/
Text
В.Ф. СИВОКОБЫЛЕНКО
И919Ч6
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.Ф.СИВОКОБЫЛЕНКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И ЭНЕРГЕТИКЕ
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины
в качестве учебного пособия для
студентов электротехнических специальностей
высших учебных заведений
(Решение №16/12.4-1078 от 17.05.2005г.)
Донецк 2005
УДК 621.713.13
Ф34
Ф 34 Математичке моделювання в електротехшш i енергетицй Навч.пошбник /
В.Ф.Сивокобиленко - Донецьк: РВА ДонНТУ, 2005.-350с.
Изложены основные методы математического моделирования отдельных
элементов электрических систем (генераторов, асинхронных и синхронных
двигателей, трансформаторов, линейной и нелинейной нагрузок). Рассмотрены
методы составления дифференциальных уравнений электрических систем, явные и
неявные методы их численного интегрирования. Для построения математических
моделей используются топологические и матрично-векторные методы. Приведены
многочисленные примеры решения стационарных и переходных режимов работы
электротехнических и энергетических систем. Объединяет курс лекций,
практических и лабораторных занятий.
Предназначено для аспирантов, магистров и студентов электротехнических и
электроэнергетических специальностей.
* J4
'-Рецензенты: Саенко Ю.Л. - д.т.н., проф. ПГТУ,
Рогозин Г.Г. - д.т.н., проф. ДонНТУ.
'екомендовано Министерством образования и науки Украины в качестве
Ь о пособия для студентов и аспирантов высших учебных заведений
(Решение Ks 16/12.4-1078 от 17.05.2005г.)
zw$w
Публикуется по постановлению Учебно-издательского совета Донецкого
МЩИОналыюго технического университета
(Протокол №3 от 15.02.2005г.)
KBiPJj/ "!
' 6 |)|К
4
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 7
1 Основные теоретические положения и методы математического
моделирования (конспект лекций) 8
1.1 Формализованные топологические методы анализа электрических
цепей 8
1.2 Методы решения систем линейных уравнений 25
1.3 Методы решения нелинейных систем уравнений и методы
оптимизации 34
1.4 Аппроксимация нелинейных функций 52
1.5 Методы анализа переходных процессов в сложных электрических
системах 56
1.6 Численные методы решения дифференциальных уравнений 67
2 Определение параметров схем замещения асинхронных и синхронных
двигателей 74
2.1 Определение параметров схем замещения асинхронных двигателей 74
2.2 Многоконтурные схемы замещения асинхронных машин и метод их
расчета на ЦВМ 76
2.3 Инженерный метод расчета параметров двухконтурных схем
замещения асинхронных двигателей 77
2.4 Определение параметров схем замещения явнополюсных синхронных
двигателей 80
2.5 Определение параметров схем замещения неявнополюсных
синхронных двигателей 82
3 Математическое моделирование электродвигателей собственных нужд
электрических станций и промышленных предприятий 86
3.1 Математическая модель трансформатора, линий межузловых связей и
статической нагрузки 86
3.2 Математическая модель асинхронного двигателя системы
собственных нужд 87
3.3 Математическая модель синхронного двигателя 90
4 Теория и методы алгоритмизации переходных процессов в
многомашинных системах 98
4.1 Постановка задачи 98
4.2 Математические модели ММСЭ на основе полных
дифференциальных уравнений элементов 99
4.2.1 Исходные положения 99
4.2.2 Переходные процессы в системе асинхронных машин 100
4.2.3 Переходные процессы в системе синхронных и асинхронных 103
машин
4.2.4 Математическое моделирование режимов коммутаций 109
4.3 Алгоритм расчета установившегося доаварийного режима ММСЭ 112
5
5 Лабораторные работы и методические указания к их выполнению 119
5.1 Лабораторш робота з використанням пакету MathCad 120
5.1.1 Лабораторна робота №1. Створепня розрахунковоУ схеми i
розрахунок параметр!в електрично!" систсми 121
5.1.2 Лабораторна робота №2. Розрахунок усталепого режиму
енсргосистеми за МВП з урахуванням нелшшност! 125
5.1.3 Лабораторна робота Ks3. Розрахунок усталеного режиму
енсргосистеми за МКС з урахуванням нелшшност! 130
5.1.4 Лабораторна робота №4. Розрахунок електрично!’ схеми з
компснсащею реактивно! потужност! 134
5.1.5 Лабораторна робота №5. Розрахунок переходного пронесу при
КЗ в одн!Й з гУлок мереж! з складанням диференцшних р!внянь за
МВП 140
5.1.6 Лабораторна робота №6. Розрахунок перехщного процесу при
КЗ в однш з гшок мереж! з складанням диференцшних р!внянь за
МКС 145
5.1.7 Лабораторна робота №7. Синтез параметр!в i моделювання
режиму пуску асинхронного двигуна 151
5.1.8 Лабораторна робота №8. Синтез параметр!в i моделювання
режиму пуску синхронного двигуна (явнополюсного) 159
5.2 Лабораторные работы с использованием пакета Mathlab 164
5.2.1 Лабораторная работа №1. Моделирование RL цепи 165
5.2.2 Лабораторная работа №2. Моделирование RLC цепи 169
5.2.3 Лабораторная работа №3. Работа с субсистемами 172
6 Методические указания по практическим занятиям 177
6.1 Формализованные методы анализа электрических цепей 177
6.1.1 Составление уравнений для расчета токов и напряжений в
заданной электрической схеме по законам Ома и Кирхгофа 180
6.1.2 Составление уравнений для расчета токов и напряжений в
заданной электрической схеме методом контурных токов и
узловых напряжений 186
6.2 Анализ переходных процессов в электрических сетях с помощью
численных методов решения дифференциальных уравнений 194
6.3 Методы решения алгебраических уравнений 204
6.3.1 Методы решения линейных уравнений 204
6.3.2 Метод Зейделя для решения линейных и нелинейных уравнений 205
6.3.3 Методы решения нелинейных уравнений 208
6.3.4 Методы решения систем линейных и нелинейных уравнений.
Метод Ньютона и градиентный 208
6.4 Математические модели асинхронных двигателей. Определение
параметров схем замещения АД на основе каталожных данных 215
6.5 Определение параметров схем замещения синхронных двигателей 217
6
7 Методические указания по выполнению обязательных домашних заданий 221
7.1 Исходные данные для выполнения домашнего задания № 1 221
7.2 Исходные данные для выполнения домашнего задания №2 228
7.3 Методические указания к решению домашнего задания №2 250
7.4 Пример расчета задания 255
7.5 Расчетно-графическая работа №2 285
8 Программа курса 302
8.1 Загалып положения 303
8.2 Мета i задач! курсу 303
8.3 Об’ем, структура i структурно-лопчпа схема курсу 304
8.4 Тематичний змют дисциплпш 305
Обов’язкова i допом1жна литература 306
7
Введение
Быстрое развитие цифровых вычислительных машин способствовало
разработке новых методов математического моделирования и расчета стационарных
и переходных режимов работы электротехнических и электроэнергетических
систем. Это позволило по-новому подойти ко многим вопросам проектирования и
эксплуатации различного рода объектов. В общем случае процессы в объекте могут
быть описаны аналитическими зависимостями, основу которых составляют системы
нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. При этом при
наличии информации о параметрах системы и топологических связях между ее
элементами может быть построена математическая модель объекта, с помощью
которой выполняется анализ его поведения в различных режимах работы.
В настоящее время повсеместно используется математическое
моделирование и имеются соответствующие программы расчета электрических
режимов, токов короткого замыкания, электрических и магнитных полей. Эта
информация используется для оптимизации проектирования и управления
электротехническими объектами.
Современные исследования электрических и магнитных цепей основаны на
использовании матричного исчисления, теории графов, численных методов решения
систем нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Отдельные
эти вопросы рассматриваются в многочисленных литературных источниках и
журнальных статьях. Однако систематизированное их изложение отсутствует, что
затрудняет их изучение студентами и аспирантами.
В настоящем учебном пособии автор поставил задачу изложить основные
методы и алгоритмы, использующиеся для расчета на ЭВМ задач, связанных с
функционированием электрических систем, поведением асинхронных и синхронных
электродвигателей в различных режимах, методам учета нагрузок в электрических
системах, расчетам нелинейных цепей.
Содержание пособия включает конспект лекций, описание лабораторных
работ, выполняемых на ЭВМ с помощью пакетов MathCad и Mathlab, практических
занятий, а также методические пособия по выполнению обязательных домашних
заданий. Автор надеется, что учебное пособие будет полезным при изучении
магистрами и аспирантами дисциплины «Математическое моделирование в
электротехнике и энергетике», которая изучается в университетах согласно учебных
планов.
8
Раздел 1. Основные теоретические положения и методы
математического моделирования (конспект лекций)
1.1 Формализованные топологические методы анализа электрических цепей
Эти методы основаны на использовании основных понятий топологии и
обеспечивают автоматическое (машинное) формирование моделей электрических
систем заданной структуры.
Основой электрических схем являются двухполюсники активные, имеющие
эквивалентные сопротивления и ЭДС (Z,Klt> Еэкв) и пассивные, у которых имеется
только сопротивление, а ЭДС равна нулю. Активные двухполюсники — это
источники ЭДС и тока, аккумуляторы, генераторы, электродвигатели; пассивные
двухполюсники - это трансформаторы, линии, сопротивления нагрузки.
Точка соединения двух и более элементов электрической цепи называется
узлом. Связи между узлами называются ветвями. Ветви образуют контуры.
Способ соединения ветвей и узлов электрической цепи, т.е. структурную схему
цепи, представляют в виде направленного графа, вершины которого отвечают узлам
схемы, а ребра - её ветвям. Источники ЭДС, тока, сопротивления не показывают, а
учитывают только узлы и их связи. Для каждой ветви задают её ориентацию
(положительное направление), в соответствии с которой принимаются
положительные направления тока и напряжения ветви. Положительным будем
принимать направление тока в ветви к узлу. Для контурных токов за положительное
принимаем направление по часовой стрелке.
При указанных условиях любую электрическую схему можно представить в
виде графа и матрицы соединений П, однозначно отражающей структурную схему
графа.
Например, для схемы приведенной на рис. 1, её граф показан на рис. 2:
Рисунок 2 - Граф электрической сети
Рисунок 1 - Схема сети
Матрица соединений П — это прямоугольная матрица, строки которой
соответствуют узлам, а столбцы - ветвям направленного графа, при этом элементы
матрицы равны соответственно, +1, -1 или 0, в зависимости от того, подходит ветвь
к узлу, отходит от него или не имеет связи с ним. Различают полную матрицу
соединений (По), составленную для всех узлов и усеченную (П), составленную для
q-1 узлов, т.е. без базисного узла. Матрица По является избыточной, поэтому как
9
правило, используют усеченную матрицу /7, несущую полную информацию о
структурой схеме электрической цепи:
Мп.)'
где i=l,2, - узлы схемы;
j=l,2, ...,р - ветви.
q - число узлов;
р — количество ветвей;
D - базисный узел.
Для схемы, приведенной на рис. 1, матрицы Пи и П имеют вид:
Матрица контуров Г - это прямоугольная матрица, число строк которой равно
числу вервей р, а число столбцов - количеству независимых контуров в схеме:
n=p-(q-l),
при этом её элементы равны соответственно +1,-1 или 0 в зависимости от того,
совпадает ли направление ветви с направлением контура, не совпадает или ветвь
вообще не входит в данный контур. Для схемы на рис. 1 матрица /’имеет вид:
Ветви Независимые контуры
i
J I II III
1 1 0 0
2 1 -1 0
3 0 1 0
4 1 0 -1
5 0 -1 1
6 0 0 1
и = р - (q -1) - число независимых контуров.
10
Вышеуказанную матрицу обычно представляют в таком виде:
Г=Гу i = l,2,-,п
1 0 О
1 -1 О
г= ° 1 О
1 0 -1
О -1 1
О 0 1
j = \,2,...,р
Для матриц II и /’справедливо соотношение HT--0
Дерево графа. Деревом называют часть общей схемы содержащей все её
узлы, соединенные ветвями, не образующими ни одного замкнутого контура, т.е.
дерево - это разомкнутая часть всей схемы или её подграф.
с С С
2 5 э /' *-,,5
А 1 в -Z '\Е 7 F А 1 В X 4 Е 7 F А 1 В \ Е F
з4-.. % .Ъ
D D D
Исходная схема Вариант 1 дерева для Вариант 2 дерева для
схемы схемы
Число ветвей дерева всегда на единицу меньше числа узлов всей схемы
РЛ = Ч~'
Тогда для исходной схемы q=6, р-7, рд=д-1=6-1=5
Ветви, не вошедшие в дерево схемы, называются хордами (связями). Число
хорд всегда равно числу независимых контуров схемы. Главными контурами схемы
называют те контуры, которые образуются после поочередного подсоединения хорд
к дереву схемы:
Р,=Р-Р,^Р-(Я-^)=п
При анализе электрических цепей, кроме их геометрических схем, используют
физические величины: активные сопротивления, индуктивности, ёмкости, взаимные
индуктивности, ЭДС и источники тока, токи и напряжения ветвей, мощности и др.
Физические величины, которые характеризуют электромагнитное состояние
(режим) электрической цепи (токи, напряжения, потокосцепления и т.д.)
называются координатами режима.
Параметрами сети и координаты режима характеризуются следующими
матрицами и векторами: матрица сопротивлений ветвей Z - это квадратная матрица,
порядок который равен числу вервей р. По главной диагонали расположены
собственные сопротивления ветвей Z,,, а взаимные сопротивления между ветвями -
на пересечении соответствующих строк и столбцов, на которых расположены
11
основные сопротивления. Матрица проводимостей ветвей У имеет порядок р и
находится как обратная к матрице Z. Также должны быть сформированы
многомерные векторы источников ЭДС ветвей Е (р-го порядка) и источников
тока J (д-1 - порядка).
Многомерные векторы токов и напряжений ветвей U формируются аналогично
вектору ЭДС ветвей.
Для схемы, приведенной на рис. 1, указанные матрицы и векторы имеют вид:
Матрица сопротивлений ветвей.
Z„ О О О О О
О ZH О О О О
о о z„ о о о
z= ”
о о о z„ о zM
о о о о z„ о
о о о z„ о z№
Матрица проводимостей ветвей (матрица р-размерности (р-го порядка)):
Y = Z' = g-jb
Многомерный вектор источников ЭДС ветвей Е (совпадает с условно
положительным направлением токов)
Е - (Еь О, -Е}. Е* 0, 0)‘г
Многомерный вектор источников тока J размерностью (д-1}
J — (-Jag 0. +Jac)
При направлении источника тока из узла, он берется с минусом.
Многомерные векторы токов, напряжений и ЭДС ветвей (р- го порядка)
[Ч'
'z U,
Г, - и
/ и = и
's U,
1 и
«1 6
Е
О
Е
Е
О
О
Многомерный вектор мощностей ветвей
<S=(S„S2,...,S6),r S=diag(U)-l- S=(u,l1-,u2l2-,...,u6l6-)tr
I - вектор комплексно-сопряженных токов ветвей.
12
Учёт нелинейности параметров электрических цепей
Для линейных сопротивлений используют их статические значения, а для
нелинейных - динамические. Для активных сопротивлений:
Для индуктивностей:
ч7 т
1-С1ЛГИЧ = у = const, ЬдИН = у # const
Для сложных электрических цепей (см. схему ниже) необходимо учитывать
сопротивления нагрузок как функции тока, напряжения, активных и реактивных
мощностей:
| const O(L')- var)
Способы задания нелинейных нагрузок
1) /’иг= const; Qin = const;
D _____ HI' Г 7 2
H' ~ P2 А.П2
r HI' ''is hi
Qhi
=____________у2
Hl' P2 4-П2 “
' HI' T Vw
Здесь Rm- и ХцГ являются нелинейными функциями Unr, т.е., Rht(Uht), Xtlr(Ullr).
2) Р = f/U), Q - fo(U) т.е. мощности являются функциями напряжения,
которые могут быть аппроксимированы, например, квадратичными полиномами с
коэффициентами а, в, с, их сумма должна быть равной единице.
13
Рн, (и)-ро a.
Он, (O)-Qo az
При этом Po, Qo~ мощности при С/„ОЛ1.
^нАи) = -г-,Р^]гг-\ ииг' XnAU)= - г /Р\ (и1 ,
3) Рщ—const; Хцт=/(1);
где Ло, 4 _ значения тока и сопротивления при UHOM, Kmin -(0,5т1) - значения
коэффициента насыщения индуктивностей при токах / > (5 -=-Ю)/0,
у х
X = m,n =
Лпчп у у ~
л НОМ ло
Z„,. U нг
4) Нелинейную нагрузку можно представить как источник тока Jar, который
является постоянным или зависящим от напряжения.
Эту нагрузку можно также учесть нелинейным сопротивлением или
источником тока
________Унг__________
P«/|(cos(,„r +7s®,Pw)
Для расчёта сложной электрической цепи с нелинейными сопротивлениями
применяют итерационные методы: последовательных приближений, итераций,
Ньютона, градиентный метод и др. При этом на каждом шаге расчёта, считая
сопротивления линейными, после определения токов и напряжений методом
узловых напряжений или контурных токов, уточняют значения сопротивлений
нагрузок, источников токов и затем переходят к следующему шагу.
При использовании, например, метода узловых напряжений, сопротивления
нагрузки, заданные как функции от тока ZHl{IHr), требуется на каждом шаге расчёта
найти из решения (например, методом итераций) нелинейного уравнения:
14
UHr
I 1нг
П 2иг(1цг)
j Унг ;
^нг^нгУ
Дано: П Hr,ZHr(IHr)
Найти: ZHI-(U)
Uнг ~ Iнг ZHI (/н, ) = 0
Задавая начальное приближение /,«—1<0,нг, уточняем затем /цГ(1) таким образом,
чтобы невязка приближалась к нулю и окончательно найти Zur(U). Пример
программы приведен ниже. Если используется метод контурных токов, то нагрузки,
заданные как функции напряжения, находят из решения уравнения:
U нг ~1нг‘ %нг (П) = 0
здесь 1^ано: 'иг^гМ
[Найти: Zllr(IHr)
В пакете Mat head Zw (/„,.) можно найти как
^иг(Лу/) := ^нг(гоо11^нг ~ hir ' ^нг(^иг)1^иг)
Здесь Ufi) - начальное приближение.
Основные законы электрических цепей в векторно-матричной форме записи
а) Закон Ома для ветвей
Z I+U=E
или
Z-I=-U + E
I = Y(-U + E)
Уравнение (2) в развернутой форме записи имеет вид
+ ^2^2
Z21 /] ^~^22^2 ^2
+-‘-+ZppIp~ —Up+Ep
15
б) первый закон Кирхгофа
П I+J=O
где П - матрица инциденций;
/ - вектор токов ветвей;
J - вектор источников токов в узлах схемы.
Для нашего примера вектор источников тока размерностью (q-1) имеет вид:
-Лс
J- О
Если источник направлен из узла, то ставится знак минус, если к узлу, то плюс.
в) второй закон Кирхгофа
Д,-Г=О
Г1' транспонированная матрица контуров
Закон Ома и оба закона Кирхгофа можно представить в виде одного блочно-
матричного уравнения:
Здесь 2р координатных уравнений с 2р неизвестными токами и напряжениями
ветвей:
р уравнений закона Ома для р ветвей:
Z 1 = -и+Е
q-1 уравнений первого закона Кирхгофа для (q-1) независимых узлов:
n-i=-J
п = р- уравнений второго закона Кирхгофа для и контуров
/,гГ=о
Всего уравнений ч (</ | )-ь /? - (</—I) = 2
Способы решения матрично-векторного уравнения электрической сети
1-й способ. Основанный на исключении напряжений и определении токов, и
позволяющий понизить порядок решаемых уравнений с 2р до р. Воспользуемся
законом Ома:
ZI+U = E
Умножим все члены этого уравнения слева на Г„
r„ Z I+rVU^ E (1)
Согласно второму закону Кирхгофа
г„и=о
А также учитывая первый закон Кирхгофа
П-1 = -1
получим блочно-матричное уравнение для этого способа:
16
(2)
Из (2) можно определить р неизвестных токов ветвей. А потом найти
напряжения ветвей, используя уравнения закона Ома.
2-й способ решения
Запишем уравнение закона Ома:
I=Y(E-U)
Умножим это уравнение на П:
П1 = ПУ(Е-и)
(3)
Учитывая, что
ni=J,
получим блочно-матричное уравнение для этого способа:
I г, J ' I о
(4)
Рассмотрим методы, позволяющие сформировать выходную систему
уравнений для определения токов или напряжений, порядок которых ниже, чем
количество ветвей в схеме р.
Метод независимых токов
Позволяет понизить исходную систему уравнений до n-p-(q-l) порядка, что
облегчает решение задачи.
В исходном уравнении
П-1 = -К (5)
вектор-столбец токов представим в виде двух подвекторов: независимых /„ и
зависимых токов Ц
МнЛЛ
где независимые токи — это токи хорд, а зависимые - токи ветвей дерева
При этом n^p-(q-l) - количество независимых токов
Представим (5) как
(6)
где матрица соединений /7 разделена на две подматрицы-блоки, из которых
77,- соответствует вектору токов /„
П}~ соответствует вектору токов 13
Из (6) имеем
77, -1н + H2-I3=—J к
Откуда
Ъ = АПг\'Пр1п-(Пг\'1к (7)
17
Из (7) следует, что если мы найдем токи хорд 1Н, то можно затем найти все
токи ветвей, т. е.
Обозначим через Б, матрицу преобразования независимых токов
Матрица преобразования токов существует лишь тогда, когда можно обратить
матрицу Пг, а это возможно только в случае, если токи, принятые в качестве
независимых, не замыкают ни одной из вершин графа, т. е. не принадлежат одному
из узлов
Из (8) с учетом (9) имеем
(10)
Если (10) подставим во второе уравнение системы (2). то можно получить:
(Н)
Уравнение (II), с учетом принятых ниже обозначений для матрицы
сопротивлений Z/, независимых токов, имеющей порядок n=p-(q-l) и являющейся
матрицей сопротивлений хорд и для матрицы сопротивлений Zj, преобразующей
источники тока в эквивалентные контурные ЭДС:
Z„ = r„ 7. Б,
(12)
(13)
принимает вид:
(14)
Если теперь ввести ещё обозначения для и мерного вектора контурных ЭДС,
обусловленных действием заданных в схеме ЭДС ветвей:
и для «-мерного вектора эквивалентных контурных ЭДС, созданных заданными
источниками тока:
Ekj —Zj -Jk »
тогда уравнение (14) приобретает вид закона Ома:
Zfj-lu =Ekf. + Ekj
Из (15) находим независимые токи
1н —(2/.^1-(Ем+Ег./'Ь
(15)
(16)
18
а затем из (7) зависимые токи ветвей, и напряжения ветвей как:
U=E-ZI
Многомерный вектор-столбец мощностей ветвей найдем как:
S = diag[uyT (17)
где I - сопряженный вектор токов ветвей
Метод контурных токов
Основной недостаток метода независимых токов состоит в том, что матрица
сопротивлений хорд ZH=rlr-Z-Ei является несимметричной и непосредственно по
заданной схеме её сформировать затруднительно.
Этот недостаток можно устранить, если принять Б,=Г т.е. если в качестве
матрицы преобразования принять матрицу контуров, что равносильно принятию в
качестве независимых контурных токов. При этих условиях Z„ = Z„ Б, = Г и
уравнение (10) принимает вид
zK=r;zr (19)
При этих условиях основное уравнение метода контурных токов получаем из
(15) как:
ZK'I к — Еке+Ею (20)
ИЛИ
/г =(Z^)l-f£'Kr+£’^jj (21)
Порядок расчета этим методом практически совпадает с методом независимых
токов и заключается в следующем:
I) Строим геометрический образ исходной схемы, выбираем базисный узел и
положительные направления ветвей и контуров.
2) Определяем количество контурных токов, которое равно числу независимых
контуров n-p-(q-l).
3) Формируем вектор токов ветвей, при этом первым записываем токов тех
ветвей, которые совпадают с контурными токами, а затем остальные (q-1) токов
ветвей.
4) Формируем матрицы II. Г, Z, Е, JK, U с такой же последовательностью
записи ветвей как в векторе токов.
5) Находим Пг', а затем определяем:
ZK=raZT, Ёке = ГЁ,
где
6) Из уравнения (21) находим /к, а затем по (18) находим остальные токи.
7) Находим напряжения и мощности ветвей:
19
U=E-Z1 S=diag[ll\T
Метод обобщенных токов
Этот метод является частным случаем метода независимых токов. Его
преимущество состоит в том, что не требуется формирования матрицы контуров Г,
которая не используется совсем. Чтобы матрица сопротивлений была
симметричной, как это имеет место в методе контурных токов ZK=rt-Z-r, здесь это
достигается за счет того, что она преобразуется с помощью матрицы Б„ т. е.
Z„=K'Z£r
Чтобы получить основное уравнение этого метода возьмем в качестве
исходного уравнения (15) из метода независимых токов
Умножив слева каждый член этого уравнения на выражение Д" • Г„', получим
(дГ(гД'г„-2-д-7„ =
=(дГ (г^-^ £+(дГ0
Откуда получаем
(Д )' • Z • Б,: 1Н = {Б; Y • Е+(Д Y • Z
О
(22)
Введем обозначения
Z110=(B1)*'.ZBi
для квадратной матрипы контурных сопротивлений в методе обобщенных токов;
2-*ГЧп°г)
для квадратной матрицы контурных сопротивлений для источников тока;
для вектора контурных ЭДС, создаваемых ЭДС ветвей;
Ею —Zj Jk
для вектора контурных ЭДС, получаемых в результате замены источников тока
эквивалентными ЭДС;
для матрицы преобразования токов в методе обобщенных токов.
С учетом принятых обозначений и уравнения (22), выходное уравнение для
этого метода принимает вид:
Zho-Ih<i — Eke+Ekj (23)
Порядок расчета этим методом совпадает с методом независимых токов.
20
Метод независимых напряжений
В этом методе в качестве неизвестных принимаем напряжения ветвей,
образующих дерево исходной схемы. Их количество равно q-1, где q - общее
количество узлов.
Воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа
С-П=0 (24)
Вектор напряжений ветвей представим как состоящий из двух подвекторов
независимых и зависимых напряжений, а матрицу Г1г соответственно представим в
виде двух подматриц Г,/ и Г12.
Тогда
[г,„Г12Ии„,и^=0 (25)
ИЛИ
г/147н+г/2с7з=о
откуда
и^Г^'-Г^ин (26)
тогда
П‘е‘В" <27>
где
(28)
- матрица преобразований в методе независимых напряжений
Запишем уравнения первого закона Кирхгофа и закона Ома
П1 = -(])к (29)
I = Y-(E-U) (30)
Умножим уравнение (30) на П
n i = (n-Y E-n Y D)
С учетом (27) и (29) последнее уравнение принимает вид
n-YU = nY E+(j)K
ИЛИ
n-Y-E„-[UH]=n-Y-E+[j]K (3))
Введя обозначения
Ун = ПУБи
для матрицы узловых проводимостей метода НН, размерностью (q — 1)- (q — 1);
У£ = ПУ
для матрицы узловых проводимостей размером {д — 1)-(<у — 1) преобразующей ЭДС в
эквивалентные источники тока;
21
(j)K£ = n-Y-E {T)ke = Ye-E
для вектора эквивалентных источников тока размерностью (<7 —1).
Тогда с учётом (31) выходное уравнение этого метода принимает вид:
(32)
Метод узловых напряжений
Этот метод является частным случаем метода независимых напряжений. В
последнем матрица узловых проводимостей YH = EIYE^ несимметричная и её
нельзя сформировать непосредственно по заданной схеме.
В методе узловых напряжений полагают Би=П1, тогда матрица У;/=К,
будет симметричной, и формировать матрицу Г не надо.
В качестве неизвестных принимаем напряжения в узлах по отношению к
базисному. Тогда уравнение (27) принимает вид:
U = и=П,-(и^ (33>
YH = nYEv У„=ПУП, Y„=Yr, (34)
а уравнение (32) соответственно:
= й (35)
k Jy к Jk к )ке
где Uy - (<7—1) - мерный вектор узловых напряжений;
Y y- П-Y П, - квадратная (г/—1) порядка матрица узловых проводимостей;
- («у — 1) - мерный вектор эквивалентных источников тока;
17=д.(Е7)г
- вектор напряжений ветвей.
Способ формирования матриц Et, Би, П2 'непосредственно по заданной схеме
Эти матрицы могут быть вычислены аналитически или сформированы по
заданной схеме.
Матрица преобразования независимых токов аналитически находится по
формуле
д=[-(/фл,
и требует обращения матрицы П2.
22
Этой операции можно избежать, если, пользуясь 1 законом Кирхгофа, выразить
токи ветвей через независимые токи.
Например, для заданной ниже схемы:
Пусть JK =0, а /2 = 6; д—4, количество независимых токов
п = р-(д-\)=3
I4=I3—12 (I1)
16 — I4 +15 = 13 —12 +1| —13 = I] —12
Используя первый закон Кирхгофа для всех узлов кроме базисного узла В,
выразим зависимые токи через независимые.
Для узла А: — Д + /3 + 75 = О
Для узла Д: 72 -73 + 74 =0
Для узла С 1Ь - Ц -75 = О
Известно, что
1=Б,-1н —
•Jk,
(21)
где
I = [I, I2 I3 I4 15 16]‘г
Используя полученные выражения для зависимых токов (1'), выраженных через
независимые и учитывая (21) можно получить Et.
Матрицу Et можно сформировать более просто, если записать ветви хорд
(ветви независимых токов) по столбцам, а все ветви схемы (сначала хорды, а затем
ветви дерева) по строкам.
Тогда для рассматриваемого примера
О'
О
1
-1
О
1
23
Каждая из хорд образует соответствующий ей контур, в который входят ветви
дерева. Если ориентация последних совпадает с направлением хорды, ставим +1,
если не совпадает -1, если же ветвь дерева не входит в контур ставим 0.
Матрицу Бу также можно сформировать более просто, если записать ветви
дерева (ветви независимых напряжений) по столбцам, а все ветви схемы (сначала
ветви дерева, а затем ветви хорды) по строкам.
Тогда для рассматриваемого примера
( 1 0 О'
0 1 0
-1 1 1
J 0 -1?
Каждая из хорд образует соответствующий ей контур, в который входят ветви
дерева. Если их ориентация не совпадает с направлением хорды - ставим +1. Если
совпадает -1, если же ветвь дерева не входит в данный контур - ставим 0.
Можно также показать, что Бу определяется, если известны П^' и ГЦ
(подматрицы матрицы соединений), т. е.
Би =-------|
L(n2rr-n/J
Напомним, что
Пример составления алгоритма решения методами узловых напряжений и
контурных токов для указанной ниже схемы.
1) задаем ориентацию ветвей,
2) стоим граф и дерево исходной схемы (хорды 1,3,5; ветви дерева 2,4, 6),
3) составляем матрицы 77, П21, 77^' • 77,, , Бу, очерёдность ветвей в
матрице П 1,3, 5, 2,4, 6, а узлов - А, В, С, причём узел Д принят как
базисный.
А
1 -10-10 о
П= 0 0 -1 1 -1 о
0 1 1 0 0-1
V 7
24
Для П2' записываем очерёдность ветвей в столбцах: 1, 3, 5 и в строках: 2,4, 6.
Заполняем матрицу следующим образом. Движемся от текущего узла к базисному
по ветвям дерева. Например, из узла А к узлу Д по ветвям 2, 4. Для этого случая в
первом столбце, соответствующем узлу А ставим напротив ветвей 2 и 4 единицы,
остальное заполняем нулями.
1 3 5
fl 0 0)2
Для формирования матрицы (FIj)1 -П| рассматриваем, какие ветви входят в
контур, образуемый каждой из хорд:
fl -1 0)2
-1 -1 4
1 1 J6
'io o'
О 1 о
1 -1 -I
0 1 1 >
' 1 0 О'
О 1 0
2 = 1
1 'в.' П". ' ".Г
-1 -1 I
ч0 -I 1,
4) формируем векторы токов, напряжений, ЭДС ветвей, сопротивлений ветвей,
источников тока
1 = [1, 13 I5 I2 I4
и=[и,_ и3 и5 и2 и4 и6р
/=(-Лс, о,
£ = [£, -£3 0 0 Еа 0}г
матрица сопротивлений ветвей
25
z> 0 0 0 0 0 '
0 z2 0 0 0 0
0 0 Z3 0 0 0
z=
0 0 0 z4 0 0
0 0 0 0 Z5 Z46
<0 0 0 0 Z64 z6>
1.2 Методы решения систем линейных уравнений
При решении выходных уравнений рассмотренных ранее методов расчёта
электрических схем, используются численные методы решения линейных или
нелинейных уравнений. Для решения линейных систем уравнений используются
следующие точные методы (правило Крамера, метод Гаусса) и итерационные
методы (метод простой итерации, Метод Зейделя, метод релаксации и др).
1, Метод Гаусса
Идея метода состоит в последовательном исключении неизвестных и
понижении порядка системы решаемых уравнений.
Пусть дана система уравнений:
°1Г*1 °15
°21 "^1 JraTL 'Х2 “*‘°23 ’^3 ~*~^24 'Х4 ~ Я25
О)
«3! ’*1 ~^аз2 ' Х1 + азз' Хз + а34'Х4 ~а35
a4l 'Х1^а42 'X2^a43'X3^~a44 'Х4 ~ й45
Пусть а ( Ф 0 (ведущий элемент).
Разделив первое уравнение на ап, получим:
xl+bl2-x2+bl3-x3+bl4-x4=bls (2)
где >
‘I V»)
Пользуясь (2), исключим из (I) неизвестное X,. Для этого (2) умножим сначала
на а2] и результат вычтем из второго уравнения системы (I); затем (2) умножим на
О31 и вычтем из третьего уравнения и т. д.
В результате получим
26
(o22)ll)-X2+(a2j,)-x3+(a24)(,)^4=(o25)(l)
(a32^-x2+[a„p-x, +(a34^-x4 = (a35^
(а42^-х2+(а43^-х3+(o^-x, - (oj1’
где коэффициенты (i,j > 2) находим по формуле:
а = (z',/>2)
Разделив, далее, коэффициенты системы (I1) первого уравнения
получим
х2 +О-Х3 +(/’24)')-^4 = fesl’’
где
исключая теперь Х2 же способом, как исключили X,, получим
(а33Я-х3+(а34Я^4=(аз5/2)
kF=<i,J з)
Разделив первое уравнение системы (1") на а$, получим
х3+(Ь34)2,-х4 =(Z>J2'
где
t/>3)
Исключив теперь х3 из (11'), получим
(«44P,-X4=(«45F)
kF=kF-кзЯ-^- [iJ 4)
Откуда
х -ksF х W
4 О 4 4 45 ’
Выполняя обратный ход, находим
хз=к)2,-к4)2,-4
X2=^~(bJ-^-(b2^-X3
(I1)
на а*1]
(21)
(1")
(2й)
27
Количество операций (арифметических) в этом методе
N=j-h-(«+1)-(h+2)+w-(h-1)<«2
и - порядок системы уравнений
Пример: Решить методом Гаусса по схеме единственного деления систему
уравнений:
7.9х,+5.6х2+5.7х3-7.2хд = 6.68
8.5х,-4.8х2+0.8х,+3.5х4=9.95
4.3Х| +4.2х2 -З.2х3 +9.3х4 = 8.6
3.2х,—1.4x2 -8.9х3+3.3х4 = 1
Решение удобно свести в таблицу, где вписываем коэффициенты системы,
свободные члены и контрольные суммы.
Для любого элемента (не находящегося в первой строке), вычитаем из него
произведение первого элемента его строки на последний элемент столбца, к
которому он принадлежи! и результат записываем на соответствующее место в
следующем разделе таблицы (например А —> Д)
(а43/')=а43-а41-613
(oJ’)=-8.9-3.2-0.7215
1.2088
X, х2 Х3 Х4 Свободные разделы X раздел
7,9 5,6 5,7 -7.2 6,68 18.68
8,5 -4.8 0.8 3,5 9,95 17.95
4,3 4,2 -3.2 9,3 8,6 23,2 А
3,2 -1.4 -8.9 3,3 1 -2.8
1 0.7088 0.7215 -0.9114 0.8456 2,3646
- -5.3329 11,2468 2,7626 -2.1488
10.8253
1.1519 -6.3025 13.2190 4,9641 13.0324
-3.6684 - 6,2165 -1.7058 -10.3666 А|
11.2088
1 0.4926 -1.0389 -0.2552 0.19.85
-6.87 14.4157 5,258 12,8037
-9.4017 2,4052 -2.6420 -9.6385 а2
1 -2.0984 -0.7654 -1.8637
28
-17.3229 1 -9.8376 0.5679 -27.1606 1,5679 Аз
0.5679 0.4263 0.1248 0.9671 1,5679 1,4263 1.1248 1,9671 В
х4=0.5679
х3=-0.7654-(-2.0984)-0.5679 х3 = 0.426
х2 = -0.2552—(-1.0389)0.5679-0.4926 0.4263 х2 = 0.125
х1=0.8456-(-0.9114)0.5679-0.7215-0.4263-0.7088 0.1248
х, =0.967
Текущий контроль вычислений осуществляется с помощью столбца, над
которым производят те же действия, что и над остальными столбцами.
В результате:
1) сумма элементов каждой строки должна быть равна элементу этой строки из
столбца 21
2) корни Xt соответствующие столбцу 21 должны быть на единицу больше
истинных корней
2. Метод простой итерации
Является приближенным численным методом и при больших размерностях
сист ем уравнений имеет преимущество перед методом Гаусса.
Пусть дана линейная система:
а|1-х|+а12-х2+...+а1„-х„=й1
°21 +О22 'Х2^"'~^^2п '^и— ^2
0)
a„i -х1+аП2 -х2+...+ат -х„= Ьп
Введя в рассмотрение матрицы
систему (I) можно представить как
А-Х = Ь (I1)
29
Пусть (z = l,2,...,w). Разрешим первое уравнение системы (1)
относительно X], второе - относительно Х2 и т. д.
Тогда получим эквивалентную систему
х, = Д+а)2-х2+...+а1„-хи
х2 = /?2+а21-х2+...+«2их„
(2)
хп Р„ + ССп1 • Х2 +...+<2И „_| Х„_,
' ' txtj J
а,,=0 i= i z’=l,2,...,n
Введя матрицы
систему (2) можно записать в матричной форме
Х = /?+а-Х (21)
систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое
приближение принимаем, например, столбец свободных членов
х<°»=/?
Далее находим первое приближение по схеме
x(l)=/?+«-x,ot
Второе приближение
х,2)=/?+а-х^
ит. д.
Вообще для (к +1) приближения
х(*+,)=/З+а-х^ А: =0,1,2...и
Если для приведенной системы (2) выполнить по меньшей мере хотя бы одно
из условий:
- сумма абсолютных значений элементов по строкам или
30
2) (gKH1) У = 1’2’ - «
- сумма абсолютных значений элементов по столбцам, то процесс итераций (3)
сходится к единственному решению независимо от выбора начального
приближения.
Условие сходимости можно также проверить по критерию: если модули
диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы (1) больше суммы
модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов), то метод
итерации сходится.
Пример:
Решить методом итераций систему уравнений:
(yf)2-xl+3-x2— 4-х3+х4 = 3
(£>) xl-2-x2-5-x3+x4 = 2
(в)5-х,-3-х2+х3-4-х4 = 1
(Г)10-х|+2-х2-х3+2-х4 = -4
Условия сходимости здесь не выполняются. Поэтому преобразуем исходную
схему:
А) уравнение 1 возьмем из (Г)
Б) уравнение II возьмем как (А)-(Б)
В) уравнение Ill возьмем из (Б)
Г) уравнение IV возьмем как 2 (А+В)-(Б+Г)
10-х|+2-х2-х3+2-х4 = -4
х|+5-х2+х3-0-х4 = 1
Х| —2-х2-5-х3+х4 = 2
3-Xj+0x2+0-x3-9x4 = 10
Здесь уже условия сходимости выполняются. Примем
(х)°’ = (0, 0, 0, 0}
Тогда Х^ найдем из
х, =0 х,— 0.2 х2+0.1х3—0.2 х4 —0.4
х2=0.2-х|-0х2-0.2-х3+0х4+0.2
х3 = 0.2-х,-0.4х2+0х3-0.2-х4-0.4
х4 = O.333-Xj +0-х2 +0-х3+0х4-1.111
31
й'= *2 хз ЙР= -0.4 ' 0.2 -0.4 -1.111
' 0 -0.2 0.1 0.2 0.4 ' -0.4 '
№ 0.2 0 0.2 0 0.2 4- 0.2
0.2 -0.4 0 0.2 -0.4 -0.4
М” 0.333 0 0 0 J к 1.111 -1.111,
J‘+'J „ J*)
x -p+ax
3. Метод Зейделя
Представляет собой модификацию метода простой итерации, заключающуюся
В том, что при вычислении (Л 4-1) приближения неизвестного Xt используются уже
вычисленные ранее на этом шаге более «младшие» неизвестные
(х,Н(х2Н...,(^ ,)Н
Для исходной системы, решаемой методом итераций
Х1 = /(ХРХ2,...,ХИ)
Xj — У^(Х|,х2,...,хи)
м (£+1)
шаге приближения имеем
(Х„ Н=/п((х, %(х2 У‘),...,(хй_, ^,(х„ /*),)
Условия сходимости здесь такие же как и для метода простой итерации. В
Другой форме их можно записать как
32
Наиболее универсальный способ преобразования исходной системы для
обеспечения сходимости заключается в умножении слева на транспонированную
матрицу А, обеих частей уравнения
Ах=В
Тогда имеем
Atr • А • х = А1Г • В
Такой прием называется нормализацией. Матрица Atr-A теперь будет
симметрической fa#=O..J и положительно определенной, т. е. она имеет
квадратичную форму (эллипсоид) и U > О
U=all-(xlf +а22-(х2У+...+а„„-(х„У+2-а12-х}-х2 +
+2*<7J3 • X, • х2I -x„_, 'Х„ >О
Пример.
