МАТЕМАТИКА
СЬОГОДНІ
’94
1
ІДЕЇ І ПРОБЛЕМИ
СУЧАСНОЇ
МАТЕМАТИКИ
2
НЕРОЗВ'ЯЗАНІ
МАТЕМАТИЧНІ
ПРОБЛЕМИ
З
КОРОТКІ
ПОВІДОМЛЕННЯ
4
ЗАДАЧІ
ТА РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИКА
СЬОГОДНІ
'94
НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ
ЗБІРНИК
За редакцією доктора
фізико-математичних
наук, професора
А. Я. ДОРОГОВЦЕВА
Заснований у 1983 році
Випуск *
київ
«ВИЩА ШКОЛА*
19»5
ВБК 22.1 я43
М34
УДК 51
Рекомендовано Міністерством освіти
України для використання в навчаль-
ному процесі студентами вузів, які
вивчають математику
Рецензент 4. В. Кужель, д-р фіз.-мат. наук (Сімферополь-
ський університет)
Редакція літератури з математики, фізики, інформатики
Редактор Г. Л. Трофімчук
Сборник содержит обзорньїе статьи, посвящеиньїе современиому
состояиию теорнн преобразовання Фурье, теорнн монотонних опе-
раторов и существоваиия неподвижньїх точек таких операторов,
зкспонеициальинм неравенствам для сумм предгауссовских величин,
а также обзору последних результатов, связанньїх с теоремой Клар-
ка, описьівающей фуикциональї от вииеровского процесса. Включенні
раздельї иерешениьіх проблем н кратких сообщений. Ряд статей
содержит новьіе результати. Представлен большон цикл нових задач,
решения задач из предьідущнх вьіпусков сборннка, а также задачи
студенческих олимпиад.
Для студентов вузов, преподавателей математики, а также тех,
кто интересуется современной математикой и ее приложениями.
Збірник містить оглядові статті, присвячені сучасному стану
теорії перетворення Фур’е, теорії монотонних операторів та існу-
вання нерухомих точок таких операторів, експоненціальним нерів-
ностям для сум передгауссових величин, а також огляду останніх ре-
зультатів, зв'язаних з теоремою Кларка, яка описує функціонали
від вінерового процесу. Включено розділи нерозв’язаних проблем і
коротких повідомлень. Ряд статей містить нові результати. Подано
великий цикл нових задач, розв'язання задач з попередніх випусків
збірника, а також задачі студентських олімпіад.
Для студентів вузів, викладачів математики, а також тих, хто
цікавиться сучасною математикою та її застосуваннями.
1602010000—093
М-----------------
211—96
© Передмова,
А Я. Дороговцев, 1995
ЗМІСТ
Предисловие ..............................................   в
Розділ І. Ідеї і проблеми сучасної математики.............	8
ТригубР. М. Преобразование Фурье и его применения ...	8
Соболев А. В., Соболев В. И. Монотонносте н неподвижньїе
точки нелинейних разрьівньїх операторов ................... 40
Булдигін В. В., Козаченко Ю. В. Функціонали Бериштейна й
експоненціальні нерівності для розподілів сум випадкових
величин.................................................... 55
Дороговцев А. А. О стохастических интегральиьіх представ-
леннях	.............................................. 80
Розділ	2.	Нерозв'язані математичні	проблеми..........	93
Егорьнев Г. П. Трн проблеми комбинаторики ................. 93
Розділ	3.	Короткі повідомлення........................ 96
Слюсарчук В. Ю. Нові ознаки збіжності невласних інтегралів і
числових рядів ............................................ 96
Певньїй А. Б. Положительно определеиньїе функцни и много-
мерная ннтерполяция ........................................ПО
Заставньш В. П. О пекоторьіх свойствах одного класса радиаль-
ннх положительно определенньїх функций ....................118
Городній ЛІ. Ф. Обмеженість розв’язків одного різницевого
рівняння у иескінченновнмірному просторі ..................128
Денисьевский Н. А. Существование ограниченного решения
нелинейного разностного уравнения иа 2.....................135
Кирнасовський О. Ю. Властивості композиційних степенів мно-
гочлена х2— 2 над довільними	полями ...................140
Розділ 4. Задачі та розв'язання задач......................152
Задачи.....................................................152
Решения задач............................................. 161
Задачи математической олнмпиади для студентов 1—II курсов
университетов Украйни, Львов,	1991 г....................179
Задачи математической олимпиадн для студентов III—V курсов
университетов Украйни. Кнев, Ин-т математики АН Украйни,
і 992 .................................................... 182
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первьій раздел сборника «Идеи и
проблеми современной математики» содержит следую-
щие материальї. Посвященную обзору современного
состояния исключительно важной для приложений и
самой математики теории преобразования Фурье статью
доктора физико-математических наук Р. М. Т р и г у -
б а (Донецкий университет). Зта статья охватьівает ос-
новнеє факте теории, задачи и представляет интерес
как для студентов, так и для специалистов-математиков.
Принцип сжимающих отображений и его обобщения
широко применяются при доказательстве теорем суще-
ствования решений различннх уравнений. Суіцествен-
ной особенностью почти всех зтих утверждений явля-
ется непреревность рассматриваемех отображений.
Встатьедокторовфизико-математическихнаук В. И. Со-
болева и А. В. Соболева (Воронежский уни-
верситет) описане свойства монотонних операторов,
которне не обязательно непрернвнн, и приведена тео-
рема о существовании неподвижннх точек для моно-
тонних операторов. Статья представляет сравнительно
мало популярний среди математиков материал, которнй,
однако, становится все более актуальним в связи с новими
приложениями. Чтение статьи не предполагает специаль-
ной подготовки, изложение сопровождается примерами.
Статья докторов физико-математических наук
В. В. Б у л д є г и н а (КПИ) и Ю. В. К о з а ч єн -
к о (Киевский университет) посвящена современной
теории вероятностей и представляет обзор ряда нових
результатов, в основном полученних авторами. Исклю-
чительная роль распределения Гаусса в теории вероят-
ностей хорошо известна специалистам. В статье детально
обсуждаются понятие предгауссовской случайной ве-
личини, а также зкспоненциальнне неравенства для
сумм. Предгауссовские величини оказнваются близ-
кими к гауссовским и их использование позволяет долу-
чать более тонкие результати, чем в общем случае.
Винеровскнй процесе являетея хорошо известннм
обгектом в тгории вероятностей, ряде других разделов
6
математики, математической физики. Одним из основних
результатов теории винеровского процесса является
теорема Кларка, описьівающая функционалн от вине-
ровского процесса. Зта теорема обсуждается в статье
доктора физико-математических наук А. А. Доро-
го в це в а (Институт математики АН Украйни), ав-
тора ряда существенннх обобщений теореми Кларка.
Статья также знакомит читателя с последними иссле-
дованиями других математиков о представленнях типа
Кларка.
Второй раздел сборника «Нерешенньїе математиче-
ские проблеми» включает три нерешеннне проблеми
относительно перманентов с комментариями доктора
физико-математических наук Г. П. Егорнчева
(Институт физики СО РАН, Красноярск), доказавшего
гипотезу Ван дер Вардена о перманентах.
Третий раздел сборника «Краткие сообщения» со-
держит ряд статей с новими результатами, включаю-
щйми новьіе признаки сходимости несобственних ин-
тегралов и числових рядов, свойства положительно
определенннх функций, условия существоваиия огра-
ниченннх решений разностннх уравнений в гильбер-
товом пространстве и свойства композиционньїх много-
членов (статья студента О. Е. Кирнасовско-
г о).
Последний раздел сборника «Задачи и решения задач»
содержит большую подборку нових задач, решения
задач из предндущих внпусков и задачи математиче-
ской студенческой олимпиадн.
Автори статей сборника благодарнн рецензенту
за замечания и указание на неточиости в рукописи.
Статьи сборника публикуются на язнке представ-
леннмх авторами оригиналов.
7
1
Дама мли
мате матиме екие
етрривн вами па
моє на атрамент
реальиеети
фиеичеекеге мира,
иі тем ио меиее
мажио вчитать
адииатвеииьім ключем
к пеаиаиим
реальиеети.
М. КЛАЙН
ІДЕЇ
І ПРОБЛЕМИ
СУЧАСНОЇ
МАТЕМАТИКИ
Р. М. ТРИГУБ, д-р физ.-мвт. наук
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ «УРМ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Теория, которую теперь назьиают гармонії-
ческим аналізом, с самого своєю зарождения
не переставала оказьівать активнеє влияние
на развитие всей математики и образовала
необичайньїй перекресток, где соиїлись, сме-
шиваясь и взаимно обогащаясь, почти віє
ветви наиіей науки.
Ж. Дьедонне
В настояіцей статье приводятся ос-
новнеє факте об интегралах Фурье и связаннме с ними
интереснме теореми и примерм: Ь-теория преобразования
Фурье, £а-теория, теорема Винера — Пзли о цельїх функ-
циях, фуикции нескольких переменинх и, наконец, задачи.
Предполагается, что читатель знаком с основами
математического анализа, теории функций комплексной
переменной и функционального анализа.
Все функции предполагаются определеннмми на Я,
комплекснозначньїмн и измеримьіми; рассматриваемьій
ниже интеграл — интеграл Лебега; || • ||р — норма
функции в Ьр (Я),
||/||<ж>= шіп (с>0|/п(х||/(х)|>с) =0),
т — мера Лебега;
— индикатор Е (функция равна 1 на Е и 0 — вне
Е), а+= шах {а, 0), а Є Я.
@ Р. М.ТРИГУБ, 1994
8
1. Преобразование Фурье.
£-теория
Будем предполагать здесь, что / £ Ь (Я), т. е.
ІІ/ІІі = { І / (х) । ах < <ю.
—оо
Преобразованием Фурье / назовем функцию
4-ос	4-м
/(у)=йг1. ?е~ІХУ,іх=тЬт 5 (х) со8 хуіх ~
+•»
—^=- У / (х) $іп хугіх, у ЄН.
Интеграл сходится абсолютно и равномерно по у £
£ Я, так как | е~1ху 1=1.
Например,
/2з1П 4-\’
Л(х) = (1 - |х|)+,	=	;
/,(х)=е-И. Ш =/4 • ТТ7- ’ Мх) = в~^-
/з (У) = е 2 , *€Я, у€Я.
Первьіе две формули устанавливаются простими
вьічислениями. Третью формулу проще всего доказать,
сравнивая производньїе в нуле двух аналитических
функций /з и /3.
Рассмотрим свойства оператора / -* /.
Доказательства первьіх восьми свойств можно найти в [21.
Г. Преобразование Фурье — линейньїй оператор из
Ь (Я) в Со (Я) и
11	11/111-
Со (Я) — пространство непрерьівньїх на Я функций
с условнем Ііт / (х) = 0.
І X |-»оо
2°. Сдвиг и подобие
УЛЄЯ /(-%Л)(у)=е^/(У).
УХ€Я\{0) : /(С)(у)	убЯ.
9
3°. П реобразование Фурье а свертка
Для любьіх / и £ из Ь (Я) их свертка, определяе-
мая в п. в. (почти всюду) равенством
+«>
(/*£)(х)= § І(х —	хЕЯ,
—оо
принадлежит Ь (Я), Ц / * £ Ці СІІЛі-кІІі Фв =
= И2л / • £.
4°. Формула умноженая
Для любьіх / и £ из Ь (К)
У Кх)§(х)(1х= 5 ї(х)£(х)Лх.
— ОО	^00
5°. Если функция / Е Ь (Я) локально абсолютно не-
прерьівна и /' Є Ь (Я), то /' (у) = іу[ (у), у Е Я.
6°. Если при некотором г Е N / (х) и хг/ (х) Е Ц
то /Е Сг (Я) и /(г) (//) = (-»-р/(•)(£), у Е Я.
7°. Если / ЕЬ(Я) и ЗЬ > 0 такое, что е'’1-'1/ (х) Е
Е Ь [10, 4~оо) (Ь (—оо, 0]), то / является сужением
(следом) непрерьівной и ограниченной в полосе 0
Іт г Ь (—Ь	Іт г 0) и аналитической внутри
нее функции.
В зтой полосе
/(г)=7=-_Р(х)е-^х.
8°. Теорема единственности
Если / (у) = £ (у), V £ Е Я, то / = £ п. в.
9°. Формула обраїцгния
Если / и / Е Ь (Я), а Р (х) = .(/ то
0
г ^_<№
и, зімчит, п. в. на Я
+» л
= ї Ї(у>є“'х‘іу-
Доказательство. Предположим, что / еще
ограничена и непрершвна. К функциям / и £ (с такими
же свойствами) применим формулу умноження (4°),
10
воспользовавшись еще свойством 2° при X > 0:
“Г і /мИіТр* = І Нх)е(Ьх)<іх.
—<х>	' '	—00
После заменьї = и в пере ом интеграле получим
Л
У / (X «)§(«) гіи = У Нх)§(кх) сіх.
— ©О	—00
Перейдем теперь в зтом равенстве к пределу при
X -► 0 +, используя теорему Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла (/ и £ ограниченьї, а
£ € Ь) и непрерьівность / И £ в нуле:
-|-00	Ч"00
/(0) У е(х)сіх = е(Р) У Ї(Х)СІХ.
—00	—©о
Вьібирая в качестве^одну из трех функций, например
/2, получаем равенство
00
(формула обращения в нуле).
Общий случай следует из доказанного, если его при-
менить к функции / (х + і) при / 6 К (см. еще 2°).
Если только /и/£Е (Я), то введем функцию Стек-
лова	л
н
н
=	А>0,
и к ней применим доказанную формулу.
Функция Д6Ц IIМ1 <11Л1. ограничена и
непрерьівна, как и ее преобразование Фурье:
так как еще | зіп х |	| х |, х £ Я Отсюда по до-
казанному
II
Осталось перейти к пределу при Л -* 0Ц-. В инге-
грале используем теорему Лебега, а
й	х4-й
/*(х) = -^- р(х+0Л=^- І /(и)<& =
—*	X—й
_ Р(х + Н) — Р (х — Н)
2/і
и п. в. Г' (х) = / (х) [2, с. 330]. (См. задачу 9, п. 5.).
Отметим, что теорема единственности 8° сразу следует
из формули обращения в 9°, примененной к разности
І — §
10°. Формула суммирования Пуассона
00
Если / Є Ь (К), то ряд 2 / (х + 2йл) сходится (аб-
солютно) п. в. к 2л-периодической интегрируемой на
]—л, л] функции, ряд Фурье которой имеет вид
ї / (х + 2*Л) - 2 ~4=- / (к) е1кх.
Знак равенства можно поставить, в частности, если
еще / Є С (В) и оба ряда сходится равномерно на [—л,
л].
Д о ка з а і е л ьст в о. Согласно теореме Леви,
достаточно проверить, что проинтегрированньїй ряд
из модулей сходится, но
я	(2*+1)л
2 ( | ї (X + 2йл) | сіх = 2 У | / (х) І (їх =
ЙЄ2—Я	й£2 (2*—1)л
+°о
= У |/Г(х)|і/Х<ОО,
----00
а козффициепт Фурье с номером т £ 1
Я
-2р У 2 7 (х + 2л&) ег-ітхах =
—л *€2
л
= 4-2 У / (X + 2лй) е-^^х =
2п *єг4
(2й+І)л	+«
>=4-2 У Цх) е-ітхах = -2— У ї(х)е-ітхах=*
2я *€2(2йІ1)л
= 7^^'
12
Осталось учесть, что ряд Фурье непрерьівной перио-
дической функции, сходящийся равномерно, имеет
своей суммой саму функцию (полнота тригонометриче-
ской системи).
Отметим, что формула обращения свойства 9°
У	/ = /, хей,
— ОО
которую еще назьівают интегральной формулой Фурье, єсть конти-
нуальний аналог ряда Фурье из гармоник, где / — «амплитудная»
характеристика /, которую назьівают спектром І. Впрочем, єсть
и другие определения спектра: | / |, носнтель/, ...
Применение преобразования Фурье к решеиию диф-
ференциальних и интегральних уравнений см. в [1,
2, 5]. См. задачу 6, п. 5.
Здесь же применим преобразование Фурье к вопросу
о замкнутости системи функции. Систему злементов нор-
мированного пространства назьівают замкнутой, если
всевозможнме конечньїе линейньїе комбинации злемен-
тов зтой системи плотньї в пространстве.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если /і=#Оп. в. на В и Зе > 0 :
(х) ограничена п. в. на В, то система [хп • її (х))^=0
замкнута в пространствеЬ (К) ГІ (К)с нормой || • |і +
+ I • к
Доказательство. Рассмотрим сначала вопрос
о замкнутости системи степеней {хп)^о в простран-
стве Ьг.ш со скалярним произведением
+»	і
(/. £% = У І (*) ЄЙ • ш (х) ах, II/Й2.И, = (/, /)ш < оо.
— 00
Предположим, что вес ии (х) > 0 п. в. и 3 е > 0 :
: ее|*і • їй (х) Є Ь (В); Л2|[О — гильбертово пространство
и {х")“=о с: Ьг.ш. Тогда замкнутость зквивалентна
полноте системи [2]:
4-00
У хп-*£ (х) ии (х) ах = 0, п>1,	Ь2,ш=>^ = О П. в.
~-оо
Введем преобразование Фурье
4-00
р (у) = У § (х) IV (х) Є~1хуІХ, У Є В.
ІЗ
В силу неравенства Коши — Буняковского
«~ И18 (х) | су (х) = (| § (х) | /йфі)) (ет /й7(7)) Є Ь (Я).
Тогда по свойству 7° преобразование Фурье Г до-
пускает аналитическое продолжение в полосу | Ігп г | <
< По условию
4-00
Ґл-1)(0) = У (— іх)п~1§(х)и>(х)сіх=О, п>1.
—00
В силу теореми о единственности для аналитических
функций Р (у) = 0, у 6 Я, а в силу свойства 8° ри = 0.
Следовательно, и = 0 п. в. Переходи к доказагельству
предложения, заметим, что для любого алгебраического
полинома Р
и-»Рк.-|4—
Однако | Л|2 о> удовлетворяет тому же условию,
накладнваемому на вес, что и и>. Позтому, учитьівая
доказанное, получаем замкнутосте системи (хпН (х))“=0
В 1^2, ш-
Пусте теперь и> (х) = 1 4- Xі, х 6 Я. Учтем, что для
зтого веса
І/ІкСІІ/Ь. |ЛІі = |/1/^-уГ|іС
(из замкнутости в Ьг,® следует замкнутосте в Ь (] Ц).
Осталосе заметнть, что всякую функцию / £ Ь (]
можно с любой точностью аппроксимировать финитной
функцией, которая уже лежит в Ь2,ш. Если, иапример,
/п =	п,п]> т° *
В/-Мі + ІІ/-А.Ік =
= У І/(х) |сіх + ( § ||(х)ІгсЬс\1/2->-0, п-^оо.
|*|>л	/
2. ^2-теория. Теорема
Планшереля
Определим теперь преобразование Фурье на гиль-
бертовом пространстве Ц (Я) (явньїе формули см. в
следствиях 1° и 2°).
14
ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ. На Ь2 (Р) можно опреде-
лить линейньїй оператор / -> /, сохраняющий скалярное
произведение: (/, #) = (/, §),	£ Ь2, с областью значе-
ний Ьа (унитарнмй оператор). При зтом для / Є Ь П Ц
оба определения / совпадают п. в.
Доказательство. Виберем ортонормирован-
ннй базис {фп}«=о в Ь2 (Я) из собственнмх функций
преобразования Фурье (предполагается, что <р® £ Ь |"|
П Ьа, п > 0).	1 ,
X1
Пусть <р0 (х) = е 2 . Тогда <р0 = ф0 (см. пример
в п. 1). По свойству 6°
УпЄМ : (-і-?фв(-)(у) =
лп
= -75ГФо («/)=((-«/)"+ •••)<Ро(У). УбК, (1)
4 У
(в скобках записан алгебраический полином с указан-
ими старшим членом). Применив к системе {хп ф0 (х))^=0
известнмй процесе ортогонолизации [2], получим орто-
нормированную систему (ф°|^=0 функций Зрмита, каж-
дая из которнх в зтом процессе определяетея однознач-
но с точностью до числового множителя с модулем еди-
ница. Здесь фп (х) = рп (х) ф0 (х), где рл — алгебраи-
ческий полином степени п. В силу равенства (1) ф® =
= і/пФо, где дп — полином степени п.
Покажем, что {ф°|“=о — ортонормированная сис-
тема. Для зтого убедимся в сохранении скалярного про-
изведения при переходе от / к /. Если /, £, £ Є Ь (К),
то в силу формули обращения для § (9°) и теореми Фу-
биии имеем
Н-ОО	-|-оо	-|-ео
$	= ( ї(х)йх-1=- 5 ^(и)е1ах<іи =
оо	— СО	'	—00
-|-00	+« ____
= у=- У ї<х)(іх У § (и) е-1их(іи =
+» ____ Ч~оо	Н-оо ___
•= $	$ І(х)е-Іих(іх = 5 ї(и)в(и)сіи.
15
Следовательно, и (фп)о°— ортонормированная си-
стема функций того же вида. Позтому ф„ = 6л<р„,
где | 6П | = 1, несмотря на то что значение 6П нам не
понадобится, отметим, что по той же формуле (1) 6П =
= (—і)п. В силу предложения п. 1 ортонормированная
система {фл}л=о замкнута в Ь2 (Я) и, значит, является
базисом [2]. Позтому для любой / £ Ь2 (Я) при сп = (/,
ф’), п = 0, 1....
оо	/ оо	\ 1/2
І = ї <\фп. ІІ/ІІа = £ |сп|2) <ОО
и=0	\л=0	/
(сходимость ряда н норма в пространстве Ь2 (Ц)).
Положим теперь
7 = 2 спФ$ = 2 сАф°,
п=0	п=0
зто и єсть определеиие / на Ь2 (Я).
По теореме Фишера — Рнсса ряд справа сходится в
Ц, так как
2 ІМпР = 2 КІа<«>.
л=0	п=0
, При атом | / Ь = | / І2 и в более общем виде (/,
8) = (А 8). ї, 8 6 Ц (Я). Понятно, что зтот оператор
действует из Ь2 на все Ь2, т. е. является унитарньїм.
Обратньїй оператор определяется очевидно:
2 спф°н* 2 М^фл = 2 МлФ° (—•*)•
п=0	и=0	п=0
Осталось доказать, что оба определення преобразо-
ваний Фурье (в Е и Ь2) для функций изі П Ц совпада-
юг п. в.
В силу предложения п. 1 для любой Е П Еі
существует последовательность Фт линейньїх комбина-
ций функций (ф*)п=о такая, что при т ->оо Ц/ —
-фт|Іі + ІІ/-Ф,Л->о.	'
Тогда (см. свойство 1°)
|7-ФтІІ~ + 1!/-Фт|І2^0, /и->оо.
16
Очевидно, что при любом а £ N и т 1
а
і (ІЄ - Фт І2 ^)1/2 < (2а)1/2 II £ - Фт к '
—а
Позтому предельї одной и той же последовательности в
Ц и С совпадают п. в. Теорема доказана.
Следствие 1. Если £ Ь Л І, (К) и Ц / — /п Пі
-+ 0, то И ) = 1ІГП (в Ь,).
п->оо
Доказательство. Достаточно заметить, что
в силу теоремьі оба определения совпадают и
И—ЛА = ІІ/—/Л-*0-
В качестве /п можно взять, например, Д[_Л|П].
В следуюіцей формуле дается определение / без ис-
пользования сходимости в среднем.
Следствие 2. Для любой / Є Ь, (Я)
V	4-оо
| ^(О)іи =	~'^71 іх' уе
и, следовательно, п. в. на Я
.	1 д Тг, ч е-1^-1 .
І (у) = ,_ -т— \ г (х)---------дх.
Доказательство. Формула умноження в Ь2
і ї (х) е (х) дх = { / (х) е (х) Ох
п	п
вьітекает из унитарности оператора. Осталось положить
здесь § (х) = Х[о.*], прн зтом
л	і Р—Іхи _ і
Следствие доказано.
Зта формула с дифференцированием удобна тем, что
оиа справедлива и для / £ Е (Н) (продифференцирован-
ньій интеграл сходится равномерно). Следовательно,
ею можно определнть преобразование Фурь^, и на
.	7 . І 17
Ь + Ь2. Заметим, что V р Є [1, 2] Ьр с Ь 4- Ь2. При
р > 2 преобразование Фурье / 6 Ьр определяется уже
как обобщенная функция.
Отметим, что и некоторне другие свойства преобра-
зования Фурье из п. 1 остаются в силе в Ь2. Следующее
свойство, как и формула обращения, носит законченньїй
характер (ср. с 5°).
ЛЕММА. Для того чтобьі/ЄЦ била зквивалентна
локально абсолютно непрернвной функции с производ-
ной /' 6 Ьг> необходимо и достаточно, чтобн х/ (х) £
£ Ь2. При зтом /' (у) = іу [ (у), у £ Я.
Доказательство. Необходимость. Вве-
дем последовательность /п функций с теми же свойства-
ми, /„ = 0 вне [—п, п] и, значит, Є Ь (К) и при п -+
->«Ч/-/Л + ІІГ-ЛІ2-*0. В силу 5° £(</) =
= Іуїп (у), у С К. Переходи к пределу при п ->ОО,
получаем /' (у) = іуі (у), у Є К
Достаточность. Положим § (у) = іу] (у), у £ Н.
В силу следствия 2, с одной сторони,
і Є («)	£ іу/ (У) 4у =
+“
= -Х- У	ХЄК;
с другой сторони, в силу неравенства Коши — Буня-
ковского / (у) и у/ (у) £ Ь2 влечет / Є Ь (Я) и, значит,
п. в.
+“> л
=7к’1о/Л(у)е‘^-
Следовательно, п. в.
X
ї(х) = § §(и) сій+ С0П8Ї, £ =
о
Лемма доказана.
18
ПРЕДЛОЖЕНИЕ (принцип неопределенностей). У/$
Є Ц (К):
/+®° \а +®°
-1- У |/(х)|2<*Х < У Х2|/(х)|2ЙХ У X» І / (х) І* Лх.
Доказательство. Предположим, что оба ин-
теграла в правой части сходятся, т. е. х( (х) и х/ (х) 6
Є Ь2. В силу леммьі функция / зквивалентна локально
абсолютно непрерьівной и /' 6 Ц-
Поскольку х/ (х),	/ Є Ц, то, как следует из фор-
мули интегрироваиия по частим,
хр (х) = У 2/7 (/) к (і) Лі + У Р (/) Лі, х е К,
о	о
существует предел левой части при х->-±оо. ^готпре-
дел равен нулю, так как в противном случае х2/2 (х) 5
Є Ь
Имеем теперь, интегрируя по частим,
4-«	4-°°	4-«
У |/(х)|2</х = У ї(х)Т(х)<іх = — У х(Р(х)Т(х) +
^оо	— ао	—оо
4-оо
+ Цх)р(х))Лх^ 2 { |х/(х)| • |/'(х)Мх<
00
(4-00	\ 1/2 /4-00	\1/2
У х2|/(х)|2</х] У |Г(х)|’4х	.
Осталось учесть, что последний интеграл, в силу
/4-“
унитарности оператора Фурье в Ь2, равен І Ух* | / (х)|2х
\ —оо
\ 1/2
Хе/х І .
Предложение доказано.
Из зтого предложения вьітекает, чго если /=#0, то
/ и / не могут бить одновременно малими. Если поло-
жить в зтом неравенстве / = /і — /2 =#= 0, то видно,
что чем менее отличаются функции /і и /2, тем более
отличаются их преобразования Фурье. Зто одна из
формулировок принципа неопределенностей: чем точ-
19
нееудается измерить координати частицм, находящейся
в данном состоянии, тем больше «разброс» результатов
измерения ее импульса (и наоборот).
3. Цельїе функции
зкспоненциального типа.
Теорема Винера — Пзпи
Пусть / £ Ь (К) — финитная с носителем на (—о,
<у], о > 0, (вне зтого отрезка равна нулю). Тогда ее
преобразование Фурье (см. свойство 7°)
а
тк- $ ? е~іиг<іи
— аналитическая функция во всей плоскости С (целая).
При зтом
а
\Ни)]еи1тг(1и^,
а
{ |/(и)М«, г£С,
т. е. имеет зкспоненциальньїй рост. Цель зтого парагра-
фа: доказать в некотором смисле обратное утверждение.
Целше функции различают по их поведению около
единственной особой ТОЧКИ 2 = ос. Целую функцию
назьівают целой функцией зкспоненциального типа не
вьиие а, где о 0, (ц. ф. з. т.), если
V е > 0 З К = Ке : І г | > К =► |/ (?) | ^
Нижнюю грань таких чисел назьівают типом функ-
ции.
а
Например, Є°г, СО8 02, 8ІП 02, У еІХ2сі\і (х) (р — ме-
ра-заряд или функция ограниченной вариации на [—о,
о]).
ТЕОРЕМА ВИНЕРА — ПЗЛИ. Если / — ц. ф. з. т.
^0 и ее сужение на К принадлежит Ь2, то существует
£ £ Ь2 І—о, о] такая, что
1 Г
/2^’ Д
У?ЄС: /(?)
§ (и) е~іи2<1и.
20
Смисл теореми в том, что преобразование Фурье
£ = / такой функции равно нулю п. в. вне [—о, а].
Обозначим через 1 р сю,— класе ц. ф.
з. т. а, сужение которнх на В принадлежит Ьр.
Идея приводимого здесь доказательства содержится
в следующей лемме.
ЛЕММА 1. Для того чтобн любая функция / £
имела указанное в теореме представление, необходимо
и достаточно, чтобьі для любой / 6 ІГг а ее производная
/'Є По, а
Доказательство. Необходимость. Из ука-
занного представлення следует, что
іи) & (и) е~‘иг(1и,
гСС.
Следовательно, /' — ц. ф. з. т. о. В силу теореми
Планшереля
/О	\ І/2	/а	\1/2
ІІЛІ2 = Н «2і£(«)і2^) У \§(ч)\Чи	=о||/||2.
о	/	\—а	/
Доспгаточность. Если неравенство для производной
применить г раз, то получим || /<г) ||2 ог ] / (2 . Пе-
реходи кпреобразованиям Фурье (см. лемму п. 2), имеем
4-ООІ	~Ь©0
—ОО	—00
откуда, если в левом интеграле внбросить отрезск
| и | .< о +- є, є > О,
У \ї(и)\Чи
|и|>а+є
—оо
При г -* оо получаем, что / = 0 п. в. при | и | о +
+ є, а, значит, и при | и | о. Лемма доказана.
ЛЕММА 2 (Фрагмен, Линделеф). Пусть при неко-
тором а Є (0, 2] функция / аналитична в угле раствора
ал с веріпиной в нуле, непрернвна в его замьїкании и
на сторонах угла | / (г) | М, а внутри при некото-
ром р < — / | (г) | = О (е|г|Р). Тогда во всем угле
21
Доказательство. Зто обобщенньїй прин-
цип максимума модуля. Счнтаем, не уменьшая общности,
что биссектриса угла — вещественная положительная
полуось. Возьмем Р1 € (р> и при 8 > 0 рассмотрим
функцию
/е (г) = І (г) е-'гР* \гР‘ = І г |р* е‘Р« "Я »]•
К зтой функции применим обьічний принцип макси-
мума модуля, а затем 8 устремим к нулю. Имеем:
|/є(?)| = |/(2)|<р. «, Р11агб21<рха-ї- .
Однако Р1а<2 11 и, значит, соз Р1 аг§ 2 а > 0
при некотором 6. Позтому
|М?)| = 0(еИР-е«І*ІР,)-»-0
при | 2 І -► оо в угле и притом равномерно (Р1 > р).
Следовательно, существует /? > 0:
К сектору радиуса /? применяем принцип максимуме
модуля. На дуге | г | =	| Д (г) | М, на сторонах
угла | /в (?) І = І / (?) І М. Отсюда в любой точке угла
| / (г) | е~ е<г<р*с03 &>• »гя 2> = | /е (г) |< М,
и, следовательно, | / (г) | М. Лемма доказана.
Зта классическая теорема при р= не верна (/ (г) =»
= егР).
ЛЕММА 3 (о росте ц. ф. з. т.). Если / £ то
Уг£С : |/(г)К||/||ооЄо1 Ітг|.
Доказательство. Пусть для определенности
Іт г > 0. Введем при 8 > 0 функцию /е (г) =/ (г) е<‘а+е,г.
Очевидно, ЧТО /вЄ^оо,2а+е И | /є Цоо = Ц / |оо.
Учитмвая определение ц. ф. з. т. о, имеем при
у > /? = /?в > 0:	.
І /в (ч/) І = І / (^) І 8~(а+е)^	= 1.
Таким образом, Д ограничена на Н и мнимой полуо-
си. Тогда по лемме 2, примененной отдельно к 1-й и 2-й
четвертям плоскости, А ограничена в верхней полуплос-
кости [а = р = 1 + еУ
22
Применяя лемму 2 к функции /е в верхней полу-
плоскости (а = 1, р = в), находим
е-(а+е> І-п «І / (г) І = І (г) І II /е II» = II Л«.
Осталось устремить в -► 0.
Лемма доказана.
ЛЄММА 4 (о росте производной). Если / 6 ІГо».®, то
УгбС : |/'(г)| <ео||/||„е<’і Іт*і.
Доказательство. На окружности | $ —
— г | = с центром в тонке г, согласно лемме З,
|/©І = ІІЛ-е’,,п,с,<І7М 1	,^' = <М<т|,п,г|-
Воспользуемся теперь интегральной формулой Копій
для производной и обьічной оценкой криволинейного
ннтеграла:
Г /(£)*£
з . (£-г)2
ІС-г|=-
С-^е||Л«'0,,п,гІа2-^-.
Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Для любои / 6 ІІ/г.о ее производная
/' € 1^2.0 и Ц /' |)а ео || / Л2. Кроме того, Й72,О с:
с: Й7» 0.
Доказательство. Пусть /£ Й72а. Тогда
І
Р(2) = і Г ©^6^.20-
0
Согласно лемме 4,
|Г (2)1 = |Л(2)| С 2есу^ '"Ч
и, значит, / £ Й7».0, Й72а с
Неравенство для производной в Ь2 вьіведем из ана-
логичного неравенства в Ь» (лемма 4 при г = х 6 К).
Пусть т. > 0 и £ 6 Ь2 [—т, т] с единичной нормой.
Тогда
т
р (2) = У +1) § (о аі є ц Р' її» с ео || р и
—т
23
или V х £ К
т
—т
ест 811р
т
{ ї(х + і)е(і)ІЇ
—т
<ЄСТ||Л2кІІа = ЄО||/ІІ2-
Если в левой части взять верхнюю грань по § из
указанного множества, то получим
(т	\ 1/2
УіПх+ОМ
—т	/
Осталось устремить т ->оо.
Лемма доказана.
Доказательство теоремьі Винера — Пали. Из леммьі
5 следует, что / («) = 0 п. в. при | и | ест.
Пусть для определенности Ігп г 0. Имеем
/ (г) = у=- У Ци) еіигЛи =
0	<0
= ‘Йй’ е‘иг<1и + Йг //Л(И) еіигіи’
и, значит,
У / (и) еіи*<іи 1^2л | / (г) | е~а Іт г У І / («) | сій.
0	— <0
Воспользовавшись леммой 3, получим
Є0
У ї\и)
0
0
—ю
Под знаком модуля слева находится целая функция.
Ограниченность ее при Ітг 0 доказана, а при Ітг
0 очевидна. По теореме Лиувилля зто константа,
она равна нулю, так как должна принадлежать Ь2 (К).
Тогда и [ («) = 0 п. в. на [ст, ест]. Аналогичная картина
на [—ест, —ст]. Следовательно, / (и) = 0 п. в. при
| и | > а.
Теорема доказана.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ І (теорема Котельникова). Если
/ Е ^2,0. то
¥г«С , Ш- І /(£)	
оо '	1
При зтом ряд справа сходится равномерно в полосе
11т г ( < Л УЛ.
Доказательство. По теореме Винера — Пали
существует
£ 6 Ц [— о, от] і / (г) = У Є («) е~1иг4и.
Тригонометрическая система (є 0 )_« єсть ор-
тогональний базис в Ц [—о, а]:
" а —	і ° —а —
5п(г; и) = ^ске Ск = -^-е(і)е а 41 =
—0
— г( ^п\ 1 .
' \ о / 2о ’
к —5в(г)|ї-^0. п->оо.
При | Іт 2’| Н
/(*)— У 5п(г; и)е-‘иг<іи =
—а
= У (Є (и) — 5П (г. М)) е-іиг(іи <
<е0/,К2аи — 5п (г)^->0. п->оо.
Осталось заметить, что
0
У Зп(£‘> и)е-іиг4и =
—О
Предложение доказано.
Зтой теореме придают следующий смьісл. Для вос-
отановления сообіцения, описьіваемого функцией /, при
25
г = і, где і— время, с компактним спектром (в по-
лосе частот | и |	о), достаточно передать по каналу
связи лить значення / 2-І через равньїе промежутки
времени —.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 (неравенство Бернштейна). Для
любой / 6 №р.я, р 6 И, 4-оо)
ііЛр^ИЛр-
Зто неравенство уже точное. Так, при р = оо оно
превращается в равенство для функции / (г) = соз стг,
гСС.
Предположим дополнительно, что / £ ІГг,®. По
теореме Винера — Пзли
а	а
Нх)= $ 8(и)е‘иХ(іи> Г (х) = У іщ (и)е1их<іи, х£К.
—а	—а
Доказательство. Доказательство основано
на том, что функция <р (м) = а — | и | разлагается на
1—2ст, 2о] в ряд Фурье с положительннми козффициен-
тамн (проверяется простими вмчислениями):
оо	угхи оо	оо
<р (и) = а^е 20 ,	5] І «V | = Е оц, = <р (0) = ст.
V»—оо	—о©	V»—оо
Имеем:
а
І’ (х) = і § <р (и — а) в (м) е1а1ҐсІи =
?	, ( , уя 'І ,уя
= і £ “у ( 8 («)е “'	20 Аие 2 =
, УЛ /	\
= І^Є 2а^(х+™ І Х^Ц.
УЄ2	х	/
Отсюда, учитмвая, что Ьр — норма не зависит от
сдвнга на В, находим
II / Цр	2 І ІВ / іір = ° И / Яр-
ує г
Если теперь / ІГр.о при р > 2, а / £ то V е > О
/е(г) = /(г) 8111	СІГг,я+в (в силу неравенства Гельдера).
26
По доказанному
0/вЦр^(° 4-е)||/е||р,
н следует лишь перейти к пределу при в -► 0.
Случай р £ [1, 2), как и более общий при р £ [1,
Н-оо) следует из неравенства для производной при р =
= оо и соображений двойственности (см. доказательст-
во лемми 5). Предложение доказано.
4.	Кратний случай
Пусть Я"1 — т-мерное вещественное простраиство:
х' = (хп .... хт) е Кт, (*, У) = 2 хіУі, И =	*)
/=1
(х — вектор-столбец, «'» — транспонирование).
Если функция / Є Ь (Ят), то ее преобразование
Фурье
/(у)=(2л) 2 р(х)е-‘<^х,
К'п
уШт.
