/
Text
10. Г. Гуляев,
С. А. Чукмасов,
А. В. Губипский
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ
ОБРАБОТКИ
МЕТАЛЛОВ
ДАВЛЕНИЕМ
ЮfЕВ HAYIIOBA ДУМRА 1986
УДК 621.771.001(075.8)
Математическое моделирование процессов обработки металлов давле•
нием /Гуляев Ю. Г. , Чукмасов С. А . , Губинский А. В.- Киев: Наукова
думка, 1986 . -
240 с.
В монографии рассмотрены методы диагностирования сложных объ
ектов, основанные на получении диагностических признаков путем обра
б о тки случайных процессов, характеризующих поведение объекта диагно
стирования. Описаны новые способы обработки сигналов во време нной
и частотных областях, применение методов последовательного анализа
для диагностирования отдельных объектов . Изложены принципы органи
зации структур специализированных вычислительных устройств повы
шенной надежности, реализуемых с применением микропроцессов.
Для научных и инж е нерно-те х нических работников, занимающихся
изучением процессов пластического деформирования, разработки тех
нологий и оборудования для обработки металлов давлением. М о жет быть
полезна студентам вузов.
Ил . 86. Табл . 10 . Библиогр .: с. 230-237 (143 назв.).
О т ветственный редактор Ю. Н. Таран
Рецензенты Н. С . Поляков, В. Н . Данчен~.О
Редакция технической литературы .
r 2104озоооо-оs1 6
'
M22 J(04)-86 4 З-Вб
© Издательство «Наукова думка», 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одними из важнейших задач развития народного хозяйства на современ•
ном этапе являются снижение удельной металлоемкости машин, агре•
гатов и оборудования, существенное сокращение отходов и потерь при
производстве металлопродукции.
Подавляющее большинство металлических изделий на той или иной
стадии изготовления подвергаются пластическому формоизменению.
По данным, представленным на Международной научной конференции
«Обработка металлов давлением)) (ПНР, Краков, 1982 г . ), почти 98 %
мирового производства стали подвергается процессам пластической де
формации. В связи с этим разработка и промышленное внедрение си
стемы мероприятий по комплексному совершенствованию процессов
пластического формоизменения металлов являются важной народнохо
зяйственной задачей. Повышение эффективности процессов обработки
металлов давлением (ОМД) представляет собой многогранную проб·
лему, решение которой должно включать рассмотрение многих научно·
технических и конструкторско-технологических аспектов производ
ства . Основные пути развития процессов ОМД - это разработка новых
и совершенствование существующих методов и технологических режи·
мов обработки, а также проектирование и изготовление высокопроиз·
водительного, мqщноrо, надежного оборудования.
_Конечная
цель всех разработок в област11 ОМД - их соответствие
одному или нескольким из следующих критериев: повышение произ ·
водительности; снижение расходных коэффициентов металла; повыше·
ние качества продукции по показателям точности геометрических раз
меров , состояния поверхности, механическим свойствам и т . д.; рас
ширение сортамента изделий в область ранее неосвоенных размеров,
форм, материалов и их сочетаний; снижение энергоемкости процессов
формоизменения.
Совершенствование существующих и создание новых технологи
ческих процессов, повышение эффективности действующего и проекти·
рование нового оборудования для обработки металлов давлением тре•
буют достоверной количественно - качественной оценки параметров,
характеризующих процесс деформации. Описание сложного компг.ек·
са явлений, сопровождающих пластическое формоизменение ме·
галлов, невозможно без математического моделирования .
Предлагаемая книга посвящена вопросам использования методов
математического моделирования при аналитическом и эмпирическом
изучении процессов пластической деформации металлов.
В первой части приведена общая классификация математических
моделей, дана структура алгоритмов создания аналитических и эмпи·
рических моделей, рассмотрена общая аналитическая модель процесса
обработки давлением, дан анализ некоторых известных и предложены
новые методы реализации аналитических и создания эксперименталь·
ных моделей . Представлены результаты оригинальных разработок .
3
Во второй части приведены примеры реализации теорети ч ес,шх поло
жений при создании моделей технологических процессов (прессование,
прокатка в различных модификациях, обкатка).
Обзор, главы с первой п о треть ю и седьмая написаны Ю. Г . Гуля·
евы м , четвертая - Ю. Г . Гуляевым и С. А. Чукмасовым, пятая
-
все
ми авторами совместно, шестая Ю. Г. Гуляевым и С. А. Чукмасо
вым, восьмая - А. В. Губинским. В кни ге использованы результа ты
разработок, выполненных М. 3. Володарским (главы третья и четвертая)
nод научным руководс твом Ю. Г. Гуляева; в § 2 седьмой главы пр ед
ставлены результаты исследо ваний, выполненных Ю. Г. Гуляевым
совместно с Ю. В. Данченко. В составлении программ для ЭВМ и вы·
полнении трудоемких статистических обработок результатов эксnери·
ментов принимали участие А. И. Головенчиц и Л. Г. Клюшник .
ОБЗОР Р А3ВИТИЯ МЕТОДОВ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ОМД
Теория обработки металлов давлением как самостоятельная научная.
область сформировалась к началу 30-х годов ХХ в. на основе тру дов
нескольких поколений механиков, физхимиков, металлофизиков ,
металлургов -тех налогов.
Современная теория ОМД базируется на фундаментальных ис сл е•
дованиях А. Ф. Головина, С. И. Губкина, И. М. Павлова, А. А . Илью·
шина, А. П. Чекмарева, А. И . Целикова, Г. А. Смирнова-Аляева ,
В. С . Смирнова, П. И. Полухина, Е. П . Унксова, И. Я. Тарновскоrо ,
И. Jl. Перлина, А. Д. Томленова, А . А. Поздеева, В. Н. Выдрина ,
Г. Я. Гуна, В. Jl. Колмогорова, А. П. Грудева, Л. Г . СтепансI< ого,
В. Я. Остренко, Ю. Н. Тарана, И. Н. Потапова, Г. И. Гуляева,
В . М. Друяна, В . К, Воронцова, В. Н. Данченко и др.
• Теория ОМД - научная основа разработки " проектирования и оп
тимизации процессов пластического формоизменения металлов на всех
стадиях обработки . По своей структуре теория ОМД синтетическая;
она развивается по трем основным направлениям: механико ·
мате ма тическому, физическому и физико-химическому.
Механико-1,1атематиttеское направление базируется на основны х
положениях механики сплошной среды (теориях упругости, пласти 1 1-
ности и ползучести) и изучает закономерности распредеJiения полей
напряжений, скоростей течения, деформаций и температур в дефор ми
руемой заготоuке. Разработки, выполняемые в рамках этого направле
ния теории ОМД, носят аналитический характер и сводятся к анализ у
некоторой краевой задачи математической физики. Их основная цель -
п о,1уче ние достоверных данных о влиянии технологических парамет
ров формоизменен ия на основные характеристики процесса пластич ес
кого формо из мене ния исход ной заготовки, а именно: полные усилия на
ра бочий инструмент; предельные деформации по условиям разрушения
заготовки; энергетические затраты на фор~юнзменение; механические
характеристики и геометрические размеры roтouoro продукта; распре
деление напряжений и т ем ператур по поверхности контакта заготовки
и деформирующего инструмента .
-
Широ 1, ое внедрение в практику ОМД технологических смазок
предопределило необходимость анализа условий совместного течени я
металла и охлаждающей жидкости в о чаге деформации, что, в свою
очередь, поставило теорию ОМД перед неиз б ежностью использоuания
математического аппарата теории вязких жидкостей. Интенсификаци я
п_роцесс ов ОМД невозможна без у чета неоднородности температурны х
полей, для расчета которых в теории ОМД совместно с уравнениям и
механики используют уравнения термодинамики.
Ф изи ческое направление изучает механизм пластической деформации ,
условия ее осуществления (переход от упругого к пластическому со
стоянию), связь механических свойств с условиями формоизменения ,
5
закономерности нарушения сплошности (разрушения) при плас:гиче
ской деформации металлов и сплавов . Исследования носят в основном
эмпирический характер; используется математический аппарат теории
обработки экспериментальных данных. К физическому направл е нию
теории ОМД можно отнести и разработки в области изучения энер·
rосиловых и деформационных параметров формоизменения различными
методами исследования в лабораторных условиях и на действующих
промышленных агрегатах.
Физико-хижическое направление изучает структурные изменения,
происходящие при ОМД, и устанавливает связь химического состава и
фазового состояния металлов и сплавов с их пластическими свойствами .
Все три направления неразрывно и органично связаны между со
бой; по мере развития теории ОМД тенденция к их слиянию становится
все более очевидной. Результатом полного объединения трех направле
ний будет общая теория ОМД, в которой макро- и микропредставления
о процессах пластического формоизменения опишутся едиными закона
ми связи механических свойств металлов и сплавов, параметров их
формоизменения, фазового состояния и химического состава .
Теория ОМД основывается на математическом описании количест
венно-качественной взаимосвязи исследуемых величин (пара м етров
процесса), характеризующих комплекс явлений, сопровождающих
пластическое формоизменение тел. Математическое описание процесса
пластической деформации как физического процесса в своей основе
базируется на наиболее общих законах и принципах механики и термо
динамики: законах сохранения массы, энергии, количества и момента
количества движения, принципе наименьшего действия.
В 1755 r. Л. Эйлер вывел уравнения движения идеальной однорбд
ной сплошной среды . Эти уравнения тождественно удовлетворяют
условию сохранения количества движения.
В XVII I - начале Х IX в.в работах П. Мопертюи (1746 г.) , Ж. Лаг
ранжа (1760-1761 rr.), В. Гамильтона (1834-1835 rr.) было дано ма
те м атическое обоснование одного из важнейших принципов механи
ки - принципа наименьшего действия . В работах К . Якоби (1865-
1866 rr.) было доказано, что в применении к механике системы мате
риальных точек принцип наименьшего действия (который часто име
нуют «принципом Гамильтона))) эквивалентен законам И. Ньютона,
представляя простую математическую формулировку законов двщке
ния любой консервативной системы при каких угодно связях. Распро
страненный на механику сплошной среды, он дает возможность выво
ди т ь посредством относительно простых математических выкл.адок
дифференциальные уравнения движения, аналогичные уравнениям
Л . Эйлера. Из этого же принципа может быть получен закон сохране
ния энергии консервативных систем.
Закон сохранения энергии весьма широко используется в механике,
однако, I<ак было показано Л. Больцманом (1905 г.), исходя из энерrе•
тичес1<11х принципов (закона сохранения энергии) вывести общие диф
ференциальные уравнения движения (в том числе законы движения
сплошной среды) нельзя 1 .
В 1822 r. О. Л. Коши опубликовал результаты своих исследований,
которые можно рассматривать как первую научную работу по меха
ни1<е сплошной деформируемой среды, где привел уравнения связи
деформаций и перемещений (формулы Коши), разработал систему урав •
нений связи девяти составляющих тензора напряжений в точке (уело-
1 Широко известен вывод уравнений движения из закона сохране
ния энергии, сделан'ный Г . Гельмом (1890 г.); Л. Больцман доказал его
математическую и методологическую ошибочность.
6
вие равновесия элементарного тетраэдра), дал обоснование закона пар ·
ности касательных напряжений как математического аналога закона
сохранения м омента количества движения, установил связь между
составляющими тензоров напряжений и упругих деформаций для изо
тропного сплошного тела .
Начиная со второй половины XIX в. теоретические и эмпирические
исследования по изучению особенностей поведения материалов в усло
виях пластического формоизменения привлекают все большее число
теорети1<оn и э к спер иментаторов. Механика сплошной пластически де
формиру е мой сред ы формируется в самостоятельную науку, что было
пр е допределено как интенсивным развитием техники и широким про ·
мышле нным использованием процессов ОМД, так и установление м
целого ряда особенностей, присущих процессам пластической дефор·
мации м атериалов вообще и металлов в частности.
В период с конца 60-х годов XIX в. до начала 30-х годов ХХ в .
усилиями большой группы ученых в основном была решена ключева я
проблема теории пластичности - условие перехода материала из у.пру·
гого состояния в - пластическсе . В 1868 г. Х. Треска на основе экспери ·
ментов по одноосному деформированию предложил условие пере хода
от упругих деформаций к пласти 11 ности (условие пластичности, усло
вие п ерв ого предельного состояния), в соответствии с которым вне за
висимости от схемы напряженного состояння максимальное касательное
напряжение должно достигнуть н екоторой критической величины. Он
же на о сновании опытов по выдавливанию твердых тел из цилиндри
ческого кон тейнера через круглую матрицу разработал теорию, в с о
отве т ствии с которой твердое тело, будучи подвергнуто достаточно силь
ному давлению, ведет себя как жидкость и течет в соответствии с зако
ном наименьшего сопротивления. Этот вывод можно рассматривать
как первую попытку феноменологического подхода к созданию аб
страктной, идеализированной модели твердого пластически деформи
руемого тела. Использовав положения, выдвинутые Х . Треска, Б. Сен
В е н аи в !(О1ще X IX в. вывел основные уравнения теории пластичност и
для плоской де формации изотропного несжимаемого материала при до
п ущ е ниях о совпадении направленин главных напряжений и деформа
ций и пропорциональности приращений компонентов пластической де
формации соответствующим компонентам девиатора напряжений1 .
В начале нынешнего столетия М . Губер (1904 г . ), а затем Р . Мизес
(1913 г.) предложили условие пластичности, в соответствии с которым
независимо от схемы напряженного состояния пере ход к пластическому
течению материала наступает при равенстве интенсивности напряже
ний некоторой критической величине. В 1925 г . Г. Генки показал , что
такая формулировка условия пластичности идентична утверждению
о независимости общих энергетических затрат , необходимых для дости
же н ия материало в первого пр едельного состояния, от схемы напряжен -
1-10го состояния. Методика математического вывода условия пластич
ности, предло жен ная Г. Генки, наиболее используема до настоящего
времени.
Экспериментальные исследования В . Лодэ, М. Роша и А. Эйхин
rера, А. И. Жукова, Г . А . Смирнова-Аляева и других показали , что
условие текучести Мизеса - Г у бера
-
Генки несколько лу·чше согла
суется с опытными данными, чем условие Треска - Сен-Венана.
Использовав результаты исследований Б . Сен-Венана, Л . Пран
даля и других, Р. Мизес разработал основные положения теории объем·
ноrо пластического течения жесткопластическоrо тела при допущении
1 Право ме рность этих допущений была доказана позже в работах
Р. Шмидта (1932 r.) и Е. Девиса (1934-1945 rr.) .
о возможности пренебрежения к о~1по нентами упруг ой деформац ии по
сравнению с комп о нента:-ш пластичес1сой деформ ации. Эта теория по
служ ила основой разработки первых аналитичес1он методов прибл и
~1<енного определения энергосиловых пар аметров формонзмененин в кон
кретных технологических процессах ОМД. Так, получил широкое рас
прост ранение и не утратил до настоящего времени своего практич еско
го значения метод совместного решения уравнений пластичн о сти и рав-
. новес ия,
основанный на допущениях «гипотезы плоских сечени й»,
выдви нутой Т. Карманом. Бы л усовершенствован и пол у чил дальней
шее развитие предложенный в конц е XIX в. М. Леви ~,е тод линий
скольже ния ( м етод характеристик) .
Разв ивая идеи теории Сен-Венана - Мизеса, Г. Генки и А . Надаи
в ыд в инули гипотезу о пропорциона л ьности компонентов пласти ческой
деформации соответствующим компонента м девиатора напряжений, что
привело к созданию в 1925-1927 rr. теории упругопластических де
формаций, которая получила законченную формулировку в трудах
А . А. Ильюшина. Уравнения теории упругопластических деформаций
являются уравнениями нелинейноупругого тела и находят широкое
пр именение для решения практических задач ..
Необходимость опытной проверки.теоретических выводов, гипотез
н предложений требовала от исследователей развития методов эмпи
рического изучения особенностей напряженно-деформированного со
стояния материалов в условиях пластического формоизменения.
Важное значение для теории пластичности имели эксперименты
Д. Киркальди, показавшие, что при пластической деформации отно
сите.'Iьное изменение плотности обрабатываемого металла не превы
шает десятых долей процента . Этими опытами была доказана право
мерность использования гипотезы несжимаемости в теоретических
выкладках.
Серию интересных опытов поставил в конце XIX - начале Х Х в.
Ф. Кикк. Сравнив энергетические затраты при формоизменении оди
наковых заготовок на прессе и молоте, он установил (i885 r.), что
количество работы, затрачиваемой на определенную деформацию тела,
в случае удара всегда больше, чем при применении давления. Этот вы
вод позволил предположить, что предел текучести материала зависит
от скорости деформации. Ф. Кикк провел серию опытов (1890-1908 гг.)
по изучению влияния высоких давлений на свойства ~1атериалов;
в частности, он установил, что при высоких гидростатических давле
ниях хрупкие вещества (мрамор, янтарь, каменная соль) приобретают
способность к пластической деформации, и подтвердил тем самы м гипо
<rезу А . Гейма. Им же на экспериментах по осадке медных цилиндров
между тонкими свинцовыми шайбами впервые было показано, что нор
мальные удельные давления распределяются от контактной поверх·
ности неравномерно и у оси симметрии образца они максимальны.
Ф. Кикк заложил основы теории физического (натурного) модели
рования процессов ОМД, установив закон «пропорционального сопро
<rивления», в соответствии с которым количество работы, затрачиваемое
на подобные формоизменения геометрически подобных тел из одного
и того же металла, пропорционально их массе.
К первой трети Х Х в. относятся разработки, заложившие фунда
мент современных представлений о · механизме пластической деформа
ции металлов.
В 1900 r. В. Розенгайн установил, что процессы пластической де
формации сопровождаются сдвиговым искажением формы зерен ме
талла, но при этом кристаллическая структура самих зерен сохраняет•
ся. Впервые механизм деформации металлического монокристалла был
изучен М. Полони (1923 r.), который установил ряд закономерностей,
сопровождающих этот процесс. Исследование механицеских свойств
монокристаJ1лов позволило выдвинуть предположение о влиянии иска
жений кристаллической решетки мета лла (дислокаций) на условия де
формации (гипотезы Я. И. Френкеля, М. Полони, Е. Орована и др.).
В работах Д. Тейлора, Ж. Фриделя, А. Х. Коттрела, И. А. Одинга
и многих других исследователей это предположение оформилось
в современную дислокационную теорию механизма пластического де
формирования металлов.
Основы современного физико-химического направления теории ОМД
были заложе ны выдающи~:ся русским ученым Д. К. Черновым, кото
рый впервые уста н овил (1868-1879 гг.) связь между температурой ме
талла, его фазовым состоянием и механи ческими свойствами. Опыты
Il . Оберхоффера (1916 г . ) и Ж. Чохральского (1923 г.) позволили уста
новить зависимость между размерами кристаллических зерен металла
и его механическими свойствами. Результатом этих исследований бы
ла разработка ~ tе лой серии режимов термообработки, позволяющи ~
целенаправленно регулировать механические свойства металлов и
сплавов.
В результате проведенных исследований к началу 30-х годов ХХ в.
была создана надежная научно -практическая база для развития тео
рии ОМД как самостоятельной прикладной науки об особенностях
пластического формоизменения металлов и сплавов и методах выбора
его оптимальных параметров в конкретных условиях. Дальнейшее раз•
витие теории О1v\Д связано с многоплановыми исследованиями боль
шого числа ученых. Можно выделить (с определенной долей услоuности,
конечно) следующие основные этапы развития теории ОМД, которые
характеризуются различным уровнем изучаемых вопросов, решаемых
проблем и используемых методов исследования -и анализа.
Этап/ (середина 30-50 - х rг.) В этот период в работах А. А. Илью
шина получает свое завершение математическая теория пластичности .
Развиваются приближенные методы определения эиерrосиловых пара
метров формоизменения металлов различными способами 0/1'\д
(С. И. Губкин, И. М. Павлов, А. И. Целиков, А. П. Чекмарев ,
П. Т. Емельяненко, Г. А. Смнрнов-Аляев, С. И. Борисов, Е. П. Унк
сов t А. Д. Томленов и др.). Аналитические вь11<ладки этого этапа про
водятся методами совместного решения уравн'ений пластичности и рав
новесия элементарного объема с использованием гипотезы «плоских
сечений», линий скольжения и сопротивления металлов пластическим
деформацням в рамках допущений о плоском или осесимметрично м
характере деформации. Деформируемая среда в этих исследованиях
идеализируется как идеальное жесткопластическое тело.
В это же время на1<оплены обширные экспериментальные данные о
влиянии основных параметров формоизменения (температуры метал
ла, скорости, степени деформации, условий контактного трения и т. д.)
на распределение контактных напряжений, величины конечных де
формаций исходной заrотов1ш, а также на энерrетичес1<ие затраты
в конкретных процессах ОМД.
Этап// (середина 50-х - конец 60-х rr.) . Прежде всего этот этап
характеризуется внедрением ЭВМ в практику анализа и расчета пара
метров О~',\Д. Широко внедряются новые методы теоретического изу•
чения закономерностей пластического формоизменения металлов:
энергетический, вариационно-энерrетический, метод верхней оценки
(И. Я. Тарновский, В. Н. Выдрин, А. А. Поздеев, О. А. Ганаrо,
В. Л. Колмогоров, Л. Г. Степанский, Д. Джонсон, Х. Куда и др.).
К этому периоду относятся разработки по ис пользованию методов
конфо р мных отображений, сыпучих и математических аналогий при
анализе параметров процессов ОМД (Г. Я. Гун, П. И. Полухин ,
9
В. К. Воронцов и др.) . В к о нце эт ог о периода был и сформули р ованы,
и нашли экспериментальное подтверждение основные положе н ия · тео
рии разрушения металлов при пластической деформации (Г. А . См ир
нов-Аляев, В . Л . Колмогоров), что открыло широкие перспекти в ы по
оптимизации процессов ОМД в плане их интенсификации . В э то т пе
риод совершенствуются м етоды исследования параметров ОМД на про
мышленных агрегатах и лабораторны х установках, развивает с я тео
рия моделирования , широко внедряются в практику идеи по модели
рованию реальных процессов с использованием материалов, имеющи х
°'тличные от натуры реологические свойств а (А. П. Чекмарев,
Ю.Н.Алексеев, А. П. Грудев, В.Я. Остренко, В . С. Смирнов, А. А. Дин
ник, П. Л . Клименко, Г . И. Гуляев , А. К , Григорьев , В. М. Друян,
В. Н. Данченко, Г. Г. Шломчак, А. И. Лисицын и др.).
В практику анализа результатов исследований внедряются статис
тические методы обработки эмпирических данных ; широко использу
ются элементы теории планирования экспериментов (10. П. Адлер ,
М. С. Винарский, М. В. Лурье, В. Г. Жадан и др.).
Этап 11 f (с конца 60-х годов). Отличительная черта этого периода
р азвития теории ОМД - резкое расширение круга расс м атриваемых
вопросов и решаемых проблем - неразрывно связана с прогрессо м
в области повышения быстродействия и увеличения объема оператив
ной памяти ЭВМ, созданием ЭВМ третьего и четвертого поколений
(более подробно об этом речь пойдет ниже). При анализе конкретных
технологических процессов широко используются конечноразност
ные и конечноэлементные численные методы . Возможность организа
ции на ЭВМ сложных мноrоцикловых итерационных процессов откры
л а новые перспективы перед «инженерными» аналитическими метода
ми теории ОМД . В некоторых случаях используют сложные с клеро
н омные и реономные модели деформируемой среды, что позволяет
учесть эффект деформационно-скоростного упрочнения металла , из
меf!ение его свойств во времени. Развиваются методы совместного реше
н ия уравнений деформируемой среды и теплопроводности. Появляется
в озможность аналитического изучения особенностей течения много
к омпонентных сред (систем металл - смазка , би- и полиметалл о в) ,
прогнозирования разрушения металла в ходе обработки . В начале
п ериода предпринимаются первые попытки отказа от использования
в теории ОМД детерминистских методов феноменологической механ и
ки сплошной среды (Г. Я- Гун, П. И. Полухин, Б. М. Готлиб и д'р.).
Дальнейшие разработки в этом направлении привели I< создан и ю
весьма перспективного статистического метода решения задач о пласти
ческом течении и разрушении металлов , который сейчас находится
в стадии становления и развития .
Значительный интерес представляют первые и, что особенно важно ,
у спешные попытки оптимизации по тем или иным параметрам нек о
торых технологических процессов на основе их комплек с ного анали·
тическоrо или эмпирич е ского изучения (В . В . Ериклинцев, Г . И . Гуля
ев, Д. С. Фридман, А. А. Костава, В. М. Друян и др.). Для реализа
ции этой задачи используются некоторые методы теории опти м ального
у правления системами с распределенными параметрами : дина м ическо е
программировани е , метод случайного поиска (Монте-Карло) , ме т од
п оэтапной оптимизации и др.
Изложенное выше позволяет констатировать, что к настоящему
.в ремени теорией ОМД накоплен значительный научный багаж и она
;располагает средствами для повышения эффективности проц е ссо в
пластического формоизменения металлов и сплавов. Актуальным д л я
теории ОМД вопросом является широкое комплексное внедрение е е
.достижений в практику решении конкретных технологических задач .
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ь - коэффициент тепловой активности
Ьд - ширина очага деформации
е -- эксцентриситет калибра относительно оси прокатки
е" -- осевая деформация, е" = еiк (i = к)
el{ - скорость осевой деформации, ек = ёil{ (i = к)
е;" - компоненты тензора деформаций
е,-" - компоненты тензора скоростей деформаций
f - коэффициент трения
Н - интенсивность скоростей сдвиговых деформаций,
н = У211,к11i"
j - механический эквивалент тёпла
k - сдвиговый предел текучести, k = ат/ уз
flt - коэффи циент теплопроводности
l д - длина о ·r ага деформации
........
р - нормальная составляющая вектора повер хностного
напряжения
Рж - давление рабочей жидкости в контейнере гидро
экструзионного пресса
R0 , R1 - радиус внешнего контура заготовки соответственно
до и после прессования (R 1 = R~ при прессовании
труб)
R 0п, r 0 - соответственно радиусы цилиндри,1еской и кониче
ской оправок
R - функция, описывающая профиль прессовой матрицы
Rко - радиус контейнера пресса
R8 - радиус пр01<атноrо валка (для калиброванных вал
ков - радиус в вершине калибра)
R- невязка
s, ."
-
ком поненты девиатора напряжений
Т - интенсивность сдвиговых напряжений, Т =
= V3⁄4siкsiк
Та - симметричный тензор напряжений, Та= [о,к]
11
т,. - симметричный тензор скоростей деформации, Т. =
,е
= 1с11<1
Те - симметричный тензор деформаций, Те = [е1"]
t - время
v, v1 - соответственно скорость и ее составляющие
v6 - скорость движения бойков при осадке
vж, vжi - соответственно полная скорость потока жидкости
(смазки) и ее составлпющие
vш - скорость движенип прессштемпеля
v0 , t ' 1 - скорость движения металла соответственно на вхо
де и выходе из очага· деформации при прессовании
и прокатке
а, (:\, т, п, к, i, j - цело ч исленные ииде1<сы порядковых номеров· коэф
фшщентов и величин
12
С(, ~ - эмпирические коэффициенты, отражающие влияние
соответственно давления и температуры на вязкость
смазки
аа - коэффициент теплоотдачи
ам - полуугол I<онусности прессовой матрицы
В*-коэффициент Лодэ, B*=l,OO+J,15
Г - интенсивность сдвиговых деформаций, Г = J,r2e1кe1 ;
611<- симметричный символ Кронекера
-.
,;7 2 - оператор Лапласа
е; - интенсивность деформаций
е 11< - компоненты девиатора деформаций
fliк - компоненты девиатора С!(оростей деформации
fJ 0 - эмпирнчесI<ий коэффициент, отражающий влияние
логарифмической деформации 6!J на 0 5
' \ 'μ - эмпирический коэффициент, отражающий влияние
высокого гидростатического давления на предел
текучести
У~к - сдвиговая деформация, у11, = е 11, (i =/= к)
'\';к - скорость сдвиговой деформации, у11< = е 1к (i + к)
е - координатный угол в цилиндрической системе коор
динат ue
0 - температура
х1 - коэффициент температуропроводности
Л- накопленная вдоль траектории течения интенсив
ность сдвиговых деформаций (параметр Одквиста),
4= 1Hdl
1
ЛР - предельная степень деформации сдвига до разру·
шения
Л~ - интенсивность сдвиrовых деформаций, отвечающая
условию перехода материала в пластическое со
стонние
л6 - эмпирический к оэффициент, отражающий влияние
температуры на предел текучести
ft - динамическая вязкость
fto - вязкость смазки при атмосферном давлении и rра
дуировочной температуре 00
~t t, μе - соответственно общая и текущая вытяжка
μ - плотность
Рв, fJд, Рт -- внутренний радиус трубчатой заготовки соот
ветственно до деформации, в очаге деформации и
после деформации
oi - интенсивность наnряжен«й
овн - осевое напряжение от внешнего воздействия
оiк - компоненты тензора напряжений
о" - нормальные напряжения, ак = аiк (i = к)
.....
an - вектор поверхностного напряжения
от - предел текучести (условный)
Os-
напряжение текучести (сопротивление деформации),
Os= УЗТ
а 0 - компоненты шарового тензора напряжений (гидро
з
статическое напряжение), а0 = 1⁄2Lок
к=l
Oso, а 51 - пределы текучести соответственно материала заго
товки и изделия
.... .
•-
1,асательная составляющая вектора поверхностного
напряжения
'iк - касательные напряжения, 'iк = а 11, (i + к)
Часть первая
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ ОМД
Глава первая
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ
:МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ ОМД
1. Классифи:кацил математических моделей
Все физические явления (в том числе пластическое формо
изменение металлов) характеризуются совокупностью пара
метров, определяющих состояние системы, в которой протека
ет процесс. Очевидно, что для использования математических
методов при изучении физических процессов необходимо распо
лагать математическим описанием законов изменения парамет
ров во времени, их взаимосвязи друг с другом и начальными
условиями. Такое описание и будем называть математической
моделью · процесса, (или, если не будет оговорено особо,
просто моделью).
Параметры физического процесса можно подразделить
(рис. !) на определяющие и параметры отклика. Первая груп
па - совокупность параметров, определяющих условия про
текания процесса; вторая группа - совокупность параме1ров,
характеризующих результат осуществления физического про
цесса. В процессах UМД определяющими параметрами яв
ляются профиль и скорость деформирующего инструмента,
температура заготовки, ее фазовый и химичес1шй состав, ус
ловия контактного взаимодействия и т. д.; параметры от1,ли
ка - металлографическая структура, температура, качество
поверхности и точность геометрических размеров готового из
делия, скорости течения, напряжения, деформации и скорости
деформации, размеры зоны пластического формоизменения
и др.
Очевидно, что параметры отклика зависят от определяю
щих параметров, «подчинены» им. У становление законов этой
взаимосвязи - цель математического моделирования про
цессов. Основная трудность при решении задачи моделирова-
14
ния состоит в многообразии оп
ределяющих параметров.
При изучении любого про
цесса невозможно учесть (зафик
сировать) всю совокупность оп
ределяющих параметров, при ко
торых он протекает. Следова
тельно, прежде всего всю массу
оп р еделяющих параметров сле
дует подразделить на учтенные
и неучтенные . Не исключен слу
Парамеmр111
DmKЛUl'ia
чай, когда влияние неучтенных Рис. 1. Структура параметров
параметров на параметры от- физического проuесса
клика весьма существенно. При
этом математическая модель не будет отвечать критерию до
стоверности, и попытку ее создания следует признать неу
дачной. Выбор параметров, подлежащих учету, во многом
определяется опытом и интуицией исследователя, наличием
соответствующих приборов, аппаратуры, средств вычисли
тельной техники и т. п. Возможен случай, когда неучтенные
параметры изменяются случайным образом в некоторых пре
делах и конкретной совокупности регулируемых и нерегули
руемых учтенных определяющих пар 0 метров соответствует
совокупность параметров отклика, колеблющихся в некото
ром интервале по вероятностным законам. При этом возмож
но создание стохастической математической модели процесса,
обладающей определенным уровнем достоверности, который
можно оценить методами статистики. Если неучтенные пара
метры не влияют на параметры откли'Ка (такой вариант, как
правило, можно рассматривать как чисто гипотетический)
и каждой конкретной совокупности учтенных определяющих
параметров соответствует однозначно определенная совокуп
ность параметров отклика, можно говорить о создании детер
минированной математической модели процесса.
Как детерминированные, так и стохастические модели мо
гут быть созданы одним из четырех путей (рис. 2):
I) осмысливанием явления, процесса, высказыванием пред
положений о его характере и гипотез о взаимосвязи парамет
ров (эвристический путь);
2) прямым наблюдением явления (эмпирический путь);
3) упрощением более общей модели за счет использования
некоторых допущений о характере протекания процесса (де
дуктивный путь);
4) использованием совокупности моделей, каждая из ко
торых описывает частные закономерности протекания процесса
(индуктивный путь).
tltif/JOpMaЦ/111
наолюJенш1
эааоz,екшом
}#дiiCfГi!ll/f:Cl(lд) ПУ/71Ь
/1ат.0матичесt(Оt'
OqJO/JM/lf?ff/Je
llf!П?!l1Jm11#нш,
мооель
1
,f{оказателы:т!о
о!fщностц
/Jt'З!lльmamo!l
lloм
$t(CЛf?/]/JNc'lfm
:Jмпvдическш1 1--- ~ -- - -- -- - 1
r7!117lb
1•
гl__l __ ~
Математичесм;; 1
uifpaifomкa \
реильтато# r
Lт-_l--T-1
it
Зшrон
i
-~
~
~ •=::$
::,
!lнiJ,жmшJttЫU. Л!ШlЬ
<>;
~~
1
§ с::,
1 !lliьеiJ1шенце
i
<::;
~
Деt7Уктu8ныц ПУmь (j}моме11олое11ческая
1
Упрощен111J
1
мооель
1
д/v!М
--
liнтег aлtlf 1
р
ая ; Ас11мптотичес1rая , _
t-
Рис. 2. Схема путей создания и трансформации ма1е мати ческих мо
делей
Примером создан ия модели эвристичес ким путем (такие
модели будем называть интуитивными) могут служить законы
механики, полученные на осн6вании математической интер
претации определенных (не всегда правильных) ф илософских
воззрений и гипотетических концепций их авторов.
В качестве модели, созданной эмпирическим путем (т акие
модели называ ются · феноменоло гическим и), можно рассма три-
16
вать реономное уравнение состояния металла, связывающее
напряжение течения а, с параметрами формоизменения (ско
рость, степень деформации, температура, время). Используя
дедуктивный путь, предположим в виде допущения, что а; не
зависит от времени, и получим с клерономное урюшение со
стояния металла - новую математическую модель, которую
будем 1rа з ывать асиыrпотн ческой.
Инду1пивный путь создания математических моделей (та
кие модели назовем интегральными) используют для описания
сложных процессов. Так, например, объединяя урав н ения
состояния, течения, теплопроводности и так далее, являющи
еся «простыми» моделями, описывающими частные свойства
системы, можно создать модель объемного нензотермического
течения металла со сложными реологическими свойствами .
Примером создания • интегральной модели может служить
и условие текучести J\1\изеса-Шлейхера, в котором основные
положения теории Мизеса допоJшены условием связи напря
:жения теr<учести и гидростатического напряжения а 0 •
Многократно проверенные на практике (в различных ус
ловиях воздействия неучтенных параметров) интуитивные
и феноменологичестше математические модели приобретают
форму физичес1шх законов, на базе которых могут создавать
ся как асимптотические, так и интегральные модели. Если
при создании модели используют физические законы, то о та
кой модели можно говорить ка;< об аналитической (теоретиче
ской) математической модели (AN\M). Если при создании мо
дели используют данные эксперимента и общность модели не
доr<азана (не установлена, не очевидна или вызывает сомне
ния), то можно говорить о ней как об экспериментаJ1ьной
математической модели (ЭММ).
Предложенные систематизационные принципы требуют не
которых пояснений. Прежде всего отметим, что не каждый
физический закон может быть непосредственно проверен на
практике. Например, первый закон И. Ньютона, являющийся
математической формулировкой его мировоззрения на харак
тер движения, принципиально не может быть проверен, так
как нигде во Вселенной не существует условий, при которых
на материальное тело не действуют силы. Одна~<а то, что этот
закон уже более трех столетий успешно используют в практи
ческих целях, можно рассматривать r,ак rюсвенное подтвер
ждение его достоверности. Таким образом, требования крите
рия практики в общем случае следует рассматривать в более
широком, чем прямой эксперимент, смысле: если модель по
зволяет достичь поставленных целей в широком классе практи
ческих задач, она может квалифицироваться как закон. Ил
люстрацией к сказанному могут служить различные модели
17
сnJюшной деформируемой среды (модели Сен-Венана, Бин
гама, Оствальда-Рейнера и др.). Каждая из этих моделей
в определенных, довольно широко распространенных на прак
тике условиях (например, модель Оствальда-Рейнера при
горячей, а модель Бингама - при холодной деформации ме
таллов) дает возможность определять значения cr 5 с достаточной
для практических целей точностью. Это позволяет квалифици
ровать в конкретных условиях эти модели как законы. В от
личие от физических (общих) законов, такие законы можно
назвать конкретными. Математические модели, построенные
с использованием конкретных законов, также будем относить
к классу АММ.
2. Принципы создания математических моделей
Выбор класса модели. На основе системной классификации,
приведенной выше, можно констатировать, что принципиаль
но создание математической модели возможно двумя путями:
аналитическим и экспериментальным. В первом случае полу
ченная модель класса АММ. гарантированно обладает общно
стью, определяемой рамками пригодности использованных
при ее создании законов. Во втором случае полученная модель
класса ЭММ. гарантированно пригодна (естественно, если до
казана ее адекватность) для изучения объекта, на котором
получены экспериментальные данные, использованные пр и
ее создании.
Прежде всего рассмотрим «за» и «против», возникающие
перед исследователем на первом этапе творческой работы -
при выборе класса модели (решение проблемы выбора: АММ
или ЭММ.?).
Изучение процесса на модели класса ЭММ. Часто наиболее
полную и надежную информацию о реальном физическом про
цессе, особенно при большом числе определяющих параметров,
можно получить лишь путем прямого экспериментального ис
следования на полномасштабной установке в натурных усло
виях. В большинстве случаев проведение исследований в ус
ловиях действующего (реального) технологического агрегата
нецелесообразно или невозможно по следующим причинам:
объект исследования отсутствует в натурных условиях (нуж
но проанализировать связь определяющих параметров и пара
метров отклика объекта, находящегося в стадии разработки
или проектирования); проведение исследования объекта не
возможно по технологическим соображениям (на реальном аг
регате, например прокатном стане, невозможно установить
соответствующую измерительную аппаратуру); проведение ис-
18
следования связано со значительными издержками экономиче
ского характера (необходимо на некоторое время остановить
технологичес!(ИЙ процесс, требуется дорогостоящая аппара
тура, большое число обслуживающего персонала и т. д.) ;
объе!(том исследования являются параметры отклика, непод
дающиеся фиксации (например, распределение полей скоро
стей и напряжений в очаге деформации и т. п.).
Альтернативой может служить проведение Э!(спериментов
11а м а ломасштабных установ!(ах - физичес1шх моделях. Ис
пользуемые при этом правила моделирования физических про
цессов и законы теории подобия позволяют в ряде случаев
успешно экстраполировать полученные результаты на натур
ный объект. В этом случае ЭВМ, созданная при изучении физи
ческой модели, обладает определенной общностью, и ее можно
квалифицировать как конкретный закон поведения группы
подобных систем в подобных условиях. Однако довольно часто ,
в силу сложности реального процесса или отсутствия соответ
ствующего теоретического обоснования, моделирование про
цесса либо экстраполяцию полученных результатов осуще
ствить не удается.
Изучение процесса на модели класса АММ. В этом случае
исходным объектом наблюдения и источнююм информации
является не реальный процесс, а некоторая абстракция в ви
де интегральной или асимптотической математической модели ,
созданная в результате использования законов, описываю
щих связь определяющих параметров и параметров отклика ре
ального объекта . При теоретическом исследовании анализи
руются результаты решения некоторой .математической за
дачи, а достоверность сделанных при этом выводов и рекомен
даций определяется целым рядом факторов: обоснованностью
использования тех или иных законов, уровнем их общности
и достоверности; погрешностью, вносимой используемыми
допущениями; погрешностью, вносимой использованием тех
или иных методов приближенных вычислений.
Достоверность АММ может быть подтверждена только путем
сравнения значений расчетных и экспериментальных величин
исследуемых параметров отклика.
Из сказанного следует, что дать однозначный ответ на
вопрос о предпочтительном использовании того или иного
класса математических моделей невозможно. В каждом кон
кретном случае исследователь должен оценить ресурсы имею
щейся в его распоряжении материальной базы, проанализи
ровать опыт предыдущих, сходных по своему содержанию
и структуре исследований. При этом не последнюю, а часто
решающую роль может сыграть чисто субъективный фактор
(«я более силен в теории, чем в эксперименте», и наоборот).
19
На основании практического опыта по изучению процес
сов Oiv\Д отметим, что правильно организованное исследова
ние в зависимости от существа проблемы, целей, имеющихся
материально-экономических и других ограничений должно со
четать в разумных пропорциях как аналитические, так и экс
периментальные методы.
Алгоритм создания А ММ. Математическому описанию лю
бого процесса, явления, с11стемы предшествует стадия идеа
лизации объекта, которая состоит из следующих этапов:
интеграция определяющих технологических параметров (ОТП);
дифференциация ОТП на учитываемые и неучитываемые в рам
ках создаваемой модели; дифференциация учитываемых ОТ П
на переменные и постоянные в рамках создаваемой модели.
Интеграция ОТП в своей осtюве должна базироваться на
опыте предыдущих исследований и интуиции исследователя;
на этом этапе (рис. 3) выделяются все технологические пара-
метры ~Х;0>, которые (действительно или предположительно)
воздействуют на параметры (параметр) отклика ~ У,., являю
щиеся предметом анализа r, рамках проводимой научной раз
работки по изучению конкретного технологического про
цесса.
На втором этапе создания Al'Mv\ проводится «отсев» несу-
щественных, по мнению исследователя, ОТП ~Х;''). В результа
те этой операции окончательно формируется группа учитыва
емых ОТП ~Х(;), влияние которых на исследуемые параметры
отклика ~ У; необходимо установить.
Дифференциация учитываемых ОТП на переменные ~X)VJ
и постоянные ~X)CJ s рамках создаваемой модели дикту
ется особенностями протекания реального процесса, подвер
гающегося моделирован11ю, либо чисто математическими
соображениями, связанными с возможностью реализации
модели.
Сф:Jрмировав блок ~Xjv)+ ~X ~CJ=~XjYJ переменных и посто
янных ОТП, можно приступить к выбору соответствующих
физических и конкретных законов, связывающих этот блок
и исследуемые параметры отклика функциями Ф;(~Х~У>,
~У;, ~Р), где ~Р; - сумма физических определяющих,
параметров, которые не были ранее учтены в качестве ОТП,
но входят в выбранные уравнения связи Ф; в виде перемен
ных ~p _lV) и постоянных "'22Р,(О величии. На этом этапе важно
'
'
в полном объеме использовать имеющуюся научную инфор-
мацию о физических (механических, термодинамических и т. д.)
за1юнах, характеризующих фушщии связи Ф;. Как правило,
прежде всего отбираются необходимые физические законы,
базирующиеся на условинх сохранения. За~шны сохранения -
20
!JiiipOf}MaЦШl
о прочессе 11
параметрах
отхлшщ ZY;
/JЛqJOpмaЦiifl
О ЗШШ!f(l)(
JNП/1/JllЧl'Cl(Щl
ш,rрормацця
!lачало
г--- ----1
1 J:.p _!c)+z.д.М=l:.!1, 1
L___:_ _
~-~_J
да
г--- ----,
-- --iz[ c..=c.(zx(Y Jzд}1
L_' _:._
_ :_: __'1J
Лро§ерl(а
ilocm0Jepнocm11
Да
Копец
Рис. З. Бдок-схема адrоритма создания АММ
Опыт
лpeiJыJyщux
11сслеоо!!шши
11 !11YIO!JIJIOШflfЫE'
сооёражмиn
/le.Гll
!fаУчная
1шrрормац11я
о мemoilax
реал11зац1111
это основа любого аналитического модельного описания. Эти
законы не исчерпывают информации о процессе и обычно не
дают полного замыкания системы уравнений модели "i.Фi,
без котор ого невозможно провести ее математический анализ.
Н еобходи мо использование коrшретных законов, получае
мых нз опыта,- уравнений состояния, связи между тензо-
21
рами деформаций и скоростей деформаций, зависимости эмпи-
рических коэффициентов от LX?> и т. д.
,
Далее следует этап реализации задачи, на котором должна
быть решена система уравнений LФ,- и получена связь У;=
= Yi(~X;Y>, LPi). Этот этап наиболее трудоемок и сложен .
Для процессов ОМД математическая модель даже при боль
шом числе упрощающих допущений состоит главным образом
из системы дифференциальных уравнений. Если бы для ре
шения этих уравнений использовались только методы класси
ческой математики, то решение целого ряда важных для прак
тики задач оказалось невозможным. В связи с этим совершен
ствование прикладных математических методов и разви
тие ЭВМ играют решающую роль при создании современных
АММ.
Достоверность связей Yi= Yi(I:,X;Y>, "ЕР)
устанавлива-
ется путем сравнения расчетных и экспериментальных значе
ний Yi. При этом в ряде случаев о достоверности модели су
дят по результатам сравнения расчетных и экспериментальных
значений параметров отклика, не являющихся основным объек
том исследования модели.
Весьма часто идентификации реального объекта и АМ.М
добиваются методом расчета коэффициентов соответствия, суть
которого состоит в следующем. Несколько (как правило,
один-два) параметров P/CJ определяют каr< коэффициенты со
ответствия Ci путем отождествления экспериментальных и рас
четных значений какого-либо из параметров отклика при кон -
кретном наборе значений LX?>, I:,P i• Составной частью
модели считают зависимость С,-= С,.(-:Е,Х;У>, LP;), которую
рассматривают как конкретный закон. Примером такого при
ема могут служить многие формулы для расчета полного уси
лия деформации, в которых коэффициент трения практичеСI<и
утратил свой физический смысл и является не чем иным,
как коэффициентом соответствия АММ реальному процессу.
В случае, если в результате выполнения объема работ,
приведенных на рис. 3, получена адекватная АМ1'1, процесс
ее создания можно считать законченным. Это, конечно, не
означает, что закончена работа с моделью как объектом ис
следования. Далее следуют этапы численных экспериментов
на модели, обработки расчетных данных, выбора оптималь
ных параметров процесса и формирования конкретных тех
нологических рекомендаций.
Как следует из приведенной на рис. 3 блок-схемы алгорит
ма создания АММ ., необходимость коррекции модели может
быть вызвана двумя причинами: невозможностью ее реализа-
22
ции либо неадекватностью. Первая причина определяется
сложностью модели, вторая - большим числом упрощений,
принятых на стадиях формирования блоков "'2.Х/У> и "'i.P;.
В идеале АММ должна быть, с одной стороны, на столько
сложной, чтобы удовлетворять целям своего создания, а с дру
гой - быть достаточно простой и включать лишь действитель
н о н еоб х одимые для конечного результата Ф;. В умелом вы -
бо р е инrредиентов этой пропорции и состоит истинное искус
ство ученого .
На основании нашего опыта создания АММ конкретных
процессов ОМД можно рекомендовать как более продукти в
ный путь последовательного усложнения модели. На первом
этапе исследования выбираются по возможности наиболее про
стые законы . связи Ф;, использование которых определяется
относительно грубыми упрощающими допущениями о характере
анализируемого процесса. При этом, конечно, необходимо от
давать себе отчет в том, отвечает ли модель при сделанных
допущениях хотя бы в первом приближении тем целям, ко
торые преследуются при ее разработке. Следуя рекомендуе
мому методу, модель постепенно усложняют, добиваясь необ
ходимого уровня ее адекватности на основании сравнения
расчетных и эмпирических значений У,-. - При таком подходе
устраняется опасность «засорения» АММ второстепенной
математической информацией.
Алгоритм создания Э ММ. Создание моделей класса ЭММ
основано на статистической обработке эмпирических данных.
Принципиально методы создания ЭММ_ можно разделить на
методы, основанные на обработке случайных эксперименталь
ных данных, и методы, основанные на использовании теории
планированных (активных) экспериментов. Основное преиму
щество методов первой группы - возможность создания ма
тематической модели процесса без изменения существующих
режимов работы объекта исследования (путем фиксации со
ответствующих определяющих параметров и параметров от
клика в ходе пассивного наблюдения). Вторая группа методов
характеризуется в первую очередь возможностью создания
достоверной ЭММ по минимальной исходной эмпирической ин
формации, что обеспечивается планомерным изменением опре
деляющих параметров в заранее установленных на основании
соответствующих законов и правил пределах.
Проведение экспериментов в соответствии с методом пред
варительного планирования пределов и уровней изменения
определяющих параметров процесса для анализа реальных
процессов ОМД получило относительно ограниченное распро
странение по двум причинам : 1) как правило, на действующих
технологических агрегатах невозможно изменять определяю-
23
t!,Yif]tl/]M{!Ц/Ш
о§ 80tf,rme
щслеiJо!lанш1
//21,1оло
1----~ •
L.Х(О)
,
Зксперш"е;-1т
акти.!ltrый
(i(,CCtl!JIIЫ!l
Маrпр11ца :,,кспеданештщ j
1
/lеалщш111;:;
(Jopan8mкa результото!J ,__ _ __
Рис. 4. Блок - схема алгоритма создания ЭММ
1,/мь
UCCЛt'iJO!Jtllfl/fl
!lcлo1Jue
!JliШ>fl!iJOЛIJ/IOCfПI!
/(O!fC'fТI/J!IKЦIЩ
HOiJl?Лtl
!(онец ·
Да
Лроffерка
аJек!ш1111остt1
/lem
щие п араметры проuесса, фиксируя и х з н ачения на о п ределен
ных, заранее назначенных уровнях; 2) обычно целью созда
ния ЭММ является оптимизащ1я изучаемого процесса, что
предопределяет необходимость нелинейного описания связи
определяющих параметров и параметров отклика . При соз
дании методами планированного эксперимента нелинейны х
относительно определ яющих параметров ЭМN\ матрица экс
перимента включает значительное число сочетаний значений
24
ОТП п pouecca , а проведение исследования по заранее разрабо
танной схе.ме зачастую связано со значитеJll,ными трудностями
техно логи ческого, материального и организаuионного характе
ра. В связи с указанными сложностями проведение активных
экспер иментов при исследовании процессов ОМД применнется
на стад~~ и и х лабораторной (полупромышленной ) апробации.
На п ервой стадии работы по созданию ЭММ (рис. 4) из
всей массы определяющих параметров Х;0) выделяют пере
ме rшь1~ X;V). Далее анализируют возможн ости регулирования
п араметров X~V>, подразделяя их на регулируемые Х~Р> и не
ре гулируемые (переменные) X}nJ, устанавливают воз,южные
пределы изменения X;V> в условиях конкретного объекта ис
следования . После этого делают вывод о том, каким методом
проводить эксперимент. Если есть возможность изменения
x;r> по заранее намеченному плану, то можно ставить вопр о о
о проведении активного эксперимента. При этом желатель
но иметь некоторую, пусть чисто интуитивную, уверенность
в том, что случайные колебания Х)") в пределах ЛХ;"J незна
чительно повлияют на исследуемые пара:'-.1етры отклика У; .
Есюi возможность реализации матриuы планированного экс
перимента отсутствует, используют случайные эксперимен
тальные данные, фиксируя бессистемно изменяющиеся соче
тания X}v>, Yi, При сборе случайной статистической информа
пии в ряде случаев целесообразно ослзбить технологические
тр ебования, допустив колебания X;V) в более широких, чем
это имеет место в реальном процессе, ·пределах. Завершают
процесс создания ЭМ.М этапы математической обработки со
бранной информаuии и проверки адекватности модели (более
подробно структура этих этапов будет рассмотрена ниже).
3. Оптимизация процессов ОМД с использованием
математических моделей
Все создаваемые математические модели конкретных техноло~
гическ их процесс ов в зависимости от характера решаемых
с их помощью оптимизационных задач можно подразделить
на качественно- и количественно-оптимизаuионные. Первая
группа моделей связывает между собой регулируемые XV,J,
нерегулируемые Х;") учтенные определяющие параметры и па
раметры отклика У i процесса зависимостями монотонного
вида. Примером качественно-оптимизаuионной ЭММ может
служить формула Э . Зибеля для определения величины
у ширения при прокатке
ль- (О 35__,_о 45) R0•5Лh'·5h-1
(1 .1)
-
'
•
'
в
о•
25
где ЛЬ - уширение; Лh
-
обжатие заготовки вследствие
пластической деформации; h0 - начальная толщина заготовки .
На основании формулы (l. l) можно рассчитать конкретное
значение уширения и сделать вывод о том, что, например,
уменьшение обжатия Лh снижает величину уширения (т.е .
дать качественную оценку связи).
Количественно-оптимизационные модели позволяют дать
количественные рекомендации по выбору параметров х?>
в связи с решением некоторой оптимизационной задачи. Пусть,
например, требуется определить значение обжатия Лh, при ко
тором отсутствует уширение ЛЬ. Формула (1.1) в области ре
альных значений обжатий не позволяет дать ответ на этот
вопрос; в то же время в соответствии с формулой Б. П. Бахт 1 I
нова
ЛЬ= 0,57Лlz1•5Ji";1 (R~·
5 - 0,5Лh0•5f-1),
(l .2)
можно получить количественную рекомендацию для решения
поставленной задачи 1 :
(l .3)
в связи с чем формулу (1.2) можно рассматривать как коли
чественно-оптимизационную Al\t\.N\.
Приведенные примеры дают основание для вывода о том ,
что одна и та же математическая модель в зависимости от
объекта и задачи оптимизации может быть как качественно
так и количественно-оптимизационной. Если, например,
сформулировать задачу оптимизации в виде вопроса: при
каком значении начальной толщины полосы уширение будет
минимальным?, то АММ (1.2), так же как и ЭММ (1.1), даст
лишь качественный ответ: чем больше h0 , тем меньше ЛЬ.
Рассмотренные примеры позволяют сделать еще один очень
важный с практической точки зрения вывод, суть которого
состоит в том, что один и тот же процесс, явление, объект
всегда могут быть описаны различными математичес1шми зави
симостями. Сделанный вывод открывает широкие перспективы
в плане варьирования сложностью разрабатываемых моделей
в зависимости от тех целей, для которых они создаются. Это
особенно важно при создании ЭММ, так как объем экспери
ментальных исследований и математической обработки данных
резко возрастает с усложнением модели.
Подавляющее большинство оптимизационных технико-эко
номических задач сводится к · определению экстремальных
1 Приведенные nримеры носят чис10 иллюстративный характер;
у ровень достоверностf\ и границы применимости формул(! . !) и (1 .2)
не входят в круг рассматриваемых в этом разделе вопросов.
26
значений некоторых пара
м ет ров отклика и величин
соответствующих им опре
деляющих параметров. Ре
шение этой задачи с чисто
математической точки зре-
11ил сводитсл к исследова-
1111ю топологии некоторой
п111ерповерхности У= У х
Hemoi!ЬI ПОUС!(а
жстрен1Jна
C!iat1UpoOoнш1
симплекснЬlii
штро,рных
qJ!/tlKЦШ]
Гаусса-ЗейiJеля
Х1Jка-Джи!Jса
Розе11орока
rpaiJuet1ma
хр11того
IJ0cxoжile11ш1
сопряже1111ых
грооие11то8
FPлemчepa
Pиfka
сопряжем111х
1tоnра8ле,шй
дe/JuiJco11a
IРлеmQера
ПаУэлла
х (Х~, Pi). Вычислительная
математика располагает до
вольно эффективными мето
дами решения этой задачи.
Наиболее часто используе
мые методы поиска экстре
мума систематизиrованы на
рис. 5. Каждый из этих ме
тодов имеет свои преиму
щества и недостатки, ана
лиз которых не укладывает
ся в рамки настоящей ра- Рис. 5. Структура методов поиска
боты.
экстремума
Реальные оптимизационные задачи, к·ак правило, много
мерны. Их реализация связана с проблемой, которую, по весь
ма удачному выражению математика Д. Дж. Уайлда, назы
вают «проклятием размерности». Указанная проблема в1<JIЮ
чает два аспекта: многомерные функции в большинстве слу
чаев неунимодальны, и гиперповерхноеть отклика У имеет
значительное число локальных экстремумов; решение много
мерной задачи всегда связано с трудностями численной фор
мулировки характеристик точности определения определяю
щих параметров. Для преодоления первой из указанных
сложностей можно использовать прием «констру;;рования функ
ций», суть которого состоит в следующем.
