Text
                    ГМ. Фихтенгольц
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ 2
Содержание
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1.	Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263.	Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)
264.	Интеграл и задача об определении площади
265.	Таблица основных интегралов
266.	Простейшие правила интегрирования
267.	Примеры
268.	Интегрирование путем замены переменной
269.	Примеры
270.	Интегрирование по частям
271.	Примеры
§ 2.	Интегрирование рациональных выражений
272.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде
273.	Простые дроби и их интегрирование
274.	Разложение правильных дробей на простые
275.	Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей
276.	Выделение рациональной части интеграла
277.	Примеры
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278.	Интегрирование выражений вида R
11
11
14
17
18
19
23
27
31
32
36
36
37
38
42
43
47
50
50
ах + Р
ух + 5
. Примеры
279.	Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры	51
280.	Формулы приведения	54
281.	Интегрирование выражений вида r{x,-Jox2 + bx + с). Подстановки
Эйлера
282.	Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок	59
283.	Примеры	60
284.	Другие приемы вычисления	66
285.	Примеры	72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и	74

показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов 7?(sin х, cos х) dr 74 287. Интегрирование выражений sinv xcosMx 76 288. Примеры 78 289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84 290. Общие замечания и определения 84 291. Вспомогательные преобразования 86 292. Приведение к канонической форме 88 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94 294. Другой подход к задаче о площади 94 295. Определение 96 296. Суммы Дарбу 97 297. Условие существования интеграла 100 298. Классы интегрируемых функций 101 299. Свойства интегрируемых функций 103 300. Примеры и дополнения 105 301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106 § 2. Свойства определенных интегралов 108 302. Интеграл по ориентированному промежутку 108 303. Свойства, выражаемые равенствами 109 304. Свойства, выражаемые неравенствами 110 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115 306. Вторая теорема о среднем значении 117 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120 307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120 308. Основная формула интегрального исчисления 123 309. Примеры 125 310. Другой вывод основной формулы 128 311. Формулы приведения 130 312. Примеры 131 313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134
314. Примеры 135 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141 316. Другой вывод формулы замены переменной 143 § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145 317. Формула Валлиса 145 318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146 319. Трансцендентность числа е 146 320. Многочлены Лежандра 148 321. Интегральные неравенства 151 § 5. Приближенное вычисление интегралов 153 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153 323. Параболическое интерполирование 156 324. Дробление промежутка интегрирования 158 325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159 326. Дополнительный член формулы трапеций 161 327. Дополнительный член формулы Симпсона 162 328. Примеры 164 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой 169 329. Вычисление длины кривой 169 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению 331. Примеры 174 332. Натуральное уравнение плоской кривой 180 333. Примеры 183 334. Длина дуги пространственной кривой 185 § 2. Площади и объемы 186 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186 336. Площадь как предел 188 337. Классы квадрируемых областей 190 338. Выражение площади интегралом 192 339. Примеры 195 340. Определение понятия объема. Его свойства 202 341. Классы тел, имеющих объемы 204
342. Выражение объема интегралом 205 343. Примеры 208 344. Площадь поверхности вращения 214 345. Примеры 217 346. Площадь цилиндрической поверхности 220 347. Примеры 222 § 3. Вычисление механических и физических величин 225 348. Схема применения определенного интеграла 225 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228 350. Примеры 229 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры 352. Примеры 232 353. Механическая работа 233 354. Примеры 235 355. Работа силы трения в плоской пяте 237 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239 § 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение 245 переменных 35 9.Задачи 247 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253 361. Задачи 254 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Введение 257 362. Основные понятия 257 363. Примеры 258 364. Основные теоремы 260 § 2. Сходимость положительных рядов 262 365. Условие сходимости положительного ряда 262 366. Теоремы сравнения рядов 264 367. Примеры 266 368. Признаки Коши и Даламбера 270
369. Признак Раабе 272 370. Примеры 274 371. Признак Куммера 277 372. Признак Гаусса 279 373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281 374. Признак Ермакова 285 375. Дополнения 287 § 3. Сходимость произвольных рядов 293 376. Общее условие сходимости ряда 293 377. Абсолютная сходимость 294 378. Примеры 296 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300 381. Знакопеременные ряды 3 02 382. Примеры 303 383. Преобразование Абеля 305 384. Признаки Абеля и Дирихле 307 385. Примеры 308 § 4. Свойства сходящихся рядов 313 386. Сочетательное свойство 313 387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316 389. Умножение рядов 320 390. Примеры 323 391. Общая теорема из теории пределов 325 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327 § 5. Повторные и двойные ряды 329 393. Повторные ряды 329 394. Двойные ряды 333 395. Примеры 338 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346 397. Примеры 348 398. Кратные ряды 350 § 6. Бесконечные произведения 350 399. Основные понятия 350
400. Примеры 351 401. Основные теоремы. Связь с рядами 353 402. Примеры 356 § 7. Разложения элементарных функций 364 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др. 405. Логарифмический ряд 368 406. Формула Стирлинга 369 407. Биномиальный ряд 371 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374 § 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378 409. Общие замечания 378 410. Вычисление числа л 379 411. Вычисление логарифмов 381 412. Вычисление корней 383 413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84 414. Примеры 386 415. Преобразование Куммера 388 416. Преобразование Маркова 392 § 9. Суммирование расходящихся рядов 394 417. Введение 394 418. Метод степенных рядов 396 419. Теорема Таубера 398 420. Метод средних арифметических 401 421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403 422. Теорема Харди—Ландау 405 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408 425. Примеры 413 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416 ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. Равномерная сходимость 419 427. Вводные замечания 419
428. Равномерная и неравномерная сходимости 421 429. Условие равномерной сходимости 425 430. Признаки равномерной сходимости рядов 427 § 2. Функциональные свойства суммы ряда 430 431. Непрерывность суммы ряда 430 432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432 433. Почленный переход к пределу 434 434. Почленное интегрирование рядов 436 435. Почленное дифференцирование рядов 438 436. Точка зрения последовательности 441 437. Непрерывность суммы степенного ряда 444 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447 § 3. Приложения 450 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу 440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474 443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477 444. Пример непрерывной функции без производной 479 § 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481 445. Действия над степенными рядами 481 446. Подстановка ряда в ряд 485 447. Примеры 487 448. Деление степенных рядов 492 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494 450. Решение уравнений рядами 498 451. Обращение степенного ряда 502 452. Ряд Лагранжа 505 § 5. Элементарные функции комплексной переменной 508 453. Комплексные числа 508 454. Комплексная варианта и ее предел 511 455. Функции комплексной переменной 513 456. Степенные ряды 515 457. Показательная функция 518
458. Логарифмическая функция 520 459. Тригонометрические функции и им обратные 522 460. Степенная функция 526 461. Примеры 527 § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531 462. Примеры 531 463. Определения 533 464. Основные свойства асимптотических разложений 536 465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540 466. Исследование дополнительного члена 542 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544 468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547 469. Формула и ряд Стирлинга 550 ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552 470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552 471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554 472. Примеры 555 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559 475. Сходимость интеграла в общем случае 561 476. Признаки Абеля и Дирихле 563 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566 478. Примеры 569 § 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577 479. Определение интегралов от неограниченных функций 577 480. Замечание относительно особых точек 581 481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры 482. Условия и признаки существования интеграла 584 483. Примеры 587 484. Главные значения несобственных интегралов 590 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595 § 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597 486. Простейшие свойства 597
487. Теоремы о среднем значении 600 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602 489. Примеры 602 490. Замена переменных в несобственных интегралах 604 491. Примеры 605 § 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611 492. Некоторые замечательные интегралы 611 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами 494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617 495. Интегралы Фруллани 621 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами 497. Смешанные примеры и упражнения 629 § 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641 499. Примеры 642 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом 502. Использование асимптотических разложений 650 ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Элементарная теория 654 503. Постановка задачи 654 504. Равномерное стремление к предельной функции 654 505. Перестановка двух предельных переходов 657 506. Предельный переход под знаком интеграла 659 507. Дифференцирование под знаком интеграла 661 508. Интегрирование под знаком интеграла 663 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665 510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668 511. Примеры 669 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680 § 2. Равномерная сходимость интегралов 682
513. Определение равномерной сходимости интегралов 682 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684 515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684 516. Другой случай равномерной сходимости 687 517. Примеры 689 § 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694 518. Предельный переход под знаком интеграла 694 519. Примеры 697 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710 521. Интегрирование интеграла по параметру 714 522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733 § 4. Дополнения 743 525. Лемма Арцела 743 526. Предельный переход под знаком интеграла 745 527. Дифференцирование под знаком интеграла 748 528. Интегрирование под знаком интеграла 749 § 5. Эйлеровы интегралы 750 529. Эйлеров интеграл первого рода 750 530. Эйлеров интеграл второго рода 753 531. Простейшие свойства функции Г 754 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760 533. Другая функциональная характеристика функции Г 762 534. Примеры 764 535. Логарифмическая производная функции Г 770 536. Теорема умножения для функции Г 772 537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774 538. Примеры и дополнения 775 539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782 540. Формула Стирлинга 789 541. Вычисление эйлеровой постоянной 792 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793 Алфавитный указатель 795 Алфавитный указатель
Абелевы интегралы 84 Абель 290, 292, 527 Абеля лемма 306 - подстановка 69, 608 - преобразование 305, 312, 403 - признак равномерной сходимости ряда 429 - - сходимости интеграла 564 — ряда 307 - теорема 328, 397, 516 Абеля—Пуассона метод обобщенного суммирования рядов 401, 409 Абсолютно интегрируемая функция 563, 586 - сходящееся произведение 356 - сходящийся несобственный интеграл 563, 586 - -ряд 296, 356, 513 ---переместительное свойство 315, 332, 356, 513 ---умножение 321, 513 Адамар 300 Аддитивная функция промежутка 225 Аддитивность объема 203 - площади 188 Алгебраическая часть интеграла, выделение 68 Амплитуда 252 Аналитическая функция 449, 450, 491,499, 502 Аргумент комплексного числа 510 Арксинус, главное значение 525 - степенной ряд 458, 467, 503, 526 Арктангенс, главное значение 524 - степенной ряд 368, 457, 524 Архимедова спираль 175, 199 Арцела 433, 438, 743, 745 Асимптотический ряд 534, 650, 793 - - действия 536 - - дифференцирование 540, 793 - - единственность 534 - - интегрирование 538 - - потенцирование 538 Астроида 175, 184, 185, 202, 210, 218 Барроу 15 Бернулли Иоганн 95 Бернуллиевы числа 494, 541, 703, 704 Бертрана признак 279 Бесконечно малых элементов суммирование 221, 228 Бесселевы функции 345, 464, 468, 709, 734 Бесселя дифференциальное уравнение 468, 675 Бета-функция 750 - - рекуррентная формула 751 - - связь с гамма-функцией 755 - - симметричность 751 Биномиальный дифференциал, интегрирование 51 - ряд 372, 452, 468, 487, 526 Био и Савара закон 242, 557 Бонне формула 119 Бореля метод обобщенного суммирования рядов 411 Буняковского неравенство 153, 590 Валлиса формула 145, 352, 371, 377, 613, 704 Ван-дер-Варден 479 Варианта комплексная 511 - - предел 511 Вейерпгграсс 424, 479, 488 Вейерпгграсса формула 362, 473, 775, 778 Вивиани кривая 186, 223 Виета 352 Винтовая линия 186 Вороного методы обобщенного суммирования рядов 408 Выделение алгебраической части интеграла 68 - рациональной части интеграла 44 Вычисление интегралов:
- jln(l-2rcosx + r2)dr 122, 140,464, о 673 - jlnsinxdr 611, 616, 726, 785 о - 612,704,719,757 о - je“x cosbxdx 701,726 о - fefc 614, 621,718,742 о x - f C°S^x 706, 721, 729, 740, 741 И +* - ?2SinP> 721,729, 740 J a +x r xa-1 - f-—dx 699,717 - jsinx2dr, jcosx2dr 721,729 о о Вычисление определенных интегралов, дифференцирование по параметру 673, 674, 717, 721, 723, 782 — интегральные суммы 120, 615, 617 — интегрирование по параметру 679, 718, 721, 722, 732, 756, 786 — интегрирование по частям 131, 603, 632, 634, 636 — искусственные приемы 611, 621, 623 — основная формула интегрального исчисления 124, 554, 582 — подстановка 134, 143, 605, 611, 630, 631,764 ---предельный переход по параметру 704, 717, 719, 722, 735,788 ---разложение в ряд 457—467, 614, 632, 670, 671, 672, 697, 710 Гамма-функция 361, 753 - Вейерпгграсса формула 362, 775 - Гаусса формула 772 - график 755 - дополнения формула 377, 757 - Коши формула 771 - Лежандра формула 760, 774 - логарифмическая производная 473, 770, 774 - максимумы и минимумы 755, 780 - определение ее свойствами 760, 762 - Раабе интеграл 759 - распространение 780 - рекуррентная формула 361, 754 - Стирлинга формула и ряд 792, 793 - таблицы логарифмов 793 - Эйлера произведение 758 - Эйлера—Гаусса формула 361, 754, 769, 775, 780 Гармонический ряд 263, 267, 270, 289 Гаусс 281, 680, 769 Гаусса признак 280 - формулы 142, 772 Гаусса—Эйлера формула 361, 754, 769, 775, 780 Гельдера методы обобщенного суммирования рядов 411 Гипербола 177, 195 Гиперболические подстановки 29 - функции, сопоставление с тригонометрическими 196, 523 Гипергеометрический ряд 280, 297, 359, 470, 769 Г ипергеометрическое дифференциальное уравнение 470 Гипоциклоида 185 Главное значение аргумента комплексного числа 510
