики XIX в., нельзя не
заметить, что математика первой половины этого столе-
тия иосит совершенно другой характер, чем математика
70-х (и позже) годов того же века. Смену разных этапов
в истории математики ощутили еще при своей жизни
старшие из современного поколения математиков. Не так
давно мы пережили время, когда главенствующую роль
в развитии математики играли новые еще тогда теоретико-
множественные концепции и аксиоматический метод. 1 е-
нерь мы присутствуем при перестройке математики, свя-
занной с бурным развитием физики и использованием
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ- 203
весьма абстрактных разделов математики — функциональ-
ного анализа, математической логики — для развития
конструктивных средств вычислительной математики и по-
строения вычислительных машин и других автомати-
ческих устройств. Ясно, что, в основном, и эта смена на-
ходится в самой тесной связи с важнейшими этапами разви-
тия производительных сил и производственных отношений.
С точки зрения марксизма-ленинизма такое соответ-
ствие вполне понятно. С развитием производительных сил
общества усложняются задачи, которые приходится ре-
шать науке, и изменяются условия, в которых она нахо-
дится: создается, в частности, в условиях подъема произ-
водительных сил и победы прогрессивных слоев общества
обстановка, благоприятствующая развитию науки, между
тем как, наоборот, господство реакционных классов и их
мировоззрения препятствует ее развитию. Так, на закате
рабовладельческого строя в Риме, почти ничего не давшего
для истории математики, юристы постановили «относи-
тельно злодеев (преступников), математиков п им подоб-
ных», что «обучать искусству геометрии и участвовать
в публичных упражнениях в искусстве, столь заслужи-
вающем осуждения, как математика, запрещается», а свя-
той Августин уже в условиях господства религиозного
мракобесия в средневековом феодальном обществе, также
сковывавшего развитие науки, писал, отождествляя мате-
матиков с колдунами, что «хороший христианин должен
остерегаться математиков и всех тех, кто занимается пу-
стыми пророчествами. Нам угрожает реальная опасность,
что математики заключили договор с дьяволом, чтобы за-
темнптьу м и заключить человека в узы ада» х). В наше
время борьба идеализма с материализмом вокруг вопросов
методологии математики носит более тонкий и сложный
характер, и на ней нам придется остановиться особо
в связп с историей философских вопросов математики,
связанных с развитием ее основных понятий п методов
и критикой идей логицизма, интуиционизма, формализма,
номинализма и других чуждых марксизму направлений
\) Цитирую по книге М. Koine, Mathematics in Western
t'-tiltiire, I ondon, 19.j4, стр. 3.
204
С- А. ЯНОВСКАЯ
современной философии математики, но основная законо-
мерность, связывающая историю науки с историей произ-
водительных сил и производственных отношений, остается
в силе. Не случайно так много теоретических исследова-
ний в современной математике возникло под влиянием
запросов современной физики и вычислительной техники,
связанных с такими проблемами, как высвобождение атом-
ной энергии или запуск искусственных спутников Земли,
где советской науке принадлежит столь важная роль.
В заключение этого краткого введения, которое,
как, впрочем, всегда бывает с такими введениями, -
не дает достаточного представления о содержании курса
(последнее можно получить лишь после того, как курс
прочитан), мне хочется сказать несколько слов об истории
самой историп математики и об основной литературе.
Математики испытывали нужду в истории своей налки
уже в античной древности. Первую историю геометрии,
отрывки из которой дошли до пас, написал ученик Ари-
стотеля Евдем Родосский (IA в. до н. э.), когда еще не
существовали «Начала» Евклида (III в. до н. э.). Задачу
дать историческое изложение идей и задач наукп, в том
числе математики, с целью разобраться лхчше в спосо-
бах открытия истины сформулировал (в 1674 г.) Лейб
ниц. Исторические введения пли очерки, — особенно свя-
занные со спорными вопросамп пли борьбой за приори-
тет в открытии, — встречаются в сочинениях многих ма-
тематиков, начиная с XVII в. Возникновение истории ма-
тематики как особой научной дисциплины можно от-
нести к XVIII в. В 1758 г. появилась двухтомная история
математики француза Монтюкла, второе — четырехтом-
пое — издание которой вышло во времена французской
буржуазной революции (1789—1802). К этому же времени
(1796—1800) относится «История математики» немецкого
математика Кестнера. В XIX в. и позже отдельные исто-
рико-математические исследования особенно стимули-
руются изданиями классиков и пробуждением интереса
к историп возникновения основных понятий п методов
математики. Вместе с развитием вершин математических
теорий математики все больше испытывают нужде про-
никнуть глубже в их исторические и логические корни.
ВВОДИ VH ЛЕКЦИЯ к КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 2(М
В то же время открытие способов расшифровки египет-
ские иероглифов и вавилонских клинописей делает до-
ступными историко-математическому исследованию все
более отдаленные времена псторип человечества. Круг
интересов историков математики все более расширяется:
он включает уже нс только достижения великих матема-
тиков, но и безымянные математические знания народов;
он выходит за пределы Европы и обнаруживает, что в исто-
рии математики, в том числе европейской, существенную
роль играли математические знания древних и средневе-
ковых Хорезма, Индии, Китая и других стран Ближ-
него и Дальнего Востока; он движется и во времени не
только вперед — в сторону современной математики, но
и в глубь веков п тысячелетий, открывая при этом иногда
совершенно неожиданные факты и новые закономерности.
Увеличивается и круг людей, для которых история
математики становится их основной специальностью.
В их чпсле следует назвать автора четырехтомпых «Лек-
ций по псторип математики» М. Кантора (1829—1920),
голландского математика Г. Цейтена (1839 —1920), книги
которого «История математики в древности и в средине
века» и «История математики в XVI и XVII веках» пе-
реведены на русский язык и выдержали два советских
издания; французского историка математики П. Таннери
(1843—1904), советскому читателю известного по разде-
лам, посвященным истории математики в русском пере-
воде «Истории XIX века»Лавпсса и Рамбо; русского исто-
рика математики В. В. Бобынина (1849—1919) — про-
фессора Московского университета п автора ряда иссле-
дований по истории математики в России (особенно рус-
ских математических рукописей) и во всем мире (начиная
от папируса Рпнда до биографий Абеля, Гаусса, Вейер-
штрасса и других знаменитых математиков XIX в.).
Выдающийся интерес представляют исследования совре-
менных нам ученых: О. Нейгебауэра, его известные «Лек-
ции по истории античных математических наук» имеются
в русском переводе (1937), и II. Э. Гофмана, специалиста
по эпохе Возрождения и XVII—XVIII векам, автора
краткой, но весьма содержательной «Истории математики»
в трех частях на немецком языке. Наряду с этим в работу
206
С. А. ЯНОВСКАЯ
но истории математики все более и более включаются сами
математики. В этой связи можно упомянуть здесь фран-
цузского геометра М. Шаля (1793—1880), книга которого
«Исторический обзор происхождения и развития геометри-
ческих методов» (1829—1835) была пздана в русском пере-
воде Московским математическим обществом в 1871 —
1872 гг.; немецкого математика Г. Ганкеля (1839—1873),
который вместе с рядом исследований в области комплекс-
ных числовых систем, теории групп, проективной гео-
метрии и теории функций написал книгу «К истории мате-
матики в древности и в средние века» (1874) п брошюру
«Развитие математики в последние столетия», представ-
ляющую собой изложение сделанного им на эту тему до-
клада (1869).
Особо следует отметить Ф. Клейна (1849 -1925), о ко-
тором нам придется подробнее говорить в курсе и книга
которого (т. I) «Лекции о развитии математики в XIX
столетни» издана в русском переводе в 1937 г. Несмотря
на отбор материала, в большой мере определяемый лич-
ными вкусами п симпатиями автора, книга заслуживает
всяческого вппмания. Исключительно живо написанная
и носящая чаще всего характер личных воспоминаний, опа
дает в то же время возможность лучше понять ряд веду-
щих идей математики XIX в., пх связь с задачами есте-
ствознания и техники, лучше представить себе живой
облик пх носителей и обстановку, в которой эти идеи
возникали и развивались. Отнюдь не всегда те пли иные
взгляды автора разделяются памп, но в такпх случаях
они могут служить предметом содержательной критики1).
Нужно упомянуть также увлекательную «Краткую исто-
рию математики» геометра Д. Стройка и книгу известного
алгебраиста Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука»,
посвященную египетской, вавплонской и греческой мате-
матике (русские переводы ее выходят в ближайшее время).
х) Критику взглядов Ф. Клеи на, состоящих в противопостав-
лении периодов неудержимого роста математической продуктивно-
сти периодам критикп. см. в статье К. А. Рыбникова «О так назы-
ваемых творческих и критических периодах в истории математиче-
ского анализа», Историко-математические исследования, вып. VII,
1954, стр. 643—665.
ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ К КУРСУ «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ»
207
Исключительной силы толчок развитие нашей науки
получило в условиях победы социализма в СССР. В работа-
ло истории математики включились многие советские ма-
тематики, в том числе такие ученые, как А. Д. Александ-
ров, П. С. Александров, Н. И. Ахпезер, Н. К. Бари,
С. Н. Бернштейн, Б. В. Гнеденко, А. О. Гельфонд,
)Ш ЕЕ Голубев), В. Л. Гончаров , Б. Н. Делоне,
В. Ф. Каган , А. Н. Колмогоров, А. Г. Курош, Л. А. Лю-
стерник, А. И. Маркушевич, А. П. Норден, П. Я. Полуба-
рпнова-Кочпна, II. П. Натансон, В. II. Смирнов, В. В. Сте-
панов, А. К. Сушкевич, Г. М. Фихтенгольц, Ф. II. Франкль,
Н. Г. Чеботарев), Г. Е. Шилов и многие другие. Для на-
шего курса имеют особое значение уже упомянутые выше
статьи «Математика» п «Геометрия» в БСЭ, принадлежа-
щие—первая перу А. Н. Колмогорова, вторая—А. Д. Алек-
сандрова, статья П. С. Александрова, посвященная совет-
ской школе математиков г), книги Б. В. Гнеденко «Очерки
по исторпп математики в России и СССР» и «Михаил Ва-
сильевич Остроградский», книги В. Ф. Кагана о Лоба-
чевском и историп неевклидовой геометрии.
В Московском университете, где еще в начале текущего
столетия историю математики преподавал В. В. Бобынин,
после Великой Октябрьской социалистической револю-
ции возникла целая школа историков математики, груп-
пирующаяся вокруг научно-псследовательского семинара
по историп математики и «Историке математических ис-
следований», где наряду с другими работами публи-
куются основные труды его участников. В Академии
паук СССР большая работа по исторпп математики ведется
в Институте истории естествознания п техники. Чтобы
представить себе, насколько широко работа по истории
математики развернулась не только в Москве, Ленинграде,
Киеве, Харькове, но и в друтпх городах Советского Союза,
достаточно просмотреть указатели авторов и названия
статей, опубликованные в X выпуске «Историко-матема-
тических исследований». Ряд работ по истории матема-
*) Биолиографическпс указания см. в списке литературы, при-
ложенном к программе курса «История математики».
2о8
с. л. я поиск хя
тики выполнен у нас в связи с изданием классиков мате-
матики и подготовкой к изданию математических руко-
писей Маркса. Пз работ советских авторов, относящихся
к отдельным вопросам нашей программы, здесь нужно
упомянуть книгу М. Я. Выгодского «Арифметика и алгебра
в древнем мире», статьи М. Я. Выгодского, И. Г. Башма-
ковой, Л. II. Маркушевича, А. Е. Раик и др. по истории
античной математики в «Историко-математических иссле-
дованиях» (особенно о «Началах» Евклида и об Архимеде),
статьи Л. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда по псторип
математики пародов Средней Азии и Кавказа (там же),
статьи А. П. Юшкевича п Э. II. Березкиной по истории
китайской математики (там же), докторскую диссертацию
К. А. Рыбникова о математических рукописях К. Маркса
и связанные с нею статьи его в «Историко-математиче-
ских исследованиях», статьи А. П. Юшкевича в совет-
ских изданиях: Л. Карно («Размышления о метафизике
исчисления бесконечно малых»), Р. Декарта («Геометрия»),
II. Ньютона («Универсальная арифметика»), статью
Л. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича, а также Н. II. Симо-
нова об Эйлере («Историко-математические исследования»,
вып. VII и X). Для части курса, посвященной псторип ма-
тематики в России и СССР, особенно существенны совет-
ские издания трудов Н. II. Лобачевского, П. <1. Чебыше-
ва, А. М. Ляпунова, А. А. Маркова, С. В. Ковалевской,
Н. Н. Лузина, П. С. Урысона п комментарии к ним,
а также написанные А. П. Юшкевичем главы по псторпи
математики в «Истории естествознания в России»,
[т. I, ч. 1 и 2, М., 1957).
Уже из этих, очень далеких от полноты, сведении
ясно, насколько вырос интерес к псторпи математики
в СССР. В этом росте нет ничего удивительного. Говоря
о задачах союзов молодежи, Ленин специально подчер-
кивал, что нельзя стать коммунистом, не обогатив свою
память знанием всех тех богатств, которые выработало
человечество. Такому обогащению весьма содействует
ознакомление с сочинениями классиков науки и ее исто-
рией.
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
К. А. Рыбников
Настоящая статья представляет собой, по существу,
тезисы вводной лекции к курсу лекций по истории мате-
матики, читаемых автором в Московском государственном
университете с 1955 г. Ее целью является сообщение си-
стемы исходных положений, на которых строится все
дальнейшее изложение курса. Выбор вопросов, включае-
мых в эту лекцию, определяется в значительной степени
соображениями педагогического характера, относящимися
к месту данного курса относительно других дисциплин.
Ограниченность круга избранных вопросов и краткость
изложения диктуются необходимостью употребить на
вводную лекцию не более двух часов.
О месте курса исторпп математики в системе подго-
товки математиков-специалистов. Подготовка математи-
ков-специалистов в AIockobckom государственном уни-
верситете построена таким образом, что в течение первых
трех курсов в основном завершается общее математи-
ческое образованпе студентов. За это время они усваи-
вают систему фактов, необходимых для самостоятельной
работы над математическими проблемами, и приобретают
необходимые навыки для такой работы. На четвертом
и пятом курсах студенты широко вовлекаются в научную
деятельность кафедр по избранной пмп специальности.
Большое место в бюджете времспп студента начинают за-
нимать работа в специальных семпнарах и прослушивание
специальных курсов, выбор которых пропзводптся самими
студентами в соответствии с их лпчнымп научными инте-
ресами. На четвертом круге проводится и завершается
14 Истор.-матем. исслед., вып. XI
210
К. А. РЫБНИКОВ
также педагогическая и вычислительная практика. Та-
ким образом, осуществляется система мероприятий, спо-
собствующих ускоренному накоплению навыков научно-
исследовательской и преподавательской деятельности.
Происходит процесс созревания математика-специалиста,
пригодного для работы в школе, в научно-псследователь-
ских учреждениях и вычислительных центрах.
Одним пз элементов, характеризующих начало науч-
ной зрелости, является стремленпе охватить изучаемую
науку в целом, конкретно представить себе ее идейные
основы, понять логическую структуру и взаимосвязанность
отдельных математических дисциплин, — словом, допол-
нить знание усвоенных научных фактов знанием законов
развития науки и, насколько возможно, ее перспектив.
Марксизм-ленинизм учит нас, что весь логический строп
любой науки, ее структура, взаимосвязь п даже существо-
вание отдельных областей науки нс представляют собой
чего-то неизменного. Они являются плодом историче-
ского развития. Больше того, сам логический ход мыслей
в науке представляет собой не что иное, как отражение
исторического процесса в абстрактной и теоретически
последовательной форме (К. Маркс и Ф. Энгельс,
Избранные произведения в двух томах, 1949, I, стр. 332).
Наличие этой особенности развития валки классики
марксизма-ленинизма продемонстрировали на конкрет-
ных примерах ряда общественных и естественных паук,
в том числе математики. К. Маркс, например, в своих
рукописях ио математике подходил к решению задачи
обоснования дифференциального исчисления посредством
выявления элементарно математических корней этого ис-
числения, прообразов его понятий и неразвитых форм
его зарождающихся методов.
Осознание неразделимости логического п историче-
ского в математике вызывает потребность в знании основ-
ных фактов истории математики п классических работ,
законов развития математических на} к п в понимании
исторически сложившегося соответствия отдельных мате-
матических дисциплин. Эту потребность возбуждает п под-
держивает и пример ведущих ученых-математиков. Их
деятельность в конкретных областях математики, как пра-
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
211
вило, сочетается с исследованиями исторических проблем-
В качестве примера можно указать на статью А. Н. Колмо-
горова: «Математика» в 26 м томе 2-го издания Большой
Советской Энциклопедии, где самый предмет математики
рассматривается в историческом плане. Ценные иссле-
дования по псторип математики опубликовали многие
советские ученые. По существу, пет пи одного творчески
работающего научного работника в СССР, который не
занимался бы историей своей науки.
Большое внимание уделяется псторип математики и за
рубежом. Этой области математики посвящается много
книг и статей. Не все в них, разумеется, верно п не все
может принести пользу. Необходимо научиться отличать
такие сочинения, в которых история математики препод-
носится в искаженном виде, и уметь судить о них пра-
вильно. Необходимо уметь различать в разнообразных
формах отрицания объективных закономерностей разви-
тия математики их идеалистическую направленность, раз-
гадывать методы дискредитации прогрессивных научных
направлений и деятельности прогрессивных ученых и уметь
со всеми этими явлениями бороться.
Борьба передовых и реакционных сил в математиче-
ской науке, являющаяся одной пз форм классовой борьбы,
наиболее ярко проявляется в исторических и философ-
ских вопросах математики. Здесь проходит передовая
линия одного пз участков борьбы за прогресс, за науку
коммунистического общества.
Таким образом, обучение истории математики пред-
стает перед нами как важнейшая часть подготовки мате-
матиков-специалистов, необходимая для правильного пони-
мания сущности данной науки и для верного выбора
направления и форм своей личной деятельности.
В Мос конском университете на механико-математи-
ческом факультете лекции по истории математики читаются
на четвертом курсе по два часа в неделю в течение года.
В конце года студенты всех математических специально-
стей сдают по истории математики зачет. Зачет представ-
ляет собой беседу с каждым студентом; в ходе беседы
выявляется знакомство с материалом лекций и с рекомен-
дованной литературой, проверяются знание главнейших
14*
212
К. А. РЫБНИКОВ
фактов истории и представление об основных этапах раз-
вития математики.
Все желающие студенты могут посещать специальный
семинар по исторпп математики и делать на его заседа-
ниях доклады по заинтересовавшим пх вопросам. За ак-
тивное участие в семинаре студенты получают зачет как
за один из спецсеминаров по выбору. Студенты могут
также выбирать темы для курсовых и дипломных работ
по истории математики. При рекомендации и выборе темы
необходимо стремиться к тому, чтобы она была связана
с той пз отраслей математики, которой студент преи-
мущественно занимается. Некоторые студенты могут
специально работать по исторпп математики. Однако необ-
ходимо предупредить, что зто одна пз самых трудных спе-
циализаций. Она требует сочетания серьезной матема-
тической подготовки, широкого культурного круго-
зора и умения работать над источниками на иностранных
языках.
Предмет псторпп математики. История математики
есть одна пз математических дисциплин. Все отрасли
математики, какими бы разными они пи казались, объеди-
нены общностью предмета. Этим предметом являются,
по определению Ф. Энгельса, количественные отношеппя
и пространственные формы действительного мира. Раз-
личные математические науки имеют дело с частными, от-
дельными видами этих количественных отношений и про-
странственных форм пли же выделяются своеобразием
методов. Состав математики, как и всякой другой наукп,
включает в себя: а) факты, накопленные в ходе ее
развития; б) г и п о т е з ы, т. е. основанные на фактах
научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем
проверке опытом; в) результаты обобщения фактиче-
ского материала, выраженные в математических в данном
случае теориях и законах; г) методоло-
гию математики, т. е. общетеоретические истолко-
вания математических законов и теорий, характеризую-
щие общий подход к изучению предмета математики.
Все эти элементы постоянно находятся во взаимосвязи
и в развитии. Выяснение того, как происходит зто раз-
витие в изучаемый исторический период и куда оно ведет,
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
213
п является предметом псторпп математики. История мате-
матики есть наука об объективных законах развития ма-
тематики. В соответствии с этим на историю математики
возлагается решение большого круга задач. Нет возмож-
ности дать их перечень в течение малого времени пли в
рамках одной статьи. Здесь представляется возможным
дать лишь суммарную характеристику направлений исто-
рико-математических исследований.
Во-первых, в работах историко-математического харак-
тера воссоздается богатство фактического содержания исто-
рического развития математики. В них освещается, как
возникли математические методы, понятия и идеи, как
исторически складывались отдельные математические
теории. Выясняются характер и особенности развития
математики у отдельных народов в определенные исто-
рические периоды, вклад, внесенный в математику вели-
кими учеными прошлого.
Во-вторых, историко-математические работы раскры-
вают многообразные связи математики. Среди них: связи
математики с практическими потребностями и деятель-
ностью людей, с развитием других наук, влияние эконо-
мической и социальной структуры общества и клас-
совой борьбы (в особенности, в области идеологии) на
содержание и характер развития математики, роль на-
рода, личности ученых и коллективов ученых и т. и.
В-третьих, историко-математические исследования
вскрывают историческую обусловленность логической
структуры современной математики, диалектику ее раз-
вития, помогают правильно понять соотношение частей
математики и, до известной степени, ее перспективы.
Разумеется, история математики может играть такую
роль, только еелп исследования производятся на основе
марксистско-ленинской науки методом диалектического
материализма.
История математики, как это следует из данного выше
определения ее предмета, должна иметь дело со всем со-
ставом данной науки, со всеми ее областями и с большим
количеством других наук. Это обстоятельство в свою
очередь усиливает своеобразие историко-математической
проблематики и методов исследования.
214
К. А. РЫБНИКОВ
О материалистическом понимании предмета истории
математики. По определению, данному еще Ф. Энгельсом,
математика есть наука о количественных отношениях
и пространственных формах действительного мира. Эти
объекты математики не представляют непосредственно
данной реальности. Они являются плодом абстракции.
Чтобы исследовать средствами математики какой-либо
предмет или явление, необходимо отвлечься от всех каче-
ственных особенностей его, кроме тех, которые характе-
ризуют количество пли форму.
В ходе развития математики рассматриваются все
более абстрактные объекты, входящие в класс количе-
ственных отношений и пространственных форм. В современ-
ных математических теориях зти формы и отношения часто
предстают в весьма рафинированном, отвлеченном виде.
В них говорится о множествах элементов, свойства кото-
рых и правила оперирования задаются с помощью системы
аксиом.
Абстрактность предмета математики иногда воспри-
нимается некоторыми как исходный, самодовлеющий
момент в ее содержании. В таких случаях элементы иссле-
дуемых множеств представляются принципиально отде-
ленными от вещей действительного мира, а системы акси-
ом, определений и операций оказываются вводимыми по
произволу. Это ведет к различным разновидностям идеа-
листических заблуждений, отрицательно влияющих на
развитие математики.
Необходимо научиться избегать подобных заблужде-
ний. «Честно-наивного», основанного па интуиции, при-
числения себя к материалистам недостаточно. В. И. Ленин
писал, что «... без солидного философского обоснования
никакие естественные наукп, никакой материализм не
может выдержать борьбы против натиска буржуазных
идей и восстановления буржуазного миросозерцания
(В. И. Лепин, Соч., пзд. 4, т. 33, стр. 207).
Знание исторпп наукп существенно способствует вы-
работке материалистического мировоззрения. История по-
казывает, что главным, определяющим в развитии даже
такой абстрактной пауки, как математика, являются за-
просы материальной действительности. Абстрактность
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
215
предмета математики лишь затушевывает происхождение
(зачастую сложное, многостепенное, опосредованное)
всех понятий математики пз материальной действитель-
ности, но пи в каком случае пе отменяет его. История по-
казывает, что запас количественных отношений и про-
странственных форм, изучаемых математикой, непрерывно
расширяется в неразрывной связи с запросами техники
и естествознания, наполняя все более богатым содержанием
общее определение математики.
Правильное материалистическое понимание предмета
математики и знание ее истории — залог глх бокого пони-
мания подлинного места этой науки в трудовой и обще-
ственной деятельности людей, умения находить свое место
в общей работе, понимать связь содержания своей ра-
боты с общими задачами социалистического строительства.
О ролп практики в развитии математики. Математика —
одна из самых древних наук. Математические познания
приобретались людьми уже на самой ранней стадии раз-
вития под влиянием даже самой несовершенной тр\довой
практической деятельности. По мере усложнения этой
деятельности изменялась и совокупность факторов, влия-
ющих на развитие математики.
Со времени возникновения математики как особой
науки со своим предметом изучения наибольшее влия-
ние на формированпе новых понятий и методов матема-
тики оказывало математическое естествознание. Под мате-
матическим естествознанием понимается комплекс наук
о прпродс, для которых на данной ста пени развития ока-
зывается возможным приложение математического метода.
Пз ранних наук, оказавших влияние на прогресс матема-
тики, являются астрономия, механика и физика.
Непосредственное воздействие -задач математического
естествознания на развитие математики можно просле-
дить на протяжении всей ее псторип. Так, например, диф-
ференциальное и интегральное исчисление в его наиболее
раннем форме исчисления флюксий возникло как наиболее
общий в то время метод решения задач механики, в том
числе небесной механики. Теория полиномов, наименее
уклоняющихся от нуля, была разработана русским ака-
демиком П. Л. Чебышевым в связи с исследованиями па-
216
К. А. РЫБНИКОВ
ровой машины. Метод наименьших квадратов возник в свя-
зи с большими геодезическими работами, проводившимися
под руководством К. Ф. Гаусса. В настоящее время под
непосредственным влпянпсм запросов новых областей
техники получают бурное развитие многие области мате-
матики: методы приближенного решения дифференциаль-
ных уравненпй с частными производными и интегральных
уравнений, методы теории групп и т. д.
Примеры подобного рода можно продолжать неогра-
ниченно. Все они показывают, что математика возникла
из трудовой практики людей и формировала новые поня-
тия и методы преимущественно под непосредственным влия-
нием запросов математического естествознания.
Выход математики в естествознание происходит как
путем приложения существующих математических тео-
рий к практическим проблемам, так и посредством раз-
работки новых методов их решения. Вопрос о приложи-
мости к практике той или иной математической теории
не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение.
До его решения проходят зачастую годы и десятилетия.
В качестве примера возьмем теорию групп.
Теория групп ведет свое начало с рассмотрения Ла-
гранжей групп подстановок корней в связи с проблемой
разрешимости в радикалах алгебраических уравнений
высших степеней. Галуа при помощи теории групп под-
становок дал ответ на вопрос об условиях разрешимости
в радикалах алгебраического уравнения любой степени.
В дальнейшем, в середине XIX в., в трудах Кзлп сфор-
мировалось общее абстрактное определение группы. Позд-
нее С, Ли разработал теорию непрерывных групп. Однако
практическое применение теория групп начала получать
только с конца XIX в. В 1890 г. русский ученый Е. Федо-
ров приложил теорию групп к кристаллографии: он ре-
шил с помощью этой теории задачу классификации все-
возможных пространственных решеток. Позднее теория
групп становится мощным средством исследования в кван-
товой физике.
В свою очередь практика, и в частности техника, вхо-
дит в математику как незаменимое вспомогательное сред-
ство научного исследования, во многом меняющее лицо
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 217
математики. Введение электронных вычислительных
устройств открыло неограниченные возможности расши-
рения класса задач, решаемых средствами математики,
и изменило соотношение между методами нахождения точ-
ного и приближенного решения их. Однако, как бы велика
ни была роль вычислительной техники, неизменным остает-
ся ее вспомогательный характер. Никакая, даже самая
совершенная, вычислительная электронная машина не
может приобрести основных свойств мыслящей материи —
человеческого мозга, и существенно заменить его. Утверж-
дения, в изобилии встречающиеся в зарубежной литера-
туре определенного профиля, об изобретении различных
«электронных мозгов», способных якобы полностью за-
менить труд так называемых «интеллигентных рабочих»,
являются лишь частью социального заказа, выполняемого
в целях устрашения трудящихся и эксплуатируемых лю-
дей и еще большего подчинения их.
Математика и другие наукп. Область приложений ма-
тематики постоянно расширяется. Этому расширению не-
возможно установить предел. Это невозможно принци-
пиально. Рост приложений есть одно из свидетельств на-
личия и укрепления связей математики с другими науками.
Математика не только развивается под воздействием
других наук. Она в свою очередь внедряет в другие науки
математические методы исследования. Это обстоятельство
дает повод некоторым иностранным ученым называть
математику «служанкой и королевой всех наук», оттеняя
тем самым своеобразное положение математики среди
других наук.
Применение математического метода в естествознании
имеет две сосуществующие стороны:
а) выделение математической схемы, приближенно
соответствующей явлению пли процессу;
б)^ разработка новых математических форм, так как
псизоежпо выявляются несовершенство, приблизитель-
ность выделенной математической схемы.
История математики изобилует примерами поисков
универсальных математических методов, способных ре-
шить все пли большинство поставленных задач. Едва ли
не каждый крупный успех математики порождал по до б-
218
К. А. РЫБНИКОВ
ныс стремления. Факты история убеждают в отсутствии
такого универсального метода и учат правильному при-
менению математических методов в соответствии с каче-
ственным своеобразием изучаемых явлении или процессов.
Наиболее полно математические методы применяются
в механике и небесной механике — науках, предмет кото-
рых в высокой степени абстрагирован от совокупности
определяющих предмет или явление факторов. Широкое
применения имеют математические методы в физике, где,
пожалуй, наибольшие трудности представляют постановка
задачи и интерпретация полученных прп решении задачи
результатов. В биологических науках пока возможности
применение математических методов еще существенно
ограничены из-за большого качественного своеобразия
объектов изучения. Наименьшую приложимость методы
математики имеют сейчас в общественных науках, где
основной формой пх применения является статистика.
Следует отмстить, что в Соединенных Штатах Америки
и других капиталистических странах нередки случаи ис-
пользования математики в целях «доказательства» незыб-
лемости буржуазно-капиталистических порядков и право-
мерности и извечности системы угнетения трудящихся.
О диалектическом характере законов развития мате-
матики. На четвертом курсе, одновременно с изучением
истории математики, студенты начинают изучать диалек-
тический материализм — философское учение марксизма-
ленинизма, дающее наиболее общее п правильное пони-
мание законов окружающей нас действительности. Тем
самым создаются благоприятные условия для одновре-
менной работы в двух направлениях:
а) в ходе занятий математикой и ее историей просле-
живать законы диалектического развития этой науки;
б) при изучении диалектического материализма нахо-
дить своеобразные конкретные формы общих законов, да-
вать интерпретации, приводить примеры и упражнения
математического характера.
Математика как наука является одной из форм обще-
ственного сознания людей. Поэтому, несмотря па извест-
ное качественное своеобразие, законы, управляющие ее
развитием, в главном, в основном, общие для всех форм
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
219
общественного сознания. Поскольку изучение дпалектп
ческого материализма только начинается, здесь представ-
ляется уместным привести лишь некоторые начальные
соображения вроде следующего.
Развитие математики нс есть плавный процесс посте-
пенного и непрерывного развития математических истин.
Развитие в действительности происходит в ожесточенной
борьбе нового со старым. История математики изобилует
примерами, когда зта борьба проявляется особенно сильно,
когда новое неодолимо побеждает, несмотря на неудачи
и гибель мучеников и творцов науки. Приведем примеры.
Науки о природе, в том числе математика, во многих
случаях испытывали противодействие религиозно на-
строенных кругов. Это противодействие было иногда на-
столько сильным, что значительным образом затрудняло
и задерживало рост науки. Наука весьма многим обязана
героизму' известных и безвестных мучеников времен Рим-
ской империи и средних веков, продвигавших вперед
науку’ ценой собственной жпзни.
В XVII в. анализ бесконечно малых, едва появив-
шись в трудах Лейбница и Ньютона п их прпверженцев,
подвергся ожесточенной критике, тон которой задал из-
вестный епископ Беркли. Борьба вокруг основных поня-
тий математического анализа, в частности вокруг понятия
предела, происходила в течение всей истории этой научной
дисциплины. Эта борьба не утихла, как принято думать,
с появлением работ Коши в первой трети XIX в., а раз-
горелась с новой силой. Построение основ анализа на базо
теории пределов получило всеобщее признание только
к самому концу прошлого века.
Основы неевклидовой геометрии стали известными
с 1826 г., благодаря трудам гениального русского ученого
Н. II. Лобачевского. Однако признание и дальнейшее раз-
витие зта наука смогла получить лишь к XX в. после дли-
тельного периода борьбы. По су ществу, созданные не-
евклидовы геометрии смогли развиваться лишь тогда,
когда после возникновения теории относительности они
сделались математической основой физических иссле-
довании о реальной природе пространственно-временного
континуума. Геометрические методы исследования абс-
220
К. А. РЫБНИКОВ
трактных многомерных и бесконечномерных пространств
при помощи выражения процессов в фазовых простран-
ствах стали необходимыми в физике.
И в наше время во всех областях математики происхо-
дит борьба передовых и реакционных тенденций. В усло-
виях социалистического общества развитие происходит
в атмосфере борьбы мнений, научной критики, развитие
которой всемерно поощряется.
Особенности развития математики в капиталистиче-
ском и социалистическом обществе. Математика как си-
стема знаний о количественных отношениях и простран-
ственных формах действительного мира складывается
на основе общественной практики людей. Последняя
существенным образом влияет на степень и характер
развития математики. В числе проблем, относящихся
к истории математики, видное место занимают пробле-
мы воздействия социального строя общества на разви-
тие математики, отношение к ней различных клас-
сов и т. и.
В курсе истории математики мы будем рассматривать
эти вопросы применительно к различным общественным
формациям. Здесь же остановимся на характеристике
своеобразия развития современной математики, обуслов-
ливаемого особенностями социальной структуры общества.
Мы живем в эпоху, когда социализм, ставший миро-
вой системой самых прогрессивных и справедливых спо-
собов производства и общественных отношений, продол-
жает свое победоносное развитие. Ему противостоит
лагерь стран, где наука в значительной мере подчинена
интересам групп собственников-капиталистов. Это оказы-
вает глубокое влияние на характер развития математики.
Научно-исследовательские учреждения и лаборато-
рии капиталистических стран в массе своей представляют
типичные капиталистические предприятия, целиком со-
стоящие под контролем монополий. Над этими учрежде-
ниями властвуют интересы получения собственниками
наибольшей выгоды, требования агрессивных кругов раз-
рабатывать средства борьбы против сил мира и социализма.
Это предопределяет односторонний, уродлпвый характер
развития наук, в том числе и математики. Последней в та-
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
221
ком случае навязывается роль служанки капитала, орудия
капиталистической эксплуатации.
Научная мысль прп этом периодически испытывает
крпзпсы, проистекающие пз несоответствия между объек-
тивным развитпем науки и идеалистическими предпо-
сылками мышления. В числе математических работ, кроме
весьма ценных и значительных по содержанию, встре-
чается немало п таких, которые имеют своей целью аполо-
гетику идеализма и капиталистических отношений.
Математика капиталистического мира как бы обволаки-
вается слоем идеалистических измышлений, складываю-
щихся в многочисленные направления и школы (конвен-
ционализм, конструктивизм и т. д.) и имеющих своей
целью доказать, что законы развития математики не
имеют объективного характера,
В Советском Союзе и в других странах социалистиче-
ского лагеря математика, как и все отрасли науки, раз-
вивается на началах плановости, в соответствии с разви-
тпем производительных сил общества. Социалистические
производственные отношения обеспечивают возможности
всенародного доступа к математическому образованию
и научным исследованиям. Исследования проводятся на
базе идей марксизма-ленинизма под руководством Ком-
мунистической партии Советского Союза. Все это создало
исключительно благоприятные условия для быстрого
и гармоничного роста математики в СССР. В короткий
срок советские математики внесли большой и оригинальный
вклад во все отделы математики, добились ведущей роли
советской математики во многих основных разделах. До-
стижения математики в СССР непосредственно обращаются
на благо народа.
Главнейшие периоды в истории математики. В исто-
рии математики можно различить отдельные периоды,
отличающиеся рядом характерных особенностей. Пери-
одизация необходима, чтобы разобраться во всем богат-
стве исторического развития математики. Существует
много попыток периодизации истории математики. Пери-
одизация производится по странам, по социально-эконо-
мическим формациям, по выдающимся открытиям, опре-
делившим на известное время характер развития матема-
222
К. А. РЫБНИКОВ
тики, и т. п. Спор о периодизации нескончаем. Однако,
по нашему мнению, роль вопроса о периодизации чисто
подсобная и определяется нуждами основной цели:
вскрытия законов объективного развития математики.
В курсе истории математики мы придерживаемся пе-
риодизации, j становленноп А. Н. Колмогоровым в статье:
«Математика» в 26-м томе БСЭ. Эта периодизация
представляется наиболее подходящей потому, что в ее
основу кладется оценка содержания математики: ее важ-
нейших методов, идей и результатов. В истории матема-
тики А. Н. Колмогоров различает следующие периоды:
а) Зарождение математики. Этот пе-
риод продолжается до VI-—V вв. до н. э., т. е. до того вре-
мени, когда математика осознается как самостоятельная
наука, имеющая собственный предмет и методы. Начало
периода теряется в глл бинс историп первобытного чело-
вечества. Характерным для этого периода является на-
копление фактического материала математики в рамках
общей неразделенной наукп.
б) Период элементарной математики.
Продолжается от VI—V вв. до и. э. до XVI в. н. э. вклю-
чительно. В основном это математика постоянных вели-
чии. Заканчивается, когда главным объектом задач мате-
матики делаются процессы, движения и когда начинают
развиваться аналитическая геометрия и дифференциальное
и интегральное исчисление. Попятив элементарной мате-
матики спорно п в настоящее время не существует такого
его определения, которое считалось бы общепризнанным.
Однако выделение во времени такого периода представ-
ляется вполне оправданным.
в) Период создания математики пе-
ременных величин. Начало этого периода зна-
менуется введением персмеппых величин в аналитиче-
ской геометрпи Декарта и созданием дифференциального
и интегральпого исчисления в трудах II. Ньютона и
Г. В. Лейбница. Конец периода относится к середине XIX в.,
когда в математике происходят существенные изменения,
приведшие ее к современному нам состоянию. В этот бур-
ный и богатый событиями период сложились почти все
научные дисциплины, изучаемые в настоящее времяввыс-
О ПРЕДМЕТЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
223
шей школе, в том числе и в университетах, в качестве
классической основы современной математики.
г) П е р и о д современной математики.
В XIX п XX веках объем пространственных форм и ко-
личественных отношении, охватываемых методами мате-
матики, чрезвычайно расширился. Появилось много но-
вых математических теорий, невиданно расширплпсь при-
ложения математики. Обогащение содержания предмета
математики оказалось настолько значительным, что это
привело к перестройке содержания ее проблематики,
в частности к критическому пересмотру системы аксиом
математики и совокупности приемов логических дока-
зательств. Этот критический пересмотр имеет целью по-
строение строгой системы оснований математики, соот-
ветствующей накопленному опыту человеческой мысли.
С последним и знакомит история математики.
О стру ктуре лекционного курса истории математики.
Как было упомянуто выше, лекции по истории матема-
тики читают^ я в Московском университете для студентов
четвертого курса (VII—VIII семестры) всех математи-
ческих специальностей в течение одного учебного года
по два часа в неделю. Ограниченность времени, огромный
объем и разнородность псторико-математических сведе-
ний делают проблему правильной организации лекций
и распределения материала весьма затруднительной.
Автор, учитывая сравнительно квалифицированный
состав аудитории и общий уровень и цели университетской
подготовки, счел наиболее целесообразным:
а) Перенести центр тяжести курса на тот период исто-
рии математики, который предшествует современному
ее состоянию. Всю вторую половину курса он посвящает
изложению истории математики в XVIII—XX вв.
б) Не стремиться в лекциях'по истории математики
(особенно истории древности и средних веков) к полному
охвату всей богатой проблематики и всех, хотя бы и очень
важных, фактов. В лекции включались тс вопросы, кото-
рые имели напоольшее значение для последмощего раз-
вития математики и с наибольшей полнотой раскрывали
его закономерности. В результате сложилось в основном
следующее распределение материала по лекциям:
72k
К. А. РЫБНИКОВ
VII семестр
1. Предмет истории математики. 2. Возникновение первых ма-
тематических понятий и методов; математика Древнего Египта
и Вавилона. 3. Возникновение первых математических теорий
в античной Греции. 4. Аксиоматические построения математики
в эпоху эллинизма; «Начала» Евклида. 5. Инфинитезимальные
методы в Древней Греции; математическое творчество Архимеда.
6. Математические теории поздней античности и судьбы антич-
ной математики. 7. Особенности развития математики в Китае
и в Индии. 8. Математика народов Средней Азии и Ближнего
Востока в IX—XV вв. 9. Математика европейского средневе! овья
и эпохи Возрождения. 10. Преобразование математики в XVII в.;
введение переменной величины и метода координат. Возникновение
аналитической геометрии. 11. Развитие вычислительных методов
в математике XVII в.; создание систем логарифмов. 12—13. Раз-
витие в математике интеграционных и дифференциальных методов
до создания исчисления бесконечно малых. 14. Метод флюксий и
бесконечных рядов II. Ньютона. 15. Анализ бесконечно малых
Г. В. Лейбница, его учеников и последователей.
VIII семестр
1. Основные направления в развитии математики в XVIII в.
Математика в XVIII в. в России; организация Петербургской
Академии наук. 2—3. Преобразование математического анализа
в XVIII в.: превращение его в анализ функций, задачи математи-
ческой физики, теория дифференциальных уравнений. 4. Создание
вариационного исчисления; разработка прямых методов и исчис-
ления вариаций. 5. Развитие геометрии в XVIII в.; формирование
дифференциальной геометрии в работах Монжа и его учеников.
6. Алгебра и теория чисел в XVIII в. 7. Преобразование математи-
ческого анализа в XIX в.; роль теории пределов и теории дей-
ствительного числа. 8. Уравнении математической физики и триго-
нометрические ряды. Работы Фурье и Остроградского по теории
тепла. 9. Образование теории функций комплексного переменного.
Работы Коши, Абеля, Римана и Вейерштрасса. Рпмановы поверх-
ности, аналитическое продолжение, специальные функции. 10. Пре-
образование алгебры в XIX в.; теорпя Галуа, создание теории групп
и ее роль в математике XIX в. 11—12. Открытие и дальнейшее
развитие неевклидовых геометрий и их роль в преобразовании
геометрии XIX в. 13—14. Развитие математики в России и СССР.
Петербургская математическая школа, работы И. Л. Чебышева по
теории приближения функций, теории вероятностей и теории
чисел. Творчество А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. Работы
С. В. Ковалевской. Московская математическая школа. Некоторы
черты современной математики.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ ')
И. Г. Башмакова
ЛЕКЦИЯ 1
МАТЕМАТИКА В ГРЕЦИИ VI—IV ВВ. ДО И. Э.
§ 1. Введение
VI—IV вв. до н. э. были временем бурного расцвета
общественно-политической жизни Греции, а вместе с тем
временем могучего подъема науки и искусства. Стреми-
тельность этого подъема, если сравнить его с чрезвы-
чайно медленным развитием математики на Востоке,
когда в течение тысячелетни не происходило никакого
существенного продвь.кенпя вперед, казалось, граничила
с чудом.
Так, с VI по III в. до н. э. греческими математиками
были построены, в основном, элементарная геометрия,
арифметика целых и рациональных чисел, дано обоснова-
Ц В основу лекции положена часть общего курса истории
математики, который я читала в 1948 — 1955 гг. на механико-
математическом факультете Московского тниверептета. При подго-
товке к печати лекции былп значительно переработаны и дополнены
мною совместно с А. И. Лапипым.
Выражаю глубокую благодарность А. П. Юшкевичу, советы
которого помогли мне в свое время составить эти лекции, а также
С. А. Яновской и II. Р. Шафаревичу, сделавшим ряд ценных
замечаний по рукописи.
Большая часть лекций была перед подготовкой к печати
обсуждена на семинаре МГУ по истории математики.
15 Пстор.-матем. исслед., вып. XI
226
И. Г. БАШМАКОВА
пне общей теорпп отношении, совпадающее, по существу,
с теорией сечений Дедекинда, созданы элементы теории
пределов и разработан так называемый «метод исчерпы-
вания», явившийся первым строгим методом определения
площадей и объемов. В середине V в. до н. э. было открыто
существование несоизмеримых величин, а к концу этого
века построена алгебра, одинаково пригодная как для
соизмеримых, так и для несоизмеримых величин, п дана
первая классификация квадратичных иррациональностей.
К этому же времени относятся введение конических сече-
ний и исследование первых трансцендентных кривых.
Но дело было не только в количественном росте, —
математика изменилась качественно. Только в Греции
были созданы математические теории в собственном смысле
слова: в математику было систематически введено логи-
ческое доказательство, и отдельные разделы ее стали
строиться как дедуктивные системы.
Наконец, в Греции было впервые осознано место мате-
матики в ряду других паук. Ученые подошли к правиль-
ному, материалистическому пониманию предмета мате-
матики. Аристотель в «Метафизике» писал:
«И в отношении сущего примером служит то рассмо-
трение, которому математик подвергает объекты, полу-
ченные посредством отвлечения. Он производит это рас-
смотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства,
например, тяжесть и легкость, жесткость и противополож-
ное (си), далее — тепло и холод и все остальные чув-
ственные противоположности, а сохраняет только коли-
чественную определенность и непрерывность, у одних —
в одном направлении, у других — в двух, у третьих —
в трех, а также свойства этих объектов, поскольку по-
следние количественно определены и непрерывны, но
не с какой-нибудь другой стороны...»1).
Ленин ппшет по этому поводу:
«Математик оставляет в стороне теплоту, тяжесть п пр.
„чувственные противоречия" и пмеет в впду „лишь коли-
чественное"... „точно так же обстоит дело и по отноше-
нию к сущему".
J) Аристотель, Метафизика, М.—Л., Соцэкгиз, 1934,
стр. 185—186. Перевод А. В. Кубицкого.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 227
Здесь точка зрения диалектического материализма,
но случайно, не выдержано, неразвито, мимолетно»1).
Аристотель правильно выделяет и основной метод
математики — метод абстракции, на что также указал
Ленин в своем конспекте книги Аристотеля «Метафизика»:
«Книга 13, глава 3 разрешает эти трудности превос-
ходно, отчетливо, ясно, материалистически (математика
и другие науки абстрагируют одну из сторон тела, яв-
ления, жизни). Но автор не выдерживает последовательно
этой точкп зрения»2).
Подобное же бурное развитие наблюдается в этот пе-
риод в литературе, искусстве и философии, в которой, по
словам Энгельса, имелись уже «в зародыше, в процессе
возникновения, почти все позднейшие типы мировоззре-
ний»3). В это же время происходит и становление естест-
венных наук: астрономии, механики, оптики, несколько
позднее — биологии и ботаники.
«Поэтому и теоретическое естествознание, — писал
Энгельс, — если оно хочет проследить историю возникно-
вения и развития своих теперешних общих положений,
вынуждено возвращаться к грекам»3).
Такой необыкновенный расцвет науки п культуры был
несомненно связан с общим подъемом производства в Гре-
ции VI—IV вв. до и. э.
В это время больших успехов достигает строительная
техника, как военная, так и гражданская. Так, Геродот
описывает мост на судах, построенный Мавдроклом,
у Византии через Босфор во время похода Дария на ски-
фов. Мандрокл был уроженцем острова Самос. Чтобы
увековечить свою славу, он заказал изображающую соору-
женный им мост картину, которую Геродот в своей
юности видел в храме Геры. Этот храм Геродот счи-
тал лучшим созданием строительного искусства. Архео-
логические раскопки показали, что для составления пла-
на этого храпа должна была применяться либо триан-
гуляция, либо разбиение на правильные шестиугольники.
*) В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 306.
2) Там же, стр. 309.
я) Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1951, стр. 314.
15*
228
И. Г. БАШМАКОВА
Но, быть может, наиболее поразительным достижением
античной строительной техники является сооружение
в VI в. до н. э. на острове Самос водопровода, который
проходил по туннелю длиной в 1 км. Строитель водопро-
вода Эвпалпн должен был провести сложные предва-
рительные расчеты, определяющие направление туннеля,
так как известно, что туннель начали рыть с обеих сто-
рон одновременна и что при этом оба хода встретились
под землей почти точно. Заметим, что и в настоящее время
подобные сооружения требуют довольно сложных пред-
варительных расчетов.
Способ проведения расчетов подобного рода с помощью
триангуляции был описан впоследствии крупнейшим ин-
женером античности Героном Александрийским (I в. н. э.).
Весьма вероятно, что и Эвпалпн пользовался триангу-
ляцией. Раннее происхождение этого метода подтверж-
дается диалогом пз «Тимея» Платова, в котором Тимей
говорит: «а построенная па прямых линиях поверхность
(т. е. плоскость) состоит пз треугольников»').
Грандиозное строительство было проведено в Афинах
после греко-персидских войн (V в. до н. э.). Во время
воины центральная часть Афин — Акрополь была почти
полностью сожжена. Пострадали п другие части города.
Во второй половине V в. до н. э. происходит реконструкция
Афин по плану, составленному выдающимися архитек-
торами Греции, создается Парфенон, прпчем все скульптур-
ные работы проводятся под руководством замечательного
художника Фидия. Афины украшаются многочисленными
храмами, заново отстраивается военный и торговый Афин-
ский порт — Пирей. Все эти работы проводились по стро-
гим планам и требовали предварительных детальных расче-
тов. На рубеже V и IV вв. дон. э. былп изобретены первые
метательные орудия — катапульты, которые выбрасы-
вали стрелы до 1 м длины. Вскоре были изобретены и ору-
дия для метания каменных ядер — баллисты. При кон-
струкции этих орудий использовалась упругая сила жил
животных. Береговые батареи этих орудий были приме-
*) Платон, Тимей, 53 С-Д. Эти слова указывают па извест-
ный уже к IV в. до н. э. математический прием.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 229
пены впервые в Сицилии при осаде одного из городов
военным флотом карфагенян.
Весьма вероятно, что первые инженеры-артиллеристы
принадлежали к школе математиков и механиков, груп-
пировавшихся вокруг крупнейшего математика V в.
до н. э. —Архпта из Тарента (Южная Италия). Во всяком
случае изобретение первого орудия, занимавшего проме-
жуточное положение между обычным луком п катапуль-
той, приписывается тарентинцу Зопиру, жившему не позд-
нее середины VI в. до н. э.
Нам известно, что расчет метательных машин требовал
довольно высокой вычислительной техники1) — извлечение
кубических корней и т. н. Разумеется, с артиллерией
был связан и ряд других задач математики и механики.
Важнейшее значение для истории математики имели
возникновение и развитие в Греции VI—IV вв. до н. э.
научной астрономии, механики и некоторых задач мате-
матической физики. Первоначально задачи астрономии
состояли в том, чтобы дать падежные способы ориентации
во времени (составление календаря и нахождение кривых
тени для солнечных часов) и в пространстве. Последнее
имело первостепенное зпачеппе для мореплавания, которое
служило основным средством сообщения городов Греции
с колониями в Малой Азин, Южной Италией (так назы-
ваемой Великой Грецией), с городами, расположенными
на берегах Черного моря, в Северной Африке и др.
Составление календаря не было в то время слишком
простой задачей. Ею занимался ряд ученых, среди кото-
рых называют п Солона, но только во второй половине
V в. до н. э. календарь был упорядочен астрономом Мето-
ном, заметившим, что 235 лунных месяцев равняются при-
мерно 19 солнечным годам, и введшим свой знаменитый
19-летний цикл с таким расчетом, чтобы начало каждого
месяца примерно совпадало с поволунпем.
В VI в. до п. э. в пифагорейской школе впервые воз-
никла идея о шарообразности Землп, а столетием позд-
нее — о движении ее и Других планет вокруг централь-
9 Так, для определения калибра к пользовались формулой
к = 1,1^100 [л, где р— вес каменного ядра.
230
И. Г. БАШМАКОВА
кого огня. Прп этом считалось, что Земля вращается также
вокруг своей оси. Все это явилось важной предпосылкой
для изучения взаимного расположения и движений планет
солнечной системы. В IV в. до н. э. знаменитый греческий
математик и астроном Евдокс из Книда впервые предста-
вил сложные движения планет и Солнца в виде суммы рав-
номерных круговых движений, т. е. построил первую
геометрическую модель солнечной системы, которая,
правда, была еще очень сложна. Евдоксх) создал кон-
струкцию пз 27 сфер, движения которых были связаны
между собой (полюсы каждой пз сфер были прикреплены
к другой и вращались вместе с последней). Ясно, что для
создания такой модели требовались знание сферической
геометрии и развитое пространственное воображение.
Евдоксу приписывают первые исследования по геометрии
на сфере. Забегая вперед, скажем, что дальнейшие ус-
пехи этой науки, а также вычислительных приемов, рав-
носильных сферической тригонометрии, были тесно свя-
заны с астрономией. Но это произошло позднее — в эпоху
эллинизма.
Евдоксу приписывают и создание первой в Греции
обсерватории, в которой велись систематические наблюде-
ния. В его школе было дано первое описание важней-
ших созвездий.
К VI—V вв. до н. э. относятся постановка и исследо-
вание первой задачи математической фпзики, а именно
разработка теории музыки, начало которой было поло-
жено установлением зависимости между длиной струны
и высотой звука. Исследование теории музыки было од-
ним пз основных стимулов для создания теории отноше-
ний целых чисел и сыграло большую роль в создании уче-
ния об иррациональностях.
Наконец, в это же время начинается развитие механики,
главным образом статики, связанной с изучением первых
простейших машин: рычага, весов, блока. По-видимому,
к концу V в. до н. э. математика начала применяться для
исследования начал механики. Диоген Лаерцпй, ссылаясь
на Арпстокссна, пишет, что Архит из Тарента (конец V в.
’) См. об этом подробнее в кпиге А. Б е р р и, Краткая история
астрономии, 1946.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 231
до н. э.) «первый методически обработал (учения), относя-
щиеся к механике, применив (к ней) математические нача-
ла, и первый представил движение машин в математическом
чертеже» *). Архпту предание приписывает также кон-
струкцию различных механических игрушек. В это же
время были начаты первые теоретические рассмотрения
проблем механики. Это подтверждается тем обстоятель-
ством, что во второй половине IV в. до п. э. в школе Аристо-
теля был составлен небольшой сборник «Механические
проблемы», в котором излагались основные предложения
статики, рассматривался параллелограмм сил и выска-
зывался закон инерции.
Естественно, что все перечисленные проблемы строи-
тельной и военной техники, астрономии, теории музыки
и механики требовали развития и совершенствования ма-
тематических методов от вычислительной геометрии и
арифметики до учения об. отношениях и методов опреде-
ления площадей, объемов и центров тяжести.
Большое значение для развития наук имела и широ-
кая общественно-политическая жизнь греческих городов —
полисов, особенно после установления в Афинах и дру-
гих городах Греции демократии. II хотя это была весьма
ограниченная демократия — демократия только для сво-
бодного меньшинства полноправных граждан, по и она
сыграла большую положительную роль для развития
науки и культуры. В Греции были ликвидированы остатки
родового строя, здесь возникли философские школы, дав-
шие объяснение миру, отличное от религпозного, которое
господствовало в соседних с Грецией государствах.Для
создания нового научного понимания мира люди обра-
тились к наблюдению и разуму. В это время образова-
лись многочисленные научно-философские школы, которые
логически обосновывали свое миропонимание и старались
опровергнуть доводы противника путем вскрытия их ло-
гической противоречивости.
Очень большую роль в развитии логики, в выработке
ее методов сыграла идеологическая борьба политических
партий, особенно в Афинах, где политические против-
ники, выступая перед народным собранием, должны были
А. О. Маковельский, Досократики, т. III, стр. 44.
232
И. Г. БАШМАКОВА
обосновывать с помощью логики основные свои позиции.
Большое значение имели и суды и появившаяся в связи
с этим юриспруденция. Б это время рождается диалек-
тика как искусство спора, создаются школы риторики,
грамматики, люди учатся красноречию, учатся основным
правилам логики, с помощью которых можно отстоять
свою правоту. Появляются софисты, которые путешествуют
по городам Греции и учат искусству спора.
В это время создается диалектическое учение Геракли-
та из Эфеса, развивается материалистическая философия
ионийцев, создается учение элеатов, материалистическая
философия Демокрита пз Абдер и многие др. Между этими
школами, в которых наряду с философией развиваются
начала математики, физики и других естественных паук,
также происходят ожесточенные споры, научная и идеоло-
гическая борьба. Эта борьба мнений, а также относитель-
ная свобода критики оказывали стимулирующее влияние
на развитие наук. Научное мышление ищет присущую
ему форму и находит ее в логике.
Логическое доказательство вводится и в математику
и очень быстро становится там основным методом уста-
новления истины предложений внутри математических
дисциплин.
Отдельные математические теории строятся как систе-
мы, основанные па доказательстве. Доказательство, си-
стема доказательств играют в нашей науке особую роль.
Ведь большинство высказываний математики относится
к бесконечному множеству объектов. Так, предложение
о том, что сумма углов треугольника равна 2 d, не может
быть установлено никаким конечным числом проверок:
во-первых, потому, что треугольников бесконечно много
и, во-вторых, каждое практическое измерение произ-
водится только с некоторой определенной степенью точ-
ности. Без доказательства никогда не могла бы быть
открыта несоизмеримость величин, а без этого не суще-
ствовало бы важнейших разделов современной мате-
матики.
Можно сказать, что математика как наука стала суще-
ствовать только после систематического введения в нее
доказательств.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 233
§ 2. Источники
Уже из сказанного видно, что история математики
VI___IV вв. до н. э. представляет огромный интерес для
пашей науки. Между тем именно здесь историк матема-
тики встречается с большими трудностями. Дело в том,
что до нас почти не дошло оригинальных математических
сочинений авторов рассматриваемого периода. Труды
Теэтета (начало IV в. до н. э.) — творца первой теории
квадратичных и кубических иррациональностей х), и Ев-
докса (IV в. до н. э.) — основателя общей теории отно-
шений и «метода исчерпывания», полностью утрачены.
От сочппенпи Архита из Тарента (конец V в. до н. э.)
и Гиппократа Хиосского (середина V в. до н. э.) — круп-
нейших ученых своего времени осталось только несколько
отрывков, переданных через третьи руки.
Однако положение историка математики, хотя и очень
тяжелое, не является безнадежным. Правда, мы не можем
зачастую точно определить, кому именно из ученых при-
надлежит то пли иное открытие, зато мы хорошо знаем,
что именно было открыто и доказано, а в подавляющем
большинстве случаев можем восстановить и методы ма-
тематики того времени.
Основными нашими источниками при этом явля
ются:
1) «Начала» Евклида, которые былп паппсапы около
300 г. до н. э. и подытоживали достижения математики
предшествовавшего периода.
2) Труды Аристотеля и диалоги Платопа.
3) Сочинения Паппа (III в. н. э.), Прокла (V в. н. э.),
Спмпликия (VI в. н. э.) и других комментаторов поздне-
эллинистического периода, которые часто передавали
содержание математических сочинений VI—IV вв. до н. э.
пли даже приводили отрывки из них.
Наиболее надежным из этих источников являются «На-
чала» Евклида. Правда, в «Началах» весь материал изло-
жен в переработанном виде без какого-либо намека на
но Вап Дер ВардеЕ назы®ае^ Теэтета Эваристом Галуа аптич-
*15
234
И. Г. БАШМАКОВА
происхождение и взаимосвязи рассматриваемых проблем,
так что историку науки приходится при восстановлении
доевклидовой математики проделывать работу, до некото-
рой степени обратную той, которую провел Евклид. За
готовыми формулировками и строгими выводами историку
приходится выявлять следы живого развития пауки, ее
исканий, проблем, методов. Этому вопросу посвящено
немало работ как советских, так и зарубежных ученых.
Аристотель и Платон не были математиками. Однако
оба философа охотно прибегали для пояснения своих мыс-
лей к мат матпческим примерам. Как Аристотель, так
и Платон большое место уделяют основному вопросу ма-
тематики своего времени -— проблеме иррациональности.
Аристотель излагает также общие воззрения на матема-
тику в целом, на аксиомы, на природу математических
объектов, на проблему существования в математике. По-
этому изучение их трудов очень ценно для псторип науки.
Основное значение трудов Паппа, Прокла, Спмпликия
и других комментаторов состоит в том, что они опирались
в своих сочинениях, а часто даже цитировали греческого
историка наукп, ученика Аристотеля — Евдема Родос-
ского. Отрывки из его «Истории геометрии п астрономии»,
переданные нам через третьи руки, являются ценнейшим
источником для изучения математики VI—V вв. Так,
в комментарии к одному пз мест «Физики» Аристотеля Сим-
пликпй приводит большие отрывки из сочинения о квад-
рируемых луночках Гиппократа Хиосского, которое по-
зволяет судить об уровне математики V в. до н. э.
Опираясь на все перечисленные источники, историки
науки старались воссоздать картину математики того
времени. Исследования в этом направлении ведутся
и сейчас и как раз за последние годы было сделано много
нового.
§ 3. Логистика
Задачи торговли, строительной техники, военного
дела, особенно артиллерии и т. д., не говоря уже об астро-
номических расчетах, требовали прежде всего разработки
техники вычислений. Приемы вычислительной арифме-
тики и алгебры, необходимые для решения этих задач,
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 235
греки рассматривали как особый отдел математики, на-
званный ими еще в V в. до н. э. логистикой. До нас не
дошло ни одного раннего сочинения по логистике. Однако,
основываясь на свидетельствах Герона, Прокла, Теона
Александрийского, на ряде папирусов IV—VI вв. н. э.,
а также на высказываниях Архпта (V в. до н. э.), Платона
(IV в. до н. э.) и других авторов, можно составить себе
представление о ранней греческой логистике.
В состав логистики входили: счет, арифметические
действия с целыми числами вплоть до извлечения квад-
ратных и кубических корней, действия на счетном при-
боре — абаке, операции с дробями и приемы численного
решения задач на уравнения первой и второй степени.
В логистике рассматривались также приложения ариф-
метики к землемерию и иным задачам повседневной жизни.
Сами греки отличали логистику от теоретической ариф-
метики, которую онп называли просто арифметикой.
Правила логистики излагались догматически и, вообще
говоря, не снабжались доказательствами так же, как это
было принято в египетских папирусах.
В Древней Греции существовали две системы обозна-
чения чисел: аттическая (или геродианова) и понпйская
(пли алфавитная). Древнейшая заппсь по аттической си-
стеме относится к VI в. до н. э. Числовым знаком для еди-
ницы здесь, как п в Египте, является вертикальная
черта |, число 5 обозначается символом Г, 10 — Д, 100 —
Н, 1000—X и 10 000—М. Как теперь установлено (впер-
вые па это обратил внпманпс еще в XVII в. Валлис),
символы эти являются первыми буквами названия соот-
ветствующих чисел. Так, пять по-греческп будет ПЁМТЕ
(в аттических областях Г служила для обозначения буквы
П, поэто у писалось ГЕМТЕ), десять — ДЕКА, сто—
НЕКАТОМ, тысяча—XIAIOI и десять тысяч—MYPIOI.
Все остальные числа записывались с помощью этпх зна-
ков по аддитивному принципу, напрпмер, число 325
записывалось так: НННДДГ. Эта нумерация продержа-
лась в Аттпке до I в. н. э., хотя в других местах Грецпп
она была задолго до того вытеснена более удобной
ионийской системой. В ионийской нумерации, по-впди-
мому, впервые в истории человечества был применен для
236
И. Г. БАШМАКОВА
записи чисел принцип цифпрности. В этой системе было
27 цифр:
1 2 3 5 6 7 8 S
Единицы а Р 7 г £ с С. 7 &
Десятки L X А р V £ О п G
Сотни р б Г V р X $
все числа от 1 до 9 обозначались с помощью девяти
первых букв алфавита, числа 10, 20,..., 90—с по-
мощью следующих девяти букв п, наконец, 100, 200,...
..., 900—с помощью остальных букв (поскольку в греческом
алфавите было всего 24 буквы, то для обозначения чисел
были прибавлены еще три старые буквы). Чтобы отличить
запись числа от слова над буквами, обозначавшими числа,
ставилась сверху черта. Запись числа 325 в этой системе
выглядела так: т/.е, что значительно короче записи того же
числа в аттической нумерации.
Древнейшая надпись, сделанная по алфавитной системе,
относится к середине V в. до н. э. (Галикарнасе в Малой
Азии). Неоспоримые преимущества этой системы (крат-
кость записи, большие удобства при производстве ариф-
метических операций) привели к тому, что она стала быстро
распространяться по всей Греции, вытесняя освященную
традицией геродпанову нумерацию. Однако полную по-
беду алфавитная система одержала только в эпоху элли-
низма, когда она была принята в Александрии.
К этому времени попытки записать в алфавитной си-
стеме числа, большие 1000, привели к обозначениям, ко-
торые можно рассматривать как зачатки позиционной си-
стемы. Так, для обозначения 1000 применялась та же
буква, что и для обозначения единицы, но снабженная
черточкой слева внизу: 1=а, 1000=,i. Аналогично это-
му 2000=^, ..., 9000=,6. Таким образом, греки могли
выразить все числа ввлоть до 9999. Число 10 000 обозна-
« Р
чалось знаком М, 20 000—М и т. д.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 237
Наибольшее число, которое можно было записать в ио-
нинской системе нумерации, было 108—1. Хотя, каза-
лось бы, ионинская система была довольно близка к по-
зиционной, но все же окончательного перехода к пози-
ционной нумерации в Греции сделано не было. Насколько
непроста мысль обозначать все числа с помощью 10 цифр
и поместного принципа, мысль, к которой мы так привы-
каем с детства, что она кажется нам почти тривиальной,
видно пз сочинений двух крупных математиков антич-
ности—Архимеда и Аполлония (III в. до н. э.). Архимед
в сочинении «Псаммит» («Исчисление песка») предложил
счет «октадами». Все числа от 1 до 10я—1 объединяются
в первую октаду, число 108 принимается за новую еди-
ницу счета — оно является первым числом второй октады,
в которую входят все числа от 10я до 101в—1. Число 1018
является единицей третьей октады и т. д. При этом все
числа второй, третьей и последующих октад обозначались
так же, как и числа первой октады. Аналогично поступал
и Аполлоний в своем сочпненип «Быстросчетчпк» (кото-
рое, к сожалению, до нас не дошло), только вместо октад
он пользовался тетрадами (101). Все числа от 1 до 104—1
объединялись в первую тетраду, от 104 до 108—1—во вто-
рую и т. д. При этом уже Архимед свободно пользовался
тем, что 10"-10'"= 10"+|". Но ни октады Архимеда, ни те-
трады Аполлония не привели к созданию десятичной пози-
ционной системы исчисления.
Производство сложения, вычитания п умножения по
существу мало отличалось от соответствующих современ-
ных правил. Техника вычислений опиралась на примене-
ние таблиц сложения и умножения до 9-9. Несмотря
на алфавитную систему нумерации, в которой числа 2,
20, 200 изображаются различными буквами, этого было до-
статочно, так как, скажем, для умножения 20 на 300 нужно
лишь знать произведение 2 на 3 и уметь определять разряд
произведения. Особенностью умножения было то, что дей-
ствия шли от высших разрядов к низшим. Мы не знаем,
как производилось в ранней греческой логистике деление.
К Древнем Египте употребляли только дроби вида .
В Вавилоне, благодаря неабсолютной позиционной системе
238
И. Г. БАШМАКОВА
записи чисел, дроби записывались так же, как целые,
п операции над ними выполнялись по тем же правилам,
как п над целымп. В Греции мы впервые встречаемся с об-
щим понятием дроби вида . Таким образом, здесь впер-
вые происходит расширение области целых чисел до об-
ласти рациональных чиселх). Может показаться, что такое
расширение произошло уже в Вавилоне, но это не так,
если принять во внимание, что там рассматривались только
конечные шестпдесятеричные дроби, в области которых
деление не всегда выполнимо. Введение древними греками
- .. т
дробей вида — явилось крупнейшим шагом в развитпп
математики и поставило ряд важных теоретических проб-
лем, относящихся не только к самим дробям, но и к це-
лым числам. Здесь берут начала такие основные вопросы
теории чисел, как учение о делимости, о взаимно простых
числах и т. п.
Дроби получили в Греции широкое применение не позд-
нее V в. до н. э. Опп употреблялись не только в задачах
вычислительной геометрии, коммерческой арифметики
и алгебры, но и в теории музыки, которую древние даже
называли арифметикой дробных чисел. Само понятие
гармонической средней (о ней говорится далее) Архит,
а за ним Платон определяли с помощью дробей.
Первоначально, по-впдпмому, дроби обозначались сло-
вами. Мы встречаем это еще у Архимеда (III в. до н. э.),
хотя наряду с этим дробь 10/71 он записывает так: to а'
(i= 10, о = 70,а=1)* 2). Позднее, у Герона (1в.) и Диофанта
появилась дробная черта, внизу которой писали числи-
тель, а сверху — знаменатель. Были и другие способы
записи дробей.
Не позднее V в. до н. э. греки свободно владели всеми
арифметическими действиями с дробями. При сложении и
вычитании дроби приводились к общему знаменателю; по-
видимому, в связи с этим появилось понятие общего наи-
*) Мы здесь всюду имеем в виду положительные рациональные
числа.
2) Штрих справа означает, что мы имеем дело с дробью, у ко-
торой первое число есть числитель, а последнее—знаменатель.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 239
меньшего кратного двух чисел, встречающееся в «Нача-
лах» Евклида. При умножении смешанных чисел либо
каждый из множителей переводили в чистую дробь, либо
пользовались свойством дистрибутивности. При деле-
нии делимое и делитель сначала приводили к общему
знаменателю (что фиксировали отдельно), после чего дело
сводилось к делению целых чисел.
Начиная со II в. до п. э., а может быть п несколько
ранее, александрийские математики стали широко поль-
зоваться также египетскими дробями и всей связанной
с ними техникой счета.
Тогда же в астрономических вычислениях стали упо-
треблять вавилонские шестпдесятерпчные дроби, запи-
сывая их в алфавитной системо. Замечательно, что грече-
ские математики ввели символ о (омикрон) для обозна-
чения пропущенного шестпдесятеричного разряда. Од-
нако такая система счисления не была распространена
на обозначение целых чисел. В ранней греческой логистике
имелось несколько способов приближенного извлечения
квадратных корней, о которых мы будем говорить позднее.
§ 4. Первые ростки теоретической науки в Греции
Начало греческой науки обычно связывают с ионий-
ской школой натурфилософии. Деятельность этой школы
относится к началу VI в. до н. э. Основателем считается
Фалес — «отец греческой науки» — купец, политический
деятель, философ, астроном и математик, работавший в
Милете (греческая колония в Малой Азии). К этой
школе принадлежали также Анаксимен и Анаксимандр.
Ионийцы впервые пытались понять и объяснить устрой-
ство мира, не опираясь па догматы религии. При этом они
стояли на наивно-материалистических позициях и огром-
ная заслуга их состоит в создании первой материалисти-
ческой философской системы.
Ионийцев занимали вопросы о строении вселенной,
Земли, о происхождении человека. Знания их еще не клас-
сифицировались по наукам, ни физика, ни биология еще
не выделились в то время как науки с собственным пред-
метом и методом. Это была еще единая натурфилософская
240
It. Г. БАШМАКОВА
система, включавшая в себя и элементы естественных наук
п элементы философии.
Неотъемлемой частью натурфилософии ионийцев былп
астрономия п математика. В пх школе впервые возникла
гипотеза о том, что Земля имеет форму цилиндра и висит
посредине вселенной (Анаксимандр). Это было важным
шагом вперед по сравнению с темп первобытными пред-
ставлениями, которые господствовали до этого. Фалесу
предание приписывает предсказание солнечного затме-
ния на 28 мая 585 г. Это позволяет думать, что ио-
нийцы проводили систематические астрономические на-
блюдения и вычисления. Весьма вероятно также, что
Фалес был знаком с астрономией Древнего Востока. Это
подкрепляется сообщением Прокла о том, что Фалес со-
вершил путешествие в Египет. Ионийцам же, а именно
Анаксимандру, приписывают составление первой геогра-
фической карты и изобретение солнечных часов.
Согласно Евдему (в передаче Прокла) ионийцы первые
среди эллинов занялись геометрией. Фалес решил при
этом две проблемы: 1) дал способ определения расстояния
от корабля до берега; 2) способ вычисления высоты фигуры
по длине ее тени. При этом длина тени измерялась в тот
момент, когда лучи Солнца падали под углом в 45°, т. е.
когда эта длина равнялась высоте.
Первая проблема решалась так. Пусть корабль нахо-
дится в точке В (рис. 1), а наблюдатель, стоя па высоте
CA = h над уровнем моря, видит корабль под углом а.
£ Поскольку угол А — прямой, то
дело сводится к построению тре-
угольника по стороне 1С и углам
а и 90° и к определению длины А В.
д Вероятно, на основании этого
сообщения Евдема, Прокл припи-
Рис. 1. сывает Фалесу ряд геометричес-
ких теорем:
1) о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника;
2) о равенстве треугольников по стороне и двум при-
лежащим к ней углам;
3) о равенстве вертикальных углов;
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 241
4) наконец, теорему о том, что диаметр делит круг по-
полам.
Нам ничего неизвестно о том, были ли у ионийцев до-
казательства, и если были, то какие.
Ионийская школа натурфилософии прекратила свое
существование после падения Милета, завоеванного в 494 г.
до н. э. персами. Ко второй половине VI в. до н. э. отно-
сится образование нового научного центра в городах Юж-
ной Италии — Кротоне, Спбарисе, Таренте — в так на-
зываемой Великой Греции. Традиция связывает это с пе-
реездом около 530 г. Пифагора с острова Самос в Кротон
и с организацией им пифагорейского союза, который яв-
лялся замкнутой организацией, пытавшейся (но неудачно)
выступить и на политической арене. По сведениям позд-
нейших неопифагорейцев и неоплатоников (III—IVbb.h.b.),
союз прекратил свое существование в начале V в. до н. э.
Но и после этого в городах Южной Италии и самой Гре-
ции мы встречаем философов и математиков, которых на-
зывают пифагорейцами. Из наиболее выдающихся уче-
ных-пифагорейцев назовем Феодора из Кпрены и Архита
из Тарента, занимавшихся математикой, гармонией (тео-
рией музыки), астрономией и механикой. Наряду с этим
к пифагорейцам относят и философа-идеалиста Спевзина
(Афины), для которого характерны мистические спекуля-
ции с числами. Поэтому в настоящее время трудно восста-
новить истинное лицо пифагорейской школы. Всего ве-
роятнее, что после смерти Пифагора школа разделилась
на две половины: математиков, продолжавших исследо-
вания своего учителя по геометрии и теории чисел, иаку-
сматиков, обращавших основное внимание на выполнение
различных обрядов и предписаний. Нас будут здесь, разу-
меется, интересовать только математические исследования
пифагорейцев. По традиции, все открытия, сделанные
в школе, приписывались самому Пифагору. Поскольку не
представляется возможным различить, что на самом деле
принадлежит Пифагору, а что его ученикам, то мы будем
говорить о математике ранних пифагорейцев. Именно
в этой школе возникли впервые и теоретическая арифме-
тика и теоретическая геометрия. Вот что писал Прокл,
ссылаясь на Евдема Родосского:
16 Истор.-матем. исслед., вып XI
242
И. Г. БАШМАКОВА
«Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму
свободной науки, рассматривая ее принципы чисто аб-
страктным образом и исследуя теоремы с нематериальной,
интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел тео-
рию иррациональных количеств п открыл конструкцию
космических фигур» 1).
Еслп отвлечься от идеалистической направленности, ко-
торую мог придать сообщению Евдема неоплатоник Прокл,
то из вышеприведенного высказывания ясно, что в VI в.
до н. э. геометрия оформилась в научную дисциплину.
Геометрию стали изучать систематически, интересуясь
всеми свойствами отвлеченных фигур, а не только теми,
которые были непосредственно необходимы для той или
иной задачи землемерной практики. При этом предложе-
ния геометрии устанавливались не с помощью проверки
путем непосредственных измерений, а на основе доказа-
тельств.
Такое построение геометрии способствовало быстрому
и плодотворному развитию этой науки. Пифагорейцами
была построена, в основном, вся планиметрия прямолиней-
ных фигур (основные свойства треугольников, параллело-
граммов, теоремы о равновеликости и т. д.). Наивысшим
достижением в этом направлении было доказательство
знаменитой «теоремы Пифагора». Частные случаи этой
теоремы были известны и раньше, но только в Греции
это замечательное предложение, обобщения которого до
сих пор лежат в основе определения ряда метрических
пространств, было доказано общим образом. Об этой части
исследований пифагорейцев дает представление первая
книга «Начал» Евклида, в которой как раз и излагается
весь перечисленный материал. Сообщение о том, что пифа-
горейцы открыли построение правильных многогранников
(им было известно четыре правильных тела, пятое — ико-
саэдр—было открыт Теэтетом), позволяет заключить, что
пифагорейцы далеко продвинулись и в стереометрии.
Мы могли бы сомневаться в столь стремительном раз-
витии геометрии, если бы до нас не дошли отрывки из со-
х) Маковельский, т. I, стр. 70. Под космическими фи-
гурами здесь понимаются правильные многогранники.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРПП МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 243
чинений замечательного математика середины V в. до н. э.
Гиппократа Хиосского. Мемуар Гиппократа написан в том
стиле, в котором позднее писали Евклид и Архимед. По
существу, этот стиль стал характерным для сочинений по
математике вплоть до настоящего времени. Гиппократ
точно формулирует своп предложения п леммы, свободно
выполняет все необходимые построения, приводит дока-
зательства. При этом все планиметрические свойства
прямолинейных фигур предполагаются хорошо извест-
ными, например, что, если квадрат стороны а треуголь-
ника меньше суммы квадратов двух других сторон, то
противолежащий угол А острый, если же больше, то угол
А тупой. Задача построения трапеции, стороны которой
относятся как 1 : 1 : 1 : ]/ 3, представляется Гиппократу
настолько простой, что он не считает нужным дать какие-
либо пояснения. Наоборот, свойства кругов и хорд он
подробно исследует и обосновывает. Видимо, эта часть
планпметрии никем до него развита не была.
Другой цикл исследований пифагорейцев относится
к области арифметики. Здесь следует отметить так назы-
ваемое учение о четных и нечетных числах, которое пред-
ставляет собой теорию делимости на 2. Основным резуль-
татом этого учения является предложенпе: произведение
двух целых чисел делится на 2 тогда и только тогда, когда
хотя бы один из сомножителей делится на 2. Это предло-
жение, как кил увидим, играет фундаментальную роль при
доказательстве несоизмеримости стороны и диагонали квад-
рата. Пз теоретико-числовых вопросов, рассмотренных
пифагорейцами, отметим задачу о нахождении совершен-
ных чисел, т. е. таких, которые равны сумме своих делите-
лей. Например, 6=l-j-2+3, 28=1+2+4+7+14,496 и др.
Было установлено, что если число р — ЧА — 1 является
простым, то число 2“ 1 р—совершенное 1). Отметим, что
ни одного нечетного совершенного числа до сих пор не
найдено.
Пифагору приписывается решение в целых числах не-
определенного уравнения
_______________ ж2 + г/2 = z2,
9 Доказательство этого факта имеется в «Началах» Евклида.
16*
VA
И. Г. БАШМАКОВА
иначе говоря, нахождение прямоугольных треугольников,
стороны которых выражаются целыми числами.Пифагор
нашел решение в таком виде:
z = a2-|-l, г/ = 2а, ж = а2—1.
Эти формулы, однако, не содержат всех решений рассма-
триваемого уравнения. Общее решение, как известно,
имеет вид:
z = £24-Tj2, у = 2£т], х=$2 — 7j2.
Пифагорейцы много занимались различными видами про-
порций и соответствующими «средними». Им были из-
вестны:
с = — среднеарифметическое,
с = — среднегеометрическое,
2аЬ
с = q -рб — средпегармонпческое.
Среднеарифметическое двух чисел а и b было связано
с рассмотрением арифметических прогрессий, в которых
каждый член является полусуммой двух соседних.
Пифагорейцы хорошо знали формулу для суммы
арифметической прогрессии. При этом они разделяли все
числа на треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д.
в зависимости от того, являются ли они суммами про-
грессий с разностью 1:
1 + 2 + 3+.. .4-п-Ь
с разностью 2:
1 + 3 + 5+ ... +(2п-1) = ^=^±-1п = п2;
с разностью 3:
. 1 + 4 + 7 + Ю+.,.+[1 + 3(и-1)]
И т. д.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 245
При этом суммы прогрессий они представляли в виде
фигур, составленных из точек:
Среднегеометрическое, как показывает само название,
было связано с вопросами геометрии. Пифагорейцы, по-
видимому, первоначально считали, что все геометриче-
ские величины между собой соизмеримы и что поэтому
учение о подобии можно строить, опираясь на теорию от-
ношений целых чисел. Таким образом, вопросы геометрии
сводились к рассмотрению целых чисел и пх отношений.
Отметим, что среднее геометрическое находится в тесной
связи со вторым.типом числовых рядов, известных в древ-
ности,—с геометрическими прогрессиями. Как известно,
в этих рядах каждый член равняется корню квадратному
из произведения предыдущего и последующего.
Наконец, среднегармоническое было связано с изыска-
ниями пифагорейцев по теории музыки: было известно,
что качественные отличия звуков обусловливаются чисто
количественными — отлпчпямп длин струн. Музыкаль-
ный интервал, получающийся, если некоторую струпу
укоротить или удлинить вдвое, получил иазваппе октавы.
Такпм образом, октава характеризуется отношением 1 : 2.
Оказалось, что можно найтп струну промежуточной дли-
ны Z:1<Z<2, и такую, которая давала бы гармоничное
звуковое сочетание (не диссонировала бы) с двумя дан-
ными. При этом Z= 1 + 2 =~|~ ~ Таким образом, и
здесь вопрос свелся к рассмотрению простых отношений
целых чисел.
Среднегармонпческое связано с третьим замечатель-
ным числовым рядом, который-, однако, пе был рассмотрен
1 1
в древности, с гармоническим рядом: 1+-к--г-т + • • •
1
’ ’ ‘ + — + • • • Нетрудно видеть, что каждый член этого
246
И. Г. БАШМАКОВА
ряда есть среднегармонпческое предыдущего и последую-
щего. То обстоятельство, что геометрические и музыкальные
закономерности приводили к целым числам и их отноше-
ниям, вероятно, и привело пифагорейцев к мысли, что все
закономерности внешнего мира сводятся к числовым законо-
мерностям, что «все есть число». Однако не позднее сере-
дины V в. до н. э. этой концепции был нанесен сильней-
ший удар. В пифагорейской школе было открыто, что
существуют несоизмеримые величины, т. е. такие, отно-
шение которых не может быть выражено с помощью от-
ношения целых чисел. Предание приписывает это от-
крытие самому Пифагору. Рассказывают, что существо-
вание несоизмеримости долгое время скрывалось пифа-
горейскими математиками, пока не было, наконец, раз-
глашено Гиппасом. Так это или нет, но во всяком случае
оно стало известно широким кругам ученых только во
второй половине V в. до н. э. Мы увидим, какое влияние
оказало это открытие на развитие античной математики.
ЛЕКЦИЯ 2
УЧЕНИЕ О ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ И ИХ ОТНОШЕНИЯХ.
ОТКРЫТИЕ НЕСОИЗМЕРИМЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Теория рациональных чисел
Учение о целых числах и их отношениях изложено
в VIJ—IX книгах «Начал» Евклида, но создано оно было
не позднее конца V — начала IV вв. до н. э. Весьма ве-
роятно, что в разработке этой теории принимали участие
крупнейшие математики этой эпохи: Архит и Теэтет.
Прообразом учения об отношениях целых чисел не-
сомненно служило исчисление дробей. Значение, которое
придавали этому учению, обусловливалось тем, что до
открытия несоизмеримости оно лежало в основе всей ан-
тичной математики: и арифметики и геометрии. Это не
противоречит тому, что законченный вид теории мог быть
придан уже после открытия несоизмеримости, тем более,
что учение о делимости целых чисел оказалось тесней-
шим образом связанным с доказательством иррациональ-
ности некоторых отношений величин.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 247
Поясним сначала связь теории отношений с учением
о делимости целых чисел.
В «Началах» две пары целых чисел А, В и С, D назы-
ваются пропорциональными, если у чисел А и В имеется
такой общпй делитель X, а у С и D—делитель 1 , что
А = тХ, C = mY, В=пХ, D = nY,
где т и п — целые положительные числа. При этом суще-
ствование общего делителя у любых двух чисел обеспе-
чивалось алгоритмом Евклида или «алгоритмом поперемен-
ного вычитания». Заметим, что числа изображались от-
резками, которые получались повторением целого числа
раз некоторого фиксированного отрезка Е, принятого
за единицу. Алгоритм Евклида посил наглядно-геометри-
ческий характер: если А и В — целые числа и А В,
то В вычиталось из А столько раз, сколько это было
возможно: А— кВ = В1, В^ < В, затем ВА вычиталось
из В столько раз, сколько это возможно: В— к1Вг = В2,
В,<^В±, и т. д. Поскольку В> Вг> В2>, а В, Вг,
В.,,...—целые положительные числа, то процесс необхо-
димо конечен. Если НГ1 — кгВг = 0, то ВТ является
наибольшей общей мерой чисел A vt В пли их наи-
большим общим делителем. Если ВГ=Е, где Е — еди-
ничный отрезок, то числа А и В называются взаимно
простыми. Определение пропорциональности двух пар
чисел — отрезков А, В и С, D — также было на-
глядно-геометрическим: для пропорциональности требова-
лось существование таких общих мер X и У, которые бы
«одинаково измерили» соответствепно А, В и С, D.
Таким образом, уже из сказанного ясно, что теория
отношений целых чисел базировалась на таком основном
понятии, как общпй делитель, что при ее построении су-
щественную роль играл алгоритм Евклида.
Но дело этим не ограничивалось.
Нетрудно видеть, что равенство отношений целых чи-
сел транзитивно, т. е. из
А С С F A F
~B=~D п TJ = 7Г следует, что =
Правда, у Евклида этого предложенпя нет. Такой
пробел объясняется вовсе не тем, что Евклид не видел
248
И. Г. БАШМАКОВА
необходимости в доказательстве транзитивности, — в
V книге он проводит такое доказательство для равенства
отношений любых величин. Быть может, Евклид просто
выпустил эту теорему, так как она является простым след-
ствием того, что две пары чисел, пропорциональные
в смысле VII книги, будут пропорциональны и в смысле
V книги. До Евклида свойство транзитивности могло
доказываться, например, на основе предложенпя 19 книги
VII — одного из центральных в этой теории, которое за-
А С
ключалось в следующем: если ~ , то А1)~- ВС, и на-
оборот.
Во всяком случае транзитивность равенства отноше-
ний целых чисел была ясна математикам Древней Гре-
ции. Они понимали также, что все пары целых чисел раз-
биваются на непересекающиеся между собой классы пар,
имеющих одинаковое отпошенпе. В каждом таком классе
может быть выбрана наименьшая пара, которая и будет
служить представителем этого класса. При этом, конечно
нужно доказать, что выбор такой пары вполне однозна-
чен. II наоборот, что такая пара однозначна и определяет
класс. Как раз это и делается в «Началах». Там устанав-
ливаются следующие основные свойства этой наименьшей
пары: 1) числа Л(|, Во составляют наименьшую пару, имею-
щую то же отношение, что и А, В, тогда и только тогда,
когда они взаимно просты (предложения 23 и 24 книги
VII); 2) если А, В — составляют произвольную пару,
пропорциональную Ло, Во, то А и В являются одинаково
кратными Ло, Во, т. е. А = пА0, В=пВ0 (предложение
21 книги VII). Первое свойство устанавливает связь между
наименьшей парой и несократимой дробью. Пз последнего
свойства легко следует единственность наименьшей пары.
На основе этих свойств, в «Началах» дается прием на-
хождения наименьшей пары с помощью алгоритма
Евклида: еслп А, В — некоторая пара чисел, имею-
щих заданное отношение, то отыскивается наибольший
общий делитель F этих чисел. Тогда A —mF, B=nF, где
/пил взаимно просты.
Пусть М=тЕ, N=nE, Е—единичный отрезок. Тогда
M,N составят наименьшую пару, пропорциональную А, В.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 249
Итак, 1) понятие наименьшей пары в полной мере соот-
ветствует понятию несократимой дроби и 2) для определе-
ния такой пары используются понятия теории делимости
(взаимная простота, общий наибольший делитель). Мы
увидим, что в свою очередь теория отношений целых чисел
применялась при выводе основных теорем теории дели-
мости.
Прежде чем переходить к дальнейшему, сравним уче-
ние об отношениях целых чпсел с современной теорией
рациональных чисел.
В основе и античной и современной теории лежит прин-
цип введения новых понятий или новых элементов в ма-
тематику путем определения через равенство. Теперь это
делается так: на некотором множестве элементов а, Ь, с,...
вводится отношение эквивалентности Ь, являющееся
отношением типа равенства, т. е. подчиняющееся следую-
щим аксиомам:
а) рефлексивности:
Р) симметричности: если а^Ь, то и
7) транзитивности: если а-—b и b^-с, то а^с.
Тогда исходное множество разбивается на непересе-
кающпеся классы эквивалентных между собой элементов.
Каждый такой класс можно рассматривать как новый
объект.
Если над элементами первоначального множества были
определены операции, то эти операции иногда можно пере-
нести на классы, т. е. определить их для новых объектов.
Пусть, например, над элементами определена операция
умножения. Пусть а-Ь=с и а принадлежит классу ЭД,
а Ь классу S3. Тогда произведением классов ЭД53 назы-
вают тот класс (£, к которому принадлежит элемент с.
При этом, конечно, нужно чтобы класс 6 не зависел от
специального выбора представителей в классах ЭД и 53,
а только от самих этих классов, т. е. если a'g 51, Z)'g53
и а • b с , то неооходпмо, чтобы с £ (5. Последнее при-
ходится проверять для каждого вида классов.
В новое время такой прием был применен Гауссом
(1777—1855) в его теоретико-числовых работах и Гамиль-
250
И. Г. БАШМАКОВА
тоном (1805—1865) для арифметического обоснования комп-
лексных чисел. Мы проиллюстрируем общую схему образо-
вания новых понятий путем определения через равенство
на примере введения рациональных чисел. В качестве
исходного множества ЭЛ берется множество пар пелых
чисел (т, п). Равенство определяют так: (т, n)=(»i1, nJ,
если ти1=ит1. Легко проверить, что введенное таким
образом отношение равенства удовлетворяет аксиомам
а)—'[). Поэтому множество пар целых чисел разобьется
на непересекающиеся классы; каждый такой класс назовем
рациональным числом. Операции определяются следую-
щим образом:
(т, п) ± (mn nJ = + nmlt nnj,
(m, n)-(mlr nj = (mm1, nnj.
Можно проверить, что операции фактически определены
не над отдельными парами целых чисел, а над классами
пар. Например, если (т, п) б ЭД, (m1, nj£ $8, a (rnm^nnj б
б и возьмем (р, q) б ЭД и (plt qj б то и (ррх, qqj б l£, так
как (ppt, qqj = (mml, nnj. Последнее следует из того,
что mq=np (поскольку (пг, и)бЭДи (р, q) б ЭД) и т1<?1 =
п1р1, а значит, mmlqq1~nn1pp1, т. е. (рр±, qqj=(mm1,nnj.
Совершенно аналогично в современной математике вводится
понятие мощности множеств (отношением эквивалентно-
сти здесь является взаимно-однозначное соответствие
между элементами множеств), так же вводятся веществен-
ные числа с помощью фундаментальных последователь-
ностей, классы вычетов по некоторому модулю и др. За-
мечательно, что фактически таким методом строили тео-
рию отношений целых чисел в V—IV вв. до н. э., а впо-
следствии, как мы увидим, и общую теорию отношений
величин (IV в. до н. э.).
Действительно, в основу учения об отношениях целых
чисел было положено определение равенства двух пар це-
лых чисел. Отношение равенства разбивало все пары целых
чисел на непересекающиеся классы. Наконец, в каждом
таком классе выбиралась наименьшая пара, которая была
однозначно определена и представляла весь класс.
Проследим теперь, как определялись операции над
дТношениями. Единственной операцией, которая произ-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 251
водилась над ними, было умножение. Оно носило название
«составления» отношений *). Отношение А : С называлось
составленным из отношений А : В и В : С. Такое опреде-
ление было принято потому, что оно годилось не только
для составлений отношений целых чисел, но и для состав-
ления отношений произвольных величин, о чем мы будем
говорить отдельно.
Эта операция определяется фактически не над отдель-
ными отношениями, а над классами пар чисел, имеющих
одинаковое отношение. Действительно, в предложении 14
У7тт А В В G
книги VII доказывается, что если- =то
1э Ст О г!
A F
, т. е. класс, к которому принадлежит произведение,
зависит только от того, к каким классам принадлежат
сомножители.
Для того чтобы найти составное отношение для пар
-1, В и С, D, в «Началах» предлагается следующий прием:
ищутся такие наименьшие целые числа Н, L, К, что
А II с L rr. Н
= -г- и — = - -. 1 огда и будет искомым составным
I» L, U к v
отношением.
Операции возведения в степень и извлечения корня
сводились к составлению отношений. Первая из них пропз-
водилась путем составления равных отношений, если =
в А < .4 V ABC A f 4 V
= -С’Т0 ~C=\Jb) ’еСЛИ -В=~С ~~D’ ™1)={В ) ’
4 у!
и т. д. При этом ~ называлось двойным, а — — трой-
ным отношением.
Извлечению корня соответствовала вставка средних
пропорциональных.
Для чисел доказывалось, что если Л=Л1Л2 и В=
rd А__' /!, Л„
~ то отношение — составлено из отношении и .
гр___________________________________________В Bl В2
таким ооразом, составное отношение можно было бы
х) Такое название объяснялось, вероятно, тем, что сложению
(составлению) музыкальных интервалов соответствовало умножение
выражающих эти интервалы отношений. Так, интервал октава
: 1) слагался из кварты (4 : 3) и квинты (3 : 2).
252
И. Г. БАШМАКОВА
определить и иначе: Однако Евкл11Д
этим определением не пользуется.
Операции сложения и вычитания над отношениями не
производились. Это объясняется, вероятно, тем, что в гео-
метрии и теории музыки, для которых и строилась теория
отношении, в основном, было необходимо умножать отно-
шения. Впрочем, в «Началах» производятся исследования,
необходимые и для исчисления дробей: там дается прием
нахождения наименьшего общего кратного целых чисел.
Однако само понятие дроби в теоретических сочинениях не
рассматривалось. Дело в том, что единица считалась неде-
лимон, поэтому говорили не о частях единицы — к , а со
отношении целых чпсел . Только в эллинистическую
эпоху, когда началось более интенсивное развитие вычисли-
тельных приемов и методов, отношения целых чпсел и дроби
слились в единое целое. Уже Архимед свободно переходил
от отношений к дробям и обратно. Но в классическую
эпоху числом называли только целые числа, а отношения
нс смешивали с дробями.
§ 2. Арифметика целых чисел
Мы уже говорили, что целые числа изображались с по-
мощью отрезков, полученных повторением некоторое число
раз фиксированного отрезка Е, выбранного за единицу.
Если число А получалось повторением отрезка Е а раз,
то будем его обозначать аЕ. Сложение таких чисел-отрез-
ков производилось геометрически путем «приставления»
одного отрезка к другому, вычитание — путем выбрасы-
вания из большего отрезка его части, равной меньшему.
При этом вычитать разрешалось только из большего числа
меньшее. Понятия о числе нуль и об отрицательных числах
еще не было.
Умножение чисел-отрезков определялось не геометри-
чески, а арифметически: путем сведения его к сложению.
Для получения произведения множимое повторялось сла-
гаемым столько раз, сколько было единиц в множителе,
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 253
т. е. если А = аЕ, а В=ЬЕ, то
АВ = А+А + + А.
Ь раз
Ясно, что при таком несимметричном определении
произведении возможность перестановки сомножителей
совсем неочевпдпа. Арифметическое доказательство ком-
мутативности умножения имеется в «Началах» Евклида.
Схема его такова:
A R = А А . -}- А = аЕ аЕ аЕ =
Ь раз Ь раз
= а(Е+Е+...+Е) = а(ЪЕ) = а-В = В+В+...+В = ВА.
Ь раз а раз
При этом используется дистрибутивность
nA пВ = п(А-]-В).
Это последнее свойство Евклид также специально обосно-
вывает:
нА пВ = (А -}- А -|- ... -р А) -р {В -р В -р •.. -р В) =
п раз п раз
= (А + В) + (А +Д) + ... +(А +В) = п(А+В).
п раз
Таким образом, в конечном счете все сводится к коммута-
тивности сложения, которое' отдельно не оговаривалось
ввиду его наглядной очевидности (приставление отрезков).
Наиболее трудным и глубоким вопросом арифметики
целых чпсел является вопрос о их делимости. Для оты-
скания наибольшего общего делителя двух целых чпсел,
как мы говорили, употреблялся регулярный прием, кото-
рый широко известен под именем алгоритма Евклпда.
Опираясь на этот алгоритм, можно доказать основную
теорему делимостп — теорему об однозначном представ-
лении целого числа в виде произведения простых множи-
телей:
А=-М'р2! ...Р&.
254
И. Г. БАШМАКОВА
Как известно, доказательство этого фундаментального
закона основывается на двух предложениях: 1) каждое
натуральное число либо является простым, либо делится
на простое число, меньшее его; 2) если произведение двух
чисел делится на простое число Р, то на него делится,
по крайней мере, один из сомножителей.
Оба эти предложения доказывались древними. Осо-
бый интерес представляет доказательство второго из них.
В современной теории чисел оно выводится непосредствен-
но пз свойств общего наибольшего делителя, а именно:
из алгоритма Евклида. В древности это предложение
доказывалось иначе: исходили из основных свойств отноше-
ний целых чисел.
Доказательство проводится у Евклида так: пусть
произведение А В делится на простое число Р и пусть А
не делится на Р, т. е. А и Р взаимно просты. Так как А В
делится на Р, т. е. AB=PQ, то на основании централь-
ного предложения теории отношений
Р В ’
но А, Р взаимно просты, а тогда они составляют наимень-
шую пару, имеющую данное отношение. Но наименьшая
пара, как мы видели, обладает следующим замечатель-
ным свойством: любая другая пара целых чисел М,
N, имеющих то же отношение
М _ А
N ~ Р ’
составляется пз чисел, одинаково кратных числам наи-
меньшей пары
Л?=Ы, N = kP.
Значит, если А, Р—наименьшая пара и
Р В ’
то Q=kA, В=кР, т. е. В делится на Р.
Интересно, что Евклид находит нужным явно сформу-
лировать закон однозначности разложения на простые
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 255
множители (предложение 14 книги IX): «Если число будет
наименьшим, измеряемым „данными” первыми числами, то
оно не измерится никакими другими первыми числами,
кроме первоначально измеривших „его”».
В новое время закон однозначности разложения на про-
стые множители казался ученым очевидным вплоть до
начала XIX в. К этому времени было обобщено понятие
целого числа — введены целые алгебраические числа,
причем не сразу было выяснено, что для них закон одно-
значности уже не всегда выполняется. Простейшим при-
мером могут служить числа впда
п-\-т р —5,
где пит — целые. Легко видеть, что все такие числа
образуют кольцо. Простым чпслом назовем такое, кото-
рое не может быть представлено в виде произведения двух
сомножителей указанного вида. Тогда закон однознач-
ности разложения не будет иметь места. Действительно,
6=(1 + ]<:Д5) (1- /^5) = 3-2.
Можно показать, что —5, 1——5, 3, 2 являются
в этом кольце простыми в указанном выше смысле '). От-
сутствие закона однозначности разложения на множители
в кольцах алгебраических чисел делало невозможным
в них непосредственное построение арифметики, анало-
гичной обычной. Это обстоятельство и побудило математи-
ков XIX в. (Куммера, Золотарева, Дедекинда) исследовать
законы делимости и обосновывать их с помощью введения
в кольца целых алгебраических чисел новых идеальных
элементов. Тем более удивительно, что в античной мате-
матике, в которой рассматривались только действитель-
ные положительные числа, теория делимости целых чисел
была построена вполне строго.
На основе теорий делимости в «Началах» было выве-
дено первое замечательное предложение о простых числах,
х) В книге проф. А. В. Васи шева «Целое число» (Петроград,
1923) приводятся примеры колец целых рациональных чисел, для
которых не имеет места закон однозначности разложения на простые
множители. Так, например, в кольце всех четных чисел: —6 _4
—2, 0, 2, 4, 6, 8,... число 60=2-30=6-10.
256
И. Г. БАШМАКОВА
а именно, было доказано, что простых чисел бесконечно
много. Возможно, что это доказательство принадлежит
самому Евклиду. Заключается оно в следующем: допустим,
что простых чисел конечное число Р1г Рп, п рас-
смотрим N=E-[-P1P2...Pn, где Е — единица. Тогда число
N либо само простое, либо делится на какое-нибудь
простое число Q, которое, очевидно, не может совпадать
ни с одним из Р\. Из предложения Евклида можно даже
получить оценку величины п того простого числа, правда,
довольно грубую. Действительно, 7’1=2<2, 7’2=3<2-2,
7’3=5<223, /\=7<224,... Предположим, что Рп<2-п,
и покажем, что тогда и J*Tl+1<22’l+1. По теореме Евклида
= 1 + ••• Дп<1+2-22-22 ...22 =
= 1 + 21+2+2+‘--+2 = 1-}-22 <2
Следующие значительные результаты о распределении
простых чисел в натуральном ряду были получены только
в XVIII—XIX вв. в работах Эйлера, Дирихле и Чебышева.
На примере теории целых и рациональных чисел видно,
какого высокого теоретического уровня достигла антич-
ная математика в V—IV вв. до н. э. Примерно к этому же
времени относится и открытие несоизмеримости, которое
показало, что учение о целых числах и их отношениях не
может быть положено в основу учения о пространственно
протяженных величинах. Мы увидим, что в открытии не-
соизмеримости большую роль сыграла теория делимости
целых чисел. Мы увидим также, что трудности, связанные
с этим открытием, привели к созданию еще более тонких
и логически совершенных теории.
§ 3. Открытие несоизмеримости
Открытие существования несоизмеримых отрезков
явилось поворотным пунктом в истории античной мате-
матики. Трудно переоценить значение этого открытия.
Его можно сравнить только со значением неевклидовой
геометрии для развития науки XIX—XX вв.
Уже в. древности наиболее крупные мыслители созна-
вали важность обнаружения несоизмеримости, особенно
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 257
потому, что оно привело к углублению и развитию взгляда
и на природу величин и на логическое доказательство.
Так, Аристотель в «Метафизике» говорит о несоизмеримо-
сти как об одной из причин происхождения теоретиче-
ской науки:
«... Все начинают с изумления, — пишет он, — об-
стоит ли дело именно так, как (недоумевают), напри-
мер, про загадочные самодвижущиеся игрушки, или
(сходным образом) в отношении солнцеворотов, или не-
соизмеримости диагонали; ибо у всех, (кто еще не рас-
смотрел причину), вызывает удивление, если чего-нибудь
нельзя измерить самою малою мерою»* 1).
О значении, которое придавали этому открытию, мож-
но судить также по одному месту из диалога Платона «За-
коны». Афинянин, который ведет диалог, говорит, что
долго не знал о существовании несоизмеримых величин:
«Друг мой, Клиний, я и сам был поражен, что лишь
так поздно узнал то состояние, в котором мы находимся.
Мне показалось, что это свойственно не человеку, но ско-
рее каким-то свиньям. Я устыдился не только за себя,
но и за всех эллинов».
Мы не знаем точно, исследование каких вопросов при-
вело греков к открытию несоизмеримости. Это могло быть
сделано: 1) в геометрии при отыскании общей меры сторо-
ны и диагонали квадрата; 2) в теории музыки при попытках
разделить октаву пополам, что сводится к нахождению
среднего геометрического между 1 и 2; 3) наконец, в ариф-
метике мог возникнуть вопрос о точном определении такой
Дроби, квадрат которой равен 2. Как бы то ни было, речь
шла об отыскании и исследовании величины, которую мы
теперь обозначаем ]л2.
Первое доказательство иррациональности ]/ 2 про-
водилось методом «от противного», путем приведения к аб-
СУРДУ- Это — первое доказательство такого рода, с кото-
рым мы встречаемся в истории математики.
Намек на то, в чем оно заключалось, мы встречаем
в «Первой Аналитике» Аристотеля: «как, например, когда
Доказывают несоизмеримость диаметра «со стороной»,
1) Аристотель, Метафизика, стр. 22.
1 7
Истор.-матем. исслед., вып. XI
258
И. Г. БАШМАКОВА
потому что, если допустить их соизмеримость, то нечет-
ное <число» было бы равно «четному»1).
Это древнее доказательство иногда воспроизводится
в качестве дополнения в конце X книги «Начал» Евклида.
Вот оно:
Пусть сторона АВ и диагональ АГ квадрата соизме-
римы (рис. 1), тогда они относятся, как целые числа р и q;
Предполагается, что числа р и q не являются
оба четными, иначе дробь можно было бы сократить на 2.
Но, по теореме Пифагора, АГ2=2АВ2.
Следовательно,
р2 _ АВ2 _ 1
- АГ2 — 2 ,
или q2=2p2, т. е. q2 четно. Но в силу
свойств делимости на 2 квадрат целого
числа может делиться иа 2 в том и
только в том случае, если само число
делится на 2. Следовательно, q будет
четным. Но тогда число р является нечетным. Но, так как
q=2t, To4za=2p2, следовательно, p2=2t2, а значит, и само
р является четным. Таким образом, число р должно было
бы быть и нечетным и четным, что противоречиво.
Мы видим, что все доказательство носит ярко выражен-
ный арифметический характер. В нем все время исполь-
зуется пифагорейское учение о четных и нечетных, иными
словами, теория делимости па 2.
Вскоре было обнаружено, что несоизмеримость диаго-
нали и стороны квадрата не является исключением, что
существуют и другие величины, отношения которых нельзя
представить отношением двух чисел. Феодор из Кпрены
(конец V в. до н. э.) показал, что стороны квадратов, пло-
щади которых равны 3, 5, 6,..., 17, несоизмеримы со сто-
роной единичного квадрата. При этом он проводил дока-
зательства для каждого случая отдельно. Существует
много гипотез относительно того, как он это делал. Цейтен
2) Аристотель, Аналитики первая и вторая, Госполит-
издат, 1952, стр. 70.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 259
и Ван-дер-Варден считают, что Феодор применял к сто-
ронам указанных квадратов и к единице алгоритм Евкли-
да и показывал всякий раз, что остатки, начиная с неко-
торого места, будут повторяться, т. е., что алгоритм
будет бесконечным. Можно привести и другую, не менее
вероятную гипотезу, которая была высказана Л. Р. Ша-
фаревичем: поскольку доказательство иррациональности
| 2 опиралось на теорию делимости на 2, то можно пред-
положить, что доказательства для п= 3, 5,..., 17 опи-
рались соответственно на теорию делимости на 3, на 5
и т. д. до 17. Действительно, для каждого конкретного
простого числа р нетрудно показать, что произведение
двух чисел делится на р тогда и только тогда, когда на него
делится по крайней мере один из сомножителей. Но
все эти «локальные» теории делимости не приводили
к общей теории. Мне кажется очень вероятным, что Феодор
знал о существовании бесконечного множества таких
квадратов, стороны которых несоизмеримы с единичным,
но не мог дать общего доказательства из-за отсутствия
теории делимости.
Первое общее доказательство такого рода принадле-
жит юному ученику Феодора Теэтету.
Теэтет начал с четкого определения величин, соизме-
римых по длине, как таких, отношение которых ревно
отношению целых чисел, а также величин, соизмеримых
в квадрате, т. е. таких, что квадраты, построенные на них,
соизмеримы. Он доказал, что стороны квадратов, площади
которых являются целыми неквадратными числами, не-
соизмеримы по длине со стороной единичного квадрата.
Они-то и являются величинами, соизмеримыми только
в квадрате пли, как говорили древние, соизмеримыми
в степени. Класс этих величин соответствует иррациональ-
ностям вида
Схема доказательства иррациональности ] г~п, когда
п—целое неквадратное число, такова: пусть = — , где
р2 ц
Р и q взаимно просты. Тогда zz=^-, р2=н<72. Пусть q
содержит простой множитель t, тогда р2 делится на I.
На основании закона однозначности разложения на
17*
260
И. Г. БАШМАКОВА
простые множители можно утверждать, что и р должно
делиться на t, а это противоречит предположению о взаим-
ной простоте р и q. Теэтет должен был быть хорошо зна-
комым с этим предложенпем. Очень вероятно, что он
первый доказал однозначность разложения числа на
простые множители.
После определения величины типа ]п Теэтет ана-
логично ввел иррациональности вида \/ п ]).
Он предпринял и дальнейшую классификацию ирра-
циональностей, которые возникают при решении квадрат-
ных уравнений, таких, что квадраты, построенные на них,
уже не являются соизмеримыми с единичным квадратом.
Об этой классификации мы будем говорить подробнее
в лекции, посвященной алгебре древних.
Все эти открытия, видимо, привели математиков V в.
до н. э. к убеждению, что геометрические объекты яв-
ляются величинами более общей природы, чем рациональ-
ные числа. По-видпмому, уже в пифагорейской школе была
сделана попытка строить всю математику, основываясь
не на арифметике, а на геометрии, ввести прямое исчис-
ление величин: представлять велпчпны отрезками и пло-
щадями, операции сложения, умножения, извлечения
корня представить геометрически и т. д. При этом перед
математикой возникло два рода проблем.
Проблемы первого рода мы бы теперь отнесли к алгебре.
Основными задачами здесь были: 1) определить геометри-
чески операции алгебры; 2) научиться геометрически за-
писывать и решать уравнения; 3) охарактеризовать те
несоизмеримые величины, которые могут получиться
в результате решения уравнений, т. е. дать какую-то
классификацию алгебраических иррациональностей. За-
метим сразу же, что речь шла, в основном, о решении таких
J) Несколько раньше работ Теэтета Архит показал, что нельзя
вставить среднюю пропорциональную между двумя числами а и Ъ,
л-|-1 ..
которые относятся друг к другу, как -, т. е. с нашей точки зре-
ния, что \гп (л+1) является иррациональным. И в этом доказатель-
стве должны были использоваться предложения теории отношении
целых чисел и теории делимости.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕП ГРЕЦИИ 261
уравнений, корни которых могут быть построены цирку-
лем и линейкой, и о классификации корней таких урав-
нений.
Проблемы второго рода относятся к области математи-
ческого анализа. Основные вопросы здесь: 1) построение
общей теории отношений несоизмеримых величин (ана-
логичной общей теории вещественных чисел); 2) приме-
нение общей теории отношений к учению о подобии п к во-
просам измерения величин — построение метрической
геометрии; 3) применение к теории пределов и исследо-
ванию непрерывных величин.
В античной математике были исследованы проблемы
и первого и второго рода. При этом возникли теории
необыкновенной стройности и красоты, в процессе по-
строения которых развивался и оттачивался и метод ло-
гических доказательств.
Мы начнем с освещения первого алгебраического цик-
ла, а затем перейдем к вопросам, которые сейчас относят
к математическому анализу. ’
ЛЕКЦИИ 3—4
АЛГЕБРА В КЛАССИЧЕСКОЙ ДРЕВНОСТИ
§ 1. Создание «геометрической алгебры»
Мы говорили уже, что открытие несоизмеримости при-
вело к изменению соотношения между геометрией и ариф-
метикой. Если до этого геометрические задачи сводились
к арифметике рациональных чисел, то теперь, наоборот,
геометрия легла в основу всей математики и операции
алгебры начали определять с ее помощью так, чтобы они
годились и для рациональных чисел и для несоизмеримых
между собой величин.
В этом новом исчислении величины изображались с по-
мощью отрезков и прямоугольников. Впоследствии Евк-
лид обосновывал эти операции с помощью постулатов
и аксиом геометрии. Так, сложение величин осуществля-
лось путем приставления соответствующих отрезков А В=а
п (рис. 1), AF=AB-]-BF=AB-\-CD; вычитание—
262
И. Г. БАШМАКОВА
путем выкидывания из большого отрезка части, равной
меньшему. Операция вычитания была возможна лишь
тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.
Умножение величин осуществлялось путем построе-
ния прямоугольника на соответствующих отрезках.
Площадь этого прямоугольника и представляла произ-
ведение. В «Началах» Евклида говорится просто о прямо-
угольнике, построенном на данных отрезках. Арифмети-
ческий термин «умножение» для геометрических величин
сами греки не употребляли, но мы будем им пользо-
ваться.
/ В F С В
I ------1-----) L------1
Рис. 1.
При определении произведения как прямоугольника
умножение приводило к величинам большего числа изме-
рений. Так, произведение двух отрезков представлялось
прямоугольником, трех — параллелепипедом. Произве-
дение двух величин уже нельзя было складывать ни с од-
ним из сомножителей. Складывать и вычитать можно
было только однородные величины, т. е. имеющие одина-
ковое измерение. Точно так же и равенство возможно лишь
между однородными величинами.
Таким образом возникло «ступенчатое» исчисление, для
величин с учетом их размерности.
Обратная операция — деление—приводила к пони-
жению размерности. Она формулировалась как задача
на «приложение площадей»: «приложить») к данной пря-
мой (tZ) прямоугольник, равновеликий заданному (ab).
Иными словами, требовалось найти другую сторону х
прямоугольника, одна сторона которого была задана
(cZ), так, чтобы dx,= ab. Решение этой задачи приписы-
вается еще пифагорейцам. Оно заключалось в следующем
(рис. 2): к одной из сторон, например АС=а, прямоуголь-
ника ab приставлялась сторона d и достраивался прямо-
угольник CDFE. Затем проводилась диагональ и про-
должалась до пересечения с продолжением стороны АВ.
После этого вся фигура достраивалась до полного прямо-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИП МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕП ГРЕЦИИ 263
алгсораические тождества.
Евклида, в которой изла-
угольника [ЯЛ']1). Тогда прямоугольникDFA'D' и будет
искомым. Действительно, он будет равновелик ACDВ,
так как оба они получаются из равных треугольников AEG
и A'EG путем выбрасывания равных треугольников 1 и
2и2’. Вторая сторона иско-
мого прямоугольника DD' =
и дает решение задачи.
Такое представление основ-
ных алгебраических операций
не зависело от конкретных раз-
меров величин, над которыми
операции производились, а это
впервые позволило строго уста-
новить важнейшие свойства
алгебраических операции и вы-
вести в общем виде основные
Так, во II книге «Начал»
гается геометрическая алгебра, устанавливается дистри-
бутивность умножения по отношению к сложению, а имен-
но, предложение 1 этой книги
гласит:
«Если имеются две прямые
и одна из них рассечена на сколь-
ко угодно отрезков, то прямо-
угольник, заключенный между
этими двумя прямыми, равен
„вместе взятым11 прямоугольни-
кам, заключенным между нерас-
сеченной прямой и каждым пз отрезков», т. е. если отре-
зок а разбит на отрезки с, с1г сп, то прямоугольник
н&=(с-|-с1-|-...-|-с71) Ь=сЬ-|-с1Ь-|-...+с„Ь (рис. 3).
После этого там устанавливаются некоторые основные
тождества, например: «если прямая линия как-нибудь
рассечена, то квадрат на всей „прямой-1 равен квадратам
На отрезках вместе с дважды „взятым-1 прямоугольником,
заключенным между отрезками» (предложение 4 кни-
Риг. .3.
*) Для краткости мы будем иногда обозначать прямоугольник
>мя буквами, соответствующими противоположным вершинам(
зятыми в квадратные скобки.
264
И. Г. БАШМАКОВА
гп II). Доказательство этого предложения получается из
рассмотрения прилагаемого чертежа (рис. 4). Это пред-
ложение эквивалентно буквенному тождеству
(а + Ь)'2 = а2 + Ь2 + 2аЪ.
7 S
Рис. 4.
Из доказательства его видно, что справедливость тож-
дества не зависит от конкретной длины отрезков а и Ъ,
от их соизмеримости или несоизмеримости, что оно, сле-
довательно, имеет место для любых величин. Таким обра-
зом, впервые в истории человечества была
получена возможность доказывать алге-
браические предложения общим образом.
В «Началах» Евклида геометрически
доказываются и многие другие тождества,
например:
(п-Ь t)2 + a2 = 2(a+t)a + t2,
а! + 6> = 2[(1«у+(£+?_г,у].
Впоследствии геометрически представлялись и более
сложные тождества.
Отмеченное обстоятельство является очень важным.
Только после того, как появилась возможность формули-
ровать и доказывать общим образом алгебраические тож-
дества, устанавливать свойства алгебраических опера-
ций, и можно говорить об алгебре в собственном смысле
слова. До этого ученые могли оперпровать только с кон-
кретными числами; законы операций с ними, конечно,
могли быть обнаружены эмпирически, но никаких доказа-
тельств не существовало.
Следует отметить, что образы, употребляемые в алгебре
греков — отрезки и прямоугольники, и операции над
ними носили наглядно-геометрический характер. Нагляд-
ность геометрической алгебры была несомненно большим
достоинством ее, особенно для раннего периода развития
математики. Однако при этом в основном ограничивались
представлением с помощью двумерных геометрических
образов, что было весьма стеснительно для дальнейшего
развития алгебры.
ЛЕЬППП ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 265
Для представления произведения трех величин нужно
было пользоваться уже пространственными фигурами
(куб, параллелепипед), а произведение четырех и более
величин, вообще, не могло быть представлено аналогич-
ным образом в трехмерном пространстве. Поэтому в тер-
минах геометрической алгебры нельзя было даже сформу-
лировать задачу, эквивалентную алгебраическому уравне-
нию степени 4. Мы увидим, что геометрическая алгебра
была хороша только для решения квадратных уравнений.
К их трактовке в алгебреигреков мы сейчас и перейдем.
§ 2. Решение и исследование задач, эквивалентных
квадратным уравнениям
Мы говорили уже, что в греческих сочинениях по ло-
гистике встречаются задачи, эквивалентные квадратным
уравнениям. Они решаются там численно теми же мето-
дами, как это делалось в Древнем Вавилоне. Несомненно,
что до открытия несоизмеримости по аналогичным пра-
вилам решались (точно или приближенно) все задачи
такого рода. После открытия несоизмеримости численные
приемы не могли уже считаться достаточными.
Геометрическое решение квадратных уравнений имело
не только самостоятельное значение. Квадратные урав-
нения самым тесным образом связаны с геометрией Евк-
лида, так как всякое построение с помощью циркуля
и линейки эквивалентно аналитически решению некото-
рой цепочки квадратных уравнений. Действительно, все
задачи на построение решаются путем последовательного
применения следующих элементарных построений: 1) про-
ведение прямой через две точки; 2) нахождение точки пере-
сечения двух прямых; 3) нахождение точек пересечения
прямой и окружности и 4) нахождение точек пересечения
Двух окружностей. Если пользоваться средствами анали-
тической геометрии, то построение 1) сводится к отыска-
нию линейного уравнения -—— = -——, построение 2) —
г У2-У1
к совместному решению двух линейных уравнений:
а^х + Ъ^у = ср 1
а3ж+ Ъ.,у = с2, J
266
И. Г. БАШМАКОВА
построение 3) — к совместному решению линейного
и квадратного уравнений:
ах -|- Ъу = с,
(х — а)2 + (у-р)2 — г2,
т. е. к решению квадратного уравнения, и, наконец, по-
строение 4) эквивалентно совместному решению двух
уравнений:
(a;_ai)2 + (2/_pi)2=z.2j
(^-a2)2 + (?/-P2)’ = ^.
Если мы вычтем второе уравнение пз первого, то получим
линейное уравнение:
2 (И1 - <х2) х + 2 - ра) у -р а“ + ₽2 — а2 - З2 = г2 - г2;
решая его совместно с одним из данных уравнений окруж-
ностей, вновь получим квадратное уравнение. Таким обра-
зом, любое построение с помощью циркуля и линейки,
а такие построения и составляли ядро классической гре-
ческой математики, которая затем была оформлена в гео-
метрию Евклида, сводится к решению некоторой цепочки
линейных и квадратных уравнений.
При этом всякое решение линейного уравнения рацио-
нально выражается через его коэффициенты, поэтому реше-
ние лежит в том же поле/?, что и исходные, заданные вели-
чины. Если же построение эквивалентно решению квад-
ратного уравнения, то в результате получается величина,
которая, вообще говоря, не принадлежит R. Пусть, на-
пример, построение сводится к уравнению
ж2 -|- Ъх -|- с = 0, (1)
где Ь, с принадлежат полю рациональных чисел R. Решая
это уравнение, получим:
2 = -у ± ~С = Р ± V<P
где р п q — рациональные, а \Pq£R. Построим теперь то
наименьшее доле Кх, в котором содержатся корни урав-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 267
нения (1). Поле Кг можно получить путем «присоедине-
ния» к В числа ] q, т. е. nj тем рассмотрения всех чисел
вида г-Н] "q, где г, В. Легко проверить, что сумма, раз-
ность, произведение п частное двух элементов такого вида
снова будет иметь тот же вид, т. е. будет числом пз поля Л?к
Проверим это для частного:
r + sVq (г+ »/<?) (n—»!’/q)
= r-hs 1/с/,
где
Таким образом, видно, что множество чисел s-J-r)- q дей-
ствительно образует поле; его обычно обозначают
п говорят, что К± получено путем присоединения | q
к полю В. Непосредственно впдно, что жх и лежат в К±.
Но К1 будет минимальным из всех полей, содержащих ту
п ж2. Действительно, если xltx2^K, то х±— х2= 2] q£K,
т. е. /?(| q)= Кг принадлежит полю К.
Следующее элементарное построение сведется снова
либо к линейному уравнению, —тогда решение будет ле-
жать в К±, либо к квадратному
ж2 4- Ъ±х Т Ci = 0, (2)
гдесп 61£Л'1. Корни (2) будут, вообще говоря, иметь вид:
^К2 = Pi ± 1 (В = г + s ] q ± г + s ] "q,
где г, s, q, г, sg В, /у, qt£ К±. Мы получили минимальное
поле К2, в котором они лежат, присоединяя к К2 число
Qi, т. е. Л'2=^1(] 91)- Следующее построение сведется
к линейному илп квадратному уравнению
ж2 Ъ2х с2 = 0 (3)
с коэффициентами Ь2,с2СК2 и т. д. Таким образом, каж-
дому построению в геометрии Евклида будет соответство-
вать конечная цепочка квадратных уравнений (линейные
268
И. Г. БАШМАКОВА
можно не учитывать):
х2 4- Ъх Т с = 0, b, с£Н,
х2 + b±x + q = О, Ъ±, ct£Kb
х2 + b2x -р с2 = О, Ь2, с,£К2,
причем коэффициенты каждого последующего уравнения
принадлежат полю, содержащему корнп предыдущего.
Мы будем в дальнейшем называть такую цепочку нор-
мальной.
В частности, к решению такой цепочки уравнений сво-
дится определение ребер правильных многогранников,
а также сторон правильных многоугольников при п=
= 3,4,5,8,10,15, 16 и др. Поэтому-то уже во II книге
«Начал» Евклида излагается геометрическая алгебра
и дается все необходимое для геометрического решения
квадратных уравнений со старшим коэффициентом 1. Та-
ким образом, не только всякое построение геометрии
Евклида сводится к решению нормальной цепочки квад-
ратных уравнений, но и, наоборот, всякое квадратное
уравнение (имеющее вещественные корнп) может быть ре-
шено путем геометрического построения циркулем и ли-
нейкой.
Посмотрим, как это делалось. Начнем с предложения
14 книги II:
«Построить квадрат, равный данной прямоугольной
фигуре», т. е. требуется найтп такой отрезок х, чтобы х2 =
= ab, где ab—заданный прямоугольник (любую прямоли-
нейную фигуру греки умели преобразовывать геометри-
чески в прямоугольник).
Таким образом, для решения задачи нужно найти
отрезок х, средний пропорциональный между отрезками
а и Ь, не пользуясь теорией отношений, так как в то время
еще не было общей теории отношений, годной как для соиз-
меримых, так и для несоизмеримых величин.
Для нахождения х произведение аЪ предварительно
преобразовывали в разность двух квадратов, пользуясь
леммой: если разделить отрезок АВ в точке С пополам
и в точке D на какие-либо неравные части, то прямоуголь-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 269
ник, построенный на неравных частях отрезка АВ (т. е.
AD,DB), вместе с квадратом па отрезке CD между точками
деления будет равновелик квадрату на половине АС всего
отрезка (предложение 5 книги II «Начал» Евклида,
см. рис- 6).
Как нетрудно видеть, эта лемма эквивалентна тождеству
Доказывалась лемма геометрически при помощи сле-
дующего построения (рис. 5): пусть прямая АВ рассечена
в точке С на равные и в точ-
ке D па неравные части. На
СВ строится квадрат СВВ^С^
проводятся его диагональ ВС±
п через D прямая DDlt парал-
лельная BB±. Наконец, пз точ-
ки G проводится прямая GAlt
параллельная АВ, и пз точкп
Л — АА± H-SBj. Тогда прямо-
угольник [-4G] будет равнове-
лик «гномону», т. е. фигуре
CBBfi^GL, так как у них часть [CG] общая, а прямо-
угольник [AL] равен прямоугольнику [ВТ\]. Но «гномон»
CBBiP^GL является разностью двух квадратов [BCJ
11 [СЕJ. Таким образом, прямоугольник [ЛС] равновелик
разности квадратов [BCJ и [GCJ пли
AD-DG = CB2-LG2,
но DG=DB, LG=CD, СВ= , поэтому
AD-DB = ^~y~CD2.
Если мы обозначим AD=a, DB=b, то получим:
т- е. вышеприведенное тождество (4).
270
И. Г. БАШМАКОВА
После этого сравнение (1) можно решить с помощью
теоремы Пифагора:
что то же, из аЪ извле-
т. е. х является катетом прямоугольного треугольника,
а у- Ъ
гипотенуза которого равна—г—I
Д ' Ь т г
а ДР} гои катет равен —’ Для
построения такого прямоуголь-
ного треугольника на отрезке
АВ = а-\-Ь, как на диаметре,
строится окружность (рис. б). Из
точки D, где AD = a, проводится
перпендикуляр к АВ до пересе-
чения с окружностью в точке Е. Тогда треу гольник СЕВ
и будет искомым: СЕ= a-^b~, CD = , х = ED.
Таким образом, геометрически решается простейшее
квадратное уравнение х2=аЬ или,
кается геометрически квадрат-
ный корень.
Средствами геометрической
алгебры можно было решить и
два основных типа заданна квад-
ратные уравнения, которые рас-
сматривали древние (рис. 7):
1) Приложить к данному от-
резку АВ прямоугольник, рав-
ный площади данной прямоли-
нейной фигуры S, так, чтобы
часть площади, недостающей до
полного прямоугольника (т. е.
[DBJ), была квадратом. Если
обозначить АВ=а, а DB=DD±=x, то задача эта сводится
к уравнению
(а — х) х = S. (5)
В древности опа получила название задачи эллиптического
типа, так как площадь А нужно было прилагать к прямой
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 271
АВ с «недостатком», недостаток же по-гречески будет
ёХгкрс/, отсюда и произошло название задачи.
2) Приложить к данному отрезку АВ прямоугольник,
равный прямолинейной площади 5”, так, чтобы избыток
пад прямоугольником [А/Д] был
квадратом (рис. 8).
Аналогично предыдущему эту
задачу можно записать в виде
j равнения
(а + х) х = А. (6)
Поскольку здесь речь пдет о при-
ложении с избытком, избыток
же по гречески бтсгрроХт;, то эта
задача носпла название гипер-
болической.
Разберем задачу 1). Для ее решения применялась та же
лемма, что и для задачи преобразования прямоугольника
в квадрат, т. е. произведение (а—х)х преобразовывалось
в разность квадратов ~ —Х^) ’ дая ЧСГ° Де"
лалось соответствующее построение (рис. 5). Здесь АВ=а,
DB=x, СВ=~ , СП=-|—х. Прямолинейная площадь S
также преобразовывалась в квадрат Ь2, после чего иско-
мый отрезок (х) находился по теореме Пифагорах)
Математики Древней Греции не только дали общее
решение этой задачи, но и определили ограничение так
называемый диорпзм, которое нужно наложить на началь-
ные данные для того, чтобы задача была возможной.
Заметим, что задача, эквивалентная уравнению (а—т) х=Ь2,
решалась точно так же, как я задача, эквивалентная чистому
квадратному уравнению x2=ab. Таким образом, при геометриче-
ском решении не возникала задача приведения любого квадратного
У равнения к чистому. Мы увидим, что то же имело место и при реше-
нии задач, эквивалентных кубическим уравнениям. Отсюда ясно, по-
чему в Греции не возникла задача решения у равнений в радикалах.
272
И. Г. БАШМАКОВА
Для нахождения ограничительных условий, Евклид
отыскивает наибольшее значение выражения (а—х)х,
равное Если заданная площадь i2 больше ,
то задача невозможна. Таким образом, необходимым уело-
вием разрешимости задачи
является
Аналогично решается и задача 2), только для преобра-
зования x(a-j-x) в разность квадратов используется двой-
ственная лемма: если отрезок
АВ делится в точке С на равные
части, а точка D находится на
продолжении АВ, то (пользуясь
современными обозначениями)
AB-BD^CD2—СВ2 (рис. 9).
Остановимся теперь на воп-
росе: почему древние выделили
именно эти две задачи? Есте-
ственно предположить, что древ-
ние рассматривали только такие
задачи, у которых есть положи-
тельные решения, так что задача, эквивалентная уравне-
нию ж2-}-аа;-|-6’=0, где а — длина и S — площадь, т. е.
величины существенно положительные, не ставилась. Но,
помимо уравнений (5) и (6), положительный корень может
иметь и уравнение вида
x2 — ax = S. (7)
Задача, эквивалентная такому уравнению, вполне могла
быть поставлена. Почему же древппе допустили такую
«неполноту» при исследовании задач, сводящихся к квад-
ратным уравнениям? Мы ответим на этот вопрос, еслп
заметим, что задачи 1)и 2) можно рассматривать как задачи
на системы двух уравнений с двумя неизвестными. Сам
Евклид именно так и ставил обе эти задачи в другом своем
сочинении «Данные». Задача 1) там формулировалась так:
1' )Разбить данный отрезок а на две части так, чтобы
прямоугольник, построенный на этих частях, имел задан-
ную площадь S.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 273
В такой формулировке задача 1) эквивалентна системе
х 4- у = а, |
xy = S- I
(8)
Аналогично, задача 2) ставится в форме 2'), эквивалентной
системе
у — х = а,
xy = S.
(9)
Теперь мы можем ответить на вопрос, почему в «Началах»
отсутствует задача, эквивалентная уравнению (7). Если
это последнее уравнение записать в виде системы, положив
х—а=у, то получим:
х~У = а> 1 (Ю)
xy = S. J
Мы видим, что (10) отличается от системы (9) лишь пере-
становкой местами букв х и у, что, конечно, несущест-
венно. При словесной формулировке обе системы (9)
и (10), п, вообще, неотличимы.
Отсутствие задач, эквивалентных (7), заставляет нас
предполагать, что древние греки исходили не из задач,
эквивалентных одному квадратному уравнению с одним
неизвестным, а из системы двух уравнений с двумя неизве-
стными, т. е. что в Греции в этом отношении дело обстояло
так же, как и в Вавилоне. При этом задачи 1') и 2') исчер-
пывали собою все задачи на системы вида (8) и (9), могущие
иметь положительные корни. Таким образом, само собой
отпадает обвинение в неполноте класспфикацпп.
Если мы теперь попробуем проинтерпретировать гео-
метрически ход решения древних в применении к задачам
(8) и (9), т. е. поставленных как задачи на системы, то уви-
дим, что это решение шаг за шагом повторяет численное
решение квадратного уравнения, с которым были знакомы
еще вавилоняне.
Действительно, пусть требуется разбить АВ на два
отрезка (х п у), образующих прямоугольник заданной
площадп S. Для решения отрезок АВ разбивается в точке
С па равные частп п в точке D на неравные, причем
18 Истор.-матем. исслед., вып. XI
274
И. Г. БАШМАКОВА
предполагается, что D пропзводпт искомое разбиение
(см. рис. 5). Тогда
AD = AC + CD,
DB = AC-CD.
После этого произведение AD DB=(AC A-CD)(AC—CD)
преобразуется в разность квадратов АС2—CD2, только
это преобразование производится геометрически.
Таким образом, очень вероятно, что методы геометри-
ческой алгебры возникли в результате переложения на
язык геометрии того вычислительного алгоритма, который
употребляли древние вавилоняне и греки для решения
численных квадратных уравнении.
ч
Рис. 10.
Если задача, эквивалентная квадратному уравнению,
задавалась не в форме (5) или (6), то для решения ее пред-
варительно приводили путем тождественных преобразо-
ваний к одной из этих форм, которые, таким образом, явля-
лись в античной математике каноническими. Так, напри-
мер, в предложении 2 книги II «Начал» Евклида требуется
рассечь данный отрезок на части так, чтобы прямоуголь-
ник между всем отрезком и одной из частей был равен
квадрату на оставшемся отрезке, т. е. так (рис. 10), чтобы
а(а—х)=х2.
Такое разбиение отрезка на части получило название
«золотого сечения». К золотому сечению сводится опреде-
ление сторон правильных десятиугольника и пятиуголь-
ника. Задача не каноническая. Чтобы привести ее к виду
(6), мы раскрыли бы скобки и перенесли ах в правую часть:
а2 = х2А ах.
Евклид совершает необходимые преобразования гео-
метрически, фактически для этого делается следующее
(рис. И): на отрезках А1=х и АС=а строятся квадраты
[АВ] и [AD] и сторона HG продолжается до пересечения
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 275
с CD в точке К. По условию квадрат х2=[АН] должен
быть равен прямоугольнику [КБ] = а(а—х). Прибавим
к обеим частям прямоугольник [АК] = ах, тогда [1К]=
_[АО], т. е. приходим к задаче: приложить к данной
прямой АС=а заданную площадь [AD]=a2 так, чтобы
«избыток» [АН] был квадратом.
Мы видели, что задача эта эквивалентна уравнению
(а+ж)ж=а2. Изложение Евклида в «Началах» обратно
нашему: он сначала находит А1=х,
которое является решением задачи типа
(а + х~) х = а2,
а затем, геометрически вычитая ах из
[AD]=a2 и [/К]=(а-]-х)я, показывает,
что найденное значение А1=х удовлет-
воряет и исходной задаче.
Таким образом, мы видим, что алго-
ритм решения квадратных уравнений
был хорошо разработан.
Во II книге «Начал» Евклида рас-
сматриваются только задачи, эквива- рис
лентные квадратному уравнению с коэф-
фициентом 1 при старшем члене. Сред-
ствами классической геометрической алгебры без теории
отношений задачу, соответствующую общему квадратному
Уравнению
ах2 -|- Sx = D,
нельзя было не только решить, но даже поставить. Дей-
ствительно, в такой задаче нужно было бы либо говорить
о соотношении объемов (параллелепипеда с квадратным
основанием и заданной высотой ах2, параллелепипеда
с высотой х и заданным основанием S= be и данного объема
B = de/), либо, «разделив» на Ь, где bc=S, говорить о при-
ложении к данной прямой с заданной площади у с/так,
чтобы избыток или недостаток был подобен данному парал-
лелограмму:
rx2 + cx = -ref.
18*
276
И. Г. БАШМАКОВА
Первая постановка задачи требовала выхода в простран-
ство, вторая — применения теории подобия, а значит
и общего учения об отношениях величин.
Евклид избрал в «Началах» второй путь.
Ясно, что исследованию задач, эквивалентных куби-
ческим уравнениям, пе могла помочь и теория подобия:
надо было либо оперировать с пространственными фигу-
рами, либо изыскивать новые методы. А такие задачи
не замедлили появиться. Прежде чем перейтп к ним, мы
остановимся иа вопросе о трактовке алгебраических ирра-
циональностей.
§ 3. Трактовка алгебраических иррациональностей
Проблема классификации иррациональностей, которые
могут возникнуть при решении нормальной цепочки квад-
ратных уравнений, была очень рано поставлена в грече-
ской математике.
По-видимому, конечной целью классификации было
дать метод построения такой области 2, которая обладала
бы следующими двумя свойствами:
1) каждый элемент ее можно построить циркулем и
линейкой;
2) любая величина, могущая быть построенной цирку-
лем и линейкой, содержится в этой области.
Иначе говоря, область 2 должна быть замкнута по
отношению к четырем операциям арифметики и операции
извлечения квадратного корня из положительного числа.
Такую область обычно называют теперь евклидовым полем.
Она получается путем объединения всех полей К1г
которые возникают при решении любых нормальных
цепочек квадратных уравнений с вещественными корнями.
Идею построения такого поля можно усмотреть в X книге
«Начал» Евклида1).
Мы говорили уже, что первые глубокие исследования
алгебраических иррациональностей принадлежали Теэ-
тету. Напомним, что первый класс иррациональностей,
*) Строго говоря, область, которую строил Евклид, не была
полем, так как операция вычитания была там не всегда определена.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 277
выделенный Теэтетом, состоял из величин, соизмеримых
только в степени (т. е. в квадрате). В современных обозна-
чениях это были величины вида ] п, где п =£ к2. Даль-
нейшая его классификация охватывала те из величин,
несоизмеримых в степени, которые могут возникать при
решении квадратных уравнений, а именно:
1) биномы (т. е. иррациональности с двумя именами),
которые могут быть двух видов: т-\-^п п | т + | и;
2) вычеты: т-^п и ]/т —
3) средние величины, т. е. такие, что )ли:х—т: | т
или ж = j/ | т | п = |/тп.
Область иррациональностей, построенная Теэтетом,
была достаточна для того, чтобы любое квадратное j рав-
нение с рациональными коэффициентами имело в пей сгои
корни. Кроме того, в ней содержались корни уравнения
гс4 =а и некоторых биквадратных уравнений. Действи-
тельно, если то
х2 = т -|- п 2тп,
xi — 2 (т + ri) х+ (т — п)2 = 0.
Это уравнение эквивалентно нормальной цепочке из двух
звеньев:
1. у2 — 2 (т -|- п) у -|- (т — и)2 = 0.
2. х2 = у.
С помощью такого вида иррациональностей можно выра-
зить, например, ребро правильного додекаэдра через
диаметр D описанной сферы:
а=£(Г15--Гз).
Но ребро икосаэдра a=D 5~^5 уже непредстави-
мо с помощью биномов, вычетов и средних. Между тем
известно, что Теэтет построил все пять правильных много-
гранников. Таким образом, уже в его время должен был
встать вопрос об определении новых классов пррациональ-
278
И. Г. БАШМАКОВА
ностей. Построение более широкой области иррациональ-
ностей и классификацию их мы находим в X книге «Начал»
Евклида. Легко видеть, что не всякое биквадратное урав-
нение имеет корни, представимые с помощью биномов и
вычетов. Область же, определенная Евклидом, такова, что
не только содержит решение всякого биквадратного урав-
нения с рациональными коэффициентами, но и все реше-
ния систем:
х+у=а’ I (I)
xy = S, /
где а рационально или имеет вид а £ рационально, и
^+у’ = «, I
J
где а и >5' рациональны либо являются корнями квадрат
ными пз рационального числа. Если, например, а = [ Ф
а Х = то система (II) сведется к уравнению
8-й степени над полем рациональных чисел. Кроме
того, Евклид с помощью средних пропорциональных
дал способ построить сколь угодно много иррациопаль-
2п
ностей вида ] а.
Иррациональности, являющиеся решениями уравнений
8-й степени, непосредственно в «Началах» не применяются.
Таким образом, область, построенная Евклидом, шире,
чем это было бы необходимо для классификации сторон
правильных многоугольников и ребер многогранников,
встречающихся в «Началах». Это показывает, что Евклид
придавал теории алгебраических иррациональностей само-
стоятельное значение. Ов развил ее с максимально возмож-
ной строгостью: он показал путем непосредственного по-
строения, что все определенные им классы непусты, что
все виды рассмотренных им величин действительно ирра-
циональны, что классы не пересекаются, что все величины
одного п того же класса однозначно представимы в неко-
тором каноническом для данного класса виде.
Мне кажется, что Евклид прекрасно понимал тесную
связь между построениями циркулем и линейкой и реше-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕП ГРЕЦИИ 279
нием цепочки квадратных уравнений. В X книге он дал
принципы построения такого поля, которое было бы доста-
точно для решения всех задач его геометрии.
Хотя X книге посвящены многочисленные исследова-
ния, все же вопрос о ней нельзя считать вполне решенным.
Одной пз наиболее интересных проблем историп античной
математики как раз и является вопрос о трактовке алгеб-
раических иррациональностей в Древней Греции, особенно
это относится к более глубокому раскрытию содержания
X книги.
§ 4. Решение задач геометрии с помощью циркуля
п линейки. Задача удвоения куба
Уже в V в. до н. э. возникли проблемы , которые не
поддавались решению средствами классической геометри-
ческой алгебры. Одной из знаменитых задач такого рода
является «задача об удвоении куба»:
требуется построить куб, объем кото-
рого был бы в два раза больше объема
заданного куба а3, говоря современным
языком, требовалось решить уравнение
х3 = 2а3
или построить геометрически |/2.