При разработке ЭММ на стадии планирования активного
эксперимента или перед математической обработкой случай
ных экспериментальных данных конструируется функция У=
= У (Х~0\, ai), где ai - коэффициенты регрессии, подлежа
щие определению в результате математической обработки эм-
пирической информации. При этом функцию У (Х~0>, ai)
представляют в виде, удовлетворяющем условию унимо
дальности:
дУ единожды для XJ 0) Е Х7,
дХ\0)
'
(1.4)
27
где Х; - заданная оnласть допустимых значений определя
ющего параметра Х\01 .
При использовании AМ.N'i. результаты численных эк с пери
ментов обрабатывают с целью создания уравнений рег рес сии
У = У (X;V), p\VJ, а;), отвечающих условию унимодал ь ности
относительно переменных ОТП X;v\ аналогичному условию
(1.4). Прием конструирования функций, отвечающих усло
вию (1.4), поддается формальному математическому описа
нию, и ниже будут приведены алгоритмы его реализации на
эвм.
Естественно, что накладывая на функцию отклика оrро
ничение (1.4), мы r-Je можем доб иться высокой степени адек - _
ватности математической модели и реального объекта. Тем не
менее использование изложенной методики в ряде случ ае в
позволяет получить довольно эффективные результаты . При
чина этого факта оч ен ь лаконично и четко объясняется тем,
что реальные системы всегда имеют размытые максимумы,
т. е. небольшие отклонения параметров от оптимальных зна
чений не должны сколько-нибудь существенно отражаться
на характеристиках проектируемой системы . Значит, обычно
решение оптимиз а ционных задач не требует очень высоко й
точности расчетов [!].
Многие практические задачи теории ОМ.Д носят альтер
нативный характер. Примером может служить проблема вы
сора оптимальной длины концевой обрези на готовом прокате;
снижение длины обрези снижает расходный коэффициент
меrалла, но повышает вероятность отбраковки по условию
несоблюдения требований ГОСТа на точность продукции;
требуется определить длину обрези, обеспечивающую макси
мальный выход годного. Решение задач такого типа тр ебу ет
привлечения матема тического а ппарата теории вероятностей.
Иногда задача оптимизации конкретного технологическ ого
процесса ОМД сводится к проблеме оптималь но го ра спределе
ния ограниченного ресурса некоторого пара метра. К этому
классу относятся, например, задачи по оптимальному ра спре
делению деформационных параметров между клетями много
клетевых прокатны х станов. Дл я их решения использ уются
методы динамического программирования и случ айного поиска
(Монте-Карло).
При реше ни и некоторых ко нкретных задач иногда при х о
дится сталкивать ся с проблемой поиска значений Х i• удов
летворяющих условиям ти па У0= У*; inf У = У*; sup У =
= У* (здесь У*- одно из значений множества У). Решение
задач такого типа можно рассматривать как проблему опти
мизации с ограничениями.
28
Изобретение ЭВМ коренным образом изменило методы
р ешения разнообразных практических ма тематических задач.
С внедрением их в практику решения конкретных задач к а
чественно измениJJась постановка последних. Как от меч а
л ось выше, математические модели р еальных физичес к их
процессов п редставляют собой, к а к правило, си стем ы с.1юж-
11ых д11сjхj)еrенциальных и интегральных уравнений , решение
1<ото ры х невозможно методами классической математн rш.
Ос новные идеи методов приближе нных вычислений был и
сформулированы в XVII-XIX вв . И. Ньютоном, К. Ф . Гаус
сом, Л. Эйлером, П. Л. Чебышевым , Н. И. Лобачевсю1м,
Э. Зейделем и многими другими математиками, однако только
возможность использования ЭВМ открыла перед этими мето
дами · перспективу широкого практического использования.
Основные свойства ЭВМ как инструмента выполнения опера
ций над числами можно охарактеризовать очень лаконично:
быстродействие и большой объем памяти. До изобретения
ЭВМ исследователи, обладая теорией решения сложных з а
дач, не могли использовать ее на практике, так как осущест
вление численных приближенных решений связано с выполне
нием огромного числа расчетов. Быстродействие ЭВМ решает
эту проблему. Вторая сложность численного решения задач
состоит в необходимости выполнения опе-раций с огромным
количеством чисел; большой опъем памяти ЭВМ позволяет
справиться . и с этой сложностью.
Современные однопроцессорные ЭВМ на больших интег
ральных схемах выполняют до 5 . 10 6 операций в секунду
(имеются прогнозы о возможном у величении этого числа в бли
жайшие 5-10 лет ДО 107- 108), а производительность вычи
слительных систем с матричной магистральной и ассоциатив
ной структурами составляет 108- 109 операций в секунд у;
оперативная память современных ЭВМ достигает 10 и более
М-байтов. Важнейшая отличительная черта ЭВМ - возмож
ность компактной длительной «консервации» информации и ее
практически мгновенного вызова, что с водит к минимуму ра
боту над составлением программы расчетов за счет использо
вания стандартных подпрограмм (вычисления интеграло в,
дифференциалов, решения систем уравнений и т. д.). Указан
ные свойства ЭВМ делают их незаменимыми помощниками
исследователей при проведении численных экспериментов
с использованием АММ и создании ЭММ.
Глава вторая
ИНТЕГРАЛЬНАЯ АММ ПРОЦЕССА ОМД
1. Постановка задачи и основные уравнения
Рассмотрим краевую задачу механики сплошной среды, моде
лирующую наиболее общий случай ОМД.
Некоторая область W сплошной среды (рис. 6), ограниченная
зам1шутой поверхностью ~, включает в себя подобласть пла
стического течения D Е W, ограниченную замкнутой поверх
ностью S. Поверхности Su Е S и SQ Е S отделяют подобласть
течения D от жестких частей D1 и D 2 области W, в которых
отсутствуют деформации (D1EW, D 2 Е W, D + D1+ D2 =
= W). По поверхностям S, Е ~ и Sa Е ~ подобластьD подвер
гается внешнему воздействию со стороны областей W1 и W 2
соответственно (применительно к рассматриваемой задаче :
W1- конечномерная замкнутая область, инструмент; W 2 -
полупространство, окружающая среда). По поверхностям
~1Е ~ и ~ 2Е ~ подобласти D1 и D2 соответственно подвер
rаются воздействию со стороны полупространства W2 .
Оговорим следующие наиболее общие допущения, которые
будут использованы при рассмотрении задачи.
!. В области W1 и подобластях D1, D 2 области W имеет
место rюступательное движение сплошной среды как абсо
лютно твердого тела и выполняется условие Н = О.
2. Упругими деформациями в подобласти D пренебрегаем
вследствие наличия развитого пластического течения преиму
щественно в большей части подобласти.
3. В подобласти D векторное поле скорости пластического
-+
течения v = (v) является соленоидальным безвихревым (т. е .
гармоническим):
-+
divv=O;
rot; = О.
-+
(2.1)
(2.2)
Из допущений (2.1), (2.2) следует, что v = (v) является
непрерывным потенциальным полем, а тензорное поле напря
жений не включает в себя моментных составляющих. Сделан
ные допущения о характере поля скорости пластического те
чения базируются на гипотезах неразрывности и несжимае
мости деформируемого материала.
30
4. Рассматриваемые
скалярные,
векторные
и тензорные поля регу
лярны в подобласти D .
5. В подобласти D
сп раведлив а
ги потеза
«замороженн ых связей»
12 1. что позволяет при
о пр еделе нии полных про-
d
и зв одных dt скалярных
->-
ер= ер (х , t) и векторных
->-
( ер) функций считать ло-
кальные
производные
->-
~;,
~ ; равными нулю
d
Рис. 6. Схема постановки краевой зада•
чи омд
и приравнивать dF конвективным производным:
dcp _->-
.
dt- vgradер,
iZr дсрк ->- .
ilt = cix:- V;ек,
L
->-
где ек - орты координатного базиса.
(2.3)
(2.4)
6. Течение в подобласти D отвеч ает общим закономер
ностям теории процессов малой кривизны [3], и может бытъ
установлена однозначная связь параметр?в деформации в ви -
де закона
Т=Т(Н,А,0).
(2 .S)
Динамические, кинематические, деформационные и терм о
динамические характеристики процесса связаны следующими
уравнениями.
1. У равнение движения, которое с учетом инерционных
и массовых сил в соответствии с п р инципом Даламбера имеет
ВИД
->-
.
->-
dv
d1vТа+ pF= pdt,
(2.6)
где F - тютность массовых сил, F= lirn [7,, (J pdD( 1] ;
ЛD➔О
ДО
->-
Fм - главный вектор массовых сил, действующий на элемент
массы Лт= JрdD.
ЛD
31
Уравнение движения (2.6) путем тождественных преобра •
зований [4J мuжно представить в виде
sssР(7- ~)dD +фф-;п dS = О.
(2.7)
D
S
Выражение (2.7) пр едставляет собой математическую за
пись закона сохранения количества движ ения подобласть ю
D в целом как физически м телом. Тождественность выражений
(2. 6) и (2.7) позволяет констатировать, что при отсутствии инер
ционных и массовых сил выполнение уравнений статического
равновесия элементарного объема по всей области течения
адекватно выполнению усл опия статического равновесия
всего деформируемого тела в целом.
, ••• Также отметим, что для симметричного тензора
напря
жений Т0 соблюдение (2.6) в подобласти D адекватно условию
сохранения момента количества движения в целом всем дефор
мируемым телом
iii(7Х p.F) dD + фф (7х -;;,) dS = О,
(2.8)
D
S
-+
где х- радиус-вектор элемента объема dD.
2. Определяющее уравнение связи напряжений и скоро
стей деформаций (уравнения Сен-Венана-Мизеса)
3. Компоненты тензора скоростей деформации Т;, и скоро
сти течения связаны законом
(2.10)
4. Уравнение теплопроводности, связывающее темпера
туру 0 в данной точке подобласти D с механическими, термо
динамическими хараюеристиками и параметрами течения в той
же точке, можно записать в виде закона
~~ =11(V 2 0+aTH),
(2.11)
где а= GJ- 1k-/; G - коэффициент Тейлора-Фаррена, учи
тывающий соотношение между диссипацией и поглощением
энергии деформщии.
32
2. Формулиров ка задачи и граничные условия
Уравнения (2.1), (2.5), (2.6) , (2.9)-(2.11) представляют собой
систему законов, описывающих состояние среды в каждой
точке подобласти течения D. Система включает 18 неизвест
ны х компонентов (параметр ов отклика), 6 компонент тен
зора н апряжений criк; 6 ко мпонент тензора скоростей дефор
м аш1и ei"; 3 компоненты векторного поля скорости течения
ср ед ы и;; г идростатическое напряжение cr 0 ; интенсивна,сть
сдвиговых напряжений Т; температуру 0; и в «развернутом
виде» состоит из 18 уравнений: 3 уравнения движения (2.6);
6 уравнений связи (2.10); 6 определяющих уравнений (2.9);
уравнение несжимаемости; реологическое уравнение (2.5);
уравнение теплопроводности (2 . 11).
Учитывая наличие uепочки-связи criк = criк {еiк (vJ, а0 ,
Т [0, Н (еiк (vi)), Л (Н (еiк (v;)),
t
(vi,
Х;))]1, 0 = 0[Т (vl,
t (и;, х,)), Н (v)], можно свести описанную систему 18-ти
уравнений с 18-ю неизвестными компонентами тензорных,
векторных и скалярных полей к системе 5-тн уравнений
-+
divv=O;
(2.12а)
д~- (μ(::i + ::") +o,,;a0l+pFi = р
~}-; (2 . 126)
t
К
lI
J
·-
d0
dГ= 'У](V20+аμН2);
(2.12в)
Т (vi. 0)
rдеμ, =
Н (иJ
Система уравнений (2.12а-в) вклю~ает 5 неизвестных
величин: и1 , а 0 , 0, понск которых является целью ее реше
ния ДЛЯ ПОСЛедующеrо ВЫЧИСЛеНИЯ Giк' е,к• Т.
-+
В общем случае задачу определения полей v = (v), Т cr =
= \cr 1кl' Т; = [1\J и так далее, можно рассматривать как
за дач у установления математического закона связи между
-+
временными и пространственными изменениями полей v (х, t),
-+
-+
а 0 (х, t) , 0 (х , t). В соотпетствии с допущением 5 (см . (2.3),
(2.4)), при решении задачи рассмотрению подвергаются ста
ци о нарные го лономные связи, в математическом описани1:1
полей отсутствуют время и производные по времени в явном
виде, что достигается (в случае необход имости) заменами
-+
типаt=t(х, vi).
Решение рассматриваемой задачи как краевой задачи ма
тематической физики неразрывно связано с естественными на
чальными и граничными условиями .
2 6-108
33
В силу того что мы ограничиваемся рассмотрением стацио•
нарных связей, будем считать, что все рассматриваемые ниже
граничные условия не включают в свое описание время в яв
ном виде, т. е. являются стационарными. В силу введения
этого условия для явно зависящих от времени (реономных)
граничных условий необходимо анализировать условия те
чения в небольшом интервале времени, в течение которого
граничные условия можно считать изохронными (склероном
ными).
Механические граничные условия. В подобласти D1 задан
-->--
--+
вектор скорости поступательного движения 1 vt = vf et, где
--+
1
el, -
единичный вектор направления скорости поступатель
ного движения в подобласти D1 . Условие неразрывности поля
скоростей на поверхности Sv имеет вид кинематического гра
ничного условия
(2.13)
--+
--+
--+
где v1 - скорость течения на поверхности Sw, v1 = v (D) 1s .
1)
На поверхности ~ 1 подобласть D1 подвергается локаль-
ному воздействию внешней сосредоточенной нагрузки qr =
--+
= Qf et,. При этои до1-1ускаем, что геометрические парам~тры
подобласти D1 позволяют использовать гипотезу Сен-Венана
об эквивалентности действия распрецеленной м сосредото
ченной нагрузок. Это определяет следующее динамическое
граничное условие для поверхности Sv:
(2.14)
--+
--+
--+
где сrп1 - поверхностное напряжение на Sv, сrп 1 = (cr;кnи:ei) \sv;
nк - проекции единичного вектора нормали к поверхности;
Q*;t
1'"·v t •
q1 - эквивалентное распределенное напряжение, q1 = --,
Fu
Fv - площадь поверхности S,, 2 .
В подобласти D2 задано направление (но не величина)
--+
--+
вектора поступательного движения vl = v2et,. Условие нераз-
1 Здесь и далее наличие «звездочки» в обозначении величины
(а*, а* и т. д.) указывает на то, что она гранично задана.
2 Будем считать, что для любой точки М Е Sv выполняется ус,10•
--+
-- ;,-
вне поетоянства знака скалярного произведения вектс,ров пмеv,,
--+
где п..
-
единичный ~ектор нормали к Sv с направлением из D в 0 1 •
34
рывности поля скоростей на S0 имеет вид кинематического
граничного условия
(2.15)
где ev, -
единичный вектор направления скорости течения на
-+
So, ev, = ev (D) lso·
-+
-+
На поверхности 1: 2 действует нагрузка Q; = Qf ei,, причем
на нее распространяются оговорки, сделанные выше для
нагрузки Q1. Это приводит к следующему динамическому
граничному условию для SQ,
-,. .
-, ..
<Jп2-q~ = О,
(2.16)
-,. .
rде а 112 - поверхностное напряжение на SQ; q2 - эквивалент-
Q*~
-,..
zev
ное распределенное напряжение, q2 = ~; FQ - площадь
Q
поверхности SQ (с теми же оговорками, что и для Sv),
-+
На Sa действуют поверхностные напряжения а11 , направ-
ления которых противоположны направлению единичного
вектора нормали ; к поверхности Sи, направленной из D в Wi:
-+
-+
а"= -р*п,о
где pt- гидростатическое давление в области W 2 •
Динамическое граничное условие для Sa имеет вид
(2.17)
(2.18)
-, ..
-+
-, ..
где <Jпз - поверхностное напряжение на Sa, <Jпз = (<J;кnке;) lsa·
На S,, являющейся поверхностью контакта деформирую
щего инструмента и формоизменяемого материала, заданы
-+
-+
нормальная и~·= и: п* и каса1ельная u; к поверхности инст-
румента составляющие вектора скорости поверхности инстру-
.....
мента и:. Условие непронипаемости на S, имеет вид кине
матического граничного условия
(2.19)
где v11 - нормальная к поверхности S, составляющая ско
рости течения, v 11 = 7;*"l(D) ls,.
35
Кроме того; на St задан закон распределения касательных
напряжений т* (S,) ~ закон внешнего трения, в силу кото
рого на S, имеет место динамическое граничное условие
-+
-+
т- т*е't = О.
(2.20)
-+
Здесь e't - единичный вектор направления контактного
--+
--+
Ли
-+
касательного напряжения, e't = -
~;Лv- векторско-
1Ли1
расти относительного скольжения деформируемого материала
-+
-+
-+
-+
по поверхности инструмента, Лv = Vi; -
v~; v't - скорость
-+
-+
течения на поверхности S't, Vi; = v (D) ls,.
Возможен вариант, при котором на поверхности S,, Е S1:
либо на всей поверхности S1: задано кинематическое гранич
ное условие, отвечающее прилипанию деформируемой среды
к инструменту:
(2 .21)
В этом случае поверхность S1:, практически идентична
поверхности Sv; разница состоит в том, что для поверхн<кти
-►
S-r:, на величину an не накладываются исходные динамические
ограничения. Поиск геометрических параметров поверхности
S,1- зоны прилипания как части контактной поверхности
-
может быть одной из целей решения задачи, однако пока огра
ничимся допущением о том, что вся Fiоверхность S,- это по
верхность, на которой справедливо граничное условие (2.20).
При этом закон т*= т*(S,) может быть задан таким образом,
что им будут предопределяться как наличие, так и размеры
зоны прилипания S,1 на поверхности S,.
Термодинш.шческuе граничные условия. В общем случае
решение краевой задачи теплопроводности включает как оп
ределение поля температур, так и определение полей скоростей
и напряжений. Краевая задача теплопроводности явля ется
связанной и может быть решена лишь в системе уравнений
(2.12).
Точное решение краевой задачи теплопроводности свя за но
ё-- непреодоJ.ймыми математическими трудностями. В литера
туре имеется ряд частных решений [5, 6], в которых на основе
гипотезы о неподвижности среды в подобласти D решены неко
торые важные прикладные з адачи о теплообмене в конкретных
процессах ОМД . При этом достигнута весьма удовлетвори
тельная с практической точки зрения точность расчетов, что
позволяет оправданно принять следующие допущения о х а
рактере теплообмена между W, W 1 , W 2 •
36
1. Начальное распределение температур
мых областях равномерное:
в рассматривае-
......
о
8w(х,О)=8w• = const;]
-+
о
81v, (х, О) = 0w; = const;
-+
•
811'1, (х, О)= 8w• = const
'
'
(2 .22)
о
о
о
где 8w•, ew•• 0w* - Н,J!~альные усредненные значения темпе-
'
.
ратур среды в облает ях W, W 1 , W2 соответственно.
2. Теn.лоопмен на поверхностн S, (между D Е W и W~)
отвечает условиям теплообмена двух полупространс-rв при
наличии теплового сопротивления и потока диссипации работы
напряжений к_онтактного трения.
С учетом сделанных допущений можно рассматривать за
дачу определения поля температур как задачу с граничными
условиями третьего рода [7].
Математическая запись граничного условия в «разностной"
форме для поверхности S, принимает вид уравнения
д0\
-
ап s, -h* [8; -8(S,)] = О,
(2.23)
где п - ось, перпендикулярная к S, с положительным направ
лением из S, в W; h* - относительный коэффициент те~ло-
~
а: <'ь~ + ь;') -*
обмена между D и W1, h* =
_*
; Ь i - коэффициент
k10 Ь,
теплово :i активности области (j = О •для D Е W; j = 1 для
lf\), 17 = V'(c·tp*k;'\; 8~ -
условная температура в W1 , 0 ~ =
~*
·Х·
Г;0
= 0i+q, *(ь*-1-
_*);ef·-
условная температура в W1 при
Cl,a
СЬl
отсутствии пото1<а диссипации работы напряжений контакт-
0° ь*+0° ь*
\f/"' О
w:1
наго трения, 0·1, ,. =
___
_*
;q,-
плотность потоr<а дис
Ь~+ь~·
сипации работы напряжений контактного трения, q, = тЛvG.
Если решение допускает возможность пренебрежения теп
ловым сопротивлением на S. и тепловыделением от q., то,
используя граничное условие первого рода, получаем
(0°
-
0° )ь*
Lt:-'*
w*О
0Js.- 0~; + ь~+ьi =0.
(2 .24)
37
Для свободной поверхности Е = Sa + Е 1 + Е 2 будем счи
тан, справедливым допущение о том, что теплообмен с окру
жающей средой описывается законом Стефана-· Больцмана
~\-
Е:~:[04 - 04(Е)] =о
(2.25)
дпЕ
k...
2
о
,
t"
r де а; - степt>нь черноты поверхности; а~ - излучение абсо
лютно черного тела; 00 , 0, -
температура (К) соответственно
материала (W) на Е и окружающей среды в Wt .
В реальных условиях обычно 0,;:::::; coпst, а относительное
изменение 00 (Е) весьма незначительно, что позволяет исполь
зовать вместо (2 .25) граничное условие вида
дО1
*о
;-- - h1[0w*- 0(Е)] =О,
ап~
2
(2.26)
где h{- относительный коэффициент лучистого теплообмена,
в*сr*
hj* = Т- [(0g)* + (0~)*] t[(0~)*] 2 + [(0~)*] 2 }; (0~)*, (0~)* -
t,
усредненные начальные температуры (К) соотве1ственно в W
и w2•
Таким образом, определены все граничные условия, накла
дывающие ограничения на величину и характер изменения ди
намических, кинематических и температурных параметров
процесса ОМД. Механические граничные условия (2.13),
(2.15), (2.19), (2.21) связывают исключительно кинематичес1ше
параметры и являются однородными. Механические гранич
ные условия (2.14), (2.16), (2.18), (2.20) связывают кинемати
чес1ше, динамические и, в общем случае, температурные па
раметры и являются неоднородными. Температурные гранич
ные условия (2.24)-(2.26) однородны, поскольку связывают
лишь температуру и теплофизические константы; граничное
условие (2.23) неоднородно, так как величина q, зависит от
кинематических и динамичесюrх параметров процесса.
3. 3аконы теории ОМД
Законы связи Т = Т (Н, Л, 6) . Сопротивление металлов пласти
ческому формоизменению определяется широкой гаммой фи
зических процессов, сопровождающих деформацию [8]. Харак
теристикой сопротивления материала пластической деформа
ции может служить ~нтенсивность сдвиговых напряжений Т,
при которой осуществляется процесс. В общем случае интен
сивность Т как параметр отклика зависит от целого ряда опре
деляющих параметров процесса: температуры 8, степени де
формации (мерой которой может служить степень деформации
38
Рис. 7. Зависимость интенсивности
сдвиговых напряжений от пара ,11етров
Одкви.ста с наличием площадки те
кучести (1) и без нее (2):
ОА - у•~ асток уnругой деформации; АВ
-
участок текучести; ВС - участок уnрочне
ния; А 1 В - nлощадна тенучес?и
10
2
t
О O,OtJ 0,18 0,24 О,З2 Л
Рис. 8. Зависимость интенсив
ности сдвиговых напряжени й
от параметра Одквиста при ин •
тенсивности Н скоростей сдвн•
rовых деформаций:
1-4,\О-•; 2-7,\О-•; 3-4; 4-30;
5-IO'c-!
сдвига Л), скорости деформации (мерой которой може т
служить интенсивность Н), физико-химической структуры
и компонентного состава деформируемого материала, време
ни деформации, формы деформируемого тела, давления окру
жающей среды, наложения на область пластического течения
электромагнитных, магнитных полей, ультразвуковых коле
баний, жесткого нейтронного облучения· и др. [8-10].
•
Для большинства металлов, подвергающихся пластичес кой
деформации в промышленных масштабах, характерны два
основных типа зависимости Т - А: кривые с ярко выраженной
'1лощадкой текучести и без таковой (рис. 7). В интересующем
нас плане математическая модель зависимости Т от парамет•
ров процесса должна отражать влияние последних как на те•
кущее значение интенсивности Т (сдвиговое напряжение те·
кучести), так и на величину k (сдвиговый предел текучести) .
Для конкретного материала при фиксированном значе
нии 0 на характер связи Т - Л существенно влияет скорость
деформации, которая влияет и на предел текучести k. С1<а•
занное иллюстрируется (рис. 8, 9) конкретными зависимостя
ми Т = Т (Л, Н) и k = k (Н) для алюминия, построенными
по экспериментальным данным работы [11]. Особенно чув
ствительны к скорости деформации значения k у металлов
с ярко выраженной площадкой текучести. Так, например ,
для углеродистой стали (0,22 % С) предел текучести J}астет
39
2
300
2~(1
200
-r
--------!
20
200 /f,1)-I
Рис. 9. Зависимость интенсивности
сдвиговых напряжений от интен
сивности скоростей сдвиговых де
форма пий для алюминия (/) и ма
лоуглеродистой стали (2)
т
о 0,2 8,4- О,б О,В 9гом
Рис. 10 . Зависимость интенсив
ности сдвиговых напряжений .от
гомологической температуры:
н, - - 2-l!'=H,>I
1- Но=Н,>Н,;
Но
от ат = 276 МПа при статических испытаниях до ат= 587 МПа
лри скорости деформации порядка 200 с- 1 [12].
Вопрос о влиянии скорости деформации на сопротивление
деформации необходимо рассматривать в комплексе с темпе
ратурными условиями процесса. Целым рядом исследований
[13, 14] установлено, что интенсивность влияния Н на Т не
значительна при гомологической ;температуре ниже 0,4 и рез
,ю возрастает при гомологических температурах порядка
0,5-0,8 (рис. 10).
Для учета влияния Н на сопротивление деформации ино
гда используют с1юростные коэффициенты, которые позволя
ют ориентировочно рассчитать Т при данной скорости де
формации, если оно известно при другой. Значения скорост
ных коэффициентов, поС. И. Губкину [15], приведены в табл. l .
Определив значение скоростного коэффициента Z по дан
ным табл. l, сдвиговое напряжение текучести Т 1 при интен
сивности скоростей сдвиговых деформаций Н1 можно оценить
Та 6 ли ц а 1. Влияние скорост и деформации и гомологической темпера
туры на скоростной коэффициент Z
Изме нение скор о сти
деформации
В10раз
В 100 раз
В 1000 раз
От статической скорости
10-1 с- 1 к динамическ о-
му воздействию сил
40
1
.
Гомологичес1<ая те~11ература
Менее0,3 \ О,3-0,5 \ 0," - n,7 \ Более 0,7
1,05_: _ 1, 1О 1,10-1, 15 1,15-!,ЗО 1,30-1,50
1,10-1 ,22 !,22-1 ,32 1,32 -1,70 1,70- 2,25
1,16-1,34 l,34-2,52 1,52-2,20 2,20 - 3,40
1,10-1,25 1,25 -1 ,75 l ,75:-2,50 2,50-3,50
в соответствии с соотношением
Т1 = ZT0, где Т0 - сдвиговое
напряжение текучести при ин
тенсивности Н 0 < Н 1 . Такой
подход к определению Т как
функции Н может быть ис-
пользован
при
изучении
свойств чистых металлов в ин
тервале скоростей деформации
порядка 10-1
-
103. Связь Т -
-
Н - 0 для сплавов бывает
значительно сложнее, что ил-
z
2
t
люстрируется приведенной на о 200 400 500 дQО 8, ие-
рис. 11 зависимостью Z (8) для
углеродистой стали (О, 11 %С; Рис. 11. Зависимость скоростного
0,32 % Mn; О, 1% Cr; 0,25% Ni) коэффициента от температуры
приН=I02H0иН0=1,4 '"7"
+ 2,0 с-1.
Для математического описания связи Т и k с определяю
щими параметрами формоизменения прибегают к идеализа
ции деформируемой среды как материального континуума.
Основные гипотезы идеализации заключаются в следующих
допущениях: вещество равномерно и непрерывно заполняет
весь объем тела, ограниченный его контуро1.1 ~; во всех точках
--+
А (х) Е W вещество обладает одинаковыми свойствами (ве-
щество однородно); свойства вещества одинаковы во всех
направлениях (вещество изотропно); сопротивление дефор
мации не зависит от гидростатического давления, формы
тела, схемы деформированного и напр·яженного состояний;
а также протекающих во времени разупрочняющих и других
физико-химических процессов.
При допущении о справедливости выдвинутых гипотез
задача математического моделирования механических свойств
деформируемого материала сводится к установлению вида
и количественных характеристик зависимостей Т и k от опре
деляющих параметров Л, Н, 0, Ьк (здесь Ь" - параметр, ха
рактеризующий физико-химические свойства материала), при
чем зависимости, полученные для образца конкретной формы
в конкретных деформационных условиях, должны быть спра•
ведJшвы для тела любой формы независимо от схемы дефор
мированного и напряженного состояний, при которых проте
кает процесс.
В силу ранее принятых допущений процесс деформации
рассматривается как склерономный; величина же Л = IHdt
в своем математическом описании явно зависит от времени.
41
11
о
iJ.
е
lf<. /f(Л)
Рис. 12. Основные виды математических моделей связей Т
-
НиТ-Л
сплошной среды:
а - идеально жесткопластическая среда; 6
-
жесткопластическая среда с линеА. ..
иым упрочнением (тело Бингама); в - жесткопластическая среда с нелинейным уп
рочнением; г - линейно вязкая упруrопластическая среда; д
-
идеально упруго
лластическая среда; е - упруголластическая среда с линейным упрочнен1:1ем по
р азличным законам (билинейная ~пругопластическая среда); ж - упруrопластиче
ская среда с нелинейным упрочнением
Если решение конкретной задачи математического моделиро
вания процесса ОМД позволяет ограничиться поэтапным рас
четом, рассматривая на каждом этапе конечную, но неболь
шую деформацию (Л <0,12+ 0,15), расчет ведут для фикси
рованных точек пространства; при этом координаты Эйлера
-+
и Лагранжа совпадают, поле v = (v) склерономно, и можно
считать, что А = Г
=
Н Лt*, где Лt*- заданный интервал
времени деформации. Если же по условиям задачи необходимо
рассматривать большие деформации, параметр Одквиста опре
делится из выражения
Л=~Н(i.J)v-1dl,
(2.27)
1
rде l - траектория движения точки.
Таким образом, зависимость Т = Т (Н, А, 0) всегда
можно свести к склерономному виду Т (Н, 0, Лt*) либо
-+
-+
-,..
Т (Н, 0, х, xi) (здесь xi- радиус-вектор положения точки
до деформации).
Идеализируя диаграммы Т-Н, Т-А, в механике сплош
ной среды рассматривают несколько основных типов тел,
свойства которых характеризуются видом указанной диаграм
мы . На рис. 12 приведены основные виды математических
моделей Т = Т (Н); основные из используемых моделей свя
зей Т = Т (Л) имеют абсолютно идентичный характер.
Для математического описания зависимости Т (Н, Л, 0)
наиболее широкое распространение получили уравнения сте- •
пенного вида [16, 17] . В общем виде интересующую нас ма
тематическую модель можно представить в виде уравнения
(2..28)
42
Таблица 2. Значения коэф!j,1щиентоn lJI!. д.ля разл,~чnых ~ю.и:е.~м'i де•
форми,руемоiJ среды
Внд модели cD.siзи 1
/,к
(обозначения
Примеч ан-не
рис. 12)
ь,
t>,
ь,
а
о
6
Ь*1
в
ь~·1
ь:
l
г
ьr
о
д
ьr
о
T<k
о
l
T=k
е
ьr
о
Т<k
bf
Ьt
т>-;,
ж
ьr
ь:
о
где Ьк - эмпирические коэффициенты, характеризующие де-
"
*
--
формируемы и материал, Ьк = Ь к, к = 1, 5.
Модель вида (2.28) охватывает всю гамму возможных иде
ализаций деформируемой среды, представленных на рис. 12.
Так, например, для зависимостей Т-Н в "(2.28) следует под
ставить Ь3=Ь;; Ь4= Ь!; 0 = 0*; Л = Л*, а значения остальных
коэффициентов определятся в зависимости от модели
среды (табл. 2). Для моделей (рис. 12, а, 6, в) величину сдви•
гового предела текучести задают в виде константы k = 1<*0.
Для моделей остальных типов величину /i можно определить
из (2.28) в соответствии с условием
k = Ь1Н62Л~' ехр (Ь40) + b5k,
из которого следует, что
k = Ь6Нь,л:, ехр (Ь40),
(2.29)
где ь6 = bl (1 -Ь5)-1.
Для описания зависимости Т -Л любого идеализирован•
ного типа можно использовать (2.28), подставив Ь 2 =, Ь!, Ь4 =
= Ь!, е = 0*, Н = Н* и значения коэффициентов Ь1, Ь5 из
табл. 2; при этом для Ь 3 используют значения коэффициента
Ь 2 • Строго говоря, коэффициенты Ьк являются функцией тем
пературы [18], однако на практике их определяют в виде кон
стант для некоторого интервала гомологических температур.
Также не следует забывать, что значения эмпирических коэф•
фициентов Ьк при постоянной температуре в значительной сте•
пени зависят от диапазона ЛН и ЛЛ, в котором была сделана
43
ДJ
••
е•
••
0,2
•
о
/J, f
ь,
[}
0,1
0,2
0,3
[1,4
Т,МПrJ
о,·ш-;мпо
240
2/0
2BIJ
150
•••••••
120
90
60
30
0,5 Л ,дЛ
Рис. 13, Зависимости Т от Л иЬкотЛЛдлясвинцапри0=25°С,
Н = 6 , 1O-з с-1 (испытание \la кручение)
выборка экспериментальных данных. Если, например, необхо
димо получить численные значения коэффициентов Ь 1 , Ь 3 для
модели Холломона Т = Ь1 ЛI'• (0 = const, Н = const) и при этом
производить обработку экспериментальных данных в интер
вале от Л = О до Л = Л *, изменяя Л *, получим зависимость
hк(Л *), аналогичную представленной на рис. 13. При малых
ЛЛ = Л *, соответствующнх участку ОА диаграммы Т-Л
(см. рис. 7), значения Ь1 будут стремиться к величи,не модуля
сдвига G, а величина Ь 3 будет близка к единице. По мере уве
личения Л * значения Ь 1 , Ь 3 уменьшаются. На практике до
вольно часто рассматривают интервал ЛЛ = Ар; при этом
заметим, что снижение температуры уменьшает Лр, в связи
с чем значения коэффициента Ь 3 , вычисленные для этого ин
тервала, возрастают по мере перехода от более высоких к бо
лее низким температурам ОМД.
Наиболее близ ,Еой к реальным свойствам многих металлов
является модель упругопластической среды с нелинейным
44
упрочнением, однако при создании аналитических математи
ческих моделей процессов ОМД наиболее часто используют
модели идеально жесткопластической среды и линейно вяз
кой упругопластической среды, что обусловлено их простым
математическим описанием .
Математиче с кая модель упругопластической среды с нели
нейным упрочнением описывается уравнением вида
Т = Ь1 нь,ль, ехр (Ь40),
(2.30)
которое с учетом изложР.нных выше соображений можно при
вести к склерономной зависимости
Т = вtнь,,
(2.31)
где В1=Ь1Лt:'ехр(Ь40*); Ь7=Ь2+Ь8, 0* = const.
Зависимость (2.31) весьма точно (как правило, с ошибкой
80 < 8 %) описывает механические свойства многих металлов
(особе нно тех, у которых отсутствует ярк о выраженная пло
щадка текучести); техника определения коэффициен~:ов Ьк
относ и тельно проста (16, 17]. Однако во многих случаях при
анал и тическом моделировании процессов ОМД целесооб
ра з но использовать более простые по описанию модели:
ид е ал ьно жесткопластической среды
T=k
и ли н ейно вязкой упругопластической среды
Т= μН,
где величины k и ~t явллются константами.
(2.32)
(2.33)
Для изотермического процесса формоизменения значения
k и μ соответственно для моделей вида (2.32) и (2.33) можно
о~е делить по методу наименьших квадратов, используя
в I<ачестве аппроксимируемой функцию (2 .31). Прw таком под
ходе получим
(2.34)
(2 .35)
где ЛН*- заданный интервал значений Н, в котором аппрок
сими р уется зависимость (2 .31).
Точность аппроксимации оценим интегральным квадратич
ным отклонением, которое для модели (2.32) составит вели
чину
(2.36)
45
'1.,0
!,5
-2
- 1,366 -!
Рис. 14. Графическая интерпретация уравнения (2.39)
а для модели (2.33)
(2 .37)
Представляет реальный практический интерес сравнение
точности аппроксимаuии зависимости (2.31) уравнениями
(2 .32) и (2.33). Рассмотрим отношение
s~
fl=-μ .
1·
.s2
R
(2.38}
Очевидно, что при ~ < 1 аппроксимаuия _ уравнением
(2 .33) предпочтительна как более точная; при ~ > 1, наосо:
рот, более точна аппроксимаuия уравнением (2.32). На рис. 14
приведена зависимость
-
(Ь~ - 1)2
IB(Ь7) =
.
(2.39)
ь;(Ь7+2)2
Критическое значение коэффиuиента Ь7 = Ькр, отвечающее
условию ~ = 1, определится из уравнения
:i
2
ь"Р+1,5Ькр- 0,25=о.
(2.40)
Уравнение (2.40) имеет три действительных корня~ ь:/~=
= -1,366; bl}i= -0,500; b~3l= 0,366. Реальные металлы
идеализируют как материалы с «мягкой» характеристикой,
и значения коэффицментов Ь 2 , Ь 3 лежат в пределах О < Ь2 .,:;;: 1;
46
Т а блиц а 3. Значения коэффициента Ь 7 для некоторых материалов
Материал
/J,
Примечание
Сталь
низкоуглеродистая
0,45-0,60 При температурах горя-
углеродистая
0,38-0,45 чей деформации
нержавеющая
0,32-0,37
жаропрочная
0,40-0,52
инструментальная углеро-
дистая
0,33-0,41
инструментальная легиро-
ванная
0,19-0,27
углеродистая
0,55-0,80
При температурах холод-
Алюминий
0,26-0,31 ной деформации
Свинец
0,29-0,41 0= 10+50°С
Белый чугун
.
0,48-0,61 0 = 900 + 1150 °С
Пластилин
0,15-0,22 0= -20+40°С
О < Ь3 .,; ;: 1. Исходя из этого, величина коэффициента Ь1
может лежать в пределах О < Ь7 .,.; 2 и из трех значений Ькр
реально возможной является величина Ькр= 0,366. При Ь7 <
< 0,366 целесообразно идеализировать деформируемую сре
ду как идеально жесткопластическое тело, при Ь7 > 0,366 -
ка~< линейно вязкий упругопластический· материал. В табл.
3 приведены значения коэффициента Ь7 для некоторых мате
риалов, полученные в интервалах Н = (10-2 7 I0+ 3) с-1 ,
Л=0,027Лр,
Интересно отметить, что для многих металлов значение
коэффициета Ь7 относительно близко к критической величине
Ькр, Этим можно объяснить тот факт, что использование как
модели (2.32), так и модели (2.33) в аналитических выкладках
довольно часто дает практически идентичные по точности оп
ределения параметров процесса деформации результаты.
Законы внешнего трения описывают распределение ка
сательных к поверхности S, напряжений 't в виде функции
rr =. (S,). Напряжения т называют напряжениями контакт
ного трения; они возникают как реакция на смещающее воздей
ствие и, препятствуя взаимному скольжению деформируе
мого материала и инструмента, направлены противоположно
вектору относительного скольжения л:;, В том случае, когда
т достигает величин, достаточных для предотвращения вза
имного скольжения областей D и W1 по поверхности S,, на
последней имеют место напряжения контактного трения по-
коя; при л:; =!= О на S, действуют напряжения контактного
трения скольжения.
47
Контактное трение в процессах ОМД характеризуется
целым рядом отличительных особенностей, обусловленных спе
цификой взаимодействия инструмента и заготовки: пласти
ческое течение материала одной из контактирующих повер х
ностей; весьма тесный контакт трущихся поверхностей и сжа
тие их весьма значительными нормальными поверхностными
напряжениями р; обновление поверхности одного из контакти
рующих тел за счет выхода на поверхность S-r частиц, распо
ложенных первоначально в: объеме области D; наличие в об
ласти контакта «промежуточных» с ред (окалина, смазка как
в твердом, так и в жидком состоянии и т. д.); возможность од-
-,.
новременного наличия на S. областей скольжения (Ли =/=, О )
-,..
.
и прилипания (Ли = О); весьма высокая температура мате
риала в области D (при процессах ОМД в горячем состоянии) ;
ярко выраженная (в некоторых случаях) анизотропия трения .
В общем случае при ОМД 't зависит от группы факторов ,
предопределяющих развитие механического зацепления и ад
гезии. Имеется целый ряд исследований, в которых сделан а
попытка вывести зависимость ,; в функции факторов упомяну
тых групп дифференцированно. При этом зависимости для опре
деления,; включают к а к параметры пр о цесса (нор м ал ь ное кон
тактное давлениер, н а пряжение те кучести деформир у емого ма
териала as и т. д .) , так и эмпирические коэффициенты, хар ак
теризующие в отдельности адгезию и механическ ое заце плени е.
В то же время в теории ОМД весьrv1а широко испол ьзуются
интегральные характеристики-показатели условий контактного
взаимодействия . Их применение позволяет определи ть 't I<aI<
функцию параметров процесса и одного эм пирического коэф
фициента, интегрально характеризующего контактное взаи м о
действие в известных условиях (температура, наличие пром е
жуточных сред на контакте, высота микронеровностей на по
в ерхностях инструмента и заготовки и т. д.). Использован и е
интегральных х а рактеристик трения несколько вуалирует суть
физических процессов, и м еющих место в зоне контактного
взаимодейств ия, но зн а чительно упрощает аналитическое из
учение деформирования, и поэтому они повсеместно испОJrьзу
ются в пра1пике расчета параметров ОМД в виде усредненны х
для контактной повер х ности значений [19]. Кроме того, сле
дует отметит ь , что техника эмпирического определения инте
г ральных характеристик контактного трения значительно
проще, чем техника определения дифференциальных характе
ристик.
В аналитических выкладках теории ОМД наиболее широко
используют закон трения следующего вида:
tt=ИФ,
(2.41)
48
где И - интегральная характеристика условий контактного
взаимодействия, Ф - ф уш< ция механических характеристик
деформируемого материала, кинематики его течения, кинема
тики течения смазки, геометрических параметров области пла
стического течения и т. д.
На практи ке используют несколько основных видов зави
симости (2.41), причем выбор вида этой зависимости в первую
очередь определяется особенностями конкретного процесса
ОМД в плане условий контактного взаимодействия. При ОМД
контактное трение отвечает условиям одного из трех при
веденных ниже видов взаимодействия.
1. Сухое mpeNue, имеющее место при взаимном скольже
нии чистых, не разделенных промежуточными прослойками
поверхностей. В чистом виде такой режим контактного взаи
модействия встречается редко: при ОМД в глубоком вакууме
и инертных средах. Силовой режим деформации в данных ус
ловиях характеризуется наличием обширных зон прилипания ,
в которых значения напряжений внешнего трения достигают
максимально возможных величин:
'l:=T(D)\s,.
2. )Кидкост1-tое (гuдрод~тамuчес1~ое) mpeNue обычно воз
никает при ОМД в холодном состоянии -с подачей смазки
в очаг деформации (при ОМД в горячем состоянии этот ре
жим трения встречается значительно реже). При жидкостном
трении контактирующие поверхности разделены слоем смазки,
достаточным для того, чтобы последняя сохраняла свойства
жидкости (реально толщина слоя смазки должна быть более
0,1-0,5 мкм в случае контакта гладких · поверхностей). Для
этого вида контактного взаимодействия напряжение внешнего
трения может быть определено по уравнению Ньютона-Пет
рова
которое удовлетворяет уравнениям Рейнольдса для вязкой
несжимаемой жидкости при отсутствии градиента давления
в объеме смазки (grad р = О). Реально в объеме смазки
имеет место значительный перепад давлений, особенно в на-
-
правлении е,, поэтому значения т, определенные с помощью
формулы Ньютона- Петрова, можно рассматривать как весь
ма приближенные .
3. Граничное трешtе весьма широко встречается в реаль
ных процессах ОМД. Данный режим характеризуется наличи
ем на поверхности контакта тонких (как правило, менее О, 1 мкм)
49
промежуточных слоев в виде окисных пленок, пленок смазок,
эмульсий, конденсатов атмосферной влаги и т. д.
В большинстве случаев при аналитическом изучении про
цессов ОМД закон (2.41) представляют в виде произведения
И = const на характеристику механических свойств или
функцию от характеристики механических свойств дефор
мируемого материала.
Наиболее широко используются следующие законы внеш
него трения:
за1юн Амонтона - Кулона
• = fр(S,);
(2.42)
закон (условие) Э. Зибеля
(2.43)
где i- -усредненное по S, напряжение контактного трения;
fи - показатель трения Зибеля; 0 5 -
усредненное по D зна
чение напряжения текучести (частным случаем закона
Э. Зибеля является закон Л. Прандтля, в котором fи= 0,5);
закон, предложенный в работе [26]:
(2. 44)
где f;- показатель трения; 7\о - усредненное по S, значе
ние сдвигового напряжения текучести деформируемого
материала.
Значения коэффициента (показателя) трения в законах
(2.42)-(2.44), как правило, имеют вид констант, значения
которых зависят от конкретных условий процесса ОМД (темпе
ратуры, скорости, наличия смазки и т. д.). При такой интер
претации законов (2.42)-(2.44) им присущ общий недостаток,
который состоит в существенном расхождении эксперименталь
ных и расчетных эпюр 't как в количественном, так и в каче
ственном отношении. Зачастую используемые коэффициенты
трения вообще лишены своего первоначального физического
смысла и, по сути, являются коэффициентами приведения
в соответствие той или иной математической модели и реального
процесса по какому-либо параметру отклика (как правило,
по полному усилию деq::ормации} [20].
Для того чтобы избежать указанного недостатка, целым
рядом исследователей предложены функции Ф (S,), исполь
зование которых позволяет в конкретных условиях описать
эпюру i- (S,) зависимостью, близкой к экспериментальной
50
[21 , 22]. Так, например, в ра
боте [22] предложен закон
внешнего трения в виде за
висим ости
't = f"T,<o х
х[1- ехр(-1
·~~~")], (2.45)
где f,, - эмпирическая кон
станта; T«u = Т (D) ls,; О"sк =
= VЗТ"о.
Основная сложность при
использовании законов, анало
гичных (2.45), состоит в опре
делении эмпирических коэф
фициентов, что обусловлено
отсутствием у этих коэффи
циентов физического смысла.
В работе [23] предложен
закон внешнего трения вида
(2.46)
Показатель трения fт =
= fт(St), входящий в закон
(2 .46), в соответствии с уравне
нием Сен - Венана - Мизеса (2.9)
имеет физический смысл и
предстасляет собой функщ1ю
"
~/
/
,-f
с
~
- <:::
2
х
~
_!!,_
~
*
!
f
Рис. 15. Схема разреза по плос
кости симметрии образца до де
формации (а) и после деформации
(6) с растровой сеткой:
/ - бойки; 2 - образец (h*, h; - высота
образца соответственно до и после де
формации)
распределения соотношения y1 (Sт)/H(S,) по контактной по
верхности (здесь у, - скорость сдвиговой деформации на кон-
-,
такте в направлении е,).
Наличие у функции f1 (S,) физического смысла характери
стики деформационных параметров процесса пластичес1<0го
формоизменения заготовки позволило предложить для ее
экспериментального определения способ [24], суть которого
можно проиллюстрировать на примере его использования
при изучении плос1<ой осадки прямоугольных образцов. До
деформации образеu разрезают по плоскости симметрии и на
носнт на него сетку в виде двух семейств ортогональных раст
ровых линий, параллельных ксординатным осямх и z (рис.
15,а). После спайки (склейки) образец подвергают деформаuии ,
в результате чего растровые линии изменяют свою форму по
отн()шет1ю к первоначальной (рис. 15,6). При относительно
небольших деформациях (ln h*lh; < 0,12 -т 0,15) процесс де
q:ормации можно рассматривать как стационарный (квази-
51
0,2
O,f
стационарный) [25], и для анали
зируемого примера справедливо
соотношение
fт = Wко [4Лl~к0 и:ко)- 2 +
+ W~оГ0'5, (2.47)
где щ, 0 - среднее для данной
ячейки сетки на S1 значение угла
поворота нормалей к контактной
поверхности в результате дефор
мации (рис. 15,б); (:ко, л1;к 0 -
соответственно размер ячейки сет
ки на S1 вдоль оси х до дефор
мации и изменение данного разме
ра этой же ячейки в результате
деформации.
По своему физическому смыс-
4 5 в* лу показатели трения fи и f~
\
о
2
Рис. 16. Эмпирические зависи
мости показателей трения fа(!),
f- (2), fт (3), fтl (4) от показа-
т
телей формы деформируемой по-
лосы
могут быть определены как функ-
ция искажения геометрических
размеров растровой сетки на 1юн
таюной поверхности и распреде
ленияТко=Т(S,;)иТ=Т(D),
где Т в соответствии с (2.27),
Uифры бе:. штриха соответствуют (2.28) ЯВЛЯеТСЯ фующиеЙ ИСКа-
о• = 150 +200 мкм, со штрихом -
б. = 1,s+ 2,0 мкм
жения геометрических размеров
растровой сетки, скорости дви
жения бойков v! и обжатия Лh*= h*- h::
ь•
ь•
fи = ;3 [S {тТко(ь:, Лко, Лi*)dX] х
о
ь• h•
х[f fт(ь:, л, Лt*)dXdZГ\
оо
ь•
(2.4 ~
fт = [f fтТко (Ь:, Лко, Лt*) dX] [f Т..о (Ь:, л, Лi*)dХГ1.
(2.49)
о
о
где
52
11, Лlх, w0 - соответственно исходный размер ячейки вдолq
оси х, изменение размера и средний угол поворота той же
ячейки; Ь*, h* - половина ширины и высоты заготовки.
Сравнение выражений (2.47)-(2.49) приводит к выводу,
что экспериментально~ определение показателя трения fт
связано с наименьшим объемом обработки эмпирической ин
формации . Значительно проще, чем fа и fн определить
и среднее по S1 значение fт'
ь•
fт=~ .\fтdX.
(2.50)
n
На рис. 16 приведены зависимости показателей трения
fа, fт, {т от показателя формы деформируемой полосы В=
= Ь* (h*)- 1 при деформации свинцовых образцов. Анализ
ре з ультатов эксперимента позволяет сделать следующие
выводы. Шероховатость бо й ков б* существенно влияет на
значения показателей трения при деформации относительно
Еысоких образцов (В< 2-+- 3); с увеличением В влияние б*
на fа , f:; , fт уменьшается. Значения показателей fт и f т
в исследованном диапазоне показателя_ формы В весьма
близки друг к другу (относительная разность между пока-
зателями f-:; и fт не превышает 15 %).
На рис. 17 показаны истинные и расчетные эпюры напря
жений контактного трения и эпюры изменения показателя тре
ния f, по контактной повер х ности. В расчетах в соответствии
с графиком, представленным на рис . 13, использовали закон
Т = 1,68 Л0,58 МПа; считая ЛЛ = О,15. Как следует, из при
веденных данных, эпюры 't (S,), полученные расчетным путем
с использованием Ц(жазателей трения !а, fт, fт, существенно
отлич аются от истинных эпюр напряжений контактного тре
ния. В случае же использования обобщенного закона трения
(2.46) и эмпирических значений f.,(S 1 ), которые приведены
на рис . 17, эмIТИричесюrе и расчетные эпюры 't (S,) совпадают.
Для простоты использования в конкретных расчетах аппрок
симируем зависимость fт (S,) выражением
(1х1)3
1fт1= 1+(fт1- 1)\!JГ •
(2.51)
Величина fт1, входящая в уравнение (2.51) по физическому
смыслу представляет собой отношение i', (с) / Н (с) (т . е. по
казатель трения fт) в граничной точке контактной поверх
ности с (Ь*; h*) (см. рис. 15) . Эмпирическая зависимость
53
6
4
2
/)
fJ,2
. !1,4
o,s
fl,8
Рис. 17. Эмпирические и расчетные эпюры
,; (S,) и fт(S1)
для осадки образца с показателем формы В,,= 1,0:
/ ~, (S,) - эксперимент; 2 - расчет по формуле ,; = f т Тко: 3 -рас•
чет по формулам (2 .43), (2.44); 4 - расчет по формуле (~ .46) с исполь ,
зованием (2.51), (2 .52); 5 - fт(S,)
-
эксперимент; цифры без штр1:ха
соответствуют 6. =
150+ 200мкм,соштрихом- 6. =
1,5 + 2,0 м1<м
fт1 (В*' <\) (см. рис. 16) может быть охарактеризована ап
п р оксимирующим уравнением
f - о 15-"0,08 4В~О,712
тl-
,
u*
*
•
(2.52)
На рис. 17 приведены расчетные эпюры т, полученные при
использовании в обобщенном законе трения (2.46) аппроксими
рующих зависимостей (2.51), (2.52). Как следует из сопостав
ления эмпирических и расчетных эпюр напряжений контакт
ного трения, полученные расчетные эпюры весьма точно отра•
жают 1,ачественные и количественные особенности изменения 1J
по контактной поверхности .
Закон трения (2.46) может быть использован для все х ва
риантов контактного взаимодействия в процессах ОМД:
в случае трения покоя (в зонах прилипания) fт= 11 rt: = Тко,
в случае трения скольжения как с наличием смазки в зоне кон
такта, так и без смаз 1ш fт= fт(S,) в соответствии а эмпириче-
54
ской зависимостью fт = -: . .,,JS,JIH (S,;), определенной для дан
ного конкретного случая деформирования.
Ис-пользование аппроксимирующих зависимостей типа
(2.51), (2.52) сводит, в конечном счете, определение напряже
ний контактного трения к расчету параметра отклика 't как
функции определяющих параметров процесса в:, f\ (здесь
б*, В*- обобщенные характеристики контактной поверхно
сти и геометрических определяющих параметров) и параметра
отклика Тко• В случае использования допущения об идеаль
ной пластичности материала (Тк0 = k*) искомое напряжение
rr зависит только от конкретных, гранично заданных определяю
щих параметров процесса деформации.
Определение показателя трения fт как функции б*, в*
(и в общем сJ1учае, средней температуры заготовки 0~ ), проще,
чем, например, предложенное в работе [26] для случая осад
ки цилиндрических заготовок радиуса R; условие
f-=f+Ri(1-f)-Vl
(2.53)
т
lбh*
'
так как входящий в (2.53) коэффициент трения f является па
раметром отклика и его определение как функции определяю
щих параметров проuесса представляет собnй дополнительную
сложную задачу. Сказанное в полной мере относится и к зако
ну (2.45), поскольку входящая в него величина <Jn является
параметром отклика и зависит от многих определяющих па
раметров процесса.
Для построения эпюры 't (S-r) конкретного технологическо
го процесса ОМД с использованием показателя трения fт
необходимо, во-первых, установить характер связи fт(S-r),
во-вторых, выделить на эпюре fт некоторую характерную точ
ку (точки) С; и, в-третьих, уст.ановить закон связи показателя
fт(с;) = fтl с определяющими параметрами проuесса . Анализ
многочисленных имеющихся в литературе экспериментальных
данных [22, 26-29], а также результаты выполненных нами
исследований позволяют сделать вывод о том, что основным
видам ОМД присущи три характерные в качественном отноше
нии эпюры распределения показателя трения по длине кон-
тактной поверхности (рис . 18).
_
1. Куполообразные эпюры I fт(хс) 1 (здесь хе - коорди
натная ось, совпадающая с направлением относительного сколь
жения металла и инструмента на S-r), Эпюры такого типа име
ют место в процессах осадки, ковки и прокатки при наличии
зон прилипания на контакте. Характерной точкой куполооб
разной эпюры при ковке и осадке, как было показано выше,
может служить граничная точка с (Ь*; h*) (рис. 18,а). При
55
Ь" 1z
1
.1
1
11
о:~
.г
е
Рис. 18. Характерные эпюры 1 /т \ и /т
прокатке эпюра [fтl имеет две характерные точки: с1 , с 2
(рис. 18,6), которым соответствуют значения показателей тре
ния fтi , fт2 соответственно на входе и выходе из очага дефор
мации. Эта эпюра может быть аппроксимирована , уравнением
1
{Лfт+Аrlхн(2-Зхн)+х(2хн-1)1 (x-1)-ЛfтlJX.
\fт1 = fт2+
2х- J
н
(2.54)
Здесь Лfт = fт2- {т~;
(1 - fт2+ хнЛfт) (1 - 2х11) + Лfтхн (хн- 1).
А1=
2
,
хн( \-хн)2
Хн=Х.,/lд; Х=Х/lд,
где Хн - координата максимума эпюры; х
-
текущее значение
координаты на оси хе.
Значения показателей трения fтi (i = 1,2) аналогично
(2.52) можно задать аппроксимирующими уравнениями
(2.55)
где C,i = Ct; - эмпирические коэффициенты, ~ = "Г;4; i =
= 1,2.