- - арксинуса 525 - - арктангенса 524 - - логарифма 525 - - несобственного интеграла 591, 594 - - степени 526 Гладкая кривая 192 - поверхность 204 Гольдбах 338 Гульдина теоремы 229, 232 Даламбера признак 271, 278, 296, 513 Дарбу 97 - интегралы, верхний и нижний 100 - - как пределы 106 - суммы, верхняя и нижняя 97 - теорема 106 Двойной ряд 333, 452 Декартов лист 200 Дзета-функция 264, 287, 362, 469, 769, 777 Дини 290, 291, 292 - теорема 431 - - обобщение 657, 695, 711 Дирихле 290, 754, 769 - признак сходимости интеграла 564 ---равномерной ряда 429 ---ряда 307 - разрывный множитель 633, 640, 741 - ряды 309, 451, 469 - функция 105, 106, 587 Дифференциальное уравнение 244 - - Бесселя 469, 675 - - Гипергеометрическое 470 - - составление 253 Дифференцирование интеграла по верхнему (нижнему) пределу 116, 600 - - по параметру (дифференцирование под знаков интеграла) 661, 666, 669, 710, 749 - ряда, почленное 447, 517 Длина кривой 169, 171 - - выражение интегралом 169 ---производная 169 - - пространственной кривой 185 е (число), трансцендентность 146 Ермакова признак 285 Живой силы закон 235 Зайдель 424 Знакопеременный ряд 302 - - оценка остатка 303 Инерции момент плоской фигуры 241 - - тела 241 Интегральная сумма 97 - - верхняя, нижняя 97 Интегральный косинус 83, 566, 639, 652 - логарифм 83, 593, 650 - признак Маклорена—Коши 282 - синус 83, 566, 639, 652, 709 Интегралы, не выражающиеся в конечном виде 36, 52, 83, 86, 92, 459 Интегрирование биномиальных дифференциалов 51 - в конечном виде 36 - интеграл по параметру (интегрирование под знаком интеграла) 663, 669, 714, 749 - по частям 31, 130, 602 - подстановкой (путем замены переменной)23,135, 143, 602 - правила 18 - простых дробей 37 - радикальных выражений 50, 51, 56, 66, 529 - рациональных выражений 43 - ряда почленное 447, 668, 697, 710 - тригонометрических и показательных выражений 74, 83, 529 Интегрируемая функция 97 - - классы 101 - - свойства 103 - - с квадратом 590 Интегрируемость предельной функции 437, 659
Интерполирование параболическое 156 Канторович 642 Кардиоида 178, 185, 200, 218 Каталана постоянная 168, 460, 734 Квадратура 16 Квадрируемая фигура 187 Квадрируемости условие 187, 189, 191 Квази-равномерная сходимость 433 Кеплера уравнение 509 Кнопп 311 Комплексная варианта 511 - переменная, функция от нее 513, 519, 520, 522, 526 - плоскость 509 Комплексное число 508 - - аргумент 510 - - вещественная часть 508 - - действия 508 - - мнимая часть 508 - - модуль 508 - - тригонометрическая форма 510 Конус круговой 208, 239, 240, 241 Корень из комплексного числа 511 Корни из вещественных чисел, вычисление 383 Косинус, аналитическое определение 477 - бесконечное произведение 377 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное произведение 378 - - степенной ряд 367 - степенной ряд 367, 523 — для логарифма 497 Котангенс, Адамара теорема 300 - гиперболический, разложение на простые дроби 473 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 484, 496, 524 Коши 290, 502, 591 - Гёльдера неравенство для интегралов 151 - — рядов 293 - Маклорена признак 282 - признаки 270, 290, 561, 584 - теорема 321, 326 - формула 321 Кратный ряд 350 Кубируемое тело 202 Куммера преобразование рядов 388 - признак 277 Лагерра (Чебышева) многочлены 604 Лагранжа ряд 504 Ламберта ряд 311, 341 Ландау 310 Ландена преобразование 143 Лаплас 508, 701, 721, 729 Лежандр 92, 677, 703, 750, 753, 794 Лежандра многочлены 138, 148, 491, 508, 530, 671 - формула 760, 774 - функции К (к), Е (к) 142, 166, 177, 214, 224, 252, 352, 465, 675, 734, 768 - -K(k,q),E(k,q) 93, 116, 177 Лейбниц 15, 95, 395 Лейбница и Ньютона теорема 15 - правило 661 - теорема 302, 308 Лемниската 178, 200, 219 Лиувилль 92 Лобачевский 614 Лобачевского формулы 634, 672 Логарифм комплексного числа 520 Логарифмическая спираль 176, 184, 185 - функция в комплексной области 520 - - степенной ряд 368, 453, 457, 484, 503, 522 Логарифмы, вычисление 381 Мажорантный интеграл 685 - ряд 427 Мажорантных рядов метод 502 Маклорена—Коши признак 281 Маркова преобразование рядов 392 Маятник математический 250
Мертенса теорема 328 Механическая работа 233 Минковского неравенств 293, 590 Многозначные функции комплексной переменной 513, 521, 524, 525, 526 Множитель сходимости 718, 722 Моавра формула 374 Модуль комплексного числа 509 - перехода от натуральных логарифмов к десятичным 382 - эллиптического интеграла 93 Момент инерции плоской фигуры, тела 241 Мэшина формула 380 Направление в промежутке 108 Натуральное уравнение кривой 180 - - эволюты 185 Натуральный логарифм комплексного числа 520 Начальное значение величины 14 Начальные условия 14, 244 Неабсолютно сходящееся произведение 356 - сходящийся интеграл 563, 565, 569, 586 --ряд 296, 304,336,516 Неопределенный интеграл 11 - - геометрическое истолкование 14 - - свойства 13 - - существование 116 - - таблица 17 Неопределенных коэффициентов метод 42, 45, 67, 91, 470, 488, 492 Непрерывная функция без производной 479 Непрерывность интеграла по параметру 660, 675, 678, 710 - предельной функции 420, 657 - суммы ряд 430 - - степенного ряда 444, 446 - функции комплексной переменной 513 Неравенства для интегралов 151 - для рядов 293 Неравномерная сходимость интеграла 683, 689 - - последовательности, ряда 429, 446 Неравномерности точки 425, 444 Несобственный интеграл от неограниченной функции 577, 578 - - с бесконечным пределом 552, 580 - - сходящийся, расходящийся 552, 578 ---аналогия и связь с рядами 558, 586,713 ---признаки сходимости 561, 564, 584 ---свойства 597 ---условия существования 562, 585 Нечетная функция, интеграл по симметричному промежутку 138 Неявные функции 474, 498 Ньютон 15, 248, 372 Ньютона—Лейбница теорема 15 - - формула 124 Обвертывающий ряд 534, 544, 550, 651, 792 Обратные тригонометрические функции - Арксинус и Арктангенс Обращение степенного ряда 502, 506 Объем тела 202 - - аддитивность 203 - - внутренний, внешний 202 - - вращения 207 - - выражение интегралом 205 - - как предел 203 - - по поперечным сечениям 206, 207 - - условие существования 203, 204 Определенный интеграл в собственном смысле 96 - - вычисление с помощью интегральных сумм 120 -----первообразной 124
- - свойства 108 - - схема применения 225 - - условия существования 100, 105, 107 Ориентированный промежуток 108, 598 Основная последовательность разбиений промежутка 96 - теорема алгебры 680 - формула интегрального исчисления 123, 127, 128, 554, 582 Особая точка функции 577, 580, 581 Особенности выделения при вычислении интегралов 642, 646 Остаток ряда 260 Остаточное произведение 353 Остроградского метод выделения рациональной части интеграла 43 - формула 45 Ось вещественная 509 - мнимая 509 Оценка остатка ряда 283, 303, 378 Парабола 16, 174, 197, 232, 233 Параметр 654 Первообразная функция 11 - - восстановление с помощью определенного интеграла 129, 583 Переместительное свойство абсолютно сходящегося произведения 356 - ---ряда315, 332, 513 Перестановка двух предельных переходов 442, 443, 658 Периодическая функция, интеграл по периоду 138 л(число), приближенное вычисление 379 Площадь криволинейной трапеции 192 — как первообразная 16 - — предел суммы 94 - плоской фигуры 187 ---аддитивность 188 ---внутренняя, внешняя 187 ---выражение интегралом 192 — как предел 188 ---условия существования 187, 189, 191 - поверхности вращения 214 - цилиндрической поверхности 220 Повторный ряд 330 Подынтегральная функция 12 Подынтегральное выражение 12 Подстановка (замена переменной) 23, 134, 143, 604 - Абеля 69 - гиперболическая 29 - дробно-линейная 70, 87 - ряда в ряд 485 - тригонометрическая 29 - Эйлера 57, 59 Показательная функция в комплексной области 517 - - связь с тригонометрическими функциями 519, 523 - - степенной ряд 367, 452, 454, 468, 518 Последовательных приближений метод 474 Почленное дифференцирование ряда 438,517 - интегрирование ряда 436, 669, 697, 710 - умножение рядов 321, 328, 333, 407, 456, 513 Почленный переход к пределу 434, 515 Правильная дробь, разложение на простые 21, 39 Предел интеграла по параметру (предельный переход под знаком интеграла) 442, 659, 668, 694, 696, 745, 748 - функции комплексной переменной 514
Пределы интеграла нижний и верхний 97 Предельная функция, дифференцируемость 443 - - интегрируемость 443, 657 - - непрерывность 657 Предельный переход в ряде почленный 434, 515 - - под знаком интеграла 443, 659, 668, 694, 696, 745, 748 Преобразование рядов по Куммеру 388 — Маркову 392 — Эйлеру 384 Приближенное вычисление интегралов несобственных 641, 647, 650 — собственных 153, 646 Приближенные вычисления с помощью рядов 378, 388, 390, 459, 460, 466, 650 Приведения формулы для биномиальных дифференциалов 54 — интегралов от sinA\nux cosA\mu х 78 — определенных интегралов 130 Произведение бесконечное 351 - - абсолютно сходящееся 356 - - признаки сходимости и расходимости 354 - - расходящееся 351 - - сходящееся 351 - остаточное 353 - частичное 351 Производная функции комплексной переменной 515 Производящая функция для бесселевых функций 345 ---многочленов Лежандра 492, 508 Простые дроби 37 - - интегрирование 37 - - разложение правильной дроби 21, 39, 42 - - разложение функций ctg х, cth х, tg х, х, х, х, l/sinA2, 1/sh, 1/sin, 472, 473 Прямоугольников формула 154 - - дополнительный член 159 Псевдоэллиптнческие интегралы 86 Пуассон 122, 140, 612 Пуассона—Абеля метод обобщенного суммирования рядов 396 Пуассона формула 256 Раабе интеграл 759 - признак 273, 278 Равномерная сходимость интеграла 682, 687, 688 ---признаки 684, 688 ---связь с рядами 684, 688 ---условие 684, 687 - - ряда, последовательности 419, 422, 424, 515 ---признаки Абеля 429 - — Вейерпгграсса 427 - — Дирихле 429 ---условие 425 - - степенного ряда 444, 446 Равномерное стремление к предельной функции 654 Разрывный множитель Дирихле 633, 640, 736, 741 Расходящиеся бесконечные произведения 351 Расходящийся интеграл 552, 578 - - обобщенное значение 595 - ряд 258, 333 Расходящихся рядов суммирование, см. Суммирование рядов обобщенное Рационализация подынтегрального выражения 50, 51, 57, 74, 85 Рациональная функция, интеграл между бесконечными пределами 623 - часть интеграла, выделение 44 Регулярный метод суммирования 395
Решение уравнений рядами 498 Риман 97, 264 Римана теорема 317 Риманова (интегральная) сумма 97 Ряд (бесконечный) 257, 512 - гармонический 263, 267, 270, 289 - гипергеометрический 280, 297, 359, 470, 769 - двойной 333, 513 - знакопеременный 302 - кратный 350 - лейбницевского типа 303 - повторный 330 - расходящийся 258, 292, 333 - сходящийся 258, 292, 333, 512 - - абсолютно 296, 336, 513 - - неабсолютно 296, 317, 336, 516 - остаток 260 - сумма 258, 333, 512 - условие сходимости 294 - частичная сумма степенной, ряд, также, см, 257, 333, 512 Сапогова признак 291 Симпсона формула 159 - - дополнительный член 162 Синус, аналитическое определение 477 - бесконечное произведение 376 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное произведение 378 - - разложение обратной величины на простые дроби 473 - - степенной ряд 367 - разложение обратной величины на простые дроби 472 - степенной ряд 367, 454, 522 ---для log sin х/х 497 Сочетательное свойство ряда 313, 332 Спрямляемая кривая 169 Сравнения теоремы для несобственных интегралов 560 — рядов 264 Среднее значение, теорема 113 ---вторая 117, 600 ---обобщенная 114, 600 - — связь с формулой Лагранжа 124 Статический момент кривой 228 - - плоской фигуры 231 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Степенная функция, главное значение 526 Степенной ряд 298, 364, 515 - - действия 481, 485, 518 - - деление 492, 518 - - дифференцирование 447, 449 - - единственность 445 - - интегрирование 447 - - круг сходимости 515 - - непрерывность 444, 446 - - обращение 502, 506, 518 - - промежуток сходимости 299, 516 - - радиус сходимости 300, 515 - - с двумя переменными 346 - - с несколькими переменными 350 Стильтьес 651 Стирлинг 360 Стирлинга ряд 550, 792 - формулы 369, 550, 793 Стоке 424 Сумма ряда 257, 333, 512 Суммирование рядов обобщенное 395 ---метод Бореля 411 - — Вороного 408 - — Гельдера 411 - — Пуассона—Абеля 396 - — Чезаро 401, 409 - — Эйлера 416 Сфера (полусфера) 241 Сходимости пограничная абсцисса 309 - принцип 308, 512 Сходимость бесконечного произведения, признаки 354
- - ряда, признаки: Абеля 307, Бертрана 279, Гаусса 279, Даламбера 271, 288, 296, 513, Дирихле 307, Ермакова 285, Коши 270, Коши—Маклорена 282, Куммера 277, Лейбница 302, 308, Раабе 273, 278, Сапогова 291 ---условие 293 - несобственного интеграла, признаки 561, 563, 584 ---условие 560, 584 Сходящееся бесконечное произведение 351 Сходящийся бесконечный ряд 258, 292 - несобственный интеграл 552, 578 Тангенс в комплексной области 523 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 493, 497, 524 Таубера теорема 398,405 Тейлора ряд 364, 449, 450 - формула 364 - - дополнительный член 146, 366 Теплица теорема 325 Тождество степенных рядов 445 Тор 230, 233 Торичелли 242 Трактриса 179, 248 Трапеций формула 155 - - дополнительный член 161 Тригонометрическая форма комплексного числа 510 Тригонометрические подстановки 29 - функции, аналитическое определение 477 - - в комплексной области 522, см., также, Синус, и, т.д. - - связь с гиперболическими функциями 1966, 523 - — показательной функцией 519, 523 Улитка 177, 199 Умножение рядов 321, 328, 333, 407, 456, 513 Уникурсальная кривая 85 Френель 721, 729 Фробениус 401 - теорема 403 Фруллани интегралы 621, 635, 636, 638, 639 Харди 576, 740 Харди—Ландау теорема 403 Центр тяжести кривой 229 - - плоской фигуры 232 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Цепная линия 174, 184, 195, 209, 217 Циклоида 175, 184, 185, 199, 209, 218, 230, 233 Цилиндрический отрезок 210, 222, 240 Частичная сумма 257, 333, 512 Чебышев 52 Чебышева—Лагерра многочлены 604 Четная функция, интеграл по симметричному промежутку 138 Шаровой пояс 217 Шлёмильх 373 Штейнер 339 Штольца теорема 326 Эвольвента круга 175, 183, 185 - цепной линии 189 Эволюта, натуральное уравнение 185 Эйлер 57, 255, 263, 358, 361, 362, 363, 376, 377, 395, 611, 699, 717, 756, 758, 764, 778 Эйлера метод обобщенного суммирования рядов 412 - преобразование рядов 384 - ряд 462, 490, 496, 671 - формулы 519, 527 Эйлера—Гаусса формула 361, 754, 775
Эйлера—Маклорена формула 540, 547 — дополнительный член 540, 548 Эйлера—Маклорена ряд 543, 549 — приближенные вычисления 546 Эйлерова постоянная 270, 285, 319, 353, 772, 775, 776, 782, 793 Эйлеровы интегралы первого и второго рода 750, 753 - подстановки 57, 59 Эллипс 176, 195, 198, 199, 201, 202, 229, 233 Эллипсоид 209, 211, 212, 219 Эллиптические интегралы 86 - - в форме Лежзндра 93, 111 - - 1-го—3-го рода 90 - - полные 143, 166, 177, 179, 214, 224, 252, 352, 465, 675, 734, 768 Эллиптический синус 252 Эпициклоида 185 Эрмит 146
ГЛАВА ВОСЬМАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функ- ции искать ее производную, а наоборот - восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение движения s = s(t), т. е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования нашли сначала скорость v = , а затем и ускорение а=^ . На деле, однако, часто приходится решать обрат- ную задачу: ускорение а задано в функции от вре- мени I: a = a(t), требуется определить скорость v и пройденный путь з в зависимости от/. Таким обра- зом, здесь оказывается нужным по функции a=a(t) восстановить ту функцию v = v(t), для которой а является производной, а затем, зная функцию V, найти ту функцию s = s(t), для которой производной бу- дет V. Дадим следующее определение: Функция F(x) в данном промежутке называется первообраз- ной функцией для функции f(x) или интегралом от f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции F{x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом F'(x)=f(x) или dF\x) = f(x)dx*. Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое ин- тегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисле- ния; как видим, эта задача является обратной основной задаче диф- ференциального исчисления. * В этом случае говорят также, что функция F(x) является первообразной (или интегралом) для дифференциального выражения f(x) dx.