т	л	т л
Для функции вида / (х) = П/> (х>),/((/) = П/7(^).
Г	1
__
Отсюда <ро (х) = е 2 , х С Ят — неподвижная точка
оператора Фурье.
Свойства преобразования Фурье из п. 1, как и их
доказательства, остаются по существу без изменений
(дифференцнрование частное).
ЛЕММА 1. Пусть / 6 Ь (Ят). Для любой невьірож-
денной матрицш А вида т х т
?(А.)\<іеїА\(у)= ї(Ву),
где В = (А')-1, А' — транспоннрованная матрица.
Для доказательства используем линейную замену
Ах = х в интеграле с учетом того, что (х, у\ = (Ах, Ву}.
Из замкнутости системи	в одномерном
случае вьітекает замкнутость системи функций
т
<р° (х) = П <р“ (х>) при п £ 2™ в кратном случае [2,
/=і і
с. 3881. Позтому и приведенное внше доказательство
теореми Планшереля остается в силе.
27
Сформулируем теперь т-мерньїй аналог теореми
Винера — Пзли [4]. Пусть К — произвольньїй компакт
из Цт. Тогда множество
X* =	: |х, </К 1}
назьівают полярой множества К:
(К*)* = К.
Например,
К = х
«* = \у 
/=і	і	і	/—і	)
Если /С — компакт и § £ Ь (о Л), а / (і) = [ § х
аК
X (и)е~‘(и’г> іи, то при 2 = х + іу, где х и у £ Цш,
г е ст и 6 > 0,
|/(г)|^ £ |£(«)|е(и^и^е,’м* £ \§(и)І<іи,
аК	аК
//II * = зир | (х, у) | и / — целая функция т комп-
х£К
лексиьіх переменньїх [3].
Если /С — вьіпуклнй н симметричньїй относительно
нуля компакт в Кт с пепустой внутренностью, то
К (и К*) — единичпмй шар по отношению к некоторой
норме в Кт. Напомним, что все норми в конечномерном
пространстве зквивалентньї.
Функцию / : Сп С назовем ц. ф. з. т. о относи-
тельно /С*, если она целая (разлагается в абсолютно схо-
дящийся на С™ степенной ряд т переменньїх 2Г, гт) и
Уе>0 3/?=/?с:
Ц2||*=зир 2 г>х7 >/? =► |/(г)|<е(('-н!|’*
хЄК /=і І
Если в приведенном вьіше примере р = 2, когда
/( = /<* — звклидов шар, то говорят о фуикциях сфе-
рического типа о.
ТЕОРЕМА. Если / єсть ц. ф. з. т. а относительно
К*, а ее сужение на Ц'” принадлежит Ьа, то / = 0 п. в.
вне
28
Доказательство. Пусть К — единичннй куб
(х € Г : І X] |	1, 1 і т). Тогда при больших по
норме г | / (г) |	е<а+е)2 1 г) 1 и, значит, ц. ф. з. т.
а по ?! (при фиксированнмх остальньїх переменньїх).
В силу теореми Фубини [21 / (хь £ Ц (К) по хг
п. в. при вещественнмх значеннях остальньїх перемен-
ньїх. По теореме Винера — Пзли (см. также лемму 1
к ней)
4*00	+ оо
—00	—оо
и после интегрирования по остальньїм переменннм
IIІІ2'С п II/г II (норма в Ь2 (Кт)). В силу теореми
Планшереля в кратном случае (см. доказательство лем-
мм 1) / (хп ...) = 0 при п. в. | Хі | > о.
Аналогично поступаєм по остальньїм переменннм.
Следовательно, / = 0 п. в. вне с помощью преобразо-
Ваний подобия и вращений получаем теорему для любого
параллелепипеда К-
Переходи к общему случаю, заметим, что равенство
нулю п. в.— зто локальнеє свойство и, значит, дос-
таточно доказать, что V х0 £ ст/С найдетея окрестность,
где / = 0 п. в. Для зтого виберем параллелепипед Ко
такой, что К с Ка и х0 £ аКа (используется вшпуклость
К). Поскольку любая ц. ф. з. т. ст отноентельно /С*
являетея ц. ф. з. т. а относительно то по дока-
занному / = 0 п. в. вне аКа- Теорема доказана.
Рассмотрим еще вопрос о преобразовании Фурье
радиальннх функций, т. є. функций на Кт, зависящих
лишь от евклидовой норми І х |. Преобразование Фурье
тоже радиальная функция, зто следует нз леммн 1.
В качестве примера найдем преобразование Фурье
функции X,, являющейся индикатором шара радиуса
г с центром в нуле.
Пусть р — вращение Нт. т. є. линейное преобразо-
вание, сохраняющее скалярное произведение, с опреде-
лителем, равннм единице:
(рх, ру) = (х, у), <іеі р = 1, р' = р->.
Виберем вращение р, переводящее ул = (| у |, 0, ...
...,0) в у = (ух, ..., ут). Имеем, учитнвая, что (х, у) =
29
= (X, руо) = (р 1 X, у9),
X, (у) = (2л) С е-^-^сіх -= (2л) 2" С е~(^'х-^ах.
|х|«г	|х|<г
После линейной заменьї х = рх и применения фор-
мули відчислення кратного интеграла находим
(2л)~ Хг (у) = У е~1<х'м{1х = § е~Іх^і(іх —
|х|а£г	Й£г
= е-'ЧШх! У ... 5	. £бт.
*2+-
Однако внутренний (т — 1)-мерньій интеграл єсть
дбьем (т— 1)-мерного шара радиуса )ЛГ»_____~х* и, зна-
чит, он равен ут-і (л2 — х2) 2 . Позтому, виполняя еіце
замену хг = —гі, долучаєм, с одной сторони,
(2л)~ X, (у) = ут-\гт у (1 - /•)“ у е К”, (2)
—і
а с другой сторони, при у = 0 (2л)2 Хг(0) = утгт —
обьем гл-мерного шара радиуса г.
Таким образом,
1 т~'
?т = ут_і )(1-/2)~Л.
—і
Последний интеграл вьіражается через Г-функцию Зй-
лера. Отсюда
їт = Л 2 (Г(-Г+	•
Интеграл в (2) является злементарной функцией
лишь при нечетном т. В общем случае — зто бесселева
функция, определяемая следующим образом. При X >
>—-§-и к X {°}
^х(0	. . Ц-? Се'“'(1- и^~~ сій. (3)
г(х + -|- V 2 / Д
ЗО
Тогда
А	т	т
=	(г І у І).	(4>
ЛЕММА 2. Если / Є Ь (ІГ) и / (х) = /0 (| х |)г
X е ІЛ То
Ї(У) = \У\~^ і	УЄЯт.
0	2
Доказательство. В силу теореми Фубини
(2п)~ї(у) = р(х)е-«'^х = +С (іг у Ї(х)е-‘М(18Г =
ят	0	|л|=г
4-00
= У /о(г)^г У е~‘(х-^(і8г.
О	|Х|=Л
Полагая в зтойформуле/0 = Х[о«], получаем (см.(4)):.
—(2я)
Дифференцируя по /?, найдем искомьій поверх'
ностньїй интеграл. При атом нужно лишь учесть, что
(см. задачу 27). Лемма доказана.
В качестве применения кратньїх интегралов Фурье
приведем доказательство Зигеля классической теореми
Минковского.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если П І, > деі (а0)"/=1 >О,то
система линейньїх неравенств ^2	6, 1 і
т, имеет ненулевое целочисленное решеиие, X; 6
є 2, 1 < І < т.
Доказательство. Докажем следующий ге-
ометри чес кий зквивалент. Если К — параллелепипед
в Кт с центром в нуле и обьемом V не содержит отлич-
ньіх от нуля точек с цельїми координатами, то 2"
Считаем далее, что /С-открмтьій параллелепипед (заменз
на (і। + е и е -> 0).
31
Воспользуемся формулой Пуассона (см. 10°) в крат-
ном случае при х = 0. Имеем:
(2лП 2 /(2л*) = 2 /(А).
После линейиой заменн х = Ах (см. лемму 1)
(2л)“ | (іеі А | £ /(2лЛх) = X / (Вх).
*	к
Линейное преобразование А виберем так, чтобьі
/С, = {х : 1^1^-^-, 1^/^/п] = Л(К).
Тогда
У(/<0) = | гіеі Л | І/(К).
Пусть носитель / содержится в единичном кубе 2лК0
н / > 0. Из приведенной вьіше формули следует, что
(2л)^|(іеМ |/(0) >7(0).
Положим
™	А(
/(х)= П (1 —|Х;|)+, /(у)=(2л) 2 ПІ ----------Г---- .
м	/-1 \	7 /
Отсюда
| <Іеі А | > (2л)-т, V (Я) < (2л)т V (Ко) = І".
Предложение доказано.
5.	Теореми и задачи
1.	Доказать, что при | г | < 1 и А, > 0
4-00
У іК-хе-{е~ІІІ(іі = Г(Л)(1 + іг)-1.
о
У к а з а н и е. Сравнить производние в иуле двух аналитических
функций.
2.	Доказать, что при 0 < Ке к < 1
У 1К-'е-і'сіі = Г(к)е~ІТ\
0
32
3.	Доказать, что при р, > 0, а € (о,	, п. £ N.
С е-Р соз а5іп 5ІП а) Іп~Х(Ц = — Г (—) 5ІП	,
+"> . .
У /п-Іе_ґ^С05^л8Іп (^зіп рл)с№ = 0, Р1 € (о> “5") <
У к з з а н н е. Сделать в интеграле задачи 1 заменн: г =
= їй а. и і = и? соз а.
4. Пусть
+□0
Р (у) = У е~!х^(1р, (х),
—со
где |і — конечная комплекснозначная мера на К (если
р — положительная мера и Р (0) = 1, то Р является
характерне™ческой функцией случайной величини).
Доказать, что V у £ К сходится интеграл
4-о©
Р (у 4- О—Лу —0
о
5.	В пространстве Ь (Я) введена операция умноже-
ння (свертка). Проверить коммутативность и ассоци-
ативность зтой операции. Доказать, что в алгебре Ь (К)
нет единицм.
6.	Используя преобразование Фурье, решить ин-
тегральнме уравнения
4-00
•	8(х) = У Ці)5ІПХІ4І,
8И = Нх)+к У
7.	Доказать, что множество преобразований Фурье
функций из Ь (К) плотно в Со (Я), но не совпадает с
Со (Я). і і
8.	(Теорема Т и т ч м а р ш а). Если / и § Е
X
€ Ь Ю, + оо) и £ / (х — /) £ (/М/ = 0, V х > 0, то хо-
0
тя би одна из двух функций равна нулю п. в.
2 79
33
Указали е. По условию / « £ = 0, если считать, что / =
= 8 = 0 на (—оо, 0). Позтому / • £ = 0 и если / О в точке, а зна-
чит, и в окреетности, то В = 0 на интервале. Но тогда £, в силу
принципе симметрии, долускает аиалитическое продолжение на всю
плоскосте и в= 0. а значит, ?= 0 п. в.
9.	Если / (: Ь (Я), то п. в.
[(х) = —^-Ііт { [(у) РУ-) е‘у*(іу
V 2л л~»о	\ пУ 1
— формула обращения в общем случае.
Указали е. Рассмотреть вторую функцию Стеклова
/г.й = (/ * Єн) « ЄН-
10.	Доказать, что если функция / Є Ь (Я) и ограни-
чена в окреетности нуля, а |/| — / £ Ь (Я) (напри мер,
/ (у) > 0 при больших | у |), то и / 6 Ь (Я).
ОО
11.	Найти сумму ряда У -ту /	.
»=і й +а
12.	Доказать, что если при Ке х > 0
0 (2) = 2 Є-**11,
—оо
то 0 (г) =	0	— тождество Я коби.
У казани е. Применить формулу Пуассоиа.
р—1	. 2 л*‘з
13.	Пусть Ор(о) = 2 Є р , р, Доказать,
к=Л>
что тогда
<-)•
Примечание. Ср (1) вьічислил Гаусе; общий случай см. в [6,
с. 62]
У казенне. Применить формулу суммирования Пуассоиа
и задачу 12:
Ор (д) = р Ііт в (а — і =
а-»+0	\ Р І
34
пш і/----2— е
оо
14. Доказать, что
функция Римана £(г) =	—7- ,
*=і А
Ке г > 1, т. е. допускает аналитическое продолжение
в С \ {1} и удовлетворяет там уравнению
с (г) = 2‘лг~' 5іп Г (1 - г) С (1 - г).
Указами е. См. 7, с. 274.
Ііт У рп(х)
15. Для любой / £ Ь (К) имеет место формула Бер-
линга:
і	____п
ІМИ" -ИІк
П—>оо
Примечание. Зто частпьій случай одного соотношения в г~ль-
фандоиской теории банаховьіх алгебр, см. 7, с. 228.
16. Доказать, что если р Є Ь (К), р (х) > 0 V х £ К,
4-00	4-00	4-00
У Р (х) ІХ = 1, хр (х) СІХ = О И У х2р (х) сіх = 1, то
Vа, дСК вьіполняется равенство
ьУп	ь _ х,
(їх = 7?=- Се 2 Лх.
/2л Л
Примечание. Зто центральная предельная Теорема теории ве-
роятностей, еслн считать, что р — плотность фуикции распределения
любой из независимьіх случайиьіх величин. Для любой <хорошей>
функции
4-»	п—1 4-00
/лрп (х /я) § (х) (ІХ = (2л) 2 рп	£ (У) <іу =
—оо	ос
4-00
1	р А	/	£/3	"\
= 7^ 1 е(у} Iі—
—00	'
1 +і>О А	— —	1	+“	— —
2^=75гУв(х)е 2ах-
35
17.	Доказать, что пространство, сопряженное к
Ь П 1-2, изоморфно + Ь2.
18.	Доказать замкнутость системи функций Зрмита
в Со (К)- Доказать также, что
л ________________।
Ф°(х) = (2пл1Кл) 2 е2—— {е-х*), л>0.
<іх
19.	Оператор Фурье Г :/->/ в Ь2 (К) имеет четьіре
собственньїх значення: ±1 и ±і. Доказать, что суще-
ствуют четьіре попарно ортогональних проектора ^й,
0 к 3, а именно,	0 к 3. Спект-
ральнеє разложение оператора имеет вид
Р = А + 13я!	і<73.
20.	Доказать, что если/и/финитнне, то / = Оп. в.
21.	Доказать, что если /£ ІГоо.а и /(-^4 = 0, V к£2,
\ а /
то / может отличаться от функции ЗІП 02 только число-
вим множителем.
22.	Теорема (С. Н. Б е р н ш т е й н). Любая периодиче-
ская ц. ф. з. т. являетея тригонометрическим полиномом.
Указами е. Для оценки козффициентов Фурье такой функции
следует проинтегрировать по частим г раз, применить неравенство
Бернштейна и устремнть г -► оо.
23.	Доказать, что для любой 2л-периодической ло-
кально интегрируемой функции
+.*	»І»р+4-)/
—оо	2 5ІП 2
+Г 8ІП (п 4- 4-) /
= і».р._— і /(х-Н)---------------л.
у Л V	*
—оо
Указание. Частную сумму ряда Фурье записать в виде
интеграла Фурье.
24.	Теореми представлення в точке
а)	Если / Є Ь, а £ £ Ь» на [0, +<»), то
4~°°	а
Ііт Г /(/)г(^)Л= { Ііт
М-І-оо о	о	<’->+“	о
если еще существует последний предел.
б)	При тех же условиях справедливо аналогичное
равенство к и а -► +0.
У казани е. Зафнксировать § и проверить равенство на
плотном в к [0, 4~оо) множестве ступенчатьіх функций /,
ї = ^[о.Ь]-
в)	Если / локально интегрируема на [0, +<»), а £ —
ограниченной вариации, то
+»	-|-ао
Ііт 5 /(0г(М^ = г(0+) І /(0^,
Л,->0+ о	о
если еще сходится последний интеграл.
В частннх случаях: а) — Фейер, б) — Винер, Бохнер,
в) — Жордан.
25.	Теорема (3. С. Б е л и н с к и й). Для любой
функции / ограниченной вариации на Я, у которой
Ііт / (х) = 0, существует константа С £ (0, 2] такая,
И->оо
что V у £ [—я, я] \ (0)
[ /(х)е‘*Мх— 2 }(к)е1кУ сИ (/).
-ОО	4 = -ОО
26.	Пусть / : К2 -> С. Если / £ Ц (Я2) н при неко-
торнх а > 0 и Р > 0
то производной (/) (порядка а по х и Р по у\
назьівают функцию с преобразованием Фурье
(іх)а (іу/ ?(х, у).
Доказать, что тогда V/? Є (1, + оо), -±- +	= •»
Иі..т<Ир,о(/)Г Ио.Р'(л^.
У казани е. Воспользоваться теоремой Планшереля и не-
равенством Гельдера. Из существоваиия в Ц частних производньїх
^20 и 2 следует существование смешаниой производной
В пространстве С ато ие так. Рассмотреть пример ((х, у) =
= ху 1п 1п (ха + у2)~*, Из существоваиия непрерьівньїх (/)
и (/) следует существование непрерьівиой смешаниой произ-
водной Є>ІЛ ([), если у< 1,
37
27.	Разложнгь функцию Бессе (х) в ряд степеням
х и доказать равенства
(х^к (х))' =	(х), (х~Ч\ (х))' = — Х“х^хн-1 (»)
28.	Доказать, что при б > — 1
(2л)“ “ У (1 — | х |2)+ е^Лх =
ця»
= 2дГ(1 + 6)|(/Г^~в-^^(І</|)-
2
29.	Найти асимптотику 3\(і) при /->±оо и дока-
зать, что 3\(і) = О (-—=-) при 6> — 1 и р = [6] + 1
і	і
У е‘иі (1 — и2)6 Ли = У е‘и‘ (1 — и2)6 <іи.
Указание. Используя четность илн нечетность производной,
перейти к отрезку [0; 1], иа котором разложить зту производную
 ряд по степеням 1 — и, а в интеграле
1 е1и1
о '
-сделать замену (1 — и) і = V. См. задачу 2,
ЗО.	Док зать, что если £ Є Ь (Кт), а / локально ин-
тегрируема и 2л-периодична по X;, 1 і т, то
(2л)- У / (х — м) £ («)	~	£ (/г) сА | /1 е‘<к-х>.
Я ги	й£2
(Справа — ряд Фурье, ск (/) — козффициент Фурье /).
Используя задачи 28, 29, и 24, б вивести отсюда, что
для любой непрерьівной периодической функции приб>
т — 1
~2
ї (1 - Л^~)6 Ск № Ю
кєг \	/+
(теорема Бохнера).
31.	Пусть К— компакт в Кти 0 —внутренняя точ-
ка К.
38
Справедливо ли равенство
(2л) 1 2 У / (у) еЦу-Щу = (2л)-/п У ї(и)іїи еІІХ~и-^сІу
пК	ц/п	пК
при п -> оо сходится к /ЄЬ(Ят) по норме Ь (Кт)?
Указание. Если бн зто бнло так V / € Ь (йт), то по теорема
Банаха — Штейнгауза иормьі зтих операторов бьіли бн равньї:
(2л)-т $
цю
5 Ли = (2л)-т У У е~‘^Лу
пК	кт к
Ли < ОО,
однако Хх € Ь ни при каком К.
32.	(Теорема в лож єни я). Пусть / и ее частнме
производньїе — порядка а} по хі, 1	/ т, принадлежат
Ь2 (Кт) (см. задачу 26).
т
Доказать, что если — <2, то / совпадает п. в.
/=і -і
на К"* с некоторой непрерьівной функцией. Более того
если при некоторьіх цельїх 2; > 0
2 гпах
І / <іт
то непрершвнн и частнме производньїе по х} порядка
1 і т.
Фг
Указание. Проверить, что ——€Ц(Кт), где фр (х)
= 1 -І- у, |х, |е/. Тогда
/-1
ііфг7ііі<
и, значит, после исправления на множестве нулевой мери
/(х) = (2л)~т ^((у)^Лу.
ц/п
V-! І Фа/ІІ2 <
та Из
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1. Зорич В. А. Математический аиализ: В 2 т.— М. : Наука,
1984.— Т. 2,— 640 с.
2. Колмоеоров А. Н., Фомин С. В. Злементн теории функций и
функционального анализа.— М, : Наука, .968.— 496 с,
39
3.	Шабат Б. В. Введение в комплексний аналнз.— М. : Наука,
1969,— 576 с.
4.	Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический аналнз иа евк-
лидовьіх пространствах.— М. ; Мир, 1974.— 335 с.
5.	Ахиезер Н. И. Лекцин об интегральньїх преобразованиях,—
Харьков : Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1984.— 120 с.
6.	Хавип В. П. Методи и структура коммутативного гармони-
ческого анализа // Итогн науки и техники. Сер. Совр. пробл.
мат. Фундаментальнеє направлення / ВИНИТИ — 1987.— 15.—
С. 6—133.
7.	Гурарий В. П. Групповне методи коммутативного гармони-
ческого анализа // Итоги науки и техники. Сер. Совр. пробл. мат.
Фундаментальнеє направлення / ВИНИТИ—1988.— 25.— 312 с.
8.	Дьедонне Ж. История гармоннческого анализа // Историко-
математические исследоваиия.— 1973.— Вьіп. 18.— С. 31—54.
А. В. СОБОЛЕВ, д-р физ.-мвт. наук,
В. И. СОБОЛЕВ, д-р физ.-мат. наук
МОНОТОННОСТЕ И НЕПОДВИЖНЬІЕ
ТОЧКИ НЕЛИНЕЙНЬІХ
РАЗРЬІВНЬІХ ОПЕРАТОРОВ
Удивительно то, что абстрактний анализ
приводиш к более чітким и ясним результа-
там.
М. Берикопф
Для доказательства существоваиия
решений уравнения / (х) = у, где х — неизвестньїй,
у — известньїй злемент линейного пространства Е, а
/ — отображение из Е в Е, применяются различньїе
методьі. Один из них состоит в преобразовании заданно-
го уравнения к виду / (х) — у + х = х, или, полагая
Ах = / (х) — у + х, заменяют задачу решения урав-
нения / (х) = у задачей нахождения точки х, которая
при преобразовании А переводится в себя, т. е. полу-
чают, как говорят, задачу нахождения неподвижной
точки оператора А. В зависимости от того, какими
свойствами обладает линейное пространство Е и опе-
ратор А, применяются те или инне способи доказатель-
ства существоваиия неподвижной точки зтого операто-
ра. Наиболее известньїми принципами неподвижной
точки являются принцип сжимающих отображений и
его модификации, принципи Боля — Браузра для
операторов в конечномерньїх пространствах и Шаудера
© А. В, СОБОЛЕВ, В, И. СОБОЛЕВ, 1984
40
для вполне непрерьівньїх операторов в бесконечном про-
странстве, вьічисление степени отображения и т. д. Пере-
численньїе принципи существенно используют непре-
рьівность оператора А. Однако во многих задачах опе-
ратори А не обязательно являются непрернвньїми.
Позтому при доказательстве существования неподвиж-
ньіх точек приходится ис-
пользовать какие-то иньїе
свойства пространства Е и
оператора А. Одним из та-
ких свойств является МОНО-
ТОННОСТЕ оператора А, дей-
ствующего в полуупорядо-
ченном пространстве Е.
Поясним роль монотон-
носте оператора на следую-
щем простейшем примере.
Пусть на отрезке [0,1 ] опре-
делена монотонно возра-
стающая функция у = Ах,
причем А (0) >0, А (1) < 1 и
Рис. і
функцияу = Ах не обязатель-
но непрерьівна. Наглядно ясно, что график функции у —
Ах при движении от 0 до 1 обязательно пересечет
график прямой у = х, по крайней мере, в одной точке,
так как «проскочить сквозь разрьів» графика функции
у = Ах прямая у = х не может (рис. 1). Точка пере-
сечения функций у — Ах и у = х и будет решением
уравнения Ах = х. Развитию предложенного сообра-
жения и посвящена настоящая статья.
Упражнение 1
Показать, что отказ от монотонности функции у = Ах может
повлечь отсутствие неподвижньїх точек оператора А.
1. Монотонньїе оператори
в полуупорядоченнмх
пространстввх
1.1. Мастичная упорядоченность и конуси. Линей-
ное пространство Е назьівают частинно упорядоченньїм,
если для некоторьіх пар злементов х, у £ Е опреде-
лено соотношение х у, для которого вьіполняются
свойства:
Г. х х.
2°. Если X ^.у И У ^2, ТО Х^.2.
41
3е. Если у <1 х и х^.у, то х ~ у.
Кроме зтого согласованность с линейностью прост-
ранства:
4°. Если х	и тох + ^^и + в.
5°. Если х < у и і 0, то їх < іу.
Обозначим через множество злементов х £ Е, для
которнх внполняетея соотношение 0 X. Из свойств
1°—5° витекает, что множество Л" випукло, вместе с
каждой точкой х Є /С, х =/= 0, в К лежит луч їх, где
І > 0. Наконец, если х Є К и —х Є К, то х = 0.
Иначе говоря, К. = {х Є Е; 0 х} єсть множество
злементов в Е, удовлетворяющее соотношениям:
1°°. оек.
2°3. Если х, у £ К и а, 0	0, то ах + 0У Є /С.
3°°. Если х, —х Є К, то х = 0.
Множество К с Е, обладающее свойствами 1°°—
3°°, пазьівают конусом.
Если в пространстве Е определен конус К, то в Е
можно определить полуупорядоченность, полагая х
у при у — х Зга полуупорядоченность согласована
с линейностью, т. е. вмполняютея свойства 1°—5°.
Когда пространство Е нормировано, то конус обьіч-
но предполагают замкнутим: если хл Є К, хп -> х,
то х £ К.
Полуупорйдоченность, порожденная таким конусом
позволяет переходить к пределу в неравенствах: если
хп Уп, хп х, Уп У, то х у. Действительно,
если хп -> X, уп у, то уп — хп -> у — X. Однако
Уп — хл^ К, а К — замкнутеє множество, позтому
у — х Є К.
Основними (но далеко не единственньїми!) примерами
конусов являютея:
। множество К" векторов с неотрицательньїми компо-
нентами в конечномерном пространстве В*;
множества К+ последовательностей с неотрицатель-
ннми злементами в пространствах последовательностей
т, С, Со, Ір;
множество К+ неотрицательннх функций в прост-
ранстве С непрернвнмх на компакте функций;
множества К+ неотрицательньїх почти всюду функ-
ций в пространствах Ьр (а, Ь), 1 р оо, —оо < а <
< Ь <оо.
Все зти конуси порождают естественную полуупо-
рядоченность в соответствующих пространствах: х у,
42
если Хі у( для всех компонент векторов в соответст-
вующем координатном пространстве, или х(1)^.у(і}
при всех либо почти всех і.
Действующий в полуупорядоченном пространстве
Е оператор А назьівают монотонним, если из неравен-
ства х у следует Ах Ау.
1.2. Структури. Теорема Биркгофа — Тарского. Ли-
нейное полуупорядоченное пространство Е назьівается
линейной структурой, если в нем, кроме свойств 1°—5°г
вьіполняется еще одно свойство:
6°. Для любого конечного набора хи х„ ...
.... хп £ Е существует злемент г£ Е, такой, что Хі гг
і = 1, 2 п, и для любого у Є Е, для которого х(
у, і = 1, 2, .... п, справедливо неравенство 2	у.
Злемент г назьівается точной верхней границей мно-
жества злементов х1( х21 ..., хп и обозначается зир (х1г
Х2. •••, *^п)'
Двойственньїм для условия 6° является следующее
условие.
6°°. Для любого конечного иабора хх...... хп Є Е
существует злемент и £ Е такой, что и х(, і = 1.
2, ..., п, и для любого щ Є £, для которого оу^х, ,
і = 1, 2, .... п, справедливо неравенство ш и.
Злемент и назьівается точной нижней границей мно-
жества злементовхп .... хп иобозначается іпї (хг, ...,хп).
Пространство Кл/ и пространства последовательнос-
тей т, С, Со, Ір, полуупорядоченнне конусом К+,
являются структурами. Для конечного набора. злемен-
тов X; с координатами х/ в таких пространствах точной
верхней границей будет злемент г с координатами
г‘ = тах (хі, хї, .... х/), а точной ннжней границей —
злемент и с координатами и‘ = іпіп (х[, хг..... х„).
Другим примером линейной структури является
пространство С (а, Ь) непрернвньїх на отрезке [а, Ь]
функций, полуупорядоченное конусом К+- Для конеч-
ного набора функций х> (і) в зтом пространстве точной
верхней границей будет злемент г, удовлетворяющий
соотношенню г (і) = тах (Хі {і}.... хп (/)), а точной
нижней границей — злемент и, удовлетворяющий со-
опіошению и (/) = тіп (хд (/), ..., хп (І)) (рис. 2).
Понятие точних границ можно определить не только
для конечного множества злемеитов полуупорядочен-
ного пространства Е, но и для произвольного ограничен-
ного множества X а Е.
43
Множество X с Е назнвается ограниченньїм сверху,
если существует злемент V £ Е такой, ЧТО X V, X £
€ Е. Злемент г назнвается точной верхней границей
множества X (и обозначается г = зир X), если х <1 г
при всех х 6 X и для любого у £ Е, для которого х <1
у, х £ X, справедливо неравенство г <1 у.
Аналогично формулируются определения ограничен-
ного снизу множества и его точной нижнен границьі.
Если в линейной структуре всякое ограниченное
сверху множество имеет точную верхнюю границу, то
лннейная структура назн-
вается условно полной или
К-пространством (прост-
ранством Канторовича).
Очевидно, что в условно
полной линейной структуре
всякое ограниченное снизу
множество имеет точную
нижнюю границу.
Координатнне прост-
ранства Дл/, т, С, Со, І;1,
1 <1 р < оо, полуупорядо-
ченнне конусами К.+, явля-
ются условно ПОЛНЬ’МИ
структурами: в качестве точной верхней граннцн ограни-
ченного множества в любом из втих пространств надо
взять злемент, координати которого являются супрему-
мами соответствующих координат злементов нз множест-
ва (проверьте).
Пространство С (0,1), полуупорядоченное конусом
К+, условно полной структурой не является. Действи-
тельно, множество |хп) функций, задаваемьіх соотно-
шенпями
М)=(
1 — (2/у1 при 0</< 1/2;
0 при 1/2	1,
п 1,
ограничено сверху функцией у (і) = 1, но точной верх-
ней і раницш у зтого множества в пространстве непрерьів-
ншх функций не существует (проверьте).
ТЕОРЕМА 1 [1]. Пространство Ьг (а, Ь), —оо < а <
< Ь < оо, полуупорядоченное конусом #+, является
условно полной структурой.
Прежде чем доказьівать теорему 1, докажем вспомо-
гательное утверждение.
44
ЛЕММА 1. В пространстве Ьп полуупорядоченном
конусом К+, рассмотрим монотонно возрастающую по-
следовательность х1 ха ... хп ...
(1) Если хп у, п = 1, 2, ..., то последовательность
хп сходится к злементу X £ Ьх.
(2) Для любого и Є Ьх справедливо равенство
Ііт зир (и, хп) = зир (и, х).
П->0О
Доказательство
(1). Пусть гп = хп — хх. Тогда 0 = гх г2 ...
... хп у — х1 = V. Из очевидних соотношений 0 =
= II *1 ІК II г2 II ••• II 2п II < ... < || V II и равенств
II 2п+? Ц = II гп II + II г„+р — гп || внтекает фундаменталь-
ность последовательности {гп} относительно норми
пространства Ьх. Следовательно, гп -► г 6 Ьх и, далее,
Хп -*• X = 2 + Хі.
(2). Из монотонности последовательности хп следует
неравенства О^х— хп, п = 1, 2, ...
Поскольку хп х, то хп зир (и, х). Кроме того,
и зир (и, х). Позтому зир (и, хп) зир (и, х), т. е.
0 зир (и, х) — зир (и, хп).
Далее,
х<х+зир(и, хп) — хп, и^зир(и, х„) + х — хп
м, следовательно,
зир(ц, хпХзир(и, хп)4-х — хп,
или
зир(м, х) — зир(и, хп)^.и — хп.
Таким образом,
О^зир(ц, х) — зир(м, хп)^х — хп.
Отсюда следуют неравенства
IIзир(и, х) — зир(и, х„)||<||х -хпЦ.
Поскольку Хп -*• X, то X — хп -* 0. Позтому
зир(и, х) — зир (и, хп)->0.
Лемма доказана.
Доказательство теореми 1. Пусть мно-
жество М с Ь, ограничено сверху злементом г £ Ц.
Обозначим через Аїх множество злементов вида у =
= зир (хх, ..., хп), где хх, ..., хп £ /И. Положим / (у) =
“ II 2 II — II 2 — УII- Функционал / (у) строго моно-
45
тонньїй (из неравенств уг у2, у± =/= уг следует нерг-
венство / (уг) < / (у2)) и ограничен сверху числом
Ц г Ц. Позтому
зир [(у) = а0 <||г ||.
ием,
Обозначим через уп, п = 1, 2, ....— последова-
тельность злементов из Л4П для которой Ііт [(уп) =•
п->ео
= ай. Злементьі гп = зир (ух, уп) также при-
надлежат Мг. Они образуют неубьівающую последо-
вательность, ограниченную сверху злементом г. Соглас-
но лемме 1, гп -> г*, откуда / (гп) -> / (гД Поскольку
/ (гп) > / (Уп), то / (гп) -> а„, и тогда / (г*) = а0.
По построению злемент г* удовлетворяет неравенству
2* V, где V — произвольная верхняя граница мно-
жества Мр Остается показать, что — верхняя гра-
ница множества М.
Предположим противное, что при некотором V Е М
злемент и = зир (о, г*) не совпадает с злементом г*.
Тогда ї (и)> [ (г#) = я,, а по лемме 1
Ііт зир (и, гп) = и.
Учитьівая, что зир (и, гп) £ ЛІ, имеем / (зир (о,
гп)) «о И» следовательно, [ (и)	а0. Пришли к про-
тиворечию. Теорема доказана.
Теперь легко показать, что и любое пространство
Ьр, 1 р <оо, полуупорядоченное конусом К+, яв-
ляется условно полной структурой. Действительно,
пусть множество М С Ьр ограничено сверху злемен-
том г £ Ьр. Учитьівая, что любая функция из Ьр явля-
ется в то же время функцией из Ьр можно рассматривать
М как множество функций из Ц, ограниченное сверху
злементом г £ Ц. В силу теоремьі 1 существует злемент
г* = зир ЛІ, принадлежащий пространству ЬР Тог-
да для произвольного злемента у Е ЛІ справедливьі
соотношения у г* г, или соотношения 0 г* —
— у г — у. Но функция г — у суммируема с р-й сте-
пенью. Позтому суммируема с р-й степенью и функция
г* — У, откуда вьітекает включение г* Е Ьр.
В условно полной векторной структуре Е рассмот-
рим монотонное, в общем случае нелинейное, отображе-
нне А.
Множество |х : а х Ь] сд Е назовем поряд-
ковим, конусним отрезком и обозначим [а, Ь].
46
ТЕОРЕМА 2 (Биркгофа — Тарского [2, 3]. Пусть
Е — условно полная линейная структура и А — мо-
нотонний оператор, отображающий порядковий конус-
ний отрезок [а, 6] в себя. Тогда А имеет на [а, 6], по
крайней мере, одну неподвижную точку.
Доказательство. Рассмотрим множество
М = (х Є [а, 6] : Ах х}. Зто множество не пусто
(а £ М) и ограничено сверху елементом Ь.
Пусть х0 = зир М. Для любого х Є М имеем х
Ах Ах0, откуда
х0 = зирх =СЛх0.	(1)
х<=М
Из зтого неравенства следует, что Ах0 А (Лх0),
т. е. Ах0 6 М. Тогда
АХф х0.	(2)
Из неравенств (1) и (2) следует равенство Ах0 = х0. Тео-
рема доказана.
Замечания
1. Из доказательства теореми Биркгофа — Тарского следует,
что нигде не использовалась линейность пространства Е, так что она
верна для любой условно полной структури. (Понятия зир X, іпї X
ограничеиного множества н монотонности оператора А также не ис
пользуют понятия линейности).
Однако в важнейших прило-
жениях зтой теореми приходит-
ся иметь дело с линейной условно
полной структурой и нелиней-
ньім монотонним оператором.
2. Требование монотонности
оператора А весьма существенно,
без него теорема становится не-
верной. Пусть, например, Е =
= К1 и
( 1	прн0^х<1/2;
І 1/3 при 1/2 < х 1
(рис. 3). Оператор А отображает
отрезок [0, 1] с К1 в себя. Ясно,
что графики функций у — Ах и
у = х не имеют общих точек, а
зто означает, что иа отрезке [0, 1]
не существует такой точки х0, что х0 = Ах0, хотя все условия тео-
реми Биркгофа — Тарского, кромемонотонности оператора А, внпол-
ненн.
Пример. Рассмотрим интегральное уравиение Урнсона
1
Ах = У / (і, з, х (з)) Лз = х (/),
о
47
где [ (і, д, и) — измеримая на [1,0]а X [—я, п] при любом натураль-
ної! п функция, причем при всех /, а Є [0, 1], и 6 (—оо, оо),
І/(С «, “)|<4.
Предположим далее, чт > / (І, а, и) — монотонно возрастаюіцая
функция по и при любих І, з. Тогда оператор А монотонний и преоб-
разует порядковий отрезок [—Ь, Ь] пространства М (0, 1) всех огра-
ниченних и нзмеримих функций в себя. Относительно поточечного
упорядочення М (0, 1) является условно полной линейной структу-
рой (проверьте), позтому по теореме Бнркгофа — Тарского оператор
А нмеет в [—Ь, 6], по крайней мере, одну неподвижную точку. Тем
самим доказано существование, по крайней мере, одного измеримого
и ограниченного на [0, 1] решения уравнения Урисона.
Отметим, что в отличие от многих других принципов неподвиж-
иой точки, принцип Бнркгофа — Тарского не требует непрерьівности
оператора А.
2. Предельно монотонно
компактньїе оператори
Вьіше при доказательстве существования неподвиж-
ной точки у монотонного оператора А использовались
только порядковьіе свойства пространства и монотон-
носте оператора. Для доказательства существования
неподвижной точки можно использовать и различньїе
сочетаиия порядкових и метрических свойств прост-
ранства и действующего в нем монотонного оператора.
Бмвает, что одной монотонности оператора недостаточ-
мо для существования неподвижньїх точек в инвариант-
ном порядковом отрезке.
Пример. В пространстве С (0, 2), полуупорядоченном конусом
К_|_, рассмотрим монотонний оператор Ах (/) = х (з (і)), где
.	( 1* прн 0 С < < і;
5 (Л = І	Г
І2 — (2 — /)’ при ]</<2.
Оператор А оставляет иивариантним порядковий отрезок [и; і>],
где
( 0 при 0	і 1;	(2/ при 0 і < 1;
и = і	V= <
(2/ — 2 при 1	І «С 2,	І2 при 1	і С 2,
ио не имеет в зтом отрезке неподвижних точек. Действительно,
если х, и < х < V,— неподвижная точка оператора А, то при 0 і <
< 1 справедливці равепства:
х (і) = х (І2} = X (/*) = • • • = х (І2П) = • • • = х (0) = 0,
т. е. х (І) = 0 иа [0; 1].