Эта задача была настолько популяр-
на в Древней Греции, что о ней была
сложена легенда. Рассказывалось, что
как-то на острове Делосе вспыхнула чума. Оракул, спро-
шенный о том, как избавиться от этого бедствия, ответил,
что надо увеличить вдвое жертвенник, имевший форм}
KJoa. Поэтому задача об удвоении куба носит еще название
делосской.
Эта задача является естественным обобщением задачи
00 'Двоении квадрата, которая решается путем построе-
ния квадрата на диагонали заданного (рис. 12). Мы видели,
что древние умели решать и более общую задачу о преоб-
разовании любого заданного прямоугольника в квадрат.
Поскольку и здесь речь шла о построении ребра иско-
мого куба с объемом 2а3 при помощи циркуля и лпнейки,
280
И. Г. БАШМАКОВА
то алгебраически задачу можно сформулировать так:
построить при помощи нормальной цепочки квадратных
уравнений такое поле Кп, которое содержало бы
Невозможность этой задачи была строго доказана только
в 30-х годах XIX в. Ванцелем, однако убеждение в том,
что удвоение куба нельзя осуществить с помощью циркуля
и линейки, возникло гораздо раньше. По-видимому, оно
появилось уже у древнегреческих математиков.
Сначала, разумеется, никто не сомневался в разреши-
мости задачи, и лучшие математики V—IV вв. до и. э.
пробовали на ней свои силы. Так, Гиппократ Хиосский
обобщил задачу и свел ее к вопросу об отыскании двух
средних пропорциональных между заданными величинами.
Пусть задан прямоугольный параллелепипед а2Ь (основа-
ние его мы всегда можем считать уже преобразованным
в квадрат), требуется преобразовать его в куб:
х3 = а2Ь.
Гиппократ показал, что эта задача эквивалентна отыска-
нию таких величин (обозначим их х и у), что
а х у
% ~ У ~~ Ъ
Е ли, в частности, Ь=2а, то х п есть ребро удвоенного куба.
Такая интерпретация задачи была, вероятно, получена
по аналогии с задачей о преобразовании прямоугольника
аЪ в квадрат, которая сводится к вставке одной средней
пропорциональной
а _ х
х b
Исходя из представления задачи об удвоении куба, полу-
ченного Гиппократом, крупнейший математик конца
V в. до н. э. Архит из Тарента дал решеппе задачи, рас-
смотрев пересечение тора, конуса и цилиндра. Если пере-
вести эти построения на язык аналитической геометрии,
то окажется, что ищется пересечение поверхностей:
ж2 -|- у2 = ах,
х3 + у3 + z2 = х2,
СС2 _|_ ^2 z2 — а ух2 и. у2 t
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 281
причем средними пропорциональными будут ]/ х2-\-у2-\-z2
и ]гх2~1-у2, где г> z — координаты точки пересечения.
Гакпм образом, одно уравнение третьей степени с одним
неизвестным сводится к решению системы трех уравнений
4-й степени с тремя неизвестными.
Такое чудовищное с нашей точкп зрения сведение объяс-
няется тем, что Архпт искал скорее доказательство суще-
ствования решения уравнения х3=2а3, чем практический
метод его построения. В .существовании поверхностей,
полученных вращением окружностей и скольжением пря-
мых, он не сомневался. Пересечение таких поверхностей
давало решение задачи.
В дальнейшем при исследовании задачи математики
вернулись к изучению способов построения двух средних
геометрических между заданными величинами а и Ь.
Для этого обратились к двум геометрическим местам, кото-
рые в наших обозначениях запишутся как
ау = х2 и ху = аЪ.
Пересечение этих двух «мест» и должно было дать решение
задачи. Однако исследование «мест» было крайне затруд-
нительно.
Так, средствами античной математики нельзя было
даже, исходя из определенных соотношений, установить,
представляют ли эти «места» непрерывные кривые или дис-
кретный ряд точек. Большая заслуга Менехма, математика
второй половины IV в. до н. э., ученика Евдокса, состоит
в том, что он представил этп «места» как сеченпя конусов
вращения. При этом рассматривались три рода кониче-
ски^ сечений, образуемых плоскостью, перпендикулярной
кооразующей кругового конуса вращения: 1) сечения пря-
моугольного конуса (кривые этп получили впоследствии
название парабол); 2) остроугольного конуса (т. е. эллипсы)
и 3) тупоугольного конуса (т. е. гиперболы). После такого
стереометрического определения древние переходили к вы-
воду планиметрических свойств конических сечений п в
Дальнейшем оперировали только с этими планиметриче-
скими свойствами, равносильными нашим определяющим
Уравнениям (у2=рх и т. д.). Возникает вопрос: для чего
282
И. Г. БАШМАКОВА
могло служить стереометрическое определение? Ведь с са-
мого начала рассматриваемые геометрические места зада-
вались своими планиметрическими свойствами.
Известный историк математики Цейтен, изучая исто-
рию теории конических сечений в древности, пришел к вы-
воду, что стерео метрическое представление служило
только для доказательства существования и непрерывности
соответствующих геометрических мест. Действительно,
в непрерывности прямой и окружности древние не
сомневались. Отсюда выводилась непрерывность поверхно-
стей конуса, шара, цилиндра.
Представление некоторых геометрических мест как
плоских сечений этих поверхностей показывало, что соот-
ветствующие кривые непрерывны. Последнее было необ-
ходимо установить для применения их в алгебре при реше-
нии уравнений — ведь для этого нужно было найти точку
пересечения соответствующих кривых. О развитии соб-
ственно теории конических сечений мы будем говорить
отдельно. Сейчас нам важно, что конические сечения ста-
новятся новым средством для решения задач алгебры. С пх
помощью, как мы увидим, начали исследовать и решать
и другие задачи, эквивалентные кубическим уравнениям.
Не менее важно и то, что в дальнейшем при построении
теории конических сечений применялась геометрическая
алгебра, причем точно так же, как и наша буквенная
алгебра при построении аналитической геометрии кривых
второго порядка. Таким образом, учение о квадратных
уравнениях получило в древности настолько широкое при-
менение, насколько это было возможно.
Ко времени деятельности Евдокса и его школы должно
было сложиться убеждение, что задача удвоения кд ба
неразрешима с помощью циркуля и линейки. Об этом свиде-
тельствует одно место из «Второй Аналитики» Аристотеля:
«Ввиду этого посредством геометрии нельзя доказать, что
противные друг другу <вещи>изучаются одной и той же
наукой и что два куба составляют один куб» J). Нам не
известно, чтобы во времена Евклида (III в. до н. э.) кто-
*) Аристотель, Вторая Аналитика, ч. I, гл. 7, М., Гос-
политиздат, 1952.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 283
либо из крупных ученых пытался решить задачу об
удвоении куба с помощью циркуля и линейки. Евклид,
который сам занимался коническими сечениями, не вклю-
чил эту задачу в «Начала», тем самым молчаливо призна-
вая, что удвоение куба нс относится к кругу проблем,
разрешимых циркулем и линейкой. Ко времени Евклида
относится и разделение всех задач на три класса: 1)
плоские, т. е. такие, которые можно решить при помощи
прямых и окружностей; 2) телесные, которые решаются
с помощью конических сечений, и 3) линейные, для
решенпя которых применялись более сложные кривые.
Такая классификация подтверждает, что древние пришли
к убеждению в неразрешимости некоторых задач цирку-
лем и линейкой. О том, что задачи, сводящиеся к
кубическим уравнениям, древние относили не к пло-
ским, а к телесным, свидетельствует одно место из
трактата знаменитого поэта и математика XI в. Омара
Хайяма. Хайям дал полную классификацию кубических
уравнений и, следуя древним, решал их с помощью кони-
ческих сечений. Он говорит в начале трактата, как о чем-то
общепризнанном, что задачи па кубические уравнения
не могут быть решены с помощью кругов.
Первая попытка доказательства неразрешимости куби-
ческого уравнения
х3 + 2х2+ 10ж = 20
с помощью иррациональностей X книги «Начал» Евклида
была сделана в XIII в. Леонардо Пизанским. В XVII в.
Декарт сформулировал критерии разрешимости уравнений
3-й и 4-й степеней с помощью циркуля и лпнепкп, однако
не доказал своих утверждений. Только в конце XVIII —
начале XIX в. были даны первые вполне строгие доказа-
тельства неразрешимости. Они ознаменовали собой пере-
ход на новую, высшую ступень абстракции.
Прежде чем переходить к трактовке кубических урав-
нении у математиков эллинистического периода (III—II вв.
до н. э.), остановимся на двух других знаменитых задачах
Древности.
Одна из них — задача трисекции угла (рассечения
угла на три равные части) приводится, как известно,
284
И. Г. БАШМАКОВА
к решению кубического уравнения
3 sin — 4 sin3 <р = sin 3?
или, если х = simp, sin3p = a,
4ж3 — Зх + а = 0.
Это уравнение1) является, вообще говоря, неприводимым,
поэтому все попытки греческих математиков решить задачу
трисекции угла с помощью циркуля и линейки оказались
______________________ безуспешными. Уже в V в.
.АДО и. э. для решения вопроса
\ были применены два новые
\ средства: «вставки» и транс-
f -------И цендентные кривые.
\ / «Вставкой» называется от-
\ / резок определенпой длины,
\. / «вставленный» между двумя
----линиями, т. е. помещенный
Рис. 13. так, чтобы концы его находи-
лись на этих линиях и, кроме
того, он сам пли его продолжение проходило бы через задан-
ную точку. В древности обычно рассматривались только
«вставки» между прямыми и окружностями. Поясним при-
менение «вставки» на примере трисекции угла, приписы-
ваемой Архимеду: пусть А АВС=Зх (рис. 13) надо разде-
лить на три равные части. Строим круг с центром в В, про-
должаем АВ в другую сторону от центра В и вставляем
между окружностью и прямой BE отрезок EF длины В,
продолжение которого проходит через точку С — пере-
сечения другой стороны угла АВС с окружностью. Тогда
AFED и будет составлять г^СВА. Действительно,
Z FED = Z FBD = ± A BFC = 4 Z FCB,
но
А АВС = A FCB + A FEB = ЗА FEB
Э Связь задачи трисекции угла с решением кубического урав-
нения была установлена, однако много позднее, в трудах математи-
ков Средней Азии, а доказательство неразрешимости этого уравне-
ния в квадратных радикалах дал Ванцель,
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИЙ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 285
При таких построениях обычно не указывалось, как
осуществить «вставку», с помощью пересечения каких кри-
вых (алгебраических илп трансцендентных) можно ее полу-
чить. Только Аполлоний (конец III в. до н. э.), согласно
сообщению Паппа, предпринял классификацию вставок,
рассмотрев те из них, которые можно получить с помощью
циркуля и линейки. Сам Папп показал, что те вставки,
которые употреблял Архимед в сочинении «О спиралях»
(они совпадают с приведенной нами выше), можно осуще-
ствить с помощью конических сечений. Вообще же, если
задача решена «вставкой», то природа ее остается неясной
без дополнительного исследования. Видимо поэтому древ-
ние, начиная с Евклида, пользовались вставками с большой
осторожностью и старались избегать пх всюду, где это
было возможно.
В V в. до н. э. софист Гипппй из Элиды применил най-
денную им первую трансцендентную кривую — квадрат-
рису для решения задачи трисекции угла. О квадратрпсе
мы будем говорить подробнее в лекции 8. Сейчас скажем
только, что эта же кривая вскоре была применена и для
решения третьей знаменитой задачи древности — квад-
ратуры круга. II к этой задаче математики сначала попы-
тались применить аппарат геометрической алгебры, т. е.
формулировали задачу так: «построить с помощью цир-
куля и линейки квадрат, равновеликий кругу». Видимо,
уже во времена Евклида и Архимеда, т. е. кШ в. до н. э.,
математикам было ясно, что при такой постановке задача
неразрешима. Одна из наиболее знаменитых работ Архи-
меда была посвящена определению не точного, а прибли-
женного значения площади круга. Однако в V—IV вв.
ДО н. э. усилия многих ученых были направлены на реше-
ние квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.
Интересно, что в поисках этого решения Гиппократ Хиос-
скип открыл первые криволинейные фигуры, которые
можно было квадрировать чисто алгебраически, так назы-
ваемые гиппократовы луночки, или мениски, т. е. фигуры,
ограниченные дугами двух окружностей. Первая луночка
Гиппократа строится так (рис. 14): в пол)круг Aj-В^Г
вписывается равнобедренный треугольник АВГ и на
его гипотенузе АГ строится сегмент АХГ, подобный
286
И. Г. БАШМАКОВА
сегментам АЛ и В'-Л. Тогда, как нетрудно видеть, пло-
щадь Aj.Bt.IA равновелика площади треугольника ЛВГ.
Для доказательства этого предложения Гиппократ поль-
зуется одной пз своих основных лемм: «Площади подоб-
ных сегментов в двух кругах пропорциональны квадратам
стягивающих их хорд». Далее, Гиппократ находит еще две
квадрируемые луночки, у одной из которых внешняя дуга
больше полуокружности, а у другой — меньше. Наконец,
он находит еще одну луночку,
которая квадрируема вместе с
о- s'/ некоторым кругом, однако она
/ / j А. не совпадает ни с одной из трех
/ ------—\ луночек, найденных Гиппокра-
том. Таким образом, ясно, что
г Гиппократ хотел с помощью
Рис. 14. своих луночек подойти к квад-
ратуре круга, однако, как это
часто бывает (вспомним континуум-гипотезу!), все сделан-
ные им шаги, которые казались несомненным продвиже-
нием вперед, нисколько не приблизили его к основной
цели.
Вопрос о квадрируемых луночках имеет длинн)ю
историю.
В 1840 г. Клаузен нашел еще две квадрируемые луночки.
В XX в. исследованием проблемы занялся болгарский
ученый Чакалов. Н. Г. Чеботарев, а затем А. В. Дороднов
с помощью методов теории Галуа полностью решили ее.
Если обозначить центральные углы, соответствующие
внешней и внутренней дугам луночки, 2л и 23(j,>P),
а стягивающую хорду через а, то площадь луночки
=т Q-fik - - ct«а+ctg 0
Известно, что sin а всегда является величиной трансцен-
дентной, если а алгебраическая, поэтому для возможности
построения луночки необходимо, чтобы
—-_____L = о
sin2a sin23
Легко видеть, что этого и достаточно.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 287
Предполагая, что аи₽ соизмеримы, а = иб, р=/ггб,
приходим к уравнению
Zsinmfl'\2_ т
ysinnU J п ’
которое с помощью подстановки х=е2г6 преобразуется к виду
(Ж™ _ 1)2 _ ПЬ х™ п (ж”-1)2 = 0.
Н. Г. Чеботарев установил, что существуют только
пять случаев, в которых это уравнение разрешимо в ве-
щественных квадратных радикалах. Трп из них, соответ-
ствующие т=1, п=2\m=i, п=3’,т=2, п=3, были найдены
Гиппократом Хиосским, а два: т=1, п=5", т=3, п=5 —
Клаузеном. Отметим, что все основные методы решения за-
дач, которыми пользовались древние, были по существу ал-
гебраическими. Да иначе и быть не могло, если в качестве
основных средств построения были выбраны циркуль
и линейка. Можно сказать, что вся греческая математика,
включая «Начала» Евклида, развертывалась в той области
Й, о которой мы говорили в § 3.
§ 5. Кубические уравнения у Архимеда
В наиболее явном виде решение и исследование куби-
ческих уравнений имеется у Архимеда.
В сочинении «О шаре и цилиндре» (II книга, 4-е пред-
ложение) Архимед ставит задачу: разделить данный шар
плоскостью на два сегмента так, чтобы объемы этих сег-
ментов имели заданное отношение. Если а — радиус
шара, т : п — заданное отношение (т>п), то, как пока-
зывает Архимед, высота большего сегмента х должна
удовлетворять соотношению:
4а2: ж2 = (За — а?): т а. (1)
' ' т -j- п ' '
(Пропорцию, которую мы записали с помощью буквенной
символики, Архимед, разумеется, формулирует словесно.)
Архимед замечает, что поставленная задача является
частным случаем более общей проблемы: р азделпть
288
и. г. Башмакова
заданный отрезок а на две части х и а—х так, чтобы одна
из частей а—х так относилась к заданному отрезку (с), как
заданная площадь S к квадрату, построенному на другой
части х2. В наших обозначениях это соответствует пропор-
ции:
(а — х): с = S : х2. (2)
Исследуя эт) более общую задачу, Архимед приходит
к выводу, что она не всегда разрешима, т. е. задача не
всегда имеет положительные действительные решения.
Для возможности задачи необходимо наложить ограниче-
ние на заданные величины a, S и с. Архимед пишет, что
анализ и синтез этой задачи он изложит в конце своей
книги. Однако соответствующее место было вскоре уте-
ряно. Примерно через 100 лет после смерти Архимеда
математики Диокл и Дионисидор уже не могли восстано-
вить его. Только много позже, в VI в. и. э. комментатору
Архимеда Евтокпю удалось найти древнюю рукопись,
в которой содержалось утраченное решение. Евтокпй
разобрал предложения, содержащиеся в рукописи, и изло-
жил их на современном ему языке.
Для решения задачи Архимед прибегает к коническим
сечениям. Он рассматривает параболу
и гиперболу
которые сразу же получаются из пропорции (2), если при-
нять S=pb. Точка пересечения обоих кривых и дает реше-
ние (см. рис. 12, стр. 400). Так как Архимед ищет только
вещественные положительные корни, то он рассматривает
обе кривые на участке 0 С х < а. Ясно, что не при любых
а, с и S кривые (3) и (4) будут иметь на этом участке точку
пересечения.
Поэтому Архимед исследует условия возможности
задачи. Для этого он переходит от пропорции (2) к урав-
нению (5)
ж2 (а — ж) = Sc = pbc,
(5)
ЛЕКЦИИ по ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 289
т е. явно формулирует задачу как задачу на кубическое
уравнение, которое он записывает как условие равенства
двух параллелепипедов: первого — с основанием ж2 и
высотой а—х, второго — с основанием S и высотой с. Для
возможности задачи необходимо, чтобы правая часть Sc
не превосходила максимального значения, которое может
принять левая часть уравнения (5). (Конечно, все это при
положительных значениях х.)
Таким образом, для отыскания необходимого ограни-
чения нужно найти максимум ж2 (а—х) аналогично тому,
как для возможности квадратного уравнения эллиптиче-
ского типа отыскивался максимум х(а—х), с той только
разницей, что экстремум х2 (а—х) уже не легко найти эле-
ментарным путем.
Архимед утверждает, что выражение ж2 (а— х) дости-
гает максимум при ж = а. Тогда, если правая часть
d 4
уравнения (5) cS > шах ж2 (а— ж) = а3, то задача пе имеет
положительных решений. Архимед показывает, что при
cS а3 имеется положительное решение, а при cS = ^а3
кривые (3) и (4) имеют общую касательную (т. е. уравне-
ние (5) будет иметь кратный корень). В лекции, посвящен-
ной инфинитезимальным методам Архимеда, мы подробно
остановимся иа вопросе о том, как мог Архимед найти мак-
симум выражения ж2 (а —ж). Сейчас скажем только, что
оп связал этот вопрос с проблемой нахождения касатель-
ных. Здесь интересно отметить, что проблемы, относя-
щиеся по существу к математическому анализу, возникали
при исследовании задач алгебры.
Пз общего исследования Архимеда, в частности, сле-
дует, что задача о делении шара на сегменты, находящиеся
в заданном отношении, всегда разрешима, так как
——— 4а3 < ~ (За)3 = 4а3.
m-j-n 27 ' '
В конце письма, служащего введением к работе «О ко-
ноидах и сфероидах»1), Архимед говорит, что с помощью
*) Под сфероидами древние понимали эллипсоиды вращения,
коноидами они называли параболоиды и гиперболоиды вращения.
1Q „
истор.-матем. исслед., вып. XT
290 Й. Г. БАШМАКОВА
результатов этой работы можно решить следующие задачи:
«отсечь от заданного коноида или сфероида плоскостью,
параллельной данной, сегмент, равный данному конусу
пли цилиндру' пли данному' шару».
В случае сфероида задача сводится к решению урав-
нения
ж2 (За— x) = Sc, (6)
где а — большая полуось сфероида, a Sc — заданный
объем, т. е. тут Архимед вновь получает уравнение вида
(5), которое было им исследовано раньше; в случае «тупо-
угольного коноида» (т. е. одной пз полостей двуполостного
гиперболоида вращения) — к уравнению вида
х2 (За -|- х) = Sc. (7)
В самой работе Архимед не приводит решения пи той,
ни" другой задачи, однако нет сомнения, что он так же
хорошо умел решать уравнение вида (7), как и вида (6).
Можно считать, таким образом, достоверным, что Архимед
исследовал все кубические уравнения вида
Xs ± ах2 Т Sc = О,
могущие иметь вещественные положительные корни.
Мы говорили уже, что вскоре после смерти Архимеда
ого решение было утеряно.
Во II—I вв. до н. э. математики Дионисидор и Диокл
дали свои решения задачи о делении шара. При этом
Дионисидор исходил из той же пропорции, что и Архимед:
4а2 : х2 = (За — ж): —а.
' 1 т + п
Он не обобщил ее, так что надобность в дпорпзме отпала.
Решение Дионисидор получил, рассматривая точку' пере-
сечения параболы
и гиперболы
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 291
Обе эти кривые получаются путем приравнивания
За— х у2 Ьа2 у2
т Z т \2 ’ х2 т \2
т + п \m-\-n J у m + n )
Решение Диокла интересно тем, что он приходит к
соотношениям, эквивалентным полному кубическому
jравнению:
(а — ж)2 (а ф- х + Ь) = (а -р ж)2 (а ф- b — х).
Кривые, рассматриваемые им, суть эллипс
(у + а-хУ~ = ^[(а-\ Ь?-х*]
и гипербола (х-}-а)(у-]-b) = 2ab.
Мы видим, что задачи, эквивалентные кубическим
уравнениям, не были в древности так полно и системати-
чески исследованы, как задачи на квадратные уравнения.
Не было проведено полной классификации этих задач,
не было выработано п стандартных методов для их реше-
ния. Плодотворные исследования Архимеда не получили
продолжения. Только много веков спустя, в X—XI вв.,
математики Средней Азии приступили к спстематпчс'’кому
изучению кубических уравнении.
§ 6. Заключение
Одной пз основных проблем алгебры долгое время яв-
лялся вопрос о решении уравнений в радпкалах. В теорпп
Галуа, созданной в результате исследования этого вопроса
молодым французским ученым Эваристом Галуа (1811 —
1832), дается необходимый и достаточный критерий для
того, чтобы алгебраическое уравнение п-й степени своди-
лось к цепочке двучленных уравнений:
хр — а = 0, а С К,
я:1’1-а1=0, = R (’j/a),
^-at = 0,
19*
292
И. Г. БАШМАКОВ 4
Мы видели, что идея решения задачи путем сведения ее
к некоторой цепочке уравнений, а именно к нормальной
цепочке квадратных уравнений, имеющих вещественные
положительные корни, возникла впервые в Древней Гре-
ции. Там же были впервые обнаружены задачи, которые
нельзя решить этим способом. Таким образом, говоря
современным языком, был исследован частный случай
проблемы разрешимости уравнений в радикалах, а именно
разрешимости при помощи радикальных выражений, в
состав которых входят только квадратные радикалы, а все
подкоренные выражения положительны. Нужно сказать,
что в истории алгебры преемственность идей, начиная от
древности и до наших дней, прослежена гораздо менее
полно, чем в истории математического анализа. Однако
проблема решения задач циркулем п линейкой приобрела
такую популярность, что она, конечно, была хорошо из-
вестна всем алгебраистам нового времени, начиная с Лео-
нардо Пизанского (XIII в.) и кончая Эваристом Галуа.
Особенностью алгебры древности было то, что для фор-
мулировки, исследования и решения ее задач ученые поль-
зовались геометрическими образами. Мы уже говорили,
что это дало нм возможность впервые трактовать алгебраи-
ческие проблемы общим образом.
Однако геометрическая алгебра, которая достаточно
хорошо служила для решения задач, сводящихся к нор-
мальной цепочке квадратных уравнений, не годилась для
исследования других задач алгебры, сводящихся, напри-
мер, к неприводимым уравнениям степени 3, 5 и т. п. Кроме
того, в ней не было средств для выражения отрицательных,
а тем более мнимых чисел. Отсутствие отрицательных чисел
делало изложение громоздким, приходилось в каждой
задаче различать большое количество частных случаев.
Дальнейшее развитие алгебры происходит не пл тем
простого продолжения того, что было сделано в Древ-
ней Греции. Уже в сочинениях греческих математиков
III—IV вв. н. э. (например, у Диофанта) происходит пол-
ный отказ от геометрического представления задач, и алге-
бра вновь сближается с арифметикой. Однако при этом про-
исходит не простой возврат к числовой алгебре вавилонян,
но постепенное построение нового буквенного исчисления.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИП МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕ1Т ГРЕЦИИ 293
Тенденция к арифметико-вычислительной трактовке
задач алгебры лежала в основе развития этой на} кп в сред-
ние века и на Востоке, и в Европе. Особое внимание уде-
лялось различным вычислительным алгоритмам, позволяв-
шим, исходя пз коэффициентов, вычислить корень урав-
нения с большой степенью точности. При этом и расши-
ряется понятие числа, it развивается буквенная символика.
Но глубокая идея сведения алгебраических задач
к решению некоторой нормальной цепочки простейших
уравнений, способ решения которых известен, идея,
которая была центральной в классической греческой
алгебре, на долгое время утрачивается. Только в XVI в.
в европейской математике ставится вопрос о решении урав-
нений в радикалах, а глубокий вопрос о сведении урав-
нения к нормальной цепочке становится ясным лишь
в XVIII—XIX вв. благодаря исследованиям таких круп-
нейших математиков, как Эйлер, Лагранж, Абель, Галуа.
Разумеется возврат к этой замечательной идее происходит
на новом, высшем уровне. К этому времени арифметико-
алгебраический подход привел к введению отрицательных
и мнимых чпсел и к созданию буквенного исчисления. Все
это позволило поставить и исследовать задачу о решении
j равнений в радикалах во всей ее полноте и общности.
ЛЕКЦИИ 5—6
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИИ
§ 1. Первые попытки обоснования общей теории
отношений
После открытия в V в. до н. э. существования несоиз-
меримых величин метрическая геометрия и учение о подо-
бии не моглп больше опираться па теорию целых чпсел
и их отношений. Оказалось, что целых чисел и дробей
недостаточно для измерения геометрических фигур. Перед
мат матпкамп встал вопрос о том, как же сравнивать между
собой два отношения величин а : b и с : d, если а, b и с, d
несоизмеримы. Помимо учения о подобии к этому же
вопросу прпводпл и другой круг задач, связанных с непре-
рывностью, с необходимостью явного или неявного пре-
294
И. Г. БАШМАКОВА
дельного перехода, а именно: определение площадей криво-
линейных фигур, объемов тел, нахождение касательных
и экстремумов. Все эти задачи уже ставились в математике
V в. до и. э., п вопрос о том, как же характеризовать
отношение двух величин а : Ь, занимал умы наиболее
выдающихся математиков того времени.
Как известно, мы характеризуем теперь отношение
двух любых однородных величин числом, и в основе по-
строения как метрической геометрии, так и математиче-
ского анализа у нас лежит теория вещественных чисел.
Древние греки не произвели явного расширения понятия
числа — числами они называли только натуральные числа,
даже дроби обычно трактовались не как числа, а как отно-
шения чисел. Аналогично этому греки ввели в рассмотренпе
отношение величин и строили не теорию вещественных
чисел, а общую теорию отношений.
В современной математике известны три основные спо-
соба введения вещественных чисел: теория сечений Деде-
кинда, метод фундаментальных последовательностей Кан-
тора и метод непрерывных дробей Вейерштрасса. Все эти
способы были найдены лишь в 70-х годах XIX века.
Поскольку общая теория отношений заменяла в древности
учение о вещественных числах, естественно ожидать, что
она строилась методом, аналогичным одному из совре-
менных. Оказывается, что имеет место следующий заме-
чательный факт: идеи всех наших трех методов были
известны древним, а два пз нпх леглп в основу построения
«старой» — доевдоксовой и новой — евдоксовой теории
отношений, а пменно: «старая» теория отношений строи-
лась способом, аналогичным методу непрерывных дробей,
а новая совпадала, по существу, с теорией сечений Деде-
кинда. В античной математике можно найти обоснования
теорип отношений с помощью последовательностей рацио-
нальных чисел. Правда, этот последний метод не получив
развития в древности и мы не будем на нем останавливаться.
Желающих познакомиться с ним мы отсылаем к соответ-
ствующей литературе1). Но сам факт наличия идей всех
*) См., например, статьи О. Теплица и О. Беккера в журнал-
«Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik».
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 2₽5
трех современных методов обоснования вещественного
числа в древности является чрезвычайно важным для
характеристики уровня развития теоретической мысли
того времени.
§ 2. Вычисление квадратичных иррациональностей
и связанные с ними теоретические исследования.
Первый критерий несоизмеримости и досвдоксова
теория отношений
Прежде чем переходить к общей теории отношений,
остановимся на методах приближенного вычисления квад-
ратных корней в древности. Из одного такого метода, как
это показал Ван-дер-Варден, вырос первый общий крите-
рий несоизмеримости, который оказался теснейшим обра-
зом связанным с доевдоксовоп теорией отношений.
Ученым Греции V—IV вв. до н. э. было известно не-
сколько способов приближенного вычисления корней.
Один из них, который мы будем условно называть методом
Архита, совпадает по существу с вавилонским способом.
Если 7V = a2-J-6, где а2 — наибольший квадрат, содержа-
щийся в N, то по вавилонскому способу первое приближе-
ние хг получается так:
1 N = a+A=Zi. (1)
Этот способ легко выводится из формулы для квадрата
суммы двух чисел.
У Герона (I в. и. э.) встречается этот же метод, но в
несколько видоизмененной форме:
(!') легко получается из (1).
Для нахождения второго приближения Герои берет
среднеарифметическое между и — :
1 ( . N \
Z2==nzi+^) и т- «
Этот прием был известен греческим математикам V в.
до н. э. Впервые мы встречаем его у Архита из Тарента,
296
И. Г. БАШМАКОВ X
который применял этот метод для деления музыкальных
пнтервалов. При этом Архит придал самому методу более
изящный вид:
Пусть IV — целое пеквадратное число и Л~=аЬ, где
для определенности а > Ь. Тогда, если взять средпеариф-
а + Ь 2аЬ
метпческое ах = —и среднегармоническое Ъг =
обоих множителей, то
= fl^ = N.
Таким образом, как и в методе Герона:
__а + Ь , N _______ 2ab ab
~__________________= F+b ‘
2
При этом Архпту было хорошо известно, что
2а b
а 4- b
~~Т~ <а’
т, е. что разность между аг и Ьх мепыпе, чем разность
между а и Ь.
Легко видеть, что для аг— /д можно полечить оценку
гораздо сильнее архитовской:
, а + ъ , а — Ъ
ai-bi< -----Ь= —
Таким образом, повторяя процесс, мы придем к двум
последовательностям величин:
Ь < 1\ < ... < Ьп < ... < VN ап< ... <а1<а,
, , а—ъ
причем ак-Ьь< , т. е.
процесс Архита приводит
к дв м последовательностям величин — монотонно воз-
растающей и монотонно убывающей, разность между чле-
нами которых быстро стремится к нулю. Сам Архит при-
менил своп метод для вычисления При этом щ = 2,
bY == 1. Мы уже говорили, что метод определения' иррацио-
нальных чисел с помощью последовательностей не получил
развития в античной математике. Он был связан со слиш-
ЛЕКЦИИ ПО ПСТОРПИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 297
ком большими теоретическими трудностями и для своего
обоснования требовал глубокого проникновения в учение
о бесконечных последовательностях п рядах.
Пз сочинении Теона Смирнского (II в. н. э.) и Прокла
(V в. н. э.) нам известно, что греческие математики приме-
няли еще один метод для нахождения приближенных зна-
чений квадратных корней, в частности [ 2.
Способ этот должен был быть хорошо известен мате-
матикам но позднее IV в. до и. э., так как геометрическое
обоснование его, как сообщают Теон и Прокл, имеется
в «Началах» Евклида (III в. до н. э.).
Теон дает следующее описание способу: положим сна-
чала, что и сторона и диагональ равны единице. Тогда квад-
рат диагонали (I2) будет на единицу меньше удвоенного
квадрата стороны (2-12). Иными словами, Теон отмечает,
что первое приближение для отношения диагоналпк стороне
1
-р удовлетворяет уравнению а:2 —2г/2 = ±1. Затем приба-
вим к стороне диагональ, а к диагонали — две стороны, по-
лучим новые сторону и дпагональ, равные соответствонно
2 и 3. При этом З2 будет на единицу больше, чем 2 22.Снова
прибавляем к стороне 2 диагональ 3, получаем новую сто-
рону, равную 5, а к диагонали 3—две стороны 2-2, полу-
чаем новую дпагональ 7, и 72—2-52 = — 1 нт. д.
Теон отмечает, что «и от дальнейшего прибавления,
происходящего таким образом, будет происходить подоб-
ная же смена: двукратно взятый квадрат стороны то на
единицу меньше, то па едпнпцу больше, чем квадрат диа-
метра1); при этом п эти стороны и диаметр рациональны».
В переводе на язык алгебраической символики рецепт
Теона заключается в следующем: если dY = а, = 1 — первые
«рациональные значения» для стороны и диаметра ква-
драта, то zi-e «рациональные значения» будут:
°n = «n-l + dn-l> dn = 2«n-l + dn-l’ (2)
причем tZ2 —2а^=±1.
Отношения «рациональных диаметров» к соответст-
вующим «рациональным сторонам» и будут давать все бо-
Теон называет диагональ диаметром.
298
И. Г. БАШМАКОВА
лее точные значения для искомого отношения диаметра
к стороне:
dA _ 1 __ 3 <73 _ 7 с?4 _ 17
1 2 Я3 5 ’ я 4 12
Как указывает Теон, обоснование приема дают пред-
ложения 9 и 10 книги II «Начал» Евклида. У самого
У Евклида, правда, ничего не гово-
рится ни о приближениях } 2, ни
/ \. даже о решении уравнения
/ я2 - 2у2 = ± 1.
Предложение 9 формулируется
Л ° В в «Началах» так:
Рис. 1. «Если прямая линия рассечена
на равные и на неравные (части),
то квадраты па неравных отрезках всей (прямой) (вместе)
вдвое больше квадрата на половине вместе с квадратом
на (прямой) между сечениями».
Пусть прямая АВ разбита в точке С на равные и в
точке D па неравные части (рис. 1). Тогда
AD2 + BD- = 2АС2 + 2CD1.
Построим на АВ, как на гипотенузе, равнобедренный пря-
моугольный треугольник АМВ и проведем DF±АВ до
пересечения со стороной МВ в точке F. Соединим А и F.
Из треугольника ADF получим:
A F2 = АВ2 + DF2 = AD2 BD2.
Из треугольника AMF:
AF2 = AM2 + MF2.
Но АМ2 = 2АС2, MF2 = 2FF21 = 2CD2, т. е.
AF2 = 2AC2 + 2CD2.
Значит,
AD2 + BD2 = 2 АС2 + 2CD2.
Отсюда следует, что
AD2 - 2АС2 = - (BD2 - 2CD2). (3)
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 299
Из чертежа получаем:
AD = ACCD = BD-{-2CD, 1
AC = CD + BD, j (4)
а это п есть формулы, приводимые Теоном.
Если теперь BD2—2CD2 = ± 1, то и AD2— 2АС2 на
основании (3) будет равннться +1. Но AD и Л С получаются
из BD и CD по формулам (4). Таким образом, это предло-
жение действительно дает строгое обоснование описан-
ному Теоном способу.
Разумеется, доказательство могло быть получено
только после того, как был найден самый прием. Но как же
моглп античные математики прийти к формулам (4)?
Вероятнее всего, что для нахождения отношения дпагопалп
d к стороне а квадрата математики воспользовались тем
приемом нахождения общей меры, а значит и отношения
величин, который у них уже имелся, т. е. «алгоритмом
Евклида». При этом если а и h — произвольные отрезки,
то процесс может и не быть конечным. Заметим, что алго-
ритм Евклида дает одновременно разложение числа
в непрерывную дробь.
Действительно, если
а — пЪ = Ьг,
Ь — п^ = Ь.г,
Ьх < Ъ,
h < blt
1 nk~l^k ~~ ^fe+1' fyi + l < bk,
то
□----
»h +...
300
II. Г. БАШМАКОВА
Применим теперь алгоритм Евклида к сторопе а и диа-
гонали d квадрата:
d— 1 а = cZ - а,
а — 1 (<Z — a) = 2« — d.
Из а можно было бы еще одни раз вычесть d—а, однако
легко заметить, что
2а—d d
--------------------------- — = — (
d—а а 4 '
так как 2а2 — ad= d2 — ad (пропорцию (*) можно легко
усмотреть и пз геометрических соображений).
Обозначим полученные остатки 2а—d и d—а через dL
и аг и будем их рассматривать как диагональ и сторону
некоторого меньшего квадрата. Тогда
а = dx -f- а1,
d == 0>а^ -|- ,
(2')
т. е. получим формулы Теона.
Если принять сторону и дпагональ некоторого квад-
рата приближенно равными 1, то формулы (2') будут давать
повые рациональные приближения для стороны и диаго-
нали большего квадрата, причем отношения — будут все
ап
больше прполпжаться к искомому отношению — .
Этот метод является, таким образом, простейшим при-
мером итерации.
Одновременно получим разложение — в непрерывную
дробь
£ = i + lz^ = i+_l_ г
а а 'а
d—а
НО
d — а а
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 301
1
1
,+,+,,А
Поэтому-то способ Теона и дает в качестве приближения
для 1 2 все подходящие дроби
f 7_ 17 41 99
1( Т ’ Т ’ 12 ’ 29 ’ 70 ’ •
Если же применить метод Архита, взяв а = 2 п Ъ=1,
то пол}чпм:
3 , 4 17 , 24.
— 2 ’ Ь1 ~ 3 ’ Й2 " 12 ’ 17 ’ ’ ' ’ ’
т. е. значение для ап будет совпадать со значением подхо-
дящей дроби с номером 2П.
Интересно, что в «Измерении круга» Архимед в каче-
стве значении для берет такие, которые совпадают
с третьей, шестой, девятой п двенадцатой подходящими
дробями разложения
V3 = i
Существует немало гипотез относительно того, как
получал Архимед свои приближения. Но ни одна из них
не является общепризнанной.
Из приведенных примеров видно, что «алгоритм Евкли-
да» не только дает способ отыскания приближенных зна-
чений отношения у , но и может служить одновременно
для доказательства несоизмеримости этого отношения.
302
И. Г. БАШМАКОВА
Так, в случае отношения стороны и диагонали квадрата
2а — d d
из пропорции ——= видно, что, начиная со второго
шага, процесс будет повторяться:
d — 1 -а = (d — а),
а — 1 -(d — а) = 2а — d.
Теперь пз (2а—d) нужно было бы вычитать d—а, но
2а — d d ,
-j---= — , значит, вместо этого можно снова пз d вычи-
а— а а
тать а и т. д.
Таким образом доказано, что в этом cnj4ae «алгоритм
Евклида» будет бесконечен. А это и значит, что величины
d и а несоизмеримы1).
Действительно, совершенно ясно, что, если некоторые
величины а и Ъ несоизмеримы, то «алгоритм Евклида» для
них должен быть бесконечным (иначе с его помощью мы
нашли бы общую меру их). Но верно и обратное: если
алгоритм бесконечен, то величины несоизмеримы. Послед-
нее предложение доказывается в X книге «Начал» Евклида.
Оно фигурирует там как критерии несоизмеримости.
Включение этого предложения в «Начала» показывает,
что до Евклида должен был существовать критерий для
установления несоизмеримости. На эту же мысль наво-
дит и изложенный выше способ приближенного вычисле-
ния ) 2.
Эйлером и Лагранжем было показало, что квадратич-
ные иррациональности вида 1 п, и только они, расклады-
ваются в периодические непрерывные дроби. Значит,
практически критерием Евклида можно было пользо-
ваться только для доказательства несоизмеримости вели-
чин, для которых квадраты, построенные на них, соизме-
римы с единичными (т. е. величии вида ) и). Для них
несоизмеримость можно было доказать прямым методом —
путем нахождения периода.
Э Гипотеза Цейтепа и Ван-дер-Вардена, о которой мы упоми-
нали выше, как раз и состояла в том, что Феодор из Кирепы именно
так и доказывал несоизмеримость с единицей сторон квадратов
с площадями 3, 5,..., 17.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 303
Итак, методы приближенного извлечения квадратных
корней привели математиков V—IV вв. до н. э. к j ста-
новлению общего критерия несопзмеримостп.
Первая теория отношений, созданная до Евклида,
о которой мы знаем по сочинениям Аристотеля, была тесно
связана с «алгоритмом Евклида» и с критерием несоизме-
римости. Следы этой «старой» теории мы находим в «Нача-
лах» Евклида.
Евклид, как мы знаем, определяет равенство отноше-
ний двух пар соизмеримых величин или чисел а, b и с, d
так: а : b—c : d, если существует такая общая мера /
величин а, b и такая общая мера g величин с, d, что
a = mf, c = mg,
b=nf, d = ng.
Легко показать, что в качестве / и g можно всегда брать
общую наибольшую меру соответственно а, b и с, d. А для
нахождения общей наибольшей меры двух величин древ-
ние пользовались алгоритмом попеременного вычитания.
Пусть надо найти общую наибольшую мер> а, Ъ и с, d
и пусть
а — п0Ъ = Ь, с — mod = dlt
b -— n1b1=b2, d^mvdv = d.1<
bh-i-nkbk = G’ di i~midl = Q.
Тогда bh 6j дет общей мерой величин а и b. a dt—величин
с и d:
а = pbk, е = rdit
b = qbh, d = sdt.
Если p = г и q = s, то a : b = c : d. Легко было заметить,
что это имеет место тогда и только тогда, если = mit
i = 0, 1, ..., к (1= к). Вероятно, это и навело древне-
греческих математиков на мысль о том, чтобы при по-
мощи последовательности неполных частных (n0, nlt п2,...)
характеризовать отношение и : b в том случае,
304
И. Г. БАШМАКОВА
когда а п b несоизмеримы, а соответствующий им
алгоритм попеременного вычитания бесконечен. Таким
образом и возникло определение, которым пользовались
до Евдокса: пусть паре величин соответствует последова-
тельность неполных частных (n0, nt, а паре с, d —
(т0, mY, равенство a:b = c : d будет иметь место
тогдаитолько тогда,еслиmi = nL, i = 0, 1, 2,... Такое опре-
деление, как легко видеть, равносильно определению
с помощью непрерывных дробей, так как
а , Ь, .1 . 1
Ъ “ п° + Т — по Т ~ по 1
К Л1 + ^ + --
Отношения а : b и с : d считаются равными, если они раз-
лагаются в одну и ту же непрерывную дробь.
С помощью алгоритма попеременного вычитания можно
определить и условия неравенства двух отношений. Дей-
ствительно: пусть все ni=mi при i = 0, 1,..., к—1, тогда:
1) а: Ь > с: d, если nk > mh п к четно или nh < mh и к нечет-
но; 2) а : Ь < с: d, если nh < mh и к четно или nh < mh и к
нечетно *).
Основная трудность состояла в определении операций
над отношениями и в доказательстве свойств отношений.
Так, Аристотель писал во Второй Аналитике, что в «старой»
теории отношений перестановочность средних членов про-
порции доказывалась отдельно для чисел, для отрезков,
площадей, тел и т. д.
Если а, b и с, d ~ отрезки, то для доказательства,
вероятно, исходили из теоремы о том, что прямоуголь-
ники (пли параллелограммы) с равными высотами отно-
сятся как их основания
а/ : bj = а : Ъ.
Эта теорема непосредственно вытекает из применения алго-
ритма Евклида к af, bf п к а, Ь. Само доказательство могло
*) Интересно, что точно такую же теорию отношений, построен-
ную на алгоритме Евклида, предложил независимо от античных
математиков Омар Хайям — выдающийся среднеазиатский ученый
XI в., а также ряд других ученых ислама.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 305
выглядеть так:
а; b = ас : Ьс,
с: d^=ac: ad.
Но а : b = с : d, значит, ас : Ъс = ас : ad, следовательно,
bc=ad, т. е. произведение средних членов пропорции
равно произведению крайних, где под произведением пони-
мается прямоугольник, построенный на соответствующих
отрезках. Пз приведенного рассуждения видно, что для
отрезков предложения а: Ъ=с : duad= be эквивалентны.
Но тогда если «:/> = c:d, то ас/=дспли ad~cb, а зна-
чит, а : с = b : d.
Приведенная реконструкция’) тем более вероятна,
что в «Началах» Евклида проводится аналогичное доказа-
тельство перестановочности средних членов пропорции
А : В=С : D, если А, В, С, D — целые числа (19-е пред-
ложение VII книги). Разница лишь в том, что доказатель-
ство Евклида опирается на другое определение произведе-
ния крайних и средних членов: произведение понимается
арифметически (повторное сложение), а не геометрически
(прямоугольник).
Если же а, b и с, d были площади, объемы или углы,
то доказательство надо было проводить как-то иначе, так
как произведение двух объемов, двух площадей пли углов
непосредственно определено не было.
С такими же трудностями старая теория встретилась
при определении операций над отношениями, прежде
всего их произведения. Действительно, греки не могли
ввести произведения а : b на с : d арифметически, исходя
из алгоритма попеременного вычитания для обоих отно-
шений, так как и до сих пор неизвестно какой-либо фор-
мулы для определения неполных частных непрерывной
дроби, соответствующей произведению двух отношений,
через неполные частные непрерывных дробей, отвечающих
сомножителям* 2).
*) Эта реконструкция принадлежит немецкому историку мате-
матики О. Беккеру.
2) Кроме того, изучение последовательностей (л0, nlt ...) и их
произведений потребовало бы исследования вопросов сходимости,
что было не под силу математике того времени.
20 Истор.-матем. послед., вьш. XI
306
II. Г. БАШМАКОВА
Но онп и не могли ввести произведение отношений так,
как это делаем теперь мы, т. е. считать, что
(а: b) (с : d) = (ас : bd),
так как не существовало общего определения произведе-
ния велпчпн. Более того, до Евдокса, впдпмо, не было п об-
щего понятпя величины, что приводило к отсутствию
общности и при формулировках и при доказательствах.
Мы впдпм, что эта первая попытка обосновать общую
теорию отношений натолкнулась на большие математи-
ческие трудности в очень существенном пункте —• при
определении операций над отношениями. Вероятно,
поэтому она и была оставлена, особенно после того, как
Евдокс дал новое общее обоснование теории отношений.
§ 3. Жизнь и творчество Евдокса
Новая теория отношений, а также «метод исчерпыва-
ния», заменивший в древности учение о пределах, были
разработаны гениальным математиком, крупным астро-
номом, путешественником, географом и врачом Евдоксом
пз Книда (прибл. 410—365 гг.). Евдокс родился в Книде,
в Малой Азии, и был одним из наиболее ярких энциклопе-
дических умов своего времени.
В молодости Евдокс совершил путешествие в Египет
и Великую Грецию, где он учился у крупнейшего матема-
тика конца V в. до н. э. — Архита из Тарента. Затем он
жил некоторое время в Афинах — культурном центре
того времени. Там он был близок к научным кругам, груп-
пировавшимся вокруг Платона — знаменитого философа,
идеалиста древности, глубоко интересовавшегося прин-
ципиальными проблемами математики: вопросами о несоиз-
меримости величин, правильными многоугольниками и
многогранниками, природой бесконечного, структурой
математических доказательств. Однако Евдокс не стал
учеником Платоновской академии и, видимо, сохранил
полную самостоятельность в трактовке основных вопросов
науки своего времени. Вскоре он переехал в Кизпк, где
основал собственную научную школу.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ и ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 307
Согласно преданию Евдокс основал первую в Греции
обсерваторию, в которой велись систематические наблю-
дения. В его школе был составлен первый в Греции звезд-
ный каталог. Евдокс пытался определить сравнительную
величину небесных тел. Он знал уже, что Солнце больше
Земли, но считал, что диаметр Солнца только в девять раз
превосходит диаметр нашей планеты. Ему же приписы-
вают первое вычисление длины земного нояса.
До Евдокса развивалась только описательная астроно-
мия. Евдокс впервые перешел к выяснению геометриче-
ской и кинематической сущности строения нашей солнеч-
ной системы — он построил первую ее геометрическую
модель, в которой сложные видимые движения Солнца и
планет былп представлены в виде суммы равномерных
круговых движений. Правда, модель Евдокса была еще
очень сложной: она состояла из 27 сфер, движения кото-
рых былп связаны между собой (полюса каждой пз сфер
былп прикреплены к другой и вращались вместе с послед-
ней). Ясно, что для создания такой модели требовались
знание сферической геометрии и развитое пространствен-
ное воображение. Евдоксу как раз и приписывают первые
исследования по геометрии на сфере. Забегая вперед,
скажем, что и дальнейшие успехи этой наукп, а также
вычислительных приемов, равносильных сферической три-
гонометрии, былп тесно связаны с астрономией.
Наиболее глубокие исследования Евдокса относятся
к областп, которую мы теперь называем введением в ана-
лиз бесконечно малых: он построил общую теорию отно-
шений и создал метод исчерпывания, о которых мы будем
подробно говорить. Именно они доставили ему такую
слапл в древности, что один из позднейших авторов заме-
чает, что его следовало бы называть не Евдоксом (по-гре-
чески euoo$o£), a sv.»o£o', т. е. славный, знаменитый.
Интересно отметить, что порядок обоснования основных
проблем математического анализа в античности был иным,
чем в новое время. В Европе интенсивное развитие диффе-
ренциальных и интегральных методов в XVI—XVII вв.
привело к созданию в конце XVII в. исчисления беско-
нечно малых. Проолема иррациональности почти вовсе
не интересовала математиков XVI—XVIII вв. Теория
20*
308
П. Г. БАШМАКОВА
пределов была построена только в начале XIX в. в работах
Коши и Больцано. Коши, Абель и ряд других математиков
положили учение о пределах в основу построения инте-
грального и дифференциального исчисления. Однако
никакого строгого учения о вещественном числе в то время
еще не существовало — первые теории такого рода отно-
сятся к 70-м годам XIX в. В античной математике обосно-
вание началось с построения общей теории отношений,
т. е. с теории вещественного числа (Евдокс п его пред-
шественники). На основе этой теории был создан «метод
исчерпывания», явившийся первым вариантом учения
о пределах, и только в конце III в. до н. э. Архимед при-
менил обе теории Евдокса для обоснования интегральных
и дифференциальных методов. Таким образом, последова-
тельность обоснования проблем математического анализа
была в древности логически более естественной, мы всегда
ей следуем в преподавании анализа. Интерес древних
к общей теории отношений объясняется отчасти тем, что
проблема несоизмеримости, иррациональности была одной
из центральных в греческой математике V—IV вв. до н. э.
Мы говорили уже, что Евдокс создал собственную
научную школу.
Наиболее крупными учениками Евдокса были Менехм
и Динострат. Менехм считался основателем теории кони-
ческих сечений, а Динострат с помощью методов Евдокса
нашел предложения, эквивалентные утверждениям о том,
что
sin ж .
(пп------= 1,
х-о х
х-»0 х *’
Школа Евдокса была одной пз крупнейших в греческой
математике доевклидова периода. Мы еще встретимся
с работами Мепехма и Дпнострата и увидим, что эти
ученые стояли па тех же принципиальных позициях, что
и Евдокс, и с исключительным мастерством применяли его
методы для исследования труднейших проблем античной
математики.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 309
§ 4. Евдоксова теория отношений
Теория отношений Евдокса дошла до нас в изложении
Евклида. Ей посвящается V книга «Начал», а в VI даются
ее приложения к учению о подобии и к решению неприве-
денных квадратных уравнений.
На основании этого изложения можно заключить, что
Евдокс обобщил понятие величины. Это понятие по Евдоксу
включало в себя, по-видимому, и целые числа и непрерыв-
ные величины: отрезки, площади, углы. Для величин вво-
дились отношения равенства и неравенства, подчиняю-
щиеся известным аксиомам. У Евклида они формули-
руются так:
1. «Равные одному и тому же равны между собой».
2. «И если к равным прибавляются равные, то и целые
будут равны».
3. «И если от равных отнимаются равные, то остатки
будут равны».
4. «И совмещающиеся друг с другом равны между
собой».
5. «И целое больше части».
Кроме этих общих аксиом, Евдокс ввел еще одну спе-
циальную:
«Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга» (4-е определение V книги «Начал» Евклида), т. е.
величины а и b могут иметь отношение между собой только,
если существует такое целое п, что
па > Ь,
п такое целое т, что
mb > а.
Итак, отношение имеют между собой только однородные
величины (одной размерности), подчиняющиеся аксиоме
Евдокса, которую обычно называют аксиомой Архимеда.
У Архимеда была позднее сформулирована та же аксиома,
по несколько в пном виде: если даны а и Ь, а > Ь, то разность
а—b можно повторить столько раз, что
n(a — b)>a. —
310
И. Г. Б кШМАКОВА
Мы будем в дальнейшем называть это условие аксиомой
Евдокса — Архимеда.
Посмотрим, что означает это условие. Прежде всего
заметим, что грекам были известны величины, для которых
аксиома Евдокса — Архимеда неверна. Это — так назы-
ваемые роговидные углы, т. е. углы, образованные окруж-
ностью и касательной к ней. Пусть дана некоторая окруж-
ность с центром в О и к ней в точке .1 проведена каса-
тельная.
В «Началах» доказывается (предложение 16 книги III),
что: «Прямая, проведенная под прямыми углами к диа-
метру круга в его концах, упадет вне круга, и в простран-
стве между прямой и обводом не поместится никакая
друган прямая, и угол полукруга больше всякого прямо-
линейного острого угла, а остаток меньше». Если АА'
перпендикулярна к диаметру в его конце А (рис. 2) и AL —
любая другая прямая, проходящая через А, то, как дока-
зывает Евклид, прямая пересечет окружность еще в одной
точке В. Таким образом, дуга 4СВ будет расположена
между отрезками АВ и касательной АА'.
Эта теорема послужила отправным пунктом для
рассмотрения так называемых роговидных углов, т. е.
углов, образованных кривой и касательной к пей или
двумя кривыми. При этом под углом понималась часть
плоскости, ограниченная пересекающимися или касаю-
щимися линиями. Такими углами занимались как в древ-
ности, так и в средние века.
Для роговидных углов нетрудно установить отноше-
ние порядка; некоторый роговидный угол будем считать
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ ЗП
больше другого с той же вершиной, если в любой окрест-
ности общей вершины имеются точки, принадлежащие
первому углу и не принадлежащие второму. Тогда рого-
видный угол ВС А А', образованный окружностью и каса-
тельной, будет меньше прямолинейного Z.BAA'. Но тео-
рема Евклида верна для любой окружности, касающейся
прямой АА' в точке А. Таким образом, угол, образован-
ный произвольной окружностью со своей касательной,
меньше любого прямолинейного угла. Будем считать, что
роговидный угол а в и раз больше роговидного угла р ,
если радиус окружности, образующий угол а, в и раз
меньше соответствующего радиуса для р . Возьмем окруж-
ность радиуса R (рис. 3) и касательную к пей. Роговидный
угол а будет меньше прямолинейного угла ^АВАА'.
„ . R " R R
Будем брать окружности с радиусами , у, . .., — .
Все соответствующие им роговидные углы 2а, За, ..., па, ...
прп любом п будут оставаться меньше / ВАА’, т. е.
па < Z_ ВАА'.
Иначе говоря, роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуально бесконечно малыми
или неархимедовыми величинами. Вот эти-то величины
и исключаются аксиомой Евдокса — Архимеда.
Хотя и определение равенства отношений по Евдоксу
и развиваемая далее теория отношений являются вполне
общими, т. е. годятся для любых величин, подчиняющихся
аксиоме Евдокса — Архимеда, но Евклид, вероятно,
следуя Евдоксу, проводит все доказательства для спе-
циальной системы таких величин, а именно для прямоли-
нейных отрезков. Прп этом, разумеется, никакими част-
ными свойствами этой системы, как, например, произве-
дением, определенным только для отрезков, Евклид не
пользуется. При таком построении молчаливо предпола-
гается, что для любой пары величин а, р найдется такая
пара соответствующих им отрезков а, Ь, что
а : р = а : Ь.
Все теоремы V книги формулируются для любых вели-
чин, затем еще раз формулируются для отрезков и для
312
И. Г. БАШМАКОВА
них же проводится доказательство. Такая спстема изло-
жения находится в тесной связи с геометрической алгеброй
греков: здесь, как и там, для изображения общих величин
употребляются отрезки.
Центральным пунктом теории Евдокса является опре-
деление тождества отношений двух пар величин а, Ькс, d.
Оно основано на сопоставлении между собой кратных па,
mb и пс, md:
«Говорят, что величины находятся е том же отношении-.
первая ко второй и третья к четвертой, если равнократныс
первой и третьей одновременно больше, или одновременно
равны, или одновременно меньше равнократных второй
и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было крат-
ности, если взять их в соответствующем порядке» (5-е
определение V книги).
Итак, по Евдоксу величины а, Ъ имеют то же отношение,
что и с : d, если для любых целых т и п:
1) либо та > nb и тс> nd;
2) либо ma = nb и тс = nd;
3) либо та <nb и тс < nd.
В «Началах» доказывается, что если а к Ъ имеет то же
отношение, что и с к cZ, и / к g имеют то же отношение,
что иске?, то и а к 6 будет иметь то же отношение, что
и с к d. Таким образом, тождественность отношений двух
пар величин обладает свойством транзитивности, т. е. оно
само есть отношение типа равенства1). Поэтому если вели-
чины а : Ъ и с : d имеют то же отношение, то мы будем
писать
а : Ь = с : d
и говорить о равенстве двух отношений. Заметим, что здесь
применяется тот же метод определения через равенство,
о котором мы говорили в лекции, посвященной теорпп
отношений целых чисел.
’) Строго говоря, предложение, доказанное в «Началах»,
обеспечивает пе только транзитивность, по и симметричность равен-
ства отношении двух пар величин.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 313
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению теории
отношений, остановимся еще на дв\х вопросах, касаю-
щихся определения Евдокса:
1) на том, как могло появиться подобное определение;
2) на его взаимосвязях с современными обоснованиями
вещественных чисел.
Определение равенства отпошеппя по Евдоксу несом-
ненно было отвлечено от процесса измерения величии.
Если величины а и Ъ, а также с и d соизмеримы, то,
как мы знаем, равенство их отношений определялось сле-
дующим образом: а : Ь = с : d, если у а и Ъ найдется такая
общая мера /, а у с и d — такая общая мера g, что
a = nf, b = mf, с = ng, d = mg,
, 7 U U
иначе говоря, т-е части величин о и а; — и — одинаковое
число раз укладываются в а и с:
Ь d
а = и— , с = и— ,
т т
ИЛИ
та = nb, тс = nd.
Легко видеть, что для пар а, b и с, d будут выполняться
условия 1), 2), 3) Евдокса. Действительно, если для неко-
„ . с а п
торой пары целых чисел т, п ma = nb, то = 'ь=~т *
а значит, и тс = nd.
_ __ , ас та тс
Если же та Sg nb, то, так как — = — , то и — = —; ,
Ь d пЪ nd
но та 2g пЪ, значит, и тс Js nd.
Таким образом, в случае равенства отношений соизме-
римых величин условия 1), 2), 3) необходимы. Но они будут
и достаточными, поскольку для равенства отношений
соизмеримых величин достаточно выполнения условия 2).
Весьма вероятно, что при построении новой теории
отношений Евдокс исходил из уже известных свойств
отношений соизмеримых величин.
Евдокс проанализировал необходимые и достаточные
условия для равенства отношений соизмеримых величии
314
И. Г. БАШМАКОВА
п учел, что если величины а, b несоизмеримы, то части
, Ъ
величины о : — ни при каком т не измерят точно а, т. е.
Ь ,
всегда п — а или та по.
Заметим, что Евдокс сформулировал критерий равен-
ства отношений, пользуясь сравнением кратных величин:
, Ь
та и по, а не сравнением долей одной из них — с другой.
Вероятно, он сделал это потому, что не хотел в общем
определении, годном как для непрерывных, так и для
дискретных величин, пользоваться делимостью величин.
Ведь, чтобы брать , у, ..., ^-, надо предполагать,
что величина b неограниченно делима между тем опреде-
ление Евдокса годится для любых величин, подчиняющихся
аксиоме Евдокса — Архимеда, даже для таких, которые
нельзя делить на любое число частей, например для целых
чисел. Заметим еще, что форма, которую Евдокс придал
определению, казалась неясной многим математикам
XVII—XVIII вв. и что они заменяли его другим опреде-
лением, более непосредственно связанным с процессом
измерения.
Только в XIX в. была понята вся глубина обоснования
Евдокса. Особенно она стала ясна после построения Деде-
киндом вещественных чисел как сечений в области рацио-
нальных чпсел. Действительно, между методами Евдокса
и Дедекинда существует глубокая аналогия. Евдокс срав-
нивает кратные величины а и Ь: та и пЪ.
Будем относить пару чисел т, п к первому классу А,
(т, п)£ А, если та > пЪ, ко второму классу В, (т, п)£В,
если та < пЬ, и пары т, п, для которых та=пЬ, к третьему
классу С. Класс С можно объединить по произволу с А
или В. Тогда каждой паре однородных архимедовых вели-
чин соответствует разбиение всех пар целых чисел т, п
на три (или два) класса, причем: 1) классы А и В непусты
(это следует из аксиомы Евдокса — Архимеда); 2) А, В и С
попарно не пересекаются. На самом деле имеется еще и
третье условие, которое соответствует в теории Дедекинда
требованию, чтобы все числа одного класса были меньше
чпсел второго, а именно:
ЛЕКЦИИ 110 ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 315
3) если та < nb, т. е. (т,п)£А,
и т±а > пхЪ, т. е. (jn^n^ g В,
то должно быть
тп^аЬ < птгаЪ
пли
тпх <_ пт^.
Согласно определению Евдокса a:b = c: d тогда и
только тогда, когда классы Л, В и С, определяемые отно-
шением а : Ъ, совпадают с классами А', В', С, соответст-
вующими отношению с: d.
Мы видим, что конструкция Евдокса совпадает в
основном с теорией сечения Дедекинда.
Однако наряду с глубоким сходством имеются и суще-
ственные отличия.
На одно из них обратил внимание сам Дедекинд. Когда
была опубликована его теория, известный математик
Липшиц спросил Дедекипда, что же нового содержит его
теория по сравнению с античной теорией отношений. Деде-
кинд ответил, что новое заключается в наличии аксиомы
непрерывности. Поясним, что это значит.
Согласно Дедекинду каждому сечению области рацио-
нальных чисел соответствует вещественное число. У Евдок-
са разбиение на классы определяется заданием пары вели-
чин а, Ъ, составляющих отношение.
Обратное неверно. Если было бы задано разбиение
пар целых чисел, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3),
о которых мы говорили выше, то пз теории Евдокса
(а также Евклида) вовсе не следовало, что существует
такая пара величин а, Ь, которая и определяет заданное
разбиение.
Второе важное отличие заключается в том, что Деде-
кинд исходил пз области рациональных чисел, для которых
уже были определены отношения равенства, неравенства,
а также построена вся арифметика. Евдокс же оперировал
с кратностями двух величин или, что то же, с парами целых
чисел, которые не были даже упорядочены по величине.
У Н, Колмогоров обратил внимание на то, что, следуя
316
И. Г. БкШМАКОВА
Евклиду, можно построить теорию вещественного числа,
которая не предполагала бы рациональных чисел, а опери-
ровала бы только с натуральными числами.
После определения равенства Евдокс вводит отноше-
ние порядка: а: b > с : d, если существует такая пара
целых чисел т, п, что
та > nb, а тс < nd.
Это также аналогично определению Дедекинда, так как
если такая пара найдется, то а : b >—и —>с: d,
т. е. между а: Ъ и с : d можно вставить рациональное
число. При этом в «Началах» не доказывается, что не может
быть одновременно а : b > с: d и а : Ъ < с: d, т. е. не могут
одновременно существовать такие пары т, п и mr, nlt что:
1) та > nb и
2) т^а^п^Ъ и т±с > nrd.
В «Началах» выводятся различные свойства отношений.
Так, отношения упорядочиваются по величине. Для этого
Евклид доказывает, что если а > Ь, то а: с > b : с, где с —
любая величина (предложение 8 книги V).
Схема доказательства такова:
Пусть а — b = d. Тогда на основании аксиомы Евдокса—
Архимеда существует такое п, что nd > с и одновременно
пЬ > с.
С другой стороны, существует т такое, что
тс > пЬ (т — 1) с.
Это последнее утверждение, кроме аксиомы Евдокса —
Архимеда, опирается (неявно) на предложение о том, что
в любом множестве целых чисел существует наименьшее,
в частности, и в множестве таких целых чисел I, что lc>nb.
В качестве т мы и выбираем наименьшее из них.
Но na=nd-\-nb>c-}-(m—1)с=тс, т. е. пя>игс, a nb<7nc.
а это и означает, что
а : с > Ъ : с.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 317
Таким образом, доказательство сводится к нахождению
пары чисел т, п, для которой
та > пс и mb < пс.
„ <72
Это соответствует нахождению такой дроии — ,
а: с > — > b : с.
т
Отсюда видно, что это предложение может быть исполь-
зовано для обоснования того, что для любого заданного
отношения можно найти как угодно близкие рациональ-
ные приближения. Действительно, для любой данной не-
прерывной величины а можно найти величину Ь, отличаю-
щуюся от а меньше чем на любую заданную величину /:
а — Ъ < /.
(Что это всегда можно сделать—доказывалось в основной
лемме метода исчерпывания. Там же давался регулярный
прием нахождения величины Ъ по заданным а и/.) Но как
бы мало ни отличались а и Ъ, по только что доказанной
теореме между а и b можно вставить рациональную
дробь.
В '«Началах» Евклида такого следствия нет. Однако
в «Измерении круга» Архимед, не проводя специального
обоснования, находит рациональные приближения отно-
шения длины окружности к диаметру. Вероятно, он считал
процесс нахождения рациональных приближений доста-
точно обоснованнымг).
В предложении 16 на основании определения Евдокса
легко доказывается, что средние члены пропорции можно
переставлять, т. е. если а : Ь=с : d, то и а : с= b : d.
Мы помним, что это предложение служило камнем
преткновения для доевдоксовой теории отношений.
Далее в «Началах» выводятся и другие свойства пропор-
ций, как, например, если а : b=c: d, то (а± Ь}: б=(с± d): d.
Рассмотрим теперь, какие операции определялись над
отношениями и как они производились.
*) Подробнее об этом см. в лекции, посвященной Архимеду.
318
II. Г. BAIUMAKOЙА
§ 5. Операции над отношениями
Над отношениями определялась единственная опера-
ция — составление отношений, которая соответствовала
нашему умножению вещественных чисел. Отношение а : с
называлось составленным из а : b и b : с. Если а : Ь=
— Ь : с, то а : с называлось двойным; если оно составлялось
пз трех одинаковых отношений,—то тройным и т. д. Чтобы
составить любые два отношения а: b и с : d, нужно было
найти Для второго отношения с : d равное ему, у которого
первый член был бы равен Ь:
c:d—b'.x,
а для этого нужно было к любым трем величинам с, d, b
уметь находить четвертую пропорциональную.
В «Началах» показывается, как найти четвертою про-
порциональную, если с, d, b —
отрезки: нужно взять произ-
вольный угол (рис. 4) и отло-
жить на его сторонах отрезки
ОС—с в OD=d. Затем откла-
дывается СВ=Ь и через точку
В проводится прямая, парал-
лельная CD, до пересечения
в X с другой стороной угла.
Отрезок DX п будет четвер-
той пропорциональной к с, d и Ь.
Таким образом, отношения отрезков можно всегда
между собой составлять. Мы говорили уже о том, как про-
изводилась эта операция, если составлялись отношения
целых чпсел (см. стр. 251). Но и в том случае, еслп с, d и Ь
являлись произвольными площадямп или объемами, древ-
ние свободно пользовались существованием четвертой
пропорциональной, хотя нигде явно его не оговаривали.
Там, где это представлялось возможным, они пытались
свести отношение более сложных фигур к отношению
отрезков. Мы разберем несколько позднее, как это дела-
лось.
В «Началах» устанавливались основные свойства опе-
рации составления отношений. В предложении 22 книги V
доказывается, что если а : b=f : g и b : c=g : Л, то
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 319
а : с=у ; /г, т. е. результат операции составления отноше-
ний не зависит оттого, какие именно представители берутся
из класса пар величин, имеющих одно и то же отношение.
Операция составления определяется, таким образом, не
для отношений отдельных пар величин, а для классов пар,
имеющих одинаковое отношение. -
В предложении 23 книги V показывается, что если
а ; b=g : /г и b : с=/: g, то а : с=/ : h. Это предложение
вместе с предыдущим устанавливало для составления отно-
шении свойство, которое мы теперь называем коммутатив-
ностью. Действительно, по определению операции соста-
вления
/:6=(/:g)
Но по доказанному
/ ; h = а : с = (а : b)(b : с) = (g: h) (J : g),
т. e. (f-g)(g-h) = (g:h)(f-.g).
В ходе доказательств Евклид пользуется и обратной опе-
рацией, соответствующей делению, но никаких специаль-
ных свойств для нее не устанавливается.
Предложение 24 позволяет думать, что в греческой мате-
матике над отношениями производилась и операция, соот-
ветствующая сложению. В этом предложении доказывается,
что если
а : Ъ = с : d и : Ь = Cj: d,
то
(a -f- аг): Ь = (с -4- сх): d.
На этом основании можно следующим образом определить
сумму двух отношений:
1) {а : : Ь) = : Ъ\
2) для того чтобы сложить а : бис: d, надо предвари-
тельно найти такое а1г чтобы
с : d = ах: Ь,
т. е. найти четвертую пропорциональную к трем данным
величинам. Предложение 24 тогда имеет ,ту же цель, что
32U
II. Г. БАШМАКОВА
Рис. 5.
и предложение 22 для операции составления отношений:
оно показывает, что результат операции не зависит от того,
какие представители из класса пар величин, имеющих то
же отношение, складываются между собой. Однако ни у
Евклида, ни в послеевклидовой математике такой опера-
пип над отношениями не производилось.
Это было связано с тем, что теория отношений приме-
нялась главным образом в учении о подобии и при опреде-
лении площадей и объемов,
т. е. при интегрировании.
Наиболее важным во всех
этих разделах было составле-
ние отношений, не опираю-
щееся на произведение вели-
чин. Сумма же была непосред-
ственно определена для любых
однородных величин, поэтому можно было складывать
не отношения, а непосредственно сами величины. Впрочем,
когда речь шла о классификации квадратичных иррацио-
нальностей, то п Теэтет, и Евклид фактически складывали
отношения величин, образуя биномы + вычеты
\^а — УГЬ и другие иррациональности.
В VI книге «Начал» теория отношений применяется
для построения учения о подобии и для сведения отноше-
ний прямолинейных плоских фигур к отношению отрезков.
Последнее делалось так. Любые две плоские прямолиней-
ные фигуры можно было преобразовать в равновеликие им
параллелограммы с заданным углом, а для таких парал-
лелограммов доказывалось, что площади их относятся,
как составное отношение сторон. Пусть параллелограммы
ABCD и А'В'CD' имеют / BAD = / В' A'D' (рис. 5),
тогда
пЛ-= (АВ: А'В') (AD : A'DA = АВ: XY,
пл. А В CD v v '
где отрезок XY определяется из пропорции AD : A'D' =
= А'В' : XY. В частности, если / ВAD —прямой, то
указанная теорема выясняет связь между составлением
отношений отрезков и произведением отрезков, определен-
ным в геометрической алгебре. В этом случае прямоуголь-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 321
ник ABCD и является произведением АВ на АВ, а прямо-
угольник A'B'C'D' —произведением А'В' на A'D', т. е.
(АВх AD): (А'В' х A'D') = {АВ : Л'В') {AD : A'D')*).
Мы будем специально говорить о том, как древние сводили
отношение площадей двух кругов или двух объемов к отно-
шению отрезков (или к
отношению чисел).
В заключение ио смот-
рим, как с помощью об-
щей теории отношений
доказывалось, что тре-
угольники с равными
высотами относятся как
их основания. Пусть
(рис. 6) треугольник
ОАВ и OCD имеют оди-
наковую высоту ОО1
ипусть АВ Ф CD. Отложим п— 1 отрезков ААг = AjA2 — ...
... = Ап^2Ап_1= АВ и т— 1 отрезков DD1 = DlD2=...
... = Dn\_2Dm 1 = CD. Тогда Д ОВАп_г будет >, = пли
< A OCDm_x в зависимости от того, будет ли основание
ААп_г > » -или < основания CDm_y. из BAn_1=CDm_1
следует, что Д ОВАп_1 = OCDm_l и обратно. Но
ВАп_ 2 = пАВ, СВт_г = т CD,
/\ОВАп_г = п/\ОАВ, ^OCDm^ = m/\0CD.
Значит, неравенства
пАВ = mCD п п Д ОАВ =^m/\OCD
выполняются одновременно, а это значит, что
Д ОАВ: C\OCD = АВ: CD.
]) Здесь символом X мы обозначаем произведение отрезков.
21 Истер.-матем. исслед., вып. XI
322
И. Г. БАШМ4К0ВА
§ 6. Отношения п числа
Мы видели, что в древности была построена развитая
теория отношении, которая выполняла в греческой мате-
матике в основном ту же роль, которую у нас играют
вещественные числа. Однако и Аристотель, п Евклид
и многие др\ гис ученые Древней Греции называли числами
только совокупность единиц, т. е. целые числа. В историко-
математической литературе много дебатпровался вопрос
о том, считали ли древние отношения числами п почему они
их считали (или не считали) числами.
При этом высказывались самые разнообразные точки
зрения. Мы полагаем, что вопрос этот является в значи-
тельной степени терминологическим. Решающим тут
должно быть не то, называли или не называли древние
греки отношения числами, а то, какие функции выпол-
няли отношения, какие операции над ними произво-
ДПЛИСЬ.
Что касается отношений целых чисел, то пег сомнения
в том, что пх фактически всегда рассматривали как обоб-
щенные числа и отождествляли с дробями. Так посту-
пал еще Архиг, переходя в своем учении о гармонии от
отношений целых чисел к долям их (т. е. дробным частям).
Само отношение получило название сверхдолыюго. Архи-
мед в «Измерении круга» также свободно переходит от
отношений целых чисел к дробями приближает этими дро-
бями отношение длины окружности к диаметру. Герои
Александрийский (I в. и. э.) и Диофант (III—IV вв. н. э.)
уже явно отождествляли отношения целых чисел с дробями
и называли их числами.
Несколько сложнее дело обстояло с общими отноше-
ниями величин. Нс подлежит сомнению, что и пх греки,
по крайней моров позднсэллпиистпческую эпоху (I—V вв.
н. э.), сближали с чпеламп.
Так, в одной вставке этого времени к VI кнпге «Начал»
операция составления отношений определяется следл ющим
образом: «Говорят, что отношения составляются из отно-
шений, когда количества этих отношений, перемноженные
между собой, образуют нечто». Здесь употреблен для слова
«перемноженные» тот термин, который употреблялся в
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 323
арифметике для соответствующей операции над числами.
Это показывает, что сами операции над отношениями уже
определялись через соответствующие операции арифме-
тики.
Значит, в отношениях видели какое-то обобщение
чпсел. Этому, вероятно, способствовало и то обстоятель-
ство, что соизмеримые величины относятся между собой
как числа. Последнее предложение имеется в «Началах»;
оно было известно задолго до Евклида.
Однако между нашими вещественными числами и отно-
шениями греков имеются и отличия. Так, над отношениями
производились только операция составления и ей обрат-
ная, так что отношения, говоря современным языком,
образуют группу только по умножению, в то время как
вещественные числа составляют поле: для них определены
все четыре операции арпфметпкп, обладающие обычными
свойствами. Это обстоятельство стоит в тесной связи с тем,
что отношения в гораздо меньшей степени выполняли ариф-
метико-вычислительную функцию, чем наши веществен-
ные числа.
Помимо немногочисленных примеров приближений для
квадратичных и кубических иррациональностей, нам изве-
стно только, что в древности были найдены рациональные
приближения для отношения длины окружности к диа-
метру.
Арифметико-вычислительная функция отношений зна-
чительно усилилась в позднеэллинпстпчоскую эпоху в свя-
зи с развитием астрономии. Ведь в таблицах хорд все
время приходилось иметь дело с рациональными прибли-
жениями отношений несоизмеримых величин. Неудиви-
тельно поэтому, что именно в это время ученые и начали
рассматривать отношения, как какое-то обобщение поня-
тия числа. Практически в эту эпоху уже не делалось раз-
личия между отношениями и числами. Явное расширение
понятия числа произошло в математике народов Средней
Азии (XV в), и независимо в европейской математике
(XVII в.).
В обоих случаях это находилось в непосредственной
связи с грандиозным развитием арифметико-вычислитель-
ных методов.
21*
324
И. Г. БАШМАКОВА
Л Е К Ц II Я 7
МЕТОД ИСЧЕРПЫВАНИЯ
§ 1. Методы определения площадей п объемов
до Евдокса. Парадоксы Зенона
Проблема определения площадей п объемов занимала
людей со времен глубокой древности. Уже египтяне и вави-
лоняне умели определять площади не только прямолиней-
ных фигур, но знали и приближенные выражения для
площади круга, умели находить объем усеченной пирамиды,
а но некоторым данным и объем шара. Аналогичные методы
приближенного вычисления площадей и объемов несом-
ненно существовали и в ранней греческой математике.
Однако при теоретическом осмысливании этих методов
и приемов греческие математики встретились с очень
большими трудностями. Дело в том, что при определении
площадей, как правило, приходится иметь дело с беско-
нечными процессами.
Действительно, обычный метод определения площадей,
которым пользовались в античности и который употреб-
ляется в наше время, состоит в том, что фигуру разбивают
на элементарные частп, площади которых известны, а за-
тем производят суммирование этих частей. Однако криво-
линейную фигуру, вообще говоря, нельзя составить из
конечного числа таких элементарных частей.
Это сразу же вызвало и общелогические и чисто мате-
матические затруднения.
До Евдокса, вероятнее всего в пифагорейской школе,
были попытки рассматрпвать тела состоящими пз беско-
нечного числа неделимых частиц.
На противоречивость такой концепции, которая опира-
лась на понятие актуальной бесконечности, обратил вни-
мание выдающийся философ Зенон пз Элеи (первая поло-
вина V в. до н. э.), ученик Парменида. Он выдвинул 45 апо-
рий (т. е. парадоксов), направленных против множествен-
ности, бесконечности и движения, а также наивного пред-
ставления о континууме. До нас дошли девять пз них.
Мы остановимся здесь на пяти апориях.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 325
1. «Апория меры».
Эту апорию в несколько модернизированном виде
можно высказать так: пусть некоторое тело состоит из
бесконечного множества неделимых частей — атомов,
тогда:
1) если величина отдельных атомов равна нулю, то
и величина всего тела есть нуль;
2) если же неделимые части имеют конечную величину
(предполагается, что величины всех таких частиц одина-
ковы), то величина всего тела бесконечна.
А 4?
1---------1---1 1—I—J
4 В
Рис. 1.
Апория показывала, что нельзя определять меру
отрезка как сумму мер неделимых, что нужна отличать
само множество п его меру (мера множества, вообще
говоря, не равна сумме мер его элементов). Как известно,
теперь мы определяем меру множества при помощи покры-
тии его системами интервалов. При этом принимается, что
интервалы уже имеют определенную длину (меру).
2. «Дихотомия».
Движущееся тело никогда не достигнет конца пути,
потому что оно должно сначала дойти до середины пути,
затем до середины остатка и т. д. Пусть АВ — отрезок
длины 1 и точка М движется из А в В (рис. 1). Прежде чем
дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество
«середин» Aj, А2, ... , Ап, ... значит, точка В никогда
не будет достигнута.
оэ
Эта апория вовсе не разрешается тем, что V, _L = 1.
Г. Вейль, чтобы пояснить, в чем именно здесь состоит труд-
ность, привел такой пример: представим себе, что мы хотим
построить вычислительною машину, которая выполняла бы
1 . 1
первую операцию в у минуты, вторую— в — ми яхты,
326
И. Г. БАШМАКОВА
третью—в минуты и т. д. Такая машина могла бы
О
к концу первой минуты «пересчитать» весь натуральный
ряд чпсел и решить, например, Большую теорему Ферма
или любую другую проблему теории чисел, связанную
с вопросом существования. Ясно, что работа над кон-
струкцией такой машины является довольно безнадежным
делом. Так почему же тогда точка J/ достигает конца В,
«отсчитав» счетное множество точек А1г А.г, ... ?
Не касаясь пока более общего смысла этой апории,
остановимся на ее математическом содержании. _ Один
из математических вопросов, связанных с ней, состоит
в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной бес-
конечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь
натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое
новое, трансфпнптное, число, следующее за всеми нату-
ральными? Теория множеств Кантора (70-е годы XIX в.)
отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет
порядковые трансфпнптные числа. Если воспользоваться
ими, тогда можно сказать, что точка М достигает ylj
в момент К, Л2 в момент t2, . .. ,Ап в момент tn, а точку В
в момент Z<0, где со —первое число, следующее за всем
натуральным рядом. Заметим, что Бэр в своей кппге «Тео-
рия разрывных функций» с помощью точно такой же кон-
струкции вводит первый трапсфинит ы, который и является
порядковым типом множества натуральных чисел. Однако
с введением теории множеств затруднения, связанные
с актуальной бесконечностью, вовсе не былп преодолены.
Они приняли только другую форм\ и вновь выступили
в впде парадоксов теории множеств. В одном пз них,
так называемом парадоксе Буралп — Фортп, рассматри-
вается порядковый тип множества всех порядковых типов.
Приписывание ему порядкового номера приводит к проти-
воречию. В настоящее время существует точка зрения,
согласно которой свободное оперирование с актуально
бесконечными множествами, даже счетными, является
неправомерным. Нпже мы подробнее будем говорить о том,
как отвечали на тот же вопрос античные математики. Сей-
час скажем только, что они отнюдь пе встали на канторов-
скую точку зрения.
ЛЕКЦИИ по ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 327
3. «Ахиллес и черепаха».
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепахи,
если в начале движения черепаха находилась на некотором
расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное
расстояние есть а и пусть Ахиллес бежит в к раз быстрее
черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние а, черепаха
отползет на , когда Ахиллес пройдет это расстояние,
К
а
черепаха отползет на , п т. д., т. е. всякий раз между
состязающимися будет оставаться отличное от нуля рас-
стояние.
В этой апории, помимо того же затруднения отсчитан-
ной бесконечности, имеется и еще одно. Предположим, что
в некоторый момент времени Ахиллес догонит черепаху.
Запишем путь Ахиллеса
О I ® I ® I
Ад = с + Т -Ьр+ •
п путь черепахи
Каждому отрезку пути Д, пройденному Ахиллесом, соот-
ветствует отрезок пути черепахи. Поэтому к моменту
встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков
путп, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому
а
отрезку пройденному черепахой, можно сопоставпть
равный ему по величине отрезок путп Ахиллеса. По,
кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отре-
зок длпны а, т. е. он должен пройти на единицу больше
отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, прой-
денное последней, есть а, то получаем:
а -|- 1 = а.
Это последнее затруднение: «часть равна целому», явилось
впоследствии предметом размышления Галилея, Николая
Кузанского и многих других, которые придавали этому
парадоксу^ различные интерпретации. Чешский ученый
328
И. Г. БАШМАКОВА
Больцано (первая половина XIX в.) установил, что любое
бесконечное множество может быть приведено во взаимно-
однозначное соответствие со своей правильной частью.
В настоящее время это свойство принимается в качестве
определения бесконечного множества.
4. «Стрела».
Если время и пространство состоят из неделимых
частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый
неделимый момент времени она занимает равное себе поло-
жение, т. е. покоится, а отрезок времени и есть сумма
таких неделимых моментов.
Эта апория направлена против представления о непре-
рывной величине как о сумме бесконечного числа i едели-
мых частиц.
5. «Апория стадий».
Пусть по ристалищу движутся но параллельным
прямым равные массы с равной скоростью, но в противо-
положном направлении. Пусть ряд Аг, А.2, А3, Л4 озна-
чает неподвижные массы, ряд Blt В<>, В3, Bi — массы,
движущиеся вправо, а ряд Г\, Г2, Г3, Г4—массы, движу-
щиеся влево. Будем теперь рассматривать изображенные
на рис. 2 массы Ait Bit как неделимые. В неделимый
момент времени BL и Г£ проходят неделимую часть про-
странства. Действительно, если бы в неделимый момент
времени некоторое тело проходило бы более одной неде-
лимой части пространства, то неделимый момент времени
был бы делим, если же —меньше, то можно было бы разде-
лить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь
движение неделимых и 1\ друг относительно друга:
за два неделимых момента времени />4 пройдет две недели-
мые части At и одновременно отсчитает четыре неделимые
части 1\, т. е. неделимый момент времени окажется де-
лимым.
Этой же апории можно придать и несколько другую
форму. За одно и то же время t точка В4 проходит поло-
вину отрезка А4А4 и целый отрезок Г4Г4. Но каждому
неделпмому моменту времени отвечает неделимая часть
пространства, проходимая за это время. Тогда мы полу-
чим, что в некотором отрезке а и отрезка 2а содержится
«одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 329
между точками обоих отрезков можно установить взаимно-
однозначное соответствие. Этим впервые было установлено
такое соответствие между точками отрезков различной
длины. Если считать, что мера отрезка получается как
сумма мер неделимых, то такой вывод является парадок-
сальным.
Мы коснулись здесь только некоторых математических
вопросов, связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон
придал своим апориям ярко выраженный физический
смысл: он направпл их а А А А
против возможностидви- ।—С.,—£_>——L-
жения. Разбирая «ди- Вг В3 В<,
хотомию», мы уже гово- *----1--1---1---1 ——
рилп о возможности Г, Гг Г3 Г4
или, вернее, о невозмож- — * 1 1 1---1
ности построения такого
автомата, который мог 2'
бы в течение одной ми-
нуты совершить счетное множество операций. Но ведь
движение тел происходит ежедневно на наших глазах,
значит, как будто такие автоматы легко осуществимы.
В чем же дело? Тут уже вопрос стоит о соотноше-
нии математической модели п реального физического
пространства.
В апорпях Зенона предполагается, что пространство
в малом устроено так же, как и в большом, факты пз
области движения величин определенного порядка пере-
носятся на все величины.
Между тем согласно современным физическим взглядам
физические величины вовсе не являются делимыми до бес-
конечности. Современная физика открывает все новые
и новые замечательные факты о строении микромира.
В своей книге «Основания математики» (1934 г.) Гильберт
и Бернайс пишут, что решение парадокса «дихотомия»
состоит «в указании на то обстоятельство, что мы вовсе
не осязательно должны верить в то, что математическое
пространственно-временное представление движения имеет
физическое значение для произвольно малых интервалов
пространства и времени скорее мы имеем все основания
предполагать, что эта математическая модель экстра но л и-
330
И. Г. БАШМАКОВА
руст факты пз некоторой области опыта, а именно, из
области движении в пределах того порядка величии, кото-
рый пока что доступен нашему наблюдению, экстраполи-
рует просто в смысле образования идей, подобно тому, как
механика сплошной среды совершает экстраполяцию,
предполагающую непрерывное заполнение пространства
материей... Ситуация оказывается сходной во всех слу-
чаях, когда имеется вера в возможность непосредственного
узрения (актуальной) бесконечности как данной посред-
ством опыта пли восприятия... Более подробное исследо-
вание показывает затем, что бесконечность вовсе пе была
нам дана, а была только интерполирована или экстраполи-
рована посредством некоторого интеллектуального про-
цесса»1).
В. И. Ленин дал глубокий анализ апорий Зенона в своем
«Конспекте лекций Гегеля по истории философии».
Касаясь вопроса об отображении движения в логике поня-
тий, он писал: «Изображение движения мыслью есть всегда
огрубление, омертвление,— и не только мыслью, но п ощу-
щением, и нс только движения, по и вся кого понятия» 2).
Мы видим, что апорип Зенона затронули действительно
глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них
античная наука? В частности, как опа разрешила вопрос
о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально
бесконечно большими и актуально бесконечно малыми
величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, кото-
рые имели место в античной математике, и о тех дискус-
сиях, которые там велись, по косвенным данным, главным
образом по сообщениям Аристотеля и других философов
этого времени.
Один из путей выхода пз такого кризиса основ был
предложен велпкпм философом-материалистом древности
Демокритом пз Абдер (360—471 гг. до н. э.). Насколько
мы можем судить, он пришел к мысли построить такую
математику, в которой не было бы бесконечности. Демокрит
отрицал бесконечную делимость величин и считал, что тела
0 Цит. по кн.: Клини, Введение в метаматематику, М-,
1957, стр. 55.
2) В. II. Лени и, Философские тетради. 1947, стр. 243.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 331
состоят из большого, но конечного числа элементарных
частиц-атомов. Так, нам известно, что конус он представлял
себе сложенным пз тонких цилиндрических слоев, а шар
как многогранник с очень большим числом граней. При
этом, разумеется, не нужно было прибегать ни к какому
предельному переходу.
Такая «математика конечного», хотя и не содержала
в себе логических противоречий, но была совершенно
непригодна для исследования непрерывных процессов.
Б ней не существовало ни кривых линий, ни, вообще,
правильных фигур. II все же в концепции Демокрита
содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая
впервые по-настоящему была оценена только Архимедом.
Мы говорим о выдвинутом им принципе составления тел
из большого числа маленьких частиц, размеры которых
известны. В этом можно видеть зародышевую форму
интеграционных методов. Правда, поскольку у Демокрита
такпх частиц было конечное число, найденные им значе-
ния объемов и площадей только приближенно равнялись
точным значениям величин соответствующих фигур. Вот
почему Архимед, отмечая заслугу Демокрита в устано-
влении того, что конус равняется 1/3 цилиндра с темп же
основанием и высотой, а пирамида — 1/3 соответствующей
прпзмы, говорит, что доказательства Демокрита были
нестрогими.
Однако наряду с этим некоторые из античных ученых
продолжали некритически пользоваться актуальной бес-
конечностью. Нам известен один пример, когда такое опе-
рирование привело к неверному математическому выводу,—
это квадратура круга, предложенная софистом Антифон-
том (V в. до н. э.).
Антифонт рассуждал так: будем вписывать в круг много-
угольники. Для каждого пз них можно построить с по-
мощью циркуля п линейки равновелпкпй ему квадрат.
Но круг есть многоугольник с бесконечным числом сторон,
значит, и для пего можно построить равновеликий квад-
рат. Как известно, последнее утверждение ложно. «Квад-
ратура» Антифонта показала математикам, что не все
свойства допредельных величин переносятся на величины,
получающиеся после предельного перехода.
332
И. Г. БАШМАКОВА
Рассджденпя, подобные антпфонтову, былп скоро
отвергнуты греческими математиками. Аристотель даже
приводит квадратуру Лнтифонта в качестве примера
такого заключения, которое исходит пз ложных посылок,
поэтому опровергать эту квадратуру не дело геометра.
Геометр может спорить с тем, кто исходит из одинаковых
с ним начал, но, быть может, делает неправильный вывод,
а не с тем, кто принимает в качестве отправного пункта
совершенно другие посылки.
Впервые ту точку зрения, которая стала общепринятой
в греческой математике, высказал философ Анаксагор
(500—428 гг. до н. э.). Его основной тезис гласил: «В малом
не существует наименьшего, но всегда есть еще меньшее».
Иначе говоря, не отрицая бесконечной делимости величин,
Анаксагор считал, что неправомерно мыслить бесконеч-
ный процесс законченным. В результате деления отрезка
всегда вновь будут получаться отрезки же и никогда не
получатся неделимые частицы — атомы. Эта концепция
и получила развитие в греческой математике. Евдокс
пз Книда создал новые строгие методы определения пло-
щадей и объемов, нигде не пользуясь при этом актуаль-
ной бесконечностью. Идеи Евдокса и его школы были вос-
приняты и Аристотелем. Так, анализируя «дихотомию»,
Аристотель пишет: «... в непрерывном заключается беско-
нечное число половин, но только не актуально, а потен-
циально1). Еслп же их сделать действительными, то дви-
жение не будет непрерывным, а будет останавливаться,
что вполне очевидно произойдет с тем, кто считает поло-
вины»2). Однако это не означает, что следует отказаться
от рассмотрения бесконечных процессов. «Вообще говоря,
бесконечное существует таким образом, что всегда берется
иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда
разным и разным»3). Далее Аристотель отмечает, что его
точка зренпя согласуется с той, которая принята в мате-
матике: «Наше рассуждение, отрпцающее актуальность
бесконечного..., не отнимает у математиков пх теорпп;
*) «Потенциально», т. е. в возможности.
2) Аристотель, Физика, М—Л., 1936 стр. 197.
3) Там же, стр. 63.
Лекции по Истории математики ё дреёней греций 333
ведь онп не нуждаются в таком бесконечном и не поль-
зуются им: математикам надо только, чтобы ограниченная
линия была такой величины, какой им желательно, и в
такой же пропорции, в какой делится величайшая вели-
чина, можно разделить и какую угодно другую»1). Можно
с уверенностью утверждать, что Аристотель имел в виду
школу Евдокса, когда говорил о математиках, не поль-
зующихся актуальной бесконечностью.
В заключение отметим, что значение парадоксов Зенона
для античной математики было пе только чисто отрицатель-
ным (отказ от оперирования с актуальной бесконечностью).
Мы увидим, что в основной лемме своего метода, Евдокс
использовал ту же конструкцию, которую Зенон применил
в «дихотомии». Именно, доказывается, что если от данной
конечной величины отнимать последовательно больше ее
половины, затем больше половины остатка пт. д., то при
достаточно большом числе шагов можно получить остаток,
меньший любой другой' наперед заданной величины.
Мы перейдем теперь к изложению нового метода Евдок-
са, который получил в математике XVII в. название «ме-
тода исчерпывания» и под этим именем вошел в историю
наукп.
§ 2. «Метод исчерпывания» Евдокса
Метод Евдокса заключался в следующем: для опре-
деления неизвестной величины фигуры А (рис. 3) в нее
вписывали монотонно возраста- ____
ющую последовательность фи-
гур Alt А.,, ..., Ап, ..., величины \\
которых были известны. При \|
этом фигуры Ап нужно было ____________у
выбирать так, чтобы разность
А —А Рис- 3-
п
могла быть сделана меньше любой наперед заданной вели-
чины Ъ при достаточно большом числе последовательных
вписываний.
х) Аристотель, Физика, М—Л., 1936, стр. 6.
334
И. Г. БАШМАКОВА
Для доказательства того, что последовательность Ап
обладает нужным свойством, прпбегалп к описанным фигу-
рам Ап, площади которых также были известны. Прп этом
пользовались тем, что
-4 Ап < Ап — Ап,
так как Ап > -1. Таким образом, хотя в самом методе гово-
рилось только о вписанных фигурах, которые «исчерпы-
вали» искомую площадь, однако неявно в нем участвовали
и описанные фигуры. Мы увидим, что у Архпмеда описан-
ные фигуры появляются уже явно и получают полное рав-
ноправие с вписанными.
Если такую послсдовательпость удавалось построить,
то следующий шаг состоял в нахождении ее предела,
псходя из ее внутренних арифметических свойств. Уста-
навливалось, например, что Ап как угодно .мало отли-
чаются от некоторой величины Б'.
В-Ап<Ь.
После этого молчаливо совершался предельный переход:
= Последняя часть метода состояла в общем
71->СО
приеме доказательства того, что Л = В. Делалось это
путем доказательства от противного. Пусть А > В, тогда
можно вписать такую фпгуру Ап, что -1 — А„ < А — В,
но тогда Ап > В, что невозможно, так как В—предел
монотонно возрастающей ограниченной .последователь-
ности величин и поэтому всегда больше любой из этих
величин.
Пусть теперь А < В, тогда, поскольку разность В — Ап
также может быть сделана меньше любой наперед задан-
ной величины, возьмем такую Ап, чтобы
В-Ап<В-А,
но тогда Ап > А, что опять-таки невозможно. Легко видеть,
что заключительная часть доказательства по «методу
исчерпывания» сложит для обеспечения единственности
предела. Только это предложение не доказывалось раз
и навсегда, как делаем это теперь мы, а повторялось каж-
дый раз для конкретных А, Ап и В. Общим оставался
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕП ГРЕЦИИ ЗЗЙ
только самый прием доказательства, которым, кстати
сказать, пользуемся и мы: ведь доказательство единствен-
ности предела мы проводим точно такпм же способом.
Евдоксом была доказана в общем виде основная лемма,
переданная нам Евклидом (1-е предложение X книгп).
Она заключается в следующем: если а и Ь, а > Ь, — любые
величины, подчиняющиеся аксиоме Евдокса — Архимеда,
и еслп от величины а отнять больше ее половины, от полу-
ченного остатка больше его половины п так продолжать
неограниченно, то после некоторого конечного числа вычи-
таний получится остаток ап, меньший Ь:
ап < 2™
Иначе говоря, предел ап равен нулю.
Этой леммой пользовались и сам Евдокс, и Евклид,
и в ранних сочинениях Архимед для оценки разности
А~Лп.
Метод Евдокса первоначально использовался для стро-
гого доказательства предложений, которые были получены
раньше путем нестрогого предельного перехода, путем
некритического оперирования с бесконечностью. По суще-
ству сам «метод исчерпывания» был теоретическим оформ-
лением более наивных ранних методов, содержащих в себе
неявные предельные переходы.
Евдокс с помощью своего метода дал строгое доказа-
тельство того, что пирамида равна г/3 призмы с темп же
основанием п высотой, конус — г/3 соответствующего ци-
линдра. Он доказал также теорему о том, что площади
кругов относятся как квадраты, построенные на пх диа-
метрах. Этот факт был известен еще Гиппократу Хиосскому.
Евклпд обобщил эту теорему, показав, что шары отно-
сятся между собой как кубы диаметров.
Архимед с помощью «метода исчерпывания» нашел ряд
новых площадей п объемов. Мы приведем в качестве при-
мера определение площади сектора параболы пз сочинения
Архимеда «Квадратура параболы». Хотя эта работа
и оыла написана примерно через 100 лет после создания
Евдоксом «метода исчерпывания», но в ней Архимед еще
полностью придерживается классических приемов Евдокса.
336
И. Г. БАШМАКОВА
Заметим предварительно, что во времена Архимеда
математики были уже хорошо знакомы со всеми основными
свойствами параболы, ее диаметров, касательных п хорд.
Пусть дан косой сегмент параболы ADBEC (рпс. 4)
п пусть в точке В касательная к параболе параллельна
хорде АС. Первой вппсывае-
Рис. 4.
мой Архимедом фигурой Лг
является треугольник АВС.
Затем рассматриваются
сегменты параболы IDB п
ВЕС, отыскиваются точки I)
п Е такпе, в которых каса-
тельные к параболе парал-
лельны соответственно хор-
дам АВ и ВС, и вписываются
треугольники ADB и ВЕС. Второй вписанной фигурой
будет A2 = Al t- дА1)ВА~ ДВЕС. Аналогично строятся
-^3> -^4, • •
Пз свойств параболы Архимед устанавливает, что
пл. ДАВС = 4(пл. ДАБВ В пл. ДВЕС}.
Но относительно сегментов \BD и ВЕС параболы и впи-
санных в них треугольников можно повторпть только что
приведенное рассуждение. Тогда получим четыре новых
треугольника ADYD, DD2B, BEVE и ЕЕ2С, сумма которых
в четыре раза меньше суммы треугольников ADB и ВЕС
и т. д.
Если мы теперь обозначим площадь Л АВС через
д, то А = д, 4 = д+4, Л =
Ai = A+4- + уё+• • •+4^ , С1)
т. е. вписанные фигуры представляют собой последова-
тельные суммы геометрической прогресспп со знаменате-
лем На-
следующий шаг Архимеда состоит в установлении
того, что разность между площадью сегмента S и величи-
нами Ап может быть сделана меньше любой заданной вели-
чины. Для этого он показывает, что разность между 5 и AL
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ в ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 337
составляет меньше половины разность между S п /12—
меньше половины остатка и т. д. Чтобы это показать, Архи-
мед прибегает к описанным фигурам: он заключает сег-
мент ADBEC (рис. 5) в параллелограмм, образованный
хордой АС, касательной в точке
В, с прямыми АЛ/ и СУ, парал- . N
лельными диаметру, сопряженному / уА//\\ /
с хордой АС (т. е. параллель- / / \ V" /
нымп ВО, где О — середина АС). / // / \\ /
Тогда А1 = Ь ЛВС = A. АМУ С, / \|/ '
но S < пл. АМУС, значит, Лг > ° с
1 1
> и S — Ar < S и т. д. Рис. 5.
Таким образом, последовательность А1г ..., Ап, ... удов-
летворяет условиям основной леммы Евдокса, а значит
разность S — Ап может быть сделана как угодно малой.
Только после этого Архимед переходит к суммированию
геометрической прогрессии (1). Уже сама последователь-
ность предложений Архимеда ясно показывает, что эта
сумма находится им специально для определения площади
S. Он доказывает, что
= Д+‘4’+ • • • +4^=Г = 'з‘Л — “3 (2)
Впрочем, предложение о сумме произвольной геометри-
ческой прогрессии было доказано еще Евклидом.
После нахождения (2) Архимед совершает предельный
переход, не оговаривая этого, т. е. определяет величину
В — уД, и утверждает, что
5=5 = |д. (3)
Равенство (3) доказывается от протпьного. Пусть S > В.
Вписываем в S такую фигуру Ап, что S— Ап < S — В, но
тогда Ап > В, что невозможно, так как Ап согласно (2)
равна В - -—.
3 Д”-1
22 Истор.-матем. исслед., вып. XI
338
И. Г. БАШМАКОВА
Плеть теперь, еслп это возможно, S < В. Тогда берем
фигуру Ап такую, что
В — Ап <B-S.
Это всегда можно сделать, так как разность между В
и Ап меньше , значит, может быть сделана как угодно
малой. Но тогда Ап > S, что опять-таки невозможно, так
как площадь вписанной фигуры Ап всегда меньше S.
На этом примере отчетливо видны все этапы доказа-
тельства по «методу исчерпывания».
Однако «метод исчерпывания» не следует понимать
только как метод нахождения площадей и объемов. Не
надо забывать, что в нем содержалось обоснование возмож-
ности предельных переходов. Мы увидим далее, что Архи-
мед использовал эти элементы теории пределов при нахо-
ждении касательной к спирали, а еще раньше Дппострат—
для установления того, что предел отношения хорды к
стягиваемой ею дуге при стремлении дуги к нулю равен
единице. Сам Евдокс, доказывая, что площади двух кру-
гов относятся как квадраты пх диаметров, установил фак-
тически следующую теорему общей теории пределов: если
limAn=vl и lim = В =£= О, а отношение = к, где
П~>СО М*СО п
к— постоянная величина, то и — = /г.
Вот основные этапы этого доказательства, дошедшего
до нас в передаче Евклида:
1) устанавливалось, что подобные правильные много-
угольники 8п и sn, вписанные в круги Q и q с диаметрами
Dad, относятся как квадраты, построенные на этих диа-
метрах:
= -
»П (I2 ’
2) показывалось, что какова бы ни была заданная пло-
щадь Ь, разности Q—Sn и q—sn могут быть сделаны меньше
Ъ, еслп взять многоугольники с достаточно большим числом
сторон;
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 339
3) утверждалось, что тогда и
_2_ —£!
q d2
(последнее равенство получалось путем неявного предель-
ного перехода).
Правильность этого утверждения доказывалась мето-
дом от противного1).
В приведенном выше способе Архимеда нахождения
площади сегмента параболы на самом деле содержится
и доказательство того, что сумма бесконечной геометри-
1
ческоп прогрессии со знаменателем п первым
членом Д равна Л . В сочинении Архимеда «О коноидах
и сфероидах», как мы увпдим, показывается, что если
г?п < Z<^Vn, где Z —некоторая постоянная величина, и
если, кроме того, разность Fn — vn может быть сделана
при достаточно большом п меньше любой положительной
величины, то lim vn = lim Vn = Z. Все это вполпе общее
тг->оо
доказательство проводится опять-таки для конкретных по-
следователыюстей vn и Vn и для конкретной величины Z.
В античной математике нехватало еще общих поня-
тий и предложений не только для того, чтобы доказать,
но и чтобы сформулировать теоремы теории пределов
в общем виде.
Все это говорит о том, что «метод исчерпывания» глу-
боко родственен теории пределов. Можно считать, что он
был первоначальной формой учения о пределах.
Хотя возникновение этого метода и было тесно свя-
зано с проблемой определеппя площадей и объемов, но сам
«метод исчерпывания» не являлся прообразом интегра-
ционных приемов. Настоящие интегральные суммы, как
мы увидим, появились только у Архимеда. До этого
математики, в основном, пмелп дело только с последо-
вательностями вписанных величин п с определением пх
пределов.
х) Доказательство содержится в 1-м и 2-м предложениях XII
книги «Начал» Евклида.
22*
340
11. Г. 6ЛЩМАК0ВА
В заключение приведем
того, что отношение -дуги к
мится прп уменьшении дуги
доказательство Дпнострата
стягивающей ее хорде стре-
к 1.
§ 3. Нахождение первых замечательных пределов
Уже в школе Евдокса, а именно его учеником Дпно-
стратом, методы Евдокса были применены для нахожде-
ния предельных значений выражений, которые теперь
записывают как
тился с нпми при своих исследованиях, относящихся
qirhp и tg? ПРИ 0’ Дипострат встре-
к квадратрисе.
Квадратриса была первой трансцендентной кривой,
известной древним. Опа была введена еще в V в. до и. э.
софпстом Гипппем из Элиды для ре-
шения задачи трисекции угла. Кри-
вая эта определялась следующим
образом: пусть некоторый отрезок
ОА равномерно вращается (по часо-
вой стрелке) вокруг точки О, а отрезок
АВ равномерно движется параллель-
но caMOMj себе, причем оба движения
происходят так, что отрезки О А и АВ
одновременно достигают положения
ОС (рис. 6). Геометрическое место
точек пересечения движущихся
оппсанным образом отрезков и образует квадратрису.
Из определения ясно, что кривая эта обладает тем
свойством, что ординаты ее точек пропорциональны соот-
ветствующим у глам:
?/=
Vi 'fi '
(1)
Отсюда п вытекает возможность применения квадрат-
рисы для деления угла на любое число равных частей.
Дпнострат показал, что эта же кривая может быть
прпмепена для решения задачи квадратуры Kpjra. Он пока-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 341
зал, что
ОК О А „,, г2 2г
ОА = ^АЁС' Т' е-
2
Таким образом, к определится как четвертая пропор-
циональная к ОК, 1 и 2г, п кривая может служить для реше-
ния задачи квадратуры круга.
Посмотрим, как мог Динострат определить величи-
ну ОК. Из пропорции (1), определяющей квадратрпсу,
г _—АЕС _ 2
у ~ —ЕС ~~ ср ’
у
V
2г
откуда —
Но y = HL является линией синуса в круге радиуса ОН
и линией тангенса в круге радиуса OL, т. е.
2r=0//sjn^==(9Ltg1
л ср ср
При <р = 0 оба отрезка ОН и OL сливаются с отрезком ОК,
следовательно,
ОК = lim— = lim—.
" sin ¥ <р->0 " tg <₽
Значит, если пределы У и —— равны 1, то ОК = -^~ .
1 Sin Cf tg ср 1 л
Наоборот, если показать, что ОК = — , то тем самым будет
л *
доказано, что
Иш-Д- = Ит-^ = 1. (2)
sincP <р->о tg Ч>
Динострат и доказывает методом от противного, что
= ~ • Схематически доказательство Дпнострата (в пе-
редаче Паппа) выглядит так:
1) Пусть ОК , и ОК < ~ = z.
Проведем окружность радиуса z = ~-, r = ~z,
f z ОК, следовательно, окружность эта пересечет
342
II Г- БАШМАКОВА
квадратрпсу в некоторой точке Н (рис. 7), радиус-вектор
ТС
т* 2 2 тс
которой равен z, а угол <р. Тогда — = — = Но г = -у z,
следовательно, y = yz='—-HH1, что противоречиво, так
как у = z sin ср = HL < — ЯЯ1 = zy.
Рис. 7.
Рис. 8.
2) Если же допустить, что
Г.- Зт*
ОК > z =—, r = ~rz, то
П 2
проводим окружность радиуса OL = z, восстанавливаем
к ней касательную в точке L до пересечения с квадратрисой
л
г ~2Z
в точке И (у, <р). Тогда — = , т. е. у = yz, а это противо-
речиво , так как у = z tg ср > <pz.
Таким образом, при доказательстве существенно исполь-
зуются
неравенства
sin ср < © < tgp.
Мы ничего не знаем о том, как онп былп получены.
Левая часть: sin <р < ср, непосредственно очевидна,
так как хорда в круге (половина которой п является
линией синуса) всегда меньше соответствующей дуги
(а значит, линия синуса меньше половины этой дуги). Зато
правая часть ср < tgcp совсем не очевидна. Она могла быть
получена, например, путем сравнения площадей сектора
ОВАС и треугольника ODb (рис. 8): пл. сект. ОВАС <
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВПЕП ГРЕЦИИ 343
(3)
< пл. &ODF. Но пл. сект. ОВАС = ^-R~2y, где R —
радиус круга, а пл. z\ODF = RRtgy, т. е. -^-R22'^<i
</?2tgcp; <p<tg<p.
Разберем подробнее доказательство Дпнострата.
Мы постараемся выделить в чистом виде метод до-
казательства того, что lim 1. Прежде
ч,->0 Siu Ч> F
всего возникает вопрос, какую роль прп этом доказа-
тельстве играет сама квадратриса? Почему доказательства
справедливости (2) связаны именно с этой кривой?
Рассмотрим функцию
р = -Л-
r Sin ср
Она совпадает с точностью до постоянного множителя
с правой частью полярного уравнения квадратрисы
ОН = р = — =
г ТС Sin ср Sin ср
Такое представление, разумеется в геометрической
форме, не было чуждо древнпм. Мы увидим, что Архимед
в сочинении «О спиралях» явно пользовался полярными
координатами. Но и Динострат фактически имеет с ними
дело, когда проводит окружности и рассматривает радиусы-
векторы точек пересечения этих окружностей с квадра-
трисой.
Нужно теперь исследовать, какое значение принимает
при <р = 0. Существование такого значения р=р0,
е. существование lim Л , обеспечивается тем, что:
" Sin ср
ради} сы-векторы р = убывают вместе с убыванием
Р
т.
1)
угла (это, вероятно, усматривалось из чертежа); 2) выра-
с₽
жение -А— ограничено снизу, так как всегда
ср > sin <р,
ср я
т. е. -г2— > 1.
Sin ср
344
И. Г. БАШМАКОВА
При этом легко заметить, что при малых углах значе-
ние это как а годно близко к единице. Совершая неявный
предельный переход, Динострат находит, что
р = lim -Д— > 1.
<p->0sln4>
(4)
Для строгого обоснования (4) недостаточно, однако,
простой констатации убывания радиусов-векторов вместе
с углами. Но для этого достаточно показать, что между
двумя какими-либо значениями р = а и р= Ь, афЪ,
радиусы-векторы принимают все промежуточные значения.
Если мы это примем за доказанное и заметим, что при
<р = -^-,р = р1==-^- ир близко к единице при малых ср,
то механизм доказательства Динострата становится совер-
шенно ясным. Пусть было бы р0<1. Тогда, так как
pn < 1 < Pi = , то существует радиус-вектор р, в точности
равный 1, т. е. существует такой угол ср, что
-Д—=р0=1
SH1 ср го
или 9 = sin ср, что невозможно, так как всегда ср > sin ср.
Остается показать, что радиус-вектор р между двумя
своими значениями принимает все промежуточные. Это
Динострат доказывает геометрически, находя точку пере-
сечения квадратрпсы с окружностью радиуса р0, т. е. он
молчаливо опирается на непрерывность квадратрисы.
Во второй части своего доказательства Динострат
показывает, что
р0= lim—< 1.
0 <р~*о tg
(5)
Для этого он опирается на то, что:
1) Л
возрастает
с убыванием угла ср; 2) оно ограничено сверху < 1;
3) между двумя своими значениями - принимает все
промеж} точные. Последнее обстоятельство опять-таки уста-
навливается геометрически на основании свойств квад-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 345
ратрисы. Обе части доказательства вместе дают: р0>1
п рп<1, т. е. рп = 1, а значит, lim —Jim-AL = ]
Ио ’ 10 <р->0 sin(f <₽-*о ч>
Итак, при обосновании справедливости (2) квадратриса
играет весьма существенную роль: она служит для дока-
ср ср
зательства того, что величины р = -. и х — меняются
r S1I1 ср tg ср
непрерывно. При этом устанавливается одно из основных
свойств непрерывной функции, а именно, что она между
двумя своими значениями принимает и все промежуточные.
Интересно отметить, что формулировку этого предло-
жения (где, разумеется, говорится не о функциях, а о гео-
метрических величинах) мы находим у многих древних
авторов: Аристотеля, Прокла и других. Однако в мате-
матических сочинениях Евклида, Архимеда, Аполлония
и других ученых эпохи эллинизма такое предложение
в общем виде никогда нс выставлялось. По-видимому,
это было связано с тем, что не существовало общего опре-
деления непрерывной величины, а значит, нельзя было
общпм образом установить, каким условиям должны
удовлетворять величины, которые между двумя своими
значениями принимают все промежуточные. Мы видели,
что Динострат при своем доказательстве пользовался
непрерывностью кривой, определяемой кинематически.
Нам известно, что в школе Евдокса рассматривался вопрос
о непрерывности кривых, определяемых пропорцией
а__х__у
х~~ у~ Б’
Ученик Евдокса Менехм, как мы уже говорили, показал,
а х а у -
что геометрические места -=- и -=^ могут быть пред-
ставлены как сечения конусов вращения плоскостью,
перпендикулярной к образующей (см. стр. 281). Так как
в непрерывности прямой и круга, а значит и поверхности
конуса, древние не сомневались, то не было сомнений и в
непрерывности поверхности конуса. Следовательно, были
непрерывными и рассматриваемые геометрические места,
значит, можно было решать задачи путем нахождения
точек пересечения этих кривых. Позднее Архимед при
построении касательной к спирали должен был восполь-
34G
П. Г. БАШМАКОВА
зоваться непрерывным изменением отношения двух отрез-
ков. Однако Архимед уже не довольствовался подобно Ди-
нострату наглядно-геометрическим доказательством того,
что непрерывная величина между двумя своими значе-
ниями принимает все промежуточное. Он дал строгое дока-
зательство этому предложению для нужных ему отноше-
нии. При этом он пользовался построением, которое
может быть осуществлено с помощью конических сечений.
Таким образом, Архимед сумел обобщить идеи и Дино-
страта, и Менехма. Мы увидим, что он впервые применил
методы Евдокса для рассмотрения пределов отношений
дифференциальных разностей, с одной стороны, и общих
интегральных сумм, образованных вписанными и описан-
ными фигурами,— с другой.
ЛЕКЦИЯ 8
МАТЕМАТИКА В ЭПОХУ ЭЛЛИНИЗМА. «НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
§ 1. Естественные науки и общество в эпоху
эллинизма
В последней трети IV в. до н. э. на политическую арену
Древнего мира выступает Македония — начинается серия
завоевательных походов Александра. Покорив свободные
греческие города-государства, ослабленные жестокой клас-
совой борьбой п длительными войнами, Александр завое-
вывает Египет, Вавилонию, Персию и часть Индии (дохо-
дит до реки Пида). Создается невиданная по величине мо-
нархия. Вслед за войсками Александра шли ученые,
ведшие астрономические, географические, биологические
наблюдения, врачи, историки и др. Необыкновенно рас-
ширился горизонт эллинов, впервые вошли в тесное
соприкосновение наука Запада п наука Востока.
Монархия Александра, как и большинство государств,
образованных путем завоевания многих стран, оказалась
очень непрочной. После смерти Александра в 323 г. она
распалась на несколько больших частей — эллинистиче-
ских монар пй: Египет — империю Птолемеев с центром
в Александрии, государство Селевкидов, куда вошла
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 347
большая часть Персии и Вавилонии, Македонское царство
и несколько позже основанное государство Атталидов
с цеигромв Пергамс (вМалой Азии). С этими государствами,
особенно с империей Птолемеев, п оказалась связанной
на протяжении нескольких столетий cjAbSa нашей науки.
Все эти государства, так же как и города-полисы
Греции VI—IV вв. до н. э., являлись рабовладельческими,
однако условия развития науки в них во многих сущест-
венных чертах были иными, чем в классической Греции.
Вместо многочисленных маленьких общпн, каждая из ко-
торых мейла своей обособленной жизнью и даже имела соб-
ственный политический строй (Арпстотсль в «Политике»
описал 157 различных государственных устройств), образо-
валось несколько огромных монархий, охватывающих весь
культурный мир того времени. Впервые появляется понятие
«ойкумены» — мира, обитаемого цивилизованными людьми,
развивается международная торговля, создается единый
греческий язык; впервые история воспринимается не как
история того или пного изолированного государства, а как
единый всемирный исторический процесс. Крупнейший
историк эпохп Полибий (первая половпна II в. до н. э.)
писал: «Раньше события на земле совершались как бы
разрозненно, ибо каждое из них имело свое особое место,
особые цели и конец. Начиная яге с этого времени, история
становится как бы одним целым, события Италии и Ливии
переплетаются с азиатскими и эллпнпстическими и все
сводится к одному концу».
Для эпохи эллинизма характерным является рост
городов и городского населения. Так, была построена
Александрия в Египте, создается еще ряд Александрпй,
строятся Пергам, Антиохия — новая столица Селевкпдов
п другие города. В связи с этим большое развитие полу-
чает строительная техника. Все города эпохп эллинизма
строились по заранее разработанным планам, снабжались,
как правило, водопроводами. Все это требовало значи-
тельной математической подготовки инженеров-специали-
стов и ремесленников.
Большие монархпп не могли существовать без постоян-
ной хорошо оснащенной армии и флота. В это время воен-
ная техника достигает высокого уровня. Метательные
348
И. Г- БАШМАКОВА
орудия (катапульта и баллисты) были значительно усо-
вершенствованы и имелись в большом числе в каждом
крупном городе. Точность попадания этих орудий (стре-
лявших на расстояние до 350 м) превосходила меткость
мушкетов XVI11 в. Ясно, что конструкция таких орудий
требовала сложных предварительных расчетов. Ката-
пульты и баллисты стали применяться и для морских боев,
что повело к изменению конструкции кораблей: старые
суда были недостаточны для перевозки тяжелых орудии.
Флот эпохи эллинизма состоял из 20, 30 и 50 весельных
судов. Но наряду с этим строплпсь и корабли-гиганты,
обслуживаемые 2000, 3000 и даже 4000 гребцов. Построй-
кой одного из таких гигантов, по дошедшим до нас све-
дениям, руководил сам Архпмед. Может быть в связи с этим
он и поставил проблему устойчивости плавающих тел.
В эпоху эллинизма изменилась и материальная база
для естественно-научных исследований. Государства начи-
нают поддерживать науку, отпускают сравнительно боль-
шие суммы на ее развитие. Так, в Александрии Египет-
ской Птолемеи основали Мусейон — научно-исследова-
тельское и учебное заведение, куда приглашались круп-
нейшие ученые мира. Если в классической Грецпи препо-
давание велось исключительно устно и книги были рос-
кошью — хорошую библиотеку удалось собрать только
крупнейшему философу Аристотелю, то теперь в Алек-
сандрии и других эллинистических городах создаются
обширные библиотеки. Так, в знаменитой Александрий-
ской библиотеке насчитывалось к I в. н. э. более
700 000 томов, в Пергамской — около 200 000.
Ученые Мусейона читали лекции по различным обла-
стям науки, проводили астрономические п географические
наблюдения, занимались исследованиями как по матема-
тике и механике, так п по фплософип и псторпи. В это
время были созданы систематические курсы, послужившие
основой всех дальнейших исследований. Напболее заме-
чательным произведением такого рода были «Начала»
Евклида. Очень важно, что ученые в эту эпоху, так же как
пнженеры и военные, становятся профессионалами, что
они отдают все свои силы научным исследованиям, кото-
рые и становятся их основным занятием.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЁИ ГРЕЦИИ 349
Однако новое положение науки этой эпохи имело
и отрицательные стороны. Если в классической Греции
ученые были связаны с народом; проблемы, которые ста-
вились в науке, находили живой отклик в сравнительно
широких кругах свободного населения, так что о них
слагались легенды, о них говорили в комедиях, то теперь
основная масса населения — египтяне даже не понимали
греческого языка. Такой отрыв от народа неблагоприятно
сказался прежде всего на литературе и искусстве. Но и для
науки такая изоляция не могла быть полезной, что ска-
залось, правда, несколько позднее.
Мы остановимся коротко на развитии географии, астро-
номии и механики, а затем перейдем к математике. Расши-
рение освоенных областей Земли способствовало прогрессу
географии и астрономии. А еслп учесть, что эти науки
особенно нуждались в денежных субсидиях, то станут
понятными успехи их в эпоху эллинизма. Один из очень
крупных учепых-александрипцев Эратосфен, прозванный
f>, т. е. «во всем вторым», предпринял измерение длины
градуса меридиана с целью определить размеры нашей
планеты. Подобные измерения проводились и до него
Архптом, Евдоксом, а затем учеником Аристотеля Дикеар-
хом, но полученные ими результаты были намного грубее.
Результат Эратосфена ио одним данным отличался от
истинного на 1%, по другим—не более чем на 10%.
Во всяком случае он был очень точен для своего времени.
Кроме того, известно, что Эратосфен был хорошо знаком
с географией Старого Света.
Еще большими былп успехи астрономии. Особенно
благоприятным для ее развития оказался синтез греческой
и восточной науки. В Вавилоне еще за 2000 лет до н. э.
велпсь астрономические наблюдения, составлялись ката-
логи звезд, вычислялись подробные астрономические
таблицы. При этом вавилонские астрономы пользовались
удобной шестпдесятерпчноп системой счисления, позволяв-
шей им единообразно записывать сколь угодно большие
числа и шестидесятеричные дроби п оперировать с ними.
В Греции же, как мы зпаем, возникли первые астрономи-
ческие теории: в школе пифагорейцев сложилось предста-
вление о шарообразности Земли, Евдокс построил первую
350
11. Г. БАШМАКОВА
геометрическую модель солнечной системы, наконец, Ари-
старх Самосский (310—230) создал гелиоцентрическую
систему мира, от которой, к сожалению, более поздние
астрономы отказались.
Плодотворность синтеза обоих направлений видна уже
на творчестве знаменитого астрономаII в. дон. э. Гиппарха.
Он построил модель солнечной системы при помощи эпи-
циклов и эксцентрических кругов, теорию которых разра-
ботал Аполлоний в конце III в. до н. э., пользуясь при этом
вавилонскими вычислительными методами, шестидосяте-
ричной системой счисления, а также наблюдениями и таб-
лицами вавилонян. Он применял уже вычислительные
методы, равносильные плоской и сферической тригономет-
рии. В дальнейшем это направление привело к исследова-
ниям но сферической геометрии (Менелай, I в. н. э.).
Спстема Гиппарха была взята за основу' Клавдием Птоле-
меем( II в. н. э.) и просуществовала вплоть до гениальных
работ Коперника. В эпоху' эллинизма сравнительно широ-
кое развитие получает математическое естествознание,
основы которого были заложены еще пифагорейцами.
Крупнейшие математики эпохп: Евклид, Архимед
и Аполлоний имелп труды по оптике, в которых система-
тически исследовались законы отражения, а отчасти и пре-
ломления света. Блестящим примером приложения матема-
тических методов к трактовке проблем естествознания
является построение статики Архпмсдом и особенно его
работа «О плавающих телах». Другим интересным приме-
ром является создание математической теории музыки,
которая была оформлена в сочинении «Сечение канона»,
которое приписывается Евклиду.
Наконец, Архимед и Аполлоний впервые разрабаты-
вают научные методы приближенных вычислений, причем
дают оценку' точности полученного приближения.
Итак, математические методы начинают проникать
в механику, оптику, гидромеханику, астрономию. Оттуда
математика черпает новые проблемы, повые постановки
вопросов, там же находят применение ее новые методы.
С другой стороны, для математики эпохп эллпппзма
(как п для других паук того времени) характерен интерес
к систематизации накопленных знаний, к построению
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 351
логически законченных теорий. Наиболее ярко эта вторая
тенденция выразилась в творчестве Евклида, однако
интерес к вопросам аксиоматики и математической стро-
гости не был чужд и Архпмеду, который сделал первую
попытку аксиоматически определить понятия площади
и длины, а также Аполлонию, который, согласно Проклу,
предложил новую аксиоматику геометрии.
Большую роль в развитии математики этого времени
играют и внутриматематические потребности. Так, видимо,
чисто математическими потребностями было вызвано раз-
витие учения о конических сечениях, которое получило
широкое применение в астрономии п механике только
в XVI—XVII вв.
III в. до н. э. явился временем наивысшего расцвета
античной математики. Именно в это время окончательно
оформляется евклидова система геометрпи, создаются
интегральные и дифференциальные методы Архимеда,
строится теория конических сечений, в которой приме-
няются и методы аналитической и методы проективной гео-
метрии, изучаются алгебраические кривые высших поряд-
ков. Уровень, которого достигла математика в это время,
был-превзойден, в основном, только в XVI—XVII вв.,
а во многих важных вопросах — лпшь в XIX в.
§ 2. «Начала» Евклида
Мы остановимся теперь па творчестве Евклида — пер-
вого из великих геометров эпохи эллинизма.
О жизни его нам почти ничего неизвестно. Мы знаем
только, что Евклид был приглашен в Александрию, где
он преподавал математику в начале III в. до н. э.
Для характеристики Евклида интересны два анекдота,
сохранившихся о нем. В первом из них рассказывается,
что царь Птолемей спросил Евклида, не существует ли
более короткого пути для изучения геометрпи, чем шту-
дирование «Начал». На это Евклид ответил, что «в геомет-
рии не существует царской дороги», т. е. имеется одпн-
единственнып путь для всех людей: последовательное изу-
чение ее предложений. Другой анекдот повествует о моло-
дом ученике, который задал Евклиду вопрос, что дает емуг
352
И. Г. БЛШМХКОВ4
изучение геометрии. Услышав вопрос, Евклид обратился
к рабу и сказал: «дай ему три обола, он хочет извлечь
выгоду пз учения». Оба анекдота рисуют образ несколько
сурового ученого, всецело преданного своей науке и глу-
боко возмущающегося, если к ней относятся без должного
уважения или даже благоговения. Второй анекдот иногда
толкуют в том смысле, что Евклид пренебрегал приложе-
ниями математики. Однако это совершенно необоснованно.
Наоборот, сочинения Евклида говорят о его глубоком
интересе к проблемам естествознания, к которым он умел
применять математические методы и трактовать их на
уровне самых высоких достижений математики своего вре-
мени. Действительно, от Евклида до пас дошли (правда,
в сильно искаженном виде) книги «Оптика» и «Катоптрика»,
в которых впервые систематически излагалась геометри-
ческая оптика. Автор формулирует вначале опытные
данные, а также постулаты и аксиомы геометрии, которые
ему необходимы для развития теории. После этого геомет-
рическая оптика строится строго дедуктивно. Исходя
из закона отражения света от плоской поверхности, кото-
рый Евклпд формулирует, оп выводит законы отражения
света от выпуклых и вогнутых зеркал. В сочинениях
Евклида были заложены элементы учения о перспективе.
Аналогичное построение имело сочинение Евклида по мате-
матической астрономии (Phaenomena). По образцу этих
сочинений строились и все другие античные сочинения
по математической физике. Так построено и упоминав-
шееся уже сочинение «Сечение канона» (теория музыки),
приписываемое Евклиду.
У Евклида былп п сочинения о конических сечениях
(четыре книги) и «О поверхностных местах», которые до нас
не дошли. Сочинение «О делении фигур» дошло до нас
только в арабском переводе. В нем решается задача
о делении заданной прямолинейной фигуры прп помощи
прямой, имеющей данное направление плп проходящей
через данную точку, на две части, площади которых
равны пли имеют заданное отношение.
Одяако основные интересы Евклида, впдпмо, сосредо-
точивались па вопросах систематизации и строго логиче-
ского построения математических теорий. Помимо «Начал»
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 353
к этому кругу идеи относится'сочинение «Данные» (Data),
в котором тот же материал, что и в первых книгах «Начал»,
рассмотрен с иной точки зрения: там исследуется, при
каких условиях определяются (т. е. даются) те пли иные
геометрические фигуры. Евклиду принадлежат также трак-
таты «Ложные заключения» и «Поризмы», которые до нас
не дошли. Но само название первого из них говорит о том,
что в нем подвергались исследованию сами математические
доказательства. Во втором из названных трактатов, как
считает Цейтен, рассматривались теоремы о трансверсалях
и томографическом делении, т. е. материал, который теперь
относится к проективной геометрии.
Но, в основном, Евклид вошел в математику как автор
«Начал»— сочинения, которое пережило более двух тысяче-
летий и до сих пор не утратило своего значения не только
в истории, по и в самой математике. Созданная там система
евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах
мира и лежит в основе почти всей практической деятель-
ности людей. На этой геометрпп базируется классическая
механика п апофеозом евклидовой геометрпп явилось
появление в 1687 г. ньютоновых «Математических начал
натуральной философии», в которых законы земной и не-
бесной механики и физики устанавливаются для движения
в абсолютном евклидовом пространстве.
Однако содержание «Начал» далеко не исчерпывается
изложением элементарной геометрии — это основы всей
античной математики. Здесь подводится итог более чем
300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная
база для дальнейших исследований. Чтобы не быть голо-
словными, перечислим круг проблем, включенных
в «Начала»: планиметрия прямолинейных фигур, учение
о круге, его касательных и хордах, построение правильных
многоугольников, геометрическая алгебра и решение
квадратиыхуравнений,классификация квадратичных ирра-
циональностей, теория отношений и метод исчерпывания,
учение о целых числах и их отношениях, стереометрия
и построение правильных многогранников. В «Начала»
совершенно не включены приближенные вычисления,
а также учение о конических сечениях. Таким образом,
«Начала» не являются и энциклопедией аптпчпоп мате-
23 Истор.-матем. исслед. был. XI
354
И. Г. БАШМАКОВА
матики. Видимо, Евклид, создавая их, отобрал те элементы,
на основе которых могут быть развиты все остальные раз-
делы античной математики.
Заметим еще, что в «Началах» излагается, если можно
так выразиться, математика циркуля и линейки. Все
построения Евклида соответствуют алгебраически кон-
струкции цепочек квадратичных полей. Только объекты,
которые могут быть построены при помощи такой цепочки,
имеют право на существование в «Началах». Аксиомы непре-
рывности там нет. С этой точки зрения «Начала» Евклида
являются глубоко алгебраическим произведением.
§ 3. Особенности построения «Начал».
Аксиомы и постулаты
В «Началах» нет ни одного места «от автора», ни одного,
в котором бы автор рассказывал о своих планах, делился
бы с читателем своими мыслями. Книги «Начал» построены
по такой схеме: определения, после которых в I книге
приводятся аксиомы, постулаты, затем идут теоремы
и задачи, в которых требуется выполнить то или иное
построение. Все исследования проводятся с помощью гео-
метрии: квадратные уравнения решаются геометрически,
целые числа изображаются отрезками. Там нет ни одного
конкретного вычисления пли числового примера.
Казалось бы, что такое построение книги не дает
сколько-нибудь веских поводов для того, чтобы судить
о том, каковы были философские взгляды Евклида. Между
тем с легкой руки неоплатоника Прокла, жившего почти
на тысячелетие позже Евклида, автора «Начал» многие
считают последователем идеалистической философии Пла-
тона. Другие историки науки стараются сблизить позицию
Евклида с точкой зрения Аристотеля. Поскольку текст
«Начал» не дает и не может дать представления о фило-
софских взглядах Евклида, мы не будем их здесь разби-
рать, отсылая желающих к имеющейся литературе1).
«Начала» Евклида на протяжении более двух тысяче-
летий являлись непревзойденным образцом дедуктивного
*) См,- например, статьи в «Историко-математических исследо-
ваниях», вып. I и И.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 355
построения математической теории, образцом математиче-
ской строгости. Разумеется, стиль изложения «Начал»
не был придуман Евклидом. Как сообщает Прокл, и до
Евклида имелись сочинения такого рода. Первые «Начала»
были написаны Гиппократом Хиосским (V в. до н. э.),
а затем Леоном и Фейдием, принадлежащими к школе
Платона. Несомненно, что до Евклида сложились опре-
деленные традиции, определенные схемы, по которым писа-
лись такие кнпги. Большую роль в направлении выясне-
ния вопросов существования, понятий величины и отно-
шения, вопросов доказательства сыграли работы Евдокса
и его школы. Методы построения математических теорий
были обобщены Аристотелем, который и изложил их в
своих книгах «Метафизика», «Вторая Аналитика». Согласно
Аристотелю наука должна начинаться с определений, гово-
рящих о тех объектах, существование которых не доказы-
вается, аксиом — общих предложений, принимаемых без
доказательства, и постулатов — специальных предложе-
ний, в которых утверждаются истины, специфические для
данной конкретной науки. Такое же подразделение основ-
ных положений имеется и в «Началах».
Первая книга начинается с 23 определений, затем идут
пять постулатов и пять аксиом (в некоторых списках
приводятся еще четыре аксиомы). Наибольшей критике
подверглись определения «Начал». Дело в том, что Евклид
дает в них описание всех геометрических объектов, начиная
с таких основных, как точка, прямая и плоскость. При
современном построении геометрии этим объектам не
дается явных определений; они рассматриваются как
первоначальные, не сводящиеся к более простым; эти
объекты определяются неявно, всей системой акспом
в целом. Определения, данные Евклидом, как, например,
1. «Точка есть то, что не имеет частей»1), 2. «Линия же —
длина без ширины», 4. «Прямая линия есть та, которая
равно расположена по отношению к точкам на ней» и тому
подобные, при дальнейшем построении теории не исполь-
зуются вовсе. Это скорее наглядные описания, в которых
х) Определения, постулаты и аксиомы приводим по переводу
Морду хая-Б олтовского.
23’
356
Й. Г. БАШМАКОВА
Евклид попытался определить размерность исходных гео-
метрических объектов. По мнению М. Я. Выгодского,
Евклид привел эти определения потому, что строил свою
геометрию не для любых объектов, для которых выпол-
няются данные аксиомы, а для единственной системы
таких объектов, являющихся отвлечением от простран-
ственно-протяженных величин реального мира. Иными
словами, точка зрения изоморфизма была чужда Евклиду.
Как бы то ни было, но определения эти являются одним
из слабых пунктов «Начал». В ходе развития математики
они были отброшены. Но в «Началах» имеются и другие
определения, которые являются совершенно необходи-
мыми, например, определение прямого угла, как равного
своему смежному (определение 10 книги I), квадрата, пря-
моугольника и ромба (определение 22 книги I), парал-
лельных прямых (определение 23 книги I). Особо следует
отметить определения 4 и 5 книги V: в первом из них фор-
мулируется предложение, которое мы теперь называем
аксиомой Архимеда, а во втором определяется, когда две
пары величин имеют то же отношение. Оба эти предложе-
ния являются основными в теории отношений Евдокса,
которую Евклид и излагает в книге V.
Приведем теперь постулаты и аксиомы «Начал»:
Постулаты.
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно про-
вести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно
продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может
быть описан круг.
4. II что все прямые углы равны между собой.
5. II еелп прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух пря-
мых, то неограниченно продолженные эти две прямые
встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
Напомним аксиомы Евклида:
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые
будут равны.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 357
3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки
будут равны.
4. II совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. П целое больше части.
Пз сравнения постулатов и аксиом видно, что посту-
латы носят сугубо геометрический характер, тогда как
аксиомы могут относиться и к величинам другого рода,
например к числам; таким образом, здесь Евклид следует
общей схеме, изложенной Аристотелем и сложившейся
в предшествующих сочинениях по основам математики.
Но между постулатами и аксиомами имеется и другое
отличие. Как нетрудно видеть, в первых трех постулатах
.утверждается возможность некоторых элементарных по-
строений и именно тех, которые осуществимы с помощью
циркуля и линейки (без делений). Четвертый постулат
Евклида, как заметил Цейтен, обеспечивает единствен-
ность продолжения прямой (если бы прямую можно было
продолжать различными способами, то существовали
бы не равные между собой прямые углы, так как прямой
угол определяется у Евклида как равный своему смеж-
ному).
Пятый постулат, хотя и связан с геометрией циркуля
и линейки, но имеет гораздо более широкое содержание:
он говорит о поведении прямых на бесконечпостп и на
самом деле тесно связан с кривизной изучаемого простран-
ства. Как известно, пятому постулату можно придать сле-
дующую форму: через точку вне прямой в плоскости, опре-
деляемой этой точкой и этой прямой, можно провести
только одну прямую, не пересекающую данную.
Если мы будем теперь рассматривать геометрию на
сфере, у которой отождествлены точки, лежащие на кон-
цах одного и того же диаметра, т. е. на поверхности по-
стоянной положительной кривизны, на которой роль
прямых играют дуги больших кругов, то через точку вне
«прямой» нельзя будет провести нп одной «прямой», не
пересекающей данной. Наоборот, на плоскости Лобачев-
ского, которая является поверхностью постоянной отри-
цательной кривизны, через точку вне прямой можно про-
вести сколько угодно прямых, не пересекающих данную.
Сумма углов треугольника в этой геометрпи всегда меньше
358
И. Г. БАШМАКОВА
двух прямых, тогда как для треугольника на сфере она
больше двух прямых.
Но в самой геометрии Евклида и пятый постулат гово-
рит о возможности некоторого построения: он обеспечи-
вает существование точки пересечения двух прямых, кото-
рые образуют с секущей внутренние односторонние углы,
составляющие в сумме меньше двух прямых.
Нужно сказать, что выбор постулатов чрезвычайно
удачен. Все они, кроме четвертого, входят и в современ-
ную аксиоматику геометрии. То же можно сказать и об
аксиомах, характеризующих основные свойства отноше-
ния равенства. Однако постулатов и аксиом Евклида
недостаточно для того, чтобы построить дедуктивную
систему геометрии. Евклид не сформулировал явно мно-
гое из того, чем он пользуется в дальнейшем. Необходи-
мость некоторых из аксиом, вошедших в систему Гиль-
берта, как, например, аксиом порядка, могла быть
просто незамеченной древними. Но имеются и другие
аксиомы, потребность в которых уже несомненно ощуща-
лась, например стереометрические аксиомы, которые пол-
ностью отсутствуют в «Началах». То же относится к аксио-
мам движения. Геометрия Евклида, по существу, изучает
свойства, остающиеся инвариантными при движениях
твердого тела, т. е. изучает инварианты ортогональных
преобразований.
При построении геометрии необходимо либо опреде-
лить, какие допускаются движения, либо ввести аксиомы,
с помощью которых определяется равенство фигур, и
тогда движениями будут такие точечные взаимно-одно-
значные преобразования, которые переводят прямые
линии в прямые, и не нарушают равенства фигур. У
Евклида нет ни тех, ни других аксиом. Как же он строит
геометрию? В первых трех предложениях «Начал»
решается задача: отложить на данной прямой а от данной
точки А данный отрезок Ь, причем решается, не прибегая
к помощи движения. В 1-м предложении Евклид строит
на данном отрезке равносторонний треугольник, во 2-м
он показывает, как можно отложить от данной точки А
данный отрезок Ь: для этого точку А он соединяет с одним
рз концов, например В (рис. 1) отрезка ВС=Ь, затем
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 359
на отрезке АВ строит равносторонний треугольник АОВ
и продолжает его стороны О В'к О А. После этого отклады-
вает на продолжении, стороны ОВ отрезок ВС=ВС
и из точки О описывает радиусом ОС окружность. Пусть
С" — точка пересечения прямой О А с этой окружностью.
Тогда, как нетрудно показать, отрезок АС" и будет
искомым. Если теперь точка А лежит на некотором отрезке
АМ>ВС, то, проводя пз А окруж-
ность радиуса АС", найдем точку
пересечения ее С'" с отрезком AM. /\
Таким образом, Евклид отклады- / \
вает отрезок ВС на отрезок AM Ah-------------
от точки А, пользуясь только теми /
построениями, возможность кото- уд
рых оговаривается в постулатах. ' ____
Евклид как будто хочет при по-
строении геометрии использовать Рис-
только то, что можно описать
окружность из данного центра данным радиусом. Циркуль
переносить из одной точки в другую нельзя.
Однако уже при доказательстве предложения 4
книги I, утверждающего, что два треугольника равны,
если они имеют равными соответственно две стороны и угол
между ними, Евклид совмещает эти треугольники, т. е.
пользуется движением. Таким образом, автор «Начал»
применяет движения, хотя нигде и не оговаривает пх воз-
можность. Заметим, что явная формулировка аксиом дви-
жения представила бы в то время непреодолимые труд-
ности.