12 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [263 Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкну- том или нет) промежутке X функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F(x) + C, где С - любая постоянная, так- же будет первообразной. Обратно, каждая функция, первообраз- ная для f(x) в промежутке X, может быть представлена в этой форме. Доказательство. То обстоятельство, что, наряду с F(x), и F(x) + C является первообразной для f(x), вполне очевидно, ибо [F(x) + C]' = F(x) = /(x). Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для f(x). функ- ция, так что в промежутке X Ф'(х) = /(х). Так как функции F(x) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131, след- ствие]: Ф(х) = Г(х) + С, что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. В силу этого выражение F(x) + C, где С - произвольная постоян- ная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это выражение называется неопределенным интегралом f(x) и обозначается сим- волом J /(х) dx, в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение f(x)dx называется подинтегральным выра- жением, а функция f(x) - подинтегральной функ- цией. Пример. Пусть /(х) = х2; тогда, как нетрудно видеть, неопре- деленный интеграл этой функции будет Г X® I х2 dx = ^ + С. Это легко проверить обратным действием - дифференцированием. Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла» Jпишут дифференциал искомой первообразной функции, а не производную (в нашем примере: х2dx, а не- х2). Такой способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне це- лесообразно.
263] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 13 Из определения неопределенного интеграла непосредственно вы- текают следующие свойства: 1. f(x) dx = f(x) dx, т. e. знаки d wj, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокра- щаются. 2. Так как F(x) есть первообразная функция для F'(x), то имеем F'(x)dx = F[x)-\C, что может быть переписано так: pF(x) = F(x) + C. Отсюда видим, что знаки d nJ, стоящие перед F(x), сокращаются и тогда, когда d стоит после §, но только к F(x) нужно прибавить произвольную постоянную. Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили вначале, мы можем теперь написать, что v = J я(7) dt и 5= J г>(г) dt. Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноуско- ренным движением, например под действием силы тяжести; тогда a=g (если направление по вертикали вниз считать положительным) и - как нетрудно сообразить - v = fgdt=gt + C. Мы получили выражение для скорости », в которое, кроме вре- мени t, входит еще и произвольная постоянная С. При различных значениях С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам известно, что в момент t = t0 скорость v=v0; подставим эти значения в полученное выражение для скорости откуда v0=gt0 + C, C=v0~gt0,
14 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [264 и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид Найдем, далее, выражение для пути з. Имеем S = J feC - ?о) + wol dt = I - Q2 + vo(t - to) C' (дифференцированием легко проверить, что первообразная функция может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоян- ную С можно определить, если, например, дано, что путь s = s0 в мо- мент t = t0; найдя, что C = s0, перепишем решение в окончательном виде ^ = 2^е-?о)2н w00-Zo) 1 50- Значения t0, s0, v0 условно называются начальными значе- ниями величин t, s и V. Мы знаем, что производная функции y = F(x) дает угловой коэф- фициент касательной к соответствующему графику. Поэтому задачу разыскания первообразной F(x) для заданной функции f(x) можно истолковать так: требуется найти кривую у = = F(x), для которой имел бы место заданный закон изменения углового коэффи- циента касательной'. tga=/(x). Если y = F(x) есть одна из таких кривых, то все ос- тальные могут быть получены из нее простым сдвигом (на произволь- ный отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того, чтобы индиви- дуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, напри- мер, задать точку (х0, у0), через которую кривая должна пройти; н а- чальное условие у0 = F(x0)-i-С даст C=y0-F(x0). 264. Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то мы остановимся на этой задаче уже здесь (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и откладывая точную постановку этого вопроса до главы X). Пусть дана в промежутке [а, Ь] непрерывная функция у=/(х), при- нимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рас-
264] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 15 смотрим фигуру ABCD (рис. 2), ограниченную кривой у = /(х), двумя ординатами х = а и х = Ь и отрезком оси х; подобную фигуру будем называть криволинейной трапецией. Желая определить величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади переменной фигуры AMND, заключенной между начальной ор- динатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [а, Ь] значению х. При изменении х эта последняя площадь будет соответственно из- меняться, причем каждому х от- вечает вполне определенное ее значение, так что площадь криво- линейной трапеций AMND явля- ется некоторой функцией от х; обозначим ее через Р(х). Поставим себе сначала зада- чей найти производную этой функции. С этой целью придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Ах\ тогда площадь Р(х) получит приращение АР. Обозначим через т и М, соответственно, наименьшее и наиболь- шее значения функции f(x) в промежутке [х,х + Ах] [85] и сравним площадь АР с площадями прямоугольников, построенных на осно- вании Ах и имеющих высоты т и М. Очевидно, т Ах<АР<М Ах, откуда ар Ах Если Ах—О, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться к /(х), а тогда и Ар P'(x) = lim ^ = /(х). Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а):* производная от переменной площади Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате у = f(x). Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой первообразную функцию для данной функции у = /(х). В ряду других первообразных эта первообразная выделяется по тому при- знаку, что она обращается в 0 при х = а. Поэтому, если известна * В действительности это предложение - хотя и в другой форме - опублико- вал еще Барроу (Is. Barrow), учитель Ньютона.
16 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (264 какая-либо первообразная F(x) для функции f(x), и по теореме предыдущего п° Р(х) = F(x) + С, то постоянную С легко определить, положив здесь х = д O-F(a) I С, так что C=-F(a). Окончательно Р(х) = Г(х)-Дд). В частности, для получения площади Р всей криволинейной тра- пеции ABCD нужно взять х = Ь: P=F(b) — F[a). В виде примера, найдем площадь Р(х) фигуры, ограниченной п а- раболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и от- резком оси х (рис. 3); так как парабола пересекает ось х в начале коор- динат, то начальное значение х здесь 0. Для функции f(x) = ax2 легко найти первообразную: f(x) = -y . Эта функция как раз и обращается в 0 при х = 0, так что Р(х) = Г(х)=^=^ [ср. 32, 4)]. Ввиду той связи, которая существует между вычислением интегралов и нахож- дением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть квад- ратурой. Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрица- тельными площади частей фигуры, расположенных под осью х. Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [а, Ь\ функция /(х), читатель всегда может представить себе перво- образную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геоме- трическую иллюстрацию доказательством существования пер- вообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади еще не обосновано. В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая не-
265] § 1- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 17 прерывная в данном промежутке функция f(x) имеет в нем первооб- разную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас. В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непре- рывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утверждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать суще- ствование интегралов: рассматриваемые нами инте- гралы все существуют. 265. Таблица основных интегралов. Каждая формула дифферен- циального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функ- ции F(x) производной будет f(x), непосредственно приводит к соот- ветствующей формуле интегрального исчисления J f(х) dx = F(x) + С. Перебрав формулы п° 95, по которым вычислялись производные эле- ментарных функций, а также некоторые формулы, выведенные даль- ше (для гиперболических функций), мы можем теперь составить сле- дующую таблицу интегралов: 1. Jo.dx=C. 2. Jl«dx= Jdx=x+ С. 3. Jx-dx = ^ + C (д^-1) 4- J>=J?=Inl*l + c- 5- 6 /yi^dl\lTnb^‘rcsi,,x C 7. J a* dx = + C. J ex dx = ex + C. 8. sinxdx= -cosx + C. 9. cosxrfx = sinx C. 10- + C 2 Г. M. Фихтенгольц, т. II
18 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [266 12. Jsh х dx = chx i С. 13. J ell x rfx -sh x C. 14. I -Л— dx-- cth x I- C. 15. ГтД— dx = thx+ C. J on2 X По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в любом промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот проме- жуток лежит вправо от нуля, так что х>0, то из известной формулы дифференцирования [1пх]'=^ непосредственно следует J^=lnx + C. Если же промежуток лежит влево от нуля и х<0, то дифференциро- ванием легко убедиться в том, что [In ( - х)]' = - , откуда J§=ln(-x) + C. Обе эти формулы и объединены в формуле 4. Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при помощи правил интегрирования. 266. Простейшие правила интегрирования. I. Если а — постоянная (а^О), то J а -/(х) dx = а • J/(x) dx. Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим [105,1] J/(x)fi?xj = a"6?Q/(х)dx] = °‘f(x)dx, так что это выражение является первообразной для дифференциала а-/(х) dx, ч. и тр. д. Итак, постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла. II- f [/(*) ±#О)] dx = У/(х) dx± Уg(x) dx. Дифференцируем выражение справа [105, II]: d [ У /(х) dx ± У g(x) dx] = df f(x) dx ± d У g(x) dx = [/(x) ±g(x)] dx;
267] S 1- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 19 таким образом, это выражение является первообразной функцией для последнего дифференциала, ч. и тр. д. Неопределенный интеграл от суммы (разности) дифференциалов равен сумме (разности) интегра- лов от каждого дифференциала в отдельности. Замечание. По поводу этих двух формул заметим следующее. В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произ- вольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понима- ются в том смысле, что разность между правой и левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но то- гда один из фигурирующих в них интегралов перестает быть про- извольной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замеча- ние следует иметь в виду и впредь. III. Если |/(ОЛ=ЛО + с, то J f(ax + b)dx = -’ F(ax + b) + С. Действительно, данное соотношение равносильно следующему: ±F(t) = F'(t)=f(t). Но тогда F(ax+b) = F'(ax + b)-a = a- f(ax + b), так что ^[- F(ax + b)\=f(ax + b), т. е. | F(ax + b) действительно оказывается первообразной для функ- ции f(ax + b). Особенно часто встречаются случаи, когда а = 1 или b = 0: J f(x + b) dx = F(x + b) + Cx> J f(ax) dx=y F(x) + C2. [На деле правило III есть весьма частный случай правила замены переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже, 268.] 267. Примеры. J (6х2 -3x4-5) dx. Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем J (6х2 - 3x4- 5) dx = J 6х2 dx - J Зх dx4- J 5 dx = - 6Jx2dx-3 Jx<1x4-5 ^<1х=2х3- —x24 5x4 C.
