Text
                    УДК 517.2
ББК 22.161
Ф65
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрально-
интегрального исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 8-е изд. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 864 с. - ISBN 5-9221-0157-9.
Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной
вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего,
для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно
подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение
включает такие классические разделы анализа, как неопределенный инте-
интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобствен-
несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от
параметра, и др. Подробно излагаются и некоторые мало представленные
или совсем не представленные в элементарных учебниках темы: бесконечные
произведения, формула суммирования Эйлера-Маклорена и ее приложения,
асимптотические разложения, теория суммирования и приближенные вы-
вычисления с помощью расходящихся рядов и др. Являясь одним из лучших
систематических учебников по интегральному исчислению и, одновремен-
одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, связанных с рядами и
интегралами, данная книга, безусловно, будет полезна как учащимся, так
и преподавателям высшей математики, а также специалистам различных
профилей, использующим математику в своей работе, в том числе, матема-
математикам, физикам и инженерам.
Первое издание вышло в 1948 г.
Редактор: доцент матем.-механич. ф-та
Санкт-Петербургского гос. ун-та А.Л. Флоринский
ISBN 5-9221-0157-9 (Т. II)
ISBN 5-9221-0155-2	© физматлит, 2001, 2003


ОГЛАВЛЕНИЕ Глава восьмая ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) . 11 264. Интеграл и задача об определении площади 15 265. Таблица основных интегралов 18 266. Простейшие правила интегрирования 20 267. Примеры 22 268. Интегрирование путем замены переменной 25 269. Примеры 29 270. Интегрирование по частям 33 271. Примеры 35 § 2. Интегрирование рациональных выражений 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 39 273. Простые дроби и их интегрирование 40 274. Разложение правильных дробей на простые 42 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 46 276. Выделение рациональной части интеграла 48 277. Примеры 52 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 278. Интегрирование выражений вида R (х, л/ ^+g )• Примеры ... 55 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры .... 57 280. Формулы приведения 59 281. Интегрирование выражений вида R(x, у <х\;2 + Ъх + с). Подстановки Эйлера 62 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 65 283. Примеры 66 284. Другие приемы вычисления 72 285. Примеры 79 § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов R(sinx, cosx) dx 81 287. Интегрирование выражений sinv x • cos^ x 84 288. Примеры 86 289. Обзор других случаев 90
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 5. Эллиптические интегралы 290. Общие замечания и определения 92 291. Вспомогательные преобразования 94 292. Приведение к канонической форме 97 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 99 Глава девятая ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 294. Другой подход к задаче о площади 104 295. Определение 106 296. Суммы Дарбу 108 297. Условия существования интеграла 111 298. Классы интегрируемых функций 112 299. Свойства интегрируемых функций 114 300. Примеры и дополнения 116 301. Нижний и верхний интегралы как пределы 118 § 2. Свойства определенных интегралов 302. Интеграл по ориентированному промежутку 120 303. Свойства, выражаемые равенствами 121 304. Свойства, выражаемые неравенствами 123 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 127 306. Вторая теорема о среднем значении 130 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 307. Вычисление с помощью интегральных сумм 133 308. Основная формула интегрального исчисления 136 309. Примеры 138 310. Другой вывод основной формулы 142 311. Формулы приведения 143 312. Примеры 144 313. Формула замены переменной в определенном интеграле 148 314. Примеры 149 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 155 316. Другой вывод формулы замены переменной 157 § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 317. Формула Валлиса 159 318. Формула Тейлора с дополнительным членом 160 319. Трансцендентность числа е 161 320. Многочлены Лежандра 163 321. Интегральные неравенства 166 § 5. Приближенное вычисление интегралов 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций .... 169 323. Параболическое интерполирование 172 324. Дробление промежутка интегрирования 174 325. Дополнительный член формулы прямоугольников 175
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 326. Дополнительный член формулы трапеций 178 327. Дополнительный член формулы Симпсона 178 328. Примеры 181 Глава десятая ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой 329. Вычисление длины кривой 186 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению 188 331. Примеры 192 332. Натуральное уравнение плоской кривой 198 333. Примеры 202 334. Длина дуги пространственной кривой 204 § 2. Площади и объемы 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 205 336. Площадь как предел 209 337. Классы квадрируемых областей 211 338. Выражение площади интегралом 213 339. Примеры 216 340. Определение понятия объема. Его свойства 223 341. Классы тел, имеющих объемы 225 342. Выражение объема интегралом 227 343. Примеры 230 344. Площадь поверхности вращения 237 345. Примеры 240 346. Площадь цилиндрической поверхности 243 347. Примеры 245 § 3. Вычисление механических и физических величин 348. Схема применения определенного интеграла 248 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой ... 251 350. Примеры 253 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры 255 352. Примеры 256 353. Механическая работа 258 354. Примеры 260 355. Работа силы трения в плоской пяте 262 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 264 § 4. Простейшие дифференциальные уравнения 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 270 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных 271 359. Задачи 273 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 279 361. Задачи 280
6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава одиннадцатая БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Введение 362. Основные понятия 284 363. Примеры 285 364. Основные теоремы 287 § 2. Сходимость положительных рядов 365. Условие сходимости положительного ряда 289 366. Теоремы сравнения рядов 292 367. Примеры 294 368. Признаки Коши и Даламбера 298 369. Признак Раабе 300 370. Примеры 302 371. Признак Куммера 305 372. Признак Гаусса 307 373. Интегральный признак Маклорена-Коши 309 374. Признак Ермакова 313 375. Дополнения 316 § 3. Сходимость произвольных рядов 376. Общее условие сходимости ряда 322 377. Абсолютная сходимость 323 378. Примеры 325 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 327 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 329 381. Знакопеременные ряды 330 382. Примеры 332 383. Преобразование Абеля 334 384. Признаки Абеля и Дирихле 336 385. Примеры 337 § 4. Свойства сходящихся рядов 386. Сочетательное свойство 342 387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 344 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 346 389. Умножение рядов 349 390. Примеры 352 391. Общая теорема из теории пределов 355 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 357 § 5. Повторные и двойные ряды 393. Повторные ряды 359 394. Двойные ряды 363 395. Примеры 369 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости .... 377 397. Примеры 380 398. Кратные ряды 382
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 6. Бесконечные произведения 399. Основные понятия 382 400. Примеры 383 401. Основные теоремы. Связь с рядами 385 402. Примеры 389 § 7. Разложения элементарных функций 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 396 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др 399 405. Логарифмический ряд 401 406. Формула Стирлинга 403 407. Биномиальный ряд 405 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения .... 407 § 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 409. Общие замечания 411 410. Вычисление числа ж 412 411. Вычисление логарифмов 414 412. Вычисление корней 416 413. Преобразование рядов по Эйлеру 417 414. Примеры 419 415. Преобразование Куммера 422 416. Преобразование Маркова 425 § 9. Суммирование расходящихся рядов 417. Введение 427 418. Метод степенных рядов 429 419. Теорема Таубера 432 420. Метод средних арифметических 435 421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро . . 436 422. Теорема Харди-Ландау 438 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов ... 441 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 442 425. Примеры 447 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования .... 450 Глава двенадцатая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. Равномерная сходимость 427. Вводные замечения 454 428. Равномерная и неравномерная сходимости 456 429. Условие равномерной сходимости 461 430. Признаки равномерной сходимости рядов 463 § 2. Функциональные свойства суммы ряда 431. Непрерывность суммы ряда 466 432. Замечание о квазиравномерной сходимости 469 433. Почленный переход к пределу 471 434. Почленное интегрирование рядов 473 435. Почленное дифференцирование рядов 476
8 ОГЛАВЛЕНИЕ 436. Точка зрения последовательности 479 437. Непрерывность суммы степенного ряда 482 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 486 § 3. Приложения 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу 489 440. Примеры на почленное интегрирование рядов 496 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 507 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 513 443. Аналитическое определение тригонометрических функций .... 515 444. Пример непрерывной функции без производной 518 § 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 445. Действия над степенными рядами 520 446. Подстановка ряда в ряд 524 447. Примеры 527 448. Деление степенных рядов 531 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются .... 534 450. Решение уравнений рядами 539 451. Обращение степенного ряда 543 452. Ряд Лагранжа 545 § 5. Элементарные функции комплексной переменной 453. Комплексные числа 549 454. Комплексная варианта и ее предел 552 455. Функции комплексной переменной 554 456. Степенные ряды 557 457. Показательная функция 560 458. Логарифмическая функция 562 459. Тригонометрические функции и им обратные 564 460. Степенная функция 568 461. Примеры 569 § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена 462. Примеры 574 463. Определения 577 464. Основные свойства асимптотических разложений 579 465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена 583 466. Исследование дополнительного члена 586 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена . . 588 468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена 592 469. Формула и ряд Стирлинга 594 Глава тринадцатая НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 470. Определение интегралов с бесконечными пределами 597 471. Применение основной формулы интегрального исчисления .... 599 472. Примеры 600
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 603 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 605 475. Сходимость интеграла в общем случае 607 476. Признаки Абеля и Дирихле 609 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду . . . 612 478. Примеры 615 § 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 479. Определение интегралов от неограниченных функций 623 480. Замечание относительно особых точек 627 481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры 628 482. Условия и признаки существования интеграла 630 483. Примеры 634 484. Главные значения несобственных интегралов 637 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов . . 642 § 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 486. Простейшие свойства 645 487. Теоремы о среднем значении 647 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов . . 649 489. Примеры 650 490. Замена переменных в несобственных интегралах 653 491. Примеры 654 § 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 492. Некоторые замечательные интегралы 659 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами 663 494. Случай интегралов с бесконечным пределом 666 495. Интегралы Фруллани 670 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами 672 497. Смешанные примеры и упражнения 678 § 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей ... 691 499. Примеры 692 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов 696 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом 697 502. Использование асимптотических разложений 700 Глава четырнадцатая ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Элементарная теория 503. Постановка задачи 704 504. Равномерное стремление к предельной функции 705 505. Перестановка двух предельных переходов 708 506. Предельный переход под знаком интеграла 710
10 ОГЛАВЛЕНИЕ 507. Дифференцирование под знаком интеграла 712 508. Интегрирование под знаком интеграла 715 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 717 510. Введение множителя, зависящего лишь от х 720 511. Примеры 722 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 733 § 2. Равномерная сходимость интегралов 513. Определение равномерной сходимости интегралов 735 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 736 515. Достаточные признаки равномерной сходимости 737 516. Другой случай равномерной сходимости 740 517. Примеры 742 § 3. Использование равномерной сходимости интегралов 518. Предельный переход под знаком интеграла 747 519. Примеры 751 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру . 765 521. Интегрирование интеграла по параметру 769 522. Применение к вычислению некоторых интегралов 772 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 779 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 789 § 4. Дополнения 525. Лемма Арцела 800 526. Предельный переход под знаком интеграла 802 527. Дифференцирование под знаком интеграла 806 528. Интегрирование под знаком интеграла 806 § 5. Эйлеровы интегралы 529. Эйлеров интеграл первого рода 808 530. Эйлеров интеграл второго рода 811 531. Простейшие свойства функции Г 812 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 819 533. Другая функциональная характеристика функции Г 821 534. Примеры 823 535. Логарифмическая производная функции Г 830 536. Теорема умножения для функции Г 832 537. Некоторые разложения в ряды и произведения 834 538. Примеры и дополнения 835 539. Вычисление некоторых определенных интегралов 842 540. Формула Стирлинга 850 541. Вычисление эйлеровой постоянной 853 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 854 Алфавитный указатель 856
ГЛАВА ВОСЬМАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного ин- интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот — восстанав- восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение движения s = s G), т. е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования нашли снача- сначала скорость v = ^-, а затем и ускорение а = ^. На деле, одна- однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение а задано в функции от времени t: a = a(t)9 требуется определить скорость v и пройденный путь s в за- зависимости от /. Таким образом, здесь оказывается нужным по функции а = a{t) восстановить ту функцию v = v(t)9 для кото- которой а является производной, а затем, зная функцию v, найти ту функцию s = s(t)9 для которой производной будет v. Дадим следующее определение: Функция F(x) в данном промежутке называется перво- первообразной функцией для функции f{x) или интегралом от f{x), если во всем этом промежутке f{x) является про- производной для функции F(x) или, что то лее, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом F'(x) = f{x) или dF{x) = f{x) dx. *} *) В этом случае говорят также, что функция F(x) является первообразной (или интегралом) для дифференциального выражения f(x) dx. (Здесь и далее звездочкой обозначены примечания автора.)
12 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [263 Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисления; как видим, эта задача является обратной основной за- задаче дифференциального исчисления.35^ Теорема. Если в некотором {конечном или бесконечном, замкнутом или нет) промежутке SC функция F{x) есть пер- первообразная для функции f{x), то и функция F{x) + С, где С — любая постоянная, также будет первообразной. Обрат- Обратно, каждая функция, первообразная для f(x) в промежут- промежутке ЭС, может быть представлена в этой форме. Доказательство. То обстоятельство, что наряду с F(x) и F(x) + С является первообразной для /(х), вполне очевидно, ибо [F(x)+C]f = F'(x)=f(x). Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для f(x) функция, так что в промежутке SC Ф'(х) =/(*). Так как функции F(x) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке име- имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131, следствие]: 3>(x)=F(x)+C, что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функ- функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга посто- постоянными слагаемыми. В силу этого выражение F{x) +C, где С — произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, кото- которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это выражение называется неопределенным интегралом/(х) ' Относительно происхождения слова «интеграл» см. сноску на с. 105. В ин- интегральном исчислении систематически употребляются несколько терминов, име- имеющих слово «интеграл» в своем составе: «неопределенный интеграл», «опреде- «определенный интеграл», «несобственный интеграл» и др. Отвечающие этим терминам математические понятия, как и задачи, послужившие источником их происхожде- происхождения, будут подробно рассматриваться в дальнейшем. (Здесь и далее номером обозначены примечания редактора.)
263] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 13 и обозначается символом Jf(x)dx,36) в котором неявным образом уже заключена произвольная посто- постоянная. Произведение f(x) dx называется подинтегральным выражением, а функция/(х)—подинтегральной функ- функцией. Пример. Пусть f(x) = х2; тогда, как нетрудно видеть, не- неопределенный интеграл этой функции будет Это легко проверить обратным действием — дифференцированием. Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интегра- «интеграла» / пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не производную (в нашем примере: x2dx, а не х2). Такой способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался историче- исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ и его сохранение вполне целесообразно. Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства: l.d ff(x)dx =f(x)dx, т. е. знаки d и j, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокращаются. 2. Так как F(x) есть первообразная функция для F'(x), то имеем JF'(x)dx=F(x)+C9 ' Можно сказать, таким образом, что символ J f(x) dx будет служить обозна- обозначением типовой первообразной функции f(x) на некотором промежутке. Возможна и несколько иная трактовка (также весьма распространенная) понятия неопределенного интеграла; она состоит в том, что знак J f(x) dx рассматрива- рассматривается как обозначение множества всех первообразных функции f[x). Соответ- Соответственно, равенство //(*) dx = F[x) + С понимается в этом случае как краткая форма более громоздкой записи J f[x) dx = {F[x) + С: С G ^}; основные же формулы, связанные с неопределенными интегралами, трактуются при этом как равенства множеств. Поскольку все установленные в тексте соотношения, от- относящиеся к неопределенным интегралам, сохраняют свою справедливость как при одной, так и при другой интерпретации символа J f(x) dx, читатель может, в принципе, придерживаться любой из них.
14 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [263 что может быть переписано так: dF(x)=F(x)+C. Отсюда видим, что знаки d и J, стоящие перед F(x), сокра- сокращаются и тогда, когда d стоит после J, но только к F(x) нужно прибавить произвольную постоянную. Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили вначале, мы можем теперь написать, что v= fa(t)dt s = / v{t)dt. Предположим для определенности, что мы имеем дело с равно- равноускоренным движением, например под действием силы тяжести; тогда а = g (если направление по вертикали вниз считать положи- положительным) и — как нетрудно сообразить — v = Jgdt= =gt + C. Мы имеем выражение для скорости l>, в которое кроме вре- времени t входит еще и произвольная постоянная С. При различных значениях С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам известно, что в момент t = t0 скорость v = t>0; подставим эти значения в выражение для скорости откуда С = vo-gto, и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид v =g(t - t0) + v0. Найдем далее выражение для пути s. Имеем s = J Ht - t0) + v0] dt = ^g(t- t0J + vo(t - to)+C [дифференцированием легко проверить, что первообразная функ- функция может быть взята в такой форме]. Неизвестную нам новую
264] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 15 постоянную С' можно определить, если, например, дано, что путь s = s0 в момент t = t0; найдя, что С' = sQ9 перепишем решение в окончательном виде: (J + ()+ Значения t09 s09 v0 условно называются начальными зна- значениями величин t9 s и v. Мы знаем, что производная функции у = F(x) дает угловой коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому задачу разыскания первообразной F(x) для заданной функции f(x) можно истолковать так: требуется найти кривую y=F(x), для которой имел бы мес- место заданный закон изме- I ^ у=Щх)+С нения углового коэффици- коэффициента касательной: = /(*)• Если у = F(x) есть од- одна из таких кривых, то все остальные могут быть получены из нее простым рис j сдвигом (на произвольный отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того чтобы индивиду- индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, напри- например, задать точку (хо,уо)9 через которую кривая должна пройти; начальное условие уо = F(x0) +С даст С = у0 —F(x0). 264. Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важ- важнее истолкование первообразной функции как площади криволи- криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функ- функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой же задаче уже здесь (пользу- (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и от- откладывая точную постановку этого вопроса до главы X). Пусть дана в промежутке [а, Ь] непрерывная функция у = f{x)9 принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рассмотрим фигуру ABCD (рис. 2), ограниченную кривой у = /(х), двумя ординатами х — а и х = b и отрезком оси х; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Же- Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим
16 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [264 поведение площади переменной фигуры AMND, заключен- заключенной между начальной ординатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [а, Ь] значению х. При изменении х эта последняя пло- площадь будет соответственно изме- изменяться, причем каждому х отве- отвечает вполне определенное ее зна- значение, так что площадь криволи- криволинейной трапеции AMND является j. Л некоторой функцией от х; обозна- х+Дх о тл/ \ чим ее через Р[х). Поставим себе сначала за- задачей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Ах; тогда площадь Р{х) получит при- приращение АР. Обозначим через m и М9 соответственно, наименьшее и наи- наибольшее значения функции /(х) в промежутке [х,х + Ах] [85] и сравним площадь АР с площадями прямоугольников, построен- построенных на основании Ах и имеющих высоты m и М. Очевидно, Рис.2 откуда гпАх < АР < МАх, АР м т < —— < М. Ах Если Ах —)> 0, то, вследствие непрерывности, т и М будут стре- стремиться к /(х), а тогда и АР Р\х)= lim =- =y(jc). V J A^O Ax V J Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой Нъ ют он а и Ле йбница*^)'. производная от переменной площади Р{х) по конечной абс- абсциссе х равна конечной ординате у =/(х). Иными словами, переменная площадь Р(х) представля- представляет собой первообразную функцию для данной функ- функции у = /(х). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при х = а. *> В действительности это предложение — хотя и в другой форме — опуб- опубликовал еще Барроу (Is. Barrow), учитель Ньютона.
264] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 17 Поэтому если известна какая-либо первообразная F(x) для функции f(x) и по теореме предыдущего п° P(x)=F(x)+C, то постоянную С легко определить, положив здесь х = а\ О = F(a) + С, так что С = -F(a). Окончательно Р(х) =F(x)-F(a). В частности, для получения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD нужно взять х = Ъ: P = F(b)-F(a). В виде примера найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной параболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х9 и отрезком оси х (рис. 3); так как па- парабола пересекает ось х в начале коор- координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f{x) = ах2 легко найти первообразную: F(x) = Ц-. Эта функ- функция как раз и обращается в 0 при х = 0, так что у=ах2/ ОТ х Рис.3 [ср. 32, 4)]. Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахо- нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обыч- обычным и самое вычисление интегралов называть квадратурой. Для распространения всего сказанного выше на случай функ- функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно усло- условиться считать отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х. Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежут- промежутке [а, Ь] функция /(х), читатель всегда может представить себе первообразную для нее функцию в виде переменной площади фи- фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геометрическую иллюстрацию доказательством существова- существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано.
18 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [265 В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чис- чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая непрерывная в данном промежутке функция f{x) имеет в нем первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас. В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и име- имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежут- промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утверждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз ого- оговаривать существование интегралов: рассматриваемые нами интегралы все существуют. 265. Таблица основных интегралов. Каждая формула диффе- дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функции F{x) производной будет /(х), непосредственно приводит к соответствующей формуле интегрального исчисления f{x)dx=F{x)+C. 37) Перебрав формулы п° 95, по которым вычислялись производные элементарных функций, а также некоторые формулы, выведенные дальше (для гиперболических функций), мы можем теперь соста- составить следующую таблицу интегралов: 2. f Idx = f dx =x +C. 4. [l-dx=[^= = arcsinx + C. ' Подобная запись всегда предполагает, что функция f(x) рассматривается на некотором (лежащем в ее области определения) промежутке.
265] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 19 7. [axdx = ^+C. [exdx=ex+C. J In я 7 sinx dx = — cosx + С 9. / cosx <ix = sinx + С f 1 f dx . / —y~ dx = —y~ — ~ c^?x + C. 7 sin x 7 sin x 10. 7 sin 1 f Л 11. ^ [^g coszx 7 coszx 12. / shx<ix = chx +C. 13. / chx<ix = shx +C. Г 1 14. / —^dx = -cthx +C. 7 shzx Г 1 15. / -^-dx =thx +C. 7 ch2x По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в лю- любом промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот промежуток лежит вправо от нуля, так что х > 0, то из известной формулы дифференцирования Aпх); = ? непосредственно следует Если же промежуток лежит влево от нуля и х < 0, то дифферен- дифференцированием легко убедиться в том, что Aп(-х)); = ?, откуда Обе эти формулы и объединены в формуле 4. В добавление к сказанному отметим, что каждая из формул 1 — 15 справед- справедлива на любом промежутке, лежащем в области определения фигуриру- фигурирующей в ней подинтегральной функции; в то же время эти формулы не всегда применимы, если требуется найти все первообразные той или иной функ-
20 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [266 Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при помощи правил интегрирования. 266. Простейшие правила интегрирования. I. Если а — постоянная {а ф 0), то J a-f(x)dx=a- J f(x)dx. Действительно, дифференцируя выражение справа, мы полу- получим [105, I] d[a- Jf{x)dx] =a-d[Jf{x)dx] =a-f(x)dx9 так что это выражение является первообразной для дифференциа- дифференциала а • f{x) dx, что и требовалось доказать. Итак, постоянный мно- множитель можно выносить из-под знака интеграла. П. f{f{x)±g{x))dx= ff{x)dx± Ig{x)dx. J J J Дифференцируем выражение справа [105, II]: d[jf{x)dx±jg{x)dx\ =djf{x)dx±djg{x)dx = [f{x)±g{x)]dx; таким образом, это выражение является первообразной функцией для последнего дифференциала, что и требовалось доказать. Не- Неопределенный интеграл от суммы {разности) дифференциалов равен сумме {разности) интегралов от каждого дифферен- дифференциала в отдельности. ции на всей ее области определения в случае, когда последняя не является промежутком. Например, функция /(*) = j определена на множестве всех вещественных чисел, отличных от нуля [т. е. на объединении двух промежутков ( —оо, 0) и @, оо)]; на этом множестве ее первообразной служит функция Г 1 (х > 0), F(x) = In |*| + sign*, где sign* = < 0 (* = 0), [-1 (* < 0). Функция F(x), однако, не может быть представлена в виде In |* | -\-С ни при каком вещественном С. Таким образом, не все первообразные функции /(*) = j на ее области определения могут быть найдены по формуле 4.
266] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 21 Замечание. По поводу этих двух формул заметим следую- следующее. В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа по- понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частя- частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и букваль- буквально, но тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает быть произвольной первообразной: постоянная в нем уста- устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замечание следует иметь в виду и впредь. III. Если Jf(t)dt = F(t)+C, то f(ax +b)dx = - • F(ax + b) + С. Действительно, данное соотношение равносильно следующему: dt Но тогда — F(ax + Ъ) = F'{ax + Ъ) • а = а • f{ax + b), так что т. е. ^ F(ax + Ъ) действительно оказывается первообразной для функции f{ax + Ъ). Особенно часто встречаются случаи, когда а = 1 или Ъ = 0: f{x+b)dx =F(x+b)+Cl9 I f(ax)dx = - -F(x)+C2. [На деле правило III есть весьма частный случай правила заме- замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ни- ниже, 268.]
22 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [267 267. Примеры. 1) jFx2 -Зх + 5)dx. Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем / (бх2 - Зх + 5) dx = / 6x2dx - / Зх dx + / 5 dx = = 6 fx2dx -3 fxdx + 5 I dx = 2x3 - - x2 + 5jc + C. 2) Легко проинтегрировать многочлен и в общем виде: / (<*охп + аххп~1 + . . . + ап_хх + ап) dx = = uq / xndx + ai I xn dx -\- . . . -\-an_x I x dx + an I dx = _ ao «+1 i ^j_ « i i a»-l 2 _|_ _|_ ^, [TT T- 1 21 n+1 « "' 2 w 3) /Bjc2 + \fdx = f(8x6 + \2x4 + 6jc2 + l) dx = о i ^ = -x1 H jc5 + 2jc3 + jc + С. [пример 2)] Г 4 Г 2 У У = dx + 4 x^dx+6 x dx + 4 x^dx + x2dx = = x+*x32+3x2+*xl+}-Xl+C. [II, I; 3,2] 353 L'-'J 5) / —^ dx = / —^ dx = \x + \-\--x^J-- з /11 1 jc^/x = -*2 + -* -lnjc + -+C. [II, I; 3,2, 4] О X / О J X 6) /fr-^A+^ = Ajc^x - Ajc^x = — jc^ - -jc^ +C. [II; 3] Дадим ряд примеров на применение правила III: = х -а =ln|*-a|+C; [III; 4] х а
267] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ f dx [ ъ 1 ъ (б) / 7 п = / * " * <** = "Т^7 * " аУ J (х - of J -k+1 f ! 8) (а) / sinmx dx = cosmx -\- С (т ф 0); J m f 1 (б) / cos mx dx = — sin wjc + C; J m (в) J e-3xdx = -^e~3x +C. , , , f dx 1 /" 9) (а) у ^_ = -J — , ( dx I f dx 1 jc F) / 2_L 2 = — / —m = -arctg- J az +xz az J i I (x\ a a Примеры на все правила: 10) dx 23 )• [Ш; з] [Ш; 8] [Ш; 9] [III; 7] (a > 0); [III; 6] [Ш; 5] /-(g*-l)(g2* + l) Г / dx = I (e — e + I — e ) dx = — e + x + e + C. [II, III; 7, 2] Разделив числитель на знаменатель, представим подинтегральное выражение в виде a be — ad I с ax + d Отсюда искомый интеграл равен a be — ad -x + с cz - In lex +d\+C. [П, I, III; 2, 4] 12) [2X2~3X + Idx= /B,-5+-*-) J x + 1 J V x + \J = jcz - 5jc + 6 In | dx = + C. Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается разло- разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями. Например, 1 1 х2 — а2 (х — а)(х-\-а) 2а \х — а х-\-а/' поэтому [см. пример 7), (а)] /dx 1 г f dx f dx "I 1 x2 — a2 2a IJ x — a J x + a\ 2a ¦In С.
24 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Для дроби более общего вида 1 [267 О + а)(х + Ь) можно указать, например, такой прием. Очевидно, (х + а) — (х + Ъ) = а — Ъ. Тогда имеем тождественно 1 1 (х + а) - (х + Ъ) 1/1 1 (х + а){х + b) a — b Таким образом, dx 14) Г d J (х+а) (x+a)(x+b) ¦In a-b\x+b x+a а-Ъ' В частности, In - 3 16) [ * = !/_ J 4x2 + 4х - 3 4 J (jc У Ах2 + 2Bx + + 3 — 2 = -In 2х - 1 2jc (при В1 -АС > 0). Знаменатель следующим образом разлагается на вещественные множители: А(х — а)(х — р), где -В А 7 ' А А тогда, согласно примеру 14), полагая в нем а = —р, b = —а, получим С'. Ах2+Вх+С 2JB2 -АС Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементар- элементарных преобразований, интегрируются также при помощи простейших приемов. Очевидно, например, cos тх = откуда 17) (а) / cos2 <б)/ 1 + cos 2тх 1 — cos 2mx 2 sin тх = тх dx = — х -\ sin 2mx + С; 2 Am 2 1 1 sin тх dx = - х sin 2mx + С. 2" 4т Аналогичным образом имеем sin тх cos юс = — (sin(m + п) х + sin(w — и) х\, cos wjc cos we = — (cos(m -\- n)x -\- cos(w — n)x\ sin /ш; sin га = - (cos(m — «) jf — cos(w + n) x^j.
268] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 25 Считая т d= n ф О, получим следующие интегралы: 18) (а) / sin mx cos га dx = / cos(w + ri)x cos(w — n) x + C; г + n) 2(m — n) F) / cos mx cos we dx = sin(w + n) x + — sin(w — n) x + C; / si (в) / sin mx sin we dx = = sin(w — n)x sin(w + n) x + С 2{m — n) 2{m + n) В заключение рассмотрим немного более сложный пример. /sin 2га: dx (n= 1,2, 3, ...). sin* Так как sin2rac = N (sin2foc — sinB& — 2)х\ = 2sinjc \ cosB^ — 1) jc, k=l k=l n то подинтегральное выражение приводится к 2 J^ cos B& — 1) jc, и искомый ин- k=l теграл будет равен ^sinB*l)* к=\ Аналогично, . . [ sin Bп + 1) х v^ sin 2^ (б) / ^ }— dx = х + 2 > + С. J k=l 268. Интегрирование путем замены переменной. Изложим один из сильнейших приемов для интегрирования функций — ме- метод замены переменной или подстановки. В основе его лежит следующее простое замечание: если известно, что то тогда jg{t)dt = G{t)+C, [ g((o(x))(o'(x)dx =G(o)(x))
26 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [268 [Все фигурирующие здесь функции g{t)9 со(х)9 со'(х) предпола- предполагаются непрерывными.] 39^ Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функции [98] — G(co(x)) = G'(co(x))co'(x) = g(co(x))co'(x), если учесть, что G'{t) = g(t). To же можно выразить и иначе, сказав, что соотношение dG(t)=g(t)dt сохраняет силу и при замене независимой переменной t на функ- функцию (о{х) [106]. Пусть требуется вычислить интеграл f{x)dx. Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от х: t = co(x)9 чтобы подинтегральное выражение представилось в виде f{x)dx=g{c>{x))c>'{x)dx9 A) где g{t) — более удобная для интегрирования функция, чем f(x). Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл чтобы из него подстановкой t = co(x) получить искомый интеграл. Обыкновенно пишут просто Jf(x)dx = jg(t)dt, B) подразумевая уже, что в функции от t, которая представлена интегралом справа, произведена указанная замена.^' Предполагается так же, что рассматриваемые промежутки изменения пере- переменных t и х: [а, /3] и [а, Ь] связаны равенством [а, /3] = {со(х) : х G [а, Ь]}. 40 ^ Читателю следует обратить особое bhhiv bom, ибо без нее равенство B) теряет смысл. ' Читателю следует обратить особое вниминие на фразу, выделенную курси-
268] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 27 Найдем, например, интеграл sin3x cosx dx. Так как <isinx = cosx dx9 то, полагая t = sinx, преобразуем подин- тегральное выражение к виду sin3 х cosx dx = sin3 x d sinx = t3 dt. Интеграл от последнего выражения вычисляется легко: Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя sinx вместо t: 1 . о 7 sin x sin x cosx dx = — \- С. 4 Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подста- подстановки t = co(x)9 упрощающей подинтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель co'(x)dx9 дающий дифференциал новой переменной, dt [см. A)]. В предыду- предыдущем примере удача подстановки t = sinx обусловливалась наличи- наличием множителя cosx dx = dt. В этой связи поучителен пример sin3x<ix; здесь подстановка t = sinx была бы непригодна именно ввиду от- отсутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из подинтегрального выражения в качестве дифференциала новой пе- переменной множитель sinx dx или лучше — sinx dx9 то это приведет к подстановке t = cosx; так как остающееся выражение - sin2 х = cos2 x - 1 этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем [ . 2 7 [ , о л х 7 t3 COS3 X / sm3 x dx = / (r -\)dt = — -t + C = — cosx + C. При некотором навыке в производстве подстановки можно са- самой переменной /ине писать. Например, в интеграле х cosx dx = / sin3 xd sinx / sin3x cosxdx = /
28 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [268 мысленно рассматривают sinx как новую переменную и сразу переходят к результату. Аналогично, dx Г d^ я х = = arcsin - + С, f dx Г d± J ^a2-x2 ' y/l - (^ f dx 1 f d^ 1 x / 2 ¦ 2 =- / , x2 =-arctg-+C. J xz + aA aj (x_Y-\.\ a a Подстановка t = ^ здесь подразумевается. Читатель видит теперь, что правило III, 266, по существу, сво- сводится к линейной подстановке t = ах + Ь: [ f{ax +b)dx = - I f{ax + b) d(ax + b) = - ( f(t) dt. Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от ука- указанной. Именно, в подинтегральное выражение f{x)dx непосред- непосредственно подставляют, вместо х, функцию х = cp{t) от новой пере- переменной t и получают в результате выражение f{q>{t))q>l{t)dt=g{t)dt. Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку t = со(х)9 где (о{х) — функция, обратная для q>(t)9 то вернемся к исходному подинтегральному выражению /(х) dx. Поэтому, как и прежде, имеет место равенство B), где справа, после вычисления интеграла, следует положить t = оо(х). Для примера найдем интеграл dx Если положить х = t6 (чтобы все корни «извлеклись»), то получим = t3, J/x = t2, dx = 6t5 dt и f J dx f t2dt ( f f dt 6 6{Jd = 6(t- Теперь остается перейти к переменной х по формуле t и окончательно dx I
269] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 29 Более интересен пример / J а2 — х2 dx. Разность квадратов под корнем (из которых первый постоянен) подсказывает нам тригонометрическую подстановку х = asint*\ Имеем \ а2 — х2 — a cos t, dx — a cos t dt / у a2 -x2dx = a2 cos21 dt. Но мы уже знаем интеграл cos21 dt = а2 ( -1 + - sin 2M +C [267, 17), (а)]. Для перехода к х подставляем t = arcsin ^; преобра- преобразование второго слагаемого облегчается тем, что Окончательно // 1 / a2 x \ a2 — x2 dx = - x \ a2 — x2 -\ arcsin —\-C. v 2 v 2 a Умение разыскивать выгодные подстановки создается упражнени- упражнением. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдель- отдельные частные замечания, облегчающие это разыскивание, читатель найдет в следующем п°. В канонических случаях подстановки бу- будут просто указаны в курсе. 269. Примеры. *dx; (б) /-^; (в) ^ J \+Х4 (а) Решение. Полагая t = х , имеем dt = 2x dx, так что [ex2xdx = - f e'dt = -e' +C=-ex2 +C. J 2J 2 2 *^ Уместно указать, что х мы считаем изменяющимся между — а и a, a t — между — ^ и ^. Поэтому t = arcsin |.
30 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [269 (б) Указание. Та же подстановка. Ответ: j arctg* + С. В обоих слу- случаях интегралы имели вид где g — удобная для интегрирования функция; для таких интегралов естественна подстановка t = х . Аналогично, интегралы вида берутся подстановкой t = х и т. д. Под последний тип подходит третий интеграл. (в) Ответ: ^ tg*3 + С. Решение. Можно положить здесь t = х ; но проще сразу взять и = ах + /3, ибо множитель * <i* лишь числовым коэффициентом отличается от du = 2ax dx. Имеем, таким образом, ¦ z/+1 + С = ({ах2 + pYx dx = — [u»du= —1 J 2a J la (/л - 2а (}л + 1) —; (в) In* Указание. Все эти интегралы имеют вид x\nzx [g(\nx) ^ = [g(\nx)d\v и берутся подстановкой t = In*. Ответ: (а) \ In2* + С; (б) In In* + С; (в) -^ + С. 4) Интегралы вида dx / g(sin^) cos^: dx, / g(cos^) sin.* dx, / берутся, соответственно, подстановками t = sinx, и = cos.x, и = tgx. Например, (a) f cos^: <ix f dt / ^— = / у = arctg^ + С = arctgsin* + C; J 1 + sinz x J 1 +tz cos* = — In | cos*|+C;
269] (в) § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ dx f Tzkz f dv 31 f dx _ f J7 f _ J A2sin2x +B2cos2x J A2tg2x+B2 J A A2sin2x +B2cos2x J A2tg2x+B2 J A2v2 ¦ 1 Av 1 (A \ = — arctg h С = — arctg — tg x + С AB B В AB B\B B J 2x ¦ dx; (r) 2x + 1 J sin* cosjc Решение, (а) Если положить t = xz + 1, то числитель 2* obc дает в точнос- точности dt; интеграл сведется к dt 2 Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид df(x) так что в подинтегральном выражении числитель представляет собой дифференциал знаменателя, подстановка t = f(x) сразу приводит к цели: По этому образцу имеем: e2* = In | sin*| + С; 1(е2х + 1) 1 [ср. 4), (б)] (r) I . dX = [fb-= J smi cos^: J tg^: ln|tg*| +C. sm* cos* 6) Из последнего интеграла легко получаются два полезных интеграла: * [ dx [ d\ / ~ = / -хх = 1П J sm^: J sin | cos | (x + f) 7) (а) / ——=- dx = J 1+*2 J -^ f ex dx f dex x J e2^ + 1 J (VJ + 1 C; (в) f 1 dx / 11 t / tg 2 = - / Ч-d- =ln J x xl J x x 1 cos - * [cm. 4), F)] Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих двучлены вида а — х , х + а их — а . В этих случаях обычно бывает
32 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [269 выгодно заменить х тригонометрической или гиперболической функцией от новой переменной ;, используя соотношения • 2 2 1 1 2 2 1 sin t + cos t = 1, 1 + tg t = sec t = —r— —Qz , cosz t 2 2 2 ch f - sh t = 1, 1 - th f = [_dx_ Подстановка: * = a tg f * \ dx = b ch2; , так что /1' / /9 * 9л9 = T / 7 (^c2 + a1I a5 J f Л = —T 0 + sin;cost) + С. [см. 267, 17), (a)] 2a J Перейдем теперь к переменной х, полагая t = arctg | и выражая sin; и cos; через tg; = |. Окончательно X 1 JC 1 JC 9\Т = ^ 9 ~~9 ! 9 ~^~ ^ Т аГС^ё Ь С. ¦ <2Z)Z 2az xz + <2Z 2aJ a J ^ ± a^ Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь, для примера, на нижнем знаке, положим: х = a ch; (при х и ; > 0), dx = a sht dt, л/х2 — а2 = a sh;. Интеграл приведется просто к J dt = ; + С. Для перехода к .х вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)] причем в постоянную С' мы включаем и слагаемое — In a. Г dx Г dx f dx 10) ^ J ~~2 2~Т; (б) J ~~2 2~I; J ~~2 2~Т В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая, и гиперболическая подстановки. Для примера во втором интеграле возьмем х = a sec;, dx = а smtdt = а\hcf , тогда х —а = a tg t и p.ns^ f COS f 7 с Г dx _ 1 Г costdt _ 1 1 J ^2_а2)! "^У ^nV""^^ x^J aL — xL Подстановка: x = a sin;, dx = a cos; <i; приводит этот интеграл к тако- такому [см. 6), (а)]: ' -с. а / sin; а *) Причем достаточно предположить /^ изменяющимся между — ^ и ^.