У Евклида имеется только одно из предложений, отно-
сящихся по Гильберту к группе аксиом непрерывности,
а именно так называемая аксиома Архимеда1): если даны
две однородные величины а и Ь, а~>Ъ, то найдется такое
целое кратное nb, что пЪ>а. И это не случайно. Вторая
из аксиом этой группы, например аксиома Кантора (у
Гильберта — аксиома полноты), утверждающая, что любая
х) Сама по себе аксиома Архимеда не является аксиомой непре-
рывности. Она выполняется, например, в области рациональных
чисел. Поэтому наличие ее у Евклида не противоречит нашему
утверждению о том, что аксиомы непрерывности в «Началах» нет.
360
И. Г. БАШМАКОВА
последовательность вложенных друг в друга интервалов,
длины которых стремятся к нулю, имеет единственную
общую точку, вообще говоря, не используется в «Началах*.
Точка зрения непрерывности чужда Евклиду. В его гео-
метрии не существует квадрата, равновеликого кругу,
потому что Евклид не может его построить циркулем
и линейкой. Только в отдельных местах, которые отно-
сятся по существу к обоснованию математического ана-
лиза (а именно, к измерению фигур), Евклид пользуется
существованием четвертой пропорциональной к трем дан-
ным величинам, что, конечно, является следствием аксиомы
непрерывности, но не равносильно ей1). В остальном все
его построения проводятся над квадратичными полями
и для их выполнения континуум математического анализа
является излишним. Перейдем теперь к более подробной
характеристике содержания «Начал».
§ 4. Тринадцать книг «Начал»
Первая книга «Начал» посвящена планиметрии прямо-
линейных фигур. В ней рассматриваются основные свой-
ства треугольников, прямоугольников, параллелограм-
мов, доказывается, что в треугольнике против большей
стороны лежит больший угол, устанавливаются признаки
равенства треугольников, теоремы о параллельных, нако-
нец, книга заканчивается доказательством теоремы Пифа-
гора и теоремы, ей обратной. Содержание этой книги вос-
ходит еще к пифагорейцам. Во второй книге излагается
геометрическая алгебра, строится геометрический аппа-
рат для решения задач, эквивалентных квадратным урав-
нениям. Эта книга также является пифагорейской. В кни-
ге III рассматриваются свойства круга, его касательных
и хорд. Все эти вопросы были впервые систематически
псследованы Гиппократом Хиосским (вторая половина
V в. до н. э.). В книге IV строятся правильные п—уголь-
ники, вписанные в круг или описанные вокруг него,
при и=3, 4, 5, 6, 15.
Э Существование четвертой пропорциональной к трем данным
величинам также имеет место в области рациональных чисел.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 361
Кроме этих многоугольников древние умели строить
с помощью циркуля и линейки все те, которые получаются
из них путем удвоения сторон, т. е. при n—2h, 3-2Ь,
5-2fe и 15-2\ Вопрос о том, можно лп постропть правиль-
ные л-агольнпкп, соответствующие другим значениям п,
оставался открытым. Архимед дал способ построения
правильного семиугольника с помощью вставки, которую
можно было осуществить, пользуясь коническими сече-
ниями. Математики Средней Азии X—XV вв. сводили
построение семи- и девятиугольников к решению куби-
ческих уравнений. Полное исследование вопроса провел
только Гаусс в конце XVIII в. Он показал, что, если
р — простое число вида 22h -|-1, то соответствующий р-
угольнпк можно построить с помощью циркуля и линейки.
Методами теории Галуа можно показать, что условие Гаус-
са является не только достаточным, но и необходимым.
В первых четырех книгах Евклид не применяет уче-
ния о подобии, так как основа этого учения — общая
теория отношений—излагается только в V книге. Эта
книга отличается особенной логической стройностью и за-
вершенностью. В ней формулируется аксиома Евдокса —
Архимеда и излагается теория отношений Евдокса, при-
годная для всех величии, подчиняющихся этой аксиоме.
Мы посвятили этой теории специальную лекцию. В VI
книге Евклид строит учение о подобии, а также дает
некоторые предложения, являющиеся дополнительными
к V книге. В конце VI книги Евклид показывает, как
с помощью теории отношений можно расширить методы
геометрической алгебры. Он решает там уравнения вида
&ж(а—x)=S и
VII—IX книги посвящены теории чисел и теории отно*
шений чпсел. Эти книги, как показал Ван-дер-Вардеп,
в значительной своей части восходят к пифагорейцам.
В них вводится алгоритм Евклпда, устанавливаются
основные теоремы теории делимости (закон однозначности
разложения на простые множители), доказывается, что
простых чисел бесконечно много, и строится теория отно-
шений целых чпсел, эквивалентная современной теории
362
И. Г. БАШМАКОВА
рациональных чисел. Возникает вопрос, почему, построив
в V книге теорию отношений, пригодную как для дис-
кретных, так и для непрерывных величин, Евклид строит
в VII книге специальную теорию отношений для целых
чисел? Многие историки науки (например, Цейтен) счи-
тают, что во времена Евклида теория Евдокса была еще
слишком нова и многие частные вопросы продолжали
трактовать старыми методами. Одним из таких рудимен-
тов и была теория отношений, изложенная в VII книге.
Такая точка зрения нам кажется неосновательной. Ко-
нечно, построив в V книге фактически действительные
числа, Евклид тем самым построил, в частности, и рацио-
нальные числа. Однако, чтобы изучить свойства области
рациональных чисел п построить алгебраические расши-
рения этой области, ему, как и нам теперь, нужно было
отдельно построить эту область, исходя из целых чисел,
а не из любых однородных величин, подчиняющихся
аксиоме Евдокса—Архимеда.
В X книге на основе учения о рациональных числах
Евклид, следуя Теэтету, проводит классификацию квад-
ратичных иррациональностей, которые возникают при
решении квадратных уравнений и некоторых цепочек
таких уравнений (подробности см. в лекции об алгебре
древних). В этой же книге доказывается, что соизмери-
мые величины относятся как число к числу. Этим мно-
жество рациональных чисел вкладывается во множе-
ство всех действительных. X книга наиболее длинна
и трудна для понимания. Здесь больше всего чувствуется
недостаток удобной символики.
XI книга посвящена стереометрии, в ней излагаются
основные теоремы о прямых и плоскостях в пространстве,
решаются задачи на построение (например, опустить
из данной точки на данную плоскость перпендикуляр),
а также устанавливаются основные предложения, необхо-
димые для вычисления объемов параллелепипедов и призм.
В XII книге с помощью метода исчерпывания Евдокса
Евклид показывает, что площади кругов относятся как
квадраты их диаметров, находит объемы пирамид и кону-
сов и, наконец, доказывает, что объемы сфер относятся
как кубы их диаметров. XIII книга посвящена построе-
ЛЕКЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 363
нию пяти правильных многогранников, нахождению их
ребер через радиус описанного шара (все они выражаются
с помощью иррациональностей, рассмотренных в X кни-
ге) и доказательству того, что иных правильных тел не
существует. Основные результаты этой книги принад-
лежат Теэтету.
Мы постарались здесь, хотя бы в общих чертах, дать
представление о замечательном богатстве содержания,
стройности и монолитности «Начал». Мы думаем, однако,
что каждый математик должен сам познакомиться с этой
книгой, пережившей более двух тысячелетий и до сих
пор лежащей в основе всех наших математических знаний.
Влияние «Начал» на развитие математики было колос-
сальным. Мы уже говорили, что Архимед, Аполлоний
и другие античные математики опирались на них при
своих исследованиях по математике и механике. В конце
VIII — начале IX в. появились первые переводы «На-
чал» на арабский язык, в первой четверти XII в. — на
латинский язык. Можно без преувеличения сказать, что
с «Началами» были прекрасно знакомы все математики
средневекового Востока и Европы, их переводили, пере-
издавали и комментировали. Первое издание «Начал»
на русском языке относится к 1739 г., последнее — к
1948—1950 гг. В историко-математической литературе
до сих пор не перестают появляться все новые толкова-
ния как отдельных мест «Начал», так и их общей струк-
туры в целом. Мне хочется кончить тем, чтобы еще раз
настоятельно рекомендовать каждому молодому мате-
матику почитать «Начала» Евклида.
ЛЕКЦИИ 9-10
АРХИМЕД
§ 1. Жизнь и творчество Архимеда
Величайший математик, механик и инженер древности
Архимед родился около 287 г. дон. э. в Сиракузах (Сици-
лия). Первоначальное образование он получил под руко-
водством отца — математика и астронома Фидия. Уже
364
И. Г. БАШМАКОВА
самим воспитанием внимание Архимеда с ранних лет
было направлено на вопросы астрономпп, механики и ма-
тематики. Для завершения образования Архимед поехал
в Александрию — научный и культурный центр того
времени. Там он имел возможность изучать «Начала»
и «Конические сечения» Евклида, труды Евдокса и др.
Там же он завязал дружеские отношения с крупнейшими
александрийскими учеными, особенно с Эратосфеном
и астрономом Конопом. Архимед поддерживал с ними
переписку до конца их жизни.
Наиболее плодотворный период деятельности Архи-
меда как математика, механика-теоретика и конструкто-
ра начинается после возвращения его в Сиракузы. Твор-
ческая сила Архимеда не ослабевает до самой смерти.
Почти все свои новые результаты, а также найден-
ные им новые методы Архимед излагал в письмах к Эра-
тосфену, Конопу, а после смерти последнего — к его
ученику Досифею. Письма эти напоминают по форме
современные научные мемуары: в них излагаются новые
результаты с краткими ссылками на уже установлен-
ные факты. Иногда Архпмед посылал александрийским
ученым только формулировки вновь найденных теорем,
чтобы они попробовали свои силы в пх доказательстве.
Одновременно с математикой Архимед занимался воп-
росами как теоретической, так и прикладной механики.
Наиболее замечательными его изобретениями были бес-
конечный винт, который применялся и до спх пор при-
меняется для вычерпывания воды в Египте, а также слож-
ный блок (полиспаст) для поднятия больших тяжестей.
Он сконструировал также искусный планетарий (или
«небесную сферу»), в котором можно было наблюдать
фазы Лупы, движение планет, затменпе солнца и т. п.
Планетарий этот, по-впдпмому, приводился в движение
водой. Впоследствии он был перевезен в Рим, где его
видел описавший его Цицерон.
Изобретения Архимеда производили столь сильное
впечатление на современников, что вокруг них сложился
ряд легенд. В одной из них рассказывается, что Архи-
мед, построив сложную систему блоков, сумел с ее по-
мощью одним движением руки передвинуть па суше боль-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЁВНЕИ ГРЕЦИИ 365
шой тяжело нагруженный корабль, в другой — что он
при помощи зеркал сжег неприятельский флот.
Генпй Архимеда как инженера особенно проявился
во время осады Сиракуз римлянами. Архимед употребил
все свои силы для защиты родного города. Изобретенные
им мощные метательные машины, могущие выбрасывать
ядра на различные расстояния, заставили римлян отка-
заться от мысли взять город штурмом. Римский полко-
водец Марцелл, стоявший во главе войска, сказал, что
ему легче сражаться с целой армией, чем с этим стору-
ким Брпареем1). Римляне перешли к осаде города.
Осенью 212 г. до н. э. Сиракузы былп взяты. При этом
был убит Архимед.
Яркий рассказ о его смерти приводится у Плутарха:
«К Архимеду подошел солдат с мечом в руке, чтобы убпть
его. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну
минуту, чтобы задача, которой он занимался, пе оста-
лась нерешенной; солдат, которому не было дела до его
доказательства, пронзил его своим мечом».
Для творчества Архимеда характерна тесная взаимо-
связь теорпи и практики, математики и механпки. Раз-
рабатывая наиболее тонкие математические методы, он
прилагал пх к решению задач теоретической механики.
Важные на практике приемы приближенных вычислений
он исследовал строго теоретически и сумел придать им
глубокий научный интерес. Наконец, сами теоремы меха-
ники, особенно принцип рычага, служили ему для откры-
тия новых математических истин.
Вероятно, интерес к теоретическим исследованиям
в области механпки возник у Архимеда в связи с его
механическими изобретениями. Наиболее ранппе сочи-
нения Архимеда были посвящены теории рычага и нахо-
ждению центров тяжести параллелограмма, треугольника
и трапеции. Само понятие центра тяжести было впервые
введено Архимедом. Эти результаты, а также определе-
ние центра тяжести сегмента параболы былп изложены
впоследствии Архимедом в работе «О равновесии плоских
*) Бриарей — бог ветров в греческой мифологии, имевший
100 рук.
366
И. Г. БАШМАКОВА
фигур или о центрах тяжести плоских фигур»1). В этом
сочинении, положившем начало статике как науке, Архи-
мед, исходя пз явно формулируемых физических посы-
лок, выводит знаменитым закон рычага. Он принимает,
что: 1) равные веса, помещенные на равных расстояниях
от точки опоры, находятся в равновесии; 2) равные веса,
помещенные на неравных расстояниях от точки опоры,
не находятся в равновесии, но возникает наклон в сто-
рону того груза, который находится на большем расстоя-
нии'2). На основании этих посылок с помощью общей тео-
рии отношений Евдокса—Евклида и метода исчерпыва-
ния Архимед доказывает, что величины (веса которых
могут быть как соизмеримыми, так и несоизмеримыми)
находятся в равновесии, если расстояния их от точки
опоры обратно пропорциональны весам. Легенды при-
писывают Архимеду слова, вошедшие в поговорку: «Дай-
те мне точку опоры, и я сдвину Землю».
Открытия Архимеда по гидростатике знаменуют нача-
ло и этой науки. Результаты в этой области были изло-
жены в работе «О плавающих телах», которая относится
к более позднему периоду, — для ее выполнения Архи-
мед должен был предварительно развить сами методы
интегрирования. В ней устанавливается, что поверхность
всякой жидкости, находящейся в покое, принимает форму
сферы с центром в центре Земли. Затем выводится основ-
ной закон гидростатики, который и носит имя Архимеда.
По преданию, Архимед применил открытый им закон
для определения того, сделана ли корона царя Гиерона
из чистого золота или в ней содержится и серебро. Очень
вероятно, что работы Архимеда по гидростатике были
связаны с теоретическим исследованием задач, возник-
ших при постройке огромного корабля царя Гиерона.
Греческие корабли были плоскодонными; они очень
неглубоко сидели в воде. Поэтому особенно большое
*) Известно, что еще раньше Архимед написал: «Об изготовле-
нии небесной сферы», в которой описывался построенный им плане-
тарий, «О рычагах» и «Книгу опор», которые до нас не дошли.
2) Очевидно, Архимед не считает, что рычаг находится в равно-
весии, когда плечи его занимают наклонное положение (когда
один из грузов «перевесил» другой).
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 367
значение при конструкции таких кораблей имели вопросы
устойчивости положений равновесия. Заметим, что кри-
вая, получаемая в сечении греческого корабля плоско-
стью, перпендикулярной к линии, соединяющей корму
с носом, могла быть приближенно представлена пара-
болой. Первое теоретическое исследование устойчивости
такого рода тел было предпринято Архимедом. Свои резуль-
таты он изложил во второй книге сочинения «О плаваю-
щих телах». Архимед находит там все положения устой-
чивого равновесия прямого1) сегмента параболоида вра-
щения. При этом он исходит из очевидного необходимого
условия равновесия, заключающегося в том, что центр
тяжести вытесненного объема жидкости, к которому
приложена равнодействующая давлений жидкости,
и центр тяжести всего тела лежат на одной вертикали.
Ясно, что если это условие не соблюдается, то сила тяже-
сти тела и сила давления жидкости образуют пару, кото-
рая будет выводить тело из соответствующего положе-
ния. Для определения устойчивости равновесия (устой-
чивость понимается как «стремление» вернуться в исход-
ное положение равновесия при отклонениях от него)
Архимед предпринимает дополнительные исследования.
При этом он рассматривает некоторую поверхность, ана-
логичную так называемой «поверхности центров», кото-
рая впервые была введена в начале XIX в. Дюпеном.
До работ Дюпена и А. Ю. Давидова (Московский уни-
верситет, третья четверть XIX в.) эти глубокие иссле-
дования Архимеда не получили дальнейшего сущест-
венного развития. хотя нахождением устойчивых
положений равновесия плавающих тел занимались та-
кие ученые, как Стевин (XVI в.), Эйлер и Лагранж
(XVIII в.).
Лагранж в «Аналитической механике» писал об этом
сочинении Архимеда: «Эта книга является одним из пре-
краснейших памятников гения Архимеда, она содержит
теорию устойчивости плавающих тел, к которой совре-
менные ученые добавили очень немного».
Э То есть сегмента, отсекаемого плоскостью, перпендикуляр'
ной к оси вращения сегмента.
368
И. Г. БАШМАКОВА
Архимед занимался и геометрической оптикой, кото-
рой было посвящено его утерянное сочинение «Катоп-
трика». Как сообщает Витрувий, римский архитектор
I в. до н. э., там рассматривались вопросы об изображе-
нии предметов в плоских, выпуклых и вогнутых зерка-
лах, о зажигательных зеркалах, о причине радуги и т. и.
В этом же сочинении Архимед устанавливал, что угол
падения светового луча равен углу отражения.
Для нас особый интерес в творчестве Архимеда пред-
ставляют его псследовапия по математике, особенно разра-
ботка методов определения площадей, объемов, поверхно-
стей, центров тяжести, а также методов определения экст-
ремумов и касательных. Эти работы снискали ему бес-
смертную славу и поставили его в ряд величайших ученых
мира.
Мы будем говорить далее подробно о работах Архиме-
да, которые мы бы отнесли теперь к математическому
анализу. Сейчас мы остановимся коротко на других его
математических сочинениях. Архимед был чрезвычайно
разносторонним ученым, и ему принадлежат важнейшие
исследования почти во всех разделах математики его
времени. При этом во всех этих областях он проклады-
вал новые пути.
Ряд сочинений Архимеда посвящен вопросам ариф-
метики. В «Исчислении песка» или «Псаммите» Архимед
дал регулярный способ наименования сколько угодно
больших чисел1). Там же была установлена теорема
am-an = am*n.
Впоследствии Архимед пользовался не только целыми,
но п дробными степенями. Так, в сочинении «О шаре
и цилиндре» он доказывает, что если разделить шар на
два неравных сегмента, то отношение их объемов будет
больше отношения полуторных степеней их поверхно-
стей. При этом Архимед но поясняет, что следует пони-
мать под дробной степенью. Возможно, что определение
дробной степени содержалось в утраченной работе Архи-
меда «Основы арифметики».
*) Подробнее см. об этом лекции 1.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 369
Наконец, нам известна одна теоретико-числовая про-
блема, так называемая «Задача о быках», поставленная
Архимедом перед Эратосфеном и другими александрий-
скими математиками; вероятно, Архимед при этом осо-
бенно имел в виду Аполлония — крупнейшего матема-
тика того времени, который во многих вопросах выступал
как научный соперник Архимеда. Задача сводилась
к нахождению наименьшего целочисленного решения не-
определенного уравнения х2 — 4 729 494 у2 = 1.
Впоследствии было подсчитано, что это решение запи-
сывается с помощью 206 545 десятичных знаков. Поэтому
ясно, что речь шла не о том, чтобы вычислить и записать
это решение (что было практически невозможно), а о том,
чтобы указать общий метод решения уравнения
х2 — ау2=1 (*)
и дать этому методу теоретическое обоснование. Мы знаем,
что процесс нахождения решений уравнения (*) при а=2
был хорошо известен античным математикам; обоснова-
ние его было дано в «Началах» Евклида. Процесс этот
по существу совпадал с разложением | 2 в непрерывную
дробь и с нахожденпем подходящих дробей. Постановка
«Задачи о быках» и подбор значения для а показывают,
что Архпмеду был известен и общпй метод решения урав-
нения (*) при любых а. Он специально подобрал такое
значение’ для а, чтобы александрпйские математики не
могли найти его путем подбора, а были бы вынуждены
изложить общие методы. В новое время регулярный
прием для нахождения наименьшего целочисленного ре-
шения уравнения (*), а также всех остальных его реше-
ний был найден только Форма (XVII в.), Броупкером
(XVII в.) и Эйлером (XVIII в.), а строгое обоснование
приема дал Лагранж (XVIII в.). Насколько нам известно,
никто из александрийских математиков не решил поста-
вленную Архимедом задачу.
Уже «Псаммит» и «Задача о быках» показывают,
каким искусным вычислителем был Архимед. Но особен-
но проявился в этом направлепии его гений в работе
«Измерение круга», которую мы рассмотрим отдельно.
Здесь достаточно будет сказать, что в этой работе
24 Истор.-матем. исслед., вып. XI
370
И. Г. БАШМАКОВА
Архимед впервые разработал регулярный прием для отыс-
кания рациональных чисел, как угодно мало отличающихся
от отношения длины окружности к диаметру.
Теперь мы перейдем к работам Архимеда, посвящен-
ным определению площадей и объемов. Наиболее ранние
результаты его в этом направлении изложены в сочине-
нии «Послание Эратосфену о методе», в котором с помощью
оригинального механического метода определяются пло-
щадь сегмента параболы, объемы шара и сфероида (т. е.
эллипсоида вращения) п сегмента параболоида вращения.
Там же определяются объем «цилиндрического копыта»,
т. е. тела, отсекаемого от цилиндра данной высоты, впи-
санного в призму с квадратным основанпем, плоскостью,
проходящей через середину нижнего основания и сто-
рону верхнего основания призмы, и некоторые другие
объемы. В остальных своих работах, посвященных опре-
делению площадей, объемов и поверхностей, Архпмед
пользовался «методом исчерпывания» Евдокса, который
он значительно развил. В сочинении «Квадратура пара-
болы» Архимед искусно применяет метод исчерпывания
для определения площади сегмента параболы. В работе
«О шаре и цилиндре» он определяет не только объем
шара, по и — что гораздо сложнее — его поверхность.
При этом поверхность шара рассматривается фактически
как общий предел поверхностей вписанных и описанных
фигур. Архпмед придавал настолько большое значение
результатам, полученным в этой работе, что просил выбить
на своей могиле изображение шара, вписанного в ци-
линдр. В сочинении «О спиралях» Архимед определяет
площадь витка так называемой спирали Архимеда, в рабо-
те «О коноидах и сфероидах» — объемы сегментов пара-
болоида, гиперболоида (двуполостного) и эллипсоида вра-
щения. В трех последних произведениях Архимед развивает
дальше сами интеграционные методы, фактически вводя
в рассмотрение верхние и нижнпе интегральные суммы.
Сочинение «О шаре и цилиндре» замечательно еще
и тем, что в нем Архпмед решает задачу, сводящуюся
к кубическому уравнению
ж2 (а — х) = Ь-с.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 371
Архимед дает геометрическое построение положительного
вещественного корня этого уравнения, а при исследова-
нии уравнения находит максимальное значение выраже-
ния х2(а—х) (конечно, при 0<ж<о). Метод решения
этой задачи вполне общий: он состоит в сведении экстре-
мальной задачи к вопросу о том, при каком значении
Ь2с и в какой точке х0 кривые cy=xi и у= -—- имеют
общую касательную. В сочинении «О спиралях» Архимед
даст способ нахождения касательной к кривой, основан-
ный на той же общей идее применения бесконечно малого
характеристического треугольника, которую впоследствии
применяли математики XVII в.
Для математики неоценимое значение имеют не только
сами результаты Архимеда, но и, особенно, его методы. Это
хорошо поняли ученые XVII в.; именно в сочинениях
Архимеда они искали и находили инфинитезимальные ме-
тоды для решения обширнейшего класса задач механпки п
геометрии, которые встали перед математикой того времени.
Мы сможем представить себе значение методов Архи-
меда только после того, как детально разберем его работы.
Все сочинения Архимеда изложены необычайно ясно.
Плутарх справедливо говорил: «Во всей геометрии нельзя
найти более трудных и серьезных задач, которые были бы
притом изложены в более простой и наглядной форме,
чем это сделано в сочиненпях Архпмеда... Самому не
найти иной раз доказательств для решения задачи, но
стоит обратиться к сочинениям Архимеда, и тотчас же
приходишь к убеждению, что мог бы решпть ее сам; так
ровна и коротка дорога, которой он ведет к доказательству».
Нет сомнения, что в этих словах Плутарх выражает
не столько свое личное мнение, сколько общее мнение
современных ему математиков.
§ 2. «Послание о методе»
«Послание Эратосфену о методе» («Эфод») было най-
дено только в 1906 г. Приват-доцент Петербургского
}ниверсптета Попадопуло-Керамевс в библиотеке одного
из Иерусалимских монастырей обнаружил пергамент
24*
372
И. Г. БАШМАКОВ\
с позднехристианскпм текстом, иа котором сохранились
следы более древней греческой рукописи. Он выписал
из нее отрывки, по которым известный датский историк
математики Гейберг сразу узнал Архимеда. Гейбергу
удалось почти полностью восстановить текст греческой
рукописи, который и был издан.
В «Послании о методе» Архимед сообщает Эратосфену,
как можно находить новые математические истины с по-
мощью принципа рычага: «Так
как я (как я говорил уже) счи-
таю тебя серьезным ученым и вы-
дающимся по значению филосо-
фом..., — писал Архимед, — то
я счел уместным в этой книге
изложить и объяснить тебе осо-
бый метод, благодаря которому
ты получишь хорошее вспомога-
тельное средство для исследова-
ния некоторых математических
вопросов при помощи механи-
ки»1).
Мы разберем, в чем состоит сущность механического ме-
тода Архимеда, на задаче определения объема шара. Пусть
даны шар с радиусом AC=R (рис. 1), конус и цилиндр,
основания которых имеют радиус 2R, а высоты равны
2R. Пусть МК — след произвольной горизонтальной
плоскости. Эта плоскость пересекает цилиндр, шар и ко-
нус по кругам с радиусами ОМ, ОК и OL. Но из чертежа
видно, что
АК2 = ОК2 + О А2 = ОК2 + OL2.
С другой стороны,
АК2 = АВОА, т. е. АВ • О А = ОК2 + ОТ2.
х) Открытие механического метода относится к раннему периоду
жизни Архимеда: так, он уже владел им, когда писал «Квадратуру
параболы», но изложил он его в письме к Эратосфену уже после
того, как были написаны его основные сочинения («О шаре и цилинд-
ре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах»), относящиеся к оп-
ределению площадей и объемов.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 373
Умножим обе части последнего равенства на АВ'.
АВ2 О А = ОК2 -АВ + OL2 -АВ
пли
(ъАВ2') О А = (кОК2} АВ + (vOL2) АВ. (*)
Представим себе теперь, что отрезки АВ и АТ=АВ
являются плечами рычага, точка опоры которого сов-
падает с точкой А. Тогда соотношение (*) показывает,
что еслп перенести круговые сечения шара т.ОК2 и ко-
нуса sOL2 в точку Т, то они «уравновесят» по отноше-
нию к точке А круговое сеченпе цилиндра -пАВ2 = пОЛ12,
оставленное на своем месте. Архимед замечает, что подоб-
ное соотношение устанавливается и для любых других
сечений шара, конуса и цилиндра, лежащих в одной
и той же горизонтальной плоскости. «Но так как цилиндр,
а также шар и конус заполнены полученными (таким
образом) кругами, то остающийся на своем месте ци-
линдр будет находиться по отношению к точке А в равно-
весии с обоими (телами) шаром и конусом, если их пере-
местить и так закрепить на коромысле в Т, чтобы каждый
из них имел центр тяжести в 7'». Но центр тяжести остав-
шегося на месте цилиндра находится в точке С — сере-
дине отрезка АВ, значит,
пц АС = (Нш + FK) АТ = (Нш + FK) 2 АС,
где гц, гш и гк — соответственно объемы цилиндра, шара
и конуса. Значит,
1
аш = -2-ац— пк,
но
1
Пк = у Уц,
следовательно,
^ш = ^д-Апц = -1пц = -^(27?)2 2Н = 4^31).
Ал О О О О
*) Сам Архимед сформулировал свой результат следующим
образом: объем шара равен одной трети описанного вокруг него
цилиндра, основание которого есть большой круг шара, а высота—
диаметр
374
И. Г. БАШМАКОВА
Аналогично находятся в этом сочинении площадь
параболического сегмента, объемы сфероида (т. е. эллип-
соида вращения), сегменты параболоида вращения, шара
и др. Во всех этих случаях площадь или объем неизве-
стной фигуры «уравновешиваются» известными фигурами,
помещенными на рычаге, плечи которого известны.
Мы не можем не остановиться здесь на той неправиль-
ной оценке «Послания о методе», которая имеет распро-
странение в историко-математической литературе. Не-
которые историки науки считают, что: 1) изложенный
метод являлся для Архимеда основным для открытия
математических истин; 2) центральным в методе является
составление тел пз «неделимых», т. е. объемов из площа-
дей, а площадей пз параллельных друг другу хорд. При
этом обычно бросается тень на метод исчерпыванпя, кото-
рый Архимед применял в других своих работах; метод
этот объявляется лишенным эвристической силы и полез-
ным только для доказательства заранее известных ре-
зультатов.
То, что механический метод пе мог быть для Архимеда
основным, показывает хотя бы тот факт, что с его по-
мощью нельзя определить поверхность шара. Он не при-
менялся Архимедом и для определения площади витка
спирали. С другой стороны, сам Архимед ясно сознавал,
что сила метода состоит не в пользовании неделимыми,
а в применении принципа рычага: недаром он назвал
метод механическим. Более того, Архимед показал, что
результаты, полученные механическим методом, могут
быть выведены почти дословно таким же способом, но уже
без применения неделимых. Для этого рассматриваемые
фигуры надо «разбить» на элементарные части того же
измерения, что и вся фигура, на «части», которые цели-
ком вписаны в фигуру или описаны вокруг нее. После
этого точно так же применяется принцип рычага. При
этом, конечно, необходимо проводить доказательство по
методу" исчерпыванпя, заменяющее предельный переход.
При окончательном изложении своих результатов
Архимед стремился избавиться от излишних механиче-
ских предпосылок. II это вполне естественно: открывае-
мые Архимедом математические истины, находимые им
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 375
количественные соотношения между объемами не зави-
сят от законов механики, а, наоборот, являются пред-
посылкой для исследования этих законов. Чтобы дока-
зать большую общность найденных математических соот-
ношений, независимость их от частных принципов меха-
ники, -Архимед искал чисто математическое доказатель-
ство этих предложений.
Перейдем теперь к основному вопросу: можно ли счи-
тать механический метод Архимеда началом интегра-
ционных методов. На разобранном примере мы виделп,
что объем шара находится вовсе не путем арифметиче-
ского суммирования объемов элементарных слоев. Ни-
какого вычисления интегральных сумм здесь не прово-
дится. Отсутствует и отыскание предела арифметических
сумм. Таким образом, механический метод нельзя рас-
сматривать как начало интегральных методов. Это не
интегрированпе, а скорее обход интегрирования. При
этом принцип рычага позволяет Архимеду свести опре-
деление неизвестных площадей и объемов к известным1)
путем установления некоторых соотношений между
элементарными частями известных и неизвестных объе-
мов.
Механический метод Архимеда не является единствен-
ным примером открытия математических истиц с помощью
предложений механики и физики. Так, более двух тыся-
челетий спустя Даииил Бернулли (середина XVIII в.)
нашел из физических соображений общее решение диф-
ференциального уравнения колебания струны в форме
тригонометрического ряда.
В середине XIX в. Бернгард Риман применил поло-
жения из теории электричества для установления того,
что на каждой замкнутой римановой поверхности суще-
ствует алгебраическая функция, отличная от постоянной.
При окончательном изложении математики стремились
исключить все эти физические посыпки и вывести иско-
мое предложение, не опираясь на них. Такого рода при-
меры можно было бы уМНОЖПТЬ.
*) То есть с помощью принципа рычага один интеграл сводится
К другому.
376
И. Г. БАШМАКОВА
§ 3. Метод интегральных сумм
В лекции, посвященной методу исчерпывания древ-
них, мы рассмотрели, как Архимед выполнил квадра-
туру сегмента параболы. Этот пример показывает, что
Архимед глубоко проник в идеи Евдокса и умел их мас-
терски применять.
Однако основная заслуга Архимеда состоит не столько
в искусном применении известных методов и приемов,
сколько в существенном разви-
тии самих этих методов. В сочи-
нениях «О шаре и цилиндре»,
«О спиралях», «О коноидах и сфе-
роидах» Архимед фактически вво-
дит в рассмотрение так называе-
мые верхние и нижние интеграль-
ные суммы. При этом Архимед
нс пользуется непосредствпно
леммой Евдокса, для применения
которой нужно было «исчерпы-
вать» искомую величину последо-
вательностью известных величин, первая из которых со-
ставляла половину или больше искомой величины, вто-
рая — половину или больше остатка и т. д., но дока-
зывает в 19.-м предложении сочинения «О коноидах
и сфероидах» на основании этой леммы другую лемму,
которой в дальнейшем и пользуется:
«Если дан сегмент коноида, отсеченный плоскостью,
перпендикулярной к осп, или сегмент сфероида, отсе-
ченный тем же способом, то можно вписать в него и опи-
сать около него фигуры, состоящие из цилиндров равной
высоты, таким образом, чтобы описанная фигура пре-
восходила вписанную меньше, чем на всякую данную
телесную величину».
Действительно, пусть дан сегмент АВС (рис. 2) и не-
которая телесная величина Ъ. Делим высоту ВО на п
равных частей и образуем вписанную и описанную фигуры
ип и Un. Тогда Un — ип — объему нижнего цилиндра
ов
АА' = ъОС2 — \ отсюда для нас непосредственно ясно,
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 377
что при достаточно большом числе делений п этот объем
может быть сделан меньше, чем Ь. Архимед доказывает
это на основании леммы Евдокса1).
Для определения объемов сегментов гиперболоидов
п эллипсоидов вращения Архимед пользуется формулой
суммы квадратов членов арифметической прогрессии,
которую он получил в сочинении «О спиралях», точнее
говоря, оценкой, вытекающей из этой формулы:
Л2< Л2 + (2/г)2 + ... + (nh)z ^2- (1)
о а о
Эту оценку, которая и сама по себе является замечатель-
ной, Архимед фактически применяет для определения
(2)
n-^k=i
а
(где nk = a), который мы бы записали теперь, как x2dx.
о
Чтобы определить (2), достаточно воспользоваться оцен-
кой (1). Действительно, умножим обе части неравенств
(1) на h и положим nh=a~.
у h3 < (W h < h3,
ь=1
(3)
3
x) Это предложение Архимед доказывает, опираясь па 1-е пред-
ложение X книги Евклида, в котором обосновывается вышеупомя-
нутая лемма Евдокса. Таким образом, для того чтобы доказать, что
а _ -
величина - при достаточно больших п может быть сделана меньше
любой наперед заданной величины Ъ, Архимед пользуется доказан-
fl ,
ным у Евклида предложением, что величина — при достаточно боль-
ших п становится и остается меньше Ь. Аксиома Евдокса—Архимеда
непосредственно в доказательстве Архимеда не фигурирует, по-
скольку он пользуется основной леммой метода исчерпывания, при
обосновании которой эта аксиома уже была использована.
378
И. Г. БАШМАКОВА
Отсюда, переходя к пределу при п~>оо, nh = a, по-
лучаем:
lim У (/Ji)2/i = ,
"_>о° h=l
(4)
nh = а.
Архпмсд пользуется неравенствами (1) и при определе-
нии площади, ограниченной витком спирали р = atp,
и прп определении объемов ко-
Рис. 3.
ноидов и сфероидов. Мы разбе-
рем метод Архимеда на примере
его определения объема эллип-
соида вращения.
Пусть АВС — половина эл-
липсоида вращения с полуосями
ОВ=Ь и ОА = а (рис. 3). Раз-
делим высоту ОВ на п частей
и построим из цилиндров высо-
, ОВ Ь х
ты /г == — = — описанную фигу-
ру Un и вписанную ип. По доказанной лемме, разность
Un—ип может быть сделана как угодно мала:
Un~Un <е
(5)
Архимед определяет объемы Un и ип. Для того чтобы
легче следить за его выкладками, мы, не меняя их сущ-
ности, изложим их на современном языке. Для этого
примем, что положительное направление оси х совпа-
дает с лучом ОС, а осп у — с ОВ. Тогда уравнение сече-
ния эллипсоида плоскостью хОу будет
а объемы элементарных цилиндров, составляющих опи-
санное тело Un, будут
-nlia?, ..., idhxn-i.
ЛЕКЦИЙ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 379
Но ИЗ (*)
^ = р[^-(2й)2],
Исходя из этих соотношений, объем описанного тела
Un вычисляется так:
тгЛп2 = it^hb2,
Ь2
^=7:p/l(h2-/22),
^ = те^й[Ь2-(2Л)2],
-t/ztLt = (Ь2~ (п — 1)2Л2]
п—1 п—1
ип = 2 7-/г^=п рh [nb2 - 2 (г’/г)2 ]
h=0 и=1
Un Архпмед оценивает1) с помощью второго из нера-
венств (1):
г7»>1=?2/гГ^2-?й21 = ™2Ь Г 1-41 =^тм2Ъ. (6)
о2 L 3 J L з J 3 '
Аналогично доказывается, что
ип<^а2Ь. (7)
На основании неравенств (5), (6) и (7) (которые он
пишет в виде неравенств между отношениямп) Архимед
х) Основное отлпчпе рассуждений Архимеда от тех, которые
воспроизводили здесь мы, заключается в том, что он оперирует не
с объемами элементарных цилиндров т-.х2/г, а с их отношениями
к цилиндру ЛА'С'С=ла2/1, благодаря чему число к в вычислениях
не j частвует. Все выкладки основываются на операциях с отноше-
ниямп, законность которых была обоснована Евдоксом и Евклидом.
380
И. Г. БАШМАКОВА
доказывает далее, что объем полусфероида V равен объе-
му удвоенного конуса с теми же основанием и высотой,
2
что и рассматриваемый сегмент, т. е. равен Z = у iza2b.
Разумеется, что величину Z Архимед находит путем мол-
чаливого предельного перехода. Справедливость равен-
ства V=Z Архимед доказывает от противного. Пусть
это не так: пусть V<_Z. Тогда на основании леммы можно
описать и вписать такие U и ип, что
Un-un<Z-V,
но ип как вписанная фигура всегда <У, следовательно,
Un—V<Un—un<Z—V, т. е. и Un должно быть <Z,
что невозможно в силу (6). Пусть теперь, если это воз-
можно, F>Z. Тогда берем такие Un и ип, что
Un-un<V-Z,
но Un>V, значит, и wn>Z, что опять-таки невозможно
в силу (7).
Здесь перед нами настоящее интегрирование. Архи-
мед составляет верхние и нижние интегральные суммы Un
и un и находит фактически V как общий предел этих сумм.
В новое время аналогичные суммы использовались
для приближенного вычисления площадей, но только
Риман впервые положил аналогичный метод в основу
определения понятия интеграла.
Заметим, что при определении объема сфероида Архи-
мед на самом деле доказал вполне общее предложение,
по существу равносильное теореме теории пределов:
если постоянная величина V все время заключена между
ограниченными переменными величинами Un и ип:
Un>V> un,
разность между которыми становится (и остается) с рос-
том п как угодно малой, то
limZ7n = lim un = V.
ЭТ—>со п->со
В сочинении «О коноидах и сфероидах» Архимед
определил с помощью разработанных им интеграционных
методов, помимо объема сфероида, еще и объемы сегмен-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 381
тов параболоида и гиперболопда вращения. В переводе
на язык современной символпкп он определил интегралы
а а а
(* (* /}3 Г*
\.xdx=-^, \x2dx = -^, \
ООО
причем при определении последнего объема он факти-
чески показывает, что
а
а
Рис. 4.
а
х dx.
б 0 0
Тот же метод рассмотрения верхних и нижних сумм был
еще раньше применен Архимедом для определения пло-
щади S, ограниченной
витком спирали, поляр-
ное уравнение которой
есть р = <р *). Для этого
он проводит «первый»
круг, т. е. круг радиуса
ОА=а, где а — расстоя-
ние конца А первого
витка спирали от ее на-
чала О, и делит окруж-
ность этого круга на п
частей (рис. 4). Затем
он рассматривает впи-
санные и описанные фи-
гуры, составленные из круговых секторов, соответств} ю-
2л
щих центральному углу — , радиусы которых в соответ-
ствии с определением спирали суть: для вписанной фигуры
а 2а п—1 ~ а 2а
, ----а, а для описанной —, —.
п п ’ п п п
Площадь S будет, таким образом, заключена
Щадями:
п
.—а = а.
’ п
между пло-
I2 < А
2
) Подробнее о спирали Архимеда см. в § 5.
382
И. Г. БАШМАКОВА
для оценки которых Архпмед применяет неравенства (1):
п
л / ча \2 ns а2 л а2п
п 2-i \ п ) п2 п 3’
м=1
п—1
л ( 'va'\2 п3 я2 л ла2
п 21 \ п J 3 п2 п 3
м=1
Отсюда, принимая во внимание, что разность между
верхней и нпжней суммами может быть сделана меньше
любой наперед заданной величины, Архимед получает
путем предельного перехода (о котором он, как всегда,
ничего не говорит) и доказательства от противного, что
S = (8)
О
1
т. е. площадь первого витка спирали равняется -л- пло-
О
щади «первого» круга. Это соответствует вычислению
того же интеграла x2dx, только при этом Архпмед поль-
зовался элементом площади, вычисленным, как мы бы
теперь сказали, в полярных координатах.
В сочинении «О шаре и цилиндре» Архимед для опре-
деления поверхности шара выводит соотношение, экви-
валентное
"К
sin = 1. (9)
Z j
о
Для этого он находит сумму вертикальных хорд, соеди-
няющих вершины вписанного в круг 2и-угольпика. Если
воспользоваться современными обозначениями, то ре-
зультат Архпмеда можно записать так:
п— 1
2 V Rsin —.2/?sin^ = 4/?2cos-^, (10)
п 2п 2п 4 7
й=1
откуда путем молчаливого предельного перехода и полу-
чается (9)а
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 383
Для определения поверхности сегмента шара Архи-
мед аналогичным образом устанавливает соотношение,
эквивалентное
а
sineZip = 1 — cos а,
о
находя для этого сумму ряда величин:
о . а . 2а . (п—1)а) .
2 -! sin —sin — + • • • + sin-—!- -|-sina =
= (1 — cos a) ctg,
или если обозначить - = 0, то
п
sin 6 + sin 26 + ... + sin (п — 1) 6 =
(1 — cos nO) cos —sin'nO sin
Итак, Архимед впервые ввел в математику интеграль-
ные суммы. Он находил площади, объемы и поверхности,
исходя из точных неравенств, установленных для вписан-
ных и описанных фигур, путем арифметического суммиро-
вания элементарных частей этих фигур. Таким образом,
никакого разрыва между методом открытия и методом
доказательства у Архимеда не существовало. Одни и те
же неравенства служили и для нахождения результата
и для обоснования его истинности. Это, конечно, нисколь-
ко не противоречит тому, что многие свои результаты
(но не все) Архимед получал предварительно при помощи
принципа рычага, т. е. с использованпем лишних посылок.
личпе метода Архимеда от интеграционных мето-
дов XVII—XIX вв. состоит в том, что у Архимеда не
было выделено еще общих понятий предела, интеграла,
интегральной суммы п не существовало еще общих алго-
ритмов для решения целых классов интеграционных за-
дач. Некоторые по сутцеству вполне общие теоремы он
доказывал всякий раз заново для тех конкретных вели-
384
И. Г. БАШМАКОВА
чпн, для которых ставилась задача. Благодаря этому
же не были выделены и условия, при которых имеют место
эти теоремы, например, когда имеет место единствен-
ность предела пли, другими словами, когда проходит то
заключительное доказательство от противного, которое
Архимед вынужден был повторять при определении лю-
бой площади или объема. Значит, первым важпым отли-
чием античных интеграционных методов является отсут-
ствие разработанной системы общих понятий.
Вторым, не менее важным отличием их является
крайне слабое развитие арифметико-алгебраического ап-
парата, хотя бы и в геометрической форме. Наибольшим
числом алгебраических соотношений пользовался Архп-
мед. Но и у него мы находим только: 1) формулу для сум-
мы геометрической прогрессии; 2) формулу для суммы
членов арифметической прогрессии и для суммы ряда
квадратов членов арифметической прогрессии, При
определении поверхности шара он нашел еще (геометри-
"К
чески) соотношение, эквивалентное sin (Z<p = 2.
V
На этом дело и кончается. Только этим обстоятельством
объясняется тот факт, что Архимед определяет в своих
сочинениях объемы сегментов эллипсоида, параболоида
и гиперболоида вращений, площади же определяет толь-
ко для эллипса и сегмента параболы — у него не хватало
аналитических средств для определения площади сегмен-
та гиперболы или части площади между гиперболой и ее
асимптотой: ведь для этого необходимо было знать лога-
рифмы. Отсюда видно, что для дальнейшего развития инте-
грационных методов необходимы были развитие и совер-
шенствование арифметико-алгебраического аппарата, зна-
комство с новыми соотношениями, наконец, введение
понятия функции и изучение функций. Вот почему гени-
альные методы Архимеда не получили и не могли полу-
чить сколько-нибудь существенного развития в античной
математике. Потребовались глубокое усовершенствование
и развитие арифметпкп, алгебры, вычислительных алгорит-
мов, прежде чем человечество смогло обратиться вновь
к методам интегрирования. Это произошло в новую пстори-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 385
ческую эпоху, в XVI—XVII вв., и было тесно связано
с расцветом естествознания и общим ростом всего произ-
водства.
Важным отличпем является и то, что Архимед, как
и другие античные математики классического периода, не
употреблял алгебраической символики, что делало все
выкладкп и сами рассуждения очень громоздкими.
Прежде чем говорить о значении, которое имели разоб-
ранные нами работы Архимеда, мы обратимся к другим
сочинениям этого великого ученого.
§ 4. «Измерение круга» Архимеда
Развивая интеграционные методы, Архимед поль-
зовался общей теорией отношений, которая играла
при этом ту же роль, что и обоснование вещественного
числа в нашем математичес-
ком анализе. При этом отно-
шения во всех разобранных I о,—
нами работах трактуются в х | ~— ----
духе Евдокса — Евклида. а в
Замечательным исключе- Рис. 5.
нием в этом смысле является
сочинение Архимеда «Измерение круга». Здесь впервые
вычислительная задача рассматривается строго теорети-
чески и, что очень важно, намечается новый подход к само-
му понятию отношения, сближающий отношения с чис-
лами.
Целью сочинения является нахождение рациональных
приближений для отношения длины окружности к диаме-
тру и тем самым приближенного значения площади
круга. Архимед предварительно доказывает по методу
исчерпывания, что площадь круга равна площади прямо-
угольного треугольника, одним из катетов которого
является длина окружности, а другим — ее радиус
(рис. 5). Таким образом, задача квадратуры круга сводит-
ся к нахождению длины окружности.
I Для классической античной математики «найти» дли-
ну окружности означало дать способ построения отрезка,
равновеликого окружности.
25 Истор.-матем. исследов., выл. XI
386
И. Г. БАШМАКОВА
Совершенно по-новому в сочинении «Измерение кру-
га» поставил задачу Архимед: здесь найти означает уже
не построить с помощью тех или иных кривых, а вычи-
слить с достаточной степенью точности, т. е. приблизить
отношение двух величин (длины окружности и диаметра)
рациональными числами. При этом и здесь, как и в зада-
чах на определение площадей и объемов, Архимед уста-
навливает точные неравенства: он находит все более близ-
g кие рациональные границы, между
/ которыми заключено искомое отно-
шение. Для решения этой задачи
/ \ с Архимед применяет метод вписан-
ных и описанных многоугольников.
-------------' Пусть АВ — половина стороны
с------------J правильного описанного шести-
Рис. 6. угольника (рис. 6). Если разделить
угол ВОА пополам и провести бис-
сектрису ОС, то отрезок АС будет равен половине стороны
правильного описанного 12-угольника. Аналогично, если
ОС± — биссектриса угла СОА, то С±А будет половиной
стороны правильного 24-угольника и т. д. Архимед дохо-
дит так до стороны правильного описанного 96-угольника.
Он находит приближенные значения для отношений:
ОА ОА ОА
АВ ’ АС 1 АСХ ’
6М2: АВ2 3:1,
откуда Архимед сразу получает
О А: АВ = |/3 :1 > 265 :153.
Он не поясняет способа, каким было найдено это рацио-
нальное приближение; очевидно, методы вычисления
квадратных корней были к его времени хорошо известны1).
Но
ОВ: АВ = 2:1 = 306:153.
*) В лекции 5 (стр. 301) мы говорили "уже о том, с по-
мощью какого алгоритма мог получить Архимед приближенные
значения квадратных корней.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 387
Так как ОС — биссектриса, то
ОВ : О А = ВС : С А,
(ОВ 4- ОА): ОА = (ВС + СА): С А,
(ОВ + О А) :ОА = ВА: СА,
(ОВ+ОА):ВА = ОА:СА,
ОА: С А = > (306: 153 + 265 :153) = 571:153.
Затем Архимед определяет ОС, пользуясь теоремой Пифа-
гора:
ОС2 = С А2О А2,
ОА : С А > 571: 153, значит, ОА2: СА2 > (571)2: (153)2 и
ОС2 _OAZ + CAZ (571)2+(153)2 . 349 450 .
CAZ — CAZ > (153)= 23409 ’
после установления этого неравенства Архимед сразу
пишет, что
ОС: С А > 5914-: 153,
О
опять-таки не объясняя, каким образом он получил число
591 . Затем Архимед проводит биссектрису ОС\ угла
СОА и находит, что
ОС1:С1А> 1172-1; 153.
Аналогично он оценивает отношения О А : АС2 и О А : АС3,
где ОС2 и 0С3— биссектрисы углов С±ОА и С2ОА.
Он находит, что О А : С3А = >4673-1; 153,
при этом АС3 равняется половине стороны аа6 описанного
96-утольника.
Но
ОА 2ОА D
2^46/3 flge
388
И. Г. Б4ШМАК0ВА
где D—диаметр Kpjra, откуда
7г^—> 4673 4-: (153-96) = 4673 4-: 14 688.
Значит, отношение периметра 5вв к диаметру
с 1 6674 1
^< 14688:4673-1 = 34--------^-< 3^ .
V 4673-1
Следовательно, отношение длины окружности С к диамет-
R 1 1
ру будет и подавно меньше 3 у.
Мы видим, что прием основан на последовательном из-
влечении квадратных корней. При этом фактически дает-
ся способ вычисления величин
tt CL
ctg -у, ctg у , ... по величине ctg а.
Для оценки С : D снизу Архи-
мед определяет стороны правиль-
ных вписанных в круг многоуголь-
ников, начиная с 6-угольника и
кончая 96-угольником. И здесь де-
ло сводится к последовательному
извлечению квадратных корней, причем Архимеду прихо-
дится иметь дело с довольно большими числами.
Пусть АВ — сторона правильного вписанного шести-
угольника (рис. 7), т. е. /_ВОА = ^ = , а 2/ВЛ.У1 = -1 .
V о и
Чтобы получить сторону правильного вписанного 12-уголь-
ника, достаточно провести биссектрису угла ВАГА и
соединить точку С ее пересечения с окружностью с точ-
кой А. Так как ДАСА1оэДАСА г), то
САг _ AC AAt
АС ~~ СК ~~ АК ’
Но — > так как -АС — биссектриса угла АА±В.
*) Так как у них < С общий, а < САгА= < САБ.
ЛЕКЦИИ ЛО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 389
Поэтому
CAj __ АА1 __ АгВ _ЛЛ14-Л1В AAj + AJ3 2+} 3
АС ~~ АК " ВК ~ АК + ВК ~ АВ ~ 1
А±В: АВ [ = V3] < 1354 : 780,
2911:780,
АС ’
откуда
АА* _ А^ + СА* (2911)2 + 7802
AC* ~ AC* < 7802
И
^-<3013 А: 780, и т. д.
Повторяя то же рассуждение, Архимед получает, что
отношение стороны правильного вписанного 96-угольни-
1 С 10
ка к радиусу больше 66 : 2077-^-, откуда -jy>3yp
Этим способом и были получены знаменитые прибли-
жения Архимеда:
о Ю . С . , о 1
371< р£ = *]<3т-
«Таким образом,— пишет Архимед,— окружность бо-
лее утроенного диаметра и, сверх того, превосходит его
менее чем на седьмую часть диаметра п более чем на десять
семьдесят первых».
Сочинение «Измерение круга» является образцом вир-
туозной вычислительной техники. Оно показывает, что
Архпмед прекрасно владел приемами приближенных
вычислений.
Кроме того, очень важно, что от отношений целых
чисел Архимед свободно переходит к дробям и, обратно,
т- е. что он фактически отождествляет рациональное
*) В самом деле, 291124-7802=9 082 321;
( 3013-?-9 082 689 .
\ 4 / 16
390
И. Г. БАШМАКОВА
отношение с дробью, а иррациональное отношение рассма-
тривает как предел рациональных.
Как мы говорили (см. лекцию о теории отношений),
теорпя отношений Евдокса равносильна, в основном,
теории сечений Дедекинда. Разумеется, пз нео можно
было вывести как следствие, что каждое отношение может
быть с любой степенью точности приближено отношени-
ями целых чисел или дробями. Однако никто до Архпмеда
в теоретических сочинениях не делал такого вывода. В
«Измерении круга» впервые в истории науки был намечен
арифметико-вычислительный подход к определению само-
го понятия отношения величин. Отношение выступает
здесь как общий предел двух числовых последовательно-
стей или общая точка системы стягивающихся отрезков
с рациональными концами. Правда, этот процесс нахо-
ждения все более тесных границ, между которыми заклю-
чено искомое отношение, не является еще для Архимеда
определением этого отношения. Отношение величин, как
и у Евклида, задается геометрически; тут дело обстоит
точно так же, как и при определении понятия площади:
процесс вычисления площади не являлся для древних
определением понятия площади. Площадь задавалась гео-
метрически, как некоторая часть плоскости, ограниченная
данными кривыми. Задача состояла в том, чтобы сравнить
эту часть плоскости с другой, например с некоторым квад-
ратом или треугольником. Только в новое время процесс
вычисления площадп, касательной, отношения величин
стал рассматриваться как метод определения самих поня-
тий площади, касательной и отношения. Но возможность
такого совершенно нового подхода была уже заложена
в сочинениях Архимеда.
Сочинение «Измерение круга» должно было обратить
на себя внимание всего математического мира. Младший
современник Архимеда Аполлоний предпринял под вли-
янием этой работы исследование в том же направлении
п нашел более точное значение для тс. Сочинение Апол-
лония, в котором прпводплось это приближение, до нас пе
дошло. Из сообщения Гсрона явствует, что после этого
Архимед в сочпненип «О параллелепипедах и цилиндрах»,
которое также до нас не дошло, дал приближение для тс
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 391
с пятью или шестью правильными десятичными зна-
ками.
Эти исследования открыли новую страницу в истории
математики: впервые приближенные вычисления стали
предметом строгого теоретического исследования. Однако
это направление не получило большого развития в древ-
ности. Это было обусповлепо, в конечном итоге, низким
уровнем производства и крайне незначительными потреб-
ностями техники и естествознания. Мы увидим, что раз-
витие вычислительных алгоритмов и теоретическое их
исследование было делом гораздо более позднего времени.
§ 5. Метод отыскания касательных у Архпмеда
До Архимеда были найдены касательные к кругу и
к коническим сечениям, причем основные свойства этих
касательных были хорошо известны. В «Началах» Евклида
дается следующее определение касательной: «прямая
касается круга, если она встречает круг, но при продол-
жении не пересекает круга» (2-е определение III книги).
Таким образом, касательная определяется еще не локаль-
но, не своими свойствами вблизи точки касания, а своим
поведением в целом. Ясно, что такое же определение
годилось и для конических сечений. В предложении 16
книги III Евклид доказывает, что прямая, проведен-
ная под прямым углом к диаметру в конце его, будет
касательной к кругу и что «в пространстве между прямой
и обводом не поместится никакая другая прямая». Послед-
нее предложение устанавливает важное характеристиче-
ское свойство касательной как прямой, которая в окрест-
ности точки касания примыкает к кривой ближе, чем лю-
бая другая прямая, проходящая через точку касания.
Однако это характеристическое свойство не сделалось
в античной математике определяющим.
В сочинении «О спиралях» Архимед впервые нашел
касательную к трансцендентной кривой — так называе-
мой спирали Архимеда — и определил ее свойства. Мы
помним, что первая трансцендентная кривая, известная
Древним,— квадратрпса Гипппя была определена кинема-
тически. Точно так же определяет свою спираль и Архимед:
392
И. Г. БАШМАКОВА
пусть луч ОА равномерно вращается против часовой
стрелки вокруг точки О и одновременно по лучу О А равно-
мерно движется точка М. Кривую, описываемую точ-
кой М, Архпмед назвал спиралью. Он установил, что
отношение двух радиусов-векторов, проведенных в точке Р
и Q (рис. 8) первого витка спирали (первый виток соот-
ветствует первому полному обороту луча ОА), пропорцпо-
Рис. 8.
нально отношению соответ-
ствующих дуг «первого
круга», т. е. круга, радиус
которого равен расстоянию
конца N первого вптка от
полюса О:
OP _ '—'NLP'
OQ '—'NLQ' ’ 17
если же Р и Q — точки
n-го витка спирали, то
OP _(п— l)C + '-'NLP' ....
OQ~ (п— 1)С + —- KLQ” '
где С — длина окружности
первого круга.
Соотношения (1) и (1') являются не чем иным, как урав-
нением спирали в полярных координатах:
р = а<р. (2)
В дальнейшем Архимед пользуется соотношениями (1)
и (1') точно так же, как мы пользуемся полярным уравне-
нием (2). Только вместо углов <р он рассматривает соответ-
ствующие дуги окружности первого круга.
Архимед не дает определения касательной, но из его
предложений ясно, что он понимает касательную так же,
как и Евклид, т. е. касательная «опорная» прямая, которая
пмеет с кривой одну общую точку и лежит по одну и ту же
сторону от кривой. Чтобы иметь возможность применить
это определение, Архимед рассматривает каждый пз вит-
ков спирали отдельно. Мы ограничимся здесь одним пер-
вым витком.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 393
Архимед устанавливает предварительно два важных
свойства касательной к спирали: 1) касательная к первому
витку спирали касается его только в одной точке; 2) каса-
тельная к спирали образует с радиусом-вектором, прове-
денным в точку касания в направлении «вперед» (т. е.
против часовой стрелки), тупой угол и в направлении
«назад» — острый. После этого он доказывает, что по-
лярная подкасательная ОТ
в любой точке Р спирали ''а/
(рис. 9) равна ру. В частно- s"'/
сти, при J у = 2л соответ- /
ствующая'полярная подка- р /
сательная равна 2-тср, где \ /
р = ON — расстояние от ЛрУк-У
полюса до конца первого ъ р wsj'
витка. I
Таким образом, спираль I
могла служить для решения \
задачи о квадратуре круга. \
Этим, вероятно, и объяс-
няется интерес Архимеда
к спирали. РИС. 9.
Возникает вопрос: как
мог Архимед найти, что величина ОТ подкасательной
равна ру? Какими методами он для этого пользовался?
Как и в других сочинениях, сам Архимед ничего
об этом не говорит. Методы Архимеда приходится
извлекать из его доказательств. В данном случае
доказательство позволяет утверждать, что Архимед
нашел величину подкасательной из рассмотрения беско-
нечно малого «характеристического» треугольника, кото-
рым и мы теперь пользуемся для этой цели. Пусть
дана спираль с полюсом О и пусть в точке Р первого вит-
ка проведена касательная РТ (рис. 10). Восставпм перпен-
дикуляр к радиусу-вектору ОР в точке О и продолжим его
до пересечения с касательной в Т (пересечение произойдет
в направлении «назад», так как по доказанному Архиме-
дом 2С ОРТ острый). Проведем радиус-вектор OQ, близкий
к ОР. Пусть он пересечет касательную в F и окружность
радиуса ОР в R. Тогда бесконечно малый треуголь-
394
И. Г. БАШМАКОВА
пик FPR будет в первом приближении *) подобен треуголь-
нику РОТ, так как углы PRF п ТОР прямые, кроме того,
К РТО — / FPR — а. Значит,
Пусть OP = р и POR = Д-р, тогда - PR = рДу, а
FR = Дг Др,
где Дг— приращение радиуса-вектора касательной, соот-
ветствующее Ду, а Др—приращение радиуса-вектора спи-
рали. Поэтому соотношение (3) можно переписать в виде
Дг р Д'? " Р ~ ОТ _ р _ tg а, где 2£PTO = a, (4)
плн
St r Ar (5)
В пределе
tga dp ~~ P dtp ’ (4')
st = р2-^г- r dp (53
*) То есть если считать бесконечно малую дугу окружности
PR за отрезок прямой.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 395
Соотношения (4') и (5') являются вполне общими. Они
выражают соответственно тангенс угла наклона касатель-
ной по отношению к полярной подкасательной и длину
полярной подкасательной для любой кривой р = р (у),
заданной в полярных координатах. В частности, для спи-
рали р = а<р (примем для простоты а=1), Др = Д^ и
Р Др 1
Ч“=«Г = ^ = 7:
5( = р3 = р?.
Архимед строит свое сочинение следующим образом:
сначала он рассматривает в специальных леммах поведе-
FR Др
нпе отношения —,-в = -р- и показывает, что оно прп доста-
— PR рАср 1
точно малых как угодно мало отличается от постоян-
ного отношения T.=:tga. С современной точки зрения он
показывает, что
lim
Др _ Р
Р Д'-Р
(6)
После этого он формулирует основное предложение о ве-
личине полярной подкасательной к спирали и доказывает
его по методу исчерпывания, опираясь на результаты
лемм.
Рассмотрим сначала леммы Архимеда (предложения
6—9 сочинения «О спиралях»).
Если рассматриваемая кривая р = р (<р) отлична от
окружности и окружность, проведенная радиусом ОР = г,
не касается в точке Р этой кривой, то эта окружность пе-
ресечет касательную к кривой р = р (<р) еще в одной точ-
ке В (см. рис. 10). Проведем ОМрРВ. Тогда /_РОМ =
— / РТО = а. Поэтому для доказательства (6) достаточно
показать, что отношение может быть сделано
гДш —- RP
РМ
при достаточно малых как угодно близким к [ = tg а].
Как раз это и делает Архимед в своих леммах.
Архимед рассматрпвает круг с центром в О и в нем
хорду ВР (рис. 11), меньшую диаметра. Пусть X МОР = а.
396
И. Г. БАШМАКОВА
В первой лемме доказывается: каково бы ни было отно-
шенпе а : Ъ < [ = tga], можно провести прямую ORt,
проходящую внутри угла МОР, так, что
RiP
= а: Ь.
Во второй: каково
Рис. 11.
бы ни было отношение а: Ь >
. РМ. . .
> [ = tga], можно провести
прямую OR, проходящую вне
угла РОМ, так, что
Еслп, как п прежде, обозна-
чить RF и RyF\ через Аг и Дг1,
а 2$. POF^ п POF через Д^ п
Д<р, то PRy = 2г sin , PR —
= 2г sin и обе первые леммы, вместе взятые, показы-
вают, что разности
МО „ . Д<р Л/О . . Да,,
r-2sm-^- r-2sin —
могут быть сделаны сколь угодно малыми, или, в совре-
менных обозначениях,
Дг
2r sin ~~
tg a
(7)
каково бы ни было s > 0, причем Д? может быть отложено
как по часовой стрелке, так и в обратном направлении.
Две следующие леммы посвящены исследованию отно-
Дг
шения ——: в них показывается, что это отношение
г tg Atf
при соответствующем выборе Д<р может принимать любое
значение, большее tga, и любое значение, меньшее его.
Иначе говоря, для заданного г > 0 всегда можно найти
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 397
такое А?, что
| ^а-< е- (8>
Дг Дг Дг
Поскольку -г- всегда заключено между-т— и - - ,
гД'-f 2rsin^- tgi
то этим показано, что
|^а~< s
или что
.. Дг dr .
Inn —-т~ = —г- = tg а.
г Atf г dtp °
Заметим, что соотношения (7) и (8) установлены Архи-
медом в леммах общим образом, т. е. они справедливы для
любой кривой, заданной в полярных координатах п име-
ющей касательную. Исключением является круг и те
точки кривых (р, <р), в которых кривые касаются круга
радиуса р. Эти случаи Архимед рассматривает в отдель-
ной лемме (предложение 5). Он показывает, что в этом
случае отношение
Дг
г Дер
может быть сделано сколь угодно малым, т. е. что
lim
Д<р->0
Дг
г Дер
0.
То обстоятельство, что Архимед с такой полнотой
и
тщательностью исследует поведение
Дг
отношения ,
г Дер
причем делает это в леммах, предшествующих рассмотре-
нию спирали, показывает, что он придавал леммам само-
стоятельное значение. Архимед не мог не видеть, что
результаты лемм можно применять для нахождения каса-
тельной не только к спирали, но и к другим кривым. То,
что Архимед придавал самостоятельное значение леммам,
подтверждается еще п тем, что при доказательстве основ-
ного предложения о подкасательной к спирали он
398
И. Г. БАШМАКОВА
применил только две из четырех лемм. Остальные две ему
нужны только для полного исследования поведения .
Вернемся теперь к доказательству основной теоремы
о касательной к спирали. Пусть полярная подкасательная
в некоторой точке Р (<р, р) не равнялась бы ру (см. рис. 10).
Пусть St > ру. Тогда
ОР ОР РМ Г . ,
ру > ОТ ~ ОМ С — “1-
Проведем круг с центром в О и радиуса ОР. Касатель-
ная РТ спирали пересечет этот круг в направлении «на-
зад», так как ^ ОРТ острый. Зададим теперь такое отно-
шение а : Ь, что
ОР а РМ ОР
7у~ > > мо ~ от ’
так как а : Ъ > РМ : МО, то по первой лемме можно про-
вести такую прямую OF, что
FR а ОР
RP ~ Ъ ру ’
Тогда
FR RP RP _ Ду
OP ру ру у
ИЛИ
FP-POP у + Ду _ r-?q _ OQ _ Pg
ОР у ур ОР р '
т. е.
OF pg
Р Р ’
но последнее неравенство означает, что OF < pQ = OQ, что
невозможно вследствие первого свойства касательной
к спирали, доказанного Архимедом.
Аналогичным образом с помощью лемм Архимед
опровергает предположение St > ру.
Мы видим, что доказательство Архимеда основывается
на возможности неограниченного приближения отноше-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 399
НИЯ
4- = tg а отношениями ? .
St 6 рАр
При
этом Архпмод
доказывает предложение, эквивалентное тому, что
lim
Д<р->0 PAtf
dp
pdcf
= tga.
Все доказательство, таким образом, основано на рассмот-
рении бесконечно малого треугольника с катетами
и гА-р и на сравнении его с конечным треугольником, кате-
ты которого суть р и подкасательная St. Методы Архиме-
да нахождения касательной к спирали равносильны диф-
ференцированию. Архимед показывает, что отношение
.. Дг
конечных разностей как угодно мало отличается при
достаточно малых Ар от = tg а и что tg а является общим
„ Дг .
пределом отношении^- при стремлении Ар к нулю спра-
ва и слева.
Все это показывает, что Архимед пришел к основным
идеям, от которых отправлялись впоследствии создатели
дифференциального исчисления.
Главные отличия методов Архимеда от современных,
как и при определении площадей и объемов, заключаются
в том, что: 1) основные понятия не были еще выделены
и сформулированы в общем виде; 2) самый метод тракто-
вался геометрически, он не был алгебраизирован. Насколь-
ко нам известно, Архимед применил свой метод только
для нахождения касательной к спирали.
§ 6. Решение задач на экстремумы
Мы говорили уже, когда рассматривали развитие алге-
оры в древности, что Архимед в сочинении «О шаре и ци-
линдре» решал задачу, сводящуюся к кубическому урав-
нению вида
ж2 (а — х) = Sc. (1)
Уравнение (1) он формулировал, разумеется, в терминах
равенства двух объемов. Решение находилось геометри-
400
И. Г. БАШМАКОВА
Sac (при заданном а) такие
чески, как абсцисса точки пересечения кривых
сг/ = ж2, (2)
С
У(3)
При этом принимались во внимание только действитель-
ные положительные корни х).
Архпмед поставил вопрос о том, при каких значениях
решения существуют. Для
возможности решения за-
дачи необходимо, чтобы
правая часть уравнения (1)
не превосходила макси-
мального значения, кото-
рое может принять х2 (а—х)
прп 0 < х < а.
-д Архимед утверждает,
что х2(а—х) достигает
2
максимума прп х = у а.
Архимед ничего не го-
ворит о том, как было
найдено это решение, од-
нако из приводимого им
доказательства можно извлечь и сам метод нахождения
экстремума.
Если выражение х2(а — х) достигает своего максимума
2 4 п
при х — -у а, то ясно, что при ос > -д- <г
действительных положительных решений нет. В этом слу-
чае кривые (2) и (3) не пересекаются (на участке
Если Sc а3, то, как показывает Архимед,
крпвые (2) и (3) пересекутся.
Архимед, как видно из его доказательства, при опреде-
лении экстремума исходил из того, что абсцисса точки
*) Мы уже говорили, что рукопись Архимеда была утеряна и
что ее нашел и восстановил в VI в. н. э. Евтокий. Наш анализ
основывается на тексте этой рукописи, в том виде, как она при-
водится у Евтокия.
2
а 3 а
Ь з
27 а
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 401
пересечения кривых (2) и (3), которая не является одно-
временно их точкой касания, не может давать экстремума
выражению (1). Действительно, пусть (2) и (3) пересека-
ются в некоторой точке Р (ж0, у) (рис. 13). Возьмем
точку хг < ж0. Над этой
точкой гипербола пройдет
выше параболы, т. е.
«S’ xl
Уг а—ху с
Значит, х\ (а — ж1) < cS.
Если же взять точку
ж2 > х0, то в ней
S
Уг а — х2 < Уп
т. е.
х'2 (а — ,т2) > Sc.
с
Таким образом, в точке
х0, для которой хЦа —
- х0) = Sc, не может быть
экстремума. Значит, необ-
ходимым условием экстре-
мума выражения (1) является наличие точки касания
у кривых (2) и (3).
Необходимое условие, из которого псходил Архимед,
обладает полной общностью — оно годится для определе-
ния экстремума любого выражения z = f(x)g (ж). Для этого
0
нужно рассмотреть кривые у = / (х) и у = , где С —
S \х)
значение /(ж)^(ж) в точке экстремума, и найти точку,
в которой они имеют общую касательную * *).
ZG ( X)
*) Аналитически это означает, что j’(x)=----(условие нали-
£ \х)
чин общей касательной), т. е. /' (х) g2 (x)-j-zg' (х)=0 или /' (x)g2(x)+
“Ьf(x) g (х) g' (х)= 0. Если теперь g(x)=^=0 (иначе бы вторая кривая
имела точку разрыва), то сокращаем на g(x) и получаем/'(x)g(x)-|-
4-g' (x)f (я:)=о.
26 Истор.-матеы. исслед., вып. XI
402
И. Г. БАШМАКОВА
Таким образом, задачу об определении экстремума
Архимед сводил к задаче определения касательной.
В конкретном случае, чтобы найти экстремум ж2 (а — ж),
Архимед воспользовался известными уже ему свойствами
касательных к гиперболе и параболе. Действительно,
пусть кривые (2) и (3) имеют в точке Р общую касательную
PC (рис. 13). Тогда так как PC есть касательная к пара-
боле, то
OD = PQ,
следовательно, OB = BQ. Но PC является одновременно
и касательной к гиперболе, значит, РВ—РС (точка каса-
ния делит отрезок касательной, заключенной между асим-
птотами, пополам), следовательно, BQ= QA. Итак, ОВ =
= BQ = QA и ОВ + BQ + QA = а, значит,
2
x=OQ = -х- а.
1 о
После этого Архимед проверяет, что х=-^а дейст-
вительно дает максимум выражению (1), т. е. что в дан-
ном случае необходимое условие является одновременно
и достаточным. Для этого он рассматривает значения,
принимаемые ж2 (а —ж) при ж оолыпих и меныпих, чем -g-a.
Если
2
«1 < -Q- ТО
уг = -^—
а —
т. е. ж2 (а — xQ < cS.
Если ж2 > жг, то
ж?
С ’
у 2
а — х2 п с ’
т. е. ж2 (а — ж2) < cS.
Из доказательства видно, что аналогичным образом
могут быть установлены достаточные условия и для
других кривых.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 4U3
§ 7. Заключение
Мы видели, что Архимед обогатил математику рядом
новых необычайно ценных методов: ему принадлежит
введение верхних и нижних интегральных сумм, характе-
ристического треугольника и общего приема для нахожде-
ния касательных к кривым. Наконец, мы видели, что за-
дачу на отыскание максимумов и минимумов он сводил
к задаче о проведении касательной, т. е. и экстремальные
проблемы он трактовал общим образом.
Все это роднит Архимеда с такими учеными, как
Ньютон, Эйлер, Гаусс, Чебышев. Как мы говорили уже,
Архимед принадлежит к числу тех величайших мате-
матиков, которые сочетали в своем творчестве глубо-
кие теоретические исследования с живым интересом
к практике, к различного рода приложениям матема-
тики. Занимаясь проблемами механики, Архимед прихо-
дил к постановке новых математических задач, к поискам
новых методов для их решения.
Основные вопросы статики и гидростатики он иссле-
довал вполне строго, применив для этого наиболее тонкие
разделы математики, иногда специально развитые для реше-
ния этих задач. При этом сами основные проблемы
механики были поставлены им в связи с его техническими
изобретениями и конструкциями. Прикладные вопросы
вроде приближенного вычисления площади круга он рас-
сматривал строго теоретически и этим открывал новые
пути развития математики.
Творчество Архимеда опровергает миф о том, что антич-
ная математика развивалась вне связи с решенном практи-
ческих задач, что она являлась «творением чистого разу-
ма». Наоборот, наиболее жизненные и плодотворные ее
пдеи и методы создавались в самой тесной связи с естество-
знанием. Оно показывает, кроме того, какие богатые пло-
ды приносит сочетание исследований в области математики
с одновременной работой в механике, физике, астрономпп
и других смежных областях. В Архимеде как раз сочета-
лись самым счастливым образом дарования и тонкого тео-
ретика в области точного естествознания, и искусного
экспериментатора, и инженера.
26*
404
И. Г. БАШМАКОВА
Творчество Архимеда оказало огромное влияние на
развитие математики, особенно на развитие исчисления
бесконечно малых.
В древности, насколько известно, идеи и методы Архи-
меда не получили существенного развития. Некоторые
результаты в направлении определения новых площадей
и объемов изложены у Паппа (III в. н. э.). Так, он при-
водит вычисление с помощью методов Архимеда площади
витка спирали на сфере. Он же высказал следующее общее
предложение: объем, образованный вращением некоторой
фигуры вокруг оси, расположенной с нею в одной плоско-
сти, равен произведению площади фигуры на длину окруж-
ности, описываемой ее центром тяжести (так называемое
правило Гульдена). С помощью этого предложения легко
определить объем тора. Впрочем, по свидетельству Герона,
этот объем был найден еще Архимедом. Мы говорили уже,
что для настоящего развития методов Архимеда необхо-
димы были разработки вычислительных алгоритмов,
алгебры, изучение новых кривых и новых зависимостей
между величинами. Ростки алгоритмического направле-
ния в развитии математики наметились еще в античности,
но не получили там развития. Это было связано с общим
упадком классической греческой математики, обусловлен-
ным, в конечном счете, гибелью античного рабовла-
дельческого общества.
Труды Архимеда рассматривались последующими антич-
ными математиками как недостижимая вершина и мно-
гие посвящали свою жизнь разбору и комментирова-
нию их. В VI в. н. э. Евтокий — последний античный
комментатор Архимеда—собрал и систематизировал все
исследования, посвященные сочинениям великого ученого
и сумел разыскать некоторые отрывки из потерянных к его
времени сочинений. Вплоть до наших дней труды Архи-
меда, как правило, издают с комментариями Евтокпя.
Некоторое развитие и приложение методы Архимеда
получили в математике народов Ближнего и Среднего
Востока в IX—XV вв. Уже в конце VIII— начале IX в.
ряд сочинений Архимеда был переведен на арабский язык,
являвшийся научным языком того времени, и проком-
ментирован.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 405
Некоторые произведения Архимеда дошли до нас толь-
ко в арабском переводе (например, трактат о правильном
семиугольнике). Ученые народов Востока настолько хоро-
шо овладели методами Архимеда, что сумели продолжить
его исследования: так, аль-Хайтам (Египет) нашел объем
«параболического веретена», т. е. тела, полученного вра-
щением сегмента параболы вокруг хорды, просуммиро-
вав для этого ряд четвертых степеней членов арифмети-
71
ческой прогрессии У (w)4.
\=i
Европейские ученые познакомились с сочинениями
Архимеда в XIII—XIV вв. Но настоящий интерес к твор-
честву Архимеда возник в эпоху Возрождения, когда
ученые встретились при своих исследованиях, связанных
с архитектурой, баллистикой, гидростатикой, с теми про-
блемами, методы решения которых имелись у Архимеда.
В XVI в. известный итальянский математик Николо
Тартанья издал сочинения Архимеда не только по-латы-
ни, но и по-итальянски. Последнее свидетельствует о том,
что труды Архимеда читали не одни знатоки латыни, но и
довольно широкие круги инженеров и техников.
Во второй половине XVI в. жили и работали два наи-
более известных комментатора Архимеда: Мавролико
и Коммандино, которые дали прекрасные для своего вре-
мени переводы его произведений на латынь. В конце
XVI и в XVII вв. труды Архимеда становятся предметом
самого внимательного изучения математиков. Виет, Кеп-
лер, Галилей, Кавальери, Ферма, Паскаль, Стевии, Бар-
роу и другие посвящают проблемам, разбираемым Архи-
медом, специальные исследования.
Такой быстрый рост интереса к творчеству Архимеда,
разумеется, не был случайным. В XVI—XVII вв. в связи
с бурным развитием естествознания, особенно механики
земных и небесных тел, перед математиками встала про-
блема создания нового математического аппарата для ото-
бражения и изучения процессов движения. Нужны были
методы для определения скорости движения, максималь-
ных и минимальных значений переменных величин, пути,
проходимого телом, движущимся по кривой, касательных.
406
И. Г. БАШМАКОВА
нормалей и т. д. п т. п. Для разработки этих методов,
увенчавшихся созданием дифференциального и интеграль-
ного исчисления, неоценимое значение имело творчество
Архимеда. Математики XVII в. читали и перечитывали
Архимеда, стараясь найти у него ответы на интересующие
их вопросы. Они овладели его методами и сумели соеди-
нить их с новым буквенным исчислением. С другой сто-
роны, они применили эти методы для решения много-
численных новых задач, для исследования новых
функций.
В 70-х годах XVII в. учитель Ньютона — Барроу
предпринял новое издание Архимеда, в котором излагал
все доказательства Архимеда на языке математики своего
времени. При этом свое издание Барроу предпринял во-
все не с целью произвести чисто историческое исследование;
перелагая сочинения Архимеда, он искал в них новых
методов и приемов. Таким образом, еще накануне созда-
ния дифференциального и интегрального исчисления рабо-
ты Архимеда были весьма актуальны.
Большое значение для обоснования нового исчисления
имели и методы доказательства Архимеда. Устанавливая
новые предложения, Ферма и Паскаль обычно ссылались
на то, что их можно доказать «по методу Архимеда», а ино-
гда и проводили такое доказательство. На возможность
строгого обоснования по методу исчерпывания новых пред-
ложений указывали и творцы дифференциального и инте-
грального исчисления Ньютон и Лейбниц. Только в нача-
ле XIX в. анализ бесконечно малых получил новое обо-
снование. До этого времени единственными строго дока-
занными предложениями в этой области были те, которые
обосновывались методами Архпмеда.
Математики XVII в. прекрасно понимали, насколько
важным для создаваемой ими новой математики является
творчество Архимеда. Английский математик Джон Вал-
лис писал: «Муж поразительной проницательности, он
заложил первоосновы почти всех открытий, развитием
которых гордится наш век».
Лейбниц утверждал, что «внимательно читая сочине-
ния Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим от-
крытиям геометров».
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 407
ЛЕКЦИИ 11 — 12
ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ АПОЛЛОНИЯ. УПАДОК
КЛАССИЧЕСКОЙ ГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 1. Жизнь и творчество Аполлония
Третий из крупнейших греческих геометров эпохи
эллинизма Аполлоний родился в Перге в Малой Азии
и около 210 г. до н. э. приехал в Александрию, где зани-
мался под руководством учеников Евклида. Вскоре он
прославился как математик и астроном. Умер Аполлоний
в 170 г. до н. э.
Мы уже упоминали, что Аполлонию принадлежит
в астрономии создание теории эпициклов и эксцентриче-
ских окружностей, с помощью которых он построил схе-
му солнечной системы. Эта теория была принята знамени-
тыми астрономами древности Гиппархом и Птолемеем.
Из математических сочинений Аполлония до нас дош-
ли его знаменитые «Конические сечения» (четыре первые
книги по-гречески, три следующие — в арабском перево-
де, последняя, восьмая книга утеряна), о которых мы
будем говорить подробно, а также небольшое сочинение
«О делении в заданном отношении». В нем Аполлоний реша-
ет следующую проблему: даны две прямые и на каждой из
них по точке. Требуется через данную точку провести пря-
мую так, чтобы она на данных прямых отсекала, счи-
тая от заданных точек, отрезки, которые находились бы
в заданном отношении.
Остальные сочинения Аполлония утрачены. О некото-
рых из них мы знаем из сообщений Паппа. Приведем
названия и краткое содержание наиболее интересных из
этих произведении:
1. О касании (две книги).
Ставится и решается знаменитая проблема касания
Аполлония: берутся три вещи, каждая из которых может
быть точкой, прямой или окружностью. Требуется по-
строить окружность, которая проходила бы через каж-
дую из взятых точек пли касалась каждой из прямых пли
окружностей.
408
И. Г. БАШМАКОВА
2. О плоских геометрических местах.
По мнению Ван-дер-Вардена, в этом сочинении Аполло-
ний рассматривает все преобразования плоскости, которые
переводят прямые в прямые и окружности в окружности.
В качестве частного случая из общих теорем Аполлония
можно получить инверсию и преобразование подобия1).
3. О вставках.
Здесь Аполлоний рассматривает употреблявшиеся до
него вставки и показывает, какие из них можно осущест-
вить циркулем и линейкой.
4. О сравнении додекаэдра и икосаэдра.
Доказывается, что отношение поверхностей додекаэд-
ра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, равно
отношению их объемов.
5. О неупорядоченных иррациональностях.
Об этом трактате Аполлония имеются сообщения
у Прокла. По-видимому, Аполлоний предпринял тут клас-
сификацию квадратичных иррациональностей, которые не
охватывались десятой книгой Евклида.
6. О спиральных линиях.
В этом сочинении речь, по-видимому, шла о спиралях
на поверхности цилиндра.
7. «Okytokion».
В этом сочинении, название которого некоторые пере-
водят как «Быстросчетчик», Аполлоний излагает систему
наименования сколь угодно больших чисел, более удобную,
чем у Архимеда, а также дает более точное приближение
для числа тг. К сожалению, мы совершенно не знаем, каки-
ми вычислительными методами пользовался Аполлоний.
Даже наш неполный обзор работ Аполлония показы-
вает, что это был выдающийся геометр с чрезвычайно
широким кругом интересов (напомним его работу «О пло-
ских геометрических местах» или его исследования
иррациональностей). Но особенно это проявилось
при написании «Конических сечений». Если «Начала»
являлись основополагающим руководством, сочинения
Архимеда напоминали научные мемуары, то это основное
сочинение Аполлония больше всего походило на моно-
1) См. Erwachende Wissenschaft, Basel. 1956, стр. 435.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 409
график», всесторонне освещающую рассматриваемый пред-
мет. Чтобы оценить то новое, что внес в теорию Аполло-
ний, мы должны будем вкратце остановиться на том, как
трактовали конические сечения до него.
§ 2. Конические сечения до Аполлония
Мы говорили уже, что исследование конических сече-
ний было связано с решением задачи удвоения куба и что
ученик Евдокса Менехм (IV в. до н. э.) представил эти
новые кривые как сечения
конуса. При этом Менехм рас-
сматривал только конусы
вращения и сечения прово-
дил плоскостью, перпендику-
лярной к образующей. Он
получал, таким образом, три
рода кривых, которые и на-
зывались сечениями остро -
угольного, прямоугольного и
тупоугольного конусов. Ис-
ходя из этого стереометриче-
ского определения, которое
обеспечивало существование
и непрерывность определяемых
Рис. 1.
кривых, выводили за
тем их планиметрические свойства.
Посмотрим, например, как получалось основное свой-
ство сечения остроугольного конуса, иными словами,
Уравнение эллипса1). Пусть А — вершина конуса, MAN—
его сечение плоскостью, проходящей через ось, и пусть
KLK'— след плоскости, перпендикулярной к образую-
щей, a BSD — след плоскости, параллельной основанию
конуса (рис. 1). Проведем прямую KI, параллельную BD.
Если SS'—хорда, перпендикулярная к диаметру BD
кругового сечения конуса плоскостью, проходящей через
параллельно основанию, то 88'2=у2=В8-8О.
Из д KIK' и л SDK' получаем:
KI _ SD
КК' — SK' ’
х) Приведенная здесь реконструкция принадлежит Г. Цейтену.
410
И. Г. БАШМАКОВА
Из Л KLR и Л BKS, которые подобны, имеем:
BS LK nc LK
SK~ KR ’ BS~SK 1
T KI
или
У2 = Й*" KI • Т^~-SK = W-SK-SK'-
2KI
Обозначим теперь «отрезок до оси» LK через р, а диаметр
сечения КК' через 2а, KS через х и SK' через х'={2а—х).
Наше уравнение примет вид
уг = К хх' (2а — х}
или
уг р
—~г = — = const.
х (2а — х) а
Аналогично выводились «основные свойства» сечений
тупоугольного и прямоугольного конусов, которые,
пользуясь современной символикой, можно записать
в виде
У2 Р . у2 п .
,_у-—-= — = const и — = 2п = const.
х (2а + х) а х г
Древние записывали те же уравнения с помощью гео-
метрической алгебры. Они знали многие свойства кони-
ческих сечений, умели находить касательные, сопряжен-
ные диаметры, асимптоты. Теория конических сечений
была уже настолько развитой, что Евклид и Аристей посвя-
тили ей специальные сочинения. Однако после появления
труда Аполлония все эти работы былп оставлены.
§ 3. Конические сечения Аполлония
Аполлоний по-новому определяет конические сечения:
он рассматривает произвольные конусы с круговым осно-
ванием и их сечения произвольными плоскостями. При
этом он берет обе полости конуса, так что сразу получает
обе сопряженные ветви гиперболы.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 411
После такого обобщенного определения конических
сечений Аполлоний приступает к выводу основных плани-
метрических свойств этих кривых.
Посмотрим, как он это делает па примере вывода урав-
нения эллипса.
Пусть дан косой круговой конус с вершиной в J
(рис. 2). Его осью Аполлоний называет прямую, соединяю-
щую А с серединой О кругового основания. Пусть конус
пересечен плоскостью те, которая оставляет на плоскости
основания след ZH. Аполлоний проводит плоскость через
ось конуса перпендикулярно к ZH. Пусть ЛАГ — это
осевое сечение, NME — след плоскости те, пересекающей
обе образующие осевого сечения. Проведем через произ-
вольную точку К, лежащую на NM, плоскость а, парал-
лельную основанию. Отрезок KL, получающийся в резуль-
тате пересечения плоскости а и секущей плоскости те, бу-
дет, очевидно, параллелен ZH. Этот отрезок, взятый от
точки К до пересечения с поверхностью конуса, будем
рассматривать как ординату конического сечения, a KN—
как его абсциссу. Так как сечение плоскостью а круговое,
то KL2=KP-PR. Проведем А A | NE, тогда
KR АГ КР \.В
КМ ДА ' а К К “ АЛ
откуда
KL2 = -КМ KN.
412
II. Г. БАШМАКОВА
Пусть теперь некоторый отрезок N'M' определен так, что
1\'М' _ ЛГАВ
\А2 '
Тогда
kl2=^-km-kn. I
Обозначим, как п прежде, KL=y, NM=2a, KN'=x,
КМ=2а—х, кроме того, обозначим N'M’ через р, тогда
уравнение, полученное Аполлонием, запишется так:
2/2 = -£-я(2а-ж).
но тому, что KL2 =
Аполлоний записывает его геометрически следующим
образом: пусть NLM (рпс. 3)—кривая, получаемая в сече-
нии. Заметим, что отрезок
NM проходит через ее центр,
т. е. будет ее диаметром. А
отезок LL' делится в точке К
пополам, т. е. будет хордой,
сопряженной этому диамет-
ру. Отложим NT=p под пря-
мым углом к NM п соеди-
ним точки М и Т. Проведем
КК'ЦЛ'Т’и K'T'WNM. Тог-
да, как показывает Аполло-
ний, выведенное им основное
свойство эллипса равносиль-
площади NKK'T'. Это и есть гео-
метрическая запись уравнения эллипса, или, в современ-
ных обозначениях,
у2 = KN-КК’ = х-^ КМ = -~ х(2а — х).
NM 2а ' >
Так как полученное уравнение, выражающее у2 через х
и параметры, является квадратным уравнением эллипти-
ческого типа, то Аполлоний и называет полученную кри-
вую эллипсом.
Аналогично он находит и записывает уравнения, харак-
теризующие гиперболу и параболу: если MN — диаметр
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКЕ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 413
полученного сечения, то от А’ откладывается отрезок Аг7’=
=р перпендикулярно к МЛ" (рис. 4). Тогда для гиперболы
LK" = у2 = площади KK'T'N — {х + 2а).
Получается уравнение гиперболического типа, почему
и соответствующую кривую Аполлонии назвал гипер-
болой.
Для параболы получаем (рис. 5):
у2 = LK2 = NT-NK = рх,
т. е. у2 выражается через х уравнением параболического
типа.
Итак, Аполлоний классифицировал конические сече-
ния по виду определяющего их уравнения, т. е. классифи-
кация его была, по существу, алгебраической.
При этом необходимо было выяснить следующие основ-
ные вопросы:
1) Тот или иной вид уравнения получился при отнесе-
нии кривой к некоторому ее диаметру ЛГМ и сопряженной
с ним хорде 2LK. Не изменится ли вид уравнения, если
414
И. Г. I ШМАКОВА
кривую отнести к другому диаметру и сопряженным с ним
хордам?
Не может ли при этом уравнение гиперболического
типа перейти, например, в эллиптическое?
2) Совпадают ли полученные крпвые с теми, которые
определялись
раньше как перпендикулярные сечения
конусов вращения? Иными сло-
вами, какой вид примут урав-
нения, если отнести их к глав-
ным осям?
Эти вопросы решает Аполло-
ний в I кнпге. Он выбирает в ка-
честве новых осей некоторый
другой диаметр и сопряженный
с ним и показывает, что вид
уравнения останется прежним,
т. е. что его классификация за-
конна. Наконец, он показывает,
что можно выбрать два взаим-
но-перпендикулярных сопря-
женных диаметра и тогда кривую можно представить как
сечение некоторого конуса вращения плоскостью, пер-
пендикулярной к образующей. Таким образом, в конце
I книги устанавливается тождество новых конических се-
чений со старыми.
Итак, Аполлоний прекрасно понимал, что в качестве
характеристических для геометрических кривых можно
принимать лишь те свойства их алгебраических уравне-
ний, которые остаются инвариантными при допустимых
преобразованиях координат. Насколько эта мысль нетри-
виальна, показывает то обстоятельство, что свое подлин-
ное развитие она получила только в XIX в., когда была
создана теория инвариантов.
В I кнпге Аполлоний находит также касательные к ко-
ническим сечеииям, причем показывает, что для эллипса
и гиперболы ордината точкп касанпя и касательная делят
«гармонически» диаметр кривой.
Он выводит и уравнения кривой по отношению к двум
произвольным диаметрам, вообще говоря, несопряженным
(на основании теорем I и III книг).
. ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКЕ В.'ДРЕВНЕП ГРЕЦИИ 415
В последующих книгах Аполлоний выясняет основ-
ные свойства асимптот и сопряженных диаметров, дока-
зывает теоремы о полюсах и полярах, рассматривает полу-
чение конических сечений с помощью проективных пуч-
ков прямых, проведение касательных из точек, не лежащих
на коническом сечении. Он устанавливает, что два кони-
ческих сечения могут пересекаться не более чем в четырех
точках. Наконец, Аполлоний доказывает, что: 1) сумма
квадратов двух сопряженных диаметров эллипса имеет
постоянную величину, равную сумме квадратов главных
диаметров; 2) разность квадратов двух сопряженных диа-
метров гиперболы постоянна; 3) параллелограмм, построен-
ный на двух сопряженных диаметрах эллипса или гипер-
болы, проведенных под тем углом, под которым эти диа-
метры пересекаются, имеет постоянную площадь, равную
прямоугольнику на главных диаметрах.
Отметим еще знаменитую задачу о геометрическом
месте к трем и к четырем прямым: даны четыре прямые;
найти геометрическое место точек, произведение расстоя-
ний которых от двух данных прямых имеет постоянное
отношение к произведению расстояний от других прямых
(или к квадрату расстояния от третьей прямой, если даны
три, а не четыре прямые). Как нетрудно видеть, искомым
геометрическим местом является кривая второго порядка.
Изменяя положения прямых, можно получить любую
такую кривую. Как показал Цейтен, Аполлоний полно-
стью решил задачу о геометрическом месте к трем и четы-
рем прямым (неполные решения имелись и до него) и поль-
зовался им так же, как мы теперь пользуемся общим по-
нятием и общим уравнением кривой второго порядка.
На этом мы закончим изложение содержания замеча-
тельного труда Аполлония, отсылая желающих более
подробно с ним познакомиться как к самому сочинению
Аполлония, так и к прекрасным исследованиям Цейтена,
Ней-гебауэра и Ван-дер-Вардена, посвященных исто-
рико-математическому анализу этого сочинения.
Скажем несколько слов о значении «Конических сече-
ний» Аполлония.
В древности теория, созданная Аполлонием, не полу-
чила развития. Более того, наиболее трудные и тонкие
416
И. Г. БАШМАКОВА
места его трактата ученые скоро перестали понимать.
Основное, для чего употребляли конические сечения
в самой математике в древности и на средневековом Восто-
ке,— это решение уравнений 3-й и 4-й степени.
В новое время теория конических сечений Аполлония
была положена в основу построения аналитической гео-
метрии Декартом и Ферма. При этом методы Аполлония
оказались пригодными для перевода на язык буквенной
алгебры, кроме того, они легко обобщались и могли быть
использованы для изучения алгебраических кривых более
высоких порядков. Некоторые задачи на геометрические
места из Аполлония и Паппа послужили пробным камнем
для испытания мощи вновь созданной аналитической гео-
метрии.
Исследование Аполлонием проективных свойств ко-
нических сечений послужило отправным пунктом для
создания проективной геометрии Дезаргом и Пас-
калем.
Не меньшую роль сыграли труды Аполлония и в разви-
тии математического естествознания. Уже в древности эта
теория применялась в оптике при исследовании законов
отражения света от параболических зеркал. Однако по-
настоящему широкое значение она приобрела в новое
время. Законы движения планет Кеплера и механические
исследования Галилея непосредственно опирались на тео-
рию конических сечений. Методы Аполлония нашли широ-
чайшее применение при построении Ньютоном «Математи-
ческих начал натуральной философии».
Однако полное развитие идеи Аполлония получили
только в XIX в. в связи с созданием теории инвариан-
тов и новой проективной геометрии.
§ 4. Развитие геометрии после Аполлония. Упадок
классической греческой математики
Евклид, Архимед и Аполлоний явились вершиной
греческой математики. В ближайшие два века, хотя
и появляются отдельные талантливые исследователи, но
они не выходят из круга тех проблем, которые были наме-
чены тремя греческими геометрами. Работы ученых во
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 417
второй половине II И В I ВВ. ДО П. Э. НОСЯТ ЭПИГОНСКИЙ
характер. Мы. не встречаем больше ни новых глубоких
идеи, ни, тем более, создания новых теорий. Это скорее
доделки и поправки старого, движение вперед по инер-
ции, без новых стимулов и движущих спл.
Назовем некоторые из работ этого периода.
Во второй половине 11 в. до н. э. Диокл дал свое
решение задачи Архимеда о делении шара на два сегмента,
объемы которых имеют заданное отношение. Его решение
в противоположность архимедову, которое в то время
было утеряно, не содержало ни обобщения задачи, ни ис-
следования ее возможности. Краткое изложение метода
Диокла мы далп в лекции, посвященной алгебре древних.
Другое исследование Диокла примыкает к работе
Нпкомеда, старшего современника Аполлонпя, который
вывел и изучил новую алгебраическую кривую — конхо-
иду. Пусть даны некоторая прямая а и точка О вне ее
(рис. 6). Конхоида является геометрическим местом точек,
лежащих на лучах, исходящих из О и имеющих одинаковое
расстояние Ъ от точки пересечения луча с прямой а. В по-
лярных координатах уравнение этой кривой будет
~ COS '
где г0— расстояние от точки О до прямой а, <р— у гол между
радиусом-вектором р п прямой а. Никомед показал, что
прямая а является асимптотой конхоиды. Он применил
эту кривую для решения задачи трисекции угла. Легко
видеть, что с помощью конхоиды осуществляется «вставка»
27 Истер. - матсм. псслед., вып. XI
418
И. Г. БАШМАКОВА
длины а, продолжение которой проходит через точку О.
Конхоида является алгебраической кривой четвертого
порядка. Диокл ввел в рассмотрение другую алгебраиче-
скую кривую — циссоиду, имеющую порядок 3.
Примерно к этому’ же времени относится и творчество
Зенодора, которому’ принадлежит решение изопериметр и-
ческой задачи на плоскости (из всех фигур данного
периметра найти ту, которая имеет наибольшую площадь).
Подобная задача для пространства была до него решена
Архимедом. Строгое обоснование правильности решения
Зенодора было дано только в конце XIX в. Шварцем, кото-
рый применил для этого методы Вейерштрасса.
Живший во II в. до н. э. в Александрии Гппсикл зани-
мался многоугольными числами и прибавил XIV книгу'
к «Началам» Евклида, посвященную свойствам додека-
эдра и икосаэдра.
Однако вскоре в указанпомнаправленпп перестают появ-
ляться и такие исследования. Наступает как бы исчерпание
проблематики, потеря интереса к тем темам и идеям, кото-
рые были в центре внимания классической греческой мате-
матики. Постепенно утрачивается даже понимание целых
отделов греческой математики, ее методов и теорий. Ряд уче-
ных [II—VI вв. н. э. посвящают своп силы тому, чтобы разъ-
яснить, прокомментировать творения великих греческих
геометров, причем часто комментарии показывают, что мно-
гое понималось в то время с большим трудом, а некоторые
наиболее глубокие и топкие мысли авторов классической
эпохи п вовсе не улавливались. Такие комментарии писали
Папп из Александрии (III в. н. э.), который сам был хоро-
шим математиком, Прокл (V в.), Симплиций (V в.), Евто-
кпй (V —VI вв.) и другие. Основное значение их трудов
для нас заключается в том, что онп изложили многие сочи-
нения математиков классической эпохи, подлинники кото-
рых утрачены (например, только благодаря Симпликию до
нас дошли отрывки из трактата Гиппократа Хиосского
о квадрируемых луночках).
Но наряду с этим, в I—II вв. и. э. начинается где-то
на окраинах пауки развитие новых отраслей математики,
не связанных пли почти не связанных с классической гре-
ческой геометрией. Так, развиваются вычислительные
лекции по Истории математики в древней Греции 419
методы, равносильные плоской и сферической тригономе-
трии, сферическая геометрия, арифметика и новая алгеб-
ра, опирающаяся не па геометрию, а на арифметику.
Постепенно изменяется п самый способ трактовки про-
блем математпкп — происходят ее арифметизация и алге-
браизация, т. е. в это время начинается тот самый про-
цесс, который привел впоследствии к преобразованию
всего облика математики, к созданию буквенных ис-
числений, развитию алгоритмов, начиная от алгебраичес-
ких и кончая дифференциальным и интегральным ис-
числениями.
Таким образом, в эпоху позднего эллпнизма развптпе
математики было очень сложным; полного историко-мате-
матического анализа всех тех разнородных явлений, кото-
рые происходили в науке этого времени, еще не дано.
В литературе можно найти самые различные оценки этой
эпохи. Одни историки математики, как Цейтен и Ван-дер-
Варден, считают, что мы имеем дело с упадком и даже
с регрессом математики, и выдвигают своп объяснения
этому явлению, которому нс было параллелей в исто-
рии других естественных наук (например, в астро-
номии).
Однако с этпм мнением нельзя полностью согласиться.
Общий упадок античной математики, как и всей культуры
древнего мира, произошел позже, примерно в IV—VI вв. и. э.
До этого времени наряду с прекращением исследова-
ний в классических областях наблюдается, как мы уже
говорили, развитие новых направлений. Поэтому более
правомерной, как нам кажется, является оценка этого
перпода, данная Нейгебауэром и некоторыми другими
историками науки последнего времени, которые считают,
что в первых веках нашей эры не было упадка античной
математики в собственном смысле слова, а скорее произо-
шло переключение интересов из одной области нашей нау-
ки в другую, изменение ее тематики.
При этом, конечно, следует еще многое объяснить.
Так, возникают вопросы: 1) почему пдеп классической
греческой математики былп надолго оставлены п получили
настоящее развптпе только в науке XVI—XVII вв.,
а некоторые пз них только в XIX в.; 2) почему в эпоху
27*
420
И. Г. БАШМАКОВА
позднего эллинизма не был произведен перевод основных
предложений греческой математики на новый арифметико-
алгебраический язык. Для ответа на нпх нам надо будет,
во-первых, проанализировать внутренние особенности са-
мой античной математики, а, во-вторых, обратиться к исто-
рическим условиям развития науки в эпоху позднего эл-
линизма.
Подумаем сначала над тем, как могли бы дальше разви-
ваться основные направления математики классической
Греции. В трудах Аполлония теория конических сечений
была настолько всесторонне изучена, что дальнейшее про-
движение вперед могло бы заключаться в создании аналити-
ческой и проективной геометрии или в систематическом
изучении алгебраических кривых высших порядков. Архи-
мед, как мы знаем, строил верхние и нижние интегральные
суммы, пользовался бесконечно малым характеристиче-
ским треугольником. Задачи на нахождение экстремумов
он сводил к задачам на проведение касательных. Развитие
методов Архимеда означало бы создание дифференциаль-
ного и интегрального исчисления. Наконец, развить даль-
ше алгебру можно было бы путем перехода к исследованию
уравнений высших степеней, постановки задачп о решенпп
уравнений в радикалах, дальнейшей классификации алге-
браических иррациональностей.
Такое развитие было невозможно в рамках классиче-
ской греческой математики. Мы уже неоднократно говори-
ли о том, что в математике Греции существовала диспро-
порция между внутренним идейным богатством и плохо
развитым алгебраико-аналитическим аппаратом. Число
известных алгебраических соотношений было крайне не-
велико. Не существовало аналитических выражений для
записи функциональных зависимостей. Те немногие алгеб-
раические соотношения, которыми оперировали, записыва-
лись либо словесно, что делало изложение крайне громозд-
ким, либо с помощью геометрической алгебры, которая бы-
ла хороша только для записи выражений второго порядка.
Явно недоставало удобной символики, которая позволила
бы создать буквенное исчисление, обогатить запас ана-
литических соотношений и функций. Геометрическая алге-
бра отказывалась служить уже при трактовке уравнений
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 421
3-п степени. Уравнения степеней п — 3 и 4 еще можно было
сравнительно удобно записать, пользуясь пропорциями.
Но и этот метод для уравнений высших степеней был не-
обыкновенно громоздким. Кроме того, геометрический язык
был тормозом для расширения понятия числа. В антич-
ной алгебре не было места для отрицательных чисел, не
говоря уже о мнимых.
Для дальнейшего продвижения вперед нужно было
сломать всю построенную систему математики, отказаться
от геометрического языка, развить вычислительные алго-
ритмы. По такому именно пути и пошло развитие нашей
науки сначала в странах Ближнего и Среднего Востока,
а потом в средневековой Европы. Но для такой коренной
ломки необходимы мощные стимулы, которые заставили
бы порвать с традициями, встать на новый путь и с новой
точки зрения пересмотреть, переработать все имеющиеся
математические теории. Между тем внешние условия раз-
вития науки, начиная с конца II в. до н. э., были крайне
неблагоприятны.
Это было время заката эллинистической цивилизации,
время тяжелых разрушительных войн. В 212 г. до н. э.
под натиском Рима пали Сиракузы. В 146 г. римляне заво-
евали всю материковую Грецию: страна была превращена
в пустыню, от Коринфа и других цветущих городов ее
остались одни развалины. В это же время был разрушен
Карфаген п образовалась Африканская провинция Рима.
В 133 г. к Риму было присоединено Пергамское царство.
Господство римлян распространяется на Малую Азпю,
а затем и Месопотамию. В 86 г. войска Суллы после осады,
длившейся несколько месяцев, взяли Афины. Город на три
Дня был отдан на разграбление солдатам. С>лла хотел
стереть его с лица земли, и только когда к нему пришла
делегация афинских граждан, он передумал, сказав:
«Дарую жизнь живым ради мертвых». Наконец, с 48—47 гг.
римляне проникают в Египет; в 30-х годах до н. э. пала
Александрия. Во время войны с римлянами сгорела зна-
чительная часть ее знаменитой библиотеки.
Итак, к началу новой эры эллинистические государ-
ства потеряли политическую независимость и преврати-
лись в провинции Рима. Между тем отношение верхушки
422
И. Г. БАШМАКОВА
римского общества к Греции и ее культуре было двойствен-
ным. С одной стороны, римляне усвоили некоторые сторо-
ны этой культуры, особенно это касается риторики и юрис-
пруденции, восхищались искусством классической эпохи,
однако к математике и другим абстрактным наукам онп
относились с презрением, ценя только узко практические
знания. Но и этими практическими вопросами должны былп
заниматься не римляне, удел которых был властво-
вать над миром, а греки (которых пренебрежительно назы-
вали грекули, т. с. грсчпшки), сирийцы и другие покорен-
ные народности. Настроенпе римской знати хорошо рису-
ют следующие строки из Вергилия:
Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу,—
Верю тому,—создадут из мрамора лики живые,
Красноречивее будут в судах, движения неба
Тростью начертят своей и вычислят звезд восхожденья,
Ты же, римлянин, знай, как надо пародами править1).
Уже современники обратили внимание на то, что узкий
практицизм римлян препятствовал развитию паук. Так,
Плиний Старшпп (I в. н. э.) пишет, что, несмотря па
открытие новых морей и земель, научные достижения
в географии были незначительны. Это он объясняет слабой
поддержкой научных изысканий со стороны римлян,
которые субсидировали только путешествия, предпри-
нятые с корыстными целями. Такая политика римлян
неблагоприятно отразилась и на деятельности Музейона.
Не было больше и притока ученых из обезлюдевшей Гре-
ции. На фоне общего застоя науки и искусства начинают
развиваться мистика, астрология, алхимия; богатую почву
находят различные религиозные учения. Уже эллинисти-
ческие монархии столкнулись с необходимостью допол-
нить политический гнет религиозным, право, полученное
завосванпсм,— божественным правом. Для этого монархи
возрождают культ местных богов, отстраивают разрушен-
ные храмы, более того, вводят новый государственный
культ, согласно которому происходит обожествление
государя. Так, каждый пз Птолемеев Египетских объяв-
Перевод Ф. А. Петровского. Этот перевод был мне
любезно сообщен В- П. Зубовым.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 423
пился богом еще прп жизни. Вообще абсолютные монархии
всегда нуждались в подобном культе, который бы обосно-
вывал «божественное право королей». В Римской империи
эти тенденции проявились с еще большей силой, но с той
только разницей, что благодаря разнородности этниче-
ского состава империи недостаточно было опираться на
национальные религии и местных богов. Мировая империя
требовала и единой мировой религии, которую и нашла,
наконец, в христианстве.
Но и помимо этого былп причины, вызывавшие в широ-
ких кругах населения повышенный интерес к религиоз-
ным вопросам.
Растерявшийся в хаосе событий, над которыми он более
не властен, страдая от непрерывных войн и связанных
с нпми разрешений, человек невольно искал утешения
в религии, тем более, что национально-освободительные
движения того времени, как правило, принимали релпгпоз-
ндю форму. Возникают многочисленные религиозные
секты, возрождаются мистические таинства. Создание
христианства, религии, господствовавшей над умами бо-
лее 10 веков, потребовало отвлечения значительной части
духовных сил общества1). II вот мы видим, как светлый
рационализм эллинского мышления постепенно погло-
щается мутными волнами различных мистико-религиоз-
ных учений, которые никогда не прекращали своего суще-
ствования на Древнем Востоке. Даже наиболее выдающие-
ся умы эпохи позднего эллпнпзма испытали па себе их
тлетворное влияние. Это видно уже на творчестве выдаю-
щегося ученого I в. до н. э. Посидония, который впервые
правильно объяснил явленпя приливов, но наряду с этим
занимался астрологией, магией, был подвержен различ-
ным суевериям. Крупнейший ученый середины II в. н. э.
Птолемей наряду со своей знаменитой книгой по астроно-
мии, которая получила самую широкую известность под
арабизпрованным названием «Альмагест», наппсал и руко-
водство по астрологии «Тетрабпблшо» (Четверокнпжпе).
Эти примеры можно было бы и умножить.
1) Заметим, что пептрамп новой религии сделались Алекса п-
дрвя и Персам, в которых сосредоточивалась наука.
424
И. Г. БАШМАКОВА
Создавшееся в первых веках нашей эры христианство
сразу же становится активным врагом языческой науки
и культуры: горят «еретические» книги, гибнут библиоте-
ки, ученые изгоняются или даже уничтожаются физиче-
ски. Такая враждебность объяснялась тем, что наука при-
учала людей к критическому мышлению, к трезвому ана-
лизу фактов. Лозунгом же религии становятся крылатые
слова Тертуллиана — апологета христианства (II в. и. э.):
«Я верю, потому что это нелепо». «Нам после Христа
не нужна никакая любознательность,— писал он,— после
Евангелия не нужно никакого исследования...».
Неудивительно, что в такой обстановке наука пе могла
найти силы для нового решительного рывка вперед. Пос-
ле исследований эпигонов наступает временный застой
в математике, связанный с исчерпанием проблематики
классического периода. Но в I—III вв. н. э. начинается
развитие новых областей математики, ставятся новые
проблемы или с иной точки зрения трактуются старые. Эти
новые области были связаны с развитием астрономии,
с арифметико-вычислительным подходом к проблемам на-
шей науки, т. е. в это время начинается развптпе в том
самом направлении, которое привело впоследствии, в
XVI—XVII вв., к созданию новой математики. Однако
неблагоприятные внешние условия пе позволили новым
направлениям получить дальнейшее развптпе. Уже в
IV—V вв., когда вышеописанные тенденции в развитии
общества стали очень сильны, заглохлип эти исследования.
В это время уже можно говорить об упадке в собственном
смысле слова.
В 390 г. хрнстпапе-фанатпкн разрушили Александрии
скую библиотеку, несколько раньше Прокл п другие уче
ные переносят свою деятельность в Афины. С конца IV в.и. э
мы больше пе имеем сведений нп об
музспоне, ни о его библиотеке. Но
Алекс-
п Афины
андрийском
послужили
Юстин пап
прибежищем для ученых: в 529
закрыл Афинскую академию,
недолго
гплось покинуть Грецпю; некоторые пз
в Персию, но и там не нашли сколько-нпбу
условий для работы. Последние известные
ученые жили в Византии,
г. император
г ченым при
них поехали
дь подходящих
пам греческие
ЛЕКИИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 425
Мы перейдем сейчас к рассмотрению тех новых направ-
лений в математике, которые развивались в первых веках
нового времени.
§ 5. Математика в первые века пашей эры
1. Прикладная математика. Приближенные вычисле-
ния. Наиболее ярким и талантливым представителем это-
го направления был ученый и инженер I в. н. э. Герон
из Александрин. Ему принадлежит изобретение многих
интересных механизмов, которые приводились в движение-
нагретым или сжатым воздухом или паром: так называе-
мый эолипил (шар, вращающийся под действием силы
пара), автомат для открывания дверей и другие автоматы,
водяной орган, пожарный насос, механический театр
марионеток. Описание этих механизмов дано в его сочи-
нении «Пневматика». У Герона имеется работа, посвящен-
ная диоптре — инструменту для геодезических съемок,
сочиненпя по артиллерии.
Математические работы Герона представляют собой
энциклопедию античной прикладной математики. Вопросы
приложений здесь излагаются не в завт алпровапной
форме, как в «Началах» Евклида, а являются основной
целью. Так, в «Метрике» Герон приводит формулы для
точного и приближенного расчета геометрических фигур:
площадей правильных многоугольников, объемов усечен-
ного конуса и пирамиды, шарового сегмента, правильных-
многогранников, тора и др. Здесь же дается так называе-
мая формула Герона для выражения площади треуголь-
ника через три его стороны. Впрочем, эта формула в не-
сколько ином виде имелась уже у Архпмеда. В «Метрике»
приводятся правила численного решения квадратных
уравнений и приближенного вычисления квадратных и
кубических корней.
Для извлечения квадратного корня Герон пользовался
той же формулой, что и вавилоняне: если а — наиболь-
ший целый квадрат, содержащийся в N, то
426
И. Г. БАШМАКОВА
Для извлечения кубического корпя из 100 Герои берш
ближайшие к 100 целые кубы: меньший 43 : 64=a?i и боль-
ший 53 : 125=а;|, затем он составляет разности
d1= 100-64 = 36,
d2 = 125 - 100= 25.
Тогда
|/ 100 4 Ч____—_____= 4 —
Г J + 4-25 + 5-36 14’
иными словами, правило Герона соответствует прибли-
женному равенству
х
Xjd2 + x2di
Относительно происхождения этого правила мнения исто-
риков расходятся. Вероятнее всего, что оно было получено
не линейным, а квадратичным интерполированием. В ос-
новном, изложение у Герона догматическое, правила
обычно поясняются на числовых примерах. Иногда встре-
чаются и доказательства, проведенные в духе классической
греческой геометрии. Герои был хорошо знаком с «Нача-
лами» Евклида и написал к ним комментарии. У него
имеется и сочинение об определениях. По-видимому, он
преподавал в Александрии, и его работы, примыкающие
к «Началам», были связаны с его педагогической деятель-
ностью.
Заметим, что Герои свободно оперирует с дробью —
рациональными числами; по существу они имеют у пего
такое же право гражданства, как и целые.
2. Последования по сферической геометрии и создание
методов, равносильных плоской и сферической тригоно-
метрии. Мы упоминали уже, что первые исследования гео-
метрии на сфере — геометрии поверхности, существенно
отличной от евклидовой, принадлежат Евдоксу. По-види-
мому, он заинтересовался геометрией сферы в связи со
своими астрономическими работами. II дальше развитие
этой области математики должно было быть связанным
с астрономией. В конце I в.н. э. Менелай написал сочине-
ние «Сферика», в котором сферическая геометрия изла-
гается почти с той же полнотой и тщательностью, как
•ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 427
и планиметрия в «Началах». Видимо, Менелай, как и Ев-
клид, подвел итог всему предшествующему развитию этой
валки. В первых двух книгах «Сфсрикп» излагаются раз-
личные предложения о сферических треугольниках (кото-
рые Менелаи называет трехсторонпиками и определяет
как образованные дугами больших кругов). Он доказывает
все те свойства, которые одинаковы у таких трсхсто-
роннпков с плоскими треугольниками, но отмечает и свой-
ства, присущие только трсхсторопникам, например дока-
зывает, что сумма углов пх больше двух прямых. Менелай
исследует и случаи равенства д
сферических треугольников. /X
Третья книга его сочинения /
посвящена сферической трпго- й/
нометрип, которая развивается / ~^с
на основе первого предложения
этой книги, получившего на-
звание теоремы Менелая. Эта
теорема является распростра- ^ис- 7-
непием на сферическую геометрию следующего планимет-
рического предложения: если некоторая прямая пересекает
стороны треугольника АВС (рис. 7), противолежащие уг-
лам А, В, С, в точках D, Е и F, то
BD СЕ AF _ .
CD ’ АЕ АТС~
Эта последняя теорема, по-вндпмому, была известна Евкли-
ду. Из этой теоремы Менелаи выводит ряд следствий, игра-
ющих существенную роль в сферической тригонометрии.
Значение теоремы Менелая хорошо видно пз того, как
пользовался ею Птолемей (150 г. и. э.). Если угол .1 —
прямой, а все прямые линии на чертеже заменены д^гамп
больших кругов, причем FED — большой круг с полю-
сом в точке В, то из теоремы Менелая можно получить все
случаи решения прямоугольных сферических треуголь-
ников.
Для вычисления таблицы хорд Птолемей применил
теорему о вписанном четырехугольнике (теперь ее называ-
ют теоремой Птолемея): если четырехугольник вписан
428
И. Г. БА1ПМАКОВ4.
в круг, то произведение его диагоналей равно сумме про-
изведений противоположных сторон. Птолемей пользовал-
ся этой теоремой, которая была известна еще Архпмеду,
так же, как мы пользуемся формулой для синуса суммы
двтх углов. Действительно, пусть одна пз диагоналей
(рпс. 8), например АС, проходпт через центр круга. Тогда
дпагональ BD стягивает дугу
2 (а Т ₽), сторона ВС дугу 2a и ЛГ) —
дугу 2(90—р). По теореме AC-BD =
= ADBC +.10-00. Но А0=2/?,
ВВ = 2R sin (a + Р),
ВС = 2R sin a,
_!/) = 2R sin (90 — 8) = 2R cos р,
AB = 2J?cosa, (7.0 = 2/? sin p,
поэтому написанное соотношение эквивалентно формуле
sin (a -|- Р) = sin a cos 8 + cos a sin p.
С помощью этой теоремы, Птолемей составил таблицу
хорд, идущих через каждые 30'.
В своем сочинении «География» Птолемей применяет
стереографическую проекцию сферы (поверхности земно-
го шара) на плоскость (за которую принимается плоскость
экватора). Оп показывает, что при стереографической про-
екции углы между линиями не изменяются, т. е. с нашей
точки зрения показывает конформность этой проекции.
Очень вероятно, что стереографическое проектирование
было пзвсстно еще Гпппарху (II в. до н. э.).
Труды Птолемея по астрономпп были переведены на
арабский язык и самым тщательным образом изучались
астрономами Востока, которые составляли более точные
тригонометрические таблицы и вносили улучшения в си-
стему Птолемея. Основываясь на теореме Менелая, астро-
ном и математик Наспрэддпн-ат-Тусп (XIII в.) дал простое
и краспвое построение сферической тригонометрии. Евро-
пейские ученые познакомились с трудами греческих астро-
номов через арабов.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 429
3. Арифметика и алгебра. Сочинения по теории чпсел
и алгебре II—IV вв. н. э. резко отличалпсв от классиче-
ских произведении, посвященных тем же вопросам. До
нас дошла «Арифметика» сирийского ученого Нпкомаха
из Гераса (середина II в. н. э.), в которой излагается уче-
ние о многоугольных числах, причем в нем содержатся
и мистические спекуляции с числами, и «Арифметика»
Диофанта — одно из замечательнейших произведений
античности. Время жизни Диофанта в точности не устано-
влено. Обычно считают, что он жил около 250 г. н. э.
в Александрин. Сохранились первые шесть книг его
«Арифметики», состоявшей из 13 книг. В этом сочинении
Диофанг совершенно отказывается от классических форм
геометрической алгебры. Хотя он и говорит еще о «квад-
ратах», «сторонах» и «площадях», но это только условные
термины. Подобно вавилонским математикам Диофант
спокойно складывает площади со сторонами, т. е. рассма-
тривает их не как геометрические величины, а как числа.
Но, отказавшись от геометрической символики, Дио-
фант не просто возвращается к словесно-рецептурному
методу вавилонян, впервые в историп науки он вводит
новый язык — начинает строить буквенное исчисление.
С чего же начинается введение алгебраической символики?
Сама алгебра началась с того, что с пепзвестн1.тмп величи-
нами оперировали по тем же законам, что и с известными
числами (пли отрезками). Подобно этому и алгебраическая
символика началась с обозначения неизвестных.
Диофант ввел символы для первых шести положитель-
ных и шести отрицательных степеней неизвестного: первою
степень неизвестного он обозначал символом, похожим
на опрокинутую сигму с, квадрат неизвестного записывал-
ся с помощью совершенно пного символа: Ди—первые две
буквы слова Auvapt; (степень, квадрат, сила), куб К0—
первые две буквы слова КкЗо; (куб). Четвертая, пятая
и шестая степени обозначались так: ДК° и ККи,
т- е. они получались из предыдущих с помощью операции
сложения. Таким образом, первые три степени выступают
еще как самостоятельные сущности, не связанные друг
с другом, а остальные получаются пз них алгоритмически.
430
И. Г. БАШМАКОВА
Отрицательные степени Диофант обозначал как дроби
с числителем 1 и соответств j юшим знаменателем. Единицу
О
он записывал знаком М — первые две буквы Mo'va;
(единица). Кроме того, у него был символ для обозначения
вычитания и сокращения, для знака равенства t— пер-
вая буква символа юо; (равные). Приведем запись урав-
нения по Диофанту:
КJ ° гМон^а!
в современных обозначениях оно выглядит так:
х3 -|-8х — (5z2 + 1) = х.
Отмстим, что на протяжении 12 веков после Диофанта
развитие символики шло по пути усовершенствования обо-
значений для неизвестных, пх степеней и алгебраических
операций. Обозначения для произвольных постоянных ве-
личин появились только во второй половпне XVI века
у Виеты.
Диофант формулирует общие правила операций над
многочленами: сложение их, вычитание и умножение.
При этом он дает правило знаков, отмечая, что «вычита-
емое, помноженное на вычитаемое, дает- слагаемое». За-
тем он переходит к уравнениям и формулирует два основ-
ных правила:
1) правило переноса членов уравнения с одной сто-
роны на другую, но уже с обратным знаком (это правило
носило по-арабски название алджебр, откуда и произо-
шло слово алгебра);
2) правило приведения подобных членов (у математи-
ков средневекового Востока — альмукабала).
Арпфметпзация алгебры привела к первому явному
расширению понятпя числа. Основной вопрос сочинения
Диофанта — решение неопределенных уравнений в поло-
жительных рациональных числах (т. е. ищутся, вообще
говоря, дробные решения, а целые числа рассматриваются
как частный случай дробей). Обычно Диофант представ-
ляет решения как рациональные функции одного пара-
метра. Он не исследлет вопроса о том, дает лп его метод
все решенпя пли только часть из них. В книгах Диофап-
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 431
та рассматриваются неопределенные уравнения 1-й, 2-й,
3-й и 4-й степеней.
Приведем некоторые примеры его задач и методов1):
1) Многие задачи Дпофанта сводятся к тому, чтобы
найти значения неизвестного, для которого выражения
а2х2 bx 4- с = у2 плп ах2 4- Ьх-\- с2 = у2
являются точными квадратами. Дпофант в первом случае
полагает y=ax-\-z, а во втором y=zx-\-c. После этого неиз-
вестное х выражается рационально через параметр z.
Аналогичные подстановки теперь применяются в инте-
гральном исчислении; их обычно называют подстановками
Эйлера. Задачи пз II книги, поставленные как задачи на
систему двух уравнений второй степени, Диофант сводит
к вопросу, который мы изложили.
2) При решении задач Диофант часто с большим искус-
ством пользуется формулой
ж2_ у2=(х-у)(х + у>).
Например: «К двум заданным числам прибавить одно
и то же число так, чтобы каждое из них стало квадратом»,
т. е. решить систему
х -|- а = у2,
х -\-b = z2.
Диофант берет а=2 и 6=3. Затем он образует разность
(ж4-3)—(а?4-2) = 1 и ищет два числа, произведение которых
равнялось бы этой разности. В качестве таких чисел он
берет 4 и -. Затем он полагает
«4-2 =
или х 4- 3 =
откуда я = —
*) Для краткости мы будем пользоваться современными обозн>-
ченипми.
432
И. Г. БАШМАКОВА
Здесь метод состоит в том, что разность b — a—z2 — у2
представляется в виде b — а = (z + у) (z — у) uv.
После этого Диофант приравнивает u = z-\-y, v=z~y,
откуда
т. е.
3) Задача 8 книги II: разложить данное квадратное
число па сумму двух квадратов. В качестве заданного
числа Диофант берет 16, пусть один из искомых квадра-
тов будет С2, а другой (2£—4)2. Тогда
С2 + (2£-4)2 = 16,
5',2 = 16С; С =
О
х 25G „ 144
т. е. один из квадратов будет , а другой .
Аналогичным методом можно получить общее решение
задачи: пусть заданное число есть а2. Обозначаем иско-
мые квадраты С2 и (/£— а)2. Тогда
С2 + А2£2 - 2аА\ + а2 = а2,
„ 2ак
<’ = F+1 ’
Д2_j
второй квадрат ц = — а = - д.
Именно в этой задаче Ферма сделал впоследствии свое
знаменитое примечание: «Наоборот, совершенно невозмож-
но разложить куб на сумму кубов, биквадрат на сумму
биквадратов и вообще какую-либо степень, большую ква-
драта, на сумму двух степеней того же показате-
ля. Я дал этому попстпне чудесное доказательство,
но поля книги слишком узки для него». Как пзвестпо, это
предложенпе, которое носит название большой теоремы
Ферма, до сих пор в общем виде не доказано.
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 433
4) Приведем еще один пример задачи Диофанта, судь-
ба которой оказалась связанной с теорией чисел. Задача
22 книги III: найти такие четыре числа, что
+ ± 2i = квадрату (г = 1, 2, 3, 4).
Диофант замечает, что квадрат гипотенузы прямо-
угольного треугольника остается квадратом, если к нем}
прибавить или из него вычесть удвоенное произведение
катетов [с2 ± 2ai = а2+ b2 ± 2а b = (fl ± Ь)2].
Поэтому он ищет сначала четыре прямоугольных теуголь-
ника с одинаковой гипотенузой. Это равносильно решению
задачи: найти такой квадрат, который четырьмя способами
представлялся бы суммой двух квадратов. Диофант берет
сначала два прямоугольных треугольника, стороны кото-
рых выражаются целыми числами: 3, 4, 5 и 5, 12, 13 и ум-
ножает все стороны каждого из треугольников на гипоте-
нузу другого, т. е. получает: 39, 52, 65 и 25, 60, 65. Имеем
два прямоугольных треугольника с одной и той же гипо-
тенузой 65. При этом 65 можно двумя способами пред-
ставить в виде суммы двух квадратов: 65= 13-5--16-р
+ 49 = 1 -р 64.
Это разложение получается пз следующей замечатель-
ной формулы комозиций двух форм, которой здесь пользу-
ется Диофант: (а2-р fe2)(c2 -р d~) = (ас -р bd)2 -р {ad— be)2 —
= (ас — bd)2 -р (ad -Р be)2.
Поэтому-то он и выбрал в качестве исходных такие
треугольники, гипотенузы которых сами являются сум-
мами двух квадратов: 5=4-pl, 13=9-р4.
Теперь уже нетрудно видеть, если воспользоваться
формулами для решения неопределенного уравнения
х2 р у2 = z2:
z = £2-pi]2, х =2^т], г/ = £2 — т]2,
что 652 представится четырьмя способами в впде суммы
двух квадратов. Достаточно вместо £ и т] выбрать 4 и 7,
а затем 1 и 8. Получим четыре прямоугольных треуголь-
ника: 39, 52,65; 25, 60, 65; 33, 56, 65; 16, 63," 65.
28 Истор.-матем. исслед., вып. XI
434
И. Г. Б АШМАНОВА
Для решения самой задачи Диофант обозначает сумму
четырех искомых чисел
+ xz г хз + = 2 • 39 • 52£2 = 4056s2.
Аналогично а?2 = 3000s2, z3 = 3696£2, а;4 = 2016^2. Тог-
да 4056£2 + 3000£2 + 3696,2 + 2016$2 = 65s. Отсюда опре-
делится значение £.
К этой задаче Ферма сделал следующее замечание:
всякое простое число вида 4п-|-1, а также его квадрат
единственным способом представляются в виде суммы двух
квадратов, 3-я и 4-я степень простого числа вида 4и -]-1 дву-
мя способами представима суммой двух квадратов, 5-я
и 6-я степень — тремя и т. д. Произведение двух простых
чисел вида 4п-]-1 представимо суммой двух квадратов
двумя способами.
На этом мы кончим приводить примеры. Заметим, что
Диофанту были известны и другие важные теоретико-чис-
ловые предложения, например, что целые числа вида
8/л7 нельзя представить суммой трех квадратов.
Вопрос о нахождении решений диофантовых уравнений
вида F (ж17 ж2, ..., жп) = 0, где F — многочлен относи-
тельно всех своих переменных, можно ставить по-разному:
1. Выразить ж1, ж2...хп как рациональные функции
от п—-1 параметров. Это вопрос об униформизацип в рацио-
нальных функциях. В настоящее время этот вопрос в до-
статочной мере исследован только для п = 2 и 3.
2. Найти все рациональные решения этого уравне-
ния. Ясно, что если уравнение униформизпруотся в рацио-
нальных функциях, то оно имеет бесконечно много рацио-
нальных решений. Однако уравнение может иметь беско-
нечное число рациональных решений и тогда, когда его
нельзя униформизировать. Для п=2 вопрос о рацио-
нальных решениях исследовали Пуанкаре и Вейль.
3. Найти все целочисленные решения этого уравне-
ния. Для п=2 и в случае, если степень неопределенного
уравнения равна 2, вопрос был полностью решен Эйлером,
Лагранжем и Гауссом. Если же степень больше 2, то, как
показали Туэ и Зигель, уравнение может иметь не более
чем конечное число целочисленных решений за вычетом
некоторых перечисленных исключительных случаев. Это
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 435
почти все, что известно о решении диофантовых уравнений
в целых числах.
Исходным пунктом всех этих вопросов можно считать
«Арифметику» Диофанта.
Для истории науки очень интересным является вопрос
о предшественниках Диофанта. Его «Арифметика», разу-
меется, не могла появиться на голом месте, это было про-
изведение, подводящее итог какому-то неизвестному нам
направлению. В классической греческой математике, как
мы знаем, были поставлены и частично решены только две
задачи из диофантова анализа, а именно были найдены все
целочисленные решения уравнений а;2 + у2 = z2, а;2 — 2у2 =
= ±1, х2 — Dy2 = -j-1 (по крайней мере, для некоторых зна-
чений D). Мы вовсе не находим там постановки задачи
о решении неопределенных уравнений в рациональных
числах. Из всего этого можно заключить, что до нас не
дошли многочисленные исследования, которые должны
были вестись в I—III вв. н. э. Единственным дошедшим
(и то не полностью) произведением этого рода является
«Арифметика» Диофанта.
Значение этого сочинения в исторпп науки было очень
велико. Оно оказало влияние на развитие алгебры в рабо-
тах математиков средневекового Востока, а через них и на
европейскую математику XVI—XVII вв. С другой сто-
роны, «Арифметика» оказала непосредственное влияние
на творчество таких ученых, как Баше де Мезирак и Фер-
ма, побудив их к исследованию проблем теории чисел. На
полях принадлежавшего ему экземпляра Дпофанта Ферма
записывал многие свои теоретико-числовые предложения.
«Арифметика»— последнее дошедшее до нас вели-
кое математическое произведение античности. Это не
значит, что после Диофанта математика прекратила свое
существование. Несмотря на крайне неблагоприятные
условия, математические исследования продолжались.
К началу IV в. относится творчество Паппа, «Матема-
тический сборник» которого показывает, что это был пре-
красный знаток классической античной геометрии, раз-
вивший дальше отдельные вопросы, относящиеся, напри-
мер, к проективной геометрии. В конце IV в. в Алексан-
дрин жил известный комментатор Теон. Его дочь Гипатия—
28*
36
И. Г. БАШМАКОВА
философ из Александрии—писала комментарии к Апол-
лонию и Диофанту. Эта замечательная женщина была
убита толпой фанатиков-христиан в 418 г.
К IV—V вв. н. э. относится расцвет философской шко-
лы неоплатоников, к которой принадлежала и Гипатия.
Одним из наиболее видных представителей этой школы был
Прокл (середина V в.), который написал дошедший до нас
комментарий к I книге «Начал» Евклида, содержащий
много ценных исторических сведений. Он и его ученики,
жившие уже не в Александрии, а в Афинах, изучали Пто-
лемея и производили астрономические наблюдения. Но
наряду с этпм их интересовали мистика и магия. В начале
VI в. жил и работал выдающийся комментатор сочинений
Аполлония и Архимеда Евтокип. «Конические сечения»
дошли до нас в его издании. Следует еще отметить извест-
ного комментатора трудов Аристотеля Спмпликия, благо-
даря которому до нас также дошли сведения об античной
математике. Симпликий жил в Афинах в начале VI в.
Когда в 529 г. император Юстиниан закрыл Афинскую
школу, Симпликий вместе с другими профессорами фило-
софии переехал в Персию. Последние выдающиеся грече-
ские ученые Исидор из Милета и Анфимий из Тралл, жив-
шие в Византии, являлись строителями знаменитого Со-
фийского собора. В школе Исидора была написана послед-
няя XV книга, которая обычно присоединяется к «Нача-
лам» Евклида. Она посвящена свойствам правильных мно-
гогранников.
Дальнейшее развитие нашей науки происходило в су-
щественно иных исторических условиях: оно было связа-
но со странами Ближнего Востока, объединенными в араб-
ский халифат. Но и ученые стран Востока и позднее евро-
пейские ученые опирались в своих исследованиях на до-
стижения античной математики.
Мы много уже говорили о значении отдельных проблем,
методов и теорий, которые возникли в античной матема-
тике. Однако, как бы оно ни было велико, дело не только
в нем. Греции мы обязаны возникновением математики как
самостоятельной науки с присущими ей методами нахо-
ждения и установления истины, методами конструкции
новых объектов и образования понятий. В Греции наша
ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 437
наука пережила свое детство и юность, там зародились
смелые идеи и планы, полное осуществление которых
потребовало много веков кропотливого и упорного труда.
Невозможно даже представить себе, как пошло бы разви-
тие математики в новое время, если бы ученые средневе-
кового Востока и Европы не смогли воспользоваться сокро-
вищами античной науки. Но и позднее, в XIX и XX вв.,
математики неоднократно обращались к трудам антич-
ных авторов, о которых можно сказать словами Маркса:
«II почему детство человеческого общества там, где оно
развилось всего прекраснее, не должно обладать для нас
вечной прелестью, как никогда не повторяющаяся
ступень?»1).
ЛИТЕРАТУРА
I. Классики марксп-зма-леиинизма
1. К. Маркс, К критике политической экономии, М., 1952.
2. В. И. Лени н, Философские тетради, 1947.
II. Специальная литература
3. Г. В и л е й т и е р, Хрестоматия по истории математики,
ОНТИ, М., 1935.
4. А. Н. Колмогоров, Математика, БСЭ, 2-е изд., т. 39.
5. Г. Г. Ц е й т е н, История математики в древности и в сред-
ние века, 2-е изд., М.—Л., 1938.
III. Дополнительная литература
6. И. Н. Веселовский, Архимед, Учпедгиз, 1957.
7. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в Древнем
мире, Гостехиздат, М.—Л., 1941.
8. II. Л. Г е й б е р г, Естествознание и математика в класси-
ческой древности, ОНТИ, 1936.
9. ф. Д а н н е м а н, История естествознания, т. 1, М., 1932.
10. Дильс, Античная техника, ОНТИ, М., 1934.
11. Клини, Введение в математику, М., 1957.
12. Ф. Клей н, Элементарная математика с точки зрения
высшей, т. II, ОНТИ, М., 1934.
13. С. Я. Лурье, Архимед, Пзд. АН СССР, М.—Л., 1945.
14. В. П. ПТ е р е м е т е в с к и й, Очерки по истории мате-
матики, Учпедгиз, М., 1940.
15. Gh. L. Н е a t h, A history of Greek mathematics, Oxford,
1921.
l) К. Маркс, К критике политической экономии, М., 1953,
стр. 225—22Е
438 И- Г. БАШМАКОВА
16. М. Cantor, Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik,
т. I, Berlin, 1922.
17. Michel, De Pythagore a Euclide.
18. B. L. Van der Wa er den, Erwachende Wissenschaft,
Basel, 1956.
19. Z e u t e n, Die Lehre von der Kegelschnitten in Altertum
IV. Источники
20. Аристотель, Метафизика, Соцэкгиз, М.—Л’, 1934.
21. Аристотель, Физика, Соцэкгиз, М.—Л., 1936.
22. Аристотель, Аналитики первая и вторая, М., 1952.
23. Архимеда две книги «О шаре и цилиндре», «Измерение кру-
га» и «Леммы», перевод Петрушевского, СПб., 1823.
24. Архимед, Исчисление песчинок (Псаммит), перевод
П. Н. Попова, ГТТП, М,— Л., 1932.
25. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр,
Четыре сочинения о квадратуре круга с приложением истории
вопроса, составленной Ф. Рудио, ОНТП, М.—Л., 1936.
26. И. Г е й б е р г, Новое сочинение Архимеда: Послание
Архимеда Эратосфену о некоторых теоремах механики, «Мате-
зис», Одесса, 1909.
27. «Начала» Евклида, перевод и комментарии Д. Д. Морду-
хай-Болтовского, Гостехиздат, М.—Л.. 1948—1951.
28. А. О. М а к о в е л ь с к и й, Досократики, М., 1914.
29. Платов, Теэтет, Соцэкгиз, М.—Л., 1936.
30. «The works of Archimedes», Edited by T. L. Heath, Cambrid-
ge, 1897. Имеется немецкий перевод: «Archimedes Werke», Ubersct-
zung von F. Kliem, Berlin, 1914.
31. P. Ver E e c k e, Les oeuvres completes d’Archimede,
Paris—Bruxelles, 1921.
32. P. Ver E e c k e, Les coniques d’Apollonius de Perge,
Bruges, 1923.
33. «Die Arithmetik des Diophantus von Alexandria», ubers.
und mit Anmerkungen begleitet v. G. Wertheim, Leipzig, 1890.
34. H. Diels, Die Tragmente der Vorsokratiker, III Auflage,
1912.
V. Периодические издания. Статьи по
истории античной математики
В журналах: Bibliotheca Mathematica, Quellen und Studien
zur Geschichte der Mathematik, Mathematische Annalen и в периоди-
ческом издании «Историко-математические исследования», в настоя-
щее время вышли вып. I—XI; указатель статей в выпусках I—X по-
мещен в X выпуске. Рекомендуются также статьи но истории мате-
матики в БСЭ.
СТАТЬИ
РАЗЛИЧНОГО
СОДЕРЖАНИЯ
ОБ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ЗНАЧЕНИИ
ДЛЯ МАТЕМАТИКИ И ДРУГИХ НАУК
Б. Б. Гнеденко и II. Б. Логребысскии1)
Относительно исторпп математики и ее значения для
самой математики среди представителей нашей науки нет
установившегося мнения. Нередко встречаются ученые,
придерживающиеся в этом вопросе таких точек зрения,
которые можно назвать нигилистическими. Они почти
полностью отрицают значение истории математики для
современного развития науки. Приводимые ими при этом
рассуждения сводятся примерно к следующему: конечно,
история науки вообще и история математики в частности
необходимы для изучения развития общества, для фило-
софии, для общего образования; но наука движется вперед,
непрерывно обогащаясь новыми фактами, о которых рань-
ше и не предполагали, и при этом старые взгляды и поло-
жения, оказавшиеся ложными или недостаточными, отме-
таются; поэтому знание прошлого науки не может играть
существенную роль для будущего ее развития. Более того,
груз прошлого может оказывать тормозящее влияние,
мешая появлению новых идей.
При этом постоянно подчеркивается, что история
математики является наукой исторической. Последнее
положение нельзя отрицать, но его следует уточнить,
Даже расширить. Разумеется, без основательного знания
*) В основу статьи положен доклад авторов на физико-матема-
тической секции советского напиОнального объединения историков
естествознания и техники 19 февраля 1058 г. При подготовке к
печати использованы отдельные выступления по докладу.
442
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
соответствующей исторической эпохи нельзя заниматься
тем или иным вопросом истории математики. Для того,
кто занимается греческой математикой времен Евклида,
Архимеда, Аполлония, должны быть в достаточных подроб-
ностях известны общественный уклад, уровень техники,
культура, особенности жизни Древней Греции, а также
близких к ней народов. Для него Александрия и Пергам,
Сиракузы и Афины не должны оставаться только геогра-
фическими понятиями. Нельзя изучать математику Нью-
тона, Лейбница, Бернулли, не зная европейской истории
XVII—XVIII веков, не зная общественных отношений
того времени, технического развития и особенностей куль-
туры Англии, Франции, Германии, а также других евро-
пейских стран. Можно ли изучать творчество Лобачев-
ского или Остроградского, не зная общей исторической
картины России и Украины первой половины XIX в.?
Эти положения можно считать очевидными, но это совсем
не означает, что их легко выполнить и что они на самом
деле выполняются. Поверхность и неполнота немалого
числа работ по истории математики зачастую обусловлены
именно тем, что они подготовлены без достаточного знания
эпохи, без надлежащего изучения ее культуры и науки
в целом.
Итак, история математики — наука историческая,
хотя ине только историческая — об этом позднее. По еелп
многие математики желают отмежеваться от нее и полно-
стью включить ее в общую историю, то там к ней отно-
шение едва ли лучше. О развитии математических знаний
как в общих курсах, так и в специальных исторических
исследованиях обычно совсем не говорят и лишь в исклю-
чительных случаях вкратце упоминают. Дело здесь
заключается, конечно, не в том, что авторы-историки
боятся излишне специальных математических сведений,
которые могут быть непонятны нематематикам. Ведь в ко-
нечном счете почти все, что было создано человечеством
в области математики до XVIII столетия, хорошо известно
учащимся средней школы. Однако продвижение в этой
области знания никак не увязывается с общей историей.