20 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [267 2) Легко проинтегрировать многочлен и в общем виде J (аахп + а1хп~1+ ... +an_ix+an) dx= = 0^ Jхп dx + at Jxn-1 dx-\-... + an-i Jx dx+an Jdx = = —^-xn+14—- xn4-----+ -^-x2 + anx+C. (II, I; 3, 2) и + 1 n 2 3) J(2x2+1)8 dx - J (8хеЧ- 12х4Ч-6х2 4- 1) dx= 8 12 = —x’4-----х5Ч-2х3Ч-хч-С. 7 5 (пример 2) 4) з x2 dx = 5) (x4 l)(x2-3) 3x2 J 3x2 r/1 1 1 П ~ I I — x 4---------1 J I 3 3 x x2l 8 г 8 г 1 ХЧ—х2 + Зх2Ч— х2 Ч— х3 + С. 3 5 3 ха4-х2-3х-3 -----------dx- (II, I; 3, 2) 1 1 1 — х2Ч—х-1пхЧ---НС. 6 3 х (II, I; 3, 2, 4) 6) (х- У'х)(1 + Ух)^_ 3 з dx = «7 6 7 — х’ 13 6 7 (П; 3) Дадим ряд примеров на применение правила III: с dx 7) (а)-----= 1п |х-а| ч-С. J х-а С dx (III; 4) , = f (x-a)_fc dx = (х - а)к J = —-Ц (x-a)_ft+14-C=- — к Ч- 1 8) (a) sin mx dx~----cos mx+ C, J m 1 ----------—Ч-С. (к - 1)(х - а)к 1 (HI; 3) (HI; 8) (m^O) (6) cos mx dx = — sin mx + C, J m (III; 9) (Ш; 7)
2671 § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 21 9) (а) dx 1 2 а dx х „ = aresm —I- С. (х\* а 1- - \а) (1П; 6) dx 1 !+ха ~аг dx 1+ - (а (а=.О) 1 = — аге а tg —и с. а (HI; 5) Примеры на все правила: г(ех-1)(е«+1) , Г. , dx= l(e2x-ex + l-e x)dx = ех 1 = _е2Х_еХ + х + е-Х+С. 2 (II, III; 7, 2) гах+Ь 11) -----dx. J cx+d Разделив числитель на знаменатель, представим подинтегральное выражение в виде a bc-ad 1 —।------------— . с с cx+d Отсюда искомый интеграл равен a bc-ad --------------------------------ln|cx + d|+C. с2 с (И, I, III; 2, 4) 2ха-Зх+1 г( --------Дх = 2х-5 + =х*- 5х+6 In |х+11 4 С. Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается разложе- нием ее на сумму дробей с более простыми знаменателями. Например, 1 1 _ ! ( 1 1\ х2-аа (х-а)(х+а) 2а[х-а х+а'’ поэтому [см. пример 7) (а)] , Г dx 1 — In + С. Для дроби более общего вида 1 (x+a)(x+Z>) можно указать, например, такой прием. Очевидно, (x+a)-(x+6) = a-Z>. Тогда имеем тождественно 1 1 (x+a)-(x+Z>) 1(1 1 (x+a)(x+Z>) a-b (x+a)(x+b) a-b (x+Z> х+а, Таким образом, С dx 1 14)-------------------In J (x+a)(x+Z>) a-b х+Ь х+а +С.
22 ГЛ. VIH. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [267 В частности, г dx г dx I х - 31 15) (а) ----------- ------------ =1п -- Н С, J х2-5х+6 J(x-2)(x-3) |х-2| 2х-1 2х 3 1 С. Знаменатель следующим образом разлагается на вещественные множители: Я(х-а) (х-/?), где -В+Ув^-АС о -B-Yb*-AC а =--------- р ----------- А А А тогда, согласно примеру 14), полагая в нем а - -р,Ь= - а, получим Г dx _ 1 Ах+В-УВ*-АС J Ах*+Вх+С 21/в*-АСП Ах+В+1/В*-АС Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементар- ных преобразований, интегрируются также при помощи простейших приемов. Очевидно, например, 1 + cos 2тх 1 - cos 2тх cos2 тх =------, sin2 тх ------, 2 2 откуда Г 1 1 17) (a) I cos2 тх dx = — x-i-sin 2тх + С, J 2 4m (т^О) fl 1 sin2 тх dx = —х-------sin 2тх+С. 2 4m Аналогичным образом, имеем sin тх cos пх = — [sin (т + л) х+sin (т - л) х], cos тх cos пх=~^ [cos (,и+п) х + cos (m - и) х], 1 sin тх sin пх = — [cos (т- п) х- cos (т+л)х]. Считая т ± п * 0, получим следующие интегралы: Г 1 1 18) (a) sin mx cos nxdx=---------cos (т+ri) х----cos (т - л) х+С, J 2(т + и) 2(т-л) Г 1 1 (б) cos тх cos пх dx=——--sin (т+л)хи---------- sin (т - л)х+С, J 2(т+п) 2(т-п) (в) sin тх sin лх dx =--sin (т - л) х-----sin (т+л) х+С. J 2(т-л) 2(т+л)
268] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 23 В заключение рассмотрим немного более сложный пример. с sin 2пх 19) (а)------dx (в=1, 2, 3, ...). J sm х Так как п п sin 2пх = 2 [sin 2кх - sin (2к - 2) х] = 2 sin х 2 cos (2к - 1) х, А-1 А=1 п то подинтегральное выражение приводится к 2 2 cos (2Л- 1)х, и искомый 4=1 интеграл будет равен п sin(2&-l)x 2 2 --------— + С. 4=1 2Л-1 Аналогично csin (2п + 1)х J, sin 2кх (б) —А-----—dx=x + 2 2 — + С. J sinx а=1 2к 268. Интегрирование путем замены переменной. Изложим один из сильнейших приемов для интегрирования функций — метод замены переменной или подстановки. В основе его лежит сле- дующее простое замечание: если известно, что ^g(t)dt = G(t) + C, то тогда J g(co(x))co'(x) dx = G(co(x)) + С. [Все фигурирующие здесь функции g(t), со(х), а>'(х) предполагаются непрерывными.] Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функ- ции [98] G(a)(x)) = G'(co(x)) ю'(х) = g(co(x)) со'(х), если учесть, что G'(Z)=g(r). Jo же можно выразить и иначе, сказав, что соотношение dG(t)=g(f)dt сохраняет силу и при замене независимой переменной t на функцию со(х) [106]. Пусть требуется вычислить интеграл ^f(x)dx.
24 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [268 Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию от х: t = a>(x), чтобы подинтегральное выражение представилось в виде fix) dx =g(co(x))co'(x) dx, (1) где g(t) - более удобная для интегрирования функция, чем /(х). Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл jg(t)dt = G(t) + C, чтобы из него подстановкой г = со(х) получить искомый интеграл. Обыкновенно пишут просто f/(x)dx= jg(t)dt, (2) подразумевая уже, что в функции от t, которая представлена инте- гралом справа, произведена указанная замена. Найдем, например, интеграл J sin3 х cos х dx. Так как d sin х = cos х dx, то, полагая f = sinx, преобразуем подинте- гральное выражение к виду sin3 х cos х dx = sin3 x d sin x= t3 dt. Интеграл от последнего выражения вычисляется легко: j t3dt^~ + C. Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя sin х вместо t: J sin3 х cos х dx=+ C. Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подстановки Z=co(x), упрощающей подинтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель со'(х) dx, дающий диф- ференциал новой переменной, dt [см. (1)]. В предыдущем примере удача подстановки t = sin х обусловливалась наличием множителя cos xdx-dt. В этой связи поучителен пример J sin3 х dx-, здесь подстановка z=sinx была бы непригодна именно ввиду отсут- ствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из под- интегрального выражения, в качестве дифференциала новой перемен- ной, множитель sinx<7x иди лучше -sinxtZx, то это приведет к под-
268] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 25 становке t = cos х; так как остающееся выражение -sin2 x=cos2 х- 1 этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем J sin3 х dx = J(Z2- 1) dt = ~-t + C=^|-^-cos x + C. При некотором навыке в производстве подстановки можно самой переменной t и не писать. Например, в интеграле У sin3 х cos х dx= Jsin3 x<Zsin x мысленно рассматривают sin x как новую переменную и сразу переходят к результату. Аналогично а х -------= arcsin - + С, Г------/T7V4--а Подстановка *=~' здесь подразумевается. Читатель видит теперь, что правило III, 266, по существу, сво- дится к линейной подстановке t=axib\ J f(ax + b) dx = J f(ax 4- b) d(ax 4- b) = J f(t) dt. Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от указан- ной. Именно, в подинтегральное выражение /(х) dx непосредственно подставляют, вместо х, функцию x=tp(l) от новой переменной t и по- лучают в результате выражение Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку z = co(x), где со(х) - функция, обратная для <p(t), то вернемся к исходному под- интегральному выражению J\x)dx. Поэтому, как и прежде, имеет место равенство (2), где справа, после вычисления интеграла, следует положить z = co(x). Для примера найдем интеграл Jdx yi(i+Ух)
26 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [268 Если положить x = z« (чтобы все корни «извлеклись»), то получим з_ /x = Z3, /x=t* 2, dx = 6tbdt и f---= 6 J = 6 j f dt" [ ТТГ*! = 6(z ~ arctg t) + C- J y*(i+yx) 6 Теперь остается перейти к переменной х по формуле t = l[x, и окончательно . в в Г----^~з~ = б(Ух - arctg Ух) + С. J Ух(1 + У*) Более интересен пример J У а2 - х2 dx. Разность квадратов под корнем (из которых первый постоянен) под- сказывает нам тригонометрическую подстановку x = asint*. Имеем У а2 - х2 = a cos t, dx = a cos t dt и J/а2 - x2 dx = a2 J cos2 t dt. Но мы уже знаем интеграл a2Jcos2 t dt=a2[±t+^ sin 2zj + C [267, (17) (а)]. Для перехода к x подставляем t = arc sin ; преобра- зование второго слагаемого облегчается тем, что ^-sin 2t=^a sin t-a cos t=^x^ a2-x2. Окончательно [/а2 - x2 dx = ~ x^a2 - x2 + arcsin - + C. J 2 2 a Уменье разыскивать выгодные подстановки создается упражне- нием. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдель- ные частные замечания, облегчающие это разыскивание, читатель найдет в следующем п°. В канонических случаях подстановки будут просто указаны в курсе. * Уместно указать, что х мы считаем изменяющимся между - а и a, a t между ---и — . Поэтому t = arc sin — . 2 2 а
269] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 27 269. Примеры. 1) (а) Г ех’х dx, 6) f Х^Х , в) I —-— dx. J J 1 X4 <J cos2 х^ (а) Решение. Полагая t = х*, имеем dt = 2x dx, так что Jе*'х dx = z Jе* ^ = ^‘e< + C=i-e3<2+C. (б) Указание. Та же подстановка. Ответ-. ^-arctgx2+С. В обоих случаях интегралы имели вид J g(x2)x dx=у J gix2) d(x2), где g - удобная для интегрирования функция; для таких интегралов естественна подстановка 1 = х2. Аналогично интегралы вида J g(*V‘ dx=|J g(x2) d(x?) берутся подстановкой t - xz и т. д. Под последний тип подходит третий интеграл. 2) J(ox2+/?)mx dx Решение. Можно положить здесь t = х2; но проще сразу взять и = ах2+ft, ибо множитель xdx лишь числовым коэффициентом отличается от du = 2xxdx. Имеем, таким образом, Г (ах2+/?)их dx = — Г им du =------им+1 + С =-----(,axt+S)i‘+1+C. J 2а J 2а(|а+1) 2а(/г+1) г In х с dx с dx 3) (a)-----dx-, (б) ——, (в) ——. J х J xlnx J xln2x Указание. Все эти интегралы имеют вид J £(ln х) ~ = J £(1п ln х и берутся подстановкой t = In х. Ответ: (а)—1п2х+С; (б) In In х+С; (в)----------------и С. 2 In х 4) Интегралы вида f i'(sin х) cos х dx, Г i'(cos х) sin х dx, f ^(tg x)- J J J cos2 x берутся, соответственно, подстановками f=sinx, u = cosx, t) = tgx.
28 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [269 Например, г cos х dx г dt (а) -------= ------ = arctg/+С = arctg sin х+С: J l+sm2x J 1+t2 C f sin x г du (6) tgx dx= ----dx= - —= -In Iи| +C= -In Icosxl +C; J J cosx Ju r dx J A2 sin2 x-t-B2 cos2 x cos2 x r dv A2 tg2 x + B2 J A2v2+B2 1 Av 1 [A 'i = — arctg---h C=---arctg — tgx + C. AB В AB [B J r2x dx J x2 + l (6) | ctg X dx, (в) f —- dx, (r) f -— .......... J Je2x4-1 J sin x cosx Решение, (а) Если положить t = x2+1, то числитель 2x dx дает в точности dt; интеграл сведется к edt j y = ln |t|+C=ln (x2 + l) + C. Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид Г f '(х) cdf(x') J /(x) X J /'(x) ’ так что в подинтегральном выражении числитель представляет со- бой дифференциал знаменателя, подстановка t=f(x) сразу при- водит к цели edt jy = ln |/|+C=ln |/(х)|+С. По этому образцу имеем г С tZ sin х (б) ctgx dx= I--------= ln|smx|+C [ср. 4) (6)]; J J sin x (в) g2x е2х+1 1 r<Z(e2x+l) 1 - ------- =-1п(е2х+1)+С; 2 J e2x U 2 Г dx (r) dx sin X COS X cos2 х tgx = In |tgx| +C. 6) Из последнего интеграла легко получаются два полезных интеграла: (a) dx sin x sin — cos— 2 2 (6) dx cos x
269] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 29 dx = J У arctg х d arctg х = — (arctg х)2+С; „ г exdx г dex (б) = -------=arctgex + C; J е2х+1 J (ex)2+1 г 1 dx f 1 1 (в) tg------- - tg —d — J X X2 J X X 1 = In cos— +С [CM. 4) (6)]. Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих двучлены вида а2-х2, х2+а2 и х2-а2. В этих случаях обьино бывает выгодно заменить х тригонометрической или гиперболической функ- цией от новой переменной t, используя соотношения 1 sin2 Z+cos21= 1, l [ tg2 г-sec2 г , cos2t 1 ch21 - sh21 -= 1, 1 - th2t = ch21 C dx 8) . J (x2 + a2)2 a dt a2 Подстановка: x~atgt*, dx =---, x2 + a2= , так что cos21 cos21 r dx 1 r 1 ---------- - cos2 tdt —(f+sin Zcosr)+C [cm. 267, 17) (a)]. J (x2+a2)2 a3 J 2a3 „ x Перейдем теперь к переменной х, полагая t = arc tg — и выражая sm t и cos t x a через tg t = —. Окончательно a C dx 1x1 x -------= —--------1--arc tg —H C. J (x2+a2)2 2a2x2+a2 2a3 a r dx 9) ——. •1 ^x2±a2 Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь для примера, на нижнем знаке, положим: х = a ch t (при х и t > 0), dx = a sh t dt, ]’x2-a2 = = ashz. Интеграл приведется просто KjdZ = Z+C. Для перехода к х вспомним выражение обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)] f dx =--1п(-+ /7-) -И + С=1п(х+Ух2-а2) + С', J Ух2-а2 Vя Iя/ J причем в постоянную С' мы включаем и слагаемое - in а. Г dx с dx г dx 10) (а) -------, (б) --------, --------. J (х2+а2):”. J (х2-а2)7> J (а2-х2)7> 7Т ji * Причем достаточно предположить t изменяющимся между — и — .