270] Но § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ t 1 - tg2 ~ sin; 33 так что окончательно a — a — л/а2 X -Jt2 ¦=72 + С. В заключение рассмотрим еще два примера интегрирования путем замены переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаях, но зато быстро ведет к цели. ? («г о)- J Положим yjx2 + а = t— х и примем t за новую переменную. При возведении в квадрат, х в обеих частях можно опустить, и в результате t2 — a так что Окончательно 13) / dX = I — = In \t\ + С = ln|* + y/x2 + a I + С. [ср. 9)] J у х2 + a J t I Положим, x = a cos2 <p + p sin2 ф @ < <p < f), где ф — новая переменная; тогда х — а = (р — a) sin (р, р — х = (/3 — a) cos ^ = 2(/3 — a) sin <p cos ф б/ф. Таким образом, / dx = 2 /• 270. Интегрирование по частям. Пусть и = f(x) и v = g(x) будут две функции от х, имеющие непрерывные производные и' = /;(х) и f/=g/(x). Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d(uv) = udv + vdu или udv = d(uv) — vdu. Для вы- выражения d{uv) первообразной, очевидно, будет uv; поэтому имеет место формула C) udv = uv — / vdu.
34 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [270 Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv = uv'dx к интегрированию выражения vdu = vur dx. Пусть, например, требуется найти интеграл fxcosxdx. Поло- Положим, и = х, dv = cosx dx, так что du = dx, v = sinx *\ и, по формуле C), / х cosx dx = / x dsinx = x sinx — / sinx dx = = x sinx + cosx + С D) Таким образом, интегрирование по частям позволило заме- заменить сложную подинтегральную функцию х cosx на простую sinx. Попутно для получения v пришлось проинтегрировать выраже- выражение cosx dx — отсюда и название: интегрирование по частям. Применяя формулу C) к вычислению предложенного интегра- интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два мно- множителя: и и dv = v' dx, из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой ча- части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы замена и на du и dv на v в совокупности влекла за собой упрощение подинтегрально- го выражения. Так, в разобранном примере было бы явно невыгодно взять, скажем, х dx за dv, a cosx за и. При некотором навыке нет надобности вводить обозначения щ v и можно сразу применять формулу [ср. D)]. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, xklnmxdx, xksinbxdx, xkcosbxdx, xkeaxdx и др., которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. *) Так как для наших целей достаточно представить cos x dx хоть одним спосо- способом в виде dv, то нет надобности писать наиболее общее выражение для v, содер- содержащее произвольную постоянную. Это замечание следует иметь в виду и впредь.
271] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 35 Повторное применение правила интегрирования по частям при- приводит к так называемой обобщенной формуле интегри- интегрирования по частям. Предположим, что функции и и v имеют в рассматриваемом промежутке непрерывные производные всех порядков до (п + 1)-го включительно: и', г/, и", v", ..., и^п\ v^n\ u^n+l\ у(п+1\ Заменяя в формуле C) v на v^n\ будем иметь / uv^n^dx = fudvW = uvW - fv^du = uv^ - I u'v^dx. Аналогично, fu'v^dx = u'v(»-V - [u"v(»-Vdx9 fu^v'dx =u^v- [u(n Умножая эти равенства поочередно на +1 или на —1 и склады- складывая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях придем к упомянутой формуле: (*+!) dx = ш/") - г/г/") + uv E) Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подинтегральной функции служит многочлен. Если и представляет собой многочлен /7-й степени, то г/"+1) тождественно равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончатель- окончательное выражение. Перейдем к примерам. 271. Примеры. Г з 1) х Ых dx. Дифференцирование Ых приводит к упрощению, поэтому полагаем и = Inх, dv = х dx, так что du = —, v = - х х 4 и /1 1 Г 1 1 х3 Ых dx = - х4 Inx / х3 dx = - х4 Ых х4 + С. 4 4 У 4 16
36 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [271 2) (а) / Ых dx; (б) / arctgx dx; (в) / arcsin;\; <ix. Принимая во всех случаях dx = dv, получим (а) / In х dx = х In x — х dlnx = хЫх — / dx = х(Ых — 1) + С; (б) / arctg^: dx = х arctg^: — / x dsirctgx = x arctg^: — / — dx = = x arctgjc - - Ы(х2 + 1) + С; [см. 269, 5), (a)] (в) / arcsin^: dx = x arcsin^: — / x <iarcsin^: = / arcsin^: dx = x arcsin^: — / /x dx 7T^ = x arcsinjc — / —=^ = x arcsinjc + у 1 — x2 + С. [см. 269, 2)] J yl-72 3) / x sin^: dx. Имеем / x d(— cos^:) = —x cos^: — / (— cos^:) dx = — x cos;\; + 2 / x cos^: <ix. Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270, 4)]; под- подставляя его значение, получим х sin^c dx = —х cos.% + 2(х sin^c + cos^c) + С. В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось при- применить двукратно. Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы / Р(х) eaxdx, I P{x) sinbx dx, I P{x) cosbx dx, где Р(х) — произвольный многочлен с постоянными коэффициентами. 4) Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, то можно получить сразу общие выражения для интегралов этого вида. Полагая v ^w+ ^ = еах, будем иметь ах ах ах 0?) е (и-1) е (и-2) е VК ' = , VУ ' = —т-, VУ ' = —г- И Т. Д. а а1 а3 Поэтому, считая Р(х) многочленом п-й степени, по формуле E) получим Аналогично, если взять v^n+V) = mibx, то (п\ cosbx (n—l) sinbx (n—2) cosbx vK J = —, vy J = -г—, vK J = и т. д. b bz №
271] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 37 Отсюда формула P{x) sin bx dx = sin bx • —г -j- + . . . — cos bx • —=- + ... + С V^ ^ / V^ bi J Подобным же образом устанавливается и формула fPP" \ (Р' Р'" \ Р(х) cosbx dx = sinbx- [ т + . . . + cos bx • ^г г + • • • +с- \b b5 J \bz bq J 5) /л: In jflfi. Имеем /¦^^f! = l-xUn2x - - fx4dln2x = -x4ln2x - - jxhnxdx, J A A AJ A 2J и мы свели дело к интегралу 1). Окончательно Так, последовательно, вычисляется интеграл xk\nmxdx, где к — любое вещественное число (к ф — 1), a w = 1,2, 3,... Если применить к этому интегралу формулу интегрирования по частям, положив и = Ыт х, то получим рекуррентную формулу /к 1 т j 1 к+1 1 т т / кл т — \ , х In х dx = х \п х / х In jc б/jc, л + 1 к -\- \ J по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению ин- интеграла такого же типа, но с меньшим на единицу показателем при \пх. Впрочем, подстановка t = \пх приводит рассматриваемый интеграл к виду J tme^ + ^dt, уже изученному в 3) и 4). 6) Любопытный пример представляют интегралы / еах cos bxdx, / Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем, dv = eaxdx, v = \ еах ), то получим / еах cos bx dx = - еах cos bx + - / ea J a a J /eax sin bx dx = — eax sin bx / ea a a J cos bx dx.
38 ЕЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [271 Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой. * ^ Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится: Ъ sin Ъх + a cos Ъх ах ^ ^ е + С. ах . ^V е +С . Аналогично находим и второй интеграл: a sin Ъх — Ъ cos Ъх 1- 7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла Применим к нему формулу C), полагая 1 2пх • dx -—г—, dv = dx, так что rfM = -———~—l-r, v=x. Мы получим Последний интеграл можно преобразовать следующим образом: /х2 f (х2 + а2) — а2 (х2 + а2)^ dX = J (х2 + а2)^ dX = /dx 2 [ dx 2 (х2 + а2У ~а J (x2 + а2)^ =J"~a J«+l' Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению X 2 Jn = /2 i а2\п + 2nJn ~ 2па Jn+V откуда П-\-\ — 0/0 0\ ~~^~ О П' V / Полученная формула сводит вычисление интеграла /й+1к вычислению инте- интеграла Jn с меньшим на единицу значком. Зная интеграл 1 х Jx = - arctg - а а *) Если под интегралами разуметь определенные первообразные [ср. за- замечание в 266], то, желая во второй формуле иметь те же функции, что и в первой, мы, строго говоря, должны были справа присоединить еще некоторую постоян- постоянную. Конечно, она была бы поглощена постоянными С и С' в окончательных выражениях.
272] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 39 [267, 9), (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при п = 1 найдем I х I х J + t 2az xz + a1 2as a [что мы выше получили другим путем, см. 269, 8)]. Полагая в формуле F) п = 2, мы получим далее I х 3 I х З.х3.х ^ ^ B 2J + ^4 Х2 + а2 + ^5 arCtg ~ 2J ^ = 4^2 (*2 + а2J + ^2 ^ = ^2 (Л2 + а2) и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл Jn для любого натурального показателя п. § 2. Интегрирование рациональных выражений 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде. Мы познакомились с элементарными приемами вычисления неопреде- неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных клас- классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений. Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при инте- интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет произведено самое их выделение. В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к кото- которым в первую очередь применяется анализ; это — так называемые элементарные функции и функции, которые выражаются через эле- элементарные с помощью конечного числа арифметических дей- действий и суперпозиций (без предельного перехода). В главе III мы видели, что все такие функции дифференциру- дифференцируемы и их производные принадлежат к тому же многообразию. Ина- Иначе обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам этому классу не принадлежит, т. е. не выражается через элемен- элементарные функции с помощью конечного числа названных выше операций. К числу таких заведомо невыражающихся
40 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [273 в конечном виде интегралов относятся, например, / е~х dx, / sinx2dx, / cosx2dx, f sinx 7 f cosx 7 f dx / dx, / dx, / -—; J x J x J mx другие примеры подобного рода будут приведены ниже [280; 289; 290 и след.] Валено подчеркнуть, что все эти интегралы реально су- существуют^, но они лишь представляют собой совер- совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы назвали элементарными **}. Известны сравнительно немногие общие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде; этими классами мы ближайшим образом и займемся. На первом месте среди них надлежит поставить важный класс рацио- рациональных функций. 273. Простые дроби и их интегрирование. Так как из непра- неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, ин- интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя). Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих четырех типов: - А п.—^, ш. Mx+N , iv. Mx+N х — а ' (х — а)к' х2 + рх + q' ' {х2 + рх + q)m' (к=2,3,...) (т=2,3,...) где A9M9N9a9 p9q — вещественные числа; кроме того, по отноше- отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен х2+рх +q *> См. сказанное по этому поводу в 264. Мы вернемся к этому ниже, в 305. **> Для того чтобы помочь читателю освоиться с этим фактом, напомним ему, что интегралы Г dx_ Г dx J х > J 1+X2 от рациональных функций сами уже не являются рациональными функция- функциями. Таким образом, если бы для нас «элементарными» были лишь рациональные функции, то уже названные интегралы от «элементарных» функций не выража- выражались бы через «элементарные» функции, представляя собой «неэлементарные» функции новой природы: Ых и arctg^c!
273] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 41 не имеет вещественных корней, так что Р2 Р2 —— q < О или q —— > 0. Дроби вида I и II мы уже умеем интегрировать [267, 7)]: f dx А / =АЫ\х -а\+С, J х — а dx A 1 (х -а)к к-\ (х -а) Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирова- интегрирование облегчается следующей подстановкой. Выделим из выражения х2 + рх + q полный квадрат двучлена Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить равным а1, если взять а = Теперь прибегнем к подстановке х Н— = t, dx = dt, х2 + рх +q = t2 +а2, Мх + N = Mt + (n -^ j В случае III будем иметь Г Mx+N 1 fMt+(N-^f) / -^ dx — \ 7z т;-*-— dt = J х2 +рх +q J t2 + a2 _ M Г ltdt f Mp\ f dt _ -^f) arctg-
42 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [274 или, возвращаясь кхи подставляя вместо а его значение: Mx+N I; х2 + рх +« -dx = M , i , 2N-Mp 2x + p = — ln(x2 +px +q)+ , \ arctg , ,+C. Для случая IV та же подстановка даст Г Mx+N _ fMt+(N-%f) _ J (x2 + рх + ^)m Х ~У О2 + а2)»1 '~ _М Г ltdt / Мр\ Г dt 2 J (tz + az)m V 2 / J [tz + az)m Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой t2 + а2 = щ ltdt = du: Г ltdt _ Г du _ 1 1 _ J (t2 + a2)m = J п" =~rn-ltf^T + Второй же из интегралов справа, при любом т, может быть вы- вычислен по рекуррентной формуле F), 271. Затем останется лишь положить в результате t = ^у^, чтобы вернуться к переменной х. Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей. 274. Разложение правильных дробей на простые. Остановим- Остановимся теперь на одной теореме из области алгебры, которая, однако, имеет фундаментальное значение в теории интегрирования рацио- рациональных дробей: каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. Это разложение правильной дроби на простые дроби тесней- теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя Q(x) на про- простые множители. Как известно, каждый многочлен с веществен- вещественными коэффициентами разлагается (и притом единственным обра- образом) на вещественные же множители типа х — а и х2 + рх + q;
274] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 43 при этом квадратичные множители предполагаются не имеющи- имеющими вещественных корней и, следовательно, не разложимыми на вещественные линейные множители. Объединяя одинаковые мно- множители (если таковые имеются) и полагая для простоты старший коэффициент многочлена Q(x) равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде Q{x) = {x-a)k...{x2+px+q)m..., C) где к, .. .,т, ... суть натуральные числа. Заметим, что если степень многочлена Q есть /7, то, очевидно, сумма всех показателей к, сложенная с удвоенной суммой всех показателей т, в точности даст п. J2k + 2j2m = n. D) Для доказательства теоремы установим предварительно следу- следующие два вспомогательных предложения: 1° Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель х — а, вхо- входящий в разложение знаменателя с показателем к ^ 1, так что Q(x) = (x-a)kQi(x), где многочлен Q\ уже на х -а не делится. Тогда данная правильная дробь Р(х) = Р{х) Q(x) (x-a)*Qi(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей*"* Л Pi(x) О -of [x-af-xQx{xy из которых первая является простой, а знаменатель второй со- содержит множитель х — а в более низкой степени, чем раньше. Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен Рх(х) так, чтобы выполнялось тождество Определим сначала А так, чтобы левая часть делилась на х — а, для чего достаточно (по известной теореме Безу), чтобы *> Буквы Р, Q (с различными указателями) обозначают здесь многочлены, а буквы А, М, N — постоянные числа.
44 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [274 ее значение при х = а было нулем; это приводит к следующему выражению для А: л _ Па) 01 (я)' Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме Б е з у) Qx{a) ф 0. При указанном выборе А многочлен Рх определится просто как частное. 2° Пусть теперь х2+рх +q будет какой-нибудь из квадратичных множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем т ^ 1, так что на этот раз можно положить Q(x) = (x2+px+q)mQ1(x), где многочлен Q\ на трехчлен х2 +рх +q не делится. Тогда данная правильная дробь Р{х) _ Р{х) Q{x) (x2 + px + q)mQx{x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей Mx+N Px(x) (х2+рх +q)m из которых первая уже будет простой, а вторая содержит в зна- знаменателе упомянутый трехчлен снова — в низшей степени. Для доказательства достаточно подобрать числа М, N и много- многочлен Р1 (х) так, чтобы имело место тождество Р(х) - {Mx+N)Qx(x) = (х2 +рх Определим М и N так, чтобы на этот раз левая часть делилась на квадратный трехчлен х2 +рх +q. Пусть остатками от деления Р и Qx на этот трехчлен будут, соответственно, ах +/3 и ух +8. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на х2 + рх + q делилось выражение ах +р - (Мх +N)(yx +S) = -уМх2 + {а - SM- yN)x + Ц5- SN). Выполнив здесь деление, на самом деле в остатке будем иметь [{ру - 8)М -yN+ а]х + [qyM - SN + /3]. Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким об- образом, для определения М и N получим систему из двух линейных
274] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 45 уравнений; ее определитель qy —S отличен от нуля. Действительно, при у ф О его можно написать в виде но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчле- трехчлена х2 +рх +q в точке х = — - и, следовательно, не может быть ну- нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При у = О определитель сведется к S2, а в этом случае S заведомо не нуль, поскольку многочлен Ql на х2 + рх + q не делится. Установив указанным путем значения М и N, многочлен Р1 и здесь также определим без труда как частное. Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоре- теоремы. Оно сведется к повторному применению предложений 1° и 2°, которые обеспечивают возможность последовательного выделения простых дробей из данной правильной дроби, вплоть до ее исчерпания. Если множитель х — а входит в Q лишь в первой степени, то, в силу 1° (при к = 1), мы поставим ему в соответствие единствен- единственную простую дробь вида А х — а В случае же, если показатель степени х — а есть к > 1, то, выделив, на основании 1°, простую дробь (х-а)к' мы к оставшейся дроби снова применим 1°, выделим простую дробь Ак-1 и т. д., пока множитель х — а вовсе не исчезнет из разложения зна- знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю
46 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [275 (х — а)к {к > 1) будет отвечать группа из к простых дробей Ал Ai Ah I _ i_ jE) ( )z x - a (x - a)z (x - a)k Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчер- исчерпается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные множители. Аналогично этому, пользуясь 2°, квадратичному множителю х2 + рх + q мы поставим в соответствие одну лишь простую дробь вида Mx+N xz + рх + q если он входит в первой степени, и группу из т простых дробей Mxx+Nx , M2x+N2 Mmx+Nm x 2+px+q (x2+px+qJ '" (х2 + рх + q)m' если этот множитель входит с показателем т > 1. То же можно сделать и с прочими квадратичными множите- множителями, если они еще имеются; этим и завершается доказательство теоремы. 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правиль- правильных дробей. Таким образом, зная разложение C), мы тем самым знаем знаменатели тех простых дробей, на которые разла- разлагается данная дробь ?. Остановимся на вопросе об определении числителей, т. е. коэффициентов А9 М9 N. Так как числители группы дробей E) содержат к коэффициентов, а числители группы дробей F) — 2т коэффициентов, то ввиду D) всего их будет п. Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибега- прибегают к методу неопределенных коэффициентов, кото- который состоит в следующем. Зная форму разложения дроби ^, пишут его с буквенными коэффициентами в числите- числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет Q; складывая их, получим правильную дробь *}. Если отбро- отбросить теперь слева и справа знаменатель g, то придем к равенству *^ Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой пра- правильную дробь.
275] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 47 двух многочленов (п — 1)-й степени, тождественному относитель- относительно х. Коэффициентами при различных степенях многочлена справа будут линейные однородные многочлены относительно п коэффи- коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициентам многочлена Р9 получим наконец систе- систему п линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того что возможность разложения на про- простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не может оказаться противоречивой. Больше того, так как упомянутая система уравнения имеет ре- решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов многочлена Р)9 то ее определитель необходимо будет отличен от нуля. Иными словами, система всегда оказывается определен- определенной. Это простое замечание попутно доказывает и единствен- единственность разложения правильной дроби на простые дроби. Поясним сказанное примером. 2х2 + 2х + 13 Пусть дана дробь -. Согласно общей теореме, для нее име- [х — 2){х1 + \I ется разложение 2jc2 + 2jc + 13 A Вх+С Dx + Е + + (*-2)(*2 + 1J х-2 х2 + \ О2+ 1J' Коэффициенты А, В,С, D, Е определим исходя из тождества 2х2 + 2х + 13 = А(х2 + IJ + (Вх + СH2 + 1H - 2) + (Dx + Е)(х - 2). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем к системе пяти уравнений х3 9 X х X А + В = 0, -2В + С = 0, 2А + В - 2С + D = 2, -2В + С - 2D + Е = 2, А-2С -2Е = 13, откуда А = \, В = -\, С = -2, D = -3, Е = -4. Окончательно 2х2 + 2х + 13 1 х + 2 Зх + 4 0 -2H2 + IJ ~ х -2 ~ jc2 + 1 ~ 02 + IJ' Алгебраический факт, который мы только что установили, име- имеет непосредственное применение к интегрированию рацио- рациональных дробей. Как мы видели в 273, простые дроби интегри- интегрируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой
48 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [276 рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через кото- которые выражаются интегралы от многочлена и от правильных дробей, то можно сформулировать более точный результат: Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде с помощью рациональной же функции, лога- логарифма и арктангенса. Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспоминая формулы п° 273, имеем 2х2 + 2х + 13 [ dx [ х + 2 [ Зх + 4 1 3 - Ах 1 (х - 2J +1п 276. Выделение рациональной части интеграла. Существует прием, принадлежащий М. В. Остроградскому, с помощью которого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби значительно упрощается. Этот прием позволяет чисто алгебраи- алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла. Мы видели [273], что рациональные члены в составе интегра- интеграла получаются при интегрировании простых дробей вида II и IV. В первом случае интеграл сразу можно написать А • А 1 Г+С G) (х-а)к к-\{х-а)к-^ ' Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла [ J Mx+N / р2 dx (т>1 а (x2+px +q) Прибегнув к знакомой уже нам подстановке х + ^ = t, ис- используем равенства A), B) и формулу приведения F), 271, при п = т — 1. Если вернуться к переменной х, то получим Mx+N M'x+N1 Г dx Г Mx+N _ M'x+N1 Г J (x2+px+q)m X ~ (x2+px +q)m~l +GJ (x2 + px + q)m~l' где М\ Nf и а означают некоторые постоянные коэффициенты. По этой же формуле, заменяя т на т — 1, для последнего интеграла
276] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 49 найдем (если т > 2) adx М"х + N" Г dx +P J Г adx _ М"х + N" Г J (x2+px+q)™-1 ~ (x2+px+q)™-2+P J х2 + рх и т. д., пока не сведем показатель трехчлена х2 +рх +q в интеграле справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные члены суть правильные дроби. Объединяя их вместе, получим ре- результат вида f Mx +N R(x) f dx J (x2+px+q)m (x2+px+q)m~1 J x2 + px + q v J где R(x) — многочлен, степени низшей, чем знаменатель *}, а Я — постоянная. Пусть имеем правильную дробь ^, которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые мно- множители [см. C)]. Тогда интеграл от этой дроби представится в ви- виде суммы интегралов от дробей вида E) или F). Если к (или ш) больше единицы, то интегралы всех дробей группы E) [или F)], кроме первой, преобразуются по формуле G) [или (8)]. Объединяя все эти результаты, окончательно придем к формуле вида f J p Рациональная часть интеграла W- получена от сложения выделен- выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель Qx имеет разложение Что же касается дроби ^-, оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложения дробей вида I и III, так что она также правильная и Q2(x) = (х -а)...{х2 +px+q)... Очевидно [см. C)], Q = QXQ2- Формула (9) и называется формулой О с тпр оградского. *) См. сноску на с. 46.
50 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [276 Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме Мы видели, что многочлены Ql и Q2 легко находятся, если известно разложение C) многочлена Q. Но они могут быть опре- определены и без этого разложения. Действительно, так как производ- производная Q' содержит все простые множители, на которые разлагает- разлагается Q, а именно с показателями, на единицу меньшими, то Qx явля- является наибольшим общим делителем Q и Q1\ так что может быть определен по этим многочленам, например, по способу последова- последовательного деления. Если Qx известен, то Q2 определится простым делением Q на Qv Обратимся к определению числителей Р1 и Р2 в формуле A0). Для этого также воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Обозначим через /7, щ9 /72, соответственно, степени многочле- многочленов Q, Ql9 Q2, так что щ + /72 = п; тогда степени многочленов Р9 Pi9 Pi будут не выше /7-1, п\ — \9 /72-1. Подставим в качестве Р\ и Pi многочлены степеней «i — 1 и «2 — 1 с буквенными коэффициентами; всего этих коэффициентов будет щ + /72, т. е. /7. Выполним в A0) дифференцирование Q Q' Q\ Q2 Q Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю g, сохраняя числитель в виде многочлена. Именно _ _ Q\ QxQi Q если Н означает частное Hj^. Но это частное можно представить в виде многочлена. Действительно, если {х—а)к, при к ^ 1, входит в состав Ql9 то (х - а)к~1 войдет в Q[, а (х — а) — в Q2; такое же заключение можно сделать и о множителе вида (х2 + рх + q)m при т ^ 1. Следовательно, числитель Н нацело делится на знаме- знаменатель, и впредь под Н можно разуметь многочлен степени п2 — 1.
276] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 51 Освобождаясь от общего знаменателя Q, придем к тождеству двух многочленов (степени /7—1) Отсюда, как и выше, для определения п введенных буквенных коэффициентов получим систему п линейных уравнений. Так как возможность разложения A0) установлена, каково бы ни было Р9 то упомянутая система должна быть совместной при любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что определитель ее отличен от нуля, а значит, система необходимо оказывается определенной и разложение A0) — при указан- указанных знаменателях Qx и Q2 — возможно лишь единственным образом. *} Пример. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла / 4jc4 + 4x5 + 16jcz + \2x + 8 (x + 1J(*2 + IJ dx. Имеем Qx = Q2 = (x + 4jc4 + 4jc3 + 16jc2 + \2x + 8 + 1) = х3 + х2 + х + 1, (х3 +х2 +х + IJ откуда 12jc + 8 = <2.X + 6^C + С JC3 +JC2 +JC + 1 b){x3 + x2 dx f х3 +jc2 +х + I'' 1). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях, по- получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные а, Ь, . . ., /: d = 0 (в последующем уже d в расчет не берем), -а + е = 4, -26 + в + / = 4, а - 6 - Зс+е+/= 16, а = -1, 6 = 1, с = -4, 2а - 2с + е + / = 12, d = 0, е = 3, / = 3, * ^ Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби на про- простые дроби, с. 46.
52 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [277 Итак, искомый интеграл Г 4х4 + 4х3 + \6х2 + 12jc + 8 _ х2 - х + 4 Г dx J (х + \J(х2 + IJ * ~ ~jc3 + jc2 + jc + 1 + J х2 + 1 ~ JC х2 — х + 4 3 +jc2 +jc + 1 3arctgjc + С. В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести сразу. В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби. Можно, впрочем, и этот процесс объединить с предыдущим. 277. Примеры. Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рацио- рациональных функций. Ы dx Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых пре- преобразований: 1 A+jc2)-jc2 1 1 JC2A+JC2J Ответ: - 2) [ Ч Bх Имеем 4*2 + 4х Bх — \){2х + Х2{\- 1 1 х 2 4х2 + - 1)Bх - 11 3)Bх - + ^2J A+^2) ^2A + X 1+JC2 4х - 11 + 3)B^ -5) (. JC2A -х2 X2) 3 2 2-*: + ^2 A- ) 1 + 3 A- с2J С. 11 - т ) (х ~ fjc2J 1 X2 JC — 1 I 1 1 * + 4 1 1+JC2J' С i г 5 ' х 2 откуда следует тождество 2Х +-2Х-Т=А{Х + 2){Х-2) + ,(,_¦)(,. I)+C(,_>)(,+1). Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях jc слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последова- последовательно х = ^, — |, |; сразу получим ^4 = ^, В = — |, С = | (ибо всякий раз справа останется лишь одно слагаемое).
277] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 53 Ответ: - In 4 1 2 \ - -In 8 з х -Ь — 2 3 + 8 In х — 5 2 3) = 8Ь -5K 2jc + 3 + с '*> Так как то разложение ищем в виде 1 Ах +В Сх +D *4 + 1 jc2 +хл/2 + 1 *2-*л/2+Г Из тождества 1 = (Ах + В)(х2 -х\/2+ 1) + (Сх +D)(x2 +х\/2+ 1) получаем систему уравнений А + С = О, -л/24 + 5 + л/2С + D = О, А - л/2В + С + л/2?> = О, Я+D = 1, откуда Таким образом, dx А = -С = 1 2л/2' Г dx _ J_ f x + J x^TT~2V^J ^T^ -xV2+\ dx - -л/2 1 jc2+jc\/2+1 1 In — т= h AV2^ x2-xV2+\ ' 2л^-^/2+1) + H ¦= arctg(jc\/2 - 1) + C. 2v2 Использовав формулу сложения для арктангенсов [50], можно этот результат представить и в такой форме: 1 In хл/2 , arctg о +С- 1 — xl 4л/2 х2-хл/2+\ 2л/2 Нужно заметить, однако, что это выражение годится лишь отдельно для про- промежутков ( —со, —1), ( —1, 1), A, +оо), ибо в точках х = ±1 оно теряет смысл. Постоянная Cf для этих промежутков, соответственно, равна ^ с, ^ Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функции при х = ±1. *) Очевидно, постоянная С' разнится от постоянной С на — j In 2.
54 4) 2х4 - Ах3 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ + 2Ах2 — 40jc + 20 [277 ¦dx. О - 1H2 -2х +2K Прибегнем к выделению рациональной части интеграла. Имеем = (х2 -2х + 2J, Q2 = (х - \){х2 - 2х + 2). Таким образом, 2х4 - 4х3 + 24jc2 - АОх + 20 (х - 1H2 -2jc+2K ах3 + bx2 + cx +d\' О2 - 2х + 2J - 1 ;2 -2jc+2' причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла). Тождество 2х4 - Ах3 + 24jc 2 - 40jc + 20 = (З^2 (пг -\- hr -А- гх -\- ИЛ • ?f?r приводит к системе уравнений: 2Ъх -c)(xl -2x +2)(jc - 1) - — 1) + е (х — 2х + 2) + —а — бе — 5/ + g = 0, -а - 2Ъ + 18е + 12/ - 5g = 2, 8а + 2Ъ - Ъс - Ъ2е - 16/ + 12g = -4, -6а +Ab + 5c -Ad + Ъбе + 12/ - 16g = 24, -АЪ + Sd- 2Ае - 4/ + I2g = -40, -2с - Ad + 8e - Ag = 20, откуда a = 2, 6 = —6, с = d=-9, e = 2, /=-2, g = 4. Ответ: 2x3 - 6x2 -9 (x2 - 2x + 2J In ~ IJ / Х6-Х5+Х4 ¦Зх2 х2 -2х + 2 -3 , 2arctg(jc - 2(JC2 1J(JC IK Выделим рациональную часть интеграла. Имеем IJ, 1). Разложение ищем в виде ах4 + foe3 + сх2 + dx fx2+gx+h + 1)(JC2+JC + 1)'
278] 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 55 Из системы уравнений: /=0, -a+g=l, 5a-b-3c + 5g+3h=l, 4а + ЪЪ - Ъс - Ad + 5g + 5/z = 2, 36 + с - 5d - 5е + 3g + 5/z = 3, 2c - d - le + g + 3/z = 3, d - 3e + /z = 3 находим a = -1, 6 = 0, с = -2, d = 0, e = -1, / = g = h = 0. Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции х4 - с. § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 278. Интегрирование выражений вида R (х, л ахЛ8 ) #). При- Примеры. Выше мы научились интегрировать в конечном виде рацио- рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом инте- интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений будет разыскивание таких подстановок t = ео(х)9 которые привели бы подинтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция со(х)9 которую надлежит подставить вместо t9 выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х. Назовем этот прием методом рационализации под- интегрального выражения. В качестве первого примера его применения рассмотрим инте- интеграл вида /» / / i О \ ух+8 '™' A) где R означает рациональную функцию от двух аргументов, натуральное число, а а, /3, у, 8 т постоянные. *'Условимся раз навсегда буквой R обозначать рациональную функцию от своих аргументов.
56 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Положим t = со(х) = \ I , к ' А/ ух+8 ух+8 Интеграл перейдет в [278 а - yt" jR(q>(t),t)<p\t)dt; здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R, ср, ср' — рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив t = со(х). К интегралу вида A) сводятся и более общие интегралы / R [х, dx, х+8] \ух+8, где все показатели г, s, ... рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю гп, чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от х и от радикала f/ Примеры. 1) /5ГТТ (х + IJ - VxTT Здесь дробно-линейная функция ахх~+$, в частности, свелась просто к линейной функции. Полагаем t = \/х + 1, dx = 2tdt; тогда [ J IJ - dx =2 dt = dt = 2t + \ (t-lJ 2 : In -^ — arctg t2 + t+\ л/3 л/3 + C, где остается лишь подставить t = \/х + 1. 2) / dx = [ 3/Х + l dx J A3/u-i)u + D2 7 V*-i* + i" Полагаем Г = * ^4, л: = ^Т? ^ = -(^T)i; тогда 1 Г + f + 1 l - 1 где Г =
279] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 57 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. При- Примеры. Биномиальными называются дифференциалы вида xm(a+bxn)pdx, где a, b — любые постоянные, а показатели т,п, р — рациональ- рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в конечном виде. Один такой случай ясен непосредственно: если р — число целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматри- рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем п°. Именно, если через Я обозначить наименьшее общее кратное зна- знаменателей дробей т и /7, то мы имеем здесь выражение вида R(y/x)dx, так что для рационализации его достаточна подстановка X — уХ. Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z = хп. Тогда хт(а + bxn)pdx = -(a+ bz)pz^-ldz п и, положив для краткости т + 1 1 будем иметь f хт(а + bxn)pdx = - f(a+ bz)pzqdz. B) Если q — число целое, то мы снова приходим к выра- выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через v знаменатель дроби р9 то преобразованное выражение имеет вид R(z, у/а + bz). Рационализации подинтегрального выражения мож- можно достигнуть и сразу — подстановкой t = У а + bz = </а + Ьхп. Наконец, перепишем второй из интегралов B) так: Легко усмотреть, что при p+q целом мы также имеем изученный случай: преобразованное выражение имеет вид R (z, y^-y^)- Под- интегральное выражение в данном интеграле рационализируется
58 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [279 и сразу подстановкой Таким образом, оба интеграла B) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел Р, q, P + q или (что то же) одно из чисел т+\ т+\ п п Эти случаи интегрируемости, по существу, известны были еще Ньютону. Однако лишь в середине XIX столетия П. Л. Ч е б ы ш ё в установил замечательный факт, что других слу- случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных диффе- дифференциалов нет. Рассмотрим примеры. Здесь т = — \, п = |, р = 4; так как 1 - = 2, то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что у = 3, положим (по общему правилу) t = л/\ + >^, х = (t3 - IL, dx = \2t2(t3 - \Kdt; тогда / ф ¦dx = - t3)dt = - t4Dt3 - 7) + С и т. д. На этот раз т = 0, п = 4, р = — |; третий случай интегрируемости, так как ^^- -\- р = \ — |=0. Здесь у = 4; положим dx = -t
280] 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 59 так что Г dx Г t2dt 1 Г/ 1 1 \ 1 Г dt = - In +1 t - 1 - - arctgf ¦ и т. д. 3) Здесь т = —\,n = 5, p = — ^; второй случай: ^^- = 0, v = 3. Положим 3 I 3 2 3 -4 5 имеем 1 (r - lJ л/3 2^+1 и т. д. 280. Формулы приведения. Так как интеграл от биномиального дифференциала всегда может быть [см. B)] преобразован к виду JP,q= C) то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих инте- интегралов. Установим ряд формул приведения, с помощью которых интеграл C) может быть, вообще говоря, выражен через подобный же интеграл Jp>,q>, где р1 и q1 разнятся от р и q на произвольные целые числа. Интегрируя тождества {а = а(а + bz)pzq + b(a найдем {a
60 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [280 Отсюда получаются первые две формулы +l Р + д + 2 которые позволяют увеличить показатель р или q на единицу (если только он отличен от —1). Разрешая эти равенства относительно JpJrl q,Jp q+\ и заменяя р и q соответственно на/?-1ид-1, приведем к формулам [а + bz) z ар / i „. / 1\ p+q+l p+q+ aq которые позволяют уменьшать показатель р или q на единицу (если только сумма р + q отлична от —1). Если ни р9 ни q9 ни р + g не будут целым числом (так что интеграл Jpq не выражается в конечном виде через элементарные функции), то формулы приведения могут последовательно прила- прилагаться без всякого ограничения. С их помощью параметры р и q могут быть сделаны, например, правильными дробями. Остановимся на более интересном для нас случае, когда инте- интеграл берется в конечном виде. При этом можно предположить, что целым оказывается показатель р или q9 так как случай целого p + q подстановкой z = ^ приводит к случаю целого q. Тогда последовательное применение выведенных формул позво- позволяет свести этот целый показатель, р или q9 к 0 (если он был поло- положительным) или к —1 (если он был отрицательным). Этим обычно либо заканчивается интегрирование, либо — во всяком случае — значительно упрощается. Примеры. 1) Рассмотрим интеграл *^ J Hm= j dx О — Целое). Аналогично можно исследовать и интегралы Г —г dx, Г —г dx.
