Author: Корявов В.П.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика задачи по физике ядерная физика
ISBN: 978-5-4363-0041-2
Year: 2012
Text
В.П. КОРЯВОВ
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В ОБЩЕМ КУРСЕ
ФИЗИКИ
АТОМНАЯ
И ЯДЕРНАЯ
ФИЗИКА
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений
Российской Федерации
по образованию в области
прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
«Прикладная математика и физика»
и по другим направлениям и специальностям
в области математических и естественных наук,
техники и технологии
Москва «Студент» 2012
УДК 539.1
ББК 22.3
К66
ПЭВМ 978-5-4363-0041-2
К66
Рецензенты:
кафедра «Менеджмент» Московского государственного института радио-
техники, электроники и автоматики (технического университета), зав. ка-
федрой — канд. техн. наук, доц. И]? Кудрявцева; д-р экон. наук, проф.
С.В. Смирнов (Московский государственный индустриальный универси-
тет)
Корявов В.П.
Методы решения задач в общем курсе физики. Атомная
и ядерная физика: Учеб. пособие / В.П. Корявов. — М.: Сту-
дент, 2012. — 327 с.: ил.
[БВМ 978-5-4363-0041-2
В учебном пособии подробно разобраны методы решения задач по
курсу атомной и ядерной физики. Задачи систематизированы по разделам,
каждый из которых предваряется кратким изложением теоретического ма-
териала.
Для студентов, бакалавров и магистров технических вузов, а также
преподавателей физики в учреждениях высшего и среднего профессионального
образования.
УДК 539.1
ББК 22.3
© ооо «тид «Студент», 2012
Предисловие
В данной книге продолжается рассмотрение методов решения
задач в общем курсе физики, начатое в вышедших книгах: Коря-
вов В.П. Методы решения задач в общем курсе физики. Механи-
ка: Учеб. пособие — М.: Высшая школа, 2007 (2-е изд.‚ исп. — М.:
ТИД «Студент», 2012); Корявов В.П. Методы решения задач в об-
щем курсе физики. Термодинамика и молекулярная физика: Учеб.
пособие — М.: Высшая школа, 2009; Корявов В.П. Методы реше-
ния задач в общем курсе физики. Электричество и магнетизм:
Учеб. пособие — М.: ТИД «Студент», 2011; Корявов В.П. Методы
решения задач в общем курсе физики. Оптика: Учеб. пособие —
М.: ТИД «Студент», 2012 . Ссылки на перечисленные издания
в тексте будут отмечаться цифрами 1, 2, 3 и 4 соответственно с
указанием страниц. Здесь повторяем часть предисловия к вь1шед-
шим книгам.
Особенности преподавания физики в Московском физи-
ко-техническом институте (МФТИ) заключаются, во-первых,
в значительности затрачиваемого времени (шесть семестров) и,
во-вторых, в привлечении к преподаванию по совместительству
сотрудников исследовательских физических институтов Россий-
ской академии наук (РАН) и различных министерств, т. е.
высококвалифицированных специалистов.
Любая практическая деятельность физиков фактически сво-
дится к решению конкретных задач. Понимание этого привело
к тому, что и в процессе обучения, и при проверке знаний на экза-
менах на кафедре обшей физики МФТИ большое внимание уде-
ляется умению решать задачи. Поэтому все экзамены включают
письменные контрольные работы. О достаточной сложности
предлагаемых задач свидетельствует то, что студентам на письмен-
ных экзаменах разрешается пользоваться учебниками, конспекта-
ми и другими учебными пособиями.
Придумывать новые задачи — обязательное требование к со-
трудникам кафедры общей физики. О количестве задач можно су-
дить, например, по тому что в первом семестре, посвященном
изучению механики, необходимо иметь 20 задач (контрольная ра-
бота по первому заданию и Экзаменационная работа по два вари-
анта из 5 задач). Эта трудная работа (придумывание задач) прово-
дится на кафедре более полувека. Накоплено много хороших за-
дач. Практически исчерпаны все возможные варианты. Лучшие
и показательные (представительные) задачи вошли в три тома
сборника под редакцией В.А. Овчинкина. В первом томе (Сбор-
ник задач по общему курсу физики: В 3 ч. / Под ред. В.А. Овчин-
3
Введение
Методы решений новых задач создаются на основе общих све-
дений о рассматриваемых явлениях и известных методах решения
аналогичных задач.
Затруднения при решении задач следует преодолевать допол-
нительными усилиями, в частности, чтением учебников, беседой
с однокурсниками, обсуждением на семинарских занятиях с пре-
подавателями. Данная книга может быть полезна, если самостоя-
тельные упорные предварительные попытки найти решение зада-
чи не дают результата. Автор старался, чтобы книга не бьша «ре-
шебником»‚ а помогала освоить методы решения задач, проясняла
трудные вопросы. Если человек не хочет научиться решать задачи,
а стремится лишь к сдаче тетради с выполненным заданием, то он
найдет, откуда переписать готовые решения, может быть и непра-
вильные, и сделает это без настоящей пользы для себя. Автор на-
деется, что, воспользовавшись этой книгой, даже ленивый че-
му-нибудь научится.
В общем курсе физики атомная и ядерная физика существенно
отличается от школьной программы.
Решение задач полезно проводить по следующему плану:
1) хорошо понять условие задачи, используя рисунки и до-
полняя их затем по ходу решения;
2) обдумать условие задачи и возможные пути и варианты ре-
шений;
3) используя нужные физические законы, выписать уравне-
ния и, если они в векторном виде, то выбрать удобную систему ко-
ординат, и записать уравнения в проекциях;
4) выписать дополнительные условия, которые необходимы
для решения задачи, и написать решение уравнений;
5) провести анализ результатов решения: по единицам изме-
рения, правильности предельных значений полученных зависимо-
стей (с учетом области применимости решения), разумности по-
рядков вычисленных величин (по грубым оценкам и здравому
смыслу).
Цель данной книги — показать, как общие физические зако-
ны, которые кратко изложены, позволяют решить большое коли-
чество задач.
кина. — Ч. 1. Механика. Термодинамика и молекулярная физи-
ка. — 2-е и3д.‚ испр.и доп. — М.: Изд-во МФТИ, 2002) содержится
1060 задач по механике и 827 задач по термодинамике и молеку-
лярной физике. Во второй том (Сборник задач по общему курсу
физики: В 3 ч. / Под ред. В.А Овчинкина. — Ч. 2. Электричество
и магнетизм. Оптика. - М.: Физматкнига, 2004) включено 715 за-
дач по электричеству и магнетизму и 627 задач по оптике. В треть-
ем томе (Сборник задач по общему курсу физики: В 3 ч. / Под ред.
В.А.'Овчинкина. д Ч. 3. Атомная и ядерная физика. Строение ве-
щества. — 2 изд.‚ испр. и доп. — М:. Физматкнига, 2009) содер-
жится 625 задач по атомной и ядерной физике и 576 задач по
строению вещества.
В предлагаемой книге систематизированы и приведены мето-
ды решения задач по атомной и ядерной физике, содержащихся
в указанном третьем томе (номера задач даны в скобках). Каисдый
из 10 тематических разделов начинается с краткого изложения ос-
новных теоретических сведений.
Основные источники литературы, которые использованы при
подготовке данной книги: Сивухин Д.В. Общий курс физики.
Атомная и ядерная физика. — М.: Наука. — Ч. 1, 1986 и Ч. 2, 1989;
Гольдин Л.Л. Введение в квантовую физику / Л.Л. Гольдин,
ПИ. Новикова. — М.: Наука, 1988; Ципенюк Ю.М. Квантовая мик-
ро- и макрофизика. — М.: Физматкнига, 2006; Белонучкин В.Е. Ос-
новы физики. / В.Е. Белонучкин, Д.А. Заикин, Ю.М. Ципенюк. —
Т 2. — М.: Физматлит, 2001; Иродов И.Е. Квантовая физика, З-е
изд. — М.: Бином, 2007; Капитанов И.М. Введение в физику ядра
и частиц. — М.: УРСС, 2002, методические пособия для препода-
вателей, написанные Д.А. Заикиным и пояснения к решениям за-
дач в указанном ранее третьем томе сборника задач, написанном
В.А. Овчинкиным, А.О. Раевским и Ю.М. Ципенюком.
Предполагается, что основными читателями данной книги мо-
гут стать преподаватели и студенты физических специальностей
университетов и институтов, а также учителя средних
общеобразовательных школ.
Более 40 лет автор имел возможность общаться с сотрудника-
ми кафедры общей физики МФТИ и благодарен им за все полез-
ное, что смог от них почерпнуть, а именно, профессорам Ю.А. Са-
марскому и А.В. Максимычеву — за поддержку моей работы,
А.В. Гуденко и Ю.В. Юрьеву — за полезные замечания, сделанные
ими после детального ознакомления с рукописью книги. За по-
мощь в издании книги выражаю большую благодарность Д.П. Ко-
рявову
Автор
1 . Фотоны. Фотоэффект.
Эффект Комптона
Представления о свете как об электромагнитной волне позво-
лили объяснить многие явления и результаты измерений. Однако
этих представлений оказалось недостаточно, в частности при объ-
яснении результатов исследования спектра теплового излучения.
Так называется излучение нагретых тел. Для удовлетворительного
описания спектра излучения черного тела пришлось ввести не-
обычное в классической физике предположение, о том, что части-
цы тела, рассматриваемые как осцилляторы, могут излучать и по-
глошать световую энергию только порциями, а не любыми коли-
чествами, как предполагалось в классической физике.
В дальнейшем подтвердилось предположение о том, что свет
и распространяется в виде порций (квантов), которые, обладая
энергией и импульсом, ведут себя подобно классическим части-
цам. Это позволило объяснить ряд наблюдавшихся эффектов.
Порции энергии (Е), введенные Планком для теплового излу-
чения, называемые квантами, связаны с частотой световой волны
У И ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 7» СООТНОШСНИСМ
Е = т = Ис/Ж, (1.1)
где 11 — постоянная Планка, которая по современным данным
И = 6,626176 -10 ‘27 эрг-с. (1.2)
Иногда удобнее пользоваться циклической частотой со = 2лу.
Тогда энергия кванта
Е = то, (1.3)
где
И = 1,О545887-1О ‘27 эрг°с, (1.4)
Распространяются эти кванты со скоростью света с и обладают
импульсом
р = Е/с = Иу/с = И/Ж = Мс, (1.5)
21:
где /‹ Т — волновое число.
ЭТОТ ИМПУЛЬС проявляется В экспериментально обнаруженном
ДЗВЛСНИИ света.
ЗЗМСТИМ, ЧТО ЭТО НС возвращение К корпускулам НЬЮТОНЗ,
а ВВСДСНИС НОВОГО представления О ДУЯЛИЗМЕ, КОГДЭ. ООЪСКТЫ на-
званные ФОТОНЗМИ, ИЛИ квантами СВСТЗ, обладают как ВОЛНОВЫМИ,
6
так и корпускулярными свойствами: распространяются подббно
волнам, а взаимодействуют подобно частицам. При этом выпол-
няются законы сохранения энергии и импульса.
Найдем импульс фотона видимого света (ж = 500 нм) и сравним
его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре
(Не 1.1). Из (1.5)‚ используя связь к = с/у, получаем р н 1,3-1О - 22
г-см/с. Для молекул водорода из (2, с. 163) имеем: <ти1/2> =
= <р2/(2т)> = (3/2) КГ Зная массу молекулы водорода (из таблиц)
т = 3‚35-10 44 г и постоянную Больцмана А: = 1,38-10 46 эрг/К ДЛЯ
комнатной температуры Т = 293 К, получаем <р> = (3 т/сТ)'/2 а
= 5,4-10 ‘19 г°см/с. Таким образом, импульс фотона намного мень-
ше импульса молекул. .
Найдем, при какой длине волны импульс фотона равен им-
пульсу молекулы водорода при комнатной температуре (Мг 1.2).
Используя результаты предьщущей задачи, получаем Х = И/<р> =
= 0,12 нм.
Излучение гелий-неонового лазера мощностью И/= 1 мВт со-
средоточено в пучке диаметром с! = 0,5 см. Длина волны ж = 0,63
мкм. Определим плотность потока] фотонов в пучке (Мз 1.3). Плот-
ность потока] показывает, сколько фотонов проходит за 1 с через
единичную площадку Таким образом, мощность излучения
и/= туз = и (с/М] тсс12/4,
откуда
1 = 4т/(лдглс) = (4-10-3-107-0,63°10-4)/
/(3,14-0,25-6‚6726-1О-27-3-1010) = 1,6-1О‘°фотон/(см2 -с).
Найдем напряжение Н’ на рентгеновской трубке, если известно,
что в излучаемом ею сплошном спектре нет длин волн, меньших
О‚О206 нм (М 1.8). Обозначив заряд электрона е, получим: еН =
= н» = Ис/Х, откуда П = 60 кВ.
Исходя из классического закона преломления света, покажем,
что при прохождении плоской границы двух прозрачных сред со-
храняется тангенциальная компонента импульса фотонов (Мг 1.6). Из
волнового, классического, представления о свете (4, с. 46, 48), сле-
дует, что волновой вектор (/с) при переходе из среды 1 в среду 2
связан с показателем преломления (п), углом падения (оъ)йи углом
преломления (В) следующим образом: 1с,//‹‚ = п,/п, = зйпоъ/зйпв. Ис-
пользуя выражение для импульса фотона (1.5)‚ получаем закон со-
хранения тангенциальной компоненты импульса фотона:
й/(‚эйпос = й/дзйпв.
Рис. 1.1
Исходя из представлений о фотонах как о квантах света, выве-
дем формулу для эффекта Доплера в предположении, что источник
света движется с релятивистской или с нерелятивистской скоро-
стью (Ме 1.20, 1.19). На рис. 1.1, а показан источник света массы
М, движущийся со скоростью и, до излучения фотона. После из-
лучения фотона масса покоя источника света М, (рис. 1.1, б). Вво-
дя обозначение для скорости, отнесенной к скорости света, В = и/с
и используя релятивистские выражения для энергии и импульса
(1, с. 179), записываем законы сохранения энергии и импульса:
Мс?/(1 — [32)'/2 = М‚с2/(1 — |3‚2)'/2 + Ну; (1.6)
МсВ/(1 — ВЧ“? = М‚с[3‚со$‹р/(1 - 6,2)” + (/1у/с)соз9; (1.7)
М,сВ‚з1пср/(1 — 13,2)” - (Ау/сыне = О. (1.8)
При неподвижном источнике из (1.6) получаем
Мс? = М,с2 + пуд. (1.9)
Возводя в квадраты и исключая (р, находим
Мс2у (1 — Всо56)/(1 — 132)“ = Мсгуо — ИуО/2. (1.1О)
Последним членом можно пренебречь, если Мс? >> Иуо, и тогда
(М9 1.47)
у = уо (1 — [32)‘/3/(1 — Всозё). (1.11)
Для нерелятивистских скоростей источников (В << 1)
у = уд /[1 - (и/с)соз9] 2 уд [1 + (о/с)соз9]. (1.12)
ВЫЯСНИМ характер ЗЯВИСИМОСТИ ЧЯСТОТЫ 0 ОТ УГЛЯ МЕЖДУ на-
правлениями скорости ИСТОЧНИКЗ И ИМПУЛЬСЗ ИСПУЪЦСННОГО фОТО-
на при В = и/с —› 1. Оценим угол 9, начиная с которого излучаемая
частота мала по сравнению с частотой, излучаемой под углом 9 =
= О° (Мг 1.21). Из (1.11) следует: у(0) = уо (1 — В2)‘д/(1 — В), у(тс/2) =
= уо (1 — [32)'/2. Если В —› 1, то у(0) >> у(тс/2). Отсюда ясно, что в уз-
8
кой окрестности угла 9 = О частоты излучаемого света особенно
велики. Найдем угол 9, для которого у(9) = ош(О)‚ где оь < 1. Для
этого угла получаем
сов9 =1— 92/2 = [1 — (1 — В)/ос1/[1—(1— В)1= 1 — (1 — В)(1 — оо/оъ,
откуда °
92 = 2(1 - в)(1 - оъ)/ос.
Так как (1 — 92)“ = тс2/Е‚ где Е - полная энергия частицы, то
1 — В я: (1/2)(тс2/Е`)2. Это дает 9 = [(1 — ос)/ос] ‘д тс2/Е.
При ос = 1/2 получаем 9 = тс2/Е‚ иначе говоря, частота излуче-
ния падает вдвое под углом 9 = тег/Е = (1 — 92)“.
Возбужденное ядро с энергией возбуждения АЕ = 1 МэВ с А =
= 100 движется с кинетической энергией Т = 100 эВ и испускает
гамма-квант. Найдем, под каким углом к направлению движения
ядра сдвиг у-кванта по энергии будет равен нулю (М9 1.48). В сис-
теме координат ядра сохранение импульса (импульс отдачи ядра
равен импульсу вылетевшего кванта): р = [щ/с. Часть энергии воз-
буждения уходит к ядру в энергию отдачи р2/(2т). В результате
энергия фотона Им, = АЕ — р2/(2т) = АЕ — (Ищ) 2/(2тс2). Решая
квадратное уравнение, находим Ищ/(тс?) = — 1 1 [1 + 2АЕ/(тс2)]'/2.
Надо взять знак «+» и разложить корень до третьего члена. Таким
образом, получаем Им, = АЕ [1 — АЕ/(2тс2)]. Используя условие
Иуд = АЕ и (1.12)‚ имеем
1 + (и/с)соз9 = 1 — АЕ/(2тс2).
В нерелятивистском случае кинетическая энергия Т = ти2/2.
Подставляя в предыдущее уравнение, находим
соз9 = —АЕ/[2(2Ттс2)'/2] = —О‚116.
Согласно общей теории относительности (ОТО) энергия лю-
бого объекта в статическом гравитационном поле
Е = Ео(1 + 2Ф/С2) ' ‘д, (1.13)
где Ед — энергия объекта в «пустом» (т. е. свободным от гравитаци-
онных полей) пространстве; ф — гравитационный потенциал
в точке нахождения объекта.
Покажем на основе этого соотношения, что разница энергий
АЕ = Е, — Е, между двумя состояниями объекта, расположенными
на поверхности Земли и на высоте Н от нее, оказывается эквива-
9
Лентной разнице «гравитационных энергий» излученного объек-
том у-кванта с энергией Е? = Е, — Е, и массой ту = Еу/сг, как это
было показано в опытах Паунда и Ребки с помощью эффекта Мес-
сбауэра (М9 1.4). Согласно условию задачи разность энергий АЕ
между основным и возбужденным состоянием атома или ядра ато-
ма зависит от их положения в гравитационном поле Земли
АЕ = Е: " Еж = (Ео2 — Бед/П + 2‘Р(’)/с2]'/2‚
где Ед, и ЕО, — энергии уровней в «пустом» пространстве.
Таким образом, наблюдатель на поверхности Земли обнару-
жит, что энергия излучения атома (ядра), находящегося на высоте
Н над поверхностью Земли (радиус Земли 123) не совпадают с тако-
вой у поверхности, и наоборот. Именно это и было обнаружено
в эксперименте Паунда и Ребки. При этом зависимость АЕ от рас-
стояния от центра Земли
АЕШз + Н) =АЕ(К3){[1 "’ 2Ф(Кз)/С21/[1 + ЁФШз + Н)/С21}"2 д
д‘ АЕ(Кз){1 + [Ф(кз) "' ‘Риза +
Здесь учтено, что гравитационный потенциал Земли слабый
2|(Р(К3)|/С2 = 2УМЗ/(КЗС2) = 210 —9 << 1-
Если приписать у-кванту с энергией Е гравитационную массу
т? = Е/сд, а затем применить нерелятивистскую формулу АЕ =
=т‚А‹р, то получим
АЕ/Е х Аф/с? = у МЗН/(сг/Зз?) = дН/с?
В системе глобального позиционирования (ОРЗ) используется
высокоточный цезиевый генератор, установленный на спутнике.
Определим высоту полета спутника, если при прохождении над
приемником на Земле регистрируемая частота совпадает с часто-
той генератора. Учитываем, что энергия квантовых уровней любой
системы зависит от гравитационного потенциала в месте нахожде-
ния системы. Вращение Земли не учитываем (Мг 1.52). Обозначив
массу Земли М, гравитационную постоянную у и радиус Земли
(считая ее шаром) 123, для гравитационного потенциала на поверх-
ности Земли имеем: ер, = —уМ/К3. На расстоянии гот центра Земли
Ф: = -7М/п
Фотон, испущенный на спутнике, в соответствии с (1.13) име-
ет энергию
йш2 = йшо (1 + 2‹р‚/с1)1/2 а йсод (1 + ‹р2/с2)‚
10
где (од — частота генератора в нулевом поле.
В соответствии с (1.11) из-за движения спутника (вследствие
поперечного эффекта Доплера) на Земле под спутником сигнал
генератора будет иметь частоту
Юз = сом - от“? - топ + Ф2/С2)[1 - Ь2/‹2с2›1‚
где и = (уМ/г)“ — скорость спутника.
Энергетический уровень на поверхности Земли за счет грави-
тационного потенциала
т», = йоэо (1 + 2‹р‚/с)‘/2 2 йсод (1 + ‹р‚/с).
Сдвига частоты не будет, если а), = (од, откуда
чъ/с’ - о2/‹2с2› = чм/сг или чъ/с’ - чм/с’ = и2/‹2с2›„
Подставляя значения, получим: —уМ/г + уМ/КЗ = уМ/(2г), от-
куда г = (3/2)К3.
Как следует из общей теории относительности, статическое
гравитационное поле по отношению к своему воздействию на
электромагнитные волны эквивалентно неоднородной среде с по-
казателем преломления п = (1 + 2‹р/с2)-', где ‹р — гравитационный
потенциал. Используя эту аналогию, найдем угол отклонения
А луча света при прохождении его вблизи края Солнца. Масса
Солнца М = 1,99-1О33 1; радиус его фотосферы К = 696 000 км
(М9 1.5). Гравитационный потенциал
Солнца на расстоянии г от него ‹р(г) =
= —уМ/п В силу того, что гравитацион-
ный потенциал Солнца мал, легко уста-
новить, что
1пп(г) ш 2уМ/(с2г).
На рис. 1.2 штриховой линией пока-
зана траектория луча света. Изгиб луча
преувеличен для понятности рисунка.
В действительности луч близок к верти-
кальной линии. Вычислим поворот луча
света после прохождения границы фото-
сферы (точка О).
Расстояние до произвольной точки А
г = К/вйпоъ.’
соответственно, а/г = —(К,созоъ доо/зйтос.
11
При прохождении лучом а‘г он поворачивается на малый угол
а/б. Из закона преломления
зйпос/зйпю + (16) = (п — дп)/п = 1 — сЛпп = 1 — 2уМ/(с2гд)а7п
Так как зйпос/зйпш + а/б) 2 1 — отвес дб, то получаем сгва аУб в
и 2уМ/(с212)совоъс1ос. Откуда полный угол поворота луча
О
25 = -(4ум/с2к) ] зйпос да = 4ум/(с2к) а о‚84-1о—5 рад = 1,75".
п/2
Если считать, что у-квант обладает
гравитационной массой т = Ьу/сё то от-
клонение луча света при прохождении
вблизи Солнца можно вычислить по им-
пульсу в направлении, перпендикулярном
первоначальному направлению, за счет
д гравитационного взаимодействия с Солн-
цем. При этом считаем угол отклонения
де малым. Используя рис. 1.3, получаем:
г= К/созе, х = Шве, с1х = Еде/соде. На от-
д ‚ резке а/х приращение импульса, нормаль-
: ё ного лучу равно др„ = ‚С, ей, где Д, — состав-
„т ляющая силы тяготения, перпендикуляр-
ная направлению распространения, а
РИС- 1-3 с11= аУх/с. Тогда
др„ = (уМт/Юсозедх/ с.
дх
В результате
п/2
р„ = (уМ/2у)/(Кс3) [ со$9с19 = 2уМ/2у/(Кс3).
—п/2
Угол отклонения АО = р„/ , где р = Иу/с, т. е. АО = 2уМ/(Кс2).
Этот результат вдвое меньше результата, полученного по ОТО.
Фотоэффект заключается в том, что при освещении отрица-
тельно заряженного металлического тела оно теряет отрицатель-
ный заряд. Трудно было объяснить исчезновение эффекта при
уменьшении частоты света независимо от интенсивности. Гипоте-
за Эйнштейна заключалась в том, что электрон выбивается из ме-
талла отдельным фотоном, энергия которого (Ну) должна быть
больше работы выхода (А). Таким образом, максимальная кинети-
12
ческая энергия вылетающего электрона при поглощении фотона
металлом
т,ит,„2/2 = Ау — А = Ис/Ж - А. (1.14)
Отсюда в согласии с экспериментальными измерениями сле-
дует, что максимальная кинетическая энергия электронов зависит
от частоты света и не зависит от интенсивности. От интенсивно-
сти зависит количество вырванных электронов. Видно также, что
существует низкочастотная граница (порог) фотоэффекта, т. е. та-
кая частота света, ниже которой фотоэффект не наблюдается. Эта
частота зависит от свойств облучаемого тела и состояния его по-
верхности.
Электромагнитная волна с круговой частотой О = 21016 с-‘
промодулирована по амплитуде синусоидой с круговой частотой
О = 2-10‘5 с-‘. Найдем энергию Е фотоэлектронов, выбиваемых
этой волной из атомов водорода с энергией ионизации Е = 13,6 эВ
(М9 1.7). Такая волна является суперпозицией синусоидальных
волн с частотами со - О, о) и со + О, которым соответствуют фото-
ны с энергией й(со — О) = 11,2 эВ, то = 13,2 эВ и Щш + О) = 14,5
эВ. Только последней энергии хватает для ионизации. Поэтому
энергия фотоэлектронов Е = й(со + О) — Е = 0,9 эВ.
Шарик электроскопа облучается монохроматическим рентге-
новским излучением. Листочки электроскопа перестают расхо-
диться, когда потенциал шарика равен 8 кВ. Определим длину
волны Ж падающего излучения (М 1.9). Энергия фотонов, переда-
ваемая электронам, сравнивается с задерживающим потенциалом:
[те/Ж = е‹р, откуда Ж = 0,154 нм.
Уединенный Цинковый шарик облучается ультрафиолетовым
светом с длиной волны Ж = 250 нм. Найдем, до какого максималь-
ного потенциала зарядится шарик, если работа выхода электрона
для цинка А = 3,74 эВ (Мг 1.11). Выбитые светом электроны не
уходят на бесконечность, если уже ушедшие создали потенциал (р,
который удовлетворяет соотношению, следующему из ( 1.14)
"еф = т,и„„„2/2 = Ис/Ж — А.
Отсюда (р = 1,23 эВ.
Оценим, при каких длинах волн Ж облучаюшего света данный
шгёдёик не будет заряжаться (М 1.12). Из (1.14) получаем Ж > Ис/А =
= 1 нм.
13
Цинковый электрод вакуумного фотоэлемента освещается мо-
нохроматическим светом с длиной волны Ж = 250 нм. При наложе-
нии задерживающей разности потенциалов фототок уменьшается
и обращается в нуль, когда она достигает значения П = 2 В. Опре-
делим внешнюю контактную разность потенциалов Н,‘ между цин-
ком и материалом, из которого изготовлен другой электрод фото-
элемента, если работа выхода электрона из цинка А = 3,74 эВ
(Мз 1.13). В соответствии с (1.14) получаем
Ис/Ж - А = еН + еНЮ
откуда ИК = —О‚78 В. Отрицательный знак означает, что при кон-
такте цинка с материалом второго электрода фотоэлемента потен-
циал цинка окажется ниже, т. е. НК играет роль ускоряющего по-
тенциала.
Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме насыщения чувстви-
тельность к свету К = 0,12 А/Вт. Найдем, какова относительная
флуктуация ос числа электронов, выбиваемых при падении на фо-
тоэлемент светового потока мощностью И/= 1‚3'10-" Вт, если вре-
мя регистрации равно 1= 10-3 с (М9 1.14). Число фотоэлектронов,
выбиваемых за время регистрации
А! = КИ/г/е,
где е — заряд электрона.
Относительная флуктуация в соответствии с (2, с. 220)
а = 1/(А/)'/2 = [е/(КИ/1‘)]‘/2 = 0,01.
К фотокатоду фотоэлектронного умножителя прижат сцинтил-
лятор (рис. 1 .4). При пролете через сцинтиллятор релятивистского
электрона молекулы сцинтиллятора возбуждаются, а затем испус-
кают фотоны, переходя в основные состояния. В свою очередь фо-
к
_ 1)
`\
/\<Л 2 п
/ Фотокатод
Сцинцилятор
Рис. 1.4
14
тоны, попадая на тонкий (е1О-5 см) фотокатод, выбивают из него
фотоэлектроны. Оценим, во сколько раз увеличится поток элек-
тронов из фотокатода, если сухой оптический контакт между фо-
тоэлектронным умножителем и сцинтиллятором заменить на мас-
ляный контакт. Показатель преломления сцинтиллятора, стекла
колбы и масла равен п = 1,5, 12 = 2 см, 1) = 16 см (Не 1.15). При «су-
хом» контакте обычное отражение на нижней границе сцинтилля-
тора мало, а количество прошедших фотонов определяется углом
полного внутреннего отражения 9, < агсзйп(1/п). Когда на нижней
границе сцинтиллятора находится масло, то число фотонов опре-
деляется углом 9, < агс13[В/(2/2)]. Так как в сцинтилляторе фотоны
испускаются изотропно, то отношение потоков
е, е, е, е,
Ф,/Ф‚=]с1П/_Гс1()=(2п]1, выходе/игр, запеае)=
0 О 0 О
= (1 — соз92)/(1 — со59‚) н 3.
Покажем, что свободный электрон в вакууме не может ни по-
глощать, ни излучать фотоны, а лишь рассеивать их (Не 1.16). Для
простоты возьмем систему отсчета, в которой электрон покоится.
Обозначим импульс и энергию излучаемого фотона рф и Еф, а им-
пульс и энергию электрона после излучения фотона р, и Е,. Из за-
конов сохранения импульса и энергии системы в релятивистском
случае (1, с.` 179) имеем
р, + р, = О, Е, + Е, = т,с2.
Подставляя Е, = рфс и Е} = р,?с2 + т,2с4 и имея в виду, что р, =
=р,‚ получаем Ефт,с2 = О. Следовательно, Е, = 0, т. е. излучение
невозможно.
При поглощении фотона, обладающего импульсом рф и энер-
гией Е , имеем р, = рф, Е, = Е, + т,с2. Откуда, как и ранее, получа-
ем Е, = О.
Для осуществления излучения или поглощения фотона необ-
ходима третья частица, которая забирала бы часть импульса.
При рассеянии фотона на электроне имеем два соотношения
для компонент импульса и два угла разлета. Этого хватает для ре-
шения задачи о рассеянии фотона.
Найдем, какую минимальную длительность импульса фотото-
ка можно получить в вакуумном фотоэлементе, между анодом
и катодом которого приложено напряжение в несколько сотен
вольт, при освещении фотокатода коротким (< 104‘ с) импульсом
света с длиной волны х = 500 нм. Красная граница материала фо-
15
токатода Акр = 1000 нм, напряженность поля между анодом и фо-
токатодом Е = 300 В/см (М9 1.17). В результате освещения из фото-
катода почти мгновенно вылетают электроны равномерно по всем
направлениям. Их начальные скорости по направлению к аноду
меняются от нуля до максимальной, определяемой (1.14). Время
движения определяется из равенства р = то = Р1= еЕ1‚ где т и е -
масса и заряд электрона. Разница времен пролета, т. е. длитель-
ность тока, определяется временем ускорения электрона от нуле-
вой скорости до максимальной, определяемой (1.14)
А1= г, - г, = [тиса/х _ 1/жк„)1п2/(ев = 1‚2-1о-т0 с.
По классической электромагнитной теории света поток свето-
вой энергии от источника непрерывно распространяется во все
стороны. Найдем, через какой промежуток времени, согласно
этой теории, отдельный атом танталового катода может накопить
столько энергии, чтобы стал возможен вылет фотоэлектрона, если
катод находится на расстоянии Ь = 10 м от лампочки мощностью
И/= 25 Вт. Работа выхода электрона для тантала составляет А =
= 4 эВ. Считаем, что фотоэлектрону передается вся энергия, нака-
пливающаяся в атоме тантала, диаметр которого можно считать
равным с! = 0,3 нм (М9 1.18). Для излучения фотоэлектрона энер-
гия, накопленная атомом, должна быть больше работы выхода
[И//(4тсЬ2)](тс(Р/4) 1 > А, откуда
1> 16 АЬд/(И/ад) = 455 с.
В действительности, если происходит фотоэффект, то мгно-
венно.
Эффект Комптона иначе называют эффектом неупругого рас-
сеяния света на слабо связанных в атоме (т. е. почти свободных)
электронах. При таком рассеянии в световом спектре кроме длин,
соответствующих падающей волне, появляются волны большей
длины волны. Объяснение этого эффекта можно получить, ис-
пользуя представление о фотонах. На рис. 1.5, а, б дана картина
взаимодействия фотона с покоящимся электроном. Из законов
сохранения энергии и импульса, имеем
Их: + тсд = /1\›‚+ Е; (1.15)
р2 = (Им/с)? + (Ли/СУ — 2 (Ид/Уд/СЧСОЗЭ, (1.16)
где т — масса покоя электрона; Е и р — энергия и импульс элек-
трона после соударения, которые связаны соотношением (1, с. 179)
16
Рис. 1.5
Е? = р2с2 + т2с4. (1.17)
Из этих соотношений, используя длину волны света Ж = с/у,
получаем
ж, — Ж = А (1 — соз9) = 2А31п2(9/2). (1.18)
Здесь введена комптоновская длина волны частиц, на которой
рассеивается фотон
А = И/(тс). (1.19)
На рис. 1.6 схематично показано, как меняется спектр при рас-
сеянии фотона на различные углы. Интенсивность упругой ком-
поненты уменьшается, а у неупругой — увеличивается длина вол-
ны и интенсивность.
ь "о
2.2 Ё\\ 1
\
\\ \ А.1\ А,
\ 10 7‘:
\\1
\ д
А.
ХО А?
Рис. 1.6
На рис. 1.7 изображены результаты, полученные Комптоном
при исследовании рассеяния рентгеновских лучей в графите. На-
блюдения велись под углом 9 = 135° к направлению падающего
пучка. Определим длину волны хо падающего излучения (М) 1.22).
Из (1.18) и (1.19) следует:
АЖ = ж, — Хо = ж‘, = А(1 — созб) = 4-10-3 нм.
Определим кинетическую энергию Т и импульс р электрона от-
дачи, когда на неподвижном электроне происходит комптонов-
2- взо 17
ское рассеяние фотона рентгенов-
ского излучения с длиной волны
д ж = 0,02 нм на угол 9 = 9О° (М9 1.23).
: Из (1.18) и (1.19) находим м. Ис-
|
Интенсивность
д пользуя (1. 15), получаем
Ё 1 - Е = пса/х - 1/›„‚) + то’.
ж, х‚=2х„ 7 и
Для кинетической энергии, ис-
рис. 1_7 пользуя табличные данные, имеем
Т= Е — тс’ = О,67-1О4 эВ.
Из (1.17) находим рс = 8‚3-104 эВ.
Найдем уюл ‹р между направлениями движения первичного
фотона и электрона отдачи (рис. 1.8) (М9 1.24). Из закона сохране-
ния импульса следует:
рсозф = [мг/с — (/п›‚/с)сов9, рзйщр = (/п›‚/с)з1п9.
Разделив второе соотношение на первое, находим
(вф = ЗЁПЭ/(У/У, — сове).
Отсюда с учетом у/у, — 1 = 2/п251п29/(тс1) получаем
ТЗФ = ств(9/2)/[1 + ИУ/(тсбъ
При 9 = 9О° имеем шеф = О‚8916‚ (р = 41°43'.
Если наблюдение ведется перпендикулярно к направлению
первичного пучка излучения, то изменение длины волны при эф-
фекте Комптона (Мз 1.25), как следует из (1.18) и (1.19), АЖ =
= 2/2/(тс)$1п2(9/2) = Ь/(тс) = 2‚4263-1О-3 нм.
В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящем-
ся электроне последний получил импульс отдачи р. Определим,
под какими углами по отношению к направлению падающего фо-
тона мог вылететь электрон с таким импульсом (М9 1.26). Исполь-
зуя рис. 1.8 и теорему косинусов, получаем
(Ни/СУ = (Мг/с)? - 2(/1ъ›/с)рсоз‹р + р2.
Вводя кинетическую энергию электрона после соударения Т =
= Е — тс2‚ где Е — энергия электрона после соударения, а т — его
' масса покоя, из закона сохранения энергии имеем т, = 12» — Т
Подставляя это в предыдущее уравнение (исключая Ьщ), находим
18
Рис. 1.8
11? = (1/2)(р2с2 — Т2)/(рсс0$‹р — Т).
Используя выражение для Ти связь энергии с импульсом Е 2 =
= р2с2 + т2с“‚ получаем, что числитель — положительная величина.
Так как [ш также положительная величина, то и знаменатель вь1ра-
жения для т должен быть положительной величиной:
рс созср — Т > О, (1.2О)
откуда
созф > Т/(рс) = [1 + (тс/р)2]‘/2 — тс/р. (1.21)
Таким образом, диапазон УГЛОВ, ПОД КОТОРЫМИ МОГ ВЫЛСТСТЬ
ЭЛЕКТРОН С заданным ИМПУЛЬСОМ, ЛЕЖИТ В пределах
О < ‹р < агссоз[(1 + т2с2/р2)'/2 — тс/р].
В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящем-
ся электроне последний вьшетел под углом (р = 60° к направлению
падающего фотона. Найдем, какую максимальную кинетическую
энергию Т может приобрести электрон отдачи в этом случае
(М9 1.27). Из (1.21) находим
Т = (р2с2 + т2с4)‘/2 — тс? < рссозф.
Отсюда рс < 2 тсгсозф/зйпдр = (4/3)тс2. Используя предыдущее
выражение, имеем
Т < 2 тёствгф. (1.22)
Подставляя ер = 60°, получаем Т < (2/3)тс2 = 0,34 МэВ.
В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящем-
ся электроне последний приобрел кинетическую энергию, равную
его удвоенной энергии покоя. Найдем, под каким углом ‹р по отно-
шению к направлению падающего фотона мог вылететь электрон
(М 1.28). Из (1.22) получаем {др < 1, откуда О < (р < 45°.
2‘ 19
Рис. 1.9
Фотон (Д, = 662 нм) рассеивается на электроне, летящем пер-
пендикулярно направлению движения фотона. Найдем началь-
ный импульс электрона ро, если длина волны м, при рассеянии не
изменяется, а угол рассеяния 9 = 60° (Мг 1.29). На рис. 1.9, а, б по-
казана картина взаимодействия. Обозначив начальную энергию
электрона Ед, а после взаимодействия Е, из закона сохранения
энергии, (1.17) и закона сохранения импульса получаем
Ис/хд + Ед = Ис/Жс, + Е; (1.23)
Ед? = р02с2 + т2с4; (1.24)
И/ЖО = (И/Ждсозэ + рсозф;
ро = (И/Ждзйпб — рзйгкр.
Учитывая, что по условию длина волны и, значит, энергия фо-
тона не меняется, а, следовательно, из (1.23) и энергия электрона,
и из (1.24) абсолютное значение импульса также не меняется,
и исключая угол ф, имеем
ро? = (л/ждг (1 — сове)? + (И/7„„)2з1п29 + р; — 2(р„/2/7м„)з1п9.
Отсюда
рО = (И/ЖО) (1 — соз9)/зйп9 = (И/х0)т3(9/2) н 6-10-23 г-см/с.
Фотон с энергией Е? = 2 тс? при рассеянии на покоящемся
электроне теряет половину своей энергии (т — масса электрона).
Найдем угол разлета ос между рассеянным фотоном и электроном
отдачи (Мг 1.30). Из закона сохранения энергии 2тс2 + тс? =
= (р2с2 + т2с4)‘/2 + то? следует; рс = (3)‘/2тс?. Таким образом, им-
пульс падающего фотона равен 2тс‚ рассеянного фотона тс,
а электрона отдачи (3)‘/2тс. Так как это стороны одного треуголь-
ника, то треугольник прямоугольный. Угол разлета ос = 90°.
‘20
Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рассе-
янного фотона равна кинетической энергии протона отдачи,
а угол разлета между рассеянным фотоном и протоном отдачи ра-
вен 9О°. Найдем энергию Е? падающего фотона (М: 1.31). Обозна-
чим массу протона т, его кинетическую энергию и импульс после
удара фотона Т и р. По условию энергия фотона после удара Е?‚ =
= Т Из закона сохранения энергии Е? + тс? = Е?‚ + Т + тс2. Поэто-
му Е? = 2 Т Так как угол разлета прямой, для импульсов получаем
(Е?/с)2 = (Е?,/с)2 + р’ или 4Т2 = Т? + р2с2.
Пользуясь связью энергии и импульса и выражением для ки-
нетической энергии, имеем отсюда ЗТ? = р1с2 = Е 2 — тдс‘ = (тс? +
+ Т) 2 — т2с‘ = т2с4 + 2тс2Т + Т? — т2с*‘‚ откуда Т = тс2. Поэтому
Д = 2 тс2.
С какой скоростью и должен двигаться электрон, чтобы летя-
щий ему навстречу фотон с длиной волны Ж = О‚ОО24 нм не изме-
нил свою энергию при 18О°-рассеянии (М9 1.32). Вводя относитель-
ную скорость электрона В = и/с, энергию фотона Е? = т = [те/Ж
и используя релятивистское представление для энергии электро-
на, получаем закон сохранения энергии в виде
Нс/Ж + тс2/(1 — 62)” = Ис/Ж + тс2/(1 — 8,2)“.
Отсюда следует, что 13,2 = В? и, соответственно, В, = —|3, так как
при В, = В рассеяния нет. Закон сохранения импульса дает
т - тез/а - вгт = - л/ж + тсв/п - вчт,
откуда В = 1/(1 + Ж2/А2)‘/2‚ где в соответствии с (1.19) введена ком-
птоновская длина волны электрона А = И/(тс). В результате полу-
чаем и = с/(2)'/2.
Оптический фотон с энергией 111: рассеивается назад на элек-
троне‚ движущемся ему навстречу с полной энергией Е и импуль-
сом р. Найдем, какова энергия рассеянного фотона. Рассмотрим
два предельных случая: а) [(Е + рс)/(тс2)][2 Ии/(тс2)] >> 1; б) [(Е +
+ рс)/(тс2)][2 Иу/(тс2)] << 1 (М9 1.33). Из законов сохранения
энергии и импульса имеем
[ш + Е= т, + Е,‚ т — рс = —/п›‚ — р,с.
Отсюда
(“У - т’: + Е? _ а" + т’: “ Ре? = Е12 " Р12с2
21
(2 т + Е — рс)(—2 т, + Е + рс) = т2с“‚
откуда, учитывая связь энергии с импульсом, находим
т, = т(Е + рс)/(2т + Е — рс) =
= т(Е + рс)2/[2т (Е + рс) + т2с4]. (1.25)
В случае а), соответствующем ультрарелятивистскому электро-
ну (Е н рс) и 2т >> (Е — рс), получаем т, а рс а Е. Второе условие
следует из того, что т >> т2с4/Е = (Ед — р2с2)/Е = (Е — рс)(Е +
+рс)/Е = 2(Е — рс).
В случае б), когда 2т(Е + рс) << тгс“, имеем т, = т[(Е + рс) /
Е
/ тег]? н т-4—77.
т с
Определим энергию фотона т,‚ рассеянного назад покоящимся
электроном, если энергия падающего фотона т удовлетворяет ус-
ловию т >> тс? (т — масса электрона) (Мг 1.34). Используя (1.25)
при р = О, имеем
т, = Иутс2/(2/ш + тсд) = т/[1 + 2т/(тс2)].
При т >> тс получаем т, н тс2/2.
Фотон от рубинового лазера (Ж = О‚6943 мкм) испытывает ло-
бовое соударение с электроном, имеющим кинетическую энергию
Т = 500 МэВ. Оценим энергию Е, фотона, образующегося
в результате «обратного Комптон-эффекта» (т. е. при 180°-рассеяния
фотона на движущемся электроне) (М9 1.35). На рис. 1.10, а, б
представлена схема соударения. Из законов сохранения энергии
и импульса имеем
Е=Т+тс2
<——— т
р Ш
с
М?‘ Ё”
м
Рис. 1.10
Им + Е = Ну, + Е,‚ Иу/с — р = —/1у,/с — р,.
Используя связь между энергией и импульсом типа (1.17)
и (1.25), находим
Им, = /2\/(Е + рс)/(2/2\2 + Е — рс).
22
По условию Т >> тс1‚ поэтому Е = тс? + Т: Т Из связи энер-
гии с импульсом (1.17) имеем тдс‘ = В — р2с2 = (Е — рс)(Е + рс).
Отсюда
рс а Е: П Е - рс в т2с4/(2Т)._
Поэтому
т, а 12\›°2Т/[2/в\› + т2с4/(2Т)]. (1.26)
По условию
Им = [те/ж = 6,6°10-27°3-10‘°/(О,6943-10°4-1,6-10*‘2) г. 1,7 эВ.
В нашем случае [ш << т2с4/ Т из (1.26) получаем
т, я: /1\›(2 Т/тсд)? а 6,7 МэВ.
Заметим, в другом предельном случае Их: >> т2с4/ Т было бы
Им, н ТЁ
Определим длину волны х рентгеновского излучения, для ко-
торого комптоновское рассеяние на электроне на угол 9О° удваивает
длину волны (М9 1.36). Из (1.18) и (1.19) находим к = А = И/(тс) =
= 2‚4-10-'° см.
Электрон с энергией Ед >> то? рассеивается на фотоне с энерги-
ей йшо << тс’. Найдем, при каком условии энергия этого фотона
в системе отсчета, в которой электрон покоится, удовлетворяет ус-
ловию йод << тс’ (Мг 1.38). В соответствии с (1, с. 179) Ед = тс2/(1 —
— 62)”, где В = и/с и и — скорость системы отсчета. Используя ус-
ловие задачи, можно получить (1 — В2)'/2/(1 — В) = (1 + В) /(1 —
— В2)‘/2 = 2Ео/тс2, так как 1+ В н 2. Учитывая эффект Доплера
(1.11)‚ получаем для фотона в системе покоящегося электрона
ш/шо = 2Е0/(тс2). Чтобы выполнялось то << тег, должно быть
2йшоЕд/(тсг) << тс2. Отсюда Е‘, << (тс2)2/(2й(о„).
При прохождении у-квантов через вещество образуются две
группы быстрых электронов: одна в результате фотоэффекта, дру-
гая — комптоновского рассеяния. Найдем, каково должно быть
энергетическое разрешешае регистрирующей аппаратуры, чтобы от-
личать фотоэлектроны от комптоновских электронов с макси-
мальной энергией, если энергия у-квантов известна: Е, = 5 МэВ
(М: 1.39). Из (1.14) кинетическая энергия электронов в фотоэф-
23
фекте Т ф = [ту — А н [ту = Еу. Кинетическая энергия комптоновско-
го электрона равна разности энергий фотона
Тк = ИСП/Х — 1/(Ж + АМ] =
= (Ив/ЮН — Ж/(х + АМ] = Тф[1 — Ж/(Х + АМ].
Энергетическое разрешение можно представить следующим
образом:
(Тф — Тд/Тф = Ж/(Ж + АЖ).
Из (1.18) и (1.19) АЖ = 11 (1 — со59)/(тс). Для максимального
изменения получаем А›„„„„ = 2/1/(тс). Поэтому имеем
(Тф — Тк)/Тф = 1/[1 + 2Еу/(тс2)] а‘ 0,05.
Фотоны с длиной волны А = 1,4 А испытывают комптоновскс
рассеяние на угол ‹р = 6О° к первоначальному направлению. Фото-
ны попадают в рентгеновский спектрограф, работающий по мето-
ду интерференционного отражения Брегга — Вульфа. Найдем, при
какой минимальной толщине 1) кристаллической пластинки спек-
трографа можно обнаружить изменение длины волны рассеянного
излучения (комптоновское смещение) в первом порядке, если по-
стоянная кристаллической решетки с! = 1 А (М: 1.40). В соответст-
вии с (4, с. 190) разрешающая способность спектрографа К =
= МАХ = Мт, где А! — число отражающих слоев; т — порядок ин-
терференции. По формуле Брега — Вульфа т = 2‹1з1п9/7„‚ где 9 —
угол скольжения. По условию т = 1, откуда зйпе = х/(2а7). Из (1.18)
и (1.19) изменение длины волны (комптоновское смещение)
АЖ = А(1 -— созф) = 2Азйп2(‹р/2), где А = И/(тс) = 2‚43-10-‘° см.
Таким образом, К = Шт, = (В/д)2с1з1п9/7ь = Ж/[2Аз1п2(‹р/2)].
Отсюда
В = Ж2/[4А31п2((р/2)$йп9] = Ждтс/[2/1$1п2(‹р/2)] = 3,84°10‘7 см.
В рентгеновском спектрографе‚ работающем по методу интерфе-
ренционного отражения Брегга — Вульфа, применяется кристалли-
ческая пластинка толщиной 1). Найдем, при какой минимальной
толщине этой пластинки можно обнаружить комптоновское сме-
щение при рассеянии фотонов под углом 9 = 90° к первоначально-
му направлению их движения. Длина волны исходного рентгенов-
ского излучения А = 0,07 нм. Рассеянное излучение падает на кри-
сталл спектрографа под углом скольжения ‹р = 3О° (М9 1.41). Для
выражения разрешающей способности спектрального прибора (4,
24
стр. 182) имеем К = МА?» = тМ На рис. 1.11
приведена схема отражения Брегга — Вуль-
фа. Чтобы возникла интерференционная ф
картина разность хода лучей при отражении н
(для минимальной толщины пластинки
А’ = 1) от одного внутреннего слоя должно ° ‘р ‘д
выполняться 21)51п‹р = тж. Разность длин п
волн для комптоновского смещения опреде- Рио д“
ляется (1.18) и (1.19) АЖ = 2Аз1п2(9/2).
В результате получаем 1) = х2/[4Аз1п2(9/2) ›‹ ›‹ зйпф] = 2 нм.
Обладая энергией, фотон способен потратить ее на рождение
частиц, например пары позитрон-электрон (е* е‘). Используя важ-
ную особенность фотона, что в любой системе отсчета он всегда
движется со скоростью света (с), покажем, что свободный фотон
в вакууме не может создать пару позитрон-электрон (Не 1.42).
Если процесс рождения рассмотреть в системе центра масс пары,
чтобы у пары отсутствовала скорость в направлении движения фо-
тона, то не выполняется закон сохранения импульса, так как им-
пульс фотона не скомпенсирован. Поскольку процесс невозможен
в системе центра масс, то он невозможен и в других инерциальных
системах, т. е. невозможен вообще. Процесс будет возможен
в присутствии некоторого тела, которое обеспечит сохранение им-
пульса.
При взаимодействии с веществом высокоэнергетичный фотон
(Рт > 2тс2, где т — масса электрона) может родить электрон-пози-
тронную пару. Покажем, что этот процесс невозможен для. фотона,
испытавшего рассеяние строго назад (на угол 18О°) при комп-
тон-эффекте на неподвижном электроне (М9 1.43). Рассмотрим
случай, когда образующаяся пара неподвижна. Учитывая законы
сохранения энергии [ш + тс’ = т, + Е + 2тс2 и импульса Ьи/с =
= р — Изд/с, для электрона можно написать
т2с‘ = Е’ — р2с2 = (т — т, — тс2)2 — (Ну + /ш‚)2.
Индексом 1 обозначена частота фотона после взаимодействия.
Разложив разность квадратов на произведение суммы и разно-
сти, имеем
т2с4 = (2/ш — тс2)(—2/1и, — тс2).
Первый сомножитель по условию положителен, а второй, как
видно, — отрицательный. Таким образом, при разлете фотона на-
зад решения нет.
25
Найдем максимальный угол Вт, рассеяния у-квантов при
комптон-эффекте на неподвижных электронах, вне которого рас-
сеянный квант не может родить электрон-позитронную пару при по-
следующем взаимодействии с веществом. Рождение электрон-по-
зитронной пары возможно, если энергия у-кванта превышает 2тс2
(т — масса электрона) (М: 1.44). Обозначая энергию у-кванта по-
сле рассеяния Ьщ, импульс электрона после взаимодействия р и
угол его направления относительно направления падающего кван-
та (р, можно записать законы сохранения энергии и импульса
11» + тс? = т, + (р2с2 + т2с4)'/2‚
ли/с = (/п›‚/с)соз9 + рсозср, (Ии,/с)з1п9 = рзйтр.
Исключив ‹р и р, получим соз9 = 1 — тсг/(Ьщ) + тсд/(Ьи). Для
рождения пары [щ > 2тс2‚ а для максимального угла т >> тс’.
Поэтому соз9тах = 1/2, а От,‘ = 6О°.
Ортопозитроний представляет собой атомную систему состоя-
щую из электрона и позитрона, спины которых направлены в одну
сторону.
При трехфотонной аннигиляции ор-
топозитрония оказалось, что один из
фотонов имеет энергию Е, = тс2/2‚
а другой — Е2 = (2/3)тс2 (тс? — энер-
гия покоя электрона). Найдем углы 9,2,
9:3, 922 между направлениями вылета
фотонов. Считаем, что ортопозитро-
ний покоился (М 1.45). Из закона со-
хранения энергии получаем для третье-
го фотона Е, = 2тс2 — Е, — Е2 =
Рис. 1.12 = (5/6)тс2. На рис. 1.12 показаны на-
правления разлета и углы между этими
направлениями. Из закона сохранения импульса (1/2)зйпос = зйпв,
(1/2)соза + (5/6)со$В = 2/3. Находим ос = 9,2 = 9О°. Из приведен-
ных выше соотношений 9,2 = п — агств(4/3) в 127“, 922 = т: —
— агст3(3/4) а 143°.
53
Если при трехфотонной аннигиляшш ортопозитрония известны
углы углы разлета фотонов 9,2 = 12О° и 9,2 = 150°‚ то можно найти
энергию фотонов (Мг 1.46). Очевидно, что третий угол 922 = 9О°.
Эти углы изображены на рис. 1.13. Обозначив отношение энергий
фотонов к энергии покоя электрона х, у и г, получаем из закона
сохранения энергии х + у + 2 = 2, а из закона сохранения импуль-
26
са х51п3О° = 2, хсо53О° = у, откуда находим Е, = Ебгтс’
= 0‚85тс2‚ Е, = О,42тс2‚ Е, = 1‚7тс2.
912
По современным представлениям в спектре
солнечных нейтрино должна существовать дос- 0,3
таточно интенсивная монохроматическая ли-
ния с энергией Е, = 0,86 МэВ, что обусловлено
идущей на Солнце реакцией 7Ве + е- —-› 71.1 + и,
Для решстрашш этих нейтрино был создан де-
тектор ВОКЕХНЧО с жидким сцинтиллятором, "Егттд
в котором регистрируются электроны по реак- рис; 1_13
ции рассеяния (ус, е‘). Найдем, какова макси-
мальная кинетическая энергия регистрируемых электронов
(М; 1.50). В соответствии с ( 1.18) и (1.19) максимальное увеличе-
ния длины волны нейтрино, рассеянного на электроне А›„„‚„ = ж, —
— х = 2А, = 2/2/(тс). Из закона сохранения энергии при рассеянии
нейтрино на покоящемся электроне имеем: Е, + то? = Е„, + Ее, от-
куда для кинетической энергии электрона получаем: Т= Е, — то? =
= Е, — Е„‚. Для нейтрино Е, = Ьс/Ж. Поэтому Ттщ = Е„А›„„„„/(ж +
+ хитах) = 663 кэВ.
Е2=2-тс2
Гамма-кванты с энергией Е = 661 кэВ от источника ‘37Сз рас-
сеиваются в воде. Найдем, каково должно быть относительное
энергетическое разрешение АЕ/Е гамма-спектрометра, чтобы мож-
но было по 90°-рассеянию гамма-квантов обнаружить примесь тя-
желой воды 1320 (М) 1.51). По условию длина волны гамма-кван-
тов от источника Ж = Ьс/Е = 1,88-1О-‘° см. Эта величина намного
больше размера нуклонов, составляющих ядро атома, и намного
меньше размера молекулы воды, поэтому рассеяние происходит
на ядрах атомов. Отличие тяжелой воды от обычной в том, что во-
дород заменен дейтерием в два раза большей массы. Из (1.18)
и (1.19) для рассеянного на 90° кванта имеем в случае обычной
воды АХН = Ан = 11/(трс), а в случае тяжелой воды АД, = Ад =
= И/(2трс). Так как |Аъ›/1›1 = |А?„/)„|‚ то для необходимого относи-
тельного энергетического разрешения получаем
|АЕ/Е] = |А?ь„ — АЖы/Ж = Е/(2трс3) = З,6°1О‘4.
2. Волны де Бройля.
Соотношение неопределенностей
Корпускулярно-волновой дуализм, проявляющийся в том, что
свет обладает и волновыми и корпускулярными свойствами, при-
вел де Бройля к гипотезе, что подобное может быть и для так на-
зываемых классических частиц (масса покоя отлична от нуля). Он
предположил, что с частицей, распространяющейся в свободном
пространстве, связана плоская монохроматическая волна, распро-
страняющаяся в направлении движения частицы
т = Ч’„е-“®'-"'>‚ (2_1)
где а) — частота; к — волновой вектор.
Волна, описываемая данной функцией, называется волной де
Бройля.
Функцию ‘Р, что она описывает и как ею пользоваться рас-
смотрим далее.
Связь корпускулярных характеристик (энергии Е и импульса
р) с волновыми (частотой од и длиной волны Ж = 2п//‹), предложен-
ная де Бройлем, такая же, как для фотонов (1.3) и (1.5):
Е = На); (2.2)
р = ИК = (Ь/ЮК/К. (2.3)
Для фазовой скорости волны, как это следует и из (2.1), полу-
чаем
и = ш/К. (2.4)
Волна, распространяющаяся без искажений, не имеющая ни
начала, ни конца, не переносит информации. Возникающее иска-
жение волны распространяется с так называемой групповой скоро-
стью и
и = дсо/д/с. (2.5)
Используя (2.2) и (2.3), можно записать
и = дЕ/др. (2.6)
В релятивистском случае под Е понимается полная энергия,
а в нерелятивистском (классическом) случае, где энергия частицы
определяется с точностью до константы, это просто кинетическая
энергия Е = р2/(2т) = ти,2/2‚ где и, — скорость движения частицы
28
в выбранной системе отсчета. Используя предыдущие формулы,
находим
и = Е/р, и = р/т = щ. (2.7)
Для фазовой скорости получаем
и = [Е/(2т)]‘/2 = [йш/(2т)]‘/2. (2.8)
Отметим, что групповая скорость — это скорость движения
частицы, а фазовая скорость зависит от частоты волны, т. е. суще-
ствует дисперсия волн даже в вакууме.
В релятивистском случае (1, с. 179) В = р2с2 + т2с4, ЕдЕ = с2рдр‚
поэтому
и = дЕ/др = рс2/Е = щ; (2.9)
и = Е/р = сд/и. (2.1О)
Заметим, что в специальной теории относительности наклады-
вается ограничение на скорость частиц (групповую скорость), ко-
торая не может превышать скорость света в вакууме, а для фазовой
скорости такого ограничения нет. Это согласуется с (2.1О).
Используя (2.4) и (2.5)‚ получим формулу Рэлея
и = дш/д/с = д(и1‹)/д/с = и + Кди/д/с = и + /‹(ди/д?ь)(д7\/д/‹) =
= и - Жди/дм (2.11)
Исходя из требования, чтобы групповая скорость и волн де
Бройля равнялась скорости движения и, частицы, и пользуясь
формулой Рэлея (2.11), связывающей фазовую и групповую ско-
рости, определим фазовую скорость и этих волн, а также найдем
связь между энергией частицы Е и частотой и (Не 2.22). Из (2.11)
полагая А = /1/р = Ь/(тщ), и = и, и рассматривая движение с нере-
лятивистскими скоростями, получим
и, = и + иди/ай), = сквид/ей),
откуда
т), = 03/2 + сопзг, и = и‚/2 + сопзт/ьц.
Поэтому
У = 0/7» = (и,/2 + сопз1/и‚)/[/1/(ти‚)] = (ти‚2/2 + сопзо/Ь.
Произвольные постоянные можно положить равными нулю.
В релятивистском случае получаем (2.1О) и [пи = тс2/(1 —
_ д]2/с2)1/2_
29
Найдем, при каких кинетических энергиях электрона и прото-
на их длины волн де Бройля близки к размеру протона гр 2 0‚8- 10-13
см (Мг 2.1). Для Ж = г из (2.3) получаем р = 8,25-10-'4 г-см/с, рс =
= 2,47-1О-3 эрг = 1540 МэВ. Кинетическая энергия Т= Е — та?
= (рдсг + т2с4)'/2 — тсг. Для электрона тес2 = 0,5 МэВ и Д = рс =
= 1540 МэВ. Для протона тред = 938 МэВ и 7}, = 865 МэВ.
Определим кинетическую энергию Тэлектрона‚ при которой
его дебройлевская и комптоновская длины волн равны между собой
(Не 2.2). В соответствии с (1.19) и (2.3):
А = И/(тс) = 2‚4-10-'° см,
р = л/х = 6‚6-10-27/(2‚4°1О°'°) = 2‚75-1О-” эрг-с/см,
Т: (р2с2 + т2с4)|/2 __ тс2 2 тс2[’12с2! х2т2с4) + 111/2 __ тс2 2
= тс2(А2/7„2 + 1)'/2 — тс2 = тс? ( 2 — 1) = 0,212 МЭВ.
Протон с дебройлевской длиной волны х = 0,001 нм упруго
рассеивается под углом п/2 на первоначально покоившейся ос-час-
ти це. Определим дебройлевскую длину волны ж, рассеянного про-
тона (Не 2.3). Используя для протона и ос-частицы (1.5) и (1.17)‚ из
законов сохранения импульса и энергии получаем
ь/х, = (И/Ждзйпе, л/х = (И/ждсозЭ
тиса + (таз/ж + тр2СА)1/2 = (д2с2/м2 + тр2д4)1/2 + (д2с2/жа2 + та2с4)1/2‚
где ж, — дебройлевская длина волны оь-частицы после соударения;
9 — угол, который импульс а-частицы составляет с начальным им-
пульсом протона; та — масса ос-частицы; тр — масса протона.
Исключая 9 и м, учитывая, что та/т = 4 и вводя обозначение
а = И2с2/(Ж2т2с4), после разрешения относительно последнего чле-
на второго уравнения и возведения в квадрат получаем
(1 + ад“ = [1 + 4(1 + а)"21/[4 + (1 + 0)"21‚
где а, = аЮ/ХВ. `
Возводя в квадрат и учитывая, что а = 1‚7°10-6, находим
ж, = музу/г = о‚оо129 нм.
В опытах по распространению радиоволн с длиной волны х =
= 300 м было установлено, что скорость и их распространения
в вакууме совпадает со скоростью света с с точностью до 0,05 %.
Оценим на основе этих результатов верхнюю границу массы фото-
на (М) 2.4). Из теории относительности для частицы, обладающей
30
массой покоя т, следует связь (1.17) между энергией (Е), и им-
пульсом (р). Предполагая, что фотон обладает массой ту, можем
записать: Е = (р2с2 + т,2с4)'/3. В соответствии с (2.6) и (2.3)
и = с1Е/с1р = рс/(р2 + тдсгу/г = с/(1 + шлаг/лгун. (2.12)
Отсюда
и/с = 1/(1 + т,2с27„2//12)'/2 2 1 — б,
где, в соответствии с условием, б = 5-10-4. Поэтому т} 5 2б/22/(с273)
или т, $ (2б)'/211/(7„с) = 2-10-43 г и туг? 5 1‚1-1О-‘° эВ.
В опытах при измерении расстояния между Землей и Луной
(Ь = 3,8-105 км) локацией ее поверхности оказалось, что результа-
ты в оптическом и радиодиапазоне (Ж = 20 см) не совпадают. От-
личие в результатах измерений объяснялось попаданием излуче-
ния в разные точки лунной поверхности, которые могли отличать-
ся по высоте на АЬ = 1100 м. С другой стороны, этот результат
можно интерпретировать как результат отражения фотона с нену-
левой массой от ровной поверхности. Принимая это, оценим воз-
можную верхнюю границу массы фотона т, (в эВ) (Мз 2.5). Макси-
мальное различие результатов измерений времени распростране-
ния электромагнитных волн, к которым относятся волны
в оптическом и радиодиапазоне, от Земли до Луны и обратно за
счет изменения рельефа Луны
А1= 2([‚ + АЬ)/с — 2(Ь — АЬ)/с = 4АЬ/с. (2.13)
В случае предположения о наличии у фотона массы покоя, как
следует из (2.12)‚ имеется дисперсия, т. е. скорость распростране-
ния волн зависит от длины волна. Используя (2_.12)‚ для скорости
получаем
и = с/(1 + т,2с2?„2//22)‘/2 я с [1 — т,2с37к2/(2/22)].
Для разности скоростей имеем
Аи = и, — и = т,2с3(7„2— ›„,2)/(2т) а туго’ 93/(2/1’).
Здесь воспользовались тем, что длина радиоволн А >> ж, -
длины волн в оптическом диапазоне. Для разности времен рас-
пространения находим
Аж, = 2Ь(1/и — 1/и,) а Ь туда 78/112,
так как обе скорости близки к скорости света. Оценку верхней
границы величины массы покоя фотона получаем, принимая Ах, =
= м. Откуда т, 5 (4 АЬ/Ьу/гл/(хс) а 10-411:
31
При прохождении частиц через границу сред, отличающихся по-
казателем преломления (п), т. е. фазовыми скоростями света (и),
необходимо учитывать, что частота волны (ш) не меняется, а дли-
на волны (ж) и, следовательно, импульс (р) меняются. Учитывая
(2.3) и (2.4)‚ получаем
”2/”1 = ‚(г/Кн = Жид: = 172/171 = дп/“г (2-14)
Если направление падающей волны (направление импульса р‚)
к нормали к границе составляет угол (р, а прошедшей (направле-
ние импульса р2) — угол ш, то из условия сохранения касательной
к границе составляющей импульса получаем р‚з1п‹р = р2зйпш. Ис-
пользуя (2.14)‚ находим
ЗЙПФ/зйпш = р2/р‚ = "2/"1-
Таким образом, при преломлении электронной волны соблю-
дается закон преломления, который выполняется для света
(М 2.7).
Найдем выражение для показателя преломления п электронных
волн через работу выхода А = ец, (И, - внутренний потенциал кри-
сталла) (Не 2.6). В нерелятивистском случае связь энергии элек-
трона (Е) с импульсом (р) имеет вид Е = р2/(2т). При вхождении
электрона в кристалл его кинетическая энергия увеличивается за
счет внутренних сил на работу выхода. Обозначив энергию и им-
пульс электрона в вакууме Ед и ро, а разность потенциалов, прой-
денную электроном в вакууме, У= Ео/е, из (2.14) находим
п = Р/Ро = “Ее + А0)/Е0]'/2 = (1 + ШИШ- (2-15)
Этой же формулой можно воспользоваться, если пучок элек-
тронов, ускоренный разностью потенциалов И падает на поверх-
ность серебра, внутренний потенциал которого И, (Не 2.9).
Электроны с кинетической энергией Т = 100 эВ падают под уг-
лом ‹р = 30° к нормали на систему состоящую из двух параллель-
ных сеток, между которыми создана разность
потенциалов И = 36 В (рис. 2.1). Полагая, что
‘Р потенциал нижней сетки выше, чем верхней,
найдем относительный показатель преломле-
""""“ __'"'_ ния п сред, расположенных по обе стороны
„___Ё[ от сеток. Определим, при какой разности по-
тенциалов 15 произойдет полное отражение
электронов от второй сетки (Не 2.10). При
движении электрона в потенциальном поле
РНС- 2-1 потенциальная энергия (П) переходит в кине-
32
тическую (Т), а полная энергия сохраняется Е = Т + Ц = сопзт.
Обозначая кинетическую энергию после барьера 7] и учитывая,
что И = еИ получаем Т= 7] + еИ. При небольших скоростях име-
ем связь кинетической энергии с импульсом Т = р2/(2т). Каса-
тельная к сетке составляющая импульса не меняется, так как поле,
а, следовательно, и силы направлены по нормали к сетке. Обозна-
чив импульс электрона после сеток р‚‚ а угол его с нормалью ш,
имеем: рзйпср =р,з1п\и. В соответствии с (2.14)
п = гъ/п, = Зтср/зйпч/ = д/р = [(Т— гЮ/Т Г” =
=(1+|е|И/Т)'/2 = 1,17.
Полное отражение электронов произойдет, когда зйпху = 1,
а зйтр = 1/2, так как (р = 3О°. В результате (1 + |е| 15/73”? = 1/2. От-
куда |е|13/Т = —3/4 и 15 = —75 В.
Найдем, как нужно изменить форму- \\
лу Брегга — Вульфа, чтобы учесть пре-
ломление волн на поверхности кристалла, Ф
считая, что отражающая поверхность 9
параллельна поверхности кристалла ‘г
(Не 2.8). На рис. 2.2 показаны лучи на ъ ч,
границе кристалла с показателем пре-
ломления п. Для разности фаз получаем
(4, с. 76)
Рис. 2.2
2т1/созч1 — 2а'$1п\у$1п‹р/с0$ч1 =
= (2с1/со$\у)(п — з1п2ср/п) = 2а!(п2 — зйп2‹р)'/2.
Здесь использована связь зйпср/зйпш = п угла падения ‹р и угла
преломления ху.
Обычная формула Брегга — Вульфа
2с1$1п9 = тж, (2. 16)
где 9 — угол скольжения.
С учетом полученной разности фаз, имеем
2а’(п2 — $1п2‹р)'/2 = т)».
Вводя угол скольжения, получаем
2с1(п2 — со$2‹р)‘/2 = т)», (2.17)
где к — длина волны в вакууме.
Пучок электронов падает перпендикулярно на поликристалли-
ческую пластинку П из хлорида натрия, постоянная решетки ко-
торого а = 0,56 нм. В результате брегговского рассеяния пучка на
3- 830
фотопластинке Ф, расположенной на
расстоянии Ь = 25 см от пластинки П,
возникают концентрические дифрак-
ционные кольца. Определим энергию
электронов, зная, что радиус первого
кольца равен К = 0,5 см (М 2.11). По-
скольку пластинка поликристалличе-
ская, то среди кристалликов найдутся
такие, благодаря наклону которых бу-
_щ дУТ удовлетворяться условия Брегга —
рис 23 Вульфа. На рис. 2.3 показан ход лучей
от таких кристалликов к первому ди-
фракционному кольцу. Отражающая
плоскость их имеет наклон на угол скольжения 9. Из (2. 16) и усло-
вия задачи находим зйпе г: 9 н (1/2)К/Ь. Соответственно, 71 = аК/Ь.
Из (2.3) р = И/Х. При небольших скоростях электронов их энергия
Е = р1/(2т) = ЬЗЬ3/(2тК2а2) = 1,2-1О4 эВ.
На рис. 2.4 приведена кривая, полученная в опытах Дэвиссона
и Джермера по рассеянию электронов от монокристалла никеля,
падающих под углом скольжения 8О°. По оси абсцисс отложено
значение (У)'/2, где У- энергия электронов в вольтах, по оси орди-
нат — относительная интенсивность рассеянных электронов. При
больших порядках отражения т максимумы эквидистантны (рас-
стояние между ними 3,06 Вт), а при малых эта закономерность,
показанная стрелками, нарушается. Оценим немонохроматичность
используемых электронов и показатель преломления никеля для
волны де Бройля электронов, соответствующих 3-‚ 4— и 5-му мак-
симумам, которые наблюдаются при (У)‘/2, равным соответственно
8,16, 11,42 и 14,68 В”? Найдем Межплоскостное расстояние с! ни-
Интенсивность
у _
О
О\
о 5 10 15 20 25 \/йв"7
8,16 11,72 14,68
Рис. 2.4
34
келя (Мз 2.12). В случае нерелятивистских электронов в соответст-
вии с (2.3) имеем для их энергии
Е = еУ= р2/(2т) = /12/(2т?„2). (2.18)
Взяв логарифм и продифференцировав, получим
|АЕ/Е] = 2|А7„/?„|.
В соответствии с (4, с. 190) немонохроматичность источника
определяется дисперсионной областью АЖ = Х/т. Число наблю-
даемых максимумов т определяется из условия наложения т-го
максимума на (т + 1)-й т(?„ + м) = (т + 1)?„. Так как на рис. 2.4
ттах = 12, то |АЕ/Е] = 1/6.
Эквидистантное расположение максимумов на рис. 2.4 наблю-
дается при больших значениях И С помощью (2.15) при У>> И,
находим, что в таком случае п = 1. Используя (2.16) и (2.18) полу-
чаем
2с1зйп0 = тж, ж = И/(2теУ)'/2.
Выражая Ув вольтах, а Х в ангстремах, имеем
(У)'/2 = 12‚26/7„ = 12,26т/(2‹1з1п9), (2.19)
где с! в ангстремах (А).
Так как расстоянию между максимумами соответствует т = 1,
то получаем с! = 2,03 А.
Из рис. 2.4 следует, что при т < 6 максимумы интенсивности
неэквидистантны. Это соответствует тому, что при уменьшении
энергии электронов и соответственно увеличении длины деброй-
левской волны показатель преломления отличается от 1. В таком
случае надо воспользоваться формулой (2.17). В результате вместо
(2.19) получаем
(шт = 12,26/7„ = 12,26т/[2д („г - созгеу/г].
Это те значения, при которых наблюдаются максимумы на
рис. 2.4. Значения (У)'/2 находим из эквидистантности. Для пока-
зателя преломления получаем
п = (тп20/ Е” + со$20).
В результате находим:
для т = 5: (У*)‘/2 = 14,68 Вт; (ИШ = 15,3 В'/2; п = 1,04;
для т = 4: (У*)‘/2 11,42 Вт; (У)'/2 12,24 Вт; п 1,07;
для т = 3: (У’*)‘/2 = 8,16 В“; (ИШ 9,18 В“; И 1,12.
3‘ 35
Параллельный пучок моноэнергетиче-
до ских нерелятивистских нейтронов, движу-
щихся со скоростью и, падает на плоскую
[ | поверхность кристалла под углом скольже-
„т: к ния 90 и испытывает на ней брегговское от-
ражение п-го порядка. Кристалл приводят
Рис. 2.5 в движение с постоянной скоростью и в на-
правлении нормали к отражающей плоско-
сти (рис. 2.5). Найдем, под каким углом 9 к отражающей плоско-
сти надо направить пучок таких же нейтронов, чтобы наблюдалось
брегговское отражение их от движущегося кристалла в прежнем по-
рядке п. Определим также, при какой скорости и такое отражение
возможно (Мз 2.13). В соответствии с (2.16)‚ (2.3) и (2.7) 2а7з1п9„ =
= пж = пИ/(то). Переходя к системе отсчета, связанной с движу-
шимся кристаллом, имеем движущийся источник. Считая и << и,
получаем
51п9 = (изйпбо 1 и)/и = зйпед 19: и/и.
Знак определяется направлением движения кристацша. Огра-
жение возможно при скоростях и, удовлетворяющих соотноше-
нию
|зйп9„ 1 и/и | $ 1.
При пропускании пучка нейтронов от ядерного реактора через
блок поликристаллического графита все нейтроны с длинами волн
де Бройля короче Ж = 0,67 нм испытывают интерференционное
отражение Брегга — Вульфа. Проходят через блок только медлен-
ные, так называемые холодные, нейтроны. Определим максималь-
ную температуру, соответствующую самым коротким волнам де
Бройля нейтронов, пропускаемым графитом, а также вычислим
постоянную а решетки графита (Не 2.14). Для связи кинетической
энергии теплового движения частиц с температурой имеем (2,
с. 163)
(3/2)/‹Т = <р2/(2т)>. (2.2О)
Связь импульса с длиной волны определяется (2.3). Это позво-
ляет найти максимальную температуру нейтронов Т = лг/(зткхг) =
= 14 К. Условие отражения Брегга — Вульфа заключается в том,
что при отражении от соседних слоев кристаллической решетки
(рис. 2.6) волны имеют одинаковую фазу. Для максимальной дли-
ны волны 2асоз6 = х. Чтобы отражались и волны, падающие на
блок по нормали (9 = О), должно быть а = т = 0,335 нм.
36
|
у а г к кристалл ЫР Ц
Г
Е Рис. 2.7
Рис. 2.6
Чтобы получить пучок нейтронов, обладающих заданной энер-
гией Е = 1 эВ, используют брегговское отражение первого порядка
от кристалла ЫЕ для которого расстояние между плоскостями
кристаллической решетки с! = 2,32 А (рис. 2.7). На кристалл падает
пучок нейтронов с различными энергиями. Оценим разброс ней-
тронов по энергиям АЕ в отраженном пучке, если угловая ширина
этого пучка Аф = О‚1°. Кристалл вырезан так, что отражающие
плоскости параллельны поверхности кристалла. Найдем, какую
толщину кристалла В следует выбрать в этом эксперименте
(М 2.15). Длина волны, соответствующая энергии нейтронов в не-
релятивистском случае,
х = 12/р = л/(2т„ шт = 0,287 А.
Из (2.16) для брегговского отражения в первом порядке
51110 = ил!) = 0,06 г. 0.
Очевидно, что А9/0 = Ах/Х = (1/2) АЕ/Е.
Отсюда АЕ в 0,058 эВ.
Толщину кристалла находим из условия нужного числа отра-
жающих слоев (А!) в кристалле для разрешения дисперсии пучка
АЖ. Разрешающая способность системы должна удовлетворять ус-
ловию К = т1\’2 МАХ, т. е. при т = 1 и числе интерферирующих
пучков А’ = В/с! имеем: В/а! 2 МАХ = Э/АЭ = клише), откуда
1) 2 х/(ме) н 82 А.
На рис. 2.8 представлены результаты опыта Штерна и Эстер-
мана (1930) по дифракции молекул водорода на кристаллических
плоскостях решетки хлорида лития, отстоящих друг от друга на
расстоянии а! = 1,65 А. В опыте использовались молекулы, кото-
рые вылетали из окошка печи и, пройдя отверстие коллиматора,
падали узким пучком на поверхность кристалла под углом сколь-
жения 0 к рассеивающей поверхности кристалла. Определим,
пользуясь рис. 2.8, температуру Т печи, считая распределение мо-
' 37
’—°ш-°д4 лекул по скоростям в пучке мак-
свелловским (М9 2.16).Обозначив
массу молекулы водорода т и ско-
рость и, имеем, в соответствии
с (2.3)‚ длину дебройлевской волны
5 - ж = Ь/(ти). При рассеянии на кри-
сталле по условию Брегга — Вульфа
ю . . . в первом порядке получаем
-2о -1о о 10 е, град
2431119 = ж = /1/(ти). (2.21)
В результате ДЛЯ СКОРОСТИ нахо-
Рис. 2.8
ДИМ
и = И/(2дт51п9). (2.22)
В соответствии с максвелловским распределением молекул по
модулю скорости имеем (2, с. 159, с. 169) число молекул, обладаю-
щих скоростями от и до и + а'и и попадающих за единицу времени
на единицу площади, равно
а/А’ м и3ехр[— ти2/(2/сТ)]а'и. (2.23)
Поскольку есть разброс скоростей, то возникнет и разброс уг-
лов а’6‚ определяемый из дифференцирования (2.21) или (2.22)‚
2а!со$9а!9 = —/ш!о/(ти2).
Подставляя последнее выражение в (2.23), получаем
дм т и3ехр[—тид/(2/сП]ти2со59(и)с19. (2.24)
По рис. 2.8 имеем 9 т 1О° и, следовательно, созЭ н 1. Считая (19
постоянной величиной, находим экстремум (2.24) по скорости и,
который будет соответствовать максимуму на рис. 2.8
а'{и5ехр[—ти2/(2/сТ)]}/с1и = О.
Отсюда то 2 = 5/‹Т
тах
Используя (2.22)‚ находим
Т = т/12/[5(2с1т3йп9)2/‹] ш й2/(2От/сс1292) 2: 470 К.
В одном из способов монохроматизации медленных нейтронов
применяются два диска из кадмия (кадмий практически не про-
пускает медленные нейтроны), насаженные на общую ось
(рис. 2.9). На периферии дисков на одинаковых расстояниях К от
оси сделаны два малых круглых отверстия диаметром а. Отверстия
38
Ш
1
1
Рис. 2.9
повернуты относительно друг друга на угол ‹р вокруг оси прибора,
и в этом положении диски хорошо закреплены на оси. Диски рав-
номерно вращаются вокруг той же оси с угловой скоростью Е). Оп-
ределим длину волны де Бройля ж, а также степень монохроматич-
ности нейтронов, пропускаемых таким монохроматором, если
расстояние между дисками равно 1= 1 м, К = 10 см, О = 300 рад/с,
яр = 4°‚ а = 5 мм (Мг 2.17). Время пролета нейтроном расстояния
1 определяется временем подхода отверстия на его траекторию
1= ср/О. Скорость нейтрона и = 1/1 = [О/(р. В соответствии с (2.3)
Ж = И/(ти) = [щэ/(т/О) = 0,92 нм. Разброс Х определяется разбро-
сом Аср = а/К. Откуда м/х = а/(Кср) = 0,72.
Другой способ монохроматизации медленных нейтронов со-
стоит в следующем: в цилиндре радиусом К = 10 см и длиной
Ь = 1,0 м делается винтовой паз шириной а = 1 см с поворотом
на угол (р = 30° (рис.2.1О). Цилиндр вращается с частотой у =
= 3000 об/мин. Определим длину волны 7» нейтронов, пропускае-
мых таким монохроматором, и оценим степень их монохроматиза-
ции АЖ/х. Пучок нейтронов направлен вдоль оси цилиндра. Оце-
ним оптимальную ширину паза‚ при которой достигается макси-
мальная монохроматичность пучка (М9 2.18). Для угловой
скорости вращения получаем О = 21т/60. Время движения в ци-
линдре 1 = ср/О, скорость движения нейтронов и = Ь/г = ЬО/ф.
Обозначая массу нейтрона т, из (2.3) находим А = И/р = ЗЬ/(тЬп) =
\ Г“
а- д т
‚Ёд г
д? \
39
= 0,6 нм. Формула для степени монохроматичности такая же, как
и в предыдущей задаче, АЖ/Ж = а/(Кср) = 0,2. Из-за дифракции на
входе имеем 9 = Ж/а. Чтобы при таком рассеянии остаться внутри
паза, необходимо 0 = а/Ь, откуда оптимальное а = ОШ)” =
= 2,6'10‘3 см.
Нейтроны со скоростью по = 5 км/с падают на брегговский ин-
терферометр, состоящий из трех тонких монокристаллических
пластинок, вырезанных перпендикулярно главным кристалличе-
ским плоскостям. На каждой из пластинок волна де Бройля разде-
ляется на прошедшую и отраженную (рис. 2.11). Результат интер-
ференции фиксируется счетчиком нейтронов С, скорость счета
которого зависит от разности фаз в плечах интерферометра. В од-
ном из плеч с помощью электродов (не показанных на рис. 2.11)
на участке длиной 1 = 1 см создается электрическое поле с разно-
стью потенциалов У= 300 В. Если бы у нейтрона был электриче-
ский заряд, то включение поля изменило бы скорость счета счет-
чика С. Найдем, какой предельный заряд а нейтрона может быть
обнаружен в таком опыте, если чувствительность интерферометра.
к сдвигу фаз составляет А‹р = 0,1 рад (Мз 2.19). Должно быть
Аср > 2п/(1/Ж — 1/7„„) = 1(р — р0)/й. Здесь использовано (2.3). В нере-
лятивистском случае связь энергии с импульсом Е = р2/(2т). От-
куда находим с1Е = ра'р/т = иа/р = 414 Подставляя р — ро = с1р
и и = 120, получаем
Аср > аИ/(Йио), (225)
откуда а < Аср Ршо/(У!) 2 51043 ед. СГСЭ.
В таком же опыте можно проверить, есть ли у нейтрона элек-
трический дипольный момент, если в одном из плеч включать
электрическое поле (Мз 2.20). Найдем предельную величину ди-
польного момента ре, которая может быть обнаружена при вклю-
чении на участке 1= 1 см электрического поля Е = 3-104 В/см в на-
/
/ С
1)
|ШН
Рис. 2.11
40
правлении предполагаемого дипольного момента. В постоянном
поле на диполь сила не действует. Если поле включается, то при-
обретается энергия реЕ‚ поэтому вместо (2.25) имеем
Аср > ре Ш/(йуо). (2.26)
Отсюда р, <А‹рйъ›„ /(!Е)=5-1О'25 ед. СГСЭ.
Коллимированный пучок
электронов с кинетической энер-
гией Т = 1,65 кэВ пропускается
через резонатор лазера, работаю-
щего на длине волны к =О‚63
мкм. При некоторых углах паде-
ния пучка относительно оси резо-
натора, близких к прямому может |
|
наблюдаться бреповское рассеялше '
электронов на стоячей электромаг- ф:
нитной волне (эффект Капицы — / ось
Дирака). Оценим возможные углы д тара
отклонения электронов (Мг 2.21). Ф‘
Ё
На рис. 2.12 показана стоячая вол-
на и брегговское отражение от уз- д
лов, определяемое (2.16)‚ 2д$1тр = |
= тхдв. Поскольку кинетическая рис 2,12
энергия рассматриваемых электро-
нов много меньше их энергии покоя, можно пользоваться нереляти-
вистской связью кинетической энергии с импульсом Т= р2/(2те) или
р = (2те7)'/2. Так как по условию (р << 1, то ‹р я: тхдБ/(2с1) =
тИ/[7\(2т„Т)'/2]. Для угла отклонения получаем 9 = 2‹р
= 2т/1/[7„(2теТ)'/2] в т°1От 4 рад.‚ где т = 1, 2, 3,
Ё
\
Волновые свойства частиц, которые особенно наглядно прояв-
ляются для микрочастиц, приводят к соотношениям неопределен-
ностей. Если частица прошла через отверстие, характерный раз-
мер которого Ах, то известна ее координата по оси х с точностью
Ах. Вследствие волновых свойств частицы происходит дифракция.
Отклонение в направлении движения частицы определяется ди-
фракционным пятном. Используя (2.3)‚ для углового размера ди-
фракционного пятна получаем (р т Ж/Ах т рх/р т рх/(И/Ж), откуда
р, Ах т И. (2.27)
Нет возможности точно указать, какую проекцию импульса по
оси х имеет частица. Обозначая неопределенность проекции им-
пульса Арх, можно записать
41
АР
Х
Ах 2 И. (2.28)
Заметим, что в соотношении (2.27) часто вместо 11 бывает ис-
пользовано й = /1/(21т), как сделано и здесь.
Аналогичные соотношения имеют место и для других коорди-
нат (у, 2). Называются они соотношениями неопределенностей Гей-
зенберга для координат и импульсов.
Дифракция при прохождении электрона через щель в непро-
зрачном экране (Не 2.23) дает такой же результат для соотношения
неопределенностей координаты и импульса.
Строго гармоническим (монохроматическим) может быть
только не ограниченный по времени (бесконечный) волновой
процесс.
Конечность процесса излучения привела (4, с. 103) к соотно-
шению между длительностью процесса и спектральным диапазо-
ном излучения т Ау т 1. Умножая это на постоянную Планка, по-
лучаем соотношение неопределенностей Гейзенберга для времени
и энергии
АЕ А! 2 й. (2.29)
В случае стационарного состояния точность измерения энер-
гии определяется временем измерения Аж, т. е. погрешность изме-
рения АЕ больше, чем И/Аг.
Для нестабильного состояния (2.29) определяет связь естест-
венной ширины энергетического уровня АЕ и времени его су1цест-
вования Аж. Этим же определяется и разброс в энергии излучаемых
фотонов.
Если воспользоваться (2.6) и тем, что и = Ах/Аг, то (2.29) мож-
но получить из (2.28).
В мысленном опыте Гейзенберга положение электрона опреде-
ляется с помощью микроскопа при освещении электрона светом.
Покажем, что при таком методе измерения координата х и им-
пульс р, электрона не могут быть определены более точно, чем
требует соотношение неопределенностей Гейзенберга (Не 2.24). На
рис. 2.13 представлена схема опыта. При освещении электрона,
находящегося в предметной плоскости, например в точке О,
в плоскости изображений получаем дифракционную картину
с центральным пятном радиуса
К = срЬ = ЖЬ/(В/2) = МВ. (2.30)
При рассеянии фотона на электроне фотон с той или иной ве-
роятностью может попасть в любую точку дифракционнои карти-
42
ны, где интенсивность света отлична
от нуля. В основном фотоны попадают
в центральное пятно. При этом раз-
брос возможных положений электрона
определяется Ах. Для связи Ах и К вос-
пользуемся условием синусов Аббе (4,
с. 44)
/\Ь
Кзйпв = Ахзйпоъ, ‹2.31) линза
где ос — угол, под которым полетит фо-
тон после соударения с электроном.
Угол В считаем малым и пользуемся
полученным ранее выражением для К.
В результате
ж = Ахзйпос. (232) 4 4 4 4 4 4 4
После соударения фотона с элек- Рис. 2.13
троном последний по закону сохране-
ния импульса приобретает импульс вдоль оси х, величина которо-
го может различаться на Арх м (И/х)з1поь. Подставляя зйпоъ, получа-
ем АрхАх т 11.
0
Скорость макроскопического тела измеряется по доплеров-
скому изменению частоты световой волны при отражении от этого
тела (зеркала). Покажем, что соответствующие неточности измере-
ния импульса и положения тела удовлетворяют соотношению не-
определенностей Гейзенберга (Мг 2.25). Предполагаем‚ что свет
падает на зеркало (тело массы т) нормально к поверхности и пол-
ностью отражается. Отмечая начальные параметры индексом О, из
законов сохранения энергии и импульса получаем
Нац, + ти„2/2 = то + ти2/2‚ Гасло/с + тод = —йа›/с + ти. (2.33)
Отсюда имеем
и + по = 2с(а›„ — со)/(ш„ + со). (2.34)
Для зеркала большой массы (ти2/2 >> йод) имеем и и 00. Тогда
из (2.34)
Н
и 00 = с(ш„ — ш)/(ш„ + со). (2.35)
Погрешность в определении скорости Аи характеризуется по-
грешностью измерения частоты Аш. Считаем, что частота (по зада-
на точно. Из (2.35)
43
Аи = —2сш„Ао)/((о„ + ш)2 2 —сАо)/(2о)„).