Пусть 1 < І 2. Положим і = 2 — т. Тогда д (/) = 2 — (2—
— 2 + т)2 = 2 — т2, з (5 (П) = 2 — (2 — 2 — т2)2 = 2 — и т. д.
Позтому для неподвижной точки х оператора А справедливи ра-
48
венства!
х (/) = х(2 — т) = х(2 — т«) = ... = х (2 — т2") = х(2),
т. е. х (і) = 2 на (1; 2), в то время как х (і) = 0 на [0; 1). Последнее
противоречит непрермвиости функцин х (І).
Ниже потребуется следующее	вспомогательное
утверждение.
ЛЕММА 2. В линейном нормированном пространст-
ве Е, полуупорядоченном замкнутим конусом К, вся-
кая монотонная и компактная последовательность схо-
дится.
Доказательство. Пусть хп+і хп, п. = 1,
2, ... Если последовательность (хп) компактна, то у
нее существует последовательность {хп(}, сходящаяся
к точке х. Пусть вся последовательность {хп) не схо-
дится к точке х. Тогда у нее существует подпоследова-
тельность {хП/), сходящаяся к точке у =/= X.
Для каждого і = 1, 2, ... виберем такое /= і (і),
что Пі п^. Тогда хПі хП) и, в силу сохранеііия
неравенств при переходе к пределу, х у.
Аналогично получаем неравенство у х. Из послед-
них двух неравенств в силу свойства 3°° конуса следует
равенство у = х. Полученное противоречие доказьівает
лемму.
Оператор А назьівают предельно монотонно компакт-
ним на ограниченном (по норме) множестве МаЕ,
если АМ с ЛІ и компактна (и, следовательно, сходится)
каждая последовательность злементов
х0 > Ахг А2х2 > ... > Апхп	(3)
для пронзвольной последовательности {хп}, п = 0, 1т
2, ...
Понятие предельной монотонной компактности ох-
ватьівает іпирокие класси нелинейннх операторов.
К ним относятся компактнне оператори А и оператори
А, некоторая степень которнх компактна. Свойством
предельной монотонной компактности обладают все
нелинейнне оператори, ограниченнне на М по норме,
если конус К обладает тем свойством, что каждая
ограниченная по норме монотонная последовательность
злементов сходится. Таким свойством обладают конуси
К.+ в пространствах 1^, 1Р, 1 р < оо, (0; 1) (по-
кажите зто).
49
ТЕОРЕМА 2 [4, 5]. Пусть монотонний и предельно
монотонно компактний оператор А преобразует в себя
ограниченное замкнутое множество М с Е и пусть
Лх0^х0 Я451 некоторой точки х0 £ М. Тогда А имеет
на М, по крайней мере, одну неподвижную точку.
Доказательство. Положим Л40 = {х £ М,
х Ах},
а}(х)= зир	|| ЛЛ; — ЛЛ^Ц-
Функционалн а; (х) имеют смисл при любом /, так
как х Ах, вследствие монотонности оператора А.
Согласно условию ЛЛ40 с: Мо,
а/+і(х) = зир Ц Л/+‘о — Л/+‘ш|| =
и,и>€Л10,4/+*	/+*
= зир Ц А'(Ау) — Л7(Ли»)||<
зир	Ц А^' — А1 а)' || = а; (х).
и'и>'ЄМ0,л/и'^л/и>'^х
Тогда последовательность функционалов (а7 (х)|
не возрастает в любой точке х £ Мо и, следовательно,
существует
іпї {а/ (х)| = а(х).
Покажем, что из предельной монотонной компакт-
ности оператора А витекает равенство
іпіа(и)=0, и£М, и^х,	(4)
для всех х £ М9.
Действительно, если ато не так, то найдутся злемент
х0 £ Мо и число р0 > 0 такие, что при всех и х0,
и £ М, получим а (и) > 0О, а следовательно, (и) >
> р0 при всех /, т. е.
зир Ц А1» — Л/и>|]> ро,
V, ш£М0, А^^А'аі^и.
Положим и = х0. Тогда найдутся ш£ Л40 такие, что
Л2Уі ^Л2и>! ^х0,
ІІЛ^! —ЛЧ|>р0.
Поскольку АгМ0 сі /Ио, то злемент = Л2^ лежит в
Л40, и тогда найдутся такие у2,	£ М9, что
А*о2 Л *ш2 А2У]	Л2^	х0,
МЧ-л^2||>р0.
50
Полагая и2 = Л2^,, аналогично вибираєм такие оа,
и>3 6 Ма, что
Л’о, Л*ща < Л4оа < А*ш2 < А< Л !и>! < х0,
цлч-л^а||>р0,
И т. д.
Таким образом, построена последовательность
х0 > Л2и>! > Л2^ > А*а>2 > Л4о8 > А2пшп	А2поп > ..
ЙЛ%-Л2ЧЦ>ро,	(5)
которая расходится, но зто противоречит предельной
монотонной компактности оператора А. Утверждение
(4) доказано.
Поскольку іпГ а (а) = 0, и £ Мо, и ^.х, то ана-
логично предндущему можно построить последователь-
ность
х0> Лх!>Л2х2> ... >Ллхп>...	(6)
злементов из Ма так, что ап (Ллхп)< . В силу
предельной монотонной компактности оператора А по-
лупаєм, что существует Ііт хп = г, г £ М. Из нера-
венства Апхп > г следует Лл+Іхп > Аг, и так как
Апхп > А (Ллхп) = Лл+*хп, то Апхп > Аг, откуда
г>Лг,	(7)
т. е. г С Мо. Из очевидних неравенств
Апхп > Л"+,хп+1 > -	> Ап+тхп+т > г > Лг >
>Л2г> ... >Лп+тг	(8)
внтекают соотношения Апхп > Л'і+тхл+т > г > Ап+тг,
и так как
а(Ллхп)= $ир |Л"0_Д"и,||<_к,
то при V = Атг, и) = Атхп-і-т справедливьі неравенства
1Ля'н,г-Лп+тх„+т|<4-
при любих натуральних п и т. Отсюда внтекает оценка
Ііт||Лл+тг- Лл+тхя+т | <4 •
61
яз которой, в свою очередь, следует, что для каждого
п найдется такой индекс тп, что
при п -* оо. Тогда в силу неравенства (8) имеем
•откуда г — Аг 0, т. е.
г^Аг.	(9)
Из неравенств (7) н (9) следует равенство г = Аг.
Теорема доказана.
Отметим, что ни в формулировке теореми, ни в ее
доказательстве нигде не использовалось предположеиие
о непрернвности оператора А.
Пример. Рассмотрим уравненне
сіх
-ЗГ + а(()х = І(і, х(і), х(і-Ь)),	(10)
где а (/) и / (і, х, у) периодичньї с периодом 2л по переменной І,
функция / (/, х, у) не убьівает по х, у и ограничена.
Напрнмер, [ (і, х, у) = а зі^п х 4- Ь зі£п у 4- а (0, где а, Ь > 0,
а а (0 — непрерьівна. Периодические решения уравнения (10)
совпадают с неподвижньїми точками действующего в пространстве
непрернвньїх на [0; 2л] н перноднческих с периодом 2л функцнй
оператора
2л	т
У а(5)(ї5	2я а(з)<Із
Ах (0 = (е°	— 1)—1 | е* [ (т, х (т),
<
/ — У а(з)4з
5Х (т)) сіх 4- У Є Т /(т, X (т), 5Х(т0Л,	(11)
о
где 5Х (0 = X (і — й) при /і < і 2л И 5Х (0 = X (і 4- 2л — /і)
прн 0 < / < й.
Действительно, рассмотрнм уравненне
сіх
+а(Г)х = у(і),	(12)
где а (0 и у (І) периодичньї с периодом 2л. Общее решение зтого
уравнения на [0; 2л] имеет внд
т	2л
— У с(ї)</5 2л — У а(з)</з
X (0 = Се 0	+ У е х у(т) <ІТ.
о
Повтому решение уравнення (12), удовлетворяющее условиям
х (0) = х (2л), прнводит к равенству
2л	2л
— У а(5)й5 2л — У а(5)4»
С = Се 0	+ у Є Х у (т) Л.
0
Отсюда
2л	2л
— У а(з)</« 2л — У а(з)</з
С = (1— Є 0	)—1	Є т у(т)</т,
0
и, следовательно,
2л	і	2л
— У а(і)<1з	— У а(з)4з 2л — У а(і)Ж
Х(ї) = (1-в 0	& 0	0 У (т) СІХ +
о
і	2л
і — У а{з)<1з	У а(з)<1з
+ У е ' У (Т) Л = (Є 0	— І)-1
2л У а(5)</5
У ? у (Т) ІХ +
0
І
І — У а(3)<із
+ р х у(х)Лх.	(13)
0
Подставляя в правую часть (13) вмесго у (/) функцню / (/, х (0,
«(0), получаем равенство х = Ах, где А — оператор (11).
2л
Предположим, что у а > 0. Тогда оператор (11) монотонний,
о
Покажем, что он компактний и преобразует некоторий порядковий
отрезок в себя.
Положим
2л
У <ЦЗ)4«
0 = (р°	-І)-1, М = тах|/(/, х, у)|, <7 = ||а(0 ||С(09
І,Х,Ц	' '•
Для любого х (/) 6 С (0; 2л) функция Ах (І) удовлетворяет соотно-
шениям:
т	і
2л У а(з)</«	т — У
| Ах (І) | ^М У е( Лх + М у Є . Х Лх
0	0
2л	2л
фАІ У е2пі,(1х М у е2лі,(1х = < оо.
6	о
63
Позтому все пространство С(0; 2л) переводится во множество
функций, норма которьіх не превосходит При заданном Д > 0
справедливьі равенства
т
2л У 0(5)4*
Лх(/4-Д) — Лх(ґ) = 2^ (е/+Л	—
т	/4-А
§ а(з)<1з	/4-А — § а(з)4з
— е‘ )/(т, Х(Т), 5Х(Т))</Т+ Є т /(т, х(т),
І
і — § а(з)4з
гх(і))<іт—^в т ^(т, х(т), *х(т))4т«
о
«4-А	І
2л — У 0(5)4*	У а(3)4з
= <}§(е	‘	— 1)ет /(Т, х (т), іх(т))гіт +
0
/4-А	‘
і — У а(з)4«	— У аігуїз
+ У (е *	~ 0 е Х /(Ь *(т), ах(т))Л-Ь
0
/4-А
/4-А — У 0(5)4*
+ У е т /(Т. іх(т))ат.
і
Тогда
і
2л £ О(ї)</5
|Лх(/4-Л)-Лх(0К<?[ |е'+4	-1|е2я«Шт-Ь
«4-а
І — У 0(5)45	(4-А
4- У | Є 1	— 11 е,лчШх 4- у е2л?МЛ <
О	І
2л2Л4е211^ (е?Л — 1 | 4- 2лЛ4е2л? [ е?л — 11 4- е2л<?Л/Д = О (Д),
причем о (Д) не зависит от функцни х (і).
Таким образом, функции Ах (/) равностепенно непрерьівньї и рав-
номерно ограннчеим. Следовательно, при и (/) = Ь оператор Л
переводит порядковий отрезок [—и; и] пространства С (0; 2л),
полуупорядоченного конусом в компактнеє подмножество зтого
отрезка.
Следовательно, оператор (11) удовлетворяет всем условиям
теореми 2, а значит, у оператора А єсть в пространстве С (0; 2л)
иеподвижная точка — периодическое решение уравнения (10).
54
список
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1.	Красносемский Лі. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитив-
неє линейине системи.— М. : Наука, 1985.
2.	ЛюстерникЛ. А., СоболевВ. И. Краткий курс функциональ-
ного анализа.— М. : Вьісш. шк., 1982.
3.	Вулих Б. 3. Введеиие в теорию полуупорядочеиньїх прост-
ранств.— М. : Физматгиз, 1961.
4.	Красносельский Лі. А., Соболев А. В. О неподвижннх точках
разрнвннх операторов П Сиб. мат. жури.— 1973.— Т. 14, № 3.
5.	Красносельский Лі. А., Забрейко П. П. Геометрические мето-
ди нелинейного анализа.— М. : Наука, 1975.
В. В. БУЛДИГІН, д-р фіз.-мат. наук,
Ю. В. КОЗАЧЕНКО, д-р фіз.-мат. наук
ФУНКЦІОНАЛИ БЕРНШТЕиНА
Й ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ
ДЛЯ РОЗПОДІЛІВ СУМ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Применяя надлежащим образом класси-
ческое рассуждение Чебьішева, возможно по-
лупить неравенства значительно более точ-
неє, чем неравенства Чебьішева, если талько
допустить некоторьіе ограничительньїе ус-
ловия, обьічно осуществляющиеся на прак-
тико.
С. Н. Бернштейн
1. Передгауссові випадкові
величини
Означення 1. Випадкову величину
5 назвемо передгауссовою, якщо знайдуться такі числа
а 6 [0, оо), А £ (0, оо], що для всіх X £ (—А, А) вико-
нується нерівність
Еехр{Х£) <ехр|—| .	(1)
Нехай для фіксованого А Є (0, оо) знайдеться таке
а £ [0, оо), для якого виконується (1). Розглянемо
числову характеристику
та (І) = іпі {а>0 : Е ехр < ехр -
*Є(-А, А)).
Ф в. В. БУЛДИГІН, Ю. В. КОЗАЧЕНКО, 1994
55
Ввважатимемо, що тд (6) = оо, коли множина тих
а 0, для яких виконується нерівність (1) при всіх
X Е (—А, А) є порожньою.
Згідно з означенням, випадкова величина & є перед-
гауссовою тоді і тільки тоді, коли знайдеться таке А £
Е (0, оо], що тд (£) < оо. Крім того,
І 2 1п Е ехр {ХЕ} \
тд(Е = зир ---------,,	’	(2)
Ш<л \ Л /
ЛчЬО
і при | X | < А
( ^д(б) 1
Еехр {Х£]< ехр |-з---1 •
Отже, кожна передгауссова випадкова величина £
має пару числових характеристик А = А (5) та тЛ =
= тд (£). Зазначимо, що коли А, < Ла, то
Тд, С Тд,-
При цьому може виконуватися рівність
Тд, = тЛ1,
тобто означення пари Лі тл, взагалі кажучи, не одно-
значне. У зв’язку з цим іноді доцільно розглядати ве-
личину
Атак = зир {X >0, для яких виконується нерівність (3)}.
Інтервал (—Лщах, Лтах) е максимальним, на якому
виконано (3).
Характеристики А і тд для передгауссових випад-
кових величин були введені В. В. Петровим [1]
у зв’язку з узагальненням нерівностей Бернштейна
для сум незалежних випадкових величин. Ці характе-
ристики вводилися також при вивченні властивостей
випадкових процесів у роботі [2], де розглядалися по-
няття передгауссових випадкових величин і передгаус-
сових процесів. Зауважимо, що термін «передгауссовий
випадковий елемент» в деяких роботах має зміст, від-
мінний від того, що використовуємо ми. ЯкщоЛ(£) =
= оо і Тю < оо, то за традицією, що йде від Ж. П. К а-
хана [3], випадкова величина називається субгаус-
совою. Субгауссові величини й процеси детально вивча-
лися в ряді робіт, наприклад [4—9]. Слід пам’ятати,
що всі субгауссові випадкові величини, а разом з ними
56
центровані обмежені випадкові величини, є передгаус-
совими.
Лінійна структура простору передгауссових випад-
кових величин. Для зручності позначимо простір усіх
передгауссових випадкових величин, що означені на
ймовірнісному просторі (£2,	Р), символом Рг§ (й).
ЛЕМА 1. Простір передгауссових випадкових вели-
чин Рге (□) є лінійним. Якщо при цьому
Еі, ЕїЕРгбЯ. сЄК; А(51) = А1,
А(|ї) = А2, А(с51) = Ая, Л(51+52) = Л4,
то
ТЛ,(с51) = |с|Тд^ (&!),
с
тА. (51 + ^Хтл, (Бі) + тл,(и
Доведення цієї леми аналогічне доведенню відповід-
ного твердження для субгауссових випадкових вели-
чин 16].
Встановимо співвідношення для характеристик сум
незалежних передгауссових випадкових величин.
ЛЕМА 2. Нехай £д, к = 1, 2, ..., п,— незалеж-
ні передгауссові випадкові величини з параметрами Лд,
п
<гд; 5П = У 5л- Тоді випадкова величина 5П є перед-
4=1
гаусовою і
п
Л(5п)>тіп Лд, тл(5п)^1'тд.
А=1
Доведення. При | | тіп Лд
1^4^и
П	П	( ЛаТ2 1
Еехр (%5П) = П Еехр (Л5л} П ехр ।~2~“і =
4=1	4=1	І * )
Звідси випливає доводжуване твердження.
67
2. Характеризація
передгауссових
випадкових величин
ЛЕМА 3. Нехай 5 — передгауссова випадкова
величина з параметрами А, тд. Тоді для кожного р > 0
Е|£Г<оо.	(4)
Крім того,
Е£ = 0,	(б)
Е52<т1.	(6)
Доведення. Співвідношення (4) випливає з
існування експоненціального моменту в Далі при
А.^0
Еехр(М) = 1 + Щ + -у-Е£2 + о(12),
Х2Тд 1	А.2 о
ехр	= 1 + -у- 4 + о (№).
Звідси нерівність (3) можлива тільки тоді, коли ви-
конується співвідношення (5), (6). Лему 3 доведено.
У подальшому використовуватимемо різні характе-
ристики передгауссових випадкових величин.
ЛЕМА 4 [10]. Наведені нижче твердження екві-
валентні:
1.	Існує така константа Ь £ (0, оо], що
Е ехр [ХЕ] < оо при | к | < Ь.
2.	Існує така константа а > 0, що
Еехр {а | £ |] < оо.
3.	Існують такі константи Ь > 0, с >0, що при всіх
х > 0
Р (|£|>х}^6ехр (— сх}.
Якщо Е£ = 0, то кожне з тверджень 1—3 екві-
валентне твердженню 4:
4.	Випадкова величина 5 є передгауссовою
5.	Якщо £ — передгауссова випадкова величина а
параметрами Л, Тд, то для всіх х > 0
Р{Е>*}р{?<-X) <<?(*),
р { і£і>х]
58
де
<?(*) =
2
ЯКЩО Лтд^Х.
якщо 0 < х < Лт^;
У субгауссовому випадку, тобто при Л = оо,
Ц (х) = ехр
2-г
Оскільки надалі часто використовується тверджен-
ня 5, то доведемо його.
Доведення. Нехай X £ (0, Л). Тоді, згідно з
нерівністю Чебншева — Маркова, для кожного х > 0
Р (Б >х}	ехр {— Хх) Е ехр {Х£} ехр І _А — Хх
= В (X, X).
Нехай Ф (х) = тім В (X, х). При кожному фіксо-
0<Х<Л
ванному х > 0 функція О (X, х) набуває найменшого
(за всіма X £ К) значення в точці
і —	х
лт|п —	5
Ф (х) = ехр
— г — ч
А )
п, і внаслідок монотон-
ності функції О (X, х), 0 < X < А,
_	і Л2Тд — Ах |	( \х }
Ф (X) = ехр -----2---- ехР------2“
Першу нерівність доведено, друга нерівність дово-
диться аналогічно, а третя нерівність випливає з перших
двох. Твердження доведено.
Зупинимося на взаємозв'язку передгауссовості ви-
падкової величини £ та аналі вічності її характеристич-
ної функції.
59
Позначимо
/и* = Е&», |Н = Е|£|» Л>1;
г(£) = 5ир{А^0 : Еехр {А.£) < оо),
і розглянемо ряд
І-И-г*. геС.	(7)
*=0
де С — множина комплексних чисел.
Нехай р (£) — радіус збіжності ряду (7), а рх (£) —
радіус збіжності ряду
Е-£-**• ас.
*=0
ЛЕМА 5. Нехай £ — деяка випадкова величина.
Тоді
га)=р®=Ріа)=р.
Середнє значення / (г) = Е ехр (г£) існує, якщо
І г | < р. При цьому
/(г)=^Л
*=0
тобто функція / (г) є аналітичною при | г | < р.
Доведення леми 5 міститься в [11, с. 228—229[.
Зауважимо, що
'(&) =
£~' (£), якщо Ь (£) £ (0, оо);
оо,	якщо Ь (£) = 0;
0,	якщо Ь (£) = оо,
Де

Леми 4 і 5 показують, що центрована випадкова ве-
личина £ є передгауссовою тоді, коли функція / (г) =
= Е ехр {?£} є аналітичною в деякому околі нуля ком-
плексної площини.
Нехай 
Є (Б) = зир	(8)
Доведемо таку теорему.
60
ТЕОРЕМА 1. Випадкова величина 5 е передгауссо-
вою тоді і тільки тоді, коли Е£ = 0 і 0 (£) < оо, або
£ (£) < оо. При цьому для кожного а > 1
а© (Б) СЛ(5).
(9)
тлФС1/ ~п-0(У-
(Ю)
Доведення. Той факт, що центрована випадкова
величина є передгауссовою тоді і тільки тоді, коли
£ (£) < оо, встановлено вище. З означення величин
£ (Е) і О (Е) випливає, що £ (£) < оо тоді і тільки тоді,
коли 0 (£) < оо.
Доведемо нерівності (9), (10).
Нехай Е£ = 0, 0 (£) < оо, а > 1. Тоді при | А, | <
_ 1
1 + 2 |ХУЙІ С 1 + £ І *0(Б)І* =
к=2	к=2
(АЄ(Е)р , Д(АЄ(6))«
1-|Л0(Е)|	Ф а —1
Згідно з лемою 5, при І к І <	 виконується
співвідношення
Еехр{^) = 1 +
к=2	*=2
0® *)
Звідси випливають нерівності (9), (10). Теорему до-
вздзиз.
Зауваження 1. Функціонал 0 (Б) не е нормою на Рг§ (£2). У зв’язку
з цим введемо функціонал
МВ-.ирі/ЗЦЕ.
к^2 Г ЙІ
Зрозуміло, ЩО 0 (5) < оо ТОДІ і ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ 0! (5) < оо.
Оскільки 0 (£Х 0і (5), то в нерівностях (9), (10) величину 0(5)
можна замінити на 0} (5). Крім того, функціонал 0і є нормою на
Рг8 (О).
61
Розглянемо простір Орлича, що відповідає класу
передгауссових випадкових величин. Нехай
17(х) = ехр {|х|} — 1, хбК-
Позначимо через (й) простір випадкових вели-
чин $ таких, що для кожної 5 існує таке число Д (5) >
> 0, що
Простір Ьу (й) є банаховим простором відносно норми
Ц||у = іпї[с>0 : Е ехр <2}
і називається простором Орлича, породженим функцією
V П2].
Нехай Ьц (й) — банахів простір центрованих ви-
падкових величин з Ьу (й), тобто
£Є£°У(Й)«ЕЕ = О,
ТЕОРЕМА 2. Простір Рге (й) 1 Ьц (й) збігаються,
а норми Ц Ци і Оі (£) еквівалентні.
Доведення теореми 2 базується на лемі 3 та теоремі
1 і виконується аналогічно доведенню відповідного твер-
дження в [8].
3. Суми обмежених незалежних
випадкових величин
Нехай £ — центрована обмежена випадкова величина.
Як було зазначено Е є субгауссовою випадковою вели-
чиною, тобто Л (£) = оо. Нижче буде знайдено оцінку
ДЛЯ ВеЛИЧИНИ Те (£).
ЛЕМА 6. Нехай Е£ = 0 і | £ | с <_ оо майже
напевно (м. н.). Тоді
Т =Тоо(ЕХс.
Доведення. Оскільки £ є субгауссорою випад-
ковою величиною, то, згідно з (6), для кожного а £
£ (—оо, оо)
т (а£) = І а І т (£).
Тому твердження леми досить довести при с = 1.
Отже, нехай | |	1 м. н. Для всіх к 1
|Е^+Ч=|ЕБ(В2а-1)|<Е|Б||1-52*|<
<Е(1 -е2*)= 1 —Е£2А.
62
Використавши цю нерівність і те, що
і ь і2*+і с 4 (ік і2*+1к р+2)«
дістанемо
*=2	'	'
у і2* ( Е^2* -і. І Е£2*~‘ । + і ее2*+1 і 1 <~
'	\ (2Л)І "* 2(2Л—1)1	2(2к+\)\]^*
сі + 4(ц2+
г 2 (2Л + 1)1 ґ
і -	\ > у ,?* ( Е*2*
31	/ Н \ (2Л)І
+
2 (2к — 1)! /	1 + 2
у а2* (рр2і І *________________!______'і ।_______!______;.
\ 6 \ (2Л)1 ' 2 (2А + 1)! / *" 2 (2Л-І-1)!
, і	)<і , 21 і у ^(‘ + 6) <1
ф 2(2А —1)! /*= -ґ 2	(2А)1
Л=2
І Xа . V	*2А	V І
+ 2 +£> ЛІ 2* ~ЄХР1 2 Ь
Таким чином, для всіх X £ (—оо, оо)
1 + |_ж<ЄхР{4}.
Звідси, згідно з лемою 5, для ВСІХ X (— ОО, оо)
ЕехрІЧ)_1+£-^<ехРт.
п=2	'
тобто т (£)	1. Лему доведено.
З лем 2, 4, б як наслідок випливає нерівність Хеф-
дінга 110, с. 93].
Наслідок 1. Нехай к = 1, 2  п,— пос-
лідовність незалежних центрових випадкових величин
і для всіх к = 1, 2, ..., п майже напевно
ІЕа|<Сл<оо.
63
п
Розглянемо <$п = 2 5*. Тоді ДЛЯ КОЖНОГО X > 0
Р{5п>пх) <Оп(х), Р{5П< — пх} ^6п(х),
де
Р {|5П|> пх} <2Оп(х),
6п (х) = ехр
п«х«
2 СЛ
*=!
4. Функціонали Бернштейна
та експоненціальні нерівності
Введемо в простір передгауссових випадкових ве-
личин функціонали, які називатимемо функціоналами
Бернштейна. Ці функціонали дають змогу оцінювати
параметр тд (£) за дисперсією випадкової величини £.
Нехай у випадкової величини 5 існують усі моменти
Е£*, &	1- Вважатимемо, що при кожному числі а > 0
і цілому /п > 2
Ва.т (?) = зир / °|ЕЕ*І
к>т \ Й! о"1 /
де а = (Е£2)І/2 > 0.
Якщо о = 0, тобто Е = 0 м. н., то вважатимемо,
що Ва,т (£) = 0.
Введення функціоналів Ва,т (£) зв’язано з розвитком
ідей робіт С. Н. Бернштейна [13, с. 711 і В. В. Пет-
рова [10]. Зазначимо, що введений раніше функціонал
0 (5) є функціоналом Ді.о (5).
Зазначимо також, що коли знайдеться така констан-
та Н 0, що для всіх цілих к > т
(П)
то
В^^Н.
Звідси безпосередньо випливає, що
Ва^п (Б) = тіп {Н 0, для яких виконується (11) при
всіх к > т}.
ЛЕМА 7. Для того щоб £ £ Рг£ (О), необхідно і
достатньо щоб Е| = 0 і для деяких а > 0, т 2 ви-
конувалася нерівність Ва>т (6) < °°-
64
Доведення. Нехай а > 0, т 5? 2. Не пору-
шуючи загальності, припустимо, що о > 0. Якщо 5 £
€ Рг£ (О), то, згідно з теоремою 1, 0 (6) < оо. Тому
к	1__
о	II І ЕЕ* 1 \>/*\*-и І а \к—т
« = їир	<
к>т \\ ЯІ /	/	\ <Г’ /
ь __Г_
<5ир(0(5))*—/_^-)4 т<оо.
к>т	\	]
Навпаки, нехай Е£ = 0 та Ват Я < оо. Тоді
при | Мі | < 1 матимемо
+ І +	+
4=т-|-1	4=2
Звідси дістанемо, що при | X | < згідно з лемою 5,
ВехрМ)-І4^<' + £-ШТІ^ +
4=0	4=2
Лему доведено.
Покажемо, як характеристики передгауссової ви-
падкової величини £ зв’язані з функціоналом Ва (5) =
= Ва.? (5).
ТЕОРЕМА 3. Нехай Ед = 0 і Ва (£) < Н < оо. То-
ді для будь-яких а > 0, с £ (0,1), X £ (-----ви-
конується нерівність
Е ехр {Ц} ехр { Хгра/С2(а’ с) },	(13)
з 79
65
тобто
(14)
(15)
ІЇМ&'КІа, с),
де/((а, С) = 1 + ^г.
Доведення. Якщо Н = 0, то о = 0 і £ = 0
м. н. Отже, співвідношення (13) — (15) очевидні. Якщо
Н =/= 0, то з нерівності (12) випливає, що для всіх X 6
Є (—виконується нерівність
Еехр{^}<1 + -^
2с
а (1 — с}
а (1
Теорему доведено.
Теорема 3 дає змогу встановити експоненціальні
нерівності для «хвостів» розподілів сум незалежних
випадкових величин.
ТЕОРЕМА 4. Нехай к = 1, .... п, — незалеж-
ні центровані випадкові величини; Е£* =	й=1,...
- , п,
= Е. Ь-
1С*Сп
Тоді для будь-яких х > 0 справджуються нерівності:
де
Уп(*) = Єхр
Xі
2(Е
\А»1	/
Доведення. Згідно з теоремою 3, при | X | <
< -д-, а — 2, с 6 (0,1) маємо
Е ехр {Х5П} = II Е ехр {Х£Л) < ехр | Д <**| •
Звідси і з леми 4 випливає оцінка:
68
X* (1 — о
2£
4=1
О <х<
<І
4=1
(1-г)В
(1-е) В
Якщо мінімізувати по с вираз у правій частині ці-
єї нерівності при фіксованому х > 0, то дістанемо
Вх
В*+І 4
Таким чином, маємо першу з нерівностей (16). Друга
з цих нерівностей доводиться аналогічно, а третя ви-
пливає з перших двох. Теорему 4 доведено.
Якщо спеціальним чином вибрати область зміню-
вання х, то від нерівностей (16) легко перейти до нерів-
ностей типу Бернштенна 110, с. 84].
Наслідок 2. Нехай р > 0, 0 < х < —---. Тоді
виконуються нерівності:
Р(5п>х}^(/п(х), Р{5п<-х)СІ/п(х),
Р(|5я|>х)<2^(х),
Де
(/п (х) = ехр
Xі
2(1 +Р) І а*
4=1
Зупинимося на нерівностях великих відхилень для
передгауссових випадкових величин.
Наслідок 3. Нехай к 1,— послідовність неза-
лежних центрованих випадкових величин;	А2,
1; В2(^)<В,	1.
Тоді для всіх п, 1, х > 0 виконуються нерівності:
Р{5„>лх}<Уп(х),
Р{5я<-лх)<Йя(х),
Р( |5„ |>пх}<2Йл (х),
67
де
(*) = вхР {	2(Д’ + йх) ) •
Наслідок 4. Нехай £ЙІ к 1,— послідовність не-
залежних центрованих випадкових величин; Е£І А3,
Л>1; Ва(£й)<В, Л>1.
Тоді для кожного р>0 і 0<х< викону-
ються нерівності:
Р(3„>пх)<йп(*). Р(Зп<-пх}<І/п(х),
Р{|Зп|>пх}^2С/п(х),
Де
(*) = ехР {	2(1+0) Да } ’
5. Строго передгауссові
випадкові величини
Нехай 6 — передгауссова випадкова величина з па-
раметрами Л, тд. Згідно з лемою З,
Е£«<4.
Тепер розглянемо той випадок, коли ця нерівність
перетворюється в рівність.
Означення 2. Передгауссова випадкова величина £
називається строго передгауссовою, якщо
Е£ї=тд,
тобто знайдеться таке Л Є(0, оо], що при всіх А £ (— Л, А)
Еехр{Ц}^ехр(-^-).
Найпростішим прикладом строго передгауссової ви-
падкової величини є центрована гауссова випадкова ве-
личина.
Перейдемо до характеризації строго передгауссових
випадкових величин у класі передгауссових випадкових
величин.
ТЕОРЕМА 5. Передгауссова випадкова величина £
е строго передгауссовою тоді і тільки тоді, коли або £
є гауссовою випадковою величиною, або знайдеться та-
68
ке ціле число Н 2, що виконуються умови
Е£2'-1 =0, 1 < і < У;
Е£2' = (2/ — 1)11 о27,
Е^2л,<(2ЛІ—1)!!о2",	(17)
де о’ = Е£а.
Якщо при цьому
«ф( '^"й'1 )<»
7>2ЛГ \	/! Еб2" )
ТО
1 /	ее2ЛГ \
л«»т(‘- (^Д-,,7» )•
Доведення. Необхідність. Нехай 6 — строго пе-
редгауссова випадкова величина. Покажемо, що коли
при п 2 виконуються умови
Е£2/-1 =0,
Е£2/ = (2/— 1)11 о2/, !</<«-!,	(18)
то
Е£2п~‘ = 0,
Е£2"<(2л— 1)11 а2л.	(19)
Справді, оскільки при достатньо малих X £ (— оо,
«>) ш
Еехр (Х|)<ехр {—у“} •
то, використавши формулу Тейлора, дістанемо
£ V + о (X2") < 2	X2' + о (Х2л).
1=0	1=0 і 11
Звідси, використовуючи співвідношення (18), маємо
Е£2п 1 Ц 2л—1 | ЕЕ2" ч 2л , 2лч
(2п-!)І Х	+ Т&ОГ Х + 0 (Л > <
+	(20)
Якщо в цій нерівності X -> 0 так, що X > 0, то дістанемо
Е£2л'1 <0.
ю
Якщо X -► 0 так, що 1 < 0, то
Е&2л-1>0.
Таким чином, Е£2п—1 = 0.
Якщо тепер з урахуванням останньої рівності у спів-
відношенні (20) 1 -> 0, то знайдемо
Е&2л<(2л- 1)11 а»".
Цим показано, що зі співвідношень (18) випливають
співвідношення (19).
Зазначимо, що співвідношення (18) виконується при
п -= 2. Якщо в співвідношенні (19) вперше для даного
п ~ N виконується строга нерівність, тобто
Е&2л/<(2Л^— 1)11 а2",
то тим самим виконані умови (17).
Якщо для всіх п 2
Е£2л = (2л — 1)11 а2п,
то, як відомо, випадкова величина £ є гауссовою. Отже,
необхідність доведено.
Нехай тепер виконуються умови (17) і а > 0. Роз-
глянемо функціонал Бернштейна (&), де
Нехай Ва,2Л(£)<//< оо. Тоді прн	згід-
но із співвідношенням (12), виконується нерівність
с	. Vі І*Га2/ .	|Л|2^
Еехр (Ч) < 1 4- 1	+	•
Далі, в силу третьої нерівності (17), при достатньо
малих X виконується нерівність
2^1 < а (1 — | ІД |).	(22)
Якщо тепер X таке, що виконується нерівність (22),
то
/ Ла<та у 1	( Х2<т2 і
Еехр^}<2(—) — <ехР|—}•
Це означає, що випадкова величина £ є строго перед-
гауссова. Для того щоб закінчити доведення теореми,
70
залишилось зазначити, що коли а задано співвідношен-
ним (21), то
/(2^)11 Е£/| \2"
Оа.2# = ЗИр	.. РЇ2Л І
/>2М \	1‘	/
а з нерівності (22) випливає нерівність
' 1 /	ЕЕ2" \
— і-----------------ї»_______
н І (2ЛГ — 1)11 а2"
Теорему доведено.
Виділення строго передгауссових випадкових величин
виправдано тим, що для них експоненціальні нерівності
для передгауссових випадкових величин можуть бути
посилені. Наприклад, наслідок 4 можна уточнити так.
Наслідок 5. Нехай к 1,— незалежні однаково
розподілені випадкові величини, для яких при деякому
N>2 виконується умова (17). Тоді для всіх
/ (2ЛГ)І|Е$'| У"2"
і всіх х > 0, п. > 1 справджуються нерівності:
Р(Зп>пх}<И7п(х), Р{5п<-лх}<И7„(х),
Р{ |5п|>лх)<2ІГп(х),
^п(х) =
(ЛХ* 1 л	«
— -2бН. 0<х<гог;
ехр |-, га2 < х,

Доведення наслідку 5 випливає з лем 2, 4 і теоре-
ми 5.
Застосуємо здобуті результати до обмежених ви-
падкових величин.
Наслідок6. Нехай к > 1,— послідовність неза-
лежних центрованих однаково розподілених випадкових
величин таких, що 4
Нехай, крім цього, = 0. Тоді, якщо
Е£4 —Зо*<0,
тобто 6 має від’ємний ексцес, то для всіх х > 0, п 1
виконуються нерівності:
Р(5п>лх} <^п(х). Р{$„С-п;
Р {| 5„| >лх} ^2ЇГП (х),
де
К(х) =
пх*
2а*
Г = 2_П__^
<Ц За* )’
Доведення. Твердження наслідку 6 є окремим
випадком наслідку 5 при N = 2. Оскільки
І 4! ЕЕ4с*-4
вир
*>4
/ 4! \ к-і с
= с^рНг) =Т’
то можна покласти Н = -=-.
О
6. СеміінварІантнІ
характеристики передгауссових
випадкових величин
Вище було розглянуто числові характеристики ви-
падкових величин, зв’язані з локальною поведінкою в
околі нуля породжуючих функцій моментів або з асимп-
тотичною поведінкою самих моментів. До таких харак-
теристик належать параметр тд, величина 9, норма
9і, функціонали Бернштейна Ва,т, які, з одного боку,
дають змогу визначити належність випадкової величини
класу Рг£ (□), а з другого боку — фігурують як пара-
метри в експоненціальних оцінках «хвостів» розподілів.
Розглянемо аналогічну характеристику, що визнача-
ється семіінваріантами випадкової величини. Така ха-
Гактеристика вводилась і використовувалась в роботах
14—16].
78
Нагадаємо, що коли «р^ (и), и 6 (—оо, оо), е харак-
теристичним функціоналом випадкової величини 5. то
в деякому околі нуля визначено головне значення —
натуральний логарифм. Згідно з означенням, величина
1 /
ХА — ХА (£) —	ІП (и) |и_0
називається семіінваріантом (кумулянтом) к-го поряд-
ку. Семіінваріант к-го порядку існує тоді і тільки тоді,
коли існує момент к-го порядку.
Нехай у випадкової величини £ існує хА, к 1. Вва-
жатимемо, що
Наприклад, якщо £ — гауссова М (0, аа)-випадкова
розподілена величина, то 0а (£) = Е£2 = ога.
Семіінваріантна характеристика 0 (£) має ряд вартих
уваги властивостей.
ЛЕМА 8. Нехай £А, к = 1, .... п, — незалежні ви-
падкові величини і 0 (£А) < оо, к = 1, .... п, а 5п =•
п
- ї
6=1
Тоді
п
02(5П)С2 0а (&).
