МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕР
А
ЦИИ
Федеральное г
осударственное
бюджетное
образовательное учреждение высшего
професси
о
нального образования
«Тихоокеанский государственный университет»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Методи
ческие указания к
изучению дисциплины
«Математическое моделирование»
и выполн
е
нию
к
онтрольной
работы для студентов
заочного факультета
по
направлени
ю
подготовки 190109
–
Наземные транспортно
-
технологические
комплексы
(
профиль
–
Подъёмно
-
транспортные,
с
троительные, дорожные машины и оборудов
а
ние)
Хабаровск
Издательство ТОГУ
2011

2
УДК 6
22
.
2
71
:5
19
.8
6
(07
6
)
Математическое
моделирование
:
методические указания к
изучению
дисциплины
«
Математическое
моделирование
»
и выполнению
контрольно
й
работы
для студентов
заочного факультета по
направлени
ю
по
дготовки
190109
–
Наземные транспортно
-
технологические
комплексы
(
профиль
–
Подъёмно
-
транспортные,
строительные, дорожные машины и оборудов
а
ние)
/
сост
.
Г
.
М
.
Вербицкий
.
–
Хабаровск
:
Изд
-
во Тих
о
океан
.
гос
.
ун
-
та
,
201
2
.
–
54
с
.
В методических указаниях
приведён состав изучаемой дисциплины с
рекомендуемой литературой
,
контрольные вопросы и указания к
в
ы
полнению к
онтрольной
работы
.
В последних приведены примеры решения
задач математического моделирования
раз
ного содержания с применением
симплекс
-
метода
линейного программирования
в табличной модификации и
на ЭВМ
.
Печатается в соответствии с решениями кафедры «Транспортно
-
технологические системы в строительстве и горном деле» и методического
совета
транспортн
о
-
энергетического
факультета
.
Главный редактор
Л. А. Суевалова
Редактор
Оператор компьютерной вёрстки
Подписано в печать
.
Формат 60
x
84 1
/
16
.
Бумага писчая
.
Гарнитура «Таймс»
.
Печать цифровая
.
Усл
.
печ
.
л
.
.
Тираж экз
.
Заказ
.
Издательство Тих
оокеанского государственного университета.
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного ун
и
верситета
680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
© Тихоокеанский государственный
унив
ерситет
,
201
2

3
Курс
“
Математическое моделирование
”
имеет целью
выработать у
студентов мнение о возможности получения наилучшего (оптимального)
решения задач
,
имеющих множество (в том числе и бесконечное)
возможных решений и
,
не умаляя существующего множе
ства методов
математического программирования
,
способствовать
приобретению
навыков
получения такого решения с помощью хотя бы одного из методов решения
–
симплекс
-
метода линейного программирования
.
Это необходимо при
последующем изучении дисциплин специаль
ного цикла учебного плана
для
подготовки
студентов как будущих руков
о
дителей производства
,
имеющих
навыки
обоснованной выработки руководящих решений в о
б
ласти
организации
механизированных процессов в строительстве
,
проектировании
и производстве строительно
-
дорожной техники
.
1.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1.
История возникновения математического моделирования. Разв
и
тие
моделирования в России.
Тема 2.
Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и
управлении строительством
Задачи ра
спределения. Задачи замены. Задачи поиска. Задачи управления
з
а
пасами (создание и хранение). Задачи теории расписаний.
Тема 3
.
Моделирование в строительстве. Общие положения
Тема 4.
Модели линейного программирования. Формы записи задач
лине
й
ного прог
раммирования
Тема 5.
Понятие о симплекс
-
методе линейного программирования
Запись задачи линейного программирования в стандартной форме.
Нахожд
е
ние опорного решения. Определение оптимального решения. Выбор
первого баз
и
са.
Тема 6.
Двойственная задача л
инейного программирования. Теоремы
дво
й
ственности
Тема 7.
Модели динамического программирования
Тема 8.
Модели управления запасами
Тема 9.
Целочисленные модели
Тема 10.
Цифровое моделирование

4
Цифровое моделирование (метод перебора). Им
итационные модели.
Вероя
т
ностно
-
статистические модели.
Тема 11.
Модели итеративного агрегирования. Организационно
-
технологические модели. Графические модели. Сетевые модели
Тема 12.
Нелинейное программирование
Тема 13.
Методы корреляционно
-
регрессионног
о анализа зависимости
м
е
жду факторами, включаемыми в экономико
-
математические модели
2
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ПО КУРСУ
1. История возникновения математического моделирования.
2. Развитие моделирования в России.
3. Назначение математического моделирования
.
4. Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и
управлении строительством: задачи ра
с
пределения, задачи замены.
5. Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и
упра
в
лении строительством: задач поиска, задачи массового о
бслуживания
или задачи очередей.
6. Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и
упра
в
лении строительством задачи управления запасами (создание и
хранение), задачи теории расписаний.
7. Моделирование в строительстве. Основные положения. Ви
ды экономико
-
математических моделей в области организации, планирования и управления
стро
и
тельством.
8. Модели линейного программирования.
9. Некоторые графоаналитические сведения для графической интерпретации
решения задач линейного программирования: лине
йные уравнения,
линейные нер
а
венства, системы линейных неравенств, области допустимых
решений и их виды.
10. Графическое решение задач линейного программирования. Наличие
о
п
тимальных решений задач и его обусловленность.
11. Формы записи задач линейного про
граммирования.
12. Методы решения задач линейного программирования. Понятие о
си
м
плекс
-
методе линейного программирования: запись задачи линейного
программир
о
вания в стандартной форме.
13. Понятие о симплекс
-
методе линейного программирования: нахождение
опо
рного решения, метод модифицированных жордановых исключений.
14. Определение оптимального решения.
15. Выбор первого базиса.

5
16.Двойственная задача линейного программирования. Теоремы
двойстве
н
ности.
17. Модели динамического программирования.
18. Модели уп
равления запасами.
19. Целочисленные модели.
20. Целочисленные модели: метод отсечений по Гомори .
21. Цифровое моделирование (метод перебора). Имитационные модели.
22. В
е
роятностно
-
статистические модели. Модели теории игр.
23. Модели итеративного агрегир
ования.
24. Организационно
-
технологические модели. Графические модели. Сетевые
модели.
25. Общая характеристика, основные типы и особенности задач нелинейного
программирования.
26. Методы решения задач безусловной оптимизации.
26.Методы решения задач нели
нейного программирования с условной
опт
и
мизацией.
27. Основные этапы и принципы моделирования.
28. Методы корреляционно
-
регрессионного анализа зависимости между
фа
к
торами, включаемыми в экономико
-
математические модели: Виды
корреляционно
-
регрессионного ана
лиза, требования к факторам,
включаемым в модель.
29. Методы корреляционно
-
регрессионного анализа зависимости между
факторами, включаемыми в экономико
-
математические модели: парный
корреляц
и
онно
-
регрессионный анализ.
30. Методы корреляционно
-
регрессионног
о анализа зависимости между
фа
к
торами, включаемыми в экономико
-
математические модели: метод
наименьших квадратов.
31. Методы корреляционно
-
регрессионного анализа зависимости между
фа
к
торами, включаемыми в экономико
-
математические модели:
множественный корр
е
ляционный анализ.
3
.
СОСТАВ
,
СОДЕРЖАНИЕ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
3
.
1
.
Состав
контрольной
работы
В соответствии с учебным планом специальности по дисциплине
пр
е
дусмотрена
контрольная
работа
.
Контрольная
работа п
омогает
изучит
ь
сведения о существующих методах решения для получения наилучшего
решения и
выработки навыков получения
решений
многомерных задач
с
оптимальными резул
ь
татами с помощью математических моделей и
од
ного
из употребляемых
метод
ов
м
а
тематического программирова
ния
–
симплекс
-
метода
.
К
онтрольная
работа может быть выполнена только после ознакомления
с
содержимым курса в соответствии с его тематикой
.

6
Контрольная работа содержит ответ на один из контрольных вопросов курса
и решения одной из задач по варианту
.
Номер
контрольного вопроса
для ответа из списка вопросов по п. 2
выбирается из табл. 1 в соответствии с предпоследней и последней
цифрами шифра зачётки
.
Таблица 1
Выбор
порядкового номера контрольного вопроса
Предпоследняя
цифра шифра
Последняя цифра шифра сту
дента
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
3
2
26
1
6
2
3
2
6
3
5
28
19
1
2
1
6
1
3
2
1
2
0
3
2
0
7
1
5
1
5
3
3
8
2
9
3
0
1
8
2
3
0
4
2
3
4
2
0
2
4
5
2
0
2
1
6
1
5
5
1
0
1
5
5
3
0
2
19
1
5
1
3
4
1
5
2
1
2
4
6
6
2
0
1
1
2
3
27
2
3
26
8
6
2
0
7
2
7
7
17
1
4
9
8
2
0
1
4
3
8
18
4
17
28
1
5
5
1
6
1
5
8
1
9
1
1
1
0
27
26
25
1
0
28
17
1
6
28
0
3
1
26
2
7
1
0
19
3
0
1
0
24
2
0
6
Решение задач
и
к
онтрольной
работы предусматривает применение
лине
й
ного программирования
,
являющегося одним из универсальных
методов п
о
лучения опти
мальных решений
и являющегося
основой для
понимания и формирования
б
о
лее сложных моделей
.
Выбор варианта задачи к
онтрольной
работы
производится
по табл
.
2
в
с
о
ответствии с последней и предпоследней цифрой шифра зачётной книжки
студента
.
Содержание задач
,
п
риведённых ниже
,
самое неожиданное
,
зачастую даже
необычное
,
что ещё раз подтверждает универсальность рассматриваемых
методов
,
пригодных для решения задач любой области деятельности
человека
.
Успешное усвоение рассматриваемых методов решения задач
будет бо
льшим подспорьем освоения специальных дисциплин специальности
в последующем
.
При р
ешени
и
задачи
должны быть выполнены следующие этапы
:
1. Постановка задачи;
2. Формирование экономико
-
математической модели;
3. Запись
модели в стандартной форме;
4. Поиск опорного решения;
5. Нахождение оптимального решения;
6. Анализ результатов решения;
7. Подготовка задачи к решению на ЭВМ;
8. Получение решения на ЭВМ;