Чтобы измерить ш с точностью Асо, надо производить измере-
ния в течение времени Аж, которое, как следует из (4, с. 103),
АсоАг я: 2п.
Так как моменты отражения фотона известны с ошибкой Ах, то
неточность в значении скорости и приведет к ошибке Ах в опреде-
лении координаты зеркала
Ах т |АиА4 т с |АсоА11/(2со„) т пс/шо.
В соответствии с (2.33) при взаимодействии с фотоном зеркало
получает неконтролируемое изменение импульса Ар т 2соой/с. Сле-
довательно, АхАр т 2пй/с и
АхАрт2тсй=/1.
Найдем, какова должна быть кинетическая энергия Тэлектро-
нов (протонов) для исследования распределения заряда и ядерной
материи внутри ядра с точностью 1 т 1 фм (10-‘3 см), и структур
с линейными размерами 1 т 10-4 фм, что соответствует радиусу сла-
бого взаимодействия (Мг 2.26). Используя (1.17)‚ (2.3) и (1.19) для
кинетической энергии получаем
Т = (ргс? + т2с“)'/2 — тс? = тс’ (1 + А2/›\‚2)'/2 — тег.
Здесь комптоновская длина А = Ь/(тс). Для исследования
структур размера 1 длина волны частицы х должна быть меньше 1.
Соответственно
Т > тс2 (1 + А2/!2)'/2 — тсд.
Для электрона Т > 1200 МэВ, для протона Т > 600 МэВ,
Из ускорителя через щель выводится короткий сгусток прото-
нов с энергией Е = 100 кэВ. Оценим минимально достижимую
ширину пучка протонов на расстоянии Ь = 100 м от выходной щели
(Не 2.27). Ширина пучка [определяется шириной щели а. По ана-
логии с камерой обскура (4, с. 156) имеем для ширины пучка
1= а + 2Ьх/а. Экстремум ширины находим из условия сЛ/да = 1 —
— 2ЬХ/а2 = 0. Откуда а = (мху/г. Используя -(2.3), Ж = Ь/р и нере-
лятивистскую связь энергии и импульса, находим 1 =
= 2[2Ь/1/(2тЕ)'/2]'/2 в 8,5 мкм. '
Пучок протонов из ускорителя выводится через отверстие диа-
метром Ах. Используя соотношение неопределенностей, найдем
минимальный размер пучка на экране, расположенном на расстоя-
44
нии Ь = 1 м от отверстия, если радиус орбиты в ускорителе г =
= 10 см, а величина магнитного поля в момент вывода В = 300 Гс
(Мэ 2.28). Движение частицы массой т с зарядом е происходит по
окружности под действием силы Лоренца (3, с. 200) и описывается
формулой ти2/г = (е/с)иВ. Для импульса протона°имеем р = ти =
= еВг/с. Используя (2.27), для размера пучка на экране получаем
1) = Ах + 2 (р‚/р) Ь = Ах + 2/1сЬ/(АхеВг).
Условие минимальности с11)/с1(Ах) = О, откуда следует, что ми-
нимальный размера пучка будет при Ах = [2/2сЬ/(еВг)]‘/1’ и равен
Вт = 2[_2/2с[‚/(еВг)]'/2 2 5,7-1О-4 см.
Оценим минимальный диаметр В пятна, создаваемого на экра-
не пучком электронов, если время пролета от коллиматора до экра-
на равно т = 10-4 с (Мг 2.29). Как и в предыдущей задаче
В = Ах + 2 (рх/р) Ь = Ах + 2ит/1/(тиАх) = Ах + 2/п/(тАх).
Минимальный размер пятна будет при Ах = (2/1т/т)'/2 и равен
1) = 2(2/1т/т)'/2 = 7,6 мкм.
Оценим минимально достижимый диаметр 1) пятна, которое
можно создать на детекторе пучком атомов серебра, испускаемых
печью с температурой 1 = 1200 °С. Расстояние от выходной щели
печи до детектора Ь = 1 м. Расчет произведем: 1) исходя из волно-
вой природы частиц (радиус первой зоны Френеля); 2) исходя из
соотношения неопределенностей. Убедимся в эквивалентности
обоих подходов (Не 2.30). Для радиуса первой зоны Френеля (4,
с. 119) г? = Ы». Учитывая (2.3)‚ получаем В = 2(1‚/г/р)‘/2. Из соотно-
шения неопределенностей, как в предыдущей задаче, минималь-
ное пятно получаем при Ах = (212Ь/р)'/2: Вт = 2(2[‚/1/р)‘/2 практи-
чески совпадает с первой зоной Френеля. Для определения им-
пульса используем (2.2О). В результате 1) = 7,2 мкм.
Предполагая, что ядерные силы между нуклонами обусловле-
ны обменом квантами ядерного поля — виртуальными пионами,
оценим радиус Аг действия ядерных сил, если известно, что энер-
гия покоя пионов тпс? а 140 МэВ (Не 2.31). Виртуальные частицы
существуют только в промежуточных состояниях в течение очень
короткого времени. Их невозможно зарегистрировать экспери-
ментально. Для них не выполняется обычная связь энергии с им-
пульсом Е = ргс? + т2с‘. Время существования виртуальной части-
цы А! связано с неопределенностью ее энергии, описываемой со-
45
отношением (2.29) АгАЕ > И. Для координаты и импульса
соотношение неопределенностей (2.28) АхАр > й. Благодаря этим
соотношениям законы сохранения могут не выполняться точно.
Обмен виртуальными частицами обеспечивает силы взаимодейст-
вия, в частности, между нуклонами. При рассмотрении низко-
энергетических процессов АЕ ‚т тс2. Тогда А! т й/(тс2). За это
время виртуальная частица может пройти расстояние 1 н сАг т
т й/(тс) = Ак/(2тс) н 2-10-‘3 см. Здесь введена комптоновская длина
волны частицы.
Оценим, при какой напряженности Е электрического поля ла-
зерного излучения может произойти пробой вакуума, т. е. разрыв
виртуальных электрон-позитронных пар (Не 2.33). Рождение вир-
туальной пары электрон-позитрон приводит к неопределенности
энергии
АЕ 2 2тс3, (2.36)
где т — масса электрона; с — скорость света.
В соответствии с (2.29) виртуальная пара живет в течение вре-
мени
А! т й/(тс2). (2.37)
Чтобы виртуальные частицы стали реальными, на длине сАг
(комптоновская длина волны частицы) за счет работы электриче-
ского поля Е должна набираться энергия, большая, чем 2тс2 в
2: еЕсАг т еЕй/(2тс). Отсюда Е т 4т2с3/(ей) а: 2-10“ ед. СГСЭ =
= 6°10'° В/см.
Желание измерить координату х электрона с хорошей точностью
путем уменьшения длины волны х измерительного фотона, т. е. ло-
кализация его в размере ж, приводит к тому что появляется вероят-
ность рождения виртуальных (е- е+)-пар. В силу неразличимости
электронов мы не можем отличить исходный электрон от электрона
рожденной пары. Оценим, к какой погрешности Ах, которая практи-
чески определяет размер электрона, это приводит (Не 2.46). Исполь-
зуя (2.36) и (2.37), находим, что за время А: электрон пары может
сместиться на расстояние порядка сАг. Это и представляет неопреде-
ленность координаты электрона Ах т й/(2тс) = 1,93°1О-" см — по-
рядка половины комптоновской длины волны электрона.
Определим теоретическое минимально разрешимое расстояние
с! электронного микроскопа при ускоряющем напряжении У= 100
кВ и числовой апертуре А = 0,1 (Мг 2.34). В случае нерелятивист-
46
ских электронов имеем е!’ = р1/(2т)‚ где е, т и р — заряд, масса
и импульс электрона. Из (2.3) следует к = И/р. Числовой апертурой
в оптике (4, с. 11) называют А = пз1п(‹р/2), где ф - угол между край-
ними направлениями на объектив микроскопа; п — показатель
преломления среды, заполняющей пространствомежду объекти-
вом и предметом наблюдения. Из-за дифракции разрешаемое рас-
стояние
а! = 0,61 МА. (2.38)
Используя волновые свойства электрона, получаем
д = (О,61/А)/2/(2теУ)'/2 = 0,024 нм.
Мезоатомы водорода (связанные состояния протона и мюона)
исследуются с помощью электронного микроскопа с ускоряющим
напряжением У= 3 МВ. Найдем, при какой числовой апертуре
микроскопа можно определить размер мезоатома, если энергия по-
коя электрона Е = 0,511 МэВ, масса мюона т,‘ 2 200 т, (Не 2.35).
Размер мезоатома можно оценить по формуле (4.1О) 1 = й2/(тре2).
В соответствии с (2.38) должно выполняться 12 0,61 Же/А. Из (2.3)
и (1.17) следует ж, = И/р = Ь/(еЧ/д — т2с4)'/2. В результате А = 0,83.
В новых сверхпроводящих материалах расстояние а между со-
седними атомами около 4 А. Определим, какую апертуру должен
иметь электронный микроскоп с ускоряющим напряжением У= 50
кВ, чтобы можно было получить изображение кристаллической
решетки этих материалов (Не 2.36). Для изображения хода лучей
в электронном микроскопе можно воспользоваться рис.2.13. Рас-
стояние Ах соответствует дифракционному пятну Чтобы получи-
лось изображение решетки, расстояние между атомами должно
превосходить это расстояние. Учитывая (2.30), (2.31) и (2.32), по-
лучаем а 2 Ах = ж/зйпос. Пользуясь (2.3) и связью импульса с энер-
гией р2/(2т) = еИ получаем для апертуры зйпос 2 Ж/а = И/(ар) =
= (И/а)/(2теУ)'/? = О,01375.
У оптического микроскопа угловая апертура порядка 1, а у
электронного равна 10- 4. Найдем, при каком напряжении, уско-
ряющем электроны, разрешающая сила этих приборов будет оди-
накова (Не 2.37). Для разрешающей силы имеем (2.38). В резуль-
тате по условию Жо/АО = Хэ/Аэ. Из (2.3) и нерелятивистской связи
импульса с энергиеи получаем
У= рэ2/(2тэ) = (Аэ/АоУ/т2/(2тэ7ьо2) а 450 В.
Электрон движется со скоростью и в плоскопараллельном слое
вещества толщиной 1 с показателем преломления п перпендику-
47
лярно к ограничивающим плоскостям.
Скорость электрона и > с/п, так что на-
блюдается излучение Вавилова — Черен-
кова. Определим угловую расходимость
А‹р излучения, обусловленную конечной
толщиной слоя (рис. 2.14) (Мг 2.40). Из-
лучение Вавилова — Черенкова получа-
ется сложением волн из точек а и Ь в на-
правлении, в котором они имеют одина-
ковую фазу (фронт волны
перпендикулярен лучам). Обозначая
угол направления излучения относи-
тельно направления полета частицы (р и
скорость света в вакууме с, получаем
созф = с/(пи). Дифференцируя это выра-
жение, имеем
Рис. 2.14
зйпфщр = сди/(пи2).
Находясь в слое вещества электрон имеет неопределенность
в импульсе в соответствии с (2.27) Ар = тэди н /2/1. Это приводит
к неопределенности угла излучения Аф ж с/т/(ттдйзйпср). Здесь
т, — масса электрона.
Покажем, что представление о классическом движении элек-
трона в атоме водорода по первой боровской орбите противоречит
соотношению неопределенностей Гейзенберга, т. е. неопределен-
ность положения электрона порядка радиуса его орбиты (М; 2.41).
Используя соотношение квантования Бора для первой боровской
орбиты (4.8)‚ получаем р = й/ц. Из соотношения неопределенно-
стей (2.28) имеем Ар ^— й/Аг = й/г, = р.
Покажем, что в водородоподобных атомах на круговой стацио-
нарной боровской орбите укладывается целое число длин волн де
Бройля. Определим длину волны де Бройля на круговой орбите
с главным квантовым числом п (Мг 2.42). Из (4.8) г„ = пй/р. Ис-
пользуя (2.3), получаем 2пг„/?„ = п.
Оценим на основании соотношения неопределенностей радиус
атома водорода восновном состоянии и энергию связи электрона
в том же состоянии. Определим на основании таких же оценок
размер двухатомной молекулы и энергию ее основного состояния,
рассматривая молекулу как одномерный гармонический осцилля-
тор с собственной частотой (од и приведенной массой р (М: 2.43).
Неточность положения электрона в атоме водорода определяется
его размером (радиусом орбиты электрона г). Неточность в опре-
48
делении импульса определяется (2.27). При наименьших энергиях
электрона будем считать, что его импульс р т Ар т й/п Учитывая,
что потенциальная энергия электрона связана с кулоновскими си-
лами (3, с. 28), для полной энергии электрона получаем
Е = р2/(2т) — ед/г = й2/(2тгд) — е2/п (2.39)
В основном состоянии эта энергия должна быть минимальна.
Из условия минимума с1Е/с1г = О находим, что минимальное значе-
ние будет при
гд = йг/ (те2). (2.4О)
Это расстояние называется боровским радиусом.
Соответствующая энергия равна
Ед = — е2/(2гд) = — те4/(2й 2). (2.41)
Отрицательное значение энергии показывает, что в связанном
состоянии (электрон находится в атоме) у него энергия меньше,
чем в свободном. Чтобы вырвать его из атома надо преодолеть
энергию связи (2.41).
Рассматривая молекулу как одномерный гармонический ос-
циллятор (без вращения) с собственной частотой колебаний (о и
приведенной массой р (1, с. 98, 103), получаем для кинетической
энергии р2/(2р) и для потенциальной (с жесткостью возвращаю-
щих сил /‹) /ос2/2 = рсо2х2/2.
Неточность в размере молекулы при колебаниях атомов можно
характеризовать <х2>‚ т. е. Ах = (<х2>)'/2. Соотношение (2.27) ука-
зывает лишь порядок и записывается в разных вариантах. Исполь-
зуем в данном случае р т й/(2Ах) = (й/2)/(<х2>)‘/2.
Полная энергия для осциллятора Е = р2/(2р) + рсо2х2/2. В дан-
ном случае
Е = й2/(8р<х2>) + (1/2)рш2<х2>.
Основное состояние соответствует минимальной энергии. Из
условия минимума дЕ/с1<х2> = О получаем, что минимум будет при
<х2>0 = й/(2рсо) и равен Ед = (1/2)йоэ.
Действие силы на свободно движущуюся частицу массой
т можно обнаружить, наблюдая изменение ее координаты во вре-
мени. Оценим в соответствии с квантово-механическими закона-
ми, какую минимальную силу, действующую по направлению дви-
жения частицы, можно обнаружить таким способом за время на-
блюдения т (М) 2.44). В результате действия силы Р на частицу
массы т она приобретает ускорение а = Е/т и смещается за время
наблюдения т на расстояние
4- взо 49
= ат2/2 = гт2/(2т) = рс/(2т). (2.42)
Неопределенность в определении смещения 1 связана с неоп-
ределенностью в импульсе А! = Арт/т. Эта неопределенность не
связана с неопределенностью в определении начальной координа-
ты частицы (в момент начала наблюдения) Ах„‚ поэтому они скла-
дываются как независимые случайные величины. В результате не-
определенность координаты частицы
<Ах2> = < А х,‚2> + <АР>. (2.43›
Воспользуемся соотношением неопределенностей в форме
Вейля
<Ах02><Арх2 > 2 122/4, (2.44)
откуда
<Ар„2 > 2 722/(4 <Ах,‚2>).
ОКОНЧЗТСЛЬНО ПОЛУЧЗСМ
<Ах2 > 2 <Ах,2> + п2т2/(4 т2<Ах,‚2>).
Минимальное значение этой величины находим, как обычно,
приравнивая нулю производную. В результате минимум будет при
<Ах„2> = йт/(2т) и равен <Ах?> = йт/т. Используя (2.42)‚ получаем
Г2т4/(4т2) 2 йт/т,
и окончательно 172 (4 тй/т3)'/2.
Силу можно измерить по изменению энергии пробного тела
массой т до и после действия силы. Оценим в соответствии
с квантово-механическими законами, какую минимальную силу,
действующую по направлению движения частицы, можно обнару-
жить таким способом за время наблюдения т, если начальная
энергия пробного тела, равная Ед, много больше приращения
энергии (М) 2.45). Первое измерение энергии движения частицы
производится с точностью АЕ, определяемой (2.29) и зависящей от
длительности измерения т,‚ АЕ = й/т, (при достаточно большом т,
эта величина может быть очень малой). В оставшееся время на-
блюдения т — т, будет происходить изменение энергии за счет ра-
боты силы Е Вводя начальный импульс частицы р„‚ имея в виду
нерелятивистскую связь Е, = р„2/(2т) и то, что изменение импуль-
са за т, мало Рт, << рд, получаем для изменения энергии за время
т — т,
50
АЕо = РоАР/т = Ро1’(т _ Тд/т-
Это изменение энергии можно обнаружить, если АЕд > АЕ =
= й/ц, откуда
Р? Йт/[Ротп (Т - Тил-
Дифференцируя это выражение по т, и приравнивая нулю, на-
ходим, что минимум будет при т, = т/2:
Ртйп = (Й/т2)(8т/Ео)"2‚
(где подставлено выражение для рд).
Рассмотрим опыт по дифракпши электронов на двух щелях в не-
закрепленном экране. Определив место попадания частицы (по-
ложение максимума 1-го порядка) и измерив х-компоненту им-
пульса отдачи экрана со щелями Арх (рис. 2.15), можно, казалось
бы, определить, через какую щель проходит электрон. Этот мыс-
ленный опыт Эйнштейн предлагал Бору в качестве аргумента про-
тив соотношения неопределенностей. Покажем, что измерение
импульса отдачи экрана с необходимой точностью приводит к не-
определенности в импульсе рассеянного электрона и тем самым
к размытию интерференционной картины в полном соответствии
с соотношением неопределенностей (Не 2.48). Обозначив деброй-
левскую длину волны электрона ж, для разности хода до первого
максимума имеем 5’, — 5, = ж. Используя рис. 2.16, имеем
5, - 5, = [(1›/2 + Ах)? + Ьгг/г - [(Ах - в/2›2 + шт в ВАх/Ь
(здесь использовано обычное условие эксперимента 1, >> 1), Ах).
Если электрон прошел через щель 1, то изменение импульса
экрана
Иры! = МАХ + 0/2)/[(Ах + 19/2)’ + И“;
14319:
е .
————-г>
51
Рис. 2.15
|`г'|`г7|
Ш?”
4. 51
Рис. 2.16
если же через щель 2, то
|АРх2| = рих -- в/2›/1‹Ах - 1›/2›2 + шт.
Чтобы определить по измерению импульса, через какую щель
прошел электрон, нужно суметь различить по величине |Ар‚‚|
и |Ард|‚ т. е. точность измерения импульса должна быть лучше, чем
Ар, = |Ар‚„| —|Ар‚2| = МАХ + 0/2)/Ь — р(Ах — 0/2)Ь = рд/Ь-
Из соотношения неопределенностей (2.27)
бхбрх Ю /1‚.откуда бх с И/брх 2 И/Арх = ИЬ/(рВ) = хЬ/В.
Так как Ж = ВАх/Ь, то бх 2 Ах. Тем самым неопределенность
в положении щелей (обе щели смещаются как целое вместе с эк-
раном) будет больше, чем масштаб интерференционного расщеп-
ления‚ картина размывается.
Согласно принципу дополнительности Бора невозможно одно-
временное проявление микроскопическим объектом волновых
и корпускулярных свойств. В 1995 п В Массачусетском технологи-
ческом институте (США) был осуществлен эксперимент, направ-
ленный на проверку основ квантовой механики. Идея такого экс-
перимента обсуждалась в лекциях Фейнмана. Как показано на
рис. 2.17, пучок монохроматических атомов Ма (и = 1400 м/с) на-
правлялся на дифракционную ре-
: щетку с периодом а = 200 нм, где
д, расщеплялся на прямой пучок
|
|
' „ „
| и продифрагировавшии в первыи
|
Щ порядок. Затем второй решеткой
| Ё | пучки сводились, получалась ин-
д д терференционная картина, кон-
.__. траст которой измерялся. На рас-
2
стоянии 2 от первой решетки атомы
Рис. 2.17
52
На возбуждались лазером (ж, = 6000 А). При возвращении в ис-
ходное состояние атомы испускали фотоны, которые позволяют
определить траекторию атома. Найдем, на каких расстояниях 2 со-
гласно принципу дополнительности происходило размытие ин-
терференционной картины (М: 2.49). Используя (2.3) для опреде-
ления дебройлевской длины волны атомов хд, = И/р, где р — им-
пульс атомов, и условие для первого максимума решетки (4, с. 177)
аз1п0 = 1,5, получаем направление на первый максимум дифрак-
ционной картины
0 ш Ь/(ар). (2.45)
Как частица электрон может двигаться либо по нормали
‘к плоскости решетки, либо под углом 0. При освещении лазером
атомы возбуждаются и практически сразу же излучают те же фото-
ны. Таким образом, можно было бы увидеть, где находится атом
(летит по нормали или под углом 0). В соответствии с принципом
дополнительности интерференционная картина не испортится,
пока не будет возможности различить положение атома из-за ди-
фракции света. Это зависит от расстояния 2, на котором возбужда-
ются атомы. Будем считать, что этим же расстоянием определяет-
ся и угол дифракционного пятна хф/г. В таком случае диаметр ди-
фракционного пятна с! а ж, Используя (2.45), находим
расстояние, до которого возможные положения атомов неразли-
чимы из-за дифракционного пятна, 2 5 дар/И = жфар/И = 1 см. При
этом наблюдается интерференционная картина.
В октябре 1999 п в Венском университете был осуществлен
эксперимент по дифрашши очень массивных частиц — фуллеренов
— молекул углерода Ст. Пучок молекул направлялся на дифракци-
онную решетку с периодом с! = 100 нм, а затем на расстоянии 1 =
= 1,25 м от решетки измерялось пространственное распределение
прошедших частиц. Как видно из приведенных на рис. 2.18 ре-
зультатов эксперимента, кроме прямого пучка наблюдалось еще
два симметрично расположенных максимума на расстояниях А =
= 125 мкм. Найдем, какова была скорость фуллеронов в пучке
(М 2.51). Длина волны частиц определяется из (2.3)‚ направление
на первый максимум — из (4, с. 177), как и в (2.45). В результате
и = р/М = И/(МХ) = И/(МдЗЁЦЭ) = /11/(Ма7А)‚ (2.46)
где М — масса молекулы фуллерона; 0 — направление на первый
максимум.
Численно и = 2‚77-104 см/с.
53
ь-в
Ф
Ф
С
т
800 `
Отсчетов за 50 с
600 '
400 '
200
—З0 0 50
Смещение, мкм
Рис. 2.18
Кластеры атомов или молекул получаются при расширении и,
тем самым, охлаждении вылетающих из сопла монохроматических
частиц. В одном из экспериментов с кластерами гелия в 1994 п
в Геттингеме (Германия) на пути пучка была установлена дифрак-
ционная решетка с периодом а! = 200 нм и затем с помощью
масс-спектрометра анализировался спектр частиц под различны-
ми углами в первом порядке интерференции (рис. 2.19). Опреде-
лим скорость гелиевых кластеров: димеров, состоящих из четырех
атомов гелия и обозначенных на рис. 2.19 как (Нед), (0 = 0,69
мрад), и триммеров, состоящих из шести атомов гелия (Нед,
Отсчетов в 1 с
О’\ `1
о о
Ф Ф
П П
500 т
400 -
(Н°2)2
300 ь ° (Нет $
200 - ‘
Д ц
1
7
0 0,2 0,4 0,6 0, мрад
Рис. 2. 19
100
В
54
(Э = 0,46 мрад) (М 2.52). Используя (2.46)‚ находим и = р/М =
= Н/(МА) = И/(тА/дзйпе), где т - масса атома гелия; 1\’— число ато-
мов гелия в кластере. В результате получаем, что скорость тримме-
ров и димеров одинакова и равна 1,8-1О° см/с.
Оценим неопределенности отклонения от вертикали Аф и мо-
мент импульса АЬ математического маятника, совершающего ма-
лые колебания в поле силы тяжести, если масса маятника равна т,
а длина — 1(М9 2.53). Для маятника имеем р1/(2т) в т31‹р2/2‚ х в Кр,
Ь = р1. Используя (2.44)‚ получаем
(АрУЧ/(тёг) = т.
Из предыдущих соотношений (Ар)? ж тдд! (Аср)? и (Ар)2 =
= (АЬ/дд. В результате (Аф)4 н й2/(т2133), (АЬ)4 н 712т2313 и АФАЬ а: й.
Для гармонического осциллятора можно определить время как
«движение» фазы осциллятора: 1= ср/(о. Используя соотношение
неопределенностей энергия-время, найдем связь между флуктуа-
циями АА’ среднего числа А’ когерентных осцилляторов в системе
и флуктуацией А‹р их фазы ‹р (Мг 2.54). Для энергии осцилляторов
имеем Е = Ниш. При флуктуации числа осцилляторов для флук-
туации энергии получаем АЕ =—А1\/йоэ. Учитывая, что А! = Аср/ш,
имеем АЕ Аг/й = АМАФ = 1.
Электрон притягивается К ПОВСРХНОСТИ ЖИДКОГО ГСЛИЯ ЭЛСК-
трическими силами изображения, ПОТСНЦИЗЛЬНЭЯ энергия КОТО-
рых, как ИЗВССТНО, равна
С/(х) = (1/4)(е2/х)(г -— 1)/(г + 1)‚
где х — кратчайшее расстояние от электрона до поверхности; е —
заряд электрона; а = 1,057 — диэлектрическая проницаемость ге-
лия. В то же время медленный электрон не может проникнуть
внутрь гелия из-за отталкивания (так называемое отрицательное
сродство гелия к электрону). Поэтому можно считать, что на по-
верхности (х = О) потенциальная энергия испытывает бесконеч-
ный скачок и электрон оказывается в потенциальной яме
(рис. 2.20). Пользуясь этой моделью и соотношением неопреде-
ленностей, оценим по порядку величины среднее расстояние
х электрона от поверхности гелия в основном состоянии и энер-
гию связи Есв электрона вблизи поверхности гелия (Мв 2.38). Обо-
значим ос = (е2/4)(е — 1)/(е + 1). Полная энергия электрона скла-
дывается из кинетической р2/(2т) (где р и т — импульс и масса
электрона) и потенциальной
55
Е“) М
[хе Ё
| Р
|
|
Есв '—
Рис. 2.20
Е = р2/(2т) — ос/х т. й2/(2тх2) — ос/х. (2.47)
Здесь импульс электрона оценивается по соотношению неоп-
ределенностей (2.28). Среднее (равновесное) положение электро-
на находим из минимума (2.47) обычным способом
с1Е/4х = —й2/(тх3) + ос/х2 = О.
Отсюда хер = йг/(тоь) = 4г,(г + 1)/(г — 1) = 77-10-3 см,
где г, = т/(те?) — боровский радиус.
Подставляя это в (2.47), находим энергию связи
Е“ ъ- й3/(2тхср2) — ос/хср ж —тос2/(2й2) = —6‚5°10-4 эВ.
З. Уравнение Шредингера. Квантование.
Потенциальные барьеры
Для объяснения интерференционной картины, возникающей
при прохождении микрочастиц, например электронов, через кри-
сталлическую решетку Борн предложил вероятностную интерпре-
тацию. Описывающая волновые свойства электрона волновая
функция позволяет получить лишь вероятность обнаружения
электрона в некоторой области пространства в данный момент.
Полная же интерференционная картина, фиксируемая прибора-
ми, создается последовательным прохождением (потоком) элек-
тронов. В соответствии с волновыми свойствами каждый электрон
как бы «размазан» по пространству. После взаимодействия элек-
трона с экраном (фотопластинкой) «размазанный» электрон «со-
бирается» в определенном месте. Вероятность попадания отдель-
ного электрона в некоторое место картины определяется интен-
сивностью волновой функции, которую называют плотностью
вероятности (вероятностью попадания в единичный объем)
Р(х) = |Ч’|2 = ‘Р*Ч’. (3.1)
Звездочкой отмечена комплексно сопряженная функция.
Сама ‘Р-функция называется амплитудой плотности вероятно-
сти.
Движение свободного электрона описывается плоской волной
(2.1). В таком случае
Ч’*(г, г) ‘Р(г, 1) = ‘РО ‘РО = сопзт. (3.2)
Поскольку плотность вероятности (3.2) постоянна, электрон
можно равновероятно обнаружить в любой точке пространства.
Этот результат подчеркивает, что волновая функция (2.1) должна
быть комплексной. Вещественные функции (синус или косинус),
использованные вместо экспоненты в (2.1), не дали бы такого ре-
зультата.
При прохождении частицы через кристаллическую решетку
появляется разность фаз б(г) волн, распространяющихся по раз-
ным путям. В таком случае в некоторой точке складываются две
волньт
т] = Ч10 еККг-ш!) и Ч12 = тое/Пкг-шг-Ыг”.
В РСЗУЛЬТЗТС ПОЛУЧЭСМ ПЛОТНОСТЬ вероятности попадания ЭЛЕК-
трона В некоторое МССТО ПРОСТРЗНСТВЗ, которая зависит ОТ б
57
‘Р*‘Р = (‘Р‚* + ‘Р2*)(Ч’‚ + ‘Р2) = 2Ч’„2(1 + созб). (3.3)
Вероятность попадания в некоторый объем пространства д!’
а7Р = чту ШК (3.4)
Из условия, что частица обязательно где-то находится, очевид-
но следует, что при интегрировании по всему пространству долж-
но быть
] ч” так = 1. (3.5)
Про функции, удовлетворяющие этому условию, говорят, что
они нормированы. Они на бесконечности должны стремиться
к нулю. Невыполнение этого в случае плоской волны, как следует
из (3.2)‚ показывает, что плоская волна должна быть нормирована
иначе: плоские волны нормируются на б-функцию.
Используя представления волновой (квантовой) механики
можно вычислить параметры движения и сравнить их с величина-
ми, измеренными экспериментально. Такие величины называют
наблюдаемыми, в отличие, например, от принципиально ненаблю-
даемой комплексной волновой функции.
Движение частиц в классической механике определяется полу-
ченным из экспериментальных данных вторым законом Ньютона
- обыкновенным дифференциальным уравнением второго поряд-
ка. Для микрочастиц де Бройль предложил решение в простейшем
случае движения свободных частиц, не зная уравнения, которое
описывает это движение. Шредингером было сконструировано
уравнение, удовлетворяющее свойствам линейности и однородно-
сти по ‘Р, чтобы обеспечить справедливость принципа суперпози-
ции волновых функций, необходимость чего требуется для интер-
ференции и дифракции. Из (2.1) — (2.3) получаем для волновой
функции свободно движущейся частицы
т = ч’, ект-тт. (3.6)
Для нерелятивистских частиц Е = р2/(2т). Используя это соот-
ношение, а также необходимые условия для суперпозиции и диф-
ференцируя ‘Р по координате и времени, можно получить диффе-
ренциальное уравнение
та ‘Р/д1=—й2 /(2т)д2 ‘Р/дх2. (3.7)
В трехмерном пространстве вводится оператор Лапласа, кото-
рый в декартовых координатах имеет вид
58
АЧ’ = ддР/дх? + ддР/ду? + ддР/дгд (3.8)
В таком случае вместо (3.7) уравнение Шредингера
тдЧ/д! = —й2/(2т)АЧ’. (3.9)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение в ча-
стных производных описывает движение свободных частиц в от-
сутствие силовых полей. Это значит, что его решением является
волна де Бройля (3.6). В случае движения в силовых полях, харак-
теризуемых потенциальной энергией Шт), добавляется член, зави-
сящий от потенциальной энергии,
хват/д: = —й2/(2т)АЧ‘ + П(г)Ч’, (3.10)
где
г=хй+у5+дк (3.11)
Подчеркнем, что это уравнение, называемое временньм (или
общим) уравнением Шредингера вывести нельзя. Его справедли-
вость доказывается его пригодностью для описания эксперимен-
тальных результатов, в частном случае потенциальных полей.
Удовлетворение принципу суперпозиции сводится к линейности
и однородности уравнения. Линейность заключается в том, что
функция ‘Р = ад’, + аж, с постоянными и возможно комплекс-
ными коэффициентами ос, и а, — решение уравнения Шрединге-
ра, если его решениями являются Ч’, и ‘Р, Однородность заключа-
ется в том, что состояние, описываемое линейной комбинацией,
не меняется, если оба коэффициента умножить на одну и ту же
постоянную. Потенциальная энергия П(г) рассматривается как
в классической физике, т. е. как будто бы частицы локализованы. _
Уравнение Шредингера можно написать для сопряженной
волновой функции ‘Р"‘. Наряду с (3.7) получаем уравнение
—1йдЧ’*/д1 = —й2/(2т)д?‘11*/дх2‚
используя которое, а также (3.7) и (3.1)‚ находим
дР(х)/д1 = д(‘Р*Ч’)/д1 = —й/(2т1)д(‘1’*д‘Р/дх — ‘Рд‘Р*/дх). (3.12)
Введем обозначение
1, = й/(2т5) д(Ч”"д‘Р/дх — ‘Рдчд/дх). (3.13)
Тогда уравнение (3.12) можно записать так:
дР(х)/д1 + д],(х)/дх = О.
59
В трехмерном случае, вводя сйу] = д]‚/дх + дд/ду + дд/дг, где 1 —
плотность потока Р, подобно тому, как в гидродинамике в уравне-
нии неразрывности др/дг + сйу] = О (р — плотность жидкости; 1 —
плотность потока), получаем \
дтт+шщ=о
Для трехмерного случая с учетом (3.9) и (3.12) получаем для
плотности потока вероятности нахождения частицы
3 = т/(2т)(‘1‘вгао‘1’* — Ч’*3гас1Ч’). (3.14)
Состояния, в которых наблюдаемые величины (параметры) не
меняются со временем, называют стационарными.
Чтобы найти уравнение для описания стационарных состоя-
ний, рассмотрим решение (3.1О) в виде
т = чаи) щи). (3.15)
Производные дЧ’/д1 = ‘Р‚дЧ‘2/д1 и АЧ’ = ‘Р‚АЧ’, подставляем
в (3.1О) и получаем
—й2/(2т)(1/Ч’,)А‘Р‚ + Н(г) = та/тддкгуд: = Е = сопзт. (3.16)
Так как В ЛЕВУЮ часть равенства ВХОДЯТ ВСЛИЧИНЫ, ЗЗВИСЯЩИС
ТОЛЬКО ОТ х, а В СЛСДУЮЩУЮ часть -— ВСЛИЧИНЫ, зависящие ТОЛЬКО
ОТ Г, ТО оба выражения. представляют ПОСТОЯННУТО ВСЛИЧИНУ Как
ВИДНО ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫРЗЖСНИЙ, ЭТО полная энергия. И В ДЗН-
НОМ случае она постоянна. Интегрируя правую ЧЭСТЬ, находим
чъ = Тое-‘(Е/д)‘ = ‘Рде-‘ш’, (3.17)
где ‘Ро — постоянная величина.
Обозначив для удобства Ч’,(х) = ц/(х), из (3.16) получаем урав-
нение Шредингера для стационарных состояний
—й2/(2т) щ; + (и- Е) ч: = о. (3.18)
ДЛЯ одномерного случая СООТВСТСТВСННО ИМССМ
-п2/‹2т)‹12ш/ах2 + (и - вы = о. (3.19)
Функция ч: должна удовлетворять всюду в том числе и на гра-
ницах областей, в которых она может иметь различный аналити-
ческий вид‚ естественным (стандартным) условиям: 1) непрерыв-
ность и гладкость; 2) однозначность; 3) ограниченность; 4) конеч-
ность (Ау.
60
Напомним, что потенциальная энергия (П) определяется клас-
сически, как если бы частица не обладала никакими волновыми
свойствами. Обычные требования, накладываемые на решение
дифференциального уравнения, называемые естественными (стан-
дартными) условиями, заключаются в том, что ч/(х) должна быть ко-
нечной, однозначной, непрерывной и гладкой (без изломов). Соот-
ветствующие значения энергии (Е), называемые собственными
значениями, могут быть дискретными (квантовыми) или непрерыв-
ными. Они составляют энергетический спектр. Волновые функ-
ции, соответствующие собственным значениям, называют собст-
венными функциями, принадлежащими собственным значениям Е.
В кулоновском поле простейшим сферически симметричным
решением уравнения Шредингера является волновая функция ц: =
= Аедд’. Найдем, какой энергии (в эВ) соответствует это состояние
для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом 2 = 10, чему
равна а (М9 3.7). Оператор Лапласа, входящий в уравнение Шре-
дингера (3.18)‚ в сферически симметричном случае имеет вид
А = сР/дг? + (2/г)а!/а/п (3.2О)
Вычисляем производные
сАу/дг = —Аае-‘” = —а\у, аду/ф‘? = аду,
подставляя их в уравнение Шредингера (3.18)‚ получаем
а? — 2а/г + (2т/й2)(Е + 2е2/г) = О.
В стационарном состоянии Е постоянно. Для этого должно
быть
а = т2е2/й2.
Подставляя в предыдущее уравнение, находим
_ Е = —а2й2/(2т) = —т22е4/(2й2).
в итоге Е = -1,36 кэВ, 1/а = 0,053 А.
Использование волновых функций в вероятностной интерпре-
тации позволяет вычислять средние значения величин. Используя
(3.1) и (3.4), например, для среднего значения координаты, имеем
<х> =[ лигах =[ .\у*х\у‹1х. (321)
Среднее значение любой функции координат /(г) находим по
формуле
<лх›> =] ш*лх›шах. ‹з.22›
61
Приведем без вывода соотношение неопределенностей (2.44)‚
которое считается более точным, чем (2.28)
<Ах2> <Ар2> 2 й2/4. (3.23)
Преобразование некоторой функции, например ее умножение
на число или другую функцию, дифференцирование и прочие воз-
действия можно обозначить некоторыми символами, которые на-
зывают операторами. В квантовой механике каждой физической
величине соответствует оператор, который обозначается той же
буквой со специальным значком над ней («шапочкой»). Операто-
ры различных физических величин связаны между собой так же
как сами величины. Операторы нужны для вычисления средних
значений величин, а также собственных значений самих операто-
ров. Как видно из (3.21) оператором координаты частицы является
сама координата э? = х, на которую умножается ш-функция. Ана-
логично для любой функции координат, как видно из (3.22). В об-
шем случае для среднего значения некоторой величины Р имеем
<г> =] мы аи (3.24)
Состояние, в котором физическая величина Г имеет опреде-
ленное значение, описывается уравнением
Ы = г ш. (3.25›
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся (3.24) и (3.5)
<г>=[ш*Ёч‚а1/=[ц‚*гшаи=гушщдпег.
Результат очевиден, так как других значений физической вели-
чины в этом состоянии нет. Функция ш, удовлетворяющая уравне-
нию (3.25)‚ называют собственной функцией, а 17 — собственным
значением.
Рассматривая движение свободной частицы, можно получить
выражение для оператора импульса
д, = —1й‹1/а7х. (3.26)
В ТРСХМСРНОМ СЛУЧЗС ОПСРЗТОР импульса выражается через гра-
ДИСНТ
г; = —ту. (327)
Для других операторов получим выражения из связи физиче-
ских величин. Используя выражение для квадрата импульса р2 =
= д} + ру? + р}, получаем оператор квадрата импульса
62
у = ^3 + д; + д: =(-:пд/дх)* н-гпд/ду)? +(—1йд/д2)2 =
-н*(д* /дх2 +д* /ду2 +д2 /д2’)=-н*у*, (3.28)
где 72 — оператор Лапласа, обозначаемый также А.
Кинетическая энергия в нерелятивистском случае Т= р2/(2т).
Поэтому оператор кинетической энергии
т= тат) = -н2/(2т) (дг/дхг + дг/дуг + дг/дгг) = -п2/(2т)у2„ (329)
Для полной энергии имеем <Н> = <Т> + <Н>. Соответствен-
но, оператор полной энергии, называемый гамильтонианом, ра-
вен
1? = т + 0 = -п2/(2т)72 + и (ззо)
Используя полученные формулы, можно (3.7) и (З. 10) записать
соответственно:
та чудит’; ‹3.31)
та т/д: = нча (332)
Взаимодействие между нуклонами в дейтроне может быть опи-
сано потенциалом Юкавы Щг) = —[/„ еЧ/а/(г/а), где г — относитель-
ное расстояние; а — радиус взаимодействия ядерных сил; Ц, = 40
МэВ. Если аппроксимировать волновую функцию основного со-
стояния как водородоподобную
ч/(п В) = [В’/(81т’)1е"”"’“’‚
где В — параметр, при котором достигается минимальная энергия
основного состояния, то энергия связи оказывается равной Ео =
= -1‚О8 МэВ. Учитывая, что уравнение х3(х — 1)/(1 + х)’ = 0,108
имеет корень х = 1,5, определим величину а (М 3.8). Учитывая
(3.3О), получаем
<Е> = <Т+ и> =Ё ч:*1г›2/‹2м› + полчищ
где с11/= 4ти°а7п р = т/2 — приведенная масса дейтрона.
Оператор импульса в сферически симметричном случае
22’ = —й2 [сад/ат + (2/г)с1/‹1г].
В результате интегрирования находим
<Е> = й’В’/(8иа2) — 1/533/(1 + В)’.
63
основное состояние соответствует минимуму энергии:
а'<Е>/с1В = о, откуда (1 + В)3/[В(3 + ВЛ = 2ца2Н/й3.
В результате имеем Е = <Е> = (Н/4)В3(1 — В)/(1 + В)3‚ или
ВЧ! — В)/(1 + В)’ = 0›108-
используя условие, получаем [З = 1,5. Поэтому
а = Й{(1 + В)3/[2и1/В(В + ЗЛУ” = 1‚54°10"’ см.
Аналотинньпм образом можно рассмотреть немного другой вид
потенциала взаимодействия между нуклонами при той же аппрок-
симддии волновой функции для нахождения энергии связи между
нуклонами (т 3.9). В результате получим <Е([3)> = й2В2/(8ра2) —
_ ЩВз/д + р)?‘ и —2‚2 МэВ, где В = 1,35.
Оценим энергию основного состояния частицы массой т и ха-
рактерньти размер области локализации частицы в потенциальном
поле, равном = 00, х < О, = ‚ОС, х > О (М? Так как не
может быть одновременно точного значения импульса и коорди-
ноты, то для кинетической энергии, определяемой импульсом,
и потенциалЬНОЙ энергии, определяемой координатой, имеем со-
хранение Энергии ТОЛЬКО В среднем
<Т>+<Н>=<Е>.
в данном случае <р1>/(2т) + /‹<х> = <Е>. Для оценки энергии
основного состояния воспользуемся тем, что в основном состоя-
нии неопределенность координаты <х>‚ а неопределенность им-
пульса <р>, а также, как следует из (3.22)‚ <р2> = <р>? Используя
соотношение неопределенностей в виде <р><х> т й, получаем
<р>2/(2т) + /с/<р> = Ед (здесь Ед — энергия основного состояния).
так как в основном состоянии энергия минимальна, должно вы-
полняться условие минимума: <р>/т — Кй/<р>2 = О, откуда <р> =
= до = (дтпУ/З, а размер области локализации 1 = <х> = й/ро =
= [л2/(1стж/3. Для энергии основного состояния получаем ЕО =
= (3/2)(/‹т71)”3/т = 1,5 (/‹2й2/т)'/3.
найдем плотность потока вероятности: а) для плоской волны
ч, = ехрадд/й) = е"‘=‚ б) сферической волны ч: = е""/(/‹г), в) суммы
сходящейся и расходящейся волн ч: = (Зет — е-"")/(21‹г) (М! 3.1).
а) Для плоской волны д =]у = О и, используя (3.13)‚ получаем 1: =
= где/т = рг/т = из. Плотность потока вероятности в этом случае
равна по величине и направлению скорости частицы. б) В сфери-
чески симметричном случае существует только радиальная компо-
нентд вектора градиента, направленная по вектору г. Используя
(3.14). находим] = ЙК/ [т(/<г)21(г/г) = У/(КгЖг/г) = У/(КГУ. В) Анало-
64
гичным путем для суммы сходящейся и расходящейся волн из
(3.14) получаем] = у(|.$]2 - 1)/(2/‹г)2.
Найдем потешшал С/(х), в котором движется частица, и ее энер-
гию Е, если известно, что волновая функция частицы массой т, со-
вершающей одномерное движение, имеет вид ч/(х) = Аехр(—о‹х2)‚
и что при х = О, Щх) = О (М9 3.2). Дифференцируя ш-функцию, по-
лучаем
ш‘ = —2Аосхехр(—оъх2)‚ ш" = —2Аоъ(1 — 2оьх3)ехр(—осх2).
Штрихом обозначены обыкновенные производные по х. Под-
ставляя в уравнение Шредингера (3.19)‚ находим
—2ос + 4оъ2х3 + 2т(Е — Ш/й? = О. (3.33)
Используя условие х = О, К/(х) = О, имеем: —2оъ + 2тЕ/й2 = О,
откуда Е = ост/т. Подставляя Е в (3.33), получим Г/(х) = 2оъ2й2х2/т.
Это потенциал гармонического осциллятора. Для частоты имеем
о) = Е/й = оъй/т, ДЛЯ потенциала Н = 2тш2х2.
Рассмотрим одномерное движение частицы массой т в поле
с потенциалом Щх) и волновой функцией
ч/(х) = Ахехр(—х/а) при х > О
ч/(х) = О при х $ О
Оценим с помощью соотношения неопределенностей среднюю
кинетическую энергию (Т) частицы и сравним с результатом точ-
ного расчета. Найдем среднее значение координаты <х>‚ а также
К/(х) при х > О и полную энергию Е, если известно, что Н(х) —› О при
х -› оо (М9 3.4). Плотность вероятности нахождения частицы в точ-
ке х из (3. 1) для данного случая: |\у(х)|2 т хге-д/а, приравнивая про-
изводную этой функции по х нулю, получаем, что максимум будет
при х = а. Характерный размер (ширина) пика равен а. Поэтому
из (3.23) <р2> 2 112/(4а2). Средняя кинетическая энергия < Т> =
= <р2>/(2т) 2 й2/(8та2). Используя (3.5)‚ получаем 1. (Ахе"°/“)2с1х =
О
= 1 и А? = 4/а3. помощью (3.21) находим
<х> =_[ х (Ахе-х/“Уа/х = (3/8) лиг = (З/2)а.
О
Дифференцируя ц: и подставляя в (3.19)‚ получаем
х/а? — 2/а + (2т/й2)(Е — Н) х = О. (3.34)
ИСПОЛЬЗУЯ УСЛОВИЕ ДЛЯ ПОТСНЦИЗЛЬНОЙ энергии Н, НЗХОДИМ
5-вэо 65
1/а' + (2т/Ю)Е = 0 и
Е = — Ю/(2та').
Подставляя это в (3.34), получаем
У(х) = — Ю/(тах).
Из (3.29) для оператора кинетической энергии имеем: Т
= — Ю/(2т)(1/ц~)У/дх'. Используя (3.22) и значение, полученное
для А, находим
00
< ~> = 1 — ц~'Ю/(2т)д'у/дх'Ых = Ю/(2та').
О
Это, более точное выражение, мало отличается от найденного
из соотношения неопределенностей.
Также находим
00
< У> = — Й'/(та')(4/а') ~ хе-' ~айх = — М/(та').
О
Видно, что <7> + < 0> = <Е> = Е.
Аналогичным образом можно рассмотреть движение с волно-
вой функцией (М 3.3)
~(х) = Ах'ехр( — х/а) при х > О;
прих<0.
Ч/(х) = 0
Ю
(х) = х 'е"' ' х= '= а.
0
Дифференцируя у и подставляя в (3.19), получаем
2 — 4х/а + х'/а' + (2т/Ю)(Š— 0)х2 = О.
(3.35)
Используя условие для потенциальной энергии У, находим
1/а~ + (2т/л2)Š— О и Е = л2/(2та2)
Плотность вероятности нахождения частицы в точке х из (3.1)
для данного случая: ~у(х)~' — х4~'"~'. Приравнивая производную
этой функции по х нулю, получаем, что максимум будет при х =
= 2а. Характерный размер (ширина) пика равен 2а, поэтому из
(3.23) <р'> > Ю/(16а'). Средняя кинетическая энергия <Т> =
= <р'>/(2т) > Ю/(32та'). Используя (3.5), получаем
х'е "" ' х= и ' = а'. помощью . находим
О
Подставляя это в (3.35), находим
У(х) = (Ю/т)(1/х)(1/х — 2/а).
М
< Х> = ( — у*У/(2и)д'у/дх'Шх = Й2/(бта2).
О
Это, более точное выражение, мало отличается от найденного
из соотношения неопределенностей.
Частица массой т находится в одномерном потенциале
У(х) = с при х < О;
Цх) = йх при х> О.
Оценим энергию основного состояния частицы в этом потен-
циале, используя в качестве волновой функции у = хехр( — ах).
В качестве оценки возьмем минимальное среднее значение пол-
ной энергии частицы (№ 3.5). Для проведения конкретных вычис-
лений, прежде всего, нужно нормировать волновую функцию, т. е.
найти коэффициент А в выражении ~р = Ахехр( — ах), удовлетво-
Ю
ряющий условию нормировки: уу* х = . меем
О
00
А'~ х2г""йх = 1; А'2/(2а)' = 1; А = 2'/', у = 2а'/'х~'".
О
Приведем полезные математические соотношения для опреде-
ленных интегралов и производных:
00
Х(а) = ( е 4х=)/а;
О
00
Х(а) = -~ хе- Ш = -1/а'
О
Ю
Г~а) = ( х'е- Ых = 2/а',
О
00
Г'(а) = — ( х'е- Ш = — б/а4.
О
5'
67
л
Из (3.29) для оператора кинетической энергии имеем Т =
= — Ю/(2т)(1/у)д2/дх'. Используя (3.22) и значение, полученное
для А, находим
(хе-ах)‘ = е-ах __ ахе-ах;
(хе-щ)" =_—2ае-®‘ + а2хетах.
Пользуясь приведенными формулами, (3.30) и (3.2О)‚ вычисля-
ем среднее значение энергии
Ец, = _[ ш Ёхидх =4а3 ]хе"°*[—(1/2)(п2 /т)‹12 мы +/сх]хе"”‘с1х=
О 0
= й2а2/(2т) + 3/‹/(2а).
Минимальное значение средней энергии определяется
а/ЕФ/да = О. Откуда ат = [3/ст/(2й2)]‘/3 и Есрт а (9/4) [2йК/(3т)]‘/3.
Используя правило квантования Бора — Зоммерфельда, най-
дем закон квантования энергии частицы массой т при больших
значениях главного квантового числа п (в квазиклассическом при-
ближении) в одномерном потенциале
(/(х) = оо при х < О;
(/(х) = /сх при х > О.
Правило квантования Бора — Зоммерфельда: фри! = п):
(М) 3.6). В данном случае из правила квантования получаем
2 рхдх = 2тгйп. Для импульса частицы имеем р, = [2т(Е„\- ПЛ“? =
0
= [2т(Е„ — Кх)]'д. Подставляя это в соотношение Бора — Зоммер-
фельда, находим: 2(2т)"2 _г(Е„ —/ос)"2а!х=2тсйп. Вводя обозначе-
0
ние у = Е„ — Асх и вычисляя Фе = —с1у//с‚ получаем
х‚‚ 0
[щ —1‹х›‘“ах=-‹1/1‹›[‹у›‘“ау=2Е3“ /‹з1‹›.
о Е,
В результате Е„ = [(3/2)/стсйп/(2т)‘/2]2/3 = [9/с2п2й2/(8т)]'/3п2/3‚ где
п — целое число (п >> 1).
Волновая функция трехмерного изотропного осшшлятора‚ ха-
рактеризуемого классической частотой со и приведенной массой р,
имеет вид ц: = А(1 + аР)ехр(-Вг?)‚ где А, а и В — некоторые кон-
станты. Определим константы ос и В, энергию этого состояния
и главное квантовое число (Не 3.10). Потенциальная энергия ос-
циллятора По‘) = цсо2гд/2. В уравнении Шредингера в сферически
симметричном случае (3.18) оператор Лапласа (3.20) имеет вид
А = сР/сй‘? +'(2/г)с1/с1п Вычисляем
68
йр/Шг = 2Аехр( †[)[(а — ~3)г — а[3г'];
~Ру/аРг' = 2Аехр( — [3г')[2а]3'г4 — [3(5а — 2]3)г + (а — ~3)].
Подставляя это в уравнение Шредингера (3.18), получаем
— ф + 4]32)~ — 14аДр~ + 4а]32р4 + 6а (фи2/Й2)ра (р2и2/Й2)г4а
= — (2р/Ю) Š— (2р/Ю) Еаг'.
Для стационарного состояния энергия постоянна и, следова-
тельно, не может зависеть от г. Поэтому коэффициенты при всех
степенях г должны быть равны нулю. Получаем
6(а — [3) + (2р/Ю)Е = О;
— 14а]3 + 4[3' — р'и'/Ю + (2рЕ/Ю) а = О;
4а[3' — (фи'/Ь') а = О,
откуда а = — (2/3) ри/Й; [3 = ри/(2Й); Е = (7/2)йи и так как для трех-
мерного осциллятора Е„= йи (и + 3/2), главное квантовое число
Найдем волновую функцию и уровни энергии стационарных
состояний частицы массой т, локализованной в одномерной по-
тенциальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими
стенками (рис. 3.1, а). Ширина ямы равна 2а (№ 3.11). Внутри ямы
У = О. Вводя обозначение
(3.36)
Ю = 2 тЕ/й'
из (3.19) получаем уравнение для у-функции внутри ямы
Ю~р/ах' + lс' у = О.
(3.37)
Общее решение такого уравнения
у = Ав1п(йх) + Всов(~сх).
(3.38)
Постоянные А и В определяем из граничных условий, которые
следуют из невозможности проникновения частицы за края ямы,
т. е. равенства у нулю. Должно быть
у(а) = Ав1п(йа) + Всов(йа) = О;
цр( — а) = — Ав1п(/са) + Всов(йа) = О.
Этим условиям удовлетворяет
lс = реп/(2а).
(3.39)
69
0004 При этом для нечетных п = 1, 3, 5,
А = О, ч: = Всоз(/‹.х);
для четных п = 2, 4, 6,
4:1: В = О, ч: = Аз1п(/ос)
Из условия нормировки (3.5) имеем
в? [созчкхуих = 1.
Подставляя созг/сх = [1 + соз(2/сх)]/2
и интегрируя, находим В = 1/(а)'/2. Анало-
гичным образом вычисляем А. В резуль-
тате
„З
1, А = В = 1/(а)‘/2.
\ 1: =х На рис. 3.1, б приведены волновые
`\\ ч, ‚ функции (штриховая линия) и соответст-
\_,/ вующие плотности вероятности (3.1).
„д Видно, что при п = 1 наиболее вероятно
обнаружить частицу в середине ямы.
п=3 В пределе при п —› оо получаем равномер-
ную по пространству вероятность, соот-
\ ‚ \ ‚ = х ветствующую классике.
\ 1 \ 1
„ч: \ 1: Отметим, что на границах ямы
‘и ‘и жди-функция не гладкая (ее производная
ч“ меняется скачком). Это связано с тем, что
на границе ямы Н—› оо, чет реально не
"“*°° бывает. Как увидим в дальнейшем при ко-
нечной глубине ямы ху-функция на краю
х
ямы будет гладкой.
РИС- 3-1 Из (3.36) и (3.39) следует квантование
(дискретность) энергии состояний
Е„ = й2п2п2/(8та2). (3.4О)
ЧИСЛО П называют главным КВЯНТОВЫМ ЧИСЛОМ. Ограничения Об-
ласти ПРОСПЭЗНСТВЗ, ГДС МОЖСТ находиться ЧЗСТИЦЗ, И ГДС ОТЫСКИ-
вается ФУНКЦИЯ ч], приводят К квантованию. ДЛЯ каждого СОСТОЯ-
НИЯ значение энергии ЯВЛЯЕТСЯ СООСТВСННЫМ ЧИСЛОМ, а СООТВСТСТ-
вующая ш-функция — собственной функцией.
70
Введенная в (3.36) зависимость похожа на выражение для вол-
нового числа. Но это не так, потому что никакой бегущей волны
здесь нет.
Отметим, что, используя (3.4О)‚ можно вычислить импульс р =
= (2тЕ`)‘/1. Оказывается его величина меньше величины, задавае-
мой соотношением неопределенностей. Таким образом, в основ-
ном стационарном состоянии в бесконечно глубокой яме импульс
не имеет определенного значения.
Частица, находящаяся в потенциальной яме с бесконечно вы-
сокими стенками, излучает фотон, переходя из состояния с номе-
ром (п + 1) в состояние п. Найдем связь частоты фотона с перио-
дом колебаний между стенками классической ямы частицы
с энергией Е„ (Не 3.24). Используя квантование энергии в беско-
нечно глубокой яме (3.4О) и связь частоты фотона с энергией (2.2)‚
получаем для частоты фотона при переходе частицы с(п + 1)-го
уровня на уровень п
ш„, ‚‚„= (Е„,‚ - Е‚‚)/й = пгпг [(п + 1)2 - п21/(2птР) =
= Рт1(п + 1/2)/(т1*).
В случае классических представлений, когда частица_‚ двигаясь
со скоростью и и имея кинетическую энергию ти2/2 = Е„‚ упруго
отражается от стенок, находящихся на расстоянии 1, получаем
сот = 2п/Т= 2тш/(21) = 1с2Рт/(т/2).
Следовательно, ‹о‚‚ , ‚д/шш, = 1 + 1/(2п) -› 1 при п —› сю.
Таким образом, выполняется принцип соответствия Бора: при
больших значениях квантовых чисел квантово-механическое опи-
сание систем совпадает с классическим.
Определим минимальное значение полной энергии Ем, А! элек-
тронов, находящихся в одномерной потенциальной яме шириной
Ь с бесконечными стенками, пренебрегая взаимодействием между
ними. Найдем также силу Р давления электронов на стенки ямы
(М 3.13). Учитывая, что в каждом квантовом состоянии может на-
ходиться два электрона, отличающихся направлением собствен-
ного момента импульса (спином), и энергия квантового состояния
определяется (3.4О)‚ получаем
М/2
Е„„„ =2й2п2/(2т1›2)2п2.
п-Л
Силу находим как производную от энергии по размеру ямы
71
М/2
г=дЕ„„„ /дЬ=—2Й2тс2 /(тЬ3)2п2.
п=1
Рассмотрим поток свободно распростра-
няющихся нейтронов, падающий на непро-
ницаемую стенку толщиной Ь, в которой
имеется канал прямоугольного поперечного
сечения высотой д = 10-3 см и шириной
1 >> д. Длина канала Ь >> 1(рис. 3.2). Най-
Дем, при каких значениях скорости и ней-
тронов в падающем пучке нейтроны могут
пройти сквозь канал. Определим также, чему
равна минимальная скорость от в случае
квадратного сечения канала д ›‹ д (М9 3.14).
РИС- 3-2 Канал для нейтрона является двумерной бес-
конечно глубокой ямой, ограничивающей
его движение в плоскости, перпендикулярной оси канала (по оси
канала ограничения скорости нет). При попадании в канал у ней-
трона вследствие дифракции и торможения появляется попереч-
ный импульс, происходит движение от стенки к стенке, как в бес-
конечно глубокой яме. В соответствии с основным уровнем в бес-
конечно глубокой яме (3.4О) полной энергии должно хватить для
движения в обоих перпендикулярных оси канала направлениях:
тог /2>тс2й2 /(2т)(1/д2 +1/12).
В случае 1>> д
У
к
ти2 /2>к2й2 /(2тд2)
и, соответственно, от > пй/(тд) а 2 см/с.
В случае 1= д получаем: и > (2)‘/2тсй/(тд) в 2,8 см/с.
Отметим, что более грубая оценка получается при использова-
нии соотношения неопределенностей (2.27): то = р > /1/д‚ отжуда
о > И/(тд).
Поток нейтронов, летящих со скоростью и = 25 см/с, падает на
широкую щель с абсолютно отражающими стенками (рис. 3.3).
Длина щели 1= 1 см, высота д = 104 см. Найдем, сколько времени
нейтрон будет находиться внутри щели, если он в нее попадает
(М9 3.15). Как и в предыдущей задаче, при 1
попадании, в канал у нейтрона появляется ‘ / `
поперечный импульс, происходит движе- //
—->
НИС ОТ СТЕНКИ К СТСНКС, Как В беСКОНеЧНО п-—>
‘В
глубокой яме. В соответствии с основным %/
уровнем в бесконечно глубокой яме (3.4О) Рис 3 3
72
иттер т тсй/(та) = 19,7 см/с. Из закона сохранения энергии опреде-
ляем продольную скорость и = (002 — ипопер2)|/2 = 15,39 см/с. Откуда
1 = 1/и = 0,064 с.
Электрон, введенный в жидкий гелий, расталкивает атомы
жидкости и образует в ней сферическую полость, которая является
для электрона потенциальной ямой с практически бесконечно вы-
сокой стенкой. Считая внешнее давление равным нулю, вычислим
радиус полости, если поверхностное натяжение жидкого гелия о =
= 0,35 дин/см, а электрон занимает в полости наинизший кванто-
вый уровень (М 3.28). Используя (3.18) и оператор Лапласа в сфе-
рических координатах для сферически симметричного случая
(3.20)
Ахр = сРш/дрд + (2/г) (Ау/ф;
получаем уравнение Шредингера для ху-функции внутри ямы
в виде
(Рт/ат + (2/г) с1ш/а'г + [сдху = 0, где 18 = 2 тЕ/т.
Решением этого уравнения является функция
ч: = (А/г)з1п(/сг).
На бесконечно высокой стенке ш(К) = 0. Этому удовлетворяет
КН ё тсп. Для наинизшего уровня энергии при п = 1 имеем /‹ = п/К.
Полная энергия системы: пузыря в гелии и электрона в пузыре
Е = й2/с2/(2т) + 41:01? = 1т2й3/(2тК2) + 4110122. Система устойчива
при минимальной энергии, определяемой из условия
аЕ/ак = - 2п2й2/(2тК3) + злак = о,
откуда к = [пй2/(8то']'/4 а 20 А.
Найдем волновую функцию и уровни энергии стационарных
состояний частицы массой т, локализованной в симметричной
одномерной потенциальной яме прямоугольной формы, глубина
которой равна Щ, а ширина 2а (рис. 3.4, а) (М9 3.12). Используя
(3.18), получаем уравнение Шредингера для связанных состояний:
внутри ямы (3.37)
атм/ст + К’ ч! = 0;
ВНС ЯМЫ
дгш/ахг — 132 ш = о, (3.41)
Где
73
поем кг = 2тЕ/п2,
‹ в, вг = 2тщ, - нут ‹3.42)
" При нахождении ху-функции учиты-
/; ;х ваем стандартные условия.
-а 0 а Внутри ямы общее решение, как
и (3.38)‚
1
‘М ч; = Азйп(/сх) + Всоз(1ос).
Вне ямы решение получается в виде
суммы экспонент. Учитывая стандарт-
_/ью а = х ное условие ограниченности, получаем
РИС- 3-4 ч: = Се-В" при х > а, (3.43)
ч: = Бед‘ при х < —а. (3.44)
Иэимметрии задачи относительно начала координат, следует,
д. и
что Щтность вероятности |ч/|2 должна быть симметричнои функ-
„иди; относительно начала координат. Следовательно, должно
бытр 1‘? = 02, т. е. возможны два случая: С = 1) и С = —В. Постоян-
ные /‘В‚ С, В выбирают так, чтобы на краях ямы функция ч: и ее
„роидбдная а/ш/а/х были непрерывны. На границе х = +а это дает:
А51п(/‹а) + Всоз(/‹а) = Се-В“;
/сАсоз(/са) — /‹В5йп(1са) = —ВСе-В°‚
а на щНИЦе Х = —0Ё
—Азйп(/‹а) + Всоз(/са) = Ве-В“;
/сАсоз(/са) + КВзйп(/‹а) = ВБе-В“.
Сдчаовательно, (
ёвсозиса) = (с + это; 2/‹В5йп(/‹а) = щс + вши;
длани/ш) = (с - вжав; 2/‹Асо$(/‹а) = -в(с - тыс.
во)“: Вэеои С= 1), то
твНса) = В; (3.45)
если А‘: О и С = —В, то
/‹с[3(/‹а) = —а. (3.46)
Эгйусловия не могут быть удовлетворены одновременно, так
Как впрбтивном случае получилось бы К? = —В2‚ а это невозможно
ввиду щественности /‹ и В.
74
Величины [с и В, определяющие решение, находим, используя
(3.42)‚ откуда
кг + в2 = 2т (хо/т
и, либо (3.45)‚ либо (3.46)‚ в которых удобно ввести новые пере-
менные
ё = Ка и т] = Ва.
В результате имеем две системы уравнений
ё? + т]? = 2тЩа2/й2, п = ётвё (3.47)
ё? + ц? = 2тЩа2/й3, 11 = —ёст3ё. (3.48)
Решение этих систем можно провести графически, строя зави-
симости в координатах (ё,п) в положительном квадранте, так как
[с и В, а следовательно, ё и п, положительны, и находя пересечение
кривых. Первая система дает четные (симметричные) чж-функции,
а вторая нечетные (асимметричные). Число уровней энергии
в конкретной яме определяется ее глубиной и шириной, а точнее,
произведением 14,02. Из (3.47) получаем, что при ё < тс/2 имеется
единственное пересечение кривых (3.47). Если О < Щи? 5 й2п2/(8т),
то имеем одну четную волновую функцию и один энергетический
уровень. Таким образом, в симметричной одномерной яме при
любой ее глубине и ширине есть всегда хотя бы один энергетиче-
ский уровень, определяемый, как обычно, значением /‹ и (3.42)‚
с четной ш-функцией (рис. 3.4, б). Так же обстоит дело в двумер-
ной яме, но в трехмерной, как будет показано в дальнейшем, уро-
вень есть не всегда.
Существует другой способ решения уравнений (3.45) и (3.46).
Проведем его для (3.45). Возводя в квадрат и добавляя 1, имеем
1 + т32(/‹а) = (И + В2)//с2, откуда
1/соз2(/са) = 2тЩа2/(й2/(КаУ); |со3(/‹а)| = [722/(2тЩа2Г/2 Ка. (3.49)
Из (3.45) и положительности В следует т3(/‹а) > О. Это обеспе-
чивается при тех аргументах, которые дают одинаковые знаки си-
нуса и косинуса. На рис. 3.5 сплошные линии соответствуют этим
участкам. Решения находим из пересечений с прямыми линиями,
определяемыми правой частью уравнения.
После того, как определены /‹ и В, используя стандартные ус-
ловия на хр-функцию, находим коэффициенты. На рис. 3.6 качест-
венно показана ху-функция для п = 3, которое входит в (3.39).
75
Псозоса)! ‹и„›‚«и„›‚«и„›‚
Га’
Рис. 3 5
п ч“ |
| |
| |
| |
| |
д Е =
и 0 и х
—а +а
Рис. 3.6
В случае частицы, находящейся над ямой, т. е. когда Е > Щ,
вместо (3.41) имеем
адш/дх? + В? ч; = О, (3.5О)
где В? = 2т(Е — цд/па
Решения подобны (3.38):
ч; = А'$1п(|3х) + В'соз(Вх) при х > а; (3.51)
ч: = А"зйп([3х) + В"соз([3х) при х < —а. (3.52)
Оба решения остаются конечными даже при х больших по аб-
солютной величине. Эти решения надо сшить с решением (3.38).
В результате получаем, что энергия не квантуется, энергетический
спектр непрерывен, волновая функция не стремится к нулю при
х—› 100.
Электрон находится в одномерной симметричной потенциаль-
ной яме размером 2а = 2 А. Отношение волновой функции основ-
ного состояния на границе ямы к ее максимальному значению
внутри ямы составляет ос = 1/2. Найдем глубину ямы и энергию ио-
низации электрона (Мг 3.22). Используя (3.38)‚ получаем симмет-
ричное решение в виде (энергию отсчитываем от дна ямы)
ч: = Всоз(/ос)‚ /с = (2тЕ)‘/1/й при |х| 5 а; (3.53)
ч: = Сет при х > а; (3.54)
ч: = Сев‘ при х < —а‚ (3.55)
76
Где В = [2т(% - ЕЭГД/й-
По условию Всоз/са = В/2. поэтому Ага = тс/З и
Е = 722п2/(2т°9а2).
Условие непрерывности и гладкости ху-функции на границе
ямы дает °
шиш) = [З/К.
Отсюда В’ = п2/(3а2). Следовательно, энергия ионизации
Нд — Е = тс2й2/(6та2)
и, соответственно, (Д, = 2п2722/(9та2) = 16,6 эВ.
Электрон находится в основном состоянии в одномерной сим-
метричной прямоугольной потенциальной яме шириной 2а = 10 А
с потенциалом Н(1-оо) = О. Отношение вероятностей обнаружить
частицу внутри и вне ямы а = 0,1. Считая, что изменение волно-
вой функции внутри ямы мало, определим энергию связи электро-
на и глубину ямы (в эВ) (М9 3.47). В отличие от предыдущей задачи
энергия здесь отсчитывается от верхнего края ямы, а не от ее дна.
Поэтому вместо (3.53)‚ (3.54) и (3.55) получаем:
внутри ямы \и‚(х) = Всоз(1сх)‚ К? = 2т(Н - Е)/й2;
вне ямы ч/2(х) = Се-В‘, В? = 2тЕ/й2‚
где Е — энерия связи электрона, а Н — глубина ямы.
Учитывая условие [со << 1, из стандартных условий (непрерыв-
ности и гладкости волновой функции) находим
В я Се-В“, /‹2аВ = ВСе-В“.
Вероятность обнаружить электрон:
внутри ямы
13 =2]ш3ах=2в2[ах=2ав2;
0 0
ВНС ЯМЫ
13 =2_[\|1Ё‹1х=2С2_Ге'2°"с1х=(С2/В)е'2°".
О 0
Отсюда получаем а = Р‚/Р, а 213 а я 2(/‹а)2.
Окончательно находим Е а йгосд/(Зта?) = 3-104 эВ и Н
И 2оъ/(4та1) = 6-10-3 эВ. Отметим, что Н >> Е. Энергия связи Есв
Н— Е = 5‚7-1О-3 эВ.
З
Е
Е
Т
ад
г.
77
Найдем глубину ямы и энергию ионизации Е электрона (в эВ),
находящегося в основном состоянии в одномернои яме ширинои
а= 2Ас потенциалом 1/(0) =оо‚ Н=—(/„приО <х< аи Н=0при
х > а, если известно, что отношение волновой функцши на границе
ямы (х = а) к ее максимальному значению в яме а = (3)‘/2/2 (М
3.23).
Используя (3.18)‚ приходим к уравнению
аду/ах? + [сдхи = О. (3.56)
Внутри ямы (рис. 3.7) их”
кг = кг = 2тш- дула (3.57)
Решение ищем в виде
ш, = А3йп(/‹‚х) + Всо5(/‹‚х). (3.58) ° а Ё
Используя условие, что при х = О ч; = О, _
получаем В = О, поэтому 4,0
ш, = Аз1п(/‹‚х). (3.59) Рис. 3.7
Вне ямы при х 2 а решение ищем в виде
ш2 = А2ехр(/с2х) + В2ехр(—/‹2х)‚ (3.60)
где \
кг = к; = 2тЕ/п2. (3.61)
Чтобы волновая функция была конечной, необходимо поло-
жить А2 = О. Таким образом,
ш2 = В2ехр(—1‹2х). (3.62)
Непрерывность волновой функции и ее производной при х =
= а дает
Авт/да = В2ехр(—/‹2а) и /‹‚Асо$(/‹‚а) = —/‹2В2ехр(—/с‚а)‚
откуда дисперсионное соотношение‘
К,с13(/‹‚а) = —/с2. (3.63)
По условию (3)‘/2/2 = А5[п(/с,а)/А = з1п(/с‚а). Откуда /с,а = тс/З
и К, = п/(За). Используя (3.63), получаем К} = тс2/(27а2). Из (3.61)
Е = й2/с22/(2т) = тс2й2/(2т°27а2). Из (3.57) По — Е = йЧс3/(2т) =
=й2п2/(2т'9а2). Откуда 1/0 = тс2722/(2т°9а2) + 1с2й2/(2т°27а2) =
= 2(пй)/(т-27а2) = 4Е.
78
Нейтрон находится в основном состоянии в одномерной пря-
моугольной потенциальной яме шириной а = 1,3 10-" см, ограни-
ченной с одной стороны бесконечно высокой стенкой. При этом
У= 0 при 0 < х < а, а при х > а потенциал бравен постоянной ко-
нечной величине Ц. Отношение вероятностей обнаружить части-
цу внутри и вне ямы а = 0,1. Считая, что максимум волновой
функции достигается вблизи границы ямы, определим энергию
связи нейтрона (М 3.48). Волновые функции для данной задачи,
как и предыдущей, имеют вид (3.59) и (3.62). Из-за другого начала
отсчета энергии
(3.64)
/с,' = (2тЕ)/Й', /с,' = 2т(Ц вЂ” Е)/Й'.
Непрерывность и гладкость волновой функции на границе
дает
Ав1п(й,а) = Вехр( — Ца), /сАсоя(й,а) = — ЦВехр( — /с,а). (3.65)
Используя (3.59) и условие максимума, находим Ж,а = и/2 и А =
= Вехр(-й,а).
Вероятность обнаружить электрон:
внутри ямы
а 0
Р, = ( у,'Ш = А ' ~ яп ' (Й, х)Их = (А 'а /2);
О О
вне ямы'
Ю 00
Р, = ~ц2йх= В' ~ ехр( — 2/с,хфх = В' /(2Й,)ехр( — 2/с,а).
0 0
Отсюда получаем а = Р,/Р, = й,а. Так как Й,' = 2т (У, — Е)/й',
имеем
Е„= (Ц вЂ” Е) = а'Ь'/(2та') = 0,1 МэВ.
79
Микрочастица находится в прямоугольной потенциальной яме
заданной ширины. Одна стенка бесконечная, а вторая — конечная,
высотой Ц. Энергия частицы в яме Е = ЗЦ/4. Найдем, во сколько
раз надо квазистатически «сжать» яму прн неизменной высоте, что-
бы частица стала свободной (М 3.49). Воспользуемся решением
предыдущей задачи. Из (3.65) получаем: Й,сф(Й,а) = — й„куда вхо-
дят величины (3.64). Используя условие, находим сфК,а
= — 1/(3)'~2, откуда Ш,а = 2к/3. Следовательно, начальная «мощ-
ность» ямы У,а' = 8к'Й'/(27т).
Частица становится свободной, если Е = Ц, или стащил) = О,
т. е. /‹‚а = п/2. Поэтому конечная «мощность» ямы
иОах2 = п2Й2/(8т)›
откуда а/ах = 8/(27)'/2 в 1,54.
В той же постановке зададим Е = (10/2 и определим, во сколько
раз надо квазистатически изменить высоту ямы при неизменной
ширине, чтобы частица стала свободной (М9 3.50). В этом случае
/‹‚а = 3тс/4 и Щи? = 9тс2й2/(16т), поэтому НО/Цдх = 9/2 = 4,5.
(„Г потенциальную энергию взаимодейст-
вия Н(2) атома гелия с плоской поверхно-
ц, стью твердого тела 2 = О можно аппрокси-
мировать прямоугольной ямой некоторой
глубины ц, и шириной а = = 5 А, причем
С/(2 = О) = +оо (рис. 3.8). Полагая, что вол-
о а новая функция адсорбированного атома
рис 3_8 в основном состоянии достигает максиму-
ма при 2 = 0,99 а, найдем среднее значе-
ние координаты <2> для адсорбированных
атомов в основном состоянии (М 3.20). Внутри ямы имеем урав-
нение (3.37) и решение (3.38), энергию отсчитываем от дна ямы.
Учитывая, что для удовлетворения бесконечно высокой стенки
при 2 = О, должно быть ч/(О) = О, получаем решение внутри ямы
ш, = А51п(/‹2)‚ где /‹ = (2тЕ)'/2/й. (3.66)
Вне ямы имеем уравнение (3.37) и решение, учитывая ограни-
ченность ее на бесконечности, имеет вид
ч!„(2) = Сг"°‘‚ Где В = птщ - ЕЛИ/Й. (367)
На границе областей должны удовлетворяться непрерывность
и гладкость ш-функции
А$йп(/‹а) = Се-В“, А/ссо$(/‹а) = —СВе-°“‚
откуда следует, что
“П
с13(/‹а) = —В//‹. (3.68)
По условию ш-функция адсорбированного атома в основном
состоянии достигает максимума при 2 = 0,990 = (1 — б)а, где б =
= 0,01. Максимум лежит внутри ямы
Ч/Кг) = А5йп(/‹2) = А, откуда /‹2 = тс/2.
80
Следовательно, К = тс/(22) = п/[2(1 — б)а] а п(1 + б)/(2а).
Подставляя это в (3.68) и используя малость б, находим
ст3(1‹а) = —51п(пб/2) н -пб/2 и В н Кпб/2 = тс2б/(4а) а 5-105 см-‘.
Используя (3.22) и учитывая, что ч: в данном случае действи-
тельная функция, получаем для среднего значения <2>:
<2>=(.[А22з1п2 /‹2‹12+[С2е"2°‘2‹12]/
О 0
/(_[А2 зйп2 /‹2с1'2+_ГС2е“2°‘2с12). (3.69)
0 О
интегралами внутри ямы можно пренебречь благодаря их ма-
лому относительному вкладу, а второй интеграл считать, начиная
с 2 = О. Сравнив
уе`2°‘2с12/_Ге`2°‘с12= 1/(213) и }е"2°‘2с12/}е'2°‘с12 = (1 + 2Ва)/(2В)‚
видим, что это близкие величины, так как 2Ва а 104.
Поэтому
<г> = у е -2вг мы] е чага: = 1/(213) = 2а/(тс2б) а 20 а = 100 А.
0 0
Используя (3.66), (3.67) и стандартные условия, можно постро-
ить зависимость |ц1(2)|2 от г/а (рис. 3.9). Хотя максимум ш-функции
лежит внутри потенциальной ямы, среднее значение координаты
частицы <2> находится далеко за пределами ямы, так как \р„(2)
медленно меньшается при 2 > а. Точное интегрирование дает
<д>=2 2а/(к2б)=14ОА.
‚н
"’ ||
4
1,0 2/5
Рис. 3.9
Энергия взаимодействия 1/(2) атома водорода с твердой стенкой
аппроксимируется прямоугольной потенциальной ямой глубиной
Щ, шириной а = 6 А и 1/(2 = О) = +оо (рис. 3.10). Энергия адсорб-
ции это разность наинизших уровней свободного и прилипшего
к стенке атома Е = По — Е, = 1 К. Найдем Ц, и среднее значение
в- вэо 81
д“ координаты <2> адсорбированных атомов
при условии, что срствф = —1‚21 и (р = 2тг/3
(М! 3.21). Используя результаты предыду-
щей задачи и имея в виду, что здесь энер-
_ __ Е}: “О гия атома водорода обозначена Е, получим
ТЕ‘ ш, = Азйписг), где /‹ =
_ = [2т(% - ВГД/Й; (3-70)
0 а Ё
\у„(2) = Се-Вг, где В = (2тЕ)'/2/72. (3.71)
Подставляя в последнее соотношение
й = 1‚О546-1О°27 эрг-с, массу атома водорода
т = 1‚67-1О-24 г, энергию адсорбции Е = 1 К = 1‚38-10-‘6 эрг, полу-
чаем [За = 1,21.
Условие непрерывности и гладкости дает (3.68)
с13(/‹а) = —В//‹.
Таким образом из условия задачи следует: /‹а = 2п/3 = 2,1,
тв(/‹а) = -(3)'/*.
Используя (3.7О)‚ (3.71) и (3.68), находим
(По — Е)/Е = 18/62 = гвч/са) а 3 и По = 4 К.
Для нахождения среднего значения координаты адсорбиро-
ванных атомов используем (3.69). В результате имеем <2> з
н тс/(2/с) + 1/(213) 2 7 А. В среднем атом находится вне ямы.
Рис. 3.10
Частица локализована в трехмерной прямоугольной потен-
циальной яме (рис. 3.11). Это значит, что потенциальная энергия
частицы сферически симметрична относительно силового центра
О, т. е. является функцией только расстояния гот силового центра:
Щг) = —Ц‚ при г < а;
ё/(г) = О при г > а.
Найдем волновые функции и уровни
энергии связанных стационарных состоя- Нин
ний частицы, зависящие только от расстоя-
ния г, в которых момент импульса частицы О %
равен нулю (Мг 3.16). Используя выражение
для оператора Лапласа в случае сфериче- по
ской симметрии (3.2О)‚ получаем из (3.18)
уравнение Шредингера для стационарных
состояний с волновыми функциями, зави-
сящими только от г: Р"°° 3“
82
7
(1/Р)‹1(г°с1\у/с1г)/‹1г + (2т/й2)[Е — (/(г)]\|1 = О. (3.72)
Решение этого уравнения должно удовлетворять стандартным
условиям для волновой функции: быть конечным при г = О; доста-
точно быстро убывать при г —› оо (чтобы 1 |ш|2 ед’ сходился).
Введем новую функцию ё = пр. Из (3.72) получаем
аРё/дг? + (2т/й2)[Е — Н(г)]ё = 0. (3.73)
В соответствии с рис. 3.11 для частицы, находящейся в яме,
Е < О и |Е] <ц,.
Из (3.73) имеем
при г 5 а Шё/ст + (2т/й2) [Е + [Ыё = О; (3.74)
при г 2 а сРё/дг? + (2т/й2) Её = О. (3.75)
Учитывая, что при г = О условие такое же, как для бесконечно
высокой стенки (ё = О), и что при г —› со ё должно быть ограничен-
ным, получаем решения этих уравнений:
ё = В51п(/сг) при г 5 а;
ё = Се-В’ при г 2 а,
где /‹ = [2 т (Е + (дуйте, В = (—2тЕ/й2)'/2.
Поскольку уравнения и решения данной задачи аналогичны
(3.37) и (3.41) для одномерной потенциальной ямы, то можно вос-
пользоваться приведенными там методами нахождения уровней
энергии.
В частности, для определения глубины ямы Щ, при которой‘
появится первый уровень энергии (М: 3.17), надо найти решение
для нечетной функции (3.46). На рис. 3.12 приведено графическое
решение трансцендентного уравнения |з1п(/‹а)| = [й2/(2т Щач”? Ка,
где К? = 2 т(11„ — Е`)/й2.
Появление первого уровня происходит при Ка = тс/2. Энерге-
тический уровень находится на «потолке» ямы, т. е. Е = О. Это оп-
рсделяет необходимую «мощность» ямы
| з1п(/‹а) Ш „е?“
1
83
г/„аг = п2й2/(8т). (3.76)
При увеличении глубины По или ширины а уровень опускается
в яму 1
Дейтрон — это ядро дейтерия, состоящее из протона и нейтро-
на. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, Е =
= 2,225 МэВ. Аппроксимируя потенциальную энергию взаимо-
действия протона с нейтроном с помощью трехмерной прямо-
угольной потенциальной ямы, определим ее глубину Щ, при кото-
рой возможно такое состояние. Радиус потенциальной ямы а =
= 1‚6°1О-'3 см (Мг 3.18). Пользуясь (3.76) и подставляя в качестве
массы частицы приведенную массу р = тр/2‚ находим
1/0 = л2й2/(8ра2) + Е в 42 МэВ.
т Рассмотрим случай, когда свободно
т‘ 02-00 движущаяся частица массой т с энерги-
ей Е подходит к границе раздела двух об-
Е ластей 1 и 11, на которой потенциальная
энергия частицы скачкообразно меняет-
_ г “г” ____ __ ся от постоянного значения Ц до посто-
1 0 11 янного значения Щ (рис. 3.13). Опреде-
Рис. 3.13 лим коэффициенты отражения и пропус-
кания частицы на этой границе по
амплитуде (г и а!) и по энергии (К и В). Исследуем случаи: 1) Е > щ
и 2) Е < 1/2. Во втором случае определим среднюю глубину про-
никновения [частицы во вторую среду(М9 3.25). Для удобства бу-
дем отсчитывать энергию от значения (Д, т. е. положим Н, = О. То-
гда в области 1 потенциальная энергия равна нулю, а в области 11
14 — [Д = 1/0. Уравнение Шредингера имеет вид (обыкновенные
производные обозначаем штрихами):
в области 1 (х < О)
у." + квш. = о, кв = 2тЕ/п2; ‹з.77›
в области 11 (х > О)
худ" + Кдду, = О, 192 = 2т(Е — цд/пг. (3.78)
В случае Е > П, в области 1 имеем падающую и отраженную
волны, поэтому
ш, = а‚ехр(1/‹,х) + Ь‚ехр(-1/с,х). (3.79)
В области 11 только одна волна в положительном направлении
оси х. Так как волна, бегущая в положительном направлении, име-
84
ет в показателе экспоненты аргумент К/сх — он), то в соответствии
с (3.16)
ч’: = щехртчх).
Общность решения не нарушится, если амплитуду падающей
волны будем считать равной 1 (все амплитудьъкак бы отнесены
к а, = 1). Непрерывность и гладкость волновой функции при х = О
дают
1 + Ьп = 02: 1 _ Ь: = (Кг/Кдщ
откуда
д = 02 = уЧ/(‚Й + 19), 7’ = Ь: = (‚Св “ Ёд/(‚Й + Кд- (3-80)
Это коэффициенты прохождения и отражения по амплитуде
волньъ
Коэффициентами по энергии являются коэффициенты про-
пускания и отражения частиц, определяемые отношениями плот-
ностей потоков вероятностей. Обозначив плотность вероятности
р (квадрат модуля амплитуды волны) и скорость потока и (группо-
вая скорость, входящая в импульс р = ти = й/с), получаем для пото-
ка плотности вероятности ри. Ранее была получена и другая форму-
ла (3. 14), определяющая плотность потока вероятности. Для коэф-
фициента отражения имеем
К = ‹ри›„„/‹ри›„„ = (К; - кт/ис. + 19)’ = д.’ = Р‘. (3-81)
Для коэффициента пропускания получаем
В = (ри)„р„ш/(ри)„‚д = 4/‹,/с,/(/‹‚ _+ 19)’ = /‹‚//‹‚а22 = куще. (3.82)
Коэффициенты не меняются при изменении направления
движения частицы.
Видно, что энергия сохраняется
К + 1) = 1.
Заметим, что в классическом случае при Е > ц имеем К = 0,
1) = 1.
При прохождении света через границу сред с показателями
преломления п, и п, было получено для коэффициента отражения
света (4, с. 51)
к = ‹п‚ - пт/(п, + пт
Это соотношение формально можно получить из (3.81) если
воспользоваться связью [с = псе/с.
85
В случае Н, < Е < Н, вид решения внутри ямы не изменится,
а за барьером
‘Уз = ад“, Где х = 2т(Щ - БУЙ?-
Подставив в (3.81) К, = ёх, получим
к = Ь. = |‹/‹. — 1х)/(/‹ + 1х)| = 1,
поэтому д
0=1—к=о
Вероятность Обнаружить ЧаСТИЦУ За ямой
ш3ш3* = а2е—2хх = а2е—х!1‚
Где Характерное расстояние проникновения ЧаСТИЦЬЁ За барьер
1 т 1/(2х).
Электрон, находящийся в одномерной прямоугольной потен-
циальной яме шириной несколько сантиметров и глубиной не-
сколько электронвольт, поглощает квант света частотой у = 1,О1\›„,
где 120 — предельная частота света, при которой электрон может
вылететь из ямы. Считая, что время радиационного перехода элек-
трона в основное состояние много больше времени вьшета элек-
трона из ямы, определим среднее число отражений А’ от краев ямы,
которые испытывает электрон, прежде чем покинуть ее (М9 3.26).
Вероятность вылета электрона из ямы определяется коэффициен-
том пропускания через барьер (3.82) В = 4/‹,/с2/(/‹, + 19)? Имея
в виду, что ц = 11120 и Е = 1112, и пользуясь (3.77) и (3.78)‚ получаем
к, = (2т/1и)‘/2/й‚ к, = [2 тл (у - удг/г/п.
Учитывая, что (у — го) << у, имеем 1) н 4 [(1› — у0)/\›]'/2.
Вероятность выхода электрона из ямы растет с увеличением
числа ударов о стенку При А’ ударах вероятность выхода равна 1,
т. е. МВ = 1, откуда 1\’= 1/1): (1/4)[у/(\› — и„)]‘/2 = 2,5. Так как чис-
ло ударов мало, то состояние «слабо стационарное», т. е. исполь-
зуемое выражение для числа ударов через коэффициент отраже-
ния от барьера грубая оценка.
Электрон, находящийся в основном состоянии в одномерной
потенциальной яме шириной а = 4 А и глубиной Щ, = 10 эВ
(рис. 3.14) переведен в возбужденное состояние с энергией Е в 10‘?
эВ (нуль отсчета энергии — состояние покоя вне ямы). Оценим
время жизни возбужденного состояния, считая, что оно ограничи-
вается вылетом электрона из ямы, а не переходом в основное со-
86
стояние (Мг 3.27). Эта задача отличает- и“
ся от предыдущей выбором нуля от-
счета энергии. Учитывая (3.77) Е- —————— ——
и (3.78)‚ имеем К,’ = 2т(Е + цд/й’, -
к; = 2тЕ/й2. в результате 1) а 4(Е/ц‚)'д а ° " ‘г
и 0,13. Число ударов определяется так
же, как в предыдущей задаче. Для _и
0
оценки времени жизни это число надо
умножить на время между ударами то РИС- 3-14
по одной стороне, то по другой А: =
= а/и, где скорость электрона можно оценить по энергии и =
= (2Н„/т)‘/2. В результате время жизни т 10-‘5 с.
Частица массой т и энергией Е из области 1 проходит в об-
ласть Н через одномерный потенциальный барьер (или яму) прямо-
угольной формы шириной 1 (рис. 3.15, а). Определим для случаев
Е > Н и Е < Н амплитудные коэффициенты отражения г и пропус-
кания а! частицы на этом препятствий, предполагая, что потенци-
альные энергии частиц в областях 1, П и внутри барьера постоян-
ны и равны соответственно (Д, Щ, Н (М) 3.30). Для одномерного
случая стационарных состояний из (3.19) имеем уравнение
ху" + К’ ч: = О.
Решение его в различных областях определяется значением К,
которое зависит от энергии частицы, потенциала и условий на
границах.