Для учащихся остается невыясненной как роль матема-
тики в развитии человеческой культуры, так и влияние
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
443
общественных сдвигов на совершенствование математики.
Никто не станет отрицать значения Гомера и Эсхила,
Аристотеля и Демокрита, Мирона и Праксителя для стано-
вления человеческой культуры, но нет сомнения, что боль-
шое значение имели для нее также Евклид, Архимед
и Птолемей, Аполлоний, Диофант и Пифагор. Но если
в школьных учебниках истории еще можно найти первую
группу имен, то напрасный труд искать вторую. Создается
нелепое положение: в жизни современного общества,
во всех ее проявлениях, математика, физика, точное есте-
ствознание играют исключительную роль, а наши курсы
историп ничего не говорят о том, как и почему это полу-
чилось. По-видимому, здесь сказывается даже не столько
неведение, сколько традиция, которая властвует над
умами историков и отодвигает на задний план то обстоя-
тельство, что развитие точных знаний не только было
обусловлено общественными отношениями, но и в свою
очередь оказывало влияние па историю общества. К сожа-
лению, при описанном положении дел развитие матема-
тики отрывается от общего исторического процесса, ста-
новится чем-то внешним для человеческого общества и его
культуры.
Отметив тезис, согласно которому история матема-
тики является наукой исторической, надо его дополнить,
сказав, что одновременно она является и дисциплиной
математической. Прп этом мы хотим сразу подчеркнуть,
что значение этой дисциплины для других разделов мате-
матики может только возрастать со временем. В значи-
тельной степени это объясняется тем, что задачей истории
математики является не только описание того пути, кото-
рый прошла математика, но главным образом осмысли-
вание этого пути. Как и всякая живая научная дисци-
плина, история математики со временем изменяет свое
лицо, по-новому подходит к стоящим перед ней задачам.
Так, на первых этапах ее развития описательная часть —
биографии выдающихся ученых, пересказ полученных ими
результатов и сравнительная пх оценка — составляла
основное содержание историко-математических сочине-
ний. Но собирание и описание фактов являются только
начальной фазой развития научной дисциплины. Теперь
444
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
история математики не может ограничиться только этим.
В наше время основной ее задачей должно считаться выяс-
нение закономерностей возникновения и развития мате-
матических идей. ’Естественно, что в таком плане историей
математики более успешно могут заниматься лица, обла-
дающие, помимо специальной математической подготовки,
опытом самостоятельной работы в науке. До некоторой
степени это уже подтверждено ходом дела, и вот примеры:
Ф. Клейн с его интересным, хотя и несколько субъектив-
ным обзором математики XIX столетия, О. Нейгебауэр
с его превосходными исследованиями математики древ-
него мира, Д. Стройк с небольшим, но увлекательным
и ценным в идейном отношении кратким курсом истории
математики, А. Н. Колмогоров с его большим и глубоким
обзором истории математики (БСЭ, т. 26), Ван-дер-Вар-
ден с его «Пробуждающейся наукой».
Итак, история математики в соответствии со своим
наименованием—наука одновременно историческая и мате-
матическая. Но это заключение в свою очередь подлежит
уточнению. При изучении закономерностей развития
математики в различные эпохи элемент исторический
и элемент собственно математический находятся в различ-
ных отношениях. Грубо говоря, с приближением к совре-
менности усиливается второй, с удалением от нее — пер-
вый. Для иллюстрации остановимся на некоторых пробле-
мах истории математики.
Математика принадлежит к тем немногим наукам,
начала которых складывались на самой заре человеческого
общества. Элементы счета и геометрических представле-
ний формировались под влиянием повседневного опыта
сначала охотника и воина, затем скотовода и земледельца.
Конечно, на этой ступени развития еще никакой матема-
тики в нашем смысле слова быть не могло. Человек нахо-
дился во власти самых наивных представлений, однако
уже они были основой таких понятий, как отрезок прямой
н.виде кратчайшего расстояния между двумя точками,
соотношений больше и меньше между величинами, целого
числа в пределах первого десятка и т. д. И здесь хоте-
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
445
дось бы высказать убеждение, что начальные математиче-
ские сведения не только были свидетельством относительно
высокого развития высшей нервной деятельности, но и сами
способствовали ее развитию. Это вполне соответствует
известному общему положению, что труд, явившись осно-
вой развития сознания, мысли, сам усложнялся под
влиянием мысли, а усложнение труда и орудий труда при-
водило к новым импульсам для развития высшей нервной
деятельности.
Безусловно, трудно судить о том, как развивались
у людей абстрактные понятия, поскольку памятники мате-
риальной культуры не сохранили историю их создания.
Однако мы полагаем, что наряду с некоторыми гипоте-
тическими утверждениями, касающимися других сторон
истории культуры, необходимо излагать на фоне соответ-
ствующих фактов и гипотезы о появлении первых мате-
матических представлений. Можно надеяться, что в буду-
щем, когда человечество научится лучше читать историю
прошлого, удастся найти и некоторые пути для освещения
такой начальной стадии науки. Во всяком случае ясно,
что роль собственно математиков в изучении этого вопроса,
имеющего очевидное значение для истории математики,
сравнительно невелика, и решение здесь надо искать, при-
влекая данные ряда других наук.
Обратимся теперь к другой проблеме, одной из самых
увлекательных,—о возникновении математики как дедук-
тивной науки, а не как сборника рецептов. Обычная схема,
которой следовали много лет, такова: исключительная
одаренность древних греков во всех областях науки и ис-
кусства привела их к пониманию математики как системы
логических выводов из простейших начал. До древних
греков собственно математики в нашем смысле слова
не было. Были лишь разрозненные рецепты для решения
обособленных задач, связанных с практикой земледелия,
строительства, торговых расчетов, организации хозяй-
ства, взимания налогов, военного дела.
Мы теперь отдаем себе отчет в том, что переход от ре-
цептурных знаний к дедуктивной науке представлял собою
шаг принципиального значения для всей истории культуры.
'Jro характеризовало в известном смысле новый период
446
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
развития человеческой мысли. И есть много оснований для
вывода, что созревание математики как дедуктивной науки
явилось результатом длительной эволюции. Во всяком
случае, вклад народов Двуречья и Египта в этот процесс
нельзя считать в достаточной мере выясненным. Можно
не сомневаться, что будущие археологические находки
позволят обнаружить зачатки дедуктивных выводов
в математике не только в Древней Греции, но и у народов
Ближнего Востока. Эта идея находит сейчас многих сто-
ронников. Расшифровка клинописных текстов уже теперь
позволяет утверждать, что не только теорема Пифагора
была известна в Древнем Вавилоне, но что там были
вскрыты гораздо более тонкие алгебраические факты.
Например, там знали формулу, дающую все прямоуголь-
ные треугольники с целочисленными сторонами еще
за тысячу лет до древних греков1). Математические
познания, приобретенные в Древнем Вавилоне, оказали
гораздо большее влияние на становление древнегрече-
ской математики, чем это считали совсем недавно.
Однако использование время от времени дедуктивных
выводов еще не является построением систематической
дедуктивной науки. Нет оснований отрицать, что такое
построение впервые было осуществлено именно в Древней
Греции. Но каковы были причины этого? Почему в Древ-
ней Греции для этого были предпосылки? Почему этого
не случилось в других государствах древнего мира? Ведь
в конечном счете как производительные силы, так и про-
изводственные отношения почти у всех народов Малой
Азии и южной части Балканского полуострова былп в то
время примерно одинаковы. Принять же объяснение,
обоснованное на допущении какого-то особенного духов-
ного облика древних греков, нам не позволяет элементар-
ное критическое мышление. Ясно, что последовательным,
логическим умом обладали далеко не все древние греки
и что другие народы того времени также имели многих
представителей, обладавших этими прекрасными каче-
J) Gillings R. I., The oriental influence in Greek mathe-
matics, Math. Gaz., 1055, № 320, 187—100; реф.—РЖ математика,
1057, № 8, стр. 6004.
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 447
ствами. Но даже если принять это объяснение, остается
непонятным и требующим выяснения вопрос, чем был
вызван этот, особый духовный склад древних греков, что
приучило их к логическому и последовательному мышле-
нию, почему эти особенности гораздо слабее проявлялись
впоследствии. Понятно, такого рода «объяснения» ничего
не объясняют в истории математики как древнего мира,
так и следующих эпох.
Мы хотим указать в этой связи, что существенное зна-
чение для формирования дедуктивной науки должны были
иметь особенности общественных отношений в древне-
греческих городах-государствах. Решение общественных
дел в результате диспутов, когда необходимо было убедить
участников собраний в правильности суждений, требо-
вало продуманных, логических обоснований. Такие же
требования предъявляла и судебная практика, в част-
ности решение спорных вопросов судом присяжных. Это
в свою очередь приводило к привычке делать заключения
на основании убедительных аргументов, расчленявших
рассуждение на элементарные части и приводивших к неко-
торым первичным истинам, которые казались непрелож-
ными. Естественно, что такой подход к убеждению слуша-
телей в правильности выдвигаемых положений перехо-
дил из сферы общественных отношений в сферу научных
рассуждений. Увлечение им было даже чрезмерным,
и на этой основе стремились получить не только математи-
ческие результаты, но и естественнонаучные,— сошлемся
на хорошо известные попытки Аристотеля развивать
таким путем физику1).
Высказанные выше соображения относительно возник-
новения дедуктивной математики пока представляют ско-
рее вероятную гипотезу, чем доказанное положение. Для
того чтобы обосновать эти соображения, необходимо тща-
тельное исследование первоисточников, включая сюда
судебные речи и речи древнегреческих государственных
Деятелей на общественных собраниях. Эта работа нам
J) Конечно, причины отрыва физики Аристотеля от реального
мира коренятся также в характерном для греческой науки отрыве
теории от технической практики и эксперимента. Но ведь и эта
особенность также связана с условиями общественной жизни.
448
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
представляется заслуживающей тех больших усилий,
которые должны быть с ней связаны, ввиду значения
проблемы возникновения дедуктивной науки для псторпи
науки и культуры в целом.
Чтобы избежать недоразумений, надо подчеркнуть
здесь то обстоятельство, что для развития математики
как дедуктивной науки совсем не требовалось, чтобы было
предварительно достигнуто высокое развитие формальной
логики и чтобы общественные дискуссии проводились
на исключительном логическом уровне. Это развитие
шло параллельно, и мы не сомневаемся, что ряд математи-
ческих теорем был получен в результате логических рас-
суждений еще тогда, когда сами правила логики не были
сформулированы в виде отчетливых положений.
В связи с изложенным следует указать, что точки
зрения, близкие к нашим, были высказаны рядом ученых:
А. Н. Колмогоровым в 1937 г.1), Жигоном в 1945 г.2),
Алексичем и Феньо в 1948 г.3) и в последние годы
Э. Я. Кольманом и А. П. Юшкевичем. Недавно взгляды
Жигона, а также Алексича и Феньо были подвергнуты
критике венгерским эллинистом Сабо4). Нам кажется,
однако, что, правильно отмечая недостатки в работах
указанных авторов, в частности допускаемое ими сме-
шение исторических эпох, Сабо впал в иную крайность.
Именно, он в своих критических замечаниях исходит
в значительной мере из такой схемы: свачала получает
высокое развитие логика, затем высшей степени развития
достигает искусство спора и только после этого математика
берет свое начало как дедуктивная паука. С этой схемой
нельзя согласиться ввпду ее явной искусственности.
Мы вошли в такие подробности относительно послед-
ней проблемы, чтобы показать, насколько связано ее реше-
5 БСЭ, 1-е изд., т. 38.
2) О. G i g о n, Der Urspung der griechischen Philosophie,
Basel, 1945.
3) Alexits-Fenyo, Matematika es dialektikus materia-
lizmus, Budapest, 1948.
4) Szabo Aprad, Wie 1st die Mathematik zu einer deduktiven
Wissenschaft geworden.—Acta Antiqua Ac. Sc. Hung., 1956, TV,
fasc. 1—4, 109—152; см. также другие работы того же автора в Acta
Antiqua за 1953—1956 гг.
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИП МАТЕМАТИКИ
449
нпе с привлечением нематематического материала. Для
математиков пет нужды подчеркивать, что эта проблема
требует также изучения многих математических источни-
ков, тщательного их анализа, овладения тонкими геометри-
ческими методами. Она значительно «математпчнее» пер-
вой проблемы, по дадут ли затраченные на нее усилия
что-либо для современной математики? Мы думаем, что,
ио крайней мере, косвенно такие исследования имеют зна-
чение и в этом отношении. Нельзя отрицать, что они суще-
ственны для исторического изучения мышления. А уточ-
нять п конкретизировать законы мышления — актуаль-
ная задача именно в нашу эпоху, в эпоху мощных матема-
тических машин и углубленного изучения мышления.
При изучении истории математики последних столетий,
как уже было сказано, удельный вес собственно математи-
ческой доли в работе исследователя заметно возрастает.
Те историки-математики, которые не знали марксизма
пли отвергают его, сплошь и рядом понимали задачи
своей дисциплины как изучение и сопоставление матема-
тических сочинений той пли иной эпохи, того пли пного
ученого. Но даже при таком суженном и методологически
явно неудовлетворительном подходе работы историков
могут принести математике пользу тем, что они вскрывают
характерные особенности методики выдающихся исследо-
вателей прошлого. На эту сторону дела обратил внимание
еще Лейбниц. Е сочинении, оставшемся неопубликован-
ным при его жизни, он писал: «Весьма полезно познать
истинное происхождение замечательных открытий, осо-
бенно таких, которые были сделаны не случайно, а силою
мысли. Это приносит пользу не столько тем, что история
воздаст каждому свое и побудит других добиваться таких
же похвал, сколько тем, что познание метода па выдаю-
щихся примерах ведет к развитию искусства открытия»1)
*) Utilissimuni cst cognosci veras inventionuni inemorabilium
origines, praesertim earum, quae non casu, seel vi meditandi innotue-
re. Id enim non co tantum prodest, ut Historia Litteraria suuin cuique
tribuat et alii ad pares laudes invitentur, sed etiain ut augeatur ars
inveniendi, cognita niethodo illustribus evemplis. (Historia et origo
Calculi differentialis, составлена после 1712 г.; Leibnitz,
Alathematische Schnpten, т. V, Halle, 1858, стр. 392).
29 Пстор.-матем. исследов., вып. XI
450
Б. В. ГНЕДЕНКО и II. Б. ПОГРЕБЫССКНП
* *
*
Как видно из предыдущего, характеризуя взаимоотно-
шение математики и истории математики, мы, естественно
затрагиваем вопрос о значении последней для математики.
Перейдем к более подробному его рассмотрению и начнем
с того, что и здесь нужен исторический подход: на разных
этапах на первый план выступали разные стороны во взаи-
модействии математики и истории математики.
История математики как самостоятельная научная дис-
циплина начала формироваться только в новое время,
в XVJII веке. Но уже древнегреческие ученые ощутили
потребность в истории науки и, по крайней мере, начиная
с эпохи эллинизма, достаточно много ею занимались.
К сожалению, до нас дошло очень мало из этой части
научного наследия древнего мира. То немногое, что
дошло, является драгоценным и незаменимым источником
для современной истории науки. Но пе мешает указать,
что даже фрагменты античных историков науки имели
большое значение для сохранения научных традиции.
Ученые средневековья на Востоке и на Западе и в стра-
нах арабоязычной, и в странах латпноязычпоп пауки
узнавали из этих фрагментов о том, что они не могли
извлечь из «Начал» Евклида. Онп видели, пусть в иска-
женной перспективе, длительный путь развития античной
науки, знакомились с ее нерешенными и злободневными
вопросами, получали некоторое представление о методах
и результатах полностью пли частично утраченных работ
Архимеда, Аполлония, Евклида и др.
Спору нет, комментаторы, они же, как правило, исто-
рики науки античного мира, многое исказили. Но если бы
ничего не сохранилось от их работ, это было бы потерей
не только для истории науки. Нет сомнения, что от этого
значительно снизилась бы действенность влияния античной
математики на последующие эпохп.
Обратимся к более близкому нам времени. С тех пор,
как начали возникать научные сообщества — государст-
венные учреждения типа академий и такие организации,
как общества любителей науки, содействия науке и т. п.,—
в них начали практиковать обзоры по той или иной области
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
451
за более или менее длительный период. Подобные обзоры
представляют исторические исследования. Конечно, мно-
гие из них имели преимущественно описательный харак-
тер и охват темы бывал в них довольно узок. Но в ряде
случаев такие обзоры имели большое значение для раз-
вития соответствующей научной дисциплины: они попу-
ляризировали достижения, выдвигали актуальные про-
блемы, облегчали овладение методикой исследования.
Такую же роль играли и те исторические экскурсы, кото-
рые являются важной составной частью ряда классиче-
ских научных произведений. Все это, разумеется, отно-
сится не только к математике. Но чтобы привести примеры
из нашей науки, можно сослаться на исторические главы
«Аналитической механики» Лагранжа, на анализ работ
по эллиптическим интегралам п функциям Пуассона,
данный в связи с разбором «Fundamenta nova...» Якобп,
на обзорные доклады на съездах английской ассоциации
содействия наукам, например, обзор Кэли (1854 г.) о дости-
жениях аналитической механики примерно за сто лет
(с середины XVIII в.), на исторшо учения об алгебраи-
ческих функциях, как она была доложена немецкому
математическому обществу Брпллем и Нэтером (1894 г.).
Но теперь значение истории математики для развития
математики больше, чем когда-либо раньше, и, как отме-
чалось выше, со временем может только возрастать.
Чтобы обосновать это положение, укажем на следую-
щее.
Общеизвестно, что темп развития всех наук нарастает.
Объем накопленных знаний растет очень быстро, методы
исследования становятся все более тонкими и разнообраз-
ными. Поэтому уже к XX в. не стало ученых-энциклопе-
дистов, а в наше время нельзя указать математика,
физика, химика, который владел в полном объеме хотя бы
только своей наукой и работал во всех ее областях.
Специализация гчевых становится все более «дроб-
ной». Это неизбежно и, если угодно, является одним
из элементов быстрого прогресса науки, но в то же время
имеет свои несомненные отрицательные стороны.
История науки может ослабить вредное воздействие
узкой специализации, давая общее представление об
29*
452
Ё. Ё. ГНЕДЕНКО и II. Б. ЙОГРЕБЫССКПЙ
основных направлениях исследований, о тенденциях раз-
вития наукп в целом и выдвигаемых в ней проблемах.
Конечно, такие задачи история нашей наукп сможет
решать, если опа, наряд} с изучением более отдаленных
эпох, будет усиленно разрабатывать проблематику послед-
них десятилетий. Надо свес ти к минимуму разрыв между
современностью и тем рубежом, вплоть до которого исто-
рия математики успела (в той или иной мере) охватить
подлежащие ее изучению материалы. Сейчас этот разрыв
слишком велик и для разных областей математики и раз-
ных стран колеблется от нолустолетия до столетия
и больше.
В тесной связи с только что сказанным находится
следующее обстоятельство. Математические исследования
до недавнего времени не были связаны со сколько-нибудь
значительными материальными вложениями. Поэтому,
в отличие от экспериментальных наук, в математике
в большей мере можно было работать «впрок» над вопро-
сами, выдвинутыми развитием науки, даже если они
не имели непосредственных применений. Отсюда та специ-
фическая черта математики, что ее кладовая «затоварена»
значительно выше обычных норм. Поэтом}' не раз бывало,
что те, кто обращался туда за инструментарием, находили
нужные им средства с удивлявшей их пометкой: срабо-
тано столько-то десятилетий назад. Так, теория групп,
остававшаяся в XIX веке в рамках алгебры, была исполь-
зована фпзпкой XX века. Разработанное в дифферен-
циальной геометрии для ее надобностей тензорное исчис-
ление несколько десятилетий спустя в готовом виде посту-
пило на вооружение теории относительности. В этом же
плапе можно указать на неевклидову геометрию п на тео-
рию спппоров. Но все ли извлечено из математической
кладовой, что уже сейчас может быть использовано?
Вряд ли можно быть в этом уверенным. Можно ду-
мать, что хорошо разработанная, а сейчас совсем не-
популярная теорпя инвариантов еще сослужит сл}жбу
другим паукам. Не исключено, что в работах по ком-
бинаторике XVIII и начала XIX века (почти совсем
заброшенная область) найдется кое-что ценное для совре-
менной математики дискретного. Такие попеки сейчас прп-
О ЗНАЧЕНИИ ПСТОРИП МАТЕМАТИКИ
453
обрели особую актуальность в связп с появлением цифро-
вых электронных автоматов. Наследие Л. Эйлера п дру-
гих математиков XVIII—XIX веков, изученное и с этой
точки зрения, может привести к важным методам и идеям,
скорее свойственным нашему, чем тому времени. Хорошо
разработанная история математики должна значительно
облегчить правильную ориентировку в том огромном мате-
риале, который накоплен наукой. Тем самым опа может
содействовать его рациональному современному исполь-
зованию.
История математики, вскрывая общие закономерности
ее развития, должна давать верный взгляд на математику
в целом и на перспективы ее прогресса. Хотелось бы про-
иллюстрировать это положение одним примером. В раз-
личные эпохи возникал волнующий вопрос о причинах,
в силу которых математика обладает огромными возмож-
ностями практического применения. Было сделано немало
попыток ответить на этот вопрос, в подавляющем боль-
шинстве неудовлетворительных. Не будем приводить
здесь хорошо известные решения Платона и Лейбница,
полезнее остановиться на других, гораздо более близких
нам по времени. Согласно мнению группы видных фран-
цузских ученых, выступающих под псевдонимом Никола
Бурбаки, «неясно и, возможно, навсегда останется неразре-
шенной задачей, каким образом результаты математики
находят применение в практике»1). Имеется и другое мне-
ние, согласно которому возможность применений матема-
тики объясняется случайностью. Вспомним слова Пьера
Бутру, сказанные им еще в 1920 г.: «Если математика
почти точно согласуется с эмпирическими условиями,
то это не результат ее внутренних свойств, а лишь внеш-
них обстоятельств. Выяснилось, что сравнительно про-
стая наука способна объяснить явления природы. Это —
счастливая случайность, которая не должна была с необ-
ходимостью наступить...»2).
Ч Nico la s Bourbaki, L’architecture de mathematique,
Les grands courants de la pensee mathematique, 1948, стр. 46.
2) P. В о u t г о u x, L’ideal gcicntifique des mathematiques,
1920, стр. 200.
454
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИП
Сам вывод, что возможность применения математики
к задачам практики является счастливом случайностью,
не случаен — он представляет собою логическое про-
должение весьма распространенных представлений о фор-
мировании математических понятий. Согласно мнениям,
высказанным рядом крупных математиков, эти понятия
свободно создаются человеческим разумом. Они опреде-
ляются теми свойствами, которые пм произвольно припи-
сывают ученые. Ошибочность таких взглядов становится
ясной, когда перед глазами находится не только оконча-
тельно формализованная математическая дисциплина,
а весь исторический путь се развития. При этом удается
проследить возникновение и становление ее понятий из
почти интуитивных представлений, подсказанных прак-
тикой или частными задачами других областей знания.
Если же замкнуться в уже сформировавшейся формали-
зованной математической схеме и за ее пределами не желать
ничего видеть, то связь математики с практикой, с проб-
лемами, стоящими или стоявшими перед обществом,
теряется. При этом искажается сам процесс возникновения
и развития основных понятий науки. Не лишне будет
сейчас подчеркнуть, что с этой точки зрения проблема
возникновения первоначальных математических понятий,
о чем шла речь выше, оказывается в достаточной мере
злободневной.
История математики довольно часто ставит в связи
с разработкой своих вопросов чисто математические зада-
чи. Эта сторона дела обычно остается в тенп, поэтому при-
ведем несколько примеров.
Выше мы довольно подробно останавливались на одной
из основных проблем истории математики — выяснении
причин и условий, в силу которых она стала в Древней
Греции дедуктивной наукой. В этой проблеме задача ква-
дратуры круга, выдвинутая достаточно насущными тре-
бованиями того времени, занимает видное место, и важно
проследить за тем, как эта задача ставилась и решалась
от поколения к поколению, от века к веку. В такой связи
принципиальное значение имеет опенка результатов Гип-
пократа Хиосского (V век до нашей эры), полученных
им в задаче квадрированпя луночек.
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 455
Математики нового времени, вплоть до середины
XIX века, знали, что Гиппократ нашел один случай ква-
дрируемости луночек (циркулем пли линейкой; в совре-
менных обозначениях дело сводится к решению уравне-
ния sin тх = sin х путем сведения его к квадратному
или цепочке квадратных уравнений; упомянутый случай
соответствует гп =2). Но в 1776 г. Валлен, а в 1840 г. Клау-
зен нашли еще четыре случая квадрируемых луночек
(ги = 3., 5, Эти результаты сами по себе интересны.
Вместе с тем возникает вопрос, могли ли они быть полу-
чены древними греками и можно ли продвинуться дальше.
Такой вопрос представляет серьезную математическую
задачу п в то же время существен для истории математпкп.
Упомянем, что, с одной стороны, уже после работы Клау-
зена, на основании новых источников, было доказано, что
два первых случая квадрируемости луночек из числа доба-
вленных им и Валленом были найдены Гиппократом. С дру-
гой стороны, только в работах Н. Г. Чеботарева и А. II. До-
роднова в достаточной мере продвинуто исследование
квадрнрованпя л}ночек, но уже методами современной
алгебры.
Обратимся к более близкому прошлому. В 1951 г.,
в связи с юбилеем М. В. Остро градского, Е. Я. Ремез
и Б. В. Гнеденко по поручению Института математики
АН Ъ JCP занялись изучением математического архива
Остроградского. В результате этого чисто архивно-исто-
рического исследования Е. Я. Ремезу удалось разыскать
на клочках бумаги наброски двух алгорифмов, служащих
Для приближения иррациональных чисел рациональными.
Эти наброски навели Е. Я. Ремеза на интересные исследо-
вания свойств сказанных алгорифмов. Оказалось, в част-
ности, что оба алгорифма Остроградского обладают весьма
большой скоростью сходимости.
Последний пример наглядно показывает, что история
математпкп может сослужить службу науке своего вре-
мени, добывая пз-под «толщи лет» и «пыли веков» суще-
ственные для науки и оставшиеся в тени идеи и резуль-
таты. Конечно, маловероятно обнаружить что-либо подоб-
ное у ученых отдаленных эпох. Но мощно не сомневаться,
456
Б. В. ГНЕДЕНКО и И- Б. ПОГРЕБЫССКИП
что в процессе разработки истории математики XIX века
таких находок будет сделано немало.
Значение истории математики для творческой ра-
боты отдельных ученых, конечно, не ограничивается
«навсдепием» на заслуживающую разработки тему.
Каждый исследователь обычно изучает историю того
вопроса, которым он занимается. Это — «локальное»
знание истории науки. Но многие большие, оставившие
глубокий след работы могли быть поставлены только
на основе широких представлений о науке предшествую-
щей эпохи. Например, трудно себе представить, чтобы
теория множеств Г. Кантора могла быть создана человеком,
который не продумал весь ход развития математического
анализа и, в частности, понятия о бесконечном. Истори-
ческий подход сыграл определенную роль в направлен-
ности тех исследований, которые привели Ф. Клейпа
к Эрлангенской программе, А. Лебега — к его теории
меры и интеграла, Д. Гильберта — к анализу бесконечно
большого числа переменных и к работам по математиче-
ской логике. Мы думаем, что теперь, более чем когда-либо
ранее, каждый принципиально новый шаг в математике
требует такого исторического подхода х).
* *
*
Одной из значительных особенностей развития науки
нашего времени является то, что наряду с бурным про-
никновением результатов науки и научных методов в прак-
тическую жизнь общества п в быт людей сами науки ста-
новятся более математизированными. Более того, мате-
матика вторгается и непосредственно в вопросы техники,
производства, экономики. В то же время имеются и такие
области знания, отдельные представители которых строят
мощные баррикады против проникновения математики
в их дисциплины. Обычный аргумент, который при этом
выставляется в качестве «совершенно неопровержимого»,
состоит в следующем: явления, изучаемые их наукой,
J) Положения последнего абзаца были выдвинуты А. П. Юшке-
рцчсм в дискуссии по докладу авторов.
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
457
настолько сложны, что охватить их с помощью общих
и абстрактных положении математики невозможно. Саму
-жизнь пли, как говорил Гете, «вечную зелень золотонос-
ного дерева природы» невозможно вложить в рамки
искусственных определений и до каррикатурпости простых
положений, на которых основывается математика. Явле-
ния мира не остаются неизменными, они все время изме-
няются и колпче твепно и качественно, их невозможно
охватить формулами математики. Вот примерное содер-
жание аргументов таких специалпстов-аитиматематпков.
История математики может как раз служить надежным
доказательством того, что математизация многих областей
науки не проходила гладко. Каждое явление природы тре-
бовало изменения математических методов, приспособле-
ния пх к тем задачам, которые волнуют естествоиспыта-
теля. Необходимо некоторое время для того, чтобы мате-
матик и естествоиспытатель нашли общий язык, чтобы
оба они нашли те настоящие постановки задач, которые
удовлетворительно описывают изучаемые явления; чтобы
пе подгонять явления природы под уже существующие
математические схемы, а создавать новые схемы, новые
понятия, которые смогли бы возможно полнее и надежнее
охватить истинную картину вещей. Это — процесс очеиь
сложный и длительный, процесс, который никогда не мо-
жет прекратиться, так как чем больше мы изучаем при-
роду, тем больше особенностей ее мы обнаруживаем, тем
детальнее необходимо вникать в ее явления. А это озна-
чает, что математический аппарат, оказавшийся удачным
в определенный период изучения тех пли пных явлений,
может оказаться недостаточным на последующих стадиях.
История математики имеет в своем арсенале много подоб-
ных примеров. Закономерности, которые могут быть ею
вскрыты при изучении таких проблем, должны быть cj ще-
ственны для ряда других наук.
Говоря о роли истории математики, нельзя обойти мол-
чанием одну из проблем, стоящих сейчас перед наукой
в целом, в решении которой доля истории математики
Должна быть особенно велика. Имеется в виду, собственно,
целый комплекс вопросов, который относится к науке
о мышлении.
458
Б. В. ГНЕДЕНКО и И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
Пожалуй, в списке научных дисциплин пока не зна-
чится специальной наукп о мышлении. Различные сто-
роны возникающих здесь вопросов описываются и изучают-
ся физиологией, психологией, логикой, антропологией
и филологией. Но сейчас в порядок дня поставлены такие
вопросы, на которые перечисленные дисциплины не дают
готовых ответов. Например, известно, какое большое зна-
чение в науке и технике имеет хорошо организованная
информация (в широком смысле этого слова). Сейчас
одной пз важнейших ее составных частей является работа
по переводу с одного языка на другой1). Поэтому механи-
зация перевода превратилась в задачу первостепенной
важности. Но уже первые попытки ее разрешения показы-
вают, что предварительно необходимо дать глубокий логи-
ческий анализ языка, па новых основах построить грам-
матику, а для этого требуется значительно более полный
и глубокий анализ процессов мышления, чем это до сих
пор делалось.
Но такое углубленное изучение процессов мышления
важно ие только в указанной связи. Все, что зафиксиро-
вано в виде определенных правил и соотношений, можно
в принципе реализовать конструктивно, на основе опре-
деленной интерпретации. Современные технические воз-
можности таковы, что подобные конструкции могут быть
практически ценными. Хорошо, например, известно, что
простейший раздел логики — исчисление высказываний
с двумя значениями истинности — может быть интерпре-
тирован как булева алгебра. Поэтому контактно-релей-
ные конструкции и электронные счетные машины можно
использовать как логические машины. Такне логические
машины разгрузят человеческий мозг от выполнения одно-
образных выводов и заключений подобно тому, как вычис-
т) Во времена средневековья наука в основном пользовалась
лишь двумя языками — латинским и арабским. В XVIII веке
достаточно было трех-четырех языков, чтобы следить за основными
результатами, а к началу вашего столетия число языков, которыми
пользовались ученые, возросло в несколько раз. Теперь же, в эпоху
распада колониальной системы и ускоренного подъема многих
ранее угнетенных и отсталых стран, мпогоязычпость науки стано-
вится все ощутительнее
О ЗНАЧЕНИИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
459
дптельиые машины избавляют нас от выполнения дей-
ствии над числами по фиксированным правилам. Конечно,
и здесь люди будут задавать машине программу действии,
а машина — выполнять ее столько раз, сколько это
понадобится.
Если признать актуальность и важность только что
указанных задач, которые стоят перед наукой о мышлении,
то уже их одних достаточно, чтобы сделать вывод о необ-
ходимости усиленного ее развития. Но тогда надо сделать
и следующий шаг: чтобы наука о мышлении могла решать
свои задачи, нужно возможно полнее изучить, как исто-
рически развивалось мышление. Между тем до сих пор
в науке больше всего изучали мышление либо в его нынеш-
нем состоянии, либо в тот период, который предшествовал
возникновению науки в современном понимании этого
слова. Надо думать, что при изучении методов и приемов
мышления в период писанной истории видное место должна
занять история пауки. До сих пор она была в основном
историей успехов мышления, по-видимому, она должна
стать одновременно п историей развития методов мышле-
ния. И здесь вклад истории математики должен быть
весьма велик, так как в силу специфики математических
наук они дают особенно много материала для изучения
истории мышления. Вероятно, при таком подходе даже
хорошо изученные эпохи потребуют от историков матема-
тики дополнительных трудов.
В настоящее время ряд ученых поставил перед собой
такую задачу: поскольку многие виды умственной деятель-
ности можно в принципе реализовать с помощью машин,
нельзя ли попытаться в какой-то мере осуществить авто-
матизацию процесса творчества? Нельзя ли, скажем, авто-
матизировать в некоторых, пусть узких областях матема-
тики процесс поиска новых теорем и их доказательств?
Идея такого рода исследований проста: разыскивая до-
казательство того или иного предложения, человек
оперирует некоторым числом известных ему фактов, вы-
раженных в виде определений, аксиом, доказанных теорем.
Этп факты связаны между собой определенными прави-
лами. Некоторые из этих связей и дают нужное дока-
казательство.
460
Б. В. ГНЕДЕНКО и П. Б. ПОГРЕБЫССКИП
Можно закодировать как уже известные предложения,
так и правила, по которым онп соединяются, скажем,
в цепи. После этого программируется процесс образова-
ния цепей, сначала коротких, затем все более длинных.
В процессе такого бессистемного поиска рано или поздно
будет найдено искомое доказательство. При этом, посколь-
ку быстродействие машины несравненно выше, чем у чело-
века, она в некотором смысле имеет преимущество перед
ним. Однако машина должна иметь еще устройство, кото-
рое автоматически производило бы отбор цепочек верных
рассуждений. Кроме того, человек прп доказательстве
новых теорем никогда не действует столь бессистемно
и пе перебирает в своем сознании всех мыслимых цепочек.
В действительности он, пользуясь аналогиями, преды-
дущим опытом, с самого начала отметает огромное боль-
шинство рассуждений, которые не могут привести к успеху.
II вот здесь мы вновь приходим к необходимости проанали-
зировать процесс мышления, выяснить ту, так сказать,
стратегию исследователя, которая позволяет ему действо-
вать не столь расточительным способом, как только что
описанная (еще пе существующая) машина.
Попутно укажем, что имеется ряд попыток проанали-
зировать п описать процесс математического творчества,
например, в известных работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара.
В рамках истории математики имеется возможность про-
вести такой анализ полнее и глубже.
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ ДО БЕЛОГОРСКОЙ БИТВЫ1
Гвидо Феттер
Развитие математики, как и всей культуры, в чешских
землях было тесно связано с развитием политической
и социальной жизни. В периоды национальной независи-
мости, во времена спокойствия и мира и возрастающей
образованности развивалась и математическая деятель-
ность. В периоды национального угнетения, во времена
военных бурь и религиозной борьбы математическая
деятельность ослабевала. В XV и XVI столетиях рели-
гиозные вопросы так волновали мысли всего населе-
ния чешских земель, что лучшие умы были ими до такой
степени поглощены, что у них не оставалось времени
и спокойствия, необходимого для научной деятельности.
Мы ограничимся характеристикой развития математики
только в Чехии, Моравии и Силезии. Эти земли мы примем
в соображение в тех размерах, в каких они в отдельные
исторические периоды принадлежали чешскому государ-
ству. Это относится также и к Хебу, который был оконча-
тельно присоединен к Чехии в 1322 г. Словакия, которая
в настоящее время является частью Чехословацкой рес-
публики, развивалась в прошлом своим особым путем.
Поэтому о математике в Словакии мы будем говорить
в порядке исключения.
Мы не ограничимся только математиками, которые
принадлежали к чешскому народу, но и осветим также
Ч Перевод с чешского Е. Р. Роговской.
462
Гвидо ФЕТТЕР
деятельность иностранцев, живших в чешских землях.
Вспомним также и математиков, родившихся на этих
землях, но занесенных судьбой на чужбину.
С давних времен математика была тесно связала с астро-
номией и астрологией, а последняя — с медициной. Всеми
этими профессиями, как правило, занимались один и те же
лица. Поэтому часто истории этих областей деятельности
человека нельзя отделить друг от друга, что нашло отра-
жение и в настоящем обзоре.
Наш обзор не претендует на полноту. Для более раннего
периода нет достаточного количества источников и даже
те, которые есть, не являются еще с историко-математиче-
ской точки зрения достаточно обработанными. Кроме этого,
в период ожесточенной борьбы против реформации иезуи-
ты сжигали чешские книги различного содержания. Можно
предполагать, что и чешские .математические книги не избе-
жали этой участи.
Для новейшей же эпохи материала столько, что полное
использование его превысило бы допустимый объем этой
работы. Следует также сказать, что дать критическую
оценку значения отдельных математических работ под
силу лишь специалистам соответствующих областей мате-
матики. Задача этой работы — дать только краткий инфор-
мационный обзор развития математики в чешских землях
до Белогорской катастрофы 1620 г.
Доисторический период до прихода чехов I1]
Чехия, Моравия, Силезия и Словакия, т. е. земли, обра-
зующие территорию современной Чехословацкой республи-
ки, были уже в самом давнем прошлом населены людьми.
В период от 100 000 до 70 000 лет до н. э. в Барце,
лежащей примерно в четырех километрах от Кошпц,
находилось поселение. Здесь остались следы от жилищ —
углубления неправильной формы с ямками от свай. Дошли
до нас также каменные и костяные орудия. Как расположе-
ние ямок, так и найденные орудия указывают на то, что
жители этого поселения, хотя и не знали еще симметрии, но
уже имели развитое чу'вство пропорции, представление об
одинаковой удаленности и об округлой форме жилищ [2].
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 463
Доисторическая Моравия оставила нам свидетельства
об охотниках за мамонтами. Самыми известными являются
раскопки в Нижних Вестоницах, которые проф. К. Абсо-
лон, открывший их, относит к периоду от 50 000 до
30 000 лет до н. э. Здесь была найдена бедренная кость
молодого волка с двумя группами надрезов: с 30 и 25 заруб-
ками. Это, насколько известно, самая ранняя цифровая
запись на свете вообще. Возможно, что насечки на этой
кости связаны с употреблением пятеричной цифровой
системы. Сюда относятся и известные вестонпцкие Венеры,
которые, так же как орудия и украшения, свидетельствуют
о знании симметрии.
В становище охотников за мамонтами в Предмостье
в Моравии сохранились рисунки параллельных, оваль-
ных линий и окружностей. Следовательно, и эти формы
были известны. К эпохе мадленской культуры, примерно от
20 000 до 10 000 лет до н. э., относится найденный в пещере
Пекарне в Моравии кусок гладкого камня с цифровыми за-
рубками, в которых нашедший их проф. Абсолон видит чис-
ла 91, 94 и 185 с особыми знаками для 10 и 100 по способу
римских цпфр. Если это так, то это свидетельствовало бы
о развитой десятичной системе счисления и о знакомстве
со сложением и вычитанием. Проф. Ц. Лейерер считает
эту находку даже доказательством какого-то счетоводства,
но эта гипотеза, конечно, слишком смела [3].
Прошли века. Население наших земель развивалось
так же, как и население соседних, да и более удален-
ных земель, с которыми устанавливались многочисленные
торговые связи. Об этих связях свидетельствуют янтарь,
горный хрусталь и другпе находки в чешских раскопках.
Появление собственности и торговли вело к накоплению
простейших арифметических знаний [4].
В третьем тысячелетии до и. э. на смену палеолита
и мезолита пришел неолитический период с зарождаю-
щимся земледелием. Люди в последующее время оседали
и начинали строить себе круглые, но чаще все же четырех-
угольные хижины с покатыми крышами. Это требовало
знания самых простых геометрических форм: круга и его
центра, прямоугольника и квадрата. В Павловичах у Прше-
рова в Моравии (3000 лет до н. э.) и в Замке у Богпиц
464
ГВИДО ФЕТТЕР
в Чехии (примерно 2000 лет до и. э.) были найдены остатки
хижин, планы которых дают прямоугольники со сторо-
нами 3 и 4, что, вероятно, свидетельствует о знании прямо^
угольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 [5].
Население чешских земель неолита производило много-
численные керамические товары, украшенные орнамен-
тами. Люди, принадлежавшие к разным родам, приходя
в наши земли, вкладывали в эти изделия свой вкус и свое
мастерство. Эта керамика характеризует культуру отдель-
ных народов, территория которых, однако, не совпадает
ю территорией Чехословацкой республики, а распростра-
няется на соседние земли. Здесь мы видим множество гео-
метрических форм и их сочетаний. Взаимное расположе-
ние, осевая и центральная симметрия, волюты (завит-
ки), четырехугольники, прямоугольники, треугольники,
окружности — все это существует здесь в самом разнооб-
разном выборе. Окружности, как правило, делятся на
2, 4 и 8 частей, изредка — на 6 частей. Это последнее деле-
ние указывает на восточные влияния. Иное деление окруж-
ности возникало в результате неточности или в порядке
опыта, а возможно и случайно [6].
Однако неолитический человек не смотрел только
вокрут себя, но и направлял своп взоры к небесному своду.
Сохранился топорик размером в 9 сл«х4 см, найденный
у Лгаппц у г. Намештп на Ос л аве, приблизительно
из эпохи 2000 лет до н. э. На нем вырезана комета, может
быть, это самое древнее в мире изображение этого небес-
ного явления. Впрочем, существуют весьма правдоподоб-
ные мнения, что этот рисунок был выгравирован уже
в историческое время, чтобы придать топорику, которым
пользовались как амулетом, большую мистическую цену['].
Приблизительно в период от 1700 до 1200 лет до и. э.
лреди населения чешских земель выделяется народ уше-
тицкой культуры1), стоявший на относительно высоком
уровне развития. Возможно, он был монополистом-произ-
водителем и поставщиком бронзового товара в Средней
х) Кутьт\ра раннего бронзового века в Центральной Европе,
•получившая свое название от села Унетпцы, около Праги, где в
1879 г. были открыты поселение п могильник ранпего бронзового
шека.
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 465
Европе. Он создал расширенную внутреннюю и внешнюю
торговлю и, вероятно, также государственное устройство.
Всего этого не могло бы быть без арифметических позна-
ний, для своего времени довольно высоких [8].
Приблизительно к этому же времени, на границе древ-
него и среднего периода бронзового века, относят находки
упомянутого уже из другой эпохи поселения в Барце.
Они относятся к так называемой оттоманской культуре,
распространенной от реки Попрада до Северной Югославии
и зависящей от микенской культуры. Из этих находок
видно, что Варца была тогда значительным торгово-про-
изводственным, а возможно, и политическим центром.
Торговля с Севером принесла сюда янтарные драгоценно-
сти, а торговля со Средиземным морем—фаянсовые бу-
синки в форме жемчуга. Здесь были найдены косточки
суставов пальцев домашних животных, на обратной
стороне искусно отшлифованные, чтобы хорошо ле-
жали на горизонтальной плоскости; многие из них
были снабжены на лицевой стороне числовыми заруб-
ками от 1 до 9 и крестиками, обозначающими 10.
Целая кучка этих косточек была найдена у какого-то
низкого стола, сложенного из плоских камней. Очевидно,
эти плоские камни заменяли отделения абака, косточки
без пометок — счетные знаки, косточки с числовым обо-
значением — так называемые «апексы» (под таким назва-
нием мы знаем их из европейского средневековья). Если
мы будем считать, что абак использовался уже в самое
древнее время на широком пространстве от Египта до Ки-
тая, то вполне допустимо мнение, что купцы и, может быть,
чиновники управленческого аппарата в Барце произво-
дили на нем свои вычисления [®].
Примерно с 1000 лет до н. э. в чешские земли вли-
ваются новые потоки жителей. Это—так называемый лу-
жицкий земледельческий народ, смешивающийся с преж-
ним населением. Появляются уже укрепленные местечки,
свидетельствующие о дальнейших геометрических позна-
ниях. Культура могильных курганов бронзового века
использовала для украшений геометрические формы, сход-
ные с ранней эпохой. Однако здесь мы чаще встречаемся
с искусно проведенным делением на 5 или 10 частей, либо
30 Истор.-матем. исслед., вып. XI
466
ГВИДО ФЕТТЕР
с поверхностью, украшенной 5 пли 10 геометрическими
элементами. Это, вероятно, было связано с развитой пяте-
ричной илп десятичной системами счисления. В про/ ун-
тах производства, предназначенных для практической
жизни, однако, удержалось утвердившееся деление окруж-
ности на 2п частей. Например, колесо телеги имело 4 или
8 спиц. Как пример, можно привести маленькую бронзо-
вую тележку, найденную в кургане в Милавчи у Домаж-
лиц, колеса которой имеют по четыре спицы [10].
В середине первого тысячелетия до н. э. в Чехию про-
никают кельты, в то время как Моравия относится скорее
к иллирийской области. Эти племена находились в живом
торговом и военном общении с римлянами. Естественно,
что п оттуда сюда приходили математические познания,
поскольку этого требовала практическая жизнь, уже,
вероятно, ремесленное производство и весьма бойкая тор-
говля массовыми изделиями, а также и янтарем, привози-
мым с Севера и поставляемым в Рим. В первом столетии
в Чехии возникают огороженные кельтские города как
центры производства и торговли, а, значит, и математиче-
ских знаний. Кельты чеканили собственные монеты, упо-
требление п пересчет которых по курсу римских, приду-
найских и балканских купцов требовали арифметической
сноровки. Уже с третьего столетия до н. э. в чешские
земли приходят небольшие группы германцев, которые,
однако, быстро растворяются среди коренного населения.
На юго-западе Чехии образовалась могущественная
маркоманпская империя Маробода. Но после победы над
ним Арминия империя пришла в упадок и маркоманны
в Чехии исчезли. Археологические памятники, оставлен-
ные здесь лужицкой, кельтской и маркоманнской культу-
рами, свидетельствуют о высоком развитии ремесел и ис-
кусства, но о математических познаниях не говорят почти
ничего. Мы видим только, наряду с обычно употреблявши-
мися тогда геометрическими формами, деление окружно-
сти преимущественно на 2П частей, как об этом свидетель-
ствуют колеса и тачка из Страдониц с 4 и 8 спицами пли
красивый орнамент на тарелке из Жлпв, найденной в moj
гиле для сжигания трупов, относящейся к эпохе Римской
империи. Существуют, однако, и другие деления, особенно
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 467
.-__------------ . ,
на 5 и 10 частей, связанные с десятичной системой счис-
ления, например миска пз Пластениц, украшенная пяти-
угольным орнаментом I11].
Буря великого переселения народов перевернула все
отношения в Средней Европе, а также и в чешских землях.
Торговые связи с заграницей былп прерваны, культурные
связи с античным миром отошли в прошлое. Население
обеднело и поредело. Для повседневной жизни вполне
хватало самых простых арифметических и геометрических
знаний. Таково было состояние чешских земель, когда
в первой половине тысячелетия н. э. на исторической
сцене появились будущие носители национальной и госу-
дарственной мысли судетской котловины — чехи [12].
От прихода чехов до основания университета [131
Около середины первого тысячелетия нашего летоисчис-
ления в Чехию проникли славянские племена, которые
к концу этого тысячелетия образовали чешский народ.
Эти племена не были дикими ордами, онп стояли на одина-
ковом культурном уровне с остальным населением Средней
Европы того времени. Возникает вопрос: какие математи-
ческие познания принесли чехи из своей славянской пра-
родины? Мы не можем опереться здесь на письменные
доказательства, но мы можем о степени этих знаний судить
по сохранившимся памятникам, по языку и по археоло-
гическим находкам [м].
Во всех славянских языках названия числительных
до тысячи мало отличаются от тех же названий в славян-
ском праязыке (исключая русское «сорок»=40). Пз этого
можно заключить, что чехи уже на славянской прародине
знали счет свыше тысячи. II у славян числительные выс-
ших порядковых единиц образовались конкретизацией
понятия большого множества в определенное число. Такое
оолыное множество было для них темным, неясным и обо-
значалось словом «тьма». В старославянской нумерации
в России это понятие конкретизировалось в число 10000.
древнечешском языке, однако, это'слово обозначало
ЮШЬ непсчисЛ11М°е количество, как его толкует словарь
*унгманна и переводит на латинский язык так называемый
Нларет (в середине XIV столетия, — словом legio, т. е.
30*
468
ГВИДО ФЕТТЕР
легион, большая толпа, множество). Судя по этому, можно
сказать, что чехп оставили свою славянскую прародину
раньше, чем для 10000 установилось слово «тьма» и что
следовательно, в период своего перехода на новую родину
они обычно не использовали таких чисел [15].
Но то, что чехи во времена своего перехода в Чехию
использовали числа, превышающие тысячи, можно пред-
полагать со всей очевидностью. II более того, в этом
объеме они могли складывать, вычитать, умножать
и делить. На это указывают и соответствующие выраже-
ния, корни которых опять же восходят к праславянскому
языку. Слова scitat (складывать) и odcitat (вычитать)
связаны с праславянским корнем «чпт», mnoziti — с пра-
славянским «мъногъ —»; энклитика krat — со старосла-
вянским «кортъ —», обозначающим «разрез» или «раз»;
deliti — с праславянскпм «делъ». Можно предполагать,
что чехи уже на своей прародине освоили способ предста-
вления цифровых данных так называемыми «рабушами»,
т. е. черточками на камне пли нарезками на дереве. Слово
vrub происходит от rubati праславянского корня «робъ»
(сравни русское «рубль»). Слово rabuse или rovas связано
с праславянским корнем «ровъ», а это связано с корнем
«ры» от слова «рытп» [16].
Из геометрических понятий чехп принесли понятия:
mfra (по-праславяиски—мера), meriti (мерить), сага
(линия) или crta (черта), названия которых родственны
с индоевропейским корнем кет—; kruh (по-праславянски
«крогъ»), hran («грань») и uhel («оглъ»). Как и хлебопашцы,
которые строили круглые и четырехугольные хижины,
они должны были также знать квадрат и прямоугольник.
Поскольку они производили искусно украшенную кера-
мику, они знали и простые геометрические фигуры, как во-
люты (завитки), волнистые линии, треугольники и т. п. [17].
Это была почва, па которой произрастали математиче-
ские познания в первом тысячелетии исторического раз-
вития чешского государства. Новое население начало
быстро развивать бойкую торговлю, эту живительную
влагу для развития арифметических знаний. О внешней
торговле свидетельствуют многочисленные посещения пно-
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 469
странных купцов, один из которых, франкский (по дру-
гим источникам — славянский.— Ред.) купец Само в пер-
вой четверти VII столетия объединил чешские и окрест-
ные племена в мощное государство [181.
Как всюду, так и в чешских землях, введение христиан-
ства в IX столетии сопровождалось значительным подъ-
емом культурного уровня. Христианство проникло сюда
двумя путями. С Запада при помощи немецких миссио-
неров и с большим успехом с Востока прп содействии сла-
вянских просветителей и проповедников христианства —
Кирилла (Константина) и Мефодия, которые принесли
славянскую письменность и перевели на славянский язык
церковные книги. В Моравии они основали школу для
воспитания священников нового вероисповедания. Это
была славяно-греческая школа Константина (с 863 до
867 г.) и славяно-греко-латинская школа Мефодия
(с 873 до 885 г.), обновленная в 900—906 годах. Школы
эти былп главным образом богословские, но, вероятно,
там учили и основам тривиума и квадрпвиума, следова-
тельно, и математике, поскольку п она была нужна свя-
щеннику для церковных целей. В 880 г. в Нптре епископ
Вихинг основал латинскую школу для священников,
позднее он перенес ее в Моравпю, где после смерти Ме-
фодия он стал архиепископом. Эта школа пришла
в упадок после ухода Вихинга в 883 г. к немецкому королю
Арнульфу. Школа Мефодия воспитала около 200 священ-
ников, из которых некоторые, как, например, Горазд,
отличались ученостью [18].
В то время как под влиянием церковно-славянской пись-
менности, удержавшейся у русских и болгар, и книги
научного содержания писались у них по-славянски, как
и старинные русские памятники, например Кирпково
летоисчисление (1134 г.) и так называемый Шестоднев
(XI—XIII века), содержащий вычисление периметра
земли, былп написаны по-русски, в чешских землях рост
образования вообще, а следовательно, п математики в част-
ности на славянской основе был насильно прерван в 906 г.
уничтожением Великоморавской пиперин венграми. Сла-
вянская литургия в Чехии была отменена в конце IX сто-
летия, и князь Спитигнев (правил примерно с 894 до
470
ГВИДО ФЕТТЕР
905 г.) ввел латпнское священнослужение на чешской
земле.В Будче близ Праги он основал латинскую школу для
воспитания как сыновей аристократов (верхушки обще-
ства), так и главным образом будущих священников.
Они должны были изучать среди прочего также основы
арифметики и астрономии, нужные для вычисления
подвижных церковных праздников [20].
Вскоре после 980 г. Гумпольд, епископ Мантуи, напи-
сал по-латыни легенду о роде и мучениях князя Вацлава
Святого, которая около 1000 г. была переведена в Чехии
на старославянский язык. В предисловии Гумпольд гово-
рит, намекая на публичный диспут, бывший в Равенне
в 980 г.: «Некоторые... стремятся многими вычислениями
и точными опытами проследить, какой порядок и какие
неизменные законы определяют движение звезд, которая и
какая мера сокращает будто каким-то скрытым ходом с по-
мощью геометрических формул объем величины земли до
того, что ее можно измерить или как можно выразить чис-
лом движение всего того, что обозначает количество и плот-
ность...». Славянский переводчик обычно вставлял объяс-
нения в первоначальный текст. Но здесь так он не сделал.
Вероятно, чешским читателям на рубеже X и XI столетий
эти слова были вполне понятны, что невозможно без опре-
деленной степени математического образования [21].
Математическая литература на чешском языке в эпоху
княжеств не создавалась, так как в этом не было необхо-
димости. Теоретическое образование распространялось
главным образом на священников и, может быть, еще
на придворных чиновников. Они черпали свои знания
из латинских рукописей. Различные слои народа, ремес-
ленники и торговцы приобретали необходимые математи-
ческие познания или в церковно-приходских школах или
на практике. А практические требования были немалыми,
поскольку через Прагу проходил (как нам об этом рас-
сказывает в X столетии купец и путешественник Авраам
бен Якоб) важнейший торговый путь из Ржезна в Краков,
Киев и Пльтыз (современную Астрахань), к которому
присоединялись торговые пути в Италию, идущие вдоль
Лабы (Эльбы), Волги, Днепра и Вислы. Здесь же про-
ходил торговый путь к богатой янтарем Балтике, сюда
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 471
приходили торговцы не только из соседних земель,
но и из России, Франции и Испании. Пересчет различных
мер, весов и денег требовал довольно высоких математи-
ческих навыков. В обширных княжеских поместьях вести
хозяйство могли только управляющие, хорошо знающие
счет. Уже во времена владычества князя Болеслава I
(правил с 929 по 967 г.) был создан так называемый город-
ской устав, основа более позднего феодального устрой-
ства, и собирались налоги. Сборщики их подчинялись
особому высшему чиновнику, так называемому «комор-
нику» (казначею). Он и его помощники должны были вла-
деть основами арифметики. С течением времени были вве-
дены сборы податей — таких, как подушный налог, позе-
мельный налог; так называемые «господа-сборщики»
должны были иметь геометрические знания для того,
чтобы определять величину и доходность участка [22].
Система мер и весов во времена Пржемысловичей была
весьма сложной, ибо различные товары измерялись и взве-
шивались различными единицами, причем их взаимный
пересчет был довольно сложным. В одиннадцатом столетии
в Тыне в Праге, где происходила международная торговля,
был строгий государственный надзор за правильностью
мер. Нет необходимости подчеркивать, что контролирую-
щие чиновники должны былп быть хорошими счетчиками.
Уже король Вацлав I стремился устранить разнобой в ме-
рах, когда в 1249 г. запретил продавать и покупать по дру-
гим мерам, кроме королевских, существующих в Праге.
Во время правления его сына Пржемысла Отокара II
постановлением земского сейма меры и веса были стандар-
тизированы для всего государства. Все меры и весы должны
былп клеймиться королевским знаком. Был введен чеш-
ский или староместский локоть, который был помещен
в староместской ратуше в Праге [23].
В самом начале чешской псторип преобладала меновая
торговля и платили натурой или определенным весом
серебра. Но и деньги во времена первых Пржемыслов
не былп неизвестной вещью. Первыми чешскими деньгами
были динары князя Болеслава I, чеканившиеся для сбора
налогов и для внешней торговли. На внутреннем же рынке
До второй половины XV века удержалась плата кусками
472
ГВИДО ФЕТТЕР
полотна. Деньги чеканил не только владетельный князь,
но п другие П рже мыс лови чп, Славниковичп и архиепи-
скопы, что опять же требовало пересчетов [24].
О сравнительно высокой чешской математической
культуре свидетельствует также организация сбора нало-
гов. Издавна, как уже об этом говорилось, в Чехии были
особые «податные» (сборщики податей), которые устанав-
ливали земельный налог. Уже в XI столетии обработан-
ная земля была разделена на «ланы», т. е. наделы поселя-
нам, живущим на земле, превращенной из первобытного
леса и топей в плодородные угодья. Основанием для рас-
кладки земельного налога были составленные по сведе-
ниям владельцев описи земельных участков, которые время
от времени вновь измерялись. Самой ранней описью цер-
ковного имущества является так называемая основная гра-
мота Лптомержицкого костела от 1058 г., выданная кня-
зем Спитигневом II. Чешские описи имущества были
образцом и для соседних земель [25].
Произведения искусства также свидетельствуют о раз-
витом геометрическом чутье чешских мастеров. Самые
ранние памятники, что совершенно очевидно, не имеют
следов геометрических конструкций. Руководящим нача-
лом здесь была не точность, а чутье художника. Фигуры
на плоскости не строили, а только свободно рисовали
от руки. К XI или XII столетию относится великолепный
диптих пз слоновой кости, который хранился в коллек-
циях графа Гарраха. Резьба на одной стороне византий-
ского происхождения, но на другой чешского. На одном
из полей этой второй стороны есть рельеф, изображающий
св. семейство в Вифлеемском хлеву, где младенец Иисус
лежит на цилиндрическом столбе, законченном наверху
округлой доской. Округлые грани ее являются овальными
кривыми без острых верхушек на концах главной оси,
как тогда чертились горизонтальные окружности. Верхняя
округлая доска подставки представляет собой анало-
гичную линию, но еще более искривленную, дающую хоро-
шее перспективное изображение. Художник стоял на выс-
шей ступени мастерства перспективного изображения того
времени, свидетельством чего является перспектива ба-
шенки на втором поле другой стороны этого диптиха [26].
КРАТКИЙ обзор развития matemat. в ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 473
Перспективное изображение достигает вершин в про-
изведениях- чешских художников XI—XIII вв. Самое ран-
нее произведение — это Больфенбюттельская рукопись.
Она содержит красиво иллюстрированную легенду Гум-
польда о Вацлаве. Рукопись была изготовлена около
1000 г. На картине, изображающей убийство Вацлава,
ворота храма открыты и горизонтали левого крыла ворот
уменьшаются в перспективе в верхнем углу картины [27].
Самый же богатый материал дает нам жемчужина чешской
средневековой живописи — торжественный коронацион-
ный вышеградскип кодекс. По утверждению его издателя
Ф. II. Легнера, этот кодекс был изготовлен в Сазавском
монастыре во второй половине XI столетия для корона-
ции Братислава в 1085 г. Художник, создавший кодекс,
в совершенстве владел перспективным изображением
своего времени. Перспектива отдельных картин, как пра-
вило, решалась с точки зрения главного лица, изобра-
женного на картине, ни в коем случае не с точки зрения
зрителя [28].
Следующим значительным памятником является так
называемая Велиславова библия, относящаяся ко второй
половине XIII столетия. И здесь перспектива чаще всего
решается с точки зрения главного лица, изображенного
на картине, хотя кое-где встречается уже перспектива
с точки зрения зрителя.
К 1312—1321 гг. относится рукопись жития святых,
иллюстрированная неизвестным художником. И он решил
перспективу с точки зрения главного персонажа картины.
Только католический молитвенник монастырской библио-
теки в Райграде от 1342 г. с инициалом Бис изображением
царя Давида ставит точку схода углубленных прямых
в центральную точку п решает перспективу последова-
тельно с точки зрения зрителя [28].
Самые старые церквушки были ротондами. Размещение
окон и дверей обычно делило круговою горизонтальную
проекцию на 4 п 8 частей, как это было сделано в Будче
около 900 г. у ротонды св. Мартина, на Вышеграде
в Праге в X столетии.
XII и XIII столетия отмечены большим ростом могу-
щества и влияния чешского государства на европейскую
hili
ГВИДО ФЕТТЕР
политику. Чехи бывают за границей как при военных
походах, так и прп дипломатических переговорах, а ино-
странцы бывают в Чехии. Эти многочисленные контакты
приносят в Чехию пз Западной" Европы, а особенно
из Италии, новые математические знания. В Чехии
появляется готический стиль, проникнутый геометриче-
скими закономерностями. Строятся готические храмы.
В строительных мастерских изучается геометрия, и старые
мастера из уст в уста передают знания своим ученикам [30].
Измерения, которые предполагает знание так назы-
ваемой практической геометрии, имеют старую традицию
в Чехии. Строятся мельницы, а около них плотины,
запруды и пруды. Уже в основной грамоте бржевновского
монастыря X столетия говорится о трех плотинах на Влта-
ве под Пражским Кремлем [31]. Чехия изобиловала
огромным количеством рыбы и вскоре появился особый
цех прудовых рыбоводов, о которых Ян Дубравиус
наппсал в 1559 г., что чешские пруды самые древние
в Средней Европе и что способ их закладки отсюда распро-
странился в соседние земли. Это возможно было только
при помощи землемерного искусства [32].
Землемеры (merickove, mensores, geometrae, Landmes-
ser) измеряли земельные участки, появлявшиеся при
многочисленном заселении девственных лесов и болот
в XII и XIII столетиях, а также при закладке городов
в те времена. При заселении этих мест духовными
орденами и отдельными лицами необходимы были услуги
землемеров. От XIII века сохранились описи, содержащие
результаты измерений, от XIV века сохранились оговорки
и исправления измерений в описях [33].
Это практическое употребление математических зна-
ний шло рука об руку с теоретическим математическим
образованием. Указанная выше школа Спитигпева в Будче
быстро сделалась образцом для других школ, образован-
ных при церковных приходах, епископствах, храмах
и монастырях. Поскольку зти школы воспитывали моло-
дых священнослужителей, в них изучалась главным обра-
зом латынь, которая давала возможность понимать латин-
скую литературу, а следовательно, и математические
источники, написанные по-латыни. Такие школы были
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 475
при капитулах в Вышеграде, Брно и Знойме. Самой луч-
шей была школа при капитуле в Пражском Граде. В то
время как другие школы были только scholae particulares,
где из квадривиума, который включал также арифметику
и геометрию, изучали эти предметы только частично,
школа пражского капитула — studium generale minor —
стояла на значительно более высоком уровне. Хотя зта
школа в бурях 1248 г. погибла, но во времена короля
Пржемысла Отокара П она возродилась во всей былой
славе. В эту школу приезжали учиться даже иностранцы,
например, в 1271 г. здесь слушал лекции по природоведе-
нию у магистра Ржегоржа учепый адмонтский аббат Эн-
гельбрехт. Эта школа была на таком высоком уровне, что
король Вацлав 11 примерно в 1294 г. предполагал превра-
тить ее в studium generale major, т. е. в настоящий универ-
ситет. Только отпор аристократии, боявшейся все возрас-
тающей мощи и влияния духовепства, которое овладело
университетами, не дал возможность осуществить это
намерение. Однако уже возможность возникновения тако-
го замысла показывает высокий уровень чешской образо-
ванности в конце XIII столетия, невозможный без доволь-
но высокого развития математики I34].
В средневековье, как в иных местах, так и в Чехии,
главное внимание обращалось па астрономию и астроло-
гию. Поэтому наряду с основами арифметики и геометрии,
нужными для практической жизни, особенно процветала
сферика, т. е. наука о шаре, включающая в себя и сфери-
ческую тригонометрию. Изучались и переписывались
латинские рукописи, трактующие об этих науках. Остатки
этой литературы дошли до нас в рукописях, сохранившихся
в чешских библиотеках. Это были арифметические коммен-
тарии, толкование основных арифметических законов,
основы прикладной геометрии, пояснения к сочинениям
известных авторов — и все это было написано на латин-
ском языке, однако несомненно, что большинство из них
было отечественного происхождения. Этп рукописи ждут
еще научной обработки и оценки их. Далее, здесь имеются
копии известных произведений, так называемая Quadri-
vium Боэция и его переводы из Евклида, рукописи от XI,
если не от X столетия, копии латинского перевода «Начал»
476
ГВИДО ФЕТТЕР
Евклида п рукописей от XIII столетия, а также копии
сочинений Сакробоско: Sferika, Computus и Algorismus I35].
Самой старой рукописью, где в латинский текст вкра-
плены чешские математические выражения, является
так называемый «Грамматический словарь», который по-
явился в кругу магистра Бартоломея из Хлюмца, нося-
щего литературное имя Claretus de Solentia (ум. в 1378
или 1379 г.). Это сочинение было написано около 1360 г.
и заключает в себе перечень понятий, какие должен был
знать студент факультета свободных искусств во вновь
основанном университете. К латинским терминам арифме-
тических, геометрических и астрономических понятий
(стихи 230—301, 587—728) дан чешский перевод. Это—пер-
вый источник с чешскими математическими специальными
выражениями. Из него мы узнаем об уровне математиче-
ских познаний среднеобразованных чехов в эпоху основа-
ния университета в середине XIV столетия. Они знали
числа примерно до миллиона, причем писали их римскими
и арабскими цифрами, использовали абак, складывали
и вычитали, удваивали и сокращали пополам, умножали
и делили, извлекали корень и складывали конечные
арифметические и геометрические прогрессии. Из гео-
метрических понятий они знали: точки, линии, прямые,
плоскости, поверхности, тела, треугольники и четырех-
угольники, окружности, перпендикуляры, призмы, пира-
миды, цилиндры, конусы, шары, вычисляли периметры,
площади, объемы и поверхности всех этих фигур [зе].
О высоком уровне математическо-астрономического
образования в Чехии в конце XIII и в начале XIV столе-
тий свидетельствуют астрономические рукописи и дере-
вянный глобус, который купил в Нюрнберге в 1444 г.
известный философ и математик Николай Кузанский.
В рукописях есть примечания, касающиеся событий,
имевших место при чешском королевском дворе в конце
XIII и в первые годы XIV столетия и доказывающие чеш-
ское происхождение этих рукописей. Кажется, эти ру-
кописи были переписаны с более древних источников для
короля Яна Люксембургского. Часть их после смерти
короля Вацлава IV попала в руки короля Зигмунда, ко-
торый переправил их в Нюрнберг, где затем продал [371.
-КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ. ЗЕМЛЯХ 477
Затем на глобусе шлем Персея имеет горшкообразную фор-
му, такие шлемы носили чешские воины в конце XIII в.
Этот глобус является старейшим сохранившимся глобу-
сом среднеевропейского происхождения.
Из всего сказанного мы видим, что в Чехии в начале
XIV столетия и в математических науках была подготовле-
на почва для появления первого средневекового универ-
ситета.
От основания Пражского университета до Белогорской
катастрофы
Император Карл IV, основав в Праге в 1348 г. универ-
ситет, обеспечил его лучшими профессорскими силами
и материальными средствами. Университет был наделен
земельными угодьями, при нем было устроено Карлово
общежитие, где жили и работали профессора. При Карло-
вом общежитии была основана библиотека со 152 руко-
писями. Подобные библиотеки были созданы и при других
общежитиях, которые организовались позднее. К этому
можно еще добавить частные библиотеки профессоров.
В этих библиотеках, как нам известно, были следующие
математические рукописи: Quadrivium Боэция; латинский
перевод «Начал» Евклида с присоединенными к ним позд-
нее 14 и 15 книгами; сочинения Algorismus de integris,
Computus philosophicus, Computus ecclesiasticus, Tracta-
tus de sphaera Сакробоско; Massa computi и Tractatus de
altimetria неизвестных авторов; Perspectiva Роджера Бэ-
кона; выписки из какого-то Tractatus de latitudinibus
formarum; Geometria practica Доминика де Клавазио
и, конечно, многочисленные астрономические сочинения,
а среди них на первом месте «Альмагест» Птолемея [33].
На факультет свободных искусств Карл IV пригла-
сил семь профессоров для семи предметов — тривиума
и квадривиума, среди которых, как известно, значи-
лись арифметика, геометрия и астрономия. Имена про-
фессоров математики мы не знаем. Нам известно только,
что профессором астрономии был магистр Гавел из Стра-
гова, личный врач Карла IV, медицинские труды которого
сохранились. Утверждение Станислава Выдры, что первым
478
ГВИДО ФЕТТЕР
профессором математических наук был «славный флорен-
тийский философ и астроном» loannes Bocatius de Certaldo
(1303—1365), вероятно, ошибочно, так как нет сведений
о том, что единственно пока известный в истории науки
Giovanni Boccaccio Certaldese (1313—1375) когда-либо был
в Праге [ 39J.
Уровень математических лекций в Пражском универ-
ситете был для того времени очень высоким, значительно
более высоким, чем в Парижском университете или позд-
нее в немецких университетах. Даже в Лейпцигском уни-
верситете, основанном после ухода немецких студентов
и профессоров из Праги в 1409 г., еще в XVI веке матема-
тика не преподавалась лучше, чем в XIV веке в Праге.
Только Венский университет, основанный Рудольфом IV
по пражскому образцу, отводил математике такое же место.
В Праге преподавались алгоритм и арифметика (вероятно,
по сочинениям Сакробоско), шесть первых книг «Начал»
Евклида, Tractatusde sphaera material! Сакробоско, Sphae-
ra theorica неизвестного автора, Theoria planetarum соглас-
но сочинениям Герхарда из Кремоны или по работам Джо-
ванни Кампана из Наварры, альманах, т. е. учение о со-
ставлении календаря, Computus chirometricalis, т. е. вычис-
ление календаря и движения небесных тел с помощью
пальцев, вероятно, по Сакробоско, Perspectiva, т. е. оп-
тика по Джону Пекгама (неправильно называемому Пи-
занским), а вершиной была астрономия, читаемая по «Аль-
магесту» Птолемея [40]
Первым профессором математики, имя которого нам
известно, был магистр Енек из Праги. О нем упоминается
как об экзаминаторе с 1367 по 1382 г.; Ян Гус в проповеди
1409 г. говорил о нем, что он был бойким математиком [41].
Первым известным нам математическим произведением,
подписанным чешским автором, является рукопись Дит-
рихштейнской библпотеки в Микулове, Computus clerico-
rum Яна из Бржезницы от 1395 г., содержащая циклы
и эпакты, вычисленные на несколько лет вперед, и наста-
вление, как вычислять эти числа, важные для определе-
ния подвижных праздников [42].
Намного более значительным произведением, нежели
работа Яна из Бржезнпцы, является труд магистра Кржи-
КРАТКИЙ обзор развития matemat. в ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 479
штяна из Прахатиц (ок. 1366—1439) Algorismus prosaycus,
написанный примерно в 1400 г. Его автор, верный друг
Яна Гуса и один из первых его последователей, был с
1392 г. профессором факультета искусств Карлова универ-
ситета. Несколько раз он был деканом и ректором. Одно-
временно с 1400 г. он был священником церкви св. Гавла
в Праге, а с 1437 г.— администратором церкви утракви-
стов. Он был одним из самых ученых чехов своего времени
и пользовался всеобщим уважением, что, однако, не защи-
тило его в бурное время от религиозных и политических
преследований и ареста. Он написал много работ по меди-
цине, астрономии и теологии [43].
Как математик Кржиштян не довольствовался изуче-
нием только выдержек из классических произведений, ко-
торые пользовались популярностью в средневековье, а
брался за латинские переводы оригиналов. В Пражской
университетской библиотеке имеется прекрасно написан-
ный кодекс французского происхождения, содержащий
полный латинский перевод «Начал» Евклида, который
был собственностью Кржиштяна [44].
Пражская университетская библиотека располагает
двумя экземплярами Algorismus’a Кржиштяна. Один
в рукописи XI1 F 17 обозначен как Algorismus prosaycus
Magistri Cristani. Этот экземпляр был известен Поз. Смо-
лину и Фр. Студничке, который его издал. Другая копия
находится в рукописи IV G 2 и каталогизирована как Mag.
Cristani de Prachatitz Rudimenta artis computisticae. Обе
копии сопровождаются комментариями на полях, особенно
многочисленными во второй рукописи. Содержание этого
произведения, очевидно, черпалось из широко распро-
страненного в то время произведеппя Сакробоско Тгас-
tatus de arte numerandi. Кржиштян учит прежде всего нуме-
рации, т. е. написанию чисел римскими и арабскими цифра-
ми, затем занимается по средневековому способу сложе-
нием, вычитанием, делением пополам, удвоением, умно-
жением, делением, извлечением квадратного и кубического
корня и так называемым «счетом вверх», как было
привычно в то время. При умножении в примечании решен
пример так называемым шахматным способом; такой спо-
соб знали индусы, и он встречается в учебниках XV века.
480
Гвидо ФЕТТЕР
Страница из рукописи Algorismus prosaycus Кржиштяна из
Прахатиц (XV век).
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 481
Однако является загадкой, был ли этот пример в ориги-
нальном сочинении Кржпштяна или он явился дополне-
нием переписчика рукописи в XV столетии. В сочинении
Кржиштяна были две таблицы умножения, одна малень-
кая в форме квадрата, другая в виде треугольника до
20 < 20. Это не новинка, как ошибочно предполагает Студ-
ничка, так как таблица умножения в виде треугольника
до 19 X 19 находится уже в рукописи XII столетия. Послед-
ний абзац Algorismusa учит написанию дробей. Студничка
предполагает, что Algorismus содержит университетские
лекции Кржиштяна. Но это, однако, отрицает вступитель-
ная фраза сочинения: «Руководствуясь любовью к малы-
шам, я стремился кратко описать основное искусство
счета». Мне кажется, что называть студентов университета
малышами довольно необычно [451.
Большой популярностью как выдающийся астроном,
математик и врач пользовался магистр Ян Ондржеюв,
прозванный Шинделем из Градца Кралова (ок. 1375 по
1453 г.). Окончив Пражский университет, он был с 1407
по 1409 г. профессором математики и астрономии в Вен-
ском университете, в 1409 г. приглашен в Карлов универ-
ситет для преподавания тех же предметов. Одновременно
он был придворным врачом Вацлава IV и читал лекции
по медицине. Огромный интерес вызвали его лекции об
«Альмагесте» Птолемея. Но будучи верным католиком,
он покинул утраквистский Пражский университет и отпра-
вился в Оломоуц, где написал свое главное астрономиче-
ское сочинение — обработку Альфонсовых таблиц, кото-
рые хвалил Тихо Браге, но которые, к сожалению, не со-
хранились. Другие его произведения нам неизвестны.
Мы знаем только, что он написал «Эфемериды». Сохра-
нились лишь комментарии к медико-ботанической работе,
так называемой Pseudomacera. О его международной из-
вестности свидетельствуют восторженное письмо Эннея
Сильвиа, позже папы Пия II, и посвящение феррарского
профессора астрономии Джиованни Бианкини (Giovanni
Bianchini). В 1436 г. Ян Шиндель вернулся в Пражский
университет [4в].
Пятнадцатый век характеризуется упадком Пражского
университета и особенно математического учения. Было
31 Истор.-матем. исслед., вып. XI
482
ГВИДО ФЕТТЕР
слишком бурное время, мысли были заняты религиозными
распрями и социальными проблемами. Лучшие умы обра-
тились к этим спорам, а для математики, требующей сосре-
доточенности, для астрономии, основанной на тщательном
наблюдении, не было ни времени, ни спокойной обста-
новки. В то время более распространялось астрологиче-
ское гадание, чем трезвая наука. Поэтому впереди всех
интересов стояло то, что служило астрологии: издание
календарей с эфемеридами и предсказаниями. Издавали
их университетские профессора, специально для этого
назначенные, и другие магистры.
Из профессоров математических наук наиболее выдаю-
щимся был Мартин из Ленчиц, близ Варшавы (ок. 1405—
1463). Как «университетский астроном» он издавал кален-
дари с астрологическими предсказаниями. Сохранились
две рукописи его произведений: Computus de sphaera
material! и Prognosticatio anni currentis, 1445 г. За свою
двадцатилетнюю университетскую деятельность он воспи-
тал много учеников. Остальных профессоров математиче-
ских наук, бывших в этот период в Карловом универси-
тете, мы перечислим только по именам: Петр Брадач из
Двекачовиц (первая половина XV века), магистры Мику-
лаш, Матиаш Вглемовский из Брно (ок. 1432—1493),
Вацлав из Пацова (ок. 1436—1513), Вавржинец из Рокицав
(ок. 1440—1451), Павел из Жатце (ок. 1450—1517), Ян
из Бловиц (ок. 1456—1502), Вацлав из Жатце (1475—1520),
Павел Пржибрам из Праги (1486—1520), Микулаш Шуд
из Семанина (1490—1557), Ян Заградка, по прозвищу
Гортензиус (1501—1557), и Зикмунд Антох из Гсльфен-
берга (1508-1552) [47].
Математики чешских земель становились профессо-
рами также в иностранных университетах. Ондржей Стё-
берле, прозванный Стибориус (по Чупре—Цтибор), был,
как говорит Выдра, каноником в Оломоуце. Выдра опи-
рается на письмо, которое написал Стибориусу в 1495 г.
его племянник, оломоуцкий уроженец Августин Кесен-
брот, известный под именем Августин Моравус или Оло-
муцепспс Стибориус, родиной которого Поггендорф и Кан-
тор считают Баварию, профессор математики в Инголь-
штадте, а затем в Вене. Он написал предисловие к табли-
краткий обзор развития matemat. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 483
дам затмений Пеурбаха и вместе со своим учеником и заме-
стителем в Венском университете Танстеттером написал
для римского папы Льва X доклад об исправлении кален-
даря [4в].
Вацлав Фабри из Чешских Будеёвиц (ок. 1460 по1508)
учился в Лейпцигском университете и был там же про-
фессором математических наук в 1483—1508 гг. Он издал
несколько раз со своими комментариями сочинение Сакро-
боско Opus sphaericum, таблицы соединений Солнца
и Луны, несколько прогностик и многочисленные астро-
логические справочники и календари [40].
Самым известным за границей чешским уроженцем был
Ян Видманн из Хеба. Хебско — исконно славянская земля,
с 1003 г. попеременно относившаяся то к Германии, то
к Чехии и только в 1322 г. окончательно присоединенная
к Чехии. Поэтому мы здесь и указываем Яна Видманна из
Хеба (1460 — первая половина XVI века) как чешского
гражданина. Он происходил из бедной семьи и потому
во время учения в Лейпцигском университете был осво-
божден от всяческих плат. Достигнув в 1485 г. звания
магистра свободных искусств, он читал лекции по матема-
тическим наукам в Лейпцигском университете. Видманн
был первым, кто начал в университете чтение лекций по
алгебре. Он был также первым, кто написал и в 1489 г. из-
дал арифметику на немецком языке, но не для ученых чита-
телей, а для практического пользования в повседневной
хозяйственной жизни. Книга называлась Behennde und
hubsche Rechenung aulf alien Kauffmannschall't. Видманн
здесь учит основным арифметическим 'действиям с целыми
и дробными числами. При извлечении корня он доволь-
ствуется только целой частью. Он учит проверке девяткой
и семеркой. Книга содержит также учение об отношениях
и много примеров из практической хозяйственной жизни,
Решенных главным образом тройным правилом итак назы-
ваемым правилом ложного положения. Книга оканчи-
вается разделом, посвященным практической геометрии.
Это книга, в которой впервые в печати появляются знаки
+ и —. Небольшое сочинение Видманна распространи-
лось по Германии и в течение 37 лет было издано в четы-
рех различных немецких городах. Оно явилось образцом
484
ГВИДО ФЕТТЕР
для издаваемых позже немецких народных арифметик
XVI века [so 1.
Упадок математического образования в Пражском уни-
верситете распространился на XVI век и даже на начало
XVII века, хотя гуситские войны уже окончились. Рели-
гиозные распри беспрестанно продолжались и все еще
занимали лучшие умы. Расцветали только астрология
и алхимия, астрономия же служила двум последним. Пре-
подаватели университета главным образом занимались
изданием календарей, старательно отмечая ожидаемые
небесные явления и прибавляя к ним астрологические про-
рочества. Габсбурги, которые вступили на королевскпй
трон в Чехии в 1526 г., укрепляли католическое влияние
и готовили германизацию. В помощь своим замыслам они
пригласили в страну в 1556 г. иезуитский орден, который
немедленно основал Клементпнское училище, как бы в про-
тивовес утраквистскому Карлову университету, где зани-
мались математическими науками и главным образом
астрономией. Клементина делилась на более низшую сту-
пень — гимназию, и более высокую — академию. Мате-
матика, и вообще самые элементарные основы арифметики
и геометрии, в Клементине начала преподаваться только
с 1561 г., а астрономия с 1581 г. Другое подобное учебное
заведение основали иезуиты в Оломоуце в 1566 г. на базе
латинской школы. В 1572 г. папа разрешил Оломоуцкой
школе изучать философию, а в 1575 г. Максимилиан II
предоставил ей права университета. И уже через год пер-
вым профессором математики здесь стал иезуит Томаш Вил-
лианус (1539 — 1613), по происхождению англичанин.
На этой должности он был до конца своей жизни. После
него очень недолгое время и довольно безуспешно матема-
тические науки преподавал иезуит Войтех Хановский из
Свирайиц в Чехии (1581—1645) Is1].
Тяжело переживается спад в области математических
наук в Карловом университете в XV и XVI веках. Извест-
ный гуманист магистр Шимон Проксен из Судет (1539—
1613) в 1560 г. жаловался: «Если мы действительно забо-
титься должны, чтобы обучение пражское по достоинству
возвышено и на первое место возвращено было, то в пер-
вую очередь математическому искусству и тем, кто в нем
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 485
Доктор Тадеаш Гайек (152о—1600).
Из приложения к «Миру звезд»
(Riga hvezd, год VI, .V 6).
работает, настоящую помощь оказать должны, поскольку
искусство это в течение нескольких сотен лет в учении праж-
ском, особенно астрономия и тесно с ней связанная астро-
логия, среди всех других искусств расцветало и первое
место занимало». Из профессоров математических наук
назовем следующих: магистр Петр Книжек (Codicillus)
из Тулехова (1533—1589),
автор нескольких астро-
номических работ, извест-
ный также за границей;
Вацлав Зелотын с Красне
Горы (1532—1585), кото-
рый также написал не-
сколько астрономических
работ и первый в своем
календаре в 1583 г. про-
вел сравнение дат двух
календарей —юлианского
и грегорианского, хотя
последний был официаль-
но введен постановлением
сейма только через год;
магистр Марек Моравец
Быджовски из Флоренти-
ны (1548— 1612): магистр
Матпаш Грыл из Грылова
(1551—1611), автор астро-
номических работ; ма-
гистр Мартин Бахачек из
Ноумержиц (1540—1612), проводивший с Кеплером астро-
номические наблодения, и магистр Даниэль Базиль из
Депченберга (1585—1628), также автор астрономических
статей и последний декан факультета Карлова универси-
тета до Белогорской битвы р2].
Более значительной фигурой был доктор Тадеаш Гайек
из Гайка (1525—1600), родом из Праги, преподававший
в университете математику и астрономию в 1555—1558 гг.
В 1558 г. в связи с женитьбой он оставил университет-
скую кафедру и занялся врачебной практикой. В этой
области он очень преуспел и написал несколько медицин-
486
ГВИДО ФЕТТЕР
ских работ. Гайек был личным врачом Максимилиана Ц
и Рудольфа II, одновременно являясь при последнем
советником по астрономии, а также протомедиком чеш-
ского королевства. По его инициативе в Прагу был при-
глашен Тихо Браге, с которым его связывала искренняя
дружба. Гайек вел научную переписку с передовыми
европейскими учеными своего времени. Он сохранил Сош-
mentariolus Коперника, передав его Браге, и письмо Ко-
перника Ваповскому, которое было переписано в доме
Гайэка. Эта копия в настоящее время находится в Лондоне.
Гайзк дал также латинский перевод алгебры Альхваризми
и комментариев, которые написал к ней Адриан ван Роо-
меи. Гайек первый опубликовал в печати способ опреде-
ления положения звезд путем установления точного вре-
мени их прохождения через меридиан. Он написал много-
численные астрономические и медицинские работы. В исто-
рию чешской математики он вошел своей вводной лекцией,
которая была издана под названием De laudibus geome-
triae. Это первая известная нам чешская работа, которая
останавливается па прошлом математической науки и дает
сведения о некоторых ученых — математиках [53].
В XVI и в начале XVII века снова появляется интерес
к математической науке, особенно к астрономии и связан-
ной с ней астрологии, даже вне стен университета; Алхимик
и астролог Бавор Родовский из Густиржан (1526—1592)
издал несколько астрономических работ. Затем несколько
работ по астрономии написал магистр Бартоломей Скуль-
тетус (Шульц) из Згоржельце (1540—1614), родом из Лу-
жице, присоединенной к Чехии в 1373 г. вплоть до 1635 г.
В словацкой Трнаве астролог Петр Словациус в 1579 г.
издавал астрономический календарь. Магистр Вацлав Да-
сыпус из Нюрнберга (род. 1555 г.) сравнивает в своем ка-
лендаре от 1591 г. юлианский и грегорианский календари.
Петр Готтард (1575—1633), родом из Братиславы (Вроц-
лав), издал в 1614 г. сборник Nuncius stellarum bipartitus.
В 1598—1612 гг. много календарей, астрологическпх
справочников и прогностик издал Кашпар Ладислав Стег-
лик из Ченкова и Тройштедта. Несколько астрономи-
ческих работ написал Шимон Пертлиц из Шпицберка
(1588—1650), родом из Тржештев Моравии. Пертлиц как
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 487
изгнанник умер в Англии. Помощник и друг Кеплера
Ян Бруповский первый в 1604 г. наблюдал сверхновую
звезду. В последней четверти XVI в. в Лоховицах родился
Мартин Горки, ученик Кеплера и болонского профессора
Маджини, который заставил Горного в 1610 г. написать
статью против открытий Галилея Brevissima peregrinatio
contra Nunciuni Sidereum... emissum a Galilaeo Galilaei,
о чем позже он очень сожалел I54).
Это была среда, которая привлекала в чешские земли
выдающихся иностранцев. Примерно в 1550 г. в Моравию
приехал раввин Иегуда бен Безалел Лёв (1520—1600),
который в 1573—1584, 1588—1592 и 1594—1600 гг. был
главным раввином в Праге. Он отличался всесторонним об-
разованием, был астрологпческим советником Рудоль-
фа II и другом Тихо Браге. Простой народ считал его вол-
шебником. К нему относится и легенда о Големе. При-
мерно в 1564 г. прибыл в Прагу и надолго обосновался
здесь вестфальский еврей Давид бен Саломон Ганс (1541 —
1613) из Линштедта, который быстро прославился в Праге
своей ученостью. Он написал астрономический труд
Magen David (книга Давида), изданный в Праге в 1612 г.,
и математическую географию Nechmod Venoim (буквально:
милый и приятный), изданную в Есенице в 1743 г. Кроме
того, известны его работы Migdol David (Башня Давида)
об арифметике и геометрии, Mooir Lakoton (Свет малых),
календари и большая работа Prusdor о геометрии. Для
Тихо Браге он перевел с какой-то старой рукописи Аль-
фонсовы таблицы в обработке Исаака бен Сида, относя-
щиеся к 1256 г. [5В].
Друг Коперника и издатель его замечательного труда,
автор прекрасных тригонометрических таблиц Иржи (Ге-
орг) Иоахим Ретик пз Фельдкирхена в Форарльберге
(1514—1576) умер через педелю после своего приезда
в Кошицы, куда он был приглашен видным администра-
тивным лицом Япом Рубером. С пим в Кошицы приехал
и его молодой друг и ученик Валентин Отго из Магдебурга
(примерно 1550—1605), который продолжал в Кошицах
расчет таблиц Ретика. Вскоре Отго был приглашен в каче-
стве профессора в Витенбергский университет, где и за-
кончил эти большие десятизначные таблицы. Вышли они
488
ГВИДО ФЕТТЕР
в 1596 г. под названием Opus Palatinum de Trian-
gulis [56].
В1584 г. в Прагу ко двору Рудольфа II приехал матема-
тик, астролог и алхимик Джон Ди (John Dee) из Лондона
(1527—1607), чтобы показать императору свои спиритиче-
ские опыты. В историю математики он вошел благодаря
тому, что вместе с лордом X. Биллингслеем перевел на
английский язык «Начала» Евклида, а также и тому, что
нашел и перевел на латинский язык работу Евклида
«О делении фигур на плоскости» [s7].
Рудольф II желал иметь при своем дворе специалиста
механика и часовых дел мастера, который строил бы
и ремонтировал различные астрономические приборы и
часы. Для этого он привез из Ржезна в Прагу в 1594 г.
Эразима Габермегла (ум. в 1606), который здесь прожил
до самой своей смерти, изготовив несколько астрономичо
ских приборов, в том числе и секстант для Тихо Бра-
ге ]58[.
Наиболее известными иностранцами при дворе Рудоль-
фа II были астрономы Тихо Браге и Иоганн Кеплер. Тихо
Браге (1546—1601) прибыл в Прагу в 1599 г. и прожил
здесь до своей кончины. В 1603 г. под руководством Кеп-
лера было закончено печатание большого произведения
Браге Astronomiae instauratae proeymnasmata. Здесь была
также завершена работа De mundi aetherci recentioribus
phaenomenis liber secundus, содержащая описание планет-
ной системы Браге. Кроме того, здесь Браге составил свои
астрономические таблицы, которые в 1627 г. Кеплер
издал в Ульме под названием Tabulae Rudolphinae.
К пражскому периоду относятся и занятия Браге чистой
математикой. Материалы этих занятий сохранились в трех
собственноручных рукописях Браге, хранящихся в биб-
лиотеке Пражского университета. Это—кодекс XII А 28,
содержащий краткий обзор планиметрии, кодекс VI Е 9
от 1582 г., содержащий таблицу синусов, и рукопись Tri-
angulorum pianorum et sphaericorum praxis arithmetica
под индексом 14 С 20. Эта рукопись содержит описание
и указания, как пользоваться так называемым «проста-
файретическим методом», при помощи которого умноже-
ние и деление можно свести к сложению и вычитанию.
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. в ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 489
До появления логарифмов этот метод имел очень важное
значение главным образом для астрономических рас-
четов [59].
По поводу «простафайретического метода», а также сво-
ей планетной системы Тихо Браге имел спор о приоритете
с другим придворным математиком Микулашем Раймаром
Урсом (Бёр) из Генстеда в Дитмарске (ок. 1550—1600),
который в 1584 г. почти год пробыл у Браге на острове
Гвен и там познакомился с его гониометрическими откры-
тиями и его солнечной системой. Уже в 1582 г. Тихо Браге
рассказывал о ней своим ученикам и друзьям. В 1588 г.
Раймар издал в Страсбурге сочиненпе Fundamentum astro-
nomicum etc., где незаконно присваивает себе гониометри-
ческие формулы Браге. В Прагу Раймар приехал примерно
в 1595 г. и здесь в 1597 г. издал свой Tractatus astrono-
micus etc., в котором содержатся грубые нападки на Тихо
Браге с обвинениями его в плагиате. Тихо Браге подал
жалобу на Раймара за необоснованное обвиненпе и оскорб-
ление чести. Раймар был осужден и бежал из Праги
в 1598 г. Позже он возвратился в Прагу, где и находился
до конца жизни. В Праге Раймар написал свое сочиненпе
Arithmetica analytica vulgo Cosa oder Algebra, которое
вышло в 1601 г. во Франкфурте. В этом сочинении он опу-
бликовал идущий от Юлге метод нахождения корней урав-
нения третьей степени, коэффициенты которого делятся
соответственно на первую, вторую и третью степени
какого-либо числа [®°].
Иоганн Кеплер (1571—1630) прибыл в Чехию по при-
глашению Тихо Браге в 1600 г. и работал здесь до 1612 г.,
сначала как его ассистент, а затем преемник в должности
имперского математика. Хотя Кеплер почти всю свою
жизнь очень нуждался и часто безуспешно добивался
от императорской казны обещанной ему платы, все же
годы, проведенные здесь на службе, были самыми счаст-
ливыми и самыми плодотворными годами его жизни. По
инициативе Тихо Браге он вычислил орбиту планеты
Марс и после утомительных расчетов опубликовал в Праге
первые два из своих замечательных законов движения
планет. В эти годы он издает многочисленные работы. Это
прежде всего De Fundamentis astrologiae etc. (Прага, 1603),
490
ГВИДО ФЕТТЕР
Prognosticum Auff das Jahr... 1604 (Прага, 1604) и Ad
Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica
traditur etc. (Франкфурт, 1604). Последней работой он
заложил основы теоретической оптики. Он определяет
здесь параллели как прямые, пересекающиеся в бесконеч-
ности, и изучает фокальные свойства конических сечений,
параболу он рассматривает как переходную форму между
эллипсом и гиперболой. Он описывает также построение
конических сечений при помощи нити. Затем следуют его
работы Griindlicher Bericht von einem ungewohnlichen
Neuen Stern etc. (Прага, 1604, два издания; 3-е издание
1605), Prognosticum Auff das Jarh... 1605 (Прага, 1605),
Epistola... de solis deliquio mense octobris anno 1605 (Прага,
1605) о затмении Солнца, Epistola ad rerum coelestium ama-
tores (1605), Sylva chronologica (1606), De Jesu Christi
salvatoris nostri vero anno natalitio (Франкфурт, 1606),
Stella nova in Serpentarii etc. (Прага, 1606), где он описы-
вает вновь появившуюся звезду в созвездии Змееносец
и высказывается в пользу бесконечности вселенной, De
Stella tertii honoris in Cygno etc. (Прага, 1606), Antwort
Joannis Kepleri... auff D. Helisaei Roslini... Von heu-
tiger Zeit beschaffenheit etc. (Прага, 1609), Strenae sive
de nive sexangula (Франкфурт, 1611) и сочинение Nc/ct,|i£-
pov augustale etc. (Прага, 1612). В работе Phaenomenon
singulare sive Mercurius in Sole Visus (Лейпциг, 1609)
Кеплер ошибочно принял видимое невооруженным глазом
пятно на Солнце за планету Меркурий. Однако самой зна-
чительной его работой пражского периода была Astro-
nomia nova etc. (Гейдельберг, 1609), содержащая первые
два закона движения планет. В связи с открытиями Гали-
лея, сделанными при помощи зрительной трубы, появи-
лись работы Кеплера Dissertatio cum Nuncio sidereo etc.
(1610), Narratio de observatis a se quatuor Jovis satellitibus
erronibus, quae Galilaeus Galilaei jure inventionis sidera
medicaea nuncupavit (Прага, 1610) и Dioptricaesivedemon-
stratio eorum, quae visui et visibilibus propter conspicilla
non ita pridem inventa accidunt etc. (Augustae Vindelico-
rum, 1611); в этой работе Кеплер впервые дал теорию зри-
тельной трубы и опубликовал первый чертеж так называе-
мого телескопа Кеплера [61]_
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 491
Иост Бюрги. С гравюры А. Саделера
(1619). Из работы Б. В г a m е г,
Apollonius coitus, 1684.
Известность, которую. снискали Браге и Кеплер, при-
влекала в Прагу иностранных математиков и астрономов.
Так, вначале XVII века в Прагу приехал выдающийся гол-
ландский ученый Виллеброрд Спелль (1580—1626) [®2],
Другом и помощником Кеплера был другой иностра-
нец, живший в Праге и вписавший свое имя в историю мате-
матики. Это — часовых
дел мастер и астроном, г — ~аг
швейцарец Иост Бюрги
(1552—1632). К Рудоль-
фу II он поступил в
1605 г. и оставался на
службе до 1631 г. Он
изобрел пропорциональ-
ный цир куль—геометри-
ческий измерительный
прибор. Бюрги был не-
утомимым вычислите-
лем. Он придумал сокра-
щенное умножение, ко-
торым мы пользуемся
в настоящее время. Кро-
ме того, независимо от
Стевина, Бюрги в своих
вычислениях отделяет
десятичные дроби от це-
лой части числа иногда
точкой, иногда дужкой.
Это мы находим в его
рукописи, сохранившей-
ся в Пулковской обсер-
ватории с надписью Arithmetica. Бюрги также изобрел
основанный на правиле ложного положения метод при-
олпженного вычисления корней алгебраических уравне-
ний высших степеней. Поводом к этому открытию послу-
жило вычисление таблицы синусов с шагом 2", очень нуж-
ной для астрономии. При вычислении этой таблицы,
вероятно впервые, радиус был принят равным единице.
Напечатана, однако, работа не была, а рукопись была
утеряна. Бюрги усовершенствовал также простафайрети-
492
ГВИДО ФЕТТЕР
ческий метод, о котором узнал уже в 1584 г., и дал доказа-
тельства используемых здесь формул. Не зная ни латин-
ского, ни других иностранных языков и не имея возмож-
ности поэтому познакомиться с работами Виета и Стевина,
Бюрги независимо от них открыл способ вычисления
синуса угла, кратного данному углу. Эти гониометриче-
ские расчеты привели его к очень важному открытию —
к логарифмам. Однако он не понимал их как показатель
степени некоторого данного основания, а сравнивал две
прогрессии—арифметическую и геометрическую. В 1603—
1609 гг. в Праге Бюрги рассчитал развернутые таблицы
своих логарифмов, но не решился их напечатать, и в пуб-
ликации логарифмов его опередил Джон Непер. Бюрги
напечатал свои логарифмы только в 1620 г. под назва-
нием: Arithmetische und geometrische Progress Tabulen etc.
(Прага, 1620). В этом издании не содержится обещанного
на титульном листе объяснения способа их употребления.
И только в одном экземпляре, который хранился в город-
ской библиотеке в Гданьске, присоединено рукописное
объяснение, вероятно, принадлежащее Бюрги, как с помо-
щью этих таблиц производятся умножение, деление и из-
влечение корней. Основание логарифмов Бюрги отличается
от числа е уже в четвертом десятичном знаке [63].
Бюрги приехал в Прагу с женой и ее братом Беньями-
ном Брамером (1588—1650), которого он принял в свою
семью трехлетним мальчиком — сиротой, воспитал его
и обучил математике. Брамер оставался у Бюрги в Праге
до 1609 г., когда поступил к гессенскому ландграфу в ка-
честве архитектора. Брамер написал много работ по прак-
тической геометрии, в которых излагаются идеи Бюрги [641.
В XVI и в начале XVII века появляются математики
среди чехов, проживающих за границей. Иоанн Глоговиен-
сис из Глогова в Силезии (1-я половина XV века — 1507)
был с 1468 по 1507 г. профессором математики и философии
в Краковском университете и своей деятельностью еще
больше укрепил его славу. Наряду с богословскими, фило-
софскими и астрономическими работами он написал также
Notae in computum ecclesiasticum, Computus chirometri-
calis и Arithmeticae introductorium in tractatum sphaerae
Johannis de Sacrobusto (Краков, 1506) [6S].
КРАТКИЙ обзор развития matemat. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 493
Следующим представителем Силезии, который зани-
мает значительное место в математике XVI века, является
Крыштоф Рудольф пз Явора (ок. 1500 — ок. 1545). Он был
частным учителем арифметики в Вене. Его сочинение Behend
und Hubsch Bechnung durch die kunstreiche regeln Algebre,
so gemeiniklich die Coss genennet werden (Страсбург, 1525)
приобрело большую популярность и издавалось несколько
раз. Оно способствовало распространению алгебры и ее
символики в странах Средней Европы. Здесь появляются
и десятичные дроби, хотя сам Рудольф не сознавал всей
новизны своих открытий. Кроме того, он решил несколько
задач, содержащих частные виды кубических уравнений,
пользуясь приемами, пригодными только в этих случаях.
Его заслугой является значительное упрощение решения
уравнений путем введения четырех основных правил о пе-
ренесении члена уравнения с одной стороны на другую,
а также устраненпе дробей из уравнений. Спустя год пос-
ле Алгебры вышла вторая работа Рудольфа: Kiinstliche
Bechnung mit der Ziffer und mit den Zahlpfennigen (Вена,
1526), которая также имела несколько изданий. Здесь
впервые, к северу от Альп, объясняется, почему целое
число при умножении на дробь уменьшается. В этой работе
также впервые появляется в печати задача на так называе-
мые regula coeci или regula virginum о совместной пирушке
мужчин, женщин и девушек, число которых нужно узнать
по соотношениям их затрат, если дано общее число всех лиц
и их общая затрата. Задача эта встречалась и позднее [66].
Из современников Рудольфа большой интерес представ-
ляет Киприан Львовицкий из Львовиц (Cymprianus Leo-
vitius a Leonicia) у Градца Кралова (1524—1574), профе-
ссор математики и астрономии в университете в Лауингене
на Дунае. Тихо Браге отзывается о Львовицком очень по-
хвально, хотя со многими его взглядами не соглашается.
Львовицкий написал много работ по астрономии и астро-
рологии, дал подробный расчет эфемерид с 1556 по 1606 г.
и составил астрономические таблицы. Он был последовате-
лем учения Коперника I67].
Лужичанин Кашпар Пеуцер из Будишина (1525—1602),
зять Меланхтона, профессор математики и медицины Вит-
тенбергского университета, осужденный затем на 12 лет
494
ГВИДО ФЕТТЕР
по обвинению в кальвинизме, впоследствии был врачом
князя в Зербете. Кроме работ по медицине и астрономии,
в которых он осуждает систему Коперника, Пеуцер напи-
сал руководство по вычислениям с шестидесятеричными
дробями Logistice astronomica hexacontadon et scrupulo-
rum sexagesimorum etc. (Виттенберг, 1556 и 1561) и работу
по геодезии De dimensione terrae et geometrice numeran-
dis locorum intervallis ex triangulorum sphaericorum (Вит-
тенберг, 1554, 1579 и 1587) [G8L
Доктор медицины и профессор математики Йенского
университета Михал Неандер (1529 — ок. 1581) происхо-
дил из Яхимова в Чехии. Наряду с работами по медицине,
ему принадлежат Synopsis mensurarum et ponderum ponde-
rationisque mensurabilium secundum Romanos, Athenienses
etc. (Базель, 1555) и Elementa sphaericae doctrinae sive De
prime motu cum compute ecclesiastico (Базель, 1561) I®9].
Более значительной фигурой, чем Неандер, был его
земляк Ян Рихтер, прозванный также Преторием из Яхи-
мова (1537—1616). После окончания университета он посе-
лился в Нюрнберге, где работал мастером математиче-
ских приборов. Сохранилось несколько изготовленных
им глобусов, астролябий и других инструментов. Эта прак-
тическая деятельность оказала влияние на его позднейшие
научные занятия. В 1569 г. он переехал в Прагу, где был
рекомендован Максимилиану II как учитель математики,
в 1571 г. был приглашен профессором Виттенбергского
университета, а в 1576 г. перешел на ту же должность
в Альтдорфский университет. Из его многочисленных работ
не были напечатаны «Алгебра», «Руководство, как про-
водить измерения якобштабом и уровнем», критика всевоз-
можных решений квадратуры круга и задачи на деление,
где он приближенно вычислил j/2 (приближенно равный
sec 37°30' с ошибкой меньше 2'), а также дал ясное изложе-
ние правила сокращенного умножения, работы по плоской
и сферической тригонометрии, где дана наглядная табли-
ца полного решения сферических треугольников, руковод-
ство, как вычислить расстояние между двумя пунктами,
если даны их географическое положение, астрономиче-
ские таблицы, замечания к хронологическим таблицам
Герварта из Гогенбурга и комментарии к Computus eccle-
КРАТКИЙ обзор развития matemat. в ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 495
siasticus Сакробоско. Напечатаны были его календарь на
1578—1579 гг., работы De cometis etc. (Нюрнберг, 1579)
и Problema quod jubet ex quatuor rectis lineis datis quadrila-
terum fieri, quod sit in circulo, aliquot modis explicatum
(Нюрнберг, 1618). В этой работе дается построение по четы-
рем сторонам четырехугольника, который можно вписать
в круг и ищутся условия рациональности связанных с ним
величин. Во введении он дает историю этого вопроса.
Наиболее известным его открытием, имеющим значение
и поныне, является измерительный столик, называемый
mensula praetoriana. Он принимал также участие в рас»
четных работах при постройке альтдорфского водопровода
и шоссе из Альтдорфа до Нюрнберга [70].
Из бедной словацкой семьи происходил доктор меди-
цины Иржи Гениш из Бардеёва (1549—1618). С 1575 г.
он работал учителем математики, логики и риторики,
а с 1576 г.— директором гимназии в Аугсбурге. Наряду
с учительской деятельностью он был также хорошим
врачом и директором городской библиотеки. В 1600 г.
он издал каталог библиотеки. Кроме комментариев к тру-
дам старых писателей, работ по диалектике и риторике
и большого словаря Thesaurus linguae et scientiae germani-
cae, он написал De numeratione multiplicatere et recenti,
Augustae Vindelicorum (Аугсбург, 1605), Arithmeticae
perfectae et demonstratae libri Vll (там же, 1609), Kommen-
tarius in Sphaeram Procli Diadochi (там же, 1609), Compu-
tus ecclesiasticus cum Calendario et prognostica tempe-
starum ex ortu et occasu stellarum (там же, 1609) и De
Asse et partibus ejus (там же, 1616) [71L
Изобретением совместно с Тихо Браге простафайрети-
ческого метода вписал свое имя в историю математики
силезец Павел Виттих из Братиславы (ок. 1555—1587).
В начале восьмидесятых годов он был учеником и помощ-
ником Браге, а в 1584 г. уехал в Кассель к ландграфу
Вильгельму IV, где познакомил со своим новым методом
вычислений его астрономов, в том числе Бюрги. Оттуда
простафайретический метод быстро распространился среди
европейских астрономов и математиков [721.
Большие заслуги в тригонометрии имеет другой силе-
зец—Бартоломей Питиск из Грюнеберга (1561—1613). Он
496
ГВИДО ФЕТТЕР
был учителем, придворным капелланом и проповедником
в Гейдельберге. Пптиск вместе со своим земляком Абра-
гамом Скультетом из Грюнеберга (1566—1625), профессо-
ром богословия Гейдельбергского университета, издал ра-
боту Abraham Scultetus, Sphaericorum libri tres methodice
conscript! etc.; accessit de resolutione triangulorum tra-
ctatus brevis et perspicuus Bartholomaei Pitisci Gruneberg-
ensis (Гейдельберг, 1593). Здесь он впервые приводит
доказательство теоремы косинусов для произвольного угла
сферического треугольника. На основании этого Питиск
затем написал большую работу Trigonometriae sive de di-
mensione triangulorum libri quinque, Augustae Vindelico-
rum, 1600. В этой работе впервые появляется придуман-
ное, вероятно, Питиском слово «тригонометрия». В 1608 г.
вышел Canon triangulorum emendatissimus et ad usuin
accomodatissimus pertinens ad trigonometriam Bartholo-
maei Pitisci Grunebergensis Silesii. По примеру Виета
Питиск, вероятно первый в Германии, отделяет десятич-
ную дробь от целого числа точкой. Третье улучшенное
издание его книги вышло во Франкфурте на-Одере в
1612 г. Здесь Питиск подробно излагает идею Бюрги.
как свести вычисление синуса части данного угла к
алгебраическому уравнению, численное решение кото-
рого проводится с помощью правила ложного положения.
В 1613 г. выходит его Canon sinuum, tangentium et secan-
tium accomodatus ad trigonometriam Bartholomaei Pitisci
(Гейдельберг). Тригонометрическо-вычислительская дея-
тельность Питиска достигла своей вершины в работе The-
saurus mathematicus sive canon sinuum ad radium
1 000 000000 000000 etc. и Georgio Joachimo Rhaetico
supputatus et nunc primum in lucem editus (Франкфурт,
1613). Это — таблицы синусов и косинусов с шагом в 10".
Кроме этих работ, вышло еще сочинение Bartholomaei
Pitisci Grunebergensis problematum variorum nempe geo-
deticorum, altimetricorum, architektonicorum, geographi-
corum, gnomonicorum et astronomicorum libri undecim
trigonometriae subjuncti ad usum ejus demonstrandum
(Франкфурт, 1612) I73].
Дальнейшие заслуги в области вычисления логариф-
мов гониометрических функций принадлежат силезцу
КРАТКИЙ обзор развития matemat. в чешских ЗЕМЛЯХ 497
Бениамину Урсину (Behr) из Спротау (1587—1633). Он был
гофмейстером в Праге, где сблизился с Кеплером, которо-
му помогал при наблюдении звезд, затем был профессором
гимназии в Линце, где снова встретился с Кеплером и по-
могал ему при расчете Рудольфовых таблиц. С 1615 по
1630 г. был профессором гимназии в Берлине, где написал
свои логарифмические работы. Последние три года он был
профессором математики в университете во Франкфурте-
на-Одере. Вероятно, под влиянием Кеплера он оценил
роль логарифмов Непира. В 1618 г. Урсин издал в Кельне
на Шпрее Cursus mathematici practici volumen primum,
где сократил логарифмы Непира на два последних деся-
тичных знака; в том же году, там же, он издает Trigono-
metria logarithmica Iohannis Neperi, отбрасывая опять-
таки два последних знака. В 1623 г. он издал перевод
работы Неппра Rhabdologiae sive numerationis per virgu-
las liber unus etc., в 1624 г. большой Magnus canon trian-
gulorum logarithmicus (Кельн). Здесь он исправляет
ошибки, допущенные в непировых таблицах, дает значе-
ние логарифмов на один знак больше, чем у Непира,
и заменяет шаг 1' на 10". Необходимо отметить, что обо-
значение логарифма буквой L восходит к Урсину I74].
Упомянем еще Яна Лангера из Болькенгайна в Силезии
(1484—1548), астронома, профессора философии в Лейп-
цигском университете, пастора в Наумбурге, пастора и
суперинтендента в Кобурге, которому за астрономическо-
астрологический календарь на 1500—1530 гг. чешский
король Владислав 11 присвоил дворянство I75]; иезуита
Адальберта Богемского, вероятно, Войтека Боушека,
в 1561 г. профессора математики в Collegium Romanum
к Риме, который присудил ученую степень доктора Хри-
стофу Клавию I76]; Илью Салия из Горки в Чехии
(ум. в 1580), профессора математики и физики в Виттен-
берге [”]; доктора медицины Викторина Шенфельда из
ьудишина (1525—1591), профессора математики и меди-
цины в университете в Марбурге, который написал ряд
астрономическо-астрологических календарей [7В]; Да-
виДа Оригана (1558—1628), собственно Тост из Кладска,
п° национальности чеха, профессора математики и гре-
ческого языка в университете во Франкфурте-на-Оде-
32
Истор.-матем. исслед., выл, XI
498
ГВИДО ФЕТТЕР
ре, последователя системы Браге и автора ряда работ по
астрономии и астрологии Захариаша Теобальда из
Славкова у Локте на Огрже (1584—1627), священ-
ника в Крафтгофе у Нюрнберга, известного летописца
гуситского движения, незадолго до смерти избранного
профессором математики в Альтдорфском университете [ъи],
и иезуита Вацлава Панталеона Кирвитцера из Кадани
в Чехии (1588—1626), учителя математики в Штырском
Градце, а с 1618 г. миссионера в Индии, Китае и Японии,
откуда он посылал письма о своих астрономических наблю-
дениях [81].
Необходимо указать еще одного настоящего пражанина,
выдающегося художника и математика Вацлава Ямнит-
цера, или Емнитцера (1508—1585). В немецкой литературе
указывается, что он родом из Вены, причем ссылаются
на слова друга Ямнитцера Яна Неудёрфера, «учителя
правописания и арифметики» в Нюрнберге.
В своей хронике о нюрнбергских художниках он пишет,
что Вацлав Ямнитцер и его брат пригласили своих родите-
лей из Вены в Нюрнберг. Год рождения Вацлава Ямнит-
цера (1508) был обозначен на нескольких его портретах,
исполненных современниками. Семья отца, Яна Ямнитце-
ра, известного золотых дел мастера императоров Карла V,
Фердинанда 1, Максимилиана II и Рудольфа II, происхо-
дила, вероятно, из моравского городка Емнице (Ямнитц).
Зикмунд Винтер нашел в городском архиве Праги запись
о том, что Иоганнес Ямнитцер перед 20 января 1508 г.
купил себе на Градчанах в Праге дом. Этот Ян Ямнитцер
на Градчанах и поселился, так как в том же году бург-
граф назначил его градчанским консулом. В этой долж-
ности он упоминается еще в 1510 г. Если бы Вацлав Ямнит-
цер родился в Вене в 1508 г., когда отец Вацлава уже
осел в Праге (до 20 I 1508 г.), мать Вацлава была бы
вынуждена в первые недели после родов с крохотным
младенцем в январские морозы переезжать из Вены
в Прагу, что совершенно не правдоподобно. Правдоподоб-
нее, что Вацлав родился в Праге после 20 января 1508 г.
и поэтому-то его назвали чешским именем Вацлав. Здесь
он провел свое детство и в этом городе, полном памятников
искусства, он стал художником с мировым именем.В Нюрн-
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 49$)
берг он приехал, как пишет знаток его биографии Бер-
гау, только подмастерьем. Б число математиков мы его
включили потому, что он создал многочисленные матема-
тические инструменты, среди них особый прибор для изуче-
ния перспективы. Кроме того, в 1568 г. он издал в Нюрн-
берге работу Perspectiva corporum regularium. Здесь впер-
вые были изображены звездообразные многогранники [84s
В то время как чешский ученый мир, утопая в бесплод-
ных религиозных спорах, занимался, согласно духу вре-
мени, главным образом астрологией и теми предметами,
которые ей служили, т. е. астрономией и ее математиче-
ским вспомогательным средством — логарифмами, в более
широких слоях населения под влиянием практических нужд
и экономической жизни возрастал интерес к арифметике,
преподаваемой в школах, к экономическим расчетам,
к геометрии, необходимой в ремеслах и землемерии. В ма-
тематическую литературу наряду с латынью проникают
национальные языки, в чешских землях — чешский и не-
мецкий языки. Об этом свидетельствуют сохранившиеся
рукописи XVI и начала XVII столетий. Такие документы
имеются, например, в библиотеке Пражского университета,
в библиотеке Святовитской капитулы, в монастыре на Стра-
гове и в других местах. Так, мы находим копии рукописей
Себастьяна Мюнстера Anfang der Mathematicae или ариф-
метики Геммы Фризия и разные анонимные изложения
элементарной арифметики и геометрии. Особенно хорошо
поставлено было преподавание математики в школах
«чешских братьев». Например, в Иванчицах в Моравии
Езекиель Паулинус составил в 1580 г. на чешском языке
выдержки из арифметики Геммы Фризия (рукопись
14 К 84 в библиотеке Пражского университета) [83].
Характерно, что первые чешские начальные матема-
тические книги создавались прежде всего как учебные посо-
оия для учащихся и учителей средних школ. Поэтому они
содержат методические указания. Другой их целью было
способствовать образованию более широких слоев народа,
поэтому все примеры взяты из хозяйственной и практи-
ческой жизни, главным образом из торговли. В этих при-
мерах отражается образ жизни XVI века, вследствие чего
все эти книги являются не только документами историче-
32*
500
ГВИДО ФЕТТЕР
ского развития математики, но и развития культуры. Эти
книги относятся к периоду, когда в соседней Германии,
как грибы после дождя, стали появляться частные учителя
арифметики и их многочисленные учебники. Это доказы-
вает, что Чехия в области математики шла в ногу с дру-
гими странами Средней Европы.
Первая из таких книг Nowe knizky atd., 1530, была
написана Ондржеем Клатовскпм. Книга разделена на
четыре основных трактата. В первой части рассматривается
счет «с помощью цифр», т. е. счет так называемыми араб-
скими цифрами. Рассматривается, как было тогда при-
нято, семь арифметических действий: нумерация, сложе-
ние, вычитанпе, удвоение, деление пополам, умножение,
деление (numeraci, addici, subtrakci, duplaci, mediaci,
multiplikaci, divisi), арифметическая и конечная гео-
метрическая прогрессии, перевод одних мер (веса, денег,
времени и др.) в другие и тройное правило. Прогрессив-
ность Клатовского заключается в том, что хотя он и при-
водит удвоение и деление пополам, но тут же подчеркивает,
что выделять особо эти действия по существу излишне.
Вычисления он проверяет с помощью девяти и семи,
а также с помощью обратных действий. При умножении
объясняются разные способы дополнительного умножения,
которое предполагает знание таблицы умножения только
до 5x5. При делении дается неудобное деление «сверху»,
как было принято с давних пор (этот способ встречается
еще в немецком учебнике Лехнера в 1800 г.).
Во втором трактате разбирается счет «на линиях», т. е.
на вырисованном счетном приборе, пли «абаке» с чис-
ловыми жетонами, в третьем—основы счета с дробями.
Наконец, четвертый трактат «о различной покупа-
тельной способности» является сборником примеров из
повседневной жизни, главным образом торговли. Имеются
здесь и примеры на сложные проценты. В 1558 г. в Праге
вышло второе издание этой книги. Ондржей Клатовскпй,
настоящее имя которого было Шпмковпц пз Платов
в Чехии (1504—ок. 1551), являлся бакалавром искусств
и членом общества деятелей культуры, возглавлявшегося
чешским меценатом Яном Годесвским. В 1533 г. Кла-
товскпй становится жителем старого города Праги, за-
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 501
тем городским советником и бургомистром; он получил
также звание дворянина с добавлением «из Далмангор-
ста». Как противник императора Фердинанда I в
шмалкадской войне в 1547 г. он был выселен из Праги
и поселился в Оломоуце,
где жил на деньги, ко
торые зарабатывал уро-
ками. Из других работ
Клатовского довольно
часто издавались его ру-
ководства по чешскому
и немецкому языкам [8Д.
С уровнем изучения
математики в школах чеш-
ских братьев в первой
половине XVI века нас
знакомит книга Isagogi-
kon... Судя по предисло-
вию, автором ее является
Бенеш Оптат пз Тельче.
Согласно Благославу, со
стороны языковой авто-
ру помогал Петр Гзел пз
Праги. Оптат родился в
начале XVI столетия,
в 1520 г. стал за грани-
цей католическим свя-
щенником, но вскоре пе-
решел в протестантство.
В школу в г. Намешти
пришел он в 1530 г. Одно-
временно с ним в этой
школе работал и Гзел,
Титульный лист рукописи Ондржея
Клатовского l\ov6 kniyzkv atd. 1530
(из университетской библиотеки в
Праге 54 Е 108, Treson В, IV, 33).
страстный последователь
Оптата. Isagogikon вышел в Намешти в 1535 г., второе
издание—в Простеёве в 1548 г., а третье—в Праге
в 1589 г. В Isagogikon приводятся семь арифметических
действий. Нумерация изпагается прежде всего па латин-
ских «арифметических фигурах», т. е. па арабских циф-
рах, и позиционная система затем па чешских «арпфме-
502
ГВИДО ФЕТТЕР
тических фигурах», т. е. с помощью римских цифр
на линиях. Следующий способ учит счету на абаке. Только
при умножении говорится, что умножение на латинских
фигурах более быстрое, а затем он дает небольшую таб-
лицу умножения как пособие для умножения на линиях.
К семи действиям (т. е. нумерация, сложение, вычитание,
удвоение, деление пополам, умножение и деление), кото-
рые составляют, как говорит сам Оптат, арифметику,
он прибавляет еще, как восьмое действие, «прогрессию»,
т. е. примеры на суммирование арифметических прогрес-
сий с разностями 1 и 2 и геометрических прогрессий со
знаменателями 2 и 3. Затем он рассматривает простое
тройное правило, союзный счет, сложное тропное правило
с пятью членами и несколько примеров, решенных
рассуждением, как мы решаем словесное уравнение I85].
Более краткой является книга Иржи Брненского.
Магистр Иржи Брненский получил степень доктора в Вит-
тенберге в 1556 г., затем преподавал в Брно, в Усове
(Моравия) и в Праге, где в 1566 г. основал собственную
школу. Для своей школы он написал «Книжку, в которой
содержатся начальные арифметические знания, т. е. счет
на цифрах или линиях для ребят и людей купеческих»
(Knijzka, w nijz obsahigij se zadatkowe umienij arithmeti-
ckeho..., Прага, 1567). Кроме этой книги он написал
несколько нравоучительных и дидактических работ и издал
учебник латинского языка своего друга Матоуша Колина
из Хотержины. Арифметика Брненского отличается своей
прекрасной методической разработкой и хорошими ясными
указаниями, как решать примеры. Она разделена на два
трактата: «счет на линиях» и «счет на цифрах». В отли-
чие от Клатовского, он начинает со счета на линиях, по-
тому что этот метод был у нас в то время более распростра-
нен, чем счет арабскими цифрами. В городских книгах
пражского архива страницы нумерованы арабскими цифра-
ми, но это могло быть сделано позднее, хотя в отдельных
записях употреблялись римские числа. Особенно нужно
отметить, что Брненский первый в чешской печатной ра-
боте пользуется знаками -р и — [86].
Через десять лет после книги Брненского в Праге снова
вышла практическая арифметика на немецком и чешском
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 503
языках. Ее автором был Иржик Гоерл из Гоерлштепна,
первоначально Герле (конец первой половины XVI века
по 1588 г.), немец из Локте на Огрже. В 1566 и 1567 гг.
он изучил чешский язык у своего тестя Иржи Теплипкого
Титульный лист рукописи Isagogikon (1535)
Бенеша Оптата (из библиотеки Строгов-
ского монастыря, AG ХШ, 133).
в Литомержицах. Окончив латинскую школу, Гоерл посе-
лился в Праге и работал учителем арифметики. Видя, что
немецким гражданам, проживающим в Чехии, недоста-
точны заграничные немецкие учебники по арифметике,
которые не учитывали целый ряд чешских особенностей,
оерл издаст в конце 1576 г. в Праге Ein nutzlich und
504
ГВИДО ФЕТТЕР
kunstlich Rechenbuch auf der Federn sampt Unterrichtung
der Linien und Toilet... Durch Georgium Gehrle von Eln-
bogen, Arithmeticum & c. beschrieben MDLXXVII. Его
книга разделена на три части. В первой части насчиты-
вается только шесть действий. Счет на линиях объясняется
только применительно к нумерации и сложению, все осталь-
ные действия проводятся на цифрах. При делении делитель
ограничивается однозначными и двузначными числами.
От умножения на два и деления пополам автор отказы-
вается, о чем сообщает в четверостишии. Подробно описы-
ваются извлечение квадратного и кубического корней и так
называемое вычисление toilet, т. е. расчет содержания цен-
ного металла в каком-нибудь слитке. Вторая часть посвя-
щена «благородному и остроумному правилу алгебры,
обычно именуемому Косс». Экземпляры этого сочинения
были разосланы на места, где когда-то работал автор,
в Локту, Литомержицы и в Прагу. Третья часть содержит
разные примеры из купеческой жизни. Особенность этой
книги заключается в том, что для облегчения заучивания
правил они даются в стихах.
В 1577 г. Гоерл написал на чешском языке новую ариф-
метику, более обширную и совершенную под названием:
Arithmetica to gest Knijzka Pocentnij atd. (Арифметика,
t. e. книжка счета или умения считать на линиях и цифрах
в учреждениях и в хозяйстве, содержащая много полез-
ного). Второе издание этой книги вышло в 1597 г., тре-
тье — в 1610 г. Книга разделена на пять трактатов: 1) счет
на линиях, 2) счет на цифрах, 3) счет на дробях (во всех
трех первых трактатах рассматривается тройное правило);
4) правила размена денег, 5) правило ложного положения
с развлекательными примерами. В книге даны таблицы
обозначений перевода мер, веса и денежных единиц.
Опущены извлечения корня, алгебра и счет toilet. Вся книга
написана прозой. Основные арифметические действия из-
ложены подробно. Некоторые части являются дословным
переводом его же немецкой арифметики. В 1575 г. Гоерл
издал книгу об измерении винных сосудов, которую позд-
нее дополнил и выпустил под названием Vinatorium to gest
zprawa neb naucenij kterak se magij winohiadorowe meriti
atd. Книга эта содержит указания, как рассчитывать
КРАТКИЙ обзор развития matemat. в чешских ЗЕМЛЯХ 505
налог с виноградников, как измерять сосуды, рассчиты-
вать цену на вино, переводить различные единицы меры
на чешские [87].
Последним из чешских учебников по арифметике яв-
ляется книга Павла Шрама пз Будишова (Моравия),
изданная в 1615 г. в Оломоуце. К сожалению, со-
хранился один-единствен-
ный экземпляр и то с отор-
ванным титульным ли-
стом. Эта книга являет-
ся чешским переводом
немецкого варианта, вы
шедшего в 1609 г., но до
нас не дошедшего. Книга
делится на два трактата.
В первом довольно под-
робно излагаются счет на
линиях и тройное правило
с многочисленными приме-
рами. Умножение на два
и деление пополам автор
считает лишними. Во вто-
ром трактате излагается
счет на цифрах. Автор
рассматривает арифметиче-
ские п геометрические
прогрессии, дроби, трой-
ное правило для целых
и дробей и разные приме-
ры из торговли [88].
Расцвет экономики в
XVI веке потребовал со-
Титтльный лист рукописи Пржи-
ка Гоерла Arithmetica atd. (1577).
здания различных таблиц.
Е> сохранившихся рукописях XVI в. встречаются тао-
лицы процентов, таблицы умножения до 90 X100
И таблицы, необходимые прп обмене различных валют.
Из печатных работ необходимо отметить, наряду с ука-
занными выше книгами Гоерла, также работу праж-
ского учителя Яна Кобише из Бытышки в Моравии
(ок. 1540—1600): Spawa neb naucenij о merach Winnych
506
ГВИДО ФЕТТЕР
Suduw atd., 1574 (нечто вроде справочника об измерениях
вин, чтобы знать, какую сумму, за какой сосуд получить
можно, а также какой ежегодный налог чешскому королю
с каждого виноградника платить должно). Второе изда-
ние этой книги вышло в 1596 г. Кроме краткого изложения
прав виноградарей, в книге дан ряд таблиц для расчета
налога с вина, перевод различных денежных систем [8В].
В 1598 г. в Праге вышли на латинском языке таблицы
Вацлава Колидия, известные нам по описанию Вацлава
Петржилки Сушицкого, изданному в 1621 г., под назва-
нием: Knizka aneb tabule, w kterez se obsaguje, jakymi
auroky wedle narlzenf w kralowstwie Ceskem od desiti
tisfc a2 do gednoho gro§e mis, a to rozdilne od desiti let
porad az do gednoho tyhodne spocfsti se mohou atd. Это
простые таблицы расчета обложения налогами от одного
гроша до десяти тысяч и от одного дня до десяти лет
с 6-процентным начислением [90].
Кроме того, вышли таблицы на немецком языке, издан-
ные в Легнице в Силезии в 1620 г. Кашпаром Рихтером,
имевшим свою школу во Братиславе: Ein Newes und sehr
Nutzliches gerechnetes Bechenbuch, Darinnen allerley un-
terschiedliche vorfallende Notbwendige .Zinsz, Wechsel,
Taxa, Masckang, Anlog und Abtheil Baittungen zubefinden...
Gestellet und verfertiget Durch Casparum Bichter. Bur-
ger und Deutschen Schulhalter zu Bresslaw.
Необходимо также упомянуть об Яне Таборском из
Клокотской Горы (1500—1572). Он был писарем и со свои-
ми помощниками переписывал и разрисовывал книги.
Он занимался в университете астрономией, кроме того, от-
ремонтировал и усовершенствовал знаменитые башенные
астрономические часы (orloj) в Праге и заботился об их
исправности [®Ч.
Как мастер астрономической аппаратуры, прославился
известный писатель-путешественник Ольдржих Префат
из Влканова (1523—1565) [®2].
Подъем экономической жизни, налоговое дело и осо-
бенно растущее рыбоводство — разведение прудов — тре-
бовали подготовки опытных землемеров. Многочисленные
пруды в Чехии п так называемый «Золотой канал» пзме-
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 507
рил рыбовод Штепанек Нетолицкий в 1513—1531 гг.
Особая заслуга в разведении прудов в южной Чехии при-
надлежит владельцу рожмберского имения Якубу Крчину
из Елчан (ум. в 1604) [83].
Первым известным нам землемером Чешского королев-
ства был математик, художник Матоуш Орныс из Линд-
перка (ок. 1530 — ок. 1600), который стал землемером
в 1570 г. I84]. О землемере Иржике Гоннете мы знаем
благодаря Вацлаву из Бржезан, который пишет, что Гон-
нет в 1587 г. измерил пруд в Таборске I85]. В 1594 г. Адам
Вольф в одной рукописи указывал, как управлять име-
нием и, кроме того, дал описание землемерных работ [86].
Бржезан пишет о работе художника и землемера Матиаша
Навек (ум. в 1599), который измерил и сделал карту
рожмберского, крумловского и других имений [87].
Значительно больше сведений сохранилось о преемни-
ке Орныса в Землемерном управлении, художнике Ши-
моне Подольском из Подоли, родом из Оломоуца в Моравии
(1562—1617). Он измерил и перенес на карту император-
ские владения Крживоклат, Добржиш, Збиров, Кралув
Двур и Точник. По приказу земского сейма в 1617 г. он
написал книгу под названием: Knizka о mfrach zemskych
a vysvetleni atd. (Книжка об единицах измерения земли
и объяснение, с какого времени измерения земли в чеш-
ском королевстве свое начало имеют). Книга была напеча-
тана только в 1683 г., второе издание в 1823 и третье —
в 1883 г. Книга была переведена на немецкий язык.
Подольский приводит историю возникновения измерений
в Чехии, начиная с 1022 г. По приказу короля в 1611 г.
Подольский сделал план Старого и Нового города Праги [88].
Значительно больших знаний в области геодезии требо-
вали измерения горных штолен. С ростом шахт в XVI в. раз-
вивается и шахтная измерительная техника. О достиже-
ниях в этой области сообщает нам Георг Агрикола (Бауер)
из Глаухау (1494—1555) в своей много раз издававшейся
и переведенной на другие языки книге: De re metallica,
вышедшей впервые в 1530 г., и в других работах. С 1527
ио 1531 г. он работал врачом в Яхимове в Чехии [").
Немало было сделано в области картографии чешских
земель. Богу слав Гасиштейнский из Лобковиц в своей
508
ГВИДО ФЕТТЕР
работе Lucubrationesoratoriae, изданной в 1563 г., приводит
письмо М. Коллина, который пишет, что вышли две карты
Чехии, но они не совсем точны. Карта же доктора Тадеаше
Гайка из Гайки значительно лучше. Первая карта Моравии
была создана королевским математиком, астрономом и
личным врачом короля Павлом Фабрицием из Лаубана
в Горных Лужицах (1519—1588), который являлся также
автором астрономических работ [10°].
Таково былр положение математики в чешских землях,
когда ее многообещающее развитие было насильственно
приостановлено катастрофой, связанной с Белогорской
битвой 8 ноября 1620 г. Месть Габсбургов и ужасы 30-лет-
ней войны уничтожили значительную часть чешского
народа. Культурная жизнь и, в частности, математика
пришли в упадок. Но постепенно чешский народ пробу-
ждался от столетнего сна к новой жизни и в тяжелых боях
завоевал себе свободу для нового культурного подъема.
ЛИТЕРАТУРА
1. Q. Vetter, Matematicke znalosti obyvatelstva ceskych
zeini v dobe prehistoric ke (Matem. ve Skole, IV, 1954, 189 —194).
2. Ft. ProSek, Vyzkum palaeoliticke stanice Barca II
(Archeol. rozhledy, V, 1953, 3—11).
3. K. A bso 1 о n, Vyzkum diluvialni stanice lovcfi mamutfi
v Dolnich Vestonicich na Pavlovickych kopcich na Morave (Studio z
oboru vjeobecue krasove nauky vedecke speleologie doby ledove
a sousednich oboru, paleoethnologicka serie, c. 7, 1—37); G. S a r-
ton, Praehistoric arithmetic in Vestonice (Isis, XXVIII, 1938,
462—463); K. A b s о 1 о n a R. C z i i e k, Palaeolithicky vyzkum
]eskyne Pekarny na Morave, 3. zprava za rok 1927, 48; C. Ley e-
r e r, Eine мissenschaftliche Betrachtung fiber das Kerbholz (Sudeta,
N. F., I (1939/40), 82—100); Его же, Urform des Rechnungsve-
sens (Tagesbote, Briinn, Morgenblatt 26/3, 1937, 9); J. Skutil,
Z dokladfi nejstarSiho poznani a vedomi nekterych geometricko-mate-
matickych hodnot (Rukopis).
4. Jar. Bohm, Kronika objeveneho veku, 1942 и следующие
работы Alb. Stocky: Cechy v praveku (1923), Cechy v dobe
kamenne (1924), Pravek zeme ceske (1926), Cechy v dobe bronzove
(1928), Cechy v dobe Eelezne (1933), La Boheme a Page de pierre
(1924), La Boheme a Page du fer (1933).
5. J. Boh m, цит. соч.; J. M a n n s b a r t h, Uiiti Pytha-
gorovy vetv u pravekvch staveb vc stfedni Evrope (Cas. Nar. Mus.,
CXV, 1946; 13—16).
6. J. I.. Pic, StaroZitnosti zeme ceske, т I, вып. 1, 1899;
VV. L i e t z m a n n, Friihgeschichte der Geometrie auf germanischeni
Boden, 1940.
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМТЯХ 50Й
7. J. S k u t i 1, Nalez «bromovelio kamene» s obrazem komety
z Trebidska (Od Horacka к Podyji, XIII, 1937, 14—16) и частное
письмо; J. Fiscber, Astronomicka kresba z doby kamenne (Hi-
§e hvezd, XXXIII, 1952, 134—136); H. Slouka a spolupracov-
nici, Astronomie v Ceskoslovensku, 1953, 33.
8. J. Boh m, цит. соч.; A. Stocky, цпт. соч.
9. Q. Vetter, Nalez ciselnych znacek z doby bronzove
(Matein. ve gkole, V, 1955, 432—434); Устное сообщение сотрудников
Археологического института Чешской Академии наук в Праге;
д-ра Л. Гайка, д-ра II. Кабата и д-ра Фр. Прошка.
10. См. цит. соч.: J. Bohm, A. Stocky, J. L. Р £ с (т. I,
выв. 2, табл. XXVII, рис. 18).
11. J. L. Р £ с, цпт. соч., т. II, вып. 2, табл. X; вып. 3,
табл. XXXIX, рис. 6 и табл. LIV, рис. 12.
12. J. Bohm, цит. соч.
13. Q. Vetter, Jakematematicke znalosti si prinesli Cechove
ze sve slovanske pravlasti (Matem. ve Skole, IV, 1954, 262—264);
Q. Vetter, Matcmatika v naSich zemlch od prlchodu Cechfl do
zaloJenl university (там же, _V, 1955, 76—82).
14. Vacl. Novotny, Ceske dejiny, т. I, ч. 1, 146 и си.
15. Jos. J ungmann, Slovnik cesko-nemecky, 1835;
Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, 1946.
16. Jos. Holub — Fr. К о p e с n у, Etymologicky slovnik
jazyka ceskeho, 1952; K. Menni nger, Zahlwort und Ziffer,
1934; F. M i k 1 о s i c h, Etymologisches Worterbuch der slavischen
Sprachen, 1886.
17. См. [161 и Lietzmann, цит. соч.
18. V. Novotny, цит. соч. (т. I, ч. 1).
19. F. g u j a n, Skolstvi za Mojmirovcu 830—906 (Vestnik
ceskych profesorfl, XIV, 1907, 23—26).
20. Jan Saf ranek, Za ceskou osvetu, 1898; V. Novot-
ny, цит. соч.; Б. В. Гнеденко, цит. соч.
21. Kniha о rodu a utrpeni svateho kniiete Vaclava, pfel. a kriti-
ckym doprovodem opatfil. Jos. VaSica, 1929, 10, 45—49.
22. V. Novotny, цит. соч.
23. J. Simak, Kronika ceskoslovcnska, 1921, I, 205, 347 и
427; V. Novotny, цит. соч., т. I, ч. Ill, 1000; A. S e d 1 a с e k.
Pameti a doklady о staroceskych mirach a vahach, 1923, 156.
24. Vikt. Katz, Tisic let ceske vladni mince, 1932.
x v 25- Q. Vetter,! yvoj statistiky v Cechach (Statisticky obzor,
XXIX," 1949, 418—425); Q. Vette r, L’evolution de la statistique
en Boheme (Actes du V-e Congres d’Histoire des Sciences, I, 685—696).
26. F. J. Lehner, Dejiny umeni naroda ceskeho, т. I, в. 3, 228.
r 27. Ant. Friedl, Iluminace Gumboldovy legendy о sv.
' aclavu ve Wolfenbiittelu, 1926.
28- F. I. Lehner, Ceska Skola malirska XL veku, 1902;
Ч- letter, Geometric a ceske vytvarne umeni od konce XL do
konce Xn. stoleti (Veda a givot, 1945 , 304 305); Q. Vetter,
es origines de la geometric et la perspective en Boheme (Actes du
-e Congres Intern. d’Histoire de Science, 1947, 231—240).
510
ГВИДО ФЕТТЕР
29. Ant. М a t 0 j ё е к, Velislavova bible a jeji misto ve vyvoji
kni£ni ilustrace goticke, 1926; Ant. M a t e j c e k, Passional abatyse
Kunhuty, 1922; Zdenek Wirt h, Dejepis vytvarneho umeni v
Cechach, 264.
30. Ferd. Ta dra, Kulturni styky Cech, s cizinou ai do valek
husitskych, 1897; Fr. Kaderavek, Geometrie a umeni v dobach
minulych, 1935.
31. Fr. T e p 1 y, Prispevky к dejinam rybnikafstvi (Publikace
minist. zemedelstvi, 1937, 11).
32. Jan. Dubravius, Depiscinisetpiscium... naturis, 1559.
33. J. T e p 1 у, цит. соч.; Ivan H о n 1, Podatky Ceskeho
zememerictvi do poloviny XIV veku (Spisy odboru Ces. spolecnosti
zemepisne v Brne, rSda B, c. 9, 1—8).
34. V. Novotny, цит. соч., т. I, ч. 3, 172, J90, 638, 879; Jan.
Saf r anek, Za deskou osvetou; Его же, Skoly ceske, 1913.
35. Q. Vetter, О nejstarSich aritmetickych a geometriekych
rukopisech v Narodni a universitni knihovne v Praze (Mat. ve skole,
IV, 1954, 109—112; Q. Vetter, Sur quelques plus anciens manus-
crits mathematiques de la Bibliotheque Nationale et Universitaire de
Prague (Archives internal. d’Hist, des Sciences, VII 1954, 119—120).
36. V. F 1 a j § h a n s, Klaret a jeho druzina, I (Sbirka pramenu
к poznani literarnino Eivota v Cechach, na Morave a ve Slezsku, sk.,
I, r. 1, c. 1, 1—30); В. R у b a, Nove jmeno mistra Klareta (Vestn.
Krill. ces. spol. nauk, tr. 1, с. V, 1913).
37. J. Hartmann, Die astronomischen Instrumente des
Kardinals Nikolaus Cusanus (Ahhandlungen der kon. Gesellschaft
d. Wissensch. zu Gottingen, math. phys. KI., N. F., X, Nr. 1);
F. Mar x, Verzeichnis der Handschriften—Sammlung des Hospi-
tals zu Cnes, 1905.
38. St. V у d r a, Historia matheseos in Bohemia et Moravia
cultae, 1778; Jos. S m о 1 i k, Matematikove v Cechach od zaloieni
university pra2ske, 1864; Liber decanorum facultatis philosophicae
universitatis pragensis ab anno 1367 usque ad annum 1585 (Monumenta
historica universitatis pragensis, 1830); V. V. T о m e k, Deje uni-
versity praiske, 1849; Его же, Geschichte der Prager Universitat,
1849; Q. Vetter, gest stoleti matematickeho a astronomickeho
ufieni na universite Karlove v Praze (Vestn. Kral. Ces. spol. nauk, tr.
mat.—prir., 1952, с. XIV); V. H a n к a, Alter Katalog der prager
Universitatsbibliothek (Verb. d. Ges. des vaterl. Museums in Bohmen,
1840, pril. D, 65—76); Q. V e t t e г, О nejstarSich aritmetickych
a geometriekych rukopisech atd. (Mat. ve Sk., IV, 1954, 109—112).