Решим рассмотренную
ранее систему уравнений методом Зейдсля,
нормализовав ее
' 2 1
3 -2
—4 -5
„ 1 1
( 2 1
3 -2
—4 -5
i 1 1
5 10 2 3 —4
-3 2 1 -2 -5
1 -1 5 -3 1
-4 2, 10 2 -1
5 10 Р
-3 2 2
1 1 1
-4 2 4
1 fX|'
1 *2
-4 х3
2
130
9
-18
„ 3
Запишем систему в виде
_(*)
=Р+ах
33
V ' 0 0.692 -0.1385 0.023 ' X,
х2 0.3461 0 -0.2692 0.6538 х2
х3 -0.4186 0.1628 0 -0.3488 х3
V 0.1364 0.7728 -0.6818 0 А
' 0.4077 '
0.3846
-0.5814
к 0.4091 >
Метод решения систем нелинейных уравнений
Эти методы подразделяют на методы нулевого,
первого и второго уровня в
зависимости от использования
Систему уравнений представим как вектор - функцию
7й=о
где
(О
(2)
Матрица Якоби исходной функции (1) - это матрица частных производных
d f d f d
dx,Jl dx2 ' " dxnJ'
d f d f -d^f
1Г(х)= dx/2 dxj2 ’ dx„ 2
d f d f
dx2Jn ’ " dx„Jn}
(3)
34
матрица 1 ессе - матрица в горых пре изводных d2f® d2f$\
dx,2 d2f(x] dx.dx-. dx.dx„ d2f$
dx-jCb^ dx22 dx2dx„
d2f$ d2f®
dx„dxt dx„dx2 dx„2
Градиент исходной вектор - функции
(4)
J [ dxt dx2 dxn )
(5)
Градиент функционала F — это
р _ DF(x) F, _(dF dF dF]
Dx dx2 " dxnj
F'=2-F$r-jrfc)
Или
Минимизируем функционал F одним из рассмотренных ранее методов.
Например, в методе Ньютона первого порядка получим
Ъхк
Такое решение эквивалентно применению метода наименьших квадратов к
решению в общем случае несовместной (и к) нелинейной системы уравнений.
1.3 Методы решения нелинейных систем уравнений и методы оптимизации
В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не
известны прямые методы решения, и поэтому применяют итерационные.
Пусть задана исходная система уравнений
35
fl(xl,x2,...,xn)=0
f2(x1,x2,...,xI,)=0
f3(x„x2,...,xj=o
(1)
f„(x,,x2,...,x„)=O
В которой и-мерные векторы неизвестных X и вектор - функций f равны
Для любой из функций
(2)
(3)
многих переменных можно найти их градиент, т.е. вектор, компонентами
^Которого являются частные производные соответствующей функции по каждой из
' переменных.
(4)
Градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня функции в
Данной точке и направлен в сторону наибольшего возрастания функции.
Матрица Гессе Н(х) (гессиан) представляет собой симметричную квадратную
Цатрицу (размером ИХ и) вторых частных производных исходной функции, взятых
Йкакой-либо точке
36
dxj dx.dx,
d2
dx,dx.
^2f(x(K))
dxn J
t. e. здесь берется производная в (4) сначала по Xt, затем по Х2 и т.д. до Х„.
Исходную функцию
(5)
в окрестности точки Хо можно разложить в ряд Тейлора при
непрерывности функции и её производных
f(xo+h)=f(xo)+fhi^+-’fih1.hj|^+...
j—j UA j /I j=| j_| UX j UA j
условии
или
f(xo + h)-f(xo)=htr -Vf(xo)+i-hlr -H(xo)-h
Если Xo является точкой минимума функции f{x), то каждая первая частная
производная для всех i - 1, 2, ... , и должна обращаться в нуль в точке Хо ,т.е.
4-/fa>)=0
axi ' 1
(6)
(7)
или
Vf(xo)=0
Если имеется система функций f(x) как в (1), то для них матрица первых
производных будет квадратной размером ПУ-П, её обозначают W(х) и называют
матрицей Якоби
Их)=
d г d f
dZ/1
d т d f
dx/2 dx/2
_d_f
" dx„
" A/2
(8)
d f d
dx,Jn dx7
dx,
Методы решения нелинейных систем уравнений подразделяют на методы
нулевого, первого и второго уровня.
В методах нулевого уровня (по координатного спуска) для решения не
используются матрицы Якоби и Гессе, а решение производится путём вычисления
функционала невязки, образованного от исходных функций. В точке решения
функционал должен быть равен нулю.
37
V(x) = f2+f22+... + f2
В методах первого уровня (градиентный, Ньютона и др.) для решения
используется матрица первых производных Якоби. А в методах второго уровня
используются обе матрицы (Якоби и Гессе).
Градиентный метод (метод скорейшего спуска)
Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений (1)
7й=о (о
где
Решение (1) можно свести к минимизации составленной из (1) скалярной
функции (функционала невязки)
V(x)=ftr(x)-f(x) V(x)=f[fi(x)f (2)
i—1
Это очевидно, так как X являющийся решением для (1) обращает в нуль и (2).
Пусть Х'°> является начальным приближением искомого решения. Ему
соответствует поверхность уровня скалярной функции
V(x(o>)= const
Значение неизвестного X на следующем шаге будем находить как
х^=(х^+А-(х^ (3)
При этом Ах должно быть такое, чтобы обеспечивалось неравенство
К^х(,,^<Г^х(о)^ (4)
В градиентном методе вектор Ах выбирают в направлении антиградиента к
функции.
В градиентном методе вектор ЛХ выбирают в направлении антиградиента к
функции V(x(0>), т.е.
Ах = -ц • graj(r(x<0))) (5)
где ц - величина шага, которая неизвестна и которую на каждом шаге расчета
определяют из условия
38
~-V^)=0
Нормаль к поверхности
Поверхность уровня Ирг®?
dx,
Мо \
Поверхность уровня V(x>!>J
^—Направление антиградиента crad У'(х'0’)
м,
Из векторных треугольников ОМоМ! и OMtM2 следует
(7)
найдем выражение градиента для скалярной функции (2)
Grady ={— У,— -У,...,~у]
\dx, dx2 dx„ J
где
— y = 2 f — f + 2/, — 2f —f
dx, dx, J2 dxtJ1 dxj"
—V = 2f —f+2—f
dx2 71 dx2 ' J2 dx2 2 J" dx,
Или в более краткой записи
'd_ d_
dxf " dx, 2 dx,
Grady = 2-
d f d d f
dx2 " dx2 2 dx2
39
где
GradV = 2-W"-f (8)
Здесь W1'- транспонированная матрица Якоби функции f(x)
Чтобы найти fi из условия (6) разложим исходную функцию V в ряд Тейлора и
Отбросим нелинейные члены. Тогда записав ее как
2
i И/О = IM***’ - Л • gradV- (9)
i=n
И разложив по степеням р, получим
К(//) = 2 • [л • IV • [х(Л)]-gradVxrf (10)
i=n
Продифференцировав (10) по ft и учтя (8), получим
=-z|>Gr ’ - 2 А • 70* ’]•
«А (11)
.2.HT»"0‘’-704
Приравняв (11) нулю, мы найдем оптимальное значение f/K>
где
- параметр итерации
Теперь новое значение будем находить по формуле
Достоинством градиентного метода является то, что он практически всегда
обеспечивает сходимость расчета. Недостаток состоит в том, что может иметь
значительное замедление при подходе к решению для овражных функций
Порядок расчета этим методом:
1) для начального приближения xf9 по (1) вычисляем вектор невязок исходных
функций f(g0))
2) вычисляем матрицу Якоби W(xfo>) (смотри уравнение (8) предыдущей
лекции или (7”) настоящей)
3) вычисляем вектор параметра итераций S(XfK>) по (13)
4) по (12) находим величину шага /л в направлении антиградиента
5) по (14) вычисляем новое значение вектора неизвестных х!'*
6) переходим к пункту 1) и т.д. до сходимости расчета, т.е. когда
40
и их отличие не превышает заданной точности е.
Пример:
Решить систему уравнений градиентным методом
/(«,/?,/)= О
/i=a + a2-2/7/-O.1 /;=о
Л=/? + /?2+3-/Л« + 0.2 f2=0
(1)
f тгУ + У2 + 2 ft-а-0.3 Л ~
Вектор неизвестных
х = («,Д/)*
Примем начальные приближения
а(о) = О, /?(о) = О, /о) = О
Т.е.
х(0) = (0,0,0)*
I) найдем вектор невязок/(Х^) из ( I), подставив в него )^0>
(Я = 0.2 ,
.-0.3J
2) сформируем матрицу Якоби для (1)
о
.0,
w =
rd_
da
d
da
d
da
dpJ'
±f
dph
-d. f
dr
d у
а/с
dr J
1 + 2а
И'= 3/
ЛР
-2/
1-2/
2а
-2fl'
За
1 + 2/,
и вычислим ее значение при Х11>>
Ч 0 0"
И/(х)(°) = 0 1 0
Е
<0 0 1J
3) находим параметр итерации 8(Х(0)) по (13)
41
4)
'-о.Г
0.2
.-0.3,
находим величину шага д по (12)
НП-г-РГ
М 2
1 (Е °±Х- °- 0 + 0-2 -0.2 + (- О.ЗХзО.3)) _ 1
2 (-0.1Х-0.1)+0.2 0.2 + (-0.зХ-0.3) ~ 2
по (14) находим новое значение Х(|)
(*. г '0^ = (xf. -2-/А '1 0 0" '-о.Г (40,= '- о.Г
= 0 L0; -2- 2 0 1 0 .001, 0.2 <-о.з, = 0.2 <-о.з,
на следующем шаге:
(/)' = 0.1 + 0.12-2-(-0.2)-0.3-0.1 = 0.13
6)
(/2)’ = -0.2 + 0.22 + 3 • 0.1 • 0.3 + 0.2 = 0.05
-0.6 0.4^
1.4
-0.4 0.2
(/3)' = 0.3 + 0.32 + 2 • 0.1 • (- 0.2) - 0.3 = 0.05
'0.13 А р.2
(/f)= 0.05 W{'} = 0.9
. 0.005
0.3
1.6
Н = М”-(и;)(”-[7(”]=
'1.2 0.9 -0.4^ Г0.13Л
0.6 1.4
к0.4 0.3
fl .2
0.9
-0.4 0.2 1.6
0.05
0.05
'0.18Г
0.002
.0.147,
0.2
1.6
-0.6 0.4^0.181^1 <0.2748^
1.4 0.3
0.002
0.147
0.2098
0.1632
42
43
0.27842 + 0.20982 + 0.16322
<0.1 '
-А-2-(И^-(7(1))= -0.2 -0.3719-
.0.3 ,
_ 0.13 • 0.2048 + 0.05 0.2098 + 0.05 • 0.1632 1
---------- = —-0.3719
2
<0.18P
0.002
0.147,
'0.0327 '
0.2007
1,0.2453
невязка
и т.д. до сходимости расчета.
Точное решение
'0.032 '
-0.017
,0.007 ,
'0.01284 '
х = -0.17781
,0.24468 ,
Метод сопряженных градиентов
Относится к методам первого порядка, т.е. используется информация только о
первых производных функций.
Суть метода заключается в том, что поиск неизвестных производится в
сопряженных направлениях (ортогональных). Исходным направлением поиска
принимается направление антиградиента -grad V , а затем это направление на
каждом шаге изменяется на сопряженное.
При таком подходе для квадратичной функции п переменных поиск минимума
производится не более чем за п шагов. Наиболее эффективный такого типа метод
известен как метод Флетгера-Ривса.
Два вектора Хи Y называют W-сопряженными или Н-ортоганальными, если
х'(Ну)=0 (1
Здесь Н, например, матрица Гессе или какая-либо другая матрица.
Например, если Н = Е =/, то Л1 Y=0 т.е. векторы Хи У перпендикулярны.
При рассмотрении градиентного метода уже говорилось, что в общем случае
ДЛЯ любого итерационного метода на каждом шаге расчета находится поправка АХ,
вторую определяют как произведение вектора направления поиска d на величину
ага // в этом направлении, т.е.
(х*+,))=Р*))-А(*)-(^(*)) (2)
В градиентном методе
d = gradv(x) d = 2 • w'(x)- /(x)
1 f хи{х)>Л)/й
p. M 2 »(x)' w' £)• /(xj-w'(xj- /(x)
В методе сопряженных градиентов первый шаг выполняется точно также как в
Градиентном методе, а затем по формулам
|4)
gradV\x ] grad у
(5)
(6)
Как видно из формулы (4) па каждом шаге расчета в направление поиска
Водится поправка в сопряженном направлении.
Метод сопряженных направлений (градиентов) отличается большей скоростью
Сходимости, чем градиентный.
Метод Ньютона
а) геометрическая интерпретация
Пусть требуется найти корень уравнения одной переменной (скалярная
функция)
/М-0 (1)
Пусть мы имеем начальное приближение неизвестного Х(0). Требуется найти
поправку к нему АХ, тогда
х(1) = х(0) + Ах (2)
Чтобы найти АХ разложим функцию (1) в ряд Тейлора
Учитывая, что в точке решения
7-(х(<|> + Дх) = 0
Получим
Т/Мх"»
ах
Или с учетом (2)
44
.(*») = х(‘) _ J\x I
dx
(3)
Процесс нахождения называют методом касательных
Хк> находится в точке пересечения касательной к функции f(x)=0 и оси абсцисс.
б) метод Ньютона первого порядка для системы нелинейных уравнений.
Пусть имеем систему уравнений
/(х„х2,..„х„)=0
/2(х,,х2,...,х„)=0
или
/(х)=0
(5)
где
(6)
(Л) А
Для X = X + Ах после разложения (5) в ряд Тейлора получим в точке
решения
/й=/1(х)+Лх]
(7)
45
Отбрасывая в (7) нелинейные члены, получим
где j - матрица Якоби.
Для решения уравнения (8) применяют два способа
1) метод Ньютона с обращением матрипы Якоби на каждом шаге расчета
В некоторых модификациях этого метода матрицу Якоби обращают через
каждые п шагов.
Для того, чтобы обеспечить сходимость расчета вводят коэффициент
ограничения шага ц, значение которого находя г из условия минимизации исходной
функции
7=о
Практически наиболее просто это можно сделать, если для вычисленного по (9)
найти значение невязки
и сравнить его со значением на предыдущем шаге
(7Г
Если
7|(5Г"1<(7Г.
то переходят к следующему шагу.
Если
7Ш>(7Г.
то приращение АХ снижают в 2 раза и проверяют условие
./[(х)' А’ + °-5-Ах]<(/)(‘)
ИТ.Д.
2) второй способ решения (8) заключается в использовании метода Гаусса.
Решают систему линейных уравнений относительно АХ
w|(x/k)]Ax=-f[(x)(k)j (Ю)
После определения АХ описанным ранее способом находят коэффициент д. Для
этого удобней всего минимизировать функционал Г, образованный от функции f(x)
V = [fl(x)]2+[f2(x)]2+... + [fn(x)]2
С учетом изложенного формулу метода Ньютона запишем в более общем виде
х(к+,) =х(к) - pW“'x(k) f(x(k))
46
Пример:
Решить методом Ньютона систему уравнений
(х, )2 — х2 - 0.5
(х,)2+(х2)2 =0.5
Здесь
И тогда неизвестные будем искать по формуле:
£Г^Г-аН4*’]-./ГГ|
Запишем исходную систему уравнений в виде:
f1(x,,x2)=(x1)2 +(х2)2 -0.5 = 0
f2(x,,x2)=(xi)2 +(х2)2-1 = 0
Начальные приближения найдем графически
о 1 /’(О) zr у (°)
Значение функции J в точке нулевого приближения Л :
47
(Wl=
o.^-ojs-o^
0.92-0.352-l ,
(7гш=
0.04 "
0.068,
Из формулы Ньютона имеем
w|x(k)]-Ax(k) = -f|x<k)]
х,(,)-х/°П
х (*)-х (о)
х2 х2 у
1.8 -П
1.80.7,1
Лх2(0),
-0.04 А
-0.068,1
1.8-Лх, -Лх2 =0.04
Откуда находим
1.8-Ах, + 0.7Дх2 =0.068
Ax,(o) = 0.0314
Лх2(о) = 0.0168
А затем
х/'^х/^+Ах/^ х,(,) = 0.9 + 0.0314 = 0.9314
х2(|) = х2(о) + Лх2(о) х2(1) = 0.35 + 0.0168 = 0.3668
Теперь находим
w|x(l)j; f(1)(x(l)); Ах(1); х(2)
и т.д. до сходимости
Решим этот же пример методом Ньютона, но используя обращение матрицы
Якоби.
1.8|-П
1.8|0.7/
W(x(l))“'
W(x(0))-'
6.22810.236
- 0.58910.589J
Вектор невязок в точке АГ*0'
0.812
0.812
-0.35-0.5
-0.1222-!
-0.04 А
- 0.068J
По формуле (9) находим АГ*1'
(хОП ГХ(°П
1 - Х|
X W Г х (о)
kx2 J VX2 J
[w'x/0)]-
ff.(x(0))^
Л(х(0)),
f(°)(x(°)) =
f(°)(x(°))
48
1 Г0.228| 0.326 Г-0.04 MH (0.9314A
- V035J I- 058910389J 1-0-068) [x2(l)J \0-3668j
Уточняем решение на втором шаге
(Н (1.871-1
W(xll') = l 1
1.8710.736J W,r(x(o))=(
w(-(0)r, ^0.2161-0.30^
<x,(2)L
x (2) 4 0.3668
\X2 7 V
0.9314
-0.57510.575
мх(,)Л
<f2(x(l))J
0.21610.307
- 0.57510.575
-0.042
-0.005
x 0
X2
0.9214
0.36625J
И Т.Д. до сходимости
Метод Ньютона с продолжением итерации по параметру
w[x(k)]-Ax(k)=-p(k)f(x(k)), (1)
где /Л = [4*4 - параметр итерации, определяемый из аналитического выражения, в
которое входят нормы матриц вторых производных и исходной функцив (/*- это
число, которое больше 1) //** < 1
В (2) используют т - нормы матриц.
Норма матрицы - это действительное число, вычисляемое следующим образом.
“т - норма” находится как наибольшая сумма абсолютных значений элементов
матрицы по строкам;
Nor(A)m = max, £|au|
j=l
“/-норма” - наибольшая сумма абсолютных значений элементов по столбцам.
Nor(A)] = maXj £ |ац|
J i=l
Метод Ньютона второго порядка
Основан на квадратичной аппроксимации целевой функции С учетом
разложения в ряд Тейлора членов второго порядка для
х - х. - Ах.
к к
имеем
49
/[(xL ]=/(x*)+* U XAx*)+| (Лх* У • я(х* )•Ax*
Здесь Axt является шагом. Выбираем его оптимально, т.е. из условия
минимума приведенной выше квадратичной функции относительно Лхк. Решение
этих уравнений приводит к оптимальному шагу:
Axk=-H“‘(xk)Vf(xk)
Тогда итерационная формула метода Ньютона второго порядка принимает вид:
Хк+1 = х^ - рк • Н“‘ )• Vf(xk)
Здесь Vf(xk) - вектор градиент; Н '(xt) - обратная матрица Гессе функции
f(x); f-lk~параметр, определяющий оптимальную длину шага.
Симплекс - методы
Симплекс - это «-мерная замкнутая геометрическая фигура, ребра которой
представляют собой прямые линии, пересекающиеся в п +1 вершине.
Поиск минимума унимодальной функции вида
т = /(х1,Х2,...,Хл+1)
основан на слежении за изменением значений целевой функции в вершинах
симплекса.
Новый симплекс строится симметрично относительно плоскости, проходящей
через одну из сторон исходного симплекса. При этом производят отражение той
вершины исходного симплекса, в которой целевая функция имеет наихудшее
значение.
Метод Нелдера-Мида
Симплекс метод Нелдера-Мида является методом нулевого порядка, т.к.
требует вычисления только функции. Является развитием симплексного метода.
Симплексом называют множество (и+1)-й равноудаленной точки в «-мерном
пространстве. В двумерном пространстве симплексом будет равносторонний
треугольник, в трехмерном - правильный тетраэдр и т.д.
50
Идея метода состоит в сравнении значений функций в п +1 вершинах
симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью
итерационной процедуры. Нелдер и Мид предложили модификацию симплексного
метода, заключающуюся в использовании неправильного симплекса. Метод весьма
надежен, особенно если размерность пространства и < 6.
Перемещение симплекса производят при помощи операций: отражения,
растяжения и сжатия. Коэффициенты для указанных операций приняты
соответственно равными а = 1, ft = 0.5, у = 2.
Порядок расчета
А) находят значение функции в вершинах симплекса
Z (*1 ). fl (Х2 ). /з (*3 ) (х,1) = /(х + О П)
из которых выбирают:
- наибольшее значение функции fh(xh),
- следующее за наибольшим значением функции fd (xd ),
- наименьшее значение функции СДх,).
Б) находят центр тяжести всех точек, кроме точки Xh т.е.
J л+1
(2)
И l=t,irn
и вычисляют для него значение
В) производят отражение (перемещение) от точки ^относительно точки Хв,
получая точку Хг и значение fr — f\Xr)
/ \
Xj) \ X.) X, X,
Г) теперь производят:
Сравнение fr u :
- если fr < flt то производим растяжение в этом направлении и находим
Хе=^-Хг+^-^Х0 f=f(XJ О)
51
- < fx, то заменяем точку Xh наточку Хеи проверяем п+ 1-ю точку
симплекса на сходимость к минимуму. В противном случае возвращаемся к
началу (пункт А)
- если fe> f, то отбрасываем точку Xе, т.к. растяжение получено очень
большое, и поэтому надо применить операцию «сжатие»
Хс = /&,+(1-/?)х0
/с=/(*с)
Путем дальнейшего сравнения fc, f0, fr, fh выбираем наименьшее
значение функции и определяем затем новый симплекс, заменяя каждую из его
точек делением пополам расстояния от каждой точки симплекса до точки Xt, которая
соответствует минимуму функции т.е.
Затем вычисляем f для i = 1,2,..., (и +1), проверяем сходимость и
повторяем все сначала, если она не достигнута. Сходимость определяем как сг < £,
где
Метод Пауэлла
Предназначен для решения нелинейных систем уравнений, представленных
минимизируемым функционалом или функцией цели. Относится к классу методов
параллельных касательных или нартан - методов (parallel tangents), в которых
используют также сопряженные направления.
Идея метода ясна из рис. 1.
52
Пусть имеются любые две точки Pf и Р2. Проведем касательную из точки Pt к
линии постоянного уровня функции.
Затем из точки Р2 движемся параллельно касательной до тех пор, пока в точке
Р3 функция получает минимальное значение. После этого движемся по прямой,
соединяющей точки Pt и Р3, на которой находим минимум функции.
Здесь не требуется обращение матрицы Гессе и Якоби.
1.4 Аппроксимация нелинейных функций
Нелинейную зависимость, например U(i), заданную в виде графика или
таблицы требуется представить в виде аналитической функции.
Для этой цели используют полиномы, сплайны и трансцендентные функции.
Кривую U(i) можно аппроксимировать полиномом
U - ai + bi3 + ci5...ni" (1)
или уравнением прямой на отдельных участках т.е. осуществить кусочно-линейную
аппроксимацию на каждом из участков
U = ai + b (2)
Для определения коэффициентов аппроксимированных функций используют
метод подстановки и метод наименьших квадратов.
Рассмотрим метод подстановки
Для полинома третьей степени (1) возьмем на кривой три точки Ut, it, U2, i2,
U3, Zj. Тогда имеем
az, +Z>(z,)3+c(zl)5 = C7,
ai2 + b(i2)’ + c(z2 )5 = U2 (3)
az3+Z>(z3)’ + c(z3)5 = Ut
ИЛИ
53
Из решения (4) получаем
рмш 'а'
- b = U2 (4)
Л(4)3(О\ <CJ
(5)
Например, для случая
Ц = 200fi,z, = 2А,
Ui=360B,il =6 А,
Ц = 430B,z, = 10Л
из (5) находим
'2 8 32 ¥’
6 2,6 102 7,6-10’
J0 10’ 105
'200'
360
<430,
'106,477'
-1,66
<0,01 ,
Т.е.
и = (106.477/ -1.66/’ + 0.01ОЗ/5), В
Аппроксимация методом наименьших квадратов
Этот метод применяют, если количество точек исходной кривой превышает
степень полинома.
Найдем сумму квадратов отклонений полинома от заданной кривой во всех п
рассматриваемых точках
где
(Ut) (zt) исходные значения напряжения для заданных токов,
(Uk У (it, а, Ь, С..п) расчетные значения, полученные по аппроксимируемой
формуле полинома или другой зависимости,
а, b, с, d искомые неизвестные, которые будем находить из условия минимума
S, который найдем из (6) как
54
= 2-tk Г - (Uk Г (4 3~S = 0
da da da
d. , у^г^гим&г 4S = 0
—o=2>u db db
db t„]
^S = 2.Xkr-(^r(i.,«Ac,d)H(l/,r “« = <>
dd j^=| dd da
искомые коэффициенты полинома a, b, c, d найдем из решения (7)
Пример Вольтамперную характеристику аппроксимировать по пяти точкам полиномом третьей степени.
и, в 200 300 360 400 440
1,А 2 4 6 8 10
U — ai + Ы3 + ci5 Найдем функцию s = Е к*)““ - «4 - Ь(.Ч У - c(ik УI *=1 условия минимума которой дают три уравнения
£ [(Ц )"“ - ak - У - c(ik У ] • ik = о
Л=1
t[(ukr -Ч -ь(/;У -c(/;)5k3=o (8)
*=l
E [(ц)““ - ч - ь(ч У - cU У ]• ч = °
*=1
Из (8) получим систему линейных уравнений относительно неизвестных а, Ь, с.
«ЕЮ2 ЕЮ4 «ЕЮ‘=tw it
к-1 *=1 *-1
«ЕЮ* +b.±(ity +c.±(iJ = £([/.)““ V (9)
*=l *=1 *=l *=d
fc)‘ +b.±(ij +c-t(Itr = t(u>r \
*4 *=l *=1 *-l
Из (9) легко найти a, b, c.
(л\ Е(О! ЕМ4 Е('У fcH к=Л *=1 Е(^Г-'-.
а Ь = EOJ4 EGJ Е(О‘ i(^r-(4)3 *=1 (10)
i(o6 to.)8 io.)6 k*-i *=i *=i 7
55
Подставим в (10) числовые значения, для чего сначала найдем
W2 =(<•.)’+fe)2+fc)2+(O2+fe)2
£ (ik)2 =22 + 42 +62 +82 +102 =220
к=1
£ (ik)4 = 24 +44 + 64 +84 +104 =15728
£(/, У =1317834 £(«,/=118-106 £('*)'" = П2-108
Л=1 Л-1 Л-1
t (<Л )"“ Ч = (Ц Г Ч + ("г )"“ • Ч + (t/, Г Ч + (I/• Ч + (I/, Г ч
к-1
Z (икГ 'к =200-2 + 300-4 + 360-6 + 400-8 + 440 10
к=1
I (Uk)HCX-ik =112600
к-1
£ (Uk )исх • ik3 = 200 23 + 300 • 43 + 360 • 63 + 400 • 83 + 440 • 103
к=1
£ (ик)исх -ik3 =732900
к-1
£ (ик )исх • ik5 = 200 25 + 300 • 45 + 360 65 + 400 85 + 440 105
к=1
£(uk)"cxiks=59514400
к=1
Тогда (10) примет вид
2.2 102 1.5728 104
1.5728 104 1.3178-106
1.3178 106 1.18-10®
1.3178-Ю6'
1.1810s
1.12-Ю10
'1.126-Ю5 '
0.7329 Ю6
5.951 107
\ /
(И)
Из (11) находим
аЗ рЮ '
Ь = -2
с) Ц).0В
Или (1) примет вид
и = 110z- 2/3 +0.013/5
56
1.5 Методы анализа переходных процессов в сложных электрических системах
1. Характеристики элементов электрических систем и их дифференпиальные
уравнения.
А) активное сопротивление
Б) индуктивность
U = L — i; U = L • pi; р = —
dt и dt
(1)
(2)
В) емкость
(3)
R, L, С элементы являются пассивными. Если они не зависят от тока, то
уравнения (1)-(3) будут линейными, в противном случае уравнение V=f(i) будет
нелинейным.
Г) источники ЭДС и тока являются активными элементами, и их представляют
с учетом внутренних сопротивлений или проводимостей
U . — —с + Rhll • i + £, • — i
ab bti Ы1 j.
57
i = J-ibH J = Y Uab
(4)
Uab ’ lei! LBII (ft iBn
n ___Sun
_ Ьвн
’"“ОЖУ
Д) для схемы последовательного соединения элементов
е = Ri + L - — i + У • \idt
dt С J
или это интегро-дифференциальное уравнение заменяем двумя дифференциальными
Для разветвлённых схем для анализа переходных процессов используют
методы контурных токов и узловых напряжений. Их особенности и отличия от
применяемых для анализа стационарных процессов рассмотрим ниже.
58
Метод контурных токов для анализа переходных процессов
Рассмотрим сначала способ определения тока при включении рубильника Р в
схеме
(6)
Выбрав в качестве контурных токов о и i2, запишем уравнения равновесия ЭДС
н напряжений по второму закону Кирхгофа для I и II контуров
L. — i, + Ur + Ri - R.i, = e.
'dt
£, — i2 + R,(i2 -it)-R2i2 -Uc=0
dt
dTT lt-
—ur =—Iz, -i, I
dt c CV2 17
Мы получили систему ДУ третьего порядка. Её порядок определяется
количеством независимых в схеме ёмкостей и индуктивностей.
Для решения уравнений (6) будем применять численные методы (Эйлера и др.)
Если в узлах имеются источники тока J, то тогда кроме II закона Кирхгофа,
используют также первый. Так, например, если к узлам А и В подключен источник
тока J, то тогда 3-е уравнение системы (6) будет иметь вид
d тт 1
dt с С
где исходя из 1-го закона Кирхгофа для узла А найдем
zc = (| + J — i2
Тогда система (6) примет вид
P'i =7-(е>-^с-й|'| +я1'г)
Ph=—(UC ~RA +*Л)
L2
(6а)
С СМ 2Z
Для более сложных схем требуется приведение системы ДУ к виду удобному
для расчетов на ЭВМ. Кроме того, существуют правила непосредственного
59
формирования конечных уравнений для заданной схемы. Эти правила мы
рассмотрим на следующем примере, в котором сформируем дифференциальные
уравнения для анализа переходных процессов. В этой схеме имеется нелинейное
сопротивление, заданное в виде квадратичной зависимости напряжения от тока.
Запишем уравнения второго закона Кирхгофа для трёх контуров с токами
г2, h-
ис1 + L а или в матричном виде L к где +4'1 + й’('| “4*2 + -«з)+ (1) at at at d. d- „ 4 dt'' dt1' ci~e' +й212 +Uc2 + L,(^-i, -il) = 0 (2) it \dt dt ) h ~ ^c2 4 Z(*3 “ *1 ) + ^4*3 ~ A 1 + ^c3 + ^4*3 (3) ft {at dt ) + L3 + L4 - L3 - L4 Wpi! — L3 L2 L3 0 pi 2 = -L4 0 l4 + l5j Vp*3> 4 -ucl -R3(i. (4) - R3G1 -*2)-^c2 -^2*2 -f(i3-i|)-R4i3+ Uc2 L.pI = E (5)
60
'L,+L,+Lt
-L, ~L, '
0
0 h + h.
Ph
pl= pi2
Ph J
(6)
4 -Ucl -R3O1 -i2)-f(ii -i3)+Uc3'
-R3(h _*г)_UC2 ~R2>2
<Uc3-f(i3-i|)~ R4i3 + Uc2 y
E2
(7)
E - матрица-столбец контурных ЭДС за вычетом падений напряжений на Я и С.
В уравнениях (4)-(6) L - матрица контурных индуктивностей, правила
формирования для неё такие же, как для матрицы контурных сопротивлений в
методе контурных токов для установившихся режимов, т.е. диагональные элементы
равны со знаком плюс сумме контурных индуктивностей, а внедиагональные
элементы - со знаком минус взаимным (общим для смежных контуров)
индуктивностям, т.е.
L-Г-Ь Г (8)
t ветв V z
где £eems - матрица - столбец индуктивностей ветвей
Г - матрица контуров (строки соответствуют ветвям, а столбцы контурам)
Уравнения (4) надо дополнить ДУ для емкостей
at С, dt‘2 2~‘3). —Uc, = dt ‘3 1 (9)
ИЛИ
' 1
0 0
'ри« с, 1 1
PUe2 = 0 1 г 0 ч - h (10)
J>ua, ‘-'2 1 L, - h
0 0
< с >
Уравнения (4) и (10) можно объединить, записав как
'Ll+L,+Lt -L, -L, 0 0 0 ' 'Ph ( E, '
+ L, 0 0 0 0 Ph e2
0 L.+L.0 0 0 Ph
0 0 0 1/С, 0 0 pVa (11)
0 ООО 1/С2 0 pVc3 h ~h
д ООО 0 1/С3> .PUei) 1'3 “'I >
Если имеются источники тока, они учитываются при определении токов,
протекающих в емкостях путём использования I закона Кирхгофа.
61
Алгоритм и порядок расчета на ЭВМ методом контурных токов
1) Формирование векторов токов, напряжений, ЭДС и матриц R, L, С-ветвей
1ц =[*kl>*k2> - *kn|*n+l>*n+2 -’р]1
Здесь всего р ветвей, в и из которых протекают контурные токи, а в остальных (q-1)
ветвях - токи, которые можно найти через контурные.
И = р-(д-1)
h =к|Л1>-4,Г И контурных токов
ев =[е|,е2,-£п|еп+|.е„+2,.-ер]‘г ЭДС р ветвей
RB=diag[R1,R2,...Rn|Rn+1,Rn+2,...Rp]
LB =diag L|,L2,...Ln|Ln+1,Ln+2,...Lp]
CB=diagC1,C2,...Cn|Cn+l,Cn+2,...Cp]
uc=-d«g|ucl,uc2,...ucn|ucn+l,uH1+2,...ucp]tr
Jk =[jA,JB,..Js]tr (q-1) узловых источников тока
2) формирование матриц соединений П и контуров Г с размерностями
соответственно (q-1)'х.р и рхи
3) разбиение матрицы П на подматрицы //, и П2м обращение матрицы П2, имеющей
размерность (q-l)x(q-l)
П=[П> | И2]
4) формирование матрицы контурных индуктивностей LK и нахождение LK'
Ьк=ГрЬвГ
5) формирование вектора вынуждающих ЭДС ветвей Е„
N = Ы - |ДUR\- |C7J |£в| = KI - |/?в| • |/s| - \Uc|
6) вычисление вектора контурных вынуждающих ЭДС ветвей Ек
|ЕК| = Г1Г-ЕВ
7) формирование ДУ для расчета неизвестных контурных токов и напряжений на
емкостях
[о cBJ\puJ
8) решение ДУ
PIk=(Lk)’'Ek
pUc =(cB) -IB
9) определение токов и напряжений ветвей
Ub _Ев “EbIb -LBpIB
62
Подставив в последнее уравнение вместо р1„ и /„, получим
Р1в=ГР1к - „ PJk
vh J
UB — EB RB ПК
К
Метод узловых напряжений для анализа переходных процессов
в электрических системах
Способ формирования конечной системы ДУ рассмотрим на примере
электрической схемы, приведенной на рис. 1, в которой надо определить токи и
напряжения в ветвях и узлах схемы при включении рубильника Р.
Схема содержит узлов - 4, ветвей - 6. Количество неизвестных равно числу
независимых переменных, которое определяется числом независимых емкостей и
индуктивностей (в нашем случае их 9)
’L = [*|*2*3*4*5*б]
иС| =[ис1ис4ис6Г
Х= С | = (iiii's^ijieUci Е’сдЕ’сб )
Запишем закон Ома для всех ветвей:
63
1]д~11л= R,h + ЛР'| +4i ei (1)
Ц, — V , = R2i2 + IjPi-j — с, (2)
ил-ис = П,Ц+1^Р1, (з)
Uc-Ua=R,ii+L,pii+Uc, (4)
t/д — UB = Rsis + L3pi3 — es (5)
i/c-i/B = «<,/<,+L6pi6+i/rt <6)
Напряжения на емкостях будем находить из уравнений
rod=^-i, (7)
(8)
W"’ ‘ С6 4 (9)
В методе узловых напряжений в качестве неизвестных принимаются
напряжения в узлах
£7 = [CZ^LZ^r (10)
Преобразуем уравнения (1)-(6) таким образом, чтобы они были разрешены
относительно неизвестных напряжений в узлах схемы. Для этого воспользуемся
первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме, записанным для узлов А, В,
С.Д:
pi,+pi2+p^c-pi3=0 (11)
~Ph + Ph +Р^вв-РЧ =° (12)
Ph + Ph ~PJAc~ Ph = ° 0 3)
- Ph + Ph + pJM ~ Ph =° (14)
Из уравнений (l)-(6) найдем, чему равны производные от токов, а затем их
значения подставим в уравнения (11) - (14)
1 „ 1 r, R, . 1 ^e,
Ph= -'Vd-h>A--h---+
L, £, L, L, 1 L,
Rj , e2
L,'1 L,
ъ
Ь-тЛ
i,
Ph =
l/B-— I/,
*'2
-
Ph=T,’V'
Ph =^-uc~uD
Laa ‘-'A
(15)
Pi5=-UD---Ug
l5 ° l5 ‘
Ph=~Uc-~UB
*-4, b-
£s
L.
-—u
ц 6 i,.
64
После подстановки в уравнения (11)-(14) значений производных токов (15)
получим:
- С| । 1 17_____— U -pJ + — i +~ i +--i
~ £, L5 L, '' L, P nB L, ‘, + L, '5 L4 ‘
Полученные уравнения (16)-(19) запишем в матричной форме
(16)
(17)
(18)
(19)
Уравнение (20) представим в сокращённой матричной форме записи:
X-U = T,
где X - матрица инверсных узловых индуктивностей схемы, Гн1, которую
находим как X = ПХ иП1г;
U - вектор узловых напряжений, В;
Т - вектор скоростей изменения узловых задающих токов, А/с, который
находим как
Тузл =ПХВЕВ+pJyM
Здесь Ев - вынуждающая ЭДС ветвей, которые равны ЭДС ветвей за вычетом
падений напряжений на активных сопротивлениях и емкостях.
В уравнении (20) через ТА, Тв, Тс, Тд обозначены правые части соответственно
уравнений (16)-(19). Они представляют собой скорости изменения во времени
задающих токов в узлах.
65
После определения узловых напряжений из уравнения (20) теперь
представляется возможным численным методом решать систему дифференциальных
уравнений (15) и (7)-(9), из которой находим токи всех ветвей на заданном шаге
расчёта.
Порядок расчета переходных процессов методом узловых напряжений:
1) Выбираем положительные направления токов и напряжений в ветвях,
формируем матрицы неизвестных токов (потокосцеплений) в
индуктивностях и напряжений (зарядов) емкостей
2) из предшествующего режима определяем начальные условия, т.е. значения
переменных для 1=0,
3) формируем ДУ для токов в ветвях и напряжений на емкостях, используя
уравнения закона Ома для ветвей и узлов,
4) формируем матрицу узловых инверсных индуктивностей X, диагональные
элементы которой равны сумме инверсных индуктивностей всех ветвей
примыкающих к узлу, а внедиагональные элементы равны со знаком минус
соответствующим межузловым инверсным индуктивностям,
5) формируем матрицу - столбец Т производных от узловых задающих токов,
зависящих от величины и знака соответствующих ЭДС ветвей, источников
тока, падений напряжений на активных сопротивлениях ветвей и на
емкостях,
6) из решения системы алгебраических уравнений находим напряжения в узлах
и=х-1т,
7) решаем ДУ ветвей и находим новые значения токов в ветвях и напряжений
на емкостях,
8) для следующего шага расчета <„ »/!/ находим новое значение для Т, V и т.д.
(т.е. повторяется расчет, начиная с п.5).
Таким образом, получаем зависимости it (t), Uc(t).
Алгоритм расчета на ЭВМ методом узловых напряжений
ив=(и„и2,...,и^
ис=(иС1,ис2,...,иСр),г
в =0ь*2>—Лр)
с =(*С1Лс2>—Лср)
р “ количество ветвей.
uK=(uA,uB,...,us)tr
66
(q-l) — количество узлов без базисного.
-^к =(^аЗв>—JsT
RB = diag R1R2RnRn+|Rn+|Rp]
CB =diag C|C2CnCn+1Cn+1Cp]
XB =diag L|_,L2-,LP^1]
2) Формирование матрицы соединений П
3) Вычисление матрицы узловых инверсных индуктивностей Хи, и матрицы
т '
/V у3,1
Хум=П-Хв-Па
4) Вычисление вектора вынуждающих ЭДС ветвей Е (покажем на примере
нашей схемы)
Ев = ев - At/R - Uc
Е. Е2 с,
ТА = “ + — + — + PJ АС
Е| Е2
„ Е, Е5
тв = 7“ + у— + у— + pJdb
l2 l5
т _ Е3 . Е4
с’ц ч
Е^Е,
L, L4
UD UA Ej
pi. =—-^+ Л+--
L, L, L,
_= Ub.U^E,
Ьс+Ез
L3 L3
В &В ^В ' ^В U\
Е3 .