При Е > ц, (д, Н получаем: -
в области 1 (х < О) К} = 2т(Е — Ц)/й2‚ ш, = ехр(1/‹,х) + гехр(—1!‹,х)
(амплитуду падающей волны считаем равной 1, г — относительная
амплитуда отраженной волны);
Н
———о
‚Ё
А
|\у’|
Ё
›—-4›————-——
Ш
Рис. 3.15
87
внутри барьера (О < х < 1) К? = 2т(Е — (0/112, ч: = аехр(1/‹„х) +
+ Ьехр(—1/‹х) (внутри барьера две волны в противоположных на-
правлениях);
в области 11 (х > 1) К} = 2т(Е - (Ы/йг, ч/„ = с1ехр(1/‹„х) (здесь нет
отражения, волна идет только в одном направлении).
Условия на границах — гладкость ш-функций. Получаем
1 + г = а + Ь, аехршс!) + Ьехр(-11‹/) = с1ехр(1/‹21);
К, — /с,г = /‹а — Н), /‹аехр(!/‹/) — КЬехр(—!/с/) = /‹2с1ехр(1/с21).
В результате находим
г =[‹/‹‚ - к›‹к + к» + (к, + /‹›‹/‹ — кдегтч/кк. + /‹›‹/‹ + к» +
+ (К, — /с)(/с —/с2)е2""]; (3.83)
а’ = 4/<‚/<еХр[—1(/<2 — /с)11/[(/<. + К)(1< + 19) + (К, - К)(/‹ — ’<2)г""’1-
В случае Е < П в области барьера решение имеет вид
ш = ае-х)‘ + Ьехх, где х? = 2т(Н— 10/72? (3.84)
В формулы для г и а! вместо /‹ надо подставить гх.
Существенным является то, что частица проходит в область 11,
хотя ее энергия меньше высоты барьера. Это явление называют
туннельным эффектом. В классической физике такого прохода не
может быть.
Используя (3.82)‚ получаем для коэффициента пропускания
(прозрачности) барьера
1) = р2и2/(р‚и‚) = (проходящий поток частиц)/(падающий по-
ток частиц).
Здесь р = |ш|2; и — скорость частицы.
Для скоростей имеем щ/и, = рд/р, = /‹2//‹,.
В результате
0 = (КМ/ЯЯЩ’ =
= 16/‹./‹2х/[(/‹3 + х2)(/‹22 + х’)(г2*’ + г“) + 208 - /<‚/<2)1-
Во многих случаях это выражение можно упростить. Если ис-
ключить случаи, когда энергия частицы мало отличается от высо-
ты барьера‚ например, Н - Е = 50 эВ, то для электрона х = 3‚64-103
см”. Приняв ширину барьера т 1 А, получаем ед’ = 1‚45-103‚ е-гх’ =
= О‚69° 10-3. Это значит, что можно пренебречь одной экспонентой.
Можно также пренебречь слагаемым 2(х2 — /‹‚/‹2)‚ так как оно того
же порядка, что и множитель (Ад? + х2)(/‹‚22 + х2). В итоге
В = 00 е-2х’ = В„ехр{—21[2т((/ — Е)]‘/2/й}‚ (3.85)
88
где коэффициент ВО слабо меняется с изменением 1, Е, Ц, (Д. Во
многих случаях его можно считать порядка 1. На рис. 3.15, б пока-
зано качественно изменение плотности вероятности обнаружить
частицу |\и|2. Из (3.84) получаем, что ш-функция внутри барьера
падает практически по экспоненте.
Выражение (3.85) можно обобщить на барьер произвольной
формы, представляя его в виде суммы прямоугольных барьеров
(интегрируя)
1) = В„ехр{—_[а (2/71) [2т(Н- Е)]‘/2 с1х}. (3.86)
Используя результаты предыдущей задачи для случая Ц = Щ,
найдем, при каком условии частица не будет отражаться от потен-
циального барьера (ямы) (М9 3.31). Из (3.83) при Е > Ни Ц = [А
(следовательно, /с, = 19) получаем
г = (КВ — К’)(1 - е2"")/[(/я + К)? — (161 — К)? е""’1- (3.87)
Частица не отражается от барьера, если г = О, т. е.
2/(1 = 2пп и Е = Н + ж2й2п2/ (2т12), п = 1, 2, (3.88)
Энергия частицы должна совпадать с одним из собственных
значений энергии в бесконечно глубокой яме, дно которой распо-
ложено на высоте барьера. Толщина барьера (ямы) должна быть
1= (тс//с)п = (Ж/2)п. (3.89)
Найдем, в частности, энергию электрона, при которой он бес-
препятственно пройдет над прямоугольным барьером высотой Н =
5 эВ и шириной 1= 1 А (М 3.32). В соответствии с (3.88) Е= (5 +
+ 37,62п2) эВ.
При прохождении нерелятивистской частицы с энергией Е над
прямоугольным барьером высотой Н = (3/4)Е коэффициент отра-
жения по мощности оказался равным К = 9/25. Определим мини-
мально возможную ширину барьера в единицах соответствующей
ему дебройлевской волны (М) 3.45). Воспользуемся (3.87)‚ тем, что
/с//с, = (1 — Н/Е)“ = 1/2 и, так как по отношению к свободному
пространству барьер представляет менее плотную среду п = 1с//‹‚ =
= 1/2, то при отражении не происходит потери полуволны и, сле-
довательно, г = (КУ/д = 3/5. Получаем, что должно быть ед“ = —1.
Для минимальной ширины барьера 1 = п/(2/с) = Ж/4.
При прохождении нерелятивистской частицы с энергией Е над
одномерной прямоугольной ямой глубиной Н = —3Е коэффици-
ент отражения по мощности оказался равным К = 9/25. Опреде-
89
о]? лим минимально возможную ши-
рину ямы в единицах соответст-
вующей ему дебройлевской длины
волны (М? 3.46). Пользуясь (3.87),
находим /‹//‹‚ = (1 — 11/15)“ = 2 и,
учитывая то, что сказано в преды-
дущей задаче, г = (КУ/д = 3/5.
, , г В результате ед“ = —1. Для мини-
°›5 1›° Едв мальной ширины ямы 1= п/(2/с) =
Рис. 3.16 = х/4‚
В 1920 п Рамзауэр обнаружил, что в сечениях рассеяния о, мед-
ленных электронов на атомах криптона имеется глубокий мини-
мум (резко увеличивается проницаемость атомов) при энергии Е =
= 0,6 эВ (рис. 3.16). Этот эффект обусловлен волновыми свойства-
ми электронов. Считая, что для электрона потенциал атома явля-
ется одномерной прямоугольной ямой глубиной Н = 2,5 эВ, оце-
ним радиус атома криптона (М 3.33). Ранее было получено, что
отражение от барьера и ямы не происходит, если их ширина удов-
летворяет (3.89). Для длины волны электрона внутри ямы имеем
Ж = 21т//‹ = 12/[2 т (Е + (/)]'/2.
Условие 2к = т. Откуда к в (1/4)/2/[2т(Е + или = 1,7 А.
Отметим, что длина волны свободного электрона (не в яме)
м, = Ь/(2тЕ)'/2 >> ж.
Электрон находится в основном состоянии в одномерной по-
тенциальной яме, изображенной на рис. 3.17, и имеет энергию Е =
= 1,5 эВ. Ширина ямы равна а! = 3°10-3 см. Пренебрегая отражени-
ем волновой функции на задней границе потенциального барьера,
найдем высоту потенциального барьера С! и его проницаемость В.
Определим также, за какое время т вероятность найти частшцу в яме
уменьшится в два раза (Мг 3.34). Для симметричной прямоуголь-
ной ямы были получены (3.37), (3.41), (3.42). Отличие в данном
д/(х) М
ийтг
Рис. 3.17
случае в несимметричности ямы. При х = О бесконечно высокий
потенциал. В яме (область 1) решение ку, = Азйп/сх и
к; = 2 тЕ/пг. ‹3.9о›
В области 11 (вне ямы) при отсутствии отражения в точке
х = 10:17 и ограниченности по величине в соответствии с (3.43) име-
ем ш, = Сехр(—/‹2х) и
К; = 2т((/— Е`)/й2. (3.91)
Используя-непрерывность и гладкость при х = д, получаем
Азии/яд) = Сехр (—/‹2а7), /‹,Асоз(/‹‚а!) = —/‹,Сехр(—/‹,с1),
откуда
твист = -1‹,//‹2 = чв/(и- от ‹з„92›
В результате Н = Е/зйп2(/с,д) = 1,64 эВ, К, = 6,22-1О7см-‘.
проницаемость барьера определяется (3.85). Коэффициент
По т 1, так как при стремлении ширины барьера к нулю поток
электронов не меняется. Поэтому 1) а ехр(—18/‹2‹1) = 3,2-10-5‚ где
К, а 1,9°1О7см-'. _
Число ударов о барьер за секунду п = и/(2д), где скорость из
соотношения неопределенностей и т й/(тс!) или из энергии и =
=,/(2Е/ т) имеет приблизительно одинаковую величину
В результате п т 1,22-10‘5 ст‘. После каждого подхода к барьеру
(удара) вероятность найти электрон в яме умножается на (1 — В).
За время т происходит пт ударов. Для определения времени умень-
шения частиц наполовину имеем уравнение
1/2 = (1 — В)“, (3.93)
откуда получаем т н 1‚8-1О-“ с.
Задачу можно несколько видоизменить. Яма изображена на
рис. 3.18. Энергия частицы равна Е = О,9999 эВ, а высота потен-
циального барьера Н = 1 эВ. Пренебрегая отражением волновой
функции на задней границы потенциального барьера, найдем ши-
рину ямы, если уровень с указанным значением энергии является
первым. Оценим также время жизни т частицы в яме (М9 3.35). Для
нахождения энергии первого уровня применим (3.88) при п = 1.
Пользуясь (3.92) и (3.90)‚ находим а! = 3 А. проницаемость барьера
определяется, как и в предыдущей задаче, (3.85)
В в ехр(—598/с,с1) = 8‚3-10-5.
91
их) Н
1 (Ь1эВ
илзг;
к 1
О с! ' ЗООЫ
Рис. 3.18
Из (3.91) К, г 5-1О5см°'.
Время жизни — это время, за которое число частиц уменьшает-
ся в е раз. Аналогично (3.93) надо взять
1/е = (1 — В)“.
Так как проницаемость много меньше 1, имеем
т н 1/(пВ). (3.94)
В результате т я 1‚2-10*“ с.
Выведем для оъ-распада закон Гейгера — Нетгола, связываю-
щий период полураспада 7]„ с энергией Е вылетающих частиц со-
отношением
1п7],2 = А + В/(Е')'/2‚ (3.94а)
где А и В —- постоянные.
Считаем задачу одномерной
и полагаем, что потенциальный и“)?
барьер (/(г) имеет вертикальную до Г___
стенку при г = К (Радиус ядра) и оп- \
ределяется законом Кулона при
г 2 К (рис. 3.19). Энергия вылетаю- Е —
щей оь-частицы Е << 110 (высота к
барьера) (М: 3.36). Так как заряд 1 ;
оъ-частицы Д, = 2, кулоновское поле, ° к д! '
в котором будет двигаться оь-части-
ца, будет создаваться оставшимся Риа 319
зарядом Д = 2 — 2“. Потенциальная
энергия кулоновского взаимодейст-
вия а-частицы и ядра Щг) = =2‚2„е2/п
Коэффициент прозрачности барьера определяется (3.86)
В я: ехр{—_г (2/й) [2т(Д2„е2/г - Е`)]‘ддг}. (3.95)
к
Так как по условию Е << 00, при вычислении интеграла можно
пренебречь Е.
92
При интегрировании по г имеем
д:
[ 1/(г)‘/2 дг = 2к‚'/= - 2121/2 = 2кр/2 (1 - кпд/кря).
К
Из того же условия Е << По следует, что К, >> К.
Имея в виду, что `
Е = дгаё/К. = ЩК/Кь
окончательно получаем
В = ехШ-А/(ЕУ/Ч,
где А — постоянная величина.
проинтегрировать (3.95) можно и по-другому, записав его сле-
дующим образом
1) а ехрь? ‹2/п)[2т(и„к/г - витая.
К
Вводя обозначение х = [1 - Ег/( 110101“, получаем
в = ехр{—(2К/й)(2%т)'”[(Но/Е)‘”агссоз(Е/%)"’ - ‹1 - Е/щт/гп.
При Е << Ц, находим
0 т ехр{-(2К/й)(2%т)"’[(1/о/Е)"’п/2 — 11} т ехр[-А/(Е`)"21-
Время жизни частицы в потенциальной яме определяется
(3.94).
При радиоактивном распаде число частиц А! = Мог“, где М, —
начальное число частиц.
Вероятность распада в единицу времени
Х Ё 1/1: и пВ ю й0/(2тК?).
Время полураспада — уменьшение числа частиц вполовину
1] д = 1п2/х а 2тК21п2/(ИВ) в Сехр[А/(Е`)'/2].
В результате 1п7]„ в 1пС + А/(Е`)'/1.
В сканирующем туннельном микроскопе (изобретен Е Биннин-
гом и Е Рорером в 1982 п; Нобелевская премия 1986 г) регистри-
руется туннельный ток электронов 1 через вакуумный зазор между
поверхностью проводящего образца и установленной перпендику-
лярно к ней острой металлической иглой. Оценим, как изменится
туннельный ток, если игла при своем поступательном движении
параллельно поверхности образца пройдет над ступенькой высоты
Ь = 1 А. Работа выхода электронов из иглы А, = 4,5 эВ и образца
93
Ё-Ё-Ёу А, = 4,0 эВ. На иглу подано напря-
— - жение У= +О‚5 В относительно об-
разца. Считаем, что средняя величи-
А] на зазора между иглой и поверхно-
стью образца а >> Ь (М9 3.37). На
рис. 3.20 показано распределение
7 потенциальной энергии электрона
/ между поверхностью образца и иг-
д лой Н(х) — Е = А, — еУх/а. Туннель-
обРтд Ища ный ток пропорционален прозрач-
рис 3_20 ности этого потенциального барье-
ра. Из (3.86), когда энергия
электронов проводимости мала по сравнению с барьером, получа-
ем
1) = В0ехр{—_[ (2/й)[2т(А2 - еУх/а)]'/2 ах}.
Вводя обозначения А, — еУх/а = у, - еУаГх/а = с1у, подставляя
в интеграл и интегрируя, находим
19 = доеХр{(—4/3)(2т)"’а/(ЙеУМА?” - (А; - гИИН- (3-96)
Над ступенькой вместо а надо братьа 1 Ь. В результате отно-
шение туннельных токов
02/19. = ехр{‹т4/3›‹2т›'/2Ь/‹петик/г - (А2 - виз/ч} =
а ехр (12,14) в 8,49.
При прохождении над ступенькой ток увеличится или умень-
шится примерно в 8 раз.
Если вместо ступеньки на поверхности образца будет меняться
работа выхода (М 3.38) либо расстояние между иглой и поверхно-
стью образца (Мг 3.39), снова можно воспользоваться (3.96).
Рассчитаем коэффициент прозрачности барьера деления тяжелых
ядер, аппроксимируя его параболиче-
ским барьером (такая аппроксимация дшд
реально отражает форму барьера деле-
ния тяжелых ядер) (рис. 3.21):
и= щи -х2/а2› при и < а;
Н=О при|х1>а
и выразить его через «квант» по) =
=й (—(/"/т), соответствующий кри-
Рис. 3.21
94
визне барьера. Энергия возбуждения ядра Е (Мч 3.41). Используем
(3.86)
0 т еХЪЖ-{г (Ё/ЙЛЁтШ — Е`)1"’дх}‚
О
где из условия Е = 1/(1) = Ц, (1 — 12/02) получаем Р/а? = 1 — Е/Щ.
В показателе экспоненты интеграл вида
] (сг - хгуигах = (1/2)[х(с2 - хгу/г + с2агсз1п(х/с)].
В результате находим
0 == ехр{—тга(2т)"2(% - шпалу/ч}.
Вычисляя вторую производную П по х и используя выражение
«кванта» в условии, получаем В в ехр[-2п(ц, — Е`)/(йоэ)].
Электрон находится в одномерной симметричной прямоуголь-
ной потенциальной яме шириной 2а = 4 А (Н(—а) = Ша) = ц, = 1 эВ)
в состоянии, энергия которого Е = 0,8 эВ. На яму накладывается
постоянное электрическое поле Ез = 3-105 В/см, направленное в от-
рицательную сторону оси х. Считая, что энергия уровня не меня-
ется при наложении поля, оценим время, через которое электрон
покинет яму (На 3.52). На рис. 3.22 показано изменение профиля
ямы при наложении электрического поля. При х > О край ямы
имеет вид Щх) = Щ, — еЕэх. Используя (3.86), для проницаемости
барьера получаем 1) н ехрь? (2/й)[2т( Н(х) — Е)]'/1с1х}.
Вычисляем интеграл в показателе экспоненты, учитывая, что
хо = (Щ — Ш/(еЕЭ)Э
Т птщ, - Е - еЕ‚х)]‘/2с1х = (2/3)(2т)и2(щ - Е - еЕэа)3/2.
Для проницаемости барьера получаем
по и„
Рис. 3.22
95
в = ехр{—‹4/з›[2т‹и„ - Елтщ - Ьэ/(певэ) - 1‚45—1о-9.
проницаемость барьера — это вероятность частицы пройти че-
рез барьер за один удар. Время между ударами Т = 4а/и‚ где и —
скорость частицы, связанная с ее энергией Е = ти2/2. За время
т число ударов т/ Т, а вероятность выйти Вс/ Т Частица выйдет, ко-
гда вероятность будет близка к 1. Отсюда
1: = Т/В = 4(а/В)[т/(2Е`)]'/3 2 1О'° с г 1 мкс.
Используя (3.49) можно убедиться, что при заданных парамет-
рах в яме имеется только один четный уровень.
Зная время нахождения частицы в яме на данном энергетиче-
ском уровне (время жизни)‚ можно с помощью (2.29) оценить воз-
никающую при этом ширину уровня энергии АЕ в й/т (Мг 3.51).
В 1988 11 появилось сенсационное сообщение об осуществлении
холодного ядерною синтеза дейтерия, растворенного в металличе-
ском палладии. Можно считать, что при этом ядра дейтерия взаи-
модействуют друг с другом по закону Кулона, если расстояние меж-
ДУ ними гудовлетворяет условию К, = 2-10-‘3 см < г$ 5°10-9 см = К,
При большем расстоянии между ядрами энергия электрического
отталкивания П = О за счет экранирования ядер дейтерия электро-
нами проводимости. Определим вероятность реакции синтеза
а + с! при столкновении дейтронов внутри палладия при комнат-
ной температуре за счет туннельного эффекта. Считаем, что реак-
ция синтеза происходит при г < К, (М 3.40). При комнатной тем-
пературе (Т = 300 К) получаем кинетическую энергию
Ек = КТ = 4‚14-1О-'4 эрг << е2/К2 = 4‚6°10-“ эрг (кулоновская
энергия).
На рис. 3.23 показан кулоновский потенциальный барьер.
Прозрачность его можно вычислить с помощью (3.8‘6)‚ учитывая,
что при взаимодействии дейтронов надо брать приведенную массу
р = т„‚/2 = тр = 1‚67-1О-24 г (половина массы дейтрона),
32
в = ехрь] ‹2/п›[2м‹е2/г - Еж си =
к:
32
= ехт-ое/гп] (2и/г)"*с1г} = ехр[—4е(2и1?2)‘”/й1 = е-т = 10402.
О
Вероятность проникновения через барьер очень мала.
96
Щг) 1
Е=‚‚
КТ
‘п
от к: ‚
Рис. 3.23
При вращении сосуда со сверхтекучим гелием
в объеме образуются линейные вихри (рис. 3.24).
Скорость атомов гелия в вихре и = К/г, где г — рас-
стояние от оси, К — константа, называемая интен-
сивностью вихря. Найдем минимальное численное
значение интенсивности вихря (М9 3.43). По теории
Онзагера ввиду квантовой природы сверхтекучего
состояния гелия (Не 11) вращения в нем должны ,.__
®
мы
\
быть квантованы. Если атом гелия вращается по ок- г/ `
ружности радиуса г, то его момент количества дви- КЙ
жения должен быть равен пй, где п — целое число.
Обозначив массу атома гелия тне! имеем РИС- 3-24
тнет = пй. (3.97)
Эта формула справедлива лишь для расстояний г, значительно
превышающих среднее межатомное расстояние в гелии (порядка
4-10-8 см), так как только на таких расстояниях можно рассматри-
вать гелий как сплошную среду. "
Для интенсивности вихря получаем К = йп/тне.
При п = 1 имеем
К„„„ = й/тне = 1‚6-1О-4 смд/с.
Задав правило квантования (3.97), можно найти поле скоро-
стей (Не 3.44)
и = пй/(тнег).
7- взо
4. Атом водорода и водородоподобные атомы
Спектральное разложение излучения, получаемое, например,
с помощью призмы или решетки на экране, может состоять из на-
бора Цветных линий, каждая из которых соответствует некоторой
длине волны. Такой спектр называется линейчатым. Спектр, в ко-
тором нет четкого разделения, а как бы наблюдаются линии всех
длин волн, называется сплошным. Обработка экспериментальных
данных для спектра водорода привела к зависимостям для частоты
о) или длины волны Ж спектральных линий
од = 2пс/Ж = К(1/п„2 — 1/п2), (4.1)
где К — постоянная Ридберга
К = 2‚О7-1О'° с-‘. (4.2)
ИСПОЛЬЗУЯ энергетические СДИНИЦЫ, МОЖНО ЗЗПИСЗТЬ ДЛЯ ИЗЛУ-
ЧЗСМЫХ квантов
Е = На) = К‚(1/п„2 — 1/п2), (4.3)
где К, = КЙ === 13,6 эВ. (4.4)
Входящие в (4.1) и (4.3) по и п являются целыми числами. Пе-
реход происходит из состояния п в состояние по. В зависимости от
значений чисел имеются серии: Лаймана при по = 1, п = 2, 3, 4, ...;
Бальмера при по = 2, п = 3, 4, 5, ...; Пашена при пО = 3, п = 4, 5, 6,
...; Брэкета при по = 4, п = 5, 6, 7, На рис. 4.1 представлен спектр
атомарного водорода.
Использование спектральных приборов позволило накопить
большой материал о спектрах излучения различных веществ. В не-
которых случаях возможно описание, подобное полученному для
водорода.
Результаты опытов по рассеянию ос-частиц при прохождении
через тонкую металлическую фольгу позволили Резерфорду уста-
новить, что основная масса атома сосредоточена в ядре, размер
которого в десятки тысяч раз меньше размера атома. На основе та-
кого представления Резерфорд предложил так называемую плане-
тарную (похожую на Солнечную систему) модель атомов: вокруг
положительно заряженного ядра вращаются отрицательно заря-
женные электроны. В классическом представлении такая модель
не является устойчивой, так как электроны, движущиеся с ускоре-
нием, излучают энергию, теряют скорость и должны под действи-
ем кулоновской силы упасть на ядро. Дальнейшее усовершенство-
вание планетарной модели атомов было сделано Бором, который
98
Е, эВ
п
со 0
5 —0,54
4 Серия Брэкега 43.35
3 Серия › “1›5
Пашена
2 Серия —3‚4
Бальмера
1 —13,6
Серия
Лаймана
Рис. 4.1
предположил, что при движении по орбитам электроны не излуча-
ют, а излучение или поглощение фотона происходит только при
переходе с одной орбиты на другую. Здесь можно усмотреть неко-
торое противоречие в возможности электронов почему-то поки-
дать стабильные орбиты. Для нахождения радиусов стабильных
орбит Бор предложил условие квантования момента импульса элек-
трона, которое состоит в том, что момент импульса равен целому
числу постоянных Планка й, т. е.
рг = тиг = пй. (4.5)
Если воспользоваться представлением де Бройля (2.3), то это
условие сводится к тому что на длине орбиты укладывается Целое
число длин волны электрона
2тгг = п)». (4.6)
Бор рассмотрел простейший случай, когда электрон движется
по круговой орбите. Для атома водорода, в Центре которого нахо-
дится протон с положительным зарядом (е), используя закон Ку-
лона (3, с. 7 и 66) и уравнение движения (1, с. 144), получаем
7‘ 99
ти2/г = е1/г?. (4.7)
К этому классическому уравнению Бор добавляет квантовое
условие (4.5)
тш°„ = пй. (4.8)
В результате находим радиусы орбит
г„ = йдп2/(те2). (4.9)
Радиус первой (нижней) орбиты, который называют боровским
радиусом, равен
г, = йг/(те?) = О‚529-1О-3 см. (4.1О)
Из (4.7) кинетическая энергия электрона
К = ти2/2 = е2/(2г‚). (4.11)
Потенциальная энергия электрона (З, с. 28)
Н = —е2/г‚ = —2 К (4.12)
Полная энергия электрона
Е„ = К + П = —К = (1/2 = —те4/(2й2п2). (4.13)
Число п называют главным квантовым числом.
Знак «—» показывает, что для удаления электрона от ядра тре-
буется подводить энергию. Для отрыва электрона от ядра (иониза-
ции атома) необходима энергия ионизации
Е, = ЕЮ — Е, = те4/(2Й2). (4.14)
Абсолютную величину энергетического уровня (4.13) называ-
ют термом. Из разницы термов получаются спектральные серии
(4.1).
Теория Бора хорошо описывает экспериментальные результа-
ты (спектральные линии, но не интенсивности) для атома водоро-
да (и водородоподобных атомов — атомов (точнее ионов), у кото-
рых вокруг ядра вращается только один электрон, а остальные
удалены). Потенциальная энергия в таком случае с учетом заряда
ядра, е2
П = —е22/п (4.15)
Для других атомов теория Бора оказалась неудовлетворитель-
ной. Это связано с неприменимостью в общем случае классиче-
ской физики к описанию внутриатомных явлений.
100
Принцип соответствия, выдвинутый Бором, заключается
в том, что в пределе при п —› оо квантовые соотношения должны
переходить в классические.
Покажем, что в пределе, когда главное квантовое число п в
атоме водорода стремится к бесконечности, движение электрона
переходит в классическое движение по круговой орбите (Мг 4.2).
При увеличении п, как следует из (4.13)‚ расстояние между Уров-
нями энергии будет уменьшаться и фактически радиусы орбит ме-
няются непрерывно, как в классической механике. Значение же
полной энергии (4.13) стремится к нулю. Таким образом, нулю
равна сумма кинетической и потенциальной энергии
ти2/2 — е2/г = О.
Заметим, что здесь уже не пользуемся выражением полной
энергии только через кинетическую или потенциальную. Полная
энергия равна нулю, а кинетическая и потенциальная энергии не
равны нулю.
Обозначив период обращения электрона Т, находим
ти2/2 = т°2п2г2/Т2 = е2/п
Отсюда следует классическая связь (закон Кеплера) (М9 4.3)
гЗ/Т? = е2/(2тп2) = сопзт.
Водородоподобными, как уже было указано, называют ионы
с одним электроном на орбите и зарядом ядра е2 Повторяя вы-
кладки, сделанные для водорода, получаем вместо (4.9)‚ (4.13)
и (4.3)
г„ = 722п2/(те22); (4.16)
Е„ = —те“2'2/(2й2п2); (4.17)
то = Кэ22(1/п„2 — 1/п2). (4.18)
Из (4.1) и (4.14) для постоянной Ридберга в приближении, что
масса ядра во много раз больше массы электрона, получаем
КЮ = те4/(2й3). (4.19)
Иногда вместо (4.1) используют зависимость
1/›„ = К,(1/п„2 — 1/п2), (4.2О)
где введена другая постоянная Ридберга
К, = те‘/(4жсй3) = 10 973 731,59 м“. (4.21)
101
Учет движения ядра (массы М), т. е. круговое движение вокруг
общего центра масс, так же, как в случае гравитационных сил (1,
с. 153), приводит к введению приведенной массы
т„р = тМ/(т + М). (4.22)
В таком случае в (4.19) должна стоять приведенная масса. Для
постоянной Ридберга К имеем
к/к, = т.„‚/т = 1/(1 + т/м). — ‹4„2з›
Так как постоянная Ридберга зависит от массы ядра, в спек-
трах возникает так называемый изотонический сдвиг. Например,
для водорода (Н) и его изотопа дейтерия (В) получаем
Кн/Кь = (1 + т/Мь)/(1 + т/Мн)- (4-24)
Используя (4.1)‚ получаем изотонический сдвиг
Аж/Ж = (кн " Жид/кн = (‘до " Шнушн = (Кв _ Кнжкн =
= т(1/М„ — 1/М„)/(1 + т/Мд) в т(11/М„ — 1/М„). (4.25)
Учитывая связь масс ядер водорода и дейтерия, имеем: Ах/Ж =
= т/(2МН).
Для наблюдения такого сдвига разрешающая способность
спектрального прибора (Не 4.11) в соответствии с (4, с. 190) долж-
на быть больше 2М„/т = 3680. Если спектральный прибор призма,
то для ширины основания призмы получаем Ь = (Ж/АЖ)/(а1п/а')ь) =
= 3,6 см. (При заданной дисперсии аГп/аОь = 1000 см-'.)
В случае водорода и трития (ядро из протона и двух нейтронов)
(Мг 4.12) из (4.25) м/х = 2т,/(3М„). Здесь масса электрона обо-
значена т,‚ так как дальше будет использовано т для обозначения
порядка интерференции. Необходимая разрешающая способность
Кнт = МАХ н 2800. Из (4.1) следует, что результат не меняется для
серий Бальмера и Пашена. В случае призмы (4, с. 200) К“, = дат/д)» =
= 1000. Таким образом, призма не разрешает. В случае использова-
ния интерферометра Фабри — Перо (4, с. 182) необходимое число
отражений (М) для разрешения изотонического сдвига находим из
условия для разрешающей способности (4, с. 200) К“ = тА’ >
> (3/2)Мн/т„-
Серия Бальмера наблюдается в смеси атомарных водорода
и дейтерия. Определим разрешающую способность и число штри-
хов А’ дифракционной решетки, которые необходимы для разре-
шения во втором порядке изотопической структуры спектральных
линий этой серии. Найдем, как меняется эта разрешающая спо-
собность с увеличением номера линии (т. е. с уменьшением длины
волны) указанной серии (Мг 4.13). Учитывая связь масс ядер водо-
102
рода и дейтерия, из (4.25) имеем АН)‘. = т‚/(2М„). Здесь, как и в
предьщущей задаче, масса электрона обозначена т‚‚ так как дальше
будет использовано т для обозначения порядка интерференции.
Для наблюдения такого сдвига разрешающая способность
спектрального прибора в соответствии с (4, с. 182) должна быть
больше 2М„/т‚= 3680. Из (4.1) следует, что она одинакова для всех
линий серии. Число штрихов решетки 1\’> 368О/т = 3680/2 = 1840.
В спектрах некоторых звезд наблюдается т в 30 линий водо-
родной серии Бальмера. Найдем, при каком наименьшем числе
А! штрихов дифракционной решетки можно разрешить эти линии
в спектре первого порядка (Не 4.14). В соответствии с (4.1), обо-
значая К/(2тгс) = Кн для серии Бальмера получаем: 1/х = К„(1/22 -
— 1/п2). Для дифференциалов имеем
ага/х) = —аГ)„/?„2 = —К„(2/п3)с1п.
Полагая а/п = 1, п в т, находим
Жн/т’ =(‹0»/7»)(1/7») т (дЖ/ЖЖКн/4).
В соответствии с выражением для разрешающей способности
дифракционной решетки в первом порядке Кдр = 1\/(4‚ с. 182) чис-
ло штрихов дифракционной решетки для разрешения А’ = Мат =
= т3/8 а 3400 штрихов.
Найдем, какое должно быть минимальное расстояние между
зеркалами (Ь) в интерферометре Фабри — Перо, чтобы по оптиче-
скому спектру установить наличие двух изотопов калия К и К.
Коэффициент отражения зеркал по энергии р = 0,9. Энергия ио-
низации атома калия И/= 4,3 эВ (М9 4.16). Для разрешающей спо-
собности интерферометра Фабри — Перо из (4, с. 210) имеем: К =
= Май. = 2л(р)‘/2т/(1 — р) = 2тс(р)‘/2Ь/ [7\(1 — р)]. Здесь порядок ин-
терференции т выражен из соотношения Ь = тж. Обозначая массу
электрона т, и массы изотопов М,9 и М“, и пользуясь (4.18), полу-
чаем для изотонического спина Аж/ж = т‚(М‚„, — М39)/(М„М4„).
Сравнивая это с выражением для разрешающей способности и ис-
пользуя соотношение для энергии ионизации И/= Ьс/х, находим
Ь = м„м„(1 - р)/2с/[т„(М4„ - м„)2л(р)тдщ = 1,37 см.
Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и заме-
щать в нем электроны электронной оболочки. Практически может
замещаться лишь один электрон. получающиеся в результате та-
кой замены системы называют мезоатомами. Масса мюона тр =
= 207 т, Вычислим по теории Бора радиус первой круговой орби-
103
ты (К-орбиты) мюона в мезоатоме. Рассчитаем энергетические
уровни мезоатома. Найдем, какое излучение будет наблюдаться
при переходе на К-орбиту мюона с более высоких орбит. Объяс-
ним, почему исследование такого излучения применяется для вы-
явления структуры тяжелых атомных ядер. Массой мюона по
сравнению с массой ядра будем пренебрегать (М 4.17). Если масса
ядра много больше массы мюона, то ядро можно считать непод-
вижным и воспользоваться формулами (4.16) и (4.17). Для первой
круговой орбиты получаем
г, = лг/(егтд = (1/2)-О‚0О26-1О-8 см.
Эта величина значительно меньше (во столько же раз, во сколь-
ко масса электрона меньше массы мюона) г, для водородоподобно-
го атома с тем же 2 Используя (4.16), предполагаем, что орбита
мюона проходит вне ядра. Считаем, что оставшиеся электроны на-
ходятся на более далеких расстояниях и из-за сферической симмет-
рии электронного облака не оказывают влияние на движение мюо-
на. Захват мюона или переход его с более высоких орбит на К-орби-
ту (наиболее близкую к ядру) приводит к коротковолновому
(рентгеновскому или гамма) излучению. При больших 2 орбита по-
падает внутрь ядра. Этот расчет в таком случае неприменим. Ре-
зультаты становятся сильно зависящими от распределения заряда
внутри ядра, которое и может изучаться с помощью мезоатомов.
Позитроний представляет собой связанную систему из электро-
на и его античастицы — позитрона. Найдем уровни энергии, энер-
гию ионизации и соответствующую ей длину волны резонансной
линии позитрония. Резонансным называют переход из первого
возбужденного состояния в основное (М 4.18). Поскольку массы
частиц одинаковы в (4.13) надо подставлять приведенную массу
(4.22)‚ р = т/2, где т — масса электрона. Для энергии получаем
Е„ = —(т/2)е4/(2й3п2). Энергия ионизации 1= ЕЮ - Е, = 13‚6/2 эВ =
= 6,8 эВ (это половина энергии ионизации атома водорода в ос-
новном состоянии). Длина резонансной линии
Ж = с/у = с/т/АЕ = с/2/[1(1 — 1/22)] = 243 нм.
Длина волны На водородной серии Бальмера Ж = 0,656 мкм.
Определим по этим данным энергии ионизации Е„ позитрония
и мюония, находящихся в основном состоянии. Масса мюона т}! =
= 2О7те (те — масса электрона). Отрицательный электрон враща-
ется вокруг положительного мюона (М9 4.19). Напомним, что
в (4.1) серия Бальмера начинается с по = 2. Для водородной серии
линии, начиная с самой длинной, имеют последовательно наиме-
104
нования На, На, Следовательно, в (4.3) надо подставить по = 2,
п = 3 и а) вычислить через заданное ж. В результате К, = 13,6 эВ.
Энергию ионизации получаем при п = оо. Используя (4.23) и (4.22),
находим для позитрония Е„ = 6,8 эВ, для мюония Е„ = 2,6 кэВ.
Рассчитаем энергию излучения АЕ испускаемого в мезоатоме
водорода при переходе мюона с 1\’- на М-оболочку Найдем, как ве-
лик радиус 1-й боровской орбиты в этом случае (Не 4.20). Напом-
ним, что для нижней (основной) оболочки, обозначаемой К, кван-
товое число п = 1, для следующей Ь-оболочки п = 2, для М-обо-
лочки п = 3, для Ы-оболочки п = 4. Используя (4.17) и (4.22),
имеем АЕ = ре4/(2722)(1/32 - 1/42) и р = тртр/(тр + тр) 2 тр/11.
В результате АЕ = 125 эВ. Из (4.16) находим гр, = (т,/т„)г‚ н
н 2‚8-1О-” см, так как радиус 1-й боровской орбиты в атоме водо-
рода г, = 0,53\.3..
Оценим скорость мюона р“ в мезоатоме с зарядом ядра 2 = 10.
Найдем радиус атома (Не 4.21). Из (4.16) следует
гш = й2/(егтр2) = гвте/(Зти) я 2,810”? см. (4.26)
Здесь боровский радиус (4.10)
гБ = й2/(теег) з О‚529°10-8 см.
Используя условие квантования (4.8)‚ находим
од = й/(гдтд) = 2е2/й = 2ас = 2‚3-1О9 см/с,
где а = е2/(йс) — постоянная тонкой структуры.
Напомним, что используя величины т, с и й, можно образо-
вать так называемые естественные единицы квантовой электродина-
мики: т — единица массы; тс2 — единица энергии; й/(тс) — едини-
ца длины; й/(тс?) — единица времени. Элементарный заряд е по-
казывает величину взаимодействия с электромагнитным полем.
Используя естественные единицы, получаем относительную элек-
тростатическую энергию отталкивания двух электронов, находящих-
ся на расстоянии в единицу длины
ос = {е2/[й/(тс)]}/(тс2) = е2/(йс) ж 1/137. (4.27)
При переходе пиона тс- с 411оболочки на 3с1-оболочку мезоаю-
ма с ядром фосфора (2 = 15) испускается рентгеновский квант
с энергией Е = 40 кэВ. Определим массу пиона и радиус ЗаГ-обо-
лочки (Не 4.22). Цифры перед названием оболочек показывают
значение главного квантового числа (о буквах будет сказано в сле-
105
дующем подразделе). Из (4.1) и (4.17) получаем для энергии рент-
геновского кванта
Е = т„23е4/(2й2)(1/32 — 1/42) = (22т„с2оъ2/2)(1/32 — 1/42),
откуда тпсг = 137 МэВ.
Из (4.16) получаем г, = й2п2/(2т„е2) = 1,2°10-” см.
Найдем, какова была бы энергия связи и радиус водородопо-
добной системы из двух нейтронов при учете только силы гравита-
Ционного притяжения между ними (М9 4.23). Вместо кулоновского
потенциала е2/г надо пользоваться гравитационным потенциалом
утЗ/к Заменяя в формулах (4.1О) и (4.14) е? на ут? и учитывая, что
имеющуюся в формулах массу надо заменить на приведенную, по-
лучаем: г = 2й2/(ут3) == 1023 см, |Е] = у2т5/(4й2) т 1043 эрп
Найдем, какой радиус имела бы 2р-оболочка атома из нейтрона
и электрона, связанных между собой только силой гравитационного
взаимодействия (Мз 4.24). В отличие от предыдущей задачи в фор-
муле (4.16) е надо заменить на у т т„ (здесь массы электрона
и нейтрона) и взять п = 2. В результате г, = 4103‘ см.
Найдем потенциалы ионизации ионов Не* и 1.1“ (Мг 4.25). Эти
ионы имеют в электронной оболочке по одному электрону и по-
этому являются водородоподобными. Обозначая потенциал иони-
зации водорода (4. 14) Ун = Ен/е и заряд ядра 2, получаем из (4.17)
для водородоподобных атомов
Е, = 22Ен, (4.28)
где Ен = 13,6 эВ, откуда для Не* Уне = 4У„ и для 1.1“ соответственно
Ум = 914, .
Найдем наименьшую энергию, которую надо сообщить в основ-
ном состоянии трижды ионизованному атому бериллия, чтобы воз-
будить полный спектр этого атома (М9 4.26). Трижды ионизованный
бериллий является водородоподобной системой. Заряд ядра берил-
лия равен четырем зарядам протона. Используя (4.28), получаем, что
для ионизации бериллия и, следовательно, возбуждения полного
спектра необходима энергия Е, = 42Ен = = 16-13,6 = 217‚6 эВ.
Энергия ионизации атома Не равна 24,5 эВ. Определим энер-
гию Е, необходимую для получения из нейтрального атома Не два-
жды ионизованного иона Не“ (Мг 4.27). Расчет однократной иони-
зации Не сложен из-за сильного взаимодействия между электрона-
ми. В данной задаче эта энергия ионизации известна. Энергию
удаления второго электрона можно вычислить, используя (4.28),
так как Не* является водородоподобной системой. Согласно (4.28),
106
Е, = 4-13,6 = 54,4 эВ. Складывая полученное значение с энергией
однократной ионизации, получаем для полностью ионизованного
Не” Е = 78,9 эВ.
Ядро атома трития, находящееся в основном состоянии, испыты-
вает [Зг-распад. Считая, что за время вьшета распадного электрона
состояние атомного электрона не успевает измениться, найдем ею
полную энергию сразу после распада (Мг 4.28). После вьшета из ядра
трития электрона это ядро превращается в ядро гелия с 2 = 2, на ор-
бите находится один электрон, который был у трития. Используя
(4.15) и полученную в дальнейшем (4.36)‚ находим <ц> = —2е2/г‚ =
= —54‚4 эВ. Предполагая, что кинетическая энергия электрона оста-
лась такая же, как бьша у трития, и пользуясь (4.13), находим <Т> =
=—<Е,> = 13,6 эВ. В результате <Е,> = <Т> + <ц> = —40,8 эВ.
В 1989 п в ЦЕРНе при пропускании медленных антипротонов
через водородную камеру наблюдалось образование протониума —
атома состава (р'р). Энергия излучения, соответствующая переходу
протониума из состояния 2р в 15, оказалась равной 10,1 кэВ. Опре-
делим вклад сильного взаимодействия в разность энергий указан-
ных уровней. Найдем, для какого из этих уровней вклад сильного
взаимодействия оказывается наибольшим (Мг 4.29). Цифры перед
названием оболочек показывают значение главного квантового
числа (о буквах будет сказано в следующем подразделе). Из (4.1)
и (4.17) получаем для энергии рентгеновского кванта
Е = (тр/2)е4/(2й2)(1/12 — 1/22) а 9,4 кэВ.
Здесь приведенная масса в соответствии с (4.22) равна полови-
не массы протона. Отличие вычисленного значения энергии от ве-
личины, измеренной экспериментально, связано с вкладом силь-
ного взаимодействия, равного приблизительно 0,7 кэВ. Сильное
взаимодействие, обусловленное ядерными силами, сказывается
только вблизи ядра, т. е. в основном на положение 15-уровня.
За счет сильного взаимодействия энергия основного состояния
протониума (системы рр) сдвигается на бЕ = 0,7 кэВ относительно
его «чисто кулоновского» значения. Считая, что сильное взаимо-
действие описывается потенциалом Юкавы Г/(г) = —(32/г)ехр(—г/г„),
гд = 0‚8-10°‘3 см, оценим величину константы сильного взаимодей-
ствия 32/(йс) в системе р'р. Волновая функция 1з-состояния прото-
ниума ч: = (тсгБ3)-'/3ехр(—г/гБ), где гБ — боровский радиус протониу-
ма (Не 4.30). Используя (4.16) и (4.22), для боровского радиуса
протониума получаем гБ = 2й2/(тре) = 5,8°10°'2 см >> гр, где тр
107
и гр — масса и радиус протона. Из (4.13) энергия основного со-
стояния |Е| = тре4/(4й3) >> бЕ. Вклад сильного взаимодействия
можно оценить по среднему значению-потенциала сильного взаи-
модействия
|ащ==< и>= ]ш*ишау= 4к[ч‚2иг*с1г=
= —4к3 2 / (кг; )_[ г ехр(—)‘ / го ) ехр(— 2г / гБ )а7г. (4.29)
Так как гБ >> г„, то можно считать, что ехр(—2г/гв) = 1. Тогда
|бЕ1= —432 /г‚3 _Ггехр(—г/гО )а7г = 43213,’ Д‘; ,
откуда 3 2 / (Нс) = гЁ|бЕ1/(4йсг02 )2 = 0,28.
Конечный размер атомных ядер приводит к смещению энерге-
тических уровней К-электронов по сравнению с моделью точечно-
го ядра. Например, согласно расчету в атоме неона этот сдвиг со-
ставляет АЕ/Е = 6°10-7. Оценим эту величину для К-электронов
атома свинца (М9 4.54). Изменение уровня связано с тем, что часть
времени электрон проводит внутри ядра в потенциале, отличном
от кулоновского. Используя (4.29) и учитывая, что волновая функ-
ция в объеме любого ядра практически постоянна, а потенциал
определяется (4.15)‚ получаем АЕ "24113. Здесь радиус ядра
К, ^— А'/3, где А — атомная масса ядра. В соответствии с (4.17) для
относительного смешения уровня получаем АЕ/Е “22113, откуда
(АЕ/Е)‚‚,‚ = (АЕ/Е`)„,(22К‚‚1),‚„/(22К„?)„, = 1‚92°1О-4.
Здесь учтено, что у неона 2 = 10, А = 20, а у свинца 2 = 82, А = 208.
Фотон головной (наиболее длинноволновой) линии серии
Лаймана иона гелия Не* поглощается водородным атомом в ос-
новном состоянии и ионизует его. Определим кинетическую энер-
гию 7, которую при этом получает электрон (Не 4.31). Используя
(4.18), для излученного фотона имеем: Е = К‚22(1 — 1/4) = ЗКЭ. На
ионизацию водорода в соответствии с (4.3) уходит К, В кинетиче-
ской энергии электрона остается Т = 2К, = 27,2 эВ.
Атом водорода, вначале находившийся в неподвижном состоя-
нии, излучает квант света, соответствующий головной (наиболее
длинноволновой) линии серии Лаймана. Определим относитель-
ное изменение частоты фотона АУ/У из-за отдачи. Найдем, какую
скорость приобрел атом за счет энергии отдачи (М9 4.32). Из (4.1),
(4.27) и (4.17) для наиболее длинноволновой линии при непод-
вижном атоме получаем
Е = те4/(2й3)(1/12 — 1/23) = (3/8)тс2оъ2 = Иуд.
108
Используем законы сохранения энергии и импульса
н», — Ьу = Ми2/2, [ту/с = Ми.
Считая, что у в 1:0, получаем
(и, — у)/1›„ = и/(2с) = Иу/(2Мс2) н (3/16)(т/1\/1)о1'2 = 5,44-1О-9.
Для скорости имеем: и = (3/8)(т/М)а2с = 326 см/с.
Релятивистский пучок однократно ионизованнь1х атомов ге-
лия, находящихся в основном состоянии, движется навстречу ла-
зерному излученшо с длиной волны ж, = 248 нм. Ионы поглощают
это излучение, переходят в первое возбужденное состояние, а за-
тем испускают кванты света при обратном переходе. Найдем дли-
ну волны этого излучения (в направлении движения ионов) в ЛСО
(лабораторной системе отсчета), а также кинетическую энергию
ионов (Мг 4.51). В системе отсчета, связанной с ионами, частота
лазерного излучения, в соответствии с (1, с. 167),
001 = Фо[(1 + 13)/(1 — В)1"’‚ (4-30)
где о›„ = 2пс/хо = 5 эВ, В = и/с, и — скорость ионов в ЛСО.
Из (4.18) получаем, что энергия перехода иона гелия из основ-
ного состояние в первое возбужденное Е„ = К,22(1/11 — 1/22) =
= 311, = Лещ. Используя (4.3О)‚ получаем
В = [ЕЫ/(йто? " 11/[Е12’/(й0>о)2 + 1] д 037-
В соответствии с (1.11) частота излучения в ЛСО будет
Ф: = Ф.[(1 + В)/(1 — ЮГ” = то“ + В)/(1 - В) =
= Е,22/(Йсо0)2(о0 т н 66,6 (од.
Длина волны ж, = ?„„/66,6 н 3,7 нм.
Обозначив массу иона т„ получаем, что кинетическая энергия
ионов (1, с. 179)
1‹= т‚с2 [1/(1 - агу/г - 11 ъ 11,6 ГэВ.
Найдем, с какой скоростью и в каком направлении должна
двигаться светящаяся газоразрядная лампа, заполненная водоро-
дом, чтобы в ней происходило поглощение света, излучаемого не-
подвижной газоразрядной лампой, заполненной дейтерием. Рас-
смотрим движение вдоль прямой, соединяющей лампы (М9 4.33).
Используя (4.24) и (4.3), получаем отношение частот (од/юн = (1 +
+ т/М„)/(1 + т/Мд). Частота дейтериевого излучения больше, по-
этому лампа, заполненная водородом, должна удаляться. Ско-
рость определяем из (4.3О) (1 + В)/(1 — В) = (1 + т/МнУ/П +
+ т/Мд)2. Откуда находим и = 82 км/с.
109
При аннигиляции позитронов с электронами образуются ‘два
у-кванта, уносящие энергию покоя аннигилировавших частиц.
Если бы электрон и позитрон перед аннигиляцией покоились,
у-кванты разлетались бы в строго противоположных направлени-
ях. В реальном процессе аннигиляции замедленные в веществе
позитроны сталкиваются с движущимися атомными электронами,
и угол конуса разлета у-квантов отличается от 180°. Оценим, на-
сколько этот угол отличается от развернутого, если аннигиляция
происходит на электронах Ь-оболочки углерода (М9 4.34). Для
Ь-оболочки п = 2. Заряд ядра углерода 2 = 6. Из (4.17) получаем
г„ = й2п2/(те22). Из (4.8) находим и = п/(тг„) = е22/(йп) =
= 6,910“ см/с. Импульс системы электрон — позитрон равен им-
пульсу электрона ти = 6,2-10-‘9 г-см/с. При аннигиляции покоя-
щихся позитрона и электрона каждый из фотонов получает энер-
гию покоя электрона тсг. Соответственно, импульс тс =
= 2‚7-10-'7 г-см/с. Для оценки угла конуса разлета у-квантов можно
взять отношение импульсов ос в 2-10-2 рад.
Позитроний поглощает фотон, образовавшийся при переходе
атомарного водорода из первого возбужденного состояния в ос-
новное. Определим скорости электрона и позитрона в случае их
симметричного относительно направления движения фотона раз-
лета. Атом в исходном состоянии считаем неподвижным (Мг 4.35).
Из (4.3) и (4.19) получаем энергию фотона Еф = (3/8)те“/й2. Учи-
тывая приведенную массу (4.22), находим энергию, необходимую
для распада позитрония Д = те4/(4й2). Вычитая это из энергии фо-
тона, получаем кинетическую энергию электрона и позитрона
2ти2/2 = те4/(8й2),
откуда и = ед/(Ъ/Ёй) 2 8°107 см/с. Импульс фотона рф = Еф/с 2
22-10-32 гсм/с значительно меньше импульса электрона то т
2032-1049 гсм/с, поэтому электрон и позитрон разлетаются
практически под углом 180°.
При комптоновском рассеянии квантов на атомных электро-
нах явление осложняется тем, что электроны в атомах не находят-
ся в покое. Оценим связанный сэтим разброс в углах разлета элек-
тронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии
рентгеновских квантов (Ж = 1 А) строго назад (Мз 4.36). Наиболь-
шее отклонение получается, когда первоначальный импульс элек-
трона ро перпендикулярен начальному направлению движения
фотона. Величину ро можно оценить из соотношения неопреде-
ленностей или из условия квантования (4.8). При п = 1 имеем ро =
110
= то = й/г, = те2/й = тоьс. Здесь г, —- радиус первой боровской ор-
биты (размер атома)(4.1О); ос — постоянная тонкой структуры
(4.27). продольную составляющую импульса электрона р, находим
из закона сохранения импульса М?» = —/1/(?„ + м) + р,. Из (1.18)
(эффект Комптона)
А). = И (1 — соз9)/(тс) = 2/2/(тс) = 4‚84-1О-'° см‘ а 0,05 ж,
где 9 — угол рассеяния фотона.
Поэтому получаем р, а 2/1/9». Для максимального угла разлета
электронов находим
18‘? = Ро/р/ = х/(4д7п) = тет/Им?)-
Численное значение тангенса 0,16, откуда ср в 1О°.
При оценке для атомов с 2, отличным от 1 (М: 4.37), при вь1-
числении радиуса надо воспользоваться (4.16).
Размер атома определяется внешней электронной оболочкой.
Для атома водорода в основном состоянии радиус атома равен
первому боровскому радиусу (4. 10). Для возбужденного состояния
в соответствии с (4.9) радиус увеличивается в п раз. Найдем, во
сколько раз отличаются средние длины свободного пробега атома
водорода в основном и возбужденном состояниях (п = 10) в разре-
женном одноатомном газе при одинаковой концентрации
(М 4._39). Средняя длина свободного пробега (2, с. 251) обратно
пропорциональна площади сечения атома, поэтому пробег атомов
в возбужденном состоянии уменьшится в (п)4 = 104 раз.
В атоме гелия один из электронов замещен мюоном. Оценим
энергию электронного (3р — 2з)-перехода в таком атоме (М9 4.45).
Используя (4.16) для радиуса мюонной орбиты, получаем
г„ = н/(гетд д: 1о-п см << гБ = о‚5-1о-г см.
Мюон находится очень близко к ядру и фактически нейтрали-
зует часть заряда ядра. Имеем водородоподобный атом с зарядом
2= 1. Используя (4.2О) и (4.21)‚ находим 1/7ь = К‚„(1/21 — 1/32) =
= (5/36)Кд а 1‚52-104 смт‘; Х = 656 нм.
В сложных атомах электрическое поле, в котором движется
электрон, формируется как ядром, так и другими электронами.
Однако в щелочных металлах с достаточной точностью можно
считать, что внешний электрон движется в поле ядра с эффектив-
ным зарядом Зэф. Оценим величину эффективного заряда для
Зр-электрона На, если известно, что потенциал ионизации натрия
равен По = 5,1 эВ, а длина волны его яркой желтой линии х =
111
= 589 нм (переход Зр — 35) (Не 4.46). Энергия основного состояния
Ед, = —(/„. По условию Ед’, = Ед, + Ис/х. Используя (4.17) и (4.19)‚
получаем
ЕЗр = 2эф2киэ!п2э
где п = 3.
Отсюда 2;ф = 3 (—Е3р/К„)'/2 = 3[(П„ — ИсЛд/КЮГ” = 1,4.
Атом, пролетая через кристалл, подвергается воздействию пе-
риодического поля решетки кристалла, в результате чего возмож-
но резонансное возбуждение его уровней (эффект Окорокова).
Найдем, какова должна быть скорость двукратно ионизованного
атома лития, чтобы при пролете его через кристалл золота возбуж-
дался уровень с квантовым числом п = 2. Период решетки в на-
правлении движения иона а = 4,07 А (Не 4.47). Из (4.18) следует
частота перехода у = ш/(21т) = К, 22 (1/12 — 1/22)//2. Частота воздей-
ствия и, = и/а. Резонанс наблюдается при равенстве частот. Отсю-
да скорость иона лития (2 = 3) и = (3/4)22К‚а//1 2 9°103 см/с.
Атом водорода находится в состоянии с энергией Е = —1‚51 эВ
и при этом радиальная часть волновой функции ни разу не обра-
щается в нуль на интервале О < г < оо. Найдем, что это за состояние
(Мз 4.49). В таком случае можно воспользоваться (4.17). Так как
энергия основного состояния Е, = — 13,6 эВ, то п? = 13‚6/1‚51 = 9.
Следовательно, п = 3. Как будет объяснено в следующем подраз-
деле, главное квантовое число п складывается из суммы радиаль-
ного п, и орбитального [плюс единица. Для волновой функции, не
обращающейся в нуль на интервале 0 < г < оо, радиальное число
равно нулю. В таком случае 1 = 2. Существуют специальные бук-
венные обозначения для различных орбитальных чисел: з при
1 = О, р при 1 = 1, а! при 1 = 2. Следовательно, это состояние За!
(подробнее об обозначениях см. в следующем подразделе).
В случае Е = —3‚4 эВ и радиальная часть волновой функции
один раз обращается в нуль на интервале О < г < оо (]\(9 4.50). Тем же
способом, что и в предыдущей задаче, получаем п = 2. Для одного
обращения в нуль волновой функции на интервале О < г < оо долж-
но быть п, = 1. Поэтому /= О и, соответственно, это состояние 25.
В электрическом поле возможна спонтанная ионизация атомов.
Оценим, при какой величине напряженности поля Е„ (в В/см)
окажется ионизованным атом водорода в состоянии с п = 10.
Энергии уровней считаем не зависящими от поля (Мг 4.40). Элек-
трическое поле должно быть направлено противоположно полю
ядра. Соответственно, при увеличении расстояния электрона от
112
уМ
ищи Г‘ _' — еЕх —›-(еЕх)
Рис. 4.2
ядра потенциал ядра растет, а потенциал поля должен падать. Это
изображено на рис. 4.2, где изменение потенциала происходит по
направлению поля (координата х)
К/(х) = —е2/х — еЕх. (4.31)
Максимум этой зависимости при х = (е/Е)“ равен НМ =
тах
= —2е3/3(Е`)‘/2. Если потенциал состояния выше этого значения, то
электрон отрывается полем. При состоянии с квантовым числом
п из (4.13) и (4.14)‚ обозначая энергию ионизации из основного
состояния 1 = 13,6 эВ, получаем 1/п2 = Нта, откуда Е„ = 12/(4е3п4) =
= 3-104 В/см.
Оценим, какой радиус должна иметь звезда массой, равной
массе Солнца М = 21033 1; и магнитным полем на поверхности В = 5
кТл‚ чтобы на экваторе звезды могла происходить ионизация атома
водорода межзвездного газа, падающего из бесконечности. Счита-
ем, что ионизация атома происходит, когда вершина возникающе-
го для электрона потенциального барьера сравнивается с энергией
основного состояния (М) 4.55). Падающий из бесконечности на
звезду атом водорода у ее поверхности благодаря гравитации дос-
тигнет скорости и = (2уМ/К)‘/2‚ где К — радиус звезды; у — гравита-
ционная постоянная. Это вторая космическая скорость (1, с. 147).
В системе покоя атома возникнет электрическое поле Е = [и В]/с
(З, с. 256). Считаем, что на экваторе звезды скорость перпендику-
лярна магнитному полю, тогда Е = иВ/с. Как и в предыдущей зада-
че выполняется (4.31). Ионизация возникнет, когда 1 = НМ =
= —2е3/2(Е`)'/2 = е/(2гБ2), где гБ — боровский радиус. Окончательно
К 5 512(уМ/с)(ВгБ2/е) н 6500 км.
Покажем, что среди сферически симметричных решений урав-
нения Шредгшгера для водородоподобного атома, конечных при
в-взо 113
г = О и обращающихся в нуль при г = оо, имеется экспонешшальное
решение е - а’. Найдем постоянную ос и энергию атома в рассматри-
ваемом состоянии и установим, что это за состояние (Мг 4.4). Ис-
пользуя (3.25)‚ для энергии можно записать
А
Нц/ = —й2/(2т)А\у + Щ: = Еш. (4.З2)
В сферически симметричном случае оператор Лапласа А имеет
вид выражения (3.2О)‚ а кулоновский потенциал Н, соответствен-
но, (4.12)‚ умноженное на 2 Подставляя в (4.З2) ч: = е-Щ, получаем
Е = —й2ос1/(2т) + йд/(2т)(2ос/г) — е22/п Для постоянства энергии
(стационарное состояние) й2/(2т)(2ос/г) — е12/г = О, откуда а =
= е2т2/й2 = 1/г,‚ где г, — радиус первой боровской орбиты (4.16).
Энергия Е = -й2оъ2/(2т) = —т22е4/(2й2) соответствует основному
состоянию водородоподобного атома.
Найдем объемную плотность вероятности нахождения электро-
на в водородоподобном атоме для основного состояния, учитывая,
что волновая функция основного состояния электрона в атоме во-
дорода
ч! = 1/(тсг.’)'/’ехр(-г/г.)‚ (4-33)
где г, — радиус первой боровской орбиты (Не 4.5). Из (3.1) находим
|\и|2 = 1/(Пг.’)ехр(-2г/Г. = а’ехр(—с1г)/(8тг)‚ (434)
где
а = 2/1‘, = 2 е2т2/й2. (4.35)
Найдем радиальную плотность вероятности нахождения элек-
трона в водородоподобном атоме для основного состояния, учи-
тывая (4.33) и определим, при каких значениях гэта величина дос-
тигает максимума (Не 4.6). Учитывая (4.33) и (4.34), получаем
4т°|ш|2 = 43Ре-Ч’/2‚ где а определяется (4.35). Максимум этой вели-
чины находим, приравнивая первую производную по г нулю. Эта
величина максимальна при г = 2/4 = й2/(т2е2) = г,‚ где г, — радиус
первой боровской орбиты. Здесь использовано обозначение (4.35).
Найдем среднее расстояние <г> электрона от ядра в 15-состоя-
нии водородоподобного атома, учитывая (4.33) (Мг 4.7). В соответ-
ствии с (3.24) и (4.35) <г> = (а3/2)_[ где-Фаг = 3/(1 = 3г,/2.
0
Найдем среднее значение обратного расстояния <1/г> электро-
на от ядра в основном состоянии водородоподобного атома, учи-
тывая (4.33) (Мг 4.8). В соответствии с (3.24) и (4.35)
114
<1/г> = (43/2)}ге"”а7г= 4/2 = 1/г‚. (4.36)
0
Найдем среднее значение потенциальной <П> и кинетической
< Т> энергий основного состояния водородоподобного атома, учи-
тывая (4.33) (‚Мг 4.9). В соответствии с (4.15) и (4.36) < П> = —е22/г,.
Используя связь (4.12)‚ находим <Т> = —< Н>/2 = е22/(2г‚).
Волновая функция одного из состояний атома водорода имеет
ВИД
ч; = А(1 +' аде-В’,
где А, а, В — некоторые константы.
Определим константы ос и В, энергию этого состояния и его
квантовые числа (М9 4.10). В уравнение, полученное из (4.32) с ис-
пользованием (3.2О)‚ подставляем заданную волновую функцию:
Е = ага/тип — ‘/г›/‹1 + от + (та/т - еэ/г - н2в2/‹2т›„
В данном стационарном случае Е должно быть постоянно, по-
этому
Е = —й2В2/(2т). (4.37)
СУММЕ! ОСТЗЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ должна равняться НУЛЮ, Т. С.
(й2а/т)([3 — 1/г)/(1 + аг) + (РАЗ/т — е2)/г = О.
Для удобства перепишем это выражение в виде
та/(тг) — тов/т = (ИЗ/т — е2)/г + щтВ/т — ед).
Отсюда В = те2/(2й2), ос = В — те2/й2 = —те2/(2й2). Подставляя
в (4.37), получаем Е = —те‘/(8й2). Из (4.13) следует, что п = 2. По-
скольку волновая функция зависит только от радиуса (сферически
симметричная), то это состояние 25.
Задача об отыскании уровней энергии атомов обычно решает-
ся в предположении, что заряд ядра точечный. На самом деле ядро
имеет размер, и радиусы ядер К„ = 1‚3-10-'_3А'/3 см, где А — атомная
масса. Определим знак и оценим порядок величины относитель-
ной поправки АЕ/Е к энергии мюона на К-оболочке в мезоатоме
неона (2 = 10, А = 20), связанный с тем, что часть времени мюон
находится внутри ядра, т. е. в поле с потенциалом, отличным от
2е2/п Волновая функция основного состояния электрона в атоме
водорода ч: = ехр(—г/г,)/(пг‚3)'/2‚ где г, — радиус первой боровской
орбиты. Масса мюона т“ = 207 т, (Мг 4.41). В соответствии
с (3.25), (3.29) и (3.3О) состояние с постоянной энергией
д. 115
Е = —23те“/(2й2п2) (4.38)
описывается уравнением
Йч/ = Еш, (4.39)
где А
Н =—й2А/(2т)+(/. (4.40)
Решение этого уравнения для п = 1 и Н = —2е2/г и точечного
заряда в центре ядра приведено в условии. Используя (4.26) и ус-
ловие, получаем, что
К„/г, Ю 0,1, (4.41)
Внутри ядра заряд распределен сложным образом. Для оценки
влияния распределения заряда рассмотрим два случая: 1) заряд на-
ходится на поверхности ядра; 2) заряд равномерно распределен по
объему ядра. При этом потенциал меняется только внутри ядра.
В первом случае он постоянен и равен Ц = —2'е2/К„; во втором
ц = —(3/2)2е2/К„[1 — г?/(3К„2)] (3, с. 34).
Вероятность обнаружить мюон на расстоянии г от Центра ядра
определяется (3.4). Изменение уровня (4.38) определяется сред-
ним изменением отличия потенциала внутри ядра от соответст-
вующего точечному заряду в центре ядра 611, которое в первом
случае 611, = 2е2/г— 2е3/К„‚ а во втором щ = 2е2/г — (3/2)(2е2/К) ›‹
х [1 — г°/(3К2)].
В соответствии с (3.22) и условием
5Е=[ч‚*5ща1/=[ш*биш—4пг2аг=
кн
411/(тсц3)_‘.бПехр(-2г/г1)г2дг.
0
Учитывая, что интегрирование проводится внутри ядра
и результат (4.41), можно считать, что в интеграле ехр(—2г/г‚) н 1.
В первом случае получаем щ = (2/3)(2е2/г,)(1{„/г‚)2‚ а во втором
514 = (2/5)(2е’/г.)(13„/г‚)’-
Поправка положительная, следовательно, уровни сдвигаются
вверх.
Относительное изменение" бЕ/Е н 2-104.
В случае электрона на К-оболочке в атоме неона (Не 4.42) ана-
логичным образом получаем бЕ/Е н 5-10”.
Положительно заряженный мюон (т„ = 207т‚)‚ образовавший
вместе с электроном водородоподобный атом — мюоний‚ распал-
ся, причем продукты распада быстро разлетелись в разные сторо-
116
ны. Найдем, каково среднее значение кинетической энергии ос-
тавшегося после этого электрона, если в момент распада мюона
мюоний находился в состоянии 15. Волновая функция основного
состояния в атоме водорода ч: = ехр(1 - г/г‚) /(пг3)'/2‚ где г, — ради-
ус первой боровской орбиты (Мэ 4.43). Используя (3.25)‚ (3.3О)
и (3.2О) получаем .
—й2/(2т)[сР/а1г? + (2/г)с1/а1г]ш — (е2/г)\у = Ехр. (4.42)
Подставляя сюда ху-функцию, находим
Е = —й2/(2тг,2) + й3/(тт) — е2/п
Для стационарного состояния энергия постоянна, поэтому
й2/(тгг‚) — е2/г = О.
Отсюда г, = й2/(те2).
Так как в данном случае рассматривается не атом водорода,
а мюоний, то т надо заменить на тщ, = тетд/(т, + тд) (4.22). По-
сле исчезновения мюона у электрона остается та кинетическая
энергия, которая у него была в основном состоянии мюония.
В соответствии с (3.24) и (3.3О)
<Н>=<Т>+<П>,
где <Н> = Е = —й2/(2тг‚2)‚ <Н> = —е2/г,‚ Т — кинетическая энер-
гия, которую надо найти. В итоге <Т> = -й2/(2тг‚2) + е2/г, =
= е2/(2г,), где г, = й2/(т„рег). Подставляя числа, получаем <Т> =
= 14,5 эВ, г, н О,5-1О-3 см.
Для той же системы, что и в предыдущей задаче рассчитаем
среднее значение кинетической энергии оставшегося после этого
электрона, если в момент распада мюона мюоний находился в со-
стоянии 25. Волновая функция электрона, находящегося в 2г-со-
стоянии в атоме водорода
ч! = [1 - г/(ЁПЛСХРЕ-Г/(ЁГ;)1/(81=П’)"2‚
где г, — радиус первой боровской орбиты (Мг 4.44).
Для производных ш-функции получаем
дчл/дг = 1г/(4п) — 11ехр[—г/(2г.)1/[г.(Зтд)"Ч;
стан = 13 — г/(2гд1ехр1-г/(2г‚)1/14г.2(8ттг.’)"*1.
Подставляем это в (4.42). Находим
= —й/(8тг‚2) + й/(тгм) — е2/п
117
Для постоянства Е необходимо й/(тгм) — е2/г= О. Откуда, учи-
тывая, что в данном случае не атом водорода, а мюоний, пользуясь
(4.22)‚ находим
г, = и2/(т„,е2) = о‚5-1о-8 см.
Используя (3.24), получаем, что средняя потенциальная энер-
гия для 23-состояния < Н> = — е2/(4г‚). Как и в предьщущей задаче
<7> = -72/(8тг,2) + е2/(4г‚) = е2/(8г‚) н 3,4 эВ.
Найдем энергию основного состояния и первый потенциал ио-
низации атома Не, использовав в качестве ш-функции произведе-
ние ш-функций основного состояния электрона в водородоподоб-
ном атоме ч/О = 1/(тса3)е-’/а‚ где а = гБ/Д так что \р(г‚, 23) = ш0(г‚) ›‹
›<\у0(г2). При вычислении энергии кулоновского расталкивания
электронов воспользуемся теоремой Гаусса (3, с. 15) (Мг 4.48).
Пользуясь 1(3.25) и (3.3О)‚ получаем уравнение Шредингера для
системы из двух электронов и одного притягивающего центра
с зарядом 2
(‘й2Ап/(2т) “ 29771“ Й2А2/(2т) " дуб + е2/Гп2)\|’("пэ 72) = ЕЧ’(’°1› 72),
где ц, — расстояние между двумя электронами.
Первое и третье слагаемые описывают кинетическую энергию
двух электронов, второе и четвертое — кулоновскую энергию при-
тяжения электронов к ядру, а последнее — кулоновское расталки-
вание электронов.
В соответствии с (3.24)
<в> = Е =]]ш*(-п2д‚ /(2т) - гетдщацац +
+ Н куч-ни, /‹2т› - гег/гдшаиап + Л ч1*(е’/г.2)ш‹114‹116-
У У
Если пренебречь электронным расталкиванием, то оказывает-
ся, что электроны движутся в поле ядра Не независимо, поэтому
ч/(ц, г2) есть произведение волновых функций каждого из электро-
нов, а их полная энергия равна сумме двух энергий водородопо-
добного атома с зарядом 2 = 2 (4.17):
Е = —222те“/(2й2) = —2°4°13‚6 ЭВ = —1О8‚8 ЭВ. (4.43)
Вводя векторы расстояний электронов от центра ядра, энер-
гию кулоновского расталкивания (последний интеграл в формуле
для энергии), можно записать
118
00 00
Е „= е' ( ( ц/'(г„г,)(1/~г, — г,~)у(г„г,)й,Ыг, =
О О
Ф Ю
=е' у,г, у,г,',, г,— г,.
О О
Распределение плотностей зарядов имеет вид '
р(г,) = е~ц/,(г,)~' и р(г,) = е~ц/,(г,)~'.
Подставляем в предыдущее выражение
00 00 ОЭ
Е„„, = 2 (1/2)( ~ р(г,)р(г,)й',й',Яг, — г,~) = 2 (1/2)/ р(г, )~р(г, фг,,
О О
00
где ~р(г,) =] р(г,) Й',Яг, — г,~ — потенциал, создаваемый в точке г,
О
° °
аспределением заряда р(г,) в соответствии с формулой (1/2)
д,.~р, (3, с. 29). Такое же выражение можно написать и для элек-
/
трона с координатой г„так как электроны неразличимы.
00 Гав 00
Область интегрирования разбиваем на лве части / =~ Ь (
О О г1
Первый интеграл есть потенциал, создаваемый сферически сим-
метричным распределением заряда при г, < г,. Используя теорему
Гаусса (3, с. 15), получаем, что он равен потенциалу точечного за-
ряда, находящегося в центре сферы,
~р(г,) =] р(г,)й',/]г, — г,~ = (1/г,)] р(г,)4пг,'Шг, =
= (42'~гД(е/г,)~ ехр( — 2Хг,/гБ)г,'йг, =
О
= 4(У/г,)'(е/г,) — [г 'г /(22) — 2г2г,'/(22)'—
— 2гБз/(2Я)~]ехр( — 2Уг, /г,)~ ' = 4(У/г,)'(е/г,)( — 1)([г'г,/(22) +
+ г,гБ2/(222) + 2г '/(2Я)']ехр( — 2Л,/г,) — г '/(4Р)) =
= — 4е([(г,/2)(У/г,)' + У/(2г,) + 1/(Зг,)]ехр( — 2Уг,/г,) — 1/(4 г,)).
Для вычисления второго интеграла в области г, > г, рассматри-
ваем сферические слои (рис. 4.3). Потенциал внутри слоя равен
потенциалу слоя, определяемому его радиусом, т. е. в этом случае
1/~г, — г,~ заменяем на 1/г,. Таким образом, имеем
00 00
/' рЬг,)4яг,'дг,/г, = 4(У/га)'е/ ехрЬ-2Л; /га'Г,дг, =
119
О
Рис. 4.3
= 4(2/гБ)3е-ехр(—22г2/гБ)гБ2/(22)2(—22г2/гв — 1)‘: =
= (2/7в)3е'еХр(-22’°|/7в)("в/2)2(22Г1/7в + 1) =
= (2/гБ)е-ехр(—22г‚/гБ)(22г‚/гв + 1).
Складывая это с первой частью интеграла, получаем
ФИ) = е/г. — еШ/гь + 1/г.)ехр(—22г./гь).
В результате
Ем = мгла/паду)? ехр(—22г,/гБ)[1/г‚ - (2/гв + 1/г‚) ›‹
х ехр(—22г‚/гв)]г‚2а'г‚ = 4(2/гБ)зе2{} ехр(—22г‚/гв)а'г‚ -
— (Ё/ГБЩ: ехр(—42г‚/гв)г,2с1г, —5Ё ехр(—42г‚/гв)г,с1г‚} =
= 4‹2/гБ›3е2‹ ге/агуте-Ууау - (2/’°в)’°в3/(42)3:Д.е_у)’2ду'°
— гБ2/(42)2?е"у‹1у}.
Так как }е'”у”а!у = го: + 1) = п!‚ то
ЕМ = (5/8)2е2/гв.
120
Используя (4.43) и (4.1О)‚ для основного состояния получаем
Еж = —222е2/(2гв) + (5/8)(2е2/гБ) = —2(2 — 5/8)е2/г5 = —74‚8 эВ.
После ионизации, т. е. отрыва одного электрона, остается во-
дородоподобный ион с зарядом +2. Энергия связи оставшегося
электрона °
Е“ = —22е2/(2гв).
Энергия ионизации Е„ = Ее, - Еж = 2(2 — 5/8)е2/гв — 21е2/(2гБ)
= = 2 (2- 5/4)е2/гБ = 20,4 эВ.
Частица находится в центральном поле силового центра с по-
тенциальной энергией Н = —С/›‘, где С — положительная постоян-
ная; г — расстояние от силового центра. Исходя из соотношения
неопределенностей, покажем, что при в > 2 возможны стационар-
ные состояния частицы со сколь угодно большими по абсолютной
величине отрицательными собственными значениями полной
энергии. Частица при этом условии будет переходить ‘на нижеле-
жащие энергетические уровни — произойдет ее «падение» в точку
г = 0, т. е. на силовой центр. Если же в < 2, то наиболее низкий
энергетический уровень будет иметь конечное значение полной
энергии, т. е. падения на силовой центр не произойдет (Не 4.1).
Если частица локализована внутри сферы радиуса г, то радиус сфе-
ры можно считать неопределенностью координаты. В соответст-
вии с (2.27) неопределенность импульса порядка й/п Благодаря
сферической симметрии такого же порядка будет и сам импульс.
При этом средняя кинетическая энергия будет порядка й2/(тг?)‚
а полная
Е ы йд/(тг?) — С/г‘.
Если 5 > 2, то энергия может принимать сколь угодно большие
отрицательные значения, т. е. возможно падение на силовой
Центр. Если в < 2, то более быстрое увеличение положительного
члена в энергии остановит приближение к силовому центру на не-
котором отрицательном значении энергии. Получим устойчивую
систему, которая реально и существует, например, в виде атомов,
для которых 5 = 1.
Исходя из формулы, определяющей интенсивность дпшольного
излучения, 1 = (2/3)‹12/с3‚ где с! — дипольный момент излучающей
системы, оценим время жизни первого возбужденного уровня од-
нократно ионизованного атома гелия. Считаем атом гармониче-
ским осциллятором (Не 4.52). Напомним, что колеблющийся за-
121
ряд ИЗЛУЧЗСТ электромагнитную ПОПСРСЧНУЪО ВОЛНУ, КОТОРУЮ на
ДЗЛСКОМ расстоянии МОЖНО считать ПЛОСКОЙ. Считаем атом гармо-
НИЧССКИМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ, В КОТОРОМ ДВИЖСНИС заряда е ПРИВОДИТ
к с! = ег„созш1. Здесь г„ — радиус орбиты электрона. Дифференци-
руя по времени, находим а‘ 2 = е2г„2ш4. В результате
1 = (2/3)е2со4г„2/с3.
Обозначая время жизни состояния с энергией Ед через т, мож-
но для энергии записать: Е = Е„е-'/т. Дифференцируя по времени,
получаем
1/т = —(1/Е`)с1Е/д1.
Учитывая, что 1 = —с1Е/‹11 и Е = по), а также пользуясь (4.16)
и (4.27)‚ находим
т = Е/1 = йш/1 = (3/2)с3йш/(е2ш4г„2) =
= (3/2)(22/п4)оъй(тс2)2/(йсо)3. (4.44)
В соответствии с (4.18) и (4.4)‚ при 2 = 2, п = 2, а = е2(йс) =
= 1/137 имеем то = (3/4)К‚22 = 40,8 эВ и т а 6,610"? с.
Для времени жизни возбужденного состояния иона Ве” по от-
ношению к переходу с уровня п = 10 на уровень п = 9 (Мз 4.53) при
2 = 4 в соответствии с (4.18), (4.4) и (4.44) получаем йсо =
=К‚22(1/92 —1/1О2) = 0,51 эВ, т н 0,210” с.
5. Ширина линий. Спектры молекул.
Рентгеновское излучение
Полученное соотношение (2.29) для ширины энергетического
уровня и времени его существования можно использовать для
оценки ширины м и относительной ширины Аж/Х излучаемой
спектральной Ётинии при переходе атома из возбужденного со-
стояния в основное. Предполагаем, что это естественная ширина
линии, т. е. не происходит ее уширение за счет других процессов.
Оценим АЖ и м/ж, если среднее время жизни атома в возбужден-
ном состоянии около т т 10-3 с, а средняя длина волны испускае-
мого фотона Ж = 500 нм (М) 5.1). Так как Е= т, А = с/у = 21тс/со‚ то
|АЕ/Е] = |Аш/оо| = |А?„/?ь|. Отсюда АЖ т Ю/(ст) т 10-4 нм,
м/х - Ж/(ст). (5.1)
В данном случае это т 10-7.
возбужденные атомы с временем жизни т т 10-‘0 с и энергией
ионизации Еи т 10 эВ ионизуются излучением Ж т 100 А. Оценим
относительный разброс фотоэлектронов по энергиям (Мв 5.8).
Энергия фотона то = 2пйс/ ж. У фотоэлектрона остается 2тсйс / Ж —
— Е„. Разброс энергий при переходе бЕ определяется временем
‘жизни (2.29), относительный разброс бЕ/(йш — Е„) 2 (й/т)/
/(21тйс м - Е„) а 6-10-8.
В п-мезоатоме водорода роль электрона играет отрицательный
пион п“, энергия покоя которого составляет 140 МэВ. Оценим
связанную с распадом пиона относительную ширину спектраль-
ной линии, соответствующей переходу пиона с Ь-оболочки на
К-оболочку, если время жизни пиона равно т = 2‚6-10-3 с (Мв 5.2).
Так как К-оболочка нижняя (п = 1), а Ь-оболочка следующая
(п = 2), то из (4.17)‚ вводя приведенную массу р = т„тр/(т„ + тр)
и постоянную тонкой структуры от = ё/(йс), получаем
Ед = ре4/(2й2)(1/12 - 1/22) = (з/зшсгаг.
Используя (2.29), (5.1) и то, что Ж = с/у = 2тсс/со = 21тсй/Ед, на-
ходим
м/ж т й/(Едт) а 1,4-10-".
Оценим минимальную ширину 1‚„„„, которую должна иметь ‚шт-
фракцшонная решетка, чтобы с ее помощью можно было обнару-
123
жить естественную ширину линии, испускаемой атомами с време-
нем жизни возбужденного состояния т = 0,1 нс, предполагая, что
все условия постановки опыта идеальны (М) 5.3). Используя (4,
с. 190), для разрешающей способности решетки имеем К = МАХ =
= Ь/х, где 1, — длина решетки. Согласно (5.1)‚ находим 1‚„„„ т ст =
= 3 см.
Моноэнергетический парал-
лельный пучок возбужденных ато-
х, см мов движется вдоль оси вакуумной
трубки со скоростью и = 103 см/с.
В стенках трубки сделаны окошки
для регистрации излучения ато-
мов пучка в зависимости от пути,
пройденного атомами. Результаты
этих измерений изображены на
рис. 5.1. По оси абсцисс отложено
расстояние х, пройденное атома-
ми вдоль трубки, отсчитанное от
первого окошка, а по оси ординат
— натуральный логарифм отно-
шения интенсивности света 1 к
интенсивности 1,‚ измеренной де-
РИС- 5-1 тектором, стоящем в первом
окошке. Определим естественную
ширину линии Ау, излучаемой атомами пучка (Мз 5.4). Уменьше-
ние числа возбужденных атомов А! со временем определяется фор-
мулой А’ = Меч/т, в которую входит их время жизни т. Интенсив-
ность излучения света пропорциональна числу атомов, поэтому
1п(1/1‚) = —1/т = —х/(ит). Из графика т = 1/и = 10-8 с. Соответствен-
но, Ау = 1/т = 103 Гц = 100 МГц.
шиидд
гжгтд 1
._1———
гггггжгг ю
_2›———__—_
Температуру газовых облаков в межзвездном пространстве
можно оценить по доплеровскому упшрению спектральных линий,
испускаемых атомами, входящими в состав газа. Для этой цели
обычно используют водородную линию с длиной волны 71 = 21 см.
Оценим температуру Т газового водородного облака, если испус-
каемая им водородная линия имеет ширину Аи =. 5 кГц (Мз 5.5).
При кмаксвелловском распределении частиц по скоростям для
среднего значения компоненты скорости получаем (2, с. 161) и =
= (КБ Т/т„)'/2. Для доплеровского сдвига частоты имеем (1, с. 167)
Асо/со = и/с. В облаке имеются атомы, которые движутся к наблю-
дателю и приводят к увеличению частоты, а также атомы, движу-
124
Щиеся от наблюдателя и уменьшающие частоту. полуширина
уширения (Ау/2)/у = и/с = (КБТ/трУд/с. Так как у = с/х, то Т:
трж? ›‹ ›‹ (Ау)2/(4/‹Б) т 33 К.
На рис. 5.2 изображено распределение энергии в спектральной
линии дважды ионизованного углерода “С (эту спекгральную линию
можно наблюдать в духовом разряде в сильном магнитном поле).
Уширение спектральной линии обусловлено движением излучаю-
щих атомов (эффект Доплера). Оценим температуру Т излучающих
атомов (М) 5.6). Из рис. 5.2 находим отношение полуширины спек-
тра к длине волны м/ж а О‚4/4647. Как и в предьщущей задаче
м/ж = Аоэ/ш = и/с = (КБТ/тСдШ/с, (5.2)
откуда Т в 6-106 К.
М
М
Ф
в-в
О\
Ё
Их-пенсивностъ, отв. ед.
Ь-д
м
П
1 | 1 1 >
4646‚5 4в47‚о 4677,5 4648‚0 ж, А
Рис. 5.2
При лазерном разделении изотопов в газообразной фазе один из
разделяемых изотопов ионизуется лазерным лучом и затем удаля-
ется из смеси электростатическим полем. Такому разделению изо-
топов препятствует тепловое движение атомов. Определим, воз-
можно ли подобное разделение изотопов 61.1 и 714 с помощью ульт-
рафиолетового лазера, если известно, что энергия ионизации
лития 5,4 эВ; газообразный литий может существовать при темпе-
ратуре 12 800 °С. Принимаем, что 41,4, для электрона незаполнен-
ной оболочки не зависит от массы изотопа (М: 5.35). Используя
(4.25)‚ получаем
Ах/Ж- = АФ/(д = АЕп/Ел д" (те/т,‚)(1/6 “ 1/7)›
где т, и тд — массы электрона и протона; Е, = 5,4 эВ (по условию).
125
Разность энергий ионизации изотопов АЕ, н 7-10т5 эВ.
Ширина линии поглощения из-за эффекта Доплера в соответ-
ствии с (5.2) 2Ашд т. 2йши / с в 4‚4-1О-5 эВ. Так как АЕ, > 2Асод, разде-
ЛСНИС ИЗОТОПОВ ВОЗМОЖНО.
Одна из причин уширения спектральных линий атомов в газе
связана со столкновениями, которые‘ ограничивают время жизни
возбужденного состояния. Оценим вклад этого механизма в отно-
сительную ширину линии перехода в неоне на длине волны ж =
= 0,63 мкм, используемой в гелий-неоновом газовом лазере, в ус-
ловиях, когда коэффициент диффузии атомов неона 1) = 100 см2/с.
Температуру газа принимаем равной Т= 400 К (Не 5.9). Для коэф-
фициента диффузии в идеальном газе имеем (2, с. 256) 1) = (1/3)
11), здесь средняя скорость атомов и = [8/‹Б Т/(пт)]'/2 (2, с. 163), где
КБ — постоянная Больцмана; т — масса атома; 1 = отд — средняя
длина свободного пробега, где тд = 1/А/— среднее время между со-
ударениями, а соответствующая размазка спектра при периодиче-
ском процессе с периодом т, равна
А[= и/1. (5.3)
Из приведенных соотношений находим А[= КБ Т/(тВ). Учить1-
вая, что частота излучения света у = с/Х, получаем для относитель-
ной размазки линии А17у = КБТх/(тВс) г 3,5-10-8.
Изучается спектр излучения газа в разрядной трубке. Считая,
что при столкновениях возбужденные атомы мгновенно переходят
в нижеследующие состояния, оценим соотношение между допле-
ровской шириной спектральной линии в диапазоне видимого све-
та и их уширением за счет столкновений, если длина свободного
пробега 1 ъ 10-4 см (Мг 5.7). Используя (5.2) для доплеровского рас-
ширения имеем АЖд/х = и/с. Из (5.3), учитывая, что надо брать по-
луширину размазки, получаем Аксух = (А[/2)/] = (А[/2)?„/с =
= иЖ/(21с). В результате Акулы, = 21/7» 2 3,6 (считаем для видимого
света Ж = 5555 А).
Молекула СО, имеет множество дискретных переходов, при-
годных для генерации лазерного излучения вблизи 1000 см-' с рас-
стоянием между линиями Ас] н 2 см-'. Для осуществления плавной
перестройки частоты лазера пользуются повышенным давлением,
когда ударное уширение приводит к слиянию этихлиний в одну по-
лосу. Оценим необходимое для этого давление р при температуре
Т= 400 К. Сечение столкновения молекул о н 10-‘5 см? (М) 5.10).
Как и в предыдущих задачах уширение спектральных линий опре-
126
дедяется временем между столкновениями молекул тд. Длина сво-
бодного пробега (2, с. 251) 1= 1/(по)‚ где число молекул в единице
объема п = Р/(ЁБТ) (2, с. 9). В результате гс, н //и н 1/(пои). Для дав-
ления получаем р = п/сБТн (т/сБТЯд/(отд). Когда размазка между
линиями за счет соударений А] н 1/тд станет равной 2псАс1, полу-
чим р я.‘ 2тссАа (т/сБТ/ЗУД/о = 440-106 дин/см? я: 440 атм.
Одной из характеристик движения частицы, обладающей им-
пульсом р, и находящейся от некоторой точки на расстоянии, оп-
ределяемым радиусом-вектором г, является ее момент импульса от-
носительно этой точки
М=[гр]=М„й+М‚]+М,]‹=
= (ур, — гррй + (т, — хрд] + (хр, — урдк
Здесь использована декартова система координат.
В частности, можно рассмотреть электрон, движущийся в цен-
трально симметричном поле ядра атома. яПри этом сохраняется
момент импульса относительно силового центра, так как момент
сил относительно этого центра равен нулю. В таком виде момент
импульса может быть представлен в‘ классической механике.
В квантовой механике не существует состояния, в котором коор-
дината и импульс имели бы определенное значение, поэтому надо
перейти к операторам. _
Для нахождения волновой функции, определяющей движение,
необходимо получить соответствующий оператор. Оператор проек-
ции момента импульса найдем с помощью выражения для операто-
ра импульса (3.26), пользуясь тем, что операторы связаны между
собой, как соответствующие им физические величины,
А
М д = эф, -уд‚ = х(-тд / ду)- у(-1йд/дх)=
= -:п(хд / ду - уд / дх). (5.4)
В случае с центрально симметричным полем ядра атома удоб-
нее перейти к сферическим координатам г, 9, (р, которые связаны
с декартовыми х, у, 2 (рис. 5.3) соотношениями
х = гзйпэсозф, у = гвйпезйпср‘, 2 = гсозЭ. (5.5)
Для производной по (р через производные по декартовым ко-
ординатам находим
д/дФ = д/дх (дх/дФ) + д/ду (ду/дФ) + д/дг (дг/дФ) =
= —г$1п9$1п‹р д/дх + гзЕпЭсозФд/ду = —уд/дх + хд/ду.
Сравнивая это с (5.4), получаем
127
=у
Ф
х
Х
Рис. 5.3
м: = гид/да. (5.6)
Для Других компонент имеем
м, = [($йп‹рд/д9 + ствдсозфд/дф); (5.7)
ЙУ = К-созсрд/де + сгвбзйпфд/дф). (5.8)
Отметим существенную разницу между классическим момен-
том импульса (5.4)‚ который зависит от радиуса-вектора, т. е. вы-
бора начала системы координат, относительно которого берется
момент, и операторами компонент момента импульса (5.6)‚ (5.7)‚
(5.8), которые не зависят от радиуса-вектора, а зависят только от
углов. Чтобы подчеркнуть эту особенность оператор называют
оператором углового, или вращательного, момента частицы.