280] 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 61 Здесь п = 2, р = — ^; поэтому при w нечетном оказывается целым числом т±± _ ш±±^ а ПрИ т четном — число ^^- + р = ^-^- — ^ = ^, так что во всех случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой z = х2 сведем его к интегралу 1 i_l _ 1 Если, считая т > 1, применить к этому последнему интегралу формулу (IV), то получим J 1 т-Х =-2- + /я- 1 или, возвращаясь к данному интегралу, Нт = х VI -х2 + Нт_2. т т Эта формула, уменьшая значение т на 2, последовательно сводит вычисле- вычисление Нт либо к xdx г т я1 = при w нечетном, либо же к щ = 1 dx /Г^с2 = arcsin^: + С при т четном. Пусть теперь т < — 1, так что т = — /i, /i > 1. Применим на этот раз фор- формулу (II) 1 т+\ (l-z)Iz^ т + 2 m+\ откуда н-, = - ц-1 С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение ц на 2 и последовательно свести вычисление Н_ либо к f^t2 = 1п С при /i нечетном, либо же к «-/; dx 2.Д372 /Г^^2 при /i четном.
62 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [281 2) Если к интегралу * ^ (и = 1,2, 3...) применить формулу (I): то, возвращаясь к Jn, получим уже известную нам [271, F)] формулу приведения 1 X 2/7—1 1 281. Интегрирование выражений вида /?(х, Jax1 -\- bx -\- с). Подстановки Эйлера. Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов R(x, \jax2 + bx +c)dx. D) Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет рав- равных корней, так что корень из него не может быть заменен рацио- рациональным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера (L. Euler), с помощью которых все- всегда можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального вы- выражения. I подстановка приложима в случае, если а > 0. Тогда по- полагают 1 **) у ах2 + Ъх + с = t — л/ах. Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении чле- членов ах2 в обеих частях) Ъх + с — t2 — 2^/~atx, так что t2-c I—: ; J~dt2 + bt x = Jax2 + bx +c = I—: ; , Jax2 + bx +c = v =, Jax + bx +c = = 2x/at + b v 2x/at ^^t + bt + c^ ax = 2 —, ,— —^— at. {lyfat + bJ ^ Аналогично можно исследовать и интеграл Г dx **^ Можно было бы положить и уах2 + bx + с = t + у/ах.
281] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 63 Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для опре- определения х получается уравнение первой степени, так что х, а од- одновременно с ним также и радикал у/'ах1 + Ьх + с выражаются рационально через t. Если полученные выражения подставить в D), то вопрос све- сведется к интегрированию рациональной функции от t. В результате, возвращаясь к х, нужно будет положить t = у/ах2 + Ьх + с + у/ах. II подстановка приложима, если с > 0. В этом случае можно положить у ах2 + Ьх + с = xt *) Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить на х, то получим ах + Ъ = xt2 + 2y/ct — снова уравнение первой степени относительно х. Отсюда ly/ct - Ъ I—г——;— y/ct2 -bt + y/ca х = — =—, у ах1 + Ьх + с = ^—- , а — tA v a — tA dx = 2 ; ^-т^ Л. Подставив это в D), очевидно, осуществим рационализацию подин- тегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим V'ах2 + Ьх + с — Vc t = . х Замечание I. Случаи, рассмотренные выше {а > 0 и с > 0), приводятся один к другому подстановкой х = \. Поэтому всегда можно избежать пользования второй подстановкой. Наконец, III подстановка пригодна в том случае, если квад- квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет (различные) вещественные корни Я и \х. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные множители ах1 + Ьх + с = а{х — Я)(х — /i). Положим ах2 + Ъх +с =t{x -Я). Или у/ах2 + Ьх + с = xt — у/с.
64 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [281 Возводя в квадрат и сокращая на х — Я, получим и здесь уравнение первой степени а{х — /л) = t2{x — Я), так что -au + Xt2 I—" ; a(X-u)t х = ?— , Jax2+bx+c = У и; , | | у , — a v tz — a 2a(li-X)tJ ах = —^-z гт^— at [t2 - аJ и т. д. Замечание II. При сделанных предположениях радикал у/а(х — Х)(х — /л) (считая для определенности, скажем, х > Я) можно преобразовать к виду так что в рассматриваемом случае R(x^ax2 + bx+c) = и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного в п° 278 типа. III подстановка Эйлера, которую можно записать в форме тождественна с подстановкой, уже указанной в 278. Покажем теперь, что I и III подстановок Эйлера одних до- достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинте- грального выражения в D) во всех возможных случаях. Действительно, если трехчлен ах2 + Ъх + с имеет вещественные корни, то, как мы видели, приложима III подстановка. Если же ве- вещественных корней нет, т. е. Ъ2 + 4ас < О, то трехчлен ах2 + Ъх +с = — {{lax + bJ + Dac - b: 4а при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай а < 0 нас не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных значений. В случае же а > 0 применима I подстановка. Эти соображения приводят вместе с тем к общему утвержде- утверждению: интегралы типа D) всегда берутся в конечном виде, причем для представления их, кроме функций, через которые
282] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 65 выражаются интегралы от рациональных дифференциалов, нужны еще лишь квадратные корни. 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок. Эйле- Эйлеровы подстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть все получены из наглядных геометрических соображений. Рассмотрим кривую второго порядка у = ±уах2 + Ъх + с или у2 = ах2 + Ъх + с. Если взять на этой кривой произвольную точку (хо,уо)9 так что yl = axl + bxo + c, E) то проходящая через нее секущая у - у0 = t{x — х0) пересечет кривую еще только в одной точке (х,у). Координаты последней найдутся простым вычислением. Исключая у из уравнений кривой и секущей, получим (Уо + '(* - xo)f = а*2 + Ъх+с, откуда, с учетом E), 2y0t(x - х0) + t2(x - х0J = а(х2- xl) + Ъ{х - х0) или — по сокращении на х — х0 — 2y0t + t2{x —х0) = а{х +х0) + Ъ. Таким образом, абсцисса х, ас нею и ордината у второй точки пересечения выражаются рациональными функциями от переменного углового коэффициента t. При этом очевидно, что, надлежаще изменяя t, можно заставить точку (х,у) описать всю кривую. Теперь ясно, что зависимость ах2 + Ъх +с -yo = t(x - х0) и определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует подинтегральное выражение в случае D). Пусть трехчлен ах2 + Ъх + с имеет вещественные корни Я и /л; это значит, что наша кривая пересекает ось х в точках (Я, 0) и (ц,0); взяв, например, первую из них за точку (хо,уо)9 при- придем к III подстановке Эйлера ах2 + Ъх +с =t(x -Я).
66 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [283 Если с > О, то кривая пересекает ось у в точках @, ±л/с); взяв одну из них за точку (хо,уо)9 получим II подстановку Эйлера у ах2 + Ъх + с ± л/с = tx. Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и I под- подстановка Эйлера, лишь за точку (хо,уо) мы принимаем бес- бесконечно удаленную точку кривой. Именно, предполагая а > О (в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асим- асимптоту кривой у = ±л/ах и станем пересекать кривую прямыми у = t±y/ax9 параллельными асимптоте (они будут проходить через упомянутую бесконечно удаленную точку). Каждая такая прямая пересекает кривую во второй точке (х,у)9 координаты ко- которой будут рациональными функциями от t. Отсюда подстановка ах2 + Ъх + с = t ± л/ах. 283. Примеры. Нам уже известны два основных интеграла [269, 9) и 12); 268]: относящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить и другие интегралы. dx ^=^=. При вычислении этого интеграла будем различать два слу- v-2 -и /3 чая: а > О и а < 0. Если а > 0, то интеграл легко преобразуется к первому из основных инте- интегралов (при ^ = ±я2): + С. Можно еще умножить аргумент логарифма на а, что введет дополнительное сла- слагаемое -Х= In а и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим Если же а < 0, так что а = — |а\, радикал перепишем в виде л/р — \а\х2. Для того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 67 предположить здесь /3 > 0. Интеграл преобразуется ко второму из основных интегралов (при Дг = а2), и arcsin [\— x +C (a < 0). G) /а*2 + /3 Д К интегралам F) и G) с помощью элементарных приемов приводятся многие другие. Например, 2) / + 13 dx берется интегрированием по частям: : + /3 = : dx = x^/ax2 + /3 Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и раз- разделив все равенство на 2, найдем (8) Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего ин- интеграла подставить его выражение F) или G), смотря по тому, будет ли а > 0 или а < 0. 3) (а) (б) ; (в) О*2 +/3J сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой х = }, dx = —\dt. Имеем (для определенности, пусть х и t > 0): (а) 7 JCa / — дальнейшее вычисление производится по формуле F) или G), смотря по зна- знаку /3. Далее, _ч [ dx f tdt 1 (б) / / и, аналогично, (в) Г dx Г 7 (^2 + ^I У О tdt
68 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [283 4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят к уже вычисленным следующие, например, интегралы: dx. f ;2dx ' г &2+ J J'ах2 + В « J л /ах 1 Г j-^ /3 Г « J a J или, воспользовавшись формулой (8), Затем и т. д. [см. 1)]. первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец, (в) I J \_ Г dx /3 Г a J Jax2 + В « J dx [см. 1) и 3)]. 5) Если под радикалом стоит полный квадратный трехчлен ах + Ьх + с, часто выгодно линейной подстановкой свести его к двучлену. Выделяя полный квадрат 2 ах2 Ьх +с = — ({l 4а \ ax + ЪI + Аас - Ь2) , J полагают t = lax + b. Таким путем, например, из формул F) и G) получается при а > О " lax + b + 2у/я(я.х2 + Z?jc + с) Ъх + с л/а 1 ОХ + - а при а < О dx \Jax2 -\- bx -\- с 1 2ох + 6 arcsin —; - Aac C. F*) G*) 6) Обратимся теперь к эйлеровым подстановкам. В 12), 269, мы фактически применили I подстановку к вычислению интеграла dx 1
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Хотя второй основной интеграл dx 69 нам известен из элементарных соображений, но — для упражнения — мы все же к нему применим эйлеровы подстановки. (а) Если воспользоваться сначала III подстановкой л/а2 — х2 = = t[a — х), то = arcsin —| (—a < x < a), Так как имеет место тождество /а+х 2 arctg то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам. Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла получаться в разных формах, в зависимости от примененного для его вычисления метода. (б) Если к тому же интегралу применить II подстановку = xt — а, то аналогично получим +С. f dx f dt I —, = — 2 / — = — 2arctg^ + C = —2arctg J у^ГЗ^г J t2 + \ Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством *': этот результат годится отдельно для промежутка (—а, 0) и для промежутка @, а), ибо в точке х = 0 выражение —2 arctg — х лишено смысла. Пределы этого выражения при х —>> — 0 и при х —>> +0 раз- различны: они равны, соответственно, ж и —ж; выбирая для упомянутых проме- промежутков различные же значения постоянной С так, чтобы второе из них было на 2ж больше первого, можно составить функцию, непрерывную во всем про- промежутке (—а, а), если принять за ее значение при х = 0 общий предел слева и справа. И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо имеют место тождества —2 arctg а + Г arcsin | — ж для 0 < х < а, [ arcsin | + jt для — а < х < 0. *) Ср. пример 3) в 277.
70 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [283 dx (а) Сначала применим I подстановку: ух2 — х -\- \ = t — х, - —!— + 21n|f| - - \n\2t - 1| + С. Если подставить сюда t = х -\- ух2 — х + 1, то окончательно получим 3 1 1 2 2х + 2^/jc2 -jc + 1 - 1 -х + 1 - 1| +21n С. (б) Применим теперь II подстановку: ух2 — х + 1 = tx — 1, .х = -г , dx = —2 ;z - t + 1 (^ - IJ г-, Г - Г + 1 dt, ^x2-x + \ = —- _, / ^ = f^L J x + Jx2-x + \ J t(t- t- Г + f ~ 2dt = 13 1 3 t 2t-\ 2t+\ (t + \O 2 In И - 1 In |f - 1| - 1 In | C'. Остается подставить сюда t = — ; после очевидных упрощений получим dx Зх х + Jx2 -х + 1 Jx2 - Это выражение хотя и разнится от ранее полученного по форме, но при С' = С + | отождествляется с ним.
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 71 8)/ * (а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно приме- применить III подстановку \/ а2 — х2 = t(a — х); здесь —а < х < а и t >0. Имеем Г — 1 Aatdt х = а -г , dx = —г г-, Г2 + 1 (Г2+1J 2а; 2 2 2а V -, * +я = ,. Г dx 1 Г Ъ 2t2 + 2 + 1 ¦Л = 1 2^2 + dt = Г2-Гл/2+1у 1) + arctg(r\/2 - 1)) + С, куда еще нужно подставить для получения окончательного результата 1а +х Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным соотношением arctg — = — arctg a zb — (при а > 0), а 2 можно придать результату более простую форму 1 Ху/1 а2л/2 arctg где С\ = С + (б) Если к тому же интегралу применить II подстановку \/а2 — х2 = = tx — а, то получим, что Х я )v a "" -^ \)t + arctg(A/2 - \)t) при t = —^ . Этот результат годится в отдельности для проме- промежутка {—а, 0) и для промежутка @, а); легко сообразить, что, изменяя значение постоянной С1 при переходе х через 0, можно сделать его пригодным во всем промежутке {—а, а). Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то он отождествляется с предыдущим результатом. 9) /
72 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 I J (хг i 1\ АЛ i .. ~~ ~ / /4 _|_ 9Г?; — //V2 _и /;2 I подстановка: у/х2 + ja = t — х. Имеем dx f ltdt (^2 + Я)лДТТ^ J t* + 2BX-ii)t2 + V2 du 2 + 2BЯ - }л)и + 1л2' Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в ре- результате надлежит подставить 284. Другие приемы вычисления. Хотя подстановки Эйлера принципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении ин- интеграла типа D) в конечном виде, но иной раз — при их приме- применении — даже простые дифференциалы приводят к сложным вы- выкладкам. Ввиду важности интегралов рассматриваемого типа мы укажем и другие приемы их вычисления. Для краткости положим Y = ах2 + Ъх + с и у = у/Т. Рациональная функция R(x,y) может быть представлена в виде частного двух многочленов относительно х иу. Заменяя у2 всюду на 7, мы приведем R(x,y) к виду R{xy) где Pt(x) — многочлены. Умножая числитель и знаменатель этой дроби на выражение Р3(х) - Р4(х)у (и снова заменяя у2 на 7), придем к новой форме для R R(x,y)=Rl(x)+R2(x)y. Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выра- выражать в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь вторым слагаемым. Умножая и деля его на у, окончательно полу- получим такое выражение: + Ъх +с интегрированием которого мы и займемся.
284] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 73 Прежде всего выделим из рациональной функции R*(x) целую часть Р(х)9 а правильно-дробную часть представим себе разложен- разложенной на простые дроби [274]. В таком случае интегрирование полу- полученного выражения сведется к вычислению интегралов следующих трех типов: п./— ах2 + Ъх + с Adx (х — a)kJ ах2 + Ъх + с ттт Г Mx+N Ш. / -^^^=^^^= ах, ^ (х2 + рх + q)mJах2 +Ъх + с где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена х2+рх +q — мнимые. Остановимся на каждом из них в отдельности. I. Положим (для т = 0, 1, 2, . ..) /т р xmdx I 0 ах = -=-. Jaxz +bx + с J V^ Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов. С этой целью, считая т ^ 1, возьмем производную vffl-ly/ J. = 2[т- \)хт-1{ах1 + Ъх + с) + хт~х {lax + Ъ) 1 \ у.т— 1 у.т—2 и проинтегрируем полученное тождество xm~lVY = maVm + (m - ?) й^.х + (m - l)cFw_2. Беря здесь w = 1, найдем а 1а полагая затем т = 2 (и используя выражение для V\)9 получим V2 = 4^2 Bах -
74 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 Поступая так дальше, придем к общей формуле Vm = pm_x{x)VY + XmVQ, где pm_i(x) есть многочлен (т — 1)-й степени, а Хт — const. Таким образом, все интегралы Vm приводятся к Vo. Если в интеграле I многочлен Р(х) будет п-й степени, то этот интеграл представит собой линейную комбинацию интегра- интегралов Vo, Vx, ..., Vn, а значит, по предыдущей формуле, напишется в виде где Q(x) — некоторый многочлен (п — 1)-й степени, а Я = const. Самое определение многочлена Q{x) и постоянной Я обычно производится по методу неопределенных коэффициен- коэффициентов. Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на л/Y, получим Р(х) = Q'(x)(ax2 + Ъх + с) + 1 Q(x)Bax + Ь) + Я. Если вместо 2(х) подставить сюда многочлен (п — 1)-й степени с буквенными коэффициентами, то в обеих частях мы будем иметь многочлены /7-й степени. Приравнивая их коэффициенты, придем к системе п + 1 линейных уравнений, из которых и определяется п коэффициентов многочлена Q(x) и постоянная Я. *) Замечание. Формула (9) осуществляет выделение ал- алгебраической части из интеграла ¦Р{х) 1 ¦dx. Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отноше- отношению к интегралу общего вида R(x) I ¦dx, где R — знак произвольной рациональной функции. На этом мы не останавливаемся. *) Из доказанного явствует, что эта система будет совместной при любых зна- значениях свободных членов, а в таком случае ее определитель необходимо отличен от 0, и система оказывается всегда определенной. Этим попутно устанавливается и единственность представления (9). [Ср. с. 46 и 51].
284] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 75 П. Интеграл /¦ dx - a)kVY приводится подстановкой х - а = \ к только что рассмотренному типу. Действительно, имеем dt 2 . {аа2 + Ъа + c)t2 + {laa + b)t + a dx = —--, ax + bx + с = t2 -, ax + bx + с = = t2 t2 так что (считая для определенности х > а и t > 0) dx I {х — a)kJ ax2 + bx + с _ Г tk~ldt \jiaa1 + ba + с)/12 + Bаа + b)t + a Если аа2 + Ъа + с = 0, т. е. а оказывается корнем трехчлена 7, то дело еще упрощается: мы получаем интеграл типа, рассмотренного в 278. III. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо случай, когда трехчлен ах2+Ъх +с лишь множителем а отличается от трехчлена х2 + рх + q. Тогда искомый интеграл имеет вид Mx+N ъ^ТТ^х. (ах2 + bx + с)^~ Его легко представить как сумму двух интегралов: 2ах+Ъ 1 / МЪ\ f dx М [ 2ах+Ъ / МЪ\ Г W~ I ~ Z ' N 2m+l ^Х + I TV ^— I / 2a J (ax2 + bx+c)— V 2a J J из которых первый сразу берется подстановкой t = ах + bx + с. Для вычисления интеграла Г dx _ Г dx I ~, о '-. n 2т+1 / 2т+1 J (ax2 + bx+c)— J Y— всего удобнее так называемая подстановка Абеля (N.-H. Abel)
76 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 Возводя в квадрат и умножая на 47, получим равенство 4t2Y = (Г'J = 4а2х2 + 4abx + Ь2, которое вычтем из умноженного на 4а равенства Y = ах2 + Ъх +с. В результате получится 40 - t2)Y = 4ас - Ъ2, откуда т_Dас-Ь2\т 1 Дифференцируя теперь равенство tVf = ах + |, найдем f t dx — adx, так что " a-t2' Из A1) и A0) dx ( 4 Aac - и, наконец, 4 (a-t2)m-ldx. A2) Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от многочлена. В частности, например, при т = 1 имеем dx 2 2ах + Ъ / ax 2 + bx (б) В общем случае для большей симметрии обозначений по- положим ах2 +Ъх +с = а{х2 +рх +q),
284] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 77 причем теперь мы можем предположить, что трехчлен в скобках не тождествен с трехчленом х2 + рх + q. Поставим себе задачей преобразовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах одновременно исчезли члены первой степени. Пусть сначала р ф р'. Тогда нашей цели можно достигнуть с помощью дробно-линейной подстановки ^±f A3) t + l надлежаще подобрав коэффициенты \х и v. Имеем х2 + рх +q = (/i2 + /?/i + g)/12 + [2/iv + /?(/i + v) + 2q]t + (v2 + /?v + q) и аналогично — для второго трехчлена. Искомые коэффициенты определяются из условий 2/iv + р(/л + v) + 2q = 0, 2/iv + p\\i + v) + 2qr = О или р-р р-р Таким образом, \х и v суть корни квадратного уравнения (р - p')z2 + 2(q - q')z + (p'q - pq') = 0. Для того чтобы эти корни были вещественны и различны *\ (не- (необходимо и) достаточно условие (q-q'J-(p-p')(j>'q-pq')>o; (и) удостоверимся в его выполнении. Перепишем условие в равносильной форме B(q + q')-PP'J> Dq-P2)Dq>-P>2). A4*) Дано, что 4q — р2 > 0 (ибо трехчлен х2 + рх + q имеет мнимые корни), поэтому неравенство A4*) заведомо выполняется, если од- одновременно 4qf — р'2 < 0. Остается исследовать случай, когда *) При \л = у подстановка теряет смысл, ибо сводится к х = \л.
78 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 и Aqr — р'2 > 0. Тогда q > 0, qr > 0 и A^qq' > pp'9 и мы имеем последовательно *) B(д + д') - рр'J > DvW - pp'f = (М ~ Р*)М ~ р'2) + Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства, но равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно: если q ф q\ то равенства нет в первом случае, а при q = q\ соответственно, — во втором. Таким образом, неравенство A4*), а с ним и A4), доказано. Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл к виду P(t)dt /¦ где P(t) есть многочлен степени 2т — 1 (и Я > 0). Снова прибегнув (при т > 1) к разложению правильной дроби (t2 + AI» на простые, мы придем к сумме интегралов вида At + B 1 {t2 ¦.dt (Л: =1,2, ..... В исключенном случае, когда р = р', уничтожение членов пер- первой степени достигается еще проще — подстановкой х = t — ^, и мы непосредственно приходим к интегралу только что указанного вида. Полученный интеграл, естественно, разлагается на два: А Г atdt + R Г dt aJ ^t2 + X)mJat2 + p J {t2 + X)mJat2 + p Первый из них легко берется подстановкой и = Jat2 + р. Ко вто- второму же приложима уже знакомая нам подстановка Абеля at и = — *} Поскольку
285] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 79 Именно, в силу A1), имеем dt du кроме того, как легко вычислить, 9 „ (В — аХ)и2 + Ха2 1 + Я = — Н 2^ ' Поэтому (а - и2)т~1 ¦ du, (ЦЗ - аХ)и2 + Ха2) и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функ- функции. Замечание. Помимо того что мы в настоящем п° указали ряд новых приемов для вычисления интегралов типа D), совокуп- совокупность приведенных соображений дает независимое от прежнего до- доказательство утверждения, сформулированного в конце п° 281. 285. Примеры. f * / — J v лагаем / * ~* + 1 dx = (ax2 + bx+c)^/x2 + 2x+2 + d [ dx J ^/x2 + 2* + 2 V J ^/x2 + 1) / — dr. J v^2 + 2* + 2 Полагаем откуда x3 - x + 1 = {lax + b)(x2 + 2x + 2) + (ax2 + bx + c)(* + 1) + 5. Система уравнений За = 1, 5a+ 2/? = О, 4д + 36 + с = -1, 26 + с + 5 = 1 приводит к значениям а = ^, b = — |, с = ^, д = j. Таким образом, если учесть пример 5), 283, окончательно получим B2 5 + 1)/2 + 2+2+ = - Bх — 5х + \)\/х2 + 2х + 2 -\— 1п(^ + 1 + ух2 -\- 2х -\- 2) -\- С. 6 2 Ч (л: - l)V*2-2x - 1
80 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [285 Подстановка х — 1 = j (если, скажем, х > 1 и t > 0) приводит интеграл к виду Г tzdt ~ J Л/Г^2?' Этот интеграл легко берется элементарными средствами [см. 283,4)]. 1 / 1 Ответ: — t\/\ — м1 — arcsirUVz + С = 4 V Ал/1 1 г-, 1 V2 = 77 ттт V х — 2х — \ — arcsin + С. А(х - IJ v 4л/2 ^с - 1 Подстановка Абеля Ах - 1 Г = 2л/2х2 — jc + 2 преобразует интеграл следующим образом: при этом можно либо повторить для частного случая общие выкладки п° 284 [III, (а)], либо воспользоваться готовой формулой A2). 64 гл Ах - 1 1 (Ах - IK Ответ: <^ 2 • г —^ —Т + 3375 1 6 3375 1 (Ах - IM 160 /Ov2 _ v _i_ Г к2 - х + l)^2 +л: + 1 Дробно-линейная подстановка Л г + 1 дает 2 , 1 _ (А*2 =Ь ^ + 1У2 + [2^v zb (^ + v) + 2]г + (у2 ± у + 1) Требования 2/iy zb (/i + у) + 2 = 0 при jd-\-v =0, /iy = —1 удовлетворяются, например, при \х = 1, у = — 1. Имеем Г - 1 7 2Л At + 2 2 , ^2 + 3 (Г + 1J' ' f+1 ' (Г + 1J t + \ '
286] i 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 81 если — для определенности — считать t + 1 > 0 (т. е. х < 1). Таким образом, 4)dt Г (х + 3)dx _ Г (St + з^ТТ Полученный интеграл разбивается на два: tdt = +4 Первый легко вычисляется подстановкой и = ^Ъг2 + 1 и оказывается равным л/8 arctg у ^8+ + ^;- К° второму применим подстановку Абеля /з^ТТ которая приведет его к виду Зл/3 + 2л/2^ 7-8^2 л/6 Зл/3 - Остается лишь вернуться к переменной х. Hx2 + \)^x2+x + \ У л/л:2 +л: + 1 - ¦dx. Указание. Представить подинтегральную функцию в виде 1 2х5 + 2jc4 - 1 , 3 2 ч 4 2jc4+3jc2-3jc + 3 = Bх3 -Х2+3Х-3)+ ^^^^ + к третьему слагаемому применить метод п° 284,1, а к последнему — подстановку х + 1 = \. § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов/?(sinx, cosx)rfx. Диф- Дифференциалы этого вида могут быть рационализированы подстанов- подстановкой t = tg| (-ж < х < ж). Действительно, smx = 2tg It i+tg2f cosx = 1-tg .2 x l-t2 i+tg2f x = 2 arctg?, l+t ¦2'
82 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [286 так что (it \-t2\ Idt i((sinx, cosx) dx = R\ 2» ~л j ~\ 2 * Таким образом, интегралы типа i?(sinx, cosx)dx A) всегда берутся в конечном виде; для их выражения кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональных дифференциалов, нужны лишь еще тригонометрические функ- функции. Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для интеграла типа A), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ни- Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементарные замечания из области алгебры. Если целая или дробная рациональная функция R(u, v) не ме- меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например щ т. е. если R(-u,v) =R(u,v), то она может быть приведена к виду R(u,v) =Rx(u2,v), содержащему лишь четные степени и. Если же, наоборот, при изменении знака и функция R(u, v) так- также меняет знак, т. е. если R(-u,v) = -R(u,v), то она приводится к виду R(u,v) =R2(u2,v)u; это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить к функции и . I. Пусть теперь R(u,v) меняет знак при изменении знака и; тогда R(sinx, cosx) dx = Ro(sin2x, cosx) sinx dx = = —i?o(l — cos2x, cosx)<icosx, и рационализация достигается подстановкой t = cosx.
286] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 83 П. Аналогично, если R(u, v) меняет знак при изменении зна- знака V, ТО i?(sinx, cosx)dx = Rq(suix, cos2x) cosxdx = = R^sinx, 1 - sin2x)dsinx, так что здесь целесообразна подстановка t = sinx. III. Предположим, наконец, что функция R(u, v) не меняет сво- своего значения при одновременном изменении знаков и и v R(-u, -v) =R(u,v). В этом случае, заменяя w на ^, будем иметь R(u,v)=r(-v,v) =R*(-,v). По свойству функции R, если изменить знаки и и v (отношение ^ при этом не изменится), а тогда, как мы знаем, Поэтому R(sinx, cosx) =R*(tgx, cos2x) =R*(tgx, ~—), V l+tgzxj т. е. попросту i?(sinx, cosx) = R(tgx). Здесь достигает цели подстановка t = tgx [—\ < x < f), ибо dt i?(sinx, cosx) dx = R(t) j и т- д- Замечание. Нужно сказать, что, каково бы ни было рацио- рациональное выражение R(u, v)9 его всегда можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных выше частных типов. На- Например, можно положить R(u, у) - R(-u, у) R(-u, у) - R(-u,-у) R{u, v) = + + R(-u, -у) +R(u,y)
84 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [287 Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака щ вто- второе меняет знак при изменении знака l>, а третье сохраняет значе- значение при одновременном изменении знака и и v. Разбив выражение i?(sinx, cosx) на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку t = cosx, ко второму — подстановку t = sinx и, наконец, к третьему — подстановку t = tgx. Таким об- образом, для вычисления интегралов типа A) достаточно этих трех подстановок. 287. Интегрирование выражений sinv x • cos^ x. Будем счи- считать v и \х рациональными числами, а переменную х — изме- изменяющейся в промежутке @, ^). Тогда подстановка z — sin2x, dz = 2 sinx cosx dx дает 1-1 о /i-1 sinv x cos^x dx — - sinv x(l - sin x) 2 2sinx cosx dx — 2 так что дело сводится к интегрированию биномиального дифференциала [279] /1 f /i-l v-l 1 sinv x cos^x dx = - / A -z)~z~dz = -JtL-1 v_i. B) ? J ? 2 ' 2 Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциа- дифференциалов, мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется в конечном виде, 1) если ^— (или ^уМ есть целое число, т. е. если \х (или v) есть нечетное целое число, либо же 2) если ^У^- есть целое число, т. е. если /л + v есть четное целое число. Сюда же, в частности, относится случай, когда оба показате- показателя \х и v — целые; впрочем, тогда выражение sinv x cos^ x рацио- рационально относительно sinx и cosx, т. е. принадлежит классу выра- выражений, уже рассмотренному в предыдущем п°. В этом случае если показатель v (или \х) будет нечетным, то рационализация сразу достигается подстановкой t = cosx (или t = sinx). Если же оба показателя уи/i четные (а также если они оба нечетные), то можно для той же цели применить подстановку t = tgx или t = ctgx. Заметим, что если показатели v и \х оба суть положитель- положительные четные числа, то предпочтительнее другой прием, осно-
287] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 85 ванный на применении формул sin 2х о 1 — cos 2х 9 1 +cos 2x smx cosx = —-—, sm х = , cos x = . 2 2 2 Именно, если v = 2/7, \х — 2m, то при v ^ \х пишут wsin2^-^x = _ /sin2x\2w /1 - а при v < /л sin2"xcos2mx = _ /sin2x\2" /l+cos2x\m"" 2 ) ' В развернутом виде получится сумма членов типа где v' + // ^ n + m = ^^. Те члены, у которых хоть один из показателей v', // есть нечетное число, легко интегрируются по указанному выше способу. Остальные члены подвергнем подоб- подобному же разложению, переходя к sin Ax и cos Ax и т. д. Так как при каждом разложении сумма показателей уменьшается по крайней мере вдвое, то процесс быстро завершается. Вернемся к установленной выше зависимости B). Мы мо- можем теперь воспользоваться формулами приведения биномиальных интегралов [280], чтобы, полагая там а = 19 Ъ — — 1, р — ^—, q = )Ly~, установить формулы приведения для интегралов рассмат- рассматриваемого типа. Таким путем получатся следующие формулы (которые, конеч- конечно, могут быть выведены и самостоятельно): г (I) / sinv х cos^ x dx = v+1 x cos"+1 x v + fi + 2 sin x cos^ x v sinv x cos^ x dx = + 2 fsinv J- J (II) | sir
86 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [288 xcos^xdx = (III) f sinvx sinv+1 x cos^ x \i — 1 V + jl V + jl ) П 7 X COS X UX = sin1"! cos^+1x / sinv x cos'" x dx (v + \i ф 0), (IV) /sinv. + - / sinv~2xcos^xdx (v V + \1 J + V +11 V + \1 Эти формулы вообще позволяют увеличить или уменьшить пока- показатель v или \i на 2 (за указанными исключениями). Если оба по- показателя v и /1 — целые числа, то последовательным применением формул приведения можно свести дело к одному из девяти эле- элементарных интегралов (отвечающих различным комбинациям из значений v и /i, равных —1,0 или 1): 1) / dx = х, 6) / dx = — In | cosx |, cosx dx tg2 2) / cosxdx = sinx, 7) / -— = J J smx _ f dx 1 (x n\ o4 f cosx 7 -, i . i 3) / = In tg - + - , 8) / -— dx = In smi J cosx \2 A J J smx 4) / sinx dx — - cosx, 9) / = In I tgx . J J sin x cos x 5)/s, sin2x smx cosx dx = —-—. 288. Примеры. f ¦ 2 3 I) / sin x cos x dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены cos х на — cos х. Подстановка t = sin x: /23 B/ 2^ t3 t5 sin3jc sin5jc sin x cos xdx = t A -t )dt = h С = h C. /sin5; 2) I — dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены sinjc на — sin*. Подстановка t = cos*: /: — 2t + 1 2 1 ¦ dx = - / : -A dt = -t h —т + С = 2 1 = - cos* 1 = h C. COS X 3 COSJ *
288] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 87 3) Г / J si sin х cos2 x . Подинтегральное выражение не изменяет своего значения при замене sin^c на — sin л- и cos^c на — cos^c. Подстановка t = tg jc: t2J 2 1 1 ^ = ^----3+C = tg^-2ctg^-- t 3P 3 f dx fU+t2 / — — = / л J sin x cos2 x J t4 4) / sin ф x cos * d!x. Здесь пригодна та же подстановка, но проще пользо- пользоваться формулами удвоения угла sin х cos x = - sin 2x(cos 2x + 1) = - sin 2x cos 2x -\ A — cos 4x) 1 2 4 1 3 ! ! sin x cos x dx = — sin 2x H x sin 4x + C. 48 16 64 Г dx 1 f dx 5) / = - / —= . Пригодна подстановка t = smj, но J sin x sin 2x 2 J sinz jc cos jc sin л: cos x проще прибегнуть к II формуле приведения: \ Г dx _ 1 1 Г dx 2) sin2jccosjc 2 sin* 2J cos^c 1 1 2 sin jf 2 х ж\\ 2 4/1 + C. 6) dx . Пригодна подстановка t = sinjc, но проще дважды прибегнуть к I формуле приведения: /dx sin;\; 3 f cos5 jc 4 cos4 x 4 J dx в свою / так что 7) очередь, COS3 X г si 2c( J COS5 X f cos4л 7 sin3 x -ЛХ. dx sin;\; 1 cos x 2 cos2 jc 2 /x jt\\ V 2 4/1 c, sin^: 3sin^: 3 H T- + - In 4 cos4 8 cos2 x 8 In T + - +C. <ijc. Пригодна подстановка t = cosjc, но проще воспользоваться II и III формулами приведения: 4 /cos4 * cosb^: 3 f co —-— ^ = / snr jc 2sinzjc 2 J si /cos4 x 7 1 3 /" cos2 dx = - cos x + smi 3 J smi ¦rfx, 7 1 3 ax = - cos * + cos^: + In 3 так что (после упрощающих преобразований) cos4 х cos x 3 - o^f = « cos^: In sin * 2 sin x 2 C.
8) ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ dx [288 sin x cos 2x J sin x B cos2 x — Г dx Г dt J sinjcBcos2jc - 1) ~ J A -^2)A - -. Подстановка t = cos^c: V2 In 1 -ty/l 1 \-t 2t2)~ + С = -^ In л/2 1 + \/2 cos x 1 - л/2( ln Z1 sin2 / J sin;\; dx. Так как при изменении знаков у sm;\; и cosx подинте- 9) J гральное выражение не терпит изменений, то пригодна подстановка t = tg.x: /sin л: cos x f t dt dx = / — smjc + cosjc J (I-\-t)(l-\-1 2J - 1 - 1 dt = 10) t + \ 4 t2 + 1 2 (t2 + IJ 1 1+f 1 1+Г = - In ^.^^ —-r + С = 4 уГ^г 4 1+^2 = - In | sin^: + cosx \ cos^(sin^: + cosx) + C. 9 при ^4C — 5 > 0. Предполагая A cos2* + 2B smx cos^: + С sinzx — j < x < j, с помощью подстановки /^ = tg^ приведем интеграл к виду dt JTT; 1 С for -\- Ответ: / a + btgx J (a + bt)(l+t2) Разлагая на простые дроби 1 а при t = tg^: Bt + C < х < — 2 2 bt для определения коэффициентов А, В, С получим уравнения откуда ^=^7т, В = Л-*, C=^-j. aLJrbL aLJrbL az-\-bz a b a + bt , Ответ: arctg^ + In + С = b In |a cosx -\- bsinx\] -\- С .
288] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 89 12) К тому же интегралу приводятся следующие два: cos * dx a cos * + b sin * J a cos * + b sin * Впрочем, проще вычислить их, исходя из связывающих их соотношений ЪТ\ + аТ2 = I dx = * + С\, /—a sin* + Ь cos* — сЬ a cos* + Ь sin л: ¦/ cos* + 6 sin*) . = In |а cos* + о sin* | + С2, a cos * + Ь sin х откуда и получаем Т\ = —z « [Ь* ~ а\п\а cos* + Ь sin* |] + С, Г [ Zl| \ Г \-г2 13) - / т- dx @ < г < 1, —л- < * < ж). Применим здесь 2 } \ -2rcos* +r2 v У универсальную подстановку t = tg |. Имеем 1 / L^! dx = (l-r2) I * = 2 У l-2rcos*+r2 V JJ A -rJ + (l+rJ;2 \ /1+г * V + с = arctg A^7tg 2 К этому интегралу приводится и такой: 1 -г cos* Г /1 1 1 -г2 ^ / т + т l-2rcos*+r2 ./ \2 2 1-2rcos*+r2 1 14) / , в предположении, что \а\ > \b\ (—ж < х < ж). J a + b cos* Пусть сперва \а\ > \b\ и (что не умаляет общности) а > 0. Подстановка = tg |, как и в только что рассмотренном случае, дает dx 2 а + Ь cos * ^/a2 _ ?2 Можно преобразовать это выражение к виду , 1 . a cos* + 6 , ± — arcsm Ь С , у^2 _ ?2 <2 + 6 COS* причем верхний знак берется, если 0 ^ * < ж, а нижний — если — ж < х и значение постоянной С' возрастает на . ж при проходе * через 0. \/а 2— Ь2
90 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [289 Пусть теперь | а \ < \ Ъ | и b > 0. Та же подстановка: dx [ 2dt a + bcosx b2 - a2 Это выражение легко преобразуется к виду Интеграл a cos х Ь cos л приводится к предыдущему подстановкой х = f 15) Наконец, к интегралу 14) приводится и интеграл Если ввести угол а под условием, что Ь с cos а = — , л/Ь2 + с2 то интеграл перепишется в виде dx h dx 6 cos;\; + с mix sin а = а + у Ь2 + с2 cos(;\; — a) подстановка t = x —а. И здесь, конечно, интересен случай \а\ 289. Обзор других случаев. В 4), 271, мы уже видели, как ин- интегрируются выражения вида P(x)eaxdx, P(x) sinbx dx, P(x) cosbx dx, где Р(х) — многочлен. Любопытно отметить, что дробные выра- выражения ех 7 sinx 7 cosx 7 , . ^ _ ч — dx, dx, dx (/7=1,2,3...) хп хп хп уже не интегрируются в конечном виде. С помощью интегрирования по частям легко установить для интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их, соответственно, к трем основным: т [ ех [ dy „ч „ I. / —dx — \ -— = lij ; («интегральный логарифм»); *^ Подстановка х = \пу.
289] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 91 dx = six («интегральный синус»); III. / dx = cix («интегральный косинус»). J X Мы знаем уже [271,6)] интегралы . . , , a sin их — Ъ cos их „v sin foe dx = ~ -~ еах + С, а2 + б2 « cos Ъх dx = az + bz Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы fxneaxsinbxdx, f xneax cosbx dx, где /7 = 1, 2, 3, ... Именно, интегрируя по частям, получим п ах - 1 1 nasmbx - bcosbx ax хпеах smbx dx = xn ^ -~ еах - 2 + Ь2 па fxn~leax sin bxdx + "Ъ 0 [ xn~leax cosbx dx, J az + bz J n ax i i nbsmbx +a cos их ах x Vх cosfot <ix = xw ^ -г; eax - 2 + b2 nb 0 0 [xn~leax sin bxdx - ™ 0 [ xn~leax cosbx dx. az + bz J az + bz J Эти рекуррентные формулы позволяют свести интересу- интересующие нас интегралы к случаю /7 = 0. Если под Р{...) по-прежнему разуметь некоторый многочлен, то, как окончательный результат, можно утверждать, что в конеч- конечном виде берутся интегралы / Р{х, еа х, еа х, . .., sin bfx, sin b"x, .. ., cos bfx, cos b"x, . ..) dx, где a', a", b', b", ... — постоянные. Дело сводится, очевидно, к интегрированию выражения хпеах sink'bfx sink"bnx . .. cos^Vx . .. *^ Впрочем, во всех трех случаях надлежит еще фиксировать произвольную постоянную; это будет сделано впоследствии.
92 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [290 Если использовать элементарные тригонометрические формулы sin bx = , sin b'x sin b"x = - (cos (b' - b") x - cos (b' + b") x) и им подобные, то легко разбить рассматриваемое выражение на слагаемые типа Ахпеах sin их и Вхпеах cosbx, с которыми мы уже умеем справляться. § 5. Эллиптические интегралы 290. Общие замечания и определения. Рассмотрим интеграл вида JR(x,y)dx, A) где у есть алгебраическая функция от х, т.е. [205] удо- удовлетворяет алгебраическому уравнению Р(х,у)=0 B) (здесь Р — многочлен относительно переменных х и у). Подоб- Подобного рода интегралы получили название абелевых интегралов. К их числу относятся интегралы, изученные в § 3: Действительно, функции ах удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям (ух + 8)ут - (ах + /3) = 0, у2 - (ах2 + Ъх + с) = 0. Становясь на геометрическую точку зрения, абелев инте- интеграл A) считают связанным с той алгебраической кривой, которая определяется уравнением B). Например, интеграл /¦ r(x, \Jax2 + bx +c\dx C) связан с кривой второго порядка у2 = ах2 + Ъх + с.
290] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 93 Если кривая B) может быть представлена параметри- параметрически так, что функции rx(t) и r2(t) оказываются рациональны- рациональными {в этом случае кривая называется унику реальной^), то в интеграле A) становится возможной рационализация подинтегралъного выражения: подстановкой х = rx{t) оно при- приводится к виду R{rx(t),r2(t))r\{t)dt. К этому классу и относятся оба упомянутых выше случая. В част- частности, возможность рационализации подинтегрального выражения в интеграле типа B) связана именно с тем фактом, что кривая второго порядка уникурсальна [281; 282]. Очевидно, что переменные х и t связаны алгебраическим урав- уравнением, так что t является алгебраической функцией отх. Если расширить класс элементарных функций, включив в него и все алгебраические функции, то можно сказать, что в случае уникурсалъности кривой B) интеграл A) всегда выража- выражается через элементарные функции в конечном виде. Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле исключением. В общем случае кривая B) не уникурсальна, а тогда, как можно доказать, интеграл A) заведомо не всегда, т. е. не при всякой функции R, может быть выражен в конеч- конечном виде (хотя не исключена возможность этого при отдельных конкретных R). С этим мы сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса интегралов: J I r(x, Jax3 + bx2 + ex + д ) dx, D) bx3 +cx2 + dx ^ содержащих квадратный корень из многочленов 3-й или 4-й сте- степени и естественно примыкающих к интегралам C). Интегралы вида D) — как правило — уже не выражаются в конечном виде через элементарные функции даже при расширенном по- понимании этого термина. Поэтому знакомство с ними мы отнесли *' Можно дать и чисто геометрическую характеристику уникурсальной кривой, но мы на этом останавливаться не будем.
94 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [291 к заключительному параграфу, чтобы не прерывать основной ли- линии изложения настоящей главы, посвященной, главным образом, изучению классов интегралов, берущихся в конечном виде. Многочлены под корнем в D) предполагаются имеющими ве- вещественные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать, что у них нет кратных корней, ибо иначе можно было бы вынести линейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к ин- интегрированию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл выразился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может иметь место иной раз и при отсутствии кратных корней; например, легко проверить, что dx =х\ 2х3 + 1 +С. Интегралы от выражений типа D) вообще называют эллипти- эллиптическими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столк- столкнулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)]. Впро- Впрочем, это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же, вроде только что приведенных, называют псевдоэллиптическими. Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значе- значений) интегралов от выражений D) при произвольных коэффициен- коэффициентах а,Ь,с, ..., разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание свести все эти интегралы к немногим таким, в сос- состав которых входило бы по возможности меньше произвольных коэффициентов (параметров). Это достигается с помощью элементарных преобразований, ко- которые мы рассмотрим в последующих пп°. 291. Вспомогательные преобразования. 1° Заметим прежде всего, что достаточно ограничиться случаем многочлена 4-й степени под корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем многочлен 3-й степени. Действительно, многочлен 3-й степени ах3 + Ъх1 + сх + д с вещественными коэффициентами необходимо имеет вещественный корень [81] —
291] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 95 скажем, Я — и, следовательно, допускает вещественное разложение ах3 + Ьх2 +сх +д = а(х - Я)(х2 + рх +q). Подстановках—Я = t2 (илих—Я = — t2) и осуществляет требуемое приведение = f Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержа- содержащие корень из многочлена 4-й степени. 2° По известной теореме алгебры, многочлен четвертой сте- степени с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения двух квадратных трехчленов с вещественными же коэффициентами: ах4 + ЪхЪ +сх2 + дх +е = а{х2 + рх +q){x2 +px +q). E) Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обо- обоих трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело с подобной же задачей в 284 [III, (б)]. Если р = р\ то наша цель достигается, как указывалось, про- простой подстановкой х = t — ^. Пусть теперь р ф р'\ъ этом случае мы воспользуемся, как и выше, дробно-линейной подстановкой Возможность установить вещественные и притом различные зна- значения для коэффициентов \х и v, как мы видели, обусловлена нера- неравенством {q-q'?-{p-p'){p'q-pq')>V- F) Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один из рассматриваемых трехчленов имеет мнимые корни, и это играло существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь трехчлены E) оба имеют вещественные корни, скажем, первый — корни аи^а второй — корни у и 8. Подставляя можно переписать F) в виде (а - у)(а - 5)(i8 - у)()8 - Д) > 0, F')
96 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [291 а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позабо- позаботиться, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, что- чтобы было а > /3 > у > 8)9 что в нашей власти. *} Таким образом, надлежаще выбрав \х и v, с помощью указанной подстановки мы получим R(x, = /ПТТГ• " (, + ip ") GTT? *• что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой- либо из коэффициентов М, N9 M\ N' оказывается нулем) перепи- переписать в виде J R(t, ^A(\+mt2){\+mft2)) dt, при А9 т и т' 9 отличных от нуля. 3° С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, ко- которые были применены в начале п° 284, можно свести этот инте- интеграл, с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому: v } dt. -mt2)(\+m't2) Разложим теперь рациональную функцию R*(t) на два слагаемых _ i?*(Q+i?*(-Q i?*(Q-i?*(-Q W ~ 2 + 2 " Первое не меняет своего значения при замене t на —t9 сле- следовательно, сводится к рациональной функции от t2: R\(t2); второе же при указанной замене меняет знак, а потому имеет *) Заметим попутно, что представление неравенства F) в форме F;) может быть использовано для доказательства его и в тех случаях, когда корни а, /3, . . . невещественны. Если лишь первый трехчлен имеет невещественные, т. е. ком- комплексные сопряженные корни а и /3, а числа у и 8 вещественны, то множи- множители а — у и /3 — у будут сопряженными, так что их произведение будет, как известно, положительным вещественным числом; то же относится и к мно- множителям а — /3 и /3 — 8. Если же как корни а, /3, так и корни у, 8 суть попарно сопряженные комплексные числа, то сопряженными же будут множи- множители а — у и /3 — 8, а также а — 8 и /3 — у, и их произведения снова дадут положительные вещественные числа.
292] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 97 вид R2(t2)t.*) Рассматриваемый интеграл представится в форме суммы интегралов / + , R2{t2)tdt ^A{\+mt2){\+m't2) Но второй из них подстановкой и = t2 сразу приводится к элемен- элементарному интегралу R2(u)du и берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследо- исследованию подлежит лишь интеграл Rx(t2)dt 1 G) 292. Приведение к канонической форме. Покажем, наконец, что каждый интеграл типа G) может быть представлен в форме R{z2)dz 1 = > (8) [l-z2)(l-k2z2) где к есть некоторая положительная правильная дробь: 0 < к < 1. Назовем эту форму канонической. Положим для краткости у = Не умаляя общности, дозволительно считать здесь А = ±1; кро- кроме того, для определенности ограничимся положительными зна- значениями t. Рассмотрим теперь различные возможные комбина- комбинации знаков А, т9 т' и укажем для каждого случая подстановку, непосредственно приводящую интеграл G) к канонической форме. 1) А = +1, т = -/z2, т' = —Ы2 (А > Ы > 0). Для того чтобы радикал имел вещественные значения, нужно, чтобы было t < \ или t > у. Полагаем Ы = z, где 0 < z < 1 или z > —. *) Ср. замечания по аналогичному поводу в 286.
98 Тогда ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [292 dt dz ti так что за к здесь следует принять ^-. 2) А = +\, т = -h2, m' = h12 (A, А' > 0). Для того чтобы радикал имел вещественные значения, ограничимся значениями t < т. Полагаем = л/1 - z2, где 0 < z < 1. Тогда dt_ У И МОЖНО ВЗЯТЬ ^ = —fJL ^h2 3) А = +1, т = А2, т' = А/2 (А > Ы > 0). Изменение t ничем не стеснено. Полагаем z В этом случае ht = dt_ у '\-z2 где 0 < z < 1. h 4) А — —I, т — —h2, т' — h'2 {h, h' > 0). Изменение t огра- ограничено неравенством t > |. Берем Ы = --, где 0 < z < 1, так что
293] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 99 5) А = -1, т = -/z2, w/ = -/z/2 {h > Ы > 0). Переменная ^ может изменяться лишь между | и ^. Полагаем h2 т Имеем где и к = ^—g—. Этим исчерпываются все возможные случаи, ибо в случае, когда А = -1 и оба числа т, т1 > 0, радикал вооб- вообще не мог бы иметь вещественных значений. О множителе Ri(t2) мы не говорили ничего, ибо во всех случаях он, очевидно, преобра- преобразовывался в рациональную функцию от z2. Отметим еще, что, рассматривая интеграл (8), мы можем огра- ограничиться значениями z < 1; случай z > | приводится к этому под- подстановкой kz = j9 где ? < 1. 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Теперь остается изучить простейшие из интегралов вида (8), к ко- которым могли бы быть сведены все интегралы этого вида, а сле- следовательно, в конечном счете, и все вообще эллиптические инте- интегралы. Выделим из рациональной функции R(x)9 фигурирующей в подинтегральном выражении (8), целую часть Р(х)9 а правильно- дробную ее часть разложим на простые дроби. Если не объеди- объединять сопряженные комплексные корни знаменателя (как мы это делали в 274), а рассматривать их порознь, подобно веществен- вещественным корням, то R(x) представится в виде суммы степеней хп (п = 0, 1, 2, ...) и дробей вида ^Х1ау {гп = 1, 2, 3, ...), где а может быть и мнимым числом, умноженных на числовые коэффи- коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8), в общем случае является линейным агрегатом следующих интегралов: z2ndz (п = 0,1,2,...)
100 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [293 и Нт= I dz (/и = 1,2,...). J {z2-a)m^{\-z2){\-k2z2) Остановимся на интегралах /„. Если проинтегрировать (легко проверяемое) тождество {In - \)k2z2n - {In - 2){k2 + l)z2" + {In - 3)z2n~4 = Bи- - z2){\ - k2z2) то получится рекуррентное соотношение {In - \)k2ln - {In - 2){k2 + 1)/„_, + {In - ЪIп_2 = (9) связывающее три последовательных интеграла /. Полагая здесь /7 = 2, выразим /2 через /0 и 1Х; если взять /7 = 3 и вместо /2 под- подставить его выражение через /0 и /1? то и /3 выразится через эти интегралы. Продолжая так дальше, легко убедиться, что каждый из интегралов 1п (п ^ 2) выражается через /о и /ь и даже, учиты- учитывая (9), можно установить и вид связывающей их формулы: In = anI0+PnI1+q2n_3{z)y/{l-z2){l-k2z2), где an и jin — постоянные, а #2w-3(z) есть нечетный много- многочлен степени 2/7 — 3. Отсюда ясно, что если Рп(х) есть многочлен /7-й степени от х, то - z2)(l - k2z2) = aI0+/3Il+zQn_2{z2)^{l-z2){l-k2z2), A0) где аир — постоянные, a ??w-2 (x) есть некоторый многочлен (/7 — 2)-й степени от х. Определение этих постоянных и коэффици- коэффициентов многочлена Q может быть произведено (если многочлен Р конкретно задан) по методу неопределенных коэффи- коэффициентов [ср. 284, I].
293] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 101 Заметим, что из (9) можно было бы выразить через /0 и 1Х инте- интегралы 1п и при отрицательных значениях (п = —1, —2, ...), так что в интегралах Нт достаточно ограничиться случаем а ф 0. Переходя к интегралам Нт (скажем, при вещественных а), по- подобным же образом установим для них рекуррентное соотношение {1т - 1) [-а + {к2 + \)а2 - к2а3]нт - - {1т - 3) [l - 1а{к2 + 1) + Зк2а2] Нт_х + + {1т - 4) [(к2 + 1) - Ък2а] Нт_2 - {1т - 5)к2Нт_3 = (z2-a)m~l справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т. Отсюда все Нт выразятся через три из них: я, = lid 0 — I J v/(l-z т. e. окончательно через /0, ^ и Hx. Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при мнимых зна- значениях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяс- разъяснения по этому поводу, отсылая читателя к § 5 главы XII. Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к та- такому общему заключению: все эллиптические интегралы с по- помощью элементарных подстановок — и с точностью до сла- слагаемых, выражающихся в конечном виде, — приводятся^ *^Хотя выше даны достаточные указания для того, чтобы вопрос о приведе- приведении произвольного эллиптического интеграла к упомянутым трем мог считаться принципиально решенным, но на практике на этом пути могут встре- встретиться трудности. В специальных монографиях, посвященных эллиптическим ин- интегралам и смежным вопросам, можно найти другие практически удобные приемы для этой цели.
102 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [293 к следующим трем стандартным интегралам: z2dz @<*< 1) (последний получается из Нх введением, взамен ^/0, нового пара- параметра h = — ^). Эти интегралы, как показал Лиувилль (J. Liou- ville), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр на- назвал эллиптическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а по- последний кроме него еще и (комплексный) параметр к Лежандр внес в эти интегралы дальнейшие упрощения, вы- выполнив в них подстановку z = sinср (q> изменяется от 0 до f). При этом первый из них непосредственно переходит в интеграл Второй преобразуется так: sm2(pd<p If dq> 1 / .л ,_? • 2 f sin <pd<p If ay- ^ , , , . 2 , / / 9 =72 / / - -72 i \Jl-k2sm2cpdcp, J Jl-k2sm20 k J Jl-k2sm2w k т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу \-к2sin2q>d(p. A2) ит в A3) Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в dcp A + h sin2 cp) J1 — к2 sin2 cp Интегралы A1), A2) и A3) также называются эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода — в форме Лежандра. Из них особую важность и частое применение имеют первые два. Если считать, что эти интегралы при ср = 0 обращаются в нуль, и тем фиксировать содержащиеся в них произвольные по- постоянные, то получатся две вполне определенные функции от <р,
293] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 103 которые Лежандр обозначил, соответственно, через F(k,cp) и Е(к, ср). Здесь кроме независимой переменной ср указан также параметр к, называемый модулем, который входит в выраже- выражения этих функций. Лежандром были составлены обширные таблицы значений этих функций при различных ср и различных к. В них не толь- только аргумент <р, трактуемый как угол, выражается в градусах, но и модуль к (правильная дробь!) рассматривается как синус не- некоторого угла 0, который и указывается в таблице вместо модуля, и притом также в градусах. Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были изучены глубочайшие свойства этих функций, установлен ряд от- относящихся к ним формул и т. д. Благодаря этому функции F и Е Лежандра вошли в семью функций, встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями. Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в конечном виде». Однако было бы ошибочно думать, что этим ограничиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллип- эллиптические интегралы F и Е являются примерами таких функций, которые плодотворно изучаются по их интегральным выражениям и с успехом применяются, хотя и не могут быть представлены через элементарные функции в конечном виде. Мы еще вернемся к интегралам F и Е в следующей главе и во- вообще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 294. Другой подход к задаче о площади. Вернемся к задаче об определении площади Р криволинейной трапеции ABCD (рис. 4), которой мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас другой подход к решению этой задачи *). Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, соот- соответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьет- разобьется на ряд полосок (см. рис. 4). Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым прямо- прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полос- полоски, скажем, с крайней слева. Таким образом, криволинейная фи- фигура заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников. Обозначим абсциссы точек деления через х0 = а < %i < х2 < . . . < хг< х/+1 < . . . < хп = Ъ. A) Основание z-ro прямоугольника (z = 0, 1, 2, ..., п — 1), очевидно, равно разности xi+l—xi9 которую мы будем обозначать через Axt. Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна yt = f(xt). Поэтому площадь z-ro прямоугольника будет уг-,Ахt = f( Рис.4 *^ Обобщая при этом идею, уже однажды примененную в частном приме- ре [32, 4)].
294] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 105 Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади Р криволинейной трапеции п-\ п-\ Р = ^^yjAxj или Р = y^f(xj)Axj. i=0 i=0 Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех Axt стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как предел: Р = Um^^yjAxj = lim^^ f(xt) Ax t, B) в предположении, что все длины Axt одновременно стремятся к 0. Тот же прием применим и к вычислению площади Р(х) фигу- фигуры AMND (см. рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы от- отрезок AM. Заметим еще, что случай, когда у = f(x) принима- принимает и отрицательные значения, исчерпывается заключенным в 264 условием считать площади частей фигуры под осью х отрицатель- отрицательными. Для обозначения суммы вида J2yAx (вернее сказать — пре- предельного значения этой суммы) Лейбниц и ввел сим- символ fydx, где ydx напоминает типичное слагаемое суммы, а / есть стилизованная буква S — начальная буква латинского слова «Summa»*). Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ сохранился и для обозначения первообразной функции. Впослед- Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать f{x)dx, если речь идет о переменной площади, и f(x)dx 1 — в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей изменению х от а до Ъ. *) Термин «интеграл» (от латинского integer — целый) был предложен уче- учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли (Ioh. Bernoulli); Лейбниц первоначально и говорил «сумма».
106 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [295 Мы воспользовались интуитивным представлением о площади, чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобраз- своеобразных сумм вида B) (которые исторически и были введены в связи с задачей о вычислении площади). Однако самое понятие площа- площади нуждается в обосновании, и — если речь идет о криволиней- криволинейной трапеции — оно достигается именно с помощью упомянутых пределов. Разумеется, этому должно быть предпослано изучение пределов B) самих по себе, отвлекаясь от геометрических сообра- соображений, чему и посвящена настоящая глава. Пределы вида B) играют исключительно важную роль в мате- математическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут не- неоднократно повторяться на всем протяжении курса. 295. Определение. Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток произвольным об- образом на части, вставив между а и Ъ точки деления A). Наи- Наибольшую из разностей Axt = xi+l — xt (z = 0, 1, 2, ..., n - 1) будем впредь обозначать через Я. Возьмем в каждом из частичных промежутков [xf, x/+1] по про- произволу точку х = Ё,г: *) и составим сумму /=0 Говорят, что сумма а при Я —>> 0 имеет {конечный) предел I, если для каждого числа е > 0 найдется такое число 8 > 0, что, лишь только Я < 8 {т. е. основной промежуток разбит на части с длинами Axt < 8), неравенство \о —1\ < е выполняется при любом выборе чисел |z. Записывают это так: / = lim a. C) *) Выше мы в качестве |г брали во всех случаях наименьшее значение xt.
295] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 107 Этому определению «на языке e-S», как обычно, противопоста- противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [а, Ъ] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем — вторым, третьим и т. д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем на- называть основной, если соответствующая последовательность значений А = Ах, А2> ^-З' • • • сходится к нулю. Равенство C) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы а, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, все- всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом |z. Доказательство равносильности обоих определений может быть проведено в том же порядке идей, что и в 53. Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пре- пределов и на этот новый вид предела. Конечный предел I суммы о при А —»> 0 называется опре- определенным интегралом функции f(x) в промежутке от а до Ъ и обозначается символом о = Jf(x)dx; D) в случае существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [а,Ь]. Числа а и Ъ носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Р им а ну (В. Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. И самую сумму о иногда называют римановой суммой*}; мы же будем предпочтительно назы- называть ее интегральной суммой, чтобы подчеркнуть ее связь с интегралом. Поставим теперь себе задачей выяснить условия, при которых интегральная сумма о имеет конечный предел, т. е. существует определенный интеграл D). *' На деле еще К о ш и отчетливо пользовался пределами подобных сумм, но лишь для случая непрерывной функции.
108 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [296 Прежде всего заметим, что высказанное определение в действи- действительности может быть приложено лишь к ограниченной функ- функции. В самом деле, если бы функция f(x) была в промежутке [а, Ъ] неограничена, то — при любом разбиении промежутка на части — она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки | можно было бы сделать /(!), а с ней и сумму <т, сколь угодно большой; при этих условиях, оче- очевидно, конечного предела для о существовать не могло бы. Итак, интегрируемая функция необходимо ограничена. Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед пред- предполагать рассматриваемую функцию f(x) ограниченной т ^ f(x) ^ М (если а ^ х < Ъ). 296. Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства ис- исследования наряду с интегральными суммами введем в рассмотре- рассмотрение, по примеру Дарбу, еще другие, сходные с ними, но более простые суммы. Обозначим через mt и Mt, соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции f(x) в z-м промежутке [xj9 xi+l] и со- составим суммы л-1 л-1 i=0 /=0 Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верх- верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу. В частном случае, когда f(x) непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвеча- отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция f(x) в каждом промежутке достигает своих точных границ, и точ- точки |, можно выбрать так, чтобы — по желанию — было /(!,) = т, или /Ш=М,. Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней границ имеем Умножив члены обоих этих неравенств на Axt (Axt положительно) и просуммировав по /, получим s ^ о < S.
296] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 109 При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными числами, в то время как сумма о еще остается переменной ввиду произвольности чисел |z. Но легко видеть, что за счет выбора |, можно значения /(!,-) сделать сколь угодно близкими как к mi9 так и к Mi9 а значит — сумму а сделать сколь угодно близкой к s или к & А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже общему замечанию: при данном разбиении промежутка суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм. Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами: 1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления до- добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться. Доказательство. Для доказательства этого свойства доста- достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам де- деления еще одной точки деления х'. Пусть эта точка попадет между точками хк и хк+1, так что хк<х <ХШ- Если через Sf обозначить новую верхнюю сумму, то от преж- прежней S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежут- промежутку [xk, xk+l] отвечало слагаемое мк(хк+1 -хк), а в новой сумме S' этому промежутку отвечает сумма двух сла- слагаемых где Мк и Мк суть точные верхние границы функции f(x) в про- промежутках [х^, х7] и [x;,X?+i]. Так как эти промежутки являются частями промежутка [хк, хк+1], то так что ' -хк), Складывая эти неравенства почленно, получим Щ(.х' ~ хк) + Мк(*к+1 ~ х') < мк(хк+1 ~ хк)- Отсюда и следует, что S' ^ S. Для нижней суммы доказательство аналогично этому.
110 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [296 Замечание. Так как разностиМк—Мк иМк—Мк, очевидно, не превосходят колебания Q функции f(x) во всем промежутке [а, Ь]9 то разность S — S' не может превзойти произведения QAxk. Это остается справедливым и в том случае, если в к-м промежутке взято несколько новых точек деления. 2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превос- превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка. Доказательство. Разобьем промежуток [а,Ь] произволь- произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу sx и Sv (I) Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с пер- первым, разбиение промежутка [а, Ь]. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу s2 и S2. (П) Требуется доказать, что sx ^ S2. С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомо- вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы s3 и S3. (Ill) Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании доказанного 1-го свойства сумм Дарбу, имеем Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что ^з < S2. Но ^з ^ $з> так что из только что полученных неравенств вы- вытекает что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что все множество {s} нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой S. В таком случае [11] это множество имеет конечную точную верхнюю границу
297] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 111 и, кроме того, i*<s, какова бы ни была верхняя сумма S. Так как множество {S} верх- верхних сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу чис- числом 4, то оно имеет конечную точную нижнюю границу /* = inf{S}, причем, очевидно, Сопоставляя все сказанное, имеем s ^ 4 ^ I* ^ S E) для любых нижней и верхней сумм Дарбу. Числа 4 и /* называют, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу [ср. ниже 301]. 297. Условия существования интеграла. С помощью сумм Дарбу теперь легко сформулировать это условие. Теорема. Для существования определенного интеграла не- необходимо и достаточно, чтобы было lim(S-5) = 0. F) А—И) Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого преде- предела. Например, «на языке е-8» условие F) означает, что для любо- любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что лишь только Я < 8 (т. е. про- промежуток разбит на части с длинами Axt < 8), тотчас выполняется неравенство S-s < е. Доказательство необходимости. Предположим, что существует интеграл D). Тогда по любому заданному е > 0 най- найдется такое 8 > 0, что лишь только все Axt < 8, тотчас \G — 1\ < ? ИЛИ /— ? < О < I + ?, как бы мы ни выбирали |z в пределах соответствующих промежут- промежутков. Но суммы s и S, при заданном разбиении промежутка, явля- являются, как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, точными нижней и верхней границами; поэтому для них будем иметь
112 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [298 так что Hm s =1, lim S = /, G) А^О А^О откуда и следует F). Доказательство достаточности. Предположим, что условие F) выполнено; тогда из E) сразу ясно, что Д = /* и, если обозначить их общее значение через /, s^/^S. E*) Если под о разуметь одно из значений интегральной суммы, отве- отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы s9 S9 то, как мы знаем, s < о < S. Согласно условию F), если предположить все Axt достаточно ма- малыми, суммы s и S разнятся меньше, чем на произвольно взя- взятое е > 0. Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел а и /: \о-1\< е, так что / является пределом для о9 т. е. определенным интегралом. Если обозначить колебание Mt - mt функции в z-м частичном промежутке через eoi9 то будем иметь п-\ п-\ S-S = ^{Щ~Щ)^г = Е^АХ^' /=0 /=0 и условие существования определенного интеграла может быть пе- переписано так: п-\ lim У ^Ах, =0. (8) В этой форме оно обычно и применяется. 298. Классы интегрируемых функций. Применим найденный нами признак к установлению некоторых классов интегри- интегрируемых функций. I. Если функция f(x) непрерывна в промежутке [а, Ь], то она интегрируема. Доказательство. Раз функция f(x) непрерывна, то на осно- основании следствия из теоремы Кантора [87] по заданному е > 0
298] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 113 всегда найдется такое S > О, что лишь только промежуток [а, Ь] разбит на части с длинами Axt < S, то все оэг < е. Отсюда п-\ п-\ 5>,Дх, <?^Дх, =ф-а). /=0 /=0 Так как Ъ — а есть постоянное число, а е произвольно мало, то условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование интеграла. Можно несколько обобщить доказанное утверждение. П. Если ограниченная функция f(x) в [а,Ь] имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема. Доказательство. Пусть точки разрыва будут хг, х", ..., х ^к\ Возьмем произвольное е > 0. Окружим точки разрыва окрестно- окрестностями (л' _ €'9 х' + €')9 (*" _ ?", х» + Е»)9 . . ., (х W _ €(к)9 х(к) + ?W) таким образом, чтобы длина каждой была меньше г. В оставших- оставшихся (замкнутых) промежутках функция f(x) будет непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие из теоремы Кантора. Из полученных по г чисел 8 выберем наи- наименьшее (его мы также будем обозначать буквой S). Тогда оно бу- будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам не мешает взять при этом S < е. Разобьем теперь наш проме- промежуток [а, Ь] на части так, чтобы их длины Axt все были меньше S. Полученные частичные промежутки будут двух родов: 1) Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестно- окрестностей около точек разрыва. В них колебание функции сог < е. 2) Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделен- выделенных окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие. Так как функция f(x) предположена ограниченной, то колеба- колебание ее Q во всем промежутке [а, Ь] будет конечно; колебание же в любом частичном промежутке не превосходит Q. Сумму разобьем на две: ^(d^Axj, и V i" распространенные, соответственно, на промежутки первого и вто- второго рода.
114 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [299 Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь j/Axj/ < е ^^Axj/ < е{Ъ — а). v Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежут- промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестно- окрестностей, в сумме < ке; промежутков же, лишь частично налегающих на них, может быть не больше 2к9 и сумма их длин < 2к89 а значит, и подавно < 2кг. Следовательно, У^ ojjffAxjff < Q V^ Ах,-// < Q • Ъке. i" i" Таким образом, окончательно при Axt < S имеем tjAxj < e[(b-a) +ЗШ]. Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скоб- скобках содержится постоянное число, а е произвольно мало. Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функ- функций, не покрывающийся предыдущим. III. Монотонная ограниченная функция f(x) всегда инте- интегрируема. Доказательство. Пусть f(x) — монотонно возраста- возрастающая функция. Тогда ее колебание в промежутке [xf, x/+1] будет Зададимся любым е > 0 и положим Как только Axt < 8, тотчас будем иметь +1) -/(х,)] = 8[f{b)-f{a)\ = е, откуда и следует интегрируемость функции. 299. Свойства интегрируемых функций. Из признака п° 297 можно вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций. I. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и функции \/(х)\ и kf(x) {где k = const) интегрируемы в этом промежутке.
299] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 115 Доказательство проведем для функции \f(x)|. Так как для любых двух точек х', х" промежутка [xj9 xi+l] имеем [17] \Л*")\ - \А*')\ < \f(x") - Л*'I то и колебание cof функции |/(х)| в этом промежутке не превос- превосходит coi [85]. Отсюда так как последняя сумма стремится к нулю (при Я —>> 0), то первая и подавно, что влечет интегрируемость функции |/(х)|. П. Если две функции f(x) и g(x) интегриуемы в проме- промежутке [а, Ь], то их сумма, разность и произведение также интегрируемы. Доказательство ограничим случаем произведения f{x)g{x). Пусть \f{x)\ < К, \g(x)\ < L. Взяв в промежутке [xj9 xi+l] лю- любые две точки х',х", рассмотрим разность f(x")g(x") - /(x')g(x') = Очевидно, \f{x")g{x") - f{x')g{x')\ < L^ если через (ot, 1Б1 обозначить, соответственно, колебания функ- функций /(х), g(x) в промежутке [xj9 xi+l]. Но тогда [85] и для ко- колебания Qt функции f(x)g(x) в этом промежутке будем иметь Qt ^L(ot +Kcoi9 откуда Х)ЦД*/ ^L^cOiAxi+K^atiAxi. Так как две последние суммы стремятся к нулю (при Я —>> 0), то первая и подавно, что и доказывает интегрируемость функ- функции f(x)g(x). III. Если функция f{x) интегрируема в промежутке [а,Ь], то она интегрируема и в любой части [a, J5] этого промежут- промежутка. Наоборот, если промежуток [а, Ь] разложен на части, и в каждой части в отдельности функция f(x) интегрируема, то она интегрируема и во всем промежутке [а, Ь]. Доказательство. Предположим, что функция f(x) инте- интегрируема в промежутке [а, Ь], и построим для этого промежутка сумму Yl °)iAxi (считая, что а и /3 входят в состав точек деления).
116 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [300 Аналогичная сумма для промежутка [а, /3] получится отсюда, если опустить ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если стремится к нулю первая сумма. Пусть теперь промежуток [а, Ь] разложен, скажем, на две части [а, с] и [с, Ь] (где а < с < Ь) ив каждой из них функ- функция f{x) интегрируема. Возьмем снова сумму ^2согАхг для про- промежутка [а, Ь]; если точка с оказалась в числе точек деления, то названная сумма составится из двух подобных же сумм для проме- промежутков [а, с] и [с, Ъ] и вместе с ними стремится к нулю. Заключение это остается в силе и для случая, когда с не является точкой деле- деления: присоединив эту точку, мы изменим лишь один член суммы, который сам, очевидно, стремится к нулю. IV. Если изменить значения интегриуемой функции в ко- конечном числе (= к) точек, то интегрируемость ее не нару- нарушится. Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения кос- коснутся не более чем к членов суммы ^cOjAxj. Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не по- потерпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций — исходной и измененной — точки |, в интегральной сумме всегда можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для которых значения их разнятся. Замечание. Благодаря этому свойству мы получаем возмож- ъ ность говорить об интеграле ff(x)dx даже тогда, когда функ- а ция f(x) не определена в конечном числе точек промежутка [а, Ь]. При этом можно приписать в этих точках нашей функции совер- совершенно произвольные значения и рассматривать интеграл от функ- функции, определенной таким образом во всем промежутке. Как мы видели, ни существование этого интеграла, ни величина его не за- зависят от значений, приписанных функции в точках, где она не была определена. 300. Примеры и дополнения. В качестве упражения приведем еще примеры применения признака п° 297 к конкретным функциям. 1) Вернемся к функции, рассмотренной в 8), 70: f(x) = -, если х есть несократимая правильная дробь |, и равно 0 в прочих точках промежутка [0, 1]. Пусть промежуток [0, 1] разбит на части с длинами Axt ^ Я. Возьмем про- произвольное натуральное число N. Все частичные промежутки распределим на два класса: (а) К первому отнесем промежутки, содержащие числа | со знаменателя- знаменателями q ^ N; так как таких чисел существует лишь конечное число к = kN, то
300] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 117 и промежутков первого рода будет не больше 2k9 а сумма их длин не превзой- превзойдет 2кЛ. (б) Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для них колебание coi9 очевидно, меньше ^. Если соответственно этому разложить сумму ^(OjAxj на две и оценить каждую порознь, то получим в результате ^ 2м Взяв сначала N > ^, а затем Я < ^f- = S, будем иметь J^ cOjAxj < e, что дока- доказывает интегрируемость функции. Пример этот интересен тем, что функция здесь имеет бесчисленное множество точек разрыва и все же интегрируема. [Впрочем, примеры такого рода можно построить и на основе теоремы III.] 2) Теперь рассмотрим вновь функцию Дирихле [46; 70, 7)] %(х) = 1, если х — рациональное число, и %(х) = 0? если х иррационально. Так как в лю- любой части промежутка [0, 1] колебание этой функции со = 1, то и J^ ool-Axt = 1, так что функция заведомо не интегрируема. 3) Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297, мо- может быть представлен в следующей форме: Для существования определенного интеграла^ необходимо и доста- достаточно, чтобы по заданным числам е > 0 и о > 0 можно было найти такое 8 > 0, что, лишь только все Axt < 8, сумма длин тех промежутков, которым отвечают колебания сама < а. Необходимость ясна из неравенства если за счет выбора 8 сделать первую сумму меньшей, чем со. Достаточность же вытекает из оценок: [Здесь Q, как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом промежутке; значком i" отмечены частичные промежутки, в которых колеба- колебания сог„ < с] От ограниченной функции. ^ Данное предложение, установленное (около 1854 года) Б. Риманом, пред- представляет собой один из исторически наиболее ранних критериев интегрируемости функций.