у • Ж" /лС
L3
Eft . т
- j— uri
L6
Efi
+ - +PJac
Le
E5 ,
+ " + PJDB
LS
Uc UD E4
pl4 =—t- + —-+.-4
l4 l4 l4
uD uB e5
pls =—— + — + —
l5 l5 l5
Uc UB E6
pi6 =—ь+-В + —
T I I
L6 L6 L6
5) Вычисляем вектор производных от узловых задающих токов
Тузя “ П • Хв • Ев + рЗузл
6) Вычисляем напряжения в узлах из уравнения X y„Uk=Tyll, и напряжение
ветвей из уравнения 1/е=77,*14
Ph =Т“ +
L3
^•узл Ek -Тузл
Uk =(О‘ • Тузл
UB -П, Uk
7) Формируем ДУ
67
( Р*в 'j_| в ' |
IpUcJ IctMbJ I 0 J
и находим неизвестные из численного решения системы дифференциальных
уравнений.
1.6 Численные методы решения дифференциальных уравнений
В общем случае ДУ имеет вид
^ = f{x,y) (1)
ах
где
У = (у1’У2’-’У„)>Г
/=а,/25-,/„г
X- независимая переменная ( время, ток и др.)
Уравнение (1) записано в форме Коши, т.е. разрешено относительно
производных. Задача состоит в том, чтобы по известным производным для вектор -
функции у найти исходную функцию, т.е. ее первообразную. В случае, если f(x,y)
является нелинейной функцией, то численный метод решения является единственно
возможным.
В курсе математики рассматривается очень много различных методов для
численного решения (I) первого и более высоких порядков ( в зависимости от
порядка используемых при расчете производных), явные и неявные.
При решении ДУ возникает проблема численной устойчивости, зависящая от
шага расчета и ряда других факторов.
Большей устойчивостью обладают неявные методы, но они требуют на каждом
шаге расчета дополнительного решения системы алгебраических уравнений.
А) метод Эйлера явный
Пусть вместо системы ДУ (1) нам задано одно уравнение
~=f{x,y) (2)
ах
Заменим в (2) дифференциалы разностями первого порядка Лу=ук+1-ук и
Ax=xK+l-xK=h. Тогда получим
Ук+\ Ук
п
Здесь производная f(x,y) вычислена в точке начала интервала
Откуда получаем рабочую формулу явного метода Эйлера, с помощью которой
мы можем вычислить ук+1 если известны ук, хк, и h
68
Ум = Ук+Лхк>Ук) (3)
Уравнение (3) поясним рисунком, из которого видно, что метод Эйлера имеет
погрешность Луфакт-ЛурасЧтО
Б) метод Эйлера - Коши
Коши предложил модификацию явного метода Эйлера для повышения его
точности.
Сущность модификаций состоит в том, что в расчетной формуле (3)
используют уточненное значение производной f(x,y), которое находят как среднее
значение между производными в начале шага расчета и в конце, т.е.
/(^^) = Q[/(x4>^)+/(xt+p№+i)^ (4)
Однако поскольку в этой формуле ук+1* нам еще не известно, мы находим его
приближенное значение с помощью обычного явного метода Эйлера по формуле
(3),т.е.
Таким образом, метод Эйлера-Коши требует на каждом шаге расчета
Ум =Ук +Ь-Лхк’Ук) (5)
1) сначала методом Эйлера по (5) вычислить ук+1*,а затем
2) вычислить искомое значение ук+1, используя уточненное значение
производной, найденное по (4), т.е.
/к j) = Q h [Ж>л)+ Лхм’Ум)]} (6)
Это и есть рабочая формула метода Эйлера - Коши.
69
В) Метод Эйлера неявный
В исходном уравнении (2) заменим дифференциалы разностями
АУ = Ук-1 -Ук
Ax = xk_! - хк’
а значение производной f(x,y) примем равному для координат конца шага расчета,
T.e.f(xM,yM).
Тогда из (2) получаем рабочую формулу для неявного метода Эйлера.
У(*+1) = Л +й-/(х(М),У(*+1)) (7)
Из (7) видно, что в правой части уравнения присутствует неизвестная укц.
Поэтому уравнение (7) необходимо теперь разрешить относительно у„ц. Т.к.
уравнение (7) не разрешено относительно неизвестной метод Эйлера получил здесь
название неявный. Уравнение (7) или система таких уравнений решается
рассмотренными нами ранее методами решения систем линейных или нелинейных
уравнений.
Пример.
Найти ток в электрической цепи, состоящей из активного сопротивления R и
нелинейной индуктивности L(i), при замыкании рубильника Р, если U=3000 В.
р R=10 Ом
=3000 в /
)
0 100 200 300
Исходное уравнение
U = Ri+Ldt,
dt
откуда
- = (U-Ri)-
dt V ’ L
Начальные условия:
t = 0, h- 0.03 c, U<C) = 3000B, L(0) = irH
70
а) решение методом Эйлера (явным)
("> =(,-<») + 0.03(3000-10 0))- *
/(2) = £-0) + 0.03(3000 -10-90))- —- ,<2) -160А
09 i(” = 228.85Л
/1” = (/<” + 0.03(3000 -10-160))-^
б) решение методом Эйлера (неявным)
Д' = (t/-/?-i)- —
Д< ' L
-(п+1) -(и) 1
1 1 -=[(/ -й-/’"">]1
Д/ 1 J L
,-(-|)=_1 —.;(”>+____U._____—
"1 + *.Дг 1+*-Д, L
L L
=0
£(,,=0.9Ги
£(2) = 0.61 Гн
Lw = 0.42 Гн
,«.o. “-’““Uju
1 + у-(0.03) 1
£"> = 0.93Ги
____1_____,'<“1________М.|25.5Л
1+ — (0.03) I + — (о.оз) 0,93
0.93 0.93 '
£(2) = 0.8Гн
в) решение методом Эйлера - Коши
/«О = ,-W + l. А[у [,М;1М]+
(J"+’) = /”’ + /> •/[/"),/”)]
<-0) = /.) + а.£г±^=0 + 0.03-»^ = 90Я
Х L 1
^=0.9ЪГн
Д(о)(.(о))=3000-10.0 = 3000Я
(z(,) 0))= 3000-10^^2.^ Л
1 v * ' 0.95 С
/') = о +1 0.03 (3000 + 2210.5) = 78.15 /1
i(l) = 0.97 Гн
71
,<^78..5 + 0.03-300°-|0-78’15=146.76Л
r 0.97
£р, = 0.72Г«
,(1) 3000-10-78.15 _228? j А
' ’ ' 0.97 С
4(Ч/?))=3000210446.76 = 21283Л
J ’ * ' 0.72 С
i(2> = 78.15 -Д • 0.03 - (2287 + 2128.3) = 144.38А
г) решение аналитическим методом
Результаты решения сводим в таблицу
Время Т.с Ток, А
Явный Эйл. Неявный Эйл. Эйл.-Коши Аналитич.
0 0 0 0 0
0.03 90 69.2 78.15 81.2
0.06 160 125.5 144.38 141.5
0.09 228.8 180.5 206.46 195.9
2 ) Метод Рунге - Кутта для решения ДУ
~ = f(x,y) (1)
ах
- исходное уравнение в форме Коши
В этом методе (четвертого порядка) приращение функции находится путем
усреднения четырех приращений, каждое из которых определяется явным методом
Эйлера.
K.*i = К + 7 • (*> + 2*2 + 2к,+к,), (2)
где
*1 =к
= h • /{ + — Л, v + — • к, |
j «г । '«'wi * 1
к4 =hf(x„ +h,y„+k,)
72
Достоинства метода:
1) чтобы найти у„ц нужна информация только в одной предыдущей точке ут и
шаг расчета h, т.е. метод является одноступенчатым
2) метод не требует вычислений производных от исходной функции f(x,y)
3) отличается высокой точностью расчета
Недостаток:
1) сравнительно большие затраты машинного времени на ЭВМ
Пример.
Рассчитать методом Рунге-Кутта переходный процесс в заданной схеме, если
е,=1В е2=10В
Ь = \Гп С = 0.5Ф
R = Юм R, = 2Ом
Начальные условия:
z(o) = 0 (f/)(o) = 0 А = 0.2с
Исходные уравнения
ri + Lpi-Uc=e,
- + UC = ег
i+i| + ic = 0
pl/c=-Ч
с
Из уравнений (2) и (3) находим:
(1)
(2)
(3)
(4)
Тогда ДУ (1), (4) принимают вид:
е. R . II
pi = —--и—-
L L L
Рис
R,C С R,C
(5)
(6)
73
С учетом заданных параметров
pi = 1 - i + Uc
pUr = lO~2i-Ut
а) значения переменных в конце первого шага расчета
К„ = 0.2(1 -iW + l/J°,) = 0.2
К1в =0.2(10-2i(0)-C^0))= 2
' ^-(,-<,,)+o.5*„)+(i/rw+o.5*,J=
= U.41 - (0 + 0.5 • 0.2)+(0 + 0.5 2)] = 0.38
К2и = 0.2(10 - 2 • (i*” + 0.5*,,)+ (С',1"' + 0.5*, J =
= 0.2(10 - 2 • (0 + 0.5 - 0.2) + (0 + 0.5 2)] = 1.76
К„ = 0.2(1 - (/»> + О.5*и)+ + 0.5*2„)] =
= 0.2(1 - (0 + 0.5 • 0.38)+ (о + 0.5 1.76)] = 0.338
= 0.2(10 - 2 • (/” + 0.5*,,)+ (б/,(о) + 0.5*,.)] =
= 0.2(10 - 2 - (0 + 0.5 • 0.38) + (0 + 0.5 1.76)] = 1.748
= 0.2(1 - (/“»+ *„)+ ((Л(,1) + *,„)] =
= 0.2(1 - (0 + 0.338) + (0 +1.748)] = 0.482
= О.2[ю - -2(/°> + *,,)+ + *J =
= 0.2(10 - 2 • (О + 0.338)+(0 +1.748)] = 1.5152
у(1) _ ,-(°) , 1^1/ + 2^2i + 2^3, + 1 „
6
„ 2 + 2-0.38 + 2-0.338 + 0.482
= 0+--------------------------------= 0.353
6
и (,) = и ,0) + [*i»+2^» + 2*3»+*to] _
с с 6
„ 2 + 2 1.76 + 2 1.748 + 1.5152 ,
= 0 +-------------------------------= 1.7552
6
б) значения переменных в конце второго шага расчета
= 0.2(1 - i(0> +и?*)= 0.2 (1 - 0.353 +1.7552) = 0.4804
= 0.2(10 - 2»(0> - 6/с(0,)= 0.2 (10 - 2 • 0.353 -11.7552)=1.05078
Къ = O.2(l - (Л1" + 0.5*„)+ (t/e(0) + 0.5*,„ )]=
= 0.2(1 - (0.353 + 0.5 0.4804)+ (1.7552 + 0.5-1.5078)] = 0.5832
К1и = 0.2(10 - 2 - (i(°> + 0.5*„)+ (f/"1’ + 0.5*, J=
= 0.2(10 - 2 (0.353 + 0.5 • 0.4804)- (1.7552 + 0.5 • 1.5078)] = 1.2622
ИТ.д.
74
Раздел 2. Определение параметров схем замещения
асинхронных и синхронных двигателей
2.1 Определение параметров схем замещения асинхронных двигателей
Для разработки рекомендаций по повышению надежности работы
современных ТЭС необходимы глубокие исследования переходных режимов работы
электродвигателей с.н., что в свою очередь требует разработки методов определения
параметров схем замещения и математических моделей.
Высоковольтные асинхронные двигатели, используемые в системе с.н.
блочных электростанций, выполняются с двухклеточным или глубокопазным
ротором для улучшения их пусковых характеристик. Параметры таких машин
нелинейны вследствие вытеснения токов в роторе и насыщения магнитных цепей.
Это обстоятельство накладывает определенные трудности на решение задач,
связанных с моделированием переходных процессов электродвигателей большой
мощности на ЭВМ.
В частности, вопрос определения параметров схем замещения таких
двигателей является одним из наиболее сложных в теории электрических машин и
ему посвящено большое количество работ. Применительно к электродвигателям с.н.
электростанций методы определения параметров их схем замещения рассмотрены в
работах [3, 6, 7]. Эти методы широко используются в инженерной практике для
расчета режимов пуска и самозапуска электродвигателей. Задача заключается в том,
чтобы по известным каталожным или экспериментальным данным найти такие
параметры схем замещения (рис. 2.1), рассчитанные по которым токи и моменты
точно бы совпадали с исходными, заданными, например, для скольжений
номинального, критического, s = 1, и др.
Рис. 2.1 Схема замещения асинхронного двигателя с вытеснением тока в роторе
Rs, Хю - активное и индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора;
X/t - индуктивное сопротивление взаимоиндукции;
Хт- активное и индуктивное сопротивление рассеяния ротора.
Для глубокопазпых асинхронных двигателей решение этой задачи
затрудняется необходимостью учета явлений вытеснения тока на сопротивления
75
ротора Rx(s) и X„(s), представленные в схеме замещения (рис. 2.1), по указанной
причине, как функции скольжения.
Один из возможных методов расчета параметров ротора на основе
каталожных или опытных данных короткозамкнутых асинхронных двигателей
основан на том, что явление вытеснения тока имеет место лишь в пазовой части
ротора асинхронной машины и практически отсутствует в короткозамыкающих
кольцах. При этом активное и индуктивное сопротивление ротора во всем диапазоне
изменения скорости вращения можно выразить следующими соотношениями [6]:
Rr(s) = R2h + KR R2c, 3
L (2.1)
X^s)=X2h + Kx X2J
где R2h, X2h — приведенные сопротивления частей обмотки ротора, расположенных в
воздухе; R2c и Х2с - приведенные сопротивления частей обмотки ротора,
расположенных в пазах при скольжении s 0; КР, Кх - коэффициенты,
учитывающие изменение роторных сопротивлений из-за вытеснения тока при
скольжении s по сравнению с их значениями при s = 0.
Коэффициенты KR(s), Kx(s) зависят от скольжения, формы сечения паза ротора
и его удельной электропроводности и определяются рассмотрением эффекта
вытеснения тока на основе теории электромагнитного поля. Аналитические
выражения для определения этих коэффициентов в зависимости от конкретной
формы паза ротора приводятся в литературе [3, 6].
Для крупных асинхронных машин модно принять, что величина
сопротивления пазовой части обмотки ротора соответствует 70, а лобовой 30%
общего сопротивления ротора [6]. Тогда выражение (2.1) примет вид:
RXs) = R2o [0,3 + 0,7Kr(s)], 3
L (2.2)
ад = X20 [0,3 + 0,7Kx(s)], J
где R20, X2o - сопротивления ротора при s = 0.
Методика определения сопротивлений R20 и Х2о подробно приведена в [6] и
предполагает проведение определенных экспериментальных исследований АД.
При отсутствии подробной информации о геометрических размерах паза
ротора зависимости Rx(s), X„(s) можно определить по известным значениям
комплексов тока, снятых при заторможенном роторе при подаче на вывода обмотки
статора напряжения различной частоты, при этом определяются входные
зависимости сопротивлений АД от частоты R„,(s), Xm(s) и при известных параметрах
цепи статора Rs, Хт и цепи намагничивания Хр рассчитываются искомые
зависимости R/s), X^(s).
При отсутствии источника напряжения переменной частоты зависимости
параметров ротора от частоты можно определить из опыта пуска двигателя под
нагрузкой, при этом определяются комплексы пусковых токов статора для
различных скольжений, а затем и искомые зависимости, аналогично описанному
выше.
76
2.2 Многоконтуриые схемы замещения асинхронных машин и метод их расчета
на ЦВМ
Информация в виде функциональных зависимостей Rr(s) и X„r(s) неудобна для
расчета на АВМ и ЦВМ, так как обычно представлена в виде таблиц, графических
зависимостей или степенных полиномов после соответствующей предварительной
аппроксимации. Кроме того, при такой информации о параметрах весьма
затруднительно выполнить расчет переходного процесса при использовании
дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что в переходном процессе токи
состоят из свободных и принужденных составляющих в результате чего частота
результирующего тока все время меняется, тогда как скольжение может оставаться
постоянным. При этом трудно определить какие значения из сопротивлений Rr(s) и
X„/s) принимать в расчете в данный момент времени.
Указанные трудности исчезают, если нелинейные зависимости сопротивлений
ротора Rr(s)/s, X„r(s) представить в виде мпогоконтурных схем замещения (рис 2.2),
состоящих из ряда параллельно включенных ветвей с постоянными
сопротивлениями в каждой из них R^/s,#™ (i = 1, 2 ... к).
К Ха
Рис. 2.2 - Схема замещения глубокопазпого асинхронного двигателя
с многоконтурным ротором
Достоинство многоконтурных схем замещения машин переменного тока
заключается в универсальности их использования как для расчета переходных, так и
установившихся режимов работы. Кроме того, информация об их параметрах весьма
удобна для хранения в памяти и использовании при расчетах на АВМ и ЦВМ.
Метод получения многоконтурных схем замещения подробно рассмотрен в [19], а
его сущность сводится к следующему.
Из рис 2.1 и 2.2 условие эквивалентного перехода может быть представлено в
виде соответствующих равенств активных и реактивных роторных проводимостей
при определенном скольжении s:
£ н2„хг+х’
(2.3)
= 0.
Если уравнение (2.3) записать для нескольких п различных скольжений, то
получим систему нелинейных алгебраических уравнений, из решения которых
77
одним из численных методов можно найти неизвестные параметры к роторных
контуров. Указанная система является совместной и имеет точное решение только в
случае п = к. Однако больший интерес представляет переопределенная система
уравнений (и > к), позволяющая на основе использования всей имеющейся
исходной информации получить наиболее простую схему замещения. Точного
решения переопределенная система не имеет, а ее наилучшее приближенное
решение можно получить, применив метод наименьших квадратов.
Будем считать эквивалентную замену схемы замещения (рис. 2.1) схемой (рис.
2.2 ) оптимальной в том случае, когда для заданных значений роторных
проводимостей в точках скольжения Sj (/=1, 2 ... и) и принятого i числа роторных
контуров (1=1, 2 ... к) обеспечивается минимальная среднеквадра-тическая
погрешность аппроксимации Fmi„:
Fm„ = Fq + Fh^> min
W/=l|_ *=l Kn SJ + П j~t J
(2.4)
(2.5)
Для нахождения параметров роторных контуров /?„ , Х„г, используется один из
известных численных методов решения систем нелинейных алгебраических
уравнений.
Как показали расчеты, с увеличением числа эквивалентных роторных
контуров погрешность аппроксимации уменьшается. Однако в большинстве случаев
удовлетворительное среднеквадратическое отклонение расчетных роторных
сопротивлений от исходных может быть получено уже при двухконтурной схеме
замещения ротора при 15-20 точках исходной информации.
2.3 Инженерный метод расчета параметров двухконтурных схем замещения
асинхронных двигателей
Асинхронные двигатели с вытеснением тока в роторе, применяемые в системе
с.н. электростанций, с достаточной для практических целей точностью могут быть
представлены в виде схемы замещения с двумя контурами па роторе. В данном
случае действительный глубокопазный ротор заменяется эквивалентным
двухклеточным. При этом одна из эквивалентных клеток в большей мере отражает
характеристики вращающего момента в области рабочих скольжений, а другая - в
области пусковых. Учитывая это, изложим сравнительно простой и не требующий
обязательного применения ЦВМ метод расчета эквивалентных контуров ротора.
Метод основан на использовании известных каталожных данных двигателя: kit
тт, т„ - кратности пускового тока статора, максимального и пускового моментов;
Рт UH, cos<pn rj„, п„ - номинальные значения соответственно активной мощности,
напряжения, тока статора, коэффициентов мощности и полезного действия, частота
вращения. За основу возьмем схему замещения изображенную на рис. 2.2, у которой
г,,=0, а следовательно, потери в стали не учитываются. В связи с этим, при расчетах
78
необходимо использовать скорректированные значения номинального
коэффициента полезного действия г/'н и коэффициента мощности cos„, найденные из
условия, что номинальные ток и момент на валу двигателя остались без изменения,
t] н вырос на величину потерь на намагничивание (все величины выражены в
относительных номинальных единицах):
%=>7И+Д73„=1-Я,-^^-^;
" (2.6)
Расчет выполняется в следующей последовательности:
1. Так как каталожные данные не содержат сведений, достаточных для
определения индуктивного сопротивления рассеяния обмотки статора х„„ то в
отличие от рекомендуемого в [6] соотношения х„,- х^„ (равенство индуктивных
сопротивлений статора и ротора в номинальном режиме) примем в качестве
исходного другое, позволяющее находить хт в зависимости от кратности пускового
тока статора Л,.
Допустимость соотношения (2.7) основана на результатах исследований,
показавших, что входные статические и динамические характеристики асинхронных
двигателей практически не зависят от распределения входного индуктивного
сопротивления между статором и ротором, а определяются его результирующим
значением.
2. Находим ток холостого хода, который принимаем равным току
намагничивания [3].
-l)cosp; (2.8)
3. Находим индуктивное сопротивление ветви намагничивания.
(29)
4. Определяем входные сопротивления двигателя в номинальном режиме при
7e = cos(a;„ X^=smP; (2.10)
5. Определяем входные сопротивления двигателя в пусковом режиме при 5=1
используя известные соотношения [6]:
“ ' “ vV)2 (Л“
где т''и tf- расчетные значения пускового тока и момента, которые с целью
повышения точности определения параметров искомых контуров ротора находим
как:
< = 1,01 т„, к? = 0.9ЭД, (2.12)
6. Находим проводимости ротора при s„ и дГ',/>,51при s=l, зная
соответствующие сопротивления, вычисленные по (2.10) и (2.11):
79
я ------------------
(*.'?-я. )’+(*;
(2.13)
(2-14)
rs: - r.____________________________
1” ха)2’ (^-я,)2т-(^-х„)2’
7. Принимаем параметры первого контура ротора равными результирующему
сопротивлению ротора в номинальном режиме, т е.
*, = (g?)2+(*?)’S”’
8. 11араметры второго контура ротора находим как разность между
результирующей проводимостью ротора при s=7 и проводимостью первого контура
ротора при х=1, т.е.
яг,
g.2 Я, г v:
R —
*9 2 ~ 1
(2.15)
(2-16)
g,2+b,
9. Находим критическое скольжение 5*, воспользовавшись приближенной
формулой вращающего момента:
2R-S' С'
1 li
zml 1 + ——-
т s, s----------
s +s, я„с,
2/? -S
При S = S,„ т„ = 1 и /?„ = Тогда, обозначив С2 =—из (2.17) после
С] Rr
(2.17)
решения квадратного уравнения, найдем:
S "l-+V",»~1~c2(l~mm) д
* 1 + С2(1 т„)
10. По найденным параметрам двухконтурной схемы замещения рассчитываем
ток статора и вращающий момент для любого скольжения S, а также с целью
контроля и сравнения с каталожными данными для Sh, Sk и S = /. Для
определяем результирующие проводимости ротора и ветви намагничивания:
/?„ я,
(2.18)
этого
(2.19)
Ь°т
Входные сопротивления:
Л-' _ П ,gr
“ ‘ (g'J+UM1’
Ток статора и вращающий момент при Us= Г.
т/(л;)2+(^)2
(2.20)
(2.21)
(2.22)
80
2.4 . Определение параметров схем замещения явнополюсных синхронных
двигателей
Явнополюсные синхронные двигатели, с целью возможности
обеспечения асинхронного пуска снабжаются пусковой обмоткой, стержни которой
закладываются в полюсные башмаки ротора и электрически соединяются между
собой, а также со стержнями соседних полюсных башмаков. В результате
образуется так называемая полная пусковая обмотка в осях d и q и обмотка
возбуждения по оси d. Ротора явнополюсных синхронных двигателей выполняют из
тонких листов электротехнической стали, набранные в шихтованные полюса,
поэтому в первом приближении явлениями вытеснения тока и насыщения на
пусковые характеристики у таких двигателей можно пренебречь. Вследствие этого
достаточно в схеме замещения ЯСД обойтись одним демпферным контуром по осям
du q с постоянными параметрами (рис. 2.3).
ось d ось q
Рис. 2.3. Схема замещения явнополюсного синхронного двигателя
В режиме пуска обмотка возбуждения двигателя закорачивается накоротко
через якорь возбудителя или включается на пусковое сопротивление Лаов, величина
которого в 3-10 раз превышает омическое сопротивление обмотки возбуждения.
Рассмотрим метод определения параметров схемы замещения ЯСД по
каталожным данным. В справочниках обычно приводятся следующие данные по
ЯСД: Р,„ U,„ п„, q„, cos<p„ - номинальные значения активной мощности, напряжения
статора, оборотов ротора, коэффициента полезного действия и коэффициента
мощности; /„, М„, М„х, Мт - кратности пускового чока, момента, входного момента
при £ = 0,05, максимального момента; U/n 1/„- номинальные значения напряжения и
тока возбуждения.
Активное сопротивление статора найдем, считая, что потери в меди статора в
номинальном режиме составляют 25 - 30% от общих потерь, т.е.
Rs = 0.25 (1 - q.) (2.23)
Синхронное индуктивное сопротивление Хч найдем, воспользовавшись
формулой электромагнитной мощности, равной в относительных единицах моменту
[6]:
m = EqIq = - sin S, (2-24)
где Eq- ЭДС двигателя за поперечным индуктивным сопротивлением:
81
Е, = cos«’.)2 + (/Л, + U. sm 4>S (2.25)
Из (2.25) и (2.24), учитывая, что при Us = 1,0; <5 = 90°; тт = т"“"г]нсич<р,:\ после
(2.26)
решения квадратного уравнения получим:
х sing>„ теряет*?,2-1
Синхронное индуктивное сопротивление по поперечной оси можно найти на
основе часто принимаемого для явнополюсных двигателей соотношения
Xd=1.66Xq (2.27)
Индуктивное сопротивление рассеяния статора найдем из уравнения (2.7),
справедливого также и для синхронных двигателей, позволяющее затем определить
индуктивные сопротивления ветвей намагничивания по осям dnq
“Ч
(2.28)
“ 24,
При известных значениях Uf, и If, активное сопротивление обмотки ротора
приближенно можно найти следующим образом: *
0,71Л R.
R.x-----—,Ом /?,=—J-,o.e.
’ I ’ 76
'л *7
Для нахождения Rf в относительных единицах, найдем базисное
сопротивление цепи возбуждения
’ а6,У /),«,)’
где Е^— ЭДС двигателя, создаваемая возбудителем в номинальном режиме,
определяется как
(2.29)
(2.30)
(2-31)
Параметры обмотки возбуждения при известной ее постоянной времени 7}0,
можно также определить приняв за исходные соотношения
Л,
Используя известное выражение для сверхпереходного сопротивления^,
получаемое из схемы замещения при s = оо
(2.32)
(2.33)
определяем
(2.34)
\ a cs аа
тогда из выражения (2.34) с учетом (2.27) и (2.32) можно найти Х^, а затем и Rf.
Х„-----; Rr = X^ + X“' (2.35)
........ 314Г/0 ’
82
У явнополюсных синхронных двигателей с полной пусковой обмоткой
(2.36)
соотношения между активными и индуктивными сопротивлениями рассеяния по
осям dnq обычно составляют:
Rrd = (1,2-1,5) Rrq, Х^ ~ (1.2-1,5) Хвгд,
а при неполной указанные соотношения составляют (0,25 - 0,5).
Таким образом, искомыми сопротивлениями согласно схемы замещения (рис.
2.3) будут: Rfs = Rf + Rdo6 - суммарное активное сопротивление цепи возбуждения с
учетом включения добавочного активного сопротивления во время пуска, R,j и X„rd.
Эти параметры можно найти из решения системы трех нелинейных уравнений,
отражающих равенство заданных и расчетных значений моментов (при 5 = 0,05 и j
- 1) и расчетных мощностей (при s = 1) из условия минимизации суммы квадратов
отклонений исходных (М„, Q„, и расчетных величин
Fmi„=(M„ - Nf„)2 + (Мвх - NfJ +(Q„~ffn)= 0
(2.37)
где С„ = д/(£/„ к, У - (R, к? + М„ cos ?>,/;„)’ - значение реактивной мощности при 5=1;
Rc(/,)-Rv|/,|2-y?bL
М' = —
cosp„>7„
- расчетное значение момента при заданном s;
А - R. + jXa + 0,5(ZrJ + Z„)-0,25(2,, - Z,ty + JX„ + 0,5(Z,„ + Z„)j
/, = /, 0,5(Z .-Z ) R‘ + iX + 0,5(Z. + Z ) - комплексные значения токов
z > x rrf rq' I । J cs ’ x ra rq ' i
статора прямой и обратной последовательности;
ZrJ, ~ суммарные комплексные сопротивления всех параллельных ветвей схемы
замещения (рис. 2.3) по осям dn q.
После решения системы (2.37) одним из численных методов определяется
величина добавочного сопротивления, на которое обмотка возбуждения замыкается
при пуске:
Rdo6 Rfs Rf
(2.38)
2.5 Определение параметров схем замещения исявиополюсных синхронных
двшателей
Неявнополюсные синхронные двигатели с массивным ротором
изготавливаются как быстроходные (на 3000 об/мин). Их ротор подобно
турбогенераторам выполняется из единой цельнокованой заготовки из
ферромагнитного материала. Обмотка возбуждения укладывается в специальные
пазы, выфрезерованиые на роторе. Роль пусковой обмотки выполняет массив
ротора. Такие двигатели имеют хорошие пусковые характеристики, допускают пуск
от полного напряжения сети.
Характерной особенностью рассматриваемых двигателей является сложная
зависимость их параметров от частоты тока в роторе из-за явлений вытеснения тока.
При пуске двигателя токи проходят в основном только в поверхностном слое бочки
83
ротора, благодаря чему его активное сопротивление возрастает, а индуктивность
рассеяния уменьшается, что в результате повышает асинхронный момент. Наряду с
указанным, сопротивления зависят также от величины тока ротора из-за насыщения
путей магнитному потоку рассеяния. Все это существенно затрудняет расчет
параметров указанного типа двигателей.
Методы расчета параметров турбодвигателей рассмотрены в [6,20]. Однако
указанные методы не позволяют построить математическую модель двигателя в
виде схемы замещения, пригодную как для расчета статических, так и динамических
характеристик. С другой стороны, методы, основанные на расчете картины
электромагнитного поля [21] весьма сложны и мало используются в инженерной
практике.
Исследования параметров синхронных неяввополюсных двигателей показал,
что при математическом моделировании их переходных процессов наиболее
целесообразно применять методику аппроксимации частотных характеристик
ротора многоконтурной схемой замещения, состоящей из параллельно включенных
R, L цепочек, т.е. методику, изложенную в разделе 2.3 для асинхронных двигателей
с глубокопазными роторами.
Исходными данными для расчета являются экспериментальные или
каталожные величины: M„(s) - зависимость от скольжения асинхронного момента,
приводимого обычно в каталогах в долях от номинального, найденного по активной
мощности; l„(s) — зависимость тока статора от скольжения, отн. ед.; 5,„ U„, cos<p,„
hxx ~ номинальные значения полной мощности, к.п.д., ток холостого хода
обмотки возбуждения; /?„ Rf - активные сопротивления стагора и обмотки
возбуждения; Х„я Х^, Xail и Xaq - индуктивные сопротивления рассеяния статора,
обмотки возбуждения и сопротивления взаимоиндукции.
Заданные в именованных единицах сопротивления, статора и обмотки
возбуждения представим в относительных поминальных единицах по
соотношениям:
Z = я = Va** (2 39)
I/. '
При отсутствии данных о величине Xos часто принимают в расчетах X„s» 0,1
или в случае турбодвигателей используют соотношение
<, = *„+0,025 (2.40)
Однако из результатов исследований [22] следует, что пусковые
характеристики двигателя определяются не отдельными индуктивностями статора и
ротора, а зависят от результирующей входной индуктивности двигателя. Для данной
методики основной задачей является не определение точных соотношений между
индуктивностями рассеяния статора и ротора, а правильное отражение входных и
выходных пусковых характеристик.
11оэтому с целью обеспечения сходимости расчетов более предпочтительными
будут соотношения, приведенные в [3,22],
84
X =|-^!-------
2Г’1 * \Х,-Х X
и \ а св а
(2-41)
В общем случае схему замещения неявнополюсной синхронной машины (рис.
2.4) можно представить с постоянными параметрами статора (R„ Хт), обмотки
возбуждения (Rf, X„f) и зависящими от частоты параметрами ротора по оси d
(R,,i.(S)S'‘, Xmd (S)) и оси q (Rrg,(S)S', Xmg (S)). Найдем величины сопротивлений
ротора Rrj,(S), Xmj (S), Rrg(S), Xm<l(S) для любого значения скольжения S. Для этой
цели воспользуемся известными значениями входных сопротивлений двигателя для
заданных скольжений (здесь и в дальнейшем все величины приводятся в
относительных единицах, а напряжение статора принимается U=const=\)'.
ось d
Рис. 2.4 - Схема замещения синхронного неявнополюсного двигателя
— Rs 4" (MnCOS(phq,)(I fj) ,
xJu2.y'-(R^Y-
(2-42)
Так как в каталогах задаются средние значения тока статора и момента, то
входные сопротивления (2.42), используя схему замещения рис. 2.4, можно
представить так:
где
Rex.p~Rs+ 0,5[Re(7.2d) + Ле(2гф)]; 1
x^p=x„s+o,5[r„(z2d) + rm(z2g)], J
O^T'+f^ + jAj +^^l + jXon,(syl
s J s
(2.43)
Zz,= (j^)'+f^ + A„(.v)
Между активными и индуктивными сопротивлениями ротора по осям d и q
существуют определенные соотношения, примерно постоянные при всех
скольжениях:
Rr<j= CKRrd ; Х^ = CxX^d, (2-44)
где коэффициенты Ср и Сх учитывают несимметрию ротора по осям d и q.
Ротор НСД практически симметричен, и для него значения коэффициентов близки к
85
единице (Cr = Сх ~1,1-^-0,9). Для ротора с массивными полюсами указанные
коэффициенты составляют 0,7-Ю, 85. При экспериментальных исследованиях
значения указанных коэффициентов могут быть уточнены по результатам замеров
на неподвижной машине.
Таким образом, количество неизвестных в (2.43) сокращено до двух.
Используя (2.42) запишем систему двух уравнений относительно Rrj и X„r,j для
каждой точки скольжения S, приняв известными параметры статора:
fi(Rrd. = R^ - Rexp = RmK -Rs- 0,5[Re(Z2d) + Re(Z2rj]; ~
Г (2-45)
'вх.к
f?(Rrd, X^ = Хлхк - Хю,„ = Хвхк -Xm - 0,5[Im(Z2d) + Im(Z24)}. J
Полученную систему двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя
неизвестными можно решить одним из численных методов из условия минимизации
функции
Л,.„ = + ft (2.46)
Следует отметить, что неизвестные Rrd и Х„Г11 из (2.45) для каждой точки
скольжения можно также определить по аналитическим выражениям получаемым в
пакете MatCad при обращении к стандартной процедуре.
Для полученных в результате решения (2.45) зависимостей Rr<i(s) и X^afs)
может быть выполнена затем кусочно-линейная или полиномиальная
аппроксимация, что позволяет использовать эти данные для расчета асинхронных
режимов, самозапуска и других квазиустановившихся режимов.
Однако указанная информация о параметрах не может быть использована в
таком виде для расчета электромагнитных переходных процессов по
дифференциальным уравнениям, так как недостаточно правильно будут получены
составляющие токов, имеющих частоту, отличную от частоты скольжения. Поэтому
зависимости Rrd(s)w Xmj(s) необходимо представлять в виде многоконтурной схемы
замещения аналогично описанной в разделе 2.2 методике применительно к
асинхронным машинам. Аналогичным образом находятся параметры контуров
ротора и по оси q.
86
Раздел 3. Математическое моделирование электродвигателей
собственных нужд электрических станций и промышленных
предприятий
3.1 Математическая модель трансформатора, линий межузловых связей и
статической нагрузки
В общем случае силовые трансформаторы представляют Т-образной схемой
замещения, подобной схеме замещения заторможенного асинхронного двигателя /1/.
Однако в связи с тем, что ток холостого хода трансформатора составляет обычно
менее одного процента от номинального тока соответствующей обмотки,
сопротивление ветви намагничивания можно принимать равным бесконечности
(/„=<ю).Тогда трансформатор может быть представлен R,L- цепью, т.е. аналогично
активно-индуктивной нагрузке R,„ L„.
С учетом изложенного математическая модель трансформатора, включенного
между узлами 1 и 2 (рис. 3.1), может быть представлена в переходных режимах
дифференциальными уравнениями, записанными во вращающихся с частотой
осях X, Y, как:
U,-U2 = RTiT + LTpiT + ja>tLTiT
(3-1)
Дифференциальные уравнения активно-индуктивной нагрузки в узле 2:
(3 2)
— RHiH + LHpiH +
Рис. 3.1 - Радиальная схема питания двигательной нагрузки
Дифференциальные уравнения для линий межузловых связей (например
реакторная связь между узлами 2, 3 на рис. 3.1) записывают аналогично (3.1):
-V, = ЛЛ + LpP‘p +
(3.3)
87
3.2 Математическая модель асинхронного двигатели системы с.н.
В системах с.н. ТЭС и АЭС применяют асинхронные с короткозамкнутым
ротором двигатели большой единичной мощности. С целью улучшения пусковых
характеристик таких двигателей их ротор выполняют глубокопазным со стержнями
трапецеидальной и колбовидной формы.
При разработке математических моделей такого типа двигателей требуется
учет эффекта вытеснения тока в роторе. Из-за указанного эффекта активное и
индуктивное сопротивления зависят от частоты тока в роторе, в связи с чем их часто
представляют в виде функциональных зависимостей от скольжения /1, 5/. В таком
виде схемы замещения АД могут быть использованы только для расчета
стационарных и квазистационарных режимов. Поведение двигателей в переходных
режимах более точно отражают многоконтурные схемы замещения, в которых ротор
представлен в виде нескольких параллельно включенных RL - цепочек (контуров),
параметры которых остаются постоянными независимо от частоты тока в роторе.
Способ получения параметров контуров ротора по каталожным или
экспериментальным данным двигателя разработан в ДПИ и изложен в /1, 3/. В
дальнейшем мы за основу мы будем принимать именно такую многоконтурную
схему замещения асинхронного двигателя (рис. 3.2).
Как следует из /I/, для АД с многокоптурным (i = 1, 2,..., к) ротором
дифференциальные уравнения, описывающие поведение машины в переходном
режиме, можно представить как:
0, = + рФ, + (3.4)
0 = R^lw + рФ,01 + j(a>, -<а)Ф.,'>; (3-5)
Ф. = LJ, + М,; = 07" + LJ^ (3.6)
II г г? г» и *М* (3.7)
m-mc = jpG)\ m = ~^sxlS’ (3.8)
Здесь U„ it, irv\ Ф,, Фг, Ф„ - результирующие векторы напряжения, токов и
потокосцеплений статора, i - го роторного контура и ветви намагничивания; и ии(
- соответственно, частота вращения ротора и системы координат; / - суммарный
момент инерции привода; т, тс - вращающий момент двигателя и момент
сопротивления механизма.
88
а) по оси d
б) по оси q
Рис. 3.2 - Многоконтурные схемы замещения АД и СД в переходном режиме
Представим уравнения (3.4), (3.5), (3.8) в форме Коши, приняв за неизвестные
потокосцепления статора и контуров ротора. Для этого из (3.6) найдем сначала токи,
а зачем из (3.7) рабочее потокосцепление (потокосцепление воздушного зазора):
89
w u/O) il/ к£Л*) u)
= lw= (3-9)
*^cs ‘Jca ‘~'as
Ч'„ = а.Ф, + а^Ф,'’’ +... + а*Фг(*'. (3.10)
Здесь а., а?\ aj** - коэффициенты распределения потокосцеплении статора,
первого и к - го роторных контуров, показывающие какая часть потокосцепления
соответствующего контура участвует в создании рабочего потокосцепления в
воздушном зазоре:
(3.11)
Из (3.9) с учетом (3.10) можно получить матрицу связи С для определения
токов статора и ротора через потокосцепления, выраженные в системе координат X,
У, вращающейся с угловой скоростью сок:
, = С.^ Ч^’]; С = [^ Со]; (3.13)
Л=Ь еГ; >У=^ %........................ Ct; (З-И)
Ф?’Ь *,= %,> Ч-«, ..., Ч^; (3.15)
1-о, -<?" -а;*>
-а, 1-О;'> -«»’
€,=€=£(') £<i) "• £(» (3.16)
or аг аг
-а. -«<'> 1-а<*
Для численного решения на ЦВМ уравнений (3.4) - (3.8) их удобно
представить в виде уравнений состояния (интегрируемых относительно переменных
состояния, в качестве которых мы приняли потокосцепления статора и ротора и
частоту вращения ротора) и уравнений связи (3.13). С учетом (3.13) - (3.16)
уравнения состояния и связи примут вид:
1, . г (3.17) Н (3.18)
pa = j(m-mc\ J т = /(Ч'); J
т = )+ (319)
2 J L /=* J
В развернутом виде уравнения состояния (3.17) и связи (3.18) записаны в табл.
3.1 и 3.2, в которых элементы матрицы Якоби А даны с учетом приведенных ниже
обозначений для коэффициентов затухания соответствующих контуров:
В режимах затяжного пуска и самозапуска АД необходимо знать превышение
температуры обмоток статора Я и ротора Я над температурой охлаждающей среды.
Указанные величины можно найти из решения уравнений:
90
0.=-^J*,(»W, (3.21) 0,=-±- jm(MX. (3.22)
cG. i cGr;
где Gs, Gr - вес стержней обмоток статора и ротора;
С - удельная теплоемкость указанных проводников.
Известно, что при пуске двигателя на холостом ходу перегрев ротора не
зависит от приложенного напряжения и длительности пуска и может быть найден
как:
где Та - механическая постоянная времени агрегата.
