/
Author: Ибаньес Р.
Tags: математика серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0631-4
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
6
Четвертое
измерение
Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Рауль Ибаньес
Четвертое измерение
Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
Москва - 2014
D4AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 6: Рауль Ибаньес. Четвертое измерение. Является ли наш
мир тенью другой Вселенной? / Пер. с англ. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массо-
вой культуры. Тем не менее на рубеже XIX и XX веков люди были увлечены возможно-
стью существования других измерений за пределами нашей трехмерной реальности. Бла-
годаря ученым, которые использовали четвертое измерение для описания Вселенной, эта
идея захватила воображение масс. Вопросом многомерности нашего мира интересовались
философы, богословы, мистики, писатели и художники. Попробуем и мы проанализиро-
вать исследования математиков и порассуждать о том, насколько реально существование
других измерений.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0631-4 (т. 6)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Raul Ibanez, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2010
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены:
Corbis, iStockphoto.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Оглавление
Предисловие ........................................................ 7
Глава 1. Флатландия: роман о четвертом измерении ................... 9
Автор: Эдвин Эбботт Эбботт .........................................10
Цель книги ..........................................................12
Часть первая: мир Флатландии ........................................13
Часть вторая: иные миры.............................................17
Контекст «Флатландии»...............................................21
Другие идеи о плоских мирах.........................................23
Глава 2. Что такое размерность?.....................................25
Степени свободы ....................................................26
Координаты..........................................................28
Существование пространств более высокой размерности................ 32
Физические и математические пространства............................34
Какая польза от многомерных пространств? .......................... 35
Шифрование сообщений............................................ 37
Поисковая система Google ........................................38
Глава 3. Революция в геометрии XIX века.............................41
Неевклидовы геометрии ..............................................41
Рождение многомерной геометрии......................................46
Внутренние и внешние геометрии...................................49
Вклад Римана.....................................................51
От научных кулуаров до кофейни......................................54
Глава 4. Магия четвертого измерения ................................59
Взгляд из четвертого измерения......................................59
Великолепный вид....................................................65
Ограбление века.................................................... 66
Симметрия: Алиса в Зазеркалье ......................................68
Чарльз Хинтон и философия четвертого измерения......................71
5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Боги и привидения......................................... 75
Спиритизм и призраки из четвертого измерения....................... 75
Теология и четвертое измерение......................................82
Мистика, теософия и астральная вселенная .......................... 85
Глава 6. Четвертое измерение в литературе...........................87
Золотой век ........................................................87
После открытия теории относительности...............................97
Борхес и четвертое измерение................................... 100
Научная фантастика............................................. 102
Глава 7. Визуализация четвертого измерения.........................103
Гиперкуб и гиперсфера............................................. 104
Ортогональные проекции ............................................ ИЗ
Центральная проекция.............................................. 117
Сечения гиперкуба ................................................ 120
Развертка гиперкуба................................................ 125
Пространственно-временной континуум............................... 129
Глава 8. Четвертое измерение в искусстве XX века................... 133
Кубизм и разрыв с методом перспективы..............................134
Марсель Дюшан .....................................................143
Четвертое измерение в различных движениях в искусстве XX века..... 148
Футуризм....................................................... 149
Супрематизм ....................................................151
Сюрреализм......................................................152
Четвертое измерение в искусстве Соединенных Штатов Америки......154
Эпилог.............................................................155
Список литературы..................................................156
Алфавитный указатель ............................................. 157
6
Посвящается моей матери, сильной и позитивной женщине.
А также моей жене Ане и моим детям Айтору и Ванессе.
Предисловие
Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня мас-
совой культуры. Если это происходит, то лишь в качестве отдельных или поверх-
ностных модных тенденций. Тем не менее в конце XIX и начале XX века люди
были увлечены возможностью существования пространств других размерностей
за пределами нашей трехмерной реальности.
При нормальных обстоятельствах эта двойная революция, вызванная открытием
неевклидовой геометрии и рождением многомерной дифференциальной геометрии,
осталась бы не замеченной широкой общественностью и привлекла бы внимание
лишь ученых, понимавших ее важность для будущего математики, науки и техники.
Однако четвертое измерение захватило воображение масс и часто обсуждалось
в ряде популярных изданий.
Это повальное увлечение вызвали сами математики, распространяя новые идеи
на конференциях, в статьях и книгах, прежде рассчитанных на научное сообщество,
а затем и на широкую общественность. Эти идеи вскоре закрепились, как мы не раз
увидим на протяжении этой книги.
Ученые использовали четвертое измерение для описания Вселенной. Многомер-
ные пространства оказались очень полезным инструментом. Философы размышля-
ли над концепцией пространства, формы и структуры Вселенной, самого существо-
вания человечества. В более общем смысле богословы и религиозные деятели рас-
сматривали четвертое измерение в качестве пути к созданию теорий о Боге, рае
и аде, душе, духовности и существовании высшей реальности. Мистики, спиритуа-
листы, теософы и многие мнимые пророки также описывали картину Вселенной, от-
крывшуюся им через четвертое измерение.
Писатели в своих книгах затрагивали интересные аспекты четвертого измерения,
например, как могут выглядеть четырехмерные существа, их сверхъестественные
возможности, путешествия во времени, в другие измерения и в параллельные миры.
В мире искусства это означало отрыв от метода перспективы эпохи Возрождения,
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
появление нового языка и пути к доселе невиданной реальности. Поэтому дополни-
тельное измерение открыло много возможностей для широкой общественности:
многие люди увлеклись новыми идеями, и даже сейчас некоторые думают, что наши
души обитают в четырехмерном пространстве.
Одной из книг, внесших наибольший вклад в распространение идей о четвертом
измерении, была «Флатландия» Эдвина Эбботта, продолжающая оставаться хоро-
шей отправной точкой для интересующихся этой математической концепцией. И мы
начнем нашу книгу с идей, представленных в этом романе.
8
Глава 1
Флатландия:
роман о четвертом измерении
Я [Квадрат]. Но взяв меня с собой в Страну Трех Измерений, Ваша
Светлость показала мне внутренности моих соотечественников
в Стране Двух Измерений. Что может быть легче, чем взять
вашего покорного слугу во второе путешествие, в благословенную
область Четвертого Измерения, откуда я мог бы бросить взгляд
на Страну Трех Измерений...
Сфера. Но где находится эта Страна Четырех Измерений?
Я. Не знаю, но моему высокочтимому Наставнику это должно
быть известно.
Эдвин Э. Эбботт. Флатландия
«Флатландия: роман о четвертом измерении», без сомнения, является книгой, кото-
рая внесла наибольший вклад в распространение и популяризацию идеи четвертого
измерения среди математиков, ученых и студентов, а также мыслителей, художников
и широкой общественности. Она была опубликована в 1884 г. и до сих пор остается
популярной. Книга продолжает вызывать искренний интерес, по-прежнему печата-
ются новые издания, несмотря на то что текст свободно доступен в интернете.
Это не столько научно-популярная книга, сколько произведение художественной
литературы, которое с помощью аналогий знакомит читателя с увлекательным ми-
ром четвертого, да и других измерений. Автор предлагает нам в образе двумерного
существа исследовать плоский мир, в котором такие существа обитают, чтобы потом
подвести нас к идее, что есть миры большей и меньшей размерности — трехмерные
и одномерные. Это позволяет читателю ощутить всю сложность представления ре-
альности с большим количеством измерений, чем те, что воспринимаются нашими
чувствами. В то же время это также доказывает, что такие невоспринимаемые раз-
мерности вполне могут существовать. Автор предлагает мысленный эксперимент,
который поможет нам представить четвертое измерение, существующее вне нашего
трехмерного мира. У некоторых людей, прочитавших книгу, остается впечатление,
что это просто околоматематический роман. Однако «Флатландия» — это нечто
9
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Обложка первого издания «Флатландии».
большее. Это социальная сатира викторианской Англии — той эпохи, в которую
жил автор, поэтому он использовал метафоры для обсуждения интересовавших его
богословских вопросов.
Центральная идея книги, объединяющая множество математических, социальных
и богословских вопросов, заключается в том, чтобы читатели попытались разорвать
цепи ограниченного восприятия реальности и открыли свой разум новым формам, но-
вым идеям и новому миру. Простота сюжетных идей и используемого языка позво-
лила этой книге оказать сильное влияние на широкий круг читателей. Следует заме-
тить, что автор книги был викарием англиканской церкви и считал, что проповеди
должны быть простыми, чтобы их понимали все. Он также работал директором шко-
лы и поэтому всегда интересовался вопросами обучения. Но успех «Флатландии»
является не только результатом собственных достоинств книги, но и следствием ин-
тереса общества к возможности существования многомерной вселенной. Причиной
этого растущего интереса, несомненно, стало развитие неевклидовых геометрий.
Автор: Эдвин Эбботт Эбботт
Как мы видим на обложке «Флатландии», автором книги является Квадрат
(A Square). Этот псевдоним Эбботт использовал, возможно, в качестве игры слов,
10
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
так как главного героя романа, жившего во Флатландии, звали Квадрат. К тому же
из-за повторения в фамилии автора (Abbott Abbott) его можно было бы назвать
«А в квадрате».
Эдвин Эбботт Эбботт родился в Лондоне в 1838 г. Он получил образование
в Школе лондонского Сити, а затем в колледже Сент-Джон Кембриджского
университета, где он изучал классическую литературу, грамматику и богословие.
В 1862 г. Эбботт был рукоположен в священники англиканской церкви, а год спустя
женился. В возрасте всего лишь 26 лет он стал директором Школы лондонского
Сити.
Как педагог и священник, Эбботт был социально ответственным человеком,
а также имел радикальные взгляды. Ему удавалось внедрять новые идеи как в шко-
ле, где он был директором, так и на конференциях директоров английских школ. Эб-
ботт считал, что образование помогает сломать социальные барьеры, и в качестве
ведущего члена «Движения за права молодежи из всех социальных групп» боролся
за права бедных классов.
Эбботт посвятил свою жизнь изучению грамматики, литературы и теологии, на-
писал более 40 книг и множество статей на эти темы. «Флатландия» — единствен-
ная из его работ, связанная с математикой. Как получилось, что Эбботт, не имея
специального математического образования, заинтересовался четвертым измерени-
ем и создал книгу, которая донесла эти идеи до широкой общественности?
Эдвин Эбботт в 1884 г.,
когда была опубликована
«Флатландия».
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Лучший друг Эбботта, учитель математики Ховард Кэндлер, поддерживающий
с ним обширную переписку, преподавал в школе Аппингем (Uppingham School).
Кстати, английский математик Чарльз Хинтон, один из главных специалистов
по четвертому измерению, также преподавал в этой школе. Возможно, Эбботт по-
знакомился с Хинтоном в Аппингеме или узнал об этих идеях через своего друга
Кэндлера. В любом случае он достаточно ясно представлял себе концепцию четвер-
того измерения, чтобы использовать ее в качестве метафоры социального и бого-
словского устройства разделенного на классы общества викторианской Англии.
Цель книги
Как мы уже видели, «Флатландия» — это не просто научно-фантастический роман.
По своей сути это аллегория, которая использует геометрические формы и размер-
ности для описания насущных проблем современности. Помимо изложения матема-
тических понятий, связанных с размерностями, в книге явно прослеживаются еще
две линии: социальная сатира и богословские размышления.
С социальной точки зрения «Флатландия» — явная сатира на английское об-
щество того времени с его жесткой системой классов и сопротивлением переме-
нам любого рода. Эбботт описывает жестокость, с которой обращались с наиболее
нуждающимися слоями населения, лишая их возможности образования — исклю-
чительной привилегии социальной элиты. Он также выступает против подчиненного
положения женщин и противодействия новым идеям. Социальную сатиру исполь-
зовали и другие уважаемые предшественники Эбботта, такие как Джонатан Свифт
в книге «Путешествия Гулливера» (1726) и Льюис Кэрролл с его «Алисой в стране
чудес» (1865).
Наряду с социальной сатирой Эбботт также обращается к интересовавшим его
богословским вопросам, которые он более явно затрагивал в других своих книгах
и статьях. Некоторые пассажи, такие как путешествие главного героя книги Квадра-
та в страны других размерностей, можно интерпретировать как метафору мистиче-
ского опыта потусторонней реальности. Кроме того, автор критикует веру в чудо как
основу религиозных убеждений и пытается показать, что наука в состоянии обеспе-
чить прогресс человеческого рода через развитие знаний о Вселенной, но никогда
не сможет приблизить нас к Богу. Наконец, можно наблюдать определенную парал-
лель между попытками Квадрата объяснить таинства третьего измерения и еванге-
листской деятельностью апостолов.
12
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Тем не менее, именно математическое содержание выделяет «Флатландию»
из ряда других книг того времени. Во времена Эбботта споры о четвертом измере-
нии были в самом разгаре. Предпринималось множество попыток понять, что оно
означает, и как-то визуализировать его. В 1952 г. философ и богослов Карл Хайм
так описал серьезную проблему человеческой интуиции в постижении четвертого
измерения: «Прогресс математики и физики дает нам крылья поэтического вообра-
жения, выводящего нас за границы евклидового мира в попытке представить себе
пространство, в котором существует более трех координатных осей, перпендикуляр-
ных друг другу. Но все эти усилия выйти за пределы нашего мира в конечном итоге
всегда приводят в трехмерное евклидово пространство. Пытаясь открыть четвертое
измерение, мы сталкиваемся с непреодолимым препятствием. Нет никаких сомне-
ний, что можно производить вычисления в пространствах высших размерностей,
но мы не в состоянии вообразить их. Мы, как в тюрьме, заперты в пространстве,
в котором мы оказались в начале нашего существования. Точно так же двумерные
существа могут верить в третье измерение, но они не могут видеть его».
Можно сказать, что многомерная аналогия, использованная Эбботтом и являв-
шаяся одним из основных инструментов того времени, приблизила нас к возможно-
сти «увидеть» невидимое.
Часть первая: мир Флатландии
«Флатландия» написана от лица главного героя, математика Квадрата, который
рассказывает о странном приключении, которое он пережил. В результате он узнал
много нового об устройстве Вселенной, но оказался заключенным в тюремную каме-
ру, в которой и пишет свою историю. Таким образом, первая часть книги дает опи-
сание его мира, двумерной Флатландии, и общества, в котором он живет. Именно
эта часть содержит большую часть социальной сатиры.
Как мы уже говорили, мир главного героя является плоским, двумерным.
(«Представьте себе огромный лист бумаги», — пишет Эбботт.) В этом мире живут
прямые линии, квадраты, пятиугольники, шестиугольники и другие многоугольники.
За исключением укреплений, казарм и административных зданий, дома, в которых
живут обитатели этого мира, имеют пятиугольную форму. Крыши домов ориенти-
рованы на север, так как сила тяжести направлена на юг, что означает, что дождь
всегда «идет» с севера на юг. В дополнение к этому в домах имеется две двери: одна
для мужчин, другая для женщин.
13
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Типичный пятиугольный дом во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта).
Далее Эбботт описывает жителей этого любопытного мира. Женщины имеют
вид отрезков прямых; солдатам и представителям низших слоев населения досталась
форма равнобедренных треугольников. Средний класс состоит из равносторонних
треугольников, а джентльмены и лица, владеющие какой-либо профессией, имеют
форму квадратов и пятиугольников.
Затем идут благородные сословия. Их низшую ступень занимают шестиуголь-
ники, но по мере продвижения вверх число сторон у фигуры возрастает. Наконец,
когда число сторон многоугольника становится столь велико, что фигуру нельзя от-
личить от окружности, ее причисляют к жрецам. Внутренний угол фигуры (самый
маленький в равнобедренном треугольнике), очевидно, связан с числом сторон и от-
ражает социальное положение и образование фигуры. В дополнение к этому дети
мужского пола имеют на одну сторону больше, чем их отцы, хотя это не всегда так
среди торговцев и еще реже встречается среди солдат и низших слоев рабочих. Если
каким-то образом сын равнобедренного треугольника рождается равносторонним,
то его забирают у родителей, после чего его усыновляет бездетная чета равносто-
ронних треугольников.
Женщины являются отрезками прямых линий — без углов, без образования, без
социальных прав. Это описано Эбботтом в одном из пассажей книги: «Не следует
думать, будто наши женщины лишены увлечений. Но, к сожалению, увлечение, охва-
14
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
тившее особу слабого пола в данный момент, всегда оказывается сильнее любых раз-
умных соображений. Причину этого, разумеется, следует искать в неудачной конфи-
гурации женского тела. Ибо женщины, не имея надежд получить собственный вну-
тренний угол (в этом отношении они уступают даже последнему из равнобедренных
треугольников), полностью лишены способности рассуждать, не обладают ни ясно-
стью мышления, ни здравостью суждений, ни способностью обдумать заранее свои
поступки, ни даже памятью. Поэтому в приступах ярости женщины не помнят своих
обещаний и не признают никаких различий».
Профессиона \ы
Геометрические формы, представляющие различные социальные классы жителей Флатландии.
В этом обществе мужчины, особенно представители высших классов, пытают-
ся оправдать социальную изоляцию женщин и отсутствие у них прав, утверждая,
что такое положение является не результатом дискриминации со стороны общества,
а лишь следствием самой природы женщин, конфигурации их тел и размеров.
Жители Флатландии узнают друг друга различными способами. Низшие классы
и женщины делают это на ощупь. Равносторонние треугольники, квадраты и пяти-
угольники используют слух, отличая других жителей по голосам. Высшие классы
различают другие фигуры по внешнему виду. Любой житель Флатландии выглядит
со стороны как прямая линия, однако постоянный туман, который держится в этом
мире, позволяет определить глубину и, следовательно, углы другой фигуры. Из-за
действия тумана видимость уменьшается с расстоянием; таким образом, когда угол
мал, как у равнобедренных треугольников, его стороны начинают расплываться почти
сразу, а для большего угла это происходит медленнее. Распознавание на ощупь препо-
15
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
дается в школах, в основном с помощью практических тренировок. На уроках исполь-
зуются равнобедренные треугольники с углами от полградуса до десяти градусов. Эти
фигуры не обладают достаточным интеллектом для использования хотя бы в качестве
пушечного мяса и поэтому играют роль школьного реквизита. Науку и искусство рас-
познавания по внешнему виду преподают представителям элиты в университетах,
но для этого требуется изучение геометрии.
С
Искусство распознавания по внешнему виду во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта).
Все фигуры во Флатландии являются правильными. Неправильность фигуры —
это признак моральной нечистоплотности и склонности к совершению уголовного
преступления. Вот как описывает это главный герой книги Квадрат: «Неправильные
фигуры с самого рождения не видят ласки от своих родителей, их осыпают насмеш-
ками братья и сестры, ими пренебрегают их ближайшие родственники, общество
обливает их презрением и относится к ним с подозрительностью, им запрещается
занимать ответственные и доверенные посты и исполнять всякую полезную рабо-
ту. За любым передвижением неправильной фигуры ревностно наблюдает полиция.
Наконец, неправильная фигура достигает совершеннолетия и предстает перед ко-
миссией для освидетельствования. Если отклонения окажутся слишком большими,
фигуру разрушают, в противном случае ее замуровывают в каком-нибудь прави-
тельственном учреждении на должности клерка седьмого класса. Неправильная фи-
гура не может вступать в брак. Обреченная на унылую деятельность, она получает
ничтожную плату и должна жить и столоваться непосредственно в конторе. Даже
свой отпуск она проводит под неослабным наблюдением».
16
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
ШОВИНИЗМ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Некоторые из прочитавших «Флатландию» в первый раз выступили против книги, обвинив ее
автора в шовинизме. Однако это совсем не так: Эббоп был активным сторонником защиты
прав женщин и одним из лидеров Движения за право на образование женщин. В 1870 г.
университеты Оксфорда и Кембриджа начали принимать женщин на учебу, хотя до 1920 г. они
были не в состоянии получить соответствующую подготовку. Женщин принимали в университет
и позволяли получить образование такого же уровня, как и у мужчин, но школ, помогавших
им подготовиться, было мало. Через английский Совет директоров и Педагогическое общество
Эббоп помогал создавать возможности для девочек получить образование.
На другом конце социальной лестницы находятся жрецы. «Наши жрецы зани-
мают ведущие посты во всех отраслях коммерческой деятельности, искусства и на-
уки. Они руководят розничной и оптовой торговлей, армией, архитектурой, про-
мышленностью, решают наиболее важные государственные дела, им принадлежит
самое веское слово в вопросах законодательства, морали и теологии. Не делая ниче-
го сами, они являются побудителями, причиной всего, что следует делать и делается
другими». Их предназначение состоит в том, чтобы беспокоиться о конфигурации
флатландцев, так как это определяет роль и судьбу каждого.
Противодействие новым идеям и всему тому, что может означать нарушение
установленного социального порядка, особенно отчетливо проявилось в случае
с введением цвета в черно-белом мире Флатландии и последующим восстанием кра-
сок, которое в конце концов было подавлено жрецами с помощью женщин.
Часть вторая: иные миры
Вторая часть книги, озаглавленная «Иные миры», затрагивает проблемы многомер-
ных аналогий и богословские аспекты, хотя социальная сатира присутствует на про-
тяжении всей книги. Сначала Квадрат в странном сне оказывается в Лайнландии,
мир которой представляет собой бесконечную прямую и поэтому является одномер-
ным. Он населен отрезками прямых (мужчины) и точками (женщины). Находясь
вне Лайнландии, Квадрат обращается к королю этого мира, который сначала не мо-
жет понять, с кем или с чем он разговаривает. Квадрат пытается объяснить королю,
что он сам живет в двумерном мире и воспринимает все в двух измерениях, но ко-
17
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
роль его не понимает, а Квадрат не знает, как это все объяснить. Он начинает опи-
сывать ситуацию, когда точка, двигаясь в одномерной Аайнландии, образует отре-
зок — что очевидно для короля, — но если отрезок перемещается «вверх», то полу-
чается квадрат. Однако король не в состоянии понять ни смысл выражения «вверх»,
ни понятие «квадрат». Тогда двумерный математик решает пересечь Аайнландию,
чтобы показать королю, что он представляет собой двумерное существо. Но король
не верит, что отрезки, которые он видит, являются различными сечениями квадрата,
а не неким жителем Аайнландии, обладающим непостижимой способностью появ-
ляться и исчезать.
“Че
Визит Квадрата в одномерную Лайнландию (иллюстрация Эдвина Эбботта)
18
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
На следующий день после пробуждения Квадрат встречается со Сферой, живу-
щей в Спейсландии — мире с тремя измерениями, который содержит в себе Флат-
ландию. Как и в случае с королем Лайнландии, Квадрат сначала не может понять,
откуда доносится голос. На этот раз Сфера пытается описать природу трехмерного
пространства жителю Флатландии, приведя аналогию, что если квадратная фигура
будет расти в направлении «вверх», то получится куб, имеющий три измерения. Ког-
да ученик оказывается неспособным понять эти аргументы, Сфера решает пересечь
Флатландию так, что оказываются видны ее плоские сечения, являющиеся окруж-
ностями. Но Квадрат думает, что это жрец, который появился неким волшебным
образом, потом быстро вырос, как если бы время ускорилось, а затем таинственно
сжался и исчез.
Продолжая ряд аналогий относительно разных размерностей и социальной
структуры, трехмерный посетитель приводит аргумент, основанный на количестве
вершин (углов) и граней. Количества вершин точки, отрезка и квадрата образуют
геометрическую прогрессию 1, 2, 4, которая продолжается числом 8, что, как Сфера
объясняет Квадрату, является количеством вершин куба. Кроме того, точки не име-
ют граней, отрезок имеет две (его два конца), а квадрат имеет четыре грани (четыре
стороны). Получается арифметическая прогрессия 0, 2, 4, которая продолжается
числом 6, равным количеству граней куба.
Иллюстрация, показывающая, как Сфера проходит через Флатландию.
Сфера, убедившись в тщетности своих объяснений, принимает решительные
меры и выносит нашего героя из Флатландии, что возможно благодаря тому, что
Флатландия и все ее жители имеют постоянную толщину в трехмерном пространст-
ве. Увидев свой мир со стороны, Квадрат понимает смысл третьего измерения про-
странства, о котором говорил его учитель. Сразу стали ясны все изложенные аргу-
менты, но это еще не всё. Как хороший математик, он понимает, что эти аргументы
позволяют ему пойти дальше. Подумав некоторое время, он объясняет Сфере, что
19
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
если использовать ту же аналогию с размерностями, то, возможно, существует и че-
тырехмерное пространство, содержащее и мир Сферы. Теперь сама Сфера приходит
в замешательство, отказываясь признать этот аргумент и факт существования четы-
рехмерного пространства: «Такой страны нет. Сама мысль о том, что она существу-
ет, лишена всякого смысла».
Отрезок
Если точка (нулевой размерности)
движется в определенном
направлении, то получается отрезок
(размерность 1). Если отрезок
перемещается в перпендикулярном
направлении, то получается квадрат
(размерность 2). При перемещении
квадрата в перпендикулярном
направлении получается куб (третье
измерение). Гиперкуб (четвертое
измерение) получается путем
перемещения куба.
Как мы уже говорили, Эбботт не верил в чудеса и считал, что христиане не долж-
ны основывать на них свою веру. Эта идея также отражена во «Флатландии», где
то, что кажется чудом двумерным существам, на самом деле легко объясняется при
переходе в третье измерение. Приведем несколько ироничный диалог между Ква-
дратом и Сферой:
«Потрясенный зрелищем сокровенных тайн земли, открывшихся моему
недостойному глазу, я сказал своему спутнику:
— Я стал как бы богом. Ведь говорят же мудрецы во Флатландии, что
способность все видеть или, как они выражаются, быть всевидящим присуща
лишь богу.
В ответ мой наставник заметил:
20
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
— Так ли это на самом деле? У нас в Спейсландии найдется немало кар-
манных воров и убийц, которых ваши мудрецы приняли бы за богов, ибо каж-
дый из них, взглянув на Флатландию, увидел бы не меньше, чем вы сейчас.
Поверьте мне, ваши мудрецы глубоко заблуждаются».
Роман заканчивается тем, что герой попадает в тюрьму за попытку написать
трактат о тайнах третьего измерения и рассказать жителям своего плоского мира
о существовании трехмерного пространства. Здесь мы можем увидеть аналогию
со священными писаниями и гонениями, которым подвергались святые апостолы.
Даже язык Эбботта в этой части становится похож на библейскую речь, когда, на-
пример, он приводит слова Квадрата: «Смерть или тюремное заключение ожидает
апостола учения о Спейсландии». Социальная сатира заключается в изображении
общества, которое наказывает тех, кто пытается пропагандировать новые идеи.
Контекст «Флатландии»
Многомерные аналогии и изучение различных пространств с учетом их размерности
являются ключевыми идеями «Флатландии», предложенными Эбботтом. В дейст-
вительности, в то время они были широко распространенным подходом для понима-
ния многомерных пространств, включая аналогию с двумерным пространством, на-
селенным плоскими существами.
Одно из первых упоминаний о важности изучения различных пространств
и идеи многомерных аналогий можно найти в «Республике» Платона (книга VII).
В этой книге Сократ обсуждает с Главконом образование, которое должны получать
стражи идеального государства. Главкон объясняет, что начать нужно с арифмети-
ки и изучения ряда чисел. Затем надо перейти к плоской геометрии, содержащей
необходимые знания для ведения войны («Очевидно, что мы имеем дело с той ча-
стью геометрии, которая относится к войне»), а также для всех других видов де-
ятельности, относящихся к управлению государством. Когда Сократ спрашивает,
что должно идти дальше, Главкон предлагает астрономию. Сократ замечает, что тот
упустил важный шаг: «Правильнее было бы после второго измерения рассмотреть
третье: оно касается измерения кубов и всего того, что имеет глубину». Только пе-
рейдя от первого измерения ко второму, а затем к третьему, ученики будут готовы
к изучению «астрономии, или круговращения твердых тел».
21
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Знаменитый миф о пещере — аллегория Платона — является основополага-
ющим ориентиром для вопросов, рассматриваемых во «Флатландии». Здесь мы
также находим многомерную аналогию, проблему познания мира, в котором мы жи-
вем, и образование как средство для достижения этого знания. Платон предлагает
представить расу людей, которые с рождения живут в темной подземной пещере,
связанные таким образом (тело, ноги, руки, шея), что они могут видеть только стену
пещеры. За ними находится невысокая стена, за которой горит огонь. Между ог-
нем и стеной перемещаются фигурки маленьких людей, животных и инструментов,
а огонь проецирует их тени на стену пещеры. Когда заключенные разговаривают, их
голоса отражаются от стен, и им кажется, что говорят тени. Более того, они думают,
что они сами являются тенями. Пещерные жители считают эти тени единственной
реальностью и не понимают, что они сами и эти фигурки расположены в трехмер-
ном пространстве. Интересно упомянуть конец этой истории, когда пришелец извне
пытается объяснить им истинную картину мира, но они считают его сумасшедшим.
Схематичное изображение платоновского мифа о пещере.
22
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
Еще одна связь между мифом о пещере и четвертым измерением состоит в том,
что пленники думают, что они являются двумерными существами. То, что они на са-
мом деле трехмерные существа, так же странно для них, как для нас мысль о том,
что мы являемся трехмерными проекциями четырехмерных существ.
В середине XIX в. идея, похожая на миф о пещере, появилась в коротком рас-
сказе немецкого психолога и физика Густава Фехнера (1801—1887) «Пространство
имеет четыре измерения», в котором человек-тень проецируется на экран с помо-
щью проектора.
Другие идеи о плоских мирах
Математик Чарльз Хинтон, который уже в начале 1880-х гг. написал серию статей
о двумерном мире и существах, населяющих его (мы расскажем о нем подробнее
в четвертой главе), является автором романа под названием «Случай во Флатлан-
дии, или Как двумерные люди обнаружили третье измерение». Это не просто совпа-
дение, что книги Хинтона и Эбботта были написаны примерно в одно и то же время.
«ФЛАТЛАНДИЯ» КАК ИСТОЧНИК ВДОХНОВЕНИЯ
«Флатландия» приобрела статус популярной классики, что вдохновило многих авторов на со-
здание похожих произведений. Дионис Бюргер (1892-1987) написал «Сферландию, или Ро-
ман об искривленном пространстве и расширяющейся Вселенной с иллюстрациями автора,
Шестиугольника» как продолжение «Флатландии» примерно с таким же относительно простым
сюжетом. Главный герой романа - Шестиугольник, внук Квадрата, - живет в более равно-
правном обществе. При измерении очень большого двумерного треугольника выяснилось,
что сумма его углов больше 180°. Это позволило предположить, что на самом деле двумер-
ный мир является не плоскостью, а поверхностью сферы. Даже Иэн Стюарт (р. 1945), один
из самых известных современных популяризаторов математики, не удержался от соблазна
посетить «Флатландию», создав ее аннотированную версию и даже продолжение «Флаще-
ландию», то есть Флатландию, только в большей степени. Главный герой книги - Виктория
Лейн, потомок Квадрата из классического произведения Эбботта, - исследует более совре-
менные понятия, такие как фрактальная размерность, скрытые пространственные измерения,
гиперболическая геометрия, квантовая механика, теории относительности, сингулярности
пространства-времени и путешествия во времени.