39. St. V у d г а, цит. соч., 11; J. S m о 1 i к, цит. соч., 10;
J. Fl. Hammerschmid, Prodromns gloriae Pragensae,
1723; Fr. Prochazka, De saecularibus liberalium artium in
Bohemia et Moravia fatis commentarius, 1782—1788; Prokop L u p a c
z Hlava6ova, Rerum bohemicarum ephemeris, ke dni 22/6 1445;
J. Vice k, Dejiny literatury ceske, 233; G. S a r t о n, Intro-
duction to the history of science, III, 1712 и др.; G. G e 1 1 n e r,
Jan. Cerny a jini naSi lekafi do konce doby jagellovske (Vestn. Kral.
6es. spol. nauk, tr. filos.-hist., 1934, 6. Ill, 129—131).
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 5Ц
40. J. Smolik, цит. сот., 6; Liber decanorum etc., 49, 56,
77, 83, 92, 108, 126; Н. Н а п к е 1, Zur Gescbichte der Mathematik
im Altertum und Mittelalter, 1874, 355—357; M. Cantor, Vorle-
sungen fiber Gescbichte der Mathematik, II, 140.
41. J. Smolik, цит. соч., 10.
42. В. Dudik, Handschriften der Ffirstl. Dietrichsteinischen
Bibliothek, 75.
43. Liber decanorum etc.; V. V. T о m e k, Deje univ. pra£.;
St. V у d г а, цит. соч., 12; Jos. J u n g m a n n, Historie literatury
Ceske, 1869, 76, 77, 179; Jos. Smolik, цит. соч., 11—14; G. G e 11-
n e г, цит. соч.,; G. Sarton, цит. соч., Ill, 1048, 1114,
1167, 1176, 1207, 1239, 1322; Zd. N e je dly, KriSt’an z Prachatic
(Ottiiv slovn. naucny, XV, 187—188), с обширной литературой.
44. Q. Vetter, О nejstarSich... rukopisech и т. д.
45. Jos. Smolik, цит. соч., 12—13; Fr. Jos. StudniCka,
Ober den Algorismus KriSt’ans von Prachatic (Vestn. Kral. des. spol.
nauk, tr. mat.-prir., 1892, 100—104); Fr. Jos. Studnicka,
Algorismus procaycus magistri Cristanni anno fere 1400 scriptus
(Там же, 1893, с. VI, 1—14); Job. T г о p f к e, Gescbichte der
Elementar-Mathematik, I, изд. 2, 117—118.
46. G. G e 1 1 n e г, цит. соч., 155—161 (с обширной литера-
турой).
47. См. цит. соч.: Liber decanorum и т. д.; _J. Smolik;
G. G е 1 1 n е г; St. V у d г a; Q. V е 11 е г, Sest stoleti и т. д.
48. St. Vydra,. цит. соч., 14; Poggendorlf’s biogr. litter.
Handworterbuch, II, 1009; M. Cantor, Цит. соч., II, 391;
К. С и р г, Z dejin matematiky v zemy moravsko-slezske (Inaugurace
rektora na Ces. techn. v Brne (1933, 25).
49. Цит. соч.; St. Vydra, 16; G. G e 1 1 n e r, 127.
50. Cantor, цит. соч., II, 228—251.
51. Z. Winter, 0 Eivote na vysokych gkolach prafekych
(в двух книгах); Vacl. NeSpor, Dejiny university Olomoucke,
1947; St. Vydra, цит. соч., 37.
52. Цит. соч.: St. V у d г a, J. S m о 1 i к; Q. Vetter, Sest sto-
leti..., 8—10.
53. St. Vydra, цит. соч., 25—28; J. Smolik, цит. соч.,
57—77; Q. Vetter, TadeaS Hajek z Hajku (RiSe hvezd, VI, № 6);
Его же, О TadeaSi Hajkovi z Hajku (Zememer. vestnik, 1926,
№ 2); E г о же, Poznamka к astronomicke cinnosti TadeaSe Hajka
г Hajku (Cas. Ces. mus., XCI, 330.); Его же, Rapporto sulle
lettere indirizzate al Dottor Taddeo Hagecio de Hayek, astronomo,
medico e matematico ceko, conservate a Breslavia (Atti del Congr.
internaz. matem. di Bologna, VI, 499); H. Bosmans, Le fragment
ducommentaire d’Adrien Romainsurl’algebre de Muhammedben Musa
al-Chovaresmi (Ann. de la Soc. scient. de Bruxelles, XXX, part. II).
54. St. Vydra, цит. соч.; J. Smolik, цит. соч.; Q. V e t-
*' e r> Sest stoleti...; H. Slouka a spolupr., Astronomie v Cesko-
slovensku, 1952; Poggendorff, цит. соч., I, II; E. Koch,
Scultetica (Nenes Lausitzer Magazin, XCII); Kniha pamatni na sed-
misetlete zalogeni Ceskych kriiovniku s cervenou hvezdou, 1933, 164
512
ГВИДО ФЕТТЕР
и 185; А. Н г и § к a, Vltaxotynske Musy (Nar. Politika, 10/1,
1945); V. J. N о v a c e k, Martin Horky, cesky hvezdar (Cas.’
Ces. mus., 1889, 389—400); К. C upr, Z dejin matematiky...
55. M. P e 1 z 1, Abbildungen der bohmischen und mahrischen
Gelehrten, III, 10; J. Smol i к, пит. соч., 84; M. Grunwald,
David Gans, ein Prager Chronist des 16. Jahrh. (Mitth. des Vereines
file Geschichte der Deutschen in Bbhmen, XXVII, 1889, 279—282).
56. M. Cantor, цит. соч., II, 600—603.
57. M. Canto г, там же, 553—555; D. E. Smit h, His-
tory of mathematics, I, 323—324.
58. О 11 u v slovnik naueny; см. заглавное слово: Habermehl.
59. J. S m о 1 i к, цит. соч., 86—95; M. Cantor, цит. соч.,
II, 456, 604, 642—643, 721; J. Tropfke, цит. соч., V, 62, 82,
109, 110, 140; F. J. StudniCka, Bericht iiber die vom Custos
J. Truhlar in der Prager Universitatsbibliothek entdeckten Sinus—
Tafel Tycho Brahe’s (Sitz d. kon. Ges. d. Wissensch. in Prag, 1899,
XXIX); Tycho Brahe, Brevissimum planimetriae compen-
dium, ed. F. J. Studnicka, 1908; T у c h о Brahe, Triangulorum
pianorum et sphaer. praxis arithm., ed. F. Studnicka, 1880; J. G.
Bohm, Uber ein in Prag befindliches Original—Manuscript Tycho
Brahe’s (Sitz. d. kon. Ges. d. Wissensch. in Prag, 1862, 104—107);
H. Bosmans, La trigonometric de Tycho Brahe (Rev. d. quest,
scient. (2), XX, 585—601; J. L. E. Dreyer, Tycho Brahe’s
Manual of Trigonometry (The Observatory, XX, 1916, 127—131).
60. Цит. соч.: M. Cantor, II, 593, 598, 604, 626, 642, 648,
649, 6a4; J. Smolik, 95; Poggendorff, I.
61. J. Smolik, пит. соч., 108—112; Paul Rossnagcl,
Johannes Keplers Weltbild und Erdemcandel, 1930; J. P 1 a s s-
m a n n, Johannes Kepler und seine Werke, 1930; Poggen-
dorff, цит. соч., I; M. Cantor, цит. соч., II; 662—665, 708;
J. Tropfke, цит. соч., I, 34, IV, 53, VI, 141, 151, 152, 161;
E. W о h 1 w i 1 1, Die Prager Ausgabe des Nuncius sidcreus (Bibl,
math., 1887, 100—102).
62. M. Cantor, цит. соч., II, 654.
63. E. V о e 1 I m y, Jost Biirgi und die Logarithmen (Beihefte
zur Zeitschr. Elemente der Math., Nr. 5); M. Cantor, цит. соч.,
II, 617—619, 643—646, 691, 725—729; J. Tropfke, цит. соч.,
I, 87, 143, II, 172—178, 206; Benj. В r a m e r, Apollonius cattus
etc., 1684, фронтиспис.
64. См. цит. соч.: E. V о e 1 1 m y; Poggendorff, I;
M. Cantor, II, 691—693, 725; Benj. В r a m e r, Bericht
und Gebrauch eines Proportional Lineals etc., Marburg, 1617.
65. Allgem. deutsche Biogr., XIV, 456; Poggendorff,
цит. соч., I, 1196, III, 456.
66. См. цит. соч.: Poggendorff, I; Algem. deutsche Biogr.,
XXIX, 571; M. Cantor, II, 424—429; J. Tropfke, I и II
на разн. страницах.
67. St. Vy dr а, пит. соч., 20—25; Jos. Smolik, Cyprianus
Leovicius a Leovicia (2iva, XI, 1863, 74—79); Allgem. deutsche
Biogr., XVIII, 417.
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ MATEMAT. В ЧЕШСКИХ ЗЕМЛЯХ 513
68. См. цит. соч.: Allgem. deutsclie Biogr,XXV, 539, М. Can-
tor, II, 609; J. Tropfke, I, 41; Boquet, Histoire de
1’astronomie, 274—275.
69. Allgem. deutsclie Biogr., XXIII, 340; Poggendorff,
цит. соч., II.
70. Allgem. deutsche Biogr., XXVI, 519—520 и цит. соч.:
M Cantor, II, 589—590, 619, 700—701; J. Tropfke, I,
88, IV, 123, V, 96.
71. Alexis H о r a n у i, Memoria Hungarorum et Provincialium
scriptorum, 1795, III, 96; Allgem. deutsche Biogr., XI, 750; Pog-
gendorff, цит. соч., I.
72. Allgem. deutsche Biogr., XLIII, 637 и цит. соч.: M. Can-
tor, 11,642—643; J. Tropfke, V, 62.
73. Allgem. deutsche Biogr., XXVI, 204 и цит. соч.: M. Can-
tor, II, 603—604, 619, 646—647; J. Tropfke, I, 143, V, 30,
125, 141, 183.
74. Allgem. deutsche Biogr., XXXIX, 365 и цит. соч.: Pog-
gendorff, II; M. Cantor, II, 739; J. Tropfke, II,
178, 180, 208, III, 116.
75. Poggendorff, цит. соч., I.
76. St. V у d г а, цит. соч., 28.
77. Poggendorff, цит. соч., II.
78. Allgem. deutsche Biogr., XXXII, 303; Poggendorff,
цит. соч., II.
79. Allgem. deutsche Biogr., XXIV, 422; Poggendorff,
цит. соч., II.
80. St. V у d г а, цит. соч., 42; Allgem. deutsche Biogr.,
XXXVII, 682—684.
81. St. V у d г а, цит. соч., 41; Poggendorff, цит.
соч., I; Sommervogel, Bibliotheque de la Comp. .1 esus, IV,
1084.
82. G. W. K. L о c h n e r, Des Johann Neudorfer, Schreib- und
Rechenmeister, zu Nurnberg (Nachrichten von Kiinstlern und Werk-
leuten daselbst aus dem Jahr 1547, 96); Job. Gabr. Doppelmayr,
Historise.he Nachricht von den Nilrnbergischen Mathematicis und
Kiinstlern, 1730, 205—206, табл. XIV; В e r g a u, Wentzel Jamnit-
zer’s Entwurfe fiir Prachtgefasse, предисловие; Marc Rosenberg,
Jamnitzer; Allgcm. deutsche Biogr., XIII, 691—692; Zikm. VV i n-
t e r, Slavny Jamnitzer Praian? (Zvon, V, 1905, 589—590); M. C a n-
t о г, цит. соч., II, 582.
83. Jos. J ungmann, Historie literatury ceske, 171, c. 744.
84. Там же, 170; St. _Vy d г а, цит. соч., 18—19; J. S m о 1 i к,
цит. соч., 38—54; Jiri Straus, О nejstargich ceskych po£etnicich
(Mat. ve Skole, IV, 1954, 253—262).
r 85. Jos. J ungmann, цит. соч., 124, б. 4; Std. (S t u d n i-
tk a), BeneS Optat z Telce (Gas. pro pest. mat. a fys., I, 1872, 215—
^16); Q. V e t t e r, Nektera «Rara mathematical» v praiskych knihov-
Hac~ (Sborn. pi’irodov. Ceske Academie ved a umeni, 1929, VI);
К. C u p r, Z de jin matematiky atd., цит. соч., 24; Jiri Straus,
Пит. соч., 256; Ottiiv slovn. naufiny, X, 673, XVIII. 828.
>*>
° Истор.-матем. исслед., вып. XI
514
ГВИДО ФЕТТЕР
86. См. цит. соч.: Jos. J ungmann, 170, с. 741; Jos. S m o-
1 i k, 52—55; К, C upr, 24—25; Jiri Straus, 260—262.
87. См. цит. соч.: St. Vydra, 85; Jos. J ungmann, 170
c. 743; Jos. Smolik, 96—104; Q. Vetter, Jii-ik Goerl z
GoerlSteyna a Georg Gehrle von Elnbogen (Spisy pi’irodov. fakulty
University Karlovy, 1929, № 94); Q. Vetter, Nektera «Нага»
atd., 24.
88. Sramova po£etnice в библиотеке Нац. музея в Праге; Jos.
Jungmanu, цит. соч., 171, ё. 746; Q. Vetter, Nektera
«Нага» atd. 3; К. С и р г, цит. соч., 31.
89. J os. J ungmann, цит. соч., 170, с. 742; Jos. Smolik,
цит. соч., 55—56; Q. Vetter, Nektera «Нага» atd., 29, с. 119;
К. Сир г, цит. соч., 25; Jiri S t г a us, Prakticky spis z obom
na§i matematiky ze XVI. stol. (Mat. ve Skole, IV, 518—522).
90. Jos. J ungmann, цит. соч., 283, ё. 505; Jos. S m o-
1 i k, цит. соч., 104.
91. St. Vydra, цит. соч., 94; Jos. Smolik, цит. соч.,
50; Jos. T e i g e, Jan Taborsky z Klokotske Ногу a jeho Zprava
о orloji Staromestskem (Cas. prat, staroiit. ёев., IX, 1— 19,
65—90).
92. St. Vydra, цит. соч., 19; Jos. J ungmann, цит. соч.,
163, 614 ё. 643,.
93. Jos. P e t r i k, Zememerictvi a zememefiei v 16. a 17.
stoleti (J. B. S t r a ns ky, Z vyvoje ёеякё technicke tvorby, 61- 64);
G. Vejgicky, Vyvoj zememerictvi v Cechach (Там же, 56- 60);
Ivan H о n 1, Zememerictvi ve sluibach komory v dobe vlady Ru-
dolfa II. a na po5atku vlady MatyaSovy, Brno, 1939; J. V. N о v a-
cek, Jakub Krcin z 1е1ёап (Koruna ёеэка, VII); Vacl. Schulz,
Jakub Krein z Jelcan (Cas. Ces. mus., 1913, 384); Theod. Wagner,
Ein bohmischer Teich-und Land wirth im 16. Jahrlr (Mitt. d. Vereincs
der Deutschen in Bohmen, XIV, 1881, 245—265).
94. Jos. Petrik, MatouS Ornys (Zememer. vestn., XIX,
1931, 129).
95. Vacl. В r e z a n, Zjivot Petra Voka z Roimberka (Staroc.
bibl. V, 114).
96. Рукопись библиотеки Земского музея, шифр IV с 11.
97. Vacl. В г е z а п, цит. соч., 184.
„ 98. Jos. Smolik, цит. соч., 105—108; Jos. Petrik,
Simon Podolsky z Podoli (Zememer. vestn. XX, 1932, 30—31); Jos.
T e i g e, Kvydani ncjstarSiho planu Stareho Mesta Pra^skeho (Cas.
Spolku pfatel staroMtnosti ёезкусЬ, XVIII, 6—10).
99. Fr. Cechura, Drobne erty z dejin dulniho merietvi u
nas (J. B. S t r a n s к у, цит. соч.. 65—68); W. Leroy, Georg
Agricola (Unterrichtsbl. fur Math. u. N'aturw., XXXIV, 358—359).
100. Poggendorff, пит. соч.г I, 711; F. Boquet,
Цит. соч., 341; К. Kucha r, Fabriciova тара Moravy z r. 1569
(Shorn, csl. spol. zemepisne, XXXVII, 1931, 150—164).
t
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В РУКОПИСНОМ
НАСЛЕДИИ БОЛЬЦАНО *)
Карел Кыхлик
Введение
Многие теоремы о вещественных числах содержатся
в ранее изданных трудах Б. Больцано. Это относится
к его первым работам по анализу: «Теорема о биноме...»* 2),
«Чисто аналитическое доказательство...»3), а особенно к
«Учению о функциях»4 *). Последняя работа, опубликован-
ная спустя много лет после смерти автора (впервые
в 1930 г.), содержит ссылки на различные места в его
неизданных еще рукописях.
Настоящая статья содержит обзор рукописи «Теория
бесконечных числовых выражении и понятий»)6, в которой
Больцано делает попытку систематически построить тео-
рию вещественных чисел. Тем самым понятия, встречаю-
*) Перевод с немецкого А. И. Лапина.
2) В. Bolzano [2] (литература приведена в конце статьи).
3) В. Bolzano [»].
4) В. Bolzano [*].
6) Эта работа образует часть обширной рукописи Б. Больцано
«Учение о величинах» (GroBenlehre), которая хранится в Нацио-
нальной библиотеке в Вене. В архиве Чехословацкой Академии
наук находятся ее фотокопии, сделанные М. Яшеком (М. JaSek).
Рукопись относится примерно к 1830—1834 гг., как это установил
Э. Винтер по письмам Больцано к его ученикам Феслю и Пржигон-
скому (см. Е. Winter [«], гл. V, 12).
По поручению первого отделения Чехословацкой Академии наук
я занимаюсь составлением копий ранее не печатавшихся рукописей
Больцано.
33*
516
КАРЕЛ РЫХЛИК
ЩИеся в его «Учении о функциях», получают объяснения;
таким образом выявляется происхождение многих при-
веденных там теорем.
Обзор главных определений и теорем
Бесконечное числовое выражение и понятие (§ 2), 21).
Измеримое число (§ 6), 3.
Бесконечно малое положительное и отрицательное
число (§19), 7.
Бесконечно большое положительное и отрицательное
число (§ 24), 8.
Канторовские последовательности (§ 49), 19.
Равнозначные (равные) числовые выражения (А=В)
(определение равенства вещественных чисел). Когда
В больше А (В > А) или А меньше В (Л < В) (§ 50), 22.
Трихотомия А=В, А < В, А > В (§ 68), 27.
Теорема Архимеда (§ 69), 28.
Множество вещественных чисел! всюду плотно (ран-
tachisch) (§ 74), 29.\
Основы метода исчерпывания (§ 87), 34.
Теорема Коши—Больцано (§ 102), 45.
Теорема Больцано—Бейерштрасса (§ 104), 46.
Предложение, напоминающее теорему Дедекинда
(§ Ю5), 47.
Больцановская теория вещественных чисел
1. Больцано замечает, что рациональные числа могут
быть определены с помощью выражения, содержащего
конечное число рациональных операций (сложение, вычи-
тание, умножение и деление), над действительными
(wirkliche) числами (т. е. над натуральными числами
(§ 1)). После этого должен быть рассмотрен случай, когда
число рациональных операций бесконечно.
2. Выражение, в котором встречается бесконечное
число рациональных операций над действительными числа-
ми, Больцано называет бесконечным числовым выражением.
*) То есть § 2 больцановской рукописи, раздел 2 этой статьи.
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
517
1111
Примеры. 1 + 2 + 3 + ...; --g — jg
3. Среди этих числовых выражений найдутся и такие
S, что для некоторого натурального числа q можно опре-
делить целое число р так, чтобы имели место равенства
S = f + A и £ = ±±1_/>2, (1)
где 1\ и Р2—бесконечные числовые выражения, причем
Рг—неотрицательно, а Р2—положительно (§ 5).
Пример. 5 = 0 + , гДе а и b — целые
рациональные числа.
В этом случае Больцано говорит (§ 6), что бесконеч-
ное числовое выражение S можно приближенно опреде-
лить или измерить с точностью до — . Дробь — Больца-
но называет измеряющей дробью, а дробь ---ближай-
шей большей дробью для S.
Но может случиться, что для S уравнения (1) выпол-
няются для произвольного q, еслп только р выбрано над-
лежащим образом. Тогда Больцано говорит, что S может
быть определено или измерено с любой желаемой степенью
точности. Выражение S будет тогда называться измери-
мым, в противном же случае неизмеримым. Выражение
Рг Больцано называет дополнением измеряющей дроби.
В частном случае, если /)1=0, так что S = -у > он назы-
вает измеряющую дробь полной или совершенной, либо
еще полной или совершенной мерой выражения S (§6).
4 х) «Каждое рациональное число является измери-
мым числом и для него можно указать полную меру; об-
ратно, каждое число, для которого можно указать пол-
ную меру, является рациональным числом» (§ 7).
*) Кавычки означают цитату из Больцано.
518
КАРЕЛ РЫХЛИК
5. «Если А измеримо, то и —А измеримо» (§ 8).
6. После этого следуют некоторые вспомогательные
теоремы (§ 9—17).
7. Среди бесконечных числовых выражений существуют
и такие, у которых измеряющая дробь для каждого q
равна нулю (§ 18).
Пример. = 1 +
Уравнения (1) имеют тогда вид 5 = /Ji= —— Р2
для любого целого положительного q. Тогда, по Больцано,
S является бесконечно малым положительным (абсолютным)
числом, а—S—бесконечно малым отрицательным числом.
Для бесконечно малого отрицательного числа S имеет, сле-
довательно, место S= —Рг = —--{-Р2 (§ 19).
8. Вводятся бесконечно большие числа.
«Среди бесконечных числовых выражении существуют
также и такие, что в процессе нахождения их меры для
любого данного q можно отыскать такое р, чтобы из двух
равенств
5 = ^-+л = ^—Л (1)
выполнялось бы всегда одно и только одно» (§ 23).
Пример. 1 4-2+34-...
Такие числовые выражения Больцано называет бес-
конечно большими числами и именно положительным
(или отрицательным) бесконечно большим числом в за-
висимости от того, выполняется ли первое (или второе)
из равенств (1) (§ 24).
9. Бесконечно большое чпело является неизмеримым
(§ 25). Однако обратное неверно (§ 26).
Пример. 1—1+1—1+... неизмеримо, но не яв-
ляется бесконечно большим. Это числовое выражение не
представляет никакого конечного числа, так же как
п бесконечно малого. Таким образом, существуют число-
вые выражения, не являющиеся ни конечными, ни бес-
конечно малыми, ни бесконечно большими (§ 27).
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
519
10. «Если число S бесконечно большое, то для любого
действительного числа JV, как бы оно ни было велико, имеет
место равенство S= i(iV-EP); обратно, если для любого
Дг, как бы оно ни было велико, выполняется равенство
5= 4-(2V-|-P), то S бесконечно большое число» (§ 28).
При этом Р неотрицательно.
11. «Если Л бесконечно большое, — любое рацио-
нальное число, то и А— — бесконечно большое число»
п
(§ 29).
12. «Если бесконечное числовое выражение А таково,
что А — для любых положительных или отрицательных
т и п либо положительно, либо отрицательно, либо нуль,
то А либо бесконечно большое, либо измеримо» (§ 30).
13. Если Е и F два бесконечно больших или бесконеч-
но малых числа одного знака, то их сумма E-}-F также
будет соответственно бесконечно большим или бесконеч-
но малым числом того же знака (§ 31). То же самое имеет
место для суммы произвольного числа слагаемых (§ 32).
Разность же двух бесконечно больших чисел может быть
положительной, отрицательной или нулем (§ 33).
14. «Если бесконечно малое или бесконечно большое
число умножить на конечное, отличное от нуля, число,
то произведение будет в первом случае бесконечно малым,
а во втором — бесконечно большим числом, и это при
любом порядке обоих множителей» (§ 34).
15. Произведение двух бесконечно больших (или ма-
лых) чисел будет бесконечно большим (или, соответствен-
но, малым) числом (§ 35). Произведение конечного числа
конечных чисел не может быть ни бесконечно большим,
л
ни бесконечно малым (§ 36). Также и отношение если
-4 и В конечны и В Ф 0, не может быть ни бесконечно ма-
лым, ни бесконечно болыппм (§ 37).
16. «Если конечное или бесконечное числовое выра-
жение А измеримо, то для каждого положительного пли
отрицательного рационального5числа можно определить,
520
КАРЕЛ РЫХЛИК
будет ли разность Л—— положительна, отрицательна
или нуль, при этом всегда имеет место одно из этих трех
случаев» (§ 38).
17. Если А и В измеримые числа, то измерима и их
сумма А-\-В (§ 30). То же имеет место для суммы конеч-
ного числа слагаемых (§ 40).
18. «Если слагаемые А, В, С,..., L, число которых
равно п, имеют измеряющие дроби у , у, у, ...
то измеряющая дробь сумма A-j-B-j-Cпе
быть меньше, чем £1+£2+^+^Н-Рп и 6ОПЬШО) чем
Рп
’ ч ’
может
Ч
Р1 + Дг + Да + - • + Рп + и + 1 » (§41)
Р
abed ... т
д
19. «Если число А измеримо, то всегда одновременно
выполняются два равенства
^4 = ± । JL j-JL л. __5
а ‘ ab ' abc abed
а I Р I 1 । S
а ‘ ab ' abc-г abed
Р ~г 1_____р
abed ... т 2’
где знаки a, b, с, d,..., т означают любые действительные
абсолютные числа, которые все, начиная со второго, >1;
знак а означает действительное положительное или отри-
цательное число или чистый нуль, а знаки р, у, о, ..., Р
все означают только положительные действительные числа
или нули, но так, что во всяком случае р< Ь, у<с, о<</, •••
...,р<ттг; наконец, знаки Рг и Р„ имеют уже известное
значение, а именно, первый должен выражать если не
нуль, то нечто положительное, а второй — безусловно
нечто положительное» (§ 42).
20. Если А и В — измеримые числа, то их произведение
АВ также измеримо (§ 43). То же имеет место для произ-
ведения конечного числа множителей (§ 44).
21. «Если к измеримому числу А прибавить пли из него
вычесть бесконечно малое J, то и А ± J представляет та-
кое измеримое число, которое имеет ту же измеряющую
теория Вещественных чисел у больцано
521
дробь, что и А» (§ 45). «Обратно, если два выражения А
и В постоянно имеют одну и ту же измеряющую дробь,
то разность А—В может быть только одним из двух, либо
нулем, либо бесконечно малой» (§ 46).
22. .Определение. С этого момента «я буду назы-
вать два числовых выражения А и В (которые могут быть
конечными или бесконечными) равными или равнознача-
щими и буду писать А=В, еслп они оба измеримы и в про-
цессе измерения представляются одинаковыми числами
в том смысле, что каждому произвольному q соответствует
положительное или отрицательное р, одно и то же как для
А, так и для В, так что выполняются четыре равенства:
+ Pi = Z~-P2, В = ^ + Р3 = ^-Р1,
где Г\ и Р3 должны означать либо нули, либо некоторые
строго положительные выражения, а Р2 и —всегда строго
положительные выражения. Напротив, я буду говорить,
что В больше А, или А меньше В и писать В > А или
А < В, когда разность В—А положительна и не является
бесконечно малой» (§ 50).
23. «Все бесконечно малые числа должны быть рас-
сматриваемы как равнозначащие нулю» (§ 52).
24. «Замечание. Так как бесконечно малые числа
являются равнозначащими нулю не во всех рассмотре-
ниях, а только в отношении их поведения в процессе
измерения, то было бы целесообразно для лучшего раз-
личения называть такого рода числа не нулями, а только
относительными нулями или соответствующими нулю
и в противоположность им нуль, с понятием которого мы
уже познакомились раньше, называть абсолютным ну-
лем» (§ 53).
25. «Если слагаемые А, В, С,..., множество которых
конечно, суть измеримые числа, каждое пз которых имеет
единственное значение, то их сумма также будет измери-
мым числом, имеющим единственное значение» (§ 54).
26. В § 55 — 67 устанавливаются некоторые теоремы
о неравенствах между измеримыми числами. Из них
отметим следующую: «Если в процессе измерения двух
заданных чисел А и В мы как-либо получим такой
522
КАРЕЛ РЫХЛИК
знаменатель q, для которого числитель р, измеряющий
дроби В (в смысле § 6), будет больше соответствующего
числителя А, то В > Л» (§ 67).
27. «Если А и В—два измеримых числа, то всегда имеет
место один и только один из трех случаев: либо А = В,
либо А > В, либо А < В» (§ 68).
28. «Если А и В — два измеримых и конечных числа,
которые, кроме того, мы будем считать положительными
или абсолютными, то всегда существует какое-то кратное
первого, которое больше, и какая-то аликвотная1) его
часть, которая меньше второго числа» (§ 69).
29. В § 70 обычным образом определяется отношение
«между» и устанавливаются некоторые соответствующие
теоремы (§ 71—80). Из них отметим следующую:
«Если А и С два неравных измеримых числа, то всегда
существует третье измеримое число, лежащее между
ними» (§ 74).
Отсюда непосредственно следует теорема:
«Множество измеримых чисел, лежащих между двумя
друг от друга отличными измеримыми числами, бесконеч-
но» (§ 79).
30. «Если измеримое число М лежит между измери-
мыми числами L и В, а А—какое-нибудь конечное и по-
ложительное’число, то и произведение А.М лежит между
произведениями A.L и А.В» (§ 80).
31. Определение. «Если некоторое свойство $8
всех измеримых чисел, лежащих между двумя нерав-
ными числами L и В, не выполняется для самых L и В,
то мы скажем, что $8 принадлежит всем измеримым чис-
лам от L до В, исключая $8 и Я.
Смысл определений, которые получаются из этого muta-
tis mutandis, если только слово «исключительно» заме-
нить на «включительно» для одного из чисел L и В пли
для обоих, очевиден.
«Если, наконец, некоторое свойство $8 удовлетворяется
числом М, но не существует никакого столь малого изме-
римого числа р такого рода, чтобы можно было сказать,
что свойство $8 принадлежит всем числам, лежащим между
А
х) Аликвотная часть, т. е. дробь вида —. (Прим, персе.)
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ у БОЛЬЦАНО
523
M-f-fi и М—р, то я говорю, что свойство S3 принадлежит
изолированно стоящему числу Л7» (§81).
32. Далее следуют почти очевидные теоремы (§ 82—
85), в которых используются определенные выше понятия.
33. «Еслп знаки £2, ... , Qn означают перемен-
ные измеримые числа, которые могут убывать до беско-
нечности1), если, далее, множество этих чисел конечно
и неизменно, то алгебраическая сумма Qr-|—Q2-|—Q3
... вновь представляет число, которое может убывать
до бесконечности, если только она не = 0 постоянно»
(§ 86).
34. «Если А и В означают два измеримых числа, остаю-
щихся неизменными, в то время как измеримые числа
и й2 бесконечно убывают, и если постоянно выполняется
равенство A + Q1 = B±Q2, то А=В» (§ 87).
35. «Ближайшая большая дробь , соответствующая
измеряющей дроби числа А, может быть всегда сделана
еще меньше, чем она уже есть, путем увеличения q» (§ 88).
36. «Если X означает число, которое измеримо и неиз-
менно, или же изменяется, но лишь так, что по абсолют-
ному значению остается всегда меньше заданного рацио-
нального числа, в то время как измеримое число 12 по
абсолютному значению может бесконечно убывать, то
и произведения Х-Q и Q-Х суть числа, которые могут
бесконечно убывать по абсолютному значению» (§ 89).
37. «Если А и В два измеримых и неизменных числа,
a Qj и й2 переменные числа, которые могут"бесконечно
убывать, то (Л±2х)(В±22) = АВ + 23, где 63 опять
означает измеримое число, которое может бесконечно убы-
вать, еслп только оно не =0 постоянно» (§ 92). Аналогич-
ное предложение имеет место для произведения конечного
числа множителей (§ 93).
38. «Теорема о перестановке множителей, имеющая
место для всех рациональных чисел, имеет место также
Для всех измеримых чисел вообще» (§ 94).
Ъ Здесь Б. Больцано, очевидно, имеет в виду убывание по абсо-
лютной величине. (Прим, перев.)
524
КАРЕЛ РЫХЛИК
39. «Равенство А (В ± С ± .) = АВ ± АС ± • • •, до-
казанное ранее только для рациональных чисел, имеет
место для всех измеримых чисел вообще, если только мно-
жество членов, из которых состоит множитель В ± С + ... I
конечно» (§ 96).
40. «Определение. Если разность между двумя
измеримыми числами X и У, рассматриваемая по абсолют-
ному значению, бесконечно убывает, то я говорю, что они
могут приближаться друг к другу как угодно близко» (§ 97).
41. «Если два измеримых числа X и У могут прибли-
жаться друг к другу как угодно близко, то по крайней мере
одно из них должно быть переменным и принимать бес-
конечно много значений, между которыми нет наиболь-
шего, если это число меньше другого, и пет наименьшего,
если это число больше другого. Если, кроме того, дано
третье неизменное число А, которое постоянно лежит меж-
ду двумя первыми, то оба числа должны быть перемен-
ными и принимать бесконечно много значений, между ко-
торыми нет наибольшего у меньшего числа и наимень-
шего у большого числа» (§ 98).
42. «Если неизменное число постоянно остается заклю-
ченным между двумя переменными, но измеримыми чис-
лами X и У, разность которых У—X бесконечно убывает,
то и само А есть измеримое число» (§ 99).
43. «Не существует двух друг от друга отличных,
т. е. неравных, измеримых и неизменных чисел, которые
постоянно лежат между двумя переменными измеримыми
границами, если эти последние могут приближаться друг
к другу как угодно близко» (§ 100).
44. «Если измеряющая дробь X- некоторого числа А
постоянно заключена между двумя границами X и Y>
положительная разность которых У—X бесконечно убы-
вает, то неизменным может быть разве лишь большее
пз этих двух чпсел, а именно У, и тогда оно должно быть
равнозначащим самому числу А. Если же оба числа А
и У переменные, то и само число А постоянно заключено
между ними» (§ 101).
45. «Если бесконечно многие измеримые числа
Х2, х3.....хп, ..., хп........
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
525
которые мы можем рассматривать как члены некоторого бес-
конечно продолжающегося ряда, различающиеся с помощью
номеров 1, 2, 3..., п.п-\-г....следуют по такому за-
кону, что разность между и-м и и-|-г-м членами этого
ряда, т. е. ХП¥Г—Хп, рассматриваемая по абсолютному
значению, остается, сколь большим ни взять число г,
постоянно меньше, чем некоторая дробь , которая сама
может быть как угодно малой, если только число п взято
достаточно большим, то я утверждаю, что всегда суще-
ствует одно и только одно измеримое число А, о котором
можно сказать, что члены нашего ряда бесконечно к нему
приближаются, т. е. что разность А—Хп или А—Хп*г
по своему абсолютному значению при возрастании п
или г бесконечно убывает» (§ 102).
46. «Если мы знаем о некотором свойстве S3, что оно
принадлежит не всем значениям переменного измеримого
числа X, которые больше (или меньше), но всем значе-
ниям, которые меньше (больше), чем некоторое U, то
мы можем с уверенностью утверждать, что существует
измеримое число А, наибольшее (наименьшее) среди тех
чисел, о которых можно сказать, что все меньшие (боль-
шие) обладают свойством S3; при этом остается еще не-
выясненным, обладает ли зтим свойством также и само
значение Х=А» (§ 104).
47. «Если переменное, но измеримое число У остается
постоянно больше переменного, но измеримого X и, кроме
того, у Y нет наименьшего значения, а у X наибольшего,
то существует по меньшей мере одно измеримое число А,
которое постоянно лежит между обеими границами X
и У.
Если, далее, разность У—X не может бесконечно
убывать, то таких чисел, лежащих между обеими гра-
ницами X и У, бесконечно много.
Если же эта разность бесконечно убывает, то существует
только одно-единственное такое число. Если, наконец,
разность У—X бесконечно убывает и либо X имеет наи-
большее, либо У наименьшее значение, то не существует
никакого измеримого числа, лежащего постоянно между
X и У» (§ Ю5).
526
КАРЕЛ РЫХЛИК
48. Последние параграфы (§ 106—116) имеют дело
с дробями вида , где А и В—измеримые числа и В не
является бесконечно малым или нулем.
Замечания
1—26 (§ 1—67). Обоснование теории вещественных чисел,
данное Больцано, нельзя считать состоятельным. Как
следует из раздела 3, предполагается известным, что такое
положительные и неотрицательные числовые выраже-
ния. Уже на этот вопрос не так просто ответить. Но, по-
жалуй, более всего слабость больцановской теории видна
из того, как Больцано f7J вводит положительные и отри-
цательные бесконечно малые числа. Такими бесконечно
малыми не исчерпывается множество равнозначащих нулю
чисел, как, по-видимому, думал Больцано.
Речь может идти, следовательно, о том, чтобы найти
такое истолкование больцановской теории, при котором
из нее было бы спасено как можно больше. Такую воз-
можность доставляет теория вещественных чисел Кантора
(собственно, Кантора — Мере)1).
Для этого мы будем записывать слева понятия и пред-
ложения канторовской теории, являющейся истолкова-
ниями соответствующих понятий и предложений боль-
цановской теории, записанных справа.
Канторовская
теория
Бесконечная последова-
тельность рациональных чи-
сел(а")=а1, а2, а3 ,..., ап...2 * *)
Больцановская
теория
Бесконечное числовое
выражение.
х) Ср. F. Bachmann [х], стр. 9, 15 и О. Stolz u. J. A. Gemeiner
[®], раздел 7а.
В последующем я примыкаю к превосходному изложению этой
теории, данному Чехом (Е. Cech [5]).
2) Может быть, если бы мы ввели бесконечную сумму С]+с2+
-f-c3-|-..., это больше соответствовало бы рассуждениям Больцано.
Но эта сумма может быть непосредственно заменена последователь-
ностью Clt Cj-I-Cj, Cj-J—Cg—j-c3,...
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
527
Сходящаяся последова-
тельность.
Нулевая последователь-
ность.
Эквивалентные сходящие-
ся последовательности.
Измеримое число.
Бесконечно малое чис-
ло.
Равнозначащие измери-
мые числа.
Теперь можно утверждать:
Вещественное число есть
класс эквивалентных сходя-
щихся последовательностей.
Каждая сходящаяся по-
следовательность есть «кон-
кретное представление»1) оп-
ределенного вещественного
числа, которое мы обозначим
lim ап и назовем пределом
последовательности (йп).
Все эквивалентные после-
довательности являются кон-
кретными представлениями
одного и того же веществен-
Вещественное число есть
класс равнозначащих из-
меримых чисел.
Каждое измеримое чис-
ло есть «конкретное пред-
ставление» определенного
вещественного числа. Все
равнозначащие измеримые
числа являются конкрет-
ными представлениями од-
ного и того жо веществен-
ного числа.
но го числа.
Если а и р—два вещественных числа и a=lim ап,
Р = lim bn (следовательно, (an) и (Ьп) сходятся), то сходятся
и последовательности (ап + Ьп) и (апЬп). Мы определяем
тогда a±p = lim(an±6n), оф = lim (anbn).
Если вещественное число a #= 0, то можно положить а=
= lim ап, где «п^0для всех п и, значит, а имеет обратный
элемент относительно умножения, именно lim — . Можно
ап
показать, что при таком определении сложения и умно-
жения вещественные числа образуют поле, которое яв-
ляется расширением поля рациональных чисел. При этом
сходящаяся последовательность отождествляется
с рациональным числом а.
Ч Если при некотором отношении эквивалентности —, опре-
деленном в множестве ЯК, ~ (х) означает класс элементов £07, экви-
валентных х, то х можно рассматривать, как конкретное представ-
ление абстрактного понятия —(х). См. Е. Cech [Ч 5J гл. II, § 2.
528
КАРЕЛ РЫХЛИК
Можно, однако, поступить и иначе г).
Если (йп) и (Ьп) две сходящиеся последовательности
рациональных чисел, то будут сходящимися и последо-
вательности (ап-\-Ьп) и (апЬп). Определим теперь сумму
(ап) -|-(Ьп) и произведение (ап)(Ьп) этих последовательностей,
как (ап-\-Ьп) и соответственно (апЬп). Если сложение и ум-
ножение определены указанным способом, то сходящиеся
последовательности рациональных чисел, а также muta-
tis mutandis больцановские измеримые числа, образуют
кольцо 91.
Тогда в канторовской
теории имеет место тео-
рема:
Нулевые последова-
тельности образуют в
кольце Эг сходящихся по-
следовательностей идеал
Соответствующая ей тео-
рема больцаиовской теории:
Бесконечно малые числа
образуют в кольце Эх измери-
мых чисел идеал 3-
Имеем теперь теорему: поле вещественных чисел
является* 2) кольцом 91/§ классов вычетов mod Q.
Эквивалентные сходя- Равнозначащие измерп-
щиеся последовательности мые числа
будут при этом классами
вычетов mod
Несколько менее точно мы можем выразить предыду-
щие результаты (во всяком случае для теории Больцано)
так: вычисления над вещественными числами являются
ничем иным, как вычислениями над измеримыми числами,
если только условиться пренебрегать бесконечно малыми
числами. По-видимому, что-то в этом роде и реяло перед
глазами самого Больцано (ср. напр. § 51). Однако пере-
ход от измеримых чисел, как «конкретного представления»
вещественных чисел, к абстракции вещественного числа
у Больцано ни разу не подчеркнут достаточно ясно.
Больцано, видимо, оставляет в стороне первоначальное
определение равенства измеримых чисел (равенство схо-
дящихся последовательностей в канторовской теории),
х) В. L. van der Waerden, 1 [10], § 67.
2) Точнее: изоморфно полю вещественных чисел (Прим, перев.)
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
529
вводит новое определение равенства в смысле равнознач-
ности и затем рассматривает измеримые числа как равно-
сильные с вещественными.
Чтобы ввести порядок в поле вещественных чисел,
мы определим сначала положительные вещественные числа.
Для этого положительные числовые выражения больца-
новской теории должны быть выбраны так, чтобы им соот-
ветствовали вполне положительные последовательности
канторовской теории1).
Для разложения вещественного числа в канторов ряд
(§ 42, 19) служит так называемый алгоритм Кантора2).
Он основан на следующем предложении:
Если а—вещественное число, то существует одно
и только одно целое число п такое, что
Число п называется целой частью а п обозначается fa]
или E(x)s).
19 (§ 42). К анторовские ряды. Здесь можно
положить просто й=1. Предельным переходом получаем
представление вещественного числа так называемым кан-
торовским рядом4). (Однозначное представление веще-
ственного числа канторовским рядом (еа=1) можно полу-
чить, если потребовать, чтобы в бесконечном множестве
случаев было: р < 6 — 1, у < с — 1, j < t/— 1,.... Но этого
у Больцано нет. Как специальный случай канторовского
ряда, получается g-адическая дробь (g целое >1), для
Д=2—двоичная, для g=10—десятичная.)
В дальнейшем Больцано часто использует при дока-
зательствах представление вещественных чисел канто-
ровскимп рядами. Однако в большинстве случаев эти
ряды можно заменить g-адическими или даже просто двоич-
ными пли десятичными дробями.
29 (§ 74). Множество вещественных чисел, как и мно-
жество рациональных чисел, всюду плотное (pantachisch).
х) Сходящаяся последовательность рациональных чисел (<zn)
называется вполне положительной, если можно указать такое ра-
циональное число п>0. чтобы неравенство an>v выполнялось
почти для всех п. (Е. Cech [6], стр. 116).
2) Ср. О. Perron [8], § 33.
’) Е. Cech [6] стр. 80 и 121.
*) Ср. К. Knopp [’], стр. 23, 24; О. Perron [8], § Зо.
34 Пстор.-матем. исслед., вып. XI
530
КАРЕЛ РЫХЛИК
Замечу, между прочим, что Больцано использует это
свойство для нумерации новых листов рукописи, которые
он хочет вложить между двумя уже занумерованными ее
листами, не перенумеровывая всей рукописи. Так, если
Больцано вкладывает лист между и-м и (п-|-1)-м листами,
то он обозначает его номером п-\- . Кладя еще один лист
между листами пип
, 1
или п + у и п
он его обо-
значает п + Qили п . Если было бы нужно между
т?-м и (и-j- 1)-м листом вложить три новых листа, то они бы
113
нумеровались и-]--^-, и-]- —и т. п. Здесь использу-
ются двоичные дроби, но можно было бы воспользоваться
для этой цели десятичными дробями и вообще g-адическпми
с любым целым основанием g > 1 или даже канторовскими
рядами с произвольными основными числами а, Ь, с.
На канторовских рядах собственно и основана «нумера-
ция» вкладываемых листов буквами различных алфави-
тов. Так, для обозначения листов, вложенных между и-м
и (и-|-1)-м, можно воспользоваться знаками па, nb, пс,...,
а для листов, лежащих, например, между пс-м и ncZ-м зна-
ками пса, исЗ, пс[,... и т. д.
Во всех этих нумерациях в качестве номеров встре-
чаются дроби и может случиться, что при этом окажутся
пробелы, т. е. что между двумя дробями, являющимися
номерами листов, найдется дробь, принадлежащая той же
(употребляемой нумерации) системе, которая не является
номером никакого листа. Этого можно избежать, если
для нумерации пользоваться канторовским рядом с под-
ходяще выбранными основными числами.
34 (§ 87). Эта теорема лежит в основании так называе-
мого метода исчерпывания').
Частое использование этого предложенп и именно
в этой форме, как принципа доказательства, крайне ха-
рактерно для Больцано. Этот способ близок к современ-
ным вычислениям с пределами.
) Ср. к. Knopp [’], стр. 5.
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ У БОЛЬЦАНО
531
38 (§ 94). Имеется в виду ассоциативный закон умно-
жения, что А(ВС) = (АВ)С. Этот закон доказывается.
39 (§ 96). Дистрибутивный закон.
45 (§ 102). Этот признак сходимости бесконечной пос-
ледовательности называется критерием Коши—Больцано1).
Приведенное предложение мы находим у Больцано уже
в работе: «Чисто аналитическое доказательство...» [3].
46 (§ 104). Теорема о точной верхней и точной нижней
грани, известная под названием теоремы Больцано—
Вейерштрасса'2).
Вполне строгую формулировку этой теоремы мы нахо-
дим рке в работе Больцано: «Чисто аналитическое дока-
зательство...»^ [3], однако приведенное там доказательство
ее правильно лишь настолько, насколько это возможно
было в те времена, когда еще пе была обоснована теория
вещественных чисел. Вейерштрасс в своих лекциях вос-
полнил этот недостаток больцановского доказательства.
Ту же цель преследует здесь и Больцано. В его доказа-
тельстве используется разложение вещественного числа
в канторов ряд и ему легко было бы придать строгость,
требуемую в настоящее время.
47 (§ 105). X < Y означает, что для любых элементов
х, у, принадлежащих соответственно двум множествам
X и У вещественных чисел (х С X, у С У), имеет место не-
равенство х < у. Если а—вещественное число, то неравен-
ство Х< а аналогично означает, что для всех х£ X имеет
место неравенство х < а. Тогда теорема может быть сфор-
мулирована следующим образом:
Пусть X < У.
1. Если X не содержит наибольшего, a Y наимень-
шего числа, то существует вещественное число а такого
рода, что X<a<^Y. Число а определяется однозначно,
если разность у—х(х£ X, y£Y) может быть сделана сколь
угодно малой.
П. Если X содержит наибольшее число, или Y наи-
меньшее число, а разность у—х (ж £ X, y^Y) может быть
,, -1) Ср. К. Knopp [7], стр. 6; О. Perron [8], §18;
V. J arnik [в], стр. 452.
,, Ср. К. Knopp [’] стр. 6; О. Perron [8], § 12 и 18;
v- J arnik [Н, стр. 453.
34*
Й32
КАРЕЛ РЫХЛИК
сделана сколь угодно малой, то не существует такого веще-
ственного числа а, для которого выполнялись бы неравен-
ства X <г а У1).
Эта теорема напоминает теорему Дедекинда о соотно-
шении между вещественными числами и сечениями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Friedrich Bachmann, Aufbau des Zahlensy stems,
Enzyklop. d. Mathem. Wiss., 2. Anil., I, 1, 3.
2. Bernard Bolzano, Der binomische I.ehrsatz und
als Folgerung au« ihm der polynomische und die Reihen, die zur Berecli-
ming der Logarithmen und Exponentiaigrossen dienen, genauer als
bisher eixviesen, Prag, 1816, XVI147.
3. Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis des
Lehrsatzes, dass zxvischen je zwei Werthen, die ein entgegenges₽tztes
Resultat gewiihrcn, wenigstens cine reelle Wurzel der Gleichung liege.
Abh. d. Konigl. Bohm. Ges. d. Wiss. (3), 5, 1817; Русский перевод
в книге: Э. К о л ь м а и, Бернард Больцано, М., 1955, стр. 170—204.
4. Bernard Bolzano, Functionenlehre (Herausgeg.
u. mit. Anm. verseh. von. К. Rychli k). B. Bolzano’s Schriften
1, Prag, 1930.
5. E. Cech, Cisla a pocetni vykony, Praha, 1954.
6. V. J a r n 1 k, Bernard Bolzano a zaklady matematieke
analysy, Zdeftku Nejedlenni Cs. Akad. ved 1953, S. 450—458.
7. K. Knop p, Darstellimg der reellen Zablen durch Grenz-
prozesse, Enzyklop. d. nuthem. Wiss. 2. Aufl., 1, I, 4.
8. O. Perron, Irrationalzahlen, 1921.
9. O. Stolz und J. A. G e ni e i n e r, Theoretische Arithme-
tik, II. 1. Mill. 1902, 2. Aufl. 1915.
10. B. L. van de r W aer den, Moderne Algebra, I,
2. Aufl., 1937.
11. Eduard W i n t e r, Bernard Bolzano und sein Kreis,
1933. (Tschech. Obersetz. von dr. Z. К. a I i s t a, 1935.)
12. Eduard Winter, Lebcn und geistige Entwicklung
des Sozialel hikers mid Mathematikers Bernard Bolzano (1781—1848),
Halle (Saale), 1949.
J) На эту формулировку теоремы обратил мое внимание
В. Ярник.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ1)
Плие Попа
В настоящем сообщении я пытаюсь осветить некоторые
стороны развития румынской математики.
Когда кто-нибудь решится написать историю румын-
ской математики, он придет к заключению, что распола-
гает фактическими материалами, но в то же время на-
толкнется на серьезные затруднения. В ходе изложения
я познакомлю читателя с некоторыми из этих материалов
и с трудностями, которые сопряжены с их изуче-
нием.
Предварительно должен отметить ценный вклад в изу-
чение нашего математического прошлого Пона Поноску,
Виктора Мариана и академика А. Миллера, который не
только создал у пас школу геометрии, но начал и вооду-
шевлял в Яссах исследования по вопросам истории мате-
матики.
О началах. Рудиментарными, но массовыми фор-
мами математической деятельности являются: нумера-
ция, вычисление меры. Анализ этой деятельности может
раскрыть сложные процессы развития культуры, плод
многих коллективных усилий, пролить свет на эволюцию
оощественно-экономпческпх отношений. Все это вопросы,
Для полного освещения которых наши возможности еще
слишком малы; для этого, как говорит поэт, нужно пройти
путь «от амебы до насекомого».
1) Доклад, прочитанный на второй научной сессии Ясского
университета в мае 1955 г.
534
ИЛИЕ ПОПА
Для рассмотрения этих вопросов, хотя бы частично
в нашем распоряжении имеются такие источники перво-
степенной важности, как язык и обычаи при изучении
далекого прошлого. Наряду с политической и экономи-
ческой историей могут помочь понять далекое прошлое
языкознание, этнография, археология. Ценные сведения,
в частности, может дать нам язык, так как благодаря за-
медленному характеру его эволюции старые формы языка
сохраняются целые века п даже тысячелетия, а сравни-
тельное языкознание (разрез пространственный) может
нередко заменить историю (разрез временной).
Нумерация. Наиболее экономные названия чисел
возникли в результате построения системы нумерации.
Натуральное число может быть выражено многочле-
ном «06'14-а16'1-1+... +an_ib+an, где Ь, а0, ап
являются натуральными числами и ah < b. В этом выра-
жении Ъ является основанием системы нумерации, a ah
суть цифры рассматриваемого числа.
Такая система требует умения называть несколько чи-
сел, которые мы будем именовать основными, п созда-
ния механизма образования названий других чпсел. (От-
носительно рудиментарный механизм позволяет называть
bn+1—1 чпсел только прп помощи основных Ь-\-п—1 па-
званий. Архимед придумал более эффективную с этой
точки зрения систему.) В этих системах главную роль
играет основание системы нумерации. Люди использо-
вали как основание нумерации числа 5, 10, 20 (пальцы
одной руки, пли обеих рук или пальцы рук и ног вместе
взятых), иногда 60, редко 2.
Система нумерации румынского языка, как и всех индо-
европейских языков, десятичная. В некоторых индоевро-
пейских языках встречаются формы, принадлежащие
другим системам (редко с основанием пять, чаще — с осно-
ванием 20) и являющиеся пережитками некоторых корен-
ных языков. Система требует названия для единиц не-
скольких разрядов, для 10, 102,... Эти названия при-
надлежат в некоторой степени лексике. Говорю: в неко-
торой степени, потому что название числа 102 связано
с названием числа 10, в том смысле, что в первом выра-
жается «удесятерение» подразумеваемого основания 10.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
535
Вот таблица; показывающая связь между названиями
Ю и Ю2; мы к ней прибавляем еще названия 103.
10 10* 2 10s 6
санскритский daga gatam sahasra
язык
авестийский dasa satam11 hazanara11
греческий бёха sxaxov21 XlklOl
латин ский decern centum mille
готский taihun taihuntehunt3 *’ pusundi41
древнеславянский десеть съто5’ тысешта
литовский degimt gimtas tukstantis
индоевропейский dekm kintom gheslo
(восстановле- ние)
Даже некоторые названия для 103 (как, например, гот-
ское pusundi и древнеславянское тысешта, пз которых
последнее некоторыми индоевропеистами считается перво-
начальным, a pusundi производным), в сравнении с санс-
критским tavas —«сила», как бы показывают, что 103
есть «сильно удесятеренное». Подобное явление произошло
позже с наименованием 10е: итальянский суффпкс — one об-
разует увеличительные слова: millione (миллион) есть боль-
шая тысяча. Это значит, что и некоторые основные назва-
ния созданы, отчасти, не лексически, а систематически.
Возвращаясь к названию 102, я считаю не случайным
тот факт, что индоевропеисты разделили индоевропейские
языки на языки с а т е м (содержащие в названии 102
букву с) и языки к е н т у м (содержащие в том же на-
звании буквы к).
В названиях простых единиц (1—9) индоевропейские
языки обнаруживают поразительное сходство; с этой точки
зрения представляют особый интерес числа 3, 7, 8. Иначе
обстоит дело с механизмом образования названий других
чисел; здесь мы отмечаем значительные различия. Эти
различия, быть может, указывают на относительно
*) а—приблизительно по звуку ы.
2) exxrfv=e—xarov (г<етс—один).
) taihuntehunt—воспринимаемое как taihunte—hunt—деся-
тичная сотня — в противоположность большой сотне, равна 120.
*) Р= английский th.
6) ъ=у краткое.
536
ПЛИЕ ПОПА
раннее разложение общего индоевропейского языка, —-
именно тогда, когда не требовалось точно считать за пре-
делами числа 10.
Рассмотрим хотя бы вкратце механизмы образования
чисел за пределами первого десятка. Первая трудность
состояла в том, чтобы перешагнуть через основание 10.
Возможные комбинации здесь таковы:
а) 1 4- 10 или 10 +1—механизмы, которые можно на-
звать «аддитивными», и пх варианты: (1) (Ю) пли (10)
(1), в которых опускается (т. е. подразумевается) соеди-
нительная частица. Также образуются 2 10 и т. д.
б) 1 на (сверх) 10, т. е. насколько данное число превы-
шает 10,— механизм, который можно назвать «диффе-
ренциальным» пли разностным, и его вариант 1 на (сверх),
в котором опускается (т. е. подразумевается) десять.
Отметим, что аддитивные механизмы могут быть объ-
единены, так как не имеет значения, что произносится
сначала: едпнпца пли десяток. Выбор порядка здесь за-
висел от соображений нематематического характера. Мне
кажется, что не исключена возможность связать этот выбор
с вопросом об ударении в сложных словах данного языка.
Для меня очевидно, что «естественным» порядком было
бы произношение сначала десятков, а потом единиц,
ибо первые имеют большее значение, как для говоря-
щего, так и для слушающего, и что в начале произноше-
ния слов или слова внимание более напряжено, чем к концу,
если нет факторов, способствующих усилению внимания,
как, например, ударение. Дифференциальный же меха-
низм обязывает произносить сначала единицу, а потом
десяток.
К конкретному осуществлению этих механизмов, как
и к названиям отдельных десятков, мы еще вернемся.
Следует заметить, что дифференциальный механизм усту-
пает аддитивному в том смысле, что его распространение
за пределы 20 ведет к большой иутанпце. Отметпм также,
что за немногими исключениями дифференциальный ме-
ханизм применяется в языках сатем.
Вторым трудным шагом явился переход к 20, затем
к 30,...,90. По всей вероятности, во всех индоевропейских
языках действовал механизм, который может быть
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
537
назван «мультипликативным»: 2 десятка,..., 9 десятков, что
и объясняет образование названий для 102: десять десят-
ков-удесятереннып. Это предполагает субстантивацию чи-
слительного десять, т. е. десять было приравнено десятку—
составу группы десяти предметов (как франц, dizaine).
В некоторых индоевропейских языках такая субстанти-
вация до того затемнена, вероятно, вследствие ее древ-
ности (лат. — ginta, греч. — хомта), что, по-видимому,
с течением времени перестали ее замечать. Латинское
vTginti, по-видимому, обозначает не два десятка, а «оба
десятка», что позволило, в особенности при соприкос-
новении с более древними языками, которые, быть может,
употребляли систему нумерации с основанием 20, —асси-
милировать это слово в качестве новой единицы высшего
порядка («оба десятка», понимаемые как «руки и ноги»).
Думаю, что так объясняется франц. —quatre — vingts,
но, в особенности quatre—vingt onze,..., как и soixante
onze,..., или албанское nozet — один (раз) двадцать,
албанское (тосканское) eiizet — дважды двадцать равно
40. Эта субстантивация очевидна в славянских, литовском
и в румынском языках.
Наконец, третий трудный шаг состоит в способе обра-
зования названия чисел 21—29,..., 91—99. Был ли здесь
применен механизм, использованный для 11 —19, или же
какой-нибудь новый? Мы разберем этот вопрос далее. Пока
хочу заметить, что для 19, 29, 39,... в некоторых индо-
европейских языках употребляется форма 20 без 1, 30
без 1, т. е. дифференциальный пли разностный механизм,
но в смысле, отличном от того, в каком мы этот термпн по-
нимали выше в санскрите пли латынп (так, например,
обстоит дело там, где такой механизм применяется даже
Для 18 = 20—2).
Таковы некоторые трудности, которые должны были
преодолеть люди, говорящие на индоевропейских языках.
Эти трудности появлялись и преодолевались постепенно,
в течение веков, в тесной связи с развитием обществ,
к которым принадлежали говорящие. Преодоление затруд-
нений не было результатом постановления каких-либо
властей, а явилось коллективным, народным достижением.
Как же обстоит дело в румынском языке?
538
ИЛИЕ ПОПА
Лексический материал: unu (una) (один—одна), doi,
doua (два—две), trei (три), patru (четыре), cinci (пять),
Sase (шесть), sapte ( семь), opt (восемь), noua (девять),
zece (десять), mie (тысяча) и частица spre (па) < super
является латинским. Большинство романских филологов
считают, что слово suta (сто) славянского, но другие,
в том числе Майер—Любке, что оно дакийского проис-
хождения. Заимствование этого названия румынским
языком из славянского не представляет собой ничего уди-
вительного. Албанский язык заимствовал латинское centum
в форме kint; болгарский и сербохорватский языки заим-
ствовали греческое yiXioi в форме hiljanda для 103.
Впрочем, названия отдельных чисел можно считать яв-
лением, относящимся к лексике. Когда, например, рус-
ские заимствовали из греческого церковного языка термин
сорок (40), это было только лексическое заимствование
и ничего более. Так же надо рассматривать и названия
для 8, 9, 10 пз истро-румынского диалекта, которые были
заимствованы из сербохорватского. Однако ясно, что
механизм образования названий чисел по существу своему—
не лексическое явление, а морфологическое. Относительно
самого лексического материала следует отметить, с од-
ной стороны, незначительные отклонения от данных ла-
тинских форм, а с другой, большой объем связанных с не-
которыми числительными словообразований, оправды-
вающих причисление их к основному словарному фонду.
Например, слово unu (один) дало: a uni (объединять),
a aduna (собпрать), a impreuna (соединять), uneori (иногда),
totdeauna (всегда), intr—una (непрерывно), totuna (безраз-
лично), une(a)lta (орудия; интересная лингвистическая
калька с болгарского языка: едно друго); слово doi (два)
дало: a indoi (удваивать, сгибать), a se indoi (сомневаться,
сгибаться), ainindoi (оба),...; слово zece (десять) дало:
a inzeci (удесятерять), zeciniala (десятина) *), причем мы
не рассматриваем терминов более позднего происхож-
дения.
Анализ механизма образования румынских названий
чисел, следующих за десятью, выявляет глубокие разли-
*) Подать,
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
539
чия по сравнению с латинским языком. Действительно,
слова unsprezece (одиннадцать),..., nouasprezece (девят-
надцать) образованы с помощью дифференциального,
а не аддитивного механизма, как в латинском языке
(и во всех романских языках, за исключением румынского
и его диалектов). Этот дифференциальный механизм дей-
ствует также во всех славянских языках (с частицей на),
в албанском (с mba) частично и в форме варианта в гер-
манских языках (elf = ain-lif, zwolf = twa—lif, обе формы
из готского: Ш'=па—лишний; десять «подразумевается»)
и в литовском, самом консервативном индоевропейском
языке, сатем, с —lilca (здесь десять также «подразуме-
вается»), После числа 12 в германских языках также рабо-
тает вариант аддитивного механизма, а литовский язык
употребляет германский механизм даже до 19.
Румынские названия для 20, 30,..., 90: douazeci,
treizeci,..., nouazeci образованы путем явной субстанти-
вации десяти, которую относят ‘к женскому роду, а не
к среднему, как в латинском, и которая не сохраняет
никакого следа употребления порядкового числительного,
имеющегосяп в латинском языке для septua—(<septuma)—
ginta,...; эта субстантивация не имеет никакой прямой
связи с латинскими vi—ginti, tri—ginta,... Албанскому
языку также известен этот механизм, но только частично
(исключения nazet и oiizet отмечены уже нами выше).
Все славянские языки (исключения: русские сорок и де-
вяносто) и литовский язык употребляют тот же механизм
явной субстантивации десяти.
То обстоятельство, что механизм нумерации, за не-
сколькими исключениями, к которым мы немедленно вер-
немся, одинаков во всех четырех диалектах румынского
языка, наводит на мысль о его древности. Его согласие
с механизмом славянских языков, в сопоставлении с дру-
гими лингвистическими и псторическими фактами, побуж-
дает нас прийти вместе с нашими лингвистами к заклю-
чению, что механизм нумерации в румынском языке
имеет славянское происхождение. К этому выводу я при-
шел еще несколько лет назад. Следует при этом отметить
Два отклонения в аромунском диалекте, по моему мнению,
очень значительные.
540
ИЛЛЕ ПОПА
a) yngit (yinghit или Yinyit) < viginti для 20. Этот
факт находится в полном соответствии с консервативно-
стью аромунского диалекта, отмечаемой всеми учеными,
изучавшими этот диалект и главным образом ясским
ученым Александром Филиппиде; такая консервативность
является, несомненно, результатом уединенной жизни,
которую долго вели в горах Ппнда аромуны. Сохранение
латинского viginti указывает, между прочим, на то, что
распад общего румынского языка начался раньше, еще
в то время, когда пертурбация, вызванная появлением ла-
тинской системы нумерации, не была еще ликвидирована.
б) Для 21—29 большинство аромунов употребляет
формы unsprayngit,..., nouasprayngit1). Однако в более
северных областях встречаются и формы yngituna, yngit-
doua,..., yngitnoua2). Этот факт можно было бы объяснить
тем, что аромуны считали viginti новой единицей, похо-
жей на десять, к которой они применяли тот же механизм
образования. Все же я думаю, что это не единственное
и даже не самое вероятное объяснение.
Вернемся к анализу механизма произношения сначала
единиц и затем десятков. Не существует языка, в котором
последовательно употреблялся бы один такой механизм,
т. е. всегда произносились по порядку единицы — десят-
ки — сотни—тысячи (факт, объяснимый, по моему мне-
нию, снижением напряженности внимания, пока не по-
являются новые восстанавливающие его факторы). Все же
есть два языка, в которых такое произношение употреб-
ляется последовательно до 99; санскрит (за исключением
19, 29, 39..., о которых мы говорили выше), т. ,е. язык
сатем и германские языки, т. е. языки кентум. Таким обра-
зом, произношение в порядке: единицы — десятки может
быть возведено к общеипдоевропейскому языку — основе.
Следы этого имеются и в других языках, в частности во
всех индоевропейских, напрпмер, в старом этолппском
говоре, который представляет даже форму с «на»: 86о
sivi для 22.
’) В дословном переводе: один на двадцать..девять на два i
цать.
2) Двадцать один, двадцать два, ..., двадцать девять.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
541
Для больших чисел порядок убывания (..., тысячи,
сотни,...) является более естественным, так как единицы
высшего порядка представляют больший интерес, чем
единицы низшего порядка. Поэтому произношение сна-
чала десятков, затем единиц представляет собой резуль-
тат прогрессивного развития. Интересна, с этой точки
зрения, эволюция романских западных языков, в которых
произношение в порядке единицы — десятки становится
все более ограниченным (также отпали формы: двадцать
без одного, тридцать без одного): во французском и италь-
янском языках до 16, а в испанском до 15; далее оно заме-
няется произношением сначала десятков, затем единиц.
Такое положение наблюдается и в новогреческом языке,
где вместо формы -с psi; хас бгха (тринадцать) появляется
оёхх -cpet;, а также, как мы сказали выше, в более се-
верном аромунском диалекте. За исключением германских
языков (в которых новообразованию противостояли по-
следовательное произношение единиц — десятков до 99 и,
может быть, еще и другие причины), мы везде констати-
руем прогрессивную эволюцию к произношению десятков—
единиц. Произношение unspra—yngti (один на двадцать)
обозначало бы регрессивное новшество. Аромунское яв-
ление можно сравнить с французским soixante onze,...,
где ясно, что речь идет о сохранении долатинской (кельт-
ской) формы, а не о новшестве. Лично я склоняюсь к такой
гипотезе:
Аромунское явление unsprayngit (один на двадцать),
..., nouasprayngi;, (девять на двадцать) представляет
собой сохранение механизма нумерации, предшествующего
контакту с латинским языком и тем более предшествую-
щего исторически известному контакту со славянским ми-
ром; содействовать сохранению системы uusprayngit
у южных аромун могли некоторые этолийскпе остатки
(известно,что аромуны распространились от Ппндскихгор,
где находилась их главная масса, до Акарнании и Этолии).
Но названия чисел в румынском языке представляет
и другие отличия как от латинского и романских языков,
так и от славянских языков. В отличие от последних,
в румынском языке числительные 2, 3,... не считаются
542
ЙЛИЕ ПОПА
собирательными (чем объясняется употребление роди-
тельного падежа после числительных 2, 3,..., в славянских
языках), но 20, 21,...—собирательные (например, 191) cai
(лошадей), но 202) de cai и также 119 cai1), но 120 de cai2).
Другая особенность румынского языка — использо-
вание форм о suta (одна сотня) и о inie (одна тысяча). Из-
вестны также формы suta (сотня) и inie (тысяча), но их
надо считать изолированными. Так, например, говорят:
unde merge suta, mearga §i mia3) или mule §i sutele inarita
slutele4), относятся к сотням и тысячам лей.
В нашей древней литературе (точно так же как и в раз-
говорной речи) связывали «о» (или ua) с suta или с mie,
в аромунском ’nasuta5 6). Это явление не чуждо и индоевро-
пейским языкам. Оно очевидно в греческом гкахом;
менее очевидно в латинском mille, которое некоторые индо-
европеисты производят из smi ghsli (smi—один). Если это
так, то румынский язык представляет повторение этого
явления и, следовательно, о mie (одна тысяча) =о «smigh-
sli» = o, о mie (одна, одна тысяча)!
Такие особенности (о suta, о mie) не появляются ни
в каком романском языке и ни в каком славянском языке.
Это явление—такая рудиментарная форма, что вряд ли
можно считать его нововведением румынского языка,
и оно есть скорее коренное местное явление.
На основе вышесказанного мы заключаем, что система
образования названий чисел в румынском языке является
местной; она представляет значительные сходства со сла-
вянской системой (но и некоторые отличия) и только ле-
ксическая часть ее — оболочка — является романской.
В таком положении находятся не только количествен-
ные числительные. Румынские порядковые числительные
резко отличаются от латинских и от порядковых числи-
тельных всех остальных романских языков. Из латин-
*) В данных случаях в румынском языке употребляется форма
именительного падежа множественного числа.
2) Здесь употребляется предлог родительного падежа.
s) Румынская народная пословица: «Куда идет тысяча, пусть
идет и сотня».
4) Румынская народная пословица: «Тысячи и сотни выдают
замуж уродин».
6) ’nasutS=(u)nasut5 (сто).
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
543
скоро мы сохранили только немногие следы: primus остался
только в формах primavara (весна), cale primara (первый
путь1). Из латинского antaneus мы создали intiiul (пер-
вый); tertius (третий) остался только в слове autart
(два года тому назад); quadragesima (сороковой) в paresimi
(сороковой день после воскресенья Христа—праздник
вознесения).
Нелегко установить причины, по которым в румынском
языке исчезли или не привились латинские порядковые
числительные, и такие числительные образуются с по-
мощью двойного артикля, как, например, Al doil>EA (вто-
рой); нам придется указывать неприятное последствие это-
го обстоятельства в связи с дробными числительными.
Дроби. Практика обыденной жизни заставила
людей ввести, наряду с целыми числами, также и дроб-
ные. Для наиболее употребительных дробей 1/2, 1/i, .. ,
были введены особые названия. Очень интересным яв-
ляется термин из Ригведы для ®/4: tripada, т. е. «три ноги»
(целое-четвероногое). Но так же как и для целых чисел,
понадобился механизм для наименования всякой дроби.
Такой механизм, вероятно, был построен еще в период
обще-индоевропейского языка — основы, ибо он почти
тождествен во всех индоевропейских языках. Числитель,
как это естественно, выражается количественным числи-
тельным; знаменатель — порядковым числительным (иног-
да незначительно видоизмененным, с целью избежать не-
ясности) и словом «часть». Особое место занимает римская
система дробей, в которой целое, ас, делится на 12 равных
частей, унций2). Эта система, указывающая на использо»
*) Первый визит молодоженов их родителям. 2) Вот названия некоторых дробей, связанных с этой системой:
1 11/12 Ч6 = 10/12 /«—Э/12 73=712 712 as 1/2=6/12 deunx s/i2 dextans 1/з=4/1г dodrans 1/4=3/12 bes 1/6=2/i2 septunx 1/i2 semis quincunx triens quadrans sextans uncia.
Кроме этого, использовались: 1/24 semuncia 1/72 1/48 sicilicus 1/288 sextula scri pillow.
544
ИЛЙЕ ПОПА
ванне нумерации с основанием 12, имела, наряду с общей
системой выражения дробей, широкое распространение
у римлян. Она была позже заимствована, хотя бы частич-
но, и другими народами. Подобное заимствование мы
встречаем у греков и у германских народов.
В румынском языке существуют особые названия для
1/2 и 1/i; 1/2-jumatate—«половина» (народное giumatate),
слово, в котором мы различаем латинское окончание,
но начальная часть (ju—giu—) которого остается не-
ясной, несмотря на то, что в албанском языке существует
термин gumos для 1/21). 1/4 = sfert—«четверть» (народ-
ное sfert), слово, вошедшее в язык недавно. У таких лето-
писцев как У реке и Некульче (XVII—XVIII века) появля-
ется форма civert, а у Амфплохия (конец XVIII века) cifert.
Следует отметить, что в румынском языке не осталось
и следа от римской системы дробей.
Наименование простых дробей является в румынском
языке довольно трудным, вследствие сложного способа
образования порядковых числительных (с двойным артик-
лем: al treilea, a saptea). Например, 3/5 читалось бы
(по Амфилохпю): «три раза пятая часть» (de 3 ori a cincea
parte). Впрочем, народ избегал, насколько было возможно,
употребления дробей.
В современный язык внедряется новая система: 3/5
выражается через trei cincimi (три пятые), точно так же
как и во французском trois cinquiemes. Эта форма, поль-
зующаяся для выражения знаменателя суффиксом—ime
(—imi), рекомендуется грамматикой Академии наук ВНР,
как наиболее подходящая. И действительно, благодаря
главным образом школе, эта форма проникает все глубже
в массы, несмотря на то, что указанный суффикс имеет
в румынском языке другую функцию, а именно, функцию
образования собирательных существительных', например
mult—multime (много—множество), burghez—burghezime
(буржуа—буржуазия), des—desime (плотный—плотность).
Добавим, что в более древнем румынском языке sutime,...
означало «сотню»,...
*) Наши языковеды производят jumatate от латинского medie-
tatem.
113 ИСТОРИП МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
545
Интересно отметить, что присвоение суффиксу —ime
указанной функции в наименовании дробей является де-
лом одного человека, а именно Г. Асаки, известного об-
щественного деятеля, оказавшего сильное влияние на
развитие молдавской школы и культуры в первой поло-
вине XIX века. Не высказываясь открыто, Асаки ста-
рался использовать для дробей простые наименования.
Ему понравилась французская система, по суффикс ime
показался ему неподходящим для преследуемой цели,
особенно в связи с наличием церковного термина treime
(троица). Поэтому Асаки предложил сначала суффикс —
ina (cincina, sutina). Позже1) он, преодолев тради-
цию, смело предлагает суффикс ime, внедрявшийся
сравнительно трудно, но в настоящее время укоре-
нившийся.
Мы находимся перед редким в истории языков явле-
нием, когда лингвистический механизм оказывается не
народным, а индивидуальным творчеством.
Вычисления. Устный счет или счет на пальцах,
встречающийся у румын, никогда не был предметом серьез-
ного исследования. Зато в разных книгах по истории ариф-
метики румынскому народу приписывается изобретение
так называемого правила умножения «для лентяев»,
именно умножения на пальцах двух чисел, находящихся
между 5 и 10, с помощью произведений двух чисел, мень-
ших 5. Правило основывается на алгебраическом тож-
дестве
(10 - а) (10 - Ь) = 10 [10 - (а + 6)1 + ab.
Мне кажется, что утверждение, будто это правило было
широко распространено в Валахии, пустил в оборот
Г. Пик в задаче, предложенной им в Zeitschr. f. Math.
Unter., V, 1874, 57—58. Другие авторы, как П. Таннери,
Т. Данциг, К. Меннингер говорят, что это правило по-
пулярно в Сирии, Валахии и Франции (Овернь). Ион
Ионеску предпринял через журнал Gazeta Matematica
опрос с целью узнать, известно ли еще это правило в на-
роде, но не получил никакого ответа.
1) В издании его арифметики 1843 г.
35 Истор.-матем. исспед., вып. XI
546
ИЛИЕ ПОПА
Существует несколько произведений народного твор-
чества, распространенных примерно в той же зоне (Сред-
ний Восток, Румыния, центральная и южная часть Фран-
ции). Одно из них Povestea Numerelor («Повесть о числах»)
было всесторонне рассмотрено Хаждэу. Хаждэу пришел
к заключению, что эта повесть была распространена из-
вестным богомильским движением, крестьянским анти-
феодальным движением в Болгарии, принявшим форму
религиозной ереси. Возможно, что Хаждэу и Гастер пре-
увеличили роль богомилизма в нашем народном литера-
турном творчестве; но следы богомилизма существуют,
например, в одной церковной рукописи. Если учесть
тот факт, что «Повесть о числах» и «правило лентяев»
имеют примерно одинаковую зону распространения, то
возможность их общего происхождения не исключена.
Следовало бы произвести исследование вопроса, особенно
в тех областях, где массами селились у нас богомилы, бе-
жавшие из Болгарии.
Меры. Необходимость в измерениях возникла до-
вольно рано и особенно возросла, когда появилось обще-
ственное разделение труда.
Практика измерений познакомила людей с первыми
элементарно геометрическими понятиями. Один из важ-
нейших результатов этой практики заключается в том,
что для измерения площади поверхности достаточно из-
мерять длину.
Народные приемы измерения площадей свидетель-
ствуют о знакомстве широких кругов с тем, что площадь
трапеции равна произведению ее высоты и длины отрезка,
соединяющего середины непараллельных сторон; отсюда
вытекает также, что в народе было известно, как найти
площадь прямоугольника и треугольника. Имеются до-
кументы, показывающие, что некоторые землемеры при-
меняли еще в начале нынешнего столетия ошибочные эмпи-
рические формулы для измерения площади произволь-
ного четырехугольника, но этот факт вовсе не противо-
речит вышеприведенному утверждению: когда крестья-
нам нужно измерить земельную площадь, они разделяют
ее на прямоугольники, треугольники, трапеции и затем
пользуются уже верными правилами.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
547
Мне хотелось бы подробнее остановиться на вопросе
о единицах мер для длины и поверхностей. Известные
слова Протагора, что «человек является мерой всех ве-
щей», нужно понимать в том смысле, что единицы меры
связаны с человеческим телом. Это замечание вполне соот-
ветствовало действительности в периоды, когда общество
стояло на низших ступенях своего развития. Возникший
таким образом хаос был устранен авторитетом государства
или племени, путем введения общих (в известных гра-
ницах) эталонов. Эти эталоны сильно отличались не только
в разных странах, но и в пределах одного и того же госу-
дарства.
В феодальной Европе единицы меры все увеличива-
лись, а не уменьшались.
Этот факт дает нам, между прочим, представление
об одном из способов эксплуатации земледельческого
груда, сходном по эффекту с увеличением рабочего дня,
но более тонком по форме.
Отмечу, что научный выбор эталона является одним
из достижений буржуазии в период ее подъема. Так,
например, английская буржуазия ввела ярд, связанный
с движением маятника, а французская буржуазия ввела
метр.
Главной единицей линейных мер у румын была palma
de 12 degetc, т. е. «ладонь» в двенадцать пальцев. Некото-
рые авторы усматривают в этом пережиток системы рим-
ских дробей. На возможную ошибочность такого толко-
вания указывает тот факт, что в древнеиндийской «Лалита-
вистаре» (написанной немного раньше начала нашей
эры) о Будде говорится, как об изобретателе системы ли-
нейных мер, в которой единица vitasti состоит иэ
12 anguli parva1). О совпадении vitasti с ладонью говорит то
обстоятельство, что в той же самой системе два vitasti
составляют hasta или локоть, старинную меру длины,
вообще очень распространенную на Востоке. Впрочем,
система, описанная в «Лалпта-вистаре», предполагает
нумерацию с основанием семь (за исключением перехода
от anguli parva к vitasti и потом к hasta. Можно
’) Anguli parva обозначает ширину одного пальца.
35*
548
ИЛИЕ ПОПА
допустить, что 12 приближенно дает нормальное отно-
шение между ладонью и толщиной пальца.
В Древнем Риме, как и у греков, главной мерой дли-
ны служил фут в 16 пальцев. Римлянам была также из-
вестна единица palmus в четыре пальца, которая совпа-
дала, однако, с нашей latul de palma, т. е. шириной ладони,
употребляемой иногда и теперь. Во всяком случае, у нас
в народе единица фут (латинское pes) совершенно неиз-
вестна.
Наш народ употреблял еще так называемую Schio-
ара, равносильную древнерусской мере пядь — расстоя-
ние между концом большого пальца и концом указатель-
ного, когда они предельно раздвинуты. Эта мера длины
употреблялась иногда и древними греками.
Что касается ладони, то установлено, что на протяже-
нии долгого времени употреблялась palma prasta (по-
следнее слово восходит к славянскому «простъ») и palma
domneasca—господарская ладонь. Для этой последней
к расстоянию между большим и маленьким пальцами
прибавляется длина, получаемая при крайнем перегибе
большого пальца до первого или второго сустава (то же
самое мы встречаем и у поляков, которым известна «ла-
донь с прибавлением»),
В своей арифметике, изданной в 1795 г., Амфилохий
изобразил длину меры «палец» господарской ладони
в Молдавии (приблизительно в 22 мм), откуда выходит,
что господарская ладопь в его время имела около 264 мм.
Амфилохий изобразил также длину пальца римского
фута, называемого обыкновенно футом Веспасиана, при-
чем пришел к выводу, что оба пальца имеют одинаковую
длину. На самом деле Амфилохий глубоко ошибался, так
как после исследований Ф. Хулча оказалось, что длина
пальца римского фута составляла 18,48 мм. Любопытно
отметить что со времени Амфилохия до введения у нас
метрической системы, т. е. примерно в течение 50 лет,
длина пальца господарской ладони претерпела измене-
ния, превышающие 1 мм.
Для большей длины наш народ употреблял stinjen,
т. е. сажень в восемь ладоней, и prajina, имеющую три
сажени; оба термина — славянского происхождения.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
549
В нашем языке отсутствовали дорожпые меры длины,
аналогичные стадии, миле или славянской версте (по-
следнее слово восходит к индоевропейскому языку). В раз-
говорном языке употреблялся pas, т. е. шаг, не имеющий
достаточно определенной длины.
В основе единиц поверхности у древних греков и рим-
лян лежало либо определенное количество семян для за-
сева, а это предполагает наличие единицы емкости, либо
площадь, которую можно вспахать плугом с двумя во-
лами за один день. Латинское jugerum (<jugum) —югер
перешло в немецкий morgen, а морген в свою очередь пе-
решел в jutro — ютро, используемое частью славян. Между
прочим, с пахотой связаны были и некоторые единицы
длины, например, длина борозды, сделанной плугом без
того, чтобы волы нуждались в отдыхе,
В Румынии применялись два ряда единиц поверхности:
pogonul — погон, используемый особенно в Валахии,
а в Молдавии только для виноградника п lalcea—фалча,
используемая только в Молдавии.
Погон, имеющий 24 пражины в длину и шесть в ши-
рину, по смыслу, произошел от югера, но по площади
равняется двум югерам. Это слово славянского проис-
хождения.
Фалча имеет 80 пражин в длину и четыре в ширину;
длина 80 пражин разделена на пять obrafe—обрацев,
а один обрац имеет 16 пражин; слово «обрац»—обратить—
указывает на связь с длиной борозды. Кажется, что этот
термин связан с латинским словом falx (коса); в словаре
Дюканжа о среднелатинском слове falcata сказано:
quantum unus sector per diem falcare potest de prato
(«сколько луга может скосить за день один косец»). Если
это так, то слово falce означало бы площадь, которую че-
ловек может скосить в течение одного дня. Ясно, что один
человек не может скосить фалчу, составляющую около
1,41 га, в один день, но я не мог установить, откуда могла бы
произойти эта разница. Термин falce встречается в одной
книге для записей 1588 г.: «10 falci виноградника в Кот-
парах». Если слово falce происходит от falx, то оно более
древнее и принадлежало древнему румынскому языку
До его разделения на четыре ветви, причем исчезло из
550
ИЛИЕ ПОПА
языка до этого разделения, так как во всех четырех диа-
лектах вместо ialx имеется coasa<Koca (славянское).
Историческое развитие других единиц измерения —
веса или емкости — мало известно.
Из всего сказанного вытекает, что в румынской метро-
логии возникает много трудных и нерешенных проблем:
некоторые полезные указания мы, может быть, найдем
в балканской и славянской метрологии. Во всяком слу-
чае можно сказать, что точно так же как в нумерации
и наименовании дробей, римская цивилизация оставила
лишь слабые следы в терминологии румынской системы мер.
Развитие обучения математики в Ру-
мынии стало теперь несколько более известно, благодаря
исследованиям Иона Ионеску, Виктора Мариана, акад.
А. Миллера и некоторых его учеников. Но и в этом на-
правлении далеко еще не все сделано. Многое неясно
в деятельности Котнарской Академии XVI в., созданной
авантюристом Деспотом Воеводой при содействии Меланх-
тона и Пойцсра, которые надеялись привлечь Молдавию
к протестантизму. Недостаточно известно, как учили ма-
тематике в греческих школах, существовавших на терри-
тории нашей страны; в частности, у нас очень мало дан-
ных о деятельности таких математиков, как Евгений Бул-
га рис (Bulgaris), Хрисант Ноттара (Nottara), Димитрий
Гобдела (Gobdela) и др., которые провели часть своей
жизни в нашей стране и имели связь со здешними гре-
ческими школами. Мало знаем мы об Амфплохии Хоти-
ниуле (Hotiniul), опубликовавшем первую книгу по ма-
тематике в дунайских княжествах. Эта книга представ-
ляет во многих отношениях особый интерес, и я хотел бы
сказать о ней и ее авторе несколько слов.
Источники первой молдавской ариф-
метики. 11 декабря 1795 г. в Яссах была издана
книга Elementi Aritmetici, т. е. «Начала арифметики»
за подписью: «смиреннейший из архиереев Амфилохий
Хотиниул». До этого он опубликовал также перевод
с русского языка книги по богословию морали митропо-
лита Платона, а также географию по Бюффие.
К сожалению, об Амфилохпи, как я сказал, известно
очень мало. Из заметки, сделанной им на обложке одной
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
551
книги, известно, что в 1772 г. он находился в Риме. Позже,
в конце XVIII века, он был сотрудником и советником
митрополита Якова Стамате по культурно-просветитель-
ским вопросам Молдавии.
Рис. 1. Автограф Амфилохия,
Из опубликованной Амфилохием географии следует,
что он поддерживал тесные связи с Киевом, в котором он
бывал.
По данным румынской библиографии, арифметика
Амфилохия является четвертой арифметикой, напечатан-
ной на румынском языке. Первые две, без указания автора,
были напечатаны в Вене в 1777 и 1785 гг. и являются
переводами официальных учебников, принятых в Габс-
бургской империи; третья, также переводная, является
552
ИЛИЕ ПОПА
«справочником» по арифметике Шинкая (sincai) и была
издана в Блаже в 1785 г. Относительно арифметики Амфи-
лохия Георгий Асаки (Asachi) утверждает, что о filada
(«одна брошюра») появилась в 1791 г.; основываясь на
этой справке, Ярку указывает ту же дату. Можно пола-
гать, что эти утверждения ошибочны, так как не нашлось
никаких следов этой брошюры; Асаки, видимо, слишком
опирался на свою память.
Однако у нас есть основания полагать, что рукописи
этих работ были подготовлены намного раньше их выпуска
и что они были в ходу до 1795 г. Так, в одном аттестате,
выданном Бартоломеем Мезеряну из Путны в 1778 г.,
говорится: «мы изучали при помощи наших наставников...
географпю, переведенную опи скопом Амфилохием по
Бюффие», между тем география Амфилохия была издана
тоже в 1795 г. Вот еще соображение в пользу того, что
рукопись арифметики существует по крайней мере
с 1784 г.: Амфилохий предлагает пять упражнений на вы-
читание, из которых первое гласит: «зная, что текущий
год от Христа 1795, требуется узнать, сколько лет про-
шло с 1523 года». После решения всех пяти упражненпй,
желая сделать проверку, Амфилохий сохраняет в четы-
рех упражнениях соответствующие уменьшаемые, но
в первом упражнении берет в качестве уменьшаемого 1784.
Это можно объяснить тем, что первоначально и в задаче
стоял 1784 г.; при печатании книги автор мог заметить,
что словам «текущий год» не соответствует 1784 г. п тогда
он заменил 1784 г. на 1795 г., но забыл внести это изме-
нение в текст проверки.
Книга Амфилохия явно превосходит упомянутые три
арифметики по стилю, содержанию и преследуемой цели.
Но что удивляет у Амфилохия — это злоупотребление
итальянскими терминами и выражениями. Этот факт по-
будил разных исследователей предполагать существова-
ние итальянского образца. В 1937 г., будучи в Риме, я
обнаружил такой образец, использованный Амфилохием
для первой части его арифметики, именно А. Conti,
Element! Aritmetici («Начала арифметики» А. Конти).
Об использовании учебника Конти свидетельствует мно-
гое: 1) Заглавие книги Амфилохия представляет полное
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
553
сходство с заглавием книги Конти. 2) В оглавлении («шка-
ле», как говорит Амфилохий) пронумерованы только главы,
названия которых взяты из книги Конти и не пронуме-
рованы те, которые Амфилохий добавил (или заимствовал
из других псточников). 3) Изложение в обоих случаях
арифметики в виде вопросов и ответов. 4) На седьмой
странице Амфилохий предлагает прочитать число 459826,
но в пояснительной табличке читает число 497856, кото-
рое как раз предлагает Конти. 5) Все изложение арифме-
тики у Амфплохия следует Конти, однако книга Конти
написана тяжеловатым, нередко претенциозным слогом,
а книга Амфилохия читается даже с удовольствием и не
тишена удачных выражений и некоторого юмора, в особен-
ности прп формулировке условий задач. 6) Терминоло-
гия, которую должен был создавать Амфилохий, иногда
прямо слишком подчинена терминологии Конти, например:
«фигура» для цифры (в современном значении, т. е. как
один из десяти символов от0...9) или schimbare (изменение)
для сокращения дробей (у Конти — schizare). В термино-
логии Амфилохия мы замечаем два отклонения: chendru
(вместо centra, центр) и ciira или {ilia для нуля (у Кон-
ти только zero или nulla). Откуда взял Амфилохий эти
термины, я до сих пор не знаю. Обращаю внимание на то,
что термин «цифра» в смысле нуля нигде больше в нашем
языке не встречается, и что, не считая его спорадиче-
ского употребления в XIII — XVII веках в Западной
Европе и в XIV веке в Византии, он также появляется еще
в России 1703 г., в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого,
весьма распространенной на протяжении всего XVIII сто-
летия, а также в одной польской анонимной арифме-
тике, также XVIII века. 7) В кнпге Амфилохия есть
целые отрывки, дословно переведенные из Конти.
Однако в 1937 г. я не был еще знаком с книгой, послу-
жившей Амфилохию образцом для второй части его книги,
озаглавленной «Геометрическая арифметика». Недавно мне
удалось найти и эту книгу, а именно Almanacco Perpetuo
Rutilio Benincasa («Вечный альманах» Р. Бенинказа). Этот
альманах получил огромное распространение в Италии.
Первое издание его появилось в 1593 г. Альманах был
переиздан несколько раз самимБенинказа, а впоследствии
554
ИЛИЕ ПОПА
и другими, в том числе Ottavio Beltrano (Бельтрано);
первое переиздание альманаха было сделано в 1602 г.
Всего было выпущено не менее 42 издании, последнее
в 1881 г. Амфплохии использовал издание, также при-
надлежащее Бельтрано и напечатанное в Бассано
в 1720 г. Этот альманах представляет собой небольшую эн-
циклопедию полезных сведений, но содержит в то же
время и ошибки, навязанные инквизиторским догматиз-
мом католической церкви. Интересно, что Бенинказа
дополнил его небольшим трактатом по арифметике, кото-
рый был напечатан отдельно как им самим, так и Бельтра-
но; этот трактат Бенинказа написал по образцу первой пе-
чатной анонимной арифметики, вышедшей в 1478 г. в Тре-
визо. Существуют доказательства, что этот альманах был
как бы настольной книгой Амфилохия. Некоторые данные,
содержащиеся в этом сочинении, были, по-видимому, ис-
пользованы Амфилохием при составлении географии,
а может быть, и для составления той рукописи по естество-
знанию, которая приблизительно лет сорок назад нахо-
дилась в Киеве и, по всей вероятности, также принадле-
жала Амфилохию. К моему удивлению, я установил, что
Амфплохии взял из этого альманаха и предисловие для
своей книги, сделав при этом соответствующие измене-
ния. Любопытно, что в этом предисловии автор пытался
доказать согласие между математикой и богословием; та-
ким образом математика могла избавиться от оков теоло-
гии. Из книги Конти Амфплохпй не взял нп одного чи-
сленного примера (за исключением указанного выше
с ошибкой в числе), а у Бенинказа — Бельтрано он заим-
ствовал ряд примеров. В одном месте он переписал даже
опечатку (80x60=4880!). Следует сказать, что там, где
Амфплохпй понимает или знает больше, чем Бенинказа—
Бельтрано, он объясняет вещи яснее и в более изыскан-
ной форме.
Следовало еще выяснить, что побудило Амфилохия
сравнить «господарскую ладонь» пз Молдавии с римским
футом. Это сравнение дало ему повод написать несколько
истинно прекрасных страниц, которые Ламбрпор вклю-
чил в свою известную антологию Carte de citire («Книга
для чтения»), и которые заинтересовали в свое время
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
555
Хаждэу. И тут я нашел источник. Существует итальянский
трактат по хозяйству L'Economia del cittadino in villa
(«Экономия горожанина в деревне»), автор которого мне
неизвестен (в экземпляре, принадлежавшем Амфплохию.
не достает около 300 страниц). Трактат вышел, как сле-
дует по некоторым данным текста, после 1640 г., но не-
намного позже. В нем сравнивается болонская бпсолка
(bisolca) с римскими земельными мерами, связанными
с римским футом, и упоминается о congio tarucsiano1), о
котором упоминает и Амфилохий.
Начало оригинальной математи-
ческой деятельности. В начале XIX в. на
сельскохозяйственные продукты Молдавии и Валахпи по-
является спрос заграницей, с одной стороны, вследствие ос-
ла бленпя турецкого грабежа в этих странах, а с другой сто-
роны, из-за дешевизны этих продуктов, которая являлась,
главным образом, результатом крепостнической эксплуата-
ции. Вывоз сельскохозяйственных продуктов повысил
значение земель, а это заинтересовало крупных землевла-
дельцев в составлении более точных планов их латифун-
дий; так возникла потребность в кадрах местных инжене-
ров-землемеров. Появилась инженерная школа Георгия
Асаки в Яссах, первый выпуск инженеров которой был в
1818 г., и, позднее, школа Г. Лазэра (Lazar) в Бухаресте.
Дело, начатое Асаки, было продолжено в Михайлов-
ской Академии в Яссах. Те немногие сведения по высшей
математике, которым здесь обучали, легли в основу обра-
зования первого румынского математика—Дмитрия Асаки,
старшего сына Г. Асаки. Д. Асаки напечатал в Мюн-
хене в 1841 г., когда ему было только 20 лет, работу Uber
die Umkehrung der Reihen («Об обращении рядов»), ко-
торую он посвятил Михайловской Академии.
В этой работе Д. Асаки пытается найти общее выраже-
ние коэффициентов ап степенного ряда
х = у + а.2у2+ . . . +апуп+
зная коэффициенты ап степенного ряда
у = х + а,х.2 + ... + апжп + ...
*) Единица ёмкости времен римского императора Веспасиана
556
ИЛИЕ ПОПА
Работа Асаки произвела впечатление на его сооте-
чественников, но другие работы за ней не последо-
вали.
Впрочем, Д. Асаки вскоре едет в Париж, где поступает
в военную Академию. Вернувшись на родину, он работает
несколько лет препо-
давателем в Михайлов-
ской Академии. Мы
обязаны Д. Асаки пуб-
ликацией первого топо-
графического трактата
на румынском языке.
Неизвестно, по ка-
ким причинам 1 января
1846 г. Асаки бежал
в Россию (предпола-
гаю, что это связано
с придворным сканда-
лом: старший сын госпо-
даря заключил без роди-
тельского ведома тайный
брак с писательницей
авантюристкой, извест-
ной под псевдонимом
«Графиня Даш»; имея
в виду связи Д. Асаки
с этим сыном господаря,
можно думать, что он
Дмитрий \iaKH. был замешан в ЭТом де-
ле). О своем путешест-
вии Д. Асаки напечатал позднее интересную книж-
ку, из которой мы узнаем, между прочим, что в
местечке Алешки изучали артиллерийское дело семь
румынских юношей.
Позже Асаки принимал участие в Крымской войне
в качестве турецкого (!) офицера (он состоял адъютантом
Григория Стурдзы, сына бывшего господаря, о котором
говорилось выше) и сохранил на всю жизнь звание майора.
В Яссах существуют еще некоторые здания, планы кото-
рых былп составлены тем же Д. Асаки.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
557
Второй румынский математик в хронологическом по-
рядке — Эммануил Бакалоглу (Bacaloglu). Его труды,
написанные в Лейпциге и Париже, были переизданы док-
тором Истрати (Istrati) в полном собрании сочинений
Бакалоглу. Онп заинтересовали некоторых румынских
и заграничных математиков. Я напомню только , что Тер-
рачини недавно предложил назвать «кривизной Бакалог-
3 Г 1 11 1 1
лу» выражение -g- [-Д2~+ +у , где и И.2—
радиусы главных кривизн: Бакалоглу ввел это выраже-
ние, считая его более «подходящим», чем гауссова кри-
визна, недостаток которой он видел в том, что она равна
нулю для развертывающихся поверхностей.
Кривизна Бакалоглу оказалась важной и в проблемах
капиллярности. Вернувшись на родину, Бакалоглу не
смог больше заниматься математикой из-за неблаго-
приятных условий. Он работал в Бухарестском универ-
ситете в качестве профессора физики и опубликовал трак-
тат по физике. Доказательством того, что Бакалоглу не
потерял все же интереса к математике, является создание
им общества любителей математики, которое, однако, су-
ществовало недолго.
На третьем румынском математике Шт. Н. Ботезе
(Botez) я остановлюсь подробнее, так как в последнее
время мне удалось обнаружить некоторые интересные под-
робности о его деятельности.
Шт. Н. Б о т е з. В 1872 г. Ботез, выпускник Ясской
гимназии, технический руководитель первого класса
корпуса инженеров путей сообщения, опубликовал в Яссах
свой труд: Proprietatea seriei Armonice cu utilitatea ei
scientitica disvalita si demonstrata prin Analisa Ele-
mentare («Свойство гармонического ряда п его научная
ценность, открытые и доказанные при помощи элементар-
ного анализа»),
В предисловии автор указывает, что существуют неко-
торые практические вопросы, как спрямление конических
сечений, квадратуры и кубатуры их поверхностей враще-
ния, решение которых требует знания «высшего анализа».
Чтобы помочь тем, у кого нет таких знаний, Ботез ставит
ПЛИЕ ПОПА
55S
задачу решения подобных вопросов элементарными спосо-
бами. Речь идет о приближенном вычислении некоторых
определенных интегралов, т. е. некоторых пределов. В осу-
ществлении этой программы Ботез встретился с некото-
рыми препятствиями вроде суммирования с требуемой
со
степенью точности отрезка ряда У (а-\~Ьп)т, т < U и,
71=1
в частности, отрезка гармонического ряда. С этого во-
проса^ и начинает Ботез свою работу, предупреждая, что
другие результаты будут опубликованы позже.
Ясская интеллигенция знала и ценила эту деятель-
ность Ботеза. В журнале Кодреску Buciumul Romin го-
ворится о «научных трудах г-на Ботеза»; они ставятся
в пример, которому нужно следовать. Но Ботез больше
ничего не опубликовал; очень возможно, что его рукописи
затеряны.
Ботез был самоучкой. После окончания гимназии он
был назначен в технический корпус и много времени рабо-
тал на строительстве плотин на реке Бырладе. Больше
он нигде не учился, а ясские преподаватели математики
не могли оказать ему существенной помощи. Однако,
опубликованный труд доказывает нам его неоспоримую
математическую одаренность.
То, что Ботеза не забыли, является заслугой Ясского
математического семинара и в особенности академика
А. Миллера, который опубликовал доклад о работе Ботеза.
Итак, Ботез ставит задачу получить формулу, «по-
средством которой можно было бы легко найти точную
сумму нескольких последовательных членов гармони-
ческого ряда»
11 1
х+1 + х + 2 + • • • + 2ж+ 1 ’
и показать, что «ее предельной суммой является
0,693147177 плюс ряд, который для любого большого зна-
чения х приближается к нулю».
Записывая = 1 —= 1 —г- + , , тт
2к к ’ 2/с +1 к к (2к -f-1)
_2 2 2fc___1 2
плп ~2Г = 1 - 2Г ’ 2^И = 1 ” 2к + 1 И вычисляя №УМЯ
различными способами, соответствующими этим разло-
из истории математики в Румынии 559
2х-1
женпям, сумму У, , Ботез приходит к следующей
h=l
интересной формуле:
1 , 1 । ( 1
x+l + x + 2^- " + 2х+1 =
2 L 1-3^2-5^ (2х+1) J
Заметим, что если бы Ботез произвел в правой части про-
1 1 1 «
стое разложение ^.(2/c+1) = > он получил бы
формулу
1 । . _1___!____L. । 1 1 г1'\
х+1++2х+1^ 1 2 + 3 ""*2х—1 2х ’ I1 >
значение которой мы сейчас же увидим.
Новые преобразования правой части (1) приводят Боте-
за к формуле
11 1
х+ 1 + ~х+Т + ' ’' + 2х =
СО
= 0,693147177 - V , (2)
п=0
которая и дает решение поставленной задачи. Далее он
уделяет внимание некоторым проблемам апроксимации,
связанным с формулой (2). И здесь Ботез выступает как
хороший знаток вопроса. Труд закапчивается установле-
нием других формул, аналогичных формуле (1).
В мае того же 1872 г. Ботез представил Бельгийской
Академии краткое изложение своей работы, напечатан-
ное в Яссах. Академия назначила докладчиками Ката-
лана и Жильбера. В июле 1872 г. Каталан доложил сле-
дующее: «Мемуар, представленный на суждение Акаде-
мии, есть краткое изложение сочинения, опубликованного
г-, Ботезом на румынском языке. Поэтому согласно уставу
этот мемуар не может быть предметом отзыва.
Однако, поскольку формула г. Ботеза важна, а сообра-
жения, которые его к ней привели, просты и остроумны,
560
ИЛИЕ ПОПА
я имею честь ходатайствовать перед классом о том, чтобы
он выразил автору мемуара и брошюры благодарность».
Далее в отчете Академии сказано:
«В соответствии с этими заключениями, с которыми
согласился и второй комиссар г. Жильбер, класс
Шт. Еотез
постановил передать работу г. Ботеза на хранение в архив
и путем голосования выразил благодарность автору».
Нужно заметить, что ни об одной из работ, представ-
ленных Академии в тех же условиях, как и работа Ботеза
(т. е. в какой-либо форме опубликованных ранее), отчеты
не составлялись. Больше того, Каталан одновременно
представил собственное сообщение «Об одной формуле
г. Ботеза из Ясс». Ясно, что изобретательность ясского
Из ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РУМЫНИИ
561
самоучки произвела впечатление иа Каталана, известного
специалиста того времени.
Каталан начинает свое сообщение с более простого
доказательства формулы (2); при этом он исходит из фор-
мулы (1'), 0 которой говорит: «Для доказательства по-
следней, очевидной прп т=1, достаточно заменить х
на я+1 и затем почленно вычитать». Затем он применяет
к правой части преобразование Эйлера (что, в сущности,
сделал с большим трудом Ботез) и получает (2). Вместе
с тем Каталан уточняет, что число 0,693... в формуле
Ботеза представляет 1п2. Далее Каталан изучает транс-
цендентную функцию у (n) = 1 + - -|- ... -}- — In п — у
(у—постоянная Эйлера), прп помощи которой можно вы-
разить ряд правой части формулы Ботеза, так как
1 1
<fi (2н) - (п) = ——г -}- ... -1п2; наконец, Каталан
fl [ J- £fl
анализирует связп этой формулы с эллиптпческпмп функ-
циями.
Интересно, что «влияние» Ботеза не ограничивается
этим. Формула (1') поправилась и Чебышеву. Действи-
тельно, на V сессии Французской ассоциации содей-
ствия преуспеванию наук в Клермон-Ферране (1876 г.),
Чебышев сделал сообщение: «Обобщение формулы Ката-
лана и вытекающая из него арифметическая формула».
Вог начало этого сообщения:
«Г. Каталан только что сделал важное замечание, что
предел суммы
— Ф —+ • +-
n 1 1 п -J- 2 ~ ' 2п
для п — со, равный log2, вытекает из тождества
1-±4-А- 1 _ 1 , 1 , .1
2'3 2п п+1п + 2'г”''г2п’
которое легко проверить. Это тождество, которое замечено
г. Каталаном и обнаруживает очень ясно приближение
суммы 1.1 1
л + 1 + л + 2 + ’’’ 2п
К пределу log2, когда п возрастает беспредельно, тем бо-
лее заслуживает внимания, чго оно легко может быть
36 Истор.-матем. исслед., выл. XI
562
ИЛ НЕ ПОПА
обобщено и приводит к арифметической формуле совер-
шенно нового рода»1).
Формула великого русского математика следующая:
, U3 llin 1<2П+2 , ।
1 2'3 ‘ ' 2п n + 1 и + 2 +
I | и4П , I I V.2n
+ 2^ + Т+ ••• + ~2^’
где Wj, н2,... произвольные числа, a vn=un—и2п. Наконец,
арифметическая формула, о которой говорится в заглавии
и которая поразила современников Чебышева, такова:
401082-4=У + ,
° b ' ' пг ’
п=1
где а—произвольное положительное число, а [а] означает
целую часть х.
Позже (1886—1890 гг.) иной вывод формулы (!') пред-
ложил менее известный математик Симон.
Кончая, я хотел бы сделать два замечания:
” ±(41 + ^2+
был вычислен другим путем, на пять лет раньше Ботеза,
проф. математики в Австрийской военно-морской школе
Ф. Унфердпнгером. Его работа недостаточно строго обос-
нована; она, по-видимому, не была известна ни Ката-
лану, ни Чебышеву, а тем более Ботезу.
б) Если Ботез намеревался использовать формулу (2)
для вычисления площади, ограниченной гиперболической
дугой, то Мансион, несколько лет спустя, пошел по обрат-
ному пути: принимая площадь известной, он доказал, что
log n < 1 + у + ..+ — < In п + у . Здесь мы подхо-
дим к новой стадии развития румынской математики, к той
стадии, в которой румынские ученые уже вносят свой
оригинальный вклад в международное развитие матема-
тики.
*) Полное собрание сочинений II. Л. Чебышева, т. I, М.— Л.,
1944, стр. 278.
113 ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБЩЕСТВА
(Связи между математиками Румынии и СССР)
А. Н. Гливич
В январе 1957 г. исполнилось 60 лет со дня образова-
ния Румынского математического общества. В течение
этого времени Общество проделало большой путь и стало
организацией, которая охватывает практически всех твор-
чески работающих румынских математиков. Особенно
больших успехов достигло Общество в народно-демокра-
тической Румынии, когда оно стало работать в содруже-
стве с математическими обществами других демократи-
ческих стран, в частности, Советского Союза.
Настоящая статья содержит обзор главнейших фактов
истории Румынского математического общества и дан-
ных о научных связях между румынскими н русскими
и советскими математиками.
Румынское математическое общество возникло на базе
Инженерного общества, организованного в 1881 г. В чпело
членов Инженерного общества вошли и представители
других наук: физики, химпп и математики1). Среди них
былп наиболее крупные в то время математики, такие
как Спиру Харет, Гр. Цицейка и др. С течением времени,
когда чпсЛо специалистов различных отраслей наукп на-
*) I. loncscu, Istoricul infiintarii sec(innii matematice a
societa|ii Romine de $tiinte.—Gazeta Matematica, N 27, Bucuregti,
1921, pp. 225—234.
36*
564
А. И. ГЛИЬИЧ
столько выросло, что могли образоваться самостоятель-
ные коллективы, из Инженерного общества выделились
физики и химики, а затем и математики, образовав под
руководством проф. Бухарестского университета К. Гогу
общество «Друзья математических наук» (1894). Целями
нового общества были: 1) улучшение преподавания мате-
матики в средней школе и 2) углубление знаний в области
математики самих членов общества.
Спустя три года, в январе 1897 г., общество «Друзей
математических наук» объединилось с обществом физиков
и химиков в «Научное Бухарестское общество» с тремя
секциями: физики и химии, математики и естествознания.
С этого времени начал издаваться бюллетень научного
общества, материал в котором печатался по секциям1).
С 1903 г. «Научное Бухарестское общество» было пере-
именовано в «Румынское научное общество», так как стало
объединять представителей не только Бухареста, но и jpy-
гих городов Румынии.
Отдельный бюллетень математической секции Общества
выходит с 1923 г.2). В связи с реформой научных учреж-
дений в Румынии (1948 г.)3), бюллетеню было дано другое
название: «Studii §icercctari Matematice», т. е. «Матема-
тические труды и исследования».
Общественные условия пе создавали предпосылок для
более раннего появления научных обществ в Румынии.
Научно-педагогические коллективы математиков форми-
руются здесь только в первой половине XIX века, когда
стали работать Инженерная школа и Михайловская Ака-
демия в Яссах. Подготовка математиков в Румынии на-
чалась с открытием румынских университетов: в Яссах
с 1860 г. и в Бухаресте с 1864 г. Однако до конца XIX века
математиков-специалистов было подготовлено еще очень
мало. До 1892 г. математическое отделение факультета
г) Academie Roumaine. La vie seientifiquc en Roumanie, Scien-
ces pures, Bucarest. 1937, стр. 46—47.
2) Societatea Romina de §tiintc.—Bui. de §tiin{e Matematice
pure §i aplicate. № 1—3, Bucuresti, 1923.
3) S. S t о i 1 о v, Dezvollarea inatematicii in R.P.R. in anii
1944—1954.—Gazeta Matem. si Fizica, № 8—9, seria A, 1954,
стр. 341—347.
- ПЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 565
естествознания в Бухаресте закончило 31 человек, а
в Яссах — 13 человек1).
Отдельные румынские математики былп известны своими
работами и до организации Общества. Среди них наиболь-
ших результатов добился Бакалоглу2) (1830—1891). Ба-
калоглу был первым румыном, занимавшимся не только
педагогической, но и серьезной научпо-исследовательской
работой в области физики и математики. В 1856 г. Бакалог-
лу получил научную командировку в Лейпциг, где изу-
чал математику, физику и химию, а затем, в 1857 г., на-
правился в Париж, где специализировался по физике.
В 1859 г. Бакалоглу возвращается в Лейпциг и с этого
времени начинает публиковать оригинальные работы по
математике, физике и химии в заграничных журналах.
По предложению Террачинп (1935) именем Бакалоглу
названа одна выведенная им формула кривизны поверх-
ности3).
Бакалоглу примечателен еще и тем, что он первый
пытался организовать математическое общество в Румы-
нии (в 1862г. и в 1868 г.), но его попытки успеха не пмели.
С одной стороны, не было еще достаточного количе-
ства математиков, с другой стороны, предложенный им
статут общества был весьма строг: член общества обязан
был каждые три месяца представлять на заседанпе об-
щества работу, в противном случае он автоматически
выбывал пз членов общества; за четыре отсутствия на
заседаниях общества член общества также подвергался
исключению4).
Необходимо упомянуть еще Спиру Харета, Констан-
тина Гогу и Давида Емануеля, оказавших большое влия-
ние на развитие математики в Румынии.
Спиру Харет (1851 —1912)—первый румын, который
защитил докторскую диссертацию в Парпже (1878). Тема
') Gazeta Matematica. № 27, Bucuresti, 1921, стр. 225.
2) Prof. С. G. В е d г е а g, Е. Bacaloglu (1830—1891).—Gazeta
Matematica si Fizica, № 7, 1953, стр. 303—308.
3)E. Bacaloslu. Vber die Kriimmung der Fliichen.—
Zeitsehrift fur Mathematik und Physik, 4 Jahrgang, Leipzig, 1859,
стр. 312—314.
4) Buletinul de stiin(e matematicc pure si aplicatc, Bucuresti,
1925, стр. 35—36.
566
А. И. ГЛИВПЧ
была—«О неизменяемости больших осей планетных орбит»1),
комиссия состояла пз Пюизе, Врио и Вайо. Помимо науч-
ной деятельности в Бухарестском университете, где он
занимал кафедру теоретической механики, Спиру Харет
вел большую работу по организации образования в Ру-
мынии и несколько раз занимал пост министра просве-
щения.
Давид Емануель (1854—1941) защитил докторскую
диссертацию в Париже в 1879 г. (вторая диссертация,
защищенная румыном в Париже). Тема диссертации была:
«Об абелевых интегралах третьего порядка»2). Вернувшись
на родину, Д. Емануель посвятил себя исключительно
подготовке будущих математиков и инженеров, работая
профессором в Бухарестском университете и в Школе
мостов и дорог. В течение 50 лет он прививал молодежи
любовь к математике. Его выдающееся педагогическое
мастерство получило высокую оценку румынской научной
общественности. Д. Емануель написал ряд учебников для
высшей школы, в том числе двухтомный курс «Теории
функций», опубликованный в 1924 г.3). Константин Гогу
(1854—1897) защитил докторскую диссертацию в Париже
в 1882 г. по небесной механике4). Некоторые результаты
Гогу опубликовал в 1884 г.5). На родине К. Гогу был про-
фессором аналитической геометрии Бухарестского уни-
верситета.
В первые же годы существования математического
общества определяется круг математических проблем, на
*) S. Hare t, Sur I’invariabilite des grandes axes des orbites
planetaires (These, Paris, 30 janvicr 1878).
2) D. Emanuel, Sur les integrates abeliennes de 3-e espece
(These, Paris, 5 juillet 1879).
3) D. Emanuel, Lectiuni de teoria funcfiunilor. 2 vol.
Bucure§ti, 1924, Cultura Nationala edit.
4) C. G о g u, Sur une inegalite lunaire due a Paction de Mars
(These, Paris, 7 Fevrier 1882).
5) C. G о g u, On the numerical value of the coeficient of Nel-
son’s long inequality in the Moon’s motion du to the action of Mars
(Monthly Not. of the R. Astr. Soc. London; m. 44, 1884, стр. 1—4).
Его результаты можно найти также в небесной механике Тиссерана
(Tisserand, Mecanique celeste,m. Ill (1894), стр. 379) и в Encyc-
lopedic der Mathematischcn Wissenschaften, m. VI-а, стр. 716.
ИЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 567
исследование которых направляются усилия большинства
членов общества.
Одним пз основных научных направлений сразу же
становятся исследования по дифференциальной и проек-
тивной геометрпп. Исходным пунктом этих исследований
явилась докторская диссертация Гр. Цицейка (1873—
1939): «О циклических конгруэнциях и трижды сопряжен-
ных системах»1), защищенная им в 1899 г. в Париже
и выполненная под руководством Г. Дарбу.
Второе, не менее значительное направление образо-
вали работы по теории аналитических функций, берущие
свое начало от Д. Помпейю (1873—1954). Последний, по-
лучив научную подготовку в Париже под руководством
Пуанкаре, достиг многочисленных научных результатов,
получивших международное признание. В частности,
в 1912 г. он ввел и исследовал понятие «производной по
области», оказавшейся весьма плодотворным в теории
аналитических функций, геометрпи и теории уравнений
с частными производными2).
С начала 20-го века развертываются также исследова-
ния по теории дифференциальных и интегральных урав-
нений. Они были начаты учеником Пикара Тр. Лалеску
(1882—1929)3) и превратились в одно из главных для
Румынского математического общества направлений,
вокруг которого неизменно группируется часть его луч-
ших сил.
Начиная с 20-х годов, число членов Общества заметно
выросло. Само Общество настолько окрепло, что смогло
организовать в стране математические съезды4), принять
активное участие в международных конгрессах, прпгла-
*) G. Т г i t г е i a, Sur les congruences cycliques et sur les sys-
temes triplement conjugues.—Ann. Sc. de 1’Ec Normale Sup., 3е
serie, m. XVI (1899), стр. 137—192.
2)D. Pompein, Sur une classe des fonctions d’une variable
complexe Rendiconti del circolo Matematico di Palermo, m. 33 (1912),
стр. 108—113.
3) E. A b a s о n, Tr. Lalescu.—Bui. Math, de PEcole Polyt.
Bucarest, I, стр. 72, 1929.
4) Всего было четыре съезда: 1929—Клуж, 1932—Турну—Севе-
рин, 1937—Бухарест, 1956—Бухарест. В 1927 г. была организована
первая конференция Румынского математического общества,
568
A. H. ГЛПВИЧ
шать видных математиков для чтения лекций и докладов
и т. д.
Расширение международных связей оказало большое
влияние на изменение характера научной деятельности
членов общества. Опа стала гораздо более разносторон-
ней. В течение тридцатых-сороковых годов появляются
псследоваппя по топологии (С. Стоплов), алгебре и теории
групп (Гр. Моиспл, Д. Барбплиан), по математической
логике (Гр. Моиспл), теории вероятностей (О. Опическу,
Г. Михок). Особенно большие размеры и многообразные
формы приняли научное сотрудничество п контакты ру-
мынских математиков с математиками Советского Союза.
Эти благотворные контакты сложились как неотъемлемая
часть экономических, политических и культурных свя-
зей румынского народа и народов Советского Союза.
Связи румынских математиков с русскими математи-
ками существуют с давних времен, несмотря на пре-
грады буржуазно-помещичьего режима.
На территории Румынии с XIV века существовали два
феодальных княжества, Валахия и Молдова, попавшпо
вскоре под турецкое иго, продолжавшееся до 1829 г.
В 1829 г. эти княжества добились, благодаря помощи
России, автономии. Позднее (в 1859 г.) они объеди-
нились в единое государство, называвшееся с 1861 г. Ру-
мынией.
Имеются данные, что еще в XVII веке русская куль-
тура начала проникать в румынские княжества. Некото-
рые из этих данных, относящиеся к истории математики,
мы приведем ниже. Проф. Ясского университета К. Клп-
меску пишет1), что в 1642 г. в Яссах была организована
Академия по образцу Кпевскоп академии, основанной ми-
трополитом Петром Могила (румынское: Петру Мовилэ),
причем были приглашены преподаватели пз Киева.
В этой Академии обучался известный румынский книж-
ник XVII в. Николай Милеску (1625 — 1708), который
по политическим соображениям был вынужден покинуть
Молдову и уехать за границу. Долгое время он жил в Рос-
сии, в Москве, где написал на славянском языке «Тракт
*) Gazeta Matematica, № 27, Bucuresti, 1921.
ПЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 569
по арптмологпи» (1673)1). Это сочинение, по отзыву
П. Сержеску, является настоящей математической рели-
гиозной и философской энциклопедией.
В Бухаресте в 1(578 г. была организована Академия
по итальянскому образцу. В обеих румынских академиях
преподавание велось вначале на славянском п латин-
ском языках, затем на греческом и с конца XVII в. на фран-
цузском языке. На рубеже XVIII—XIX вв. в княжествах
все настойчивее раздаются голоса об открытии нацио-
нальных школ, где румыны могли бы получать образо-
вание на своем родном языке. К этому времени появ-
ляются уже рукописи’ и математические книгп на румын-
ском языке. Первая школа с преподаванием исключительно
на румынском языке была открыта в 1803 г., в Соколах,
близ Ясс2).
В связи с открытием школ с преподаванием на румын-
ском языке, академип, где преподавание велось на ино-
странных языках, стали терять свое значение и вскоре
прекратили существование.
Большие политические изменения произошли в ру-
мынских княжествах после войны между Россией и Тур-
цией в 1828—1829 гг. С этого времени и навсегда румын-
ские княжества избавляются от турецкого ига. В каче-
стве протектора Россия руководила составлением для
обопх княжеств первой конституции,так называемого «Орга-
нического регламента» («Регул аментул Органик»). Эта
конституция была подготовлена специальной комиссией,
в которую вошли представители обоих княжеств. Секре-
тарем комиссии был избран известный румынский уче-
ный того времени математик Георгий Асаки.
Конституция вошла в силу в Валахии в 1831 г., в Мол-
дове в 1832 г. и сыграла положительную роль в подъеме
культурного уровня в обоих княжествах.
Вот что писал И. Ионеску (1870—1946), занимавшийся
историей математики в Румынии на протяжении всей
!) Р. Ser gescu, Histoire des sciences mathematiques et.
physiques en Roumanie.—Bull, de Comite international des sciences
historiques, № 19, Mai 1933.
2) I. I о n e s c u, Istoricul inva|amdntului ingineriii in Ro-
niinia, Bucuregti, 1932, стр. 22.
570
A. H. ГЛИВИЧ
своей жпзпп: «Русский протекторат над обоими княже-
ствами имел хорошее влияние на развитие образования
в княжествах. Органический регламент был составлен
в связи с действительными нуждами нашей страны»1).
И дальше: «Органический регламент свидетельству-
ет о том, с какой заботой был составлен отдел, касаю-
щийся образования и поднятия культуры в нашей
стране»2).
В регламенте особое место было отведено общему обра-
зованию в княжествах и, в частности, математике.
Было создано четыре типа школ3): начальная школа*
с 4-х годичным сроком обучения, средняя четырехгодич-
ная школа, дополнительная трехгодичная средняя школа
п Инженерная школа в Яссах с трехгодичным сроком
обучения.
В Инженерной школе на первом курсе преподавались
тригонометрия, основы топографии и высшая алгебра,
на втором курсе — дифференциальное исчисление и геоде-
зия, на третьем курсе — механика и архитектура. Г. Аса-
ки был назначен первым дпректором Инженерной школы
и преподавал в ней математику.
В 1835 г. по настоянию Г. Асаки в Яссах открывается
еще одна высшая школа, так называемая Academia Mihai-
leana, т. е. Михайловская Академия, преобразованная
в 1860 г. в Ясский университет.
Среди первых преподавателей математики, кроме
Г. Асаки, В. Фабиана и др. встречаем имя русского майора
Сипгурова, читавшего курс лекций по прикладной мате-
матике4).
Более тесная связь между румынскими и русскими
математиками устанавливается вскоре после организа-
ции Румынского математического общества. Ярче всего
эта связь проявилась в научной деятельности таких веду-
’) Florica С i m р a n, I. lonescu si cercetarile lui in istoria
Mat. Romine.—Anal. Acad. R. P. R., t. 3, memorii 30.
2) Gazeta Matematica, № 21, Bucuresti, 1915.
3) Bui. du comite international des sciences historiques, № 19,
Mai 1933. P. Sergescu, Histoire de Sci. math, et phys. en Rou-
manie.
4) An. Acad. R. P. R., m, 3, memorii 30.
.113 ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 571
щих румынских математиков, как Гр. Цицейка, Д. Пом-
пейю и др.
Как было отмечено выше, математические интересы
Цицейка сформировались в годы пребывания в Париже
(1895—1900), где он обучался в Высшей нормальной школе
иод руководством замечательного французского матема-
тика Г. Дарбу. Влияние Дарбу сказывалось на работах
не только Цицейка, по и математиков других стран. В част-
ности, московский математик Д. Ф. Егоров в своей статье
L’ne classe nouvelle de surlaces algebriques qui admcttent
une deformation continue en vestant algebrique1), неодно-
кратно ссылается на работы Дарбу. Эта общность науч-
ной проблематики и одновременность исследований опре-
делила творческое соревнование между Цицейка и Его-
ровым. Работа Д. Ф. Егорова Une classe nouvelle
de surfaces... была изучена Цицейка и результатом этого
явилась работа последнего: Sur la deformation continue
des surfaces2).
Цицейка отмечает здесь, что часть результатов Его-
рова была им найдена и опубликована в C.R. Paris, t.128,
р. 1276, в 1899 г. и ставит более общую задачу: отыскать
поверхности, которые прп непрерывной деформации до-
пускают неи.зменяющуюся сопряженную сеть. Цицейка
находит такие поверхности из тетраэдральных поверх-
ностей:
з з
х = А(и ф- я)2(ц а)-,
з з
у = В{и+ b)4v + b)\
3 3
Z = С (и + с)2(сф с)2
с помощью преобразований Петерсона3).
Другие работы Цицейка по теории поверхностей также
тематически близки к работам виднейших представителей
Ч С. R. Acad. Sci., Paris, т. 132, 1901, стр. 302—304.
2) С. R. Acad. Sci., Paris, т. 132, 1901, стр. 1100—1102.
3) См. монографию К. М. Петерсона: Uber Kurven und
Flaclien, Москва и Лейпциг, 1868.
572
А. И. ГЛИВПЧ
Московской дифференциально-геометрической школы
К. М. Петерсона п Д. Ф. Егорова.
Эта тематическая близость румынских и русских
математиков еще ярче проявляется в других областях
математики, в частности в теории аналитических функ-
ций.
Долгое время считалось несомненным, чго однознач-
ная функция, имеющая в некоторой области множество
особых точек, является разрывной на этих точках. В 1905 г.
Л. Зорети дал доказательство этого утверждения, оказав-
шееся впоследствии неверным. Д. Помпейю опроверг эго
утверждение; он построил однозначную функцию, непре-
рывную на совершенном множестве ее особых точек1).
Возьмем прямоугольник R и удалим из этого прямоуголь-
ника точки крестообразном области так, чтобы остав-
шаяся область представляла собой четыре отдельных пря-
моугольника, расположенных в углах первоначального
прямоугольника R. С каждым полученным прямоуголь-
СО
ником сделаем то же самое и т. д. Если сумма а = J afi
1
площадей удаленных областей Rh будет меньше площади а
прямоугольника R, то совокупность Е оставшихся точек
£ = £ В, имеет площадью чпсло а—а.
Обозначим через z = х -\-iy точки, которые не принад-
лежат множеству Е, п через w = и -к iv произвольную точку
прямоугольника R (которая может принадлежать Е,
а может п не принадлежать Е). Определим в R какую-
либо произвольную непрерывную функцию (и, и);
можно предположить, что 9 действительная и положи
тельная функция. Рассмотрим двойной интеграл,2)
2ni ) ) (u-x)2+(e —7/)2 ’
(R)
*) D. P о m p e i u, Sur les singularity des functions analyii-
ques uniformes.—C. R. Acad. Sci. Paris, t. 139, 1904, pp. 914—915.
2) С. Стоил OB, в статье: Singularitafile functiilor analitice
uniforme si lucrarile academicianului D. Pompeiu, studii sicercetari
matematice, 1954, N 1—2, говорит,что этот интеграл нужно рассмат-
ривать в смысле Лебега.
Its ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 573
ВЗЯТЫЙ ПО
записать
площади прямоугольника /?; его можно
1
2л i
с!ш,
г ® (w)
У w—z
R
обозначив через сАю элемент площади и через w аффикс
центра тяжести элемента do.
Пз этого интеграла вычтем последовательно интегралы
1 С ±^Ldtl}
2 п 1 ш — z 1
взятые по всем областям и положим
СО
F(z) = ’ I __L у \^Ld^.
' ' 2ni 1 w—z 2~i z—* J w—z
R k=i
F(z) и есть искомая аналитическая функция, опа непре-
рывна на всей плоскости (в чем можно убедиться, опираясь
на известные свойства логарифмического потенциала),
ее особые точкп принадлежат множеству Е. Функция
F(z) непрерывна также и в этих точках.
Это открытие Помпепю заинтересовало таких матема-
тиков как А. Данжуа, Ж. В. Линдберга, П. Пенлеве,
С. Стоплона, а среди русских математиков В. С. Федорова.
В. В. Голубева, П. С. Урысона1).
В своей магистерской диссертации В. В. Голубев2)
неоднократно упоминает о работах Помпепю3). Во вве-
дении В. В. Голубев говорит, что работ, в которых авторы
пытались разрешить вопросы общего характера о функ-
циях, имеющих совершенные множества особых точек,
г) Gr. М о i s i 1, Dimitrie Pompeiu.—Gazeta Matem. si Fizica,
•У 9, 1953, стр. 387.
2) В. В. Голубев, Однозначные аналитические функции
с совершенным множеством особых точек, Москва, 1916. стр. 61, 101,
Ю7, 109, 111, 120, 136, 138.
3) Именно о следующих: D. Pompeiu, Sur un exemple de
fonction analytique partout continue.—American Journal of Mathe-
matics, t. XXXII; Sur la continuitc des fonctions de variables comple-
tes.—Ann. de la Fac. des Sci. de Toulouse, 1905, t. 7, s. 2, стр.
264 315. Sur les singulaiites des fonctions analytiques uniformes.—
G R. Paris, 1909, v. 149, стр. 103—105.
574
A. H. ГЛИВИЧ
весьма немного, п этп работы написаны, главным образом,
в связи с вопросами аналитической теории дифференциаль-
ных уравнений, — достаточно упомянуть работы Иев-
леве, Зорети, Помпейю, Данжуа. В. В. Голубев отмечает,
что Помпейю первый построил пример аналитической
функции, всюду непрерывной и имеющей совершенное
множество особых точек, когда множество особых точек
имеет площадь, отличную от нуля.
В некоторых местах своей работы В. В. Голубев
ссылается на работы Помпейю, в других критикует недо-
статочно строгие доказательства Помпейю. Говоря, что
па характер поведения функции влияют характеристики
размеров множества, Голубев подчеркивает, что мысль
о влиянии меры множества на поведение функции впер-
вые встречается в работе Помпейю, который, основываясь
на этой мысли, получпл ряд интересных результатов, но
их доказательство, говорит Голубев, оставляет желать
лучшего. Далее Голубев указывает, что Помпейю пер-
вый1) стал применять для построения функций с совер-
шенным множеством особых точек интеграл Лебега. Ис-
пользуя работу Помпейю, Голубев доказывает, что одно-
значная аналитическая функция /(z)2), имеющая особую
изолированную спрямляемую линию L и ограничения
в области этой линии, может быть представлена как сумма
интеграла Коши, взятого по L, и функции, голоморфной
в области L.
Большой интерес представляло в то время построение
ограниченных функций с совершенным всюду разрывным
множеством особых точек. Голубев пишет, что Помпейю
в своей диссертации3) первый пытался построить такие
функции при помощи определенных интегралов, но его
доказательства не были строгими. Строгое доказательство
построения таких функций дал Данжуа4). П. С. Урысон
в работе «Об одпой аналитической всюду непрерывной
4) С. R. Acad. Sci. Paris, т. 149, 1909, стр. 103.
2) Sur les singularity des functions anahtiques uniformes.—
C. R. t. 149, стр. 103.
3) D. P о in p e i u, Sur la continuite de fonctions de variables
complexes, стр. 29.—Ann. de Toulouse, 7, 1905.
4) A. D e n j о у.—C. R. Acad. Sci. Paris, t. 149, стр. 258.
ИЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 575
функции» (1922 г.) также упоминает о диссертации Пом-
пейю1).
Свою работу Урысон начинает следующими словами:
«В примере Помпейю аналитической функции /(z), всюду
непрерывной, равной нулю на бесконечности и имеющей
особыми точками точки совершенного вполне разрывного
множества Р, множество Р имеет положительную меру.
Существование функции с аналогичными свойствами, но
со множеством Р меры нуль утверждалось Данжуа2).
Лузин и Меньшов доказали3), что, следуя методу по-
строения, указанному Данжуа, мы действительно полу-
чим функцию, имеющую требуемые свойства. Все эти
примеры крайне сложны и доказательство утверждаемых
фактов требует длинных и иногда довольно утомительных
вычислений».
Статья Урысона посвящена построению более простого
примера такой функции.
Урысон, очевидно, хорошо знал и работы Лалеску,
так как в своей работе «О единственности решения линей-
ных интегральных уравнений Вольтерра»4) он полеми-
зирует с одним утверждением Т. Лалеску, высказанным
в книге Introduction a la tlieorie des equations integrales
(Paris, 1912).
Объектом совместного труда румынских и советских
математиков явилось также введенное в 1912—1913 гг.
Д. Помпейю понятие производной по области (derivata
areolara). Помпейю ввел его в следующей форме:
Если /(z) есть функция от комплексной переменной,
непрерывная в области D, без того, чтобы быть голоморф-
ной, то интеграл Коши
/ (z) dz
*) П. С. Урысон, Труды по топологии и другим областям ма-
тематики, М.—Л., 1951, стр. 93.
2) С. R. Acad. Paris, т. 149, 1909, стр. 258.
3) Доказательство пе было опубликовано.
4) Напечатана впервые под заглавием: Sur I’unieite de la solu-
tion des equations lineaires de M. Volterra Bull, de 1’Acad.—Polona-
ise des Sci. et des lettres, s. A., 1922, стр. 57—62.
См. П. С. У p ы с о п. Труды по топологии и другим областям
математики, 1951, стр. 78.
576
A. H. ГЛИВИЧ
на замкнутом и спрямляемом контуре С пе равен нулю.
В этом случае производная по области функции /(z)
в точке z0 представляется как предел
1 С
/ (* 2) dz
когда контур у стягивается в точке z0, а 6 —область,
ограниченная кривой у.
Помпейю и ряд математиков, которые занимались
свойствами этого оператора, ограничились случаем, когда
функция
/(z)=P(z, y) + iQ(x, у)
допускает частные производные первого порядка, непре-
рывные в области D, т. е. случаем, когда производная
по области существует, непрерывна и имеет выражение:
^ = 1- 6^4 4^)1 • (2)
7)о> 2 [_ \ дх ду у дх ду у J ' '
Румынские математики М. Никулсску и Г. Кэлугэряну
выявили в своих докторских диссертациях1) ряд свойств
«производной по области».
В 1930 г. Г. Моиспл2) расширил понятие «производ-
ной по области» на пространство со многими измерениями3)*
Мысль о расширении этого понятия у пего возникла, как
он сам отмечает, в связи с чтением статьи Иваненко и Ни*
Кольского4), которые установили связь между уравне-
*) М. К icul-esc u, Fonctions complexes dans le plan etdins
1’espace, These, Paris, 1928; G. Calugareanu, Sur les
fonctions polynenes, These, Paris, 1928.
2) Gr. Moisil, Sur les systemes d’equations de Dirac.—
C. R. Paris, t. 191, 1930.
3)N. Teodorescu, Cercetarile romino-sovietice in teoria
derivatei areolare si funcjiilor monogenea.—Gazeta Matematica
$i Fizica, № 8—9, seria A, 1954, стр. 389—392.
4) Д. Иваненко и К. Никольский, Uber den
Zusammenhang zwischen den Cauchy—Riemannschen und Diracschen
Differentialgleichung.—Zeitschrift fur Mat. und Physik, 63, 1930,
стр. 129.
ИЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 577
ниями Дирака для волновой механики электрона и урав-
ппями Коши—Римана для голоморфных функций. Тео-
рия приложений производной по области была развита
И. Теодореску в 1931 г., в его докторской диссертации,
защищенной в Париже1). Он показал важность этого поня-
тия для математической физики, заменив в некоторых зада-
чах уравнения в частных производных уравнениями
с производной по области.
Понятие производной но области привлекло внимание
многих ученых. В. С. Федоров опубликовал ряд работ
о производной по области, обобщая результаты Помпейю,
Теодореску и Моисила. Между прочим, он изучил выра-
жение вида
J (£) = Р dx + Q dy
L
на множестве Е замкнутых кривых L, ориентированных
в односвязной области Л2).
Ссылаясь на работы Помпейю и Теодореску, послу-
жившие в его исследованиях отправным пунктом, Федо-
ров подробно исследует производную по области и под-
тверждает исключительную важность, с функциональной
точки зрения, теории производной по области.
В 1952 г. И. Н. Векуа исследовал эллиптическую
3u dv , , , ,
я---х- = аи + bv 4- /,
dx dv '
du dv I Г1 I
-д- + -5- = си+ dv + g
dy 1 Эх ' 1 ° I
систему (где функции a, b, с, d, /, g непрерывны в области
Е>) с линейным условием сш-{-рп=у на контуре С. Ве-
куа записывает систему (1) в виде
^ = AU + BU + F
dz
l) N. Teo d о r esc u, La derivee areolaire et ses applications
physiques, Paris, 1931.
z) В. С. Фе до ров. Об одном свойстве криволинейных ин-
тегралов. Матем. сб., т. 24, 1949.
37 Истор.-матем. исслед., вып. XI
578
A. H. ГЛИВИЧ
dU
и, толкуя в смысле производной по области, находит
ряд важных новых результатов1).
В 1953 г. советский математик А. В. Бицадзе исполь-
зовал расширенное понятие «производной по области»
в изучении проблемы, связанной с эластичными пластин-
ками2).
Исследования по теории и приложениям производной
по области продолжаются и в настоящее время как румын-
скими, так и советскими математиками, работающими в
тесном контакте.
Примеров, отражающих интерес румынских матема-
тиков к достижениям русских математиков, довольно
много. Например, в 1926 г. А. Анжелеску занимался мно-
гочленами Чебышева. Работу Анжелеску «О некоторых
многочленах Чебышева» представил Румынскому Матема-
тическому обществу П. Сержеску3 * s). Анжелеску указы-
вает, что если даны 0<а!<а3<... <ар, Кр поло-
жительны и
(«i) + (а2) + • • + (ар) = О
(где i=0, 1, 2,..., п—1), то/(х) имеет по меньшей мере п
действительных корней, содержащихся в интервале
Многочлены Чебышева Рп(х), определенные соотношения-
ми, записанными выше, где / заменяется через Рп, имеют
все действительные корни. Используя формулы механи-
ческих квадратур, Анжелеску показывает, что корни Рп=0
определены корнями многочлена Рп^ = 0 и многочлена
<?п(а;)=0. г«е
*) II. Н. В е к у а, Системы дифференциальных уравнений
первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с приме-
нением к теории оболочек. Матем. сб., 31, 1952.
2) А. В. Бицадзе, Аналогии в прострапстве интеграла типа
Коши и его применение.—Доклады АН СССР, т. XCIII, № 3, 1953.
А. В. Вица дз е, Обратимость одной системы особых интеграль-
ных уравнений.—Доклады АН СССР, т. ХСШ, № 4, 1953.
s) Bui. de §tiin|e Matemat ice, Bucuresti, 1926, стр. 115—116.
из ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЕШЕСТВА 579
В 1929 г. сетями Чебышева занимались Д. Хулубей
и затем А. Миллер1). В 1943 г. Г. Кэлугэряну пишет
работу: «Особенности однозначных аналитических функ-
ций и многочлены Чебышева»2).
В 1935 г. впервые в румынском журнале печатается
статья советского математика Н. Н. Лузина: Quelques
remarques sur les courbes qui sont des complementaircs
analytiques3).
Вскоре после этого начали налаживаться некоторые
формы непосредственной связи между Румынским Мате-
матическим обществом и научными организациями Совет-
ского Союза.
По инициативе профессоров Ясского университета
Ал. Миллера и В. Миллер-Лебедевой библиотека Ясского
математического семинара начала получать, первая в Ру-
мынии, советскую математическую литературу задолго
до второй мировой войны.
Некоторые заседания Ясского математического семи-
нара были посвящены работам русских и советских мате-
матиков. Сетями Чебышева занимались Ал. Миллер,
О. Майер, С. Крянга, Г. Георгиев, М. Хаймовпч и И. Попа,
И. Крянга, А. Хаймович.
В работе Ясского семинара былп использованы гео-
метрические исследования Д. М. Синцова, В. Ф. Кагана,
С. П. Финикова, Я. С. Дубнова, С. С. Бюшгенса и др.
Одновременно исследования румынских математиков
в области геометрпи заинтересовали советских математи-
ков. Результаты, полученные А. Миллером и О. Майером,
были использованы в 1934 г. П. А. Широковым, а работы
по биаксиальной геометрии — А. П. Норденом. В на-
стоящее время деятельность Ясского семинара тесно свя-
зана с советской математической школой4).
х) D. Н ulubei, Reseaux de Tschebycbeff isometriques par
rapport a une famille de geodesique, стр. 109—112; A. Myller,
Refelele lui Cebisev si parallelismul lui Levi-Civita, стр. 48—53;
«Mathematica», v’ 2, ’ 1929.
2) Mathematica, v. XIX, 1943, стр. 139—147.
s) Mathematica, v. X, стр. 70—80.
*) Legaturile seminarului matematic din Jasi cu stiinta matema-
ticfi rusS si sovieticfi.—Gazeta Matematica si fizicfi, № 10, seria A,
1954, стр. 433.
37*
580
л. н. Гливич
В развитии бухарестской школы теории вероятностей
большую роль сыграли достижения русских и советских
математиков.
Работы А. А. Маркова, С. Н. Бернштейна, В. И. Ро-
мановского послужили исходным пунктом для многих
работ румынских математиков.
В 1939 г. Мпхок и Оническу издали курс теории ве-
роятностей, в котором изложены результаты русской
и советской школы. Почти половина книги посвящена це-
пям Маркова. Кроме открытий П. Л. Чебышева, А. М. Ля-
пунова, А. А. Маркова, в этом курсе говорится о резуль-
татах А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, В. И. Рома-
новского1)
Профессор Бухарестского университета Мирон Ни-
кулеску говорит, что еще в 1936 г. он использовал в сво-
ей монографии исследования Н. И. Мусхелишвили,
относящиеся к решению бигармонической плоской за-
дачи.
В 1938 г. он распространил идею наилучшего прибли-
жения многочленами по Чебышеву к некоторым семействам
функций, а в 1941 г. применил результаты А. А. Ляпунова
и Н. М. Гюнтера из теории потенциала для решения за-
дачи Lauricella2).
В 1936 г. Румынское математическое общество начи-
нает обмениваться изданиями с математическими обще-
ствами Томска и Киева, а с 1939 г. — с Москвой и Ленин-
градом.