Разделив (3.22) на (3.23) можем найти относительный перегрев обмотки
ротора 0':
(3.24)
О
Уравнения (3.17) - (3.19), (3.24) представляют собой наиболее общую
математическую модель глубокопазной асинхронной машины и позволяют
рассчитать любые ее электромеханические переходные процессы с учетом
вытеснения токов в роторе и зависимостей активных сопротивлений статора и
ротора от температуры.
Достоинством использования указанных полных дифференциальных урав-
нений АД является возможность получения мгновенных значений ударного
динамического момента на валу привода, что очень важно для оценки надежности
его работы.
3.3. Математическая модель синхронного двигателя
В связи с наличием на роторе обмотки возбуждения по продольной оси d
дифференциальные уравнения СД целесообразно решать в осях d, q, жестко
связанных с его ротором. Только в этих координатах удается избежать в уравнениях
периодических коэффициентов, зависящих от углового положения ротора. Как и для
АД будем считать, что демпферный массив ротора по каждой оси представлен
многоконтурной (/ = 1, 2, ... , к) схемой замещения. Тогда в соответствии с /1/
дифференциальные уравнения СД запишем как
Л’=-я1^; > = 1.2.-.*;
1 = 1.2.к (3.25)
р'¥( = Uf - Rfif ', = —mc);
т = |Кл,-ч'.лЛ р/=<»;
91
^=оЛ + «/*/+Хо«1;
i=l
= “Л + taX >У = 7-к - '•'J
н L<f
(3-26)
^=7L(*.J-'i/w); й’=7^-(^-^Л
^anl
i =—(т -S' 1 i'° =—(t01 -Т )
if V '? «« Л .0 £(,) \ гд Мд Г
Коэффициенты распределения и затухания находим, используя параметры СД
по осям d и q :
а“=Г'
л-‘оз
= Л..
L’
Ld
а, = —;
<?
₽(*)
a(*) =Zw_
“rJ ,(*)
=IL.
р(к)
,(*> =
"' Lm
(3.28)
1 1 1
C, Cn9
Если выполнить преобразования, аналогичные ранее рассмотренным для АД,
то мы получим уравнения состояния (табл.3.3) и уравнения связи (табл. 3.4) СД,
которые по форме записи совпадают с (3.17), (3.18). Элементы матрицы Якоби Ас и
матрицы связи Сс определяют через параметры схемы замещения СД по осям d и q
(рис. 3.2).
Приведенные выше уравнения АД и СД удобно записывать в системе
относительных единиц Xmd /II. Форма записи их при этом не изменяется, кроме
выражений для электромагнитного момента (3.19), (3.25), в которых исключается
коэффициент 3/2.
В качестве базисных величин принимаем амплитудные значения номи-
нальных фазных напряжения и тока статора, синхронную частоту вращения ротора,
полную номинальную мощность:
3
<4
й>е = ш.
(3.29)
а также найденные с учетом (3.29)
7 -41- ш
6 I ’ 6~Ч>
ме =—/>,;
GD2
а,
(3.30)
J =?^-рг-
Л Р" . 4 Л
где pi - число пар полюсов обмотки статора; t, J - время и момент инерции в
относительных единицах.
92
Для синхронных машин мощности статора и ротора одинаковы, а базисный
ток обмотки возбуждения определяют как произведение ее тока холостого хода 1“
на х^.
(3.31)
93
314
Рисунок 3.4 - Расчётная осциллограмма режимов пуска синхронного двигателя
Таблица 3.1 - Уравнения состояния асинхронного двигателя:
P^ = A4> + U
Л a^as Т SX Usx
рч® а.а'1’ (0* -0) ш(1) тгх
РУ? (а>к -ю) Trr (3.17)
рч„ ~O>k Ч-1И T
р^ -{юк -ю) (^-1И0 Ш(1) О’
ш(*) О'
Таблица 3.2 - Уравнения связи асинхронного двигателя:
7 = СФ =
С,
О
о Ч'х
Jk
',х - i-fl, _a^_ SX
a, 1-a® g Jet Q| 1 Ш(1) 1 SX
е w(*) 1 SX
a, -^L l-0'«
!~a. e J e <3 I <1 1 •S>
*гу l-^1’ 1^2 w(l) Xj>'
i{k} lry w(*) ST
a. \-аГ
(3.18)
Таблица 3.3- Уравнения состояния синхронного двигателя
Р'Р = ЛСЧ' + Г7С
Л - 1 S 3- ? <№,d alav. -СО т.„ + (3.32)
р^ 1 £•? S’? 3- й
Л*’ 1 afard ш(*^
РЪ («/-!) «/ Ч'/
рч., СО («„-I)’ 4?а* 4Х
Л? а.,4? (<’-!) а'” ш(1)
рЧ" а.,<’ (<’-!)• ш(*) ГЧ
Таблица 3.4 - Уравнения связи синхронного двигателя
1 = СЧ> = ~cd О' -° с< X 1 1 Тз <3-
i,d S-sl e C 1 <! 1 aw a'd 1 !> I Й a S
i(1) lrd a,d 1-4? e af
iw lrd a'd tW ^ord c 1-^ r(*) '-'erd ai
4? a(t) ard l~af Ч'/ (3.34)
<7
1-% a(,) r4 T
lsq
fU) 1-4? w(0
4 r(D ^-‘arq 7(0 ‘-‘orq rd) i-'orq r4
,•(*) l-<*’ Т(*>
>9 rW ^arq
98
Раздел 4. Теория и методы алгоритмизации переходных
процессов в многомашинных системах
4.1 Постановка задачи
В настоящее время для анализа режимов работы энергосистем широко
применяют методы математического моделирования. большое развитие получили
модели для расчета стационарных режимов, а также основанные на упрощенных
уравнениях Парка-Горева модели для анализа статической и динамической
устойчивости энергосистем. В последнее время в связи с бурным развитием
вычислительной техники, а также в связи с повышением требований к точности
моделирования при разработке и создании высоконадежных систем
электроснабжения АЭС, ТЭС и других ответственных установок с крупными АД и
СД, значительно возрос интерес к моделям ММСЭ, основанным на полных урав-
нениях Парка-Горева как для машин, так и для всех элементов питающей сети.
Актуальным является создание универсальных моделей, позволяющих исследовать
как кратковременные (АПВ, АВР, короткие замыкания), так и длительные (пуск,
самозапуск) переходные процессы в группе машин с учетом их взаимного влияния,
с учетом зависимостей параметров от вытеснения токов и насыщения магнитных
цепей.
При создании моделей многоузловых ММСЭ для расчета переходного
процесса в отдельных машинах используют обычно метод контурных токов, а для
определения напряжений в узлах - метод узловых напряжений. В этом случае
понижается порядок обращаемых на каждом шаге матриц, что сокращает затраты
машинного времени. Однако при этом понижается численная устойчивость
решаемых уравнений и уменьшается расчетный шаг. Поэтому актуальными
являются способы использования многоконтурных схем замещения машин в
моделях ММСЭ, методы совершенствования численного интегрирования и
повышения численной устойчивости дифференциальных уравнений.
В ММСЭ часто возникают режимы коммутаций при отключении коротких
замыканий одной или группы машин, участков сети и др. 1 [рименение для
моделирования замкнутых и разомкнутых контактов выключателей значительно
отличающихся по величине активных сопротивлений не в полной мере отражает
физику явлений и, кроме того, приводит к большим расходам машинного времени.
В данной работе мы рассмотрим один из более предпочтительных способов
моделирования режимов коммутаций, основанном на принципе постоянства
потокосцеплении замкнутых контуров.
Весьма распространен в ММСЭ режим группового выбега электродвигателей,
возникающий после отключения источника питания и имеющий весьма важное
значение, например, в системе с.н. АЭС. Результаты экспериментального
исследования этого режима приведены в ряде работ, однако, теория и методы
расчета для наиболее общего случая не разработаны.
Для рассматриваемых ММСЭ актуальным является разработка и создание
комплекса алгоритмов и программ для формирования различного типа
99
математических моделей, основанных на полных или упрощенных уравнениях
Парка-Горева или на алгебраических уравнениях для стационарных режимов;
программ для расчета параметров схем замещения машин; программ для расчета
переходных режимов с учетом действия релейной защиты и автоматики.
Пути решения поставленных задач, направленных на создание системы
автоматизированного проектирования многомашинных систем электроснабжения
(САПР ММСЭ), и составляют содержание данной главы.
4.2 Математические модели ММСЭ на основе полных дифференциальных
уравнений элементов
4.2.1 Исходные положения
Для общности рассмотрим ММСЭ, состоящую из нескольких источников
питания бесконечной или ограниченной мощности, силовых трансформаторов,
активно-индуктивных линий межузловых связей, активно-индуктивной нагрузки,
произвольного количества асинхронных и синхронных двигателей, подключенных в
заданных узлах.
Так как решение уравнений, непосредственно записанных для всей
многоузловой ММСЭ, связано с обращением матриц большой размерности, то
воспользуемся более рациональным так называемым методом структурного
моделирования. Сущность его состоит в том, что на каждом шаге решают
дифференциальные уравнения элементов при условии постоянства напряжений в
узлах схемы. Напряжения находят по данным предшествующего шага расчета из
системы алгебраических уравнений, записанной на основе первого закона Кирхгофа
для производных от узловых токов, приведенных предварительно к единой для всех
элементов системе координат. Для статических элементов сети, а также для
обладающих симметрией статора и ротора асинхронных машин, будем
использовать систему координат неподвижную (а>к=0) или вращающуюся с
синхронной скоростью (а>к~Г). Для синхронных машин применим систему
координат d и q, жестко связанную с собственным ротором. При этом в
дифференциальных уравнениях каждой из машин периодические коэффициенты
исчезают, однако появляется необходимость преобразования части переменных
состояния машин к общим осям.
Рассмотрим сначала ММСЭ, содержащие только симметричную нагрузку и
асинхронные машины, а затем перейдем к более общему случаю, когда имеются
также синхронные машины и несимметричная активно-индуктивная нагрузка.
Первый из указанных случаев наиболее характерен для систем с.н. ТЭС,
работающих на газе или мазуте, а также для АЭС в связи с отсутствием у них
синхронного электропривода на секциях с.н. 6 кВ. Второй случай характерен для
ГРЭС, работающих на твердом топливе, в системе с.н. которых синхронные
двигатели применяют для привода шаровых углеразмольных мельниц, поршневых
компрессоров и других механизмов.
100
4.2.2 Переходные процессы в системе асинхронных машин
Пусть в схеме, показанной на рис. 4.1, к источнику питания И| с напряжением
ию через трансформатор 7} (RTI, LTI) подключена группа асинхронных двигателей
(п=1, 2, А/) и активно-индуктивная статическая нагрузка CH! (Rui, LHI). Линия
связи Ь отключена.
Запишем дифференциальные уравнения для элементов схемы в осях х, у,
имеющих частоту вращения сщ для произвольно принятых и показанных на рис. 4.1
направлений токов:
а) для трансформатора 7) и нагрузки CHf.
piTJ = — (l710—С/,)—— in — j&Pri , (4-1)
ЬГ| LTX
1 »
, (4.2)
б) для асинхронного двигателя воспользуемся полученной ранее его
математической моделью, полная запись уравнений состояния и связи для которой
приведена в табл.3.1, 3.2. Для дальнейших преобразований используем уравнения
статорной цепи АД, которые представим в виде:
= (4-3)
(4-За)
Заменив в (4.3) и соответственно выражением (4.3а) и его производной, после
соответствующих преобразований получим:
pi, = т~й, -mJ, +JW.)- (4-4)
‘-'ся ‘-'ся ‘-'ся
Уравнение (4.4) для статорной цепи АД отличается по виду от аналогичных
уравнений (4.1), (4.2) для пассивных элементов схемы только наличием в нем члена,
зависящего от ЭДС ветви намагничивания Ёткоторую с учетом (3.4 ) и (3.10 )
представим как
4 =Л +7Ч*„ - Vj+Д,- (4-5)
где £„ - эквивалентная ЭДС многоконтурного ротора
= ^а$,)(рФг<0+т^)=Еа5°(- +m'i'Jl (4.6)
С учетом (4.6) из (4.4) получим
(4.4а)
‘-'ся ‘-‘ся ‘-‘ся
pi, = s+0 - а, X». (4-4б)
^оз ^ся
или в матричном виде
PI, = YV, - «/, - Т - Пк1,, (4.7)
где Y,a,T,Slt - соответственно матрицы инверсных индуктивностей, коэффициентов
затухания, производных от узловых задающих токов, вращения координатных осей:
101
В соответствии с первым законом Кирхгофа для элементов схемы (рис. 4.1),
(4.7а)
(4.76)
(4.7в, г)
подключенных к ее первому узлу, справедливо уравнение
P*HI Р*т\ 4
(4.7д)
Подставив (4.1), (4.2) и (4.2а) в (4.7д), после соответствующих
преобразований получим выражение (4.8), позволяющее определить в любых
переходных режимах напряжение в узле 1:
и, =^;1(а171 +?;),
Г; „7 74Д
ГЯ1» *Л» *sl » ,
(4.8)
(4.9)
(4.Ю)
(4.11,4.12)
Здесь I, — вектор-столбец токов элементов схемы, подключенных к первому
узлу; а/ - вектор-строка коэффициентов затухания ветвей первого узла; Ylt -
собственная (узловая) инверсная индуктивность элементов первого узла; Г, -
результирующая скорость изменения задающего узлового тока, создаваемая
напряжением источника И, и эквивалентными ЭДС роторов всех А| асинхронных
двигателей, подключенных к первому (р =1) узлу.
Из (4.8), в частности, следует, что, учитывая (4.6), (4.12) составляющие
напряжений по осям х, у для однотрансформаторной подстанции с двигательной
нагрузкой можно найти как
+?;,); =--(«,/„+?□ (4.13)
102
Напомним, что в данном случае по (4.13) напряжения находятся перед
каждым шагом численного интегрирования дифференциальных уравнений АД
(3.17), трансформатора (4.1) и нагрузки (4.2).
Из (4.11) и (4.13) также следует, что изменением сопротивления нагрузки в
узле можно моделировать глухое ( Z„=0 ) или удаленное ( Z„ = оо ) короткое
замыкание. Для моделирования режима группового выбега асинхронных двигателей
в узле 1 необходимо положить Zn = <ю.
Приведенные соотношения (4.8) - (4.13) могут быть распространены на более
сложные ММСЭ с асинхронными двигателями при любом количестве узлов.
Записав соотношения (4.8) для каждого /-го узла (/=1, 2, ..., р), получим затем
линейную систему уравнений, из решения которой находим неизвестные
напряжения в узлах схемы. Система уравнений, аналогичная (4.13), формируется
отдельно для составляющих I, U, Т по осям х и у с использованием следующих
соотношений:
С/ = Г '(« /ы); (4-14)
Здесь U - столбцевая матрица искомых узловых напряжений; I, Т - столбцевые
матрицы, элементы которых формируются для каждого узла с использованием
соотношений (4.9), (4.12); а - диагональная матрица с элементами, формируемыми
для каждого узла по (4.10); У - квадратная матрица узловых инверсных
индуктивностей, элементы которой уп определяют по (4.11), а ул0'**) - по (4.16)
как величин, обратные индуктивностям межузловых связей.
Расчет переходного процесса в группе машин по полученным соотношениям
производим следующим образом. Находим сначала для каждого из АД элементы
матриц А и С по выражениям, приведенным в табл. 3.1, 3.2, и коэффициенты
затухания по (4.10). Используя (4.11), (4.16), определяем элементы матрицы узловых
инверсных индуктивностей. Для заданных начальных значений переменных
состояния элементов схемы находим по (4.6) эквивалентные ЭДС роторов, а по
(4.12) - скорости изменения узловых задающих токов. Умножив вектор-столбец (4.9)
на вектор-строку (4.10), находим величину произведения al. Затем по (4.14)
определяем узловые напряжения и, решая дифференциальные уравнения элементов
(3.17), (4.1), (4.2) находим новые значения переменных состояния и т.д.
103
4.2.3. Переходные процессы в системе синхронных и асинхронных машин
Пусть в схеме, показанной на рис. 4.1, находятся в работе: источники питания
И|, И2; секции 1,2 с подключенными к ним статической и двигательной нагрузками;
линия межузловой связи I2 (Ru , Li2). Рассмотрим дифференциальные уравнения
элементов секции (узла) 2, к которой подключены: группа асинхронных (nl, 2, ....
А2) и синхронных (п=1, 2....С2) двигателей, нагрузка (7?m, кП2), трансформатор Т2
(Rt2, Lt2).
Уравнения для трансформатора Т2, линии связи 12 и нагрузки аналогичны
(4.1), (4.2)
Phi — Т " hl ~ 2 >
ьт2 *-‘1'2 I
р5|=у-(^2-^|)-“-(2|-7®Л> ► (4.17)
ъ21 Ь2(
Т 1 Л RH2~
Р*Н2 ~ j ^2 , 1Н2 J^klH2
^Н2 ^Н2 j
и в матричном виде могут быть представлены выражением (4.7), в котором
у.=у,=^; ду = °; гл=°; ! = L»', lh2-.
ах=ау=~; Ла = 0; Ту=0; R = RT2; Л2|; RH2. (4.17а)
Для подключенных в узле 2 асинхронных двигателей воспользуемся
уравнениями модели АД (3.17) - (3.19), а также соотношениями (4.3)-(4.12). Для
синхронных двигателей с целью упрощения дальнейших преобразований,
вызванных нссимметрией роторной цепи, уравнения статора запишем сначала в
общих для всех элементов ММСЭ, вращающихся со скоростью а>к осях х, у, а
уравнения ротора — в его собственных осях ротора d, q. Для указанных условий из
исходных уравнений (3.4 ), (3.25 ) получим
Л = и„ - = -«Ж
= (4-18)
i=l, 2, .... k; p^f = Uf-Rfif.
Уравнения для статорной цепи СД из (4.18) преобразуем аналогично (4.4),
т.е. запишем их относительно производной тока статора и ЭДС ветви
намагничивания. Для этого, используя (3.25) - (3.28 ), введем сначала матрицы: П ~
прямого преобразования переменных, т.е. от осей ротора d,q к осям статора х, у; ГГ
- обратного преобразования переменных; О,- вращения координатных осей х, у
статора; £1 - вращения координатных осей d, q , ротора; рП - производную по
времени от матрицы 77.
/7 = rcosy -siny] ^fcosy siny]
|_siny cos у J’ -sin у cosyj’
г0 -Л2.1 ГО -zul
£1,=| *; £1= ; (4.19a)
* [пт, 0 J’ \_o> 0 J’
104
рП — — £1а ) — (/
— sin/ -cos/
cos/
Y = Yd~Y,
Fd .
F„ ’
-sin Yj
Fd F, = n
(4-20)
(4.20а)
(4-21)
С учетом (4.19а) из (4.18) получим уравнение для контуров
представим его в матричной форме записи как
Заменив в (4.22) потокосцепления статора выражением
Ч' — L I + щ ,
4 ass т ’
после соответствующих преобразований получим
PI =L'(U -Rl)~nj -L'E ,
s os \ s s s) k s as m >
статора и
(4.22)
(4.23)
(4-24)
где
F
= П
£„=7>Ч'т+£\Ч' .
(4-25)
В осях ротора потокосцепление ветви намагничивания с учетом (3.26) равно
О
г/4
rf J
«rf
0
(4-26)
Умножив слева обе части равенства (4.26) на матрицу преобразования П
(4.19), получим согласно (4.21)
(4.27)
А=П
«rf
0
0
«!«’}
п~' =
Да/
Да?
«»
4J
^my ’
< 0
0 a?
ч-
4^
T
L
cos 2/
sin 2/
Г
Trf
хрЫ
(4.27а)
sin 2/
— cos 2/
• крО*.?) _
(4-28)
«г=|к+«,Д А«*=|к
+ asq sin2 у = cff + cos 2/;
«rf
О
(4.28а)
0
«„ = Orf cos2
% = a,t sin2 / + «,„ COS2 r = af- tsa* cos 2/;
~ (a,d - )sin 2/ = Да? sin 2/.
Из приведенных соотношений следует, что в осях х, у элементы матрицы А,
зависят от углового положения ротора и от степени его несимметрии по осям,
определяемой величиной параметра Ла, . Как видно из (4.26 ) - (4.28а ) взаимное
влияние потокосцеплении намагничивания по осям проявляется только в
координатах х, у и отсутствует в координатах d и q, что и является известным
преимуществом последних. Для примера в табл. 4.1 приведены значения элементов
матриц As, Ys , рассчитанные по данным параметров схем замещения, для явно- и
105
неявнополюсного синхронных двигателей. Приведенные данные могут служить для
принятия о принятии решения о допустимости использования средних параметров
по осям dwg.
С учетом (4.27) и (4.22) выражение (4.25) для £„ представим как
Е„ = - V.)+ + Е„, (4-29)
или
где эквивалентная ЭДС ротора Еп, найденная с учетом (4.20) равна
(4.30)
II cos/ sin/ -sin/ COS/ + । s e MM a a ; (4.30a)
El. = П~' El El. = (4.306)
Как следует из (2.29), эквивалентная ЭДС статора £s, состоит из двух
составляющих, основной и дополнительной. Последняя из них A£s возникает только
при наличии несимметрии ротора ач) и определяется как
де,=(р4-4п,+п.Л)*.;
ГЛ/?И / У-sin 2/ cos2/~| Г%х"|
= алск. — а I х ;
j [_ cos2/ sin 2/ J J
(4.31)
(4.31a)
(4.316)
Теперь с учетом (4.29)-(4.31) выражение (4.24) для производной тока статора
принимает вид
1 _ л 1
Р1,=---------------е\
^~a.,}p^+R.^-a.,K
(4.32)
(4.32а)
Выражение (4.32) можно также представить в виде (4.7), в котором элементы
матриц У, а, Т, в отличии от (4.7а)-(4.7г), определяют как (см. также табл. 4.1):
1 - а _ . (1 - а„ )r, „ D _ .
К = = Уе„ - Ул cos 2/, «, = = R,ycp ~ R,yk COS 2у,
^OS ‘-'os
У у = = Ус - Уь cos 2у; а, = LjkM. = д + cos 2/;
(4.326)
Ду = —= -уд sin 2/; Да =---—!- = -к,уд sin 2 у,
106
Таким образом, из полученных для АД и СД соотношений (4.6), (4.7), (4.306),
(4.316), (4.32) вытекает, что при анализе переходных процессов в ММСЭ эти
машины могут быть представлены схемами замещения, показанными на рис.4.2. Для
узлов 1, 2 рассматриваемой схемы (рис. 4.1) запишем теперь уравнения первого
закона Кирхгофа в виде (4.7д) и выразим производные токов каждого из
присоединений по (4.7), в котором элементы матриц У, а, Т будем определять для
нагрузки и межузловых связей по (4.17а), для АД - по (4.7а) - (4.7г), для СД - по
(4.326). В результате преобразований получим систему уравнений (4.33), из решения
которой найдем искомые узловые напряжения Ut, U2'.
(4.33)
где
Ун =>12 О«, О,, +£У?’i
Угг =У|2 + Унг + Утг +
Ф"СЛ;
(4.33а)
(4.336)
У а = У2| =
7]=УГ1С
(4.33в)
(4-34)
лг ля с,
Ti = ут2иг<>+2 UoX) + 2 fc Iе + ле Г*;
z 7 z zu \ as гэ / \ as /\ гэ з /п '
л*Н и иН
(4.34а)
Л]7| — > (4.346)
j АД с2 СД
«2/2 =—«12^12 ^аН2^Н2~аТ2^Т2 + /
п=1 и п=1 п
(4.34в)
В общем случае для схемы, содержащей произвольное количество узлов (/=/,
2, .... р) с подключенными в них АД, СД и СН, составляющие узловых напряжений
по осям х, у могут быть найдены из системы уравнений (4.35), приведенной ниже и
полученной аналогично (4.33) на основе (4.7), (4.14), (4.17), (4.30) - (4.34):
У„ ДУ] ГС1 Га, Да] 17,] 17/
ДУ У, *[cj= Да aj* + ’
(4-35)
где
(V=U;I;T)-(j=l,2, ...,Ру, (4.36)
107
(4.37)
. / хАД г / .• хсД
LT; »Л Ч, )„
(4.38)
(4.38а)
(4.386)
(4.38в)
(4-39)
К
(4.40)
(4.40а)
(4.406)
108
У,i = ^ =
sin2y
(4.40в)
Ар = г/й«[ду|1, Ду22.. Дуи,|; (4.41)
Таким образом, узловые напряжения в рассматриваемой ММСЭ находят по
(4.35) - (4.41) в конце каждого шага расчета уравнений состояния элементов. Как
видно из табл. 4.2., в которой приведена развернутая запись уравнений (4.35), при
отсутствии в схеме СД расчеты существенно упрощаются, т.к. матрицы Аа, Л Y
будут нулевыми и на каждом шаге расчета не требуется обращения матрицы Y.
Укажем и другой путь, позволяющий исключить операцию обращения матрицы Y
на каждом шаге расчета. Для этого в выражениях (4.20а), (4.206) исключим
переменные составляющие инверсных индуктивностей каждого СД, зависящие от
его cos2y а оставим только постоянные, равные согласно (4.326) средним
значениям по осям d и q. С учетом изложенного матрицы (4.40) теперь будут
постоянны и равны между собой Ух=Уу=Уср, что позволяет уравнение (4.35)
представить в виде, удобном для решения его методом итераций.
и. +&а,у +C,^(^cos2/)n +C^(y4sin2y) 1;
(2.416)
U> + Да/х +r, + Cx^(y4cos2y)n + 1^(улзт2у),^;
Систему (4.416) с учетом (4.4б), (4.32а) можно также представить несколько в
другом виде
с = С^+д^],
(4.41 в)
где £ и - столбцевые матрицы, j-e элементы которых, соответствующие j-му узлу
схемы, находят из выражений:
л-1 и-1 п Л=1
_ И=1 И=! и *=•
ДА ) Ё(уЛсо52/). LG’aS'1’2?'). Гп
= л=1 л-1 х "
^(уйяп2у)л -£(yAcos2y)„
(4.41г)
(4.41Д)
В качестве математических моделей элементов здесь используются их полные
дифференциальные уравнения. Для нагрузки и линий межузловых связей это
уравнения (4.17); для АД - уравнения (4.17)-(4.19), приведенные в развернутом виде
в табл. 3.1 , 3.2 ; для СД - уравнения в осях d, q (3.25), (3.27), записанные в табл. 3.3,
3.4 , или приведенные в виде системы (3.32 ). Для АД и СД должны быть заданы
также функциональные зависимости тс(со), а для СД, кроме того, уравнения для
определения напряжения возбуждения Uf, учитывающие тип возбудителя и
109
устройств АВР. Электромашинные и статические возбудители, содержащие
корректоры напряжения, компаундирование и форсировку возбуждения, в
зависимости от постоянных времени моделируют дифференциальными или
алгебраическими уравнениями. При наличии каналов регулирования по току статора
(А,), по отклонению напряжения (кди), углу сдвига фаз между током и напряжением
(к9) и с учетом действия форсировки возбуждения напряжение Uf можно
представить как
V, =U,„ + (kw6U, + kf,+k'b<p+kJU,)u),. (4.42)
В простейшем случае можно принять для статического (тиристорного) возбудителя
Uf = U^U,, если Us>0,85
Uf= Uf„-Us-k,j,, если 0,4 <US< 0,85 (4.42а)
Uf= 0, если Us<0,4
а для электромашиппого возбудителя, сочлененного с валом двигателя и имеющего
независимое возбуждение
Uf= Uft;U,-a>, если Us>0,4
(4.426)
Uf=0 если Us<0,4
4.2.4 Математическое моделирование режимов коммутаций
Ранее уже отмечалось, что при расчетах переходных процессов в ММСЭ
возникают трудности с учетом изменений интегрируемых переменных в режимах
коммутаций в схеме. Последние возникают при включениях и отключениях
нагрузки, коротких замыканиях, действии устройств РЗА, изменении структуры
схемы или параметров ее элементов. Процесс коммутации обычно длится не более
ста микросекунд и зависит от многих факторов: характеристик выключателя и его
дугогасительного устройства, значений R, L, С параметров контуров утечек на зем-
лю и др. Математическое описание этого режима является самостоятельной задачей
и требует при анализе больших затрат машинного времени. Поэтому будем считать,
что коммутационный режим происходит мгновенно и нам требуется только найти
начальные условия для переменных состояния, т.е. их значения после коммутации в
новой схеме, если полностью известен предшествующий режим.
В рассматриваемых ММСЭ при многих видах коммутаций требование
непрерывности токов в индуктивностях приводит к нарушению соотношений,
вытекающих из законов Кирхгофа. Поэтому при указанных, как принято их
называть некорректных коммутациях, имеющих место, например, в режимах
группового выбега, отключения нагрузки, короткого замыкания и др., начальные
условия будем находить на основе обобщенного закона коммутаций, согласно
которому алгебраическая сумма потокосцеплений по любому замкнутому контуру
до и после коммутации остается неизменной, т.е. сохраняется непрерывность
потокосцеплений замкнутых контуров:
по
£[ф]*’ _Ф* ’]=£ дФ, = о.
/=• г*
(4.43)
При использовании (4.43) остаются справедливыми законы Кирхгофа, в чем и
состоит его достоинство. Кроме того, из (4.43) также следует, что при коммутациях
в узлах рассматриваемых нами ММСЭ для всех электрически связанных между
собой контуров отдельных элементов заданного узла скачкообразные изменения
потокосцеплении будут одинаковыми. Скачкообразно могут изменяться
потокосцепления и токи статоров отдельных машин, токи роторов, нагрузки и
межузловых связей, напряжения в узлах. Потокосцепления роторных контуров,
частоты вращения и углы поворота роторов остаются неизменными, что следует из
условия невозможности скачкообразного изменения запасенной электромагнитной
и механической энергий .Указанные условия представим в виде соотношений:
ф(*) — ф(“) . AW •
*j tj V 9
у/'*/ — у'
44.44)
ф<,) = ф<Э;
(4.44а)
б)' 7 = бГ .
i J -J
Так как при использовании (4.43), (4.44) справедливы законы Кирхгофа, то
задача определения начальных условий при коммутациях может быть сведена к
нахождению только части переменных состояния, используемых в уравнениях
(4.17), (4.39), т.е. только статорных потокосцеплений и зависящих от них токов в
межузловых связях. С этой целью запишем уравнения первого закона Кирхгофа для
узлов схемы для момента времени после коммутации t(0+), выразив
предварительно токи элементов через их значения до коммутации и искомые
приращения потокосцеплений в узлах схемы ДФ( (/=/, 2, .... р). Приращения
потокосцеплений для всех подключенных к одному узлу присоединений будут
одинаковыми, что следует из (4.43) как для параллельно включенных контуров.
Пусть, например, из предшествующего установившегося режима ММСЭ
(рис.4.1) узел 2 теряет питание от источника И2 из-за отключения трансформатора
Т2, а линия резервного питания 12 остается в работе. Токи элементов в
(4.45)
предшествующем режиме известны, а после коммутации представим их следующим
образом:
а) для и-го асинхронного двигателя с учетом (4.3), (4.3а) и (4.44)
фЛ(я) _ ц//(п) . Л(и)
Т4(Я) _ ЖХ+) 1 ди, .
%) £Л(в) *«(-)
б) аналогичные соотношения с учетом (4.23) получим
двигателя
для синхронного
шФ)_шС(и| < Jc(”)
; с<"’ — т(<| - ; с<") + лш -
jC(n\ '•(> т £С(«)
(4.46)
в) для нагрузки Н2, коммутируемого трансформатора Т2 и линии межузловой
связи 12, соответственно имеем:
Ill
ТО _ Тн*2 _ ~< 1 1 Лш . 70 _ п
'н2 . ~‘Н2 Т . TiTj, 1Т2 -V
*~'Н2 1-Н2
4?1 =—=fr1 ’ +—-—A*. •
21 т 1 1 I
''21 Ъ21 ^21
Сложив с учетом принятых направлений токи (4.45) - (4.47) всех элементов
узла 2 и учитывая, что согласно первому закону Кирхгофа сумма токов в узлах до и
после коммутации равна нулю, получим уравнение (4.48), коэффициенты при
неизвестных в левой части которого совпадают с аналогичными коэффициентами
уравнения (4.35) для определения напряжений в узлах схемы:
у + у 1" 4___________ д Ф
т2А(п) La т2С(„} 1“ ж У
И п ‘‘гтх /
(4.47)
(4.48)
——дф. г
L»
Проделав аналогичные операции для узла 1, запишем второе уравнение:
( 1 1 1 — А 1
— + — + У—%— ДФ, ——ДЧ'а =0 . (4.49)
7 7 “ I 1 » 2 ' 7
\ 7-12 ''//I и ) 7-12
Из решения полученной линейной системы уравнений находим приращения
потокосцеплений ЛЧ',ДЧ'2в узлах 1,2, а затем с учетом (4.44) определяем новые
значения потокосцеплений статоров двигателей и, используя уравнения связи (3.18),
(3.34) или же (4.45)-(4.47), вычисляем новые токи двигателей нагрузки и линий
связи.
Для случая группового выбега двигателей только одной секции, при наличии
на ней также активно-индуктивной нагрузки скачок потокосцеплений
l-^"1
дф =
(4.49a)
1-н)
где 4'"'- суммарный ток секции до режима коммутации.
В общем случае для любой сложности ММСЭ матричные уравнения для
определения приращений узловых потокосцеплений в режимах коммутации имеют
вид:
скачки токов в коммутируемых узлах, вызванные отключениями одной или
нескольких ветвей. Как следует из (4.47), скачок тока в узле равен току
коммутируемой ветви в предшествующем режиме, а изменения потокосцеплений в
узлах находят из (4.50), где матрица Y соответствует послекоммутационной схеме.
Если коммутируемой является межузловая связь, то скачки токов в (4.50)
112
учитывают для двух узлов, к которым подсоединена отключаемая ветвь. При
моделировании процесса подключения в узле шунта короткого замыкания,
нагрузочной ветви или двигателя, изменяется только матрица (4.40), т.к. до и после
подключения указанного элемента условие непрерывности тока в нем не
нарушается.
При коммутациях со стороны обмотки возбуждения, возникающих, например,
при включениях и отключениях АГП, изменениях добавочного сопротивления в
цепи ротора, ресинхронизации двигателя методом подачи знакопеременного
возбуждения и др, потокосцепления замкнутых контуров статора и демпферных
контуров ротора не изменяются, а потокосцепление обмотки возбуждения можно
найти как
+ ЛЧ1,; ДУ,(4.52)
Используя (4.52) и уравнения связи (3.34 ), можно найти новые значения токов
двигателя, в цепях возбуждения которого произошла коммутация.
По изменению тока статора затем определяют токи небаланса в данном узле, с
помощью (4.50), (4.51) - изменения межузловых потокосцеплении и токов, а по
(4.35) - новые значения узловых напряжений.
4.3 Алгоритм расчета ус тановившегося доаварийного режима ММСЭ
При расчетах на ЦВМ динамических режимов ММСЭ необходимо предва-
рительно определить из доаварийкого режима начальные условия для всех
интегрируемых переменных. Исходными данными при этом являются: напряжение
системы или одного из ведущих узлов, где подключена основная часть исследуемых
электродвигателей, коэффициенты загрузки механизмов; коэффициенты мощности
синхронных двигателей; сопротивления нагрузок в узлах.
Так как полная мощность двигателей зависит от напряжений в узлах схемы,
которые неизвестны, то задачу будем решать методом последовательных
приближений. Приняв начальные приближения для узловых напряжений, из
уравнений элементов для установившегося режима найдем токи статоров, ЭДС
возбуждения Ев и углы положения роторов синхронных двигателей, скольжения и
токи статоров асинхронных двигателей, узловые проводимости, затем новые
значения узловых напряжений и т.д.
Рассмотрим для общности явнополюсный СД, для которого из векторной
диаграммы (рис.4.3) получим известное соотношение:
СЛ=к+АХ-у£,. (4.53)
Из (4.53) найдем фиктивную поперечную ЭДС - Eq
~Е,= + (-R,I,+U,cos<rf . (4.54)
Знак “+” или в (4.54) принимаем в зависимости от
перевозбужденного или нсдовозбужденного режима работы СД, а модуль тока
статора находим по одной из приведенных ниже формул в зависимости от типа
исходных данных.
113
Г = c<>s^ ; /ж = 2 + p2. (4.55)
Us cos ф Us
Используя (4.64), находим затем
Л,=Л-£,Г';
cos^=+ е2 - (я; + Е,)1‘-
-Е0=-Е,-(х,-х,)/,,; /z=-2l; (<56)
Xmd
/ — 270° - 6 + arctg
По найденным в осях d, q токам определяем переменные состояния
(потокосцепления), а также токи статора в осях х,у:
Л, s™ г 57)
= /^siny + /^cosy.
Для установившегося синхронного режима (S=0) проводимости находим как
Кл =«е = Л.Ло'1 =Х,Л"'; *е =х«Ло; ло = й.’ь V, - (4.58)
Соотношение (4.58) используют для учета СД при определении матрицы
узловых проводимостей ММСЭ.
Расчет установившегося режима АД начинаем с определения начального
приближения для скольжения
а затем, пользуясь многоконтурной схемой замещения находим входное
сопротивление двигателя, токи и потокосцепления статора и ротора в осях х, у.
Вычисляем моменты двигателя и механизма и в зависимости от их разности
уточняем скольжение из соотношения
V(/) Z \ k
=s,о
Расчет для каждого двигателя продолжаем до выполнения условия т - т, <е .
После чего находим проводимости АД.
Затем вычисляем узловые проводимости и уточняем напряжения в узлах. Для
сокращения числа итераций можно двигатели каждого узла заменить эквивалентной
нагрузкой, а интегрируемые переменные определить только после выполнения
сетевого расчета. Для радиальных схем следует задавать напряжение в ведущем
узле, благодаря чему исключается итерации по определению узловых напряжений.
115
+У—
i=l
A£/=®L-«WK
Рис. 4.2 - Способ представления асинхронной (а) и синхронной (б)
машин в переходном режиме в виде последовательно
соединенных эквивалентной ЭДС, сверхпереходной
индуктивности и активного сопротивления статора
Г =_Al_=z. + ---.-У—
’ 1-«ч [/>.»
£i=£кж -“>«]
Таблица 4.1 - данные параметров схем замещения и
элементов матриц А„ Г для явно- и неявнополюсного СД
Тип двигателя СТД-12500 СДКП2-20 Ном. мощи. МВт 12,5 5,0 Ном. напр. кВ 10 6,0 Параметры схемы замещения, с >тн. ед. Г(2)
^(75 0.095 0,137 Lmd 2,09 1,327 7(П 0.1723 Г 0,0734 11» 0,0085 4 ^сг/ Lmq ^orq
0.1505”4 0,145 2,09 0.7015 0,1723 0,0562 0,0085
Тип двигателя СТД-12500 СДКП2-20 &sd 0.0746 0,25545 &sq 0,0783 0,27525 °? 0,07644 0,26535 Ла? -0,00184 -0,009898 Vcp 9,7216 5,3624 .Vi 0,0194 0,07224 2»-. 100% Уср 0,1995 1,347
'j 2 2 ®
Л=Уср-УдСО52/; У,=^-ГлсО52г; ^ = ^2/.
Таблица 4.2 - Уравнения для определения напряжений в узлах сложной ММСЭ:
119
Раздел 5. Лабораторные работы и методические указания к их
выполнению
а) Лабораторш роботи з використанням пакету MathCad
1. Лабораторна робота №1. Створення розрахунково! схеми i розрахунок параметр!в
електрично'! системи.
2. Лабораторна робота №2. Розрахунок усталеного режиму енсргосистеми за МВП з
урахуванням нел1шйносп.
3. Лабораторна робота №3. Розрахунок усталеного режиму енсргосистеми за МКС з
урахуванням нелппйност!.
4. Лабораторна робота №4. Розрахунок електрично! схеми з компенсашею
реактивно! потужностЁ
5. Лабораторна робота №5. Розрахунок перехщного процесу при КЗ в одшй з плок
мереж! з складанням диференшйних р!внянь за МВП.
6. Лабораторна робота №6. Розрахунок перехщного процесу при КЗ в одшй з плок
мереж! з складанням диференшйних р!внянь за МКС.
7. Лабораторна робота Ns7. Синтез параметр!в i моделювання режиму пуску
асинхронного двигуна.
8. Лабораторна робота №8. Синтез параметр!в i моделювання режиму пуску
синхронного двигуна (явнополюсного).
б) Лабораторные работы с использованием пакета Mathlab
1. Лабораторная работа №1. Моделирование RL цепи
2. Лабораторная работа №2. Моделирование RLC цепи
3. Лабораторная работа №3. Работа с субсистемами
120
BapiaHT № | Лабораторна робота №1 |
Створення розрахунково! схеми i розрахунок параметр!в електрично!
системя
Мета роботы: Одержания навичок створення заступних схем та розрахунку
параметр!в йс елеменпв.
Порядок проведения роботы:
1. В папц| «Каф. ЭС» створити дв! HOBi папки академ!чно! групи i студента;
скопповата в останню папку файл MathCad з шаблоном виконання робота та
дата власне ушкальне !м’я цьому файлу.
2. Отримати у викладача вариант розрахунково! схеми для робота i виписати bci
необхтдн! вих!дн! дан!: рисунок розрахунково! схеми i параметри IT елеменпв.
3. 1з довщково! лггератури вибрати bci исдостаюч! дан! елеменпв розрахунково!
схеми.
4. Запустите на виконання програму MathCad з шаблоном виконання робота.
5. Виконати розрахунки параметр!в елеменпв заступно! схеми: генератор!в,
трансформатор!в, лппй електропередач та навантажень.
6. В наведених нижче таблицах внести вихццп та розрахован! параметри
обладнання свого варианта.
7. Скотювати розрахункову схему свого варианта та створити в!дпов!дну !й
заступну схему. На осташпй нанести результата розрахунку параметров
елеменпв схеми.