Как пока зывает анализ эмпирических данных, полученных
при прокатке свинцовых образцов, рассматриваемые эпюры
56
1 f т (хе) 1 наблюдаются при про
катке высоких полос с пока-
-
l
зателем формы В = д
..
•
h~+h: '
при этом обычно соблюдается
условие fт1 > fт2, а величина
fт1 лежит в пределах fт1 =
= О,25-+--0,60 (табл. 4).
При использовании в ана
литических выклад1,ах зако-
Та 6 ли па 4. Зависимость пока
зателей т~1ения 1/т~ 1, 1f тз I от по-
каза те.ля формы В
в
0,3-0,5
1,0-2,0
2,0-5,0
1fт! 1
0,25-0,60
0,15-0,20
0,05-0,15
j Ifтзl
1,0
0,5-0,8
0,3-0,5
нов трения вида (2.46) с привлечением выражений (2.52), (2.55)
напряжение внешнего трения с учетом его векториальности
определится как
-+
-+
,; = UтТко)е,.
(2.56)
При осадке и ковке образцов без наличия зоны прилипа
ния в центральной области контактной поверхности (рис. 18, в)
эпюру \ fт (хе)/ следует рассматривать в соответствии с за
висимостью
Jfтl = \fт1-(l-Jxl) A,fxз(2-xз)t~~l~Xз-l)J-fт1 }Jx\.
(2.57)
где х = х/Ь*; Хз = Хз/Ь*;
А =Uтз- Хзfт1)(\- 2хз)+fт\Хз(1- х3)
2
х;(!-хз)2
{тз - максимум эпюры; х3 - координата максимума эпюры.
Эпюры, соответствующие уравнению (2 .57), наблюдаются
при осадке тонких полос.
2. Куполообразные эпюры fт (хе), имеющие место при
прокатке средних и тонких полос при отсутствии зоны при
липания на S, (рис. 18, г). Эпюры этого вида характеризуются
двумя экстремумами (fтз и fт4), которым соответс~вуют коор-
динат'ы х3 и х4 на Хе, Реально величина х4 = -? - невелика
д
(х 4 = 0,05 + 0,2), и упрощенно эпюру этого вида можно
представить в виде кривой с одним экстремумом (пунктир
на рис. 18, г), которая описывается вырю1<:ением
_
,
{Лfтl+А3[х3- (2- Зх3)+х(2х3- !)]
fт- {т2+
2
,
Х
Х3- !
Х (х-1) - Лfт1}Х,
(2.58)
57
где
х3 - симплекс координаты экстремума эпюры в зоне отста
вания (хн<х), Х3 =Х8/lд; Лfт1=f;2-fт1; Лfт2=fтз-f~2 ;
f;2 = 0,5(f..,2 +fтз).
Реально наблюдаются следующие соотношения: l f~ 2/ ~
~lfт1 I ; Х3 =O,6+O,8; значения lfт1I и l fтз l для случая
прокатки свинцовых образцов приведены в табл. 4.
Эпюры описываемого вида также встречаются пра прес
совании и гидроэкструзии с активным действием сил трения
(рис. 18,д) [30] .
3. Монотонные эпюры • (хе,) характерные для процессов
Пр€ссования и волочения (рис. 18,е). Эпюры этого вида харак
теризуются минимальным и максимальным значениями f,,.
(соответственно fтз и fт4), имеющими место в начале и конце зон
контакта. Для описания монотонных эпюр т (Х:) можно ис
пользовать как степенные алгебраические уравнения, так
и зависимости линейного вида . Так, например, для случая
прессования свинца экспериментальные данные , приведенные
в работе Ю . С. Сафарова и В. И . Гаращенко [31], можнQ ап
проксимировать зависимостями
/т=-O,17; при О ,с;; х ..;;х1 ;
}
fт=-(О,17+O,52:Х); прих1,с;;х•< }\,
(2.59)
где}\, х2 -соответственно координаты начала и конца
обжимного участка матрицы, считая за «нуль» плоскость
прессштемпеля; х = (х - l)/(x2 -
l);х= x(i1; х2=x,Jx1
.
В отличие от зависимостей (2.51), (2.54), (2.57), выражеа
ния (2.58), (2.59) учитывают векториальность напряжений
контактного трения.
Законы ра,зруutения . Один из основных факторов, опреде
ляющих возможности интенсификации процессов ОМД,
способность дефnрмируемого металла подвергаться пластиче
скому формоизменению без разрушения и появления необра
тимых микродефеюов, не поддающихся устранению после
дующей термообработкой. Современная теория ОМД распо
лагает достаточно надежным математическим аппаратом про-
1·нозирования разрушения металлов в ходе технологических
процессов обработки,основанным -на феноменологической теории
разрушения, разработанной в исследованиях В. Л. Колмо
горова, А. А. Богатова, В. А. Паршина и др. [32-34].
В основу интуитивной модели заложено предпол0жение
о том, что пластичtское разрыхление металла, характеризу-
68
емое относительным остаточным изменением ero объема @,
пропорционально Л в соответствии с соотношением
d@=аdЛ.
(2.60)
где а- модуль пропорциональности, а= а(~ Пт); ~ Пт -
м
комплекс термодинамических параметров, характеризующих
ус,ТJовия формоизменения.
Моменту начала разрушения деформируемого металла
ip соответствует критическая степень его разрыхления
Лр
@* = jаdЛ.
о
Разделив почленно (2.60) на (2.61), получим
лР
d1p = (аdЛ)(jаdЛ(1,
о
где d'Ф = d@/@*.
(2.61)
(2. 62)
Текущее значение величины 'lj,, которую далее будем на
зывать степенью использования ресурса ~ластичности, полу
чаем из (2.62) в виде уравнения
л
лр
'Ф=(JаdA)(j аdЛ(1•
(2.63)
о
о
из которого следует, что при 'Ф = 1 ресурс пластичности пол
ностью исчерпан и наступает разрушение деформируемого ме
талла, так как Л = Лr; при 'Ф < 1 металл не исчерпал ресур
са пластичности и воспринимает формоизменение без образо
вания макротрещин.
Для практического использования выражение (2.63) необ
ходимо преобразовать; заменим интегралы в числителе и зна
менателе (2.63) следующими выражениями
л
JаdЛ=а(Л)Л;
о
Лр
jаdЛ=а(Ар)Ар,
о
(2.64)
(2.65)
где а (Л), а (Лр) - средние значения функции а в интерва
лахО-ЛиО
-
Лр соответственно.
59
Подставив (2.64), (2.65) в (2.63), получим
·il,= _а(Л>
л
r
т·
а(АР) р
t
lp
(2.66)
Учитывая,чтоЛ=JН(t)dt, Лр =~Н(!)dt (здесь 101,
lnt
to
t0 - время начала деформации), преобразуем (2.66) к рео-
номному виду
t
,1,=_а(t) 1f
"'
лр Н(t)dt.
а (tP)
(2.67)
fo,
Константа а (tp) характеризует условия изменения мо
дуля а [L Пт (t) ] за время от начала деформации до раз-
м
рушения образца при некоторых гранично заданных условиях
формоизменения, описываемых конкретным комплексом пара-
метров L Пт (/) = L П~ (t). Иными словами, a(tp) характе-
м
м
ризует историю формоизменения до предельной деформации
Ар за время fp - t0 при некотором стандартном испытании.
Функция а (t) характеризует историю формоизменення,
которая в общем случае неидентична стандартной,
L Пт (t) = L п~; (t) =1= - L п: (t). При формоизменении в не-
м
м
м
стандартных условиях разрушение произойдет в момент t Р,
при деформации
tp,
Лр,= j H**(t)dt.
(2 .68)
t"
Предположим, что значение критического разрыхления
@* является константой, характеризующей данный конкретный
материал. Тогда выражение (2.67) для момента tp, прини
мает вид
где Ф (tp,
Далее
дартного
60
lpl
Лр = Ф (tp, fp,) JН** (t) dt,
(2.69)
f = a(tpl)'
р,) а(t>•
р
допустим, что
формоиз~1енения
101
условия стандартного и нестан
характеризуются совокупностью
параметров ~ п:, (t) и ~ П,~,* (t), позволяющей использовать
м
м
упрощение в виде равенства
Ф(tp, tp,) = 1при
!~п;_." (!0 ..,;;: t ..,;;: tp) = ~ П;,~п (181 ..,;;: t ..,;;: tp1);
M-N
M-N
L п~ Uo ..,;;: t ..,;;: tp) =/=- L п:* Uв1 ..,;;: t ...;: .tp,),
N
N
(2.70)
Подставив (2.70) в (2.69), можно использовать получен
ное выражение для установления характера связи
lpl
Ар= SН**(t)dt
(2. 71)
101
при равных постоянных и изменяющихся во времени по
~ п**
одному и тому же закону параметрах 1- . J т-11 и раз-
М-N
личных постоянных значениях, а также неидентичных зако
'\., п**
нах изменения во времени параметров ..:,.
11•
N
Многочисленными исследованиями установлено, что на
величину Ар наиболее существенно влияют следующие па
раметры процесса деформации:
1) показатель жесткости напряженного состояния
П1=Кж(t)=~;
2) коэффициент Лодэ - Надаи
П= L(f)=2(а2-Uз),
2
~о
аа,
1-
3
3) интенсивность скоростей сдвиговых деформаций П3 =
= н(t);
4) температура П4 = 0 (t).
Естественно, что получить «набор статистик», охватываю
щий все возможные фиксированные значения и законы нзме
нения во времени четырех указанных параметров, практичес
ки невозможно. В связи с этим обычно ограничиваются несколь
кими испытаниями, отвечающими условиям монотонного из
менения или постоянства во времени для каждого отдельного
опыта параметров Пт(т = !~ .
К наиболее распространенным
видам испытаний относятся одноосное растяжение и сжатие,
кручение, прокатка клиновидных образцов, прессование че
рез коническую матрицу. В результате проведенных испыта
ний получают эмпирические данные, которые представляют
61
в вил~ графиков-номограмм либо аппроксимирующих уравне
ний; наиболее часто используют следующие зависимости [16,
35, 36}:
Лр=Лр(П1)приПm-п(т- п = 2, 4)= const;
[
Лр=Лр[Пп(п = !;4)]при Пm-п(т- п =2; 3)=const;
Лр=Лр[Пп(п = l; 2)]приПm-п(т- п = 3; 4)= const;
Лμ=Лр[Пп(п = l; 3; 4)] приП2= const;
j
Лр=ЛD(П4)при Пm-п(т- п = U)= const,
(2. 72)
где Пт-п, Пп - средние значения параметров в опыте.
Подетавив одну из эмпирических аппроксимирующих за
висимостей (2.72) в (2.67), получим
(2.73)
1
'Ро =
--=----= -- 5Н (t) dt.
ЛР (Пm-п• П11)
lo,
Поскольку допущения @\ = const и Ф = 1, использован
ные при получении зависимостей (2. 72), упрощают реальную кар
тину формоизменения, естественно, что значения 'Ф, получаемые
по формуле (2.73), отличаются от реальных значений степени
использования ресурса пластичности 'IJт в конкретном техно
логическом процессе. Поэтому для определения 'Рт использу
ют зависимость, отличную от (2. 73) и имеющую вид
'Рт= 1jJт(cp, '/1 0, С),
(2.74)
где ер = ер (t), С - соответственно эмпирические поправочные
функции и постоянные коэффициенты.
Общую запись закона (2.74) можно представить в виде
(2.75)
где х, К - соответственно порядковый номер и общее число
циклов деформации; Сх ~ 1 - эмпирическ и й коэффициент, от
ражающий Елияние немонотонности изменения параметров
деформации; срх - эмпирическая функция, учитывающая «вос
становление» ресурса пластичности в паузах между циклами
деформации (срх ,е;;: !); В, - функция реальных параметров
деформирования, отражающая ра<:хождение между \jJo, и '!Jт,
вследствие использования допущений (~* = const, Ф = 1) при
получении заrзисиrv,юстей (2. 72).
62
Окончательное условие пластического формоизмене-ния
материала без разрушения представляет собой неравенство
ЧJт<l.
(2 .76)
Как показала практика конкретных исследований, для
одноцикловых технологических процессов, характеризующихся
близкими к монотонным изменениями параметров деформа
ции, можно использовать условие 'Рт~ '\j, 0 , в случае , если функ
ция ЛР получена при испытаниях, близких по условиям к ре•
альному процессу. Так, например, по данным работы [32] ,
при холодной деформации расхождение между 'Ф т и 'Фо не пре
вышает 10 %.
В заключение отметим, что в отличие от изложенной выше
методики прогнозирования разрушения с помощью скалярных
характеристик, в последние годы в ряде исследований [37-39]
сделаны попытки привлечения энергетических и тензорных
характеристик для решения указанной проблемы. Работы
в этом направлении, несомненно, перспективны, однако в на -
стоящее время объем выполненных исследований не позволяет
сделать выводы о возможности широкого использования новых
теорий разрушения в практике изучения процессов ОМД.
Глава третья
:МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
l\ЮДЕ.11Ей ПРОЦЕССА ОМД
1. Основные определения
В предыдущей главе были приведены основные уравнения, опи
сывающие поведение сплошной среды в условиях пластичес
кого течения . Эти уравнения можно рассматривать каr< ин
тегральную математическую модель процесса ОМД, так как
при их выводе использованы весьма общие допущения, при
емлемые для практического анализа реальных процессов
пластического формоизменения металлов.
В общем случае целью реализации математической модели
процесса ОМД является определение полей скоростей течения,
деформаций (перемещений), температур в формоизменяемой
заготовке, а также анализ полученных данных для оптимиза
ции процесса деформации по какому-либо из его параметров.
Естественно, что определяемые аналитически поля исследуе
мых параметров процесса должны быть близки (в идеале -
совпадать) с имеющими место в реальном процессе.
Сформулируем определения.
-+-
l. Поле скоростей течения v = (v;), удовлетворяющее
условию несжимаемости (2.12а) и однородным кинематическим
граничным условиям (2.13), (2.15), (2.19), является кинема
тически возможным полем скоростей.
2. Поле шарового тензора и0 для произвольного поля
скоростей и однородных температурных полей 0w(7.t) = е:*,
01v 1 = 0~i, 01v 2 = 0~vf, удовлетворяющее уравнению движе
ния (2,126) и неоднородным граничным условиям (2.14), (2.16},
(2.18), (2.20), является динамически возможным полем шаро
вого тензора.
3. Поле динамически возможного шарового тензора для
кинематически возможного поля скоростей является изотер
мическим действительным полем шарового тензора, а кинема
тически возможное поле скоростей динамически возможного
поля шарового тензора является изотермическим действитель-
ным полем скоростей.
____
4. Поле температур 01v(x) и поле динамически возмож
ного шарового т1rнзора для кинематически возможного поля
64
скоростей, обращающие уравнение теплопроводности (2. 12в)
в тождество при выполнении граничных услоnий (2 .24), (2.26),
являются действительными полями температур и шарового
тензора, а соответствующее им кинематически возможное поле
скоростей является действительным полем скоростей.
Сформулированные определения позволяют констатиро
вать следу ющее. Изотермические действительные поля ско
ростей и шарового тензора есть решение системы дифферен
циальных уравнений (2.12а-в), удовлетворяющее однородным
кинематическим граничным условш:м (2.13), (2.15), (2.19 )
и неоднородным кинематически-динамичес1шм граничным
условиям (2.14), (2.16) , (2 . 18), (2.20) для однородного темпера
турного поля е~ .. Действительные поля скоростей, шарового
тензора и температур есть решение системы дифференциа
льных уравнений (2.12а-в), удовлетворяющее однородным
кинематическим граничным условиям (2.13), (2. 15), (2.19) ,
однородному температурному граничному условию (2.26) и
неод породным
кинематически -динами чески -темпер а тур ным
граничным условиям (2.14), (2.16), (2.18), (2.20), (2.24) .
Точное решение систем дифференциальных уравнений
(2.12а,б), (2.12а-в) как краевой задачи связано с непреодо
лим ыми матемап1ческими трудностями. В связи с этим реаль
но анализу подвергают асимптотическую математическую
модель, полученную из интегральной модели путем введения
упрощений, дела юш.их возможным ее реализацию.
2 . Метод взвешенных невлзок и его варианты
В теории ОМД накоплен значительный · опыт использования
р азличных приближенных методов решения задач механики
с плошной среды при определении полей скоростей (переме
щений), напряжений и температур в реальных технологичес
ких процессах формоизменения. Суть всех приближенны х
методов основывается на общей идее: вследствие каких-либо
допущений (упрощений) ищется приближенное решение за
дачи, но при этом степень соответствия приближенного идей
ствительного решений должна быть максимально возможной.
Критерии «максимального соответствия» приближенного и дей
ствительного решений задачи могут быть различными; соот
ветственно имеется значительное число приближенных мето
дов. При анализе задач теории пластичности используют пря
мые в ариационные методы, методы наименьших квадратов
и конечных элементов, методы Биuено- Коха, Канторовича,
конечных разностей и uелый ряд других. В своей математиче
ской сути эти методы основываются на сведении поиска реше
ния некс,торого дифференциального уравнения (системы урав -
3 6-108-
65
нений) к решению системы алгебраических уравнений. В ли
тературе эти методы объединяют в группу проекционных мето
дов или под общим названием метода взвешенных невязок.
Пусть в гильбертовом пространстве Н рассматривается
уравнение
Lu=О,
(3 .1)
где L - линейный оператор в Н.
Необходимо решить (3.1) в области Q с учетом граничного
условия
(3.2)
В общем случае задача приближенного решения (3.1) мо
жет быть сведена к определению последовательности прибли
жающих функций ИN (N = 1, 2, ... ), сходящихся к точному
решению в соответствии с условием
Представим uN последовательностью [40]
N
(3.3)
uN=~a/PJ'
(3.4)
/=!
где а1 - коэффициенты; q>1 - координатные базисные функ
ции, для которых приближающие функции удовлетворяют
заданным граничным условиям.
Вместо (3.4) можно использовать последовательность [41]
N
UN =Ио+ ~ ajq>.,
(3.5)
1~1
1
где и0(s) = u5; q>1(s) =О.
Невязка уравнения (3.1), обусловливаемая использованием
иw определится как
(3.6)
или
(3.7)
В практике решения сложных реальных задач условие
N - оо неудовлетворимо, поэтому невязка между точным
и приближенным решением всегда имеет место; цель произ
водимых над (3.7) математических опер1:_ций состоит в предель-
но возможной минимизации невязки R (ai) при наличии ис
ходных ограничений как на число, так и на вид членов после
довательностей (3.4), (3.5).
66
Смысл метода взвешенных невязок состоит в ортогоналиэа
ции R. по отношению к системе весовых функций W i (j =
= 11 2, ... , N). С этой целью составляется система интеграль
ных соотношений
{IRW1dW=O, i=l, 2, .. . , N,
(3.8)
о
которая после подстановки R преобразуется в систему N
алгебраических уравнений с N неизRестными а1,
Весовые функции W ; могут быть выбраны различными спо
собами, и каждый из таких способов определяет соответствую
щую разновидность метода. Принципиально можно выделить
две группы методов. В первой группе Wi выполняют роль
некоторых численных коэффициентов:
метод Бицено - Коха запишем в виде
W ={1в подобласти Q/ЕQ;
(3 9)
1
О всюду в остальной части Q;
•
метод Кармана - Пуллхаузена по смыслу аналогичен
методу Бицено - Коха, но рассмотрению подвергается одна
подобласть области Q (этот метод возник в теории пограничного
слоя [42));
метод коллокации, который следует из (3.8), если в каче
стве весовых применены б-функции [43]
Wi=б(х =х1; у=у1; z= z1),
что еводит систему (3.8) к условию обращения невязки R,
в нуль в N точках коллокации, пр и надлежащих области Q,
и определению а1 из системы N алгебраических уравнений:
{R(Щ, Х, у, Z)x=x,.;v=y.;z=z. =0, j= 1, 2, ... , N.
/
/
(3.1О)
Во вторую группу можно объединить методы, в которых
роль весовых выполняют некоторые координатные функции
(их произвольные вариации). Так, например, n методе наимень
ших квадратов для вычисления ai используется условие
.\R2dQ= min,
(3.11)
о
которое приводит к системе N уравнений
{sдR-
даt RdQ=O, j=1, 2, ... , N,
о
(3.12)
дR
r де роль весовых функций играют дифференциалы 7fa: .
/
67
Та б ли u а 5. Основные исследования по методу взвешенных нr в язок
Год
Авторы
1908-1911 Релей, В. Ритц
1913-1915 И. Г. Бубнов,
Б. Г. Галёркин
]921
К. Пуллхауsен
1928
К. Бицено, И. Кох
1928
Nl. Пиконе
1932
1933
1937
1938
1940
1941
1943
1947-1956
1948
1953-1962
1956
68
М. Ф. Кравчук
Л. В. Канторович
Р. Фрезер, Б. Джоне,
С. Скан
Г. Порищшй
Ю. В. Репман
В. Бикли
Р Куррант, К. Фридрих
Г. Ямада, С. Фаедо,
Дж. Грин, С. Крендалл
А. А. Ильюшин
Д. Ф. Давиде1що, И. И. Во
рович, М. М. Вайнберг,
А. Ленгенбах, Л: М. Ка
чанов, Л. Н. Гаген-Корн,
С. Н. Розе, С. Г. Михлин,
А. А. Поздеев, И. Я. Тар
новс11ий, В. Л. Колмого
ров,
О. А. Га наго,
В. И. Тарновский и др.
Н. И. Польский
Л'iетод и содержание нсслед·u~
ваний
Метод Релея - Ритца
Метод Бубнова - Галёркнна
Интегральный метод
Метод разделения области
Метод наименьших квадра
тов
Общая формулировка мето
да момен1ов
Метод приведения 1< обыкно
венным дифференциальным
уравнениям
Метод коллокации
Метод приведения к обыкно
венным дифференциальным
уравнениям
Проблемы сходимости мето
да Бубнова - Га11ёркина
Сравнительный анализ ме
тодов коллокации, наимень
ших квадратов, Бубнова -
Галёркина
Проблемы сходимости мето
да Релен - Ритца
Развитие основных положе
ний метода взвешеюruх не
вязок, проблемы сходимости
решений
Метод гидродинамических
приближений
Проблемы применения ва
риаuионных МЕ,Т о дов к р е
шению нелинейных задач
Общая схема применени я
проекционных методо в
Год
Авторы
1947-1982 А. А. Марков, В. Н. Выд
рин, В. Л. Колмогоров,
r. Я. Гун, И. С. Дегтя
рев,
Е. П. Смоляков,
И. С. Цурков, А. С. Го-
родешшй, В . И. Тарнов-
ский,
Н. Н, Малиния.
Л. Б. Цвик, В. М. Друян,
Ю. Г. Гуляев и др.
Продолжение табл. 5
Метод н содержание нсследо
ван11й
Различные варианты уравне•
ний принципа, проблемы
сходимости решения нели
нейных задач, разработк а
проблемно-ориентированных
модификаций для решения
конкретных технологических;
задач
В методе Бубнова - Галёркина используется условие ми
нимума потенциальной или дополнительной энергии в виде
N
1(~ R;l5uN) dQ = О,
(3.13)
О i=l
где биN - произвольная вариаu ия координатной функции
той же системы, что и R (иN).
Приведенные примеры иллюстрирую,:_ широкое многооб
разие критериев максимально возможного соответствия при
ближенного и точного решений краевой задачи. В связи с этим,
ис п ользуя абсолютно одинаковые приближающие последо
вательности uN, в зависимости от метода поиска коэффициентов
ai можно получать существенно отличные друг от друга реше
ния одной и той же задачи [44]. При этом проблема выбора
метода обычно осложняется отсутствием четких критериев
оценки точности решения. Указанные проблемы объясняют
факт проведения многочисленных исследований с целью со
вершенствования существующих и разработки новых методов
и методик решения краевых задач, пригодных для использо~
вания в случае изучения сложных реальных технологически х
процессов . В табл. 5 приведена хронология развития метода
взвешенных невязок, на основании которой можно сделать
вывод о том, что в перспективе указанный метод будет разви
ваться преимущественно за счет совершенствования его про
блемно-ориентированных модификаций (в том числе модифи
каций, предназначенных для преимущественного изучения
процессов ОМД).
Приведенные примеры позволяют констатировать, что кри
терий ма~{с11мального соответствия приближенного и точного
решений краевой задачи R--+ min должен быть основным. При
этом у1{азанный критерий, естественно, не отвечает достаточ -
69
ным условиям совпадения itм и и*, что и предопределяет воз
можность поиска приближающей функции llN, отличной
от и*. Ошибка r = и*- ИN зависит от выбранного критерия
соответствия. Так, например, условие несжимаемости (2.12а)
при осесимметричном течении описывается дифференциаль
ным уравнением
(3. 14)
точное решение которого, отвечающее граничному условию
r=R*' v,=О, имеетвид
v;= ';z(~;
-
1),
(3.15)
Пусть для области 1 <. r .,;;: 2 требуется найти приближен
ное решение (3.14) в виде, отвечающем заданному гранич
ному условию
(3.16)
На рис. 19 представлены графики функций v, (а, r) = 1;.!,
Pz
в которых коэффициенты а определены различными мето
дами.
В практике решения задач механики сплошной среды при
поиске коэффициентов а1 приближающих последовательностей
ИN довольно широко используется метод наименьших квадра
тов, математическая суть которого описывается уравнениями
(3.11), (3.12). При использовании этого метода, в принципе,
возможны различные формулировки условия локализации за
дачи и, соответственно, различные критерии принципа опреде
ления коэффициентов а 1 .
Условие локализации при решении задач .механики сплош
ной среды с использованием метода наu.меньu1uх квадратов.
Рассмотрим вариант реализации математической модели про
цесса ОМД, описываемой системой дифференциальных урав
нений (2.12 а-в) и соответствующими граничными условиями.
Дискретизацию задачи осуществляем по методу Релея -
Ритца . Аппроксимирующие функции Vi включают линейные
комбинации постоянных коэффициентов аа (а = 1, 2, ... , а 1 )
и в эйлеровых координатах в рамках принятых допущений удов
летворяют уравнениям неразрывности в подобласти D и услови
ям совпадения гранично заданных и расчетных кинематических
и динамических параметров процесса на контуре s подобласти
течения D. Напряжения аiк с точностью до а0 определяются
уравнением (2.9). Величину а0 представляем в виде функцио
нальной последовательности с линейной комбинацией коэффици
ентов а13 (здесь В может в общем cJryчae принимать любое из зна-
70
Рис. 19. Точное (1) и приближенные значения функции v, (а, r) при
R= 1,5 в области 1 ,<, .,;;: 2, где коэффициент а определен методами
наименьших квадратов (2), Кармана - Пуллхаузена (Qi = Q) (3),
методомколлокации вто,шег•=l (4)и тоже- вточкег* =2 (5)
чений а и далее ~ равно а1+ 1; а1+ 2, ... , а1+ ~1), удовлетво
ряющей соответствующим динамическим граничным условиям.
Локализацию задачи осуществляем на произвольном объ
еме ЛD, выдвигая условие выполнения уравнений движения
(2.12 б) в ЛD. Реализацию задачи осуществляем методо :v1 наи
меньших квадратов , выдвигая для коэффициентов ai следую
щий критерий определения: значения ai отвечают условию
минимизации в подобласти D суммы квадратов невязок R}MJ,
являющихся интегралами невязок уравнений движения R.(fJ
в ЛD, при изменении ЛD в пределах О ~ ЛD <. D. Математиче
ская запись сформулированного принципа имеет вид системы
уравнений
3
ISJ L[(JSS R; 0) dD)(SJS д~:) dD)]dD = О,
D i=I
ЛD
ЛD
j=1,2, ..., N.
(3. 17)
71
.х~ /
Е•-------~--~
____
_
_
r=.._ _
-----+-
--л--f-
-
-
-
-
---- т
-----
-----+--
-
---- -,--
-
-
-
-
-
•• rrr-- ~r'r
IA•
- ,.,
Формально уравнение (3 .17)
представляет собой условие
ортогонализации
невязок
R}M) = fIfR;°) dD ОТНОСИ·
ЛD
тельно величин дR;М) / даi, что
позволяет квалифицировать
предложенный метод как мо
дифицированный проекцион
ный метод наименьших квад•
Рис. 20. Схема к решению тесто• ратов в традиционной поста-
вой задачи
новке, когда локализацию осу-
ществляют на фиксированном
объеме Q и значения ai определяют из системы (3.12), при
нимающей для рассматриваемого случая вид
3
rrJ('~~- -R-· ,(o) ддRа\1°_) \. dD = о,
12
31
JjL
)
j=,,...,N.(
.
8)
D
i=I
Конкурентоспособность предложенного метода по отноше
нию к методу нанменьших квадратов в традиционной постанов
ке иллюстрируется на примере решения следующей тестовой
задачи (рис. 20). Идеально легкая (р = О) и вязкая (μ = const)
несжимаемая жндкость с магнитными свойствами находится
в покое в бесконечно широком помещенном в вакуум сосуде
и имеет начальный уровень В. Определим, в рамках первой
краевой задачи кинематические и динамические параметры
плоского изотермического течения жидкости в области D =
= А Х В в момент включения внешнего магнитного поля
о векторами
х; = -6XiX2μ \2xl (2В + Х2) + Xi];
х: = 2х1х2μ [2xf (Зх2 - 4R) + Зх;],
где μ = μ11; 11 - коэффициент размерности; 11 = 1 м- 6 с- 1 .
Точное решение системы двух диф:р~ренциальных уравне-
-,..
ний движения и уравнения несжимаемоети di v v = О отно
сительно V;, а0 с учетом г_раничных условий, отвечающих
условиям непроницаемости и прйлипания на стенках
V1\х,=0= V1lx,=0=Valx,=0=VA\х,=0=О,
и выполнению уравнения Коши на свободной поверхнссти
жидкости
1 - 8а-вз
Goх,=В--- X1fl ,
имеет вид v1 = -х.1х:ч; v2 = хiх~ч; а0 = -8xix;μB.
72
Рассмотрим для наглядности простейший вариант аппрок
симации точного решения. Аппроксимируем только значение
а0 в виде функции, удовлетворяющей условию Коши ai =
= - 8a.xrx~• вз-п•μ;,
где п* - произвольный показатель сте
пени.
Идеальное (в смысле максимально возможного приближе
ния «по наименьшим квадратам» к точному значению гидроста
тичес1<ого давления cr0 ) значение аппроксимирующего коэф
фициента а = a(11 J определится как
АВ
АВ
а(11>=(JJсr;вdx1 dx2) (JJВ2dx1 dx2)-
1
=
2,;.: J3
1,
(3.19)
оо
оо
где В= - 8xfx1~• В3-11*μ.
Аппроксимирующие коэффициенты а(О) и a(MJ, рассчитан•
ные соответственно по традиционному и предложенному методам,
определяются из выражений
(О)_
[4(п*)2-1][63(п"+1)+10(п*+3)G]
(3 20
а -(п*+3)(п*+ 1)[63(2п * -1) +5(п*) 2 (2п*+I)G]
•
)
а(М)=(2п*+ 3)(2п*+ !)(п*+ 1)[48(п*+ 3)+ 7(п*+ 1)(п*+5)G]
(п*+3)(п*+ 5)[144(2п•:•+1)+ 7(п*+ 1)2(2п*+ 3)G] '
(3 .21)
где G= А2/В2•
При Rыводе (3.21) для определения R;м' было принято,
что область ЛD изменяется в пределах О .,;;: ЛD .,;;: D в на
правлении от координатных осей в глубь области D;
(3.22)
Точность аппроксимации оценим по средней для всего ин
тервала возможных значений показателя G абсолютной ошиб
ке аппроксимации
G
р(о. м, = lim f_!_ J[а(0• м1 - а(11!] dG}.
G-+oo LG
(3.23)
о
Подставив в (3.23) выражения (3.19) - (3.21), после интег
рирования и вычисления пределов получим
р,о1=2n*+1[2(п*+3)(2n*- J) _ l]; р,М)=О.
п*+3 п•'(п*+1)(2п•'+1)
Полученный результат позволяет констатировать, что при
использовании предлож~нного условия локализации и соответ-
73
\
ствующего ему принципа (3.17) максимального соответствия
приближенного и точного решений уравнений движения мщк
но получать более точную в среднем аппроксимацию, чем по
методу наименьших квадратов в традиционной постановке.
Рассмотрим более подробно уравнение (3.17) предложен
ного принципа определения аппроксимирующих коэффици
ентов ai. Очевидно, что значения ai будут зависеть от выбран
ного закона изменения ЛD. Также очевидно, что чем ближе
аппроксимирующая функция 1, точному решению, тем в мень
шей степени выбор закона изменения ЛD будет сказываться
на конечном результате (в идеале при совпадении приближа
ющей функции и точного решения а1 не будут изменяться при
варьировании закона изменения ЛD). Указанное обстоятель
ство можно успешно использовать для оценки уровня соответ
ствия приближающей функциональной последовательности
й точного решения задачи .
Поясним сказанное простейшим примером. Пусть в области
Ь ~ х ~ с необходимо аппроксимировать функцию у = х .
Аппроксимирующая функция задана в общем виде
(3.24)
В соответствии с предложенным принципом, уравнение
для определения аппроксимирующего коэффициента функции
(3.24) имеет вид
rх
/а{J[\'(ах11* - х) dxJ2 dx} = О,
(3 .25)
и1/
гдеЬ<.d<.с.
После соответствующих преобразований (3.25) получим
а= [ сп•+4 _ ьn*+4
_
dn•+I (сЗ _ ьз)
_
d2 (сп•+2 _ ьп•+2)
п*+4
3
п*+2 +
п•+з
] [с211•+з _ ь2п•+з
2d"* -/-I (с11•+2 _ ь11•+2)
+d (с-Ь)
2п*+З -
п*+2
+
+d2(n*+l)(с- Ь)гlп*: 1.
(3 .26)
На рис. 21 приведена зависимость а (d, п*) при Ь = 2,
с = 4. Из (3.26) и приведенных на рис. 21 данных видно, что
положение предела интегрирования d вызывает определенное
изменение величины искомого коэффициента а. Оценим ко
лебание а вследствие изменения · величины d при постоянном
п* величиной размаха относительно среднего значения
Ла
ар=-- 100%,
(3.27)
а
74
йп-11,.:О;
Оп•=2·Ю
J,J
3,2
J,f
2,9
2/J
2,0 2,~
3,0
Gn*~t
flп*=з·IO
1,(
Рис. 21. Зависимость !(Оэффи
циента а от значений d при
различных показателях степени
п*, равных 1 (1), 2 (2), 3 (3),
О (4)
20
о
f
2
Рие. 22. Зависимость размаха
ар коэффициента а от величины
показателя степени п*
где Ла - размах, Ла = Gmax- amin; Gmax,
Gm1n -
соответ
ственно максимальное и минимальное значения а (п* , d) при
изменс:нии d в пределах Ь ~ d .,,:;. с и постоянном п *; а - сред
нее значение коэффициента аппроксимации в рассматриваемом
интервале.
На рис. 22 приведены значения ар, соответствующие графи
кам рис. 21. Анализ зависимости на рис. 22 подтверждает вы
сказанное выше утверждение о том, чт9, чем больше расхож
дение между приближающей функцией и точным решением
(в рассматриваемом примере- чем больше разность Лп*=п*
-
п;· , где nt = 1 - ПО[(азатель степени для точного решения) ,
тем большее колебание испытывают искомые величины (в на
шем случае - аппроl<симирующий коэффициент а) при изме
нении заl<она изменения ЛD (в рассматриваемом примере -
предела интегрирования d).
Таким образом, используя при определении аппроксими
рующих коэффициентов щ предложенное уравнение (3.17),
можно сравнивать уровень достоверности различных прибли
жающих уравнений. При . анализе сложных математических
моделей, естественно, критерии «колебания решения» слож
нее, чем в приведенном выше простом примере, однако произ
вести оценку указанного колебания всегда можно по тем или
иным расчетным параметрам процесса (здесь не исключается
и субъективная сопоставительная оценка качественных кар
тин распределения расчетных параметров в анализируемой
\
75
области) . Анализ реальных процессов ОМД во многом затруд
няется из-за отсутствия критериев приближения к точному ре
шению задачи, поэтому появляющаяся при использовании
(3. 17) возможность сравнительной оценки степени указанного
приближения можно расценивать как важное положительное
свойство предложенного метода определения аппроксимирую
щих коэффициентов.
Рассмотрим пример возможного использования изложен
ных выше идей при реализации конкретной задачи ОМД, рас
смотрев предварительно некоторые общие положения .
В общем случае процесс пластического деформирования при
обработке металлов давлением можно представить следующим
образом. Некоторое тело находится в состояним пластического
формоизменения вследствие воздействия на него рабочего ин
струмента. При этом на контуре контакта с инструментом гра
нично заданы скорости перемещения. На том же контуре, его
части, или в каких-либо его точках (точке) гранично заданы
значения показателя трения fт или -fт- На свободной поверх
ности гранично задано отсутствие нормальных и касательных
к поверхности напряжений.
Рассмотрим следующий ход решения задачи. Представим
скорости течения v; в виде аппроксимирующих функ
ций, отвечающих граничным условиям по скоростям
и связанных уравнением несжимаемости (2.12а) . Уравнения
скоростей включают l постоянных аппроксимирующих коэф
фициентов ат (т = 1, 2, ... , l - 1, где l - порядковый номер
коэффициента). Из уравнений скоростей определяем состав
J1Яющие еiк тензора скоростей деформации Т,. Используя
уравнения связи напряжений и скоростей деформации (2.9),
.
т.
определяем значения касательных напряжении •;к = не1,,.
Составляем отвечающее граничному условию (2. 17) аппрокси
мирующее уравнение для гидростатического (среднего) напря
жения cr 0 . Это уравнение включает r <- .
s аппроксимирующих
J{ОЭффициентов а,, (в общем случае индекс п, характеризую
щий порядковый номер коэффициента, может принимать лю
бое целое значение в интервале 1-l и далее l + 1, l + 2, ... ,
s- J , s). При таком подходе к поиску приближенного решения
математической модели нормальные напряжения легко опреде
лятся из уравнений связи напряжений и деформаций (2.9).
Полученные значения нормальных и касательных напряжений
в виде функций от еiк и cr0 используем в дифференциальных
даi"
уравнениях равновесия дХi = О. Значения аппроксимиру-
ющих коэффициентов а = ат,,, определяем в соответствии
с принципом (3.17), о(,Sеспечивающим приближенное выполнение
76
урав не н и й движения, и из условия соблюдения граничных
усл ови й п о контактном у трению на S, и напряжениям на Sa,
К ритерии выполнения граничных условий могут быть различ
н ыми . Та к, например, возможен подход, состоящий в исполь
зова нии метода коллокац и и , при котором выдвигается условие
совп адения гранично з аданны х и расчетных значений показа
теля тр ени я fт в некоторых точках контактной повер х ности
S , и соблюдения уравнения Коши (2.17) в некоторых точка х
свободной поверхности Sa [23, 45].
И спользуя рассчитанные для данных конкретных условий
формоизме нения коэффициенты а в уравнениях скоростей, ско
ростей деформаций и напряжений, получаем поля распреде
ления V; , !?;к , а," в объеме деформируемого тела.
Р ассмот рим конкретный пример. Между двум я плоскими
бой ками, сближающимися со скоростью, абсолютная величина
котор ой ра вна v6 , деформируется трапециевидная бесконечно
длинн ая в направлении оси у симметричная относительно оси
z полос а ( рис. 23). Гранично заданы следующие характеристи
ки к онта ктного трения: верхний боек идеально гладкий,
f т~ = О Uт 1 - показатель тр е ния на верхнем бойке); нижний
боек идеа льно шероховатый, fт2 = 1 (j" 2 - показатель тре
н ия н а нижнем бойке) . В соответствии е исходно заданными
услов иями формоизменения считаем деформированное состоя -
ние плоским (ёу= О).
Пр едставим фу нкцию скоростей вертикальных перемеще
ний в виде аппрокси ми рующего функционального ряда
1,
Vz = -vб р.:[!+(l- Л.2)А1 Lйт,хт,-lе2т,1+
m,=I
1'
+(I-Л.2)(А1 ~ Gm,e
2m·+Ai)I ,
(3.28)
т,=1
где 0, Х - симплексы соответственно .горизонтальной и вер-
-
х
-
z
тикаJ1 ьн ой координат, 0 = ь; ').,, = h; х, z -размерные зна-
чею1я с оо твпственно горизонтальной и вертикальной коор
д и нат в системе xOz (см. рис. 23); Ь, h - соответственно
половина средней ширины и высоты образца; А1, А2 - функ
ции, о беспечивающие соблюдвние граничных условий по ре-
жиму контактного трения набойках, А 1 = .4 1 (0), А 2 = А 2 (8);
ат,, ат, - аппроксимирующие коэффициенты, общее число
которых равно l = l1 + /11; т1 , т2 - целые числа, характе
ризующие порядковый номер члЕнов ряда; тз - порядковый
номер коэффициента тз= !1 + т2; /1 , / 2
-
общее число чле
нов функционального ряда.
11
z
/
Рис. 23. Схема осадки трапециевидной полосы
Уравнение (3.2~) полностью отвечает граничным условиям
по скоростям вертикальных перемещений: Х = ± 1, Vz = +v 6
и условию симметрии эпюры вертикальных С!{Оростей отно
сительно оси z . Привлекая условие несжимаемости (е х +
+ е2 = О), определим скорость горизонтальных перемещений
vx и составляющие тензора скоростей деформаций
78
1,
11
+ А2 [ ~ am,m1e 2m,x(m,=J) - ~ ат, (т1 + 2) 02m,I< 2m,+JJJJ d0;
m,=1
m1 =1
(3 .29)
1,
е=-е
=
-~ {А[~а (т+2)e2m,~(m,+l)-
z
х
h
1.t.Jт,l
т,=1
1,
1,
-
~ am,m1e 2m,,::<m,-l)] + 2f (А1 L От,0 2т' + А2) ·-
1j;
m,=1
m,=I
(3.30)
ё
z,
•
vбЬ s{А [ ~ (Э-2т,~(ln,-JJ (
1)
'\1xz = ~
1 ,t.,J ат,т1
1\,
т1-
·-
о
m,=1
,,
-
~ . ат, (т1+1)(m1+2)02m,л,т,]- 2(А2+
m1 =l
l,
11
+А1 ~ am,E>2m')}dё-V0 -;; ~))(2fA1 ~ am1f(m,....l) х
m2=l
т 1 :::жl
(3 .31)
Для рассматриваемой задачи функции А 1 , А 2 определятся
из следующей системы уравнений, характеризующих пара
метры формоизменения на контактной поверхности в условиях
гранично заданного на каждом из бойков режима трения
ех li::=-1 =О;} •
(3.32)
'Yxz IЛ:=! = О.
Подставляя (3.30), (3.31) в (3.32), после соответствующих
преобразований получаем значения искомых функций
где
z,
М=~
А1=(М - Q)-1;
А=м-2N -05
2
2(М- Q)
''
m1=I
,,
-
~ а (-I)<m,-t> т 02m,.
~т1
1
'
m 1=l
11
Q= }:ат,(m1 -
1) т182m1 -
m1=1
(3.33)
(3.34)
79
z,
~ат,(т1+1)(т1+2)ezm,;
m1=1
/
После подстановки (3 .33), (3.34) в (3.30), (3.31) составляю
щие тензора скоростей деформации ех, Yxz приобретают окон
чательный вид функции искомых аппроксимирующи х коэф
фициентов ат,, ат, .
Далее, в соответствии с изложенной выше методи кой, пред
ставим в виде аппроксимирующего функционального ряда
г идростатическое напряжение
s,
<Jo = 2::б{02_ [1+(Ь1-;ьЬ2)}Т}l:l(1+~/')х
n1 =1
s
х (ап, + ~ ап,02"')] + G(f),
n~=l
(3.35)
где Ь1 , Ь 2 - соответственно половина меньшего и большего
оснований заготовки; п1 , n 2 - целые числа, характеризующие
порядковые номера членов ряда; s1 , s2 - общее чис ло членов
соответствующего ряда; п3 - порядковый номер аппрокси ми -
рующего коэффициента, n 3 = s2n1 + п 2; С(~) - фующия ,
численно равная напряжению а0 на свободной поверхности ,
описываемой уравнением
EJ=Ё) =1+(Ь1-Ь2)л
с
2Ь
•
Уравнение (3.35) отвечает условию симметрии напряжения
а0 относительно оси z.
Условие статического равновесия треуголыюго элем ента ,
выделенного у свободной поверхности обра зца (0 = 6с), пос
ле привлечения уравнений связи скоростей деформаций и на
пряжений можно представить в виде систем ы уравнений
а~=
-Т
(3.Зба)
cos 2асV1+1,5 tg22ас
2е0 tg2a _,i,c = 0,
х
с
rxz
(3.36б)
где «с» - индеr,с, означающий принадлежность к свободной
Ь2- Ь1
понерхности; ас = arc tg - 2
-h- .
Уравнения (З . 36а,б) являются развернутой записью гра
ничного условия (2 . 17). Уравнение (3.36а) используем в (3.35),
так как а~= С ~) . Уравнению (3.36б) удовлетворим прибли -
80
женно, используя метод наименьших квадратов в тр ади цион
ной интери_~етации
l
_а_ s(2ес tg'2a -
~,0)2d"i,=О·
да
х
с
,xz
•
т,
-1
l
_а_5(2есtg2а - ~с )2dJ.. = О·
да
х
с
xz
'
тз
-1
)
ll1+l2.1
)
(3.37)
Система (3.37) включает исключительно кинематические
характеристики процесса и после ее решения составляющие
тензора скоростей деформации определены . Вследстви е нели •
нейности системы (3.37) относительно коэффициентов ат ее
решение проводили методом сканирования, ограничившись
значениями /1= 2, l2= 1.
Полученные значения е;к использовали совместно с (3.35 )
в уравнениях движения и значения коэффициентов ап опреде
ляли в соответствии с уравнением (3.17). При этом использо ва
ли реологическое уравнение вида
Т = 146НЛt0,5, МПа,
(3.38)
которое аппроксимирует зависимость Т ..::...Н-Л-0 ПОДШИП·
ншювой стали ШХ-15 винтер
валах значений Н=0 + О,2с - 1;
Л=НЛt = О--:- 0,2; 0 = 1120--:-
-+- 1150 °С с ошибкой, не пре
вышающей 7 %.
При использовании (3.38)
в уравнениях движения систе,
ма уравнений для определения
коэффициентов r:ln линейна от
носительно указанных коэф
фициентов и ее решение мето
дом Гаусса - Зейделя не вы
зывает затруднений при s1 =
= s2 ~ 5. Операцию интегри
рования выполняли численно,
при этом варьировали поря
док прохождения прямоуголь
ников, ограниченных точками
1-81, показанными на рис. 23.
Значения s1 и s2 постепенно
увеличивали. При этом кри
терием остановки ЭВМ было
Рис. 24. Линии равных вертикаль
ных напряжений Oz (МПа) при Лt =
=1с
81
Рис. 2Ь. Искажение формы образца за Лt = 7,5 с
ОG оэначення те же, что и на рис. 23
/
снижение величины максимального размаха, определяемого
выражением (3.27), у каждого из искомых коэффициентов
до уровня ар< 10 %.
На р ис. 24, 25 приведены результаты расчета параметров
деформации при vб= IО- 3м / с.
Сопоставление эффективности различных вариантов. Ос
новная сложность при решении задач механики сплошной
среды методами дискретизации полей скоростей и напряже
ний состоит в том, что исходно выбранные приближающие
последовательности должны по своей математической структу
ре удовлетворять значительному числу однородных и неодно
родных (смешанных) граничных условий. Как правило, точ
но удовлетворить граничным условиям, даже при решении от
носительно простых задач теории ОМД, невозможно из-за
непреодолимых математических трудностей . В то же время
точность соблюдения граничных условий существенно влияет
на точность конечного результата реализации математиче
ской модели в плане ее адекватности реальному процессу по
основным параметрам формоизменения.
Высказанные соображения заложены в основу методики
приближенного определения кинематических параметров фор
моизменения, изложенной в работе [23]. При определении со-
-+
ставляющих тензоров ТCJ• Т~ и величин v необходимо, чтобы
полученные поля скоростей и напряжений удовлетворяли си
стеме дифференциа.т~ьных уравнений (2.12) и соответствующим
82
граничным условиям. В практике математического моделиро
вания процессов ОМД широко используются энергетические
и вариацион'но-энергетические методы (4, 26, 32] в различ
ных интерпретац11ях. Общая идея этих методов состоит в
замене уравнения движения (2.12б) или уравнения несжимае
мости (2.12а) и уравнения движения некоторым энергетиче
ским функционалом. В основе преобразований лежит равен
ство [4]
(3.39)
-+
где Ь - заданное в D векторное поле; ТА - заданное в D
поле симмотричного тензора, ТА = [а;к];
-+
-+
1 (дЬ; дЬк)
ап=ТAn; ~iк=2дхк+дхi •
Независимо от вида энергетического принципа в (3 .39)
полагают, что ТА = Та, а условие
jИdivТabdW=О
(3.40)
о
отвечает условию divTа= О в подобласти D. Однако послед
нее утверждение справедливо лишь в том случае, если Ь
функции, обращающиеся в нуль на границе области D, т. е.
-+
на S [46]. Реально в качестве Ь используют функции не удов-
летворяющие этому условию, вследствие чего полученные ре
шения удовлетворяют уравнениям движения лишь в каком
то приближении, степень которого зависит от многих ~'акторов .
Указанный факт не раз ставил под сомнение многие положения
энергетических методов [47).
Кроме того, решения, полученные энергетичестшми методами
в ряде случаев не удовлетворяют граничным условиям (в пер
вую очередь условию равенства гранично заданных и расчет
ных величин напряжений контактного трения), что также сни
жает аде1<ватность рассматриваемых математических моделей
их реальным аналогам.
Для того чтобы в какой-то мере снизить погрешности,
обусловленные указанными факторами, в I<ачестве приближа
ющих последовательностей используют функции, качественный
характер которых уста н авливают экспериментально. Эти функ
ции называют подходящими. Так, например, в работе (26]
при ре!l1 ен:ии задач:и об осад1<е бесконечно длинной прямо•
83
z
/
угольной полосы шероховаты
ми бойками (рис./26) исполь
зуются функция' вертикаль-
/
ных скорост7й течения вида
-Т Vz = ,-[i+а(1-
~)Х
2h
Ри:с. 26. Схема осадки прямоуrоJiь
ной ПОJIОСЫ
Х(1-
~)] z (3. 41)
и связанная с ней условием
несжимаемости ех = -е2 функ
ция горизонтальных скоро
стей течения
(3.42)
Выбор функции (3.41) был обусловлен предварительно
проведенными экспериментальными исследованиями, в ходе
которых изучался характер искажений координатной сетки,
нанесенной на составные образцы. Было установлено, что
ь
для h > 1 функции (3.41), (3.42) качественно соответствуют
экспериментальным.
При определении коэффициента а из уравнения вариацнон·
ного принципа Журдена принимали, что напряжение контакт
ного т р ения имеет вид
(3.43)
и получили
bv6 (
ь2
h2)-1
а= 0,4Iбf,: h2 0,213 + 0,648 h2 + 0,026 ь2
(3 .44)
В то же время расчетное напряжение контактного трения
для исходного выражения (3.41) определяется формулой
• = k (~i)z=h,
(3.45)
где~х2=баf(1- 3
~
2
2);
Очевидно, что между гранично заданными и расчетными
значениями напряжений контактного трения, определяемыми
\
•t~;т/k
,f
1(1,О)
2(!,О}
о,вr
0,5
о
[1,2
0,4 0,б
Рис. 27. Зав исимости т* /k
(2)приb/h=1от х/Ь
Цифры в скоб ках~ значение
трения f':;:
~\
0,20
-- --
O,IO
f({l,2)
Q,05
2 (Q,2)
0,8 x/J;
о
4
8
12 15 ь/11
(/) и т/k Рис. 28. Зависимость отношения
ah /v 6 от показателя b/h
поr<азателя
соответственно выражениями (3.43) и (3.45), имеется значи -
тельное расхождение (рис. 27).
Идея п редлагаемой методики определения ai основывается
на сл едующем предположении: не достаточно ли для опреде
ления а 1 при наличии подходящей функции выполнить гра -
ничные усл овия по напряжениям конт:актного трения, чтобы
получ ить точность решения, соизмеримую с точностью других
приближенных методов? Для реализации предлагаемого мето
да пр едлаг ается приравнивать расчетные и гранично заданные
з нач ения п оказателей трения fт; в i характерных точках оча
га деформ ации (см . рис. 18).
В отношении только что рассмотренной задачи об осадке
полосы хара ктерной точкой является граничная точка с коор
динатами х = Ь, z = h. Тогда уравнение для определения
коэффициента а в выражении (3.45) примет вид
('\' xz)
f*
н х=ь,= т\·
Z=I!
(3 .46)
Для то го чтобы сопоставить значения коэффициентов а,
о пределен ных энергетическим (выражение (3.44)) и предлага
емsrм методами, используем в (3.46) то же допущение, кото
рое принято в работе [26] при выводе (3.44):
(3.47)
85
и то же значение показателя трения
f':1 =fт,
(3.48)
где f:; = f:; (t, 3⁄4) в соответствии с (2.53), считая R~ = Ь .
Подставляя (3.47), (3.48) и значение Ух, из (3.45) в (3.46),
после преобразований получаем
(3.49)
На рис. 28 приведены зависимости ah/v 6 как функции по -
1<азателя формы Ь/h и коэффициента трения при расчете по фор
мулам (3.44) и (3.49) (пунктир и сплошные линии соответствен
но). Близкое совпадение расчетных данных подтверждает I<ак
правомерность высказанного предположения, так и конку
рентоспособность предложенного метода. При этом как неос
поримый плюс предложенного метода следует считать его
безынтегральную форму, что на порядок снижает трудоем
кость расчетов при его использовании.
Возвращаясь к мысли о необходимости максимально воз
можного приближения математической модели к условию
удовлетворения граничным условиям анализируемого про
uесса, заметим, что анализируемое течение в своей основе
по составляющим Т~ не удовлетворяет условию равнове-
сия на свободной поверхности (3.366). В связи с этим, основы
ваясь на высказанных соображениях, трудно ожидать высо
кой степени достоверности от модели, описываемой уравнения
ми, вытекающими из исходно принятой приближающей по
следовательности (3.41), поэтому для получения более точной
модели усложним (3.41), введя дополнительный коэффициент
0 2 , который своим значением должен удовлетворить (в прибли
женном смысле, конечно) граничному условию (3.366) . Пусть
исходное уравнение вертикальных скоростей имеет вид
v, = z[!+а1(1-а2.х2)(1 - 22)]V,
(3.50)
где V - скорост}юй критерий проuесса, с- 1 , V = Vб/h; х =
= х/Ь; z= z/li.
Составляющие Те' удовлетворяющие условию несжимае-
мости (2. 12а), определятся из (3.50) после соответствующих
математических преобразований
86
(3 .51)
(3.52)
(3.53)
Из ((3.51) - (3.53)) определяем значения скоростей де
формации на свободной поверхности (х = 1)
е~= -
V11+а1(1- а2)(1-322)];
(3.54)
i':, = 2VBa1z[3 + (z2; 1- 1) а2]. (3.55)
Подставляя (3.54), (3.55) в (3.366) получаем
Ba1z[3+(i2; 1- 1)а2]+[1+а1(1- а2)(1 - 3z2)]tgан =О,
(3.56)
где ан -угол между нормалью к свободной поверхности
1
Sдvс
ИОСЬЮХ,ан=
-! -dt.
одz
Из (3.56) следует, что реально процесс осадки не является
стационарным, таr, как ai = a il aн(t)], j = 1; 2. Используя
допущение о стаuионарности процесса деформации в пределах
относительно малых конечных обжатий, зафиксируем вели
чину ан(t) на уровне сiн(О). Тогда граничное условие (3.56)
принимает вид
(3.57)
Тривиальное решение (3.57) в видеа1 = О не удовлетворяет
физическому смыслу, так как рассматривается процесс неод
нородной деформаuии. Поэтому решение . (3.57) можно пред
ставить лишь в виде
зв2
(3.58)
Из (3.58) следует, что для точного удовлетворения гранич
ному условию (3 .57) коэффициент а 2 должен быть функuией
А i(z) симплекса z, что противоречит в ранее выполненных ма
тематических выкладках условию постоянства указанного
коэффициента. Сказанное приводит к необходимости исполь
зования приближенных методов для определения а 2 • Рассмот
рим и сравним результаты использования некоторых из них.
График функции А 2(2), соответствующий уравнению (3.58),
приведен на рис. 29. В соответствии с методом коллокации коэф
фициент а 2 может принять любое из значений функции
А 2 (О; 1) Учитывая, что функция А iz) монотонна, принимаем
382
ai= А2(0,5)=82_ 075.