Доведення. В силу незалежності випадкових
величин £а, к = 1, ..., п, для будь-якого т 1 ви-
конується нерівність
Тому
п
|хт(5п)|С 5 |хт(^)|.
Л=1
02 /С \	І І *т (5п) | \ т 1
I Еі*т(^)І
<2,=£’*<«•
Лему доведено.
73
ТЕОРЕМА 6. Якщо Е£ = 0, р = р (£) < оо, то ви-
падкова величина £ є передгауссовою. Крім того, для
будь-яких чисел сЄ(0,1), Х^(--, -р-) маємо
Еехр {Ц} < ехр[—І,
тобто
Доведення. Розглянемо ряд у комплексній
площині Сі
Л(г)= Іг£С. (23)
4= і
Оскільки р < оо, то для кожного к 2
|КА £)|<Р2<*-‘’ (к -2)!
Отже, для достатньо великих к
іхйФІСР2**!
і
і = питцем4 <р2<оо.
4->оД ЙІ )
Тому ряд збігається в крузі (| г | < г}, де г =
=> £~1 = р-2 > 0, і визначає в цьому крузі аналітичну
функцію. Згідно з лемою 5, при | г | < г
Л.(г) = 1л Еехр (г£).
Оскільки хх (Е) = Е£ = 0, то для всіх X Є (—/?, Я)
ІпЕехр{Х£} = £-МИ-Х*.
4=2
Тому для с£(0; 1) при | X | <
Іп Е ехр (Ц) < 2 і* <
4=2	*=2
Х2Р2	*2р2
— 2(1 -ХР2)	2(1 -с) ‘
74
Таким чином, для будь-яких с€(0, 1),
виконується нерівність
Е ехр {Л6} < ехр { а (і-с) } '
Теорему доведено.
Як наслідок теореми 6 розглянемо експоненціальні
нерівності, що уточнюють нерівності, здобуті в роботах
115, 16].
ТЕОРЕМА 7. Нехай £А, к = 1, ..., п,— незалежні
випадкові величини, такі, що Е£* = 0, 0 (£а) < рх < оо,
к = 1, ..., п. Тоді для кожного х>0 виконуються
нерівності:
Р{5п>х}<Тп(х), Р{5п<-х)СТп(х),
Р(|5„|>х)С2Т„(Д	(24)
де
Тп (х) = ехр |-я— ---] .
' І	2р*(л + х) )
Доведення. Нехай с 6 (0; 1). Згідно з теоремою
6, при | к | < маємо
Еехр(Х5п} = П Еехр{4*}<
В силу леми 4, твердження 5, для кожного х > 0
виконується оцінка
Якщо мінімізувати по с Є (0; 1) при фіксованному х >
> 0 вираз в правій частині здобутої нерівності, то діс-
танемо, що
X
СпЛп - п+х ‘
Таким чином, першу нерівність доведено. Друга
нерівність доводиться аналогічно, а третя випливає
з перших двох. Теорему доведено.
75
Наслідок .7. Нехай к 1 — послідовність не-
залежних центрованих випадкових величин; 0 (£*)
< 0! < оо. Тоді для будь-яких х > 0 і л > 1 справд-
жуються нерівності:
Р {5П>пх} С Тп (х), Р{8п^-пх}^Тп(х),
Р{\8п\>пх}^2Тп(х),	(25)
де
Тп (х) = ехр-----~.
[	20? (1 4-х) І
Зокрема, якщо х 6 (0; х0], то
Тп (х) = ехр (---——5- |.
І 2(1 + хо)0? І
Як приклад розглянемо випадкові величини з без-
межно подільними розподілами.
Нехай характеристична функція (і) випадкової
величини має вигляд
оо
с к11х____________________і _ иг
1п ФЕ (0 = У ----— <1К (X),	(26)
«—00
де К (х) — спектральна функція Колмогорова [10].
Наслідок 8. Нехай £л, к — 1, ..., п,— незалежні
однаково розподілені випадкові величини, що мають
безмежно подільний розподіл, що задається співвідно-
шенням (26). Тоді справджуються нерівності (24) при
(ОС	Ч 1
У Мжи) у"-7
. ~г.-2>. ) 
Твердження наслідку 8 очевидно випливає з теореми
7, оскільки
Хга - у хт-2ак (х), т>2.
7. Функціонали Бернштейна
для семіінваріантів
Аналогічно до того, як вводилися функціонали Берн-
штейна для моментів, можна ввести функціонал Бернш-
тейна для семіінваріантів.
.76
Нехай у випадкової величини 5 існують семіінварі-
анти хА = хЛ (Б) будь-якого порядку к > 1. Нагадає-
мо, що ха = о8 = Е£8. Якщо ха > 0, то для кожного
числа а > 0 і кожного цілого /п 2 покладемо
і
Ф (Е) — 5110 / а І І \
(6.) — ЗИР І т	•
к>т І Т І
\ ЛІх2 (£) /
ЯКЩО ха = 0, ТО Фат (5) = 0.
Функціонали Ф0.т (£) є семіінваріантними аналогами
моментних функціоналів Бернштейна Ва.т (&)• У по-
дальшому розглядатимемо лише функціонал Фг,2 (5).
який для простоти позначимо Ф (5), тобто
і
й—2
Ф (£) = зир (—((^—)	
Зазначимо, що функціонал р2 (£), який розглядав-
ся раніше, є окремим випадком загального функціона-
лу Бернштейна. Крім того, зазначимо, що Ф (І) є точна
нижня грань тих Н 0 таких, що для всіх цілих к
3 виконується нерівність
нк~2-
ТЕОРЕМА 8. Ф (£) < оо тоді і тільки тоді, коли
Р (5) < оо. Якщо Ф (І) Н < ОО, то для будь-якого
с Є (0; 1) при | X | < -р- справджується нерівність
Еехр (Х£) <ехр{ |,
тобто параметри Л, тд передгауссової випадкової вели-
чини & задовольняють співвідношення
Доведення. Зквівалентність співвідношень
Р (£) < оо і Ф (£) <оо випливає безпосередньо з означен-
ня цих функціоналів.
Нехай Ф (5) С Н < оо, с Є (0; 1).
Тоді при | ХН | с маємо
V	(Х|42_|хГ
4=2	4=2	2
<^•2 |х«г!
£ к=і
ст2Х2	а2А»
2(1 -1 кН |)
77
Згідно з лемою 5, при [ кН | с
Іп Е ехр (Ц) = 2	с
Теорему доведено.
ТЕОРЕМА 9. Нехай / = 1, 2, п, — незалеж-
ні випадкові величини і Е£, = а, < оо, / = 1, 2, ...
...,п,8п =2 Крім того, нехай існує така константа
Н £ (0, оо), що Ф (£;) Н, і = 1, 2, ..., п.
Тоді для будь-яких х > 0 виконується нерівність:
Р {5П >х}	(х), Р{$пС-х}СЯ„(х),
Р(|$п|>х}С2Яп(х),
(27)
/?п (х) = ехр
2 2 +
Доведення теореми 9 базується на теоремі 8 і дове-
денні теореми 4.
Наслідок 9. Нехай /= 1, ..., п,— незалежні
однаково розподілені випадкові величини, що мають
безмежно подільні розподілені випадкові величини, що
мають безмежно подільні розподіли, які задаються спів-
відношенням (26), і нехай носієм спектральної функції
/< (х) є інтервал [—О; О) Зп =2 Тоді для всіх х >
/=і
> 0 справджуються нерівності (27), де Н = Зокрема,
для будь-яких X > 0
Р {5„ > пх] с ехр І------------ПХ Вх \
)	2 і ст2 —І- —
|	2^ + —
Доведення. Оскільки для всіх /=!,..., п.
Л—9
78
то доводжуване твердження випливає з теореми 9. Тео-
рему доведено.
Деякі з нерівностей, що містяться в п. 6, 7 можна
дістати з більш загальних експоненціальних нерів-
ностей [17, 18].
СПИСОК
РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1.	Петров В. В. Обобшение и уточнение неравенств Бернштей-
на // Вести. Ленннгр. ун-та.— 1967.— № 19.— С. 63—68.
2.	Булдьігин В. В., Козаченко Ю. В. О локальних свойствах
реализацнй некоторьіх случайньїх процессов и полей // Теория ве-
роятностей и мат. статистика.— 1974.— Вьіп. 10.— С. 39—47.
3.	КаНапе д. Р. Ргоргіеіез Іосаіез «Лез Іопсііопза зегіез сіє Еои-
гіег аіеаіоігез // 8іи<1. таіЬ.— 1960.— Уоі. 19, N 1.— Р. 1 — 25.
4.	Козаченко Ю. В. Локальнне свой тва внборочньїх функций
одного класса случайньїх процессов // Теория вероятностей и мат.
статистика.— 1970.— Вьіп. 1.—С. 109—116.
5.	іаіп N. С., Магсиз М. В. Сопііпиііу ої знЬ^аиззіап ргосе-
ззез // Аду. іп РгоЬаЬіІііу.— 1978.— Уоі. 4.— Р. 408—423.
6.	Булдьігин В. В., Козаченко Ю. В. О субгауссовских случайньїх
величинах // Укр. мат. жури.— 1980.— Т. 32, № 6.— С. 723—730.
7.	Булдьігин В. В.. Козаченко Ю. В. Субгауссовские случайньїе
вектори и процессьі // Теорня вероятностей и мат. статистика.—
1987.— Вьіп. 36.— С. 10—22.
8.	Козаченко Ю. В., Островский Е. И. Банаховьі пространства
случайньїх величин типа субгауссовских // Теория вероятностей
и мат. статистика.— 1985.— № 32.— С. 42—53.
9.	Островский Е. И. Зкспоненциальньїе оценки распределеиия
макснмума негауссовского случайного поля // Теория вероятностей
и ее применение.— 1990.— Т. 35, № 3.— С. 482—493.
10.	Петров В. В. Предельньїе теореми для суми независимьіх
случайньїх величин.— М. : Наука, 1987.— 317 с.
11.	Лукач 3. Характеристические функции.— М. : Наука,
1979. 423 с.
12.	Красносельский М. А., Рутицкий Я- Б. Вьіпуклне функции
и пространства Орлича.— М. : Фнзматгиз, 1958.— 271 с.
13.	БернштейнС. Н. Собрание сочинений : В 4т.— М. : Наука,
1964.— Т. 4,— 577 с.
14.	Булдьігин В. В., Яровая Н. В. Функциональная предельная
теорема для полей дробового зффекта // Проблеми теории вероятност-
ннх распределений.— К. : Ин-т мат. АН Украйни, 1983.—С. 25—41.
15.	Булдьігин В. В., Яровая Н. В. Семиинвариантнне условия
непрернвностислучайннх процессов // Докл. АН Украйни. Сер. А.—
1990.—№ 2.—С. 3—6.
16.	ВиІсіу§іп V. 8ет1-іпуапапі сопсііііопз о( чіеак сопуег^епсе
ої гашіот ргосеззез іп Же зрасе о( сопііпиоиз Гипсііопз // Иєау Тгепдз
іп РгоЬаЬіІііу апсі зіаіізіісз.— У8Р.— 1991.— Р. 21—33.
17.	Бенткус Р., Рудзкис Р. Об зкспоненциальннх оценках
распределеиия случайннх величин // Ьіе(. таіет. гіпк.— 1980.—
Т. XX, Ке 1,—С. 15—30.
18.	СаулисЛ., Статулявичус В. Предельньїе теореми о больших
уклонениях,— Вильнюс : Мокслас, 1989.
79
А. А. ДОРОГОВЦЕВ, д-р физ.-мат. неук
О СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНМХ
ПРЕДСТАВЛЕННЯХ
Ученім считают определенние факти бо-
лее интересннми в сравнении с другими,
потому что они дополняют незаконченную
гармонню или потому что они позчоляют
предвидеть большое число других фактов.
А. П у а н ка р е
1. Настоящая работа посвящена ин-
тегральньїм представленням гауссовских функционалов.
Предполагается, что читатель знаком с конструкцией
и свойствами стохастического интеграла Ито, а также
с основними понятиями теории случайннх процессов.
Обо всем зтом можно прочесть в [1]. Одним из основних
обьектов, которне обсуждаются в данной статье, явля-
ется следующая известная теорема Кларка [1].
ТЕОРЕМА 1. Пусть (№(/); /Є (0; 1])—винеров-
ский процесе, заданншй на вероятностном пространстве
(й, Ф, Р), а — случайная величина с конечним вто-
рим моментом, измеримая относительно а>. Тогда имеет
место представление
і
а = Ма х (0 (іш (/),	(1)
о
где (х (і\, І Є [0; 11}—случайньїй процесе, согласо-
ванний с естественннм потоком о-алгебр процесса
и удовлетворяющий условию
і
Мрг(/)й/< + оо.	(2)
о
В правой части равенства (1) стоит стохастический нн-
теграл Ито.
Упражнения
І. Проверить, что процесе X определяетея единственньїм обра-
зом с точностью до стохастической зквивалентности.
2. Пользуясь формулой Ито, найти внд процесса х из (1) для
случаев
а) а = ша (1); б) а = иі® (1); в) а = Р (ш (1)), где Р — много-
член.
© А, А. ДОРОГОВЦЕВ, 1994
80
В настоящее время существуют несколько обобщений
приведенной теореми в различних направленнях — ос-
лабление моментного условия, замена интеграла Ито
другим стохастическим интегралом, замена винеров-
ского процесса гауссовским или даже негауссовским
мартингалом. Цель данной статьи — познайомить с не-
которими из зтих обобщений, используя довольно новий
и полезннй при работе с гауссовскими функционалами
аппарат — стохастическое нечисленне (иногда, в за-
висимости от форми изложения, називаемое исчислением
Маллявена). По ходу изложения будут приводиться
формулировки необходимнх утверждений, относящихся
к стохастическому исчислеиию. Читатель, пожелавший
подробно с ним ознайомиться, может обратиться, на-
пример, к статье автора в втом же сборнике за 1988 г.
12] или к работам [3—5].
2. Начнем с обсуждения самой теореми Кларка.
Имеет место следующая теорема, являющаяся беско-
нечномерннм аналогом разложения по многочленам
Зрмита.
ТЕОРЕМА 2. (Разложение Ито-Винера). Всякая слу-
чайная величина а Є Ц (й>	Р). измеримая отно-
сительно процесса ц>, может бить единственннм образом
представлена в виде ряда из кратних стохастических
интегралов Ито с неслучайннми ядрами
ОО
“ = Е і ................</№ (т*). (3)
к=О ДА(1)
Здесь при к = 0 соответствующий интеграл єсть
просто число, а при к 1,	[0; П,
Ак(0 = {(Ь..................•••
Отметим, что обе приведенннх теореми равносильньї.
ТЕОРЕМА 3. Утверждения теорем 1 и2 следуют
друг из друга.
Доказательство. Докажем импликацию 1 =>
=> 2. Пусть Ма2 •< +оо. По теореме Кларка а имеет
представление (1). Случайннй процес х удовлетворяет
условию (2) и, следовательно, для почти всех [0;
1] по мере Лебега случайная величина х (£) имеет пред-
ставление (1):
і
х (І) = Мл (і) + £ (і, т) Луо (т).
о
81
Ма»>М
При атом х (І) измерима относительно о-алгебрн =
а (ш («); 5	і). Следовательно,
і
х (/) = М (х = Мх (/) + £ *і (Л т) С0-
о
Позтому
Ут > І: Хі (і, т) = 0 (той Р).
Обозначая Ма = а^, Мх(/)=а!(/),	[0; 1], поду-
маєм
“ = ао + У аі (ч) (ч) + -ч (ч. Ч) (Ч) (ч)-
0	0 0
Слагаемьіе в правой части зтого равенства попарно
ортогональну как злементьі Ц (й,	Р), и
1	Іт,
Ч (Ч> Ч)2 ^Ч^Ч-
Позтому для почти всех (ть т2) X! Сч, т2) снова допуска-
ет представление (1). Продолжая аналогичннм образом,
получим сходящийся в среднем квадратическом ряд
0 = £ і ак (Ч.........Ч) (Ч) • • •	(Ч)-
*=0 Д4(1)
При зтом
V[а; Ь] <= [0; 1] УА>0
М а у (іи) (Ті) ... сію (тл) \ =
1	Л£(а:Ь)	І
= Мґр § сІи> ... гіш(Тл)\. (4)
\ Л^аМ	/
Упражнение 3. Доказать (4).
Совокупность случайньїх величин
§ (Ті) ... (їй/
Лд(а,(>)
плотна в Ц (й,	Р). Действительно, используя фор-
мулу Ито, МОЖНО проверить, ЧТО У (1(1) (її) ... (І(1),(ХК)
Ьк(а,Ь)
82
является многочленом степени к от и) (6) — и» (а\
а множество всех многочленов от приращений процесса
о» плотно в Ьа (Я, Р) [6].
Следовательно, из (4) получаем а = р, т. е. а имеет
разложение Ито — Винера.
Импликация 2 => 1 является более простой. Для а,
имеющей разложение (2), положим
X (0 = 2 5 ак (Ті...........т*_і, 0 <1и> (Ті) . ..
4=1
...	(т*-і).
Теорема доказана.
В случае заменьї процесса аі произвольньїм гауссов-
ским процессом с независимнми приращениями теорема
1 не внполняется, а теорема 2 видоизменяется.
Рассмотрим следующий простой пример, которьій
содержит характерніше особенности обіцей ситуации.
Лример 1. Пусть {£ (/), і € [0; 1]} — ступенчатьій процесе вида
1(0 = 5о+ £ їй.
— <і
п
где Ео, .... |п_! — незавнсимне гауссоаские случайньїе величини со
ередннм 0 и дисперсней 1. Процесе £ имеет незааисимьіе приращения,
и стохастическнй интеграл § х (/)	(/) определеи для пронзвольньїх
о
случайньїх функций, непрерьівиьіх по вероятности в точках Д ,
п
к= 0, ..., п, как интеграл Стилтьеса
1	л-1
Гх(ґ)4(/) = У *(—
•І	\ П
о	\ /
Пусть процесе х — неупреждающий отноентельно потока а —
алгебр, порожденного процессом Тогда
1
У * (і) (б =а+ Ь£п_і,
о
где величини а, Ь не зависят от 5п_р Следовательно, интегрируемая
е квадратом случайная величина являйсь функционалом от х.
не допускает представлення, аналогнчного (1).
Рассмотрим теперь аналог теореми 2. Произвольная
случайная величина а, имеющая конечний второй
83
момент и измеримая относительно процесса имеет вид
а = /(£о......и-і),
где борелевская функция /; В* -»• К интегрируема с
квадратом по стандартной гауссовской мере с плотно-
стью
і	/ п /? \
Р (ік • • • < іп) = —2лл/2 ехР 5 Ту ’
Следовательно, / представима в виде сходящегося в
среднем квадратнческом ряда из кратних многочленов
Зрмита:
/(^і,	1] сГ1...гаяГ1.../>(ігіі • • • >
4=0г,...гл=1
(5)
Здесь
НГі...гк(Іг........^г4) = Я,1(/1) ... Я,„(/„),
где 5> — число Гі, равннх /, а
<•
Я5(0 = (-1)5е2
Матрицн {СГ1...г4} считаем симметричннми. Тогда
Ма= = Е *! £ С\ гк.	(6)
А=0	Гі...гк=\
Итак, в представлений (5) вместо кратних интегралов
Ито — Винера участвуют многомерние многочлени Зр-
мита. Их также можно считать кратними стохастиче-
скими интегралами, если определить соответствующий
интеграл по процессу £ как расширенннй стохастиче-
ский интеграл. Применительно к данной ситуации опре-
деление расширенного стохастического интеграла име-
ет следующий вид.
Пусть значення случайного процесса г в точках 0,
1 п — 1	„	„
—, ..., —-— имеют конечний второи момент. Соответ-
ствующие разложения:
г(^") “ 2ог.,5=ОС/’..Гк .............Ьк>-
84
При каждом к 0 определим матрицу {ЛСГ1...ГА+І}
как симметризацию {С/,Г1.....Га) относительно всех пе-
рестановок индексов. Положим
(г(0^(0=2	£ ЛС„.,,+Іх
0	А=0 Г1...Г^-|_1=О
X #г,...гА+і (£/•,»	• ?гА+1)і	(7)
если ряд сходится в среднем квадратическом.
Определенньїй таким образом интеграл назьівается
расіииренньїм стохастическим интегралом.
Упражнения
4.	Проверить, что
1
М У г (/) (/) = 0.
о
5.	Доказать, что для неупреждающего относительно естествен-
ного потока а-алгебр £ процесса г введеними равенством (7) нитеграл
существует и совпадает с интегралом Ито (в данном случае интегра-
лом Стилтьеса).
Теперь разложение (5) можно записать в виде, ана-
логичном теореме 2,
а = £ £ • •  У Са (Ь....тл)^ (Т1) ... ^ (тА), (8)
А=0 0	0
где в правой части имеются кратньїе расширенньїе сто-
хастические интегральї от неслучайньїх ядер [сА; к
>0).
Упражнения
6.	Проверить, что разлоАеии ; (8) единственно.
7.	Проделать все построения .іримера 1 для п. = 1.
Рассмотрим теперь общую ситуацию. Вместо га-
уссовского мартингала £ с нулевьім средним удобнее
говорить о гауссовской случайной мере с независимьіми
значеннями на непересекающихся борелевских множе-
ствах из отрезка [0; 1]:
5(Д): = уХл (0£(Л).
о7
85
Обозначим через к структурную меру случайной мерк Зі
М£(А)1(В) = к(А П В}.
Упражнение
8.	Проверить, что к является мерой на а-алгебре борелевскил
подмножеств отрезка [0; 1 ].
Пусть функция ск £ Ц (10; 11а, к") и симметрична
по всем переменньїм. С помощью предельного перехода
от ступенчатмх функций можно, аналогично примеру І,
построить кратний расіпиренний стохастический ин-
теграл (2)
$ ••• рл(ті» • • • . тА) З ...
о о
При атом произвольная случайная величина а,
имеющая конечний второй момент и измеримая отно-
сительно 3, единственннм образом представима в виде
сходящегося в Ь2 (й, Р) ряда из ортогональних сла-
гаемьіх
“ 1 л 1
а = 21    Іак (Ті.....• • •6	(9)
А=00	0
Отметим, что в ситуации 3 (^0 = &і) (і) получается
утверждение теореми 2, так как стохастические интег-
рали по симплексам совпадают с расширенннми стоха-
стическими интегралами, ядра которнх устроенш следу-
ющим образом.
Интегралу
У (Ті........тА)аи)(Т1) ... Ли)(тк)
Д*(»
соответствует интеграл
' к '
У • • • У аА (ті, .... тА) (Т1) ... <іи) (Тд)
о о
с ядром ак, симметричньїм по всем переменньїм и таким,
что при тА та ^ ...	тА
Дй(ті, .. . , тА) = -£|- ак (тр .. . , т^.
86
У пражнение
9.	Записать представленне (9) для функционалов из упр. 1.
Теорему 1 теперь можно видоизменить, использовав
расширенньїй стохастнческий интеграл.
Для процесса г, удовлетворяющего условию
і
М у га (/) А, (сії) < + оо
о
и имеющего представленне
“ 1 л 1
*(*)=£$ ••• .................
*=оо о
расширенньїй стохастнческий интеграл определяется как
сумма ряда
У г (і) йсі) (і) = у у ... у ЛаА (тр .... т*+і) х
0	А=0 0 О
X ^(Ті) . . . ^ (Т*+1),
если последний сходится в среднем квадратическом.
Упражнение
10.	Проверить, что случайний процесе г (і) = иі (1), і£ [а; 1]
ннтегрируем по процессу иі, и вичислить у г (І) Ли> (і).
0
Представленне (8) и определение расширенного сто-
хастического интеграла позволяют сформулировать сле-
дующий аналог теореми Кларка.
ТЕОРЕМА 4. Пусть случайная величина а имеет
конечний второй момент и измерима относительно а-
алгебрн, порожденной случайной мерой £. Тогда суще-
ствует случайннй процесе х из области определения
расширенного стохастического интеграла по £ такой,
что
а = Ма +£л(0^(0.	(Ю)
о
87
Упражнение
/Г 1 1\Я
11.	Для случайной величини а = Ц 0; -у І записать представ-
ление теореми 4.
Теорема 4 по сравнению с теоремой Клерка имеет
существеннмй недостаток. Подмнтегральньїй процесе
х определяетея, вообще говори, не единственньїм об-
разом. Пронсходит зто потому, что существуют нену-
левьіе случайньїе процесом, расширенинй стохастиче-
ский интеграл от которнх равен нулю.
Пример 2. Пусть случайная мера £ сосредоточена в двух точ-
ках іі, і2- Обозначим Еі = £ (1^, Е2 = £ ({г)- Рассмотрим случайннй
процесе х такой, что х (/^ = £2, х (Іг) = —Ер Тогда
і
р(ОЕ(Л) = ^1-5іЄа = 0.
о
Упражнение
12.	Привести пример случайного процесса х, входящего в об-
ласть определения расширеиного стохастического интеграла по
винеровскому процессу а/ и такого, что
і
У х (І) йиі (І) = 0.
о
3. Рассмотрим функционалн, не имеющие моментов.
Для того чтобм получить аналог представлений (1) нли
(10) с помощью разложения (9) для случайньїх величин,
не имеющих конечного второго момента, можно попро-
бовать ослабить требование на сходимость ряда (8).
При атом получим следующее определение.
Пусть (гл; к^О}— последовательность положи-
тельнмх чисел такая, что
Ііт г,, = 0.
к-*ао
Определение 1 [7]. Обобщеннмм функционалом от
мери назмваетея последовательность симметричнмх
ядер ск 6	(Ю; И*. &-*). & > 0, такая, что
ОО	1 £	1
£	С • • • у СІ (т1, . .. , тА) А (с(Ті) ... х
4=0	0	0
ХА(<^ < + оо.
88
Как и в обичной ситуации, определено действие обоб-
щенннх функционалов на некоторьіе пробнне случай-
ньіе величини. Обобщеннне функциональї можно скла-
дувать и умножать на числа из К, складнвая между
собой и умиожая на числа из Я соответствующие ядра.
Определение 2. Пробним функционалом от меру £
назнвается случайная величина, имеющая разложение
(8) с ядрами (ал; к 0), удовлетворяющими условию
$ал(ті......... X
*=о о о
X Х(гітл)< + оо.
Для обобщенного функциоиала у и пробной случай-
иой величину а действие у на а определяется равен-
ствзм
) •‘ = 5] ^У ’ ” У Ск (Т1* ’' ’ ’ *
4=0 0	0
X ак(т1......тк)Х(4ті) ...
Как и в случае обобщенннх функций иа пространстве
Я'1, некоторнм обобщенннм функционалам от £ можно
придать более осязаемнй смисл и трактовать их как слу-
чайнме величини, мери и т. д. [8, 9]. Зти вопросн внхо-
дят за рамки данной статьи. Здесь же отметим, что обоб-
щеннне функциональї от £ допускают представленне,
аналогичное теореме 4, в котором в качестве интегрантьі
внступает обобщенний случайньїй процесе.
Определение 3. Обобщенннм случайннм процессом
назнвается набор обобщенннх функционалов от |
{£(/); /6 Ю; 1]), в котором при каждом к^О ядро
ск (і, ...) как злемент пространства Ь2 ([0; 1]*, Xй) изме-
римнм образом зависит от /.
Пусть £ — обобщенннй случайннй процесе такой,
что
1 ОО	1	£	1
У 2 гккІ у ... у ск(і, Тр ....	.
0 А«0	0	0
... Х(атА)Х(гіо< + оо.	(її)
Тогда при каждом к 0
скЄЬа([О; 1]*+’, **+1).
89
Рассмотрим ряд
00	1 4+1	1
£/•*+! (6 4- 1) ! £ • . • У . . . , Т4+1) X
4=0	0	0
X кіЛії) ... Х(йт4+і).	(12)
Определение 4. Если ряд (12) сходится, тообобщен-
ньій процесе £ назьівается стохастически интегрируеммм
по мере, и соответствующий интеграл єсть обобщенньїй
функционал с ядрами (Лсй, /г^О).
Упражнен и я
13.	Привести пример последовательности (г*; к 0), при ко
торой все обобщенньїе процесові, удовлетворяюіцие условию (10)"
являютея стохастически иитегрируемими.
14.	Привести пример обобіцеиного процесса, интеграл от которого
является обьічной случайной величиной.
ТЕОРЕМА 5. Пусть последовательность (гА; к 0)
удовлетворяет условию
3<і> о	гк^(1(к + 1)г*+1.
Тогда произвольньїй обобщенньїй функционал у от
| допускает интегральное представление
о
с обобщенньїй процессом
Если структурная мера X — неатомарная, то можно
получить полньїй аналог теоремьі Кларка для обобщен-
ньіх функцноналов от £.
Определение 5. Обобщенньїй процесе £ назьівается
неупреждающим, если при каждом [0; 1] ядра, вхо-
дящие в £ (/), отлнчнм от 0 .іишь на декартовьіх степенях
отрезка [0; /].
Упражнение
15.	Проверить, что обшчньїй случайньїй процесе, удовлетворя-
ющий определенню 5, является неупреждающим относительио потока
а-алгебр
^ = а{ИД); ДЄ®. Д«=|0; /)).
Аналогично теоремам 4 и 5 проверяетея следующеа
утверждение.
80
ТЕОРЕМА 6. Пусть числа {гЛ; к 0} удовлетворя-
ют условиям теореми 5 и структурная мера X мери £
неатомарна. Тогда для пронзвольного обобщенногофунк-
ционала у существует неупреждаюіций обобщенньїн про-
цесе £ такой, что
У = Со+ Гх (0Е(Л).
Доказательство. Достаточно проверить, что
любое ядро а+1 можно получить с помощью симметри-
вации из ядра ск (і, тх. тк), і, ги .... тк £ [0; 11,
нмеюцего свойство
ск(1, тп ... ,	= 0, тах (т>) < і.
/=і.*
16.	Доказать, что процесе х в теореме 6 определяетея единствен-
ньім образом.
В заключениеотметим, что большая часть построений,
проведенньїх в зтой статье, может бнть почти без изме-
нений перенесена на случай, когда Е — гауссовская
случайная мера с независимьіми значеннями на о-ал-
гебре 21 некоторого измеримого пространства (ї, 21)
при условии, что 21 — ечетнопорожденная. Теорема
Кларка для обобщенньїх гауссовскнх функцноналов
впервьіе, по-видимому, появилась в работе [10].
список
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1.	Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайньїх процес-
сов.— М. : Наука, 1974.— 696 с.
2.	Дороговцев А. А. Злементьі стохастического дифференциаль-
ного нсчисления // Математика сегодня'88/. К. : Вища шк., 1989.—
С. 105—131.
3.	Дороговцев А. А. Стохастнческнй анализ и случайньїе отоб-
ражения в гильбертовом пространстве.— К. : Наук, думка, 1992.—
120 с.
4.	іїиаіагі О., Раг&шх Е. ЗіосЬасііс саісиїиз \уіі1і апіісіраііпй
іпіе§гапд8//РгоЬаЬіІііу ІЬеогу апд геїаіед Гіеісіз.— 1988.— 78.—
Р. 535—581.
5.	8екі£иМ Т., ЗНіоіа У. Г2-іНеогу о! попсаиваі зіосЬавііс
іпі.е£гаІ8//МаіЬ. Керіз Тоуата Опіу.—1985.— 8.— Р. 119—195.
6.	Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайньїх процессов:
В 2 т.— М. : Наука, 1971.— Т. 1.— 664 с.
7.	Хида Т. Броуновское движение.— М. : Наука. 1987.— 304 с.
91
8.	УїЛ-Ла Ьее. Апаїуііс уєгзіоп оГ іезі (ипсіїопаїз, Роигіе»
ігапзіогпі, апд а сНагасіегіхаііоп о( теазигез іп ЛЛ/Иііе поізе саісиїиз //
.їоигп. о( Рипсі, апаї.— 1991,— 100.— Р. 359—380.
9.	Дороговцев А. А. Обобщенньїе вннеровскне функциональї и
стохастическне интегральньїе уравнения // Теория вероятностей
н ее применение.— М. : Наука, 1993.— С. 715—720.
10.	і/ііипеї А. 5. Кергезепіаііоп о( ІЬе бізігіЬиііопз оп \Уіепе>
зрасе апд зіосНазііс саісиїиз о( уагіаііопз//3, Рипсі, Апаї,—
1987,— УоІ, 70,—Р, 126—139.
Уже не раї
математики полатали,
чте все проблеми,
допускающие
решение, уже били
раарешаии и чта
еледующим
покеленияи придетоя
довольотвеваться
ков-какими ие
аамачеиними реиее
мелечеми.
А. ПУАНКАРЕ
НЕРОЗВ’ЯЗАНІ
МАТЕМАТИЧНІ
ПРОБЛЕМИ
Г. П. ЕГОРЬІЧЕВ, д-р физ.-мат. наук
ТРИ ПРОБЛЕМЬІ КОМБИН АТОРИКИ
Ниже представленні три нерешенньїе
математические проблеми и кратний комментарий к ним.
І. Гипотеза (Лондон — Минк, 1989) о перманенте
дваждьі стохастической матрици с нулевими елемента-
ми на главной диагонали
Пусть й® — множество всех (п х п)-дважди сто-
хастических матриц с нулевими елементами на главной
диагонали; Т°п— матрица, у которой все недиагональиие
елементи равни у, а днагональние — равньї ну-
лю; п > 2.
Тогда при А Є й®, А £ О®
рег Л > рег ^® = ~+ 2	.
В [11 ета гипотеза доказана при начальних
и указано, что все методи, используемие ранее придо-
казательстве гипотези Ван-дер-Вардена о перманентах,
здесь применить не удается.
II. В предлагаемой гипотезе, нетривиально обобща-
ющей гипотезу Ван-дер-Вардена, видвигается точная
нижняя оценка для перманента матрнци с неотрица-
тельними елементами.
© г, П. ЕГОРЬІЧЕВ, 1994
93
Гипотеза (Диттерт, 1983), о точной нижней оцен-
ке для перманента матрицьі с неотрицательннмизле-
ментами [1]
Пусть Хп — множество всех п х п-матриц А = (ац)
п
с неотрицательннми злементами, у которьіх 2 ац = п,
і.І^о
— матрица, где кажднй злемент равен —;
п/п	\	п/п	\
Ф (Л): = П І 2 ац 4- П (£ ац — рег А.
і-і\/=і /	/=і ч=і /
Тогда при А 6 Хп, А^7п£Хп
Ф(Л)>ф(^п) = -4- + 2.	(1)
л
В [3] доказано, в частности, что неравенство (1) ви-
поли я ется на множестве стохастических матриц (по стро-
кам, либо столбцам).
III. Проблема 3 (Кальюлайд, 1990) — обобщение
гипотезн Ван-дер-Вардена
Пусть О — подгруппа полной симметрической груп-
пм Матрицьі из вьіпуклой оболочки (О) мно-
жества {Ру І у € 0} матриц перестановок назовем
дваждьі стохастическими О-матрицами,
рЄГ<; X , == Хіу(і) . • . Хлу(л), X = (Хц).
їЄй
(а)	Найти гпіп рег0 X в зависимости от 0; в случае
Х€ОП(О)
0 = 5„ возникает нзвестная задача Ван-дер-Вардена,
решенная автором, [4], [2, комментарии].
(б)	В частности, для знакопеременной подгруппьі Ап
верно ли
гпіп реглХ = _3__
ХЄО(ЛП)	2лл
и в зТом случае будет ли X = Тп? В оправдание послед-
него вопроса заметам, что Тп £ й (Лп) при п 3.
При решении поставленной задачи, возможно, по-
лезньїм будет следующее понятие. Будем говорить, что
(0; 1)-матрица А имеет дваждм стохастнческую 0-кон-
фигурацию, если существует такая дваждьі стохастиче-
ская 6-матрица, у которой ненулевьіе злементм находят-
ся в точносте на познциях единиц матрицьі А.
94
(в)	Верно ли, что А имеет дваждм стохастическую
О-конфигурацию в точности тогда, когда каждьій, рав-
ннй единице, злемент матрицьі А находится на некоторой
ее 6-диагонали, состоящей целиком из единиц? С зтим
тесно связан вопрос о необходимнх и достаточньїх
условиях для того, чтобьі каждая 6-диагональ неотри-
цательной (п х п)-матрицн X содержала бьі нуль. По-
следний вопрос — О-модификация леммьі Фробениуса —
Кенига: в случае 0 = 8п для зтого необходимо и до-
статочно существование нулевой 5 х Лподматрицн в X
С 5 + І = п 4- 1.
СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1.	Еопсіоп О., Міпс Н. Оп ІЬе регтапепі оі боиЬІу зІосЬазІіс
таігісе5«/іІИ гего діадопаї П Ьіпеаг апд Миіііііпеаг АІ^еЬга.— 1989.—
УоІ. 24,— Р. 289—300.
2.	Міпс Н. ТЬеогу оі регтапепіз 1978—1981 // Ьіпеаг ап<1
Миіііііпеаг АІееЬга,— 1983.— Уоі. 12,— Р. 227-263.
3.	Ниіапе 8. О. А поіе оп а сопіесіиге оп регтапепіз // Ьіпеаг
апй Миіііііпеаг А1§еЬга.— 1986.— Уоі. 76.— Р. 31—44.
4.	Реиіение проблеми Ван-дер-Вардена дляперманентов / Его-
ричев Г. П.— Красноярск, 1980.— 70 с. (Препр. І АН СССР.
Снб. отд-ние. Ии-т физики; 13 М).
5.	Іллі цап Е. ТЬе уап <іег АУаегдеп сопіесіиге:	ргооіз іп опе
уваг // МаіЬетаіісаІ ІпіеПівепсе,— 1982,— Уоі, 4,— N 2,— Р, 72—77,
8та цапь все ввлсв
и ввлсв
чувствитсльинж
(иа и валаа алажинії)
лриаиаквв мсжст бнть
нсагрвиичаина
лрадалжсна.
Г. М. ФИХГЕНГОЛЬЦ
КОРОТКІ
ПОВІДОМЛЕННЯ
В. Ю. СЛЮСАРЧУК, д-р фіз.-мат. наук
НОВІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ
НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ
І ЧИСЛОВИХ РЯДІВ
У статті наведено одне загальне твер-
дження про збіжність невласного інтеграла
4-00
У Нх)(ІХ,	(І)
1
де / (х) — обмежена на кожному скінченному інтервалі
функція і / (х) > 0, Ух > 1. Це твердження дає змогу
дістати нетривіальні результати з теорії невласних ін-
тегралів. Від функції / (х) не вимагається виконання
умови неперервності на (1; 4-оо). Тому здобуті резуль-
тати можна застосовувати й для дослідження збіжнос-
ті числового ряду
Е ап,	(2)
И=1
де ап > О V п > 1, оскільки функція / (х) = а[Х], х
1 ([х] — ціла частина числа х) інтегровна на кож-
ному відрізку [1;	1, і задача про збіжність ряду
(2) рівносильна задачі про збіжність невласного інтег-
4-00
рала С а^іїх.