Методычш вказ1вки до лабораторно! роботы
1. Стаорення розрахунково! заступно! схеми електрично! системи.
Розрахункову схему створюемо на основ! задано! принципово! схеми електрично!
системи (рис. 1.1) i заступно! схеми и окремих елемент!в. Джерела електроенергп
(генератори) можуть бути представлен! або у вигляд! джерела напруги з ЕДС Er i
внутршппм опором Zr або у вигляд! джерела струму 1г з провщшетю Yr.
Споживач!в електроенергп (навантаження ) представляють у вигляд! лшшних Znr
або нел!н!йних Zht(U), Zht(I) onopie (шунпв навантаження ), як джерела
споживаного струму 1нг або споживач!в
активно! Рнг i реактивно! Qht потужностей. Для трансформатор!в i л!шй плки
намагшчення та емност! на землю тут не враховуватимемо. 3 урахуванням
висловленого, розрахункова схема електрично! системи теля об'еднання початюв
генераторних ! кшшв плок навантажень прийме вигляд, показаний на (рис.1.2).
2. Розрахунок параметр!в елемент!в заступно! схеми.
Складаемо таблиц! початкових i каталожних даних для генератор!в,
трансформатор!в, ЛЕП i навантажень. Визначаемо параметри вказаних елеменпв
спочатку на сво!й номшальнш напруз!, а попм приводимо !х до розрахункового
ступени напруги Ubh. Результата зводимо у таблиц! 1.1,1.2, 1.3,1.4.
121
Виконання роботя:
Рис. 1.1 - Принципова схема електрично! системи.
Рис. 1.2 - Розрахункова заступна схема електрично! системи.
Таблиця 1 1 - Biixi/iiii дан! генератор! н
Умовнс позн. Тип Рном, МВт Uhom, кВ 1ном, кА Rr, Ом при Uhom Rr, Ом при Ubh
Г1
Г2
0.005 x U...
1 ’ыМ
Ом;
R,, = 0.005 xZ“
Ом;
Таблиця 1.2 - Вихщш дан! для трансформатор!)!
Умовнс позн. Тип тр-ра MBA и„„, кВ u,„„ кВ Рк, кВт ик, % RT, Ом х„ Ом
Т1
Т2 —
ТЗ
Т4
Р,х({7"Ух10"
- „2
”кцМ
_ty/ox(tr-)2
Т' WOxS^,
Ом;
Ом,
123
Таблиця 1.3 - Вихщш дан! для ЛЕП
Умовне позн. Тип i nepepis проводу Довжина ЛЕП L,km Иуд/100, Ом / км Худ/100, Ом / км Ubh, кВ Rjien, Ом Хлеп, Ом
Л1
Л2
ЛЗ
Л4
Л5
7?л.,„ ,Ом;
т" уд 100
^13=0.1х%лэ„1 =
X = X . х , Ом;
яэ" ,й 100
*„ =
Ом;
Ом;
Ом;
Г инГ2ти
0 7зх^2+^’
тВН _ г ^^чом .
70 — 70 х т тВН ’
V НОМ
124
Таблиця 1.4 - Вихщш i розрахунков! даш за навантаженням у вузлах схеми.
Умовне позн. Ном. напр. нагр. кВ Вид нагр. Вих1дт залежносп для навантаження у Mien п гпдк л течения Розрахунковт формули приведения навантаження до напруги UBH Значения параметр!в навант. при и„В“ = кВ и/=/0
Н Г1 потр. акт. и реакт. потуж. Рнг1 — const = МВт 11; а= мвАр, ад^)-е>х —2—|-7j—+с1 L *-4a<1W *^hmM J = ;Ы= ,с! = Rnrf~ Ом Ом
Н Г2 акт. и 1ндукт. опори. R^=const= Ом,Х0 = Ол v v Г«2х/2 Их/ X(/)=Xox ———+с2 L 'о 'о а2 = ;Ь2 — ‘,с2 = 4 ивн Т пВН _ 21 v р ,ЛНГ2 — ТТ х ЛЯГ2 _U НГ2. \_^НГ2_ ^НГ2= Ом Хнг?= Ом
Н ГЗ потр. струм M = 4;COS(SB> = ^4^/Йз] = JJ8H х |^нгз|х = Хк/лз| Х 3 Ке1цгз= А Imlnrj— А
125
BapiaHT № | Лабораторна робота №2 |
Розрахунок усталеного режиму енергосистеми за МВП з урахуванним
нелпнйност!
Мета роботы: Познайомитися з методами розрахунку електричних схем, як! мають
нелшшш залежност! onopiB навантажень.
Порядок проведения роботы:
1. Зкопповати фрагмент программ розрахунку електрично'1 схеми з нелппйшми
опорами навантажень !з шаблону программ розрахунку мереж! для курсовоТ
робота.
2. Ввести вщповщн! вихадн! дан! елемештв схеми для виконання розрахунюв.
3. В функцп’ розрахунку напруг виконати корекцпо номер!в вузл!в, до яких
приеднаш перше i друге навантаження.
4. Виконати розрахунок схеми i пор!вняти з аналопчним розрахунком в лплйному
вар! ант!.
Методичш вкаявки до лабораторно! роботи:
1. Котюванню тдлягають:
- функцп користувача розрахунюв onopie навантаженнь;
- функщя користувача розрахунку onopie плок схеми;
- функщя розрахунку вузлових напруг;
- розрахунок напруг, струм1в i потужностей плок та баланс потужностей.
2. Алгоритм функцп розрахунку вузлових напруг оснований на застосуванш метода
простих тгеращй для р!шсния систем нелшшних алгебрагчних р!внянь. Останну
представляються в матричнш форм!. Рекурсивне р!вняння метода отримане
шляхом переноса в Л1ву частину р!вняння в!дшукуванних напруг вузл!в. Критер!
м закшчення 1реративного процесу являеться зменьшення р!знищ м!ж
попередшпм i настипним значениями напруг до величини, меньше!' заданно!’
точност! розрахунку (0,0001). В якост! початкових наближень можуть бути
використаш значения вузлових напруг, як! отримаш ранние при розрахунку
схеми в лппйному вар!ант!.
3. Корекцп в функцп FU шдлягають номери вуз л! в, до яких приеднанн!
навантаження! при виклику функцп Z»(£Z,EZ), при чому пошвдовшсть номер!в
вуз л! в повинна вщповщати такш же послщовност! при створенш функцп
ty (формальш параметри функци).
4. Отримаш значения вузлових напруг в лппйному i нелМйному вняння в! можуть
в!др!знятися на невелику величину, що зумовлено нелппйним характером
навантажень.
126
Виконання роботи:
Рис. 1 —Принципова схема електрично! системи
Рис. 2 — Розрахункова схема замнцення з й параметрами.
Формуемо д!агональну матрицю власних onopie гшок з урахуванням
нелшшностей навантажень, яю повинш бути враховаш тут як функци вузлових
напрут, та матрицю взаемних onopie (ZZ).
FZnU(Ul,LI2,Z):= ZjN>fr|| ^4-ZnlCUl)
Z(Naff2l,1)< Znn2(U2)
Z <- diag(Z) + ZZ
Z
Програма розрахунку вузлових напру г з урахуванням нелшшносп навантажень мае
вигляд:
FU :=
Unew <- Uy
while k < 100
k<- k+ I
Uold<— Unew
Ye <- P -FZn_uT Uoldz v. \, Uoldz v \, Vzvl
| [V,Nagr1l rlJ V ,Nagr21 IJ J
Unew <— (ve PT) (Yc F. + JI)
Unew
127
Результат розрахунку:
/ л
woo "
иу
Опори навантажень:
Z„, = Ом;
Z„2 = Ом;
Напруги та струми плок:
( х
а_
1000
к >
г
\ /
Побудова ВД вузлових напруг:
128
Побудова ВД напруги та струхвв в вузлс
;
Виконуемо розрахунок потужностей:
S := 3-diag[bn) Ir ВД;
S1:=£S
S|= BA;
Sj := 3-diag(lJync)Jl
Sjt := ^Sj
Sjt= BA;
Баланс портужностей:
Si+Sjt= BA;
5 = ;
129
Виконуемо nepeeipKy: I закон Клрхгофа
Матрица S -матрица потужностей плок.
Видно, що активн! потужносп rinoK, в яких знаходяться ЕРС, позитивш, а iumi плки
споживають потужшсть
ВА;
Зробимо розрахунок втрат потужносп в мережг
Визначаемо активну потужшсть, що генеруеться Pg:
Pg := 3Re(E In)
Потужшсть, що генеруеться, складае:
Рк=Вт;
Визначаемо потужшсть, що споживаеться навантаженнями:
Pn Re[[S(Nagrll + S(Nagr2| ,) + Sjt]]
Р„= Вт;
В вщсотках визначаемо втрати потужносп на передачу (тобто втрати в лш1ях та
трансформаторах)
:=<lPd,-,lPnl).100
во
Bapiain № | Лабораторна робота №3_______]___________________
Розрахунок усталеного режиму енергосистеми за МКС з урахуванням
нелшйносп
Мета роботи: Познайомитися з методом контурних струм!в розрахунку
електричних схем в нелшшному вар!ант! в матричшй форм! запису р!внянь.
Порядок проведения роботи:
1. Зкогпювати фрагмент програми розрахунку електрично! схеми з нелшшшми
опорами навантажень is шаблону програми розрахунку мереж) для курсово!
роботи, що вщповщае розрахунку методом контурних струм!в.
2. Ввести вщповщш вихщш дан! елемен пв схеми для виконання розрахунюв.
3. Виконати розрахунок схеми ! nopi вняли з аналопчним розрахунком методом
вузлових напруг в нелшшному Bapiaini.
Методичш вкаявки до лабораторно! роботи:
Кошюванню шдлягае роздгл 2.3.2:
На в!дм!ну в!д метода вузлових напруг в метод! контурних струм!в
обов’язково необхщно використовувати граф схеми для того, щоб сформувати
контури розрахунково! схеми.
Перевщ иелен!йност1 першого опору з залежност! в!д напруги до залежност!
в!д струму виконуеться двома способами з використанням функцн root i методом
простих иерацш. В робот! слщ пор!вняти результати роботи обох метод!в.
131
Виконання роботи:
Рис. 1 — Принципова схема електрично! системи
Рис. 2 — Розрахункова схема зампцення з п параметрами.
Програми для розрахунку нелшшно! залежност! опору першого навантаження
Znl(U) як функцп вщ струму Znnl(I):
а) Перетворення навантаження за допомогою функцн root;
б) Перетворення навантаження за допомогою методу irepani й
Uz := Uvnf— i-0.1 -Uvnl
Znnnl(I) := k <— 0
Ust«—Uvnf
while k < 300
k«-k+ 1
Unov<— l-Znl(Ust)
Ust«- Ust+ 0.5(Unov- Ust)
Znl(Unov)
Результат розрахунку:
Znnl= Ом;
Znnnl= Ом;
132
Формуемо д!агональну матрицю власних onopie плок з урахуванням
нелшшностей навантажень i матрицю взаемних onopie (ZZ).
FZn_l(ll,12,Z) := '
^(Nagr2j j) Zn2^12^
Z<— diag(Z) + ZZ
Z
Визначаемо контурш струми:
кант
Nagr2- ;
Програма розрахунку:
Fkont := Iko <- Ikont
Ikn <— Ikont-0.9
k<—0
while |lkn— lko| > 0.00006
k«-k+ 1
lvet<— Bi-Ikn - Bij-Jt
Zk<- Bi' -FZnJpvet^, ,,IvetNagr2i t,Vzx) Bi
Zj «- B^FZnJ^vet^, к [ ,Ive^agr2| (,Vz^ -Bij
Ekj <- Zj It
Iko < Ikn
Ikn«-Zk '-(Еке+Ekj)
break if k > 100
Ikn
Знаходимо струми плок схеми:
Ivn := Bi-Inkont- Bij-Jl;
Знаходимо напруги плок схеми:
£/vJ=£-Zh(/)-/v,;
Знаходимо напруги в вузлах схеми:
Uuk N := (р-РТ) P Uvk N;
133
TIopiBHiof MO результата розрахунюв разними методами
1. МВП в нелйпйному eapiaHTi:
сГ|
1000 “
< J
й~у
2. МКС в нелппйному вар!антн
134
BapiaHT JVa | Лабораторка робота №4________ [___________________
Розрахунок електрично'1 схеми з компснсащею реактивно» потужност!
Мета роботи: Познайомитися з методом розрахунку електричних схем, в яких
виконана компенсащя реактивно! потужносп.
Порядок проведения роботи:
1. Зкоппокати фрагмент програми розрахунку електрично! схеми з компснсащею
реактивно! потужносп !з шаблону програми розрахунку мереж, для курсов©!
роботи.
2. Ввести В1дпов1дн1 вихщш даш елеменпв схеми для виконання розрахушав.
3. Виконати розрахунок схеми з компснсащею реактивно! потужносп i пор|'вняти
результата з аналопчним розрахупком без компснсащею реактивно! потужносп.
Методичш вказгвки до лабораторно! роботи:
Умовою проведения розрахунку схеми з компснсащею реактивно! потужнос п
е повна компенсащя реактивно! потужност плок першого i другого навантажень.
Для цього виконуеться перерахунок onopie цих плок i попм виконуеться
розрахунок мереж! методом вузлових напруг в лшшному вар!анп.
135
Виконання робот:
Рис. 1 — Принципова схема слектричноТ системи
Рис. 2 — Розрахункова схема замещения з ii параметрами.
C(Z)
Розрахунок емкостей в вузлах подключения перпюго та другого навантажснь
lm(Z)
314-(|Z|)2
.,))]
^-ф^КМ^рЦ
136
Програма розрахунку:
fcO
myfun:- Cncw<- .
Cold<- 1.1 Cnew
Ueky<- Uynel
if |(Cnewi-Coldl)2+(Cnew2-Col4)2|10l2> 10
Cold<- Cnew
XC<---------
314-Cnew
Znl Ucky/V| x|XCi
L I
ZnirUeky/V) xl+XCj
L ( NagryplJ
ZnnZUekyz... \TXC2
I V1Nagr2 1
Zek2<_______—___-_____ 1,1 _____
ZnnfUekyz \1+XC2
[ [vN4gI2|J,lj
Zek<-Zv
Zek(Nagrl|(l,Nagrli(|)*“Zekl
Zek(Nagr2j л, Nagr2I (,) *“ Zek2
Yek<—Zek 1
Ye<-PYek
Jke<-Ye-E
Yy< P-Yck-PT
Ueky <— Yy 1 (Jt + Jke)
Uekv<- PT -Ucky
lek<-Yek (E- Uckv)
Cncwj C Znl] Uekyzvl x
L L (.
Cnew2 Cf Znn2TlJekyzV]
L I l
C Cnew
f Zek 'j
Uekv
Ueky
lek
( C }
ь.
137
Vn := myfuj;
ZekVni -
Uekv:== Vn2 •
Ueky := Vnj •
lek := Vrn •
C := Vd5-
екна.'рХ
7 —
екиагрТ.
CmhoctI батарей: до оптим^зацп та теля оптим!зацп
Ом;
Ом;
С
1^12
c =
Ф;
Ф;
Знаходимо значения струм1в та напруг:
1000
кВ;
Значения вузлових напруг; 3 установкою компенсуючих пристроив i без установки
компенсуючих пристро!’в.
1000
138
ynel
1000
Виконуемо розрахунок потужностей:
Sek := 3 diagfUckv)-Ick BA;
SI := ^Sek
S,= BA;
Sj := 3diag(Ueky)J1 BA;
Sekjt := y Sj
Sekjl”
BA;
Баланс порту ясностей:
S,+Sek„- ВА;
Виконуемо переварку: I закон Юрхгофа
Определяем генерируемую активную мощность с учетом установленных
компенсирующих устройств Pg ek:
Pg ck := 3 Re((E Iek))
Потужшсть, що генеруеться, складае:
РЕек= Вт;
Визначаемо потужшсть споживану навантаженнями Pnek з урахуванням
встановлених компенсуючих пристрою
Pnek := Re[Sek(Nagrli j + Sek^^ j + Sekjt]
Pnek= Вт;
В вщсотках визначаемо втрати потужносп на передачу (тобто втрати в линях та
трансформаторах)
_. (|pg е^1 - 1Рп еН)
Pckpot :=
|Pg ek]
Ppot ek = %
Визначаемо економйо EK у вщсотках.(тобто на скшьки знизилися втрати
потужносп за рахунок установки компенсуючих пристрйв)
EK := Ppot - Pekpot
ЕК= %
139
Р • Р
‘ gek ekpol _
Too “
к, -1=
Вт;
Вт;
Визначаемо кёпыасть вироблювашм елекроенергп W, знаючи число годин
використання номшально? потужносп Т i потужносп генераторов Рном_1, Рном_2:
Т = год;
W= кВттод;
q= кг;
Приймаючи, що на вироблення одшеТ юловатгодини витрачаеться q галограм
вуплля розраховуемо економпо вуплля:
ЕКу= тис.тон
Приймаючи, що одна тонна вуплля коштуе 150 грн. розраховуемо економпо кошпв
ЕКгрн
EKipH := ЕКу-150
ЕКгрд- грн/piK
U
1,15—^ =
-Л
Вартють у станов лених конденсатор!в емшстю на напругу Uvn=l 10 кв по довщковим
даним складае 300 тис.гривень. Тод1 строк окупност! складе:
Ctoimost:= 300000
Ctoimosi
Taim:=--------
ЕКгрн
Taim= року',
М1сяц1в = Т^П
Micntiie=
Тобто час окупносп складе мюящв
140
BapiaHi № | Лабораторна робота №5 |
Розрахунок переходного процесу при КЗ в одшй з плок мереж! з
складанням диференшйних р!внянь за МВП
Мета роботи: Отримати навички розрахунку на ПЕОМ перех!дних процеЫв
електричних схем за допомогою диференшйних р!внянь за методом вузлових
потенц1ал!в.
Порядок проведения роботи:
1. Для заданного вар!анта схеми скласти диференц!йш р!вняння за МВП, як!
описують перех!дний процес в цш схем!.
2. Знайти корен! характеристичних р!внянь.
3. Створити програму розрахунку переходного процесу в електричнш схем!.
4. Виконати розрахунок переходного процесу та побудову його параметр!в на
графпсу.
5. Пор!вняти результата розрахунку усталеного режиму по р!внянпях стац'юнарного
та переходного режим!в
Методичш вкаявки до лабораторно1 роботи:
Математичке моделювання перехОдних процес!в виконуеться для миттевих значень
струм!в i напруг. Для ц!е! мети слОд скористатися законами Ома ! К!рхгофа,
вОдповОдно до яких потр!бпо скласти диференщйн! р!вняння для струм!в i напруг
плок та вузл!в задано! схеми. Алгоритми розрахунюв складаеться на основ!
матричних метод!в.
I
141
Виконання роботи:
Рис. 1 — Принципова схема електрично!' системи
Рис. 2 — Розрахункова схема зам!щення з н параметрами.
Матриц! вузлових падуктивностей:
Xyzl:=PLv“’-PT
XyzlKZ:= P-LvKZf1 Рт
Вектор ЕРС плок, що змушують :
Evun(t, I) := Ev(t) - Rv • 1
EvunKZ(tJ) := Ev(t)-RvKZl
Вектор похадпих вад вузлових струм!в, що заданны
Tyzl(t,I):= Re(PLv-1 Evun(t,I) + pj(t))
TyzlKZ(t,I) := Re(P • LvKZ’1 EvunKZ(t,I) + pj(t))
Напруги в вузлах:
Uyzl(t,I) := Zyzr1 Tyzl(t,I)
UyzlKZft,!) := ZyzlKZ'1 TyzlKZ(t,I)
142
Напруги плок:
Uvet(t,I):=PT-Uyzl(t,I)
UvetKZ(t,I) := Рт • UyzlKZ(t,l)
Права частина диференц! ал ьних р!внянь для розрахунку струшв плок:
Du(t, 1) := Lv 1 (Evun(t, 1) - Рт • Uyzl(t, I))
DKZu(t,I) := LvKZ"' (EvunKZ(t,l) PT UyzlKZ(t,l))
Програма для розрахунку переходного процесу методом вузлових напруг:
Fu =
О
О 001
for ie 1 . 1000
D <— rkfisedfxl ,t,t-Fh, 1 ,DKZu) if tKZ s t < totk
rkfixedfxl,t,t + h, 1,Du) otherwise
for j€l cols(P)
Г T <2Л
1 J]+1
Ivj J <— xlj
UV!<-
UvetKZ(t + h,xl) if tKZ < t < totk
Uvet(t + h,xl) otherwise
Т - 1
Uydj^-'PP ! PUvt
Egli<-Ev(m
’ Uv
Iw
Egl
Uyzl
Uvv := Fuj
Iw := Fu2
Eg:=Fu3
Uyy := Fu4
143
' 0
О
о
PjngXt)
ч О )
' О
о
о
Nagr3(t)
. О )
PJW =
о
о
О
О
О
о
о
о
Ivlcols(P) •= О
Побудуемо графики струмв та напруг плки №_____________та напруги в вузл! №_______при КЗ в
вузл! 2:
i:=1..1000 j:=l..cols(P)
UV; j := (UWj )j 1 V; j := (iw,)i
k := 1 ,.cols(P2) Uy k := (Uyy )k
Nv= Ny=
144
Пор!вг1ясмо результат розрахунку усталеного режиму по р!вняннях стационарного
та перехщного режим!в. Для цього скористаемося формулами визначення
ефективного значения по миттевим:
Струм плки № зпдно розрахунку перехщного процесу:
Отримане значения при розрахунку стацюнарного процесу:
Напруга плки №:
В стацюнарному процеы:
|Uk | =
Напруга в вузл! № :
|Uuk | =
145
ВарЁаи г | Лаборатория робота №6 |
Розрахунок переходного процесу при КЗ в однш з плок мереж! з
складанням диференодйних р!внянь за МКС
Мета роботи'. Отримати навички розрахунку на ПЕОМ переходник процеяв
електричних схем за допомогою диференодйних р!внянь за методом контурних
струкнв.
Порядок проведения роботи:
6. Для заданного варианта схеми скласти дифсрснодйн! р!вняння за МКС, як!
описують перехщний процес в одй схем!.
7. Знайти корен! характеристичних р!внянь.
8. Створити програму розрахунку переходного процесу в електричнш схем!.
9. Виконати розрахунок переходного процесу та побудову його параметр!в на
графпсу.
10. Пор!вняти дан! розрахунку переходного процесу за методами МВП та МКТ
Методичт вкапвки до лабораторно? роботи:
Математичке моделювання переходник процеяв виконуеться для миттевих значень
струм!в ! напрут. Для оде!' мети слод скористатися законами Ома i Юрхгофа,
вщповвдно до яких потр!бно скласти диференодйн! р!вняння для струм!в i напрут
годок та вузл!в задано!' схеми. Алгоритми розрахунюв складаеться на основ!
матричних метод!в.
146
Виконання роботи:
Рис. 1 — Принципова схема електрично! системи
Рис. 2 — Розрахункова схема зампцення з !Т параметрами.
Розрахунок будемо вести за миттевим значениям перемшних, шляхом
чисельного р!шення диференщальних р!внянь (ДР). Для задано! схеми для пром!жку
часу О-tKZ розраховуемо доавар!йний режим, попм в!д tKZ до totk - трифазне
коротке замикання, i дал! пгсляаваршпий режим до tkon. Крок розрахунку приймемо
р!вним 0.001 сек.
Вважаемо, тцо ЕРС генератор!в i джерела струму змшюються по
синусоидальному закон! з частотою 50 Гц, а !хн! початков! фази визначаемо з
доаваршпого режиму,
tkon—l - закшчення розрахунку переходного процесу, сек.
tKZ = 0.3 - час виникнення КЗ, сек.
totk = 0.7 - час выключения КЗ, сек.
Г = 50Гц o) = 2tt f рад/сек
147
Nagr3(t) := -5/2 90 • cos[(co -1) - acos(0.81)]
pjng3(t):=^Nagr3(t)
dt
pjng3(t)'
0
Pj(t) =
0
0
0
0
Використовуючи матрищ onopie галузей, формуемо матриц! активних onopiB i
шдуктивностей плок для доаваршного режиму:
Rv ?= diag(Rc(Vzvn))
Lvdiag(Im(Vzvn))
<0
Для режиму КЗ Hi матриц! будемо позначати як
RvKZ:=Rv
LvKZ:=Lv.
Для моделювання КЗ в одному з вузл!в, потр!бно вказати в матриц! VI шдключення
до цього вузла плки_____(шунт КЗ). У нашему випадку це буде вузел______.
Моделювання короткого замикання будемо робити стрибкопод!бним зменшенням
опору галуз!_____:
NvetviKZ=
RvKZNvctviKZ NvetviK2 := 0.(X)0000001RvKZNvetviKZ NvetviKZ
LvKZNvetviKZ NvetviKz '= 0.OOOOOOO01LvKZNvetviKZ.NvctviKZ
148
LkKZ:= BiT -LvKZ-Bi
LkjKZ:= BiT LvKZ-Bij
RkKZ:= BiT -RvKZ-Bi
RkjKZ:=BiT RvKZ Bij
Матриц} контурних onopin та EPC:
Lk := BiT - Lv-Bi
Lkj:=BiT-LvBij
Rk :—BiT - Rv - Bi
Rkj := BiT Rv Bij
Ek(t, I) := (hiT Ev(t) - Rk I + Rkj • Jt(t) + Lkj pj(t))
EkKZ(t, I) := (BiT Ev(t) - RkKZ • I + RkjKZ Jt(t) + LkjKZ pj(t))
Праги частики диференшйних р}внянь в метод} контурних струм}в:
Di(t,l):=Lk 1 Ek(t,l)
DKZi(t, I) := LkKZ“’ EkKZ(t,I)
Напруги гыок в доавар}йному режим} та при KZ знаходимо з вираз}в:
Uvetft, 1) := (Ev(t) -Lv-Bi • Di(t, I) - Rv Bi • I + Lv Bij • pj(t) + Rv Bij • Jt(t))
UvetKZ(t,I) := (Ev(t) - LvKZ Bi DKZi(t,I) - RvKZ Bi I + LvKZ- Bij pj(t) + RvKZ • Bij • Jt(tj)
Програма для розрахунку переходного процесу:
Fi И t *— и
h4-IIUH1
уЛ Re(Irikont)
for i с 1 1000
D <— |ric£h:ed(xl .t,t + h. 1 .DKZt) it tEIZ S t < totk
| rkfized(x 1, t, t + h, 1, Di) oHienvise
torjtl cols(Pn
Bq j <— xlj
Iverj Bi xl - By Jt(t + hj
Uv, *- |UvetEZ(t + h.xli if tKZ s t < totk
I Uvetit + h,xlj otherwise
T |_ 1
иуД< ’РГ 1 FUvj
Evttjj
Uv
Tvet
Eg1
Uyzl
Uvv:=Fii
Ivv:=Fi-
Eg:=Fi
Uyy:=Fi,
149
Побудуемо графики напруги та струму в пл pi та в eysni при короткому
замикашп в вузл{_____:
j:=l..rows(V)
Uv; j := (Uvvf).
k := I ..rows(P)
иУ1к:=(иУУ|)к
Nv:=6
Ny:=5
i:=1..1000
150
Нор1внясмо результата розрахунку переходного процесу для методу контурних
сорумов i методу вузлових потенциалов:
Метод контурних струмов Метод вузлових потеонпалов
1 1 290 Ji- lKn,)2 = у zUU j_9j А 1 1 290 А
Г. 290 В 1 1 290 В
1 290 J^o- S^cNy)2 = у zvu 12.91 В 1 1 290 В
151
BapiaHT № | Лабораторна робота №7
Синтез параметр!» i моделювання режиму пуску асинхронного двигуна
Мета роботи'. Розрахувати параметри двухконтурно!' заступно! схеми
асинхронного двигуна з урахуванням Rm, Xm.
Порядок проведения роботи:
1. Задати каталожн! дан!.
2. Розрахувати параметри заступно!' схеми АД.
3. Розрахувати вхщний onip, струм статора, момент, максимальний
момент, втрати в АД,
4. Змоделювати режим пуску АД та розрахувати пусков! характеристики
струму та моменту в функцп ковзання.
Методичш вказ^вки до лабораторшп роботи:
Високовольтш асинхрошп двигуни виконуються з двуклпочним або
глубокопазним ротором для покращення !'х пускових характеристик. Параметри
таких машин нел!шйн! внаслщок випснення струм!в у ротор! та насищення
магштних к!л. Явище випснення струму мае мкце лише у пазовш частин! ротору
асинхронно! машини ! практично вщсутне у короткозамкнених кшыдях.
152
Виконання роботи:
Рисунок 7.1— Заступна схема АД з витзспепням струму в poropi.
Рисунок 7.2 - Заступна схема глубокопазного АД з многоконтурним ротором.
Каталожш дат:
1н — А
Мт = о.е.
Uh= В
Рн = кВт
Sh = кВт
П =
coscp =
Ip = о.е.
Мр = о.е.
Р1вняння стану
рЧ' = АЧ' = и
1,
р<й =
Р1вняння зв’язку
1=СФ
m = ffP(
'Pi — потокозчеплення статору по oci х
4*2 4*3 - потокозчеплення ротору першого та другого контуру.
153
Використаемо метод найменших квадратов
Fwin = Е, з F, —> min
min q о
Розрахунок входного опору, струму статора, моменту АД.
TfUjZSjZrljZrljZm S,c) :=
Zd<-Zs+ fR^Zr^ + In(Zrl) + Г R<*2r9 +(Zn) 1
A ® 7 \ S )
A M< (11| )2-(Re(Z<l- Zs))-
c
'Zd'j
I
<A1V^
Розрахунок максимального моменту:
MmafcU, Zs, Zrl, Zr2, Zra c)
for Se0.001,0.002..0.2
j*j + 1
V. <-T(U, Zs, Zrl, Zr2, Zin S, c)
J *
W<—mai(V)
154
Розрахунок втрат АД:
AP(l),Zs,Zrl , Zr2 , Zm, SH, с)
f №) + Im(Zrl)iV №) +
I SH_____________J SH______________2_
(Re(Zrl) . „ , \ (Re(Zr2) . Д
I SH J I sH ;
_________u
Zs + (zr 1 + Zm ’)
Zm
Zm + Zr
; Re(Zs) (|1|)2
c
Re(Zr)-( |lr| )2-SH
Ar <------------------
c
A|. Re(Zm)-(|Jm|)2
Al*--------------—
c
AP <- As + Ar + Af
Параметри обмотки статора та початков! приблизтп значения параметр!в АД:
Zs:-2Sn + ——-1
2 1р
Zm0.5
Zvl := Rt(Zs) +-------------+ 1(10 2 - Re(Zs) +------------------
*Р2•(* sh) J 1р2 (1 - sH)
ZvH:= cos| + JI - (сояф)2 i
ZrtH= Zm(ZvH~Z5)
Zm-(ZvH-Zs)
Zrtl = Zm <Zvl ~ Zs)
Zm - (Zvl - Zs)
Zrl :=Re(ZrtH) SH + Im(ZrtH) i
Zr2:=(zrtl ’-Zrl ’)
Zs = Zr2 =
Zrl = Zm =
SKp =
П := 1 AP^U.Zs.f^.fj.SH.c)
n =
155
Zs =
Zrl =
Ih =
Mm =
Zr2
Zm =
Ip =
Mp-
(Rs + i-Xs) +
a s := Xs 1 • Rs
arl := Xrl '-Rrl
niSS
R4v-rRsf(lv“l)2
\rs»7 J_______
Kpd-Cosn
Рисунок 7.3 - Залежносп струму та моменту вщ ковзання.
ar2:=Xr2 1 Rr2
Xsr := (хпГ1 + Xs“1 + Xrl 1 + Xr2 ’)
as := Xs 1 Xsr
ari := Xrl”1 Xsr
ar2 := Xr2 *-Xsr
156
Г*Р
sx
vp(i)
rx
11/(2)
ГХ
T
sy
vpd)
ry
xp(2)
(О
D(t,x) :=
(as - 1) а,-Х1 + arl as xz + ar2 as x3 + cos(t)
as arI M + (ari - 1) arl 4 + ar2 arrx3-X7'K5
“s ar2 *1 + an «Г2 *2+ (ar2- 1) «г2 *3 - *7 *6
(as -l) as M+ ari a« «5+ ar2asx6 + sin(t)
as arrM + (ar| - l)-ari-x$ + ar2 «rl K« + *7 4
as ar2 *4+ ar|-ar2 ls+(ar2- l) ar2 *6+ *7 *3
—[xs” ' [-XI (as x4 + arI xs+ ar2 x6) + x4 (as xj + arl ж2 + ar
Cjr
157
xl «— х
for iel..5500
Z«— rklixed(xl ,t,t+ 0.314,1 ,D)
for jel.. 7
Isl <- (xli-as xli-ari xl2-ar2 xl3) Xs ’
Is2 «- (xl4 - as xl4 - arl xls - ar2 xl6) Xs ’
la, <— Isl
Isl 73 , „
lbs <—------+ —— -Is2
2 2
. Isl 73, „
Iq <--------• Is2
2 2
Is, <-7(Isl)2 + (ls2)2
-xli (as xl4 + ari xls + ar2 xlt) + xl4 (as xl( + arl xl2 + ar2 xlj)
Mj <-------------------------------------------------------------------
Xs
Pi «— Isl cos(t) + Is2-sin(t)
<S| «- XI7
t«-t+ 0.314
Tj<-t
7a
lb
Ic
M
CD
Is
T
, p)
158
Висновки:
Рисунок 7.4 - Залежшсть la; = f(i)
Рисунок 7.5 - Залежшсть lb; = f(i)
Рисунок 7.6 - Залежшсть Ic; = f(i)
Рисунок 7.7 - Залежшсть М; = f(i)
Рисунок 7.8 — Залежшсть со, = f(i)
Рисунок 7.9 - Залежшсть Is; = f(i)
Рисунок 7.10 - Залежшсть Р; = f(i)
159
BapiaHT № Лабораторка робота №8
Синтез параметр!в i моделювання режиму пуску синхронного двигуна (ивнополюсного)
Мета роботи-. Розрахувати параметри заступнсй схеми синхронного двигуна
(явнополюсного).
Методичш вказгвки до лабораторно! роботи:
Явно полюсш синхронн! двигуни для можливост! забезпечення асинхронного
пуску обладнують пусковою обмоткою, стержень якоТ закладають у полюсш
башмаки ротора та електрично з’еднують м!ж собою, а також з! стержнями сусщтпх
полюсних башмагав. В результат! з’являеться так звана повш пускова обмотка в
осях d та q та обмотка збудження по oci d. Ротори явно полюсних синхронних
двигушв виконують з тонких лиспе електротехшчно! стал!, яга набран! у шихтован!
полюси, тому у першому приближенн! явлениями витискання струму та насищення
на пусков! характеристики у таких двигушв можна нехтувати. Тому досить у
заступшй схем! явно полюсного СД обштись одним демпферним контуром по осям
d та q з постшними параметрами.
160
Викоиавня роботи:
ОСЬГ/
Рисунок 8.1 - Заступна схема явнополюсного СД.
Р1вняння стану
p'P = At4/ + Uc
pro = —(m-mc)
Y
ру =о
Р1ВНЯННЯ зв’язку
Каталожн) дат:
Png = cosfg -
Ung - ng =
Png
Ing := —-----------
д/3-Ungcosfgqg |ng_
Lsg - Lrd Lrq -
Rsg = Rrd = Rrq -
Lmd = Lmq “ Mcg =
Zng :=
Ung
V^'ng Zng-
Tjg =
Lf=
Rf=
161
Uf<4'):= |0 if 4'6 <0.95
10.004 otherwise
Leg '
asd :------------
1 + Lrd 1 + Lf 1 + Lmd
, - 1
Lsg
as4:—i—n л
Lsg + Lrq + Lmq
Lsg ‘ + Lrd ' ’ + Lf 1 + Lmd 1
__Lrq 1_
‘ 1 . -1 , “I
Lsg + Lrq + Lmq
Lrd 1
ard := ——--------------
r - 1 I J- 1 if f- 1 I 1
Lsg + Lrd + Lf + Lmd
Ucek(t) :=cos(t) + i-sin(t)
DUg(4',Mc,t) :=
Tmd(T) -asd^Tl) + af (v5) + ard (v3) 'l'mq(T) :=asq (ч-2) + arq (T4)
(LlcekfO\/3 i Л (41 4'md('P) 'l
Re -----—-----exp(-i ^7) -Rsg- ------------- . + 4<2 Tfi
V y[2 J V Lsg J
/исеадТз , . f| (ч-г-ч-Чч-Л
v f2 ) i Lsg ;
-7^(4'3-4'md(4'))
Lrd
-^(т4 Ч-т^чО)
Lrq
Uf^) - ^(4'5 - 4'md(4'))
( Ч'э-Ч'пм/Ч') 4'i - 4,md(4') V i
4'j-----------------4'2-----------.-(cosfg-i]g) -Me
к Lsg Lsg J
TjgnlOO
*6
1-4'6
162
Ч'
ГЧ
о
. у .
Mcg =
RK^Vg.t) :=
kl <- DlJg(4yg,Mcg,t)
k2 <— DUg 4'g + —,Mcg,
k2 ( dt
k3 <- DUd 4'g + —, Mcg, t + —
1 2 V 2
k4<- DUgf'kg + k3,Mcg,(t + dt)]
4'g + —(kl + 2 k2+ 2 k3 + M) dt
6
163
fft'g.Tusl) :=
while t < Tust
R <-RKdf'Pg.t)
f-g-iR
Wgj «- 4-g6
*Pgi - f'mdjt'g)
Ig. < -------------
J Lsg
4-g5 - Tmd^g)
j*” Lf
f Tg, - Tmd(4-g) 4-g2 - H'mqfM'g)^
Ia> e ?-------+ 1--------?--------i-ex^i H-gv)
J v Lsg Lsg )
( H'gz-'PmqfTg) Tg,-Tmd(Tg) V ,
Mg <- 4'g!--------------------Tg2--------------- (cosfg-qg)
J V Lsg Lsg J
t <- t + dt
j *j > I
'Wg^
Ig
Mg
If
< la J
R-ff^g^oO k’-l-rows^Rj)
Висновки:
Рисунок 8.1 - Залежшсть Re[(Rs)iJ-
164
Раздел II
Описание блоков MATLAB
О
Ctocl
Задатчик времени
1
Constan
Постоянная
> flUJ
Fen
Функция
Сумматор
Inteyi hIci
duAfl
Интегратор
Derivative
Дифференциатор
Graph
Блоки вывода графиков
ini Outi
Блоки ввода и вывода
Product
Блок умножения
165
Лабораторная работа 1
Моделирование RL цепи
Задание: исследовать характер временной зависимости тока от начальной
фазы включения напряжения.
Для моделирования RL цепи используем схему рис. 1.1.
U
Рисунок 1.1- RL цепь
Исходные данные: (J = U„ sin(ro•/+₽„), U„=220B, o>-2rtf, R = }OOOm, Ь = ЗГп,
f = 50Гц, = 0..Л.
Записываем для заданной RL цепи уравнение второго закона Кирхгофа
U = R i +
из которого получаем дифференциальное уравнение для тока в этой цепи.
^ = £-*•1 (1.2)
dt L L v '
Для решения уравнения (1.2) составляем блок-схему на языке MA'I'LAB,
используя пакет SIMULINK. Она будет содержать блок моделирования
синусоидального напряжения (1), сумматор (2), блок графического воспроизведения
переменных (3), интегратор (5), масштабный преобразователь (4) (рис. 1.2).
Рисунок 1.2 - Программа на языке MATLAB
Рассмотрим процесс создания программы. Сначала открываем новый файл в
пакете SIMULINK и переносим необходимые блоки (рис. 1.2) из пакета SIMULINK
в этот файл. После этого начинаем соединять блоки между собой согласно блок-
схеме. Для этого делаем следующие операции, изображенные на рисунках 1.3-1.6.
166
Рисунок 1.3 — Этап 1
Наводим стрелку на конец блока, от которого будем вести линию.
Sine Wave Gain
Рисунок 1.4- Этап 2
При этом должна появиться стрелка у конца блока.
Н—О
Sine Wave Gam
Рисунок 1.5- Этап 3
Затем нажимаем левую клавишу «мышки» и начинаем передвигать стрелку
(не отпускаю клавишу) в сторону блока, с которым будет производиться
соединение.
Эле Wave Gam
Рисунок 1.6 - Этап 4
Это значит, что блоки соединены между собой. При этом надо следить, чтобы
появился яркий носик у стрелки. Иначе блоки не будут соединены как на рисунке
й----------• <№>
SneWave Gam
Рисунок 1.7 - Этап 6
Блоки для удобного расположения можно разворачивать с дискретностью 90
градусов. Для этого выделяем блок и нажимаем одновременно CTRL и R. В итоге
после каждого нажатия будем получать перевернутые блоки.
Для того, чтобы снять отметку выделения блока или линии связи блоков,
нужно отвести стрелку «мышки» в любое место экрана и нажать левую кнопку
«мышки».
Для увеличения (уменьшения) размеров блока поступаем следующим образом.
Сначала выделяем блок. Наводим стрелку «мышки» на один из углов блока. В
результате получаем увеличенный (уменьшенный) блок. Отменяем выделение
блока.
После набора программы в функциональных блоках и в масштабных
преобразователях выставляем необходимые коэффициенты. Это производится
путем открытия блока и записи необходимого значения. После этого запускаем
167
расчет программы путем нажатия кнопки Start/Pause Simulation в пакете SIMULINK.
Окончание расчета можно узнать по следующим признакам:
1. Компьютер подал сигнал.
2. Мигнула стрелка.
3. Проверить поменялось ли слово STOP на слово START.