30 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [269 В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая и гиперболическая подстановки. Для примера, во втором интеграле возьмем a sin t dt a tg t dt x = a sec t, dx =--- cos21 г dx тогда x2 - a2 = a2 tg21 и cos t 1 c cos t dt 1 1 J (х--а~У!г a2.1 sin2 Г a2 sin I dx 1 a~ Vx2-a2 Подстановка: х = a sin t, dx = a cos t dt приводит этот интеграл к такому [см. 6) (а)]: t Но 1 г dt 1 — -— = —In tg— + С. a J sin t a 2 2 t 1 - cos t a - }'а2- tg2 = sin t так что окончательно а - ^а--х2 Г dx 1 ...........— — In J x ][a2-x2 a В заключение рассмотрим еще два переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаях, но зато быстро ведет к цели. С dx 1» J «0). + С. примера интегрирования путем замены Положим Ух2+а=г-х и примем t за новую переменную. При возведении в квадрат, х2 в обеих частях можно опустить, и в результате t2-a х= -----, 2/ так что Окончательно ,---- I2 —a l2+a Vx2 + a=t-----• =----- ‘ 2t 2t </х = - - dt. 2t2 dx [Ср. 9)] dx 13) —_________ . (a-x-=/3). 3 yCx-aXjg-x) „ n ( n\ Положим, x = a cos2 <p+psm2y I 0«p-= — I, где <p - новая переменная; тогда x-a = (/?-a)sin2y, /?-x=(/?-a)cos2<p, dx = 2( - a) sin cp cosy dtp. Таким образом, dx У(х-а)(^-х) = 2 arc tg
270] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 31 270. Интегрирование по частям. Пусть u=f(x) и v=g(x) будут две функции от х, имеющие непрерывные производные и' = f'(x) и v' = =g'(x). Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d(uv) = = udv + v du или и dv = d(uv) - v du. Для выражения d(uv) первообраз- ной, очевидно, будет uv; поэтому имеет место формула J и dv = uv - J v du. (3) Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения и dv = uv’ dx к интегрированию выражения v du = vu' dx. . Пусть, например, требуется найти интеграл х cos х dx. Положим, и = х, dv = cosxdx, так что du^dx, w = sinx*, и, по формуле (3), J х cos xdx= Jx </sinx = xsin x- Jsin x dx = x sin x + cos x + C. (4) Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить сложную подинтегральную функцию х cos х на простую sin х. По- путно для получения v пришлось проинтегрировать выражение cos х dx - отсюда и название: интегрирование по частям. Применяя формулу (3) к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя: и и dv = v' dx, из которых первый дифференцируется, а второй инте- грируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно стараться, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы замена и на и d» на я в совокупности влекла за со- бой упрощение подинтегрального выражения. Так, в разобранном примере было бы явно невыгодно взять, скажем, х dx за dv, a cos х за и. При некотором навыке нет надобности вводить обозначения и, v, и можно сразу применять формулу [ср. (4)]. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например, Jхк lnm х dx, Jx* sin bx dx, Jx* cos bx dx, Jxk (** dx и др., * Так как для наших целей достаточно представить cos х dx хоть одним спо- собом в виде dv, то нет надобности писать наиболее общее выражение для v, содер- жащее произвольную постоянную. Это замечание следует иметь в виду и впредь.
32 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1271 которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. Повторное применение правила интегрирования по частям при- водит к так называемой обобщенной формуле интегри- рования по частям. Предположим, что функции и и v имеют в рассматриваемом про- межутке непрерывные производные всех порядков, до (и г 1)-го вклю- чительно: и', v', и”, v", ..., гХп), г(п), гХп+1), гХп+1>. Заменяя в формуле (3) v на гХп>, будем иметь J ягХп+1) dx = J и ddri) = пгХп) - J du = игЧл> - J и' dx. Аналогично J u'tW dx = - J и"гХп-1) dx, Jm'M"-1) dx — u"dn~^ - J и'"-гХ'’-2) dx, J zXnV dx = iWv - J гХп+1)г? dx. Умножая эти равенства поочередно на +1 или на -1 и склады- вая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой и левой частях придем к упомянутой формуле: J «гХп+1) dx = = wfin)-uMn~1>+u"tfin-z>- ... +(-1)пгХп>ц + (-1)п+1УгХл+1^</х. (5) Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из множителей подинтегральной функции служит целый многочлен. Если и представляет собой многочлен л-й степени, то iXn+1> тождественно равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончательное выражение. Перейдем к примерам. 271. Примеры. 1) у х® In х dx. Дифференцирование In х приводит к упрощению, поэтому полагаем dx 1 и = In х, dv = х3 dx, так что du = — , v = — х4 х 4 и г 1 1 г 1 1 x3\nxdx = — х41пх хМх = —х41п х------х4 + С. J 4 4J 4 16 2) (а) у In х dx, (б) У arctg х dx, (в) у arcsin х dx,
2711 § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 33 Принимая во всех случаях dx=dv, получим (a) Jlnx<7x = xlnx- Jxdlnx = xJnx- J<Zx = x(lnх- 1)+С; (б) J arctg х dx = х arctg х - х d arctg х = г х 1 —х arctg х- - — dx = x arctg х--1п(х2+1)+С [см. 269, 5) (а)]; J х2 +1 2 в) J arcsin х dx = х arcsin х - у х d arcsin х = =.v arcsin х- Г---— = х arcsin х + 1/1 -х2 + С [см. 269, 2)]. J yi-x3 3) У х2 sin х dx. Имеем У xV(-cos х) = — х2 cos х — у (-cos х) dx2- - х2 cos х+2у% cos х dx. Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270 (4)]; подстав- ляя его значение, получим x2sinxrfx = -x2cosx+2(xsinx+cosx) + C. В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось при- менить двукратно. Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы Р(х)е<“ dx, у Р(х) sin bx dx, у Р(х) cos bx dx, где P(x) - целый относительно х многочлен. 4) Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям, то можно получить сразу общие выражения для интегралов этого вида. Полагая гйп+1) = еах, будем иметь gax еах еах ==----------------, «(п~2)=— и т. д. а а2 а3 Поэтому, считая Р(х) многочленом n-й степени, по формуле (5) получим г ГР Р' Р" 1 J Р(х)е<“г/х = еах + • | + С- Аналогично, если взять ®(n+i) = sin bx, то . cos bx , sin bx cos bx V(n) =----_ jXn-l)=------------ф(Л-2)=--------- и т# д_ b b2 b3 Отсюда формула P(x) sin bx с/х = sin bx ----- + ... - cos bx -----H ... +C. Ь2 b* J 1Л b3 J 3 Г. M. Фихтенгольц, т. II
34 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [271 Подобным же образом устанавливается и формула [Р Р" 1 ГР' p"f q h ... Ч-cos bx --------1------- +C. b b3-J-LZ>2 b*-J 5) J x3 In2 x dx. Имеем p x4 1 If. 1 If In2 x d — = — x4 In2 x-xld In2 x = — x4 In2 x-x3 In x dx, J 4 4 4J 4 2J и мы свели дело к интегралу 1). Окончательно Г 1 1/1 1 1 1 ( 1 11 х31п2 х (& = — х41п2 х-— х1 In х-------х4 +С = —х1 In2 х-In хЧ— +С. J 4 2 (4 16 J 4 I 2 8 ) Так, последовательно, вычисляется интеграл J xft lnm х dx, где к - любое вещественное число (к^ -1), a m= 1, 2, 3, ... Если применить к этому интегралу формулу интегрирования по частям, положив u = lnmx, то получим рекуррентную формулу С , 1 т г . I xklnm х dx-----xk+1 lnm х--------I хл Inm-1 х dx, J >t+l Л+lJ по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению интеграла такого же типа, но с меньшим на единицу показателем при In х. Впрочем, подстановка / = 1пх приводит рассматриваемый интеграл к виду J tme(k+i)t (ft, уже изученному в 3) и 4). 6) Любопытный пример представляют интегралы J еах cos bx dx, J" eax sin bx dx. Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем, dv^e^dx, v = — eaX), то получим а [ еах cos bxdx = — еах cos bx Ч— [ еах sin bx dx, J a a J feaxsinZ>x dx = — eax sin bx--\eax cos bxdx. J a a J Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой *. * Если под интегралами разуметь определенные первообразные [ср. замечание в 266], то, желая во второй формуле иметь те же функции, что и в первой, мы, строго говоря, должны были справа присоединить еще некоторую постоян- ную. Конечно, она была бы поглощена постоянными С и С' в окончательных выражениях.
271] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ 35 Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится: Г b sin bx+a cos Ьх I еах cos bx dx =-----------еах+С. J а2 + Ь2 Аналогично находим и второй интеграл Г . a sin bx - b cos bx I eax sin bx dx =-------------eax + C. J a2 + b2 7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла С dx /„ =---------- (л=1, 2, 3, ...). J (х2 + а2)п Применим к нему формулу (3), полагая 1 2пх dx и =-------, dv = dx, так что du----------------, v-x. (х2+а2)п (x2+«2)"+! Мы получим X Г Ха Jn =----------h 2п --------— dx. (x'1-i-a2)n J (x2+«2)n+i Последний интеграл можно преобразовать следующим образом: г х2 г(х2 + а2)-а2 с dx с dx J (x2+a2)n+1 J (x2+«2)"+1 J (х2 + а2)п J (x2 + a2)n+1 + Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению dn-~~-----—- + 2nJn ~ 2na2Jn+1, (х2+а2)п откуда 1 х 2л-1 1 •1/24 1 ~----------1-------dn . (6) 2nd2 (х2+а2)п 2л а2 Полученная формула сводит вычисление интеграла Лг+1 к вычислению интег- рала Jn с меньшим на единицу значком. Зная интеграл 1 х Ji = — arctg— а а [267, 9) (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при л = 1 найдем 1x1 х -----1-arctg — 2а2 х2 + а2 2а3 а
36 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [272 [что мы выше получили другим путем, см. 269, 8)]. Полагая в формуле (6) п = 2, мы получим далее 1 х 3 1 х 3x3 х j =---------1----j =---------1--------[.-arctg— 4а2 (х2+а2)2 4а2 4а2(х2+а2)2 8а4х2 + а2 8а5 а и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл Jn для любого натурального показателя п. § 2. Интегрирование рациональных выражений 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде. Мы по- знакомились с элементарными приемами вычисления неопределен- ных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по ко- торому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предо- ставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих пара- графах мы остановимся подробнее на некоторых важных классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне опре- деленный порядок вычислений. Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при инте- грировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет произведено самое их выделение. В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к кото- рым в первую очередь применяется анализ; это - так называемые элементарные функции и функции, которые выражаются через эле- ментарные с помощью конечного числа арифметических дей- ствий и суперпозиций (без предельного перехода). В главе III мы видели, что все такие функции дифференцируемы и их производные принадлежат к тому же многообразию. Иначе об- стоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам этому классу не принадлежит, т. е. не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа названных выше операций. К числу таких заведомо невыражающихся в конечном виде интегралов относятся, например, ^e~x'dx, JsinxMx, Jcosx2<&, rsin x , rcosx . г dx J X J X J inx другие примеры подобного рода будут приведены ниже [280, 289. 290 и сл.]. Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально суще- ствуют *, но они лишь представляют собой совершенно но- * См. сказанное по этому поводу в 264. Мы вернемся к этому ниже, в 305.
2731 § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 37 вые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы назвали элементарными *. Известны сравнительно немногие общие классы функций, для ко- торых интегрирование может быть выполнено в конечном виде; этими классами мы ближайшим образом и займемся. На первом месте среди них надлежит поставить важный класс рациональных функ- ций. 273. Простые дроби и их интегрирование. Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегри- рованием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя). Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих четырех типов: т А тт А ттт Mx+N TV Mx+N х-а’ ' (x-a)k’ ' x2+px + q’ ' (x2+px+q)m ’ Ц=2, 3, ...) (m=2,3,...) где A, M, N, a, p, q - вещественные числа; кроме того, по отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен x2+px + q не имеет вещественных корней, так что п2 р2 v-<7-=0 или о--7=-0. 4 4 и 4 Дроби вида I и II мы уже умеем интегрировать [267, 7)] Л =Л In |х-а| + С, я [ ______1____l с J (х-а)к к-1 (х-аУ1^1 Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирование об- легчается следующей подстановкой. Выделим из выражения х2 +px-\-q полный квадрат двучлена 9 9 О Р 1Р\* Г /Р)21 ( Р\2 ( Р*\ x2+px + q = x2 + 2-^‘X \ + ?-к = х + 2 +Р-’4 Г * Для того чтобы помочь читателю освоиться с этим фактом, напомним ему, что интегралы р dx г dx J х J 1 + х2 от рациональных функций сами уже не являются рациональными функ- циями. Таким образом, если бы для нас «элементарными» были лишь рацио- нальные функции, то уже названные интегралы от «элементарных» функций не выражались бы через «элементарные» функции, представляя собой «неэлементар- ные» функции новой природы: 1ц х и arctg х!