С 1944 г. непосредственная связь между румын-
скими и советскими математиками развивается особенно
широко3 4).
В 1952 г. Московское математическое общество полу-
чило все номера бюллетеня Румынского математического
х) Ch. М i h о с, Lucrarile din domeniul calculului probabilita-
ilor inspirate din operele matematicienilor ru?i $i sovietici.—Gazeta
Matematica si Fizica, № 8—9, s. A, 1954, стр. 381—383.
2) M. N i c u 1 esc u, Influenfa viefii §tiinfifice sovietice
asupra muncii noastre.—Gazeta Matematica §i Fizica, № 8—9,
seria A, 1954, стр. 383—384.
s) См. Четвертый конгресс румынских математиков, 27 мая—
4 июни 1956 г. Доклады, тт. 1—2, Бухарест.
• ИЗ ИСТОРИИ РУМЫНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА 581
общества, начиная с 1923 г., т. е. с момента выхода в свет
отдельного бюллетеня секции математики Румынского
научного общества.
Библиотека Московского математического общества
получает журнал Gazeta Matematica si Fizica, явля-
ющийся также органом Румынского математического
общества. Кроме этого, в 1952 г. в марте месяце
в библиотеку Московского математического общества
поступили все номера журнала Mathematica, изда-
вавшегося с 1929 г. при Клужском университете.
В настоящее время в библиотеку Московского мате-
матического общества поступают:
1) Comunicarile Academiei R. Р. R. Bucuregti (Сообще-
ния Румынской Академии наук, с 1951 г.);
2) Studii si cercetari Matematice. Bucuregti (Труды
и исследования, с 1952 г.);
3) Bulletin gtiintilic. Bucuresti (Научный бюллетень,
с 1951 г.);
4) Revista Universitatii «С. I. Parhon», Bucuresti
(Журнал университета именп К. И. Пархона, с
1952 г.);
5) Revista Universitatii «А1. J. Cuza», §i a Institutului
Politehnic din Jasi (Журнал Университета «А1. J. Cuza»
и Политехнического института, Яссы);
6) Gazeta Matematica si Fizica (Физико-математиче-
ская газета) и т. д.
Взамен в Румынскую Народную Республику на-
правляются различные математические журналы и труды
математических обществ Советского Союза.
1956 г. принес новые факты,свидетельствующие об укреп-
лении дружбы и сотрудничества румынских и советских
математиков. 27-го мая—4-го июня в Бухаресте состо-
ялся IV конгресс румынских математиков, в котором прп
няли участие многочисленные делегации, среди них и
Делегация Советского Союза, возглавленная И. Н. Ве-
куа.
В работе III Всесоюзного математического съезда,
состоявшегося в июне 1956 г. в Москве, участвовала
многочисленная делегация румынских математиков, в ко-
торую входили председатель Румынского математиче-
582
A. H. ГЛИВИЧ
скоГо общества Г. Моисил, С. Стоилов, Г. Врынча-
ну, Н. Теодореску и ряд других видных математиков Ру-
мынии.
Свое 60-тилетие Румынское математическое общество
встречает в расцвете творческих сил, в напряженной ра-
боте на благо своего народа, в тесном содружестве с ма-
тематиками Советского Союза.
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КОРНЯХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К. А. Рыбников
Марксизм-ленинизм учит, что логическая сущность
всякого научно-теоретического факта и всякой науки
вообще представляет собой отражение истории их воз-
никновения и развития. По мнению Ф. Энгельса, «с чего
начинает история, с того же должен начинаться и ход
мыслей, и его дальнейшее движение будет представлять
собой не что иное, как отражение исторического про-
цесса в абстрактной и теоретически последовательной
форме»1).
Эту же идею развивал и В. И. Ленин, который, говоря
о теории стоимости К. Маркса, считал необходимым под-
черкнуть, что «абстрактная и кажущаяся иногда чисто
дедуктивной форма изложения на самом деле воспроиз-
водит гигантский фактический материал по истории раз-
вития обмена и товарного производства»2).
В применении к математике из этого хода мыслей,
казалось бы, должно следовать, что логическое построе-
ние современного курса дифференциального исчисления,
например, необходимо начинать с понятий об актуально
бесконечно малых: дифференциалов как бесконечно ма-
лых разностей, или моментов, с которых начиналась исто-
рия исчисления у его творцов — Ньютона п Лейбница.
Попытку подобного построения курса математического
анализа, мотивированную в основном педагогическими
’) К. Маркс и Ф. Энгельс, Избранные произведения
в двух томах, т. I, М., 1949, стр. 332.
2) В. И. Ленин, Сочинения, изд. 4, т. 21, стр. 45.
584
Ь. А. РЫБНИКОВ
соображениями, предпринял однажды М. Я. Выгодский
в «Основах исчисления бесконечно малых» (Москва, 1933).
Несмотря на ряд удачных замечаний и примеров, попытка
эта в целом провалилась. Основной причиной неудачи
явилось неверное понимание проблемы соотношения исто-
рического и логического в математике. Чтобы лучше вы-
яснить сущность этой проблемы и, в частности, целесо-
образность пли нецелесообразность попыток, подобных
вышеуказанной, обратимся прежде всего к опыту осно-
вателей марксизма.
Как Маркс, так и Энгельс сравнительно много вре-
мени и сил уделяли математическим занятиям. Материалы
и высказывания математического характера встречаются
у Энгельса в «Диалектике природы» и в «Антидюринге».
С 1933 г. появилась возможность знакомиться с матема-
тическими рукописями К. Маркса. Часть их была под-
готовлена к печати С. А. Яновской и опубликована в 1933 г.
в журнале «Под знаменем марксизма» (№ 1, стр. 15—76).
Автор статьи в 1951—1954 гг. исследовал все математи-
ческие рукописи Маркса, объем которых, кстати, ока-
зался весьма значительным (в переводе на машинописный
текст свыше 2000 страниц). В этом материале большое
место занимают вопросы истории математического анализа,
его систематического логического построения, обоснова-
ния и т. п. Но ни у Маркса, ни у Энгельса нигде не со-
держится даже намека на то, что логическая структура
математического анализа в XIX веке должна воспроиз-
водить в какой бы то ни было форме его исторический путь,
начиная с работ Ньютона и Лейбница.
Более того, в ряде своих сочинений Маркс, говоря об
особенностях развития науки, высказывал мысли, каза-
лось бы, противоречащие вышеуказанным мыслям Эн-
гельса. Имеются в виду следующие высказывания Маркса:
«Размышление над формами человеческой жизни, а сле-
довательно, п научный анализ этих форм, вообще изби-
рает путь, противоположный их действительному разви-
тию. Оно начинается post festum [задним числом], т. е.
исходит из готовых результатов процесса развития»1).
К. М а р^к с, Капитал, т. 1, 1949, стр. 82.
ОБ АЛГЕБРАИЧ. КОРНЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛ. 583
В другом месте Маркс высказывает эту мысль в еще более
общей форме: «...историческое развитие всех наук только
через множество перекрещивающихся и окольных путей
приводит к их действительной исходной точке. В отли-
чие от других архитекторов, наука не только рисует
воздушные замки, но возводит отдельные жилые этажи
здания, прежде чем она заложила его фундамент»1).
Однако противоречие между отмеченными Марксом
особенностями развития науки и замечанием Энгельса
о том, что в ходе логического исследования необходимо
отражается исторический процесс, на самом деле не яв-
ляется противоречием. Оно только кажущееся и суще-
ствует лишь для того, кто смешивает действительную исто-
рию с отражением ее в головах людей.
В тетрадях Маркса по алгебре проявилась одна харак-
терная особенность его метода научного исследования.
Состоит эта особенность в том, что Маркс для решения
задачи обоснования дифференциального исчисления счи-
тал необходимым выявить его элементарно-математиче-
ские корни, прообразы его понятий и неразвитые формы
зарождающихся методов и, в частности, искал последние
в алгебре. Эта мысль Маркса учит нас многому.
В самом деле, в истории математики, как и во всякой
другой истории, нельзя начинать историю какого-либо
исчисления, метода, понятия и т. п. с того момента, когда
они (понятие, метод, исчисление и т. п.) оформились и вы-
делились как самостоятельные объекты. Это нельзя делать
потому, что их действительная история началась до того,
как они в головах людей были обособлены, названы и за-
няли свое место среди других объектов или средств науч-
ного исследования.
Дифференциальное и интегральное исчисления не яв-
ляются исключением. До их оформления в трудах Нью-
тона, Лейбница и последующих математиков все необхо-
димые элементы исчисления возникли и развивались
в рамках других математических исчислений, прежде
всего, буквенной алгебры.
1) К. Маркс, К критике политической экономии, 1952,
стр. 46.
586
К. А. РЫБНИКОВ
В сочинениях по математике, механике и астрономии
в XVI и XVII веках (а в некоторых случаях и
раньше) возникли и развились необходимые составные
части дифференциального и интегрального исчисления.
В большинстве они возникали в процессе решения мно-
гочисленных задач математического естествознания,
в особенности механики и астрономии. Процесс возник-
новения и развития первоначальных элементов исчисления
стал особенно бурным в результате того, что в матема-
тику вошли многие важные понятия и методы, по существу
революционизирующие ее содержание. Среди них важ-
нейшими явились: введение, начиная с трудов Декарта,
переменной величины, обогатившей возможности матема-
тики в познании изменения и связей величин, сочетание
алгебраических и геометрических методов и создание мно-
гочисленных алгоритмических приемов для решения тех
задач, для которых по самому их существу требуется диф-
ференцирование или интегрирование.
Средп этих приемов и понятий были и такие зароды-
шевые формы понятий и методов дифференциального ис-
числения, которые исторически развивались именно так,
как это теоретически представлял Маркс, — в пределах
уже созданного к тому времени буквенного алгебраиче-
ского исчисления. В качестве примера остановимся на ме-
тоде максимумов и минимумов и на методе касательных
П. Ферма, являющемся прообразом операции дифферен-
цирования и операции нахождения экстремума функции.
Наличие в работах Ферма такого прообраза было почти
для всех математиков настолько очевидным фактом, что
эта очевидность мешала раскрыть действительное сущест-
во метода Ферма, о котором идет речь. Этому методу, как
само собою разумеющееся, приписывались черты поздней-
шего дифференциального исчисления. Его пытались трак-
товать то в духе лейбницевского отбрасывания бесконечно
малых, то в духе метода пределов1).
Все эти высказывания не разъясняли существа дела
и противоречили ряду высказывании самого Ферма.
J) См. Boyer С. В.,'The concepts of the calculus. New York.
1949, ch. IV, стр. 156, 297.
ОБ АЛГЕБРАИЧ. КОРНЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛ. 587
Лишь в сравнительно недавнее время математическая
сущность этого метода была выявлена советскими исто-
риками математики А. П. Юшкевичем и С. А. Яновской.
Однако Первый кратко высказал свою точку зрения только
в одном из примечаний к русскому изданию «Метода отыска-
ния наибольших и наименьших значений» П. Ферма1),
а вторая вообще не опубликовала свое устное сообщение,
сделанное в научном семинаре МГУ по истории матема-
тики около 18 лет назад. Поэтому мы считаем необходи-
мым вновь и подробнее рассмотреть именно этот пример.
Ферма искал общее аналитическое правило, которое
позволяет по уравнению алгебраической кривой отыскать
ее локальные экстремумы и подкасательные для ее точек.
Это правило в том виде, как его излагал Ферма, гласит:
«Допустим, что А представляет собой какую-либо
неизвестную в вопросе величину (поверхность, либо тело,
или же длину в соответствии с предложенным), и выразим
максимум или минимум через члены, содержащие А
в каких-либо степенях. Затем возьмем для первоначаль-
ной неизвестной значение A-j-E и снова выразим макси-
мум или минимум через члены, содержащие А и Е в ка-
ких-либо степенях. Затем оба выражения для наиболь-
шего или наименьшего значения приравняем, как говорит
Диофант, друг другу, и отбросим общие члены (после чего
в каждом члене на обеих сторонах будет стоять либо Е,
либо какая-нибудь его степень). Затем разделим все члены
на Е или же на высшую степень ее так, чтобы (по крайней
мере) один из членов на какой-либо стороне был совер-
шенно свободен от Е. Затем на обеих сторонах отбросим
члены, содержащие Е или ее степени, а то, что останется,
положим равными друг другу или же, если на одной из
сторон ничего не останется, то—что сводится к тому же —
положим отрицательные члены равными положительным.
Решение последнего уравнения даст значение А; когда же
последнее известно, то максимум или минимум получится
на основании проделанного решения»2). В той же работе
’) См. Р. Декарт, Геометрия, с приложением избранных
работ П. Ферма и переписки Декарта. Перевод, примечания и статья
П. Юшкевича, М.—Л., 1938. Прим. 152, стр. 241—242.
2) См. Р. Декарт, Геометрия, М.—Л., 1938, стр. 154—155.
588
К. А. РЫБНИКОВ
Ферма утверждает, что «отыскание касательных в данных
точках каких-либо кривых мы приводим к вышеизло-
женному методу»1).
С целью показать силу и универсальность своего пра-
вила Ферма приводит ряд примеров. Он не дает никакого
доказательства справедливости своего правила и лишь
указывает, что получающиеся с его помощью результаты
совпадают в этих примерах с уже известными. Однако
Ферма сообщал, что он располагает доказательством2). Ви-
димо, отсутствие доказательства явилось причиной того,
что метод Ферма был неправильно понят многими совре-
менниками. По поводу метода возник известный в исто-
рии математики спор между Декартом и Ферма, в котором
приняли участие: на стороне Ферма — Паскаль и Робер-
валь, а на стороне Декарта — Гарди. Одним из резуль-
татов этого спора, кстати, явилось то, что было вырабо-
тано, ставшее с тех пор общепринятым, определение каса-
тельной, как предельного положения секущей.
Причины того, что Ферма не опубликовал своего дока-
зательства, неизвестны. Можно, впрочем, предположить,
что это было связано с необходимостью изменить обычное
для того времени определение касательной, чтобы сделать
приведенное выше правило действительно общим, при-
годным для любой алгебраической кривой. Дело в том,
что Ферма, следуя античным авторам, понимал касатель-
ную как опорную прямую, встречающую кривую только
в одной точке и притом так, чтобы кривая находилась
по одну сторону от этой прямой. В действительности же
Ферма распространял это требование лишь на локальные
области, представляющие достаточно малые окрестности
точек касания. Однако в явном виде он так и не сформу-
лировал этого фактически применявшегося ограничения.
Под влиянием мистической формы возникшего диффе-
ренциального исчисления последующие попытки объяс-
нения метода Ферма производились с точки зрения опе-
рирования с бесконечно малыми. «Приравнивание по
Диофанту» было понято как приближенное равенство,
*) Р. Декарт, Геометрия, стр. 155.
2) См., например, там же, стр. 171.
ОБ АЛГЕБРАИЧ. КОРНЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛ. 58!)
отбрасывание «членов, содержащих Е или ее степени»—
как отбрасывание бесконечно малых. Весь метод Ферма
получил таинственную, мистическую окраску, характер-
ную для" первого, произведенного в особенности Ньюто-
ном и Лейбницем «оборачивания метода», впрочем, в то
время не осознанного.
Подлинное существо дела оказалось возможным вы-
яснить только после того, как в 1919 г. было опубликовано
впервые письмо Ферма Брпляру де Сен-Мартену от 1643 г.,
содержащее изложение основной идеи его метода макси-
мумов и минимумов1). Из этого письма с полной очевид-
ностью следует, что метод Ферма был на самом деле алгеб-
раическим. Никакими бесконечно малыми в стиле лейбни-
цевских дифференциалов или ньютоновых моментов Ферма
не пользовался, никаких отбрасываний бесконечно малых
не производил; речь шла о строгом оперировании с нера-
венствами, — это и подчеркивали А. П. Юшкевич и
С. А. Яновская.
Чтобы дать представление об идее Ферма, мы изложим
ее в переводе на более близкий к современному язык. При
этом мы будем не только пользоваться современной сим-
воликой, но и допускать перенос всех членов уравнения
в одну сторону. Ферма этого не делал, возможно, не умея
еще преодолеть распространенного мнения, что нуль
нельзя рассматривать как величину.
Пусть речь идет о максимуме или минимуме функции
у=/(а;), где /(х)—многочлен от х. Если в точке х дости-
гается максимум, то для любого достаточно малого h>0
f(x-]-h)<zf(x) и f(x—h)<f(x)', аналогично, в случае мини-
мума f(x-\-h) >f(x) и f(x—h)>f(x). Теперь, как говорит
Ферма, нужно искать одну-единственную точку, по ту
и по другую сторону от которой все (в смысле «совокуп-
ности», или «суммы») «члены вопроса» либо всегда больше,
либо всегда меньше, чем тот, который порожден искомой
точкой. Нужно, следовательно, сравнить эту единствен-
ную точку с теми, которые можно вообразить с каждой
стороны.
*) См. Oeuvres de Fermat, supplement aux tt. I—IV, par M. C. de
Waard, Paris, 1922, стр. 123—125.
590
К. А. РЫБНИКОВ
Но это сравнение дает нам (для случая максимума)
f(x + h) = f(x) + P(x)-h + Q(xyh2+ ... <f(x), (1)
f{x — h)-=f{x) — P(x)-h + Q{x)-h2— ... < /(х) (2)
и А—Е (т. е. х—h) дает всегда те же члены, что и А~УЕ
(т. е. х+/г) и разница состоит лишь в том, что в местах
нечетных степеней последние отмечены противополож-
ными знаками. Но этого не вполне достаточно. Помимо
предыдущей предосторожности, имеющей в виду, чтобы
давало то же уравнение, что и Л — Е, нужно доба-
вить еще одну, направленную к тому, чтобы, если Л+Л?
дает меньше чем Л, и Л—Е давало бы также меньше, чем Л,
и аналогично, если Л-|-Л? дает больше чем Л, Л—Е дава-
ло бы также больше, чем Л. Преобразовав (1) и (2) к виду
Р (х) -|- Q (х) h -f- ... < 0, (1')
-P{x)-YQ(x)h-... <0 (2')
и учитывая, что знак левой части при достаточно малом h
и Р(х)=^0 определяется знаком Р(х), мы приходим к вы-
воду, что если P(x)=fA), то неравенство в формулах (1')
и (2') не может быть одного знака. Иными словами, в слу-
чае экстремума />(ж)=0.
В точности так рассуждает и Ферма. Больше того,
такое доказательство правила Ферма немедленно дает
ему возможность по знаку Q, т. е. коэффициента при k2
в формулах (1) и (2), определить, с чем именно мы имеем
дело: с максимумом или минимумом. По мысли Ферма,
два члена, отмеченных Е2, находясь в большем отноше-
нии, чем измеренные более высокими степенями, превос-
ходящими Е2, будут служить ключом для определения
наибольшей или наименьшей величины. Достаточное
условие для максимума или минимума, таким образом,
тоже было известно Ферма.
В точности этому рассуждению Ферма соответствует
и приведенное выше правило его, задачей которого яв-
ляется выделение члена Р(х), который должен быть при-
равнен нулю. Но только у Ферма этому соответствует со-
ставление уравнения P1(x)=P.i(x), так что Pfaj—P^x)—
—Р2(х) и все коэффициенты в Рг(х) и Р2(х) положительные.
ОБ АЛГЕБРАИЧ. КОРНЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧНСЛ. 591
Ферма формулирует свое правило так, чтобы оно вело
точно к нужному ему уравнению, не осложняясь перехо-
дом от неравенства к равенству. С точки зрения нужных
ему теперь уже чисто автоматических преобразований —
перенесения из одной стороны в другую, деления на Е,
приведения подобных членов и т. д. — оперирование
с неравенствами не отличается от оперирования с равен-
ствами, и Ферма предлагает поэтому «приравнять в смысле
Диофанта», т. е. оперировать с неравенством как с равен-
ством.
Метод касательных Ферма основан на том же подходе.
Так как касательная определяется Ферма как опорная
прямая, то по обе стороны от точки касания ордината кри-
вой либо одновременно меньше, либо одновременно больше
соответствующей ординаты касательной. Говоря о своем
методе касательных, Ферма в письме к Мерсенну в июне
1638 г. замечает: «Доказательство, которого я еще не дал,
имеет своим главным основанием то, что Л+7? дает то же,
что и А—Е»1). Ясно, таким образом, что основная идея
этого метода полностью передана в проведенном выше
анализе метода максимумов и минимумов Ферма. Мы не
будем поэтому останавливаться здесь на математических
деталях реконструкции метода касательных Ферма.
Задача восстановления существа метода касательных
и метода максимумов и минимумов Ферма достаточно из-
вестна в истории математических наук. «Немного най-
дется строк в истории человеческой мысли, столь знаме-
нитых как короткое сочинение, посланное Ферма Декарту
на следующий день после опубликования „Геометрии" —
„Метод отыскания наибольших и наименьших значений"»,—
так начинается глава «Методы для касательных» в кнпге
Л. Бруншвига «Этапы математической философии»2).
В то же время поразительно, насколько неправильно
трактуются, начиная с их появления, эти знаменитые
строки Ферма. Вплоть до наших дней их понимают обычно
в инфинитезимальном смысле. Сам Ферма своим письмом
Ч См. Р. Декарт, Геометрия, стр. 171.
2)Brunschwieg, Les etapes de la philosophic mathemati-
que, Paris, 1912, стр. 177.
592
К. А. РЫБНИКОВ
к Бриляру де Сен-Мартену свидетельствует, однако,
о том, насколько прав был Маркс, когда он искал корни
дифференциального исчисления в алгебре, предшествую-
щей этому исчислению и исторически, и логически.
Примеров, подтверждающих налпчие алгебраических
и вообще элементарно математических корней математи-
ческого анализа, можно привести много. По существу,
все методы и понятия анализа бесконечно малых возникли
и развивались в границах элементарной математики и по-
ниманпе их долгое время было еще далеко от их истинной
математической сущности. Дело здесь не в количестве
примеров. Дело в уяснении той закономерности, что путь
к логическому обоснованию математических наук про-
легает обязательно через изучение их действительной
истории.
Что же касается последней, т. е. действительной
истории математики, то она ни в какой части не.может
быть раскрыта или заменена последовательным описанием
содержания совокупностей математических сочинений, от-
носящихся к данной науке. И если в применении, напри-
мер, к «Капиталу» Маркса никому не может прийти в го-
лову смешать действительную историю экономического
строя человеческого общества с историей политико-эконо-
мических трактатов, то в применении к истории матема-
тики такой соблазн весьма велик.
Опыт математических исследований Маркса учит нас
тому, как выявлять закономерности пройденного наукой
исторического пути, как правильно понимать, в част-
ности, единство исторического и логического в приме-
нении к математике.
ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ У АБУ-Л-ВАФЫ
М. И. Медовой
Отрицательные числа были впервые введены, по-види-
мому, в Китае. Они используются в восьмой книге древ-
не-китайского трактата «Математика в девяти кни-
гах»,принявшего тот вид (с которого его перевели на рус-
ский язык) в 263 г., но составленного значительно
ранее1).
В указанной книге этого трактата приводится правило
«фан-чэн» — своеобразный алгоритм для решения системы
линейных уравнений, приведенной к некоторому канони-
ческому виду. Применение этого правила в общем случае
требует вычитания больших чисел из меньших, а также
из «ничего». Там же отрицательные числа встречаются
в качестве отрицательных коэффициентов при неиз-
вестных. Китайские математики ввели также правило
«чжэн-фу» для сложения и вычитания отрицательных
чисел.
Отрицательных корней уравнений мы у древних китай-
цев не встречаем. Интересно отмети ь, что отрицательные
числа в «Математике в девяти кип.ах» рассматриваются
как долг, нехватка.
1) «Математика в девяти книга\>-. Перевод и примечания
Э. II. Березкиной.—Историко-маю мацические исследования,
вып. X, М., 1957, см. особенно стр. 198—506, 564, 570—572.—См.
также А. П. Юшкевич, О дог ги'Кениях китайских ученых
в области математики.—Там же, вцп. VIII, 1955, стр. 542—544.
38 Истор.-матем. исследов., вып. XI
594
М. И. МЕДОВОЙ
Несколько позднее мы встречаем отрицательные числа
в Индии у Брамагупты, математика, родившегося в 598 г.1).
Для обозначения отрицательных чисел Брамагупта ста-
вит перед числом точку.
Введение отрицательных чисел позволило Брамагупте
сформулировать единое правило для решенпя квадрат-
ного уравнения ах2-\-1)х=с прп любых коэффициентах,
между тем как ранее (например, у Диофанта) давались
особые правила для трех разновидностей уравнения с по-
ложительными коэффициентами:
ах2 4 Ъх = с, ах2 = bx-\- с, ах2-\-с = Ьх.
Индийские ученые обнаруживают знакомство с отри-
цательными корнями квадратных уравнений, по такие
корнп отбрасывают. Индийцам не было чуждо истолкова-
ние отрицательных чисел как противоположно направлен-
ных отрезков.
До сих пор были неизвестны случаи применения отри-
цательных чисел арабскими математиками. Мы обнару-
жили у выдающегося арабского математика X в. Абу-л-
Вафы один случай применения отрицательных чпсел. Эти
числа встречаются в одном правиле «сокращенного умно-
жения», содержащемся во второй книге неопубликован-
ной рукописи Абу-л-Вафы «О том, что нужно знать пис-
цам, дельцам и другим из науки арифметики». Рукопись
хранится в Лейденской библиотеке (Cod. or. 103); мы рас-
полагаем ее фотокопией.
г) У Диофанта Александрийского, жившего в III или 1\ веке
п. э., встречается правило умножения разностей и сумм, в котором
говорится, что при умножении отнимаемого числа на отнимаемое
число поллчается прибавляемое число и наоборот- Однако отсюда
пе следует, что Диофант был знаком с отрицательными числами,
хотя бы в зачаточной их форме. В самом деле, вышеуказанное пра-
вило встречается у Диофанта только лишь в случае умножения поло-
жительных разностей вида (а—Ъ) (с—d), где а—Ь>0, с—d>0.
То, что (а—Ь) (с—d)=ac—ad—bc-j-bd при a>b, c>d, можно очень
просто вывести либо геометрически, либо арифметически, как это
делается, например, в любом курсе теоретической арифметики.
Кроме того, сам Диофант называет отрицательные числа «не> гест-
пымп».
ОБ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ У АБУ-Л-ВАФЫ 595
Сначала Абу-л-Вафа излагает следующее правило
«сокращенного умножения» двух двузначных чисел с оди-
наковым числом десятков:
«Если хотим это, прибавляем единицы одной стороны1)
к ДРУг011 стороне; каждую единицу того, что получается,
берем темп десятками, которые с единицами2 3), затем к по-
лученному прибавляем произведение едпнпцдругна друга,
и что получается — это результат произведения»®). Да-
лее следует пример, который можно коротко записать так4):
59 X 54 = (59 + 4) 50 + 4-9 = 3186.
Легко видеть, что нет смысла применять это правило,
когда умножаем однозначное число на однозначное, т. е.
когда число десятков обоих чисел равно нулю.
Затем Абу-л-Вафа дает еще одно правило «сокращен-
ного умножения» двух чисел с одинаковым числом десят-
ков.
«Если хотим это, вычитаем из одного из этих чисел
разность между вторым числом и следующими десятками;
остаток расширяем до рода этих десятков5) и к тому, что
получается, прибавляем произведение разностей этих
десятков и этих двух чисел, и то, что получается — это
результат произведения.
Примеры
Мы хотим умножить 16 на 18. Вычитаем из одного
числа разность между 20 и вторым числом, остается 14.
Берем каждую единицу как 20, т. е. следующие десятки,
получаем 280. Затем прибавляем 8, т. е. произведение
избытка 20 над 16 на избыток 20 над 18; получаем всего
288, и это — результат умножения 18 на 16»6).
Далее следует еще один подобный пример.
’) То есть множителя. (—М. М.)
2) То есть умножаем на оставшиеся десятки. (—М. М.)
3) Лейденская рукопись, л. 68.
4) В указанной рукописи все числа выражены словами, а пе
Цифрами.
°) То есть у’множаемостаток на «следующие десятки». (—М. М.)
®) Лейденская рукопись, л. 69.
38*
596
М. И. МЕДОВОЙ
Правило Абу-л-Вафы в современных обозначениях
гласит:
(10а Ь) (10а -ф с) = [10а 4b — {10 (а + 1) — (10а 4- с)}] х
X Ю (а + 1) 4 [Ю (а +1) - (10а -[- Ь)[ [10 (а 4 1) - (10а4- с)[.
Мы не будем останавливаться на вопросе, каким обра-
зом Абу-л-Вафа мог получить второе правило (в упомя-
нутой рукописи доказательств нет); отметим лишь, что
в отличие от предыдущего способа, здесь можно поставить
вопрос о распространении на случай а= 0, т. е. умноже-
ния двух однозначных чисел. Абу-л-Вафа следующим
образом отвечает па него:
«У этого вида сокращения редкое и удивительное свой-
ство: он годится для всех чисел, включая единицы. В са-
мом деле, если желаем умножить какие-нибудь из них на
другие, то из этого вида мы получаем красивую вещь,
вследствие сохранения порядка и гармонии. Понял ли ты?
Действительно, если хотим умножить 8 на 7 этим спо-
собом, вычитаем избыток десяти над одним из этих чисел
из другого числа, остается 5. Если возьмем каждую еди-
ницу за 10 и прибавим произведение 3 на 2, получится
56, и это — результат умножения 7 на 8.
Подобно этому, если хотим умножить 3 на 5, вычтем
избыток десяти над одним из этих чисел из другого, полу-
чится долг1) 2. Если возьмем каждую единицу за 10,
а затем умножим избыток 10 над 5 на избыток 10 над 3,
получится 35. Когда вычтем из них долг, то есть 20, по-
лучится в остатке 15, и это — результат умножения 5
на З»2).
Как видно Абу-л-Вафа применяет отрицательные числа
для придания общности своему правилу «сокращенного
умножения». Заслуживает внимания, что введение отри-
цательных чисел у китайцев, индийцев п арабов подчинено
определенной закономерности: и тут и там отрицатель-
ные числа позволяют так обобщить некоторый алгоритм,
что он становится применимым во всех случаях3). Сам
х) По арабски: дайн.
2) Лейденская рукопись, л. 69 и 69 об.
®) См. А. П. Юшкевич, цит. соч., стр. 544.
'' < ' f '~U*. UXa* У'j LhJ<UJ jb > I" * >H >
^tA*UUJb /Д^дл|' U LUU/ л^У. Ч*ЯУ
W*kjui£b>^ ууУ^
& -^r> >' L~:
j>s,'> Л'/>ЛЛ-уЗи.Л^
U^ijv ?^U; ил;/ '£>/
?M^> -и ;ли^.) ;-u / */? j
S PЛи >и>Л> и
Зр* ;^йли, лр'>л--?^
2> Лл> л--*-’
“^r^V /»/уг»
> 'jU у >>’ ;j;J у irf' лл
2^(/З1' uU'1/^>- у I* >
>/*)) р*лЦ ^Л> f / j
>лЗЧз/ Ь5 tb > U')VU
6 >U 3>yU> zJbU ^и>Л’Л7*д,и7'*
A^hU^}j3j У'^2
j^i>U •*3? /л >₽U>Sz^)
Лист 69 об. Лейденской рукописи трактата Абу-л-Вафы,
598
М. И. МЕДОВОЙ
Абу-л-Вафа хорошо понимал поставленную цель, о чем
свидетельствуют его слова о «красивой вещи», получае-
мой в результате «сохранения порядка и гармонии».
Пришел ли Абу-л-Вафа к отрицательным числам само-
стоятельно или заимствовал их у каких то более ранних
авторов (арабских, индийских или иных) — пока неиз-
вестно1).
Интересно отметить, что первоначально отрицатель-
ные числа у китайцев, индийцев и арабов истолковы-
ваются одинаково: это долг, нехватка. На этой стадии раз-
вития отрицательные числа скорее всего выполняют функ-
ции промежуточного аппарата для нахождения таких
решений, которым можно дать конкретное истолкование.
Отрицательные числа всегда конкретизируются в виде
долга, они еще не мыслятся как абстрактные числа. Так.
Брамагупта говорит, что «абсолютные отрицательные
числа не одобряются людьми».
В свете сказанного получает более глубокий смысл,
чем простой методический прием, тот факт, что на первом
этапе знакомства наших учащихся с отрицательными
числами последние трактуются чаще всего как долг, не-
достаток чего-либо: в первой стадии изучения отрицатель-
ных чисел учащиеся как бы повторяют путь, пройденный
математикой при первичном введении отрицательных
чисел.
J) Мы полагаем, что такой крупный математик, как Абу-л-Вафа,
не ограничился таким случайным применением отрицательных
чисел. Возможно, что он пх применил в не дошедших до нас произ-
ведениях, например в комментариях к работам Диофанта по
алгебре.
ТЕКСТЫ П ДОКУМЕНТЫ
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ
КАЧЕСТВ»
В. П. Зубов
Оставшийся в рукописи трактат Николая Орема
«О конфигурации качеств» уже не раз привлекал внима-
ние исследователей. О нем писали, приводя из него, вы-
держки, Дюгем1), Вилейтнер2), Борхерт3), Дюран4), Анна-
Лиза Майер и другие5).
') Р. D u h е ш, Etudes sur Leonard de Vinci, 3-me serie, P.
1913 (перепечатка: P. 1955), pp. 375—398. Его же, Le systenie
du monde, t. VII, P. 1956, pp. 534—600.
2) H. Wielei tner, Uber den Funktionsbegriff und die
graphische Darstellung bei Oresme—«Bibliotheca mathematica»,
Folge 3, Bd. 14 (1914), Heft3, SS. 193—243; его же, Zur Friihgeschichte
der Raume von mehr als drei Dimensionen—«Isis», vol. 7 (1925),
pp. 486—489.
3) E. Borchert, Die Lehre von der Bewegung bei N. Oresme,
Miinster 1934.
4) D. B. Durand, Nicole Oresme and the medieval origin ol
modern science—«Speculum», vol. 16 (1941), N 2, pp. 167—185.
Б) A. M a i e r, Zwei Grundprobleme der scholastischen Natur-
philosophie. Das Problem der intensiven Grosse. Die Impetustheorie,
2. Auflage, Roma, 1951 (1-е изд., 1939—1940); An der Grenze von
Scholastik und Naturwissenschaft. Die Struktur der materiellen
Substanz. Das Problem der Gravitation. Die Mathematik der Form-
latituden, 2. Auflage, Roma, 1952 (1-е изд., 1943); Die Vorlaufer
Galileis im 14. Jahrhundert, Roma, 1949. В первой книге см. в осо-
бенности стр. 89—109. (Nicolaus von Oresme’s Lehre von den confi-
gurationes intensionum), где дан анализ глав 1—24 первой части
трактата, с выдержками на языке оригинала ио рукописям вати-
канской библиотеки 3097 и Киджи Е. IV. 109. Во второй книге—-
стр. 289—343 (Oresmes Methode der graphischen Darstellung. Der
Iraktat De configurationibus intensionum), а также стр. 354—384
602
В. П. ЗУБОВ
Однако нельзя сказать, чтобы в оценке трактата иссле-
дователи были единодушны. В свое время Дюгем назвал
НиколаяОрема «изобретателем аналитической геометрии»1).
Следуя в основном Дюгему, Жильсон позднее характери-
зовал Орема несколько осторожнее, как «одного пз пред-
шественников Декарта»2). Другпе авторы были зато еще
гораздо более сдержанны в своих оценках. Так, по Вилепт-
неру, «графическое изображение у схоластов было чисто
спекулятивным, имевшим лишь отдаленные черты сход-
ства с нашим современным методом координат»3). «Идею
функции,— писал он в другой статье,— можно пайти у сред-
невековых схоластов и Орем пытался дать ее графическое
выражение.... Однако средние века не имели ни малей-
шего представления о зависимости одной величины от дру-
гой, поддающейся исчислению»4). Согласно А. Майер,
Орем «дал и хотел дать нечто принципиально другое,
чем аналитическую геометрию»5).
Повод к двойственной оценке Орема дает двойствен-
ность его самого, двойственность его поры, сумеречно-
предрассветной. Самый трактат в своем построении облег-
чает возможность односторонней оценки, поскольку он
может быть довольно легко разделен на части разного
характера пли, если можно так выразиться, стиля. Об
этом следует с самого начала напомнить именно потому,
(Die Nachwirkung der Oresmischen Lehre). Наконец, в третьей книге
стр. 123—131, (в главе «Velocitas totalis und Momentangeschwijidig-
keit»). Статья той же Майер La doctrine de Nicolas d’Oresme sur les
configurationes intensionum (Revue des sciences philosophiques et
theologiques, T. XXXII, 1948, pp. 52—67) мне известна только
по ссылкам.
Укажем еще монографию Педерсена, в основном посвященную
другому труду Орема: О. Pedersen, Nicole Oresme og hans
naturfilosofiske system. En underspgelse of hans skrift «Le livre du
ciel et du monde'», Munksgaard-Kebenhavn, 1956.
!) P. D n h e m, Etudes, стр. 375.
2) E. Gilson, La philosophie au Moyen Age, vol. 2, P., 1932,
p. 134.
3) H. W i e 1 e i t n e r, Uber den Funktionsbegriff..., p. 145.
4) H. \V i e 1 e i t n e r, Der «Tractatus de latitudinibus forma-
rum» des Oresme—«Bibliotheca mathematica», Folge 3, Bd 13
(1912/1913), S. 145.
Б) A. M a i e r, An der Grenze..., p. 273.
«f-
c*i
. _ i* ' f* <V
*гй*«/ *>.*z4
Тткм. '•»< /
tfl•{/ /• A
Ji'Wlr^jb Яс л/а-м.
X,
»|1>л ; ж
4* >5---» f'*
Fk«(? <4' — ,j- -'ny-- j,
. Jfa*? K3wU>
Рис. 1. Страница трактата Орема (рукопись Парижской Напио-
' нальной библиотеки № 7371).
604
В. П. ЗУБОВ
что в дальнейшем приведены в русском переводе лишь
главы математического и философско-математического
характера и опущены другие, в которых Орем предстает
с иной, иногда неожиданной стороны. В этих опускаемых
Рис. 2. Орем за работой. Из французского перевода сочинения
Аристотеля «О небе» (Париж, Национальная библиотека, № 565).
нами разделах Орем является перед нами наиболее отчет-
ливо как сын своего века, во многом отказывающийся от
старых предрассудков и суеверий, но вместе с тем во мно-
гом еще глубоко связанный со средневековьемв
Трактат, написанный Оремом до 1371 г. (по всей вероят-
ности, уже в 50-х гг.), известен во многих списках, находя-
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 605
щихся в Париже1), Флоренции2), Риме3), Базеле4), Эр-
фурте 5), Брюгге 6 *) и Лондоне ’). Заглавия его в этих спи-
сках варьируют: «De contiguratione qualitatum» («О кон-
фигурации качеств»), «De unilormitate et diliormitate
intensionum» («Об униформности и дифформности интен-
сивностей)», «Tractatus de iiguratione potentiarum et
mensura dittormitatum» («Трактат о фигурации сил и мере
дифформностей») и т. д.8).
Основные идеи математической части трактата могут
быть резюмированы совсем кратко так. По мысли Орема,
все отношения между вещами представимы в виде отно-
шений между геометрическими величинами, в частности,
и отношения между качествами, ближайшим образом его
занимающие. В качествах следует различать интенсивность
и экстенсивность. Интенсивность качества, сосредоточен-
ного в точке, изображается в виде отрезка прямой линии;
соответственно отношение между двумя «точечными»
интенсивностями мыслится как отношение между двумя
линиями. Качества, далее, могут мыслиться распределен-
ными по различным точкам предмета в одном изме-
рении. Это — так называемые «линейные качества»,
которые, следовательно, изобразимы в виде двухмерных
фигур (говоря современным языком, линии абсцисс соот-
ветствует экстенсивность качества, а ординатам — его
интенсивность). Если интенсивность постоянна, мы имеем
х) Bibl. Nat., lat. 7371, fol. 214—226; 14579, fol. 18—40 v.;
14a80, fol. 37—60 v; Arsenal 522, fol. 1—28.
2) Bibl. Laurentiana, Ashburnham, 210, fol. 101 v.—129, Bibl.
Naz., Convent! sopprcssi, I, IX, 26, fol. 14-—36.
3) Vat., cod. 3097, fol. 1—22 v; Chis. E. IV, 109, fol. 97—159
4) F. Ill, fol. 2—29.
5) Stadtbiicherei, cod. Ampion., Q. 150. fol. 1—14.
6) 486, fol. 159—173.
’) BM, Sloane 2156, fol. 169—194 v.
Об указанных рукописях ср. A. D. Mcnut. et A. J. D e n o-
m y, Maistre Nicole Oresme, Le livre du ciel et du monde—«Mediae-
val Studies», vol. 5 (1943), p. 246, а также L. Thorndike and
P. К i b r e, A catalogue of incipits of mediaeval scientific writings
in latin, Cambridge, Mass., 1937, col. 141.
®) Во французском переводе «Политики» Аристотеля, относя-
щемся к 1371 г., Орем называет этот свой трактат «De difformitate
qualitatum». См. Р. D u h е m, Etudes, стр. 375.
606
В. П. ЗУБОВ
дело с качеством «униформным», которому соответ-
ствует прямоугольник. Если интенсивности возрастают
пропорционально абсциссам, мы имеем дело с качеством
«унпформно-дифформпым», изображаемым в виде прямо-
угольного треугольника пли четырехугольника с двумя
непараллельными сторонами. «Дпфформно-дпфформно» ин-
тенсивности распределяются во всех других случаях; при
этом различаются два вида «дпфформной дпфформностп»—
простая и сложная. В случае простой «дпфформной дпф-
формности» верхняя линия фигуры — кривая, либо дуга
окружностп, либо какая-либо иная, причем такая дуга
окружности (или иной кривой) может быть либо вогнутой,
либо выпуклой. Сочетания указанных шести основных
видов (упиформность, унпформная дпфформность и четыре
вида простой дпфформной дпфформности) дает разновидно-
сти сложной дпфформной дпфформности. Сюда относится
сочетание двух различных униформностей, унпформности
и униформной дифформностп и т. д. Всего, по теории со-
единений, получается 63 возможных случая, что вместе
с четырьмя видами простой дпфформной дифформностп
дает 67 (см. ч. I, гл. 16, стр. ббЗ). Такие фигуры, как,
например, равнобедренный треугольник, половина круга
и т. п., изображают, следовательно, разновидности слож-
ной дифформпой дпфформности, поскольку в них возраста-
ние интенсивности сменяется убыванием ее. Наоборот,
прямоугольный треугольник изображает, как уже ска-
зано, униформную дпфформность, а четверть круга — дпф-
формность.
Отрицательными коордпнатамп Орем не пользуется.
Только в одном случае (ч. I, гл. 19, стр. 666), говоря об
изображении противоположных качеств (теплоты и холода
п т. п.), Орем разбирает частный случай, когда сумма
абсолютных величин того и другого качества остается
постоянной, считая возможным изображать тогда измене-
ние подобных качеств посредством прямоугольника, раз-
деленного диагональю.
То, что было сказано о «линейных» качествах, может
быть распространено mutatis mutandis на качества «пло-
скостные», распределяющиеся по двум измерениям пред-
мета, и качества «телесные», распределенные по всем трем
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 607
измерениям материального тела. Нетрудно видеть, что
поскольку одномерное качество изображается двухмерной
фигурой, а двухмерное («плоскостное»)— трехмерной,
то «телесное» качество должно было бы предполагать
наличие четырехмерного пространства. Здесь система
Орема встречается с первым камнем преткновения.
Орем исходил из представленпя, что отношения между
качествами (или физическими явлениями вообще) пости-
гаются легче посредством своего геометрического изо-
бражения, поскольку «величина или отношение линий более
понятны и легче нами постигаются», нежели что-либо дру-
гое (ч. I, гл. 1, стр. 638). Однако последовательно проводя
предпринятую им «геометрпзацию качеств», он должен был,
как мы видим, в конечном итоге отказаться от этой нагляд-
ности. Дойдя до «телесных» качеств, Орем начинает коле-
баться. Отвергая возможность четвертого измерения, он
осторожно говорит о двух видах телесности: одной — под-
линной (vera), другой — воображаемой (ymaginata). Эта
воображаемая телесность проистекает «от бесконечного
повторения интенсивности качества в соответствии с мно-
жеством плоскостей в предмете» —телесное качество мыс-
лится (но уже с трудом представляется) в виде проникаю-
щих друг в друга объемов.
Орем подчеркивает условность такого изображения,
так же как он не устает напоминать об условности пред-
ставлений, что тело состоит из бесконечного числа плоско-
стей, плоскости — из линий, линии — из точек L).
Толкование только что рассмотренных схем распреде-
ления качеств и их интенсивностей в предмете Орем рас-
пространяет во II и III части своего труда по аналогии
на явления движения. В этом случае по оси абсцпсс откла-
дывается время, а по оси ординат откладываются скоро-
сти, рассматриваемые как своего рода «интенсивности»
(intensiones) движения. Отсюда — неизбежные повторе-
ния и отсылки к ранее сказанному2).
J) См. в особенности ч. I, гл. 1, стр. 637, ч. III, гл. 4, стр. 703
2) ...«нужно сказать совершенно то же, что в первой части
настоящего'трактата было сказано об униформности и дифформпости
постоянных качеств» (ч. II, гл. 6). Ср. также ч. II, гл. 8; ч. III, гл. 6;
ч- III, гл. 8; ч. III, гл. 9; ч. III, гл. 10.
608
В. П. ЗУБОВ
В начале части II (гл. 1, стр. 678) Орем, рассматривая
скорость движения как интенсивность, изображаемую
в виде «высоты», различает при этом два рода экстенсив-
ности: во времени и в пространстве. Обе эти экстенсивности
мыслятся в виде линий, пересекающихся под прямым углом.
Так получается три оси координатL). Кроме того, устанавли-
вается (ч. II, гл. 5, стр. 686), что изменение (или движение)
может происходить с постоянной или переменной скоро-
стью сразу во всех точках предмета, изображаемого гори-
зонтальной линией, либо может распространяться по час-
тям, постепенно, по этой же горизонтальной линии. Соот-
ветственно Орем приходит к понятию изменения скорости
или ускорения (velocitatio), которое может протекать либо
униформно, либо дифформно (т. е. быть постоянным или
переменным).
При сравнении униформных качеств друг с другом
следует принимать во внимание отношение не только ин-
тенсивностей (ij и ь2), но и экстенсивностей (ег и е2), иначе
говоря, отношение площадей. Соответственно Орем фор-
мулирует правило (ч. Ill, гл. 6, стр. 705): если ц>12 и
е1>е2, то оба отношения перемножаются; если i^i^,
но e!<e2, одно отношение делится на другое.
Интересно, что Орем применяет понятия экстенсив-
ности и интенсивности к кривизне линий (ч. I, гл. 20,
и 21, стр. 668—675). Интенсивность кривизны окружности
обратно пропорциональна радиусу, тогда как экстенсив-
ность прямо пропорциональна ему. Поэтому, по только
что сказанному, кривизна окружности есть величина
постоянная.
В том же плане сравнения качеств Орем приходит
к идее эквивалентности унпформно-дифформного качества
(или скорости движения) униформному качеству (скоро-
сти), составляющему среднее арифметическое начального
J) Разумеется, говоря об оси абсцисс и оси ординат применитель-
но к теории Орема, мы пользуемся этими выражениями условно.
А. Мтйер особенно резко и не раз подчеркивает, что у Орема соб-
ственно нет системы координат как таковой, что он оперировал
не расстояниями точек прямой (или кривой) от осей, а геометриче-
ски фигурами (ср. A. Maier, Zwei Griindprobleme..., р. 84).
Это верно. Но вместе с тем высота и основание фигуры являются
полными аналогами координат.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 609
и конечного состояния, что доказывается равенством
прямоугольного треугольника и прямоугольника, имею-
щего высоту, равную L/2 высоты этого треугольника
(ч. Ш, гл. 7, стр. 706). Заметим, что откладывая времена
по оси абсцисс, а скорости — по оси ординат, Орем нигде
прямо не говорит, что площади фигур соответствуют прой-
денным путям. Площади фигур соответствуют тому, что
он называл velocitas totalis (суммарной скоростью). Но
так как проходимые пути пропорциональны скоростям,
то площади позволяют судить и о пройденных путях.
С полной определенностью это выражено в следующих сло-
вах Орема: «Если бы что-либо движущееся двигалось
в первую пропорциональную часть какого-либо времени,
разделенного указанным образом [т. е. путем деления
целого пополам, затем второй половины — пополам и
т. д.], а во вторую двигалось бы вдвое быстрее, в третью
втрое быстрее, и так непрерывно до бесконечности, то
суммарная скорость (velocitas totalis) оказалась бы ровно
в четыре раза больше скорости первой части, так что
движущееся за весь час прошло бы вчетверо большее рас-
стояние, нежели то, которое оно прошло за первую часть
этого часа»L).
J) Часть III, гл. 8, стр. 710. Не могу поэтому согласиться с
А. Майер там, где она говорит (Die Vorlaufer..., р. 129), что Орем
«незаметно» (unvermerkt) превращает площадь фигуры, которая
изображает quantitas velocitatis (velocitas totalis), в пройденный
путь. Это делается вполне явно и сознательно, исходя из пропорцио-
нальности скоростей и путей. Точно также никак нельзя согласиться
со следующей интерпретацией (A. Maier, An der Grenze ..., р. 341):
«Орем получает плоскую фигуру (точнее, пучок параллельных
прямых), которая для него представляет в качестве пелого, в каче-
стве так или иначе очерченной площади,—скорость или «интенсив-
ность» движения в его меняющихся или постоянных значениях.
И мера этой площади есть не что иное, как это совокупное количество
(Gesamtquantitat) наличных скоростей: понятие, лишенное физи-
ческого значения. Отсюда нет пути к познанию, что эта мера отве-
чает пройденному пути. Такое познание получается лишь благодаря
тому, что на место одного понятия о скорости, которое только что
применялось и которое обозначало интенсивность движения, мол-
чаливо (stilhcliweigend) подставляется другое, которое приравни-
вает per definitionem суммарную скорость (die Gesamtgeschxvindig-
keit)—пути». На самом деле здесь нет приравнивания (Gleichset-
zung), но есть отчетливое представление о пропорциональности.
39 Истор.-матем. исслед., вып. XI
610
В. П. ЗУБОВ
У Орема, как и в других аналогичных трактатах, ана-
лиз «униформно-дпфформного» составляет обычно «вер-
шину премудрости», предел наших знаний. Характерно,
что понятие «дифформно-дифформного», как правило,
определялось у Орема чисто отрицательным образом1),
а сравнение площадей криволинейных фигур, выяснение
их эквивалентности характеризовалось как «предмет более
высокого умозрения» («et hoc est altioris speculationis»,
ч. HI, гл. 7, стр. 708). Тем не менее Орем и здесь касался
отдельных вопросов, так, например, доказывал (ч. I,
гл. 14, стр. 657), что дифформно-дифформное качество,
изображаемое посредством полукруга, не может быть
изображено нп посредством сегмента круга, меньшего чем
данный, ни посредством сегмента круга, большего чем
данный, но что ему может оказаться пропорциональной
фигура, ограниченная другой кривой, отличной от дуги
окружности. Что этой фигурой является половина эл-
липса, Орем, видимо, не отдавал себе отчета2).
Сравнительно недавно А. Майер нашла два списка дру-
гого сочинения Орема, теснейшим образом связанного
с интересующим нас трактатом. Оно носит заглавие «Во-
просы о геометрии Евклида» (Questiones super geometriam
Euclidis) и до настоящего времени не издапо3). Майер
’) «Всякое же другие линейное качество называется дифформни-
дифформны.м» (часть 1, гл. 11, стр. 652); «всякое же качество, отли-
чающееся от указанных выше, называется дифформпо-дифформным
и может быть описано посредством отрицания...» (там же, стр. 654);
«всякий раз, когда он [верхний край фпгуры] имеет отличные от
сказанного свойства, качество (или интенсивность) оказывается
дифформно-дифформным» (часть III, гл. 2, стр. 698).
2) Ср. Р. D u h е m, Etudes, стр. 383.
3) См. A. Maier, Zvvei Grundprobleme..., рр. 89—93, и в осо-
бенности An der Grenze..., рр. 343—353. Сочинение сохранилось,
как уже сказано в тексте, в двух списках (Vat. lat. 2225, fol. 90 г—
98 v; Chisianus F. IV, 66, fol. 22 v—40 ij.
Первый список—неполный (содержит 17 вопросов), и в отно-
шении текста очень несовершенен. Второй, из собрания Киджи,
содержит 21 вопрос. Порядок расположения вопросов в обоих спис-
ках разный. Вопросы 8—15 (но нумерации первого пз них) основаны
на идее «графического изображения тех или иных явлений при
помощи системы координат», т. е. касаются основной темы трактата.
Сочинение рассмотрено также в статье: D. В. Durand, JNicole
Oresme and the medieval origins of modern science—«Speculum»,
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА <0 КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 611
приводит из него отдельные выдержки, к сожалению,
оставляя в стороне, по ее собственному признанию, чисто
математические детали. «Вопросы» написаны, по-види-
мому, раньше трактата (ср. ниже, стр. 720). В наших приме-
чаниях приведены из него некоторые выдержки, заимст-
вуемые из книг Майер.
Предисловие к трактату Орема начинается в разных
списках различно: «Снш ymaginacionem vetenim de unilor-
mitate et diltormitate intentionum ordinate incoepissem...»
(«Когда я начал приводить в порядок представления древ-
них об униформностиидпфформностиинтенсивностей...»)—
в списке № 7371 Парижской Национальной библиотеки,
«...cumymaginacionemтеат...» («...моипредставления...»)—
в списке № 14579 той же библиотеки, и наконец, в па-
рижском сппске № 14580 соединено то и другое: «...cum
ymaginacionem veterum vel теат...» («...представления
древних и мои...»). Правильным, видимо, следует признать
второе чтение, а потому неправомерна ссылка на первое
и третье чтения в доказательство того, что Орем
имел предшественников, которых он именовал «древ-
ними»1). Однако неправомерна лишь ссылка; самый
же факт, что ко времени Орема учение об интенсивно
сти качеств уже имело свою предысторию, сомнению не
подлежит.
О наличии предшественников прежде всего свидетель-
ствует уже сформировавшаяся и усвоенная Оремом тер-
минология. В первых же главах своего трактата (ч. 1,
гл. 1—3) Орем указывает, что интенсивность правильнее
было бы называть долготой (longitudo), а не широтой
(latitude), заявляя вместе с тем, что он не хочет отступать
от «обычного словоупотребления» (communis usus, см.
ч. 1, гл. 3), а потому будет называть интенсивность
широтой.
vol. ХП (1941), pp. J67—185. Автор ее подготовлял издание его
(см. «Journal of the history» of ideas», 1943, January, p. 14), но мне
неизвестно, увидело ли оно свет.
*) Так поступал, например, Г. Зутер (Н. Suter, Die Mathe-
matikauf den Universitaten des Mittelaltcrs, Zurich, 1887, pp. 48—49).
39*
612
В. П. ЗУБОВ
Уже Дюгем1), а за ним Вилейтнер2) отметили, что
в первый раз термин latitude встречается в XIII веке
у Генриха Гентского, означая у этого автора неопределен-
ную интенсивность качества (как у Орема), а диапазон,
в пределах которого изменяется качество 3). Однако, на-
сколько мне известно, никто еще не указал на античные
корни этого термина, который встречается уже у Галена,
применявшего его в значении именно диапазона изменений,
или вариаций.
В сочинении «О сохранении здоровья», определяя
здоровье как некую соразмерность (аэи.ргтр(а), Гален
задавался вопросом, может ли иметь такая соразмерность
степени? На первый взгляд кажется, что нет, поскольку
равновесие (или темперация) элементов может быть толь-
ко чем-то одним- единственным: неравновесий много, рав-
новесие одно. Том не менее, полагал Галон, нетрудно видеть,
что темперация, оставаясь темперацией, меняется, напри-
мер с возрастом. Существует соразмерность доподлинная
и достигающая предела (ei; «хром -ijxouaj) и соразмер-
ность, несколько отклоняющаяся от этой точности. Ведь
«часто случается, что лира кажется настроенной самым
лучшим образом, а потом приходит другой музыкант и
настраивает ее точнее»4 *). Иначе говоря, высшее «благо-
растворение» элементов в организме («евкрасия»)— одно,
но это не мешает тому, что наряду с ним существуют близ-
кие к нему «дискрасии», которые также можно называть
здоровыми. В противном случае пришлось бы называть
всех больными, кроме одного, и для всех существовала
бы одна темперация,— для мужей и жен, юношей и стари-
ков, мальчиков и атлетов, .сильных и слабых и т. д.6).
Вот именно в этом контексте Галеп и воспользовался
термином тсХато;, широта — точным аналогом латин-
ского термина latitude. Например: «Что удивительного.
1) Дюгем, filudes, стр. 320.
2) Н. W ieleit пет, liber den Funktionsbegriff..., р. 196.
3) Против такого понимания latitude Орем возражал в конце
3-й главы первой части (см. стр. 641).
4) Га л en, De sanitate tuenda, I, 5 (Kiihn, t VI, -p. 13—17
et 23).
®) Г а л e n, De constitutione artis medicae, 9 (Kiihn, t. I,
pp. 256—257).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 613
если все растягивают евкрасшо на достаточно большую
широту, коль скоро и в лирах точнейшая настрой-
ка не бывает единственной и неделимой»1). Гален удив-
ляется мнению тех, кто считает здоровье и евкраспю «чем-
то единственным без всякой широты»2). Здоровье не
является неделимым, но способно растягиваться ва доста-
точно большую широту3),
Итак, логический вид (то хш»о» shoe) имеет, по Галену,
определенную «широту», в пределах которой он может
претерпевать изменения сообразно категории «сильнее
и слабее» (то раХ)о» xen yjttov). Средневековые latitudines
formarum, intensio et remissio secundum magis et minus
(«широты форм», «интенсификация и ремиссия сообразно
категории «больше и меньше») — совершенно точный пере-
вод галеновских терминов. Даже глагол ex-.si»si» (рас-
тягиваться) в приведенной выдержке сродни латинскому
intendere 4). Во всяком случае первоначальное понимание
latitude как диапазона качественных изменений, находи-
мое в XIII веке у Генриха Гептского, оказывается в бли-
жайшем логическом родстве с галеновской концепцией5 6).
Можно наметить и некоторые исторические связи: уче-
ние об интенсивности качеств было в средние века тесно
связано с учением о «градусах» теплоты, холода, сухости
и влажности лекарств ®), а отсюда уже прямой мост к
Галену7).
') Га л с н, De sanitate tuenda, I, 5 (Kuhn, t. VI, p. 23).
2) Там же (Kiihn, p. 28).
3) Гален, De optima nostri corporis constitutione, 3 (Kiihn,
t- IV, p. 744).
3) У Аристотеля (De coelo, II, 6) средневековым intensio и
remissio соответствуют eititaai; и глаголу intendere—глагол
5) По формулировке Дюгема (Etudes, стр. 320), latitude formae
для Генриха Гентского есть «существенное свойство, благодаря кото-
рому эта форма более или менее близка к своей высшей форме,
более или менее совершенна, т. е. более или менее интенсивна».
6) Ср. В. П. 3 у б о в, Калориметрическая формула Рихмана
и ее предыстория—Труды Института истории естествознания и
техники АН СССР, т. 5, М., 19-S5, стр. 69—93.
’) А. Майер лишь сравнительно бегло касается соотношения
между учением о «широте форм» и медицинским учением о «градусах
лекарств».
614
В. П. ЗУБОВ
Очень интересна для уяснения истоков оремовских
концепций аргументация в его «Вопросах к геометрии
Евклида», о которых уже была речь (стр. 610). Здесь мы
читаем: «Но кто-нибудь, может быть, скажет: господин
мои, не надо так представлять себе (domine, non oportet
sic imaginari). Я на это скажу: представление — правиль-
ное (imaginatio est Ъопа). И это явствует благодаря Ари-
стотелю, который представляет время в виде линии. Ана-
логично в пауке о перспективе [оптике] совершенно опре-
деленно представляют себе, что активная сила должна
быть воображаема в виде треугольных площадей... Сле-
довательно, я говорю, что представление — правильное»
И несколько дальше: «Соответственно спрашивается,
следует ли представлять себе линейное качество в виде
площади... Отвечаю, что заключение правильное, и оно
может быть подтверждено теоретиками перспективы [опти-
ками], которые так именно представляют себе интенсифи-
кацию света, например Витело (Utilo) и [Роберт] Лин-
кольнский»1).
В главе 2-й первой части (стр. 640) Орем упоминает еще
о том, что «многие теологп в несобственном смысле гово-
рят о шпроте благодати», тем самым вновь отмечая, что
термин latitude имел хождение и до него. В двенадцатом
веке парижский богослов Петр Ломбардский поставил
сильно беспокоивший его вопрос: может ли благодать
святого духа возрастать и убывать в человеке? Он сам
пе подозревал, что поставленный в его «Сентенциях»
вопрос послужит в дальнейшем той канвой, по которой
на протяжении нескольких столетий будут вышиваться
все новые рисунки, вовсе не похожие па первоначальные
контуры. Соответствующий раздел «Сентенций» превратился
В одном месте (Zwei Grundprobleme..., pp. 97—98) она обращает
внимание на трактат Р. Бэкона «De graduatione medicinarum com-
positarum», где речь идет о «линии интенсивности и ремиссии»,
на которой от определенной точки откладываются соответствующие
«градусы». В другом месте (An der Grenze..., р. 264) она указывает
на рукописный трактат магистра университета в Монпелье J or-
danus de Turre: De adinventione graduum in medicinis
simplicibus et compositis (Vat. lat. 2225, fol. 53 г—66 v).;3tot трактат
относится к 1325 г.
х) Цит. по А. М a i е г, Zwei Grundprobleme..., р. 101.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 615
в бесчисленных комментариях к этой книге в рубрику,
под которой стало излагаться все учение об интенсифика-
ции и ремиссии качеств (или «форм»). Здесь нередко речь
шла об интенсивности теплоты пли света, а первоначаль-
ная тема, если не вовсе забывалась, то во всяком случае
заслонялась чужеродным материалом.
Как мне уже пришлось однажды указывать1), наличие
подобных физических отступлений в комментариях к «Сен-
тенциям» Петра Ломбардского отнюдь не дает права заклю-
чать вместе с Дюгемом, будто теологическая схоластика
явилась той почвой, на которой выросло самое уче-
ние об интенсификации качеств: оно в действитель-
ности имело более глубокие, античные корпи и лишь «заб-
лудилось» в дебрях схоластических комментариев2). Здесь
достаточно констатировать, что термин latitude ко вре-
мени Орема имел уже хождение в литературе и с приня-
тыми его зпачениямп, как мы впдим, Орем посчитался
в своем трактате.
Самое важное, однако, заключается не в этом. Ко вре-
мени Орема ряд вопросов был уже разработан совершенно
независимо от теологии в целом ряде математических или
полуматематических трактатов, появившихся по большей
части в Англии, точнее, в Оксфорде, еще точнее — в Мер-
тонском колледже Оксфордского университета. «Кинема-
тическое исследование движения, по-видимому, началось
за некоторое время до 1328 г. с анонимного трактата «De
proportione motuum et magnitudinum», приписываемого
двум различным авторам — Рихарду Верселльскому и
х) В. П. Зубов, Концепции Дюгема в свете новейших
исследований по истории естествознания. Труды совещания по исто-
рии естествознания 24—26 декабря 1946 г., М.—Л., 1948, стр. 107.
2) По Дюгему (fitudes, стр. 317), «теории, которые должны про-
яснить исследование различных свойств, изучаемых физиком, перво-
начально были изложены в связи с вопросом о благодати». Но можно
ли серьезно думать, что первой фазой этих теорий были богослов-
ские рассуждения вроде тех, которые приводит сам Дюгем (там же,
стр. 447), и в которых сравнивались, например, любовь к богу
и любовь к ближнему, убывающие в геометрической прогрессии
1 : 2, грехи Платона и Сократа ит. п. Ясно, что во всех этих случаях
уже использовался готовый аппарат, разработанный для других
целей.
616
В. П. ЗУБОВ
Герарду Брюссельскому. Вопреки впечатлению, которое
создает Дюгем, дальнейшее развитие кинематики, види-
мо, происходило в Англии раньше, чем во Франции. Более
того, закон эквивалентности ускоренных и равномерных
движений не был открыт Николаем Оремом, как в одном
месте заявляет Дюгем, поскольку он появляется в сочи-
нениях Джона из Дамблетона, Ричарда Суайнсхеда
(Суисета) и Вильяма из Хейтесбери, причем оба первые —
вне всякого сомнения, а последний — возможно — писали
раньше Орема. Более чем вероятно, что упомянутая тео-
рема, дискутировавшаяся в Англии до 1350 г., перешла
из Оксфорда в Париж... В лице Орема французская школа,
пользуясь координатами, проявляет тенденцию к более
геометрическому доказательству, тогда как английская
школа Хейтесбери, Дамблетона, Суайнсхеда проявляет
тенденцию к доказательству скорее арифметическому
и формально логическому»1).
Из сочинений представителей «мертонской школы»
особого внимания заслуживает «Калькулятор» Ричар-
да Суайнсхеда, или Суисета, объединяющий 16 тракта-
тов2).
Подробный анализ его завел бы нас слишком далеко и
должен составить предмет отдельного исследовавпя. Но
нельзя не оттеппть здесь некоторые особенности стиля
изложения, резко отличающие Суисета и Орема.
Орем по сравнению со своим английским собратом про-
зрачен и прост. «Калькулятор» же превращается подчас
в непроходимые дебри. Отсутствие развитой математиче-
ской символики, пользование одними и темп же буквен-
ными обозначениями в разных смыслах на одной и той же
х) Marshall Clagett, Giovanni Marliani and late
medieval physics, New York, 1941, pp. 101—102.
2) «Калькулятор» Ричарда Суисета был издан трижды: в Падуе
около 1477 г. (но не в 1485 г., как иногда указывалось), в Павии
в 1498 г. и в Венепии в 1520 г. Все три издания очень редки. Мне
было доступно последнее из них (экземпляр Гос. Публичной библио-
теки в Ленинграде). По нему приводятся дальше все цитаты. Экзем-
пляр падуанского издания имелся в библиотеке историка математики
И. Ю. Тимченко, профессора Новороссийского университета (см.
его заметку в «Bibliotheca mathematica», Folge 3, Bd. 1 (1900),
рр. 503—504),
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 617
странице, пространное словесное изложение вместо лако-
ничных формул,— все это приводит к тому, что глаз
зачастую теряется во множестве анализируемых случаев.
Следить за ходом мысли Супсета особенно трудно потому,
что автор всюду обнажает логический скелет аргумента-
ции, прерывая ее вставками: «большая посылка очевидна»,
«меньшая посылка доказывается следующим образом»
и т. п. А так как при доказательстве меньшей посылки
появляется своя меньшая посылка, требуется напряжен-
ное внимание, чтобы не потерять основную пить. Нередко
приходится буквально разыскивать с лупой посылки боль-
шие и меньшие в компактной массе текста, где пунктуация
резко отличается от современной, где часто посылка не
отделена никаким знаком препинания от вывода, а вывод
разбит на две части посредством точки.
Мало того, изложение ведется disputative, т. е. сна-
чала то илп иное положение доказывается, а потом (и дале-
ко не всегда сразу же после доказательства) выдвигаются
возражения, после чего эти возражения критикуются
и т. д. и т. д., так что, приступая к чтению доказательства,
читатель еще не знает, имеет ли он дело с мнением, кото-
рое автор защищает, илп же с такпм мнением, которое
он потом опровергнет, либо примет с ограничениями.
Если у Евклида доказываемое положение каждый раз
формулируется в начале, то у Суисета в начале выдви-
гается нередко лишь тема для дальнейшего обсуждения.
Орем «десхоластизировал» изложение Суисета, вы-
свободил его из традиционной школьной оболочки. Это
вполне понятно, если вспомнить о другпх трудах того же
Орема, в частности, о его переводах сочинений Аристотеля
на французский язык1).
') В 1370г. Орем закончил, по поручению короля Карла V, пере-
вод «Этики», «Экономики» и «Политики» Аристотеля, в 1377 г.—пере-
вод сочинения «О небе». «Этика» была напечатана в Париже в 1488 г.
«Экономика» вместе с «Политикой» там же в 1489 г. Перевод «О небе»
остался не напечатанным. Новые издания: М a i s t г е Nicole
Oresme, Lelivre de ethiques d’Aristote. Published... by A. D. Menut,
N. Y., 1940; Le livre du riel et du monde, publ. by A. D. Menut
and A. J. Denomy—«Mediaeval Studies», vol. Ill (1941), pp. 185—•
280; vol. IV (1942), pp. 159—297; vol. V (1943), pp. 167—333.
Переводы представляют большой интерес для истории научного
618
В. П. ЗУБОВ
Как было сказано выше (стр. 616), «мертонцы», в отли-
чие от Орема и его школы, были склонны более к арифмети-
зации и логизации проблем, нежели к геометризации их.
Действительно, в «Калькуляторе» Суисета нет чертежей —
они были добавлены позднее в некоторых рукописях,
в частности, добавлены и в печатном тексте 1520 г. изда-
телем Витторе Тринкавелло; им внесен среди прочих
и чертеж, который по своему существу тождествен оремов-
скому и который должен иллюстрировать эквивалентность
униформпо-дпфформного изменения плотности и сред-
него униформного ее изменения1). Применительно к дви-
жению сам Суисет без чертежей формулировал его так:
«Всякая широта движения, униформно приобретаемая
или теряемая, соответствует своему среднему градусу...,
так что столько же в точности будет пройдено, благодаря
этой так приобретаемой широте, сколько и благодаря ее
среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим
средним градусом»2).
И тем не менее, несмотря на отсутствие чертежей, гео-
метрические образы в завуалированной форме все-таки
лежали в основе рассуждений Суисета. Это видно хотя бы
из его доказательства того же тезиса применительно к уни-
формно-дифформно меняющейся плотности: «Более плотная
половина [тела] превышает средний градус [плотности] па
широту плотности от него до пе-градуса. И пусть будет, к
примеру сказать, и та и другая половина объемом в фут.
Тогда этому избытку будет соответствовать в [кубическом]
футе определенное количество материи. Если его отнять
французского языка. Орем обогатил его такими неологизмами, как
anatomic, dcniocracie, incommensurable, materiel, probability,
scientifiqne, vclocite (ср. указатель в упомянутом новом издании
«Этики», стр. 79—82). Показательно, что сам Орем приложил
к книге толковый словарь (La table des mots divers et estranges,
там же, стр. 541—547).
Переводы Аристотеля были комментированы Оремом в разной
мере. В одном случае это простые пояснении («глоссы»), В других
случаях (комментарии к сочинению «О пебе») Орем вдается в раз-
вернутую критику аристотелевских положений (ср., например,
ниже, примеч. 47).
*) См. л. 19 об. указанного издания.
2) Трактат XIV, л. 39 об.
Рис. 3. Страница перевода Орема «Политики» Аристотеля (руко-
пись Парижском Национальной библиотеки № 204).
620
В. П. ЗУБОВ
от более плотной половины и прибавить к половине более
разреженной [в точке /] так, чтобы более интенсивный
крап [cd] этой шпроты явился бы продолжением более раз-
реженного края более разреженной половины [а], а
не-градус [е] оказался бы в средней точке, то целое не
станет нп более разреженным, ни более уплотненным,
поскольку весь объем непрерывно будет оставаться такой
же, как теперь, прп постоянстве [количества] материи.
Следовательно, теперь целое будет соответствовать этому
Рис. 4.
Алгебраически этот тезпс
(если ввести современные
и с — среднее между пим
убывает, приближаясь к с, а b с тою скоростью воз-
растает в' направлении к с. «Тогда в конце [изменения]
сумма а и Ъ окажется вдвое больше с, ибо а и b будут тогда
среднему градусу, что и тре-
бовалось доказать»1).
Чертеж сам напраши-
вается при чтенип текста и
в прямых скобках мы ввели
необходимые отсылки к не-
му2).
Во всех случаях доказа-
тельство упирается в тезис,
что «всякая сумма двух не-
равных величии вдвое боль-
ше средней между ними»,
доказывается у Суисета так
знаки >, =, —). Пусть cd>b
, т. е. а—с=с—Ь. Пусть а
равны между собою,— ведь столько же, сколько одно при-
обретет, столько же другое потеряет. Следовательно, а и b
и теперь вдвое больше с, что и требовалось доказать»3).
!) Трактат V, л. 13 об.
2) Нельзя поэтому согласиться с Дюгемом (fitudes, стр 449),
утверждавшим, будто достаточно со вниманием прочитать текст Суи-
сета и убедиться, что чертежи не предусматривались автором, и что
он никогда не обращался к иным приемам, кроме арифметических.
3) Трактат XIV, л. 39 об.
С этим уместно сравнить следующее рассуждение Жана Бури-
дана: «Если что-либо будет дифформно-белым или черным, так,
что одна часть за другой непрерывно от одного конуса до другого
имеет все менее интенсивную белизну, то такое тело в целом не
будет называться в высшей степени белым, хотя бы ремиссия и на-
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЁМА «О КОНФИГУРАЦИИ КА ЧЕСТИ» 621
Таким образом, стремясь к арифметизации и логизации,
Суисет гнал от себя сами собою напрашивавшиеся геомет-
рические аналогии, очевидно, не считая их достаточно дока-
зательными. Наоборот, Орем поставил себе обратную
задачу — полной геометрпзации проблемы в интересах
наглядности. С какими трудностями он на этом пути встре-
тился, мы уже видели (стр. 607). Но нужно еще добавить,
что этот наглядный геометрпзм,— пли, вернее, тяготение
к нему,— вынудил Орема оставить в стороне целый ряд
тонкостей, подмеченных его предшественниками. Вда-
ваться в них здесь — завело бы пас слишком да-
леко1).
Отметим лишь, что указанное обстоятельство могло быть
причиной, почему в последующее время (в XV—XVI вв.)
произведения «мертонцев» (в частности, в Италии) про-
должали привлекать внимание даже больше, чем сочи-
нения Орема: их наследие не было исчерпано2).
Где же искать общих корней «мертонской» и оремовой
школ, кроме уже отмеченных совпадений с античной тер-
минологией Галена? Прежде всего, в евклидовом учении
о пропорциях, с его средневековыми модификациями,
вплоть до трактата Томаса Брадвардина о пропорциях,
читалась в одном конусе с высшей степени белизны. Напротив,
благодаря взаимной компенсации частей (reeompensando unam
partem ad aliam), оно должно с большим правом именоваться по
среднему градусу между наиболее белой и наимение белой частью»
(I о h a n n е s В u г i d а п и s, Questiones super libris quattuor
De coelo et mundo, edited by E. A. Moody, Cambridge, Mass., 1942,
lib, 1, <|u. 22, pp. 99—100).
x) II. 10. Тимченко был неправ, утверждая, что Суисет имел
Дело исключительно с униформно-дифформными изменениями,
а потому труд Орема представлял собою значительный шаг вперед
(см. его заметку: Sur un point du «Tractatus de latitudinibus fornia-
rum de N. Oresme»—«Bibliotheca mathematica», Folge 3, Bd. I
(1900), pp. 515—516).
Суисет преимущественно занимался униформно дпфформными
изменениями, но кое-где касался и изменений дифформно-диф-
формных.
2) Таким образом, повторяем, процесс протекал в обратном на-
правлении тому, которое намечал Дюгем, исходивший из неправиль-
ной хронологии: оксфордская школа не схоластизировала положе-
ния Орема, а наоборот, Орем «дссхоластизировал» (по крайней мере,
частично) положения оксфордцев.
622
В. П. ЗУБОВ
написанного в 1328 г.1). Во-вторых, в аристотелевой
«Физике», осложненной позднейшими комментаторами,
в первую очередь Аверроэсом, а именно в тех преимуще-
ственно разделах, где речь шла о пропорциональных соот-
ношениях между силой и сопротивлением, силой и движе-
нием и т. д.
Слияние аристотелевой и евклидовой струп, «матема-
тизация» Аристотеля и «фпзикализация» Евклида,—
такова та общая подоснова, на которой выросли «каль-
куляции» XIV века.
Посмотрим теперь внимательнее, какое практическое
приложение они получали, как онп «работали».
Сравнительно недавно А. Майер 2) охарактеризовала
«калькуляции» средневековых авторов, подобных Суисету
и Орему, как чисто отвлеченные подсчеты, не подкреп-
ляемые эмпирическими измерениями («Reclinen ohne Mes-
sen»).
«Устанавливают, что „движущееся” (mobile) в опреде-
ленный момент пмеет скорость, соответствующую двум; ско-
рость, соответствующую четырем, вообще говоря, ско-
рость а, не задаваясь вопросом о том, что это значит,
с какой единицей измерения эти числа должны быть соот-
несены. И на основе этих высказываний производятся
с выбранными величинами вычисления, имеющие види-
мость точности, но, которые, разумеется, не имеют ника-
кого соприкосновения с реальностью, а следовательно,
лишены всякого физического значения»3).
В частности, это относится и к тому, что Дюгем пред-
лагал назвать «правилом Орема». Орем, подобно всем
своим современникам, «нс доходил до мысли применить
правило к падению тел, или, вообще говоря, в этом послед-
') Ср. новое издание его, подготовленное па основе изучения
семи рукописей: Thomas of В г a d w а г d i и е. His Tracta-
tus de proportionibns. Its significance for the development of mathe-
matical physics. Edited and translated by H. Lamar Crosby
jr, Madison, 1955.
2) A. Male r, Die Vorliiufer.. , p. 115.
3) Там же, стр. 123. Аналогично высказывается автор и в дру-
гих своих работах. Ср., например, Zwei Grundprobleme..., р. 85:
«...подсчеты и конструирование a priori, без всякого контакта с опы-
том, да и без всякого намерения установить такой контакт».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 623
нем предположить частный случай униформно-дифформ-
ного движения»1).
Это верно, но верно лишь отчасти. Нельзя забывать,
что основным устремлением Орема оставалось приложение
теории конфигурации качеств к объяснению явлений реаль-
ного мира. В главе 22-й первой части Орем наметил целую
программу таких возможных объяснений, разительно
напоминающую в отдельных своих пунктах концепцию
древних атомистов, на которых он прямо и ссылается2).
«Ясно,— писал Орем, — что тела могут различным обра-
зом варьировать в своих действиях соответственно раз-
нообразию фигур этих самых тел. Вот почему древние,
утверждавшие, что тела состоят из атомов, говорили, что
атомы огня пирамидальны вследствие его сильной действен-
ности, отчего тела и могут, в зависимости от различия
пирамид, больше или меньше колоть... Точно то же отно-
сится к другим действиям или фигурам. Но коль скоро
так обстоит с фигурами тел, представляется логичным,
что соответственно можно говорить и о фигурах качеств...».
В главе 23 первой части Орем пытался объяснить раз-
личную, говоря на современном языке, теплопроводность
различием в пористости тел и в конфигурации качеств 3).
По тому же принципу делается попытка объяснить маг-
нитные явления4). Разумеется, подобные физические гипо-
’) Там же, стр. 129. Ср. стр. 120. Заметим, что не иначе судил
и сам Дюгем (см. ниже, стр. 632).
2) См. часть 1, гл. 22, стр. 675. На эту сторону трактата сравни-
тельно недавно обратил внимание D. В. Durand, Nicole Oresme
and the medieval origins of modern science—«Speculum», vol. 16
(1941), N 2, pp. 175—179.
3) «Быть может, это является причиной, почему, когда в оло-
вянном или серебряном сосуде налиты очень горячие или холод-
ные вино и и вода, эта теплота или этот холод быстрее будут про-
никать и сильнее действовать на руку, держащую такой сосуд,
нежели в том случае, если сосуд деревянный, хотя дерево по своей
телесности более пористо или разрежепо, чем олово. Иначе говоря,
это происходит от того, что разреженность конфигурации качества,
присущая олову, вместе с большей телесной плотностью этого олова,
влияет сильнее, нежели телесная разреженность дерева, при мень-
шей пористости его качественной конфигурации». Ср. также ч. 111,
гл. 5 (стр. 704).
4) «...магнит, который притягивает железо вследствпе есте-
ственного соответствия и взаимной связи, обусловленной пропорцией
(>24
В. П. ЗУБОВ
тезы должны были оставаться у Орема в области самых
расплывчатых и общих предположений и неслучайно было
пользование в таких случаях оборотами вроде «forte»
(«быть может»), «potest esse» («возможно»), «si aliquis ve*
lit» («если кто-нибудь пожелает») и т. п.
Тем не менее, нельзя не признать смелой,—для XIV ве-
ка даже дерзкой,— попытку свести бесконечное разнооб-
разие физического мира к сложнейшему геометрическому
рисунку «качеств» и их «конфигураций». В зародыше —
здесь уже налицо концепция XVII века, пытавшегося
объяснить разнообразие явлений бесконечным разнооб-
разием корпускул и их формы. Вспомним Бойля.
Дело поэтому не столько в оторванности абстрактных
формул от физики, как утверждает А. Майер, сколько
в несовершенстве самой физики,— в неполноте эмпириче-
ских данных, в несовершенстве экспериментального метода,
который позволил бы проверять и развивать те или иные
выдвигаемые положения. Вот почему, в отлпчие от Манер,
следует скорее подчеркнуть своеобразный «физикализм»
оремовского мышления, соглашаясь вместе с тем, что раз-
работанный французским ученым и его английскими пред-
шественниками математический аппарат в значительной
степени работал на холостом ходу. Орема, как и его пред-
шественников, следует упрекать не столько в чрез-
мерной абстрактности, сколько в недостаточ-
ной абстрактности,— в том, что от геометрических схем
он слишком поспешно переходил к проблемам традицион-
ной физики, решая в плане теории «шпроты форм» вопро-
сы, молчаливо предполагавшие ряд натурфилософских
положений аристотелизма.
Сказанное становится особенно наглядным при рассмот-
рении тех глав трактата Орема, которые опущены в нашем
переводе. Орем не останавливается перед тем, чтобы
«объяснить» ссылкой на «конфигурацию качеств» такие
сложнейшие явления, как впдовые отличия животных
между качеством первого и натуральным качеством другого и со-
ответствия качественной конфигурации в обоих» (ч. I, гл. 28).
В другом месте (ч. II, гл. 10) Орем делает попытку объяснить дей-
ствие электрических рыб особенностями «конфигурации скорости»
(figuracio velocitatis).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 625
пли явления наследственности1), а вместе с тем и множество
совершенно фантастических «симпатии» и «антипатий»
между вещами, где, естественно, всплывают многочислен-
ные легендарные и полулегендарные рассказы Плиния
и Солпна, столь популярные в средние века 2). Не будем
судить Орема слишком строго,— вспомним о легковерии
многих эрудитов XVI века, некритически включавших
в своп произведения энциклопедического характера мно-
жество непроверявшихся ими лично сообщений о различ-
ного рода удивительных и «диковинных» вещах (Кардано,
Порта и др.).
Для «фпзпкализма» Орема характерна и другая осо-
бенность: в ряде областей он никак не использовал разра-
ботанные им понятия с целью расширения конкретных
сведений, а исходил от уже существовавшего багажа науч-
ных данных, применяя его в иносказательных, или с и м-
волических, целях. Такова была, например, опти-
ка, законы которой нередко превращались в простое
средство для истолкования других процессов и явлении:
подробно, на протяжении целого ряда глав (ч. I, гл. 33—
40), проводится сопоставление души с зеркалом, отражаю-
щим внешние явления то смутно и неясно, то в искаженной
форме, в зависимости от своей поверхности, своей гладко-
сти («униформпости»), своего расстояния от предмета и т. д.
Еще более метафорический характер приобретали
оремовы аналогии там, где он начинал говорить о психи-
ческих состояниях, о вкусах и склонностях3), о душевных
«движениях»4), о возможности сравнивать страдания
и удовольствия разной интенсивности и продолжптель-
’) «Естественная теплота льва иначе активна и обладает иной
силой, нежели естественная теплота осла или зайца» (ч. I, гл. 24).
2) Например, о лечении «симпатическими» средствами, о корне
мапдрагоры, о некоторых людях, которых пе трогают змеи, и т. п.
(ч. I, гп. 25), о «дружбе» между человеком и собакой и о «вражде»
межд) волком и ягненком (ч. I, гл. 27), о козлиной крови, произво-
дящей трещины в алмазе (ч. I, гл. 28) и т. д.
3) Ср., например, часть I, гл. 30, где в различной конфигурации
качеств ищется причина, почему «ослу нравятся волчцы (tribuli)
и не нравится каша, одно нравится здоровому человеку, а другое—
больному».
4) Часть II, гл. 36.
40 Истор.-матем. исслед., выл. XI
626
В. П. ЗУБОВ
ности1). Мысль о соответствии качественных конфигура-
ций лежала и в основе эстетики Орема, его представле-
ний о гармонии, созвучии и диссонансе. Здесь, как и
в области оптики, в основном использовалось достояние
предшественников, не пополнявшееся какими-либо суще-
ственно новыми фактами2).
Но если символизм или аллегоризм оремовых метафор
роднил его с господствующими течениями средневековья,
то, с другой стороны, Орему были свойственны и другие
черты, роднившие его с прогрессивными идеями более
позднего времени. С особой резкостью они выражены
в опущенных нами при переводе больших отступлениях
I и II части, посвященных разоблачению «обманов магии»
и попытке рационально объяснить большинство «магиче-
ских явлений». Предшественниками французского уче-
ного в данном случае были Авиценна и Витело, на которых
он и ссылается3).
По Орему, «глупые чернокнижники» приписывают
действию «бестелесных духов» то, что на самом деле имеет
чисто физические причины4). «Сверхъестественные впде-
т) Часть II, гл. 39 и 40.
2) Ср. в особенности ч. 1, гл. 26—27; ч. II, гл. 1 и в особенности
ч. II, гл. 15—24—большой экскурс в область теории музыки (res-
pective акустики) со ссылками на Боэция и другие источники. В гла-
ве 19-й этой второй части Орем упоминает также о написанном им
самим особом трактате «De divisione monochord!».
Но все-таки, при всей зависимости Орема в этой области от
своих предшественников, было бы несправедливо пройти мимо от-
дельных штрихов, выразительно характеризующих его облик.
'Гак, среди причин, обусловливающих красоту звука, Орем указы-
вал его непривычность для слуха (inconsuetudo audiendi), ибо
«подчас из такой непривычности и новизны рождается восхищение,
которое в свою очередь рождает удовольствие (delectationem)».
Наоборот, звуки, которые мы слышим часто, «могут приедаться
и казаться менее красивыми, чем на самом деле» (ч. II, гл. 22). Это
чувство новизны очень показательно. Ведь неслучайно старшие
современники Орема, Филипп де Витри (1291—1361) и Жан де Мёр
(ок. 1290—ок. 1351) написали один—музыкальный трактат под
заглавием «Ars nova», другой—«Ars novae musicae».
3) Часть I, гл. 25.
4) Эти разделы трактата, вместе с другими произведениями
Орема на ту же тему, рассмотрены в книге I.. Thorndike,
A history of magic, and experimental science, vol. HI, N. Y., 1934,
pp. 424—471.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЁМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 627
ния» обусловлены телесным и душевным состоянием визио-
нера. Это, в частности, доказывается тем, что «неспособ-
ные иметь подобные видения — лучшего склада и сло-
жения, духа более твердого и уверенного», тогда как визио-
неры— «сложения меланхолического, духа робкого и не-
твердого» (ч. II, гл. 27). Вот почему легче поддаются таким
обманчивым впечатлениям «мальчики и юноши» по «лег-
комыслию и доверчивости» (ч. II, гл. 28). Большую роль
играет, по Орему, внушение и самовнушение, оттого-то
для магических операций и выбираются места глухие,
дикие и страшные, именно потому, что они не могут проис-
ходить в присутствии многих людей. «Ведь если бы что-
либо видимо было вовне, то скорее оно было бы усмотрено
тем, чьи глаза хорошо предрасположены к этому, нежели
тем, кто как бы ослеп, охваченный чрезвычайным стра-
хом. Следовательно, причина видения заключена в нем
внутри, в его фантазии. II так же, как не следует верить
больному в отношении вкуса, так и им в отношении виде-
ний не следует верить больше, чем находящимся в неисто-
вом состоянии, которые также иногда заявляют, что видят
дьявола» (ч. II, гл. 30).
Причинами видений могут являться и такие чисто ма-
териальные факторы, как одуряющие пары, дурманящие
вещества и т. и., не говоря уже о прямом обмане при по-
мощи зеркал и других фокусов (ч. II, гл. 31). Что касается
прорицаний, маги «охотнее говорят в среде невежд, поль-
зуются двусмысленными выражениями и словесными улов-
ками, рассказывают также о таких фактах, которые ложны
и подобны бабушкиным сказкам» (ч. II, гл. 35).
Изложение в этих главах довольно щедро разукра-
шено цитатами из античных поэтов — Овидия, Лукана,
Стация и др. Характерно, наряду с упоминанием Дель-
фийского оракула (ч. II, гл. 32), Орем высказывает пред-
положение о том, что и популярная в средние века легенда
о странствии св. Патрика по чистплпшу также имеет в ос-
нове рациональное объяснение — действие одуряющих
паров пещер и т. п. (там же).
Разумеется, Орем не мог и здесь вполне отрешиться
от господствующего «духа времени»,— так, говоря о гип-
нотических явлениях (например, ч. II, гл. 38), он рассмат-
40*
С>28
в. ii. ЗУБОВ
рпвал пх наряду с фантастическими рассказамп о действии
«дурного глаза», хотя и в этом случае пытался объяснить
такое действие предпочтительно физиолого-психологиче-
скими, а не «сверхъестественными» причинами (ч. П,
гл. 28). Целиком отказаться от допущения всякой возмож-
ности «прорицаний», «видений» и т. п. Орем не сумел, да,
видимо, и не хотел, поскольку он не решался распростра-
нять предложенные им рациональные объяснения на тек-
сты Библии, оговаривая, что вполне возможны случаи,
о которых повествуется «в историях и свидетельствах,
достойных доверия и как бы апробированных всеми»
(ч. II, гл. 35).
Какова была судьба трактата Орема? Известно, что
в XIV и XV вв. в университетах существовали специальные
курсы «De latitudinibus formarum».
В постановлениях факультета пскусств Кельнского
университета в 1398 г. от испытуемого бакалавра требо-
валось знание какого-нибудь трактата и по этому вопросу;
выбор трактата предоставлялся преподавателю1).
Курс «De latitudinibus formarum» читался в конце
XIV века в Венском университете2). Вели его по большей
части люди далекие от математики и естествознания, что
в немалой мере способствовало схоластпзацпп, своего
рода мумификации этой теории3).
г) S. G ii nthe г, Die Anfange und Entwickelungsst,adieu des
Koordinatenprinzipes — Abhandlungen der naturhistorischen Gese 1-
schaft zu A'iiinbcrg, 6, 1877 (итальянский перевод—в «Bulletino di
bibliografia e di storia delle scienze inatematiche e fisiche», t. 10,
1877, pp. 375—376). О том же—H. It a u k е 1, Zur Geschichte der
Mathematik ini Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874, p. 351.
£) Ср. перечни лекций 90-х годов у J. A s с h ь а с ]1; Geschi-
chte der Wiener L’niversitat im ersten Jahrhunderte Hires В stehens,
Bd. I, Wien, 1865, SS. 139, 143, 147, 153. 168, а также H. S u t e r,
Die Mathematik auf den Universitatcn des Mittelalters, Ziirich,
1887, S. 89.
3) Примером может служить в том же Венском хниверептете
Николай фон Динкельсбюль, забытый богослов XIV века; един-
ствен те сочинение его, имеющее отношение к естествознанию хотя
бы по заглавию,—комментарий к «Физике,? Аристотеля, который
представлял собою, по всей вероятности, трафаретный сборник
с х о л а сти чес ки х « q ua es t.i ones».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 629
Примером такой мумификации может служить трактат
«О широте форм» (De latitudinibus formarum), написанный,
видимо, одним из учеников пли последователей Орема1).
Дюгем имел все основания назвать этот трактат «сухим
компендием»2). Изложение сведено к многочисленным опре-
делениям, предположениям и положениям. Живые нити,
связывающие их с действительным миром, отрезаны.
Школьно-догматическое изложение не благоприятствует
творческой работе абстрактно-математической мысли.
По-видимому, к более ранним источникам восходит то но-
вое, что мы находим в этом учебном пособии по сравнению
с трактатом Орема, в частности, констатация, что скорость
изменения стремится к нулю по мере приближения к точ-
кам максимума пли минимума. Вот как гласит соответ-
ствующий текст трактата:
х) Издан в 1486 г. Матвеем Кердонским в Падуе. Мне было
доступно издание в сборнике, напечатанном в Венеции в 1503 г.
(Questio de modalibus Bassani f'oliti etc., микрофильм экземпляра
ВрлтанИкого музея). Начало трактата в этом издании: «Incipit
perutilis tractatus de latitudinibus formarum secundum reverendum
magistrnm Nicholaum Horen» (fol. 27). Заметим: «secundum magi-
strum» («согласно магистру»), а не «magistri» («магистра»). Такая же
формулировка—в еще более позднем венском издании 1515 г.
С первого издания 1486 г. сделан английский перевод: «Ап
abstract of Nicholas Creme’s treatise on the breadths, of forms»,
Annapolis, Maryland, 1941.
Страница (с чертежами) из этого же издания воспроизведена
в статье Н. G. Funhouse г, Historical development of the gra-
phical representation of statistical data—«Osiris», vol. 3(1938), p. 276.
Впблиографы (например, Hain) упоминают еще издания: Падуя,
1482 и Вена, 1515. О первом из ник Вилейтпер говорит, что никто
из специалистов новейшего времени его пе видел. (II. \\ i е 1 е i t-
ner. Der «'I ractatus de latitudinibus forniaruiu» des Oresme—
«Bibliotheca mathematica», Bd. 13, 1912/1913, p. 116.)
А. Майер (An der Greuze..., pp. 371—375) нашла список
трактата (Chis. F. IV. 66, fol. 13—16), в конце которого в качестве
его автора указан пекип Якопо де Санто Мартино,
по всей вероятности тождественный с Якопо пз Неаполя,
автором трактата «De perfectione specierum» (Chis. F. IV, 66, fol.
6 v—12 v; Vat. lat. 4545, fol. 32—48; Erfurt, Ampl. 4', 387, fol.
79—85 v).
Этот последний трактат также частично посвящен проблемам
теорпи «широты форм». Якопо из Неаполя упоминается в источни-
ках 2-й половины XIV века. Ср. ниже, рис. 7 на стр. 634,
2) D u h е m, Etudes, стр. 400,
630
В. П. ЗУБОВ
«Следует заметить, что в любой такой фигуре, как
полукруг, интенсификация формы
градусе медленности, ремиссия же
градуса медлснностп, а именно в
где кончается
кончается на высшем
начинается с высшего
средней точке круга,
начинается ремиссия,
явствует из фигур cd и
интенсификация и
• как
de»1). И дальше: «В любом
полукруге интенсифика-
ция широты начинается
с высшего градуса скоро-
сти и кончается высшим
градусом медленности, а
именно в средней точке
дуги. Наоборот, ремиссия,
с той же самой середины, начинается с
стрости
стрости
Рис. 6.
начинающаяся
высшего градуса медленности и кончается на высшем гра-
дусе скорости; это явствует из фигуры cd. Но пусть кто-
либо не болтает зря, будто я подразумеваю под высшей
скоростью и высшей медленностью такие, которые
берутся в сопоставлении
с другими, отсутствую-
щими в этой фигуре.
Ведь я не отрицаю, что
один полукруг начи-
нается с большей скоро-
стью, нежели другой,
ибо чем полукруг боль
шс, тем с большей скоро-
стью начинается интен-
сификация его' широты,
и с тем большей медленностью опа кончается,— п наобо-
рот, в случае ремиссии. Нет, я утверждаю, что никакая
другая фигура, характеризуемая возрастанием интенсив-
ности, не начинается с большею скоростью, нежели полу-
круг,— даже и не с той же скоростью, за исключением,
быть может, фигуры, составляющей часть полукруга»* 2).
*) Фигуры cd и de в издании 1505 г. отсутствуют и реконструи-
рованы нами.
2) De latitudinibus formarum, ч. 2, л. 29 об. (D3v) по венециан-
скому изданию 1505 г.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 631
Нельзя не указать также на одно из ранних отражений
оремовской геометризованной трактовки «широты форм»
в трактате Джованни Казале из Монферрато, один из
списков которого датирован 1355-м годом 1). Автор говорит
об униформной «широте», уподобляя ее «прямоугольному
параллелограмму», а «широту» униформно-дпфформпую,
начинающуюся с «не-градуса» — треугольнику. Мало того,
он пользуется геометрическими доказательствами при
выводе эквивалентности униформно-дифформноп «широ-
ты», униформной «широте» со средним «градусом2).
Дюгем отмечал, что к началу XVI века большой трак-
тат Орема был основательно забыт. «В Париже, в начале
XVI века, все магистры постоянно читают «Трактат о про-
странственном движении» Бернардино Торни, но никто
пз них не читает «Трактат о фигурации потенций п дпф-
формности мер» Нпколя Орема. Из этого последнего труда
знают только то, что повторил из него первый»3)-
По мнению Дюгема, виною тому было то, что в конце
XV — начале XVI веков печатались (преимущественно
в Италии) произведения ученых оксфордской школы и их
итальянских продолжателей; вот почему «в сочинениях
авторов 1-й половины XVI века и цитируются лишь те
книги, которые воспроизвело нарождающееся книгопе-
чатание». Не буду останавливаться на отдельных следах
оремовых влияний, которые восстановила А. Майер на
основании изучения преимущественно итальянских руко-
писей4). Достаточно сказать, что местами можно здесь
встретиться с непониманием и грубыми нсдоразуменпями,
и нередко не с прямым воздействием Орема, а со знаком-
ством с его идеямп при посредстве выше охарактеризован-
ного трактата (Якопо из Неаполя) «О широте форм».
*) На этот список (Vat. lat. 2185, fol. 61 v—71 г) обратила вни-
мание А. Майер (Ап der Grenze..., р. 360), считающая, что указание
па 1346 г., якобы помеченный в другом (флорентийском) списке,
основано на ошибочном чтении.
-) Joannes de Casali, De velocitate motus alterationis,
в указанном выше (стр. 629) сборнике Бассано Полито, л. 60 об.
3) D uhe m, fit,tides, стр. 547.
4) A. Maier, An der Grenze..., рр. Зэ4—384 (Die Nachwir-
kuncr der Oresmischer Lehre). См. также D n h e m, Le systeme du
monde, t. VII, pp. 569—600,
632
В. П. ЗУБОВ
Итальянцы и французы XV—XVI веков преимуществен-
но продолжали вычислительную традицию «калькуляций»
мсртонской школы. Тем нс менее, геометризм Орема ска-
зался и на этпх сочинениях: под его именно влиянием
в печатных изданиях мертонских авторов (Хейтесбери,
Суисета) появились иллюстрирующие чертежи, которых
не было в первоначальных рукописях.
Уже Дюгем в свое время очень четко отметил то,
на что сравнительно недавно вновь обратила внимание
А. Майер (см. выше стр. 623): закон эквивалентности унп-
формно-дифформного движения униформному движению
со средней скоростью нс применялся ни Оремом, пи его
последователями к падению тел. Закон эквивалентности
оставался хорошо известным в Париже, стал в XV веке
известен в Италии: для Анджело Фоссомброне это есть
общеизвестное положение («commune priucipium in ilia
materia»), для Бернардино Тории точно так же это вещь
общеизвестная («communis et notissima»). Вместе с тем
ученые XIV века (Альберт Саксонский и др.) знали, что
падение тел есть движение ускоряющееся. Однако никто
пе связывал «закон эквивалентности» с законом падения1).
По Дюгему, и то и другое впервые было «спаяно»
в произведении всемп забытого домиппканца Доминика
Сото (1494—1560), испанца, обучавшегося в Париже, авто-
ра одного из бесчисленных схоластических комментариев
к «Фпзпке» Аристотеля2). Даже если бы это было так, нам
не пришлось бы переделывать историю механики по той
простой причине, что Сото пе оказал никакого прямого или
косвенного воздействия на последующих ученых. По
на самом деле это совершенно не так, и та «спайка» (ron-
dure), о которой в столь приподнятом тоне говорил Дюгем,
объясняется не углубленной работой мысли, а компиля-
тивным характером всего сочинения, компилятивностью,
х) Си. Du hem, Etudes, в особенности стр. 509, 512.
!) D о minic us Soto, Super octo libros Pliysicorum Ccm-
mentaria, l-e изд. , Саламапка, 1545; 3-е изд.—там же, 1572. Дюгем
(стр. 558) делал особый акцент на словах: «Этот вид движения
|т. е. унпформно-дифформное движение} собственно бывает у есте-
ственнодвиж\тцихся и брошенных тел (proprie accidit naturalitef
molts et projectis)».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 633
не позволившей автору довести даже до своего собствен-
ного сознания нею значительность вывода. Из омертвев-
шего пе может родиться живое.
Между схоластами типа Сото п Галилеем разница еще
больше, чем между представителями «мертонскоп» и
оремовоп школ, с одной стороны, и Декартом, с другой.
Нелишне напомнить в этой связи слова самого отца
аналитической геометрии, который писал Мерсенну
в 1636 г.: «То, что я даю во второй кнпге [«Геометрии»]
относительно природы и свойств кривых и способов их
исследования, стоит, как мне кажется, па столько же выше
обыкновенной геометрии, на сколько риторика Цицерона
выше детской азбуки»1).
Ниже печатается в выдержках перевод трактата Орема
«О конфигурации качеств», а именно: перевод глав 1—22
первой части, глав 1—9 и 13 второй части и всех глав
(1 —13) третьей. Этими главами исчерпывается математи-
ческое содержание трактата. Что же касается остальных
глав, то, чтобы дать представленпе о композиции труда
в целом, приведены их заголовки, причем содержание
их частично освещено в нашей статье.
В основу положен список Парижской Национальной
библиотеки № 14580. Для разночтений были привлечены:
список XV века той же библиотеки № 7371, цитируемый
Вилейтпером (в моем распоряжении былп фотографии лис-
тов 214—226), список парижской рукописи № 14579,
цитируемой Борхертом (в моем распоряжении былп фото
листов 18—20), а также некоторые разночтения флорентий-
ской рукописи Ashb. 210, цитируемой Дюраном (см.
выше, стр. 597), и ватиканской 3097, которой пользуется
Майер, Разночтения рукописен №№ 7371 и 14579, при-
водимые по цптатам Вплейтнера, Борхерта, Дюрана п Май-
ер, обозначаются соответствующими буквами в скобках:
7371 (W), 14579 (В), Flor. 210 (В), Vat. lat. 3097 (М).
Ссылки, не сопровождаемые этими буквами, сделаны на
х) R. Descartes, Oeuvres, 6d. Adam et Tannery, t. I>
P- 1879, p. 479.
634
В. П. ЗУБОВ
Рис. 7. Первая страница трактата «De latitudnibus formaruni»
(венецианское издание 1505 г.).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» G35
основании фотографий доступных мне листов, указанных
выше. Заголовки глав, заключенные в прямые скобки, взя-
ты из оглавления, предпосланного трактату. Заголовки
частей — из предисловия. Для облегчения в текст вве-
дены абзацы. Все чертежи реконструированы (в доступ-
ных мне рукописях имеются лишь схематические рисуноч-
ки в гл. 15, 16 и 18 первой части).
Сличение доступных мне рукописных текстов показало,
что значительное число разночтений носит стилистический
характер, а потому при переводе они несущественны. Но
именно это наличие довольно большого числа разночтений
заставило отказаться от воспроизведения латинского ори-
гинала, критический текст которого, разумеется, может
быть подготовлен только на основе сличения всех суще-
ствующих рукописей.
Как почти и в любом переводе, многие выражения Оре-
ма не могли быть переданы однозначно по-русски. Так,
в зависимости от контекста, longitudo и latitude передаются
словами «длина» и «ширина», «долгота» и «широта», «inten-
sio»—«интенсификация» и «интенсивность» (ср. примеч. 11),
«superficies» — «поверхность» , «плоскость» и «площадь»,
«permanens» и «successivus» — «пребывающий» и «после-
довательный», «постоянный» и «переменный», «curvitas»—
«кривизна», «кривая», «дуга» (см. стр. 671) и т. п.
Цифры в скобках имеют в виду примечания, помещен-
ные после текста.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ1)
Николай Орем
Предисловие
Когда я начал приводить в порядок своп представле-
ния 2) об унпформности и дифформности интенсивностей р],
я встретился и кое с чем другим, чго я добавил к настоящей
теме, дабы этот трактат послужил па пользу не только
упражняющимся в учении, но и людям ученым. То, что
некоторые другие говорили об этом предмете темно, ду-
мали смутно и располагали ненадлежащим образом, я
попытался изложить расчленение и ясно, приме пив с поль-
зою к некоторым материям. Этот трактат3) имеет три
главные части:
Часть первая — о конфигурации и силе униформ-
ности и дпфформностп пребывающих качеств;
Часть вторая об изображении и силе последовательных
качеств;
Часть третья — о приобретении и мере качества и
скорости 4).
L) Перевод В. П. Зубова.
2) Cum ymaginationem meam 14379; Cum ymaginationem vetcrum
vol meam J4580, ср. выше, стр. 611.
3) В рукописи 7371 дальше дано заглавие: De figuratione poten-
tiarum et mensura difformitatuni (О фигурации сил и мере дифформ-
ностеп).
4) Далее следует перечисление глав г. их заголовками. Эти
заголовки введены нами дальше в прямых скобках в начале каждой
главы.
ТРАКТАТ О КОНФПГЪ РАЦИИ КАЧЕСТВ
637
ЧАСТЬ I
[О КОНФИГУРАЦИИ II СИЛЕ УНПФОРМНОСТП
II ДИФФОРМНОСТП ПРЕБЫВАЮЩИХ КАЧЕСТВ]
Глава 1
[О непрерывности интенсивности]
Всякая вещь, поддающаяся измерению, за исключением
чисел1), воображается в виде непрерывной величины. Сле-
довательно, для ее измерения нужно воображать точки,
линии и поверхности, илп их свойства; в них, как утвер-
ждает Аристотель2), первично обнаруживается мера илп
отношение, в прочих же предметах эта мера или отноше-
ние познается посредством аналогии, благодаря которой
интеллект соотносит таковые предметы с точками, линия-
ми и т. д. [2]. И даже если неделимые точки пли линии —
ничто, тем не менее нужно их математпческп вымыслить3)
для познания мер вещей и их отношений I3]. Стало быть,
всякая интенсивность, способная быть приобретаемой
последовательно, должна быть воображаема в виде пря-
мой лпнип, поставленной отвесно в какой-нибудь точке
пространства, т. е. предмета, способного к интенсифика-
ции4). Так, например, какое бы отношение ни оказывалось
между одной интенсивностью и другой в случае интен-
сивностей одного и того же вида, такое же отношение
обнаруживается и между одной линией и другой, и на-
оборот.
Ведь подобно тому как одна линия соизмерима с одной
и несоизмерима с другой, так соответственно и интенсив-
ности: одни соизмеримы друг с другом, а другие никак
Т) Exceptis numeris 14579, 14580, 7371, Flor. 210(D). Вилейтиер
(стр. 200) неверно прочел в 7371: extra numeros.
2) В других списках вместо ut viilt Aristotelcs—ut vult Phi-
losophus.
3) Fingere 7371, 14579, Flor. 210 (D); sumere 14580.
') По'чтению 14579: super aliquod punctum spacii x-el subiecti
illius intensibilis. В рукописи 7371: super aliquod punctum aut
aliquot puncta intensibilis spacii vol subiecti. В рукописи 14580:
super aliquod punctum spacii vel subiecti illius rei intensibilis.
638
fi. ОРЕМ
не соизмеримы вследствие их непрерывности. Следова-
тельно, меру интенсивностей возможно воображать в пол-
ном соответствии с мерой линий, поскольку притом интен-
сивность, так же как и линия, может до бесконечности
уменьшаться, и как таковая — до бесконечности возра-
стать. И далее, сама интенсивность (intensio), в соответ-
ствии с которой нечто называют в большей мере таковым
(например, в большей мере белым или в большей мере
быстрым), сама по себе есть нечто, соответствующее ин-
тенсивности или экстенсивности точки, и, будучи рассмат-
риваема как континуум, она делима до бесконечности толь-
ко в одном смысле; а постольку нельзя вообразить ее себе
более подходящим образом, как посредством того вида кон-
тинуума, который является делимым первично и только
в одном смысле, т. е. в виде линии. И так как величина
или отношение липин более понятны и легче нами пости-
гаются, а, кроме того, линия занпмает первое место среди
видов континуума, то подобная интенсификация (inten-
sio) должна быть воображаема в виде линий, особенно же
и наиболее подходящим образом в виде таких линий,
которые примыкают к предмету и поставлены отвесно
к нему [4]. Подобное рассмотренпе, естественно, способ-
ствует пониманию всякого измерения и ведет к нему,
как это будет показано подробно дальше в гл. 4. Ста-
ло быть, равные интенсивности обозначаются посредст-
вом равных линий, вдвое большая интенсивность посред-
ством вдвое большей линии, и так далее, все в той же про-
порции.
Сказанное следует понимать в универсальном смысле,
о всякой интенсивности, делимой в воображении,— будь
то интенсивность активного или неактивного качества,
ощутимого или неощутимого, присущего предмету или
среде, например, света самого тела п светлого сияния,
распространяющегося в среде (т. е. «образа», или «влия-
ния», или, иначе говоря, силы, разлитой в этой среде,
и т. д.),— может быть, за исключением интенсивности
кривизны, о которой мы скажем впоследствии, в гл. 20-й
и 21-й этой части.
Такого рода линия пптенспвности, о которой теперь
идет речь, реально (secundum rem) не простирается за
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
639
пределы точки или за пределы предмета, а простирается
так лишь в воображении. И она может быть представлена
простирающейся в любом направлении; воображают же ее
поставленной отвесно под прямым углом к предмету,
наделенному качеством, только потому, что это более спод-
ручно (convenientius).
Глава 2
[О шпроте качества]
Следовательно, всякая интенсивность, обозначенная
посредством вышеназванной линии, должна бы собствен-
но называться долготою (longitudo) этого качества. Преж-
де всего потому, что при непрерывном качественном изме-
нении пе является существенно необходимой последователь-
ность в смысле экстенсивности, т. е. в соответствии с ча-
стями предмета (ведь целое может начать изменяться сразу
везде), но зато непременно требуется последовательность
в смысле интенсивности.
Стало быть, как при пространственном движении имен-
но это измерение называется длиною (longitudo) простран-
ства или пути, так соответственно подобного рода интен-
сивность, сообразно с которой требуется последователь-
ность, должна была бы именоваться долготою означен-
ного качества. И подобно тому как скорость в простран-
ственном движении измеряется по длине пути, так при
качественном изменении скорость определяется по интен-
сивности. Следовательно, эта интенсивность должна была
бы называться долготою. Далее1), ни одно качество, приоб-
ретаемое в процессе качественного изменения, не может
быть воображаемо без интенсивности, т. е. без различия
в смысле интенсивном, тогда как оно вполне может быть
воображаемо без экстенсивности, более того: качество не-
делимого предмета (например, души или ангела) экстен-
сивности не имеет. Следовательно, поскольку длина мате-
матически вообразима без ширины, а не наоборот, и по-
скольку интенсивность должна быть соотносима с каким-то
Item 7371; в рукописи 14580: tertio (в-третьих).
Ь4О
Л. ОРЁМ
измерением, как явствует из предшествующей главы, она
должна быть соотносима с длиною, а не с шириною, п в бо-
лее строгом значении слова должна была бы именоваться
долготою. Отсюда явствует, что качество неделимого пред-
мета собственно не имеет широты. Тем не менее многие
теологи в несобственном смысле говорят о широте благо-
дати; ведь если под шпротой они понимают интенсивность,
то [при буквальном понимании] оказывалось бы, что
пшрпна может существовать без длины, а тогда их исход-
ное положение, очевидно, несообразно. Впрочем, интен-
сивность и я буду называть широтою качества, как о том
подробнее скажу в следующей главе.
Глава 3
[О долготе качества]
Экстенсивность любого качества, имеющего протяжение,
должна была бы называться его широтою (latitude),
и указанная экстенсивность может быть обозначена по-
средством линии, проведенной через предмет, па каковой
линии отвесно поставлена линия интенсивности его каче-
ства, ибо всякое такое качество имеет интенсивность и
экстенсивность, которые должны быть принимаемы во
внимание при определении его меры. Таким образом,
если интенсивность качества назвать долготою, то тогда
экстенсивность, оказывающаяся вторым измерением, долж-
на будет именоваться широтою и т. д. И наоборот, если
интенсивность назвать широтою, то экстенсивность будет
именоваться долготою. Следовательно, наподобие того,
как у тела или поверхности линия длины и линия шири-
ны примыкают друг к другу под прямым углом, так и ин-
тенсивность качества, которую следовало бы называть его
долготою, должна быть представляема посредством пря-
мой, перпендикулярной к линии широты того же качества.
И так же как в пребывающих вещах (permanentes) экстен-
сивное распространение качества в предмете следовало бы
называть его широтой, а интенсивность — долготой, так
соответственно и в вещах последовательных (successivis),
каковыми являются движение, звук и т д. — протяжение
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
641
их во времени должно было бы называться .широтою,
а их интенсивность долготою [5]. Тем не менее, хотя интен-
сивность более явна, более, так сказать, осязательна
и первична для нашего познания, нежели экстенсивность
(а может быть, первичнее и по своей природе), тем не
менее, вопреки сказанному, экстенсивность1) связывается
в обычном словоупотреблении с первым измерением, или
долготою, а интенсивность с широтою. И поскольку раз-
ница в подобном наименовании, или несобственное значе-
ние термина роли не играет, и то же самое может быть
выражаемо двояко, я хочу последовать обычному слово-
употреблению, дабы не затруднить непривычным способом
выражения понимание того, что скажу. Итак, экстенсив-
ность качества будет именоваться его долготою, а его
интенсивность именоваться широтою (или высотою).
Как бы то ни было, из сказанного явствует, что некото-
рые нынешние авторы (moderni) нехорошо называют шпро-
тою качества это самое качество, взятое в целом (ipsam
totam), подобно тому как неправомерно понимать под
шириною поверхности всю поверхность или фигуру [6].
Ведь подобно тому как некоторые ширины неравных по-
верхностей или фигур бывают равными, так аналогично
(мы увидим это впоследствии) многие широты неравных
качеств равны друг другу, или наоборот.
Глава 4
[О величине качества]
Величина (quantitas) любого линейного качества долж-
на быть воображаема в виде площади (superficies) [7],
длина пли основание которой есть длина, проведенная
через предмет, наделенный качеством, как сказано было
в предыдущей главе, и ширина (пли высота) которой обо-
значается посредством линии, поставленной отвесно к ос-
’) Так в рукописи 14580. В рукописях 7371, 14579 и Vat.
3097 (М) порядок перепутан: «...хотя экстенсивность... тем не менее,
вопреки сказанному, интенсивность...», что не дает надлежащего
смысла.
41 Истор.-матем. исслед., вып. XI
642
Н. ОРЕМ
нованию, как было указано в гл. I1). Под линейным ка-
чеством я понимаю качество какой-либо линии, проведен-
ной через предмет, наделенный этим качеством. А что
величина такого качества может быть воображаема в виде
такого рода площади,— очевидно; ведь можно найти пло-
щадь, по длине равную этому качеству в его экстенсивности,
а по высоте подобную интенсивности этого качества, как
станет ясным дальше.
А то, что качество мы должны воображать так ради бо-
лее легкого познания его особенностей,— очевидно. Ведь
его упиформность и дифформность быстрее, легче и яс-
нее оцениваются2), когда что-либо подобное вычерчивается
в виде плоской фигуры3), что быстро и вполне схватывается
воображением, будучи разъясняемо в наглядном примере.
Ведь для некоторых людей кажется довольно трудным
уразуметь, что такое униформно-дифформное качество,
однако нет ничего легче, как то, что высота прямоуголь-
ного треугольника униформно днфформна,— конечно, это
явствует с полной наглядностью. Итак, если интенсив-
ность подобного рода качества будет изображена (iigurata)
посредством высоты указанного треугольника и ей упо-
доблена (что станет очевидным в гл. 8-й), то тогда легко
постичь дифформность этого качества, дифформное рас-
положение, фигуру и меру и т. д.; и не иначе можно рас-
познать виды или различные модификации дифформностп,
как станет явным в главах 14-й и 15-й первой части.
Ведь воображение фигур значительно помогает постичь
вещи.
Вот почему теологи называют фигуральным изображени-
ем чего-либо то, что позволяет по аналогии познать данную
вещь, соответствовать ее форме (conlormari ei), уподоб-
ляться ей. Оттого-то апостол [Фил., 3,21] говорит о Хри-
сте, что он «преобразит» (reiormabit) тело смирения наше-
го» и т. д.
Итак, я утверждаю: подобно тому как точечное каче-
ство представимо в виде линии, линейное качество в виде
х) В тексте неточно: «в главе 2-й».
2) Cicius et facilius 14580; cicius, facilius et clarius 14579, 7371.
3) Superficial! 7371; sensibili 14580.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
643
плоскости, так плоскостное качество представимо в виде
тела, основанием какового является плоскость, наделен-
ная этим качеством, что будет разъяснено впоследствии.
А так как в теле, наделенном качеством, имеется беско-
нечно много равных плоскостей и качество любой пз пих
вообразимо в виде тела, уместно, а пожалуй даже должно,
вообразить себе такого рода вымышленное тело, где одно-
временно может быть воображаемо и другое, пли даже
сколь угодно много других посредством взаимопроникно-
вения, вернее, посредством математического или анало-
гичного предположения о существовании такого рода
вымышленных тел, каковое взаимопроникновение, одна-
ко, реально (in re) не существует1). И хотя плоскостное
качество воображается в виде тела, это еще ве значит,
что может существовать или может быть воображаемо
четвертое измерение в случае, когда воображают, что
телесное качество имеет двоякую телесность: одну — под-
линную, соответствующую протяженности предмета по всем
[трем] измерениям, а другую только воображаемую,
проистекающую от бесконечного повторения интенсив-
ности этого качества в соответствии с множеством плоско-
стей в предмете. Правомерность такого представления
затронута нами лишь предварительно п впоследствии ста-
нет более явной [8].
Глава 5
[Об изображении качеств]
Всякое линейное качество изображается (figuratur)
в виде некоей плоскости, поставленной вертикально на
линии предмета. В самом деле, пусть аЪ — линия, наде-
х) Ввиду важности (а вместе с тем и трудности) этою текста
привозим его в подлиннике по рукописи 14580: «Cum autem in
corpore quali sunt infinite superficies cquales et cuiuslibct earum
qualitas ymaginatur ut corpus, non est inconveniens, sed forte oportet
ymaginari unum corpus sic fictum ubi aliud potest ymaginari simul
vel etiam quodlibet simul per penetracionem ve] etiam per inatliemati-
cam supposicionem seu similem supposicionem corporumsic fictoruin,
que tamen penetracio non est in re». В рукописи 7371 вместо «fictum»,
"lictorum»—«situm», «situatorum».
41*
644
Н. ОРЕМ
ленная качеством. Поскольку, согласно предыдущей
главе, такое качество обозначается посредством площади,
необходимо воображать его в виде плоской фигуры, по-
средством которой оно обозначается или воображается.
Высота этой площади обозначает интенсивность качества.
Необходимо при том, чтобы любая точка этой площади
пли фигуры, находящаяся вне лпнии предмета ab, рас-
полагалась по вертикали над этой самой линией аЪ,
как явствует из гл. 1. Ведь иначе интенсивность и каче-
ства окажутся вне предмета, поскольку то, что вообра-
жается находящимся над предметом, действительно нахо-
дится в предмете, и наоборот. Вот почему, если воображают
что-либо находящимся не по отвесу над предметом, то оно
оказывается в действительности за пределами предмета.
Отсюда явствует, что нп одно качество пе может быть
воображаемо в виде площади или фигуры, угол которой
прп основании больше прямого, например, в виде четы-
рехугольника abed, и не в виде части круга, превосходя-
щей полукруг, например, части e/g, тогда как посредством
любой другой плоской фигуры то или иное линейное
качество может быть вообразимо.
Глава 6
[О расчленении фигур]
Хотя некое линейное качество и вообразимо в виде лю-
бой плоской фигуры, за исключением указанных, однако
не любое может быть представлено посредством любой.
Ведь всякое линейное качество воображается пли обозна-
чается только посредством такой фигуры, в которой соот-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
645
ношению между интенсивностью этого качества в любой
точке соответствует отношение между линиями, проведен-
ными отвесно через эти точки и оканчивающимися у верх-
него края такой воображаемой фигуры. Например, пусть
линпя аЪ разделена в какой-то точке с так, что интенсив-
ность в этой точке с вдвое больше, чем в точке а, и пусть
она в точке Ъ будет втрое больше, чем в точке с. Вообразим
отвесную линию, проходящую через точ- ..
ку с, как было указано в гл.. 1. Тогда эта /
воображаемая линпя, обозначающая ин- /
тенспвность в точке с, вдвое больше /
воображаемой линии, проходящей через а. /
А воображаемая линия, проходящая че- /
рез Ь, втрое больше, чем воображаемая Z
линия, проходящая через с. Итак, это
качество вообразимо не иначе, как по-
средством фигуры, которая вдвое выше --------------
или больше, и верхний край которой на-
ходится над точкой с вдвое выше или Рис. 9.
дальше, чем над точкой а, и над b втрое
дальше, чем над а. Прп этом условии такого рода фигура
может варьировать по высоте в соответствии с отно-
шением интенсивностей в прочих точках линии ab. Отсю-
да же следует, что такого рода качество не может быть
обозначаемо пи посредством прямоугольного четырехуголь-
ника, ни посредством полукруга. Аналогично — о дру-
гих бесчисленных фигурах.
Глава 7
[О соответствии фигур]
Любое линейное качество может быть обозначаемо
посредством всякой плоской фигуры, которая воображает-
ся проходящей вертикально через него и высота которой
пропорциональна интенсивности этого качества. Фигура
же, проходящая вертикально через линию, наделенную
качеством, называется пропорциональной качеству по
своей высоте тогда, когда любые две лпнип, поставленные
отвесно на этой линии, являющейся основанием, и дохо-
646
Н. ОРЕМ
дящие до края фигуры, т. е. до верхней границы поверх-
ности, пропорциональны по своей высоте интенсивностям
точек, через которые они проходят. Например, пусть
имеется лпния ab, на которой находится поверхность abed.
Восставим на основании две
д [перпендикулярные] линии е/
и gh. Если, стало быть, отно-
шение е/ к gh такое же, как
f отношение интенсивности в
точке е к интенсивности в точ-
ке g, и то же справедливо для
прочих точек и линий соответ-
ственно, то тогда я утверждаю,
что такая поверхность или фи-
гура пропорциональна по своей
д высоте интенсивности этого
качества так, что высота пло-
Рпг 10 г
щади подобна интенсивности
качества. Вот почему посред-
ством такой фигуры или площади качество обозначается
самым подходящим образом. Но так как через ту же линию
ab могут проходить многие вертикальные плоскости, про-
порциональные или подобные друг другу по высоте, одни—
имеющие большую, другие—меньшую площадь, например,
большая abhl п меньшая abmn, и сколь угодно много дру-
гих подобных друг другу по высоте, хотя и имеющих неоди-
наковую высоту, отсюда следует, что качество линии ab
может быть обозначаемо безразлично посредством любой
из них, однако таким образом, что если это качество вооб-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
647
раздается в виде одной из указанных фигур, то тогда (при
сохранении той же фигуры качества) вдвое большее по
интенсивности качество будет обозначаемо посредством
вдвое более высокой фигуры, аналогичной по высоте. И так
пропорционально, сколь бы велико ни было большее или
меньшее качество, всегда первое качество можно тем не
менее воображать в начале в виде сколь угодно большей
или меньшей площади или фигуры. Ведь эти большие
и меньшие площади, одинаковым образом неравные и не-
одинаковые по фигуре и высоте, тем не менее сохраняют
подобие, илп пропорциональность, по высоте. Вот почему,
если на двух пересечениях обозначить две точки о и р
так, как показано на последнем чертеже, то тогда отно-
шение ghv.ef будет равно отношению gp к ео и то же будет
справедливо о любых линиях, соответственно проведенных
отвесно к основанию ab. Вот потому-то я и утверждаю,
что поверхность abed и поверхность abmn подобны друг
другу по высоте, т. е. пропорциональны друг другу.
Глава 8
[О прямоугольно-треугольном качестве]
Всякое качество, вообразимое в виде треугольника,
имеющего прямой угол при основании, может быть вооб-
ражаемо в виде любого треугольника, имеющего прямой
угол при основании, и не может быть воображаемо в виде
какой-либо иной фигуры. А что такое качество вообрази-
мо в виде такого треугольника, явствует из предшествую-
щей главы, ибо некое качество может быть по своей интен-
сивности пропорционально высоте такого прямоуголь-
ного треугольника. Таково именно качество, которое
обычно называют упиформпо-дпфформным, кончающимся
на не-градусе (qualitas uniformiter diiiormis terminata
ad non gradum). Однако более строгим было бы определе-
ние его как качества униформно-неодпнакового по своей
интенсивности (qualitas uniiormiter inequalis intensive)
наподобие того, как у треугольника, которому оно про-
порционально, высота униформно-неодинакова. Равным
образом это качество скорее должно было бы завершаться
648
Н. ОРЕМ
недостатком, нежели не-градусом. Но поскольку первое
словоупотребление более привычно у нынешних авторов
(moderni) и довольно наглядно, постольку в настоящем
трактате я его принимаю. А что вышесказанное качество
не может быть обозначаемо посредством другой фигуры,
явствует из того, что никакая другая фигура, как очевид-
но, не подобна по своей высоте такому треугольнику, имею-
щему прямой угол при основании, т. е. не пропорциональ-
на ему, а следовательно, и высота ее не пропорциональна
интенсивности этого качества. Это зна-
чит, что вышеназванное качество нево-
образимо в виде такой фигуры, как
явствует из главы 6.
А то, что это качество может быть
безразлично воображаемо посредством
любого треугольника, имеющего пря-
мой угол при основании, явствует из
следующего1): пусть мы имеем два тре
угольника, а именно abc, меньший, и abd,
больший, с общим основанием ab. Вос-
ставим затем перпендикуляр е/ в боль-
шем треугольнике, который пересечет
линию ас в точке g. Поскольку, стало
быть, оба треугольника abd и aef имеют равные углы,
постольку по четвертому положению 6-й книги Евклида [9]
следует, что отношение bd к е/ равно отношению ab к ае.
Треугольники же abc и aeg равноугольные, а потому, соглас-
но тому же четвертому положению 6-й книги, отношение Ьс
к eg равно отношению ab к ае. Следовательно, согласно
13-му положению 5-й книги [10], отношение bd к е/ равно
отношению Ьс к eg. И так ведется доказательство примени-
тельно к любой вертикальной линии, соответственно про-
веденной. Следовательно, эти треугольники, а именно
треугольник abc и треугольник abd, пропорциональны
по высоте, и то же справедливо в отношении любых тре-
угольников, имеющих прямой угол при основании ab.
Следовательно, одно и то же качество может быть уподоб-
*) Некоторые ошибочные буквенные обозначения рукописи
исправлены дальше по смыслу.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
649
лено любому из них и воображаемо посредством любого,
так, однако, что если определенное качество изображается
посредством одного треугольника, то вдвое более интен-
сивное того же рода должно быть обозначаемо посредством
более высокого треугольника, и так далее, соответственно,
как было сказано в предшествующей главе.
Глава 9
[О треугольном качестве другого рода]
Всякое качество, вообразимое в виде треугольника,
не имеющего прямого угла при основании, разложимо на
два качества, каждое из которых представимо в виде тре-
угольника, имеющего прямой угол при основании. Ведь
Рис. 13.
ни одно качество не представимо в виде треугольника
или какой-либо иной фигуры, имеющей прп основании
тупой угол, как явствует из гл. 5 настоящей части. Стало
быть, всякое треугольное качество либо уподобляется
треугольнику, имеющему прямой угол прп основанпи,
о котором сказано в предыдущей главе, либо треуголь-
нику, имеющему при основанпп два острых угла. Итак,
пусть мы имеем какое-нибудь качество, представимое
в виде треугольника abd, имеющего два острых угла при
основанпи. Проведем из точки с отвесно через основание с
линию cb. Тогда образуются два подобных друг другу
прямоугольных треугольника, п одна часть качества ли-
нии ab будет уподобляться одному, а другая — другому;
650
Н. ОРЕМ
суммарное же качество (totalis qualitas) слагается из этих
двух униформно-дифформных качеств, кончающихся на
не-градусе. И поскольку, следовательно, частичное каче-
ство (parcialis qualitas) линии ad может быть уподоблено
любому более высокому или же более низкому треуголь-
нику, как явствует из предшествующей главы, например,
треугольнику ade или треугольнику adf, и так же обстоит
дело с качеством другой части, а именно линии db (в слу-
чае, если оба треугольника обеих частей кончаются в од-
ной вершине), постольку отсюда следует, что все качество
линии ad в целом может быть представлено и в виде тре-
угольника abd, и в виде треугольника adf и так безразлич-
но в отношении любых других, при условии, чтобы верх-
ний угол х) приходился по отвесу над точкой d. Отсюда
следует, что такое треугольное качество * 2) не предопреде-
ляет верхнего угла определенной величины и он может
становиться сколь угодно острым или тупым, и оба угла
при основании могут быть сколь- угодно острыми3).
Следовательно, нет ни одного качества, какую бы величи-
ну оно не имело, которое непрерывно предопределяло бы
при своем наглядном изображении в виде фигуры угол
определенной величины [при вершине], а также и то ка-
чество, которое определяет прямой угол при основании
(о нем была речь в предшествующей главе).
И существует качество, которое определяет два пря-
мых угла при основании, а другие углы не определяет;
некое же качество определяет четыре прямых, как мы
сейчас покажем.
Глава 10
[О четырехугольном качестве]
Некоторое качество вообразимо в виде четырехуголь-
ника и притом любого, имеющего то же самое основание;
и оно не может быть обозначено посредством какой-либо
х) angulus superior 7371; в рукописи 14580 ошибочно: triangulus.
2) Слова «...super punctum d. Unde patet quod talis qualitas
triangularis...» восполнены по рукописи 7371.
3) Следующие затем в рукописи 14580 слова evel obtusi» («или
тупыми») явно должны быть опущены, как ошибка переписчика.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 651
другой фигуры. Эта последняя часть предложения яв-
ствует из сказанного в гл. 6. Пусть мы имеем, стало быть,
прямоугольный четырехугольник abed. Возможно, что
качество линии ab по своей интенсивности пропорциональ-
но высоте этого четырехугольника. Следовательно, эта
интенсивность пропорциональна любому прямоуголь-
ному четырехугольнику, имеющему то же основание ab,
поскольку все такие четырехугольники пропорциональны
друг другу по высоте, хотя высота пх и неодинакова.
Следовательно, согласно гл. 7, это качество вообразимо
в виде четырехугольника abed и сходным образом в виде
большего четырехугольника abef, пли же меиыпего. Лю-
бое такое качество называют унпформпым, или одинаково
интенсивным во всех своих частях.
Также следует знать, что некое качество вообразимо
в виде четырехугольника, имеющего два прямых угла
при основании, а два других угла неравных, т. е. в виде
четырехугольника abed и любого четырехугольника,
имеющего пропорциональную высоту и то же самое
основание ab,— большего или меньшего, как явствует
из гл. 7.
Всякое такое качество называется униформно-дифформ-
ным, кончающимся по обе стороны на градусе, так, что
более интенсивный край обозначается острым углом с,
а менее интенсивный край верхним тупым углом d.
Линия cd называется линией верхнего края (linea summi-
tatis), пли же в отношении к качеству она может быть
названа лпнией пнтенсифпкацпп (linea intensionis), ибо
соответственно ер различию варьирует интенсивность
(intensio) I11],
652
Н. ОРЕМ
Глава И
[О качестве униформном п днфформном]
Итак, всякое униформное качество вообразимо в виде
четырехугольника, а всякое качество унпформно-дпфформ-
ное, кончающееся не на-градусе, должно быть воображае-
мо в виде прямоугольного треугольника, тогда как каче-
ство, кончающееся на обоих концах на градусе, должно
быть воображаемо в виде четырехугольника, имеющего
прямые углы прп основанпи, а остальные — друг другу
неравные.
Всякое же другое линейное качество называется диф-
формно-дифформным и должно быть воображаемо в виде
фигур иначе расположенных, в соответствии с разнообраз-
ными вариациями; отдельные виды их будут показаны даль-
ше. Указанные же различия интенсивностей нельзя сде-
лать понятными лучше и яснее, как посредством подобных
изображений (ymaginaciones) и соотношения с фигурами,
хотя могут встретиться и некоторые другие схемы (de-
scripcioncs), расположения (disposiciones) или понятия
(notilicaciones), которые даже посредством подобного
воображения фигур не могут стать явными.
Пусть, например, мы имеем определение: униформное
качество это такое качество, которое одинаково интенсив-
но во всех частях предмета; качество унифо рмно-дифформ-
ное это такое, в котором для любых трех точек отношенпе
расстояния между первой и второй к расстоянию между
второй п третьей равно отношению избытка интенсивности
первой по сравнению со второй к избытку интенсивности
второй по сравнению с третьей (наиболее интенсивную
точку из трех я называю в данном случае первой) [12].
Сказанное уясняется в отношении униформно-дифформпого
качества, кончающегося на не-градусе, посредством обо-
значения или воображения его в виде треугольника abc1).
Прп этом, построив трп перпендикулярные линии bl, fg
и de, проводят hi параллельно лпнпи jd и равным обра-
!) Некоторые буквенные обозначения рукописи исправлены
дальше по смыслу.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 653
зом gl параллельно fb. Тогда получаются два равноуголь
ных треугольника ghi и ckg. Следовательно, по четвертому
положению 6-й книги [Евклида] [13] отношение gk к hi
равно отношению избытка ск
к избытку gh. И так как gk
равно fb, точно так же, как
el равно df, то отношение fb
к af (эти линии являются рас-
стояниями между тремя точ-
ками основания) равно отно-
шению ск к gh (избытков высо-
ты, пропорциональных ин-
тенсивностям тех же точек).
Коль скоро, следовательно,
качество линии ab гаково,
что отношение интенсивностей точек линии равно отно-
шению высот линий, восставленных перпендикулярно
в тех же точках, предложенное явствует с очевидностью,
а именно: каково отношение избытка интенсивности
первой точки по сравнению со второй к избытку интен-
сивности второй по сравнению с третьей, таково и отно-
шение расстояния между первой точкой и второй к рас-
стоянию между второй и третьей. И так аналогично в от-
ношении любых трех точек. Следовательно, такого рода
дифформпому качеству отвечает вышесказанное, и потому
оно хорошо обозначается посредством такого треугольника.
654
Н. ОРЕМ
Таким же путем приведенное начертание или свойство
может быть показано применительно к униформно-диф-
формному качеству, кончающемуся по обе стороны на
градусе. Пусть мы имеем качество, представимое в виде
четырехугольника abed. Проведем в нем линию de парал-
лельно основанию ab, тогда получится треугольник dec.
Затем проведем линии высоты в четырехугольнике и дру-
гие поперечные, параллельные основанию, образующие
в этом треугольнике маленькие треугольники. Тогда
легко постичь сказанное об оных избытках и расстояниях
в означенном треугольнике, по аналогии с тем доказатель-
ством, которое было дано в гл. 7, что легко может уяснить
себе всякий, кто пожелает в это вдуматься.
Всякое же качество, отличающееся от указанных выше,
называется дифформно-дифформным и может быть описа-
но посредством отрицания, а именно: это есть качество не
во всех своих частях одинаково интенсивное и отношение
между избытками интенсивностей трех точек (первой
в сравнении со второй и второй в сравнении с третьей) не
равно отношению их расстояний.
Глава 12
[О том же иначе]
Мы можем прийти к пониманию вышеуказанных разли-
чий с другой стороны, воображая движение. В самом деле,
представим себе точку d, равномерно (regulariter) дви-
жущуюся по линии ab [141, и притом так, чтобы любая
точка линии ab, в которую приходит точка d, была бы
подобна и равна этой точке по своей интенсивности. Если,
стало быть, при начале движения точка d имеет какой-
нибудь градус и какую-нибудь интенсивность, непрерыв-
но и неизменно пребывая в том же градусе во время ука-
занного движения, то она опишет на линии ab униформное
качество. Если же в начале движения точка d вовсе не
имеет означенного качества и во время движения эта
точка d непрерывно изменяется и равномерно (regula-
riter) интенсифицируется, то тогда она начертает качество
униформно-дпфформное, кончающееся на не-градусе. Если
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 655
d интенсифицируется равномерно, имея в начале движения
то или ивое качество (т. е. интенсивность), то тогда точка
начертает унпформно-дифформное качество, кончающееся
по обе стороны на градусе. Сходно, если в начале движе-
ния точка d имеет то или иное качество и это последнее
равномерно ослабевает вплоть до конца движения, тогда
d начертает униформно-дифформное качество, кончающее-
ся по обе стороны на градусе. А если качество d убывает
до не-градуса, то тогда описанное качество будет уни-
формно-дифформным, кончающимся на не-градусе. Если
же d движется равномерно, а интенсифицируется или
ослабевает неравномерно, либо наоборот, точка d начер-
тает качество дифформно-дпфформное.
Может случиться, что точка d неравномерно движется
и неравномерно изменяется в своем качестве так, что одно
компенсирует другое, или эквивалентно ему; тогда она
начертает униформно-днфформное качество. Но всякий
раз, когда такой компенсации не будет, она начертает
качество дифформно-дпфформное.
Глава 13
[О том же еще иначе]
Можно еще иначе провести различия между вышеска-
занным, а именно, назвав верхнюю линию фигуры, изоб-
ражающей качество, линией интенсификации (linea inten-
sionis) или линией верхнего края (linea summitatis), как
о том говорилось в гл. 10. Такова, например, линия cd1)
в четырехугольнике abed. Если, стало быть, такая линия
верхнего края фигуры, изображающей качества, будет
параллельна основанию, например, основанию аЪ, то
тогда качество, представимое посредством такой фи-
гуры, — абсолютно-униформное (simpliciter unilormis).
Если же она не будет параллельна основанию, оста-
ваясь прямой, то тогда качество униформно-дифформ-
но. Итак, если названная линия соединяется с основа-
нием на одном конце, то эта униформная дифформ-
*) В рукописи: аЪ.
656
Н. ОРЕМ
ность кончается на не-градусе, а если качество или диф-
формность не соединяется с основанием ни на том, нц
на другом конце, то она на обоих концах кончается на
градусе, ибо подобная линия [не] может соединяться с ос-
с ff нованием на обоих своих
--------------------------- концах, коль скоро и
она сама прямая, и
основание есть прямая
линия; это могло бы
иметь место только в слу-
чае, если бы обе образо-
вали одну линию. Отсю-
1 д да явствует, что не мо-
17 жет существовать уни-
формпо-дифформного ка-
чества, кончающегося на
не-градусс [на обоих концах]. Однако, если линия
интенсификации пли верхнего края окажется кривой, илп
состоящей из многих линий, а нс одной, тогда качество,
воображаемое в виде фпгуры, кончающейся на обоих кон-
цах на градусе, илп на обоих концах на не-градусе, есть
качество дифформно-дпфформное, и оно может также кон-
чаться на градусе на одном конце и не-градусе на другом.
Глава 14
[О простой дпфформной дифформностп]
Дифформная дифформность, о которой теперь идет речь,
бывает двух видов, ибо одна — простая, а другая —
сложная. Простая дпфформность — это та, которая может
быть обозначена посредством такой фпгуры, чья линпя
верхнего края, пли линия интенсификации —• одна и не
состоит пз многих частей. Следовательно, она должна
быть кривой линией. Ведь если бы она была прямой, то
мы имели бы абсолютную унпформность, пли унпформ-
ность дпфформности, как явствует пз предшествующей
главы. Необходимо притом, чтобы ее кривая не достигала
части круга, большей полукруга, так, чтобы угол при
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
657
основании не превышал прямого, что было разъяснено
в гл. 4. Однако вполне возможно, чтобы угол при основа-
нии был меньше прямого и даже сколь угодно меньше.
Пусть, например, мы имеем линию ab, качество которой
обозначается посредством полукруга abc. Что это возмож-
но, явствует пз 7-й главы. Итак, теперь я утверждаю, что
го же качество линпп ab вообразимо пли пзобразимо в виде
фигуры большей высоты, нежели этот полукруг, а также
меньшей. Далее, проведем сколь угодно высоко линию cd,
проходящую отвесно через центр d, и проведем другую
линию отвесно к линии ab, а именно линию е/. Посколь-
ку, стало быть, возможны две лпнии,
меньшие, чем этп две, проходящие
отвесно через те же точки и стоящие
друг к другу в таком же отношении, / \
как они (т. е. линпп cd и е/), п по- \ \
скольку, соответственно, могут быть ' '/
построены большие (или меньшие) Рис. 18а.
линии, проходящие через все точ-
ки лпнии ab и сохраняющие между собою то же отно-
шение, какое существует между линиями перпендикуля-
ров, восстановленных на аЪ в полукруге, постольку на
основании ab можно построить фигуру менее высокую,
которая будет, однако, пропорциональна по высоте этому
полукругу abc. И по той же причине она может быть сколь
угодно высока. Стало быть, согласно гл. 7, качество ли-
нии ab вообразимо безразлично посредством любой пз
этих фигур.