23
ФЛАТЛАНДИЯ: РОМАН О ЧЕТВЕРТОМ ИЗМЕРЕНИИ
В плоской вселенной Хинтона планеты-круги вращаются вокруг круга-солнца.
Одна из этих планет, Астрия, населена двумя расами треугольников: цивилизован-
ные юнифы создали науку и технику, а варварские скифы являются воинами. В этой
книге Хинтон в большей степени, чем Эбботт во «Флатландии», затрагивает во-
просы науки и техники. В частности, он описывает физику двумерного мира и неко-
торые механические устройства. И конечно, в романе затрагиваются и социальные
вопросы: автор повествует об отношениях между молодой леди и простым проле-
тарием. Дядя девушки является единственным человеком Астрии, который верит
в существование трехмерного пространства.
Иллюстрация из книги Чарльза Хинтона «Случай во Флатландии».
Действие разворачивается на планете Астрия, представляющей собой плоский круг и населенной
треугольниками. На западе живут скифы, а на востоке — юнифы.
ОТ «ФЛАТЛАНДИИ» К «ПЛАНИВЕРСУМУ»
Использование компьютеров для имитации «Флатландии» привело к появлению в 1984 г. книги
«Планиверсум. Виртуальный контакт с двумерным миром». Ее автор, математик Александр
Дьюдни, родился в Канаде в 1941 г. Он рассмотрел всевозможные аспекты двумерного мира,
аналогичного описанному Хинтоном. Среди них - политика, география, архитектура, физика,
химия, биология, культура, игры и даже что и как обитатели этого мира едят.
24
Глава 2
Что такое размерность?
Я знаю, что многие... считают, что обобщенное понятие
[четырехмерного] пространства является не более чем формой
алгебраической абстракции, но то же самое можно сказать и о нашей
идее бесконечности в алгебре, или о невозможных линиях в геометрии,
или линиях, которые образуют угол в 0 градусов, хотя никто
не будет оспаривать пользу этих понятий.
Джеймс Джозеф Сильвестр. Призыв к математикам (1869)
В этой главе рассматриваются понятия размерности и многомерных пространств.
Термин «размерность» широко используется не только в науке и технике, но и в по-
вседневной жизни. Это слово в разных смыслах часто встречается в газетах и в Ин-
тернете. Например, выражение «GPS-навигация в трехмерном пространстве» ис-
пользует понятие трех измерений, которые необходимы устройству GPS для опре-
деления положения объекта на земном шаре: широты, долготы и высоты. Вместе
с этим выражение «размеры коробки 30 см (длина) х 15 см (ширина) х 15 см (вы-
сота)» означает величину предмета. Мы можем даже найти что-то вроде выражения
«культурная размерность интернета», которое можно интерпретировать метафори-
чески, имея в виду всю многогранность интернета и нашей культуры в целом.
Слово «размерность», или «измерение», используемое сейчас в нашей повсед-
невной жизни, имеет почти такой же смысл, как и в науке вплоть до XIX в., хотя
значение термина развивалось по мере популяризации изначальных математиче-
ских идей. Даже в таких фразах, как «жить в другом измерении» или «путешествие
в другое измерение», значение слова по-прежнему основывается на тех же фунда-
ментальных идеях. В науке и технике этот термин тоже приобрел несколько различ-
ных значений и разную степень сложности в зависимости от области, в которой он
используется. Например, существуют такие понятия, как размерность векторного
пространства, топологическая размерность, фрактальные размерности... Однако
целью этой книги является не объяснение терминов, а лишь введение интуитивного
понятия размерности.
25
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
Степени свободы
Во-первых, давайте остановимся на вопросе: «Что такое размерность?» В общем
случае, когда мы говорим о размерности пространства, мы имеем в виду то, что фи-
зики и инженеры называют степенью свободы.
В одномерном пространстве у нас есть только одна степень свободы, то есть мы
можем двигаться только вперед и назад по одной линии. В поезде мы всегда движем-
ся либо вперед по рельсам, либо назад: состав не может совершать другие движения.
Рельсы, по которым движется поезд, образуют достаточно произвольную кривую,
но эта кривая представляет собой одномерное пространство. Наблюдая в поле тра-
ектории движения муравьев, мы увидим, что эти траектории тоже представляют
собой кривые линии. Насекомые движутся по ним, возвращаясь в муравейник или
отправляясь на поиски добычи. Аналогичное движение — вперед и назад — явля-
ется единственно возможным для короля и других жителей Лайнландии.
В упрощенном виде траектории движения муравьев являются одномерными пространствами,
так как насекомые движутся по кривым линиям в обе стороны.
Муравьи движутся так, потому что они следуют по запахам феромонов, остав-
ленным другими муравьями. Однако первый муравей (тот, что проложил путь) мог
двигаться во всех направлениях. Если мы выпустим муравья на поверхность стола,
мы увидим, что он ползает вперед и назад, а также вправо и влево и под любым
углом к этим направлениям. Поверхность стола представляет собой двумерное про-
странство, другими словами, она имеет две степени свободы.
26
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
Муравей-первопроходец на поверхности стола с двумя степенями свободы будет двигаться
не только вперед и назад, но и в других направлениях.
Этот муравей имеет такую же свободу передвижения, как и Квадрат, живущий
во Флатландии. Корабль на поверхности моря и альпинист на склоне горы также
движутся в двумерном пространстве. Положение корабля или альпиниста на поверх-
ности земного шара может быть определено с помощью двух параметров: широты
и долготы. Аналогично положение муравья на поверхности стола может быть уста-
новлено с помощью расстояний от обеих сторон стола.
Если вместо корабля мы рассмотрим подводную лодку, мы добавим возможность
перемещения вверх и вниз на конкретную глубину. Точно так же вертолет может
подниматься на разную высоту в воздухе. Следовательно, и вертолет, и подводная
лодка имеют три степени свободы. Это и есть наше естественное трехмерное про-
странство.
Если вертолет летает, например, в определенное время каждый день, мы можем
добавить еще одну степень свободы — время, хотя в этом измерении мы можем
двигаться только вперед, по крайней мере, таково наше восприятие времени. Наша
жизнь, таким образом, протекает в четырехмерном пространстве-времени и поэтому
может быть задана с помощью четырех координат.
27
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
Точное местоположение любого судна в любом океане Земли можно определить
с помощью двух чисел — широты и долготы.
Координаты
При формулировании понятия степени свободы мы уже видели, что для определения
положения в пространстве нам нужны не только числовые значения, но и количест-
во измерений пространства. В примере с вертолетом, движущимся в трехмерном
пространстве, GPS определяет его положение с помощью трех чисел — широты,
долготы и высоты по отношению к уровню моря — и таким образом использует ма-
тематическое понятие размерностей в виде набора координат, другими словами,
группы чисел.
Возьмем теперь пример с поездом. Представьте себе железнодорожный путь,
соединяющий два города с центральной станцией, которая контролирует движе-
ние поездов. Положение каждого поезда может быть определено как расстояние
от станции в одном или другом направлении (чтобы различать направления, мы
обозначим одно знаком плюс, а другое — знаком минус). Следовательно, для опре-
деления положения поезда будет достаточно одной координаты (jq). Пространство
всевозможных положений поезда может быть отождествлено с одномерным про-
странством координат, задаваемых всевозможными значениями xf
Аналогичным образом с помощью одного числа можно задать рост каждого чле-
на семьи. Эти значения в некоторых домах можно увидеть на косяке двери, который
таким образом становится графическим представлением одномерного пространства
всевозможных значений роста.
28
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
Двумя числами (х — долгота, х2 — широта) мы можем описать положение лю-
бого места на земной поверхности, которая является двумерным пространством. Бо-
лее абстрактным примером двумерного пространства будет «пространство», обра-
зованное рамками для фотографий, заданными двумя размерами — длиной и ши-
риной. В этом пространстве точкой с координатами (29, 35) является рамка, длина
которой 29 см, а ширина — 35 см.
Аналогично, если мы измерим рост и вес членов некой семьи, эти измерения так-
же будут точками в двумерном пространстве, заданными парой измеренных значе-
ний. Однако на дверном косяке нельзя будет изобразить эти точки, нам потребуется
для этого вся стена. Вот почему ни одна семья не отмечает эти данные таким обра-
зом! Стена была бы представлением координатной плоскости. Мы бы отмечали рост
по вертикали, а вес — по горизонтали. Тогда пара чисел для каждого члена семьи
изображалась бы точкой на стене.
(200 см)
150 см
1 м
(100 см)
50 см
(39 кг, 1,43 м)
старший брат
(32 КГ, 1,35 м)
сестра
25 кг
(62 кг, 1,72 м)
мать
50 кг
(75 кг, 1,80 м)
отец
100 кг
Стена кухни представляет собой координатную плоскость, дверной косяк является осью
роста, а плинтус — осью веса. Четыре точки соответствуют четырем парам чисел —
росту и весу каждого члена семьи.
29
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
МУХА ДЕКАРТА
Французский математик Рене Декарт (1596-1650) ввел понятие координатной плоскости,
а также аналитической геометрии в своей работе «Геометрия», опубликованной в качестве
приложения к книге «Рассуждение о методе». По одной из легенд, идея декартогой плоскости
пришла к нему в голову, когда он думал о движении мухи по потолку спальни. Декарт понял,
что положение мухи может быть задано расстояниями от двух стен. Таким образом, Декарт
добавил координаты - алгеораический инструмент - к плоскости Евклида, которая, в свою
очередь, находится в некотором геометрическом пространстве. Хотя в наше время координаты
могут показаться простым понятием, в то время это было очень трудно воспринять даже Исааку
Ньютону (1643-1727), который испытывал сложности при чтении работ Декарта.
Координатная плоскость с точками А - (4, 2), В = (-5, 3), С = (-2, -4) иВ = (5, -3).
Трехмерное координатное пространство задается тройками чисел (хг х2, х3). Как
уже говорилось, положение вертолета определяется тремя числами — широтой,
долготой и высотой. Аналогично более абстрактным примером будет пространство,
содержащее картонные коробки, определенные их длиной, шириной и высотой.
30
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
/ X
Коробка, изображенная в трехмерном координатном пространстве.
Координаты точки (а, Ь, с) определяют размеры коробки длиной а, шириной b и высотой с.
В общем случае координаты точки в п-мерном пространстве задаются кортежем
(набором) из п чисел (хр х ), где п — размерность пространства. Таким образом,
каждая точка пространства является кортежем (х , х ), а п-мерное координатное
пространство состоит из всевозможных кортежей. В математических символах это
записывается так:
R" ={(я<, ..., х):хр ..., х ей}.
Во многих отраслях науки и техники различные данные представляют собой на-
боры числовых значений, поэтому, применяя понятие координатного пространства
к этим кортежам чисел, мы можем использовать геометрические инструменты для
организации, локализации и обработки информации. Таким образом мы получаем
возможность делать полезные заключения. Можно привести разнообразные приме-
ры, такие как результаты медицинских анализов крови (количество в крови натрия,
калия, глюкозы, холестерина и других соединений). Эти результаты представляют
собой кортеж из п чисел, где п обозначает количество проведенных клинических
испытаний. Другими примерами могут выступать списки групп студентов, результа-
ты спортивных соревнований и так далее.
31
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
ОБЫЧНОЕ РАССТОЯНИЕ
Понятие координатного пространства предполагает существование фиксированного расстояния
между двумя точками в этом пространстве, так называемого обычного расстояния. Например,
для двух точек р - (xv х2, х3) и q - (ур у2, у3) в трехмерном координатном пространстве R3
обычное расстояние задается выражением
р. q) = (у2-х2)2+ (у3-хзЛ
что делает наш мир трехмерным евклидовым пространством. Именно это расстояние мы ис-
пользуем в нашей повседневной жизни. Конечно, это понятие расстояния легко обобщается
на n-мерное координатное пространство.
Y
10 -
У2- ^{ХГУ^
.. РАССТОЯНИЕ (£)> -
5” А ~ У2~У'
У, -
; в = х2-х1
----1—।—1—1—।—(—1—+ ч—I—I -I—।—I -I—।-* X
о - 5 10*2 15
С2=А2+В~
Расстояние (С) между двумя точками (х . у±) и (х2, у2) на плоскости определяется
по теореме Пифагора, так как С является гипотенузой прямоугольного треугольника
со сторонами А = у2 - у±и В = х2 - хг
Существование пространств более высокой размерности
Несмотря на кажущуюся простоту этих идей, потребовалось много времени, чтобы
привыкнуть к ним и начать применять их на практике. Математики, другие ученые
и философы вели жаркие споры о смысле и реальности пространств более высокой
размерности. Например, в «Началах» Евклида определяется, что точка не имеет
32
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
размерности, прямая линия имеет одну размерность (длину), плоскость — два из-
мерения (длину и ширину), а тело в пространстве — три измерения (длину, ширину
и высоту). Но Аристотель в своей работе «О небе» утверждал, что четырехмерного
пространства не существует: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия,
в двух — плоскость, в трех — тело, и кроме них нет никакой другой величины, так
как три измерения суть все измерения, и величина, которая делима в трех измере-
ниях, делима во всех измерениях».
Клавдий Птолемей (ок. 100—170 н.э.) в своей работе «О расстоянии» впервые
доказал, что четвертого измерения не существует. К сожалению, эта книга не сохра-
нилась до наших дней, мы знаем о ней благодаря греческому математику и философу
Симпликию Киликийскому (490—560). Фактически Птолемей говорил, что если
рассмотреть три перпендикулярные прямые, то невозможно провести четвертую
прямую, перпендикулярную к трем другим. "Таким образом, четвертого измерения
не существует. Однако Птолемей лишь доказывает, что невозможно воспроизвести
четыре измерения в нашем трехмерном пространстве.
Позже, при попытке дать геометрическую интерпретацию алгебраических урав-
нений, возникла идея, что могут существовать пространства более высоких раз-
мерностей, но некоторые математики отзывались об этой возможности как о «не-
естественной». Английский математик Джон Валлис (1616—1703) в своей работе
«Алгебра» назвал четвертое измерение «чудовищем, возможным в природе не бо-
лее, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют
пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может
существовать наряду с этими тремя».
Были и те, кто пытался принять существование четвертого измерения на духов-
ном уровне. Например, английский философ Генри Мор (1614—1687) утверждал,
что души имеют четыре измерения. Эта идея, как мы увидим в пятой главе, стала
очень популярной. В этой связи немецкий философ Иммануил Кант (1724—1804)
писал: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представ-
ляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум... Если
возможно, чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то весьма ве-
роятно, что Бог где-то их действительно разместил. Поэтому подобные простран-
ства вовсе не принадлежали бы к нашему миру, они должны были бы составлять
особые миры».
В одной из своих работ Кант утверждал, что левая рука является зеркальным от-
ражением правой и что мы не можем идеально совместить руку с ее отражением. Од-
нако Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) впервые заметил, что при вращении
33
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
правой руки в гипотетическом четырехмерном пространстве она может стать своим
зеркальным отражением — левой рукой, вернувшись в трехмерное пространство.
Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими раз-
мерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы
понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геоме-
трии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых
обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом
для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.
Физические и математические пространства
В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического
и математического пространства, но не углублялись в детали.
Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием
действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли
четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто
его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырех-
мерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным про-
странством имеется в виду наблюдаемый физический мир.
"Таким образом, когда речь идет о четвертом измерении, физики имеют в виду
четырехмерное пространство-время. Однако для математиков этот вопрос означает:
«Существует ли концепция четырехмерного пространства?»
В конечном итоге это различие связано с самой сущностью математики и ее
подходом. Математики не только изучают физический мир, который нас окружа-
ет, но и способны абстрагироваться от него и перенестись в мир идей, концепций
и математических структур, в котором физический мир является лишь небольшой
его частью или совсем отсутствует. Математики работают в этом мире идей, полу-
чая абстрактные результаты, общие понятия, создавая новые формы и инструмен-
ты. Несмотря на огромное расстояние между реальностью и математикой, эта нау-
ка успешно применяется в реальном мире. Венгерский математик и физик Юджин
Вигнер (1902—1995), лауреат Нобелевской премии по физике, говорил о «необъ-
яснимой эффективности прикладной математики в естественных науках». Матема-
тики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман в своей знаменитой книге «Математика
и воображение» (1989) использовали другую метафору: «Математик — это пор-
тной, служащий благородному сословию наук. Он шьет всевозможные костюмы для
всех, кто только пожелает их носить».
34
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
В этом смысле математики естественным образом работают с многомерными
пространствами, не ограничивая себя физической реальностью. Для них матема-
тические понятия существуют, если только они не являются логически противоре-
чивыми. Вот почему, когда математики говорят о четырехмерном пространстве, им
не нужно обязательно думать о пространстве-времени или о четвертом пространст-
венном измерении.
РАЗМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ
Наши чувства говорят нам, что мы живем в трехмерном пространстве, а если мы добавим время,
то можно считать, что наша Вселенная является четырехмерной. В настоящее время физики
работают над теорией струн, которая предполагает, что наша Вселенная может существовать
в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но размерности эти сущест-
вуют в субатомных масштабах, поэтому они - вне нашей способности воспринимать их. Многие
из нас не в состоянии даже представить их! Интересно, что Чарльз Хинтон уже в конце XIX в.
говорил о такой возможности, излагая теорию четвертого измерения.
Теория струн до сих пор не доказана экспериментально, хотя уже произвела глубокую научную
и философскую революцию. Ее противники утверждают, что ее невозможно полностью проверить
и, следовательно, в действительности она вообще не является научной теорией. Это один из во-
просов, на который может пролить свет Большой адронный коллайдер, построенный в ЦЕРНе.
Какая польза от многомерных пространств?
В области математической физики важность работы с многомерными пространства-
ми уже давно стала очевидной. Французский математик Жозеф Луи Лагранж
(1736-1813) в своей книге «Аналитическая механика» рассматривал механику
в терминах многих координат (степеней свободы), включая время как отдельную
координату. Впоследствии ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамиль-
тон (1805—1865) переписал уравнения механики для многомерных пространств.
Давайте рассмотрим следующий пример. Нам нужны четыре координаты для
описания положения колеса, которое без скольжения движется вперед по поверхно-
сти: две координаты для описания точки касания колеса с поверхностью, одна —
для угла поворота, и еще одна — для угла вращения вокруг продольной оси. Это
делает пространство положений колеса четырехмерным. Если мы добавим движе-
35
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
ние, нам придется ввести еще четыре координаты для скорости. "Таким образом,
пространство положений колеса, движущегося по поверхности, имеет восемь изме-
рений.
Эта диаграмма показывает, что пространство положений колеса, которое катится без
скольжения по плоской поверхности, имеет четыре измерения. Координаты точек — х, у, а, 0.
Первые две, хи у, описывают точку касания колеса с плоскостью. Угол а является углом
вращения вокруг продольной оси, а 0 — углом поворота.
Большинство областей науки (физика, астрономия, экономика, биология, ме-
дицина, машиностроение и многие другие) используют многомерные пространства
Значение такого подхода заключается в том, что он позволяет нам оперировать гео-
метрическими и математическими инструментами для получения полезной инфор-
мации по изучаемому объекту или для выявления его интересных применений. Рас-
смотрим два ярких примера, которые показывают полезность этих методов в нашей
повседневной жизни.
36
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ9
Шифрование сообщений
Мобильные телефоны, интернет, цифровые телевизоры, музыкальные компакт-ди-
ски, фильмы на DVD, цифровая идентификация — все это зависит от шифрования
данных и их последующей расшифровки. В этом процессе обнаружение и исправле-
ние ошибок является важным элементом.
В наш цифровой век шифрование сообщений, будь то изображение, музыка или
текст, требует перевода информации в последовательности нулей и единиц. Это на-
зывается двоичным шифрованием (каждый 0 или 1 называется бит — сокращение
от английского выражения «двоичная цифра»). Такие последовательности делятся
на «слова» фиксированной длины, которую мы обозначим k. Строки из 4 бит (со-
держащие 4 цифры) называют шестнадцатеричными цифрами. Всего существует
24 = 16 таких цифр, а строки из 8 бит называются байтами (их 28 = 256 штук).
Кодировка ASCII содержит 256 возможных кодов для выражения различных сим-
волов, другими словами, с помощью этих кодов можно закодировать 256 печатных
символов. Бит каждого «слова» можно рассматривать как координату, хотя она при-
нимает только значения 0 и 1. Каждое «слово» из k бит представляет собой точку
в координатном пространстве размерности k, другими словами, количество размер-
ностей равно длине слов. Например, шестнадцатеричное слово ООН отождествля-
ется с точкой (0, 0, 1, 1) четырехмерного координатного пространства. В этом про-
странстве можно задать расстояние — способ измерения, насколько далеко друг
от друга находятся точки (двоичные «слова») этого геометрического пространства.
Например, так называемое расстояние Хэмминга между двумя словами определя-
ется количеством цифр, которыми эти слова различаются (так, слова ООН и 1011 на-
ходятся на расстоянии 1). В этом координатном пространстве мы можем использо-
вать все математические инструменты арифметики, алгебры, анализа и геометрии.
Однако все не так просто, учитывая, что при передаче данных — со спутника
или по электронной почте — или при чтении зашифрованных данных (например,
на музыкальных компакт-дисках) могут возникнуть ошибки. В этой ситуации у нас
имеется две проблемы: возможно, мы не знаем, что полученная информация являет-
ся ошибочной, а также мы не знаем, какие биты неправильны. Поэтому приходится
использовать дополнительные контрольные коды, увеличивая длину слов и, следо-
вательно, размерность координатного пространства.
Пример кода, который помогает обнаружить ошибки, — это испанский налоговый
идентификационный номер, содержащий дополнительную букву, которая генерируется
с помощью математической формулы. Таким образом, если хотя бы одна цифра номера
будет неверной, то буква будет отличаться от нужной, что и поможет выявить ошибку.
37
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
Самокорректирующийся код американского инженера Ричарда Уэсли Хэмминга
устроен так: к каждому шестнадцатеричному слову с помощью математического ал-
горитма добавляются еще три бита (например, слово ООН превратится в 0011101).
К тому же, этот код способен исправить ошибку в одном из битов слова.
Код Хэмминга очень прост, но существуют и другие, гораздо более сложные
коды обнаружения и исправления ошибок. Например, код Рида — Соломона, ко-
торый используется в компакт-дисках и в телеметрии с гражданских спутников, где
применяются 65- и 265-битовые слова соответственно, то есть каждое слово пред-
ставляет собой точку в координатном пространстве с 65 и 265 измерениями. Таким
образом, использование математического аппарата в координатном пространстве
оказывается очень полезным, особенно при создании кодов для обнаружения и ис-
правления ошибок.
Поисковая система Google
В настоящее время поисковая система Google стала одним из основных инструмен-
тов поиска в интернете, и у нее огромное количество пользователей. Одной из при-
чин такого успеха является ее эффективность, так как для каждого поискового за-
проса система быстро выдает упорядоченный список результатов, и первые из них,
как правило, содержат то, что мы ищем. Способ упорядочивания результатов по-
иска, то есть присвоения числового рейтинга каждой странице, использует сложную
математику — смесь линейной алгебры, теории графов и теории вероятностей.
При разработке поисковых систем, подобных системе Google, приходится ре-
шать и математические, и технические задачи. Другими словами, главный вопрос
заключается в том, как упорядочить результаты поиска. Можно предположить, что
рейтинг определенной веб-страницы зависит от количества других страниц, ссыла-
ющихся на нее. Однако существуют страницы, на которые мало ссылок, но которые
очень важны для данного поиска. Поэтому такая модель невыгодна для пользовате-
лей. К тому же она может быть легко использована веб-сайтами для искусственного
повышения рейтинга.
Создатели Google Сергей Брин и Ларри Пейдж разработали алгоритм для оп-
ределения рейтинга страницы не по количеству ссылок на нее, а пропорционально
важности этой страницы для данного поиска. Этот алгоритм требует решения си-
стемы алгебраических уравнений. Фактически задача сводится к линейной алгебре,
а именно к вычислению собственных векторов и собственных значений некой матри-
цы. Если обозначить важность веб-страниц в интернете набором чисел (хг .... х ),
38
ЧТО ТАКОЕ РАЗМЕРНОСТЬ?
где л — число страниц, существующих в интернете, ах. — число, означающее важ-
ность конкретной веб-страницы i, то задача сводится к поиску в n-мерном простран-
стве элемента (xr .... х ), который является решением некой системы уравнений.
В 2006 г. было подсчитано, что в интернете существует около 600 миллиардов веб-
страниц. Это число и соответствует числу измерений рассматриваемого пространст-
ва. Такое пространство, безусловно, является многомерным!
АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ИЗМЕНИЛ ИНТЕРНЕТ
В 1998 г. два молодых студента-информатика Стэнфордского университета в Калифорнии Ларри
Пейдж и Сергей Брин заканчивали исследовательский проект с несколько загадочным названием
«Анатомия системы крупномасштабного гипертекстного интернет-поиска». Он содержал первую
версию простого и элегантного алгоритма PageRank, используемого для упорядочивания списка
страниц в зависимости от их значимости. PageRank стал основой поисковой системы Google,
которая через несколько лет обошла Yahoo, Altavista и многие другие поисковые системы. Поиск
в Google даже стал синонимом поиска в интернете (слово «гуглить» еще не вошло в словари,
но активно употребляется в разговорной речи).
Алгоритм PageRank действительно элегантен и прост и может быть записан следующим
образом:
Д w
W=(1-d)+d£
ч п,
где W - рейтинг страницы j; W - рейтинг страницы /, которая содержит ссылку на страницу j;
число d - коэффициент затухания со значением между 0 и 1, необходимый для сходимости
рядов; л - число ссылок на странице IV( на другие страницы; N - общее количество страниц,
которые содержат ссылку на страницу j.
Рейтинг любой страницы является суммой рейтингов всех страниц, которые ссылаются на нее,
с весовым коэффициентом, зависящим от общего числа ссылок на каждой.
39
Глава 3
Революция в геометрии
XIX века
Геометрические аксиомы не являются экспериментальными
данными. Лишь наблюдение физических явлений определяет
выбор гипотез среди всех возможных. Тот или иной выбор
может быть только более удобным, чем другие возможные.
Поэтому вопрос, какая геометрия истинна — Лобачевского или
евклидова, — не имеет смысла. Это все равно что спрашивать,
какие координаты вернее — декартовы или полярные.
А. Пуанкаре. О фундаментальных гипотезах геометрии (1887)
Нечасто математические проблемы представляют общий интерес. Однако вопросы
четвертого измерения после двух геометрических революций XIX в. глубоко про-
никли в общество. Они заинтересовали ученых и философов, теологов и медиумов,
писателей и художников, музыкантов и поэтов — общественность в целом.
Неевклидовы геометрии
Примерно в 300 г. до н. э. Евклид Александрийский опубликовал свою главную
работу «Начала», в которой собрал все геометрические, арифметические и алгебра-
ические сведения, известные в то время. Его труд начинался с изложения элемен-
тарных понятий и упорядочения имеющихся знаний; затем Евклид использовал де-
дуктивный метод и систему доказательств, в которой, среди прочего, важную роль
играли более неформальные подходы, такие как интуиция, аналогии и симметрия.
Наряду с Библией «Начала» являются одной из наиболее влиятельных книг всех
времен. Они неоднократно копировались, переводились на многие языки, а после
изобретения книгопечатания постоянно переиздавались. На протяжении более двух
тысячелетий этот труд использовался в качестве учебника и был стандартом мате-
матического мышления.
41
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
Одним из важнейших достижений Евклида был выбор группы основных посту-
латов, из которых с помощью аксиом и дедуктивного метода могут быть выведены
все другие теоремы. Таким образом, для геометрии на плоскости сначала давались
некоторые интуитивно понятные определения: точка, прямая линия, угол и так да-
лее. Затем формулировались аксиомы — очевидные истины, не требующие доказа-
тельства. Например, «равные одному и тому же равны и между собой» или «целое
больше части». И, наконец, пять постулатов Евклида, которые лежат в основе его
геометрии, хотя он их не доказывает:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторон-
ние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две
прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Пятый постулат в современных терминах формулируется следующим образом:
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую,
ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
Удивительно, как мало нам известно о жизни автора «Начал». Его называют Евклид Алексан-
дрийский, потому что он заведовал музеем в Александрии. Это учреждение наряду с велико-
лепной библиотекой являлось хранилищем всех знаний того времени.
Евклид был скромен и доброжелателен, хотя часто саркастичен. «Нет царского пути к гео-
метрии», - так ответил он Птолемею, правителю города, когда тот спросил его, есть ли более
короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала». А когда один ученик спросил, какова вы-
года от геометрии, Евклид приказал дать ему три монеты, «раз он хочет извлекать прибыль
из учебы». Считается, что Евклид также написал труды по широкому кругу других вопросов, таких
как оптика, астрономия, геометрия, музыка и дидактика, хотя историки не уверены в том, один
и тот же ли Евклид является автором всех этих текстов, приписываемых ему.
42
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
не пересекающую данную». Очевидно, что эта аксиома не зависит от предыдущих.
К тому же ее формулировка длиннее и содержит в себе условие. Многие математи-
ки думали, что пятый постулат можно вывести из предыдущих аксиом, и попыта-
лись доказать это. Некоторые из них до конца жизни были уверены, что им удалось
сделать это, а другие сомневались даже в том, что его можно считать постулатом.
На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над
проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.
Ключевым моментом в решении этого вопроса стала работа итальянского мате-
матика Джироламо Саккери (1667—1733). Вместо того чтобы вывести пятый по-
стулат из предыдущих, он использовал метод от противного. Доказательство осно-
вывалось на четырехугольнике с двумя прямыми углами А и D и равными сторонами
АВ и CD. Для других равных углов В и С существует три возможности:
1) В = С = 90° (гипотеза прямых углов, или евклидова гипотеза);
2) В = С > 90° (гипотеза тупых углов);
3) В = С < 90° (гипотеза острых углов).
Четырехугольник Саккери с двумя прямыми углами.
Гипотеза тупых углов быстро отбрасывается, о гипотезе острых углов Саккери
сказал следующее: «Гипотеза острых углов абсолютно ложна, потому что противна
самой природе прямой линии». И Саккери, и немецкий математик Иоганн Генрих
Ламберт (1728—1777) получили интересные геометрические результаты, вытекаю-
щие именно из гипотезы острых углов.
Лишь в XIX в. Гаусс, Лобачевский и Бойяи окончательно решили эту пробле-
му, хотя немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс не публиковал свои от-
крытия, поскольку они противоречили философским доктринам той эпохи о природе
пространства.
43
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
Русский математик Николай Иванович Лобачевский был первым, кто обнаро-
довал новую геометрию, отличавшуюся от геометрии Евклида. Лобачевский назвал
ее «воображаемой геометрией», и теперь она известна как гиперболическая геоме-
трия. Она соответствует гипотезе острых углов Саккери, по которой через точку вне
данной прямой проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной.
Лобачевский представил свою работу в 1826 г. на конференции в Казанском уни-
верситете, где он работал, а затем опубликовал ее в журнале «Казанский вестник»
в серии статей под названием «О началах геометрии». Три важнейшие его работы
содержат описание новой геометрии: «О началах геометрии» (на русском языке),
«Геометрические исследования по теории параллельных линий» (на немецком язы-
ке) и его последняя книга «Пангеометрия» (на русском и французском языках).