7
9. Сравнение решения на ЭВМ с результатом ручного сч
ё
та.
Таблица
2
Выбор варианта задачи для курсовой работы
Предпоследняя
цифра шифра
Последняя цифра шифра студента
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
3
2
2
6
1
6
2
3
2
6
7
28
19
4
2
1
6
1
3
2
1
2
0
6
2
0
7
1
5
1
5
3
3
8
2
9
2
4
8
5
2
4
2
3
4
2
0
2
4
5
2
0
5
1
6
1
5
5
1
0
1
5
5
2
5
19
1
5
1
3
4
1
5
2
1
5
7
6
6
2
0
1
1
2
3
27
2
3
26
8
6
2
0
7
2
7
7
17
1
4
9
8
2
0
1
4
6
8
18
7
17
28
1
5
5
1
6
1
5
8
4
9
1
1
1
0
27
26
25
1
0
28
17
1
6
28
0
3
26
2
7
1
0
19
2
1
0
24
2
0
6
3. 2.
Содержание задач к
онтрольной
работы
по вариантам
Задача
1
.
Коммерческая фирма осуществляет продажу автомобилей из
салона в Германии в Россию на заказ
.
Предлагаются автомобили марки
BMW
,
Volvo
,
Mersedes
,
Saab
.
Необходимо так организовать оформление
заказов
,
чтобы за каждый рейс получать максимум прибыли
.
За один рейс
фирма хочет поставлять автомобилей
BMW
не менее 2 шт
.
(так как уверена
,
что сможет их продать
),
но не более чем в два раза больше
,
чем
Volvo
(
с
учётом спроса на российском рынке)
.
Общее число а
втомобилей
Mersedes
и
Saab
должно быть (по условиям договора с салоном) не менее
5 шт
.,
а общее
число автомобилей
Mersedes
,
Volvo
,
Saab
по организационным причинам не
должно быть более 20 шт
.
за один рейс
.
Прибыль фирмы от продажи
автомобилей марок
BMW
,
Me
rsedes
,
Volvo
,
Saab
равна соответственно 1000
$,
1200$, 800$
и
900$.
Задача
2
.
На дачном участке площадью 600 м
2
стоит дом
,
занимающий
площадь 40 м
2
.
Площадка для настольного тенниса и дорожки занимают в
сумме 40 м
2
.
На оставшейся территории планируется по
садить картофель
,
огурцы и помидоры
,
клубнику
,
а также всевозможную зелень
.
Площадь под
картофель нужна не менее 300 м
2
,
но и не более чем 400 м
2
(картофель
выращивается только для собственного потребления
,
поэтому слишком
много его не нужно)
.
Под огурцы и
помидоры планируется отвести не менее
50 м
2
(овощи полезны!)
,
но не более чем 1
/
3 от площади
,
занимаемой
картофелем (для соблюдения баланса в питании)
.
Клубникой хочется занять
не менее 80 м
2
,
но
не более
¼
площади под картофель
.
Под зелень
предполагаетс
я отвести не менее 10 м
2
,
но не более половины площади
,
занимаемой помидорами и огурцами
.
Дачникам не хочется тратить
на

8
подготовку почвы слишком много времени
.
Известно
,
что на вскапывание и
подготовку почвы к посадке картофеля уходит 10 мин
./
м
2
,
огурцов
и
помидоров
–
20 мин
./
м
2
,
клубники
–
25 мин
./
м
2
,
зелени
–
18 мин
./
м
2
.
Однако
работа с клубникой очень приятна
,
поэтому время на обработку почвы для
неё рассматривается как праздник (и потому даже мысленно вычитается из
всего времени
,
потраченного на обрабо
тку почвы
)
.
Как за минимальное
время дачники могут обеспечить себе сбалансированное питание?
Задача
3
.
После получения долгожданной зарплаты семья собирается
поехать на мелкооптовый рынок за мясом
.
В семье (муж
,
жена и мать жены)
из мяса готовят пельмени
,
котлеты
,
голубцы и гуляш
.
У каждого члена семьи
–
свои соображения о том
,
на какие блюда лучше использовать мясо
.
Муж
хочет
,
чтобы на голубцы пошло не менее 1 кг
,
а на пельмени и котлеты
–
не
более 5 кг
.
Жена считает
,
что на пельмени и голубцы нужно выдел
ить не
менее 4 кг
,
а на гуляш
–
как минимум в два раза меньше
,
чем на пельмени
.
Её
мама хочет на котлеты выделить минимум 2 кг
,
а на голубцы не более 3 кг
.
Все они согласны в том
,
что на котлеты и пельмени нужно отвести не
меньше половины всего мяса
.
Так
как мясо в наше время дорогое
,
то не хочется покупать лишнего мяса
.
Сколько его купить
,
чтобы удовлетворить все пожелания всех членов семьи?
Задача
4
.
Строительное предприятие перевозит водным транспортом четыре
вида продукции
–
сыпучие материалы (песок
и щебень)
и несыпучие (кирпич
и строительные блоки)
.
Перевозки производятся на судне
-
сухогрузе
,
который
имеет два отсека
–
для сыпучих грузов и для несыпучих
.
Стоимость
перевозки сухогрузов за один рейс
:
одной тонны кирпича
–
7 у
.
е
.
(условных
единиц
,
т
.
е
.
долларов)
,
строительных блоков
–
8 у
.
е
.,
песка
–
3 у
.
е
.,
щебня
–
2 у
.
е
.
Общий вес сыпучих грузов не должен превосходить 65 тонн
,
а
несыпучих
–
70 тонн
,
общий вес всего груза не должен превосходить 120
тонн
.
При этом разница в загрузке двух отсеков
для
соблюдения баланса
судна не должна превосходить 10 тонн
.
За один рейс обязательно нужно
перевезти не менее 5 тонн щебня
.
Как выбрать наиболее прибыльный состав
груза?
Задача
5
.
Город Пожарск расположен вокруг озера Пожарского
.
Горо
д
разбит на 5 районов
,
каждый из которых примыкает к озеру
,
а их площади
соответственно 7
.
2 км
2
,
8
,
6
,
8
.
8 и 10 кв
.
км (перечисление
–
по часовой
стрелке вокруг озера)
.
В каждом районе имеется своя пожарная часть
.
Известно
,
что площадь эффективного воздействия одной пожарной маш
ины
при пожаре составляет 0
.
1 га = 0
.
001 км
2
.
В случае массового возгорания в одном районе тушением должно быть
охвачено не менее 2
%
территории района
,
причём возможно привлечение
всех пожарных машин из двух соседних районов
.
Каково должно быть
минимальное
количество пожарных машин в Пожарске?

9
Задача
6
.
В магазине
организована продажа джинсов пяти марок
–
“
Motor
”,
“
Cross
”, “
Dallas
”, “
Levi
’
s
”
и
“
GAP
”
Магазин не имеет складского помещения
,
весь товар завозится с оптовых складов раз в 3 дня и помещается на по
лках
.
На полках можно разместить не более 2000 джинсов (с учётом остатка от
прошлого завоза)
.
Джинсы
“
Motor
”
и
“
Cross
”
доставляются с одного склада
на машине
,
которая может вместить не более
1300 джинсов
.
В последнее
время участились кражи джинсов марки
“
G
AP
”
(самых дорогих)
,
поэтому
решено разместить их на отдельных полках в количестве не более 300 шт
.
Из
статистической обработки данных о продажах выяснено
,
что джинсов марок
“
Cross
”
и
“
Dallas
”
за три дня продаётся не менее 700 шт
.
В ближайшем будущем ожида
ется прибытие на склады крупных партий
джинсов марок
“
Motor
”
и
“
Dallas
”,
поэтому решено
,
что в рекламных целях
доля продажи этих джинсов должна
составлять
не менее 50
%
от продажи
всех остальных марок
.
Определить количество заказываемых на складах джинсов
,
при котором
магазин может получить максимальную прибыль (пропорциональную
стоимости проданного товара)
.
Известно
,
что цены (за 1 джинсы) таковы
:
“
Motor
”
–
30$, “
Cross
”
–
38$, “
Dallas
”
–
38$,
“
Levi
’
s
”
–
44$, “
GAP
”
–
50$.
Задача
7
.
Планируется покупка книг
для семейной библиотеки
.
Муж читает
только классическую прозу и фантастику
,
жена
–
стихи (классику)
,
старший
сын
–
фантастику
,
а младшему сыну собираются покупать энциклопедии
.
Муж хочет
,
чтобы из купленных книг не менее 10 были для него
,
причём и
муж и же
на рассчитывают от 2 до
7 книг для чтения каждый
.
Жена надеется
,
что и классическая проза ей тоже будет интересна
,
поэтому она согласна
купить поэзии не более того количества
,
в котором будет куплена
прозаическая классика
.
Также договорились
,
что книг
,
кот
орые собираются
читать
муж и старший сын
,
будет ровно половина от общего числа
купленных книг
.
Всего собираются купить не более 30 книг
.
Стоимость книг
(в среднем)
:
–
классическая проза
–
30 руб
.
и стихи
–
20 руб
.;
–
фантастика
–
15 руб
.;
–
энциклопедии
–
по 70 руб
.
Сколько и каких книг нужно купить
,
чтобы с минимальными расходами
удовлетворить пожелания всех членов семьи?
Задача
8
.
Стоимость газеты
“
МК
”
–
0
.
7 р
.,
“
АиФ
”
–
1
.
5 р
.,
“
Из рук в руки
”
–
5
р
.,
а
“
Приглашаю на работу
”
–
2 р
.
за один экземпляр
.
Торговая точка в день
продаёт не более 200 экземпляров
“
МК
”
и не более 100 экземпляров
“
АиФ
”.
Газет
“
Из рук в руки
”
и
”
Приглашаю на работу
”
всего покупают не менее 200
экземпляров
,
но и не более 300 экземпляров
.
Из
-
за определённых
обязательств перед издат
ельствами число заказываемых торговой точкой
газет
“
МК
’
и
“
Из рук в руки
”
должно быть больше или равно числу заказов
на остальные две газеты
.