© В. Ю, СЛЮСАРЧУК, 1904
96
Ця робота є доповненням до досліджень, проведених
авторо і в [ 1. 21.
1. Формулювання основного
результату
Позначимо через 10 (х), 4 (х), 4 (х) , Іп (х)
відповідно функції X, ІП X, ІП ІП X, .... ІП ІП...ІП X.
л разів
Нехай
т
пт (X) = п /у(х). Розглянемо функції:
у=0
(х. т)	= “Г ’
(х, V)	= + ТіЬ"	’
пз (х. У)	— ~ +	х]л х	Ь	х Іп х Іп	Іп х ’ ’'' ’
(X, у)	— — +	х|п х	+	х іп х іп	іп х
П„_2 (х) Пп_, (х) ’
де у > 1.
Нехай С — множина всіх строго зростаючих і не-
перервно диференційовних на [1, 4-е») функцій £ =
= § (х), де £ (х) > X, V X > І. Для функції £ (х) 6 О
позначимо через На множину всіх строго зростаючих
і неперервних на [1, +«») функцій Л = /і (х), для кож-
ної з яких знайдуться числа х0 1 і А € N |_| (0) (х0
і к залежать від /і) такі, що £ (х0) > 1 і
Л (л + к) = £пх0 УПРІЛО).
Тут £"х0= £(£(•• £(х0)...))- Очевидно, що Іітй(х) =
*------------------- х->4-оо
п разів
= 4-00 V Н є
Нехай 58 — множина всіх функцій, обернених до
елементів множини Н&. Очевидно, що всі елементи мно-
жини є неперервними і строго зростаючими функці-
ями і
Ііт 5(х) = 4-оо Ух^5й.
Х->+°о
4 Т9
97
Вправа
1. Знайти множини Н& і 58 для функцій £ = х + а, де а > 0,
ц = кх, к > 1, і § = ха + Р, де а > 1, Р > 0.
ТЕОРЕМА 1. Нехай т Є N. ££0 і 8 £ 54. Якщо
^(5(хГ(х))-	т)	о)
І \Л/
де <1	1 і у > 1, то невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
В' {ХУ(^ (Х))- > 1 - "т (з (X), 1) V х > <1,	(4)
І \л і
де Л 1, то невласний інтеграл (1) розбігається.
2. Доведення теореми 1
Нехай 8~’ (х) — функція, обернена до функції
5 (х). Тоді 8—1 (х) £ //8. Отже, знайдуться числа к 6
€ N □ {0} і х0 > 1 такі, що
5_1 (п + к) = £пх0 Уп^и(0|.	(5)
Нехай у > 1 і виконується співвідношення (3). Візь-
мемо таке число «о Е N 0 (0), що
л0 + к > сі,	(6)
/та(«о + *-1)>1	(7)
0 < (п, у) < 1 V п > п0 4- к. (8)
Розглянемо інтеграли
5“ '(П+О
Л =	$	?(х)(іх, П^по+к.
Оскільки £ (5“* (л)) =8-' (л + 1) V л > п0 + к, згід-
но з (5), то для
«—1(Л+О	«(«“І(П-Н))
5 е' (х) / (в (х)) Лх = у / (і) Лі = З'п+і.
»~*(Л)	4(«—'(«))
Тому, згідно з (3) і (6),
^п+1 < У	(1 —	(8 (х), у)) / (х) Лх С
*(П>
98
*(л>
<[1-от(/і + 1,у)І^п Ул>л0 + Л.
У цих нерівностях було використано також те, що
функція от (х, у) строго спадає на [п0 + к, +«>). Це
випливає з означення функції от (х, у) і співвідношень
(7), (8).
Таким чином,
^п+1
п (1-^4- 1,у))]^+*
У=П,+*
Покажемо, що ряд
V п. > п0 + к.
(9)
ОО
збігається.
Спочатку покажемо, що
V п. > п0 + к.
(Ю)
(П)
Використаємо нерівності (7), (8) і нерівності
1п (1 —х) С — х,
1П—/г	< у —!—	(12)
<Д+Л ПгМ ’	(12)
де 0 С х < 1, г = 0, т, Ло + к. Нерівність (12)
дістаємо із співвідношень
^г+і (*) _	1	Г* Лх	1
йх ~ Пг (х) ’	] Пг (х) Пг (V) '
Тоді
П (1—от(г+1,у) = ехр[ ІП(1 — От X
у=л04~й
х (V 4-1, у)) <ехр —
= ехр
1 _____________
V іпу ^-уіпуіпіпу
4*
99
+ п—Цт + —-Ц-г V	е*р! — іп ——
Пт_2 (V) Пт_! (V) Д Н | п„ + к
І ІПЛ	| Іп Іп л
П Іп (л0 + к) П Іп Іп (л0 + к)
,	1т-2 <")	,	1т-\ (")	] _
ІП /т_2(л0 + Л) ЇІП /т_,(Лв + Л) ]
_ Пш_, (л„ + к) \Іт_х («о + *)1у~‘
Пт_. (я) [/т_1 (я)]?"1
Отже, нерівність (11) справджується.
З нерівностей (II) і (9) маємо
7л-н гт /п\ і/ хіт—і V я л0 4~	(13)
ит-1 І'т-І (л)Iу
ДЄ
С = Пот—1 (Яо + к) [Іт— 1 (Яо &)]¥ ^л04-А > 0.
Оскільки функція п^_[ (х) |^_[	у_, на (п0 + к,
4~оо) неперервна, строго спадає і
___________<ІХ________ _ Ґ	Мт-І (*) =
' Пт_, (X) [/т_! (л)1?-1 - )	1/^ (х)]? =
Ло+А	П„+*
_ _____________1___________
(т - о ит_і (По + *)]*’-'	00 ’
то на підставі (13) та інтегральної ознаки Маклорена —
Коші (3) числовий ряд (10) збігається, тобто збігається
невласний інтеграл
4-00
У Нх)(іх.
'(Ло+*>
Тому збігається й інтеграл (1).
Нехай тепер виконується співвідношення (4). Пока-
жемо, що інтеграл (1) розбігається.
Візьмемо таке число п0 £ N и (0), щоб виконува-
лися співвідношення (6), (7) і (8) для у = 1.
Застосовуючи (4) і (5) для п п0 4- к дістаємо
»—*(л4-2)	*(«+!»
Ул-М = У /(х)йх= у /(х)ііх =
»—*(л4-1)	4(5“'(Л»
100
«-'(п+І)	»“ т(п+1)
= У £'(*)/(£(•*))<**> У [1 — ит(8(х), 1)] х
5 *(п)
«“’он-і)
X / (х) гіх>[1 — ут (8(8“' (п)), 1)] У /(х)^х =
*(п)
= [1 — ут(п, 1)]7П.
У цих співвідношеннях враховано те, що функція
цт (х, 1) строго спадає на [п0 + к, +оо).
Таким чином,
7п+1
п
П (1
У=л„+Л
- УтО’.
V лі>л04- к. (14)
Покажемо, що
М	/	*м2
П (1 -чтіу, 1))>ехр X
П_ । (пл 4- к — 1)
х • ,і5>
Використовуючи (7), (8) і нерівності
-------------------т>----X ІП (1 — х),
X ЛІТм" < ІП Іг (Ло + Й+ 1) ’	(16)
у=л„+й
І -^<1.
V=по+*
де 0 х < 1, г = 0, т, п~^ и0 + к (нерівність (16)
дістаємо так само, як і нерівність (12)), маємо
П (1 —	1)) = ехр | 2 Іп (1 — ут(у, 1))|>
V=п<|^-й	к=п0+А	1
>ехр[— 2 ут(у, 1)— 4- 2
І V=п„+А	\л=П|,-|-4
І))2 >
101
Іпп__________. .. ____ . Іт-} (”)
1п(л0 + А —1)	” Іт_і (па 4- к - І)
т* )	(	т* 'і Пп|_1 (пв 4- к — 1)
- 2 | > ЄХР {	2 І Пт-1 («)
Отже, співвідношення (15) виконується. З нерівнос-
тей (14) і (15) маємо
7л-і-і Пт_1 (я) Ул>л0 + к, (17)
де С = ехр |---^-|пт_і (п0 4- к— 1) 7л0+л>0. Оскіль-
с
ки функція -------7-г- неперервна, строго спадає на [п0 +
нт—1 \х>
4- к, 4-оо) і
.1 П„_! («) “ ] І„_, («) ~
п,+4	ЛоЧ-4
то на підставі (17) та інтегральної ознаки Маклорена —
Коші [3] ряд (10) розбігається. Отже, розбігається не-
4-00
власний інтеграл £ /(х)гіхта інтеграл (1). Тео-
5~*(Ло+*)
рему 1 доведено.
Вправа
2.	Нехай т € N. Є € О, « Є Зв. Довести:
1)	якщо
, Є' (*) І (Є (*)) _	, . . . „	.
П-----И*)------< —(я(х).Т) ¥х>с(,
де <і > 1 і у > 1, то невласний інтеграл (1) збігається;
2)	якщо
де 1, то невласний інтеграл (1) розбігається.
3.	Аналог теореми І,
в якому використано
оцінки для а(х)
Не для кожної функції & (х) £С вдається знайти
функцію 5 (х) Є 58. Це ускладнює застосування теоре-
ми 1. Наведемо твердження, яке використовує оцінки
ДІЯ функції 5 (х).
102
ТЕОРЕМА 2. Нехай т Є N. £ (х) Є <л 5 М Є 8»,
у > 1,	і (х), гг (х) — визначені на І£ (1),
+ □©) функції, для яких
гДхХїІхХг^х) Vx>£(1).
Як до
.«'<*>'(«(*)> <|_„а(гіМ.т) ух>і,
І
то невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
--Цхг-)- > 1 -&М- 1) Ух>а’
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Теорема 2 випливає з теореми 1 і нерівностей
ит (гг (х), V) > Ут (5 (х), у) V х > 4,
^т(г2(.х), І)^»„,(5(х), 1) Ух >4.
У теоремі 2 як г2 (х) можна взяти, наприклад, х.
4.	Окремі випадки теореми 1
Г. Нехай § (х) = х + 1. Очевидно, що функція
£ (х) = х + 1 є елементом множини 0. Як елемент
множини Нг можна взяти функцію /і (х) = х. Справді,
нехай х0 = 2. Тоді £'!х0 = /г + 2УпЕМи {0}. Як-
що к = 2, то Н (п + к) = п + 2 V п Є N 0 (0). Тому
/і (х) = х на підставі властивостей елементів множини
/,'в (див. п. 1). Як функцію 5 (х) Є 8е можна взяти
функцію 5 (х) = х. Використовуючи теорему 1, дістаємо
таке твердження.
Наслідок 1. Нехай т £ N. 4	1 і у > 1.
Якщо
—< 1 — Ут (X, у) Ух>Ф,
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Якщо
-у Д П > 1 — ^т(^. 0 Ух>^,
І \Л/
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Окремими випадками цього твердження є ознаки
Раабе, Бертрана і Гаусса [4], які сформулюємо відносно
інтеграла (1), а також інші ознаки.
103
С( (х)	\
.  \ -тг — 1 ] > 1, ТО
І (* і" 1/	/
невласний інтеграл (1) збігається;
якщо х р---------1)^ 1 для всіх досить великих
х, то невласний інтеграл (1) розбігається.
Ознака Бертрана. Якщо
(/(*+ і) — ї) — •]> 1>
то невласний інтеграл (1) збігається;
»™°	1пж|х(_сй__1)_1]<1
для всіх досить великих х, то невласний інтеграл (1)
розбігається.
Ознака Гаусса. Нехай для інтеграла (1)
((х)	_ і । _Н_ і е(*)
/(«+1)	' х '	ха ’
де X і р — сталі, а 0 (х) — обмежена функція.
Тоді інтеграл (1) збігається, якщо X > 1 або X = 1,
р > 1; і розбігається— якщо X < 1 або X = 1, р 1.
Сформульовані ознаки випливають з наслідку 1,
коли т = 1 і т = 2. Якщо /л > 3, то дістаємо силь-
ніші ознаки.
Вправа
3. Дослідити збіжність невласного інтеграла
+ «> ІдН-1.1
П ( — —	1	1
1	к к\пк к Іп к Іп Іп к —
25 ‘=2?
__________V_________\ .
— * Іп Л Іп Іп к Іп Іп Іп к )ах’
2°. Нехай § (х) = ах + Ь. Припустимо, що а > 1
1 а + 6 > 1. Тоді § (х) Є О.
Нехай х0 > 1. Тоді
Гх„ = а"х0+ -у=Т-& Ул>0.
Очевидно, що е^х0 > х0 V л > 1 при а + Ь 1 і
х0 > 1 або а + Ь > 1 і х0 > 1; £% = х0 V л > 0 при
104
а 4- ь = 1 і х0 = 1. Тому як елемент множини Ня при
цх9 можна взяти функцію
Л(х) = а*х0 + ° ^711- Ь.
Оберненою функцією для Л (х) е
(я — 1) х4- й
Іп (я —1)х04-і
Ь = 0, х0= 1
, . ІП X
5^ = -ІЇЇТ’
5(Х) =
Зауважимо, що
для
= 1
а для Ь = 0, х0
і а = е
$ (х) = 1п х.
Наслідок 2.
Н Ь > 1, ах0
4- Ь У= х0, д. > 1. Якщо
/ . (я—1)*4-8
аі(ах-І-Ь)_____ І (а — 0*»4-8
 /(хТ <1 -М--------------------Іпа--------V.
то невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
то
то
то
/ І., («—»)* + »	\
аЦах+Ь)	(	(“ — 0*о4-Ь	. V г^> л
невласний інтеграл (1) розбігається.
Наслідок 3. Нехай т Є N. у > 1 і сі 1. Якщо
-^-<1-От(1пх,?) Ух>4
невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
-^->1-Рт(1пх, 1) Ух></,
невласний інтеграл (1) розбігається.
Приклад 1. Дослідити збіжність невласного інтеграла
Ах, р > 0,
(18)
де £(х) — неперервна на [1,4- оо) функція, для якої
105
1) існує таке число а > 1, що £ (ах) = 8 (х) V х > 1;
2) 8 (х) = 0 V х 6 М, де М — зчисленна множина, і £ (х) >
5» 0 V х € 11 > + оо) \ ЛІ.
Застосувати безпосередньо до інтеграла (18) наслідок 2 не можна,
оскільки функція
/(*) =
ЄЙ
набуває нульового значення на множині М. Розглянемо функцію
/ (х) =
----д- , якщо хбП, + оо)\ЛЇ;
хг
1
—— , якщо х Є М.
Х’’
Очевидно, що / (х) > 0
Ух> 1, а інтеграл (18) та інтеграл
4-00
У 1(х)<іх
і
(19)
одночасно збігаються або розбігаються. Застосуємо до останнього
інтеграла наслідок 2. Маємо
а/(ах) =аі-Р
/(*)
Оскільки а1-р < 1 для р > 1 і а*-р > 1 для р < 1, то невласний
інтеграл (19) збігається тільки для р > 1. Аналогічно веде себе й
інтеграл (18).
Вправи
4.	Нехай Ь > 1. Довести твердження:
якщо їїїп __[^1- < 1, то ряд (2) збігається;
х->+®
якщо ЬаІЬх) 1 для всіх достатньо великих х, то ряд (2)
а(х]
розбігається.
5.	Дослідити за допомогою твердження, сформульованого у впра-
“ 1
ві 4, збіжність ряду V —, де р Є В і показати, що це твердження
л=1
сильніше ознаки д’Аламбера [3, с. 200].
6.	Нехай у (х) — неперервний на [8, 4-оо) розв’язок функцю-
/1 Іп 2 \
нального рівняння у (2х) = І — )п г 1 у (х), х > 8, для якого
+»
у (х) > 0 при х є [8, 16). Показати, що р(х)гіх<оо.
в
306
7.	Нехай у (х) — неперервно Диференційовний на [ЗО. 4-оо)
розв’язок диференціально-функціонального рівняння
1 І Іп 3 \	. Іп 3	, ч
</'(Зх)= 9 ^1—(*)+ 9л(іпх)‘
ДЛЯ якого
у (90) =4 (1 --ет) У (ЗО).
* У (*) > 0 при х Є [ЗО; 90]. Показати, що
У у (х) Лх = + оо.
зо
Вказівка. Використати рівність
/	1 І Іп 3 \	\'
(у (Зх) —-у 11 —(х) 4-сопзіІ =•
1 І . ІпЗ \ , , Іп З
= 3у'(3х)~ з ^1— 1пж ] У (*) — Зх(ілх)8
і наслідок 2 при а = 3, х0 = 1, Ь = 0.
8. Довести твердження:
Ч- Оои і	/ Іп л	\
якщо ----------—— <; 1 — от І у-у , V ¥ П > пл,
ап	\ ‘	І
де т, п0 Є N. у > 1. то ряд (2) збігається;
&г)п -4-	_і .	/ Іп л \
якщо — ------------1 —-	І । 2 • 1 ] ¥ в л#,
ап	\	І
де т, п0 Є N. то ряд (2) розбігається.
3°. Нехай £ (х) = Xа, а > 1. Очевидно, що £ (х) £
£ 0. Нехай х0> 1. Тоді
е\=х$п Ул>0
і, отже, як елемент множини Нл можна взяти функ-
цію п (х) = х0 .
Оберненою для функції Л (х) є функція 5 (х) =»
= І0£а ІО£Х, V € 5в.
Згідно з теоремою І, справджується таке твердження.
Наслідок 4. Нехай /ті Є N. а > 1, р > І, у > І,.
д > 1. Якщо
— 44 } І — «т (І0£а ІОЙ0 X, V) V х > д,
І
то невласний інтеграл (1) збігається.
107
Якщо
---------/(х) ' > 1 — »т (І0Єа ІОЄ0 X, 1) V А! > Й,
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Наслідок 5. Нехай т. £ N. у > 1 і д 1.
Якщо
— ЦЛ)(Х } < 1 — (Іп ІП х, V) V X > а,
то невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
—/ [Х)Х } > 1 — Ут (Іп Іп х, 1) Ух а,
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Приклад 2. Дослідити збіжність невласного інтеграла
де£ (х) — неперервна на [є, +оо) функція, для якої існує таке число
а > 1, що е (ха) = е (х) V х > е, і £ (х) > 0 V х > е.
£ (х)
Оскільки для функції / (х) ---------— виконується співвідно-
X (Іп х)р
шення
«Xа-'/= а._р
/(X)
і а1 р < 1 тільки для р > 1, то, згідно з наслідком 4, невласний
інтеграл збігається тільки для р > 1.
Вправи
9.	Нехай а> 1. Довести твердження:
_ ^а—1Л
о,-»
якщо 11т ___________!2!_^<1, то ряд (2) збігається, якщо
х->+~ а1х)
сслг а д _
_______|х 1 > 1 для всіх досить великих х, то ряд (2) розбі-
аІХ!
гається.
10.	Довести, що твердження, сформульоване у вправі 9, силь-
ніше від ознаки Раабе [4, с. 272].
4°. Нехай £(х) = а*, а > 1. Очевидно, що § (х) Є
( О. Позначимо через а<п>, де /і Є N. вираз
а
а	(а — повторяється п. разів).
а
а
108
Якщо п = 0, то вважатимемо, що а<0У = 1.
Нехай х0 = 1. Тоді £"х0 = я<п> V га £ N (] (0). Як
елемент множини Н6 візьмемо таку неперервну і строго
зростаючу на [1, +<ю) функцію Л (х), що
Л (га + 1) = а<п> Ул£Ми{0}.
Обернену функцію для функції Л (х) позначимо через
5О (х).
Наслідок 6. Нехай т £ N. а > 1, у > 1 і д 1.
Якщо
-Д (а *	1 — Цп («а (х), у) Ух^>СІ,
то невласний інтеграл (1) збігається.
Якщо
то невласний інтеграл (1) розбігається.
Окремим випадком цього твердження є таке тверд-
ження.
І (ех} ех
Ознака Єрмакова [4]. Якщо ' . . .—	<7 < 1 для
І \Х)
всіх досить великих х, то невласний інтеграл (1) збі-
гається;
І (ех) ех
якщо - }	1 для всіх досить великих X,
невласний інтеграл (1) розбігається.
то
11.	Нехай т Є N и (0}. Довести твердження:
якщо Іігп \ її то ряд (2) збігається;
п-їоо а І‘т+1 І"'1 2
Пщ (п) Од
а|/т+і («))
> 1
якщо
для всіх досить великих п, то ряд (2) розбігається.
Вказівка. Використати теорему 1, взявши за £ (х) функцію,
обернену до функції Іп+1 (х).
СПИСОК
РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Слюсарчук В. Е. Некоторне признаки сходимости числових
рядов // Математика сегодня '90— К. : Вища щк., 1990.— С. 94—105.
2. Слюсарчук В. Ю. Деякі ознаки збіжності числових рядів //
Математика сегодня.— К. : Вища шк., 1993.— С. 163 — 176.
109
3. Дороговцев А. Я. Математический аиализ.— К. : Вища шк.
Головнеє изд-во, 1985.— 527 с.
4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифферекциального и интегрально-
го исчисления: В Зт.— М. : Наука, 1966.— Т. 2.— 800 с.
А. Б. ПЕВНЬІЙ, канд. физ.-мат. наук
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЬІЕ
ФУНКЦИИ И МНОГОМЕРНАЯ
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
1.	Определение положительно
определенньїх функций
Будем рассматривать только веще-
ственнмефункции. Функция/, четная и непрермвная на
назьівается положительно определенной, если для
любьіх точек Х„ .... Хп из К” и веществениьіх чисел
дп вьіполнено неравенство
£ /(Х7-Хл)<Д>0,
/.4=1
где п — произвольное натуральнеє число, не связанное
с т. При п = 1 получаем / (О)	0, О: = (0, .... 0).
При п = 2, Хг = X, Х2 = О имеем
ї (О) аї + но)£ + ї (X)	+ / (- X) о,
<* = (<*!, й2)ЄКа.
В силу четности / (—X) = / (X). Если <11 = д2, то
—/ (X) і (О); если сі! = —д2, то / (X) / (О). Отсюда
вьітекает, что функция / ограничена числом / (О):
ІНХ)|</(О). хє«т	(і)
Характеризацию положительно определенньїх функ-
ций дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1 (Бохнера). Для того чтобьі функция /
бьіла положительно определенной, необходимо и до-
статочно, чтобм она бьіла преобразованием Фурье неот-
рицательной мерьі V, конечной на
ЦХ)= р'(Х>0у(4), ХеН" (2)
@ А. Б. ПЕВНЬІЙ. 1994
ПО
Здесь (X, ?) =	для X: = (х1г хт),
?: - (£і. •••. £т)- Необходимость условия теоремьі ДО-
казьівается сложно, а достаточность проверяется триви-
ально. Если вьіполнено (2), то
/(Х/-Хй)=
Кт
£ / (X/ - Хй) а,ак = 5 у а]Є^V	> 0>
/.*=!	Кт 1=1
<*:=(<*!......<*„)ЄКт.
Частими случаем представлення (2) является пред-
ставлене
/(Х)= [ ?(Х-уФ(£Ж ХЄКт, (3)
где ф —неотрицательна на Кт и измерима. Если ф (?) >
> 0, ? 6 Г, то / строго положительно определена:
а^о.
(4)
Функция ф из (3) находится с помощью обратного
преобразования Фурье:
Ф (?) = (2л)-т У (X) ах, ? е Кт-
Один из возможннх способов проверки положитель-
ной определенности І состоит в нахождении обратного
преобразования Фурье ф и в проверке его неотрица-
тельпости.
Рассмотрим классический пример функции / (X) =
= е-І|ХГ, где || X й2 = х? + ...+ хт. Имеем:
ш 7}-°°	2
ф (?) = (2л)-п П С е~1х^е~ікахк, ? Є нт.
4=1
По формуле Зйлера е~1х^к = со$х кск — і зіп хд?д,
1 к т. Интеграл, содержащий синус, равен нулю,
а интеграл, содержащий косинус, равен 12, с. 706].
соз2Ьх = \ ле ЬІ.
111
Отсюда для <р долучаєм
Ф (5) = (2л)-т П е~^‘ = (2 ]/’л)~течті > 0,
*=і
>0,
Следовательно, функция е~І|Л|1*, X £ Рт строго по-
ложительно определена на Кт при любом т.
Рассмотрим также функцию одной переменной
В (х) = е~а,ХІ соз 0х, х С Я, а > 0, 0 > 0. Имеем:
Ф (£) =	§ е~а,х> с05 0* со« ^х =
—оо
• І «	І а
- '2ЇГ [ а* + (Е-0)2 + а2+(6 + Р)2
Значит, В строго положительно определена на К1.
Интересно отметить, что В принимает как положителі-
ньіе, так и отрицательньїе значення.
Задача. При каких т функция В (|| X ||), X (Е В™
является положительно определенной на Цт? (Зто иначе
сформулированная проблема 1 из 131.)
Представляют интерес простае достаточньїе условия,
обеспечивающие положительную определенность функ-
ций вида / (X) = <р ([ X |]2), X С где ф определе-
на на [0, 4-оо).
Заданная на (0, 4-оо) функция ф назьівается вполне
монотонной, если она имеет производньїе ф(А) всех по-
рядков и при всех /> 0, к = 0, 1, 2, ....
(—1)*Ф(Л>(0>О.
ТЕОРЕМА 2. Если функция ф непрерьівна на [0,
4-оо), отлична от постоянной и вполне монотонна, то
функция ф (Ц X Ц2), X Є В™ строго положительно оп-
ределена на Р'" при любом т.
Доказательство. По теореме Бернштейна
функция ф является преобразованием Лапласа некото-
рой конечной мери V (Де):
+ оо
ф(/)= у е~ІХ\(<іх), /£[0, 4-оо).
о
Мера т не сосредоточена в точке і = 0, в противном
случае функция ф бьіла бьі постоянной.
112
Возьмем попарно различньїе точки Хг.......Хп из Кт
и вектор сі =	сіп). Имеем:
£ ф(1^-хй|Г)гіА=Т[ £ <іАе-^хгх^
о /.»=>
у(сіх).
Пусть (1Ф О. Вьіражение в квадратних скобках
положительно при всех х 6 (0, + °о), и мера полуоси
(0, +«) — положительна. Позтому и интеграл положи-
телен. Теорема доказана.
Теорему 2 установил Ш е н б е р г [7]. Замечание о строгой
положительиой определенности сделал Мичелли. Самим существен-
иим моментом в доказательстве является использоваиие теореми
Бернштейна (1928 г.). Простое ее доказательство приводите» в книге
Феллера [9]. Там говоритея: «Теорема о вполне монотонних функ-
циях с полньїм правом рассматривается как жемчужина математи-
ческого анализа. Хотя приводимое доказательство просто и злемен-
тарно, первоначальние исследования в атом направлений требовалн
оригинальности и сили».
1 Условиям теореми удовлетворяют функции Є~*,
0 и (1 + 0-Ц»	0. при Н > 0. Отсюда, в част-
ности, получаем, что строго положительно определеньї
функции
____1	_____1_____ У г о"1
1+11XII2 ’ /1+||XII2 ’ ь
2. Многомерная интерполяция
В пространстве Н” фиксированьї попарно разлнчнне
точки Х1( .... Хп и данн числа {г±.гп] с: К. Тре-
буетея построить функцию 5 (X), X £ Цт такую, что
5 (Хі) = 2і, і = 1, .... п. Рассмотрим случай, когда
функцию 5 иіцут в виде
5(Х)= £^/(Х-Хй), ХеГ, (5>
4=1
с некоторой функцией / :	-> К-
Козффициентн {сІк} обнчно находятея из системи ли-
нейних уравнений
£^(Х,-Хл) = 2і,	.....п,
4=1
или в матричной форме сіР = г, где Р: = {/ (Х£ —
— Хй))",4=і. Для того чтобн система била разрешима
ИЗ
при любих {?;), необходимо и достаточно, чтобьі матрица
Р бьіла неособенной. Интересньїм представляется случай,
когда функция / строго положительно определена. Тогда
матрица Р положительно определена и, значит, является
неособенной. Систему (ІР = г можно решать методом
сопряженньїх граднентов или методом квадратного
корня.
Распространенньїм аппаратом интерполяции явля-
ются мультиквадратики Харди. Они имеют вид (5) при
^>=тгтр- или /<х>=^і+іж
хек".
Функция
/(Х) = —'. ХЄІГ,
’ У1 + ІІХІР
как отмечено вьіше, строго положительно определена.
Функция / (X) = ]/1 + || X ||2, X € Кт не по-
ложительно определена, так как не обладает свойством
(1). Однако и в зтом случае матрица Р является неосо-
бенной. Зто вьітекает из следующего утверждения.
ЛЕММА 1 14]. Матрица У = {/1 +|| X, — Хь ||2|?л=і
имеет одно положительное и п. — 1 отрицательное
собственньїе значення.
Доказательство. Обозначим собственньїе
числа матрицьі Р через	^ ...^ Хп. Как извест-
но,
1П = шах (ар, а).
И=і
Взяв вектор ао = (—..., —получим
\ і п І п 1
і п
ьп>(а0Р,а0) = ± £ рік>о.
І.Л=1
Для доказательства отрицательности остальньїх соб-
ственньїх значений достаточно показать, что матрица
Р отрицательно определена на подпространстве Е)о =
= {а £ К" | гіі+...+ ап = 0} размерности п — 1.
В интеграле
+°° ,
——-0х = — /я
6
114
сделаем замену х — іи, />0. Тогда
о
Подставим і = V) 4-1 Хі — Хк |*, умножим на
гДе 6 € О»» и сложим. Получаем
о
Е Шк-
1,к=і
0=1	1
-----гИ Е ^Ае-"“хі-“х^и<0
1 м=і
для всех д. Є О0, <і Ф О. Лемма доказана.
С помощью тождества (6) легко доказьівается ана-
логичное утверждение для функции / (X) = || X
X Є Кт.
Упражнение
1. Доказать, что матрица (Ц Х{— ^4ІП"*=і имеет одно
положительное и л — 1 отрнцательиое собствеииьіе значення.
3. Сплайньї нечетной степени
Ввиду неособенности матрици { [| Х( — Хк || }"*=і,
однозначна разрешнма интерполяционная задача для
«сплайнов» вида
$(Х)= £<мх-хл||, ХбГ; 4ЄК.
к=1
Функции 5 непрерьівньї, но в точках {Хл} не диф-
ференцируемьі. Для повьішения гладкости по аналогии
со сплайнами одной переменной естественно рассмот-
реть функции
5(Х)= £^н-хаГ+1, ХЄІГ, (7)
/г=1
115
где г — целое неотрицательное число. Однако матрица
{ І] Хі — Хк Г+1} при г 1 может бьіть особенной,
позтому функции (7) для интерполяции используются
редко.
О, = ЙЄН"
Упражнение
2. Подобрать четьіре точки на плоскости, для которьіх
беі (||Хг-ХйН?л=і=0.
Полное исследование случая т = 2, г = 1 приведено в [5|.
Функции (7) можно модифицировать так, чтобьі ин-
терполяционная задача стала разрешимой при мини-
мальньїх предположениях.
Обозначим 9, — класе полиномов степени от
т переменньїх. Для различньїх и фиксированньїх точек
Хп Хп £ К”1 рассмотрим подпространство
4=1
Используя ту же идею, что и при доказательстве
леммьі 2, можно доказать следующее утверждение.
ЛЕММА 3. Матрица Р = {|| X, — Хк Г+'|Г.4=і об-
ладает свойством
(— 1/+1 (ар, й)>0,	Л^О.
Сплайном нечетной степени назовем функцию вида
$(Х) = 0(Х)+£<мх-хХ+1, хеіг,
4=1
где £ ^г, а вектор коз|)фициентов й принадлежит £>,.•
Обозначим через р размерность 9Т\
р = біт^, = (т. 4- г)!//п! г!
Предположим, что п > р й ереди точек Хп Хп
найдутея р точек Хц, Х(р, на которьіх одно-
значно разрешима интерполяционная задача для поли-
номов из 9Г. Например, для т = 2, г = 1 найдутея
три точки, не лежащие на одной прямой.
ТЕОРЕМА 3. Для любьіх чисел существует и только
один сплайн 5 такой, что 5 (Х;) = а,, і = 1, п.
Доказательство. Пусть <2і. •••>	— базис
в Любой полином <2 £ 9‘Т записьівается в виде
116
<2 "СіРі+..-4-СрРр Нужнодоказать разрешимость системи
£ С&1 (X,) + £ II X/ - Хк Г+1 =- 2і, і = 1, ... , п,
/=1	4=1
(8)
£ад;(Хл) = 0,	(9)
4=1
Последние р условий равносильнм включенню (і Є Ог.
Достаточно доказать, что однородная система имеет
ТОЛЬКО нулевое решение. Пусть {Су, <Ік} — решение
однородной системи (с г( = 0). Умножим (8) на гї( и
вьіполним сложение. Получим с учетом (9), что (<ІР, (І) =
— 0. Отсюда, в силу лемми 3, <і = О. Теперь из (8) при
2і = 0 внтекает, что
£о<2>(Х/л) = о, к = \,...,Р.
По предложению на точках Х,„ Хір интерполяци-
онная задача разрешима однозначно, позтому С] = 0,
і = 1, ..., р. Теорема доказана.
Более подробице сведения о сплайнах т переменннх
см. в [6|.
Упражнение
3. Показать, что вектор <і козффициентов интерполяционного
сплайна является единственньїм решением задами
(_ рН-1 4) — 2 (— 1/+1 (г, 4) -> тіп.
СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
і.	іешагі . Рояіііує сіеГіпИе Іипсііопа апсі ^епегаїігаііопа,
дп Ьізіогісаі зигуеу Н Носку Моипіаіп Л. МаіЬ.— 1976.— Уоі. 6.—
Р. 409—434.
2.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления.— М. : ГИФМЛ, 1959.— 808 с.
3.	Леоненко Н. Н., Ядренко М. И. О некоторьіх нерешенньїх про-
блемах анализа и теории вероятностей // Математика сегодня '89.—
К. : Вища шк., 1989.— С. 106—130.
4.	МіссНеШ С. А. АІ^еЬгаіс ааресіз о[ іпіегроіаііоп//Аррго-
хітаііоп Ніеогу.— Тгоуісіепсе, 1986.— Р. 81 —102.
5.	Оуп N.. Оооітап. Т., МісскеШ С. А. Розіііує роу/егз оі
сегіаіп сопсііііопаїІу пе£аіі\-е (іеїіпііе таїгісеа // Іпгіа^аНопез МаШ.—
1986,— Уоі. 48, Разе. 2,— Р. 163—178.
117
в. Певний А. Б. Некоторьіе иитегральньїе тождества, связаинмв
со сплайнамн п переменньїх // Изв. вузов. Математика.— 1989 —
№ 4.—С. 51-55.
7. БсІїоепЬегц І. 7. Меігіс зрасез апд сотріеіеіу топоіопе Гипс-
ііопз// Апп. о! МаіЬ.— 1938.— Уоі. 39.— Р. 811—841.
8. Филлер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
ния,— М. : Мир, 1984.— Т. 2.— 752 с.
В. П. ЗАСТАВНЬІЙ, канд. физ.-мат. наук
О НЕКОТОРМХ СВОЙСТВАХ
ОДНОГО КЛАССА РАДИАЛЬНЬІХ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЬІХ
ФУНКЦИЙ
Непрерьівная функция /: Ят -► С на-
знвается положительно определенной, если при люомх
п £ N. хк £ ск Є С, 1 к п, имеет место не-
равенстао
Е /(•**— Хр)сйср>0.
Множество таких функций обозначим через & (К".
Если еще / (0) = 1, то функция / по теореме Бохнера —
Хинчина [1, с. 63] или [4, с. 240] является характерис-
тической. Обозначим через Фт — множество радиаль-
ньіх положительно определенньїх функций т перемеїі-
ньіх [4, с. 244, класе /? (Ет)].
В настоящей статье исследована следующая задача,
сформулнрованная в 12]: при каких а, 0 £ К функция
г-<х|хі сох 0 | х | £ Фт, х £ Кт, где | х | — евклидова норма
в Кроме зтого, рассмотреньї и другие вопросьі.
ТЕОРЕМА 1. Пусть г £ С.
Кее-г'х| £ Фт тогда и только тогда, когда | аг? г |
лт
Доказательство. Сначала докажем, что Уг$
£ С, Ке г > 0:
\пе-іхие-г'х^х = 2"Т (-^±1-)	-----г—^, (І)
(г2+І«Г2) 2
где в правой части рассматривается та ветвь (при четном
пі), для которой V1 — 1. Функции, стоящие в обоих
© В. п. ЗАСТАВНИЙ, 1994
118
частях равенства (1), являются аналитическими при
Ке 2 > 0. Равенство (1) вьіполнено для вещественньїх
положительньїх г [3, с. 13], а значит, в силу теоремьі
единственности для аналитических функций и при
Ке г > 0. Учитьівая четность функции е-2,х|, х £ Нт,
получаем формулу для преобразовании Фурье функции
Ке х 6 К™, при Ке г > 0:
У е~,хи Ке е~г'х'(іх = 2"Т (X
Кш	\	/
х Ке
г
т+1
(га + |в |2) 2
(2)
Используя теорему Бохнера — Хинчина, получаем,
что при Кег > 0 Ке е~^ХІ £ Ф.п 0 том и только в том
случае, когда
>0, />0.
(3)
(г2 + П 2
Необходимость. Из (2) вьітекает, что V є > 0, V /г £ N
е-ЕИЄФл-
Пусть Ке е~гМ £ Фт. Поскольку функции из (Кт)
ограниченьї на К™, то Ке г 0. Учитьівая, что про-
изведение функций из У (Кт) єсть функция из & (Кт),
ТО V Є > 0 Ке е~(г+е)ІХІ Є Фт-
Из соотношения (3) следует, что Ке (г + е)-т 0.
Как известно, с ростом т классьі Фт убьівают, т. е.
Ф*+і сі Фй. Позтому Ке е_<г+Е)|ЛГІ 6 Ф* и при 1 к
т, а значит, V е > 0, 1 /г т
Ке(г + е)“*>0.
Последнее условие зквивалентно тому, что Ке (г +
+ е)* > 0 при 1 к т и е > 0. Устремляя є 4- 0,
получаем Ке гк 0, 1 /г т, что в свою очередь,
зквивалентно неравенству | аг§ г |	~ (зто можно
доказать, например, методом математической индук-
ции). Необходимость доказана.
Іостаточность. При т = 1 достаточность очевидна.
При т 2 из условия | аг£ г |	следует, что
Ке г 0, и если Ке г = 0, то г = 0. Однако функция
119
/ (] х І) 1 Є Фт V т 6 N. Позтому можно считать, что
Ке г > 0 и Ке е -2І'І Фот тогда и только тогда [3],
когда
£т(9 = КеЙга + /)'2Л>0, />0.	(4)
Последиее неравенство будем доказмвать методом
математической иидукции по т.
При т = 1 и Ке г 0
51(0 = І 2 І2 Ке 2 +/ КЄ2>0, />0.