118 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [301 4) Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего предложения: Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], причем зна- значения ее не выходят за пределы промежутка [c,d], в котором непре- непрерывна функция (р(у), то сложная функция (р (/(*)) также интегрируема в [а, Ь]. Возьмем по произволу числа е > 0 и о > 0. По числу е, в силу непрерыв- непрерывности функции <р(у), найдется такое ц > 0, что в любом промежутке значений у с длиной < г\ колебание функции (р будет < е. Ввиду интегрируемости функции /, по числам г\ и о теперь найдется та- такое 8, что лишь только промежуток разбит на части с длинами Axt < 8, сум- сумма ^2Axt, длин тех из них, для которых колебания функции /: &у [/] ^ г/, сама /' меньше о [см. 3)]. Для прочих промежутков имеем coitt\f\ < т], а следовательно, по самому выбору числа г], &>г//[<р(/)] < ?• Таким образом, для сложной функ- функции (р (/(*)) колебания могут оказаться ^ е лишь в некоторых из промежутков первой группы, сумма длин которых заведомо < о. Применяя к сложной функции критерий 3), убеждаемся в ее интегрируемости. 5) Если и относительно функции (р предположить лишь интегрируемость, то сложная функция может оказаться и неинтегрируемой. ' Вот пример: В качестве функции f{x) возьмем ту, которая была уже изучена выше в 1); она интегрируема в промежутке [0, 1], причем значения ее также не выходят за пределы этого промежутка. Далее, пусть (р(у) = 1 для 0 < у < 1 и <р@) = 0. Функция (р(у) также интегрируема в [0, 1]. Сложная же функция (р (/(*)), как легко видеть, совпадает с функцией Дирихле [см. 2)]: она не интегрируема в [0, 1]. 301. Нижний и верхний интегралы как пределы. В заключение мы вернем- вернемся к нижнему и верхнему интегралам, которые в п° 296 были определены как точные границы сумм Дарбу s и?. Мы покажем теперь, что вместе с тем они являются и пределами названных сумм. Теорема Дарбу, Какова бы ни была ограниченная функция f(x), для нее всегда L = lim s, /* = lim S. 0 0 Доказательство проведем, например, для верхних сумм. Прежде всего, по наперед заданному е > 0, возьмем такое разбиение проме- промежутка [а, Ь], что для отвечающей ему верхней суммы Sf будет S' < Г + t (9) это возможно, так как /* служит точной нижней границей для множества верхних сумм. Пусть это разбиение содержит т (внутренних) точек деления. Даже если функция / непрерывна.
301] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 119 Положим теперь 8 ~ 2т1'П' где Q означает колебание функции f(x) во всем промежутке [а, Ь], и рассмотрим произвольное разбиение промежутка, для которого все Axt < 8; пусть ему отвечает сумма S. Для того чтобы оценить разность между S и /*, введем еще третье разбиение нашего промежутка, объединив точки деления первых двух разбиений. Если соот- соответствующая ему верхняя сумма есть S", то, по 1-му свойству сумм Дарбу [296], Sff ^ Sf, так что и подавно [см. (9)] S" <!*+"-. A0) С другой же стороны, по замечанию п° 296, разность S — Sff не превосходит произведения Q на сумму длин Axt тех промежутков второго разбиения, внутрь которых попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков не больше т', а длина каждого из них меньше S, так что S-S" < тШ = -, откуда, в связи с A0), S </* + ?. Так как, с другой стороны, S ^ /*, то, лишь только Axt < 8, 0 < S -/*<?, так что, действительно, S —> /*. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что всегда limOS'-s) =/* -4. Это соотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в сле- следующей форме [ср. 297]: Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы нижний и верхний интегралы Дарбу были между собой равны: /, = /*. При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного интеграла. Новая форма условия имеет некоторое преимущество перед прежней. Для того чтобы убедиться в равенстве интегралов Дарбу, достаточно установить, что неравенству S-s < е при произвольном е удовлетворяет хоть одна пара сумм s и S. Действительно, в силу E), тогда будет также 0 < /* - 4 < ?, откуда, ввиду произвольности е, и вытекает требуемое равенство. Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие интегрируемости, высказанное в предыдущем п° [см. 3)].
120 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [302 § 2. Свойства определенных интегралов 302. Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор, говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до Ъ»9 мы всегда подразумевали, что а < Ъ. Устраним теперь это стеснитель- стеснительное ограничение. С этой целью мы прежде всего введем понятие направлен- направленного, или ориентированного, промежутка. Под ориен- ориентированным промежутком [а,Ь] (где может быть и а < Ъ9 и а > Ъ) мы будем разуметь множество значений х, удовле- удовлетворяющих неравенствам, соответственно, а ^ х < Ъ или а^х^Ъ и расположенных, или упорядоченных, от а к Ъ9 т. е. в порядке возрастания, если а < Ь9 или убывания, если а > Ъ. Та- Таким образом, мы различаем промежутки [а,Ь] и [Ь,а]: совпа- совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся по направлению. То определение интеграла, которое было дано в 295, относится к ориентированному промежутку [а, Ь]9 но лишь для случая, когда а < Ь. Обратимся к определению интеграла в ориентированном про- промежутке [а, Ь] в предположении, что а > Ъ. Можно повторить для этого случая обычный процесс дробления промежутка путем встав- вставления точек деления, идущих в направлении от <я к 6: а = х0 > Xi > х2 > . . . > хг > xi+i > . . . > хп = Ъ. Выбрав в каждом частичном промежутке [xj9 xi+l] по точке |z, так что xt ^ |, ^ */+!> составим интегральную сумму /=0 где — на этот раз — все Axt = xi+1 — xt < 0. Наконец, предел этой суммы при Я = тах|Дх,| —»> 0 и приведет нас к понятию интеграла и I f(x)dx = lim о. А—)>() а Если для промежутков [а, Ь] и [Ь, а] (где а ^ Ь) взять те же точки деления и те же точки |, то отвечающие им интегральные
303] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 121 суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пре- пределам, получаем такое предложение: 1° Если f(x) интегрируема в промежутке [Ь, а], то она интегрируема и в промежутке [а, Ъ], причем Ъ а Jf(x)dx = -Jf(x)dx. а Ъ Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за определение44^ интеграла / при а > Ъ в предположении, что а а интеграл / существует. ъ Заметим еще, что по определению же полагают а / f{x)dx = 0. 303. Свойства, выражаемые равенствами. Перечислим даль- дальнейшие свойства определенных интегралов, выражаемые равен- равенствами.5^ 2° Пусть f(x) интегрируема в наибольшем из промежут- промежутков [а,Ь]9 [а, с] и [с, 6].**} Тогда она интегрируема в двух дру- других, и имеет место равенство Ъ с Ъ Jf(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx, а а с каково бы ни было взаимное расположение точек а,Ь,с. Доказательство. Положим сначала, что а < с < Ъ и функ- функция интегрируема в промежутке [а, Ь]. То, что функция интегрируема в промежутках [а, с] и [с, Ь]9 следует из 299, III. ъ *) Здесь и впредь, если речь идет об интеграле J, мы считаем возможным (при а отсутствии специальной оговорки) оба случая: а < Ъ и а > Ъ. **) Вместо этого можно было бы предположить, что функция f(x) интегриру- интегрируема в каждом из двух меньших промежутков: тогда она была бы интегрируема и в большем. Такое определение сейчас наиболее распространено.
122 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [303 Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь] на части, причем точ- точку с будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен) а а с Переходя к пределу при Я —»> 0, мы и получим требуемое ра- равенство. Другие случаи расположения точек а,Ь,с приводятся к этому. Пусть, например, Ъ < а < с и функция f(x) интегрируема в про- промежутке [с, Ъ\ или — что то же ввиду 1° — в промежутке [Ь,с]. В этом случае, по доказанному, будем иметь с а с Jf(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx, Ъ Ъ а откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равен- равенства в другую и переставив пределы [на основании свойства 1°], придем опять к прежнему соотношению. 3° Если f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и kf(x) (где k = const) также интегрируема в этом промежутке, причем ъ ъ fkf(x)dx =k ff{x)dx. a a 4° Если f(x) и g(x) — обе интегрируемы в промежутке [а,Ъ], то и f(x) ±g(x) также интегрируема в этом проме- промежутке, причем ь ь ь f\f[x) ± g[x)\ dx = f f[x) dx ± fg[x) dx. a a a В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, напри- например, для последнего утверждения. Разобьем промежуток [а, Ь] произвольно на части и составим интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки |, в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь A,.) ±§D,)} Ах, = ?/(|г) Ах, ± 5>(|г) Ах,.
304] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 123 Пусть теперь Я —>> 0; так как для обеих сумм справа пределы существуют, то существует предел и для суммы слева, чем устана- устанавливается интегрируемость функции f(x) ±g(x). Переходя в пре- предыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотно- соотношению. Замечание. Обращаем внимание на то, что при доказатель- доказательстве двух последних утверждений не было надобности опирать- опираться на предложения п° 299, I и II: интегрируемость функций kf(x) и f(x) ± g(x) устанавливается непосредственно переходом к пре- пределу. 304. Свойства, выражаемые неравенствами. До сих пор мы рассматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; пе- перейдем теперь к таким, которые выражаются неравенствами. 5° Если функция /(х), интегрируемая в промежутке [а, Ъ], неотрицательна и а < Ъ, то Доказательство очевидно. Труднее доказать более точный результат: Если функция /(х), интегрируемая в промежутке [а, Ь], положительна и а < Ъ, то ) dx > 0. Доказательство проведем от противного. Допустим, что f(x)dx = 0. / Тогда при Я —)> 0 и верхняя сумма Дарбу S также стремится к нулю [297, G)]. Взяв произвольное ех > 0, можем сделать эту сумму меньшей, чем гх{Ъ — а). При этом хотя бы одна из верхних границ Mt окажется меньшей ?1? иными словами, найдется в [а, Ь] такая часть [а\, Ь\]9 в пределах которой все значения f(x) < ?v
124 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [304 Так как и ^ 1 f(x)dx = 0 *) то, аналогично, из [а1? Ъ^\ выделится часть [а2, Ь2]9 в пределах ко- которой f(x) < ?2? где ^2 — любое положительное число < ?1? и т. д. Взяв последовательность положительных чисел ек —>> 0, мож- можно определить такую последовательность вложенных один в дру- другой (и — если угодно — убывающих по длине до 0) промежутков 0 < f(x) < ek, если ак ^ х < Ък (к = 1, 2, 3 ...). Тогда по лемме п° 38 существует точка с, общая всем этим промежуткам; для нее должно быть 0 < /(с) < ек при к = 1, 2, 3, ..., что невозможно, ибо г^ —»> 0. Теорема доказана. Простым следствием отсюда [и из 4°] является 6° ?а/ш д#е функции f(x) и g(x) интегрируемы в проме- промежутке [а, Ь] и всегда f(x) ^ g(x) [или f(x) < g(x)}, то и ъ ъ ъ ъ J f(x)dx^ Jg(x)dx \или J f(x)dx< Jg(x)dx] а а а а в предположении, что а < Ъ. Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности g{x) — f(x). Так же легко получается: 7° Пусть функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь] и а < Ъ, тогда имеем неравенство ъ ъ Jf(x)dx^J\f(x)\dx. а а Существование последнего интеграла следует из 299, I. Свой- Свойство 6° применяем затем к функциям *) Действительно, по 2°: = / + / + / и, так как / ^ 0, / ^ 0, то 0 < / < / = 0. Oj a
304] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 125 Впрочем, неравенство легко получить и непосредственно, исхо- исходя из интегральных сумм *) и переходя к пределам. 8° Если f(x) интегрируема в [а, Ъ], где а < Ъ, и если во всем этом промежутке имеет место неравенство т ^ f{x) ^ М, то ъ г{Ъ-а) ^ f f(x)dx ^M(b-a). m[b — a Можно применить свойство 6° к функциям rn, f{x) и М, но про- проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами и перейти к пределу. Доказанным соотношениям можно придать более удобную фор- форму равенства, освобождаясь в то же время от ограничения а < Ъ. 9° Теорема о среднем значении. Пусть f{x) интегриру- интегрируема в [a, b] (a ^ b) и пусть во всем этом промежутке т ^ f{x) ^ M; тогда ъ J f(x)dx=v(b-a), а где т ^ \х ^ М. Доказательство. Если а < Ь9 то, по свойству 8°, будем иметь о г(Ь-а) ^ f f(x)dx ^M(b-a), а откуда ъ т^- / f(x)dx Ъ — i *) Так как а < Ь, то все Axt > 0.
126 Положив ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ъ [304 Ь-< получаем требуемое равенство. а Для случая, когда а > Ь9 проводим то же рассуждение для /, ъ а затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле. Только что доказанное равенство принимает особенно простой вид, когда функция f(x) непрерывна. Действительно, если считать, что т и М суть наибольшее и наименьшее значе- значения функции, существующие по теореме Вейерштрасса [85], то и промежуточное значение /i, по теореме Больцано-Коши [82], должно приниматься функ- функцией f(x) в некоторой точке с промежутка [а,Ь]. Таким обра- образом, ъ f(x)dx = (b-a)f(c), D А К ? а /(с) L с Рис.5 i 1 с в b О где с содержится в [а, Ь]. Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть f(x) ^ 0. Рассмотрим криволинейную фигуру ABCD (рис. 5) под кривой у = f(x). Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая определенным интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой LM в качестве высоты. 10° Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ь]; 2) т ^ f(x) ^ М; 3) g(x) во всем промежутке не меняет знака. g(x) ^ 0 [g(x) Тогда *) о о Jf(x)g(x)dx=vjg(x)dx, где т < \л < М. * ^ Самое существование интеграла от произведения f(x )g(x) следует из 299, П. Впрочем, можно было бы вместо интегрируемости функции f(x) непосредственно предположить интегрируемость самого произведения f(x)g(x).
305] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 127 Доказательство. Пусть сначала g(x) ^ 0 и а < Ь; тогда имеем mg(x) ^ f(x)g(x) ^ Mg(x). Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем ъ ъ ъ т а jg{x)dx ^ J f{x)g{x)dx ^М J g(x)dx. Ввиду предположения о функции g(x)9 по 5°, имеем ъ g{x)dx а Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно, что одновременно также '' f(x)g(x)dx=Q, а и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двойного неравенства, положим Jf(x)g(x)dx Jg(x)dx а и придем к требуемому результату. От случая а < Ъ легко перейти к случаю а > Ь9 равно как от предположения g(x) ^0 — к предположению g(x) ^ 0: пере- перестановка пределов или изменение знака g(x) не нарушает равен- равенства. Если f(x) непрерывна, то эта формула может быть запи- записана следующим образом: и f{x)g{x)dx=f{c) fg{x)dx, где с содержится в [а, Ь]. 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a, b] (a ^ Ъ), то [299, III] она интегрируема и в промежутке [а, х], где х есть любое
128 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [305 значение из [а, Ь]. Заменив предел Ъ определенного интеграла пе- пе) ременной х, получим выражение *) X = Jf(t)dt, A) которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает следующими свойствами: 11° Если функция f(x) интегрируема в [а, Ь], то Ф(х) будет непрерывной функцией от х в том лее промежутке. Доказательство. Придав х произвольное приращение Ах = h (с тем лишь, чтобы х + h не выходило за пределы рассмат- рассматриваемого промежутка), получим новое значение функции A) x+h х x+h Ф(х + И)= I f(t)dt = J a a [см. 2°], так что x+h Ф(х+Ь)-Ф(х)= I f{t)dt. Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9° Ф{х+К)-Ф{х)=цЫ B) здесь \х содержится между точными границами т1 и М1 функции f{x) в промежутке [х,х + /z], а следовательно, и подавно меж- между (постоянными) границами ее т и М в основном промежутке [а, ?].**> Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно, Ф(х + И) - Ф(х) -» 0 или Ф(х + И) -)> Ф(х), что и доказывает непрерывность функции Ф{х). 12° Если функцию f(t) предположить непрерывной в точке t = х, то в этой точке функция Ф(х) имеет про- производную, равную f(x) Ф'(х) =/(*)• *) Переменную интегрирования мы обозначили здесь через t, чтобы не смеши- смешивать ее с верхним пределом х; разумеется, изменение обозначения перемен- переменной интегрирования не отражается на величине интеграла. **^ Напомним, что интегрируемая функция ограничена [295].
305] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 129 Доказательство. Действительно, из B) имеем Ф(х+Н)-Ф(х) , . — -^ = и, или т < и < М . /2 Но, ввиду непрерывности функции fit) при /^ = х, по любому г > 0 найдется такое S > 0, что при |й| < <5 Дх)-?< ДО </(*)+? для всех значений t в промежутке [х, х + А]. В таком случае имеют место и неравенства /0) -е^т'^/л^М*^ /0) + е, так что \И-Лх)\<е. Теперь ясно, что .{ Ф{х+К)-Ф{х) у г{ л Ф'(х) = lim —^ '- у— = lim /л = fix), что и требовалось доказать. Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципи- принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию fix) непрерывной во всем промежутке [а,Ь]9 то она интегриру- интегрируема [298, I], и предыдущее утверждение оказывается приложимым к любой точке х этого промежутка: производная от инте- интеграла A) по переменному верхнему пределу х везде равна значению fix) подинтегралъной функции на этом пределе. Иными словами, для непрерывной в промежутке [а,Ь] функции fix) всегда существует первообразная; примером ее является определенный интеграл A) с переменным верхним пределом. Таким образом, мы наконец установили то предложение, о ко- котором упоминали еще в 264. В частности, мы теперь можем записать функции F и Е Лежандра [293] в виде определенных интегралов F(k, <р)= , d6 =, E(k, q>) = / л/l - k2 sin2 в d6. J л/l-k2 sin2 в J V 0 v 0 По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответственно, для функций 1 у 1 — к2 sin2 (p и притом обращающиеся в 0 при ср = 0. 1 — к2 sin cp
130 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [306 Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем п°, легко распространяются на случай интеграла с переменным нижним пределом, так как [1°] Ь х t = -Jf(t)dt. х Ъ Производная от этого интеграла по х9 очевидно, равна —f(x) (если х есть точка непрерывности). 306. Вторая теорема о среднем значении. В заключение уста- установим еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведе- произведения двух функций ъ 1 = j f{x)g{x)dx. а Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства следующего предложения: 13° Если в промежутке [а, Ъ] (а < Ъ) f(x) монотонно убы- убывает (хотя бы в широком смысле) и неотрицательна, a g(x) интегрируема, то ъ I Jf(x)g(x)dx=f(a)Jg(x)dx, C) а а где | есть некоторое значение из названного промежутка. Разбив промежуток [а, Ъ] произвольным образом на части с по- помощью точек деления xt (i = 0, 1, ..., /7), представим интеграл / в виде п-\ Xijl п-\ / > / / I Y I Pi Y I ПY > / I Y • 1 — /_^ / J \Л)&\Л)аЛ — Z_^J \Л1; i=0 i i=0 + Е / №) - /МЫ*) dx=o+p. Если через L обозначить верхнюю границу для функции \g(x) |, а че- через (Dj (как обычно) колебание функции f(x) в z-м промежутке [xj, Xj+i] длины Axj9 то, очевидно, п-\ Хг+1 п-\ ^ Е / l^(x) ~ f(xi)\ ' \s(x)\dx ^ L У^ cpjAxj. i=0 r i=0
306] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 131 Отсюда, ввиду интегрируемости функции f(x) [298, III], ясно, что р —^ 0 при Я = max Axt —»> 0, так что / = lim о. Введем теперь функцию G(x) = jg{t)dt а и с ее помощью перепишем сумму о так: п-\ i=0 или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые, п-\ a = Непрерывная функция G{x) [305, 11°] при изменении х в про- промежутке [а, Ь] имеет как наименьшее значение т9 так и наибольшее значение М [85]. Так как все множители /0/-0 - /0/) (при / = 1,2 « — 1) и /(*„_!), в силу сделанных относительно функции f(x) предположений, не- неотрицательны, то, заменяя значения G, соответственно, через т и М, мы получим два числа: mf(a) и Mf(a), между которыми содержится сумма о. Между теми же числами, очевидно, содержится и интеграл / как предел этой суммы, или иначе где т < \х < М Но, по непрерывности функции G(x), в промежут- промежутке [а, й] найдется такое значение |, что ^ = GD) [82]. Тогда что равносильно формуле C).
132 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [306 Аналогично, если функция /(х), оставаясь неотрицатель- неотрицательной, монотонно возрастает, то имеет место формула ъ ъ Jf(x)g(x)dx=f(b)Jg(x)dx, а | где а ^ | ^ Ъ. Эти формулы обычно называют формулами Бонне (О. Bonnet). Наконец, 14° Если сохранить только предположение о монотонно- монотонности функции /(х), не требуя ее неотрицательности, то моле- молено утверждать: Ь | Ь j f{x)g{x)dx=f{a) j g(x)dx+f(b)Jg(x)dx. D) Действительно, пусть, например, функция f(x) монотонно убы- убывает; тогда, очевидно, разность f(x) — f(b) ^ 0, и стоит только к этой функции применить формулу C), чтобы после легких пре- преобразований получить D). Доказанная теорема и носит название второй теоремы о сред- среднем значении [ср. 304, 10°]. Следующее простое замечание позволяет придать ей несколько более общую форму. Если изменить значения функции f(x) в точ- точках а и Ь, взяв вместо них любые числа А и В под условием лишь А ^ /О + 0) и В < /(* - 0) (если / убывает), А ^ f(a + 0) и В ^ f(b — 0) (если / возрастает), то не только значение интеграла / не изменится, но и сохранится монотонность функции Лх)? так что по образцу D) можно утвер- утверждать ъ I ъ Jf(x)g(x)dx=Ajg(x)dx+BJg(x)dx. E) а я | В частности, Ъ I Ъ f f{x)g[x) dx = f(a + 0) fg[x) dx + f[b - 0) fg[x) dx. E*) a a | Здесь, как и выше, | означает некоторое число из промежутка [а, Ь]9 но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел Аи В.
307] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 133 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 307. Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем ряд примеров вычисления определенного интеграла, непосред- непосредственно как предела интегральных сумм — в согласии с его опре- определением. Зная наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для вычисления его мы можем выбирать разбие- разбиение промежутка и точки |, руководствуясь исключительно сообра- соображениями удобства. ъ 1) I х dx (a, b — произвольные вещественные числа, а к — натуральное / число). Сначала вычислим интеграл J x dx (а ф 0). Промежуток [0, а] разобьем на п равных частей, а в каждом частичном промежутке функцию хк вычислим для его правого конца, если а > 0, и для левого — при а < 0. Тогда интегральная сумма • — = а • п и, если учесть пример 14), 33, ^+1 I к • х dx = Km о,, = к+1 о Отсюда уже нетрудно получить и общую формулу Ъ Ь а 7 л к+\ D 2) / x^dx {b > a > 0, /i — произвольное вещественное число). а На этот раз мы разобьем промежуток [а, Ь] на неравные части, а именно между а и b вставим п — 1 средних геометрических. Иными словами, положив q = q =n[^ п \ а' рассмотрим ряд чисел a, aq, . . ., aq\ . . ., aqn = b. Заметим, что при п —>> оо отношение q = qn -л 1, разности же aql^~ — aq1 все меньше величины b(q — 1) —>> 0.
134 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [307 Вычисляя функцию для левых концов, имеем и-1 и-1 оп = У^ (aqiy (aql+l — aql) = a^+l(q — 1) Y^ (У*+1у. Предположим теперь \i ф — 1; тогда /?\,U + 1 //-1-1 x . ч 1 77 ) ^ /, //-1-1 //-1-1 \ Q 1 и, используя же известный предел [пример 5), (в), 77], получим ъ !• dx = lim on = (b^1 - а^1) lim В случае же \л = — 1 будет и на основании другого известного результата [там же, (б)] — = lim а = lim п\ \j 1 ) = In b — In a. X n^-oo n^-oo \\ a J a b 3) sinx dx. Разделив промежуток [a, b] на п равных частей, положим a h = ^p-; функцию sinx вычислим для правых концов, если а < Ь, и для левых — при а > Ь. Тогда п ап = h V^ sin(a + ih). i=\ Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее на 2 sin |, а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, лег- легко получим П 1 П h Y^ sin(> + ih) = j—j ^ 2 sin(a + ih) sin 2 = i=\ 1 ^ / / 1 \ / 1 —— > cos [a -\- i — — h) — cos [ a -\- i -\— , cos (a + \ h) - cos(a + n + \ h) Таким образом, °n = \ ( ( 1 Л fr l —^-r cos [a + - h) -cos H- sin? \ V 2 / V 2
307] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135 Так как h —>> 0 при п —>> со, то ъ /sin;\; dx = lim 2 , ( cos ( а -\— h ) — cos ( b -\— h ) I = cos a — cos b. h^O sin § V V 2 ^ V 2 ') ih) b sin^ cos jc <ix + n + = sin/? ^/z) -sin(a 2sin| — sin a. _!_ I A) B) zsm -j легко установить, что 4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл л \п{\ — 2r cosх + г ^jdx, 0 обычно связываемый с именем Пуассона (S.-D. Poisson). Так как A — |г|J < 1 — 2r cosjc + г2, то, предполагая \г\ ф 1, видим, что подинтегральная функция непрерывна и ин- интеграл существует. Разделив промежуток [0, ж] на п равных частей, имеем п Ж ^-—\ / Ж 2\ ол = — > In 1 — 2r cos к \- г = п ^ V п ) к=\ где \\ есть знак произведения. С другой стороны, из алгебры известно разложение**^ к=\ *) Которая получается из A) заменой а на a + |. **) Учитывая значения корней степени 2^ из единицы, имеем такое разложение z п — 1 на линейные множители: "П (* - cos ^ - z sin ^), где z есть мнимая единица. Если выделить множители (z d= 1) (отвеча- (отвечающие к = —п и & = 0) и собрать вместе сопряженные множители, то мы
136 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [308 Используя это тождество при z = г, представим оп в виде + 1 / гп Пусть теперь \г\ < 1, тогда г JT I - 2r cosjc + r2)dx = lim an = 0. 0 Если же \г\ > 1, то, переписав оп так: -In _ 1 Г2п найдем г\, /¦ — 2r cos^: + г ) Читатель видит, что прямой способ вычисления определенно- определенного интеграла как предела сумм требует даже в простых случаях значительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным является прием, излагаемый в следующем п°. 308. Основная формула интегрального исчисления. Мы виде- видели в 305, что для непрерывной в промежутке [а, Ь] функции f(x) интеграл г \t) dt оказывается первообразной функцией. Если F(х) есть лю- бая первообразная для f(x) функция (например, найденная мето- методами §§1-4 предыдущей главы), то 263 Ф(х) =F(x)+C. 2п 1 и получим, что z — 1 равно (z2 - О П {z -cos Щ- -l sin Щ) (z -cos ? +l sin 4) = ) k=l
308] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137 Постоянную С легко определить, положив здесь х = а, ибо Ф(а) = 0; будем иметь 0 = Ф(я) = F(a) + С, откуда С = -F(a). Окончательно В частности, при х = b получим ъ <ВД = Jf(x)dx=F(b)-F(a). (A) а Это — основная формула интегрального исчисления.^ Итак, значение определенного интеграла выражается разностью двух значений, при х = Ъ и при х — а, любой первообразной функции. Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9°] и вспомнить, что f{x) — F'{x), то получим F{b) - F{a) = f{c) -{b-a)= Ff{c) • {b - a) (a ^ с ^ b); читатель узнает в этом формулу Лагранжа [112] для функ- функции F(x). Таким образом, с помощью основной формулы (А) уста- устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциаль- дифференциальном и интегральном исчислении. Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычи- вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f(x). Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выра- выражать первообразную в конечном виде через элементарные функ- функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосред- непосредственно по основной формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают символом F(x)\ba («двойная подстановка от а до Ь») и формулу пишут в виде ь *f(x)dx=F(x)\ . (A*) *) Эту формулу называют также формулой Нъ ют он а -Ле йбница. Чи- Читатель видит, что рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми мы поль- пользовались в 264 при вычислении функции Р(х) и площади Р. Сама формула (А) легко могла бы быть получена сопоставлением результатов пп° 264 и 294.
138 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [309 Так, например, сразу находим: ъ 1) /' аГ+1 2) I — =\пх b =ЫЬ -Ыа (а > 0, 6 > 0), / 3) / sin.* dx = — cos* I = cos a — cos/?, / cos * fibf = si = sin 6 — sin a — результаты, не без труда полученные нами в предыдущем п° [ср. примеры 1), 309. Примеры. Приведем дальнейшие примеры использования форму- формулы (А): 4) (а) / sin mx sin nx dx = - I — JT JT I sin(m — п)х sin(w + п)х 2 у т — п 1 / sin 2mx т -\- п = 0 (п^ т); (б) / sin mxdx = - lx- ^ = ж. [см. 267, 17), 18)] — JT Аналогично, (в) / sin mx cos nx dx = 0; —jt JT (r) / cos mx cos nx dx = 0 или я, смотря по тому, будет ли п ф т —ж или п = т. 5) Найти значения интегралов (m, n — натуральные числа): (а) sin л *^ Пример 4) предыдущего п° уже не может быть исчерпан так просто, ибо соответствующий неопределенный интеграл в конечном виде не выражается.
309] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 139 /Vsinrax2 (б) / dx. J V smjc / о Указание, (а) Из формулы B), полагая в ней а = 0, h = 2xnn = m — 1, можно вывести, что 1 v-ч sinBm — 1)х + > cos 2** = У + > cos 2** .. 2 *-^ 2 sin л: Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются по формуле (А), сразу получается ж. I- sinBw — l)x ж ¦& = -. 0 (б) Из формулы A), полагая а = — х, h = 2x, найдем J^ I — cos 2га: sin2 ж У sinBm — \)х = = . *-^ 2 sin jc sin x 772=1 Отсюда, если использовать предыдущий результат, 6) Вычислить интеграл 1 -l ^ / 0 ( sin weN 2ш; + а ) dx — H - 2Цх + P2 где 0 < a, /3 < 1. Если в формуле [283, F*)] </jc 1 = —-Щах + - + y/a\/ax2 + bx +c\+C отождествить ajc2 + Ъх + с = A - 2ах + а2) A - 2/Зх + уб2), то, дифференцируя, найдем ах + - = -аA — 2;0jc + /З2) - j3(l - 2«jc +a2). Отсюда легко вывести, что при jc = 1 выражение, стоящее под знаком логарифма, получит значение -«A - /ЗJ - /3A - аJ + 2у^ф{\ - а){\ - /3) = = -(V5(i - р) -
140 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [309 а при х = — 1 — значение Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выра- выражение 1 ^ 1 + у/сф П 1 - зависящее только от произведения ар *\ Заметим, что при выводе основной формулы нам на деле не было надобно- надобности требовать, чтобы функция F(x) была для f(x) первообразной в замкнутом промежутке [а, Ь]. Опираясь на следствие п° 131, достаточно было бы предполо- предположить это для открытого промежутка (а, Ь), лишь бы только и на концах его функция F(x) сохраняла непрерывность. Поэтому, например, мы имеем право писать [268] Г~1 9 а1 ¦ х\\° жа2 а1 — х1 -\ arcsm — ) = , 2 а)\-а 2 —а хотя при х = d=<2 вопрос о производной найденной первообразной еще требовал бы исследования. Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла 8) / 1-—^ у dx (О < г < 1), J J I -2rcosjc +r2 v J —jt так как найденная в 13), 288, первообразная '1+г не имеет смысла при х = ±я\ Однако существуют, очевидно, пределы lim F(x) = —ж, lim F(x) = ж, x^jt+0 x^-jt—0 и если, как обычно, положить F(—jt) и F(n) равными именно этим пределам, то функция F(x) будет не только определена, но и непрерывна на концах промежут- промежутка. Поэтому все же имеем / 1-г2 1 — 2r cos^: + г2 —jt = F(x) = F(n) - F(-jt) = 2л. 9) Аналогично вычисляется и интеграл f / ± J A cos2х + 2В cos;\; sin^: + С sin x (АС-В2>0). *^ Наши выкладки безупречны лишь при а ф /3, но легко видеть, что результат верен и при а = /3.
309] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 141 Мы уже имели [288, 10)] выражение первообразной F(x) = - 1 /AC - В2 пригодное для — ^ < * < ^. Отсюда dx arctg Ctgx +B I 1г A cos2 х + 2В cos х sin x + С sin x f-0 -f+0 причем значки — ^ + 0, f — 0 символизируют необходимость брать соответству- соответствующие предельные значения функции F(*). 10) Если при вычислении интеграла 1 л исходить из формально вычисленной первообразной 1 3jc(jc2 - 1) arCtg и подставить сюда * = 0 и * = 1, то для интеграла получится парадоксальное значение 0 (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое значение!). Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при * = у 2 — л/3 = = *0. Если порознь вычислять интегралы от 0 до *0 и от *0 до 1, то получится правильный результат 1 *0-° ! _ Л о хо+о 3 /¦ о 11) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы 2 = 1п2, dx — = In* * I dx = arctg* 0 Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то можно получить, например, такие предельные соотношения: lim lim оо\п+ 1 П + 2 1 1 + + . . . Н 2п2 п = —. 4
142 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [310 310. Другой вывод основной формулы. Установим теперь основную формулу (А) при более общих предположениях. Пусть функция/(х) интегрируема в промежутке [а, Ь]9 а непре- непрерывная в [а, Ъ] функция F(x) имеет f(x) своей производной F'(x)=f(x) C) повсюду в (а, Ь) или даже лишь повсюду, исключая конечное число точек. Разобьем промежуток [а, Ь] произвольным образом на части точками а = х0 < %i < х2 < . . . < хг < Xj+i < . . . < хп = Ъ [позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те точки, где не имеет места соотношение C), если такие точки есть]. Очевидно, будем иметь /=0 Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы, формулу конечных приращений, — условия для ее применения все выполнены. Тогда получим /=0 где |, есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значе- ниех между хг и xi+l. Так как для этого значения F\E,t) =/(!,), то мы можем написать п_х /=0 Справа получилась интегральная сумма о для функции f(x). Мы предположили, что для суммы а при Я —»> 0 существует опре- определенный предел, не зависящий от выбора чисел |z. Следователь- Следовательно, в частности, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе этих чисел) постоянное значение, также стремится к интегралу, откуда и вытекает, что ъ F(b)-F(a) = Jf(x)dx. а В предыдущем п° мы с помощью основной формулы вычисляли определенный интеграл. Но она может быть использована и в дру-
311] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 143 гом направлении. Заменив в основной формуле Ъ на х9 a f(x) на F'(x)9 можно написать ее в виде X F(x)=F(a) + fF'(t)dt. Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определен- определенный интеграл есть предел), по заданной производной F'(x) «вос- «восстанавливается» первообразная функция F(x). Впрочем, это предполагает, что производная не только ограни- ограничена, но и интегрируема в согласии с римановым определением, что осуществляется не всегда. 311. Формулы приведения. Мы видели, что основная форму- формула при благоприятных условиях сразу дает значение определенного интеграла. С другой стороны, с ее помощью различные формулы приведения в теории неопределенных интегралов преобразуют- преобразуются в аналогичные формулы уже в определенных интегралах, сводя- сводящие вычисление одного определенного интеграла к вычислению другого (вообще более простого). Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по частям udv = uv — vdu и ее обобщение [270, C) и E)], а также другие формулы приведе- приведения [271, F); 280; 287], частично на ней же основанные. Общая форма их такова: '(*) dx = ф) - j g{x) dx. D) Если областью применения подобной формулы является промежу- промежуток [а,Ь]9 то ей в определенных интегралах отвечает формула ъ ъ Jf(x)dx=<p(x)\ba-Jg(x)dx. E) а а При этом функции /, g будем считать непрерывными. Для доказательства обозначим последний интеграл в форму- формуле D) через Ф(х). Тогда ь 7(х)^ = (ф(*)-<вд)| =ф) -ф(х) .
144 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [312 Так как в то же время а то мы и приходим к доказываемой формуле. В частности, формула интегрирования по частям примет теперь вид ъ ъ ъ udv = uv — vdu, F) а а обобщенная формула перейдет в такую: ъ ъ fu(n+^vdx; G) а при этом по-прежнему функции м, v и все встречающиеся их про- производные предполагаются непрерывными. Формула E), устанавливающая соотношение между числа- числами, принципиально проще формулы D), в которой участвуют функции; она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю. 312. Примеры. 1) Вычислить интегралы f f Jm = sin777x dx, /m = / cos777x dx 0 0 (при натуральном т). Интегрируя по частям, найдем f f T_f.m-l ,,_ ч __•»-! f^/_n/-»-2 2 . U 1/y/y — / Sill Jx Ct\ OOS ^C J — S1H Jx OOS Jx I /77 1 J / S1H Jx OOS ^C C&C • и У о v JJ о о Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos х через 1 — sin x, получим Jm = (m- \)Jm_2 -{m- \)Jm, откуда рекуррентная формула: т- 1 Jm = Jm-2>
312] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 145 по которой интеграл Jm последовательно приводится к Jo или J^. Именно, при т = 2п имеем ¦/- 2 J2n = I sin х dx = 2/2. B/2 - 2) ... 4 . 2 2 о если же w = 2w + 1, то ¦/- . 2И+1 , 2/i ¦ B/i - 2) ... 4 ¦ 2 sin ^ x dx = Bя + 1)B/2- 1)...3- 1 о Такие же точно результаты получаются и для Jm. Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся симво- символом т}\*\ Тогда можно будет написать ! ! ((/и-1)!! я 1 — (при т четном), /• т г I m г sin х dx = / cos x dx = т\\ 2 q q i (при т нечетном). 2) Доказать формулы ж. (а) / cos777 jc cos(w + 2)x dx = 0; 0 ж. (б) / cos777 x sin(w + 2)jc dx = m+ Г /sin — sin777 x cos(w + 2)x dx = + Г 0 / sin777 x si / sin777 jc sin(w + 2)jc <ijc = i^i- m+ 1 0 (где m — любое положительное число). Рассмотрим интеграл /со,- х cos(w + 2)x dx *^ Напомним, что т\\ означает произведение натуральных чисел, не превосхо- превосходящих т и одной с ним четности.
146 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [312 и дважды произведем в нем интегрирование по частям: ж. / cos777 х cos(w + 2)x dx = О = (cos777 x sin(w + 2)х — cos777 x sinx cos(w + 2)x ) + w + 2 V v J /0 f H / \-[m - 1) cos777x sin2jc + cos777^^ ] cos(w + 2)x dx. m+2J \ J 0 Двойная подстановка обращается в 0. Заменяя под знаком интеграла sin2 x через 1 — cos х, придем к равенству cos777 х cos(w + 2)x dx = f f — / cos777 x cos(w + 2)x dx + cos777+2 jc cos(w + 2)x dx, m + 2 0 0 откуда и следует (а). Аналогично устанавливаются остальные равенства. 3) Вычислить (при натуральном п) интегралы 2 2 Кп = I cos77 * sin we dx, Ln = / cos77 jf cos we dx. 0 Интегрируя по частям, будем иметь f К = / cos77 * sin « J x sin x cos гас ajc. 0 Если к обеим частям прибавить по Кп, то, преобразуя выражение под знаком интеграла справа, легко получить 1 2Кп = —Ь Кп-\ или По этой рекуррентной формуле легко уже найти 1 /2 22 23 Аналогично
312] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 147 4) Найти интеграл НКт = xk\nmxdx, О где к > О, а т — натуральное число. Интегрирование по частям [ср. 271, 5)] 1 1 /кл т 1 1 ?+1 1 т 1 т f к л т-\ , х In х ах = х т х / х In .x ал: ? + 1 +0 ? + 1 J о о приводит к рекуррентной формуле откуда и получается л. =(-if ± 1±к,т V L) /7 , лх> Особенность этого примера в том, что в точке х = 0 значения как подин- тегральных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как предельные при х —>> +0. 5) По формуле (III), 280, имеем (считая р и q натуральными числами) что при переходе к определенным интегралам в промежутке от 0 до 1 дает 1 1 f(l-x)pxqdx = ^ j{\- J P + q+1 У x)p-lxqdx. о о Последовательно применяя эту формулу, получим )хЧх J О О и окончательно /а-. О 6) Если в формулах (IV), 287, при натуральных /i и у перейти к опреде- определенным интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более общую формулу /¦ l)!!Qi-l)!! jt • — (при четных и и v), (v_1)!!( ш (во всех прочих случаях). (v + )u)!!