(3.59)
87
2,3
2,f
f,9
f,7
0,2 0,4
0,5
O,tJ
Услови е наименьших
квадратов в интегральной
и точечной запи си дает со
отв етственно следующие вы
ражения для определения
искомого коэффициента,
1
5(а2 -
3~
2
)dz=О;
82- z2+1
iJ
(3.60)
где i - порядковый номер
точю1 в рассматриваемом
интервале О -,:;;:z .,,; 1; n0 -
общее число точек в том же
интервал е.
На ри с. 30 приведены
результаты расчета коэффи
циента а2 по формуле (3.61)
при различном числе анализируемых точек n 01 . На ри е. 31
приведена зависимость суммы квадратов невязок в оди ннадцати
равномерно распределенных по рассматриваемому интер валу
точках как функция числа анализируемых точек п0 • Из графи
ков следует, что увеличение n0 повышает точность определе
ния а 2 (в смысле наименьших квадратов). При п0-+ оо значе
ние а 2 определяется решением (3.60):
Рис. 29. График функции А 2 (z)
(сплошные линии) И а2 (z), определен
ных по уравнениям (3 . 59) и (3.62)
(пунктир и штрихпунктир соответст
венно):
1- В=!;2- В=2;3-В=5
(~. 62)
гдеВ1=(В2+1)0•5
.
Значения коэффициентов а 2 , рассчитанные по формуле
(3 .62), приведены на рис. 29.
Резюмируя результаты проделанных вычислений, можно
сделать вывод, что для относительно гладких монотонных
функций результаты расчета аппроксимирующих коэффици
ентов ai методом · коллокации, методом наименьших квадратов
1 При по=!,z1= 0,5;прип0~2,z1= О,Z2= 1,прип0:;;,,.3,Zi=
= О , z2 = !, а остальные точки равномерно распределены в интервале
О -,;;;: z -,;;;: 1; при по = 1 поиск а2 по методам коллокации и наименьших
квадратов дает одинаковый результат, так как (3,61) трансформируется
в (3.59),
•
88
ll2
J
2.в
2,6
/"--
2
2,4
2,2
2,0
- ~-- ---,
(,д
2
4
б
в
fO ng
Рис. 30. Зависиыость коэффициента
а 2 от числа анализируемых точек
при определении а 2 методом наи•
ыеньших квадратов.
Обозначения те же, что н на рис . 29
11 ~~
ZR
n•t п
3,4
3,0
E=I
2,6
2,2.
o,sso
il,5'00
13=2
0,45'0
24-6
дПg
Рис. 31. Зависимость суммарной
квадратичной невязки от числа
анализируемых точек
в интегралыюй и точечной (суммарной) 1юстановке близки
(при относительно небольшом числе точек п 0). Этот вывод
представляет интерес, поскольку в большинстве процессов
обработки металлов давлением исследуемые кинематические
и динамические характеристиrш изменяются монотонно по
характерным направлениям зоны формоизменения (например,
скорости монотонно возрастают, а контак'Гные давления моно
тонно снижаются в н а правлении движения заготовки при прес
совании и волочении) .
Определив значение а 2 , приближенно удовлетворяющее
одному из граничных условий (3.36а, б), определим значение
а1 , удовлетворяющее условию совпадения гранично заданных
и расчетных значений напряжений контактного трения.
Рассмотрим два из возможных вариантов определения а1 .
В основу первого варианта заложим условие совпадения fт 1
и f.f 1 в граничной точке контактной поверхности (,i = 1,
i = 1). Математическая запись этого условия имеет вид
Yxz 1
=
f~i,
Н Х=\,
2=1
что после подстановки входящих величин и решения относи
тельно а 1 дает выражение
а1=d±Yd2- е1,
(3. 63)
89
где
2(\- а2)f;1
d= -----,--------- •
4 r1 - а2)2 U;1J2+ в2 (3.:_ a2J2 iU~1J2 - IJ'
U;1J 2
el = --------: ---- ----- -:: -- •
32(3-а2)2(1 - U;1J2] - 4(1 - а2)2u;1J2
По физическому смыслу в соответствии с направлением
напряжений контактного трения в первом и третьем коорди
натных квадрантах величина f;1 отрицательна, а во втором
и четвертом - положительна, поэтому коэффициент а1 дол
жен быть больше нуля и в (3 .63) следует брать арифметиче
ское значение корня.
В основу второго варианта расчета заложим условие сов
падения средних для всей контактной поверхности расчетных
-
-*
и гранично заданных поI<азателей трения fт и fт• Математиче-
ская запись этого условия имеет вид
1
S Ва1х !3 - а2х2) sign Vdx
= J:. (З.64)
Vв2а:х2(3- а2х2)2+[! - 2а1(1- а2х2)]2
о
Заметим , что условие, основанное на использовании по
казателя трения r:1, значительно проще В решении, чем ус-
'*
ловие, основанное на использовании показателя трения f~, что
подтверждает целесообразность проведенного выше нс следо -
вания по выявлению связи t:, с основными пара метрами
формоизменения.
На рис . 32 и 33 приведены результаты расчета коэффи
циента а1 по формулам (3 .63), (3.64) соответственно . Со
поставляя расчетные данные, приведенные на рис. 32 , 33,
можно заметить, что каждому из значений t;1 соответствует
-*
некоторое значение fт, отвечающее условию равенства коэф-
фициен1а а1 • На рис . 34 показаны кривые, отвечающи е ус-
ловию а1 (В, f;1) = а1 (В, J:) . Сделанное сопоставлен ие позво
ляет прийти к следующему выводу: при расчете кинематически х
параметров течения будут получены одинаковые ре з уJiьтаты ,
*
-*
если использовать значения fт1 и f.; в соответствии со свя -
зями, представленными на рис . 34. Данные, представленные
на рис . 16, указывают на то, что в реальных условия х так
же существует однозначная связь между fтl и fт для фор
моизменения в конкретных условиях. Обработка эксп ери
ментальных данны,х, представJiенных на рис . 16, п озвоJiя ет
90
11,
3
2
0,д
о
O,f
0,2
O,J /f.
rt
Рис . 32. Зависимость коэффициента aJ
от показателя трения ff1.
Обозначения те же. что и на рис . 29
I
0,8
О,б .
0,4
0,2
Q o,z IJ,4 Р,б
Рис. 33. Зависимость коэффи
циента а 1 от показателя тре
-*
НИЯ fт•
Обозначения те же, что и на рис. 29
интерпре т ировать результаты исследования в виде графиков
*
-*
с вя зи f т 1 -fт, представленных на рис . 35. Сопоставление
эмпирической и расчетной связей f; 1 - Т: указывает на то,
что математическая модель, в основу которой положено
уравне ни е (3.50) , включающее два коэффициента ai (j = 1; 2),
дает весьма близкую (как в качественном, так и в количест
венном отношениях ) к экспериментальной картину характе
ра указанной связи. Для сравнения на рис . 34 показан ха-
-*
*
рактер связи показателей трения f т и fт 1 для математической
модели, в основу которой положено уравнение (3.41); оче
видно в есьма существенное расхождение расчетных и эмпи
р ических данных .
Таким образом, введение дополнительного коэффициента а 2
в исходное кинематическое уравнение и рассмотрение до
полнительного граничного условия позволило значительно по
высить достоверность математической модели .
91
0,7
0,6
!
0,5'
0,4
о,з
0,2
D,I
о
0,1
0,2
Рис. 34. Аналитическая связь
показателей трения r:1 и 7~,
соответствующая
адекватньш
уеловиям формоизменения:
сплошные п ш-нн1 соответствуют м0-
делн по урав не!-IНЮ (З ..10) , пуннт1:1р --
по уравнению (3. 41}; остальJJ ые обо
значения те же, что в на рис. 2g
Рис. 35. Эмпирическая связь
показателей трения 1;1 и 7;,
соответствующая
адекватным
условиям формоизменения:
1-В=l;2-В=2;3-В=5;
4- В= 0,25
Перейдем к определению динамичес~шх характеристик
процесса. Представим величину гидростатичес1<ого напряжения
аппроЕсимирующей зависимостью вида
а0=
-
[(1 - х2)(а3+a4z2) + 11]Т,
(3.65)
удовлетворяющей условию сим метр и и распределения а O по
поперечному сечению образца; вытекающему из граничного
условия (3 . 36а) равенству а~= -Т; экспериментально под
тверждаемому допущению о монотонности измене ни я а 0 в
направлении выбранных осей координат х и z.
Обратим внимание на важное обстоятельство: так к ак коэф -
фициен ты ai= ат (j = !; 2), входящие в уравнения состамя
ющих тензора скоростей деформации Т;, определены в ходе
мероприятий по удовлетворению граничным условиям, диффе
ренциальные уравнения равновесия линейны относительно
искомых коэффициентов ai= a,i(j = 3; 4), определение которых
является целью дальнейшего решения задачи, независимо от
вида закона (2.28). Кстати, аналогичная картина наблюдалась
и при решении задачи об осадке трапециевидной полосы.
Отмеченный факт r- неоспоримое
преимущество излагаемой
92
методики реализации математических моде.11ей процессов ОМД,
та к как обычно основную трудность при определении коэф
фициентов а, вызывает нелинейность рассматриваемых урав
нений . Конечно, осуществить такой подход к решению задачн
не всегда оказывается возможным как из-за сложности одно
родных граничных условий, так и из-за наличия смешанных
граничных условий, но в ряде случаев прием разделения ки
нематических ат и динамических ап коэффициентов, как видно
из приведенных примеров, оказывается весьма эффективен.
Продолжим решение рассматриваемой задачи и определим
аппроксимирующие коэффициенты ai = а11 • Для сравнения
эффективности поиск значений ап (п =3; 4) осуществим че
тырьмя методами: методо:v~ коллокации, метода:v~и наи мен ьших
квадратов в суммарной и интегральной постановках и моди -
фиц;,~рованным методом наименьших квадратов.
При решении задачи использовали модель идеальной пла
стичности Т = k, что позволило провести сравнение получ.ен
ных результатов с результатами исследований других авторов
(см. ниже).
При использовании метода коллокации использовали то чк у
с координатами х = 1, z = 1. Выбор этой точки не случаен
и определяется тем, что на координатных осях одно из двух
уравнений движениl'! выполняется тождес;_твенно вследствие
симметрии относительно соответствующих осей исходных кине
матических и динамического аппроксимирующих . ура внений.
Естественно предположить, что по мере удаления от осей
степень несоблюдения уравнений движения увелич !! вается и по
этому целесообразно добиться их выполнения в наиболее удален
ной от осей точке. Учитывая, что искомых коэффициентов в рас
сматриваемой задаче два, так же как и уравнений движения,
зн ачения аэ, а 4 определяли в соответствии с условием точного
•
даiк
соблюде ния -=---
в выбранной точке из системы двух .1и-
их},:,
нейных алгебраических уравнений, в которую трансформи
р уется система дифференциальных уравнений движения после
подстановки в нее аппроксимирующих урав нений (3.51) -
(3.53), (3.65) и условия Т = k.
При использовании метода наименьших квадратов в сум
марной постанов"е варьировали число анализируемых точек
п0 , увеличивая число п0 в соответствии с приведенно й на р 1ю.
36 схемой от п0= 4 до п0= 36 с кратностью Лп.0= 4. При ис
пользовании этого метода в интегральной постановке пользо
вались стандартной программой ЭВ11⁄2 ЕС-1033.
При использовании модифицированного метода наимень
ших квадратов исходили из тех же соображений, что и при ре
шении задачи об осадке трапеuиевидной полосы. При расчете
93
z2
25
8
f4
26
~
•
•
•
•
•
<::,'
122
134
!Jз lзб 135
231
- ·-•
•
•
•
•
113
!п
110
1/f
1/"
/61
•
•
•
•
•
IJ
lzg
lg
1f2
lзо 11
•
•
•
•
•
•
l21
120
1.,.,
132
'19
241
!28
•
•
•
11
lв l1s
121
41
•
•
•
•
•
J,
•
0,20
Рис . 36. Схема к решению тестовой задачи
коэффициентов ai(j = п) значения кинематических коэффи
циентов ai(j = т) определяли как функции показателя формы
полосы и показателя трения f.t1, который, в свою очередь,
определяли в соответствии с аппроксимирующей зависимостью
(2.52). Таким образом, коэффициенты ai (j = п) получены как
функции В* и 6*; первый из параметров отражает влияние
геометрических размеров на динамические параметры формо
изменения, второй - характеризует условия контактного
взаимодейrстви я.
Результаты расчетов сводятся к следующему.
1. При вычислении коэффициентов а3 , а 4 методами 1шлло
кации традиционным и модифицированным методами наимень
ших квадратов в интегральной постановке получаются отно
сительно близкие конечные результаты (рис . 37).
2. При варьировании нижней границы интегрирования
в случае использования модифицированного метода наимень
ших квадратов максимальная величина ар составляет 7,6
и 8,4 % соответственно для коэффициентов а3 и а4 , что харак
теризует достаточно высокий уровень точности аппроксимации.
3. При использовании метода наименьших квадратов
в суммарной интерпретации значения коэффициентов аз, а 4
зависят· от числа п0 анализируемых в области пластического
течения точек. По мере увеличения п 0 значения аз, а 4 схо
дятся к величине этих коэффициентов, определенной методом
94
наименьших квадратов в
u1
интегральной постановке 2,0
(рис. 38). При п0 :;,,. 8
относительная разница
между значениями коэф- 1,5
фициентов а3 , а4 , опре
деленных методами наи- l,IJ
меньших квадратов в
суммарной и интеграль
ной постановках не пре- О,
вышает 10 %. При этом
расчет искомых коэффи
циентов методом наи - Р
меньших
квадратов в
3,7:i
суммарной постановке -0,5'---_а,_--~--~-~-----'
требует примерно в 5 раз
1
2.
J
4в
меньше машинного вре
мени, чем расчет мето
дом наименьших квадра
тов в интегральной пос
тановке.
4. Время расчета ис
комых коэффициентов ме
тодом коллокации состав-
Рис. 37. Результаты расчета аппроксим11•
рующих коэффициентов а 3 (цифры с о
штрихом), а 4 (цнфры без штриха) раз•
ли ч ными методами:
1 - кОJJJ1окац11и; 2
-
на11меньших квадратов в
интегральноЯ постановке; 3 - модифицирован
ным методом наименьших квадратов (6. = 5 мим
для всех вариантов расчета)
ляет около 0,05 времени расчета интегральным методом наи
меньших квадратов.
По результатам расчетов можно сделать вывод, что метод
коллокации может быть весьма успешно использован при реа
D,60
а+
0,55
8
16
24
по
лизаци,и некоторых матема
тических моделей; особенно
эффективно его использо
J,6 вание в тех случаях, когда
речь идет об экономии ма
шинного времени . Конечно ,
3,2
3,0
2,8
3,4- использование метода кол
локации при малом числе
искомых коэффициентов ai
таит опасность серьезной
ошибки, особенно когда от
сутствуют дополнительные
соображения о выборе ко
ординат коллокационных то
чек. Поэтому в таких слу
чаях необходима контроль
ная проверка полученных
результатов со п оставлением
Рис . 38. Зависимость а11 от п 0 для
В=2,б*=5мкм
95
-~
~,f
f,2 t,4- f,8 f,B
0,9
о
1,0
-~
Рис. 39. Расчетные эторы напряжения
<: экспериментальными данными или расчетами по другим ме
тодикам.
Метод наименьших квадратов так же может быть эффек
тивно использован при реализации математических моделей,
причем его суммарная модификациЯ- без особого ущерба для
точности расчета дает значительный выигрыш в использова
нии машинного времени по сравнению с интегральной интер
претацией метода.
Модифицированный метод наименьших квадратов требует
значнтельных затрат машинного времени, но, как уже конста
тировалось выше, обладает тем неоспоримым преимуществом,
что позволяет по уровню размаха ар искомых коэффициентов
щ оценивать точность аппроксимации. Это свойство, на наш
96
взгляд, может быть эффективно использовано при анализе
малоизученных и сложных (в смысле анализируемого пласти
ческого течения и сопровождающей его динамической карти
ны) процессов.
На рис. 39 представлены расчетные картины линий равного
уровн я безразмерных динамических параметров отклика
процесса
-
Oz
-
Ох-
'txz.
-
Оо
(Jz = 2k; ах= ik; •xz = k,Go = 2/г для следующих опреде-
ляющих napa':ieтpos процесса деформации В* = 1,0; t\, =
=5 мкм; t;1 = 0,17; а1 = 0,17; а~= 1,87; а3 = -0,29; а4 =
= 3,29; V = -0,1.
Анализ результатов расчета показал, что разработанная
математическая модель достоверно отражает характер изме
нения исследуемых величин в плоскости поперечного се'!е
ния обра зца.
З, Энергетические методы
По своей математической сути энергетические методы реали
зации математических моделей процессов ОМД являются
разновидностью метода взвешенных невязок. Физическую ос
нову э н ергетических методов составляет условие эrшивалент
ности дифференциальных уравнений движения и минимума
потенциальной энергии системы, основанное на доказатель
стве [48] об эквивалентности решения уравнения Lu = и*
и решения задачи о минимизации энергетического функцио
нала 2Ф (и) = (Lu,u) - 2 (и*, и).
Рассмотрим один из возможных переходов от задачи о ре
шении системы дифференциальных уравнений (2.12а,б) с со
ответствующими граничными условиями (2.13)-(2. 16), (2.18)-
(2.20) к решению задачи о минимизации энергетического
функционала.
Предположим, что уравнение (2.12а) тождественно выпол
няется в области D; тогда справедливы последовательные
преобразования
divl= О;
......
а0divи=О;
нfа0 div;dW = О.
(3 .66)
D
Далее предположим, что уравнение (2.126) также тожде
ственно выполняется в области D; тогда справедливы после-
4 G-108
97
довательные преобразования, основанные на использовани и
уравнения (3.39) 1 :
divTa = О;
-+
v divТа=О;
ffГldiv Т adW = О;
D
fffG;кfiкdW - If~ "J'dS =0.
(3.67)
D
S
Если входящие в (3 .67) компоненты Т O представляют собой
точное решение уравнения (2.126), удовлетворяющее гранич-
ным условиям, справедлива замена -;п - ~~' приводящая (3.67)
к виду
(3.68)
Просуммируем (3.66) и (3.68)
н s(аtкёiк + а0 div-;) dW - н
- ;,*,-; dS = О. (3.69)
D
S
Заметим, что для случая идеальной пластичности (а;кеi"=
= kH) выражение (3.69) преобразовывается в функuионал
А. А. Маркова [49].
Пусть вследствие использования приближающих последо-
-►
вательностей вместо точного значения функций а0 , и выра
жение (3.69) приобретает вид
JfJ(аiкёiк+ а0 div v) dW - ff-;,(;dS = R. (3.70)
D
S
В качестве критерия определения а1 в приближающих по
следовательностях выдвигаем условие минимизации квадрата
невязки (R 2 ) в уравнении (3. 70)
д:.[JJS(aiкe1к+a0 divv)dW-11-;.(ldsJ2 =0. (3.71)
1D
S
Из (3.71) следует система уравнений для определения а1
д~)JJJ (аiкёi" + а0 div v) dW - SS~у;dS] = О. (3. 72)
D
S
1 Инерционными и массовыми составляющими в (2.12 б) для уп•
ращения дальнейших выкладок пренебрегаем.
Для случая идеальной пластичности (3.72) преобразовы
вается в выражение для реализации функционала А. А. Мар
кова методом аппроксимирующих функций
Если аппроксимирующие функции выбраны так, что усло
вие несжимаемости (2.12а) удовлетворяется, то для случая
идеальной пластичности из (3.72) получим выражение, опи
сывающее реализацию функционала вариационного принци
па Журдена методом Релея- Ритца [26]:
(3.74)
Для случая деформации тела со сложными реологическими
свойствами из (3.72) получаем выражение, описывающее реа
лизацию функционала принципа минимума полной энергии
[50} методом Релея- Ритца:
11
д~- [SSS (J Тdн) dW- SS ;~-;ds] = о.
/DО
S
(3. 75)
Вполне естественно, что если при прямом переходе от урав
нений (2.12а,б) к уравнениям (3.73)-(3.75) использовалась
гипотеза о тождественном выполнении граничных условий,
то и обратный переход возможен только в том случае, если
аппроксимирующие функции, используемые в (3. 73)-(3. 75),
удовлетворяют соответствующим граничным условиям задачи.
Следовательно, идея максимально возможного удовлетво
рения граничным условиям и рассмотренные выше примеры
ее конкретной реализации актуальны и при использовании
энергетических функционалов. В этом случае исходные при
ближающие последовательности на первом этапе подвергаются
математической обработке на предмет определения некоторой
части апl1роксимирующих коэффициентов a/j = -г,i"i) из
условия выполнения (точного или приближенного) гранич
ных условий . В результате этой обработки получают опорные
аппроксимирующие функции, которые уточняют, определяя
оставшуюся часть коэффициентов aj(m,N) из условия мини
мизащш соответствующих энергетических функционалов.
4*
99
4. Метод квазпадекватпой модификации уравнения
:энергетического баланса
Уравнение энергетического баланса применительно к процесса м
ОМД можно записать в виде [51]1,
...
=Nвн=Nа+Nтр=Nф=Nдс · +Nн.к. р =·• •• (3 .76)
где Nвн - мощность привода рабочего 1шструмента (мощность
внешнего источника); Na - мощность, развиваемая нормаль-
ными контактными напряжениями, Nа = II PVndS; Nтр -
S,:
мощность, развиваемая напряжениями внешнего контакт-
ного трения, N"'Р = Ij тдиdS; NФ - мощность формоизмене
s,
н
ния, NФ = IjI(ITdH) dW; Nдс, Nн. к . р - соответственно
D
О
мощность диссипации и искажения кристаллической решетки
(соотЕетственно мощность выделения и накопления энергии) ;
многоточия характеризуют условие сохранения энергии.
Используя второй и третий член уравнения (3.76), получаем
запись условия сохранения энергии на одном из этапов ее
бесконечных превращений
н
III(ITdH) dW - IIтЛиdS = iIpundS. (3. 77)
D
О
S,
S,
В соответствии с принципом Мопертюи из всех возможных
состояний системы действительным будет состояние, отве чаю
щее минимуму энергетических затрат. В соответстви и с этим
процесс деформации должен удовлетворять условию (52 1
н
rн(ITdH) dW- и--cЛvdS =miп,
(3 .78)
D
О
S,;
так как левая часть выражения (3. 77) характеризует энерге
тические затраты на осуществление процесса обработки дав
лением.
Как и в предыдущих выкладках, будем рассматривать ва
риант определения динамических и кинематических парамет
ров формоизменения при использовании метода аппроксими-
1 Исключительно для уменьшения громоздкости выкладок расс~1ат •
риваем случай деформации с одним внешним источником энергии 1
Q·= Q;= о.
1
-
100
рующих функций . Пусть аппроксимирующие функции v;(ai)
удовлетворяют условию совпадения расчетных и гранично за
данных напряжений контактного трения, -r = ,;*.
Тогда
условие (3.78) можно представить в виде системы
н
д~-[SSS(JTdH) dW - SS-r*ЛvdS]= О, j = l~. (3.79)
/
D11
S~
Реализация (3.79) при Р > 4 связана со значительными
математическими трудностями, обуславливаемыми как не
линейностью системы относительно ai, так и невозможностью
проинтегрировать в квадратурах подынтегральные функuии
из-за их сложности, что предопределяет необходимость ре
шения системы интегральных уравнений.
Рассмотрим вариант приведения (3.79) к безынтегральной
форме . Пусть справедливо преобразование
н
н
Sff (fTdH) dW - If -r*ЛvdS ~ fff [j TdH - М (-r*Лv)] dW,
Dо
~
D
О
(3.80)
где М - символ модифицирующего оператора, обеспечиваю
щего тождественность преобразования.
Подставляя (3.80) в (3.79), получаем систему
н
a:.JJS[S TdH- м ('r*Лv)]dw = о, j = ТЕ>. (3.81)
/DО
Потенциал мощности, представляющий собой выражение
н
в квадратных скобках в (3.81), положителен, так как f TdH>
о
-+
-+-
> О; -т*Л v...: О (первое условие следует из физического смысла
величины Т, второе- из противонаправленности векторов
-
напряжения контактного трения <t* и относительного сколь-
-+-
жени я Лv). Исходя из этого, (3.81) тождественно условию
н
a~JS TdH-M (1i*Лv)] = О, j = П.
о
(3.82)
В случае, когда использование оператора М вызывает
-+-
-+-
смену зна1<а скалярного произведения Wт= 1:*Лv, переход от
(3.81) к (3.82) осуществляется на основании утверждения
101
о единственности состояния системы в условиях минимума
э нергетических затрат [51] . В соответствии с (3.82) коэффициен
ты ai(j = 1,Р) определяются методом коллокации из системы
алгебраических уравнений, так как интегрирование зависимо
сти Т (Н) практических трудностей не представляет .
Рассмотрим вариант использования изложенного метода.
Пу сть требуется определить аппроксимирующий коэффициент
а в уравнениях математической модели плоской деформации
полосы шероховатыми байками при использовании исходной
приближающей функции вертикальных скоростей в виде урав
нения (3.41). Чтобы получить сопоставимые с работой (26]
данные, будем использовать одинаковые допущения: 1 = k,
\'fi* =f:!! k . Тогда
.
т
Jн -.
; [v6 ( Зz2)( х2)]2➔
TdH=kV411+а1-7i2 1-Ь2 +
о
➔+{~~;/ [(h2 - z2) - (3Ь2
-
х2)1}2. (3.83)
Произведем тождественное преобразование выражения мощ
ности напряжений контактного трения в соответствии с условием
Ь
hЬ
J,:*их(z = h) dx = JS,:* д;; dxdz.
(3 84)
о
оо
Подставляя в (3.84) значение горизонтальной составляю
щей скорости течения
(3 .85)
с учетом условия (3 .82) после соответствующих преобразов!l
ний получаем
[Зхz (1- ;;2) :~
-
(1- ~~2)(1- ;:)]\6
а = -( - _"' - -3-z2'--) _(__
__ _ , _ x2-)- -x -2z"""2 -(h_2 _ _ _z _2 __ _ _)2_( __ _з----ь2-=-_-x-2)""""2 • ( 3. 86)
.1 fl2
1ь2+
b4h4
_
1 h2-z2
Для определения а из (3.86) необходимо назначить коорди
наты точки коллокации. Целесообразно выбрать точку кол
локации, руководствуясь условиями ее максимального уда
ления от осей координат х*= Ь; z*= h, поскольку для коорди
натных· осей кинем~тические условия течения заданы симмет-
102
рией рассматриваемой области. После подстановки выбранных
значений х*, z* в (3.86) получаем
(3.87 )
что абсолютно идентично ранее полученному уравнению (3.49) 1
близкая сходимость которого с уравнением (3.44), выведенным
в работе [26], была показана ранее (см. рис. 28).
Возможности использования операторов М для квази
адекватной модификации уравнений энергетического баланса
в случае деформации многокомпонентных сред рассмотрены
в работе [54]. Суть идеи в этом случае сводится к следующему.
Рассмотрим условие минимума полной мощности в виде
системы (3.79) для случая деформации п-компонентной среды
при отсутствии взаимного скольжения_на границах областей
п
D т, выделенных в общем объеме D = :ED т на основании ус-
т=!
ловия непрерывности в каждой из областей Dm функции Т (Н)
Преобразуем (3.88) к виду
н
д~. jJJ[JМ1(Т)dH ·-
М(,:* Лv)] dW = О.
1D
О
•
(3.88)
(3.89)
В качестве оператора М 1 , обеспечивающего квазиадекват
ность преобразования (3.88) в (3.89), можно использовать, на
пример, преобразование
(3.90)
где Т0 - реологическое уравнение для области, принятой за
базовую; t - число обла~тей с отличными от базовой облас
ти свойствами, t = п - 1; л;, •,р, - некоторые функции коор
динат, либо постоянные, определяющие степень приближе
ния непрерывной функции М 1 (Т) к . дискретной функции
Т т (W); Л. Т 1 - скачки функции Т т (W) на границах слоев.
Рассмотрим пример конкретного оператора М 1 . Для
простоты будем считать материал в каждой из двух облас
тей (рис. 40) идеально пластичным: Т 1 = k1; Т~ = k2• Пусть
103
1
1
----- -,------
!(,------
-
р
Рис. 40. Схема двухкомпонент
ной области
Рис. 41 , Исходная (1) и моди
фицированные (2-5) фунщии:
2-ьм=1; з-ьм=10; 4-ьм·=
= 20;5...Ьм =10•
х
М(Т)/k,
f,9
f/J
1,7
1,$
1,5
2
f,4-
f,'5
f,2
f,f
f,D
f
0,90 0,94 0,98
f,02 1,05
)(
D1 [О-<. х ~ х*], D2 [х* < х < оо J, тогда можно использовать
преобразование
М1 (Т) = 11 + лiic:xp[bм(l-x)JJ k1,
(3.91)
где С•., Ьм - коэффициенты модификации; х = :~ ; лf =
k2-k1
= --r;-
Значение коэффициента См можно определить из условия
М1 (Т) lx=I = k*.
Пусть k* = 0,5(k1 - k2), тогда См= 0,5. На рис. 41
приведены графики зависимости
м1 (Т) = 1 + о,5ехр[ЬмО-х)] Лk
(3.92)
1
для различных значений коэффициента Ьм при Лk = 1. Ка1<
следует из приведенных данных, по мере увеличения Ьм
непрерывная функция (3.92) практически совпадает с функ
цией
.I_ _{IприО<~<1;
k1-
2при1<х<со.
(3.93)
Практически в качестве операторов М1 можно использо
вать та1<же 6-фующию Дирака, единичную функцию Хеви
сайда и другие специальные функции [55, 56).
104
5. Алгоритмы обработки экспериментальных данных
Под экспериментом в широком смысле этого понятия подра
зумевают создание некоторого комплекса условий !2! , в ре
зультате которых могут наступать или не наступатьсобытия
из некоторого множества ~ [57]. Под экспериментальным ис
следованием некоторого явления можно понимать его изучение
непосредственно на реальном объеrпе или физической модели
(эмпирическое изучение) иJrи его изучение методами мате
матического моделирования (имитационные эксперименты).
В случае, когда комплекс условий !2! поддается регулировке
посредством параметра 6 так, что Ш = !2! (6), эксперимент назы
вают планируемым или активным, а параметр 6 Е 8 - планом
ЭI<сперимента (здесь 6о- некоторое множество условий). План
6о, отвечающий условию
s0= arginf3Ш,
(Ев
{3.94)
где 3 - некоторый показатель, характеризующий материаль
ные затраты на проведение эксперимента, называют оптималь
ным планом по отношению к 3 [57].
В случае, когда Ш не поддается регулировке либо
(3.95)
(3*- максимально допустимый уровень материальных затрат
на проведение эксперимента), возможен набор дискретных
статистик Ук = Ук(!2!к), отвечающий условиям пассивного
эксперимента (Ук- комплеко изучаемых, параметров откли
ка, соответствующий конкретному сочетанию Ш = !2!к),
Цель статистической обработки экспериментальных дан
ных - получение достоверной математической модеJш, иден
тифицирующей с заданной точностью изучаемый процесс .
Когда обработке подвергаются эмпирические данные, в ее
результате получают математическую модель типа ЭММ.
Когда для упрощения представления конечных результатов
расчета обрабатывают информацию, полученную в ходе реа
лизации сложной АММ на ЭВМ, можно говорить о создании
модели по модели; такие модели будем называть имитационно
аналитическими (ИАММ).
Преимущества и недостатки активного и пассивного экс
периментов при изучении процессов ОМД рассмотрены в гл. 1.
Рассмотрим некоторые из возможных вариантов обработки экс
периментальной информации в виде набора дискретных стати
стик YI,= Ук (mк) для получения математических моделей
в виде непрерывных связей У = У (l!i).
105
tlcxoiJ11ыe
rжсnерциенталы;ые
iJatfflhle
( x,,Xz,- -,Xп)i 'Yi.
/fai!op
!l/iа!ненш2
yzt7i,(Xt,X2,-.Xn)
/Jы5ор
ОП/ТI/IМОЛNoОЦ
ноiJелц
у~Wкоfх,,х2,..,хп)
!lmoчNe1r11e
/(OJf/Jf/JLil./Цf!Nmat
регрессrш
.ь,,ь2,ь, , .. .,1Jп
Dшиокц
аппрокс11мацuц
Окончателансtя
ноiJмь
Р ис. 42 . Блок-с хем а алгоритма обра
б отки случайных экспериментальных
да нных
Качество аппроксима-
ции данных пассивного экс
перимента зависит в основ
ном от выбора вида ап:~рок
с-имирующего - уравнения.
В литературе [58 , 59] при
водятся наиболее употреби
мые
аппроксимирующие
уравнения , выбор каждо го
из которых в качестве под
ходящего аргументируется
априорно по ·внешнему виду
распределения статистик в
анализируемом интервале.
Естественно, что получен
ные таким образом аппрок
симирующие уравнения за
частую не удовлетворяют
принятым критериям точ
ности модели . В работе [601
предложен алгоритм обра
ботки соiучайных эмпири
чески х данны х на ЭВМ (рис .
42) , в котором одновр емен
но осуществля ется апп рок
си м ация несколькими математическими моделями Ф1, и прои з
в одится выбор оптимальной (с точки зрения качества аппрокси
м ации по «наименьшим квадрата м») модели Фко («нулевая»
модель) . Полученную модель Фко уточняют , представляя
ошибку расчета по Фко в виде функции Ф 00 от определяю
щих параметров Х , которой дополняют первона ч ально полу
ченную модель Фко , В результате имеют окончатt=л ьную мо
дел ь У = Фко+ Ф0 0. Такой алгоритм эффективен для обра
ботки эмпирических данных , полученных при относительно
н ебольших интервалах варьиров а ния определяющи х пара
метров .
Развивая идеи, использованные при создании описанного
выше алгоритма, рассмотрим метод обработки эксперимен
тальных данных, блок-схема алгоритма которого приведена
н а рис 43 1 . Суть метода состоит в пошаговом услож r-!ении ап
проксимирующего уравнения и уточнении значений входящих
в него аппроксимирующих коэффициентов; при этом алго-
1 Алгоритм разработан М . 3. Володарским при участии Э. А . 1v\ак·
симовой и А. Г. Карпова под научным руководством Ю. Г. Гу
ляева.
i =i+t
!lачало
f UcxoiJщнe
iJанные
Ук=Ух ( Хiк)
2 !fуле8111е
прцолцженш1
A=f; f/J: • l/J:i
3 Аппроксимцрующая
!рУ/ll(ЦЦЯ
Qдni ( Ф";, tp; • фАпi)
n =n+f 4 Выч11слен11е
козtрq:шцuента адп;
5 Вычисление
не#пзки 2
В= (SI.Ani-y\
..._________, lfem
1/ет
Да
/F
=n
/2 . ОЛОI(
\
(1 преiJ/Jаршпелмо!L 1
-
-1 о§раоотхи ilaн11111x 1
~-= --= -= ---= -e::!.I
liaffop
lfJ!llf/(ц(,/й
'Р.,_п;=адпi <fпi
/(01tец
д Печать
резул11тато/J расчпа
7 Выпол1tм11е
критерия
peШeltiffl
Рис, 43, Ьдок-слема усuьч)шtнивовс1нноrо адrоринщ
ритм построен так, что на каждом шаге решения необходимо
определить лишь один аппроксимирующий коэффициент, это
предельно упрощает вычисления .
Алгоритм предлагаемого метода имеет следующую струк
туру. Экспериментальные данные о значениях исследуемой
характеристики (параметра отклика) !f некоторого объекта
исследования, сведенные в таблицу вида !f,< = !fк(х iк), где к =
= 1, 2, .. . , К - порядковый номер точки наблюдения; к
-
общее число точек наблюдения; х1 - фактор (определяющий
параметр) с порядковым номером i (i = 1, 2, ... , М), вводится
в блок 1. При этом возможна предварительная обработка экс
периментальных данных с целью определения их статистиче
ских характеристш< (дисперсия, среднеквадратичное отклоне
ние, проверка нормальности распределения и т. д.). Аппрок
симирующая функция М-мерной гиперповерхности отклика
для каждого п-го шага, i-го цикла, А-го этапа решения стро
ится в виде многочлена
(3. 96)
где G~ -1
-
сумма оптимальных (в смысле минимизации сум
мы квадратов невязки R. 2 = D) функций, значения аппрокси
мирующих коэффициентов a~ni которых были получены на
А-\ М
предыдущих А -1 этапах расчета, G~ - 1 = L L Фаi;
а=О i=l
Go
ф
"
о
А. 1-i -сумма оптимальных ункции, значения алпi кото-
рых были получены на предыдущих цикJ~ах i - 1-го этапа
1-1
расчета, G~ . 1 -t = L Ф~; ФАп1 -уточняющая для п- го шага
m=O
функция, Ф An ' = а лпiФn~• ф 11i - заранее заданная функuия
( брик-функuия) i -ro фактора, сведения о которой содержат
с я в отдельном блоке прuграммы; п - порядковый номер
брик-функции, характеризующий ее математическое описа
ние п = 1, 2, ... , N; N - общее число анализируемых брик
функций.
На каждом i-м цикле расчета последовательно по методу
наименьших квадратов определяют значения N аппроксими
рующих коэффициентов для N соответствующих брик-функций
и находят оптимальный вид уточняющей функции Ф~ 1 из
108
условия минимальности суммы квадратов невязки
к
D= L (у-,-G~-1 - G~ . .--1
-
Ф~;)~ = min .
K=I
(3.98)
п
о
о
ри этом Ф л1 не должна нарушать унимодальности Qл 1 ,
для чего в блоке 6 осуществляется проверка выполнения
условия: дQ~1/дх1 = О единожды в рассматриваемом интер
вале . Кри терии окончания расчета могут быть различными .
Например, можно использовать условие [61]
(3.99)
гдеs~ -
заданная средним квадратичным отклонением мера
точности аппроксимации.
Рассмотрим пример решен ия тестовой задачи с исполь
зованием предложенного метода. Пусть получены следующие
сочетания эмпирических значений Х1 к и Ук: х11 = О, у1 = 1;
X12= l, У2=З; Х1~=2, У:,=7; Х14 = 3; У4=13; Х1;=4;
у 5 = 21. Используем при аппроксимации следующий набор
брик-фующий: ·Фн = 1; 'Ф2,- = Xi'5; <р31 = х1; 'Ф4; = х~'5; ,jJ5;=
= Xi· Результаты расчета представ.r. ены в табл. 6.
Тот факт, что на каждом шаге расчета определяется лишь
один аппроксимирующий коэффициент, предопределяет высо
кую скорость решения задачи на ЭВМ, простоту формализа
ции решения, возможность использования весьма большого
числа различных брик-блоков (реально N = 500 и более)
и высокую точность аппроксимации. В приведенно~ примере
за А = 6 этапов решения достигается точность S 2 = 0,463
(время счета на ЭВМ ЕС-1033 _sоставляет t = 6 с). Для А =
= 61 соответственно получаем S2 = 0,024, t = 64 с.
Блочная структура программы реализации описанного ал
горитма предопределяет возможности его дальнейшего совер
шенствования. Так, например, был введен блок отсева опреде
ляющих параметров с малым возбуждением. Смысл отсева
состоит в следующем. После определения на данном А-м
этапе решения КОЭффИЦИеНТОВ a~ni И СООТВеТСТВующей ОПТИ·
g
•
мальной функции Qл аппроксимирующие коэффициенты, по-
лученные на предыдущих этапах расчета поочередно прирав
нивают нулю. Если при замене какого-либо коэффициента на
нуль точность аппроксимации не ухудшается ·по отношению
к точн ости на (А - 1) - м этапе, коэффициент в даль1;1ейших_ рас-
109
Т а б л и ц а 6. Пошаговые рез у ль таты аппроксимации
А11
1
п•1
о
\s• (r.1~ >
11
а Anl
о
2 А =GA+I
1
9,000
264,000
2
7;742
69,674
2,583х\· 5
13
4,667
15,667 4
0,624
4
2,583
1,558
5
1,367
7,260
-
-
1
0,205
1,348
2 -7,384 . 10-з
1,558
0 205 + 2583х1•5
2 3 -3,855 . 10-з
1,558 1
'
'
1
0,580
4
о
1,558
5
2•10-3
1,556
-
-
1
о
1,348
2 -0,133
1,170
0,205 - О, 133х~· 5 +
3 3 -0,072
1,191 2
+ 2,583х\· 5
0,54 1
4 -0,44 . 10-2
1,229
5 -1 ,52. 10-2
1,266
-
-
--
1
0,164
1,036
2
о
1,170
0,369 - 0,133х1 • 5 +
4 3 3,288. 10-з
1,170 l
+2583х1•5
0,509
4 5,489 . 10-з
1,167
'
1
5 5,677 - 10-з
1,160
-
-
-
1
о
1,036
2 -0,101
0,934
0,369- 0,234xf· 5 +
5 3 -5,138. 10-2
0,957 2
+ 2,583х\'5
0,483
4 -2,243 . 10-2
0,986
5 -8,702 . 10-з
-
1
0,124
0,857
2
о
0,934
0,493 - О,234х~• 5 +
6 3 5,937.10-з
0,933 1
+ 2,583х\· 5
0,463
4 7,869 . 10-з
0,927
5 6,774 - I0-3
0,917
четах считают равным нулю. Так для рассмотренного тестового
примера
Qg1 = 0,984 - О,004д' 5 + 1,01 lx1 + О,002х/· 5 + 0,994х~;
52 (Qi0) = 0,042;
~
·
2
~
О
S2 (0,984 + 1,01 lxl + 0,994х1) = 0,041 < 52 (Qsn) ,
что в соответствии с принципом отсева дает Q~I = 0,984 +
+ 1,01 lx1 + О,994х:,
ло
Рш:чет
построчных
iJиследсш1
параллельнь1х
опыто8
8ычислг1111е
0/JШOIO.f
опыта
Расчеш
оисперсии
• aile!f8om11ocmu 1--- ~, --z
lJ. /(/JUfТ/f!fJUЯ
111ишера
!fачало
Bti5op qюрмы
математичесlfоi1
моilели
lJ.
расчет
/fо:нрqшциенто8
р!!гресс1ш
Да
Расцет
iJucпepcuu
XOЗij]!jlUЦUl?HfТ/08
регрессии
'/1
моilми по крите;шю
Да
Аilек8шт7ttая ,_____
ноаель
/!ет
Лро8ерха
Jtючимостu Ь;
!tem
/(01tец
Рис. 44. Блок-схема алгоритма обработки результатов факторных
экспериментов
Использование блока отсева значительно сокращает чис
ло членов окончательной модели практически не снижая ее
точности.
Обр аботка экспериментальных данных, полученных в ходе
активных экспериментов, относительно просто поддается ал
горитмизации, принципы которой рассматривались в целом
ряде работ, например (62]. На рис . 44 приведена блок-схема
алгоритма, использованного для статистической обработки
результатов активных экспериментов (63).
Часть вторая
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВА НИЕ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ ОМД
Глава четвертая
ПРЕССОВАНИЕ
1. Общая АММ процесса
Широкое промышленное использование процессов прессовани я
в различных модификациях базируется на целом ряде физи
ческих особенностей и технологических преимуществ перед
другими способами ОМД, в частности, прокаткой.
1. При прессовании в очаге деформации преимущественно
имеет место схема напряжений всестороннего сжатия, наиболее
благоприятная с точки зрения повышения показателей дефор -
мируемости. Это обеспечивает высокую пластичность обра
батываемого металла, позволяет производить значительную
десрормацию низкопластичных материалов за один цикл об
работки и служит физической основой для формоизменения
заготовок, разрушающихся в ходе других процессов ОМД.
2. На прессовых установках можно получать изделия весь
ма сложной конфигурации, изготовление которых невозможно
прокаткой.
3. Пресс как технологическое оборудование весьма ги
бок, что позволяет осуществлять смену типоразмеров произ
водимых изделий в течение нескольких минут. Эта особенность
делает процесс экономически выгодным при производстве мало
тоннажных партий.
4. Прессованные изделия имеют весьма высокое качество
поверхности; их отличает однородность структуры и механи
ческих свойств по сечению и длине.
5. Изделия, полученные прессованием, характеризуются
высокой точностью геометрических размеров и их низкой дис
персией как по сечению, так и . по длине.
6. Материальные затраты на обслуживание и эксплуата
цию прессовых установок относительно невысоки.
112
Наряду с-положительными аспектами процесс прессования
имеет некоторые характерные недостатки, которые ограничи
вают область его применения; среди них основными являются
следующие: невысокая стойкость рабочего инструмента, обус
ловленная его работой в тяжелых условиях (высокие темпера
туры и значительные контактные напряжения); большие рас
ходные коэффициенты металла, значения которых в первую
очередь определяются относительно высоким уровнем конце
вой обрези. Устранение указанных недостатков возможно пу
тем выбора оптимальных технологических параметров прессо
вания, включая калибровку матриц.
Принципиально процесс прессования биметаллов характе-~
ризуется по сравнению с другими процессами ОМД теми же
преимуществами, что и процесс прессования монометаллов.
Схемы технологических процессов прессования биметаллов
и монометаллов практически аналогичны. Однако при
деформации биметалла имеются некоторые характерные
особенности, в силу которых возникают специфические проб
лемы и ограничения, отсутствующие при прессовании мономе
таллов труб. Из r;роблем, возникающих при прессовании биме
таллов, основными являются (64] продольная разнотолщин
ность и расслоение металлов на передних концах труб вслед
ствие преимущественного истечения одного из компонентов
биметаллической пары в начальной стадии прессования;
специфические требования к точности труб и связанные с ними
технологические проблемы и требования к точности заготовок,
обусловленные тем, что условия приемки продукции агава -
ривают не только допустимые пределы колебаний внешнего
диаметра и толщины стенки (внутреннего диаметра) относи
тельно их номинальных значений, но и параметры точности
по толщине плакирующего слоя (граничному диаметру);
проблемы, связанные со взаимодействием компонентов биме
таллической пары (особенно при температурах горячей де
формации), а также с устранением последствий указанного
взаимодействия и его предотвращением.
Оптимизация процесса прессования, в том числе прес
сования биметаллических изделий, может базироваться на
следующих группах научно-технических разработок: выбор
оптимальных температурных, деформационных и скоростных
параметров процесса; оптимальных геометрических парамет
ров деформирующего инструмента; оптимальных параметров
геометрических размеров заготовки; оптимальных размеров
концевой обрези; подбор смазок с наиболее благоприятным
сочетанием свойств; совершенствование конструкций прессов.
Основными критериями оптимизации процесса являются
минимизация энергосиловых параметров процесса деформации;
113
повышение разовых деформаций и, как следствие, произво
дителыюсти; точность геометрических размеров труб; миними
зация концевой обрези; прочное и качественное соединение
слоев биметаллической пары, отсутствие разрушений в слоях
(при деформации биметаллов).
Практически решение комплексной задачи оптимизации
осуществляется экспериментальными методами исследования,
разработкой аналитических математических моделей и стати
стическим изучением параметров процесса. Ниже приведены
материалы исследований в рамках двух последних из указан
ных м етодов.
Теоретическому изучению процесса прессования посвя
щено множество научных работ. Проанализируем некоторые
из тех математических моделей, в которых проводится сов
местный анализ напряженного и деформированного состо
яния при прессовании цилиндрических изделий (прутков и
труб).
В работах [65, 67] принято допущение, согласно Jioтor O\IY
в очаге деформации соблюдается плоское осевое течение.
Такое допущение явно искажает истинную картину, так как
при прессовании имеет место значительный перепад в скорости
осевого течения металла между точками, контактирующими
с деформирующим инструментом, и точками, находящимися
в объеме (центральных слоях) заготовки [65, 68, 69] . В ра
ботах [65, 66, 70] используется гипотеза полной пластич
ности (гипотеза Г. Генки) в интерпретации ег= е0 [65, 66]
и е,= е0 [70], что является явным упрощающим допуще
нием [71].
Особо следует отметить, что ни в одной из известных на м
работ в качестве граничных условий не ставится условие не
обходимости соответствия полученных расчетным путем кон~
тактных напряжений сдвига и напряжений внешнего контакт
ного трения, заданных через показатели или коэффициент
трения.
Описанные выше допущения приводят не только к количест
венному, но и качественному отличию расчетных и реальных
параметров. Так, например, в работах [65, 66] расчетная кар
тина течения такова, что отношение радиальной и осевой
составляющих скорости течения на контакте с матрицей всег
да равно единице (v,!v,= 1). Это означает, что при
угле конусности матрицы ам, меньшем 45°, металл отходит
от поверхности матрицы, а при ам > 45° -
вдавливается
в матрицу. В [70] расчетное поле осевых скоrостей таково ,
что в центре прутка металл в направлении прессования дви -
жется медленнее, чем на контактной поверхности; это явно
противоречит как ,закону наименьшего сопротивления, так
114
и общеизвестным э1,спери
ментальным данным . В (72]
расчетное поле скоростей
таково, что радиальная со
ставляющая v, скорости те
чения на стенке контейнера
не равна нулю , т. е . металл
отрывается от стенки кон
тейнера.
Наиболее полно в обще
теоретическом плане задача
о прессовании решена в ра
ботах [4, 69], однако при
анализе конкретных прак-
•тических
задач возникает
целый ряд математических
трудностей, обусловленных
физическими особенностя
ми реальных процессов.
Поэтому до настоящего
времени в литературе отсут
ствуют однозначные обоб
щающие рекомендации по
z
R~
-•!
V,
~
-
--r-----t-!.,
.
v"----л
RI v/1
-•
Рис. 45. Схема процесса прессования
выбору оптимальных технологических параметров процесса ;
В следующих ниже выкладках сделана попытка получить
математическую модель процесса прессования цилиндрических
прутков и труб, которая наиболее полно соответствует физи
ческим граничным условиям процесса. Основной целью пред
,ТJаrаемой разработки является получениё обобщающих прак
тических рекомендаций по выбору оптимальных параметров
прессования . При разработке математической модели нами
использован значительный опыт, накопленный в рез ультате
анализа процессов пластического формоизменения целым рядом
исследователей [4, 6, 8, 10, 31, 32, 68].
Разработка физической модели, граничные условия . Прини
маем следующую физическую модель прессования цилиндри
ческих труб (рис . 45), частным случаем которой является мо
дель прессования цилиндрических прутков. Под дейстsием
nрессштемпеля, движущегося со скоростью Vш, за гото вка
выпрессовывается из контейнера через отверстие , внеш н яя об
разующая которого ограничена матрицей переменного по вы-
соте (ось Z) радиуса R, а внутренняя - оправкой постоянного
по высоте радиуса Ran (при прессовании прутка Ran = О) .
Задний торец заготовки движется со скоростью v0 = Vш , В объ
еме выше плоскости DC материал заготовки на х одится в
упруго-деформированном состоянии, деформации м алы по
115
сравнению с деформациями в зоне пластического формоизме
нения, и можно принять, что
дvz=дvг =дvг+дvz=о
дz
дr
дz
дr
•
(4. 1)
В объеме, ограниченном плоскостями CD, EG и контуром
инструмента, происходит пластическое формоизменение за
готовки. При этом плоскости СА (контейнер) и BG (калибру
ющий по ясок матрицы) параллельны оси прессования Z. На
участке АВ (матрица) происходит обжатие заготовки; профиль
у ча стка АВ может быть произвольно задан функцией R =
= R(z).
Из сказанного следует, что условие раздела зон пластичес
кого формоизменения и упругого сжатия принято в виде
плоских поверхностей. Экспериментальные [65, 66, 69, 73]
и теоретические [69] исследования показали, что зона раздела
в контейнере расположена между поверхностями , ограничен
ными плоскостью CD и -сферической поверхностью радиуса
ОС, а зона раздела на выходе расположена ниже конического
участка матрицы. В общем случае, конечно, имеет место усло
вие связи Lж= Lж(r), lж= lж(r) (здесь Lж, lж- расстояния ДО
поверхностей раздела соответственно жесткой и пластической
областей и контейнере и на выходе) , однако допущение о по
стоянстве величин Lж и lж по радиусу, на наш взгляд, вполне
допустимо как близкое к истине. Аналогичное допущение
с успехом использовали другие исследователи [65, 73] .
Принятая физическая модель накладывает в виде гранич •
н ых условий следующие ограничения на АММ процесса прес
с овани я.
1. В соответствии с положениями теории разрывных полей
механики сплошной среды осевая скорость течения и дефор -
мации не должны иметь разрывов [26, 71]. Следовательно,
в пл оскостях CD и EG должно выполняться условие
VzlcD=Vo;
tlz /Еа = V1;
(д:iz = ~~z)ICD = О.
EG0
(4.2а)
(4 .26)
(4 .2в)
Принимаем также условие отсутствия разрыва скоростей
р адиал ьн ого течения Vг на границах области пластическо го
течения и внешних недеформируемых зон
tl1=V1=дvг1=~,
=0.
гCD
,г EG
дr CD
дг EG
(4.3)
116
В соответствии с (4 . 2а-в), (4.3) на границах зоны пластичес
кого тече ния отсутствуют линейные скорости деформаци й
ек и интенсивность скоростей сдвиговых деформаций опреде
.rсяетс я зна чением компоненты 'Y ,z = дv,lдz тензора скоросте й
деформаци й
Hr_ ·г -(дu,)r
_
-
'?rz -
az
(4.4)
(индекс «Г)) ука зывает на принадлежность элемента к гра н и -
цам очага деформации плоскостям CD и EG) .
2, На контакте с рабочим инструме нтом металл скользи т
по поверхн остям оправки, матрицы и контейнера; математи
ческая за пись этого физического ограничения имеет вид
(4.5)
где R 1 (z)- текущее значение радиусов оправки, контейнера ,
матрицы.
3. Кинематические параметры течения связаны с гранично
заданной скоростью прессования Vш условием постоянства
се~<ундны х объемов
R
Vш(R~ -
R~п)= 2 IV2Гdr.
(4.6)
Ron
Введе ние усльвия (4.6) позволяет анализировать процесс
пр и больших дефор мациях с гарантированным выполнением
условия несжимаемости .
4. При прессовании прутков, в соответствии с условиями
римметрии, на оси Z отсутствуют сдвиговые деформации [74]
'Vri lr=O = О,
а также соблюдаетс я условие [71)
(<J, -
<Je) r=O = Q.
(4 .7)
(4. 8)
Учит ывая , что напряжения и скорости деформации свя
заны соотношением (2 .9) , из (4 .7), (4.8) получаем
•rz lr=o= О;
(е,- ее)r=O = О,
а из (4.4)-
(4.9)
(4.10)
(4 .11)
rде о~ - гидростатическое напряжение на границах зоны
пластическ ого течения .
117
5. На выходе из очага деформации (плоскость EG) гидро
статическое напряжение равно напряжению от внешнего воз
действия О"вн и постоянно по радиусу~ при отсутствии проти,
водавления или натяжения о-0 \ = О"вн = О.
EG
Приближающие фуюсции кинематических параметров.
Принимаем функцию распределения осеных скоростей течения
в зоне пластической деформации в виде
(4. I2)
-
Vz
R-
R-
Z
-
r
~ Rоп
rдеv,=~; =Ro;z=R;;;r=Ro;11,=R°;;Щ-по-
стоянные коэффициенты, j = п = М; А = А (z) - функuия,
обеспечивающая тождественное выполнение условия (4.6).
Подставляя (4 . 12) в (4.6), после соответствующих преоб
разований получаем
A=[(a1-z)(z-a~)Г2- (R2+/2>аз _(R6~1,в)а4. (4.13)
з(R2- л2)
С учетом (4.13) уравнение (4. 12) принимает вид
vz=R~=
~2 {1+[(r2 - R2!л2)аз+
(-4 R.4+R2л2+1,4) ] < -)2(- )2\
+r-
3
.
а4а1-z
z- а"J.(4.14)
Из (4.14) определим кинематические параметры рассмат•
риваемого осесимметри.<1ного течения
(4 . 15а)
(4.156)
(4.15в)
(4.15г}
(4.15д)
Уравнения (4.14), (4.15 а-д) тождественно удовлетворяют
всем кин ем атическим граничным условиям, рассмотренным
118
выше. При этом по своему физическому смыслу коэффициен
ты а1 , а2 отвечают условию
где L, l - симплексы осевых координат Lж и lж положения
-
Lж- 1ж
плоскост е й CD и EG соответственно, L = Ro ; l = Ro.
Постоянные коэффициенты щ = ап, j = 1 + 4, входящие в
уравнения (4.14). (4.15), определяли из условия совпадения
расчетных и гранично заданных показателей трения fтп в че
тырех точr<ах контактной поверхности. Сформулированное усло
вие приводит к системе уравнений
{~ [2 (er
-
е,)sin а; cosа; +Угz(cos2 а; -
•2')]}
•
f*
-
SlП IX;
r=R*. z=z* = тп;
п
п
(4.16)
где п = 1 + 4 - индекс соответствующий следующим усло
виям: п = 1 на контакте металла с матрицей в начале матрич
ной воронки; п = 2 на контакте металла с матрицей в кон
це матричной воронки; п = 3 на контакте- металла с оправкой
в середине матричной воронки; п = 4 на контакте металла
с поверхностью контейнера при z!= 0,5 (Lж + h0 ) (см. рис. 45).