10
Прибыль торговой точки пропорциональна стоимости всех проданных газет
.
Определить
,
при каком соотношении заказанн
ых газет их продажа наиболее
выгодна
.
Задача
9
.
Смок Белью собрался в поход из Доусона на Нежданное озеро
.
Так
как в походе запасы пополнить будет негде
он решил обеспечить себя
провизией ещё в Доусоне
.
Его обычное меню составляют рыба (цена в
Доусоне
1
.
5
$
за фунт)
,
мясо (2
.
3
$
за фунт)
,
сало (1
$
за фунт)
,
бобы (0
.
8
$
за
фунт) и лепёшки (0
.
5
$
за фунт)
.
По опыту предыдущих походов он знает
,
что
стоит придерживаться определённых соотношений между продуктами
.
Рыбы
и сала надо взять в сумме не более 50 фунтов
,
мяса и бобов
–
не менее 10
фунтов
,
лепёшек и рыбы
–
не менее 32 фунтов
,
мяса и лепёшек
–
не менее 14
фунтов
,
а рыбы и мяса
–
не менее 50 фунтов
.
Смок сильно стеснён в
средствах и хочет знать
,
какой суммы ему будет достаточно
для обеспечения
себя провизией
.
Задача 1
0
.
Поверхность ювелирного изделия составляет 400 см
2
.
Основной
узор занимает 100 см
2
,
а площадь неукрашенных полей
–
тоже 100 см
2
.
На
оставшуюся часть поверхности необходимо нанести инкрустацию топазами
,
сапфирами
,
золотой протяжкой и серебряной
чеканкой
.
При этом топазы
должны занимать
площадь не менее 80 см
2
и не более 100 см
2
.
Сапфиры
должны по эстетическим соображениям занимать площадь не более 2
5%
от
площади
,
занимаемой топазами
,
но и не менее 10 см
2
.
Площадь золотой
инкрустации не должна бы
ть более 10 см
2
,
а площадь серебряной чеканки не
менее площади
,
занимаемой сапфирами и не менее удвоенной площади
золотой чеканки
,
но в то же время и не более 50 см
2
.
Необходимо определить
минимальное время
,
необходимое для инкрустации изделия
,
если извест
ны
затраты времени на каждую операцию
:
на установку топазов
–
20 мин
./
см
2
,
установку сапфиров
–
25 мин
./
см
2
,
на покрытие золотом
–
120 мин
./
см
2
,
на
покрытие серебром
–
100 мин
./
см
2
.
Задача 1
1
.
Фирма специализируется на разработке и установке
компьютерных
сетей четырёх разных классов
.
Данные о параметрах пр
о
цесса
разработки и установки этих сетей приведены в таблице
:
Название
проекта
сети
Затраты на
установку
сети
, $
Время на
планирование
сети,
дни
Время на
покупку
оборудования,
дни
Время,
нео
бходимое
для
установки,
дни
Время на
тестирование
,
дни
Стоимость
проекта
,
$
Local
4000
2
3
3
2
6000
Corporate
7500
4
5
7
4
8000
Regional
12400
8
9
18
6
17000
Global
23700
16
13
30
10
45000
Средства фирмы
,
задействованные в течение года для установки
сетей
,
не
могут превосходить 500000
$.

11
По условиям функционирования фирмы имеются ограничения на время
планирования сетей
–
не более 50 дней
,
на закупку оборудования
–
не более
52 дней
,
на установку сетей
–
не более 110 дней
,
на тестирование сетей
–
не
бол
ее 40 дней
.
Нужно выяснить
,
при каком количестве устанавливаемых
сетей разных типов прибыль (пропорциональная стоимости выполненных
проектов) фирмы будет максимальна
.
Задача 1
2
.
Ателье шьёт обмундирование для военных
–
костюмы летние
полевые
,
костюмы зим
ние полевые
,
мешки спальные и фуражки летние
.
На
складе имеется запас фурнитуры
–
ткань
,
пуговицы
,
нитки
,
тесьма х
/
б
,
ткань
подкладочная
,
ватин
.
Возникла необходимость освободить складские
помещения
.
Что и в каких количествах нужно изготовить
,
чтобы получи
ть
максимальную прибыль?
Каждого изделия должно быть не менее 5 шт
.
(минимальный заказ)
,
расход
материалов и цены приведены в таблице
:
Расход
фурнитуры
Костюм летний
Костюм
зимний
Мешок
спальный
Фуражка
летняя
Ресурс
Ткань (м)
6
.
04
6
.
5
3
.
9
0
.
45
2000
Пуговицы (шт
.
)
37
45
7
2
1000
Нитки (м)
600
650
500
45
18000
Тесьма х
/
б (м)
1
.76
1
.
85
3
.
1
0
600
Ткань подкладочная (м)
0
7
.
3
8
.
4
0
1600
Ватин (м)
0
6
.
9
4
.
4
0
1000
Продажная цена (руб
.
)
125
250
112
11
Примечание: (м)
–
обозна
чение единицы измерения
–
погонный метр
Задача 1
3
.
В проектную организацию поступил заказ на разработку свайного
основания под нагрузку 5000 тонн
.
У подрядчика в данное время было всего
4 типа забивных свай
,
причём на складе он одновременно может размести
ть
не более 100 свай
.
Параметры свай следующие
:
Тип
сваи
Сечение (см х
см)
Длина
(м)
Воспринимаемая
нагрузка (тонн)
Время
забивания
(часы)
Стоимость
(1984г.)
(руб.)
Площадь
сечения
(м
2
)
Удельная
нагрузка
(т
/
м
2
·
м)
1
-
й
25 х 25
10
40
0
.
25
120
0
.
0625
64
2
-
й
35 х 35
10
60
0
.
4
180
0
.
1225
49
3
-
й
30 х 30
12
60
0
.
33
110
0
.
09
55
.
5
4
-
й
35 х 35
12
80
0
.
6
200
0
.
1225
54
.
4
Заказчиком были высказаны несколько дополнительных условий
.
Воспринимаемая нагрузка свайного основания не должна быть меньше 5000
тонн
.
Время и
зготовления свайного основания не должно быть более 50
часов
.
Удельная нагрузка на единицу площади
не должна превышать 60
т
/м2
·
м
.
Площадь фундамента должна быть не более 10 м
2
.
При этом
необходимые сваи нужно заказать заранее и разместить на складе
(вмещаю
щем не более 100 свай)
.
Определить минимально возможную
стоимость заказа
.