Математик-любитель и офицер австро-венгерской армии Янош Бойяи (1802—
1860) подошел к задаче с несколько иной точки зрения. Он разработал абсолютную
геометрическую теорию, используя только первые четыре постулата, и исследовал,
зависят ли полученные геометрические результаты от пятого постулата. Его статья
ИММАНУИЛ КАНТ И ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
После эпохи Возрождения образ Бога начал терять свое значение в области математики и на-
уки в целом. Позже, в XVIII в., роль Бога как архитектора мира еще более поблекла. Говорят,
что Наполеон упрекал французского математика Пьера Лапласа (1749-1827) в том, что в его
главной работе «Небесная механика» тот не упоминал Творца, на что Лаплас ответил: «Сир,
я не нуждался в этой гипотезе».
Но тогда филос |фы задались вопросом, а верны ли сами математические законы природы?
Шотландский философ Дэвид Юм (1711-1776) считал, что наше знание о мире является субъ-
ективным, поскольку оно получено через наши органы чувств. Другими словами, никто не может
гарантировать существование объективного физического мира, и, следивательно, не имеет
смысла говорить о его научных законах.
Со своей стороны, Кант в работе «Критика чистого разума» (1781) утверждал, что простран-
ство и время являются формами восприятия и интуиции, на основании которых ум рассматри-
вает реальность. Так как понятие пространства находится в нашем сознании, оно принимает
форму определенных истин, которые Кант называл «априорными синтетическими суждениями»,
являющимися частью наших врожденных умственных способностей. Геометрия просто следует
из них. Евклидова геометрия и трехмерное пространство являются частью этих истин априори.
44
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
была опубликована в 1832 г. в виде приложения к работе его отца, близкого дру-
га Гаусса, математика Фаркаша Бойяи (1775—1856), который также работал над
проблемой о параллелях. Он так написал об этом своему сыну: «Ради бога, молю
тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений,
потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего
счастья твоей жизни...»
Евклидова геометрия Гиперболическая геометрия Эллиптическая геометрия
А + В + С = 180°. А + В + С < 180°. А + В + С > 180°.
Геометрия Количество параллельных линий через точку Рвне прямой Сумма углов треугольника Длина окружности диаметра 1 Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами а и b
Евклидова, или параболическая Одна 180° = л = а2 + Ь2
Гиперболическая Бесконечное < 180° > л >а2 + Ь2
Эллиптическая Ни одной > 180° < л < а2 + Ь2
И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных
данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии:
евклидовой, гиперболической или эллиптической.
Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского
были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве
приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только по-
сле лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в ос-
новании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих
45
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792-1856)
Советская марка с портретом
Лобачевского.
Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным,
очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым
работником, который посвятил свою жизнь работе в Ка-
занском университете. После окончания физико-матема-
тического факультета родного университета он начал
в нем преподавать и вскоре получил должность декана
факультета, а затем стал ректором Казанского универси-
тета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно
с занятиями математикой он добился исключительных
результатов на этой должности. Он улучшал здания универ-
ситета и строил новые, организовывал работу библиотеки
(иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и но-
вую клинику и привлек на работу лучших преподавателей
и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересо-
вался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероят-
ностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его рабо-
той была «Алгебра, или Вычисление конечных».
главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность
существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой
эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной
прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы
бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например,
сфера является конечной, но неограниченной.
Рождение многомерной геометрии
В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых по-
верхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия,
в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения
кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после откры-
тия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использо-
46
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
вать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж
начали применять его также для поверхностей.
Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего
исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался по-
верхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере
работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим ис-
следованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхно-
сти в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым
начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя
координатами х1 и х2, называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхно-
сти считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия
изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифферен-
циальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых
и поверхностей.
Поверхности в пространстве — это
геометрические объекты, которые могут быть
локально описаны двумя координатами U и V,
называемыми локальными координатами.
Локальная карта (Т) является телескопом,
через который математик наблюдает
(получается двумерное изображение)
конкретную область изучаемого объекта.
пространство R3
л
плоскость
T(U,V) = (X(U,V),Y(U, V),Z(U, V))
В упомянутой работе Гаусс ввел понятие ориентации поверхности и связанного
с ориентацией поля нормальных векторов, содержащего векторы, перпендикуляр-
ные к поверхности в каждой ее точке, что стало основным инструментом для изме-
рения кривизны поверхности. Эти инструменты позволили определить два вида
47
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
кривизны поверхности, известные сегодня как кривизна Гаусса К и средняя кривиз-
на Н. Гаусс показал, что, вопреки определению, кривизна К зависит только от вну-
тренней геометрии поверхности, доказав основную теорему теории поверхностей,
так называемую Theorema Egregium. Он также определил другие основные элемен-
ты внутренней геометрии, в частности, геодезические линии как кратчайшее рас-
стояние между двумя точками на поверхности. Им же были получены интересные
результаты, следующие из внутренней геометрии, такие как отношение между угла-
Формула показывает, что разность между 180° (или П радиан) и суммой углов
геодезического треугольника зависит от кривизны Гаусса.
Если взять полоску бумаги и соединить ее два конца, то получится лента с двумя поверхностями —
внешней и внутренней, то есть двухсторонняя. Но если мы развернем один конец бумаги при
склеивании, то получится лист Мёбиуса, который является односторонней поверхностью. Чтобы
проверить это, достаточно провести карандашом линию по ленте и убедиться, что линия вернется
в начало, пройдя по всей ленте. Эта лента имеет только одну сторону.
48
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777-1855)
Гаусс, несомненно один из самых выдающихся математи-
ков всех времен. Еще ребенком он показал исключитель-
ный талант к математике, поэтому, несмотря на скромное
происхождение юного гения, его обучение было профинан-
сировано герцогом Вильгельмом Фердинандом. Так, в
1795 г. Гаусс начал изучать математику в университете
Гёттингена. В возрасте 19 лет он решил одну из классиче-
ских задач геометрии, показав, что правильный 17-сторон-
ний многоугольник можно построить с помощью линейки и
циркуля. Это была первая запись в его знаменитом научном
дневнике, в который он заносил короткие заметки о своих
самых важных открытиях. В 21 год он написал свой важней-
ший труд «Арифметические исследования». Гаусс стал из-
вестен всей Европе, когда с помощью вычислений опреде-
Карикатура на Гаусса
авторства Энрике Моренте.
лил орбиту астероида Цереры, используя свой метод наименьших квадратов. В 1807 г. он
возглавил кафедру астрономии в Гёттингенском университете и был назначен директором об-
серватории. Он сделал открытия во многих областях математики, в том числе в алгебре, теории
чисел, дифференциальной геометрии, неевклидовой геометрии, математическом анализе, гео-
дезии, астрономии, теории ошибок, а также в области физики, магнетизма, оптики и электриче-
ства. После его смерти король Ганновера ГеоргУ назвал его принцем математики и распорядил-
ся выпустить памятную медаль в честь Гаусса.
Внутренние и внешние геометрии
В чем различие между внутренней и внешней геометрией поверхности? Внутренняя
геометрия — это геометрия самой поверхности, которую могли бы описать суще-
ства, живущие на этой поверхности. Гаусс в письмах к своим коллегам упоминал ги-
потетическую моль, живущую в двумерном пространстве. Theorema Egregium, ос-
новная теорема теории поверхностей, утверждает, что гауссова кривизна определя-
ется геометрией, которая присуща самой поверхности. Эта величина характеризует
внутреннюю кривизну поверхности. Внешняя же геометрия отражает связь между
поверхностью и внешним трехмерным пространством и определяет среднюю кри-
визну линий на поверхности.
49
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
Локально внутренние геометрии плоскости и цилиндра одинаковы, так как обе
имеют гауссову кривизну, равную нулю. Если взять лист бумаги и соединить два
противоположных конца, то получится цилиндр. Этот небольшой эксперимент из-
меняет геометрию (метрику) поверхности. Обе поверхности внутренне плоские,
и существа, живущие на них, не смогли бы отличить одну от другой, если бы они
не могли посмотреть на них снаружи. Вместе с этим в трехмерном пространстве пло-
скость не искривлена (ее средняя кривизна равна нулю), а цилиндр, средняя кривиз-
на которого является положительным постоянным числом, искривлен.
Плоскость (К = 0, Н = 0): цилиндр радиуса г(К = О,Н = 1/г > 0); сфера радиуса г(К = Н = 1/г2 > О).
Заметим, что внутренняя геометрия сферы, гауссова кривизна которой постоянна
и положительна, отличается от внутренней геометрии плоскости. Вот почему жители
сферы могут понять, что они живут на искривленной поверхности, не выходя за ее
пределы. Это можно сделать, проверив, что сумма углов геодезического треугольни-
ка больше 180°. Гаусс пытался доказать это для поверхности Земли, но погрешность
его измерений была слишком велика. Важным следствием этого является невозмож-
ность построения правильных карт поверхности Земли, сохраняющих геометрию
(расстояния, кратчайшие пути, площади и направления). Более того, для боль-
шинства поверхностей значение гауссовой кривизны варьируется от точки к точке.
Примером может служить поверхность тора (или бублика), которая имеет точки
с положительной, отрицательной и ну-
левой гауссовой кривизной (внешние,
внутренние и граничные точки поверх-
ности тора соответственно).
Точки поверхности тора выделены
разным цветом в зависимости
от кривизны — положительной,
нулевой или отрицательной.
50
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Чтобы построить модель неевклидовой геометрии, надо представить пространство в виде по-
верхности, а геодезические линии на ней (кратчайшие расстояния между двумя точками) на-
звать прямыми линиями. Дифференциальная геометрия помогает определить, на каких поверх-
ностях справедливы постулаты Евклида. Такие поверхности должны быть геодезически полными
(геодезические линии неограниченны), чтобы выполнялись постулаты 1 и 2, и иметь постоянную
гауссову кривизну К для выполнения постулатов 3 и 4. Таким образом, если К = 0, то справед-
лива евклидова геометрия на плоскости. Если К > 0, то мы имеем модель эллиптической гео-
метрии (например, на сфере) с гипотезой тупых углов. В этом случае первый постулат не вы-
полняется, так как через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное
количество геодезических линий. Диаметрально противоположные точки сферы можно ото-
ждествить, но тогда получится абстрактная поверхность вне трехмерного евклидова простран-
ства. Если К < 0, то мы имеем модель гиперболической геометрии (псевдосферу) с гипотезой
острых углов. Эта модель тоже не является геодезически полной, и, следовательно, ее тоже
приходится обобщать до абстрактной поверхности вне трехмерного евклидова пространства.
Вклад Римана
В любом случае революция, начатая Гауссом, проходила в трехмерном евклидовом
пространстве. Многомерные случаи были еще впереди, а пока обычная аналитиче-
ская геометрия занималась изучением координатных пространств первых трех из-
мерений (на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве). Как мы уже гово-
рили, признать существование высших измерений было нелегкой задачей для уче-
ных и философов. Однако в середине XIX в. многомерные пространства появились
как естественное продолжение аналитической геометрии. Одной из двух важных
работ, связанных с этим, была статья «Главы из аналитической геометрии п измере-
ний» английского математика Артура Кэли (1821—1895). Второй базисной работой
51
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
стали «Лекции о линейном расширении» немецкого математика и философа Германа
Грассмана (1809—1877).
Потом появился доклад Римана, представленный в Гёттингенском университете,
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Он содержал великие геометри-
ческие идеи:
1. Понятие п-мерного геометрического пространства (называемого диффе-
ренцируемым многообразием), обобщающее понятие поверхности, данное
Гауссом.
2. Понятие метрического тензора, обобщающее понятие расстояния, и изуче-
ние метрических отношений на дифференцируемых многообразиях (рож-
дение геометрии Римана).
3. Обобщение понятия кривизны и других элементов внутренней геометрии
поверхности на римановы и-мерные многообразия.
Понятие n-мерного дифференцируемого многообразия включает в себя тот факт,
что локально его можно определить с помощью п локальных координат хр ..., хп,
а также законов их преобразований. Геометрическое пространство (дифференци-
руемое многообразие) необязательно связано с реальным пространством, но может
быть любым объектом, в котором выполняются общие условия, заданные опреде-
лением.
Более того, Риман отказался от обычного математического и философского
подхода, согласно которому понятие пространства подразумевает расстояние, за-
данное как обычное евклидово расстояние. Этим он разделил понятия пространства
(n-мерного дифференцируемого многообразия) и расстояния, называемого метри-
ческим тензором Римана. Таким образом, в одном и том же пространстве могут
существовать три расстояния, с которыми, конечно, связаны различные значения
кривизны. Поэтому геометрия Римана является неевклидовой геометрией в гораздо
более общем смысле, чем разработанная Лобачевским и Бойяи, так как она под-
разумевает большее количество измерений и ее кривизна может принимать разные
значения в разных точках.
Риман также глубоко интересовался проблемами физики и попытался объеди-
нить физические силы природы — гравитационные, электрические и магнитные.
По его мнению, силы притяжения являются следствием геометрии пространства
и его кривизны. Он надеялся, что введенная им новая геометрия позволит обобщить
силы природы.
52
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
БЕРНХАРД РИМАН (1826-1866)
Карикатура на Римана авторства
Херардо Басабе.
Риман за свою короткую жизнь опублик лвал всего
несколько работ, зато они были исключительно
высокого достоинства, так как в них он решил не-
которые из наиболее сложных математических
проблем. Также он ввел новые понятия и методы
и кардинально изменил представление о про-
странстве. Он был застенчивым человеком и из-
бегал публичных выступлений, а из-за слабого
здоровья страдал частыми нервными срывами.
Детство его было скромным, что неудивительно:
он был сыном пастуха, но это не помешало про-
явлению фантастических способностей к вычисле-
ниям и особого математического таланта. Еще в
школе юный Бернхард прочитал книгу Лежандра
по теории чисел, поглощая 900 страниц в неделю.
Начав учиться на факультете теологии и филосо-
фии, Риман вскоре увлекся математикой, поэтому
отправился изучать ее в Берлинский университет. Там он начал развивать свои идеи по теории
функций комплексного переменного, написав по этой теме докторскую диссертацию под руко-
водством Гаусса в Гёттингенском университете. В 1859 г. Риман опубликовал свою единствен-
ную работу по простым числам. Этой областью он увлекался в течение многих лет, сформулиро-
вав одну из самых известных в математике гипотез.
Его идеи являются фундаментальными для физики XX в. В частности, они за-
ложили основы теории относительности. В 1905 г. немецкий физик Альберт Эйн-
штейн (1879—1955) вместе с нидерландским физиком и математиком Хендриком
Лоренцем (1853—1928) и французским математиком Анри Пуанкаре (1854—1912)
представил специальную теорию относительности. Вскоре после этого немецкий
математик Герман Минковский (1864—1909) связал четырехмерное многообразие
Римана, пространство-время, с пространственным метрическим тензором Римана,
который содержал скорость света. Именно на основе этого пространства в 1916 г.
была разработана общая теория относительности Эйнштейна.
53
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
От научных кулуаров до кофейни
Красивые идеи, представленные в диссертации Римана, вскоре распространились
по всем образовательным и научно-исследовательским учреждениям Европы. Мно-
гомерная дифференциальная геометрия наряду с неевклидовыми геометриями нача-
ла набирать популярность в математических и научных кругах. Исследования про-
должались. В области неевклидовых геометрий строились новые модели про-
странств, а также предпринимались попытки сделать геометрии более последова-
тельными, чтобы они не содержали логических противоречий. В дифференциальной
геометрии здание, заложенное Риманом, продолжили строить такие известные ита-
льянские математики, как Эудженио Бельтрами (1835—1900), Грегорио Риччи-
Курбастро (1853—1925) и Туллио Леви-Чивита (1873—1941), а также немецкий
математик Элвин Бруно Кристоффель (1829—1900). Ученые того времени пыта-
лись применять элегантную теорию Римана, и хотя сначала это было нелегко (на-
пример, необходимо было дальнейшее развитие физики), наука XX в. показала ис-
тинное значение этой новой области геометрии.
В то же время математики и ученые начали распространять информацию о неев-
клидовых геометриях и геометрии Римана в академических кругах, проводя кон-
ференции, публикуя статьи в научных журналах и книгах, и мало-помалу эти идеи
стали доступны широкой публике.
Одним из самых активных популя-
ризаторов четвертого измерения был
немецкий математик Герман фон
Гельмгольц (1821—1894). Его статьи
публиковались в Германии, Франции,
Англии и США в 1860—1870-х гг.
Гельмгольц, как и некоторые из его со-
временников, также использовал об-
раз двумерных существ, живущих
Немецкий физик Гэрман фон
Гэльмгольц написал много работ
по неевклидовой геометрии
и о гипотетических многомерных
мирах. Его идеи стали популярны
среди широкой общественности
во всем мире.
54
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
на сфере и на других поверхностях. Эти существа имеют свою собственную геоме-
трию, отличную от евклидовой; в их геометрии, например, сумма внутренних углов
треугольника не будет равна 180°. По поводу четвертого измерения Гельмгольц пи-
сал в своей работе «Популярные лекции о науке» (1881), что нам не удастся его
вообразить, и приводил сравнение с человеком, который родился слепым и не может
представить себе цвета.
В то время как одни ученые работали над серьезными вопросами, другие реша-
ли более приземленные проблемы: как двумерные существа питаются, как устроен
их кишечно-желудочный тракт, как они передвигаются, как выглядят их глаза, как
устроено их зрение — эти и другие подобные вопросы, конечно, были более ин-
тересны широкой публике. В те времена выражение «четвертое измерение» стало
синонимом любого многомерного пространства и понятия неевклидовой и многомер-
ной геометрий часто отождествлялись.
Масштабы геометрической революции привели к тому, что эти вопросы стали
темой наиболее важных научных и философских дискуссий конца XIX — нача-
ла XX в. Важнейшими среди них были вопросы о научной истине, связях между
наукой и реальностью, о возможности существования пространств высших изме-
рений, о структуре, функции и значении математики. Понятие пространства также
подвергалось переосмыслению, и прежде всего был поставлен такой вопрос: наше
пространство евклидово или неевклидово? Другими словами, какова форма нашего
пространства?
Популяризация четвертого измерения также имела удивительные, даже магиче-
ские аспекты, как мы увидим в четвертой главе. Оно означало существование сверх-
существ, всемогущих и вездесущих, умеющих проходить через стены и обладающих
другими впечатляющими способностями. Это неизбежно привело к тому, что много-
мерные пространства стали вопросом религии и даже веры. Четырехмерное про-
странство можно рассматривать как свидетельство существования Бога или сверхъ-
естественных существ. Например, христианские мыслители предполагали, что Бог
и бессмертие могут быть связаны с нашим трехмерным миром через четвертое из-
мерение.
Особенно широко вопросы четвертого измерения освещались в 1877 г. во время
скандального судебного процесса, состоявшегося в Лондоне, о котором писала как
британская, так и международная пресса. Генри Слейд, знаменитый американский
медиум, предстал перед судом за мошенничество во время проведения спиритиче-
ских сеансов с участием важных представителей лондонского общества. Скандал
разразился, когда выдающиеся ученые всего мира, в том числе будущие лауреаты
55
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
Гэнри Слейд был одним из самых
знаменитых медиумов XIX в., и когда его
спиритические сеансы были объявлены
мошенническими, некоторые представители
научного сообщества встали на его защиту.
Нобелевской премии, выступили в его за-
щиту, утверждая, что сеансы Слейда дока-
зывают, что духи — это на самом деле су-
щества из четвертого измерения. Несмотря
на приговор, вынесенный Слейду, Иоганн
Карл Фридрих Цёлльнер (1834—1882),
профессор физики и астрономии Лейп-
цигского университета, провел серию экс-
периментов, чтобы продемонстрировать
существование духов. Об этом мы подроб-
нее расскажем в пятой главе. Этот скандал
сделал многомерные пространства (правда,
совершенно антинаучный их вариант) глав-
ной темой разговоров в Великобритании
и во всем мире.
Другим популярным аспектом четвер-
того измерения стали попытки визуализа-
ции различных четырехмерных объектов.
Одной из первых научных работ по этой
проблеме была статья американского математика Вашингтона Ирвинга Стрингхема
(1847—1909) «Правильные фигуры в n-мерном пространстве» (1880). В частно-
сти, попытка визуализировать гиперкуб, четырехмерный аналог трехмерного куба,
стала синонимом визуализации четвертого измерения. Чарльз Хинтон, как и мно-
гие другие ученые (Пуанкаре например), посвятил этой задаче много времени, —
он был убежден, что четвертое измерение можно визуализировать. Хинтон был
главным представителем теории, известной как философия гиперпространства, за-
нимающейся вопросами многомерных пространств и их взаимодействий с другими
объектами.
На следующей странице приведен рисунок из названной статьи. Первые три
изображения в левой части рисунка — «фасады» фигур, которые можно назвать
гипертетраэдром, гиперкубом и гиперикосаэдром, — аналогов тетраэдра, куба
и икосаэдра в четвертом измерении. В случае гипертетраэдра в каждой его вершине
сходятся четыре тетраэдра, как и в трехмерном тетраэдре в каждой вершине сходят-
ся три треугольника. В случае гиперкуба в каждой его вершине сходятся четыре куба
таким же образом, как и в трехмерном кубе в каждой вершине сходятся три квадра-
та. Во втором ряду — проекции этих трех четырехмерных фигур на плоскость.
56
РЕВОЛЮЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ XIX ВЕКА
Четвертое измерение стало излюбленной темой некоторых писателей той эпохи.
После всеобщего разочарования в материализме и позитивизме многомерные про-
странства и неевклидовы геометрии внесли значительный вклад в развитие различ-
ных культурных феноменов.
В мире искусства это позволило кубистам отказаться от метода перспективы
эпохи Возрождения, и они начали изображать объекты с разных точек зрения одно-
временно. Аналогично музыканты, дизайнеры, архитекторы и художники начали
говорить о новом языке искусства и приближении к высшей реальности. Четвертое
измерение проникло во все социальные и культурные сферы и стало обычной темой
разговоров в кафе, расположившись где-то между привычными сплетнями и поли-
тическими спорами.
Рисунок из статьи «Правильные фигуры в п-мерном пространстве» Вашингтона Ирвинга
Стрингхема, опубликованной в American Journal of Mathematics в 1880 г.
57
Глава 4
Магия четвертого измерения
Душа моя — зеркальный узел,
Завязанный водоворотом мыслей
Разума в обители незримой,
Где ты как каторжник сидишь,
Гвоздем его пытаешься распутать,
Но узел остается неизменным,
Ведь инструменты для его развязки
В четвертом измерении лежат.
Джеймс Клерк Максвелл. Парадоксальная ода (1878)
Почему вопросы четвертого измерения привлекают внимание не только ученых,
но и всего общества? Возможно, всех нас манит неизвестное, таинственное — од-
ним словом, то, что мы не можем даже вообразить. Кроме того, для некоторых лю-
дей другие измерения могут служить способом ухода от действительности, от про-
блем социума, в котором они живут (вспомним, например, тяжелые условия жизни
во времена викторианской Англии), или просто от личных неприятностей. Но пре-
жде всего четвертое измерение представляет собой новую неизученную вселенную
со всеми вытекающими отсюда возможностями развития науки, философии, рели-
гии и искусства.
Широкую публику четвертое измерение привлекало в основном своей связью
с верой и религией, особенно тех, кто интересовался спиритуализмом. Мы расска-
жем об этом подробнее в пятой главе. Однако были и другие удивительные и, воз-
можно, даже магические аспекты четвертого измерения, которые возбуждали воо-
бражение людей. О них речь пойдет в этой главе.
Взгляд из четвертого измерения
Представьте себе, что наша трехмерная вселенная является частью четырехмерного
гиперпространства. Тогда такое гиперпространство можно разделить на две части,
которые Чарльз Хинтон называл ана и ката. Точка нулевой размерности делит пря-
59
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
мую на две полупрямые — «правую» и «левую». Прямая линия делит плоскость
на две полуплоскости — «ближнюю» и «дальнюю». Плоскость делит пространство
на два полупространства, которые мы можем назвать верхним и нижним, хотя, как
и в других случаях, это просто вопрос выбора. В общем случае п-мерное гиперпро-
странство будет делить (п + 1)-мерное гиперпространство на два полугиперпро-
странства.
левая область правая область
Точка нулевой размерности делит одномерную прямую на два отрезка, левый и правый. Прямая
линия делит двумерную плоскость на две области, ближнюю и дальнюю. Плоскость делит трехмерное
пространство на два полупространства, верхнее и нижнее. Аналогично трехмерное пространство
будет делить четырехмерное гиперпространство на две отдельные области, ана и ката.
Некоторые христиане, интересовавшиеся четвертым измерением, увидели в этой
теории способ определения местонахождения ада и рая. Рай, Бог и его ангелы нахо-
дятся с одной стороны нашей видимой вселенной, например в ана, в то время как ад,
дьявол и его демоны обитают в ката. Иными словами, ангелы и демоны разделены
нашим земным миром.
60
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ
Мы можем предположить, что наша вселенная не единственная в гиперпространстве и что су-
ществуют другие параллельные вселенные. В простейшем случае две параллельные вселенные -
физический мир и астральный. Затем христианская версия трех параллельных вселенных - рай,
ад и земной мир. И, наконец, бесчисленное количество параллельных вселенных, содержащих
всевозможные варианты нашего мира. Например, в одном из них математик пишет книгу о чет-
вертом измерении, а в другом мире тот же человек решил заняться философией и немецким
языком, тогда как в третьем мире этого человека просто не существует, потому что у его роди-
телей не было детей. Можно даже найти вселенную, в которой люди имеют крылья.
Две вселснньк
Три вселенные
Бесконечное количество
вселенных
Параллельные вселенные: две вселенные (наш мир и астральный),
три вселенные (земной мир, ад и рай), бесконечное количество вселенных.
Также могут существовать перпендикулярные вселенные, пересечением которых-так назы-
ваемым порталом - будет плоскость. Другая возможность - наша вселенная искривлена в ги-
перпространстве и даже пересекает сама себя, образуя пространственные туннели, соединяю-
щие две отдаленные точки.
Две вселенные
в четырехмерном
пространстве могут быть
перпендикулярны, образуя тем
самым портал, связывающий
их. Более того, вселенная
не обязана быть плоской, она
может быть искривлена
в гиперпространстве и даже
пересекать саму себя, образуя
туннели, через которые можно
путешествовать из одного
конца вселенной в другой
в мгновение ока.
61
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
В таком случае возникает вопрос: как существо из четвертого измерения, на-
пример ангел, находящийся в ана, может предстать перед нами, существами трех-
мерного пространства? Для ответа на этот вопрос можно использовать трехмерные
аналогии, описанные Эбботтом во «Флатландии» в эпизоде, когда Сфера появилась
перед Квадратом. На рисунке ниже показано, что Сфера, глядя из Спейсландии,
видит Квадрат одновременно и снаружи, и изнутри, как и все дома Флатландии: она
видит не только их периметр, но и всех их обитателей.
Глядя на Флатландию из Спейсландии, мы одновременно видим Квадрату порога его дома
и всю его семью внутри дома. Мы также видим сам Квадрат и его внутренности.
Как мы уже рассказывали в первой главе, когда флатландец смотрит на Квадрат
или на любого другого жителя Флатландии, он видит только часть его внешнего
периметра, а именно отрезок, и в некотором смысле глубину как результат действия
тумана. Однако когда Сфера смотрит на Квадрат, она видит полный периметр —
все его четыре стороны — а также его внутренности: желудок, кишечник, сердце
и легкие. Если положить на стол монету и посмотреть на нее, находясь на уровне
поверхности стола, мы сможем представить, как видят жреца жители Флатландии.
Однако если мы посмотрим на монету сверху, мы увидим не только ее окружность,
но и изображение на ней.
Аналогично в нашем мире, когда мы смотрим друг на друга, мы видим одну сто-
рону нашей внешней поверхности — плоское изображение с некоторой глубиной
за счет эффекта перспективы. Объемное изображение получается благодаря рас-
62
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
положению наших глаз (люди с одним глазом не видят объемных изображений).
Но как видят нас гиперсущества? В соответствии с описанной выше аналогией мож-
но сказать, что они будут видеть всю нашу поверхность одновременно (грудь, спину,
ноги, голову и другие части тела), а также все наши внутренности (сердце, легкие,
печень, вены, кости и прочее). И все это с одного взгляда. Врач из четвертого изме-
рения одним взглядом произведет медицинский осмотр и узнает, например, есть ли
у нас проблемы с сердцем, камни в почках или трещины в костях, без хирургических
операций и даже без рентгенографии или ультразвука.
Как такое возможно, что гиперсущество может увидеть нас и изнутри, и снару-
жи одновременно? Сетчатка глаза человека похожа на двумерный диск, с которым
связаны окончания зрительных нервов. Они несут в мозг информацию от наших
сферических глаз. Когда мы смотрим на Квадрат, живущий во Флатландии, каждая
его точка соединяется в трехмерном пространстве лучом света с точкой на нашей
сетчатке, в результате чего мы видим изображение квадрата, как будто Квадрат,
уменьшившись, перенесся через пространство и попал в наш глаз.
ЖЕЛУДОК ДВУМЕРНОГО СУЩЕСТВА
Не всегда аналогии в различных измерениях настолько прямолинейны. Рассмотрим, например,
пищеварительную систему двумерного существа. Если предположить, что это всего лишь дву-
мерная версия нашего пищеварительного тракта, то возникает проблема: житель Флатландии
будет разделен на две части. Очевидно, что так он выжить не сможет. В конце XIX в. пищевари-
тельная система двумерных существ вызывала большой интерес и даже споры. Одним из воз-
можных решений этой проблемы является такая форма пищеварительного тракта, когда он
закрывается и открывается по мере прохождения пищи: своего рода застежка-молния, которая
не дает двумерному существу распасться надвое.
Пищеварительный тракт Квадрата делит его пополам. Чтобы Квадрат не распался
на две половины, его кишечник может иметь форму канала с воротами, которые
открываются и закрываются.
63
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Аналогичным образом сетчатка гиперсущества может быть трехмерной сферой
с нервными окончаниями (сам глаз будет гиперсферой). Когда гиперсущество смо-
трит на нас, оно видит полный образ всего нашего тела, так как каждая точка нашего
тела и снаружи, и внутри будет соединена с точкой на сетчатке гиперсущества лучом
света, проходящим через ана и ката. Это походит на то, как если бы наша уменьшен-
ная копия была перенесена лучами света на сетчатку гиперсущества. Дополнитель-
ное измерение необходимо, чтобы лучи света соединили каждую точку нашего тела
с точкой на сетчатке.
В романе Эбботта Квадрат рассказывает, что он смог воспринять трехмерное
пространство, лишь когда Сфера вынесла его из Флатландии и дала ему возмож-
ность посмотреть на его двумерный мир из Спейсландии. В этом эпизоде предпола-
гается, что зрение Квадрата в трехмерном пространстве работало так же, как
и у Сферы. Но давайте разберем эту ситуацию подробнее. Сетчатка глаза Квадрата
представляет собой отрезок прямой с нервными окончаниями. Когда он смотрит
на Флатландию, он видит лишь сечение своей страны плоскостью, в которой он на-
ходится в трехмерном пространстве. Точнее, несколько сечений по мере того, как
Сфера перемещала его. Другими словами, его глаз работал бы как сканер, создавая
серию сечений Флатландии, что с литературной точки зрения выглядит не так увле-
кательно и не совсем подходит для целей сюжета.