Отсюда следует: если бы качество линии ab, вообрази-
мое в виде полукруга, не могло бы быть воображаемо
в виде большей или в виде меньшей фпгуры, имеющей
Другую пропорцию, то тогда интенсивность точки d нельзя
было бы обозначать посредством линии, большей или
меньшей, нежели линия cd. И то же было бы справедливо
относительно других точек, в тех случаях, когда интен-
сивность не варьирует. Тогда любая интенсивность опре-
деляла бы соответствующую ей линию определенной вели-
чины, посредством которой она могла быть воображаема,
и тогда интенсивность была бы по величине равна лпнии,
или экстенсивности, и сравнима с нею. Следовательно,
42 Истор.-матем. исслед., вып. XI
В58
Н. ОРЕМ
пространственное движение оказалось бы сравнимо с ка-
чественным изменением по скорости. Все это представ-
ляется абсурдом.
Однако любая фигура, посредством которой вообрази-
мо это качество линии ab,— криволинейная. Вопрос же
о том, является ли сегментом круга фигура меньше полу-
круга, посредством которой это качество может быть вооб-
ражаемо, этот вопрос я оставляю открытым, а вместе
с с тем утверждаю; оно не может быть
---------обозначаемо посредством ни одной
'ч большей фигуры, которая являлась бы
L--------д сегментом круга, ибо оно не может
быть обозначаемо посредством ни одной
Рис. 186. фигуры, основанием пли хордой кото-
рой не являлась бы линия ab. Но аЪ
не может быть хордой в круге, кото-
рый меньше, чем ]полу] круг acb, если бы он стал
полным, поскольку линия ab есть диаметр. Следова-
тельно, это качество невообразимо в виде большей
фигуры, которая являлась бы сегментом круга, меньшего,
чем полукруг acb. Но оно невообразимо и в виде фигуры,
являющейся сегментом большего круга, ибо такой сег-
мент либо должен быть больше соответствующего полу-
круга, а, следовательно, посредством него не могло бы
быть обозначаемо ни одно качество, как явствует из гл. 4,
либо он будет меньше соответствующего полукруга, а
стало быть, поскольку такой сегмент, меньший, чем по-
ловина большего круга, имеет ту же хорду, что и полукруг
acb, он будет меньше и составит, как это может быть до-
казано на основании последнего положения 6-й книги
Евклида [15], часть этого полукруга [acb, что противоре-
чит условию].
Следовательно, это качество не может быть обозначае-
мо посредством фигуры, являющейся сегментом круга
и превышающей по своей величине полукруг acb, однако
оно может быть обозначаемо посредством большей криво-
линейной фигуры, как было сказано раньше. Итак, кри-
вая этой большей фигуры не является дугою окружности,
и тем не менее будет определять пропорциональную вы-
соту фигуры,— ту высоту, которую определяет дуга окруж-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
659
ности. Фигуры будут, следовательно, пропорциональны
по высоте, причем одна будет ограничена дугой окруж-
ности, другая кривой, не являющейся дугою окружности.
Глава 15
[О четырех родах простой дпфформной дифформностп]
Всякая простая дпфформная дпфформность воображае-
ма, стало быть, либо в виде фигуры, не являющейся сег-
ментом круга и не имеющей высоту, пропорциональную
какому-либо сегменту круга, и верхний край ее ограни-
чивается иррациональной кривой, либо же она вообра-
зима в виде фигуры, верхний край которой ограничивается
рациональной кривой, а именно кривой окружности, или
кривою, пропорциональной ей по высоте. В обоих случаях
они называются либо выпуклыми, либо вогнутыми. И в
соответствии с различием их обоих существует четыре рода
простой дпфформной дифформностп, а именно: рацио-
нальная выпуклая, рациональная вогнутая, иррациональ-
ная выпуклая и иррациональная вогнутая. Кроме этих
42*
£&? р'-и* МЗЙ J<S»H> ftt лг
р*^ )&»* р^м4> % р***^ ^й*
W «*М>Й р"'* Рг*4**Д-1г««Я fe; фСЫ* &&
^..ч-л?*ч ^3. »^“р"***> ^'••^
1р **«
-£ <?••* .'^f**>i Р** ^j^**»* |и^’^*?р»5*»1
^i’ *?Р CTe^SSr 4Oj)
₽<"-*Л>мьич p •*
p*3 «F<1 f 4^- pr>c«? ^*At».
₽^!ръ*<й— ГК^^4-
<йД >^ш£;4»ч^(и <ГМП.
-t^rf*** HC ».r<fc-£"tJ С-^сж?!^!
>Лгй*уХ**^» рда-пна^ Hi А
ft,« ч «<?•* i*i* 6*^йЦя<^
<*’’^*-7-’f*«« р**
f&r. ЪV *-Apt^i*uU
** яр*
.Ai«W Ж*'.лг
£<$ *uJ*«q в»ь?> pf »mw
ил p4‘’’©^'1ff|tTfca|*4if
fc»W^*£j’S Р**^*Ч-*Й^>»-фйм4
^t>< 4*w4-^n ^3 *й^4йки*»»# -^^sSH****^ *
^CX р«^л^^р^»М>лме|**- f* i*;t
Mr- p рР^да^^зЛд S^*^^**^
ви~Л^яЬч»к« «f^**-*-1»~*
L^r'C«f? 4=л*^ f’*-"1’
кль-р.-^Ф'?, /«у •e^p>X^4rt-!'
^йлуло^з-*^^^*^^****»**-***^ **
V,w'«. *T ***
c'i ^.--f»»r-»»w<*4' f «—<»
г-'<ц; fyg рллч »»«
*. £..< <y. <-»r-*''r^>'f'"’-'t'
Рис. 20. Страница трактата Орема (рукопись Парижской Нацио-
нальной библиотеки № 14580).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
G61
различий, существуют другие акцидентальные различия,
как-то: завершение на градусе или не-градусе, отчего
выпуклая дифформность, как рациональная, так и ирра-
циональная, может кончаться на обоих концах на граду-
се, например, так, [как на рис. 19(1)], или на одном конце
на градусе, а на другом — на не-градусе, так, [как на
рис. 19(2)], или на обоих концах нане-градусе так, [как
на рис. 19(3)]. Вогнутая же, как рациональная, так и ир-
рациональная, не может кончаться на обоих концах на
не-градусе, тогда как может кончаться на обоих кон-
цах на градусе так, [как на рис. 19(4)], или только на од-
ном так [как на 19(5)].
Глава 16
[О сложной днфформностп и поверхностных качествах]
Итак, после того как мы разделили вариации дифформ-
ности, проистекающие из акцидентальных различий,
каковыми являются завершение на градусе или не-граду-
се, о чем достаточно сказанного ранее, теперь укажем еще,
что кроме четырех родов изображения простого [дифформ-
ного] качества, предложенного в предыдущей главе, су-
ществует еще два, выше указанных, а именно абсолютная
униформность и униформная дифформность. Таким обра-
зом, существует шесть простых родов изображения качест-
венной интенсификации.
Поскольку сложная дифформная дифформность может
получаться путем комбинирования нескольких простых
конфигураций,— одного и того же рода, двух родов, трех,
четырех, пяти и шести,— постольку следует, на основа-
нии правил арифметики, что в пределах каждого простого
рода, взятого в отдельности, может получиться некая
комбинация, т. е. соединение (compositio). Таким образом
мы имеем шесть сложных дифформных дпфформностей.
Точно так же из каждых простых родов, взятых попарно,
получается 15 сочетаний или сложных видов. Далее, беря
их по три, имеем 20, беря по четыре, имеем 15, беря по пяти,
662
Н. ОРЕМ
имеем 61). И из всех вместе получается один вид. Таким
образом, в итоге существует 63 вида сложной дпфформной
дифформностп. II в каждом виде может иметь место соеди-
нение пз двух простых фигур, из трех, из четырех и т. д.
Следовательно, в любом виде могут иметь место до бес-
конечности разнообразные соединения в соответствии
с числом, порядком илп расположением простых фигур,
из которых эти виды слагаются.
Дабы это стало очевиднее, приведем для некоторых
видов пример. Стало быть, сложная дифформная дифформ-
ность может получаться пз нескольких простых одного
и того же рода, а именно из двух и более униформностей,
т) В доступных мне рукописях ошибочно 5, как и дальше 62
вместо 63. Дюгем (fitudes, т. III, стр. 385), основывавшийся
па рукописи 7371, дает цифре 6, но дальше оставляет 62.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 663
например [как на рис. 21 (1)1, и такая может быть назва-
на степенным качеством или степенной дифформностью
(qualitas sen diflormitas gradualis). Далее, в другом про-
стом роде,—пз двух и более униформно-дифформных как,
например, [на рис. 21(2)1 или [как на рис. 21(3)1 [дпф-
формно-дифформных]. Далее, издвух выпуклых рациональ-
ных, так, [как на рис. 21 (4)]. И так можно продолжать соот-
ветственно дальше по всем указанным выше шести родам.
Далее соединенпе может получаться из двух родов, напри-
мер, из униформно- и дпфформно-дифформного, напри-
мер, [как на рис. 21(5)1 или из нескольких, относящихся
к этим двум родам, например, [как на рис. 21(6)]. Далее,
из двух других родов, например, униформного и рацио-
нального вогнутого так, [как на рис. 21(7)1. Либо из
нескольких тех же двух родов. Соответственно может полу-
читься сочетание (mixtio) и в двух других родах, а также
в остальных двух,— до 15 сочетаний или видов. Далее
могут получиться сочетания из трех родов до 20 видов
ит. д., как было сказано выше; примеры таковых могут
быть достаточно хорошо поняты в соответствии со ска-
занным. Итак, мы имеем 62 вида сложной дифформной
дифформности1) и четыре вида пли рода простых (как
явствует из предшествующей главы). Следовательно, су-
ществует 66 видов или родов дифформной дифформности,
один — униформной дифформности и один — простой
унпформности. Достаточно также ясно из сказанного,
что к постижению различия этих видов дифформности
качества и прочих вещей мы не можем прийти иначе,
как путем аналогий (ex assimilationibus) и пользования
образами фигур (ymagines ligurarum).
Глава 17
[О плоскостном качестве]
Как было разъяснено в гл. 4, плоскостное качество
(qualitas superiicialis) есть качество, которое должно быть
воображаемо в виде телесной фигуры, расположенной по
*) Здесь в рукописях повторена ошибочная цифра 62 вместо 63,
как и дальше 66 вместо 67,
664
И. ОРЕМ
отвесу на поверхности, наделенной качеством, как бы
на своем основании. Понятие об этой фигуре можно полу-
чить из познания плоских фигур, посредством которых
изображаются линейные качества, о каковых было ска-
зано достаточно, — в меру, в какую это нужно для иссле-
дуемого вопроса. Ведь подобно тому как одни линейные
качества униформны, а другие дифформны, причем из
последних однп дифформны униформно, а другие дпфформ-
но, и получаются они многочисленными путями, подобно
этому обстоит дело и с качествами плоскостными. II по-
добно тому как униформное линейное качество вообразимо
в виде прямоугольного четырехугольника, так и униформ-
ное плоскостное качество должно быть воображаемо в виде
тела, имеющего 8 прямых телесных углов. Такое тело мо-
жет быть воображаемо более высоким и менее высоким,
при сохранении качества неизменным, как это было ска-
зано о линейном качестве в главах 7 и 10. А то, что было
сказано об униформно-дифформном линейном качестве,
то соответственно должно быть сказано и о качестве пло-
скостном. Ведь верхний край фпгуры, в виде которой
воображают уппформно-дифформное плоскостное каче-
ство1) есть плоскость, одинаково отстоящая на обоих
краях от лежащего внизу основания, каковое основание
воображают в виде плоскости, между тем как верхний край
топ фпгуры, посредством которой воображают уппформно-
дифформное плоскостное качество, есть плоскость, нс
параллельная основанию. Верхний же край, посредством
которого представляют дифформно-дифформное качество,
есть крпвая илп сложная многогранная поверхность. Ана-
логично могут быть применены к плоскостному качеству
все ранее предложенные различения, описания, понятия,
виды и различия. Все ранее сказанное было сказано в пред-
положении, что основание, наделенное качеством, есть
прямая линия илп плоскость.
Настоящая глава написана, чтобы сказанное выше было
легче уразумеваемо, хотя нпжнее основание весьма часто
изображается иначе, причем предполагается, однако, что
*) В рукописи 14580: «qualitas difformiter difformis superficia-
lis uniformis» (дальше зачеркнуто: difformis) В рукописи 7371
jsuperficial is qualitas uniformis».
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
663
оно может быть выпрямлено, а тогда к нему становится
применимо все приведенное выше. Как бы то ни было,
можно сказать в общей форме, что верхний край фигуры,
посредством которой воображают униформное качество,
нараллелен нижнему основанию. Верхний же край фигуры,
обозначающей унпформно-дпфформное качество, непре-
рывен и определяется его частями, ближе расположен-
ными к нпжнему основанию: если они доходят до основа-
ния, то качество кончается1) на не-градусе, если же нет,
то это качество кончается на обоих краях на градусе.
Что касается верхнего края фигуры, обозначающей каче-
ство дифформно-дифформное, оно непрерывно определяется
его частями, неравномерно (inequaliter) приближающи-
мися к нижнему основанию или удаляющимися от него.
И сказанное может быть легко уяснено на вышеприве-
денных наглядных примерах, будучи применимо как
к линейному, так и к плоскостному пли телесному
качеству.
Глава 18
[О телесном качестве и его разнообразной конфигурации]
Согласно ранее указанному способу представления
телесное качество в отношении предмета или какой-либо
его части изображается (iiguratur) в соответствии с фи-
гурой плоскостных качеств того же тела. Следовательно,
из ранее сказанного явствует, что в любом вообще роде
трехмерных фигур (figurarum solidarum) может быть вооб-
ражаемо или изображаемо какое-либо телесное качество.
•Поскольку же из любой точки этой фигуры может быть
проведена линия, перпендикулярная к основанию той же
фигуры так, что никакая часть этой линии не находится
вне той фигуры, посредством которой подобного рода ка-
чество обозначается, постольку ни одно качество не обо-
значается посредством фигуры просверленной илп фигуры,
имеющей выемку у основания, вроде такой, [как на
В рукописях 7371 и Vat. 3097 (М)—descendat и teiminatiir,
т. е. «если он доходит до основания, то кончается, л.
666
Н. ОРЕМ
рис. 22(1)]или такой, [как на рис. 22(2)] или иной подоб-
ной. Всяким же другим образом качество изображается
так, что в соответствии с часто упоминавшимся нами пред-
ставлением и уподоблением некое телесное качество бывает
пирамидальным, т. е. воображается в виде пирамиды пли
в виде - состоящего из пирамидальных качеств, либо из
круглых пирампд [конусов], либо из многогранных. Рав-
Рис. 22.
ным образом одни качества — состоящими из пирамид
большей остроты, другие — из пирамид меньшей остроты,
если сравнивать их с первыми. Равным образом, некое
качество изобразимо в виде сферического сегмента или
цилиндра. И так до бесконечности, применительно к об-
щим типам и различиям, соответственно родам униформ-
ности и дифформностп, установленными в главах 15-й,
16-й и т. д. Притом одно качество поддается изображению
в виде фигуры (iigurabilis) так-то, например, теплота,
а другое качество тех же тел — иначе, или так же, напри-
мер, белизна, а третье, может быть, и еще иначе, как,
например, сладость и т. д.
Глава 19
[Об изображении противоположностей в виде фигур]
В нашу задачу не входит здесь исследование вопроса,
могут ли противоположные качества существовать вместе
и одинаково первично в одной и той же части предмета.
Если, однако, допустить в воображении, что это возмож-
но, тогда разреженный предмет, униформно-плотный, имел
бы во всех своих частях равные доли от совокупности всех
противоположностей (de toto aggregate ex omnibus contra-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
667
riis), ибо чем меньше было бы одной противоположности
в одной его части, тем больше было бы другой противо-
положности в этой же части, и наоборот. Стало быть,
такой предмет был бы униформно наделен качеством этого
рода противоположностей и если бы ближайший род, охва-
тывающий теплое и холодное, имел бы особое название,
то тогда предмет, в котором сосуществуют то и другое,
получил бы униформное наименование этого рода [1в].
Стало быть, согласно гл. 10,
эта совокупность обеих про-
тивоположностей вообразима
в виде прямоугольного че-
тырехугольника. Если, следо-
вательно, отнять ту часть четы-
рехугольника, в соответствии
с которой воображается соглас-
но сказанному в предыдущих
главах одно из этих противо-
положных качеств1), другая часть останется для друго-
го, противоположного качества. Таким образом,
линия верхнего края той фигуры, которая обозначает
все целое, явится основанием фигуры, обозначающей это
второе качество, как если бы фигура целого была разде-
лена2). Например, пусть ab — униформно плотный пред-
мет, в котором вместе наличиы и теплота, и холод. Сле-
довательно, он будет униформным по теплоте и холоду,
рассматриваемыми как один род. Стало быть, совокуп-
ность этих противоположностей будет воображаться в виде
прямоугольного четырехугольника abed. Итак, пусть теп-
лота унпформно-дифформного предмета ab кончается на
не-градусе в точке а и на высшем градусе в точке Ъ, иначе
говоря, на высшем градусе, с которым не может сосущество-
вать холод. Следовательно, эта теплота будет воображаться
в виде треугольника abd. Стало быть, холод должен вооб-
ражаться в виде треугольника dca. Возьмем, следователь-
но, фигуру и наложим а на d, а b на с — тогда станет ясно,
х) illarum contrariarum qualitatum 7371; illarum contrariarum
14580.
г) В рукописи 14580 пропуск, восполняемый по 7371.
668
11. ОРЕМ
что холод униформно-дифформен и кончается на не-гра-
дусе в точке Ь. И так вообще ведется рассуждение о про-
тивоположностях, существующих вместе: в ту меру, в ка-
кую становится иной фигура одной [противоположности],
в ту же меру, эквивалентно, варьирует обратным образом
п фигура другой протпвоположности,— на столько, сколь-
ко нужно для восполнения всей совокупности до униформ-
ности. Отсюда явствует, что если одна из противополож-
ностей воображается в виде фигуры выгнутой, то другая,
сосуществующая с ней, должна быть воображаема в виде
вогнутой, и наоборот. И соответственно в отношении про-
чего, как это можно легко уяснить из сказанного. То,
что мы сказали, применимо к качеству линейному, пло-
скостному и телесному, хотя и было иллюстрировано на
примере лишь линейного качества.
Глава 20
[О способе, при помощи которого судят о кривизне
качеств в отношении их дифформностп]
Теперь остается сказать о кривизне. Кривизна, напо-
добие прочих качеств, имеет экстенсивность и интенсив-
ность; одна униформным, другая — дифформным обра-
зом. Однако не было еще сказано о пропорции кривизны
в интенсивных вещах, а именно, бывает ли одна вдвое
больше другой, или стоит к ней в каком-нибудь другом
отношении; иначе говоря, мы еще не знаем, быть может,
они непропорциональны друг другу, или же, наоборот,
пропорциональны. Ведь еще неизвестно, на основании чего
или по чему определяется интенсивность кривизны.
Предварительно можно сказать, что она определяется
одним из двух указываемых ниже способов. Во-первых,
большая кривизна определяется по уклонению ее от пря-
мизны и по расстоянию ее от таковой прямизны, т. е.
по величине угла, образуемого прямой п кривой линией,
каковым является угол касания, а может быть, какой-
нибудь другой угол, образуемый прямой и кривой линией.
Напрпмер, пусть мы имеем линию ab, с которой встре-
чаются лве линии в точке а, а именно ас и ad. Мы скажем,
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
669
что линия da имеет большую кривизну, чем линия ас
во столько раз, во сколько угол bad больше угла Ьас.
Но угол, образованный прямой п кривой, и угол, образо-
ванный двумя кривыми, друг другу не пропорциональны:
это может быть доказано
на основании 15-го поло- у
жения 3-й книги Евклида / у'
I17] и 5-го положения той / .S
же книги [18 J, и, по мило- .s'
сти божией, будет показа- —
но в трактате о совершен-
стве видов (de perfectione ₽ис‘
specierum)[19]. Итак, угол
abc и угол cad друг другу непропорциональны, а потому
весь угол bad и угол cad также непропорциональны, и,
следовательно, весь угол bad непропорционален частично-
му углу Ьас, не превосходя его в каком-нибудь отношении,
Рис. 25.
которое обретается между числами и между любыми непре-
рывными вещами, обладающими одним и тем же видом
интенсивности, т. е. между линией и линией, площадью
и площадью и т. д. Отсюда следует, что большая кривизна
и меньшая кривизна непропорциональны [прямизне]
и разного строения (altering compositionis) с нею.
Это может быть показано и иначе. Пусть мы имеем угол,
образованный двумя кривыми линиями сходной кривизны,
обращенными в одну и ту же сторону, но пусть он будет
больше угла касания. Пусть это угол abc. Тогда можно
его разделить посредством линии сходной кривизны,
наподобие любого континиуума, на две равные части.
Итак, мы делим его на две равные части посредством линии
сходной кривизны, а именно ad. Я утверждаю, следова-
67и
Н. ОРЕМ
тельно: невозможно этот угол bad аналогично разделить
посредством прямой линии, что вполне понятно, посколь-
ку adc приходится частью снаружи линии ad, частью вну-
три, и как бы ее ни проводить, весь угол Ьас не будет де-
литься пополам. На том же основании он не может быть
разделен посредством прямой линии на две части, из кото-
рых одна вдвое больше другой, или в какой-нибудь иной
пропорции, рациональной и иррациональной, каковая
может существовать в непрерывных вещах одного и того
же вида. И на основании того же вывода можно будет дока-
зать, что названный угол нельзя разделить на равные или
пропорциональные части посредством какой-либо линии,
отличной по своей кривизне от линии ad, ибо, как и рань-
ше, такая разделяющая линия пришлась бы частью вну-
три кривой, частью оказалась бы снаружи и при любых
условиях не делила бы весь угол пополам.
Из этого положения, доказуемого или уже доказанно-
го, вытекает с вероятностью следующее: подобно тому
как это (т. е. полное деление) неспособна сделать прямая
линия, поскольку она другого вида (rationis), чем линия
кривая, не может сделать это и более кривая линия, ибо
она другого вида, чем менее кривая и непропорциональ-
на ей.
Стало быть, если это так, следует сказать, что дифформ-
ная кривизна слагается из бесконечных частей разного
вида, непропорциональных друг другу, и что подобно тому
как ни один угол, образованный линиями сходной кривиз-
ны, не может быть вдвое больше угла, образованного ли-
ниями отличной друг друга кривизны, и не может быть
ему пропорциональным в том или ином отношении, подоб-
но этому непропорциональны друг другу и линии разной
кривизны, так что ни одна интенсивность дифформной кри-
вой не может стоять к другой, отличной от нее кривизне,
наличной в той же кривой, в отношении 2 : 1, и не в отно-
шении, являющемся половиной отношения 2:1, и ни
в каком соизмеримом или несоизмеримом отношении, сло-
вом, ни в каком отношении, которое может быть обнару-
жено между линией и линией [20].
Отсюда явствует соответственно, что интенсивность
кривизны не может быть воображаема в виде линии, и что
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
671
не существует другой кривизны, одинаковой по интен-
сивности с другой кривизной иного вида. И кривизна не
может быть воображаема в виде какой-либо фигуры, а ее
интенсивность сравниваема (assimilanda) с другой фигу-
рой, поскольку высота любой фигуры обозначается посред-
ством линий.
Отсюда, далее, явствует, что ни одна кривизна не бы-
вает униформно дифформной, ибо отличительным призна-
ком униформной дифформности является то, что она во
всем предмете сохраняет тот же вид (ratio), и что отноше-
ние одной интенсивности к другой или избытков интен-
сивности в различных частях равно отношению одного
расстояния к другому, а следовательно, равно отношению
линий, как явствует из текста гл. 11. Но это, как только
что было сказано, не может быть применимо к дпфформно-
дифформной кривизне.
Отсюда же следует, что каждая кривизна бывает
несколько иначе дифформной, нежели могло бы быть какое-
либо иное качество другого рода, обладая некоторой не-
обычной, удивительной и отличной дифформностью.
Глава 21
[О некоем ином способе судить о кривизне]
Всякая кривизна окружности (curvitas circularis) [21]
униформна и, наоборот, всякая иная кривизна дифформ-
на I22]. Теперь, стало быть, мы коснемся иного способа
судить о той и другой, и сначала скажем об униформной.
Мы утверждаем, что интенсивность кривой определяется
соответственно или сообразно величине радиуса того кру-
га, кривой (curvitas) которого она является, будь то
окружность или часть окружности так, что чем этот ра-
диус меньше, тем пропорционально кривизна будет боль-
ше. Например, пусть будет больший круг, имеющий ра-
диус аЬ, и круг меньший, имеющий радиус ас. Если сле-
довательно, радиус ab вдвое больше радиуса ас, кривизна
меньшего круга будет вдвое интенсивнее кривизны больше-
го. И так же рассуждают о других отношениях и кривиз-
нах. Отсюда явствует, что с этой точки зрения неравные
672
Н. ОРЕМ
друг другу дуги (curvitates) пропорциональны друг другу
л принадлежат к одному и тому же виду (ratio).
Таким образом, можно, пожалуй, добавить к поло-
жению, высказанному в предположительной форме в пре-
дыдущей главе, что хотя большая [по интенсивности]
кривизна и меньшая кривизна дают в углах непропорцио-
нальность, как эго делают прямая линия и кривая линия,
гем не менее, может быть отсюда еще не следует, что от то-
го они являются в собственном смысле непропорциональ-
ными и принадлежат к разным видам. И поистине, не
настолько несравнимы друг с другом две кривые линии,
как линия прямая и линия кривая. Ведь о кривых гово-
рится, что одна является более кривой, нежели другая,
но того же нельзя сказать о кривой и прямой; да и о пря-
мой не говорится, что она более пряма, нежели кривая.
Зато можно, пожалуй, сказать, что прямая и кривая
несравнимы друг с другом в собственном смысле слова,
тогда как две кривые сравнимы по кривизне, однако не
пропорциональны друг другу, подобно тому как угол,
образованный прямой и кривой, и угол, образованный
двумя кривыми сторонами, несравнимы и непропорциональ-
ны, и это на основании, указанном в гл. 201).
Пропорциональны же или нет две неравные кривые,
я пока еще не решаю. Но вы, читающие это, должны сде-
лать вывод, согласно сказанному в настоящей главе2),
что интенсивность кривизны определяется по тому, на-
сколько мал радиус (penes semidyametri parvitatem).
Отсюда следует, что кривизна всех окружностей является
абсолютно одинаковой; ведь, как это станет ясным впос-
ледствии, в третьей части настоящего труда, если какое-
либо качество интенсивнее другого, а вместе с тем в ту же
пропорцию экстенсивнее (илп более протяженно), то оба
эти качества абсолютно равны друг другу. В данном же
случае отношение окружностей по величине равно отно-
шению между радиусами соответствующих кругов. Это
явствует из пятого заключения Архимеда в его сочинении
*) В тексте 14580 ошибочно: в 7-й главе.
2) В тексте 14580: in precedent! capitulo. По-видимому, следует:
in presenti capitulo.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
673
«О кривых поверхностях» [23]. Стало быть, кривизна вдвое
большей окружности вдвое экстенсивнее, нежели кривизна
вдвое меньшей окружности. И по сказанному, та же
кривизна вдвое большей окружности вдвое менее интен-
сивна (duplo remissior).
Следовательно, кривизна вдвое большей окружности
и кривизна вдвое меньшей окружности равны. И таким
же образом говорится о всех подобных друг другу частях
неравных окружностей. Следовательно, кривизны всех
окружностей абсолютно одинаковы. И таким же образом
говорится, что все подобные друг другу части неравных
окружностей равны по кривизне, например, половина
одной — половине другой, четверть одной — четверти дру-
гой и т. д. И это говорится разумно, ибо кривизна опре-
деляется по круговому движению, или обозначает круговое
движение, а одна окружность не обращается вокруг
центра больше, нежели другая, и одна часть окружности
более, нежели подобная ей другая, большая. Следователь-
но, такие кривизны абсолютно равны, хотя они обладают
неравной экстенсивностью и неравной интенсивностью.
Сказанное, видимо, говорит против первого нашего
подхода, т. е. против предыдущей главы и в пользу настоя-
щей. Ведь если две неодинаковые дуги (curvitates) не
были бы пропорциональны по интенсивности, будучи
пропорциональными по экстенсивности, они были бы аб-
солютно непропорциональными и неравными. Стало быть,
если интенсивность кривой определялась бы по указанному
способу, т. е. соответственно малости радиуса, всякая
кривизна, как униформная, так и дифформная, была бы
подобна другому, большему качеству: притом, как и это
другое качество, она воображалась бы в впде фигуры, в ко-
торой кривая линия пли кривая поверхность служили бы
основанием, каковое основание вместе с этой линией или
поверхностью воображалось бы спрямленным, или даже
оставалось кривым соответственно схеме (disposicionem)
или представлению, описанному в главах 7, 16 и 18.
Впрочем, к пониманию подобного рода кривизны, ее
униформности и различной дифформности удобнее и легче
можно прийти посредством образа одного лишь движения,
нежели посредством фигуры, а именно: пусть пз покояще-
43 Истор.-матем. и селе д., вып. XI
6?4 Н. ОРЕМ
гося центра а проведена линия, или диаметр дЬ; предста-
вим себе, что он обращается или движется. Коль скоро,
следовательно, точка с непрерывно пребывает на конце
вращаемого радиуса, эта точка b (пли с) опишет униформ-
ную кривую, т. е. дугу окружности. Если же точка с
станет непрерывно опускаться по диаметру, прибли-
жаясь к центру с униформной скоростью, пока радиус
Рис. 27.
продолжает униформно обращаться, я утверждаю, что тог-
да точка с опишет униформно-дифформную кривую. Точно
так же, если бы точка униформно удалялась от центра,
она описала бы униформно-дифформную кривую. Вот
почему, если за время, пока b описывает окружность,
точка с проходила бы весь радиус в точности, униформно
поднимаясь в движении, которое оказывается прямолиней-
ным при отсутствии вращения радиуса, то тогда точка с
описала бы униформно-дифформную кривую, которую
математики называют спиралью (helyx), получившую
свое имя, может быть, от особого вида плюща, вьющегося
аналогичным образом и, согласно Философу, именуемого
el ух [241. При помощи такой линии Архимед доказывает
квадратуру круга [251.
А если радиус обращается униформно, причем точка с
дифформно приближается к центру или удаляется от него,
или наоборот, или же если радиус обращается, а с при-
ближается или удаляется, причем то и другое происходит
дифформно, с некомпенсируемой дифформностью (cum
diliormitate incompensabili), тогда с опишет дифформно-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
675
дифформную кривую. И здесь возможны многочисленные
варианты; коротко говоря, такая дифформность может
варьировать столькими же способами и со столькими же
сходными различиями (вернее, с темп же • различиями),
о которых речь уже была раньше, в главах 15 и 16.
Итак, из сказанного достаточно уясняется конфигура-
ция интенсивности в каждом виде пребывающего телес-
ного качества, разве только следует присоединить сюда
еще иную интенсивность, а именно интенсивность остроты
углов, в которой нельзя обрести ни постоянную (permanens)
униформность, ни постоянную дифформность, а только
переменную (successivam), что впоспедствии [26] будет
разъяснено.
Глава 22
[О различии действии, проистекающем пз разнообразия
качественной дпфформности]
Ясно, что тела могут различным образом варьировать
в своих действиях соответственно разнообразию фигур
этих самых тел. Вот почему древние, утверждавшие, что
тела состоят из атомов (ex athomis), говорили, что атомы
(athomalia) огня пирамидальны вследствие его сильной
действенности, отчего тела и могут, в зависимости от раз-
личия пирамид, больше или меньше колоть, и что в зави-
симости от той или иной своей остроты они бесспорно могут
рассекать сильнее или менее сильно. Точно то же отно-
сится к другим действиям или фигурам.
Но коль скоро так обстоит с фигурами тел, представ-
ляется логичным, что соответственно можно говорить и о
фигурах качеств, а именно, что некое качество имеет
частицы (particulae), по интенсивности пропорциональные
небольшим пирамидам, а потому оно активнее при прочих
равных условиях, нежели равное ему абсолютно-униформ-
ное качество, либо что оно пропорционально другой фигу-
ре, не столь пронизывающей, иначе говоря, что могут су-
ществовать два качества, в которых частицы одного былп
бы пропорциональны более острым пирамидам, нежели
частицы другого. То качество, которое будет соответ-
ствовать более острым пирамидам, оказалось бы действен-
43*
(576 Й. ОРЕМ
нее при прочих равных условиях. То же самое — о дру-
гих фигурах. Ибо испытано на опыте, что качество, уни-
формно распределенное по предмету, например, теплота
воды, иначе воздействует на осязание и производит иные
перемены, нежели равное ему качество, одна частица кото-
рого интенсивная, а другая слабая, одна интенсивная,
другая [слабая] и т. д., поочередно, в соответствии с части-
цами предмета, в результате чего такое качество оказы-
вается дифформным в соответствии с указанным предста-
влением его в виде небольших пирамид. Этим, быть может,
объясняется то, что говорят обычно, а именно, что неко-
торые качества являются более колющими, например,
некоторые вкусовые свойства, запахи, холод и теплота,
в частности теплота, заключенная в перце. А иногда встре-
чаются два качества того же вида и одинаковой интенсив-
ности, из которых одно тем не менее более действенно,
более колет, нежели другое. Причину этого можно ука-
зать, придерживаясь вышеуказанного представления.
Можно также еще сказать, что некое более слабое ка-
чество небольшой теплоты бывает более действенным, неже-
ли более интенсивная теплота (например, теплота чистого
огня), оттого, что такое более интенсивное качество (быть
может, униформное) не настолько превосходит другое по
пнтеисивности, насколько это другое превосходит его по
действенности, проистекающей из вышеуказанной фигуры.
И это может быть одной из причин действенности раска-
ленного огня в сочетании с телесной компактностью (сош-
pacitas). Подобная неодинаковость действия может полу-
читься в результате одной лишь указанной причины даже
в том случае, если будет иметь место равенство между ком-
пактностью и всем прочим и т. д.
Равным образом одна из указанных выше противопо-
ложностей, существующих в каком-нибудь предмете,
активнее, нежели обе противоположности, или нечто по-
добное им, существующее в каком-нибудь предмете в ана-
логичной пропорции и обладающее равной интенсив-
ностью. Вот, например, пусть а и b — два теплых тела.
Возможно, что и, нагревая что-либо холодное, действует
сильнее, нежели это делает Ь, и что причина тому заклю-
чается в пирамидальной форме противоположностей, суще-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
677
ствующей в а, но не в Ь, соответственно представлению
(ymaginacionem), охарактеризованному в главе 18-й и
главе 19-й. Отсюда следует, что существует малое число
(или же вовсе не существует) полных химических соеди-
нений (mixta completa) абсолютно однородных; и если
некоторые однородны по веществу (subiectum), они могут
все же оказаться дпфформными по качеству. Далее, если
острота и кривизна некоторых конусов (pyramidum rotun-
darum) стоят друг к другу в разных отношениях, согласно
представлению, выдвинутому в случае втором, то, есте-
ственно, что и фигуры качеств, им пропорциональные,
стоят друг к другу в разных отношениях. Вот почему
может случиться, что действия качеств равным образом
стоят друг к другу в разных отношениях, поскольку раз-
личие в действиях проистекает из различия фигур дей-
ствующих качеств, о чем сказано было раньше.
Это уясняется и другим путем, а именно: некоторые счи-
тают будто фигуры илп некие образы (ymaginaciones1)),
запечатлевающиеся в определенных материях, т. е. прп
известном расположении небесных светил2), имеют удиви-
тельную действенность и силу. Верно это или нет, все-таки
гораздо вероятнее, что тела обладают действенностью и
силой в результате естественного образования фигур
активного качества, нежели искусственного образования
фигур количества, каковое, согласно философам, не отно-
сится к разряду активных сил[27].
[Глав а 23. О различии пассивных состояний, которые могут
получиться из сказанного; гл. 24. О разнообразии естественных
сил в соответствии с их конфигурацией; гл. 25. Каким образом на
основании сказанного можно объяснить причины некоторых дей-
ствий; гл. 26. О красоте конфигурации качества в абсолютном смыс-
ле и ее совершенстве; гл. 27. О красоте конфигураций в относитель-
ном смысле и причинах естественной дружбы и вражды; гл. 28.
О сокровенных прпчинах некоторых естественных действий;
гл. 29. О причинах троякой дружбы в пределах одного вида;
гл. 30. О причинах удовольствия чувств и воображения; гл. 31.
х) ymagines, Vat. 3097 (М).
2) in certis matcriis scilicet quibusdam constellationibus celi.
Вместо этого в другой рукописи, Vat. 3097 (М): in certis temporibus
sub quibusdam constellationibus celi, т. e. «в определенные моменты
при известном расположении небесных светил».
678
Н. ОРЕМ
О дпфформности познавательных способностей; гл. 32. Об измене-
нии этой дпфформности; гл. 33. О причинах видений души; гл. 34.
О некоей помехе видений души; гл. 35. О некоторых различиях ви-
дений души; гл. 36. О некотором различии провидящих душ; гл. 37.
О различии видимых вещей в соответствии с положением; гл. 38.
О различии видения в соответствии с расстоянием; гл. 39. О загад-
ках видений; гл. 40. О действующих причинах видения].
ЧАСТЬ [Т
[ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ И СИЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КАЧЕСТВ]
Глава 1
[О дпфформности движения]
Всякое последовательное движение делимого предмета
имеет части. И оно делимо, во-первых, соответственно раз-
делению и экстенсивности (т. е. непрерывности) движу-
щегося1), во-вторых, соответственно разделению и продол-
жительности (или непрерывности), в-третьих, лишь вооб-
ражаемым образом,— сообразно градусам и интенсивности
скоростей2). В соответствии с непрерывностью первого рода
движение именуется большим или малым, в соответствии
со вторым движение именуется кратким или долгим,
в соответствии с третьим — быстрым или медленным. Итак,
движение имеет двоякую экстенсивность (во-первых, пред-
метную, или присущую предмету, во-вторых — времен-
ную) и одну интенсивность. Обе экстенсивности можно
вообразить как бы пересекающимися под прямым углом
в впде креста так, что экстенсивность длительности можно
будет назвать длиною, а экстенсивность предметную, или
присущую предмету (extensio subiectiva sen subiecti)—
шириною, тогда как интенсивность может быть названа
высотой этого движения (или скорости). Однако, если
в соответствии со сказанным выше, в третьей главе 1-й
х) Рукопись 14580: secundum divisionem et extensionem seu
continiiitatem mobilis: рукопись 7371 (В): secundum divisionem seu
continuitatem et extensionem mobilis. Первое чтение мне представ-
ляется более правильным.
2) В рукописи 14580 ошибочно: secundum gradus et intensionis
velocitatis, Исправляю на intensionem velocitatis. Ср. velocitatis
intensionem в рукописи 7371 (В).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
679
части, интенсивность скорости именовать широтой движе-
ния, тогда обе экстенсивности по отношению к его интен-
сивности могут быть названы долготою. Таким образом,
скорость будет иметь двоякую долготу, подобно тому как
она имеет двоякую экстенсивность, причем в пределах
той и другой экстенсивности1) интенсивность может раз-
нообразно варьировать. И так как дифформность происте-
кает из того, что интенсивность получает разнообразное
протяжение, то отсюда следует, что движение (или ско-
рость) может обладать двоякой дифформностью, равно как
и двоякою униформностью: во-первых, соответственно
частям (или протяженности) движущегося, что собственно
именуется униформностью или дифформностью, и, во-вто-
рых, соответственно частям (или продолжительности)
времени, что собственно именуется равномерностью или
неравномерностью (regularitas vel irregularitas). Следо-
вательно, с точки зрения предмета (ratione subiecti) дви-
жение обладает униформностью или дифформностью, а
с точки зрения времени (пли в соответствии со временем)—
равномерностью или неравномерностью. И соответственно
этому говорится, что движение неба дифформно, по равно-
мерно [ 8]. Что касается движения тяжелого тела вниз,
оно может быть, наоборот, униформным и неравномерным
или равномерным, притом равномерным и униформным,
или дифформным и неравномерным. Однако невозможно,
чтобы круговое движение было униформным. Лишь следуя
привычному словоупотреблению, я буду называть в несоб-
ственном смысле равномерность униформностью и нерав-
номерность дифформностью, однако сопровождая допол-
нительным (или, вернее, первичным) определением.
Глава 2
[О том, что такое время, и что оно не дифформно]
Первой из всех последовательных вещей является время,
ибо в одном своем значении время есть сама длящаяся
последовательность- (successio morosa) вещей, способных
Ч В тексте 14580 ошибочно: in utraque istarum intensionum.
680
Н. ОРЕМ
изменяться в соответствии с «прежде» и «после», иначе
говоря, их последовательная длительность (duracio suc-
cessive). И в таком пониманпи время не есть движение,
а есть последовательность самого движения или дви-
жущегося, ибо даже если бы все покоилось, тем не менее
продолжало бы существовать время. И если все движущееся
двигалось бы быстрее, чем теперь, время не ускорилось
бы. Таким образом, время в одном значении есть некая
акциденция, относящаяся к категории «когда». И оно
не тождественно с вещью, существующей во времени, од-
нако и неотделимо от нее, ибо без такой вещи оно не может
существовать, не заключая в себе противоречия, и не может
быть отделено от нее даже под действием абсолютной бо-
жественной силы. Вот почему, говоря строго, время в та-
ком понимании не есть некая вещь, а модус вещи, как
говорит Аристотель, утверждающий, что акциденция не
есть вещь, а нечто, присущее вещи, т. е. состояние (dis-
posicio) вещи [29]. Таким образом, время называется чем-то
сущим (ens), или вещью омонимически. И оно не может
быть обозначаемо наподобие субстанции просто, без по-
ставления в связь с чем-то другим (simpliciter incomplexi-
ve), а обозначается в связи с чем-то другим (complexi-
ve), и притом путем незавершенного мысленного полага-
ния, пусть само оно и принадлежит к числу таких вещей,
которые не получают наименования соответственно какой-
либо завершенной связи1). И в более строгом смысле время
подобает обозначать посредством синкатегорем [30], на-
пример, посредством временных наречий, нежели посред-
ством существительных, хотя необходимость речи и заста-
вляет пользоваться существительными для его наиме-
нования.
Итак, подобного рода длительность или последователь-
ность, как бы ее ни называть, не обладает какой-либо
интенсивностью, а лишь некоей протяженностью в соот-
ветствии с «прежде» и «после». И поскольку в предшествую-
щей главе сказано, что дифформность проистекает из раз-
личного протяжения интенсивного, постольку в этом смыс-
*) В рукописи 7371 (В) дальше: ut dicit Aristoteles (как говорит
Аристотель).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
681
ле время никак не может быть дифформным, и даже, строго
говоря, не может быть униформным, подобно тому, как
оно не называется быстрым или медленным. Однако в не-
собственном смысле время может быть названо униформ-
ным, ибо та длительность, каковой является, по сказан-
ному, время, измеряется в несобственном смысле посред-
ством униформного, т. е. равномерного движения. Вот
почему в другом значении, обычном у Арпстотеля, слово
«время» применяется к тому движению, посредством кото-
рого нами наиболее подходящим образом измеряется выше-
названная длительность (morosa duracio), а именно к дви-
жению неба. Оттого-то некоторые названия, означающие
круговращения неба и части их, считаются названиями,
означающими время, например, год, день, месяц и т. д.1).
И так как посредством одного такого оборота или части
его мы измеряем и счисляем2) все единое п великое движе-
ние (totum unum magnum motum), говоря, например,
что столько-то лет составляют тысячу дней3), то поэтому
время называется числом движения. Далее, поскольку
того же движения неба достаточно для измерения всех
длительностей изменчивых вещей4), существующих одно-
временно, т. е. таких, одна из которых не существует рань-
ше, чем другая, постольку в соответствии с этим говорит-
ся5 6), что одно и то же время существует на небе, в море
и т. д. Но хотя время, понимаемое в этом смысле, и тож-
дественно униформному или дифформному движению, тем
не менее движение измеряет его продолжительность не
в соответствии со своей [униформностью пли] дифформ-
ностью. Вот почему, каково бы это движение ни было,
пусть даже время не будет ничем иным [как этим движе-
нием], поскольку в наименовании «время» не соозначается
') annus, dies, mensis etc., 14580; bora, dies, annus, mensis etc.
7371 (B).
2) Слова «vel numeramus» отсутствуют в рукописи 14580 и вос-
полняются по тексту 7371 (В).
3) tot anni sunt mille dies 14580; tot anni sunt mille anni, dies
etc. 7.371 (B).
4) rerum] mutabilium 14580; rerum naturalium (природных
вещей) 7371 (В).
6) Слово dicitur пропущено в 7371 (В).
682
Н. ОРЕМ
какая-либо интенсивность, требующаяся для униформно-
сти и дифформности, постольку, как бы ни существовало
время, оно отнюдь не называется в строгом смысле уни-
формным или дифформным1).
Глава 3
[О величине интенсификации скорости]
Поскольку та и другая униформность движения, ука-
занная в гл. 1, заключается в одинаковости интенсивности,
а та и другая дифформность проистекает из неодинаково-
сти, следует сначала сказать, на основании чего опреде-
ляется градусная величина (quantitas gradualis) интенсив-
ности самой скорости.
В отношении скорости можно принимать во внимание
три близкие друг другу особенности: во-первых, вели-
чину суммарной скорости (velocitatis totalis), с учетом
интенсивности и экстенсивности, о чем будет речь в треть-
ей части настоящего трактата2); второе, что можно прини-
мать во внимание — это обозначение, благодаря которо-
му говорится, что предмет становится таковым3) быстрее
или медленнее, о чем речь будет в следующей главе; тре-
тье—это сама градуальная интенсивность, которая играет
роль в данном отношении, и о ней нужно сказать теперь.
Итак, я утверждаю в общей форме, что тот градус ско-
рости оказывается абсолютно более интенсивным, или
большим, при котором за равное время более приобретает-
ся или теряется от того совершенства, в соответствии
с каковым движение совершается. Например, при про-
странственном движении этот градус скорости тем интен-
сивнее и тем больше, чем большее пространство илп рас-
стояние проходится. При качественном изменении анало-
гично градус скорости тем интенсивнее или тем больше,
чем более приобретается или теряется от качества интен-
х) Последние слова «vel difforme» отсутствуют в 7371 (В).
2) В 7371 дальше: «который будет посвящен мерам качеств
и скоростей».
3) tale fieri 14580; calefieri («нагревается») 7371 (В).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
683
сивности. Также и прп росте: чем больше приобретается
от количества и чем больше теряется при убывании. II так
вообще всюду, где есть движение и т. д.
Глава 4
[О различных видах скорости]
Нельзя пройти мимо того, что одно и то же движение
или течение (lluxus) обозначается посредством многих
названий, имеющих различный смысл. В соответствии
с этим и скорость, относящаяся к соответствующим пред-
метам, определяется или измеряется различно. Таким
образом, величина градуальной интенсивности определяет-
ся многими способами, к которым, однако, применима
первая характеристика (descriptio), приведенная в пред-
шествующей главе. Например, прп круговом движении
о движущемся говорят, что оно движется и что оно кру-
говращается. Интенсивность скорости продвижения (то-
tionis) определяется по куску пути (spaciuni lineare),
проходимому с этим градусом, тогда как интенсивность
градуса скорости кругового движения определяется по
углам, образуемым в центре. Отсюда оказывается, что то
или иное движущееся в сравнении с другим продвигается
быстрее, но тем не менее круговращается медленнее. Так,
например, Марс движется быстрее Солнца, если принимать
во внимание его собственное движение по большему кругу,
п тем нс менее Солнце быстрее совершает круговой оборот
и быстрее обращается.около центра. От этого оказывается
также, что небо движется дифформно, а круговращается
униформно. Ведь части его, находящиеся около полюсов,
движутся медленнее, нежели другие, и тем не менее об-
ращаются с тою же [угловою] скоростью, что и другие.
Астрономы (astrologi), впрочем, более обращают внимание
на скорость обращения (circuitionis), чем на скорость
передвижения (motionis).
Равным образом и при прямолинейном движении,
например, при опускании вниз (descensus), скорость дви-
жения определяется по пройденному пути, тогда как ско-
рость опускания определяется по приближению к центру.
684
Н. ОРЕМ
Вот почему возможно, что а и Ъ движутся с одинаковой
скоростью, и притом вниз, и тем не менее опускаются не
с одинаковой скоростью, а именно потому, что а движется
по прямой линии к центру, а Ь по круговой или поперечной
и таким образом а, будет опускаться быстрее, чем 6, кото-
рое, однако, движется с такою же скоростью.
Равным образом спуск по наклону (condescensus)
определяется в соответствии с пропорцией приближения
к центру. Может оказаться, что тело, движущееся уни-
формно или равномерно, опускается дифформно по линии,
проведенной от центра, ибо оно будет быстрее прибли-
жаться к центру, находясь вблизи, нежели вдали, и тем
не менее, однако, всегда будет сохраняться одна и та же
скорость движения.
Равным образом при качественном изменении слу-
чается, что одно и то же побеление есть одновременно при-
обретение белизны и усвоение ее, и тем не менее в отно-
шении одного предмета приобретение белизны происходит
быстрее, чем усвоение ее в другом, или наоборот. Более
того, иногда предмет становится по белизне более интен-
сивным, а усвоение ее ослабевает, иногда же [и т. д.].
То же можно сказать и о прочем.
Равным образом при росте скорость приобретения опре-
деляется по величине приобретенного, тогда как скорость
возрастания (или роста) определяется из отношения, су-
ществующего между величиной в начале движения и вооб-
ражаемой величиной в конце его [31]. И так соответствен-
но о частях возрастания. В результате одно движущееся
тело иногда быстрее приобретает величину, нежели дру-
гое, и тем не менее возрастает медленнее, так, например,
большое дерево, вырастающее за день на два пальца,
и малое дерево, возрастающее на один палец. Ведь боль-
шое дерево быстрее приобретает величину, а возрастает
медленнее. Иногда же бывает наоборот. Отсюда явствует,
что если скорость приобретения величины униформна, то
скорость возрастания дифформна, и наоборот. Соответ-
ственно то же можно сказать и об убывавии.
Аналогично при разрежении одним и тем же течением
(iluxus) является движение частиц (или точек движущегося)
и разрежение его же, и тем не менее, если разрежение унп-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
685
формно, то пространственное движение частиц или точек
дпфформно по скорости.
Вообще же говоря, тот градус скорости интенсивнее,
пли больше, при котором за равное время предмет ста-
новится в большей мере таким или большим по величине
в соответствии с тем обозначением, согласно которому го-
ворят о быстроте приобретения, каково бы это приобрете-
ние ни было. Пример: градус скорости опускания тем
больше, чем больше опускается движущийся предмет, или
опускался бы, если бы продолжал движение. Равным об-
разом1) градус кругообращения тем больше, чем больше
движущийся предмет круговращается и т. д. И градус
усвоения тем больше, чем больше происходящее уподобле-
ние и т. д. Градус возрастания — тот, при котором за рав-
ное время предмет становится большим, и так о прочем.
И, как уже было сказано, соответственно многочислен-
ным обозначениям разнообразно варьирует или обозна-
чается скорость, а соответственно становится различной
унпформность и дифформность.
Однако поскольку слово «движение» в отношении
некоторых вещей употребляется в собственном смысле,
особенно в отношений качества и в отношении места
(ubi), к другим же вещам приложимо лишь косвенным
образом, как, напрпмер, к другим выше приведенным по-
нятиям, а именно пропорциям и т. д., постольку теперь
я главным образом намерен сказать об унпформности
и дпфформностп пространственного движения и каче-
ственного изменения, о прочем же можно говорить соот-
ветственно сказанному о них.
Глава 5
[О некоторых других последовательностях в движении]
Кроме троякой делимости пли последовательности,
налпчной в движенипи указанной в гл. 1 настоящей части,
можно вообразить2) и две другие последовательности
l) Similiter 14580; simpliciter 7371.
2) ymaginari 14580; assignari («указать») 7371 (В)
686
Н. ОРЕМ
в движении, впрочем, сводимые к ранее указанным. Ведь
в движении иногда последовательность варьирует в зави-
симости от своего начала: например, в случае простран-
ственного движения возможно, что движущееся начи-
нает двигаться все сразу, и возможно, что оно начнет
двигаться часть за частью. Можно вообразить, что точка d
течет на движущемся ab так, что пройденная точкой d
часть приходит в движение, а часть, еще не пройденная,
покоится до тех пор, пока не будет пройдена точкой d;
это имеет место, например, с гибким прутом, который на-
чинает двигаться именно так. Как раз это имеет место при
качественном изменении, где обнаруживается последова-
тельность соответственно квантитативным частям предмета.
Равно и при возникновении материальной субстанциальной
формы, где также имеет место последовательность соответ-
ственно квантитативным частям, или соответственно про-
тяжению, а не соответственно градуальным частям и ин-
тенсивности, например, при возникновении огня. Такого
рода последовательность до известной степени уподоб-
ляется пространственному движению, как явствует из
приведенного примера с движущейся точкой d. А до из-
вестной степени она уподобляется возрастанию,— в том
отношении, что непрерывно становится больше и больше,
или, иначе говоря, все большая и большая часть предмета
приходит в движение или же все больше и больше поро-
ждается формы. И всякая последовательность, которая
при этом обнаруживается, либо имеет место в соответствии
с.предметом, либо в соответствии с частями времени, либо
в соответствии со скоростью последовательности в самом
предмете. Соответственно в приведенном примере вообра-
жают, что точка d движется быстрее или медленнее, и та-
ким образом все сказанное сводится к подразделениям,
приведенным в гл. 1. Оттого всякая униформность или диф-
формность, которую можно обнаружить в этой последо-
вательности, должна быть сведена к двум родам униформ-
ности и дифформностп, которые указаны в первой главе
и к которым она и сводится.
Наряду с этим можно вообразить и некую иную после-
довательность. Ведь всякая скорость способна интенсифи-
цироваться и ослабевать. Ее непрерывная интенсификация
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
687
называется ускорением (velocitacio)1). Подобное ускорение,
или возрастание скорости может совершаться быстрее или
медленнее, отчего иногда бывает, что скорость интенсифи-
цируется, а ускорение ослабевает, между тем как в дру-
гих случаях и скорость, и ускорение интенсифицируются.
И равным образом такое ускорение происходит иногда
униформно, а иногда дифформно, и по-разному.
Поскольку же всякая делимость2) или последователь-
ность, обретающаяся в такой скорости, бывает разной
либо соответственно частям времени 3), либо соответствен-
но частям предмета, либо соответственно градуальной
интенсивности4), из каковой троякой делимости5) полу-
чается двоякая униформность и дифформность, как пока-
зано было в первой главе, постольку униформность и дпф-
формность любой части, которая может получиться от
этого, сводится к двум вышеуказанным родам, а именно
к униформности соответственно частям предмета и к уни-
формности соответственно времени. То же относится и
к дифформности.
О той, которая была названа дифформностью соответ-
ственно частям движущегося предмета, я скажу сначала6).
Глава б
[О дифформности скорости соответственно
квантитативным частям]
Об униформности предмета (uniformitas subiectiva)
и дифформности скоростей применительно к пх конфигу-
рации и разнообразию фигур нужно сказать то же, что
4) «...eius vero continue intensio vocatur velocitacio. Нес
quidem velocitacio seu augmentacio velocitatis potest fieri veloeius
aut tardius» 14580. У Борхерта, видимо, ошибочно: augmentacio
velocitacionis.
2) divisibilitas 7351 (B); diversitas («разница»), 14580.
3) У Борхерта неверно: corporis.
4) Исправляю по 7371 (В). В тексте 14580: extensionem.
®) divisibilitate (7351 В) лучше, чем divisione (14э80).
6) В рукописи 14580: secundum partes subiecti primo mobilis
dicam. Очевидно, следует: secundum partes subiecti mobilis primo
dicam.
68b
И.ОРЕМ
в первой части настоящего трактата было сказано об уни-
формности и дпфформности постоянных качеств (perma-
nencium qualitatum). Ведь дифформность скорости может
быть воображаема таким же образом, в таких же соотно-
шениях и конфигурациях, и может видоизменяться столь-
кими же способами, сколькими способами, как раньше
было показано, может варьировать дифформность ка-
честв. А именно, она может
кончаться на градусе и не-гра-
дусе, быть дифформностыо
простой или сложной, причем
сложная может иметь мно-
р-х. гообразные различия. То же
t;----------£---£——можно сказать и о всех других
отличиях, указанных выше.
Рис. 28. Например, пусть аЪ —
движущаяся линия; возмож-
но, что любая из ее точек а, с, d, b по сравнению с другой
движется с равной скоростью, т. е. все одинаково быстро, и
притом либо пространственно, либо качественно. Тогда
скорость будет униформной в отношении частей предмета.
Возможно, что скорость точки а окажется вдвое больше,
чем скорость точки с, разделяющей ab пополам, а скорость
с — вдвое больше, чем скорость точки d, делящей остав-
шуюся половину пополам, и в той же пропорции будет
скорость других точек. Поскольку в последней точке b
нет никакой скорости, постольку в этом случае скорость
окажется унпформно-дифформной, кончающейся на не-
градусе в точке Ъ. И ее можно воображать в виде треуголь-
ника, имеющего основанием линию ab и по высоте про-
порционального этой скорости по интенсивности. Оче-
видно также, что существует другая униформно-диф-
формная скорость, кончающаяся на обоих концах на
градусе, и еще другая, дифформно-дифформная любо-
го вида.
Приведенный пример относится к скорости линейной,
которую следует воображать в виде плоской фигуры, сход-
но с линейным качеством. И точно таким же образом можно
говорить в данном случае о плоскостной и телесной ско-
рости, как в первой части настоящего трактата говорилось
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
689
о конфигурации качества. Ведь все понятия (notificacio-
nes) и обозначения (descriptiones) качественной унпформ-
ности и дифформности, указанные в первой части в главах
11-й, 12-й и 13-й, применимы к униформности и дифформ-
ности скорости, если ими воспользоваться. И они могут быть
легко к ним приложены.
Глава 7
[О некоем различии между пространственным движением
и качественным изменением]
Хотя все виды дифформности могут обретаться в дви-
жении качественного изменения, а также в пространствен-
ном движении, тем не менее прямая линия может испыты-
вать качественное изменение определенной дифформности,
оставаясь прямой, и аналогично кривая, оставаясь кри-
вою линией. Однако прямая не может двигаться простран-
ственно со скоростью, обладающей дпфформной дифформ-
ностью, и при этом оставаться прямою, за исключением
случаев, когда такая дифформность слагается из двух унп-
формно-дифформных движений. Таковым, например,
является движение диаметра круга, взятого в целом (motus
tocius dyametri circuli) [32]. Но этот случай сюда не от-
носится. Следовательно, прямая линпя не может двигаться
дифформно-дифформно иначе, как в отношении частей
предмета. В самом деле: если все точки этой прямой ab
движутся с одинаковой скоростью, движение униформно,
если же с неодинаковой, то такая неодинаковость должна
быть либо непрерывной — и тогда это движение униформ-
но-дифформно (таково движение радиуса круга, обращаю-
щегося вокруг неподвижного центра),— либо не непрерыв-
ной (такой, которая называется дифформпо-дифформной).
Последнее может иметь место лишь прп условии, что линия
перегибается или переламывается в пределах целого,
как это можно легко вывести из описанной дпфформности
приведенной в 21-й главе первой части.
Кривая же линия или ломаная может двигаться соответ-
ственно вариациям дифформности, находящим свое выра-
жение в разнообразии дпфформной дифформности; она
44 Истор.-матем. исслед., вып. XI
6у0
Н. ОРЕМ
может также двигаться с униформной скоростью, но не
может двигаться со скоростью униформно-дифформной.
Возьмем, например, линию [abed], Если a, b, с, d диф-
формны, то невозможно, чтобы abed двигалась с униформно-
дифформной скоростью, как это можно было бы с доста-
точной ясностью показать на основании сказанного. Ведь
Рис. 29.
всякая линия прямая, кривая, или как угодно дифформ-
ная, будучи изображаема (figurata) на униформно-движу-
щемся теле, движется с униформной скоростью. Что ка-
сается всякой прямой линии, мысленно обозначаемой
(signata) на круговращающемся теле, например, на небе,
она движется с униформно-дифформной скоростью, как бы
ее ни обозначать, или во всяком случае со скоростью, сла-
гающейся из двух униформно-дифформных. Всякая кру-
говая линия, обозначаемая на небе концентрично оси его
движения (т. е. такая, чей центр находится на оси движе-
ния) движется с униформной скоростью. Однако всякая
другая линия, обозначаемая на небе, будь то круговая, ло-
маная пли любая искривленная, движется с дифформно-
дифформной скоростью. Показанное на примерах линии
применимо аналогично и к поверхности, имеющей соот-
ветственную фигуру. И всюду в настоящей главе, говоря
об унпформности и дифформности, я подразумевал уни-
формность и дифформность соответственно квантитатив-
ным частям предмета.
Глава 8
[О дифформности скоростп в отношении времени]
Всякая скорость имеет длительность во времени (omnis
velocitas tempore durat). Следовательно, время или дли-
тельность будет долготою этой скорости, а ее интенсив-
ность — ее широтою. И хотя время и линия друг с дру-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
691
гом несравнимы по величине, тем не менее между одним
временем и другим нельзя обрести никакого отношения,
которое не было бы находимо в линиях, и наоборот. И пер-
вично оно обретается в линиях, согласно Аристотелю
в 6-й книге «Физики» [33].
Сходно обстоит дело с интенсивностью скорости, а
именно: любое отношение, обретаемое между одною интен-
сивностью скорости и другой, обретается аналогично меж-
ду линией и линией. Это справедливо и относительно про-
чих интенсивностей скорости: всякое отношение, обретае-
мое между интенсивностями скорости, обретается сход-
ным образом между линией и линией, как было сказано
в гл. 2 первой частп.
Следовательно, к постижению дифформностей скоро-
стей мы можем прийти посредством воображения линий,
равно как и фигур. Начертим, к примеру сказать, прямую
линию ab, и пусть движется подвижное d в течение вре-
мени е/ каким-либо образом, криволинейным или прямо-
линейным движением (т. е. в высоту), и пусть оно нахо-
дится на линии ab или какой-нибудь другой. Восставим
по всей линии ab перпендикуляры в плоскости, каковая
плоскость или площадь (ligura) по своей высоте пропор-
циональна скорости d по интенсивности. Я утверждаю
тогда, что этой плоскости или площади может быть уподо-
блена скорость движущегося d и удобно воображаема
посредством нее так, что линия ab, являющаяся длиною
этой фигуры, обозначает долготу вариации этой скорости,
а высота той же фигуры будет обозначать интенсивность
в другом измерении (extensione) той же скорости.
Например, если во все мгновения времени е/ скорость
одинаково интенсивна, то тогда в любой точке линии ab
высота повсюду будет одинакова, а фигура униформно-
высока, т. е. окажется прямоугольным четырехугольни-
ком, обозначающим эту абсолютно-униформную скорость.
Если же в первое мгновение этого времени будет приобре-
тена скорость, а в среднее мгновение всего времени ско-
рость окажется вдвое меньшей, в среднее же мгновение
второй половины вчетверо меньшей п так в той же про-
порции будет с остальными мгновениями, а следовательно,
в последнее мгновение скорость станет нулевой, то тогда
44*
692
Н. ОРЕМ
на линии ab окажутся линии высоты, образующие выше-
указанную пропорцию, и получится фигура прямоуголь-
ного треугольника, обозначающего эту скорость, каковая
скорость униформно-дифформпая, кончающаяся на не-гра-
дусе в последнее свое мгновение.
Короче говоря, всякая униформность и всякая дифформ-
ность скоростей может быть обозначена и описана теми
же способами, которые были указаны в первой части
настоящего трактата для униформности и дифформностп
качеств, в трех главах — 11-й, 12-й и 13-й. Равным обра-
зом, дифформная дифформность скорости в отношении
времени имеет столько же родов и видов и столько же кон-
фигураций, и такие же, как упомянутые в первой части
настоящего трактата, в главах 14-й, 15-й и 16-й, в связи
с дпфформной дифформностью. Итак, существует четыре
простых и шесть сложных видов дпфформной дифформ-
ности скорости в отношении времени, к познанию како-
вых легко прийти путем воображения фпгур, и до сих
пор не существует другого пути, пусть он и несравнимо
труднее, чем путь к первым [т. е. к видам дифформпо-диф-
формной скорости в отношении частей предмета].
Глава 9
[О сравнении обоих видов дифформности]
Относительно униформности в этом смысле трудность
невелика. Однако, как было сказано в гл. 1 настоящей
части, существует двоякая дифформность скорости1)—
относительно предмета (subiectiva) и относительно вре-
мени (temporalis) [341. С интересующей нас в настоящей
книге точки зрения они различаются тем, что скорость
точечная (punctualis) должна быть вообразима в виде ли-
нии, линейная скорость относительно предмета — в виде
поверхности или плоской фигуры, скорость плоскостная
в виде тела, равно и телесная скорость в виде некоего тела,
как было сказано о конфигурации качества в гл. 18 пер-
вой части. Но если точечная мгновенная скорость (punctua-
) В тексте 14580: velocitatis difficultas (вместо difformitas).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
693
lis instantanea) воображается в виде прямой линии,
то скорость точечная временная (temporalis) воображается
в виде плоскости, временная линейная скорость — в виде
тела, равно как плоскостная и телесная воображаются
в виде тела, ибо четвертого измерения существовать
не может, как явствует из гл. 4 первой части.
II отсюда явствует, что у движущейся линии дифформ-
пость предметная (subiectiva) обозначается посредством
плоскостной фигуры, которая соответствует единице
времени, а дифформность скорости движущейся точки обо-
значается посредством плоскостной фигуры. И поскольку
к познанию указанных выше телесных форм мы можем
прийтп через познание плоских фигур, постольку из срав-
нения предметной дифформности скорости движущейся
линии с временной дифформностью скорости движущейся
точки можно получить соотношение других видов диф-
формности.
Пусть, стало быть, мы имеем для примера линию ab,
движущуюся каким-лпбо образом в пространстве илп из-
меняющуюся качественно. Обозначим на ней точку d,
которая также движется. Тогда может случиться, что
предметная дифформность скорости линии ab будет подоб-
ной и пропорциональной и имеющей ту же конфигурацию,
что и временная дифформность скорости точки d. А может
случиться, что эти дифформности будут иметь разную кон-
фигурацию, такую или иную. Тогда, очевидно, можно
сказать о точке а и о любой точке, обозначенной на
линии аЪ, или же вне ее, что иногда предметная дифформ-
ность ее движения и временная дифформность подобны
ДРУГ другу, а иногда не подобны, иногда имеют созвучное
несходство, а иногда несходство несозвучное, соответ-
ственно воображаемым фигурам, описанным в гл. 21 пер-
вой части. И это является общим для всех движений.
Кроме того,, в высоте обнаруживается третья дифформ-
ность, а именно самого качества, так что там в общем итоге
имеется тройная конфигурация: одна — качества и две —
качественного изменения илп его скорости. И между всеми
нимп может существовать разнообразное сходство и нес-
ходство, соответственно разнообразным видам ранее ука-
занных конфигураций.
694
Н. ОРЕМ
[Глава 10. О причинах некоторых действии в соответствии
с рапсе сказанным; гл. 11. О красоте конфигураций скоростей;
гл. 12. О конфигурации скоростей неба.]
Г л а в а 13
[О дпфформности некоторых последовательных вещей]
Из вещей одни являются переменными (successive),
так что не могут каким-либо образом пребывать. Таковы
время и движение. Другие являются постоянными (рег-
maneiites), так, что хотя они обладают бытием или про-
должительностью во времени, делимого и последователь-
ного, однако их сущность в течение всего этого времени
пребывает тою же и не может быть переменной пначе, чем
бывают неделимые и неизменные субстанции [®5]. Первая
из таковых, бог, не обладает природой переменности и не
порождает в самой себе бытия, обладающего какой-либо
переменностью, но пребывает неделимо и неопределимо
сама в себе в своей неделимой и неизменной х) вечности,
каковая и есть не что ипое, как сам бог.
Другие же вещи имеют природу постоянную, каковая
может быть, однако, последовательной в своем целом (to-
taliter successiva). Таковы некоторые акциденции, а имен-
но отношение, подобие, кривизна, разреженность и вооб-
ще всякое качество, способное интенсифицироваться и ос-
лабевать [30]. Ведь как при интенсификации кривизны или
разреженности получается непрерывно все иная и иная
кривизна или разреженность, а в течение всего этого
времени существует одна последовательно меняющаяся
(successiva) кривизна пли разреженность, так соответ-
ственно и прп возрастании отношения или несходства.
То же самое я представляю себе в случае интенсификации
какого-либо качества, способного интенсифицироваться
и ослабевать, например, теплоты, белизны и т. д. Анало-
гично в случае ослабления того же качества. И там нет
реального множества пли наложения градусов друг на
друга (superposicio graduum), как воображают некото-
*) iuterminabili 14580; immutabili 7371 (В).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
695
рые [371. Стало быть, такое качество1) в течение всего вре-
мени, пока происходит качественное изменение, есть каче-
ство последовательное (qualitas successive) и в любой своей
части есть иное и иное. Но такое качество, поскольку
оно существует в предмете, есть вещь пребывающая,—
в смысле этого качества предмет вовсе не изменяется. Та-
ким же образом, следовательно, существует отношение
пребывающее п отношение последовательное, и несход-
ство, одно — пребывающее, а другое последовательное.
То же справедливо о других отношениях. Равным обра-
зом существует кривизна пребывающая и кривизна после-
довательная. Так же обстоит с разреженностью, а равным
образом с теплотою и белизною, из каковых одни пре-
бывающие, а другие последовательные. И так же — со
всеми качествами, способными интенсифицироваться и
ослабевать, равно как и с акциденциями, способными ин-
тенсифицироваться и ослабевать, например, с остротою
угла.
Третьи вещи это такие, сущность которых пребываю-
щая и вместе с тем может быть последовательной в отно-
шении части, но не в отношении целого. Такова, напри-
мер, субстанциальная форма, приобретаемая последова-
тельно по квантитативным частям предмета, но не в смыс-
ле интенсификации. И так же, я полагаю, обстоит с любой
материальной субстанциальной формой. Равным образом
и с плоским или телесным углом. Ведь в процессе приобре-
тения или утраты такой формы последняя непрерывно бы-
вает иной и иной в отношении частей, но не целого (se-
cundum totum), и в течение всего этого времени в целом
она есть вещь последовательная в отношении частей (рат-
tialiter successive). А при отсутствии такого движения
она есть вещь постоянная. Итак, стало быть, во всех по-
добных вещах, последовательных либо в отношении цело-
го, либо в отношении частей, вещь, обладающая такою
последовательностью, что в одну часть времени она по срав-
нению с другою более интенсивна, чем в иную часть вре-
мени, обладает большей или меньшей униформностью или
дифформностью, и в соответствии с этим, согласно ранее
l) qualitas 14580; caliditas (теплота) 7371 (В).
696
Н. ОРЕМ
установленным принципам изображения, она получает раз-
личную конфигурацию, наподобие дифформности скоро-
сти соответственно частям времени, о которой было уже
сказано. Отсюда следует, что в вещи, обладающей такого
рода последовательностью, время есть долгота, и интен-
сивность (или величина ее) есть ее широта. Это можно
пояснить на примере теплоты, кривизны, формы огня
и т. д.
Следует, однако, заметить, что вещь последовательная
в целом (totaliter successive), каковы отношение, кривизна
или белизна, не может быть униформной, хотя скорость
интенсификации ее и мОжет быть униформной. Зато воз-
можно, что вещь последовательная в отношении частей
может быть униформной, если, например, нечто количе-
ственно возрастает в одной части и ровно на столько же
убывает в другой части. Если же такая вещь не убывает
в другой части (или убывает не ровно на столько же),
тогда она будет дифформной.
[Глава 14. Каким образом некоторые причины действуют
согласно сказанному; гл. 15. О природе и дифформности звуков;
гл. 16. О красоте и темперации звука абсолютно единого; гл. 17.
О красоте звука, который называется единым во втором значении;
гл. 18. Разъяснение сказанного посредством примеров и действий;
гл. 19. О красоте звука, который называется единым в третьем зна-
чении; гл. 20. О красоте звука, который называется единым в чет-
вертом значении; гл. 21. Повторение изложенного; гл. 22. О других
обстоятельствах, способствующих красоте звука; гл. 23. О причи-
нах, которым должны быть приписаны, в соответствии со сказан-
ным, многие действия; гл. 24. Удостоверение в том, что музыка
будет существовать в будущем веке; гл. 25. О приложении дифформ-
ности звуков к магическому искусству; гл. 26. О фундаменте маги-
ческого искусства и первом его корне; гл. 27. О доказательстве
ранее сказанного из различия возрастов и комплекций; гл. 28. То же
доказывается из различия возрастов человека; гл. 29. Аргументи-
руется еще в пользу того же из отчуждения и самозамыкания души;
гл. 30. Аргументируется в пользу того же из получающихся и благо-
приятствующих фигур; гл. 31. О втором корне магического искус-
ства; гл. 32. О некоторых особенностях корня этого искусства;
гл. 33. О третьем корне магического искусства; гл. 34. О видах
обмана души посредством магического искусства и т. д.; гл. 35. Уточ-
нение некоторых положений, приведенных ранее; гл. 36. О диф-
формностп действий души; гл. 37. О причинах некоторых действий
в нашем собственном теле; гл. 38. О причинах некоторых действий
в чужом теле; гл. 39. О дифформности страданий; гл. 40. О дифформ-
цости удовольствий.]
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИ КАЧЕСТВ
697
ЧАСТЬ III
[О ПРИОБРЕТЕНИИ И МЕРЕ КАЧЕСТВА II СКОРОСТИ]
Глава I
[Какпм образом следует представлять себе
приобретение качества]
Из гл. 4 части второй явствует, что последователь-
ность в приобретении качества бывает двоякая: соответ-
ственно экстенсивности и соответственно интенсивности.
Итак, экстенсивное прпобретенпе линейного качества
должно быть воображаемо в виде движения точки, теку-
щей по самой липни предмета так, что пройденная часть
оказывается наделенной качеством, а часть еще не прой-
денная — не наделенной; например, если точка с станет
двигаться по линии ab, и все, что пройдено, будет белым,
а все, что не пройдено, еще остается черпым. Что касается
экстенсивного приобретения плоскостного качества, оно
должно быть представляемо в виде движения линии, отде-
ляющей плоскость, претерпевшую изменение, от другой
части, еще не изменившейся. Экстенсивное приобретение
телесного качества должно быть представляемо в виде
движения плоскости, отделяющей часть, претерпевшую
изменение, от части еще не изменившейся.
Интенсивное приобретение точечного качества должно
быть воображаемо в виде движения1) точки, непрерывно
располагающейся над точкой предмета, а интенсивное при-
обретение линейного качества должно быть представляе-
мо в виде линии, поднимающейся перпендикулярно на
линии предмета и в своем течении или подъеме оставляю-
щей след в впде плоскости, посредством которой обозна-
чается приобретенное качество. Напрпмер, пусть ab —
линия предмета. Я утверждаю, стало быть, что интенсифи-
кация (intensio) точки а воображается в виде движения
или соответственного подъема точки с, а интенсификация
лпнпи (или приобретение ею интенсивности) — в виде
подъема линии cd. Приобретение интенсивности плоскост-
1) В рукописи 145Я0: per modum (вместо per motum).
698
Н. ОРЕМ
ным качеством соответственно должно быть воображаемо
в виде подъема плоскости, которая при своем воображае-
мом движении оставляет след в виде тела, посредством
которого и обозначается это качество. Аналогично1) при-
обретение интенсивности телесным качеством воображает-
ся в виде движения плоскости качества, ибо плоскость
при своем воображаемом движении оставляет след в виде
тела, и невозможно быть четвертому измерению, как
явствует пз 4-й главы первой части.
И так, как сейчас было сказано о приобретении каче-
ства, так соответственно следует говорить и воображать
об утрате его, безразлично, утрачивается ли экстенсив-
ность или интенсивность. Ведь такая утрата воображается
посредством указанных движений теми способами, какие
были изложены. И так же, как теперь было сказано о при-
обретении качества, так соответственно следует говорить
и воображать о приобретении или утрате скорости, как
в отношении интенсивности, так и экстенсивности.
Глава 2
[Приложение сказанного к униформности
и дифформностп]
Как сказано в гл. 10 первой части, верхняя линия
фигуры, посредством которой воображается линейное
качество, называется в указанном случае линией верхнего
края (linea summitatis). Аналогично верхняя поверхность
всей той телесной фигуры, посредством которой вообра-
жается плоскостное качество, а также телесное, называется
поверхностью верхнего края (superficies summitatis).
Теперь, как сказано было в главах 13 и 17 первой части,
всякий раз, когда этот верхний край, будь он линпя или
поверхность, параллелен основанию, качество униформно;
всякий же раз, когда этот верхний край прямой и не
параллелен основанию или не обладает эквивалентностью,
качество униформно-дифформно; наконец, всякий раз,
когда он имеет отличные от сказанного свойства, качество
В тексте 14580; simpliciter (вместо similiter)
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
699
(или интенсивность) оказывается дифформно-дифформ-
ным.
К этому представлению нужно присоединить движение
верхнего края, посредством которого обозначается при-
обретение, как явствует из предшествующей главы. И
каждый легко может уяснить себе, каким образом из ска-
занного можно с очевидностью вывести многое; из всего
этого я приведу кое-что, не ради полноты, но ради упраж-
нения1).
Ведь согласно словоупотреблению нынешних ученых
(moderni), если линия преобразуется из прямой в кривую
и наоборот, может быть дано первое мгновение, в которое
она является прямой, равно как и последнее; однако не
может быть дано первое или последнее мгновение, когда
она бывает кривой или ломаной [зе1. Зато следует:
«теперь она кривая, следовательно, и еще будет кривой»,
а также следует: «значит, и раньше она была кривой».
И линия может быть прямой только мгновение, но она
не может быть кривой или ломаной в точности мгновение
(precise per installs). То же справедливо о поверхности.
И так как прямизна лпнии или поверхности верхнего
края обозначает, что качество абсолютно униформно или
униформно-дифформно, а кривизна в какой-нибудь точке
того же верхнего края означает, что качество2) дифформно-
дифформно, как только что было сказано, то отсюда сле-
дует, что могут быть даны первое и последнее мгновение,
в которые качество униформно или унпформно-дифформно,
но не могут быть даны первое или последнее мгновение,
в которые оно дифформно-дифформно. Из этого также
следует, что если оно дифформно-дифформно, то и еще
будет таковым, и раньше было дифформно-дифформным,
и что предмет может быть униформно-дифформным толь-
ко мгновение, равно как и униформным только мгновение.
Иначе говоря, качество может быть униформным или
униформнощифформным в течение одного только мгно-
вения. И так же можно рассуждать о прочем, что легко
сделать на основании вышесказанного.
х) В рукописи 14580 текст искажен: ex vitam (вместо exercicii?).
2) В тексте 14580 ошибочно: curvitatem (вместо qualitatein).
700
И. ОРЕМ
Глава 3
[О некоторых коротларпях к сказанному]
Как только что было сказано о прямизне линии пли
поверхности, так можно говорить и вообще о параллель-
ности какой-нибудь линии или поверхности к другой;
ибо могут быть первое и последнее мгновения, когда какая-
нибудь линия параллельна другой, и она может быть па-
раллельной к другой только мгновение. И как было ска-
зано о кривизне линии, так в этом смысле нужно гово-
рить и о всех непараллельных линиях. И поскольку парал-
лельность обозначает унпформность, а непараллсльность-
дифформпость, то из предшествующей главы явствует,
как и прежде, что может быть дано первое, равным обра-
зом и последнее мгновение, в которое качество униформно
(илп иначе, когда оно не дпфформно). Аналогично
и об остальном ранее сказанном.
Далее, любое качество может быть унцформно-дифформ-
ным только мгновение, однако оно пе может быть [ди-
формно ]-дифформным только мгновение. Далее, хотя и
может быть дано первое мгновение, когда оно униформпо-
дифформно, равно как и последнее, тем не менее, может
случиться, что его не дано.
Однако это не может случиться, если даны первое и
последнее мгновение, когда оно униформно. Ведь еслп
совершается переход от дифформно-дифформного качества
к униформно-дифформному, тогда может быть дано первое
мгновение, в котором оно униформно-дифформно; и если
будет наоборот, то может быть дано последнее мгновение,
когда оно униформно-дифформно. Если же от абсолютно-
униформного совершается переход к унпформно-дифформ-
ному, тогда не может быть дано первого мгновения, когда
качество униформно-дифформно, но лишь последнее мгно-
вение, когда оно пе унпформно-дпфформно.
Точно так же не может быть дано последнее мгнове-
ние, когда оно является таковым (ultimum in quo sic),
но лишь первое, когда оно не является таковым (primum
in quo non). Вот что вкратце становится явным из рас-
смотрения прямпзны и параллельности линий.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЁСТЙ
701
Далее, возможно, что на протяжении всего времени ка-
чественного изменения качество дифформно-униформно1),
а в мгновение, завершающее это изменение, оно униформ-
но. Далее, возможно, что предмет вовсе не имеет того ка-
чества, в отношении которого он должен изменяться,
а непосредственно вслед за тем он униформно-дпфформен
в отношении него. Это явствует пз примера. Пусть линия
се, которая находится на другой линии cd, являющейся
линией верхнего края, располагается над лпнпей пред-
мета аЪ и начинает быстрее подниматься на одном
конце, нежели на другом. Отсюда вытекает возможность,
что весь предмет сразу [во всех своих частях] начнет из-
меняться в отношении какого-либо качества, но ни в од-
ном градусе этого качества он не начнет изменяться весь
сразу, а в каждом градусе постепенно (pars post partem).
Например, в отношении белизны он [в отношении свопх
частей] изменяется пе постепенно, но в любом градусе
белизны изменяется постепенно. Тогда он весь сразу [во
всех своих частях] начинает быть белым, но ни в одном
градусе не начинает сразу быть белым, а в каждом из
них последовательно. Все это, сказанное о качестве, может
быть сказано о скорости и соответственно применено к ней.
Глава 4
Добавление еще некоторых других короллариев
В свою очередь непараллельность двух прямых линий
илп поверхностей может сколь угодно возрастать и рав-
ным образом сколь угодно убывать, а именно вплоть до
перпендикулярности. Например, если линия cd непарал-
лельна линии аЪ, то при опускании точкп с в сторону
линии ab эта непараллельность сколь угодно убывает
98 вплоть до параллельности. И при поднимании точки с
или подъеме линии cd'2), непараллельность сколь угодно
возрастает до тех пор, пока линия cd не встанет отвесно,
г) В рукописи 14580: sit difformiter vel uniformiter.
2) В тексте 14580: abed.
702
Н. ОРЕМ
ибо тогда она наиболее отклоняется от параллельности.
Аналогично можно сказать о непараллельностп плоско-
стей. А так как уменьшение дифформности обозначается
посредством уменьшения непараллельностп, убывая и
возрастая соответственно, то отсюда следует, что униформ-
ная дифформность может сколь угодно убывать вплоть
до абсолютной униформности и сколь угодно возрастать,
отступая от этой абсолютной униформности. Отсюда же
в свою очередь следует, что
& при постепенном качествен-
— ном изменении, при кото-
ром ничто не приобретает-
ся мгновенно (subito),
возможно мгновенное из-
д „ менение в какой-нибудь
точке, линии или плоскости
рис 3Q до какой-либо суммарной
широты или интенсивности
(ad aliquam latitudinem vel
intensionem totalem). Например, пусть половина пред-
мета ab — теплая в высшем градусе, а другая половина —
униформно-дифформная, кончающаяся па высшем граду-
99 се в точке с и на не-градусе в точке Ъ так, что диагональная
линия cb является линией верхнего края фигуры, обозна-
чающей унпформно-дифформное качество. Вообразим
теперь, что линия сЪ движется до тех пор, пока не займет
положения перпендикулярно к ab, однако таким обра-
зом, чтобы точка Ъ все время оставалась неподвижной.
Тогда ясно, что поскольку линия cb непрерывно подни-
мается или все более приближается к отвесному положе-
нию, в конце концов получается теплота высшего гра-
дуса и остаток будет непрерывно становиться все более
униформно-дифформным, причем качественное изменение
происходит все время последовательно; тем не менее
в последнее мгновение, которое завершает качественное
изменение, весь предмет имеет теплоту высшего градуса.
Аналогично точка Ъ имеет тогда теплоту высшего градуса,
каковая точка непосредственно до того (immediate ante)
была холодной в высшем градусе, т. е. не имела никакой
теплоты.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 703
Точно таким же образом может обстоять дело с линией
или плоскостью в качественно-изменяющемся теле, при
условии, что последняя поверхность качественного изме-
нения или приобретения качества становится мгновенно
светлой, и допущении, что такое тело не освещает среду
в этой части до тех пор, пока эта последняя поверхность
не станет светлой. Отсюда следует, что свет тела в целом
может порождаться сразу
(simul) и мгновенно (su- --------------ч
bito) в какой-либо среде, х.
хотя физически это и не- 'ч
возможно. х.
Далее, хотя первый х.
случай качественного изме-_____________________х^
нения предмета аЪ не ка- ° е
жется невозможным физи- Рис. 31.
чески, тем не менее не-
возможно чему-либо превращаться мгновенно, становясь
пз теплого в высшем градусе холодным в высшем градусе и
т.д. Отсюда может быть почерпнут аргумент в пользу того,
что неделимая точка не есть что-либо реальное, ни линия,
ни поверхность, хотя воображение их пригодно для луч-
шего постижения меры вещей, как о том было упомянуто
в 1-й главе первой части. Можно было бы привести многое
другое, придерживаясь указанного способа представле-
ния (ymaginacio), но все это говорится не в физическом
смысле и для некоторых кажется либо слишком трудным,
либо невозможным. Здесь же для краткости достаточно
приведенных примеров.
Глава 5
[О мере униформных качеств и скоростей]
Вообще говоря, мера или отношение двух любых ли-
нейных или поверхностных качеств, так же как и скоро-
стей, соответствует мере и отношению фигур, посредством
которых они в воображении сравниваются друг с другом.
Я говорю «сравниваются друг с другом», считаясь с заме-
чанием, сделанным в гл. 7 первой части.
704
К. ОРЕМ
Итак, для того чтобы найти меру качества пли скоро-
сти и определить их отношения, нужно довериться геомет-
рии и вернуться к геометрпи. Я не буду вдаваться в этот
вопрос подробнее, а ограничусь тем, что заложу основу
для приложения измерения фигур к определению меры
качества и скоростей, пользуясь отдельными примерами
п задачами.
Итак, во-первых, я утверждаю, что отношение любых
униформных качеств, имеющих равные градусы, равно от-
ношению между предметами [являющимися носителями
этих качеств]. Так, отношение между любыми четырехуголь-
никами, имеющими одинаковую высоту, равно отноше-
нию между их длинами. Аналогично отношение между
любыми униформными качествами равных предметов
равно отношению между их интенсивностями. Например,
если предметы равны и одно качество вдвое интенсивнее,
чем другое, то более интенсивное качество относится
к другому как 2:1. Однако отношение между интенсив-
ностями не столь близко и не столь легко постигается
путем наглядного представления (per sensum), как отно-
шение между экстенсивностями.
Из сказанного следует, что посредством одного лишь
уплотнения качество интенсифицируется, если только не
ослабевает еще по какой-нибудь другой причине, и посред-
ством одного лишь разрежения оно ослабевает, если только
не возрастает еще по какой-нибудь другой причине. А
из этого в свою очередь следует, что если в одном и том
же предмете находятся вместе обе противоположности
и предмет этот уплотняется, то обе противоположности
интенсифицируются одновременно. Это кажется соглас-
ным с опытом, ибо теплый предмет, уплотнившись и сде-
лавшись более компактным, сильнее нагревает менее теп-
лое и сильнее охлаждает менее холодное, чем он делал это
до своего уплотнения. Ведь та и другая противополож-
ность ощущается в плотном сильнее, нежели она ощуща-
лась в разреженном. И это представляется вполне оправ-
данным, ибо в одном лишь уплотнении еще не заключается
истинная причина нагревания,— ведь теплота от него
не прибывает; причина заключается в том, что в соответ-
ствии с интенсификацией происходит пропорциональное
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
705
уменьшение экстенсивности. Хотя и невозможно, чтобы
одна из противоположностей испытывала подлинное при-
ращение качества от своего уменьшения, тем не менее
вполне возможно, что оно доподлинно интенсифицируется
без возрастания или убывания той и другой противопо-
ложности в своем существе, как это и имеет место при
уплотнении.
Глава 6
[Еще о том же]
Вновь возвращаясь к тому же, я утверждаю, что в слу-
чае любых униформных качеств, неодинаковых по экстен-
сивности и по интенсивности, если более экстенс вное
вместе с тем более интенсивно, отношение большего к мень-
шему равно сложному отношению, образуемому из отно-
шения такой экстенсивности (или более экстенсивного)
к другой экстенсивности, и отношения одной интенсив-
ности (или более интенсивного) к другой интенсивности.
А если экстенсивность меньшей из интенсивностей боль-
ше, то тогда отношение одной экстенсивности к экстен-
сивности [другого] предмета должно быть отнято от от-
ношения одной интенсивности к другой, или наоборот;
тогда останется отношение одного качества к другому,
и то качество окажется больше, которое было в более интен-
сивном или в более экстенсивном, имевшем большее отно-
шение.
Например, пусть а — качество втрое более экстенсив-
ное, нежели качество Ь, и вместе с тем вдвое более интен-
сивное. Следовательно, нужно сложить отношение 2 : 1
с отношением 3 : 1 и получится сложное отношение 6:1.
В таком отношении качество а превосходит качество Ъ.
Предположим теперь, что качество а вдвое экстенсивнее
качества Ъ, а b втрое интенсивнее качества а. Тогда нуж-
но отнять отношение 2 : 1 от отношения 3 : 1 и останется
отношение 3 : 2, ибо b имело большее отношение, т. е.
3:1. Таким образом, качество Ъ больше в отношении 3 : 2.
А как одно отношение складывают с другим или вычи-
тают из другого, этому я научил в трактате, который
озаглавил «Algorismus proportionum» [зв].
45 Истор.-матем. исслед., вып. XI
706
Н. ОРЕМ
При указанном измерении всегда следует принимать
во внимание всю экстенсивность качества, будь оно линей-
ное, плоскостное пли телесное. И так же, как говорилось
о мере линейного качества, так следует говорить о мере
скорости, с тою лишь разницей, что вместо экстенсивности
берут время продолжительности (tempus duracionis) этой
скорости и пользуются градуальной интенсивностью. То же
о прочих последовательных вещах.
Например, униформная скорость, продолжающаяся
три дня, равна скорости втрое более интенсивной, которая
продолжается1) один день. И так рассуждают о муке
и наслаждении, равным образом о свете, если мыслят его
как последовательное бытие. Вот почему в книге Исайи
[30, 26] говорится: «Свет луны будет как свет солнца, и свет
солнца будет в семь раз сильнее», т. е. будет как лун-
ный свет семи дней, ибо свет одного дня, в семь раз более
интенсивный, равен свету, который продолжается семь
дней.
Глава 7
[О мере дпфформных качеств и скоростей]
Всякое качество, если оно униформно-дифформно,
по своей величине таково, каким было бы униформное ка-
чество того же или равного ему предмета, соответствующее
градусу средней точки того же предмета. При этом я имею
в виду случай, когда качество линейное. А если оно было
бы плоскостным, то качество соответствовало бы градусу
средней линии, если телесным,— градусу средней поверх-
ности, подразумевается всегда соответственно.
Сначала покажем это применительно к линейному
качеству. Пусть, стало быть, мы имеем качество, вообра-
жаемое в виде треугольника abc, униформно-дифформное,
юо кончающееся на не-градусе в точке Ь. И пусть d — сред-
няя точка линии предмета, градус или интенсивность како-
вой точки изображается посредством линии de. Следова-
тельно, качество, униформно распространенное по
J) durat 14580; datiir («дана») 7371(B).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
707
101
Рис. 32.
предмету ab с градусом de, может быть воображено в виде
четырехугольника afgb, как явствует из 10-й главы первой
части.
Из положения 16 первой книги Евклида [40] известно,
что два маленьких треугольника cfe и egb друг другу равны.
Стало быть, больший треу-
гольник Ьас, означающий
униформно-дифформное каче-
ство, и четырехугольник afgb,
означающий униформное ка-
чество, соответствующее гра-
дусу средней точки, равны
друг другу. Итак, качества,
вообразимые в виде такого
рода треугольника и четырех-
угольника, равны друг другу,
что и требовалось доказать.
Таким же образом можно
вести доказательство в отно-
шении униформно-дифформного качества, кончающегося
на обоих краях на определенном градусе, как, например,
в отношении качества, представимого в виде четырехуголь-
ника abed. В самом деле, проведем линию de параллельно
нижнему основанию и по-
лучится треугольник ced.
Затем проведем через гра-
дус средней точки линию
fg, равную и параллель-
ную нижнему основанию,
а также линию gd. Тогда,
по доказанному, треуголь-
ник ced и четырехуголь-
нике/^ равны друг другу,
следовательно, при общем
обоим четырехугольнике
aedb образуются два равных четырехугольника: один aedb,
означающий униформно-дифформное качество, и четырех-
угольник afgb, означающий униформное качество, соот-
ветствующее градусу средней точки предмета ab. Сле-
довательно, согласно 10-й главе первой части, качества,
45*
708
H. ОРЕМ
обозначаемые посредством такого рода четырехугольников,
равны друг другу.
Соответственно можно вести аргументацию в отноше-
нии плоскостного, а также телесного1).
О скорости следует сказать совершенно то же, что
о линейном качестве, с тою разницей, что вместо средней
точки берут среднее мгновение времени, измеряющего
скорость движения. Так, следовательно, становится ясным,
какому униформному качеству (или скорости) приравни-
вается униформно-дпфформное качество (или скорость).
Что же касается отношения между унпформно-дифформ-
ными качествами или скоростями, оно равно отношению
между темп абсолютпо-униформнымп качествами и ско-
ростями, к которым они приравниваются. О их мере и от-
ношении сказано было в предшествующей главе.
Если же скорость или качество окажутся дпфформно-
дпфформными, то тогда в случае, когда они слагаются из
униформных или из униформно-дифформных частей, оно
может быть измеряемо посредством этих своих частей,
о мере каковых было сказано. А если качество дифформно
иначе, например, будет обладать той дифформностью,
которая обозначается посредством кривой, тогда надле-
жит прибегнуть к измерению криволинейных фигур одной
посредством другой или посредством прямолинейных
фигур. И это есть предмет более высокого умозрения.
Глава 8
[О мере п протяжении некоторых дпфформностей
в бесконечность]
Конечная поверхность может становиться сколь угодно
длинной или высокой путем варьирования протяженности
без своего возрастания, ибо такая поверхность имеет
длину и ширину и для нее возможно возрастать сколь
угодно по одному из своих измерений без того, чтобы она
аналогично возрастала сама, однако лпшь при условии,
]) В тексте 14580 ошибочно: de qualitate superficial!, ас etiam
de corporali velocitate. Следует:... de corporali. De velocitate...
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
709
что по другому измерению она будет пропорционально
убывать. То же справедлпво и относительно прочего. На-
пример, в отношении поверхности: возьмем квадратную
102 поверхность величиною в [один] фут, основанием которой
является линия ab, и пусть мы имеем другую аналогичную
поверхность, равную первой, с таким же
основанием. Пусть cd — линия, которая
в воображении делится до бесконечности
на непрерывно пропорциональные части,— д
непрерывно в отношении 2 :1, и которая
совпадает с основанием cd, делимым таким
же образом. Пусть е — первая,/ — вторая, П
g — третья часть и т. д. Возьмем, стало
быть, первую из этих частей, т. е. е, кото- / ]
рая составляет половину всего целого,
и поместим ее на первую поверхность со ।
стороны края Ь. На это целое поставим вто- — |
рую часть, т. е. /, а затем на это целое j
поставим третью часть, т. е. g и далее до
бесконечности. Когда это будет сделано, е | ।
вообразим, что основание
ab делится на непрерывно
пропорциональные части
в отношении 2: 1, в напра-
влении к Ь. Тогда сразу
станет ясным, что на пер-
вой пропорциональной ча-
сти линии аЪ находится е - -
площадь высотою в 1 фут,
на второй части — высотою Рис. 34.
в 2 фута, на третьей части—
высотою в 3 фута, на четвертой—в 4 и т. д. до бесконечно-
сти. И так как суммарная площадь (totalis superiicies)
составляет 2 фута, т. е. остается той же, какою она была
дапа и раньше, и ничуть не возросла, то, следовательно,
вся площадь, которая находится на лпнпп аЪ, вчетверо
больше той площади, которая находится на первойпропор-
циональной части той же лпнпп ab. Стало быть, то каче-
ство или та скорость, которые по своей интенсивности
пропорциональны этбй фпгуре по высоте, будет ровно
710
Н. ОРЕМ
вчетверо больше той своей части, которая приходится на
первую часть времени или на первую часть предмета
соответственно его делению. Например, пусть первая про-
порциональная часть линии ab, получающаяся при делении
в отношении 2 : 1 и находящаяся у конца а, будет белой
или до известной степени теплой, вторая часть — вдвое
более белой, третья — втрое более белой, четвертая —
вчетверо и т д. до бесконечности, возрастая в порядке
натурального ряда чисел. Тогда из сказанного явствует,
что суммарная белизна (totalis albedo) линии ab ровно
в четыре раза больше белизны первой части. И так же
обстояло бы дело с белизной плоскостной и телесной, если
бы она имела соответственную интенсивность. Точно так
же, если бы что-либо движущееся двигалось в первую про-
порциональную часть какого-либо времени, разделенного
указанным образом, с определенной скоростью, а во вто-
рую двигалось бы вдвое быстрее, в третью — втрое быст-
рее, и так непрерывно до бесконечности, то суммарная
скорость (velocitas totalis) оказалась бы ровно в четыре
раза больше скорости первой части, так что движущееся
за весь час прошло бы вчетверо большее расстояние,
нежели то, которое оно прошло за первую часть этого часа.
И если в первую часть (т. е. пропорциональную часть)
оно прошло 1 фут, то за все остальное время оно пройдет
3 фута [411, а за все время 4 фута. Можно доказать это же
самое путем более тонкого и трудного доказательства,
однако, прпведенное более подходяще и достаточно для
настоящего трактата, а потому мы оставим это доказатель-
ство в стороне.
Глава 9
[О некоем примере]
Вообразим линию ab, мысленно разделенную (divisam
И03 signacione) до бесконечности на непрерывно пропорцио-
нальные части в отношении 4 : 1 так, что первая пропор-
циональная часть составляет 3/4 целого, вторая — Дос-
татка, и так непрерывно до бесконечности. Например,
если вся линия равна 64, то первая пропорциональная
часть при таком делении была бы равна 48-ми, вторая—
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
711
12-ти, третья — 3-м и четвертая — 3/4 остатка, т. е. еди-
ницы, и т. д. Допустив это, вообразим на 1-й из этих ча-
стей линии ab униформную площадь определенной высоты,
на 2-й части пусть находится площадь, вдвое более высокая,
на 3-й—вчетверо более высокая, на четвертой — в 8 раз
более высокая и т. д. до бесконечности, удваивая так,
чтобы высоты площадей пропорциональных частей непре-
рывно возрастали в отношении 2 : 1, а длины непрерывно
убывали бы1) соответственно делению предмета в отноше-
нии 4:1. Тогда вторая часть площади имеет длину, соот-
ветствующую х/4 длины первой, и высоту — вдвое боль-
шую, чем первая, а третья так же относится ко второй,
четвертая к третьей и т. д. Я утверждаю, стало быть, что
суммарная площадь илп фигура вдвое больше по всей
площади, чем ее первая часть, т. е. та часть, которая
находится па первой пропорциональной части линип ab.
Пусть площадь, находящаяся на первой части, равна 48.
Тогда площадь, находящаяся на второй части, еслп бы
она не была выше первой, равнялась бы 12-ти. Однако
она вдвое выше, чем первая, а следовательно, вторая пло-
щадь относится к первой, как 24 к 48. На том же основа-
1) В тексте 14580 лишние слова: «по высоте».
712
Н. ОРЕМ
нии 3-я равна 6, четвертая равна 3 и т. д., все в той же
пропорции 1 : 2. Отсюда может быть определено и отно-
шение этих площадей, согласно сказанному в гл. 6 настоя-
щей части. Итак, мы имеем, что 1-я часть вдвое больше
второй, 2-я вдвое больше 3-й, третья вдвое больше 4-й
и т. д. непрерывно. Следовательно, 1-я часть составляет
половину всей совокупности всех бесконечных частей
(tocius aggregate ex omnibus iniinitis), 2-я—половину
остатка и т. д.
Следовательно, вся совокупность (totum aggregatum)
по своей площади вдвое больше первой части, что и тре-
бовалось доказать. То качество, которое по своей интен-
сивности было бы подобно или пропорционально высоте
этой фигуры, было бы также ровно вдвое больше первой
своей части [43].
И так же рассуждают о скорости; например, если бы
двенадцатичасовой день был разделен так, что 1-я про-
порциональная его часть равнялась 4 часам, 2-я составляла
бы 3/4 остатка и т. д. Допустим затем, что какое-либо дви-
жущееся движется в 1-ю из этих частей с определенной
скоростью, во 2-ю — со скоростью вдвое большей, в 3-ю—
с вчетверо большей скоростью, в четвертую со скоростью
в 8 раз большею, в пятую с 16 раз большею скоростью
и т. д. с интенсивностью, возрастающей до бесконечности.
Я утверждаю, что если в 1-ю часть дня, разделенного ука-
занным образом, оно проходило бы 1 лье (leucam), то за
весь день в целом прошло бы ровно 2 лье, и тем не менее
стало бы двигаться бесконечно быстро.
Глава 10
[О некоем другом примере и о дифформности
сложного целого, состоящего пз униформных
п унцформно-дпфформных частей]
Пусть час ab делится до бесконечности путем мыслен-
ной разметки (per signacionem) пропорциональных частей
в отношении 2:1, как это делается обычно, так, чтобы
1-я пропорциональная часть составляла половину линии
цЬ, 2-я была половиной остатка и так до бесконечности.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
713
Пусть при этом качество 1-й части будет униформно в ка-
ком-либо градусе, качество 1-й части — унпформно-диф-
формно, начиная с этого градуса до вдвое большего, каче-
ство 3-й части — униформно в этом двойном градусе,
[качество 4-й части — униформно-дифформно, начиная
с этого двойного градуса] до вдвое большего, и такое чере-
дование соблюдается в других частях наподобие составной
фпгуры I42]. Я утверждаю, стало быть, что качество цело-
го будет стоять в трехсполовинном отношении (tripla ses-
quialtera) к качеству его 1-й части. Иными словами,
отношение целого к этой 1-й части будет равно 7 : 2.
И соответственно можно говорить о качестве плоскостном,
также о телесном.
Вывод становится очевидным так: возьмем части,
обозначенные нечетными числами, т. е. 3-ю, 5-ю, 7-ю
и т. д. Тогда из условий ясно, что 1-я часть вчетверо боль-
ше 3-й по экстенсивности, равным образом 3-я вчетверо
больше 5-й по экстенсивности, 5-я—7-й, 7-я—9-й и т. д.
В свою очередь из условий ясно, что по интенсивности,
наоборот, качество 3-й части вдвое больше качества 1-й,
качество 5-й равным образом вдвое больше качества 3-й
по своей интенсивности и т. д. Поскольку же, согласно
сказанному в гл. 6 настоящей части, качество 1-й части
вдвое больше качества 3-й, а качество 3-й вдвое больше
качества 5-й и т. д., постольку вся совокупность (toturn
aggregatum) частей, обозначаемых нечетными числами,
ровно вдвое больше 1-й части, обозначаемой посредством
единицы, каковая единица равнозначна всему числовому
ряду этих частей [за исключением первой]1). Тем же спо-
собом можно показать, что качество 2-й части вдвое боль-
ше качества 4-й, и качество 4-й вдвое больше качества 6-й,
и так относительно других частей, обозначаемых четными
числами. Одпако здесь поступают иначе: ведь качество
2-й части униформно-дифформно, следовательно, согласно
гл. 7 настоящей части, оно по величине таково, каким
было бы, будучи униформным в градусе средней точки,
х) Так, по-видимому, следует понимать слова: «que quidem uni-
tes tenet locum ipsarurii in serie numeroriim», если только текст
ве искажен.
714
II. ОРЕМ
а из главы 6-й следует, что этот градус средней точки
стоит в отношении 3 : 2,— в таком же, в каком градус
1-й части стоит к градусу 2-й. Следовательно, качество
2-й части по величине таково, каким оно было бы, еслп
бы было униформно интенсивнее 1-й части в 1г/2 раза.
А вместе с тем эта часть имеет вдвое меньшую экстенсив-
ность, чем 1-я. Следовательно, согласно 6-й главе настоя-
щей части, качество 1-й части в П/g раза больше 2-й,
т. е. отношение между ними равно 4 к 3. Но так, как от-
носится 1-я ко 2-й, так же 3-я относится к 4-й1), 5-я к 6-й
и т. д. Стало быть, вся совокупность (totum aggregatum)
частей, обозначаемых нечетными числами, стоит в отно-
шении 4 : 3 ко всей совокупности частей, обозначаемых
четными числами. Пусть, например, 1-я часть этого ка-
чества равна 2, совокупность, образованная ею и другими
нечетными частями, равна 4, как ранее было показано.
Следовательно, совокупность, образованная всеми чет-
ными, равна 3, как мы только что видели. Следовательно,
суммарное качество (totalis qualitas) равно 7. Итак, отно-
шение суммарного качества к 1-й своей части равно 7
к 2, т. е. является трехсполовинным отношением, что
и требовалось доказать. И это легко применить по анало-
гии к скорости, как было сказано в предыдущей главе.
Глава 11
[О мере конечного качества и скорости и пх протяжении
до бесконечности]
Возьмем вновь фигуру 8-й главы настоящей части.
Основанием этой фигуры была линия аЪ. Преобразуем
в воображении, или повернем фигуру так, чтобы основанием
Ю4 или длиной ее стала линия Ьс, простирающаяся за пре-
делы с до бесконечности, а линия ab была бы первой и мак-
симальной высотой этой фигуры. Тогда согласно тому,
что говорится в указанной 8-й главе, суммарная площадь
(totalis superficies), т. е. эта фигура, вчетверо больше
половины площади, располагающейся на 1-й части линии,
т. е. на части Ьс. Следовательно, суммарная площадь будет
х) В тексте 14580 неверно: «ita se habet За ad 2ат»,
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
715
вдвое больше площади, расположенной на Ьс. Это уяс-
няется иначе так: ведь суммарная площадь части, распо-
ложенной па Ьс, имеет бесконечно много частей, из како-
вых 2-я имеет ту же длину, что и первая, 3-я — ту же
длину, что и 2-я (или 1-я) и т. д. А вторая по высоте вдвое
меньше 1-й, 3-я — 2-й, 4-я — 3-й и т. д. Следовательно,
Рис. 36.
целое ровно вдвое больше 1-й части. На основании этого
обратно (conversive) можно доказать заключение гл. 8-й
настоящей части.
Отсюда явствует, что качество предмета, до беско-
нечности протяженного, каковое надлежит представлять
себе в виде такой фигуры, ровно вдвое больше качества
1-й части подобного униформного качества.
Сходно, если что-либо движущееся движется в течение
1-го дня с определенной скоростью, а в течение 2-го дня
вдвое медленнее, чем в 1-й, и так до бесконечности, то оно
только за всю вечность (nunquam nisi in eternum) пройдет
путь, вдвое больший того, который был пройден в 1-ю часть
времени.
Но какой бы отрезок пройденного пути ни брать, он
всегда будет меньше, чем удвоенный отрезок пути, прой-
денного в 1-й день (quocumque spacio data minor quam
duplum ad pertransitum die la, tantum spacium alium per-
transiret).
Глава 12
[О бесконечном протяжении secundum quid [44]
и об измерении конечного униформного качества]
Телесное качество имеет троякое предметное измере-
ние (dimensionem subiectivam) и конфигурация этого
предмета или качества может многообразно варьировать,
не испытывая приращения. Так, например, пусть а —
716
Н. ОРЕМ
тело размером в 1 [кубический] фут, разделенное в вооб-
ражении на непрерывно пропорциональные части в от-
105 ношенпп 2:1. И пусть 1-я часть — Ь, 2-я — с, 3-я —d
и т. д. [до бесконечности]. Начнем, стало быть, с этой
первой части и образуем круг. Затем возьмем 2-ю и приба-
вим ее к этой части, образовав кольцо (adiungatur circula-
riter), так, однако, чтобы ширина этой второй части возрос-
ла на величину, благодаря которой весь получившийся
круг (totalis circulus) оказался бы вдвое более протяжен-
ным, чем раньше, а вместе
с тем эта 2-я часть стала
насколько нужно, т. е. со-
размерно, меньшей по тол-
щине, что может произойти
без возрастания и без раз-
режения этой2-йчасти, т. е.
посредством одного лишь
преобразования (transiigu-
racio). Затем присоединяют
3-ю пропорциональную часть, а именно d, и весь круг
в целом (totalis circulus) становится втрое более широким.
Далее — 4-ю, и получается круг вчетверо более широкий,
за ней — 5-ю и т. д. Следовательно, без возрастания и
без разрежения, посредством одного лишь преобразова-
ния, возможно, что тело а станет до бесконечности длин-
ным и до бесконечности широким, и тем не менее не возра-
стает, а в точности будет равно телу объемом в 1 [кубиче-
ский] фут [46].
Теперь вернемся к нашей основной задаче: таким же
образом возможно вообразить, что некое конечное каче-
ство, например, тяжесть в 1 фунт1), может в другом теле
весом в 1 фунт распространиться на бесконечную длину
и на бесконечную ширину, вместе с тем оставаясь везде
униформным, т. е. униформно-интенсивным, ибо предмет
униформно-тяжелый весом в 1 фунт может быть преобра-
зуем и простираться указанным образом без качествен-
ного изменения, т. е. без ослабления или интенсифика-
ции, путем некоего разрежения тяжести.
’) В тексте 14а80: lince unius.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
717
Возможно, следовательно, что такое качество, подоб-
ным образом протяженное, будет унпформным, и возмож-
но, что оно окажется дифформно-дифформным. Однако
невозможно ему быть униформно-дифформным, что неко-
торым кажется удивительным.
Усмотрение этого изящно и нетрудно. Если в теле,
ранее изображенном1), провести через точку b прямую
линию, продолжающуюся до бесконечности в обе сторо-
ны, как если бы она была диаметром бесконечного круга
(да позволено будет так выразиться), то униформное
линейное качество этой линии будет изобразимо в виде
бесконечной плоской фигуры, имеющей униформную
высоту и до бесконечности длинной, а следовательно, аб-
солютно бесконечной (simpliciter iniinita). Однако имеется
внутреннее противоречие и нельзя вообразить, чтобы
существовала площадь до бесконечности длинная, широта
которой униформно-дифформна [по качеству]. Отсюда
явствует, что униформно-дифформное качество не может
простираться указанным образом.
Далее, в указанном теле могла бы быть бесконечная
поверхность, униформное качество которой изобразимо
посредством тела абсолютно бесконечного, хотя и не про-
стирающегося во все стороны, а суммарное телесное каче-
ство, или качество тела (totalis согрогеа vel corporis qua-
litas), было бы абсолютно конечным. Отсюда можно извлечь
аргумент в пользу того, что ни точка, ни линия, ни поверх-
ность не суть нечто, как это доказывалось в гл. 4-й настоя-
щей части [46].
Кроме того, на том же основании можно было бы аргу-
ментировать, что для активного тела естественным являет-
ся действовать соответственно своей глубине, а не только
соответственно ограничивающей его поверхности. Ведь
если бы светлое тело конечных размеров имело указанное
протяжение и действовало бы только соответственно своей
наружной неделимой поверхности2), то следовало бы,
что такой источник света, т. е. любой3) источник света,
х) Рукопись 14580: fabricate. Может быть, следует читать figurato?
2) Текст 14580: indivisibilem sed profundam (?).
3) Текст 14580: «nulla lux» (никакой свет) вместо «ulla lux»
(любой свет).
718
Н. ОРЕМ
ограниченный поверхностью, мог бы действовать в бес-
конечной прилегающей среде, производя вовне сияние
абсолютно бесконечное, и что результат действия конеч-
ного агента мог бы быть абсолютно бесконечным [т. е.
безотносительно к сокращению его по другим измерениям].
Глава 13
[Об абсолютно-бесконечном протяжении конечного
и дифформного качества]
Конечное качество может быть воображаемо прости-
рающимся абсолютно во все стороны до бесконечности,
без своего возрастания, при условии, что его интенсивность
пропорционально уменьшается; однако это не может иметь
места без дифформной дифформности. В самом деле, пусть
ab — тело абсолютно бесконечное по всем направлениям,
т. е. по всем сторонам, и пусть во всем пем находится
любое конечное качество, к примеру сказать, тяжесть,
равная 1 фунту. Вообразим, что ее непрерывно делят на
пропорциональные части в отношении 2:1. Возьмем,
стало быть, половину этого качества, и вообразим, что она
распределяется в одной из частей этого тела — в сколь
угодно большой сфере, находящейся где-либо в этом беско-
нечном теле. Пусть это будет Ь. Затем берут вторую про-
порциональную часть, т. е. половину остатка этой тяже-
сти, и помещают в сферу, равную первой, так, что каче-
ство распространяется по всей этой сфере, находящейся
в указанном бесконечном теле и расположенной концен-
трично вокруг первой. Пусть это будет с. И так как это
качество вдвое меньше первого, а простирается одинаково,
то оно соответственно вдвое менее интенсивно. Затем
нужно взять третью пропорциональную часть вышеука-
занной тяжести, которая должна распределиться по 3-й
сфере d, равной и расположенной концентрично с 1-й
и 2-й, наделив ее [качественной] формой. Как и раньше,
это качество оказывается соответственно менее интенсив-
ным. И так аналогично нужно поступать с другими, про-
должая до бесконечности. Стало быть, при наличии какого-
либо тела, абсолютно и по всем направлениям бесконеч-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
719
ного, не было бы ничего невозможного в том, что какое-
либо [конечное] его качество, например, тяжесть, распро-
странялось бы, начиная с точки, как, например, тяжесть
в 1 фунт простирается в приведенном случае. Если это
так, сразу же ясно, что подобного рода тяжесть могла бы
простираться до бесконечности во все стороны, и что
в этом бесконечном теле повсюду имелась бы некая ча-
стица конечной тяжести (aliquid de gravitate iinita). Стало
быть, не следует, что сила бесконечного тела непременно
должна быть бесконечной, за исключением случаев, если
она распределена униформно, или с такой дпфформной
дифформностью, которая сводима к круговой униформ-
ности, простирающейся до бесконечности [47]. Можно
боло бы многое добавить на основании сказанного, но здесь
достаточно лишь некоторых, как бы начальных элементов
ради упражнения. Благодарение богу.
На этом кончается трактат о конфигурации качеств
досточтимого наставника ученых Николая Орема [481
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ И. ОРЕМА
В. П. Зубов
1. Очень возможно, что в этих словах, как предполагает
А. Майер (An der Grenze..., р. 345), имеются в виду упоминав-
шиеся выше «Вопросы о геометрии Евклида» (см. стр. 610). В этом
произведении вопросы трактованы более с формально-математиче-
ской стороны, без экскурсов в область принципиально-философскую,
как в трактате Орема. Пз рукописи видно, что «Вопросы» были
предложены на диспуте в Париже. В пользу более раннего возник-
новения их говорит и различие суждений Орема, касающееся «те-
лесных качеств» (ср. ниже, стр. 721). Наконец, характерно, что
большинство примеров решается еще как у Оксфордских «калькуля-
торов», арифметически, а не геометрически (А. Майер, там же,
стр. 353)
2. Ср. Аристотель, Метафизика, X, 1 , 1052 а: «Мера
есть то, посредством чего познается количес гвенное (гб лоабм); а коли-
чественное как такое познается либо посредством единицы, либо
посредством числа, всякое же число — посредством единицы.
Таким образом, все, обладающее количеством, познается как такое
посредством единицы, и то первое, посредством чего познается
количественное, есть единица, а потому единица есть начало числа
как числа. Отсюда и во всем остальном мерою называется то исход-
ное, посредством чего каждое познается; и для каждого мерою яв-
ляется нечто единое—в длине, в ширине, в глубине, в тяжести,
в скорости». Гам же, V, 15, 1021 а: «...все эти отношения указы-
ваются сообразно числу и являются случаями числового определе-
ния (apiBp.95 лабт;)».
3. Глагол fingere, употребляемый в данном случае Оремом,
отличается от чаще употребляемого им глагола ymaginare, большей
подчеркнутостью моментов вымысла, выдумывания, фикции; на-
против, ymaginare для Орема — не столько воображать (фантази-
ровать), сколько «представлять в виде», «мыслить в образе» и т. п.
Как будет видно из дальнейшего, «воображать» отношения между
качествами по аналогии с отношением между линиями и т. д., значит,
по Орему, познавать действительные отношения, существующие
между этими качествами. Поэтому он говорит, что такие отношения
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА
721
«обозначаются» (designantur) или «изображаются» (figurantur)
в виде отношений между линиями и т. д. Это значит, что фиктивными
(произвольными) могут быть элементы отношения, а не сами отно-
шения, объективно соответствующие отношениям в вещах (в каче-
ствах, движениях, скоростях и т. д.).
Интересен в этом отношении следующий отрывок из оремовых
«Вопросов о геометрии Евклида», приводимый А. М а й е р (An der
Grenze..., pp. 348—349): «Отношение качеств таково, каково отно-
шение плоскостей, в том же смысле, в каком в mj эыке мы говорим,
что отношение звука к звуку таково, каково отношение струны
к струне» и т. д.
4. Здесь и дальше словом «предмет» переводится термин subie-
ctum, имевший, как известно, в средние века значение противопо-
ложное современному. Соответственно и linea subiectiva передается
как «липин, проходящая через предмет», или «линия предмета».
5. Деление вещей на «пребывающие» (permanentes) и «после-
довательные» (suecessivae) было широко распространенным в сред-
ние века. В последующем, в ряде мест, в зависимости от контекста,
эти термины передаются кое-где выражениями «постоянные» и «пе-
ременные». Ср. часть II, гл. 13.
6. Орем критикует то определение latitude, которое можно
встретить у его предшественников, в частности у Ричарда Суисета.
Ср. «Калькулятор», трактат II (л. 5 об. по венецианскому изданию
1520 г.): «Широта тел состоит из всех градусов, заключенных между
более интенсивным краем и не-градусом». Иными словами, «широта»
рассматривается в данном случае как площадь, заключенная между
ординатами, или как диапазон изменении качества (ср. выше,
стр. 612).
7. Слово superficies здесь и дальше, в зависимости от контекста,
передается разно: поверхность, плоскость, площадь.
8. К тому же вопросу Орем возвращается дальше, в гл. 1-й
третьей части (стр. 698). Приведем для сравнения соответствующее
место пз «Вопросов к геометрии Евклида», написанных Оремом,
видимо, несколько ранее, чем трактат. «Третье [заключение] гласит,
что посредством аналогичного представления качество плоскостное
следует воображать себе в виде тела, длина и ширина которого есть
протяжение плоскости |по которой распределяется качество], а глу-
бина — интенсивность этого качества. II равным образом качество
всего тела должно быть представляемо в виде одного тела, длина
и ширина которого есть протяжение всего тела, а глубина — интен-
сивность этого качества. Но кто-нибудь, может быть, выскажет
сомнение: если линейное качество представляемо здесь как плос-
кость, а плоскостное — как тело, имеющее три измерения, то, стало
быть, телесное качество следовало бы представлять имеющим четыре
измерения, в виде нового вида количества. Я говорю, что не следует.
Ибо если текушая точка (punctus fluens) представляется порождаю-
щей линию, линия — плоскость, плоскость — тело, пе следует,
что когда воображают текущим тело (si corpus imaginatur fluere),
оно порождает четвертый род количества. Оно остается телом,
и потому в 1-й книге «О небе» Аристотель говорит: „от него (т. е. от
46 Истор.-матем. исслед., вып. XI
722
Б. П. ЗУБОВ
тела) не бывает перехода к другому виду количества посредством
этого способа представлять вещи", и так именно следует сказать
в данном случае» (цит. по А. Мa i е г, Zwei Grundprobleme... стр. 100).
Пз приведенного отрывка явствует, что в «Вопросах» Орем не ре-
шается сделать тс выводы, которые содержатся в трактате и согласно
которым телесное качество следует мыслить в виде проникающих
друг друга объемов. Это одна пз причин, заставляющих полагать,
что «Вопросы» написаны раньше трактата.
9. Четвертое положение VI книги «Начал» Евклида гласит,
что в равноугольных треугольниках сходственные стороны пропор-
циональны.
10. Согласно одиннадцатому положению V книги «Начал»
Евклида (по нумерации, принятой в настоящее время), отношения,
тождественные одному и тому же отношению, тождественны и друг
ЛРУгу.
11. Термин intensio (как и противоположный ему remissio)
имеет в латинском языке два значения, па что обратил внимание
Ричард Суисет в начале своего произведения «Калькулятор»:
«Слово intensio может быть употребляемо п двух смыслах. Во-пер-
вых, в смысле того изменения, посредством которого качество при-
обретается и в таком значении intensio есть движение. Во-вторых,
intensio называется тем качеством, благодаря которому что-либо
является интенсивным; так, теплое является интенсивным благо-
даря теплоте. 11 соответственно следует говорить о ремиссии»
(«Калькулятор», трактат I, л. 2 венецианского издания 1520 г.).
На русском языке первое значение можно было бы передать словом
«интенсификация» , а второе — словом «интенсивность».
12. С приведенным определением необходимо сравнить опреде-
ления Суисета: «Уппформно-дифформное бывает тогда, когда сред-
ний градус любой данной части, или градус, существующий в сред-
ней точке, на столько же превосходится более интенсивным краем,
на сколько он сам превосходит край той же части, обладающей
меньшей интенсивностью» («Калькулятор», трактат XVI, л. 54 об.
венецианского издания 1520 г.). Пли: «...середина прегосхо штся
более интенсивным краем па такую же величину, па какую середина
превосходит край, обладающий меньшем интенсивностью» (там же,
трактат XIII, л. 40). В «Вопросах о геометрпи Евклида» Орем опре-
делял униформно-дифформную шпроту как такую, в которой
«любые три или более линии, одинаково отстоящие друг от друга,
превосходят одна другую в арифметической пропорции». См.
A. Maier (An der Grenze..., pp. 346).
13. См. выше, примечание 9.
14. Разницу между «униформным» и «регулярным» Орем рас
крывает подробнее в гл. 1 второй части (см. стр. 679), где «регуляр-
ность» определяется в отношении времени, а «униформность» в отно-
шении пространства.
15. В дополнении к предложению 33-му VI книги «Начал»
Евклида, принадлежащем Феону, доказывается, что души двух
неравных окружностей, стягивающие равные вписанные утлы,
относится друг к другу как соответствующие секторы. См. «Начала
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ И. иРЕМА 723
Евклида», книги 1—VI. Перевод Д. Д. Мордухай-Болтовского.
М.—Л., 1948, стр. 445.
16. Мысль Орема можно было бы пояснить так: если холодное
и теплое обозначить общим термином «температурное качество»,
то такое качество (безотносительно к своему знаку) окажется уни-
формно-распределенным по всей фигуре.
17. Предложение 16-е книги III «Начал» Евклида (по совремеп
ному счету) гласит: «Прямая, проведенная под прямыми углами
к диаметру круга в его концах, упадет вне круга, и в пространстве
между прямой и окружностью не поместится никакая другая пря-
мая, и угол полукруга больше всякого прямолинейного острого
угла, а остаток меньше» (пер. Д. Д. Мордухай-Болтовского, стр. 97).
18. В тексте: eius quinto. Ссылка неточная, так как в только что
указанном 16-м предложении книги III содержится отсылка к пятому
предложению первой книги: «у равнобедренных треугольников
углы при основании равны между собой и по продолжении равных
прямых углы под основанием будут равны между собой» (пер.
Д. Д. Мордухай-Болтовского, стр. 19).
19. Трактат Орема «De perfectione specieruin» не фигурирует
в списках произведений этого ученого, и, возможно, пе был написан.
Трудно решить, в какой мере его тематика совпадает с вопросами,
касающимися «образов» (species) вещей и затронутыми в написанных
Оремом после 1370 г. «Oiiodliheta». Ср. L. Thor ndi k е, A histo-
ry' of magic and experimental science, vol. Ill, N. Y., 1934, pp.—
445—448 и отрывок из последнего произведения («Oresme on species»)
на стр. 742—743.
В списках трактата, которыми пользоватась А. Майер
(Vat. lat. 3097 и Chisianus Е. IV. 109), заглавие сочинения гласит не
«De perfection? specieruin» (как в списке 14580, которым пользова-
лись мы), a «De perfectionibus гетит» и «De perfectionibus». Майер
предполагает, что часть этого сочинения (или все целиком) содержит-
ся в рукописи Vat. lat. 986 (fol. 125—133 v), обычно до сих пор опи-
сывавшейся как анонимные «Вопросы к Сентенциям Петра Ломбард-
ского» (A. Maier, Die Vorliinfer..., рр. 190; ср. An der Grenze...,
рр. .'05).
20. Здесь и дальше выражения proportio dupla, tripla, sesqnial-
tera и т. п. заменены ксе-где для облегчения текста цифровыми
оботна>ениями, т. е. пишутся в виде 2:1, 3 : 1, 3 : 2 и т. п. О том,
что значит половина отно.иенпя, Орем подробнее говорит в другом
своем сочинении «Tiactatus proportioiiuni», или «Proportiones»
(гл. 1, л. 17-С по изданию в сборнике Бассано Полито 1505 г.,
упомянутому выше, на стр. 629). Разделить отношение — значит
пай™ между двумя величинами среднюю пропорциональную, т. е.
между Ь и величину'd, удовлетворяющую пропорппи Ь : d=d : с.
Таким образом, половина «двойного» отношения 2 : 1 равна j/T.
21. Слово curvitasприходится в зависимости от контекста пере-
давать словами «кривизна», «кривая» и «дхга». Для понимания
дшьнейш го следует помнить, что Орем различает интенсивность
кривизны окружности (обратно пропорциональную радиусу), экс-
тенсивность ее (прямо пропорциональную длине окружности) и
46*
724
В. П. ЗУБОВ
абсолютную кривизну (curvitas simpliciter loquendo), выражаемую
отношением обеих величин, т. с. постоянную для всех кругов.
22. Орем не пользовался громоздкими выражениями latitude
uniformiter difformiter difformis и difformiter difformiter difformis,
которые можно встретить в некоторых других произведениях,
например в анонимном трактате, написанном после 1323 г. (см.
L. Thorndik е, Л history of magic and experimental science,
vol. III..., p. 575). Здесь читаем: «Диф-
формно-дифформная широта двояка,
ибо одна унпформпо-дифформпа-дпф-
формна, а другая дифформно-диф-
формпо-дифформна». Однако, как
явствует пз текста, Орем проводил то
же самое различие между обоими ви-
дами дифформной дифформности:
дпфформно-дифформпая кривизна
окружности -униформна, а дпфформ-
но-дифформная кривизна другой кри-
вой линии—дифформна. Разница
только в выражениях.
13 апоппмном трактате «De lati-
tudinibus formarum», вышедшем из
школы Орема (см. выше, стр. 629),
указанные громоздкие термины также
находят применение: «Часть, или
половина круга (portio vel medietas
circuli) изображает широту дпфформ-
но дифформно-дифформную, а та н
другая половина этого полукруга
сама по себе униформно-дпфформно-
дифформная. Это явствует из фигур
cd и de. Половина же, которая мень-
ше такой четверти круга (medietas
que est minor quam medietas talis
portionis), изображает широту, кото-
рая сама по себе }пиформпо-дифформно-дпфформна; зто явствует
из фигуры с1), составляющей часть фигуры cd. Что же касается
фигуры, которая составляет больше2), чем половпну такой части
[т. е. фигуры cd], она равным образом изображает униформно-
дифформно-дифформную широту; это явствует из фигуры d, со-
ставляющей часть фигуры cd. Фигура, которая больше” чем поло-
вина такого полукруга, изображает вторую широту, т. е. дифформ-
но-дифформно-днфформпую; однако часть ее, большая половина —
вторая часть—
из фигуры ed3)»
униформно f дифформно]-дцфформяа, а остальная,
дифформно-дифформно-дифформна, как явствует
’) В тексте d.
2) В тексте ошибочно: «мевыпе».
') В тексте cd. По смыслу вместо «большая половина» сле-
довало бы: «меньшая».
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА
725
(л. 29 и 29 об.=ЛЗ и D3 об. венецианского издания 1505 г., в сб.
Бассано Полито). Два чертежа, перечерченные в более точном ви-
де из только что указанного издания, дополнены мною еще одним
(полукруг cde).
23. В рукописи 14580: «per quintam conclusionem Auhimenidis
de curvis simplicibus» («О простых кривых')). Следует читать: «De
curvis superficiebus» («О кривых поверхностях»). Имеется в виду
средневековый комментарий XIII века к 1-й кнпге Архимеда «О ша-
ре и цилиндре», опубликованный М. С 1 a g е t1 под заглавпем:
«The De curvis superficiebus Archimenidis. A medieval commentary
of Johannes de Tinemue on book I of the „De sphaera et cylindro”
of Archimedes»—«Osiris», vol. 11 (1954), pp. 295—346.
Цитируемое Оремом положение в редакции, опубликованной
Клпджеттом, является не пятым, а третьим (в этой редакции отсут-
ствуют два добавочных положения, имеющиеся в другой редакции,
известной Орему). См. стр. 307 указанной публикации («окружности
любых двух кругов пропорциональны пх диаметрам»).
24. В тексте Орема (рукопись 14580) ошибка: вместо Philoso-
phus следует читать: Plinius. См. Плиний, Естественная история,
XVI, 34, 62, где перечислены виды плюща, в том числе helix.
25. Спрямление окружности с помощью спирали Архимед дал
в трактате «О спиралях». Орем, видимо, основывается на сочинении,
упомянутом в примечании 23.
26. Трудно решить, какое место настоящего трактата Орем
имеет в виду. Об углах он говорил раньше (в гл. 20-й), обещая ко-
снуться тех же вопросов в трактате «De perfectione specierum».
Возможно, что имеется в виду именно последний этот трактат.
Возможно также, что имеется в виду беглое упоминание об остроте
углов в гл. 13 второй части (стр. 695).
27. Весь абзац очень характерен для скептического отношения
Орема к астрологической магии. Об этом ср. Ch. J ourdain,
Xicolas Oresme et les astrologues de la conr de Charles V, в его книге
«Excursions historiques et philosophiques a travers le Mojen age.
P. 1888, pp. 561—585; L. Thorndike, соч., указанное в при-
меч. 19, т. III, стр. 398—423.
28. Иными словами, различные точки небесной сферы («пред-
мета») в зависимости от своей близости к центру проходят различ-
ные пути, но с точки зрения времени сфера движется равномерно
(или «регулярно»). Ср. ниже, в гл. 4 (стр. 685).
А. Майер (An der Greuze..., pp. 271) обращает внимание
на то, что подобное же различие униформности и равномерности,
дпфформности и неравномерности встречается и в других произве-
дениях Орема, а именно в «Вопросах к сочинению о сфере» (вопр. 4)
и во французском переводе аристотелевского трактата «О небе»
(кн. II, гл. 13).
29. Ср. Аристотель, Вторая аналитика, I, 4: «...то,
что не приписывается подлежащему, я называю самим по себе,
а то, что приписывается подлежащему,— акциденцией (га аирЗ=Зтг
хбга)». Слову dispositio соответствует греческое 6ia0=3ic, означаю-
щее у Аристотеля («Категории», гл. 6 [8]) один из видов качеств,
726
В. и. ЗУБОВ
а именно качества, сравнительно легко исчезающие (теплота и хо-
лод, здоровье и болезни).
30. Синкатегоремами в средневековой логике назывались
второстепенные части речи, которые определяют главные части
речи (подлежащее и сказуемое), не означая какой-либо самостоя-
тельной реальности, способной существовать без данного предмета
или вне его.
31. Интересно сравнить с этими различениями Орема то, что
говорится у Ричарда Суисета в особом трактате «Калькулятора»,
посвященном скорости роста или возрастания (трактат VI: Г)е
velocitate niotus auginentationis). Скорость возрастания опреде-
ляется по «приобретению избытка над ранее данной величиной*
(«penes acquisitionem exeessus supra quantitatem preliabitam»,
л. 24 об.). В переводе па язык формул это означает, что она опреде-
ляется но разности значений х2 и хг в ее отношении к хг:
х2 — х1
*1
Суисет особо опровергал две теории; согласно первой скорость
возрастания определяется отношением —, согласно второй скорость
aq
можно определить по абсолютной величине приращения х2—xt=^x.
Первая концепция неприемлема, по Суисету, потому, что если
две неодинаковые величины возрастают вдвое, втрое и т. д_, это
значило бы, что обе они растут с одинаковой скоростью. Между
тем большая величина в этом случае «приобретает» больше, т. е.
казалось бы, увеличивается быстрее.
Согласно второй концепции речь идет о некоем приращении,
независимом от того, равны или не равны первоначальные вели
чипы, и независимом от того, какие другие изменения претерпе-
вают за то же время эти же самые величины. Такая мера пе у-довле-
творяет Суисета именно по указанной причине: по ней нельзя судить,
не изменяется ли х еще как-нибудь за то же время.
В отличие от этого, защищаемый С\постом тезш имеет, по его
мнению, всеобщее значение (tenet generaliter) и не нуждается в ого-
ворках: скорость возрастания определяется «по пргобретению
избытка (penes acquisitionem excessus) над ранее данной величи-
ях,—х,
нои», т. е. по —----- .
X1
Как видно из текста, Орем проводил различие между скоростью
приобретения (velocitas acquisitionis) и скоростью возрастания или
роста (velocitas maioritatis seu auginentationis): первая определяет-
ся по величине приобретенного (quantitas arquisiti), вторая—«по
отношению, существующему между величиной в начале движения
и воображаемой величиной в конце его» (penes proportionem magni-
Lndinis qne est in principle inotus ad yniaginacionem que est in fine).
32. Речь идет, очевидно, о скоростях различных точек на диа-
метре круга, вращающегося вокруг неподвижного центра. Ср. не-
сколько дальше об у нпформно-дифформном движении радиуса, где
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА
727
явно имеются в виду длины дуг, проходимых различными точками
этого радиуса.
33. По всей вероятности, имеется в виду первая глава Л I книги
«Физики» Аристотеля, где говорится, что «в силу одних и тех же
оснований и величина, и время, и движение слагаются из неделимых
частей и делятся на них, или же нет». II несколько дальше: сс и
допустить существование неделимых, то «подобным же образом,
как длина и движение, должно оыть делимо и время» (пер. В. II. Кар-
пова, М., 1937, стр. 125—126).
34. В главе 1 части II различались дифформность скорости
«соответственно частям (пли протяженности) движущегося» и «со-
ответственно частям (или продолжительности) времени» (см. стр. 679).
35. Ср. выше, примечание 5.
36. Тумапно и тяжело изложенные соображения Орема могут
быть сведены к следующему. Существуют предметы, целиком наде-
ленные тем или иным качеством, изменяющимся во времени, и суще-
ствуют предметы (см. дальше, стр. 695: «Третьи вещи это такие...»),
которые постепенно (по частям) наделяются тем или иным качеством,
как бы распространяющимся по этим предметам.
37. Существовали две основные концепции интенсификации;
согласно первой одна интенсивность сменяет другую, согласно
другой она получается путем «суммирования», т. е. первоначаль-
ная интенсивность, сохраняясь, входит в состав новой как ее часть.
Первая концепция постепенно вытеснялась второй, которая стала
господствующей в трактатах XV века, например, в сочинении Якопо
де Форли (Jacobus de Forlivio). В качестве одного пз ранних пред-
ставителей «теории суммирования» можно назвать скотиста Жана
де Бассоль (ум. в 1347 г.), согласно которому «первое приращение
(augmentum primum) интенсифицируемой формы происходит путем
прикладывания (apposit.io) такого градуса формы к первоначаль-
ному градусу, из каковых получается в том же носителе одно гомо-
генное неделимое целое» (loannis de Bassolis, Opera...
in quattuor Sentent iaruin libros, Parisiis, 1517, lib. I, dist. 17, qu. 2,
fol. CXVI; экземпляр в библиотеке Академии паук УССР в Киеве).
38. Понятия о «первом и последнем мгновении» процессов каче-
ственного изменения имеют многовековую историю, о которой
достаточно напомипть здесь в общих чертах.
Согласно Аристотелю (Физпка, \ I, 5, 236а) существует первый
момент закончившегося изменения, по не существует первого мо-
мента в смысле начала изменения. Первый момент закончившегося
изменения наступает сразу и есть нечто «неделимое» (аторл-ч).
Бели, например, белое переходит в черное, существует первый
момент, когда белое стало черным, но не существует первого момен-
та, когда белое начало на иенятг с.ч в черное. На отрезке времени
АВ точке В (т. е. «неделимому») соответствует черное, т. е. завергиив-
шилтя процесс. Процесс / же изменения соответствует делимая
линия АВ и на этой липпп нельзя указать начальную, или первую,
точку начавшегося изменения,- точку, непосредственно следующую
за А, т. е. за точкой покоя, пли еще не начавшегося изменения.
Основные положения «Физики» Аристотеля и его книг «О небе»
728
В. П. ЗУБОВ
были изложены на исходе античной эпохи систематизатором грече-
ской учености Проклом в его небольшом трактате «Начальные
основания физики или о движении» (издан с нем. переводом А. Рит-
ценфельдом: Institutio physica sive de motu, Lipsiae, 1911; здесь
в сносках даны ссылки на параллельные места сочинений Аристо-
теля). Трактат Прокла мало оригинален: по существу автор лишь
попытался более стройно, по образцу Евклида, в виде теорем изло-
жить основные начала перипатетической физики, в том числе и
вопросы о первом и последнем моменте качественного изменения.
«Физика» Аристотеля и «Начальные основания» Прокла явились
основой, на которой развивалось учение о том же в средние века.
Первый латинский перевод сочинения Прокла появился около
1160 г. (ср. М. Grabma nn, Die Proklosiibersetzungen des
Wilhelm von Moerbecke und ihre Verwertung in der lateinischen
Literatur des Mittelalters— «Bysantinische Zeitschrift», Bd. 30,
1929/30, S. 79). С развитием аристотелевского учения можно встре-
титься, например, в XIII веке в многочисленных вариантах у Род-
жера Бэкона, показывавшего, что при переходе одного качества
в другое нельзя указать последний момент существования перво-
начального качества, а только первый момент существования нового
качества; если взять ранее приведенный пример, нет последнего
момента существования не-черного (т. е. белого), но есть первый
момент существования черного. Ср. S. Harrison Thomson,
An unnoticed treatise of R. Bacon on time and motion—«Isis», vol. 27
(2), 1937, pp. 219—224. К параллелям из «Cornmunia naturalia»
Бэкона, приводимым в этой статье, можно было бы добавить еще
гл. 41-ю пз «Opus tertium» (R. Bacon, Opera quaedam hactenus
inedita, vol. I, ed. J. S. Brewer, London, 1859, p. 147). Дальнейшее
усложнение вопрос о первом и последнем мгновении качественного
изменения получил в так называемых задачах об incipit и desinit,
которые стали весьма популярными в XIV веке, причем вопрос
стал рассматриваться отдельно применительно к «вещам пребываю-
щим» и «вещам последовательным» (ср. выше, примечание 5).
39. «Algorismus proportionurn» издан М. Курпе (Берлин,
1868). В «Tractatus proportionura» так определяются понятия
вычитания и сложения отношений: «Вычесть одно отношение из
другого значит найти между большими членами средний член,
стоящий к меньшему в том отношении, которое должно быть вы-
чтено, или же член, к каковому больший член стоит в этом же самом
вычитаемом отношении. Сложить же одно отношение с другим зна-
чит взять одно из них и найти третий член, каковой стоит к большему
в отношении, которое ты хочешь прибавить, или к каковому мень-
ший стоит в отношении, которое надлежит прибавлять. Так, если
к отношению а, равному отношению Ъ к с, ты хочешь прибавить
отношение е, возьми член d, стоящий к Ъ, в отношении е, или же
другой член /, к которому с стоит в отпошении е. Например, так
прибавляют к полуторному отношению двойное. Тогда ясно, что
значит удваивать, утраивать отношение и т. д. И все это для вдум-
чивого читателя уясняется из пятой книги Евклида» (цитирую по
изданию в сборнике Бассана Полито, л. 17-С).
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА
729
Короче говоря, «вычитание» отношений соответствует нашему
делению: если из отношения а = — «вычитается» другое отношение
e = -j- , то либо член / нового отношения должен удовлетво-
n f
/ , d
рять условию —-=е, либо член d нового отношения — усло-
Ъ , . ъ ь
вию -^-=е, иначе говоря. f=ce и d = —. Отсюда отношение —
Ь Ъ Ъ g d
равно — = —:е = — а отношение — также равно той же
г се с с h с
е =
величине.
Аналогично «сложение» отношений а и е соответствует нашем}
умножению.
40. Предложение 15-е первой книги «Начал» Евклида по сов-
ременному счету гласит, что две прямые образуют при пересечении
равные вертикальные углы.