12
Задача 1
4
.
В библиотеке работают 6 пожилых уборщиц
.
Каждая из них по
своим физическим возможностям и состоянию здоровья может выполнять
только определённые виды работ
,
причём с опре
делённой
производительностью
.
Площадь каждой из работ известна
.
Нужно добиться
минимума времени на уборку помещений
.
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ БАБУШЕК
,
м
2
/
мин
.
Баба
Аня
Белла
Петровна
Баба Варя
Баба Галя
Домна
Ивановна
Евгения
Карловна
Площадь
работ
Мытьё ок
он
2
0
0
1
0
0
46
Мытьё полов
0
1
0
0
0
0
300
Протирка столов
0
0
2
0
0
.
2
1
50
Чистка дорожек
0
0
0
2
0
4
100
Задача 1
5
.
На оптово
-
закупочную базу
,
специализирующуюся на торговле
канцелярскими принадлежностями
,
в самом конце рабочего дня
,
когда до
выключения подъёмных лифтов оставалось всего 15 минут
,
прибыли три
машины с тетрадями общими
,
тетрадями тонкими и с тушью
.
Начальство
требует немедленно начать разгрузку
,
так как покупатель сейчас ждёт 10
коробок тонких тетрадей
,
причём уже сегодня требует
ся выставить образцы
привезённого товара
.
Одновременно с этим сотрудники соседней
фармацевтической фирмы
предлагают
хорошо подзаработать
,
выгрузив из их
машины
от
6 до 18 коробок медикаментов
.
Разгрузка производится с
помощью трапов (приспособлений для тра
нспортировки коробок)
,
которых
имеется в наличии только пять
.
Работа на свою фирму
Подработка
Тетради тонкие
Тетради общие
Тушь
Лекарственные
препараты
Время разгрузки одной
коробки, сек.
10
15
5
25
Общее время на разгрузку
15 минут
Максимальное до
пустимое
количество коробок на трапе
48
36
400
6
Свободных трапов
5
Расценки на разгрузку,
руб./коробку
1000
1000
50
2000
Желание подзаработать на соседней фирме наталкивается на
возражения со стороны своего непосредственного начальника
,
кот
орый
требует разгружать свой товар
.
Поэтому на разгрузку канцелярских
принадлежностей придётся отвести времени не больше
,
чем на лекарства
.
При этом выясняется
,
что разгрузка туши сегодня не очень актуальна
,
поэтому её нужно разгрузить не более половины от
числа коробок с тонкими
тетрадями
.
Сколько и какой товар
надо разгружать
,
чтобы получить
максимум дохода за эти 15 минут
.

13
Задача
16
.
Владелец клуба дрессировки собак
дал объявление о записи
в группы по дрессировке по следующим видам дрессировок
:
IPO
(
защитно
-
караульная по европейским стандартам)
,
ЗКС (защитно
-
караульная служба
по российским стандартам)
,
ОКД (общий курс дрессировки)
,
ТХ (курс собак
-
телохранителей)
.
Звонки поступили от владельцев 4 пород собак
:
ротвейлеров
–
37 звонков
,
немецких о
вчарок
–
36
,
колли
–
25
,
кавказских
овчарок
–
12
.
По курсу
IPO
за одну дрессировку инструктор по ротвейлерам может
работать только с 3 собаками
,
инструктор по немецким овчаркам
–
с 3
-
мя
,
а с
колли и кавказскими овчарками дрессировки по
IPO
не проводятся
.
П
о курсу ЗКС за одну дрессировку инструктор по ротвейлерам может
работать с 3 собаками
,
инструкторы по немецким овчаркам и по кавказским
овчаркам
–
с 2 собаками каждый
,
c
колли дрессировка по
ЗКС не
производится
.
По курсу ОКД за одну дрессировку инструктор
по ротвейлерам может
работать с 4 собаками
,
инструкторы по немецким овчаркам и по колли могут
поработать
с 5 собаками каждый
,
с кавказскими овчарками дрессировки по
курсу ОКД не проводятся
.
По курсу ТХ инструкторы по ротвейлерам и по немецким овчаркам
мо
гу
т
за
одну дрессировку работать с 4 собаками каждый
,
инструктор по кавказским
овчаркам
–
с 3 собаками
,
с колли дрессировка по ТХ не проводится
.
Прибыль от одной дрессировки по курсу
IPO
–
20
$,
по курсу ЗКС
–
32
$,
по
ОКД
–
45
$,
по ТХ
–
24
$.
Дрессировки про
водятся на двух площадках (
IPO
и ОКД на одной
,
а ЗКС и
ТХ
–
на другой)
.
Это вызвано наличием на площадках определённого
необходимого для данного типа дрессировки оборудования
.
По условиям
аренды на площадке для
IPO
и ОКД в день можно проводить не более 6
д
рессировок
,
а на другой площадке
–
не более 4
.
Определить
,
сколько дрессировок и по какому курсу проводить для
получения максимального дохода
.
Задача
17
.
Книготорговая фирма собирается
,
имея в своём распоряжении
100000 руб
.,
издать три книги
–
“
Французско
-
русский словарь
”,
учебник
“
Немецкий язык для всех
”
А
,
Н
.
Попова и приложение к нему
–
“
Ключи
”,
а
также взять на реализацию краткий учебник
“
Немецкий за 13 дней
”
того же
А
.
Н
.
Попова
.
Затраты на издание (в расчёте на 1 экз
.
) составляют 8 руб
.,
2
руб
.
и 5 р
уб
.
соответственно
.
Затраты на перевозку из типографии
:
1 руб
.
для
словаря
,
0
.
9 руб
.
для учебника
.
“
Ключи
”
весьма компактны
и перевозятся
вместе с учебником
,
поэтому на стоимость перевозки не влияют
.
Доставка из
другой фирмы краткого учебника обходится в 1
.
3 руб
.
за 1 экз
.
На перевозки
выделено дополнительно 20000 руб
.
Чтобы типография заключила контракт
,
общий тираж не должен быть меньше чем 22 тыс
.
экз
.
Учебник издаётся повторно
,
поэтому рискованно издавать его тиражом более
15 тыс
.
экз
.
“
Ключей
”
должно б
ыть издано не больше
,
чем обоих учебников
.

14
Краткий учебник
–
новая книга
,
её рискованно брать
более чем 1
/
8 от тиража
полного учебника
.
Имеются также дополнительные расходы (перевозка на рынок
,
доставка
клиентам и др
.
)
,
которые составляют 1 руб
.
на 1 экз
.
полного учебника и
словаря
,
2 руб
.
для
“
Ключей
”
и 3 руб
.
для краткого учебника
.
Нужно
минимизировать эти дополнительные расходы выбором оптимальных
тиражей книг
.
Задача
18
.
Только что организованный яхт
-
клуб
“
Пижон
”
собирается
закупить несколько катеров
и яхт
.
Правление клуба санкционировало
закупку
20 катеров и яхт
.
Продавцами предлагается 3 вида яхт и один вид
катера
.
Модель
Длина (м)
Объём
бензобака (л)
Стоимость в
$
Количество мест
Ширина (м)
Катер
KRS
-
15L
15
50
90000
2
3
Яхта
YT
-
25L
25
90
250000
6
6
Яхта
YT
-
35S
40
150
400000
8
8
Яхта
YTM
-
50L
50
210
600000
15
16
Длина выделенного под модели яхт класса
“
Люкс
”
(это
YT
-
25
L
и
YTM
-
50
L
)
причала ограничена не более 300 м
.
Цистерна с горючим для обслуживания
купленных катеров и яхт
рассчитана на 2000
литров
.
Число членов по
организационным соображениям не должно превышать 100 членов плюс 12
членов правления
,
но и не должно быть меньше 100 человек (по уставу
клуба)
.
Как организовать закупки?
Задача
19
.
Проектируется бак
-
кессон крыла самолёта
.
Он состои
т из уголков
(26 штук)
,
гнутиков (14 шт
.
)
,
нервюр (7 шт
.
)
,
лонжеронов (2 шт
.
–
передний и
задний)
,
дополнительных лонжеронов (6 шт
.
)
,
обшивки (2 шт
.
–
верхняя и
нижняя)
.
По ТУ заданы определённые ограничения на веса компонент
.
Вес уголков
,
гнутиков
,
нервюр
и дополнительных лонжеронов с запасом в 10 кг не должен
превышать общего веса обшивок (верхней и нижней)
.
Для стапельных работ
необходимо
,
чтобы вес нервюр
,
дополнительных лонжеронов и гнутиков был
не более 20 кг
.
Вес каркаса одного отсека (две нервюры и
один
дополнительный лонжерон) должен составлять 10% от веса одной обшивки
.
Вес основных и дополнительных
лонжеронов
не может быть менее 30 кг
.
Необходимо найти согласованные веса составляющих так
,
чтобы общий вес
пустого бака
-
кессона крыла самолёта был мин
имален
.
Задача 2
0
.
Студент 5
-
го курса решил в свободное от учёбы время завести
своё дело
–
открыть бар
.
После аренды помещения и получения лицензии у
него осталось 2000
$.
Эти деньги ему необходимо распределить наиболее
эффективно на оформление зала
,
рекла
му
,
оборудование кухни и покупку