Квадрат, смотрящий
на Флатландию
из Спейсландии.
В романе Эбботта
Квадрат видит свой мир
тан же, как Сфера, хотя
его двумерный глаз
на это не способен.
64
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Аналогично если бы ангел из четвертого измерения взял нас в рай, то, глядя
на наш мир из ана, мы бы увидели лишь двумерные сечения нашей вселенной, полу-
ченные пересечением нашего трехмерного пространства с тем трехмерным простран-
ством, в котором наше тело будет находиться в четвертом измерении.
Великолепный вид
Еще одним интересным вопросом является обратная ситуация: как выглядит для нас
гиперсущество из четвертого измерения, которое посетило наше пространство? Те,
кто считает духов существами из четвертого измерения, думают, что, когда мы
встретим некоторых из них, они будут выглядеть похожими на нас. Однако «на са-
мом деле» это может быть совсем не так.
В книге Эбботта, когда Сфера пересекает Флатландию, Квадрат видит плоские
сечения пришельца. Для него Сфера похожа на двумерное существо, в частности
на жреца. Но что увидели бы жители этой двумерной вселенной, если бы ее посетил
человек? Например, на рисунке из рассказа Руди Рукера «Послание, найденное
во Флатландии» (1983) показано, как главный герой провалился сквозь Флат-
ландию, которая удивительным образом оказалась расположена в подвале одного
из пакистанских ресторанов. Флатландцы увидели плоские сечения человеческого
тела: различные фигуры и кольца, образованные тканями кожи, волос и одежды.
Понятно, что вместо пальцев руки они бы увидели пять маленьких дисков с кожей
и волосами на их окружностях, а вокруг диска тела — большие окружности тканей
одежды.
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Гиперсущество, пересекая нашу трехмерную вселенную, будет выглядеть похо-
жим образом. То есть, принимая во внимание дополнительное измерение, мы уви-
дим ряд деформированных тел разных размеров. Некоторые из них будут окружены
кожей и волосами, другие — тканью и частями плоти. Эти тела будут являться пе-
ресечением гиперсущества и нашей вселенной. Разве это не ужасное зрелище? Ко-
нечно, нужно признать, что мы не знаем, какую форму имеют гиперсущества, по-
этому мы можем позволить себе представить их похожими на нас, но с дополнитель-
ным измерением.
КАК ПОЙМАТЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ СУЩЕСТВО
Если бы жители Флатландии захотели поймать человека, увидев его в своей двумерной вселен-
ной, они могли бы захватить с помощью лассо или железных наручников одно из сечений чело-
веческого тела. Человек смог бы убежать «вверх», если бы этой частью оказалось сечение паль-
ца, но не запястья или лодыжки.
Главный герой романа «Монстр из ниоткуда» (1974) Нельсона Бонда во время путешествия
в Перу обнаруживает четырехмерное существо и прибегает к аналогичному способу поимки. Он
спрятал одно из сферических сечений существа в сумку, пригвоздив ее для надежности копьем,
и таким образом не дал чудовищу убежать из нашей вселенной.
Ограбление века
Если четвертое измерение существует и если бы некоторые люди имели возмож-
ность свободно переходить из нашего мира в ана или ката и путешествовать там, они
считались бы в нашем мире своего рода богами, так как в определенном смысле они
были бы вездесущими, всемогущими и способными творить чудеса. Они могли бы
проходить сквозь стены, как привидения в замках, могли бы легко убежать из любой
тюрьмы, несмотря на решетки и охрану, они могли бы ограбить любой банк, входя
и выходя из здания, не открывая дверей. Они могли бы видеть сквозь стены без
рентгена, незаметно следить за любым человеком, пить напитки, не открывая бу-
тылку, есть апельсин, не очищая его, читать письма в запечатанных конвертах и де-
лать многое другое, используя для этого четвертое измерение.
66
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Чтобы понять, как такие трюки возможны, мы вновь обратимся к двумерной
аналогии с Флатландией. На что похожа тюрьма, где был заперт Квадрат? Тюрьма
могла бы быть тоже квадратной, окружая пленника со всех сторон. Однако наш
герой мог бы убежать через третье измерение, если бы он имел такую способность,
или, например, с помощью своих друзей из Спейсландии. Побег представлял бы со-
бой всего-навсего перемещение «вверх» из Флатландии, затем движение в третьем
измерении и возвращение «вниз» в свой собственный мир, но только за пределами
тюрьмы.
Кроме того, Квадрат мог бы шпионить из Спейсландии за своими тюремщиками,
оставаясь незамеченным. Если бы он захотел пить, никто не смог бы помешать ему
опуститься в соседний дом, не открывая дверей, через третье измерение. И если бы
Квадрат захотел (хотя мы знаем, что он был честным существом), он мог бы украсть
драгоценности из дома жреца опять же через третье измерение, и никто бы его
не увидел. А если бы жрец неожиданно вернулся, Квадрату пришлось бы просто
подняться вверх, чтобы остаться незамеченным.
А если внук Квадрата Шестиугольник вдруг подавился бы конфетой, его де-
душка легко смог бы спасти ему жизнь, поднявшись в третье измерение и вынув
конфету из горла внука. Аналогично врач в четвертом измерении легко сделал бы
нам операцию без хирургического вмешательства.
67
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Таким же образом, хотя это и кажется удивительным, можно через четвертое
измерение разнять два сцепленных металлических кольца или развязать узел, как
в стихотворении Максвелла, послужившем эпиграфом к этой главе.
В нашем пространстве невозможно разнять металлические кольца или развязать
трилистный узел, хотя из четвертого измерения сделать это очень просто.
Симметрия: Алиса в Зазеркалье
Вот замечательная идея для сюжета рассказа. Человек, который может переме-
щаться в четвертом измерении, решает ограбить банк и таким образом совершает
идеальное преступление. Убегая через гиперпространство, он роняет несколько бан-
кнот, и они остаются в нашем мире, где их находит детектив, расследующий это
дело. В изумлении детектив замечает, что изображение на банкнотах зеркально пе-
ревернуто. Детектив пытается понять, что случилось с банкнотами и как это связано
с ограблением банка.
Зеркально перевернутые изображения на банкноте, после того
как она побывала в четвертом измерении.
Итак, как можно определить, что человек побывал в четвертом измерении или что
флатландец путешествовал в Спейсландию?
68
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Вернемся еще раз к примеру с Флатландией. Если мы повернем Квадрат во-
круг одной из его осей симметрии, как показано на рисунке ниже, то есть поднимем
его из плоскости и развернем в третьем измерении, то мы получим его зеркальный
образ.
Мы можем провести этот эксперимент, подняв со стола вырезанный из бумаги
квадрат, повернув его в пространстве и снова возвратив в его плоскую вселенную.
Предположим, голова всех жителей Флатландии, в том числе и Квадрата, находит-
ся с северной стороны, их глаза и рот — с восточной стороны тела, а легкие — с за-
падной. Если мы повернем Квадрат в пространстве, то мы получим его зеркальное
изображение. Глаза и рот будут с западной стороны, а легкие — с восточной.
Другие жители Флатландии, встретив такой Квадрат, сразу поймут, что он по-
бывал в третьем измерении.
Квадрат, повернутый в третьем измерении. В результате получилось
его зеркальное изображение.
Теперь предположим, что в четырехмерном пространстве поворачивают человека
вокруг плоскости, которая пересекает его сверху вниз (заметим, что вращение про-
исходит вокруг плоскости, а не вокруг прямой линии). В результате человек останет-
ся самим собой, но зеркально отображенным. То, что было слева, например сердце,
теперь будет справа. В самом деле, если трехмерное тело вращается в четвертом из-
мерении, оно меняет ориентацию. Например, раковина улитки, закрученная по часо-
вой стрелке, теперь будет закручена в противоположном направлении. То же самое
произойдет с правосторонним объектом, который превратится в левосторонний.
69
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Раковина улитки после ее путешествия через четвертое измерение.
Когда мы смотрим в зеркало, мы видим образ того «человека», который бы вер-
нулся в наш мир после поворота в четвертом измерении. Если мы поднимаем правую
руку, наш образ в зеркале поднимает левую.
А существует ли зеркало, которое показывает наше настоящее, а не зеркальное
изображение? Да, если мы поместим два зеркала под углом друг к другу, отраже-
ние первого отражения и будет истинным представлением нашей внешности. Это
изображение будет таким, как если бы мы повернулись вокруг линии пересечения
зеркал. Если мы поднимем правую руку, то наше второе отражение в зеркале также
поднимет правую руку, что мы не привыкли видеть в зеркалах.
И СНОВА ЛЕНТА МЁБИУСА
Если бы вселенная, в которой живет Квадрат и другие жители Флатландии, имела форму ленты
Мёбиуса, то есть была бы односторонней поверхностью, то Квадрат мог бы встретиться со сво-
им зеркальным отражением, что невозможно в плоской и в любой другой вселенной. Анало-
70
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Чарльз Хинтон и философия четвертого измерения
Математик Чарльз Хинтон был одним из тех, кто много сделал для популяризации
четвертого измерения. Он интересовался различными областями: математикой и фи-
зикой, философией и религией, а также визуализацией четырехмерного пространст-
ва, в частности гиперкуба. Он также публиковал работы и на другие интересные
темы.
Чарльз Хинтон родился в Лондоне в 1853 г. Он изучал математику в Оксфорде,
который окончил в 1877 г., а степень магистра получил там же в 1886 г. Затем он
начал работать учителем естественных наук в школе Аппингем.
С раннего возраста Хинтон интересовался проблемой визуализации. В Оксфорде
он получил приличные математические знания, но ему их было недостаточно. В то вре-
мя он начал работать с кубическим ярдом (91,5 см3), состоящим из 36 х 36 х
х 36 = 46 656 кубиков, каждый из которых имел соответствующее название на ла-
тинском языке, например Collis Nebula. Когда Хинтон хотел визуализировать четы-
рехмерный объект, он мысленно как бы развертывал его и помещал внутри куба.
После этого он мог изучать структуру объекта, анализируя кубики, которые состав-
ляли его трехмерную развертку. Хинтон также разработал систему для уменьшения
количества деталей, которые нужно было запомнить. Эта на первый взгляд абсур-
дная идея материализовалась в своего рода конвертер — преобразователь четырех-
мерных объектов в трехмерные — и стала еще одним шагом к пониманию четверто-
го измерения. Куб Хинтона являлся неким четырехмерным глазом, который вдохно-
вил его на изобретение знаменитых цветных кубиков.
ДЖЕЙМС ХИНТОН
Молодой Чарльз Хинтон находился под сильным влиянием группы интеллектуалов с прогрес-
сивными социальными и политическими взглядами. Среди них были врач-сексолог Хэвлок
Эллис, основатель математической логики Джордж Буль и его жена, математик Мария Эверест
Буль. Однако наиболее радикальным из них был отец Чарльза Джеймс Хинтон, работавший
хирургом, прежде чем стать известным писателем и философом. Из-под его пера вышло не-
сколько книг, как по медицине (Джеймс Хинотон считался лучшим хирургом-отоларингологом
своего времени), так и по социальной философии.
71
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Цветные кубики Хинтона представляют собой сложный набор из 12 кубиков с цветными
гранями, ребрами и вершинами, которые, согласно Хинтону, дают возможность
визуализировать гиперкуб. Каждый цвет имеет латинское название и соответствует 81 части
гиперкуба: 16 вершинам. 32 углам, 24 граням, 8 гиперграням и 1 гиперкубу. Кубики Хинтона
пользовались большим успехом. О них писали в женских журналах и даже использовали
во время спиритических сеансов. Они были почти мистическими символами, потому что, как
утверждалось, с их помощью можно было видеть призраков и умерших родственников
в четвертом измерении.
Интерес Хинтона к четвертому измерению продолжал расти, и в 1880 г. он опу-
бликовал статью «Что такое четвертое измерение» в журнале Дублинского универ-
ситета, которая была переиздана в 1883 г. в журнале колледжа Челтенхем. В сле-
дующем году появился памфлет «Что такое призраки», опубликованный компанией
Swan Sonnenschein & Со., которая выпустила девять памфлетов, очерков и научно-
фантастических рассказов о четвертом измерении. Позже они были собраны вместе
под названием «Научные романсы». Среди них был рассказ «Плоский мир» (1884)
с идеей, аналогичной «Флатландии» Эбботта, хотя Хинтон больше интересовал-
ся физическими аспектами двумерного мира, являющегося поверхностью сферы,
а не плоскостью.
72
МАГИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
БЕЙСБОЛЬНАЯ ПУШКА
Во время своего пребывания в Принстоне Хинтон уделял много времени разработке бейсболь-
ной пушки - машины, подающей мячи, которая используется для тренировки бейсболистов.
Машина выстреливала мячи со скоростью от 60 до 112 км/ч. Однако несмотря на то, что она
применялась на протяжении многих лет, в конце концов она вышла из употребления, потому что
была слишком опасной. Тем не менее и в настоящее время на бейсбольных полях используются
приспособления, основанные на изобретении Хинтона.
Жизнь Хинтона шла благополучно, в некоторой степени он даже достиг соци-
ального успеха. Но в 1885 г. все рухнуло: он был арестован за двоеженство. Хинтон
потерял работу, карьера его была разрушена, а после приговора, проведя три дня
в тюрьме, он переехал со своей семьей в Японию, где работал учителем средней шко-
лы в Иокогаме. Оттуда он переслал своим друзьям рукопись «Новая эра мысли»,
которая была опубликована в 1888 г. Первая часть работы была посвящена вопросу
осознания четырехмерности, а также философским и религиозным аспектам, свя-
занным с четвертым измерением. Вторая часть относилась к визуализации гиперку-
ба, и в ней содержалось описание цветных кубиков и инструкции по их применению.
В 1893 г. Хинтон приехал в Северную Америку. Там он работал в университе-
тах Принстона, штат Миннесота, а затем в Вашингтоне, округ Колумбия, а так-
же в Морской обсерватории США и Патентном ведомстве. Он и в Соединенных
Штатах распространял идеи о четвертом измерении и считался в интеллектуальных
кругах признанной и уважаемой персоной. Хинтон написал множество статей и про-
читал лекции по широкому кругу вопросов, в том числе о поэзии. В 1904 г. он опу-
бликовал книгу «Четвертое измерение», которая включила в себя все его размыш-
ления на эту тему, а также новый рассказ о двумерной вселенной «Случай во Флат-
ландии». Умер Хинтон в 1907 г.
73
Глава 5
Боги и привидения
Из того, что мы не слышим высокие или низкие частоты и не
различаем цвета вне видимого спектра, вовсе не следует, что они
не существуют. Разве это не возможно, разве это не так же
вероятно, что существует четвертое измерение, которое не
открыто нашим глазам, в котором могут жить души наших так
называемых умерших людей и через которое мы сможем когда-
нибудь с ними общаться? И этот новый мир вокруг тоже наш —
этот мир бесконечного разнообразия цветов и звуков.
Чарльз Патерсон. Новые небеса и новая Земля,
или Путь к вечной жизни (1909)
Четвертое измерение имело все необходимые качества для того, чтобы в конце XIX
и начале XX вв. привлечь к себе внимание людей различных убеждений: как при-
верженцев традиционных религий, так и адептов новых религиозных движений, сек-
тантов, любителей паранормальных явлений, оккультизма и спиритизма, филосо-
фов, теологов, мистиков и так далее. Эта тема весьма серьезно обсуждалась в рели-
гиозном мире, мы видим это по книгам и статьям, опубликованным в то время. Од-
нако если поискать в Интернете и в книгах, то окажется, что и в наше время четвер-
тое измерение по-прежнему завораживает огромное количество людей.
Спиритизм и призраки из четвертого измерения
Спиритизм, или вера в то, что души умерших находятся рядом с нами и с ними мож-
но вступить в контакт, возник в Европе в XIX в. как религиозное и философское
движение. Он вскоре стал очень популярным в США, что привело к целой лавине
сообщений о паранормальных явлениях. В то же время огромное количество медиу-
мов начали организовывать сеансы связи с духами, устраивая спектакли и играя
на чувствах, религиозных и мистических убеждениях тех, кто приходил к ним, чтобы
поговорить со своими близкими. Деятельность медиумов больше была связана
75
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
с психологией, чем с контактами с духами, и чаще всего сводилась к фокусам и теа-
тральным представлениям. Медиумов часто обвиняли в мошенничестве, а информа-
ция о них представляла собой красочные анекдоты и полное отсутствие научных
сведений.
Лишь немногие ученые интересовались миром духов. Среди них были и те, как
мы увидим далее, кто пытался доказать существование духов. Одним из самых
выдающихся сторонников научного спиритуализма был английский химик Уильям
Крукс (1832—1919), изобретатель электронно-лучевой трубки, на основе которой
делались первые телевизоры и компьютерные мониторы.
О природе самих духов существовало два мнения. Первое, более распространен-
ное среди спиритуалистов, заключалось в том, что духи — это нематериальные
трехмерные существа, состоящие из энергии, эктоплазмы или иного вида сверхъ-
естественной субстанции. Но если они были нематериальными, то как они могли
передвигать предметы во время сеансов? Другое мнение, ставшее популярным
к концу XIX в., заключалось в том, что духи материальны, но мы не можем их ви-
деть потому, что они существуют вне нашего пространства и посещают нас, когда
захотят. Они являются, например, существами, обитающими в четвертом измере-
нии. Тогда материализация духов — не более чем их прохождение через наше трех-
В XIX в. появилось много медиумов,
которые утверждали, что обладают
способностью устанавливать
контакт с существами из четвертого
измерения. Одним из ученых —
сторонников спиритуализма был
англичанин Уильям Крукс
(см. вверху). На иллюстрации слева
перед доктором Уэтерли появляется
призракМаскелина.
76
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
мерное пространство. Некоторые спиритуалисты критиковали эту материалистиче-
скую версию, утверждая, что, если бы духи были материальны, они не могли бы
проходить через двери или стены. Однако для существ из гиперпространства это
возможно через четвертое измерение, как это было описано в предыдущей главе.
Уильям Крукс перед призраком
Кэти Кинг.
СЭР УИЛЬЯМ КРУКС, УЧЕНЫЙ-СПИРИТУАЛИСТ
Английский химик, который также работал в об-
ласти физики, был одним из самых крупных ученых
Европы того времени. Среди его работ - изобре-
тение электронно-лучевой трубки, исследование
электрической проводимости, открытие таллия,
разработка процесса амальгамирования для от-
деления золота и серебра от других минералов,
изобретение химических красителей для текстиль-
ной промышленности, а также исследования по
производству промышленных алмазов. В дополне-
ние к этому Крукс был одним из пинчеров иссле-
дований в области психических явлений, а также
занимал должность президента Общества психи-
ческих исследований. В 1870 г. он написал одну
из своих самых известных статей «Спиритуализм
в свете современной науки». Крукс изучал матери-
ализацию духов и работы целого ряда известных
медиумов, таких как Дэниэл Хоум, Кэти Фокс
и Флоренс Кук. Последняя из них - молодая дама из Лондона, которая умела вызывать и мате-
риализовывать духов. Ее самым известным сеансом материализации был вызов духа Кэти Кинг,
дочери пирата Генри Моргана. Круксу удалось сделать 44 фотографии Кэти, а также пощупать
ее пульс и отрезать прядь ее волос. Говорят, что ученый влюбился в привидение. Все это, опу-
бликованное в его книге «Исследования явлений спиритизма», вызвало большой скандал, ко-
торый еще более усугубился арестом женщины, похожей на дух Кэти Кинг.
77
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Идея о том, что духи являются существами из четвертого измерения, стала по-
пулярной в основном благодаря американскому медиуму Генри Слейду и немецкому
физику Иоганну Цёлльнеру. Как мы уже упоминали, четвертое измерение приобре-
ло широкую известность после обвинения Слейда в мошенничестве. Но его исследо-
вания в области спиритизма заинтересовали русского князя Константина, и Слейда
пригласили полковник Олкотт и мадам Блаватская, основатели Теософского обще-
ства в Нью-Йорке. Сеансы, организованные Слейдом, стали чрезвычайно популяр-
ными в кругах любителей спиритизма и представителей высшего общества Лондона.
Однако вскоре Слейда обвинили в мошенничестве. Во время одного сеанса обнару-
жилось, что доска, на которой духи обычно оставляли свои сообщения, уже до на-
чала сеанса содержала записи. Суд приговорил Слейда к трем месяцам каторжных
работ. Но приговор был в конце концов отменен, и Слейд покинул Англию.
Уголовное дело Слейда попало в газеты и стало горячей темой. Оно вызвало
большой скандал в английском высшем обществе, и хотя были другие процессы,
связанные со спиритизмом, именно случай Слейда стал самым известным, потому
что многие выдающиеся ученые во всем мире встали на его защиту. Среди них были
Иоганн Цёлльнер, Уильям Крукс, немецкий физик Вильгельм Вебер (1804—
1891) — коллега Гаусса и наставник Римана, английский физик Джозеф Томсон
(1856—1940), который вскоре стал лауреатом Нобелевской премии за открытие
электрона, и английский физик лорд Рэлей (1842—1919), также будущий лауреат
Нобелевской премии за исследования плотности различных газов и открытие арго-
на. Эти светила науки подтвердили, что духи существуют и что паранормальные
явления, из-за которых Слейд обвинялся, вполне возможны в четырехмерном
МЕДИУМЫ В КИНО
Медиумы часто были героями фильмов, таких как «Сеанс дождливым вечером» (Брайан Форбс,
1964), «Джульепа и духи» (Федерико Феллини, 1965), «Подкидыш» (Питер Медак, 1980), «Пол-
тергейст» (Тоуб Хупер, 1982), «Привидение» (Джерри Цукер, 1990) и «Приют» (Хуан Антонио
Байона, 2007). Однако одним из самых прославленных экстрасенсов была главная героиня
фильма «Семейный заговор» (Альфред Хичкок, 1976). Привлекательная Бланш Тайлер пред-
ставлялась ясновидящей и сладкими речами завораживала старушек, получая у них информа-
цию и инсценируя контакты с призраками умерших родственников. Для пущей убедительности
ее сеансы сопровождались световыми и звуковыми эффектами. Ей помогал ее друг, водитель
такси, узнавая семейные обстоятельства богатых клиентов.
78
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
В1875 г. Елена Блаватская, известная также как
мадам Блаватская, стала одним из основателей
Теософского общества в Нью-Йорке.
пространстве. Призраки, по их словам, были существами, которые жили в четвер-
том измерении.
Через год после побега из Лондона Генри Слейд появился в Лейпциге по пригла-
шению Цёлльнера, который вместе с рядом коллег, в том числе с Вебером и Фехне-
ром (автором рассказа «Пространство имеет четыре измерения»), задумал провести
серию экспериментов. Эти опыты должны были раз и навсегда доказать, что духи
являются четырехмерными существами и, таким образом, четвертое измерение су-
ществует. Цёлльнер, занимаясь физическими исследованиями, был знаком с теори-
ей многомерных пространств, а также изучал работы Гаусса, Римана и Гельмгольца
и понимал, что эти теории могут быть использованы для объяснения паранормаль-
ных явлений.
79
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
В течение нескольких месяцев лейпцигская группа проводила сеансы, а затем
Цёлльнер опубликовал две работы в Лондоне: статью «О четырехмерном про-
странстве» в 1878 г. и перевод третьей книги серии Wissenschaftliche Abhandlungen
(«Трансцендентальная физика») в 1880 г. Эта книга, обобщающая результаты экс-
периментов, пользовалась большой популярностью, став настольной для всех инте-
ресующихся духами: теософов и некоторых художников, в том числе русского ху-
дожника-экспрессиониста Василия Кандинского.
Первым экспериментом американского медиума был опыт с веревкой, связанной
в виде петли. После того как Слейд положил руку на веревку, на ней появились че-
тыре узла. Так как веревка является замкнутым контуром, было невозможно завя-
зать эти узлы в трехмерном пространстве, не разрезая веревки. Однако это вполне
доступно существу из четвертого измерения, хотя для того чтобы завязать узел, су-
щество должно было переместить веревку в ана или в ката. Для Цёлльнера резуль-
тат этого эксперимента доказывал существование духов из четвертого измерения.
В книге «Трансцендентальная физика» содержится подробная информация
о многих паранормальных экспериментах, проведенных Слейдом на заседаниях
лейпцигской группы в дополнение к серии экспериментов, лично разработанных
Цёлльнером для доказательства четырехмерной природы духов. Например:
1. В одном из экспериментов духи через четвертое измерение соединяли два де-
ревянных кольца, не ломая их.
2. В природе часто встречается свойство определенной ориентации, например,
раковина улитки. При переходе через четвертое измерение эта ориентация
могла меняться.
3. На соединенной в виде петли веревке духи завязывали узел.
Но действительно ли эксперименты Цёлльнера и Слейда увенчались успехом?
Цёлльнер так думал, но с точки зрения научного подхода сами эксперименты были
ошибочны. Духи не делали того, что Цёлльнер ожидал от них в соответствии с за-
думанным планом своих экспериментов. Вместо этого кольца были надеты на ножку
подставки, улитка переместилась со стола на пол, а на веревке образовались две до-
полнительных петли.
Не всех удовлетворили объяснения Цёлльнера, и эксперименты вызвали оже-
сточенные дебаты среди интеллектуалов. Особенно сильная критика исходила
от таких ученых, как Гельмгольц. Отошедший от спиритуализма физик считал, что
ученый — не самый лучший специалист для оценки действий волшебника, так как,
80
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Рисунок из книги Цёлльнера «Трансцендентальная физика», на котором изображена
подставка с двумя деревянными кольцами вокруг ножки. Эти кольца якобы надели духи
из четвертого измерения, хотя они должны были эти кольца соединить. Узлы на веревке
на рисунке справа также якобы завязаны духами.
наблюдая за его правой рукой, он не видит, какие трюки делает левая. В конце кон-
цов все пришли к выводу, что Цёлльнер позволил ввести себя в заблуждение и,
возможно, помешался.
Результатом работы Цёлльнера стало то, что четвертое измерение превратилось
в шутку, далекую от любых научных фактов. Однако в конце XIX в. английский
протестантский священник Эдвин Эбботт еще раз вернулся к идее о том, что духи —
это существа из четвертого измерения. Эбботт не имел ничего общего с медиумами
и использовал эту концепцию для богословских дискуссий. Кроме того, такие спе-
циалисты, как Хинтон, продолжали работать над более серьезными аспектами чет-
вертого измерения.
81
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Теология и четвертое измерение
В теологических вопросах существовало два подхода к четвертому измерению.
С одной стороны, мы уже упоминали позицию Эбботта: «Мы не можем достичь
Бога через четвертое измерение, через науку». Однако многие другие верующие
люди, например, некоторые христиане, с энтузиазмом приняли идею, что рай, ад,
души, ангелы и сам Бог могут быть «расположены» в четвертом измерении. Эти
идеи можно найти в книге английского врача и писателя Альфреда Тейлора Шофил-
да (1846—1929) «Мир иной, или Четвертое измерение»:
«...Поэтому можно сделать вывод, что мир иной не только может существо-
вать, но даже вполне вероятен. Во-вторых, такой мир может рассматриваться
как пространство четырех измерений, и в-третьих, духовный мир управляется
в основном своими таинственными законами, имеет свой странный для нас
язык, полон чудесных явлений самого высокого уровня всеведения и везде-
сущности и так далее, что по аналогии является законами, языком и свойства-
ми четвертого измерения...
...Хотя наша прекрасная материальная Вселенная выходит далеко за пределы
нашего знания, несмотря на использование самых мощных телескопов, это
не мешает иному миру и его существам, а также раю и аду, быть совсем рядом
с нами...»
Два кратких замечания об идеях Шофилда. Вопреки общепринятому мнению,
если бы ангелы или души могли проходить через наш мир в виде четырехмерных
существ, это вовсе не значит, что внешне они были бы похожи на человека, как мы
говорили в четвертой главе.
Кроме того, почему Бог в его совершенстве выбрал для себя именно четвертое
измерение? Почему не пятое, или шестое, или более высокое? Двумерная плоскость
находится в трехмерном пространстве, которое в свою очередь находится в четырех-
мерном, и так далее, вплоть до бесконечного числа измерений. Для такого совершен-
ного, всемогущего и всевидящего существа, как Бог, более подошло бы простран-
ство бесконечной размерности. Похожие выводы философы четвертого измерения
сделали еще в XIX в.
82
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Британский богослов и протестантский пастор Артур Виллинк (1850—1913)
разделял эту точку зрения. В своей работе «Невидимый мир» он писал, что Бог
обитает в пространстве бесконечной размерности:
«Но теперь мы можем пойти дальше и рассмотреть обобщение идеи высших
измерений, которая отнюдь не исчерпывается концепцией пространства четы-
рех измерений... Если мы признаем существование пространства четырех из-
мерений, уже не так сложно прийти к идее существования пространства пяти
измерений и так далее вплоть до бесконечномерных пространств... И хотя
невозможно даже представить, как выглядит материальный объект нашего
пространства для наблюдателя из мира большей размерности, все-таки оче-
видно, что он видит более прекрасный вид в его полноте, чем наблюдатель
из пространства меньшей размерности. Из более высокого мира видны более
совершенные образы, в том числе скрытые и тайные стороны явлений и объ-
ектов.
Это особенно подчеркивает аспект всеведения Бога. Ибо Он, обитая в самом
высшем мире, не только прекрасно видит все составляющие нашего бытия,
но также находится бесконечно близко к каждой точке и частице нашей души
и тела. Так что даже в самом строгом физическом смысле все мы живем, дви-
жемся и существуем в Нем».
АЛГЕБРА ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ СУЩЕСТВ
Альфред Тейлор Шофилд использовал алгебраические метафоры для описания материальной
и духовной части человеческого существа:
«Еще одно универсальное и инстинктивное убеждение, характерное не только для христиан-
ства, заключается в том, что, когда человек умирает, часть его (душа или дух) покидает этот мир
и отправляется в мир иной. И это общее убеждение, что человек имеет духовную природу...
может быть хорошо проиллюстрировано с помощью алгебры. Обозначим, например, матери-
альное тело символом х3, а душу - высшую и более могущественную субстанцию - х4. Тогда
(х3 + х4) представляет собой живого человека, а (х3 + х4) - х4 обозначает вознесение души (х4)
в момент смерти и ее возвращение в свое собственное измерение, в то время как останки (х3)
возвращаются в землю, которой они принадлежат».
83
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
В то же время немецкие математики Рихард Дедекинд (1831—1916) и прежде
всего Георг Кантор (1845—1918) изучали понятие бесконечности с самой строгой
математической точностью. Впоследствии в начале XX в. немецкий математик Да-
вид Гильберт (1862—1943) ввел понятие бесконечномерных пространств, в которых
можно было измерять расстояние, — так называемые гильбертовы пространства.
Философ и математик Уильям Гранвиль (1864—1943), автор статьи «Четвертое
измерение и Библия», также разделял убеждение, что Бог обитает в бесконечно-
мерном пространстве. Однако он считал, что четвертое измерение и другие высшие
измерения являются раем, а двумерные и одномерные миры — адом. Таким обра-
зом, когда человек умирает, его душа отправляется в мир более высокой или низкой
размерности.