148 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [313 313. Формула замены переменной в определенном интегра- интеграле. Та же основная формула (А) позволит нам установить правило замены переменной под знаком определенного интеграла. ъ Пусть требуется вычислить интеграл / f(x)dx9 где f{x) — не- а прерывная в промежутке [а, Ь] функция. Положим х = q>(t)9 под- подчинив функцию cp(t) условиям: 1) cp(t) определена и непрерывна в некотором промежут- промежутке [а, /3] и не выходит за пределы промежутка [а, Ь] *\ когда t из- изменяется в [а, /3]; 2) ср{а) = а, <р(р) = Ь; 3) существует в [а, /3] непрерывная производная q>'(t). Тогда имеет место формула ъ р jf{x)dx=jf{<p{t))q>'{t)dt. (9) а а Ввиду предположенной непрерывности подинтегральных функ- функций существуют не только эти определенные интегралы, но и со- соответствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно вос- воспользоваться основной формулой. Но если F{x) будет одной из первообразных для первого дифференциала f(x)dx9 то функция ФG) = F(q>(t))9 как мы знаем, будет первообразной для второго дифференциала f(cp(t)) cp'(t)dt [ср. 268]. Поэтому имеем одновре- одновременно ъ j f(x)dx = F{b) - F(a) / = F(<p(f}))-F(<p(a))=F(b)-F(a), откуда и вытекает доказываемое равенство. Замечание. Отметим одну важную особенность форму- формулы (9). В то время как при вычислении неопределенного инте- интеграла с помощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной через переменную t, мы должны были возвращаться *) Может случиться, что функция f(x) определена и непрерывна в более ши- широком, чем [а, Ь], промежутке [А, В], тогда достаточно потребовать, чтобы значе- значения cp(t) не выходили за пределы промежутка [А, В].
314] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 149 к старой переменной х9 здесь в этом нет надобности. Если вычислен второй из определенных интегралов (9), который представляет собой число, то тем самым вычислен и первый. 314. Примеры. а 1) Найдем интеграл J yja2 — х2 dx с помощью подстановки х = asint; О роль аир здесь играют значения Ои |. Имеем а 1 ? к Т , 2 / 2 , а ( Sin2^\ 2 х2 dx = a I cos tdt = — (М 1 f 2 г а cos tdt = - j О о о [ср. 268]. 2) Вообще при п натуральном с помощью той же подстановки получим а 2 f(a2-x2)"dx=a2n+1 Л s2"+1 Bи+ 1)!! [см. (8)], и аналогично , 2 2Л^1 2п Bп - 1)!! ^г 3) Вычислим интеграл ? Г~1 9 dx. Подстановка л: = a sec f; пределам а и 2а переменной л: отвечают пределы О и j переменной t. Находим 3 1 [ ¦ — /sl .2 , 1 Sin3l sin t cost dt = ^r a1 3 7 = лЛ о 8fl2 4) Рассмотрим интеграл JT /x sin^c 1 + COS2 X 0 Подстановка x = ж — t (где /^ изменяется от ж до 0) приводит к равенству JT JT /х sinjc f (ж — t) sint г- dx = / Цг— Л 1 + cos21 J 1 + cos2 f
150 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [314 JT JT JT /x sinx f sint f tsint - =— dx = jt I =- dt - I =- dt. 1 + COS2 X J 1 + COS2 t J 1 + COS2 t 0 0 0 Перенося последний интеграл (в котором вместо t снова можно написать х) на- налево, получаем JT JT /х sinjc I f sin/ jt — dx = — / r— dt = — — arctgfcos t) 1 + cos2jc 2 J 1 + cos2/ 2 5V У о о [Ср. ниже 11), где этот пример будет обобщен.] 1 5) Вычислить интеграл J = / т— dx. J 1 +х2 о Подстановка х = tgq> (где (р изменяется от 0 до ^) переводит его ж 4 в /ln(l + tg(p)d<p. Но tg ф = cosg) так что 4 4 J = — In 2 + / In sin f V (p\ dcp — / In cos ф d<p. 0 0 Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстанов- подстановкой ср = j — -ф, причем -ф изменяется от ^ до 0), то окончательно Заметим, что то же значение имеет и интеграл J 0 диться интегрированием по частям. 6) Установить, что x, в чем легко убе- [ 2 J sint о Указание. Подстановка х = tg ^. 7) Преобразовать один в другой интегралы JT /< — 1 считая х > 1 и п — натуральным.
314] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 151 Это достигается путем преобразования переменной по формуле (х + л/х2 — 1 cos(p) (х — л/х2 — 1 cos#) = 1. Отсюда — \ х2 — 1 + х cos О cosq) = х - л х2 - lcos# причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы, и каждому 0 в промежутке [0, ж] однозначно отвечает некоторое (р в том же промежутке. При 0 = 0 или ж также и (р = 0 или ж. Имеем (х — - lcosfl) и так как sin 0 то х — ух2 — 1 cos 0 так что окончательно ( . А^ Г "\w / х — ух2 — 1 cos О ^ — ух1 — 1 cos#j откуда и следует требуемое равенство. [Заметим, что оба интеграла (с точностью до множителя ж) выражают п-й многочлен Л е ж а н д р а Рп (х), 118, 6).] 8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке [0, а] (а > 0) функция f(x), всегда f(a - t) dt О О (подстановка х = а — t, a ^ t ^ 0). В частности, так как cosjc = sin Г^ — х\ то при любой непрерывной функции F(u) будет f ! / F(sinx)dx = / F(cosx)dx. О О 9) Пусть f(x) непрерывна в симметричном промежутке [—а, а] {а > 0). Тогда в случае четной функции [99, 25)] а а f(x)dx, -а 0 а в случае нечетной а f(x)dx=0.
152 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [314 а В обоих случаях интеграл J представляется в виде суммы интегралов О а -а J + J и к первому из них применяется подстановка х = — t. -а О 10) Пусть имеем непрерывную периодическую функцию f(x) с перио- периодом со, так что при любом х: f(x + со) = f(x). Тогда в любых промежутках с длиной со, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же зна- значение а+со со \x)dx = / f{x)dx. j а 0 а-\-со 0 со а+со Для доказательства разлагаем: J = J + J + J и, применяя к третье- а а 0 со му интегралу справа подстановку х = t + со, убеждаемся, что он лишь знаком разнится от первого. 11) Доказать, что JT JT / xf(smx)dx = - I /(sinx) dx, 0 0 где f(u) — любая непрерывная в промежутке [0, 1] функция. Указание. Воспользоваться подстановкой х = ж — t. 12) Доказать, что 2ж ж / <р(а cos 0 + b sin 0)d0 = 2 / ср(\/а2 — b2 cos A) dX, 0 0 где (р(и) — любая функция, непрерывная для \и Определяя угол а соотношениями cos a = имеем В силу 10), можно написать 2jt a-\-jt / <p(acos6 + bsm6)d6 = / (p(\fa2 + b2 0 a-jt или, если положить 0 — a = X и использовать 9), cos A) dX.
314] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 153 13) Доказать, что ! f / g(sin 2м) cos udu = I g(cos v) cos v dv, 0 0 где g(z) — любая непрерывная функция от z в промежутке [0, 1]. Iff Представив первый интеграл в виде суммы интегралов J = / + /, подста- 0 0 f новкой и = § — и приводим и второй из них тоже к промежутку [0, f ] и получаем ж. / g(sin 2м) (cos и + sin и) du. О Здесь мы делаем замену переменной, исходя из соотношения sin2w = cos v; возрастанию и от 0 до j, очевидно, отвечает убывание v от ^ до 0. Дифферен- Дифференцируем cos ludu = — sin v cos u di>; учитывая, что cos 2м = V 1 — sin 2м = у 1 — cos4 и = sin v у 1 + cos2 и и 1 + cos v = 1 + 2 sin г/ cos и = (sin г/ + cos г/) , находим окончательно (sin и + cos u)du = — cos и di>. Теперь уже нетрудно получить требуемый результат. 14) В заключение вернемся к интегралу Пуассона 1{г) = I 1пA - 2r cosjc + г2) dx о [ср. 307, 4)]. Мы уже знаем, что при \г\ ф 1 подинтегральная функция непре- непрерывна и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого искусственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную роль. Заметим предварительно, что из очевидных неравенств A - ИJ < 1 - 2r cosjc + г2 < A + ИJ, логарифмируя и затем интегрируя от 0 до я, получаем (при \г\ < 1) 2л-1пA - |г|) < /(г) < 2л-1пA + |г|). Отсюда ясно, что при г —>> 0 и /(г) —>> 0. Рассмотрим теперь интеграл ж /(-г) = / ln(l + 2r cosjc + г2) dx.
154 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [314 Если в этом интеграле положить х = л — t, причем t изменяется от л до 0, то окажется, что О я- /(-г) = I\n(\+2rco^-t)+r1)d^-t) = An(l-2rcos; + r2)^ = /(r). л- О В таком случае ж 2/(г) = /(г) + /(-г) = / 1п(A - 2r cosjc + г2) (l + 2r cosjc + r2)\ dx - 2/(r) = / ln(l - 2r2cos2jc +r4) dx. 0 Полагая x = ? (где /^ меняется от 0 до 2л), получаем 2jt ж 2jt 2/(r) = I f\n(\-2r2cost + r4)dt= ± f+± f О 0 я- Последний из полученных интегралов подстановкой t = 2л — и (где г/ меня- меняется от л" до 0) приводится к первому, так что у нас получается 2/(г) = /(г2), откуда /(г) = \l{r2). Заменяя здесь г на г и т. д., легко получить общую формулу 7(г) = 1/(г2") («=1,2,3...). Пусть теперь \г\ < 1, так что г -Л 0 при и —>> со; так как при этом [со- [согласно замечанию вначале] 1{г ) —>> 0, то должны иметь тождественно /(г) = 0 при \г\< 1. Легко теперь вычислить этот интеграл и при |г| > 1. В самом деле, 1 — 2r cos;\; +г = г A — 2 • - • cos;\; Н—т- V г rz и lnfl - 2r cosjc +г2) = 21пИ +lnfl - 2 • - • cosjc + -Л, \ ! \ Г Г1) так что, интегрируя от 0 до ж, будем иметь /(г) = 2лЫ\г\ ( Но, по предыдущему, / G) = ^5 следовательно, при |г| > 1 имеем /(г) = 2л\п\г\. Те же результаты мы получили и в 307.
315] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 155 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена. В качестве еще одного при- примера на замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную Гауссом (СЕ Gauss) для преобразования интеграла ! = I у a2 cos2 (р + Ъ2 sin2 ср Положим здесь 2а sin в (a > b> 0). (a + b) + (a - 6)sin2#' легко видеть, что при изменении в от 0 до ^ и (р растет в тех же пределах. Дифференцируем (а + Ь) - (а - Ъ) sin2 в cos cpdcp = 2а = cos в dO. ((a + b) + (a -b)sin26J Но J{a + bJ - (a - bJ sin2 в cos (p = — 5 cos в, (a + b) + (a - b) sin2 в так что (g + 6)- (a-?)sin2fl de dcp = 2a — + Ъ) + (а- Ъ) sin^ в ^(д + ьJ _ (д _ bJ ^ С другой стороны, у a2 cos2 ср + Ъ2 sin2 ср = и окончательно dcp (a- (a- -{a + (a d9 - b) sin2 - b) sin2 в в la2 cos2 (p + b2 sin ф у (^y^) cos2 9 + ab sin2 0 Если положить ai = ^--^, b± = y/ab9 то f G = { Ja2 cos2 (р + Ъ2 sin2 ф ^ у а\ cos2 0 + Z?^ sin2 в Это и есть формула Гаусса. Применяя это преобразование повторно, получим, что ж. f г f d(p ( 1 о а л G = / I (w = 1, 2, 3, . . .), J у a2 cos2 ф + Z?2 sin2 ф
156 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [315 где варианты ап, Ъп определяются рекуррентными соотношениями — , °п — \/"n-lun-V Мы уже знаем [35, D)], что эти варианты стремятся к некоторому общему пре- пределу /i = /i(я, b), который мы назвали средним арифметико-геометри- ч е с к и м чисел а и Ъ. Из легко получаемых неравенств л л < G < , 2ап 2Ъп переходя к пределу, находим теперь, что G = - ц{а, Ь), откуда ц{а, Ъ) = —. 2 2G Таким образом, каждое из чисел G и /i просто выражается одно через другое. Пусть, например, требуется вычислить интеграл I f dO _ Г dO + cos2fl J л/2 cos2 в + sin2 в у/+ л/2 0 v 0 v Здесь а = л/2 и b = 1; варианты ап и bn, определенные выше, стремятся к \i быстро: уже а4 и 54 оба приближенно равны 1,198140, и можно \л положить равным этому числу. Тогда получаем приближенно G= — = 1,3110288. 2jd Обратно, интеграл G приводится к полному*^ эллиптическому интегралу первого рода -I a J 1 5— S111 2 и легко может быть вычислен по таблицам; а уже отсюда получается \х. Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода § dcp К(к) = q \l 1 — /cz sin (p при любом значении модуля &он получается из G при а = 1 и Ь = л/l — к2 = к . ^Полными называют интегралы F(k, ср) и Е(к, ср) Л е ж а н д р а [293; 305] при ср = ^: в этом случае в их обозначении обычно опускают второй аргумент и пишут К (А:), Е(&). Для полных интегралов существуют особые таблицы.
316] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 157 Желая применить к нему формулу Гаусса, вычисляем прежде всего 1 + л/1 -к2 1 + к' ах = так что - к\ sin2 в Эта формула, равносильная формуле Гаусса, на деле была получена до Гаусса и представляет частный случай так называемого преобразования Л а н - дена (Landen). Последовательно применяя ее, получим К(к) = A + *!)A + к2) . . . A + к„) К(к„), где значение кп определяется индуктивно так что 0 < кп < 1 и кп < кп_1, чем обеспечивается быстрое стремление кп к 0 при п —>> оо. В то же время О < К(к} п) 9 — / / 2 I \\- =! откуда w) —>- ^ при п О V1 ~^sin Я> оо и, наконец, К(*) = - Дгп^С! + кх){\ + к2). . . A + *„). A0) На этом основывается метод приближенного вычисления интеграла К (А:), кото- который — при достаточно большом п — попросту полагают равным 316. Другой вывод формулы замены переменной. Мы дадим теперь другой вывод формулы (9) при измененных предположе- предположениях.
158 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [316 Прежде всего (и это самое важное), мы не станем предпола- предполагать функцию f(x) непрерывной, а только лишь интегриру- интегрируемой. Зато от функции q>{t) мы дополнительно потребуем, чтобы при изменении t от а до /3 она переходила от значения а = q>(a) к значению Ъ = q>(P)9 монотонно изменяясь. Для определенности допустим, что а < Ъ и а < /3, так что функция cp(t) монотонно возрастает. Разобьем промежуток [а, /3] произвольно на части с помощью точек a = to<tl<t2< ... <tt< ti+l < ... <tn = P; если положить xt = (p{tt) (z = 0, 1, 2, ..., /7), то одновременно бу- будем иметь а = Xq < Xi < %2 < - - - < xt < Xj+i < • • • < хп = b. Если наибольшая из длин Att = ti+l — tt (обозначим ее через Я) стремится к нулю, то, ввиду (равномерной) непрерывности функ- функции х = q)(t)9 то же будет справедливо относительно наибольшей из длин Axt = xi+l - xt = q>{ti+l) - q>(tt) [см. 87]. Возьмем теперь по произволу число rt в каждом промежутке [tt, ti+1] и составим интегральную сумму для второго из интегра- интегралов (9) Положим |z = (p(Tj)9 так что xt ^ |z ^ xt+\- Если к функ- функции cp(t) в промежутке [ti9 ti+l] применить формулу конечных при- приращений, то получим A*i = *,-+i - xt = <p{ti+x) - cp(tt) = v'tT^Ati, где также tt < Tt < ti+1, но Tt (нам не известное) вообще отлично от наудачу взятого значения rt. Вместе с тем интегральной сумме для первого из интегралов (9) теперь можно придать вид
317] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 159 Эта сумма при Я —>> 0, очевидно, имеет своим пределом интеграл ъ J f(x)dx. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремит- а ся и сумма о", достаточно установить, что разность о — ~о стремится к нулю. Задавшись произвольным числом е > 0, ввиду (равномерной) непрерывности функции q>f(t)9 можно найти такое S > 0, чтобы при Я < S выполнялись неравенства \<р\т,)-<р'(т,)\<е [см. 87, следствие]. Тогда \о - °\ < Е \/Ыт,))\ ¦ \<р'(т,) - <p'(T,)\At, < L(P - a)e, i если через L обозначить верхнюю границу для |/(х) | и сумму Yl ^ заменить через J5 — а. Теперь ясно, что при Я —>> 0 сумма о стремится к пределу ъ р / f(x)dx9 а это значит, что существует интеграл / f{(p{t))(p'{t)dt а а и имеет место формула (9). Доказательство завершено. Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанно- доказанного простые и часто полезные формулы, установленные в упражне- упражнениях 8), 9), 10), 314, распространяются теперь на случай любой интегрируемой функции/(х). § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 317. Формула Валлиса. Из формулы (8), 312, легко вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis). Предполагая 0 < х < ^, имеем неравенства • 2п-\-\ • 2п • 2п—\ sin х < sin х < sin х. Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до ^: iff /• 2п+\ г f ¦ 2п г f ¦ 2п-\ г sin х ах < / sin х ах < sin х ах. О 0 0 Отсюда, в силу (8), находим Bи)!! Bп - 1)!! л Bп - 2)!! Bя+ 1)!! Bw)!! 2 Bя - 1)!!
160 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [318 2 \Bn-\)\\J In Так как разность между двумя крайними выражениями 1 / B«)!! 2wBw+l) \Bи-1)!!/ 2я 2' очевидно, стремится к 0 при п —>> со, то ^ является их общим пределом. Итак, л- 2 • 2 • 4 • 4 • . . . • 2и • 2и — = lim 2 п^оо 1 . 3 . 3 . 5 . . . . . Bw - 1) . Bw + 1)' Это и есть формула Валлиса. Она имеет исторический интерес как первое представление числа ж в виде предела легко вычисляемой рациональной вариан- варианты. В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас [см., например, 406]. Для приближенного вычисления числа ж теперь существуют методы, гораздо бо- более быстро ведущие к цели [410]. 318. Формула Тейлора с дополнительным членом. ^ Положим в обобщен- обобщенной формуле интегрирования по частям G), 311, v = (b — х)п. Тогда / а \П—\ 11 / 1\/т \П — 2 V = —п(Ъ — X) , V = П\П — \)(Ъ — X) , ..., (п) ( л\П ( 1 \ ^1 (и+1) л vy J = (—1) п(п — 1) • . . . • 2 • 1, vK J = 0; при х = Ь все функции v, v', . . ., v^n~ ' обращаются в нуль. Пользуясь для и, и , и", . . . функциональным обозначением /(*), ff(x),fff(x),..., перепи- перепишем G) в виде П±/\а){ЪаJ 0 = {- {-\)n(n\f{b) - n\f{a) - n\f\a){b -а)- П±/\а){Ъ-аJ Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла f{b) = f{a) + —^- {Ъ-а) + —^— {Ъ-а) + . . . ' В этом п° все встречающиеся функции предполагаются непрерывными.
319] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 161 Переходя к обозначениям пп° 124-126, заменим здесь Ъ через х, а через х$: г( \ г( \ , / (*о) / \ | / (*о) / \2 , /(*) = f(x0) + —^— (х - х0) + 2| 0 -*о) + • • • X n\ J Новое выражение для дополнительного члена, в отличие от изученных в 124 и 126, не содержит никаких неизвестных чисел. Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что мно- множитель (х — t)n подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем [304, 10°] X X - U"+l\t){x-t)ndt = -Jn+l\c) \{x-tfdt = п\ J п\ J ( о) ' где с содержится в промежутке [хо,;к]. Таким образом, мы вновь получили ла- гранжеву форму дополнительного члена. 319. Трансцендентность числа е. Та же формула G), 311, может послужить отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Э р м и т а, относящейся к числу е. Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяют- распределяются на два класса — алгебраические и трансцендентные. Число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называют трансцендентным. Примером алгебраического числа может служить любое рациональное чис- число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: число — yi служит корнем уравнения 17* + 11 = 0, а число у 1 + л/5 — корнем уравнения х6 — Зх4 + Ъх1 — 3 = 0 и т. д. Эрмит установил, что е является трансцендентным числом. *' Мы приведем доказательство этой теоремы. Допустим, что е служит корнем уравнения с0 + с^е + с2е + . . . + стет = 0, A) где все коэффициенты с$, с±, . . ., ст — целые числа. *) Вслед за этим Линдеман (F. Lindemann) доказал трансцендентность чис- числа л", чем впервые установил неразрешимость исстари знаменитой задачи о квад- квадратуре круга.
162 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [319 Пусть в формуле G), 311, и = f(x) будет произвольный многочлен п-и степени, аи = ( — \)п+1е~х\ тогда, если взять а = О, эта формула примет вид Ъ f(x)e~x dx = -е~х /¦ О w+ \х) = х) = 0. Полагая для краткости имеем отсюда ъ ebF@) = F{b) +eb f(x)e~x dx. 0 Возьмем здесь последовательно b = 0, 1, 2, . . ., m; умножая получаемые равенства соответственно на с0, с1? с2, . . ., ст и складывая, в силу A), придем к окончательному равенству 0 = c0F@)+c1F(l) + ...+c/wF(m) + 2^czez f(x)e x dx, B) /=0 Q которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена f(x). Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство B) стало невозможным; этим теорема и будет доказана. Положим с этой целью где р — простое число, большее т и |со|. Производные этого многочлена поряд- порядка /? и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чи- чисел делится на р\. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют целые значения, кратные р. Так как при х = 1, 2, . . ., т многочлен f(x) и его первые р — 1 производных обращаются в 0, то F(l), FB), . . ., F(m) будут целыми числами, кратными р. Иначе обстоит дело с F@). При х = 0 многочлен f[x) обращается в 0 лишь с р — 2 своими производными, так что Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные р; но f^p~l\0) = ( — \)р(т\)р, а с ним и F@), на р не делится. Так как при сделан- сделанных относительно р предположениях и с0 не делится на р, то приходим к заклю- заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве B) справа, есть целое число, не делящееся на р и, следовательно, заведомо не равное нулю. Обратимся ко второй сумме в B). В промежутке [0, т], очевидно, -—- О - 1)!
320] Поэтому i 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ f(x)e~x dx „тр+р-\ 7+Р-1 Г тр+р-1 о ' о и, если сумму |cq| + \с\ | + . . . + \ст\ обозначить через С, 163 ? i=0 ,//. с,е' I f(x)e x dx О <Се" ттр+р-1 (р ~ 1)! т+1)р-1 = Сетт" Но мы знаем [35, 1)], что последний множитель при р —>> со стремится к 0, так что вторая сумма в B), при достаточно большом р, будет по абсолютной величине меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться 0, и мы пришли к противоречию. 320. Многочлены Лежандра. Поставим себе задачу — найти такой много- многочлен п-и степени Хп(х), чтобы для любого многочлена Q[x) степени ниже п выполнялось равенство и 1 Xn{x)Q{x) dx = 0, C) где а и Ъ — произвольные, но фиксированные числа. Каждый многочлен п-и степени Хп[х) можно рассматривать как я-ю произ- производную от некоторого многочлена R{x) степени 2п, который из Хп(х) получается «-кратным последовательным интегрированием. Если при каждом интегрировании произвольную постоянную выбирать так, чтобы при х = а интеграл обращался в 0, то для многочлена R(x) окажутся выполненными еще условия (a) = 09 R'(a) = 09 ..., R{n~l\a) = 0. D) Итак, задача наша сводится к нахождению такого многочлена R(x) степе- степени 2п, чтобы было R{n\x)Q{x)dx =0 E) для любого многочлена Q(x) степени ниже п и, кроме того, выполнялись равен- равенства D). Но, по формуле G), 311, если заменить в ней п на п — 1, D Rin\x)Q{x) dx = \Q(x)R{n~1) (x) - Q'{ •.. ± ){x)R{x) ь \\ =F /Q Q{n\x)R{x)dx.
164 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [320 Если принять во внимание D), а также то, что Q^n\x) = 0, то условие E) приведется к виду Q(b)R{n~l\b) - Q'\b)R{n~2\b) + . . . ± Q{n~l\b)R(b) = 0. F) Ввиду полной произвольности многочлена (п — 1)-й степени Q(x), значе- значения Q(b), Qf(b), . . ., 2 (b) этого многочлена и его последовательных произ- производных при х = b можно рассматривать как произвольные числа, а тогда условие F) равносильно следующим: R(b) = 0, R'(b) = 0, . . ., Я("-1}0) = 0. G) Из D) и G) видим, что многочлен R(x) должен иметь числа а и Ь корнями п-и кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться от произведения (х — а)п(х — Ъ)п. Таким образом, окончательно Если, в частности, взять а = — 1 и b = +1, то придем к уже знакомым нам многочленам Лежандра Мы условились в 6), 118, обозначать многочлены Лежандра через Рп(х), если постоянные сп выбраны так: 1 1 " 2" • п\ Bи)!!' для этих многочленов имеем РпA) = I, Рп( — 1) = ( — \)п. Обыкновенно полага- полагают еще Pq(x) = 1. Все члены многочлена Рп имеют показатели одинаковой с п четности. Старший коэффициент, очевидно, будет 2п{2п - 1)... (и + 1) _ (In - 1)!! B/7)!! п\ По самому определению многочленов Лежандра имеем всегда 1 Pn(x)Q(x) dx = 0, (8) -1 каков бы ни был многочлен Q{x) степени ниже п. В частности, если пит — два неравных неотрицательных числа, то 1 Pn(x)Pm(x)dx=0. (9) -1 /¦
320] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 165 Найдем значение интеграла J Р„(х) dx; он лишь множителем с\ = , * 2 отли- отличается от интеграла )dn{x1-\)n dn(x2-\)n J dxn dxn -1 ¦dx. Если применить к последнему снова формулу G), 311, заменив п на п — 1 и по- положив и = dxn то он сведется к интегралу I 2 ,\и -1 0 [все внеинтегральные члены исчезают, потому что функция v и ее производ- производные до (п — 1)-й включительно при х d= 1 обращаются в 0]. Полагая здесь х = sin Г [ср. 314, 2)], получим 2 . Bя)! . W = ^_ [{2пщ\ К J Bп+ 1)!! 2п + 1 LV ; J так что окончательно -1 В заключение, используя свойства многочлена Лежандра, выведем рекур- рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных таких многочлена. Заметим предварительно, что степень хп может быть представлена в виде ли- линейной однородной функции от Pq, Р±, . . ., Рп с постоянными коэффициентами; тогда то же справедливо и для любого многочлена степени п. Поэтому хРп = а0Рп+х + ахРп + а2Рп_х + а3Рп_2 + . . ., где uq, ах, а2, а^, . . . — постоянные коэффициенты. Легко установить, что аз =я4 = ... =0. Например, чтобы определить а^, умножим обе части это- этого равенства наХй_2 и проинтегрируем от —1 до +1: 1 1 1 У Рп ' xPn-2d* =a0j Pn+\Pn-2dX + *1 у РпРп-2^ + -1 -1 -1 -1 -1
166 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [321 1 / Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, и мы получим 1 Рп-2 dx — О, откуда я3 = 0. -1 Коэффициент а^ также равен 0, ибо левая часть равенства не содержит вовсе члена с хп. Для определения я0 приравняем коэффициенты при хп+ в обеих частях равенства B/z-l)!! B/z+l)!! и + 1 () u 2/i+Г Наконец, чтобы найти я2, приравняем обе части равенства при х = 1: 2' так что ^ а0 • Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем (и + 1)Л,+1 - Bи + 1)^„ + пРп-\ = О- (И) Это и есть искомое рекуррентное соотношение, которое позволяет находить мно- многочлены Лежандра последовательно, отправляясь от Pq = 1 и Р1 = х: Зх2 - 1 5jc3 — Зх 35jc4 - 30jc2 + 3 ^ ^ ^ 321. Интегральные неравенства. В пп° 133 и 144 был выведен ряд нера- неравенств для сумм; покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть установлены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции р(х), <р(х), гр(х) будем считать интегрируемыми.*^ 1) В п° 133 мы имели неравенство D), которое можно переписать так: Е/?. In а. е~^Г ** ~ц?" A2) Рассмотрим в промежутке [а, Ь] положительные функции р[х) и (р(х). Раз- Разделив промежуток точками а == х л ""С х 1 ""С ... *<~. х; ^ ^ у _|_ I "^ ... ""С х у, ^= t? на части, с длинами Axt = xiJrl—xt, положим теперь в написанном неравенстве pt = p(xt) • Axi9 ai = (p(xt); мы получим *^ Из этого предположения вытекает уже интегрируемость и других встреча- встречающихся ниже функций: для обоснования этого достаточно сослаться на п° 299, II, и п° 300, 4).
321] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 167 Все суммы здесь имеют вид интегральных сумм и при Ахt —>> О стремятся к соответствующим интегралам. Таким образом, в пределе получим «интеграль- «интегральный аналог» неравенства A2): ъ J p(x)\n<p(x)dx —ъ ь jP(x)dx /P{x)q>{x) dx е а < ь Jp(x)dx В частности, при р(х) = 1 будем иметь: -^ f\ncp(x)dx 1 * < / <p(x)dx. Ъ - a J а Выражение справа называется средним арифметическим значений функции ср{х) в промежутке [а, Ь], а выражение слева — их средним геометрическим. 2) Выведем теперь интегральные аналоги неравенств Коши-Гёльдера и Минковского [133, E) и G)]: / 1 1 \ к, к > 1; - + — = 1). к к' ) Пусть в промежутке [а, Ь] даны положительные функции (р(х) и ip(x); разделив, как и выше, этот промежуток точками xi9 положим в A3) а в A4) i I аг = q>[xt) • Axtk, bt = ip(xt) • Axf. Будем иметь:
168 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [321 Переходя к пределу, при Axt —>> 0 получаем окончательно ъ ъ j cp^dx = ij срЧхУ Aj/dxX A3*) \ b i b { ( q>k A4*) Отметим частные случаи этих неравенств при к = к' = 2: ъ j <р • ip dx < cp2dx • ip2 \ A3') \ О f[ 0 0 f(p2dx+ fip2dx. \ Первое из них принадлежит В.Я. Буняковскому. Второе легко приводится к первому возведением в квадрат. 3) Перейдем, наконец, к неравенству И е н с е н а [144, A2*)]: Я A5) здесь функция /(*) предполагается выпуклой в некотором промежутке ЗС, которому принадлежат точки xt; pt — положительные числа. Пусть в некото- некотором промежутке [а, Ь] задана функция ф(х), значения которой содержатся в SC, и положительная функция р(х). Теперь xt будут означать точки деления промежутка [а, Ь]; прежние xt в A5) заменим на (p(xt), a pt положим равны- равными p(xj)Axj. Переходя, как и выше, от интегральных сумм к интегралам, полу- получим интегральное неравенство Иенсена: f 'ь \ f p{x)(p{x)dx jp{x)dx \ а / fp(x)-f(<p(x)) dx а Jp(x)dX
322] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ § 5. Приближенное вычисление интегралов 169 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций. Пусть тре- ъ буется вычислить определенный интеграл Jf(x)dx, где f(x) есть некоторая а заданная в промежутке [а, Ь] непрерывная функция. В § 3 мы имели много при- примеров вычисления подобных интегралов либо с помощью первообразной, если она выражается в конечном виде, либо же — минуя первообразную — с по- помощью различных приемов, большей частью искусственных. Нужно отметить, однако, что всем этим исчерпывается лишь довольно узкий класс интегралов; за его пределами обычно прибегают к различным методам приближенного вычисления. В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов, в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому числу значений подинтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно рав- равноотстоящих) значений независимой переменной. yh Первые относящиеся сюда фор- формулы проще всего получаются из геометрических соображений. Ис- Истолковывая определенный интеграл ъ J f[x) dx как площадь некоторой а 1 I ' ' ' I ' ' ' ' ' фигуры, ограниченной кривой у = ™ I d .. а '.. а 1 L >' х = f(x) [204], мы и ставим перед со- собой задачу об определении этой площади. Прежде всего, вторично используя ту мысль, которая привела к самому поня- понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 6) на полоски, скажем, одной и той же ширины *) Axt = ^=^, затем каждую полоску прибли- приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле о I f(x) dx = b-a /(!„-!)]- где xt < |z <*/+i (i = 0, 1, . . ., n — 1). Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или — если угодно — определенный интеграл заменяет- заменяется интегральной суммой). Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников. *) Мы сохраняем обозначения п° 294.
170 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [322 На практике обычно берут |z = l 2/+1 = х. i; если соответствующую среднюю ординату /(|z) = f(x ^) обозначить через у 1? то формула пере- пишется в виде о / f(x)dx= A) Впредь, говоря о формуле прямоугольников, мы будем иметь в виду именно эту формулу. Геометрические соображения естественно приводят и к другой, часто при- применяемой, приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной с вершинами в точках (х^уг\ где yt = f(xt) (i = 0, 1, ...,«— 1). Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда тра- трапеций (рис. 7). Если по-прежнему считать, что промежуток [а, Ь] раз- разбит на равные части, то площади этих трапеций будут -<* Уъ+У\ Ъ — а ух +у2 У\ xi Рис. 7 Ь — а у Уп-\ Складывая, придем к новой приближенной формуле B) Это так называемая формула трапеций. Можно показать, что при возрастании п до бесконечности погрешности фор- формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким обра- образом, при достаточно большом п обе эти формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности. Для примера возьмем известный нам интеграл —^г = - = 0,785398 . . . 1 +jc2 4 и применим к нему обе приближенные формулы, беря п = 10 и вычисляя на четыре знака.
322] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 171 По формуле прямоугольников имеем xL = 0,05 yL= 0,9975 xl X 5 Xl X 9 2 Т х^ Т X 19 = 0,15 = 0,25 = 0,35 = 0,45 0 55 = 0,65 = 0,75 = 0,85 = 0,95 Уз У\ Уг у9 У11 Уп Уц Уп У\9 = 0,9780 = 0,9412 = 0,8909 = 0,8316 0 7678 — и, / и / о = 0,7030 = 0,6400 = 0,5806 = 0,5256 7,8562 10 — 0 78562 сумма 7,8562 По формуле же трапеций х0 = 0,0 у0 = 1,0000 хю = 1,0 Ую = 0,5000 сумма 1,5000 1 /1,5000 То v 2 хх = 0,1 ух = 0,9901 х2 = 0,2 у2 = 0,9615 х3 = 0,3 у3 = 0,9174 х4 = 0,4 у4 = 0,8621 7,0998 = 0,78498 = 0,5 = 0,8 = 0,8000 = 0,7353 = 0,6711 = 0,6098 х9 = 0,9 у9 = 0,5525 сумма 7,0998 Оба полученных приближенных результата обладают примерно одинаковой степенью точности — они разнятся от истинного значения (в ту и другую сторо- сторону) меньше чем на 0,0005. Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оце- оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. Для того чтобы наши формулы были действительно пригодны для приближенных вычисле- вычислений, нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не только оценивать погрешность при данном п, но и выбирать п, обеспечивающее требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в п° 325.
172 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [323 323. Параболическое интерполирование. Для приближенного вычисления ъ интеграла J f(x) dx можно попытаться заменить функцию f(x) «близким» к ней многочленом у = Рк{х) = аохк + аххк 1 + . . . + ак_хх + ак C) и положить ь jf(x)dx=Jpk {x)dx. Иначе можно сказать, что здесь — при вычислении площади — данная «кри- «кривая» у = f(x) заменяется «параболой к-то порядка» C), в связи с чем этот про- процесс получил название параболического интерполирования. Самый выбор интерполяционного многочлена Рк{х) чаще всего производят следующим образом. В промежутке [а, Ь] берут к + 1 значений независимой пе- переменной |q, |1? . . ., |д. и подбирают многочлен Рк(х) так, чтобы при взятых зна- значениях х его значения совпадали со значениями функции f(x). Этим условием, как мы знаем [128], многочлен Рк{х) определяется однозначно, и его выражение дается интерполяционной формулой Лагранжа: Р (X) - к(> ~ - j2)... (x - $k) L (*&)(*li)---(*&-i) f( , ••' Dl)Dl)D4) При интегрировании получается линейное относительно значений /Aо), . . ., f(?k) выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не зависят. Вычислив коэффициенты раз навсегда, можно ими пользоваться для лю- любой функции f(x) в данном промежутке [а, Ь]. В простейшем случае при к = 0 функция f[x) попросту заменяется пос- постоянной /Aо)? где |0 — любая точка в промежутке [а, Ь], скажем, средняя: |0 = ^y~. Тогда приближенно D D) а Геометрически — площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площа- площадью прямоугольника с высотой, равной средней ее ординате. При к = 1 функция f(x) заменяется линейной функцией Р\{х)9 которая имеет одинаковые с ней значения при х = |0 и х = |j. Если взять |0 = а, 4\ = Ь, то f(a) + ^№ E) а — Ъ Ъ — а
323] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ и, как легко вычислить, 173 Таким образом, здесь мы приближенно полагаем о I f{x)dx = {b-a) /(*)+/(*) F) На этот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции: вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы. Менее тривиальный результат получим, взяв к = 2. Если положить |0 = а$9 |j = ^-^-, |2 = Ь, то интерполяционный многочлен i^M будет иметь вид - а) (л - е С помощью легкого вычисления установим (х - Ц^) (х -Ь) 2 ( (х -by b-a (x - Ъ)< и, аналогично, (b-aJ -b) b-a f (,x-a)(x J B±» -a) fa b - a -b) J (Ь-а)(Ь-Ц Таким образом, приходим к приближенной формуле ъ h " П \ Па) Г f{b) (8) Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется площадью фигуры, ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через крайние и среднюю точки кривой.