Пусть т = 2. Заметим, что если при 20 = а0 + ф0,
а0 > 0, Ро 6 К
е-«»И сов ро | х | Є Фт,
то для любого е > 0 функция
/ (І X |) = Є-(“.+е)І'І СО5 р0 І X | Є фт,
а значит, V ? > 0
/ (І V-* І) = /(?И)€Фт-
Бери у = а0/(а0 + е) и учитьівая четиость косинуса,
заключаем, что при всех 2
|аг£2|<|аг£20|,
функция Ке е~гІХ> 6 Фт- Позтому при т = 2 доста-
точио доказать справедливость (4) для 2 = ехр 
Производная функции &2 (/) равна:
52(0=-гКе<е4 О' + О2}.
Внполнив замену і = сі£ <р, 0 < <р < получим
_	/я іу __і_
52(с<бФ) = -|-Ке {е 4е2(8іп<р) 2} =
= (8ІП ч>)~ Т СО8 — А).
При указанньїх <р
со5(т—т-)>СО5(^)>0-
Позтому §2 (І) > о при / >0и§2 (/)	(0) = Ке і = 0.
120
При п > З
'» = (
(?п (0 — -— §п—2 (/)•
Тогда из предположения, что (4) доказана для
1 /п п — 1, и неравенства | аг§ г |	л/(2п)
л/(2л — 4) следует, что при 0 вьіполняется усло-
вие £п-г(/)^0, а значит,
гп(0>^п(0) = |г|2Кегп>0.
Теорема 1 доказана.
Рассмотрим класе функций М, заданньїх на [0, + оо),
представимьіх преобразованием Лапласа неотрицатель-
ной конечной мерьі:
е~/5гір (з), гір 0, у гір < + оо. (5)
о
Класе М (теорема Бернштейна) совпадает с классом
непрерьівньїх на [0, +оо) и бесконечно дифференцируе-
мьіх на (0, +оо) функций с условием [4, С. 250—255]
УЛ£М, У/>0:(— і)*-1/»*-1’ (/)>0.
Из представлення (5) вьітекает, что функция из М
продолжаетея до функции аналитической в полуплос-
кости Ке г > 0 и непрерьівной в ее замьїкании.
Следствие 1. Если / £ М и | аг§ г | т £ N.
то
Ке/(| х | г) £Фт.
Доказательство следует из того, что при
указанньїх г
Кее~гі*і5£Фт Уз>0,
а мера р неотрицательна и конечна.
ТЕОРЕМА 2. Пусть /£ Л4, Ке г> 0 и при неко-
торо.м т £ N вьіполнено условие
0<^^-<оо.	(6)
+0
Тогда при любом фиксированном р £ N. 1 р
т, справедливо утверждение;
Ке / (г | х |) £ Фр «| аг§ г | л/(2р).
121
Доказательство. Достаточность следует из
следствия 1, а необходимость, очевидно, можно доказу-
вать только при р = т.
Если Ке / (г | х |) £ ФА при к. = т, то тем более —
при 1 к т.
Используя формулу для преобразовании Фурье ра-
диальннх функций, получаем, что при Кег>0,1^
Іг т,
Ке/(г|х|)=Ке у е~гИ0/р,(^)= у Ке е~гИ0/р, (/)-|-
0	+о
X (Шц (0 + р ({0}) = Ск +у Ук (І X І 5) X
о
+»	( гі ]
х С Ке І *+і у (/)</$ +
І (гЧа -р 5’) 2 )
к—2
где Ск > 0, УА (ї) = З'к_2 ($)/$ 2 .	— бесселева функ-
~2
ция, а повторнне интегралн равньї в силу теоремьі Фу-
бини.
Из последнего равенства и теореми Шенберга [2, с.
1081 или 14, с. 2441 следует, что Ке / (г | х |) € 4*4
тогда и только тогда, когда
+°°	гі )
У$ >0 : С Ке -------------ЕЕГ	<*) >°-	(7>
З (га/г + 5а) 2 )
В силу условия (6) в (7) можно перейти к пределу при
5->0 +
Следовательно,
>0.
Позтому Кег* > 0 при 1 т, азначит, | аг£2|^
Теорема 2 доказана.
122
Замечание. Условие (6) зквивалентно условию
4-00
0</о(І*|) = /(|*|)-/(+~)= { е-І^И(ґ)€Ь(«т).
+о
Как известно, если / Є М, то при 0 у 1 имеем
/ (/ї) Є М. Учитьівая, что е~* £ М, при 0 у 1
получаем ехр (—/?) £ М. Кроме того, при у > О имеем
ехр (— | х |?) £ Ь (Кт) V т 6 N. Позтому справедливо
следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть 0 < у 1. Тогда Ке е~г|х|? Є
€ Фго тогда и только тогда, когда | аг£ г |	лу/(2/п).
Следующие два примера показьівают, что при невьі-
полиении условия (6) необходимость в теореме 2 (усло-
вие на аргумент) может как внполняться, так и не вьі-
лолияться.
П р и м е р ьі
1. Пусть т = 3 и / (і) = У е Іг (із.
о
Условие (6), очевидно, не вьіполнено. Для того чтобьі
Ке і (г | х | ) 6 ®а при Ке г > 0, необходимо н достаточно, чтобн
вьіполнялось неравенство (7); но неравенство	__
„ Г гі	1 „ ( 1 ( 1	1	\)
Ее ) (г2<* + «*)* аі ~ 2 Ее | г ( а* ~ г» + і» Д =
6
= Ні? Ее г»Ч-5« >°-
где з > 0, вьіполнено (см. условие (2) при т = 1) для | аг£ г | <~2 .
я
Предельньїм переходом при | аґ£ г |	~2 получаем Ке/ (г | х |) Є
€ Ф8.
2. Пусть п Є N. п > 2, и
/ (0 = (ґ+ 1)п = («-1)1 I е~‘’е~55п-'<із.
Условие (6) при т = п ие вьіполнено, но оно вьіполнено при !
С 'п С п ~ 1- Позтому, еслн Кег>0 и Ке/ (г | х |) Є Ф„, то
Ке г* > 0 при 1 < к п — 1. Еслн Ке —— < 0, то
г
Ііт Ке іпі (гі) = Ііт Ке -	  = Ке < 0.
/-»+«=	(гі + 1) гп
123
Тогда КеНг| ХІ) 6 Ь (Я"). Позтому Ке г” > 0. Следовательно,
| аге г |	л/(2п).
Приведем одно необходимое условие для функций из
? (Яга).
ЛЕММА. Если / Є ? (Ят) и (| Ке / | + Ке /) Є Ь («'"),
то
Ке/бЬ(Кт).
Доказательство. Если / £ Т (Ят), то и
Ке / Є & (Кт). Поскольку V є > 0 е-е|л| 6 Я" (Ят), то и
е~еМ Ке/(х)Є^(Кт).
Последняя функция интегрируема на Ят, позтому
ОС 5 е-еИКе/(х)<7х< + оо.
кт
Тогда
У с“еИ | Ке / (х) | іх С У е“еИ (І Ке / (х) І + Ке / (х)} Лх С
< У {|Ке/(х)| + Ке/(х)}<їх< + оо.
нт
Осталось устремить є -* + 0. Лемма доказана.
Следствие 3. Если / Є .9" (Ят) и вне некоторого ком-
пакта Ке / (х) С 0, то Ке / £ Ь (Я™).
В зтом случае вне некоторого компакта | Ке / (х) |
~Н Ке / (х) = 0, а значит, внполпеньї условия леммьі.
Следствие 4. Если / £ М и при некоторьіх /->0,
?€Я, 0<;|уІ^-уі вьіполнено неравенство
Ке/(е/7/)С0, 1>г,
то при =
у |Ке/(Л)|/л,_ІЛ<оо.
о
Доказательство внтекает из следствия 3 и того, что
| у | С 2^"» а ПРИ таких у
Ке/(^|х|)€Фт.
124
Немоторне нерешенньїе проблеми
Пусть Е — линейное нормированное пространство
над полем вещественннх чисел. Через Фо (Е) обозначим
множество функций / Є С [0, + оо) таких, что функция
І (IIх II). х Е £. положительно определена на Е (в
частности, класе Фо (ІТ) совпадает с классом ФП1,
введенньїм в начале статьи). Общая проблема состоит
в том, чтобьі для данного Е описать класе Фо (Е).
Если Е бесконечномерно, то известен следующин
результат [5]: при 2 < р оо класе Фо (1р) состоит
лишь из неотрицательньїх констант и
4-00	оо
Фо(Ір) = {/(0 = ( ехр(—^5)гір(5),
6	О
< оо}, 0 < р 2.
При 0 <	1 в предьідущем случаерассматривается
соответствующая квазинорма. При р = 2 зто давкий
результат Шенберга [4]. Для конечномерньїх пространств
известно полное описание классов Фо (1™) [6], Фо (І?)
14] и при 2 < р їС оо, т>ЗФ0 (Ір) = (/(;)=/ (0) >
0} (доказательство последнего факта для указанньїх
и более общих пространств |7, 8]). Известно, что когда
нормированное пространство Е имеет размерность 2,
то классьі Фо (Е) не тривиальньї, а именно, ехр (—/) £
Є Фо (Е).
Проблема 1. Дать полное описание классов Фо (Ір)
в случаях: а) т 2,0 < р < 2, р ф 1; б) т = 2,2 <
<С р <оо.
Замечание 1. Попитка описать зти к асси еделана в работе
І9]. Очевидно, что Фо (І,) = Фо (1^,). При т = 1 класси Фо (І^1)
совпадают со множеством четньїх положительно определенньїх на
К функций и с ростом т. зти класси убьівают (при фиксированном
р), а также
®о(Ір)= П Ф0(Ір).
Шенбергом бьіло доказано, что при т 2 н 0< р 2
ехр (— /“) є Фо (І”) <» 0 С а С р;
при т = 2 и 2 < р оо
ехр(-/“)ЄФо(1*)<»0<а< 1
(доказательство для зтих н для более общі.х дв> мерньїх пространств
см. в [7, 8], а для пространств І? — в [10]).
125
Проблема 2. Для каких і £ С Ке ехр (—Фох
X (/р), где 0 < а р, при т 2, 0<р^2и0<
<а І, а также при т = 2 и 2 < р оо?
Замечание 2. Теорема 1 дает ответ на последний вопрос, когда
а = 1, р = 2, т 2. Для а = і, р = 1, т 2 и а = 1, р =<х>,
т = 2 аналогичная теорема доказана в [7, 8].
Проблема 3. Верно ли следующее утверждение: если
для нормированного пространства класе Фо (Е) не три-
виален, т. е. состоит не из одних констант, то при неко-
тором 0< а 2
ехр(-/“)СФо(^)?
В зквивалентной форме данное утверждение форму-
лируетея так:
если класе Фо (Е) не тривиален, то можно ли утверж-
дать, что существует такая вероятностная мера р на
прямой, для которой
/(0 = ісО5(/8)^(5)6Фо(Е),
я
и при некотором у £ (0,21
0< 5 | 5|?гір,(5)< оо.
н
(Первое неравенство означает, что мера ц. не сосредо-
точена в нуле).
Замечание 3. Для тех классов Фо (£), о которьіх в настоящее
время известно, что они не тривиальньї, ответ на последний вопрос
положителен. Еслн же в обіцем случае зто окажетея не так, то ес-
тественно возникает следующая проблема.
Проблема 4. Привести пример нетривиального клас-
са Фо (Е), сііт Е З, такого, что для всех а > 0
ехр(-Ґ) £Ф0(Е).
В заключение отметим, что вопрос о принадлежности
функции ехр (—Iа) классу Фо (Е) связан с изометри-
ческими вложениями нормированного пространства
Е (и даже квазиконформньїх) в некоторое Ьр-простран-
ство.
ТЕОРЕМА [5]. Нормированное пространство Е изо-
метрически вкладьіваетея в некоторое пространство
126
Ьр (й, у, ц), 0 < р 2, тогда и только тогда, когла
ехр (-/р) Є Фо (Е).
Отметим также, что вопрос о нетривиальности клас-
сов Фо (Е) и полного их описання связан с проблемо»
существования многомерньїх устойчивьіх распределе-
ний, характеристические функции которьіх зависят от
норми и с общей проблемой Итона [11] об описании мнс-
гомерних версий случайной величини.
Дополнительную литературу можно найти в работах
[10, 12].
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1.	Ахиезер Н. И. Лекции об интегральньїх преобразованиях.—
Харьков : Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1984.— 120 с.
2.	Леоненко Н. П., ЯдренкоМ. И. О некоторьіх нерешенннх про-
блемах аиализа и теории вероятностей // Математика сегодня.—
К. : Вища шк. Головнеє изд-во, 1989.— С. 106—130.
3.	Стейн И., Вейс Г. Введение в гармопическнй анализ па
евклидовьіх пространствах.— М. : Мир, 1974.— 336 с.
4.	Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов.— М. :
Физматгиз, 1961.— 310 с.
5.	Вгеїацпоііе УОасипііа Сазіеііе О., Кгліпе і. Ь. Еоіз зіаЬІез
еі езрасез Ь}7 //Апп. Іпзі. Непгі Роіпсаге 8ес. В. 1966.— Уоі. 11,
N З,— Р. 231—259.
6.	СатЬапіз 8., Кеепег Я., Зітопз С. Оп а-5утшеігіс Миііі-
уагіаіе ПізігіЬиііопз // Зоигпаї о[ Миіііуагіаіе Апаїузіз, 13 (1983).—
Р. 213—233.
7.	Заставньїй В. П. Положительно определеннне функции, за-
висящие от норми. Решение проблемні Шенберга, Донецк, 1991—
35 с. (Препр./АН Украйни. Ин-т прикладной мат. и механики;
09.91).
8.	Заставньїй В. П. Положительно определеннне функции, за-
висящие от норми // Докл. РАН.— 1992.— Т. 325, № 5.— С. 901 —
903.
9.	КісНагЗ О. Р. Розіїіуе (іеПпіІе зуттеігіс ГипсНопз
оГ Гіпііе бітепзіопаї зрасез. 1. Арріісаііопз ої Віє Каіоп ігапзГогт //
Л. Миіііуагіаіе Апаї. 19 (1986).— Р. 280—298.
10.	Колдобский А. Л. Задача Шенберга о положительно опре-
деленинх функциях//Алгебра и анализ.— 1991.— 3, вьіп. 3.—
С. 78—85.
11.	Еаіоп М. Ь. Оп Віє рго)есііоп5 оГ ізоігоріс бізІгіЬиііопз//
Апп. Зіаіізі.— 1981.— Уоі. 9, N 2 — Р. 391—400.
12.	УРіШатз Ь. К., Меііз ]. Н. ЕтЬе<іс1іп£ апсі ехіепзіопз
іп апаїузіз.— НеідеІЬеге 8ргіп£ег, 1975,
127
М, Ф. ГОРОДНІЙ, канд. фіз. мат. наук
ОБМЕЖЕНІСТЬ РОЗВ'ЯЗКІВ
ОДНОГО РІЗНИЦЕВОГО РІВНЯННЯ
У НЕСКІНЧЕННОВИМІРНОМУ
ПРОСТОРІ
Нехай В — комплексний банахів
простір; І • ||, б, 2 (В) відповідно норма, нульовий еле-
мент і банахів простір усіх лінійних обмежених опера-
торів, які означені иа В і діють у В; І — одиничний
оператор у В.
Нехай Е — комплексний нормований простір; Т:
Е—> В— лінійний обмежений оператор; А—фіксо-
ваний оператор з 2 (В). Мета даної роботи — дістати
умови для операторів А і Т, при яких для довільної
обмеженої за нормою послідовності {уп : п 1) елемен-
тів простору Е і довільного а з простору В розв’язок
{хп : п > 1} різницевого рівняння
х„ = Ахп-і + Туп, п>1,	(1)
= а,
е обмеженою в В послідовністю елементів. Такий розв’я-
зок рівняння (1) називатимемо обмеженим.
Різницеві рівняння виду (1) використовуються для
описування дискретних динамічних систем [1]. Необ-
хідні відомості з функціонального аналізу можна зна-
йти в 12, 3].
1. Допоміжні результати й
формулювання основної теореми
Сформулюємо спочатку теорему про спектральний
розклад лінійного обмеженого оператора у банаховому
просторі [3, с. 445].
Нехай V — оператор з 2 (В) зі спектром ст (И).
ТЕОРЕМА 1. Якщо існують замкнені обмежені мно-
жини о1( ст2 комплексної площини С щ..і, що
О(И) = о, и о2, О! п = 0.
то простір В можна розкласти у пряму суму
В = Вг 4- Вг
М. Ф. ГОРОДНІЙ, 199'1
128
таким чином, що підпростори Вп Вг є інваріантними
відносно оператора V, а спектр звуження V, оператора
V на В і збігається з множиною о;, і = 1, 2.
Для пояснення однієї з умов основної теореми до-
ведемо таку лему.
ЛЕМА 1. Якщо різницеве рівняння
хп = Ахп-і, л>1,	(2)
х0 = а,
має обмежений розв’язок (хп : п 1} для довільного
а £ В, то спектральний радіус гд [ЗІ оператора А за-
довольняє нерівність Гд 1.
Доведення. Для фіксованого а £ В розв’я-
зок рівняння (2) має вигляд
хп = Апа, п 1.
Тому з умови леми і згідно з принципом рівномірної
обмеженості [2, с. 1161 маємо
3£>0 Ул>1 : ||ЛП||<£.
Отже,
гА = Ііт ]/ЦАп Ц Чт = 1.
п->оо	п->оо
Лему 1 доведено.
Якщо Гл<1, то відповідь на питання про обмеже-
ність розв’язків рівняння (1) містить наступна теорема,
доведена в 14|.
ТЕОРЕМА 2. Для того щоб для довільної обмеженої
в В послідовності |цп : п 1) і довільного а£В
розв’язок |хп :	1) різницевого рівняння
хп = Лхп_і + ип, л>1,
х0 = а,
був обмеженим, необхідно і достатньо, щоб виконува-
лася нерівність Гд <с 1.
Справді, внаслідок обмеженості послідовності
{уп: я 1) і оператора Т, послідовність {Туп : п 1)
є обмеженою в В, а тому, згідно з теоремою 2, рівняння
(1) має обмежений розв’язок.
У загальному випадку не всі обмежені в В послідов-
ності зображуються у вигляді {Ту,,	1|. Тому
на відміну від теореми 2 обмеженість розв’язків різни-
5 79	129
цевого рівняння (1) в деяких випадках матимемо і тоді,
коли га = 1. Про це свідчить основний результат даної
роботи. Перш ніж сформулювати цей результат, прий-
мемо ряд припущень.
Припущення 1. Спектр о (Л) оператора А зображу-
ється у вигляді о (Л) = о и {!), причому о — замк-
нена множина, яка задовольняє умову
ос{1ЄС | |Х|<1).
Зауваження 1. З припущення 1 випливає, що гл = 1, атому
| Л II > 1 (З).
Внаслідок теореми 1 В = Ва 4- В1г де Ва, В; —
інваріантні простори оператора Л, що відповідають
множинам а і (1).
Припущення 2. Для довільного вектора щ, що нале-
жить одночасно В± і образу Ит = {Ту\у£Е} опе-
ратора Т, виконується співвідношення
гауЛіКЛ— /)по>11->0, п->оо.
Зауваження 2. Оскільки X = 1 — ізольована точка спектра,
то [3, с. 448]
В1 = (хЄЯ|у/0(4-/)лл||-О, л—►□©),	(3)
Згідно з припущенням 2 для елементів множини
Ві П Ят швидкість прямування до нуля повинна бути
порядку о
Сформулюємо основний результат.
ТЕОРЕМА 3. Нехай || Л || = 1 і виконуються при-
пущення 1, 2. Тоді наступні умови еквівалентні:
і) для довільної обмеженої послідовності (уп : п
1} с: Е і довільного а £ В різницеве рівняння (1)
має обмежений розв’язок (хп : п 1);
іі) Ят П В, = (0).
Для доведення цієї теореми треба застосувати допо-
міжний результат з комплексного аналізу, перевірку
якого здійснено нижче.
130
2. Швидкість прямування
до нуля послідовності
похідних {/<п)(0)	цілої
функції /, відмінної
від константи
Нагадаємо необхідні у подальшому факти з теорії
цілих функцій [5, 6].
Цілу функцію / можна зобразити у вигляді ряду
/(.?) = £ ал.?", ?ЄС,	(4}
п=0
який абсолютно збіжний на всій комплексній площи-
ні С. Порядок р і тип о цілої функції / визначаються за
формулами
тг— « і" л	,с.
Р = Ііт —і— ,	(5)
П-*°°ІП -Г-
I ап
Тїгп п|/о у/|ап | = (оер)1/р.	(6)
п->оо
Зауваження 3. Якщо ап = 0, то л-й член послідовності, записа-
ної в правій частині рівності (5), вважається таким, що дорівнює
нулю.
Виконується такий наслідок з теореми Фрагмена —
Ліндельофа 15, с. 289].
ЛЕМА 2. Якщо порядок р цілої функції / мгнший
від 1, або / має порядок р = 1 і тип а = 0, то з обме-
женості / на деякій прямій в С випливає, що / = сопзі.
За допомогою коефіцієнтів [ап : п 0} розвинення
цілої функції / у степеневий ряд (4) побудуємо послі-
довність : л 0) таким чином:
* л
То • = ао< Уп •’ = У Спйі,> п 1.
к=О
Тут через позначено біноміальні коефіцієнти.
ЛЕМА 3. Нехай виконуються умови:
І) п »/|ал | —► 0, п-> оо.
ІІ) 3^ >0	1 : | уп|< £.
Тоді / = СОП5І.
Доведен н я. Досить перевірити, що ціла функція
п=0
5*
131
«вдовольняє умови леми 2. Спочатку впевнимося, що
її порядок Рф не перевищує 1. Згідно з формулою Стер-
лінга [7, с. 385],
1	І / /І \л
Л > 1 І ЛІ>-------- .
—	\ е І
Тому, внаслідок умови ]), для довільного к £ N
Д; -
такого, що ак =£ 0, к у | ак | < 1, справджується оцінка
= Іп к---г + к _____________> Іп к-----.
2	2	\4іал|/	2
Отже, згідно з формулою (5),
Рф І™ Іп й - 1/2 “ ’•
Тепер покажемо, що при рф = 1 функція має ну-
льовий тип. Справді,
2А У 1^1 < 2к ”/КЇ V-т = 2 У (к */| ак |),/2.
Звідси, внаслідок формули (6), дістаємо
оФ С1 ігп 2 У е (к ткТ<[),/2 = 0.
й->ос
Залишилося довести, що функція <р обмежена на
дійсній осі. Перемноживши за Коші абсолютно збіжні
ряди, дістанемо співвідношення
ОО	оо	ОО
Ф(г)е2’=	V-^г2п	V	4і-= V-^-г2т,	г£С.
4 '	п!	«і	ті
ЛавО	ШавО
Тоді з умови її) випливає, що
 |Ф(х)|Со-“£
т=*О
Лему 3 доведено.
Зауваження 4. Внаслідок зображення (4)	(0) = л' ап.
Отже, згідно з формулою Стірлінга, умова ]]) виконується тоді
і тільки тоді, коли /1 /<п) (0) | -> 0, п —► оо.
Тепер доведемо основну теорему.
132
Доведення теореми З
Спочатку перевіримо правильність імплікації іі) =>і).
Нехай довільні а. £ В і обмежена послідовність
{Уп : п 1} а Е — фіксовані. Доведемо, що відповід-
ний їм розв’язок {хп : п 1} різницевого рівняння
(1) є обмеженим. Внаслідок умови іі) маємо, що
{7уп:п^1} є обмежена послідовність у підпросто-
рі Ва. Згідно з теоремою 1,
Заа£Ва 3 «16^1 і а = оса +
Позначимо через Аа і Аг — звуження оператора А
відповідно на підпростори Ва і В^ Враховуючи ліній-
ність рівняння (1) та інваріантність Ва та Вх відносно
оператора А, робимо висновок, що
V п > 1 : хп = ип + ип,
де [ип : п 1} — розв’язок рівняння
ип = Ааип-і Туп, и>1,	(7)
«о = аа,
яке розглядається у підпросторі Ва, а {цп : п 1} —
розв’язок рівняння
рп = Л1рп-і, и>1,	(8)
Уо =«і
у підпросторі Залишилося зауважити, що розв’язок
рівняння (7) обмежений внаслідок теореми 2, а розв’я-
зок рівняння (8) має вигляд
цп = ДГсц, п 1,
і його обмеженість випливає з того, що Ц Д Ц = 1.
Доведемо, що і) => іі). Припустимо від супротивно-
го, що
 ^-.^Туев., р#=б.
Для скорочення запису покладемо 0: = А — І.
Внаслідок припущення 2
п Л/||6пр Ц ->0, п->оо.	(9)
З рівності || Д || = 1 випливає, що
ІІ(/+ С)"р ц = ц длрк || рц. (10)
Зафіксуємо довільний функціонал / £ В* і розглянемо
послідовність
Чп : = /(6"Р). п>0.
133
Із співвідношень (9) і (10) маємо
"Уі <?п |-*0, п-> оо;
І С^к = І/(£ С*О*р\| = |/((/ + (ї)'’Р)<||Л.||М.
4=0	| \4=0 /І
Отже, послідовність {дп : п 0} задовольняє обид-
ві умови леми 3, згідно з якою = 0, п 1. Таким
чином, доведено, що
: /((Д-/)р) = О.
Звідси, враховуючи теорему Хана — Банаха, знаходи-
мо, що Д0 = 0.
Тепер розглянемо різницеве рівняння (1) з початко-
вими умовами:
« = Р; Уп — У< л>1.	(Н)
Згідно з (1), послідовно дістаємо
Ул>1 : хп = Апа + Ап~хТУ1 + ••• +
4-	А Туп— і А- Туп =
= 4"Р + Д"-‘Р + ••• +4Р + Р=(п+ 1)0.
Отже, початковим умовам (11) відповідає необмеже-
ний за нормою розв’язок (х,, : п 1} рівняння (1),
що суперечить умові і).
Теорему 3 доведено.
4.	Заключні зауваження і вправи
Проаналізуємо умови теореми 3 для оператора А
зі спектром, описаним у припущенні 1. Умова || А || =
= 1 стане більш зрозумілою, якщо виконати такі вправи.
Розглянемо простір Ст з евклідовою нормою
. X = (Хр х2, . .. , хт)ЕС .
Вправи
1.	Навести приклад оператора Р : Сп -> Ст такого, що
а)	о (Г) = {0}, Ц Г Ц = 1;
б)	о (Г) с {ХЄ С |	Ііт Ц Г"|| = оо.
л->оо
2.	Визначити необхідні й достатні умови для оператора Р,
134
при яких при довільному а Є Ст різницеве рівняння
Хп=Рхп_1, л>1.
х0 = а,
має обмежений розв’язок.
Вказівка. Записати Е у базисі, в якому матриця, відповідна Е,
має жорданову нормальну форму.
Залишається відкритим питання про те, чи можна
з урахуванням (3) відмовитися від припущення 2.
Теорему 3 можна узагальнити на випадок, коли
спектр оператора А зображується у вигляді
<т(Л) = <т и (Ар 12, .... Хр),
де а—замкнена множина, і
ос{ХеС | |Х|<1};	: ІЧ| = 1.
список
ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1.	Блюмин С. Л., Фараджев Р. Г. Линейньїе клеточньїе машиньї:
подход пространства состояннй // Автоматика и телемеханика.—
1982,—№2,—С. 125—163.
2.	Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функциоиаль-
ного анализа.— М. : Вьісш. шк., 1982.— 272 с.
3.	Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному
анализу.— М. : Мир, 1979.— 587 с.
4.	Томилов Ю. В. Асимптотическое поведение одной рекуррент-
ной последовательностн в банаховом пространстве // Асимптотиче-
ское интегрирование нелииейньїх уравиений : Сб. науч. тр./Ин-т
математики.— К., 1992.— С. 146—153.
5.	Шабат Б. В. Введение в комплексний анализ: В 2 ч.—
Ч. І.— Функции одного перемениого.— М. : Наука, 1985.—336 с.
6.	Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.— М. :
Наука, 1968,— Т. 2.-624 с.
7.	Дороговцев А. Я. Математический анализ.— К. : Вища шк.
Головнеє изд-во, 1985.— 528 с.
Н. А. ДЕНИСЬЕВСКИЙ, канд. физ.-мат. наук
СУЩЕСТВОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОГО
РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО
РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ НА і
Рассмотрим вопрос о существовании
ограниченного решения {X (п): п £ 2} нелинейного
раз'їостного уравнения
АХ (п) = X (п) С (п) (X (п + 1) — X (п — 1)) + У (п),
пЄ2,	(1)
© Н. А, ДЕНИСЬЕВСКИЙ, 1994
136
в банаховой алгебре линейньїх ограниченньїх операторов
в банаховом пространстве. Здесь А — фиксированньїй
оператор, {С (л) : л £ 2| и (У (и) : п £ 2} — огра-
ниченньїе последовательности операторов.
Подоби не уравнения представляю? иитерес как модели динами-
ческих систем, нсследуемьіх в естествеиннх науках [1], и рассмат-
ривались в [2, 3]. К исследованию уравнения (1) оказался применим
метод, предложенньїй в статье [4] для подобного операторного урав-
неііия Риккати. Об аналогичньїх результатах для линейннх опера-
торпьіх разностньїх уравненнй, а также для уравиений с удовле-
творяющей условию Липшица нелинейностью, см. в [5].
Пусть В — действительное банахово пространство;
2 (В) —банахово пространство линейньїх ограниченньїх
операторов в В с операторной нормой, обозначаемой
символом И • Ц; нулевой оператор обозначим символом
0; 2 (В) — банахова алгебра с единицей.
Класе ограниченньїх по норме последовательностей
в 2 (В) обозначим так:
1оо = І-(£(В)): = {{Е(л) : л£2)с
: зир||Е(и)||< оо).
В пространстве 2 (В) рассматривается нелинейпое
разностное уравнение
АХ (гі) = X (п)С (и) (X (п + О — X (л — 1)) + У (и),
п 6 2,	(2)
относительно последовательности {X (л) : п £ 2} при
заданньїх
АЄ(£(В), {С (п) і иЄ2| Єї- и (У(л) : л62|Є1«.
Доказьіваемая далее теорема содержит условия, при
которьіх уравнение (2) имеет решение (X (п) : п. £ 2],
принадлежащее классу 1».
Введем обозначеиия:
Р: = зир||С(л)||, у : = зир || У (л) ||.
ПЄ7	пєг
ТЕОРЕМА. Пусть оператор А имеет ограниченньїй
обратньїй оператор А~а: = || 4-11|. Если
8а2Ру 1,	(3)
то уравнение (2) имеет решение (X (л) : л £ 2} £ 1ш и
зир || X (л) Ц < а? V	(2а2Ру)\	(4)
ЛЄ2	+1
136
Замечание. Сходимость ряда в
следует из соотношення
рЗп
правой части неравенства (4)
п ->~ 00,
в условия (3).
Прежде чем приступить к доказательству теореми,
рассмотрим условия существования ограниченного ре-
шения {X (п) : п. £ 2} линейного уравнения
АХ (п) = V (п), п£2,	(5)
где А £ З? (В), |У (п) : п £ 2} £ І„.
ЛЕММА. Для того чтобьі уравнение (5) для любой
ограниченной последовательности операторов {¥ (п) : п Є
£ 2} имело единственное решение (X (п) : п £ 2}
в классе Іоо, необходимо и достаточно существование
ограниченного обратного оператора А~1. При атом
справедлива оденка
5ир||Х(пЖИ-1НирП(«)и- (6>
пєг
Доказательство. Необходимость. Пусть
уравнение (5) для любой последовательности {У (п) : п. £
£ 2} £ Іоо имеет единственное решение (X (п) : п £
£ 2} £ І». Положим У (п) = У £ а? (В), п £ 2. Тогда,
с одной сторони,
АХ (п) = У, п£2,
и
АХ (п.) — АХ (п + 1) = А (X (п) — X (п + 1)) = 0, п £ 2,
а с другой сторони, однородное уравнение
АХ (л) = 0, я £2,
имеет своим единственннм решением нулевой оператор.
Позтому
X (п) — X (п + 1) = 0, п. £ 2,
и
Х(п) = Х, п£2.
Таким образом, для произвольного У £ З’ (В) урав-
неіие
АХ = ¥
имеет единственное решение X £ З? (В). По теореме
Банаха оператор А имеет ограниченньїй обратннй опе-
ратор А~1.
137
Достаточность. Предположим, что существует об-
ратньїй оператор А~'Є .!? (В). Тогда для любой по-
следовательности {У (п) : п £ 2} а: & (В) уравненне (5)
имеет единственное решение:
Х(п) = А~'У (л), ПЄ2.
Если (У (л) : л £ 2) £ І», то и {X (л) : л £ 2} £
£ І», и справедливо неравенство (6).
Доказательство теорем ьі. Рассмотрим
следующее уравненне:
АХе (л) = еХе (л) С (л) (Хе (л 4- 1) — Хе (п. — 1)) + У (л),
л £ 2,
где є — числовой параметр. Решение зтого уравнения
будем искать в виде ряда по степеням е с операторньїми
козфрициенгамл
Хе (л) = £ е*Хе_* (л), л £ 2.	(7)
*>0
Если зтот ряд сходится в операторной норме, то
£ єМХЄі* (л) = є / £ є*Хе,* (пЙ С (л) х
*^0	1*^0	І
X № гкХЄіІІ(п + 0 — Е е*ХЕ,*(л — 1Й + У (л).
\*^9	*>0	/
Сравнивая козффиц.иентн при одинаковмх степенях
є, получаем следующую бесконечную систему оператор-
ньіх уравнений:
ДХе,о (л) = У (л),
ДХе.і (л) = Хе,о(л)С(л)(Хе,о(л + 1) —Хе,о(л— І)),
*-і
ДХе.*(л) = £ Хе.А_і_/(л)С(л)(Хе./(л 4- 1) —Хе/(л—1)),
;=0
л£2.
Уравнения зтой системи решаются последовательно.
Согласно лемме, каждое из уравнений имеет единствен-
ное решение (Хе_* (л) : л £2} £ к 0. Требу-
ется только проверить сходимость ряда (7) в оператор-
ной норме. Для зтого индукцией по к докажем следую-
щее неравенство:
бе.*: = зир Ц Х£,* (л)Ц	С*2/г (2а2рї)\ к > 0. (8)
псг	К “г *
138
Действительно, при к = 0, согласно неравенству (6),
6е,о ау.
Датзг,
к	к
6е,*4-і а	®е,4—/026Єі/ = 2а0	&Є'і$Є'к—і.
і=о	і=х>
По предположению индукции
к	її
у; ае.убел-7 <2*а2(*+1) 2 3 4 5 6рУ+2 £	Сг2ІС^-і) =
і=о	/=о
.	к	і
1 0*+1 2(*+1)й* *+2 V	1 С> Гк~і
= гг22 а р? Хт^2^-
Остается воспользоваться комбинаторньїм тождеством
к
7, /-^Г~і(-2/<2(«!-/') = -2"С2(*4-1)
/=0
(6, с. 122]. При | є |	1 из условия (3) и неравенства
(8) следует сходимость ряда (7) в операторной норме
и оцейкі:
зир Ц Хе (п) ||<ау £	С2к (2а2ру)\
,Ііг2	і=О
При е = 1 последовательность {Хе (п) : п £ 2} при-
надлежит классу !„ и является искомьім решением ис-
ходного уравнения (2). Теорема доказана.
список
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЬІ
1. Теория солитонов: Метод обратной задачи / Под ред. С. П. Но-
викова.— М. : Наука, 1980.— 320 с.
2. Верещагин В. Л. Асимптотическое интегрировапие цепочки
Вольтерра // Успехи мат. наук,— 1990.— Т. 45, вьіп. З (273).—
С. 187—188.
3. Верещагин В. Л. Спектральная теория однофазних решений
цепочки Вольтерра // Математические заметки.— 1990. - Т. 48,
внп. 2, С. 145—148.
4. Дороговцев А. Я- О периодических и ограниченньїх решениях
операторного уравнения Риккати // Укр. мат. жури,— 1993.—
Т. 45, № 2,— С. 239—242.
5. Лороговцев А. Я- Периодические и стационарнме режими
бескоиечномерньїх детерминированньїх и стохастических динамиче-
еких систем.— К. : Вища шк., 1992.— 319 с.
6. Риордан Дж. Комбинаторнше тождества.— М. : Наука; Физ-
матгиз, 1982,— 256 с.
139
О. Ю. КИРНАСОВСЬКИЙ, студ. Вінницького педінституту
ВЛАСТИВОСТІ КОМПОЗИЦІЙНИХ
СТЕПЕНІВ МНОГОЧЛЕНА
х2 — 2 НАД ДОВІЛЬНИМИ
ПОЛЯМИ
У статті вивчається послідовність / (х)
усіх композиційних степенів многочлена / (х) = х" —
— 2, тобто послідовність многочленів /, (х), які індук-
тивно визначаються рівностями
Л+1 (х) = / (Л- (х)),	(х) = х, і = 0, 1, 2, ...
Доведено, що над полем характеристики, відмінної
від 2, усі многочлени цієї послідовності попарно взаєм-
но прості, не мають кратних коренів, і кожний з них
цілком звідний, якщо має принаймні один корінь.
Ці властивості дають змогу додатково дістати для
многочленів над кільцем цілих чисел такі результати:
а)	якщо а непарне, то числа послідовності / (а) по-
парно взаємно прості, і кожний простий дільник числа
(а) більший за 2"н;
б)	для будь-якого натурального п існує принаймні
п простих чисел 85— 1, які не перевищують числа
(3), і тому множина простих чисел такого виду не-
скінченна.
Многочлен х2— 2 позначимо через / (х), а йогз ком-
позиційний степінь — через Д (х), ТОбїО
А (*) = /(/(/(•• (Ж) •..))),
де і — кількість разів обчислення значення многочлена
) (х) у правій частині, і = 0, 1, 2, ...
Зокрема, ,
/о (х) = х, /і (х) = /(х) = х2 — 2,
/а (х) = / (/ (х)) = ! (х2 - 2) = (х2 - 2)2 - 2 =
= х4 —4х2 4-2, ...
Неважко бачити, що степінь многочлена Д- (х) дорів-
нює 2і-
Послідовність усіх композиційних степенів много-
члена позначимо через / (х), а послідовність їхніх значень
на довільному елементі а довільного поля Р — через
ї (Д).
© 0. Ю. КИРНАСОВСЬКИЙ, 1994
140
Введені об’єкти мають ряд цікавих властивостей.
1°. Нехай сЬаг р =/= 2. Тоді
а)	для довільного а£ Р серед елементів послідов-
ності / (а) є не більше одного нуля, тобто многочлени
послідовності / (х) над Р не мають попарно спільних
к срзяіа;
б)	многочлени послідовності / (х) попарно взаємно
прості.
Доведення.
а)	Припустимо супротивне, тобто що для деяких
цілих невід’ємних чисел і, і (і < /) виконується рів-
ність
/і (а) = А (а) = о.
Тоді
А+і (а) =/?(а) —2 = — 2,
А+2 (а) =	(а)-2 = (- 2)2 — 2 = 2,
А+з (а) = А+2 (а) - 2 = 22 - 2 = 2...