БЕСКОНЕЧНЫЙ ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА
Представьте себе отель с конечным числом номеров, и все они заняты. Если приезжает новый
посетитель, то владельцу придется сказать, что свободных мест в отеле нет. Теперь предположим,
что в отеле имеется бесконечное количество комнат, пронумерованных натуральными числами
1,2,3,4,..., и все комнаты, как и в предыдущем примере, заняты. Однако если приедет новый
гость и попросит номер, то владелец отеля ответит: «Конечно. Нам только придется переселить
гостя из первого номера во второй, из второго в третий и так далее до бесконечности». Тогда
первый номер освободится, и новый гость может в нем поселиться.
Но что произойдет, если приедет бесконечное количество новых гостей? И в этом случае есть
решение. Гостя из первого номера поселят в номер 2, гостя из номера 2 - в номер 4, гостя
из номера 3 - в номер 6 и так далее, то есть каждый гость переселится в комнату, номер кото-
рой в два раза больше номера предыдущей комнаты. Таким образом, комнаты с нечетными
номерами освободятся, и новые гости смогут поселиться в них.
Концепция бесконечности противоречит некоторым привычным для нас «истинам», которые
справедливы лишь для конечных множеств. Например, утверждение, что «целое больше, чем ча-
сти». Это не работает для бесконечных множеств. Как видно из примера с бесконечным отелем,
множество четных чисел имеет столько же элементов, что и множество натуральных чисел.
84
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Мистика, теософия и астральная вселенная
Русский философ и писатель Петр Демьянович Успенский (1878—1947) замечает
в своем эссе «Четвертое измерение», что, вопреки нашим представлениям, мы вовсе
не являемся трехмерными существами. По его мнению, существование четвертого
измерения неизбежно означает одно из двух: либо мы четырехмерные существа,
либо мы имеем только три измерения. Впрочем, в последнем случае мы бы физиче-
ски не существовали.
Ибо если существует четвертое измерение, а мы являемся трехмерными суще-
ствами, это значит, что реально мы не существуем: мы были бы условными, немате-
риальными существами, как точки, которые не имеют длины на прямой линии, или
прямые линии, которые не имеют ширины на плоскости, или плоскости, которые
не имеют объема в трехмерном пространстве. Таким образом, мы бы существовали
только в уме высшего существа, называем ли мы его Богом или как-то иначе, и все
наши поступки, мысли и чувства были бы всего лишь продуктом воображения этого
существа.
Если мы не верим в то, что мы находимся в воображаемом мире, который зависит
от высшего существа и его прихотей, то нам придется признать нашу четырехмер-
ную реальность. То есть то, что не только духи или
Петр Демьянович Успенский был
ключевой фигурой эзотерической
философии. Он утверждал, что мы
существуем как порождение ума
высшего существа.
привидения, но и мы сами являемся четырехмерны-
ми существами. Однако только одна наша часть
обитает в наблюдаемой трехмерной вселенной, и мы
осознаем только эту часть нашего тела и нашего бы-
тия, как в мифе Платона о пещере.
Для Хинтона и Успенского четвертое измерение
было не только концептуальным пространством,
но и особым знанием о высшей реальности. Их ма-
тематическое исследование четвертого измерения
основывалось на мистическом подходе, который
можно сформулировать следующим образом: мир
един и непознаваем.
Через мистическую единую сущность мы мо-
жем достичь всеобщего единства. Это суперпро-
странство, объединяющее все (ближнее и дальнее,
прошлое и будущее, реальное и мнимое) в одном
(Едином, как его называют мистики; математики
называют гиперпространством, а другие — Богом,
85
БОГИ И ПРИВИДЕНИЯ
Абсолютом или как-то иначе) не может быть представлено в виде понятных чело-
веку символов. Это объясняет вторую часть подхода: «Единое является непознава-
емым». Но что означает такой подход? С точки зрения мистиков, мы можем понять
и осознать Единое в том смысле, как мы можем чувствовать пространство вокруг
нас или как мы можем открыть наши сердца, чтобы почувствовать жизнь, красоту,
любовь. Однако рационально Единое непознаваемо.
Руди Рукер в «Четвертом измерении» (1984) использует следующую аналогию,
чтобы пояснить это. Рассмотрим бесконечное множество, например множество на-
туральных чисел N = {1, 2, 3, 4,...}. Имея определение числа, мы можем понять, что
такое N, но полное знание, то есть список всех натуральных чисел, нам недоступно.
Следовательно, множество N непознаваемо.
Теософы тоже, как правило, очень интересовались четвертым измерением, хотя
сама основательница Теософского общества мадам Блаватская интереса к нему
не проявляла. Теософы, как и сторонники четвертого измерения, такие как Хинтон
и Успенский, разделяли мистическую веру в Единое, а также в оккультизм. Таким
образом, между теософией и спиритуализмом существовала определенная связь.
Кроме того, многие теософы, такие как священник англиканской церкви Чарльз
Ледбитер (1854—1934), считали, что четвертое измерение является астральным
миром, параллельным нашей видимой вселенной, и что идея этого мира хорошо объ-
ясняется с помощью четвертого измерения: «... теория четвертого измерения дает
более аккуратное и более полное объяснение астральному миру».
86
Глава 6
Четвертое измерение в литературе
Что видело время во сне до сих пор, что, как и все в настоящем,
является высшей точкой?.. Ему снилось пространство. Ему
снилась музыка, которая не нуждается в пространстве. Ему
снилось искусство слова, еще более необъяснимое, чем музыка,
так как оно включает в себя музыку. Ему снилось четвертое
измерение и странные существа, которые в нем обитают. Ему
снилось множество песчинок. Ему снилось множество бесконечных
чисел, которое по-прежнему растет.
Хорхе Луис Борхес. Сон времени
Тему четвертого измерения, затронутую в книгах Хинтона и Эбботта, с энтузиаз-
мом подхватили другие писатели того времени — как в жанре зарождающейся на-
учной фантастики, например Герберт Уэллс, так и в других литературных жанрах.
Эта глава рассказывает о том, как четвертое измерение отразилось в литературе
двух периодов: с конца XIX в. до начала 1920-х гг., называемого золотым веком,
и десятилетий после открытия теории относительности, когда интерес к четвертому
измерению начал угасать.
Золотой век
Тема четвертого измерения в литературе неразрывно связана с человеком, который
наряду с Жюлем Верном считается пионером литературного жанра научной фанта-
стики, — английским писателем Гербертом Уэллсом. Юность и часть взрослой
жизни основоположника научной фантастики совпала с золотым веком четвертого
измерения, поэтому не случайно его работы оказались под сильным влиянием идей
о многомерных пространствах, например о путешествиях в четвертое измерение,
о визитах в наш мир гиперсуществ, о параллельных вселенных и о машине времени.
87
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
Самый известный роман Герберта Уэллса «Машина времени» (1895) основан
на его первом рассказе «Аргонавты времени» (1888). В нем Уэллс считает время
четвертым измерением, но не в смысле теории относительности, которая стала по-
пулярной в 1920-х гг., а в смысле статического пространства-времени, как тогда
считалось. Хинтон и другие философы четвертого измерения также рассматривали
время как еще одно измерение, которое вместе с другими тремя пространственными
измерениями образует пространственно-временной континуум. Именно поэтому,
как они считали, во времени можно путешествовать вперед и назад с разной скоро-
стью, останавливаясь, если захочется. Однако мы всегда воспринимаем течение вре-
мени в одном направлении и с постоянной скоростью. Кроме того, в то время путе-
шествия во времени были одним из способов визуализировать четвертое измерение.
Это статическое пространство-время Уэллс описал в своем романе. Главный ге-
рой, ученый, изучающий геометрию четвертого измерения, построил машину, ко-
торая может перемещаться во времени. Он отправляется в будущее, в 802701 год,
ГЕРБЕРТ ДЖОРДЖ УЭЛЛС (1866-1946)
Имя Уэллса связано с самыми известными произведе-
ниями научной фантастики: «Машина времени», «Чело-
век-невидимка», «Война миров» и «Остров доктора
Моро». Положение семьи Уэллса было довольно тяже-
лым, и ему приходилось совмещать учебу с работой.
В детстве он попал в аварию и провел несколько ме-
сяцев в постели. Именно в то время он пристрастился
к чтению, что вдохновило его на написание своих книг.
Он получил грант на изучение биологии в Педагогиче-
ском колледже в Лондоне. Позже Уэллс работал препо-
давателем и сотрудничал с газетами и журналами,
но его материальные трудности продолжались. Пере-
болев туберкулезом и похудев на 40 кг, он оставил
работу и посвятил себя литературе. В 1895 г. Уэллс
опубликовал «Машину времени». Роман немедленно
стал бестселлером и сделал его знаменитым - и бога-
тым - писателем, навсегда избавив его от бедности.
Уэллс написал более 100 книг. Человек либеральных
Уэллс был основоположником научной
фантастики. По его книгам сняты
несколько фильмов, например «Машина
времени», сцена из которого изображено
правее вместе с испанским постером
фильма «Остров доктора Моро».
88
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
и видит, как изменилась жизнь в этом времени. В романе отразилось беспокойство
автора о будущем человечества и его размышления о классовой структуре общества
конца викторианской эпохи.
В следующей цитате из романа говорится о четвертом измерении:
«— А из этого следует, — продолжал Путешественник по Времени, — что
каждое реальное тело должно обладать четырьмя измерениями: оно должно
иметь длину, ширину, высоту и продолжительность существования. Но вслед-
ствие прирожденной ограниченности нашего ума мы не замечаем этого факта.
И все же существуют четыре измерения, из которых три мы называем про-
странственными, а четвертое — временным. Правда, существует тенденция
противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что
наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь
в одном-единственном направлении этого последнего измерения...
взглядов, он критиковал жестокость и косность викторианского общества, защищал права менее
удачливых людей, поддерживал движение суфражисток и верил в то, что наука и образование
являются инструментами для улучшения жизни человека. Однако, по его мнению, необходимо
было следить за этическими аспектами науки и не доверять слепо технологиям.
89
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
<...> Однако некоторые философские умы задавали себе вопрос: почему же
могут существовать только три измерения? Почему не может существовать
еще одно направление под прямым углом к трем остальным? Они пытались
даже создать Геометрию Четырех Измерений. Всего около месяца тому назад
профессор Саймон Ньюком излагал эту проблему перед нью-йоркским мате-
матическим обществом. Вы знаете, что на плоской поверхности, обладающей
только двумя измерениями, можно представить чертеж трехмерного тела.
Предполагается, что точно так же при помощи трехмерных моделей можно
представить четырехмерный предмет, если овладеть перспективой этого пред-
мета. Понимаете?»
Следующий роман Уэллса, «Чудесное посещение», также опубликованный
в 1895 г., основан на идее о том, как наш мир посещает существо из соседней трех-
мерной вселенной, граничащей с нашей в четырехмерном пространстве. Ангел па-
дает в наш мир с небесной сферы, которую он называет миром грез. По его сло-
вам, наши миры находятся «так близко, как две страницы в книге». Ангел знает,
что вселенная на самом деле четырехмерна. Таким образом, он играет роль Сферы
из «Флатландии», в то время как жители английской деревни, куда он попал, оказы-
ваются в положении флатландских жителей. Когда ангел из своего мира грез обра-
щается к викарию, викарий отвечает: «Это странно, но я почти верю, что четвертое
измерение может существовать. Однако в этом случае... может существовать любое
количество трехмерных вселенных, расположенных бок о бок...» Ту же идею Уэллс
использует в романе «Люди как боги» (1923).
Еще одна тема, связанная с многомерной геометрией, раскрывается в рассказе
«Замечательный случай с глазами Дэвидсона» (1895). С главным героем рассказа
произошел несчастный случай в лаборатории, в результате чего он остался слепым,
точнее, он ничего не видел вокруг себя. Однако он мог видеть море, пляж, песок,
камни и пингвинов. В этом рассказе Уэллс использует понятие искривления про-
странства в четвертом измерении, что позволило Дэвидсону видеть из Лондона
остров в Южном океане. В рассказе «Хрустальное яйцо» (1897) Уэллс описывает
окно между параллельными вселенными.
Тема изменения ориентации человеческого тела после путешествия в другие изме-
рения была использована Уэллсом в рассказе «История Платтнера» (1896—1897).
Профессор Платтнер в результате взрыва в лаборатории попадает в четвертое из-
мерение, вернувшись из которого он рассказывает о том, что видел за пределами
нашего пространства. Там обитают существа, не имеющие тел, шпионящие за че-
90
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
ловечеством. Платтнер называет их «наблюдателями за живыми». Платтнер опи-
сывает нашу вселенную, как он ее видел из того пространства, но его рассказы все
принимают за бред сумасшедшего, пострадавшего от взрыва. Но самое интересное,
что после возвращения на Землю ориентация его тела изменилась: левая и правая
стороны поменялись местами, так что, например, сердце оказалось теперь справа.
Это доказывает, что он действительно побывал в четвертом измерении и что его
истории правдивы. Как говорится в рассказе: «В нашем мире не существует способа
поменять левые и правые стороны человека. Как бы он ни перемещался, правое по-
прежнему останется правым, а левое — левым... Строго говоря, изменение ориента-
ции тела Платтнера является доказательством того, что он переместился из нашего
пространства в то, что называется четвертым измерением, а затем вновь вернулся
в наш мир». Еще одна история о путешествии в четвертое пространственное измере-
ние описана в рассказе «Украденное тело» (1898).
Роман Уэллса «Машина времени» — одно из первых художественных произве-
дений, в котором описана машина для путешествий во времени и озвучена идея
о том, что время является еще одним измерением, в котором можно путешествовать.
Эта идея также появлялась в таких книгах, как «Рождественская песнь в про-
зе» (1843) Чарльза Диккенса и «Янки при дворе короля Артура» (1889) Марка
Твена. Однако следует отметить, что испанский драматург Энрике Гаспар (1842—
1902), создатель ряда инновационных театральных комедий, опередил Уэллса, опи-
сав создание машины времени в своем романе
El anacrondpete («Летящий навстречу вре-
мени», 1887). В нем Синдулфо Гарсия, изобре-
татель из Сарагосы, строит машину для путе-
шествий во времени — anacrondpete (от грече-
ского ana — «назад», cronos — «время»
и petes — «тот, кто летит»), в которой он путе-
шествует вместе с другими пассажирами в раз-
ные периоды прошлого. Они отправлялись
в годы Парижской коммуны, в Гранаду 1492 г.,
Уэллс затрагивал тему четвертого измерения
в нескольких своих произведениях. Главный герой одного
из широко известных романов «Человек-невидимка»
(1897) стал невидимым благодаря «формуле, которая
является геометрическим выражением, включающим
четыре измерения». Слева — постер одной из лучших
экранизаций романа.
91
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
в Китай III в. до н. э., в последний день Помпеи к подножью Везувия и к моменту
создания Вселенной. Первоначально это задумывалось как сарсуэла — испанская
музыкальная драма, оригинальная рукопись произведения датируется 1881 г. и хра-
нится в Национальной библиотеке Испании.
Когда речь заходит о математике в литературе, невозможно не упомянуть Кэр-
ролла. Льюис Кэрролл — псевдоним английского математика Чарльза Доджсона
(1832—1898). Его книга «Алиса в Стране чудес» (1865) не единственная, в ко-
торой автор играет с измерениями. Также в «Сильви и Бруно» (1889) он описы-
вает часы, позволяющие путешествовать во времени с некоторыми ограничениями:
сколько времени прошло на часах, столько же времени прошло в реальной жизни.
Но принимая во внимание, что Доджсон хорошо знал работы Римана и Лобачев-
ского и даже, интересуясь спиритуализмом, читал книгу «Трансцендентальная фи-
зика» Цёлльнера, вовсе не удивительно, что в его работах имеются и другие аллю-
зии. В книге «Алиса в Зазеркалье» (1871), продолжении «Алисы в Стране чудес»,
он использует идею Римана о «червоточинах» — туннелях, которые соединяют два
мира, наш и зазеркальный, связанные через зеркало. В первой книге Страна чудес
соединена с нашим миром через кроличью нору, куда падает Алиса. Кроме того,
Кэрролл также описывает идею изменения ориентации в результате путешествия
через зеркало. Прежде чем отправиться туда, Алиса спрашивает своего котенка:
«Ну как, Китти, хочешь жить в Зазеркальном доме? Интересно, дадут тебе там
молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальное молоко».
«Червоточины» соединяют две вселенные и, возможно, позволяют путешествовать между ними.
92
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
На самом деле зазеркальное молоко пить нельзя, так как его молекулы либо
«правовращающие» (они вращают плоскость поляризации света вправо), либо
«левовращающие», а при прохождении через зеркало эти ориентации изменятся,
и молоко станет несъедобным. Более наглядным примером изменения ориентации
является момент, когда Алиса, оказавшись по другую сторону зеркала, замечает, что
названия книг на полках написаны задом наперед, в зеркальном отражении. Алиса
видит название стихотворения БАРМАГЛОТ, записанное так: ТОЛЛАМЧАЗ.
Иллюстрации Джона Тенниела к «Алисе в Зазеркалье». На первом рисунке Алиса стоит
перед зеркалом слева от часов, а на втором, уже попав в Зазеркалье, она находится
справа от часов.
Интересно, что отсылки на неевклидовы и многомерные геометрии можно найти
в романе «Братья Карамазовы» (1879—1880) Федора Михайловича Достоевского
(1821—1881). Иван Карамазов упоминает их, размышляя о существовании Бога.
«Но вот однако что надо отметить: если Бог есть и если он действительно
создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по эвклидовой
геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях простран-
ства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы
и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселен-
ная, или еще обширнее, — все бытие было создано лишь по эвклидовой гео-
метрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые
по Эвклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы
где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не
93
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
могу понять, то где ж мне про Бога понять. <...> Все это вопросы совершен-
но несвойственные уму, созданному с понятием лишь о трех измерениях».
Идея о том, что призраки являются существами из четвертого измерения и могут
посещать наш мир, когда им захочется, используется в новелле «Кентервильское
привидение» (1887) английского писателя, поэта и драматурга Оскара Уайльда.
В этой смешной и ироничной пародии на истории о привидениях так описано ис-
чезновение призрака: «Времени терять не приходилось, и, прибегнув спасения ради
к четвертому измерению, дух скрылся в деревянной панели стены. В доме все стих-
ло». Другими словами, призраки не проходят сквозь стены, а уходят в четвертое
измерение.
Тема четвертого измерения привлекла внимание и британского писателя и поэта
Редьярда Киплинга (1865—1936), автора «Книги джунглей» и лауреата Нобелев-
ской премии по литературе 1907 г. Он использовал выражение «четвертое измере-
ние» по крайней мере в двух из своих рассказов. В рассказе «Ошибка в четвертом
измерении», впервые опубликованном в журнале Cosmopolitan, сюжет не связан
с четвертым измерением, оно используется в названии метафорически. А вот рас-
сказ «Сновидец» (The Brushwood Boy, 1895) повествует о приключениях главного
героя в мире снов, который Киплинг называет четвертым измерением: «Он все же
торопился отчаянно, пока не потерялся в четвертом измерении мира без надежды
когда-либо вернуться».
Это не более чем малая толика примеров использования темы многомерных ми-
ров в литературе золотого века четвертого измерения, который длился до 1920-х гг.
Чтобы понять масштабы этого явления, рассмотрим еще несколько примеров.
В романе «Лилит» (1895) шотландского писателя и поэта Джорджа Макдональ-
да главный герой с помощью зеркал создает проход между нашей и параллельной
вселенной, в которой обитают души умерших. Американский писатель Амброз Бирс
в сборнике «Таинственные исчезновения» (1893) рассказывает о различных случа-
ях исчезновения людей, попадающих из нашего в другое, неевклидово пространство.
Там они оказываются запертыми в странном кармане, в котором их никто не видит
и не слышит; так же и они не могут видеть, слышать, жить или умереть. Антон
Павлович Чехов тоже использовал четвертое измерение при описании паранормаль-
ных явлений в своем рассказе «Тайна». Британские писатели Форд Мэдокс Форд
и Джозеф Конрад написали роман «Наследники» (1901) о расе существ из чет-
вертого измерения, которые хотят захватить наш мир. В рассказе «Дверь спальни»
(1905) американской писательницы Мэри Уилкинс-Фримен главный герой рассма-
94
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
ОРИЕНТАЦИЯ «ТИТАНИКА»
В фильме «Титаник» (1997) Джеймса Кэмерона есть сцена, когда пассажиры во время посадки
на трансатлантический лайнер странно машут на прощание левой рукой, а кинооператор, снима-
ющий это историческое событие, крутит ручку камеры с левой стороны, как если бы это была
камера для левши - неслыханное устройство в то время. Дело в том, что копия «Титаника», по-
строенная для фильма, стояла к берегу правым бортом, в то время как корабли швартуются левым
бортом. Эту сцену предполагалось во время монтажа зеркально отобразить, поэтому режиссеру
пришлось во время съемок зеркально изменить каждое движение. Даже для названия корабля
пришлось использовать буквы, написанные зеркальным способом, чтобы в окончательном вари-
анте название читалось правильно. Все это очень усложнило съемки некоторых сцен. На самом
деле Кэмерон построил копию лишь половины корабля, только его правого борта, поэтому сцены,
происходившие на левом борту, были сняты на правом, а затем зеркально отображены во время
монтажа.
тривал странную картину и вдруг оказался в четвертом измерении. В книге дру-
гого известного американского писателя Фрэнсиса Скотта Фицджеральда «Пре-
красные, но обреченные» (1922) есть такой пассаж: «Ей вдруг представилось, что
все, находящееся в комнате, лишившись опоры, проваливается сквозь переплетение
туманно-голубых плоскостей в невообразимый четырехмерный круговорот». Аме-
95
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
риканский поэт Уильям Карлос Уильямс в сборнике «Весна и все живое» (1923)
пишет: «Что такое четвертое измерение? Это бесконечность познания, это вооб-
ражение, на котором летит реальность».
Хотя большинство из названных авторов англоязычные, писатели других стран
тоже интересовались этой темой. В этой связи стоит упомянуть трех из них. Фран-
цузский писатель Гастон де Павловский написал роман «Путешествие в страну чет-
вертого измерения», изданный между 1895 и 1912 гг., а в расширенном варианте —
в 1923 г. Как и Уэллс, Павловский использует фантастическое четвертое измере-
ние для обсуждения социальных вопросов. Однако, хотя эта книга о путешествии
во времени, Павловский не считает время четвертым измерением, а, следуя примеру
Эбботта и Хинтона, описывает страну в четырех пространственных измерениях.
Павловский также находился под сильным влиянием спиритуализма Цёлльнера
По обе стороны Атлантики четвертое измерение стало
популярной темой в литературе начала XX в. Француз
Марсель Пруст (вверху слева) писал об этом в своем
шедевре «В поисках утраченного времени», а американец
Фрэнсис Скотт Фицджеральд (вверху справа) — в романе
«Прекрасные, но обреченные». Русский писатель Антон
Чехов (слева внизу) связывал четвертое измерение
с паранормальными явлениями в рассказе «Тайна».
96
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
и его работы «Трансцендентальная физика», которая была широко известна среди
французских интеллектуалов в начале XX в., особенно среди художников-кубистов.
Французский писатель Марсель Пруст (1871—1922) рассматривал четвер-
тое измерение и как пространство, и как время в своем романе «В сторону Свана»
(1913) из цикла «В поисках утраченного времени». Такой подход можно назвать
материализацией времени, что является не более чем статическим пространством-
временем. Он описывает церковь, которая на самом деле оказывается своего рода
машиной времени: «[Она была] зданием, помещавшимся, если можно так сказать,
в пространстве четырех измерений — четвертым измерением являлось для него Вре-
мя, — зданием, продвигавшим в течение столетий свой корабль, который, от про-
лета к пролету, от придела к приделу, казалось, побеждал и преодолевал не просто
несколько метров площади, но ряд последовательных эпох, и победоносно выходил
из них; зданием, прятавшим грубый и суровый XI век в толще церковных стен...».
Наконец, энтузиастом четвертого измерения был мексиканский поэт Амадо
Нерво (1870—1919). Он написал статью о четвертом измерении, где говорится:
«Наше сознание в отличие от наших чувств вовсе не ограничено трехмерным миром,
а совсем наоборот: оно приводит нас к четвертому измерению, которое, в общих чер-
тах, является не более чем дополнением, необходимым для полного понимания все-
ленной... Поэт, который является высшим художником... проводит часы напролет
в мире четырех измерений. Поэтический экстаз, как и любой экстаз, — это не более
чем выход в новое измерение... Человеческая душа — это всего лишь наше продол-
жение в неизведанном измерении».
После открытия теории относительности
Альберт Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности в 1915 г.,
а в 1920-х гг. она уже стала настолько популярной, что переключила внимание с чет-
вертого измерения, как оно понималось ранее, к релятивистскому пространству-вре-
мени. Теория относительности впитала в себя большую часть интереса к четвертому
измерению, добавив в то же время новые элементы как к пониманию нашей вселен-
ной, так и к некоторым аспектам, вызвавшим особый интерес широкой публики, на-
пример к парадоксу близнецов и другим подобным темам. Эти парадоксы являются
следствием того, что в теории относительности пространство и время взаимосвязаны
и время не является еще одним измерением, как это понимается в пространственно-
временном континууме. Теория относительности быстро приобрела много последо-
вателей среди интеллектуалов и художников.
97
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ
Не вдаваясь в технические подробности теории относительности, парадокс близнецов можно
описать так: возьмем двух братьев-близнецов, один из которых отправляется в долгое путеше-
ствие к далекой звезде на космическом корабле, летящем со скоростью, близкой к скорости
света, в то время как другой брат остается на Земле. Когда брат-космонавт возвращается
на Землю, оказывается, что теперь он гораздо моложе, чем его брат. Это произошло потому,
что, согласно теории относительности, время замедляется в зависимости от скорости. То есть,
когда космонавт летел с большой скоростью в космическом корабле, время для него шло мед-
леннее, чем для его брата на Земле, и поэтому он постарел меньше.
В фильме «Планета обезьян» (1968) по одноименному роману Пьера Буля также использует-
ся парадокс близнецов. В конце фильма выясняется, что на самом деле космонавты вернулись
на Землю, но за время их путешествия на Земле прошло много времени, человечесте о потеря-
ло свое превосходство, а обезьяны стали доминирующим видом. Хотя для самих космонавтов
прошло всего несколько лет.
Постепенно интерес к пространственному четвертому измерению переключился
на релятивистскую версию, став буквально анекдотическим в 1950—70-е гг. Конеч-
но, встречались и писатели, развивавшие идеи Хинтона и Эбботта, но прежде всего
это было время научной фантастики, которая достигла к тому моменту периода свое-
го расцвета. Все существующие концепции использовались в качестве литературных
приемов, в том числе и многомерные пространства в любой их интерпретации. В эти
десятилетия многомерные пространства вновь стали модными и в математике.
Несмотря на популярность, теория относительности имела два недостатка.
Во-первых, она была очень сложна даже для специалистов, а во-вторых, эта теория
предполагала невозможность путешествий назад во времени — очень популярную
тему среди писателей, которые продолжали использовать идею нерелятивистского
пространственно-временного континуума, как бы они его ни называли.
Американский писатель Уильям Фолкнер (1897—1962), как и многие другие
модернисты, в своих произведениях обращался к теме четвертого измерения. Роман
«Когда я умирала» (1930) использует структуру пространства-времени для пере-
вода прошлого в настоящее, а четвертое измерение — в качестве метафоры для па-
мяти: «В сумерках он оглядывается на худое лицо [матери], обрамленное окном.
В этой картине составилось для него все время, начиная с детства». А вот почти
98
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
пространственный образ времени из самого начала книги: «Тропа пролегла прямо,
как по шнуру, ногами выглаженная, июлем обожженная, словно кирпич, между
зелеными рядами хлопка, к хлопковому сараю, огибает его, сломавшись четырьмя
скругленными прямыми углами, и дальше теряется в поле, утоптанная и узкая».
Еще одна книга, которая особым образом использует статическое простран-
ство-время, — прекрасное произведение американского писателя Курта Воннегута
(1922—2007) «Бойня номер пять» (1969), в котором автор описывает через худо-
жественные образы свой опыт пребывания в плену во время Второй мировой войны
и страшные бомбардировки Дрездена союзниками, когда война была практически
закончена. Это событие оставило в его памяти неизгладимый след, и глазами главно-
го героя романа он снова вспоминает подробности этой бессмысленной бойни. Глав-
ный герой, страдающий «расстройством времени», перемещается во времени вперед
и назад, вновь переживая события тех дней. Путешествие по четвертому измерению
заканчивается благодаря тральфамадорцам, существам внеземной расы, для кото-
рых время — это просто еще одно измерение, где они могут перемещаться.
Британский писатель-юморист Пэлем Грэнвил Вудхауз (1881—1975) в своем
рассказе «Страшная тайна» (The Amazing Hat Mystery, 1936) использует четвертое
измерение в юмористическом смысле.
В рассказе два английских джентльме-
на купили шляпы, с которыми связана
страшная тайна, и один из них говорит:
«Сам знаешь, случится что-то стран-
ное, спросишь кого-нибудь умного,
а он покачает головой и скажет: „А,
четвертое измерение!“»
Уильям Фолкнер — один из самых почитаемых
авторов американской литературы. В его
произведениях часто используются прыжки
во времени.
99
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
Владимир Набоков (1899—1977) тоже использует тему изменения ориента-
ции в результате многомерных преобразований в романе «Смотри на арлекинов!»
(1974).
Шведский писатель Ааре Густафссон (р. 1936), получивший в 2009 г. немецкую
литературную премию Гёте, так пишет в своем самом известном романе «Смерть
пчеловода» (1978): «Рай? Недавно я испытал это. Рай по определению исключает
боль. Это означает, что мы живем в раю до тех пор, пока не испытываем боли! И мы
даже не осознаем это. Счастливые и несчастные люди живут в одном мире, и они
даже не знают об этом! У меня такое чувство, будто в течение последних месяцев
я блуждал в моей собственной жизни, как в фантастическом, таинственном лаби-
ринте, и только теперь я вернулся именно в то место, с которого начал. Но так как
я бродил за пределами обычных измерений, правое и левое как будто поменялись
местами. Моя правая рука теперь стала левой, а моя левая рука — правой. Я вер-
нулся в тот же мир, но сейчас он для меня — рай».
Борхес и четвертое измерение
Говоря о четвертом измерении, невозможно не упомянуть аргентинского писателя
Хорхе Луиса Борхеса (1899—1986), который очень интересовался математикой,
что отразилось в его работах. Он затрагивал такие математические темы, как бес-
конечность, рациональные числа, парадоксы, лабиринты, рассечение плоскости,
комбинаторика и теория множеств. Четвертое измерение также привлекло его вни-
мание, и он даже написал статью для нескольких литературных журналов под на-
званием «Четвертое измерение», в которой пытался объяснить его с геометрической
точки зрения. В ней он ссылается на книгу Хинтона «Новая эра мысли» и на «Аз-
буку четвертого измерения» теософа и архитектора Клода Брэгдона.
В других своих произведениях Борхес также прямо ссылается на четвертое изме-
рение. В рассказе «Тлён, Укбар, Орбис Терциус» из сборника «Вымыслы» (1944)
говорится, что письмо, объясняющее тайну Тлёна, появляется в «книге Хинтона».