15
напитков
.
Он считает
,
что реклама полезна и решил потратить на неё не
менее
100
$,
но тратить более 500
$
ему жалко
.
На первоначальную закупку
напитков нужно не менее 200
$.
Закусочную он устраивать не собирается
,
поэтому на о
борудование кухни готов потратить лишь от 200
$
до 500
$.
Опытные друзья подсказали ему
,
что на оформление зала и закупку напитков
нужно выделить в 3
–
4 раза больше средств
,
чем на рекламу
,
а на
оборудование кухни в баре его класса нужно тратить на 400
$
мен
ьше
,
чем на
начальный набор напитков
.
Ему известно
,
что вложенный в рекламу 1
$
даёт 4
$
прибыли
,
а вложенный в
оформление зала
–
2
$
прибыли
.
Продажа напитков даёт доход 50
%.
Вложение 1
$
в кухню даёт 1
.
3
$
прибыли
.
Как распределить затраты для
получения макси
мума прибыли на первых порах?
Задача 2
1
.
В парикмахерской
“
Галатея
”
клиентам оказываются следующие
услуги
:
стрижка (мужская и женская)
,
химическая завивка
,
бритьё
,
окраска
волос
.
В салоне работает 4 мастера
,
навыки которых в оказании этих услуг
различны
,
поэтому они тратят на них различное время
.
Общий фонд времени
работы каждого мастера в этом салоне по условиям договора с ними
ограничен
.
Общее количество услуг должно быть
,
по требованию
администрации
,
не менее 12 в день
.
Нужно выяснить
,
какова может быт
ь максимальная выручка салона за день
при известных расценках на каждый вид услуг
.
Стрижка
,
время
в час
.
Бритьё
,
время
в час
.
Химическая
завивка,
время в час.
Окраска волос,
время в час.
Фонд времени
,
час
.
Мастер Иванов
0
.
4
0
.
5
1
0
.
8
9
Мастер Петрова
0
.
4
0
.
4
1
.
2
0
.
9
10
Мастер Сидорова
0
.
3
0
.
45
1
1
12
Мастер Кузнецова
0
.
2
0
.
3
1
.
3
0
.
7
12
.
5
Стоимость
,
руб
.
35
20
90
20
Задача 2
2
.
На складе мебельной фабрики имеется 4 вида плит из ДСП
,
имеющие разные габаритные размеры
.
Из этих плит изготавливают 4 в
ида
изделий (перечисленные в таблице) для производства столов
,
шкафов и
другой продукции
.
Для разных плит существуют свои способы раскроя
,
дающие разное количество изделий
.
Тип плит
Крышки стола, двери, верх. и нижн.
панели шкафов
Боковые панели
стола
Б
оковые панели
шкафа
Полки шкафа
1
5
3
4
3
2
4
3
1
2
3
0
5
2
4
4
7
0
3
0

16
Стоимость панелей 1
-
го
,
2
-
го
,
3
-
го и 4
-
го типов соответственно
100 руб
.,
80
руб
.,
50 руб
..
60 руб
.
На складе не все плиты можно разместить в
неограниченном количестве
,
а именно
:
плит типа 1
–
не более 60 штук
,
а типа
2
–
не более 50 шт
.
Требуется выпустить 700 крышек для столов
,
дверей
,
верхних и нижних панелей шкафов
,
200 боковых панелей стола
,
боковых
панелей шкафа можно выпустить 300 шт
.
и более (так как их можно
использовать д
ля производства других изделий)
,
а полок шкафов не нужно
более 250 шт
.
,
так как они будут поступать и с других производств
.
Сколько и каких плит нужно заказать для выполнения заказов с
минимальными затратами?
Задача 2
3
.
Стандартом предусмотрено
,
что октан
овое число автомобильного
бензина А
-
76 не должно быть ниже
,
чем 76
,
а содержание серы в нём не
должно превосходить 0
.
3
%.
Для изготовления этого бензина используется
смесь их 4 компонентов
I
,
II
,
III
и
IV
,
имеющих разное октановое число и
содержание серы
:
I
II
III
IV
Октановое число
68
72
80
80
Содержание серы
,%
0
.
35
0
.
35
0
.
3
0
.
2
Ресурсы
,
тонн
700
600
500
300
Себестоимость
,
руб
.
40
45
60
90
Сколько и какого компонента нужно использовать для получения бензина А
-
76 с минимальной себестоимостью?
Задач
а
24
.
Фирма специализируется на разработке и установке
компьютерных сетей
.
Необходимо выбрать типы устанавливаемых
операционных систем для получения наибольшей прибыли
.
Название
операционной
системы
Время, необходимое
для установки, раб.
час.
Время работы
привлекаемых
специалистов,
раб. час.
Время работы
подрядчика, раб.
ч
ас.
Цена установки
,
$
Microsoft NT Server
12
1
2
120
Novell Netware
14
2
2
150
IBM LAN Server
16
0
2
170
UNIX NFS
24
5
3
200
Время на установку программного обеспечения ограничено и
составляет
2000 часов в год
,
время привлекаемых со стороны специалистов ограничено
по финансовым соображениям
и составляет не более 350 час
.
В год
.
Время
работы подрядчика согласно соглашению должно составлять не менее 200
часов в год
.
Согласно курсу руко
водства фирмы
,
дающего предпочтение
развитию коммуникационных систем на базе ОС
UNIX
,
производится
искусственное занижение числа других ОС
–
их должно быть не более 50
.
В
соответствии с дилерским соглашением фирма обязана устанавливать не
менее 50 копий ОС
UNIX
.
Из
-
за жестокой конкурентной борьбы между

17
компаниями
Microsoft
и
IBM
и проводимой ими вследствие этого дилерской
политики количество устанавливаемых копий ОС этих фирм должно быть
равным
.
Установка ОС
Novell
Netware
производится для поддержания
рабоч
их станций
UNIX
и потому число этих ОС должно быть от
¼
до 1
/
5 от
числа систем
UNIX
.
Задача 2
5
.
В агентство по торговле недвижимостью обратилось СП
“
Crocodile
”,
желающее купить квартиры своим сотрудникам
.
Филиалы СП
находятся в разных районах Москвы (Кут
узовский проспект
,
Коньково
,
Митино
,
Текстильщики)
,
поэтому квартиры предполагается покупать именно
в этих районах
.
Агентство предоставило следующую информацию о
стоимости квартир в этих районах (в тысячах
$
)
.
Виды
квартир
Кутузовский
проспект
Коньково
Ми
тино
Текстильщики
Прибыль
агентства
Одно
комнатная
60
50
40
35
3
2
-
х
комнатная
100
75
60
50
5
3
-
х
комнатная
150
90
75
65
7
4
-
х
комнатная
180
110
95
80
10
На покупку квартир СП готово израсходовать в этих районах соответственно
не более 700 тыс
.$, 550
тыс
., 400
тыс
.
и 250 тыс
.$,
всего не более 2 млн
.
$.
Для всех филиалов числа одно
-
,
двух
-
,
трёх
-
и четырёх
-
комнатных
квартир
должны быть одинаковыми (для соблюдения равенства интересов филиалов)
.
Необходимо приобрести не менее 5 двух
-
и
трёхкомнатных ква
ртир (в
сумме)
,
а число 4
-
х комнатных не должно превышать числа однокомнатных
.
Агентство хочет выполнить заказ с максимальной для себя прибылью
.
Задача
26
.
В меню столовой 5 блюд
,
которые изготавливаются из 5 видов
продуктов (картофель
,
мясо
,
вермишель
,
р
ис
,
овощи)
,
вода в неограниченном
количестве
,
соль и специи по вкусу
.
Нормы продуктов на каждое блюдо
следующие
:
Кол
-
во единиц продукта на 100 порций
Кладовая
,
холодильник
Суп мясной
Суп овощной
Картоф.
п
юре с
мясом
Плов
Салат
Картофель
20
20
10
0
0
40
10000
Мясо
40
0
40
30
20
9000
Вермишель
15
15
0
0
0
2000

18
Рис
10
0
0
100
0
5000
Овощи
0
30
0
0
30
2500
В последней колонке таблицы указано максимальное количество продуктов
,
которое может быть размещено в кладовой и холодильнике
.
Картофельное п
юре с мясом посетители потребляют в день не более 500
порций
,
супа мясного не более 450 порций
,
плов едят в 2 раза и менее раза
чаще картошки
.
Каждый день в столовую приходит группа вегетарианцев
,
которые съедают
300 порций овощного супа и 450 порций салат
а
.
Нужно из имеющихся
продуктов приготовить максимальное число порций (с учётом всех
ограничений)
.
Задача
27
.
ТОО специализируется на продаже молочных продуктов (молоко
,
йогурт
,
творог
,
масло)
.
Продукция заказывается на одном московском заводе
,
имеются за
траты на транспортировку к месту продажи
.
Для закупки
предусмотрен фонд 1550 руб
.,
имеются также ограничения сверху по
отдельным видам расходов
.
ПРОДУКТЫ
Закупочная
цена
,
руб
.
Транспортные
расходы
,
руб
.
Зарплата
продавца
,
руб
.
Налог
,
руб
.
Доход
,
руб
.
Мол
око
3
0
.
4
0
.
7
0
.
1
0
.
4
Йогурт
4
0
.
3
0
.
4
0
.
2
0
.
2
Творог
6
0
.
6
0
.
4
0
.
1
0
.
1
Масло
5
0
.
8
0
.
2
0
.
4
0
.
2
Фонд
,
руб
.
1550
175
180
45
В киоске
,
где продаётся товар
,
имеется два холодильника
.
Первый
предназначен для хранения молока и йогурта
,
его вместимость 200
пакетов
,
второй
–
для творога и масла
,
его вместимость 150 пачек
.
Какова может быть
максимальная прибыль с одной партии товара?
Задача
28
.
Для производства сэндвичей (биг
-
маков
,
чизбургеров
,
гамбургеров
,
двойных гамбургеров
и филе
-
о
-
фиш) и пирожков в рес
торане
“
Макдональдс
”
используют оборудование
–
биг
-
маковский тостер
,
стандартный тостер
,
гриль и фритюрницу
.
Чтобы определить оптимальный
режим выхода сотрудников на работу
,
нужно выяснить загруженность
оборудования для каждого часа
.
Ниже приводятся фактич
еские данные на
период от 17
.
00 до 18
.
00
.
Используемое
оборудование
Биг
-
мак
,
шт
.
Чизбургер
,
гамбургер
,
шт
.
Филе
-
о
-
фиш
,
шт
.
Чизбургер
,
двойной
гамбургер
,
шт
.
Пирожки
,
шт
.
Тостер биг
-
маков
250
0
0
0
0
Тостер станд
.
0
504
252
200
0
Гриль
252
504
252
0
0
Фритюрница
0
0
0
200
216
Предполагаемо
е
1000
2000
1000
800
800