Таким образом, кинематические параметры V;, е;,< опреде
лены из условия выполнения заданных граничных условий .
Дин,алщческuе параметры процесса . аiк, а0 определим из
условия соблюдения дифференциальных уравнений движения
в зоне п.11астического формоизменения.
З ададим приближающее уравнение для средних гидроста
тических напряжений в виде, удовлетворяющем сформули
рованным граничным условиям и условию симметрии относи
тельно оси Z
(4.17)
Значения постоянных коэффициентов а j(j = т = 5 + 7)
определяли модифицированным методом наименьших квад
ратов, суть которого изложена в гл. 3. Интенсивность сдви
говых напряжений определяли в соответствии с зависимостью
(2.28). Вследствие того, что коэффициенты а11 были определены
ранее, система уравнений для поиска коэффициентов ат оста
валась линейной относительно искомых коэффициентов неза
висимо от вида связи (2.28).
119
Величину Л, входящую в (2.28), определяли решени ем от~
дельной системы уравнений
z
)
r(z)=s
;, (r, z)
dz + r:\;
l
Vz (r, z)
Iж
z
Л= Ro s!l(~.
~ dz;
1
Vo_
Vz (r, z)
1
Lж
)
(4. 18а)
(4 . 186}
где р0- симплекс радиальной координаты, соответствующей
линии тока на входе в область пластического течения.
_
При решении системы (4.18а,б) относительно неизвестных
r, Л использовали метод разложения в ряд, что значи тел ь н о
упрощает вычисления [75}.
Деформационный разогрев металла учитывали зависимо
стью
(4. 19)
где kт = 0,9; ~ - порядковый номер цикла расчета ; 0l --
гранично заданная температура нагрева заготовки.
Интегрирование в (4.19) осуществляется вдоль лини и ток а
r = r (z), вследствие чего (4.19) решается в системе а (4.18 а).
В первом цикле расчета принимали 013 = е;. Условие прекра•
щения итерационного процесса имеет вид
(4.20)
где Л~' - гранично заданная величина.
Результаты реализации АММ, построение ИАММ про
цесса. При реализации АММ в уравнении (2.28) использовал и
значения констант Ьк из работы [16] и значенпя опытных 1,он
стант ь;0 полученные при аппроксимации графиков А. А. Дин
ника [76] зависимостью
(4.21)
где ё1, 1:.1
-
соответственно скорость и степень деформа ции
при одноосном растяжении.
Учитывая, что (4.21) аппроксимирует результаты ис пыта
ний при одноосном , растяжении, коэффициенты Ь~ и Ьк свя-
120
Ь' (Ь'+О5Ь')
заны зависимоGтью Ь1 = 2- •3 -
'
•,Ь~;
Ь,,(к=2+4)=
=ь~ (к=2+4).
При а нализ е пр оцессов прессования полиметаллов функ
цию Т (r, z) из р азры в ной модифицировали в непрерывную
по методике, изложе нной в гл. 3. Вероятность разрушения
прогнози ровали по зав исимости (2.73) , в которо й и спользо
вали закон [35 ]
(4. 22)
rде С1, С~ - опытные константы.
Учит ы вая, что С1 , С2 в (4.22) определялись · при прессо
вании, т. е. в усл о ви ях, аналогичных анализируемому про
цессу, в соответствии с соображениями , изложенными в § 3
гл . 2, принимали условие деформации без разрушения , вы-
л
текающее из (2.73) при Ф0 = 1 и имеющее вид 1р = -\< 1.
1р
Анализ разработанной АММ процесса прессования моно
и пол иметаллическ и х цилиндрических труб и прутков осу
ществляли в два этапа . В ходе первого диалога с ЭВМ рас
считы вали поля и; , составляющие тензоров скоростей дефор
мации е;к, напряжени й U;к и температур 8, а также поля ~ J
и Л для произвольно заданных профилей _матрицы. Характе
ристику профиля матрицы вводили в блок ис ходных данных
в ыражением
(4 .23)
-
h
h-
о•
о-Ru'
а:у - у словный у гол конусности матрицы ,
r:xy =
R0R1
= arctg h I ср 1 ,<р2 - коэффи циенты , обеспечивающие со-
о- 11
блюдение граничного условия z= hi, R =R1; z =!10, R =R0
-
h
(см. рис. 45), h1 = Ro ;ср3, ср4, Ь, с, d- произвольные коэф-
фи циен т ы , характеризующие профиль матрицы.
Н а рис. 46 в качестве иллюстрации приведена типичная
ка ртина распределения u,(r, z) для следующих исх одных пара
метров расчета: заготовка биметаллическая, внутренний слой -
сталь 1 5Х18Н12С4Т10, наружный слой - малоугл еродистая
сталь ст. 3; температура предварительного нагрева заготовки
I 150 °С; вытяжка μЕ = 9,33; Л = 0,4; R.1= 0,5; полуугол
конусности матрицы (матрица - коническая, q, 2 = ср 3 = q, 4 =
= О), а,.. = ау= 1, 134 рад. (65°); скорость прессования Vш =
121
30
о
-;;о
Рис. 46. Изобары напряжений cr2
= 0,6 м/сек; показатели трения f;1 = О .5; f~ = 0,5; f.f3 =
= 0,4; f/i, = 0,6.
Обобщение результатов расчета позволило сделать следую
щие выводы. Полученные картины распределения исследуе
мых параметров по очагу деформации качественно соответству
ют имеющимся теоретическим и э1,спериментальным данным .
Анализ результатов расчета показал, что во всех случаях,
при прочих равных условиях, минимальные значения усилий ·
прессования и ресурсов использования пластичности наблю
даются в тех случаях, когда профиль матрицы обеспечивает
отсутствие разрыва полей еiк и а;" в плоскостях А' А, В'В.
Из соответствующих уравнений следует, что это возможно ,
если R (z) удовлетворяет условию (см. рис. 45)
(4.24)
Также установлено, что при реальных значениях величин
С1 , С2 , входящих в рассматриваемую математическую модель,
точки с максимальными значениями показателя использова
ния ресурса пластичности 'lj)max и сдвиговы х деформаuий лm,•.х
совпадают. При этЬм показатель Кж в данной точке 6Jшзок
122
1{ величине сrвн/Твн, где Твн - сдвиговое напряжение текуче
сти материала на выходе из очага деформации.
В х оде второго диалога G ЭВМ анализировали влияние про
филя матрицы на полное усилие прессования и величину 'Фmах
лишь для матриц, удовлетворяющих (4.24) как необходимому
условию оптимума. Профиль матрицы задавали уравнением
(4. 23), в котором коэффициенты ср 3 , ср 4 , удовлетворяющие
требованию (4.24), определяли из соотношений
rде
,н = с (7i~-1 ~ h~~1) (ьli;-1 -
,if-1) -
-
ь (h~-1
-
Jif-1) (ch~-1
-
h~- 1);
N= Ь(lit-1
-
h~-
1) (dhg- 1
-
hf-1) -
-
d 'hd-1
-
7? - 1) <ьl~ь-1 - т/-1)
,
О
1
О
1
•
(4.25а)
(4 .256)
С целью определения оптимальных параметров процесса
полученные расчетные данные использовали для создания
ИАМ/111 с помощью алгоритма, представленного на рис. 43.
в результате получены уравнения
пер= - {1, 1s + 0,021 [О,89(1 - o,44R1) ь2 +
+ 0,51 (l ,66 -R1) с2 + 1,25 (1 -9,бlF\) d2 -
-
(2,2Ь + 2,5с + 4,9d) + 6,5. 10-за;- 2 +
+1,5(t1+f;з+f;4)J+[О,5ау- (0,25+f'; +/;3л+
+ /{4) ] ау} С3 ехр [0,55 + 0,25 (!; + /;3 + {:;1)] ln ~LE; (4.26)
лmах = {2,28 + О, 1 [at- 1,5 и:злR;:- 1 -0,9t:) х
х (1 + О,75а.~)1· 5 + 10-\х;- 2 + о,вt:+ /~злR;:-1 + f;4] +
+ 0,032 [1,29 (1 - 0,41~'i) Ь2 + 1,25 (1 - 0,63.Ri) с2 +
+ 1, 9(1 - О,55~) d2 - (3,ЗЬ + 3,9с + 7,ld)]}C4 ln р~, (4.27)
где пер - средний коэффициент подпора на прессштемпеле,
.
р
пер=22
; Р - полное уситrе на гшессштемпель:
л(R0 -r0)k*
'
lг* - гра нично заданный предел текучести деформируемого
материала (при прессовании биметаллов - средняя величина) ;
С3 , С4 - константы, зависящие от эмпирических коэффициен
тов Ьн в уравнении (2.28); /; = 0,5 (f:1 + t:2) .
123
!i,=57.S
R2 =84,7
RJ= 71,5
1
R4 =51,5"
-•
1 R,=55,4
-8
1
i R6=45,/J
-
1 R7 =36,g
1n
R~ <= 31,0
,-..~
,,.,
..,
,- ..-
'<1
R9= 29,0
Рис, 47. Расчетный профиль матрицы
После соответствующего анализа уравнений (4.26) , (4.27)
для конкретных условий прессования можно получить функ
цию, описывающую профиль матричной воронки, обеспечива
ющий одновременное снижение энергосиловых параметров
и вероятности разрушения деформируемой заготовки. Так,
например, анализ ИАММ показал, что для случая прессования
биметаллических труб (диаметр трубы 57 мм, толщина стенки
7 мм) типа нержавеющая сталь - углеродистая стал ь опти
мальным является криволинейный проф1ть матричной ворон
ки (рис. 47), описываемый функцией
R = Ro(20,96909489z - 69,32673997z 1, 42 S +
+ 75,66135898z1 <882 - 26,3Q37]380zO,H?),
(4.28)
Полученная зависимость близка к зависимости, определя
емой по основанной на принципе минимума полной мощно
сти по методике, предложенной в работе [77].
Матрицы, профиль которых рассчитан по разработа нной
АММ, использоващ,r для производства промышленных партий
124
труб. Усилие прессования по сравнению с использованием ко
нических матриu традиционного профиля снизилось на 7 -·
15 %, предел прочности готовых труб повысился на 5-7 %,
критическая (по условиям разрушения) вытяжка увеличи •
лась на 3-6 %, концевая обрезь снизилась на 5-15 %.
2. АММ формирования концевой продольной
разностешюст:и при прессовании
биметаллических труб
Постановка задачи. Цель аналитичесl{ОГО изучения процес •
са - определение деформационных параметров, поэтому рас
сматриваем l{ОНечные перемещения {} и ro (соответственн-о
вдоль Qсей х и z) и соответствующие им составляющие тензора
деформаций Те= [e 1,J. При заполнении очага деформации
объем Vn материала заготовки, находящегося в состоянии плас
тичесl{ОГО формоизменения (as:;;,,. af или, что то же самое,
Т :;;,,. k*), изменяется и зависит от перемещения прессштем •
пеля ЛSш, т. е. Vп=Vп(ЛSш), Считаем, что объем Vn ограничен
верхней кромкой матричной воронки - плоскость / - 1
(рис. 48)- и передней кромкой заготовки в матрице. Данный
объем запишем в виде
(4.29)
где Fш- площадь поперечного сечения прессштемпеля.
Рассмотрим граничные условия процесса, определяемые
спецификой способа формоизменения (расположение системы
координат и обозначения на рис. 48):
1) х = Ran, ,в,= О - граничное условие означает, что ме
талл не может отрываться от оправки в ходе деформа ции ;
2)Х=Rко, Z=Нм,ft/ro =
3
= tg !'Хм - граничное условие оз
н ачает, что точка А (кромка за
готовки) может скользить только
по поверхности матриuы;
3)z=Нм,
Rко-х+ tJ,
-- -- -:;;,,.
w
> tg схм - граничное условие оз
начает, что в любом случае мак
симальная осевая деформаuия пе
редней кромки заготовки не мо
жет превышать той, при которой
кромl{а соприкоснется с матри
цей
Наличие граничного условия
3 значительно усложняет выбор
J
Рис . 48. Схема начальной ста
дии процесса:
1 - контейнер; 2
-
оправ1<а;
прессштемnмь: 4 - заготовка
125
с:
--
подходящей
приближающей
функции для перемещений; для
упрощения остановки задачи при
нимаем модель процесса прессо
вания, использованную В. С .
Смирновым при расчёте энерrо
силовых параметров процесса
[25]. Упрощение заключается в
замене конусной матрицы пря
мым отверстием (матрицей с уг
лом конусности ам= 90°). Такое
упрощение следует считать до
пустимым, так как в реальных
процессах прессования исполь
зуются матрицы с весьма значи
тельным углом конусности (ам =
= 65 + 75°). В принятой схеме
Рис, 49. Упрощенная схема
чальной С'Fdд;ш процесса.
Обоэначення те же, что и на рио. 48
на- (рис. 49) задача значительно уп
рощается, и ее исходные положе
ни я формулируются следующим
образом: угол конусности матри -
цы р а вен 90°; в процессе распрессовки заготовки (при за
полнении зазоров между заготовкой и оправкой, заготов
кой и контейнером) выдавливание в очко матрицы не проис
ходит ( па рис. 49 изображен момент ироцесса, соответствующий
началу выдавливания материала заготовки в очко матрицы);
объем металла, находящегося в состоянии пластического формо
изменен и я, равен тому объему, который находится в состоя
нии п лэ стического формоизменения в реальном процессе (ам<
< 90°). Этим связываются параметры рассматриваемой упро
щенной модели и реального процесса.
Объем металла, находящегося в состоянии пластического
формои зменения, при заполнении матричной воронки может
быть определен для реального процесса (см. рис. 48):
Vп = i лНФ (R;, ер - Rт. ер•'<ка + R~o) - лR~пНсi,; (4.30)
для уп рощенной модели (рис. 49):
Vп=Л(R~o - R~п)Нф,
(4.31)
rд~ Н(р, Н Ф - высота зоны формоизменения в реальном и
расо, атриваемом процессах; Rт. ер - средний радиус нижней
к~:;омки трубы в реальном процессе.
Из (4.30) и (4.31) следует, что во время реального заполне
ю1я матричной воронrш металлом в упрощенной модели высота
126
зоны деформации переменна и определяется как НФ= ~Sш.
Начиная с момента полного заполнения матричной воронки
металлом в реальном процессе для упрощенной модели вели
чина НФ также стабилизируется на постоянном уровне Ну .
определяемом из соотношения
где Нм- высота матрицы в реальном процессе, Нм= (Rко -
-
R.,) ctgaм.
Граничные услови'l, в11бор приближающих функций . Для
упрощенной модели процесса справедливы следующие гра
ничные условия, которым должны удовлетворять приближа
ющие функции · перемещений:
1) х = R 0п; {}=О - так же как и в реальном процессе,
2) х = Rк0 ; {}=О- граничное условие указывает на то,
что в контейнере не могут образовываться пустоты;
3)
Rт
R~R \ roz=odx= ЛSшμl:
w
оп ,,,
(4.33}
Rоп
при Rоп < х ~ R,,; z = О граничное условие соответствует
условию неснижаемости и указывает на то, что уменьшение ра
бочего объема контейнера равно объему выпрессованноrо ме
талла; величина в левой части выражения (4.33) представляет
собой среднее осевое перемещение металла · на выходе из оча
га деформации;
4) z= О; Rт<х~Rк0; ro = О - условие соответствует
отсутствию деформаций (упругих и пт1стических) матрицы
в осевом направлении;
5)х=Rт;z=О; rox-dx= rox+dx-
граничное условие пре
дусматривает равенство перемещений в точке [Rт ; О] при
их · определении справа и слева от данной точки, что в ко
нечном счете соответствует неразрывности линий тока ме
талла (для объемов металла, находящихся вне зоны дефор
мации, вводятся граничные условия, которые позволяют
анализировать картину формоизменения в целом);
6)z<О- dz;Rоп<х<Rт;{}=О;ro=ЛSwμt;
7) z:;;,,. нф+ЛSшt+dz; Rоп<х<Rко; {}=О; ro= ЛSш.
где ЛSшi - перемещение прессштемпеля, принятое для i -ro
цикла расчета.
Граничные условия 6 и 7 соответствуют условию отсутствия
деформаций вне объема V .
127
Подходящую функпию для радиальных перемещений
представим в виде
{} = (--/--
-
1)(г- 1)(а1х+a2z),
(4.34)
оп
ко
где а 1 , а 2- независимые произвольные варьируемые пара мет
ры, зн ачения которых должны удовлетворять условию мини
мума работы формоизменения.
Такой подход к выбору подходящей функции обусловJ1ен
экспер име нтально установленным фактом , согласно которому
при близких значениях k1 и · k2 (k1/k 2= o,q + 1,1) на грани
це слоев не наблюдается разрывов линий тока («срезовоrо»
искажения координатной сетки).
Из (4.34) определя е м радиальную деформацию
е - а 1~-~-~+ 1)+а (~-~--
1-)z
х-
1 t,Ro nR,ш Ron Rко
2 _RonRкo
Rоп Rко •
В рассматриваемой задаче прин11маем гипотезу полной
1
плаати чности в интерпретации ех = е0 =
-
2 е2• Из (4.36)
~ледует
Интегрируя е, (х, z) по dz, получаем значения осевых
перемещен ий
w- _'}z[а(зх2 --~
-
2х+1)+
-
-
1 RonR,ю
Rоп Rко
+аl1 2х
_1___1_)!..]+f(x)
2 Ro11R1<0
Rоп Rко 2
•
Веш1чи на произвольной функции f (х) в последнем выраже
ю1и определяется по разному для участков Rт< х.,;;;. Rк 0;
Rоп .,;;;. х ~ Rт в соответствии с граничными условиями 3-5.
ДляучасткаRт<х~Rко;z=О; ro=О, что послепод
становки в выражение ffi (х, z) позволяет определить f (х)
какf(х)=О.
Для участка -'<оп~ х ~ Rт; z = О в соответствии с гра
ничн ы м и условиями 3 и 5 должны соблюдаться одновре
менно равенства
R"
')
Jf(х)dx =
ЛSш (R~0 - R~n)
(4.35а)
Rт+ Ron
Ron
f'(Rт) = О.
(4.356)
i28
Принимаем параболическую зависимость осевых переме
щений от координаты х в виде
f(х)= (j)rRon~х~Rт; z=01=(;: - 1)~3Х' (4.36)
где ffз - безразмерный коэффициент, обеспечивающий соблю
дение граничного условия 3 .
Исходя из смысла коэффициента /33 , определим его ве
личину, подставив (4.36) в (4.35а)
Rw
А J(~- l) d = ЛS (R~0-R~п)
1-'з
2
хх
R+R
RRT
топ
оп-
(4.37)
Интегрируя и решая (4.37) относнтельно ]33 , после пре
образованнй окончательно получаем
j3_
2 (R~0 - R~п) ЛS111
3
-
2lR~n (
R;n )
,j
R<r-2-1-
--
2 - 0,:) (Rт+Ron)
R"
2Rт
(4.38)
Общее решение. В соответствии о энергетическими методами
решения задач о пластическом формоизменении о примене
нием прямого метода Релея-Ритца решение поставленной
нами задачи сводится к решению системы двух уравнений от
носительно неизвестных а 1 , а 2
{~~а=О, j= 1,2,
(4.39)
1
где Аа - работа активных сил, затраченная на формоизме
нение.
Величина Аа _складывается из работы деформации и ра
боты по преодолению сил внешнего трения
2
Аа=}.: {ИikпГпdw+И Ф[fтп; kп; v(Sп); ffi(Sп)JdS},
n=1
Dn
Sn
(4.40)
где п - порядковый номер слоя биметаллической заготовки;
Dn - объем материала соответствующего слоя, находяще
гося в состоянии пластического течения; Sn - поверхность
контакта соответствующего слоя с инструментом; Гп - ин-
тенсивность сдвиговых деформаций, Гп = VЗе~ + у;,; '\'xz-
д-!J, дw -
"
сдвиговая деформация, '\'xz = дz + дх; fтп - усреднеНI-iЫИ
показатель трения на контакте соответствующего слоя и
инструмента.
5 6-108
129
Значения всех величин, входящих в (4.40), определены
ранее, поэтому дальнейшее решение задачи сводится к поиску
величин ai из системы уравнений (4.39); эти уравнения в раз
вернутом виде весьма громоздки, поэтому ограничимся
в дальнейшем общими уравнениями . Развернутая форма за
писи соответствующих выражений приведена в работе [78] .
В основу принципа реализации разработанной АММ за
ложены следующие соображения общего характера.
1. Разработанная моде,'IЬ не учитывает возможности разрыва
линий тока на границе слоев составной заготовки. Функции,
описывающие течение металла в областях с разJ1ичными пока
зателями пластических свойств, одинаковы по математической
структуре, а влияние различия в величинах k1 и k 2 на характер
формоизменения учитывается посредством усредненных по
объему коэффициентов а 1 и а 2 • Поэтому разработанная модель
может быть использована при анализе прессования биметал
лических заготовок с относительно близкими пластическими
характеристиками. Поскольку модель используется для ана
лиза процесса прессования биметалла, у котщюго свойства
слоев близки (сталь-сталь), принятые допущения следует
признать справедливыми.
2. Разработанная модель базируется на уравнениях не
разрывности, потому она справедлива для малых деформаций .
Для анализа больших деформаций, имеющих место в реаль
ном (рассматриваемом нами) процессе, необходимо разбивать
суммарную деформацию на ряд частных, а общие перемещения
(деформации) находить пользуясь правилом аддитивности,
суммируя частные перемещения (деформации).
3. При реализации разработанной математической модели
анализировали характер перемещений при небольших част
ных перемещениях прессштемпе.ля ЛSшi (в расчете конкретно
принимали ЛSшi = О,25Н у). Суммарные перемещения при
т
общем перемещен ни прессштемпеля ЛSш = ~ ЛS шi (т -
i=J
число последовательных циклов расчета) определяются как
т
т
{t= ~{}i; ffi = ~ roi• При этом расчет величин ,&, и ffi1 ocy-
i=l
i=I
ществляется в соответствии с условиями
(4.41 б)
130
Условия (4.41) означают,
что при анализе постепенного
перемещения данной конкрет
ной точки по очагу деформации
учитывается изменение ее ко
ординат по мере возрастания
числа циклов расчета.
На рис. 50 приведена ти
пичная расчетная зависимость
положения точки раздела сло
ев прессуемого биметалла в се
чении выхода (z = О) от числа
циклов расчета т; на рисунке
положение точки раздела ха
рактеризуется безразмерным
параметром
-
Rт- Ron
tт=R _R
, (4.42)
тр
оп
Рис. 50. Зависимость характерис
тики положения точки раздела
слоев от порядкового номера цик
ла расчета :
1 - запмнение матричной воронки; 2 -
неустановившаяся стадия; 3 - устан о . ..
вившаяся стадия
где Rтр - разде.11ительный радиус на трубе.
Анализ результатов расчета показал, что в ходе увеличения
числа циклов деформации точка раздела перемещается в сто
рону иглы, причем ее положение стабищ1зируется. Стабили
зация положения точки раздела слоев происходит на уровне,
обеспечивающем соблюдение соотношения
Rт- Ron
Rко - Rоп
Rтр- Rоп~ RР- Rоп
•
(4.43)
Результат теоретического анализа позволяет констатировать,
что соотношения толщин слоев на заготовке и трубе приблизи
тельно одинаковы. Суммарная величина ЛSш. с, соответствую
щая стабилизации значений lт , определяет величину хода
прессштемпеля до начала установившегося процесса и величи -
ну концевой обрези L06p = ЛSш.с μв. Вывод о приблизительном
равенстве соотношений толщин слоев на заготовке и трубе поз
воляет организовать упрощенное решение задачи с целью
получения в конечном виде аналитической зависимости для
определения величины концевой обрези.
Вывод упроще.нной формулы для определения концевой об
рези. В основу вывода положено полученное при аналнзе
общей модели ,экспериментально подтвержденное положение
о приблизительном совпадении соотношения толщин сл_оев
на заготовке и трубе. Это позво.r~яет определить длину хода
прессштемпеля (т. е. длину обрези) до начала установившегося
процесса на основании условию перемещение разделительной
s•
800
400
40
5'0
60
d.,..,,rpail
Рис. 51. Зависимость длины кон
цевой обрези от поJiуугла матрицы:
1 - расчет по исходной методике; 2 -
расч:ет по упрощенной методш\е lточ1-ш
эмпиричесние данные)
6SO
500
S50
500
0,85 0,90 0,9S 1,00 1,05 k:;_/k,
Рис. 52. Зависимоеть длины кон
цевой обрези от соотношения k2 /k 1 •
Обозначения те же, что и на рис. 5]
точки за дано и равно ЛR Р = Rтр - Rp• Используя принятое
условие в выражении для определения радиальных перемеще
ний ЛRр= {} (aj, х, ЛSш), определим ЛSш. с и Lot.p•
Для того чтобы получить решение в конечном аналитическом
виде, введем следующие допущения и упрощения общей мо
дели, считаем оправданным переход от малых деформаций
к большим, это позволяет рассчитывать интересующую нас
деформацию за один конечный «большой» цикл; для упроще
ния выводов используем в исходной функции (4.34) лишь
один независимый варьируемый параметр (а 2 = О). Примени
тельно r< принятым допущениям задача сводится к определе
нию одного неизвестного варьируемого параметра а1 = а
дА
из условия iiё/ = О и последующему определению по извест-
ному перемещению {} = ЛRр величин ЛSш.с и Lобр•
Решение задачи в приведенной постановке дает следующий
результат
μБ[
(1 - RтpR;1) А1
]
Lобр = -А- ----- =- 1- -~
~----=-1- +А2 ,
э (RpRon - 1) (! - RpRк0)
(4.44)
где А1 , А 2 , А 3- функции параметров деформации с размер
ностями работы, вариации работы и усилия соответственно.
На рис. 51, 52 приведены результаты расчета параметров
концевой обрези по формуле (4.44) и эмпирически определенные
значения велиqины Lобр [78]. Близкое совпадение расчет
ных и эмпирических данных позволяет рекомендовать разра
ботанную методику для прогнозирования параметров концевой
обрези при прессовании биметаллических труб из материалов
с близкими мех анич~скими характеристиками.
13.2
3. Ста тистичес:кая методика определения длины
концевой обрези при прессовании биметаллов
На основании анализа результатов реализации АММ, а та кже
в соответствии с результатами экспериментальных исследова
ни й можно констатировать, что характерной особенностью
производства биметаллических труб является изменени е по
длине трубы на ее переднем конце коэффициента плакировки
(И Т)"-(0 1/
п-
2
3
(4.45 \
т - 'Dт)2
_
(Dт)2'
'
\1
·
3
где Dт, Dт, Dт - соответственно значения наружного, rp a·-
1
2
3
ничного и внутреннего (разделительного) диаметров труб ы .
Величина 11т изменяется от nт = 1 у торца до своего уста-
новившегося значения ii на некоторой длине I, величина кото
рой неразрывно связана с длиной концевой обрези. В связи
с этим существенное значение в технологическом процес се
прессования биметаллических труб занимает определе ние
длины концевой обрези, обеспечивающей минимальную ве
личину расходного коэффициента металла при условии соб
людения допуска на соотношение толщин основного и пл аки
рующего слоев. Это условие может быть представлено в виде
n:in ~ 11т-< п~;ах,
(4.46)
r де пr.;iin, пr;ах - нижняя и верхняя границы поля допуска
для коэффициента плакировки, определяемые по соотноше
нию толщин основного и плакирующего слоев с учетом до
пусков на их изменение.
Минимальное суммарное число резов концов труб, рав
ное числу труб в партии, при одновременном соблюдении ог
раничення (4.46) может быть достигнуто в том случае, если
длина концевой обрези удовлетворяет соотношению 1
пр< l,
u
(4.47)
r де п0 - число труб в партии; /5- вероятность невыполне
ния условия (4.46).
Если установлена функциональная зависимосто Р (l) , где
7- длина обрези, то можно определить величину 7 = 7max~
которая обеспечивает выполнение условия (4.4 7) при одно
кратной обрезке каждой трубы. При таком подходе сум
марная длина концевой обрези Р~ будет максимальной .
1 Здесь и далее подразумевается вероятностный характер выпо л•
нения соответствующего условия.
1331
В реальных промышленных условиях число резов т на
одной трубе отвечает условию iii ::;,,. 1. Естественно , что уве
личение т, с одной стороны, снижает Lr, но, с другой сто
роны, повышает трудозатраты на изготовление труб. Задачей
является обоснование оптимальных значений iii при произ
водстве относительно небольших партий труб.
Суммарная длина концевой обрези в партии из ri. 0 труб
при условии 100 %-го выполнения лимитирующего ограни
чения (4.46) может быть определена из выражения
m-l
n"i-l
i-1
L')J = (Imax- ~ t;) ii;;;_1 + ~ !; (п0 - ~ rii), (4.48)
~1
~,
~1
где rn - исходно заданное максимально допустимое число
резов для каждой из труб в данной партии; п,_ , ni - чис-
т-1
ло Тf!Уб, для которых соответственно не выполняется лими
тирующее условие (4.45) после (т - 1)-го реза и выполня-
ется (4.46) после j-ro реза; 11 - длина обрези при i-м резе.
Отдельным статистическим исследованием было установ
лено, что для биметаллических труб, прессуемых из центро
бежнолитых заготовок, вероятность Р несоблюдения
регламентирующего условия (4.46) на неподвергавшейся
ранее обрезке трубе связана с длиной обрези экспоненциаль
ной зависимостью вида
Р = ехр (al).
(4 .49)
где а - эмпирический коэффициент, зависящий от поля до
пуска и конкретных условий прессования.
На трубах, подвергшихся i -1 предварительной обрезке,
функция распределения вероятности сохраняет экспонен
циальный вид
(4.50)
Подставляя (4.49) в (4.4 7), получаем после соответству
ющих преобразований условие, гарантирующее выполнение
соотношения (5.46) на всех п0 трубах партии после первой
обрезки:
(4 .51)
Дл,я последующих резов после аналогичных преобразо
ваний получим
134
l-1
(li)max :;;,,. fmax Li 1,.
i=l
{4 .. 52)
Рассматривая предельные условия, заменяем неравен
ства (4.51), (4.52) равенствами. Используя (4.52), получаем
вероятное значение числа отбракованнь1х труб после i-й
обрезки как функцию длины обрези 7; на данном этапе
(4.53)
Подставляя (4.53) в (4.48), можно определить оптималь
ные значения !;, обеспечивающие минимизацию LE при ис
ходно заданном rn, оценить влияние т на Li и обоснованно
назначить величину т и l; для промышленных условий.
Рассмотрим пример реализации изложенной методики для
конкретного случая. Для биметаллических труб типа нержа
веющая сталь - углеродистая сталь диаметром 50-60 мм
с тоJiщиной стенки 6-8 мм и регламентированным значе
нием nт = 1,5 ± 0,2 вероятностная функция (4.49) имеет вид
Р = ехр (-3,73!). Для партии с суммарным числом труб
n0 = 32 в соответствии с условием (5.51) lmax = 0,93 м. Оп
ределение оптимальных (с точки зрения минимизации величины
Lв при заданной величине т) значений !; представляет собой
многомерную задачу поиска экстремума-минимума функции
(4.48). Реализацию решения для т = 1 + 5 осущее1в,1tяли
на ЭВМ с использованием гра-
диентного метода крутого вое- lz,м
хождения. На рис . 53 представ- 30
лены результаты расчета.
Как следует из приведенных
данных, увеличение ni в области
т = 1 + 3 существенно снижает 20
длину суммарной концевой об
рези в П<!._ртии. Дальнейшее уве
личение т сказывается на умень-
шении Lr; незначительно. Полу- to
ченные данные позволили пред
ложить технологию изготовле
ния труб со следующими пара
метрами обработки на участке от-
2
J
делки:т=3; /1= 0,29м;72=
= 0,24 м; 13 = 0,5 м. Ожидае
мая суммарная длина концевой
Рис. 53. Гн<:_тограмма
мости LE от т
за виси-
135
обрези LE при этом составляет 8,7 м. Данные рекомендаuии
а пробированы при производстве промышленной партии труб.
П ри этом реальная величина суммарной обрези составила
величину LE = 9,1 м. Близкое совпадение расчетны х и эм пи
р и ческих данных подтверждает правильность предложенной
м ет одики определения параметров концевой обрези.
4. Определение геометрических параметров
це.нтробежнолитых биметаллических заготовок
Па раметры обточки . Специфика прием к и биметаллических
тр уб состоит в том, что ГОСТом и ТУ оговариваютс я следую
щ ие цх геометрические параметры: максимальное и мини
м альное значения толщины п.r1акирующего слоя 11 суммарной
т ол щины стенки в партии труб; абсолютная разнотолщин
н ость плакирующего слоя и суммарной стенки на каждой из
тр уб партии; максимальное и минимальное значения внеш
н его диаметра в партии труб и на каждой трубе в отдел ьно
ст и . Обычно число труб в партии не превышает 250 шту к.
Одна из особенностей центробежного литья заключает<:я
в т ом, что геометрические размеры поJ1учаемых биметалли
ческих заготовок близки к идеальным : продольная и попе
р ечная разнотолщинность практически отсутствует, граница
между двумя метаЛJ1ами - точный к руг, концентричный с
о бразующими внешней и внутренней поверхностей. При
э том вследствие трудностей точной дозировки металлов , а
также из -за некоторых особенностей кристаллизации гра
нич ный диаметр заготовок во многих случ а ях отличается
от номинально установленного расчетами. В целях сохране
н ия заданного коэффициента плакирО JЗ КИ, определяемого
:как соотношение площадей поперечного сечения плакирую
щ его слоя и поперечного сечения всей трубы, необходима
мех;шическая обработка заго т овок как по внешне й , так и
по в н у тренней поверхностям. Э т а операция приводи т к двум
отр ицательным последствиям : во-первых, вследств и е н е со
-о с но й установки заготовок на них наводится поперечная
раз ностенность; во-вторых, обточка приводит к увеличению
зазоров между контейнером, оправкой и заготовкой, что
у величивает степень нарушения точности размеров заготов
ки в ходе подпрессовки в начальной стадии прессования .
Если принять, что заготовка до обточки сформирована тремя
и деально концентричными диаметрами D1, D2 , D3 (рис. 54),
то максимально возможная наведенная поперечная разно
то л щинность по внешнему и внутреннему слоям составит со
() Тветственно значения, равные обточке по внешнему диаметру
ЛD 1 и расточке по внутреннему диаметру ЛD3 . УчИ'l'!,\Вая тео
р етически и эксперимен т ально подтвержденный факт, в соот -
l36
ветствии с которым отно
сительная
поперечная
разностенность при прес
совании труб всегда сни
жается по отношению к
исходной относительной
поперечной разностенно
сти заготовок [79], мож
но утверждать, что разно
толщинность слоев труб
гарантированно не будет
превышать величин
н
ЛD1
бт = -----" - ; (4.54)
S~ -1- О,5ЛD1
б~ = ЛDя'
, (4.55)
S~-
О,5ЛD3
Рис. 54 . С х ема обточки заготовки
где б~ - относительная поперечная разнотолщинность наруж
ного слоя трубы, б~ = ~~ ; б~ - относительная попер ечная,
1
разнотолщинностъ внутреннего слоя трубы, б~ = ;: ; S~' .
я
S~-
сре д ние значения толщины наружного и внутренне го
сло е в трубы; Л 1 , Л;; - поля разброса толщин наружного,
и внутреннего слоев трубы; S~, s; - исходные значения тол
щины наружного и внутреннего слоев центробежнолитой
заготовки.
Из выражений (4.54), (4.55) можно получить максималь но,
допу стимые значения ЛD.1, ЛD 3 , величины которых будут га
рантировать, что полученная тр уба не выйдет за поле допус ка
по па р ам етра м поперечной р а знотолщинности слоев
л•sн
Л D 1 .,,;;;:
1о
(4.5 6)
S 1 -f-0,5Л 1
ЛD 3 .,,;;;:
л;s;
(4.57)
Sз -1- О,5Л3
где Л~, л; - заданные поля допусков на толщины нару ж
ного и внутреннего слое в трубы; S1 , S 3 - заданные ном и
нальные значения толщин наружного и внутреннего слоев
трубы.
Предельные значения граничного диаметра. Характерн ой
особенностью прессования би м еталлических труб из центр а~
бежнолитых заготовок является практическое равенство коэф-
131
фициентов плакировки на трубе (пт) и исходной заготовке
(па), Это свойство процесса, физически основанное на усред
нении вытяжек внутреннего и наружного слоев, закладыва
ется в основу определения граничного диаметра заготовок
D: по величинам наружного, внутреннего и граничного диа
метров трубы (соответственно D~,
D;, D;). Так как по ус
ловиям изготовления и поставки труб каждая из величин
D~, D;, D; может колебаться в пределах, определяемых до
пусками, значение коэффициента плакировк и nт также может
колебаться в некоторых пределах.
Из (4.45) следует, что максимальное значение коэффи-
циента плакировки на трубе п:;ах будет соответствовать со
четанию максимального граничного и минимального внешнего
диаметров трубы - соответственно (D;)max и (D~)min• Для
того чтобы выяснить характер влияния изменения внутрен-
него диаметра D; на коэффициент плакировки трубы nт,
рассмотрим дифференциал
дЩ
[(D'J:)2 - (D;)2i2
(4.58)
Так как правая часть выражения (4.58) всегда меньше
нуля, очевидно, что максимальному значению п:;ах соответ
ствует минимальное значение внутреннего диаметра трубы
(D;) min • На основании изложенного пределы возможного
в рамках допусков колебания ве.~ичины nт определяются
соотношением
(4.59)
459
max
max
Из выражения ( . ) на основании того, что nт = nэ
min
min
и nт = n3 , получаем выражения для определЕяия мини-
мального
(D~)min = i1 [(D~)~ax - (D:)~ax] n:;'in + (D:}~ax
(4.60}
и максимального
(D:)max = V r(D1)~in - (D:)~;п] п:;ах + (D~)~in (4.61)
значений граничного диаметра заготовки. Поля допусков для
величин наружного Df и внутреннего D: диаметров заготовки
на практике задают, исходя из конкретных размеров инстру
мента пресса. Если при этом величина D~ лежит в пределах,
138
опрfделяемых выражениями (4.60), (4 .61), то все геометf}и
ческие размtры трубы будут лежать в прс:дtлах допусков.
Изложенная методика позволяет значительно снизить от
браковку центробежнолитых заготовок по сравнению с мето
д11кой, в которой допустимые пределы изменения граничного
диаметра D: определяются по номинальным значениям D1 ,
D~, D; без учета полей допусков на их колебания . Так, при
прессовании трубы с номинальными размерами и отклонени
ями, составляющими (мм) D~ = 124,5±f:g; D~ = 96,0±6;~; D;=
= 70±f :8, из заготовки, для которой задано D~ = 260 ± 2,0,
D: = 120 ± 3,0, получим, что рассчитанное по номинальным
размерам трубы значение D: лежит в пределах 187-193 мм,
а при расчете D~ с учетом возможных колебаний размеров
трубы получим 181,5 с;;: D:-< 202,3 мм . Из примера следует ,
что при использовании предложенной методики поле допуска
нз значения D: может быть расширено более чем в 4 раза
без опасности увеличения отбраковки труб по точности гео
метрических размеров.
Изложенная АММ определения геометрических размеров
центробежнолитых биметаллических за готово~, успешно ис
пользуется в производственных условиях,
Глава пятая
ГИДРОЭRСТРУЗИЯ
i. I{онтаRтное взаимодействие при гидроэкструзии
сплошных издеJiиЙ
Одним из наиболее перспек_тивных способов производства
м еталлопродукции с особыми механическими свойствами и по
в ышенными характеристиками по 1<ачеству поверхности и точ
ности геометрических размеров является гидроэкструзия.
И нтенсивные исследования привели к созданию ряда промыш
лен ных установок с высокоэффективной технологией произ
водства [80] .
Современные методы производства изделий как холодной,
так и горячей (теплой) гидроэкструзией при всем разнообра
зии схем и оборудования в своей основе можно классифици
рова ть по следующим основным группам .
1. Производство сплошных изделий из предварительно
деформированных заготовок; из порошков.
2. Производство трубчатых изделий: а) из трубчатых
nред варительно деформированных заготовок на неподвижной,
подвижной (плавающей), на полуподвижной оправках, с ис
пользованием деформируемого сердечника, в том числе ра
бочей жидкости в качестве оправки (редуцирование гидро
экструзией); б) из листовых заготовок; в) из порошков.
Режим трения и взаиморасположение векторов движения
заготовки и напряжений контактного трения оказывает су
ще ственное, а в ряде случаев - решающее воздействие на
энергосиловые и деформационные характеристики процесса
пластического формоизменения. Задача активного управле
ни я силами трения - одна из наиболее актуальных проблем
обработки металлов давлением [81 - 83] .
В связи с этим особый интерес представляют теоретические
исследования, позволяющие оценить характер влияния и уро
вень воздействия различных технологических параметров
конкретного процесса ОМД на величину и закон распределе
н ия напряжений трения на контактной поверхности.
Указанная проблема при математическом моделировании
про цессов гидроэкструзии стоит особенно остро, так как не
которые аспекты контактного взаимодействия при гидро
экструзии изучены явно недостаточно. Так, например,практи-
!40
чески отсутствуют исследования, посвященные изучению влия•
ния скорости прессования на параметры контактного взаимо~
действия (контактные нормаJ1ьные и касательные напряжения,
толщина смазочного слоя), остается дискуссионным вопрос
о характере течения рабочей жидкости в зазоре между дефор
мируемым металлом и инструментом. Ряд исследователей
считают, что при гидроэкструзии имеет место граничное тре
ние и оценивают величину напряжений контактного трения
(удельных сил трения) из условия Амонтона-Кулона (84,
85]. В работе [86] отмечено, что режим трения при гидро
экструзии может изменяться от граничного до гидродинами
ческого, но последний наблюдается лишь в отдельных случа
ях. В результате анализа ряда исследований [87] сделан вы
вод о том, что наиболее характерным для гидроэкструзии
является режим гидродинамического трения, причем рабочая
жидкость опережает экструдат в зоне деформации (активн0€
жидкостное трение). Авторы работы [88] на основании тео
ретического анализа отмечают, что в начале очага деформа
ции рабочая жидкость отстает от экструдата (пассивное жид
костное трение), а на выходе - опережает. Теоретический
анализ (89] позволил авторам оценить влияние внешнего гидро
статического подпора на возможность осуществления про
цесса в режиме гидродинамического трения, однако реологи
ческие свойства экструдата и их влияние на характер контакт
ного взаимодействия при этом не учитывали. В работах (90-
93] не учтено изменение свойств жидкости в очаге деформации
вследствие разогрева, что, согласно данным исследований
(94-96), значительно снижает достоверность выводов. Авто
ры работ [97- 98] рассмотрели поведенИ'е жидкости в смазоч
ном слое с yчe.тoivr ее разогрева, однако приняли усреднен
ное значение напряжений трения по ширине слоя, а при опре
делении контактных давлений, аналогично работе [99), пре
небрегли силами контактного трения. Усредненное значение
напряжений внутреннего трения по ширине смазочного слоя
и отсутствие градиента температуры в смазке приняты в рабо
те [100). К недостаткам анализа (100) можно отнести и тот
фа~<Т, что авторы принимают условие «опережения» экструда
том рабочей жидкости в контактной зоне. Это допущение про
тиворечит данным работы [88), где на основе теоретического
анализа доказана возможность наличия в очаге деформации
как зоны опережения, так и зоны отставания экструдата
от смазки в контактной области.
В данной главе сделана попытка аналитически установить
условия, обеспечивающие ведение процесса гидропрессова
ния в режиме гидродинамического трения, оценить характер
силового взаимодействия рабочей жидкости и деформируеыого
141
х
tp0 материала в зоне обжати,~ при
r гидроэкструзии труб и прутков ,
установить уровень влияния
инерционных эффектов на пара
метры высокоскоростной гидро
экструзии,
проанализировать
особенности завершающей ста
дии процесса.
В исследованиях использова
ны основные результаты наибо
лее фундаментальных работ [85 ,
86, 88, 89, 97, 101-105], по воз-
можности объединенные и допол
ненные.
АММ изотермического про-
у
цесса. Примем следующие допу -
Рис. 55. Схема гидроэкструзии: щения о характере течения ра -
1- матрица: 2 - загиовка; з - ра• бочей жидкости и деформиру
бочая жидкость
емого металла (рис. 55) [30] :
заготовка подвергается двухос
ной деформации; при деформации экструдата собJrюдается
гипотеза «плоских сечений»; параметры смазки отвеч ают
свойствам ньютоновой жидкости; влияние ::ил инерции незна
чительно как для жидкости, так и для экструдата.
,,1
Определим контактные нормальные напряжения р, воз
действующие на экструдат в очаге деформации. Принимая
условие пластичности Губера-Мизеса-Генки с учетом экс
периментальных данных работы [88], согласно которым
! Р \ > Jux/, получаем р - ux= ~*u 5 (здесь <Jx- осевое напря
женне) и дифференциальное уравнение равновесия элемен
тарного участка экструдата в очаге деформации 1 в виде
LX = 2f3*a. tga' + (R-Л)fi* :~,
-(R-Л) :~ +2т=О,
(5. 1)
где а'- угол, характеризующий форму экструдата в очаге
деформации, а'= ам- ср 0 ; q:; 0 - угол, характеризующий фор
му зазора между экструдатом и матрицей.
Дл я режима гидродинамического трения на контакте М<с ·
талла и слоя рабочей жидкости
!дvжх)
Т=-μ --
'
\дЛу Л =Л
(5.2)
и
1 Сжимающие напряжения считаем положительными , обусловлен •
ные ими силы - векторы в выбранной системе координат (анало1 ич •
но - для скоростей).
142
где Лу(у) - текущее значение толщины смазочного слоя в дан
ном диаметральном сечении очага (х = const).
С учетом ранее сформулированных допущений справед
лива система уравнений [106]
i!J!- О· i!J!-
д2vжх . дvжх дижу
ду-
'
дх- μ ду2 ' 7ix+ду=О.
(5.3)
Переходя к полярной системе координат (Or, rp), решая
(5.3) и подставляя граничные условия Лу = О, Vжх = О и
Лу = л, Vжх = Vм, получаем
cpr2 др
r(j)oдР1
[
(
а2)]
Vжх=[j)2μа,+Vм-2μдг~,
(5.4)
r де Vм - текущее значение осевой скорости металла в очаге.
Из (5.4) имеем
(5.5)
r де r 0 , r - соответственно координата начала очага дефор
мации и текущая координата.
Подставляя (5.5) в (5.2), записываем
(5.6)
С учетом (5.6) преобразовываем (5.1), переходя к поляр
ной системе координат
др
cos ам
[2~*а5tgа' +
дг = sill ам- ср0 (1 -cos ам)
r
а
+(tga -
(j)o ) R*даs- 2μ Voro]
(5.7)
м cos2 ам 1-'
дr
<p0r4 •
Решая (5.7) относительно ко н тактного давления, полу
чаем
г
cos а"
s[ 2~*a 5,tg а' (
Р= ~--~~---
----- + tgам
siпа,.- <р0(\ - cosам)
(5.8)
где r 1 - координата, соответствующая окончанию дефор
мации.
Характер изменения напряжений контактного трения,
воздействующих на экструдат и определяемых условием (5 .6),
143
т
1
I
11
1
11
1
11
приведен на рис. 56. Из ана
лиза сJiедует, что в оча,ге
деформации может быть се
чение, в котором i; = О. Ко
ордината rн данного сече
ния может быть определена
из (5.5) в соответствии с ус
ловием
~
:
1
1--11---~---•-----
'i
r,,~
(j_e _)
_
_
2t•0 r~p-
r
.......
-...... _
дr
-
24
•.
r=r н
(р о'н
(Б.9)
-+
Рис. 56. Эпюра напряж~ний
•
Из анализа следует, что
при r< гн имеет место пас-
-+
сивное гидродинамическое трение (вектор i; направлен против
-+
хода прессования), при г < г н - активное (1) совпадает с на-
правлением прессования). При rн > , 0 и 1·н < r1 соответству
ющие режимы трения распространяются на всю длину очага
деформации.
Для рассматриваемого в настоящем анализе плоско-парал
лельного движения жидкости через зазор малой конусности
с одной подвижной стенкой распределение давления по дли
не зазора описывается законом [101]
(5.10)
где С- размерная постоянная, зависящая от ге ометрических
параметров очага деформации, давления в контейнере и давле
ния подпора.
Используя (5 .9) и (5. 7), определяя давление в контейнере
(Рж), привлекая (5.8) и (5 .10), получаем систему, связывающую
параметры формоизменения ,
'н
=А1[2~*astgа'+(tа _
~) ~* да5]dr _
Рн
r
g м cos2а
дr
'
м
(5. 11)
r•
144
Jro
,2
2
1
авн 1
Рж=2
(р+'tctgа)rdr+- 2
-
;
ГtJ
ru
r,
гдеЛ= ---------, А1=ср0tgам- - 2
-
0-
А;
COS ам
(
<р)
sinам- <р9(1- cosам)
cos ам
А,= 2 tga'cp0A; р1 = ~*а51 + Gвн•
Задаваясь величиной ср 0 , соответствующей условию разде
ления поверхностей металла и инструмента в зоне формоизме
нения,
(5 .12)
где Лз, Ли, Лм - соответственно высота микронеровностей
на поверхности заготовки, изделия и матриuы, а также ве
личинами ам, as (r), rн, можно рассчитать_ Рж, Рн, v 0 и G8н,
опеспечивающие ведение процесса в выбранном режиме гид
родинамического трения. При известных из эксперимента
величинах ам, v0 , а011 решение системы (5.11) позволяет рас
считать величины Рн, rн, ср0 , Рж и оценить, идет ли процесс
в режиме гидродинамического трения и каков зна1< сил т ре
ния в очаге деформаuии.
На рис. 57 приведены результаты расчета параметров про
цесса по изложенной методике. Анализ расчетных данных по
казал, что повышение скорости прессования при внешн ем
воздействии п011 = а3 )~*а51 способствует протеканию проц есса
в режиме пассивного гидродинамического трения, что должно
снижать растягивающие напряжения в очаге деформации
и уменьшать тенденцию к образованию трещин на изделии
в ходе вы прессовки.
Заменяя текущую по очагу деформации величину а5 (r)
средним ее значением-о,, можно решить систему (5.11) относи
тельно величины зазора между поверхностями заготовки и мат
рицы в очаге
Л= 2μv1 (~~- Rf) R {2~*0s[1n13._о - 0,5(1-μ;1)]+
Зft~R1R0 tg ам
R1
R·~
]
-l
Зμv1 (R~ 1
-
Rё;1)
}-l
+1-', as1( - /t~)--------Рж
2~t ~ COS Сtм
(5.13)
. 145
2
20
i
О15fO 25
50
v,,м/с
Рис. 57. Зависимость положе- Рис. 58. Зависимость толщины
1шя нейтрального сечения от слоя смазки от скорости v 1
скорости прессования при внеш-
нем воздействии пвн• равном
-0,1(1), О (2), О,1(3)
Такая методика определения толщины смазочного слоя за -
щищена авторским свидетельством [107]. На рис. 58 показано
изменение рас qетного значения Л с увеличением скорости
прессования . Как следует из приведенных данных, увеличение
скорости прессования резко увеличивает толщину смазочного
слоя, что должно способствовать улучшению качества изделий
вследствие протекания процесса в режиме жидкостного трения.
АММ неизотермического процесса. Ннже сделана попытка
создать математическую модель процесса гидроэкструзии,
учитывающую изменение механических свойств экструдата
по длине очага деформации вследствие разогрева и упрочне
ния; влияние давления в контейнере на механические свойства
экструдата; изменение свойств рабочей жидкости по длине
4-
х'
2
о
Рис. 59. Схема очага деформации:
1- 1<онтейнер; 2 - матрица; З - рабочая
жидкость; 4 = заготовка; 5 - изделие
146
смазочного слоя в очаге де
формации вследствие изме
нения давления и разогре
ва; изменение сил внутрен
него трения по ширине сма
зочного слоя; возможность
наличия в очаге деформа
ции зон опережения и от
ставания экстру дата от гра
ничного слоя смазки (зон
активного и пассивного
трения) .
Кроме приведенных вы
ше приняты допущения :
теплопроводность смазки в
очаге деформации постоян-
на; теплопередача в направлении движения смазки и эксt'{)у
дата отсутствует (гипотеза Буссинеска); теплоемкость дефор
мируемого материала в зоне формоизменения постоянна ; J)аС
пределение температуры в экструдате в данном поперечном
сечении очага деформации равномерно .
Согласно принятым допущениям, скорость осевого тече
ния жидкости в смазочном слое (рис. 59) и ее температура
связаны системой уравнений [97, 98, 106] :
~ {μоехр[ар-~(0-0о)J д;;х} =и;)
д2fJ= μQ ехр [ар-~(8- 0п)l Iдvжх)'2
ду2
kt
\ду
'
{5.14а )
(5.146)
где р - давление смазки в данном сечении слоя (х = const) ;
0 (х, у) - температура смазки в данной точке слоя .
Решение системы уравнений (5 .14) возможно при замен е
значения температуры 0 средней величиной
Хо
Д
0ср =
1
s(-л1 I0dy)' dx,
Хо- Х1
.1
(5.15}
х,
о
где х0 , х1- соответственно координаты точек начала и конца
зоны формоизменения э 1,струдата.
С учетом условия (5.15) решение системы уравнени й
(5.14 а, 6) примет вид
дvжх _ JL дJ!.+с·
516
ду-
~tcp дх
1'
(')
у2 др
•.
Vжх= 2μ дх+С1у+С2,
(5.17}
ер
д0 = _μер[( 1 др')2уз у2 дрс с2 с.]·(5. 18)
ду k1\μердх3+μердх1+Уl+3'
μер[ j др)2 у4
цЗ др
у22
]
е=-
k [-д12+3-
д-С1+2cl+уСз+С4 '
.,
f-lcp х
f-lcp х
(5.19}
где μер=μ()ехр [ар- ~(0ср
-
(:Эо)J.
Постоянные интегрирования uпределятся из граничных
условий у=О; 0=0и; Vжх=О; у=Л; 0=0м; Vжх=
= Vмcosам,где8.,, 011-
соответственно температуры метал
ла и инструмента.
Используя граничные условия, из (5.16) -(5.19) полу
чаем
(5 .20)
(5.2 1)
147
(5.22а)
(5.226)
Уравнение статического равновесия элементарного объема
экструдата, выделенного в очаге деформации двумя беско
нечно близкими плоскостями, которые проходят перпендику
лярно к оси прессования Ох', имеет вид
2р tga" dx' + 2,; dx' -Rxdax - 2ах tga" dx' = О, (5.23)
л
где Rx- радиус экстру дата, Rx = R- ---; R =х' tgaм,
cos ам
Принимая условие пластичности Губера - Мизеса
-
Генки и переходя к системе координат хОу (см. рис. 59),
после преобразования (5.23) получаем дифференциальное
уравнение статического равновесия в виде
~!!_( 2а5
да5
2,;
)_О
дх х-Лctgа.,+дх+хtgам-Л
-
•
(5.24)
Величина напряжения контактного трения, входящая
в выражение (5.24), может быть определена в соответствии
с условием (5.2), которое в рассматриваемом случае принимает
вид
(5.25)
( знак «минус» обусловлен тем, что в системе хОу положител ь
ным направлением считается направление в сторону поверхно
сти заrотовrш).
Подставляя в (5.25) определенное ранее значение произ
водной (5.16), получаем для контактной зоны
(5.26)
С учетом (5.26) преобразуем (5.24) к виду
(
л)
{2аstgа"
да5
l+хtgам-Л dР- хtgа.,-Л+дх-
2voRo~Lo ехр [ap- "'fi (0ср - 0u)]}
-
-----~---'--- dx = О.
(.хtgа.,- Л)3Лcosа"
(5.27)
148
Решая (5.27) методом нахождения общего интегрирующего
множителя, получаем интеграл, связывающий значения кон
та~пного давления с положением сечения в очаге деформации
функцией
(5.28)
R1cosам+Л1
гдех1=
sinа cosа
-
Л 1 tg еtм; Л 1 - толщина слоя смазки
м
м
рвн
в конце очага деформации; Gвн = F; Рвн - внешнее осевое
11
ус1ыше, приложенное к изделию; F и - площадь поперечного
сечения изделия плоскостью , перпендикулярной к оси прес
сuвания Ох';
2-
VoRuaμo
А1=--------,-.,...,,...-,-,---
(х1tgам- Л)2Лsinам
2-
-
-
•
А = v0R0aμ0 ехр [ар-~ (0ср - 00)]
Лsiпам
Подставляя (5.19) в (5.15), после интегрирования по dy
получаем выражение, связывающее величины 0ср и р соотно
шением
х VмcosСtм - -------'-----
dx,
(
л2 р'
)2]}
2μ0ехр[ар- ~(0ср
-
00)]
•
(5.29)
149
,
хtgам-Л{ 2o 5 tgaм
да5
гдер= хtgам хtgам-л+дх-
2
-
-
_
2v0R0μ0ехр [ар - В(0ср
-
00)]}•
R0cosам+Л0
(
'
Хо=
хtgам- Л)3Лcosам
sin ам cos ам
-
Л0tgам; k1 = const; 0м= 0м(х); Ви = Ви(х); Л0- толщина
слоя смазки в начале очага деформации.