Уравнение (2.25) позволяет найти собственные (возможные)
значения, которые могут принимать проекции углового момента
на некоторую ось. Удобнее всего взять ось г, для которой выраже-
ние оператора проекции момента имеет наиболее простой вид
(5.6). Из (2.25) получаем
Мец: = Миш. (5-9)
Используя (5.6)‚ находим
дддш/дф = Мгчд (5.10)
Решением этого уравнения является функция
128
ч: = АехрОМдф/й). (5.11)
Чтобы ч: удовлетворяла условию нормировки
21:
1 ч” ШдФ =1‚
0
ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ
А = 1/(2тс)‘/2.
Волновая функция удовлетворяет всем естественным (стан-
дартным) условиям, кроме однозначности. Для однозначности не-
обходимо, чтобы после изменения ср на 21: хр-функция возвраща-
лась к своему прежнему значению, т. е. (М2/й)-2тс = т,°21т‚ где т, —
любое целое число. В результате
М: = тд, т, = О, 11, 12, (5.12)
Отсюда следует, что проекция углового момента (собственное
значение) на любую ось квантуется и равна целому числу постоян-
ных Планка. Это значит, что при измерении получится одно из
этих значений.
Можно утверждать, что ш-функция любого физического со-
стояния может быть представлена в виде суперпозиции собствен-
ных функций
\у=2с„‚ш„‚ =2с„‚е‘т /(2л)”2. (5.1з)
При измерении вероятность получить М = тй определяется
величиной |с‚„|2.
Для нахождения возможных (собственных) значений квадрата
углового момента М! имеем из (3.25)
1Й2ч1 = Мду.
Вместо прямого громоздкого решения можно воспользоваться
некоторыми соотношениями. В классической механике М 2 =
= М} + М}? + М}. В соответствии с этим для операторов в кванто-
вои механике имеем
1Й2= 1Й‚3+ М; + М}.
Для средних значений
<м2> = <Мх2> + <Му2> + <Мг2>‚
9°83° 129
Так как оси ничем не выделены,
<Мх1> = <му2> = <м:2>‚
Поэтому
<М2> = 3<М,1>. (5.14)
Пользуясь (5.12) и обозначая максимальное значение т, как
тш = 1, и учитывая, что число возможных состояний при одном
и том же 1
1\’= 21+1‚ (5.15)
находим
<м3> = тпг + (1- 1)2 + + (_1)=1/(21+ 1) =
= 2п2‹12 + 22 + + 12)/(21+ 1) =
= 2п2[1(1+ 1)(21 + 1)1/[(21+ 1)-6] = (1/3)п21(1 + 1).
Подставляя в (5.14), получаем для квантования квадрата угло-
вого момента
М’ = й21(1+ 1)‚. (5.16)
где 1 — целое положительное число или нуль.
Сравнение (5.16) и (5.12) показывает, что Мдт“
бом 1 > О, так как МЗШ“ = 72212, а Мат,‘ = 72210 + 1).
Можно доказать, что М, и М полностью определяют враща-
тельное состояние частицы и проекции момента на две различные
оси, например М, и Мх, не могут быть одновременно известны.
Названия введенных в (5.16) и (5.12) квантовых чисел: 1 — ор-
битальное квантовое число; т, — магнитное квантовое число.
Полученные результаты можно применить и к другим враща-
тельным системам (ротаторам). В качестве примера можно рас-
смотреть двухатомную молекулу Обозначив момент инерции 1,
для связи энергии вращательного движения и квадрата момента
импульса имеем: Е = 1ш2/2 = Лсо2/(2./) = М/(21). Так же связаны
операторы и собственные значения
Е, = й21(1+ 1)/(2./), (5.17)
где 1 = О, 1, 2, — вращательное квантовое число.
Видно, что расстояние между вращательными уровнями растет
с увеличением 1. Для уровня 1 от предыдущего (1 — 1)-го
АЕ = 7121/1. (5.18)
< М? при лю-
130
Длина волны, соответствующая переходу между двумя сосед-
ними состояниями вращательного спектра молекулы НВг‚ ж =
= 202 мкм. Определим, между состояниями с какими квантовыми
вращательными числами происходит переход, если межъядерное
расстояние с! = 1,41 А (М9 5.48). Используя (5.18)‚ получаем: 1 =
= 2лсрс12/(М1) а 3, где приведенная масса р = тнтвг/(тн + ты) н
н тн. Таким образом, переход происходит из состояния с 1 = 3,
в состояние с 1 = 2.
В опытах с разными молекулами измерялись энергии перехода
между тремя последовательными уровнями энергии вращательной
полосы двухатомной молекулы (рис. 5.4, а и б). Найдем квантовые
числа [этих уровней и момент инерции ./ молекулы в случаях а и
б (М9 5.11). Из (5.18) в случае а:
й2(! + 1)/./ = 1°1О“4 эВ, й2(1+ 2)/./ = 2°1О‘4 ЭВ.
1+2 А
А
2-10‘ эВ 1,540“ эВ
У
‘+1 м п
1-1о*эв 1-1о“'эв
1 г ч
а б
Рис. 5.4
Разделив второе соотношение на первое, имеем (1+ 2)/(1+ 1) =
= 2. Откуда 1 = О. Из предыдущих соотношений 1 = й2/(1О-4 эВ) н
н 6‚9°10-39 г-смг.
В случае б: (1+ 2)/(1+ 1) = 1,5. Откуда 1= 1 и ./= 2722/(10-4 эВ) н
== 13‚8-1О-39 г°см2.
Из опыта известно отношение длин волн электромагнитного
излучения, соответствующего переходам в молекулах НС1 и Н1 из
основного вращательного состояния в первое: ос = ж„С‚/›„‚„. Опре-
делим отношение межъядерных расстояний в этих молекулах х =
= гЮ/гн, (М9 5.12). Используя (5.18) и то, что момент инерции мо-
лекулы относительно центра масс выражается через расстояние
между атомами п, и приведенную массу р = т‚т2/(т‚ + т2)
1 = ил}, (5.19)
получаем х = (аднп/днсдщ Ё 1›О1(а)'/2-
9‘ 131
Найдем, какова максимальная длина волны СВЧ-излучения,
с помощью которого можно вызвать переход между ротационны-
ми уровнями молекул хлора. Расстояние между ядрами атомов
в молекуле С12 равно а = 2-10-8 см. Относительная атомная масса
изотопа хлора А = 35 (Не 5.13). Обозначив массу протона тр и ис-
пользуя (5.18) и (5.19)‚ получаем
ХМ = тссАтрад/Й 2 2,1 см.
Максимальной длине волны соответствует минимальная энер-
гия излучения. "
Найдем отношение частот линий поглощения наиболее длин-
новолновых вращательных переходов молекулы НС1для двух изо-
топов хлора 35С1 и 37С1. Считаем, что межатомные расстояния не
зависят от изотопического состава молекулы. Вычисления произ-
ведем с точностью 10-3 % (Не 5.14). Наибольшим длинам волн со-
ответствует наименьшее значение энергии в (5.18). Используя это
и (5.19)‚ получаем
0335/9037 = 137/135 = Нэп/Изв = (1 + тн/тзд/п + тн/тдп) =
= (37/35)(36/38) = 1‚ОО15.
Найдем отношение наименьших энергий переходов между
вращательными уровнями газа, состоящего из смеси водорода
и дейтерия, в котором присутствуют молекулы Н2‚ Н!) и 02. Счи-
таем, что межатомное расстояние не зависит от изотопического
состава (Мг 5.15). Приведенные массы для Нд, Н!) и 132 соответст-
венно, тд/2‚ 2 тр/З и тр. Как получено в предыдущей задаче, час-
тоты обратно пропорциональны приведенным массам. Следова-
тельно, частоты относятся как 2 : 3/2 : 1.
Дальний инфракрасный спектр молекулы НВг‚ обусл‹ т пенный
переходами между соседними вращательными уровням олекул,
состоит из ряда линий отстоящих друг от друга на р тояние
А(1/7„) = 17 см-'. Найдем расстояние между ядрами в мол 1е НВг
(М9 5.16). Для приведенной массы (4.22) молекулы НВг и ем: р =
= тн тШ/(тн + ты) = т„/(1 + тн/тш) н тн. Используя (5. ‚э, полу-
чаем Атш) = 2тссйА(1/7„) = 712/(21) = Ред/Орг‘), откуда
г = [й/(2тстрсАГ/2 = 1‚4-10-3 см.
Оценим в видимой области спектра (Ж = 6000 А) разрешающую
способность К спектрального прибора, пригодного для исследова-
ния спектра молекулярного водорода (т. е. спектра, обусловленного
переходами между вращательными уровнями молекулы). Момент
инерции молекулы Н2 в основном состоянии 1 =0‚46-10-4° г-см?
132
(М) 5.17). Используя (5. 18) и выражение для разрешающей способ-
ности К = оэ/Аоо (4, с. 190), получаем К = со/Асо = = 2пс1/(йж) н 140.
Найдем, при каком периоде вращения Т песчинки с характер-
ным размером а = 0,1 мкм начинает проявляться квантовый харак-
тер вращения, т. е. дискретность вращательного спектра. Плот-
ность песчинки р считаем равной 5 г/см3 (Не 5.18). Для проявле-
ния квантового характера нужны малые квантовые числа.
Используя (5.12) и обозначая угловую скорость вращения со и мо-
мент инерции 1, можно записать условие проявления квантового
характера вращения ./‹о 5 йт„ где т, порядка единицы. Считая пес-
чинку кубиком, получаем (1, с. 190) 1 = ра5/6. В результате
Т = 211/0) 2 2яра5/(йт,) н 500 с.
При температурах ниже приблизительно Т = 100 К молярная
теплоемкость С‚‚ молекулярного водорода составляет 312/2, тогда
как при комнатных температурах она равна 512/2 (К — универсаль-
ная газовая постоянная). Пользуясь этими данными, оценим мо-
мент инерции 1 молекулы водорода относительно оси, проходящей
через атомы, из которых построена молекула. Оценим также час-
тоты у и длины волн ж спектральных линий, возникающих при пе-
реходах между вращательными уровнями молекулы (Не 5.19).
Двухатомную молекулу можно уподобить телу типа гантели (2,
с. 20). При молекулярном движении она движется поступательно,
подобно одноатомным молекулам, имея три степени свободы, мо-
жет вращаться (добавляются еще две степени свободы), а также
изменять расстояние между атомами (колебательные степени сво-
боды). Установление равновесных состояний происходит посред-
ством соударения молекул. Число соударений растет с увеличени-
ем температуры. Для возбуждения вращательных движений требу-
ется больше соударений (следовательно, большая температура),
а для возбуждения колебаний еще большая температура. При ком-
натных температурах имеем поступательное и вращательное дви-
жение молекул, а при Т: 100 К только поступательное. Таким об-
разом, за счет вращательного движения имеем на моль 512/2 —
— 312/2 = В или на одну молекулу КБ (постоянная Больцмана). Ис-
пользуя (5.18) для первого возбужденного вращательного уровня
получаем КВТ = АЕ, = 712/1, откуда
./ н И2/(КБТ) н 10-40 г°см2.
При переходах между вращательными уровнями из (5.18) имеем
133
т =(и2/1)(1+ 1) 2: кти + 1) и у = (кт/лш + 1),
где 1 = О, 1, 2, — соответствует уровню, на который происходит
переход. Для наименьшей частоты и максимальной длины волны
получаем
утт ъ КТ/И а 2,110” Гц, Жтах а 1‚5°1О‘2 см = 0,15 мм.
Оценим количество вращательных уровней молекулы НС], воз-
буждаемых при комнатной температуре. Межъядерное расстояние
у этой молекулы а! = 1,27 А (М9.5.2О). Так как масса ядра С1 много
больше массы протона (тр), то вращение происходит фактически
относительно центра ядра хлора. Поэтому момент инерции моле-
кулы
./ = трад = 1‚67-1О-24-(1‚27)2-1О-'6 = 2‚7-1О-4° г-см2.
Полагая равновесную энергию равной КВТ и учитывая (5.16)
и (5.17), имеем: Е= М2/(21) = 722 1(/+ 1)/(2./) = КВТ, откуда 1(1+ 1) =
= 2ЛсБТ/й2 = 20 и != 4.
Для классического гармонического осциллятора, обладающего
жесткостью К и приведенной массой д, собственная частота коле-
баний
ш = (К/и)“ (520)
и потенциальная энергия, в зависимости от отклонения х, Н =
= /сх2/2 = тш2х2/2 (1, с. 98). Для одномерного квантового осцилля-
тора из (3.19) получаем
—й2/(2т)д2\у/дх2 + (та)’х2/2)\у = Еху. (5.21)
На рис. 5.5 приведены графики некоторых решений уравне-
ния.
Собственные значения
Е„ = (п + 1/2)й‹л‚ п = о, 1, 2, (5.22)
Наименьшее значение энергии, как и для потенциальной ямы,
не равно нулю. Значение Ед = йш/ 2 называют «нулевой энергией».
Уровни энергии следуют на одинаковых расстояниях (эквили-
стантны). При излучении фотона возможны переходы только ме-
жду соседними уровнями (правило отбора)
м = Е„„ _ Е„ = Ио). ‹5.2з›
Для трехмерного осциллятора вместо (5.22) получаем
Е„ = (п + 3/2)йсо‚ п = О, 1, 2, (5-24)
134
Их) ч/(х)
Рис. 5.5
Покажем, что в основном состоянии гармонического осциллято-
ра <Ар‚3><Ах1> = 712/4, где <Ар‚3> и <Ах2> — среднеквадратические
отклонения импульса и координаты от их средних значений. Вол-
новая функция основного состояния гармонического осциллятора
\|:„(х) = (а/п)'/4ехр(-оьх2/2)‚ где ос = тсо/й (М 5.21). В соответствии
с (3.24) и (3.21) для данного случая имеем
<х> = (оъ/п)'/2}хехр(—оъх2) ах = О,
как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу.
Используя (3.26)‚ получаем
<р‚> = (оъ/тс)'д(тоъ)}хехр(—оъх2) дх = О.
ДЛЯ НСОПРСДСЛСННОСТИ КООРДИНЗТЫ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ
<(Ах)2> = <(х — <х>)2> = <х2 — 2х<х> + <х>2> =
= <х3> — 2<х><х> + <х>? = <х>? — <х3>‚
Так как <х> = О,
<(Ах)2> = <х2>‚
Аналогичным образом можно получить
<(Ар‚)’> = <р‚’>.
Используя (3.24), находим
<х3> = (ос/п)‘/2}х2ехр(—оих2)дх = 1/(2оъ);
135
<Р3 >=(01/7Т)'/2[01_"СХР(-ах2)4х+02 1.162 ехр(—осх2)а'х]=оъй/2.
Интегралы находим по таблице определенных интегралов.
В результате <(Арх)2><(Ах)2> = й2/4.
Оценим энергию нулевых колебаний атомов жидкого гелия
(плотность р = 0,145 г/см3) (М9 5.30). Воспользуемся простым соот-
ношением неопределенностей типа (2.28) р ж Ар н й/(2г)‚ где 2г —
характерный размер, занимаемый одним атомом в жидком гелии.
Зная плотность р и р — молярную массу гелия, находим 2г а
2 [6р/(прМА)]'/3 = 4‚5-1О-8 см, где М, — число Авогадро. В резуль-
тате для энергии трехмерного осциллятора (три компоненты им-
пульса) имеем: Е = 3р2/(2т) = 3712/(8 тг?) в 1‚2-1О-'° эрг =
= О,75'10-4 эВ. Масса атома т = (4/3)тсг3р.
Покажем, что уравнение Шредингера, описывающее одномер-
ный гармонический осциллятор, помещенный в однородное элек-
трическое поле Е, может быть сведено к задаче о гармоническом
осцилляторе, т. е. движению в потенциале вида Н = тсо2х2/2. Най-
дем, каковы уровни энергии частицы в этом случае (М9 5.22). Ис-
пользуя (3.30)‚ получаем
Йш =—й2 /(2т)д2\|1/дх2 + (тш2х2/2 — еЕх)\|/.
После преобразования последнего члена в правой части урав-
нения:
1:1\и=—й2/(2т)д2\у/дх2 + (тсо2/2)[х2 - 2еЕх/(тсо2)]\|1
И ВЫДСЛСНИЯ ПОЛНОГО квадрата выражения В квадратных скобках
х? — 2еЕх/(тш2) = [х — еЕ/(Пт‹о2)]2 — е2Е`3/(т2ш4)‚
переписываем уравнение относительно смещенного центра коле-
баний х - еЕ/(тш2) = у:
п? + е2Е’/(2тсо2)1ч1 = —й2/(2т)д*ч1/ду’ + (тсо2у*/2)ч/ = Ею.
Это уравнение гармонического осциллятора, для которого
= йо)(п +1/2).
Соответственно,
Е„ = йш(п + 1/2) — е3Е/(2то)3)‚ где п = О, 1, 2,
В спектре испускания молекулярного азота имеются линии
с длинами волн 3371, 3577 и 3805 А. Выясним, можно ли интер-
136
претировать эти линии как переходы с изменением колебательно-
го квантового числа на О, 1 и 2, если измерения выполнены с точ-
ностью 0,2 %. Определим энергетическое расстояние между соот-
ветствующими уровнями молекулы азота. С помощью полученных
результатов по формулам классической физики оценим жесткость
/‹ упругой связи атомов в молекуле азота (Мз 5.23). Заданным дли-
нам волн соответствуют частоты, вычисляемые по формуле о) =
= 2пс/Ж:
со, = 5‚59°10'5с-‘, ш, = 5,27°10'5с°', ш,'= 4,95-10'5с-'.
Округление в третьем знаке (0,О1/5)°10О % = 0,2 % соответст-
вует условию. При излучении света переходы возможны только
между соседними уровнями од, — ш, = 0,32-10‘5с-', со, — со, =
= 0,32-10'5с-‘. Это свидетельствует об эквидистантности уровней,
т. е. тому что они связаны с колебательными уровнями молекулы.
Используя (5.23) и (5.2О) с учетом того, что в данном случае надо
подставлять приведенную массу молекулы 1\1,‚ р = т„/2
= 11,69-10-24 цпнаходим К = 1‚2°10° дин/см. Заметим, что получен-
ный колебательный квант, равный йАш = 0,21 эВ, мало отличается
от табличного (О,29 эВ).
Оценим отношение кванта колебаний молекул Н, и О, к харак-
терной энергии возбуждения валентных электронов Ее, считая, что
эффективный коэффициент упругости молекулярной связи /‹ =
= Ее/а2, где а — межатомное расстояние. Выразим ответ через от-
ношение массы электрона т, к атомной массе М. Оценим ампли-
туду нулевых колебаний молекул и выразим ее через отношение
т,/М и а (М9 5.24). Колебательные уровни в молекуле описывают-
ся (5.22). Для частоты колебаний двухатомной молекулы из (5.2О)
со = (К/и)“ = (2/</М)"2‚
где М — атомная масса в молекуле типа Н, или О,‚
Считаем, что область локализации электрона порядка меж-
атомного расстояния а. Из соотношения неопределенностей (2.28)
Ар т р т й/а. Для кинетической энергии электрона р2/(2т,). Из
(4.13) для возбуждения валентных электронов Е, т 2 р2/(2те) т
т й2/(теа2). В результате
ЙФ/Ее = ЙСЗ/С/Мш/ Ее ^‘ Отв/М)-
Для Н, получаем 0,035; для О,‚ соответственно, 0,01.
Обозначив амплитуду нулевых колебаний А, находим из (5.22)
Е, = йшо/2 = 1сА2/2, (5.25)
137
откуда А’ = йсоОад/ЕО.
В результате
А в а(т‚/М)'/4 = аК (5.26)
Величину К называют параметром неадиабатичности (для Н,
К = 0,15; для Од, соответственно, 0,08).
В угарном газе СО из-за возбуждения колебаний молекул на-
блюдается пик поглощения инфракрасного излучения на длине
волны х = 4,61 мкм. Определим амшштуцу АО нулевых колебагшй мо-
лекулы СО. Оценим температуру при которой амплитуда тепловых
колебаний превзойдет АО (На 5.25). Из (5.25) и (5,20) получаем
Ао = [Й/ 04001"? (5-27)
Используя (4.22)‚ находим р = 11‚4-10-2‘ 1; АО = 3,3-10-'° см.
Энергия тепловых колебаний на одну степень свободы определяет-
ся как КО Т/2‚ где КО — постоянная Больцмана. Амплитуда тепловых
колебаний превзойдет АО, когда КОТ 2 йоэО/2. Отсюда Т 2 3000 К.
Найдем амплитуду колебаний молекулы кислорода О, при ком-
натной температуре, если известно, что расстояние между ее коле-
бательными уровнями АЕ = 0,25 эВ (На 5.26). При комнатной тем-
пературе
КОТ= 1‚38-10-'° эрг/К°300 К == 4°10- ‘4 эрг =
= 0,025 эВ << АЕ = 0,25 эрп
Молекула находится практически в основном состоянии. Ис-
пользуя (5.27) и (5.23)‚ находим АО = [й/(рсо)]'/2 = й/(рАЕ`)‘/1 =
= 4=1о-т см = 0,04 А.
Пылинка плотностью р = 2 г/см3 и радиусом г прикреплена
к неподвижной стенке невесомым стержнем длиной 1 = 4г и диа-
метром а/ = 2г = 1 мкм (рис. 5.6). Модуль Юнга стержня Ею =
= 10" Па. Определим энергию кванта колебаний пылинки вдоль
нормали к стенке, а также длину электромагнитной волны, спо-
собной возбудить такие колебания, и амплитуду нулевых колеба-
ний (М9 5.28). Колебания пылинки обеспечиваются упругостью
стержня. Упругая сила (1, с. 333) при смещении пылинки на рас-
стояние х равна 17 = пг?Еюх/! = 1сх‚ где [с — жесткость
колебательной системы. Из (5.20) (о = [3Ею/(41рг]'/2.
Отсюда то = 4-10-6 эВ. ж = 2кс/со а 31 см. Используя
(5.27); находим амплитуду колебаний АО =
Риа = [Й/(ШШГД = 44043 СМ.
С-Эч
В.
\ \\\\ \
На рис. 5.7 изображена часть гра- Н, эВ
фика зависимости энергии взаимо-
действия Н атомов азота друг с дру-
гом от межатомного расстояния г.
Считая яму параболической, найдем
отношение колебательного кванта
к энергии возбуждения первого вра-
щательного состояния в молекуле “7›°
азота (Не 5.27). Из графика видно,
что положение минимума кривой =
го = 1‚1-1О-8 см. На таком расстоянии 1›0 1›1 12 тд
находятся атомы азота. Обозначив Рис. 5.7
массу атома азота т„‚ для приведен-
ной массы молекулы азота получаем д = т„/2 = 1,17-1О-23 п С уче-
том (5.20) для параболической зависимости можно написать
Н = /‹х2/2 = цоэ2х2/2. (5.28)
изображенную на рис. 5.7 параболу представим в виде
(]+ 7,1 = (ро)2/2)(г — 1‚1)2.
—6,9
Используя точку г= 1,2 А, П= —6‚94 эВ, находим о) = 1‚2° 1014 с-'.
Момент инерции молекулы относительно центра масс (5.19)
1 = иго?
Из (5.18) энергия возбуждения первого вращательного состоя-
ния (1 = 1) АЕЩКНО, = й2/./. Используя (5.23), получаем
АЕш/АЕВР = (от = рожу/й = 180.
Одномерный осциллятор находится в состоянии с главным
квантовым числом п = 10. Оценим, какова вероятность обнаружить
частицу вблизи положения равновесия в области размером поряд-
ка амплитуды его- нулевых колебаний (М) 5.52). Используя (5.22)‚
(5.20) и (5.25)‚ получаем
Е„ = (п + 1/2)йсо = рш2А„2/2.
Отсюда
А„2/А„2 = 2п + 1. (5.29)
При больших квантовых числах движение частицы можно рас-
сматривать как классическое. Из закона сохранения энергии для
осциллятора (сумма кинетической и потенциальной энергии рав-
139
на максимальному значению потенциальной) и'/2 + и'х'/2 =
= и'А„'/2 имеем
и = и(А' — х')'~'.
Вероятность определяется временем нахождения частицы на
данном участке
4в
Р=(2/Т) / сй =(2/Т) / Шх/и=2/(Ти) / сУх/(А„' — х')'~' =
-Ао — Ао Ао
= 4/(Ти)агсяп(А,/А„) = 4/(Ти)агс81п[1/(2п + 1)'~2] =
= 2/[п(2л + 1)'~'] = 0,14.
Одномерный осциллятор находится в основном состоянии.
Оценим вероятность нахождения частицы в классически разрешен-
ной области, если волновая функция основного состояния у =
= Аехр[ — х'/(2а,')], где а, = (Й/ти)'~2 (№ 5.53). Введем обозначение
у = х/а,. В соответствии с (3.4) отношение вероятности обнару-
жить частицу в области от — а, до +а, к вероятности обнаружить ее
в области от — о до + о равно
+1 +оо
ехр — у ехр — у =
Второй интеграл табличный и равен (ш)'~', а первый вычисля-
ем, разложив экспоненту в ряд Тейлора: е* = 1 + х/И + х'/2! +
+ х'/3! + ... Для первых трех членов разложения в первом интегра-
ле получаем: 2 — 2/3 + 1/5 = 23/15.
Разность энергий диссоциации молекул Р, и Н, равна ЬЕ =
= 0,08 эВ, а потенциал взаимодействия атомов в этих молекулах
одинаков. Найдем, каковы энергии нулевых колебаний этих моле-
кул (в эВ) (№ 5.29). Из-за того, что масса электрона значительно
меньше массы ядра, в первом приближении, которое называют
адиабатическим, можно пренебречь движением ядер, получить
энергию движения электронов, а затем уже (в следующем прибли-
жении) учесть энергию движения ядер. Обозначив равновесное
расстояние между ядрами Л, и отклонение от него вследствие дви-
жения ядер ЬЛ, имеем: Л = Л, + ЬЛ. Поскольку движение ядер—
колебательный процесс в разложении энергии электронов в ряд
Тейлора отсутствует линейный член
Е„(Л) = Е„(Л,) + (1/2)Д2Е.,„(Л)/дЛ'(ЬЛ)'.
140
Производная берется при К = Ко, а остальными членами разло-
жения пренебрегаем в силу малости 612.
Второй член представляет потенциальную энергию взаимодей-
ствия между электроном и ядром Ц Можно ее рассматривать как
потенциальную энергию ядра в поле электрона. Если к этой энер-
гии Добавить кинетическую энергию ядер при ихртносительном
движении Е„„„, то получим энергию колебаний ядер Ею, = Етн + Ы
Если Добавить энергию вращения молекулы как целого Евр, то по-
лучим энергию молекулы
Е = Еэл(К0) + Екол + Евр‘
Заменяя по принципу соответствия классические выражения
двух последних членов их квантовыми аналогами (5.22) и (5.17)‚
находим
Е = Е„(к„) + то (п + 1/2) + и21(1+ 1)/(21). (5.3О)
Используя (5.19)‚ имеем 1 = „лог, где р — приведенная масса
ядер. Вводя обозначение В = й2/(2р12о2)‚ получая из (5.25)‚ (5.27),
(5.2О)
КОЛ
Юкол2 = (1/и)д2Е(К)/дК2
и используя (5.26)‚ можно показать, что
ЕЭ„(К„) : пшкщ: В = 1 : Кд: К4. (5.31)
Из (5.3О) энергия основного состояния при п = О и 1 = О
ЕО = Еэл(ко) + Йшкол/2'
Энергия движения электронов при неподвижном ядре одина-
кова для водорода и дейтерия. При учете движения ядра вводится
приведенная масса (4.22). В данном случае и с учетом подвижно-
сти ядра различие ничтожно.
На рис. 5.8 показан потенциал парного взаимодействия атомов
в молекуле. Для удобства энергия отсчи-
тывается от дна потенциала. По условию Е
потенциал взаимодействия (величина А)
одинаков. В таком случае, учитывая от-
меченное выше равенство энергий элек-
тронов, получаем
Еш = А — йсо/2 Ед
В результате АЕ = Е — Е =
дис!) дисН
=—(1/2)й(‹о„ — (он). Пользуясь (5.2О)
А
141
И тем, ЧТО ЖССТКОСТИ ‚С ОДИНЗКОВЫ, так как ОДИНЗКОВЫ КУЛОНОВ-
ские силы, находим АЕ = (йш„/2)(1 — (од/юн) = (йо›„/2)[1 —
- (нн/иьУ/Ч = (неон/щи - 1/«/5›„ откуда
(пш„/2› = ЛАЕ/(Л - 1) = 0,28 эВ;
(йсод/2) = АЕ/(Л - 1) = 0,2 эв.
Определим отношение энергий возбуждения первого вращатель-
ного уровня молекулы азота в основном и первом возбужденном
колебательном состояниях. Расстояние между атомами азота в ос-
новном состоянии молекулы го = 1,1 А, квант вибрационных воз-
буждений то = 0,3 эВ (Не 5.31). Из (5.18) энергия возбуждения
первого вращательного уровня
АЕ = 722/1. (5.32)
Изменение этой энергии связано с изменением момента инер-
Ции за счет колебаний атомов в молекуле. В отличие, например, от
(5.19)
1 = р<(го + х)2> = д<го2 + 2г„х + х2> = 11002 + <х2>)‚ (5.33)
где х — среднее изменение расстояния между атомами за счет ко-
лебаний;
Колебания происходят относительно положения равновесия
(х = О), их потенциальная энергия определяется (5.28). Полная
энергия колебаний равна максимальной потенциальной или мак-
симальной кинетической. Средние значения потенциальной и ки-
нетической энергий равны. Таким образом, полная энергия коле-
баний (5.22) равна удвоенной потенциальной
ЕМ = йш(п + 1/2) = 2<Н> = цш2<х„2>.
Отсюда при п = О <х„2> = й/(Дцо), при п = 1 <х,3> = 3й/(2цсо).
Используя (5.32) и (5.33), получаем
АЕо/АЕ: = 1 Го’ + 3Й/(2иФЛ/1Го2 + й/(ДЪФЛ =
а 1 + й/(що де) = 1‚63-10-3.
Поле, в котором движется атом жидкого гелия, хорошо описы-
вается потенциалом Леннарда — Джонса Г/(г) = ‹р[(г0/г)'2 — 2(г„/г)°]‚
где (р = 232 К, а го = 3-10-8 см. Оценим энергию нулевых колебаний
(Ме 5.32). Положение равновесия определяется минимумом потен-
циала. Для нахождения этого положения вычислим первую произ-
водную и приравняем ее нулю
142
аШ/дг = г0°‹р(-12 гоб/г” + 12/г7) = О.
Отсюда следует, что в положении равновесия г = го. Вблизи по-
ложения равновесия потенциал колебаний (в том числе и задан-
ный) описывается параболической зависимостью. Представим ее
двумя первыми членами ряда Тейлора Н(г) = Щго) .+ ШН/сйд (г —
— го)? Вторая производная равна
спи/ан = г„6‹р(12-13 гоб/г“ - 12°7/г3).
В положении равновесия (аПН/дгбго = 72‹р/г„2. Используя
(5.28)‚ находим
со’ = (сРН/дгЧ/М = 72ср/(М 21,2),
где М — атомная масса.
Энергия нулевых колебаний (5.22)
Е = йш/2 = й[18‹р/(Мг„2)]‘/2 н 11‚1-1О°3 ЭВ = 13 К.
Потенциал взаимодействия атомов в двухатомной молекуле
можно с достаточной точностью аппроксимировать потенциалом
Морса
Щг) = 0{ехр[—2а(г — Го)1—2ехр[—ос(т - ГОЛ}.
У молекулы азота ос = 4-108 см‘ ‘‚ энергия диссоциации равна
В = 7,4 эВ. Оценим расстояние между колебательными уровнями
молекулы азота (М) 5.33). Действуем как в предыдущей задаче. На-
ходим положение равновесия
с1Н/дг = В{—2оьехр[—2ос(г — г„)] + 2оъехр[—оь(г — Го)” = О,
откуда следует, что равновесие имеет место при г = го.
Вторая производная, определяющая частоту колебаний,
адН/дгд = 0{4оъ2ехр[-2ос(г — г„)] — 2ос2ехр[—сх(г — г„)]}.
В положении равновесия адП/дг? = 0208. Используя (5.28)
и (5.22), имеем
АЕ = то = йоъ(41)/М)'/2 н 0,3 эВ.
Здесь учтено, что приведенная масса осциллятора равна поло-
вине атомной массы азота М. ’
Считая, что взаимодействие атомов в молекуле НС1 опись1ва-
ется потенциалом Кратцера К/(г) = 2е[(1/2)(сг/г)2 — сг/г], определим
относительное изменение частоты Асо/(о колебаний молекулы при
возбуждении ее с вращательного уровня с 1 = 0 на уровень 1 = 10,
если в молекуле НС1 г = 4,62 эВ, о = 1,27 А (Не 5.57). Из (5.17) на-
143
ходим Е, = 712/(1 + 1)/(2./) = й21(1+ 1)/(2рг3)‚ где приведенная масса
д = тн тШ/(тн + та) н тн. Так как эта энергия зависит от г, она
должна войти в эффективный потенциал
Пэф(г) = Е, + Щг) = А,/г? — —В/г‚
где А, = 132/(1 + 1)/(2р) + 802 = 803 [1 + й21(1+ 1)/(2рео2)] = го? (1 +
+ б,)‚ В = 280’.
Минимум эффективного потенциала (производная по г равна
нулю) находится при г = го = А‚/В. Раскладывая его вблизи мини-
мума в ряд Тейлора и оставляя только квадратичный член, получа-
ем
Нэф(г) в С/ЗФОЪ) + (1/2)((12Нэф/а7г2)„(г — го)?
Производные находим из приведенного ранее общего выраже-
ния для (/эф(г). Используя (5.28)‚ находим
со, = (В/А‚)2[А‚/(8и)1"’-
Поскольку б, = 112/(1 + 1)/(2рео2) = 0,024 << 1, то
Ф, т (4/0*)(1 - 2б‚)[гб2/(8и)1"2(1 + б‚/2) =г [2г/(и0’)1"2(1 — 3б‚/2)-
В основном состоянии (при 1 = О и, соответственно, б, = О)
то = [28/01601“.
В результате со, = щ, (1 — Зб,/2) и Асс/о) = —3б,/2 = —О‚О46.
Смесь атомов двух видов А и В имеет уровни возбужденных со-
стояний ЕА и Ев, причем ЕА — Ев = АЕ. При освещении излучением
с частотой у, такой что Им = ЕА, кроме последующего обратного
излучения той же частоты в результате соударений атомов А и
В появляется также излучение с частотой у’ = Ев/И и происходит
увеличение кинетической энергии атомов. Считая, что энергия те-
ПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ мала ПО сравнению С АЕ, НЗЙДСМ СКОРОСТИ ато-
МОВ ПОСЛС СОУДЕЦЭСНИЯ, ССЛИ ИЗВССТНЫ массы ЗТОМОВ тА И тв
(М9 5.34). Из закона сохранения энергии: тАиА2/2 + твив2/2 = АЕ
и импульса: тАиА = твин получаем
од = {2АЕ тВ/[тА(тА + тВ)]}'/2; ив = {2АЕ тА/[тв(тА + тВ)]}‘/2,
где АЕ =/1 (у — у’).
Оценим, при какой температуре отношение числа молекул НО,
находящихся в чисто вращательных состояниях с квантовыми
числами 1= 1 и 1= О, равно ос = 0,1. Межъядерное расстояние в мо-
144
лекуле а’ = 1,15 А (Мг 5.49). Необходимо воспользоваться распреде-
лением Больцмана (2, с. 188)
п = поСХЕЛ-Е/(КБТЛ-
Энергия состояния определяется (5.17)‚ а по — число возмож-
ных состояний с такой энергией вращения, которое определяется
с учетом (5.15)‚ называемое числом вырожденных состояний. Сле-
довательно,
ос = п(1=1)/п(1= о) =
= (21. + 1)/(21о + 1)ехр[“(Е/=1 - Е/=о)/ (КБТЛ = Зехр 1-Й’/(/<вТЛ‚
откуда Т = —й2/[/‹Б.11п(оъ/3)]‚ где 1 = рад.
Здесь приведенная масса р = т„тО/(т„ + то).
В результате Тю 1,3 К.
Найдем, с какой относительной точностью м/ж надо изме-
рить длинноволновую часть вращательного спектра СО, чтобы
увидеть изотошаческое расщепление спектра, появляющееся при
наличии примеси '2С”О в обычном "СЮО; Определим, чему равна
наибольшая длина волны вращательного кванта у молекулы СО.
Расстояние между ядрами С и О равно с! = 1,13 А (Мг 5.50). Из
(5.18) видно, что наибольшая длина волны вращательного кванта,
которая соответствует наименьшей энергии, будет при переходе
с 1 = 1 на 1 = О:
х = сТ= с-2тс/со = мел/ы = 2псрсР/й = 2,65 мм.
Здесь приведенная масса р = тСтО/(тс + то).
Так как Ж пропорциональна р, то
АХ/Ж = Ар/р = (7,034 — 6,857)/7,О34 = 6,025.
Природный хлор представляет собой смесь двух изотопов 35С1
и 37С1. Найдем, с какой относительной точностью м/ж надо изме-
рять длину волны колебательного кванта у молекулы НС1, чтобы
увидеть изотопическое расщепление колебательного спектра
(Мг 5.51). Используя (5.23) и (5.2О)‚ получаем: к = сТ= с°2п/(о =
= 2тсс/АЕ = 2пс(р//‹)'/2, откуда
АЖ/Х = Ар/(2р) = (1/2)(37/38 — 35/36)/(37/38) = 7,7°1О‘4.
Для молекулы азота М, оценим число вращательных уровней,
приходящихся на интервал между соседними колебательными
уровнями (Мг 5.54). Используя (5.17)‚ получаем максимальную
10430 145
вращательную энергию, которая по условию равна интервалу ме-
жду колебательными уровнями (5.23)
й21„„„(1„,„ + 1)/(2./) = под.
Используя (5.31) и (5.26)‚ имеем
АЕксш/АЕЮ а (М/т)‘/2.
В данном случае получаем: пишу/яг = (М„/т)'/2 = 1„,„(1„,„ +
+ 1)/2. Так как [ш >> 1, то 1„‚„3/2 а (М„/т)‘д и [ш = (М„/т)‘/‘. От
этого числа надо взять целую часть. Число уровней [ш + 1 = 18.
Потенциальная энергия взаимодействия атомов в двухатомной
молекуле не является чисто квадратичной (гармонической). При
слабой ангармоничности уровни осциллятора можно представить
в виде Е„ = йш(п + 1/2) — оъйш(п + 1/2)2‚ где а — коэффициент ан-
гармоничности; со — частота осциллятора. Имея в виду что для ре-
альных состояний функция Е„(п) должна быть монотонно возрас-
тающей, найдем в этой модели максимальное число колебатель-
ных уровней молекулы Мд, у которой а = О,0О6145 (Мг 5.55).
Заданная функция Е‚‚ сначала возрастает, достигает максимума
при некотором п а затем убывает. Условие максимума
с1Е„/с1п = то — 2осйо)(п + 1/2) = О.
Отсюда птах = (1/а - 1)/2 н 80,9. ф
Уровни с п > птах реально не существуют. Таким образом, число
уровней является ближайшим целым числом к [птах] + 1 = 81.
Решениями уравнения Шредингера для водородоподобных
систем являются ш-функции, содержащие три целочисленных па-
раметра: п — главное квантовое число, входящее в выражение для
энергии (4.17); 1 — орбитальное квантовое число, входящее в вы-
ражение для модуля углового момента (5.16); т, — магнитное
квантовое число, входящее в выражение для проекции углового
момента (5.12). Чтобы ш-функция удовлетворяла естественным
условиям, 1 не должно превышать п — 1, т. е. 1 может принимать
п значений
1= О, 1, 2, ...‚ п — 1. (5.34)
Из (5.15) видно, что т, может принимать 21 + 1 различных зна-
чений
т, = О, 11, 12, ...‚ ‘Ы.
Так как энергия зависит только от главного квантового числа
п (4. 17), то (кроме случая п = 1) все другие (разные) состояния име-
146
ют одну и ту же энергию. Состояния с одинаковой энергией назы-
вают вырожденными. Их число называют кратностью вырождения.
л-1
Вычислим их число Ж= ~ (2(+1)= 1 + 3 + л + ... + (2л — 1) = л'.
/=О
Экспериментально установлено, что электрон обладает собст-
венным моментом количества движения (спином)
(5.35)
М, = Й[з (я + 1)]1~2, л = 1/2,
где з — спиновое квантовое число и
(5.36)
М„= Йт„т, = +л = +1/2 и — 1/2.
Таким образом, кратность вырождения увеличивается в два
раза
(5.37)
Ж = 2п2.
Используя квантовое правило сложения угловых моментов,
можно получить для суммы орбитального и спинового угловых
моментов (полного углового момента электрона):
Мг = ЯЯ+ ]) / = ~+ ~ = ~+ ]/2.
(5.38)
(5.39)
М., = Йт,, т,. =,~, ~ — 1, ~ — 2, ..., — /'.
147
10'
Различные состояния электронов в атоме принято обозначать
малыми буквами латинского алфавита в зависимости от значения
орбитального квантового числа (: символы я, р, Ш,/; я, Ь, ~, Ш (и т. д.,
пропуская р и я) соответствуют значениям 1, равным О, 1, 2, 3, 4, 5,
б, 7, ...). Значения главного квантового числа п указывают перед
этими символами.
Для обозначения состояний электронов используется следую-
щая символика. Сначала пишут численное значение главного
квантового числа и, за ним букву, заменяющую число 1, число~' пи-
шут справа от этой буквы в виде нижнего индекса, а в качестве
верхнего индекса слева от той же буквы пишут число 2л+ 1, назы-
ваемое мультиплетностью уровня. Оно показывает, сколькими спо-
собами спин может ориентироваться относительно направления
орбитального момента М.
Строение электронной оболочки атомов определяется принци-
пом (или запретом) Паули, который заключается в том, что в од-
ном квантовом состоянии, определяемом четырьмя квантовыми
числами и, 1, т„т, может находиться только один электрон. Таким
образом, электроны атома располагаются слоями с заданным глав-
ным квантовым числом и. Независимо от и в оболочках со значе-
ниями (:
0(8)‚ 1(Р)‚ 2(а’)‚ 3(/)‚ 4(8)‚ (5-40)
ПОЛУЧЗСМ СООТВСТСТВСННО МЭКСИМЕШЬНОС ЧИСЛО электронов В ООО-
ЛОЧКС
2, 6, 10, 14, 18,
В зависимости от п получаем слои
1(К)‚ 2(Ь), 3(М)‚ 4(1\/)‚ 5(О)‚
с соответствующим максимальным числом электронов в слое
2, 8, 18, 32, 50,
Порядок заполнения оболочек определяется возрастанием
энергии, которое зависит как от потенциальной энергии, характе-
ризуемой п‚ так и от «центробежной энергии», связанной с 1, так
как центробежные силы стараются удалить электрон от ядра,
уменьшая энергию связи. В табл. 5.1 показано заполнение слоев
и оболочек (иногда вместо слоев говорят оболочка, а вместо обо-
лочек — подоболочки) для первых 28 элементов. Основное состоя-
ние (терм) показывает суммарные характеристики оболочек. Ис-
пользуются большие буквы для сумм угловых орбитальных мо-
ментов подобно (5.4О)‚ нижний индекс справа показывает
квантовое число полного момента (суммы орбитального и спино-
вого), верхний индекс (мультиплетность атомов) равен 23 + 1, где
3 - суммарный спиновый момент. Сложение моментов определя-
ется тем, какие моменты взаимодействуют сильнее. Оказывается
наиболее распространенной, присущей легким и не слишком тя-
желым атомам, является так называемая нормальная, или Рес-
сель — Саундерса, связь, заключающаяся в том, что орбитальные
моменты взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновь1-
ми моментами, а спиновые также сильнее между собой. В резуль-
тате все орбитальные моменты складываются в результирующий
орбитальный момент М д, а спиновые — в результирующий спино-
вый момент Мд. Взаимодействие этих моментов определяет сум-
марный момент атома М,:
л4=т1и+1жА оды
где квантовое число 1 полного момента может иметь одно из сле-
дующих значений:
/=Ь+&Ь+5-ь„„м-Щ. щи)
1ж
Таблица 5.1.
Электронная структура атомов начальной части системы Д.И. Менделеева
Пе- 2 Химический По- Терм К Ь М М Электронная
ри- элемент тенци- 15 23 2р 33 Зр 3:1 4: 4р конфшурацпя
од алио- атома
низаш
и,В
1 1 Н(водород) 13‚539 д$дд 1 15‘
2 Не (гелий) 24,45 ‘50 2 152
11 3 1.1 (литий) 5,37 25„, 2 1 2:1
4 Ве(бершший) 9,48 ‘з, 2 2 2:2
5 В(бор) 8,4 2131/2 2 2 1 2522)!‘
6 С (углерод) 11,217 3Ро 2 2 2 2312172
7 1Ч(азогг) 14,47 "Здд 2 2 3 2332113
3 О(кислород) 13,56 3Р2 2 2 4 2е2р4
9 Р(фтор) 18,6 2Р„, 2 2 5 2522125
10 1Че(неон) 21,48 ‘50 2 2 6 2з22рб
111 11 На (натрий) 2,12 2$дд 2 2 6 1 2.г22р°35‘
12 Мв (магний) 7,61 ‘50 2 2 6 2 2э32р°3з1
13 А1(алюминий) 5,96 2Р,д 2 2 6 2 1 2х72рб3з23р‘
14 81 (кремний) 7,39 3Рд 2 2 6 2 2 2гг2рб3з23р2
15 Р(фосфор) 10,3 45„, 2 2 в 2 3 2з22р°3523р3
16 $(сера) 10,31 “Р, 2 2 6 2 4 2.г’2р°3з33р‘
17 С1 (хлор) 12,96 2133/2 2 2 6 2 5 2г22рб3з23р5
18 Аг(аргон) 15,69 ‘з, 2 2 в 2 6 2.ъ12р‘3з13р6
1\/ 19 К(калий) 4,32 гзт 2 2 6 2 6 1 жжзьгзрчз‘
20 Са (кальций) 6,09 ‘50 2 6 2 6 2 2.ъ12р63.т23р°4з2
21 $с(скандий) 6,57 2В3д 2 2 6 2 6 1 2 Ё$2р°3$23р54Ё
22 Тй (титан) 6,80 3172 2 2 6 2 6 2 2 2Ё2р°3з23р°4Ё
23 \’(ванадий) 6,76 4173/2 2 2 6 2 6 3 2 ЁЁ2р63$23р°4Ё
24 Сг(хром) 6,74 783 2 2 6 2 6 4 1 ёйэ22рб3з23рб4з'
25 Мп (марганец) 7,40 585/2 2 2 6 2 6 5 2 Ё32р53з33р64з23
26 Ре (железо) 7,83 5134 2 2 6 2 6 6 2 %Ё2р63$23р64,$2
27 Со (кобальт) 7,81 “Рт 2 2 6 2 6 7 2 Ё2272р°3523р°4з2
28 1Ч1(никель) 7,61 31342 2 2 6 2 6 8 2 Ё$2р°3$23р5452
149
В электронной конфигурации атома (см. табл. 5.1) показано
заполнение оболочек с соответствующим 1, где число электронов
указано в верхнем индексе справа.
Оболочку, заполненную электронами, называют замкнутой.
Все три квантовых ‚числа (Ь, 5, 1) у замкнутых оболочек равны
нулю. Основными термами таких оболочек являются ‘50.
При возбуждении атомов электроны переходят на более высо-
кие уровни. Наличие свободных мест на нижних уровнях является
необходимым, но не достаточным условием для испускания элек-
тромагнитного кванта. Существуют правила отбора, связанные
с наличием у кванта собственного момента, которые допускают
возможные переходы.
При бомбардировке электронами антикатода рентгеновской
трубки возникает рентгеновское излучение. Сплошная часть спек-
тра связана с торможением электронов (тормозное излучение). При
достаточно больших напряжениях на трубке наряду со сплошным
спектром наблюдается линейчатый (характеристическое излуче-
ние). Такое название связано с тем, что линии зависят от материа-
ла антикатода. С ростом атомного номера элемента они смещают-
ся в коротковолновую часть спектра. Характеристические спектры
состоят из нескольких серий. На рис. 5.9 показана схема возник-
новения характеристических спектров. Возбуждение атома проис-
ходит при удалении одного из внутренних электронов, как уже от-
мечалось, под действием электронов, но возможно и под действи-
ем ос-частиц или фотонов большой энергии.
Электрическое поле вокруг ядра создается зарядом ядра и за-
рядами электронов. Для некоторого электрона в общем случае
имеются «внешние» электроны, которые практически не оказь1ва-
ет влияния, особенно в случае сферически симметричной оболоч-
ки, и «внутренние», влияние которых описывается эксперимен-
тально установленным законом Мозли. Для энергии кванта, излу-
ченного при переходе электрона с уровня п, на уровень п, (заряд
ядра 2 о‘ — поправка на экранирование заряда ядра электронами,
называемая также постоянной экранирования)
‚ Е = то = Е„(2 — о)2(1/п,2 — 1/п,2)‚ (5.43)
где Е„ = тее4/(2йд) = т„с2а2/2 — энергия ионизации водорода (4. 14).
Для Ка-излучения п, = 1, п, = 2.
Считая, что поправка на экранирование заряда ядра электро-
нами на К-оболочке одинакова для атомов с 2 < 50, найдем кине-
тическую энергию 7; фотоэлектронов, вылетающих из К-оболочки
атомов „2п под действием Ка-излучения серебра „Аз с энергией
21,6 кэВ (Мг 4.38).
150
Поскольку излучение серебра задано, можно вычислить по-
правку которая будет такой же и для цинка. Получаем о = 2,8 —
— (4/3)‘д(Е/Ео)"’ т 1.
Энергия для освобождения электрона (ионизации атома)
с К-оболочки атома цинка, т. е. перехода с уровня п, = 1 на уро-
вень п„, = со,
(под, = Е(22„ — 1)? = 11,4 кэВ.
Из закона сохранения энергии для кинетической энергии вы-
летевшего электрона имеем Д = Е - (люд, = 10,2 кэВ.
В атоме тантала (2 = 73) совершается переход с М-слоя на
Ь-слой. Определим длину волны х испущенного фотона, если по-
стоянная экранирования о = 5,5 (М 5.36). Используя закон Моз-
ли, пёэлучаемзх = Ис/[Ео (2 — ст)2(1/п‚2 — 1/п‚2)] = 1,44°1О-® см, где
п, = , п, = .
Вычислим приближенно частоту и длину волны Ка-линии Мо,
а также энергию кванта, соответствующую этой линии (Мг 5.37).
Для Мо 2 = 42 и из экспериментальных данных о я 1. Используя,
как и в предыдущей задаче закон Мозли, находим Е = Их: = Е„(2 —
-1)?(1/11 — 1/22) а 17,15 кэВ; у в 4‚14-1О'3 Гц, ж в 0,072 нм, где Ед =
= те"/(2й2).
О
Найдем приближенно минимальное напряжеъше на рентгенов-
ской трубке, при котором начинают появляться Ка-линии Мо, Си,
Ре (Мг 5.38). Для этого необходимо удалить электрон с К-оболоч-
ки. Эти элементы имеют 2 соответственно 42, 29, 26. Постоянная
экранирования в этих случаях о в 1. Из (5.43) при ионизации ато-
мов получаем еУ= Е„(2 — 1)2, откуда Умо и 23 кВ, УФ, в 10,6 кВ,
И, н 8,5 кВ. Эти результаты можно уточнить, так как электроны
с К-оболочки можно перевести на свободные места на некоторых
оболочках. В атоме Мо (используя табличные данные для элек-
тронной конфигурации имеем 1$22522р63з23р°4з24р63т°55'4а15) есть
место на 4-й оболочке. Соответственно, еУмо = Ед (2 — 1)2(1/12 —
— 1/42) в 21,4 кэВ. В атоме Си (1з22з22р°3$23р°43'3с1‘°) также переход
на 4-ю оболочку 70, в 10 кВ, в атоме Ре (1з22з22р°3з23р64з23а‘5) — на
З-ю оболочку Уге а 7,55 кВ.
Найдем граншцу К-полосы излучения Мо, Си, Ре (Мз 5.39). По
правилам отбора для Мо возможен переход с 4-го слоя, для Си
и Ре — с 3-го слоя. Используя сведения о постоянной экранирова-
151
ния и (5.43), находим для Мо Ат = 5,79-10-9 см = 0,058 нм, для Си
Ат а 2 0,013 нм, для Ре Ат а 0,016 нм.
Найдем какие цшъши М возбуждаются К-излучением Со (Не 5.40).
Электронная конфигурация атома Со 1зд2зд2рб3з23рб4з23а17. Учиты-
вая, что переход с 4.9 на 15 запрещен, из (5.43) находим для воз-
можного К-излучения Со
йод = 13,6 (27 — 1)2(1/12 — 1/32) в 8,172 кэВ.
Минимальная энергия для возбуждения К-излучения М ана-
логичным образом, учитывая электронную конфигурацию
1.922322р°3$23р°4.923с1 8
то = 13,6 (28 — 1)2(1/12 — 1/32) в 8,813 кэВ.
Это больше того, что дает Со. Поэтому К-серия не возбуждает-
ся. Остальные линии возбуждаются.
Известно, что длина Ка-линии одного элемента равна О‚О788
нм, а другого О‚0713 нм. Выясним, стоят ли эти элементы рядом
в системе Менделеева и какие это элементы (М 5.41). Из (5.43) для
этой линии
йш = Е„(2— о)2(1/12 — 1/22). (5.44)
Используя связь А = 2пс/о›‚ получаем, что 2 равны 40 и 42, т. е.
это цирконий (2г) и молибден (Мо). Между ними в системе Мен-
делеева находится ниобий (МЬ).
Найдем, начиная с какого элемента появляется Ь-серия
(Не 5.42). В соответствии с рис. 5.9, переход должен происходить
со слоя М(п = 3) на слой Ь (п = 2). Из табл. 5.1 видно, что такая
возможность (переход с 35 на 2р) появляется у натрия (На).
Определим напряжение Уна рентгеновской трубке с никелевым
антикатодом, если разность длин волн между Ка-линией и корот-
коволновой границей сплошного рентгеновского спектра равна
АА = 0,084 нм (М9 5.43). Для никеля 2= 28. Используя (5.44) при
о = 1, находим у = 1‚78-10'8 1/с‚ А = 0,168 нм. Для коротковолно-
вой границы получаем Ат = 0,084 нм, откуда у = 3,5-10‘3 1/с и [ту =
= 15-103 эВ. Соответственно, У= 15 кВ.
Найдем, какой минимальной кинетической энергией должна
обладать ос-частица, чтобы при бомбардировке такими частицами
152
д“ 1451 М-серия
‘Т
О
-8
Е
Возбуждение всех серий
ч ч
К-серия
Рис. 5.9
атомов лития 71.1 эти атомы начали излучать полный спектр своего
характеристического рентгеновского излучения (Не 5.44). Полный
спектр получим при выбивании электрона с нижнего уровня. Ис-
пользуя (5.43) находим энергию, необходимую для удаления элек-
трона
Еу = тее“(2 — 1)2/(2й2) = теос2с2(2 — 1)2/2. (5.45)
Обозначая импульс а-частицы р и считая удар неупругим, по-
лучаем
Т„„„ = р’/(2т„) = Е, + (рг/Ю/(тья + т„) =
= (т„/2)с2а2(2- 1)2/[1 - т„/(т„ + т„)1 = 85,5 эВ.
Найдем, какова максимальная скорость и электронов, вырывае-
мь1х из свинца характеристическим излучением железа (Не 5.45).
Для железа 2 = 26. Используя (5.45), получаем максимальную
энергию характеристического излучения железа Е = теса? с2(25)2/2.
Как можно видеть из соответствующих таблиц, у свинца (2 = 82)
наивысший электрон имеет п = 6. Как следует из (5.43) для его вь1-
рывания нужна энергия т„ос2с2(812/36)/2. Избыток энергии пойдет
на кинетическую энергию электрона теи2/2 = т„оъ2с°(252 — 812/36)
/2. Откуда для скорости электрона получаем и и 5-109 см/с.
Найдем, у каких элементов характеристическое рентгеновское
излучение длинноволновой границы К-серии может испытывать
брегговское отражение от кристалла ЫЕ постоянная решетки кото-
рого с! = 0,23 нм (Мэ 5.46). Условие возможности брегговского от-
ражения (4, с. 189) Ж 5 2а7. Из (5.43) для длинноволновой границы
К-серии теос2с2(2 — 1)2(3/8) = Ьс/х, откуда 2„„„ = 18.
153
Вычислим, какои потенциал Уследует приложить к рентгенов-
ской трубке, чтобы тормозное рентгеновское излучение могло исп ы-
тывать брегговское отражение от кристалла ЦЕ постоянная ре-
шетки которого с! = 2,3 А (Не 5.47). Как и в предыдущей задаче
должно выполняться условие брегговского отражения х 5 2:1. Мак-
симальная энергия тормозного излучения еУ= Ис/ж 2 Ьс/(2ед)‚ от-
куда Утт = 2,7 кВ.
Из-за конечного размера ядра энергетический уровень К-элек-
трона претерпевает небольшое смещение бЕ е- К‘, где К — радиус
ядра, который находится по формуле В = 1‚3°1О-‘3 А'/3 см, где А —
относительная атомная масса. Оценим величину изотонического
сдвига б(/п›)„‚ границы характеристического рентгеновского К-из-
лучения для ядра 8, Т], если известно, что для Ё?’Т1 этот сдвиг
5021020, = —8‚25 эВ, так как энергия ионизации К-электрона умень-
шается по сравнению со случаем точечного ядра (Не 5.56). Для
смещения уровня можно записать бЕ = ВАШ, где В — некоторая
постоянная величина. Взяв натуральный логарифм и продиффе-
ренцировав, получаем АбЕ/бЕ = (бЕдм — бЕюдд/бЕт = (2/3)АА/А.
В результате бЕт я -8‚2 эВ (энергия ионизации в атоме с ядром
ТР°5 меньше, чем в атоме с ядром ТРШ).
6. Спин. Атом в магнитном поле.
Эффект Зеемана. Магнитный резонанс
Для решения ряда задач будем исходить из того, что фотон, об-
ладающий энергией йо) и импульсом йод/с, имеет момент импульса
с проекциями
Мгф = 171. (6.1)
Возможны две проекции момента: на направление движения
фотона — правая круговая поляризация и противоположно на-
правлению движения — левая круговая поляризация (в классиче-
ской оптике названия противоположные). Говорят, что фотон об-
ладает целочисленным спином
т‚ф = 11. (6.2)
Используя (6.1) и Еф = по), получаем
ЕФ/Мф = со. (6.3)
К этому сводится эффект Садовского. Плоская электромагнит-
ная волна‚ поляризованная по кругу, несет момент импульса.
Пучок циркулярно поляризованного света с длиной волны ж =
0,5 мкм падает на зачерненный диск, подвешенный на тонкой нити
так, что он может совершать крутильные колебания относительно
оси. При этом измеряется установившийся угол поворота диска
массой т = 1 г и радиусом г = 5 см. Найдем период собственных
колебаний диска Т, если при мощности светового потока А’ = 10
Вт угол поворота диска составил а = 1" (Не 6.1). Для крутильных
колебаний диска имеем (1, с. 266): 1адср/с11д = —/«р = —М‚ где мо-
мент инерции диска 1 = тгг/2. Период колебаний Т = 2тс(.///с)‘/2.
Момент сил, поворачивающих диск на угол ос (1, с. 188),
М=/‹оъ =д2м„‚‚ /с11=(1/ш)с12Еф /д:= м/ш, (6.4)
откуда Т = 2п[1ш стР/(ЖМГд = 5 мин.‘
Абсолютно черная пластинка площадью 5 = 10 см? освещается
монохроматическим светом с длиной волны Ж = 600 нм, поляризо-
ванным по кругу. Интенсивность света 1 = 30 Вт/см2. Найдем, ка-
кой вращающий момент М испытывает пластинка, зависит ли
М от распределения интенсивности в пучке, как изменится вра-
щающий момент, если черную пластинку заменитьчна кристалли-
ческую пластинку в Ж/4‚ какую надо взять кристаллическую пла-
стинкм чтобы вращающий момент М удвоился (Не 6.2). Так как
155
интенсивность света, умноженная на площадь пучка есть мощ-
ность пучка, то используя (6.4)‚ получаем
М = 15Х/(21тс). (6.5)
В результате М = 0‚95-10-° дин-см. От распределения интенсив-
ности в пучке момент не зависит, так как он складывается из обще-
го числа фотонов. При замене поглощающей пластинки на пла-
стинку в 1/4, за которой выходит линейно поляризованный свет, не
обладающий вращающим моментом, весь момент падающего пучка
передается пластинке. Изменения момента нет. При использовании
пластинки в полдлины волны за ней выходит свет с противополож-
ной круговой поляризацией, т. е. момент удваивается.
Эллитггически поляризованный параллельный световой поток
с длиной волны х = 600 нм и интенсивностью 1 = 30 Вт/см2 падает
перпендикулярно на абсолютно черную пластшшу. Площадь попе-
речного сечения светового потока 5 = 10 см2. Отношение длин глав-
ных полуосей эллипса поляризации в световом пучке составляет
а/Ь = 2. Найдем вращающий момент М, который испытывает пла-
стинка при поглощении света (М) 6.3). Эллиптическую поляризацию
можно представить как сумму круговой и линейной. Поэтому
4/1 = (1 - 1„)1 = [аг + ьг - (а - ьи/(аг + ьг) = 2аь/(а2 + ьг).
Момент создает только круговая поляризация. В резуль-
тате, пользуясь (6.5), имеем: М = [15Ж/(2пс)]2аЬ/(а2 + Ь2) =
= 0‚76°10-° дин-см.
поляризованный по правому кругу световой поток с длиной вол-
ны ж = 500 нм, интенсивность которого составляет 1 =
= 1‚4- 106 эрг/(с-см?) (такой интенсивностью обладает солнечное из-
лучение на границе земной атмосферы), падает на двоякопрелом-
ляющую пластшпку в 1/2. Найдем, как будет поляризован свет после
прохождения пластинки, и определим вращающий момент на еди-
ницу площади (М/б’) такой пластинки (М: 6.4). Сдвиг фазы на поло-
вину длины волны приводит к изменению направления кругового
вращения на противоположное. Свет будет поляризован по левому
кругу Момент будет в 2 раза больше, чем (6.5): М/5 = 21А/(2тсс).
На кварцевую пластинку в х/4 перпендикулярно падает пучок
линейно поляризованного света с длиной волны ж = 628 нм и мощ-
ностью 1\’= 3 Вт. Определим, при каких условиях пластинка будет
испытывать вращающий момент и каковы его значение и направ-
156
ление (Мг 6.5). Линейно поляризованный свет не несет момента.
Пластинка в ж/4 может превратить линейно поляризованный свет
в свет, поляризованный по кругу который обладает максималь-
ным моментом импульса. Чтобы получилась круговая поляриза-
Ция (а не эллиптическая или линейная), главные направления
пластинки должны быть ориентированы под углом 45° к плоско-
сти поляризации падающего света. Из условия сохранения момен-
та импульса у пластинки должен появиться реактивный момент.
Используя (6.4)‚ находим:
М = М/(2пс) = 104 дин-см.
Некогерентная смесь естественного и линейно поляризованного
света с длиной волны Ж = 500 нм и интенсивностью 1 = 1‚4°1О6
эрг/(сюм?) падает на двоякопреломляющую пластинку в х/4. Опре-
делим вращающий момент на единицу площади (М/Ь‘) такой пла-
стинки, если направление колебаний в линейно поляризованном
свете составляет угол 45° с главными направлениями пластинки.
Известно, что при анализе падающего излучения с помощью по-
ляризатора соотношение 1„‚„/1„„„ = 3 (М- 6.6). С помощью поля-
роида можно убрать линейно поляризованный свет. Интенсив-
ность естественного света за поляроидом уменьшается вдвое.
В результате имеем 1„„„ = 1е/2‚ 1тах= 1е/2 + 1„. Из условия задачи на-
ходим: [с = [л = 1/2. Используя (6.5)‚ получаем: М/Ь‘ = 1›„/(4пс) =
= 1‚85°1О-'° дин/см.
Параллельный пучок монохроматического излучения (длина
волны в вакууме х = 496 мкм), поляризованного по кругу, падает
нормально на решетку, изготовленную в виде натянутых проволо-
чек с расстоянием между ними а! << ж. При таких условиях решет-
ка полностью пропускает излучение, поляризованное так, что
электрический вектор направлен перпендикулярно проволочкам,
и отражает излучение с поляризацией, повернутой на 90°. Найдем
вращающий момент М и силу Г, действующую на решетку если
интенсивность потока в пучке 1 = 10 Вт/смг, а облучаемая поверх-
ность решетки 8 = 10 см2 (Не 6.7). Проходящая и отраженная вол-
ны являются линейно поляризованными и не обладают моментом
импульса. По закону сохранения импульса изменение момента
импульса решетки равно моменту импульса падающего излуче-
ния. Используя (6.5)‚ получаем
М = 18ж/(2тсс) а 2,6°1О-4 дин-см.
Сила давления Р обусловлена отражением фотонов, имеющих
импульс йсв/с. Так как круговая поляризация превращается в две
157
взаимно перпендикулярные линейные, то их амплитуды и интен-
сивности одинаковые. Таким образом, отражается половина фото-
нов, поэтому
Р= 2(й‹о/с) 15/(2йш) = 15/с ш 0,033 ДИН.
Экспериментально установлено, что электрон имеет:
собственный момент импульса
М = п/2; ‹6.6›
соответствующие спиновые числа
т, = 1-1/2; (6.7)
собственный магнитный момент, равный магнетону Бора,
р, = цв = е/(2тес) = О‚9274О-1О-2° эрг/Гс. (6.8)
Сложение угловых орбитального и спинового моментов про-
исходит в соответствии с (5.38) и (5.39). При сложении магнитных
спинового и орбитального моментов необходимо учитывать, что
у них разные гиромагнитные отношения. Суммарный магнитный
момент не параллелен суммарному угловому моменту Для состав-
ляющей суммарного магнитного момента на направление суммар-
ного углового момента вводится связь
д; = “Ёл двдд (6-9)
где фактор (множитель) Ланде
д, = 3/2 + [5(5 + 1) — Ь(Ь + 1)]/[2./(./ + 1)]. (6.1О)
Пучок продольно поляризованных по спину электронов с током
1 = 100 А и кинетической энергией Т = 100 кэВ поглощается Ци-
линдром Фарадея. Определим силу и крутящий момент, действую-
щие на цилиндр, если пучок направлен параллельно оси цилиндра
(Не 6.8). Напомним, что Цилиндр Фарадея представляет собой хо-
рошо проводящую оболочку используемую для экранирования
электрического поля. Применив релятивистские формулы (1,
с. 179), найдем полную энергию электрона Е = Т+ тс2. Импульс
электрона р = (Е? — т2с4)‘/2/с. Обозначив заряд электрона е, полу-
чим число электронов, приходящих за 1 с, А! = 1/е. Сила, дейст-
вующая на Цилиндр Фарадея, Р = р1/е = 1‚12-1О4 дин. Импульс
можно записать так: р = [Т(Т+ 2тс2)]'/2 = 1,78-1О-‘7 г-см/с. Число
электронов в секунду 625-1020 1/с. Используя (6.6)‚ получаем мо-
мент М= йЫ/2 = 3‚3-1О-7 дин-см.
158
Найдем, с какой угловой скоростью о) и в каком направлении
должен начать вращаться цилинди подвешенный в магнитном
поле В, направленном параллельно его оси вертикально вверх,
если изменить поле на обратное. Считаем, что цилиндр намагни-
чивается до насыщения, момент импульса электрона в атоме ра-
вен 1, число атомов в цилиндре А’, момент инерции цилиндра
1 (М 6.9). Все магнитные моменты электронов в начальный мо-
мент направлены по магнитному полю. Также направлены и меха-
нические моменты импульса. Цилиндр ча счет вращения электро-
нов обладает моментом импульса [М Как известно (1, с. 193) мо-
мент импульса изолированной системы должен сохраняться. Если
бы электроны остановились, то их момент импульса должен был
перейти к цилиндру Так как электроны начали вращаться в про-
тивоположную сторону у цилиндра момент импульса будет в два
раза больше и направлен он в ту же сторону куда был направлен
момент импульса электронов вначале, т. е. вверх. Таким образом,
о) = 21\’1/1. (6.11)
Найдем, какое значение для со следует ожидать в упрощенном
опыте Эйнштейна — де Гааза (предыдущая задача), если длина ци-
линдра Ь = 1 см, его масса т = 1 г, цилиндр изготовлен из железа
и если предположить, что момент каждого атома равен таковому
для электрона на первой боровской орбите (Не 6.10). Обозначим
радиус цилиндра п В соответствии с (4.5) каждый атом дает мо-
мент импульса п. Обозначив плотность железа р, атомную массу
железа А, число Авогадро МА, получим в соответствии с (2, с. 8)
число атомов в цилиндре 1)! = тМ/А. Учитывая, что момент инер-
ции цилиндра (1,'с. 193) 1 = тгд/2‚ и пользуясь (6.11), находим
со = мкА/имя) = 4пйрЫАЬ/(Ат) = 1‚12-1о-з с°‘ .
Магнитный диполь р. (в том числе орбитальный или собствен-
ный магнитный момент электрона) в магнитном поле с индуктив-
ностью В приобретает дополнительную энергию (3, с. 245)
Е = —р‚В. (6.12)
Заметим, что эта энергия не имеет отношения к потенциалу
поля, определяющего силы. Она связана с работой, производимой
вращающим моментом (3, с. 211)
Мв = [р‚ В]. (б.13)
Сила, действующая на диполь (3, с. 210),
Р = (р,7)В. (6.14)
159
Для компоненты силы, например на ось 2, получаем
В = „хдвудх + рудВ/ду + „дБ/да. (6.15)
Если можно пренебречь в среднем компонентами диполя по
х и у, например для диполя, прецессирующего вокруг оси 2, то
имеем
Р; = ргдВг/дг. (6.16)
В случае квантования проекции мо-
мента, используя например (5.12)‚ получа-
ем расщепление энергетического уровня.
2 На рис. 6.1 показано схематически расще-
=2 1 пление уровня (/ = 2) при наложении маг-
д, о нитного поля. Благодаря дискретному ха-
рактеру углового момента его величину
(ттх = 1„‚„) можно найти по числу уровней
расщепления, используя (5.16).
Р"°° 6°1 Схема опыта Штерна — Герлаха, ис-
пользуемого для исследования расщепле-
ния, показана на рис. 6.2. В этих опытах пучки нейтральных ато-
мов или молекул пропускались через область, в которой благодаря
форме наконечников магнита создавалось неоднородное магнит-
ное поле. В этих опытах было установлено наличие у электрона
собственного углового момента (6.6) и магнитного момента, рав-
ного магнетону Бора (6.8).
В пучке атомов водорода в основном состоянии в опыте Штер-
на — Герлаха было обнаружено две компоненты (М9 6.11), что и по-
зволило установить спиновые свойства электрона.
Е в= ваьо т,
Пучок атомов натрия, нахо-
дящихся в основном состоя-
нии, вылетает из печи, темпе-
ратура которой Т = 350 К. Пу-
чок расщепляется в поперечном
неоднородном магнитном поле
с градиентом с1В/с1х = 50 Тл/м
на пути 1 = 1 см. Детектор уда-
лен от магнита на расстояние
Ь = 6,5 м. Найдем расстояние
5 между пятнами на экране
(Мг 6.12). В основном состоя-
нии, в соответствии с табл. 5.1,
атом натрия находится в со-
160
стоянии 2$„‚. При этом Ь = 0, 5 = 1/2, 1 = 1/2 и, в соответствии
с (6.1О)‚ гл = 2. Из (6.9) проекция магнитного момента атома на
направление поля
Р-в = тЁлдв- (6-17)
В соответствии с (6.16)
Р; = фрвдв/дх.
За время 1= 1/и смещение атома х, = а12/2 = 1{„12/(2ти2)‚ а ско-
рость на выходе их = ЕД/(ти) (ух << и). Вне магнита атом движется
по инерции и
ц = х, + ихЬ/и = Р;1(1/2 + Ь)/(ти2).
Получаем и, = 1рБс1В/дх1/(ти) н 120 см/с.
Угол отклонения пучка
о. = ц/и = 1рБс1В/с1х1/(ти2). (6.18)
В результате '
х2 = ЁрБдВ/ФсК/Д + Ы/(тиг).
Средняя кинетическая энергия атомов в пучке (2, с. 163)
<ти2>/2 = (3/2)/‹БП откуда и н 600 м/с >> их, а расстояние между
пятнами
в = 2х‚ = 2рБ(с1В/дх)1(1/2 + Ь)/(3/‹Т) 2 4 мм.
Пучок атомов лития в основном состоянии с максимальной
кинетической энергией Т = 0,1 эВ проходит через магнит типа
Штерна — Герлаха длиной 1 = 6 см с градиентом поля аУВ/дх =
= 5-104 Гс/см. Сразу за магнитом расположена система из двух
одинаковых диафрагм 8 диаметром д, находящихся на расстоянии
Ь = 1 м одна от другой (рис. 6.3). Найдем, при каком минималь-
ном диаметре дм, компоненты разделенного пучка пройдут через
систему диафрагм (Не 6.13). Состояние атомов лития такое же как
в предыдущей задаче у атомов натрия.
Используя те же формулы, находим
с1„„„ = рБ(с1В/с1х)1(1/2 + Ь)/Т= 1,79 см.
Другой вариант этой задачи, когда 5 511
система диафрагм стоит перед магни- - -
том и требуется найти максимальный 1 1
диаметр, при котором пучки разойдут- 1. 1
ся, т. е. не будут попадать один на дру-
гой. Максимальный угол отклонения Рис. 6.3
11°°3° 161
пучка от оси системы В = д/Ь должен быть меньше угла, на кото-
рый отклоняет магнитное поле, у = щ/и = рБ(с1В/Фс)1/(2 Т). Отсюда
получаем дм = цБ(с1В/с1х)Ы/(2Т) = 0,9 см.
Пучок атомов ванадия (А = 50), находящихся в состоянии ‘Ед,
пропускается через сильное неоднородное магнитное поле. Найдем,
на сколько компонент разобьется такой пучок, и на какой угол ра-
зойдутся соседние компоненты пучка, если участок с неоднород-
ным полем имеет протяженность 1 = 25 см, Градиент поля в нем
дВ/дх = 5°104 Гс/см, а скорость атомов и = 500 м/с (Не 6.14). Для
данного состояния атомов, в соответствии с табл. 5.1 спектроско-
пическим символом д“ ‘Е, получаем 8 = 3/2, Ь = 3, 1 = 3/2. Из
(6.1О) фактор Ланде дд = 2/5. Используя (5.39)‚ находим число
компонент 2.1 + 1 = 4. Из (6.17) определим проекцию магнитного
момента на направление магнитного поля В
На = т/Ёлдв-
На ПрОТЯЖСНИИ МаГНИТа На атом Действует ПОСТОЯННЗЯ Сила
В = ивдВ/дх.
Используя (6. 18) и учитывая, что между пучками Ат , = 1, нахо-
дим
Аср = ддцвдВ/дж/(Атри?) н 2-10-2 рад т 1‚2°.
Параллельный пучок нейтронов с энергией Т= 0,025 эВ прохо-
дит через коллимирующую щель шириной с! = 0,1 мм и затем через
зазор в магните Штерна — Герлаха длиной Ь = 1 м. Оценим значе-
ние градиента поля дВ/дх, при котором угол магнитного отклоне-
ния компонент пучка равен углу дифракционного уширения, если
магнитный момент нейтрона д, = 9‚66-10-24 эрг/Гс (Мг 6.15). Ис-
пользуя (6.18)‚ получаем
ос = 20/12 = р„а/В/с1хЬ/7Ё
По условию этот угол должен равняться дифракционному углу
Д/а’, откуда, используя (2.3) и выражение для импульса р =
= (2т„Т)‘/2‚ находим
дВ/дх = 4п[Т/(2т„]‘/’/(р„[‚а') а 150 Гс/см.
В опытах Шалла (1968) наблюдалось расщепление пучка ней-
тронов на два пучка при преломлении на грашще однородного маг-
нитного поля. Найдем малый угол 0 между направлениями прелом-
ления пучков. Однородное магнитное поле имеет индукцию В =
162
= 2,5 Тл. Нейтроны с дебройлевской длиной волны ж = 0,5 нм па-
дают под углом ср = 30° к достаточно резкой границе магнитного
поля (М9 6.16). Для нейтронов, попавших в магнитное поле, воз-
можны две проекции их магнитного момента: по полю и против
поля. Нейтроны, имеющие магнитный момент, направленный по
полю, сохраняют начальное движение. Нейтроньд-имеющие маг-
нитный момент, направленный против поля, обладают в этом
поле энергией (6.12) П = 2дВ. Не обсуждая механизм трансформа-
ции этой избыточной энергии, который возможно связан с изме-
нением поля и появлением соответствующих сил, для энергии
можно записать
р12/(2т) + и = р22/(2т)› (6-19)
где т и р — масса и составляющая импульса нейтрона, перпенди-
кулярная границе поля.
Считая, что касательная к границе поля компонента импульса
не меняется, получаем рдвср = р2ъ3(‹р — 9). Для малого 9 имеем
9 = (рд/р, — 1)/13‹р. Из (6.19) находим
р/р, — 1 а тН/р} = тН/(р2соз2ф) = тЩ2/(4п2й2соз2ф),
откуда
9 = тЩ2/[2п2й 2 $1п(2‹р)].
Вводя ядерный магнетон Бора мы, дм = —3,82 (спиновый
д-фактор нейтрона) и т, = 1/2, получаем: Н = ц„дВ,3„‚т‚. В резуль-
тате 9 т 3‘.
Определим возможную мультиплетность атомов Н, Не, Ы, Мв,
Ре, Не, П, С1 (Мг 6.17). Необходимо воспользоваться табл. 5.1 и ее
продолжениями (в справочниках). Возможная мультиплетность
определяется как 25 + 1, где 5 — возможные суммарные спиновые
моменты атома. Для водорода возможен только собственный спин
электрона, равный 1/2, поэтому мультиплетность равна 2. Для Не
два электрона в слое п = 1. При этом, как следует из (5.34), 1= п —
- 1 = О. Два спиновых числа разных знаков дают спиновое число
атома, равное О, соответственно, 25 + 1 = 1. Для Ы заполненный
первый слой (замкнутый) не дает момента. В слое п = 2 один элек-
трон, который дает спин 1/2. Спин атома складывается из спина
этого электрона. Соответственно, 25 + 1 = 2. Для М; оболочки К и
Ь (конфигурация Не) являются замкнутыми (суммарный спин ра-
вен нулю) и начинает заполняться двумя электронами слой М (п =
= 3). Эти электроны могут находиться в з-оболочке, делая ее замк-
нутой. В таком случае 5 = О и, соответственно, 25 + 1 = 1. Если
11° 163
один электрон перешел в слой р и спины их совпадают, то спин
атома 5 = 1 и, соответственно, 25 + 1 = 3. В случае Ре над замкну-
той конфигурацией Аг, в которой заполнены з- и р-оболочки и со-
всем не заполнена аУ-оболочка, имеем 8 электронов: два в оболоч-
ке 45 и 6 в оболочке За‘. Из (5.4О) для д-оболочки /= 2 и т, = 2, 1, О,
— 1, — 2 — всего пять уровней, на каждом уровне может находить-
ся два электрона, но с разными спинами. Для получения макси-
мального спина атома необходимо на с1-оболочке оставить пять
электронов с одинаковыми спинами и на в-оболочке один элек-
трон с таким же спином и еще два с такими же спинами перевести
на оболочку 4р. В таком случае получаем 8 электронов с одинако-
выми спинами. Для атома 5= 1/2-8 = 4, соответственно 25+ 1 = 9.
Переворачивая один электрон, уменьшаем 5 на единицу, поэтому
для мультиплетности получаем еще 7, 5, 3, 1. Для Н; имеем кон-
фигурацию ксенона (замкнутую) плюс 6з25с1‘°4[‘4. Эти оболочки
все заполненные. Поэтому для них 5 = О. Но можно из 5- один
электрон перевести в р-оболочку Тогда для атома, имеющего два
электрона с одинаковыми спинами, 5 = 1. В итоге для ртути муль-
типлетность 1, 3. Для Ы имеем конфигурацию радона (замкнугую)
плюс 752646]? Так как а-оболочка имеет 5 уровней, а Ъоболоч-
ка — 7 уровней, то можно с з-оболочки туда перевести один элек-
трон. Если у всех электронов одинаковые спины, то спин атома
= = (1/2)*6 = 3, соответственно, мультиплетность 7, 5, 3, 1. Для
С! имеем конфигурацию неона (замкнутую) плюс 3в23р5. Чтобы
получить максимальный спин, надо перевести на аГ-уровень один
электрон с з-уровня и два — с р-уровня. Получаем максимальный
спин атома 5= (1/2)-7 = 7/2. Для мультиплетности имеем 8, 6, 4, 2.
Найдем, какова возможная мультиплетность 5г*, 1.12 Са“, О“
(Не 6.18). Как и в предыдущей задаче пользуемся таблицей элек-
тронной конфигурации элементов. Для $г* имеем конфигурацию
криптона (замкнутую) + 55‘, поэтому 5 = 1/2 и 25 + 1 = 2; для
ЬГ‘ — конфигурацию гелия (замкнутую), поэтому 5 = О и 25 + 1 =
= 1; для Са“ — конфигурацию аргона (замкнутую) + 43‘, поэтому
5 = 1/2 и 25 + 1 = 2; для О” — конфигурацию гелия (замкнутую)
+ 252. поэтому 5 = 0 и 25 + 1 = 1 (переведя один электрон на р-обо-
лочку, получаем 5 = 1 и 25 + 1 = 3).
Найдем, какова наивысшая мультиплетность атомов элемен-
тов третьей группы (Мг 6.19). Группами называют вертикальные ко-
лонки в системе Д.И. Менделеева. В третьей группе объединены
элементы, имеющие в электронной конфигурации наверху три
электрона, которые могут дать максимальный спин атома 5 = 3/2,
приводящий к наивысшей мультиплетности 25 + 1 = 4.
164
Желтый дуплет На возникает при переходе электронов 32Р —›
32.5’ и соответствует длинам волн ›„,= 5896 А и ж, = 5890 А. Найдем
энергетическое расстояние АЕ между соответствующими подуров-
нями терма 32Р (мультиплетное расщепление). Оценим среднюю
величину магнитного поля В, действующего на «оптический»
электрон (Мг 6.20). Расстояние АЕ определяется разностью энер-
гий квантов, образующихся при переходе с каждого из расщеплен-
ных подуровней терма 32Р на основной уровень 325‘
АЕ = т, — йш, = 2лйс(1/7м‚ — 1/?„‚); (6.2О)
АЕ в 2‚1-1О'3 эВ.
Имея в виду, что собственный магнитный момент электрона
равен магнетону Бора (6.8)‚ и используя (6.12)‚ получаем, что для
разворота электрона необходимо магнитное поле В = АЕ/(2цв) а
=== 1,8°1О5 Гс.
Эффект Зеемана заключается в том, что при помещении излу-
чающих атомов в магнитное поле спектральные линии расщепля-
югся. Это связано с тем, что атом, обладающий магнитным момен-
том, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию (6. 12)
Е = Ед + рБ3„т,В‚ т, = 1, 1-1, ...‚ —./, (6.21)
где Е, — энергия уровня в отсутствие магнитного поля.
В магнитном поле уровни с квантовым числом 1 расщепляют-
ся на 2.1 + 1 равноотстоящих друг от друга подуровней (М9 6.23).
Величина расщепления зависит от фактора (множителя) Ланде дд.
Магнитное поле снимает вырождение по т ,. Возможность перехо-
дов между появившимися благодаря магнитному полю подуров-
нями, принадлежащими разным уровням, приводящих к появле-
нию спектральных линий, определяется правилами отбора
Ат, = о, ы. (6.22)
Компоненты спектра, соответствующие Ат, = О, называют
к-компонентами, а соответствующие Ат, = 5:1 — о-компонента-
ми. При наблюдении перпендикулярно магнитному полю в спек-
тре присутствуют и п- и с-компоненты, причем поляризованные
линейно: п-компоненты — в направлении магнитного поля,
а с-компоненты — перпендикулярно магнитному полю. При на-
блюдении вдоль магнитного поля тс-компоненты исчезают,
а о-компоненты поляризованы по кругу в противоположных на-
правлениях.
165
В отсутствие магнитного поля существует тонкое расщепление,
связанное со спин-орбитальным взаимодействием. При слабом
магнитном поле возникает расщепление этих линий, которое за-
висит от фактора Ланде в соответствии с (6.21). Получающееся ко-
личество подуровней может достигать нескольких десятков. Это
сложный (аномальный) эффект Зеемана.
При сильных магнитных полях сложный эффект Зеемана пре-
вращается в простой эффект Зеемана, называемый также эффек-
том Пашена — Бака, имеющий всего три компоненты (простая
триплетная). Спин-орбитальным взаимодействием можно пре-
небречь и в соответствии с (6. 12) считать энергию взаимодействия
атома с магнитным полем
Е = р.‚_В + рдВ.
Из соответствующих расчетов следует, что добавка к энергии
АЕ = рБВ (тд + 2 тд). (6.23)
При переходе Р —› 5‘ из возбужденного состояния атома в ос-
новное испускается дублет ж, = 455‚1 нм и м = 458‚9 нм. Найдем,
какие линии, соответствующие переходу КУШ —› 2Р3д‚ будут наблю-
даться в спектре поглощения газа, состоящего из таких атомов, при
наложении магнитного поля 50 кГс при температуре Т = 0,5К
(Мз 6.21). Для оценки величины спин-орбитального расщепления
воспользуемся (6.2О) и условиями задачи
АЕд. = 2кйс(1/7„2 — 1/?„‚) а 2-10-2 эВ.
Влияние внешнего поля оценим с помощью (6.12)‚ считая, что
Н ^‘ Мы
АЕВ = рБВ; (6.24)
АЕВ а 2‚9°1О-4 эВ.
Эта энергия значительно меньше энергии спин-орбитального
расщепл_ения‚_поэтому здесь имеем сложный эффект Зеемана.
Для вычисления факторов Ланде воспользуемся (6. 10). Для со-
стояния 2Р3д имеем 5 = 1/2, Ь = 1 и ./= 3/2 в результате 3, = 4/3;
для состояния 28щ: 5= 1/2, Ь = О и 1= 1/2, в результате 30 = 2.
Для возможных переходов под действием магнитного поля,
используя (6.2*1)‚ находим
АЕВ = „Б В(8кон т1к°н — Знач т./нач)'
Уровни энергий показаны на рис. 6.4.
166
В-О Баю т; 87”;
2-1о‘° эВ А
3/2 2
21’ 3/2 81"‘4/3 ТГ“ 1/ 2 2/3
1 -1/2 -2/з
Г—— -3/2 -2
251/2 го‘? /_"1` 1/2 1
\———- —1/2 -1
Рис. 6.4
Так как температура газа очень низкая и тепловой кинетиче-
ской энергии не хватает для заселения более высокого из расщеп-
ленных магнитным полем подуровней КВТ в 4-10-5 эВ << 2рБВ
(расщепление терма 25‚‚2)‚ в атомах газа заселен только низший
подуровень 2.5`,‚, (т, = — 1/2). В результате в спектре поглощения
газа возможны только три линии (на рис. 6.4 указаны стрелками).
В выражении (6.25) в скобках должны стоять
2/3 + 1 = 5/3;
—2/3 + 1 = 1/3;
—2 + 1 = —1.
Для поглощаемых частот получаем со = 2тсс/Ж, + АЕд/й.
В ОТСУТСТВИС МЗГНИТНОГО ПОЛЯ газ ПОГЛОЩЗСТ электромагнит-
ное излучение с длиной волны х = 500 нм, соответствующее пере-
ходу из основного состояния 1Р, д в возбужденное Шт. Найдем,
как изменится спектр поглощения этого газа в окрестности дан-
ной длины волны при наложении мапштного поля В = 2 кГс при
температуре, близкой к комнатной. В спектре испускания этого
газа в окрестности ж = 500 нм наблюдается дублет с м = 0,5 нм,
соответствующий переходам 21), д —› 2Р‚д‚ 2193 д —› 2Р3д (М: 6.22). Как
и в предыдущей задаче для оценки величины спин-орбитального
расщепления воспользуемся (6.2О) и условиями задачи
АЕ,‚ = 2пйс(1/7„‚ — 1/7„‚) = 2кпсАх/х2; (6.26)
АЕд а 2,5°10-3 эВ.
Влияние внешнего поля оценим с помощью (6.12)‚ считая, что
д "' “в:
АЕ, = дБВ н 1‚2-1О-5 эВ.
167
Эта энергия значительно меньше энергии спин-орбитального
расщепления, поэтому здесь имеем сложный эффект Зеемана.
Для вычисления факторов Ланде воспользуемся (6. 10). Для со-
стояния 203/2 имеем 5 = 1/2, Ь = 2 и ./= 3/2, в результате 3, = 4/5;
для состояния дРш: 5= 1/2, Ь = 1 и ./= 1/2, в результате 30 = 2/3.
Так как при комнатной температуре КВТ = О,8617-1О'4эВ/К›‹
›< ЗООК и 0,026 эВ >> дБВ, оба подуровня основного состояния за-
селены практически одинаково. В результате вместо линиис дли-
ной волны 500 нм (соответственно АЕ = 2,478 эВ) будут наблю-
даться все дипольные переходы между двумя подуровнями 2Р„2
и четырьмя подуровнями 21), д — всего шесть переходов (рис. 6.5).
Используя (6.25), находим АЕВ/(рБВ) = :1:13/15, 111/15, 11/15, что
соответствует м = 2,34°10"3АЕ„/(рБВ) нм.
В=0 ВзеО т, дм,
3/2 6/5
81:45 ц Н 1/2 2/5
2
дз/г н Ё \ д -1/2 -2/5
х М -3/2 ‘6/5
2 Рт г
и: п год” / ‘/= И
\ -1/2 -1/э
Рис. 6.5
Найдем энергетическое расщепление термов атомов группы
щелочных металлов, помещенных в слабое магнитное поле
(М9 6.24). Щелочные металлы принадлежат к первой группе (верти-
кальному ряду) в системе Д.И. Менделеева. На внешней оболочке
у них один электрон, поэтому 8 = 1/2, Ь = О, 1 = 1/2. Используя
(6.1О)‚ находим яд = 2. Из (6.21) получаем Е= Ед + дБ3„т,В, Где т, =
= 1 /2‚ - 1/2 (Е — энергия атома в магнитном поле; Ед — без поля).