Предположим, что мигнула стрелка — расчет окончен. Теперь наводим стрелку
«мышки» на слова MATLAB COMMAND WINDOW, расположенное внизу экрана
монитора и нажимаем левую клавишу. Теперь мы можем увидеть:
1. WARNING. Означает «Предупреждение», поэтому нужно по возможности
исправить указанный блок.
2. ERROR. В программе ошибка и ее нужно исправить. Как и в предыдущем
случае после исправления повторить расчет.
3. График зависимости i=f(t) можно получить двойным щелчком на блоке
SCOPE.
При работе можно использовать блок «Ключ» (рисунок 1.8), например для
скачкообразного изменения параметров RL цепи или напряжения источника
питания.
Fcr
Рисунок 1.8 — Ключ
Здесь на верхний вход подаем постоянное напряжение, равное 0.3 о.е., если
время находится внутри заданного интервала, а на нижний - переменное
напряжение f(u), если время находится вне интервала.
Полученные графики можно перенести в WORD. Для этого на панели меню
наводим курсор на слово EDIT, а затем COPY MODEL.
Нужно помнить о том, что при использовании блока вывода данных рисунок
1.9
> t
То Weft space
Рисунок 1.9 - Блок вывода
Всегда должна быть связка рисунок 1.10
о—>| '
Clock То Workspace
Рисунок 1.10 — Временная связка
168
После создания программы приступаем к выполнению необходимых
исследований. Например, для =0.25* л расчет тока и напряжения дает следующие
данные (рис. 1.11-1.12)
Рисунок 1.11- График зависимости i=f(t)
Рисунок 1.2 - График зависимости U=f(t)
В данном случае значение напряжения не умножалось на 220. В процессе
решения задачи учитывается, что U = Vm • sin(r» •< + $>„), где и„ = 220В.
Аналогично рассчитав ток для других значений д>„, получим значения тока как
функцию от .
169
Лабораторная работа 2
Моделирование RLC цепи
Задание: определить ток в RLC цепи
Для моделирования RLC цепи используем схему рис. 2.1
R L С
Рисунок 2.1 - Схема RLC цепи
Исходные данные: U =U„ sin(t»/ + p0), Um=220B, a> = 2rf, й = ЮООм, L=3n,
/ = 50/’я, <p„=O...rr, С = 10*10‘Ф.
Уравнения для RLC цепи имеют вид:
dt С v ’
di и R . ис
— =-------I---— (1.2)
dt L L L
Программа имеет вид рис. 2.2
Рисунок 2.2 - Программа для расчета параметров RLC цепи
После набора программы запускаем расчет.
В результате выполнения работы должны получить графики зависимостей.
Например, для значения =0.25*л- были получены графики зависимостей тока,
напряжения на источнике питания и на конденсаторе от времени, приведенные на
рисунках 2.3-2.5.
170
Рисунок 2.3 - График зависимости i=f(t)
Рисунок 2.4 - График зависимости U=f(t)
В данном случае значение напряжения не умножалось на 220. В процессе
решения задачи учитывается, что и = и„ sm(m • t + , где Un = 220В.
171
Рисунок 2.5 - График зависимости Uc=f(t)
Аналогично проведя расчеты для других значений получим <р0, получим
значения величин как функцию от <р„.
172
Лабораторная работа 3
Работа с субсистемами
Задание: определить напряжение на шине собственных нужд.
Исходные данные: С/=U„-sin(® •« + ₽„), U„ = 220В, , Я, = 1000ju, I, =ЗГн,
Я2 = 60Ом, Ьг = 2Гн, R = 80Ом, В = 0,15Ги f = 50Гц, = 0...Я.
Для работы с субсистемой нужно объединить программу в единый блок -
субсистему. Для этого выделяем всю программу и группируем с помощью команды
CREATE SUBSISTEM,которая находится в меню EDIT.
Исходная система приведена на рис. 3.1
Рисунок 3.1 — Схема сети
На рис. 3.1 изображена схема сети. Шина питается от системы через
трансформатор. От шины питаются два фидера с активно-индуктивной нагрузкой.
На схеме замещения фидеры изображаем в виде RL цепи.
Схема замещения сети приведена на рис. 3.2.
Рисунок 3.2 - Схема замещения
В данном случае E=U.
Для расчета напряжения на шине используем формулу:
V,=U-YR i-YL ^t <31)
В данном случае U, - это напряжение на шине СН.
Полученные в разных программах схемы RL цепи сворачиваем в субсистемах.
Блок-схемы программ приведены на рисунках 3.3 - 3.5.
173
Рисунок 3.3 - Блок-схема программы для ветви I
Рисунок 3.4 - Блок-схема программы для ветви 2
Рисунок 3.5 - Блок-схема программы для ветви питания
После этого копируем их в одну программу как обычные блоки. В итоге
программа для расчета напряжения на шине будет иметь вид рис. 3.6.
Рисунок 3.6 - Блок-схема программы
174
Для работы с субсистемами используем блоки входов и выходов. Номер входа
(выхода), установленный в программе, соответствует номеру позиции входа
(выхода) из субсистемы.
В результате выполнения работы получаем графики зависимости напряжения
источника питания (рисунок 3.7), напряжения на шине СН (рисунок 3.8), токов в
ветвях 1,2 (рис. 3.9-3.10 соответственно) от времени для значения <р0 = 0.25*я-.
Здесь в программе введены обозначения:
U - напряжение источника питания;
Us - напряжение на шине СН;
П - ток в ветви 1;
i2 - ток в ветви 2.
Рисунок 3.7 - График зависимости U=f(t)
175
Рисунок 3.9 - График зависимости i 1 =f(t)
176
Рисунок 3.10- График зависимости i2=f(t)
Аналогично проведя расчеты для других значений получим <рв, получим
значения величин как функцию от <рв
177
Раздел 6. Методические указания по практическим занятиям
6.1 Формализованные методы анализа электрических цепей
Формализованные методы анализа электрических цепей основаны на
топологических и матричных методах. Каждый элемент электрической цепи будем
представлять в виде двухполюсника пассивного и активного сопротивления.
R, L, С - могут быть линейные и нелинейные. Для активных будем
учитывать ЭДС или источник тока. Каждый двухполюсник будем представлять, как
электрическую ветвь.
Место соединения двух ветвей и более будем называть узлом электрической
цепи.
Для любой электрической цепи может быть представлен ее граф, в котором
показаны все узлы электрической схемы и как они соединены между собой ветвями.
В направленном графе для каждой ветви выбирается направление любое.
Все ветви графа делятся на ветви дерева и хорды, для одной и той же схемы
может быть составлено большое количество деревьев.
Дерево - это разомкнутая часть графа, в которой все узлы имеют связь между
собой, и отсутствует замкнутые контуры. А ветви, не вошедшие в дерево -
называются хорды.
Рассмотрим на примере 1.
Пример 1.1:
Рисунок 1.2 - Граф сети РисУнок 13 ~ Подграф ветаей хорд (1,3,
} 6) и дерева (2,4,5)
178
р - количество ветвей;
q - количество узлов;
рд - количество ветвей дерева; рд- q-1;
рх- количество хорд; рх = Р'(Ч“1)= п;
п - количество независимых контуров.
П = |Пу], где i = l,2,3,...,q-l; j = l,2,...,p.
п = [//,,//,], где пх = П,,Пд = П2
Для любой схемы матрица ветвей дерева Пд всегда квадратная.
Матрица базисных (главных) контуров Г.
Г = [Гц],где i = 1,2,3,...,р; j = l,2,...,n.
Г =
,где
гМГх.Гд]- гх=Т
Всегда направление контура определяется направлением хорды.
хорды 1 3 6 >1 ветви дерева
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 6
1 -1 0 2
I 0 -1 4
0 -1 0 5
179
Матрица базисных сечений Q.
Q=l9ijJ
Соотношения между матрицами:
П-Г = 0 (1.1)
пг=[пх,пд]-
-Пх гх + Пд -Гд -0;
Пх — ПД’ГД и Гд — Пд Пх — П2 П].
Тогда
Из матриц Г и Q следует, что Гд = -Qx ,а Од = 1.
Тогда
<2 = [-гд>1]=[п21 П1’Т]- О-3)
Рассмотрим, как сформировать матрицу из графа сети (сё называют
матрицей коэффициентов распределения ветвей дерева).
А В с
1 0 0 2
1 1 1 4
0 0 -1 5
Матрицу Гд=—Hj -П1 также определим, используя схему. При
восстановлении хорд возникают контура, как и в матрице Контуров Г, если
направление хорды совпадает с направлением, входящих в этот контур ветви, то
напротив этой ветви в матрицу вносим +1, а если не совпадает, то -1.
180
-ПЛП! =
хорды > 1 3 6 Ф ветви дерева
1 -1 0 2
1 0 -1 4
0 -1 1 5
6.1.1 Составление уравнений для расчета токов и напряжений в заданной
электрической схеме по законам Ома и Кирхгофа
Пример 1.2. Для заданной электрической схемы (рисунок 1.4) составить граф
сети, векторы исходных токов н напряжений, матрицу сопротивлений. Найти токи и
напряжения в ветвях тремя способами:
а) на основе уравнений закона Ома и Кирхгофа;
б) на основе исключения из уравнений напряжений ветвей;
в) на основе исключения из уравнений токов ветвей.
Исходные данные генератора:
Рн-150 МВт, U„=15.75 кВ, 1н=6480 A, cosq>H =0.9, xj =0.18 о.е., Rs =0.005 о.е„
UHOM=150 кВ.
Рисунок 1.4 - Исходная принципиальная схема электрической системы.
181
Рисунок 1.5 - Расчетная схема заданной электрической системы.
Рисунок 1.6 - Граф заданной электрической схемы.
Определение параметров схемы замещения.
Вычислим сопротивление генератора:
, U _ 15.75-103
" э/З ! ” л/3-6480
= 1.403
Ом;
Rr = Rs(o.e.) ’ Z„ = 0.007 Ом;
Хг=ха ZH =0.252 Ом;
E* = -\/(xd I + Ur • sincp)2 + (Rs • I + Ur cos<p)2 = 1.144 o.e.,
где Ur =1.05
ErnP-=E;.UHOM =171.6 кВ;
Z >.2 2
znpHB = I \n . Zf = Г. [0 007 + j0 252] = [0 636 + j22 9 , Om
V^homJ V 15.75 )
Исходные данные ЛЭП:
1] =60 км; 12=13=70 км; S]=240 мм2; S2=S3=185 мм2.
182
Л,: Лл1 = Иуд-h =0.162-60 = 9.72 Ом;
Хл)=Худ 11 =0.413-60 = 24.78 Ом.
Л2=Л3: Кл2 = Иуд 12 =0.249-70 = 17.43 Ом;
хл2 = Худ h =0.427-70 = 29.89 Ом.
Исходные данные нагрузок:
Лиг] =100 А, соБфщ.] =0.85;
Рнг2=75 МВт, Онг2 =50 МВар.
_____-НГ? . и 2 j
„2 „7 c'hom+J -> ,
Р нг2 + Q нг2 Р нг2 + О нг2
1502+j------- 5°'1()б -Г2'1502 =
(75 -1(Г)2 +(50-10° )2
^цг2 — Инг2 + jXHr2 —
75-1О6
НГ2 (75-1О6)2+(5О-1О6)2
= (207.692 + >138.462) Ом
Qhf2______ it2
2 ‘'-'ном»
Примем третью нагрузку равной:
ZHr3 = 1-4- ZHr2 = (290.769 + jl 93.846) Ом.
Исходные данные блочного трансформатора типа ТДЦ-250000/150:
SHOm=250 MB-А, Овн =165 кВ, Онн =15,75 кВ, L)K =11%,
Рк = 640 кВт.
R . А-и2».
Кт1 — 7 —
S ном
X —
Т|” 100-S1IOM
64О-,^- = О,279 Ом,
2502 -1012
.и-'^о6 „.979 ОМ
100-250-106
Исходные данные трансформаторов второй и третей нагрузок типа ТДЦ-
125000/150:
Shom=125 MB-А, UBH=165 кВ, ОНН=Ю,5 кВ, UK =11%,
Рк = 380 кВт.
ном
1252 -1012
v _v _UK,%-U2BH
11-1652-106
------------ = 23.958 Ом.
100 125-Ю6
1
183
Z1 = z13 =(17-43 + j29.89) Ом; Z2 =ZU =(9.72 +j24.78) Ом;
Z3 = Z12 = (17.43 + j29.89) Ом;
Z4 = Zr + ZT1 = (0,636 + j28.911) + (0,279 + jl 1.979) = (0,915 + j34.89) Ом;
Z5 = ZT2 + ZHr2 = (0,662 + j23.958) + (207.692 + jl 38.462) = (208.354 + jl 62.42) Ом;
Z6 = ZT3+ZHr3 = (0,662 +j23.958) + (290.769 +jl93.846) = (291.431+ j217.804) Ом;
Z13=Z3i = 0.15 • X„2 = 0.15 29.89 = 4.484 Ом.
Формирование векторов токов, напряжений и сопротивлений.
Вектор токов: Вектор напряжений: Вектор ЭДС:
рП
h
1з
14
I5
U2
U.3
и4
' о'
о
о
е4
о
и =
Вектор токов: Матрица сопротивлений:
' Z] 0 -z]3 0 0 o'
0 z2 0 0 0 0
_^нгрА
-Z3] 0 z3 0 0 0
J= 0 В z =
0 Jc 0 0 0 z4 0 0
0 0 0 0 z5 0
о 0 0 0 0 z6y
Составляем матрицу соединений: Матрицу контуров:
fl 2 3
( 1 | 2 3 4 5 6
0 [ 1 -1 0 1 io A
n -11-1 0 1 0'0 В
, 1 I 0 1 0 0 I 1 c
0 0
1 о
0 1
1 о
-1 1
0 -1
1
2
3
4
5
6,
1
184
а) Решение на основе уравнений закона Ома и Кирхгофа:
'z I + U = E
- n-I + J=0 (1.3)
. г&•и = о
Запишем уравнения (1.3) в матрично-векторной форме:
T_|z" Ё 1 Z -1 Е
о ; п ’и] -J Ги1_ 0 п -J (1.4)
Г(г | 0 I б ’ I1 1 Гп 0 0
Составим матрицу уравнений:
р 0 0 0 0 о ; Z1 0 -Z13 0 0 0 ' r 0 )
0 1 0 0 0 о ! 0 z2 0 0 0 0 U2 0
0 0 1 0 0 ° ! -Z31 0 Z3 0 0 0 из 0
0 0 0 1 0 0 ! 0 0 0 z4 0 0 u4 e4
0 0 0 0 1 0 ! 0 0 0 0 Z5 0 U5 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Z6 0
0 0 0 0 0 о 1 0 1 -1 0 1 0 h ^htI
0 0 0 0 0 о ! -1 -1 0 1 0 0 12 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 13 0
1 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 I4 0
0 1 0 1 -1 0i 0 0 0 0 0 0 15 0
1о 0 1 0 1 1 ; 0 0 0 0 0 ° > U6> I 0 J
С учетом ранее сформированных матриц (1.4) из этого уравнения находим:
Г1 0 0 0 0 0 1 Z] 0 -Z13 0 0 01 -1 c0
u2 0 1 0 0 0 0 1 0 Z2 0 0 0 0 0
из 0 0 1 0 0 0 i -Z31 0 Z3 0 0 0 0
u4 0 0 0 1 0 0 ’ 0 0 0 Z4 0 0 e4
U5 0 0 0 0 1 0 I 0 0 0 0 Z5 0 0
U6 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Z6 0
•1 0 0 0 0 0 0 ! 0 1 -1 0 1 0 ЛгН
>2 0 0 0 0 0 0 i -1 -1 0 1 0 0 0
>3 0 0 0 0 0 0 I 1 0 1 0 0 I 0
I4 1 0 0 1 0 -1I 0 0 0 0 0 0 0
15 0 1 0 1 -1 0 I 0 0 0 0 0 0 0
< *6 ) lo 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ° > I 0
185
б) Исключив из уравнений (1.3) напряжение
относительно токов:
ветвей можем получить решение
(1.5)
F^Z-I^-E
Или запишем уравнения (1.5) в матрично-векторной форме:
r^-z
•Ё
п
rtr-z
rtrz=
'1
о
.0
ph-
•Е =
О
О
О
1
О
о
о
I
1
О
о
-1
1
-Г
О
-1.
О
1
О
о
о
1
1
1
О
о
-1
1
-Г
о
-1
' Zj
о
-Z31
о
о
о
о
Z2
о
о
о
о
о
-1
1
Z]
о
Zi
о
<-Z3l
1
-1
о
о
Z2
-Z13 о
о
Z2
о
~Z13
О
z3
z4
Z4
о
о
-Z5
Z5
-J
A-E.
0
0
0
e4
0
0
-Z13
0
Z3
0
0
0
Z6
0
-Z6
rEZ
= e4
. 0 .
о
о
о
z4
о
о
-1
О
1
-zn
о
Z3
о
о
о
О
1
О
z4
z4 -Z5
О Zg
о '
о
1
-Ze
о
-z6,
(1.6)
о
о
о
о
Z5
о
О '
О
О
О
О
z6,
в) Исключив из уравнений
относительно напряжений:
(1.3)
JAC
о
{ас
е4'
е4
о
токи ветвей можем получить решение
T = Z~1 (Ё-U) (1.7)
Умножим уравнение (1.7) на П, получим:
П 1=П Z-1 (Ё-U) (1.8)
186
С учетом второго уравнения системы (1.3), получим следующую систему:
П Г1 и = п Z~*-Ё + J (1.9)
1^0=0
Или запишем уравнения (1.9) в матрично-векторной форме:
пг?][и]4-+”-х-Чи^ <,,о>
J L ° J L rtr J L °
Далее расчет произведен в пакете MathCad и получены такие результаты:
Напряжение ветвей: Токи ветвей:
8.081 х К?''
9.723х 103
1.849х 103
8.461Х 104
7.634х 104
k7.733x IO4J
212.546)
'232.095)
365.295
23.364
597.234
288.976
Мощности ветвей: Напряжение в узлах схемы:
-2.779Х ю6 -4.892ix IO6''
-3.891 х IO6-9.92ix IO6
6.675х IO4- l.lllix 105
1.201 x 108+ 9.249ix 107
-5.22x I07 4.069ix 107
l.322x lO5^
I.466X IO5
. -3.95 x 107 - 2.952ix IO? J
J.339x IO5)
6.1.2 Составление уравнений для расчета токов и напряжений в заданной
электрической схеме методом контурных токов и узловых напряжений
Решим пример 1.2 с помощью метода контурных токов:
Основное уравнение метода контурных токов:
ТК =Zk'(EKE+Ekj) (1-H)>
где Ejg — Zjg • Jfc, — ’ Ев и Zfcj — Г1т ZBBj.
187
Bj =
1
"п21п1
- матрица преобразований независимых токов.
В методе контурных токов в качестве матрицы преобразования принимают
матрицу контуров Б j = Г.
О 0 1
1 0 2
О 1 3
1 0 4
-1 1 5
О
' О Z] -Z6'
— Z5 Z4 0 ;
.25 О -Z6>
188
' 0 Z1 -Z6' "-Jurf ' 0
Ekj - Zkj ’ -1 - -Z5 z4 0 0 - -ZsJun
lZ5 0 < 0 > < ZgJnri ,
Окончательно выражение по формуле (1.11) выгладит так:
%+Z4rZ6 Z4 Z6-Z]3 -1 ' 0 Y
k = Z4 Z2 + Z4 ^5 ~ Z^ e4 + “Z5JHri
z— N O' 1 Ы 1 N UZl JS N + N O' ч I 0 J < Z5Jnrl )_
После по контурным токам можно найти токи ветвей, а также напряжение
ветвей и узлов: IB=BiIK-bjJk; (1.12) U„=E-ZIB; (1.13) иузл=(ПП‘)-1-П-ив. (1.14)
Формулы для метода узловых напряжений:
UyM=Y^,(JKE+n 0 15)
где Уузл = П z;1 П1т; JKE = П Z;1 Ев.
А затем по узловым напряжениям можно найти напряжения и токи ветвей по
следующим формулам:
и. = П' иг„, (1.16)
'.=2.' (E.-I,). (1.17)
Задание на самостоятельную проработку по вышеизложенной геме:
Для всех нижеприведенных в задании схем требуется:
1. Сформировать матрицу проводимостей ветвей;
2. Сформировать матрицу соединения П;
3. Сформировать матрицу контуров Г;
4. Построить дерево и граф схемы;
5. Записать уравнения законов Ома и Кирхгоффа;
6. Определить токи, напряжения и мощности ветвей.
189
Задание 1. Параметры элементов схемы:
Е-35 кВ J=100 А
Zi=10Om Z2=15Om Z3-10Om Z4=5 Ом Z5=20Om Z6=5 Ом
Задание 2. Параметры элементов схемы:
Е=10кВ J=5OA
Z,= 15Om Z2=15Om Z3=20Om Z4=5 Ом Zs=15 Ом Z6=10Om
190
Задание 3. Параметры элементов схемы:
Е=6 кВ J-Ж) А
Задание 4. Параметры элементов схемы:
г5Ом
Е=220кВ J=150А
^т=5 Ом
191
Задание 5. Параметры элементов схемы:
Е=150кВ >100 А
Z(=10Om Z2=5 Ом Z3=10Om Z4=15Om Z,=Z6=5 Ом Z7=5 Ом Z8=5 Ом
Задание 6. Параметры элементов схемы:
Е-110кВ J-75A
Z, 20()m Z2-I5Om Z3=10Om Z4=15Om Z5=5 Ом Z<-20Om Z,-5Om
192
Задание 7. Параметры элементов схемы:
Е=330кВ J=150A
Z, ЮОм Z210 Ом Z <15 Ом Z4—5 Ом Z5—10 Ом /<,15()м Z7—5 Ом
Задание 8. Параметры элементов схемы:
Е=35 кВ J=50 А
Z|=15 Ом Z2 15 Ом Z3=20Om Z4=5 Ом Z5-15Om Z()-IOOm Z6—5 Ом
193
Задание 9. Параметры элементов схемы:
Е=110кВ J1JOA
Z|=10Om Z2=5 Ом Z,=15 Ом Z4=10Om Z5-5 Ом Z6=20Om Z7=5 Ом
Задание 10. Параметры элементов схемы:
Е=220кВ J=150A
Zi=5 Ом Z2=15 Ом Z3=10 Ом Z4=5 Ом
Z5=10Om Z6=5 Ом Z7=10Om
194
6.2 Анализ переходных процессов в электрических сетях с помощью численных
методов решения дифференциальных уравнений.
Выражения для явного метода Эйлера:
(к) (к-1)
-----------= f(y(k-l),X(k~’)); (2.1)
h
у(к) =у(к-1) + h f(y(k“1),x(k“1)), (2.2)
Выражение для неявного метода Эйлера:
В отличие от явного метода Эйлера в правой части уравнения стоят у(к\х(к).
И решаем уравнения относительно к-ых неизвестных.
у(к>-у(к“°
— ~—=f(y(k>,x(k>); (2.3)
п
у(к) = у(к-1) + h f(y(k),x(k)). (2.4)
где h < (4 - 5) • Т, где Т - постоянная времени отдельных цепочек или
контуров.
Выражение для метода Эйлера-Коши. Метод представляет собой
модификацию явного метода Эйлера, в которой первый шаг выполняется обычным
методом Эйлера, а затем уточняется значение производной как среднее
арифметическое для начала и конца интервала.
у<к> =у(к ’) +h -Цу^-^.х^-4); (2.5)
у'(к) =l-[f(y(k“1),x(k~1)) + f(y<k),x(k))]; (2.6)
y(k)=y(k-l)+h.y’(k) (2.7)
В методе Эйлера для точности необходимо брать мелкий шаг, а Эйлера -
Коши дает возможность сделать меньше расчетов, взяв не такой мелкий шаг, или
увеличить точность.
Выражение для метода Рунге-Кута четвертого порядка:
/"*” = у<"’ + -[к, + 2К2+2К3 + кД (2.8)
6
где К, =h.f(x(m),y(m)); (2.9)
К 2 = h • f(x(m) +1 h, у(m) + j К]); (2.10)
K3 = h f(x<m) + l.h,y<m> + ‘ K2); (2.11)
K4=h f(x(m)+h,y(m) + K3). (2.12)
195
Пример 2.1. Составим дифференциальные уравнения для анализа
Составим дифференциальные уравнения:
di2 _ 1
dt ~Г2
Ci-u„ dur 1 ei-ur
d7~C R]
Ri
Пример 2.2. Составим дифференциальные уравнения для заданной схемы
(рисунок 2.2) и решим их явным и неявным методом Эйлера.
Исходные данные: L] = 1 Гн, R] = 1 Ом, L2=2 Гн, R2 = 2 Ом, R = 5 Ом,
С = 0.2 Ф, ei =10cos(<o-t) В, е2 =5cos(<o-t + 0.1) В,<о = 3.14
с
Начальные условия: i^=0 А, Е^=10 В, =0 А, = 4.975 В,
1 12 2
н(0)=1 В, h = 0.1 с.
С
196
Рисунок 2.2 — Расчетная схема.
Составим дифференциальные уравнения:
— 7?| • /| + 7^ ' + wc + 7? • (/] — z2),
at
e2 — T?2 • z2 + L2 • izc + 7? • (z2 — it),
dt
duc
dt
1 4
’01 ,г)>
^L=l[el-7?,zl-Mc-/?(z1-z2)];
dt £]
~ = 7“ • k - Л2 • »2 + «с - R(h ~ *1)1
dt L2
du 1
-7f = T;0i-'2)-
dt C
1) Решение уравнений явным методом Эйлера по формуле 2.2:
Найдем ij на первом шаге:
/•) =i(0) + h.±.re(0) _R] .j(0) _u(0) _R(i(0) _i(0)J
1 1 L] L 1 1 c 1 2 J
=0 + 0.1| [10-10-l-5(0-0)]=0.9 A.
Найдем ij на первом шаге:
i(i) = i(0) + h. J_. re<°) _ R2. id»+u(0) _ R(i(0) _ id»)!.
2 2 £3 L 2 2 c 2 1 J
jd} =0 +0.1 ~[4.975-2-0 +1-5(0-0)] = 0.299 A.
197
Найдем uc на первом шаге:
и(»=и(О)+11.1.(;(О)_^0)
с с с 1 2
и(1) =1 + 0.1-— (0-0)=1 В.
С 0.2
Найдем i] на втором шаге (t*1’ =0.1 с):
Я = i(»+h. _L. [е(о _ R1. i(n _ u(>) _ R(ic) _ i(n} J
Я = 0.9 + 0.1 j - [10 cos(3.14 0.1) -1 0.9 -1 - 5(0.9 - 0.299)] = 1.361 A.
R^W^-R^-i
2 c 2
Найдем i2 на втором шаге:
i(2)=i(D+h._L Г
2 2 L2 L
Я = 0.299 + 0.1 - [5 cos(3.14 0.1 + 0.1) - 2 0.299 +1 - 5(0.299 - 0.9)] =
= 0.698 A.
Найдем uc на втором шаге:
‘ . С '
и<2) = 1 + 0.1—- (0.9 - 0.299) = 1.301 В.
0.2
2) Решение неявным методом Эйлера (по формуле 2.4):
'.<*> = ,(*-> + h'e? _ Л М*’ h uc h-R.j<" + h-R-i^
an h-R,i™ hu h-R-i^ h-Ri^
, _ ^(Л-l) + 2______z 2 _______2 +_______!___
c c
198
Запишем в матричной форме:
! , h (R + R,) L, _h R L, L,
h-R 1+h-(R + R2) h
1-2 l2 l2
h h 1
C C
Г h-e(kH jOi-n 1
fit0' j(k) 1 L
he(k' j(k-l)+ 2
*2 u'k) \ c J 2 I L2
k 7
3) Решим методом Эйлера - Коши:
Из примера 2.2 токи ветвей и напряжений емкости по методу Эйлера равны:
=0 + 0.1 -j[l0-10-l-5(0-0)] = 0.9; А
= 0 + 0.1 - [4-975-2-0 +1 -5(0 —0)]= 0.299; А
u(I) =1+0.1 — (0-0) = 1. В
*с 0.2
По формуле 2.6 - 2.7 получим:
Ток первой ветви на первом шаге:
f(y(k-,),t) = f(iJO),O) = - [10-1-0-1-5-(0-0)] = 9; А
f(y*k),t) = = - [10 -1 0.9 -1 -5 • (0.9 - 0.299)] = 5.095; А
ii(l) = - • [9 + 5.095] = 7.048; А
i<!) = i{0) + h i’(,) =0 + 0.1- 7.048 = 0.705. A
199
Ток второй ветви на первом шаге:
f(y(k-l),t) = f(i(20),0) = | [4.975 - 2 0 +1 - 5(0 -0)]=2.989; A
f(y*k), 9 = f (i ,0) = 1 • [4.975 - 2 • 0.299 +1 - 5 (0.299 - 0.9)] = 0.784; A
ij(1) = у [2.989+ 0.784] = 1.887; A
i](,) = i{0) + h ij(,) = 0 + 0.1 1.887 = 0.189. A
Напряжение емкости на первом шаге:
f(y(k-1),t) = f(u(.°\0) = • (0 - 0) = 0; В
f(y?\o) = — (i^ -i®) = — • (0.9 - 0.299) = 3.005; В
u® =1. [0 + 3.005] = 1.503; В
=1 + 0.1-1.503 = 1.1503. В
Пример 2.3. Составим дифференциальные уравнения для заданной схемы
(рисунок 2.3) и решим их явным и неявным методом Эйлера.
Рисунок 2.3 - Расчетная схема. Рисунок 2.4 - Зависимость L = f(i).
Начальные условия: =0 A, t = 0 с, L(i = 0) = l Гн.
Запишем дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:
u = R • i + L(i) • —;
dt
di u R - i
dt L(i) L(i)
200
I) Решение явным методом Эйлера.
По формуле 2.2 i^k ® = i®® + h • i®®;
I ft 7
h <(4-5)-Т = 4- — = 4 — =4 0.02 = 0.08.
R 10
11римем h=0.005 с.
i®) =0 + 0,005/5222 _ —151 = 15 А,
U 1 )
i(2) = 15 + 0,005 • (522® _ 1225) = 29.394 А,
к 0.99 0.99 )
i(3) =29.394+ 0,005/522® _ 12^25211= 43 271 А.
к 0.975 0.975 )
Продолжаем расчет до тех пор, пока i®1-® станет равным i®® или не
превысит заданной точности.
2) Решение неявным методом Эйлера.
По формуле 2.3 запишем:
j(k)_i(k-l) u R-j(k)
b L(i)~ L(i) ’
i(k)=JL.h__R_.h.i(k)+i(k-l)
L(i) L(i)
-H--h+.*-')
j(k) = L(i)______
Найдем i] на первом шаге:
— 0.005 + 0
i2)=-1 —----------= 14.29 A;
1 + — 0.005
1
Уточним значение тока для L(i = 14.29)= 0.99 Гн:
3000 0.005 + 0
i®)=0=22----------------------------= 14.42 А.
1 + — -0.005
0.99
201
Найдем 12 на втором шаге L» (1 = 14.42) = 0.98 Гн:
0.005 + 14.42
j(2) = 0.98 ---------= 28.28 А;
10
1+-—-0.005
0.98
Уточним значение тока для L(i = 28.28) = 0.97 Гн:
3022.о.оо5+14.42
,(2) . 0.97 __________
* 10
1 + — 0.005
0.97
= 28.42 А. и т.д.
Пример 2.4. Составим дифференциальные уравнения для заданной схемы
(рисунок 2.5) и решим их методом Рунге-Кута четвертого порядка (явным).
Рисунок 2.5 - Расчетная схема.
Исходные данные:
L = 1 Гн, R=1 Ом, R]=2 Ом, С = 0.5 Ф, e|=sin(to t) В,
с2 =lOsin(co-t + O.4) В, со=2-5-.
с
Начальные условия:
i(0)=0 A, h = 0.2 с, С|0)=0 В, е^0) =3.894 В, 40)=0 В.
Запишем дифференциальные уравнения:
Ri + L~-uc = еп (213)
-7?!-ij+wc = е2; (2.14)
i + /1+ic=0; (2.15)
^7 = 7 '- (2I6)
at С
202
Из уравнения (2.14) выразим Ц и из уравнения (2.15) найдем ic:
_ис-е2
1 Rv ’
Запишем уравнения (2-13) и (2.16) в форме Коши, при этом подставив в
уравнение (2.16) выраженные i| и ic:
d i е, R . и
— = —------t + —;
dt L L L
^ = _ei_____1 • Uc
dt R'C C RtC
I [одставим в выражение известные параметры для дальнейшего удобства при
вычислении:
di sin(2 -1) 1 . и. .
— =--------------1 + — = sin(2 • t) -1 + и ;
dt 1 11 V
ht
10sin(2-Z + 0.4)
2-0.5
1 u i
----i-----— = 10-sin(2-/ + 0.4)—-—u.
0.5 2-0.5 0.5
Рассчитаем коэффициенты для первого шага по формулам (2.9-2.12):
К и = 0.2 [sin(2 - 0) - 0 + 0] = 0;
KIu=0.2- 10-sin(2-0 + 0.4)—^-0 =0.779;
1 1 ________________
K2j=0.2- sin(2-(0 + |-0.2)j-(0 + 1-0) + (0 + -1-0.799) =0.1196;
К2и=0.2-
lO-sinf 2-(0-+ ’-0.2) + 0.4j-
2 2
(0 + 1-0)
b.F
-(0 + 1-0.799) =1.049;
K3i =0.2-|sin(2-(0 + 0.1))-(0 +1-0.1196)+ (0 + 1-1.049)^ = 0.133;
(0 + 1-0.1196) .
-----2^--------(0 + i-1.049)
K3u=0.2- 10-sin(2-(0.1) + 0.4)~
= 1.001;
K4i = 0.2 • [sin(2 - (0 + 0.2)) - (0 + 0.133) + (0 +1.001)] = 0.251;
K4u = 0.2 - 10 - sin(2 - (0 + 0.2) + 0.4)-(O+^133^ -(0 + 1.001)] = 1.181.
0.5
203
Найдем на первом шаге ток i и напряжение ис по формуле 2.8:
i(,) = i<0) +1 [Кн + 2 • K2i + 2 • K3i + K4i ]=
О
= 0 + 1 [0 + 2-0.1196 + 2-0.133 + 0.251]=0.126 A;
uP = u<°> +1 • [Klu + 2 -K2u + 2 • K3u + K4u] =
6
= 0 + 1 [o.779 + 2-1.049 + 21.001 + 1.181]=1.01 B.
Рассчитаем коэффициенты для второго шага по формулам (2.9-2.12):
K2j =0.2 • sii
Кц = 0.2 • [sin(2 • 0.2) - 0.126 +1.01] = 0.255;
Klu =0.2- 10-sin(2-0.2 + 0.4)-^--1.01] = 1.182;
182)j = 0.382;
„ ------------ 0.126 .„.I .
,u L-----------v-----------, o5
sin^2 (0.2 + 1 • 0.2)J -(0.126 +1 • 0.255) + (1.01 +1
K2u=0.2-
(0.126 + 1-0.255)
10 • sin(2 • (0.2 + 0.1) + 0.4)--------------(1.01 +1 -1.182)
= 1.261;
K3i =0.2- sin(2-(0.2 + 0.1))-(0.126 + l-0.382) + (1.0l+1-1.261) =0.378;
(0.126+ 1 -0.382) .
K3u = 0.2 - 10 - sin(2 - (0.3) + 0.4)-------------(1.01 +1 1.261)
= 1.228;
0.5
0.5
K4i = 0.2 [sin(2 • (0.2 + 0.2))- (0.126 + 0.378) + (1.01 +1.228)] = 0.49;
K4u=0.2 10 sin(2 (0.2 + 0.2) + 0.4) - (°~126 + ° 378) - (1.01 +1.228) =1.215.
Найдем на втором шаге ток i и напряжение ис по формуле 2.8:
i(2) = i(,) + - [*ii + 2 • K2i + 2 • K3i + K4i ]=
О
= 0.126 +1 [0.255 + 2 • 0.382 + 2 • 0.378 + 0.49]=0.504 A;
u<2) =UP + 7’[Klu +2K2u +2K3u +K4u] =
О
= 1.01+ 1-[1.182 + 2-1.261+ 2-1.228 +1.215]=2.239 B.
204
6.3 Методы решения алгебраических уравнений.
6.3.1 Методы решения линейных уравнений.
Самый простой, но зависит от начальных приближений.
Рассмотрим метод простой итерации для решения систем уравнений:
(3.1) 10-X] +2-х2 -1 х3 + 2-х4 =-4;
(3.2) Х]+5-Х2+ 1-х3-0-х4=1;
(3.3) X]-2-Х2-5-х3+1-х4 =2;
(3.4) 3-Х| +0-х2 -0 х3 -9-х4 =10.
Преобразовывается система так, чтобы можно было вычислить неизвестные:
Из (3.3) X] = 2 Х2 + 5 х3 -1 х4 + 2;
Из (3.1) х2 =-5-Х] +0.5-х3 -1 -х4 -2;
Из (3.2) х3 =-X] -5-Х2 +1;
Из(3.4) х4 = —-Xi .
9 9
Задаем начальное приближение х^ = [0;0;0;0]tr:
„ 0) , 0) , 0) . 0) 10
Находим первый шаг: Х| =2; X2 = -2; х3 =1; х4 =—
Находим второй шаг: х® = 2 • (-2) + 5 1 -1 • (-+ 2 = ^-;
х(2) =-5-2 + 0.5-1-1 (-— )-2 = —;
2 9 18
х(2)=-2-5(-2) + 1 = 9;
х(2) = 3.2_10=_4
4 9 9 9'
Для улучшения сходимости применяют нормализацию исходной системы
уравнений, которая позволяет улучшить сходимость решения и, кроме этого, решить
переопределенные или недоопределенные системы уравнений.
Нормализация заключается в том, что А X = В умножить на Atr.
,Atr A, X = Atr В.
дает квадратичную матрицу
“в.
И можно X =
205
6.3.2 Метод Зейделя для решения линейных и нелинейных уравнений
Метод Зейделя относится к разряду итерационных методов решения систем
линейных и нелинейных уравнений.
Метод является приближенным численным методом и при больших
размерностях систем уравнений имеет преимущества перед рядом других методов.
Метод требует обязательной сходимости. Для её обеспечения самым
универсальным способом преобразования является способ заключающийся в
умножении слева исходной системы уравнений записанной в виде А X = В, на
транспонированную матрицу А обеих частей уравнения: А*1 • А - X = Atr - В.
Основным выражением метода является выражение вида:
х(л+1) _ ax(n) + р, p g)
Пример 3.1. Решить систему уравнений методом Зейделя.
2х, + Зх2 - 4х3 + х4 = 3
X] - 2x2 - 5хз + хд = 2
5Х| -3x2 + х3 ~4х4 =1
10х| + 2x2 - хз + 2хд =
Запишем исходную систему в матричном виде: АХ = В:
'2 3 -4 1 ' 'xi3 ' 3 '
1 -2 -5 1 х2 2
5 -3 1 -4 хз 1
Ю 2 -1 2; <х4>
1) Для обеспечения сходимости используем формулу Atr-A-X = Atr-B, для
этого найдем транспонированную матрицу А.
'2 3 — 4 13
1-2-5 1
А = ;
5-3 1 -4
10 2-1 2 ,
( 2 1 5 103
206
Следовательно
' 2 1 5 10' '2 3 -4 1 ' 'ХР ' 2 1 5 10' ' 3 '
3 -2 -3 2 1 -2 -5 1 х2 3 -2 -3 2 2
-4 -5 1 -1 5 -3 1 -4 х3 -4 -5 1 -1 1
< 1 1 -4 2J J0 2 -1 2> ,х4, < 1 1 -4 2J
Получим:
Чзо 9 -18 3 ' 'х1' -27'
9 26 -7 17 х2 -6
-18 -7 43 -15 х3 -17
, 3 17 -15 22, <х4,
2) Запишем систему уравнений в виде: х'п *' = ах + 0
Для этого разделим первое уравнение на 130, второе на 26, третье на 43,
четвёртое на 22 соответственно и выделим из первого хр из второго х2, и т.д.
Получим:
Х1|' ' 0 0.069 -0.138 0.023 ' <х1' f0.208'
х12 0.346 0 -0.269 0.654 х2 + 0.231
х13 -0.419 -0.163 0 -0.349 х3 0.395
,х14 , 0.136 0.773 -0.682 0 , <х4, Л318,
В качестве начального приближения используем вектор свободных членов.
'xli ' ' 0 0.069 -0.138 0.023 ' (0.208' <0.208'
х12 0.346 0 -0.269 0.654 0.231 0.231
Х13 -0.419 -0.163 0 -0.349 0.395 + 0.395
,х14, , 0.136 0.773 -0.682 0 , 1,0.318; 1,0.318,
Вычислив, получим:
Х>Г х12 '0.239' 0.057
х13 0.631
ХЦ, ,0.381,
Далее используем тот же вектор начальных приближений, только значение
первой неизвестной берем то, которое только что получили. Т.е.
V х2 '0.239' 0.231
х3 0.395
<х4, ,0.318,
207
'xl,' ( 0 0.069 -0.138 0.023 ' <0.239> 70.208'
xl2 0.346 0 -0.269 0.654 0.231 0.231
Х13 -0.419 -0.163 0 -0.349 0.395 0.395
х>4, ч 0.136 0.773 -0.682 о , Д.318, Д.318,
Х1, х12 '0.239' 0.047
х13 0.644
х14, Д.376,
Далее используем полученный вектор начальных приближений,
значение второй неизвестной берем то, которое только что получили. Т.е.