При известных законах изменения напряжения текуче
сти а5 и температуры материала Вм совместное решение урав
нений (5.28) и (5.29) позволяет определить величины давления
р и средней температуры 0ср в любой точке очага деформации.
Величина а5 может быть определена как функция параметров
процесса - температуры, степени и скорости деформации
в соответствии с зависимостью (2.28). Примем за основу кривую
упрочнения, описываемую выражением
6Е
Us = Uк1+У]6\П6о,
(5.30)
где GкJ = Gто['уррж+ ле(8м - 01)].
Анализ выражения (5.30) показал, что для получения замк
нутого решения система уравнений (5.28), (5.29) должна быть
дополнена уравнением, связывающим величину давления
в I<онтейнере с параметрами процесса:
Дифференцируя (5.30), получаем
дЛ
tgaм- дх
хtgа.,-Л
(5.32)
Температура экструдата в очаге деформации может быть
рассчитана на основании условия, что около 90 % энергии
формоизменения идет на разогрев материала (15]. В этом слу
чае текущее значение температуры экструдата определится как
.
бЕ(Х)
0м= 0"1 +0,9-1
-
S0 8 (Х) dбЕ,
РСу
о
где 0к1 - температура заготовки в контейнере пресса .
150
(5.33)
Заменяя в (5.33) пределы интегрирования с учетом ус
ловия
получаем
(5.34)
х
Дифференцируя (5.34) и подставляя результат в (5.32),
после преобразований получаем окончательное выражение
для определения производной предела текучести по коорди
нате х
,-
( 0,9cr sсrтоле
)2(tgамс-*)
аs-
pcv
+ '1']~
Л-хtgам •
(5.35)
В анализе реального процесса вполне приемлема замена
(5.36)
где v - эмпирический коэффициент, характеризующий усло
вия теплоотвода от рабочей поверхности инструмента.
Изменение толщины слоя смазки по длине очага деформа
ции может быть задано законом [88, 100)
Л = xtgqJ0,
(5.37)
где ср0 - угол между образующими матрицы и заготовки
в очаге деформации, ср 0 = ам - сх 3 ; сх3 - полууrол конусности
заготовки в очаге деформации.
При известных кинематических (v 0 ), технологических
(Рви, СХм, 0к1, v), деформационных (Ro, R1) и реологических
(μ0, а,
~.
Ото, ле, "rP,
' l ']a, k1) nгparv:eтpax процесса системы
уравнений (6 .28), (6.29), (6.31) включают четыре неизвест
ных: р, Вер, Рж, Л (ср0). Решение системы при эксперимен
тально установленном давлении Рж позволяет оценить режим
трения в очаге деформации по толщине смазочного слоя Л.
При заданной необходимой величине Л (ср0) можно рассчи
тать Рж, обеспечивающее ведение процесса с требуемым ре
жимом подачи смазки в очаг деформации . Решение системы,
описывающей процесс формоизменения экстру дата и течение
жидкости в смазочном слое, позволяет рассчитать значения
параметров формоизменения в любом сечении очага дефор
мации.
151
s, r,п4 r-/0~
F
2
t
о
Рис. 60, Расчетные значения
параметров rидроэкструзи11
у
2
Рис. 61. Зависимость безразмерного г~араметра У от скорости ' v0
при пвн• равном -0,2 (]}, О (2), -0,2 (3)
На рис. 60 приведена типичная расчетная картина изме
нения сезразмерных параметров S = Oi; F = L ; т = ~ ;
а,
а,
р
пд = ~ по длине очага деформаuии, характеризуемой без
Рж
-
х-х
размерным параметром Х =
1.
Хо- Х1
Для при веденных на рис. 60 графиков принимали nвн =
_
(JBH _
,
22_
,
_
-3
•
-
оп
-
А*а-О,1,R0R1--3,5,v0- 10м/с,Gто-4Ма
1-'
Sl
Анализ результатов расчета по приведенной методиI<е
показал, что повышение скорости прессования увеличивает,
при прочих равных условиях, толщину смазочного •' слоя
((J)0), что должно способствовать повышению качества изде
лий.
Расчет по приведенной выше методике позволяет опреде
лить силовые параметры гидроэкструзии с учетом разогрева
экструдата и изменения реологических свойств металла и жид
кости в очаге деформации. Кроме того, исходя из условия обес
печения режима жидкостного трения в очаге деформации
(5.12), можно определить параметры процесса, обеспечиваю
щие соблюдение указанного условия и гарантирующие высо
кое качество изделий (рис. 61).
2. J{онтактное взаимодействие и параметры
формоизменения при гидроэкструзии
цилиндрических труб
АММ процесса оправочной гадрожструзии. Проблема вы
бора оптимальных технологических nараметров гидроэк
струзии труб неразрывно связана с решением задачи о форми
ровании смазочной пленки между заготовкой и инструментом.
152
Режим течения рабочей жид- z
1------------,;r-jt
кости во многом определяет
как значения контактных на
пряжений и полного усилия
прессования, так и возмож- ~ -
ности осуществления деформа- z,
ции без разрушения трубча-
того изделия на выходе из очка . 0
матрицы . Используя общие по
ложения, примененные для
анализа условий контактного
взаимодействия при гидроэкс
трузии прутков, а таr,же ре
зультаты исследования [ 106],
разработаем математическую
модель процесса оправочной
гидроэкструзии труб .
В основу модели заложены
следующие физические пред
ставления о характере процес-
с ов, имеющих место при гид-
•-
роэкструзии труб на оправке z"
1L_
----
(рис. 62). Под действием
прессштемпеля 1, движуще- z,
гося вдоль оси прессования Z
со скоростью Vw, рабочая жид- z0
кость 2, сжатая в плоскости
заднего торца заготовки с ко-
ординатой 2' 3
до давленщ1 Рис. 62 . Схема
( држ
трубы на оправке
Рж дSТ = О, гдеSт- поверх-
2
5
гидроэкструзии
ность, совпадающая с плоскостью заднего торца заготовки),
выпрессовывается из контейнера пресса 3 в зазоры Лн (между
матрицей 4 и заготовкой 5) и Л 0 ( rv1е жду оправкой б и заготов
кой). Пластическая деформация заготовки начинается в плос
кости с координатой Zп, определяемой из условия R0 = R (z).
Заканчивается пластическая деформация на границе калибрую
щего участка 7 и профилированной части матрицы; коорди
ната плоскости окончания пластической деформации - Zк1.
Принимая допущение об установившемся хараюере дви
жения рабочей жидкости, используем для анализа ее течения
уравнение Рейнольдса
1
др
гдер=дz.
{72
l'
vVж=-р,
.
μ
(5.38)
153
Считая, что рабочая жидкость отвечает свойствам ньюто
новой жидкости, используем уравнени е (5.38) при решении
рассматриваемой задачи. При этом выражение (5.38) справед
ливо лишь для течения в трубчато-цилиндрическом канале.
Течение в конфузорных каналах, каковыми являются Лн,
Л 0 в зоне пластического формоизменения, неустанови1Ю..Iееся
и может быть описано уравнениями Л. Д. Ландау, однако
в этом случае решение задачи о совместном течении металла
и рабочей жидкости f? силу математических трудностей стано•
вится практически неосуществимым. Учитывая, что угол~конус
ности реально используемых при гидроэкструзии матриц
невелик, а конусность зазора между металлом и инструментом
весьма мала, будем считать допустимым использование вы
ражения (5.38) в дальнейших выкладках.
Решая дифференциальное уравнение (5.38) аналогично
решению Прандтля, получаем для калибровочного участка
очага деформации соотношения (здесь и далее индекс «Н»
относится к зазору наружному Л,,, индекс «в» - к зазору
внутреннему Л 0 ):
W11 = (Rкt - R)(~IR--;;!р~+Rvн 1];
кlш
кl
(5.39)
-
-
r(г - 'т) R~п
-,
ив-;оп] -
Wв=(r- 1)L 4
Рв+ -
+ Vоп,
'т- 1
(5.40)
где
-
WH
WB
Rк1 RкI
Wн=-v-; Wв=-;
-
RT
;
ш
vш
R='
-
Ron R-
Rш.
Rт' Ron=R; ш=Rкl'
ш
'
'т
-
VH•
r=--
'
Гт=
Ron '
Vн = -v-,
Ron
ш
VB
von
-,
р~
Vв=-
'
Vоп -
-
'
Рн= -
'
vш
V
тР
ш
R1,1 , Rт - радиусы соответственно внешней и внутренней
образующих канала Лн; rт - ра,11,иус внешней образующей
канала Лв; Vап - скорость поверхности оправки, являющейся
внутренней образующей канала Лп; Vн - скорость наружной
поверхности заготовки, являющейся внутренней образующей
канала Лн; v0 -
скорость внутренней поверхности заготовки,
являющейся внеш(!ей образующей канала Лв.
154
Условия несжимаемости рабочей жидкости в каналах Ли,
Л 0 можно записать в виде уравнений постоянства секундных
расходов Qн, Qв:
(5.41)
'т
Qв = 2R~n IWвГ dr,
(5.42)
1
ГдеQH= QH
QB= QB
лv.ш,1<~
nvшR~
Принимая в качестве упрощающего допущения условие
усреднения скоростей осевого течения металла в каждом из
диаметральных <;ечений заготовки
(5.43)
из совместного условия несжимаемости металла и жидкости
получаем значение средней осевой скорости металла
(5.44)
Сдвигающие напряжения ,: на границе рабочей жидкости
и металла с учетом векториальности определяем из уравнений
Стокса
(5. 45)
(5.46)
-
'Сн -
'Св
где'tн=--;'tв=-- .
тр
mp
В соответствии с исходно принятыми допущениями в се
чении Zкt должно выполняться условие пластического течения
материала заготовки в виде системы уравнений
Рн.к- Sкt =iisк+Gвн;
/Jв.к- Sк! =Gsк+<Увн,
(5 .47)
(5.48)
где Рн. ~ - безразмерное да~ление в наружном зазоре в конце
2к1
очага деформации, iiн. к= ~ р~ dz + cr; Рв. к - безразмерное
z,
155
давление во внутреннем зазоре в конuе очага деформаuии .
-
2кl
"ftn.к =IР~dz+а;
-
Zo
-
а
а=--·
т'
D
-
0вн
Uвн= - -;
то
-
Zo
Zo=y;
ш
а - внешнее гидростатическое противодавление; z1, z0- ко
ординаты соответственно сечений конца калибровочного пояска
и переднего торца оправки; а5 к- напряжение текучести де
формируемого материала на выходе из зоны пластического
формоизменения.
Уравнения (5.39), (5.48) включают 11 неизвестных: Wвt
Wн, Qв, Qн, Vт, р:, р:, Тв, ~' Rr,t, fт, Пренебрегая упруг ими
деформациями инструмента и металла, в соответствии с ра
нее принятыми допущениями в зоне калибровочного уча с тка
Rк1, rт можно считать постоянными. в этом случае систем ы
уравнений (5.39) - (5.42) , (5.44) - (5.48) приобретают ал
гебра и ческий вид и путем взаимных подстановок приводятся
к системе уравнений
~н = ~н (~J<l, ~т);}
Qв= Qв(Rк1, Г1r)0
(5.49)
(5.50)
Дальнейшее решение задачи сводится к определению че
тырех неизвестных величию Qн, Qв, Rк1, rт, из которых две
последние характеризуют геометрию каналов между металлом
и инструментом. Дифференциальное уравнение равновесия
элементарного объема металла, выделенного в зоне пластиче
ского формоизменения двумя бесконечно близкими диаметраль
ными плоскостями, с учетом ранее принятых допущений мож
но записать в виде
~2
~2
J
...
~,
_.
--
,
~
.
.
,...,,
(R2- R1)az + 2[(R1R1+R1R2)а,+(R1sшarctgR1-
-
R2 siп arctg R~) р - 'tвR1 cos arctg R~ -
,-тн.R2 cosarctg.R~]=O,
(5.51)
156
где R.1 (z), R2(z)- функции изменения радиусов образующих
внутренней и внешней поверхностей заготовки в очаге дефор
мации.
Объединяя уравнение (5. 51) с уравнением пластичности
(сжимающие напряжения считаем положительными)
р- 02= 05(z)
(5.52)
и приводя полученное уравнение к безразмерному виду, полу
ча::м линейное дифференциальное уравнение
р'+Ф1р=Ф2,
(5.53)
где Ф1, Ф2 - функции,
Тн, 'tв,
Объединяя (5.53) с уравнениями (5.49), (5.50) и уравне
ниями (5.45), (5.46), приведенными к виду
Тн= 'i\(R1, R2,р; =р');
Тв= iв (R1, R2, Р~ = р'),
(5.54)
(5.55)
получаем «замкнутую» относительно трех неизвестных (R1,
R. 2 , р) систему дифференциальных уравнений, включающую
величины R1<l, Гт, которые совместно с величиной р0 =
= Рн." = Рв." являются постоянными интегрирования.
Поведение жидкости в зазорах между инструментом и
недеформируемой заготовкой в зонах матрицы (Lм) и кон
тейнера (Lкi) определяется с использованием тех же выкла
док, которые были приведены выше для зоны калибровоч
ного участка. В результате можно получить выражения для
j5,;, р~, ·tн, iв на каждом из участков Lм, •Lкi. Давление Рж,
действующее на задний торец заготовки, определим из вы
ражения
-
-
Zп
Z3
Рж=sр'dz + R2 ~ ?J(Rотн+rз'tв)dz + Ро- Uso, (5.56)
-
U
3-
Zк[
Zn
-
Рж.
-
_
asa. R-
R0•
-
Рв
гдеРж=т'(jsO- т-,о=R ,rз=R.
р
р
ш
ш
Давление жидкости в плоскости заднего торца заготовки
для каждого из каналов в отдельности определится из выра-
жений
Рн.э.т=sр;лz+j p,;dz+j p~dz+Ро;
Lд
Lм
Lк[
Рв.з.т=jp;dz+Хp~dz+j p~dz+Ро•
Lд
Lм
Lкl
(5.57)
(5.58)
157
Pf,Pz,P;
;:l_______ _
f,O
0,5
о
L
- 0,5
Рис. 63. Расчетные значеная параметров гидроэкструзии трубы
В соответствии со сформулированным ранее условием
в плос~ю~ти заднего торца заготовки выполняется равенство
Рн.з.т=Рв.з.т =Рж,
(5.59)
Преобразовав (5.57), (5 .58) с учетом (5 .59), получим
окончательно замкнутую относительно всех неизвестных
(в том числе Rк1, rт) систrму ур:~.внt·Н:JЙ.
Реализацию приведенной выше математической модели
осуществляли на ЭВ.М ЕС-1033, используя при решении диф
ференпиальных уравнений метод колло1<ации.
На рис. 63 приведена тРпичная расчетная картина распреде-
"
Рн (z)
Р8 (z)
шния относительных давш:нии жидкости р 1 =
-(-);р2=
-
(-)
05Z
0sZ
и осевого напряжения в металле р3 = Oz ((z)) для случая дефор-
о,z
мации стальных труб при малом (порядка 0,05-0, 1 мм) за
зоре между оправкой и заготовкой и дигметре контейнера,
превышающем диаметр заготовки на 1-5 мм. Как следует
из приведенных данных, на некоторой длине L перед вхо
дом заготовки в матрицу имеет место зона, где р 3 - р 1 :;;, ..
::;,.. 1 . Это свидетельствует о том, что на участке L имеется
предпосылка к пластическому сжатию заготовки напряже
ниями az. Экспериментально этот факт отмечен в работе [701.
Результаты многочисленных расчетов позволяют сделать
ряд представляющих интерес для практики выводов.
158
__ 1. Как следует из анализа размерностей разработанной
математической модели, все расчетные величины зависят от
критерия л,3 = μvш, одновременно характеризующего кине
матические параметры процесса и используемую рабочую
жидкость.
2. Зазор между матрицей и заготовкой всегда больше,
чем зазор между заготовкой и оправкой (Лн> Лв) в зонах
деформации и калибровочного участка. С увеличением л. от
ношение Лн / Л 0 уменьшается.
3. При прессовании без противодавления (а = О) на ка
либровочном участке всегда имеет место зона с наличием осе
вых растягивающих напряжений (sк< О). С увеличением
л3 абсолютная величина sк 1 несколько падает. По длине очага
деформации возможно наличие нескольких зон с растягива
ющими напряжениями (рис. 64).
4. Учитывая, что в области реальных значений критерия
л. = 1,О-103 Н/м его влияние на sк 1 несущественно, един
ственно возможным путем осуществления деформации хруп
ких материалов следует признать гидроэкструзию с противо
давлением, приложенным вдоль оси выпрессованного изделия.
5. С увеличением Ла зазоры Лн и Л 0 возрастают (рис. 65).
Этот факт может быть использован для обеспечения режима
гидродинамического . трения и соответствующего уменьшения
износа рабочего инструмента при гидроэкструзии заготовок
с повышенной шероховатостью поверхности. В соответствии
с данными расчетов представляется вполне возможным веде
ние в режиме гидродинамического трения гидроэкструзии за
готовок с высотой микронеровностей до IО мкм.
6. С уменьшением напряжения теку9ести деформируе
мого материала а5 зазоры Лн, Л 0 возрастают, что физически
можно объяснить повышением «податливости» одной из двух
сред, находящихся в состоянии течения.
АММ процесса безоправочной гидроэкструзии. СпосQб
безоправочной гидроэкструзии (гидроэкструзия с использо
ванием гидравлической оправки) в основном применяется
для производства толстостенных и особотолстостенных труб.
Физически суть метода состоит в том, что при гидроэкстру
зии давление рабочей жидкости в полости заготовки, как пра
вило, превышает предел текучести деформируемого материала.
Поэтому рабочая жидкость, находящаяся в полости заготовки,
исполняет роль деформирующего инструмента, что обеспечи
вает высокое качество внутреннего канала труб (отсутствие
складок, трещин). Особенно эффективна гидроэкструзия на
гидравлической оправке при производстве особотолстостенных
труб, когда другими методами ОМД (волочение, прокатка
на станах ХПТ) невозможно добиться равномерной пр ора -
159
t"
+
Рис. 64 . Возможные эпюры и змен ения напршкений •н и 'в вдоль
оси прессования:
1- л.3=10Н/м;2- л.3=10'Н/м
бс)ТКИ структуры заготовки по ее сечению и получить правиль
ную геометрию канала. Безоправочным способом можно по
J1учать трубы с отверстиями правильной геометрической фор
мы практически любых размеров.
)3 наиболее простом варианте при безоправочной гидро
экструзии производят герметизацию (обкатку) одного из кон
цов заготовки, после чего, установив заготовку глухим за
ходным концом в матрицу, осуществляют ее деформацию.
Применительно к решению задачи об определении энерго
силовых и деформационных параметров безоправочного реду-
160
:z1----------i::--.
Рис . 65 . Зависимость величины
зазоров между инструментом и
ваготовкой на выходе из очага
деформации от л, при гидроэк
струзии на неподвижной оправке
трубы 14 Х 2 мм f(заготовка
28Х4 мм из стали ШХ-15) при
0=1ООО0С(1, 2) и 0=20°С
(/', 2'):
'
1-А11; 2- Л8
F'ис. 66. Схема редуцирования труб
гидроэкструзией
цирования сформулированные в гл. 3 по:71ожения позволяют
предложить следующую математическую модель процесса.
В качестве исходной используем следующую функцию осевых
скоростей течения (рис. 66):
2
2
V- Uo(Ro- Рв)
(5.60)
z-
R2 -р2
д
Из (5.60) определяем скорость осевой деформации
•
2t12 (R дR дрд)
ez= -
R2- Р2
дz-Рддz '
д
(5.61)
где z - текущая координата вдоль оси Z, совпадающей
с осью прессования.
Из условия неразрывности деформаций в условиях осе
симметричного течения определяем радиальную составляющую
скорости металла
(5 .62)
6 6-108
16l
где г - текущая координата вдоль оси r, перпендикулярной
к оси прессования; Cz - функция координаты z, удовлетво
ряющая граничным условиям.
На контакте с матрицей (г = R) должно соблюдаться со
отношение, отвечающее условию скольжения металла по
поверхности инструмента
v,1
дR
Vzr=R=дz'
(5.63)
причем R = R* (z) - гранично заданная функция, характери
зующая контур матрицы в меридиальном сечении.
Аналогично на внутренней поверхности
v,1
Vz r=рд
дрд
=az·
(5.64)
Поиск функции Рд = Рд (z) - одна из целей разработки
модели. Кроме кинематического граничного условия (5.63)
рещение должно удовлетворять граю1чным условиям по на
пряжениям
Р J,=Рд = Рж;
't 1,=рд = о.
(5.65)
(5.66)
Связь с параметрами внешнего контактного трения осу
ществим посредством: соотношения
2-1
= f*.
Р r=R
(5.67)
Из условия статического равновесия элементарного объ
ема в периферийных участках очага деформации (r-+ R и
r-+ Рд) определяем связь составляющих тензора напряжений
с величинами 't и р:
't = (а, - O'z) sinсtк COSак +'trz (COS2 СGк - siП2 <Х"); (5.68)
р=а,cos2С:tк+O'zsin2ак- 2-r,zsinакcosак, (5.69)
где ак (к= 1";"2) -угол наклона образующей наружного
(tg а1 = ~;) или внутреннего (tg а2 = д;д) контуров заготовки
в очаге деформации к оси прессования.
Осевое напряжение O'z определяем по одному из диффе
ренциальных уравнею й движения для осесимметричного фор
моизменения
z
S(Trz дт,z) d
•..
O'z=-; --
,+дг z+ар---t-О"вн,
(5.70)
h,
162
где ап - напряжение растяжения на выходе из очага дефор-
2
РжРт
мации от давлення рабочей жидкости, ар= - 2
--
2;h1- ор-
Rт- Рт
дината сечения выхода заготовки из очага деформации.
Условие выполнения второго дифференциального уравне
ния ДIЧJ Ж<:' НИЯ
у,[~ (е, -ez) +а,]+ 2J; (е, - е0) +l (~ i',z) = О (5•.71)
является одним из критериев поиска действительных полей
скоростей и напряжений в рассматриваемой математической
модели .
Давление раf,очей жидкости в контейнере пресса опреде
лим из условия силового статического равновесия заготовки
в целом
11,
Рж= ; 21[2J(рsinа1+•cos а1)R*(z)dz +Gnн(R;- р~)],
о 11,
(5. 72)
где h0 - ордин а та сечения входа заготовки в очаг дефор
мации .
Решение ищем из условия соблюдения -граничных условий
(5.63), (5 .65) - (5.67) и уравнения движения (5.71) в диамет
ральных сечениях очаrа деформации, имеющих различные
значения координаты z. При этом величину Cz представляем
посредством аппрокаимирующей функции вида
SN
Cz = VoRo ~ [(iJiai],
i=l
(5. 73)
г де g - произвольный постоянный коэффициент .
Та1шм образом, решение задачи сводится к определению
постоянных коэффициентов ai и величин az, Рж из системы
5f{ уравнений, каждое из которых является одним из уравне
ний ((5.63), (5.65) - (5.67), (5.71) с конкретной координатой
z, решаемых со вместно с интегральными уравнениями (5.70)
и (5. 72) . При N ~ 4 решение задачи на ЭВМ не представляет
принцип и альных. затруднений.
На рис. 67, 68 приведены результаты реализации матема
тической модели для редуцирования труб из стали 20. Из
сравнения расчетных и экспериментальных данных видно ,
что модель с большой степенью точности отражает характер
влияния параметров процесса на показатель изменения тол-
163
~
~о
D/J
0.8
0,2 0,4 О;б 0,б fлJ!-1
Рис. 67. Расчетная (/) и эмпи
рическая (2) зависимости отrю
сительноrо изменения толщины
средней стенки от суммарной
вытяжки
A,,l,f/1d
800~
680
4f!O
200·
о,
f,з
2,0 f,;
Рис. 68 Зависимость давления
в контейнере от суммарной оы•
тяжки:
1 - в,,ш1рические данвые; 2 - рас•
чет, З - предельное давление для
трубы
-
1
щины стенки S = S 1So (здесь Si,, S1 - соответственно толщи-
на стенки заготовки и трубы} и величину давления на контей
нере Рж•
Анализ данных, полученных при реализации приведенной
математичес1юй модели, позволил выбрать следующие пара
метры процесса для производства труб размерами 7,0-8,0 Х
х 2,0-2,2 мм: угол конусности матрицы 2а1= 30°; переднее
механическое натяжение 7000 Н [109]. При выборе параметров
гидроэкструзии учитывалась возможность разрыва трубы под
действием внутреннего давления после выхода из матрицы .
Для расчета предельно допустимых давлений, которые выпрес
сованная труба способна выдержать без разрушения, исполь
зовали следующую методику.
Рассмотрим толстостенную трубу с внешним Rт и внут
ренним Рт радиусами, находящуюся в состоянии нагружения
внутренним давлением р,.,,,. Осевая растягивающая сила:__ дей-
ствующая на трубу вследствие воздействия давления Рж на
ее дно, Р Р = лр;рж, Для рассматриваемого случая осесим
метричной деформации формулы О. Л. Коши для выражения
деформаций через перемещения [11 О J запишем в виде
И
дU
е2= const; ее=r; ег=дг ,
(5.74)
где И - радиальное перемещение под действием Рж•
Постоянство е2 вытекает из постоянства Рж и Рр по дли
не трубы. Из условия несжимаемости
(5. 75)
164
Неизвестные С и е,, входящие в (5. 75), определим исхо
дя из условия необходимости выполнения дифференциального
уравнения равновесия в виде
да, 2Т
1
дг=у(ее - е,)г
(5.76)
и граничных условий
а, \г=Rт = О;
а, lг=Рт = -Рж.•
(5. 77а)
(5.776)
Подставив в (5.76) значения деформаций, получим
да, 4ТС
(5 78)
дг= г,з .
.
Используем гипотезу линейной вязкости материала
т
F=μ =const.
(5. 79)
После подстановки (5.79) в (5.78) и интегрирования по
лучаем значение радиального напряжения
(5.80)
где С1 = coпst, так как а, не зависит от · координаты z.
Подставив (5. 77а) в (5.80), определим значение одной из
искомых постоянных интегрирования
Cl = 2ft:.
(5.81)
R.,,
С учетом (5.81) выражение (5.80) примет
а, = 2μС (R;2-
, -2).
Подставив (5. 776) в (5. 82), определим
ную интегрирования
и получим
С_Рж(-2
R-2)-l
-
2μРт-т
Осевое напряжение найдем из уравнения
а2=2μ(е2- е,)+Gr,
ВИД
(5.82)
вторую постоян-
(5.83)
(5.84)
(5 .85)
165
Подставим (5. 86) в граничное условие
Rт
лр;рж = 2n I rcridr
Рт
получаем
(5.86)
(5 .87)
и, решив полученное выражени е относительно ez, получим
значение е,, отвечающее выполнению граничного условия
(5.87) в виде равенства
(5.88)
Интенсивность сдвиговых дефор м аuий Г=2 ~1 О, 75е;+с2,- 4
с учетом соотношений (5.83), (5.88) запишем в виде
(5.89)
Интенсивность касательных напояжений, соответствую-
щую принятому закону (5. 79), определим выражением
,
(5.90)
Если принять, что разрушение трубы наступит в тот мо
мент, когда интенсивность касательных напряжений на внеш
нем контуре r = Rт достигнет некоторой критической величи
ны Т**, из (5.90) получим значение предельного внутреннего
давления, которое может выдержать труба:
R
2
)
р "Р - Т**(..!
-
1
Ж-
•2
•
f'т
(5. 91)
Учитывая, что характер деформации на внешнем контуре
близок к условиям одноосного растяжения. примем Т** =
1
•
= уз сrв (здесь IJв - временное сопротивление материала го-
тового изделия при стандартном испытании на разрыв) и по
.пучим окончательн? выражение для предельно допустимого
-
166
(критического) давления рабочей жидкости при редуцирова
нии гидроэкструзией
кр0вт
\
(R2
'
рж=vз;;;- 1).
(5.92)
На рис . 64 приведены расчетные значения предельно до
пустимых давлений . Эмпирические и расчетные значения
р':,~ в выполненных нами комплексных исследованиях расхо
дились не более чем на 5-7 %, что позволяет констатировать
высокий уровень достоверности предложенного условия
(5.92) .
3. Инерционные эффекты при гидроэкструзии
Влияние скорости прессования на динамические характеристи
ки процесса. Влияние скорости формоизменения на параметры
внешнего воздействия в теории обработки металлов давлением
обычно учитывают посредством эмпирических коэффициентов ,
связщзающих реологические свойства деформируемого тела
со скоростной интенсивностью формоизменения. Ниже сде
J:ана попытка оценить влияние инерционных усилий, возни
кающих в очаге деформации вследствие uзменения скорости
движения деформируемой среды, на силовые параметры про
цесса. В общем виде решение может быть получено из уравне
ний (2. 126), включающих инерционные составляющие.
Рассмотрим вариант решения при допущении о справед
ливости гипотезы «плоских диаметральных сечений». Эле
ментарная энергия, необходимая на изменение скорости не
которой бесконечно малой массы материала dm в очаге дефор
мации, равна импульсу приложенной к данной массе силы
dPdt = dvdm .
(5.93)
Заменяя в (5.93) дифференциалы скорости, времени и массы
их значениями при использовании допущения о преимущест
венном осевом течении деформируемого материала (v ~ v2 )1
dv = v0dμ,;
(5 . 94а)
dt = .!!:!_;
(5 .946)
Vоμв
dm= pF0dz
(5.94в)
~t.
'
где F0- площадь поперечного сечения заготовки на входе
в очаг деформации, получим после соответствующих преобра ~
зований
(5.95)
167
Полное инерционное усилие, действующее на всю массу
материала в очаге деформации, определится из (5.95)
РЕ= v~pF 0 (~tE - 1).
(5.96)
Выражения (5.95), (5.96) могут быть использованы при ана
лизе влияния кинематики формоизменения на силовые пара·
метры конкретного процесса ОМД. Рассмотрим решение за
дачи для гидропрессования прутков. Исключительно для упро
щения анализа вводим три допущения: материал идеально
пластичен и не обладает склонностью к упрочнению (а5 =
•= ат= const); матрица выполнена конической (сх.,. = coпst);
параметры процесса обеспечивают в очаге деформации режим
граничного трения по закону Амонтона - К улона.
Дифференциальное уравнение равновесия элементарного
объема, выделенного в очаге деформации двумя бесконечно
близкими диаметральными плоскостями, после исключения бес
конечно малых величин высшего порядка принимает вид
~Z=R2da2+2a2Rtgа"dz- 2R'tdz-
-
2pRtg cx..,dz- v~Ripdμe = О.
· (5.97)
Принимая условие пластичностн в виде р - а, = ат, после
приведения подобных и преобразований получаем
dp 2/р
2 R~dμe 2ат
5 98)
dz- ztgа.,=VoPRdz+-z- •
(•
Учитывая, что для конической матрицы справедливо со
отношение
окончательно преобразуем (5.98) к виду
24
dp 2/р
2vopRo
2ат
5 100
dz- ztgа..,.= - 3z6tg4а.,+z ·
(·)
Решая дифференциальное уравнение (5.100) относительно
контактного давления, получаем
(5. 101)
где z1 - координата сечения, соответствующего окончанию
R
деформации, z1 = t-1
-
; а=2fctgам.
ga"
168
~nf,1
8;
L
sf
;1~
fi,MNo
Рис . 69. Завис и мость коэффи
циента под п ора от поло ж ения
плоскости диаметрального сече
ния, характеризуемого радиусом
матрицы при следующих с1ш
ростях прессования v 1 :
/- 1м/с;2- 100м/с;З- 100м/с
-2
Рж,10 МПа
12~~
101
~1''1
-===
IDO 200 JOO 4/iO ~,;,м/с
Рис. 70 . Зависимо с ть давления
в контейнере от скорости прес
сования:
1 - свинцовые образцы; 2 - стальные
образцы
Давление рабочей ж идкости в контейнере пресса, отвеча ~
ющее условию силового равновесия заготовки и, следователь
но, соответствующее у становившемуся процессу прессования .
определится уравнением
где Ь = 2 tg ам (tg а:.. + f); z0 - координа-та, соответствующая
ф
Ro
началу де ормации, z0 = t-·
-
.
gам
На рис . 69 приведены графики распределения коэффициен-
-
I
ф
та подпора nп = рат • по длине очага де о рмации при прес-
совании свинповых (ат= 40 МПа) заготовок с различным и
скоростями.
На рис. 70 показана зависимость давления раб оч е й жид
кости от скорости прессования на выходе из очага дефор м ации .
Параметры расчета для обоих кривых : R1 = 15 мм; μЕ= 4;
f=0,1.
Изложенная методика определения инерционны х состав
ляющих динамических параметров процесса дефор м ации за
щищена авторским свидетельством [111] .
Определение скорости «выстрела». Существенной пробле
мой, стоящей перед технологами и I<онструкторами при реа
лизации процессов гидроэкструзии, является проблема «вы
стрела» в конечной стадии прессования .
169
Яв.11ение «выстрела» обусловлено тем , что накопленная
в результате сжатия рабочей жидкости потенциальная энер
г ия в момент окончания прессования переходит в кинетическ у ю
энергию движения изделия и выброса жидкости из кон
тейнера . Скорость заготовки в конечной стадии может дости
гать 300-500 м/с, что совершенно недопустимо по целому ря
ду соображений (ухудшение качества изделий, безопасность
экспл уатации оборудования) .
Ис х одя из принципа Деламбера кинетостатики , для рав
нове с ной системы рабочая жидкость - заготовка справед
Юшо уравнение
--+
_,_
-+
(ржF0)+Ри+RP=О,
(5.103)
_,_
г де Р и - полное инерционное ус илие от изменения скорости
-+
движения изделия; RP - реактивное усилие от к о нтактных
н а пряжений в оча~·е деформации .
-+
Величина усилия Ри в соответствии со вторым законом
Ньютона определится из соотношения
(5.104)
где т~ - масса всей десj;ормируемо й заготовк и.
В установившейся стадии пр ессования скорость выхода
_,_
изделия из очка матриuы v1 практически постоянна , и усло
вие (5 . 103) принимает вид
-->
-+
(ржF0)+Rp= О.
(5 . 105)
Уравнение (5.105) часто используют для определения ве
личины Р ж в установившемся процессе прессования [112 ,
113]. При этом совместно решают уравн е ния статического рав
новесия заготовки в целом и диф~еренциальное уравнение
статического равновесия некоторого выделенного в очаге де
формации объема металла . Это условие б ыло использовано
при выводе формул (5 .56), (5.72) . Для процесса гидроэкстру
зии характерна близкая к линейной зависимость Рж= Рж (μЕ) •
На практике величину давления Рж часто о пределяют по эмпи -
рической формуле Пью-Лоу [ 114] , дающей весьма близкую
сходимость с экспериментальными данными:
Pж=Alnμ~.
(5 . 106)
гдеА=5,81 (HV+10,81)•106, Па.
В процессе освобождения очага деформации текущая вы
тяжка μ1 является функцией времени, или (что то же самое)
170
положения заднего торца заготовки в очаге деформа~щи. Ис-
-+
ходя из этого, величина Rr для этой стадии может быть опре-
делена из выражения
(5.107)
где F1- текущее значение площади торца заготовки.
Давление Рж при этом остается практически на уровне
установившегося процесса (5.106) и скачкообразно падает
до нуля лишь в момент выхода заднего торца заготовки из
очка матрицы (в момент выстрела). Вследствие этого в ходе
освобождения очага деформации между величинами (pJ1)
-+
и Rμ появляется дисбаланс, который компенсируется инер-
ционным усилием вследствие возрастания скорости заготовки
по отношению к величине скорости прессования в установив
шемся процессе.
Представим текущее время освобождения очага деформа
ции как функцию координаты плоскости заднего торца заго
товки
(5.108)
где Zк 1 - текущее значение координаты заднего торца заготов
ки вдоль оси прессования Z (за нуль принимается положение
заднего торца в момент начала освобождения очага деформа
ции).
Подстав.JJяя в (5.103) значения входящих в него величин,
получаем дифференциальное уравнение _ движения заготовки
в конечной стадии процесса прессования
тVd
_
t_i ....:2+AF1ln~ =О.
μ, dz"t
μЕ
(5.109)
Решая (Б.109) относительно v1 , получаем
2
'к/
V
ift
μЕ
-1=
=--- ~t1Aln- dz"1+С.
2
тЕ
μ,
(5.110)
о
Постоянная интегрирования С определится из граничного
условия Zкt = О; v1 = v0 ~tE, которое после подстановки в
(5.11 О) дает
с122
= 2 VoμJJ.
Величины μ1 и F1 являются функциями координаты Zкt,
причем вид самих функций обусловлен конкретными геомет-
171
рическими хара ктернстиками процесса. Вследствие этого
интегрирование в квадратурах ДJIЯ выражения (5.110) зачас
тую невозможно . Для приближенного решения заменим ука
занные величины их С}'€дними значениями
(5.1 I 1)
Подставляя (5.111) в (5.110), получаем следующую функ
цию изменения скоросm по мере освобождения очага дефор-
мации:
____ ____ __
,,.,
·i/2--FА1μJJ
22
V1=
Zк1μ1 t=- П=- +VoμJJ.
тв ~t,
Для момента выстрела из выражения (5.112)
v;• = .. l2zi.i1F1! In~в +ь~μ~_
V·
m)J
μ,
(5.112)
получаем
(5.113)
Для случая прессования труб на оправке выражение
(5.1 13) можно преобразовать к виду
V1=
. V11,62(R~-R~n)(l,33R:-~ ,33R;п-ЛRR0)(HV+I0,8l)ЛR+v~μ~ •
(2R0 - R0п)mJJ tg ам
(5.114)
где ЛR - общее обжатие по радиусу заготовки в процессе
деформации, мм; масса mJJ и скорость v0 имеют размерность
соответственно кг и м/с.
Анализ выражений (5.113), (5 .1 14) позволяет сделать
следующие практические выводы. Во - первых, скорость прес
сования в установившейся стадии процесса практически не
влияет на скорость выстрела (при реально существующих на
практике скоростях v0). Во-вторых, с1<0рость выстрела может
быть существенно снижена, если выходящее из очка матрицы
изделие связано с некоторой массой, играющей роль инерци
онного тормоза. В -третьих, увеличение угла конусности мат
рицы схм уменьшает скорость выстрела (этот вывод относится
к малым углам конусности а.,< 45°, для которых
справед
ливо исходно используемое уравнение Пью-Лоу).
Глава шестая
ПРОДОЛЬНАЯ ОПРАВОЧНАЯ
ПPORATRA ТРУБ
,1. Одиоклетевая прокатка
Процесс продольной оправочной прокатки труб характеризу
ется неравномерным распределением контактных напряжений
по длине и ширине очага деформации. В работах [115, 116]
получены формулы, позволяющие определить конта1<Тные на -
пряжения с учетом неравномерности их распределения в зоне
формоизменения. При этом принято уеловие постоянства
напряжения текучести обрабатываемого материала в процессе
деформации (а 5 = ~*ат), Это снижает достоверность полу-.
ченных уравнений, так 1,ак с1<орость деформации и завиеящее
от нее напряжение текучести материала реально переменны
как по длине, так и по ширине зоны формоизменения.
В данном исследовании сделана попытка аналитически
учесть влияние неравномерного распределения пластических
свойств материала заготовки по очагу деформации на контакт
ное взаимодействие в зоне обжатия · заготовки валком. Рас
смотрим элементарный объем металла, выделенный в очаге
деформации двумя бесконечно близкими диаметральными
и мериди о нальными плоскостями (рис. 71). Условие равнове
сия выделенного элемента (ось Х совпадает с осью прокатки)
определится системой
~Х=аxdF2+а;:dxdF2- аxdF1- рхsinахdFз=F
=F •хcosСХхdF8 =F ТокcosуdF4 - Роsin'\'dF4= О; (6.la)
Lу=РоcosydF4 - Рх cosахdF3 ± тxsinaxdF3 =F
.
.
d8(
дае).d0
=FТохsшуdF4±аеdF5,sш2+ ае+деd0 sш2 dF6= О,
(6.lб)
где Рх, р 0 - нормальные на п ряжения на контакте металла
с валком и оправкой соответствеюю; 'i_ ., ci; ох- напряжения
контактного трения на валке и оправке соответственно (верхний
знак соответствует зонам опережения); ах, у-соответствен
но текущее значение угла контакта в плоскости, проходящей
через ось прокатки, и угол конусности оправки (у положи-
173
у'
тельно при возрастании ди
аметра оправки в направле- ,
нии прокатки).
Напряжения контактно
го трения выразим в соот
ветствии с законом Амон
тона - Кулона
'tx = fpx;
(6.2а)
't"ox = {ор0 , (6.26)
где f, f0- соответственно ко
эффициенты внешнего тре
ния для поверхностей валка
и оправки.
Подставляя (6.2) в (6.1)
и решая систему (6.1) отно
Рис. 71. Элементарный объем метал•
ла, выделенный в очаге деформации сительно Ро, после преобра-
(направление напряжений 1 по1(азано зований получаем
для зоны отставания на валке и зоны
опережения на оправке; хОу' - плос- [ах (dF 2 _ dFi) + ддахх Х
кость, проходящая через ось прокатки
и вершину калибра):
х dxdF2 - Px(sin ах±
abcd - dF1; efkl - dF,; bckf - dF,; aeld-
]
dF,; cdlk-dF,; abef-dF,
± t cosax)dFз (ctgy=f
=f {0)-{Рх (cosax =f fsinax) dF 3 -
[ae(dFa +dF6 )+
+ д::d0dF6]~}(1 ±f0 ctgy)=O.
(6.3)
Принимаем условие пластичности в виде
Рх- Ux = ~1Us(х, 0),
(6.4)
где ~1
-
коэффициент, учитывающий влияние неравномерно
сти деформации на напряженное состояние в данной точке.
В соответствии G (6.4) запишем
Ux=Рх-
~ 1Us\
дах дрх д (l:10s)
дх=дх -~-
(6.Ба)
(6.56)
Подставляя (6.5) в (6.3), после преобразований получаем
д::dXdF2(ctg'\' ":f f0) +{(dF2 - dF1) (ctg'\' =f f0)-
-
[(sinах+fcosО:х)(ctgу=i=/0) - (cosax":ffsinах)Х
Х (l ± fоctg -у)] dF3\ Pf-[~1as(dFa -dF1) + д <~i;s) dxdF2] Х
174
Х(ctg)' =i= f0) + [<Je (dF6 + dF0) + ;;в d0dF6] Х
d8
Х(1±f0ctg'\,')2 =О.
(6 .6)
Определяя значения площадей dF1 , dF 2 , dF3 , dF4 , dF5 ,
dF6 , подставляя полученные величины в (6.6), отбрасывая
бесконечно малые высших порядков и преобразовывая, имеем
д:;(г0+{)6dxde+{[~ rо+(i{- ti1)6]dxd0-
- [(sin ах± f cos ах)+ (cos ах± f sin ах) 1t~'\'ftt;ov] Х
ХrOdXd0}Рх- {~1аs[~rо+(~- 1; '\')6]dхde+
+дCias)(r +i)dxde}+a б tgy±fo dxd0=O
дхO
2
° 1=i=fоtgу
'
(6.7 )
где б (х, 0) - текущее по очагу деформации значение тол
щины стенки.
В соответствии с принятым условием пластичности
(6.8)
Подставляя (6.8) в (6.7), сокращая на dxd0 и проводя
преобразования в соответствии с условием
дб
•
ax=tgax+'i',
получаем в окончательном виде дифференциальное уравнение
связывающее величину нормальных контактных напряжений
с пара м етрами прокатки
д::+{[rO(tgах+ tg)') +б(tg Cl.x + tg2'\')]-
-
[(siп ах ± f cos ах) + (COS ах±: f sin ах) /;'\'f:t;o'I'] Х
(+б)+6(t1н±fо)} Рх
Х'0
l=Ff0 tgy (ro+0,56)6""'"
= {~1Gs [,0 (tgax + tg)') + 6 (tgax + tГ)] + д(~~а.s) (,0 +
+б)б ~1crs6(tg'1'±fо)} 1
бg
2 + 2(1 =FfOtg'\') (r0+0,56)б•
(•)
175
Линейное дифференuиальное уравнение (6.9) решается
относительно давления р х в виде
х
х
х
Рх=ехр(-JРdx)[SQехр(JРdx) dx +С], (6.10)
х,
где Р, Q - соответственно сомножитель при Рх и свободный
член в выражении (6.9); С-функция распределения нормаль
ных контактных напряжений по ширине калибра на входе в
очаг деформации и выходе из него (соответственно х1 =
= XRx, где Хвх - координата точки входа заготовки в очаг
деформации и х1 = О), С= р (х1, 0).
Положение нейтрального сечения (i- = О)
опредеJштся
функцией Хн (6) после решения уравнения
Хн
хн
Хн
ехр(- J Ротстdx)[J Qотстехр (S Ротст dx) dX +
Хн
Хн
хн
+ ~2 (иsо + <J~x)] = ехр (-S Ропер dx) [S Qоперехр (S Ропер dx) Х
о
о
о
Х dx + 1⁄2(as, + а~ых)],
(6.11)
Где р отст, Qотст, р опер, Qопер - соответствующие фуН:<ЦИИ,
определенные для зон отставания и опережения; и,;х, Unыx -
осевые напряжения от внешнего воздействия соответственно
на входе в очаг деформации и выходе из него; ~2 = 1 -
-
(2л0)2 - коэффициент [115] .
Определив х11 (6) решением (6.11), окончательно получаем
для зоны отставания на валке (х > Хн)
х
х
х
Р~тст = ехр (- S Ратот dx) [S Qотсею ехр (S Ротст dx) Х
Хdx+~2 (aso+<J~x)],
для зоны опережения на валке (х < Хн)
х
х
Р~пер = ехр (- JРопер dx) [SQопер ехр Х
r
о
х
Х (S Ропер dX) dx + ~2 (asl + U~ых)J.
о
17.6
(6 .12)
(6.13)
Коэффиuиент ~1 , отражающий
влияние неравномерности дефор
мации на напряженное состояние ,
запишем в виде
~
1 = leo(Х, 0)- !Ie(х)][ёо(х)-
-μе (Х)]- 1 ,
(6.14)
где ео, ёо- деформаuия по стенке
в данной точке и средняя дефор
ма uия по стенке в данном диа
метральном сеч-ении; μ, -
сред
няя осевая деформаuия в данном
п,,
f,3
1,1
диаметральном сечении очага.
0,9
Величины ах, Хвх, Н опреде-
ляются геометрией очага дефор- 0,7
мации и кинематическими пара- 0,5
метрами прокатки.
На рис. 72 приведены расчет- o, 32r tв f5 12 в 5 3 х,нн
ные значения величин нормаль-
ного напряжения Рх и коэффици- Рис. 72. Зависимость значения
ента подпора nп = pxfas в раз- Р.~ и коэффициента подпора пп
личных сечениях очага дефор- от координаты х при прокатке
труб 58 х 5 -мм из за готовки
мации при прокатке на цилин- 63Х7 мм (сталь 20) при еле·
дрической плавающей оправке. дующих значениях 6:
Характер изменения расчетных 1 ~ о; 2 - зо0; з - 60°
значений исс;1едуемых вели-
чин согласуется с экспериментальными данными работы [115].
Практически разработанная методика использована для
расчета динамических параметров прокатки на автоматиче
ском стане установки «140» [117].
2. Непрерывная проRатка
В данном исследовании сделана попытка разработать общую
математическую модель непрерывной (многоклетевой) про
дольной оправочной прокатки труб. Для реализации постав
ленной цели использован вариационно-энергетический метод
решения задач теории пластичности. В работе [118] на основа
нии обобщения многочисленных экспериментальных иссле
дований авторы приходят к выводу о том, что несмотря на
значительную разницу в радиальных обжатиях между вер
шиной и выпуском калибра, средний коэффициент вытяжки
одинаков для вершины и выпуска. Это позволяет принять
в качестве исходной следующую функцию распределения
i77
осевой скорости v2 по очагу деформации
V, = Vofte,
(6.15)
Скорость v0 направлена вдоль оси прокатки_Z . Система
координат расположена таким образом, что ось Z направлена
против хода прокатки. На входе в очаг деформации z = lд,
анавыходеz= О.
Анализ геометрических соотношений позволяет получить
зависимость [119]
[
Рв 2(2~
)]2
1+-+-- - -е
-
~
'н . о лrн.о 2R11
μе=
( Рв)2
1
1--
'н.о
(6.16)
rдеРв= ,11 -
б; rн.о - наружный радиус поверхности заго
товки до деформации (для овализованной заготовки - сред
ний наружный радиус) ; Гн - радиус наружной образующей
поверхности заготовки в очаге деформации.
Подставляя (6.16) в (6 . 15) и дифференцируя полученное
выражение по координате z, получаем значение скорости осе
вой дефо рм ации
(6.17)
Для скорости радиального течения Vr зададим координат
ную функ цию
(6.18)
Функция (6.18) удовлетворяет кинематичным граничным
услов иям
Vr Jr=pв = О;
~: \г=гн =ff ·
(6.19а)
(6.196)
Граничное условие (6.196) отвечает наличию движения
металла по касательной к поверхности валка (условие сколь
жения).
Из вы ражения (6.18) определяем скорость радиальной де
формации
(6.20)
178
Координатная функция скорости тангенциального течени я
должна отвечать следующим граничным условиям:
дvе 1
ve\e=o = О, д<Э
=О;
0=0
ve/n=О;
6=2
1дv
~+и,+.+.
-
о
,
де,
е, ez-
•
(6.21а)
(6. 21 б)
(6 . 21в)
Необходимость соблюдения условий (6.21а,б) обусловле
на симметрией анализируемого процесса. Выражение (6. 2 1в)
представляет собой условие несжимаемости (2.12а), выпол
нение которого необходимо по физическому смыслу рассмат
риваемой задачи.
Зададим функцию тангенциальной скорости течения в виде,
удовлетворяющем условиям (6.21а,б):
(6.22)
где А - некоторая координатная функция , обеспечивающая
выполнение граничного условия (6.21в).
Подставив (6.17), (6.18), (6.20), (6.22) в· (6.21в), после
ряда преобразований получим выражение для определения
искомой функции
е
А= -ехр{S 4л_ [(2:)
2
-
0,5] [1- (~)2Г1dе} х
о
е
е
х Jехр {J; [0,5 -(2:) 2
][1- (2:)2Г1de}х
о
о
х[(е,+ez)1+v,Jd0.
(6.23)
Значения скоростей сдвиговых деформаций '\',z, у0,, ,у20
при известных скорсс1 ях перемещений v,, v0 , v, определя
ются из уравнений (2.10) для цилиндрической системы коор
динат.
Мощность деформации трубы в одной клети при допуще
нии об отсутствии формоизменения вне геометрического оча га
деформации (зоны обжатия стенки на оправке) определ ится
следу1ощим образом:
л
п
2 1д'н f-1
2lд
Nк=4[S SS (STdH)ardzd<Э-j i 1:нИнrнdzd0-
оОР8l;
ОО
179
,t
.. :!.
21д
2 rно
- ssтвИвРвdzd0+~ ~ T0W0i0 d1·d0+
ОО
ОРв
л
л
2 'нl
2 'нО
+ssТ1W1 i drd0- s1cr~~;v0rdrd0-
ОРв
ОРв
л
2 'wl
-
)i cr~1Jv1 dr d0]к,
(6.24)
ОРн
где lд = lд (0); Ин, Ив - скорости относительного скольжения
на контакте металла с деформирующим инструментом, Ин=
= sign[+Vv;н+v;н- Vв]V(Vv~н+v;н- vв)2+v~н; Ив=
= V(i1v~в+v;0 -
Von) 2 +v~в; W - скорость движения точек
деформируемого металла в плоскостях среза, W = J/ v~ + v~;
1/J - коэффициент, учитывающий нелинейность поверхности
среза (границы очага деформации), ,р = cos arc tg :~д; к_ по
рядковый номер клети стана; «н», «в», «о», «!» -- индексы,
указывающие на то, что величины определяются соответст
венно при r=rн; r=p8 ; Z=lд; z=O.
Структура уравнения (6.24) следующая. Первое слагае
мое представляет собой мощность формоизменения, второе
и третье - мощность напряжений контактного трения со
ответственно на контакте металла с валком и оправкой, чет- •
вертое и пятое - мощность напряжений среза соответственно
на входе и выходе из очага деформации, шестое и седьмое -
мощность напряжений соо_тветственно заднего и переднего
натяжения или подпора.
Для многоклетевого стана суммарная мощность деформации
определится из выражения
к
N=~Ni<, к=1,2,3, ..., К-1,/(, (6.25)
K=l
где К - число клетей, участвующих в деформации заготовки
в данный момент времени.
Анализ выражений (6.24), (6.25) показал, что, при сум
мировании по индексу «к» мощности, развиваемые напряже
ниями онешнего воздействия cr<0>, cr(l> в межклетевых проме-
вн
8,1
180
жутках, взаимно сокраща
ются, мощность среза на
выходе и з очага деформаuии
р авна нулю.
При заданной скорости
вращения валков уравнение
(6.25) включает две неиз
вестные величины: скорость
осевого движения трубы на
входе в первую клеть t.100 и
ос~вую скорость справки Vp.
В, соответствии с экстре
мальными энергетическими
принципами значения и00 и
tlp должн ы обеспечивать ми
нимизаuию функционала N .
для г рани чно заданных ус-
{ра!ШЦ(l 111/ага !Jеtрорнацuц
о,f
1t"
2
Рис. 73, Лннни равных зна<Jений па
раметра п, = ап/2Т на внешней по
верхности мн·отовки при свободной
прокатке в одно1,летевом стане с об
жатием 33 %
ловий фо рмоизменения. Необходимое
минимизации N имеет вид [55]
и достаточное условие
{6.26а)
(6 ,2 66)
(6.26в)
(6.26г)
(6.26д)
где v0 0, Vp - корни системы уравнений (6.26, а, б), удов
летворяюш,ие условию (6 .26в) .
Исходно принята гипотеза усреднения осевых скоростей
течения v, по ширине калибра и толщине стенки заготовки,
поэтому можно счи1ать, что очаг деформации ограничен плос
костями z = О и z = lmax• Максимальная длина очага дефор
мации lmax определится из условия
дlд .
д<Э=О,
(6.27а)
(6.276)
Значения величин v00 и Vp, подставленные в соответст
вующие уравнения, позволяют рассчитать поля скоростей
181
течения. Используя уравнения (2 .6) и (2.9), можно опреде
лить поля напряж~ний в очаге деформаuии. В рассмат,~и ваемой ·
задаче осевое напряжение 02 определяJiи по одному из диф
ференциальных уравнений равновесия, а остальные напряже
ния - из уравнений (2 .9), при таком подходе к решению за
дачи формуJiы для определения нормальных напряжений
имеют вид
(6 . 28а)
(6.286)
t
а.=- r(iJT,z +Trz + _!_ дт,z)dz+а(О)
•
,) дг
r
rд0
вн ' (6.28в)
1ma"
т.
т,
Где <t,, = Н '\',z; 't0z = Н "rez·
Как следует из выражения (6.28в), осевое нормальное на
пряжение не удовлетворяет граничному условию z = О, 0 2 =
= o~1J. Добиться соблюдения указанного граничного условия
можно введением в исходные уравнения течения дополнитель
ных коэффициентов или функций, подлежащих определению
из уравнения 0 2 lz=o = а~~. Однако при таком подходе реше
ние задачи значительно усложняется, поэтому при реализа
ции математической модели на ЭВМ значения Voo, Vp нахо-
дили из системы
о
[-s
1max
уравнений
дN
-д =0;
vp
(6.29а
где r, 0 - средние значения координат в сечении выхода из
очага деформации.
На рис. 73 представлена типичная расчетная эпюра рас-
а"
пределения относительного радиального напряжения п, = '2.Т
по поверхности контакта заготовки с валком при прокатке
без натяжения (о(0> = am = О)
вн
вн
•
Глава седьмая
РЕДУЦИРОВАНИЕ ТРУБ
1. Изменение средней толщины стен:ки
Процесс безоправочной прокатки (редуцирования) являет
ся наиболее распространенной завершающей операцией для
большинства технологических схем производства труб. На
личие редукционного стана позволяет резко сократить сор
тамент типоразм_еров труб, производимых на основном агре
гате установки, что положительно сказывается на технико
экономических параметрах всей технологической линии в
целом.