Про геометрию Тлёна там говорится, что «эта геометрия не знает параллельных ли-
ний и утверждает, что человек, перемещаясь, изменяет окружающие его формы».
Родольфо Мата в своей статье «Борхес и приключения в четвертом измерении» так-
же пишет, что язык Тлёна удивителен, в одном полушарии существительные заме-
нены глаголами: «луна» заменяется глаголом «лунить» или «лунарить», в то время
как в другом полушарии существительные заменяются прилагательными — «луна»
становится «воздушно-светлым на темном-круглом», что, возможно, имеет корни
100
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
в работе Петра Демьяновича Успенского Tertium Organum (1911). По мнению рус-
ского мистика и философа, для адекватного понимания времени в четвертом измере-
нии необходим язык без глаголов: «Если жизнь в третьем измерении соответствует
движению в четвертом, то движение в третьем измерении в четвертом измерении
исчезает».
Борхес снова цитирует Успенского в рассказе «Время и Дж. У. Данн» из сбор-
ника «Новые расследования» (1952). Объясняя теорию Данна бесконечных изме-
рений, русский писатель пишет в Tertium Organum, что «будущее уже существует»,
другими словами, он использует статическое понятие пространства-времени.
В фантазии «Есть многое на свете» из «Книги песка» (1975) дядя главного ге-
роя дает ему «прочесть труды Хинтона, задавшегося целью доказать реальность
четвертого измерения, в чем читатель должен был удостовериться на примере хи-
троумных фигур из цветных кубиков». Кубики Хинтона упоминаются и в других
случаях, чтобы придать истории настроение сказки. Главный герой посещает дом,
в котором умер его дядя, и обнаруживает проход в другие измерения. Сама «Книга
песка» начинается с таких слов: «Линия состоит из множества точек, плоскость —
из бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества плоскостей;
сверхкнига — из бесконечного множества книг».
JORGE LUIS BORGES
El 4LE P H
EDITORIAL I C S Л D Л <i A
Обложка книги «Алеф», в которой
Хорхе Луис Борхес излагает новое
видение Вселенной.
101
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ЛИТЕРАТУРЕ
В рассказе «Абенхакан эль Бохари, погибший в своем лабиринте» из книги
«Алеф» (1949) Борхес пишет от лица главного героя Данревена: «Я решил забыть
твои нелепости и подумать о чем-нибудь осмысленном: о теории множеств например
или о четвертом измерении».
А закончить можно стихотворением Борхеса «Адроге» из сборника «Созда-
тель» (1960):
Ни бедам, ни смертям не подначальны,
Хранят свое былое эти тени,
Но все они, как всё вокруг, реальны
Лишь в памяти — в четвертом измеренье.
(Перевод Б. Дубина)
Научная фантастика
Нет никаких сомнений, что чаще всего тема четвертого измерения появлялась в на-
учной фантастике XX в. К этим сюжетам обращались многие великие фантасты,
такие как Айзек Азимов, Грег Бир, Артур Кларк, Говард Лавкрафт, Фредерик
Пол, Руди Рукер, Клиффорд Саймак и многие другие.
Стоит отметить два произведения, тесно связанные с четвертым измерением.
Один из них — короткий рассказ «...И построил он себе скрюченный домишко»
(1940) Роберта Хайнлайна, в котором архитектор построил дом, являющийся раз-
верткой гиперкуба в третьем измерении (мы остановимся на этом подробнее в сле-
дующей главе). Этот дом после постройки сложился обратно в четвертое измерение
вместе с архитектором, который находился внутри. Гиперкуб также описывает Мад-
лен Л’Энгл в детском рассказе «Складка времени» (1962).
102
Глава 7
Визуализация четвертого
измерения
Таким же образом, как мы можем изобразить на плоскости
фигуру, имеющую три измерения, мы можем сделать это и для
четырехмерной фигуры на поверхности с тремя (или двумя)
измерениями. Мы даже можем изобразить эту фигуру в разных
ракурсах и с разных точек зрения... [и изучая «целое» по этим
частям] мы можем представить четвертое измерение.
Анри Пуанкаре. Наука и гипотеза (1902)
Многие думают, исходя из трехмерности нашего мозга (что вовсе не очевидно, так
как, может быть, мозг в нашем мире является одним из сечений четырехмерного
мозга), что четвертое измерение представить невозможно. Конечно, это сложная
задача, но можно рассуждать, как предлагал Пуанкаре. Как, например, художники
используют двумерное полотно для изображения трехмерных фигур или инженеры
применяют несколько проекций для проектирования инструментов, машин и зданий,
так и мы могли бы попытаться визуализировать четырехмерные объекты, «рисуя»
их в трехмерных проекциях. Хотя даже имея «трехмерные картины», нарисованные
в разных ракурсах, сложно представить, как выглядит четырехмерный объект.
В конце XIX и начале XX вв. одной из главных проблем многомерных про-
странств была их визуализация. Многие ученые пытались изобразить гиперкуб —
четырехмерную версию куба. Исследованием гиперкуба и других n-мерных мно-
гогранников занимались такие специалисты, как Чарльз Хинтон, Клод Брэгдон,
Вашингтон Ирвинг Стрингхем, Алисия Буль Стотт (сестра жены Хинтона), амери-
канец Генри Мэннинг (автор книги «Простое объяснение четвертого измерения»),
француз Эспри Жуффре (автор нескольких работ о четвертом измерении), Анри
Пуанкаре и многие другие.
103
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
На самом деле методы визуализации четвертого измерения заключаются в пере-
ходе к трем измерениям с помощью различных проекций, сечений или разверток.
Эти методы уже были известны и широко использовались в начале XX в. Опи-
сывая различные методы визуализации, мы будем опираться на интуицию и, как
и в других главах книги, использовать многомерные аналогии.
Гиперкуб и гиперсфера
Гиперкуб, также известный как тессеракт (термин, введенный Чарльзом Хинтоном
в книге «Новая эра мысли»), является обобщением куба в четвертом измерении.
Как и в первой главе, предположим, что точка, имеющая нулевую размерность,
будет также 0-мерным кубом, то есть кубом в нулевом измерении. Если точка нахо-
дится на прямой линии (в одномерном пространстве) и перемещается на определен-
ное расстояние по этой прямой, то мы получим отрезок (который будет одномерным
кубом). Если точка находилась в начале оси координат и переместилась на единицу
вправо, то полученный отрезок будет отрезком [0, 1], другими словами, он состоит
из всех точек между 0 и 1 (см. рисунок на странице 106). Если этот отрезок нахо-
дится на оси X координатной плоскости, то, перемещая его на одну единицу по оси
ПОМОГАЮТ ЛИ ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИЗУАЛИЗИРОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ?
Многие считают, что невозможно полностью представить четырехмерный объект в трех
измерениях, а тем более в двух. Это в некоторой степени правда, хотя, с другой стороны,
люди привыкли представлять окружающий мир в двух измерениях с помощью картин, фото-
графий и кино. Другими словами, мы не подвергаем сомнению достоверность плоских
изображений реальности. Более того, для получения информации о реальности эти двумер-
ные изображения иногда просто необходимы, если учитывать изменение ракурсов и мо-
ментов времени. Приведем пару несложных примеров. Театр теней, например, несмотря
на простоту плоских черных силуэтов, не мешает нам узнавать форму предметов и следить
за сюжетом пьесы.
Вторым известным примером является бег лошади. Вплоть до 1870 г. завсегдатаи ка-
лифорнийских скачек вели дебаты о том, существует ли такой момент, когда ни одно
из копыт лошади не касается земли. Спор был решен после того, как британский фотограф
104
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
У, перпендикулярной оси X, мы получим квадрат (двумерный куб) со сторонами 1.
Если мы переместим единичный квадрат на одну единицу в перпендикулярном на-
правлении к плоскости ХУ по оси Z, то мы получим трехмерный куб. Перемещая
трехмерный куб в направлении, перпендикулярном к трем остальным, по новой оси,
которую мы будем называть W, мы, наконец, получим гиперкуб, или четырехмер-
ный куб.
В нашем пространстве мы не можем визуализировать гиперкуб, поэтому мы бу-
дем представлять куб, перемещающийся в перпендикулярном направлении к трех-
мерному пространству, как показано на с. 106.
Серия фотоснимков
Мейбриджа, показывающих
движение лошади. В один
из моментов копыта лошади
не касаются земли.
Эдвард Мейбридж (1830-1904) сделал ряд снимков, на которых было видно, что такой момент
действительно существует.
105
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
(1, 1)
Отрезок прямой, квадрат, куб и гиперкуб со стороной 1 в соответствующих пространствах.
Интуитивно понятно, что каждый n-мерный куб, то есть куб в n-м измерении,
получается путем перемещения (п — 1)-мерного куба из измерения на единицу мень-
ше в направлении, перпендикулярном к предыдущим. Однако в математических
терминах n-мерный куб может быть задан всеми точками в n-мерном пространстве,
координаты которых больше 0 и меньше 1, то есть:
n-мерный куб = {(хг ..., х ) G Rn: 0 < ..., xn < 1}.
Каждый и-мерный куб состоит из элементов меньших размерностей — k-мерных
кубов, где 0 < k < п. Например, гиперкуб состоит из следующих элементов: точек
(вершин или углов), отрезков (ребер), граней (квадратных поверхностей), кубов
106
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
(кубических граней) и самого гиперкуба. Для того чтобы попытаться понять, что
такое гиперкуб, мы начнем с анализа элементов, из которых он состоит, используя
следующие рассуждения и аналогии (с помощью рисунка).
Рассмотрим сначала элементы одномерного куба, то есть отрезка прямой линии.
Отрезок состоит из двух вершин и, конечно, самого себя. Теперь, переместив от-
резок в перпендикулярном направлении и получив квадрат, мы имеем две начальные
вершины и две конечные, следовательно, число вершин при перемещении удвои-
лось. Таким образом, квадрат имеет 4 вершины, куб — 8, а гиперкуб — 16. Теперь
посчитаем ребра квадрата. У нас был начальный отрезок, затем конечный плюс два
отрезка, образованные при перемещении каждой вершины, поэтому квадрат имеет
1 + 1 + 2 = 4 ребра. Аналогично куб будет иметь 4 + 4 + 4 = 12 ребер, а гипер-
куб — 12 + 12 + 8 = 32 ребра.
Далее мы посчитаем грани. При перемещении квадрата в перпендикулярном на-
правлении у нас получится начальная и конечная грани, плюс каждое ребро при дви-
жении образует новую грань, поэтому куб имеет 1 + 1 + 4 = 6 квадратных граней.
Гиперкуб будет иметь 6 + 6 + 12 = 24 квадратные грани. Наконец, при переме-
щении куба получаются начальный и конечный кубы, плюс каждая грань куба при
движении образует новый куб, так что гиперкуб имеет 1 + 1 + 6 = 8 кубических
граней. Занесем полученные данные в таблицу.
Размерность Элементы
Вершины Ребра Квадратные грани Кубические грани Гиперкубы Общее число элементов
0 1 0 0 0 0 1
1 2 1 0 0 0 3
2 4 4 1 0 0 9
3 8 12 6 1 0 27
4 16 32 24 8 1 81
Гиперсфера является эквивалентом сферы в четвертом измерении. Но чтобы дать
определение гиперсферы, мы должны понять, что такое сфера. Сфера образована
всеми точками, находящимися на одном и том же расстоянии (радиусе) от данной
точки (центра). В терминах аналитической геометрии, если О = (0, 0, 0) — коор-
динаты центра, аг — радиус, это можно записать следующей формулой:
S2 ={(.v,y,z) G R3 : х2 +у2 + z2 = г2}.
Кроме того, сфера является двумерной поверхностью.
107
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ Л/-МЕРНОГО КУБа
С помощью комбинаторики мы можем получить общие формулы для определения количества
элементов л-мерного куба. Пусть Е (к, п) обозначает количество /(-мерных кубов в л-мерном
кубе. Для расчета Е (к, л) мы сначала определим, сколько k-мерных кубов выходит из данной
вершины. Если из каждой вершины выходит л ребер, то достаточно посчитать, сколькими спо-
собами мы можем выбрать к ребер из л. Это число и будет количеством k-мерных кубов, вы-
ходящих из данной вершины. Таким образом, задача свелась к комбинаторике:
л = л/
к J к!(п - к)'
где л! является факториалом л, другими словами, л! - л (л - 1) (л - 2) ... 3 • 2 • 1. Так как
всего гершин 2л, то общее количество k-мерных кубов равно
Но каждый k-мерный куб имеет 2к вершин. Это значит, что каждый k-мерный куб мы посчи-
тали 2к раз, поэтому мы разделим результат на это число. Получим
Е(fcn)=2^ пк У
В общем случае количество /(-мерных кубов считается так
Е(О,п) + f (1 ,n) + L + Е(п —1,л) + Е(п,п) =
п 1 + £ + 2"“* f п Kt + zf п п ] = (2 + 1)"=з]
/ J Ц J к п-1 ) V п ) v ’
Можно убедиться, что результаты в приведенной выше таблице согласуются с этой формулой.
В общем случае для любого (n + 1)-мерного пространства соответствующая
n-мерная сфера образуется точками (и + 1)-мерного пространства, которые нахо-
дятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Мы имеем следующую формулу:
S” ={(%,, ...,х R"+1 + •• + .%< =r2}.
L x i ' w+*
108
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
В одномерном пространстве 0-мерная сфера с центром в точке 0 и радиу-
сом 1 представляет собой две точки {—1, 1}, как показано на рисунке. На плоскости
одномерная сфера является окружностью с центром в начале координат и радиусом
1, а в трехмерном пространстве двумерная сфера будет тем, что мы обычно понимаем
под сферой.
N-мерные сферы с радиусом 1 ис центром в начале координат в пространствах
размерности (п + 1), где п - 0,1, 2.
Теперь мы подошли к задаче, как можно визуализировать и лучше представить
себе, что такое гиперсфера. Предположим, что пространственное четвертое измере-
ние существует, и мы находимся на огромном поле. Мы смотрим на пятиметровую
мачту и хотим представить себе, как выглядит гиперсфера с центром на верхушке
мачты и радиусом 5 м. Конечно, можно представить обычную сферу (двумерную)
109
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
с центром в этой точке и радиусом 5 м (как показано на рисунке ниже), состоящую
из точек нашего трехмерного пространства, которые находятся на расстоянии 5 м
от центра. Ясно, что эти точки также принадлежат гиперсфере. Но можно ли визуа-
лизировать остальные точки гиперсферы, которые не находятся в нашем простран-
стве? Предположим, что мы переместились на 4 м от центра сферы в любом направ-
лении, а затем — на 3 м в направлении к ана. Это направление, кстати, перпендику-
лярно к предыдущему. Тогда по теореме Пифагора З2 + 42 = 52. Другими словами,
мы оказались в точке в 5 м от центра, которая, следовательно, принадлежит гипер-
сфере.
р (точка гиперсферы
• с радиусом 5 м)
3 м (в направлении к ана)
Сфера с центром О и радиусом 5 м является частью гиперсферы, той частью, которая находится
в нашей трехмерной вселенной. Если мы отойдем от центра сферы на 4 м, а затем наЗм
в направлении к ана, то окажемся в точке Р, которая будет точкой гиперсферы с радиусом 5.
Так можно получить все точки гиперсферы. Чтобы лучше понять эту идею, мы
повторим этот процесс на поверхности Флатландии. Предположим, что Квадрат,
главный герой книги Эбботта, захотел изобразить на плоскости сферу с центром
в точке О и радиусом 5. Сначала он нарисовал в своей плоской вселенной окруж-
ность радиуса 5, которая, как он знает, является частью трехмерной сферы, то есть
той частью, которая находится во Флатландии. Затем он действует так же, как
и мы: он перемещается в любом направлении от центра на расстоянии 4 м, а затем
представляет движение на 3 м вверх. По теореме Пифагора (которую он, к счастью,
110
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
знает) полученная точка также будет точкой сферы (см. рисунок ниже). Кроме того,
из точек окружности меньшего радиуса, например 4 м, Квадрат может представить
другую окружность в верхней части сферы (то есть плоское сечение сферы), рас-
положенную в 3 м над Флатландией. Другая меньшая окружность может быть по-
лучена при движении вниз.
Окружность с центром О и радиусом 5 м, нарисованная Квадратом, является той частью сферы,
которая находится во Флатландии. Если мы переместимся от центра круга на расстояние 4 м, а затем
на 3 м вверх, то мы окажемся в точке Р, которая также будет точкой сферы радиуса 5 м.
Квадрату удалось понять, что такое сфера, но теперь он должен попытаться
представить ее. Учитывая, что каждая окружность с центром О и радиусом меньше
5 м соответствует окружности сферы (на самом деле двум окружностям), Квадрат-
математик представляет себе половину сферы как группу всех окружностей с цен-
тром О и радиусом меньше 5 м, как показано на рисунке.
Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими,
чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).
111
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с боль-
шим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (от-
резка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обознача-
ет высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг,
соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус
которого равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора:
h2 + с2 = 52). Следующий рисунок получен именно так.
Точки, находящиеся на отрезке,
указывают высоту, на которой
расположена каждая
из окружностей. Этот рисунок
является визуализацией сферы
на плоскости (рисунок Хосу Арройо)
Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы мо-
жем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство
всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными
5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различ-
ных высотах h в направлении ана или ката.
Все сферы в направлении,
перпендикулярном
к трехмерному пространству
(в направлении ана или
ката), являющиеся
частями гиперсферы,
изображены на отрезке,
точки которого указывают
высоту каждой сферы.
Этот рисунок является
визуализацией гиперсферы
в нашем трехмерном
пространстве (рисунок
Хосу Арройо).
112
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Ортогональные проекции
Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в дан-
ном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются
математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство
в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для
преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размер-
ностей.
Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый
является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие
изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью матема-
тических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато
можно использовать мощные математические средства.
В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций,
используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответству-
ющие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко
расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так ра-
ботает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.
АЛГОРИТМЫ И АЛГОРИФМЫ
Алгоритм - это упорядоченный и конечный набор действий для решения задачи, будь то в об-
ласти математики или других наук. Метод вычислений также называется алгоритмом.
Раньше в качестве синонима слова «алгоритм» использовали слово «алгорифм», однако
в наши дни такое написание практически не употребляется, за исключением устойчивых вы-
ражений, как, например, «Нормальный алгорифм Макарова». Математик А.А. Макаров (млад-
ший) (1903-1979) был основоположником советской школы конструктивной математики и ввел
понятие нормального алгоритма.
113
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Для начала вспомним, как мы в детстве рисова-
ли куб. Наверняка наши изображения были похожи
на рисунок слева. Но мы тогда и не подозревали, что
рисуем ортогональную проекцию куба.
Ортогональная проекция — это отображение,
а именно проецирование в определенном направлении
п-мерного координатного пространства любой размер-
ности п на одно из его подпространств (и — 1) размер-
ности. Иными словами, все точки, которые находятся
на одной прямой линии, расположенной в заданном направлении, проецируются
в одну точку (п — 1)-мерного подпространства, в которой эта прямая линия пересе-
кает подпространство. В трехмерном пространстве подпространство, на которое мы
проецируем, является плоскостью. Образ объекта, полученный в результате ортого-
нального проецирования, представляет собой своего рода тень объекта, полученную
при освещении его параллельными лучами света, падающими на плоскость проекции
в заданном направлении (см. рисунок ниже). Например, так как Солнце находит-
ся очень далеко от Земли, солнечные лучи можно считать параллельными, и они
падают на Землю в определенном направлении. Таким образом, тени предметов
являются ортогональными проекциями. Конечно, если изменить направление про-
ецирования, то получаются различные плоские проекции одного и того же объекта.
114
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Рассмотрим теперь трехмерный куб и спроецируем его на плоскость. Чтобы луч-
ше представить проекцию, возьмем кубическую рамку — стержни, показывающие
структуру куба и представляющие линии, из которых состоит куб. Проецируя в раз-
ных направлениях, мы получим следующие изображения. Как видим, они очень
хорошо отражают интуитивный подход, который мы использовали на протяжении
всей книги: куб — это результат перемещения квадрата в перпендикулярном на-
правлении.
Ортогональные проекции куба в следующих направлениях: а — перпендикулярном к двум граням
куба и параллельном четырем другим; б — параллельном только верхней и нижней граням куба;
в — параллельном диагонали; г— не параллельном ни граням, ни диагонали.
В этом случае хорошо видно свойства ортогональных проекций: они переводят
отрезки прямых в отрезки или точки и сохраняют параллельность. Кроме того, па-
раллельные отрезки равной длины проецируются в параллельные отрезки также
равной длины.
Если мы теперь ортогонально спроецируем четырехмерный гиперкуб (точнее, его
каркас) на трехмерное пространство, мы получим трехмерную фигуру, изображен-
ную на рисунке ниже.
Ортогональная проекция
каркаса гиперкуба
на трехмерное пространство,
сделанная с помощью
конструктора Zometool.
115
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Если мы ортогонально спроецируем ее на плоскость, то получим классическое
изображение гиперкуба.
Как видно, оно соответствует интуитивному образу гиперкуба, который мы полу-
чали ранее, представляя, как куб перемещается в перпендикулярном направлении. Вер-
немся снова к этой идее. Если куб перемещается в перпендикулярном направлении,
то он порождает гиперкуб, изображение которого на плоскости выглядит следующим
образом:
В зависимости от направления перемещения и симметричности гиперкуба его
изображение будет отличаться. Но можно пойти еще дальше: при перемещении ги-
перкуба в перпендикулярном направлении получается 5-мерный куб.
И так можно продолжать бесконечно, получая все более красивые изображения.
116
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
НОВЫЙ ЯЗЫК АРХИТЕКТУРНОГО ДИЗАЙНА
Иллюстрация из книги «Проективный
орнамент», показывающая, как четвертое
измерение используется для создания
новых декоративных мотивов.
Американский архитектор, писатель, дизайнер
и теософ Клод Брэгдон (1866-1946) в своей кни-
ге «Проективный орнамент» (1915) описал систе-
му для получения геометрических узоров, которые
можно использовать в архитектуре, графическом
дизайне и украшениях. Этот метод широко исполь-
зовался в современной архитектуре, например
при строительстве Торговой палаты в Рочестере
(1915-1917), а также в дизайне журналов, плака-
тов и книг. Брэгдон писал о необходимости созда-
ния нового языка архитектуры и орнаментов, ос-
нованного на геометрии. Более того, четвертое
измерение оказалось одним из основных инстру-
ментов для декоративного дизайна. Брэгдон ут-
верждал, что «новые декоративные мотивы следу-
ет искать в четырехмерной геометрии».
Центральная проекция
Изображения куба и гиперкуба, полученные в предыдущем разделе, являются «те-
нями» при падении на объект параллельных «лучей света». Но теперь мы будем
рассматривать тени, порожденные лучами света, исходящими из одной точки.
Именно такие изображения видит наш глаз или объектив фотокамеры. Соответству-
ющая проекция называется центральной проекцией. Это отображение п-мерного
координатного пространства в (п — 1)-мерное подпространство, при котором лучи
соединяют центральную точку (источник света) с подпространством проекции, так
что все точки, которые находятся на одном таком луче, будут проецироваться в одну
точку (и — 1)-мерного подпространства.
117
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
МЕТОД ПЕРСПЕКТИВЫ В ИСКУССТВЕ
Метод перспективы в искусстве Ренессанса был научной и художественной революцией в под-
ходе к представлению пространства на плоскости. В древности и в средние века образы
на картинах были плоскими, в том смысле, что у них не было глубины, пропорции не сохра-
нялись, а формы и объемы искажались. В Средние века, например, более крупно изобража-
ли более важных с религиозной точки зрения персонажей. В эпоху Ренессанса художники
обратились к науке в поисках методов и приспособлений, позволяющих получить изображе-
ние, более близкое к тому, что видит глаз художника. Среди великих художников, использо-
вавших метод перспективы, были
Джотто, Пьеро делла Франческа,
Брунеллески, Леон Баттиста Альбер-
ти, Рафаэль, Дюрер и Леонардо да
Винчи. Метод перспективы домини-
ровал в искусстве с XV до XIX в.
Сцена с картины «Альфонсо Мудрый и его двор» (рис. вверху). Это пример плоской
живописи Средневековья. Ниже — «Бичевание Христа» (1444-1469) Пьеро делла
Франчески. Ренессанс принес с собой метод линейной перспективы.
118
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Если спроецировать трехмерный куб, используя центральную проекцию из трех
различных точек, то мы получим следующие изображения.
А
Как видим, центральная проекция не со-
храняет параллельность. В этой проекции
образом параллельных линий будут линии,
которые пересекаются в точке схода. Как
видно на рисунке, куб имеет три группы па-
раллельных линий (или ребер), и его про-
екция может иметь одну, две или три точки
схода (рисунки А, Б и В соответственно).
Кроме того, частям объекта, которые бли-
же к центральной точке проекции, соот-
ветствуют более длинные отрезки на про-
екции. Другими словами, у куба все ребра
имеют одинаковую длину, а длина отрезков
на проекции будет различаться в зависимо-
сти от расстояния от ребра до центральной
точки проекции. Аналогично на рисунке
А внешний квадрат соответствует грани,
которая ближе к источнику света, а вну-
тренний — той грани, которая дальше.
Как и для куба, можно получить разные центральные проекции гиперкуба в на-
шем трехмерном пространстве в зависимости от положения источника света в четы-
рехмерном пространстве. Проекция гиперкуба, изображенного на рисунке Б, соот-
ветствует рисунку А. Как и в трехмерном случае, внешний куб представляет собой
119
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
кубическую грань гиперкуба, которая расположена ближе к центральной точке про-
екции, в то время как внутренний куб является образом дальней кубической грани.
Одним из самых интересных примеров визуализации гиперкуба является фильм
Томаса Бэнчоффа и Рихарда Страусса «Гиперкуб: проекции и сечения», который
показывает проекции гиперкуба в различных ракурсах.
Сечения гиперкуба
В прошлом при изучении морфологии цветов и различных растений ботаники ис-
пользовали особый метод, состоящий в том, что изучаемый объект помещали в кон-
тейнер, куда наливали специальное вещество. Это вещество делало растение твер-
дым, так что его потом можно было нарезать тонкими слоями. Вспомним, что
во Флатландии такой способ использовался для передачи информации между мира-
ми различных размерностей. Квадрат использует «небольшие срезы», чтобы опи-
сать Флатландию или чтобы показать себя королю Аайнландии. Для этого он пере-
секает своим телом одномерный мир Аайнландии. Аналогично Сфера, пересекая
ГИПЕРКУБ В ИСКУССТВЕ
С тех пор как четвертое измерение стало частью поп-культуры, многие художники пытались вос-
создать различные визуализации гиперкуба, в том числе его проекции. Гиперкуб стал центральной
темой произведений многих архитекторов, художников и скульпторов. Например, одна из скульптур,
которая использует центральную проекцию гиперкуба, называется Monumento a la Constitution
и находится в саду музея естественных наук в Мадриде. Она изготовлена из андалузского белого
мрамора, символа чистоты. Сторона ее внешнего куба равна 7,75 м, четыре боковые грани от-
крыты. и в каждой имеется шесть ступенек, ведущих к центральному кубу, так что к нему можно
подойти с четырех сторон света, что символизирует демократические ценности. Гиперкуб пред-
ставляет собой более высокую реальность, чем наше трехмерное пространство, соответствующее
трем конституционным принципам: свобода, равенство, братство. Идею гиперкуба можно также
найти в Большой арке Дефанс (La Grande Arche de la Defense), расположенной в пригороде Парижа.
Построенное по проекту датского архитектора Отто фон Спрекельсена в 1989 г., это внушительное
сооружение высотой 110 м имеет форму центральной проекции гиперкуба. В верхней части арки
располагаются зал для конференций и выставочный центр, музеи и смотровая площадка, а в бо-
ковых частях - правительственные учреждения.
120
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Флатландию, пытается объяснить реальность существования самой себя и трехмер-
ной вселенной. Что же видит Квадрат, когда Сфера пересекает Флатландию? Сна-
чала он видит точку, затем — круг (хотя круг может быть жрецом Флатландии),
который увеличивается, а затем снова уменьшается до точки и исчезает. Мы бы
Центральная проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерном пространстве.
На фотографии слева — Большая арка Дефанс, гиперкуб к 200-летию
Французской революции. Справа — Monumento a la Constitution (1979)
по проекту архитектора Мигеля Анхеля Руиса Ларреа, который использовал
центральную проекцию гиперкуба.
121
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
увидели то же самое, если бы наш мир посетила Гиперсфера, только вместо круга
мы бы увидели меняющийся в размере шар. Иными словами, трехмерные срезы Ги-
персферы являются сферами, которые меняются в размере.
Прежде чем анализировать форму гиперкуба с помощью трехмерных срезов,
рассмотрим случай в пространстве на размерность меньше, а именно плоские сече-
ния куба в различных направлениях, чтобы далее использовать эту аналогию.
Трехмерные сечения гиперсферы (рисунок Хосу Арройо).
Если рассекать куб вдоль одной из его граней, другими словами, делать парал-
лельные срезы, то полученные сечения будут квадратами, как видно на рисунке
на следующей странице. Если сделать срез, проходящий через одно из ребер по ди-
агонали куба, и другие сечения, параллельные этому срезу, то получаются прямо-
угольники, квадраты и отрезки. Самые интересные сечения, которые труднее всего
представить, получаются, когда делаются срезы, начиная с одной из вершин и пер-
пендикулярно к диагонали куба, соединяющей эту вершину с противоположной.
Сначала получается треугольник, который увеличивается в размерах, затем умень-
шается, пока не исчезнет на противоположной вершине. Но какую фигуру мы уви-
дим в середине этого процесса? Как ни странно, это правильный шестиугольник,
то есть шестиугольник с равными сторонами и углами.
122
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Это происходит потому, что треугольные сечения изменяются при прохождении
через другие три вершины куба, образуя шестиугольник со сторонами разной дли-
ны, который потом снова становится треугольником, уменьшающимся в размере.
Но вершины этого треугольника теперь ориентированы в направлении, противопо-
ложном направлению изначального треугольника, поэтому в силу симметрии в сред-
ней точке мы получаем правильный шестиугольник.
Плоские сечения куба в зависимости от направления среза.
ГОРИЗОНТАЛИ
Плоские сечения трехмерных объектов с целью
получения информации об их геометрии и фор-
ме используются, например, в топографии. На
топографических картах можно видеть различ-
ные контуры, которые представляют собой
точки, находящиеся на одной высоте над уров-
нем моря. Они показывают горизонтальные
сечения поверхности местности на различной
высоте. При пересечении поверхности гори-
зонтальными плоскостями как раз и получают-
ся такие кривые линии. Если они расположены
очень близко друг к другу, то на местности это
означает наличие крутого склона, а если они
находятся далеко друг от друга, то поверхность
более пологая. I оризонтали наряду с исполь-
зованием цвета на топографических картах
дают дополнительную информацию о рельефе.
Горизонтали служат для изображения
рельефа местности.
123
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Чтобы получить трехмерные сечения гиперкуба, мы, как и в случае с кубом, бу-
дем делать срезы вдоль кубической грани, затем параллельно квадратной грани, за-
тем параллельно ребру и, наконец, начиная с вершины. Можно представить, будто
гиперкуб падает сквозь наше трехмерное пространство. Мы будем изучать те части
гиперкуба, которые мы видим во время его движения.