только
*1' 0.239'
х2 0.047
0.395
х4. ,0.318,
<Х>Г ' 0 0.069 -0.138 0.023 ' 70.239 70.208'
х12 0.346 0 -0.269 0.654 0.047 0.231
Х13 -0.419 -0.163 0 -0.349 0.395 0.395
<х|4, , 0.136 0.773 -0.682 0 ) 1,0.318, 1,0.318,
'xl,' 0.252'
х12 0.047
х13 0.614
<х14? ,0.519,
Далее используем полученный вектор начальных приближений, только
значение третьей неизвестной берем то, которое только что получили. Т.е.
208
Далее используем полученный вектор начальных приближений, только
значение четвёртой неизвестной берем то, которое только, что получили. Т.е.
х12 Х13 ^4, = '0.239' 0.047 0.614 0.668 ?
В качестве вектора приближения , для второго шага используем полученный
расчетами вектор.
Рассчитываем пока разность между последующим и предыдущим шагом не
станет меньше заданной точности.
6.3.3 Методы решения нелинейных уравнений.
Рассмотрим метод Гаусса для решения нелинейного уравнения:
2-х4+5-х3+8-х2-3-х + 6 = 0;
Выразим неизвестную х и найдем первое приближение:
х =i[2-x4 + 5х3 + 8- х2 +б|
Выбираем начальное приближение х^ =0. И получаем:
х(1)=-|го4+5О3 +8 02 + б]=2;
x(2)=ip-24 + 5-23+8-22 + 6 = 36.7 и т. д.
3l J
6.3.4 Методы решения систем линейных и нелинейных уравнений. Метод
Ньютона и градиентный.
Метод Ньютона первого порядка:
а) Метод Ньютона с обращением матрицы Якоби на каждом шаге решения:
X(k+,) = x<k) - W-I(XW) f(X(k)) (3.6)
Недостатки:
• Обращение на каждом шаге матрицы Якоби;
• Не всегда обеспечивает сходимость, особенно при плохих начальных
приближениях;
• Для того чтобы обеспечить сходимость расчета вводят коэффициенты
ограничения шага ц, которое находят из условия минимизации
df Л
исходной функции — = 0.
dp
Практически наиболее просто это можно сделать, если для вычисления по
(3.5) найти значение невязки ?(хАк+,))и сравнить его со значением на предыдущем
209
шаге f(x(k)) Если f(X^k+I^)< f(X^), то используют полное приращение ц = 1 и
переходят к следующему шагу расчета. Если f(X^k+I^)>f(X^), то приращение
ДХ = X<k+I* - X^k) снижают в 2 раза и проверяют условие
f(X(k+I) +1 ДХ) < f (X(k)) и т. д.
б) Второй способ с использованием метода Гаусса. Решают систему
линейных уравнений относительно ДХ:
W(X(k)) AX = -f(X(k)) (3.7)
После определения находим коэффициент р. Для этого удобней всего
минимизировать функционал F, образованный от функций f(X):
F = f 2(X) + f22 (X) +.... + f2(X) (3.8)
С учетом изложенного формулу метода Ньютона запишем более в общем
виде:
х(к+1) = х(к) _ и. w-l(x(k)) f(X(k)) (3.9)
Выражения для градиентного метода:
Рабочей формулой градиентного метода является выражение:
X<k+D =х(к) _2.р(к> -Wtr(X(k)) f(X(k)), (3-10)
(к) _1 ffr(X(k))-8(X(k))
2 §tr(x(k))-8(X(k))’
(3-11)
- величина шага.
где S(x(k>) = W(X(k)) Wtr(X(k)) f(X(k)), (3-12)
- вектор параметров итераций. A W(X^k^) - матрица Якоби.
Градиентный метод обладает лучшей сходимостью не зависимо от
выбранных начальных приближений.
Пример 3.2. Решить методом Ньютона систему уравнений
Гх2-Х2=0.5
1х?-х1=1
- [7,1 - Гх,1
f= 1 ; Хо = 1 ;
Ы ° |_Х2_Г
Запишем систему в виде:
'fI(X,,X2) = X?-Х2 -0.5 = 0
"" f2(X],X2) = X2-X2-1 = 0
210
Начальные приближения найдем графически:
Х0 =
Получили:
0.9
0.35
Найдем матрицу Якоби:
W(X)=
dX
dfl
dX]
~ df2
dX]
W(X(0)) =
dfl
dX2
df2
dX2
1.8
1.8
’2-Xi -1
” 2-X] 2-X2j
-1
0.7
Значение функций f в точке нулевого приближения Х^.
0.04
-0.068
1.8 -1
1.8 0.7
0.04
0.068
f(°)(x(°)) =
0.92-0.35-0.5
0.92 + 0.352 -1
Подставив в формулу 3.7, получим:
ДХ10)
дх20)
Запишем в виде системы уравнений:
' 1.8 AXj0)-ДХ^0’=0.04
1.8 ДХ*0) + 0.7 ДХ(20) = 0.068
Откуда находим ДХ^ =0.0314и ДХ^ =0.0168.
Затем
х0) =х*0) +ЛХ*0) =0.9 + 0.0314 = 0.9314;
Х(2!) = Х(20) + ДХ<0) = 0.35 + 0.0168 = 0.3668.
Затем находим W(X(I)), ?(1)(Х(1)),ДХ(1\ Х(2> и т. д. ДО сходимости.
211
Пример 3.3. Решить методом Ньютона и градиентным систему уравнений.
sin(x +1) - у = 1.2
_2-х + cosy = 2
f](x,y) = sin(x + 1)-у-1.2 = 0
f2(x,y) = 2x + cosy-2 = 0
1) Решение методом Ньютона:
Начальные приближения х^ =0.1, у^ =0.
Z =
x
_У_
Значение функций в точке нулевого приближения Z^:
f](0) (Z(0)) = sin(0.1 +1) - 0 -1.2 = -0.309;
(°) -mi
f2 (Z(U)) = 20.1 + cos0-2 = -0.8.
Найдем матрицу Якоби:
W(Z) =
W(Z(0)) =
-1
- sin у J’
-11
0
cos(x +1)
2
0.454
2
Подставив в формулу 3.7, получим:
0.454 -11 Гдх(°)"
2 0J |ду(0)
Запишем в виде системы уравнений:
Г0.454 Дх(0) - Ду(0) =0.309
|2Дх(°)=0.8
Откуда находим
0.309
0.8
Дх(0)=0.4;
Ду(°) = 0.454 (0.4) - 0.309 = -0.1274.
Затем
х0) = х(0) + дх(0) = о 1 + о 4 = 0.5;
у(1) = у(0) + Ду(0) = о - 0.1274 = -0.1274.
Найдем функционалы невязки для первого шага:
F(Z(I)) = f 2 (Z(I)) + f22 (Z(I));
f2(Z(l)) = (sin(0.5 +1) + 0.1274 -1,2)2 = 0.006;
f2 (Z(I)) = (2 0.5 + cos(-0.1274) - 2)2 = 0.00007;
212
По формуле 3.8 получаем:
F(Z(I)) = 0.006 + 0.00007 = 0.00607.
Найдем функционалы невязки для начальных (нулевых) приближений:
F(Z(0)) = (-0.309)2 + (-0.8)2 = 0.736.
Так как F(Z^^) = 0.00607< F(Z^) = 0.736, то используем полное приращение р = 1
и переходим к следующему шагу расчета. Если же функционал возрос, то вводиться
коэффициент ц, сначала он берется 0,5 при дальнейшем росте функционала, в два
раза меньше. Далее продолжаем расчет пока X^k+I^ = X*k^ или пока их разница не
будет превышать заданной точности.
2) Решение градиентным методом:
По формулам 3.11 -3.12 найдем р^и 8(Х^):
-11 Г0.454 21 Г- 0.309
0 -1 0 ’ -0.8
1.206 0.9081 Г-0.3091 Г-1.099
0.908 4 -0.8 -3.481
J [-3.481J _ 1 3.1244
TH 0991 2 13.325
1.099 -3.4811-
J — 3.481
Найдем значение х^и у^1 по формуле 3.10:
zw = o.f 0 0.1 0 -2-0.117- -2-0.117- 0.454 -1 -1.74 0.309 2 0 О.Г 0 0. -С 309' .8 -0 0.0 407 072
0.507
-0.0072
Найдем функционалы невязки для первого шага:
F(Z(,)) = f2 (Z(,)) + (Z(l));
f2(Z(I)) = (sin(0.507 +1) + 0.0072 -1.2)2 = 0.0379;
f2(Z(1)) = (2 • 0.507 + cos(-0.0072) - 2)2 = 0.000195;
По формуле 3.8 получаем:
F(Z(I)) = 0.0379 + 0.000195 = 0.038095.
F(Z^) = 0.038095 <Е(Ё^) = 0.736значит, мы идем в правильном
направлении к ответу.
213
Пример 3.4. Решить методом Ньютона и градиентным систему уравнений,
f tg(x -у+ 0.1) = х2
1 0.7-х2+2-/=0.3
1) Решение методом Ньютона систему нелинейных уравнений.
Матрица Якоби:
gf)
<Эу
df2
бу
cos2(x • у + 0.1)
2x0.7
X
cos2(х-у+ 0.1)
4у
Начальные приближения:
0.5
0.5
Значение функций в точке нулевого приближения
tg(0.15 + 0.1)- 0.85
0.7-0.25 + 2-0.25 - 0.3
Найдем значение х®и у^ по формуле 3.6:
z(l) = z(0) _ (уу(0))~1 ,f(°) =
f(°) =
-0.23
0.375
0.5'
0.5
-1.583
0.554
0.4481 Г-0.231 ГО-514
0.343
0.375
0.308
ИТ. д.
2) Решение методом градиента.
По формулам 3.11 - 3.12 найдем ц(°)и 5(Х^):
8 =
1
Р~2
0.37
1.779
[-0.23 -0.375]
10.37
1.779
= -0.107;
-0.433
0.7
[0.37 1.779]-
-0.433 0.71 Г- 0.23
0.567 2
0.567
2
0.375
0.57
1.779
Найдем значение х^и у*^ по формуле 3.10:
Z(D =
0.5
0.5
-2-0.107
-0.433
0.567
0.71 Г-0.73
2 0.375
0.454
0.326
и т. д.
214
Пример 3.5. Решить градиентным методом систему уравнений.
tg(x у + 0.1) = х2
0.5-х2+2-^=1
Начальные приближения:
z(°) =
0.6
0.7
f.iy.
_f2.
Для начального приближения вычисляется вектор невязок исходной функции
f(x,y) =
tg(x-y + 0.1)-x2
0.5-х2 + 2-у2-1
f(0) =
tg(0.6-0.7 + 0.1)-0.62
0.5-0.62+2-0.72-1
0.213
0.16
Вычисляется матрица Якоби:
gf] gfj
w_ dx Sy 1 + tg(x-y+0.1)2-у-2-х 1 + tg(x у + 0.1)2 x
gf2 df2 x 4.у
dx dy
W(Z<°>) =
-0.271 0.797
0.6 2.8
Вычисляется вектор параметров итераций:
8(Z(0))= -°-271
0.6
0.797
2.8
-0.271 0.6 Г0.213
0.797 2.8 0.16
0.482
1.753
Вычисляется величина шага:
(0) = 1
2
[0.213
0.1б]-
0.482
1.753
[0.482 1.753]-
0.482
1.753
Найдем значение х^и у^ по формуле 3.10:
z0) =
0.6 - 0.271 0.6
-2-0.058-
0.7 0.797 2.8
= 0.058.
0.213
0.16
0.596
0.628
Вычисляется функционал невязки по формуле 3.8, получаем:
F(Z(0)) = fi2(Z(0)) + f2(Z(0))=0.2132 + 0.162 = 0.071;
f(’) =
tg(0.596 0.628 + 0.1)- 0.5962
0.5 - 0.5962 + 2 0.6282 -1
0.158
-0.034
F(Z(I)) = f2(Z(O)) + f2(Z(o)) = 0.1582 +(-0.034)2 = 0.026.
215
Видим, что функционал не возрос, значит можно продолжать расчет. Если же
функционал возрос, то значение шага берется в два раза меньше, и проводится
условие F(z(k+I)) = F(Z(k))
расчет. Расчет ведется до тех пор, пока не выполниться
и их отличие не превысит заданной точности.
6.4 Математические модели асинхронных двигателей. Определение параметров
схем за. щения АД на основе каталожных данных.
Рассмотрим на примере двигателя типа ДАЗО-1569-1/10. Каталожные
данные:
Р„ = 800кВт; cos<pH = 0.88; U„ - 6 кВ; т]н =0.925 о.е; к; = 5.5о. е.;
1Н = 94 А; шн = 2.7 о. е.; s„ = 0.00933 о. е.; Rs = sH = 0.00933.
Рисунок 4.1 - Двухконтурная схема замещения асинхронного двигателя.
< =1-Rs -= j_0 00933_0.925-0.88-0.00933 = Q
н s 1 - sH 1-0.00933
• T]H-cos<pH 0.925-0.88
cos фн = ——— =----------------= 0.828 о.е.;
Пн 0.983
Из круговой диаграммы ток ветви намагничивания находим по следующему
выражению:
ini-sirup,,-(mTn
i2, -1) cos ф'н = 0.561 - (2.7 - л/2.72-1) 0.828 = 0.402 о.е.;
х„ = —— х_. = —--------0.061 = 2.429 о.е.;
m im os 0.402
RS'1 =со8ф„ =0.828 о.е.; = sin<pH =0.561 о.е.;
ИЛ Т Н т ПЛ I Н '
R-;1 = Rs + т" • *1 = 0.00933 + -О1 0.^0.828.0.983 = р
(к?)2 • (1 -sn) (0.99 • 5.5)2 • (1 - 0.00933)
1---- - (0.032)2 = 0.181 о.е.;
(0.99 -5.5) 2
VS—1 _ j 1_____zpS—1\2 __
Лвх “ J п 7 \квх )
Ж)
216
bs-sH
gS~SH __________Rbx Rs____________
(R^-Rs)2 + (XsBH-xas)2
0.828-0.00933
=-----------------5---------------v = 0.89 o.e.;
(0.828 - 0.00933)2 + (0.561 - 0.061)2
Xs» -x 1
bx Aas_________ 1 _
(R^-Rs)2+(X^-xas)2 xm
0.561-0.061 1
_ ------= 0.132 o.e.;
(0.828 - 0.00933)2 + (0.561 - 0.061)2 2.429
s=l =________Rbx' ~ Rs________=
(X) s=l rj \2 , \2
(*^вх °s) + \^bx ~xos)
0.032-0.00933
=----------------5---------------- = 1.496 o.e.;
(0.032 - 0.00933)2 +(0.181 -0.061)2
Vs 1 _ v 1
__________BX____CTS___________1 .
(rsb;’-rs)2+(xk’-xos)2 xm’
0.181-0.061 1
bS=SH
’-'гя
BX XCTS
_ _--------= 7.625 o.e.;
(0.032 - 0.00933)2 +(0.181-0.061)2 2.429
P(l)_ grs=SH 0.89-0.00933
j 9 *sh “ . о о —0.0103 o.e.,
(grs H ) + (b?T H ) (0.89)2 + (0.132)2
X<1) = b™S" 0.132
(g?s~SH )2 + (b?s“SH )2 (0.89)2 + (0.132)2
(2) s-1 RP , 0.0103 = 1.11 o.e.;
g; -grs - I = 1 496 (R0))2+(X<i))2 ’ (0.0103)2+(0.163)2
b(2)=bs=l_ Ur Urs X?) -7 625 0 163 = 1.507 o.e.:
(R<° )2 + (X<!) )2 (0.0103)2 + (0.163)2
r(2) — 1,11 0 417 o.e.;
(g<2>)2+(b<2>)2 (l.ll)2 +(1.507)2
X(2) bJ2) _ 1-507 _0430 o.e.;
лг (gP)2+(b<2))2 (l.ll)2 +(1.507)2
217
6.5 Определение параметров схем замещения синхронных двигателей.
Задача. Определить параметры схемы замещения и пусковые
характеристики для явнополюсного синхронного двигателя ДСЗ - 2209 - 60,
используемого для привода шаровых мельниц блоков 200 МВт.
Даны каталожные данные:
Рн = 2460 кВт
Un = 6000 В
1Н = 274 А
cos <рн =0.9
цн = 0.938
lfH = 275 А
UfH =192 В
К, = 5.2
тП =1.5
шм = 2.3
S-0.05 . о
т — 1.2
вх
Tf0=1.44 с
Используя изложенную выше методику находим:
Синхронные сопротивления по осям q и d
0.436 +0.9-V2.32-0.938 2
тм4н cos 2 Ч>Н 2.32-О.938 2-О.92—1
Параметры обмотки возбуждения найдём как:
X =-------Х “4---=-----Е?---= о.229
at KrXmd-l 5.21.2-1
Xd = 1.67 • Xq = 1.67 • 0.778 = 1.297
sin ср н + cos (р л
хч =
0.778
Хт =--------=------= 0.0962
os 2-Kj 2-5.2
xmd = xd “ xas =1 297 “ 0 0962 =1 -2
xmq = xq “ xas = °-778 “ 0 0962 = 0 682
Rf = Xmdt,X°f = 1?14°124249 = 000316 oc
lOQ-TfQ 3.14-1.44
ЭДС возбуждения СД в номинальном режиме:
EfH =
+ xd- 1-
>.2
тн
I
.23
2
I +1.297-
2
0.778z
X2
хч
..бач -Уз-6000-274-1,9752
----------------------------------- IUZ им
275 -1.22
Rf=Rf -Zda3 =0,00316-102 = 0,317 Qm
= 1.975 о.е.
218
Активное сопротивление обмотки статора:
Rs = 0.25 • (1 - т]н ) = 0.25 • (1 - 0.938) = 0.0155
Находим ток статора и пусковой момент при 5 = 1
m^d =0.8nif[T]Hcos<pH = 0.8 1.5 0.938 • 0.9 = 1.013
mq = 1,2 • тцТ),, cos<pH = 1.2 • 1.5 • 0.938-0.9 = 1.52
in, = 1.2K. =1.2-5.2 = 6.24; i" = 0.8-X'. = 0.8-5.2 = 4.16
sa i sq i
Входные сопротивления по оси q:
RB=xq = Rs + = 0.0155 + -!Д- = 0,1033
Gsq) 4-16
Общее сопротивление роторной цепи и ветви намагничивания по оси q:
Rrmq = RBxq - Rs = 01033 “ 0 0155 = °-0878
Xmq =xlxq~xas =0-217 - 0-0962 = 0.1209
Проводимости пусковой обмотки по оси q:
_ 0.0878
grn =-т----т = 3.933
*”4 0.0878z+0.1209
0.1209 1_
4 0.08782+0.12092 О-682
Сопротивления пусковой обмотки по оси q:
п В'Ч „________________________3.933
ГЧ g?q+b?q 3.9332+3.952
х - brq -
отч^Ч“
Входные сопротивления по оси d:
к^=^+ай7-=00155+^=0’0415
= 3.95
1 = 0.127
YS=1 -
вхд “
3,95
3.9332+3.952
= 0.127
-0.04152 =0.155
Общее сопротивление роторной цепи и ветви намагничивания по оси d:
R rmdf = RBxd “ Rs = 0 0415 ~ 0 0155 = 0 026
xrmdf = XBxd ~ xas = °-155 ~ 0 0962 = 0.0588
219
Проводимости и сопротивления пусковой обмотки по оси d:
n S — 1
rmdf
Srd - ,
S=1
rmdf
Rf _ 0.026 0.00316 _623
R2+X2f 0.0262 +0.05882 0.003162 +0.2292
brd -
Y S—1
rmdf
xaf
Rf2+X2f
Xmd
у s—1
4 rmdf
0,229
0.003162 +0.2292
6.23
'8 — 2 2
6.232 +9.0262
X = - 9026
OTd brd2+grd2 6.232+9.0262
Все параметры схемы замещения по осям d и q найдены и теперь можно
рассчитать пусковые характеристики i(s), m(s) в диапазоне скольжений от 0 до 1.
fRs=> ] +1
rmdf) I
0.0588
0.0262 + 0.05882
R , - &rd
Rrd К 2д.„ 2
brd + 8 rd
brd
-— = 9.026
1.2
1 = 0.052
= 0.075
Для примера найдем входной момент и ток при S = 0.05
а) проводимости и сопротивления со стороны статора по оси d:
0.00316/
s=0.05 =_____________________/0,05
f (О.ооз i^05)2+0.2292
_______________0,229______
(0.00316/ о5)2 +0 2292
0.052/
s=0.05 =_______/0.05
8rd >-о%,5)2+о.о752
brds=0.05 =--- 0.075----- = 0 069
( 05%.05> +0-075
= 1.12
bxd
bf!
s=0.05
= 4.06
= 0.96
gEdS“°°5 =gf +grd =1.12 + 0.96 = 2.08
s=0.05 . . 1 . 1
= bf + brd +---= 4.06 + 0.069 + — = 4.96
xmd 1-2
2'08 - = 0.072
2.082 + 4.962
Xrmd =-----2<96 2 =0.171
2.082 + 4.962
^rnid
220
RBxds °05 = 0.0155 + 0.072 = 0.0875
XBxdS=°05 =0.0962 + 0.171 = 0.2672
id = . = 3.56
yO.08752+0.26722
md = 0.072-3.562 =0.912
б) выполнив расчет проводимостей и сопротивлений по оси q (аналогично
пункту а)), получим:
iq = -..... 1 _____= 1.34
V0.08152 +0.7252
mq =0.166 1.342 =0.297
Результирующий входной момент и ток статора при S = 0.05:
= |(0,912 + 0,297) = 0,604 о.е.
ИЛИ S-0,05 ГПу tnz = Пн cos<pH 0,604 ” 0,93 8 0,9 = 0,715 -тн
o.osj2 1 д/з,562+1,342 =2,7
Таблица 1
S 1,о 0,8 0,6 0,4 0,35 0,2 0,1 0,05 0,01
^доб--0 i 5,2 5 4,65 4,07 3,88 3,15 2,64 1,45 1,93
т 1,5 1,68 1,83 1,85 1,81 1,44 0,94 0,71 0,87
^доб-- i 5,22 5,08 4,7 4,16 3,96 3,25 2,5 1,83 1,1
т 1,55 1,74 1,93 2,03 2,63 2,03 1,62 1,16 0,3
221
Раздел 7. Методические указания по выполнению обязательных
домашних заданий
Исходные данные для выполнения домашнего задания №1
3)
5)
6)
222
223
7)
13)
14)
9)
15)
16)
F.l
И)
12)
17)
18)
I
224
225
19)
20)
25)
26)
21)
22)
27)
28)
23)
24)
29)
30)
1
Ill
। Схема № 1 О еч еч я сч ч еч 40 Г- еч еч с 29 30 r-l Ч СП СП 40 О 04 5 — S 2 2 3 ил 40 £ ОО 04
Uco, В
IC2, мкФ § о о 40 о ил г-4 э о О CN ООО СЧ Г-- 0 ООО 0 IT) xj “Ч т—< т—ч о c еч c r—4 5 О П 4Г) 8 О 8 г—< о < ОО С 5 О J4 О ( 5> О ч ил © с Tj 4J 5 © 0 Г- О СП © еч § © 04 © г-4
Id, мкФ © о о о 8 5 О " ОО ООО о сч о ООО С О' Г- —< г—4 т—1 о c 40 ’ T- 5 О Л ТГ О «п о 8 о еч 5 О О ил 5 О О 04 О с © е еч е 5 © Ч ил Ч т— © © оо § 8 © ОО
ас 40 00 04 т S 0 4J оо 04 О 0 г еч СЧ еч 40 еч 0 г- ч еч е ч Л ' »: ч 40 £ ОО СП 04 -т
' L1, Гн еч ч ОО еч чо еч л еч Ч СП 0 оо 45 04 x г 3 5 40 оо ос с " с г еч ч еч ил еч' 40 ОО СП
R6, Ом • о 45 • о < г—< г- о ООО 5 0 0 л о еч Н —4 г— 1 о • • О • 1 и л 1 © © • • © 8 о © ©
R5, Ом оо © о 8 g 0 о Ч xj- ООО ил ОС г 5 0 0 - 40 СП -4 •—< —< 8 g ? 8 о 3 о г—1 о с 40 О 5 О С 0 ил г 5 О п еч © с 2 § © ил © оо § 3 © г—<
R4, Ом 8 о ЧЛ § О с еч о s £ о о с ЧЛ 40 Г 2 § § 8 § 2 § 8 о о о с 1Г) о 5 О С С Os С 5 О ч Г; © с 40 Г 5 © © 8 § ©
| R3, Ом О еч еч о о 45 о С —< - 5 О Г © - еч ООО 04 ОО — —* «—‘ с 5 0 0 н О Г- еч ' О c r—< — 5 О "1 еч еч О 00 8 о 04 о с in е - е 5 О С Ч г-ч 0 ч еч «- 5 О 0 40 © с 5 О г—< © © еч § О © ОО © 40 г—<
О а § © © О 45 О с ил С 5 © ч еч о о с О 40 Т 5 0 0 ч еч еч о c сП C еч e о еч о оо г—* О о 04 г—< о с о е 5 О С 5 О -ч ОО © с 40 Г 5 © © еч © 04 © 8 © © © еч
IR1,Om 8 СП о оо еч © О С еч г 5 О о о с О ОО г 5 0 0 04 г-ч -ч еч §g 1 8 5 еч о 00 еч о ОО 8 г—1 о с 5 О С л еч ° 5 О о Г- Ч ч—Ч © с еч с § 8 еч 8 © оо © 8 еч 8 т—4
| ЕЗ,В 2 с 1 с о а .5 .! сл 8 g О с э а 3 .9 л сл О О о .S -S .! сл сл i о о с о о с о о с 3 3 •§ 5 О 5 О О a -S .! СЛ i i! э а = .9 а .9 СЛ 8 О а .9 СЛ ! а •S | •S .! о с о с о с з а = .9 Л СЛ О О 5 О а .9 СЛ © О О 3 Б ! © с © с © с з а 3 .9 И а .9 8 О а .9 СЛ 8 © а .9 1 S с СЛ 1 а .9 8 ©
Е2, В | 4000sina)t а § 8 О а .9 СЛ 8 СП а .9 ! сл 8§ ил с сп е з а 3 .9 сл 5 О 5 О Г- 2300sin ®t 3900sin®t л-.* 2 000 sin cat 2000sin®t a -9 ! сл §g еч e з а 3 .9 <Z) а .9 <л 1 а 9 СЛ 1 .S 'сл 8 8 2000sincat лпллп;- з а 3 .9 . СЛ О С О С О с Ч еч е з а 3 .9 Л сл 5 О 5 О ч 2 S сл I © С еч е з а 3 .9 сл ч еч а .9 сл 1 а .9 СЛ 8 еч а .9 СЛ 8 © а .9 сл 1 ,с сл 1
Е1,В а .9 СЛ 8 еч а .9 сл О О О а .9 <л 1 а 1 .9 .! сл 8g -Й 5 О 5 © 3300sin о> t 3700sin®t ОС ЛЛсчп * bOUVOHl ш V 2600sin®t 5000sin a>t a 1 -9 .! ii еч e а .9 еч а i еч а .9 СЛ i еч а .9 сл 8 О S -S .£ сл ' О с о с о с еч е S 3 .5 .! 5 <5 С 5 О С 5 О С ч еч е s S 3 .S 5 © 5 © 5 © еч .Й сл © с © с © с еч е э а 3 -9 Л сл =§ еч а .9 СЛ 8 еч а .9 СЛ 8 еч а .9 СЛ i еч а .9 8 о а .9 СЛ 1
1 Вариант - сч СП хТ о 40 Г ос с 2 2 еч c 4Г> 40 £ оо с о - еч еч 40 еч еч ОС 04 ©
Для заданной схемы рассчитать стационарным режим двумя методами:
Е
J = L. sinfcnt + у), А
100
со = 314 1/,
/с
\|/ =0.1 rad.
варианты 1-5
1) на основе законов Ома и Кирхгофа относительно токов и напряжений;
2) методом контурных токов;
варианты 6-10
1) на основе законов Ома и Кирхгофа относительно токов;
2) методом узловых напряжений;
варианты 11-15
1) на основе законов Ома и Кирхгофа относительно напряжений;
2) методом контурных токов;
варианты 16-20
1) на основе законов Ома и Кирхгофа относительно токов;
2) методом контурных токов;
варианты 21-25
1) методом контурных токов;
2) методом узловых напряжений.
Исходные данные для выполнения домашнего задания №2
Анализ переходных процессов в нелинейных цепях
Необходимо выполнить:
1. Составить ДУ для анализа переходных процессов в схеме одним из методов.
2. Аппроксимировать одну из нелинейных зависимостей /,(/,), /2(т2) аналитической зависимостью с использованием
метода наименьших квадратов, а другую - сплайном.
3. Решить систему ДУ явным методом Рунге-Кутта и неявным методом Эйлера для установившегося и переходного
режима, вызванного закорачиванием в схеме одного из активных сопротивлений или индуктивности.
Вариант R1, Ом R2,Om R3, Ом R4, Ом R5, Ом LI. Гн L2, Гн ЬЗ.Гн L4, Гн L5,Th Cl, мкФ гаи C2, мкФ лица: - СЗ, мкФ исходны С4, мкФ г данные С 5,мкФ
1 var 5 10 10 120 var - 220 220
2 var 10 20 15 200 var - 200 - - 100
3 var 100 100 100 - var 100 100 10 -
4 var 10 10 20 200 var - 200 - 100
5 var 5 7,5 7,5 10 - var 100 80 70 70
6 var / / - var / - / /
7 var / / / / var - - / /
8 var 10 15 20 - var 60 150 - /
9 var 1,5 2 1 10 var 10 - /
10 var 250 18 100 10 var 15 - 120
11 var 5 10 10 120 var 140 - - 220
12 var 10 20 15 200 var 200 200 - 150
13 var 100 100 100 - var 100 100 - - 10
14 var 10 10 20 200 var 200 200 - 100
15 var 5 7,5 7,5 10 - var 100 80 100
16 var / / - - var / - / /
17 var / / / / var - - / /
18 var 10 15 20 80 var 60 150
19 var 1,5 2 1 10 var 10 - 300 400
20 var 250 18 - 10 var 15 - - - - 150 -
Продолжение таблицы 1
Вариант е2,Л e3,-8 et,B И, С’1 М, мГн J.A
1 - Д-380-5т(и-г + 100“) Д - 400-sin(nr 1-20°) 314 20 Д-200-5т(и1-140“)
2 Д-220-cos(ffl-, + 14tf) - - Д-250-costol-lOtf) 314 40 Д-120-соз(®-1 + 20°)
3 Д-380-sin(<i)-I+12tf) - Д-390-sinfar 1-120°) 100 314 50 V2-120-sm(fi)*O
4 Д-400-sinter 1 + 10”) Д-380-sin(oi-1 +130°) - - 100 30 Д-410-5т(<а-1-110°)
5 Д-3500-sin(»-i + 14tf) - - - 157 40 Д-100-5т(и-! + 20°)
6 / - - / - -
7 / / / - -
8 - Д 3400-smi® 1 г 10°) - - 100 70 v'2-100-smto-l + 130°)
9 - - - Д-127 sin(o>-1 + 10°) 314 5 Д 70 • sin(ta 1 +130°)
10 Д-380 sin(ffl -1 + 150°) - - Д-400 sin(®-l-90") 314 7 Д-250 -sm(ffl-I + 30°)_
11 - Д-380-5т(®-1 + 100°) 72 400-sin(o • t - 20°) 314 20 Д-200-siniter1-140“)
12 Д-220-cos(n>i + 140“) - - Д-250-cos^l-10tf) 314 40 Д-120 cost®-1 - 20°)
13 Д-380- sin(ew+12tf) - Д-390-sinfra-1-120°) 100 314 50 41 120 • sm(<a t)
14 41 400 sin(<y /-ИО0) Д - 380 sin(ffl-t+ 130°) - - 100 30 Д-4108т(<а-1-110°)
15 Д-3500-зт(с1-1+140°) - - - 157 40 Д-100-sin(® / + 20°)_
16 / - / - -
17 / / / - -
18 Д 3400-siniffir 1-10°) - - 100 70 Д-I00-sin(®-l + 130°)
19 - - Д-127 -sin(<D-1 + 10°) 314 5 Д 70 sin(® t + 130°)
20 Д-380 sin(ffl t + 150°) - - Д 400 sinfft) 1 - 90°) 314 7 Д 250 sinfci-1 + 30°)
230
Вариант №1
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 — Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2
231
Вариант №2
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ut=f|(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 ij-fzC'Pj)
232
Вариант №3
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табп.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 U| f|(i |)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика Lj h-fsC'P?)
233
Вариант №4
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2
234
Вариант №5
Рисунок 1 Вольтамперная характеристика R1 U|=f|(iO
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 i2=f2CP2)
235
Вариант №6
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 izHX'f'j)
236
Вариант №7
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ut=f|(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика Lj ij-fzf'P?)
237
Вариант №8
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=f|(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L? i2 G(Hy2)
238
Вариант №9
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл. 1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(ii)
Рисунок 2 - Всбсрампсрная характеристика L2
239
Вариант №10
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок I - Вольтамперная характеристика R1 Ui=f|(i 1)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L212=62(^2)
240
Вариант №11
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 i2=f>(vlz2)
241
Вариант №12
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2
242
Вариант №13
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл. 1.
Рисунок 1 — Вольтампсрная характеристика R1 Ui=f|(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 ij-fjC'Pz)
243
Вариант №14
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ur-fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 i2=f2(%)
244
Вариант №15
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2
245
Вариант №16
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=f|(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2
246
Вариант №17
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл. 1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ut-fi(ii)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 i2=f2('P2)
247
Вариант №18
Схема соединений:
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 U i=f|(i i)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L212=62(4'2)
248
Вариант №19
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 U1=f|(i|)
Рисунок 2 - Веберамперная характеристика L2 i2=f2('I/2)
I
249
Схема соединений:
Вариант №20
Исходные данные:
Параметры схемы представлены в табл.1.
Рисунок 1 - Вольтамперная характеристика R1 Ui=f|(ii)
Рисунок 2 - Всберамперная характеристика L2 iz^zCRz)
2
250
Методические указания к решению домашнего задания №2
1 Характеристики элементов электрических систем
и их дифференциальные уравнения.
а) активное сопротивление
R
U:=R.i
б) индуктивность
1/:=гД dt
U:=L.pi (2)
d
P:=dt
в) емкость
С
°* 11^ °
U
Ч’Н
d , 1
—U-.= i
dt C p)
„ d
i:=C —U
dt
i:=CpU
R, L, С элементы являются пассивными. Если они не зависят от тока, то
уравнения (1)-(3) будут линейными, в противном случае уравнение U=f(i) будет
нелинейным.
г) источники ЭДС и тока являются активными элементами, и их представляют с
учетом внутренних сопротивлений или проводимостей
251
i:=J-itH J'.= Y-U
ah “ RgH ' ^BH + ^ВН *BH
n ._SsH
BH' feSH)2+(fc»„)!
(g„„)2+(W
д) для схемы последовательного соединения элементов
е := R, + L -—i + — - [idt
dt С 1
Или
(5)
2 Аппроксимация нелинейных функций
Нелинейную зависимость, например U(i), заданную в виде графика или
таблицы требуется представить в виде аналитической функции.
Для этой цели используют полиномы, сплайны и трансцендентные функции.
252
Кривую U(i) можно аппроксимировать полиномом
U:=ai+bi3+ci5.. ni" (1)
или уравнением прямой на отдельных участках т.е. осуществить кусочно-линейную
аппроксимацию на каждом из участков
U:=ai+b (2)
Для определения коэффициентов аппроксимированных функций используют
метод подстановки и метод наименьших квадратов.
Рассмотрим метод подстановки
Для полинома третьей степени (1) возьмем на кривой три точки Ui, ij, U2, i2, U3,
ij. Тогда имеем ai|+b(ii)’+c(ii)5 :=Ui ai2+b(i2)’+c(i2)5 :=U2 (3) а13+Ь(1з)3+с(1з)5 :=U3 ИЛИ
>|(>|)’(>|)51 р'
i2(i2)’(i2)s • Ь
,Ъ(’э)30з)5 J (с,
(4)
Из решения (4) получаем
i2(i2)’(i2)5
Л(«з)3(Ь)\
ГЦ
(5)
Аппроксимация методом наименьших квадратов
Этот метод применяют, если количество точек исходной кривой превышает
степень полинома.
Найдем сумму квадратов отклонений полинома от заданной кривой во всех п
рассматриваемых точках
(6)
где
(7J - исходные значения напряжения для заданных токов
(Uk)pac (ik,a,b,c,d .. n) - расчетные значения, полученные по аппроксимируемой
формуле полинома или другой зависимости
- а, Ь, с, d - исходные неизвестные, которые будем находить из условия
минимума S, которую найдем из (6)
253
^-S:=2 4S-°
da “ da da
4s:= 2 X[(i7tr -(и,Г(4,«,й,с,^)].4(ЦГ 4S:=0
db *7? db db (7)
:= 2 £[(l/t)"“ -(U„r(i„a,b,c,d)] -^(Utrc 41s~ °
ad “ dd dd
искомые коэффициенты полинома a, b, c, d найдем из решения (7)
3 Метод Рунге - Кутта для решения ДУ
t/y
(’)
dx '
исходное уравнение в форме Коши
В этом методе (четвертого порядка) приращение функции находится путем
усреднения четырех приращений, каждое из которых определяется явным методом
Эйлера.
^.:=K+|ft+2A2+2*3 + M, (2)
О
где
k, ^h fjxm.yn,)
к2:=Ь-/хт t yh,ym + ^ k|
к, := h-f(xm + “ И.уп, +- 1 к2
k4:-h-f(xn1 + h,ym + к3)
Достоинства метода:
4) чтобы найти ym+i нужна информация только в одной предыдущей точке ут и
шаг расчета h, т.е. метод является одноступенчатым
5) метод не требует вычислений производных от исходной функции f(x,y)
6) отличается высокой точностью расчета
Недостаток:
2) сравнительно большие затраты машинного времени на ЭВМ
Метод Эйлера неявный
Л-У:=Ук+1 -Ук
Лх:=Хк+1-Хк
В исходном уравнении заменим дифференциалы разностями
Л значение производной f(x,y) примем равному для координат конца шага
расчета, т.е. f(xk+i,yw)
254
Ук+1“Ук , ,
-------:= чхк+1. Ук+1)
Тогда имеем
Откуда получаем рабочую формулу для неявного метода Эйлера.
Из (7) видно, что в правой части уравнения присутствует неизвестная ук+1.
Поэтому уравнение (7) необходимо теперь разрешить относительно ук+ь (Кстати
говоря, над этой методичкой ради экзамена целый семестр корпели Магистры-2005).
Т.к. уравнение (7) не разрешено относительно неизвестной метод Эйлера получил
здесь название неявный. Уравнение (7) или система таких уравнений решается
рассмотренными нами ранее методами решения систем линейных или нелинейных
уравнений.
(7)
255
Пример расчета задания
Исходные данные:
Вариант 27
К, = var,Ojw 7?2=5,Ojw — 1.5,Ом Ra=1.5,Om Rs=1Q,Om
L, = 200,л«Ги £? = var,AiFi L5 = 100,мГн C3=\Q0,pF CA=220,pF
e3 = V2-390-sin(<a*f-120°) e4 = V2-127 siri(<a-Z +10°) <0 = 157,c1 J = V2-10-sin(<a-< + 20°)
Рисунок 2 - Водьтамперная характеристика R1 U1=fl(ii)
Рисунок 3 - Веберамперная характеристика L2
256
Решение:
1. Составим ДУ для анализа переходных процессов
Рисунок 4 - Расчетная схема соединений
+ А/Ч + ^4^4 + ^С4 = Ё4
АЧ + Ссз + L2 (i2) pi2 + R2i2 = e3
+ + + Cc4 + I.2(i,)pi; + R2i7 — e4
pCc4 = ~ *4
Р^СЗ
Приведем ДУ к форме Коши.
Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов:
A:i4 = J + i, +(, ;
В: i, =-J-i3 +/2;
Ph =7"[е< + +^)-^С4]
Ph ~ ч [ез — R3(~J ~i3 + i2 )—Усз ~ ^2]
^02)
Pi$ = - ^4 (^ + А + <5 )- ^С4 - е3 + Я3 (- J - <5 + <2 )+ ^cJ
Р^СЗ ~ (“ — *5 + 12 )
Р^С4 ~ + + f5 )
257
2 Аппроксимация нелинейных зависимостей
Исходные данные:
OR1GIN:= 1 со ;= 151 j :=^—1 e3(t) :=^2-390sin| cot —
\ nJ
e4(t) :-^2- I27sin| cot + —J(t) :=^2- lOsinf co t + — |
\ nJ k nJ
R25 R3 := 7.5 Яд := 7.5 R$ := К R J - var L, := 0.2 Ц>0.1 L - var
C, 10010“ 6 C. := 22010“ 6
•’ 4
Преобразуем графические исходные зависимости в табличные:
'1 ц
0 о
1.5 15
3 30
4,5 55
6 75
7,5 105
9 175
12
0 0
1.5 0,22
3 0,37
4,5 0,46
6 0.5
7,5 0,53
9 0,55
Построим по табличным значениям графики функций Ui =f| (ii) и V2-f2(i2)‘
Рисунок 5 - Вольтамперная и всберамперная характеристика
Аппроксимируем зависимость f,(ij) аналитической зависимостью с
использованием метода наименьших квадратов, зависимость f2(i2) - сплайном.