174 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [324 Увеличивая степень к интерполяционного многочлена, т. е. проводя парабо- параболу C) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитывать добить- добиться большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробления промежутка. 324. Дробление промежутка интегрирования. При вычислении интегра- ъ ла J f(x) dx можно поступить так. Разобьем сначала промежуток [а, Ь] на не- а которое число п равных промежутков [х0, хх], [xi,x2], ..., [xn-i,xn] (хо = a,xn = b), в связи с чем искомый интеграл представим в виде суммы х\ Х2 хп J f{x)dx + J f{x)dx + ...+ j f(x)dx. (9) X0 X\ Xn-\ Теперь же к каждому из этих промежутков применим параболическое интерпо- интерполирование, т. е. станем вычислять интегралы (9) по одной из приближенных фор- мул D), F), (8), ... Легко сообразить, что, исходя из формул D) или F), мы таким путем вновь получим уже известные нам формулы прямоугольников и трапеций, A) и B). Применим теперь к интегралам (9) формулу (8); при этом, для краткости, положим, как и выше, Мы получим xl f{x) dx = —^— (у0 + Ау Ло Л2 Г I 4j/3 +у2),
325] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 175 Наконец, складывая почленно эти равенства, придем к формуле -¦¦¦+yn-i) + • (Ю) Она носит название формулы Симпсона (Th. Simpson); этой формулой поль- пользуются для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формулами пря- прямоугольников и трапеций, ибо она — при той же затрате труда — дает обычно более точный результат. 1 Для сравнения вычислим снова интеграл / y^i [см. 322] по формуле о Симпсона. Мы возьмем п = 2, так что число использованных ординат на этот раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков) v (Л. v 1 . v 1 . v 3 . v 1 Xq — U, X i — 4, X± — 2' ^3 - 45 X2 — 1ш yQ = l; Ayx = 3,76471; 2y, = 1,6; Ay 3 = 2,56; y2 = 0,5. 4 2 — A + 3,76471 + 1,6 + 2,56 + 0,5) = 0,78539 . . . — все пять знаков верны! Конечно, по отношению к формуле A0) могут быть повторены замечания, сделанные в конце п° 322. К оценке погрешности приближенных формул мы сейчас и переходим. 325. Дополнительный член формулы прямоугольников. Начнем с форму- формулы D). Предположим, что в промежутке [а, Ь] функция f(x) имеет непре- непрерывные производные первых двух порядков. Тогда, разлагая f(x) [по формуле Тейлора, 126, A3)] по степеням двучлена х — ^^- вплоть до квадрата его, бу- будем иметь для всех значений х в [а, Ь] /(*) = где | содержится между х и ^^~ и зависит от х. ' Зависимость | от х может быть достаточно сложной; вместе с тем функция (от*) _ 2 очевидно, непрерывна, так как совпадает с функцией В частности, интегрирование функции (А) допустимо.
176 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [325 Если проинтегрировать это равенство в промежутке от а до Ь, то второй член справа исчезнет, ибо (и) Таким образом, получаем а а так что дополнительный член формулы D), восстанавливающий ее точ- точность, имеет вид ъ 1 Р = У Обозначив через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции /"(х) в промежутке [а, Ь] [85] и пользуясь тем, что второй множитель подынтегрального выражения не меняет знака, по обобщенной теореме о среднем [304, 10°], можем написать , (Ь-а)ъ 24 "' где /i содержится между т и М. По известному свойству непрерывной функ- функции [82], найдется в [а, Ь] такая точка |*, что ja = //;(|*), и окончательно р = {Ь Т,а) /"(!*)• A2) Замечание. Естественно было бы, разлагая функцию f(x) по степеням х — ^y~, оборвать разложение уже на первой степени этого двучлена, т. е. вос- воспользоваться формулой Это привело бы нас при интегрировании к равенству J J f(X)dx = (b-a) а а так что дополнительный член выразился бы интегралом ъ Р = //(?)(* — содержащим лишь первую производную ff(x). Но здесь второй множи- множитель подинтегралъного выражения меняет знак в промежутке [а,/?],
325] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 177 и применение обобщенной теоремы о среднем — в целях упрощения выраже- выражения для р — оказывается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложении еще на один член, в связи с равенством A1), обеспечило нам успех. Если теперь разделить промежуток [а, Ь] на п равных частей, то для каждого частичного промежутка [*/,*/_|_i] будем иметь точную формулу Т fix) dx = —— f(xi+l_) + 24из / (I/ ) [Xi < I/ < xi+1). Сложив эти равенства (при i = 0, 1, ...,«— 1) почленно, получим при обычных сокращенных обозначениях ъ I f(x)dx = а где выражение {ь _ д)з 24п2 п и есть дополнительный член формулы прямоугольников A). Так как выражение /"Aо) + •• также содержится между m и М, то и оно представляет одно из значений функ- ции/"(*). Поэтому окончательно имеем При возрастании ^ этот дополнительный член убывает примерно как -\.*' 1 Вернемся для примера к вычислению интеграла J 2, произведенному в 322. Для подинтегральной функции f(x) = 1 2 имеем f"(x) = 2 -р—^Ti; эта производная в промежутке [0, 1] меняет знак, но по абсолютной величи- величине остается меньшей 2. Отсюда, по формуле A3), |Я10| < 0,85 • 10~3. Мы вычисляли ординаты на четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно ви- видеть, что погрешность от округления ординат может быть включена в при- приведенную выше оценку. Истинная погрешность, действительно, меньше этой границы. *' Мы говорим: примерно, ибо и | может изменяться с изменением п. Это следует помнить и впредь.
178 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [327 326. Дополнительный член формулы трапеций. Займемся теперь форму- формулой F) при прежних предположениях относительно функции /(*). Восполь- Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным чле- членом [129, G)], можем написать [см. E)] /(*) = Р,{х) + l-f"{n){x - а)(х -Ь) {а<ц< Ъ). Интегрируя эту формулу от а до Ь, найдем ъ ъ Jf(X) dx = {b- a) /(a)+/W + \ jf"(n)(X - а){Х - Ь) dx. так что дополнительный член формулы F) будет ъ ъ Рассуждая, как выше, и пользуясь тем, что второй множитель подинте- гральной функции и здесь не меняет знака, найдем 1 „ Г (Ъ - аK „ Р = г Л*) / ^ " а^х ~b)dx = ~ 12 f (У/*} (й ^ ^* ^ ^' Наконец, для случая деления промежутка на п равных частей (а^Ч^Ь). A4) ^ Таков дополнительный член формулы трапеций B). При возрастании п он также убывает примерно как \. Мы видим, что применение формулы трапеций приводит к погрешности того же порядка, что и для формулы прямоугольников. 327. Дополнительный член формулы Симпсона. Обратимся, наконец, к фор- формуле (8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что, снова воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа с дополнитель- дополнительным членом [129, G)] и положить [см. G)] ±±y-b) (a<J<b). A5) Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в п° 325 [см. замечание]. Именно, проинтегрировав равенство A5), мы не могли бы упро- упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью теоремы
327] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 179 о среднем, так как выражение (х — а) (х — ^у^) {х — Ь) в подынтегральной функции уже меняет знак в промежутке [а, Ь]. Поэтому мы поступим иначе. Выражение R2(z) + K(z - a)(z - Ц^уг - Ь), каково бы ни было число К, в точках z = а, ^^-, Ь принимает те же значения, что и функция f(z). Легко подобрать теперь число К так, что- чтобы и производная этого выражения при z = ^y^ совпадала с производной /; (^j^)- Таким образом, при этом значении К мы имеем в лице написанно- написанного выражения не что иное, как интерполяционный многочлен Эр ми та [130], отвечающий простым узлам a, b и двукратному узлу ^-^-. Воспользовавшись формулой Эрмита с дополнительным членом [130, A1)] — в предположении существования для функции f(x) производных до четвертого порядка включи- включительно, получим: = Р2(х) + К(х -а)(х- ^)(х - Теперь проинтегрируем это равенство от а до Ь; мы найдем, что /(*) * = Ц1 (/(а) + 4/ а так как ь f(x - а)(х - ^j^j(x - b)dx = Если предположить производную /^ '(х) непрерывной, то, как и в предыдущих случаях, дополнительный член формулы (8) (x-a)dx,
180 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [327 пользуясь тем, что второй множитель в подынтегральном выражении не меняет знака, можно представить в такой форме *): P = irJ iS ) (x-a)[x — {x-b)dx = —) 180 • 24 Если промежуток [а, Ь] разделен на п равных частей, то — для формулы Симпсона A0) — получим дополнительный член в виде При возрастании п это выражение убывает примерно как -^; таким об- образом, формула Симпсона действительно выгоднее двух предшествующих формул. х Обратимся снова к примеру интеграла J у^2- Для того чтобы избежать вычисления четвертой производной, фигурирующей в формуле A6), мы заметим, что функция f(x) = 1 2 сама является производной от j/ = arctgjc, так что мы можем воспользоваться готовой формулой из 8), 116. В согласии с ней, /D)М =УE) = 24 cos5.у • sin 5 (у + -) = 24 cos5;; • cos 5.y; это выражение по абсолютной величине не превосходит 24, так что, по форму- формуле A6), |^21 < тещ < 0,0006. Истинная погрешность, как мы видели, значи- значительно меньше этой границы. Замечание. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешно- погрешности, найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой. К сожалению — и в этом практический недостаток выведенных формул, — подобное обстоятель- обстоятельство встречается нередко. Тем не менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оцени- оценивать погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление опре- определенных интегралов. Обратимся к примерам. *) Если f(x) есть многочлен степени не выше третьей, то, очевидно, р обра- обращается в 0. Значит, для такого многочлена формула (8) будет точной (в чем легко убедиться и непосредственно).
328] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 181 328. Примеры. 2 1) Вычислим интеграл J -Цг = 1п2 с точностью до 0,001, воспользовавшись 1 формулой прямоугольников. Так как для f(x) = j имеем 0 < f"{x) = \ ^ 2 (если 1 ^ х ^ 2), то по формуле A3) 1 0<*и< 12^" Если взять п = 10, то дополнительный член нашей формулы будет ^10 < ТШ < ^'^ ' ^ • ^ам пРиДется внести еще погрешность, округляя зна- значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на 0,16 • 10. С этой целью достаточно вычислять значения функ- функции j с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем: х 3 Х1 Х9_ т х^ Т = 1,05 = 1,15 = 1,25 = 1,35 = 1,45 = 1,55 = 1,65 = 1,75 У\ У 5 Ух У 9 У11 Уп У 15 = 0,9524 = 0,8696 = 0,8 = 0,7407 = 0,6897 = 0,6452 = 0,6061 = 0,5714 6,9284 = 0,69284. хп = 1,85 уп = 0,5405 хХ9 = 1,95 у19 =0,5128 т т сумма 6,9284 Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно, и к их среднему арифметическому) содержится между d= 0,00005, а также принимая во внимание оценку дополнительного члена R^q, найдем, что In 2 содержится между границами 0,69279 = 0,69284 - 0,00005 и 0,69373 = 0,69284 + 0,00005 + 0,00084, а следо- следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, In 2 = 0,693 zb 0,001. 2) Провести то же вычисление по формуле трапеций. В этом случае по формуле A4) Попробуем и здесь взять п = 10, хотя тогда гарантировать можно лишь, что < щ| < 1,7 • 10 . Ординаты (вычисленные с той же точностью, что
182 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [328 и выше) будут хх = 1,1 ух = 0,9091 х2 = 1,2 у2 = 0,8333 х3 = 1,3 уъ = 0,7692 *4 = М у4 = 0,7143 jc0 = 1,0 у0 = 1,0000 jc5 = 1,5 у5 = 0,6667 хт = 2,0 З^ю = 1,5000 х6 = 1,6 j/6 = 0,6250 сумма 1,5000 х7 = 1,7 у7 = 0,5882 *8 = 1,8 ys = 0,5556 1 /1,5000 \ jc9 = 1,9 у9 = 0,5263 — ( + 6,1877 J = 0,69377. сумма 6,1877 Учитывая все поправки, найдем, что In 2 содержится между границами 0,69202 = 0,69377-0,00005-0,00170 и 0,69382 = 0,69377 + 0,00005, т. е. снова между 0,692 и 0,694 и т. д. 3) С помощью формулы Симпсона при том же числе ординат можно получить более точный результат. Так как четвертая производная подинтеграль- ной функции есть Щ, то, по формуле A6), Rn<0 И 24 2 '180- {InL 15- {InL' При п = 5 (тогда число ординат то же, что и в предыдущем случае) имеем | < 1,4 • 10~ . Вычисление проведем на пять знаков, с точностью до 0,000005: хх = 1,2 ух = 0,83333 * 1 = 1,1 ух_ = 0,90909 х2 = 1,4 у2 = 0,71429 *з = U уъ_= 0,76923 х3 = 1,6 у3 = 0,62500 *5 = 1,5 у5_ = 0,66667 х4 = 1,8 у4 = 0,55556 х7_ = 1,7 у 7_ = 0,58824 сумма 2,72818 -2 *2 = 1,9 3^9= 0,52632 5,45636 сумма 3,45955-4 13,83820 х0 = 1,0 у0 = 1,00000 jc5 = 2,0 у5 = 0,50000 сумма 1,50000 — A,50000 + 5,45636 + 13,83820) = 0,693152.
328] 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 183 Отсюда In 2 содержится между границами 0,693133 = 0,693152 - 0,000005 - 0,000014 и 0,693157 = 0,693152 + 0,000005, так что, например, можно положить In 2 = 0,693 15±q 00002- В действительности In 2 = 0,69314718 . . ., и истинная погрешность оказыва- оказывается меньшей, чем 0,000005 [ср. замечание в конце предыдущего п°]. 4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический интег- интеграл 2-го рода *) f с точностью до 0,001 по формуле Симпсона. |/ 4) | Для функции f[x) = л /1 — j sin х при изменении х от 0 до ^ имеем 12**}, поэтому [см. A6)] \Rn\ < 1 и1 • 2 < - • 3 л 2 < - • -г, 180- BпL 3 BпL Возьмем п = 3, так что \R^\ < 0,00052. Тогда х0 = 0 @°) у0 = 1,0000 х 1 = ^ A5°) 4у 1 = \/12 + л/Т2 = 3,9324 ^ = 1,8708 так как —\ < 10. 2/ = J C0°) 2У1 = ^ 6 2 = - D5°) Ауъ_ = л/12 = 3,4641 = f F0°) 2у2 = = U5063 ... JC5 = — G5°) 4у5_ = л/12- л/12 = 2,9216 /о" = — =0,7071 сумма 15,4771 К полученному результату кроме поправки R^ следует добавить еще (неот- (неотрицательную) поправку на округление, которая не превосходит ' 36 'ж < 0,00003. * ^ См. сноску на с. 156. **) Очевидно, у = f(x) ^ А=; дифференцируя тождество у = 1 — j sin л:, легко последовательно получить оценки (сверху) абсолютных величин произвол-
184 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [328 Таким образом, 1,35011 < е D= =) < 1, 35118, и можно утверждать, что E(-^J = 1,351±0001. [На деле в полученном результате все знаки верны.] 5) Вычислить интеграл 1 "'=/• с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона. Непосредственно вычислив четвертую производную от подинтегральной функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; по- поэтому 1 п 180.B/1L" Достаточно взять п = 5, ибо \R5\ < 0,7 • 10~5. Имеем х0 = 0,0 у0 = 1,00000 х5 = 1,0 у5 = 1,36788 i = 0,1 yL= 0,99005 сумма 1,36788 хх = 0,2 ух= 0,96079 х2 = 0,4 у2 = 0,85214 х3 = 0,6 у3 = 0,69768 х4 = 0,8 з;4 = 0,52729 хъ_ =0,3 уъ_ =0,91393 *5 = 0,5 у1 = 0,77680 х 7 =0,7 у7 =0,61263 2 2 = 0,9 = 0,44486 сумма 3,74027 • 4 14,96108 сумма 3,03790 • 2 1,36788 + 6,07580 + 14,96108 6,07580 30 = 0,746825 0,746813 < W < 0,746837 W = О,7468+о5ОООО5. [И здесь в полученном результате верны все шесть знаков!] 6) Найдем интеграл G = /SLYCtgX X dx
328] 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 185 [ср. 314, 6)] по формуле Симпсона при п = 5, вычисляя на пять знаков: Уо = ! у5 = 0,78540 сумма 1,78540 ух = 0,98698 у2 = 0,95127 у3 = 0,90070 у4 = 0,84343 ух = 0,99668 2 уъ_ = 0,97152 у5 = 0,92730 у\ = 0,87246 сумма 3,68238-2 у2 = 0,81424 7,36476 1,78540 + 7,36476 + 18,32880 30 сумма 4,58220 • 4 18,32880 = 0,915965. В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить погрешность по формуле A6). Значение G иногда называют постоянной Каталана (Е. Catalan) [см. так- также 440, 6), (а)]. Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что со- соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так что ими воспользоваться для вычисления определенных интегралов было бы невоз- невозможно. Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных инте- интегралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принци- принципиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю для элементарных функций. На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближен- приближенные выражения.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой 329. Вычисление длины кривой. Пусть на плоскости параме- параметрическими уравнениями x=<p(t), y = rl>(t) (to^t ^ T) A) задана непрерывная простая кривая АВ. В первом томе [247] бы- было установлено понятие длины кривой как точной верхней границы S периметров вписанных в кривую ломаных S = sup{p}. B) В предположении, что функции A) имеют непрерывные производ- производные, было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. дли- длина дуги конечна. Больше того, если рассмотреть переменную дугу AM, где М — любая точка кривой, отвечающая значению t параметра, то было установлено, что длина АМ= s = s(t) есть дифференцируемая функция от t9 производная которой выра- выражается так: или — короче — ] C) [248, A0)] и, очевидно, тоже непрерывна.
329] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 187 Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к в ы - числению длиныs кривойАВ. По основной формуле интеграль- интегрального исчисления, сразу получим т s(T) — s(t0) = s'tdt 'о или т т AB = S= JXp+y'2dt= / J[q>'(t)]* + [nt)]2dt- D) Длина переменной дуги AM, о которой выше шла речь, как легко понять, выразится формулой AM=s=s{t)= J ^Jx't2+y't2dt. E) 'о Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая-либо внутренняя точка Мо. Если t0 по-прежнему опре- определяет именно эту точку (в этом случае t0 уже не будет концом промежутка, где изменяется t)9 то формула E) дает, очевидно, величину дуги AM со знаком, именно — со знаком плюс, если t > t0 и точка М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг Мо, и со знаком минус, если t < t0 и точка М лежит с отрицательной стороны от Мо. Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных ко- координатах y=f(x) (х0О^Х), то, принимая х за параметр, из формулы D), как ее частный случай, получим X X S=J y/l+y'x2dx = I y/l + \f'(x)]*dx. Da) xo xo Наконец, случай полярного задания кривой
188 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [330 как известно, также приводится к параметрическому с помощью обычных формул перехода х = г cos в = gF) cos в, у = г sin в = gF) sin в; роль параметра здесь играет в. Для этого случая S= / Jr> + r'e>d0= / JW)\2 + W)\2de. D6) во во Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать и выражения для величины переменной дуги AM, если М отвечает абсциссе х или полярному углу в: х = s =ф) = J ^Jl+yrx2dx Ea) AM=s = х0 или, соответственно, в AM=s =sF)= / уr2 + r'e2 de. E6) 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению. При определении самого понятия длины не- непрерывной простой кривой A) мы исходили из равенства B). До- Докажем теперь, что — в случае незамкнутой кривой — ее длина S является не только точной верхней границей для множества длин {р}, вписанных в кривую ломаных, но и попросту пределом для р — при условии, что стремятся к 0 длины всех сторон ломаной (р) (или, точнее, длина Я* наибольшей из этих сторон): S = lim p. F) Впрочем, удобнее исходить из значений параметра t\ tQ<tx<...<tt< fm <...<tn = T, G) определяющих положение на кривой вершин ломаной (/?), и пред- предположить, что стремятся к нулю все приращения Att = ti+1 — tt (или, точнее, наибольшее из них Я = max А^). Две леммы п° 245
330] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 189 обеспечивают равносильность обеих характеристик предельного процесса. Итак, подлежит доказательству предельное соотношение 5= limp. F*) Сначала отметим следующее важное свойство периметра р. Если он отвечает некоторому способу G) разложения промежут- промежутка [/q, T] и затем мы вставим еще одну точку деления 1\ то периметр р разве лишь увеличится, причем увеличение его не превзойдет удвоенной суммы колебаний функций q>(t) nip(t) в про- промежутке [tk, tk+l]. Действительно, добавление новой точки t заме- заменяет в сумме р одно слагаемое (длину стороны): ]2 + №k+1)-tp(tk)]* (8) суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон): которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8). С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы и, следовательно, увеличение периметра р и подавно не пре- превосходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удво- удвоенной суммы колебаний. В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного S. Для произвольно малого числа е >0, по определению точной верхней границы, найдется такой способ разбиения промежут- промежутка [/q, T] на части точками tl=tQ<t\<tt<...<t*m = T, A0) что для соответствующего периметра /?* будет выполняться нера- неравенство p*>s--. (и) Ввиду равномерной непрерывности функций q>(t) и ip(t) существует столь малое число S > 0, что
190 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [330 лишь только \t" —1'\ < S. Разобьем же промежуток [t0, T] на части точками G) под единственным условием, что Я < S (т. е. что все Atj < 8), и составим соответствующую сумму р. Рассмотрим третий способ дробления промежутка [t0, T] на ча- части, при котором точками деления служат как все точки tt спосо- способа G), так и все точки t\ способа A0); пусть ему отвечает пери- периметр р0. Так как этот способ получен из A0) путем добавления новых точек, то, в силу сказанного вначале, Ро>Р*- A2) С другой стороны, тот же способ получен и из G) добавлени- добавлением точек t\. Добавление каждой точки t\ увеличивает р не бо- более, чем на удвоенную сумму соответствующих колебаний функ- функций cp{t) и ip(t), т. е. меньше чем на ^. Так как этот процесс повторяется меньше чем m раз, то р0 превзойдет р меньше чем на §: Ро<Р+2' A3) Из неравенств A3), A2), A1) следует, что р> S-?, так что 0 < S — р < е, откуда вытекает доказываемое утвержде- утверждение F*), а значит, и F). Так как из F) обратно вытекает B), то равенство F) можно рассматривать как новое определение длины кривой, равносильное прежнему. Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае зам- замкнутой кривой такое определение не может быть применено безоговорочно: ведь даже при со- соблюдении указанного условия ни- ничто не мешало бы ломаной стяги- стягиваться в точку, а ее периметру — стремиться к 0 (рис. 8). Суть де- дела в том, что при незамкнутой с# кривой одно убывание всех зве- звеньев ломаной (р) до нуля уже обеспечивает все более тесное примыкание их к соответствующим частичным дугам; поэтому-то и естественно предел ее периметра р принять за длину всей дуги. В случае же замкнутой кривой дело обстоит уже не так.
330] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 191 [Отметим, что если вместо стремления к 0 длин всех сторон ломаной потребовать того же относительно диаметров соответ- соответствующих дуг, то новое определение было бы в равной мере приложимо как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.] Покажем теперь, как из определения F) или — что то же — F*) непосредственно вывести выражение D) для длины S кривой. Будем исходить из готового выражения для периметра р ломаной [см. 248, G)]: л-1 , /=0 где rt, Tt — некоторые значения t из промежутка [tt, f/+1]. Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде Tt на ri9 то преобразованное выражение л-1 /=0 очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла D). При стремлении Я к нулю эта сумма и будет иметь своим пределом упомянутый интеграл *}. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной, достаточно обнаружить, что разность р — о стремится к нулю. С этой целью произведем оценку этой разности •Дт,, Элементарное неравенство **) *) Существование его не вызывает сомнений, ибо подинтегральная функция непрерывна [298, I]. **^ Неравенство это очевидно при а = 0; если же а ф 0, то оно непосредствен- непосредственно вытекает из тождества b+b< (b-bl). так как множитель при разности в скобках по абсолютной величине меньше еди- единицы.
192 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [331 если применить его к каждому слагаемому написанной выше сум- суммы в отдельности, даст нам Ввиду непрерывности функции i/)'(t)9 по любому заданному е > О найдется такое 8 > О, что \ip'(t) — i/)'(t)\ < e, лишь только \t —1\ < 8. Если взять Я < 8 (т. е. все Att < 8), то и \rt —Tt\ < 8, так что \ф'(тг) — ip'(ji)\ < ? и Это доказывает формулу D). 331. Примеры. х 1) Цепная линия: у = a ch — (рис. 9). Мы имели уже в 1), 252: Тогда по формуле Eа), если за начало отсчета дуг принять вершину А кривой: s =АМ = i — dx = a sh —. a a Рис.9 Вспоминая, что tga = у'х = sh |, имеем также s = a tga. Таким обра- зом, в AMPS (рис. 9) катет MS = a tg a в точности равен (по длине) дуге s. Мы получили простой способ графического спрямления цепной линии. 2) Парабола: у = —. 2р Приняв за начало отсчета дуг вершину О (х =0), для произвольной точки М с абсциссой х имеем s = ОМ P J
331] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 193 3) Астроида: х = a cos3 t, у = a sin3 t. Пользуясь уже вычисленными [224, 4)] значениями х\ nyft, имеем y'z = За sin t cos t ( если 0 < Г< Длина четверти астроиды между точками А (а, 0) и В@, а), по формуле D), равна АВ = За / si За . sint cost dt = — sin . 2 in i Ъа T' так что длина всей кривой будет 6а. 4) Циклоида: х = a(t — sint), j/ = а{\ — cost). Здесь (при 0 ^ t ^ 2ж) lx't2 +y't2 = ay A - cos О2 + sin2 длина одной ветви циклоиды, по формуле D), будет = 2a sin-; 2а sin - dt = —4a cos - 2 2 2л- = 8а. 5) Эвольвента круга: х = a(t sint -\- cost), у = a(sint — t cost). Имеем (при t > 0) y/xft2 +y't2 = а л/(t costJ + (tsintJ = at, так что переменная дуга AM от точки A (t = 0) до любой точки М (t > 0) выра- выразится так: При t < 0 в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак минус. 6) Архимедова спираль: г = аО. По формуле E6), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвеча- (отвечающей углу в), получаем ОМ Любопытно, что, подставив здесь в = §, мы придем к выражению, формально сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 2)]. 7) Логарифмическая спираль: г = ает (рис. 10). Так как г'в = тг, то г = ^^,и для дуги М0М между двумя точками с ко- координатами (г0, #0) и (г, 0) будем иметь, по той же формуле E6), в в ^2~ s =М0М=
194 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [331 Если вспомнить, что для логарифмической спирали tg со = ^, то полученный ре- результат можно написать так: Рис. 10 г = М0М = Приближая точку Mq к по- полюсу О, т. е. устремляя г0 к ну- нулю и принимая получае- получаемый при этом предел длины дуги М0М за длину дуги ОМ, мы придем к еще более простому результату: s = дм= -?—. cos со С помощью этой формулы из /\МОТ (см. рис. 10) уже лег- легко усмотреть, что дуга s рав- равна полярному отрезку касатель- касательной tp [см. 232]: ОМ= ТМ *) Мы получили весьма простой способ графического спрямления нашей кривой. 8) Эллипс: — + Ч- = 1. а1 Ъ1 Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме х = a sin t, у = Ъ cos t. Очевидно, Ъ2 sin21 = = ^a2 - (a2 - b2) sin2t = a^l- - sin v где e = —— есть численный эксцентриситет эллипса. Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, получим t s = a = aE(e,t). *) Это свойство логарифмической спирали позволяет легко установить такое предложение: когда эта кривая катится без скольжения по прямой МТ, то полюс О (если считать его неизменно связанным с кривой) описывает некоторую прямую. Предоставляем читателю доказательство.
331] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 195 Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегра- интегралом 2-го рода [293; см. также 305]; как указывалось, этот факт послужил поводом для самого названия «эллиптический». В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл *) — e2 sin21 dt = aE(e). 0 Длина же всего обвода будет Интересно отметить, что для длины одной волны синусоиды у = с sin |, где с = yja2 — b2, получается в точности такой же результат. Геометрически это совпадение объяснить легко. Вообразим прямой круговой цилиндр; в пересече- пересечении его поверхности с плоскостью, наклонной к образующим, получится эллипс. Если разрезать поверхность цилиндра по образующей, проходящей через вершину малой оси, и развернуть, то обвод эллипса перейдет в синусоиду. Аналогично к эллиптическим интегралам (обоихродов) приводится и вычисление дуги гиперболы. 9) Улитка: r = acos6 + b. Здесь r'e = —a sin# и г2 + г'в2 = а1 + 2ab cos в + Ъ1 = {а + ЪI (\ —у sin2 - V [а + оI 2 Поэтому (при Ъ ф а) для длины дуги от точки, для которой в = 0, до точки с любым 0 < л получим выражение в виде эллиптического интеграла B-го рода) f I 4ab Г" Bл/~аЪ в = 2(а + Ь) / Wl- sm2tdt = 2(a + b)E(-Z—, - J у (а + ЪI \а + Ъ 2 О Длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом: Однако для частного случая — кардиоиды {Ь = а) — дело значительно упрощается. В этом случае 2 /2 л 2 2 " г + г q = 4а cos —, *) См. сноску на с. 156.
196 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ так что @ < 6 < ж) [331 s = 2а и Г в /cos- 6 dO = 4а sin -. Если (рис. 11) из полюса О радиусом 2а описать дугу AL до пересечения с продолженным радиусом-вектором ОМ, то хорда AL, очевидно, будет равна дуге s = AM. Длина всей кардиоиды будет 8а. 10) Лемниската: г = 2а cos26. Вычислим длину дуги лемнискаты от вершины, отвечающей 6 = 0, до любой точ- точки с полярным углом 0 < ^. Имеем гге = —2а sin 26, откуда 2а sin 26 В таком случае Рис. 11 и, по формуле E6), V2 s = •*}¦ dO v/i_2sin26> мы снова приходим к эллиптическому интегралу A-го рода). Так как таблицы вычислены для интегралов, в которых множитель к при sin 6 меньше единицы, то прибегаем к замене переменной. Положим 2 sin 6 = sin cp (так как 6 < j, то 2 sin 6 < 1, и угол q. тогда 1 sin# = —= sin(p, \/2 отсюда определить действительно можно); cos 6 d6 = —= cos л/2 1 cos (p dcp 1—2 sin ф = cos (p и окончательно s = a / — — 4 sin
331] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 197 Полагая в предельном случае *^ ^ = |, а<р = |, для длины четверти лем- лемнискаты получим выражение через полный эллиптический интеграл [ dcp I л/l-Ui длина всей лемнискаты будет S = 4аК(-К=). Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит имен- именно к эллиптическим интегралам. 11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги при построении эвольвенты кривой [256]. Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обозна- обозначить через |, ц (применительно к обозначениям п° 256), а дугу ее, отсчитываемую от вершины, — через а, то уравнение кривой напишется в виде г\ = a ch -, а а дуга представится формулой [см. 1)] о = a sh -. а Отсюда можно выразить | и ц непосредственно в функции от а\ Теперь, по формулам A7), 256, учитывая, что здесь [см. там же A8)] cos/З = — ¦, sin/3 = можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты а х = a [ln(cr + л/сг2 + а2 ) — In я] + (с — о) а2 + (с - а) Остановимся на той из эвольвент, которая отвечает с = 0; она исходит из вершины цепной линии и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая а, эту кривую (называемую трактрисой) можно выразить и явным уравнением х = ± \а\п *) Мы вынуждены рассматривать этот случай именно как предельный, переходя в полученном выражении для s к пределу при 0 —>> ^ или ф —>> ^, так как при 0 = ^ производная rj = oo и формула E6) непосредственно не приложима.
198 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Если вспомнить выражение «отрезка» касательной [230, D)] [332 t= = у\ /1+ "г то отсюда легко получить, что t = а. Этим выражено замечательное свойство трактрисы: отрезок касательной для нее имеет постоянную величину *\ У О Рис. 12 Этот результат легко получается и непосредственно из свойств цепной линии [см. в 1) ее спрямление, рис. 9]. 332. Натуральное уравнение плоской кривой. Представле- Представление кривой с помощью уравнения между координатами ее то- точек (по отношению к какой-либо системе координат), несмотря на всю полезность такого представления, часто носит искусствен- искусственный характер, поскольку координаты не являются существенны- существенными геометрическими элементами кривой. Такими существенными элементами, наоборот, являются дуга кривой s9 отсчитывае- отсчитываемая в определенном направлении от некоторой начальной точ- точки, и радиус кривизны R (или сама кривизна к = ^) [см. 250; 251]. *) С этим связано и самое название трактриса (происходящее от латин- латинского глагола trahere — влечь, тащить): если движущаяся по горизонтали точка Т при помощи нити ТМ тащит за собой точку М, то последняя будет описывать как раз трактрису.
332] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 199 Для каждой кривой между этими элементами можно установить зависимость вида F(s,R) = 0, которая и называется натуральным уравнением *} кривой. Докажем, что кривые, имеющие одно и то же натураль- натуральное уравнение, могут отличаться только своим положением на плоскости, так что форму кривой натуральное уравнение определяет вполне однозначно. Пусть же две кривые (I) и (II) имеют одно и то же натуральное уравнение, которое мы возьмем в виде Для того чтобы доказать их конгруэнтность, сначала перенесем од- одну из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кри- кривых отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы совпали положительные направления касательных в этих точках. Отметим указателями A и 2) соответствующие одному и тому же значению s элементы обеих кривых: координаты переменной точки: (xl,yl) и (х2,у2); угол касательной с осью х: ах и а2; радиус кривизны: Rx и R2. В силу A4), будем иметь при всех s: ^- = -^-, т. е. [250, B)] ^1 = ^2. A5) as as Кроме того, как предположено, при s = 0 хг=х2, Ух=У2 A6) и ах=а2. A7) Из A5), по следствию п° 131, вытекает, что ах и а2 могут раз- разниться лишь на постоянную; но, как мы видели, при s = 0 эти *) Перевод немецкого термина: nattirliche Gleichung; не менее выразителен и французский термин: equation intrinseque (т. е. «внутреннее уравнение»).
200 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [332 величины совпадают, следовательно, равенство A7) имеет место всегда. В таком случае для всех значений s будет [249, A5)] с1хл dx0 —— = cosai = cosa2 = —r^, as as d\\ . dy0 —— = sin ax = sin a2 = —^, as as откуда аналогичным образом заключаем, что и равенства A6) име- имеют место всегда, т. е. кривые совпадают. Покажем теперь, как по натуральному уравнению A4) кривой восстановить координатное представление ее. Прежде всего из A4) имеем ^ = g(s)9 так что S а = J g(s)ds + а0, A8) о где а0 — постоянная. Затем, исходя из равенств dx = cos ads, dy = sinads, A9) интегрируя, находим s s x d + о о s s = cos ads +x0, у = sinads +у$, B0) где х0 и у0 — новые постоянные. Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой изме- изменение постоянной а0, а параллельное перенесение ее связано с из- изменением постоянных х0, з;о-*) Равенство этих постоянных нулю означает, очевидно, что кривая расположена так, что начальная точ- точка для отсчета дуг совмещена с началом координат, а положитель- положительное направление касательной в ней совпадает с положительным направлением оси х. Пусть теперь уравнение A4) взято произвольно [лишь функ- функцию g(s) мы будем предполагать непрерывной]. Тогда, опреде- определив сначала а формулой A8), а затем х иу — уравнениями B0), получим параметрическое представление некоторой кривой. Диф- *^ Обращая эти утверждения, легко получить новое доказательство того пред- предложения, которое было высказано выше.
332] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 201 ференцируя B0), вернемся к A9), откуда прежде всего усматрива- усматриваем, что ds2 = dx2 + dy2, так что ds, действительно, является дифференциалом дуги этой кривой, a s — дугой (если надлежаще выбрать начальную точку отсчета). Затем те же равенства A9) приводят к заключению, что а служит углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец, дифференцируя A8), найдем, что кривизна будет равна da и, таким образом, уравнение A4) действительно оказывается на- натуральным уравнением для нашей кривой. Итак, каждое урав- уравнение вида A4), где функция g(s) непрерывна, может быть рас- рассматриваемо как натуральное уравнение некоторой кривой. Обращаем внимание читателей на то, что за счет выбора началь- начальной точки и направления отсчета дуг на кривой в ее натуральное уравне- уравнение можно вносить (впрочем несу- несущественные) изменения. В заключение заметим еще, что две симметрично расположенные кривые*) (рис. 13) имеют натуральные уравнения вида A4), разнящиеся лишь знаком пра- правой части Рис. 13 1 и — = B1) Действительно, при согласном выборе начальных точек и направ- направления для отсчета дуг на обеих кривых радиусы кривизны их бу- будут иметь противоположные знаки. Обратно, две кривые, имеющие, соответственно, уравнения B1), передвижением по плоскости мо- могут быть приведены в симметричное положение. Можно не считать и такие две кривые существенно разнящимися по форме. *^ Совместить их перемещением по плоскости нельзя; для этого понадо- понадобилось бы вращение в пространстве.