19
число в этот час
Площадь для оборудования выделена ограниченная
–
9
.
5 м
2
.
Для одного
тостера необходимо 0
.
75 м
2
площади
,
для гриля
–
0
.
75 м
2
,
а для фритюрницы
–
0
.
15 м
2
площади
.
Над кажды
м грилем и фритюрницей обязательно должны
стоять фильтры
.
Возможности вентиляции не позволяют установить более 10
фильтров
.
3
.
3
.
Методические указания к решению задач к
онтрольной
работы
Методические указания
будут показаны в виде примеров решения задач
.
Излож
е
ние примеров будет подчинено требованиям к содержанию
решения
задачи
,
изложенному в п
.
3
.
1
.
Алгоритм решения задач симплекс
-
методом
очень наглядно и доступно изложен в §2
.
6 учебного пособия
[2].
Задача 1
1
.
Постановка задачи
На российском рынке
продаются растворимые соки (порошки) фирм
Zuko
,
Yupi
и
Invait
.
Отпускные цены на них
–
соответственно 2
.5, 1.5
и
1.8
рублей
.
Количество порошков
,
продаваемых в одной торговой точке в день
,
не более
150 шт
.
Организация
,
занимающаяся оптовой торговлей
,
уста
новила
следующие условия
:
–
оптовая закупка
Zuko
–
от 3000 до 10000 шт
.;
–
оптовая закупка
Yupi
и
Invait
–
не менее 1000 шт
.
Как достичь максимума дохода одной торговой точки при ежемесячной
оптовой закупке товара?
В соответствии с заданием в качестве цел
евой функции следует
во
с
пользоваться
доходом одной торговой точки при ежемесячной оптовой
закупке товара
,
который реализовывается в течение месяца
.
Поставленная цель должна быть достигнута при
соблюдении заданных
условий решения задачи
,
которые должна со
держать математическая модель
.
Для формализации и решения задачи располагаем следующими исхо
д
ными
данными и искомыми результатами
:
n
–
количество
искомых переменных задачи
;
n
j
,
1
=
–
порядковые номера
искомых переменны
х
;
n
j
x
j
,
1
,
=
–
искомы
е
объём
ы оптовой месячной закупки
соков
j
для
торговой точки
,
шт
.
2
.
Формирование экономико
-
математической модели
Экономико
-
математическая модель задачи выглядит следующим обр
а
зом
:

20
максимизировать
3
2
1
x
x
x
L
+
+
=
(1)
при условиях
:
30
*
150
3
2
1
ﾣ
+
+
x
x
x
(2)
3000
1
ﾳ
x
(3)
10000
1
ﾣ
x
(4)
1000
3
2
ﾳ
+
x
x
(5)
3
,
1
,
0
=
ﾳ
j
x
j
(6)
Физический смысл модели
:
(1)
–
целевая функция
,
имеющая следующее содержание
:
прибыль от
реализации месячной оптовой закупки соков торговой точки должна быть
максимальной
;
(2)
–
сум
марная месячная закупка соков торговой точкой должна быть не
больше возможной с учётом суточной реализации в 150 шт
.
;
(3)
–
закупаемое
количество
соков фирмы
Zuko
не должно быть меньше
минимально возможного
;
(4)
–
закупаемое количество соков фирмы
Zuko
не
должно быть больше
максимально возможного
;
(5)
–
закупаемое количество соков фирм
Yupi
и
Invait
должно не меньше
заданного минимально возможного
;
(6)
–
искомые количества закупок соков фирм неотрицательны
.
3.
Запись модели в стандартной форме
Преобразу
ем ограничения модели типа «
ﾳ
» в «
ﾣ
» умножением левой и
правой частей ограничений на величину
1
-
.
Тогда математическая модель
примет вид
:
max
x
x
x
L
ﾮ
+
+
=
3
2
1
при условиях
:
4500
3
2
1
ﾣ
+
+
x
x
x
3000
1
-
ﾣ
-
x
10000
1
ﾣ
x
1000
3
2
-
ﾣ
-
-
x
x
3
,
1
,
=
j
x
j
В ограничения типа
“
ﾣ
”
необходимо добавить дополнительны
е пер
е
менные
4
,
1
,
=
i
y
i
.

21
Модель задачи будет выглядеть
так
:
max
x
x
x
L
ﾮ
+
+
=
3
2
1
при условиях
:
4500
1
3
2
1
ﾣ
+
+
+
y
x
x
x
3000
2
1
-
ﾣ
+
-
y
x
10000
3
1
ﾣ
+
y
x
1000
4
3
2
-
ﾣ
+
-
-
y
x
x
4
,
1
,
;
3
,
1
,
=
=
i
y
j
x
i
j
Стандартная форма записи модели
max
x
x
x
L
ﾮ
-
-
-
-
=
)
(
0
3
2
1
при условиях
:
)
(
4500
3
2
1
1
x
x
x
y
+
+
-
=
)
(
3000
1
2
x
y
-
-
-
=
)
(
10000
1
3
x
y
-
=
)
(
1000
3
2
4
x
x
y
-
-
-
-
=
4
,
1
,
;
3
,
1
,
=
=
i
y
j
x
i
j
Стандартная таблица симплекс
-
метода представлена в табл
.
2
.
4.
Поиск опорного решения
Поиск опорного решения выполнен итерациями
,
представленными в табл
.
3
–
4
.
Пр
оизведён обмен переменных при наличии отрицательных свободных
членов
.
Таблица
3
Стандартная таблица симплекс
-
метода на первой итерации
поиска опорного
решения
2
y
b
Свободный
член
1
x
2
x
3
x
L
0
7500
-
2
,5
-
1,5
0
-
1,8
0
-
2
,
5
1
y
4500
1
1
1

22
-
3000
1
0
0
1
x
ﾫ
2
y
-
3000
3000
-
1
-
1
0
0
0
0
3
y
10000
-
3000
1
0
0
0
0
1
4
y
6000
0
0
0
0
0
0
0
Табл
и
ца
4
Вторая
итер
ация поиска опорного решения
b
4
y
Свободный
член
2
y
2
x
3
x
L
7500
1500
-
2,5
0
-
1,5
-
1,8
1,5
-
1,5
1
y
1500
-
1000
1
0
1
1
-
1
1
1
x
3000
0
-
1
0
0
0
0
0
3
y
7000
0
1
0
0
0
0
0
2
x
ﾫ
4
y
-
1000
1000
0
0
-
1
-
1
-
1
1
В таблице
5
все свободные члены положительны
.
Опорное решение
следующее
:
соков фирмы
Zuko
можно было бы закупить в количестве
1
x
3000
=
шт.,
фирмы
Yupi
2
x
1000
=
шт
.,
фирмы
Invait
3
x
0
=
шт
.
При этом доход
от закупл
е
нных соков составил бы 9000 руб
.,
что не является оптимальным
результатом
,
т
.
к
.
в стр
оке целевой функции (табл
.
5
)
есть отрицательные
коэффициенты
.
Поиск решения следует продолжить
.
5.
Нахождение оптимального решения
В таблицах
5
–
7
осуществлён поиск оптимального решения
.
Таблица
5
Опорное решение и п
ервая
итерация поиска
оп
тимального
решения
b
1
y
Свободный
член
2
y
4
y
3
x
L
9
0
00
1
250
-
2
,
5
2
,
5
-
1,5
-
0
,3
0
2,5
2
y
1
y
500
1
0
-
1
-
1
1

23
ﾫ
500
1
1
0
1
x
3000
500
-
1
1
0
0
0
1
3
y
7000
-
500
1
-
1
0
0
0
-
1
2
x
1000
0
0
0
-
1
1
0
0
Таблица
6
Вторая
итерация поиска оп
тимального
решения
b
2
x
Свободный
член
1
y
4
y
3
x
L
10250
300
2
,5
0
1,0
-
0,3
-
0,3
0,3
2
y
500
0
1
0
1
0
0
0
1
x
3000
500
1
0
1
0
0
0
3
y
6500
0
-
1
0
-
1
0
0
0
3
x
ﾫ
2
x
1000
1000
0
0
-
1
-
1
1
Таблица
7
Оптимальное решение задачи
Так как все коэффициенты в строке целевой функции положительны
,
налицо
в соответствии с признаком оптимизации при м
аксимизации целевой
функции) в табл
.
7
–
оптимальное решение задачи
.
6.
Анализ результатов решения
Суть оптимальное решение
:
–
закупочное количество соков фирмы
Zuko
3500
1
=
*
x
шт
.;
–
закупочное количество соков фирмы
Yupi
0
2
=
*
x
шт
.;
Свободный
член
1
y
4
y
2
x
L
10550
2
,
5
0,7
0,3
2
y
500
1
1
0
1
x
3500
1
1
0
3
y
6500
-
1
-
1
0
3
x
1000
0
-
1
0
1