Одна из органических особенностей процесса безоправоч
ной прокатки труб - неравномерность радиальных деформа
ций по пе риметру исходной заготовки. При прокатке заго
товки с равномерной стенкой в одной клети это приводит
к появ лен ию поперечной разностенности на трубе (отклонению
внутрен не го контура поперечного сечения трубы от круга);
при непрерывной безоправочной прокатке заготовки в не
скольких клетях происходит аддитивное накопление искажений
профиля внутренней поверхности, в результате чего в реаль
ных условиях внутренний контур поперечного сечения трубы
после редуцирования приближается к формё правильного мно
гоугольника («граненость» трубы), размеры, число граней
и ориентация которого зависят от конкретных условий про
катки: величины обжатия по радиусу трубы, характера его
распределения по ширине калибра, числа валков в r<алибре
и взаимного расположения их в клетях и группах клетей,
натяжения между клетями стана, толстостенности и материала
прокатываемой трубы, в меньшей степени - овализации тру
бы, коэффициента внешнего трения, калибровки валков .
Вторая характерная особенность процесса редуцирования -
изм~нение средней толщины стенки исходной заготовки в про
цессе деформации. На величину и характер этого изменения
влияют показатель исходной тонкостенности заготовки Т =
=S0/D
0
(здесь S 0
,
D0
-
соответственно толщина стенки и диа
метр заготовки до редуцирования) и коэффициент пластиче
ского натяжения z(т) = (J~т) / as (здесь а1т) - напряжение на
тяжения).
183
t: ,"
01
z
"'
]
(/)
2l,
Рис. 74. Схема к определению длины вон Бнеконтактной деформации и
изменения средней толщины стенки при редуцировании
Ниже сделана попытка создать аналитические модели из
менения средней толщины стенки заготовки и форм ирования
поперечной разностенности трубы при редуцировании. При
решении поставленной задачи мы использовали в качестве
исходных некоторые результаты эмпирических и анали •
тических исследований, выполненных А . П. Чекмаревым,
А. А. Шевченко, В. П. Анисифоровым, Г. И . Гуляевым,
В. Л . Колмогоровым, В. К. Смирновым, В. В. Ер иклинце
вым и др.
Идеализируем процесс редуцирования следующим обра
зом (рио. 74), исходная заготовка представляет собо й цилинд
рическую бесконечно длинную трубу G пооrоянной по пери
метру и длине толщиной стенки; в зоне контакта деформи рую
щего инструмента и заготовки внешняя поверхность послед
ней обжимается равномерно по периметру на величину Лrн;
вследствие обжатия заготовки в контактной зоне (2/1) ее
материал подвергается формоизменению и во в неконта~<т
ной зоне, размеры которой равны 2 (/ 2- /1); на матЕ риал за
готовки во внеочаговых зонах воздействуют осевые раатя ги
вающие напряжения а<~) = ar;> = Gz; на поверхности контакта
заготовки о инструментом отсутствуют напряжения внеш
него контактного треJ;Iия.
184
Задача сводится к определению величин зоны внеочаговой
деформации и изменения исходной толщины стенки заготовки
S0 как функ ци й размеров заготовки (S 0 , D0 ), величины напря
жений на тяжения oz и механ ических свойств деформируемого
материала.
Для решения задачи используем исходное приближающее
уравнение радиальных перемещений в контактной зоне [26]
и методику поиска размер ов зоны вне~юнтактной деформа
ции [50]. Вследствие симметрии процесса во всех приве
денны х_ ниже выкладках рассмотрим половину заготовки
(z> О).
З апишем исходное приближающее уравнение для распре
деления радиаль ных перемещений в зоне контактной дефор
мации (О .;;;; . z .;;;;. /1):
J( r'l.
-
r2
)
и1= -
а-"-- -
rнЛrн •
r
r
2
(7.1)
В соответствии с (7. 1) компоненты Те, удовлетворяющие
(2.12а), определятся следующим образом:
е=
н
•
!
1(
,2-
,2
)
е г2 а-2- - rн.Лrн
·,
е~=а;
'\';,=о.
(7.2а)
(7 .26)
(7.2в)
(7.2г)
В соответствии с (7 . 2в) искомый коэффициент ai = а исход
ного прибл ижающего уравнения (7 .1) по физическому смыслу
представляет собой осевую деформацию в зоне контактной
деформации. Используя (7.2а-г), получаем значение интен
сuвности сдвиговых деформаций в зоне контактной деформа
ции
r1 = ~ V(Зr4+,:)а2+4(Лги - аrи),,д,н- (7.З)
Для зоны внеочаговой деформации функции перемещений
и деформаций должны удовлетворять граничным условиям
185
(7.4а) ,
(7.46)
(7.4в)
(7.4г)
Необходимость соблюдения граничных условий (7.4) опре
деляется следующими соображениями: на границе зон контакт
ной и внеконтактной ·деформации радиальные перемещения
стыкуются (7.4а); на этой же границе стыкуются значения
всех компонент Те (7.4а;б); на границе зоны внеочаговой де
формации и недеформируемой жесткой части заготовки стыку
ются как значения радиальных перемещений, так и значения
всех компонент Те в соответствии с условиями ц~1 = О , еiк.= О
(7.4в,r).
Представим функцию радиальных перемещений в зоне
внеконтактной деформации в виде
!1
1
ф
и, =и,+ (z).
(7.5)
В соответствии с (7.4) функция Ф (z) в выражении (7 .5)
должна отвечать граничным условиям
(7.6а)
(7.66)
(7.бв)
(7.бг)
Подберем функцию Ф (z), удовлетворяющую комплексу
граничных условий (7 .6 a-r). Пусть
Функция (7.7) удовлетворяет (7.6 б, г) .
Проинтегрируем (7 .7):
(7. 7)
Ф= A(r)I(z - li)(z - !2)dz+С(r),
(7.8)
где С (r) - функция, удовлетворяющая (7.ба).
186
Определив С (r), получим
Ф=А(r)jz[z(!...
-
11 +l2) +[1t2] +1(-
~- ~)}. (7.9)
lз
2
2з
12,
Функцию А (r) определим из условия удовлетворения
функцией (7.9) граничного условия (7.бв). После соответствую
щих преобразований nолучим окончательное выражение для
искомой функции Ф (z), удовлетворяющей комплексу (7.ба-г)
ф(z) = -би~tz[z(1⁄2- 11t!2)t1!2] +1⁄2z:(1⁄2- ~)}
U1-l2)З
(7.10)
Подставляя (7. 10) в исходное выражение для радиальных
перемещений (7.5), после соответст_вующих математических
преобразований получаем значения компонент тензора Те
для зоны внеочаговой деформации
~
Ф (z)
rдe<p(z)= -1 .
иг
е~1= е~[l- бёр(z)];
е~1=е~[!- бiр(z)];
е~1 = е~[1- б<jJ(z)];
{7.Jla)
(7.J!б)
(7 . Jlв)
Интенсивность сдвиговых деформаций во внеконтактной
зоне определится выражением
/•
36(и1)~(z l)2(z- /)2
r11=l (Г1)2[l-6cp(z)J2+
,
U1- = ..;2)a
z. (7.12)
Выдвигая условие минимизации полной работы деформа
ции, оп ределяем значения постоянных а, [2 из системы урав
нений
2л'н11гl
д~ts s.\[Sт(Г)dГ]dzdrdrд+
О,8ОО
211 'н l, rll
+JJJ[JТ(Г)dГ]dzdrd8-
О,8/1О
2n rн
-
j' Jаzи1'lz=I, dr d6} = о
(7 .13)
О'в
187
а
м
!,д
f,2
1,0
P,tJ
0,9
оО,?.0,4о,е0,8z
Рис. 75. Расчетная sависи
мость а от Z= а3а-1 при
Лгнг;- 1 = 0,12
s
AS,·to!Z
е
f;O,f4 •
4
"~
-4
\. ~ Р,11
\.
-1
\.~
'\ \,
/)
Р,25"
17,SO
Рис. 76. Эмпирические (сплош
ные линии) и расчетные (пунк
тир) зависимости ЛS1 (Z, Т')
где П = (а; !2); и~1 lг~1, - осевое перемещение на границе
зоны формоизменения,
1.
u11/ 1= Се11dz+е1/
ZZ=!
JZ
21•
t,
На рис. 75 приведены расчетные значения функции а=
= а (Z, Т), полученные при реализаuии системы (7.13) для
случая деформации идеально пластичного материала (здесь
а = ar" 6r;-1). Заметим, что при 7'-+ О значения а, рассчи
танные по (7 .13), сювпадают со значениями а, рассчитанными
по методю{е В. Л. Колмогорова:
a=}(1+v4~зz2)·
(7.14)
Значения коэффициентов ёi позволяют определить пара
метры относительного изменения средней толщины стенки при
редуцировании по одной из _трех приведенных ниже формул
188
ЛS _лs0 _(l-a(l-T)JT.
1- ЛD
-
1-27'
л-S _ЛS 0 _ [1-a(l-T)Je.
2-So-
1-2Т
'
ЛSз=~
•
l + 1-а(\
-
Т)(t - Dп)'
So,
! -2Т
Do
(7 .15а)
(7. 156)
(7. 15в)
где ЛS0 - абсолютное изменение средней толщины стенки за
готовки в результате редуцирования, ЛS 0 = Sп - S0; S0, Sп -
абсолютные значения средней толщины стенки соответственно
до и после редуцирования; ЛD - абсолютное обжат ие по диа
метру, ЛD = D0- Dп; D0, Dn - диаметр образующей внеш
ней поверхности в контактной зоне соответственно до и после
редуцирования; е - относительное обжатие по диаметру, е =
ЛD
- 75;-
На рис. 76 приведены расчетные и эмпирические зависи
мости ЛS1 (Z, Т) (эмпирические графики rюстроены по дан
ным исследований [120]). Близкое совпадение расчетных и
эмпирических значений исследуемого параметра позволяет ре
комендоRать результаты проведенного исследо1:1ания для nра!{
тическоrо использования.
2. Формирование поперечной разностенности
Гео,иетрические соотношения в очаге дефор.мации . По мате
матической сути определение геометрических параметров оча
га деформации при продольной прокатI<е труб сводится к ре
шению задачи о пересечении поверхностей валка и заготовки
[121, 122].
Уравнение контура наружной поверхности идеал ьно круг
л ой (неовализованной) заготовки в системе координат хО у
(рис. 77) имеет вид
r~ = х2+у2•
(7. 16)
Уравнение контура поверхности калибра · в плоск ости осей
валков (z = О) запишем в виде
R;<л = х2 +(у+ е)2,
(7.17)
где Rкл - радиус калибра.
Радиальное обжатие за проход определится из выражения
Лrно=Гн- Гт,
(7.18)
где rт - внешний радиус трубы после деформации в данном
I<алибре, rт = О В.
Из треугольника 0В01 определим
Rкл sin [0 - агс sin (eR;-,.
1 sin 6))
Гт = -----s .....,i_n .... .,0,---------
C учетом соотношения (7 .18) получим
{ Rклsin[8-arcsin(eR;;sin8)]}
Лrно=rн 1-
•0
•
fнSIП
(7, 19)
(7.20)
/
/
/
/
/
/
~
.
\у
RI IE --~---
1-::::=r
.
..........,
Ри с . 77. Схема очага деформации
\
Распределение функции обжатий по длине и ширине очага
деформации получим, рассмотрев его сечение диаметральной
плоскостью валка, следом которой на поверхности последнего
. является
линия ED. Суммарное высотное обжатие по этому
произвольному сечению определится как
Лrно =Ув - r.-cos0,
(7.21)
rде ув - ордината точки Е.
Значение ув получим, подставив в уравнение контура по
верхности заготовки (7 .1 6) выражение
Хв= Гтsin0 .
ПocJie преобразований пол учим
у=V,2-
,2 sin2 0.
Е
н
т
(7.22)
Лодста вив (7.22) в (7.21), получим для плоскости выхода
из оча га деформации (z = О)
Лrно = Гт(V,2,-2
-
siп2 0- cos 0).
.
нт
(7.23)
Зная величину Лrн и значение радиуса валка как функ
цию угла е
(7 .24)
19()
по известной из теории прокатки формуле определяем значе
ние текущей длины очага деформации
lд = V 2RЛrно-
(7 .25)
Функция распределения высотных обжатий с учетом зави
симости (7.25) принимает вид:
(7.26)
Из треугольника ОтВ (точка т (рис. 77) - произвольная
точка на контактной поверхности в произвольном продольно м
сечении очага деформации) определим функцию распределе
ния радиальных обжатий:
sin (Э
Лrн = rн-Гт-.--,.
S!П (jJ
(7,27)
Угол ер' определим из системы уравнений, связывающи х
геометрические параметры:
z2 -2Rгт е
tg[0,5(ер'- ер~)]+z2+2R,тtg2= О; epi+(р'- 0 =О.(7.28)
Координаты точки пересечения контуров поверхностей за
готовки и калибра, определяющие точку отрыва металла от
поверхности валков на выходе из очага деформации, связаны
соотношениями
1(R~л-г~ )•
Ук.=2
е -е'
.
Ук
хк: = аrсsш-
гн
(7.29}
Значение угла выпуска 0у. в определится из выражения
D.
.
Ук
uy.в =arcsш-
.
ГН
Таким образом, геометрические параметры очага деформа
ции полностью определены.
Как известно, реальный процесс прокатки труб в овальных
калибрах многовалкового безоправочноrо стана заключает
ся в деформировании овализованных труб с обжатием в на
правлении большей оси овала. Очевидно, что в процессе про
хождения очага деформации контур поперечного сечения тру.
бы при переориентации овала обязательно принимает форму•
близкую к кругу.
Анализ экспериментальных и расчетных данных работ
[120-122} показал, что при безоправочной прокатке труб
191
заполнение калибра металлом практически осуществляется
пблизи первичного контакта трубы с валком. До этого момента
труба подвергается в основном сплющиванию без существен
ного изменения периметра [123]. При этом прокатка овальн ой
и округленной трубы сопровождается . практически одина l{о
вым расп ределением радиальных деформаций по перимет ру
трубы [120 ].
Для упрощения модели деформирования принимаем, что
округление трубы совпадает с моментом заполнения 1<алибра
металлом, а протяженность очага деформации принимаем рав
ной некоторой средней его величине по ширине I<алибра.
Учитывая малые деформации и овальности применяемы х
при редуцировании калибров и имеющуюся их взаимосвязь,
допустимо принять, что диаметр округленной задаваемой
в калибр трубы равен ширине калибра.
Геометрические соотношения в очаге деформации упроща
ются при прокатке без зазора между валками (0у.в= О). При
этом
Rкл= Vr~ +е2•
(7.30)
Формулы (7 .23) и (7.25) можно значительно упростить. Из
геометрических соотношений (см . рис. 77) следует
(7 .31)
Тогда выражение (7.18) с учетом (7.30) и (7.31) приводим
,({ виду
Лrноle=O =VR~л- е2- Rl(JI +е.
Так как е ~ Rl(л, то можно принять, что Лr11о (Е> =О)~ е,
высотные обжатия по периметру калибра меняются незначи
тельно (Лrно = const ~ е), а радиальные обжатия можно свя
зать с высотным соотношением Лrн ~ Лiн cos е. С учетом уп
рощений среднюю длину очага деформации принимаем равной
lд ~ V2еRв = const.
(7 .32)
Радиальное обжатие определим выражением
Лrн=(1- ~)еcos0.
(7.33)
В табл. 7 приведены сравщпельные результаты расчета
rеометр и ческих параметров по точным и приближенным фор-
. мулам.
Из приведенных данных следует, что различия в зна
чениях величин, рассчитанных по точным и приближенным
формулам, невеликн. Это позволяет нспользовать в дальнейшем
анализе выражения (7.32) и (7.33).
192
-q
°'
Таблиц а 7. Расчетные значения геометрических параметров при r н = 50 мм, е = 5 мм, z = О (сечение выхода из
~ очага деформации)
"'
ф
v-'
Параметр,
мм
л,н
л,н
'т
л,н
R
lд
lд
R
lд
'•д
1
1
л
л
100
18
4 ,75
4,68
5,00
4,97
45,25 45,32
4,75
4,75
50,02 50,62
21,80 21,93
150,02 150,62
37,75 37,83
Те"ущее значение координатного угла е, рад
1
1
1
1
1
л
л
2:п
5:п
л
7:n
9
6
9
18
-
18
3
4,48
4,14
3,70
3,11
2,44
1,68
4,70
4,33
3,83
3,21
2,50
1,71
45,52 45,86 46,30 46,89 47,56 48,32
4,74
4,72
4,71
4,64
4,56
4,40
52,47 55,53 59,77 65,09 71,45 78,70
22,30 22 ,90 23,73 24,58 25,53 26,32
22,36
1
15 2,47 155,53 159,77 165,09 171,45 178,70
38,02 38,32 38,79 39,14 39,54 39,66
38,73
Примечания
1
1
Jt
4Jt
Расчетная / R мм
9
2
формула
в•
0,86
о
(7.27)
-
0,87
о
(7.33)
50
49,14 50,00
(7. 19)
-
4,03
о
(7.26)
-
86,68 95,25
(7.24)
50
26,43
о
(7.25)
50
(7.32)
50
186,68 195,25
(7.24)
150
38,79
о
(7.25)
150
(7.32)
150
Идеализация реального процесса. В основу идеализации
процесса редуцирования трубчатых за ГОТ!)l'ЮК в одной клети
по системе круг - овал заложено допущение об идентичности
деформационных параметров процессов прокатки и осадки
фигурными бойками. Сделанное допущение базируется на ре
зультатах разработки АММ изменения средней толщины стен
ки заготовки.
Проведем анализ следующей идеализированной схемы
формоизменения. Исходная цилиндрическая заготовка со
стенкой S 0 в начальный момент входит в контакт с бойком,
который плотно облегает ее на участке длиной lд, Далее ги
потетический боек - пластина
-
начинает изменять свою
форму таким образом, что в конце этого процесса заготовка
принимает вид заторможенной в очаге деформации однокле
тевого редукционного стана трубы. Иными слова ми , в ходе
акта формоизменения боек принимает форму контактной по
верхности очага деформации редукционного стана.
Принципиально замена истинной картины пластического
течения предложенной идеализированной моделью процесса
базируется на допущении о том, что параметры течения не
зависят от истории нагружения (деформирования) и однознач
но определяются исходными и конечными значениями состав
ляющих девиатора деформаций . В результате деформации тол
щина стенки исходной заготовки S 0 изменяется до S 1 . Тол
щина стенки изменяется относительно исходной величины
S0 таr(, что полная работа формоизменения принимает ми
нимально возможное по гранично заданным условиям де
формирования значение.
Цель дальнейшего решения - выявление функциональ
ной зависимости S 1 = S 1 (z, 0), удовлетворяющей условию ми
нимума энергетических затрат для конкретных граничных ус- ·
ловий.
KuнeJrtamuч.ecкu возможные деформации и перемещения.
В работе [124] Г. И. Гуляевым на основании обработки эм
пирических данных получены аппроксимирующие функции
для определения радиальных и тангенциальных деформаций
в диаметральном сечении зоны формоизменения при холод
ном редуцировании труб в двухвалковом калибре . После
некоторых преобразований в безразмерном виде указанные
зависимости можно представить в виде
(7.34а)
(7.346)
194
где Лr~ - абсолютная величина текущего обжатия по радиусу
заготовки в вершине калибра (0 = О).
Из системы (7.34), используя (2.12а), получаем значение
осевой деформации
(7.35)
Условие (7.35) указывает на то, что при холодном редуци
ровании имеет место высокая степень усреднения осевой де
формации как по толщине стенки заготовки, так и по ширине
калибра. Этим, вероятно, объясняется малая граненность
труб при холодном редуцировании в шлифованных валках .
По данным Г. И. Гуляева [124], снижение степени чистоты
обработки поверхности калибра и повышение температуры
прокатки, т. е : увеличение напряжений контактного трения ,
существенно повышают неоднородность деформации (особен
но по периметру) и, как следствие, увеличивают поперечную
разностенность труб. Так как целью проводимого иссле
дования является разработка универсальной АММ формиро
вания поперечной разностенности при редуцировании, в ка •
честве исходных подходящих уравнений примем следующие ~
(7 . Зба)
(7.366)
где А 1 , А2 - некоторые 1шординатные функции, предположи
тельноотеиr.
Из системы (7 .36) следует, что в рассматриваемом случае
величина осевой деформации выражается более общим, чем
(7.35), уравнением
1(
z2)
е2=Rе- 2R (А1+AJ,
нI
в
(7.37)
откуда видно, что по своему физическому смыслу коорди
натные функции А i характеризуют неоднородность распре
деления осевой деформации по толщине стенки заготовки и ши•
рине калибра.
Используя (7.366), определяем закон распределения ра
диальных перемещений в очаге деформации
ur ....
195
rде С1 - постоянная интегрирования, численно равная ра
диальному перемещению из контактной поверхности.
Подставляя в (7 .38) значение
Cl = - (е- 2:JCOSЕ),
(7.39)
после интегрирования и преобразований получаем
г
Ие= (2~8
- e){(f-l)[a1(~~)2 +а2]+~ JA2 dr+cos0}.
-
rн
(7.40)
Подставляя уравнение связи тангенциальных и радиаль
ных перемещений с тангенциальной деформацией e8 r =
дие
= ае + и, в выражения (7 .36) и (7.40), получаем
г
-
~· A2dr)- cosе].
'н
(7 .41)
Из (7.41) определяем координатную функцию распределе
ния тангенциальных перемещений в очаге деформации
е
,2
2
)S[ (20) 2
1(
ue=(2Rв-е а1.-л +а2+;:А11'-
о
,
-
~А2dr) - cos0]d8+С",
rн
(7.42)
где С 2 - постоянная интегрирован ия, численно равная тан
генциальному смещению в вершине калибра (при 0 = О).
Исходя из условия симметрии параметров деформации от
носительно вершины калибра, можно утверждать, что имеет
· место равенство
(7.43)
Из (7.43) следует, что С2 = О и, таким образом, после
интегрироrания (7.42) получим
196
,,
) A2dr)d0- sin0]}.
(7.44 )
В соответствии с условием симметрии должно соблюдаться
кинема тичес кое граничное условие
(7 .45)
Значения Ai будем искать из условия соблюдения функ
цией тангенциальных перемещений (7.44) кинематического
ограничения (7.45).
Подставив (7.45) в (7.44), получим
л
2
r
х(A1r ~sA2dr) d0 = [1- (~ +а2)~] rн• (7.46)
О
'н
Решение интегрального уравнения (7.46) невозможно без
введения дополнительного допущения о характере функций
Ai.
Предположим, что координатная функция изменения осе
вых деформаций ez по ширине калибра имеет вид
,
z2)л+л
ez=в(аз+G4cos20+G7sin20cos20)(е- 2-R
-
1--11
•
,
в'н
(7 .47)
Выбор вида функции ez = ez (0) не случаен и основывается
на необходимости соблюдения ограничений
деz! деz 1
=О,
де0=о=де 0=~
(7.48)
вытекающих из условий симметрии. Нетрудно убедиться в том ,
что если параметр В, входящий в (7.47), не является функцией
угла <Э, условие (7.48) выполняется тождественно .
Далее предположим, что Ai можно представить в виде
соотношений
Ai= А(0)л1;
А2=А(0)л2,
(7.49)
(7.50)
где лi - I<оординатные функции от r либо константы, j =
=
1; 2.
Подставляя (7 .47)-(7. 50) в (7 .37), после преобразовани й
получаем
А(0)=В(а3+а4cos20+а7sin20 cos20). (7.51)
197
Подставляя (7.49)-(7.51) в (7.46) и интегрируя , получаем
соотношение
r
В ('л1r - ~ 'л2dr) = В1rн,
(7 .52)
Гн
где
а4 а1
аз+2+8-
Уравнение (7 .52) содержит три неизвестных - В, 'л1 , л 2 ,
и любые значения этих величин, удовлетворяющие соотноше
нию (7.52), можно принять за подходящие в смысле выполне
н ия условия (7.45). Этот факт предопределяет определенный
п роизвол в определении значений В, 'л1 , л 2 . В работе [125]
п редложено решение
'л1= "'2.
1;]
В =В1,
а7=О.
(7 .53)
Используя (7.53) в ранее полученных выражениях для
о пределения деформаций, получаем в окончательном виде
е0 =(~-1){~ [а1 (2:) 2 +а2]+
(3⁄4-i-a 2) (1 +a5 cos2 0)l
+
1 + О,5а5
fв;
(7 . 54а)
Cг=(1-fz){i[a1 (2п0) 2 +а2]+
д
(i+а2-
: ) (1+а5cos20)}. •
+
1 +О,5а5
8'
(7. 546)
ei=2: аь(1-
~) (~-~
-
а2)(1+а5cos2 0),
д
(7.54в)
где а5 = а4/а3; е = е/rн,
Значения сдвигов.ых деформаций можно определить, лишь
зная перемещения . Величины иг и u0 определятся из (7. 40)
и (7 .44):
198
(3⁄4--;!-а2)(\ +a5 cos2 8) (/;- 1) } .
-
~+о,Ба5
- c os0 ВГн, (7.55)
и0=(1-
~){(t+а2-{-)[0+ О,5а5(0+ 0,5sin26)]+
+ (1 + О,Ба5) [ sin е -(4:;:1 + а2) 0]} 1;';,Ба5 • (7.56)
Осевое смtщение определяем, используя уравнение связи
деформаций и перемещений
Иz=Sezdz+С8•
(7.57)
Постоянную интегрирования С 3 определим, исходя из
предположения, . что в очаге деформации имеется линия раз
дела течения металла, имеющая уравнение z = const. Будем
считать, что правомерно граничное условие
(7.58)
Подставляя значение (7.54а) в (7.57), после интегрирова
ния и подстановки (7.58) окончательно получаем
4(J--~ -а2)(1+а-cos20)
-
и- :п:
3
о [(/1-
~)!__-
z-
2+а5
.
зz; lд
2
-
(1- ; )а6]еlд,
(7.59)
. Испол ьзуя (7.55), (7.56), (7.59) в уравнениях связи пере
мещений и сдвиговых деформаций, можно определить Yrz,
'\',в• 'У2в·
Реализация .модели. Для определения величин искомых
коэффициентов щ (j равен 1; 2; 5; 6) воспользуемся уравне
нием принципа минимума полной работы деформации; систе
ма уравнений, из которой определим значения ai , имеет вид
г
д~i [S.\ J(.\ TdГ)dW- S\тИкоdS-
D
о
Sко
-
1· r\ (J(n)u(n)dF - r r (J(з)u(З)dF' = о
z*z
Jjz.z
j,
p(n°J
F(З)
(7. 60)
где D - объем геометрическо го очага деформации, ограни
ченного диа м етральными плоскостями z = О, z = lд и поверх
ностями образую.цих внутреннего и внешнего контуров заго-
199
то в ки; Sко - поверхность контакта заготовки с деформирующим
инструментом; Ико - перемещения материала заготовки на.
контактной поверхности; uJnJ, и1з> - перемещения границ гео-
ф
(П)
1•(3)
1
метрического очага де ормации, и, = u2 z=O, Иz
=
Иz z=zд;
а~~\ а~3; _, внешние напряжения натяжения соответственно в
сечениях z = О и z = lд; p<nJ , р<з; - площади диаметральных
сечений заготовки плоскостями с координатами z = О и z = lд
соот в етственно.
Рассмотрим более подробно структуру компонент уравне
ния (7 .60) . Идеализируя деформируемый материал как тело
Бингама (рис. 126), получаем
г
SSS(S Tdг)dw = SSS(ь~~ + k*Г)dw. (7.61)
D
О
D
Величина И ко определится из выражения
Ико = Vи;к + U~к,
(7.62)
где Иzк , Иек - осевое и тангенциальное перемещения на кон
тактной поверхности .
По своей физической сути процесс редуцирования сходен
с процессом прокатки высо,шх полос и характеризуется отно
сительно большими значениями напряжений -с (коэффици
ент трения при редуцировании лежит в пределах f = 0,35 7
7 0,45 при горячей и f = 0,20 7 0,25 - холодной прокатке)
и, как следствие, наличием зоны прилипания. В связи с этим,
используя результаты анализа, проведенного в § 3 гл. 2, для
определения напряжений -с используем условие (2.46), в ко
тором показатель трения fт (z) имеет вид функции (2.54), где
Х = z: Хн= анlд; fт, = r:1; fт2 = f~2 . Окончательно С учетом
.....
.....
противонаправлепности векторов i; и И ко получим
f J't'UкodS = - ) . ) fт (z) ТкоИкоdS,
(7.63)
s,<0
Sко
r де Т ко - интенсивность сдвиговых напряжений на контакт
ной поверхности.
После подстановки (7.61) - (7.63) в (7.60) и дифференци
рования по а1 получим в окончательном виде систему уравне
ний для определения искомых коэффициентов
Ф,Gj=О
(7.64)
(значение величины Ф . дано в квадратных скобках в (7 .60)). •
20U
Для решения системы (7 .64) относительно ai использова
ли итерационный метод , аналогичный методу простой итераци и
Гаусса - Зейделя, применяемому для численного решени я
систем линейных уравнений. Линеаризацию системы (7.64)
осуществляли путем замены в каждом из уравнений части не
известных их значениями из предыдущего цикла итерации .
В результате проведенных преобразований система распада
ется на четыре квазинезависимых линейных уравнения, чт о
достигается следующей схемой замен:
Ф, а, (а:, а1, ёi2, а5,а6)= О;
Ф,а,(а~. а:, а2, а5, а6)=О;
Ф, а, (а~, ёi~, а:, ёi5, а6) = О;
.Ф,
а,(а;, а:, «:, atа6)=О,
(7.65а)
(7 .656)
(7 .65в),
(7 . 65г)
где aj, ai - найденная и искомая в данном цикле итерации
величина; a i - величина, определенная в предыдущем цикле·
итерации.
Как известно, при использовании метода итерации перво
степенное значение для сходимости процесса имеет выбор на
чальных приближений . В рассматриваемой задаче область
поиска величин ai может быть ограничена н-а основании сле
дующих логических рассуждений.
При деформации без внешнего воздействия и при дефор
мации с равными или близкими по величине усилиями передне
го и заднего натяжения (подпора) должно соблюдаться условие
О< а6 < 1. Осевая деформация положитещ,на, поэтому в со
ответствии с уравнением (7 .54в) область физически допусти
мых значений а1 , а 2 , а5 определяется соотношением
(1+а5cos2 е)i~- l:! - а2')
-
-
--
~ · ~:ri:_
_ з__>O
(7.66),
1 + О,5а5
•
Блок-схема алгоритма расчета параметров а; по изложен
ной методике приведена на рис. 78. Значения а7 в каждом
из уравнений (7.65) находили методом половинного деления ~
подпрограмма расчета а7 в блок-схеме алгоритма не приведе
на. Для ускорения сходимости итерационного процесса об
ласть выбора нулевых приближений ai. определяли предва
рительным сканированием в пределах - 2 < a i < 2. Как
показали результаты расчетов, в указанных для а; предела х
даже при относительно крупной сетке сканирования можно
выбрать а;,, довош,но близкие к решению нелинейной системы.
К анализу процессов горячей и холодной прокатки под
ходили дифференциально. При горячей деформации в (7.61 }
20k
lfaqaлo
прогроu,чь1
llcxotltiь1e ila11t1ыe
';,S,,e,mc,RI, f,,,
f,,, Т(Г),rr;п; б1'!л1
l1r1J1e/J(J!e Лfl/JOЛIIJ/Шtllf! а.,,
nocлeilobalТlf!л!JlfOe
81/)1/ЦСЛ/!111.<е /Ш//ОММ,РО8
%lio 11ш1еар11зо8а1111ым
YpoP1tetfllllM
ЗаJнена начальн.
JIIO'lelflJtl flO/]IJНeffl/Jo/J
(lt!llle#ыx ЛfJIJO/IIJЖe1tllli)
(?4z:°4+д,
Зaмetttt umepup;,ш>ro!X
ЛCJ/](JМempo(J
l1tZ зt1а11етш, ПOIJ!Jt./!JHIФ!e
f iJШltlOM ({111(/ie llmf!fl{Щilll
1/ет
Рис. 78. Блок-схема алгоритма рас
чета коэффициентов а;:
Л/- заданная <rочность ло стабилизации
значений аi; А i - заданная область сходи
мости процесса итерации
принимали k*= О, а вели
чину bf определяли как
функцию среднего относи
тельного обжатия по зависи
мостям, аналогичным при
веденным на рис. 13. При
холодной деформации bf ,
k* в (7.61) вычисляли как
функцию средней интенсив
ности Г по схеме определе
ния констант уравнения ап
проксимации истинной за
висимости Т - Г, приве
денной в работе (26].
Анализ результатов ре
ализации л10дели. Реализа
ция изложенной выше мате
матической модели позво
лила определить значения
коэффициентов ai, входя
щих в уравнения, описыва
ющие процесс безоправоч
ного редуцирования труб в
одной клети по схеме круг-овал. В табл. 8 приведены значения
коэффициентов ai= а/те, Т) при горячей деформации труб
из нержавеющей и углеродистой сталей (здесь те= 0,637 е -
средняя частная деформация). Зависимости, представленные в
табл. 8, получены для случая прокатки без натяжения. Расчеты,
выполненные для случаев, когда имеет место переднее, зад
нее либо совместное натяжение, позволили получить графики
_
(Т-
(Л) (3))
Gj-ai,Е,аz,а2•
Обобщение результатов расчетов позволило предложить
аппроксимирующую зависимость
(7.67)
где щ0н - значение коэффициента с учетом внешнего воз
действия; щ - значение коэффициента, рассчитанное для
случая а~п) = а~з> = О; n1i- поправочный коэффициент, учи
тывающий влияние переднего натяжения, n 1i = nli (а 2 n); n2i-
nоправочный коэффициент, учитывающий влияние заднего на
тяжения, n2i = n2i (ёr23); nзi- поправочный коэффициент, учиты
вающий совместное влияние переднего и заднего натюе. ения,
nзi=nзi(ёrzпUzз);ifzn,Gz3 -
коэффициенты переднего и заднего
aln)
а~з)
пластического натяже.ния (условные), Gz л = -"-, az з = - * -
.
В· ат
Ват
202
Та б ли n а 8. Рас четные значения коэффициентов а i при горячем ре
,11;уцировани11
т
Среднее относительное обжатие те, % 1
214\б\8\10/12
Примечание
0,05
а1
0,41 0,50 0,59 0,68 0,73 0,79 У rлеродистая
а2
0,40 0 ,38 0,37 0,36 0,35 0,33 сталь
а5 -0,06 -0,10 -0,13 -0,18 -0,22 -0,24
0,10
al
0,65 0,66 0,77 0,83 0,88 0,91
а2
0,25 0,25 0,22 0,22 0,20 0,19
as
-0,08 -0,14 -0,19 -0,23 -0,28 -0,33
0,2()
а1
0,53 0,56 0,67 0,75 0,85 0,92
а2
0,20 0,19 0,15 0,12 0,08 0,05
а5 -0,16 -0,21 -0,26 -0,30 -0,35 -0,40
0,30
U1
0,38 О,43 0,52 0,62 0,75 0,85
а2
0,08 0,06 0,03 0,01 -0,02 -0,04
а5 -0,27 -0,31 -0,36 -0,40 -0,45 -0,49
0,40
б1
0,27 0,27 0,33 0,37 0,46 0,50
а2
-0,10 -0,10 -0,ll -0,12 -0,14 -0,15
as
-0,40 -0,42 -0,47 - 0,50 -0,56 -0,59
--
------ --
0,10
а1
0,50 0,64 0,90 0,97 1,02 1,04 Нержавеющая
а2
0,29 0,26 0,21 0,20 0 ,19 0,19 сталь
as
-0,10 -0,16 -0,21 -0,24 -0,30 ~О,33
0,15
al
0,53 0,69 0,93 1,03 1,11 0,16
а2
0,16 0,10 0,03 о -0,02 -0,05
а5
-0,12 -0,18 -0,23 -0,26 -0,38 -0,35
0,20
а1
0,53 0,64 0,89 1,00 l,10 1,13
а2
0,10 0,07 -0,01 -0,03 -0,07 -0,08
as
-0,18 -0,23 -0,29 - 0,32 -0,37 -0,41
0,30
а1
0,55 0,66 0,78 0,87 1,03 J,08
а2 - 0,20 -0,27 -0,30 -0,32 -0,36 -0,38
а5 -0,28 -0,32 -0,36 -0,40 -0,45 -0,50
Графики для определения поправочных коэффициентов n1i,
n2i, nзi приведены на рис. 79.
Формула (7.67) может быть использована для определения
коэффициентов а;0 н при редуцировании труб с показателем
тонкостенности Т < О, 10. К: сожалению, подобрать удовлет
ворительную форму аппроксимации графиков а;0н R интервале
f > О, 1О не представляется возможным из-за сложного харак
тера зависимостей. В этом интервале значений f необходимо
использовать непосредственно расчетные данные для каждого
конкретного случая.
Результаты расчета использованы для определения пара
метров формоизменения труб, редуцируемых по схеме круг-
203
п,1
_у/' Рис. 79 . Значения попра -
;:· ~~
-
~
--
:> о ,, 11ых коэффициентов п i
п,,
0,6
п,s
O,f
0,3м~n
n2i
п,
f,O
f,f
0,9
0,8
0,9
0,6
0,7
0,f О,'5 м бz,
O,f 0,3 0,5" 5;. 1r. ~
овал. На рис. 80 показаны расчетные и эмпирические [124]
значения абсолютного изменения толщины стенки ЛS. как
функции угла 0. Расчетное изменение толщины стенки опре
деляли как ЛSа= u,\r=rн- и,\r=rв, что с учетом (7.55)
после преобразований дает окончательное выражение
_·_
[(;!+а2-})(1 +a5 sin 2 0) а1 (~{ +а2 ]
лs2- е
1+о5
+
_
. (7.68)
,
а5
1-2Т
Близкое совпадение расчетных и эмпирических данных поз
воляет использовать выражение (7.68) для определения част
ных изменений толщины стенки по клетям многоклетевого ре
дукционного стана при деформации труб с показателем тон
костенности менее 0,l-0,12, так как в этом случае предвари
тельная овализация в (к-1)-й клети заготовки, поступающей
в к-ю клеть стана, практически не влияет на характер изме
нения толщины стенки.
При деформации более толстостенных труб (Т > О, 12)
предварительная овализация сказывается на характере фор
моизменения. Для учета этого факта воспользуемся следую
щим методологическим приемом. В работе [126] показано ,
что используя в качестве ядра аналитическую математическую
модель процесса и дополняя полученное решение эмпириче
скими поправочными функциями, можно анализировать весь
ма сложные условия пластического формоизменения. Посту
пим аналогичным образом и представим функцию истинного
относительного изменения толщины стенки в виде
(7 .69)
204
/:;Sa,MM
J,5
f=O ,J
3,0
7.,5
2,0°
f,5
f,O
0,5
о
0,5
t,O
f.,5
{о~ T=O,t
0,9
0,8
0,7
0,б
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о
!(
'1!
'1!
2'1! 5-п: '1! '
-
7тr: 4тr: @,pall
16g7978J7дg
Рис. 80. Эмпириuеские (/) и расчетные (2) зависимо
сти абсолютного изменения толщины стенки от ориен
тации относительно вершины калибра при редуниро
вании труб из углеродистой стали со средним отно
сительным обжатием 12 %
где ЛS 2 - относительное изменение толщины стенки, опре
деленное из уравнения (7.68) по условиям реализации мате
матической модели для деформации по схеме круг-овал;
Л1 - поправочная эмпирическая функция.
Используя эмпирические данные, Ю. Г. Гуляев и М. 3. Во
лодарский предложили сJrедующую формулу для определения
205
1,8
t,5
1,2
o,g
О,б
0,3
о
- 0,3
f,8
f,5
1,2
!J,9
0,б
0,3
о
-о,}
Т=О,3
T=O,Z
Рис. 81. Эмпирические (1) и расчетные (2) зависимо
сти абсолютного изменения толщины стенки от ориен
тации относительно вершины калибра при прокатке
предварительно овализованных (сплошные линии)
и неовализованных (пунктир) труб из углеродистой
стали:
те= 12 %; "'к-! = -1 ,11; "'к= 1,21
функции Л 1 , которая была получена с помощью алгоритма об
работки случайных эмпирических величин (см. рис. 43):
Л1 = - [(69,2вЛл + 8,7) Т- 1) (лк-1- 1) х
(20 )10-т
х(1+llв)1,Обвл ,
;
(7. 70)
где Лл - изменение овальн~сти калибров между соседними
клетями, ' Лл = лк - лк-t; Лк, лк-1-овальность соответст
венно калибра, в котором осуществляется деформация , и пре-
дыдущего калибра. '
-
·
206
На рис. 81 приведены эмпирические и расчетные данные об
изменении стенки предварительно овализированных и неова
лизированных толстостенных труб из углеродистой стали.
Близкое совпадение расчетных и эмпирических данных поз
воляет рекомендовать формулы (7.69), (7. 70) для расчета из
менения стенки при безоправочном редуцировании толсто
стенных труб.
3. Оптимизация процесса редуцирования
Выбор оптимальной схемы расположения оборудования . При
редуцировании труб в многоклетевом стане происходит ад
дитивное накопление изменений толщины стенки исходной
заготовки, в результате чего профиль готового изделия от
личается от идеальной равностенной трубы. Решающее влия
ние на характер изменения толщины стенки по периметру про
катанной в редукционном стане трубы оказывает схема вз а имо
расположения разъемов калибров клетей. Из конструктив
ных соображений угол смещения разъемов калибров сосед-
них клетей принимают кратным ~-
Далее будем характеризо
вать ориентацию двухвалкового калибра в пространстве уг-
лом ~к (О.-,,;: ~к< i-) между вертикалью ~ выпуском калиб
ра. Задача выбора оптимальной схемы расположения обору
дования сводится к определению комплекса значений Р"
(здесь Рк - угол, характеризующий расположение калибра
к-й клети) на основании условия
(7.71)
где ЛSк. - относительная поперечная разностенность готовой
трубы, ЛSк = (~5) ; ЛS - абсолютная поперечная разностен
s/(
ность, ЛS = Smax - Sm i n; S - средняя толщина стенки .
Для решения поставленной задачи на стадии проектиро
вания нового оборудования можно использовать метод пере
бора технически осуществимых альтернативных вариантов
расположения клетей. При этом необходимо последовательно
определить изменение толщины стенки по периметру трубы
в каждой клети стана, изменение наводимой поперечной разно
стенности трубы по клетям и поперечную разностенность го
товой трубы с последующим анализом и сравнением альтерна
тивных вариантов для рассматриваемых станов.
Такой подход был использован в работе [127] при проекти
ровании редукционного стана трубопрокатного агрегата
207
о
#,Ооl \//\~/\ с
r\ ~,-,; \ L/
\
о
о/
◊-о/
"'-о-0
10•5о
тт/4
тт/2
3тт/4
тт В,pail
Рис . 82. Зависимость толщины стенки готовой т рубы от ориен
тации образующей относительно вершины калиб р а первой кле
ти стана
«170». Для определения параметров разностенности исполь
зовали методику, изложенную в§ 2 гл. 7.
На рис. 82 показано расчетное изменение толщины ст е нки
по периметру готовой трубы для двух альтернативных вари -
антов, параметры которых приведены в табл. 9. Очевидно, что
в а риант 2 более предпочтителен, чем вариант 1, так как отно
с ительная поперечная разностенность готовых труб для этих
вариантов составляет соответственно 5,31 и 9,62 %.
Выбор оптимальных параметров деформации. Впервые
идея определения оптимальных деформационных параметров
п роцесса редуцирования труб на основании компле1<сной ма
тематической модели была реализована в работе [128]. При
этом в качестве параметра оптимизации рассматривались
энергосиловые характеристики процесса .
Рассмотрим методику выбора оптимальных деформацион
ных параметров редуцирования на основании комплексной
модели проuесса, приведенной в§ 1, 2 гл. 7 [129]. В каче
<:тве параметра оптимизации используем характеристику точ
ности готовых труб ЛSI<, Исходно зададим следующие
параметры процесса: расположение клетей, т . е. Вк (к = Ц),
число клетей К, диаметр D0 и стенка S0 заготовки, диаметр
Dк и средняя (номинальная) толщина стенки SI< ± ЛI< гото
вой трубы (здесь Лк- заданный допуск на величину Sк),
208
Таблиц а. 9. Расчетные значения конечно!\ разностенности редуциро
ванны х труб
Вариан т 1
Вариант 2
к
\
т'1⁄41
1 Форма\
а, 0 D, мм калибра
131< \с:sк, %
01
1 Форма\
те, 1/о О, мм ка;:б -
о - 175,00
-
-
о
-
175,00
-
1 1,0 173,25 Овал
'л:
т 0,26
1,0 173,25 Овал
2 4,5 165,45
Зл
))
т 3,96
4,5 165,45 •
5,2 156,85
1t
3,15 6,0 155,52
3
»
т
»
4 5,2 148 ,69
3л
•
т 5,77
6,0 146,19 »
5 5,2 140 ,96
rc
»
т 5,54 6,0 137,42
•
5,2 133,63
3л: 7,96
133,30 Круг
6
»
т
3,0
5,2 126 ,68
1t
7,69 3,0 129,30 Овал
7
)
т
5,2 120,09
3л: 9,92
6,0 121,54
8
•
т
-
.
9 2,6 116 ,95
,
~
т 9,43 3,6 l 17,14
»
10 1,0 115,76
3л
•
т 9i63
1,2 ! 15,78
»
11 0,5 115,20
л;
»
т 9,62 0 ,5 115,20
»
12о
115,20 Круг
3л: 9,62 о
115,20 Круг
т
суммарное редуцирование по диаметру в стане
к
х0=Dк-D0=~Хк,
K=l
l'lк l лsк• %
-
о
3л:
0,26
т
1t
3,96
т
3л
4,39
т
л:
6,42
т
3л:
7,16
т
1t
6,53
т
1t
7,04
т
о 6,59
л:
5,09
т
о 5,34
л;
5,31
т
о 5,31
(7.72)
где Хк - редуцирование в к-й клети, подлежащее определе
нию по условиям оптимизации.
Режим распределения натяжений .z~т~ по клетям стана
задается в виде набора М альтернативных вариантов (здесь
т = 1, М - порядковый номер варианта), каждый из которых
удовлетворяет условию
к
Sк-Лк...;:S0 +~ ЛSк.,;;:Sк+Лк,
(7.73)
K=l
8 6-JGS
209
r де ЛSк - абсолютное изменение средней толщины стенки при
редуцировании с натяжением.
Для каждого m-ro варианта необходимо определить опти
мальное распределение хО между клетями стана, отвечающее
граничному условию (7.72) и условию минимизаu.ии относи
тельной поперечной разностенности готовой трубы
ЛSк - (S к)mах - (S к)min
-
к
(7 .74)
S0 +~ ЛS"
K=l
Рассчитывая измененме стенки заготовки вдоль С равно
мерно распределенных по периметру образующих, можно оп
ределить максимальное и минимальное значения величины
/(
Sкс=S0+LЛSкс,
l{=l
(7. 75)
где с - порядковый номер образующей, вдоль которой ведет
ся расчет, с = ТZ,; ЛSкс - рассчитанное по формуле (7.68)
абсолютное изменение толщины стенки в к-й клети на с-й
образующей, определяющей значение угла 8 в (7.68), и тем
самым определить значения с = с* и с = с**, отвечающие со-
ответственно условию максимума и минимума (7.75).
_
Таким образом, для т-го варианта расчета величина ЛSк
является функцией распределения ресурса х0 между клетями
стана в соответствии с условием (индексы т опущены)
ЛS1< ~ min;
к
\...,
u
,L.;Хк=Х
K=I
и приведенными выше граничными условиями.
(7. 76)
К оптимизационной задаче, формируемой условием (7.76),
применим метод динамичесrшго программирования [130] . Вве
дем опреде~ение функции цели. Пусть fi(x) - минимальное
значение ЛSк за i шагов процесса в предположении, что сум
марное обжатие за i шагов процесса равно х и что испош,зует
ся оптимальная стратегия Хк, т. е.
/(
fi(х) = тin
. }: g" (Хк);
Xi, .,. ,
ХК K=i
/(
\..,
-""" х"=х,
K=i
r де gк = ЛSк lc=c• - 'ЛSк lc=c••·
210
(7.77)
В роли переменной состояния выступает величина х,
в роли переменной управления - х". Согласно принципу
оптимальности динамического программирования (130], за
пишем функциональное уравнение метода (размерности один)
i=l,/(
fi(x) = min[g;(x,) +f;-1 (х-х;)]; хЕХ*,
(7.78)
где Х* - заданное множество состояний.
Учитывая, что рассматриваете.я краевая задача, вводим
условие
fO(х) = g0 (х); хЕ Х*.
(7. 79)
Заметим, что Хк Е Х*. Вычислительная процедура реали
зации сформулированной задачи построена на основании ме
тодики, предложенной в работе [131 ]1. Анализ конечных
результатов расчета позволяет выбрать оптимальный режим рас
пределения натяжений по клетям стана (из числа альтерна
тивных М вариантов) и соответствующий этому режиму оп
тимальный вариант распределения частных деформаций по
клетям стана. Изложенная методика использована для рас
чета оптимальных деформационных режимов на редукцион
ных станах действующих и проектируемых агрегатов.
Распределение частных дефорлtаций. Общую деформацию
распределяют между головной (одна - три клети). средней
и калибрующей (одна - четыре клети) группами клетей.
В любой из клетей средней группы деформация те превышает
значения те в головной и калибрующей группах клетей.
В средней группе клетей те изменяют так, что в каждой
четной клети стана те< тер (здесь тер - среднеарифмети
ческое значение те в средней группе клетей), а в каждой
нечетной клети стана те> тер· В начале средней группы
соотношение те/тер составляет 0,96- 0,98 в четных и
1,02-1,04 в нечетных клетях стана; указанное соотношение
монотонно изменяется по ходу прокатки и последних четной
и нечетной клетях средней группы составляет соответственно
величины 0,85-0,94 и 1,06-1,17.
Режим натяжений. Стан условно делят на три группы
клетей: в первой по ходу прокатки группе клетей величину
натяжения увеличивают до максимального значения; во вто
рой - натяжение поддерживают на постоянном уровне; в тре
тьей - натяжение уменьшают до минимального значения .
1 Программа реализации задачи составдена В . А. Бараненко
и Ю. Г. Гуляевым.
8*
211
Натяжение в межклетевых промежутках первой и третьей
групп клетей изменяют так, что коэффициент пластического
натяжения z<т> изменяется по степенному закону в соответ
ствии с зависимостями
[Z(T)J~n = zj~) + 1⁄2[ЛZ(Т)][ (~~)
2
[ 1- 0,4 (~J3} (7.80)
[Z'т>1~~1 = z% 1 + 5 [лz<т>1 111 (Z =~J [1,2 - (Z=~J·
2
], (7.81)
-(т) 1
-(т) 111
где [Z lnп• [Z ]11n -
текущие значения коэффициентов пла-
стического натяжения в межклетевых промежутках соответ
ственно первой (nn = О, М1 - 1, к= 1, М1) и третьей (п,, =
=М,,К,
к= М2, К) группа!{ клетей; п., = О, К - индекс,
соответствующий порядковому по ходу прокатки номеру
межклетевого промежутка, считая «нулевым» промежутком
(nп = О) входную сторону первой клети стана (к= !) и К-м
межклетевым промежутком (п,, = К) выходную сторону по
следней клети стана (к= К); zьт>, z%> - коэффициенты пла
стического натяжения соответственно на входе в первую кл е ть
стана и на выходе из последней клети стана; 1лz 1т>) 1, [Л.Z'т > J111 -
изменения коэффициентов пластического натяжения соответ
ственно В перВОЙ И Третьей Группах КЛеТеЙ, [ЛZ(т) ]! =
= (z(т)] 1 1 - zьт>, [ЛZЬт)]]]] = rz'т)]\: - z%>;
rz l)J 11 - коэффи
циент пластического натяжения в межклетевых промежутках
второй группы клетей (пл= Ml' м2 - 1, к= Mi, Mz); М1' М2-
порядковые номера соответственно первой и поСJ1еднсй клети
второй группы клетей.
При гранично заданных размерах и общей деформации
заготовIш по диаметру б~ величина fz iт)] 11 должна обеспечи
ват~ получение необходимой толщины стенки готовой трубы.
Реально имеют место следующие значения величин: [ЛZ'т1 ] 1 =
=
1лz,т>1 111 = 0,1+0,7; zьтl = z%) = О; М1 = (0,4+0,б)К;
М2=· (0,5+ 0,8)К, причем М1<М2 (при М1= М, вторая
группа клетей отсутствует).
В качестве примера использования приведенных рекомен
даций рассмотрим возможную . коррекцию существу ощего
режима прокатки в хол одном состоянии заготов,ш 13,0 х 0,65 мм
с общей деформацией по диаметру б~ = 46,92 %. Значения
коэффициентов а1 (j равно 1; 2; 5) для этого случая м:ожно
определять по аппроксимирующим зависимостям
212
al = (6,6Т + 0,9тс - 90Ттс
-
0,01) (0,8 -0,32 а,,,) х
х (1 - а,э) ( 1- о,45и,наzэ);
(7. 82)
а2 = (0,57 - 3,2Т- те+ 10тс'Г) (0,8 + О,08и,паzэ); (7.83)
а5 = 0,4:Г + I,Бтс + 10т/Г) (О,46а,п - 0,8) ( 1 - 86аzз) х
х (1 + О,57а,11а,3).
(7.84)
Зависимости (7 .82) - (7 .84) аппроксимируют расчетные зна
чения с ошибкой, не превышающей 10% при те-..: 0,045;
Т ~О,12; Gzn ~ 0,7; <J23 ,;;;;: О,7.
Как следует из приведенных в табл. 10 данных, режим
деформации, построенный с использованием разработанных
рекомендаций, позволяет снизить уровень поперечной разно-
(
л
3л
стенности готовых труб) при Вк = 4 и Вк = 4 для нечетных
и четных к летей стана).
Таблиц а 10. Расчетные значения nоnеречной разностенности
Вариант настройки стана
А
Б
в
к
"п
те, %1
/лsи, % те, %\ [лsк, % те,% 1 Jлsк, %
z(т)
z(т)
z(т)
1
о 2,081 о
о 2,081 о
о 1,511 о
о
2
1 4,40
о
1,23 4,40 0,012 1,2°2 2,501 0,012 0,85
3
2 4,35 0,005 2,36 4 ,35 0,049 2,27 4,41 0,049 0,98
4
3 4,30 0,022 2,51 4,30 0,109 2,31 4,23 0,109 2,80
5
4 4,31 0,048 3,70 4,31 0,191 3,30 4,45 0,191 2,l l
6
5 4,17 0,088 3,91 4,17 0,287 3,33 4,16 0,287 3,76
7
6 4,1 l 0,146 4 ,85 4, 11 0,392 4, 00 4,48 0,392 3,07
8
7 4,08 0,228 5,02 4 ,08 0 ,491 3,93 4,09 0,491 4,38
9
8 4,04 0,340 5,78 4 ,04 0,568 4,46 4 ,52 0,568 3,97
10
9 4,05 0,474 5,70 4 ,05 0,600 4 ,32 4,03 0 ,600 4 ,79
11 10 3,93 О,555 6,26 3,93 0,600 4 ,88 4 ,55 0,600 4 ,52
12 11 3,91 О,601 6,13 3 ,91 0,592 4,78 3 ,96 0,592 5,37
13 12 3,82 0,622 6,69 3,82 0,566 5,4 1 4,59 0,566 5,08
14 13 3,84 0 ,620 6,59 3,84 О,519 5,36 3,89 0,519 6,12
15 14 3,722 0,590 7,22 3,722 0,450 6, 16 3,622 0,450 5,74
16 15 2,04 2 О,533 7,18 2,04 2 0,350 6,28 3,06 2 0,350 6,99
17 16 0,93 2 0,345 7,56 0,932 0,212 6,66
о
о
Е\,40
-
17
-
о
7,44
-
о
6,53 -
о
6,40
П р им е ч а н и я. Значения приведены для исходной (А ) , скорректирован
но11 по ре.п::нмам н;1тяжений {Б), а та 1<Же натяжений и распределению частных де·
ф ормаций (В) настроек стана; индеJ{СЫ !, 2 ~ соответственно значения для клетей
головной и кал ибруюш,ей групп.
213
Деформация сварных труб из нuзкоуглеродистых cmiiл_eй.
Целесообразно распределить суммарную деформацию заготов!(И
бЕ между редукционным станом б 3 Р и трубоволочильным
агрегатом бЕв в соответствии с зависимостью
бЕ
-
~ = (0,325 + Т) (1-бЕ) {4 ± 0,5 [0,3-бЕ (У%+0,25)]}, (7.85)
UЕв
р
где У% - процентное содержание углерода в деформируемой
стали.
Экспериментальные исследования, выполненные в промыш
ленных условиях, показали, что при использовании режима
деформации, описываемого выражением (6), исходную заго
товку можно деформировать на величину до бЕ = 60% без
опасности образования дефектов на внутренней поверхности
готовых труб.
Глава восьмая
ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ ОБКАТКА ТРУБ
1. АММ определения усилий деформации
Эффективным способом получения осесимметричных изде
лий из трубчатых заготовок является обкатка инструментом
трения, когда усилие деформирования передается металлу
в процессе скольжения его относительно инструмента (132] .