Найдем, на сколько компонент расщепится в слабом мапшт-
ном поле линия На, отвечающая переходу 212/2 —› 21), д, (М 6.25). На
рис. 6.6 показаны расщепленные уровни и возможные переходы —
всего 18 компонент. В соответствии с (6.22) помечена их поляриза-
ция (Мг 6.26). Линий, поляризованных вдоль магнитного поля, 6
(п-компоненты). Они видны при наблюдении поперек магнитно-
го поля и не видны при наблюдении вдоль поля.
168
Рис. 6.6
Определим расщепление спектральной линии 2Рт —-› 2.5`„2 в сла-
бом магнитном поле. Для натрия эта линия является коротковол-
новой компонентой (ж = 589‚0 нм) двойной линии 1) с А?» = 0,6 нм.
Найдем, какие магнитные поля в этом случае являются слабыми
(Мз 6.27). Используя те же формулы, что и в предыдущих задачах,
получаем характер расщепления и переходов, показанный на
рис. 6.7. Поляризация отмечена соответствующими индексами
(6.22). Используя (6.26) и (6.24)‚ находим, что магнитное поле счи-
т: Е“:
3/2 2
2Рш д1=4/3 Д- 1/2 2/3
т - 1/2 4/3
‘3/2 —2
2 П’ Н
5122 8о=2 [опа 1/2 1
\
0150‘
Рис. 6.7
169
тается слабым, если В << 4ктесдАж/(ехд). Для В-линии натрия
должно быть В << 3‚7-105 Гс.
С помощью эшелона Майкельсона наблюдается зеемановское
расщепление П-линии натрия в магнитном поле В = 5000 Гс
(сложный эффект). Найдем, какова должна быть максимальная
толщина а! пластины, чтобы эшелон был пригоден для исследова-
ния расщепления. Показатель преломления материала пластины
п = 1,5. Под Б-линиями понимают две линии нерасщепленного
полем дублета 32Рш —› 32.$‘„2 и 32Р„‚ —› 328„‚ (Мг 6.34). В соответст-
вии с (6.10) для уровня ЗРИ (5= 1/2, Ь= 1, 1= 3/2) д, = 4/3; для
уровня 2Р„2 (8= 1/2, Ь = 1, 1= 1/2) гл = 2/3; для уровня КУШ (5 =
= 1/2, 1. = 0, 1 = 1/2) д, = 2. Энергии расщепленных уровней опре-
деляются (6.21). Удобно за единицу расщепления принять лармо-
ровскую частоту О (6.28). Смещения подтермов, на которые рас-
щепляются соответствующие термы в единицах О, равно 3„т,. Эти
величины приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
ддт, _2_2/3+2/3+2
Р|/2 т]
Блт]
$|/2 . т]
Злт! “Г”
Расчет расщепления дублета Р
‚2 —›8‚д и Рт -› „Ут в слабом
магнитном поле приведен в табл. 6.2
Таблица 6.2
Переходы т ‚ш —› т ‚Ш Идти)‘ - (вдтд2
Расщепление линии Р1/2 —-› 51,2
_1/2_›+1/2 -1/3-1=—4/3
-1/2—›-1/2 —1/3-(—1›=2/3
+1/2-›+1/2 1/3—1=-2/3
+1/2-›-1/2 —1/3—(—1)=4/3
Расщепление линии РШ —› 81,2
_ 3 /2 _, + 1/2 Переход запрещен
-3/2-›-1/2 -2-(-1>=-1
_1/2_++1/2 -2/3—1=—5/3
_1/2_,_1/2 —2/3+1=1/3
+1/2_›+|/2 2/3—1=-1/3
+1/2—›—1/2 2/3+1=5/3
+3/2—›+1/2 2-1=1
+ 3/2 _, _ 1/2 Переход запрещен
170
Расстояние между крайними компонентами
Асо = 50/3 4 (—5О/3) = 100/3, (6.27)
где, в соответствии с (6.28), О = еВ/(2тес).
Для эшелона Майкельсона (4, с. 204) разрешающая способ-
ность
х/бх = 1\’т = На’ (п — 1)/?ь;
дисперсионная область
мм = ж/т = ж/[аКп — 1)].
Разрешающую способность можно обеспечить, увеличивая
число пластин, а дисперсионная область должна быть такой, что-
бы не перекрывались возможные частоты (6.27). Используя связь
м/ж = Асо/со, получаем
мм > м = 7„(1О/3)(2/(2пс).
В результате
с! 5 6птес/[5еВ(п — 1)] н 2,6 см.
Найдем зеемановское расщепление Асо спектральной линии
Шт —› 2Р„2‚ укажем число компонент в расщепленной линии
(Мг 6.37). Квантовые числа состояния 203/2 соответственно равны
Д = 3/2, Ь, = 2, 5, = 1/2; квантовые числа состояния 2Р„2 соответ-
ственно‘ равны 12 = 1/2, 1,2 = 1, 82 = 1/2. Используя (6.1О), находим
3, = 4/5, 32 = 2/3. На рис. 6.8 показаны расщепление на подуровни
и возможные переходы. Это сложный эффект Зеемана. Из (6.25)
и (6.28) находим
"Ч К“:
-—————— 3/2 6/5
233/2 г1=4/3 1/2 2/5
` -1/2 -2/5
-3/2 ‘6/5
2 У У ‘Г
Р 1/2 г 82:23 1/2 1/3
г Н! _ и _ и
171
А“) = С‘) ‘ (до = еВШтл " Зтдд/Отес) =
= П(1‘13/15‚ 111/15, 11/15).
Цезий принадлежит к числу щелочных металлов. При Р—-› 5 пе-
реходе в атомарном цезии испускается дублет, состоящий из двух
линий: ж, = О‚4555 мкм и 12 = О‚4593 мкм. Найдем расщепление тер-
мов этого дублета в магнитном поле. Выясним, какими формулами
описывается в этом случае расщепление линий в магнитном поле
с индукцией В = 3 Тл: формулами для нормального или аномально-
го эффектов Зеемана (М9 6.38). Расщепление уровней изображено
на рис. 6.9. Расщепление за счет тонкой структуры М = 0‚ОО38 мкм =
= 38 А. Используя связь АЕ = йАоэ = 2ТССЙА7м/х2 и (6.24)‚ находим
для зеемановского расщепления в магнитном поле
м, - „Бвхг/(мпс) - 0,1 А << м = 38 А,
значит магнитное поле слабое и эффект Зеемана сложный:
для состояния 2Р2,2 5 = 1/2, Ь = 1, 1 = 3/2 и 3 = 4/3;
для состояния 2Р„2 5 = 1/2, Ь = 1, 1 = 1/2 и 3 = 2/3;
для состояния 25„2 8 = 1/2, 1, = О, ./ = 1/2 и 3 = 2.
Соответствующие расщепления находим с помощью (6.25).
Определим, на сколько уровней расщепится в сильном магнит-
ном поле терм с Ь = 3 и 5 = О, и какова разность энергий соседних
уровней (М9 6.28). В соответствии с (5.12) и (5.15) число уровней
21. + 1 = 7. Из (6.23) расстояние между уровнями (лучше их назы-
вать подуровнями)
АЕд = рБВ = йеВ/(2тес) = М), (6.28)
где П -— так называемая ларморовская частота.
т:
г____ 3/2
’1>2,2 д=4/3 Д “2
Ё -1/2
т, ‘3/2
2Р„2 1/2
\ -1/2
2 г п у г П
51/2 п/ 4 ‘/2
11 ›‘2\ › › ‘у ' -1/2
Рис. 6.9
172
На сколько компонент расщепится в магнитном поле спек-
тральная линия, связанная с оптическим переходом Ь = 3 -› Ь = 2
(излучается Е1-фотон)‚ при простом эффекте Зеемана (Не 6.29).
Правила отбора для электродипольных переходов Ат, = О, Атд =
= 11,0. Из (6.23) следует .
АЕ, = цБВ(Атд + 2Ат5) = ‘ЬИБ, О
+ как и должно быть в сильном поле (простой эффект Зеемана)
получили три компоненты.
В сильном магнитном поле В при наблюдении в направлении,
перпендикулярном полю (поперечный эффект Зеемана), в спектре
излучения имеется три линейно поляризованных линии: несме-
щенная спектральная линия с длиной волны х и электрическим
вектором, направленным вдоль магнитного поля, и две смещен-
ные - с электрическим вектором Е 1. В. Это излучение пропуска-
ется через два скрещенных поляроида, между которыми находится
анизотропная кристаллическая пластинка с заданными Ап и д.
Оптическая ось пластинки составляет углы 45° с направлениями
поляроидов. Найдем, при какой величине магнитного поля
в спектре излучения будут видны лишь две крайние линии
(Не 6.30). Первый поляроид не должен быть направлен по направ-
лению магнитного поля‚ так как в этом случае через него не про-
ходят смещенные линии. Если первый поляроид направлен пер-
пендикулярно магнитному полю, то он не пропустит несмещен-
ную линию, а пропустит смещенные линии. Чтобы они прошли
через второй поляроид, надо их поляризацию повернуть на 90",
что позволяет сделать анизотропная кристаллическая пластинка,
создающая сдвиг фаз между обыкновенным и необыкновенным
лучами, соответствующий х/2. Так как у смещенных компонент
разные длины волн (одинаковое смещение от несмещенной, но
в разные стороны) ж‘ и ж", то выполняется условие
тж + 23/2 = тж" - щ2. (629)
Если первый поляроид ориентирован так, что пропускает не-
смещенную линию, то, чтобы она не прошла через второй поляро-
ид, сдвиг фаз в кристалле должен отсутствовать. Объединяя это
с условием для смещенных компонент (6;29)‚ получаем
тж = тж + ›„°/2 = тж" - ›„°°/2 = дм. (6.30)
Обозначая частоту несмещенной компоненты ш и используя
(6.28)‚ имеем: ж‘ = 2тсс/(со + О) и ж" = 2пс/(ш — П). Из (6.30) находим
173
т + 1/2 = с1Ап(оо + (2)/(21тс)‚ т — 1/2 = дАп(со — О)/(2пс).
Вычитая эти равенства, получим
1 = дАп-2О/(2пс) = дАпеВ/(4птес2)‚
откуда
В = 4тстес2/(ес1Ап).
Атомарный водород помещен в магнитное поле 2 Тл, много
большее характерного поля атома, т. е. магнитного поля атома,
действующего на электрон. Определим максимальную дополни-
тельную энергию (в эВ), которую приобретает атом в состоянии
п =‚3‚ и нарисуем картину расщепления этого уровня (Мг 6.31).
В соответствии с (5.З4) максимальное тд = 2, тд = 1 1/2. Расщеп-
ление уровня на подуровни показано на рис. 6.10. В соответствии
с (6.23) АЕ = Зрв = 3‚4-10-4 эВ. Расстояние между подуровнями оп-
ределяется (6.28).
8:0 тд тд. тд+2тд
В= 3
//г—— 2 1/2
,—-——— 1 1/ 2
ф { о +1; 1
/ / 2 —1/2
\\ ъ‘ +1/2
\\ 2 -1/2 —1
чщ _1` +1/2 _2
‘1/2
б “2 ‘1/2 "З
Рис. 6.10
Наблюдается простой поперечный эффект Зеемана в магнит-
ном поле 5000 Гс. Найдем, какова должна быть минимальная дли-
на Ьр дифракционной решетки, чтобы разрешить все линии зеема-
новского триплета (М9 6.32). Для решетки разрешающая способ-
ность (4, с. 190) К = МАХ = Ьр/х. Из (6.28) расстояние между
подуровнями
АЕ= р Б В= ейВ/(2тес) = йАш = й2тссА7ь / 73.
Подставляя это в выражение для длины решетки, получаем
Ьр = 78/13?» = 4тстес2/(еВ) = 4,3 см.
Определим верхний предел расстояния Ьтах между зеркалами
интерферометра Фабри — Перо, чтобы с его помощью можно
174
1
1
было исследовать (без перекрытия спектров разных порядков)
простой эффект Зеемана в магнитном поле В = 1 Тл (Не 6.35). Ис-
пользуя (4‚ с. 190), находим разрешающую способность интерфе-
рометра К = МАХ = тМ где А’ — число отражений от зеркал ин-
терферометра; т = 2Ь/х — порядок интерференции. Чтобы не
было перекрытия спектров последующих порядков для дисперси-
онной области должно выполняться Аж < х/т. Используя (6.28)‚
для зеемановского расщепления можно записать
Асс/со = м/х = цБВ/(йш) = еВ/(2 т‚ссо) = еВх/(4пт,с2). (6.31)
Для этих величин из предыдущих соотношений получаем
МАХ > т > (гм/джинн), (6.32)
т. е. максимальное т, а, следовательно, и максимальное Ьтх при
А’ = 1, поэтому Ьта, = 2птес2/(еВ) а: 1,1 см.
Определим, какой эффект Зеемана — простой или сложный -
наблюдается при расщеплении спектральной линии ‘В, —› ‘Д
в магнитном поле В = 104 Гс. Найдем, в каких пределах должно ле-
жать расстояние Ь между зеркалами интерферометра Фабри — Пе-
ро, чтобы обнаружить и исследовать зеемановское расщепление
линии, если зеркала посеребрены так, что эффективное число от-
ражений между ними Пэф = 20 (Не 6.36). Эти состояния с нулевым
спином 8 = О (28 + 1 = 1), синглеты. В таком случае независимо от
величины магнитного поля эффект Зеемана всегда простой. Ис-
пользуя полученные в предыдущей задаче формулы (6.32), (6.31)
и т = 21/71, находим
' пт,с2/(еВ1\’эф) < Ь < тстесдг/(еВ).
В рассматриваемом случае 0,27 мм < Ь < 5,4 мм.
В спектре лития две первые линии главной серии принадлежат
переходам 22Р„2 —› 225‚„ и 22Р3д —-› 225щ. Длины волн этих линий
равны ж, = 0,67О78О мкм и ж, =О‚67О795 мкм. Оценим индукцию
В магнитного поля, которое создает орбитальное движение электро-
на в атоме лития в состоянии 2Р (Мг 6.39). Энергия спин-орби-
тального расщепления (6.26) связана с поворотом спина электро-
на в магнитном поле, созданным его орбитальным движением.
Для нахождения этого поля воспользуемся (6.12). Откуда АЕ =
= 2рБВ. В результате В я ппсдх/(двхг) 2 3 кГс.
Оценим, какое минимальное магнитное поле В можно обнару-
жить у звезды типа Солнца (период вращения т = 106 с, радиус К =
= 10") см, температура поверхности Солнца Т = 6-103 К) с помо-
175
щью эффекта Зеемана в оптической области спектра (то = 1О'5 с-')
(М 6.44). Чтобы обнаружить зеемановское расщепление (6.31)‚ его
величина должна быть больше доплеровского уширения линии за
счет теплового движения атомов и вращения звезды. Используя
формулы для эффекта Доплера (1, с. 167) и тепловой скорости (2,
с. 163), находим
Аш/ш = 2рБВ/(йсо) > (Ат/шьет, + (Аш/содращ = (итш + ивраид/с,
где пнращ = 2кК/т = 6‚28°1О4 см/с << отд = [3КБТ/(2тр)]'/2 =
= 0‚9°1О6 см/с.
В результате В > псо„/(2рБс)[3/‹БТ/(2тр)]1/2 н 0,2 Тл = 2000 Гс.
Найдем минимальную величину магнитного поля В, в котором
происходит перекрытие крайних компонент магнитных подуров-
ней атома водорода в возбужденных состояниях с главными кван-
товыми числами п, = 10 и п, = 11, не учитывая собственный маг-
нитный момент электрона (Мг 6.45). Из (6.41) следует, что 1= п — 1.
Без учета собственного магнитного момента электрона макси-
мальный магнитный момент возбужденного атома будет равен р =
= рБ(п — 1). Если моменты направлены противоположно, то в маг-
нитном поле АЕ = цБ(п, — 1 + п, — 1). В соответствии с (4.3) для
возбужденных состояний получаем АЕ = Кэ(1/п‚2 —, 1/п22). В резуль-
тате находим
В = (К/НБЖПИЕ - 1/п22)11/(п. + п; — 2)! т (Кэ/дьд/п‘ т 2‚3°105 Гс,
гдепъщзп, = 10.
Оценим расщепление 2Р-состояния позитрония, вызванное
взаимодействием спиновых магнитных моментов позитрона
и электрона (М9 6,46). Используя (4.9) и учитывая, что приведен-
ная масса равна те/2, получаем расстояние между электроном
и позитроном в 2Р- состоянии:
г = Зт/(теед).
Поле магнитного диполя (3, с. 189) В: цБ/гЗ. Используя (6.12)‚
для разности энергий магнитного взаимодействия электрона и по-
зитрона В СОСТОЯНИЯХ ‘С параллельными И антипараллельными
спинами получаем
АЕ = 2цБ2/г3 = тес3а4/1О24 = 1‚4-1О-° эВ,
или в длинах волн м ъ 88 см.
Определим ОТНОШЕНИЕ ИНТЕРВЯЛОВ МЕЖДУ СОССДНИМИ подуров-
НЯМИ сверхтонкой СТРУКТУРЫ атомного МУЛЬТИПЛСТЗ С ЗЗДЗННЫМ
ЗНЗЧВНИСМ ПОЛНОГО момента 1 И СПИНОМ ядра 1, представляющим
176
его полный момент импульса (Не 6.47). Магнитный момент ядра,
пропорциональный 1, находится в магнитном поле оболочки, про-
порциональной 1. Возникает дополнительная энергия
И/= А(1‚ Л), (6.33)
где А — константа.
Полный момент атома Р = 1 + 1. Квантовое число полного мо-
мента Р в зависимости от угла между 1 и „1 может принимать сле-
дующие значения
г= 1 + 1, |1 + 1- 1|‚ |1- 1.| (6.34)
Существует правило интервалов Ланде. Оно получается сле-
дующим образом. Все подуровни, на которые расщепляется оди-
ночный уровень, характеризуются одними и теми же значениями
квантовых чисел 1 и 1, но различными значениями квантового
числа Р} соответствующими всем допустимым значениям угла ме-
жду векторами 1 и 1. Расстояния между соседними подуровнями
в соответствии с (6.33) и (6.34) удовлетворяют соотношению
(1+./):|1+./- 1|:|1+./—2|:
Взаимодействие магнитных моментов протона и электрона
в атоме водорода приводит к расщеплению энергетических уров-
ней и возникновению сверхтонкой структуры. Излучение меж-
звездного атомарного водорода, находящегося в основном состоя-
нии, вызвано переориентацией электронного спина, т. е. перехо-
дами между компонентами сверхтонкой структуры. Оценим длину
волны к этого излучения. Для оценки заменим истинное распре-
деление плотности спинового магнитного момента электрона та-
ким, которое дает однородно намагниченный шар радиуса гБ. Раз-
магничивающий фактор шара В = 4п/3. Магнитное поле внутри
шара Н = —[3М‚ где М — намагниченность. Магнитный момент
протона равен др = джрядзр, где 3,1, = 5,58 — спиновый д-фактор про-
тона; яр — его спин (Мг 6.48).
Ядерный магнетон Бора
ряд = ей/(2тр) = 5‚О5°10'27 Дж/Тл = 5‚О5-10‘24 эрг/Гс, (6.35)
где тр — масса протона.
Пользуясь (3, с. 173, с. 186) и не вдаваясь в модель взаимодей-
ствия магнитных моментов электрона и ядра, заметим, что поле от
магнитного момента электрона, сосредоточенного или размазан-
ного по атому, будет одно и то же, так как М = де/(4пгд/3). Для
энергии сверхтонкого расщепления имеем (6.12)
АЕ = 2ррНе/ГБЗ9
12-830 177
где м, = тьма: и, = вдень (в, = 158: за = 2: гр = 8, = 1/2)-
В результате х = 2ксй/АЕ н 1 м.
Магнитное поле, создаваемое электроном с 1: О в месте нахо-
ждения ядра, является суммой поля его орбитального движения
В, = —3,р,51/г3 (здесь! — орбитальный момент количества движения
электрона) и поля диполя, связанного с собственным моментом,
т. е. спином электрона з. Аппроксимируя последнее как В, =
= —3_‚рБ$/г3‚ оценим сверхтонкое расщепление уровня 2Р3„ атома во-
дорода. Спиновое гиромагнитное отношение для протона 3, =
= 5,58, орбитальное и спиновое гиромагнитные отношения для
электрона равны соответственно 3, = 1 и 3, = 2 (Мг 6.49). На маг-
нитный момент ядра действует магнитное поле, создаваемое элек-
троном,
в = —иь(3д + з‚з›/гз.
Для максимального значения, используя (4.9), получаем
В = 2рБ/г3‚ г = п2й2/(тее2) = п2гв.
Как и обычно (6.9), для магнитного момента ядра имеем др =
= гррядзр = 2‚79р„д‚ где мы — ядерный магнетон Бора, а яр = 1/2 —
квантовое число спина протона. В результате с учетом (6.12)
АЕ = 4рврр/(пбгв3) = 11‚16рБр„„/(п6гБ3) = 0,34 эВ.
Известно, что космическое излучение на длине волны х = 21 см
обусловлено сверхтонким расщеплением основного состояния
атомарного водорода. Оценим на основе этих данных энергетиче-
ское расщепление (в эВ) 2Р-состояния позитрония (Мг 6.50). Ис-
пользуя (6. 12), для основного состояния атома водорода получаем
АЕН = 2пйс/Ж = 2ррре/гв3 = О‚59°1О"5 ЭВ,
Где др = дядя де = дв-
Используя (4.9), (4.10) и (6.12), находим
АЕШ = 21152/13, г = 2п2й2/(теед) = 8гв.
В результате
АЕ„„/АЕ„ = рБ/(8р„д) = тр/(8-2‚79т,‚) = 1,285,
откуда АЕш = О‚76-1О-5 эВ.
Взаимодействие магнитных моментов нейтрона и электрона
может формально привести к связанному стабильному состоянию
этих частиц. Найдем, каков характерный размер такой системы,
178
если движение электрона считать нерелятивистским (М9 6.51). Для
стабильности (финитности) системы при нерелятивистском рас-
смотрении для энергии должно выполняться соотношение
Е = рг/(2те) — нем/г’ < 0-
Импульс электрона, вращающегося вокруг нейтрона, можно
оценить из соотношения неопределенностей р мй/п Получаем Е а
= й2/(2тегг) — дерн/г’. Радиус стационарной орбиты оценим из ус-
ловия минимума энергии дЕ/дг = О: г = 3цеднте/й2 н 81046 см <<
<< й/(тнс) а 2°10-‘4 см — комптоновская длина волны нейтрона.
В данном случае нельзя рассматривать нейтрон как точечную час-
тицу Таким образом, система из нейтрона и электрона невозможна.
Система из двух тождественных частиц со спином ‘/2 находится
в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной
с! с бесконечно высокими стенками. Каждая частица обладает массой
т и магнитным моментом р, направленным параллельно механиче-
скому моменту Пренебрегая дипольным взаимодействием частиц,
определим величину магнитного поля, которое необходимо прило-
жить для намагничивания такой системы (Мг 6.52). Находясь на ос-
новном уровне, частицы с полуцелым спином обязаны по принципу
Паули иметь противоположно направленные магнитные моменты
(намагниченности нет). Прикладывая магнитное поле, подводим
энергию (6.12)‚ которой достаточно, чтобы перевести систему на бо-
лее высокий уровень (3.4О). Из этих соотношений имеем
2цВ = й2п2(22 — 12)/(2та'2).
В результате В = 3й2п2/(4ртс12).
Атом водорода в основном состоянии помещен в магнитное
поле В. Оставаясь в рамках боровской модели атома водорода,
оценим, при какой его величине размеры атома в плоскости, пер-
пендикулярной полю В, начнут уменьшаться (Мг 6.53). Квантовый
характер требует определенной величины силы Лоренца, превос-
ходящей характерные силы е2/г2 = тид/г, т. е.
еиВ/с 2 е2/г2.
Используя соотношение неопределенностей, получаем и =
=р/т т й/(тг) и В 2 т2се3/й3 в 109 Гс.
Найдем энергию магнитного взаимодействия двух атомов во-
дорода, находящихся на расстоянии 3-10-6 см. Считаем, что элек-
троны в атомах движутся по первым боровским орбитам. Плоско-
‚г. 179
сти орбит обоих атомов параллельны. Спин электрона не учитыва-
ем (Мг 6.54). Расстояние между атомами велико по сравнению с их
размерами, поэтому их можно рассматривать как магнитные ди-
поли. Используя (3, с. 215) для поля по направлению, перпендику-
лярному диполю, получаем В = рь/г’. С помощью (6.12) находим
Е = злы/в в 32-10-24 эрг = 2-10-‘3 эВ.
Свободные атомы могут обладать магнитным моментом, но не
имеют дипольного электрического момента. Атомы, входящие в со-
став кристаллической решетки‚ при известных условиях могут
иметь такой момент. В этом случае возможен параэлектрический
резонанс, аналогичный парамагнитному Найдем дипольный мо-
мент атома рат, если известно, что резонансное поглощение элек-
тромагнитных волн с длиной волны Ж = 5 мм наблюдается при на-
пряженности постоянного электрического поля Еэл = 2,5-103 кВ/м.
Оценим размер 1 атомного диполя (М9 6.55). Связь между рат, ЕМ
и поглощаемой энергией Е должна соответствовать (6.12), поэтому
Е = 2тссй/Ж = 2ратЕ
эл 9
откуда ра, = 2тссй/(7ьЕдл) ж 43-10-13 ед. СГСЭ и размер диполя 1 =
= рат е а 1 А
Известно, что в сильных магнитных полях, когда магнитное
расщепление пВ превышает расстояние между линиями тонкой
структуры Пи, в оптических спектрах, соответствующих 2Р —› 25’
переходам, наблюдаются три линии. Однако при измерениях с вы-
сокой разрешающей способностью видно большее число линий
спектра. Их наличие обусловлено спин-орбитальным взаимодей-
ствием. Вклад этого взаимодействия в энергию атома можно рас-
сматривать как малую добавку и считать его равным А<(5‚ Ь)>, где
А — константа; 5 и Ь — соответственно спиновый и орбитальный
моменты атома, а угловые скобки означают усреднение по основ-
ному состоянию. Нарисуем истинную картину расщепления атом-
ных уровней и результирующую структуру спектра при учете
спин-орбитального взаимодействия. Найдем, чему равно тонкое
расщепление спектра (М) 6.56). В сильных полях спин-орбиталь-
ная связь разрывается. Обычная картина расщепления показана
на рис. 6.11 сплошными линиями. Для расщепления линий тон-
кой структуры имеем: <(/_„> = А<5‚ Ь> = А<Ьх$х + ЬУЗУ + Ь,$,> =
= А<Ь,$,> = Атдтз. Линии с т, = О (так называемые к-компонен-
ты) не расщепляются, а о-линии становятся дублетами, раздвину-
тыми на А/2 по энергии или на А/й по частоте.
180
та та
{91_. _ 1 ‘Д
/ __' Фив”
21, /,/ о 1/2
+1 +1/2
\ ›——‹ г-
\<:::т 0 ‘Чё.
х1 Ч н-ц _ _1 _1/2
А/Л
/Ё т ш О и
Т——<\ Р
\_ Ш 11 о 1д
А А
”Ё Ё‘
в! Н
О ‘П О’)
Рис. 6 11
В соответствии с (6.21) и (6.25) у атомов, обладающих магнит-
ными моментами (парамагнитных) и находящихся в магнитном
поле, возникает расщепление энергетических уровней. Интервал
между ними
АЕ = 11538. (6.36)
Спонтанные электромагнитные переходы между расщеплен-
ными уровнями маловероятны. Они будут происходить под дейст-
вием достаточно сильного внешнего электромагнитного излуче-
ния, если кванты соответствуют энергии переходов
то = 11533. (6.37)
Это условие для определения резонансной частоты электрон-
ного парамагнитного резонанса (ЭПР). Если расщепление связано
магнитным моментом ядра, то возникает ядерный магнитный резо-
нанс (ЯМР), для которого
то = рддгв. (6.38)
При резонансе энергия передается как от поля к атому, так и в
обратном направлении. При тепловом равновесии количество
атомов с меньшей энергией превышает количество атомов с боль-
шей энергией. Преобладают переходы, увеличивающие энергию.
Парамагнетик нагревается. Пока различается число атомов с раз-
личными магнитными моментами (нет насыщения) вещество на-
магничено.
181
При наблюдении ЯМР на ядрах “М; обнаружено резонансное
поглощение излучения на частоте и = 1,4 МГц в поле В = 5,4 кГс.
У ядра 25М3 спин 1 = 5/2 (спином ядра принято называть его пол-
ный момент импульса). Найдем д-фактор и магнитный момент
ядра (М9 6.57). В соответствии с (6.38) и определением д-фактора
т» = дщдв, где мы = 5,О5°1О-24 эрг/Гс. Откуда 3 = 0,34. Магнитный
момент (его максимальная проекция), как и в (6.9).
ц = дни] = 0,85 ряд.
Для измерения магнитных полей В е 0,1 кГс используют метод
ЯМР в проточной, предварительно намагниченной пропусканием
через область магнитного поля (В = 10 кГс) воде. Время перемеще-
ния воды до измерительной ячейки гораздо меньше времени ре-
лаксации намагниченности. В экспериментах обычно измеряют
поглощение мощности (энергии) переменного поля. Поэтому сиг-
нал это поглощенная мощность (энергия), равная ММ где А! —
число поглощенных квантов. Оно равно числу ядер (электронов),
совершивших переход между двумя магнитными подуровнями,
т. е. разности заселенностей двух (для простоты) уровней при дан-
ной температуре. Оценим увеличение сигнала ЯМР в намагничен-
ной воде по сравнению с сигналом для ненамагниченной воды
(Не 6.58). Тепловое движение старается нивелировать всякую на-
магниченность. В результате устанавливается больцмановское
равновесие (2, с. 188). Потенциальная энергия определяется (6.38)
цв 3 В т 10-‘7 эрг, что много меньше КВТ "4-10-‘4 эрг Разность насе-
двВ
КВТ
как величины полей. Увеличение сигнала будет в 100 раз.
ЛСННОСТСЙ АН?‘ А] . Числа ПОГЛОЩСННЫХ квантов ОТНОСЯТСЯ
Найдем, как изменится сигнал ЯМР при увеличении резонанс-
ной частоты в два раза, считая, что магнитная энергия рБВ << КВТ
(Мг 6.59). Для возникновения резонанса должно быть (6.38):
рБ3В = то. Как получено в предыдущей задаче, амплитуда сигнала
(поглощенной мощности) пропорциональна АМйш е рБВйш ^— 003,
поэтому сигнал увеличится в 4 раза.
В методе адиабатического размагничивания низкая температура
получается при выключении внешнего магнитного поля за счет
энергии, затрачиваемой на разориентацию атомных или ядерных
магнитных моментов в теплоизолированном образце. Оценим
предельно низкую температуру, до которой можно охладить систе-
му ядер “Си таким методом. Спин ядра “Си равен 1 = 3/2, среднее
расстояние между ядрами в решетке меди а‘ = 2,5 А. Известно, что
182
ядерный магнитный резонанс на ядрах “Си 1 э 1 ф 1 }
наблюдается на частоте у = 11,31 МГц в поле Ч_‚
В = 10 кГс (М: 6.60). Внешнее магнитное поле д
переводит систему в парамагнитное состоя- Рис_ 6.12
ние, в котором магнитные моменты ядер ори-
ентированы по полю. Начальная температура
уже небольшая КБТ<< рядВ. При выключении внешнего магнитно-
го поля происходит разупорядочение системы за счет теплового
движения и снижение ее температуры. Ограничение разупорядо-
чения связано с возникновением устойчивого антиферромагнит-
ного упорядочивания, связанного с взаимодействием между бли-
жайшими соседями в цепочке ядер (рис. 6.12). Энергия взаимо-
действия и определяет минимально достижимую температуру
Ею = р2/а7’ а КВТ (6.39)
Из условия резонанса т» = дрдВ. Отсюда определяем 3 и нахо-
дим р = 3р„д1. В результате
Т„„„ = ьгмгр/(вгквдз) в О,6-1О-7 К.
Определим намагниченность насыщения Мд образца металли-
ческого диспрозия (плотность р = 8,55 г/см’) при температуре,
близкой к абсолютному нулю. Полный момент иона диспрозия
Ну” 1 = 15/2, а электронный парамагнитный резонанс на ионах
диспрозия наблюдается в магнитном поле Вред = 1000 Гс на частоте
у = 1,9-1О9 Гц (М: 6.63)". Из условия резонанса (6.37) находим рве =
= Иу/Вш. Откуда для иона диспрозия р = рве! = Иъд/Врез. Вводя
атомную массу диспрозия А и число Авогадро МА, находим (2, с. 8)
массу одного иона то = А/М, и число ионов в единице объема
п = р/то = рЫА/А. Для намагниченности (3, с. 173) получаем: Мо =
= рп = ЫАрЛту/(АВРСЗ) =298О Гс.
Электронная конфигурация трехвалентного иона итгербия
представляет собой полностью заполненные оболочки Хе + 41".
Найдем, на какой частоте наблюдается электронный парамагнит-
ный резонанс на ионах УЬ” солей трехвалентного итгербия в маг-
нитном поле В = 103 Гс (М: 6.61). Напомним, что существуют два
полуэмпирических правила Хунда, относящиехся к системе экви-
валентных электронов, т. е. электронов, находящихся в одной обо-
лочке (у них одинаковые п и 1).
1. Минимальной энергией данной электронной конфигура-
ции обладает терм с наибольшим возможным значением спина 5 и
с наибольшим возможным при таком 5‘ значении Ь.
2. При этом квантовое число 1 = |Ь — б], если оболочка запол-
нена менее, чем наполовину, 1 = Ь + 5 — в остальных случаях.
183
Таким образом, из всех разрешенных квантовой механикой
значений ./ при заданных Ь и 5 в основных состояниях атомов реа-
лизуются только крайние значения. В более тяжелых атомах могут
иметься две незаполненные оболочки. В этом случае сначала оп-
ределяются суммарные квантовые состояния электронов, принад-
лежащих каждой незаполненной оболочке, а затем рассчитывают-
ся квантовые числа всего атома. Для этого полученные квантовые
числа вновь складываются по правилам Хунда.
‚ В данной задаче, так как оболочки 55 и 5р
3 заполнены, парамагнитные свойства иона
определяются 13 электронами незаполнен-
ной 4у4оболочки. В соответствии с первым
1 правилом электроны располагаются так, что-
о бы образовать максимальный спин и при
_1 этом и максимальный орбитальный момент
(рис. 6.13). На Х-оболочке (1 = 3) имеется
2(21 + 1) = 14 мест, из которых заняты 13.
‘3 Максимальные проекции на выделенную
рис, 5_13 магнитным полем ось 5 = 1/2, Ь = 3. По вто-
рому правилу Хунда 1 = Ь + 5’ = 7/2. С помо-
ЩЕЁКЁЁЁО), находим 3 = 8/7. Используя (6.37), имеем: им = дцвВ/И =
= ’
2
-2
—-‹> ЫЬ —> —› —› —Ь —>
‹—‹—‹—‹—‹—1—
Электронный парамагнитный резонанс обусловлен перехода-
ми между подуровнями с различными проекциями магнитного
момента. Найдем частоту ЭПР для солей трехвалентного празеоди-
ма в магнитном поле В = 0,1 Тл. Электронная конфигурация Рт“
представляет собой полностью заполненные оболочки Хе + 4]?
(Мг 6.62). На }оболочке (1= 3) имеется 2(21+ 1) = 14 мест, заняты
только два. Максимальное 5 = 1/2 + 1/2 = 1. Максимальное Ь =
= 3 + 2 = 5. По второму правилу Хунда 1 = |Ь — 5] = 4, так как обо-
лочка заполнена меньше, чем наполовину. Фактор Ланде (6. 10) 3 =
= 4/5. Из (6.37) у = дцвВ/И = 1,12-1О9 ГЦ.
В атомах хлора, находящихся в основном состоянии 2Р3/2, один
из электронов с 1, = 1 из Зр-оболочки переведен в ЗаУ-оболочку
При этом полученная конфигурация обладает максимально воз-
можными Ь и 5 и минимально возможным .1. Найдем, на сколько
компонент расщепится пучок таких возбужденных атомов хлора,
если его пропустить через прибор типа Штерна — Герлаха. Объяс-
ним полученный результат на основе векторной модели (Мг 6.65).
В результате перевода одного электрона получили систему, изо-
браженную на рис. 6.14. Чтобы были максимальными Ь и 5, элек-
трон`переходит на 1, = 2 и переворачивает спин. В результате „ш-
184
2
1-ь31д— 1
о
3:1
Рис. 6.14
= 4°1/2 + (—1/2) = 3/2, Ьгтах =1+ О + (—1)+ 2 = 2. Таким образом,
у возбужденного атома хлора 1 может иметь значения 7/2, 5/2, 3/2,
1/2 (./„„„ = 1/2). Для фактора Ланде из (6. 10) получаем д = О. В маг-
нитном поле пучок должен расщепиться на 21+ 1 = 2. Расстояние
между ними в соответствии с (6.21) и (6.25)‚ АЕ = 3 цв! = О, так как
3 = О. Следовательно, пучок не расщепляется. Используя вектор-
ные обозначения, для суммарного механического момента атома
получаем .1 = Ь + 5 (сумма орбитального и спинового). Суммар-
ный магнитный момент
_р'сум = „В!“ +
Проекция рт, на 1 равна
“Р: = —|'.'сум =
При 3 = О рсум перпендикулярно .1.
Образец тефлона (полимера с химической формулой(СР‚)‚‚‚ где
п — целое число) массой 50 г намагничивается в магнитном поле
В = 20 кГс при температуре Т = 0,05 К. Намагничивание обуслов-
лено расщеплением основного состояния ядра фтора ЁР (спин
ядра- его полный момент импульса — 1 = 1/2) в магнитном поле
на два подуровня. При выключении поля образец получает мо-
мент импульса Ь = 24‚2-1О-° эрг-с (аналог эффекта Эйнштейна —
де Гааза в ферромагнетиках). Определим магнитный момент ядра
фтора (Мг 6.66). В атомных единицах СР2 = 12 + 2-19 = 50. Соот-
ветственно, молярная масса 5Оп г/моль. Следовательно, в 50 г со-
держится 1/п молей тефлона. Число молекул в моле равно числу
Авогадро МА. В каждой молекуле тефлона 2п ядер фтора. Всего
в образце 21\’А ядер фтора. На рис. 6.15 показана схема расщепле-
ния уровня основного состояния на два подуровня (так как спин
ядра равен 1/2) и распределения ядер по подуровням: на верхнем
А’: = А’, на нижнем А’, = М, — А’, где М, — полное число ядер. Рас-
пределение ядер по подуровням регулируется распределением
Больцмана (тепловым движением) (2, с. 188)
185
Против поля
в 4 1 п
о ъ о “Г”
2,48 По полю
г т г т
Рис. 6.15
М/М = П/(М, — М = ФХРЕ-ЁНВ/(Квдъ (6-40)
где р — магнитный момент ядра фтора.
Считая его порядка ядерного магнетона Бора цв, получаем
2,458 = 210-‘9 эрг << КБТ= 6‚9-1О-'® эрп
Это позволяет преобразовать экспоненту В результате
АА’ = М — П, = М, — 21\’н ПОрВ/(КБТ).
При снятии поля половина ядер изменит направление магнитно-
го момента на противоположное (тепловое движение устанавливает
такое равновесие, когда магнитный момент образца равен нулю).
Следовательно, механический момент изменится на величину
йАЫ/2 = рВйП/(2КБТ) = рВйЫА/(КБТ) = Ь,
откуда ц = 2,62 мы = 13,25°10-24 эрг/Гс.
В атоме гелия состояние 35‘, отстоит от основного на 20 эВ.
Оценим, в какое магнитное поле нужно поместить атом гелия,
чтобы выстроить спины его электронов параллельно (Мг 6.67). За-
данному состоянию соответствует спиновое число 8 = 1, орби-
тальное число Ь = О и суммарное 1= 1. Из (6.12) следует, что для
перевода одного электрона в направлении поля его энергию надо
увеличить на АЕ = 20 эВ = 2рБВ. Откуда В = 1‚7-109 Гс.
Образование молекул водорода происходит только в том слу-
чае, если спины двух сталкивающихся атомов антипараллельны.
В настоящее время предпринимаются ПОПЫТКИ хранения атомар-
ного водорода при низких температурах в сильных магнитных по-
лях. Оценим степень деполяризации а атомарного водорода, опре-
деляемую отношением числа атомов с антипараллельными спина-
ми к их полному числу, при температуре Т = 1 К в магнитном поле
В = 10 Тл (М 6.68). Используя (6.4О), находим
186
а = 21\’/^/ = 2ехр[—ивВ/(/‹в731/{1 + ехЫ-ивд/(КБПН =
= 2ехр[—нвВ/(/<в7`›1 = 3°10-°.
Атомы, обладающие магнитным моментом, могли бы образо-
вать упорядоченную структуру за счет магнитного взаимодействия.
Оценим, при какой максимальной температуре это еще возможно,
если межатомное расстояние а = 3 А (типичное значение постоян-
ной решетки в твердом теле) (Мг 6.69). Взяв за характерное значе-
ние магнитного момента атома магнетон Бора и используя (6.39)‚
находим Ттах н дБ2/(Ка3) 2 2-10-2 К. Нагревание разупорядочивает
структуру Такая оценка не годится для ферромагнетиков, ДЛЯ ко-
торых соответствующее значение температуры (точка Кюри) со-
ставляет 10-1000 К, так как у них упорядочение другой природы
(обменное взаимодействие).
Атом водорода находится.в состоянии с энергией Е = —3‚4 эВ,
и при этом радиальная часть волновой функции ни разу не обра-
щается в нуль на интервале 0 < г < оо. Найдем, на сколько подуров-
ней расщепится данный энергетический уровень в сильном маг-
нитном поле (Мг 6.74). Используя (4.4), (4.14) и (4.17)‚ находим
главное квантовое число п = (13,6/3‚4)‘/2 = 2. Из связи главного,
радиального и орбитального квантовых чисел
п=п‚+1+1 (6.41)
и условия отсутствия обращения волновой функции в нуль, что
соответствует п, = О, имеем 1 = 1, т. е. 2р-состояние. В соответствии
с (6.23)
т, = тд + 2т5 = 12, 11, О. (6.42)
Число подуровней равно 5.
В случае, если радиальная часть волновой функции один раз
обращается в нуль на интервале О < г < оо (М9 6.75), п, = 1, а != О.
Получаем 2в-состояние (синглетное), которое расщепляется на
два подуровня независимо от величины магнитного поля.
В спектрах газовых туманностей наблюдаются линии, которые
долго не могли отнести ни к одному из известных элементов и по-
этому приписывали их гипотетическому элементу «небулию»
(пеЬи/а — туманность). Впоследствии выяснилось, что это линии
ионов кислорода и азота. Наиболее интенсивные линии «небулия»
соответствуют переходам ‘В, —-› 3Р, (ж, = 5007 А) и ‘В, —› 3Р, (ж, =
= 4959 А) иона О”. Энергия спин-орбитального взаимодействия
Ед = А<([‚, 5)>‚ где А — константа (для иона О“ константа А > О),
а угловые скобки означают усреднение по направлению векторов
187
орбитального момента Ь и спина 5. Найдем длину линии перехода
ЗР, -› ЗРО в схеме Рассела — Саундерса (АУ-схема) (М9 6.76, Мг 6.77).
Не слишком тяжелым атомам присуща нормальная связь (Рас-
сел — Саундерса), заключающаяся в том, что орбитальные момен-
ты электронов взаимодействуют между собой сильнее, чем со спи-
новыми моментами. Аналогично ведут себя и спиновые моменты.
Поэтому все орбитальные моменты складываются в результирую-
щий орбитальный момент Ь, а все спиновые — в результирующий
спиновый момент 5. Их взаимодействие определяет суммарный
момент
.1 = Ь + 5. (6.43)
Квантовое число полного момента может иметь одно из сле-
дующих значений:
1=Ь+5‚Ь+5-1‚„.‚|Ь-51‚ (6.44)
где Ь и 5 — соответственно, квантовые числа орбитального и спи-
нового моментов. Как обычно, например (5.16)‚
ПР/й? = ./(./ + 1); (6.45)
|Ц2/й2 = [‚([, + 1); (6.46)
|5|2/й2 = 5'(8 + 1). (6.47)
Возводя (6.43) в квадрат, получаем
Ш? = |Ц2 + |5|? + 2(Ь, 5). (6.48)
В результате
(Ь‚ 5) = (ПР — |Ц2 — |5Р)/2 =
= (й2/2)[ ./(./ + 1) — [‚(1‚ + 1) — 8(5' + 1)]. (6.49)
В данной схеме в результате спин-орбитального взаимодейст-
вия снимается вырождение и происходит расщепление терма ЗР
на подуровни тонкой структуры 3Р2‚ 3Р‚. ЗРО. Из условия и (6.49)
имеем значение энергии, на которое отличается энергия подуров-
ней от энергии терма:
55, = А<(Ь, $)> = (АН /2)[ 1(1+ 1) - 1.([‚ +1)- 5 (в + 1)1‚
При этом
все) - Бог.) = [Ест + Е„‹1 = 2›1 -
415010) + Е‚_‚(./= 1)1= 2,412? > о.
Знак константы спин орбитального взаимодействия опреде-
ляется правилом Хунда. Электронная конфигурация О“ (см.
188
табл. 5.1): 1э22$22р2 и в незаполненной Ь-оболочке, содержащей
2(21 + 1) = 6 мест, занято всего 2 места.
Аналогично
Бег.) - Бою = [Бою + Еци = 1›1 - [все + Е„‹1 = о›1 = Ат.
В соответствии с постулатами Бора, согласно которым излуче-
ние происходит при переходе с более высокой орбиты на более
низкую,
Е(3Р2) — Е(3Р,) = [Е(‘В2) — Ис/ЖД — [Е(‘В‚) — Ьс/м] =
= ИСП/м — 1/7ь‚).
Аналогично
Е(’Р‚) — ЕРРО) = [Е(3Р2) —Е(3Рд1/2 = Ис(1/?»2 — 1/Ы/2 = Ис/х,
откуда х = 2ж‚›„2/(ж‚ - м) = 1034 571‚4 А н 0,01 см.
Так как атом мюония (ш е -) состоит из двух «точечных» час-
тиц, для него не нужно вводить при расчете уровней энергии ни-
каких поправок на конечный размер ядра. В результате очень точ-
ных измерений частоты перехода 1253/2 —› 225„2‚ проведенных
в 1992 п, было получено значение у = 2 455 529 ГГЦ. Найдем из
этих данных отношение массы мюона к массе электрона (Мг 6.40).
Приведенная масса тщ, = тдте/(тд + те). Из (4.17)
[ту = т„ре4(1/ 12 — 1/22)/(2й2).
Используя (4.19)‚ получаем
тр/те =. [ЗКФ/(Зтсйу) - 1]-'= 2О4‚585.
Пучок атомов, находящихся в основном состоянии, расщепля-
ется в эксперименте типа Штерна — Герлаха на 9 компонент. Маг-
нитный момент атома в этом состоянии равен 2‚4рБ. Найдем орби-
тальный момент атома в данном состоянии, если мультиплетность
при этом равна 5. Момент в атомной физике — это величина его
максимальной проекции (М9 6.80). Количество компонент расще-
пления определяет суммарный момент атома 2.1 + 1 = 9, откуда
1 = 4. По условию мультиплетность 25 + 1 = 5, откуда 5‘ = 2. По-
скольку магнитный момент равен 2‚4цБ‚ оболочка заполнена
меньше, чем наполовину. Из второго правила Хунда ./ = |Ь - 5]. От-
сюда Ь = 6.
7. Ядерные модели. Радиоактивность.
Эффект Мессбауэра
Экспериментальные исследования позволили создать плане-
тарную модель атома (Резерфорда — Бора). В основном вся масса
атома сосредоточена в центре атома в ядре, вокруг которого нахо-
‘дится электронное облако. Размер атома порядка ангстремов (10-8
см). Размер ядра порядка специально введенных единиц - ферми
(10-‘3 см). Ядра состоят из нуклонов: положительно заряженных
протонов (тр = 1‚67239-1О°24 г) и нейтральных нейтронов (т„ =
= 1‚67460-1О-24 г). В ядерной физике массы выражаются также че-
рез массу электрона (т, = 9,1О939°1О-23 г), в виде массы, умножен-
ной на квадрат скорости света, в мегаэлектронвольтах (1 МэВ =
= 1,6О218-1О-° эрг) или в атомных единицах массы, которая равна
1/12 массы нейтрального атома "С (1 а.е.м. = 1‚66О54-1О-24 г
(931,494 МэВ)). Для массы протона получаем 1836‚15 те, 1‚ОО759
а.е.м. и 938,28 МэВ; для массы нейтрона: 1838‚68 те, 1‚О0898 а.е.м.
и 939,55 МэВ.
Число протонов в ядре обозначают 2 и называют зарядовым
числом, или порядковым номером элемента. По абсолютной вели-
чине единица заряда равна абсолютной величине заряда электро-
на. Число нейтронов в ядре обозначают А’. Общее число нуклонов
обозначают А = 2 + А’ и называют массовым числом. Элементы,
у которых одинаковые зарядовые числа (2), называются изотопы,
у которых одинаковое число нейтронов (П), — изотопы, у которых
одинаковые массовые числа, — изобары. Характеристики ядра
символически записывают ЁХ, где Х — символ элемента. По-
скольку 2 определяется элементом, его часто опускают и записы-
вают просто АХ. ‚
Силы взаимодействия между нуклонами (сильное притяжение
только между соседними нуклонами) похожи на силы, действую-
щие в жидкостях, которые фактически приводят к постоянной
плотности. В таком случае объем ядра пропорционален массовому-
числу (числу нуклонов). Из экспериментов следует, что почти по-
стоянная плотность имеется только во внутренней области ядра.
Плавное уменьшение плотности в поверхностном слое порядка
2 фм примерно одинаково для всех ядер. В первом приближении
ядро можно считать сферически симметричным с радиусом
К = г„А‘/3‚ (7.1й)
где п, = (1‚2+1,5)-1О-‘3 см.
Минимальная работа, которую надо произвести, чтобы разде-
лить ядро на составляющие его нуклоны, является мерой его
190
прочности и называется энергией связи. Если массу ядра обозна-
чить М, то для энергии связи получаем
веда А) = [гтр + А’т„ - М(2 А)]с1. (7.2›
В ядерной физике вводится понятие дефекта массы (в атомных
единицах массы — а.е.м.)
мд А) = М(2, А) - А. (7.3)
В таблицах обычно указываются не массы ядер, а массы ней-
тральных атомов, которые больше массы ядер на массы электрон-
ных оболочек. В соответствии с этим вместо дефектов масс ядер
приводят дефекты масс также нейтральных атомов
б(2 А) = Мат(2› А) — А- (7-4)
Определим среднюю плотность ядерного вещества, полагая, что
радиус ядра К = 1,3 А'/3 фм, где А — массовое число (число нукло-
нов). Энергия связи на один нуклон В = 8,5 МэВ/нуклон. Средняя
масса нуклона т„ в 940 МэВ/с’ (М: 7.1). Массу ядра определяем,
используя (7.2)‚ М = т„А — ВА/с2. В результате
р = М/(4пК3/3) = 1‚8-1014=г/см3.
Определим энергию Е, кулоновского расталкивания протонов
в ядре в предположении, что протоны распределены по ядру Рав-
номерно. Установим зависимость Е, от числа нуклонов А и заряда
2 Радиус ядра К = 1,3А‘/3 фм (Ме 7.2). Используя (3, с. 99), находим
Е, а (3/5)22е2/К а 0,66 22А*‘/3 МэВ. (7.5)
Заметим, что использованная формула не годится для 2 = 1,
так как в этом случае один протон, и он ни с кем не взаимодейст-
вует, т. е. энергия должна быть равна нулю. В таких случаях будем
пользоваться формулой
Ек ‚в (3/5)2(2— 1) ед/К. (7.6)
Поверхностная энергия атомного ядра в —17,8А2/3 МэВ. Радиус
атомного ядра К = 1,3А‘/3 фм. Найдем поверхностное натяжение
о ядерного вещества. Сравним найденное значение с поверхност-
ным натяжением ртути (он, = 470 эрг/см?) (М 7.3). Используя (2,
с. 331), получаем
с = —Е„„„/5 = — „„‚/(4пК1) = 17-1‚6-1О-°А2/3 эрг/
/ (4п-1,31°1О-2°°А2/3 см?) = 1,4°1О2° эрг/см’.
Это превышает поверхностное натяжение ртути в 3°10" раз.
191
Энергия связи атомных ядер при заданном числе А нуклонов
в ядре уменьшается с увеличением числа протонов 2 из-за возрас-
тания кулоновской энергии |Ек| = 0,71 22/А‘/3 МэВ. С другой сторо-
ны, при отличии числа нейтронов от числа протонов энергия связи
уменьшается на величину Е = 47,4(А’ — 2)2/(2А) МэВ. Определим
при заданном А оптимальное значение 2, при котором энергия связи
ядра шшимальна. Определим 2/А при А = 10, 50, 100, 150 и 200.
Найдем из справочных данных подходящие изотопы (Мг 7.4). Из
(7.2) получаем: 12.12 А) = [2тр + (А — 2)т„ — М(2 А)]-с2. Из условия
имеем Ее, = /(А) — Ек — Е, где через ](А) обозначены вклады в энер-
гию связи, не зависящие от 2 В результате масса ядра
М(А‚ 2) = 2тр + (А — 2)т„ + [Ек + Е —/(А)]/с2.
Минимум находим как для непрерывной функции от 2 из ус-
ловия (дМ/д2),‚ = О. Определим 2= А/(1‚97 + О‚015А2/3). При поль-
зовании этой формулой нужно брать ближайшее целое значение
2 Приведем результаты:
А 10 50 100 150 200
2 5 23 54 во 80
Ядро ;"В ЁЁУ 12“ Ки Зт ЁТЁг
Разница в энергиях связи ядер трития ЁН и ЁНе обусловлена
энергией электростатического взаимодействия протонов. Оценим
размеры ядра ЁНе. Энергии связи ядер ЁН и ЁНе равны соответст-
венно Е„ = 8,482 МэВ, Ене = 7,718 МэВ (М9 7.6). Используя (7.6),
(3/5)(2е3/К) = Ен — Ене. Отсюда К н 2-10-‘3 см.
Ядро 51 переходит в «зеркальное» ядро А1, испытывая
Вйраспад. Максимальная кинетическая энергия вылетевшего по-
зитрона ЕМ = 3,48 МэВ. Оценим по этим данным величину го
в формуле для радиуса ядра К = г„А'/3 (М9 7.7). Зеркальными ядрами
называют ядра, получающиеся друг из друга заменой протонов на
нейтроны и наоборот. Такими являются ядра, названные в усло-
вии. Одинаковость ядерных взаимодействий для протона и ней-
трона называется зарядовой независимостью ядерных сил и являет-
ся проявлением более общего свойства — изотопической инвари-
антности сильного взаимодействия. Если бы все параметры
зеркальных ядер были бы одинаковыми, т. е. точно выполнялась
изотопическая инвариантность, то невозможным был бы распад
в силу сохранения энергии. Кулоновское взаимодействие наруша-
ет зарядовую независимость и делает возможным распад 51 —›
+3 А] + е* + ус. Электрон не может «унести» больше энергии, чем
выделяется при распаде
192
тес2 + Етах = [МЗЕ _ МА1]С2 =
= (т, — т„)с2 + (3/5)(е*/К)[2$.(25, — 1) — 2‚„(2‚‚,. — 1)1 =
= —(т„ - т„)с2 + (3/5)(е2/К)(14-13 - 13-12),
откуда е2/(г„А‘/3) = (5/78)[(т„ - тр + т,)с? + ЕМ].
Окончательно, гд = 1‚4-10-‘3 см. -
В 1942 п американский физик Ален измерил максимальную
энергию Ед атомов 71.1, образующихся в результате К-захвата в ядре
7Ве‚ и она оказалась равной 50 эВ. Оценим на основе этих данных
разность масс атомов 7Ве и 71.1 (Мг 7.10). При К-захвате ядро захва-
тывает электрон, который превращает протон в нейтрон, и испус-
кает нейтрино ЁВе + е- —› 7314 + у. Для первоначально покоивше-
гося атома массы М из закона сохранения импульса имеем: р, =
= р, = (2МЕ„)'/2. Отношение энергии, уносимой нейтрино, к энер-
гии отдачи (кинетической энергии атома) Е„/Е„ = р„с/Е„ =
= (2Мс2Е„)'/2/Е0 = (2Мс2/Е0)‘/? >> 1. Фактически вся энергия уно-
сится нейтрино. Эта энергия появляется за счет изменения масс.
Для разности масс в энергетических единицах получаем: АЕ а
нр„с = (2Мс2Е„)‘/2 = (2-7-931-106-5О)'/2 = 0,8 МэВ >> 50 эВ.
Капельная модель ядра позволила получить эмпирическую за-
висимость энергии связи, в которой каждый член имеет структуру
соответствующую определенному свойству, а их относительная
роль учитывается коэффициентами, подбираемыми по экспери-
ментальным данным. Для зависимости энергии связи от А и
2 (массового и зарядового чисел) имеется формула Вайцзешсера
д, = с„‚4 - с„„А2/з - с„,2гА-из - с,„„(‚4 - 22)2А-‘ + Сс„,рА-° а, (п)
где первый член определяет приближенно линейную зависимость
энергии от объема ядра; второй - уменьшение, обусловленное на-
личием поверхности ядра, за которой нет нуклонов; третий —
уменьшение энергии за счет кулоновского расталкивания прото-
нов; четвертый — экспериментально установленную устойчивость
ядер с небольшим отличием числа нейтронов от числа протонов;
пятый — эффект спаривания, проявляющийся в том, что энергия
связи для ядер с четным числом протонов и нейтронов больше
(б = +1), чем с нечетным А (б = 0) и тем более для нечетно-нечет-
ных ядер (б = —1).
Из наилучшего согласия с опытом получены следующие зна-
чения коэффициентов: Соб = 15,75 МэВ, Ст = 17,8 МэВ, Ст =
= 0,710 МэВ, С = 23,7 МэВ, С = 34 МэВ, е = 3/4. Заметим, что
сим спар
13° 33° 193
ЭТИ КОЭффИЦИСНТЫ ПОСТОЯННО подправляются на ОСНОВЗНИИ НО-
ВЫХ экспериментальных данных.
С помощью формулы Вайцзеккера найдем заряд Д, наиболее
устойчивого ядра-изобары при заданном нечетном значении А. Вы-
ясним, каков характер активности у ядер "Мг, 2912 “К, “Си (Мс 7.5).
Пользуясь (7.7) и значениями коэффициентов и учитывая, что от
2 зависят только третий и четвертый члены, находим (дЕ„/д2›„.
Наибольшая устойчивость ядра соответствует максимуму энергии
связи. Приравнивая производную нулю, получаем для наиболее
устойчивых ядер
2 = А/(2 + о‚о15‚42/з).
В случае Мз по этой формуле имеем 2 = 12,6 а 13. Для устой-
чивости заряд ядра должен увеличиться, что происходит при излу-
чении электрона (Вчактивность). В случае ЁР получаем 2 в 14,
т. е. заряд ядра должен уменьшиться (Вдактивность); в случае К
2 и 17, т. е. заряд ядра также должен уменьшиться (Вйактивность);
в случае Си 2 а 30, т. е. заряд должен увеличиться (Вчактив-
ность).
Согласно гидродинамической модели ядра Штайнведеля —
Енсена протоны и нейтроны образуют сжимаемые и свободно
проникающие друг в друга жидкости, движущиеся внутри жесткой
оболочки исходного ядра. Гигантский резонанс в ядрах соответст-
вует возбуждению противофазных колебаний этих жидкостей, при
которых протоны и нейтроны в ядре то пространственно разделя-
ются, то равномерно перемешиваются. Используя формулу ВайЦ-
зеккера (7.7), оценим энергию гигантского дипольного резонанса
Еда по этой модели в сферическом ядре с А = 64 (2 = А’), который
возникает при возбуждении волны с КН = 2,08, где /с = 2л/х — вол-
новое число; А — длина волны; К — радиус ядра. Закон дисперсии
этих волн считаем линейным (со = Ки, где и — скорость распро-
странения колебаний, равная, как в любой жидкости, и =
= (К/М)“, где в данном случае К — жесткость ядра относительно
смещений нуклонов; М — масса ядра) (Мг 7.13). Как видно из чет-
вертого члена в (7.7) энергия на один нуклон Е = (1/А)С„„„(А —
— 22)2/А = (1/2)2СС„„[(А’ — 2)/А]2, уменьшающая энергию связи
ядра, т. е. увеличивающая его неустойчивость, связана с некоторой
силой, возвращающей к одинаковому числу нейтронов и прото-
нов. Будем считать, что в каждой части ядра появляется сила, по-
194
добная упругой, определяемая относительной деформацией в =
= (1\’— 2)/А. Учитывая, что в упругости Е = Ке2/2‚ получаем, что же-
сткость системы ядра К = 2С„„„. Для скорости распространения ко-
лебаний имеем и? = К/т = 2С„„„/т‚ где т — масса нуклона. Таким
образом, для энергии резонанса находим Еда = й/си н 17,7 МэВ.
Согласно оболочечной модели ядра нейтроны и протоны неза-
висимо заполняют потенциальную яму. Определим число нукло-
нов А, которые могут располагаться на трех первых ядерных обо-
лочках ядра, считая потенциальную яму трехмерной параболиче-
ской (М) 7.14). Энергия трехмерного гармонического осциллятора
Е = (п + 3/2)Йш‚
гдеп=пх+пу+пд
Квантовые числа пх, пу, п, могут принимать только целые поло-
жительные значения и нуль (п = О). Возможные состояния приве-
дены в табл. 7.1 (до п = 2). Очевидно, как можно продолжить эту
таблицу Каждому значению п соответствует определенная оболоч-
ка ядра. С учетом спинов (+1 /2, либо —1/2) в модели трехмерного
гармонического осциллятора нуклоны в последовательных обо-
лочках имеют значения 2‚ 6, 12, 20, 30, 42, Нейтроны и протоны
заполняют свои уровни независимо друг от друга, так как они не
являются тождественными частицами. Первая оболочка 2 = 1\’= 2;
А = 4 (Не); две оболочки 2= 1\’= 8; А = 16 (О). Три оболочки 2=
= 1\’= 20; А = 40 (Са).
Таблица 21
п п, п, п, Число состоя-
ний в оболочке
0 0 О О 1
1 1 0 0 3
О 1 О
О О 1
2 2 О О 6
О 2 0
О 0 2
1 1 О
О 1 1
1 0 1
Простейшей оболочечной моделью ядра является трехмерный
гармонический осциллятор. Считая, что потенциальная яма ядра
имеет глубину По = —7О МэВ, а ЩКО) = О, где КО — радиус ядра,
13‘ 195
оценим энергию связи нуклона для ядра кислорода 1,60 (Мг 7.15).
Потенциальная энергия гармонического осциллятора
[/(г) = По + тоэ2гд/2. (7.8)
Уровни энергии имеют вид
Е‚‚ = По + йсо(п + 3/2). (7.9)
Картина уровней изображена на рис. 7.1. Считаем, что для
данной (конечной глубины) ямы сохраняется система эквиди-
стантных уровней, существующая для бесконечно глубокой.
В силу зарядовой независимости ядерных сил уровни протонов
и нейтронов в ядрах с 1\’= 2 должны совпадать. В легких ядрах это
Ш ко
нейтроны протоны 7
2 ' ЕСВ к
1 6+6
16
=о 2+2
и„=7о МэВ
Рис. 7.1.
действительно имеет место, поскольку в них вклад кулоновского
взаимодействия в энергию связи незначителен. В случае ядра ЁО
оказываются заполненными протонные и нейтронные уровни
с п = 0 и п = 1 (дважды магическое число 8 -— по протонам и ней-
тронам). Энергия связи Е“ отсчитывается от верхнего заполнен-
ного до'«потолка» ямы (см. рис. 7.1). Таким образом, получаем
Есв н |Н0| — (п + 3/2)йсо‚
где п = 1 (внешний нуклон).
При г 2 Д, потенциал Но‘) = О, и, следовательно,
ш = [ - ЁЩ/(тКОЧГ/д (7-10)
В результате находим
Есн = щи - от) к-щ/(тщчгд = 12 мэв.
В той же постановке, что и в предыдущей задаче, оценим энер-
гию однонуклонного возбуждения в ядре ;3Са‚ для которого глу-
196
бина трехмерной параболической ямы (Д, = —6О МэВ (Мг 7.16). Ис-
пользуя (7.9) и (7.1О)‚ получаем
АЕ = ню = п[-2и,/(тк,2)1ч2 а 15,8 мэв.
потенциальную энергию взаимодействия нуклонов в дейтроне
можно аппроксимировать сферически симметричной прямоуголь-
ной ямой. При этом в системе центра масс волновая функция ос-
новного состояния имеет вне области ямы следующий вид: ч: =
= Ае-П/г, где А = сопзт, х = 2,340‘? см-'. Найдем красную границу
реакции фоторасщепления дейтрона
у-квантами (Не 7.12). Дейтрон — ядро
дейтерия (изотопа водорода), додержа-
щее протон и нейтрон. Энергия у-кван- к ‘Р
та, необходимая для разделения прото- "-
на и нейтрона, определяется их энерги- т
ей связи. На рис. 7.2 изображены ——— —————— —-
потенциальная яма и волновая функ-
ция дейтрона. Вне ямы, где К/(г) = О,
уравнение Шредингера (3.18)‚ (3.2О)
для частицы с приведенной массой р =
= т„/2 имеет вид
НО‘) Н к"
Ч"
Рис. 7.2
—(1/2)(й/и) А, ч! = Ечь
где А, = сР/дг? + (2/г) аГ/дп
Подставляя в это уравнение заданную ху-функцию, получаем:
712722 + 2рЕ = О, откуда Е = —й2х2/(2р). Минимальное значение
энергии, достаточной для расщепления дейтрона,
д, = пав/од) = й2х2/т„ = 2,23 МэВ.
У ядра дейтерия — дейтрона (а) — нет стационарных возбуж-
денных состояний, а энергия связи нуклонов составляет Есв =
= 2,23 МэВ. Аппроксимируя эффективный потенциал нуклон-ну-
кпонного взаимодействия трехмерной сферически симметричной
прямоугольной потенциальной ямой глубиной (Д, = —30 МэВ, оце-
ним радиус эффективного потенциала (М9 7.17). Воспользуемся
формулой (3.76) и следующим за ней решением задачи Не 3.18.
Обозначив приведенную массу дейтрона ц = тр/2‚ для радиуса эф-
фективного потенциала имеем: а = [1г2й2/(8р|Ц,|)]'/2 н 1‚8-10-'3
МэВ. Для более точного решения надо решить задачу для ямы ко-
нечной глубины, в том числе воспользоваться формулой (3.49)
и предшествующим ей решением задачи М9 3.12. В результате по-
лучим
197
а = йагссоз(Ес../|П„|)/[2и(|1/о| - Е„‚)1'/2 = 1‚82°10°‘3 см.
Считая, что глубина ямы велика по сравнению с энергией
уровня, оценим среднеквадратичный радиус дейтрона, т. е. сред-
неквадратичное расстояние между нуклонами (М9 7.18). Восполь-
зуемся соотношением неопределенностей (2.28) К м й/р т й/
/(2т„Е`)‘/2 2 3°1О-'3 см.
Е КЭВ Ь На рис. 7.3 изображен спектр низколе-
’ жащих возбужденных уровней ядра 23411, где
297 6 Ед — энергия уровня; Ь - квантовое число
момента импульса. Покажем, что эти уров-
ни соответствуют возбуждению вращения
ядра как ЦСЛОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ, перпен-
143 4 дикулярной оси симметрии ядра. Оценим из
этих данных момент инерции ./ ядра (М9 7.19).
43 2 Для квантования энергии вращательных
о о движений имеется уравнение (5.17) для же-
Рио 73 СТКОГО ротатора
Ед = ЙЩЬ + 1)/(21)‚
используя которое, получаем
Ев: Ед: Е, = 6-7: 4-5: 2°3 = 21: 10: 3 =
= (43/3)-21: (43/3)-1О: (43/3)'3 = 301: 143: 43 2 297: 143: 43.
Из того же уравнения находим
./ = мы + 1)/(2Ед) = (1‚О54)2-10-54-3/(43-1О3-1,6-1О-'2) =
= 4‚8-1О-47 г-см2.
Радиоактивность ядра — самопроизвольный (спонтанный) его
распад с испусканием частиц. Вероятность распада ядра за едини-
цу времени называют постоянной распада и обозначают ж. Это ха-
рактеристика скорости распада различных ядер. Из А’ ядер за еди-
ницу времени распадается ХА’ ядер. Следовательно, уменьшение
числа ядер за время ш:
дА’ = —7ь1\’с11. (7.11)
Интегрируем это уравнение, считая, что в начальный момент
было М, ядер, а в момент 1 число нераспавшихся ядер А’, т. е.
А’ = Поет“. (7.12)
Число ядер, распадающихся в единицу времени, называют ин-
тенсивностью радиоактивного распада, или активностью А:
198
‚мцмщ=жм (пи
Активность измеряют в беккерелях (Бк)‚ 1 Бк = 1 распад/с,
или в кюри (Ки), 1 Ки = 3,7-1О‘° Бк.
Для характеристики распада используется также период полу-
распада Тш. Из (7.12) 1\’„/2 = А’„ехр(—7ь7]‚2)‚ откуда-
Тт = 1п2/Ж = О‚693/?ь. (7.14)
Для среднего времени жизни ядра получаем:
0 со
=ьл/мд[шм=х[ю*ш‚
м, о
откуда находим
= 1/Ж. (7. 15)
Распадающееся ядро называют материнским, а остающееся по-
сле распада — дочерним. Если дочерние ядра также распадаются,
то обозначив их соответствующими индексами, получим:
для материнского ядра (НЧ/д! = -›„,м‚;
для дочернего ядра дАЪ/а‘! = мА’, — мм.
Решение этой системы
м: = ЛЮеХЕЙ-хп’);
А’, = 1\’„‚7„,ехр(-7„‚1)/(7„2 — М) + [Що — А/„дд/(ж, — х,)]ехр(—7м,1)‚
где Ню и Мю — начальные значения чисел атомов А’, и М.
Если в начальный момент дочернее ядро еще не образовалось
(М, = О), то последняя формула упрощается
А’, = 1\/„‚х‚[ехр(—х‚г) — ехр(—7„21)]/(7„2 — м); (7.16)
если бы дочерние ядра не распадались (ж, = О), то
м: +е м: = мю-
Для случая долгоживущего материнского ядра ж, << м, когда
время наблюдения пренебрежимо мало по сравнению с временем
жизни материнского ядра (П, можно считать постоянной величи-
ной), имеем
П, = ММП — ехр(—7„‚1)]/7ь2. (7.17)
Насыщение наступает практически через {н 3 2. В состоянии
насыщения
мм=мщ (мю
т
ЭТО СООТНОШСНИС называют УСЛОВИВМ РЯДИОЯКТИВНОГО равнове-
СИЯ ИЛИ ВСКОВЫМ уравнением.
Ядро 2340 является продуктом распада основного изотопа ура-
на 2330. Определим период полураспада 2340, если его содержание
в естественном уране в настоящее время составляет 0‚О055 %. Пе-
риод полураспада 2330 равен Ц = 4‚51-109 лет. Считаем, что вначале
«наработанного» 2340 не было (М9 7.20). Используя (7.18)‚ получа-
ем ПЛ}, = хд/Ж, = М/Пз = 5‚5-10-3 и Г, = 2‚48-103 лет. Таким обра-
зом. период полураспада 2340 много меньше возраста Земли (2109
лет) и предположение о наличии радиоактивного равновесия меж-
ду 2330 и 2340 оправдано.
В настоящее время в природном уране содержится К, = 99,28 %
2330 и /‹5 = 0,72 % 2350. Найдем, какое соотношение между 2330 и 2350
было в момент образования Земли, если возраст Земли равен 4-109
лет. Периоды полураспада Д = 0‚713'109 лет; Д = 4‚51-109 лет. Вы-
числим возраст Земли в предположении, что в момент образова-
ния Земли содержание 2330 и 2330 было одинаковым (Мг 7.21). Для
числа ядер имеем (7.12). Для процентного содержания получаем:
[св/100 % = Мз/(МЗ + М). Аналогичные соотношения и для других
коэффициентов. Учитывая, что Кв + К, = 100 % и (7.12), получаем
‚(х/Кв = маг/М = (^’зо/^’5о)ехр(7»5 " Ка)’ =
= /‹80ехр(х5 — ж8):/(1ОО % — 80).
В результате
ка, = куп + /‹5[ехр(7ь5 - м): - 11/100 %} = 83,92 %‚ а, = 16,08 %.
Из использованных ранее выражений (при одинаковом на-
чальном соотношении изотопов) находим, что возраст Земли был
бы равен 6-109 лет.
Период полураспада 2340 равняется Т= 2‚48- 105 лет. Остался ли
хотя бы один атом 2340, который существовал в момент образова-
ния Земли —4-10° лет тому назад? Выясним, почему в природном
уране содержится примесь 2340 в количестве 0,055 % (Мсз 7.22).
В соответствии с (7.12) число атомов 2340 уменьшится в ЫО/Ы =
= ехр(1 1п2/ Т) = ехр(4-1091п2/2‚48-105)= 104355. Если бы при образо-
вании Земля состояла только из изотопа 2340, то и тогда на Земле
уже давно не осталось бы ни одного атома 2340. Изотоп 2340 суще-
ствует на Земле благодаря ос-распаду 2330 и В-распаду 234Тп и 234Ра
ЁЁ80(ос/4‚5-109 лет) —› 3,34 ть(в-/24 сут.) —› Ё?“ Ра(В-/6‚7 ч) —+ 3240.
200
Содержание 2341) можно найти из условий типа (7.16).
Периоды полураспада 2381) и 2351) равны соответственно Тв =
= 4‚51-109 лет и Т5 = О‚713-109 лет. Найдем средние времена жизни
этих изотопов (М 7.23). Используя (7.14) и (7.15)‚ получаем: тд =
= Т8/1п2 = 6,45-109; 1:5 = Т5/1п2 = 1‚016-109 лет.
Удельное содержание изотопа “С, усвоенного деревом при его
жизни, затем уменьшается вследствие В-распада с Дд = 5700 лет.
Определим возраст 1 деревянного предмета, обнаруженного при
раскопках, если удельная активность ‘4С этого предмета составля-
ет 0,1 от удельной активности свежесрубленного дерева (Мз 7.32).
Радиоактивный изотоп ‘4С образуется в атмосфере Земли в резуль-
тате взаимодействия атмосферного азота с нейтронами космиче-
ского излучения. Концентрация его и стабильного изотопа "С
в атмосфере, как полагают, остается постоянной в течение тысяч
лет. В результате обмена веществ она поддерживается неизменной
в живых организмах. Когда прекращается обмен веществ в резуль-
тате гибели организма, концентрация радиоактивного изотопа на-
чинает уменьшаться со временем из-за распада. По активности
(7.13) образца определяется его возраст с помощью (7.12). По ус-
ловию 0‚1 = А/Ао = ЖП/(ЖПО). Используя (7.12) и (7.14), имеем
1 = —7],21п0‚1/1п2 2 1‚9°104 лет.
Оценим высоту кулоновского барьера для оъ-частиц, ‘тспускае-
мых ядрами Найдем, какова у этих ядер ширина барьера
(туннельное расстояние) для ос-частиц с энергией Е = 5,5 МэВ
(Мз 7.28). Воспользуемся рис. 3.19 для кулоновского барьера. Ра-
диус ядра находим с помощью (7.1)
К = г„А'/3 н 7,9 фм.
Высота кулоновского барьера
Щ, = 2(2— 2)е2/К = 30,7 МэВ,
ширина барьера с! = 2(2 - 2)е2/Е — К = 36 фм.
Полагая, что перед оъ-распадом в ядре образуется самостоятель-
ная оь-частица, оценим отношение интенсивностей 1‚/12 двух
групп оъ-частиц с кинетическими энергиями 6,3 и 5,7 МэВ, испус-
каемых ядрами с 2 = 86 и А = 220. В обоих случаях частоту ударов
о «стенку» потенциального барьера считаем одинаковой (М) 7.24).
При сделанном предположении (одинаковой частоте ударов) ин-
тенсивности пропорциональны проницаемости барьера. Исполь-
зуя (3.86)‚ для проницаемости кулоновского барьера имеем
201
В т ехр{—(2/й)}.[2т(Н0К/г— Е)]”2с1г‚ (7.19)
где т — масса оъ-частицы; В — радиус ядра; (Д, = е1-2(2 — 2)/К; го =
= ЦОК/Е.
Используя подстановку х = [1 — Ег/( 001011”, после интегриро-
вания получаем
0 - ехр‹-‹2к/п›‹2 титекг/„лгт/гагссозиг/щге - (1 - Енот/ч}.
Подставляя По, находим
1) ‘ч ехр{—4е2(2 — 2)(2т)‘/2/й[(1/Е)‘/2агссоз(Е/ц‚)'/2 —
- ищу/га — Е/цдпгп.
Отсюда
1,/1‚ = 0/1), = ехр{—4е2(2 — 2)(2т)'/2/й[(1/Е‚)‘/2агссоз(Е‚/Ц,)'/2 —
— ‹1/Е2›*/2агссоз‹Е2/Н„›*д + шит/га - Е/шт -
— (1/1/о)‘”(1 - ЕМЩУ/Ч}.
Подставляя заданные значения, получаем 1‚/1‚ = 744.
В предельном случае при По —› оо из предыдущей формулы на-
ходим
л/Ь = ехр‹-2ле2‹2 - 2›°‹2т›*/2/п[‹1/Е.›ч2 - плат/ч} = 942.
Грубым приближением в данном случае является (/(г) >> Е.
При этом упрощается интегрирование уравнения (7. 19), которое дает
1) т ехр{—8е2(2 — 2)(2т)‘/2/[й(Е)‘/2]. (7.20)
В этом случае имеем
1./12’= ехр{—8е’(2 — 2)(2т)”’/й[(1/Е.)"’ — (1/Е2)"’1} = 6130.
Оценим период полураспада Ед радиоактивного ядра, испус-
кающего (пс-частицы с энергией 1 МэВ, если ядро 332 Т11 имеет пе-
риод полураспада Дд = 1‚4°1О'° лет и испускает ос-частицы с энер-
гией 4 МэВ, а для ядра ЁЁРО период полураспада Лд = 3-10-7 с и
Ед = 8,8 МэВ (М9 7.25). Используем формулу Гейгера — Неттола
для связи периода полураспада с энергией а-частицы в МэВ
(3.94а):_
‘иди = А + ЕДЕ)!”-
С помощью заданных в условии величин находим А = —55,4О и
В = 154,7. Отсюда получаем искомый Т ‚д = 3,210“ лет.
202
Исследование свойств оь-радиоактивных ядер показало, что
ядра в области Д т 90 испускают ос-частицы с энергией Е, т 4 МэВ
(например, ядро ЁЁТН), а в области редкоземельных элементов
(2, т 65), — с энергией Е, т 2 МэВ. Оценим период полураспада
редкоземельных ядер 7}, если известно, что у тяжелых ядер 7] т
т 10'° лет. Считаем, что оъ-частицы при распаде преодолевают вь1-
сокий одномерный потенциальный барьер, т. е. Н >5 Е, а предэкс-
поненциальный множитель в выражении для проницаемости
барьера — константа (М 7.27). В данном случае можно воспользо-
ваться (7.2О). Считая частоту ударов о стенку барьера у одинако-
вой, учитывая связь постоянной распада Ж с периодом полураспа-
да Лд (7.14) и проницаемостью барьера В, т. е. соотношение А =
= 0,7/7]„ = мВ, получаем
д/д = ехр{8е2(2т)'/2/й[Д/(Е‚)'/2 - глядит = е-4—9 = 7-10-3.
Соответственно, Д т 1012 лет.
Энергия ос-частиц, испускаемых тяжелыми ядрами (2 т 90),
примерно равна Е“ т 4,5 МэВ, а период их полураспада Та т
т 7-108 лет. Оценим период полураспада такого же ядра по отноше-
нию к вылету протона той же энергии Ер = 4,5 МэВ. Считаем зада-
чу одномерной, кулоновский потенциал Н >> Е, а предэкспонен—
циальный множитель в выражении для проницаемости барьера
константой (Мэ 7.26). Используя (7.20), как и в предыдущей задаче
получаем
Тр/Та = ил, = ехр‹4‹2›т2е2/п›‹Ьт/чштат - дхтрг/гп = е-тч
В результате П, в 9°10т57 с.
При радиоактивном распаде 6°Со испускается электрон, спин
которого параллелен импульсу. Считая, что электроны вылетают
из образца изотропно, оценим, на какой угол (р повернется диск,
подвешенный на нити, если образец кобальта нанесен на одну из
поверхностей диска. Толщина диска достаточна для полного по-
глощения в нем электронов, вылетающих в сторону диска. Актив-
ность препарата с11\’/с11= 0,37 ТБк = 0,37°10‘2 распад/с, модуль кру-
чения нити [= 10-6 дин-см/рад (М) 7.29). Напомним, что для одно-
го распада в секунду установлено название 1 беккерель (1 Бк). Так
как электроны вылетают из радиоактивного препарата, находяще-
гося на поверхности диска, изотропно, то только половина их, ко-
торая покидает диск, уносит момент импульса. вылетающий элек-
203
трон в соответствии с (6.6) имеет момент
импульса 71/2. Если электрон вылетает
под углом 9 к нормали к поверхности
9 диска, которая параллельна оси враще-
ния диска, то проекция момента импуль-
са каждого электрона на ось вращения
р„с_ 7_4 диска: (й/2)соз9. На рис. 7.4 показано,
как посчитать проекцию момента им-
пульса от вьшетающих электронов. Доля
электронов, летящих в направлении 9, от всех вылетающих элек-
тронов (1/2)(с11\’/‹11) определяется отношением площади кольца
2кг51п9га79 к площади полусферы 21:13. Для изменения момента им-
пульса получаем
п/2
аЬ/дг=‹1/2›дм/ацп /2) [сове 511190769 = атм/дюз /8).
Изменение момента импульса связано с моментом сил (1,
с. 126). Для закручивания нити на угол ср моментом М имеем: М =
= /‹р. В результате ‚
(р = [дП/сЩй/(ЗЛ в 5°10"' рад.
Оценим по порядку величины время жизни возбужденного
уровня ядра радиусом К = 4-10-‘3 см при электрическом мульти-
польном (дипольном, квадрупольном и т. д.) излучении у-кванта
с энергией Е? = 1 МэВ. Воспользуемся тем, что классическое вы-
ражение для интенсивности, т. е. энергии дипольного излучения
заряженного осциллятора в единицу времени, есть И/ =
= 2(‹1")2/(3с3)‚ где 11" — вторая производная по времени дипольно-
го момента (Мсз 7.31). Как и для возбужденного атома (4.44)‚ полу-
чаем для времени жизни возбужденного уровня
тж =йсо/И/=3йс3 /(2е2К2ш3). (7.21)
При заданных К и Е, = йсо получаем т = 2°1О-'° с.
Известно, что диполем называется источник, размер (К) кото-
рого мал по сравнению с расстоянием до точки наблюдения излу-
чения (г), т. е. безразмерное отношение г/К определяет затухание
излучения с расстоянием. Расчеты показывают, что для мультипо-
ля с моментом порядка т амплитуда излучения изменяется как
(К/г)“. Для диполя т = 1, для квадрУПоля т = 2 и т; д. Соответст-
венно, в (7.21) К будет входить в степени 2т. Для квадруполя
ткни а 5°1О"3 с.
204
Ядро, пролетая через кристалл, подвергается воздействию пе-
риодического поля решетки кристалла, в результате чего возмож-
но резонансное возбуждение ядерных уровней (эффект Окороко-
ва). Обусловлен этот эффект тем, что в системе покоя ядра возни-
кает переменное электрическое поле. Найдем, до какой полной
энергии надо разогнать ядро ‘913 фтора, чтобы при пролете через
кристалл вольфрама в нем возбуждался уровень с энергией Е =
= 110 кэВ, если период решетки в направлении движения ядра а =
= 3,2 А (М9 7.34). Период ударов Тв системе кристалла определя-
ется периодом решетки а и скоростью движения ядра и = а/Т
В системе движущегося ядра (1, с. 166) 7], = Т(1 — и2/с2)'/2. Для воз-
буждения ядра необходимо Е = 11/ Д = 1112/ [а(1 — и2/с2)‘/2]. Отсюда
В’ = (0/0)’ = [Еа/(с/дР/П + [Еа/(с/ФР};
у = 1/(1 — ВЧ“? = Еа/(с/т) и 28,5.
Полная энергия ядра (1, с. 179)
Е„ = уМс2 ж 510 ГэВ,
где М — масса покоя ядра фтора.
Угловой и магнитный моменты ядра Ё С полностью определя-
ются неспаренным нейтроном, находящемся в состоянии 1р„, над
заполненной подоболочкой 1рдд. Определим магнитный момент
ц ядра Ё С (в ядерных магнетонах Бора). Магнитный момент сво-
бодного нейтрона цп = днищ, = —1‚91 мы, где 35,1 = -3,82 — спино-
вый д-фактор нейтрона; з„ = 1/2 — спин нейтрона (М9 7.35). На-
помним, что магнитным моментом ядра принято называть вели-
чину максимальной проекции магнитного момента на заданную
ось. На рис. 7.5 изображена векторная модель сложения угловых
моментов ядра (Щ = Ь + 5) и магнитных моментов (рт, = рт + из).
В качестве единицы измерения длин векто-
ров моментов следует использовать п, а длин
векторов магнитных моментов — ядерный
магнетрон Бора. Для протонов и нейтронов
существуют связи, подобные (6.9) с учетом "ь
знаков и распределений зарядов. Для прото-
на 3“, = 1, 38‘, = 5,58, а для нейтрона 3‚„ = О,
‚ею = —3,82. На рис. 7.5 масштаб векторов,
к сожалению, не выдержан. Средний маг-
нитный момент ядра может быть направлен
только вдоль Д, единственного сохраняюще-
205
гося вектора в системе, <р‚су„> = р. = 3‚р„д.1. Умножим это равенст-
во скалярно на .1 и усредним по состоянию с заданными 1, Ь, 5.
Тогда в силу того, что 3 — сохраняющийся вектор и его можно
внести под знак усреднения, получим:
<рсум = ЗЗДЯД<Л2>
Поскольку рт = 3ьр„д1‚ и из = 35р„д5‚
35<53> + дь<ы> = 3‚<.12>.
Используя теорему косинусов, находим
85.12 + 52 — 1,2 >/2 + 35.12 +й 1} — 52 >/2 = 3‚<.12>.
В квантовой физике справедливы соотношения
<Р> = ./(./ + 1); <52> = .$’(.5' + 1); <Ь2> = [‚([‚ + 1).
Используя их, получим
з, = (Яз + 80/13 + Паз - 8ь)/2]'[5(5 + 1) — ЦЬ + 1)1/[1(1+ 1)1.
В данной задаче магнитный момент ядра определяется состоя-
нием нейтрона, находящегося на уровне 1р‚,‚, т. е. для нейтрона
д = 3,„ = О, 35 = вы, = —3,82, .5`= 1/2; Ь = 1; ./= 1/2. Подставляя эти
данные, получаем: 3, = 1‚91°2/3 2 1,273; р = др“! н 0,64 ряд.
При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движения
является полный угловой момент атома Г = 1 + 1, где 1, 1 — пол-
ные моменты ядра и электронной оболочки соответственно.
Энергия сверхтонкого взаимодействия может быть записана
в виде (Д, = А <де д„>‚ где А = сопзт; де, р.„ — магнитные моменты
электрона и ядра соответственно. Найдем отношение сверхтонких
расщеплений основного состояния атомов водорода и дейтерия,
т. е. расстояний между уровнями с разными значениями Е Спино-
вые д-факторы протона и нейтрона равны 35‘, = 5,58 и душ = —3,82,
спины нуклонов в дейтроне параллельны (М 7.37). В основном
состоянии орбитальный момент равен нулю. Все определяется
спиновыми моментами. Спин водородного ядра (протона) Ь}, =
= 1/2, дейтрона (протон и нейтрон с параллельными спинами)
За = 1. Магнитный момент электрона р, = дздвз, = 2цБ$е‚ ядра р.„ =
= 3д„д5„. По определению для дейтерия
“я = (Езрзр + Ззпзгдряд = Ёдядэвэ
откуда 3 = (др + дч„)/2.
206
Для водорода, естественно, р.„ = дзрряд5р. Полный момент атома
Р = Зс + $„‚ а величина сверхтонкого расщепления (как и в случае
(6.48))
<ист> = $я>рБдяд = — 5:2 — 5я2>дБдяд =
= АЗШГ + 1) — 5.‚(5„ + 1) — 5‚.(5‚. + Шнвнщ-
Для атома водорода 5; = 1/2, Хе = 1/2, поэтому возможные зна-
чения Р = 1 или О. Для дейтерия, соответственно, 5„ = 1, 5; = 1/2,
а Р = 3/2 или 1/2. Поэтому величина сверхтонкого расщепления
для водорода
А ЕстН = — Ряддв = 2 АгзрдядцБ 9
а для дейтерия
А Ем = Аз(3/2°5/2 - 1/2°3/2)и„„иь = Марциа-
Таким образом АЕстН/АЕста = (2/3)в„/г = (4/3)3„‚/(г‚„ + Зап) = 4,23.
Спин ядра атома лития (его полный угловой момент) 1 = 3/2.
При учете сверхтонкого взаимодействия интегралом движения яв-
ляется полный момент атома Р = 1 + .1 (Щ — угловой момент элек-
тронной оболочки). Пренебрегая собственным магнитным мо-
ментом ядра, найдем два возможных значения магнитного момен-
та атома лития, находящегося в состоянии 22Р„2 (М9 7.38). Если
магнитный момент ядра ряд значительно меньше магнитного мо-
мента электронной оболочки ре, то магнитный момент атома да, н
в де. Используя (6.9) и (6.1О)‚ для магнитного момента электрон-
ной оболочки, который в данном случае равен проекции магнит-
ного момента электрона на направление углового момента элек-
тронной оболочки (среднее значение магнитного момента элек-
трона)
<ш> = влив-Ъ
Где г, = 3/2 + [5(5 + 1) — ЦЬ + 1)1/[21(1 + '1)1.
В данном состоянии 3, = 2/3.