А(а) = ±2*.
Проте А (а) — 0. Тому 2 = 0, що суперечить умові
сЬа ° =/= 2.
і) Розглянемо таке розширення поля Р в якому два
довільні многочлени цієї послідовності розкладаються
на лінійні множники (таке розширення існує за наслід-
ком з теореми Кронекера). Згідно п. а), ці многочлени
в розглянутому розширенні не мають спільних коренів,
тобто вони взаємно прості. Тоді й у полі Р довільні два
многочлени взаємно прості з 7(х), що й треба було довести.
2°. а) Для будь-якого цілого числа а та натурального
і виконується співвідношення
/г (а) == —1 (глосі 2‘+2), якщо а непарне,
А (а) = 2 (тосі 22'), якщо а парне.
Тому, зокрема, всі числа з (а) мають однакову пар-
ність.
б)	Якщо а — непарне ціле число, то елементи послі-
довності попарно взаємно прості; якщо а — парне, то
їхній попарний НСД дорівнює 2.
в)	Нехай а — непарне число, а =/= ±1. Тоді всі діль-
ники числа А (а), і = 1, 2, ..., мають вид 85 ± 1, до
* Автор позначає тут цифрою 2 елемент 2е, де е — одиниця по-
ля Р, аналогічні скорочення використовуються й далі.
141
того ж кількість простих дільників виду 8я — 1 (врахову-
ючи кратні дільники відповідне число разів) непарна.
Доведення.
а)	Нехай а — непарне, тобто а = 4Л ± 1, де к £ 1.
Тоді
Л(а) = (а) = а2 — 2 = (46 ± І)2 — 2 =
= 16/г2 ±8іг-1з-1 (тосі 8).
Припустимо, що для деякого натурального значен-
ня і твердження виконується:
А (а) = 2'+2а — 1, де и £ 2.
Тоді
А+і (а) = / (Д- (а)) = / (2‘+2а - 1) = (2г+2а — І)2 — 2 =
22£+4а2 — 2Г+За - І = - 1 (тосі 2'+3).
За індукцією твердження доведено.
_ Нехай а — парне, тобто а = 2к, де к £ 2. Тоді
Д (а) = /(а) — а2 — 2 = 4Л2 — 2з 2 (тосі 4).
Припустимо, що для деякого натурального значення
і твердження виконується:
(і (а) = 2?‘и 4-2, де и £ 1.
Тоді
Л+і (а) = І (її (а)) = / (22£а 4- 2) = (22іи + 2)2 - 2 =
= 24'«2 4- 22і+2и 4-2=2(тосі22‘+2).
За індукцією твердження доведено.
б)	Нехай
4 = НСО (/, (а), 1}(а)),
де 0 і < і, а р — найбільший простий дільник
числа 4, якщо він існує.
Оскільки її (а) і /у (а) кратні р, то Л (а) =	(а) = 0
в полі 2Р. З властивості 1°, а) випливає, що
сЬаг гр = 2, тобто р = 2.
Таким чином, найбільший простий дільник числа
4 дорівнює 2 або такого дільника не існує. Проте 4 не
кратне 4, бо /у (а) ділиться на 4, але не ділиться на 4,
згідно з п. а). Тому 4 — 1 або 4 = 2. Відповідно до того
ж п. а) це відбувається тоді, коли а як непарне, так і
партг.
в)	3 означення послідовності / (а) маємо
її (а) > 1 для всіх і = 1, 2, ....
142
Нехай р — будь-який простий дільник числа /,• (а),
їзді
/5-і(а) = Д (а) + 2 = 2 (тоб р),
тобто 2 є квадратичним лишком за модулем р, що мож-
ливо тільки тоді, коли р = 8х± 1 для деякого ЦІЛОГО 5.
Звідси випливає, що всі дільники числа Д (а) мають
вид 85 ± 1. Якщо припустити, що простих дільників
виду 85 — 1 парна кількість (з урахуванням кратних),
то, скориставшись розкладом числа на прості множни-
ки, дістанемо конгурентність Д (а) = 1 (тоб 8), яка су-
перечить п. а).
Наслідок. Для будь-якого натурального числа п
існує принаймні п простих чисел виду 85 — 1, які не
перевищують /п (3), і тому множина таких простих чисел
нескінченна.
Доведення. Справді, згідно з властивістю 2°,
в), кожне з чисел
Д(3), Д(3), ... , ДДЗ)
має принаймні один простий дільник виду 85— 1, а
всі ці п дільників (взятих по одному від кожного з чи-
сел) попарно різні, оскільки, згідно з властивістю 2°,
в), елементи послідовності / (3) попарно взаємно прості.
Для викладення деяких з наступних лем введемо
на довільному полі Р таке чотиримісне відношення р,
що четвірка (а, Ь, с, і) елементів цього поля належить
р тоді і тільки тоді, коли виконуються такі рівності:
аЬ + 4 = с2 + іг і а + Ь = сі.
ЛЕМА 1. Якщо четвірка (а, Ь, с, і) елементів поля
Р знаходиться у відношенні р та
а)	а + 2 є квадратом ненульового елемента з Р, то
в цьому полі існують елементи ц2 такі, що
^(оі) = а, ^(о2) = & і (с, і, V^, о2)Єр;
б)	а + 2 та с + 2 є квадратами ненульових елемен-
тів з Р, то існує четвірка (і^, о2, о3, V*) £ р елементів
цього поля, для якої виконуються такі рівності:
^і) = а, /(о2)=6, ^(иа) = с, /(о4) = б.
Доведення, а) Справді, нехай а + 2 = ц? (таке
існує за умовою) і о2 = (с + б) о?1. Тоді
= о? — 2 = (а + 2) — 2 = а,
143
Ї(у2) = 02 — 2 = (с + І)г 2 — 2 =
= (с2 + і- + 2с<ї)(а + 2)—1 — 2 =
= (аЬ + 4 + 2(а + Ь))(а + 2)~‘ - 2 =
= (6 + 2)(а + 2)(а + 2)-1-2=&,
аі + 4 = а + Ь + 4 = (о2 — 2) 4- (оі — 2) + 4 = о? 4- а2
С 4- (І = (С 4- її) 0Г‘ = УіО2-
б) Оскільки, крім того, с 4- 2 є квадрат деякого не-
нульового елемента поля Р, то, згідно з п. а), існують
такі два елементи з Р, позначимо їх о3 і о4, що
/(у3) = с, [(иі) = <і, (14, и2, у3, о4)Єр.
Лему доведено.
Надалі користуватимемося поняттям цілком звід-
ного многочлена, під яким розумітимемо многочлен
додатного степеня, що є добутком скінченної кількості
многочленів першого степеня. Очевидно, що многочлен
є цілком звідним тоді і тільки тоді, коли кількість його
коренів дорівнює його степеню та відмінна від нуля,
тобто цей многочлен не є константою. Зауважимо, що
цілком звідний многочлен не обов’язково повинен бути
звідним, бо така невідповідність спостерігається у мно-
гочленів першого степеня.
ЛЕМА 2. Якщо многочлен § (/і (х)) цілком звідним
над полем Р, то § (х) також цілком звідний над цим са-
мим полем.
Доведення. Нехай г — старший коефіцієнт
многочлена § (х). Згідно з наслідком з теореми Кронеке-
ра, існує таке поле Ро розкладу многочлена г~'§(х),
яке є розширенням поля Р. Оскільки старший кое-
фіцієнт цього многочлена дорівнює одиниці, то для де-
яких а,, а2, ..., ап £ Ри виконується рівність
= (х 4- ах) (х + а2) ... (х + а„).
Звідси
§ (Н (х)) = г (й (х) 4- а,) (її (х) 4- а2) ... (/і (х) 4- а„).
Проте § (Н (х)) є цілком звідний над Р, тому для кож-
ного і — І, 2, ..., п цілком звідним над Р є многочлен
Н (х) 4- а,, звідки останній є многочленом з Р їх), а
оскільки й її (х) £ Р [х], то а, є різницею двох много-
членів над Р, тобто а, Є Р- Отже, § (х) є, з одного боку,
144
добутком многочленів першого степеня над р,
§ (х) = (гх + Г04) (х + а2) ... (х + ап),
а з другого боку, д (х) не є константою, тому що <1е£ (д х
X (/і (х))) > 1, оскільки д (/і (х)) — цілком звідний.
Таким чином, д (х) цілком звідний над полем Р, що
й треба було довести.
Наслідок. Якщо /’-й композиційний степінь многочле-
на д (х) цілком звідний над полем Р, то цілком звідний
над Р буде й і-й композиційний степінь д (х) при і /.
Доведення. Твердження це випливає з леми
2, оскільки /’-й композиційний степінь є композицією
і-го та (/— 1)-го, степенів.
ЛЕМА 3. Якщо /-й композиційний степінь многочле-
на цілком звідний над полем Р, а Ь є корінь ї-го компози-
ційного степеня цього самого многочлена, де і < і, то
многочлен д (х) — Ь є цілком звідний над Р.
Доведення. Позначимо через дп (х) п-й компо-
зиційний степінь многочлена д (х), п = 0, 1, 2, ...
ЗГІДНО 3 НаСЛІДКОМ 3 ЛеМИ 2, МНОГОЧЛеН (х) є
цілком звідний. Оскільки Ь є корінь дг (х), то д{ (х) ді-
литься на х — Ь, тому £<+1 (х) = д{ (д (х)) ділиться на
д (х) — Ь, а оскільки многочлен д (х) — Ь є дільник
цілком звідного многочлена, то д (х) — Ь є цілком звід-
ний або є константа. Останнє неможливо, бо тоді д (х) —
константа, звідки многочлен д} (х) — теж константа,
що суперечить його цілковитій звідності.
ЛЕМА 4. Якщо [пі+п (х) — цілком звідний над полем
Р і а — корінь /„ (х), де т, п — цілі невід’ємні чис-
ла, то:	-5|
а)	при п =# 0 для деяких коренів х1( х2, х3, х4 від-
повідно многочленів/^ (х) — а, /т (х) + а, /т (х), /т+п (х)
четвірка (х4, х2, ха, х4) належить відношенню р;
б)	для деяких коренів хп х2 відповідно многочленів
їт М — /т (х) + я існує елемент с поля Р такий, що
(2 -ь X!) (2 + х2) = с2.
Доведення, а) Оскільки для випадку сЬаг р = 2
завжди (0, 0, 0, 0) £ р, вважатимемо що сЬаг р Ф 2.
Доведення виконаємо методом індукції по т. Для пе-
ревірки твердження при т = 0 спочатку покажемо,
що рівняння
х2 = 4 — а2
має в полі розв’язок відносно х.
6 79
115
Справді, оскільки а е корінь /п (х), то
/=„_1(/(а))=/п (а) = 0,
тобто / (а) — корінь і (х). Проте /п_і (х) — парний
многочлен при /г =/= 1, який тотожно дорівнює х при
п = 1. Тоді в обох випадках — / (а) є також корінь /п_і (х).
Оскільки п — 1 < т + п, то за лемою 3 існує корінь
многочлена / (х) — (— / (а)), тобто хг — 2 + а’ - 2.
Тому існує корінь рівняння Xі = 4 — а2 в Р, який
позначимо через и. Тоді
Л («) = М-1 (/ («)) = Л-і (и2 - 2) =	(2 - а2) =
= Л.-і (_/(а))=0.
При т = 0 четвірка многочленів, про яку йдеться
в умові, матиме такий вигляд:
х— а, х + а, х, /п (х).
Очевидно, що елементи
Хд = а, х2 = — а, х3 = 0, х4 = и
поля Р задовольняють усі умови леми.
Нехай тепер твердження виконується при т = к.
Доведемо його для т = к 4- 1.
Припущення означає справедливість рівностей
ЇМ = а> їк <хг) = —а, їк (х3) = 0,
їп+к (х4) = 0, їп (а) = 0
для деякої четвірки (хп х2, х3, х4) з р. Звідки х? є корінь
Д (х), а х2, х2, х4 — корені їк+п (х). Оскільки /<*+і)+л (х)
є цілком звідний над Р та к < к + п. < (к 4- 1) 4- п,
то, згідно з лемою 3, існують корені многочленів —
ненульові за властивістю 1°, а),
/(х) — х,-, де і = 1, 2, 3, 4,
тобто Хі 4- 2, х2 4- 2, ха 4- 2, х4 4- 2 є квадрати деяких
ненульових елементів поля Р. Відповідно до леми 1,
б) існує четвірка (Ор о2, оа, о4) £ р така, що
/(о,) = X;, де і = 1, 2, 3, 4.
Тод
Д+, (Пі) = /А (ї (Оі)) = їк (хх) = а,
Д+і (о2) = ^(/(о8)) = їь (х2) = - а,
/А+1 (Рз)=^(/(о2)) = /л(ха) = 0,
/(А4-1)+п (04) = (ї (и<)) = їк+п = 0»
146
а це означає, що елементи цх, о2, о3, и4 є відповідно ко-
рені многочленів
/А+1 (х) — а, Д+1 (х) + а, Д+1 (х), /(*+і)+л (х),
тобто відповідають вимогам твердження.
б) Якщо п = 0, то /т (х) є цілком звідний над Р та
а — корінь многочлена /0 (х) = х, тобто а = 0. Тому
існує корінь х0 многочлена
їт(х) = [т(х) — а = /т(х) + а.
При хх = х2 = х0, с = 2 + х0 маємо
(2 + хх)(2 + х2) = (2 + х0)2 = с2.
Якщо л=#0, то з п. а) випливає існування коренів
хп х2, х3, х4 відповідно многочленів /т (х) — а, [т (х) +
-г а, [т (х), [т+п (х) таких, що (хь х2, х3, х4) 6 Н-
Взявши с = х3 + х4, дістанемо (2 + хх) (2 4- х2) =
= (ххх2 + 4) + 2 (X! + х2) = хз + хІ + 2х3х4 = (х3 +
+ х4)2 = с2.
ЛЕМА 5. Якщо многочлен /*+«-! (х) є цілком звідний
над полем Р, а а є корінь Д (х) і многочлен (х) — а
має корені, кількість і яких менша від 2П, то існує ко-
рінь оц многочлена / (х) — а такий, що многочлен
(х) — ах має корені, кількість яких менша від2'1-1.
Доведення. Спочатку зауважимо, що п > 1,
бо при п = 0 виконується нерівність 0 < /< 1, що
неможливо, оскільки і е ціле число, а при п = 1 0 <
< /< 2; тому і = 1, тобто / (х) — а має рівно один
корінь, що неможливо, оскільки його степінь дорівнює
2. Отже, к + п — 1 > к і за лемою 3 існує корінь р
многочлена / (х) — а. Звідси
/(Р) = а і /(-0) = (-0)2-2 = Р2-2 = /ф) = а.
Позначимо через і відповідно кількість коренів
многочленів
/п—1 (х) + Р І Іп—1 (х) — р.
Оскільки
К (х) — а = (/2_1 (х) - 2) - (Р2 - 2) = $-1 (х) - Р2 »
=	(Х)+Р)(Л-! (Х)-Р),
ТЗ 1-і + і2 = і. Проте
аее/^1 (х) = 2п’1,
6*
147
тому 4^2” 1 та /2	2” Припустимо, що висновок
леми хибний. Тоді числа і1г (2 можуть набувати значень
тільки з множини {0; 2П-1}. Оскільки
0</<2п і /1 + /2 = /,
то випадки = /2 = 0 та Л = /2 = 2П-1 неможливі.
Тоді або 4 = 0 і і2 = 2"-1, або = 2п~1 і іг 0.
У першому випадку за 04 візьмемо елемент 0, а в друго-
му —> елемент —0. Щоразу / (а() = а, тобто а2 є ко-
рінь многочлена / (х) — а, а многочлени
М-і (х) + 04 та (х) — 04
мають відповідно 0 та 2"-1 коренів. Звідси, зокрема,
випливає, що /п—і (х) — ос є цілком звідний.
За умовою /(п_2)+и+і) (х) = Д+п-і (х) є цілком
звідний, тому
/*-Н (<*1) = /й (/ (“1)) = їк («) = 0-
Тоді за лемою 4, в) існують корені хь х2 відповідно
многочленів
/п—2 (х) — ар /п—2 (х) 4- 04
та елемент с поля Р такий, що
(2 + х,)(2 + х2) = сг.
Оскільки х2 є корінь многочлена /„_2 (х) — ах, то
цей многочлен ДІЛИТЬСЯ на X — Хь отже, (]п-2 її (х))—
— оц) ДІЛИТЬСЯ на / (х) — X], тобто / (х) — Хі є дільник
цілком звідного многочлена
А>-і (х) —04.
Проте цей дільник відмінний від константи, тому теж
є цілком звідний, тому існує такий елемент сі поля Р,
що
ца)_Х1 = о,
або
сї2 = 2 + хг
Беручи до уваги те, що
(г + хосг + х^с2,
маємо
2 + х2 = с2 (гі2)-’ = (ссГ1)2,
звідки
х2 = /(с<ї_І).
148
Тоді
/п-1 (С^-1) + «і = /л-2 (/ («*“')) + «! =
= /п-2 (х2) + «і = 0,
ЩО суперечить тому, ЩО многочлен /п-1 (х) + не має
коренів. Лему доведено.
3°. а) Над довільним полем Р (сйаг Р =/= 2) кожен
многочлен послідовності 7 (х) не має кратних коренів,
в) Якщо (х) має корінь над деяким полем Р, то цей
многочлен цілком звідний над Р.
Доведення, а) Нехай се кратний корінь /п (х),
тоді с є корінь його похідної:
д (х) = (/*_! (х) - 2)' = 2/„_і (х)	(х) =
= 2/„-і (х)(Д_2(х) — 2)' =
= 4/п-1 (х) /п—2 (х) /п-2 (х) = • • • =
= 2П/п-1 (X) /„-2 (X) . . . /2 (X) /, (X) /„ (X) & (X) =
= 27Я-> (х)/п-2(х) ... /2(Х)Л(Х)/О(Х).
Отже,
2 /п—1 (с) /п—2 (с) ... /2 (С) 71 (С) /о (С) = 0-
Оскільки сііаг Р =/= 2, то 2" =^= 0. Тоді
7і(с) = о,
для деякого і < п. Проте й
7п (0=0,
що суперечить властивості 1°, а).
в) Доведення виконаємо методом індукції по п.. Ба-
ва індукції п. = 0 очевидна. Нехай при п = к твердження
справджується, а при п. = к + 1 — ні. Тоді многочлен
(х) має корені, кількість яких менша від 2*+1.
Один з цих коренів позначимо через х0. Тоді
М(хо)) = 7«+і (*о) = 0, де х0 Є Р.
Отже, многочлен /А (х) має корінь, тому за припу-
щенням індукції він цілком звідний.
Оскільки нуль є корінь многочлена /0 (х), то за лемою
б існує такий корінь 04 многочлена / (х), що /А (х) —
— 04 має 4 коренів, де 0 <	< 2к. Тоді
А(«і) =--о.
149
/Застосувавши лему 5 вдруге, дістаємо, що існує та-
кий корінь а2 многочлена / (х) — ап що /*_і (х) —
— а2 має іг коренів, де 0 < іг < 2*-1.
Тоді
А(аї) = /І(/(а,)) = /1(а1) = 0.
Аналогічно, застосувавши лему 5 ще к — 1 раз, діс-
танемо такі елементи а1( а2, ..., поля Р, що
Ца1) = а, ^(«^ = 04......./(а*+і)	= аА,
а многочлени
/а (X) — «1. А-1 (х) — а2.../0 (х) — а*+і
мають відповідно /2, .... коренів, де
0</!<2*, 0</2<2*-1................0</*+і<	1.
Оскільки остання нерівність неможлива, то припу-
щення щодо хибності даного твердження при п = к
+ 1 є хибним.
Наслідок. Над довільним фіксованим полем Р (сіїаг
Р #= 2) многочлен /п (х) або не має коренів, або має 2П
попарно різних коренів.
4°. Якщо а — непарне ціле число, то при будь-якому
п усі, відмінні від одиниці, натуральні дільники числа
/п (а) більші від 2'і+‘.
Доведення. Припустимо супротивне, тобто іс-
нує простий дільник р числа /„ (а) такий, що 2 < р <_
< 2п+1 (р непарне за властивістю 2°, а). Тоді в полі
2Р виконується рівність
ї» (а) = 0,
і в цьому полі числа
а, /(а), А (а), .... Л(а)
є коренями відповідно многочленів
/п(х), /п—1 (X), Іп-2 (х)../0(х)
Згідно з наслідком з властивості 3°, ці многочлени мають
відповідно
2П, 2П-1, 2л-?....2°
попарно різних коренів, а за властивістю 1°, а) усі ці
2П + 2п-‘+ 2п-2+ ... +2° чисел є різними. Крім того,
150
серед них немає одиниці, що при будь-якому значенні І
/, (!) = — 1 =/а 0 при і > 0 і Д (1) = 1	0 прн і = 0.
Отже, одиниця не збігається з жодним з цих коренів.
Таким чином, у полі 2Р існує принаймні
(2" + 2"-1 + 2п~І. 2 + • • • + 2°) + 1 = 2"+1
попарно різних елементів, звідки р 2п+1.
Властивість доведено.
список
ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
І. Бородін О. І. Теорія чисел.— К. : Вища шк., 1970.— 271 с.
2. Вейль А. Теорія чисел для початківців : Пер. з нім.— К. :
Вища шк, Головне вид-во, 1987,— 47 с.
4
Матвриалом для
упражнений, для
акааменов и иакенец,
цальюебучения
являютоя аадачи.
Г. ФРОЙДЕНТАЛЬ
ЗАДАЧІ
ТА РОЗВ'ЯЗАННЯ
ЗАДАЧ
ЗАДАМИ
1.	Доказать, что
/	і \л+і-а
3!апЄ(О, 1) : (1 +	п = е.
Найти Ііт ап.
П-ЇОО
2.	Доказать, что
ап	1 а
Уп>2 3!апЄ(0, 1) : ей = 1 + -А- +	,
и найти Ііт а .
3.	Доказать, что
ЗДпЄ(0, 1) : а„(1 + -^-)/2 = 1 + -^-,
и найти Ііт (п (1 — ап)).
4.	Доказать, что
Ун>1 За„Є(0, 1) і со5-^ + -§-= 1 +_1_ ,
и найти Ііт ап.
д-»оо
5.	Доказать, что
Уп>1 3!ал€(0, 1) : Іп (1 +	= А- ,
и найти Ііт (п (ап — 1)).
н-*»
152
6.	Доказать, что
Уп>1 3!а„>0 : п Іп (1 +	+ >) = 2ап.
Найти Ііт ап.
7.	Доказать, что
ЗІапЄ(0, 1) : агсіЄ•
Найти Ііт ап.
П-ЬОО
8.	Пусть
(„2п о4п \
1 + —----------------------+ —-----
'	’ =	п» 4- 3 зіп л + 2	’ * Є К-
Является ли функция / равномерно непрерьівной на К?
9. Предположим, что функция [ £ С1 ([0; 11) и по-
ложительна на отрезке [0, 11. Найти предел
(/ І к \ \ 1/п	\
/п-1 / —	\	\
і П \ я / І	1
10.	Предположим, что функция С1 ([0, І]2) и поло-
жительна на [0, І]2. Найти предел
//„_! ЛШ	І+П х’^‘ X
11 п \ п ' п І \ п ’ 11 І І 1
Ііт и 11 П — ----------у-.—і-т-т------— І	— 1 1.
\\/Л=о	2/1—, — І /	/
\\	* І п 9 п і	/	/
11.	Пусть
1 VI — — . 2	&	।
з„: = — У е п 5іп2 л —, п^і.
п п ЛІО	п '
Найти Ііт 5П.
12.	Пусть для функции / Є С1 ([0, 1])
0
и для каждого п 1 число ап определено равенством
й=0 '	< о
7 79
153
Найти предел Ііт (я (ап — 1)).
13.	Для функции / 6 С (Ю, П) справедливьі нера-
веисгва
і
V {т, я} с: N 0 {0} !	(х)х^(1 — х)п <іх >0.
о
Доказать, что функция / неотрицательна на [0, 1].
14.	Функция / 6 С (10, + оо)), имеет конечний пре-
дел Ііт / (х)
*-» + <>О
и удовлетворяет неравенствам
4-00
Ул^ УлЄМО {0} : £ / (х) е~тх (1 - е~х)п (їх > 0.
о
Доказать, что функция / неотрицательна на [0, +оо).
15. Функция / £ С1 (Я), периодична с периодом 2л
и такова, что
V пі>0 V а. £ [0, 2л] і § /(х)созп(а— х)(іх^0.
—Я
Доказать, что / неотрицательна на Я.
16.	Функция / £ С (Я), ограничена на Я и
У«ЄЯ Уп>1 і р(х)е-п(х-а),</х>0.
к
Доказать, что функция [ неотрицательна на Я- До-
казать также, что из условия
УабК Уп>1 і р(х)е-п(х-а^х = 0
к
следует, что / (х) = 0, X 6 я.
17.	Пусть функция/ : [0,+оо)->Я равномерноне-
прерьівна на 10, +оо). Доказать, что интеграл
У(а):д+У	іх, а>0.
0
єсть непрермвная функция на [0, +оо).
18.	Определить функцию / Є С ([0, 1]), для которой
а)Ух6Ю, 1] ! Ііт4	= х:
А=0 \	/
б) Ух£(0, 1] і 1іт-1-£7 4- =е‘
л-*оо А=о \	/
154
20. Пусть
+ оо)), для
19.	Найти функцию / £ С ([0, І]2) такую, для которой
* У
V(х, у)Є[О, І]2 : у у /(хи, у^ііисіу = х2у + ху2.
о о
п е N. Определить все функции /Є С ([0,
которьіх
УУУ	У /(5п)<І5п<І5„_і ... <М81 =
0 0 0	о
= ї(х),
50: = х.
п Є N. Определить все положительньїе
21. Пусть
на [0, + оо) функции / Є С ([0, + оо)) такие, что 50 :
УУУ ••• У /(51)/(82) ••• /(8пМ8п ... Й82гі51 = ^(х),
0 0 0 о
где: а) е(х) =[ (х)2п, б) £ (х) = / (х)п/2, х > 0.
22.	Функция / ограничена на [0, +оо) и интегрируе-
ма на каждом конечном отрезке. Доказать, что
При дополнительиом условии, что функция / имеет
производную удовлетворяющую первоначальному
условию на Д найти предел
Іііи/гІ І е~х! (.
П->оо у З
23.	Доказать, что:
п іі
Ь-Л *
1 °° - —
п
б)	найти главную часть ап при п -► оо относительно
подходящей шкальї.
24.	Доказать, что
3! а (£) £ [1, +оо) ! У-г-г—7ьй = 4-•
п(п + а (й)) к
п=|
7*
155
Проверить, что а (к) ->+», &->-оо, и найти предел
25.	Найти предел
/	с е~х	\
Ііт п І 1 — і х Ах І.
І	.) 1 + —	І
26.	Пусть / Є С ([0, +<»)), / (_ї)	0 на К, для фик-
сированного к > 1
зир Г	~ х	оо.
аЄ(0.1) .) а
о
Доказать, что
+«
£ хк~'[(х)Ах < + оо.
о
27.	Пусть Т — а-алгебра измеримьіх по Лебегу под-
множеств К, к — мера Лебега на К и
Найти
и(Л): = Х((х | хЧЛ}), А^.
предел
ІІт і' ',~5ІП2? ^(Х).
л—>оо л 1 + Зіп X
О
Пусть В — пространство всех матриц размера
с злементами из С с позлементньїм умножением
28.
п х п
на числа из С и сложением. Пусть А и С — зрмитовьі
матрицн В с собственньїми числами Х2, кп и
р2, .... цп соответственно. Определить спектр оператора
Т, действующего в В и определенного равенством
ТХ:=АХС, Х^В.
А. Я. Дороговцев (Киев)
29. Пусть аг= 1, аг = V3 и
Оп-н = 20п — вп—ь и 2.
Доказать, что сумма двух сосед их членоз последова-
тельности (ап :	— иррациональное число.
Р. П. У ш а к о в (Киев)
156
ЗО. Функция /£С2(Я), /(2п) = 0 для п 6 {0, І,
2, 3, 4, 5} и /(ІУ) (х) = 0, х £ Я \ (3, 7}. Доказать,
что / (х) = 0, х £ Я.
31. Доказать, что существует последовательность
вероятностньїх мер {рп : п 1} на борелевской а-ал-
гебре 12 такая, что:
1) У/ЄІг : Ііт зири„({х€12 І | (х, /) | > с}) = 0
и
2) Ііт 5иррп((х£12
32.	Пусть
||Х||>С))= 1.
Л — {С^і»	• • • •	* • •) € '2
ПХп< І
п=1
£ — конечномерное подпространство І2 и Р — опе-
ратор ортогонального проектирования на £. Доказать,
что Р (Л) открьіто в £.
33.	Пусть Е—единичная матрица и Лі — матрицьі
одинаковой размерности, причем || А і — Е || < 1 для
некоторой матричной норми || • ||. Предположим, что
Лл-|-і = Ал — 2Ап + 2Е, п > 1.
Доказать существование и найти предел последова-
тельности {Лп : п 1).
34.	Пусть £ і 0 — независимьіе случайньїе вектори
в Ят с нулевьіми средними и невьірожденньїми корреля-
ционньїми операторами и 52. Найти такие квад-
ратньїе матрицьі ЛиВ, А + В = Е (Е — единичная
матрица), чтобьі среднее значение М || Л£ + В0 ||2
бьіло минимальньїм.
А. Г. К у к у ш (Киев)
35.	Найти наименьшее по площади круговое сечение
гиперболоида.
36.	Найти общее решение дифференциального урав-
нения
. 14	... . 44	12 я 96	,	24 п
У + У + у ^з- у --х-У —^-У = о’
х>0.
Т. И. Шалимова (Харьков)
37.	Пусть функции {фх, <р2, ..., <рт) с: С (10, 1]) и
{/п : я 1} — некоторая последовательность линейних
157
комбинаций зтих функций такая, что
і
УІ /п(х) |ахо, п^оо.
о
Доказать, что последовательность {/п : п Г схо-
дится равномерно на (0, 1).
38.	Найти все мерьі, определенньїе на борелевской
о-алгебре подмножеств К такие, что
У/ЄС(И), 5ир|Л< + °о: Уї(х)/(1 — х)^р,(х)>0.
«	к
39.	Пусть Н — гильбертовопространство, В (//),
В =/= 0 и п Є N — фиксированное число. Найти все
самосопряженньїе оператори А £ З’ (//), удовлетворя-
кмцие сботношению
АВ — ВА — (п + 1) Ап.
А. Ю. Константинов (Киев)
40.	Предположим, что функции {/, с С ([а, Л)
и функция § строго монотонна на [а, &]. Доказать, что
Зс£(а,Ь) Ує>0 3&п а <а1<с<й1< Ь,
Ь —а	' (6)~/(д) = / (»і) ~ / (ДО
1	1	* £ (Ь) — £ (а)	е (Ьі) — £ (йі)
41.	Пусть§ • N -> N — такоеотображение, что^(п)
п — 1 для всех достаточно больших п. Доказать,
что ряд V ап с положительншми членами ап сходится,
п=|
если
-— п—г(п)/~ а
Ііт ]/ -=2—
п->іх у аг(п)
1,
и расходится, если ап а&(П) для всех достаточно боль-
ших п.
Показать, что признаки д’Аламбера и Копій являют-
ся частньїми случаями зтого утверждения.
42.	Пусть М—одно из множеств {1, 2, ..., т},
14; рп > 0, п £ М и У рп == 1. Доказать, что ряд у ап с
п£М	м=1
положительннми членами {ап} сходится, если
Ііт

АЄ{1.п-ПП-М
168
и расходится, если
ап > Е Ркак
АЄ<1.....................ПИЛІ
для всех достаточно больших п.
43.	Пусть ряд у, ап с положи тельньїми членами
п=І
сходится. Доказать, что ряд у Ьп с положительньїми
П=1
членами {Ьп} сходится, если
І/^У	1,
п->» г Ь1
и расходится, если
п—1
£ ал&п_* :> 1
к=1
для всех достаточно больших п.
оо
44.	Доказать, что ряд 2 ап, где аг = 1 и а„+\ =
п= 1
= зіпап, п 1, расходится.
В. Е. Слюсарчук (Ровно)
45. Пусть
7И==(х=(х1......Хк, ...)612 І ^ = -^2"> ^-1:
каждое равно 0 или 1}. Описать непрерьівнне функ-
ции / : [0, 1] -> М.
46.	Пусть / і [0, 1] -> І2 — отображение, сопоставля-
ющее числу х £ [0, 1], записанному в двоичнон записи
х = 0, х1хг..., злемент
Нх) = /^-	А \
Пусть р — образ мери Лебега при отображении /.
Доказать, что / измеримо и найти среднее значение и
корреляционньїй оператор мери р.
47.	(Продолжение задачи 46). Пусть М — множест-
во из задачи 45. Доказать, что
V х £ М V г £ [0, 1) : р (В (х, г)) = г.
48.	Пусть оператор А Є 2’ (С ([0, 1 ])), имеющий
ограниченньїй обратньїй оператор и такой, что
V {Л, ї2} с С ([0, 1]) : тах {/ | V 8 Є [0, /] :
159
(Л/1)(5)=(Л/2)(5)}>тах[/ | У5ЄЮ,/] :
/і(«) = Ш)-	(*)
Обладает ли свойством (*) оператор А”1?
49.	Случайньїе величини £, т] и число А £ N таковьі,
что:
1) V р > 0 : М | |р < 4-оо, М | т] |р<4-оо;
2) Уп Є (1, 2, .... V} V те М:
М (ГГ) = МГМт]".
Являются ли величини £ и г| независимнми?
А. А. Дороговцев (Киев)
БО. Доказать, что
Уа>0 Уп(^ Уа>л—1 :
а
д _ Г зіпаазіпгш 4и^(}
Ра-п “ ) Лп« ""
6
51.	Доказать, что при я->оо
тах 2 хк (1 — х)п~к = -2- 4- О Ш .
[0.1] *=і	еп	'п '
52.	Указать все значення а и 0, для которьіх суще-
ствует постоянньїе а и Ь такие, что
У х Уу>0 : ху ^.аха 4- Ьу&.
53.	Пусть функция двух переменнмх бесконечно
дифференцируема в точке и не все ее производнне рав-
ньі нулю. Можно ли по производньїм в зтой точке опре-
делить локальний зкетремум?
54.	Пусть /о (х) = 1 на [0, 1].
а)	Указать в пространстве С ([0, 1]) с равномерной
метрикой одномерное подпространство, в котором име-
ЄТСЯ континуум ближайших К функции /о злементов.
б)	Доказать, что в подпространстве
і
£= [£ЄС([О, 1]) : ^(х)</х = 2£(0)}
О
нет ни одного ближайшего к функции /0 злемента.
65. Доказать, что
УгЄМ УхСК\{0( : ^(е1хи~ 1)г4и^0.
о
Р. М. Т р и г у б (Донецк)
160
56.	Дайм р попарно 'различньїх точек г,- 6 С, р >
1, расположенньїх на единичной окружности с цент-
ром В пуле, Т. Є. | 2і І = 1. Для Сі Є С, 1 і рг
составим следующую последовательность:
= С±21	 4" Ср2р* п 1.
Доказать: если #= 1 для всех і р, то последо-
вательность {ап : п 1} сходится тогда и только тог-
да, когда є, = 0 для всех 1 і р.
57.	Пусть / £ С~ (7?) и является финитной. Поло-
жим ак = зир | /№> (х) |, &	1. Доказать утверждениеі
если к
Ііт >У~ак = д < оо, то /(х) зО.
58.	Пусть X — рефлексивнеє банахово пространство.
Если линейньїй оператор А : X ->• С ([а, 61) с равно-
мерной метрикой является ограниченнмм, то при 1
р оо зтот же оператор, действующий из X в
[а, Н является компактним. •;
59.	Легко доказать, что для любого непустого огра-
ниченного замкнутого множества К С существует
линейньїй ограниченньїй оператор А : /2 -+ /а (/а над
полем С) такой, что его спектр о (А) = К (в качестве
такого оператора можно взять оператор вида Ах =
=	.... Хпхп, ...), где Хг £ С подобранм соответ-
ствующим образом. Верно ли аналогичное утверждение
для линейньїх ограниченньїх операторов В : С ([а, Ь1)
-+ С ([а, &])? (Ответ автору неизвестен).
В. П. Заставньїй (Донецк)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
11(МС’88). Пусть функция / € С ([а, 6]), дифференцируема
в точках интервала (а, Ь) и Ь — а 4. Доказать, что
30€(а, Ь) : (' (Є) < 1 + Р (Є).
Решение. Если
УхЄ[а, Ь] : /'(*)> 1 + Р (*),
то, разделив обе части неравенства на правую часть и проинтегриро-
вав по отрезку [о, Ь], получим
агсі§ / (Ь) — агсіе і (а) > Ь — а > 4.
Последнее невозможно, поскольку п < 4,
161
І
12 (МС’88). Пусть <рп 6 Я ([0, 1]) и ф„ (х) йх > 1, п > !.
Доказать утверждение:
если для последовательности {ап : п > 1} с Я ряд У, лпфп ()
п=і
сходится равномерно на [0, 1 ], то ап -+ 0, п -+ оо.
Решение. По условию
зир | дпфп (х) І -►О, л-> оо,
*Є[0,і]
позтому н
зир впФп (*)-► 0, л->оо,
откуда
1
°П < ( апФл (*)	< зир а'^і, (х) -> 0, п -► оо).
А1	«ЄЮ.11
13 (МС’88). Найти предел
Ііт л3/4 С Г е п аІП ^’+^+^йхг/у.
$ $
Решение. Пусть для числа е £
0": = {(х, у)|0^х<л~е, 0^у<л-8), 0% : = [0, 1
Поскольку для (х, у) Є 0? имеем
х8 4- ху 4- у8 > тах (х8, у*),
ТО
1 І
< п3"-2* 4- п3/4 ехр (-4 "1-2е)
при всех достаточно больших л.
14 (МС’88). Доказать равенство
у (- І)п___________2 V <іх
' 2а ~ Кге З 1 4- ех‘ ’
л=0	0
462
Решение. Пусть в > 0. В силу теорем о свойствах равпо-
мерно сходящихся рядов
4-00	4-00
(’	У (-1)" -""ах =
,114-^	з
в	в
л=° є	"=° е/я+і
_г. е
’/Я+1 о
15 (МС’88). Дайм два набора действительньїх чисел х1 < х2
< -• хп< /м < /, < ... < іп и пусть (Л, /,.../л)	— произволь-
ная перестановка чисел 1, 2.....л. Доказать, что сумма $ : =
.... іп = П.
Решение автора задачи. Доказательство проводите*
по иидукции.
При п = 1 утверждение тривиальио. Пусть оио верно для пе-
которого л. Заменяя л на л 4- 1, випишем следующие слагаемьіе в
4-	+ ... +	. пока не стаиет равиьім 1. Еслн
к л, то з разбиваетея на цикли, для каждого из которьіх утвержде-
ние уже верно.