24
–
закупочное количество соков фирмы
Invait
1000
3
=
*
x
шт
.
При этом ожидаемая прибыль от реализации соков
–
м
аксимальна и равна
10550
=
maxL
руб
.
Задача 2
1.
Постановка задачи
Фирма
,
торгующая компьютерами
,
устанавли
вает на них различные
операционные системы (ОС)
:
–
MS
Windows
3.1
–
стоимостью
$80;
–
MS
DOS
6.22
–
стоимостью
$60;
–
MS
Windows
95
–
стоимостью
$160;
–
OS
/2
Warp
–
стоимостью
$130;
–
PC
DOS
–
стоимостью
$50.
После проведения анализа продаж выяснилось
,
что з
а один день покупатели
приобретают обычно такие комбинации операционных систем
:
–
MS
DOS
6.22 +
MS
Windows
3.1
–
не менее 50 человек
;
–
OS
/2
Warp
+
MS
Windows
3.1
–
не менее 10 человек
;
–
PC
DOS
+
MS
Windows
3.1
–
не более 20 человек
;
–
MS
Windows
95 +
MS
DOS
6.22
–
не более 200 человек
;
–
OS
/2
Warp
+
MS
DOS
6.22
–
не менее 3 человек и не более чем 30
.
Какое количество ОС нужно приобретать фирме у
IBM
и
Microsoft
(производителей этих операционных систем)
,
чтобы её доход от продаж мог
бы быть максимален?
В соответствии с заданием в качестве целевой следует во
с
пользоваться
функцией прибыли торгующей фирмы от ежедневных продаж операционных
систем фирм
IBM
и
Microsoft
.
Поставленная цель должна быть достигнута при
условиях
ежедневной
реализации систем в
сочетаниях и количествах
,
приведённых выше
.
Для формализации и решения задачи располагаем следующими исхо
д
ными
данными и искомыми результатами
:
n
–
количество
операционных систем разных
видов
;
n
j
,
1
=
–
формальные
поря
дковые номера
операционных систем
,
реализуемых в компьютерах
,
продаваемых фирмой
,
шт
.
2
.
Формирование экономико
-
математической модели
Экономико
-
математическая модель задачи выглядит следующим обр
а
зом
:
максимизировать
5
4
3
2
1
50
130
160
60
80
x
x
x
x
x
L
+
+
+
+
=
(1)
при условиях
:

25
1
x
50
2
ﾳ
+
x
(2)
10
4
1
ﾳ
+
x
x
(3
)
1
x
20
5
ﾣ
+
x
(4)
2
x
200
3
ﾣ
+
x
(5)
3
4
2
ﾳ
+
x
x
(6)
30
4
2
ﾣ
+
x
x
(7)
n
j
x
j
,
1
,
0
=
ﾳ
(
8
)
Физический смысл модели
:
(1)
–
целевая функция
,
имеющая следующее содержание
:
общ
ая
прибыль от
продаж компьютеров с встроенными операционными системами
выше
приведённых фирм должна быть максимал
ьна
;
(2)
–
(7)
–
парные суммы операционных систем в сочетаниях должны быть
реализованы в количествах
,
не выходящих за указанные пределы
;
(
8
)
–
искомые количества реализуемых операционных систем должны быть
неотрицательны
.
При этом
1
x
–
количество
ОС
MS
Windows
3.1
,
2
x
–
MS
DOS
6.22
,
3
x
–
MS
Windows
95
,
4
x
–
OS
/2
Warp
,
5
x
–
количество
ОС
PC
DOS
.
3
.
Запись модели в стандартной форме
Преобразуем
ограничения типа «
ﾳ
» в ограничения типа «
ﾣ
» умножением
левой и правой частей на
-
1
.
Тогда математическая модель примет
симметричный вид
:
5
50
4
130
3
160
2
60
1
80
x
x
x
x
x
L
+
+
+
+
=
max
ﾮ
при условиях
:
1
x
-
50
2
-
ﾣ
-
x
10
4
1
-
ﾣ
-
-
x
x
1
x
20
5
ﾣ
+
x
2
x
200
3
ﾣ
+
x
3
4
2
-
ﾣ
-
-
x
x
30
4
2
ﾣ
+
x
x
5
,
1
,
0
=
ﾳ
j
j
x
В ограничения типа
“
ﾣ
”
необходимо добавить дополнительные пер
е
менные
5
,
1
,
=
i
i
y
.
Стандартная форма записи модели

26
max
x
x
x
x
x
L
ﾮ
-
-
-
-
-
-
=
)
5
50
4
130
3
160
2
60
1
80
(
0
при условиях
:
)
2
1
(
50
1
x
x
y
-
-
-
-
=
)
4
1
(
10
2
x
x
y
-
-
-
-
=
)
5
(
20
3
1
x
x
y
+
-
=
)
3
2
(
200
4
x
x
y
+
-
=
)
4
2
(
3
5
x
x
y
-
-
-
-
=
)
4
2
(
30
6
x
x
y
+
-
=
5
,
1
,
0
=
ﾳ
j
j
x
;
6
,
1
,
0
=
ﾳ
i
i
y
Стандартная таблица симплекс
-
метода представлена в табл
.
8
.
Та
б
лица
8
Стандартная таблица симплекс
-
метода на первой итерации поиска
опорного сечения
2
y
b
Свободный
член
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
L
0
800
-
80
-
6
0
0
-
16
0
0
-
130
80
-
50
0
-
80
1
y
-
50
10
-
1
-
1
0
0
0
0
1
0
0
-
1
1
x
ﾫ
2
y
-
1
0
1
0
-
1
0
0
0
0
-
1
1
0
0
3
y
20
-
1
0
1
0
0
0
0
0
-
1
1
0
1
4
y
2
00
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
5
y
-
3
0
0
-
1
0
0
0
-
1
0
0
0
0
6
y
30
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
4
.
Поиск опорного решения
Поиск
опорного решения выполнен итерациями
,
представленными в табл
.
8
–
1
1
.
Таблица
9
Вторая
итерация поиска опорного решения
3
y
b
Свободный
член
2
y
2
x
3
x
4
x
5
x
L
80
0
-
80
-
6
0
-
16
0
-
50
-
50
-
1

27
800
8
0
0
0
-
80
80
1
y
-
4
0
10
-
1
-
1
0
0
0
1
-
1
0
1
1
1
x
1
0
1
0
-
1
1
0
0
0
0
1
-
1
0
1
2
y
ﾫ
3
y
1
0
1
0
1
0
0
0
0
-
1
-
1
1
1
4
y
2
00
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
5
y
-
3
0
0
-
1
0
0
0
-
1
0
0
0
0
6
y
30
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Таблица
10
Третья итерация поиска опорного решения
b
5
y
Свободный
член
3
y
2
x
3
x
4
x
5
x
L
160
0
1
80
80
0
-
6
0
-
16
0
0
-
130
60
30
0
-
6
0
1
y
-
30
3
1
0
-
1
0
0
0
1
1
0
-
1
1
x
20
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
y
10
0
1
0
0
0
0
-
1
0
1
0
0
4
y
2
00
-
3
0
0
1
1
0
0
-
1
0
0
1
2
x
ﾫ
5
y
-
3
3
0
0
1
-
1
0
0
-
1
1
0
0
6
y
30
-
3
0
0
1
0
0
1
-
1
0
0
1
Таблица 1
1
Четвёртая итерация поиска опорного решен
ия
b
6
y
Свободный
член
3
y
5
y
3
x
4
x
5
x
L
1
78
0
162
0
80
0
-
6
0
-
16
0
0
-
7
0
0
30
0
6
0
1
y
-
27
27
1
0
-
1
0
0
1
0
1
0
1
1
x
20
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
-
1

28
В таблице 1
2
в
се свободные члены положительны
.
Достигнуто опорное
решение
,
представляющее из себя следующее
:
1
x
20
=
шт.,
2
x
30
=
шт.,
3
x
0
=
шт
.,
4
x
0
=
шт
.,
5
x
0
=
шт
.
При этом прибыль фирмы, реализующей компьютеры с этими
операционными системами составит
3400
руб
.
Результаты проверки признака на наличие
оптимального решения
(максимума целевой функции) свидетельствует об отсутствии требуемого (в
строке целевой функции есть отрицательные коэффициенты)
.
Решение
следует продолжить поиском оптимального решения
.
5
.
Нахождение оптимального решения
В табл
.
1
2
–
1
4
приведена процедура нахождения оптимального решения
.
Таблица
1
2
Опорное решение задачи и первая итерация поиска оптимального
решения
b
4
y
2
y
10
0
1
0
0
0
0
-
1
0
1
0
0
4
y
197
-
27
0
0
1
1
1
-
1
-
1
0
0
-
1
2
x
3
27
0
0
-
1
0
0
1
0
0
0
1
5
y
ﾫ
6
y
27
0
1
0
0
0
27
0
0
0
0
Свободный
член
3
y
6
y
3
x
4
x
5
x
L
3400
27200
80
0
6
0
-
16
0
-
16
0
-
70
-
160
30
0
160
1
y
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
x
20
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1

29
Таблица 1
3
Вторая итерация поиска оптимального решения
b
1
y
Таблица 1
4
О
птимально
е
решени
е задачи
2
y
10
0
1
0
0
0
0
-
1
0
1
0
0
3
x
ﾫ
4
y
170
170
0
0
-
1
-
1
1
1
-
1
-
1
0
0
2
x
30
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
5
y
27
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Свободный
член
3
y
6
y
4
y
4
x
5
x
L
30
600
0
80
230
-
100
230
16
0
0
-
230
30
0
230
4
x
ﾫ
1
y
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
x
20
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
y
10
0
1
1
0
1
0
0
-
1
1
1
1
3
x
170
0
0
1
-
1
1
1
0
-
1
0
0
1
2
x
30
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
5
y
27
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Свободный
член
3
y
6
y
4
y
1
y
5
x
L
30600
310
130
16
0
230
30
4
x
0
1
1
0
1
0
1
x
20
1
0
0
0
1
1
1