Для атома в целом сохраняющимся вектором является Р = 3 +
+1. Таким образом, средний магнитный момент атома должен
быть направлен по Р, т. е. <р.„> = рЕ Умножая обе части скалярно
на Р и внося вектор Р под знак усреднения, получим: р<Р`Р> =
= 3,<Л7>дБ‚ или
д<гг> = „Бд,(1/2)<ъ*2 + 12 - 12>.
ОТСЮДЗ и = ЗБгНы Где 8г= 1/2 + 11011“ 1) - 1(1+1)1/[2д1"`+1)1-
207
Поскольку 1= 3/2, ./= 1/2, то или Р= 2 и 3‚= 1/4 или 17= 1 и
д, = —1/4. Следовательно,
<11ат(р= 2)> = (2/3)(1/4)Рв°2 = дв/ЗЗ
<и„(1’= 1)> = (2/3)(-1/4) 11:51 = -Нв/6.
Возможность сделанного вычисления дат связана с малостью
энергии сверхтонкого взаимодействия по сравнению с энергией
спин-орбитального взаимодействия. Строго говоря, в векторной
модели атома нужно сложить р.5 и щ и спроецировать сумму на
направление Р‘. Здесь проецирование осуществляется сначала на .1‚
а потом на Р. Частота прецессии .1 вокруг Р много меньше частоты
прецессии Ь и 5 вокруг 1 (рис. 7.6, а и б).
Р‘
Рис. 7.6
Свободно покоящееся атомное ядро массой М переходит из воз-
бужденного состояние в основное, испуская у-квант. Найдем
энергию у-кванта и энергию отдачи К, если энергия возбуждения
равняется Е. Получим числовой ответ для 13‘ 1г, если Е = 129 кэВ
(Не 7.39). Используя релятивистские соотношения (1, с. 179) для
ядра после испускания у-кванта имеем
208
Ем = (р2с2 + Мед)“ = К + Мсд. (7.22)
Для у-кванта Д = рс. Здесь использован закон сохранения им-
пульса (ядро и фотон имеют противоположно направленные им-
пульсы р). Из закона сохранения энергии получаем: Е = Е? + К.
В результате _
К = Е*/[2(Мс2 + Е)] в Е2/(2Мс2)‚ (7.23)
К = О‚О468 эВ; —
Е? = ЕП — Е/(2 Мс2)] 2 Е, (7.24)
Е? = 129 кэВ.
Задачу можно было решать в нерелятивистском (классиче-
ском) приближении, так как энергия возбуждения атомного ядра
всегда много меньше энергии покоя.
Свободно покоящееся атомное ядро массой М переходит в воз-
бужденное состояние с энергией возбуждения Е, поглощая у-квант.
Определим энергию у-кванта и энергию отдачи ядра К (Не 7.40).
Из закона сохранения энергии Е? = рс = Е + К. Из (7.22), исполь-
зуя, что Е? н Е << Мс2, находим
К н Е1/(2Мс2).
Так как при излучении у-кванта часть энергии возбуждения
переходит в энергию отдачи ядра (7.23), то при взаимодействии
его с таким же, но не возбужденным ядром, уже не хватает энер-
гии (7.24) для возбуждения ядра, тем более, что и при этом часть
энергии должна пойти на энергию отдачи этого ядра, т. е. невоз-
можно поглощение у-кванта. Конечно, важную роль играет соот-
ношение между спектральной шириной линии и величиной сдви-
га за счет энергии отдачи. Так, в оптическом диапазоне при излу-
чении от возбужденной электронной оболочки, когда энергия
у-квантов и энергия отдачи значительно меньше, резонансное по-
глощение света атомами наблюдается (линии испускания и погло-
щения перекрываются). Энергия отдачи в соответствии с (7.23) су-
щественно уменьшается, если ядра не свободны, а связаны между
собой в кристаллической решетке. Наблюдающееся при опреде-
ленных условиях (не очень большие энергии у-квантов и достаточ-
но низкие температуры) резонансное поглощение получило на-
звание эффект Мессбауэра.
Ядра изотопа 2‘ 1г‚ входящие в состав кристаллической решет-
ки, испускают у-кванты с энергией 129 кэВ. Линия Мессбауэра
испускания и поглощения у-квантов имеет ширину Г = 4,6°10‘5 эВ.
14- азо 209
Предположим, что кристалш, испускающий у-кванты, движется со
скоростью и, а поглощающий кристалл покоится. Вычислим наи-
меньшую скорость и источника, которую можно зарегистрировать
по измерению величины поглощения у-квантов, предполагая, что
можно уверенно зарегистрировать доплеровское смещение часто-
ты у-квантов движущегося источника, равное 1/6 ширины линии
(М 7.41). Благодаря эффекту Доплера (5.2) относительный сдвиг
частоты излучаемого у-кванта
Ау/у = АЕ/Е = и/с.
Для смещения АЕ = Г /6 получаем и = 0,18 см/с.
В первых экспериментах Мессбауэра источником излучения
служил радиоактивный изотоп э? 03, который в результате В-рас-
пада переходил в возбужденное состояние изотопа 2‘ 1г. Испускае-
мые им у-кванты с энергией Е, = 129 кэВ поглощались иридиевой
фольгой. Было обнаружено, что даже при комнатной температуре
наблюдается значительный эффект резонансного поглощения.
Вероятность эффекта Мессбауэра тем больше, чем меньше ампли-
туда колебаний атомов в кристалле. Поскольку при конечной тем-
пературе атомы в кристалле колеблются с разными частотами, то,
усредняя по всем частотам, получим, что кристаллу можно поста-
вить в соответствие некоторую эффективную температуру Тэф. Тогда
условие резонансного поглощения можно записать в виде К $ В,
где К — энергия отдачи, а 1) = 2(/сБ ТэфКУ/д — уширение линии (ши-
рина на полувысоте). Оценим эту эффективную температуру
(М9 7.42). Из условия Тэф 2 К/(41сБ). Используя (7.23), получим: К =
= ЕУ2/(2Мс2) = ЕУ21УА/(2Ас2) и отсюда
Тэф 2 Е,21\’А/(8/‹БАс2) я 135 К.
Если излучающее ядро находится в кристацшической решетке,
то возможна ситуация (при температурах, много меньших так на-
зываемой дебаевской температуры, которая характеризует наи-
большую возможную энергию колебаний атомов кристаллической
решетки), когда излучение и поглощения у-кванта с большой ве-
роятностью происходит без возбуждения колебаний атомов. Вы-
числим, каково при этом изменение энергии у-кванта для кри-
сталла иридия конечного размера массой М = 100 мц испускающе-
го у-квант с энергией Е, = 129 кэВ (Не 7.43). Для энергии отдачи
можно воспользоваться (7.23), подставляя туда массу всего кри-
сталла. Энергия у-кванта изменяется на энергию отдачи, поэтому
АЕ = к = ЕУ2/(2Мс2) = 15-10-25 эВ.
210
Источник, содержащий ядра изотопа Ре, которые испускают
у-кванты с энергией Е, = 14,4 кэВ и шириной линии Г = 4-10-9 эВ,
помещен в центр вращающегося диска, а поглотитель из того же
материала — на диск на расстоянии г = 1 м от центра. Найдем,
с какой частотой О нужно вращать диск, чтобы смещение Асо час-
тоты поглотителя относительно излучателя равнялось ‚1 / 10 шири-
ны линии Мессбауэра (Мг 7.44). Мессбауэровской линией называ-
ют несмещенную линию у-излучения, имеющую естественную
ширину Г Для заданного смещения получаем: Асе/ш = (Г / 1О)/Е, =
=О‚28-1О-'3. Такое относительное смещение можно получить за
счет поперечного эффекта Доплера (1.11) Аш/оо = (1 — и2/с1)‘/2 н
а и2/(2с2) = НП2/(2с2)‚ откуда О = 74 рад/с.
Определим, с какой относительной скоростью и надо сближать
кристаллический источник, содержащий возбужденные ядра Ё‘ 1г
(энергия возбуждения Е = 129 кэВ), с мишенью, содержащей сво-
бодные ядра 2‘ 1г‚ чтобы наблюдать максимальное поглощение
у-квантов в мишени (М9 7.45). За счет эффекта Доплера (1.11)
АЕ/Е я и/с. Учитывая, что изменение энергии равно энергии отда-
чи (7.23), находим: и = Е/(2Мс) а 104 см/с.
Используя эффект Мессбауэра, можно измерить гравитацион-
ное смещение частоты. Для этой цели бьши использованы у-лучи,
испускаемые возбужденным ядром “Ре (энергия у-лучей Е, =
= 14,4 кэВ, ширина линии Г = 4-10-9 эВ). Найдем, при какой раз-
ности высот между приемником (поглотителем) и источником
у-линия сместится на 1 % от ширины линии (при этом еще можно
заметить поглощение у-лучей) (М) 7.46). При прохождении разно-
сти высот 12 в гравитационном поле у поверхности Земли относи-
тельные изменения частоты и энергии равны
Ау/у = АЕу/Е, = 3/1/с2. (7.25)
Учитывая (7.24) и (2.29) АЕ, Н й/Е находим
11 = с2АЕУ/(3ЕУ) = с2-О,01Г/(3Е,) н 28 м.
Ядра в решетке кристалла совершают тепловые колебания, что
приводит к доплеровскому смещению частоты излучаемых кван-
тов. Однако в направлении излучения продольный эффект Допле-
ра при усреднении по времени дает нуль, так как время жизни
ядра в возбужденном состоянии (порядка 10-7 с) много больше пе-
риода колебаний атомов в решетке (порядка 10-‘3 с). Поэтому ос-
И. 211
тается только поперечный релятивистский эффект Доплера. Если
эффективные температуры источника и приемника различаются,
то частоты излучения и поглощения смещаются по-разному Най-
дем, какой разности высот между источником и поглотителем
в опытах с “Ре соответствует разность температур бТэф = 1 К
(Мг 7.47). Используя (1-.11) при 9 = п/2 и связь скорости тепловых
колебаний с температурой (2, с. 161), получаем
бу ъ- у/свб Тэф/(Мс?) = уКбТ‚Ф/(Ас1)‚
где К — универсальная газовая постоянная; А — атомная масса же-
леза.
Полученный сдвиг частоты должен быть меньше гравитацион-
ного (7.25). Отсюда разность температур источника и поглотителя
дает эквивалентную высоту б}: = К бДФ/(Ад) ш 15 м. Для экспери-
МСНТОВ при ‘ГЗКИХ высотах температуры ИСТОЧНИКЗ И ПОГЛОТИТСЛЯ
ДОЛЖНЫ бЫТЬ ОДИНЗКОВЫМИ С ООЛЬШОЙ ТОЧНОСТЬЮ.
Определим, на какой высоте Н надо поместить поглотитель от-
носительно источника для проверки красного смещения, предска-
зываемого общей теорией относительности. Используется эффект
Мессбауэра на изотопе 672п‚ время жизни его возбужденного уров-
ня с энергией Е = 93 кэВ равно т = 1О мкс. Считаем, что для дости-
жения необходимой точности эффект смещения должен в 10 раз
превышать ширину линии резонансного поглощения (Мг 7.48).
Используя (2.29)‚ для ширины линии резонансного поглощения
получаем АЕ = Ь/т. Смещение линии в поле тяжести определяется
(7.25). С учетом необходимой точности
Ау/у = тдН/(тс?) = 10/1/(115),
откуда Н = 1ОЬс2/(3тЕ) в 400 м.
Оценим минимальные массу т и размер Ь железной пьишнки
(плотность железа р ж 7,9 г/см3), при которых можно наблюдать
эффект Мессбауэра с энергией перехода Е = 14 кэВ и временем
жизни т = 1 мс. Считаем, что эффект еще наблюдаем, когда отдача
пылинки приведет к доплеровскому смещению, равному собст-
венной ширине линии (Не 7.49). Из (7.23) энергия отдачи ти2/2 =
= В/(2тс2). Отсюда и = Е/(тс). Для собственной ширины линии из
(2.29) имеем для доплеровского эффекта АЕ/Е = й/(тЕ) = и/с. Под-
ставляя скорость, находим т = Е7т/(йс2) = 5‚3-1О-'3 п Считая пылин-
ку шариком радиуса Ь получаем: Ь = [3т/(4тср)]‘/3 = 2,5-1О°5 см.
Исследование ядерных свойств '52Еи на прецизионной уста-
новке ТШЗТАМ в Гренобле (Франция) показало, что в результате
212
электронного захвата и последующего испускания нейтрино это
ядро переходит в возбужденное ядро ‘52Бт, а затем в основное со-
стояние путем испускания у-кванта с энергией Е, = 963 кэВ. Ши-
рина этой линии оказалась равной АЕ = 13 эВ, а время жизни воз-
бужденного состояния т = 40 фс. Оценим энергию вылетевшего
нейтрино (Мч 7.50). Используя (2.29)‚ имеем для естественной ши-
рины возбужденного состояния бЕ = й/т = 1,510‘? эВ. Дополни-
тельное уширение линии возникает из-за доплеровского сдвига,
связанного с отдачей ядра при испускании нейтрино. Из закона
сохранения импульса получаем импульс ядра р“ = то = Еу/с. Со-
ответственно, доплеровский сдвиг в частоте излучаемого у-кванта
из движущегося со скоростью и ядра
Ату) = Луи/с = Е, Е„/(тс2) = АЕ/2.
Половина ядер движется к приемнику а половина — от него,
поэтому ширина линии АЕ в два раза шире сдвига.
Отсюда следует, что Е„ = АЕ тс2/(2Е;) н 960 кэВ.
На спектрометре высокого разрешения 6АМ$4 в Гренобле
(Франция) у изотопа “Тй зарегистрирован каскадный переход из
высоковозбужденного состояния в основное с последовательным
испусканием двух у-квантов с энергиями Е, = 5 МэВ и Е, =
= 1,5 МэВ. Прецизионные измерения формы линии Е, показали,
что она имеет ширину АЕ = 400 эВ. Оценим время жизни уровня
с энергией Е,‚ учитывая, что детектор спектрометра регистрирует
у-излучение в узком телесном угле вблизи нормали к окну детек-
тора (Мг 7.51). Из закона сохранения импульса после первого из-
лучения у-кванта изотоп получает импульс р = то = Е‚/с. При из-
лучении второго у-кванта возникает доплеровский сдвиг АЕ, =
= Е,А(/1у)/(/2у) = Е,и/с = Е,Е,/(тс2) в 160 эВ. Наблюдаемая ширина
линии складывается из естественной ширины ЕМ и доплеровского
сдвига АЕ = Ет + 2АЕ,. Здесь учтено, что доплеровское уширение
линии складывается из сдвигов за счет приближения и удаления
от приемника. Время жизни уровня (Ем) с энергией Е, находим из
соотношения неопределенностей (2.29) т = й/Еш в 10-‘7 с.
Широко используемое в мессбауэровской спектроскопии ядро
“Ре имеет спин и четность основного состояния 1/2* (в-фактор
равен 0,18), а первого возбужденного состояния 3/2* (3 = —О‚1).
Энергия перехода Е, = 14,4 кэВ. На рис. 7.7 показан спектр резо-
нансного поглощения этой нерасщепленной линии железа в ме-
213
- А
Ё 150‘
а
в 145
5
‘5
ё 140
Ё
135 ;
—5 —2,5 0 2,5 5 тьмы/с
РИС. 7.7
таллическом железе, являющемся ферромагнетиком. Возбужден-
ное ядро 57Ре* образуется в результате [З-распада ядра “Со, вне-
дренного в нержавеющую сталь, не являющуюся
ферромагнетиком, поэтому в стали не наблюдается расщепление
указанной линии излучения. Расщепление линии обусловлено на-
личием внутреннего магнитного поля на ядрах магнитного железа
(ядерный Зееман-эффект). Образец железа приводят в движение
со скоростью и. Определим тип излучаемых у-квантов. Найдем ве-
личину магнитного поля на ядрах железа (М 7.52). Как следует из
условия, при переходе четность сохраняется, а полный момент ме-
няется на 1. Такой переход осуществляется при испускании маг-
нитных дипольных (М1) у-квантов. На рис. 7.8 показано расщеп-
ление уровней под действием внутреннею магнитного поля на яд-
рах магнитного железа. Смещение уровней АЕ в магнитном поле
В определяется (6.25). Для магнитного поля, которое перекрывало
бы весь диапазон расщепления линий, получаем:
МАЕ) = Н‚.В{[(—0‚1)(-3/2) — (0‚18)(-1/2)1 — [(—0‚1)°3/2 —
— 0‚18°1/2]} = р„В{2[О‚1°3/2 + 0‚18-1/2]} = р„В(0‚3 + 0,18).
Этот диапазон расщепления можно перекрыть за счет допле-
ровского сдвига. Учитывая рис. 7.8, направления скоростей и обо-
- 3/2
3/2 =—0’1 - 1/2
—А — — — — — — — — — — — _ 1/2
3/2
Ео
Ц’ 8=0,18 ‚ж +1/2
1/2 ——-——- - 1/2
214
значая весь диапазон скоростей Ли (равный приблизительно 1,05
см/с) имеем Л(ЛЕ) = (Ьи/с)Е,.
Откуда
В = ЛиЕО/(ср,„0,48) = 1,05 14,4 10'1,6 10-"/
/(3 10" 0,505 10-" 0,48) = 343 кГс.
где т и'/2 = 2е'/(2Л).
Отсюда следует, что и' = Ле'/(т„Я').
В результате У, = ЗЖ/(2Я) 23 МэВ; энергия основного со-
стояния
(7.27)
Е, = — У, + (3/2)йи;
Йи = [Й'Яе'/(и„Я')]'~' = 9,73 МэВ.
Окончательно, Е, = — 8,4 МэВ.
Оценим область локализации мюона в основном состоянии (М
7.54). Принимаем, что область локализации совпадает с амплиту-
дой колебаний трехмерного гармонического осциллятора в основ-
ном состоянии. Используя (7.26) и (7.27), находим
г„=((ЗЙ/т„) [т„Я'/(Ле')]'Я'~' = 1,06 10-" см.
Это больше радиуса ядра свинца (7.1) Л„= 7,7 10-" см.
Радий-226 за счет последовательных радиоактивных распадов
превращается в устойчивый изотоп свинца 'обРЬ. Найдем, какая
215
Мюон захватывается ядром свинца,'," РЬ. Оценим энергию ос-
новного состояния мюона (Мо 7.53). Предположим, что заряд ядра
равномерно распределен по нему. В таком случае, используя тео-
рему Гаусса, получаем, что напряженность электрического поля
растет линейно в зависимости от расстояния от центра, а потен-
циал ~р = (2/3)пр(ЗЯ' — г'), где г — расстояние от центра ядра; Я—
радиус ядра; р — плотность заряда ядра (3, с. 34). Так как мюон яв-
ляется лептоном, то он взаимодействует с ядром только за счет ку-
лоновских (электрических) сил. Заряд ядра Яе (У = 82 — номер
ядра), заряд мюона равен — е. В результате потенциальная энергия
мюона внутри ядра
У(г < Л) = — (3/2)(2е2/Л)[1 — Р/(ЗЯ')] = — У, + Яе'г'/(2Я'),
где У, = 32е'/(2Л).
Используя (5.21) для трехмерного квантового гармонического
осциллятора, получаем
У(г) = — Ц + т„и'Я/2, (7.26)
масса М гелия вьщелится за время 1= 1 мес из т = 1 г радия, нахо-
дящегося в равновесии со своими продуктами распада, если пери-
од полураспада “Ка составляет Д, = 1600 лет (Не 7.55). Чтобы по-
лучить свинец, надо массу радия уменьшить на 20 единиц. Так как
масса гелия равна четырем единицам, то потребуется 5 ос-распад-
ных превращений. Так как продукты распада находятся в равнове-
сии, то при распаде одного ядра радия возникает 5 ос-частиц. На-
чальное число ядер радия М, = ПАт/А = 2,710“. В соответствии
с (7.12) иф(7.14) число распавшихся за время гядер радия равно
1\’(:)= м(1-2””*/2)= м„:1п2/Д‚, =О‚96-1О”‚
ОТКУДЗ масса ВЫДСЛИВШСГОСЯ ГСЛИЯ
м = та) т, = 5-0‚96-10‘7-6‚68-1О-24 = 3‚2-1о—6 п
Радий бьш впервые выделен П. и М. Кюри из урановых место-
рождений в Богемии. Являясь продуктом распада 2330 (период по-
лураспада Т„ = 4,5-1О9 лет), сам радий нестабилен, его период по-
лураспада Тк, = 1600 лет. Считая, что в цепочке превращения ура-
на установилось равновесие и что эффективность выделения
радия составляет 100 %‚ оценим, какую массу урановой руды надо
было переработать, чтобы выделить 1 г радия, если содержание
урана в руде п = 1 % по массе (М 7.56). Используя условие радио-
активного равновесия (7.18)‚ имеем дна/М, = Т „а/ Т „ =
= 1,6-103/(4,5-1О9) ю 3,6-1О-7. В 1 г радия содержится 6-1023/226 =
= 2,610“ атомов, в 1 г урана — соответственно 2,510”, т. е. прак-
тически число атомов в 1 г одинаково. Поэтому масса руды М =
= 10ОМ„а1\’„/1\/да = 100-3-106 г = 300 т.
На одну сторону поглощающей пластинки нанесен слой ос-ак-
тивного ттп (период полураспада Т в 31 мин). Найдем, при каком
минимальном отношении масс тория и пластинки возможна леви-
ташая системы в поле тяжести из-за отдачи, возникающей при ис-
пускании оь-частиц (Ед = 6,3 МэВ), если самопоглощением ос-час-
тиц в ториевом слое можно пренебречь (М 7.59). Левитацию (за-
висание системы в поле тяжести) обеспечивает поток оъ-частиц.
Обозначая импульс оъ-частицы р и считая, что поток изотропен‚
находим средний импульс частиц в вертикальном направлении.
Так как доля частиц, летящих под углом 9 к вертикали в пределах
с19, равна 2п$1п9а'9/(2тс), то для среднего импульса в вертикальном
направлении получаем
216
тс/2
<р>= [рсозезапеде= р/2.
О
Число частиц, образующихся в единицу времени (активность),
(7.13)‚ (7.14)
с11\’/с1г= Мп2/Лд = НАМ1п2/(А 73,2),
где М — масса слоя тория; А = 226 а.е.м. — атомная масса тория.
Изменение импульса равно силе
(1/2)<р>с11\’/а1! = М3(1 + шк),
где [с = М/Мшш, а коэффициент 1/2 указывает на то, что вылетает
только половина ос-частиЦ.
Учитывая, что Ед = р2/(2т„)‚ где та —_масса оь-частицы, нахо-
дим /‹ = 0,52.
В 1998 1: Я. Джоли с сотрудниками ‚осуществил прецизионное
измерение ширины линии у-перехода между двумя возбужденны-
ми состояниями 1- и 2* ядра ЁБШ. Это ядро образовалось
в результате К-захвата по схеме 821511 + е‘ —› {Ёзт + ус. Выделяе-
мая при этом энергия составляет О = 962 кэВ. Энергия данного
у-перехода в неподвижном ядре 22 Зт равна Е? = 841 кэВ. Найдем,
на сколько смещается линия Е; в результате отдачи излучающего
ядра, каково вызванное этим уцшрение линии. Оценим естествен-
ную ширину этой линии, если времена жизни ядра в состояниях
1- и 2+ составляют т, = 29 фс и 12 = 2 нс соответственно (Мв 7.62).
Из закона сохранения импульса для импульса нейтрино получаем:
р„ = Мщ, где М — масса ядра; и, — скорость отдачи ядра. Из закона
сохранения энергии находим
О = Мщ2/2 + р„с = Ми‚2/2 + Мщс а Мщс.
Отсюда скорость отдачи ядра, связанная с выбросом нейтрино,
щ = о/(Мс).
Изменение энергии Е; за счет эффекта Доплера
АЕд/Еу в щ/с,
откуда АЕд = Еущ/с = ЕуО/(Мс?) а- 5‚7 эВ.
Из-за излучения у-кванта ядро получает отдачу Сохранение
импульса дает р, = Еу/с = Ми, Из закона сохранения энергии сдвиг
217
энергии излучения из-за отдачи у-кванта АЕ, = Ми‚2/2 =
= ЕУ2/(2Мс2) в 2,5 эВ.
Для оценки естественной ширины линии воспользуемся (2.29)
АЕ = АЕ, + АЕ, = й(1/т, + 1/12) а й/т, = 0,02 эВ.
В экспериментах Ф. Блоха по определению магнитного мо-
мента тритона использовался метод ЯМР на сверхтяжелой воде
(80 % Т‚О и 20 % Н‚О). При фиксированной частоте переменного
поля у = 41,5 МГц проводилось сканирование подмагничивающе-
го поля. Бьши обнаружены два пика: при В, = 9160 Гс и В, =
= 9770 Гс, причем первый пик был примерно в четыре раза больше
второго. Определим из этих данных магнитный момент тритона,
рассчитывая спин тритона по однонуклонной оболочечной моде-
ли и учитывая, что в магнитном поле расположение подуровней
энергии ядра трития аналогично таковому для протона (Мг 7.63).
Амплитуда сигнала пропорциональна количеству имеющихся
ядер, поэтому первый пик следует связать с тритоном, а второй
с протоном. В ядре тритона оба нейтрона и протон находятся в со-
стоянии 15, причем суммарный спин нейтронов равен 0. Таким
образом, спин (полный момент) ядра равен 1 = 1/2. Условие ядер-
ного магнитного резонанса дщБВ, = Ау, откуда
3 = Иу/(р„БВ,) = 6‚62°10-27-41‚5°10°/(5‚06-10-“°9160) = 5,927.
Магнитный момент ядра ц = 31551 = 2,968_р‚‚Б. Для второго пика
32 = 3‚(В,/В,) = 5,57, т. е. он действительно соответствует протону
«За/Ю, сиз/стрел
1
1
1о“” щ
41
10.
1 0-33 Ъ
-зз
10-
1о"’ -
20 зо 40 50 е, граЁ
Рис. 7.9
218
В угловом распределении электронов с энергией Е = 750 МэВ,
рассеянных на дважды магическом ядре кальция Са, экспери-
ментально наблюдается ряд последовательных дифракционных
минимумов, как это показано на рис. 7.9. Оценим из положения
трех отчетливых минимумов средний радиус ядра кальция, кото-
рое можно рассматривать в данной задаче как черный шарик,
и среднюю величину го в формуле для радиусов ядер (Мг 7.65). Ис-
пользуя представления о шарике (4, с. 126, 146), можно написать
для направлений на минимумы Ктзйпбт = т)». Так как энергия
электронов значительно превосходит их энергию покоя, можно
считать, что их скорость близка к скорости света. В таком случае
А = Ьс/Е. В результате получаем
Кт = т/1с/(Е51п9‚„).-
Используя данные на рис. 7.9, находим Кср = 5,9'1О-‘3 см, го =
= 1,7=1О-‘3 см.
8. Нейтроны. ядерные реакции
Нейтрон — нейтральная частица, являющаяся составной ча-
стью (наряду с протоном) ядер. Масса нейтрона
т„ = 1‚6746°10-24 г = 1‚ОО866 а.е.м.;
т„с2 = 939‚565 МэВ.
Существующее внутри нейтрона распределение зарядов и то-
ков приводит к наличию у него магнитного момента
„„ = -1‚91зо„„д = -о`‚9662—1о-2з эрг/Гс.
Знак «-» указывает на то, что магнитный момент направлен
противоположно собственному угловому моменту (71/2), которому
соответствует спин, равный 1/2.
Нейтрон, не входящий в состав ядра, — нестабильная частица
со временем жизни 887 с (Ед а‘ 630 с).
Названия нейтронов и их характеристики приведены в табл.
8.1.
Таблица 8.1
Нейтроны Энергия, эВ Скорость, Длина вол- Темпера-
м/с ны, нм тура, К
Ультрахолодные < 5-10"7 < 10 > 40 < 6-10'3
Очень холодные 5°10"7—2° 10-4 10—200 40-2 6°10"3—2
Холодные 2-10'4—5-10'3 200-1000 2—О‚4 2-60
Тепловые 5° 104-10" 1000—4500 0‚4—0‚09 60- 1000
Резонансные 10“— 104 0‚09—3- 10“5
Промежуточные 104-105 3-10'5—10“4
Быстрые 105-103 10“4—3- 10-6
Высокоэнергетические 103-10") 3-10‘6—10‘7
Релятивистские > 10'° < 10-7
Изучение природы ядерных сил, действующих между нуклона-
ми в ядре (задачи о взаимодействии многих тел), естественно на-
чиналось с рассмотрения взаимодействия пар нуклонов (задача
двух тел). Возможны три нуклонные пары: протон-протонная,
протон-нейтронная и нейтрон-нейтронная. Для исследования
протон-протонного взаимодействия поток протонов направляется
на мишень из атомов водорода. Для исследования нейтрон-про-
тонного взаимодействия на такую же мишень направляется поток
нейтронов. Нейтрон-нейтронное взаимодействие изучается при
столкновении пучка нейтронов с дейтериевой мишенью. В резуль-
220
ТЗТС проведенных ИССЛСДОВЗНИЙ УСТЗНОВЛСНЫ СЛСДУЮЩИС ОСОбСН-
НОСТИ ядерных СИЛЕ
1) на расстоянии 1 ферми (10-‘3 см) ядерные силы между двумя н
протонами в 35 раз больше, чем электростатическая сила отталки-
вания между ними‚ и в 1033 раз больше гравитационной силы меж-
ду их массами; „
2) ослабевают с увеличением расстояния. На расстоянии 1,4‘
ферми сила в три раза меньше первоначального значения. На рас-
стоянии 4,2 ферми ядерные силы уже настолько малы, что ими
можно пренебречь;
3) на расстоянии, меньшем 0,7 ферми, являются силами оттал-
кивания, на расстоянии, большем 0,7 ферми, — силами притяже-
ния;
4) не зависят от электрического заряда;
5) представляют собой сумму трех компонент. Первая компо-
нента — это центральная сила, величина которой зависит только от
расстояния между. нуклонами. Вторая компонента возникает
в результате взаимодействия спина одного нуклона со спином
другого (спин-спиновая сила). Это не центральная сила, так как ее
величина зависит не только от расстояния между нукпонами, но
и от направления их спинов (тензорная сила). Третья компонента
возникает в результате того, что, когда один нуклон проходит
близко от другого, орбита круто изгибается. Можно считать, что
один нуклон вращается вокруг другого подобно тому, как электрон
вращается вокруг ядра. Из-за этого вращения орбитальное движе-
ние нуклона имеет угловой момент. Полный спин двух нуклонов,
взаимодействуя с угловым моментом орбитального момента, соз-
дает третью компоненту ядерных сил (спин-орбитальная сила). Это
также не центральная сила.
В случае параллельности спинов протон-протонной и ней-
трон-нейтронной пар существуют все три компоненты ядерных
сил. В случае параллельности спинов протон-нейтронной пары
действуют центральная и спин-спиновая силы, но неизвестно,
имеется ли также спин-орбитальная сила. В случае антипарал-
лельности спинов пары нуклонов существует центральная сила,
но спин-спиновая и спин-орбитальная силы отсутствуют.
Орбитальный угловой момент нуклона, выраженный в едини-
цах й, всегда положительное число 1 (1 = О, 1, 2, ...). Имеется до-
полнительное ограничение, связанное с принципом запрета Пау-
ли. Если две одинаковые частицы имеют параллельные спины, то
1 должно быть нечетным числом; если они имеют антипараллель-
ные спины, то 1 должно быть четным числом. В случае про-
221
тон-нейтронной пары 1 может быть любым, независимо от на-
правления спинов, так как это разные частицы.
Спин-спиновая и спин-орбитальная силы существуют только
в том случае, если спины двух нуклонов параллельны и их общий
спин равен 1. Величина этих нецентральных сил зависит тогда от
ориентации общего спина относительно направления орбитально-
го углового момента |. Число возможных направлений ограничи-
вается правилом, согласно которому проекция общего спина в на-
правлении |должна быть целым числом, аналогично (5.39). В дан-
ном случае имеется только три возможных направления (триплет):
1) общий спин и | параллельны, т. е. направлены в одну сторону;
22) общий спин и 1 взаимно перпендикулярны; 3) общий спин и |
антипараллельны, т. е. направлены в противоположные стороны.
В каждом случае нецентральные компоненты изменяются в зави-
симости от расстояния между нуклонами по разным законам. На
рис. 8.1 приведены качественные зависимости изменения потен-
циальной энергии двух подобных нуклонов (протон-протон или
нейтрон-нейтрон), имеющих параллельные спины и общий спин
перпендикулярен |‚ которые находятся близко друг к другу в зави-
симости от расстояния между ними. Если суммарный спин нукло-
нов равен нулю, то получаем синглет.
Нейтрон упруго рассеивается на ядре. Найдем, какое мини-
мальное отличное от нуля прицельное расстояние Ь может реализо-
вываться для нейтрона с энергией Е = 100 кэВ (рис. 8.2) (Мг 8.1).
На нейтрон действуют силы притяжения, когда он пролетает внут-
ри ядра. Для этого должно быть Ь < К, где в соответствии с (7.1)
К = 1‚3°10-'3-А1/3 см (А — массовое число). Для момента импульса
нейтрона, используя условие квантования момента типа (5.38),
имеем М = Ьр = й [1(1+ 1)]'/2. Минимальный момент при 1= 1. От-
куда, используя нерелятивистскую связь импульса р с энергией Е,
имеем
Е, МэВ м
Спин-о итальная сила
200 \( рб
\ Спин-спиновая сила
100 '
0 0,5 1,0 1,5 2,0 Ёфм
222
О‘
‘7/
к
Рис. 8.2
Ь = ШК! + 1)1"’/р = ШК! + 1)1"2/(2тЕ)"’. (8-1)
Минимальное прицельное расстояние
Ь„„„ = (2)'/1й/р = й/(тЕУд = 1376-10-12 см.
Чтобы это было возможно, должно быть А > 4.
Оценим отношение сечений образования компаунд-состояния
(составного ядра) при бомбардировке ядер ЁЗСа нейтронами
и протонами с одной и той же начальной энергией Ед = 10 МэВ
(М 8.2). Ядерную реакцию можно рассматривать как процесс, со-
стоящий из двух стадий: образования составного Ядра (компа-
унд-состояния) и распада его на продукты реакции. Вероятность
взаимодействия принято характеризовать эффективным сечением
реакции, которое интерпретируется как площадь поперечного се-
чения ядра, попадая в которую налетающая частица вызывает ре-
акцию. Для нейтронов из (8.1) в случае 1 >> 1 получаем
ь‚=ль=1›„/(2л).
Считаем, что на ядро падает равномерный пучок нейтронов.
Пространство пучка разбиваем на кольцевые зоны относительно
оси, которая проходит через центр ядра. Ширина зон х, средний
радиус Ь,. Площадь кольцевых зон
б) = (1/2)1т(Ь2,+‚— Ь2,_ ,) = 117630! + 1). (8.3)
Эта площадь определяет долю частиц, имеющих квантовое
число 1.
Вероятность поглощения зависит от внутренних свойств ядра
и от характеристик сил, действующих на частицу вне ядра. В об-
щем случае она пропорциональна вероятности проникновения че-
рез кулоновский и центробежный барьеры.
ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОНИКНОВЕНИЯ ЧаСТИЦЫ В ЯДРО представим
В ВИДС
ш! = Рдм
223
где Р, — вероятность проникновения через внешний барьер; С, —
вероятность «прилипания» частицы к ядру
Полное сечение поглощения (образования составного ядра),
включая случай с 1 = О, есть
о„ = Ё(21+1)п7&213ё;‚. (8.4)
Чтобы ядро поглотило частицу, она должна попасть в область
действия ядерных сил, т. е. должно выполняться (Ь‚)тах 5 К, откуда
[шах 2 К/Х. Будем считать, что все падающие на ядро частицы по-
глощаются, т. е. тогда С, = 1 при 15 К/Х и
К/Ж
о„ = Е(2/+1)тс7С.2Е.
/=0
В области энергий нейтронов порядка нескольких мегаэлек-
тронвольт и выше, когда 71<<К‚ можно считать, что Р, н 1, и тогда
К/Л
о'„ = Ввинти = п(К+7&)2. (8.5)
/=0
Центробежный барьер в квантовой механике приводит к энер-
гии
ицб = 71210 + 1)/(т„Г2)‚
где т„ — масса нейтрона и г = К.
Этой энергией можно пренебречь по сравнению с энергией
нейтрона ЕО.
В случае рассеяния протонов составное ядро образуется только
тогда, когда энергия протона будет больше кулоновского барьера
(туннельным эффектом при данной энергии можно пренебречь).
Воспользуемся тем, что связанное с квантованием момента
импульса налетающей частицы изменение эффективного сечения
взаимодействия с ядром для протона такое же, как для нейтрона.
Из (8.5) следует, что эффективный размер ядра увеличивается на
Из закона сохранения энергии
Е= Ед — 2е2/(К + 71)
и закона сохранения момента импульса
Ь(2тЕ„)‘/2 = (К + Х)(2тЕ)‘/2
224
следует предельное значение Ь
Ь = (К + ЫЕ/Ео)“.
Сечение образования составного ядра под действием протонов
стр = яд? = п(К + КУБ/Ед = тс(К + Й.)2{1 — 2е2/[Е„(К + 701}.
Отношение сечений
бр/бп = 1 - 282/ 11500? + 701 = 1/2,
где Х = й/(2тЕ„)'/2 = 1‚5-1О-‘3 см, НС, = 1‚3-10-'3А'/3 = 4,45-1О-‘3 см
(величины соизмеримые).
Оценим полное сечение о взаимодействия ул ьтрарелятивистско-
го нейтрона с ядром урана. Приняв для сечения нуклон-нуклон-
ного взаимодействия величину от, я 40 мбн, оценим длину сво-
бодного пробега такого нейтрона в ядре (М 8.3). В ультрареляти-
вистском случае полагаем, что скорость нейтрона близка
к скорости света. Поэтому получаем, что длина его дебройлевской
волны 71 = й/р 5 й/(т„с) = 2-10-‘4 см, что много меньше радиуса
ядра урана, определяемого (7.1)‚ Д, н 8-10-‘3 см. Используя (8.5),
находим сечение поглощения неупругого рассеяния
= п(К„ + юг = яку.
Таким образом, все нейтроны с прицельным расстоянием,
меньшим К„, выбывают из пучка и поглощаются ядром.
Используя представления, введенные для молекул (2, с. 251),
для пробега нейтрона в ядре получаем: 1= 1/(по„„) = 4лг03/(3о„„) в
а 2°1О-'3 см << К„.
В полное сечение взаимодействия нейтронов с ядром надо
включить отклонение нейтронов за счет дифракции на ядре. В оп-
тике доказано (принцип Бабине) (4, с. 175), что при дифракции
Фраунгофера на поглощающем экране рассеянная энергия равна
поглощенной. Используя это для нейтронов, получаем, что сече-
ние рассеяния равно сечению поглощения (орт = о„„„‚). Следова-
тельно, о °‘ о + о = 20 = 2тсК„2 в 4,1 бн (1 бн = 10-24 см2).
ПОЛН —- ПОГЛ расс ПОГЛ
б
ПОГЛ
Медленный нейтрон упруго рассеивается на свободном ядре со
спином 1 = 3/2 в состоянии с орбитальным моментом Ь = О. Опре-
делим вероятность рассеяния в состояниях с параллельной и анти-
параллельной взаимной ориентацией спинов нейтрона и ядра
(М) 8.4). Учтем, что ядерные силы между нуклонами зависят от ори-
ентации их спинов и поэтому сечение рассеяния зависит от полно-
го углового момента сталкивающихся частиц, являющегося инте-
15‘ °°° 225
гралом движения. Спином ядра называют его полный угловой мо-
мент. В данном случае (при Ь = О) спин ядра является «чистым»
спином в традиционном его понимании. Вероятность процесса оп-
ределяется числом возможных состояний системы, возникающих
в результате этого процесса. Квантование проекций углового мо-
мента (момента импульса) аналогично (5.12) дает при максималь-
ном значении момента 1 число возможных состояний (5.15). ДЛЯ
медленных частиц минимальное прицельное расстояние, как следу-
ет из (8.1)‚ много больше размеров ядра, и поэтому реакция воз-
можна только при 1 = О. Поэтому у налетающего нейтрона число
состояний (25 + 1), где 5 = 1/2. Для ядра (21 + 1). При рассеянии
нейтрона на ядре число возможных состояний системы из нейтро-
на и ядра
А’ = (25 + 1)(21 + 1) = 2(21 + 1). (8.6)
Полный момент системы зависит от направления спинов ней-
трона и ядра. При параллельных спинах полный момент системы
1 + 1/2, при противоположно направленных 1 — 1/2. В первом слу-
чае число возможных состояний А! = 2(1 + 1/2) + 1 = 2(1+ 1), во
втором А’ = 2(1— 1/2) + 1 = 21. Отношение числа этих состояний
ко всем возможным, определяемым (8.6), дает вероятность рассея-
ния. При параллельных спинах (1 + 1)/(21+ 1) = 5/8, при антипа-
раллельных 1/(21 + 1) = 3/8.
Вплоть до энергий Т= 20 МэВ угловое распределение рассеян-
ных нейтронов в реакции пр —› пр в лабораторной системе отсчета
хорошо описывается формулой
с1о„(9„) = Асозэлдпл, (8.7)
Найдем, как выглядит это распределение в системе центра
инерции, и какая оценка для радиуса действия ядерных сил отсю-
да следует (Мэ 8.5). При рассмотрении упругих соударений в меха-
нике (1, с. 93) были получены соотношения между параметрами до
соударения и после соударения в лабораторной системе координат
и в системе центра масс. Для частиц одинако-
вой массы результаты представлены на рис. 8.3.
(в системе центра масс без индексов, в лабора-
торной системе (И, Д) — с индексом «л»; звез-
дочкой отмечены скорости после соударения)-
| Сечение поглощения, использованное
| ранее, представляло площадь, при попадании
Ё на которую частица поглощалась ядром. ДЛЯ
"о получения числа поглощенных частиц ЭТУ НЛО‘
Рис. 8.3 щадь надо умножить на плотность потока. При
4Г___
П
226
рассеянии ЧЗСТИЦ на ядре ЧИСЛО рассеянных на разные УГЛЫ час-
ТИЦ также МОЖНО характеризовать ССЧСНИСМ, В ЭТОМ случае рассея-
НИЯ. ССЧСНИС рассеяния МОЖСТ ЗЗВИССТЬ ОТ УГЛЗ. ЕСТЕСТВЕННО ВОС-
пользоваться дифференциальным эффективным сечением (10/(192,
характеризующим рассеяние в область телесного угла
до = зйп9а79с1ср. (за)
где 9 и (р — азимутальный и полярный углы движения частицы по-
сле рассеяния.
Обозначим 9„ и Од — соответственно угол рассеяния и телес-
ный угол в лабораторной системе координат, а 9 и О — те же углы
в системе центра масс. Из механики следует, что если частица мас-
сы т, рассеивается на покоящейся в лабораторной системе части-
це тд, то дифференциальные сечения в лабораторной системе
и системе центра масс связаны соотношением
с1сг„(9„)/а!(2„ = [дсг(9)/‹1Е2](т,2 + 2т,т,со59 + т,3)3/2/
/[т,2(т2 + т,сов9)].
В случае т, = т, из этой формулы получаем
с1сг„(9„)/‹1(2„ = [дсг(9)/‹1О]4со5(9/2).
Как видно из рис. 8.3 при равенстве масс 9/2 = 9„. В результате
[до(9)/с1(2] = [с1сг„(9„)/с1(2„]/(4со59„) = А/4.
В системе центра масс угловое рассеяние изотропно. Полное
сечение в обеих системах о = кА. Изотропия рассеяния свидетель-
ствует о том, что дебройлевская длина волны падающих нейтро-
нов Ж 2 К, где К — радиус действия ядерных сил. Отсюда следует
оценка для К из соотношения неопределенностей К т й/р =
= й/(2тЕ`)'/2 т 10-‘3 см.
Тепловой нейтрон из реактора попадает по нормали в биологи-
ческую защиту (рис. 8.4), состоящую в основном из водорода (на-
пример, парафин), толщиной 1 = 1 м и плотностью ядер п =
=1О22см-3. Сечение упругого рассеяния составляет пр,“ = од =
= 20 бн, сечение поглощения — о„о„‚ = о, = 0,3 бн и не зависит от
энергии. Угловое распределение упруго рассеянных нейтронов
в системе центра масс изотропно. Считая, что после рассеяния
нейтрон пролетает в защите путь, в 1/<со59> раз больший, чем
при прямом пролете, где 9 — угол рассеяния, оценим вероятность
того, что нейтрон пройдет через защиту, испытав лишь только
15’ 227
одно упругое столкновегше (М9 8.6).
Обозначая поток нейтронов (чис-
ло нейтронов, проходящих через
Ж единичную площадку за единицу
П = , Ё‚___ времени) 1, получаем для измене-
| ния потока при прохождении слоя
‘Т’! _ ах на расстоянии х от места входа
; потока в защиту
Рис. 8.4 (у = _]„дп°лндх_ (8.9)
по условию бполн = бпогл + брасс 2 брасс = 60‘
После интегрирования, учитывая, что начальный поток равен
10, находим
](х) = ]„ехр(—по0х). (8.1О)
Подставляя это в (8.9), имеем
ау = —_/0по'0ехр(—по„х)с1х. (8.11)
Вероятность упругого рассеяния нейтрона в слое толщиной дх
на расстоянии х от входа в защиту
а'и› = |ау/]„| = по„ехр(—по„х)с1х. (8.12)
После столкновения нейтроны проходят в среднем путь
(1- х)/<соз9>. Найдем среднее значение косинуса угла рассеяния,
с учетом условия, что в системе центра масс угловое распределе-
ние упруго рассеянных нейтронов изотропно. В предыдущей зада-
че получено, что это имеет место, когда в лабораторной системе
выполняется распределение (8.7) с1‹т(9) = Асозе аЮ. Косинус усред-
няем по этому распределению, используя (8.8)‚
п/2
к/2
<соз9>= [соз9соз9с1О/[со$6‹1п=
0 0
к/2
п/2
= ]соз2 9с1(соз9)/ [соз9а7(со$9)=2/3.
0 0
Для вычисления вероятности выхода нейтрона из защиты без
какого-либо взаимодействия после рассеяния в точке, находящей-
ся на расстоянии х от места входа, надо учесть, что нейтрон кроме
расстояния х проходит еще расстояние (1 — х)/<со$9>. Используя
(8.12), получаем вероятность
с1и›(х) = |сд/]„| = по„ехр(—пс„х)с1хехр[-по„(1 — х)/<сов9>].
228
Искомая вероятность
/
и› = упо0ехр(—по„х)ехр[—по„(1 - х)/(2/3)]а1х =
0
1
= по„ехр[(—по„1(3/2)] [ ехр(по0х/2)а1х а 2е—2° г 4-10-9.
0
Плотность потока нейтронов, выходящих из реактора, 10 =
= 10'4с т‘ -см-2. Определим выход реакции в единицу времени (от-
ношение числа актов реакции к числу частиц, упавших на едини-
цу площади мишени в единицу времени) в мишени толщиной
1 см, если сечение реакции о = 1047 см2‚ плотность ядер мишени
п = 1022 см-3 (Мг 8.7). Выход реакции можно записать через относи-
тельное изменение потока (д, — ]„)/_/„. Используя (8.10), находим
(д, — хм = 1 - т‘ = под = 10-5.
Узкий пучок тепловых нейтронов проходит через слой воды
толщиной 1 см. Определим доли первоначального потока нейтро-
нов, выбывающих из пучка в результате поглощения и рассеяния,
если сечение поглощения для воды от“ = 0,66 бн, а сечение рас-
сеяния брасс = 69 бн (М 8.8). Используя (8. 10), имеем ос = (д, —]„)/]„ =
= 1 — е-пт‘. Учитывая, что для воды (2, с.8) п = рА/А/ц, где МА, р и
р. — число Авогадро, плотность и молекулярная масса воды.
В результате получаем а = 0,9; а = 0,022.
расс погл
Определим, во сколько раз уменьшается интенсивность узкого
пучка тепловых нейтронов после прохождения пластинки А] тол-
щиной а! = 3 см. На выходе из пластинки регистрируется пучок
первоначальной ширины. Сечение рассеяния для алюминия
орт = 1,41 бн, а сечение поглощения о„„„‚ = 0,23 бн (Не 8.9). Ис-
пользуя (8.10), получаем 10/1 = ехр(р1\’‚„оа7/А) а 1,35, где о = орт +
+ о = 1,64 бн.
ПОГЛ
Быстрые нейтроны, попав в воду быстро замедляются до теп-
ловых скоростей и = 2,2 км/с и диффундируют в ней, пока не за-
хватятся ядрами водорода (захватом кислородом можно пренеб-
речь). Оценим время жизни т нейтронов в воде, если сечение за-
хвата (поглощения) теплового нейтрона протоном о„„„‚ = с =
= 0,3 бн (Не 8.10). Длина пробега тепловых нейтронов, как и моле-
кул (2, с. 251), равна 1 = 1/по. Число протонов в единице объема
(2, с. 8)
п = 2р^’А/и
229
для воды р = 1 г/см3‚ д = 18 г/моль.
В результате время жизни т = 1/и = р/(рМАои) = 2,3°10-4 с. В об-
ласти справедливости закона Бете о = о„о„‚ ^— 1 /и время жизни ней-
трона не зависит от скорости и, следовательно, от энергии нейтро-
нов.
Исследование структуры жидкого и твердого 3Не с помощью
пропускания нейтронов через слой вещества затруднено из-за
большой величины сечения экзотермической реакции 3Не(пр)3Н‚
и для нейтронов с энергией 300 К оно равно сто = 5400 бн. Опреде-
лим энергию нейтронов, с помощью которых можно изучать слои
3Не толщиной а! = 1 мм, чтобы проходило не менее 10 % от потока
падающих нейтронов, если концентрация ядер 3Не п = 1022 см-3‚
а сечение указанной реакции для нейтронов с энергией до 1 МэВ
имеет нерезонансный характер (Мг 8.11). Поток нейтронов меня-
ется в соответствии с (8.1О). Из условия следует ](/1)/](0) = е-"о/т 2
2 0,1, где 11 = 1 мм, т. е. сечение не должно превосходить 1п10/
/(п/2) = 2,3-10-2' см? = 2300 бн. Так как в нерезонансной области
энергий сечение захвата нейтронов подчиняется закону Бете
о - 1/и, (вяз)
то 6/0}, = (Е„/Е`)'/3, где о‘, = 5400 бн, а Ед = 0,025 эВ. Следовательно,
энергия нейтронов должна быть не меньше Е= Ед 002/62 = 0,14 эВ.
Для регистрации медленных нейтронов широко используются
счетчики, наполненные газообразным изотопом 3Не. Рассчитаем
долю а регистрируемых частиц — эффективность счетчика, пред-
ставляющего собой Цилиндр диаметром с! = 25 мм, наполненный
газом при давлении р = 10 атм. Нейтроны при температуре Т =
= 300 К летят вдоль диаметра цилиндра. В счетчике происходит
реакция 3Не(п,р)3Н, сечение которой для регистрируемых нейтро-
нов о = 5400 бн (Не 8.12). Используя (8.10), получаем для эффек-
тивности счетчика г = 1 —]/]„ = 1 — е“”°". Из связи давления и тем-
пературы идеального газа (2, с.9) следует: п = р/(КТ). В результате
в = 1 — ехр[—рос1/(/с7`)] ж 96 %.
Для детектирования медленных нейтронов широко использу-
ются ионизационные счетчики, наполненные 3Не. Регистрация
нейтронов проводится по реакции (пЗНе) —› (3Н,р). Покажем на
основе законов сохранения, что взаимодействие нейтронов с гели-
ем-3 не может приводить к образованию 4Не по реакции п +
+ 3Не —› 4Не (Мат 8.13). Используя (7.2) и табличные данные, мож-
230
но получить энергии связи: для 3Не ш, = 7,7 Мэв и для “Не
щ, = 28,3 МэВ. Рассмотрим реакцию, при которой нейтрон, дви-
жущийся со скоростью и‚‚ поглощается неподвижным ядром 3Не‚
которое превращается в ‘Не и получает скорость 02. Обозначая
массу нейтрона т, массы ядер 3Не и ‘Не соответственно т, и тд, из
закона сохранения энергии имеем
ти,2/2 + тс? + т‚с2= т4и21/2 + тдсд. (8.14)
Используя (7.2)‚ можно записать
О=тс2 + т‚с3—т_,с2= щ- из >О. (8.15)
Такие реакции, при которых выделяется теплота, называются
экзотермическими. Другими примерами являются горение и деле-
ние тяжелых ядер. Реакции, которые могут произойти только при
подводе теплоты (энергии), называют эндотермическими.
Таким образом, для рассматриваемой реакции имеем из зако-
нов сохранения энергии и импульса
ти,2/2 + а = т4и‚2/2; (8.16)
ти, = тдщ.
Так как т, н 4 т, то и, = 402. В результате 161222 + 2О/т = 40,1
или 6022 + О/т = О. Это невозможно при положительном О, как
в данном случае. Поэтому такая реакция не может идти.
Заметим, что эта ситуация похожа на невозможность свобод-
ного электрона в вакууме ни поглощать, ни излучать фотоны (1,
с. 7, М9 1.16). '
Источник тепловых нейтронов установлен в центре большого
графитового куба, и со временем нейтроны, многократно рассеи-
ваясь на ядрах углерода и иногда поглощаясь, распространяются
по всему объему Оценим эффективный размер области, занимае-
мый в результате нейтронами, если эффективное сечение рассея-
ния нейтронов орт = 4,8°1О-1‘ смг, а поглощения с„„„, = 31047 см?
и плотность графита р = 2,2 г/см’ (Не 8.15). Дляописания движе-
ния нейтронов воспользуемся соотношениями, полученными при
рассмотрении явлений переноса при молекулярном движении (2,
с. 250). Число атомов углерода в единице объема графита п опреде-
ляется плотностью р, молекулярной массой углерода р = 12 г/моль
и числом Авогадро П, = 6-1023 моль-Ц т. е. п = рПА/ц = 1,110” см-д.
Для пробегов получаем Арт = 1/(порасс), ›„„„„‚ = 1/(по„„„‚). Число со-
ударений до захвата М = 7„„„„‚/?ьр„с„ = орш/опыл. Предполагаем‚ что
время жизни нейтронов больше времени захвата. Считая скорость
движения тепловых нейтронов и постоянной и предполагая при-
менимость диффузионного приближения (2, с. 256), для коэффи-
231
Циента диффузии имеем В = красен/З, для времени движения до за-
хвата 1 = ?„„0„‚/и, для эффективного размера области диффузии
д, = (блат = ‹2х„ассж„„„.›*д =д1/(п2брассбпогл/2)'/2 = 107 см.
поликристаллический бериллий слабо поглощает, но интен-
сивно рассеивает нейтроны (брегговское отражение на кристатши-
ках). На этом основано действие поликристаллического фильтра,
пропускающего нейтроны с энергией Е < Ет. Найдем Ед, для бе-
риллия, у которого Межплоскостное расстояние а! = 2 А (М: 8.16).
Условие Брегга — Вульфа (4, с. 189), определяющее длину волны
ж, которая отражается от кристалла с расстоянием между кристал-
лическими плоскостями д, имеет вид: 2с1$1пос = тж, где т — Целое
число; а — угол скольжения. Таким образом, условие отражения
эта/т = Ж/(М) < 1. Через кристалл пройдут волны, для которых
к > 2с1. Используя нерелятивистскую связь энергии и импульса Е =
= р2/(2т) и (2.3) для волны де Бройля, получаем
Ж = /2/р = И/(2тЕ)'/2‚ (8.17)
откуда
Е < /12/(8та'2)‚ (8.18)
т. е. граничная энергия Егр = т/(Зтад) = 5°1О-3 эВ.
Поток нейтронов из реактора, имеющих максвелловское рас-
пределение по скоростям с температурой Т= 370 К, пропускается
через толстый поликристаллический фильтр из спрессованного
порошка графита. Найдем, какая доля нейтронов проходит через
такой фильтр, если максимальное Межплоскостное расстояние для
решетки графита а = 3,35 А (Мг 8.17). Из (8.17) получаем, что
у проходящих нейтронов Атм = 2а и, соответственно, от, =
= тсЙ/(та). Используя формулу для потока молекул через единич-
ную поверхность (2, с. 169), получаем для падающего потока ней-
тронов
м, = А [ из ехр[—ти2 /(2/‹Т)]ди‚
0
где А — постоянная величина; т — масса нейтрона.
Для прошедшего потока имеем
А’ = Ага’ ехр[—ти2 /(2/‹Т)]с1и.
Вводя обозначение х = ти2/(2/сТ)‚ получаем долю проходящих
нейтронов
232
а = хе"‘‹1х/(}хе"дх) =(1/2)[тс т /(2т/сТа2 п? = 0,16 %.
При прохождении нейтронов через границу разных сред проис-
ходит изменение их скорости, а при наклонном к границе движе-
нии — и изменение угла наклона скорости относительно границы.
Это связано с изменением сил взаимодействия нейтронов с ядра-
ми атомов, из которых состоит среда. Если изменение этого взаи-
модействия характеризовать скачком потенциальной энергии
взаимодействия П, то закон сохранения энергии для нейтрона
массой т и скорости и, при пересечении границы дает
ти,2/2 = ти23/2 + П, (8.19)
где и, — скорость после пересечения границы.
На рис. 8.5 показано пересечение нейтроном границы между
вакуумом и средой с показателем преломления п.
Вводя, в соответствии с (2.3)‚ длину волны де Бройля для ней-
трона А. = И/(ти) и волновое число [с = 2тс/?„‚ а также учитывая (4,
с. 6 и 48), получаем для показателя преломления
п = зйпсрд/зйпфд = 02/12, = Д/м = /‹2//с‚. (8.2О)
Скорость нейтрона и является групповой скоростью волны.
Из (8.19) и (8.2О) имеем
п2 = 022/03 = 1 — 2П/(ти3) = 1 — 2НтЖ3/т. (8.21)
При |п — 1| << 1 эта формула переходит в
п = 1 — НтЖ/Ю. (8.22)
у Г
1 ‘Р1 к хР
__, 7 2
‚‚ Ф2 „2 ‘д: А’;
Рис. 8.5 Рис. 8.6
ВСЛИЧИНУ Н МОЖНО связать С параметрами среды, как ЭТО дела-
СТСЯ В ОПТИКЕ.
Рассмотрим прохождение нейтронной волны через слой веще-
ства толщиной А: << А (рис. 8.6). Используя оптические методы
(4, с. 70), для комплексной амплитуды падающей волны имеем
50 = е“. (8.23)
233
В результате рассеяния на ядре получаем сферическую волну
5 = Ье”” п (8.24)
В Для расчета волны, приходящей в некоторую
точку Р, используем метод зон Френеля (4, с. 118).
Вычислим, что придет в точку Р из объема, ограни-
ченного площадью первой зоны Френеля п]? = тс(2 +
+ ›„/2› 2 — 1:22 а 1121. Если число ядер в единице объе-
ма среды равно А’, то в выделенном объеме число
ядер Плащ. Сложение амплитуд от источников
о в первой зоне Френеля (рис. 8.7) происходит по по-
Рис. 8.7 луокружности длины Мт|Ь|жАъ Здесь считаем г н 2.
Вектор ОС соответствует волне от всех зон Френеля.
Он является радиусом полуокружности, направленным под пря-
См
мым углом к направлению падающей волны. Таким образом, для
рассеянной волны в точке Р имеем
5,‚ = Мщдедг * т” = [Мщдещ
Для полной волны в этой точке надо добавить падающую вол-
ну. Предполагая, что
МААЫ << 1,
получаем
5, = (1 + зимами = е"‘=* ‘ММ’.
ТО же самое МОЖНО выразить через показатель преломления
(8.2О)
5}, = ещё-Аз) + ЛтАг = ед/сг + /‹(п—|)А2|_
Сравнивая это с предыдущим, находим
п = 1 + „ЁЖ/К = 1 + (1/2)1\’Ь7ь2/1г. (8.25)
Эта формула справедлива только при
М2|Ь| << 1.
При получении (8.25) не были учтены волны, рассеянные все-
ми ядрами, внешними по отношению к рассматриваемому ядру,
не учитывались отражения на границах слоя. Чтобы избежать
сложных расчетов, найдем связь Н с параметрами среды из срав-
нения (8.22) и (8.25)
Пт/И? = -(1/2)1\’Ь/п. (8.26)
Подставляя это в (8.21), получаем формулу, для которой нет ог-
раничения малости второго члена в правой части по сравнению с
единицей:
234
п? = 1 + ПЬЮ/п. (8.27)
В случае Ь < О и МЬРЗ/тс > 1 показатель преломления чисто
мнимый. В таком случае нейтронная волна, падающая на поверх-
ность среды из вакуума, проникает в среду лишь на малую глуби-
ну, а затем полностью отразится. Граничную длину волны м, и гра-
ничную скорость от находим из условия
МЬРЗ/тс = 1. (8.28)
Волна не проходит, если
х > Ат, (8.29)
где
М, = [п/(МЬОГ/д (8-30)
Волна не проходит, если скорость нейтрона меньше
игр = И/(тжгр). (8.31)
Вычислим коэффициент преломления нейтронов с энергией Е =
= 2°1От2 ЭВ в металлическом Ве (р а 1,85 г/см’), если амплитуда
рассеяния Ь = — О,77°10-'2 см. Найдем, чему равен угол полного от-
ражения нейтронов (М9 8.21). Используя нерелятивистскую связь
энергии и импульса Е = р2/(2т) и (2.3) для волны де Бройля, полу-
чаем
х = /1/р = /2/(2тЕ`)‘/2 = 2‚о2=1о-8 см.
Обозначив атомную массу Ве А и число Авогадро МА, получаем
(2, с. 8)
м = рМ/А. (8.32)
Используя (8.27), находим п? = 1 - 1,23-1О-5.
Из (8.2О) получаем при (р, = 9О° и (р, = 9О° — 9 для угла скольже-
ния 9
со59 = п. (8.33)
Угол 9 называют критическим.
Отсюда
е = (1 - лгу/г. (8.34)
В результате получаем 9 в 12’.
235
Найдем критический угол скольжения 90 для тепловых нейтро-
нов с заданной длиной волны х при отражении от материала с из-
вестными значениями А’ и Ь, если при 6 < 90 нейтроны полностью
отражаются (Не 8.20). Из (8.34) и (8.27) находим 9 2 (1 — п2)'/2 =
= ЖМИ/п)“-
Максимальная скорость нейтронов, накапливаемых в ловушке
в силу полного отражения от медных стенок, и = 5,7 м/с. Опреде-
лим амплитуду рассеяния нейтронов на ядрах меди (Не 8.22). Из
(8.28) и (8.32) имеем Ь = —пАт2и2/(рА/А/12) н —О,77-1О-'2 см.
Пэавитационный рефрактометр (рис. 8.8) дает возможность оп-
ределить амплитуду рассеяния медленных нейтронов атомными
ядрами, используя падение нейтронов в гравитационном поле
Земли. Найдем амплитуду рассеяния ДЛЯ 2°9В1 (плотность р =
= 9,8 г/см3)‚ если известно, что для него на высоте Н = 60 см резко
изменяется скорость счета (Мз 8.25). Увеличение потока нейтро-
нов в детектор связано с полным отражением от поверхности Вй.
Для полного отражения имеем (8.33) п = соз9т. Используя (8.27),
получаем
запгекр = -х2мь/к„
Пучок
нейтронов
Вй-зеркало Б
Рис. 8.8
21
Для вертикальной скорости нейтрона находим ив = (23Н)'/2
а 3,5 м/с. Учитывая малость угла скольжения, получаем
зйп2бкр в ‘(329 = 03/02 = 23Н/и2.
КР
Используя (8.32) и (2.3), имеем: Ь = —3НАт„2/(2пй2р1\’‚„)
н —8‚4-10“‘3 см.
22
Найдем, чему равна критическая скорость нейтронов, испыты-
вающих полное отражение на границе вещества при произволь-
ном угле падения, если число рассеивающих ядер в единице объе-
ма А’ и амплитуда рассеяния нейтронов Ь (Мг 8.19). Используя
(8.31) и (8.3О)‚ находим икр = (Ь/т)(МЬ|/п)‘/2.
236
На рис. 8.9 показаны: реактор К, работаю-
\щий на тепловых нейтронах, полая изогнутая
трубка (нейтроновод) и детектор нейтронов 1).
Распределение нейтронов в реакторе по ско-
ростям максвелловское при температуре Т я
нм4ОО К. Нейтроны, скорость и которых мень-
ше граничной скорости (игр с 10 м/с), называ-
ют ультрахолодными. Особенностью таких
нейтронов является то, что они испытывают
полное упругое отражение от стенок при лю-
бом угле падения. Найдем зависимость скоро- Рис. 8.9
сти счета детектора от высоты колена Н, пола-
гая, что детектор одинаково эффективно регистрирует все ультрахо-
лодные нейтроны. Определим, при каком значении Н детектор не
регистрирует ультрахолодные 8.26). Для максвелловского распреде-
леня числа молекул по скоростям имеем (2, с. 159)
дп/пд = [т/(2л1сТ)]3/2ехр[—ти2/(/сТ)]4тси2с1и. (8.35)
Максимум этой зависимости при от = (2/сТ/т)'/2. Для ультра-
холодных нейтронов из табл. 8.1 Ту,‘ т 6-10-3 К, поэтому пух =
= (2/сТу„/т)'/2 << и Для ультрахолодных нейтронов экспонента
порядка единицы.
Плотность потока ау н идп т 03070 = АЕаУЕ‚ где А — постоянная;
Е = то2/2.
Если в нейтроноводе электроны опускаются в поле тяжести, то
их энергия увеличивается на тдН. При расчете полного потока
предельная энергия
Е‘ = Еп, — т3Н = тигр2/2 — т3Н
Для полного потока получаем
тах °
1 = А}: ЕдЕ= (А/2)Е2 = (А/2)(ти‚р2/2 — т3Н)2. (8.36)
о
Счет прекратится при Е‘ = О, откуда Н =
= 2/(23) = 5 М.
“Ёсли нейтроновод направлен вверх, как
показано на рис. 8.10, то энергия нейтро-
нов, подходящих к детектору уменьшается
на т3Н. Определяюший поток нейтронов
к детектору надо вычислять от тдН до Ед, =
= тигр2/2:
ЕФ
1 = А[Е‹1Е=‹А/2›1‹ти„з/2›2 - (тгНт.
Рис. 8.10
237
Поток будет равен нулю при Н = и„‚2/(23) = 5 м. )
Вхождение нейтронов из вакуума в большинство веществ свя#
зано с преодолением энергетического барьера. Поэтому в замкн -
той полости достаточно медленные нейтроны оказываются запер-
тыми и могут накапливаться. Определим, какая доля из потока
тепловых нейтронов, распределение по скоростям которых ма/к-
свелловское‚ окажется запертой в медной камере. Предельный
угол скольжения при полном «внешнем» отражении для нейтро-
нов, движущихся со среднеквадратичной скоростью, составляет
1 = 10 угл. мин. Соударения нейтронов со стенками камеры могут
рассматриваться как упругие (Мг 8.29). Предельный угол скольже-
ния 1 позволяет определить предельную нормальную к поверхно-
сти скорость 120, при которой нейтрон не проходит через поверх-
ность и„/иск = зйп! в 3-10-3, где иск = (2/‹Т/т)'/2. Используя (8.35)3
получаем долю тепловых неитронов, которая окажется запертои
в полости,
ос = }ьехр[—ти2 /(/‹1)]4пи2а'и/ Т ехр[—ти2 /(/‹Т)]4пи2‹1и =
= ‹и„2/з›/к‹тс›*/2‹и„3›3/2/41 = ‹4/з›‹и„/и„›3/‹п›=/2 = 2404.
В эвакуированном сосуде объемом У= 1 л находятся ультрахо-
лодные нейтроны, отражающиеся от стенок с коэффициентом от-
ражения, практически равном единице. В сосуде имеется отвер-
стие площадью 5, заклеенное фольгой, полностью прозрачной для
ультрахолодных нейтронов. Найдем, какова должна быть площадь
окошка 8, если наблюдаемое время хранения нейтронов в ловушке
в 2 раза меньше среднего времени жизни свободных нейтронов
т т 103 с, считая, что скорость всех ультрахолодных нейтронов оди-
накова и равна и = 5 м/с (М) 8.28). Пусть М!) — число нейтронов
в объеме в момент времени 1. Для числа ударов нейтронов в еди-
ничную площадку поверхности имеем (2, с.169) Ми/(4У). Умень-
шение числа нейтронов в сосуде происходит из-за выхода через
отверстие и из-за распада, для оценки величины которого можно
воспользоваться формулами (7.11) и (7.15)‚
дм = —(1\’/У)(и/4)5с11 - Мй/т.
Решение этого уравнения при начальном числе нейтронов в
этом объеме М,
А! = МОехр{—[о3/(4У) + 1/т] 1}.
По условию 1/[125/(4 У) + 1/т] = т/2‚ откуда $= 4 У/(ит) н 0,8 мм2.
238
После прохождения свинцовой пластинки толщиной с! = 2 см
интенсивность потока нейтронов с энергией Е = 0,25 МэВ умень-
илась и составила 70 % от интенсивности падающего пучка. По-
жжем, что это ослабление пучка обусловлено преимущественно
ругим изотропным в-рассеянием нейтронов ядрами свинца.
итая, что амплитуда рассеяния равна радиусу ядра, оценим раз-
мер ядра МРЬ, если плотность свинца р = 11,3 г/см3 (М9 8.23). Ис-
пользуя (8.10), находим Пса! = —1пО,7 = 0,36. Из (8.32) имеем А! =
= 3,340” 1/см3. В результате о = 5,4°1О-1‘ см? = 5,4 бн. По условию
предполагается з-рассеяние, т. е. с нулевым моментом количества
движения. В этом случае сечение упругого рассеяния находим сле-
дующим образом. При падении на ядро плоской монохроматиче-
ской нейтронной волны вида ч: = е“ на далеких расстояниях в ли-
нейном приближении имеем рассеянную волну ш, = (Ь/г) ч: =
= (Ь/г)е"". Здесь Ь — амплитуда рассеяния, а начало координат по-
мещено в Центре ядра. Рассеяние сферически симметрично, если
ядро сферически симметрично и длина волны нейтрона (в данном
случае Ж = И/р = И/(2тЕ`)‘/2 = 17-10-12 см) много больше радиуса
ядра (из (7.1) в данном случае К в 7°10-'3 см). Плотность вероятно-
сти нахождения рассеянного нейтрона |\и‚|2 = |Ь|2/г2. Плотность ра-
диального потока вероятности и|\у,|2 = и|Ь|3/г2‚ где и — радиальная
скорость нейтрона. Вероятное число нейтронов, проходящих в се-
кунду через площадь с15, нормальную к радиусу, с1Би|Ь|2/г2 = и|Ь|2‹1(2‚
где (Ю = с15/г2 — телесный угол, под которым видна площадка 075
из центра рассеяния. Плотность потока вероятности падающей
волны и|е"°*11 = и, так что для эффективного сечения рассеяния
в телесный угол (Ю получаем
до = и|Ь|2с1П/и = |ь|2ап.
ДЛЯ ПОЛНОГО ССЧСНИЯ рассеяния
о‘ = 414142. (8.37)
По условию амплитуда рассеяния равна радиусу ядра, поэтому
с = 411122. Откуда, используя полученное выше сечение, К =
= 6‚5-1О-'3 см.
Для оправдания в-рассеяния можно вычислить момент им-
пульса М = Кр = 754-10-23 г-см3/с и, используя условие квантова-
ния (5.38) М = й[1(1+ 1)]'/2, получаем 1= 0,4 (< 1).
Монохроматические нейтроны с энергией Е = 10-7 эВ транс-
портируются к мишени из источника (медной сферы радиусом К)
по длинному круглому алюминиевому нейтроноводу радиусом г =
239
= 10 см << К. Концентрация нейтронов
в источнике по = 1 см-3 все время поддер-д
живается постоянной, плотность алюмщ
ния и меди равны соответственно 2,7 г/смР
и 8,9 г/см3, а их амплитуды когерентного
рассеяния ЬА,= —3.5-10°‘3 см и ЬС„ +*=
= —7,8-10-'3 см. Вычислим поток нейтро-
РИС- 8-11 нов на мишени, если распадом нейтронов
можно пренебречь (Мз 8.30). Для скоро-
сти нейтронов получаем: и = (2Е/т)‘/2 = 4,38 м/с. Используя (8.17),
находим длину волны де Бройля для нейтронов Ж = И/(ти) =
= 9‚05-10°° см. С помощью (8.3О) и (8.32) вычисляем предельные
Длины волн в медН и алюминии кто, = 6‚9-10-° см и Атм =
= 12‚2-10-° см. Видно, что хш < х < Атм. В результате от стенок
медной сферы отражаются все нейтроны, а по алюминиевому ней-
троноводу пройдут лишь те, которые падают на стенку под углом,
больше критического (рис. 8.11), в соответствии с (8.27) и (8.3О)
сркр = агсзйпп = агс51п(1 — Ж/ЖФМУ” = 42‚1°.
Поток нейтронов, падающих на мишень, Ф = <д|>5‚ где 5 =
= тсг? — площадь нейтроновода, а <д|> — тангенциальная по отно-
шению к оси нейтроновода компонента плотности потока нейтро-
нов, усредненная по телесному углу О (см. рис. 8.11), предельное
значение которого
О’ = 2к(1 — созэкр) = 2п[1 — соз(п/2 — ‹ркр)].
Используя (8.8), проведем усреднение
21: д/2"Фкр
п,
< 1">=п„0_{со59с1(2/(4тс)=п0и/(41т){а'‹р {созб $1п0а70=
= (п0и/4)31п2(п/2 — (ркр) = (п„и/4)соз2‹ркр.
В результате поток нейтронов на мишени
Ф = 8 (п„и/4)соз2‹ркр = (пР/4)п0(2Е/т)'/2соз2‹ркр и
и 18 900 нейтронов/с.
Параллельный пучок монохроматических нейтронов (Ж = 5 А)
шириной Н = 2,5 см попадает на вход длинного изогнутого нейтро-
новода прямоугольного сечения радиусом К = 50 м (рис. 8.12).
Внутренняя поверхность нейтроновода покрыта слоем “М (р =
= 8,9 г/смд‘, амплитуда когерентного рассеяния Ь = —10 фм). Опре-
делим, какая часть нейтронов пройдет по нейтроноводу, если рас-
240
падом нейтронов можно пренебречь
(Не 8.31). По нейтроноводу пройдут
только те нейтроны, которые падают
на поверхность под углом 9 з От, т. е.
слой толщины 11. Отношение числа
прошедших нейтронов к общему
числу входящих в нейтроновод рав-
но Ь/Н. Из (8.33)‚ (8.27) и (8.32) на-
ходим 1 — созгбкр = МЬШ/к =
= рМА|Ь|Ж2/(пА). Используя рис. 8.12,
получаем сове)“, = (К — 10/12.
В результате а = И/Н = рЫА|Ь|Ю2/ Рис‘ 842
/(2пАН) ш 0,076.
НН
Ультрахолодные нейтроны выходят широким пучком из гори-
зонтального нейтроновода и затем движутся свободно над гори-
зонтально расположенной пластинкой, упруго от нее отражаясь
и тем самым совершая периодическое движение (рис. 8.13). Это
движение в гравитационном поле квантуется, и поэтому пройдут
Рис. 8.13
над пластинкой только те нейтроны, у которых высота движения
Н соответствует разрешенной энергии. Оценим на основе правила
квантования Бора — Зоммерфельда, какова третья разрешенная
высота (‚Мг 8.24). Боровское квантование (4.5) для круговых орбит
электронов в атоме Зоммерфельдом было распространено на эл-
липтические орбиты. Правило квантования Бора — Зоммерфельда
в общем случае имеет вид
ф рах = Ил, (8.38)
где интеграл берется по всей траектории (периоду) движения час-
тицы, р — ее импульс; 11 — постоянная Планка; п — целое число.
Обозначая расстояние нейтрона от пластинки х, из закона со-
хранения энергии для периодического движения по вертикали
имеем: Е = т3Н = р2/(2т) + тдсх. Отсюда р = т [23(Н— х)]'/2. Ис-
пользуя (8.38), получаем
Н
2] рдх= (4/3)т(23)'/2 Нт = Ип,
0
15- взо 241
-откуда Н = {311п/[4т(2д)'/2]}2/3. При п = 3 находим в 0,034 мм.
В рентгеновской и нейтронной физике начинает широко при,-
меняться так называемая «орааие орпсз» (непрозрачная оптика). На-
пример, цилиндрической линзой может служить цилиндрический
канал в сплошном веществе. Рассчитаем для нейтронов с энергией
Е = 25 мэВ фокусное расстояние составной никелевой линзы, об-
разованной 10 отверстиями диаметром 212 = 200 мкм (рис. 8.14).
Длина когерентного рассеяния нейтронов в никеле естественного
состава а = 10-‘1 см, плотность никеля р = 8,9 г/см3 (Мг 8.33). Дли-
на рассеяния а = -Ь (амплитуда рассеяния Ь < 0, а > 0). Используя
Ё
ооооооооооо>
Рис. 8.14
пи
(8.17)‚ находим длину нейтронной волны
ж = Й!(2тЕ')1/2 =
= 2п-10-27/(2-1,6-10-24-2,5-10-2°1,6-10-‘2)‘/2 = 1‚7-1о-8 см.
Из (8.27) и (8.32) получаем для показателя преломления нике-
ля
‘ п = (1 — 1\’а7ь2/тс)'д = [1 — рПАах2/(пА)]‘/2 =
= [1 — 8‚9-6'1023-10-'2-1‚7-1,7-10-'°/(З‚14-59)]‘/2 = 1 - 4‚1-10-°.
Так как диаметр отверстий 212 = 200 мкм = 2-10-6 см >> ж =
=1‚7-10‘8 см, можно воспользоваться результатами геометриче-
ской оптики (4, с. 18 и 29). Для фокусного расстояния цилиндри-
ческой линзы имеем
_ 1/Р=(” - 1)(1/к1 _ 1/к2)-
Учитывая, что в никеле показатель преломления меньше 1,
хотя и близок к ней, получаем 17= (К/2)/(1 — п) 2 10,5 м. По прави-
лу сложения оптических сил (4, с. 17) для системы 10 цилиндриче-
ских отверстий имеем Р т 1 м.
Образец йода ‘271 облучается нейтронным потоком такой ин-
тенсивности, что в 1 с образуется 107 атомов радиоактивного йода
‘231, период полураспада Д, которого 25 мин. Найдем число ато-
мов ‘231 и активность препарата через 1, 10, 25, 50 мин после начала
облучения. Определим, каковы максимальные числа атомов ‘231
и активность препарата при долгом облучении (т. е. при облуче-
нии до насыщения) (Не 8.34). Учитывая (7.13) и то, что при облу-
242
чении до насыщения число распадающихся в 1 с атомов йода (ак-
тивность препарата А) равно числу атомов, образующихся ежесе-
кундно, имеем: о'К/д: = А = ЖА/„ас = 107 распад/с. Таким образом,
число атомов радиоактивного йода при активации до насыщения
(максимальное число атомов)
Пни = А/Ж = 1О7Т/(1п2) = 2‚16-10'° атомов.
Используя (7.11), находим число атомов радиоактивного йода
через время п
дм = ‚м: - жми = -ж(м - м„„)д:.
Интегрируем это, учитывая, что в начальный момент радиоак-
тивного йода не было,
А’ = 1\’„,с(1 — е-М). (8.39)
При 1 << Т получаем: 1\’= А! М = Ах. По этой формуле можно
посчитать для 1 мин А’ = А1= 18560 = 6-103 атомов. Для больших
времен надо считать по (8.39). Например, для 25 мин 1\’= 1,08-1О'°
атомов.
При облучении образца золота в потоке тепловых нейтронов
плотностью] = 1О'4см-2°с-‘ в реакторе в результате реакции '97Аи (п,
у) '93Аи (сечение о, = 96 бн) образуется Вчактивный нуклид ‘93Ац,
переходящий в “Не с периодом полураспада Д, = 2,7 сут. В то же
время сечение реакции ‘93Аи (п, у) '°9Аи очень велико и равно 02 =
= 26 000 бн, так что изотоп ‘93Аи активно поглощает нейтроны
(вторичная активация). Найдем, на сколько уменьшается при учете
вторичной реакции число образующихся ядер '93Н3 при времени
облучения 1= 10 Ед, (М 8.35). Обозначим М, — начальное число
ядер ‘97Ац и А’ — число имеющихся ядер '93Аи. На изотопах золота
идут следующие реакции:
п + |97Аи _› |98Аи +
|98АЦ в- _› 198118;
п + ‘98Аи —› '99Аи + у.
Используя (7.11) и пренебрегая разностью между текущим зна-
чением числа ядер '97Аи и их начальным количеством, для измене-
ния числа ядер '93Аи получаем
сит/д: н сг‚]А/„ - ХА’ — 0,111 (8.4О)
Оценка показывает, что за г= 27 сут (1= 102/2) исчезнет всего
10,10 Ед в 2°1О-3 = 0,2 % ядер тАи.
Это оправдывает используемое приближение.
Для постоянной В=распада ядер '93Аи имеем: Ж = 1п2/Дд =-‘
= 2‚97°1О-° с-‘.
Значение второго коэффициента в (8.4О) 02] = 2‚6-1О-° с-‘.
Решение (8.4О) имеет вид
М?) = ]б|-м0{1 - СХРЕ-(Ж + ЙЩУП/О» + 102)-
Показатель экспоненты для максимального времени (Ж +
+ 102) Т, д 2 13. Можно положить 1 — е-‘З а 1. В таком случае
М?) т ХОцМ/(Ж + 162).
Если бы за счет радиационного захвата нейтронов не происхо-
дило исчезновение ядер ‘98Аи, то
Миазм!) в ]о,1\’„/Ж.
В результате искомое уменьшение числа образующихся ядер
|98Н8
1\’(107]/2)/ ПбСЗШПОПд) н Ж/(Ж +]о2) = 0,53.
Образец золота '97Аи массой т = 10 мг облучалш в потоке тепло-
вых нейтронов плотностью] = 10‘? см‘? -с“ дважды: в течение пер-
вого дня с 9 до 17 ч и в то же время на следующий день. Найдем
число образовавшихся радиоактивных ядер ‘93Аи (Ед = 2,7 сут, се-
чение активации, т. е. радиационного захвата неитронов ядрами
‘97Аи‚ о = 96 бн) к концу облучения во второй день. Определим, за
какое время это же количество ядер '93Аи может быть получено
при непрерывном облучении (Мч 8.36). Дополняя уравнение (7.11)
источником,‘ получаем уравнение активации-распада
ат’ = спи! — ЖМИ = —Ж(1\’ — ст]/Ж)а7г = —Ж(1\’ — Мддг, (8.41)
где п = тЫА/А, и, в соответствии с (7. 14), Ж =1п2/7]д = О,3'1О-5 с“;
м, = стыд/ом) =
= 96-10-24-10-2-61023-1О12/(О‚3-10-5°197) = 9‚75›1ои„
Если продолжительность активации оба раза т = 8 ч, а перерыв
Т= 16 ч, то Ж т = 0,086 и Ж( Т+ т) = 0,26. Решение уравнения акти-
вации:
М!) = 1\/0(1 — г“). (8.42)
Число ядер после первого облучения из (8.42)
244
П, = М‚(1 — е-М).
После прекращения облучения происходит только распад и
М = А’, г“. (8.43)
Используя (8.41), при следующем облучении имеем
м = мы - е-м›(1 + гм“ п) = 1‚4-1от ядер.‘
Чтобы получить такое же количество ядер при непрерывном
облучении, используя (8.42)‚ находим
г = (1/Ж)1п[1\/„/(1\/„ - м] = 14,5 ч.
На рис. 8.15 приведены зависимости числа ядер от времени.
м“
“з
____ __„________
“п /| |
|
Е ' Ё
| _| “2 |
| 4 `— | =
8 2‘ 24 32 :,ч
Рис. 8.15
Образец алюминия облучается дейтронами с энергией 7 МэВ,
в результате чего происходит реакция 27А1(с1, р)28А1. Период полу-
распада 23А1 равен 1] д = 2,24 мин. Облучение длится в течение 1, =
3,5 мин, какое-то время г, уходит на перенос образца к детектору,
а затем в течение времени 1, = 6 мин производится измерение ак-
тивности образца. Найдем, какую часть распадов регистрирует де-
тектор от максимально возможного при том же времени переноса
образца (Мг 8.37). Используя (8.41) и (8.43), число распадов между
моментом включения и моментом выключения детектора
М = ПОП - ехр(->»п)1ехр(—7»12)[1 - ехр(->»1з)1.
Максимальная возможная активность соответствует бесконеч-
ному времени облучения ги затем, после перерыва, бесконечному
времени регистрации 1, т. е. Ыта, = 1\’0ехр(—х1;); из (7.14) к =
= 5,15-1О-3 и поэтому М, = 1,083, М, = 1,86. В результате
м1/Ытах = [1 - ехр(-7»!.)1[1 — ехш-МЗЛ = 0,55.
Распространенность группы легких элементов Ы, Ве, В в Зем-
ле, Солнце, метеоритах намного меньше, чем более тяжелых С, М,
О, однако в космических лучах содержание группы легких элемен-
245
тов Ы, Ве, В относительно группы С, М, О равно ос = 0,34. Это
объясняется фрагментацией (развалом) С, М, О при прохождении
через межзвездную среду, состоящую в основном из водорода.
Оценим количество водорода (в г/см2), которое должны при этом
пройти высокоэнергетические ядра С, М, О, если сечение деления
(фрагментации) тяжелых элементов с образованием легких сф =
= 90 мбн, полное сечение их взаимодействия с водородом со =
= 200 мбн, фрагментацией легких элементов пренебрегаем
(М9 8.38). Обозначив концентрацию межзвездного водорода пр
и используя (8.9), для убыли тяжелых элементов получаем
дА/С/а/х = —с„пр1\/С.
После интегрирования
МС = 1\’„ехр(—о„прх),
где М, — начальное количество С в потоке.
Рождение легких элементов описывается формулой
д/Уы/а/х = офпрМС = офпрЫОехщ-сдпрх).
интегрируем, учитывая, что прирост числа легких элементов
происходит на пути 1:
МЫ = (оф/о0)[1 — ехр(—о„пр/)].
Из условия имеем
ос = А/Ы/МС = (оф/о„)[ехр(о„пр/) — 1].
Используя (8.32)‚ получаем пр = рА/А/А (для водорола А = 1), от-
КУДа
1п(1 + оъоО/сгф) = оопр/ = р1одпр/р и
1р = [1п(1 + оъо„/оф)]/(о„1\’‚,) 0‚56/(2-10—25°6-1023) = 4,7 г/см2.
Сосуд объемом У= 1 л помещен в активную зону реактора на
тепловых нейтронах с плотностью потока] = 10" см-2- с”. Считая,
что сосуд не возмущает пространственное максвелловское распре-
деление нейтронов с Т = 300 К, найдем количество протонов, на-
копившихся в сосуде за счет распада нейтронов в течение 1= 6 мес
(М9 8.39). Используя (2, с. 169) и учитывая, что в данном случае по-
ток идет с двух направлений, получаем:] = п<и>/2 (а не 4, как при
потоке с одной стороны), где <и> = [8/‹Т/(пт)]'/2 = 2,5-105 см/с.
Концентрация нейтронов п = 21/12 = 0‚8-107 1/см3. Во всем сосуде
находится М, = 8 -10° нейтронов. В единицу времени в сосуде за
счет распада все время образуется одинаковое число протонов
246
(7.13) М, = МЧО. Для нейтронов х = 1/т и т = 925 с. За 6 мес набе-
рется протонов 8-109-6-30-24-3600/925 = 1‚34-1О".
Один из методов определения време-
ни жизни нейтронов по отношению
к В-распаду состоит в измерении числа
протонов, образующихся при пролете
медленных нейтронов через промежу-
ток а фокусирующей системы детектора _"
протонов В (рис. 8.16). Найдем число ]"""
протонов Пр, поступающих на детектор, —>
если длина промежутка, в котором ней-
троны распадаются, равна а = 20 см,
плотность потока медленных нейтронов
]„ = 10” см-д -с-‘‚ скорость нейтронов
и = 2 км/с, эффективность сбора прото-
нов 100 % (Мг 8.40). Вероятность распа-
да нейтрона при пролете им расстояния а в течение времени
1 = а/и равна отношению этого времени ко времени жизни ней-
трона т = 1/х = 1]‚2/1п2. Общее число нейтронов определяется по-
током. В результате число собранных протонов Пр =]„1/т. Подстав-
ляя время жизни нейтрона т в 940 с и величины из условия, нахо-
дим М, н 1‚1-1О° см°2-с°‘.
Н
Рис. 8.16
Найдем среднее по энергии эффективное сечеъше о реакции
а + А] —› р + 51. Известно, что при облучении толстой алюми-
ниевой мишени оъ-частицами с энергией 8 МэВ выход протонов
(выходом ядерной реакции называется отношение полного числа
рожденных в мишени частиц к полному числу попавших на ми-
шень) равен т] = 8°1О-°. Длина пробега оъ-частиц в воздухе равна
[в = 7,0 см (Мг 8.41). Под толстой мишенью понимается мишень,
толщина которой больше длины пробега частицы. В задаче гово-
рится о малом выходе п << 1 и среднем сечении (оно меняется на
длине пробега из-за изменения энергии за счет взаимодействия
с зарядами вещества). Используя (8.9)‚ для выхода протонов в тол-
стой алюминиевой мишени получаем
11 = пмо1м,
где пм — плотность атомов А1 в мишени; о — среднее сечение ре-
акции; [м — пробег ос-частиц в алюминии.
247
Поскольку потери на ионизацию пропорциональны числу
электронов в 1 см3 вещества, т. е. п2‚ отношение пробегов в алю-
минии и воздухе
]А][[в = пв2в/(пА12М)°
В результате
о = пЗМ/Цвпвд) 2 4-10-26 см2.
Толстая мишень, содержащая пО ядер/см3, облучается ос-части-
цами. Зависимость дифференциального выхода п исследуемой ре-
акции от энергии оъ-частиц в интервале 1-10 МэВ оказалась куби-
ческой: дп/дЕ = сЕ3. Определим приближенно характер зависимо-
сти эффективного сечения реакции от энергии о'(Е), принимая,
что тормозные потери обратно пропорциональны энергии, т. е.