Пусть теперь Л = л 4- 1. Тогда, по предположению нндукцни,
З =	4- хігі(і 4- ••• 4- хіп_іііп 4- хіпІ! =
— хі1і, 4- (хі/і 4- ••• 4-хі —хі (і/ —^і)
1	1 ’	п 1 л 1
х1^1, 4* (х2^г 4* • •  4” ХП4-і^Л4-і) — хі (І/{ — її) =*
=	4- х2^»+ ••• 4- Хп4-1^4-1-
18 (МС’88).} Пусть Ср с2, .... сл — попарно различнне положи-
тельиьіе числа, хь х2, .... хл — вещественнне, < х,< ... < хл.
Доказать:
1)0:= деі {с7) #= 0;
2)	если Сі < с, < ... < сп, то О > 0.
Решение автора задачи. 1) Замепим, иапример, с2
переменной х. Тогда
О = Р (х) = О1х“> 4- ••• + алхс'".
Обозначим
Р (х) = ха‘Р„ (х), Р'к (х) = р2хр* 4- •. • = хр‘Рл+1 (х).
Тогда при иекотором І л — 1 получнм Р; (х) = сопзі О,
По теореме Ролля имеет не более одного поло жител ьиого кория,
Р,_2 — не более двух, ..., Ро — ие более І положительнмх корией.
Но корнямн Р являютея с2, .... сп, откуда Р = Р (с^ О,
11
163
2) При п = 1 утверждение очевидно. Пусть оно верно для п.
Докажем его для п + 1. Не ограничивая общностн, можно считать
«1 = 0, иначе винесем нз каждой строки множитель с“‘. Вновь
заменнм с, на х; Р сохраняет знак на промежутке [0, с2], но Р (0) =»
= деі {с“; І2 > о.
19 (МС’88). Пусть
(г1,г2)<=С, гі=#г„ (ап : п>0)сС, [Ьп : п>0}<=С.
Доказать утверждение: из сходнмостн для любой целой функции
/ ряда
Е (ал/(л,(гі) +М(Л,(Ч))
следует одновременная сходимость для любой целой функции /
рядов
£ ап/(л)(гі). £М(Л’ (г«).
п=0	п=0
Решение автора задач и. Наделим пространство
всех цельїх функций Я (С) локально внпуклой топологией при ло-
моти семейства норм {||/||г : = тах | / (г) | | 0<г<-роо)
(тополотией компактной сходимости). Пусть ряд
Е М(п> (21) 4- ЬпР» (г2))
п=О
сходится для каждой фуикцнн / Є ЗК (С). Тогда последовательность
линейньїх непрерьівньїх функционалов І.п[ : = ал/<п) (гх) 4-
+ Ьл/Л) п > 0, поточечно ограничена на ЗК (С). На оснований
теореми Банаха — Шт.ннгауза (ЗК (С) — пространство Фреше!)
последовательность (£п) равномерно ограничена, то єсть
ЗС>0 Зг>0 Уп>0 У)Є^(С) :
І ап/(л) («і) + Ьп/(л) (г2) |< С тах | {(г) |.
|г|<г
Полагая в последнем неравенстве ( (г) = (г—г^)п (г—г2)',+1,
получим
пі І ап І < С
(' + І*і |)л (' + І г2 |)л+1
12і- г2Іл+1
= Сі?л,
п = 0, 1,
Теперь для пронзвольной функции Зі? (С) с использованнем
интегральной формули Копій для пронзводньїх получим
І апІт (2і) І = п! І ап |
с л_________________
|=<?+|г,]+1 (£ — гі)'1+1
тах І НІ) І (<? 4- І гі | 4- 1)
£ К1=і?-І- Ігі і+1_____________________
" (<? + 1)"+1
.164
Следовательно, для кавдой функцни / Є X (С) ряд У, ап^п'> (а,)
п=0
абсолютно сходится. Аналогнчно убеждаемся в абсолютною сходи-
00
мости ряда У Ьп^а} (а2) для произвольной функции / € Я (С).
л=0
Замечанил
1.	Аналогичное утверждение справедливо и для функций,
аиалитических в произвольной фиксированной областе 6с С.
2.	Подобньїм методом доказьівается также следуюіцее утверж-
дение:
Пусть О — произвольная область в С и {гп : п 0) — после-
довательность точек из 0, сходящаяся к некоторой граннчной точке
области 0. Показатель, что если для некоторой последовательности
оо
комплексних чисел (ап:п^0) ряд У ап/',) (ап) сходится для
л=0
каждой аналитнческой в области 6 функции Д то начииая с некоторого
номера все члени последовательности (ол: п^О) равнн нулю.
20	(МС’88). Пусть & — односвязная область в С, 0 Є р Є N.
со : = ехр (2лір~’), со®: = {а | со—*а £&>},
причем оі® 3). Предположим, что для фнксированннх функций
Фо. Фі» •••> Фр_ і и произвольной функции /, аиалитических в ®,
функция
р—1
ф(г) : = £ ф^а.'Дй/а)	(1)
/=о
аналитически продолжается из некоторой окрестиости точки а = 0
в область ®. Доказать, что
УлЄ{1, 2, ... , р— 1), сол®=#®: фп (а) = 0, а Є®.
Решение автора задачи. Заметем, что если со'’®
/= ®, то область со'1® не может полностью содержаться в ®, ибо
в противном случае, исходя нз цепочки включений ® о со'’® о
п со2''® о ... зз сор'’® = ® (так как со? = 1), пришли би к про-
тиворечию. Следовательно, в области со'’® существуют точни, не
принадлежащие ®. Одну из них обозначим через <!>%, где а0 Є ®.
Рассмотрим теперь некоторую одиосвязную подобласть ®0 об-
ласти ®, которая содержит упомянутую в условни окрестность и
точки а = 0, точку а0 и не содержит точек со'ао, 1 І р — 1.
Положим также /0 (а) = (со~'’а — а0)~4—1, где к — кратность нуля
функции фу в точке а0. Функция /0, очевидно, является аналнтнче-
ской во всех областях со'®, 1 у р — 1, кроме со'1®. Поскольку
соответствующая ей функция вида (1) аналитически продолжается
из (/ в ® и, тем самьім, в ®0, а все слагаемьіе из правой части (1)
при ] V в область ®0 продолжаются заведомо, то продолжаться
из СІ в ®0 должно и слагаемое, соответствуюшее / = V. Другими
словами, в построенную область ®0 должна аналитически продол-
165
жаться из І) функции фу (г) (г —	, что возможно лишь при
условии (г) а 0, г 6 І/. Теперь остается воспользоваться теоре-
мой единственности для аналитических функций и заключить, что
% (2) = 0, 2 Є 1>-
1	(МС’89). Пусть р, р2, р2...р2п — многочлени с действи-
тельиими козффициеиами, причем
<іе(;р=1988; 8е2р/>994, 1
и каждьій из миогочлеиов р1г р2..р2п делит многочлен р. Найти
тіп П (| Р (г) | + | рк (г) | + •  • + | р, (г~) |).
*ЄС 1<;1<„.<^+і<2п
Решение автора задачи. Множество всех корней
многочлена р в поле С (с учетом их кратностей), обозначим через й.
Тогда | й | = 1988. Аиалогично, множество всех корней многочлена
Рі в поле С обозначим через й(, | й(1 > 994, і = 1, 2.... 2л.
Поскольку Рі делит р, то О; с й, 1 і 2л. Отсюда следует, что
существует набор индексов і2 < іа < ... < іп+1, таких, что й,- П
0 й. П ... П Й,- ,, ¥=0.
Значит, в й существует общнй корень г для миогочлеиов рі , ...
.... Ріп-^- Кроме того, р (г) = 0. Поскольку р/ € /? [х] н р/ (г) = 0,
то р/ (г) = 0 для всех і = і2. »„+І.
Таким образом,
тіп П (| р (и) | + | рл (й) | +--------Ь | ріп+1 (й) |) = 0.
2	(МС’89). Пусть К — некоторое поле, А — матрица размера
п X л над К, удовлетворяющая для некоторого т Є N условно
Ат = Дт+1. Доказать, что
ІпГ {ЙЄМ | Д* = Д*+1)<л,
причем в случае знака равенства матрица А — иильпотеитиа.
Решение автора задачи. Рассмотрим многочлен
р (х) = х^ (х — 1), гдеі = ІпГ {к Є N | Ак = ДА+1). Тогда р (.4) - =
“ 0. Отсюда следует, что мииимальиий многочлен матрицьі А
имеет вид тА (х) = хр (х — 1)’, р <і, д 1. Позтому характерис-
тический многочлен матрици А равеи Хд (х) = х* (х — 1)г и соб-
ственние числа матрици А принадлежат множеству {0, 1].
Рассмотрим следующие случаи:
1.	Все собственньїе числа матрици А равньї 1. Тогда А — не-
вьірождена и, следовательно, А = Е, <і = 1.
2.	Все собственние числа матрици А равни 0. Значит, А —
нильпотеитна и Ап = Д”"*"1 = 0, т. е. і п.
3.	Среди собственншх чисел матрици А єсть 0 и 1. Тогда А
. о,
можно представить в виде: Д =	, где У — невшрожденная
\0 МІ
матрица, а М — нильпотентная. Из правила перемноження блочних
матрнц следует, что 7і = У6+1. Значит У = Е. Пусть матрица М
166
имеет размерность І X І. Тогда М1 = Лї^1 = 0 и А1 = Л/+І.
Окончательно, (і І < л. Заметим, что А= п только в случае,
когда А — ннльпотентна.
З (МС’89). Пусть / : [а, 6) -► й — дваждн дифференцируе-
мая на [а, 6] функция, причем
/(а) = /(6)=/'(а)=/' (6)=0.
Доказать, что для любого с Є й уравнение
Г (х) - 2сГ (х) + сЧ (х) = 0
имеет на (а, Ь), по крайней мере, одно решение.
Указание. Пусть £ (х) = / (*) е~сх, х Є [о, 6). Прнменить
теорему Ролля к функции в .
4 (МС’89). Пусть / Є С ([—1, Ц) — нечетная на [—1, 1) фуик-
цня. Вичислить интеграл
1
____________Ах__________
2 + Г (х) + 1/4 + /® (х) *
—1
Решение. Имеем после заменьї х на —х в ннтеграле У:
і	і
ґ*_________Ах___________ Г____________Ах_________
2У= 3 2 + / (х) + К4 + /» (х) + .) 2 -/(х) + К4 +/» (х)"
-1	-і
С 4 + 2^4 + /® (х)	_____1_ О1
.’ (2+/4 + /»(х))»-/»(х)	2 ’
—1
Б (МС’89). Пусть (г0, г1г гл, ...} сС—фиксироваиньїе точки,
причем для некоторого т Є N н {04..ат) с Ц каждая нз точек
{гй : к > 1} лежит иа одном из лучей вида
аге (г — г0) = 2ла„ 1 < з < т.
Предположим, что некоторой последовательности (Лй : /г > 1)
УлЄМ :	(1)
4=1
Доказать, что
V к € N : гк = г0.
Решение автора задачи. Соотношеиия (І), очевидно,
равносильнн тому, что
£Мй = 0. «>1.	(2)
4=1
где точки : = гк — г0 лежат на. лучах вида аґ£ £ = 2пал (з =
= 1,2.....т). Поскольку все числа (а5) рациональиьі, то при не-
котором натуральном V все числа £й (к = 1, 2, ...) вещественньїе
и неотрицательньїе. Тогда из (2) при л = V следует, что = 0,
к = 1, 2, .... и позтому сй = 0 нли гй = г0, к = 1, 2, ...
167
в (МС’89). Множество С [(а, &]) с равномерной нормой является
банаховьім пространством. Найти все лннейиьіе непрерьівньїе опе-
ратори Т: С ([а, &])->- С ([а, 6]), коммутнрующие с оператором (/,
которьій определяется соотношеинем
'(І//) (х) : = х/(х), хЄ[а. Ь|; (€С([а,Ь|).
Решеиие автора задач н. Поскольку ТІ! = 1)Т,
тонТиІС= икТ при всех к = 0, 1, 2, .... оператор Т перестаново-
чен в С ([а, 6]) с умножением на произвольинй многочлен. Пусть
теперь в — пронзвольиая функция из С ([а, 6]). Найдем (по теореме
Вейерштрасса) такую последовательность полнномов рп, п = 0, 1.
которая сходится к £ равномерно на [а, 6]. Переходя в соотношениях
(Трп) (х) = рп (х) 71 к пределу при п -> оо, получим, что
(Т£) (х) = £ (х) ф (х), где ф: = ТІ е с ([а, *]).
Таким образом, каждое лииейное непрерьівное отображение Т
пространства С ([а, 6]) в себя, коммутирующее в нем с оператором ІУ
умноження на независнмую переменную, является оператором умно-
ження на некоторую функцию нз С ([а, 6)].
8 (МС’89). Вичислить предельї:
а) Ііт — І
п->оо п 4
0
я
І мп.
Я
| 401 ...
0 < 0 < 2л;
1 2Л
Ґп (2л)п
. . - <Юп.
Решение. Для 0 > 0 пусть Еі, Е2, ••• — последовательность
незавнсимнх одинаково распределенних случайньїх величин, каж-
дая из которнх равномерно распределена на отрезке [0, 0], и Зп
внражение под знаком предела в а).
Тогда
2
//• । п \2 ( , п »\і/2
= М М- £ соз Е, + — Е «п Е,
\\ п 1=1	/	\ п 1=1	/
Согласно усиленному закону больших чисел,
| П	] п
— 2со5 •* м со5 Ь- ~ 25ІП *м 5ІП
і=і	і=і
с вероятностью 1 при п -► оо. Позтому по теореме Лебега о мажори-
руемой сходимости
уп0->	((М СОЗ Еі)’ +- (М 5ІП Е1)’)1/2 = 8ІП “Г •
П —► <ю.
Позтому

о,
2 ЗІП -тр
0 = 1
168
Для случая б) решение аналогично. Для величини 7Л, стоящей
под знаком предела в б), имеем
(2л—л) /п-*лрл2л, л->оо.
9 (МС’89). Пусть А — линейинй иепрерьів^ий оператор в
С ([а, 6]) такой, что его коммутатор с оператором І/ умноження на х
єсть оператор умноження на функцию / £ С ([а, Ь]). Определить
и вид оператора А.
Решение автора задачи. Имеем
(Аг) (х) — х(А1) (х) = [(х), х£[а, 6];
л—1
(Ах”) (х) — хп (41) (х) = У, хк [А, х] хл-1"А = пхп~1 / (х),
А=о
л^> 1;
здесь [А, х) — коммутатор Ах — хА и оператор умноження иа х
обозначается также буквой х. По линейности для всякого полииома р
(Ар)х — р(х) (А1) (х) = р' (х)/(х).
Пусть х0 Є [а, &] : / (х0) =/= 0. Подберем последовательность поли-
иомов вида
т(п)
/>п(*) = ОД +*+ £ о?’ (х— ха)к^о
4=2
иа [а, і). Учитьівая, что р'п (х0) = 1 (Ар„) (х) — рп (х) (А1) (х)
0 на [а, 6], получаем противоречне с соотношением (1). Отсюда
/ єа 0 и А — оператор умноження иа некоторую непрернвную
функцию.
15 (МС’89). Пусть В — рефлексивнеє банахово пространство.
Фуикция / : Кл -> В такова, что для каждого функционала х* Є В*
суперпозиция х* (/(•)) является многочленом на К”. Доказать,
что функция / имеет вид
N	І
/(*і......«п) =	£	• • • V.
А...
......*п)€Кп,
с некоторшми N Є М; ас ( £В, \	і1, ..., іп N.
Решенне автора задачи. Доказательство не зависит
от размерности п, приведем его только для п = 1. Обозначим через
Ак для к 0 множество тех а из В*, для которнх сіе§а (/) = к.
ОО
Тогда В* = [] Ак- Поскольку В* — множество второй категории,
4=0
то существует шар В (а0, г0) в В* и номер ка такой, что
П В (а0, г0) = В (а0, г0).
Следовательно, в шаре В (0, 1) существует плотное множество
X такое, что
V : сіе§ а (/) т,
169
где число т € N — фиксировано. В силу того, что поточечний предел
миогочлеиов степеии ие више т на оси является многочленом, сте-
пень которого ие више т, то
УаЄВ* : (іе^а (/)
Теперь, используя принцип равномерной ограничениости, ап-
проксимацню пронзводньїх конечними разностями н рефлексивность
пространства В, получаем
ЗІ {а0......ат) <=В уа£В*
У/Є{0, 1....т) : а(/(0))(Л = а(вр/|.
Отсюда
/(/) = в0+а1/+ ••• +ст/т. /ЄК.
1 (МС'90). Доказать равенство
. П"-1	п у-	11 /2	_ /—
2 (-і)*(п-л)/(п + і)*	=—у1-
*“°	/	14-1 л+1
л € N — четное
Решение. Для фиксированних х > 0 н п Є N положим
п—І
5 (у): -	(- 1)* (л - к) х*уп~к~1, у > 0.
*=о
Тогда
Ь <« * - £ <-
5	*=о	~у
с ІіЛ = ((л + 1) У" + (~ 1)п~‘хп) (х + у) - уп+1 - (-
(х+у)’
При у= 1
с/п- (п + 1) х + (- 1)"-'х^1 + л
5 (,)-----------(ГИР--------------- 1
откуда при п четном и х=у^л+ І получим тождество задачи.
Решение зтой задачи предложил также Г. Г. Жи р ньій (Донецк).
2 (МС’90). Доказать, что последовательность
монотонно убивает.
Решение. Для х > 1 положим
Докажем, что функция /, положительная на [І, +<»), строго
убивает на [1, +«»). Для доказательства достаточно проверить,
170
(Іп/(X))' = Іп(1 + -у^)-ТТТ -1" (1 + 4-) +
1	х« 4- 2х	1
+ х+ 1 = 1п х« + 2х + 1 + х« + Зх 4- 2 < °> х > *’
Используем нзвестное неравенство
Уи> —1, и#=0 : 1п(14-и)<и,
которое доказьівается с помощью теореми Лангранжа. Положив
І
“-----------------------х* + 2х + 1 ’
получим
х® | 2х	1
1п х» + 2х + 1 = 1п (> +“)<“= — ха4- 2x4- 1 >
откуда для х > 1
(І» /(*))'< — х« + 2х + 1 + х« 4- Зх 4- 2 =
— х— 1
-(х4-1)’ (х4-2)<0-
Решение зтой задачи предложил также Г. Г. Ж и р и ьі й (До-
нецк).
З (МС’90). Пусть для п > 1
1,1, ,1
ап=п4-1 + п4-2+"'+2п’
1 1 1 1
&п— п п 4- 1	«4-2 + ’ ” + 2л ’
Прн каждом л > 1 отрезок [ап, &п] разделим на восемь равньїх
частей. Доказать, что число Іп 2 лежнт во второй слева из зтих
частей при каждом л> 1.
Решение автора задачи. Число 1л 2 является преде-
лом последовательности {ап : л 1}. Зто доказьівается, например,
с помощью исследования интегральной суммьі для функции ( (х) =
= (14- х)-1, х€ [0, Ч, следовательно, последовательности
1 1
ип : = ап 4-	• = ап + 4Л •	1»
также сходятся к У 2. Позтому для доказательства утверждення
задачи достаточно проверить, что последовательность {ип : л^ 1}
строго возрастает, а последовательность {цп : я > 1} строго убьіва-
ет. Последнее злементарно проверяется (рассмотреть разности
«л+1 — «п и ьп+1 - Ц„, л > 1).
4 (МС’90). Функция / : К2 К удовлетворяет условию Лип-
шица с некоторьім числом І- 0:
!/(•*!, Уі) — І (*2. Уг) І 3 < !- ((*і — -Ч)3 4- (Уі — Уд2),
((*і. Уі), (*а. У-і)} <= Я2
171
я точка (х0, р0) — точка глобального зкстремума функции [ на мио-
жестве
(	X2 Vі 1
Л = |(*> У) І —^яГ + ~55~	•
Пусть и = (и1, и^)—такеє направленне, что
хоиі , Уо«а п
вї т —и-
Доказать утверждение: если существует у-» (*о, у0), то /-»(х0,
Уо) = 0.
Решение автора задачи. Если точка (х0, ул) является
внутренней точкой множества А, то (х0, уа) єсть точка локального
вкстремума и утверждение о равенстве существующих производ-
ньіх по направленням в зтой точке ийестно. Позтому пусть (х0,
Уо) € дА.
Пусть
£ (0 : = / (а соз/, Ьзіп 0, г (0 : = (а соз і, Ьзіп І), /ЄН;
(*<>. Уо) = (асоз/0> Ь зіп 10).
Функция в имеет в точке іа зкстремум. Направленне іу, = г (ґв)
является касательньїм к зллнпсу н для него вьіполнено условие за-
дачн. Имеем
+	= -1- (/(7(0) -/(7(/,))) =
—ХГ V	+ М0 -	+
+-^- (/ (н<«) +	+о (д*2)) - / 7 (/«) + мо.
Первое слагаемое правой части последнего равенства стремнтся
по условию к уа), а второе к 0 при Д/->-0. Следовательно,
существует
г'(<о) = Л(*о, Уо)
« Є.' (іо) “ 0.
Решение зтой задачи предложнл также Г. Г. Ж и р н м й (До-
нецк).
8 (МС’90). Пусть {ап : л > 1) —монотонная последователь-
ность действнтельньїх чисел, для которой существует
Ііт (0^2 . .. ап) = Ь,
П-»оо
причем 0<&<-|-оо. Доказать, что
Ііт п (1 — ап) =0.
П-+90
172
1 Решение. Можно предполагать, что ап > 0, п > 1. Тогда
|ряд
'	2 ,П = ,П Ь
І	П=1
сходится и его члени образуют монотонную последовательность,
сходнщуюся к 0. Позтому
п1пап->0, л->оо,
я поскольку ап -> 1, п->- оо, то
п Іп ап = п Іп (1 + (ап — 1)) ~ п (ап — 1), оо.
Решенне зтой задачи предложил также Г. Г. Ж н р н ьі й (До-
нецк).
1О(МС’9О). Определнть все функцни / Є С ([0, 1]), для которих
І = У Кі —	—.
о	о
Решение. Поскольку
~2~ / 1 — х і (І х) д.х = У І 1 — и2 І (и) ийи,
6	о
то
і	і	_____ .
С І2 (х) ах — р (х) х Ґ1 — х2 ах = — -ЗД- •
о	о
нли
( у(х)----2~ х УІ — хаІ’<їх — У — х2 (1 —х2) ах = — -дд- .
6 '	'о
Отсюда
/ (х) = 4" * • 1 — Xа. х€[0, 1|.
11 (МС’90). Для каждого л Є N пусть ап єсть решенне уравне-
ния
е~х = пх.
Вичислить предел
Ііт п (пап — 1).
п-»оо
Решение. Решение ап единственно для каждого п 1.
Поскольку
—а
пап=е п,
то 0 < ап < 2_, п 1 и а„ 0, п -» оо. Согласно формуле Тейлора
п
па„ = 1 — ап + о (ап), п оо,
откуда
п (пап — 1) = — пап + папо (1), п -> оо.
173
С учетом того, что пап -* 1, п -* оо, получаем
п (пап—1)-+-—1, л->оо.
Решение отой задачи предложил также Г. Г. Жирний (До-
нецк).
12 (МС’90). Длн каждого п Є N пусть ап єсть положительно*
решеиие уравнения
е* = х + п.
Вичислить предел
Решеиие. Поскольку
е°" « ап + п, п^2,
то, согласно нзвестиому неравенству,
ха
еж>1+х+~2~,	х>0,
имеем
а	°п
ап + я = еП>1+вп + ~2~ > °п + ап>
откуда ап < V п, п > 2. Следовательно,
----- —► 0.	Л-*-оо.
П
Позтому
ап = Іп (ап + п)
£1
п
и а„ — Іп п -> 0, Дп -► 1, п -> оо. С помощью формули Тейлора
Іп п
і ।	।
ап — ІПп + п + 0
п(ап — Іпп) ап ап
----ПГЇЇ----=“йПГ + _ППГ0(1)’ п->00-
Отсюда
п (ап — Іп п)
------------->1. п->оо.
Оригниальное, хотя и более сложное, решение зтой задачи пред*
ложил Г. Г. Жирний (Донецк).
14 (МС’90). Вичислить предел
Г	л
СІХіІІХі . . . <іхп.
Ііт
З і
[О.іґ
п
174
І Решение. Пусть {5П : п > 1) — последовательность неза-
кисимьіх одинаково распределенньїх случайньїх величин, каждая
з которьіх равномерно распределена на отрезке [0, 1] и — ин-
геграл под знаком предела. Тогда
г	( п і Vі
і	Уп = Мл І У 1/Е- I • П 1’
В силу усилеиного закона больших чисел
1 А 1	-.1
-Етг’>мтґ“2’
с вероятностью 1, а согласно неравенству Коши между среднимн
/ п	і \—1
” Еттг <
\*=1 6Л /
е вероятностью 1. Позтому к?п, л> 1, применнма теорема Лебега
о мажорируемой сходимости и	л->оо.
16 (МС’90). Вичислить предел
л2п
1 1

П*->00
’2
х3
*л
ІХі <іх1
1
Решение. Пусть {£п : л > 1) — последовательность неза-
внсимьіх одинаково распределенньїх случайньїх величин, каждая
из которьіх имеет плотность распределення
и — интеграл под знаком предела. Тогда
Аналогнчно решенню предьідущей задачи имеем
1 Д 1	12
= п^00-
с вероятностью 1, однако теперь применить аналогнчно теорему
о мажорируемой сходимости нельзя. Однако, согласно неравенству
Коши между средннми
_1_.2
/ / П	\ — 1 з	/ п	\ л
м « 2ЕГ1 )<и ПЕ» -
\ ' *=1	/ /	\л=і !
Г А ахь
~ І 2" П "тгї
[1,4-оор *-> п

175
&го соотношенне гарантирует равномерную интегрируемосп
последовател ьностн
«(іиг1) . я>>.
\й-=1	/
З
по вероятности. Позтому Уп ->• у, л-> оо. Относительно равномер-
ной интегрируемости н соответствующей теореми о предел ЬІІОМ
переходе см. ж. Н е в е. Математические основи теории вероятно-
етей.— М. : Мир, 1969.— 312 с. (гл. 11).
22 (МС’9О). Пусть / Є Ьі (X, Г, X), X (X) < + оо и
¥4£У : Ііт С	^Х = X(4).
Л->оо (І І + “	*
л
Найти функцию /.
Решение. Пусть
4>={хЄХ І |Н*)|>1). 4, = {хЄХ І /(х)=1),
4а={х€Х І /(*) = — !}, 44 = {хЄХ і ОС(/(х) <-у},
4. = {хЄХ |
4, ={хЄ* І 0< —/(х)<-|-|,
47=|хЄХ і -5-< —/ (х) < 1|,
А=(хЄХ І /(*)----------4"} ’
при атом 4/ Є ?*, 1 С / С 0. Для каждого І при условиях задач;' к
ннтегралам
I 1+\2п П>1’
Аі
применима теорема Лебега о мажорнруемой сходнмости. Из угоА
теореми и условия задачн имеем
0 = "з" X (Лі) , X (Ла) = “"з“ X (Л^),
— 2 (Лд) = “з” X (Л3);
У /4Х = X (Лу), і = 4, 5, 6, 7; —X (Лв) = X (Лв).
А1 1
Позтому X (4/) = 0, І С І Следовательно, / = — почти всюду
на X по мере X.
176
І 23 (МС'90). Пусть (X, 9", X) — пространство с конечной мерой
X и / — ^с-измеримая неотрицательная и ограниченная на X функ-
ция. Предположим, что
У4Є5Г : Нт( 1п(1+/(х)")<їХ(х) = Х(А).
" А
Найти функцию /.
Р е ш е н н е. Поскольку
хЄА;
хЄЛ>
Т«(,Х>
А1 = {хЄХ | /(х)С1}. Д2=(хЄХ | /(х)>1),
то к последовательности интегралов
4"1п(1 +/(х)п) аХ(х), п>1,
А
и множеству А Є & применима теорема о мажорируемой сходимости.
Получим
о^Х (х) = X (Л^, рп/(х)4Х (х) = Х(А1),
Л,	А,
аналогичное второму равенству равенство верно и для любой из-
меримой части Аг. Следовательно, Іп {(х) = 1 почти всюду на X
относительно мери X и / (х) = е почти всюду иа X.
24 (МС’90). Пусть (X, &, X) — пространство с мерой, причем
0 < X (X) < -Ь оо и / : X К — измеримая положительная и ог-
раничеиная на X функция. Найти
П->00	п
где Уп = У п > 1.
X
Решение. Пусть М — существенная верхняя грань функции
/ на X, т. е. ЛІ — нижняя грань тех чисел с, для которьіх Х({х£
| / (х) > с)) = 0. При условии задачи М > 0, в силу критерия
измеримостн в терминах простих функций и теореми Лебега об ии-
тегрированин монотониой последовательности (см. Дорогов-
цевА. Я. Злементи общей теории мери и интеграла.— К. : Вища шк.
1989. 152 с.). При каждом п 1 7п М. Пусть теперь е > 0—
любое число такое, что М — е > 0, и
А1:=(хЄХ | М — е (х) ЛІ},
.42:={х£Х і [ (х) < М— в) — измеримие множества.
Согласно определению числа М, мера X (4^ > 0. Имеем
?п-±±- ^(М-е) С ГіХ (С /Я4Х і"' =
А, \Х /
= (М-е/1 + ^/'МХ/р'Мх'Г1, п>1.
А, ]
177
Далее,
о < У /"<&/ У Гії- С * М1Г* ] (лГ^т)Л л -* °:
4, А1	4, '	'
П -* 00,
в силу теореми Лебега о мажорируемой сходимости. Позтому
Ііт у»+і >Л4_«
П > по п
Следовательно,	-> М, п -► оо.
ЗО (МС’9О). Пусть [і и /2 —функции, аналитические в области
6с С, непрерьівньїе на 6 0 дй и удовлетворяющие для некоториа
фиксированньїх г0 £ О и р > 0 соотношениям
/л(го)=О, /*(г0) = 1. І/д(г)|<1, *Є0, Л=І,2;
ІА (2> — А (г> > 2р, ге дб.
Доказать, что существует аналитическая в О функция А такая,
что
А(го) = О, | А'(г«) І > р== ; |Л(г)|<1, *Є0.
Решение автора задачи. Рассмотрим функцию
Лі (г) = ~2 (А (г) + А (г))- Имеем А, (г0) = О, А, (г0) = 1, и при всех
г Є дО будет внполнено неравенство
ІЙ! (г) | <
Следовательно, искомой является функция
.	лі
Й — , —	~ .
П -Рг
31 (МС’90). Движение евклидового п-мерного пространства Еп
єсть преобразование Еп в Еп, сохраняющее расстоянне между
любьімн двумя точками.
а)	Пусть / — некоторое движение Еп такое, что для п -Ь 1
точек х1г хя...хл4-1> ие лежащих в одной гиперплоскости, после-
довательности
{Г(хк) : т>1}, 1 < к < п + 1,
сходятся. Здесь /т т-я итерация /. Доказать, что [ тождественное
преобразование.
б)	Верно ли утверждение а) для афинного преобразования /?
Решекие автора задачи. а) Достаточно показать,
что / (х*) = хк, к= 1, 2...п + 1. Предположим, что ато ие так.
Пусть р (Л, В) — евклидово расстоянне между точками А и В. Тогда
Р(/(ха). *и) = :р>0.
Отсюда
р(/',+1(ха),/п(*а))=р>о.
178
Ь последовательность (/" (хД : п. > 1), таким образом, не является
Іфундаментальной. Пришли к противоречию.
При п = 2 возможно другеє решение, основанное на применении
теорем ІПаля о классификации движений плоскости с последующим
рассмотрением случаев, когда / является: 1) параллельннм перено-
сом: 2) поворотом; 3) осевой снмметрией; 4) скользящей симметрией.
б)	Нет, не верно. Прнмером может бнть гомотетия / с козф-
фициентом, меньшим 1, и центром в точке О. Для любой ТОЧКИ X Є
С Е4 последовательность
{/П(Х)	: Л>1}
сходится к точке 0.
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОЛИМПИАДЬІ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
1—11 КУРСОВ УНИВЕРСИТЕТОВ
УКРАИНМ, ЛЬВОВ, 1991 г.
І тур
1.	Пусть К — замкнутое счетное множество на плос-
кости. Доказать, что К. имеет изолированнне то”ки.
2.	Привести пример последовательности непрернв-
ньіх функций на отрезке [0,11, которая сходится в каж-
дой точке, но ни на одном из отрезков [а, йі, 0 а <
<6^1, не является равномерно сходящейся.
3.	В единичном квадрате размещена гладкая кривая
длиной 200 единиц. Доказать, что существует прямая,
которая пересекает данную кривую, по крайней мере,
101 раз.
л/2
; 4. Найти Ііт Кл \ 5Іп2,1хДх.
5. Пусть 7? — коммутативное кольцо из р злементов,
где р — простое число. Доказать, что 7? является либо
полем, либо кольцом с нулевьім умножением, т. е.
произведение двух елементов из 7? равно нулю.
6. Пусть А — вьіпуклое компактное множество в
В2 и а £ В2 \ {0}. Для произвольного Ь £ В через
7Ь обозначим отрезок
Іь-. = {хЄА | (х,а) = Ь}.
Доказать, что множество
/: = {6ЕК | |/6|>0}
является интервалом, а функция / (Ь): = | 1Ь | випук-
ла вниз на /. Здесь (...)—скалярное произведение в
Я2, | Іь | — длина отрезка 1Ь.
12*
179
Н ТУР
1.	При каких р сходится ряд
ЕН,+±)Т
2.	Пусть А и В — квадратнне матрицьі, причем
АВ =£ 0, ВА =/= 0 и АВ = КВА. Обязательно ли | Х| = І?
3.	Функция / определена и непрерьівна на К и для
любьіх (х, у} сі К внполняется равенство
Найти Д
4.	Пусть {гп : п 1} — произвольная послсдова-
тельность действительньїх чисел. Найти
Ііт С е~х (зіп (х + гп))л йх.
п->оо Л
5.	Пусть / : [0, -т-оо) -► [0,1] — непрерьівная функ-
ция, переводящая каждое замкнутеє множество А сі [0,
4- оо) в замкнутеє множество / (А) с: [0, 1]. Доказать,
что существует х0£ [0, +ос) и а £ [0, 1] такие, что
/ (х) = а, х х0.
6.	Пусть / : К" -> К неотрицательная випуклая
функция, являющаяся однородной степени г £ N. т. е.
/ (іх) = Д/(х), /6К. х Є К". Доказать, что функция
£ = >// является вьіпуклой.
1992 г.
І тур
1.	Решить уравнение
X3— Х2 = 0,
где X е м2 (С).
2.	Существует ли непрерьівное взаимнооднозначное
отображение прямой на замкнутеє ограниченное под-
множество. плоскосте?
3.	Пусть (ап : п 1} — произвольная последова-
тельность положительньїх чисел и
«п =	п>1-
Л=1
180
Доказать сходимость ряда
£ап572+е, 0<е<1.
Л=1
4.	Существует ли предел
/ ь	\1/р
Ііт І С (х) сіх І
°-*+~ )
для неотрицательной функции / Є С ([а, 61)?
5. Доказать, что многочлени
Д(х+1)п........(х + п)", пЄМ,
образуют базис в линейном пространстве многочленов
степени, не большей п, с действительньїми козффициен-
тами.
6. Сколько существует иньекций щ-злементного мно-
жества на п-злементное?
II тур
1.	Решить уравнение
X7 — Xе = 0,
где ХЄМз(С).
2.	Для того чтобьі ряд У ап с действительньїми чле-
л=1
нами сходился, необходимо и достаточно, чтобьі вьіпол-
иялись условия:
ЗЛ1>0 Ул>1 : £а?> —М;
«+Р
Уе>0	Уп>п0 V р Е N :	£ а;<е.
/=п+1
Доказать зто утверждение.
3.	Последовательность [ап : п 1} неотрицатель-
ньіх чисел такова, что
N
УЛГ>ЛГ0 : £ап <ЛГ(1пЛГ)“2.
Л»1
ОО д
Сходится ЛИ ряд 2
Л=1
181
4.	Доказать, что
п=0
5.	Доказать, что функция
Ч-°°
Ф(х):	йх‘/2	е~и*І,2<1и
монотонно убмвает к 0 на [0, + оо).
6.	Описать все поля (с точностью до изоморфизма),
мультипликативная группа которьіх не содержит зле-
ментов порядка 2.
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОЛИМЛИАДМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
III—V КУРСОВ УНИВЕРСИТЕТОВ
УКРАИНЬІ. Киеі, Ин-т
МАТЕМАТИКИ АН УКРАИНЬІ, 1992 г.
। ПР
1.	Доказать, что для всех 1 их>0
2.	Пусть Р (г) = айгп +	+ ...+ ап многочлен,
все корни которого лежат внутри единичного круга
| г | < 1. Обозначим:
+	••• +5„).
Доказать, что все корни многочлена Р + Р* лежат
на единичной окружности | г | = 1.
3.	Пусть Р (х, у) = 0 — уравнение алгебраичес-
кой замкнутой кривой, имеющей р — 1 точку самопере-
сечения. Доказать, что при достаточно мальїх є > 0
уравнение
Г (х, у) + 2а — є = 0
описьівает замкнутую поверхность рода р.
4.	Пусть {£„ : п 1} — последовательность неза-
внсимьіх одинаково распределенньїх случайньїх величин,
таких, что М |	| < +оо, М£х = а. При каждом п
182
> 1 пусть
хп‘----(£/п + • • • +
где ..., £ — п различнмх номеров.
а)	Доказать, что хп а, п -* оо.
б)	Справедливо ли хп — + а, п -»-оо?
Н ТУР
1.	Доказать, что для всех л 1 и х >0
2.	Пусть
/ (0 = £ (ак соз ай< + Ьк зіп ай0,
*=1
{аА, Ь}, а() сК.
Доказать, что / — периодическая функция тогда и
только тогда, когда
V {*, /)<={!.....т} :
3.	Найти асимптотику при а -► 0
__і_	І 8	8»
е а + 2 е а ” 2 аз, «.
МАТЕМАТИКА
СЬОГОДНІ
'94
НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЗБІРНИК
ВИПУСК 9
На російській і українській мовах
Художній редактор Є. В. Чурій
Технічний редактор Т. Г, Шепновська
Коректор Т. М. Глушко
Здано до набору 16.06.93 Підписано до друку 15.12.93, Формат
84хІ0к’/я1. Папір друк. Лв 2. Гарнітура літературна. Високий
друк. Умови.-друк, арк 9,66. Умови, фарбовідб. 9,98. Обл.-вид.
арк 9.14. Вид. № 9670. Зам. 79.
Видавництво «Вища шнола», 252054, Київ-54, вул. Гоголівська, 7,
Надруковано з матриць Головного підприємства виробничого об’єд-
нання «Поліграфкннга», 252057. Київ, вул. Довженка' 3.
на Білоцерківській книжковій фабриці, 256400, Біла Церква,
вул. Леся Курбасв, 4.