30
6
.
Анализ результатов решения
О
п
тимальное решение задачи
:
основные переменные
–
искомые
количества операционных систем
,
которые
должна приобретать фирма для последующей реализации в компьютерах с
целью получения максимального дохода при их продаже
:
MS
Windows
3.1
–
20
1
=
*
x
шт
.
;
MS
DOS
6.22
–
30
2
=
*
x
ш
т
.
;
MS
Windows
95
–
170
3
=
*
x
ш
т
.
;
OS
/2
Warp
–
0
4
=
*
x
шт
.;
PC
DOS
–
0
5
=
*
x
шт
.;
дополнительные переменные
(обратившие условия
-
неравенства м
одели в
равенства)
:
0
1
=
*
y
ш
т
.
;
10
2
=
*
y
ш
т
.
;
0
3
=
*
y
ш
т
.
;
0
4
=
*
y
шт
.;
27
5
=
*
y
шт
.
Максимальный доход от продажи компьютеров составит
=
maxL
30600
руб
.
3
.
4
.
Подготовка задачи к решению на ЭВМ
Подготовленную математическую модель (
стр
.
25
) в виде матрицы
коэффициентов в ограничениях
,
столбца свободных членов следует
перенести на лист
Microsoft
Excel
(рис
.
1
)
в ячейки
C
2
:
G
7
и
A
2:
A
7
.
Ячейки
C
1:
G
1
должны быть проинициализированы нулём
.
В ячейке
H
1
в режиме
Excel
набирается формула для определения значения целевой функции
.
Фо
р
мула целевой функции может выглядеть следующим образом
(по
примеру модели на стр
.
2
5
)
:
=
80
*
C
1+
6
0
*
D
1+
16
0
*
E
1+
13
0
*
F
1
+50*G
1
2
y
10
2
1
0
1
2
3
x
170
1
0
1
1
0
2
x
30
-
1
0
0
-
1
0
5
y
27
0
1
0
0
0

31
Рис.
1
. Подготовка исходной информации на листе
Excel
В ячейке
B
2
следует набрать формулу для опред
е
ления значения л
е
вой части
условия модели
:
=$C$1*C2+$D$1*D2+$E$1*E2+$F$1*F2
+
$G$1*G2
С помощью процедуры «протягивания» формула ячейки
B
2
копир
у
ется в
ячейки
B
3:
B
7
.
При этом абсолютные адреса ячеек (помеченные си
м
волами
«
$
») остаются неизменными
,
а относительные адреса (без символа «
$
»
)
изменяются в соответствии с номером строки принадлежности фо
р
мулы
.
Так
как в ячейках
C
1:
G
1
–
нули
,
резул
ьтаты вычислений в ячейках
H
1
и
B
2:
B
7
(после нажатия клавиши
Enter
)
тоже нулевые
.
3
.
5
.
Получение р
ешени
я
на ЭВМ
Для решения задачи следует воспользоваться командой
Поиск реш
е
ния
всплывающего списка команд меню
Сервис
.
На экране дисплея от
о
бражается
диал
оговое окно команды (рис
.
2
)
,
содержание которого
,
во
с
пользовавшись
данными рис
.
1
,
необходимо отредактировать для решения задачи л
и
нейного
программирования
.
В качестве целевой ячейки следует воспользоваться ячейкой
H
1.
Поскольку
модель содержит
максимизац
ию
целевой функции
,
необходимо поставить
флажок
Равной •
максимальному
значению
.
В поле
Изменяя ячейки
:
нужно набрать диапазон ячеек
C
1:
G
1.
Если на листе
Excel
(
рис
.
2
)
ин
и
циализирована ячейка
H
1,
то нажатие клавиши
Предположить
приводит к автоматичес
кому отображению диапазона ячеек
$
C
$1:$
G
$1.

32
»
Рис. 2. Диалоговое окно процедуры
Поиск решения
Excel
В поле
Ограничения
:
следует отобразить типы отношений между
значениями левых частей ограничений в ячейках
B
2:
B
7
и значениями
свобо
д
ных членов в ограни
чениях в ячейках
A
2:
A
7
по ограничени
ям
модели
(рис
.
1
)
.
Для этого нужно нажать клавишу
Добавить
.
При этом появится
диалоговое окно (рис
.
3
)
,
имеющее три поля данных
.
В левом п
о
ле должен
быть диапазон ячеек
(либо ячейка)
,
содержащих
(ая)
значения
(е)
вычисляе
мых
(ой)
левых
(ой)
частей
(и)
огр
а
ничений
(я)
(например
,
B
2:
B
3
по
примеру на стр
.
25
,
или
B
4:
B
5
, или
B
6,
или
B
7
)
,
в среднем поле нужно
от
о
бразить знак отношения
для группы ограничений или для одиночного
ограничения
,
выбираемый из всплывающего списка отношени
й
,
в правом
поле должен быть диапазон ячеек
либо ячейка
,
содержащи
е
значения
свобо
д
ных членов ограничений (например
,
A
2:
A
3
,
или
A
4:
A
5,
или
A
6,
или
A
7
).
Рис. 3. Диалоговое окно процедуры
Добавления ограничения
Данная задача содержит
две
группы ограниче
ний (рис
.
1)
типа
«

»
и типа «

»
,
одно
ограничени
е
типа «

»
,
одно ограничение типа «

»
,
условия
неотр
и
цательности переменных (с отношениями типа «
≥»
).
Каждая из
указанн
ых групп готовится так же
,
как и первая после очередного нажатия
клавиши
Добавить
.
После подготовки последней группы ограничений в
диалоговом окне (рис
.
3) следует н
а
жать клавишу
Ок
.

33
После проведения вышеизложенных операций диалоговое окно процедуры
По
иск решения
приобретает вид
,
аналогичный рис
.
4
.
После наж
а
тия
клавишы
Выполнить
задача перейдёт в режим исполнения
.
Рис. 4. Диалоговое окно процедуры
Поиск решения
задачи,
подготовленной к решению
По окончании решения на экране дисплея отобразится
окно сообщ
е
ний о
результатах решения (рис
.
5
)
.
Если система ограничений задачи ко
р
ректна (т
.
е
.
ограничения совместны)
,
целевая функция ограничена
,
то с
о
общения о
результатах будут аналогичны тем
,
что отображены на рис
.
5
.
В противном
случае будет сообща
ться о невозможности нахождения оптимального
реш
е
ния
,
что вызовет необходимость редактирования модели и исходных
данных задачи
.
Рис. 5. Результаты решения задачи с помощью
процедуры
Поиск решения
3. 6
.
Анализ результатов расчёта на ЭВМ

34
При корректно
сти подготовки исходных данных и математической м
о
дели
решение задачи на ЭВМ с помощью процедуры
Поиск решения
одним из
методов линейного программирования (симплекс
-
метод) гарантирует
п
о
лучение оптимального результата (рис
.
6
)
.
Рис
.
6
.
Оптимал
ь
ное реше
ние задачи
Результаты решения задачи фиксированы на листе
Excel
(рис
.
6 для примера
модели на стр
.
25
)
.
Значения искомых переменных
5
1
x
x

и цел
е
вой функции
отображены в первой строке листа
Excel
в ячейках
C
1
:
H
1
соответс
т
венно
.
В
ячейках
B
2
:
B
7
листа
Excel
приведены результаты вычислений левых частей
ограничений
(
стр
.
25
)
,
которые можно соотнести со значениями св
о
бодных
членов ограничений в ячейках
A
2
:
A
7
и убедиться в соблюдении знаков
отношений ме
ж
ду ними
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1
.
Ле
кции
по дисциплине
“
Математическ
о
е моделирование
”.
2
.
Вербицкий Г
.
М
.
Основы оптимального использования машин в
строительстве и горном деле
:
учеб
.
пособие
/
Г
.
М
.
Вербицкий
.
–
Хаб
а
ровск
:
Изд
-
во Тихоокеан
.
гос
.
ун
-
та
,
2009
.
–
108 с
.
Оглавление
1.
ТЕМАТИЧЕС
КОЕ СОДЕРЖАНИЕ
КУРСА
…
……………………… 3
2
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
……………
…
…………
..
.
4
3
.
СОСТАВ
,
СОДЕРЖАНИЕ И ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
К
ОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
…
…
…………
…
……………
…
…
…
…
…
.5
3
.
1
.
Состав к
онтрольной
работы
……………………………………..
5
3. 2.
Содержание задач
контрольной
работы
по вариантам
………. 7
3
.
3
.
Методические указания к решению задач к
онтрольной
р
аб
о
ты
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
….
..
1
9
Задача 1
…………………………………………………………..1
9
Задача 2
…………………………………………………………..24
3.
4
.
Подготовка задачи к решению на ЭВМ
…………..…………..
31
3.
5
.
Получение р
ешени
я
на ЭВМ
………………………………….
31

35
3.
6
.
Анализ результатов расчёта на ЭВМ
………………………….
3
4
БИБЛИО
ГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
….
……………………………...
34