38 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [274 Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число поло- жительное, его можно положить равным а2, если взять а = Теперь прибегнем к подстановке р 1 , х + £ = t, ax = at, x2+px + q = t2 + a2, Mx+N=Mt + ^N-~j. В случае III будем иметь С ( Мр\ Mt+ я------- С Mx+N , 2 J . Me 2t dt Mp\ e dt Jx2+px+g X~ t2 + a2 ~ 2 J t2 + a2 + | J t2+a2~ = ln(t2 + a2) + - (?V -arctg - + C, 2' “I 2 I a или, возвращаясь к x и подставляя вместо а его значение: г Mx+N , М, , „ . 2N-Mp . 2х+р —,--;— их = In (х2 +px + q) + - arctg - jx2+px+q 2 v Е y4q_p2 6У47=7 Для случая IV та же подстановка даст ( Mp\ Mt+\N---- - ..dUdt = г Mx+N , J (x2+px+?)m х _М г 2tdt (*. Мр~\ г dt ... “У] (/2 + a2)m +(JV-_2_J J (Д+^)т • Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой t2 + a2 = u, 2t dt = du г 2tdt _ г du _ 1 1 1 1 J (?2+«2)m ~ J um ~ m-lun'~1 + C^ m^l(J2+a^m^ + C' Второй же из интегралов справа, при любом т, может быть вычис- лен по рекуррентной формуле (6) п° 271. Затем останется лишь по- 2х+р _ ложить в результате г = ——, чтобы вернуться к переменной х. Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей. 274. Разложение правильных дробей на простые. Остановимся теперь на одной теореме из области алгебры, которая, однако, имеет фун-
274] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 39 даментальное значение в теории интегрирования рациональных дро- бей: каждая правильная дробь Р(х) С(х) может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей. Это разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим образом связано с разложением ее знаменателя Q{x) на простые мно- жители. Как известно, каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается (и притом единственным образом) на вещественные же множители типа х-а и x2+px + q; при этом квад- ратичные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые име- ются) и полагая, для простоты, старший коэффициент многочлена <2(х) равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде Q(x) = (x-a)k ... (x2+px+q')m ..(3) где к, .. .,т, ... суть натуральные.числа. Заметим, что если степень многочлена Q есть п, то, очевидно, сумма всех показателей к, сложенная с удвоенной суммой всех показателей т, в точности даст л: £к + 2£т = п. (4) Для доказательства теоремы установим предварительно следую- щие два вспомогательных предложения: 1°. Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель х-а, входя- щий в разложение знаменателя с показателем к^\, так что e(x) = (x-a)kei(x), где многочлен 61 Уже на х-а не делится. Тогда данная правильная дробь Р(х) Р(х) G(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей* А , Р,(х) (x-a^kx-ayt-iQ^x) ’ из которых первая является простой, а знаменатель второй со- держит множитель х-а в более низкой степени, чем раньше. * Буквы Р, Q (с различными указателями) обозначают здесь целые многочлены, а буквы А, М, N - постоянные числа.
40 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [274 Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен Р1(х) так, чтобы выполнялось тождество Р(х) - AQx(x) = (х - а) Л(х). Определим сначала А так, чтобы левая часть делилась на х-а, для чего достаточно (по известной теореме Безу), чтобы ее зна- чение при х = а было нулем; это приводит к следующему выражению для А: Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме Безу) <2х(а) # 0. При указанном выборе А многочлен Рх определится просто как частное. 2°. Пусть теперь x2+px + q будет какой-нибудь из квадратичных множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем 1, так что на этот раз можно положить е(х) = (х2 +рх + q)m £(х), где многочлен Qx на трехчлен x2+px + q не делится. Тогда данная правильная дробь Р(х) Р(х) е(х) (х2+рх+д)те/х) может быть представлена в виде суммы правильных дробей Mx+N Л(х) (x2+px+g)m + (x‘+px+q)m~1Q1(x') ’ из которых первая уже будет простой, а вторая содержит в зна- менателе упомянутый трехчлен снова - в низшей степени. Для доказательства достаточно подобрать' числа М, N и много- член Рх(х) так, чтобы имело место тождество Р(х) - (Л/х ч-Л^б^х) = (х2 +рх + q)Px(x). Определим М и N так, чтобы на этот раз левая часть делилась на квадратный трехчлен x2+px + q. Пусть остатками от деления Р и Qx на этот трехчлен будут, соответственно, ах+/3 и ух+д. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на x2+px + q делилось выражение ах+/3 — (Мх + .¥)(ух 4- 3) = - уМх2 + (а - дМ - yN)x + (P~dN). Выполнив здесь деление, на самом деле, в остатке будем иметь [(РУ - tyM -yN+ а]х + [q уМ - 6N+/3]. Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким обра- зом, для определения ЛГ и .¥ получим систему из двух линейных
274] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 41 уравнений; ее определитель ру-д 97 -7 -д = д2—руд + qy2 отличен от нуля. Действительно, при у # 0 его можно написать в виде „г/ <5Р ( <51 1 Т2Ц~у] + ; но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчлена x2+px + q в точке х=~- и, следовательно, не может быть нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При у = 0 опре- делитель сведется к д2, а в этом случае й заведомо не нуль, поскольку многочлен на x2+px+q не делится. Установив указанным путем значенияMnN, многочлен Рг и здесь также определим без труда как частное. Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоремы. Оно сведется к повторному применению предложений 1° и 2°, кото- рые обеспечивают возможность последовательного выделения про- стых дробей из данной правильной дроби, вплоть до ее исчер- пания. Если множитель х-а входит в Q лишь в первой степени, то, в силу 1° (при к = 1), мы поставим ему в соответствие единственную про- стую дробь вида А х-а В случае же, если показатель степени х-а есть к=-1, то, выделив, на основании 1°, простую дробь Ак (х-а)к' мы к оставшейся дроби снова применим 1°, выделим простую дробь Л-1 (x-a)fc-1 ’ и т. д., пока множитель х-а вовсе не исчезнет из разложения знаме- нателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю (х-а)к (к> 1) будет отвечать группа из А; простых дробей А , Л . . -^к х~а‘ (х-а)3 ’ ’' (х-а)к' (5) Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчер- пается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные Множители.
42 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (275 Аналогично этому, пользуясь 2°, квадратичному множителю х2 +рх + q мы поставим в соответствие одну лишь простую дробь вида Mx+N x2+px+q если он входит в первой степени, и группу из т простых дро- бей MyX+Nr M2x+N2 Mmx+Nm . „ x2+px+q ' (rf+px+q)2 (х2+рх+о)т ’ ' если этот множитель входит с показателем лг>1. То же можно сделать и с прочими квадратичными множителями, если они еще имеются; этим и завершается доказательство теоремы. 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дро- бей. Таким образом, зная разложение (3), мы тем самым знаем зна- менатели тех простых дробей, на которые разлагается данная р дробь g. Остановимся на вопросе об определении числителей, т. е. коэффициентов А, М, N. Так как числители группы дробей (5) содержат к коэффициентов, а числители группы дробей (6) 2т коэф- фициентов, то ввиду (4) всего их будет п. Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибегают к методу неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем. Зная форму разложения дроби , пишут его с буквенными коэффициентами в числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет Q; скла- дывая их, получим правильную дробь *. Если отбросить теперь слева и справа знаменатель Q, то придем к равенству двух многочленов (л - 1)-й степени, тождественному относительно х. Коэффициентами при различных степенях многочлена справа будут линейные одно- родные многочлены относительно л коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициен- там многочлена Р, получим, наконец, систему л линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того, что возможность разложения на простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не может оказаться противоре- чивой. Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет реше- ние, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов много- члена Р), то ее определитель необходимо будет отличен от нуля. Иными словами, система всегда оказывается определенной. Это простое замечание попутно доказывает и единственность * Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой пра- вильную же дробь.
276] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 43 разложения правильной дроби на простые дроби. Поясним сказанное примером. 2х2+2х+13 Пусть дана дробь ------—----. Согласно общей теореме, для нее имеется (х-2)(х2 + 1)2 разложение 2х2 + 2х+13 А Вх+С Dx+E (х-2)(х2 + 1)2 “х - 2 + х2+1 + (х2+1)2 ’ Коэффициенты А, В, С, D, Е определим, исходя из тождества 2х2 + 2х +13 = А (х2 +1)2 + (Вх+С)(х2+1)(х - 2)+(Dx + Е)(х - 2). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем к системе из пяти уравнений х» Л + Б = 0, -2В+С = 0, 2Л+Б-2С+Р = 2, -2В+С-2Р+£'=2, Л-2С-2£'=13, откуда Л = 1, В=-1, С=-2, Р=-3, К=-4. Окончательно 2х2 + 2х+13 1 х + 2 Зх+4 (х-2)(х2 + 1)2 ~ х-2 "хЧЛ ~(х2 + 1)2 ’ Алгебраический факт, который мы только что установили, имеет непосредственное применение к интегрированию рацио- на льных дробей. Как мы видели в 273, простые дроби инте- грируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через которые выражаются интегралы от целого многочлена и от правильных дро- бей, то можно сформулировать более точный результат: Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде - с помощью рациональной же функции, логарифма и арктан- генса. Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспоминая формулы п° 273, имеем 2х2+2х+13 ------------цх = (х-2)(х2+1)2 г dx rx + 2 f Зх + 4 1 3-4х 1 -------------dx - -------rfx=-------1— In ) x-2 Jx2+1 J (x2 + l)2 2x2 + l 2 (x-2)2 —------4arctgx+C. x2 + l 276. Выделение рациональной части интеграла. Существует прием, принадлежащий М. В. Остроградскому, с помощью кото- рого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби зна- чительно упрощается. Этот прием позволяет чисто алгебраиче- ским путем выделить рациональную часть интеграла.
44 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (276 Мы видели [273], что рациональные члены в составе интеграла получаются при интегрировании простых дробей вида II и IV. В пер- вом случае интеграл сразу можно написать = -1Д-7—Л£=т + С. (7) J (х-а)к к-1 (х-в)« 1 v ' Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла г Mx+N , ( , л! J (x2+px+q)m [ * 4 J Прибегнув к знакомой уже нам подстановке x+^ = t, используем равенства (1), (2) и формулу приведения (6) п° 271 при п = т- 1. Если вернуться к переменной х, то получим р Mx+N , M'x+N' р dx J (x2+px+q)m X~ (x^+px+qyn-1 +J (x^+px+qY”-1 ’ где M', TV' и а означают некоторые постоянные коэффициенты. По этой же формуле, заменяя т на т-1, для последнего интеграла най- дем (если ш=-2) р a dx _ M"x+N" о р dx J (x2+px+q')m~l (x2+px+g)m-a^P J (x2+px+q)m~2 и т. д., пока не сведем показатель трехчлена x2+px + q в интеграле справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные члены суть правильные дроби. Объединяя их вместе, получим резуль- тат вида г Mx+N , R(x) , р dx J (x2+px+q)m X-(x2+px+q)m~1+ J x24-px+? ’ ' ' где R(x) - целый многочлен, степени низшей, чем знаменатель *, а А - постоянная. р Пусть имеем правильную дробь , которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые мно- жители [см. (3)]. Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида (5) или (6). Если к (или т) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (5) [или (6)], кроме пер- вой, преобразуются по формуле (7) [или (8)]. Объединяя все эти ре- зультаты, окончательно придем к формуле вида J VW ViW J * См. сноску на стр. 42.
276] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 45 Р, рациональная часть интеграла получена от сложения выделенных У1 выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель Qr имеет разложе- ние 6i(x) = (х - а)*-1... (х2 +рх + г?)т~1... р Что же касается дроби , оставшейся под знаком интеграла, то она ^2 получилась от сложения дробей видаI и III, так что она также пра- вильная и 2г(х) = (х~а)• • .(x2+px+q)... Очевидно [см. (3)], 2 = 212г- Формула (9) и называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме Q l<2ij G2 ’ Мы видели, что многочлены 21 и 2г легко находятся, если из- вестно разложение (3) многочлена Q. Но они могут быть определены и без этого разложения. Действительно, так как производная Q' со- держит все простые множители, на которые разлагается Q, именно с показателями на единицу меньшими, то 21 является наибольшим общим делителем Q и Q', так что может быть определено по этим многочленам, например, по способу последовательного деления. Если 2х известно, то 2г определится простым делением Q на 21- Обратимся к определению числителей Рг и Р2 в формуле (10). Для этого также пользуемся методом неопределенных коэф- фициентов. Обозначим через и, и1; и2, соответственно, степени многочленов Q, 21 > 2г> так что тогда степени многочленов Р, Рг,Р2 будут не выше п-1, ^-1, п^-1. Подставим в качестве Рг и Р2 многочлены степеней их -1 и i^-l с буквенными коэффициентами; всего этих коэффициентов будет п1 + п2, то есть и. Выполним в (10) дифференцирование P'rQi-PiQi .Р*_Р Ql & Q ’ Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю Q, сохраняя целым числитель. Именно PiQi-PiQi = 12 1 & = Х&-Л# qI Q1Q2 Q ’
46 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [276 если Н означает частное . Но это частное можно представить в виде целого многочлена. Действительно, если (х-а)*, при fcs=l, входит в состав Qlt то войдет в <2(,а х-аъ состав g2; такое же заключение можно сделать и о множителе вида {x^+px + q)”1 при /иэ»1. Следовательно, числитель Н нацело делится на знамена- тель, и впредь под Н можно разуметь целый многочлен (степени «2-1)- Освобождаясь от общего знаменателя Q, придем к тождеству двух многочленов (степени п - 1) Р^-РгН+Р^Р. Отсюда, как и выше, для определения п введенных буквенных ко- эффициентов получим систему из и линейных уравнений. Так как возможность разложения (10) установлена, каково бы ни было Р, то упомянутая система должна быть совместной при любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что опре- делитель ее отличен от нуля, а значит - система необходимо ока- зывается определенной, и разложение (10) - при указанных знаменателях QL и Q2 - возможно лишь единственным обра- зом *. Пр и м е р. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла р 4х4+4х3 +16х2 +12х+8 I-------------------<Zx. J (х+1)2(х2+1)2 Имеем 61 = 62 = (х+ l)(x2-i-1) = х3+х2+х +1, 4х4+4х3+16х2+12х+8 Г ax2+bx+c 1' dx2 + ex+f (х3+х2+х+1)2 1 х3+х2 + х+1 1 х3+х2+х+1 ’ откуда 4х4+4х3+ 16х2 + 12х+ 8 = = (2ax4-Z>)(x3+x2+x+l)-(ax2+Z>x+c)(3x2+2x+l)+(i/x2+ex+/)(х3+х2+х+1). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях, получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные а, Ь, х5 d=Q (в последующем уже d в расчет не берем), х4 -а+е = 4, х3 -2b+e+f=4, х2 х1 х° a-b-3c+e+f=16, а=-1, Ь=1, с= -4, 2д-2с+е+/=12, <7 0, е = 3, f=3, b-c +/= 8. * Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби на простые дроби, стр. 42.