с1Е/с1х = А/Е, где А = сопзт (Не 8.42). В толстом слое вещества поток
частиц меняется как вследствие ядерных реакций, так и вследст-
вие ионизационного торможения заряженных частиц. В случае ре-
акций, вызванных заряженными частицами, ионизационные по-
тери существенно изменяют энергию этих частиц, и поэтому вы-
ход реакции — это
п = 1\’/^’о=по[с(Е')с1Е’/|с1Е’/с1х|‚
где п‘, — концентрация ядер мишени.
Используя (8.9), получаем, что число реакций в слое аКх на глу-
бине х равно с11\’= опОМОдх, где сечение о является функцией энер-
гии, которая изменяется с глубиной х из-за ионизационных по-
терь, т. е. о = о'(х); М, — число частиц в потоке, которое меняется
незначительно при небольшом выходе реакции. В результате
Е
п = Аг/м, = п, _[о(х)йх,
0
где хо — максимальная глубина проникновения пучка, т. е. глуби-
на, на которой ос-частица полностью теряет свою энергию.
Используя заданную в условии связь энергии с переменной х,
получаем
Е
т] = п„_Го(Е’)с1Е’/|с1Е’/‹1х|.
0
248
Дифференцируя это и используя связь, заданную в условии,
находим
дп/дЕ = 710005) /|‹1Е/‹1х1 = побПЗбЕ/А = СЕ’,
откуда о(Е) = АсЕг/по.
В одном из экспериментов со
встречныьш путпсами электронов исполь-
зуются два одинаковых накопительных
кольца, в которых пучки ультрареляти-
вистских частиц движутся в противо-
положных направлениях, сталкиваясь
друг с другом на длине взаимодейст-
вия 1= 0,5 м (рис. 8.17). Система счет- -
чиков, окружающих область взаимо- >_{
действия, установлена так, что она «иши-
регистрирует одно из 10 событий
(г = 0,1) взаимодействия частиц, Пло-
щадь сечения циркулирующих пучков
в кольцах 5’ = 5 ммг, эффективное се-
чение взаимодействия двух соударяю-
щихся частиц о = 10-5 бн. Найдем цир-
кулирующий ток 1, который нужно на-
копить в каждом кольце, чтобы
системой счетчиков регистрировать
в 1 с не менее К = 10 с-‘ событий, счи-
тая, что плотность числа частиц вдоль
орбиты постоянна (М9 8.43). Обозначая погонную плотность час-
тиц в кольцах А’ и используя (8.9)‚ получаем
К = ест/а’! = 28011“,
Рис. 8.17
где 1 = Пс/Б.
Здесь учтено, что движение происходит в обоих кольцах и на-
встречу.
В результате А’ = [К$/(2ас1с)]'/2 и необходимый ток 1 = Пес =
= е[К5с/(2есг1)]‘/2 = 1,96 А.
При распаде ядра °°Со одновременно (в каскаде) образуются
два у-кванта с энергиями Е, = 1,17 МэВ и Е, = 1,33 МэВ соответст-
венно. Определим, как изменится отношение потоков этих у-кван-
тов после их прохождения через свинец толщиной а! = 5 см, если
коэффициенты ослабления потока у-квантов в свинце равны со-
ответственно р, = 0,7 см-‘, р, = 0,62 см” (М9 8.44). Используя
249
1 10 1 (8.1О)‚ находим отношение потоков
Ф2/Ф‚ = ехЫ-(мд — н.) х]. При х = 5 см
имеем Фд/Ф, н 1,5.
_ При просвечивании детали монохро-
‚ х матическими тепловыми нейтронами
т: "2°2 ч х = 1 А
с длинои волны на изображении
было обнаружено слабое темное пятно,
свидетельствующее о наличии внутри де-
тали инородного включения. Контраст
12 1 1 1. изображения (отношение интенсивности
потока прошедших нейтронов в однород-
РИС- 3-13 ной области к потоку в области включе-
ния) был равен 1,26. Найдем, какова
должна быть длина волны нейтрона, чтобы контраст возрос до 2,
считая, что сечение взаимодействия нейтронов с веществом носит
нерезонансный характер (М: 8.45). На рис. 8.18 показана схема из-
мерения. Используя (8.1О)‚ получаем
12/11 = ехр("ппбп’)/ехр["пп°'п(1 " х) - п2с2х] =
= ехр[х(п2о‚ — п,о,)] = 1,26.
В соответствии с законом Бете (8.13)
о т 1/0 т 7».
При изменении длины волны нейтрона сечения изменяются
в одно и то же число раз. При новой длине волны А.’ = тж оба сече-
ния меняются одинаково о‘ = то, поэтому
1,71,‘ = ехр[хт(п‚с, — п,о,)] = 1,26“ = 2.
отсюдат=зи›с=з›„=зА.
Оценим, какая доля ультрарелятивистских протонов космиче-
ского излучения дойдет до поверхности Земли, не испытав ядерно-
го взаимодействия (М9 8.46). Массу воздуха над 1 см? поверхности
Земли можно оценить из того, что атмосферное давление равно
весу тела массой 1 кг (2, с. 189). Число молекул азота рОПА/(рд), где
ро — атмосферное давление; М, — число Авогадро; р — молекуляр-
ная масса азота; 3 — ускорение свободного падения. Число ядер
будет в 2 раза больше. Используя (8. 10), для доли дошедших до по-
верхности Земли протонов получаем
м/мо = ехр["2ромА°'/(Р3)]‹
250
Так как протоны ультрарелятивистские‚ то сечение взаимодей-
ствия их равно размеру ядра азота (7.1): о = пК„2. В результате
М/М, а 1‚2°1О-°.
Оценим длины свободного пробега [р и [м ультрарелятивистских
протона и ядер азота в жидководородной камере. Радиус протона
гр = 0‚8-1О-‘3 см, плотность жидкого водорода рн = 0,07 г/см3
(М 8.47). Для длины свободного пробега имеем (2‚ с. 251)
1 =1/(по). (8.44)
В случае ультрарелятивистских частиц сечение взаимодейст-
вия определяется размером частиц. Из (8.32), учитывая, что в мо-
лекуле два ядра, получаем
[р = А„/[2р„1\’Атс(2гр)2] н 148 см, 1„ = А„/[2р„1\’‚\п(г„ + грУ] н 24 см.
О возможности дифракционного удвоения см. задачу М9 8.3.
Для создания пучков быстрых нейтронов часто используют
взаимодействие релятивистских дейтронов с тяжелыми ядрами,
когда в результате периферийного взаимодействия протон погло-
щается ядром — так называемая реакдшя срыва. Оценим сечение
о„°„‚ такого процесса, когда мишенью служит абсолютно погло-
щающее нуклоны ядро свинца ЮЗРЬ, если среднее расстояние меж-
ду нуклонами в дейтроне равно 212‘, = 3,6 фм (М9 8.48). Для ультра-
релятивистских частиц сечение определяется геометрическими
размерами. На рис. 8.19 заштриховано сечение взаимодействия.
Оно равно о = тс(К„‚ + Кд/2)2 — ЛЕН,’ 2 пКРЬКд =О‚385 бн.
ПОГЛ
251
Определим кинетические энергии Т„ нейтрона и 7], ядра 61,1,
образующихся при ‘фоторасщеплении ядра 71.1 под действием
у-кванта с энергией Е, = 15 МэВ, если нейтрон вылетает «вперед»,
т. е. по направлению пучка у-квантов. Энергии связи ядер 61.1 и 71,1
равны соответственно Ед = 32 МэВ и Е., = 39,2 МэВ (Не 8.49). Как
и раньше (8.14)‚ (8.15)‚ (8.16)‚ используем законы сохранения
энергии и импульса
Е, + т‚с2 = тбс? + тпс’ + П, + Д,
Е,/с = д. + д.-
Здесь массы ядер лития и нейтрона, их кинетические энергии
и импульсы. Используя связь Т= р2/(2т)‚ получаем
Т„ в (Е, + АЕ„)/(1 + т„ /т„) = 6,7 МэВ;
Ты = Е, + АЕС, — Т„ = 1,1 МэВ,
где АЕС, = Е, — Ед; ты — масса ядра 61.1. _
Найдем, при какой кинетической энергии Тналетающего про-
тона на покоящийся протон в реакции р + р —› с! + тс* кинетиче-
ская энергия пиона в лабораторной системе координат равна
нулю (М) 8.50). Из закона сохранения импульса следует, что им-
пульс дейтрона равен импульсу протона. Используя релятивист-
ские соотношения (1, с. 179) и считая массу дейтрона равной удво-
енной массе протона, получаем для энергий протона и дейтрона
Ер = Т + тс? = (т2с4 + р2с2)‘/2; (8.45)
Ед = (4т2с4 + р2с2)'/2.
Из закона сохранения энергии при реакции находим
Т + 2тс2 = (4т2с4 + р2с2)‘/2 + т„с2.
Подставляя импульс из (8.45) и возводя в квадрат, получаем
Т= (1/2) (4т — т„)т„с2/(т — т„) = 0,31 ГэВ.
Хорошо сколлимированныйпучок у-квантов с энергией Е, =
= 250 МэВ падает на мишень, содержащую дейтерий. Вследствие
фоторасщепления дейтерия вторичный пучок содержит нуклоны.
Оценим угол разлета (р нуклонов после реакции. Среднее расстоя-
ние между нуклонами в ядре дейтерия принимаем равным 211, я
я: 4 фм (М9 8.51). Так как энергия связи нуклонов мала по сравне-
нию с энергией падающих на мишень фотонов, продольный им-
252
пульс нуклонов можно оценить как рщюд а Д/(2с). Поперечный
импульс нуклонов обусловлен движением нуклонов в ядре
рпопер в Ар —- й/Кд н 100 МэВ/с (здесь с — скорость света).
В результате Ф = р„„„е‚‚/р„‚„„ = 0‚8 рад-
Ядра кислорода ‘60 облучаются пучком протонов с импульсом
р = 10 ГэВ/с. Отбираются такие события, когда в результате реак-
ции р + 160 —-› '°О* + р возбужденные ядра кислорода ‘6О* с энер-
гией возбуждения, равной Е = 1 МэВ, вылетают в направлениях,
практически перпендикулярных пучку, и испускают монохромати-
ческие у-кванты вдоль своей траектории (рис. 8.20). Детектор
у-квантов регистрирует две линии, расстояние между которыми
АЕ = 200 кэВ. Оценим импульс ро. вылетевших ядер кислорода
и малый угол а, на который отклоняются протоны (Мг 8.52). Час-
тоты регистрируемых квантов отличаются из-за эффекта Доплера
(1.11). Обозначая скорости возбужденных ядер и, получаем и/с =
= Аи/и = (АЕ/2)/Е = 0,1. Импульс ро. = то. с (АЕ/2)/Е = 1,49 ГэВ.
Угол отклонения протонов а в ро./р а 0,15 рад.
Реакция 7Ц(р,п)7Ве является удобным источником монохро-
матических нейтронов в интервале 0,2—1,5 МэВ. Для изменения
‘/ |.\‘16оо
\`1‚/
|
у д „
| О.
р й | — — — — —-
1
16 о
Ё
/’Т`\ О
\ 1 1
ФЭУ
Рис. 8.20
253
энергии нейтронов можно менять как энергию первичных прото-
нов, так и угол наблюдения. Найдем: а) выделение энергии в реак-
ции 7Ы(р‚ п)7Ве‚ зная массу атомов 7Ы, 7Ве, ‘Н и нейтрона в а.е.м.;
б) при какой минимальной энергии протонов возможна эта реак-
ция. Установим связь между энергиями нейтрона и протона в лабо-
раторной системе и системе центра масс (М9 8.53). Пользуясь таб-
лицей значений масс, получаем
с2(т7ы + т " т7в _ т) _
= 931,5(7,О16ОО4 + 1,О07825 -”7,о1693°о - 1Ё008665) = —1,645 МэВ.
Для такой реакции (эндотермической) должна подводиться
энергия О = 1,645 МэВ. В данном случае в виде кинетической
энергии протона. Пороговая энергия протона в лабораторной сис-
теме Ер = Е + О. Энергия движения центра масс системы
ПСН
Еррррн = (1/2)р2/(т,„ + тр) = Ер/8. В результате Ер = (8/7)@ =
= 1,88 МэВ. При такой энергии протона нейтрон и ядро бериллия
движутся со скоростью движения центра масс (переносной).
В результате Ер = Ер/64. В системе центра масс из равенства им-
пульсов Ер Е„/8 и Ер = Ерр/8. Из закона сохранения энергии
Е„р„(1 + 1/8)—= Ерррп + 1/8) - о,
Сечение взаимодействия (поглощения) нейтрино с нуклоном
о = 10-43 см2. Найдем вероятность взаимодействия нейтрино при
пролете по диаметру гипотетического железного шара радиусом К,
равным одной астрономической единице (1‚5°103 км — среднее
расстояние от Солнца до Земли), считая шар несжимаемым
с плотностью р = 7,8 г/см3 (М9 8.54). Из (8.12), учитывая, что о ма-
лая величина, находим ш я: Кор/тр, а- 7°10-°‚ где т„ — масса нукло-
на и учтено, что только половина нуклонов нейтроны и что ней-
трино взаимодействует только с нейтронами ядер.
Считая, что сечение взаимодействия (поглощения) нейтрино
с нуклонами о (в см?) зависит от энергии Е нейтрино (в ГэВ) как
о = АЕ, где А = 10-38 см2/ГэВ, оценим энергию нейтрино, необходи-
мую для его эффективного поглощения Землей, принимая радиус
Земли К = 6400 км, а ее среднюю плотность р = 5,5 г/см3 (Не 8.55).
Из (8.12) полагая вероятность ш =1‚ находим Е = т„/(АКр), где
тр, — масса нуклона и учтено, что нейтрино взаимодействует толь-
ко с нейтронами. Энергия должна быть больше примерно
48°1О3 ГэВ.
Оценим, насколько толща Земли ослабляет поток нейтрино,
приходящих с противоположной стороны земного шара. Усред-
254
ненное по энергетическому спектру сечение поглощения нейтри-
но на нуклонах о а 10-35 смд, средняя плотность Земли р =
= 5,5 г/см3, эффективная относительная атомная масса А = 50
(М 8.56). Из (8.12)‚ как и в предыдущих задачах, получаем
АФ/Ф = оЛАр°2К3/(2А) = 4‚2-10‘4 .
Для объяснения загадки тунгусского метеорита привлекалась
гипотеза, что он состоял из антивещества. Оценим, может ли по-
добный «гость» долететь к Земле от удаленных на несколько де-
сятков миллионов световых лет галактик, поскольку ближе анти-
вещества нет из-за отсутствия характерного аннигиляционного
излучения. В самых «пустых» частях Вселенной обычно все же не
бывает менее одного протона в 1 см3 (Мг 8.57). Предполагая, что
плотность среды 1 протон/см3, а сечение взаимодействия убывает
с ростом скорости нуклона и стремится к «геометрическому» сече-
нию о т 10-25 см? (радиус нуклона гр =О,8°10°‘3 см). Используя
(8.44)‚ для длины пробега нуклона получаем 1 = 1/(по) в 1025 см я
в 107 св. лет. Для массивных частиц в рамках геометрической мо-
дели рассеяния о т 10-24 см2‚ а длина свободного пробега 1т 106 св.
лет. Поэтому прилет антивещества маловероятен.
Ядерные реакции, проходящие на Солнце, можно изучать, из-
меряя поток нейтрино от Солнца. Нейтрино с энергией в несколь-
ко мегаэлектронвольт (эти нейтрино образуются при распаде ядер
‘В на заключительной стадии превращения водорода в гелий) де-
тектируются в реакции у, + 37С1 -›37Аг + е‘. Сечение такой реак-
ции, усредненное по энергетическому спектру рассматриваемых
нейтрино, о = 1‚4-1О-42 см2. Считая, что в 1 с Солнце испускает
число нейтрино М = 3-1033 ст‘, определим, какова должна быть
масса М хлорида углерода (П) СС14 (естественной смеси изото-
пов), чтобы в нем за время 1= 1 год произошло п = 100 актов обра-
зования ядер Аг. В естественной смеси изотопов хлора содер-
жится ц = 25 % (по массе) ядер С1 (Мг 8.58). Обозначая расстоя-
ние от Солнца до Земли Ь, для потока нейтрино на Земле имеем
Ф = 1\’„/(4л[‚2). Используя (8.9), для выхода реакции за время
1 (в данном случае числа атомов 37Аг) получаем
п = Фот’, (8.46)
где А’ - число ядер, с которыми взаимодействует поток (в данном
случае По). -
255
Отсюда, используя условие, находим МС, = 4кЬ2п/(А’„о1). Для
массы естественной смеси изотопов, вводя молекулярную массу
СС14 и учитывая, что в молекуле четыре Ядра хлора, получаем:
М = пЫпц/(ПАп/Чдз!) в 546 т.
Мюон р, попав в свинцовую пластинку очень быстро тормо-
зится, после чего захватывается на К-оболочку ядра Ё? РЬ, на кото-
рой он живет т = 7-10-3 с. Это время примерно в 30 раз меньше
времени жизни свободного мюона. Сравним размер мюонной
оболочки с размерами ядра РЬ. Выясним, взаимодействие с каким
из нуклонов ограничивает время жизни мюона. Напишем соответ-
ствующую реакцию и оценим ее эффективное сечение (М: 8.60).
В соответствии_с (7.1) радиус ядра свинца КРЬ 2 8-10-‘3 см. В соот-
ветствии с (4.16) радиус мюонной К-оболочки в атоме свинца г, =
= гвте/(тд2) 2 3-1043 см. Таким образом, мюон на К-оболочке
практически находится внутри ядра. Короткое время жизни обу-
словлено захватом его ядром в результате реакции р‘ + р —› п +
+ уд. Используя (8.44)‚ для времени жизни мюона в ядре получаем
т = 1/(пио)‚ (8.47)
где п — плотность протонов в ядре; и — скорость мюона в ядре;
о — сечение взаимодействия мюона с протоном.
Плотность протонов в ядре
п = 2/(4тсК3/3). (8.48)
В результате о = 4пгд3А/(3ти2).
Используя (4.17)‚ находим скорость мюона
и = 2е2/й. (8.49)
Эту формулу можно рассматривать лишь как оценку, посколь-
ку используется представление о точечном заряде ядра, чего в дей-
ствительности нет. Получаем скорость и и 1‚8-1О‘° см/с, что состав-
ляет около 2/3 скорости света, т. е. скорость существенно реляти-
вистская. В итоге о т 10-4‘ см2.
Время жизни ядра Аг из-за К-захвата составляет то = 32 сут.
На основе этого факта оценим эффективное сечение о‘ слабого
взаимодействия в реакции р + е- —-› п + ус (Мг 8.59). На К-оболочке
находятся два электрона. Рассматриваем взаимодействие одного
из них с протоном ядра. При этом можно считать, что второй
электрон экранирует заряд ядра (уменьшает 2 на единицу). Из
256
(7.1) для радиуса ядра атома серебра получаем К = 1,3-1О-'3А'/3 =
=4,3-1О-'3 см, из (4.16) для радиуса орбиты К-электрона г, =
=гБ/(2 — 1) = 3‚1°10-'° см. Вероятность нахождения К-электрона
в ядре в соответствии с (3.4) и (4.33) ш = 4к_Гг2| ш(г)|2 а/г, где ч/(г) =
= (пг‚3)“ехр(—г/г‚). Учитывая, что К << г‚‚ получаем: ш = (4/3)(К/г)3.
Эту величину надо умножить на 2, так как на К-оболочке два элек-
трона. Используя (8.48)‚ (8.49) и (8.47)‚ в которую добавляем веро-
ятность нахождения электрона в ядре, имеем
о‘ = 1/(2тпуш) и 10-43 смг,
По современным расчетам плотность потока высокоэнерге-
тичных солнечных нейтрино на Земле должна быть равной 1 =
= 5‚6° 106 см"? -с-'. Нейтрино регистрируются детектором, содержа-
щим М = 615 т перхлорэтилена С,С14. В естественной смеси изото-
пов хлора содержится 25 % (по массе) изотопа 37С1‚ на ядрах кото-
рого происходиу реакция, обратная К-захвату Среднее сечение за-
хвата ядрами 37С1 таких нейтрино составляет о = 1‚О6-1О-42 см2.
Период полураспада Д, образующих ядра “Ат равен 35 сут. Най-
дем, какое максимальное количество ядер “Ат можно выделить из
вещества детектора после экспозиции в течение времени 1 = Д,
(Мг 8.62). Используя (7.11) и учитывая появление ядер серебра
в потоке нейтрино, получаем
дыма: = ]1\’С,с - хм„
Интегрируя выражение при условии, что в начальный момент
ПА, = О, находим
м, = (таз/мы - е-т),
где х = 1п2/Д/2 = 2,3-1О-7 с-'.
Масса детектора М = т„1\’ [2 АС + 4(О‚25АС‚„ + 0,75АС‚„)], где
т„ — масса нуклона; А! — число молекул С2С14. Отсюда число ядер
37С1 равно 1\/с‚= 4-О‚251\/ = 2,3-103°. В результате МА, = 30.
Коллимированный пучок монохроматических нейтронов про-
ходит через пластинку из железа толщиной с! = 5 мм, для которого
эффективные сечения поглощения и рассеяния нейтронов данной
энергии равны соответственно о„„„‚ = 2,5 бн и орт = 11 бн. Опре-
делим относительные доли падающего потока нейтронов, выбыв-
ших из пучка в результате поглощения и рассеяния. Плотность
17‘ В” 257
железа р = 7,9 г/см’ (М9 8.65). Обозначая соответствующие доли а,
из (8.1О) получаем
апогл = (‚О — ./погл)/-/0 = 1 _ еХЙ-пбпоглд) 2
арасс = (‚О — ]расс)/]0 = 1 — ехр(_пбрассд) ж
При комнатной температуре примерно Х = 20 % у-распадов
Д: Зп в соединении ВаБпОЗ происходит без возбуждения колебаний
атомов решетки (бесфононный переход). Такой процесс называет-
ся эффектом Мессбауэра. Оценим, какой должна быть толщина
Ь источника, чтобы в нем не происходило заметного самопогло-
щения мессбауэровских у-квантов, носящего упругий характер.
Плотность ВаЗпОЗ р = 3 г/см3‚ содержание изотопа ЁЁЗЦ в естест-
венной смеси в = 8 %‚ энергия у-квантов Еу = 24 кэВ (Мг 8.61). За-
метного самопоглощения не будет, если толщина Ь источника
много меньше длины пробега у-квантов: Ь << 1/(по)‚ где плот-
ность ядер Зп, обеспечивающих процесс поглощения, п = [ерА/А/А.
Здесь МА — число Авогадро; А — молекулярная масса Ва$пО,‚ рав-
ная 304 г/моль.
При определении сечения взаимодействия частицы с ядром
надо иметь в виду, что, если кинетическая энергия Е частицы
в системе центра инерции (частицы и ядра) близка к энергии Ед
одного из уровней возбуждения составного ядра, то вероятность
поглощения частицы (сечение ядерной реакции) сильно возраста-
ет, образуя резонансный максимум, как это свойственно колеба-
тельным системам. Для вычисления сечения ядерной реакции су-
ществует формула Брейта — Вигнера
от = пхёд ГаГь/[(Е — Е0)2 + Р/4]‚ (8.50)
где Га — ширина распада составного ядра по входному каналу (уп-
ругое рассеяние, т. е. реакция типа А(а‚ а)А); Г Ь — по выходному
А(а‚ Ь)В; Г — полная ширина уровня (в частном случае одного
входного и одного выходного канала Г = Га + Гь; Х а — длина вол-
ны бомбардирующей частицы ‘в системе центра масс; 3 — стати-
стический весовой множитель, учитывающий возможные ориен-
тации моментов количества движения сталкивающихся частиц
и образующегося в процессе столкновения ядра.
При наличии только упругого канала (поглощается и испуска-
ется одна и та же частица) Г г Г а сечение резонансного рассеяния
равно
ода Есаатшх =4пйё. (8.5|)
258
Максимальное значение сечения неупругого рассеяния соот-
ветствует условию Га = Г ь = Г/2‚ и оно равно
оаь г од, ‚ш = 1:12. _ (8.52)
Самопоглощение мессбауэровских у-квантов ядрами в источ-
нике — резонансный процесс, описываемый одноканальной фор-
мулой Брейта — Вигнера:
о = (тс/К2)Г`2/[(Е — Ед)? + (Г/2)2]. (8.53)
При резонансе
о = (4тс/К2) = 4тсй2с2 /Е72.
В результате
Ь << АЕу2/(4п722с2/дрПА) я 1‚2-1О-3 см.
Оценим, во сколько раз сечение поглощения атомом натрия
резонансной линии, соответствующей его (35 — 3Р)-переходу
и рассматриваемого как неупругий процесс, отличается от геомет-
рического поперечного сечения атома (М9 8.64). Из (4.16) для дан-
ного случая п = 3, 2 = Ъорадиус внешней орбиты равен примерно
боровскому радиусу гБ м 1 А. Соответствующее сечение од = тсгв’.
Для резонансного поглощения можно воспользоваться (8.52)
ош= тсХЁ. В итоге ощ/оо = (Х/гву н 106.
При облучении ядра “51п нейтронами с энергией Е„ = 1,44 эВ
происходит их резонансное поглощение. Распад их составного
ядра происходит по двум каналам — радиационному (с испускани-
ем у-квантов) и упругому (с вьшетом нейтрона). Полное сечение
этой реакции равно от,“ = 2‚7- 104 бн. Ширина нейтронного канала
распада Г„ = 1‚2-1О-3 эВ. Оценим среднее время жизни составного
Ядра относительно испускания у-квантов, считая, что Г у >> Г „ и то,
что частицы бесспиновые (Мг 8.68). Используя (8.5О)‚ находим
оаь = ЛХЁГаГЬ/[ЩЕУ + Г/4] = ос ГЬ/Е
где ос — сечение образования составного ядра, а полная ширина
распада составного ядра равна сумме парциальных щирин с выле-
том частиц ‚а, Ь, т. е. Г = Г а + Г Ь. По условию задачи Г, >> Г„‚ по-
этому сечение радиационного захвата в резонансе
от = ос Гу/(Гп + Г?) ш ос, (8.54)
17‘ ' 259
а сечение упругого рассеяния нейтронов
бпп = ос Гп/(Гп + Гу) << бс-
Из (2.29) для времени жизни составного ядра получаем т ъ й/Гу.
При небольшой энергии нейтрона, учитывая (2.3)‚ находим
Е = р3/(2т„) = /12/(2т„ ж).
Используя (8.51)‚ (8.54) и (8.55)‚ имеем
т 2 тп Ео /(2/2 Г„) = 4‚1'10"5 с.
П ПОЛН
Мак-Рейнольдс (1951) измерил зависимость интенсивности
1 отражения медленных нейтронов, падающих под малым углом
скольжения на границу раздела азот‘(газ) — этиленгликоль (жид-
кость), от давления газа р при температуре Т = 300 К (рис. 8.21).
Нейтроны падают из азота на границу раздела с этиленгликолем.
Покажем, что, действительно, должна наблюдаться зависимость
(1)‘/2 т р. Найдем сечение когерентного рассеяния нейтронов на
ядрах азота, если известно, что у этиленгликоля плотность ядер
равна А’, = 1‚13-1О23 см-З, среднее сечение когерентного рассеяния
02 = О‚ОО55 бн. В эксперименте коэффициент отражения нейтро-
нов К = сопзт-(пд? — п,2)2; п,‚ пд — показатели преломления соответ-
ственно газа и жидкости. Это выражение получается из формул
Френеля при малых углах скольжения и близких к единице пока-
зателях преломления (Мг 8.66). Из (8.27) и (8.37) имеем
п? = 1 + ЕЛЬ/п = 1 — Ж21\/(о)'/2/[1г(4тг)'/2]‚
Л М
15
10 рд=52 атм
5 о
52
0 4:
р, атм
Рис. 8.21
260
гдеЬ — амплитуда рассеяния; х — длина волны нейтронов; А! —
число ядер рассеивателя; о‘ — сечение когерентного рассеяния.
Используя формулы Френеля при малых углах скольжения
и близких к единице показателях преломления_(4‚ с. 48, 51) и по-
скольку 1 т К, находим
1 ^— (МЬ, — Ы,Ь,)2. (8.56)
Для газа можно воспользоваться уравнением состояния иде-
ального газа (2, с.9) учитывая, что в молекуле азота два атома и,
соответственно, два Ядра
р = (АС/ЮКБТ
Подставляя это в (8.56), получаем линейную связь (1)'/2 т р.
Отражения не будет, когда оптические плотности сред одина-
КОВЫС
МЮ-дхп = ДАО-дн;
Откуда о, = о‚[1\’,/сБТ/(2р)]2 в 11 бн.
9. деление ядер. Реакторы.
Термоядерный синтез
Кулоновские силы способствуют делению атомного ядра,
а силы поверхностного натяжения препятствуют. Определим отно-
шение кулоновской ЕК и поверхностной Е„ энергий атомного ядра,
при котором деление на два равных осколка энергетически выгод-
но. Выразим то же условие через параметр деления 2 2/А, пользуясь
формулой Вайцзеккера для энергий Ек и Е„, не учитывая четности
А и 2 (М9 9.1). Используя (7.7), для изменений энергий (поверхно-
стной и кулоновской) при делении на два равных осколка получа-
ем
АЕ„ = Е„(2'/3 - 1), м, = Ек(2-2/3 - 1),
где Е„ = —17‚8 Ат МэВ, Е, = —О,7122/А'/3 МэВ.
Деление выгодно, если уменьшение кулоновской энергии по
абсолютной величине больше возрастания поверхностной энер-
ГИИ
|Е.,|‹1 - 2—т› > |Е„|‹2т - 1),
откуда |Ек|/|Е„| > (2'/3 — 1)/(1 — 2-2/3) = 0,70 или 22/А 2 17,6.
С помощью полуэмпирической формулы Вайцзеккера найдем
минимальное значение параметра 21/А, при котором становится
энергетически возможным деление ядра с четным А и четным 2 на
две одинаковые части. Рассмотрим три случая: 1) А/2 — нечетное,
2/2 — произвольное; 2) А/2 — четное, 2/2 — нечетное; 3) А/2 —
четное, 2/2 — четное (М9 9.2). В формуле Вайцзеккера (7.7) для
четно-четного ядра б = 1, для случая 1) б = О, для случая 2) б = —1‚
для случая 3) б = +1. Распад происходит, если не требуется подво-
дить энергию (Эндотермическая реакция), а наоборот энергия вь1-
деляется (Экзотермическая реакция) 2Ес,*(А/2‚ 2/2) 2 Е„(А, 2), что
соответствует М(А, 2) 2 2М(А/2, 2/2). Используя (7.8)‚ находим
1) 22/21 2 17,62 + 129‚4 А-тг,
2) 22/21 2 17,62 + 346 А-д“,
3) 22/21 2 17,62 - 87 А-тг.
Предполагая, что форма ядра является сферической, получим
критерий устойчивости ядер по отношению к малым статическим
деформациям формы. Ядерную материю считаем несжимаемой.
Проверим по полученному критерию устойчивость тяжелых есте-
262
ственных ядер. Выясним, как можно объяснить явления спонтан-
ного деления (М 9.3). Задано, что площадь поверхности вытянуто-
го эллипсоида врашения с полуосями а и Ь
5 = 2па1›{Ь/а + [а/(ад — Ь1)'/2]агсзйп[(а2 — ЬЁ)'/2/а]}‚ (9.1)
а также, что энергия равномерно заряженного по объему эллип-
соида с зарядом 0 равна
Ем = (3/10)[0"/(а’ - д’)"’1><
х 1п{[а + (а? - ьгу/гиа - (аг - ьгу/ч}. (92)
В соответствии с этими зависимостями при изменении формы
ядра (от сферической с радиусом гдо эллиптической с полуосями
а и Ь) меняется энергия поверхностного натяжения (ЕМ = об‘, где
о — коэффициент поверхностного натяжения ядра) и энергия ку-
лоновского взаимодействия. Энергия в конечном состоянии боль-
ше, если АЕШ + АЕШ 2 О, где АЕШ = ЕМ ж, — Ем шар; АЕМ =
= 0093,“ — Зшдр).
Предполагая неизменность плотности ядерного вещества, по-
лучаем равенство объемов при деформации ядра от шаровой к эл-
липсоидной
(4/3)тсг3 = (4/3)паЬс.
В случае эллипсоида вращения предполагаем, например, с = а.
Вводя эксцентриситет эллипса е = (а2 — Ь1)‘/2/а‚ находим
а = ›(1 — в2)-'/°, аЬ = :°(1 — 82)'/6.
Подставляя это в (9.1) и (9.2)‚ получаем
Ем = (3/5)(0°/Г)[(1 — 8’)'/’/(28)11п[(1 + 8)/(1 — 8)1;
5 = 41:13 [(1 — е2)"/°/(2е)][(1 — ед)“ + (1/е)агс$1пе].
При малых деформациях а << 1. Разложив полученные выра-
жения в ряды, найдем
Е =Е [1+(2/45)г4]‚Е„ =Е
кул. эл кул. шар ов. эл пов. шар“
- (1/45)е4].
Отсюда следует условие устойчивости ядра
Е /Е $2
КУП шар! ПОВ. шар
Из (7.7) находим
ЕМ = 17‚8А2/3 МэВ иЕт = 0‚7122/А'/3 МэВ.
263
В результате для устойчивости ядер к статическим деформаци-
ям формы получаем 22/А $ 50.
Следует отметить, что данное рассмотрение это грубое при-
ближение, так как в действительности форма большинства тяже-
лых ядер отличается от шаровой, процесс изменения формы явля-
ется динамическим, а осколки не одинаковые. При воздействии
нейтрона возникают колебания формы ядра, амплитуды которых
увеличиваются со временем.
Оценим эффективное сечение деления ядра 3350 нейтронами
с энергиями 0,025 эВ (тепловые нейтроны) и 10 кэВ, считая, что
сечение деления равно сечению образования составного ядра
и аппроксимируя ядерный потенциал прямоугольной потенциаль-
ной ямой глубиной 40 МэВ (Не 9.4). При энергиях тепловых ней-
тронов дебройлевская длина волны нейтрона
ж, = й/(2тЕ)"2‚ (9.3›
Ж т = 3-104’ см >> К„ = 8-10-‘3 см и сечение образования составного
ядра
о = их“), (9.4)
где 1) — коэффициент прохождения нейтронной волной границы
ядра. Коэффициент прохождения 1) определяется (3.82)
1) = 4/с,/с,/(/‹, + /с‚)2 в 4/‹‚//сд‚ (9.5)
| где волновые числа К, и /‹2 определяются
как коэффициенты в уравнениях Шре-
Е _ _ Т, дингера для областей вне ядра и внутри
т ядра (3.77) и (3.78) (рис. 9.1)
“° к, = ‹1/п›‹2тЬ›'/а ь = ‹1/п›[2т‹Е + (от.
Таким образом, для тепловых нейтро-
РИС- 9-1 нов сечение взаимодействия
о, ъ 4л/‹/‹‚/‹,) = 21гГ22/[т(ЕН„)‘/2] н 2600 бн.
При энергии 10 кэВ к = 4,7-10-‘2 см. Используя предыдущую
формулу, находим о = о,(Ет/Е)1/2 с: 4,1 бн.
Сечение деления ЩИ быстрыми нейтронами с энергией Е =
= 5 МэВ равно о(п‚ Г) = 0,5 бн. Найдем, какова относительная ве-
роятность этого нерезонансного процесса по отношению ко всем
процессам, идущим через компаунд-состояние, если глубину по-
тенциальной ямы ядра урана принять равной П = 50 МэВ (Мз 9.5).
Радиус ядра урана в соответствии с (7.1)
264
А = 1,25 (238)'~' фм = 7,75 фм.
Для длины волны нейтрона из (2.3) имеем
Х = Ь/(2тЕ)'~' = 12,8 фм.
Коэффициент прохождения в ядро из (9.5)
Л = 4ЙА/(Й, + /с )' = 4(Е) ' 2(И + Е)'~'/[(Е)'~' + (У+ Е)'Я = 0,71.
Из (8.4) и (8.5) сечение образования составного ядра
а, = л(А + Х)'Ю = 2,1 бн.
Относительная вероятность
Г,/Г, = а(п, 1)/а, = 0,5/2 = 1/4.
Реактивностью реактора называют величину р = (Й вЂ” 1)/Ш, где
Й вЂ” коэффициент размножения нейтронов; если ~Й вЂ” 1~ << 1, то р =
= Й вЂ” 1. Найдем в этом приближении изменение мощности Ю(~)
реактора в надкритическом режиме, когда Й > 1. Определим харак-
терное время Треактора, т. е. время возрастания мощностью ~в
е раз, если среднее время жизни одного поколения нейтронов рав-
но т (М 9.8). Коэффициент размножения
Й = (число нейтронов следующего поколения)/(число нейтро-
нов предыдущего поколения):
при Й > 1 надкритический режим — число нейтронов увеличи-
вается;
при Й < 1 подкритический режим — число нейтронов уменьша-
ется.
Поскольку мощность пропорциональна числу нейтронов, то
И// ~ — ~ ~/с
где ~/т — число поколений за время ~.
В результате
Дl = 1ф~ ~/ч — 1ф~ е~(/ч)!пк Д/' е~р/т — 1ф~ е~( т
О О О О
так как 1пй = 1п(1 + р) = р и Т = т/р
Найдем, при каких значениях реактивности реактора р, опреде-
ленного в предыдущей з щаче, запаздывающие нейтроны опреде-
ляют зависимость мощности от времени, если доля запаздываю-
ших нейтронов [3 = 0,00б4 (М 9.9). Реакция затухла бы в отсутст-
вие запаздывающих нейтронов Й вЂ” [3 < 1 или, используя р, р = Й—
— 1 < [3. Чтобы реакция шла, должно быть р > [3.
265
Активная зона ядерного реактора заполнена смесью урана
и графита, имеющей при бесконечных размерах коэффициент
размножения нейтронов [ст = 1,05. Среднее расстояние, проходи-
мое нейтроном от места рождения до поглощения, Ь = 50 см. Оце-
ним критический радиус реактора К, при котором полное число
нейтронов остается постоянным, считая, что плотность нейтронов
изменяется линейно по радиусу и равна нулю на границе (М? 9.10).
Обозначая концентрацию нейтронов в центре реактора при г = О
через по, получаем полное число нейтронов
К
м =[ „он - г/К)4т° аГг = „диез/з.
О
За счет размножения число нейтронов увеличивается на
(/‹„„ — 1)пп„123/3.
Уход нейтронов происходит с границы реактора из слоя тол-
щины Ь. В начале этого слоя плотность нейтронов п = по [1 — (К —
— Ь)/К] = пОЬ/К. Так как на границе плотность равна нулю, то
средняя плотность п„Ь/(2К). Объем этого слоя 4тсК2Ь. Из всех ней-
тронов, находящихся в слое половина идет к центру, а половина
уходит из реактора. Для постоянства нейтронов в реакторе она
должна равняться числу рожденных
„твид/к = (Ка, — 1)пп„К3/3,
откуда К = Ь[3/(/‹„„ — 1)]'/2 = 400 см.
В работающем ядерном реакторе в числе многих элементов из
урана все время образуются изотопы иода ‘351, претерпевающие
следующую последовательность бета-распадов (периоды полурас-
пада указаны):
‘351 (6‚7 ч) —› '35Хе (9‚2 ч) —-› ‘35Сз —›
Так как ядра '35Хе обладают очень большим сечением поглоще-
ния нейтронов, в работающем реакторе накопления этого изотопа
не происходит. Однако при остановке реактора ксенон начинает
накапливаться, тем самым уменьшается коэффициент размноже-
ния нейтронов и сразу же повторный запуск реактора затрудняет-
ся (образуется так называемая йодная яма). Найдем, через какое
время после остановки реактора количество ядер ‘35Хе будет мак-
симальным, считая, что в момент остановки реактора ядер ксено-
на в нем нет (М 9.11). Число ядер йода в начальный момент обо-
значим По, а в произвольный момент времени 1А’‚(1). Изменение
числа ядер йода при бета-распаде описывается уравнением (7.1 1)
266
откуда
(9.6)
Ж,(~) = Ж,ехр ( — Х,~),
где Х, — постоянная распада ядер йода.
Обозначая число ядер ксенона Ж и учитывая, что ядра ксенона
не только образуются из йода, но и распадаются с постоянной рас-
пада Х, получаем
(9.7)
ШЖ = — Жй+ Ж1Ъ.,,й.
Решение ищем в виде
(9.8)
Ж(1) = аехр( — Х,1) + Ьехр( — И).
Учитывая, что в начальный момент ксенона нет Ж(0) = О, име-
ем а = — Ь. Из (9.8)
Ж(~) = Ь[ехр( — И) — ехр( — Х,1)]. (9.9)
Дифференцируя это и используя (9.6) и (9.7), получаем
Ь = М~,/(Х, — Х).
В результате
Ж(~) = [Х,ЖО/(Х вЂ” Х,)][ехр( — Х,~) — ехр( — Х~)].
Условие максимума числа ядер ксенона ШЖ/й = О, откуда
1п(Х,/Х) = 9., — Х)г,„.
Таким образом, ~ = Т,Т1п(Т/Т,)/[(Т вЂ” Т,)1п2] = 11 ч.
Один из способов утилнзаннн оружейного плутония (почти чис-
тый "'Ри) состоит в его облучении в реакторе, где за счет захвата
(поглощения) нейтронов "'Ри либо делится, либо переводится
в '"Ри, который в свою очередь переходит в "'Ри. Сечения этих ре-
акций равны а„= 741, а„, = 267, а„, = 290 бн. Плутоний считается
непригодным для создания ядерного оружия, если содержание
в нем '1'Ри составляет 40 % от '"Ри. Определим время, необходи-
мое для достижения этой концентрации '"'Ри в образце оружейно-
го плутония в реакторе массой М = 2,75 т 2ЗЧ3 и мощностью ~=
= 3500 МВт. Сечение деления 2зЧ3 равно а = 579 бн, в одном акте
деления выделяется энергия а = 180 МэВ (№ 9.12). Взаимодейст-
вие нейтронов, находящихся в реакторе, с 'з9Ри складывается из
двух процессов, поэтому полное сечение взаимодействия а, = а„+
267
+ о„, = 1008 бн. Обозначая плотность потока нейтронов~' и исполь-
зуя (8.40), для изменения числа ядер Ж, 'З9Ри получаем
ШЖ,/~Й = — /о,Ж,.
Для накопления числа ядер Ж, '4'Ри с учетом их распада
ЙЖ2/Й = /о„,Ж, — ~о„,Ж1.
Решение полученной системы из двух уравнений аналогично
найденному в предыдущей задаче
Ж, = Ж,оехр( — /о,~); Ж, = [о„,Ж„/(о„, — о,)][ехр( — щ1) — ехр( — ~о„,~].
Необходимое отношение концентраций
Ж, /Ж„, = 0,4 = Ж/Ж, = [о„,/(о„, — о,)](1 — ехр[ — Яо„, — о,)~]],
откуда
— у(а„, — о,)~ = 1п[1 — 0,4(о„, — о,)/о„,].
Плотность потока~' находится из энергетических соображений.
Мощность реактора
И'= цо„Ж, = цо„МЖА/235,
где Ж, — число ядер горючего.
Отсюда поток нейтронов
у = 235Г/(ааоМЖА) = 3 10" см-'с-'
Время наработки необходимой концентрации '4ОРи
~ = 1п[1 + 0,4(о, — о „,)/о„,]/фо, — о „,)] = 3,4 10' с = 390 дн.
Под действием нейтронной компоненты космического излуче-
ния на поверхности Земли из "ЧЗ образуется 'З9Ри. Считая, что
плотность потока космических нейтронов/„= 1 м-' .с-' и эффек-
тивное сечение захвата (поглощения) нейтронов ядром урана о =
= 3 бн, определим отношение концентрации 'З9Ри и 2ЗЧЗ при
~ » Тц, от начала облучения (Тц, = 2,4 104 лет — период полурас-
пада плутония) (М 9.13). Подобйо (8.40) для числа ядер урана, ко-
торые могут образовать плутоний, получаем
НЖц = — Ж„(Х„+ од„)Й,
откуда
268
Ж„= Ж„,ехр[ — (Х„+ о~„)Т],
(9.10)
где Ж„, — число ядер в начальный момент.
Для изменения числа ядер плутония находим
ШЖ,„= а/„Ж„й — Х,Ж Ш1.
Подставляя сюда (9.10), получаем
(9.11)
ШЖР„= а/„Ж,ехр[ — (Х„+ ау„)~]Й вЂ” Х,„ЖР„Й.
Решение этого уравнения ищем в виде
Ж,„(~) = аехр[ — (Р~„+ ау„)Г] + Ьехр( — Х,„~).
Подставляя решение в (9.11) и учитывая, что в начальный мо-
мент Ж (О) = О, находим
Ж /Ж„, = (ад'„/[Х вЂ” Ъ.„— ад'„])(1 — ехр[( — Х + Х„+ а~'„)1]) =
= ау„/Х = ад„Т, /0,7 = 3,3 10-"
Естественный уран состоит из 99,3 % изотопа "ЧЗ и 0,7 % "51З.
При обогащении смеси изотопов "ЧЗ до 3 % возможна цепная реак-
ция деления. Найдем, какое время ~ тому назад такой природный
реактор мог «загореться» (М 9.15). Используя (7.12) и (7.14) и от-
мечая величины, относящиеся к 2ЗЧЗ индексом 1, а к "ЧЗ вЂ” индек-
сом 2, получаем
Ж, = Ж„ехр( — 0,7(/Т,), Ж, = Ж„ехр( — 0,7~/Т,),
откуда
Ж,/Ж, = (Ж2О/Ж1,)ехр[ — 0,7Л Т~/(Т, Т,)].
В результате
269
Много лет тому назад в урановом месторождении в Окло (Га-
бон, Африка) «работал» природный ядерный реактор на»ЧЗ. Из
массы М = 200 т имевшегося там урана выделилась энергия Е =
= 10" кВт ч. Оценим, какая часть ЛМ„/М„массы "ЧЗ была при
этом израсходована, если его начальная концентрация составяяла
п, = 3,5 %. Время «работы» реактора много меньше периода полу-
распада урана. Энергию Е„выделяющуюся при делении ядра '~'1З,
принимаем равной 200 МэВ (М 9.14). Разделение ядер и выделе-
ние энергии происходит под действием появляющихся при распа-
де нейтронов, как в обычных реакторах. Число разделившихся
ядер Е/Е,. Их масса равна массовому числу А„, умноженному на
массу нуклона, которую можно принять равной массе нейтрона
т„. Начальная масса "ЧЗ равна М„= Мп,. В результате ЛМ„/М„=
= ЕА„т/(Е,М и,) = 0,63.
!= ПЕ /[0‚7(д — П)11п'1(^’.о/^’2о)(^’/^’.)1 = 1‚7°109 лет.
В урановом реакторе мощностью И/= 1 МВт образуется в сред-
нем А! = 6 антинейтрино на один акт деления ядра урана. Энергия
антинейтрино Е = 1,5 МэВ. Реактор окружен биологической за-
щитой (бетон). Оценим плотность потока антинейтрино] за биоло-
гической защитой на расстоянии Ь = 5 м и долю энергии п, уноси-
мой антинейтрино из реактора, если считать, что реактор имеет
сферическую форму а на каждое деление выделяется энергия по-
рядка О = 200 МэВ (Мг 9.16). Число актов деления РУ/О. Плот-
ность потока антинейтрино в случае сферической симметрии 1 =
= Пш/(4пЬ2О) г: 4°10'° см-Ъс-К Доля энергии, уносимой антиней-
трино, п = МЕ/О = 0,06.
При спонтанном делении тяжелых элементов (тория, урана)
внутри Земли выделяется мощность И/н 15 ТВт. Делящиеся эле-
менты являются источниками антинейтрино (ш 6 антинейтрино на
акт распада). Предполагая распределение элементов в Земле рав-
номерным, оценим плотность потока антинейтрино на ее поверх-
ности, если принять сечение поглощения антинейтрино равным
о = 10-43 смг/нуклон, а на каждое деление выделяется энергия по-
рядка О = 200 МэВ (Мз 9.17). В соответствии с законами сохране-
ния электрического и лептонного зарядов антинейтрино взаимо-
действует только с протонами:
Ф’,+р—›п+е*.
Реакция взаимодействия антинейтрино с нейтронами невоз-
можна в силу закона сохранения лептонного заряда. Для антиней-
трино, возникающих вблизи поверхности Земли, максимальный
путь внутри Земли равен ее диаметру 2123. Полагаем среднюю
плотность Земли р = 5 г/см3, диаметр Земли 2113 = 1,2-109 см, кон-
центрацию нуклонов п = р/тн = рМ/цт где тн — масса нуклона;
дн = 1 г/моль. Поскольку Земля состоит в основном из элементов
с А 5 60, то числа протонов и нейтронов примерно равны, т. е.
пр = п/2. Число протонов в «столбике» длиной 2К3 с поперечным
сечением 1 см?
^’„ = пыжз = (1/2)(р^’А/и„)21?з = РПАКз/иж
В соответствии с (8.9) убыль антинейтрино из потока
дм, = —о1\’„с11\’р.
Интегрируя это уравнение, получим
270
М = Пасхи-одр) = ПоехЩ-ордхдз/ъы],
где М, — начальный поток антинейтрино.
Так как показатель экспоненты орМАКЗ/рн в 1‚4-1О-'° << 1, то
М а М, т. е. поглощением антинейтрино Землей.можно пренеб-
речь.
Как и в предыдущей задаче для плотности потока антинейтри-
но получаем 1 = 6РУ/(4тс12320) а 6-105 нейтрино-см-Ъс-К
Один из перспективных методов получения новых изотопов —
сшттез сверхтяжелых ядер с их последующим распадом. Найдем
пороговую скорость и ядер урана, бомбардирующих урановую ми-
шень, для реакции
238 238 476
92 П+ 920” 182Х'_›2Х1
(Не 9.19). В случае неподвижного ядра в мишени вся кинетическая
энергия налетающего ядра переходит в кулоновскую потенциаль-
ную энергию ти2/2 = 22е2/К‚ где т, 2 и К — масса, заряд и радиус
ядра урана. В результате и = (2)'/22е/(тК)'/2 в 3‚5-1О9 см/с.
В термоядерном реакторе концентрация дейтерия п‘,
= 2‚5-1О‘5 ядер/см’ поддерживается на постоянном уровне с помо-
щью внешнего источника дейтронов, который обеспечивает посту-
пление с; ядер/(с°см3). Принимая во внимание только реакции (а, а)
и (а, г), найдем: 1) установившуюся концентрацию п, трития г; 2) ве-
личину а; 3) мощность щ выделяемую в 1 см’ плазмы. При темпе-
ратуре плазмы Т = 60 кэВ усредненные по максвелловскому рас-
пределению произведения сечений реакций на относительную ско-
рость частиц равны <сим> = 1‚6-1О-" см3-с-‘; <оиш> = 10-‘5 см3°с"
(М 9.20). Энерговыделение при возможных реакциях
с1+с1—›т+р‚0‚=3,94МэВ;
с1+‹1—›3Не+п‚ @‚=3‚26 МэВ;
с1+ъ—+4Не+п‚ О3=17‚6 МэВ.
Первые две реакции (а, с!) идут с равной вероятностью в силу
зеркальности ядер т и 3Не. Изменение со временем концентрации
частиц в результате взаимодействия определяется скоростями ре-
акций (а, с!) и (с1‚1) и скоростью поступления ядер извне.
Скорость реакции — это число столкновений частиц сорта 1
и 2 в единицу времени, приводящее к реакции. Используем функ-
Ции распределения Максвелла / (2‚ с. 159). На рис. 9.2 показаны
скорости и относительная скорость у =| у2 —у‚ |. Число взаимодей-
ствии в единицу времени определяется числом частиц в единице
271
и‘ д”! объема п, относительной скоростью и и
1
Ч сечением реакции о, зависящим от от-
„п "Ч носительной скорости
у, Пи =_[_[уо(у)п‚л(у‚)‹1у‚п2[2(у2)с1у2.
= “У Считая неизменными плотности
частиц, получаем
их мы = п1”2<“5(”)>‚
Рис. 9.2 Где
<ио(и)> = [[ио‹и)д(у‚›ау‚/2(у2)ач2. (9.12)
Для изменения концентрации ядер дейтерия п‘, со временем
дна/д! = —2(п„ — 1)(п„/2) <иддо> — пдп‚<ид‚о> + а.
Первое слагаемое описывает убыль ядер дейтерия из-за столк-
новений друг с другом. Одно ядро с! имеет (па — 1) столкновений
(в расчете на единицу объема); па ядер имеют па (па — 1) т па? столк-
новений. Для реакций (а, с!) безразличен порядок дейтронов
в паре, поэтому число взаимодействующих пар равно пд2/2‚ и в ка-
ждом акте реакции исчезают два дейтрона. Таким образом,
дна/д! = —п„3<и„„о> — п„п{<и„‚о'> + с]. (9.13)
Аналогично, для ядер трития можно написать ‚А
дщ/д! = —пдп‚<и(„о> + (1/2)(п„ — 1)(п„/2)<о„„о>.
Во втором слагаемом первый коэффициент 1/2 учитывает ве-
роятность получения трития в результате столкновения пары дей-
тронов. Поэтому
дщ/д! = —пдп‚<и„‚о> + (1/4)п„2<и„„о>.
В стационарном состоянии производные по времени равны
нулю. В результате
с; = пд2<иддо> + пдп‚<и„„о>;
(1/4)”а2<”аа°'> = "а”п<“аъ5>-
Отсюда находим стационарную концентрацию ядер трития
п‘ = (1/4)пд<и„„о>/<ид‚о> = 10” см-3.
Интенсивность поступления в зону реакции дейтронов от
внешнего источника
с; = (5/4)п„2<и„до> = 1‚25-1О‘4 ядер/(с°см3).
272
Выделяющаяся в термоядерных реакциях мощность может
быть выражена через скорости изменения концентрации ядер дей-
терия по каналам (с1, с!) и (с1, г)
Й’= О„‚„(1/2)(дпд/д1)„„ + Одхдпд/ддш,
где От, и Од, — энерговьщеления в реакциях (а, а) и (а, г). Коэффи-
циент 1/2 учитывает, что для реакции (а, с1) нужно два дейтрона.
Поскольку эта реакция идет с равной вероятностью по двум кана-
лам, то О“ = (О, + @,)/2, Од, = 03. Окончательно,
И/= пд2<иддо> (О, + 02 + @3)/4. (9.14)
Подставляя числа, находим И/= 9,96°1О3 эрг/(с-см3) = 99,6 Вт/см3.
Определим количество термоядерных реакций, происходящих
в 1 см’ в 1 с, если известно сечение реакции о(и), где и — относи-
тельная скорость реагирующих дейтронов, а п е число дейтронов
в 1 см3 (Мг 9.21). Из (9.14) число прореагировавших дейтронов
И’/[(О, + О, + 0‚)/4] = п2<иддо>. Число реакций, в которых участ-
вуют два дейтрона вполовину меньше.
Оценим радиус плазменного дейтериевого шара, для которого
термоядерная реакция станет самоподдерншвающейся при /‹Т =
= 10 кэВ. Плазму будем рассматривать, как абсолютно черное
тело, непрозрачное для излучения, и считаем, что основные поте-
ри энергии связаны с излучением через поверхность шара. Кон-
центрация дейтерия равна пд = 3,010?" см-З; при данной температу-
ре величина <иддо> = 10-13 см3/с. Учитываем только реакции (с1, а)
и (а, т). Концентрации дейтерия и трития считаем стационарными
(М 9.27). Предполагая известным закон Стефана — Больцмана, оп-
ределяющим мощность излучения с единицы поверхности черного
тела, в виде М, = осТ4, где постоянная Стефана — Больцмана
о, = 5,67-10-5 эрг/(с-см2-К4), и используя (9.14), получаем
(4/3)пК3пд2<иддо'>(@‚ + 02 + О3)/4 > 41:11’ ОСТ4‚
где О, + О, + О, = О = 24,8 МэВ.
Отсюда К > 12осТ4/(п„2<и„„о> О) = 3,45-1О‘° = 3,45°1О5 км.
При классическом рассмотрении реакция термоядерного син-
теза (с1, с!) может произойти только тогда, когда кинетическая
энергия сталкивающихся дейтронов достаточна для преодоления
кулоновского барьера Нм = 0,5 МэВ. Однако, благодаря туннель-
ному эффекту эта реакция возможна и при меньших энергиях.
184,30 273
Оценим, во сколько раз увеличивается скорость реакции при
квантовом рассмотрении по сравнению с классическим при тем-
пературе дейтериевой плазмы Т = 10' К (М 9.28). Используя (9.12)
и учитывая, что в случае одинаковых частиц каждая считается два-
жды, получаем
Ж„= (1/2)п,'<и„а>,
где <и„а(и)> = А(т, Т)~ и' ехр[ — ри'/(2Щ]а(и)й~,
О
здесь р = т/2 — приведенная масса; и — относительная скорость.
При классическом рассмотрении реакция произойдет только
тогда, когда кинетическая энергия относительного движения бу-
дет больше кулоновского барьера ри'/2 > У „= е'/(2Я,), где Я,—
классический радиус дейтрона (Л, = 1,7 10-" см). В этом случае се-
чение взаимодействия
а (и) = 4шЯ,'
00
<и„а(и)> = А( и' ехр[ — ри'/(2ЙТО)]а (и)Ши =
О
М
= А~к(е'/У )' ( Еехр[ — Е/(ЙТ,)] ШЕ =
= А'н(е'/У~,)'(/сТ,)'[У „/(/сТ,) + 1]ехр[ — У,/(ШТО)] =
= А*п(е'/У „)'(/сТО)[У~,ехр[ — У „/(ШТО)].
При вычислениях были введены обозначения Е = и,и'/2, А' =
= А(2/ц)' и использовано, что У „/(ЙТО) = 58 » 1.
При учете квантовых эффектов определяющим является про-
ницаемость кулоновского барьера. При Е « У „(в данной задаче
Š— (3/2)ЙТ = 1,4 104 эВ « 0,5 МэВ), используя (7.19),
Р(Е) = ехр[ — 4(е'/Й)(2р/Е)'~2].
ОО
<и„а(и)> = А ( и' ехр[ — ри'/(2ЙТО)]а„,(и)~Ь =
О
00
= А~~ Ш„,(Е)ехр[ — Е/(/сТ,)] йЕ;
О
(9.15)
а (Е) = а(Е)Р(Е) = а(Е)ехр[ — 4(е'/Ь)(2р/Е)'~'].
274
В этом случае сечение взаимодействия а (Е) = а(Е)Р(Е), где
а(Е) — геометрическое сечение образования составного ядра, и
Выражение (9.15) содержит интеграл с произведением двух
экспонент (падающей и медленно растущей). Величина интеграла
определяется областью значений энергий вблизи максимума по-
казателя экспоненциальной функции, который находим из усло-
вия
дЕЕ/КП + 4(е*/й)(2и/Е`)"21/дЕ = 0-
Отсюда
Етах = 2/‹7}‚[ре“/(й2/‹Т„)]'/3 = 3‚1-1О4 эВ.
Соответствующая длина волны де Бройля
х=п /(2рЕ„„„)‘/2 = 3‚66-10-” см >> к„.
Таким образом, в наиболее существенной области значений
энергий справедлива аппроксимация о(Е)= их’ = тсй2 / (2рЕ) и
<и„„о‹и›>„ = Ачгт мщыйехрк-Е/(кп) - 4(е*/й)(2м/Е)"21 аЕ.
Подынтегральное выражение представляет собой функцию
с острым максимумом и шириной порядка И}, Так как И}, >> Етц,
спадание функции вблизи экстремума определяется экспонентой
ехр(—Е//с7},). Таким образом,
<0ааб(0)>к„ = А*ПЙ2/(2д)/<Тое><р[—Е/(/<П) — 4(е2/й)(2и/Е`)“’1 =
= А*пй2/(2и)/‹7Ъехр{—6[ие“/(й’/‹Л)]"3}„
Окончательно,
м“ „у мы ю, = Й2/(ЁЦЕ4)НКУЛСХ1Э{ПКУЛ/(/СТ0) -
- 6[де4/(й2/‹7]‚)]‘/3} == 1‚6-102‘.
Реакция термоядерного синтеза с! + с -› п + а при низких
энергиях идет преимущественно в состоянии с полным моментом
импульса сталкивающихся ядер 1 = 3/2. Найдем, во сколько раз
изменится среднее сечение этой реакции, если дейтериево-три-
тиевая плазма помещена в магнитное поле, полностью поляризую-
щее спины взаимодействующих ядер. Спины ядер дейтерия и три-
тия равны соответственно 86 = 1 и Ь] = 1/2 (М) 9.29). Возможный
орбитальный момент взаимодействующих частиц квантуется. При
низких энергиях частиц он имеет минимальное значение Ь = О.
Поэтому полный момент системы взаимодействующих частиц
чисто спиновой. При отсутствии магнитного поля взаимные ори-
ентации спинов ядер (1 и 1 равновероятны. В результате столкнове-
18. 275
ний получаем либо 1 = 3/2 (с числом различных состояний 2! +
+ 1 = 4), либо 1 = 1/2 (с числом различных состояний 21 + 1 = 2).
Всего 6 состояний. Вероятность первых 4/6, вторых 2/6. Обозна-
чив сечения взаимодействия соответственно от и сущ, для средне-
го сечения получаем <о> = (4/6)о3/‚ + (2/6)о„2. Так как по условию
реакция идет преимущественно с 1 = 3/2, то от << от и в резуль-
тате <о> = 2/303/2. В магнитном поле В, полностью поляризующем
спины взаимодействующих ядер, возможно только одно состоя-
ние с [В = 3/2 (совпадающее с направлением магнитного поля).
В результате <о'в> = от, т. е. среднее сечение взаимодействия уве-
личивается в 1,5 раза.
В морской воде примерно на каждые 6000 молекул обычной
воды приходится одна молекула тяжелой воды 020. Учитывая че-
тыре основные реакции синтеза, возможные в дейтериевой плаз-
ме, определим, какая энергия выделится в термоядерном реакторе
при сжигании всего дейтерия, содержащегося в 1 л морской воды.
Найдем также, какому количеству бензина эквивалентен 1 л мор-
ской воды, если при сжигании 1 кг бензина выделяется 13 кВт-ч
энергии (Мг 9.30). Учитывая четыре реакции
с1+(1—›1+р+3‚94МэВ
с1+с1—›3Не+п+3‚26МэВ
‹1+3Не—›ос+р+18,3МэВ
с1+1—›ос+п+17,18МэВ
получаем, что на один «сгоревший» дейтрон выделяется энергия
7,18 МэВ. В результате при сгорании дейтерия, содержащегося
в 1 л морской воды, выделится энергия 3,6-103 кВт-ч, что равно
энергии, получающейся при сгорании 277 кг бензина.
На рис. 9.3 изображена предполагаемая схема термоядерной
электростанции. В реактор вводится подогретое до необходимой
температуры топливо — дейтериевая плазма. Часть частиц покида-
Элекгро- _ Ст
станция '
А
Реактор Н : с Инжектор
“Р?!”
топливо
Рис. 9.3
276
ет зону реакции, не испытав ядерного взаимодействия. Часть
энергии заряженных частиц, которая бесполезно излучается из
зоны реакции за счет тормозного излучения, с помощью системы
отражателей возвращается обратно в реактор. Коэффициент пре-
образования выделенной энергии в электрическую (КПД стан-
Ции) п = 30 %. Температура дейтериевой плазмы Т= 109 К. Най-
дем пат — произведение концентрации ядер дейтерия на время
удержания дейтериевой плазмы в зоне реакции, необходимое для
протекания самоподдерживающейся реакции. Принимаем во вни-
мание только реакции (а, а) и (с1, г). При заданной температуре
<иддо> = 2,510” см3-с-'. Считаем, что за единицу времени из еди-
ницы объема плазмы уходит в среднем пд/т частиц. Интенсивность
тормозного излучения единицы объема И{‚„=1,5-1О-34п,‚2(7`)‘д Вт/см3.
Для упрощения расчета принимаем, что доля В мощности потерь
из-за тормозного излучения, возвращаемая обратно в реактор от-
ражателями, равна КПД станции, т. е. В = 11 (М9 9.33). Плотность
мощности потерь Ио, складывается из потерь за счет тормозного
излучения М“, заданной в условии, и кинетической энергии, уно-
симой выходящими частицами щ, Так как плазма остается ней-
тральной, уходит одинаковое число заряженных частиц (с! или т)
и электронов. Учитывая, что на одну частицу в равновесной плаз-
ме приходится энергия (3/2)/‹Т‚ и задано среднее число уходящих
частиц, получаем: щ = Зпд/(Т/т. По условию в реактор возвраща-
ется энергия виды. Выделяемая в реакторе мощность И/складыва-
ется из мощности термоядерного синтеза щ, и возвращаемой
мощности. Для самоподдержания реакции необходимо И/= п щ, +
+ щщ + щи) = „(щ + щ + щш) 2 щ + мы. Используя (9.14)‚
для щ, получаем
И = па2<°аа°>(2оаа + Ош)”-
В результате
“от = 3/‘Т/{М/(1 — п)]<дааб>(2ааа + Оад/4 _
— 1,5'10“34(Т)“2} = 7°10'5 С/СМЗ.
Основная реакция в водородной среде в центрах звезд р + р —›
—› с! + е+ + у, обусловлена слабым взаимодействием. Этот процесс
можно промоделировать в лабораторных условиях. Рассчитаем,
какой ток 1 протонов с энергией 1 МэВ должен падать на водород-
ную мишень, чтобы за 1= 1 ч произошла одна такая реакция. Про-
ег протонов данной энергии в мишени до взаимодействия 1 =
= 8-10-4 г/см2, сечение взаимодействия при данной энергии о =
277
= 10-47 см? (М) 9.36). Здесь используется массовый пробел; который
с обычным линейным [л связан соотношением 1 = 1„р‚ где плот-
ность водородной мишени р = трп (масса протона на число прото-
нов в единице объема). Используя (8.4О)‚ для числа взаимодейст-
вии можно записать
ЩУ/а’! = сиди, (9.16)
где 1 — поток налетающих протонов.
Для тока налетающих протонов 1 = е]5'.
Для одной реакции за время 1 имеем: 1/1= оЛЛЗп, откуда
1 = етр/(о/г) ж 9300 А.
В центре Солнца плотность ядер водорода р я: 160 г/см3‚ темпе-
ратура Т = 1‚5°107 К (/‹Т= 1 кэВ). Рассчитаем время выгорашш 50 %
ядер водорода в Центре Солнца за счет реакции р + р —› с! + е* + ус.
Считаем, что все протоны в центре Солнца имеют скорость, рав-
ную скорости при данной температуре, а сечение их взаимодейст-
вия о = 10-5‘ см? (М9 9.37). Используя (9.13) и учитывая, что второй
член, как и приток частиц, в данном случае отсутствуют, получаем
дпр/дг = —пр2<ирро>/2 2 —пр2<ирр>о/2. (9.17)
ДЛЯ интегрирования ЭТОГО уравнения НЭДО ИМСТЬ начальное
ЗНЗЧСНИС
п„(0) = р/тр = рПА/и (9а18)
(где для протона д = 1г/моль).
Предполагая максвелловское распределение скоростей (2,
с. 158) протонов, для средней скорости получаем <ирр> =
= [8/сТ/(птр)]'/2 = 5,6-107 см/с. Интегрируя (9.17), находим
1/пр(1) — 1/пр(0) = о'<и>1‘/2‚
Откуда г= 2/[пр(0)о<и>] = 1,2-10'° лет.
Сечение деления ядер 2380 у-квантами с энергией 3МэВ со-
ставляет о = 0,1 нбн (1044 см2). Найдем, какова должна быть плот-
ность потока 1 [см-дед] падающих на мишень у-квантов, чтобы
можно было заметить вынужденное делепше в т = 1 мг урана на
фоне спонтанного деления (Д, = 10'5 лет) при продолжительно-
сти эксперимента д, = 100 ч (М 9.38). Для среднего числа вынуж-
денных делений под действием у-квантов имеем
278
<1‘/> е‘ СУМЫ
где 1)! = тЫА/А — число ядер урана в момент времени 1.
Эту величину надо сравнивать с флуктуациями процесса спон-
танного деления. Для среднеквадратичной флуктуации имеем (2,
с. 220) '
(<Амп2>)1/2 = (<Мп>)1/2_
Используя (7.11) и (7.14)‚ получаем А; = 181101112/ 7] д.-
В результате, чтобы заметить вынужденное деление, должно
быть
<м> 2 ‹<Мс„>›*/2‚
откуда] 2 (1/о)[А1п2/(7]д1\/Ат1„)]'/2 я 5-1010 см-Ъс-К
Оценим критический радиус и массу шара из металлического
урана-235 плотностью р = 18,7 г/см3 (заряда ядерной бомбы), если
известно, что среднее сечение деления ядер рождающимися ней-
тронами о = 1,5 бн, среднее число рождающихся в одном акте де-
ления нейтронов у = 2,5. Всеми другими каналами реакции, кроме
целительного, пренебрегаем. Плотность потока нейтронов счита-
ем однородной (М9 9.39). В ядерной бомбе происходит так назы-
ваемая цепная реакция. Нейтрон, попавший в ядро урана, вызы-
вает его деление, при котором появляются нейтроны, вызываю-
щие деление других ядер. Если число появляющихся нейтронов
(коэффициент размножения) у 2 1, то происходит самоподдержи-
вание. Число разделяющихся ядер будет быстро увеличиваться
(ядерный взрыв). Препятствовать цепной реакции может уход
нейтронов через поверхность заряда ядерной бомбы. Роль этих
потерь уменьшается при увеличении размера заряда, так как мас-
са, определяющая количество образующихся нейтронов, растет
пропорционально кубу радиуса сферического заряда (К), а поверх-
ность, определяющая уход нейтронов, квадрату радиуса. Обозна-
чая средний поток делительных нейтронов 1 и число ядер урана
в единице объема заряда п„‚ получаем, что увеличение числа ней-
тронов в единицу времени в объеме Уравно
а1у„/аи= п„(у - 1)о']И
где У= 4тсК3/ 3, из у вычитается 1, так как один нейтрон уходит на
поддержание процесса.
Число уходящих через поверхность нейтронов
(1175/(11 = ]5'‚
где 5 = 41:13’.
279
Критический радиус определяется равенством уходящих и ро-
жцающихся нейтронов
К = 3/[п„о(у — 1)].
Используя (9.18), получаем п„ = рМ/А и
К = 3А/[ор1\/А(у — 1)] а 28 см.
Критическая масса равна 1600 кг
В бесконечной среде, состоящей из металлического урана-235‚
самопроизвольно разделилось одно ядро. Коэффициент размно-
жения нейтронов Ка, = 1,001, средняя энергия делительных нейтро-
нов Е = 1,6 МэВ, сечение деления этими нейтронами о = 1,5 бн.
Оценим, за какое время в среде вьщелится энергия И’ = 5 МДж.
Плотность урана р = 18,7 г/см3, неупругими процессами пренеб-
регаем (М9 9.40). Размножение нейтронов можно представить
в виде геометрической прогрессии 1, /‹„,', 19,3, ..., КЮ”. Показатель
степени называют поколением нейтронов. Полное число нейтро-
нов П, родившихся к п-му поколению (сумма геометрической про-
грессии), что эквивалентно полному числу актов деления, равно
А’ = (/‹„,“ — 1)/(/с„ — 1).
Так как известно, что при одном акте деления выделяется
энергия порядка щ = 200 МэВ, число актов деления А’ = РУ/ щ =
= 2°10‘9. Считая, что п >> 1, получаем: Ко," = А/(Кш — 1) = 10-3А’ =
= 2-10'°, откуда п 2 3,4-104.
Большая масса ядер приводит к упругим столкновениям ней-
тронов (мала энергия отдачи). Скорость нейтронов постоянна: и =
= (2Е/М)'/2 = 1,75-109 см/с. Для длины пробега нейтрона (2, с. 251)
Ж = 1/(п0ст), где пд = рПА/А = 4,810” смт3 (как и в (9.18)). Время, за
которое происходит заданное энерговьщеление, 1 = пт = пЖ/и =
= п/[п„о(2Е/М)‘/2] = 2-10-4 с.
Источником питания находящегося на околоземной орбите
спутника является ядерный реактор мощностью И/= 3 кВт. Оце-
ним, на каком максимальном расстоянии от спутника можно об-
наружить наличие реактора с помощью у-телескопа. Считаем, что
сигнал надежно регистрируется, если он вдвое превышает у-фон
неба: ФО = 10-2 см-г -с-‘. В каждом акте деления в среднем испуска-
ется К = 7 у-квантов, зашита реактора поглощает а = 95 % обра-
зующегося излучения. Считаем, что угловое разрешение телескопа
280
равно угловому размеру спутника (Не 9.43). Известно, что при де-
лении урана выделяется примерно щ, = 200 МэВ на акт, деления.
Поэтому число у-квантов, вылетающих при работе реактора в 1 с
1\’= /‹(1 — ост/ЛИ, = 3,310”.
Плотность потока на расстоянии Ь должна вдвое превышать
фон
1 = Н/(4п13) > 2ФО,
откуда максимальное расстояние, на котором можно обнаружить
излучение Ь = [П/(8пФ„)]'/2 = 110 км.
Высота и форма барьера деления зави- 1-
сит от спина (полного момента) и четно- ‘КЕМ Е
сти делящегося ядра (рис. 9.4). Так, на-
пример, в уране-238, у которого спин
и четность основного состояния 0*, высо-
ты барьеров деления для возбужденных
состояний ядра 2* и 1- равны 5,2 и 5,7 МэВ
соответственно. Найдем отношение В ве-
роятностей деления ядра через эти состоя- Ё
ния под действием у-квантов с энергией рис 9_4
Д = 6,0 МэВ. Установим, как изменится
вероятность деления через состояние 2*, если поместить ядра
в поле интенсивного лазерного излучения (т. е. в случае, когда
ядро практически одновременно поглощает у-квант и фотон
(Мг 9.41)). Фотоделение через состояние 1- происходит при погло-
щении Е1 (электрических дипольных) квантов, а через состояние
2* — при поглощении 152 (квадрупольных) квантов. Так как энер-
гия у-квантов больше высоты барьеров, то отношение вероятно-
стей деления определяется только отношением сечений поглоще-
ния квантов ядром, равным В = (Х/ К„)2. Здесь Х = 7» / (2тс) — при-
веденная длина волны у-кванта; К„ — радиус ядра. Таким образом
в = [йс/(Е,г„А'/3)]2 ш 17.
Это значит, что происходит преимущественное деление под
действием Е1-фотонов. При двухфотонном поглощении световой
квант, практически не меняя энергии ядра, фактически изменяет
спин и четность основного состояния, и деление уже будет проис-
ходить под действием Е1-квантов через состояние 2*. Вероятность
деления через канал 2* увеличивается в 17 раз и будет равна сече-
нию деления через канал 1- под действием Е1-квантов.
10. Элементарные частицы.
Резонансы. Лептоны и кварки.
Реакции при высоких энергиях
Элементарными называют микрочастицы, которые не являют-
ся атомами или атомными ядрами (за исключением протона).
В настоящее время их обнаружено уже несколько сотен. Подав-
ляющая часть их нестабильна. Стабильными являются фотон,
электрон, три нейтрино, по-видимому, протон и их античастицы.
Для многих установлена внутренняя структура. Из возможных ти-
пов взаимодействий: сильных, электромагнитных, слабых и гра-
витационных, для элементарных частиц существенны первые три.
Систематика элементарных частиц (табл. 10.1) связана с их участи-
ем в различных взаимодействиях. Лептоны участвуют в слабых
взаимодействиях, а имеющие электрические заряды и в электро-
магнитных. Адроны участвуют в сильных взаимодействиях и, как
правило, в электромагнитном и слабом взаимодействиях. Адроны
подразделяются на мезоны и барионы. Мезоны — адроны с нуле-
вым или целочисленным спином (бозоны). Барионы — адроны
с полуцелым спином (фермионы) и массами не меньше массы
протонов. Сюда входят нуклоны (протон и нейтрон), пшероны
и множество барионных резонансов.
Каждой частице соответствует своя античастица, которая обо-
значается обычно той же буквой с тильдой (волновая черта над бу-
квой), а для некоторых античастиц имеются специальные обозна-
чения, как, например, для позитрона е*‚ являющегося античасти-
цей электрона е‘. Частицы, совпадающие с античастицами,
называют истинно нейтральными. Античастицы имеют тождествен-
ные с частицей значения массы, времени жизни, спина и изотони-
ческого спина (изоспина) Т и противоположные по знаку значе-
ния электрического О, лептонного Ь и барионного В зарядов, про-
екции изоспина Д и странности 5. Новые заряды, подобно
электрическому введены для использования их в соответствую-
щих законах сохранения. Таким образом удается хорошо описать
экспериментальные наблюдения, используя аддитивность зарядов
в сложных системах .
Законы сохранешш устанавливаются в опытах и определяют
возможность реакций и превращений. Эти законы подразделяют
на точные и приближенные: точные выполняются во всех взаимо-
действиях, а приближенные — только в некоторых. Точными явля-
ются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса
и зарядов.
282
„ъш „о? „тот? Т о о +Ё _+ о о о Т Юг ё Ь шоцецёавго
‚Ё „тотьд ы: Ё: Ё щЁ _+ о о о Т ЕЁ +ш ‚ш „Ёёёаом.
„Ё „тем Т Ё+ Ё К} _+ о о о о 35 Ю от.
ьа 2-2.3 Т Т „ +Ё _+ о о о Т та: „и Ь
Ё „та? Т о _ +Ё _+ о о о о „Ё „щ оИ =&„=Е-„Ё=о
же „а тотчо Т _+ _ +Ё _+ о о о Т чаю: ‚и Ы
оЁ „ё. „темы Т о о +Ё _+ о о о о об: „к о< „Ёоцёацюёщ
„Та „стад о Ё: Ё +Ё _+ о о о о дыма щ с щоцёо:
и о ЩТ Ё +Ё _+ о о о _+ 8,5 щ ц шов:
Задают
:=+= 2-2: о о о _ о о о о о Ё: а _„=_о„2‚т=е
‚Р: езды о о о Ь о о о о о Эй с введёт
>„„__.„„ „тетям _+ Ё: Ё ‚о о о о о о „кг ош- „м Ёомивам
„Ёж за „ЁЁ _+ Ё+ Ё „о о о о о _+ „же ь. п.
2 1 ь | и
мы „тотщмы о _+ _ Ь о о о о _ еще ‚к ‚ъ _„=.о82-==
„тог о о о _ Ь о о о о о о из ъ
пшено-д \
„> „Ё а» „Ё „тода +Ё о _+ о о Т „Ё ‚ъ Ь ход
„мы Ь „тоды +Ё о о _+ о Т 8.2: ъ а Её:
+Ё о о о _+ Т _ „то ъ мы шоЁзцш
| | 1 Ё о _+ о о о о ы м,
п | | Ё о о _+ о о о ‚ь > оёгка:
1 | | Ё о о о _+ о о ы „›
152.55.
: | | _ о о с о о о ь „Бзе
и ь 55,5? ЕЕ...
5:22. 32.88 н 5.5.2 виз. „н. н. 4:2. щ „д ‚д „д о 82 ЁЁ ‚Ё.
„ЁЕБЁО навал 3.525 ЬЗЕФ =Ёоом= ЕЁО пацаны диода 55,50 «набат
ы бы взвесь
283
При рождении и распаде частиц помимо законов сохранения
энергии, импульса и момента импульса выполняется ряд точных
законов сохранения:
закон сохранения электрического заряда;
закон сохранения барионного заряда (барионный заряд равен
1 для барионов, т. е., например, для нуклонов (и, р) и гиперонов
(Л, Е, Е); — 1 для антибарионов, т. е., например, для антинуклонов
(л, р) и антигиперонов (Л, Х, Й); 0 для всех остальных типов час-
тиц);
законы сохранения электронного лептонного заряда А„мюон-
ного лептонного заряда Е„и таонного лептонного заряда А,. Для
электрона (е-) и электронйого нейтрино (~,) принято, что А, = 1,
а для позитрона и электронного антинейтрино А, = — 1. Для всех
остальных частиц А, = О. Аналогично, А„отлично от нуля только
для четырех частиц ц-, и„, ц', й„(мюонов и мюонных нейтрино),
причем для первых двух частиц А„= 1, а для последних двух А„=
= — 1. Аналогично вводятся лептойные заряды и для сверхтяжело-
го лептона т-.
Укажем, какие из следующих реакций запрещены перечислен-
ными законами сохранения:
1) и ~ р + е — + Р,; 5) зг + р ~ Л' + К'
2) р -+ п + е', 6) К- + и -э Л' + тг;
3) ц- -+ е- + ~„+ Г„7) к' + п -+ Л' + К',
4) К' — ~ н- + 2е'; 8) н' + и ~ К'+ К' (Мо 10.1).
Запрещены распады 2 и 4, так как не сохраняется лептонный
заряд и распад 8, так как не сохраняется барионный заряд; в рас-
паде 2 нарушается еще закон сохранения энергии.
Рассмотрим приведенные ниже распады и реакции и укажем,
какие из них запрещены:
1) ш--+ ц-+ ~~„; 6) ч„+ р-+ и+е';
2) и- -+ ц- + й„ 7) ч, + р -+ п + ц',
3) ц- -+ е-+ ~, + й,; 8) й, + р -+ и + е',
4) ц- -+ е- + й, + и„; 9) и- ~ е- + у;
5) ч„+ р — ~ и + р', 10) т- — + и- + ч„(ХО 10.2).
Распады 2, 3, 9, 10 и реакции 6, 7 запрещены, так как в них не
сохраняется лептонный заряд. При изучении взаимодействия ней-
трино, полученных в распаде 1, с протонами было показано, что
идет реакция 5, а не 6, хотя последняя энергетически более выгод-
на. Тем самым было доказано существование двух типов нейтрино.
284
Взаимодействие и распад частиц происходят в результате силь-
ного, электромапштного или слабого взаимодействий. Вероятность
процессов при слабом взаимодействии на много порядков мень-
ше, чем при сильном. Сильное взаимодействие может происхо-
дить только между адронами. При сильном и электромагнитном
взаимодействиях сохраняется квантовое число 5 (странность).
При слабом взаимодействии странность не сохраняется. Принято
приписывать странность 5 частицам следующим образом:
5 = О для нуклонов, антинуклонов, тс-мезонов;
5 = — 1 для А, Ей‘, Е‘, К‘, Е", Й° (К-мезонов, Е-гиперонов,
А-частицы);
5 = — 2 для Е. -, 530 (каскадных гиперонов);
5 = — 3 для С) - ( иперона);
5‘ = + 1 для 13, Е“ ‚
5'= + 2для 35,3‘);
5 = + 3 для (Г.
В этих формулах тильда сверху — знак античастицы. При изме-
нении странности на 1 вероятность процесса уменьшается в 1010-
10‘? раз по сравнению со случаем сильного взаимодействия, а при
изменении 5 на 2 реакция фактически не наблюдается, если воз-
можна реакция с изменением 5 только на 1. При существующей
интенсивности частиц, генерируемых в ускорителях, реакции ме-
жду ними с нарушением странности практически ненаблюдаемы.
Однако распады частиц с нарушением закона сохранения стран-
ности наблюдаются всегда.
Ё‘, Ё‘), К’; К°;
Выясним, какие из следующих реакций и распадов разрешены
по закону сохранения 5, а какие не наблюдаются:
1)1г+р——›А+К°; 8)тс*+п—-›А+К+;
2)тг+р—›А+тс°; 9)К+р—-›2++тс*;
3)А—›р+тг*; 1О)р+Ё"—›К++п*;
4)Е"—-›А+1г; 11)р+Ё+—›п*+тс*;
5)Е——›2тг+р; 12)п‘+р—›.'Е`г+Е*+п;
6)п*+—-›Ё" +К-; 13)1г+р-›2*+К-;
7) т‘ + -› Г + тг; 14) тг + р -› з- + к+ + ко (М 10.3).
В реакциях 1, 6, 8, 10, 12, 14 |А5| = О, и они идут по сильному
взаимодействию с характерными временами 1042-1044 с (ядерные
времена). В реакциях 2, 7, 9, 11 |А5] = 1, и они практически нена-
блюдаемы. В распадах 3 и 4 |А5| = 1 и они протекают по слабому
взаимодействию с характерными временами т 10-‘0 с. В процессах
5 и 13 |А51 = 2, и поэтому такие процессы не наблюдаются.
285
При распадах странных адронов (барионов и мезонов), приво-
дящих к рождению лептонов‚ существует эмтшрическое правило,
управляющее вероятностью распада. Если изменение странности
адрона при реакции АЗ не равняется изменению заряда адронов
АЗ, то такой распад не наблюдается.
Например, наблюдается распад
2-—›п+е-+ й‚(А2=А5= +1),
но не наблюдается распад
2*—› п+ е* + у, (А2=—1;А.$'= +1).
Существование первого и отсутствие второго из этих распадов
можно рассматривать как подтверждение кварковой структуры ад-
ронов.
Определим, какие из следующих распадов разрешены по пра-
вилу А2 = АЗ, а какие запрещены:
1)К*—-›к*+1г*+е°+37,; 6)Е°—›2++е-+\7,;
2)К*‚—›п*+тг+е*+и,; 7)Е°—›2-+е++\›,;
3)Е-—›А+е-+17,; 8)К+—›е*+\›,+п°;
4)Е°—›А+е'+е"; -9)К*—›п*+р*+р.‘;
5)А—›р+е-+$,; 1О)К-—›1г+тг+е*+у,(М9 10.4).
По указанному правилу разрешены распады 2, 3, 4, 5, 6, 8; за-
прещены распады 1, 7, 9, 10.
Все частицы естественным образом разбиваются на группы
с близкими значениями масс (отличие масс в группе порядка 1 %).
Группу частиц с близкими массами называют изотоническим муль-
типлетом (синглетом, дублетом, триплетом, квартетом). Частицы
мультиплета можно трактовать как различные состояния одной
фиктивной частицы, отличающиеся значениями проекции нового
квантового числа — изотонического спина Т Как и обычный спин
(момент импульса), изотонический спин имеет 2Т + 1 проекций
на ось квантования в фиктивном изотоническом пространстве.
Число проекций изотонического спина совпадает с числом частиц
в мультиплете, т. е. А’ = 2Т + 1. При этом проекция изотонического
спина на ось квантования Д = 2 — У/2, где У — квантовое число,
одинаковое для всех членов мультиплета, называемое гиперзаря-
дом (или унитарным спином). Поскольку ЕТЗ = О, то У =
= 22/(1\’ + 1) = 24, — удвоенный средний заряд мультиплета. Ока-
залось, что странность 8 связана с гиперзарядом У и барионным
зарядом В простым соотношением: 5 = У — В. Пользуясь приве-
286
денными равенствами‚ определим 5, П Ц и Удля А, Е‘, Е‘, О‘, т: -,
К-‚ п-частиц. Имеем в видм что для античастиц все заряды (элек-
трический, барионный, лептонный, гиперзаряд) противоположны
зарядам частиц. противоположны также странность 5‘ и проекция
изотонического спина 73. Массы, времена жизни, спины и изото-
пические спины Т у частиц и античастиц совпадают. Частицы,
у которых все заряды равны нулю, называют истинно нейтральны-
ми (Ме 10.5).
1) Барион А — синглет с зарядом 2 = О. Следовательно, 1\/= 1,
Т=О,Др=О,.$'=—1‚У=О‚7}=0.
2) Барион 2 — триплет с зарядами 11 и О. Следовательно, 2“, =
=О‚1\/=3,Т=1,)’=О‚8=—1,7}=2
3) Барион Е. — дублет с зарядом О и —1. Следовательно, А! = "2,
Т=1/2,Др=—1/2,8=—2‚ )’=—1,7;=—1/2для2=—1и Д=
= -_*:1/2 для 2 = О.
4) Отрицательно заряженный барионД- — синглет. Следова-
тельно, 1\/=О, 2Ф=—1, 8=—3‚ Г=—2‚ Т=0‚ 73=О.
5) Мезон к — триплет с зарядами 11, О. Следовательно, 1\’= 3,
Т = 1, 7; = Д 5 = О, У= 0. Заметим, что если в составе мультиплета
имеется истинно нейтральная частица, то при вычислении числа
частиц в мультиплете А! нужно вместе считать частицы и античас-
тицы. Во всех других случаях под А! подразумевается число частиц.
6) Мезон К — дублет с зарядами О и +1. Следовательно, 1\’= 2,
Др =1/2, 8=1‚ Т=1/2, 73 =1/2 для К* и Т, = —1/2 для К°.
7) Мезон п — нейтральный а инглет. Следовательно, 1\/= 1, Т=
= 8 = 2“, = Ц = О.
Строгие законы сохранения ограничивают число типов реак-
ций и распадов. Нестрогие законы сохранения ограничивают
типы взаимодействий. Определим, какие из следующих реакций
и распадов разрешены законами сохранения, какие строго запре-
щены, какие практически ненаблюдаемы (Мг 10.6):
1)р—›п+е*+уе; 4)д‚г—›е-+е++е-;
2)ьг—>е"+7‚+7; 5)К*+п—›2*+п°;
З)тс°—›е-+е*+у; 6)п—›р+е-+'\7е‚
Распады 2 и 4 запрещены законом сохранения лептонного за-
ряда. Реакция 5 практически ненаблюдаема из-за несохранения
странности. Распада 3 и 6 разрешены. Распад 1 запрещен законом
сохранения энергии.
Укажем, какие из следующих реакций и распадов невозможны
или практически ненаблюдаемы из-за нарушения законов сохра-
нения:
287
1)Е*-›п*+п; 5)1г+р—›2°+К*;
2)Е°+р—›п°+Ё°; 6)2°—›А+у;
3)1г+р—›А+К°; 7)2-—›А+е-+'\7„;
4)1г+р—›_2*+К-; 8)2°—›п°+п°.
Определим, по какому типу взаимодействия происходят про-
цессы 1, 5, 6, 7 (М9 10.7). Реакция 2 и распад 8 невозможны, так
как не сохраняется барионный заряд. Реакции 3 и 4 практически
ненаблюдаемы из-за несохранения странности. Распады 1 и‚7 про-
исходят по слабому взаимодействию, распад 6 — по электромаг-
нитному. Реакция 5 происходит по сильному взаимодействию.
Рассмотрим следующие реакции и распады и определим тип
взаимодействия:
1)К-+р—›А+п°; 4)Е°—›А+п°.
2)1т*+*р—›2*+К*; 5)тс°—›у+у.
3) 2°—›А+у; 6) (2-—›Е-+тс° (Мг 10.8).
Реакции 1 и 2 происходят по сильному взаимодействию; рас-
пады 3 и 5 — по электромагнитному; 4 и 6 — по слабому взаимо-
действию.