Если принять во внимание, что гиперкуб, или тессеракт, представляет собой куб,
движущийся в дополнительном перпендикулярном направлении, то очевидно, что
его трехмерные сечения вдоль кубической грани всегда являются кубами. И дей-
ствительно, эти сечения — различные положения трехмерного куба при его движе-
нии в четвертом измерении.
Чтобы понять, как выглядят сечения гиперкуба при срезах параллельно квадрат-
ной грани, надо представить сечения куба вдоль его граней или ребер. Как видно
на рисунке ниже, квадратная грань образует квадратные сечения при движении,
в то время как кусочки рассекаемой квадратной грани образуют прямоугольники,
поэтому сечения гиперкуба будут представлять собой прямоугольные призмы с ква-
дратными основаниями.
Сечения куба со стороны ребра и вершины помогают понять форму трехмерного
сечения гиперкуба при срезах параллельно ребру. Последовательность трехмерных
срезов будет линией, треугольной призмой, затем шестиугольной призмой и пра-
вильной шестиугольной призмой. Затем эти фигуры будут повторяться в обратном
порядке.
124
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Наиболее интересный случай, как и в примере с кубом, — это сечения гиперкуба,
начиная с его вершины. Последовательность сечений представляет собой точку, те-
траэдр, усеченный тетраэдр, икосаэдр, снова усеченный тетраэдр, тетраэдр и опять
точку.
Развертка гиперкуба
Другим методом визуализации гиперкуба является изучение его развертки в трех-
мерном пространстве. В нашем трехмерном пространстве обычная коробка образо-
вана внешней частью куба — его квадратными гранями. Если открыть одну из них,
как крышку, мы получим внутреннюю часть куба — пространство для хранения
вещей. Во Флатландии, например, коробки представляли собой квадраты, а граня-
ми таких коробок были стороны квадрата, одна из которых являлась крышкой, с по-
мощью которой флатландцы открывали и закрывали коробку, используя внутреннее
двумерное пространство для хранения вещей. Гиперкоробкой будет являться внеш-
няя часть гиперкуба, образованная трехмерными кубическими гранями, одна из ко-
торых будет использоваться как крышка, и гиперсущества смогут хранить в четы-
рехмерном внутреннем пространстве гиперкоробки свои вещи.
Если развернуть квадрат, или куб, или гиперкуб, мы получим их внешнюю часть:
для квадрата — отрезки, для куба — квадраты, для гиперкуба — кубы, то есть
фигуры на одну размерность меньше. Следовательно, мы можем развернуть их
в пространстве меньшей размерности. Коробка из Флатландии — квадрат — мо-
жет быть развернута в Аайнландии, и ее сможет увидеть король Аайнландии, чтобы
понять, что такое квадрат. Наша обычная кубическая коробка может быть развер-
125
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
нута на плоскости. Таким образом флатландцы могут попытаться понять форму
куба. И, наконец, мы можем развернуть гиперкоробку в нашем трехмерном про-
странстве и лучше понять, что такое гиперкуб. На следующих рисунках изображены
развертки в каждом описанном случае.
Давайте представим, как Квадрат — житель Флатландии — развернул одну
из своих коробок в Лайнландии. Для этого он сначала открыл крышку коробки (если
у нее не было крышки, то две из ее сторон нужно отделить друг от друга в вершине),
а затем развернул ее в прямую линию. В конечном итоге он получил четыре равных
отрезка, расположенных на одной линии, то есть в Лайнландии.
Теперь рассмотрим хорошо нам знакомую развертку кубической коробки. Как
обычно, сначала мы откроем крышку. Если крышки нет, то одну из граней надо от-
делить от других, разрезав по трем ребрам. Когда крышка открыта, отделим друг
от друга четыре боковых грани, разрезав коробку по четырем соединяющим их ре-
брам. После этого кубическая коробка может быть разложена на столе, образовав
так называемую развертку куба, как показано на рисунке, хотя возможны и другие
развертки.
Ортогональная проекция
Центральная
проекция
126
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
ГЕКСАМИНО
Плоские фигуры, образованные путем соединения шести квадратов ребро к ребру (квадраты
не могут касаться только вершинами), называются гексамино. Примером такой фигуры являет-
ся развертка кубической коробки. Рассмотрим интересную задачу: сколько существует раз-
личных таких фигур? Их количество, конечно, зависит от числа квадратов. В общем случае по-
лимино, или л-мино, образовано из п квадратов. Существует одно-единственное домино
(п - 2). Добавив один квадрат, мы можем построить два тримино (л = 3). С еще одним квадра-
том мы получим пять тетрамино. Именно эти фигуры, кстати, используются в игре тетрис. Суще-
ствует 12 пентамино, которые также появляются в интересных играх. Наконец, добавив еще один
квадрат к 12 пентамино, мы получим 35 гексамино. Но какие из них являются развертками
куба? Попробуйте сами ответить на этот вопрос!
35 возможных гексамино, но лишь 11 из них являются развертками куба.
127
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Теперь, используя аналогии для случаев меньших размерностей, мы попробуем
получить развертку гиперкуба. Как и раньше, мы откроем крышку гиперкоробки —
верхнюю кубическую грань, соединенную с шестью другими гранями. Для этого
мы должны отсоединить кубическую крышку от пяти граней гиперкуба, разрезав
по пяти квадратам. Теперь гиперкуб открыт, но мы должны сделать дополнительные
разрезы, чтобы развернуть его. Нужно разрезать по квадратам, которые соединяют
те шесть кубов, что прилегали к крышке (таких разрезов будет восемь). Таким об-
разом мы получили гиперкуб, развернутый в нашем трехмерном пространстве.
Каждый из подходов для представления гиперкуба в трехмерном пространстве
дает нам часть информации о четырехмерном объекте, но скрывает другую часть
информации и даже искажает ее. Например, проекции искажают форму гиперкуба,
но сохраняют информацию о пространственных соотношениях элементов гиперкуба
128
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
друг с другом в четвертом измерении. Сечения дают очень мало информации, так
как показывают очень небольшую часть объекта, но зато без искажений, а последо-
вательность нескольких сечений также несет в себе полезную информацию о вну-
тренней структуре гиперкуба. Развертки показывают нам без искажений элементы
гиперкуба, но мы теряем информацию о четырехмерных соотношениях элементов
и изначальной форме гиперкуба.
Пространственно-временной континуум
Этот раздел, посвященный статическому пространству-времени, вроде бы не имеет
ничего общего с визуализацией четвертого измерения. Однако в XIX в., когда вре-
мя рассматривалось в качестве возможного четвертого измерения, этот подход так-
же использовался для получения мысленных образов четырехмерных объектов.
Время (или движение как локальный вариант времени) являлось еще одним измере-
нием, дополнительным к трем пространственным.
Теперь мы снова вернемся к двумерным аналогиям Флатландии для того, чтобы
лучше понять, что такое пространственно-временной континуум. Хинтон сравнил его
с книгой, страницами которой являются моменты времени, идущие не по порядку.
В этом случае пространственно-временной континуум будет трехмерным, про-
странственная часть которого является двумерным пространством, Флатландией,
а время — еще одним измерением, перпендикулярным к ней. Чтобы лучше понять
это, представим себе такую картину: Квадрат подходит к своему сыну Пятиуголь-
нику, чтобы поговорить с ним, а затем снова уходит. В пространственно-временном
континууме мы бы наблюдали два сближающихся, а затем удаляющихся стержня:
один с пятиугольным сечением, а другой — с квадратным. Каждый момент времени
этой сцены во Флатландии является двумерным сечением пространства-времени,
которое, соответственно, представляет собой последовательность разных моментов
времени — как пленка, состоящая из последовательности кинокадров.
Аналогично наше статическое пространство-время представляет собой четырех-
мерное пространство с тремя пространственными измерениями и одним временным.
Каждый момент времени является трехмерным сечением пространственно-времен-
ного континуума. В этом четырехмерном пространстве мы выглядим как стержни,
конечные во времени. Статическое пространство-время объединяет в себе прошлое,
настоящее и будущее, но почему тогда нельзя увидеть прошлое или будущее, если
они, конечно, существуют? Более того, почему мы воспринимаем время как текущее
вперед? Некоторые считают, что это свойство нашей вселенной и это надо принять
129
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
Для Флатландии пространственно-временной континуум будет трехмерным, где Квадрат
и его сын Пятиугольник выглядят как вытянутые во времени стержни.
как данность. Например, в своей статье «Миф о течении времени» физик Дэвид
Парк писал: «... все события нашей жизни и нашей истории существуют одновре-
менно, а иллюзия течения времени является свойством нашей вселенной, которое
можно наблюдать, но нельзя объяснить...» Другие думают, что течение времени —
это нечто субъективное, происходящее в нашем сознании, и что можно достичь
определенного психического состояния, при котором мы можем изменить местопо-
ложение нашего сознания в пространстве-времени. Правда, приверженцев этой
идеи не так уж и много.
Фильм или книга являются неплохой метафорой для пространственно-временно-
го континуума, так как книги или фильмы находятся в нашей коллекции, даже если
мы не смотрим и не читаем их. Тогда восприятие течения времени аналогично про-
130
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧЕТВЕРТОГО ИЗМЕРЕНИЯ
смотру фильма или чтению книги. Но тут возникают интересные вопросы: можно ли
посмотреть фильм несколько раз или даже бесконечное число раз? Возможно ли
в определенный момент фильма вернуться к предыдущему эпизоду или перемотать
на несколько эпизодов вперед? Если это возможно, то где находится пульт дистан-
ционного управления временем?
Другим интересным вопросом, связанным с теорией статического пространства-
времени, является проблема свободы воли. Обычно отмечают тот факт, что будущее
вовсе не определяется тем, что произошло ранее, а если даже будущее предопре-
делено, это вовсе не значит, что его можно предсказать. Если бы будущее можно
было предсказать, то нарушился бы сам пространственно-временной континуум.
Ведь это бы означало, что у нас нет свободы действий, что наши жизненные пути
предопределены, хотя мы даже не осознаем это. Если что-то случается, мы склонны
спрашивать себя, как же это случилось? Что вызвало это событие, чем то или иное
действие было мотивировано? Мы обычно считаем, даже веря в свободу воли, что
всегда существуют внутренние или внешние причины, объясняющие любое событие.
Например, при изучении физики возникает впечатление, что для всего есть свои
причины и ничто не является случайным. Положение каждой частицы определяет-
ся ее начальными условиями, положением в пространстве и силами, действующими
на нее.
Однако физики доказали, что существуют события, которые могут произойти,
а могут не произойти, независимо от того, что случилось ранее. Такая ситуация, на-
пример, имеет место при радиоактивном распаде атома урана. Решением проблемы
свободы воли в пространственно-временном континууме является теория «парал-
лельных вселенных». Эта идея была предложена и изучалась многими выдающими-
ся физиками. Среди них американец Хью Эверетт, написавший диссертацию на эту
тему, и Брайс Девитт, развивший идеи Эверетта. Благодаря Девитту работа Эве-
ретта известна под названием «Многомировая интерпретация квантовой механики».
По этой теории, одновременно существуют все возможные вселенные, соединенные
между собой в виде разветвленного дерева, и наша вселенная является не более чем
одной из возможных ветвей. В каждый момент времени, когда какое-то событие
происходит или не происходит, вселенная, точнее одна из ее ветвей, расщепляется
на две части. Это означает огромное количество разветвлений и бесконечное чис-
ло параллельных вселенных. Существуют вселенные, в которых мы есть и в кото-
рых нас нет, существуют даже вселенные, где у нас четыре руки или где мы можем
летать.
131
Глава 8
Четвертое измерение
в искусстве XX века
По отношению к пластическим формам четвертое измерение
можно определить как осознание великого и могущественного
чувства безмерности пространства во всех направлениях,
существующего в трех известных измерениях. Это
не физическая теория, не математическая гипотеза
и не оптическая иллюзия. Это реальность, и как таковая
она может восприниматься и ощущаться.
Макс Вебер. Четвертое измерение с точки зрения пластики (1910)
Метод перспективы эпохи Возрождения, заключавшийся в попытке изобразить то,
что видит человеческий глаз, доминировал в искусстве на протяжении пяти веков.
Однако изобретение фотографии, следствием которого стала возможность получе-
ния истинного изображения предметов, а также ряд других философских, социаль-
ных и культурных факторов привели к тому, что художники стали все реже исполь-
зовать этот метод. Сначала это были робкие попытки импрессионистов, затем окон-
чательный разрыв, начатый французским художником Полем Сезанном (1839—
1906) и доведенный до логического завершения художниками-кубистами.
Неевклидовы и многомерные геометрии способствовали тому, что кубисты окон-
чательно отказались от перспективы. Начиная с того времени, четвертое измерение
проникло практически во все авангардные течения XX в. Оно пленяло художников
различными аспектами — геометрическими, философскими, поэтическими — и ис-
пользовалось в их работах в самых разнообразных формах.
Многие математики упрекали художников за отсутствие научной строгости в ин-
терпретации четвертого измерения. Однако разве можно запретить проявлять инте-
рес к какой-либо математической области, тем более что произведения искусства
выходят за границы любой науки? Кроме того, разве это не нормально для работы
художника, для его образа мышления и творчества — самому отражать социальные
133
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
и общечеловеческие вопросы в поисках собственного пути, чтобы позже показать свое
восприятие через произведения искусства? Почему такой подход, считающийся при-
емлемым для других тем, нельзя применить к математическим вопросам? Ведь худож-
ники не занимаются математикой, так почему мы должны требовать от них научной
строгости? Их интерес к любым вопросам мироздания может завести их в любую об-
ласть человеческого знания, включая математику. Мы не можем ожидать от них ис-
пользования научных методов, у них есть собственный «художественный метод». Ху-
дожники добавили к своему багажу четвертое измерение, неевклидовы и многомерные
геометрии, чтобы использовать их в своих собственных открытиях.
Кубизм и разрыв с методом перспективы
Четвертое измерение было символом освобождения и источником новых идей для
многих художников, в частности для кубистов. С восторгом встретив идеи о сущест-
вовании многомерных пространств и высшей реальности, они попытались порвать
с методом перспективы эпохи Возрождения, чтобы оторваться от «визуальной ре-
альности», ограниченной теми проекциями трехмерного пространства, которые вос-
принимает наш глаз. В конце XIX в. четвертое измерение внесло вклад и в развитие
идеалистической философии, которая пришла на смену господствующему в то время
позитивизму.
Французские художники Альбер Глез (1881—1953) и Жан Метценже (1883—
1956), видные теоретики кубизма, писали в своей книге «О кубизме», что худож-
ник-кубист в отличие от художника эпохи Возрождения не пытается изобразить
объект так, как его видит глаз, а показывает объект таким, какой он есть. На эту
тему существует анекдот о том, как Пабло Пикассо (1881—1973) как- то раз ехал
в поезде. Другой пассажир узнал его и спросил, почему тот не может изображать
людей такими, какие они есть, а не в искаженном виде. Пикассо попросил у того
человека фотографию его семьи, некоторое время рассматривал ее, а потом ответил:
«Разве ваша жена действительно такая маленькая и плоская?» Другими словами,
изображение объекта в перспективе, как бы реалистично оно ни выглядело, даже
если это фотография, не показывает объект таким, какой он есть на самом деле. Лю-
бое изображение объекта — это лишь его проекция. В статье, появившейся в жур-
нале Comoedia Illustre в 1913 г., критик Морис Рейналь писал: «Вместо того чтобы
изображать объекты, как они их видят, примитивисты изображали их, как они дума-
ли, как они их видят. И это именно тот подход, который кубисты видоизменили,
расширив его и определив термином „четвертое измерение"».
134
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Чтобы отказаться от метода перспективы и представлять объекты такими, какие
они есть на самом деле, а не какими мы их видим, кубисты изображали на холсте
несколько ракурсов. В качестве примера можно привести картину Пикассо «Пор-
трет Марии Терезы Вальтер» (1937). На этом портрете, несмотря на то что он
не относится к кубистскому периоду Пикассо (который, по мнению историка искус-
ства Дугласа Купера, длился с 1907 по 1921 г.), Мария Тереза Вальтер изображена
в различных ракурсах.
На картине Пикассо Мария Тереза Вальтер изображена в различных ракурсах. Ее шляпка
показана с двух различных точек зрения: сверху и снизу. Лицо возлюбленной Пикассо
(написанное в классическом стиле Пикассо) также изображено в разных планах: по одному
для каждого глаза, еще один ракурс — для губ, четвертый — для носа и еще один — для
волос. В изображении тела также можно найти несколько ракурсов. Стул и руки показаны
по крайней мере с двух точек зрения. Пол изображен так, будто зритель смотрит на женщину
сверху вниз, в то время как потолок показан снизу.
135
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Однако метод, используемый в первые годы кубизма, заключался в том, чтобы
разбить изображение на небольшие участки или грани и в каждом из них показать
части объекта в различных ракурсах, которые все вместе образовывали на холсте пол-
ное изображение, представленное со всех точек зрения. При таком способе живописи
изображение приобретает определенную сложность и начинает напоминать визуали-
зации четырехмерных объектов. Примером использования такого метода является
одна из картин кубистского периода Пикассо «Портрет Амбруаза Воллара» (1910).
На картине «Портрет Амбруаза Воллара» Пикассо изобразил парижского торговца
произведениями искусства «многогранным» — с различных точек зрения.
Еще одним примером является картина Метценже «Обнаженная» (1910). Мет-
ценже был одним из тех художников, которые с восторгом приняли четвертое изме-
рение, и эта картина представляет собой очень сложный образ, написанный с раз-
личных точек зрения, который вырывается из плена трехмерного пространства, изо-
136
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
бражая более высокую четырехмерную реальность. Другими работами Метценже,
выполненными в разных ракурсах, хотя и не такими сложными, как предыдущая
картина, являются «Чаепитие» (1911) и «Танец» (1912). Однако «Женщина в шляп-
ке» (1913) написана в совершенно другом стиле с различными ракурсами женского
лица на вертикальных гранях. Пикассо и Метценже были самыми активными из ку-
бистов, развивавших технику многочисленных граней, хотя этот подход использова-
ли и другие художники, такие как Жорж Брак, Робер Делоне и Альбер Нез.
В четвертой главе мы уже говорили о том, что глаз гиперсущества может одно-
временно видеть как внешнюю поверхность объекта, так и его внутреннее устройст-
во, то есть гиперсущества могут видеть нас во всех возможных ракурсах. В каком-то
смысле именно в этом заключалась цель кубистов. Кроме того, некоторые художни-
ки использовали мысль и воображение в качестве пути в четвертое измерение, о чем
говорит следующая цитата Пикассо: «Я изображаю предметы так, как я думаю
о них, а не такими, какими я их вижу». Кубисты ассоциировали перспективу эпохи
Ренессанса с евклидовым трехмерным пространством, в то время как в пространст-
ве своих картин они использовали четвертое измерение и неевклидовы геометрии.
Вот как объясняют это Метценже и Глез в своем манифесте «О кубизме»:
«Признаемся однако, что некоторое напоминание существующих форм
не должно быть изгнано окончательно, по крайней мере в настоящее время.
Нельзя же сразу возносить искусство до полного исчезновения конкретности.
Художники-кубисты это знают. Они неустанно изучают живописную форму
и те особые пространственные отношения, которые она создает.
Это пространство мы по неосмотрительности путаем с визуальным, или
с евклидовым пространством. Евклид в одном из своих постулатов говорит
о неспособности к деформации движущихся фигур, поэтому мы не должны
ограничивать себя этим положением.
Если бы мы захотели привязать художественное пространство к геоме-
трии, нам следовало бы отнести его к неевклидовой математике, и нам при-
шлось бы изучать некоторые из теорем Римана».
Поэт и критик Гийом Аполлинер (1880—1918) придерживался такого же под-
хода в своей работе «Эстетические размышления — художники-кубисты» (1913):
«Тайной целью молодых художников экстремистских школ является чистая
живопись. Их искусство представляет собой совершенно новые пластические
137
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
формы. Оно еще только рождается и еще не так абстрактно, как хотелось бы.
Многие новые художники зависят в большей степени от математики, сами
не осознавая это. Они еще не совсем отказались от существующих форм, тер-
пеливо изучая их, надеясь найти правильные ответы на вопросы, поставлен-
ные жизнью. <...>
<...> Новых художников жестоко критикуют за их увлечение геометрией.
Однако геометрические фигуры являются сутью рисунка. Геометрия — наука
о пространстве, размерах и отношениях — всегда определяла нормы и прави-
ла живописи. До сих пор три измерения евклидовой геометрии были доста-
точны для норовистых художников, тоскующих по бесконечности.
Новые художники не более, чем их предшественники, стремятся быть ге-
ометрами. Но следует сказать, что геометрия для пластических искусств —
это то же самое, что грамматика для искусства писателя. Сегодня ученые
больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что
совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуи-
ции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что
на языке современных студий стало называться четвертым измерением.
Существуя в сознании образом пластики предмета, четвертое измерение
зарождается благодаря трем известным измерениям: оно представляет собой
необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент.
Это само пространство, само измерение бесконечности; четвертое измерение
одаряет предметы пластичностью».
Первая из этих двух цитат ссылается на утверждение Евклида о «неспособности
к деформации движущихся фигур». Это означает, например, что квадрат не дефор-
мируется при движении на плоскости (под движением здесь понимается перенос или
поворот). Однако Риман рассматривал пространства (поверхности или многомер-
ные пространства) с переменной кривизной, в которых форма фигуры меняется при
перемещении. Например, в третьей главе мы уже говорили о поверхности тора, ко-
торая имеет переменную кривизну — положительную снаружи и отрицательную
внутри. Теперь изобразим на внешней стороне тора выпуклую фигуру более или ме-
нее прямоугольной формы. Мы увидим, что при перемещении этой фигуры на вну-
треннюю сторону тора ее форма изменится, то есть фигура исказится и станет выпу-
клой в одних направлениях и вогнутой в других.
138
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
«Прямоугольная» фигура на внешней стороне тора выпукла во все стороны, однако
при перемещении на внутреннюю часть тора — рисунок перевернут для наглядности —
стороны фигуры поменяли кривизну.
Для кубистов четвертое измерение означало не только разрыв с методом пер-
спективы, но и определенную свободу в изображении пространства и формы. Кроме
того, Метценже и Глез, Аполлинер и польско-американский художник Макс Вебер
(1881—1961) связывали четвертое измерение с бесконечностью. Это была своего
рода метафора, так как для них метод перспективы и третье измерение являлись
тюрьмой искусства и его выразительных средств, в то время как четвертое изме-
рение выпускало творчество на свободу. Альбер Глез подчеркнул это в интервью,
данном в 1912 г.: «К трем измерениям Евклида мы добавили еще одно — четвертое,
которое является конфигурацией пространства и мерой бесконечности».
Обратимся теперь к картине Пикассо «Авиньонские девицы» (Les Demoiselles
d Avignon, 1907) — отправной точке кубизма и авангарда XX в. В этой работе мы
видим полный разрыв с методом перспективы и использование нескольких ракур-
сов, и это означает начало нового визуального языка. Произведение явно написано
под влиянием Сезанна как с точки зрения отказа от перспективы, так и учитывая
попытку Пикассо представить реальность, сведя ее к основным формам. (Целью
Сезанна было «трактовать природу посредством цилиндра, шара, конуса».) Пикас-
со познакомился с концепцией четвертого измерения благодаря математику Морису
Принсе, который встретился с художником в 1905 г. и вскоре стал членом «группы
Пикассо». Принсе рассказал членам группы о работах Пуанкаре и Эспри Жуффре,
а также о четвертом измерении. В своей книге о Пикассо и Эйнштейне Артур Мил-
лер отмечает сходство между эскизами Пикассо к этой картине и геометрическими
фигурами Жуффре (см. рисунок на следующей странице). То же самое заметила
историк искусства Линда Хендерсон в отношении картины «Портрет Амбруаза
139
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Воллара». Но конечно же, четвертое измерение является лишь одним из источников
вдохновения для «Авиньонских девиц» наряду с африканским искусством, работа-
ми Сезанна, «иберийским» стилем живописи и др.
Проекции шестнадцати основных октаэдров и икоситетраэдров
из книги Жуффре «О геометрии четырех измерений» (1903).
Но как эта работа, такая важная для искусства XX в., была встречена соратни-
ками Пикассо? Он показал им картину в своей мастерской и, судя по всему, получил
очень плохие отзывы. Жорж Брак, позже ставший наряду с Пикассо одним из осно-
воположников кубизма, даже пошутил, что друг его, возможно, был пьян, когда
писал эту картину. Лео Штейн, долгое время бывший покровителем Пикассо, сар-
кастически заметил: «Вы пытались нарисовать четвертое измерение? Как забавно!»
140
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Матисс решил, что картина просто шутка, и грозился уничтожить Пикассо. Дерен
заявил, что после такой картины остается только совершить самоубийство. Только
коллекционер Даниэль Анри Канвейлер заинтересовался картиной и предложил ку-
пить ее. Однако Пикассо оставил ее себе, ответив, что она не продается. Лишь де-
вять лет спустя публика увидела «Авиньонских девиц».
В заключение мы приведем любопытное замечание, сделанное французским пи-
сателем и критиком Андре Салмоном в 1912 г., которое позже повторил Артур
Миллер: «[„Авиньонские девицьГ — это] голые задачи, белые цифры на черной
доске. Это новый провозглашенный принцип: картина = уравнение... Таким обра-
зом, живопись тоже стала наукой, не уступая ей в строгости».
Дружба между французским художником Жоржем Браком (1882—1963) и Па-
бло Пикассо привела к появлению аналитического кубизма, приверженцами кото-
рого стали также Метценже, Нез и Аполлинер. Потом была выставка кубистов
в Салоне Независимых (Salon des Independants) в 1911 г., где были представлены
произведения Метценже, Неза, Анри Ле Фоконье (1881—1946), Фернана Леже
(1881—1955) и Робера Делоне (1885—1941), хотя, как ни странно, там не было
ни картин Пикассо, ни картин Брака. Сторонники аналитического кубизма образо-
вали «группу из Пюто», в то время как Брак и Пикассо развивали синтетический
кубизм, где доминировал коллаж.
«Группа из Пюто», также называемая la Section d’Or («Золотое сечение»)
в честь геометрической пропорции, сформировалась благодаря решению нескольких
художников, поэтов и критиков встречаться каждое воскресенье в студии художни-
ка Жака Виллона (1875—1963) в Пюто — пригороде Парижа. В ее состав вошли
ПРИНСЕ, МАТЕМАТИК КУБИЗМА
Математик Морис Принсе (1875-1973) работал страховым агентом, но был важной фигурой
среди кубистов и даже заслужил титул «математик кубизма». Познакомившись с Пикассо, он
присоединился к его группе, а позже - к группе из Пюто. Он часто давал неофициальные кон-
сультации по четвертому измерению и неевклидовой геометрии. В своих мемуарах Метценже
написал: «Морис Принсе часто бывал у нас... Он воспринимал математику как художник, а мно-
гомерные пространства рассматривал с точки зрения эстетики. Ему нравилось, когда ему уда-
валось заинтересовать художников новыми взглядами на пространство, открытыми Шлегелем
и другими. И он в этом преуспел».
141
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Метценже, Глез, Хуан Грис из Мадрида (1887—1927), Ле Фоконье, Леже, Делон,
три брата Жак Виллон, Раймон Дюшан-Виллон (1876—1918) и Марсель Дюшан
(1887—1968), а также Франсис Пикабия (1879—1953), чешский теософ Франти-
шек Купка (1871—1957) и Аполлинер.
Каждый из кубистов имел свой собственный характерный стиль, но одним
из общих интересов членов группы была геометрия. Если посмотреть на их рабо-
ты, можно заметить использование четвертого измерения, основных геометрических
фигур, золотого сечения и других геометрических элементов. На собраниях группы
из Пюто часто бывал математик Принсе, который рассказывал художникам о ге-
ометрии, в частности о четвертом измерении и неевклидовых геометриях. Именно
благодаря ему они познакомились с работами Анри Пуанкаре и Эспри Жуффре.
Большое значение для популяризации четвертого измерения имел научно-фан-
тастический роман Гастона де Павловского «Путешествие в страну четвертого
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Золотое сечение, золотая пропорция или божественная пропорция - это геометрическая пропорция,
вызывавшая большой интерес в мире культуры и искусства.
Золо.ое сечение было определено еще в «Началах» Евклида следующим образом: золотое сече-
ние - это такое деление целого отрезка на две неравные части а и Ь, при котором большая часть
так относится к целому, как меньшая - к большей. С помощью формулы это записывается так:
a _ a + b
b a
Если мы обозначим это отношение ф = — , то предыдущее уравнение может быть записано как
уравнение второй степени Ф2 - Ф - 1 - 0, положительным решением которого является число
ф= =1 618033
2
142
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
измерения». Картина Жана Метценже, которая была на выставке 1913 г., но в на-
стоящее время потеряна, называлась «Мертвая природа (четвертое измерение)».
Марсель Дюшан
Марсель Дюшан был одним из членов группы из Пюто, особенно интересовавших-
ся математикой и четвертым измерением. Его подход отличался от подхода других
кубистов тем, что Дюшан пытался визуализировать четвертое измерение собствен-
ными художественными средствами, применяя математические методы чаще, чем
другие художники.
Кроме того, прямоугольник со сторонами а и b
называется «золотым прямоугольником», если дли-
ны его сторон соотносятся в золотой пропорции. Это
соотношение использовалось в греческих и египет-
ских канонах красоты, а в эпоху Возрождения при-
влекало интерес не только математиков, таких как
Лука Пачоли, но и художников, в том числе Леонардо
да Винчи.
С того времени золотое сечение стало частью
культуры. Жак Виллон наряду с другими кубистами
заинтересовался им благодаря французскому пере-
воду «Трактата о живописи» Леонардо да Винчи
в 1910 г. Именно интерес к этой книге участников
группы Пюто объясняет ее название - la Section d'Or
(«Золотое сечение»), хотя только два члена группы
часто использовали золотое сечение в своих рабо-
тах - Виллон и Г рис. Также иногда эта пропорция
появлялась у Метценже и Глеза.
Хуан Грис часто использовал золотое сечение
в своих работах, например на картинах
«Портрет Жермены Рейналь» и «Мужчина
в кафе» (вверху), а также «Сидящий Арлекин».
143
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Приведем отрывок из «Диалога с Марселем Дюшаном» (1966) Пьера Кабана:
«Пьер Кабан: Ваши знания математики удивительны, тем более если учесть,
что у вас нет специального образования.
Дюшан: Не совсем так. В то время нас интересовало именно четвертое изме-
рение. В „Зеленом ящике" есть много записей о четвертом измерении. Вы
помните человека, кажется, его звали Поволовский [имеется в виду Павлов-
ский]? Он был редактором на улице Бонапарта. Я забыл его имя. Он писал
статьи в журналы о четвертом измерении, приводя аналогии с плоскими дву-
мерными существами... Это было действительно забавно, даже в период ку-
бизма с Принсе.
Пьер Кабан: Принсе был псевдоматематиком, он иронизировал...
Дюшан: Совершенно верно. Мы были не настоящие математики, поэтому мы
так верили Принсе. Он производил впечатление осведомленного человека».