202 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [333 333. Примеры. 1) Наш Имеем 1) Найти кривую, отвечающую натуральному уравнению R = las. da I 12s a 2 a = \ — , s = - a , ds V2as V a 2 так что ds = a a da. Выбирая а в качестве параметра, получим затем dx = cos a ds = аа cos a da, dy = sin ads = aa sin a da, откуда x = a (cos a + a sin a), у = a (sin a — a cos a). Кривая оказалась эвольвентой круга [225, 8)]. 2) То же для натурального уравнения R2 + s2 = \6а2. Здесь • s л . а = arcsm —, s = Аа sin a, <is = 4а cos a da. ds ^I6a2 -s2 Тогда dx = cos ads = 4a cos a da, dy = sin a ds = 4a sin a cos a da и отсюда, интегрируя, 2a (a -\— sin 2a ) = a Ba + sin 2a), у = —a cos2a = a — a(\ + cos2a). Если перейти к параметру t = 2а — ж, то уравнения полученной кривой примут вид ^ = л-<2 + a(t — sin Г), j/ = а — а(\ — cost), и мы узнаем циклоиду [225, 6)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравне- сравнению с обычным ее расположением. 3) То же для натурального уравнения R = ms. Очевидно, da I Ins ma — = —, а = , s = е , ds = me da, ds ms m dx = cos a • memada, dy = sin a • memada и, наконец, л: = r- (mcosa + sin a) ema, у = r- (msina — cos a) eWQ!. 1 + mz 1 + mz Перейдем к полярным координатам. Прежде всего т *) Так как нам нужно восстановить хоть одну кривую, то выбирать постоян- постоянные интегрирования мы будем лишь по соображениям удобства. Это замечание следует иметь в виду и впредь.
333] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 203 Затем, вводя постоянный угол со под условием tg со = ^, будем иметь у т sin a — cos a tg a — }- ~ = = л — = tg(« — СО), х т cos a + sina I -|- ± tg a так что полярный угол в можно принять равным а — со, откуда а = со + в. Окон- Окончательно полярное уравнение найденной кривой будет таково: т тсо тв " - -.ее: это — логарифмическая спираль [226, 3)]. Величина коэффициента при етв роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси. 4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой уста- устанавливать ее натуральное уравнение. х (а) Для цепной линии у = a ch - имели [331, 1); 252, 1)] а отсюда R = а + s—. (б) Для астроиды х = a cos t, у = a sin t, если за начало для отсчета дуг выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет [ср. 331, 3)] 3B . 2 3B „ 5 = SHI Г , Я = 3B SU1 Г COS Г. Поэтому „9 . 3B . 9 3B 9 ./3B \ /3B \ 9B2 . 9 Я 4 sm , CQS , ^ + s j ^ ^ j ^^ и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде R2 + 4s2=94- (в) В случае кардиоиды г = а(\ + cos#) у нас было [331, 9); 252, 6)] .в 4 в s = 4а sin —, R = - a cos —; согласно, 9R -\- s — 16а . (г) Последние два результата содержатся как частные случаи в следующем. Для эпи- и гипоциклоиды [225, 7)] натуральное уравнение будет A + 2mJR2 + s2 = 16w2(l + т2) а2. (д) Нетрудно вновь получить натуральные уравнения эвольвенты круга, циклоиды и логарифмической спирали, известные нам из 1)-3). 5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное урав- уравнение ее эволюты. Мы имели соотношение [255, A5)] Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было R = о [см. 255, 2°], то, исключая R и s из этих двух соотношений и натурального
204 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [334 уравнения данной кривой, придем к зависимости между р и а, т. е. к нату- натуральному уравнению эволюты. (а) Для логарифмической спирали R = ms; тогда р = mR = та. С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда за- заключаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от исходной может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)]. (б) Для эвольвенты круга о = R = V2as, s = —, 2а dR Га 1 а а — = \ / т= = —, р = о • — = а ds у 2 y/s о о [результат, который следовало предвидеть]. (в) Если натуральное уравнение кривой имеет вид R + к s = с , то ее эво- эволюта будет такой же кривой, но в к раз увеличенной по линейным размерам. Действительно, имеем а = R = л/с2 - k2s2, ks = dR k2s ds и, наконец, p = —o • —- = —kyc1 — <72 или p + к о = (кс) . о Отсюда и вытекает сделанное утверждение. Полученный результат применим к циклоиде [ср. 254, 4)], к эпи- и ги- гипоциклоиде, в частности к кардиоиде и астроиде [254, 3)]. Замечание. Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь о форме эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении. 334. Длина дуги пространственной кривой. По отношению к простой пространственной кривой x=cp(t), y=\j){t), z=x(t) определение длины дуги может быть дано в таком же виде, как и для плоской кривой [249, замечание]. Здесь также для длины дуги получается формула, аналогичная D): S =АВ= / y/x'2+y>2+z>2dt 'о и т. д. На этот случай почти без изменений переносится все ска- сказанное относительно случая плоской кривой. Не задерживаясь на этом, приведем примеры.
335] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 205 1) Винтовая линия: х = a cos^, у = a sirU, z = c/\ Так как здесь то длина дуги кривой от точки ^4 [t = 0) до точки М [t — любое) будет t s = AM 0 — результат очевидный, если вспомнить, что при разворачивании цилиндрической поверхности винтовая линия на ней превратится в наклонную прямую. 2) Кривая Вивиани: ^:=^sin t, y=Rsintcost, z = Rcost. Имеем ф>г+У>г + гп = В таком случае длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом 2-го рода S = 4R / у 1 + sin2 tdt = AR I \/1 + cos21 dt = j j 0 0 \- -sir^tdt = 4V2Re(-^-\ § 2. Площади и объемы 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности. Многоугольной областью, или — короче — много- многоугольником, мы будем называть произвольную конечную (воз- (возможно, и несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие площади было достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим в основу.47^ 47^ Поскольку общее определение площади плоской фигуры будет опираться далее на понятие площади многоугольника, остановимся ко- коротко на этом последнем. Прежде всего уточним определение многоугольника. Если нет специальных оговорок, то подразумевается наиболее широкое возможное толкование дан-
206 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [335 Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, пред- представляющую собой ограниченную и замкнутую область. ного термина; это значит, что под многоугольником понимается лю- любая ограниченная фигура на плоскости, граничные точки которой со- содержатся в некотором конечном наборе отрезков (тем самым допус- допускаются в качестве граничных различного рода самопересекающиеся и выро- вырожденные ломаные; кроме того, пустое множество также может условно счи- считаться многоугольником). Отметим, что граничные точки могут, в принципе, как принадлежать, так и не принадлежать многоугольнику или принадлежать ему частично (например, треугольник может быть открытым, замкнутым, вклю- включать внутренность и одну из своих сторон, внутренность и половину стороны и т. д.). В курсах элементарной математики доказывается (читатель может прове- провести самостоятельное доказательство), что фигура на плоскости являет- является многоугольником в том и только в том случае, когда она представима в виде объединения конечного количества треугольников (возможно, вырожденных). Это предложение и лежит в основе «элементар- «элементарных методов» вычисления площадей. Из определений легко выводится также, что объединение, пересечение и разность двух произвольных многоугольни- многоугольников являются многоугольником. Этот факт неоднократно используется в даль- дальнейшем. Согласно школьному курсу геометрии площадью многоугольни- многоугольника (Р) называют неотрицательное число S(P), обладающее следующими свойствами: 1) Если многоугольник (Р) разбит (или разложен) на два многоугольни- многоугольника (Pi) и (Р2) [это значит, что многоугольники (Р±) и (Р2) в объединении дают (Р) и не имеют общих внутренних точек], то S(P) = S(PX) + S(P2) (свойство аддитивности площади). 2) Если (Р) — прямоугольник со сторонами а и Ъ, то S(P) = ab; если же (Р) = 0 (пустое множество), то S(P) = 0. 3); Если многоугольник (Р) содержится в объединении многоугольников (Pi) и (Р2), то S(P) < S(PX) + S(P2); если же (Р) содержится в (Рх), то S(P) < ^(^i) (свойства полу аддитивности и монотонности площади). 4)' Площади равных многоугольников равны. [Здесь свойства 3) и 4) отмечены штрихом, поскольку они могут быть выведены из свойств 1) и 2), и поэтому их включение в определение необязательно.] Корректность приведенного определения (другими словами, сущест- существование и единственность площади многоугольника) может быть устано- установлена с помощью триангуляции (разбиения произвольного многоугольника на треугольники); подробное доказательство проводится обычно в (достаточно полных) курсах элементарной математики. В дальнейшем все сказанное о многоугольниках и их площадях используется без специальных оговорок.
335] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 207 Ее границу, или контур, (К) мы всегда будем себе представ- представлять в виде замкнутой кривой *) (или нескольких таких кривых) 48\ Станем рассматривать всевозможные многоугольники (А), це- целиком содержащиеся в (Р), и мно- многоугольники (В), целиком в себе со- содержащие (Р) (рис. 14). Если А и В означают, соответственно, их пло- площади, то всегда А ^ В. Множест- Множество чисел {А}, ограниченное сверху любым В, имеет точную верх- верхнюю границу Р^ [11], причем Р^ ^ В. Точно так же множество чисел {В}, ш" ограниченное снизу числом Р^, име- имеет точную нижнюю границу Р*; очевидно, что Р* ^ Р*. Эти границы можно было бы назвать: первую — внутренней, а вто- вторую — внешней площадью фигуры (Р). Если обе границы P*=sup{A} и Р*=Ы{В} совпадают, то общее их значение Р называется площадью фигуры (Р). В этом случае фигуру (Р) называют квадриру- емой. Как легко видеть, для существования площади необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлись такие два многоугольника (А) и (В), что В — А < г. Действительно, необходимость этого условия вытекает из основных свойств точных границ [11]: если площадь Р существует, то найдется А > Р — | и 2? < Р + |. Достаточность сразу же следует из неравенств *^ В этом параграфе, говоря о кривой, мы всегда будем иметь в виду непрерывную простую кривую, допускающую параметрическое представле- представление. Как доказал Жор дан (C.Jordan), замкнутая кривая этого типа всегда раз- разбивает плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю, для которых и служит общей границей. ' При определении площади фигуры (Р) существенно лишь предположение о ее ограниченности; предположения о замкнутости (Р) и о виде ее границы — контура (К) — служат лишь для повышения наглядности изложения.
208 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [335 Пусть теперь фигура (Р) разложена на две фигуры G^) и (Р2) *); можно себе представить, например, что это осуществлено с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура, или цели- целиком лежащей внутри (Р) (рис. 15, а и б). Докажем, что квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (Рх), (Р2) влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда P = Pi+P2> A) т. е. площадь обладает свойством аддитивности. Рис. 15 Предположим для определенности, что имеют площади фигу- фигуры (Рх) и (Р2). Рассмотрим соответствующие им входящие и вы- выходящие многоугольники (Ах), (Вх) и (А2), (В2). Из взаимно не налегающих многоугольников {А^)9 (А2) составится многоугольная область (А) с площадью А = Ах +А2, целиком содержащаяся в об- области (Р). Из многоугольников же (Вх) и (В2), возможно и взаим- взаимно налегающих, составится область (В) с площадью В ^ Вх + В2, содержащая в себе область (Р). Очевидно, АХ+А2=А ^В ^Вх+В2; так как при этом Вх отАхиВ2отА2 могут отличаться произвольно мало, то это же справедливо относительно В иА, откуда и вытекает квадрируемость области (Р). С другой стороны, имеем одновременно Ах +А2 =А^Р ^В ^Вх+В2 и Ах +А2 ^Р1+Р2^В1 +В2, так что числа ?и Рх + Р2 содержатся между одними и теми же и притом произвольно близкими границами Ах +А2 иВх + В2, сле- следовательно, эти числа равны, что и требовалось доказать. *^ Они могут иметь частично общую границу, но не налегают одна на другую, т. е. не имеют общих внутренних точек.
336] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 209 Отметим, в частности, что отсюда Рх < Р9 так что часть фи- фигуры имеет меньшую площадь, чем вся фигура. 336. Площадь как предел. Условие квадрируемости, сформу- сформулированное в предыдущем п°, может быть перефразировано так: 1) Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необхо- необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последо- последовательности многоугольников {(Ап)} и {(Вп)}, соответствен- соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых имели бы общий предел ПтАп = ПтВп=Р. B) Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р). Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие фигуры, квадрируемость которых уже установлена: 2) Если для фигуры (Р) молено построить такие две по- последовательности квадрируемых фигур {(Qn)} и {(Rn)}, соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), пло- площади которых имеют обший предел HmQn = limRn = P, C) то фигура (Р) таклее квадрируема, причем упомянутый предел и будет ее площадью. Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заме- заменить каждую фигуру (Qn) содержащимся в ней многоугольни- многоугольником (Ап)9 а фигуру (Rn) — содер- содержащим ее многоугольником (Вп)9 настолько близкими к ним по пло- площади, чтобы одновременно выпол- выполнялось и B). Хотя на практике выбор фи- фигур (Ап), (Вп), (&,), (Rn), упоми- упоминавшихся в двух сформулирован- сформулированных выше признаках, и не создает затруднений, но все же предста- представляет принципиальный интерес устранение связанной с этим вы- выбором неопределенности. С этой целью можно поступить, например, так. Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого пря- прямоугольника (R) со сторонами, параллельными координатным осям, разобьем его на части с помощью параллельных отрезков (Я) у/ щ \ А W. ®. У/у. х« У/у '& y//t <^ У/ А ¦со К''у Рис. 16
210 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [336 (рис. 16). Из прямоугольников, целиком содержащихся в облас- области (Р), составим фигуру (А) (на рис. 16 она заштрихована), а из прямоугольников, имеющих с (Р) общие внутренние точки, но мо- могущих частично и выходить из этой области, составим фигуру (В). Эти фигуры представляют, очевидно, частный случай тех много- многоугольников (А) и (В), о которых была речь в определении понятия площади; их площади АиВ зависят от способа разложения на части прямоугольника (R). Будем через d обозначать длину наибольшей из диагоналей частичных прямоугольников. 3) Если при d —>> 0 обе площади АиВ стремятся к общему пределу Р, и только в этом случае, область (Р) будет кеадрируема; при выполнении этого условия упомянутый пре- предел и будет площадью фигуры (Р). Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фи- фигурирует, как «на языке e-S», так и «на языке последовательностей». В доказательстве нуждается только необходимость ука- указанного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и уста- установим, что тогда Нш = А = lim В = Р D) d^O d^O По заданному г > 0 найдутся [335] такие многоугольники (А) и (В), что В — А < е; при этом можно предположить, что их контуры не имеют общих точек с контуром (К) фигуры (Р).49) Обозначим через S наименьшее из расстояний между точками контуров обоих многоугольников, с одной стороны, и точками кривой (К) — с другой. *) Если взять теперь d < S, то *) Пусть имеем две конечные непрерывные кривые на плоскости; предпо- предположим, например, что они заданы параметрически (I) х = <p(t), у = ф{1), to^t < Г; (II) х=<р*(и), y = ip*(u), uq^u^U, где ф, ip, ф*, ^* — непрерывные функции, каждая от своего аргумента. Тогда расстояние между двумя произвольными точками этих кривых будет непрерывной функцией от (t,u) в замкнутой области [t$, Т;щ, U] и, сле- следовательно, достигает там своего наименьшего значения [173]. Если кривые не пересекаются, то это наименьшее расстояние будет отлично от нуля. ' Формальная проверка корректности этого дополнительного предположения может потребовать от читателя некоторых усилий.
337] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 211 каждый частичный прямоугольник, хотя бы в одной точке задеваю- задевающей кривую {К)9 заведомо лежит вне многоугольника (А) и внутри многоугольника (В). Отсюда следует, что так что Р — А < е и В — Р < г, что и приводит к D). Ясно, что на равенстве D) можно было бы построить и самое определение понятия площади, очевидно, равносильное прежнему. Такое определение представляется весьма простым и естествен- естественным; недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) за- зависимость от ориентации координатных осей. 337. Классы квадрируемых областей. Кривая (К) — контур области (Р) — играет существенную роль в вопросе о квадри- квадрируемости этой области. Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по за- заданному е > О кривая (К) может быть заключена в некоторую многоугольную область (В —А), содержащуюся между контурами обоих многоугольников (А) и (В) (см. рис. 14) и имеющую пло- площадь В — А < е. Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заклю- заключен в многоугольную область (С) с площадью С < е9 где г — любое наперед заданное положительное число. При этом без умаления общности можно предположить, что (С) не покрывает всей фигу- фигуры (Р). Тогда из точек области (Р)9 не попадающих внутрь (С), со- составится многоугольная область (А)9 содержащаяся в (Р); если же к (А) присоединить (С), то получится многоугольная область {В)9 уже содержащая в себе (Р).50^ Так как разность В — А = С < е9 то — по критерию п° 335 — отсюда следует квадрируемость об- области (Р). Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или незамкнутая) кривая (R) имеет площадь 0, если ее можно покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью. 50^ Легко проверить (пользуясь определением граничной точки), что граница как области (А), так и области (В) является частью границы области (С). Отсюда следует [поскольку граница (С) содержится в конечном объединении отрезков], что (А) и (В) действительно являются многоугольными областями [см. примеч. 47 на с. 205].
212 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [337 Тогда приведенное выше рассуждение позволяет сформулировать следующее условие квадрируемости: для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур (К) имел площадь 0. В связи с этим приобретает важность выделение широких классов кривых с площадью 0. Прежде всего, легко показать, что этим свойством обладает лю- любая непрерывная кривая, выражаемая явным уравнением вида y=f(x) (a или х = g(y) (с d) E) (/ и g — непрерывные функции). Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений. По заданному е > 0 можно про- промежуток [а, Ъ] разложить на час- части [xf, +] (/ = 0, 1, ..., п — 1) так, чтобы в каждой из них коле- колебание ojj функции / было < -j^ [87]. Если обозначить, как обыч- обычно, через mt и Mt наименьшее и наибольшее значения функции / в /-М промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, состав- составленной из прямоугольников (рис. 17) с общей площадью что и требовалось доказать. Значит, кривая E) имеет площадь 0. Отсюда следует: Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых порознь выражается явным уравнением E) {того или другого типа), то эта фигура квад- квадрируема. Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых име- имеет площадь 0, то и весь контур, очевидно, также будет иметь пло- площадь 0. Из этого критерия можно получить другой, более частный, кри- критерий, который на практике, однако, оказывается более удобным.
338] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 213 Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями x=<p(t), у=И<) (fo^t^T), F) гладкой, если 1) функции ср и гр имеют непрерывные произ- производные во всем промежутке [to, T] изменения параметра и 2) на кривой нет ни кратных, ни вообще особых точек. В случае замкнутой кривой потребуем еще равенства Ф'('о) = ср'(Т), ф%) = ф'(Т). Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь 0. Возьмем на кривой любую точку М9 определяемую значением 1 параметра. Так как эта точка — не особая, то, как мы видели [223], существует такой промежуток: W= (t-S, t + 8), что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным уравнением. Применим теперь лемму Боре ля [88] к промежутку [to, T] и к покрывающей его системе S = {а} окрестностей; весь проме- промежуток перекроется конечным числом таких окрестностей, так что кривая распадается на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением E) (того или другого типа). Оста- Остается лишь сослаться на доказанное выше. Итак, если фигура (Р) ограничена одной или несколькими глад- гладкими кривыми, то она заведомо квадрируема. Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кри- кривая имеет конечное число особых точек: выделив эти точки с помощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем иметь дело уже с гладкими кривыми. 338. Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вы- вычислению площадей плоских фигур при помощи интегралов. На первом месте рассмотрим, впервые — в строгом изло- изложении, уже встречавшуюся нам задачу об определении площа- площади криволинейной трапеции ABCD (рис. 18). Эта фигура ограничена сверху кривой DC, имеющей уравнение где f(x) есть положительная и непрерывная в промежутке [а, Ь] функция: снизу она ограничена отрезком АВ оси х, ас боков — двумя ординатами AD и ВС (каждая из которых может свестись
214 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [338 к точке). Собственно, существование площади Р рассматри- рассматриваемой фигуры ABCD следует из доказанного в предыдущем п°, и речь идет лишь об ее вычислении. С этой целью разобьем промежуток [а,Ь]9 как обычно, на части, вставив между а и b ряд точек: 1 < ... < х = Ъ. а = Х < < п ^ л2 < Обозначив через mt и Mt, соответственно, наименьшее и наи- наибольшее значения функции f(x) в z-м промежутке [^-,х/+1] (/ = 0, 1, ..., п — 1), составим суммы (Дарбу) Рис. 18 Они, очевидно, представляют со- собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямо- угольников (см. рис. 18). По- Поэтому s < Р < S. Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Axt обе сум- ъ мы имеют своим пределом интеграл ff(x)dx*\ следовательно, ему и равна искомая площадь ъ ъ Р= fydx = f f(x)dx. G) Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых то, рассматривая ее как разность двух фигур ABFE и ABDC, полу- получим площадь названной трапеции в виде о = J[f2{x)-fx{x)} dx. (8) *) В силу 1), 336, это само по себе доказывает квадрируемость криволинейной трапеции ABCD; чтобы получить упоминавшиеся там последовательности фигур, можно было бы, например, делить промежуток на равные части.
338] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 215 Пусть теперь дан сектор АО В (рис. 20), ограниченный кри- кривой АВ и двумя радиусами-векторами ОА и ОВ (каждый из ко- которых может свестить и к точке). При этом кривая АВ задается полярным уравнением г = g@), где gF) — положительная непре- непрерывная в промежутке [а, /3] функция. И здесь вопрос стоит лишь о вычислении площади Р сектора, так как существование площади обусловлено свойствами контура фигуры.51^ Вставив между а и /3 (см. рис. 20) значения а = 62 проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если вве- ввести и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции g@) в Д Рис. 19 Рис. 20 в [0t, 0/+i]: fit и Mi9 то круговые секторы, описанные этими ради- радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигу- фигуры АО В. Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут и Е = 1 и, очевидно, о < Р < S. В этих суммах а и Т, легко узнать суммы Дарбу для интегра- р ла \ f[gF)]2d6; при стемлении к нулю наибольшей из разностей ^ Действительно легко проверить, что граница криволинейного сектора имеет площадь, равную 0 (аналогично тому, как это сделано для границы криволинейной трапеции).
216 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [339 A6t обе они имеют пределом этот интеграл *\ так что и (9) 339. Примеры. 1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной линией у = = a ch —, осью х и двумя ординатами, отвечающими абсциссам 0 и.х (см. рис. 9). а Имеем /х i х a ch — dx = a sh — = as, а а где s — длина дуги AM цепной линии [331, 1)]. Таким образом, искомая пло- площадь АОРМ оказалась равной площади прямоугольника, построенного на отрез- отрезках PS и SM (ибо SM = AM). 2 2 X у 2) Даны эллипс —г- Н—« = 1и точка Mix, у) на нем (рис. 21). Определить az bz площадь криволинейной трапеции В О КМ и сектора О MB. Из уравнения эллипса имеем у = ^ х У- х2, так что по формуле G) Рх = пл.ВОКМ= / - xja2 -x2dx = ^х аЪ х Ъ = — arcsm —| x\J a 2 а 2а аЪ х ху = — arcsm —| . 2 а 2 Так как последнее слагаемое представляет площадь А ОКМ, то, отнимая ее, для площади сектора получим выражение аЪ х Рг, = пл. О MB = — arcsin —. 2 а При х = а для площади четверти эллипса найдем значение ^р, так что площадь всего эллипса Р = лаЪ. Для круга а = Ъ = г и получается известная формула Р = лг2. х2 у2 3) Пусть даны гипербола —г г = 1 и на ней точкаМ(х,у) (рис. 22). az bz Определить площадь криволинейных фигур АКМ, О AM и OAML. *) Здесь можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию *^ на с. 214, но со ссылкой на 2), 336.
339] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 217 Из уравнения гиперболы имеем у = ^ у-*2 — а2, и, по формуле G), X 7 /» Pi = пл.АКМ = - / Jx2 - a2 dx = a J Ъ \\ /—, т а2 л , а 2 ~а У V^ + Так как v л ной форме = ?, то это выражение можно представить в более симметрич- симметричОтсюда уже легко получить Р3 = пл. OAML = - ху + - ah In (- + - V Замечание. Полученный результат позволит несколько углубить анало- аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими функциями. \ \ \ \ Рис. 22 Сопоставим круг радиуса 1: х + у = 1 и равнобочную гиперболу: х —у = 1 (рис. 23,а и б). Эти кривые параметрически могут быть предста- представлены так: для круга: ОР = х = cos t, РМ = у = sin ^, для гиперболы: ОР = х = cht, РМ = у = sh /\ Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль t — это <АОМ, для гиперболы так истолковать числовой параметр t невозможно. Можно, однако, для круга дать и другое истолкование параметра t, именно: t есть удвоенная площадь сектора АОМ (или площадь сектора М1 ОМ). Оказывается, что это истолкование переносится и на случай гиперболы.
218 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [339 В самом деле, если координаты точки М суть г. е' + е~' х = cht = z , у = sht = 2 У 2 то х -\- у = ef и t = Ы(х -\-у). Если вспомнить найденную выше для Р2 формулу и положить в ней а = Ъ = 1, то получим, что t равно удвоенной площади сектора АОМ (как и для круга). Итак, в круге отрезки РМ и ОР представляют круговые синус и коси- косинус от удвоенной площади кругового сектора АОМ, а для гиперболы Рис. 23 аналогичные отрезки выражают гиперболические синус и косинус от удво- удвоенной площади гиперболического сектора АОМ. Роль гиперболических функций по отношению к гиперболе вполне аналогична роли круговых (тригоно- (тригонометрических) функций по отношению к кругу. С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций как некоей площади связаны и обозначения обратных им функций [см. 49, 3) и 4)], Arsh^c, Archie и т. п. Буквы Аг являются начальными от латинского слова Area, означающего «пло- «площадь». 4) Найти площадь Р фигуры, ограниченной осями координат и параболой а Ответ: Р = J у dx = \сг. [Читателю самому предоставляется сделать О чертеж.] 5) Определить площадь фигуры, заключенной между двумя конгруэнтными параболами;; = 2рх и х = 2ру (рис. 24).
339] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 219 Очевидно, нужно воспользоваться формулой (8), полагая там X Уг = Для установления промежутка интегри- интегрирования решим совместно данные уравнения и найдем абсциссу точки М пересечения обе- обеих парабол, отличной от начала: она равна 2р. Имеем 2р Р = 2рх I dx = 2Р 2р 4 з = о Р • Рис. 24 6) Найти площадь Р эллипса, заданного следующим уравнением: Ах2 + 2Вху +Су2 = 1 (АС - В2 > О, С > 0). Решение. Из этого уравнения A0) -5jc - JB2x2 - С(Ах2 - ^ 3^2= причем j/1? у 2 получают вещественные значения лишь для х, удовлетворяющих неравенству С - (АС - В2)х2 < 0, т. е. содержащихся в промежутке [—а, а], где а = . / с 2. Тогда искомая площадь будет ^52 / V«2-x2rfx = | 7) Пусть, наконец, эллипс задан общим уравнением ах2 + 2focj/ + су2 + 2<9jc + 2еу + / = 0; требуется найти его площадь Р. Задача эта может быть сведена к предыдущей. Если перенести начало в центр (|, г/) эллипса, определяемый, как известно, из уравнений a| + Z>//+ 3 = 0, Ъё, + сц + е = 0, то уравнение примет вид ох2 + 2^ + су2 + /' = 0,
220 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ где [339 A2) Исключая |, ц из равенств A1) и A2), найдем а Ь д be f-f = 0, откуда А /' = 77' где Л = ас -Ь2 а Ъ д b с е д е f *) Полученное уравнение легко приводится к виду, рассмотренному в 6), если положить а Ъ с л " с Значит, площадь эллипса будет n\f'\ р = 8) Формула G) может быть использована и в том случае, если кривая, огра- ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями вида F). Произведя замену переменной в интеграле G), получим [в предполо- предположении, что х = а при t = fy и х = b при t = T]: т т Р = Iyx'tdt = il>(t)<p'(t)dt. A3) Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его пара- параметрического представления х = a cos t, у = b sin t и учесть, что х возрастает от —а до а, когда t убывает от ж до 0, то найдем 0 я- Р = 2 / bsint • (—a sint) dt = lab I sin21 dt = nab. jt 0 Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоили ее. 9) Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой х = a(t — sint), у = а(\ — cosf). Имеем по формуле A3) 2л- /о 1 I а2A - costJ dt = a1 \-t — 2sinf + - sin2f ) = Зла2. V3 4 /|0 *) Очевидно, /; и А отрицательны (иначе уравнение не выражало бы веще- вещественной кривой).
339] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 221 Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади обра- образующего круга. 10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали г = ав (рис. 25). Имеем, по формуле (9), 2л- * 3 2 = - Л" B , в то время как площадь круга радиуса 2ла будет Ал а . Площадь витка спирали равна трети площади круга [этот результат был известен еще Архимеду]. Рис. 25 Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с разно- разностью 8 л" а . 11) Найти площадь улитки г = a cos в + Ъ при Ъ < а. Имеем, по формуле (9), 1Л -У (a cos 6 + b)z dO = 1 Г/1 2 b: 2 U В частности, площадь кардиоиды (Ь = а) равна | ла .
222 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [339 12) Найти площадь лемнискаты г = 2а cos20. Достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает изменение угла О от — j до j: ж ж 4 4 Р = 2 • - 2а2 /cos 20 dO = 4а2 / cos 20 dO = 2а2. -f о 13) Найти площадь декартова листа х3 + у3 — Ъаху = 0. Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой х = г cos 0, у = г sin 0, по сокращении на г2 придем к такому полярному уравнению: За sin 0 cos 0 г = sin3 0 + cos3 О Так как самый виток кривой отвечает изменению угла 0 от 0 до ^, то по форму- ле (9) п2 0 cos2 О 9а2 f sin2 / 5 2 У (sin3 Я (sinJ 0 + cos3 ОJ О Заменяя sin 0 через tg 0 cos 0, приведем подинтегральное выражение к виду tg20 dtgO A + tg3^J' откуда сразу находится первообразная функция 1 1 1 cos3fl 3 1 + tg3 0 3 sin3 0 + cos3 0' Таким образом, За2 cos3 О Р= -'- 2 sin3 0 + cos3 О 14) Решить задачу 6) наново, воспользовавшись полярными координатами. Решение. Вводя полярные координаты, представим уравнение A0) эллипса в виде 9 1 A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + С sin2 0' Тогда, по формуле (9), сразу получаем [309, 9)] ж_ Р = 2.- ¦ М A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + С sin2 0
340] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 223 Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной площади той его части, которая лежит в I и IV координатных углах. Какие затруднения встретились бы при использовании результата 10), 288, для вычисления непосредственно всей площади эллипса? 15) Формулу (9) можно приспособить к случаю, когда кривая задана своими параметрическими уравнениями вида F). Так как 2 2 2 У I xyt ~ xty r=x2+y2, 6> = arctg- и 0 = ^Ц ?-, х х1 + у1 то X-r2de=X-{xy't-x'ty)dt. Если изменению угла в от а до /3 отвечает изменение параметра t от /q до Г, то т т Р=\ J(xy't ~ *#) dt=\j b@tf;@ " ф'СЖО] du A4) Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым выкладкам. Например, если по ней вычислить площадь эллипса, исходя из его параметрических уравнений х = a cos t, у = Ь sin t, то получим 2л- 2л- \ г 1 / Р = - I (a cost • Ъ cost + a sint • Ъ siru) dt = - ah \ dt = жаЬ, о о 16) Вычислим еще по формуле A4) площадь астроиды х = a cos г, у = a sin t. Имеем 41 a cos f • За sin f cos f + За cos f sin t • a sin Л dt = 0 2л- 3 2 f 2 2 3 2 / si = - a sm t cos t dt = — a If 2 У 16 V . л 2л- sm At \ 4 / 340. Определение понятия объема. Его свойства. Наподобие того, как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было установлено понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем мно- многогранника. 52^ ' Понятие объема многогранника в целом аналогично, но все же зна- значительно сложнее, чем понятие площади многоугольника. По этой при- причине все вопросы, связанные с определением объема и общими формулами для его вычисления, по традиции излагаются гораздо более схематично, чем аналогичные
224 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [340 Итак, пусть дано произвольной формы тело (F), т. е. ограничен- ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей (S) тела пусть служит замкнутая поверхность *} (или несколько таких поверхностей). Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, це- целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники G) объе- объема 7, содержащие в себе это тело. Существуют всегда точная верхняя граница F* для X и точная нижняя граница F* для 7, причем V^ ^V*; их можно было бы назвать, соответственно, внутренним и внешним объемами тела. Если обе границы F* = sup {X} и F* = inf {7} совпадают, то их общее значение V называется объемом тела (F). В этом случае тело (F) иногда называют кубируемым. И здесь легко видеть, что для существования объема необхо- необходимо и достаточно, чтобы для любого с > 0 нашлись такие два многогранника (X) и G), для которых Y —X < е. Далее: Если тело (F) разложено на два тела (Vx) и (V2), то из существования объема для двух из этих трех тел вытекает существование объема для третьего. При этом v = vx + v2, т. е. и объем обладает свойством аддитивности. Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2), 3), которые в 336 были доказаны для площадей. 1) Для того чтобы тело (F) имело объем, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последова- последовательности, соответственно, входящих и выходящих много- многогранников {(Х^)} и {G^)}, объемы которых имели бы общий предел Этот предел и будет объемом тела (V). вопросы теории площадей. Ряд фактов, связанных с понятием объема в трехмер- трехмерном и многомерных пространствах, изучается более подробно в теории меры. *> Мы имеем в виду непрерывную поверхность, допускающую параметриче- параметрическое представление.
341] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 225 Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогран- многогранников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы. 2) Если для тела (V) молено построить такие две по- последовательности, соответственно, входящих и выходящих тел {(Тп)} и {(Un)}, которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему пределу Hm Tn = lim Un = F, то и тело (V) имеет объем, равный упомянутому пределу. В заключение упомянем о возможности выбирать много- многогранники, приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандарт- «стандартным» образом. Заключив тело внутрь некоторого прямоугольно- прямоугольного параллелепипеда (W) с гранями, параллельными координатным плоскостям, разобьем его на части с помощью ряда плоскостей, параллельных его граням. Из частичных параллелепипедов, входя- входящих в (F), составим тело (X), а присоединив к ним и частично выходящие из (V) параллелепипеды, получим тело Y. Эти тела представляют частные случаи тех многогранников (X) и G), о ко- которых была речь выше. Будем обозначать через d наибольшую из диагоналей тех прямоугольных параллелепипедов, на которые был разложен параллелепипед (W). 3) Если при d —»> 0 оба объема X и Y стремятся к обще- общему пределу V, и только в этом случае, тело (V) будет иметь объем; при выполнении этого условия упомянутый пре- предел и выразит объем тела (V). Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем чи- читателю; их легко скопировать с рассуждений п° 336. 341. Классы тел, имеющих объемы. Как и в случае площади, существование объема для тела (V) зависит целиком от свойств границы (S) этого тела. Легко [ср. 338] установить такой крите- критерий: для существования объема тела (V) необходимо и дос- достаточно, чтобы его граница (S) имела объем 0, т. е. чтобы эту границу можно было заключить в многогранное тело с произвольно малым объемом. К числу поверхностей с объемом 0 прежде всего принадлежат поверхности, выражаемые явным уравнением одного из трех типов: z=f(x,y), y=g(z,x), x=h(y,z), где f9g9h — непрерывные функции от двух аргументов в не- некоторых ограниченных областях.
226 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [341 Пусть, скажем, дано уравнение первого типа в области (Р)9 ко- которая содержится в прямоугольнике (R). По теореме п° 174, ка- каково бы ни было е > О, можно разложить этот прямоугольник на столь малые прямоугольники (Rt) (/ = 1,2,..., /7), чтобы колеба- колебание функции / в той части (Pt) области (Р), которая содержится в (Rt)9 было < |. Если mt и Mt — наименьшее и наибольшее из значений функции / в (Pf)9 то вся наша поверхность может быть заключена в многогранник, составленный из прямоугольных парал- параллелепипедов с площадями оснований Rt и высотами o)t = Mt — mt. Объем этого многогранника будет что и требовалось доказать. Поэтому, если тело (V) ограничено несколькими непрерыв- непрерывными поверхностями, каждая из которых порознь выража- выражается явным уравнением {одного из трех типов), то это тело имеет объем. Чтобы дать обычно применяемый на практике частный крите- критерий, установим понятие гладкой поверхности. Пусть поверхность выражается параметрическими уравне- уравнениями х = ср(и, v), у = гр(и, у), z = x(u, t>), где функции q>9 х, Ф непрерывны вместе со своими частными про- производными в некоторой ограниченной замкнутой области (Q) на плоскости иу. Границу этой области (L) мы представим себе со- состоящей из гладких кривых. Наконец, предположим, что по- поверхность не имеет ни кратных, ни других особых точек. При со- соблюдении всех этих условий поверхность и называется гладкой. Пусть М — любая точка поверхности, определяемая значени- значениями и = п, у = у параметров; так как она — не особая, то мож- можно [см. 228] *) окружить точку (п, у) на плоскости иу такой окрест- окрестностью о7 = (п — S, п + S; V — S, V + S), чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области (Q) *^ Если точка (и, v) лежит на границе (Z) области @, то по отношению к ней следует иметь в виду сказанное в 262.
342] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 227 и к покрывающей ее системе окрестностей S = {а} лемму Бо- Боре ля [175], чтобы установить возможность разложения рассмат- рассматриваемой гладкой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением одного их трех типов. Отсюда — по предыдущему — следует, что гладкая поверх- поверхность имеет объем 0. Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими по- поверхностями, заведомо имеет объем. Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело по- поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть выделены окрестностями с произвольно малым объемом. 342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевид- очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием ко- которого служит квадрируемая плоская фигура (Р), име- имеет объем, равный произведению площади основания на высо- высоту: V = РН. Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (Вп)9 соответствен- соответственно, содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р)9 так, чтобы их площади Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Н, то их объемы Хп=АпН И 1„ = . будут стремиться к общему пределу V = РН9 который, в си- силу 1), 340, и будет объемом нашего цилиндра. Рис. 26 Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (F), содержаще- содержащееся между плоскостями х = а их=й,и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего
228 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [342 абсциссе х9 — обозначим ее через Р(х) — будет непрерывной функ- функцией от х (для а ^ х ^ Ъ). Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х9 то они мо- могут либо содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо ча- частично одно на другое налегать или лежать одно вне другого (см. рис. 27, б, в). Рис. 27 Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси х, оказываются всегда содержащимися одно в другом. В этом предположении можно утверждать, что тело (V) имеет объем, который выражается формулой V= P(x)dx. A5) Для доказательства разобьем отрезок [а, Ь] на оси х точками а = х0 < Xi < . . . < хг < xi+i < . . . < хп = Ъ на части и разложим плоскостями х —х^ проведенными через точ- точки деления, все тело на слои. Рассмотрим /-й слой, содержащи