41. Как отмечено А. Майер (A. Maier, Die Vorlaufer Gali-
leis im 14. Jahrhundert, Rom, 1949, S. 128), пример Орема в той же
форме встречается в трактате Суисета «De motibus» (Эрфуртская
научная библиотека, Ampion. Fol. 135, л. 4G). Указание, что во 2-ю
половину времени проходится путь втрое больший, чем в 1-ю.
имеется и у другого представи-
теля оксфордской школы—Виль-
яма Хейтесбери («Хентисбера»)
в его «Tria predicamenta de motu»
(см. M. С 1 a g е t t, Giovanni
Marliani and late medieval phy-
sics, N. Y., 1941, p. 112; C. Wil-
son, William Heytesbnry, Madi-
son, 195G, pp. 123—124).
42. Аналогичный пример
рассматривался уже представи-
телями оксфордской школы. Ср.
Дюгем, fitudes, стр. 476.
43. Сравним с этим анало-
гичное построение у Ричарда
Суисета в «Калькуляторе» (трак-
тат II, л. 6).
Тела ЛиВ, обладающие оди-
наковой интенсивностью, а так-
же время Т делятся на пропор-
циональные части в отношении
2:1. Допустим, далее, что в теле В за время R удваивается интен-
сивность 1-й части, за Г2—интенсивность 2-й и т. д., так что «в конце»
удваивается вся интенсивность. В теле А за время R удваивается
107 интенсивность всех частей, крохе 1-й, за Z2—всех частей, кроме 1-й
и 2-й, за t3—всех частей, кроме 1-й, 2-й и 3-й и т. д., что наглядно
730
В. П. ЗУБОВ
иллюстрируется чертежом в издании 1520 г., где начальная интен-
сивность принята равной 2. Суисет доказывает, что интенсивности
Л и В равны (т. е. в случае, показанном на чертеже, интенсивно сть
.4 равна интенсивности 2-й его пропорциональной части). Равеш тво
интенсивностей А и В доказывается тем, что В в каждую пропорцио-
нальную часть времени возрастает на свою пропорциональную
часть 1-ю, 2-ю, 3-ю и т. д., тогда как А возрастает на величину раз-
ностей между целым и пропорциональными частями 1-й, 1-й и 2-й
и т. д., т. е. па такую же величину, поскольку любая пропорцио-
нальная часть равна сумме всех последующих. На вопрос, каким
образом суммирование бесконечно возрастающих интенсивностей
дает в итоге конечную интепсивность, Суисет отвечает ссылкой
на то, что возрастание интенсивности компенсируется убыванием
величины пропорциональной части.
Пример Суисета приведен в книге С. В о у е г, The concepts of
the calculus, N. \ ., 1939, p. 76. Латипсквй текст цитируется там же
по editio princeps. Текст издания 1520 г. более точен и в отдельных
местах более вразумителен.
44. Различные значения термина secundum quid, соответствую-
щего греческому го хаб’6, разъяснены у Аристотеля (Метафизика,
кн. V, гл. 18). Здесь его следует понимать в значении: «Каким обра-
зом бесконечное протяжение возможно или мыслимо».
45. Аналогичный пример встречается в анонимном трактате
XI \ века «Об отношении диагонали квадрата к стороне его», издан-
ном Н Suter по списку А 50 Бернской городской библиотеки
в статье: Die Quaestio «De proportione dyametri quadrat! ad costam
ejusdem» des Albertus de Saxonia—«Zeitschnft fur Mathematik und
1’hysik», Jalirgang XXXII, 1887, Historisch-literarische Abteilung,
SS.41—56.
Зутер приписал трактат Альберту Саксонскому неправильно,
см. Р. D u h е m, Etudes sur Leonard de Vinci, t. 1 P. 1906, pp.
341 -344. Для доказательства, что «бесконечно;; число тел. каждое
из которых имеет определенную данную величину, возможно соеди-
нить так, чтобы опи без сгущения (sine condensatioiie) образовали
одно конечное тело, занимающее конечное пространство», берут,
например, бесконечное число равных яблок или чего-либо подоб-
ного; второе из лих расплющивают и «завертывают» в него первое;
так поступают с третьим, с четвертым и с пятым и т. д. Каждый
последующий листок должен быть, очевидно, больше и тоньше пре-
дыдущего, чтобы можно было обернуть им этот предшествующий.
Соотношение между их толщиной образует, по мнению автора, яепро-
рывну ю пропорцию: получается убывающий до бесконечности ряд.
Сумма его членов равна конечной величине.
Пример с яблоками имеется и у Альберта Саксонского, кото-
рый, однако, критиковал рассуждение, указывая, что толщина слоев
не образует непрерывной пропорции.
46. В главе 4 третьей части (стр. 703) «мгновенные изменения,
мыслимые математически, исключались из мпра физических явлений.
Интересна следующая глосса Орема в его комментарии к трак
гаи Аристотеля «О небе»: «Слово делимое употребляется в двух
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМ А
731
смыслах. Во-первых, делимое бывает таковым посредством реаль-
ного разделения (separation) частей, и, во-вторых, посредством раз-
личения в уме (signacion). И не следует понимать так, будто всякая
величина и ги всякий континуум делимы в первом смысле; ведь
физически невозможно разделить небо подобно тому, как раскалы-
вают полено, отделяя одну часть от другой. Далее, деля полено,
1U8
камень и другое материальное и разрушимое тело, можно дойтп до
такой малой части, что ее нельзя бу-
дет больше разделить, не разрушая
ее субстанции. Между' тем всякий
коптипуум, илп всякая величина
делимы посредством различения в
уме,—так же как астрологи делят
небесные круги на градусы, а гра-
дусы на минуты, минуты на секун-
ды, секунды—на терции ц далее на
кварты, и далее—на квинты. II так
можно действовать в воображении,
не переставая» (М a i s t г е Nico-
le Oresme, Le Livre du Ciel
el du Monde—«Mediaeval Studies»,
vol. Ill, p. 189).
47. Тот же пример был приведен поздпее во французском ком-
ментарии Орема к трактату Аристотеля «О небе» (см. Maistre Nicole
Oresme, указанное соч., стр. 215).
Пз сопоставления обоих отрывков явствует, что сферы Ъ, с, d
и т. д. видоизменяют свою форму7 и облегают в виде слоев сферу а.
Так именно следует понимать выражение латинского текста «cir-
cumcentrice», соответствучощее во французском тексте словам «environ
i-estc uue autre». В комментарии Орема пример служил к опровер-
жению аристотелевского тезиса, согласно которому бесконечно
протяженное физическое тело неизбежно должно было бы иметь
бесконечную тяжесть.
48. Рукопись № 7371 имеет любопытную концовку, добавлен-
ную переписчиком: «На этом кончается трактат магистра Николая
Орема об униформности и дифформности интенсивностей. Благода-
рение богу. Аминь. Аминь. Кто хочет еще писать, пусть пишет,
Я больше не хочу».
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
СРЕДНЕВЕКОВЫХ МАТЕМАТИКОВ ХАСАНА ПБН
АЛ-ХАЙСАМА И ЛЬВА ГЕРСОНИДА
Публикация Б. А. Розенфельда
Мы приводим ниже перевод полного текста доказатель-
ств V постулата Евклида двух средневековых математиков
Хасана ибн ал-Хайсама (Альхазена) и Льва Герсонида
(Леви бен Гершома). Первое пз этих доказательств непо-
средственно предшествовало теории параллельных линий
Омара Хайяма, который начинает ее изложение с критики
доказательства Иби ал-Хайсама, второе, появившееся
под непосредственным влиянием теории параллельных
линий математиков стран ислама, является первым извест-
ным нам доказательством V постулата в Западной Европе.
Перевод текста Хасана Ибн ал-Хайсама выполнен нами
с рукописей его сочинения «Книга комментариев к введе-
ниям книги Евклида «Начала», хранящихся в библиоте-
ке им. Н. И. Лобачевского при Казанском государствен-
ном университете им. В. И. Ульянова-Ленина (арабский
фонд, № 104) и в библиотеке им. Т. Бодлея при Оксфорд-
ском университете (фонд Гунтпнгтона, № 234). Перевод
текста Герсонида выполнено рукописи его сочинения «Ком-
ментарии к введениям книги Евклида», хранящейся в биб-
лиотеке «Бет Дин <$ Бет га-мпдраш» в Лондоне (№ 133/14)
И. Г. Польским. Фотокопия казанской рукописи, находя-
щаяся в Академии наук Азербайджанской ССР (Баку),
была предоставлена нам при любезном содействии доц.
Г. Д. Мамедбейли; микрофильмы оксфордской и лондон-
ской рукописей были любезно предоставлены нам сотруд-
734
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
ником библиотеки им. Бодлея д-ром У. Гаррисоном и сот-
рудником библиотеки «Бет Дин Бет га-мидраш» д-ром
М. Карром при содействии проф. В. Ф. Минорского (Кемб-
ридж). Всем этим лицам мы выражаем нашу глубокую бла-
годарность. Большую благодарность мы выражаем также
проф. А. П. Юшкевичу за ряд ценных советов прп под-
готовке работы к печати.
На полях переводов указана пагипацпя по упомянутым
рукописям. К переводам приложены краткие примеча-
ния, числа в квадратных скобках указывают номер соот-
ветствующего примечания. В квадратных скобках по-
мещены также слова, добавленные переводчиками для
большей ясности изложенпя. В переводе с арабского
используется та же транскрипция арабских букв, как и
в прежних переводах с арабского, опубликованных в
«Историко-математпческпх исследованиях»; в переводе
с древнееврейского буквы транскрибируются так же, как
одноименные арабские буквы.
1. Доказательство Хасана ибн ал-Хайсама
Абу’Алй ал-Хасан ибн ал-Хасан Ибн а л -X а й-
с а м, известный в Западной Европе под латинизированным
именем Alhazenus (Альхазеп), был одним пз крупнейших
физиков средневековья. Ибн ал-Хайсам родился в 965 г.
в Басре (Ирак), но почти всю свою жизнь работал в Капре
врачом у фатимпдекого халифа ал-Хакйма и его преемни-
ков. Ибн ал-Хапсам умер в Капре в 1039 г. Основной труд
Иби ал-Хапсама «Книга оптики» (Китаб ал-мапазир) был
переведен па латинский язык Герардом Кремон-
ским (1114—1187) под названием «Сокровище оптики»
(Oplicac Thesaurus) и служил основным руководством по
оптпке в средневековой Ёвропе. Этот перевод был напе-
чатан в 1572 г. в Базеле. Ибн ал-Хайсаму принадлежит
около двухсот сочинений по физике, астрономии, матема-
тике и медицине. Главные математические произведе-
ния Ибн ал-Хайсама — «Кнпга комментариев к введениям
книги Евклида „Начала"» (Китаб шарх мусадарат китаб
Уклйдпс фй-л Усул), «О разрешении сомнений в книге
Евклида „Начала"» (Фй халл шукук китаб Уклйдис фй-л
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА 735
Усул). Из других математических сочинений Пбн ал-
Хайсама следует упомянуть трактат «.Об измерении пара-
болоида» (Фй масахат ал-муджассам ал-мукафй), издан-
ный в немецком переводе Г. Зутером1) и трактат «О деле-
нии линии, которое Архимед применил во второй книге
о шаре из цилиндра» (Фи кпсмат ал-хатт аллазй ста’ мала-
ха Аршймйдис фй-л макала ас-санийа фи-л-кура ва-л-усту-
вана), отрывок из которой был опубликован Ф. Венке2).
В своих комментариях к Евклиду Омар Хайям
(1040—1123) ссылается на сочинение Пбн ал-Хайсама«О раз-
решении сомнении в книге Евклида»3). Мы располагаем
фотокопией рукописи этого трактата, хранящейся в Лей-
денской университетской библиотеке (Cod. or. № 516)4),
мпкрофильм которой был нам любезно предоставлен хра-
нителем восточных рукописей этой библиотеки д-ром
П. Вооргуве. Приведя определение параллельных ли-
ний Евклида, Ибн ал-Хайсам говорит, что «не доказано,
что существуют две линии с таким определением, а если
не доказано, существуют ли линии с таким определением,
невозможно пользоваться такими линиями», и далее он
говорит, что «мы доказали существование двух параллель-
ных линий в нашей кнпге комментариев к введениям»5).
Далее, приводя пятый постулат Евклида, Иби ал-Хайсам
также говорит: «мы доказали эту предпосылку в вашей
кнпге комментариев к введениям»6).
Мы приводим перевод двух отрывков пз «Книги коммен-
тариев к введениям книги Евклида» Ибн ал-Хайсама —
доказательство существования параллельных линий (листы
') Н. S u I е г, Die Abhandluug fiber die Ausmessung des Para-
boloides von Ibn al Haitham. Bibliotheca mathematica, 12 (1912),
pp. 289—332.
2) F. H'oepcke, L’algebre d’Omar Albhayjami, Taris,
1851, pp. 91—94.
3) О м a p Хайя м, Математические трактаты, перевод
Б. А. Розенфельда. Псгор.-матем. исслед., вып. VI, 1953, стр. 69—70.
4) Другая рукопись этого трактата имеется в библиотеке
им. Лобачевского в Казани (артбекий фонд, № 103)._
») II б н ал-Хайсам, Фй халл шукук китаб Уклйдис
фй-л-Усул, рукопись Cod. or. № 516 Лейденской университетской
библиотеки, л. 92 об.
6) П б н ал-Хайсам, там же, л. 93.
736
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
162 — 164 об. казанской рукописи и листы 10—12 об.
оксфордской рукописи) и самое доказательство V посту-
лата (листы 170 — 176 и 18—22 тех же рукописей). Казан-
скан рукопись является более полной; текст, пропущенный
в оксфордской рукописи и имеющийся в казанской, на-
бран курсивом; текст, пропущенный в казанской рукописи
и имеющийся в оксфордской, набран разрядкой. Чертежи
имеются только в казанской рукописи (на листах 172
п 176), в оксфордской рукописи для этих чертежей оста-
влено пустое место на листах 19 об. и 22.
Доказательство существования параллельных линий
у Ибн ал-Хайсама начинается с обоснования того, что
можно представить себе бесконечную прямую линию. Ибн
ал-Хайсам подчеркивает, что все, что представляется,
конечно, и под линиями обычно понимаются линии конеч-
ной величины. Для того чтобы представить себе бесконеч-
ную прямую линию, Ибн ал-Хайсам рекомендует пред-
ставить себе процесс «взятия ограниченной прямой линпп
кратной» путем продолжения этой линии в ее направлении
на равные ей отрезки, что можно рассматривать как умно-
жение линии на натуральное число. Ибн ал-Хайсам
не упоминает здесь так называемой «аксиомы Архимеда»
(имеющейся и у Евклида в виде IV определения N книги
«Начал»), согласно которой при этом процессе можно полу-
чить отрезок, больший любого заданного отрезка, но из
того, что впоследствии он пользуется этой аксиомой, видно,
что эта аксиома предполагается им выполненной.
Далее Ибн ал-Хайсам восставляет перпендикуляр к пря-
1и9 мой лпнии и рассматривает движение этого перпендику-
ляра вдоль данной прямой линии. О движении перпен-
дикуляра говорится, что это «одно простое движение,
т. е. без изменения движения, не состоящее из движения
и покоя, одно движение без изгиба». Так как позже Ибн
ал-Хайсам говорит о времени, в течение которого про-
исходит движение, под движением он понимает непрерыв-
ное движение. Под изменением движения, по-видимому,
понимается изменение скорости движения; то, что простое
движение не состоит из движения и покоя, означает, что
движение происходит без остановки; то, что простое дви-
жение — движение без изгиба, означает, что это движение
W JXr**~ «Л*!
-Zyj'KZ—5’'—Vj-> «'J y> «-frj _ Lj '^4 C _s \'f-
/ “
'**•’ j -Л —i 4 -^r^j —^-м'Г1 >M .*
*un^4kA_x'rC.^*.
.r.’l ,^i «.S.,^
'r“e*J ,лU> j-J,_. -~-JO jCv^jU '
.re^f\Z <^ —* xj
£^Л* ^У5 Ч4-. J~\J :
-:rO-jV>-^.L
*Л5 '• -»-^l «U J-JA>-^\^Jt fr -'J^• >~>^
- 4^"*1 *~Ь— v ">’JS * । .X—A
- AiJ Jjrk>3’»LJf~~j-
*-> -»-* *-'л— з L«#jy |_~. _^'
I X .. Ji ’ I -X Г"
-^-^9*- kz-« —LfcW-rLvXi./s-
os*-.2 '<=--^- *»
ъ» ""
bijp- >>,{*-*и«ГЬА_>.^-Ч- |*л*
Рис. 1. Лист 11 об. оксфордской рукописи трактата Ибн ал-Хайсама.
Доказательство существования параллельных линий.
47 Истор.-матем. исслед., вып. XI
738
Б. А.. РОЗЕНФЕЛЬД
переводит в себя прямую линию, т. е. простое движение
есть равномерное прямолинейное поступательное движе-
ние. Далее, используя определение Евклида линпп как
«длины без ширины», Ибн ал-Хайсам показывает, что
верхний конец движущегося перпендикуляра описывает
линию. Далее Пбн ал-Хайсам пользуется неявным пред-
положением, что при «простом», т. е. равномерном пря-
молинейном, движении все точки движутся по конгруэнт-
ным траекториям и проходят за равные времена равные
расстояния, т. е. что простое движение есть параллель-
ный перенос вдоль прямой с постоянной скоростью.
Опираясь на это предположение, Ибн ал-Хайсам показы-
вает, что линия, описываемая верхним концом движуще-
гося перпендикуляра, есть прямая, т. е. что геометриче-
ское место точек плоскости, равноотстоящих от прямой
по одну сторону от нее, есть прямая. Как неявное пред-
положение Ибн ал-Хайсама, так и доказанное им утверж-
дение содержат утверждение, эквивалентное \ постулату:
на неевклидовой плоскости Лобачевского, где V постулат
не выполняется, геометрическое место точек, равноотстоя-
щих от прямой, есть линия постоянной кривизны — экви-
дистанта, и при движении, переводящем в себя прямую,
точки, не лежащие на этой прямой, описывают подобные,
но не равные между собой дуги эквидистант. Эти утвер-
ждения только содержат утверждения, эквивалентные V
постулату, но не эквивалентны ему, так как они не выпол-
няются и на неевклидовой плоскости Римана, где V посту-
лат выполняется, но не выполняется ряд других аксиом
геометрии Евклида: на плоскости Римана геометрическое
место точек, равноотстоящих от прямой, есть окружность
и при движении, переводящем в себя прямую, точки, не
лежащие на этой прямой, описывают подобные, но не
равные между собой дуги окружностей.
Доказательство V постулата у Ибн ал-Хайсама, разу-
меется, в конечном счете опирается па его неявное пред-
положение. Доказательство Ибн ал-Хайсама основывается
на рассмотрении четырехугольника с тремя прямыми угла-
ми (трипрямоугольника), который в литературе по теории
параллельных линий часто называют «четырехугольником
Памберта» по имени немецкого математика Иоганна Геп-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА 739
риха Ламберта (1728—1777). Ибн ал-Хайсам
доказывает, что н четвертый угол трппрямоугольнпка пря-
мой и что его противоположные стороны равны. Доказа-
тельство ведется от противного и по существу рассматри-
ваются те же «гипотеза острого угла» и «гипотеза тупого
угла» об этом четвертом угле, что и у Ламберта. При дока-
зательстве рассматривается также четырехугольник,
состоящий из двух равных прямоугольников с общей сто-
роной при двух прямых углах (равнобедренный двупря-
моугольнпк), который впоследствии рассматривали Хайям,
азербайджанский математик Насир а д-д й н а т-Т у-
с й (1207—1274), немецкий математик Христофор К л а-
в и й (Шлюссель, 1577—1612) и итальянский математик
Джироламо Саккери (1667—1733) и который
часто называют «четырехугольником Саккери». Доказа-
тельства указанных математиков былп основаны на рас-
смотрении равнобедренного двухпрямоугольника и дока-
зательстве того, что верхние углы этого четырехуголь-
ника — прямые, а его верхнее основание равно нижнему.
Саккери был знаком с работами ат-Тусп, ат-Туси'— с ра-
ботами Хайяма, а Хайям был знаком с доказательством
Ибн ал-Хайсама. Мы видим, что идеи Пбн ал-Хайсама
сыграли исключительную роль в развитии теории парал-
лельных линий в течение целого ряда столетий.
2. Доказательство Льва Герсонида
Лев Герсонид или Леви бен Г о р ш о м (т. е.
Лев, сын Гершома пли Гереона) — средневековый еврей-
ский философ, астроном и математик, живший в Южной
Франции. Герсонид известен также под сокращенным
именем Р а л б а г, составленным пз первых букв слов
«рабби Леви бен Гершом». Герсонид родился в 1288 г.
в Баньоле, откуда его французское имя maitre Leon
de Bagnols (maitre и рабби — титулы ученого) п жил
в городах Орапже и Авиньоне, умер он в 1344 г. Основной
философский труд Герсонида «Войны господни» (Милхамот
га-адонай) представляет собой попытку рационализации
еврейского религиозного мировоззрения с помощью фило-
софии Аристотеля. Главные математические произведения
47*
740 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Герсонида — «Дело вычислителя» (Маасе хошеб), посвя-
щенное вопросам арифметики и алгебры, «Книга о нау-
ке геометрии» (Сефер хахмат га-тишборет), посвященная
геометрическим вопросам и «Комментарии к введениям
книги Евклида» (Бейур птпхат сефер Пклидус).
Мы приводим перевод отрывков из «Комментариев
к введениям книги Евклида» Герсонида (листы 102—
108 об. лондонской рукописи).
На комментарии Герсонида к Евклиду, по-видимому,
впервые обратил внимание Д. Е. С м п т в той же замет-
ке, в которой он сравнивал доказательства V постулата
у Хайяма и Саккери1). До этого первым доказательством
V постулата в Западной Европе считали доказательство
Клавия, жившего на 300 лет позже Герсонида.
Доказательство V постулата у Герсонпда является не-
посредственным продолжением доказательств математиков
стран ислама. Несомненно, что Герсонпду было извест-
но доказательство Ибн ал-Хайсама, рассматривавшееся
в § 1; в Баварской государственной библиотеке (Мюнхен)
хранятся две рукописи перевода на древнееврейский язык
части «Книги комментариев к введениям книги Евклида»
Ибн ал-Хайсама, содержащей комментарии к V, VI, VII,
X и XI книгам «Начал» (рукописи № 36 и 290) в переводе
Самуила Тиб б о ни да, законченном в Монпелье
(Южная Франция) в 1270 г.; третья рукопись того же пере-
вода переписана вместе с лондонской рукописью ком-
ментариев Герсонида книгам Евклида непосредственно
вслед за этой рукописью (№ 138/15). По-видимому, пере-
вод комментариев Ибн ал-Хайсама к первым четырем
книгам ь«Начал» был произведен раньше и был распро-
странен в тех кругах, к которым относились Тиббонид
и Герсонпд.
В отличие от Ибн ал-Хайсама, который в своем дока-
зательстве делает логическую ошибку, Герсонпд, так же
как и Хайям, никакой ошибки не делает, и предпосылает
своему доказательству две аксиомы. Одна из этих аксиом—
«аксиома Архимеда», применяемая и Ибн ал-Хайсамом.
D. Е. Smith, Euclid, Omar Khayyam and Saccheri,
Scripta mathematica, 3, К. 1, 1935, pp. 5—10.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПЯТОГО ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
741
Эта аксиома была приведена и в начале геометрического
трактата Хайяма1), который, однако, не использует ее
в доказательстве А’ постулата.
Вторая аксиома Герсонида — «линия, которая накло-
нена, приближается с той стороны, с которой образуется
острый угол». Под «линией, которая наклонена», здесь
понимается прямая линия, обладающая тем свойством,
что прямая, падающая на эту прямую и некоторую данную
прямую, составляет с этими прямыми внутренние одно-
сторонние углы, в сумме меньшие двух прямых. Перед
формулировкой этих аксиом Герсонид замечает, что «если
прямая падает на две прямые и внутренние односторонние
углы меньше двух прямых, всякая прямая линпя, падаю-
щая на них, образует с той стороны внутренние углы мень-
шие двух прямых»; поэтому можно думать, что во второй
аксиоме Герсонида пмеется в виду, что «линия, которая
наклонена», приближается к данной прямой линии на всем
протяжении этих линий. При таком понимании вторая ак-
сиома Герсонида эквивалентна V постулату, но носит более
наглядный характер. Аксиома Герсонида близка к одному
из двух равносильных утверждений, которыми заменял
V постулат Хайям: «невозможно, чтобы две сходящиеся
прямые линии расходились в направлении схождения»2).
Герсонид начинает свое доказательство, так же как
Ибн ал-Хайсам и Хайям, с рассмотрения четырехуголь-
ника и гипотез острого и тупого угла, однако, если Пбн
ал-Хайсам рассматривал трппрямоугольнпк с одним
острым илп тупым углом, а Хайям—двупрямоугольпик
с двумя равными острыми пли тупыми углами, Герсонид
рассматривает четырехугольник с четырьмя острыми или
тупыми углами и опровергает гипотезы о существовании
таких, четырехугольников.
Далее, Герсонид показывает, что если каждые две про-
тивоположные стороны четырехугольника равны, его про-
тивоположные углы равны, что является обобщением
теоремы о равенстве противоположных сторон и углов
трппрямоугольнпка.
!) Хайям, Математические трактаты, стр. 75.
а) Хайям, там же.
742
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Прп доказательстве теоремы о том, что если удвоить
одну из боковых сторон равнобедренного треугольника,
продолжить ее через вершину, противолежащую основа-
нию, п соединить конец построенного отрезка с одним из
концов основания, получится прямой угол, Герсонпд опро-
вергает предположения, что верхнее основание равнобед-
ренного двупрямоугольника больше пли меньше его ниж-
него основания. Эти теоремы близки к теоремам, доказы-
вавшимся Хайямом.
Далее в своем доказательстве Герсонпд использует
теорему о том, что сумма углов треугольника равна двум
прямым углам.
В заключительной части доказательства Герсонид, так
же как Ибн ал-Хайсам, использует «аксиому Архпмеда».
Отмеченные нами параллели между доказательствами
Герсонида и Хайяма показывают, что если Герсонид не
был знаком с работами Хайяма или его последователей,
он пришел к близким к Хайяму идеям, так же как Хайям,
непосредственно отправляясь от доказательства Пбн ал-
Хайсама. Возможно, что доказательство Герсонида было
одним из промежуточных звеньев в доказательстве V
постулата, основанном на рассмотрении равнобедренного
двупрямоугольника, между доказательствами Ибн ал-
Хайсама и Клавия.
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ
ЕВКЛИДА «НАЧАЛА»
Хасан ибн ал-Хайсам Д
162, ю Далее Евклид сказал: Параллельные прямые
линии.— такие, которые лежат в одной плоскости
и если продолжать их в обе стороны бесконечно,
ю об. || они не пересекутся ни с одной из сторон I1]. При
этом линии представляются расположенными в од-
ной плоскости, и не пересекающимися, если продол-
жать пх в каждую из двух сторон, причем эти липни
можно продолжать постоянно в обе стороны одно-
временно и прп этом они не пересекутся, но невоз-
можно представить постоянного прибавления такого
рода, не достигающего конца. Для представления
этого нет пути, так как все, что представляется,
конечно, а линии, о которых здесь говорится, пред-
ставляются линиями конечной величины. Если же
эти величины увеличиваются бесконечно, нет способа
понять и изобразить их концы после увеличения.
Если эти концы не совпадают на конечном расстоянии,
онп таковы, как сказано, но понять существование
двух линий, продолжающихся бесконечно в обе
стороны и не пересекающихся, можно только сде-
лав ясным существование прямых линий этого вида.
Можно представить себе конечное продолжение, но
бесконечное продолжение, необходимое для них,
представить себе нельзя. Путь, позволяющий [пд-
г) Перевод Б. А. Розенфельда.
744
ХАСАН ИБН АЛ-ХАПСАМ
нять] существование прямых линпп этого вида — это
взятие ограниченной прямой линпп, расположенной
на плоскости, кратной: представим себе ограниченную
прямую линпю, расположенную на этой плоскости,
и вторую ограниченную прямую линию, имеющую
с первой лпнпей одну общую точку, и представим се-
бе, что направление второй лпнип совпадает с напра-
влением первой лпнии, смысл этого можно себе пред-
ставить без сомнения. Таким образом, согласно это-
162 об. му | представлению, существуют две прямые линии,
примыкающие в одной точке, ограниченные с обеих
сторон. Далее представим себе еще одну линию, при-
мыкающую ко второй так же, как вторая к первой,
далее четвертую линию, примыкающую к третьей
по примеру первых линий и то же представим себе
и при другом конце первой линии. || Если предста-
вить себе ограниченную прямую линпю взятой таким
образом кратной, она будет увеличиваться в обе
стороны бесконечно, т. е. се можно неограниченно
увеличивать в ее направлении [2].
Далее представим себе другую ограниченную пря-
мую линию, стоящую па первой под прямым углом
в той же плоскости, в которой находится первая
линия. Далее представим себе эту линпю движущейся
одним из ее концов по первой прямой лпнии в одну
из сторон [®]. Ее движение есть одно простое
движение, т. е. без изменения движении, не состоя-
щее из движения и покоя, одно движение без изги-
бов [4]. Если при этом переносе в течение всего вре-
мени движения [переносимая] линия перпендику-
лярна к лпнип на плоскости, т. е. к первой линпп,
расположенной на ней, то конец этой перпендикуляр-
ной линпп за время движения опишет прямую линию,
перпендикулярную к ней [5], и представление этой
линии, как и представление движения этого вида,
возможно. В самом деле, при движении всякой линии
движутся и все ее точки и при этом движении каж-
дая точка описывает линию: при движении всякая
точка сдвигается на некоторое расстояние, т. е.
длину, поэтому всякое расстояние, па которое сдви-
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ 745
гается точка, есть длина без ширины, так как точка
не имеет размеров и прп ее движении-не может полу-
читься ширина, но всякая длина без шприны есть
линпя. Поэтому всякая движущаяся точка описы-
вает линию [®]. Если бы эта линия не представля-
лась ясно, то не представлялось бы ясно движение
точки на расстоянии от движущейся точки, а если
не представляется ясно [движение точки] на расстоя-
163 пип, не представляется ясно п всякая | движущаяся
точка, так как прп движении точки получается линия
таким образом, как мы объяснили.
Если движение линии — одно простое движение,
все точки, находящиеся на лпнип, движутся так,
что их движения равны и подобны [7], так как дви-
жения точек этой лпнпп прп движении линии подоб-
ны для всех положений tточек. Если две точки дви-
жутся в течение одного и того же времени, их дви-
и об. женпя подобны и равны, и они || описывают две
подобные линии, так как движения равны п подобны.
Эти линии равны для всех положений точек п прп
движении точек нет таких расстояний [в], которые
не были бы равны и подобны. Если две точки дви-
жутся таким образом, что пх движения подобны,
и расстояния, на которые онп сдвигаются, также
подобны, а расстояния, на которые сдвигаются точки,
это липпп, получающиеся при движении этих точек,
то расстояния, на которые сдвигаются точки, [подоб-
ны] и, значит, еслп две точки движутся таким образом,
что их движения подобны, прп этом получаются подоб-
ные лпнип. Поэтому, еслп время движений — одно
и то же время или равные времена,— две линии, полу-
чающиеся прп движении, описываются двумя точ-
ками при двух равных движениях и представляют
собой подобные п равные расстояния. Еслп движения
двух точек равны и подобны для всех их положений,
расстояния, которые получаются прп этом, равны
и подобны, так как онп не отличаются ни по величи-
не, ни по форме и подобны для всех положешш точек.
Такпм образом, еслп точки движутся в течение одно-
го и того же времени пли двух равных времен, их
746
ХАСАН ИБН АЛ-ХАЙСАМ
движения равны и подобны и поэтому получающиеся
прп этом лпнии также равны и подобны. Поэтому
прямая линия, перпендикулярная к прямой лпнпи
и движущаяся вдоль нее одним простым движением,
приложена к ней не какпм-нпбудь способом, а ос-
тается в течение всего времени движения перпен-
дикулярной к первой лпнии, т. е. все время равным
образом перпендикулярна к ней, и движения [ее то-
чек] подобны. Если же движения [точек] этой линпп
163 ос. | подобны, движения всех точек на этой линии подоб-
ны, п движения [всяких] двух точек на этой линии
подобны между собой, а если движения двух движу-
щихся точек подобны, они описывают подобные
линии, каждая из которых подобна первой прямой
лпнип, заданной на плоскости. Поэтому, если
перпендикулярная линия движется та-
ким образом, ее концы описывают по-
добные и одинаковые л ин пи, т. е. линпя,
12 описываемая одним из ее концов, накладывается
па заданную первую прямую линию и вторая линия,
описываемая концом первой || линии, накладывается
на прямую линию. Если две линпп описываются
подобными концами, и линия, описываемая одним
концом — прямая, лпнпя, описываемая другим кон-
цом, также прямая, так как два конца движущейся
линпп прп движении этой лпнии описывают линпп,
по которым движутся эти концы в течение одного
и того же времени, движения же двух концов равны,
ибо они, как и вся линия, движутся одним движе-
нием [8]. Если две точки движутся в течение одного
и того же времени и пх движения подобны, расстоя-
ния, на которые они сдвигаются, равны. Поэтому
линпп, описываемые концами движущейся перпен-
дикулярной лпнпи — прямые и также равны. Поэтому
лпнпя, описываемая верхним концом пз двух концов
движущейся лпнип, есть прямая линия, равная тому,
что описывается нижним концом движущейся лпнип
на первой прямой линпп, заданной на плоскости,
вдоль которой движется прямая линпя, верхний ко-
нец которой движется на плоскости в течение всего
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ
747
времени движения на этой плоскости. Поэтому ли-
нпя, которая описывается верхним концом на этой
164 плоскости — прямая линия, равная линии, | которую
описывает нижний конец. Это — две прямые линии,
одна из которых — первая лпнпя, заданная [на плоско-
сти], а другая — лпнпя, описываемая верхним концом
движущейся лпнпп. Перпендикуляры, опу-
щенные из точек полученной ли-
нии на первую линию, расположе-
ны на одной плоскости. Все перпендику-
ляры равны движущейся перпендикулярной линии,
так как движущийся перпендикуляр прп движении
накладывается на все перпендикуляры, опущенные из
точек полученной линии на первую линию. Поэтому,
еслп представить себе перпендикулярную линию дви-
жущейся таким образом, что ее движение постоянно,
и представить себе первую прямую линию постоян-
но увеличивающейся таким образом, как мы опре-
делили, получаются две прямые линии, расположен-
ные на одной плоскости п бесконечно увеличиваю-
щиеся. Расстояние между ними одно и то же, это —
величина движущейся перпендикулярной лпнпп.
Таким же образом представим себе другую линию,
перпендикулярную к заданной первой прямой линии,
перпендикулярную ей так же как представленная па-
мп раньше первая движущаяся линия, перпендику-
лярная заданной первой лпнпп, причем эта вторая пер-
пендикулярная лпнпя равна первой перпендпкуляр-
12 об. ной линии, || и представим себе эту другую перпен-
дикулярную линию, движущуюся таким образом,
что ее двпжеппе подобно движению первой перпен-
дикулярной линии, но движенпе этой второй лпнпп
происходит в сторону, противоположную стороне,
в которую движется первая перпендикулярная лп-
нпя. Представим себе первую линию, постоянно
увеличивающуюся в ее направлении и в другую сто-
рону. Тогда расстояния между этими двумя прямыми
линиями будут равны игр их бесконечном увеличении,
как в одну, так и в другую сторону. Расстояния
между этими линиями в другую сторону равны
748 ХАСАН ИБН ал-хайсам
расстояниям между ними в первую сторону. Таким
образом можно получить две прямые линии, распо-
ложенные на одной плоскости, которые прп беско-
нечном продолжении их в обе стороны не пересекутся
164 об. ни с одной стороны, | расстояния между этими пря-
мыми в обе стороны всегда равны прп пх увеличении
во всякую сторону и невозможно, чтобы они в каком-
нибудь месте пересеклись. Таким образом, парал-
лельные лпнип существуют и таким путем их можно
себе представить. Из того, что мы сказали о парал-
лельных линиях, ясно, что слова, которые сказаны
Евклидом прп определенип параллельных линий, не
могут быть истинными. Такпм образом существова-
ние параллельных линий может быть представлено.
по, is Что касается [утверждения о том], что если пря-
мая линия падает на две прямые линпп и внутренние
углы по одну пз двух сторон меньше двух прямых
[углов], то этп прямые прп продолжении в эту сто-
рону пересекутся [10], то это утверждение — самое
сокровенное из всего, что мы здесь излагаем. Оно
нуждается в доказательстве подобно тому как боль-
шинство [утверждении] нуждается в этом. В этом
доказательстве следует пользоваться предложениями
книги, в доказательстве которых не используется
эта предпосылка. Если это утверждение нужно дока-
зать с помощью предложения, оказывается нужным
сделать его одним пз предложений книгп, чего не
сделал Евклид, который не доказывал его; если до-
казывать его, необходимо сделать его одним из предло-
жений книги, доказанных с помощью предложений,
170 об. | указанных во введении. Эта предпосылка впервые,
используется в двадцать девятом предложении пер-
вой книгп [«Начал»] I11]. Отсюда вытекает, что его
место в книге перед этим предложением, так как
оно не используется нп в одном из [первых] двад-
цати восьми предложений первой книги. Если оно
сделано предложением кнпгп, в его доказательстве
следует использовать [первые] двадцать восемь
предложений или некоторые из них. Сделаем же это
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ 749
утверждение предложением, доказав его примером
и чертежом.
Этой предпосылке должно предшествовать [сле-
дующее]: еслп в концах ограниченной прямой линии
провести две прямые линии, заключающие вместе
с первой линией прямые углы, то каждый пз перпен-
дикуляров, опущенный из [точек] одной пз этих линий
на другую, равен первой лпнпп, заключающей с этими
двумя линиями прямые углы, п всякий перпендику-
ляр, опущенный пз [точек] одной из указанных линий
на другую, заключает с линией, пз которой он опу-
щен, прямой угол.
Пример. Такова линия АВ, пз ее концов А, В
проведены лпнпп AC, BD, причем каждый из углов
CAB, DBA — прямой угол. Далее, предположи
на лпнип АС точку С и опусти из нее перпендикуляр
CD на линию BD. Я утверждаю, что лпнпя CD рав-
на лпнип АВ I12].
Доказательство этого, т. е. того, что противопо-
ложное, невозможно. Пусть, еслп возможно, они не
равны. Еслп CD не равна АВ, то она плп больше
18 об. или меньше ее. Пусть || она больше ее. Продолжим
линию С А в ее направлении в сторону А, пусть это
будет АЕ, продолжим также BD в ее направлении
в сторону В, пусть это будетBF. Отложим [линию] АЕ,
равную АС. Опустим из точки Е перпендикуляр на
лицдю BF, пусть это будет EF. Проведем лпнпп СВ,BE.
Так как линия СА равна АЕ, а линия АВ — общая,
тп. е. линии АС, АВ [соответственно} равны линиям
ЕА, АВ, углы же С АВ пЕАВ равны, как два прямых,
основание СВ равно основанию ЕВ и треугольник С АВ
171 равен треугольнику | ЕАВ. Поэтому остальные углы
[треугольников] равны остальным углам и угол СВ А
равен углу ЕВА. Но сумма углов ABD равна сумме
углов ABF [ как два прямых угла]. Поэтому оставшийся
угол CBD равен [оставшемуся углу] EBF. Угол CDB
равен углу EFB как два прямых [угла]. Поэтому тре-
угольник CDB равен треугольнику EFB, так как два
угла одного пз них равны [соответственно] углам дру-
гого, а стороны СВ, BE этих треугольников равны.
750
Хасан ибн ал-хайсам
Поэтому лпнии CD равна EF. Но [по предполо-
жению] CD больше АВ. Поэтому и EF больше АВ.
Представим себе линию EF движущейся по лпнпи FB,
так что прп этом движении угол EFB остается пря-
мым в течение всего времени движения и EF всегда
перпендикулярна [линии FB}. Если точка F при
движении лпнип EF совпадает с точкой В, то лпнпя
EF наложится на линию В А, так как углы EFB,
ABD равны, ибо каждый из них — прямой угол.
Если же линпя EF наложится на лпнпю В А, точка Е
будет внешней по отношению к лпнпи АВ, причем
превышение будет со стороны точкп А, так как ли-
ния EF, как было доказано, вследствие равенства
углов EFB и ABD, больше лпнип АВ. Поэтому
[линия] EF прп ее наложении на линию ВА будет
линией BII. Лпнпя ВН после этого будет двигаться
в сторону BD, где она будет равна своему первона-
чальному положению. Еслп точка В прп движении
линпп ВII совпадет с точкой D, линия ВII наложит-
ся на лпнпю ВС, так как углы HBF п CDB равны
как два прямых [угла]. Еслп линпя ВН наложится
на линию DC, точка Н совпадет с точкой С, так как
линия НВ есть линия EF, а лпнпя EF равна линпп
С, т. е. совпадает с ней, когда при движении линии
EF вдоль лпнпи FD точка F совпадет с точкой D и
точка Е совпадет с точкой С. Но при определении па-
раллельных линий мы доказали, что если всякая
19 [прямая] лпнпя движется таким || образом, то ее
171 ос. концы описывают прямую линию [13]. Поэтому точка
Е при движении линии EF вдоль | липин FB описы-
вает прямую лпнпю. Но линия, описываемая точкой
Е, есть линия ЕНС. Таким образом, линия ЕНС—
прямая линия. Но линпя ЕАС, по предположению,
прямая линия, соединяющая точки Е с С, и линия
ЕНС, отличная от линии ЕАС, имеет с ней две
общие точки К и С. Так как обе этп линии — прямые,
две прямые лпнип ограничивают поверхность, что
нелепо. Отсюда вытекает, что нелепо и наше пред-
положение о том, что лпнпя CD больше лпнип АВ,
т. е. линия CD не больше лпнии АВ [14].
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ 751
Точно так же доказывается, что линпя CD не мень-
ше лпнпп АВ, так как если бы она была меньше,
точка Н была бы отлична от точки А, и лпнпя ЕНС
вместе с линией ЕАС также представляли бы собой
две прямые лпнпп, ограничивающие поверхность.
Поэтому лпнпя CD не меньше лпнпп АВ. Так
как лпппя CD и не больше линии АВ, эти линии
равны [15].
Точно так же доказывается, что всякий перпен-
дикуляр, опущенный из линии АС на линию BD,
равен линии АВ.
Я утверждаю, что угол DCA — прямой [1в].
Известно, что угол ЕАВ — прямой. Проведем ли-
нию АЕ). Пусть она пересекает линию ВС в точке К.
Лпнпя Л В равна лпнпп CD, [сторона] BD [треуголь-
ников ABD и CDB] общая, т. е. стороны АВ, BD
равны сторонам CD, DB, а угол ABD равен углу CDB
как два прямых [угла]. Поэтому основание AD
равно основанию СВ и треугольник ABD равен тре-
угольнику CD В. Поэтому остальные два угла [тре-
угольника ABD] равны остальным двум углам
[треугольника CBD\,t. е. угол D А В равен углу BCD,
угол ADB равен углу CBD. Но сумма углов CDB равна
сумме углов ABD, поэтому угол АВК равен углу KDC.
Но известно, что угол КАВ равен углу KCD, а ли-
ния АВ равна линии СП. Поэтому треугольник АКВ
равен треугольнику CKD. Поэтому лпнпя АН’равна
линии КС, так как они лежат против равных углов
АВК и CD К. Еслп же лпнпя АК равна линии КС,
то угол К АС равен углу КС А. Но известно, что угол
КАВ равен углу KCD, поэтому сумма углов ВАС
172 равна сумме углов DC А, и так как угол ВАС | пря-
мой, то угол DC А также прямой. Таким образом,
всякий перпендикуляр, опущенный пз [точек] линии
АС, на линию BD, равен линии АВ и образует с ли-
нией АС прямой угол.
Таким жеобразом [доказывается,
что] всякий перпендикуляр, опу-
щенный из [точек] лппипВРна линию АС,
равен линии АВ и заключает с линией
Хасан ибн аЛ-хаЙсам
BD прямой угол, так как доказательство для этпх
19 ос. перпендикуляров || такое же, как для перпендику-
ляров, опущенных пз [точек] лпнпп АС на лпиию BD.
Это и есть то, что мы хотелп доказать.
Пз этого ясно п доказательство того, что линия
С А равна лпнпп DB: еслп из концов прямой лпнпп
BD проведены две прямые лпнпп BA п DC, заклю-
чающие с линией BD прямые углы ABD и CDB, п
линия С А перпендикулярна к линии АВ, то линия
СА равна лпнпп DB.
Если это доказано, то пусть прямые лпнпп АС
и EG ^пересекаются линией BD, п пусть углы DBC
п BDG меньше двух прямых [углов]. Я утверждаю,
что прямые AC, DG, если бесконечно продолжать их
в сторону С, G, пересекаются [17].
Доказательство этого. Пусть углы DBC и BDG
в сумме меньше двух прямых, тогда один из этпх
углов во всех случаях меньше прямого, так как
еслп бы нп одип из них не был бы меньше прямого,
пх сумма не была бы меньше двух прямых, а пх
сумма, по предположению, меньше двух прямых.
Поэтому один пз них во всех случаях меньше пря-
мого. Пусть угол DBC меньше прямого. Если
угол DBC меньше прямого, угол BDG
может быть меньше прямого, может быть больше пря-
мого и может быть прямым. Пусть сначала угол BDG
прямой. Проведем пз точки В прямую В К, заключаю-
172 ос. щую | с прямой BD прямой угол, т. е. угол DBK.
Предположим на линпи ВС произвольную точку,
>-* *** Zf*' *» £>*•
* &* v .'Чг* ~ ^**r -*'•? A
^_У“кд\к^>ЧХ X. 4.1
7^=r*t^ **lAi >-> —^АУУ<-•' 4<^'1м»у
Л»
41sju_.
A/h>\A-£ -
*- Г~. ^jr-j**_J j>r—_> ,• I/^_T ''*S-i*4lJ‘"’t ir —Ij
^y~* -*j^Ar“'--Л“*A*—1>'
^“'•i-t агу*-*4/»Za,JL-i-X_.A-^*“*s-^->—'A,-’^J
<^^=»__.M>—-MU» ^-X_-_*bjr_?V^--'--»'i^**>^A_*'
_i
Рис. 3. Лист 172 из казанской рукописи трактата Ибн ал-Хайсама.
Доказательство теоремы о трипрямоугольнике.
48 Истор.-матем. исслед., вып. XI
ХАСАН ИБН АЛ-ХАИСАМ
754
пусть это будет точка С, и опустим из точки С пер-
пендикуляр на [линию] BD-, он упадет на линию
BD или вне ее со стороны В или со стороны D. Он
не упадет вне линии BD со стороны В, так как если
продолжить линию BD в ее направлении в сторону В,
го она заключает с линией | ВС тупой угол вне линии
BD, и еслп перпендикуляр упадет на линию DB
вне стороны В, CDB — треугольник, один из углов
которого — прямой, тот, который при конце пер-
пендикуляра, опущенного на линию BD из точки С,
а другой угол — тупой, тот, который при точке В,
а это нелепо, так как в семнадцатом предложении
первой книги [«Начал»] доказано, что всякие два
угла треугольника меньше двух прямых [углов]
[181. Перпендикуляр, опущенный из точки С, на
линию BD, упадет со стороны D, но не упадет на
самое точку В, так как если бы он упал на самое точ-
ку D, прямой угол оказался бы меньше прямого угла,
потому что линия, проведенная из точки С в точку D,
пересечет линию BD и, если точка С не находится
на линии ВС, два прямых угла были бы не равны
ДРУГ ДРУгу, что нелепо. Поэтому перпендикуляр не
упадет на точку D. Поэтому перпендикуляр, падаю-
щий из точки С на линию BD, пересекает линию BD
в точке, находящейся между точкамиBnD или в точ-
ке вне этой линии со стороны точки D. Если бы этот
перпендикуляр пересек линию BD во внешней точке
со стороны точки D, получился бы прямоугольный
треугольник, причем точка D была бы на одной из
сторон этого треугольника, но из этой точки к этой
стороне проведена [линия] DG под прямым углом,
т. е. под углом BDG', поэтому линия DG попадает
внутрь этого треугольника и если бесконечно про-
должать линию DG в ее направлении, она пересечет
одну из сторон этого прямоугольного треугольника
или же пройдет через вершину треугольника [181.
Но линия DG не может пересечь перпендикуляра,
падающего из точки С на линию BD, и не может прой-
ти через вершину треугольника, так как если бы она
пересекла перпендикуляр или проходила бы через
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ к ЕВКЛИДУ
755
173 вершину | треугольника, получился бы треугольник
с двумя прямыми углами, что нелепо. Поэтому линия
DG, если продолжить ее в ее направлении, может
пересечь только линию ВС, но если она пересекает
линию ВС, линии DG и ВС пересекаются.
Если же перпендикуляр, опущенный из точки С
на линию BD, не пересекает ее во внешней точке
со стороны В и во внешней точке со стороны D, а
также не пересекает ее ни в точке В, ни в точке D,
он пересекает ее в точке между точками В, D. Пусть
перпендикуляр есть линия СИ и точка Н находится
между точками D и В. [Продолжим линию] СН
го об. н ее направлении || в сторону С и продолжим ее
также в ее направлении в сторону Н, отложим [на
продолжении линии СН линию СС], равную [линии]
СН, отложим [на продолжении линии ВС] линию CL,
равную [линии] ВС, соединимFL. Так как линии ВС,
CL равны, а также линии СН, CF и вертикальные
углы LCF и ВСН равны, основание LF равно основа-
нию ВН и два других угла равны каждый своему
соответствующему. Поэтому угол CFL равен пря-
мому углу СНВ, т. е. угол CFL — прямой. Опустим
из точки F перпендикуляр на линию ВК, пусть это
будет FK. Линия FK равна линии НВ, а угол KFH—
прямой, как это было доказано в предпосылке.
Но угол CFL также прямой, поэтому линия LFK—
прямая. Так как доказано, что линия LF равна
линии ВН, линия LK равна удвоенной линии ВН.
Если линия LK больше линии BD, продолжим
линию BL в ее направлении в сторону L и продол-
жим линию KL в её направлении также в сто-
рону L, отложим линии LM, LN и соединим
НМ, причем линии LH, LM [соответственно]
равны линиям ВК, LK и вертикальные углы HML,
BLK равны. Поэтому основание MN равно основанию
ВК и треугольник NLM равен [треугольнику] BLK
и остальные углы [треугольников] равны остальным
углам, каждый равен соответствующему ему. По-
этому угол N ML равен углу BKL. Но угол BKL — пря-
173 ос. мой, поэтому угол НML | [также] прямой [20].
48*
756
ХАСАН ИБН AM-XAlICAM
Линия LM равна линии LK, т. е. удвоенной линии НВ.
Поэтому линия МК — учетверенная линия НВ.
Опустим из точки N, перпендикуляр на линию ВК
и его продолжение. Тогда NQ — учетверенная линия
НВ. Если продолжим линии BN, QK в их направле-
нии в сторону точки Л , отложим на них линии,
равные соответственно линиям ВК, QN и соединим
их концы, получится треугольник, равный треуголь-
нику BQA и, если опустить из вершины этого
треугольника перпендикуляр на линию BQ и ее
продолжение, этот перпендикуляр — удвоенный пер-
пендикуляр KQ. Но перпендикуляр NQ— учетверен-
ная линия ВИ, поэтому этот перпендикуляр — увосъ-
меренная линия ВН, этот перпендикуляр опущен
из точки на линию BN или ее продолжения на линию
В К и ее продолжение. Таким образом, можно
опускать перпендикуляры из [точек] линии BL
на линию В К и ее продолжение бесконечно. Каждый
из этих перпендикуляров получен удвоением линии
ВН и всех [линий], предшествующих ему. Для вся-
ких двух различных линий, если удваивать меньшую
бесконечно много раз, ее величина станет больше
большей величины. Эта предпосылка раньше не была
нужна для этого доказательства, но Евклид приме-
нял ее в своей книге в других своих доказательствах
I21]. Очевидно, что указанное нами доказывается толь-
ко с ее помощью. Поэтому можно опустить перпен-
дикуляр из точки линии BN или ее продолжения,
который упадет на линию ВК и ее продолжение
и будет больше линии DB. Пусть такой перпенди-
куляр NQ. По [линия] NQ равна МК, поэтому линия
МК больше линии BD. Отложим [линию] КО, рав-
ную BD. R утверждаю, что линия DG, если продол-
жить ее в ее направлении до линии КМ, пересечет
ее в точке О, т. е. она пересечет линию КМ и невоз-
можно, чтобы она не пересекла линии КМ, если
продолжать ее бесконечно. Опустим из точки К пер-
пендикуляр на линию DG и ее продолжение, пусть
174 это KI. [Линия] KI отлична от КМ: если | линия
KI есть линия КМ, точка I находится на линии КМ
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ
757
или ее продолжении, но точка I находится на
линии DGI и если линия KI есть линия КМ, точка
I — общая точка линий DI и КМ, т. е. DI пересекает-
ся с линией КМ, совпадающей с KI, и, значит, DG
пересекается с линией К17. Т аким об разом, линия KI—
не линия КМ [221. Если линия KI — не линия КМ,
они пересекаются в общей точке К. Поэтому угол IKB
отличен от угла МКВ. Линии В К и DI проведены
из концов линии BD и вместе с линией BD заключают
прямые углы DBK и BDI, линия KI перпендикулярна
к линии DI, поэтому угол IKB — прямой по дока-
занному в предпосылке. Так как угол МКВ тоже пря-
мой, эти дваугла равны, но это нелепо и, таким обра-
зом, нелепо наше предположение о том, что линии.
DG, КМ не пересекаются. Поэтому линия DG пере-
секает линию КМ. Я утверждаю, что она пересе-
кает ее как раз в точке О. Пусть они пересекаются
в точке, отличной от точки О, а именно в точке Р.
Тогда точка Р находится между О и К или вне линии
ОК со стороны точки О. Пусть сначала она находится
во внешней точке со стороны точки О, как на черте-
же. Тогда линия РК больше линии КО, а линия КО
равна линии BD. Поэтому линия РК больше линии
BD. Но линии В К и DP проведены из концов линии BD
и каждый из углов KBD, PDB — прямой. Поэтому
линия РК перпендикулярна к линии ВК и линия РК
равна линии BD, но раньше она была больше ее,
что нелепо. Поэтому линия DG не пересекает линию
КО во внешней точке со стороны точки О. Если же
точка Р находится между точками К и О, линия КР
меньше линии BD, но с помощью предпосылки было
доказано, что линия КР равна линии BD, поэтому
то, что КР меньше BD, нелепо. Поэтому линия DG
не пересекает линию КМ таким образом, что они
пересекаются между точками К и О и во внешней точ-
ке со стороны точки О и, следовательно, они пере-
секаются в точке О и имеется линия DGO. Точка О
174 об. находится между точками \ К и М и, следователь-
но, точка О или находится между точками L и М,
или она есть точка L, или она находится между
758
ХАСАН ИБН АЛ-ХАЙСАМ
21
точками К и L. Если точка О есть точка L, линия KL
равна линии BD, линия DG достигает точки L,
которая находится на линии BL. Так как линия DG
достигает точки L, она пересекается с BL. Если точ-
ка О находится между точками К и L, линия LK
больше линии BD и линия DO достигает точки О,
находящейся между точками К и L. Так как линия
DO пересекается с линией LK, она пересекается с ли-
нией BL в точке между точками L, В [23]. Если же ли-
ния DO пересекает линию LK в точке О между точками
Ln М, угол KOD—прямой, так как линия ВК и DO
проведены из концов линии BD и каждый из углов
KBD, ODB — прямой, а линия КО перпендикулярна
к линии КВ. Поэтому в силу предпосылки угол KOD
прямой и линия DO пересекается с линией LM. Если
продолжить линию DO в ее направлении внутрь тре-
угольника LMN, т. е. продолжить в ее направлении
на такое расстояние, что она попадет внутрь тре-
угольника LMN, она пересечет одну из сторон LN,
NM или пройдет через вершину N. Но она не может
пересечь сторону MN, так как если бы она пересекла
сторону MN, получился бы треугольник с двумя
прямыми углами, а это нелепо. То же было бы в слу-
чае, еслп бы она прошла через точку N. Поэтому
линия DO не пересекает линии MN и не проходит
через точку N, хотя и попадает внутрь треугольника
LMN. Если она находится внутри треугольника LMN
и бесконечно продолжить ее в ее направлении,
|| она не пересечет линии MN и не пройдет через точ-
ку N. Поэтому она пересечет линию MN в точке 5
линии DGOS, так что точка £ находится на прямой
линии BCLN и на прямой линии DGOS, и линии ВС
и DG пересекаются в точке Таким образом, если
угол DBC меньше прямого, а угол BDG — прямой,
линии ВС и DG, еслп пх продолжить в сторону точек
С, Си продолжать их бесконечно, пересекутся I24].
Если угол BDG — острый [26] и опустить из
точки В перпендикуляр на линию DG, он упадет со
стороны G, так как если бы он упал со стороны Е,
получился бы треугольник, углы которого были бы
КНИГА КОММЕНТАРИЕВ К ЕВКЛИДУ
759
больше двух прямых [углов], потому что угол [этого
треугольника ] при основании перпендикуляра — пря-
мой, a J угол BDE — тупой, в силу того, что угол
BDG — острый и углы треугольников были бы боль-
ше двух прямых [углов], а это нелепо. Поэтому пер-
175 пендикуляр, опущенный из точки | В на линию DG,
упадет только со стороны G. Если этот перпендикуляр
упадет со стороны С, этот перпендикуляр рассечет
угол DBC, и секущая будет заключать с линией ВС
острый угол. Так как этот перпендикуляр заклю-
чает с линией DG прямой угол, случай подобен тому
случаю, когда линия BD заключает с линией ВС
острый угол, а с линией DG — прямой угол. Поэто-
му, так же как в предыдущем доказательстве, дока-
зывается, что линии ВС, DG пересекутся.
Если угол BDG—тупой[26], то угол BDE — острый.
Разделим линию НО’пополам в точке F и опустим из
точки F перпендикуляр на линию EDG. Он упадет со
стороны Е, так как если бы он упал со стороны G,
получился бы треугольник, углы которого были бы
больше двух прямых углов, потому что [угол этого
треугольника при основании перпендикуляра пря-
мой], а угол BDG — тупой; но это нелепо. Поэтому
он упадет на линию DE. Пусть перпендикуляр будет
РХ. Так как углы DBC и BDG меньше двух прямых
[углов], а углы XDB и BDG равны двум прямым, угол
XDB больше угла DBC. Построим угол FDN, рав-
ный углу FBC, и продолжим DP в ее направлении
до N и, так как углы DNX, DXN [—углы] в тре-
угольнике, т. е. меньше двух прямых [углов], а
угол DXN — прямой, угол DNX меньше прямого
угла, а также угол FNP, вертикальный по отноше-
нию к нему и поэтому равный ему. Поэтому угол
21 об. FNP меньше прямого || и если мы опустим из точки F
перпендикуляр на линию NP, он упадет со стороны Р,
так как угол FNP острый, a FND — тупой. Пусть
этот перпендикуляр — линия FP. Опустим из точки
F перпендикуляр на линию ВС, пусть это будет FS,
Угол LSB треугольника FSB равен углу треуголь-
ника FPD, так как оба они — прямые [углы] и угол
760
ХАСАН ИБН АЛ-ХАЙСАМ
175 об. BFS равен углу | DFP, линия BF равна линии FD,
поэтому треугольник FBS равен треугольнику FDP,
остальные углы [треугольников] равны остальным
углам и угол FBS равен FDP, Линия SFP продол-
жена в одном направлении, а линия ENX пересекает
линию DNF и рассекает угол DFP. Поэтому линия
XF заключает с линией FS угол, стягиваемый линией
SX, линия SX заключает углы как с линией XF,
так и с линией FS. Угол FXD — прямой, поэтому
Рис. 4.
угол SXD — острый. Угол FSC прямой, поэтому
угол XSC — острый. Если опустить из точки S пер-
пендикуляр на линию XD, он упадет со стороны Е,
так как угол SXD — острый и если перпендикуляр,
опущенный из точки 5 на линию DX, упадет со сто-
роны D, он рассекает угол XSC, а если он рассечет
угол XSC, он будет заключать с [линией] SC ост-
рый угол; этот перпендикуляр заключает с линией
XDG прямой угол, поэтому если угол BDG тупой,
существует линпя, пересекающая линии ВС и DG
и заключающая острый угол как с линией ВС, так
и с линией DG, откуда следует, что эти линии можно
соединить и линией под прямым углом к одной из
них. Определив это в том же порядке, что и при пре-
дыдущем доказательстве, докажем, что в случае
Swa»£uj ^jui^-u У
»_/• Ljji* AtM>__-> jy<H Jf «J. UaJ ^F-4' ^*J>L*jA« Jgy-Л1
'5м^Хе^Д'*л—4s_t4j (j-»_)W14 >_> Jj-rf V/uXjA-AS
^“U*4UWVL> *-O' 4А<л'. u-u» z^J4' J‘j4'A»>,f-“л
y ,’,'4? sXjC' <i>"jtr^*
U1 tA*JO -$ ‘ ^*»<<>->
Hr lb45'-**.L)%s*i->’ftl^
h_j ^,u* vK->*-^wj X-1 u1*—*’ ^ri’’4LAbu C
—TA^jxkU-^»* -*£*3*-*
Рис. 5. Лист 176 казанской рукописи трактата Пбн ал-Хайсама,
Окончание доказательства V постулата.
762
ХАСАН ИБН АЛ-ХАЙСАМ
176
22
линий AC, EG, если продолжить их в сторону С, G
и продолжать их бесконечно, они пересекутся.
Поэтому, если прямая линия падает на две прямые
линии, и внутренние углы по одному из двух сторон
меньше двух прямых [углов], то эти прямые линии
при продолжении в эту сторону пересекутся, а это
и есть то, что мы хотели доказать.
| Это предложение — постулат, который, как
говорилось, относится к предложениям первой книги
[«Начал»] и должен находиться перед двадцать девя-
тым и тридцатым предложениями.
|| Мы исключаем его из числа пяти постулатов и до-
бавляем к оставшимся четырем то, что две прямые
линии не ограничивают поверхности [27].
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА
Лев Герев'нид L)
102 | Сказано: если прямая линия упадет на две пря-
мые линии и т. д. ..., если они будут продолжены
в эту сторону, они пересекутся [х].
Сказал Лев: этот постулат очень глубок и не под-
дается легкому доказательству. К тому, что не
является очевидным, относится то, что если два
внутренние угла меньше двух прямых и один' из
них тупой, а другой — острый, то эти прямые пере-
секутся [2]. Также не принадлежит к первичным
понятиям то, что если прямая падает на две прямые
и внутренние односторонние углы меньше двух
прямых, всякая прямая линия, падающая на них,
образует с той стороны внутренние углы [также]
меньшие двух прямых [3]. Человека с тонким мыш-
лением одолевает сомнение в том, даже если он
достаточно углубился в эту науку, и тем более [сом-
нительно это] для начинающего и нет ничего, чтобы
облегчить ему [понимание этого].
В этой науке уже доказано, что еслп между двумя
линиями одно и то же расстояние и в их начале и по
мере их удаления, невоз можно, чтобы они пересек-
лись, даже если бесконечно продолжать их. На эту
предпосылку также может упасть сомнение, если даже
мы признаем очевидным, что эти линии не могут
приблизиться друг к другу [4].
1) Перевод И. Г. Польского.
764
ЛЕВ ГЕРСОНИД
Этот постулат необходим в этой науке, как ты
увидишь в 29 предложении I книги и том, что сле-
дует за ним [в]. Из этого постулата вытекает все,
что относится к параллельным линиям и равенству
углов любого треугольника двум прямым углам.
Поэтому, если падет этот постулат, падет вся эта
наука.
Ввиду этого мы сочли нужным привести доказа-
тельство этого постулата. Это доказательство будет
приведено после 28 предложения этой книги, потому
юг об что Евклпд не пользовался этим | постулатом ни
в одном из этих предложений. Мы предпошлем [это-
му доказательству] две известные предпосылки. Од-
на из них была приведена Евклидом в близкой форме
в пятой книге, а именно, что всякую линию можно
взять кратной столько раз, что она станет больше
какой угодно заданной линии [6]. Эта предпосылка
очевидна и из того, что было сказано предшественни-
ками [7]. А вторая предпосылка состоит в том, что
линпя, которая наклонена, приближается с той
стороны, с которой образуется острый угол [8].
Это ясно из самого определения, ибо само слово
«наклонена» означает, что она приближается с той
стороны, в которую она наклонена. Отсюда становит-
ся ясным, что линии, выходящие из двух острых уг-
лов, приближаются друг к другу с этой стороны,
так как каждая из них наклонена к другой, ибо
смысл острого угла и состоит в наклоне линии с этой
стороны. Таким же образом показывается, что эти
линпи удаляются с другой стороны, еслп они при-
ближаются с этой стороны, так как они выходят из
двух тупых углов с другой стороны и наклонены
в противоположную сторону. Это очевидно, и нет
сомнения в справедливости этого. Этим и будет за-
кончено разъяснение введения к этой книге.
юз ' Что касается предложения о том, что если пря-
мая линия падает на две прямые линии и два внутрен-
них односторонних угла меньше двух прямых, эти
линпи, если продолжить их в эту сторону, Пересе-
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА 765
кутся, то место этого предложения — после 28 пред-
ложения этой I книги.
Невозможен прямолинейный четырехугольник,
все углы которого были бы тупыми или острыми [9].
Пусть, например, фигура ABCD — четырехуголь-
юз об. ник. Мы утверждаем, что невозможно, | чтобы все
его углы были острыми или тупыми. Доказатель-
ство того, что это невозмож-
но. Предположим сначала,
что все углы острые, и про-
должим линию АВ в ее на-
правлении в обе стороны до
точек Н nF. Продолжим так-
же линию CD в ее направ-
лении в обе стороны до точек
G и Е. Так как каждый из
углов FAC и АСЕ — острый, углы НАС и ACG —
тупые, и, следовательно, линии GE и HF удаляются
в направлении точек Н, С и приближаются в на-
правлении точек F, Е. Точно так же, так как каждый
из углов ABD и BDC — острый, углы FBD и BDE —
тупые, и, следовательно, прямые HFn GE удаляются в
направлении точек/1, Е и приближаются в направле-
нии точек Н, G. Но ранее они удалялись в направлении
точек Н, G и приближались в направлении точек F,
Е.’Эта нелепость невозможна [1и], и, следовательно,
не все четыре угла фпгуры ABCD острые. Точно так
же доказывается, что не все четыре угла фигуры АВС
тупые. Таким образом, четырехугольник, все углы
которого тупые илп все углы
D____________ которого острые, невозможен.
7 Это и есть то, что мы хотели
j ^ч / доказать. Если мы хотим по-
/________^^ч^/ строить четырехугольник, каж-
G дые две противоположные сто-
рис 2 роны которого в точности рав-
ны, проведем две произвольные
линии DC и СЕ, заключающие
угол DCE. Проведем прямую линию DE и построим
на линии DE треугольник DEG, из трех сторон
766
ЛЕВ ГЕРСОНИД
104
которого EG равна линии CD, a GD равна лпнпи
СЕ. Фигура CDEG и есть четырехугольник, каждые
две противоположные стороны которого в точности
равны. Таким образом, четырехугольник, каждые
две противоположные стороны которого равны,
| построен. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Если каждые две противоположные стороны че-
тырехугольника равны, его противоположные углы
равны.
Пусть, например, в прямоугольнике ABCD ли-
ния АВ равна линии CD, а линия АС равна линии BD.
Я утверждаю, что два противо-
положных угла САВ и CDB
равны и два противоположных
угла ABD и ACD тоже равны.
Доказательство. Проведем
две прямые линии AD, ВС. Так
как две линии АВ и BD соот-
ветственно равны линиям АС
и CD, а основание AD общее, угол ACD равен
противоположному углу ABD. Точно так же, так
как линии АС и АВ соответственно равны линиям
BD и DC, а основание ВС общее, угол САВ равен
углу CD А. Таким образом, дока-
зано, что противоположные углы
четырехугольника ABCD равны,
т. е. если каждые две противопо-
ложные стороны четырехугольни-
ка равны, его противоположные
углы также равны. Это и есть то,
что мы хотели доказать.
Если одну из боковых сторон
равнобедренного треугольника
продолжить из точки их пересе-
чения в ее направлении на такую
же величину и провести основа-
ние, то оно составляет с первым основанием прямой
угол. Пусть, например, в равнобедренном треуголь-
нике АВС линпп АВ и ВС равны и линия АВ продол-
жена в ее направлении до точки G и линия BG равна
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА 767
каждой из линий АВ, ВС. Пусть также проведена
линия CG. Я утверждаю, что угол ACG прямой.
Ю4 об. Доказательство. Разделим линию АС | пополам
в точке D и проведем линию DB. В одиннадцатом
[предложении] I книги [и] доказано, что угол ADB—
прямой и таков же угол CDB. Продолжим линию DB
в ее направлении до точки Е, так что лпнпя BE
равна линии DB, и проведем линию EG. Так как
линии ЕВ и BG соответственно равны двум линиям
DB и ВС, а именно линия DB равна линии ЕВ,
а линия [ВС, равная линии] АВ равна линии BG,
и углы DBA и EBG равны, основание EG равно ос-
нованию DA, а остальные
углы соответственно равны
остальным углам. Поэтому
угол BEG равен углу ADB,
и, так как угол ADB прямой,
угол BEG также прямой, а
линия EG равна линии DA,
равной линпи CD. Я утвер-
ждаю, что линия CG равна
линии DE [12]. Доказатель-
ство того, что невозможно,
чтобы линия CG была длин-
нее линии DE илп короче
чала, что линия CG длиннее
было возможно, разделим линию CG
ке Н. Так как линия CG длиннее лпнпи DE, то ли-
ния GH, составляющая половину линии CG, длиннее
линии DB, составляющей половину линии DE, и
таким же образом доказывается, что линияСТ/ длиннее
линпи BE. Продолжим лпнпю’’В^ в ее направлении
до точкп L, и пусть линпя BL будет равна лпнии GH.
Продолжим линию BE по прямой до точки К,
и пусть линия ВК равна линии НС. Так как лпнип
СН и HG в точности равны, так же как лпнии ЕВ
ее.
[13].
Допустим
Если бы
пополам в
сна-
это
точ-
и ВК, а линия LB равна линпи GH и линия ВК равна
линии НС, вся линия LK равна линпи CG. Так как
линия BL равна линии ВК, а линпя BD равна лпнпи
BE, остается, что линия DL равна линии КЕ. Таким
768
лев герсонид
образом, линии LD и DC соответственно равны
Ю5 двум | линиям KE, EG, а именно линия LD линии КЕ,
а линия DC — линии EG. Так как прямой угол LDC
равен прямому углу KEG, основание CL равно осно-
ванию GK. Поэтому в четырехугольнике LCGK каж-
дые две противоположные стороны равны. Отсюда
следует, что противоположные углы этого четырех-
угольника также равны, а именно угол KLC равен
углу KGC, а угол KGC равен углу LCG. Но так как
угол CDK, внешний угол прямоугольного треуголь-
ника CLD, прямой, угол CLD меньше прямого, и та-
ким же образом доказывается, что угол GKE меньше
прямого, и из того, что оба угла CLK и LKG острые,
следует, что и противоположные им углы также
острые. Таким образом, получается, что в четырех-
угольнике CLKG все углы острые, что невозможно.
Поэтому линия CG не длиннее линии DE.
Я утверждаю также, что . линия CG не короче
линии DE [14]. Доказательство аналогично: пусть
линия NB равна линии СН и линия ВМ равна ли-
нии HG. Поэтому линия NM равна линии CG. Так
как линия BD равна линии BE, а линия BN равна
линии ВМ, остается, что линия DN равна линии ЕМ.
[С другой стороны] линия CD равна линии EG. Таким
образом, линии CD и DN соответственно равны ли-
ниям СЕ, ЕМ, а прямой угол CDN равен прямому
углу GEM. Поэтому основание CN равно основа-
нию GM. Таким образом, в четырехугольнике NCGM
каждые две противоположные стороны равны. От-
сюда следует, что противоположные углы этого четы-
рехугольника также равны, а именно угол CNB ра-
вен углу CGM, а угол NMG равен углу NCG. Но так
как уголА'МС — внешний угол треугольника MEG,
а внутренний угол MEG [этого треугольника]—
прямой, угол NMG больше прямого, т. е. тупой,
и таким же образом доказывается, что угол MNC
105 об. тупой, а из этого следует, что и противоположные |
им углы также тупые. Таким образом, получается,
что в четырехугольнике NMCG все углы тупые, что
невозможно. Поэтому линия CG не короче линии DE.
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА 769
Но ранее было доказано, что линия CG не длин-
нее лпнпп DE. Отсюда следует, что линия CG рав-
на линии DE.
Но ранее было доказано, что и линпя CD равна
линии GE. Поэтому в четырехугольнике DEGC
каждые две противоположные стороны равны. По-
этому противоположные углы этого четырехуголь-
ника также равны. Но угол DEG прямой. Поэтому
угол DCG также прямой. Это и есть то, что мы хотели
Pec. ft.
из
доказать.
Еслп в каждом прямоугольном треугольнике
разделить пополам сторону, стягивающую [прямой]
угол, и провести из точки деления линию к прямому
углу, то проведенная линия равна каждой пз частей
разделенной стороны [16]. Пусть ADB — прямоуголь-
ный треугольник, а его угол ADB —
прямой. Пусть линия АВ разделена
пополам в точке С. Проведем прямую
линию CD. Я утверждаю, что ли-
ния CD равна каждой из линий Л С,
СВ.
Доказательство того, что невоз-
можно, чтобы линия CD была боль-
ше или меньше каждой из линий АС,
СВ. Предположим сначала, если
это возможно, что линия CD больше
каждой из этих линий. Отложпм
на линии CD линию, равную каждой
СВ. Пусть это будет СЕ. Проведем две
нии АЕ, ЕВ. Тогда ввиду того, что треугольник
АСЕ равнобедренный и одна из боковых сторон,
а именно лпнпя АС, продолжена пз точки пере-
сечения боковых сторон на такую же величину,
т. е. линию СВ, и проведена прямая линия ЕВ,
угол АЕВ прямой. Но ранее угол ADB уже был
прямым. | Таким образом, пз двух концов одной
из сторон треугольника ADB, а именно стороны АВ,
проведены две прямые линии, попадающие внутрь
треугольника и заключающие угол, равный углу,
заключаемому двумя другими сторонами этого тре-
106
линий
прямые ли-
АС,
49 Истор.-матем. псслед., вып. XI
7?0
ЛЕЙ ГЕРСОНПД
угольника, так как прямой угол ADB равен прямому
углу ЛЕВ, но это невозможно [16]. Таким образом,'
линия CD не длиннее, чем каждая из двух ли-
ний АС, СВ.
Я утверждаю также, что линпя CD не короче,
чем каждая из двух линий АС, СВ. [Отложим на
продолжении линии CD линию, равную каждой из
линий АС, СВ. Пусть это будет CG.] Проведем две
прямые линии АС, СВ. Тогда ввиду того, что пря-
моугольник ACG равнобедренный и одна из его боко-
вых сторон продолжена пз точки пересечения боко-
вых сторон на ту же величину, т. е. лпнпю СВ, и про-
ведена прямая линия GB, угол AGB прямой. Но
ранее угол \DB был прямым. Таким образом, из
двух концов одной из сторон треугольника AGB,
а именно стороны АВ, проведены две прямые линии,
попадающие внутрь треугольника и заключающие
угол, равный углу, заключенному двумя другими
сторонами этого треугольника, так как прямой угол
АТ)В равен прямому углу AGB. но это невозможно.
Таким образом, лпнпя CD не
короче, чем каждая пз двух
лпнпи АС, СВ.
Но ранее было доказано, что
линия CD не длиннее, чем каж-
дая пз лпнип АС, СВ. Отсюда
следует, что линия CD равна
каждой из линий АС, СВ. Это и
есть то, что мы хотели дока-
зать.
13 каждом прямоугольном треугольнике два осталь-
ных угла раввы прямому углу. Пусть АВС — пря-
моугольный треугольник, а его угол АВС — пря-
мой. Я утверждаю, что углы ВАС и ВС А вместе
равны прямому углу АВС.
Доказательство. Разделим сторону АС пополам и
проведем прямую линпю DB. Тогда линия BD равна
1иб об.каждой из линий DA, DC. | Отсюда следует, что
треугольник ADB равнобедренный. Таким же обра-
зом доказывается, что и треугольник BDC равнобед-
Рис. 7.
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА 771
репный. Поэтому угол DBC равен углу DCB, а
угол DBA равен углу DAB. Таким образом, оба
угла DAB, DCB вместе равны прямому углу АВС.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
В каждом прямоугольном треугольнике три его
угла равны двум прямым [17].
Доказательство. Несущественно, будет ли тре-
угольник прямоугольным или непрямоугольным.
Если бы он был прямоугольным, это было бы доказано
по предыдущему предложению. Пусть поэтому тре-
угольник будет непрямоугольным. Я утверждаю, что
его три угла равны двум прямым. Например, пусть
непрямоугольный треугольник — треугольник АВС
(рис. 8, 9). Опустим из точки А перпендикуляр на
Рис. 8.
основание ВС, продолженное неограниченно. Это
перпендикуляр AD. Пусть перпендикуляр падает на
линию ВС между точками В, С, как на первом черте-
же. Я утверждаю, что три угла треугольника ВАС
[вместе] равны двум прямым.
Доказательство. Ввиду того, что треугольник ADC
прямоугольный, два угла DAC и DCA вместе равны
прямому углу. Точно так же доказывается, что
два угла DAB и DBA равны прямому углу. Таким
образом, трп угла треугольника ВАС равны двум
прямым углам.
Пусть теперь перпендикуляр AD упадет вне тре-
угольника {ВС, как на втором чертеже. Я утвер-
ждаю, что три угла треугольника ВС А [вместе] равны
двум прямым.
49*
ЛЕВ ГЕРСОНИД
107
Доказательство. Ввиду того, что треугольник ADB
прямоугольный, два угла DAB и DBA равны | пря-
мому углу, а угол DAB состоит из двух углов DAC,
САВ, три угла DAC, CAB, DBA равны прямому
углу. Точно так же, ввиду того, что треугольник ADC
прямоугольный, два угла DAC, ACD равны прямому
углу. Таким образом, три угла DAC, CAB, DBA
равны двум углам DAC, ACD. Отнимем от них об-
щий угол DAC. Тогда два оставшиеся угла САВ,
DBA равны оставшемуся углу ACD. Прибавим
к ним по углу АСВ. Тогда два угла АСВ, ACD
равны трем углам САВ, СВ А, АСВ. Но два угла
ACB, ACD равны двум прямым углам. Поэтому три
угла треугольника АВС [вместе] равны двум пря-
мым углам.
Таким образом доказано, что углы всякого прямо-
линейного треугольника [вместе] равны двум прямым
углам. Хотя в этом исследовании нет необходимости
в этом [утвержденпи], мы все же хотели привести его.
Если в каждом прямоугольном треугольнике про-
должить одну из линий, заключающих прямой угол,
на ту же величину, продолжить
линию, стягивающую прямой
угол, в эту сторону на ту же вели-
чину п провести прямую линию
между концами проведенных ли-
ний, то эта линия вместе с про-
должением линии, заключающей
прямой угол, также заключает
прямой угол [18].
Пусть дан треугольник АВС и
его угол АВС — прямой. Продол-
жим линию АВ в ее направлении
до точки D, и пусть линия BD
равна линии АВ. Продолжим также линию АС в ее
направлении до точки Е, и пусть линия СЕ равна
линии АС, и проведем линию DE. Я утверждаю,
что угол АВЕ — прямой.
Доказательство. Еслп мы проведем прямую линию
CD, то, ввиду того, что угол \ВС равен углу CBD,
КОММЕНТАРИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА
773
линия AZ? равна линии BD, а линия ВС общая, ос-
Ю7 об. нование CD равно основанию | АС. Поэтому тре-
угольник ACD равнобедренный. Так как одна из
его боковых сторон, а именно линия АС, продолжена
на ту же величину, т. е. линию СЕ, угол ADE — пря-
мой. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Если прямая лпнпя падает на две прямые линии,
так что внутренние односторонние углы с одной сто-
роны меньше двух прямых, и еслп из вершины одного
из углов опустить перпендикуляр на другую линию,
то этот перпендикуляр вместе с этой другой линией
заключает острый угол с
той стороны, с которой
два внутренних угла мень- g
ше двух прямых углов [19].
Пусть липин АВ, СЕ —
две прямые линпи, про-
долженные бесконечно, и f
на них падает прямая ли-
ния GD, причем два уг-
ла BGD и GDE меньше
двух прямых углов. Я утверждаю, что если пз
точки G опустить на линию СЕ перпендикуляр
GH, бесконечно продолженный, то угол HGB —
острый, а это угол с той стороны, с которой два
внутренних угла меньше двух прямых углов. А если
из точки D опустить на линию АВ перпендикуляр
DF, бесконечно продолженный, то угол FDE —
острый.
Доказательство. Так как три угла треугольника
GHD равны двум прямым углам, а два угла GDH
uGDE тоже равны двум прямым углам, то угол GDE
равен двум углам GHD и HGD. Добавим общий угол
BGD, тогда два угла BGD п GDE равны трем углам
GHD, HGD и BGD. Но два угла BGD и GDE меньше
двух прямых углов. Поэтому п три угла GHD, HGD и
BGD меньше двух прямых углов. Но угол GHD —
прямой. Поэтому оставшпсся два угла HGD п BGD
меньше прямого. Таким образом, угол HGB ост-
108 рып. Так же доказывается, что угол FDE | острый:
т
ЛЕВ ГЕРСОНИД
и пусть на них падает
прямой угол BFD равен двум углам FGD и GDF,
так как эти два угла вместе равны прямому углу.
Прибавим общий угол FDE, тогда два угла BFD
и FDE равны трем углам FGD, GDF и FDE. Но три
угла FGD, GDF и FDE меньше дву\ прямых углов.
Поэтому два угла BFD и FDE меньше двух прямых
углов. Но угол BFD прямой. Поэтому оставшийся
угол FDE меньше прямого, а это и есть то, что мы
хотели доказать.
Если прямая линия падает на две прямые линии
так, что внутренние односторонние углы с одной
стороны меньше двух прямых, то две прямые линии
при бесконечном продолжении их в ту сторону пере-
секутся [20].
Например, пусть дапы прямые лпнпп АВ и CD,
мая линия АЕ, причем
два угла BAE п AED
меньше двух прямых
углов. Я утверждаю,
что линии АВ и CD при
бесконечном продолже-
нии их в сторону В,
D пересекутся.
Доказательство. Опу-
стим пз точки А пер-
пендикуляр на ли-
нию CD, продолженную
бесконечно. Это будет
линия AG. Уже дока-
зано раньше, что угол
GAB острый. Отметим
на прямой линии АВ
точку, куда бы она ни
попала, это точка//, и спустим из нее перпендикуляр
на прямую линию AG. Пусть это будет линия HF. Так
как угол GAB острый, ясно, что точка F по-
падает на линию AG пли па ее продолжение в сто-
рону С, и ясно, что линию IF можно взять крат-
ной столько раз, что опа станет больше, чем
линия AG [21|. Отложим лпнпю FK по величине
Рис. 13. Листы 107 об. и 108 лондонской рукописи трактата Герсопида.
Окончание доказательства V постулата.
КОММЕНТ \РИИ К ВВЕДЕНИЯМ КНИГИ ЕВКЛИДА
776
ЛЕВ ГЕРСОНИД
линии AF, отложим линию KL по величине лпнип 1Л'
и будем поступать так до тех пор, пока пе получим
Ю8 об. [линию] |, большую линии AG. Предположим, что
линпя AL больше линии AG. Так как угол KFII
прямой, ясно, что если мы продолжим линию АН
в ее направлении на ее величину, т. е. на линию НМ,
и так же продолжим линию AF па линию FK, то
линия, соединяющая точки К и 1/, т. е. линия КМ,
будет перпендикулярна к линии АК, как доказано
выше. Таким же образом будет доказано, что еслп
мы продолжим лпнпю в ее направлении па ее
величину, т. е. на линию МЛ", и проведем прямую
линию AL, то угсл ALA будет прямым. Уже ска-
зано, что угол AGD прямой; поэтому угол LGD
также прямой. Таким образом, две линии GD, L.\
не пересекутся ни в каком направлении. Ввиду того,
что прямая линия GD находится внутри треуголь-
ника ALN, а треугольник ALN конечен, линию GD
можно продолжить в ее направлении до тех пор, пока
она не выйдет из треугольника ALA’ [221. Но невоз-
можно, чтобы прямая линия GD, даже если ее про-
должать бесконечно, вышла между точками L
и Дт, так как тогда непересекающиеся линии GD,
LN пересеклись бы, что нелепо. Я утверждаю.также,
что прямая линия GD не выйдет между точками L,
А, так как, если бы это было возможно и она вышла
бы, как линия GDS. и пересекла бы лпнпю AL в точ-
ке О, две прямые линии GA, GDO ограничивали бы
поверхность, что нелепо. Поэтому остается только
то, что прямая линия GD, еслп ее бесконечно про-
должить, выйдет из треугольника ALN только меж-
ду точками .4, N. Таким образом, линия GD пересе-
чет линию A N. А это и есть то, что мы хотели доказать.
ПРИМЕЧАНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ
ИБН АЛ-ХАЙСАМА И ГЕРСОНИДА
Б. А. Розенфельд
Примечания к доказательству Ибн ал-Хайсама
I. Это — определение 23 I книги «Начал» Евклида,
см. Евклид, Начала, перевод Д. Д. Морду хай-Бо л-
т о в с к о г о, кн. I—VI, М.—Л., 1948, стр. 14.
2. Под прямой линией Ибн ал-Хансам вслед за Евкли-
дом понимал прямолинейный отрезок. Как известно, Евклид
в своем II постулате требовал, чтобы ограниченную пря-
мую .линию можно было непрерывно продолжать (Евклид,
Начала, кн. I—VI, стр. 14). Бесконечное продолжение пря-
мой линии Пбп ал-Хайсам понимает как взятие прямо-
линейного отрезка кратным, т. е. откладывание равных
отрезков в направлении данного отрезка. По-видимому, Ибн
ал-Хайсам считает, что прп этом процессе можно превзойти
отрезок сколь угодно большой длины, что требуется так на-
зываемой «аксиомой Архимеда», применяемой Пбн ал-Хай-
самом впоследствии (см. прим. 21).
3. Применение движения к геометрии у Пбн ал-Хайса-
ма—принпиппальпып шаг вперед но сравнению с традициями
Аристотеля, который считал, что «математические
науки чужды движению» (Аристотель, Метафизика,
М., 1934, стр. 33). С аристотелевских позиций в этом вопросе
Пбн а.Т-Хайсама критиковал Хайям (Хайя м, Математи-
ческие трактаты, стр. 70—71) Однако, как заметил
Ф. А. Касумханов (Теория непрерывных величин
и учение о числе в работах Мухаммеда Наспрэддина Туси,
Труды Института истории естествознания и техники, т. I
(1954), стр. 135), шижение уже открыто применилось в ieo-
метрии ат-Туси. Другой пример применения движения в гео-
метрии имеется в работе Пбн ал-Хайсама, цитируемой
Ф. Вепке (см. сноску 2 на стр. 738); см. также примечания
автора иА. П. Юшкевича к Математическим трактатам
50 Истор.-матем. исслед., вып. XI
778
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Хайяма, Историко-математические исследования, вып. VI
(1953), стр. 146—147. Следует подчеркнуть, что под движением-
Ибн ал-Хайсам понимает непрерывное движение, совер-
шающееся в течение некоторого времени; это видно из того,
что Ибн ал-Хайсам говорит о движениях, происходящих в те-
чение одного и того же времени или в течение равных времен.
4. Под простым движением Ибн ал-Хайсам имеет в виду
равномерное прямолинейное поступательное движение, т. е.
движение с постоянной скоростью, переводящее в себя
некоторую прямую. В дальнейшем Ибн ал-Хайсам без доста-
точных оснований отождествляет это движение с параллель-
ным переносом вдоль прямой (см. прим. 9).
5. Утверждение о том, что линия, описываемая концом
перпендикуляра, движущегося вдоль прямой, т- е. геометри-
ческое место точек, равноотстоящих от прямой по одну сто-
рону от нее, есть прямая, содержит утверждение, эквивалент-
ное V постулату Евклида. Ибн ал-Хайсам пытается доказать
это утверждение с помощью кинематических соображений.
6. При доказательстве того, что при движении каждан
точка описывает линию, Ибн ал-Хайсам применяет II опре-
деление I книги «Начал» (Евклид, Начала, кн. I—VI,
стр. 11). Следует заметить, что у самого Евклида это опреде-
ление нигде явно не используется; это, несомненно, связано
с тем, что, следуя традиции Аристотеля (см. прим. 3), Евклид
стремился избегать применения движения к геометрии (хотя
и не всегда был последователен в этом, как, например, в опре-
делениях шара, цилиндр и конуса—см. Евклид, Начала,
кн. XI—XV, М.—Л., 1950, стр. 10, определения 14, 18, 21).
Наличие у Евклида указанных определений линии и поверх-
ностей вращения показывает, что движение систематически
применялось в геометрии до Аристотеля и Евклида. По-види-
мому, доказательство Пбн ал-Хайсама совпадает с аналогич-
ными доказательствами предшественников Евклида.
7. Под равными движениями двух точек Ибн ал-Хай-
сам понимает такпе движения, при которых эти точки дви-
жутся по конгруэнтным («равным») траекториям и проходят
за равные времена равные расстояния, под подобными дви-
жениями двух точек он понимает такие движения двух то-
чек, при которых они движутся по подобным траекториям и
проходят за равные времена пропорциональные расстояния.
8. Под расстоянием между двумя точками, так же как
под длиной, Пбн ал-Хайсам, вслед за древними, понимал
отрезок, соединяющий эти точки.
9. Предположение Пбн ал-Хайсама, что при «простом»,
т. е. равномерном прямолинейном, движении движения всех
точек подобны и равны, т. е. все точки движутся по конгру-
энтным траекториям и проходят за равные времена равные
расстояния, содержит утверждение, эквивалентное V посту-
лату Евклида. Здесь Ибн ал-Хайсам, используя это предпо-
ложение, доказал, что линия, описываемая конном перпенди-
ПРИМЕЧАНИЯ
779
куляра, движущегося вдоль прямой, т. е. геометрическое
место точек, равноотстоящих от прямой по одну сторону от
нее, есть прямая.
10. Это V постулат Евклида (Евклид, Начала,
кн. I—VI, стр. 14).
11. V постулат впервые применяется в 29 предложении
1 книги «Начал» (Евклид, Начала, кн. I—VI, стр. 41).
12. Здесь Ибн ал-Хайсам доказывает, что противополож-
ные стороны трипрямоугольника равны. Чертеж Ибн ал-
Хайсама (стр. 752) условен: прямой угол САВ на чертеже
изображен тупым. Такое изображение соответствует опровер-
гаемому предположению о том, что CD больше АВ. Так как
угол САВ считается прямым, ломаная САЕ иа чертеже счи-
тается прямой линией.
13. Здесь Ибп ал-Хайсам использует утверждение, до-
казанное им с помощью его неявного предположения (см.
прим. 9).
14. Опровергаемое Пбн ал-Хайсамом предположение
о том, что стороны трипрямоугольника, примыкающие к чет-
вертому углу, больше противоположной стороны, имеет
место в неевклидовой геометрии Лобачевского.
15. Опровергаемое Пбн ал-Хайсамом предположение
о том, что сторона трипрямоугольиика, примыкающая к чет-
вертому углу, меньше противоположной стороны, имеет
место в неевклидовой геометрии Римана.
1(5 . Здесь Пбп ал-Хайсам доказывает, что четвертый
угол трппрямоугольнпка прямой. На чертеже угол DCA,
о котором доказывается, что он прямой, изображен острым.
17. Здесь Ибн ал-Хайсам начинает свое доказа-
тельство V постулата. Сначала рассматривается случай,
когда секущая перпендикулярна к одной из данных прямых,
т. е. доказывается, что перпендикуляр и наклонная обяза-
тельно пересекаются. Чертеж Ибн ал-Хайсама (стр. 760)
перегружен построениями, иллюстрирующими различные
этапы доказательства; различные части этого чертежа отно-
сятся к различным рассуждениям Пбн ал-Хайсама, чем объяс-
няется наличие на этом чертеже различных точек, обозна-
чаемых одинаковыми буквами Е, Ё, Р; при этом различные
части чертежа истолковываются по-разному, например,
прямой угол BDG в разных рассуждениях изображает то
прямой, то острый, то тупой угол. В данном случае на этом
чертеже рассматриваются прямые линии АВС и EDG, кото-
рые служат наклонной и перпендикулярной к лпнпп BD.
18. 17 предложение I книги «Начал», см. Евклид,
Начала, кн. I—VI, стр. 30.
19. Это утверждение, формулируемое Пбн ал Хайсамом
как очевидное, было впоследствии принято за аксиому не-
мецким математиком Морицем Пашем (1843—1913) и
известно под названием «аксиома Паша». Опираясь на это
утверждение, Ибн ал-Хайсам доказывает, что перпендику-
50»
780
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
лнр АВ и наклонная ED пересекаются в том случае, когда
линяя ВН больше линии ВС.
20. На чертеже линия LM, равная линии KL, изображе-
на несколько большей линии KL, а прямой угол LMN изо-
бражен в виде острого угла.
21. Это — аксиома Архимеда, имеющаяся у Евклида
в виде IV определения V книги «Начал» (Е в к л и д, Начала,
кн.-I VI, стр. 142) и не применявшаяся в I книге. Приме-
нение этой аксиомы отсутствует в оксфордской рукописи
трактата Пбн ал-Хайсама, переписчик которой, по-видимому,
пропустил две страницы той рукописи, с которой он иерещ -
сывал трактат, и, дойдя на листе 20 об. своей рукописи до ме-
ста, соответствующего концу листа 173 казанской рукописи,
в середине 9-й строки этого листа сразу перешел к месту, со-
ответствующему' началу листа 174 об. казанской рукописи.
22. Это опровергаемое Пбн ал-Хайсамом положение
изображено им на чертеже, где ломаная DGI изображает
прямую линпю, а тушой угол KIP изображает прямой угол.
23. То, что линия DO=DG пересекается с линией
BL=BC в случае, когда LK больше BD, доказывается ана-
логично приведенному выше случаю доказательства того, что
перпендикуляр и паклонпая пересекаются (см. прим. 19).
24. Доказательство проводится Пбн ал-Хайсамом для слу-
чая, когда 2ВН<.BD<XBH, но совершенно также проводится
доказательство и в общем случае, когда УРВН <BD<2n+lBH.
На чертеже BD=iBH, по, как указывалось в прим. 20,
здесь предполагается, что KL—LM, т. е. КМ — 'iBH, и. сле-
довательно, BD<bBH.
25. Здесь прямой угол BDG чертежа изображает острый
угол. Секущая BD составляет с прямыми АВ и ED два
острых угла. Доказательство сводится к предыдущему случаю.
26. Здесь прямой угол BDG чертежа изображает тупой
угол, а острый угол FXD чертежа изображает прямой угол.
В этом случае секущая BD составляет с данными прямыми
острый и тупой углы. Благодаря доказательству существова-
ния секущей SX. составляющей с данными прямыми два
острых угла, доказательство сводится к предыдущим случаям.
27. Пбн ал-Хайсам добавляет к четырем оставшимся
постулатам аксиому, являющуюся, по-видимому, поздней-
шей вставкой в «Начала» Евклида и переведенную в рус-
ском тексте «Начал» в виде IX аксиомы (Е в к л и д, Начала,
кн. I—-VI, стр. 15).
Примечания к доказательству Герсонида
1. Имеется в виду V постулат Евкгбида (Евклид,
Начала, кн. I—\ I, стр. 14).
2. Имеется в виду наиболее сложный случай доказа-
тельства V постулата, в доказательстве Пбн ал-Хайсама—-
третий случай (см. прим. 26 к этому доказательству).
ПРИМЕЧАНИЯ
781
3 Пз этого утверждения вытекает V постулат, оно не
выполняется па неевклидовой плоскости Лобачевского, где
две расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром,
по одну сторону от которого внутренние односторонние углы
меньше двух прямых углов с одной стороны, а по другую сто-
рону' эти углы меньше двух прямых углов с другой стороны.
Это утверждение не выполняется и на неевклидовой плоско-
сти Римана, где всякие две прямые обладают общпм перпен-
дикуляром.
4. Утверждение о существовании прямых на плоскости,
находящихся на постоянном расстоянии друг от друта, пред-
полагающее, что геометрическое место точек плоскости, рав-
ноотстоящих от прямой по одну' сторону от нее, есть прямая,
содержит утверждение, эквивалентное У' постулату. Этим
утверждепием пользовался Пбн ал-Хайсам (см. прим. 5
к его доказательству).
5. См. прим. 11 к доказательству Пбн ал-Хайсама.
6. Это — аксиома Архимеда, см. прим. 21 к доказатель-
ству Пбн ал-Хайсама.
7. Возможно, что одним из предшественников Герсонпд
считает Хайяма, приведшего эту аксиому в начале геоме-
трического трактата, где изложено его доказательство V
постулата (см. Хайя м, Математические трактаты, стр. 75).
8. Это утверждение, равносильное V постулату, прини-
мается Герсонидом в качестве аксиомы. При этом под «линией,
которая наклонена» (подразумевается: к данной прямой),
понимается такан прямая, что некоторая третья прямая
составляет с этой прямой и данной прямой внутренние одно-
сторонние углы в сумме меньшие двух прямых. Пз приводи-
мого Герсонидом выше утверждения (см. прим. 3) видно, что
Герсонид имеет в виду, что «липин, которая наклонена»,
приближается к данной прямой на всем протяжении этих
прямых. Смысл этой аксиомы в том, что если две прямые
приближаются в одном направлении и удаляются в другом,
то они приближаются в первом направлении и удаляются в
противоположном направлении на всем их продолжении.
9. Это утверждение содержит утверждение, эквивалент-
ное V постулату. На неевклидовой плоскости Лобачевского
возможны четырехугольники с четырьмя острыми углами,
но невозможны четырехугольники с четырьмя прямыми и с
четырьмя тупыми углами; па неевклидовой плоскости Римана
возможны четырехугольники с четырьмя тупыми углами
и невозможны четырехугольники с четырьмя прямыми и с
четырьмя острыми углами.
10. Здесь Герсонид применяет постулируемое им утверж-
дение в той форме, как мы сформулировали его в конце прим. 8.
11. 11 предложение I книги «Начал»—см. Евклид,
Начала, кн. I—VI, стр. 24—25.
12. Здесь доказывается, что верхнее основание равно-
бедренного двупрямоугольника равно нижнему основанию.
782
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
13. Опровергаемое Герсонидом предположение, что осно-
вание равнобедренного двупрямоугольника, не примыкающее
к прямым углам, длиннее основания, примыкающего к этим
углам, имеет место в неевклидовой геометрии Лобачевского.
14. Опровергаемое Герсонидом предположение, что осно-
вание равнобедренного двупрямоугольника, не примыкающее
к прямым углам, короче основания, примыкающего к этим
углам, имеет место в неевклидовой геометрии Римапа.
15. Это утверждение может быть также сформулировано
в виде: середина гипотенузы прямоугольного треугольника
является центром описанного около него крута.
16. Герсонид считает очевидным, что если из двух тре-
угольников с общей стороны один целиком находится внутри
другого, то углы этих треугольников, противолежащие общей
стороне, не могут быть равны. Это—теорема абсолютной гео-
метрии, справедливая как на плоскости Евклида, так и на
плоскости Лобачевского. Справедливость этого утверждения
на плоскости Евклида вытекает из того, что если треуголь-
ники АВС и АВС', второй из которых находится целиком
внутри первого, имеют соответственные углы а, р, f и а',
Р', у', то, по условию, а>а', р>р'. Поэтому из того, что
а+Э4-7=а'+Э'+т'=7г, вытекает, что т<т'. Справедливость
этого утверждения на плоскости Лобачевского вытекает
из того, что площадь треугольника на этой плоскости про-
порциональна угловому дефекту л—а—р—-у. Поэтому, из того,
что п—а—В—7>те—а'—g'—y', т. е. a+p-j-Y>a'+P'“Нт' и 1,3
неравенств а>а’, р>(3' вытекает, что снова 7<y'.
17. Это — часть 32 предложения I книги «Начал»'
(см. Евклид, Начала, кн. I—VI, стр. 43), доказываемого
Евклидом на основании V постулата. На плоскости Лобачев-
ского сумма углов треугольника меньше двух прямых, а на
плоскости Римана — больше двух прямых.
18. Это утверждение явлнется частным случаем утверж-
дения о том, что для всякого треугольника па плоскости Ев-
клида можно построить подобный ему треугольник, отноше-
ние сторон которого к сторонам данного треугольника равно
любому числу: в данном случае это отношение равно 2.
Это утверждение также содержит утверждение, эквивалентное
V постулату, и не выполняется ни на плоскости Лобачев-
ского, ни на плоскости Римана.
19. Это утверждение является частным случаем более
общего утверждения, сформулированного Герсонидом перед
формулировкой его аксиом (см. прим. 3).
20, Здесь Герсонид получает V постулат Евклида.
21. Здесь применяется постулируемая Герсонидом аксио-
ма Архимеда (см. прим. 21 к доказательству Ибн ал-Хайсама).
22. Здесь, как ранее Ибн ал-Хайсам, Герсонид при-
меняет «акспому Паша» (см. прим. 19 к доказательству Пбн
ал-Хайсама).
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
АСель 36, 189, 190, 201, 205, 224,
293, 308
Абрамян А. Г. 30
Абсолон К. 463, 508
Абу-л-Вафа 8, 593—598
Августин 203
Аверроэс 622
Авиценна 626
Авраам беи Якоб 470
Агрнкола Георг (Бауер) 507, 514
Адамар Ж. 460
Адлер 89
Александр Македонский 346
Александров А. Д. 44, 45, 54, 207
Александров И. И. 151
Александров П. С. 37, 4 4, 191, 207
Алексеев Н. Н. 137, 146, 147
Алексин 448
Аленицын А. Д. 154
Алимов Н. Г. 19, 20
Альхазен 733, 734
Альхваризми 486
Аммосов А. М. 157
Амфплохии 544, 548, 550—555
Анаксагор 82, 92, 332
Анаксимандр 239
Анаксимен 239
Андреев К. А. 134, 149, 153
Андреевский М. А. 146
Андронов А. А. 38
Анжелеску А. 578
Анотенко II. М. 154, 156
Антифонт 331, 332
Антропова В. И. 39, 40
Антох Зикмунд из Гельфенберга 482
Анфимий из Тралл 437
Аполлоний 23, 166, 169, 187, 197,
201, 237, 285, 345, 350, 351, 363,
369, 390, 407—417, 420, 436,
442, 443, 450
Аристарх Самосский 350
Аристей 410
Аристоксен 230
Аристотель 18, 19, 23, 28, 63, 65—
69, 71—85, 87, 91, 165, 167, 225,
226, 227, 230, 233, 234, 257, 258,
282, 303, 304, 322, 330, 332, 333,
345, 347—349, 354, 355, 357, 436,
438, 443, 447, 604, 613, 614, 617,
619, 622, 628, 632, 637, 680, 681,
691, 720, 721, 725, 727, 728, 730,
73t, 739, 777, 778
Арнульф 469
Арриага Р. 29
Артавасд Николай 29
Артоболевский И. И. 40
Архимед 20—23, 53, 93, 165—167,
169, 175, 186, 192, 197, 201, 208,
224,237, 238, 252, 284, 285,287—
291, 301, 308, 309, 311, 314, 316,
317, 322, 331, 334—339, 343,
345, 346, 348, 350, 351, 356,
359, 361—406, 408, 416—418, 420,
425, 428, 436, 438, 442, 443, 450,
516, 534, 674, 735, 736, 740, 742,
777, 780, 781
Архит из Тарента 229—231, 233,
235, 238, 241, 246, 260, 280, 281,
295, 296, 30t, 306, 322, 349
Асаки Г. 545, 552, 555, 569, 570
Асаки Д. 555, 556
Асланов К. П. 158
Астапов Т. И. 157
4хиезер Н. И. 37, 40, 41, 207
Базиль Данизль из Дейтшенберга
485
Байо 566
Бакалоглу Э. 557, 565
Баранецкий М. 140, 147
Барановская Я. С. 26
Барбилиан Д. 568
Бари Н. К. 44, 207
Барроу 188, 405, 406
Бартоломей из Хлюмца 476
Бассоль Жан де 727
Бауэр (Агрнкола Георг) 507
Бахмутская Э. Я. 40
Бахчек Мартин из Ноумержиц 485
Баше де Мезирак 436
Башмакова И. Г. 19, 21, 34, 38,
42, 70, 81, 166, 208
Беккер О. 20, 65, 89, 294, 305
Белозеров С. Е. 34, 37
Бельтрано 554
Белянкин И. И. 154
Бенинказа Р. 553, 554
784
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Бёр (Раймар, Урс) 489
Березкина Э. II. 26, 27, 208, 593
Беркли 219
Бернапс 329
Бернулли (бр.) 42, 189, 200, 375, 442
Бернштейн С. Н. 40, 207, 580
Берри А. 230
Бертран 105
Беспамятных Н. Д. 136
Бет 65, 67, 72
Билибин Н. И. 148
ал-Биру ни 24
Бицадзе А. В. 578
Благослав 501
Бланк Я. П. 37
Бобынин В. В. 28, 29, 42, 134, 141,
144, 149, 150—152, 156, 157, 205,
207
Богемский Адальберт 497
Богуславский А. И. 150
Боев Г. П. 16
Бойер К. 32
Бойль 624
Болеслав I 471
Больаи Я. 36, 51, 190, 196, 201
Больцано Б. 36, 189, 201, 308, 328,
515—532
Борхерт 601, 633, 687
Ботез Шт. Н. 557—562
Боушек Войтек 497
Боэций 475, 477, 626
Браге Тихо 481, 486—489, 491, 493,
495, 498, 512
Брадач Петр из Двекачовин 482
Брадвардин Т. 621, 622
Брамагупта 594
Брамер Беньямин 492, 512
Брилль 451
Брно 566
Брненсний Иржи 502
Бройнс 160, 162
Бронштейн И. Н. 97, 111
Броункер 369
Бруине Е. М. 14, 17
Бруновский Ян 487
Бруншвиг Л. 591
Брюссельский Г. 616
Бубнов Н. М. 15
Бугаев Н. В. 134, 139, 140, 144—
146, 148, 150, 152
Будда 547
Букреев Б. Я. 153
Булгарис Е. 550
Булюбаш Г. В. 146, 151
Буняковсний В. Я. 40
Бурали 326
Бурбани 49, 453
Буридан Ж. 620
Бутру П. 49, 453
Быджовский пз Флорентины 485
Бычков Б П 37
Бэкон Роджер 28, 477, 614, 728
Бэкон Френсис 101
Бэр 326
Бюрги И. 491, 495, 496, 512
Бюффие 550, 552
Бюшгенс С. С. 579
Вавржинец из Роницан 482
Вайман А. А. 16, 17
Валлен 455
Валлис Д. 32, 188, 200, 406
Ван Лин 26
Ван-дер-Варден Б. Л. 19, 69, 163,
164, 206, 259, 295, 302, 361, 408,
415, 419, 438, 444, 528 532
Ванце ль 280, 284
Ваповсний 486
Васильев А В. 134, 137, 148, 153,255
Вацлав из Бржезан 507
Вацлав из Жатце 482
Вацлав из Панова 482
Вацлав Св. 470, 473
Вацлав I 471
Вацлав II 475
Вацлав IV 477, 481
Вейерштрасс 31, 33, 189, 201, 205,
224 294, 418, 516, 531
Вейль 434
Венуа И. Н. 577, 578, 582
Венков Б А 34, 36
Венке Ф. 735
Вергилий 422
Верселльский Р. 615
Веселовский И. Н. 14—16, 18, 166,
437
Веспасьян (ими.) 555
Видманн Ян 483
Виет 187, 405, 430, 492, 496
Вилейтвер Г. 35, 191, 437, 601, 602,
612, 629, 633, 637
Вилемовский М атиаш из Брно 482
Вилли анус Томаш 484
Вильгельм IV 495
Вильницкий М. Б. 120, 122
Вильям из Хейтесбери 616
Виноградов II. М. 36, 40, 41
Винтер 3- 498, 511, 513
Винтер Э. 515
Витело 614, 626
Вптри Ф. де 626
Витрувий 368
Виттих Павел из Вроцлава 495
Вихпнг 469
Владислав II 497
Власов А. К. 141, 156
Воевода (Деспот) 550
Волков А А. 157
Вольтерра 575
Вольф Адам 507
Вооргуве П. 735
Вороной Г. Ф. 13, 41, 51, 134, 136,
140, 143, 153, 154, 190
Воскресенский М. И. 157
Востоков И. А. 147
Вратислав 473
Врынчану Г. 582
Выгодский М. Я 14 —16, 18—20, 22,
30, 32, 34, 37, 66 76, 77, 173, 191,
208, 356, 437
Выдра С. 477, 482, 510—514
Габермегл Эразим 488
Габсбурги 484, 508
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
785
Гавел из Страгова 477
Гагаев Б. М. 38, 44
Гайдук Ю. М. 39
Гайк Л. 509
Гапек Тадеаш из Гайка 485, 486,
508
Галанин Д. Д. 157
Гален 612, 613
Галилей 187, 327, 405, 416, 487,
633
Галуа Э. 36, 192. Г.»6, 216, 224, 286,
291—293, 361
Гамильтон 201 249
Ганкель Г. 206, 511, 628
Ганс Давид бен Саломон 487, 512
Гарди 588
Гаррах 472
Гаррисон У. 734
Гасиштейнский Богуслав 507
Гассе Г. 20
Гастер 546
Гаусс 36, 189, 190, 196, 201, 205,
216, 249, 361 434
Гашимзаде М. У. 23
Гегель 330
Гейберг И- Л. 372, 437, 438
Гельбак Г. А. 154
Гельфонд А. О. 42, 207
Генит Иржи из Бардеёва 495
Гентсний Генрих 612, 613
Георгиев Г. 579
Гераклит из Эфеса 232
Герварт из Гогенбурга 494
Гернет Н. Н. 141, 154, 155
Геродот 227
Герои Александрийский 22, 25,
165, 170, 201. 228, 235, 238, 295,
296, 322, 390, 404, 425, 426
Геронимус Я. Л. 42
Герсеванов Н. М. 141, 156
Герсонид Лев 8, 733. 734, 739—742,
763—777, 781—783
Герхард пз Кремоны 478
Гертом Леви бен (Герсонид) 733,
739
Гете 457
Гэе л Петр 501
Гверон 366
Гильберт 36, 63, 66, 138, 141, 190,
197, 201, 329, 358, 359, 456
Гипатия 435, 436
Гиппарх 350, 407, 428
Гиппас 246
Гиппяй из Элиды 285, 340 391
Гиппократ Хиосский 166, 168, 196,
233, 234, 243, 280, 285—287, 335,
355, 360, 418, 455
Гипсикл 418
Глпвенко В. II. 31
Глоговиенсис Иоанн из Глогова
492
Гнеденко Б. В. 34, 36—39, 42, 191,
207, 455, 509
Гобдема Д. 550
Гогу К. 564—566
Годеевский Ян 501
Годнев А. В. 154
Гоерл 11 ржи к 502—505, 514
Голубев В. В. 40, 44, 52, 207, 573, 574
Гомер 443
Гоннет Иржик 507
Гончаров В. Л. 36, 40, 207
Горазд 469
Гордеевский Д. 3. 37
Горки Мартин 487, 512
Гортенэпус 482
Готтард Петр 486
Гофман И. Э. 205
Гохмак X. И. 152
Граве Д А. 140, 151, 156
Грассман 201
Грацианская Л. П. 42
Грдина Я. И. 156
Григорянц Н. А. 157
Гроссетест Роберт 28
Грыл Матуаш из Грылова 485
Гульден 404
Гумпольд 470, 473
Гурьев С. Е. 34
Гус Ян 478, 479
Гусак А. А. 41
Гуссов В. В. 42
Гюйгенс 192, 200, 438
Гюнтер Н. Ы. 41, 155, 580
Давидов А. Ю. 134, 137, 143, 148, 367
Даламбер 103. 104, 189
Данжуа А. 573—575
Даннеман Ф. 438
Данциг Т. 545
Дарбу Г . 567, 571
Дарий 227
Дасса 111, 112, 114
Дасыпус Вацлав из Нюрнберга 486
Дахин С. А. 37
Дедекинд 31, 64, 201 225, 255, 294,
314, 315, 390, 516, 532
Дезарг 416
Декарт 30, 33, 51, 53, 86, 187, 192,
200, 208, 222, 283, 416, 586—588,
591, 603, 633
Декстергойз Э. 20
Делоне Б. Н. 36, 40—42, 120, 152,
153, 191, 207
Демокрит 21, 82, 231, 330, 331, 443
Депмап И. Я. 34, 37, 41
Джон из Дамблетона 616
Ди Джон 488
Дикеарх 349
Дильс 437, 438
Динкельсбюль Н. 628
Динник А. Н. 142
Динострат 308, 338, 340, 341, 343—
346
Диоген Лаерций 230
Диокл 288, 290, 291, 400, 417, 4 18
Дионисидор 288, 290, 400
Диофзнт 22, 23, 170, 187, 197, 238,
292, 322, 429—436, 443, 587,
588, 591, 594
Дирак 577
Дирихле 201, 256
Добровольский Во А. 37
786
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Долбня И. П. 136, 150, 151, 153, 154
Долгушин П. А. 153
Доминик де Клавазио 477
Дороднов А. В. 286, 455
Досифей 364
Ду Ши-жань 26
Дубнов Я. С. 579
Дубравиус Ян 474, 510
Дюгем 601, 602, 605, 610, 612, 613,
615, 620, 621-623, 629, 631, 632,
729, 730
Дюпен 367
Дюран 601, 623, 633
Евдем Родосский 204, 234, 240, 241
Евдокс 20, 230, 232, 281, 283, 304 —
317, 324, 332—340, 345, 346,
349, 355, 356, 361, 362, 364, 366,
370, 376, 377, 379, 385, 390,
409, 426
Евклид 8, 18—23, 51—53, 64, 66, 70—
95, 97—100, 103—113, 117, 121,
127, 163—168, 186, 192, 196, 197,
204, 208, 224, 233, 239, 242, 243,
246—248, 252—269, 272, 274—
278, 282—287, 297—305, 309—
311, 315—323, 335—339, 345, 348,
350—366, 369, 377, 379, 385,
390—392, 407—410, 416, 418,
425 — 427, 436—438, 442, 443,
450, 475 — 479, 488, 610, 614,
617, 622, 669, 720—723, 729,
733—782
Евтокий 288, 400, 404, 418, 436
Егоров Д. Ф. 134, 139, 153, 156,
190, 571, 572
Емануель Д. 565, 566
Емиптцер 4 98
Енек пз Праги 478
Ермаков В. П. 42, 134, 135, 142, 147,
149—151, 153—155
Ершов А. П. 88
Ефимов М. Ф. 157
Жбиковск! н А. К. 147
Жегалнин И. И. 141, 156
Жигон 448
Жильбер 559, 560
Жильсон 603
Жуковский Н. Е. 51, 52, 134, 142,
144, 152
Заботин И. П. 120
Заградка Ян 482
Закс Е. 20
Занчевский И. М. 142, 151, 152
Зейлигер Д. Н. 153
Зелотын Вацлав с Красне Горы 485
Зенодор 418
Зенон 20, 82, 92, 197, 324, 329, 330
Зигель 434
Зигмунд 476
Зинин Н. Н. 137, 148, 151
Золотарев Е. И. 41, 51. 134, 139,
147, 190, 201, 255
Злгпр 229
Зорети Л. 572, 574
Зубов В. П. 20, 28, 29, 42, 166, 613,
615, 636
Зутер Г. 611, 628, 730, 735
Иваненко Д. Д. 576
Ицельсон Н. И. 20, 121, 132
Имшенецкий В. Г. 134, 137, 146, 147,
151
Ионеску И. 533, 545, 550, 563, 569,
570
Исидор из Милета 436
Истратп 557
Кабат И. 509
Кавальери 30, 53, 188, 192, 200,
405
Каган В. Ф. 36, 38, 52, 98, 103, 104,
119—122, 132, 141, 154, 192,
207, 579
Казале Д. из Монферрато 631
Кампан Джованни из Наварры 478
нт* 72
Кантор Г. 189, 201, 456, 482
Кантор М. 167, 205, 326, 359, 438,
511—513, 526, 529
Кардано 625
Карл IV 477
Карл V 498
Карно 30, 192, 208
Карпов В. П. 727
Карр М. 734
Кары-Ниязов Т. Н. 23, 24
Касумханов Ф. А. 23, 777
Каталан 559 — 562
ал-Каши 23, 24, 52, 187
Кеннеди Е. С. 24
Кеплер И. 30, 53, 188, 192, 200, 405,
416,485, 487, 488, 489, 491, 497,
512
Кердонский М. 629
Кесенброт Августин 482
Кестнер 204
Кирвптцер Вацлав Панталеон 498
Кирин Новгородец 29, 469
Кирилл (Константин) 469
Киселев А А. 41
Киселев А. П. 151
Клавдий Хрпстоф 497, 742
Кларет 467, 476
Клатовсний Ондржей 500—502
Клаузен 286, 287, 455
Клейбер И. А. 151
Клейн Ф. 33, 190, 191, 196, 206, 437,
444, 456
Клеро 189
Климеску К. 568
Клини 330, 437
Книжен Петр из Тулехова 485
Кобише Ян из Бытышни 505
Ковалевская С. В. 41, 51, 60, 134,
136, 138, 149, 190, 192, 208, 224
Ковалевский А. О. 144
Ковальский М. Ф. 145, 146, 149
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
787
Кодреску 558
Колидий Вацлав 506
Колин Матоуш 502, 507
Колмогоров А. Н. 32, 38, 44, 45, 54,
191, 207, 211,222, 315, 437, 444,
448, 580
Колосов Г. В. 138, 155
Колъман Э. 22, 36, 448, 532
Коммандино 405
Конон 364
Кононович А. К. 150
Конти А. 552—554
Конторович П. Г, 38
Коншина Т. И. 29
Копернин 350, 486, 487, 493, 494
Коркин А. Н. 134, 139, 140, 148, 150
Котельников А. П. 38, 39 111 120,
155
Котельников П. И. 147
Коши 31 33, 36, 95, 189, 201, 219.
224, 308, 516, 531, 574, 575, 577
Кошляков Н. С. 34
Кояловпч Б. М. 154
Крамар Ф. Д. 32
Крамаренко Б. К. 157
Кремонский Г. 734
Кржиштян из Прахатиц 479—481
Крутков Ю. А. 34
Крчин Якуб из Елчап 507, 514
Крылов А-Н. 30,32, 41,137,138,156
Крянга С. 579
Кубицкий А В. 225
Кузанский Николай 210, 327, 476
Кузьмин Р. О. 41
Кулябко Е. С. 34
Куммер 201, 255
Курилко II. И. 157, 158
Курош А. Г. 207
Курце М. 728
Кутузов Б. В. 120
Кзли 216, 451
КэлугэрянуГ. 576, 579
Лависс 205
Лаврентьев М. А. 44
Лагранж 30, 31, 189, 200, 216, 293,
302, 367, 369, 434, 438, 451
Лагутинский М. Н. 154—157
Лаерций Диоген 230
Лаззр Г. 555
Лалеску Т. 567, 575
Ламберт 738, 739
Ламбриор 554
Лангер Ян 497
Ланнов А. В. 37
Лапин А. И. 225, 515
Лаплас 117, 123—125, 200
Лаптев Б. Л. 38, 97
Лапшин В. И. 149
Латышева К. Я. 42
Лебег А. 456, 574
Лёв Иегуда бен Безалел 487
Леви Хильдегард 161
Левитсний Н. И. 40
Легнер Ф. И. 473
Лежандр 127 128. 438
Лейбензон Л. С. 52
Лейбниц 31, 33, 49, 53, 72, 86, 188,
192, 200, 204, 219, 222, 224, 406,
442, 449, 453, 583, 585, 589
Лейер Ц. 463
Ленин 161, 191, 208, 214, 226, 227,
330, 437, 583
Леон 355
Леонардо Пизанский 283, 292
Летников А. В. 41, 148
Лехнер 500
Ли С. 190, 216
Ли Янь 26
Либман 132
Линдберг Ж. В. 573
Линдеман 196
Линкольнский 614
Линник Ю, В. 41
Липкип Я. А. 157
Липшиц 315
Литвинова Е. Ф. 141, 154
Лихин В. В. 42
Лихо летев И. И. 37
Лобачевский Н. И. 7, 13, 37—40,
42, 51, 52, 97—132, 141, 144,
190, 192, 196, 201 208, 219. 357,
442, 738, 779, 781, 782
Лозинский С. М. 41
Ломбардский П. 614, 615, 723
Ломоносов М. В. 29, 188
Лоренц 126
Лоренцен 63
Лузин Н. Н. 13, 32, 44, 60, 190, 201,
208, 575, 579
Лукан 627
Лунц Г. Л. 38
Лурье С. Я. 15, 20, 22, 32, 437
Львовицкий Киприан из Львовиц
493, 512
Любке 538
Люкей П. 24
Люксембургский Ян 476
Люстерник Л. А. 37, 41. 44, 207
Ляпунов А. М. 13, 41, 60, 190, 192,
201, 208, 224, 580
Мавролино 405
Магницкий Л. Ф. 34, 58, 553
Маджинп 487
Майер 538
Майер Анна-Лиза 601, 602, 608—611,
614, 622, 624, 629, 631, 632, 720—
723, 725, 729
Майер О. 579
Майстров Л. Е. 19
Маклорен 137
Мановельскнй А. О. 231, 24 2, 438
Максимилиан II 484, 486, 494, 498
Максимович В. П. 148
Мамедбейли Г. Д. 23, 733
Мандрокл 227
Мануйлов 149
Мариан В. 533, 550
Марков А. А. (старший) 13, 37,
60, 134, 137, 139 144, 148—150,
190, 192, 201, 2Q8, 224, 58Q
788
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Марков А. А. (младший) 41, 85
Маркс К. 8, 31, 54. 87, 95, 189, 191,
200. 208, 437, 583, 585. 586, 592
Марнушевич А. II. 22. 34. 36. 41.
42, 207, 208
Мзробод 466
Марон И. А. 37
Мартин пз Ленчпц 482
Мартино Я. де С. 629
Марчевский М. II. 37
Марченко В. А. 37
Марцелл 365
Мезерян В. 552
Меланхтон 493. 550
Менделеев Д. II. 135, 143
Менелай 350, 426—42 8
Менехм 281, 308, 345, 346, 409
Мепнингер К. 545
Меньшов Д. А. 44, 575
Мёр Жан де 626
Мере 526
Мерсенн 591
Метон 229
Мефодий 469
Мечников II. II. 144
Мещерский II. В. 151
Минулаш 482
Мплеску Н. 568
Миллер А. 533, 550, 558, 579
Миллер-Лебедева В. 579
Мпльман Д. II. 38
Минковский В. Л. 37
Мино рений В. Ф. 734
Мирон 443
Миттаг-Леффлер Г. 137, 148
Михайлов Г. К. 34
Михок Г. 568, 580
Млодзеевский Б. К. 41, 134, 140—
142, 150, 152
Мовилз П. 568
Могила П. 568
Модззлевскнй Л. Б. 38, 100—102,105
Моисил Г. 568. 576, 577, 582
Молодший В. Н. 19, 34
Мондардье 111, 112, 114
Монж Г. 30, 33, 189, 192. 201
Монтюкла 204
Моравец Марек 485
Моравус Августин 482
Мордухай-Болтовский Д. Д. 18, 22,
28. 30, 33. 66, 72, 74, 77, 355,
438, 723. 777
Морозов В. В. 44
Морозов Г. М. 149
Мусхелишвилп Н. II. 138. 580
Мюнстер Себастьян 499
Нагаева В. М. 37
Назимов П. С. 152
Нзнек Матпаш 507
Натансон И. II. 207
Неандер Михаил 494
Нейгеиатэр О. 14 — 17. 22, 53, 160,
172, 17э, t 76, 179. 180, 181, 192,
205, 415, 419, 444
Некрасов В. Л. 153
Некрасов П- А- 144, 150г 153
Некульче 544
Непер Д. 492, 497
Перлунд 136
Петолипкий Штепанек 506
Нпдем Д. 26
Николай пз Отрекура 28
Никольский К. 576
Никомах из Гераса 429
Никомед 166, 417
Никулеску М. 576, 580
Новиков П. М. 155
Порден А П. 36, 38, 39, 44, 98,
114, 1 16, 207, 579
Иоттар X. 550
Ньютон 30, 32, 51, 53, 86, 192, 200,
208, 219, 222, 224, 406, 416,
583, 585, 589
Натер 451
Овидий 627
Овпедо Ф. 29
Однер 142
Окатов М. Ф. 146
Олонпчев II. М. 39
Опдржеюв Ян 4 81
Оническу О. 568, 580
Оптат Бенеш пз Тельче 501, 502, 513
Орем Николай 8. 28, 601 — 731
Ориган Давид 498
Орлов Г. А. 148
Орныс Матоуш 507, 514
Осиповенип Т. Ф. 40
Остроградскнй М. В. 37, 39, 40, 42,
52, 189, 201, 207, 224, 442, 455
Отго Валентин 487
Павел из Жатце 482
Павлов И. П. 144
Папп 23, 233, 234, 285, 341, 404, 407,
416, 418, 435
Парменид 324
Парфентьев Н. Н. 155-
Паскаль 188, 200, 405, 406, 416, 588
Паулипус Езекиель 499
Паш М. 197, 779, 783
Пеано 64
Пенгам Джои 478
Пенлеве II. 573, 574
Пертлиц Шпман 486
Песоцкий М. Н. 158
Петерсон К. М. 41, 190, 571, 572
Петровский Ф. А. 422
Петросян Г. Б. 29
Петрушевский 103, 438
Пеур'бах 483
Пеуцер Кашпар пз Будишипа 493,
494
Пий II 481
Ник Г. 545
Пикар 567
Пит Т. 16. 160
Питиск Бартоломей 495
Пифагор 92. 241—244, 246, 258, 270,
271, 360, 443, 446
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
789
Пламеневскпй 1Г. II. 151, 153
Платон 18, 19, 49, 165—167, 228,
233, 234, 238, 257, 306, 354, 438,
453, 550, 61э
Плейфер 92
Плиний Старшим 422, 625, 725
Плоой Е. Б. 24
Плутарх 365, 371
Поггендорф 482. 512—514
Погорелов А. Г. 36
Погребысскпй 11. Б. 41
Подольский Шпион 507, 514
Понцер э.,0
Покровский П. М. 136, 152
Полибий 347
Полубармнова-Кочм на II. Я. 41, 207
Польский II. Г. 763
Помпейю Д. 567, 571—575, 577
Понтрягин .1. С. 44
Поп И. 579
Попадопуло-Кералпв 371
Попов А. 137 148
Порецкий П. С. 151, 152, 154
Порта 625
Поссе К. А. 148
Постом Э. 88
Почи некий Н. С. 149
Пракситель 443
Преображенский В. В. 139, 147—
151
Преображенский П. В. 150—153
Преторий пз Яхпмова 494
Префат Ольдржих из Влканова 506
Пржемысловпчп 471, 472, 475
Пржибрам Павел пз Праги 482
Прокл 76, 89, 160. 233, 234, 235,
240—242,297, 345. 351, 354, 355.
408, 418, 424, 436, 728
Проксен Шимон пз Судет 484
Прошек Фр. 508, 509
Прнсиго некий 515
Прудников В. Е- 34, 37, 40, 41
Птолемей 22, 23, 187, 3. 0. 3,1, 407.
423, 427, 428, 436, 443, 477, 478,
481
Пуанкаре 36, 190. 197. 201, 434,
460, 567
Пуассон 451
Пфейффер Г. В. 156
Пюнзе 566
Рабинович К). Г. 155, 157
Рабинович Ю. Л. 39
Радовский М. II. 41
Раик А. Е. 15, 16, 18, 19, 84, 208
Райдемайстер К. 19
Рапмар (Урс) 489
Райнов Т. И. 28, 29
Ралбаг (Герсонпд) 739
Рамбо 205
Ремез Е. Я. 39. 455
Ретик Иржи (Георг) Иоахим 487
Ржегорж 475
Риман Б. 36, 141, 189, 192, 197, 201,
224, 375, 577. 738, 781 782
Рихман 613
Рпнд 175, 205
Рпсс “I. Ф. 153
Ритценфелъд А. 728
Рихтер Кашпар 506
Рпхтер Ян 494
Рооерваль 588
Рогаченко В. Ф 19, 38
Роговская Е. Р. 4 61
Родовскнй Бавор из Густиржан 486
Розенберг Б. А 149
Розенфельд Б. А. 23. 24, 39, 208, 743
Ролль Ы. 31
Романовский В. И. 580
Роммер II. Э. 147
Роомен Андриан ван 486
Российский С. Д. 41
PvOep Ян 487
Рудольф II 486 — 488, 491, 498
Рудольф IV 478
Рудольф Крыштоф из Явора 493
Руффини 190
Рыбкин Г. Ф. 38—40 192
Рыбников К. А. 22, 31—34. 36, 41,
206, 208
Сабинин Е. Ф. 146
Сабо А. 166, 4 48
Садыков X. У. 23, 24
Саккерп Д. 739, 74 0
Санробоско 476—478. 495
Саксонский А. 632, 730
Самим Илья 497
Само 469
Саркаваг Ованес 29
Свентицкпй В. 11. 157
Селиванов Д. Ф. 152, 154, 155
Семушкин Т. 58
Сен-Мартен Б. де 589, 592
Сержеску П. 569, 570, 578
Сидоров Г. N. 147
Сильвестр 144
Силт.виа Энней 481
Симон М. 21, 562
Симонов Н. И. 35, 208
Симпликий 233, 2 34, 418, 436
Синцов Д. М 134, 141 142, 153,
155, 156, 579
Скотт 32
Скультет Абраам 496
Скультетус Бартоломей (Шульц) 486
Славнпковпчи 472
Словацпус Петр 486
Слугпнов Н. II. 149
Слудский Ф. А- 147
Смирнов В. И. 34, 35, 41, 192, 207
Смит Д. Е. 512, 740
Смолин II. 479, 510—514
Спелль Виллеброрд 491
Соколов Н. 11. 140, 152
Сократ 615
Сплин 625
Солон 229
Сонин Н. Я. 41, 134, 136, 143, 146,
150
Сорокин Н. А. 140, 152
Сото 632, 633
790
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Сохоцкпй Ю. В. 41, 134, 139, 148, 149
Спасений И. Г. 29
Спевзип 76, 241 •
Спитигнеев 469, 472, 474
Стамате Я. 551
Станевпч В. И. 150
Станкевич И. В. 155
Старков а. П. 149, 150
Стаций 627
Стёберле Ондржей 482
Стевин 405, 492
Стеглик Кашпар Ладислав из Чен-
нова 486
Стеклов В. А. 41, 134, 138, 152,
156, 190
Степанов В. В. 37, 44, 207
Стибориус 482
Стоилов С. 564, 568, 572, 573, 582
Столяров Н. А. 153
Стройн Д. 206, 444
Струве В. В. 14, 16, 172, 177
Струве В. Я 131, 160
Студничка Ф. 479, 481, 511—513
Стурдзы Г. 556
Суайнсхед Р. 616
Субботин М. Ф. 36
Суворов Ф. М. 39
Суисет Р. 616, 617, 619—622, 632,
721, 722, 726, 729, 730
Султанов Р. М. 23
Суслов Г. К. 140, 151, 152
Сушицний Вацлав 506
Сушневич А. К. 37, 207
Сюй Чунь-фан 26
Таборсний Ян 506, 514
Талызин М. И. 146
Таннери 66, 74, 205, 545
Танстеттер 483
Тарталья Н. 405
Тейлор 188
Теобальд Захариаша 498
Теодорсну Н- 576, 577, 582
Теон 235, 297—301, 435
Теплиц О. 294
Теплицний Иржи 503
Террачини 557, 565
Тертулиан 424
Теэтет 233, 242, 246, 259, 260, 276,
277, 320, 362, 363
Тиббонид С. 740
Тимирязев К. А. 144
Тимофеев Б. Н. 41
Тимченко И. Ю. 616, 621
Тиссеран 566
Тихомандрицкий М. А. 154, 155
Тодгентер 56
Томас 142
Торни Б. 631, 632
Торопов К. А. 135, 151
Тост из Кладсна 498
Триннавелло В. 619
Туманян Г. Т. 30
Тураев Б. А. 14
ат-Тусп Насирэддин 23, 24, 52,
187, 428, 739
Туэ 434
ТюрО'Даежен Ф. 14, 160
Уатт 41
Улугбек 24
Умов Н. А. 144
У нфер дингер Ф. 562
Урене 544
Урс (Бёр) Минулаш Раймар ив Ген-
стеда 489
Урсин Бениамин 497
Урысон П. С. 44, 208, 573—575
Успенский В. М. 158
Успенский Я. В. 140, 156
Фабиан В. 570
Фабри Вацлав 483
Фабриций Павел 508
Фалес 162, 163, 239, 240
Фаминцын А. С. 154
Федоренно Б. В. 38
Федоров В. С. 573, 577
Федоров Е. 216
Фе ид ий 355
Феньо 448
Феодор из Кирены 241, 258, 259, 302
Феон 722
Фердинанд I 498, 501
Ферма 31, 33, 187, 188, 200, 326,
369, 405, 406, 416, 432, 434, 435,
586—591
Фесль 515
Фидий 228, 363
Филиппиде А. 540
Философ 674
Финнинов С. П. 44, 579
Фихтенгольц Г. М. 39, 207
Флоров П. С. 144, 153—156, 158
Фогель К. 14, 15, 29
Фор л и Янопо де 727
Форти 326
Фоссомброне А. 632
Франк Э. 20
Франкль Ф. И. 35, 207
Фризии Г. 499
Фролов П. С 155
Фурье 138, 189, 201, 224
Хаждэу 546, 555
Хаймович М. 579
ал-Хайсам Хасан ибн 8, 733—739,
743—762, 777—782
аль-Хайтам 404
Хайям Омар 23, 24, 52, 187, 283,
304, 735, 739, 741, 742, 777, 781
ал-Ханим 734
Халилов 3. И. 23
Xэндринов М. Ф. 150
Хановснпй Войтех из Свирайип 484
Харет С. 563, 565, 566
Хейтесбери В. 632, 729
Хилькевич Э. К. 39
Хинчин А. Я. 580
Хис Т. 21, 65, 69, 78, 80. 91 164, 437
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
791
ал-Хореами Мухамед-ибн-Муса 24,
187
Хотимсний М. С. 123
Хотиниул, см. Амфилохий
Хулубей Д. 579
Хулча Ф. 548
Цейтен Г . Г. 19, 21, 168, 169, 191,
205, 258, 282, 302, 353, 357, 362,
409, 415, 419, 437, 438
Цингер В. Я. 152
Цицейка 563, 567, 571
Цицерон 364, 633
Цтибор 482
Цхакай Д. Г. 29
Цянь Бао-Цзун 26
Чакалов 286
Чаплыгин С- А- 51, 52, 137, 138, 155,
190
Чвалина А. 21
Чеботарев Н. Г. 30, 36, 38, 196, 207,
286, 287, 455
Чебышев П. Л. 13, 37, 40, 41, 51,
134—136, 139, 144, 146, 147,
190, 192, 196, 201, 208, 215,
224, 256, 561, 562, 578, 579,
580
Чех E. 526, 529
Чехович В. К. 149
Чистяков И. И. 155
Чудаков Н. Г. 41
Шаль М. 206
Шапиро Г. С. 140, 150
Шатуновский С. О. 89, 140, 141,
153 155
Шафаревич II. Р. 41, 225, 259
Шацон 151
Шварц 418
Швецов К. И. 29
Шеи рок И. И 151, 154
Шенфельд Викторин 497
Шереметевский В. П 191, 437
Шилов Г. Е. 207
Шпмновиц из Клатов 500
Шпндель 481
Шинная 552
Ширинацп Ананий 29
Широков П. А. 579
Шифф П А. 137, 149
Шмидт 1 38
Шольц 20, 65—67, 71, 78
Шостак Р. Я. 41
Шрам Павел из Будишова 505
Штаудт 201
Штейнер 201
Штокало И. 3. 41
Шуд Ммкулаш из Семанина 482
Шульц (Скультетус) 486
Щепанский И. А. 151
Щукарев А. Н. 157
Эвпалин 227
Эйлер 30—35, 39, 41, 51, 58—60,
188, 189, 192, 200 208, 256, 293
302, 367, 369, 431, 434, 453
Энгель 121
Энгельбрехт 475
Энгельс 17, 191 200, 212, 214, 227,
583, 585
Эпосл 65
Эратосфен 86, 349, 364, 369—372
Эренфест П. С. 156
Эсхил 443
Юнге 4 89
Юнгманн 467, 509, 511—514
Юстиниан 424, 436
Юшкевич А. П. 20 24, 26, 32, 38,
51, 16G, 192, 208„ 225, 448, 456,
587, 589, 593, 596, 734, 778
Якоб бен Авраам 470
Якоби 451
Якопо де Форли 727
Янопо из Мессины 631
Якопо из Неаполя 629
Ямнитцер Вацлав 498 513
Ямнитцер Иоганнес 498
Ян из Бржезницы 478
Яновская С. А. 15, 16, 18, 20, 31, 33,
37, 38, 41, 122, 225, 587, 589
Яраланц П. Е. 157
Ярку 552
Яр ни к В. 531, 532
Яшек М. 515
Abason' Е- 567
Asclibach J. 628
Bachmann F. 526, 532
Bedreag C. G. 565
Bergan 513
Bohm J. G. 508, 509, 512
Boquet F. 513, 514
Bosnians H. 511, 512
Boyer С. B. 586, 730
Brezan V. 514
Casali J. de 631
Certaldese Giovanni Boccaccio 478
Certaldo Joannes Bocatius de 478
Cimpan F. 570
Clagett M. 725, 729
Crosby L. 622
Czizek R. 508
Cechura Fr. 514
Cupr K. 511, 512, 513, 514
Denomy A. J. 605, 617
Doppelmayr J. G. 513
Dreyer J. Ь. E. 512
Dudik B. 511
792
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Ееске Р. 438
Flsclier J. 509
Flajslians V. 510
Friedl Ant. 509
Funkouser H. G. 629
Gellner G. 510, 511
Gillings R. I. 446
Gmeiner J. A. 526, 532
Gcrland 66
Grabmann M. 728
Grunwald M. 512
Gtlnther S. 628
llammersclnnid J. Fl. 510
Hanka V. 510
Haret S. 566
Hartmann J. 510
Holub J. 509
Honl Ivan 510, 514
Horangi A. 513
Hruska A. 512
Jourdain Ch. 725
Kaderavek Fr. 510
Katz Vikt. 509
Keine M. 203
Kihre P. 605
Kliem F. 438
Knopp K. 529—532
Koch E. 511
KopeCny Fr. 509
Kuchaf K. 514
Leber E. J. 509
Leyerer C. 508
Lietzmann W. 508, 509
Lochenr G. W. K. 513
Loroy W. 514
Lupac Prokop 510
Mannsbarth J. 508
Mansion 66
Marx F. 510
Matejtek Ant. 509
Menut A. I'. 605, 617
Michaud 66
Michel 438
Miklosich F. 510
Moody E. A. 612
f
Nejedly Zd. 511, 532
Nespor V. 511
Neudorfer J. 513
Novaiek V. 514
Novotny V. 509, 510
Pelzl M. 512
Perron O. 529, 531, 532
Petrlk J. 514
Pic J. L. 508, 509
Plassmann J. 512
Prochazka Fr. 510
Resenberg M. 513
Rossnagel P. 512
Ry!a B. 510
Rychlik K. 532
Sarton G. 508, 510, 511
SedlaCek A. 509
Schulz V. 514
Skutil J. 508
Slouka H. 509
Sominervogel 513
Stocky A. 508, 509
Stolz O. 526
Stransky J. B. 514
Salranek J. 509, 510
Straus J. 513, 514
Siniak J. 509
Sujan F. 509
Tadra Ferd. 510
Teige J. 514
Teply Fr. 510
Thomson S. H. 728
Thorndike L. 605, 626, 723, 724, 725
Toinek V.V. 510, 511
Tropfke J. 511, 512, 513
Tune J. de 614
Vasica Jos. 509
Vetter Q. 508—511, 513, 514
Vlcek J. 510
Aoellmy E. 512
Vok Petr. 514
Waard M. C. de 589
Wagner T. 514
Wilson C. 729
Winter E. 532
Wirth Zdenek 510
Woelmy E. 512
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
После того как выпуск был напечатан мною замечена
досадная описка. На стр. 294, строка 20—21 сверху, напе-
чатано: «и метод непрерывных дробей Вейерштрасса. Все
эти способы были найдены лишь в 70-х годах XIX века».
Следует читать: «и метод непрерывных дробей. Все эти
способы были найдены не ранее 70-х годов XIX века».
И. Башмакова
Историно-Математпчесние
исследования, вьш. XI