258
Метод наименьших квадратов
к:=1..5
1г, := С 1г_ := 3 1г, := 4.5 1гл -= 6 1гс := 7.5 1г, := 9
12 3 4 5 6
Url := С Ur, := ЗС Ur, := 55 Ur. := 75 Urc := 105 Ur ;= 175
2 3 4 5 6
IL( := О 1Ц := 1.5 1Ц := 3 IL4 := 4.5 1Ц - € [L6 := 7.5 1Ц := 9
K|/Lj :=0 4/L£:=0.2z 4/L3 := 0.3”i 4/14:= 0.4f 4/L50.5 vL^>0.53 <1/1.7:= 0.55
к := 1.. 5 a := -301 b := 0.5 c := 0.05 d := 0.025 f := 0.5
U|(lr,a,b,c,d,f) := a-e^ Ir + c-e Ir — f
Given
U|(lrpa,b,c,d,f) = Ur( U|(lr2,a,b,c,d,f) = Ur2 U^lij.a.b.c.d.f) = Ur3
U|(lr5,a,b,c<d,f) = Ur5 U|(lr4,a,b.c,d,fj = Ur^ U|(lr6,a.b,c,d,fj = Ur6
b
c :=Minerr(a,b,c,d,f)
<1
a =-4.207k 103 b =-2.355k 10 3 c= 0.289 d = -0.639 f=-4.206x!03
bl] -d-l,
U](li):=a-e + c-e — f
Рисунок 6 - График аппроксимированной зависимости f|(i,).
259
Метод сплайнов
Vs:= cspline(lL,yL.) V2P2) 'nleIp(^'s-И-,[7) I2 *=0,0.1.. IC
Рисунок 7 - График аппроксимированной зависимости f2(c|/)
Расчёт установившегося режима
Определяем сопротивления ветвей, матрицы соединений П, источников тока и
напряжений.
t:=0 М>.)^ Z5:= V
Формируем матрицу VI, где число строк - количество ветвей, первый столбец
- номер узла начала ветви, второй столбец - конец ветви. Направление тока условно
принимается от начала ветви к концу.
fo О
U О
Составляем матрицы соединений П, источников тока Jt и источников ЭДС Е:
0
(I О О -1 1 Л (ко >
Jt*=l
Vo I -1 -О -I J v-ад J
0
e3(t)
e4(O
I 0 J
Главная программа для расчета стационарного режима.
260
work R1 +-^(10)
L2<- 1^(10)
Ysl<—0
1 4- 10
k<—0
while |lj Ysl| >0.00001 Ysl <- Ij Zj <-Rl +}®-L1 Z2 <— R2 + j-co-L2 Z ~ <- R3 j 3 °>c3 <D-C. 4 Z5 R5 + j “ L5 Zvet <- diag(Z) Yvet <— Zvet 1 Ye + П-Yvet Je <- Ye-E Yy <— YeUT Uy <— Yy *-(Jt + Je) Uvet«- ПТ Uy 14-Yvet-(E-Uvet) R1-Rl(ll>l) L2-4M) k<-k+ 1
'I
Результаты расчета стационарного режима.
Uy := workj I := work^
'-1.887- l.221i^ '2.2481)
f -18.92+ 71.8291 Uy = 1 = V-52.463+ 52.772V -2.052- 3.8271 '(2,1)^ 4.342 '74.279^ .74.4I3J
-1.393- 4.796i work = (5,1) (йП- 4.995 (|Uy|} =
-2.546-0.25Н , 8 J 2.558
.-1.832+ 0.97i J 2.072J
261
Проверка по первому закону Кирхгофа:
(o'!
П1+ Jt =
i:=1..5
|ГО := |1,| -sinpn t + argp^j Uy,(t) := |Uy(| sin^m t + arg^UyJ)
tyO:= |l2| «n(“-t + Uy2(t) jUy2| sin(,,l't + аг®(иУ2))
>3(0 == |'3| sin(o) t + argp3)j Ij(t) := p5| sinpn t + argp5)j
ЦГО juj *(»• + arg(l4))
Значения токов и напряжений в нулевой момент времени. Значения
напряжений определяются по второму закону Кирхгофа.
13(0)=-4.796 1,(0) =-1.221 уО) =-3.827 I5(0)=0.97 l4(0) = -0.2Sl
Uc3 := Uy2(0) - I3(0).R3 + е3(0) Uc4 := (ПУ1(0) - l4(0)R4) + е4(0)
Uc3 =-174.746 Uc4= 66.261
Построим графики токов стационарного режима:
1:=-100,-99.. С
Рисунок 8 - Токи стационарного режима
3. Расчёт переходного режима
Решение системы ДУ для переходного режима: расчет ПНУ производится
путем расчета установившегося режима доаварийной схемы методом узловых
потенциалов. Значения токов принимаются равными значениям в доаварийном
режиме в момент времени 0, напряжение на емкости С4 и С3 рассчитывается по
второму закону Кирхгоффа.
Короткое замыкание происходит в нулевой момент времени в элементе R2.
262
R2;=C
MelodEilera :=
I
Яг
Расчёт явным методом Эйлера
'1, <- -1.221
l2 <--3.827
13| <—-4.796
<--0.251
% <- 0.97
Ucj <- -174.746
Uc4j <- 66.261
t<0
At <- 0.00002
while 1 < 0.2
«/0 - l|. R|p|.) - UC4. - К, (ВД + 1,. ♦
1, «- lj + Ы-------------- --- ---j-2----------------------
*i+l i Ц
езО) “ (Z R2 “ " J(0 + hl R3 -
к <- l7 + At------------------------7—r------------------
2i.l 2i
i := 1.. rows^Metod Eilerajj T. := i O.OOOO^ l|m:= Metod_EiIera|
12m:=Mel°d_Eilera2 l3m:= Metod Eilera3 l4m - Metod_ Eilera4 I5ni:=Metod_Eilera,
263
а -4 207х 10
Полученные значения токов аппроксимируем при помощи сплайна и
объединяем с доаварийным режимом:
а) для тока п
Vs: cspline^T,!]
0.0.001.0.2
50т
il(l) -50Т
-100-
"ISO4-
Рисунок 9 Ток первой ветви, рассчитанный явным методом Эйлера
t: -11.2, 0.199.. 0.2 11(1}: l| 1 (| sinjci t * arg|Ijj if t < 0
|il(t) otherwise
50
‘----'------- f-------• ““------------1--------------1
-0.2 -0.1 6 0.1 0.2
11(0 -50 -
-too-
-150-1-
t
Рисунок 10 - Ток первой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный явным методом Эйлера
264
б) для тока второй ветви:
Vs.- cspline^T, l2rr) i2(0 := inteip^Vs, T.'Znr1)
t:= 0,0.001.. 0.2
150т
loo-
i2(T) 50-’
О
------1---------
0.02'-. O.W 0.06 0.08
Q.i
0.12 0.14 0.16 0.18
50-*-
Рисунок 11 - Ток второй ветви, рассчитанный явным методом Эйлера
-0.2,-0.199.. 0.2 12(0:=
if КО
аЧ
otherwise
150Т
100- -
Рисунок 12 - Ток второй ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный явным методом Эйлера
265
в) для тока третей ветви:
t:=0,0.00l..0.2 Vs:=cspline(T,l3J i3(t) := interp(Vs,T,I3m,t)
т
Рисунок 13 - Ток третей ветви, рассчитанный явным методом Эйлера
t
Рисунок 14 - Ток третей ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный явным методом Эйлера
266
д) для тока четвертой ветви:
Vs:=csplitie(T,I4ni) i4(t) :=ititeip(Vs,T,l4nl,l)
t:= 0,0.001.0.2
T
Рисунок 15 - Ток четвертой ветви, рассчитанный явным методом Эйлера
Рисунок 16 - Ток четвертой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный явным методом Эйлера.
d
267
г) для тока пятой ветви:
Vs : cspline(T,l5rn) 15(0 := interp(Vs,T,l5m>t)
I;-0,0.00!.. 0.2
T
Рисунок 17 - Ток пятой ветви, рассчитанный явным методом Эйлера
Рисунок 18 - Ток пятой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный явным методом Эйлера.
268
Расчёт методом Рунге-Кутта:
Составляем вектор переменных и задаём их начальные значения:
12:=-3.82' I5 :=0.9: Uc3:=-174.74( Uc4:= 66.26 I] :=-1.221 dt :=0.0000:
l2
Uc3
Uc4
-1.221
-3.827
174.746
66.261
0.97 J
Правые части дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши,
записываем следующим образом:
e4(t)-l|R|(11)-Uc4-R4(J(t)+Ii + I5)
DUE(Y,t) -
e3(t) - lyR? “ [( ^5) “ XO + hl‘^3 “ Uc3
ЧОг)
J-.[(45) Kt) + 12]
v3
e4(t) -I5 R5-(I5 + J(t) + I1) R4-U<;4 e3(t) + [(-I5) J(t) + I2] R3+Uc3
Составляем подпрограмму методом Рунге-Кутта:
RK4(Y,t) := kl <- DUE(Y,t)
k2<- OUT k3<-DL’f k4<-DUE[ fY+Wt+^l I г Л 2 Ji V 2/1 2 J] (Y+k3),(t+dt)J
4(h) *2 Y + — (kl 6 — R|('i) = + 2-k2+ 2-k3 + k4)dt ц|('1) h
269
I лавная программа:
Runge Kuta := II, <--1.221
I2, <- -3.827
13, <- —4.796
14 <--0.251
I5[<-0.97
Uc3, <- 174.746
Uc4, <- 66.261
t<-0
dt <- 0.00002
14- I
while t < 0.2
R <- RK4(Y,t)
Y<-R
h.. -Y,
,2Hl’ - V2
%,’ Y3
Uc, H * Y,
UC4’ -Y4
4^4+1 + J(1, + 4+1
i<— i+ I
t 4- t + dt
‘2
h
«4
270
Искомые токи:
k1.. rows^RungeKuta |) Tfc := к-0.0000:
I| := Runge Kuta ( I2 := Runge_Kuta2 Ц := Runge Kuta I4 := Runge_Kuta4 I5 := Runge Kuta5
a = -4.207x IO3
Графики токов переходного режима, полученные по методу Рунге-Кута:
а) для тока первой ветви:
Vs:=cspline(T,l|J il(t) interp(Vs,T,lj,t)
I :=0,0.00l.. 0.2
Рисунок 19 - Ток первой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
1:=-0.2,-0.199. о.;
11(1)
Рисунок 20 - Ток первой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный методом Рунге-Кута
150'“
100-
-0.2, 0.199.. 0.2 I2(t):=
150 '
б) для тока второй ветви:
Vs := cspline(T, I2) i2(t) := interp(Vs,T, 12, t)
t:= 0,0.00!.. 0.2
200T
50- ’
-50-*-
too- -
Рисунок 22 - Ток второй ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
Рисунок 21 - Ток второй ветви в аварийном режиме,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
200
272
в) для тока третей ветви:
I := 0,0.001.. 0.2
Vs -cspline^T.l^j i3(l) := inteipjVs,T,I3,t)
т
Рисунок 23 - Ток третей ветви в аварийном режиме,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
Рисунок 24 - Ток третей ветви в доаварийном и аварийном режимах, рассчитанный
методом Рунге-Кута.
273
д) для тока четвертой ветви:
Vs -cspline^T,!^ i4(t) := inlerp( Vs.T.l^.l)
t0,0.00!.. 0.2
T
Рисунок 25 - Ток четвертой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
Рисунок 26 - Ток четвертой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
274
г) для тока пятой ветви:
Vs :- csplmef r, i5(t):= interp^Vs,T,lj,tj
t:= 0,0.001.. 0.2
T
Рисунок 27 - Ток пятой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
Рисунок 28 - Ток пятой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный методом Рунге-Кута.
275
Решение задачи неявным методом Эйлера
Составим уравнения для решения неявным методом Эйлера.
Л, _ в4(1) ЛДЛ.)' ^4(ДО + Лм + Л,4, ) ^c4hl
h Lt Lx Lx Lx
^2,„ ~ G, _ e3(Z) ^2 '^2M ^з(—Д0 + ^2„, - Д„ ) ^C3„!
~h =l2(/2) L2(I2) L2(I2i) L2(I2)
A„, ~1,, = e4(t) A A,., АСДО +A,„+A,.,) _Cc4|ti ез(0 + /?з(-/(0 + 721| -I, J +
h L5 Ls Ls L5 £s A A
Cq,,, ~Ucti = J(r) Аи, + A^
h C, C3 C,
Uc>.„ ~Uc± = ДО + A-_+A-
h C4 C4 C4
Выполним преобразования уравнений:
Л /, , ЯД/,,) hItiR4 h-I5MR4 Uc4iih he4(f)
Lx Lx Lx Lx ' Lx
R4 J(t) h
A,
Л /21-й, h-I2 t R2 h I5ui-R, Uc3i ,-h { , Л е3(р < R3 J(t) h
2,-+ <(/j,y+ t2(/2,) ЬИМ + 4(A,) ~ 2 * *'+ A(A,)+ MA,)
Л /511 д, Л AM1 R, h l5 i R, h l, ^ R4 h lli : R,
5‘" A A A A A
+ Uc4m • Л _ Uc,^ * = , + Л;MO _ Ra J(f) h Rr-W-h
+ A A 5'+ A A A A
Uc.
C, C, ' c,
hl, hl. J(t)h
Uc.------------'^=Vc.
C. CA C,
Для решения полученных уравнений запишем их в матричной форме вида
А ! = В, где I - вектор неизвестных на i+1 шаге, А - матрица коэффициентов при
неизвестных, В - матрица правых частей.
276
L{ 0
0 1 | + * (A+A)
A(A,)
h-R, i +
Ls Д
h
c,
h
ct
h-R, h
A L,
h-R3 h 0 V
LAh) hAR^R^R,) LAV h h X V A ,
A LS L5 Uc,
c3 1 Uc, L 4<*i J
h A
сл *1
* A
, 6 (e,(f) + R,J(O)
A(A.)
, , h (e4(<)- (А + Д3) • J(t) ~ e,(t)
L,
Uc3-^
C4
Полученное матричное уравнение решаем в виде I = А 'В.
Для этого задаем вектор исходных значений.
-1.221
-3.827
0.97
At:=0.0000: h = А/
174.746
k 66.261 J
i
277
Составляем матрицу коэффициентов при переменных.
Где v, = /,, a v2 = /2
(R.fv,) + Кд) Л1 0 R4 At 0 At
4 4 ч
(r2 + R3).At -Ry At
0 0
1+ ЧЧ Чч) Чч)
PR(v) := R4A1 R3A1 я + я + > At At
4 4 ч l5 ч
0 -At сз At 1 0
-At C4 0 -At С4 0 1
Составляем матрицу правых частей. Где v3 =7s,v4 = Uc,,vs =Uct.
PCH(t,v)
( A1JW
5 c.
278
Основная программа неявного метода Эйлера.
EyleraNcyvniy := •ч <--1.221
|21 <- -3.827
|31 <- <796
|41 <- -0.251
15l <-0.97
Uc3| <- -174.746
Uc4j <- 66.261
V1 <--1.221
V2 <- -3.827
V3 <-0.97
V4 <- -174.746
V5 <- 66.261
t < 0
At <- 0.00002
wh ГI 1 I I v le t < 0.2 bb <- PR(v)“ ’-PCHt.v) hi+l-bbl 12.+ i< bb2 I5.+ i< bb3 Uc3. , <- bb . i+l 4 Uc4.+ j <- bb5 I3+|»-(-I5i+1) J(0+l2i+l v,»-bb, v2 *- bb2 v3^bb3 v4<-bb„ v5«-bb5 i <- i + 1 t <-1 + At A 4 5j
279
Искомые токи:
k:= I.. rows^FyleraNeyvniy J к-0.0000:
11м'-Fylera Ncyvniy J := EyleraNeyvniy2 l3N := EyleraNeyvniy^ 14NFylcra Neyvniy 4
ljiq:= F.ylera Neyvniy s a = -4.207* If?
Построим графики токов, полученных по неявному методу Эйлера.
а) для тока первой ветви:
Vs:=cspIine^T,l|jqJ il(t) := inlcrp(vs,T, l^.t)
t:= 0,0.001.0.2
Рисунок 29 - Ток первой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
1:= 0.2,-0.199.0.2 11(1):= 111(| sinfra 1 + if 1 < О
|il(t) otherwise
Рисунок 30 - Ток первой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
280
б) для тока второй ветви:
Vs := cspIine^T, 12^) i2(t) := interp(Vs,T, *2N»f)
t >0,0.001.. 0.2
Рисунок 31 - Ток второй ветви в аварийном режиме,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
t := -0.2, -0.199.. 0.2 12(t) := 1112| -sin^co t + а1з(Ц}} if t < 0
|i2(t) otherwise
200T
150-’
гоо-
I2(t)
50-
Ь------------------_-------------------ij,;.--------------1------------------1
-0.2 0.1 0 0.1 0.2
—5(i
Рисунок 32 - Ток второй ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
281
в) для тока третей ветви:
|:= 0,0.00!.. 0.2
Vs:=cspline(T,IjN) 13(1) :=inteip(vs,T,IjN,t)
Рисунок 33 - Ток третей ветви в аварийном режиме,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
Рисунок 34 - Ток третей ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
282
д) для тока четвертой ветви:
Vs:=cspline(T,I4N) i4(t) := interp(vs,T,I4N,t)
t :=0,0.00!.. 0.2
T
Рисунок 35 - Ток четвертой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
Рисунок 36 - Ток четвертой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
283
г) для тока пятой ветви:
Vs:= cspline(T,I5N) i5(t) :=interp(Vs,T,l5N,t)
10.0.001.. 0.1
Рисунок 37 - Ток пятой ветви в аварийном режиме,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
Рисунок 38 - Ток пятой ветви в доаварийном и аварийном режимах,
рассчитанный неявным методом Эйлера.
284
Исходные данные:
Вариант №7
Рисунок 2.1 - Исходная схема соединений
Рисунок 2.2 - Вольтамперная характеристика R, Ui=f,(i।)
Рисунок 2.3 Всберамперная характеристика L2
285
Расче । но-графнческая рабо та №2
Анализ переходных процессов в нелинейных цепях
Необходимо выполнить:
I. Составить ДУ для анализа переходных процессов в схеме одним из методов.
2. Аппроксимировать одну из нелинейных зависимостей TiU)» /гС^г)
аналитической зависимостью с использованием метода наименьших
квадратов, а другую - сплайном.
3. Решить систему ДУ явным методом Рунге-Кутта и неявным методом Эйлера
для установившегося и переходного режима, вызванного закорачиванием в
схеме одного из активных сопротивлений или индуктивности.
Таблица! - Исходные данные
№ варианта R19Om R2>Om R3>Om R4,Om R5,Om Л,Гн Т5,Гн C„fiF C„fiF
7 var 5 7,5 7,5 10 0,2 0,1 100 220
Продолжение таблицы 1
№ варианта et,B 6), c’1 J, A
7 Jl 390 sin(® r-120°) лЙта-яф-Г + Ю’) 157 V2 10sin(a>f+ 20°)
1. Составление дифференциальных уравнений (ДУ)
для анализа переходных процессов
Для исходной схемы, изображенной на Рисунок 2.1 составляем три уравнения
по второму закону Кирхгоффа для выделенных контуров, причем два искомых тока
- i3 и i4 найдем по первому закону Кирхгоффа следующим образом:
— /j *7(/) ^5»
= i2 + J(t) +i5.
Дифференциальные уравнения будут иметь следующий вид:
i, + (7(0 + >, +i5) = е4(0;
at
i2 R2 + L2(i2)^ + R3 - (i2 - J(t) -i,) + Uc3 = е3(Г);
at
i^ + L^ + R, (J(t) + i, + i5) + Uct -U3 -R3(i,~ J(t) - »s) = e,(t) - e3(0;
at
286
2. Аппроксимация нелинейных зависимостей
Поскольку по условию даны две нелинейные зависимости Ri(h) и Ь2(1г), то
необходимо их аппроксимировать. Для начала следует представить их в табличной
форме, определив по графикам, данным на Рисунок 2.2 и 2.3, координаты, например,
шести точек.
Ur:= ' 0 30 55 75 1г:= Г И 3 4.5 6 IL:= ' « 1 1.363 2.99 4.909 VL:= ' 0 0.3 0.45 0.6
105 7.5 8.1818 0.75
1175 J J ,13.636 ) ^0.84 J
Аппроксимируем зависимость lh=fi(ii) аналитической зависимостью с
использованием метода наименьших квадратов, зависимость - сплайном.
Для этого используем стандартные функции программы Mathcad, которая
используется для решения данного задания.
Используем метод наименьших квадратов для аппроксимации зависимости
Ui=ft(ii). Выбираем вид функции для аппроксимации и начальные приближения
коэффициентов a, b, с, d, f. Составляем подпрограмму для нахождения
коэффициентов, используя стандартные функции программы Mathcad.
к := I.. 6
а:=-ЗОО b:=0.5 С:=0.05 d:= 0.025 f:—0.5
С1Л(lr, a,b,c,d,f) :=а еЬ 1г + се dlr-f
Given
и^(|Г] ,a,b,c,d,f) = Urt Ui(lr2,a,b,c,d,f) = Ur2
U.|(lrs,a,b,c,d,f)= Ur5 U.|(lr4, a, b,c,d,f) = Ur4
Ul(lr3,a,b,c,d,f) = Ur3
U-j(lr{t,a,b,c,d,f) = Ure
s')
b
c MinErr(a,b,c,d,f)
d
J )
Таким образом, зависимости. найдены коэффициенты и вид аппроксимированной а = —1 ДР л Ь = -2 355 ч 13"3 с = £>289 d == -£= Й39 f=--4 2G6x И- b L - d Ц • = а е t-се - f
Аппроксимацию зависимости выполним с помощью сплайнов. Для
этого используется стандартные функции программы Mathcad.
287
Vs :-cspline(IL, v>L)
:= interp(vs. IL. igL, l2j
Аппроксимированные зависимости изображены на рисунках 2.4 и 2.5.
Рисунок 2.4- График аппроксимированной зависимости Ui=fi(ii)
Рисунок 2.5 - График аппроксимированной зависимости i2=f>(4J:>)
3. Расчет стационарного режима доаварийной схемы
Рассчитаем стационарный режим доаварийной схемы методом узловых
потенциалов. Для этого помимо ввода исходных данных, приведенных в табл. 1,
составим первую матрицу соединений П, вектор источников тока - J(t) и вектор
ЭДС - Е, в соответствии со схемой на Рисунок 1.
Л о о I I (J(t)
(о I -I о л) Г j(t))
' о
о
Е := аз(‘)
ед(‘)
288
Программа расчета методом узловых потенциалов будет выглядеть
следующим образом:
work:» R1<-R.|(i)
L2«-L2(l)
Ysl<-0
к «-О
while к < 1000
Ysl <- I,
Z| <— R1 +
z2^R2 + ito-L2
Z5 R5+ i w-Lg
Zb <- diag(Z)
Yb <- Z в’ '
I Ye <- П Yb
Je <- Ye-E
Yy <- Ye ПТ
Uy <- Yy'( Jt + Je)
UB4-nT-Uy
|4-Yb-(E-Ub)
R1 <- RRl(|l]|)
L2<-LL2(|l2|)
к <- к + 1
fuy'l
I I
U)
Получены следующие результаты и выполнена проверка правильности
расчета по первому закону Кирхгоффа.
1 _= work? Uy = workj
f'-3 2M-O83Si4i
• -2 332-5 6391 =
I = ' —2.318 — 8 &St I
-3.228 + 2.1’it j
I -4 S51 + 3 J
A
- * 7 4?=3 -t- 1=39 \
3 I Uy = ‘ i
5 993- \-SS.29Si-63 6671 J
hi'- sss i A —> /109983 1. B
I 3.89 I |tJyl=!jOSS5S,i
I 5 7G8 J
289
Рисунок 2.6 - Токи стационарного режима
4. Решение системы ДУ неявным методом Эйлера
Формируем начальные условия. Значения токов принимаются равными
значениям в доаварийном режиме в момент времени 0, значения напряжений на
емкостях рассчитываются по второму закону Кирхгоффа.
l?(S) = -'63? l3(0) = -S448l4(»i-2.l?l l5(O) = 3.M9
Uc03 - и*2<°) - W R3 + ез(’! Ucw .= {иУ1(0) - 14(в| Р4| - е4(0)
Ucq3 =-349125 В Uc04-12WS В
Формируем вектор начальных условий - V:
' -0.838
-5.639
v:= 3.009
-349.125
, 124.638 )
На нелинейные величины наложим следующие ограничения для обеспечения
корректности вычислений:
RR1(I):= |М(!) if |l| >0.005
12 otherwise
Щ0- —
LL2(I)|LL(I) if (|l|) >0.005
10.005 otherwise
290
Приведем составленные ДУ к форме Коши.
di, e4(t) — i, R,(i,)-Uc4-R4- (/, +i5+J(/))
dt L,
dL = ез (0 ~ '2' R2 ~ и.з ~ ~is-J (0).
Д/ Z.2G2)
dis = e4(0 - is Rs - ue4 + U03 - R-. (A + is(0) + ^ • fe - is ~ Л0). (])
dt Ls ’ ' '
ш C3
dU л 1 / 7/ \ \
—7^=7r(J0)+’1 +'5)-
Ш C3
В уравнениях заменим дифференциалы разностями:
dy = yM-yt,
dx = xk4,-xk,
Значение производной f(x,y) примем равному для координат конца шага
расчета, т.е. f(xk+),yk+1)
Тогда имеем: —1 = /(Wm)-
п
Откуда получаем рабочую формулу для неявного метода Эйлера.
Ум =yt +hf(xM,yM) О’)
Из (]’) видно, что в правой части уравнения присутствует неизвестная ук+|.
Поэтому уравнение (1’) необходимо теперь разрешить относительно ук+[. Т.к.
уравнение (1 ’) не разрешено относительно неизвестной метод Эйлера получил здесь
название неявный.
Преобразуем ДУ в соответствии с неявным методом Эйлера.
+^- (еГ(0-Г (Г +^' +-/А*'(0));
ii' = ii + А. «' (0 - 'Г' r2 ~ и о" - Rs • (4+| - 'Г' - (О));
ь2 [12 )
'5+1 = is + — • (£Г' (0 - '5+' • RS - R4 • + «5+1 + W) - ^*4+l +
RS
+ R}-(^-i‘+l -J^(t)) + U^Y,
U03' = ukC3 + -iksu ~ (0);
l/‘4+' = ^‘4 + “ • (Г + Ф1 + Jk" (0).
^4
291
Решение уравнений производится в матричной форме. Уравнения
преобразуются, все искомые неизвестные с коэффициентами (к+1) переносятся в
левую часть, все прочие остаются в правой части.
Например, преобразуем первое уравнение:
'Г -— (-»,**' - /?(/,**’)-/?4 (».**' +eJ+'(O-^ J‘+’W; (2)
Ч
Составляется матрица левых частей PR(v, i), размером (5x5) - по количеству
искомых параметров - 3 тока (ih i2, is), 2 напряжения (17с3, Ц.Д. Построчно для
каждого уравнения записываются коэффициенты, находящиеся при искомых
величинах в порядке - ib i2, is, и,з, Uc4. Например, первая строка в соответствии с
уравнением (2) выглядит следующим образом (где h-At):
At(RRl(v,) + r4)
Ч
Остальные строки формируются аналогично в соответствии с уравнениями,
тогда матрица левых частей имеет вид:
AtR4 Л(
О ---- 0 —
ч ч
At (RR1(v,) + R4) At R4 At
4 4 4
At(R2 R3) AtR3 At
LL2(4.) LL2(v,) 1x2(4)
PR(v, i) At R4 ~чГ -AtR3 At (R3 + R4 + R5) l5 -At 45 At 4,
0 -At At C3 1 0
-At C4 0 -At 0 i
Далее составляется вектор правых частей PCH(t, i, v), куда заносятся все
оставшиеся члены уравнений, матрица имеет вид:
At (e4(l + At) - J(t + Al) R4)
v' +------------4------------
At e3(t + At) At R3 J(t + At)
L2(v?)
PCH(tiv)= Л,а4(, + д0 At(R3 + R4)-J(t+At) At-e3(l + At)
4, L5 L5
AtJ(l + At)
V< - ---------
Al-J(t+At)
v +-----------
C4
L
292
Далее идет основная программа решения ДУ неявным методом Эйлера.
Метод_Эйлера:=
(v,) «- -0.838
(v,) <- -5.639
(у,) <- 3.009
(v4) «- -349.125
(vs) <- 124.638
t«-0
At <- 0.00002
i <- i
while t < 0.2
w«—PR(v,I)-' PCH(t,i,v)
H|+i «-V4
I2|+i«— vy>
15i^i 8-vv,
Uc3j+1 <-
Uc4j (। <-
|3д, <- (vv,) j(t) +
I4b , < vv, +J(t) +vy
V, <- vy
y.<-vy,
V|<-V4
V4<-V4
v5«-vij
i <— i + I
t <- t + At
12
13
14
ll5j
Искомым токам присваиваются значения, полученные в ходе решения данной
программы:
le-j := Метод_Эйлер^ 1в4 := Метод_ЭйлерЗ|
1е2Метод_Эйлер^ 1е^ := метод_Эйлера
1е3 := Метод_Эйлера
293
5. Решение системы ДУ явным методом Рунге-Кутта для установившегося режима,
вызванного закорачиванием сопротивления R5
Принимаем начальные условия для искомых величин - ih 6, ij, Ucs, Uc4.
Аналогично с предыдущим методом значения токов принимаются равными
значениям в доаварийном режиме в момент времени 0, значения напряжений на
емкостях рассчитываются по второму закону Кирхгоффа.
И := -0.838 12-5.639 15=0 Uc3:=-231.487 Uc4 := 124.638
Формируем вектор начальных условий Y следующим образом:
Г 11 1 ( -8S38
; 12 J -5639
Y’= ; ; Uc3 ' Y=; -231487
: Цсд 124 638
< 15 J 1 0
Составляем вектор правых частей ДУ в форме Коши (уравнения (1)).
DUE(Y.t) e4(t) - Ц Ri(l-i) - Uc4 R, (J(t) + Ц * l5) 4 e3(t) - l2-R2 - [(-Is) - J(t) 4 l2] R3 - Peg l2('2) A .[(^ _J(f) +
e4(t) -I5 R5 (i5 . J(t) 4 ц) к4 Uc4-e3(t)+ [(-%) J(t) > I2| r3 . Uc3
Далее формируем подпрограмму для расчета коэффициентов метода Рунге-
Кутта четвертого порядка:
Далее идет основная программа, где рассчитываются все искомые величины.
294
М_Р_К-«
Ip^ <--0838
lp2 <--5639
lp3 <--8648
1р4 «--2.171
1р5^0
Осрз <--349 125
Ucp4 «- 124.638
t<-0
die- 0 00002
i<- I
while t ? 02
R<- RK4(Y,t)
Y<-R
Ipi <- Yj
H-l
IP2 <- Yj
l+l
>P5-
1+1
Ucp3 <- Y3
1+1
Ucp4 «- Y4
i+i
’P3- (”'P5- 1 " JW + iP2
н-i I. i+v *H+
lp4 <- lp5. + J(i) + lp->.
i+i t+i i+i
l+- 1 + I
t +- t + dt
'!₽1 '
lp2
'РЗ
lp4
JP5.
Ip-! M P K,
IP2 = M_P_Kj
lp3 - M_P_K3
lp4M_P_K«
Ipg = M_P_K5
Ниже приведено сравнение токов во всех ветвях при расчетах разными методами.
295
Vs -см:1|га’Т lap
Рисунок 2.7 - Ток первой ветви, рассчитанный методом Эйлера
Vs - csc-li^e:: Т. Гр^;
- 1гче»з Vs Т Ip, ••
Рисунок 2.8 - Ток первой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
Рисунок 2.9 - Ток первой ветви, рассчитанный методом Эйлера
(доаварийпый и переходный процесс)
296
Рисунок 2.10- Ток первой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
(доаварийный и переходный процесс)
Рисунок 2.11 - Ток второй ветви, рассчитанный методом Эйлера
Рисунок 2.12 - Ток второй ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
и
297
Рисунок 2.13 - Ток второй ветви, рассчитанный методом Эйлера
(доаварийный и переходный процесс)
Рисунок 2.14 - Ток второй ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта (доаварийный
и переходный процесс)
Рисунок 2.15 - Ток третьей ветви, рассчитанный методом Эйлера
298
Рисунок 2.16 - Ток третьей ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
Рисунок 2.17 - Ток третьей ветви, рассчитанный методом Эйлера
(доаварийный и переходный процесс)
Рисунок 2.18 - Ток третьей ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
(доаварийный и переходный процесс)
У»
Рисунок 2.19 - Ток четвертой ветви, рассчитанный методом Эйлера
Рисунок 2.20 - Ток четвертой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
Рисунок 2.21 - Ток четвертой ветви, рассчитанный методом Эйлера
(доаварийный и переходный процесс)
300
Рисунок 2.22 - Ток четвертой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
(доаварийный и переходный процесс)
Рисунок 2.23 - Ток пятой ветви, рассчитанный методом Эйлера
Рисунок 2.24 - Ток пятой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта
301
Рисунок 2.25 - Ток пятой ветви, рассчитанный методом Эйлера
(доаварийный и переходный процесс)
Рисунок 2.26 - Ток пятой ветви, рассчитанный методом Рунге-Кутта (доаварийный
и переходный процесс)
302
Раздел 8. Программа курса
M1HICTEPCTBO ОСВ1ТИ ТА НАУКИ УКРА1НИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦЮНАЛЬНИЙ ТЕХН1ЧНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ
ЗАТВЕРДЖУЮ
Декан ЕТФ
О. В. Левшов
“ ”2005 р.
РОБОЧА ПРОГРАМА
з дисциплши “Математичне моделювання в електротехнмц
та електроенергетиш”
для MaricTpiB електротехшчного факультету спец1альностей:
7.090601 - елсктрична частина електричних сташцй;
7.090602 - 7.090603 - 7.090604 Семестр Лекцп Практичш заняття Лабораторп! роботи Курсова робота Самостийна робота Домашш завдання Всього 3aniK 1спит електричш системи та мереж,; електропостачаиня промислових пйшриемств та Mier; електролривод та автоматизац>я промислових установок. - десятий. - 34 години. - 34 години. - 34 години. - немае. - 33 години. 2. - 135 годин. - немае. - 1.
ДОНЕЦЬК-2005 р.
303
8.1 ЗАГАЛЬН! ПОЛОЖЕНИЯ
Робоча програма дисциплши “Математичпс моделювання в елсктротехшц! та
електроенергетиц!” розроблена з урахуванням типово! програми курсу для мапстр!в
з дисциплши “Основи обчислювально! техшки” (Бюлетень Державного комггату
СРСР з народно! осв|ти. Сср!я: вигца та середня спсщальна oceira, №9, 1988 р.) i
вщповгдно з рппенням ректорату ДонНТУ № вщ Дана дисцишпна
призначена для MaricTpie електротехшчного факультету.
8.2 МЕТА IЗАДАЧ1 КУРСУ
Мета курсу “Матсматичне моделювання в елсктротехшц! та
електроенергетиц!” заключасться у наданш допомоги мапстрам у оволодшш ними
Teopif io и методами математичного моделювання резного роду електротехшчних
об’екпв и установ, що будс сприяти формуванню 1х як дослщниюв, здатних
виконати дисертацшну роботу на вищому науковому р1’вн1 з урахуванням сучасних
вимог.
На курс полагаються наступи! задач!:
- ознакомления з роллю i м!сцем метод!в математичного моделювання в
електротсхшщ та електроенергетиц!;
- вивчення основних метод!в чисельного р!шення систем лишних и
нелшшних р!внянь, диференшйних р!внянь;
- вивчення метод!в м!н!м!заци цшьових функций;
- вивчення матричних метод!в анал!зу електричних ланцюпв;
- освоения на ПЕОМ нового програмного пакета Mathcad 6.0 i його
застосування для реал!зацп метод!в математичного моделювання в електротехнщ! та
електроенсргетиц!;
- вивчення математичних моделей трансформатор !в, синхронних та
асинхронних двигушв i складних систем електропостачання.
Усшшно завершивши вивчення дисциплши, мапстри повинш:
- вм!ти побудувати математичну модель задано! електрично! схеми i
виконати анал!з !! роботи у стацюнарних и перехщних режимах;
- вмгти надати задану електричну схему в вид! математично! модел!,
реал!зувати и на ПЕОМ за допомогою пакета Mathcad 6.0;
- вмгти використовувати отримаш знания для р!шення конкрстних задач свое!
дисертацшно! роботи.
304
8.3 ОБ’СМ, СТРУКТУРА i СТРУКТУРНО-ЛОПЧНА СХЕМА КУРСУ
Вивчення дисципл1ни “Математичке моделювання в електротехшц! та
електроенергетиш” псредбачае 120 годин аудиторних занять (34 години лекцш, 34
години лабораторних роб1т, 34 години практичних занять ), 33 години самостшно!’
роботи.
Розпод1л годин по темам и видам занять
N Тема Юлькгсть годин
п/п Лскцп Лаборат. роботи Практичн. заняття Самост. робота
1 Дп з матрицями 2 2 2 2
2 Чиселып методи р!шення алгебраУчних i диференцшних р1внянь 3 3 3 2
3 Методи м11Пм1зацн цыьових функцш 2 2 2 2
4 Матричш метоли аншпзу електричних ланцюпв 3 3 3 2
5 Основи пакету Mathcad 6.0 i його реал!зац!я на ПЕОМ 3 3 3 8
6 Математична модель трансформатора 3 3 3 2
7 Математичж модел! асинхронних машин 3 3 3 3
8 Математичш модел! синхронних машин 3 3 3 3
9 Моделювання режим!в електричних схем методом вузлових напруг 3 3 3 3
10 Моделювання режим1в електричних схем методом контурних CTpyMIв 3 3 3 2
11 Автоматично формування на ПЕОМ математично! модел! електрично! схеми за п структурною схемою 3 3 3 2
12 Математичне моделювання електронних схем 3 3 3 2
Всього: 34 34 34 33
305
8.4 ТЕМАТИЧНИЙ 3MICT ДИСЦИПЛИН
Тема 1. Дп з матрицами. Множення, траиспонування, обертання, LU-
розклад, дифсреншювання. Властивост! матриць. 1х використання для запису систем
р!внянь. Дп з матрицями на ЕОМ.
Тема 2. Чиселып методи решения лишних и нелппйних систем р1внянь.
Методи Гаусса, Ньютона, Пауелла, гра/иептний. Матриц! Якоб!, Гессе i !х
використання. Методи нульового, першого i другого порядку для рпнення
нелппйних р!внянь.
Тема 3. Методи м!шм!заш1 фупкцюнал!в i шльових функщй. Обл!к
обмежень. Псревизначеш системи рйвнянь та !х р!шення за допомогою метода
найменших квадрат!в. Р^ал!зац!я метод!в i ix алгоритм!в на ЕОМ.
Тема 4. МаТричн! метода анал!зу електричних ланцюпв. Графи
електричних ланцюпв. Матриц! з’еднань и контур!в. Закони Ома и Kipxгоффа в
матричшй форм!.
Тема 5. Основи нового пакета програмних засоб!в Mathcad 6.0 i його
використання для математичного моделювання електротехшчних установок.
Тема 6. Математичка модель трансформатора для анал!зу стацюнарних i
псрех!дних рсжим!в роботи. Модел! трифазних тривиткових трансформатор!в.
Способи реал!зацп модел! на ПЕОМ.
Тема 7. Математики! модел! асинхронних двигушв для анашзу
стацюнарних i псрех!дних режим!в. Розрахунок параметр!в заступно! схеми по
каталожним даним. Р!впяння Парка-Горева. Моделювання режим!в пуску,
самозапуску, короткого замикапня, виб!гу.
Тема 8. Математики! модел! синхронних двигушв для анал!зу стацюнарних
i перех!даих режим!в. Розрахунок параметр!в заступно! схеми по каталожним
даним. Р!вняння Парка-Горева. Моделювання режим!в пуску, самозапуску,
короткого замикання, виб!гу, ресинхрошзацп.
Тема 9. Математичке моделювання замкнутих електричних ланцюпв у
стацюнарних режимах на основ! метода вузлових напруг.
Тема 10. Математичке моделювання електричних ланцюпв складно!
конфшурацп методом контурних струм!в.
Тема 11. Математичне моделювання електричних ланцюпв складно!
конфюурацп у псрех!дних режимах з використанням метод!в автоматичного
формування модел! на ЕОМ по задашй структуршй схем!.
Тема 12. Математичне моделювання перехгдних процес!в в електронних
схемах.
306
ОБОВ’ЯЗКОВА IДОПОМ1ЖНА Л1ТЕРАТУРА
1. Перхач В.С. Математичш задач! електроенергетики. “Вища школа”, Л. -
1973, 324с.
2. Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока.
Госэнергоиздат, М. - Л. - 1963, 744с. с рис.
3. Сивокобыленко В.Ф., Лебедев В.К. Переходные процессы в системах
ЗЛ^сгроснабжения собственных нужд электростанций (учебное пособие). РВА
ДойНгГУ, Донецк - 2002, 136с.
*4.* Сивокобыленко В.Ф. Переходные процессы в многомашинных системах
электроснабжения электрических станций (учебное пособие). ДПИ, Донецк - 1984,
116с.
5. Сивокобыленко В.Ф., Костенко В.И. Математическое моделирование
электродвигателей собственных нужд электрических станций (учебное пособие).
ДПИ, Донецк - 1979,110с.
6. Копылов И.П. Применение вычислительных машин в инженерео-
экономических расчетах (Электрические машины): Учебник,- М. Высш, школа,
1980. - 256с.
7. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М. Изд."Радио и связь",
1988.- 128с.
8. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
Изд."Наука". М. 1970. - 664с.
9. Очков В.Ф. Mathcad PLUS 6.0 для студентов и инженеров - М.: ТОО фирма
"Компьютер Пресс", 1996. - 238с.
10. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые и научные расчеты в среде "Windows 95". /
Перевод с англ. М.: Изд. информ. дом "Филинь",
1996.-712с.
11. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Том 1.
Энергоиздат, 1981. - 534с.
Програму склав проф., д.т.н. Сивокобиленко В.Ф.
Робоча програма затверджена на засщанш кафедри ЕС,
протокол N вщ 2005 г.
Зав. кафедрою ЕС Сивокобиленко В.Ф.