Найдем, чем различаются значения квантовых чисел КЪмезо-
на и К° -мезона и как это сказывается на поглощении К“ и К°-ме-
зонов веществом. Установим, возможны ли переходы этих частиц
друг вмдруга (Мэ 10.9). Странность К°-мезона равна +1, а стран-
ность К°-мезона равна —1. Поскольку странность нуклонов равна
О, а странность других барионов либо равна нулю, либо отрица-
тельна, то поглощение К°-мезона может происходить с сохране-
нием странности, т.е. по сильному взаимодействию. Поглощение
КО-мезона может происходить лишь с несохранением странности,
т. е. по ‚слабому взаимодействию. Следовательно, К°-мезон в отли-
чие от К” будет слабо поглощаться веществом. Поскольку при пе-
реходах К° г: К°|А5] = 2, такие переходы крайне маловероятны.
Определим типы взаимодействий при следующих реакциях
и распадах:
1) К" + 42Не —› 32Не + А + п‘;
2) 2,Н + 2,Н —-› 42Не + 1:0;
3) р + 4,Не —› 32Не + 2,Н;
4) 32Не + 3,Н —› 42Не + 2‚Н;
5) 42Не + 42Не —-› 6311 + ДН + п";
6) 0- —-› К- + А;
7)1г—+;г+\7„;_
8) п —› р + е‘ + 17, (М) 10.10).
288
Реакции 1, 3, 4 происходят по сильному взаимодействию; рас-
пады 6, 7, 8 — по слабому; реакции 2 и 5 — по электромагнитному
взаимодействию.
Определим, возможны ли следующие схемы распада частиц,
и если нет, то по какой причине (Мг 10.11):
1)О-—›А°+1г; 4)п—›р+е'.+Т›'„;
2)Е-—›п+1г; 5)р—›р*+7„;
3)п—›р+;‚г+1›„; 6)(2-—›Е°+д-.
Реакция 1, 2 возможны, но маловероятны, так как АЗ = 2; ре-
акция 3 невозможна, поскольку тп < тр + тд; реакции 4 и 6 невоз-
можны, так как не сохраняется лептонный заряд; реакция 5 невоз-
можна из-за несохранения барионного заряда.
Найдем, какая частица обязана образоваться одновременно
с К°-мезоном при соударении 1г-мезона с протоном, если реакция
идет по сильному взаимодействию (Не 10.12). Для суммы должно
быть: нулевые электрический и лептонный заряды, барионный за-
ряд +1 и странность равна —1. Этому удовлетворяют (см. табл.
10.1) А-гиперон и ЕО-гиперон.
«Экспериментом века» были названы опыты по определению
времени жизни протона. Теория великого объединения предсказы-
вает, что протон распадается на пион и лептоны со временем жиз-
ни т м 103‘ лет. Оценим, какую массу вещества необходимо исполь-
зовать‚ чтобы за время эксперимента 1= 1 год произошло А’ = 10
таких распадов (Не 10.13). Из (7. 12) и (7.15) для распада имеем М =
= Ме-‘д, А’ = М, — М = 1\’„(1 — е-‘/‘) а Мог/т, откуда число протонов
М, = М/г. Умножая это на массу нуклона т„‚ получаем массу ве-
щества М = т„1\/0 = т„1\’т/1 2 170 т.
Определим время жизни мюона, образовавшегося при распаде
положительно заряженного каона, который до распада покоился
(Не 10.14). Распад идет следующим образом: К* —› ш + уж. Исполь-
зуя закон сохранение импульса р}, = р„ и считая массу неитрино ну-
левой, Е„ = р„с‚ получаем из закона сохранения энергии
Ек = ткс? = Е„ + Е„ = Е; + рдс.
Используя это соотношение и релятивистскую связь энергии
и импульса (1.24)‚ получаем
(рдс)? = (ЕК - Е„)2 = Ед — тд2с4.
"219°°®° 239
Отсюда
Е„ = (Ек? + т„2с‘)/(2Ек) = (ткд + т„2)с3/(2тк).
Из связи времен в подвижной и неподвижной системах коор-
динат (1, с. 166, 179) и табличных значений, находим
т = т0/(1 — 62)“ = тоЕр/(тдс?) = 5,4 мкс.
Определим время жизни ипсилон-частицы У по ширине ее резо-
нанса АЕ, взятой на половине высоты и равной 25 кэВ (Не 10.15).
Из соотношения неопределенностей (2.29) находим: т т й/АЕ в
г 2,6°1О‘2" с.
Найдем, какие из самых тяжелых ядер и антиядер могут образо-
ваться в реакции р + р при соударении протона с энергией Ер =
= 3-10" эВ с неподвижным протоном и на встречных пучках про-
тонов, ускоренных до такой же энергии (Мг 10.16). В случае одного
неподвижного протона центр масс системы из двух протонов име-
ет скорость, для которой из релятивистских формул (1, с.323) по-
лучаем
уцм/с = р,с/(Е, + т2с2). (1О.1)
При переходе в движущуюся систему (в данном случае это сис-
тема центр масс двух протонов) используем формулы преобразо-
вания Лоренца (1, с.171). Для импульсов и энергии (рх, р„ р, и Е/с2)
имеем преобразования Лоренца, как для х, у, 2 и {(1, с. 180). Энер-
гии подвижного и неподвижного протонов в системе центра масс
равньп
Ешм = (Е! _ р|ицм)/(1 — “цм2/с2У/2э Е2цм = (т2с2 _ _ ‘дцьЁ/Сбш-
Используя (1О.1) и релятивистскую связь энергии и импульса,
для суммарной энергии протонов в системе Центра масс получаем
Ешдм = Ешм + Еды = (т,2с‘ + туг" + 2т2с2Е‚)'/1. (1О.2)
Эту формулу можно получить и используя инвариант (1, с. 182).
Обозначая массу системы в системе центра масс М и учитывая,
что в системе центра масс суммарный импульс равен нулю, имеем
Ем = (мат = (Е. + т2с’)* - рве = (Е, + тю)? - [Ев - ‹т.с°›21.
Отсюда получаем выражение, совпадающее с (1О.2).
Для сохранения барионного заряда должны появляться частица
М и античастица М. Реакция записывается следующим образом:
р+р—›М+Й+р+р.
Из (1О.2) получаем
290
Еррцм = (2тр2с‘ + 2трс3Е‚)'/2. (1О.3)
к
Обозначив массовое число образующихся ядер А, для условия
их возникновения имеем
Еррцм 2 (2Атр + 2тр)с2.
Откуда, используя (1О.3), находим
2тр2с4 + 2трс2 Е, 2. 4(трс?)2(А + 1)?
Учитывая, что Е, >> трсё для случая, когда один протон покоит-
ся, получаем: А 5 [Е‚/(2трс2)]‘/2 — 1 з 39, т. е. А = 38 (включительно).
На встречных пучках Ерр„„= 2Е‚2 (2Атр + 2тр)с2 в 2Атрс2.
Отсюда А н 3000, т. е. практически все известные ядра.
В 1976 1: Нобелевская премия по физике была присуждена за
открытие новой элементарной частицы — джи-мезона (ныне
З/хи-мезон). Открытие было сделано практически одновременно
и независимо в двух разных лабораториях. В одной из них опыт
был поставлен на встречных пучках электронов и позитронов, ус-
коренных до одинаковой энергии ЕСЦМ (Есцм — энергия сталки-
вающихся частиц в системе Центра масс). Полученные в этом экс-
перименте результаты показаны на рис. 10.1. Определим энергию
покоя и оценим нижнюю границу времени жизни лжи-частицы
(М: 10.17). В пучках имеется разброс в энергиях относительно
11
во %
50 }
40
число событий
30
20
и {Ё
ю 114111 _ 11111
3090 3095 3100 31051. 110 Ем, МэВ
Рис. 10.1
291
энергии большинства частиц. Это и приводит к показанному на
рисунке распределению. Максимальное число событий возникает,
когда энергия большинства сталкивающихся частиц соответствует
необходимой для образования джи-мезона. Следовательно, мак-
симум зависимости на рис. 10.1 определяет энергию покоя (массу)
джи-частицы — приблизительно 3,1 ГэВ. В соответствии с соотно-
шением неопределенностей (2.29) время жизни т: определяется по-
лушириной этой (резонансной) зависимости на половине высоты
(АЕ ш 2 МэВ)
‘с 2 й/АЕ 2 31042 с.
В 1984 п появилось сообщение, впоследствии не подтвердив-
шееся‚ об открытии ё-частицы как продукта распада У-частицы
в реакции У —-› ё + у. Определим энергию покоя и скорость гипо-
тетической ё-частицы в системе покоя У-частицы, если энергия
у-кванта в этой системе оказалась Е, = 1072 МэВ. Энергия покоя
У-частицы равна тус? = 9460 МэВ (М9 10.18). Используя инвари-
ант и связь энергии и импульса (1, с. 182, 179) получаем
5,2 - ру3с3 = туга = (Ед + Едг. (1О.4)
В лабораторной системе одна частица, в системе Центра масс
суммарный импульс равен нулю, а импульс ё-частицы Еу/с. Следо-
вательно,
Ед? = рд2с2 + тгс“ = Еу2 + тгс‘ = тж‘ — 2тус2Еу + Е},
откуда
тдс? = [тус2(тус2 — 2Еу)]‘/2 = 8,32 ГэВ.
Из (1О.4) Ед = тус? — Еу. Из (1, с. 179)
В = и/с = рс/Е. (10.5)
В результате В = Еу/(тус? — Еу) и 0,13.
В 1974 п была открыта элементарная частица З/ш, названная
впоследствии чармонием. В одном из опытов были зарегистриро-
ваны продукты ее распада «на лету»: З/ш —› е+ + е‘. Найдем массу
и скорость чармония, если энергии и электрона и позитрона были
равны Е = 3,1 ГэВ, а угол между направлениями разлета электрона
и позитрона составил 9 = 60° (Мг 10.19). Используя инвариант (1,
с. 182, 179), получаем
1пу = Е 2 - р,„„2с2 = т‚,„,2с4 = (Е, + Е„)2 - (р, + р„)2с2. (юз)
СИСТ
292
По условию соз(рэ‚ р„) = сове = 1/2. Обозначая энергии и абсо-
лютные величины импульсов электрона и позитрона Е и р и учи-
тывая, что энергии значительно больше энергий покоя, имеем:
рс т Е. Из (10.6)‚ учитывая, что (рэ + р„)2 = р’ + 122 — 2р2с0$(рэ‚ р„)‚
находим
т„„‚с2 = Е [2(1 - созелт = 3,1 _ГэВ.
Используя (1О.5) и учитывая, что рт, = 2рсоз(9/2) = 2р[(1 +
+ со39)/2]'/2‚ получаем В = [(1 + соз9)/2]‘/2 в 0,87.
Определим пороговую энергию Е рождения пары Е-гиперо-
пор
нов при облучении протонами жидководородной мишени
(Мг 10.22). Обозначая массу и импульс протона т и р и используя
(1О.6) и (1.24)‚ получаем
(Еп + тс2)2 — р2с2 = 2Е„°ртс2 + 2т2с4 = (2тдс3 + 2тс2) 2,
откуда ЕМ = 4т2с3 + тс? + 2 тусг/т = 8,8 ГэВ.
ор
Найдем, чему равно наибольшее количество заряженных
и нейтральных пионов, которое может быть образовано при столк-
новении протона с энергией Ер = 5 Гэв с покоящимся протоном
(Мг 10.23). Используя инвариант (1, с 182, 179), получаем суммар-
ную энергию Ее двух протонов в системе Центра масс
Е} = (Ер + тс2)3 — ргс? = 2тс2(Ер + тс2). (1О.7)
Эта энергия за вычетом энергии двух остановившихся пионов
может быть затрачена на образование пионов. Число пионов
А’ = {[2тс2(Ер + тс2)]‘/2 — 2тс2}/т„с2 н 10.
Определим минимальную (пороговую) кинетическую энергию
нейтрона, при столкновении которого с ядром водорода в жидко-
водородной мишени образуется лямбда-частица (М9 10.24). Из за-
конов сохранения барионного и электрического зарядов и стран-
ности следует, что реакция должна быть типа
п+р—›А°+К°+р‚либоп+р—›А°+К*+п.
Используя (1О.7), получаем
Т = Е„ — тс? = Ес2/(2тс2) — 2тс2, (10.8)
пор
где т а тр ж тп, Ее = (т + тА + тк)с2.
Массы А-частицы, К-частицы и нейтрона (и протона) равны
соответственно 1115, 497 и 938 МэВ. В результате Т „ер = 1,6 ГэВ.
293
Найдем минимальную (пороговую) кинетическую энергию на-
летающего протона, необходимую для рождения пары барионов
(Е? Е°)‚ имеющих энергию покоя по 1315 МэВ каждый, в (рр)-со-
ударениях в жидководородной камере (Мг 10.25). Используя (10_8)‚
получаем Т = 8,95 ГэВ.
пор
Определим максимальную энергию ЕМ электрона, образую-
щегося при распаде покоящегося мюона (Мг 10.26). Разрешенный
распад и‘ —› е- + у}, + й. Максимальной энергия электрона будет
при максимальном импульсе, когда импульсы нейтрино и анти-
нейтрино одинаково направлены. Используя ( 10.6), получаем
т„2с4 = (Етах + Ед)? или т„с2 = ЕМ, + Ед.
Из равенства импульсов и (1.24) находим
Ед = р2у2с2 = ре2с2 = (Етах2 _ те2с4)1/2.
Подставляя в предыдущее уравнение, получаем
ЕМ = (т„с2/2)(1 + тег/ми?) == т„с3/2 а 52,8 МэВ.
Нейтральный пион распался на два у-кванта с энергиями Е, =
= 3,1 и Е, = 2,0 ГэВ. Найдем угол разлета 0 между у-квантами
(Мг 10.28). Используя (1О.6)‚ получаем
(т„с2) 2 = 4Е,Е2з1п2(0/2),
откуда 51п(9/2) = т„с2/[2(Е‚Е2)'/2] = 0,027.
Оценим, при какой энергии Е ультрарелятивистского заря-
женного пиона его пробег до распада равен пробегу в воздухе при
плотности р = 104 г/см3. Собственное время жизни и энергия по-
коя пиона равны то = 2,6-10-3 с и т„с2 = 140 МэВ (М9 10.29). Ис-
пользуя (1‚ с. 166 и 179), получаем
Е = тпсду, т = тау. (10.9)
Пробег до распада ультрарелятивистского пиона
1= ст = ст„Е/(т„с2). (10.10)
Для пробега в воздухе, используя (2, с.251)‚
[н = 1/(пс). (1О.11)
Учитывая, что воздух состоит в основном из азота, получаем
для сечения взаимодействия пиона, летящего со скоростью, близ-
кой к скорости света, о = яку, где радиус ядра азота определяется
(7.1) К„ = 1‚3-10-'3 А„'/3 см. Для числа ядер азота, учитывая, что мо-
лекула азота состоит из двух атомов, имеем (2, с. 9)
294
п = р1\’‚,_/(2А„).
Из (1О.1О) и (10.11) получаем Ем 2°1О3 ЁЁВ.
Нейтральный пион 1:0 с энергией покоя т„с2 = 135 МэВ распа-
дается на лету на два одинаковых у-кванта, разлетающихся под уг-
лом ос = 2-10-2 рад по отношению к направлению двидкения пиона.
Найдем, какова кинетическая энергия пиона тс°, чему равна неоп-
ределенность энергии покоя п“ и каково его время жизни в лабо-
раторной системе координат, если в собственной системе он жи-
вет то = 0,84-1О-'° с (М 10.30). Сохранение импульса дает
р„ = 2 русозоъ.
Используя (10.6) и соотношение для у-кванта Е, = рус, получа-
ем
Е} — рдс’ = (2Е‚)2 — (2р‚соза)’с2,
откуда Е„ = р„с/соза. Используя релятивистскую связь энергии
и импульса, находим: Т= Е„ — т„с2 = т„с1 (1 — зйпоф/зйпа = 6,6 ГэВ.
Как и в (1О.9) т = т„Е„/(т„с4) = тд/зйпа = 4,2°1О"5 с.
Из (2.29) А(т„с2) а 72/10 н 7,8 эВ.
1)°-мезон распадается «на лету» на К°- и т-мезоньх. Расстоя-
ние от точки его рождения до точки распада равно Ь = 350 мкм.
Импульсы каона и пиона равны рк = 3,6 ГэВ/с и р„ = 1,9 ГэВ/с
и направлены под углами Эк = 13°3О' и 9„ = 27°50' к направлению
импульса [)°-мезона. Определим энергию покоя, скорость и время
жизни [)°-мезона (Мг 10.31). Сравнивая рс для этих мезонов с их
энергиями покоя, получаем, что мезоны являются релятивистски-
ми частицами, для которых Е я рс. Используя (10.6) для релятиви-
стского инварианта, имеем
тв2с4 = (Ек + Еду " (рк + Иуда-
Выражая энергии через импульсы, находим
тьс’ = с[(рк + и)’ - (из + рг) - 2ркр„соз91'” =
= с[2ркр„(1 — соз9)]1/2 н 1,85 ГэВ,
где 9 = Эк + 9‚‚ = 41°2О'.
Используя (1, с. 166 и 179), получаем
В = и/с = |р|с/Е = |рк + рА/(рк + д.) =
= (рк? + р} + 2ркр„со$9) ‘д/(рк + р”) н 0,943.
Время жизни 1)°-мезона в собственной системе
то= т (1 — 132)“ = (Ь/0)(1 - 132)“; 00.12)
295
т, ъ 4‚2-10—т с.
При распаде «на лету» (Ъ-гиперона (П- -› А + К-) измерены
импульсы частиц распада рА = 5,7 ГэВ/с и рк = 2,0 ГэВ/с и угол раз-
лета между ними 0 = 28‚5°. Определим энергию покоя От-гиперо-
на (М9 10.32). Сравнивая рс для этих частиц с их энергиями покоя,
получаем, что они являются релятивистскими частицами, Для ко-
торых Е а рс. Используя (1О.6) для релятивистского инварианта,
имеем
11
то2с4 = (Ел + Ек)2 * (РА + ркусг
откуда
2р^рКс2(1 — созб),
тдс2 аз 2(р^рк)'/2сз1п(0/2) 1,68 ГэВ.
За распадом остановившегося в ядерной фотоэмульсии К+-ме-
зона по схеме К* —› к* + к" последовал распад нейтрального пиона
тс" по схеме п“ —› у + е* + е-‚ причем точка рождения пары е*е' на-
ходилась на расстоянии Ь = 0,04 мкм от места остановки К-мезо-
на. Оценим собственное время жизни нейтрального пиона п“
(Мг 10.33). Так как массы пионов близки, можно считать, что
энергия К-мезона делится пополам. Используя (10.1О)‚ получаем
У = (Ек/2)/(т‚.с2) = 1‚83;
т, = 1/(су) = о‚72=1о-16 с.
11
Найдем, какова средняя длина пути Ь до распада А-гиперона
в воздухе, если его энергия ЕА = 7 ГэВ (М9 10.34). Используя (1О.9)
и данные табл. 10.1, находим т = тОЕА/(тАс2). При такой большой
энергии скорость частицы близка к скорости света, поэтому Ь =
= тс 2 50 см.
Заряженный пион, имеющий энергию Е, = 420 МэВ, распада-
ется «на лету» на мюон и антинейтрино. Определим энергию мюо-
на Ер в лабораторной системе, если в системе покоя пиона мюон
вылетает под углом 90° к направлению полета пиона (М9 10.38).
В системе отсчета, связанной с пионом, параметры в которой бу-
Дем отмечать индексом «ц», законы сохранения энергии и импуль-
са имеют вид
т„с’ = Е„„ + Еанц;
Еш/с = (Ед „2 — т„2с“)'/2.
Возводя последнее равенство в квадрат и подставляя в первое,
получаем
296
Е" и? — тидсд = (т„с2 — Е“ „У,
откуда
Ем 4 (т„2 + т„2)с2/(2т„).
Используя релятивистские преобразования (1, с. 179), в систе-
ме отсчета, в которой пион движется вдоль` оси х со скоростью
и (лабораторная система), находим, учитывая, что компонента
импульса вдоль оси х в системе, связанной с пионом, равна нулю,
Е” = (ЕМ + р„„хи)/(1 - 02/00“? = Е“ „/(1 - и2/сд)'/г = ЕМ Е„/(т„с3).
Подставляя предыдущее уравнение, находим
Ед = (Е„/т„с2)(т„2 + т„2)с2/(2т„) в 330 МэВ.
Для получения пучков заряженных пионов на ускорителях на
пути пучка ускоренных протонов ставится тонкая мишень. Опре-
делим число заряженных пионов М, образовавшихся в мишени
в 1 с, если на расстоянии Ь = 5 м от мишени интенсивность пио-
нов п = 5-105 с-'. Регистрация осуществляется детектором, пло-
щадь которого 5 = 100 смд. Кинетическая энергия пионов Т =
= 500 МэВ. Считаем, что из мишени пионы вылетают изотропно,
т. е. равновероятно под любыми углами в лабораторной системе
координат (М 10.39). Число пионов уменьшается с расстоянием
из-за изотропного разлета и распада п = М, е"/‘П/(4тс), где О =
= 5/[2 — телесный угол, под которым виден детектор из точки ге-
нерации пионов; 1 — время пролета пионом пути Ь; т — время
жизни пионов в лабораторной системе отсчета.
Используя (1О.9), находим т = тоЕ/(т„с2) = т0(1 + Т/т„с2). Окон-
чательно получаем М, = п(4тсЬ2/$)ехр{Ьт„с?/[ст„(7? + 2т„с2Т)‘/2]} н
в 3,610’ частиц/с.
Коллимированный монохроматический пучок заряженных
пионов, энергия которых Е, = 10 ГэВ, вследствие распада посте-
пенно превращается в пучок мюонов и нейтрино. Найдем, на ка-
ком расстоянии Ь от области формирования пучка число образо-
вавшихся мюонов в три раза превышает число пионов (М9 10.35).
Для наглядности изобразим число частиц площадью прямоуголь-
ника на рис. 10.2. Видно, что через время в системе отсчета, свя-
занной с пионом, равное периоду полураспада (7]„) пионов число
пионов равно числу мюонов. Еще через такое же время мюонов
в три раза больше, чем пионов. Используя связь периода полурас-
пада с временем жизни (7.14) и выражение для времени в лабора-
торной системе (1О.9), а также то, что скорость пионов при таких
энергиях близка к скорости света, получаем
20‘ 330 297
| Т1/2 | Ти2 |
Рис. 10.2
Ь 2: (21п2)с^с„Е„/(т„с2) 2 770 м.
Оценим примесь мюонов в пучке заряженных каонов на рас-
стоянии Ь = 10 м от места формирования пучка каонов. Каоны
в пучке имеют энергию Е = 3 ГэВ. Выходом мюонов из пучка
в процессе распада пренебрегаем (М9 10.36). Число мюонов в пуч-
ке равно уменьшению числа каонов М, = 1\/‚((О) — 181,41). Здесь 1 =
= Ь/и. Скорость и определяется через энергию (1, с. 179)
Е = тс2/(1 — и2/с1)'/2.
В соответствии с (7.12) А’к(г) = 1\/к(О) е-‘д.
Из (10.9) находим время жизни в лабораторной системе коор-
динат
Е = тксду, т = ‘еду.
Таким образом, используя табл. 10.1, получаем
М, /А/К(О) = 1 — ехр[-ткс21‚/(Екит„] = 0,364.
При рождении п+- и Кймезонов в мишени ускорителя с им-
пульсами д, = рк = р = 2 ГэВ/с их числа относятся как 1О0:1. Най-
дем эти отношения на расстоянии Ь = 50 м от мишени (Мг 10.37).
Считаем, что при таких энергиях скорости близки к скорости све-
та. Используя формулы предьщущей задачи и табл. 10.1, находим
1\’„//\’к = 1О0ехр[(тКс2/т0к — т„с3/т„„)Ь/(Ес)] н 1900.
Найдем, какова наибольшая энергия электрона, образованного
при распаде покояшегося т-лептона на мюон и два нейтрино,
а мюона в свою очередь — на электрон и два нейтрино (Мг 10.41).
Реакции распада:
т -_› „-+ г, + у, (1013)
298
р ‘—›> е-+ ур + 17р. (1О.14)
Энергия мюона в реакции (1О.13) максимальна, если максима-
лен его импульс, т. е. нейтринные импульсы направлены одинако-
во. Из закона сохранения энергии получаем °
трс? = Ер + Ед = Ер + рдс = Ер + ррс = Ер + (Ер? — тр?с4)'/?.
Отсюда максимальное значение
Е = (тр? + тр?)с?/(2т‚) = (1/2) трс? (1 + тр?/тр?) н 0,9 ГэВ.
р тах
Видно, что мюон ультрарелятивистский.
Энергия электрона в (10. 14) максимальна, если электрон выле-
тает по направлению мюона, а оба нейтрино в противоположную
сторону
Ер тах = Ее + Е2у9 рис = рес _ р2у с? Ер тах + рис = Ее + рее‘
В результате максимальная энергия электрона
Ерш = Еррр [1 - тр?с4/(2Ертрх)?] = 0,891 ГэВ.
Найдем, при какой энергии налетающего протона на покоя-
щийся протон в реакции р + р —-› с! + 1т* кинетическая энергия дей-
трона в лабораторной системе координат может быть равна нулю
(М9 10.43). Из закона сохранения энергии Ер + трс? = Ер + трс? или
Ер — Ер = (тр — тр)с?. Из закона сохранения импульса Ер? — тр?с4 =
= Ер? — тр?с4 или Ер? — Ер? = (тр? — тр?)с4. Разделив предыдущие
выражения и сложив, получим
Ер = [(тр? — т„?)/(тр — тр) + тр — тр]с?/2 а 1 ГэВ.
Взаимодействие протонов космического излучения с реликто-
выми фотонами (средняя энергия квантов е т 10‘? эВ, а плотность
п = 400 см-д‘) может в частности, приводить к реакции у + р —› р +
+ 1:0, порог которой (кинетическая энергия) при бомбардировке
покоящегося протона Т= 140 МэВ, а сечение о н 10-4 бн. Найдем,
при какой минимальной энергии протона Е этот процесс идет
в космосе, а также каково время жизни т протона до взаимодейст-
вия (М9 10.44). Используя инвариант (1О.6) в лабораторной систе-
ме и системе, связанной с протоном, получаем
(г + Е)? - (р, - рр?с? = (Т + треб? — (рус?-
Так как Е? — рр?с? = тр?с*‘ и Т? = (рр')?с?, находим
2еЕ + 2гррс = 2трс?Т
20‘ 299
д
или Е + ррс = трсгТ/а >> трс2, значит протон релятивистский, т. е.
Е = ррс и получаем для пороговой энергии протона
Е = трс2Т/(2е) = 938106-140-106/(2-10-3) = 6‚5-10‘9 эВ.
Время жизни до взаимодействия с использованием выражения
для длины пробега (2, с. 251):
т = 1/(пос) = 1/(40040-28 —3-1от) = 1015 с - 3-107 лет.
Взаимодействие высокоэнергетичных у-квантов космического
излучения с реликтовыми фотонами (средняя энергия квантов
а е 10-3 эВ; плотность п = 400 см-З) может приводить к образова-
нию электрон-позитронных пар. Определим пороговую энергию
у-квантов Т (эВ) в этом процессе, а также найдем, каково время
жизни ‘с надпорогового у-кванта до взаимодействия, если сечение
этого процесса о = 1 бн (М9 10.45). Как и в предыдущей задаче ис-
пользуем инвариант в лабораторной системе координат, где энер-
гия у-кванта Е = рус; энергия реликтового фотона г = рас, и в систе-
ме, связаннои с родившеися парои электрон-позитрон,
(г + Е)? — (д, — рус? = 4еЕ > (2тес2)2.
Отсюда Т= Е = (тест/г = 2,610” эВ.
Время жизни надпорогового у-кванта, как и в предьщущей за-
Даче,
т т 1/(пос) в 8°10‘° с.
Мюоны космических лучей образуются, в основном, в страто-
сфере Земли под действием первичного космического излучения.
Оценим энергию мюона, достигающего поверхности Землш, если он
образовался на высоте Н = 40 км, пренебрегая потерями энергии
мюона на ионизацию воздуха (М 10.46). Мюон достигнет поверх-
ности Земли, если он пройдет это расстояние за время своей жиз-
ни. Используя (1О.9)‚ табл. 10.1 и считая, что мюон летит со скоро-
стью света, находим Ер = трс2Н/(тс) 2 6,4 ГэВ.
В настоящее время экспериментально установлено, что верх-
няя граница энергии покоя мюонного нейтрино равна 0,17 МэВ.
Найдем, с какой относительной точностью нужно измерить кине-
тическую энергию мюона, возникающего при распаде покоящего-
ся пиона, чтобы довести границу до более низкого значения, рав-
ного 0,1 МэВ (Мг 10.48). Для данного распада (л —-› р + ур) имеем
закон сохранения энергии
тис? = Е” + Е‘, (1Оц15)
300
и закон сохранения импульса, используя также (1.17)‚
р}, = р, или Ед? — тдс“ = Е} — т„2с4‚
что удобно переписать в виде
Ед’ — Е} = (т: - т„2)с4. °
Разделив это на (1О.15)‚ получим
Ед — Е, = (ту — т„2)с2/т„.
Сложив это с (1О.15)‚ находим
Ед = (тд2 — т} + т‚3)с2/(2т‚,).
Для кинетической энергии имеем
Тд = Ед — тис? = [(т„ — тп)? — т„2]с2/(2т„).
Изменение кинетической энергии АТ= А(т„2)/(2т„) = т„2/(2т„).
Относительное изменение кинетической энергии
АТ/ Т = тЗ/(тд - т„)2.
При т„с2 = 0,17 МэВ отношение равно 2‚5-1О-5‚ при т„с2 =
= 0,1 МэВ равно 8‚6-1О-6.
На Землю непрерывно приходят от Солнца нейтрино с энер-
гиями в диапазоне О‚1—15 МэВ. Детектором регистрируются воз-
никающие в его материале под действием этих нейтрино электро-
ны отдачи с кинетическими энергиями выше П, = 5 МэВ. Найдем,
какой минимальной энерпш нейтрино соответствует этот порог ре-
гистрации для свободных электронов (Мг 10.50). Обозначая энер-
гию нейтрино до соударения с электроном Е и после соударения
Е,‚ энергию электрона Ее, импульс электрона р, массу электрона
т, записываем законы сохранения энергии Е + тс? = Е, + Е, и им-
пульса Е/с = р — Е‚/с. Используя связь импульса и энергии (1.24)
для электрона Е} = р2с1 + т2с‘ и связь полной и кинетической
энергии Е, = 7; + тс2, находим
Е = (Д + рс)/2 = П; + [7;(7; + 2тс2)]‘/’}/2 = 5,24 МЭВ.
В 1983 1: были открыты переносчики слабого взаимодействия
бозоны “Р и Щ‘. В одном из первых обнаруженных распадов
Щ- —-› е- + 17, наблюдался след электрона с энергией Е = 58,5 ГэВ
и углом вылета его относительно направления движения распад-
ной частицы 6 = 45”. Найдем, какова может быть минимальная
энергия покоя Ж’- бозона в этом процессе (Мг 10.53). Заданная
энергия показывает, что электрон является ультрарелятивистской
частицей Е = рес. Соответственно, для энергии, связанной с ком-
301
понентой импульса, перпендикулярной к направлению движения
бозона, имеем Е"‘ = Езйпе. При переходе в систему связанную
с бозоном, компоненты импульса, перпендикулярные направле-
нию движения бозона, не меняются (1, с. 180). Используя (1О.6)
в системе, связанной с бозоном, до распада и после распада
(т„„с2)2 = (Ее* + Ее*)2. Из равенства импульсов следует и равенство
энергий, поэтому тшс? = 2Е51п9 = 84 ГэВ.
Найдем, чему равно для электрона — продукта распада ультра-
релятивистского т-лептона — максимальное значение проешши
импульса на направление, перпендикулярное импульсу т-лептона
(Не 10.54). Для распада имеем т —› е- + й, + 37е. Компонента им-
пульса электрона перпендикулярная импульсу т-лептона в систе-
ме, связанной с ним, не меняется при переходе в лабораторную
систему (1, с. 180): рес = реес = Ед. Импульс электрона будет макси-
мальным, если импульсы обоих нейтрино будут направлены про-
тивоположно импульсу электрона. Используя (1О.6), в системе
Центра масс
тес? = Ее + Еее = Ее + (Ее3 — тегсд)“.
Отсюда
Ее = (те2 + те2)с2/(2те) == тес2/2 н 0,9 ГэВ.
Таким образом, электрон ультрарелятивистский и
с = Ее = 0,9 ГэВ.
В 1983 п был открыт нейтральный 2-бозон. При анализе его
распада 2—› ш + д- найдены два следа мюонов с импульсами р =
= 85 ГэВ/с при угле разлета 9 = 7О°. Определим энергию покоя
и скорость 2-бозона (Не 10.55). Из законов сохранения энергии
и импульса (1, с. 179) утес? = 2Ее‚ уВт2с2 = 2Еесо$(9/2). По условию
мюоны ультрарелятивистские‚ т. е. рс = Ее. Из приведенных соот-
ношений В = о/с = со5(9/2) = 0,82. Так как у = 1/(1 — В)? =
= 1/з1п(9/2), получаем т2с2 = 2Еее51п(9/2) = 97,5 ГэВ. Современное
значение 91,17 1 0,02 ГэВ.-
ре перп
На рис. 10.3 представлена полученная экспериментально зави-
симость эффективного сечения реакции: е+ + е‘ —› адроны от
энергии Ешм частиц в системе центра масс. Она свидетельствует
о существовании резонанса (кр-частиц) с энергией покоя Мес? =
= 3,10 ГэВ. Наблюдаемое при этом значительное возрастание се-
чения выше области резонанса (асимметрия графика) объясняется
302
о‚см211
10-28.
-29
1о"°-
1о”‘ -
104“
1 1 1 ь =
3,10 7 3,12 3,14 не“, ГэВ
Рис. 10.3
рождением ш-частицы с одновременным испусканием одного фо-
тона. Оценим, пользуясь графиком, минимальную длину волны
фотонов, зарегистрированных в этом опыте (М 10.56). Макси-
мально зарегистрированная энергия на графике (см. рис. 10.3),
равная 3,14 ГэВ, представляет собой сумму энергии фотона
и ш-частицы. Для фотона из (1.1) ж, = Ис/Еу и
Д = ЕМ — тшс? = 40 МэВ << 3,1 ГэВ.
Соответственно, ж, н 3‚1°10-‘2 см (отдачей ш-мезона пренебре-
гаем).
В 1983 1: были обнаружены переносчики слабого взаимодейст-
вия Щ-бозоны, энергия покоя которых оказалась равной пример-
но т„,с2 н 80 ГэВ. Оценим радиус действия слабого взаимодействия
(Не 10.61). Используя (2.29)‚ находим т в й/(т„„с2). Отсюда К нет и
н 2‚5-10-‘° см.
В полном сечении реакции тйр —› гр при Т„ = 190 МэВ на-
блюдается резонанс с полной шириной Г = 120 МэВ, называемой
А**-изобарой. Определим время жизни и энергию покоя этой час-
тицы (М 10.62). С помощью соотношения неопределенностей
(2.29) находим время жизни резонанса
т а й/Г а 5‚5°1О‘24 с.
Используя инвариант (1О.6), получаем
тддс‘ = (трс? + т„с1 + Т„)2 — [(т„с1 + Д)? - т„2с“]‚
или тдс’ = [(т‚‚ '+ т„)2с4 + 2трс2Т„]'/2 = 1232 МэВ.
В сечении рассеяния пионов п* на ядрах водорода наблюдается
резонанс, соответствующий образованию А+*(1232) с энергией по-
303
коя 1232 МэВ. Оценим сечение этой реакции. Радиус протона гр и
2 0‚8-10-'3 см. Экспериментальное значение бполнэксп н 200 мбн.
Резонанс с энергией покоя 1232 МэВ образуется также и в ре-
акции тг р -—› тг р. Полное сечение этой реакции о„„„„ = 68 мбн.
Укажем неупругий канал распада этого резонанса (АО-изобара)
и найдем сечение процесса (М9 10.63). Рассеяние идет через обра-
зование составного ядра, подобного короткоживущей частице.
Сечение образования ядра в резонансной области описывается
формулой Брейта — Вигнера (8.5О)
од = пйавГ /[(Е — Е0)2 + Г„°„„2/4]‚ (1О.16)
р упрГполн
где Х к = ?ь„/(2тс)‚ Д, — длина волны падающей частицы в системе
центра масс; Е — суммарная энергия частиц в этой системе; Ед —
энергия составного ядра (резонанса); Гущ, и Гнет = Г „ш — Гупр —
ширины резонанса.
В случае бесспиновых частиц 3 = 1. По закону сохранения
электрического заряда распад резонанса возможен только по ка-
налу А“ —› тг“ р, т. е. происходит только упругое рассеяние (те же
частицы, что вначале) и в резонансе сечение в соответствии
с (8.51)
о = от, = 41111 =41тй2 /р2.
ПОЛН
Импульс сталкивающихся частиц в системе центра масс р =
= р„ = рр находим с помощью инварианта (1О.6)
МАС2 = (р2с2 + тр2д4)п/2 + (р2с2 + тп2С4)1/2‚
откуда
р = “М; + тр2 _ тп2)2с2 /(4МА2) _ тр2с2Г/2;
= 4тсй2с2/(р2с2) = 95-10-27 см? = 95 мбн.
Согласно условию экспериментальное значение этой величи-
ны около 200 мбн. Различие связано с тем, что в (1О.16) в предпо-
ложении бесспиновых частиц 3 = 1. Необходимо учесть спиновые
состояния начального и конечного состояний системы. Имеются
(25р + 1)(25„ + 1) начальных состояний системы и 21+ 1 конечных
состояний А-резонанса, приводящих к одинаковому сечению.
В результате
бПОЛН
3 = (21 + 1)/[(2$р + 1)(25„ + 1)].
Сравнение теоретического и экспериментального значений
дает 3 н 2, откуда полный момент резонанса 1 = 3/2. Такой спин не
может быть получен без учета орбитального движения (орбиталь-
ного момента количества движения Ь”), так как 8р = 1/2, б], = 0.
304
Закон сохранения момента импульса надо записывать в виде 1 =
= $р+ 5„ + Ьпр. Условия квантования (5.16) дают для момента им-
пульса протона ргр = й[1‚([‚ + 1)]‘/2. Используя выражение для им-
пульса (1.5), получаем [ЦЬ + 1)]‘/2 = гр/Х, откуда, так как гр я:
и О‚8-1О-'3 см, а Х а О,87-1О-‘3 см, следует: Ь н 0,83. Из возможных
значений О или 1 надо взять 1 для получения 1= 1/2 + 1 = 3/2. Си-
туация такая, как будто налетающий пион захватывается за счет
сильного взаимодействия протоном на орбиту с Ь = 1, делает не-
сколько оборотов и улетает (рассеивается).
В реакции с отрицательным пионом возможны распады резо-
нанса по двум каналам:
упругий п“+р—›А°—›1г+р;
неупругий п‘ + р —› АО —+ 1:0 + п.
Таким образом, о„о„„ = от + о
Из (10.16) в резонансе
о„„„„ = 8105. Ё, Г „ю/Г „от, или 68 н 190 Гшр/Гшшн,
откуда Гшр/Гподн = ошр/(оущ, + сунет) а‘ ‚358;
внеш, 2 1,8оу„р я: 0‚64о'„°„„ а 44 мбн.
Неупругие процессы типа п°тс°п или 1гтс°р запрещены законами
сохранения энергии.
Рассмотренные резонансные состояния А“ и А“ различаются
проекциями изотопического спина. Изотопический спин пионов
равен 1, а нуклонов 1/2. Полный изоспин резонанса поэтому мо-
жет быть 3/2 и 1/2. При этом (тс*р)-система обладает проекцией
изоспина Д = 3/2, а (тгр)-система — проекцией Т, = 1/2, т. е. яв-
ляется суперпозицией состояний с Т = 3/2 и Т = 1/2.
неупр °
В современных теориях великого объединения электромагнит-
ного, слабого и сильного взаимодействий необходимо существо-
вание магнитного монополя ЮЗ массой М = 10‘6 ГэВ/с? и магнит-
ным зарядом р = сй/(2е) = се/(2е2) = е/(2ос). Если такие монополи
существуют, то они рождены на ранних стадиях развития Вселен-
ной, имеют энергию Е около 10‘? ГэВ, обладают высокой прони-
кающей способностью и могут «пожирать материю», инициируя
распад протона
Ш?+р—+ЁЩ+е++тс°—›ЁЩ+е*+у+у.
Оценим, какое количество таких монополей, находящихся
внутри Солнца, могло бы полностью обеспечить светимость Солн-
ца ЬС н 4°1О33 эрг/с, если на пути 1 см в воде монополь инициирует
около одного распада протона, считая, что вся масса Солнца со-
305
средоточена в протонах (Мг 10.84). Используя формулу, аналогич-
ную (1О.11) для длины пробега, где о — сечение реакции; п — кон-
центрация протонов в Солнце; и = (2Е/1И)‘/2 — скорость монопо-
ля, получаем для числа распадов в единицу времени 1\’= от). При
этом выделяется энергия Мтрс? = оптрисё переходящая затем в те-
пло при поглощении позитрона и у-квантов. Обозначая число мо-
нополей в Солнце /‹‚ из условия получаем Коптрис? = ЬС. Сечение
реакции распада протона находим из величин, заданных в условии
при распаде в воде на длине 1 см: про = 1. В молекуле воды 10 про-
тонов, поэтому концентрация протонов в 1 см3 воды пр =
= 1О1\’А(т/ц) в 3,310” см “3. В результате о = 1/пр = 3-10-24 см2. Чис-
ло протонов в 1 см3 на Солнце п = р/тр = МС/[(4/3)тгКС3тр]. Окон-
чательно
к = ЬС/(опитрд) = 4ЬСпрпКС3/[3МСс2(2Е/М)‘/?] н 3-1027.
Тяжелая вода 13,0 используется для регистрации нейтрино
с энергиями, меньшими 15 МэВ, в реакции, обратной К-захвату
Детектор регистрирует образующиеся заряженные лептоны. Опре-
делим, какой тип нейтрино регистрируется и какие ядра захваты-
вают нейтрино. Найдем пороговую энергию регистрируемых ней-
трино. Энергии покоя ядер: р — 938,23 МэВ, с1 — 1875‚6 МэВ,
1,60 — 14 895 МэВ, 1,6 Р — 14 910 МэВ (Мг 10.91). Реакция, обратная
К-захвату — выбрасывание из ядра электрона (п + у, —› р + е‘) или
отрицательного мюона (п + у}, —› р + д"). С протонами в ядре мо-
гут взаимодействовать только антинейтрино, а нейтрино на них
просто рассеиваются. Так как Е, < 15 МэВ << т„с2 = 106 МэВ, то
детектируются только электронные нейтрино. Ядра кислорода не
могут захватывать нейтрино, так как (Мг - М0)с2 = 15 МэВ > Е„.
Нейтрино таких энергий взаимодействуют лишь с дейтронами
(ядрами дейтерия):
‹1+уе—›р+р+е‘.
Используя (1О.6), получаем
(Е, + тдсд) - р„2с2 = (2тр + те) 2с4.
Отсюда, так как Е, 2 р„2с2, находим
Етр = [(2тр + те) 2 — тд2]с2/(2т„) = 1,37 МэВ.
Позитроний (система {е+‚ е-}) аннигилирует, если расстояние
между электроном и позитроном меньше КОМПТОНОВСКОЙ длины
волны электрона А, = й/тес. Оценим время жизни основною со-
306
стояния парапозитрония ‘50. Учитываем, что при аннигиляции ве-
роятность одновременного излучения в единицу времени п фото-
нов с частотой со порядка и›„ 2 ото), где а = е1/(йс) — постоянная
тонкой структуры (Мг 10.95). Напомним, что в случае ортопози-
трония спины электрона и позитрона направлены одинаково, а в
случае парапозитрония (данный случай) спины направлены про-
тивоположно, т. е. суммарный спин равен нулю, а момент импуль-
са является орбитальным и равным нулю, как это видно и из со-
стояния, указанного в условии. По закону сохранения импульса
и момента импульса парапозитроний аннигилирует с образовани-
ем двух фотонов. Из закона сохранения энергии Но) = тс2. Исполь-
зуя условие и (3.4), получаем, что вероятность аннигиляции систе-
мы в единицу времени И/равна вероятности излучения двух фото-
нов, умноженной на вероятность электрону и позитрону оказаться
на расстоянии комптоновской длины волны электрона.
Таким образом,
И’ = ш(Ае/г‚)3,
где г, = 2гБ — боровский радиус позитрония.
Время жизни позитрония т т 1/РИ
Окончательно
т т ЙгЗ/(а2тс2АС3) = 8Ае/(соъ5) = Згкл/(ссхб),
где гм = е2/(тс2) — классический радиус электрона; ос = е2/(йс) —
постоянная тонкои структуры.
Здесь использованы соотношения гБ : А, : гм = 1 : а : ой. В итоге
получаем т т 5-10-‘0 с. Точный квантово-механический расчет дает
для времени жизни
т = 2гкл/(соъ5) = 1‚23—1о—*0 с.
Протониум (система {р‚ Б}) распадается преимущественно за
счет аннигиляции на пионы. Полагая, что распад происходит то-
гда, когда протон и антипротон находятся на расстоянии порядка
радиуса сильного взаимодействия, оценим время жизни основного
состояния протониума (М) 10.96). Эта задача похожа на предыду-
щую. Радиус сильного взаимодействия КМ порядка комптонов-
ской длины волны пиона А, = й/(т„с) = 1‚4-10т‘3 см. Характерное
время взаимодействия д, в [СМ/с н 0,5-1О-23 с. Вероятность частице
и античастице оказаться на расстоянии т Ад порядка (Ак /г‚р)3. Ра-
диус основного состояния пр = г„52т,/тр = 16-10-12 см. В резуль-
тате
307
{ш а 1„д(г‚р/А„)3 = 0,32°1О“3 с.
В 1964 п бьша выдвинута гипотеза о том, что адроны имеют
внутреннюю структур); т. е. состоят из истинно фундаментальных
частиц — кварков. Доказательства существования кварков в прото-
не были получены в 1968—1969 гп в серии экспериментов на ли-
нейном ускорителе электронов с энергией 20 ГэВ. Электроны рас-
сеивались на углы, значительно большие, чем должно быть при
непрерывном распределении заряда внутри протона. Объяснить
это можно наличием внутри протона заряженных объектов, сосре-
дотачивающих значительную часть массы и имеющих размеры,
много меньшие размеров протона. Затем подобные эксперименты
«просвечивания» нуклонов были проведены с пучками других
лептонов (р, у) с энергиями от 15 до 200 ГэВ. Результаты экспери-
ментов показывают:
внутри нуклонов обнаружены точечноподобные объекты —
партоны (< 10-‘6 см), в которых сосредоточена вся масса (внутрен-
няя энергия) нуклона;
заряженные партоны имеют все характеристики кварков — их
спин 1/2, а электрические заряды либо (+2/3)е‚ либо (—1/3)е;
нейтральные партоны, отождествляемые с глюонами‚ несут
около половины энергии нуклона.
В соответствии с кварковой моделью бесструктурными, т. е. ис-
тинно фундаментальными, частицами являются фотоны, лептоны
и кварки; барионы состоят из трех кварков, а мезоны — из кварка
и антикварка. Характеристики кварков приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2.
Название Символ Масса, О(е) 5 С Ь 1 1 13
(аромат) гэв
Верхний и 0,005 +2/3 0 0 0 0 1/2 1/2
Нижний с! 0,009 —1/3 0 0 0 0 1/2 —1/2
Странный 5 0,170 —1/3 —1 0 0 0 0 0
Очарованный с 1,1— 1 ,4 +2/3 0 +1 0 0 0 0
Красивый Ь 4‚О—4‚4 —1/3 0 0 +1 0 0 О
Правдивый 1 174 +2/3 0 0 0 +1 0 0
Здесь О — электрический заряд в единицах, равных абсолют-
ному значению заряда электрона; 5 — странность; С — шарм; Ь —
красота; 1 — правдивость; 1 — изоспин, 13 — проекция изоспина.
Для всех кварков спин (четность) Л = 1/2* и барионный заряд В =
= 1/3. Антикварки имеют квантовые числа с противоположными
знаками.
308
Кварковый состав адронов (мезонов и барионов) приведен
в табл. 19.3.
Таблица 10.3
Частица У Кварковый со- Масса, Время жизни, с, Преобладающие
став, спин МэВ или ширина Г каналы распада
Мезень: °
1:1 (и Я); (ай), о 139‚567 2‚603°10'3 т‘ —› ш уд
тс° (и а‘ - ддЗ/Л, о 134‚976 8‚4-10°” 1:0 -+ 2у
Ю ‚ч К+ +
кт (и 5 ); (и з), о 4934577 1‚239-1о-8 101245
К5°:0‚893-1О"'° 11182“ “О “Д
5 —) ТЁ ТЁ
к° (дБ), о 4974572 до” “ф д "°
к„°:5‚17-1о-8 КЪО” “Ё “х “и
Ё КЬО-д 3750
Кд_°—› п+ к‘ п"
1Э"—› К“ п" п)’
_ + О +
от (с д); (Е щ, о 1869‚3 1‚о57—1о-‘2 ‘ЁЗЁЁ Ь З’=
д
В°—› К“ п+
1)" (с 17), О 1864‚5 4,15-10"'3 В°—› К"е" у,
В°—›Ё° 1т* п '
081 (был * . __ О 1968 5 4 671043 Множество почти
1:1) (с 5 ), (с з), , ‚ равновероятных
каналов
В* (и 5);(17Ь), О 5278‚9 1‚65-10“2 То же
В“ (с! Ь’), 0 5279‚2 1‚56-10"2 »
и П
пс(1з) (с с), о 2979,8 ‚‚
— П
ищи) (сс),1 зо9в‚9 °ЁЁЁ7ШЁЗЁ"Е‘ ‚‚
—- Полная ширина
т‘) ‘Ь д )* 1 946014 г = 52,5 кэВ ”
Барионы
р (инд), 1/2 938,27231 > 1‚6-1О25лет
п (ш1с1), 1/2 939‚56563 887 п —› р е“ 17
0 _
‚хо (А) (идя), 1/2 1115‚68 2‚632- 10-10 ^0“* р “О
А —-› п п
309
Окончание табл. 10.3
Частица Кварковый со- Масса, Время жизни, с, Преобладающие
став, спин МэВ или ширина Г каналы распада
2+ (низ), 1/2 1189‚37 7‚99-10-" Е?’ р “Ё
Е —› п п
20 (идз), 1/2 1192‚65 7‚4-10-2° Егч А у
2- (дав), 1/2 1197‚44 1‚479- 10-10 2-—› п п‘
50 (изв), 1/2 1314‚9 2‚90-10-'° 30 —› м‘)
5- (ил), 1/2 1321‚32 1‚639-10-'° 3- _‚ Ад-
А++ (иии), 3/2 в 1232 = 120 МэВ А++_‚ р д +
А* (инд), 3/2 а 1232 2120 МэВ А" —+ р п °‚ пл"
А‘) (шт), 3/2 ъ 1232 а 120 МэВ А" -+ р п -‚ пл"
А‘ (ада), 3/2 з 1232 = 120 МэВ А“ -+ пл’
›:‹1385›+ (шд), 3/2 1383 36 МэВ 2 —›Ап‚ 21:
2(1385)° (идз), 3/2 1384 36 МэВ 2 —›Ап‚ 21:
2(1385)- (ддд), 3/2 1387 39 МэВ >: —›Ап‚ 2:1:
.Ё(1530)° (ил), 3/2 1532 9,1 МЭВ ЕЛ
з(1530)- (1155), 3/2 1535 9.9 МэВ Ел
О'—›А К"
о- (555), 3/2 1672‚45 8‚22-10-" (Г-э 50 л-
о-—› з- п‘)
м(|44о)+ („иду 1/2 а 1440 а 350 МэВ п(р) + п(2п)‚ Ап
1х1(1440)° (ист), 1/2 а 1440 я: 350 МэВ п(р) + тс(2п), Ап
М‹1520›* (инд), 3/2 а 1520 а 120 МэВ п(р) + п(2тс)‚ м
М‹1520)° (ист), 3/2 = 1520 = 120 МэВ п(р) + 1т(2тс)‚ м
+ — +
Ад‘ (иа'с)‚ 1/2 2284‚9 2‚06-10"3 Аэёгхаглч?“ _
гс" (ддс), 1 /2 2452,1 ? 2с°-+ Ас п"
= + _ + +
г: (иве) 2465‚6 3‚5-10-*3 201]; 1;
= 0 _ _ зс°-› ат‘
_с (две) 2470‚3 0,98 10 ‘3 ЕСЦ р Км К_
Пс“ (ззс) 2704 0‚064'10"2 Ос°—› 2+ К“К“ п"
Ав° (ас/Ь) 5624 124-10-12 А„°—›А„ е“ ‘о,
В 1976 п были получены первые указания о существовании за-
310
Х; —>Х+п" +11" +11".
ряженной «очарованной» А; частицы, распадающейся по схеме
Найдем кинетическую энергию, уносимую продуктами распа-
да А; частицы в ее системе покоя (Не 10.20). Кинетическая энер-
1
гия продуктов распада
` Т = Е, — Е,‚
где Е, и Е, +— энергия покоя исходной частицы и сумма энергий
покоя продуктов распада.
Обозначая массы А; и А соответственно т, и т, и пользуясь
табл. 10.1 и 10.3, находим
Т= т,с2 — (инд + Зтпс?) = 2284,9 — (1115‚7 + 3°139‚6) н 751 МэВ.
Поскольку некоторые адроны состоят из одинаковых кварков
в одинаковых состояниях, что недопустимо из-за принципа Пау-
ли, пришлось ввести еще одно квантовое число — цвет. Каждый
тип (аромат) кварка характеризуют тремя цветами и антицветами):
красный, зеленый и голубой. Их смесь бесцветна. Цвет антиквар-
ка является дополнительным к цвету кварка. Пара кварк-антик-
варк также бесцветна.
В свободном состоянии кварки не обнаружены и, скорее всего,
существуют только в связанном состоянии. В теории это объясняют
тем, что силы взаимодействия не уменьшаются с расстоянием меж-
ду ними. Сильные взаимодействия осуществляются путем обмена
между кварками безмассовыми частицами — глюонами, которые
являются таюке переносчиками цвета. При излучении и поглоще-
нии глюонов кварки меняют цвет. Виды и свойства фундаменталь-
ных взаимодействий приведены в табл. 10.4, фундаментальные бо-
зоны и их свойства — в табл. 10.5.
Таблица 10.4
Взаимо- Констан- Участ- Кванты Масса Характер Радиус
действие та взаи- вующие поля кванта ное время взаи-
модейст- частицы поля, ГэВ взаимодей- модейст-
вия ствия, с вия, см
Сильное 1 Квар ки Глюон (8 О 1О'2'—1О'23 21043
(адроны) видов)
Электро- 104 Заряжен- у-квант О т 1048 оо
магн ит- ные час-
ное тицы
Слабое 1О""4 Лептоны “д 80 *10"° а: 10-"5
и кварки 20 9,
Г равита- 104‘ Все час- гравитон О оо оо
ЦИОННОС ТИ ЦЫ
311
31
Таалица 10. 5
Частица Масса Ширина распа- Спин-чет- Основные мо й распада
тсд, Г эВ да Г (время жиз- ность, изо-
ни Т 2 п/Г) спин 1р(1) Ц/
у О Стабилен 1 “ (О, 1) Г
“д 2,12 ГЭВ 1 е“ д“ т“ адцоны
20 91,19 2,50 ГЭВ 1 е+е°‚ 11111", ЁЖ“, адроны
3 (глюон) О 1 “ (О) /
Г равитон О 2 )
Зная характеристики частиц (см. табл. 10.1) и характеристики
кварков (см. табл. 10.2), можно строить кварковую схему частиц.
Определим кварковый состав нейтрального каона (М: 10.66). Из
табл. 10.1 для каона (КО-мезон) следует: масса 498 МэВ, спин 1 = О,
электрический заряд О = О, барионный заряд В = О, странность
5 = 1, очарование Ь = О, правдивость 1= О. Так как 5‘ = 1, должен
войти антикварк 3. Так как его электрический заряд О = 1/3, кра-
сота Ь = О, то подходит только с1-кварк. Таким образом, КО-мезон
имеет состав (дБ).
Определим кварковый состав Е“ и А-гиперона (Мв 10.67). Из
табл. 10.1 находим
Частица О В 5‘ С Ь 1
30 0 +1 —2 О 0 О
А О +1 —1 О О О
Используя табл. 10.2, получаем, что Е" имеет состав (изв), А —
состав (идя).
Пользуясь кварковой моделью, определим, из каких кварков
состоят протон, нейтрон, О-гиперон (Мг 10.64). Из табл. 10.1 имеем
В 5 Ь С
1 +1 О
1
1
О О
—1 —3
П
О 0
О О
О“ О О
Используя табл. 10.2, находим: р = (иш1); п = (ада); О‘ = (зав).
Мезоны 1/ш и ш‘ с энергиями покоя Е, = 3,1 ГэВ и Е, = 3,7 ГэВ
можно считать соответственно основным и первым возбужден-
ным состоянием чармония — системы кварков (с Е). Пользуясь не-
релятивистским приближением и считая, что потенциал взаимо-
действия кварков П = —с12/г, где с] — «цветовой заряд», оценим ха-
312
рактерный радиус Л/ш-мезона (М 10.59). Система аналогична
позитронию и спектр ее возбуждения подобен энергетическому
спектру атома водорода (4.13). Энергии мезонов складываются из
энергии покоя за вычетом их энергии связи:
Е: = 2тсс2 - НЧ4/(ЁЙП2Ж1/ 12);
Е: = 2тсс’ - ит/(2й2)(1/22).
/
Здесь приведенная масса р = т‚/2.
Для возбуждения получаем
АЕ = Е, — Е, = (3/16) тет/й’. (1О.17)
Из предыдущих уравнений находим
тсс2 = (4Е2 — Е‚)/6 = 1,95 ГэВ. (1О.18)
Используя (4.9), для характерного радиуса чармония получаем
гм = й2/(р42) = (3/2'/2)йс/[(4Е2 — Е,)(Е2 — Е,)]‘/2 = 1,541О°'4 см.
Резонансы У и У’ с энергиями покоя Е, = 9,46 ГэВ и Е, =
= 10,02 ГэВ (ипсилон-мезоны) можно считать соответственно ос-
новным и первым возбужденными состояниями ботгомония —
пары кварков (Ь Б ). Пользуясь нерелятивистским приближением
и считая, что потенциал взаимодействия кварков П = —с12/г‚ где
а — «цветовой заряд», оценим массу Ь-кварка ть и безразмерную
константу 32 = аг/(йс) сильного взаимодействия (М9 10.60). По ана-
логии с предыдущей задачей из (1О.18) тьс? = (4Е2 — Е,)/6 а: 5,1 ГэВ.
Используя (1О.17), получаем (ед = ф/(йс) = [32(Е2 - Е,)/(4Е‚ — Е‚)]'/2 в
н 0,765 н 1.
При распаде покоящегося Кдмезона возникает мюон (К* —›
—› р++ уд). Определим ориентацию спина мюона относительно его
импульса. Найдем путь, пройденный мюоном до момента своего
распада. Исходя из кварковой модели, начертим схему распада
Кймезона (Мз 10.57). В случае круговой поляризации проекция
спина на направление движения может совпадать с направлением
импульса — это правополяризованная частица (правая спираль-
ность), когда проекция спина противоположна направлению им-
пульса — это левополяризованная частица (левая спиральность).
Обозначая вектор спина 5 и вектор импульса р, получаем для спи-
ральности
И = $р/(|5||р|).
313
Правополяризованная частица имеет положительную спираль-
ность (И = +1), левополяризованная — отрицательную (12 = —1).
В 1958 п экспериментально было показано, что спиральность
нейтрино всегда отрицательна (12 = —1)‚ т. е. нейтрино всегда име-
ет левую Спиральность, антинейтрино — всегда правую спираль-
ность (И = +1). Напомним, что у фотона возможна и правая и ле-
вая поляризация, которые меняются ‘при прохождении пластинки
в половину длины волны. При этом фотонам с правой спирально-
стью соответствует волна с левой круговой поляризацией, а фото-
нам с левой спиральностью — волна с правой круговой поляриза-
Цией. Используя табл. 10.2 и 10.3, получаем, что так как К* состо-
ит из кварка и антикварка, т. е. имеет нулевой спин, то суммарный
спин частиц, на которые он распадается, должен равняться нулю.
Так как импульсы мюона и нейтрино направлены противополож-
но, то спин мюона направлен противоположно его импульсу При
распаде покоящегося К*-мезона р}, = р, = р (закон сохранения им-
пульса) и из закона сохранения энергии получаем
ткс? = Е, + Ед = рс + (тд2с4 + р2с2)‘/2.
Отсюда рс = (тк2с4 — т„2с4)/(2ткс2) = 235‚6 МэВ и Ед = (тд2с4 +
+ р2с2)‘/2 2 258 МэВ.
Зная время жизни мюона (см. табл. 10.1) и используя (10.9)‚
_ находим
у = 1/(1 - вгт = 1/(1 - иг/сгт/г = т/то = Е„/‹т„с2›.
Путь, пройденный мюоном до распада 1= Встду = 1‚47-1О5 см =
= 1,47 км.
Используя табл. 10.5, получаем схему распада, которая пред-
ставлена на рис. 10.4.
В реакциях при больших энергиях (т 100 ГэВ) известны пол-
ные сечения о, и о, соответственно для реакций (К* + Г) и (К* +
+ Е"). Определим на основе кварковой модели сечения 03 для реак-
ции (К* + О‘) (Мг 10.69). Кварки делятся на три поколения. Каждое
следующее поколение является как бы «утяжеленной» копией
предыдущего. В первое поколение входят и и д, во второе с и з,
в третье 1 и Ь. Кварки одного поколения в результате слабых распа-
дов могут переходить в кварки другого поколения. Связи между
Рис. 10.4
314
кварками (степень взаимодействия) наибо- ‚‚ и :-———т:> и _2+
лее сильны между кварками одного поко- Ё
ления. Если связь между кварками одного
поколения характеризовать коэффициен- РИС-
том 1, то коэффициент связи кварков 1-го
и 2-го поколений будет в 0,2, а связь кварков 2-го и З-го поколе-
ний характеризуется коэффициентом а 0,04. Слабее всего связь
между кварками 1-го и З-го поколений — коэффициент
и 10-3-10-2. Из табл. 10.1 кварковый состав К* = (Е), Е?‘ = (низ),
Е“ = (изв), О‘ = (язв). В данной задаче взаимодействуют кварки двух
поколений: и из первого и в из второго. Заметим, что по теореме
Померчука при Е >> та? сечения рассеяния частицы и античасти-
цы одинаковы. Таким образом, оа = о(ии) н о(ид) = о(ид') =
= о(и д); о,‚ = о(и.5‘) = о(и в) а о(д$) = о(и 5) м т. Д.; ос = о($$) =
= о(5 в) = о(з 5). На рис. 10.5 в качестве примера рассмотрена
первая реакция. Стрелками обозначены взаимодействия кварков:
сплошная стрелка — с сечением од; штриховая стрелка — с сече-
нием од; волнистая стрелка — с сечением ос. При указанных в за-
даче энергиях дебройлевская длина волны кварка оказывается
много меньше размера кварка. Поэтому можно считать, что про-
исходят только одночастичные взаимодействия кварков и в каж-
дой из указанных реакций сечения надо просуммировать по всем
возможным каналам. Таким образом, сечения взаимодействия
о, = 2о„ + 3о‚, + ос;
о, = оа + 3о„ + 2ос.
Аналогичное рассмотрение взаимодействия К+ + О‘ приводит
к следующему выражению: о, = Зо, + Зое. Решая полученную сис-
тему уравнений, выражаем неизвестное сечение о, через заданные
сечения о, и о2: о, = 2о, — о,.
При больших энергиях полное сечение протон-протонного
рассеяния примерно постоянно и равно о(рр) = 39 мбн. Прини-
мая во внимание кварковую структуру протона и пиона, оценим,
каким будет в этих условиях полное сечение о(тср). Считая, что для
каон-нуклонного рассеяния о(К1\1) = 19 мбн, оценим из всех при-
веденных данных сечения рассеяния о(А1\1) и о(Е1\1) (Мг 10.70).
Здесь М — обозначение нуклона. Считаем, что сечения взаимо-
действия между нестранными кварками всегда одинаково
о(ии) = о(ш1) = о(а'а’) = од. (1О.19)
315
Основанием для такого заключения служит тот эксперимен-
тальный факт, что в сильных взаимодействиях при высоких энер-
гиях протон и нейтрон ведут себя практически одинаково. Кроме
того при этих энергиях (Е >> то?) сечение кварк-антикварк равно
сечению кварк-кварк, что оправдывается экспериментальными
данными о примерном равенстве сечений взаимодействия части-
ца—частица и частица—античастица. В таком случае, 0(рр) =
= 900 = 39 мбн, откуда 00 = (39/9) мбн и, следовательно, 0(пр) =
= 600 = (2/3)0(рр) 2 26 мбн. При взаимодействии странных квар-
ков и антикварков с нестранными
0(5и) = 0(5‹1) = 0(Ё и) = = 0,. (1О.2О)
В соответствии с этим и табл. 10.3 0(К1\1) = 300 + 30, = 19 мбн,
откуда 0, = (18/9) мбн. В результате 0(АМ) = 600 + 30, = 32 мбн
и 0(ЕМ) = 300 + 60, = 26 мбн.
В области больших энергий полные сечения пион-нуклонного
и каон-нуклонного взаимодействий равны соответственно 26 и 19
мбн. Учитывая кварковую структуру адронов, оценим из этих дан-
ных сечения процессов (АН), (ЕМ) и (ОМ) (М9 10.71). Используя ре-
зультаты предыдущей задачи и табл. 10.3, получаем 0(тг1\1) = 600 =
= 26 мбн, 0(К1\1) = 300 + 30, = 19 мбн. Откуда 00 = 13/3 мбн, 0, =
= 2 мбн. В результате 0(А1\1) = 600 + 30, = 32 мбн, 0(Е1\1) = 300 +
+ 60, = 25 мбн, 0((21\1) = 90, = 18 мбн.
Разница энергий покоя А-гиперона и протона равна 175 МэВ.
Исходя из кварковой структуры гиперонов, оценим энергию покоя
Е-частицы (М) 10.72). Используя табл. 10.2 и 10.3 и учитывая, что
массы кварков тд 2 т„ и т, — тр = т, — т„ = А, находим та а т„ +
+ 2т_, г т, + 2(А + т„) 2 1290 МЭВ.
Исходя из законов сохранения, допишем следующие реакции:
а)у„+р—›;б)у„+п—›;в)й7„ +р-—›;г)б„ +п—›.
Найдем отношение эффективных сечений этих реакций, нари-
суем кварковые схемы реакций (М9 10.73). При больших энергиях
взаимодействие лептонов с адронами и адронов с адронами можно
свести к взаимодействию между лептонами и кварками. Из зако-
нов сохранения лептонного заряда 1.0 следует, что в процессе взаи-
модействия у„ может перейти в р" + “д, а Ж“ должен быть погло-
щен одним из кварков протона (“д может быть поглощен аУ-квар-
ком с! + Ж“ —› и и не может быть поглощен и-кварком, так как
электрический заряд будет (5/3)е‚ а таких кварков нет). В резуль-
тате в первой реакции \›„ + р —› д‘ + иии, т. е. у„ + р —› р‘ + А“. В
316
второй реакции, так как п = (ада!) в конечном состоянии получаем
(инд). Это, в соответствии с табл. 10.3, либо протон, и у“ + п —›
—› р- + р; либо Ш-барион, и уд + п —› р. - + Ад Так как два д-квар-
ка, то вероятность реакции (сечение) в два раза больше. В третьей
реакции из сохранения лептонного заряда получаем б” —› ш + “Р.
Из закона сохранения электрического заряда поглощение бозона
с1-кварком невозможно. Поэтому получаем Бр + (инд) —› ш +
+(ш1‹1)‚ т. е. 17„ + р —› ш + п, либо Эр + р —› ш + А". В последнем
случае 17 д + (ней!) —› ш + (ада), т. е. 17 д + п —› ш + А‘. Вероятность
этой реакции (сечение) в два раза меньше предыдущей. В итоге
для сечений реакций о,:об:о„:о‚ = 1:2:2:1. Схемы реакций для пер-
вою случая показаны на рис. 10.6.
мн : : р У” = —= д /
б = и б = ц -
р= и = ц =А“ шт р= и ц =Ан
П а П И : и
Рис. 10.6
В разрабатываемой в настоящее время теории «великого объе-
динения» предполагается превращение пары кварков в пару анти-
лептон-антикварк за счет испускания очень тяжелого Х-бозона,
существующего в течение 10-33 с. Найдем энергию покоя тх (в ГэВ)
и заряд бозона, обеспечивающего распад протона р —› тс° + е*. При-
ведем схему превращения кварков в этом процессе (Не 10.74).
С помощью табл. 10.3 получаем схему распада, показанную на
рис. 10.7. Используя соотношение неопределенностей (2.29), на-
ходим массу Х-бозона
тхс“ н й/т т 0,610” ЭВ = О,6°10"‘ ГэВ.
Электрический заряд Х-бозона равен сумме зарядов двух
и-кварков Ох = +(4/3)е.
П
В ряде теоретических работ предполагается существование тя-
желых У-бозонов с энергией покоя тус? = 1О‘5 ГэВ. Обмен таким
бозоном предположительно обуславливает взаимодействие,
+
Х
и е+
,= „ (5)=„‹›
6
Рис. 10.7
317
+
У
Рис. 10.8
в результате которого два кварка превращаются в антилептон и ан-
тикварк. Оценим радиус этого гипотетического взаимодействия.
Укажем схему преобразования кварков и найдем заряд У-бозона
при распаде на тй-мезон и антинейтрино (Мз 10.75). Используя
табл. 10.3, получаем схему распада, показанную на рис. 10.8. Из
соотношения неопределенностей (2.28) находим К в й/Ар =
= й/(тус) т 10-28 см. Электрический заряд У-бозона равен сумме
зарядов и и а! кварков Фу = +(1/3)е.
- В 1985г в ЦЕРНе в фото-
у В = / эмульсии были зарегистрированы
Х 2 `\\х треки (рис. 10.9), на которых вид-
„ ны рождение (вершина 1) и по-
\
‘ж; следующий распад (вершина 2)
тяжелого В--мезона с предпола-
5 гаемым кварковым составом
(Ь 17). Определим тяжелый про-
Рис- 10-9 дукт распада Х, не оставивший
след в фотоэмульсии, но затем
распавшийся в вершине 3. Найдем, какие возможны продукты не-
лептонного распада Х (‚Не 10.76). Наиболее вероятный распад
В--мезона связан с распадом Ь-кварка по схеме Ь —› с + ЧУ- (преоб-
разование в ближайший более легкий кварк второго поколения).
Таким образом, в вершине 2 рождается тяжелая частица с кварко-
вым составом (с й). В табл. 10.3 она обозначена как В°-бозон (это
и есть продукт Х). Другой частицей в этой вершине может быть
отрицательно заряженная частица, образующаяся при распаде
Щ=бозона (возможно мюон, либо электрон или таон). Схема рас-
пада [ЭО-мезона изображена на рис. 10.10. Наиболее вероятен рас-
Рис. 10.10
318
пад с-кварка в рамках второго поколения по схеме с —› в + Ж“.
В свою очередь \М*-бозон распадается, как указано в условии зада-
чи, по нелептонному каналу Наиболее вероятен распад \’\’+—›и +
+ д а т. Таким образом, в вершине 3 В°-мезон распадается по
схеме: 130 —› К- + т‘, где К‘ = (в Е). Возможны и другие каналы
распада В°-мезона через К--мезон с образованием любого числа
пионов: 1)°—›К-+п*+тс°или 1Э°-›К"+п"+тс*+п".
Исходя из кварковой модели, найдем странность электрически
нейтрального адрона с проекцией изотопспина 73 = —1/2 и бари-
онным зарядом В = О. Определим, что это за частицы (М9 10.78).
Адрон, имеющий нулевой барионный заряд (В = О), это мезон, со-
стоящий из кварка и антикварка. Из табл. 10.2 видно, что задан-
ный изотопспин имеют аУ-кварк и й-кварк. Чтобы был нулевой
электрический заряд, к первому кварку должен быть присоединен
3 или Б антикварки, а ко второму с или гкварки. Из табл. 10.3 сле-
дует, что это мезоны: К° = (д?) (З = —1), В" =(‹15) (5 = О), В° =
= (17 с) (5 = О).
На основе кварковой модели найдем странность электрически
нейтрального адрона с проекцией изотонического спина Д = 1/2
и барионным зарядом В = —-1, Определим, что это за частица
(Мг 10.79). Величина барионного заряда показывает, что это бари-
он, состоящий из трех антикварков. Используя табл. 10.2, нахо-
дим, что условию на величину изотонического спина удовлетворя-
ют только комбинации (д д б) и (д 3 Е). Из той же таблицы сле-
дует, что электрический заряд у первой нулевой, а у второй +1е.
Таким образом, условию удовлетворяет только первая комбинация
и это антинейтрон (см. табл. 10.1).
На основе кварковой модели найдем страпшость и гиперзаряд
адрона с электрическим зарядом О = -1, проекцией изоспина Д =
= О и барионным зарядом В = +1 и установим, что это за частица
(Мг 10.80). Пользуемся табл. 10.2. Из условия на барионный заряд
следует, что частица представляет собой барион, состоящий из
трех кварков. Условиям на электрический заряд и изоспин удовле-
творяют частицы (уж) и (ЬЬЬ). Первой частицей является (г-гипе-
рон, у которого странность 8 = -3 и гиперзаряд У = В + 5 = —2.
Вторая частица пока не обнаружена.
Магнитные моменты кварков пропорциональны их электриче-
ским зарядам, причем для кварков первого поколения коэффици-
ент пропорциональности численно равен магнитному моменту
протона. Найдем, каков магнитный момент резонанса А“ (Мг 10.82).
319
Изтабл. 10.3 А++ = (иии), причем так как спин частицы равен 3/2,
то и магнитные моменты направлены одинаково и складываются.
Таким образом, учитывая условие и то, что заряды кварков в еди-
ницах заряда электрона равны 2/3, находим магнитный момент
частицы рА = 3(2/3)ц„ = 2цр = 5,6р„д = 28-10-23 эрг/Гс.
Магнитные моменты кварков в нерелятивистском приближе-
нии определяются, как и для электрона, формулой р, =
= ей Оч/Отчс), где, соответственно, т, и О, — масса и зарядовое
число кварка. Найдем, каков магнитный момент бариона О‘
(М 10.83). Из табл. 10.3 и равенства спина 3/2 следует, что барион
О- состоит из трех з-кварков с одинаковыми спинами. Таким об-
разом, магнитные моменты кварков складываются. Для магнитно-
го момента кварка получаем р‘, = [ей/(2трс)] (трО/тд = (2/3)р‚„,‚
откуда па = 3(2/3)р„д т. 10-23 эрг/ Гс. Масса кварка принята равной
1 / 3 массы бариона, что составляет примерно половину массы про-
тона.
При столкновении встречных протон-антипротонных пучков
возможно рождение Щ-бозонов. Запишем эту реакцию на кварко-
вом уровне. Оценим пороговую энергию протонов, если известно,
что импульс нуклона распределяется между кварками и глюонами
в отношении 0,45: 0,55. Энергия покоя Щ-бозона тщс? = 80,6 ГэВ
(М9 10.85). Из табл. 10.3 кварковый состав протона р = (инд), анти-
протона, соответственно, из антикварков. При столкновении
взаимодействуют кварки. Бозон состоит из кварка и антикварка.
Из табл. 10.2 находим, что электрические заряды и и с! кварков, со-
ответственно, (2/3)е и (—1/3)е. Чтобы получился положительный
заряд бозона должно быть и + 27 = “д. Для отрицательного заряда
27 + с! = Щ‘. При больших энергиях (в ультрарелятивистском слу-
чае) энергия и импульс кварка (и антикварка) связаны соотноше-
нием Е н рс. Из энергии протона Ер, состоящего из трех кварков
и глюонов, на каждый кварк приходится энергия Е в 0,45Ер/3.
Аналогичным образом и для антипротона. Поэтому для пороговой
энергии протона (и антипротона), чтобы создать Щ-бозон, получа-
ем: тис? = Е„ + Ед = (р„ + рд)с = 0,45 Ер „од/З + 0,45 Еар „од/З. Отсюда
для пороговои энергии, которая одинакова во встречных пучках для
протона и антипротона, находим Етр = т\„с2/0,3 в 270 ГэВ.
Аналогичным образом можно рассмотреть рождение ней-
тральных 2-бозонов (Мг 10.86). В этом случае кварк взаимодейст-
вует со своим антикварком и + Е? —-› 20.
320
Красивый кварк (Ь-кварк) был экспериментально обнаружен
в 1983 1: в (е+е°)-соударениях на Корнельском электронном нако-
пительном кольце (США). Проверке подвергалась гипотеза о том,
что ипсилон-мезон У(45) является возбужденным состоянием
боттомония (пары кварков (Ь, Б)). Нарисуем на кварковом уровне
цепочку распада (Ь, Б), ведущую к рождению наблюдавшейся
в эксперименте пары мезонов В*‚ В‘, а затем распад В- на мезоны
В" и п’ с последующим образованием К-, тй-мезонов (Мг 10.87).
Из табл. 10.2 и 10.3 находим заряды кварков и состав бозонов.
В результате получаем схему, изображенную на рис. 10.11.
дна
11
О‘!
Чём-
Рис. 10.11
Самый тяжелый г-кварк бьш открыт в 1995 1: в экспериментах
на встречных протон-антипротонных пучках в лаборатории им.
Ферми в США. Оказалось, что кварки пары (г, 7) распадаются рань-
ше, чем могут образоваться т-мезоны и т-барионы. В результате рас-
пада рождающейся при столкновении (г, 7)-пары образуется пара
мезонов В+‚ В", позитрон и тг-мезон. Нарисуем на кварковом уров-
не последовательность распада (г, 7)-пары‚ ведущей к образованию
указанных частиц. Найдем, какие реальные частицы образовались
на каждом этапе (М) 10.88). Используя табл. 10.2 и 10.3, учитывая
электрические заряды и то, что кварки третьего поколения (самые
тяжелые) переходят в кварки второго поколения (более легкие),
а эти, в свою очередь, — в кварки первого поколения, получаем
схему превращения, изображенную на рис. 10.12.
Нарисуем на кварковом уровне диаграмму распада очарованно-
го бариона Ас+—› А° + тс+, время жизни которого равно 2-10-‘3 с
(Мг 10.89). Время жизни характерно для слабого распада, т. е.
с-кварк переходит в з-кварк с испусканием Щйбозона. Используя
табл. 10.2 и 10.3, получаем диаграмму распада, представленную на
рис. 10.13.
321
Рис. 10.12
Нарисуем на кварковом уровне
диаграмму распада очарованного ба-
риона Ас*—› р* + К ° ‚ время жизни ко-
торого равно 2-10-‘3 с (М9 10.90). Время
жизни характерно для слабого распа-
да, т. е. с-кварк переходит в з-кварк
с испусканием \\’+-бозона. Используя
табл. 10.2 и 10.3, получаем диаграмму
распада, представленную на рис. 10. 14.
Структуры протона и нейтрона
описываются кварковой моделью,
согласно которой р = (и, и, а‘), п =
= (и, а’, д). Вероятность того, что спи-
ны одинаковых кварков внутри ну-
Рис. 10.13
Рис. 10.14
клона параллельны, в два раза больше, чем вероятность того, что
они антипараллельны. Предполагая, что магнитный момент квар-
ка пропорционален его зарядм найдем отношение магнитного мо-
мента протона др к магнитному моменту нейтрона д, и сравним най-
денное значение с экспериментальными данными. Считаем, что
орбитальные моменты кварков в нуклоне равны нулю (М 10.93).
Вводя «элементарный» магнитный момент р, и учитывая заряды
кварков (см. табл. 10.2), из предположения, сделанного в условии,
получаем магнитные моменты кварков д, = (2/3)р„ р‘, = (—-1/3)ц‚.
322
ИСПОЛЬЗУЯ заданные В УСЛОВИИ вероятности И складывая МОМЕНТЫ
КВЗРКОВ, находим МЗГНИТНЫС МОМЕНТЫ протона И нейтрона:
др = (2/3)[(2/3)и. + (2/3)и. — (-1/3)Н.1 + (1/3)[(2/3)Н. -
— (2/3)ил - (1/3)Н11 = щ;
м. = (2/3)[(-1/3)и. - (1/3)и. - (2/3)и‚1 + ‹1/з›д-1/з›м. -
- (“1/3)д1+(2/3)д1] = _(2/3)Н1- 1
Откуда отношение щ/цр = —(2/3) = —О‚667 (эксперименталь-
ное значение (рп/рр) = -0,685).
ЭКС П
Вычислим, какую энергию надо затратить на переворот спина
одного из кварков в нуклоне (М9 10.94). Из табл. 10.3 видно, что А"
и п состоят из одинаковых кварков, но отличаются спином. Их
массы покоя отличаются как раз на энергию, связанную с поворо-
том спина. Эта энергия Е= (т, — т„)с2 = 1232 — 939 = 293 МэВ.
В простейшем варианте модели «мешков» считается, что энер-
гия покоя нуклона т„с2 н 940 МэВ складывается из энергии без-
массовых кварков, заключенных в непроницаемую сферу, и энер-
гии глюонного поля в этой сфере. Полагая, что плотность энергии
глюонного поля постоянна, определим радиус нуклона и величину
энергии глюонного поля. Считаем, что волновая функция безмас-
сового кварка удовлетворяет волновому уравнению А‘? = (1/с2) д”?
/д12 (М 10.97). Ищем решение волнового уравнения в виде Ч’(г, г) =
= ш(г)\у‚(1). Используя выражение оператора Лапласа в сфериче-
ских координатах (3.2О)‚ получаем уравнение
ч!" + (2/г) ч!‘ = Вт,
где штрихом обозначена производная; В — постоянная величина.
Решение этого уравнения ц: = (А/г)з1п(/сг). На непроницаемой
границе ч/(К) = О_. Чтобы его удовлетворить, должно быть /‹ =
= (п/Юп, где п — целое число. Основному состоянию с минималь-
ной энергией соответствует п = 1. Принцип Паули не мешает на-
ходиться всем кваркам в основном состоянии, так как они отлича-
ются дополнительным квантовым числом — цветом. Используя
(2.2) и (2.3) для безмассовых кварков, получаем энергию Ею, =
= Зйш = Зй/сс = Зтсйс / К. Обозначая плотность энергии глюонного
поля е, имеем для энергии кварков и глюонов Е = Е“ + Е„, =
= Зтгйс/ К+е(4/ 3)п123 . Минимальное значение энергии определя-
ется равенством дЕ/ст = О.
Минимальное значение радиуса
323
к„‚.„ = [зпс/‹4е›1‘“„
Минимальное значение энергии
Ем, = 4пйс[4е / (3йс)]"4 = 4тсйс / КШШ.
Так как Етш = т„с2‚ то К„ = Ктш = 4тсИ/(т„с) = 2,64°1О"3 фм.
Энергия глюонного поля Ед, = е(4/3)п1{3„„ = тсйс / Д“ = тпсг / 4.
Сечение неупругого взаимодействия нейтрино с ядром можно
описать формулой о(Е) = о„(Е`)1/т(Е`)‚ где 6415) ` геометрическое
сечение процесса; 1- характерное время взаимодействия, а веро-
ятность [З-процесса в единицу времени 1/т(Е) н Е 5 (Б.М. Понте-
корво‚ 1946). Оценим отношение сечений при энергиях нейтрино
Е = 1 и 10 МэВ (Мз 10.98). Используя соотношения неопределен-
ностей (2.28) и (2.29)‚ получаем 1“ й/ Е и К” й/рт сй / Е.
В результате о е Е? и о(Е = 1 МэВ)/о(Е = 10 МэВ) = 10-2.
Предметный указатель
А
Адиабатическое размагничивание 182
Адроны 282
Активность 198
Амплитуда плотности вероятности 57
Атомная единица массы (а.е.м.) 190
Б
Барионы 282
Барионные резонансы 282
Боровский радиус 49
В
Водородоподобные ионы 101
Волна де Бройля 28
Вращательное квантовое число 130
Время жизни 199
Встречные пучки 249
Вырожденные состояния 147
Выходреакции 229
Г
Гиперзаряд 286
Гипероны 282
Главное квантовое число 70, 100
Гравитационный потенциал 11
Граничная длина волны 235
Групповая скорость 28
Д
Дефект массы 191
Дипольное излучение 121
доплеровское уширение спектральных
линий 124
Дуализм 6
Е
Естественная ширина линии 123
Естественные единицы квантовой
электродинамики 105
Естественные (стандартные) условия 60
З
Закон Гейгера — Неттопа 92
— Мозли 150
Законы сохранения 282
Зеркальные ядра 192
И
Изобары 190
изотонический сдвиг 102
Изотоны 190
изотонический мультиплет 286
Изотопы 190
Изотопическое расширение спектра
145, 154
Истинно нейтральные частицы 282,
287
Й
Йодная яма 266 к
К
Квантовое число — цвет 311
Квантовый гармонический осцилля-
тор 134
Кванты (фогоны) 6
Кварки, их тип (аромат) 308
Кварковый состав адронов 309
Кластер 54
Компоненты п и с 165
Комптоновская длина волны 17
Коэффициент размножения 265
Коэффициенты отражения и пропус-
кания 84
Кратность вырождения 147
Критическая масса урана 279
— скорость нейтронов 236
Критический радиус реактора 266
Л
Лептоны 282
Линейчатый спектр 98
М
Магнитное квантовое число 130
Магнитные моменты кварков 319
Мезоатом 103
Мезоны 282
Момент импульса фотона 155
Мультиплетность атомов 148, 163
— уровня 147
Н
непрозрачная оптика 242
Нормировка 58
Нуклоны 282
Нулевая энергия 134
О
Оператор 62
— проекции момента импульса 127
— углового (вращательного) момента
128
325
Опыт Штерна — Герлаха 160
— Эйнштейна — де Гааза 159
Орбитальное квантовое число 130
Основное состояние квантового гармо-
нического осциллятора 135
П
Параметр неадиабатичности 138
Партоны 308
Период полураспада 202
Планетарная модель атома 98
Плотность вероятности 57
— потока вероятности 64, 85
Позитроний 104
Поколения кварков 314
Полное сечение взаимодействия ульт-
рарелятивистского нейтрона с ядром
урана 225
Постоянная Планка 6
— распада 198
— тонкой структуры 105
Потенциал Кратцера 143
— Леннарда — Джонса 142
— Морса 143
Потенциальный барьер 87
Потенциал Юкавы 62
Правила отбора 165
— Хунда 183
Правило квантования Бора-Зоммер-
фельда 241
Приведенная масса 102
Принцип дополнительности Бора 52
— Паули 147
— соответствия Бора 71, 101
Природный ядерный реактор 269
Проекция изотонического спина 286
Протониум 107
Р
Реактивность реактора 265
Рентгеновское излучение 150
Ротатор 130
С
Свойства фундаментальных взаимо-
действий 311
Систематика элементарных частиц 282
Собственная функция 61, 70
Собственное значение 61
Соотношение неопределенностей Гей-
зенберга 42
Спин 147
Спиновое квантовое число 147
Спиральность 313
Сплошной спектр 98
Среднее значение 61
Стационарные состояния 60
Странность 285
Т
Терм 100
Термоядерный реактор 271
Толстая мишень 248
Тонкое расщепление 166
Тормозное излучение 153
Туннельный эффект 88
У
Уравнение Шредингера 59
Условие радиоактивного равновесия
(вековое уравнение) 200
Утилизация оружейного плутония 267
Уширение спектральных линий за счет
столкновений 124, 126
Ф
Фактор (множитель) Ланде 158
Формула Брегга — Вульфа 33
— Брейта — Вигнера 258
— Вайцзеккера 193
— Рэлея 29
Фотоэффект 12
Фуллерон 53
Фундаментальные бозоны 311
Х
Характеристики кварков 308
характеристическое излучение 150
Характерное время реактора 265
Э
Электронные структуры атомов 149
Электронный парамагнитный резо-
нанс (ЭПР) 181
Энергия связи 191
Эффект Доплера 8, 125
— Зеемана 165
— Комптона 16
— Мессбауэра 209
— Окорокова 112
— Пашена — Бака 166
— Садовского 155
Эффективное сечение деления 264
Я
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)
181
Содержание
П редисловие ............................................................................................3
ЮВЪФ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
В ведение ........................................................ ° ......................................5
ЙВЪГ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
7 ЯдеРные модели. Радиоактивность. Эффект Мессбауэра ......................... 19О
° Нейтроны Ядерные реакции .....................
8
9. Деление ядер. Реакторы. Термоядерный синтез .........................................262
10. Элементарные частицы. Резонансы. Лептоны и кварки.
Реакции при высоких энергиях ...................................................
282
редметный указатель .....................................................................................325
П
1 Фотоны. Фотоэффект. Эффект Комптона..................
2. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей ...
3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры ...............57
4 Атом водорода и водородоподобные атомы ..
5 ~цирина линий. Спектры молекул. Рентгеновское излучение...................123
6 Спин. Атом в магнитном поле. Эффект Зеемана. Магнитный резонанс...]55
Учебное издание
Корявов Владимир Павлович
Методы решения задач в общем курсе физики.
Атомная и ядерная физика
Внешнее оформление: НЕ. Ильенко
Компьютерная верстка: В.И. Щербак
Подп. в печать 07.08.12. Формат 60х88‘/‚6. Бум. офсетная.
Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Объем 20,09 усл. печ. л.
20,59 усл. кр.-отт. Тираж 1000 экз. Изд. Мг 050. Зак. 830.
ООО «ТИД «Студент»,
109004, 1: Москва, ул. ЗемлянойВал‚ д. 64, стр. 2, офис 717(31)
Тел.: (495)915-08-96‚ 649-93-71
Е тай1: за1ез_зтис1епт@тай1.ги
ООО «Великолукская городская типография».
182100, Псковская область, 1: Великие Луки,
ул. полиграфистов, 78/12.
Тел./факс: (81153) 3-62-95.
Е-та11: 2а1‹а2@уе111р.ги.
Сайт:ЬЦр://шчш.уе1т1р.ш/