Первая из трех картин, которые иллюстрируют интерес Марселя Дюшана к четвер-
тому измерению, — это «Портрет шахматистов» (1911). Из записок Дюшана мы зна-
ем, что он читал работы Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также Гастона де Павловского.
Жуффре использовал шахматы в качестве метафоры для визуализации четвертого из-
мерения, сравнивая его с мыслительным процессом шахматиста, который играет одно-
временно несколько партий вслепую, то есть не глядя на шахматные доски. Темой этой
картины является мыслительный процесс шахматиста, хотя тот играет только одну пар-
тию. Кроме того, Дюшан, который сам был заядлым шахматистом, сказал в интервью,
что он поместил своих игроков в бесконечное пространство (как мы уже говорили, тео-
ретики кубизма связывали четвертое измерение с бесконечным пространством).
Впоследствии Дюшан начал исследовать статическое представление движения,
что является одним из методов визуализации четвертого измерения, то есть статиче-
ского, а не релятивистского пространства-времени. Он говорил о так называемом
элементарном параллелизме: «...Поверхность образуется повторением линий точно
так, как линия образуется повторяющимися в одном направлении точками. Та же
самая аналогия используется при переходе от плоскости к пространству. Непрерыв-
ное повторение n-мерных пространств приводит к (и + 1)-мерному пространству».
Дюшан сам пришел к теории Хинтона и других философов, которая описывает ги-
перкуб как результат движения куба в дополнительном измерении. Картиной этого
периода, наилучшим образом отражающей его элементарный параллелизм, является
«Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (1912).
144
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
В картине «Обнаженная,
спускающаяся по лестнице.
№2» (слева) Дюшан смешивает
идеи кубизма, метод различных
ракурсов и движение (тут
можно даже говорить о пяти
измерениях). Источником
вдохновения была работа
английского фотографа
Эдварда Мейбриджа «Женщина,
спускающаяся по лестнице»
(вверху). Работа вызвала много
споров среди кубистов, которые
не признавали движение.
145
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Марсель Дюшан, «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах»
(«Большое стекло») (1915-1923).
Однако Дюшан пошел еще дальше в своей интерпретации четвертого измерения.
В конце 1912 г. он сделал первые наброски своей монументальной работы «Большое
стекло». В результате получилась «Невеста», о которой Дюшан сказал, что она
была «первым проблеском четвертого измерения» в его работе, поскольку на кар-
тине были изображены трехмерные проекции невесты, находящейся в четвертом
146
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
ДЮШАН И АНТИИСКУССТВО
Возможно, именно Пабло Пикассо и Марсель Дюшан были художниками, оказавшими наибольшее
влияние на искусство XX в. Пикассо был художником в классическом смысле этого слова, он
постоянно генерировал новые идеи и воплощал их в своих работах. Дюшан же был художником,
который размышлял об искусстве, подвергал его сомнению и даже отвергал его. Он был, по су-
ществу, философом искусства. Одним из неожиданных аспектов его подхода является его художе-
ственная неактивность - его антиискусство, когда Дюшан заменил картины размышлениями
о них. Как сообщалось, в 1912 г. он ушел из мира искусства и начал работать в книжном магази-
не, но вскоре оставил это дело и переехал в Нью-Йорк. Однако он продолжал работать в течение
еще десяти лет, обдумывая свою важнейшую работу «Невеста, раздетая своими холостяками, одна
в двух лицах» («Большое стекло») (1915-1923) и делая к ней наброски. Результатом этих размыш-
лений стали два сборника его разрозненных заметок - «Белый ящик» и «Зеленый ящик», в кото-
рых были описаны его идеи для «Большого стекла» и размышления о четвертом измерении. С того
времени он стал антихудожником, создавая произведения не искусства, а антиискусства. Тем
не менее он продолжал оставаться самой влиятельной фигурой в искусстве XX в.
измерении и позже появившиеся в «Большом стекле». В эти годы он интересовался
такими вопросами, как четвертое измерение, машины, антиискусство, психология
о
и отчуждение человека. После переезда в Нью-Йорк в 1915 г. он начал работу над
картиной «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое
стекло»). С точки зрения визуализации четвертого измерения, центральной идеей
того периода были проекции — представление четырехмерных объектов в виде их
проекций в трехмерном пространстве. В своих записях об этой картине, собранных
в «Белом ящике» и в «Зеленом ящике», он, например, писал: «Тень четырехмерной
фигуры в нашем пространстве будет трехмерной тенью». И еще: «...если тени явля-
ются двумерными проекциями трехмерного мира, то трехмерный мир — это проек-
ция четырехмерной вселенной».
Его работа «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Боль-
шое стекло») является именно большим стеклом, разделенным на две части. В верх-
ней части находится трехмерная проекция невесты — существа, которое обитает
в четырехмерной вселенной. В нижней же части изображены девять холостяков
в трехмерном евклидовом мире. Использование стекла, как написано в заметках
Дюшана, — это метафора проекции: «Стекло и зеркала используются для изобра-
жения перспективы». Работа имеет несколько смысловых уровней, и, хотя ее изуче-
нию было отдано много усилий, значение четвертого пространственного измерения
147
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
в течение многих лет упускалось из виду, как и в случае со всем искусством нача-
ла XX в., несмотря на прямые комментарии художников и критиков того времени.
Однако в 1970-х гг. историки искусства вновь открыли связь кубизма с четвертым
измерением.
ЗАВЕРШЕНИЕ «БОЛЬШОГО СТЕКЛА»
Это произведение, как правило, датируется 1915-1923 годами. В 1915 г, приехав в Нью-Йорк,
Дюшан начал работу над этой картиной, а в 1923 г. он вернулся в Европу. Однако у него оста-
лось ощущение, что работа не закончена. После выставки в Бруклинском музее в 1926 г. два
куска стекла - часть с невестой и часть с холостяками - положили друг на друга, и во время
транспортировки по плохой дороге стекло оазбилось. В 1936 г. Дюшан с помощью стекольщи-
ка восстановил картину. Увидев симметричные трещины на двух частях произведения, которые
таким образом связывали невесту с холостяками, он понял, что его работа наконец-то за-
вершена.
Четвертое измерение в различных движениях в искусстве XX века
На протяжении XX в. четвертое пространственное измерение не всегда присутство-
вало в искусстве. Поэтому можно выделить четыре этапа:
1900—1920: золотой век (примерно до 1920 г.).
1920-1950: популяризация теории относительности. В 1936 г. художники
подписывают Dimensionist Manifesto, допускающий многомерные простран-
ства, но по сути являющийся релятивистским. Только дадаисты и сюрреали-
сты по-прежнему интересуются четвертым пространственным измерением.
1950-1970 : отказ от темы четвертого пространственного измерения. Исклю-
чением являлись такие известные художники, как Сальвадор Дали и амери-
канка Ирен Райс Перейра (1902—1971).
1970 — наше время: возрождение интереса к четвертому пространственно-
му измерению. Многие современные художники работают в направлениях,
которые упоминались в этой книге.
148
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Как мы уже говорили, четвертое измерение стало для художников символом ос-
вобождения, источником идей, нового языка и новой концепции пространства. Вера
в четвертое измерение позволила им дистанцироваться от визуальной реальности
и полностью отказаться от метода перспективы, который представлял трехмерный
евклидов мир. В дополнение к этому интерес к четвертому измерению являлся аль-
тернативным подходом к идеалистическому восприятию высшей реальности, лежа-
щему в основе нового абстрактного искусства. Многие увлекались четвертым изме-
рением, хотя каждое движение и каждый художник выбирали для себя различные
аспекты: отказ от метода перспективы, движение, цвет, время, бесконечное про-
странство, память, гравитация, антигравитация, мистика...
Кроме кубизма, другими движениями в искусстве XX в., связанными с чет-
вертым пространственным измерением, в том числе с пространственно-временным
континуумом, являются итальянский и русский футуризм, супрематизм, конструк-
тивизм, американский модернизм, движение «Де стиль», сюрреализм и дадаизм.
Далее мы расскажем о некоторых из этих движений и их представителях.
АБСТРАКТНОЕ ИСКУССТВО XX ВЕКА
Абстрактное искусство зародилось в XX в. Художники больше не желали копировать объекты
реальности и отказывались от интерпретации искусства как воспроизведения реальности и
истории, ведь это можно было сделать с помощью фотографии. Важной стала сама живопись,
а не объекты живописи. Художники пытались посмотреть на мир с разных точек зрения и изо-
бражать не то, что они видят, а высшую реальность, которая может быть и внутренним миром.
Они ставили под сомнение все - истину, реальность предметов и мира - и пытались воплощать
великие универсальные и утопические идеи.
В искусстве XX в. сложились три основные тенденции: выражение (связанное с чувствами),
фантазия (лабиринты сознания) и геометрическая абстракция (с упором на формальную струк-
туру). Все художественные движения прошлого века представляют собой сочетание этих тен-
денций
Футуризм
Футуристическое движение использовало динамичное видение четвертого измере-
ния. Футуристы отвергали статический подход кубистов и считали новое измерение
движением, пространственно-временным континуумом. Итальянский футурист
149
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Две работы Умберто Боччони: «Динамизм велосипедиста-’ (слева) и «Уникальные формы
непрерывности в пространстве».
Умберто Боччони (1882—1916), один из теоретиков и соавторов футуристических
манифестов, писал: «Динамическая форма является характерной чертой четвертого
измерения как в живописи, так и в скульптуре. Благодаря уникальной форме, даю-
щей непрерывность в пространстве, мы создали форму, которая является суммой
разверток трех известных размерностей. Одухотворение будет определяться мате-
матическими значениями и геометрическими размерами».
Боччони находился под сильным влиянием гиперпространственной философии
Хинтона и его итальянских последователей, а именно идеи об использовании движе-
ния для понимания четвертого измерения. Его работы наряду с работами других фу-
туристов представляют собой проекции пространственно-временного континуума
между двумя моментами времени.
Одной из наиболее характерных работ Боччони, изображенной на итальянской
монете в 20 евроцентов, является скульптура «Уникальные формы непрерывности
в пространстве», представляющая собой движение идущего человека. Это простран-
ственная (в данном случае трехмерная, так как это скульптура) проекция стержня,
которым является человек в четырехмерном пространстве-времени.
Аналогично другие картины футуристов являются плоскими проекциями про-
странственно-временного континуума или движения. Например, «Динамизм вело-
сипедиста» и «Динамизм футболиста» Боччони, «Голубая танцовщица» Джино Се-
верини (1883—1966), «Динамизм собаки на поводке» (1912) и «Полет ласточки»
(1913) Джакомо Балла (1871—1958).
150
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
Четвертое измерение интересовало и русских футуристов. Их искусство находи-
лось под сильным влиянием парижского авангарда, а также четырехмерной филосо-
фии теософа Петра Демьяновича Успенского. Представителями русского футуристи-
ческого движения являются такие художники, как Михаил Ларионов (1881—1964),
Наталья Гончарова (1881—1962), Михаил Матюшин (1861—1934) и Казимир Ма-
левич (1878—1935). Последние три из названных работали также в стиле кубофуту-
ризма — смеси кубизма и футуризма. Работа Малевича «Точильщик» — типичный
пример этого направления.
Супрематизм
Основанный русским художником Малевичем супрематизм концентрировался
на основных геометрических формах, в частности на круге и квадрате. Это направ-
ление стремилось к «чистому творчеству», пытаясь разрушить благодушное воспри-
ятие мира, чтобы привести человека к своего рода космическому сознанию. Это до-
стигалось путем смешения движения, цвета и формы.
Как и русский футуризм, супрематизм был связан с гиперпространственными
философиями Хинтона и Успенского. Очень похожим направлением было движение
«Синий всадник» (Der Blaue Reiter), основанное Кандинским под сильным влияни-
ем работ Успенского. Поэтому неудивительно,
что супрематизм связан с духовным подходом
к четвертому измерению. Работы Малевича
этого периода напоминают плоские сечения
объектов из высших измерений.
Линда Хендерсон писала, что «в дополне-
ние к геометрии и движению гиперпростран-
ственная философия вдохновила Малевича
на изображение четвертого измерения в его
супрематических работах, связанных с новым
пространством, свободным от гравитации».
Супрематическая картина Казимира Малевича
«Живописный реализм футболиста. — Красочные массы
в четвертом измерении" (1915).
151
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
На последней футуристической выставке «0,10» (1915) были впервые показа-
ны супрематические работы Малевича. Из 39 представленных работ пять имели
названия, связанные с четвертым измерением. Например, «Живописный реализм
футболиста. — Красочные массы в четвертом измерении» и «Живописный реализм.
Мальчик с ранцем. — Красочные массы в четвертом измерении», также известная
под названием «Черный квадрат и красный квадрат».
Сюрреализм
Сюрреализм — это направление в искусстве, которое вызывало интерес как в связи
с его геометрическим или пространственным подходом к четвертому измерению
(включая статическое пространство-время), так и в связи с духовной составляющей.
Испанский художник Сальвадор Дали (1904—1989) является одним из самых вы-
дающихся представителей этого движения. В своих работах он использовал золотую
пропорцию, теорию катастроф, топологию, теорию фракталов, геометрические фор-
мы, стереоскопию, проективную геометрию и оптические иллюзии, а также много-
мерные пространства.
В интерпретации Сальвадора Дали
на похожем кресте был распят
Иисус Христос.
В связи с четвертым измерением особен-
но интересны две работы Дали — «Распя-
тие, или Гиперкубическое тело» и «В по-
исках четвертого измерения». На первой
из них изображена развертка гиперкуба
(см. предыдущую главу) в виде трехмер-
ного креста, на котором распят Иисус —
аллюзия на связь религии и четвертого из-
мерения. Крест, или развертка гиперкуба,
становится символом перехода из нашего
мира (трехмерного пространства) на небе-
са (в четвертое измерение). Вторая кар-
тина содержит много элементов, которые
мы обсуждали в этой книге: многогранные
формы, миф о пещере Платона, религию,
проекции и многое другое, а также теорию
относительности.
152
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
DE STIJL
MAANOBLAO VOOR NIBVWB KU МВТ, WBTBNSCMAP
BN KULTUUR. RBDACTIB. THIO VAN DOIIIUAO.
ABONNBMBNT BINRBNLAND I»BUiTBNLAND 7 T.BO
BBR JAAROANO. ADRBS VAN RBDACTIB BN ADMINIBTR.
HA*RIBЫ Ы BR3TRAAT 73 A LIID1N (KOHAN O).
THEO VAN DOESaURQ KOMPOWBE 17 (1010)
199
«ДЕ СТИЛЬ»
«Де стиль» - это художественная группа и журнал,
основанные в Нидерландах в 1917 г. художником и ар-
хитектором Тео ван Дусбургом (1883-1931). Членом
этой группы был также Пит Мондриан (1872-1944).
Источником этого движения был аналитический ку-
бизм, но затем оно превратилось в чистую геометри-
ческую абстракцию. В своем журнале художники часто
обсуждали вопросы четвертого измерения, например
в статье Северини «Размерность пространства и чет-
вертое измерение», фрагментах книги «Наука и гипо-
теза» Пуанкаре и в размышлениях на эту тему ван Ду-
сбурга и Мондриана. По словам Тео ван Дусбурга,
пытаясь изобразить духовные сферы и дух в качестве
артефакта, художник по необходимости будет исполь-
зовать мотостереометрические формы выражения.
Эти мотостереометрические формы выражения явля-
ются изображением четырехмерного мира в трехмер-
ном пространстве.
По словам Мондриана, новые тенденции были об-
условлены лучшим пониманием четвертого измерения и идеей о том, что четвертое измерение
проникает в новое искусство через полное или частичное разрушение естественного порядка
трехмерного мира и за счет использования новых пластических средств выражения.
Обложка журнала «Де стиль»
от 1921 г. с изображением картины
Тео ван Дусбурга «Композиция XVII»
(1919).
Интерес к четвертому измерению среди сюрреалистов наиболее научно описан
в трудах Оскара Домингеса (1906—1957). Можно выделить два типа его работ,
связанных с многомерными пространствами. С одной стороны, это так называе-
мые «многомерные космические картины», такие как «Пейзаж с автомагистраля-
ми» (1939) и «Ностальгия по пространству» (1939), содержащие многогранники.
С другой стороны, вместе с аргентинским писателем Эрнесто Сабато в 1939 г. До-
мингес сформулировал теорию затвердевания времени, или летохронизм. Его «ле-
тохронические» поверхности в некотором смысле связаны с футуризмом, так как
они представляют движение. Эти поверхности являются графическим изображени-
153
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В ИСКУССТВЕ XX ВЕКА
ем стержней пространственно-временного континуума, характеризующих трехмер-
ный объект в определенном интервале времени. Типичной работой этого периода
является «Летохронический меч, или Воспевание Тельца» (1939).
Четвертое измерение в искусстве Соединенных Штатов Америки
Несмотря на отставание от парижского авангардного движения, в Соединенных
Штатах, в частности в Нью-Йорке, искусство также находилось под влиянием чет-
вертого измерения. Как и в остальном мире, революция в геометрии, теософия и на-
учная фантастика вызвали усиление общественного интереса к многомерным про-
странствам. Кроме того, следует отметить, что Хинтон жил в Соединенных Штатах
в течение нескольких лет и был очень популярной фигурой, что способствовало рас-
пространению этих идей. В мире искусства большое значение имели публикации тео-
софа и архитектора Клода Брэгдона, оказавшие влияние на Макса Вебера после его
возвращения из Парижа, а также на членов группы из Пюто, переехавших в Нью-
Йорк, в частности Франсиса Пикабии и Марселя Дюшана. Вебер и Пикабия состоя-
ли в группе Альфреда Стиглица, а Дюшан был членом группы Аренсберга.
Фотография 1914 г. американского
художника Макса Вебера, который
родился в польском городе
Белостоке, входившем тогда
в Российскую империю.
Макс Вебер, автор «Четвертого измерения с точ-
ки зрения пластики», активно использовал эту тему
в своих работах, одна из которых называется «Инте-
рьер четвертого измерения» (1913). Интерпретация
Вебера была смесью подхода кубистов и последова-
тельных форм в стиле картины Дюшана «Обнажен-
ная, спускающаяся по лестнице. № 2». Для Вебера
четвертое измерение включало в себя духовные и ре-
лигиозные аспекты.
154
Эпилог
Несмотря на то что уже более века четвертое измерение привлекает внимание широ-
кой публики, оно продолжает оставаться чрезвычайно актуальной темой. Чтобы
убедиться в этом, достаточно набрать слова «четвертое измерение» в любой поиско-
вой системе интернета. Будет найдено огромное количество ссылок, связанных
с этой темой, в разных областях человеческой деятельности, таких как искусство,
религия, научная фантастика, наука, техника, приложения в области визуализации
(например, в здравоохранении) и во многих других. Более того, на эту тему и по сей
день продолжают публиковаться новые издания, в том числе научная фантастика,
эссе и научно-популярные книги. Существует даже литература для детей и юноше-
ства, посвященная четвертому измерению. Эта тема естественным образом появля-
ется и в телесериалах. Помимо этого, если на какой-то конференции или обществен-
ном мероприятии затрагивается тема четвертого измерения, она неизменно привле-
кает внимание присутствующих и поднимает всё те же вопросы, которые обсужда-
лись в конце XIX в.
Это возобновление интереса характерно не только для общества. В науке,
в частности в теории струн, обсуждаются модели, которые предполагают, что наша
Вселенная может существовать в пространстве больших размерностей (10, 11 или
26), как пространственных, так и временных. Кроме того, средства массовой ин-
формации широко освещали темы, связанные с ускорителем элементарных частиц
(Большой адронный коллайдер), который может доказать то, что когда-то казалось
невозможным, — существование дополнительных пространственных измерений,
и не только четвертого.
155
Список литературы
ABBOTT Abbott, Е., Flatland: A Romance of Many Dimensions, Oxford University
Press, 2008.
(Издание на русском языке: Эбботт, Эдвин Эбботт. Флатландия. Роман о четвер-
том измерении. — М.: Амфора, 2001.)
BANCHOFF, T.F., Beyond the Third Dimension; Geometry, Computer Graphics, and
Higher Dimensions, New Y)rk, Scientific American Library, 1990.
DALRYMPLE Henderson, L., The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in
Modern Art, Princeton University Press, 1983.
GREENE, B., The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions and the Quest
for the Ultimate Theory, Vintage Books, 2005.
Kaku, M., A Scientific Odyssey through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth
Dimension, Oxford Paperbacks, 1995.
McManus, C., Right Hand, Left Hand, London, Phoenix, 2003.
MlLLER, A.I., Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty That Causes Havoc, Ba-
sic Books, 2002.
O’Shea, D., The Poincare Conjecture: In Search of the Shape of the Universe, London,
Penguin, 2008.
RUCKER, R., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension, New York, Dover Publi-
cations, 1977.
RUCKER, R., The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universes, New
York, Houghton Mifflin, 1966.
156
Алфавитный указатель
алгебра 30, 33, 37, 38,41, 49,83
ана 59, 60, 62, 64-66, 80,110,112
аналогия пространственная 9, 13, 17, 19, 20—22,
62, 63, 67,104,122,128.129
Аполлинер, Гийом 137,139, 141,142
Аристотель 33
Астрия 24
бесконечный 46, 61, 83—86, 94,100—102,119,
138-139,144,149
Блаватская, Елена Петровна 78, 79, 86
Бог 12, 20, 21, 33, 44-45, 55, 60, 75-86, 93-94
Бойяи, Янош 43—45, 52
Борхес, Хорхе Луис 87, 100—102
Боччони, Умберто 150
Брэгдон, Клод 100,103,117,154
Вебер, Вильгельм Эдуард 78, 79
Вебер, Макс 133, 139, 154
визуализация 56, 71, 73, 103—104, 112,120, 129,
144
Виллинк, Артур 83
вселенная 12, 13, 17, 20, 21, 35, 59, 60, 61, 65,
66, 70, 86, 91-98,101,122,130,155
— астральная 85—86
— двумерная 23, 64—66, 73
— многомерная 10
— одномерная 17—18, 120
— плоская 24, 61, 64, 69, 70, 92,110
— разветвление 131
— трехмерная 19, 35, 59, 66, 70, 85, 90, 110,
122,147
— четырехмерная 35, 61, 147
вселенные параллельные 61, 88, 91
Гамильтон, Уильям Роуэн 35
Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 43, 45—53, 78, 79
гексамино 127
Гельмгольц, Герман Людвиг Фердинанд 54—55,
80
геометрия 16, 33, 37, 41, 42, 45—49, 54,117,123,
138,142,151
— аналитическая 30, 51
— внешняя 49—51
— внутренняя 48, 49—52
— воображаемая 44
— гиперболическая 23, 44, 45, 51
— дифференциальная 7, 46, 47, 49, 51, 54
— евклидова 41, 42, 44, 45, 51, 93,138,142
— многомерная 46—57, 93
— неевклидова 41—46, 49, 51, 54, 55
— плоская 21, 42
— риманова 52, 54
— эллиптическая 45, 46, 51
Гильберт, Давид 84
гиперкоробка 125, 126, 128—129
гиперкуб 20,56-57, 71-73,102,103,104-108,
ИЗ, 129,144,152
гиперпространство 56, 59—61, 68, 77, 85
гиперсущество 55, 63—66, 88, 90,125, 137
гиперсфера 64, 104—112, 122
Глез, Альбер 134, 137, 139, 141—143
горизонтали 123
Грис, Хуан 142—143
Дали, Сальвадор 148, 152
движение, статическое представление 144
«Де стиль» 149, 153
Девитт, Брайс 131
Декарт, Рене 30
Домингес, Оскар 153
ван Дусбург, Тео 153
Дюшан, Марсель 142—148, 154
Евклид 30, 32, 41, 42, 51,137-139,142
— «Начала» Евклида 32, 41, 42, 142
Жуффре, Эспри 103, 139, 140,144
икосаэдр 56—57, 125
157
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кант, Иммануил 33, 44
ката 59—60, 64, 66, 80, 112
квадрат 9-23, 27, 45, 49, 56-57, 62-70,105—
107,110-112,115,119-130,138,151,152
координаты 13, 28—32, 35—37, 47, 51—52,
106-107
кривизна 26, 46—52, 61,138—139
Крукс, Уильям 76—78
куб 19-20, 56-57, 71,103-108,114-127,144
кубизм 133 — 154
кубофутуризм 151
Кэрролл, Льюис 12,92—93
Лагранж, Жозеф Луи 35
Лайнландия 17—19, 26, 120, 125—126
Ламберт, Иоганн Генрих 43
Ледбитер, Чарльз 86
лента Мёбиуса 48, 70
Лобачевский, Николай Иванович 41, 43—46, 52,
92
Лоренц, Хендрик Антон 53
Малевич, Казимир Северинович 151—152
машина времени 88, 91—92, 97
медиум 41, 56, 76—82
Мейбридж, Эдвард 105, 145
Метценже, Жан 134, 136—143
Мёбиус, Август Фердинанд 33 (см. также лента
Мёбиуса)
Минковский, Герман 53
мистицизм 75—76, 85—86,149
миф о пещере Платона 22—23, 85, 152
многообразие дифференцируемое 52
многоугольник 49,123
модернизм 99, 117, 149
ориентация 47, 69, 80, 82, 91—95,100
перспектива 90, 103, ИЗ, 117—120, 133, 134—140,
147,149
— Ренессанс 8, 57,118, 133, 134
Пикассо, Пабло 134—141, 147
Платон 21—22, 85,152
плоский 9,13, 21, 23—24, 29—30, 32—33, 47,
50-51, 56, 60-64, 69-70, 72, 82. 85.90.
93, 96,100,101,103,105,109-118,122-
127,138,144
поверхность 26—29, 35—36, 46—52, 55, 62—63,
70, 90,107,123,137-138,144,153
подпространство 114, 117
призма 124
Принсе, Морис 139, 141, 142, 144
проекция 23, 56,103,104,128,134,146—147,
150,152
— ортогональная 113—116, 126
— центральная ИЗ, 117—121, 126
пространство 13,19, 21, 26, 28, 30. 33, 34, 37,
44, 47, 51, 52, 53, 55, 62, 64, 68, 69, 77, 83,
86, 87, 90, 91,134,138,139,141,148, 149
— бесконечное 46, 83, 84, 85, 144, 149
— векторное 25
— восьмимерное 36
— высшей размерности 13, 32—34, 35, 56, 83,
84,134,152,155
— гильбертово 84
— двумерное 21, 27, 29, 49, 60, 129
— евклидово 13, 32, 46, 51, 55,137
— искривленное 50
— конфигурации 35, 36
— координатное 31, 32, 37, 38, 106
— математическое 34—35
— многомерное 7, 21, 25, 34, 35, 36, 38, 39, 51,
52, 55, 56, 80, 83,88, 98,103,138
— неограниченное 46
— одномерное 26, 28, 29, 104
— трехмерное 19, 21,24, 25, 27, 28, 30, 31, 32,
34, 35, 49, 51, 56, 60, 62, 64, 65. 78, 80,83,
94,104,109-115,119,128,129,134,147,152
— физическое 34—35
— четырехмерное 8, 20, 23, 25, 27, 33, 34, 35,
37, 46, 55, 59, 61, 69, 71, 79, 83, 97,102,
ИЗ, 119,121,129,130
— п-мерное 31, 52, 56, 57,106,108, ИЗ, 117,
141,144
пространство-время 23, 44, 53,102,130,131,150
— континуум 88, 98, 99,129-131,149,150,154
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
— релятивистское 97
— статическое 88, 97, 99, 129—131. 144, 152
псевдосфера 51
Птолемей, Клавдий 33, 42
Пуанкаре, Анри 41, 53, 56. 103, 139, 142. 144,
153
размерность
— временная 89
— высшая 13, 32—35, 83,134,152
— третья 13,19—24, 64, 67, 69,101,104,139
расстояние 27—37, 42, 48—52, 84,105—108
революции в геометрии 34, 41—57, 154
Риман, Георг Фридрих Бернхард 45—46, 51—54,
79, 92, 137,138
Саккери, Джироламо 43, 44
сатира социальная 10, 12
Сезанн, Поль 133, 139
сетчатка четырехмерная 64, 71, 137
сечение
— двумерное 65,129
— золотое 141-143
— плоское 19, 64, 65,111,122,123,151
— четырехмерное 23. 65. 124, 129
сечения
— времени 129
— гиперкуба 120—125
— квадрата 18
— куба 122—125
симметрия 41, 68—70. 116, 123
Слейд, Генри 55—56, 78—80
Спейсландия 19, 62, 64, 67—68
спиритуализм 56, 59, 72, 75—81, 86, 92
степени свободы 26—28, 35
Стрингхем, Вашингтон Ирвинг 56, 57, 103
супрематизм 149, 151—152
существо двумерное 9, 63, 65
сфера 9,19-20,46, 50-51, 55, 62-67, 72,90,
107-112,121-122
сюрреализм 148, 149, 152 -154
теология И, 17, 53, 75, 82—84
теорема Пифагора 32, 110—112
теория
— графов 38
— затвердевания времени 153
— катастроф 152
— множеств 100,102
— относительности 23, 53, 87, 97—98, 148, 152
— струн 35,155
теософия 85—86, 154
тессеракт 104, 124, 125 (см. также гиперкуб)
тетраэдр 56—57, 125
тор 50,138,139
треугольник 14—16, 23, 32, 45, 48, 50, 55—57,
122,123
Успенский, Петр Демьянович. 85, 86, 101, 151
Уэллс, Герберт Джордж 87—91, 96
фантастика научная 72, 87—88, 98, 102, 142, 154,
155
Фехнер, Густав Теодор 23, 79
Флатландия 9—24, 27, 62—73, 90, 110—111,
120-121,125-126,129-130
футуризм 149—151,153
Хинтон, Джеймс 71
Хинтон, Чарльз 12, 23, 24, 35, 56, 59, 71-73, 81,
85-88, 96, 98,100-101,103-104,129,144,
150,151,154
Цёлльнер, Иоганн Карл Фридрих 56, 78—82,
92, 96
шестиугольник 13, 14, 23, 122—123
шифрование сообщений 37—38
Шофилд, Альфред Тейлор 82, 83
Эбботт, Эдвин Эбботт 9,11—24, 62, 64, 65, 72,
81-82, 87, 96, 98,110
Эйнштейн, Альберт 53, 97, 139
Google 38—39, ИЗ
п-мерная сфера 108—109
п- мерный куб 106—108
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 6
Рауль Ибаньес
Четвертое измерение.
Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не прини-
маются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Старший редактор: Дарья Клинг
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
cJ 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Укра’ша, 01033, м. Ки!в, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 331 94 27
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 21.08.2013
Дата поступления в продажу на территории
России: 25.02.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 200 000 экз.
© Raul Ibanez, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2010
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0631-4 (т. 6)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Четвертое
измерение
Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
Нечасто математические теории опускаются с высоких научных
сфер до уровня массовой культуры. Тем не менее на рубеже XIX
и XX веков люди были увлечены возможностью существования
других измерений за пределами нашей трехмерной реальности.
Благодаря ученым, которые использовали четвертое измерение
для описания Вселенной, эта идея захватила воображение масс.
Вопросом многомерности нашего мира интересовались филосо-
фы, богословы, мистики, писатели и художники. Попробуем и мы
проанализировать исследования математиков и порассуждать
о том, насколько реально существование других измерений.
ISBN 978-597740682-6