Для обкатки используют ролики или инструмент трения при
соответствующей его калибровке. Обкатку применяют для из·
rотовления бесшовных газовых баллонов, диффузоров и дру
гих трубчатых деталей переменного диаметра. Схема процесса
тангенциальной обкатки следующая, трубчатой заготовке
сообщается вращательное движение; участок, подлежащий
деформации, нагревается; одновременно инструмент поступа
тельно перемещается перпендикулярно оси -заготовки, дефор
мируя ее до заданного размера.
Процесс тангенциальной обкатки более технологичен, так
как за счет принудительного вращения заготовки обеспечивает
высо1,ую дробность деформации. Особенность деформации
пр:1 обкатке - это то, что усилия, прикладываемые инструмен
том к заготовке, уравновешиваются не в очаге деформации;
а во всей заготовке, передающей крутящий момент от привода
в зону контакта заготовки с инструментом. Эта особенность
обкатки обусловливает внутреннее противоречие процесса :
степень деформации определяется усилиями инструмента ,
прикладываемыми к заготовке, а величина усилий ограничи -
вается несущей способностью заготовки. В связи с этим глав
ными вопросами обеспечения устойчивого процесса обкатки ,
и особенно тонкостенных труб, является определение силовых
условий и устойчивости формы заготовки при обкатке.
В настоящем исследовании предпринята попытка постро
ения модели силового взаимодействия тонкостенной заготов
ки с инструментом трения. На рис. 83 приведена принятая
в решении схема деформации. Для обеспечения неразрыв
ности полей напряжений и скоростей перемещений вдоль оси
х принято, что деформация редуцирования распределена по
всей длине зоны контакта заготовки с инструментом. Принята
схема плоской деформации, что отвечает экспериментальным
215
у
данным при обкатке тонкост~н
ных заготовок. Кривизна ин
струмента в зоне контакта
с заготовкой принята равной
нулю. Используем систему
уравнений в напряжениях и
скоростях перемещений в пря
моугольных координатах [133]:
уравнение равновесия по
оси у
дау + дт,хУ = О· (8.1,)
ду
дх
,'
условие пластичности
Рис. 83. Схема тангенциальной об
катки труб
(ау-О-х/2 + 4•;у = 4k2 ; (8.2)
уравн~ние связи напряжений со скоростями деформаций
условие несжимаемости
дих+дvу- о
дх
ду-
•
(8.3)
,(8.4)
Здесь Vx, Vy - составляющие скорости перемещения металла
по осям х и у соответственно.
В качестве граничных могут быть заданы либо силовые
условия на контуре, ограничивающем зону контакта, - нор
мальные и касательные напряжения, либо скорости перемеще
ния на том же контуре, либо смешанные условия. Силовые
граничные условия в сечениях входа и выхода из зоны кон
такта не определены.
Для получения замкнутого решения системы уравнений
плоской деформации зададим кинематически возможную
функцию скорости перемещения Vx по методу Фурье [134] -
в виде произведения двух независимых функций от коорди
нат, - удовлетворяющую кинематическим граничным усло
виям [4].
При наличии скольжения металла по инструменту вдоль
всей зоны контакта Vx определяется тангенциальной скоростью
вращающейся аготовки, которая при постоянной угловой
скорости вращения ,заготовки w определяется только умень
шением ее радиуса R. Изменение радиуса заготовки вдоль
216
зоны контакта выражается через координату х и конечный ра
диус заготовки R 2 после обжатия (см. рис. 83):
(8.5)
Для определения функции скорос·ти Vx необходимо задать.
ее зависимость от координаты у. Используем для этого при
ближенный метод Т. Кармана [135), применяемый для опреде
ления характеристик пограничного слоя на плоской поверх
ности. Распределение скорости перемещения по толщине .~стен
ки задается в виде полинома с чисJюм постоянных, определя
емых количеством граничных условий. Удовлетворяясь двумя
условиями на свободной и контактной поверхностях заготов-
1ш, выбирзем полином с двумя неопределенными коэффициен
тами. Тогда составляющая скорости перемещения может быть
представлена в виде
Vx = wR(ау+Ь).
(8.6)
На поверхности контакта инструмента с заготовкой у= О,
Vx = roR. Отсюдаиз(8.6)Ь=I.
На внутренней поверхности заготовки при у= s, Vx =
= ro (R - s) из (8.6) получим
i.o(R-s) = шR (as + 1),
1
a=-JJ·
С определеннымн коэффициентами функция Vx имеет вид
Vx = ci/VR:+х2- у).
(8.7)
Производные скорости Vx по координатам
дvх
wx
дvх
-
--
-
=
==
--
-
-W
дх- VR:+х2'ду
-
•
(8.8)
Закон изменения толщины стенки заготовки вдоль зоны
контакта найдем из принятых допущений и условия постоян
ства секундных объемов, проходящих через произвольное
меридиональное сечение очага деформации:
R.,
R.
i <i')rdr = .\ wrdг = const,
R, -s,
R-s
где s1 , R1- толщина стеюш и радиус заготовки в сечении
входа в зону контакта; s - текущая толщина стенки.
217
Из принятого ранее условия w = const имеем
R~-
(R1- S1)2=R2- (R- S)2;
s2- 2Rs+2R1s1- s1=О.
Пренебрегая квадратами малых (s 1 и s), получаем упро-
щенную зависимость
(8.9)
Используя условие (8.4) и производную Vx по х из (8 .8),
записываем
(J)X
+дvу=О,
VR:+х~ ду
Отсюда производная радиальной составляющей скорости
VПОу
-
дvу
(J)X
ду= - VR:+х2•
(8.1 О)
Найдем производную Vy по х :
-
Vy=-v~y+c;
R2+х2
-
2
дvу
(J)R2
дх=-у(R;+ x2)1.s.
(8.11)
Подст.авим производные скоростей по координатам (8.8),
(8. 10) и (8.11) в (8 .3):
ау-ах_
2x(R:+x2)
-= ----- ---"
-
-
2
2
(8.12)
2тхУ
(R2 + х2)1,5 + YR2
Возведя (8.12) в квадрат и подставляя • в (8 .2), получаем
k ✓ [(R;+x2)1,s+yR:]2
Т:ху=±
2
с2
2
•
[(R2 + x2)1,v + yR2]2 + 4х2 (R2 +х2)2
(8.13)
Обозначим R: + х2 = у1 и продифференцируем (8.13) по х
218
Для выражения из (8 . 14) переменной у введем обозначения
а= r\·5 = (R~ + х2)1,5;
1
Ь= R~;
с=2xr1 = 2х(R;+х2);
d= Зri'\'i =бх(R~+х2)2;
(8.15)
'
ЗR2 о,5 , 6R2xVR2 + xz·
е=
2'\'l
'\'! =
2
2
,
т'= 4(2x,Yi + 2x)'1'\'i) +3'\'i\'i = 2х(R~ +х2) Х
х[7(R~+х2)+8х2].
J
Тогда
д,ху
k v(a+by)2+c2 { d+e'y
(т'+е'у)(а+Ьу)2}
дх=±2
• (а+ Ьу)2 (а+ Ьу)2+с2 - [(а+ Ьу)2 + с2]2 •
(8.16)
Решая совместно (8.1) и (8.16)
дау
k{
d-t -e'y
(т'+е'у)(а+Ьу) 2}
ду = ± 2 (a+by)V(a+by) 2 +c2 -[(a+by)z+ci] 1•5
(8.17)
и после упрощающей подстановки (а+ Ьу_) = ~х, получаем
е'
d+а-
_
_
ь_ + ---с---=е==
GxbV~;+с2 ь2llG;+с2
е'
Замечая, что d = ат;, после интегрирования имеем
k,
1
(/т' - а~ е'~х)
Uy=-2v
Ь -v+С.
~;.+с2
После обратной подстановки ~х =а + Ьу запишем
а=-!!__ т'+е'у +с
(8.18)
У
2ЬV(а+Ьу)2+с2
•
Постоянную С найдем из условия равенства нулю ради
альных напряжений на внутренней поверхности заготовки
ау=s= О:
k m'-f - -e's
с=
-
=======;.
2ЬV(а+bs)2+с2•
(8.19)
219
1,5
1,0
o,s
Приу=Оиз(8.18)сучетом
(8.9) и (8.15), (8.19) полу чим вы
ражение для нормального кон
та ктного давления
k
0 ~-~s--,u~ --,~s -x-,~u-'М
р=2R2Х
2
Рис . 84. Распределение нормаль
ных контактных давлений по
Х (14ху; + 16хзу1 + 6R:xv1• 5s
V(у\•5+ R;s)2 +4х2у~
ширине зоны контакта
_
J4xyl + 16х2) (S.20)
УУ1+4х2 •
График распределения удельных контактных давлений
по ширине зоны контакта (функция (8.20)) показан на р:нс. 84 .
Для определения полного давления металла на инстру
мент необходимо проинтегрировать функцию (8.20) по пло
щади зоны контакта
(8.21)
Площадь контактной поверхности имеет простую форму , по
этому двойной интеграл (8.21) представим в виде двухкратноrо .
При постоянной по всей зоне контакта величине частных
обжат11й бЕ, область интегрирования ограничена непрерыв
ной1<рнвойВ=f(z)идвумяпрямю1иz= Оиz= lд. Функ
ция ширины контактной поверхности В определяет изменение
ширины контактной поверхности по длине зоны контакта
и может быть найдена из выражения
D v---
В= к~ бЕD,
эs
(8 .22)
где D - диаметр заготовки; Кэ
-
эмпирический коэффици
ент, завися1ций от тонкостенности заготовки.
Переменным по z является конечный радиус R2 = R1-
-ztgaФ , где аФ - угол наклона формирующеii плоскости ин
струмента.
Подставляя в двойной интеграл пределы интегрирования,
получаем
1д
f(z)
lд
Р=jdzjpdx= Ip,dz.
о
о
о
Значсю:я р, могут быть Ш.JЙДЕНЫ по формулаi\I квадратур
f(z)
mi
Pz= Iр(х,z)dx=~ Вир(х;, Zi).
О
i=I
220
В свою очередь, полное дамение опредЕ-лится по квадра
турной формуле
"
mt
Р= ~LA;BuP(х;, z1).
i=l i=I
(8.23)
Разработанная методика использована для расчетов энер
госиловых параметров проектируемого обкатного оборудова
ния. Сравнение расчетов с экспериментальными замерами
показало превышение расчетных значений на 3-7 % .
2. Условие устойчивости формы заготов1ш
при об:кат:ке
Устойчивый процесс деформации, т. е. ее протекание в нуж
ном направлении,- необходимое условие любого способа
ОМД. При прокатке - это условия захвата, а при формоиз
менении тонкостенных трубчатых и листовых заготовок -
условия изменения их формы, соответствующие требованиям
формт1зменения.
Искажения формы, не соответствующие требованиям фор
моизменения (гофры, складки, разрывы и др . ), ограничивают
возможности процесса обкатки. Существенная особенность по
тери устойчивости при обкатке - это то, что она происходит
при раавитии в металле пластичеi.:I<НХ деформаций, т. е. имеет
место пластическая потеря устойчивости.
Наиболее общим подходом к устойчивости нагруженного
равновесия является энергетический подх0д, основанный на
исследовании изменения полной потенциальной энергии
системы. Геометрической особенностью оболочек является то,
что при закреплении краев они не дог1ускают изгибных де
формаuий без деформации срединной поверхности. Это приво
дит и то:v1у, что формулы для 1,рrпических нагрузок оболочек
имеют вообще сложную структуру по сравнению с формулами
для стержней и пластин. Кроме того, для закрепленных обо
лочек в окрестности точк11 бифуркаuи11, соответствующей
неустойчивому начальному состоянию равновесия, нет новых
устойчивых состояний равновесия - они удалены на конеч
ные р:эсстояния.
Кл:эссически система считается устойчивой, если при лю
бом, с1<олько угодно малом оп<лонении от положения равнове
сия, система возвращается в исходное состояние. Однако
при этом нет ответа на вопрос: вернется ли система в исходное
положение, если отклонение будет конечным, большим . .
В реальных условиях вопрос устойчивости должен непре
рывно решаться с учетом внешних конечных возмущений: на
чальных неправильностей оболочки, случайных толчков и так
221
далее. В связи с этим переход к новой форме равновесия про
исходит при большей , или меньшей силе, что эксперимента~1ь
но выражается в разбросе значений критической силы.
Для определения устойчивости в большом необходимо,
чтобы характер конечного возмущения был задан, что невоз
можно в связи с его случайным характером. Таким образом,
исследованы на устойчивость могут быть только определенные
формы равновесия, т. е. конкретные состояния систем.
Указанные особенности устойчивости оболочеI< пр,~води
ли большинство исследователей проuессов формоизменения
тонкостенных заготовок к необходимости либо значительно
упрощать постановку задачи [136, 137, 138], либо от1<азывать
ся от аналитического определения условий устойчивости
и находить их экспериментально [ 139, 140].
Анализ подходов к решению задачи устойчивости проuес
сов формообразования и их результаты позволяют за1<лючить,
что точное решение задачи устойчивости оболочки при пласти
ческих деформаuиях ее срединной поверхности трудоемко,
а экспериментальные данные имеют широкий разброс; решение
задачи в упрощенных постановках, рассматривающих упругую
устойчивость стержня или пластины. может быть использо
вано как первое приближение.
Необходимым условием редуцирования, ка~, уже выясне
но, является наличие сжимающих наружных напряжений .
Характер потери устойчивости при обкатке одним инструментом
трения может быть различен, однако он rзсегда связан с выпу
чиванием заготовки внутрь от сжимающих напряж t НiiЙ.
Здесь решается задача определения условий устойчивости
при обкатке тонкостенных заготовок с использованием под
хода, изложенного в работах [110, 141 ].
Рассмотрим участок тонколистового материала - участок
контактной поверхности трубы, выпучивающийся под дейст
вием сжимающих напряжений. Расположим участок заготов
ки на контактной поверхности с инструментом в прямоуголь
ной системе координат (рис. 85) так, чтобы ее срединная плос
кость совпадала с координатной полос1<0стью xz. Отметим 1
что рассматривается устойчивость торuевого участка заготов
ки как наиболее склонная к потере устойчивости.
Будем полагать [134, 142] следующее:
1) до нагружения участок заготовки идеально плоский
и равнодействующие внешних нагрузок действуют в его сре-
динной плоскости;
•
2) докритическое напряженное состояние описывается со
отношениями теории пластичности для жестко-пластического
линейно-упрочняемого тела: иi= ит+ b1ei;
3) внешние нагрузки не изменяются при деформациях;
222
х
Рис. 85. Схема потери устойчивости концевого участка заготовки
4) изгиб участка описывается с помощью обычных гипо
тез о неискривляемости нормали к срединной плоскости и ма
лости нормальных напряжений в плоскостях, перпендикуляр
ных к срединной .
.Исходное
напряженное состояние участка заготовки из
условия отсутствия инструмента, подпирающего заготовку
изнутри (оправки), можно принять двухосным: ах :;60, az ::;t=O,
ау= О. Деформированное состояние из-за ~начительной про
тяженности участка заготовки вдоль оси z и на основании экс
периментов можно считать плоским: ex=i=O, ey=i=O, ez= О .
При описанном напря.женно-деформированном состоянии
имеют место соотношения
•
•
•1
·1
Uz= 2 ax;
r-
1·3
·
а;= тах;
Вх=8у; }
8; = Jзех·,
(8.24)
Относительная деформация по ocu х- fx в пределах одн о го
цикла обжатия - одного оборота: •
Rrp- Rsinер
tx=
-
'
Rrp
223
r де угол <р о пр еде ля ется величиной обжатия за оборот
i5
заготовки бJJ : cos ф = 1 - / . Тог да ех выражается через гео-
метрические характер ист и ки:
(8. 25)
Пусть в результате каких - либо возмущений срединная
поверхность заготовки получает прогиб w. В силу первого
допуще ния всегда возможно плоское состояние равновесил.
Для определения точек бифуркации будем рассм атривать ис
кривленное изгибное состояние равновесия, бесконечно близ
кое к исходному . При этом фушщия прогиба будет иметь вид
(8 .26)
r де А - бесконечно малый параметр, не зависящий от коор
динат; й\ - конечная функuия координат.
Функция m11 должна отвечать граничным условиям и тре
бованию полноты [142). Используя систему тригонометр11-
ческих функций, полнота которой доказана [26], и одно
временно удовлетворяя граничным условиям, задаем функцию
w1 в виде
-
•
1lZ(
1lX
t)
W1=SlЛ7;_ COS~+ .
Поперечные прогибы w вызывают изменения кривизны
срединной плоскости заготовки, определяемые формулами
(8.27)
Кроме, того, срединная плосl'Сость иепытывает удлинения ,
пропорциональные квадратам производных поперечного про
гиба w,
•
1 (доо) 2
Ех=2дх;8,
= .!_ (дw)· z
2дz'
(8.28)
Дифференцируя выбранную функцию прогиба w (8.26),
находим деформаuи i1 н иривнзны по формулам (8.27) и (8.28) :
2:l4
д2оо
, :rt2
:rtX n2
Кх=д2=-АS\11ГCOSЬ2 ;
х
д
.д ьд
д2.W
.
Щ(
:rtX
) :rt2
К2=д2 = -АsшГcosь+I2;
z
д
д '1д
(8. 29)
,-
2
,-
~- (д~)
-
_1_ А2
• 2~ • 2:L3~.
ех-
•
2д
-
2
S111lS111Ь2,
х
д
дьд
.
1(aw)2 1 2
2 nz( nx )2л:2
е2=2дz =2АcosГсоsь+1р·
д
д
дJ
При выпучивании внутренние силы совершают р аботу
изгиба V= ~ ~ Wdxdz, где W - потенциал моментов, и работу
деформации срединной поверхности i\.
Согласно вариационному принципу Лагр а нжа, работа
внутренних сил на возможных перем е щениях частиц тела
(срединной плоскости) равна работе вн ешних сил на пере
мещениях контура, соответствующих этим деформац.иям:
V1 = А1 . Кроме работы А 1 контурные (внешние) силы совер
шают работу А на перемещениях rочек контура в плоскости
XZ за счет вьщучивання
А=- fА'=- ~II(axl':~ +02~2)dxdz.
F
Если работа внутренних сил V + V 1 больше работы внеш
них А + А 1 , то плоское состояние является устойчивым ,
если меньше - неустойчнвым. Таким образом, критическое
9}.!ачение внешних сил определится равенством этих работ,
атаккак\/1=А1,тоV=А,или\7- А=О,
SS[W+ f(ахе;+а,е;))dF = О.
(8 .30)
F
Потенциал моментов W определим по формуле [143] :
W=МхКх+M2Kz.
(8.31 )
Деформируемый участок заготовки находи1ся в пласти
ческом состоянии, поэтому удлинения срединной поверхности
Е~ и в;, выз.ванные изгибом, будут связаны с приращениями
напряжений от изгибающих моментов а; и а; соотношениями ,
справедливыми для плоского вапряжшного состояния:
а'_
_!. а
-
f!1. (е'
-
уК )·
х22-е;х
х'
(8.32)
1.
ai.
а;--2Ох=-(f.,
-
yKz) .
81
225
Решая систему (8.32). находим
а~=f:, [2(в~- УКх)+(е; - YKz)];
L
Тогда изгибающие моменты запишем в виде
s(2
S,
s3 а•
Мх=
axydy = - 18 е: (2Кх+ Kz);
-s/2
s/2
Мs.
ss а•
•
z=
azydy=-flj~(2Kz+Kx),
-s/2
(8.33)
С учетом (8.31) и (8.33) выражение (8.30) имеет вид
SS{-~~ (21(~ + 2KxKz + 2К;) +i(ахв; + Uze;)}dF =О..
:(F)
(8 .34)
Выразим деформации и кривизны через функцию прогиба w:
•
4
(
)2
SS{-~~[A2 sin2 ~cos2 ~ь4 +A 2 sin2 т: cos~+l Х
, (F).
:п;2 • • :п:z :п:х( 31х 1)n:4]
х-+л2sш2- cos- cos--- +
-
,+
,2
z
ь
ь
12 ь2
д
•
д
д
д
дд
,:s[lА2•9л:z•0:п:х:п:2
+2-(J; 2 SlП"ТSШ"ЬЬ2+
д
дд
1
.
:п:z ' лх )2 л:2]}
-
+4А2cos2~(cosь;;+1 1~dF=А2Ф=О.(8.35)
Условие (8.35), очевидно, удовлетворяется при А= О
т" е. в безизп1бном состоянии. Другое положение равновесия
определим из условия
·. (8.36)
Контур интегрируемой области имеет пr,остую форму;
поэтому двойной интеграл (8.35) можно замшить двухкрат
ным
1д
О,БЬд
Ф=sdz r{-/[sin2~!сos2~х~+sin2~х
.
J, л,
lд ЬдЬ
lд
О -О,5Ьд
д
226
( Л:Х
)2л;С
·•
2 :n:z
:ГСХ ( ЛХ
) :n:4
Хcosь+14+sшТcost cosь+122+
,
д
,
lд
д
д
д
lдЬд
+--sш
-
sш--2+-cos
-
cos-+12dx=О,
i • 2 nz. 2 :n:хл2 1 2лz( лх )2:п;2]}
4
lд ЬдЬд 8
lд Ьд
zд
(8.37)
Ширина контактной поверхности Ьд уменьшается по длине
очага деформации, т. е. является функцией z. Примем эту
функцию линейной (см. рис. 85):
Преобразуем (8.37) к виду
lд О,5Ьд
Ф= sdz s (c1cos2 ~x+c2cos~x+cз+
О
-05Ьд
+С4sin~)dx= О;
где
Проинтегрируем по х
д
SlП-
SlП-
-
•
,
х
ьд
ьд
t
[(
•
2пх) • :n:x
Ф'= jdz С1 2+4л/Ьд +С2л;/Ьд+
о
( sin2лx)1 Ьд/2
-1-Сзх+С4 ~2
-
.1_/ьЬ~ = О •
.л
д
-Ьд/2
Подставляя пределы, получаем
lд
ф-sdiСьд С2Ьд С
СЬд) 0
=
z\12+2л-+зЬд+42 =
·
о
(8.38)
(8.39)
227
Введем ~начения функций от z (8.39) и перегруппируем
для интегрирования по этой координате с учетом (8.38)i
lд
Ф=Jdz[R1sin2 (t)t+В2sin2 (~){ +В~siп2х
228
о
(лz) В ,2(ЛZ\ ]-О·
Х~Z+ 4C'OS т;iZ-
,
i л4f3
в___!__д,
1-
l8в; ~з '
.
CJ (l
> (8.40)
lл2fд.
8 ь;;-'
Для интегриров2ния по z заменим sin 2 ~z мн о гочл е н а ми
lд
Проинтегрируем по z
Ф=[-!31-~ + ~1 cos (~!\ __!_
-
!3J :!.. sin2 (~~ -)
_1_+
2z2
2
/д12z2
2
/д
lдz
+В12л1с·(2лz)...L В2] 82с·(2лz)+В32
2-j2 1-/-.
1·211z-21-1-
-4z-
д
д
д
Rz;
(4лz) В zl,ц •
. {4лz)
В42
-
• з!6112COSz; - з8лS1П,-т;; +4z+
?
•
11
t;
1 4лz)
z/д • 14лz)] д
+в.162cos1-
l + В18-;- SJП (-,
=о.
!1
\Д.
ЛIД
0
(8.41)
з
••
с·12л2) s 2лz1d
десь интегральныи косинус 1 \ т; = cos т; z z.
{~:
s
4
J
2
f
f
2
J
О
50
100
!50
а
5
4
J
2
о
50
IUO
(/
r
z
3
Рис. 86. Связь параметров s,
О, б, отвечающая условиям по
тери устойчивости профиля при
D, равном 203 (а), 160 (б) и
125 (в) мм:
/- ii = О,1мм/об; 2- б =0,05мм/об;
З- б =0,ОЗмм/об
После подстс:новк11 пределов, нспользуя в качестве ниж
него предела конечную малую велнчнну, получаем
--
В
l2
l~
Ф=2~lnlд+В3-f+В_14_=
О.
Подставляя значfНIIЯ постоянных (8.40), записываем
условие устойчивости
lOs2 2]
2
4]
3922 0
~(/дnlд--+-Ьо)+lдn/д+ ./J0(~ =
.
'
.
(8.42)
объединяющее геометрические параметры заготовки, очага
деформации и интенсивность деформации. Условие (8.42)
позволяет выбрать оптимальное соотношение степени дефор
мации и rеометри11 очага деформации при заданном размере
заготовки.
На рис. 86 приведена графическая интерпретация ус
ловия (8.42) для некоторых размеров заготовок, использован
ная для оптимизации режима обжатий. Результаты экспери
ментов и расчетов по условию (8.42) удовлетворительно согла
суются.
С ПИСОК ЛИ ТЕРАТУРЫ
1. Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент.- М. : Наука,
1979. - 224 с.
2. Гантлтхер Ф. Р. Лекции по аналитической механике.- М.:
Наука, 1966. - 300 с .
3. Ильюшин А. А . Механика сплошной среды.- 2-е изд.- М. :
Изд-во Моск. ун-та, 1978 . -
288 с.
4. Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давленпем.
J\-1 . : Металлургия, 1980. - 456 с .
5. Полухuн В . П., Савченко В. С., Персuянов С. В. К расчету те м пе
ратурных полей в металлах, подвергающихся световому потоку
оольшой плотности.- В кн. : Теория и технология деформации
металлов. М . : Металл у ргия, 1982, с . 5-7. (Науч. тр. / МИСиС ;
No 145).
6. Глаголев Н. И., Акаро И. Л ., Норицина Г . И . Исследование меха
ники процесса прессования с учето м температурно-скоростноrо
фактора.- Исслед. и внедрение прогрес. технологии штамповки :
Науч. тр. / МАМИ. М., 1971, с. 128-142 .
7. Карслоу Г . , Е гер Д. Т е плопроводность твердых тел: Пер. с англ .
М. : Наука, 1964.- 488 с.
8. Полухuн II. И . , Горелик С. С., Воронцов В. К. Физические осн о вы
пластической деформации.- М. : Металлургия, 1982.- 5 84 с.
9. Надаи А. Пластичность/ Пер. с англ . под ред . Л . С. Лейбензо
на.-М.;Л.:ОНТИ,1936.-
280 с.
10. Полухuн П. И . , Гун Г. Я., Галкин А . М. Сопротивление пластичес
кой деформации металлов и сплавов : Справочник.- 2 - е изд.-
М. : Металлургия, 1983. - 352 с.
.
11. Lindholm И. S . Some ex periments in dynamic pJasticity under
comblned stress.-
In: Sympos . Мес11. Behavior MateriaJs under
Dyпamic l,oads. San Antoni o (Тех.), 1968, р . 42-61.
12. Clark D. S., Duwez Р. Е. The iпflнence of strain rate оп some ten-
sile properties of steel. - Proc . Amer. Soc. Testiпg Materials, - 1950 ,
vol. 50, N2, р. 31-46.
.
13. Зайков М. А. Прочность угл е родистых сталей при высоких темпе
ратурах.- Журн . те х н. физики , 1948, 19, No 6, с . 112-121.
14. Сокол ов Л. д. Влияние с1ирости на сопротивление металлов плас
тическо м у деформированию.- Там же, 1946, 16, No 4, с . 71-86 .
15 . Губкин С. И . Пластическ а я деформация металлов. Т . 2. Физико ·
~и м ическая теория пласт и чности . :- М . : Металлурrиздат, 1960. -
416 с.
.\ 6. k1uгачев Б. А ., Потапов А . И. Пластичность инструментальных
сталей и сплавов : Справо ч ник . - М . : Металлургия, 1980.-88 с .
17 . Третьяков А. В. , Зюзин В . И . Механические свойства металлов
и сплавов при обр;,ботке д авлением ; Справочншс- М . : Метал ·
лургия, 1973, -
224 с,
230
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
38.
37.
Полухин П. И ., Галкин А. М., Эайков А . М . Исследование·сопро•
тивления деформации стали Р 18 в зависимости от термомехани
ческих параметров деформирования . - Обраб. металлов давлением,
l9S0, No 7, с. 54-57.
Грудев А. П. Внешнее трение при прокатке .- М. : Металлургия ,
1973.- 288 с .
Yoelkner W. Experimentelle Methoden der Ermittlung mittlerer
ReibungskenngroBen.- Fertigstechn. und Betr. ,
1976, 26, No 11,
t' · 678-881.
Чекмарев А. П . , Онищенко И . И. Распределение удельных сил тре
rшя при контактной поверхности при прокатке.- Изв. вузов .
Черн. металлургия, 1967 , No 10, с . 112-116.
N.онтактное трение в процессах обработки металлов давлением/
А. Н. Леванов, В. Л . Колмогоров, С. П. Буркин и др.- М. : Ме
таллургия, 1976 . -
416 с.
Гуляев Ю. Г., Друян В. М . Метод решения задач теории пластич
ности . - Изв. вузов. Чер . металлургия, 1982, No 9, с . 150-151.
А. с. 967660 .(СССР). Способ экспериментального исследования про·
цессов обработки металлов давлением/ В. М. Друян, Ю . Г. Гу
ляев, Ю . Ю. Рынкевич, О. И. Лев . - Заявл. 14.04.81, No 3280635/
25- 27; Опубл. в Б. И. , 1982, No 39, с. 36; МКИ В21в 5/00.
Смирнов В . С. Теория обработки металлов давлением.- М .:
Металлургия, 1973.- 496 с.
Теория обработки металлов давлением/ И. Я. Тарновский,
А. А. Поздеев, О. А. Ганаго и др.- М .: Металлургиздат, 1963 .-
672 с.
Грудев А. П., Зильберг Ю. В., Тилик В. Т.-Трение и смазки при
обработке металлов давлением : Справочник.- М . : Металлургия,
1982. -
312 с.
Нсаченко Е . И. Контактное трение и смазка при обработке метал
. лов
давлением.- М .: Машиностроение, 1978 . -
208 с.
Клименко П. Л., Гаращенко В. И. Метод о п ределения модуля
скорости пластического сдвига при прокатке . - Обраб . металлов
давлением . Науч. тр . / ДМетИ, 1976, с. 16 - 23.
Потапов И. Н., Балакин. В. Ф., Гуляев Ю. Г. и др. Теоретический
анализ условий контактного взаимодействия при rидроэкструэии ..-
Изв. вузов . Чер. металлургия, 1982, No 3, с. 56-60.
Сафаров Ю. С., Гаращенко В . И . К вопросу о выборе оптимальной
геометрии инструмента при прессовании.- Кузнечно - штампов .
пр-во, 1971, No 12, с. 8-11 .
Теория пластических деформаций металлов Г Е. П. Унксов, У . Джон
еон, В. Л. Колмогоров и др.; Под ред. Е. П. Унксова, А. Г. Ов
чинникова.- М . : Ма ш иностроение, 1983.-
598 с.
Пар~иин В. А., Зудов Е. Г . , Кол.~~огоров В . Л . Деформируемость
и качество.- М.: Металлургия, 1979 . -
192 с.
Богатов А . А ., Колмогоров В. Л., Матвеев Г. А. Эксперименталь 0
ная проверка условия разрушения металла при различных схемах
нагружения . - Изв. вузов ; Чер . металлургия, 1970, No 8, с . 76-
80.
• Медведев М. И ., Лоскутов П. А., Ратнер А . Г. Бесшовныетрубы .
М. : Металлургия, 1980.-
156 с.
Bik J ., Hoderny В ., Wusatowski R . Odksztalcenie graniczne przy
wysokoteщperaturowym od Ksztalceniu ciagl y m.- Pr . lnst. Metal .
Zelaza, 1981, 33, N 1, р. 15-22 .
Elfmark J. Fyzikalni zaklady tvaritelnosti осе\! z:a tepla. - Sb.
ved. pr. VSB Ostrave, 1979 /25, N 1/2, р . 49-75.
231
38. Алюшин Ю. А. Связь I<ритериев упрочнения с изменением внутр ен
ней энергии и плотности материала в процессе деформации.- В кн .: ·
Обработка металлов давлением. Науч. тр. / Ростов. н / Д ун,т, 1980 ,
с. 9-13.
39. Кийка И. А . Теория разрушения в процессах пластического 1·ече
ния.- Обраб . меташюв давлением, 1982, No 9, с. 27-40.
40. Марчук Г. И., Агашков В. И. Введение в проекционно-сеточные
методы.- М. : Наука, 1981. - 4 16 с.
41. Лисицин Б . М . , Верuженко В. Е . 06 одном направлении развития
метода конечных элементов.- Прикл. механика, 1978, 14, No 4,
с . 33-40.
42. Finlayson В. А. Applications of the method of weighted residu a ls
and variational me thods.- Brit. Cl1em . Eng., 1969, 14, N 1, р. 53-
57.
43. Люстернек Л. А., Янпольский А . Р. Математический анализ.
М . : Физматгиз, 1961.- 24 7 с.
44. Ван Цзu-де. Прикладная теория упругости / Пер . с англ. под
ред. А . С. Вольмира.- М.: Физматгиз, 1959. - 400 с.
45. Гуляев Ю . Г., Лев О. И. Метод решения задач динамики вязкой
жидкости.- Изв. вузов. Чер. металлургия, 1983, No 3, с. 152.
46. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики ·сплошной
среды.- М. : Наука, 1983. - 4 48 с.
47. СА!Uрнов В. С. Теория пластичности и развитие прогрессивных
методов обработки металлов давлением в СССР за 50 лет.- Изв.
вузов. Чер. металлургия, 1967, No 10 , с. 44-49.
48. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики / Пер .
с англ. под ред. В. Н. Жаркова . - М.: Мир, 1970. -
Выл. 2.
352 с.
49. Марков А. А. О вариационных принципах в теории пластичности.
Прикл. математика и механика, 1947, 11, No 3, с. 339-350.
50. Смирнов В. К. 06 использовании вариационных уравнений r1 рин
ципов )Курдена и минимума полной мощности для решения зада ч
с заранее неизвестными границами пластического очага деформа
ции.- Обраб. металлов давлением, 1977, No 4, с. 14-19.
51. Гуляев Ю. Г., Друян В. М. Метод решения вариационных задач
теории пластичности.- Изв. вузов . Чер. металлургия, 1983,
No 7, с. 46-49.
52. Друян В . М., Гуляев Ю. Г. Метод численного решения задач тео•
рии пластичности.- Там же, 1980, No 7, с. 139.
53. Гуляев Ю. Г., Друян В. М. Метод квазиадекватной модификации
уравнений энер гетического баланса в вариационных задачах тео
рии пластичности.- Там же, 1983, No 1, с. 154-155.
54. Гуляев Ю. Г ., Друян В. М., Гуляев Г. И. По т енциальный метод
решения вариационных задач теории пластичности/ ВНИ и конст
рукт.-технол. ин-т труб. пром-сти . - Днепропетровск, 1981.-
40 с.- Рукоп ись деп . в ВИНИТИ, 26.01.82, No ,)507 чм - Д/82.
Деп.
55. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовица,
И. _Стиrан;. Пер. с англ. под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кар мази •
нои.- М. .
Наука, 1979. - 832 с.
56. Пухов Г. Е. Дифференциальные преобразования функций и урав
нений . - Киев : Наук. думка, 1984 . -
420 с.
57. Математическая теория планирования эксперимента/ П<>д ред.
С. М. Ермакова.- М.: Наука, 1983. - 392 с .
58. Винарский М. С., Жадан В. Т., Кулак Ю. Е. Математическая
статистика в 11ерн0й металлургии.- Киrв : Т~хнiка, 1973 .-
220 с.
232
59. Тыоки Дж. Анализ результатов наблюдений : Развед. анализ /
Пер. с англ. под ред. В. Ф. Писаренко.- М.: Мир, l98l. - 694 с.
60. Друян В. М., Гуляев Ю. Г., Балакин В . Ф. Анализ условий про
цесса прокатки труб в трехвалковом раскатном стане.- Обраб.
металлов давлением : Науч . тр . / ДМетИ, 1980, No 60, с. 59-64 .
61. Джонсон Н . , Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента
в технике и науке: Методы обраб. данных/ Пер. с англ. под ред.
Э. К. Лецкого.- М. : Мир, 1980 . -
612 с.
•
62 . Бондарь А. Г., Статюха Г . А. Планирование эксперимента в хи
мической технологии . - Киев : Вища шк . , 1976 . -
184 с.
63. Гу_ляев /0. Г., Милов Г . И., Рынкевич Ю. Ю. Исследование паrа
метров процесса прокатки в трехвалковом раскатном стане.
Металлургия и коксохимия, 1977, с. 32-36.
64. ЧукА-tасов А. С . , Чук,11асов~С. А., Гуляев /0 . Г. Технология производ
ства горячепрессованных стальных труб из центробежнолитых за•
rотовок . - Днепропетровск : НТО МЧМ УССР, 1983. -
24 с.
65. Прессование стальных труб и профилей/ Г. И. Гулиев, А. Е. При
томанов, О. П. Дробич и др . ; Под ред. Г. И. Гуляева.- М.: Ме
таллургия, 1973. -
192 с.
66 . Борисов С. И., П ригпоманов А. Е . Аналитический метод определе
ния усилий при прессовании стальных труб.- В кн. : Инженер
ные методы расчета технологических процессов обработки метал
JIОВ давлением : С6. ст./ Под ред. И. Я . Тарновского. М. : Метал
лургиздат, 1964, с. 350 - 355 .
67. Гильденгорн М. С. Совместное прессование разнопрочных метал
f лов.- В кн . : Процессы обработки легких и )!Sаропрочных сплавов:
Сб. ст. М . : Наука, 1981, с. 59-64.
68. Перлин И. П. Теория прессования металлов.- М . : Металлург
издат, 1964.- 344
с.
69. Прессование алюминиевых сплавов : Мат. моделирование и опти
мизация/ Г. Я. Гун, В. И . Яковлев, Б . А . Прудковский и др.
М . : Металлургия, 1974. -
336 с.
70. Горячее гидропрессование металлических м·атериалов / А. И. Кол
nашников, В. А . Вялов, А. А. Федоров, А. П. Петров.- М. :
Машиностроение, 1977.- 271 с.
71. Качанов Л. М. Основы теории пластичности.- М. : Наука, 1969. -
420 с.
72 . Ивата И., Осакада К., Фуджuна Б. Анализ rидростатичес1<0го
прессования методом конечных элементов.- Конструирование
и технология машиностроения, 1972, No 2, с . 212-224 .
73. Стукач А. Г., Степаненко В. И. Механика процесса прессования.
Научи. тр. / УПИ, 1976, No 3, с. 98-104
.
74. Непершин Р. И. О решении задач плоского пластического течения
жесткопластическоrо тела с кинематическими граничными услови
ями.- В кн.: Расчеты пластического деформирования металлов :
С6. ст./ Под ред . А. Д. Томленова. М. : Наука, 1975, с. 54'-75.
75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математи1<е / Пер. с англ. под
ред. И . Г . Арамановича.- 2-е И3д.- М . : Наука, 1970. - 720 с.
76. Динник А. А . Истинные пределы текучести при горячей прокатке
стали. - В кн.:. Теория прокятки : Сб. науч . работ/ Под ред.
А. П . Чекмарева. М. : Металлурrиздат, 1962, с . 157-170.
77. Гуляев /0. Г., Друян В. М . , Довлядова Н. В. Оптимальные у сло
вия прессования биметаллических труб . - Трубы из лсгир . ста
лей: Науч. тр. / МЧМ СССР, 1984, с. 17-20 .
78. Решение задачи о формоизменении биметаллической заготовки при
прессовании/ А. С. Чукмасов, Ю. Г. Гуляев, В. М. Друян и др.-
233
Днепропетровск, 1981. - 28 с.- Рукопись деп. в ВИНИТИ , ,
03.07.81, No 1326 . Деп.
79. Изменение поперечной разностенности труб при деформации
на оправке / В . П. Сокуренко, П. Н. Ившин, В. Б . Чебаков,
Е. И . Губарь.- В кн .: Производство труб для энергетики: Науч .
тр. ! МЧМ СССР, М .: 1981, с. 45-48.
ВО . Гуляев /0. Г., Чукмасов С. А. Производство труб гидроэкструзией .
Киев : УкрНИИНТИ, 1984. - 21 с.
81. Павлов И. М . Неоднородность в связи с пластической деформаци
ей металла.- В кн.: Пластичность металлов и сплавов с осебыми
свойствами : Сб. ст. / Ин-т металлургии им . А. А. Байком. М.:
Наука, 1982, с. 5-17 .
82. Охри,1,1енко Я. П. Полезное действие трения в процессах штампов
ки, прессования и выдавливания.- Кузнечно-штампов. пр-во,
1981, No 6, с. 17-20.
83. Ганаго О. А. Проблемы оптимизации кузнечно-штампов. пр-в·а. -
Тамже,No8,с.3-6.
84. Мальцев М. В., Доронькин Б. Д., Езерский К. И. Гидростап!'tеская
обработка тугоплавких металлов.-М.: Металлургия, 1978. - 27 2
с.
85. Остренко В. Я., Касьян В. Х., Филоненко П. В. Исследовани ,~ ди
намики процесса гидростатического прессования труб.- Пр-во
труб, 1978, No 3, с. 34-41 .
86. ДефорАmция металлов жидкостью высокого давления /В.И. Ураль
ский, В. С. Плахотин, Н . И. Шефтель . - М.: Металлургия, 1976. -
424 с.
87. Громов Н. П. Обработка металлов давлением . - М. : Металлургия,
1976. - 360 с.
88. ПрозоровЛ. В., Костава А. А., Ревтов В. Д. Прессование метал
лов жидкостью высо;(оrо давления . - М . : Машиностроение,
1972.-
152 с.
89. Бургвиц А, Г., Модерау П. В., J!лицкий Р. Я. О реализации про
цесса гидропрессования в режиме гидродинамической смазки.
Физика и }Шмия обраб. материа.лов, 1978, No 4, с. 81-85.
90. Tblruvardichenyan S., Alexander J. М. Hydrodynamic Lubrication
in Hydrostatic Extrusion Using а DouЬ\e Reduction Die. -
Int.
3. Machine Tool Design and Res., 1971, 11, р. 251-257.
91. Kaujalgu \! . В. Ап Hydrodynamic Model of Hydrostatic Extrusion
\Vith VariaЫe Lubrication Film Thickness .- Int. J. Product .
Res., 1970, 8, р. 315-318.
92. Heller М. J. А Hydrodynamic Model of Hydrostatic Extruslon .
-
Ibld., 1966, 5, N 2, р. 171-174 .
93. Wilson W. R , D., Walowit J. А. An lsotherma1 Hydrodynamic
Lubrication Theory for Hydrostatic Extrusion апd Drawing Pro -
cess With Conical Dies. - J . Lubr. Technol. Trans. ASME. Ser. F,
1971, 9, N 1, р. 69-72.
94. Snidle R. W ., Dowson D., Parsons В. Written contribution to dis-
cussion оп reference.-
Ibld., 1971, 92, N 3, р. 437-443.
95. Snidle R. W.,
Parsons В., Dowson D. Ап Elasto-Plasto-Hydro-
dynamic Lubrication Ana1ysis of the Hydrostatic Extrusion Pro-
cess lncludiпg the Effects of straiп· Hardening and Redudant Defor -
mation. -
In: Sympos. Elastohydrodinam. Lubr . lnst. Mech. Епg.,
1972, р. 107-109.
96. Snidle R. W ., Dowson D.,
Parsons В. An Elasto-Plasto - Hydro-
dynamic Lubricatipn AпaJysis of the Hydrostatic Extrusion Pro -
cess.-
J. Lubr. Technol . Trans . ASME. Ser. F , 1972, 95, N 2,
р. 113-119.
234
97. Machdavian S. М., Wilson W. R. D . Lobricant Flow In а Plasto-
hydrodynamic Work Zone. -
lbld., 1976, 98, N 1, р. 16-21.
98. Wilson W.R. D . , Machdavian S. М . Hydrodynamic Lubrication of
Hydrodynamic Extrusion . -
Ibld.,
1975, 98, р. 27-31.
99. Avitzur В. Analysis of Wire Dгawing and Extrнsion Throнg\1
Dies of Small Cone Angle. - J . Eng. Indttst ., 1963, 85, р. 89-95 .
100. Snid/e R. \V ., Parsons В ., Dowson D. Thermal Hydrodynamic
Lubrication Theory for Hydrostatic Extrusioп Techпology . -
Trans. ASME. Ser. F ., 1975, 98, N 2, р. 335-342 .
101. 8алесск11й В. И., Векшин. Б. С . Течение вязкой жидкости через
коническую щель.- Изв. вузов. Чер. металлургия, 1974 , No 1,
с. 104-107.
102. Колл1огоров Г. Л. , Мельников Т. Е . Вопросы гидродинамической
смазки при прессовании материалов жидкостью высокого давле
ния . - Физика и техника высоких давлений, 1981, No 3, с. 91-96 .
103. Строчков И. А., Спусканюк В. 8., Черн.ый Ю. Ф.
Аналитическая
и экспериментальная зависимость давления гидропрессования
от степени деформации . - Там же, с . 96-101.
104. Строчков И. А., Спусканюк В. 8. Исследование модели нестацио .
нгрноrо процесса прессования жидкостью.- Там же , No 15 ,
с. 14-21 .
105. Декун. А. М., Береснев Б. И. Стабилизация смазки при прессо
вании профилей и возможность увеличения стойкости матриц .
Там же, 1984, No 15, с. 24-31.
106. Лойцян.ский Л. Г. Механика жидкости и газа.- М. : Наука ,
1970.- 904 с.
107 . А -- с. No 890062 (СССР). Способ определею_1я параметров дефор
мации при обработке металлов давлением / 10. Г. Гуляев,
В. Ф. Балакин.- Заявл. 20.02.80, No 2884993/25-28. - Опубл.
в Б. И., 1981, No 46, с. 201; MKИG0lB/5/30.
•08. Гуляев Г. И., Гуляев Ю. Г. Выбор оптимальных параметров гид.
роэкструзии труб для энергетической промышленности.- Пр-во
труб для энергетики : Науч. тр. / МЧМ СССР, 1981, с. 13-17.
109. Новая технология производства толстост(;нных труб малого ди
аметра / Г. И. Гуляев, В. Ф . Балакин, Ю. Г. Гуляев и др.
Чер. металлургия: Бюл . НТИ, 1981, No 10, с. 54-55 .
110. Ильюшин. А. А. Пластичность . - М. : Л. : Гостехиздат, 1948. -
372 с.
111. А . с. 800608 (СССР). Способ определения параметров деформа
ции в процессе обработки металлов давлением и устройство для
его осуществления I Ю. Г. Гуляев, В. Ф. Балакин . - Заявл.
15.02.79, No 2726276/22-02.- О публ.
вБ.И.,1981,No4,с.141;
МКИ 001В 5/30.
112. Ьалакин. В. Ф., Гуляев 10. Г. Исследование изменения исходной
разностенности заготовки в процессе оправочного гидропрессо
вания труб.- Обраб. металлов давлением: Науч. тр. / ДМетИ,
1980, No 60, с. 79-84.
113 . Силовые условия редуцирования труб методом гидроэкструзии /
В. Ф. Балакин, Ю. Г. Гуляев, Р. Е. Штейн, Ю. Б. Жуковский .
Там же, с. 91-96 .
114. Механические свойства материалов под высоким давлением :
Пер. с англ. / Под ред. Х. Пью.- М. :Мир, 1973.-
Вып . 1-2.
115, Ваткин. Я. Л., Друян. В. М. Расчет усилий при оправочной про·
катке труб.- Обраб. металлов давлением : Науч. тр. / ДМетИ,
1967, No 52, с. 156-164.
116. Чекмарев И. А., Семенюта А. Я- Теоретическое исследование
.влияния контактных сил трения на удельное давление при про·
235
117.
118 .
119 .
120.
121 .
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
236
катке труб на длинной оправке.- Там же, 1971, No 56, с . 253-
268.
•
Анализ контактного взаимодействия 1Jри продольной оправоч
ной прокатке труб / Г. И. Гуляев, В. М. Друян, Ю. Г. Гуляев,
В. П. Удовиченко.- Изв. вузов. Чер. металлургия, 1982, No 5 ,
с. 56-59.
Исследование деформации трубы при прокатке в круглом калибре
на длинной оправке/ Я. Л. Ваткин, А. А. Шевченко, Г. И. Гуля
ев и др.- Обраб. металлов давлением: Науч. тр./ ДМетИ, 1967 ,
No 53, с. 169-177.
Гуляев Ю. Г., Друян В. М., Чу1{масов С. А. Теоретическая ма
тематическая модель процесса продольной прокатки труб н11 ци
линдрической оправ1,е. - Металлургия и коксохимия, 1985,
No 86, с. 52-56.
Техпология непрерывной безоправочной прокатки труб/ Г. И. Гу
ляев, П. Н. Ившин, И. Н. Ерохин и др. : Под ред. Г. И. ГуJiяе
ва.- М.: Металлургия, 1975. - 264 с.
Чеклшрев А. П . , Ваткин Я. Л . Основы прокатки труб в круглых
калибрах.- М.: Металлургиздат, 1962.- 2 22
с.
Редукционные станы / В. П. Анисифоров, Л . С. Зельдович,
В. Д . Курганов и др.- М. : Металлургия, 1971 .- 255 с.
Данилов Ф. А., Глейберг А. Э., Балакин В. Г . Горячая прокатка
и прессование труб.- М. : Металлургия, 1972.-
576 с.
Гуляев Г. И . Влияние технологических параметров на качеспо
труб при непрерывной безоnравочной прокатке : Дис. . .. д-ра
техн. наук.- М., 1977.-
411 с.
Гуляев Ю. Г., Гуляев Г. 11.,
Данченко Ю . В. Теоретическое ис
следование процесса формирования поперечной разностенности
при продольной безоnравочной прокатке труб / ВНИТИ.- Дне
пропетровск, 1983. -
40 с . - Рукопись деп. в ВИНИТИ. 15.03.83,
No 1918 чм - Д83. Деп.
Друян В. М., Гуляев /0. Г. Исследование гранеобразования при
трехвалковой прокатке труб.- Изв. вузов. Чер. металлурrин,
1982, No 1, с. 74-77 .
Повышение точности редуцированных конструкционных труб/
В. П. Рукобратский, Ю. Г . Гуляев, Э . П. Бобриков, Ю. В. Дан
ченко.- В кн. : Производство и применение экономичных r1po- .
филей проката для тракторного и сельскохознйственного машино
строения : Материалы Всесоюз. науч. конф. М . : НПО НА ТИ,
1983, с. 57-58 .
Теория редуцирования труб/ В. В. Ериклинцев, Д. О. Фрид
ман, Ю. И. Блинов, Л. М. Грабарник. - Свердловск : Ср ед.
урал. кн. изд-во, 1970. - 288 с.
Бараненко В. А., Гуляев Ю. Г. Оптимизация поперечной разно
стенности при безоправочной прокатке труб.- В кн.: Роль пере •
довоrо опыта в борьбе за высокую производительность труда : Ма
териалы науч.-практ. конф. Днепропетровск, 1983, с. 68-71 .
Беллма1-1 Р. Динамическое программирование: Пер . с aнrJI.- М.:
Изд.-во иностр. лит., 1960.-
400 с.
Почтл~ан !О. М ., Бараненко В. А. Динамическое программ-нро
вание в задачах строительной · механюш.- М. : Стройиздат ,
1975. -
110 с.
Капорович В . Г. Производство деталей из труб обкаткой.- М . :.
Машиностроение, 1978.
-
136 с.
Целиков А . И., Нц,щтин С . Г., Рокотян С. Е. Теория продоль
ной прокатки: Учебник для вузов. - М . : Металлургия, 1980 . -
32'0 с.
•
134. Несис Е. И. Методы математической физики : ~'чеб. пособие . -
М . : Просвещение, 1977. -
199 с.
135. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена / Пер.
с англ . под ред. А . В. Лыкова.- М.: JI.: Госэнергоиздат, 1961 . -
678 с.
136. Швейкин В. В., Гун Г. Я., Ившин П. Н. Устойчивость профиля
поперечного сечения трубы при редуцировании.- Изв. вузов .
Чер. металлургия, 1964, No 4, с. 88-92.
137. Гуляев Г. И., Ивишн П. Н., Янович В. К. Устойчивость попереч
ного сечения труб при редуцировании.- В кн.: Теория и прак
тика редуцирования труб : Материал:,, науч.-техн. конф . Че
лябинск, 1972, с. 103 - 109.
138. Агеев К. П., Кривицкий Б . А. Анализ условий устойчивости за
готовок при обжиме в конической матрице. - Изв. вузов. Машино
строение, 1980, No l, с. 94-101 .
139. Борисов С. И., Гацула А.}(. Устойчивость труб при закатке бал
лонов.- Пр-во труб/ ВНИТИ, 1969, вып. 22, с. 160-165.
140. Капорович В. Г., Ващук Л. Н. Определение пр·едельных обжа
тий при тангенциальной обкатке труб.- Кузнеч.-штампов. пр
во, 1979, No2, с. 11- 12.
141. Алексеев 10. Н. Вопросы пластического течения металлов.
Харьков : Изд - во Ха р ьк. ун-та, 1958.-
187 с.
142. Алфутов Н. А. Ос н овы расчета на устойчивость упругих систем:
Б-ка расчетчи1{а. - М. : Маши н остроение, 1978. - 3 1 2 с.
143. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин
и оболочек.- М. : Изд-во Моск. ун-та, 1968,- 519 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Обзор развития методов моделирования процессов ОМД .
Условные обозначения .
3
5
11
Часть первая
Теоретические основы математического мо-
делирования процессов ОМД
14
Глава первая
Общие сведения о математическом моделировании
процессов ОМД
14
1. Классификация математических моделей
.
14
2 . Принципы создания математических моделей
.
.
.
.
.
18
3. Оптимизация процессов ОМД с использованием математических
моделей
25
Глава вторая
Интегральная ЛММ процесса ОМД
30
1. Постановка задачи и основные уравнения
.
30
2. Формулировка задачи и граничные условия
33
3. Законы теории ОМД
.
38
Глава третья
Методы реализации математических моделей про-
~а ~Д.
М
1. Ос~ювные определения
.
.
64
2. Метод взве ш енных невязок и его варианты
65
3. Энергетические методы
.
97
4. Метод квазиадекватной модификации уравнения энергетическо-
го баланса .
.
.
100
5. Алгоритмы обработки экспериментальных дан н ых
105
238
Часть вторая
Математическое моделирование технологи-
ческих процессов ОМД
112
Глава четвертая
П рессование
• 112
!. Общая АММ процесса
112
2. АММ формирования концевой продольной разностенности nри
прессовании биметаллических труб .
125
3. Статистическая методика определения длины концевой обрези
пр и прессовании биметаллов .
133
4. Определение геометрических параметров центробежнолитых би-
металли>~еских з аготовок
136
Глава пятая
Г ндроэкс трузия
140
1. Контактное в з аимодействие пр и гидроэкструзии сплошных
изделий.
140
2. Контактное взаимодействие и параметры формоизменения при
гидроэкструзии цилиндрических труб .
152
3. Инерционные эффекты при гидроэкструзии.
.
167
Глава шестая
Продольная оправочная прокатка труб
1. Одноклетевая прокатка
.
2. Непрерывная прокатка
.
Г .лава седьмая
Редуцирование труб
1. Изменение средней толщины стенки
2. Формирование поперечной разностенности
3. Оптимизация процесса редуцирования
Глава восьлtая
Тангенциальная обкатка тру б
1. АММ определения усилий деформации
2. Условие устойчивости формы заготовки при обкатке
Список литературы
173
173
177
183
• 183
• 189
207
215
• 215
221
•
• 230
Юрий Геннадиевич Гулнев
Сергей Аленсандрович Чу"масов
Алексей Владимирович Губинсний
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ОБР АБОТIШ
МЕТАЛ.ЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Редактор Н. И. СУХОМЛННСКАЯ
Художественный редактор И. Г . ЛАГУТИН
Т~х и ические редакторы Б. М. КРИЧЕВСJ<АЯ, Т. 9. БЕРЕЗЯК
Корректоры А. И. СМОЛКИНА, Э. М. КИЯНСКАЯ,
Е, С. МИРЗАМУХАМЕДОВА
ив No 7339
Сдано в набор - 28.ОG.35. Подп. в печ. 18.02 .86. БФ 01026. Формат
84XI08/32. Бум. тип. No !. Лит. гарн. Вые. печ. Усл. печ. л.
12.6 . Усл. кр.-отт. 12,6 . Уч.-изд. л. 14,13 . Тираж 2000 экз:
Заказ 6-108. Цена 2 р. 40 к.
Издательство «Наукова думка>. 252601 Киев 4, ул . Репина. З,
Отпечоатано r .,,тр1щ книж1-101"r ~,абрики им. М. В. Фрунзе. 310057
Харьков 57 .Донсц~Захаржевского, 6/8 на книжной фабрике "Ком
мунист». Зluu·Jl, Харьков 1:1, ул. Энгельса. 11.