2771 § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 47 Итак, искомый интеграл г4х44-4х34-16х24-12х4-8 j ______________________dx J (х4-1)2(х24-1)2 x2-x4-4 x34-x24-x4-l x2-x+4 x3 + x2+x+1 -4-3 arctg X4-C. В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести сразу. В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби. Можно, впрочем, и этот процесс объединить с предыдущим. 277. Примеры. Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рациональ- ных функций. р dx J х2(1+х2)2’ Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых пре- образований: 1 (14-х2)-х2 1 1 х2(14-х2)2 “ х2(14-х2)2 ” х2(14-х2) (1 +х2)2 (14-х2)-х2 111 1 х2(14-х2) (14-х2)2 х2 14-х2 (14-х2)2 Ответ:-----------------arc tg х 4- С. х 2 14-х2 2 4х24-4х-11 -------------------dx. (2х-1)(2х+3)(2х-5) Имеем 4х24-4х-11 (2х-1)(2х4-3)(2х-5) АВС ”1 + 3+ 5 --х4— х 2-2 2 откуда следует тождество Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последо- 13 5 113 вательно х = —, - —, —; сразу получим А= —, В=---------, С = — (ибо всякий раз 2 2 2 4 8 8 справа останется лишь одно слагаемое).
48 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [277 3 3 1 Ответ: — In 4 Х-— - — In 1x4— 4—In 2 8 2 8 5 х---+С = 2 = 11п 8 2 8 8 (2х -1)2 (2х - 5)3 I --------------- 4-С *. Г dx ’> Ыг Так как х44-1 = (х4 + 2х2+1) -2х2 = (х2+1)2- (хУ2)2 = (х24-хУ24- 1)(х2 -хУ24-1), то разложение ищем в виде 1 Ах + В Cx+D -----=-----------1------------, х<4-1 х24-%У24-1 х2-х]/24-1 Из тождества 1 = (Ах+В) (х2-хУ24-1) 4-(Сх + D) (x*+xl/2+1) получаем систему уравнений уз л+оо, -У14 + В+У2С+Л = О, А- У2В+С+У2Р = 0, B+D=l, откуда Таким образом, С dx 11 1 1 Я=-С=-----B=D = — 21/2 2 х+1/2 1 f х-1/2 х24-хУ2 + 1 2}'2 J х2-хУ24-1 1 x% 4~xV2 -J-1 1 t .— .1 , r— . =-----In-----4:----[-----arctg (xV2+1) -I--- arctg (xV2 - 1) +C. 41/2 x2-xy24-l 21/2 2/2 Использовав формулу сложения для арктангенсов [50], можно этот результат представить и в такой форме: 1 , х24-хУ24-1 1 xl/2 —~ In--------—-----[--— arctg-----h С . 4У2 х2-хУ24-1 2У2 I-*2 Нужно заметить, однако, что это выражение годится лишь отдельно для промежутков (-<=, -1), (-1, 1), (1, 4-~), ибо в точках х= ±1 оно теряет смысл. Постоянная С для этих промежутков, соответственно, равна с------, с, с+----------. 2]/2 21/2 Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функции при х = ± 1. г 2х* - 4х34-24х2 -40x4-20 4) -----------------------dx. (х-1)(х2-2х4-2)3 ----------------- ! * Очевидно, постоянная С' разнится от постоянной С на-----In 2.
277] § 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 49 Прибегнем к выделению рациональной части интеграла. Имеем Q2 = (x-1) (х2-2x4-2). Таким образом, 2х4-4х34-24х2-40х4-20 [ ax3+bx2 + cx+d ]' е fx+g (х-1) (х2 —2х4-2)3 L (х2-2x4-2)’- J + х^1 + х2-2х4-2 ’ причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла). Тождество 2х* - 4х34- 24х2 - 40х 4- 20 = (Зох2 4- 26х 4-с)(х2-2х4-2)(х-1)- -(ax34-bx24-cx4-d)‘ 2(2х- 2) (х- 1)4-е(х2-2х4-2)34-(/х4-?)(х- 1)(х24-2х4-2)2 приводит к системе уравнений: Xе X5 X4 X3 X2 X1 X® откуда « = 2, e+f= О, -а- бе- 5f+g = О, -a-2b+18e+12f-5g=2, 8a+2b-3c-32e-16f+12g = -4, - 6a+4b + 5c — 4d+36e+12/- 16д= 24, - 4b 4- 8d- 24e -4f+\2g=- 40, - 2c - 4d+ 8e - 4g = 20, 6=-6, c = 8, d=-9, e = 2, f=-2, g = 4. 2x4-6х24-8х-9 (х-1)2 Ответ'.----------------h In--------1- 2 arctg (x - 1) + C. (x2-2x4-2)2 x2-2x + 2 x6 - x5 4-x4 4-2x3 4-3x2 4-3x 4-3 5) ——---------------—-----dx. (x4-1)2(x24-x4-1)3 Выделим рациональную часть интеграла. Имеем Si = (x4-1) (х24-х4-1)2, Q2 = (х4-1) (х24-х4-1). Разложение ищем в виде ax44-6x34-cx24-<7x-f-e Т /х24-^х4-/г (х4-1) (х24-х4-1)2 1 +(х4-1) (х24-х4-1) ’ Из системы уравнений: х7 х6 Xs X4 X3 X2 X1 х° /=°, -й4-?=1, a-2b+3g+h^ -1, 5а - b - 3c + 5g+3h = 1, 4a+3b-3c-4d+5g+5h-2, 3b+c-5d-5e + 3g+5h = 3, 2c-d-7e+g + 3h = 3, d-3e+h=3 1 Г. M. Фихтенгольп, т. II
50 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [278 находим «=-1, 6 = 0, с=-2, г/=0, е=-1, f=g = h = G. Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции х4-2х2+1 — ——------------НС. (х+1)(х2 + х+1)2 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 278. Интегрирование выражений вида Rу . Примеры. Выше мы научились интегрировать в конечном виде рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений будет разыс- кивание таких подстановок t = со(х), которые привели бы подинтеграль- ное выражение к рациональному виду и дали бы возможность пред- ставить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция ю(х), которую надлежит подставить вместо t, выра- жается через элементарные функции, то интеграл представится в ко- нечном виде и в функции от х. Назовем этот прием методом рационализации под- интегрального выражения. В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл вида т___ 1/^41 dx, (1) J \ ’ 1 ух+о) ’ ' 7 где R означает рациональную функцию от двух аргументов, т - натуральное число, а а, /3, у, д - постоянные. Положим т____ {=СО(Х)=][^+Ё х=<р(п=й,т~£ г «W уух+8’ ух + 8’ a-ytm ' Интеграл перейдет в JR(cp(t), t)<p'(t) dt; здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R, <р, <р' - рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам преды- дущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив t = = ю(х). К интегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы p±£V ...U, J I IУ* + 0J 9 I * Условимся раз навсегда буквой А обозначать рациональную функцию от своих аргументов.
279] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 51 получить рациональную функцию от х где все показатели г, s, ... рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю т, чтобы под знаком интеграла т ][ах+8 и от радикала и —. Примеры. 1) dx. Здесь дробно-линейная функция ax+fi ------, в частности, свелась просто ух+о к линейной функции. Полагаем t = Ух+Т, dx = 2tdt-, тогда (х+1)2- dx = 2 2 7-i 2t+2 = 1п где остается лишь подставить t = (1-1)2 2 21 + 1 ------------arctg------и С, ,2+'+1 Уз Уз dx У(х-1)(х+1> 3 з 612<й dx ----------; тогда (l2-!)2 fs-i ’ г.т Л*+1 Полагаем t= /---- I х—1 3 3 1 /2 + Г + 1 21-1 = — In---------pH arctg ---- + С, 2 (1-1? 4 УЗ где 1 = 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры. Би- номиальными называются дифференциалы вида хт(а + />хп)р dx, где а, Ъ - любые постоянные, а показатели т, п, р - рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в ко- нечном виде. Один такой случай ясен непосредственно: если р - число целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматривае- мое выражение относится к типу, изученному в предыдущем п°. Имен- но, если через А обозначить наименьшее общее кратное знаменателей л дробей т и п, то мы имеем здесь выражение вида R (/х) dx, так что л для рационализации его достаточна подстановка 1 = /х.
52 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [279 Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z = xn. Тогда 1 ^±1-1 xm(a + bxn')p dx = -(a + bz)P z п dz и, положив для краткости т+1 -----1=9, п 4 будем иметь J хт(а + Ьхп)р dx = J (а + bz)pzp dz. (2) Если q - число целое, то мы снова приходим к выраже- нию изученного типа. Действительно, если обозначить через v зна- V менатель дробир, то преобразованное выражение имеет вид R(z, У a + bz). Рационализации подинтегрального выражения можно достигнуть и сразу - подстановкой t = a + bz = У а + Ьхп. Наконец, перепишем второй из интегралов (2) так: Легко усмотреть, что при p + q целом мы также имеем изучен- ный случай: преобразованное выражение имеет вид R (z, Подинтегральное выражение в данном интеграле рационализируется и сразу подстановкой V ----Г~ v a+bz ,/—_n , / ----=У ах n + b. z Таким образом, оба интеграла (2) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел р, q, p + q или (что то же) одно из чисел т+1 т+1 р, ---,-------\~Р- е,п п Эти случаи интегрируемости, по существу, известны были еще Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия П. Л. Чебышев установил замечательный факт, что других слу- чаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифферен- циалов нет.
2791 § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 53 Рассмотрим примеры. з Здесь т ------, Jx 2(l+x4j3</x. 1 1 п = —, р = — : так как 4 3 1 ти + 1 2 + п 1 4 то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что v = 3, положим (по общему правилу) Г=у1 + Ух, х = (/3 —I)4, dx = 12t2(Z3-I)3 dt; тогда 3 -t3)dt = — t4(4t3-7) + C и т. д. 7 2) ax f - -- ------= x»(l +-x4) 4 dx. У1+Т4 1 m+1 На этот раз m = 0, n = 4, p --; третий случай интегрируемости, так как - +р = 1 1 4 п =-----= 0. Здесь v = 4; положим 4 4 x = (z4-i)-4\ X так что dx 4____ У1 + х4 с/ dx= -Z3(/4- 1) 4tZ/, yi+x4=zx = r(z4-l) 4 Пл_.1г * Л,п Ltl z4-l 4J [r+1 t-lj 2JC-+1 4 t-1 - — arctg t+C и т. д. dx f -- --------- x-1(l+x5) 3 dx. x^l+x5 </ Здесь »i= -1, л*5, p=--------; второй случай:------- 3 n = 0; v = 3. Положим з____ i_ Г=У1-х3, x = (t3-l)5, 3 -4 dx = — t2(t3- 1) 6 dt;
54 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [280 имеем ' dx 3 f tdt 1 pt 1 t-1 А 1 (z-1)2 УЗ 2/+1 з____ 5 J I3-l 5 J ll-l t2 + t+l 10 t2 + r + l 5 Vi Jxyi+& ' И T. Д. 280. Формулы приведения. Так как интеграл от биномиального дифференциала всегда может быть [см. (2)] преобразован к виду 9 = J (а + bz)fz4 dz, (3) то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих интегра- лов. Установим ряд формул приведения, с помощью которых интеграл (3) может быть, вообще говоря, выражен через подобный же интеграл где р' и q' разнятся от р и q на произвольные це- лые числа. Интегрируя тождества {а + Zjz)₽+1z9 = а(а + bz^z^ + b(a + bz)Pz4+1, [(а + bz)P+1 Z4+1] = (р + 1)6(а + bz)P‘zci+1 + (q + 1)(а + bz)p+1z4, найдем Jp+l, Ча^р, Ч ^Р, 9+1 ’ (а + bzV^z^1 = (р + 1)Z>JP) д+1 + (q + l)Jp+1, q Отсюда получаются первые две формулы /П г (a + bifl+^+t , p + q + 2 r JP’4~ a(p+l) + a(p+lj JP+1.1’ ' (p^-D /in j (a+bz)P+1z9+1 Kp + q + 2 T JP>4~ afa+l) a(9 + l) P>9+1’ (9^-1) которые позволяют увеличить показатель р или q на единицу (если только он отличен от -1). Разрешая эти равенства относительно Jp+19, Jp <?+1 и заменяя р и q соответственно на р - 1 и q - 1, придем к формулам /тТ1\ . _(a + bz)Pz4+1 ар т 1 j JP’P~ р + 9+1 +р + 9+1 Р’1'9’ (Р + 9^-1) МЛЛ г (a + bzV+W aq r 1 ' Р’9 Z>(p + 9+l) 60 + 9+1) Р-9-1’ которые позволяют уменьшать показатель р или q на единицу (если только сумма p + q отлична от -1).
280] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 55 Если ни р, ни q, ни p + q не будут целым числом (так что инте- грал Jp q не выражается в конечном виде через элементарные функции), то формулы приведения могут последовательно прилагаться без вся- кого ограничения. С их помощью параметры р и q могут быть сделаны, например, правильными дробями. Остановимся на более интересном для нас случае, когда интеграл берется в конечном виде. При этом можно предположить, что целым оказывается показатель р или q, так как случай целого p + q подста- 1 новкои z=- приводит к случаю целого q. Тогда последовательное применение выведенных формул позво- ляет свести этот целый показатель, р или q, к 0 (если он был поло- жительным) или к -1 (если он был отрицательным). Этим обычно либо заканчивается интегрирование, либо - во всяком случае - зна- чительно упрощается. Примеры. 1) Рассмотрим интеграл * с хт Нт = .---dx (т - целое). 1 т+1 Здесь п = 2, р ; поэтому при т нечетном оказывается целым числом -= 2 п т+1 т + 1 т+1 1 т =----, а при т четном - число--------[~р =-----=—, так что во всех 2 я 2 2 2 случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой z=x2 сведем его к ин- тегралу 1 г -1 5Lzl 1 —J (1-г) 2г 2 dz = -J_t m_t 2 » 2 Если, считая т =* 1, применить к этому последнему интегралу формулу (IV), то получим 1 /П —1 (l-z)2z 2 т-1 J 1 т — 1 1 т — я ’ или, возвращаясь к данному интегрдлу, 1 ----т—\ нт=-----У1-х2+-----------Нт_2. т т Эта формула, уменьшая значение т на 2, последовательно сводит вычисление Нт либо к * Аналогично можно исследовать и интегралы Г хт Г хт dx, dx. J /х2-1 J Ух2+1
56 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [281 при т нечетном, либо же к f dx Нп = ------= arcsin х+С J ут^ при т четном. Пусть теперь т -= -1, так что т = - ц, ц >1. Применим на этот раз формулу (II) 1 т+1 (1 -z)2 z 2 т + 2 2 1--------------J т! . , т + 1 т+1 -j"’5? откуда x-Ci'-OVl-л2 /1-2 r^=-------- С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение ц на 2 и, последовательно, свести вычисление либо к = 1п при /1 нечетном, либо же к при и четном. 2) Если к интегралу * г dx 1г —— Л,+1= ----------= - (a2+z)-(n+Oz 2dz=J , ч 1 +1 J (x2+a2)n+1 2 J -(n+D,-2 (n=l,2, 3 ...) применить формулу (I): i (a2+z)~n# 2n-l 1 -(л+i),na2 2л a2 то, возвращаясь к Jn, получим уже известную нам [271, (6)] формулу приведения 1 х 2л -1 1 +1 2ла2 (х2+а2)п 2п а2 281. Интегрирование выражений вида R(x, У ax2 + bx + c). Подста- новки Эйлера. Переходим к рассмотрению очень важного класса ин- тегралов Ja(x, У ах2 + bx + с) dx. (4) * Аналогично можно исследовать и интеграл г dx J (ха_в2)л+1
281] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 57 Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональ- ным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые под- становками Эйлера (L. Euler), с помощью которых всегда можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального выраже- ния. I подстановка приложима в случае, если а >0. Тогда пола- гают Уах2 + bx + c = t- Уах *. Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении членов ах2 в обеих частях) bx + c = t2-2Yatx, так что l/at2+bt+cya iyat+b dt. х = с , У ах2 + Ьх + с = 2^t+b Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для опре- деления х получается уравнение первой степени, так что х, а одно- временно с ним также и радикал У ах2 + Ьх + с выражаются рацио- нально через t. Если полученные выражения подставить в (4), то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от t. В результате, воз- вращаясь к х, нужно будет положить t = У ах2 + Ьх + с + ^ах. II подстановка приложима, если с >0. В этом случае можно положить ]'ax2 + bx + c = xt + Ус **. Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить на х, то получим ax + b = xt2 + 2Yct - снова уравнение первой степени относительно х. Отсюда <fc-2 Гв-н+fa л. (a- t2y Подставив это в (4), очевидно, осуществим рационализацию подин- тегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим _ Уах^ + Ьх+с- Ус х * Можно было бы положить и Уах2+Ьх+с = t + Уах. ** Или Уах2+Ьх+с=х1- Ус.
58 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [281 Замечание I. Случаи, рассмотренные выше (а >0 и с >0), при- водятся один к другому подстановкой х = -. Поэтому всегда можно Z избежать пользования второй подстановкой. Наконец, III подстановка пригодна в том случае, если квад- ратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет (различные) вещественные корни Л и ц. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные множители ах2 + Ьх + с = а(х - Х)(х - ц). Положим У ах2 + Ъх + с = t(x - Л). Возводя в квадрат и сокращая на х-л, получим и здесь уравнение первой степени д(х-д) = г2(х-А), так что (I2-or и т. д. Замечание II. При сделанных предположениях радикал Уа(х - А)(х - д) (считая для определенности, скажем, x>z) можно пре- образовать к виду (х-Я)^, так что в рассматриваемом случае Л(х, У«х2 + Z>x + с) = (х, Уд , и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного в п° 278 типа. III подстановка Эйлера, которую можно записать, в форме тождественна с подстановкой, уже указанной в 278. Покажем теперь, что I и III подстановок Эйлера одних доста- точно для того, чтобы осуществить рационализацию подинтеграль- ного выражения в (4) во всех возможных случаях. Дей- ствительно, если трехчлен ах2 + Ьх + с имеет вещественные корни, то, как мы видели, приложима III подстановка. Если же вещественных корней нет, т. е. /я2-4дс-=0, то трехчлен ах2 + Ъх + с=[(2дх + Ъ)2 + (4ас - Ь2)] при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай д<0 нас не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных зна- чений. В случае же д^О применима I подстановка.
«2] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 59 Эти соображения приводят вместе с тем к общему утверждению: ттегралы типа (4) всегда берутся в конечном виде, причем для пред- •тавления их, кроме функций, через которые выражаются интегралы >т рациональных дифференциалов, нужны еще лишь квадратные корни. 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок. Эйлеровы юдстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть все по- 1учены из наглядных геометрических соображений. Рассмотрим кривую второго порядка у= ±}[ах1 + Ьх-с или y2 = ax2ybx+c. Если взять на этой кривой произвольную точку (х0,у0), так что Уо = ах% + Ьхо + с, (5) го проходящая через нее секущая y-y0 = t(x-x^) пересечет кривую :ще только в одной точке (х, у). Координаты последней найдутся зростым вычислением. Исключая у из уравнений кривой и секущей, толучим [у0 + t(x - х0)]2 = ах2 + Ьх + с, зткуда, с учетом (5), 2у0/(х - х0) +12(х - х0)2 = а(х2 - + Ь(х - х0) 1ли - по сокращении на х-х0 - 2у0? +12(х - х0) = а(х + х0) + Ь. Таким образом, абсцисса х, а с нею и ордината у второй точки пере- сечения выражаются рациональными функциями от пере- менного углового коэффициента t. При этом очевидно, что, надле- каще изменяя t, можно заставить точку (х, у) описать всю кривую. Теперь ясно, что зависимость Уах2 + bx + c-y0 = t(x-x0) 1 определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует под- антегральное выражение в случае (4). Пусть трехчлен ах2 + Ьх + с имеет вещественные корни А и /л; это значит, что наша кривая пересекает ось х в точках (А, 0) и (д, 0); взяв, запример, первую из них за точку (х0,у0), придем к III подстановке Эйлера \ах2 + Ьха-с = t{x - А). Если с >0, то кривая пересекает ось у в точках (0, ± Ус); взяв одну аз них за точку (х0,у0), получим II подстановку Эйлера Уах2 + Ьх + с ± Ус = tx.
60 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [283 Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и I под- становка Эйлера, лишь за точку (х0,у0) мы принимаем беско- нечно удаленную точку кривой. Именно, предполагая а>0 (в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асимптоту кривой у - ± У ах и станем пересекать кривую прямыми у = t ± Уах, параллельными асимптоте (они будут проходить через упомянутую бесконечно удаленную точку). Каждая такая прямая пере- секает кривую во второй точке (х, у), координаты которой будут ра- циональными функциями от t. Отсюда подстановка У ах2 + bx + c = t + Уах. 283. Примеры. Нам уже известны два основных интеграла [269, 9) и 12); 268]: I =1п |х+Ух2±а2| +С, J Ух2±а2 с dx х I---------- arcsin —h С, J У<г2-х2 a относящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить и другие интегралы. Jdx ——==z При вычислении этого интеграла будем различать два случая: а>0 и а«=0. Если а >0, ( Р ) при — = + а2 I а ) то интеграл легко преобразуется к первому из основных 1 dx 1 1/^2- J г а +с. Можно еще умножить аргумент логарифма на а, что введет дополнительное сла- 1 гаемое — In а и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим у« f--------= — In | ах + У<х(ах2 +/?) | + С'. (6) J Уах2+^ Уа <а>0) Если же а-=0, так что а= - |а|, радикал перепишем в виде У/?- |а|х2. Для того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо пред- положить здесь [> > 0. Интеграл преобразуется ко второму из основных интегралов ( Р ) I !«1 J dx У<хх2+р (*-=0) (7)
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 61 К интегралам (6) и (7) с помощью элементарных приемов приводятся многие другие. Например, 2) J У<хх2+/? dx берется интегрированием по частям J ]/ах2+р dx = x}!vx2 — p- Jxd Уах2+/? = ,,----- С ах2 ,г------------- С{<хх2+Р)-Р ^хУах2^/?- dx-х^ух^+р- —=^=3- dx = J Уах2+/? J ^у.х2+р = х У<хх2+р - | Уах2+/? dx+р | ——=== . J J Уах2+Р Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и разде- лив все равенство на 2, найдем Г,------- 1 л,------- р С dx }ах2+р dx = — х У«.х2+рД— (8) J 2 2 J уаха_|_^ Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего интеграла подставить его выражение (6) или (7), смотря по тому, будет ли а^О или а-=0. f dx С dx С dx ---------, (б) ----------, (в) ---------- J х У^2^ J х2 ]Ъ^+р J (*Х2+РУ1, сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой Имеем (для определенности, пусть .ги/>0): х = — , dx ---------dt. t t2 dx _ C dt x~/ax2+p J ]!a+pt2 - дальнейшее вычисление производится по формуле (6) или (7), смотря по знаку р. Далее, dx Р t dt Ухх2+р J y«.+pt2 1 пГ-— ~ ^ах2+Р - _yST^+c= Р Рх и аналогично f dx J (<zx2+py/, C t dt 11 lx J (a+pt2y/2 p ya+pt2 !' l/<xx2+p 4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят к уже вычисленным следующие, например, интегралы: х2 dx . (6) 1/y.x-xp J x ----------- dx. (ax2+P')’/i
62 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [283 Имеем С х2 dx 1 f(ax2+/?)-/? 1 Г ,----- р С dx (а) -----= - - -- dx=- Vax2+pdx-- ----------- J У«х2+/? aJ y«2+? aJ или, воспользовавшись формулой (8), C xs dx 1 ,---- PC dx = — xVix^+p.............. И T. Д. [cm. 1)]. J У<хх2+р 2“ 2“ J У<хх2+р Затем f Vax2+j3 f a.x2+P C x d* C dx (6) -------- dx-= — ------ dx = a +B — -; J x j хУ«х2+р J У»х2+р J x У<хх2+Р первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец, С х2 1 С dx р С dx (в) -------- dx — — ..... -- ------------ J (а.х2+руЧ, a J у^+р a J (ax2+/S)3/. [см. 1) и 3)]. 5) Если под радикалом стоит полный квадратный трехчлен ах2+Ьх+с, часто выгодно линейной подстановкой свести его к дву члену. Выделяя пол- ный квадрат 1 ах2-Ьх-с =— [(2ах+Ь)2+4ас- Ь2], 4а полагают t = 2ax+b. Таким путем, например, из формул (6) и (7) получается при С dx 1 । ,----------1 --------,— =— In [2ах+Ь + 2 Уа(вх2+&х+с)| +С= J Уах2+Ьх+с Уа а при а^О 1 2ах+Ь arcsin +С. У | о | УЬ2-4ас ах+ — + С а(ах2 + Ьх + с) + С (6*) (7*) 6) Обратимся теперь к эйлеровым подстановкам. В 269, 12) мы фактически применили I подстановку к вычислению интеграла dx Хотя второй основной интеграл dx
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 63 нам известен из элементарных соображений, но - для упражнения - мы все же к нему применим эйлеровы подстановки. (а) Если воспользоваться сначала III подстановкой У а2 - х2 = t(a - х), то и С dx С dt 11 а+х ———— = 2 -------= 2 arctg t+C= 2arctg /----|-С. J Уa2 — x2 I a —x Так как имеет место тождество (-а<х<а) то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам. Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла полу- чаться в разных формах, в зависимости от примененного для его вычисления метода. (б) Если к тому же интегралу применить II подстановку ~/а2-х2 = xt-а, то аналогично получим = - 2 arctg t+C= - 2 arctg х Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством *, этот результат годится отдельно для промежутка ( - а, 0) и для промежутка (0, а), ибо в точке х = 0 выражение - 2 arctg а+ Уа2-х2 х лишено смысла. Пределы этого выражения при х — - 0 и при х -* + 0 различны: они равны, соответственно, я и -л; выбирая для упомянутых промежутков раз- личные же значения постоянной С так, чтобы второе из них было на 2л больше первого, можно составить функцию, непрерывную во всем промежутке (-о, а), если принять за ее значение при х=0 общий предел слева и справа. И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо имеют место тождества - 2 arctg arcsin----л а для 0 -= х а, arcsin —|-л а для -а«=х«0. dx Ср. пример 3) п° 277.
64 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1283 (а) Сначала применим I подстановку: Ух2-х+1 = t-х, f2-l 21-1 ’ dx = 2--------dt, (2z-l)2 dx _ C2t‘-2t+2 х+Ух2-x+1 J ?(2Z—I)2 2 t 3 3 1 —-----1——------1 dt — 2/-1 (2Z-1)2J 3 1 3 -----------+ 21n 1/1----In |2f-11 + C. 2 2f — 1 1 1 2 1 1 Если подставить сюда Г = х+Ух2^х+1, то окончательно получим С dx _ _ 3 1 J х+ Ух2 -х+1 2 2х+2Ух2-х+1-1 ——In |2х+2Ух2-х+1 -1| +21п |х+ Ух2- (б) Применим теперь II подстановку: Ух2-x+1 = tx- 1, 2/-1 -2 f2-t+l (z2-l)2 dt, Ух2 —x+1 = t2-r+1 z2-l dx f-2t2 + 2t-2 Гг2 113 1 3 1 -------------= I-----------dt = II------------------—----- dt = х+Ух2 —x+1 J ?(?-l)(z+l)2 JLz 2 r-l 2 r+1 (z+l)2J 3 1 3 = —+ 21n |Z] --In |Z-1|--In |/+1|+C'. У х2 - x +1 +1 Остается подставить сюда t --------; после очевидных упрощений получим х Г dx Зх Jx+Ух2-x+1 Ух2-Х+1+Х+1 + 2 In | Ух2-х+1 + 11 In | Ух2-х+1-х+11 - — — In [ Ух2-х+1 +х +11 + С'. Это выражение хотя и разнится от ранее полученного по ф о р м е, но при С' = 3 = С+— отождествляется с ним. 8) dx (х2 + а2) ]/а!-х2
283] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 65 (а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно применить III подстановку ]fa2-x2 = t(a-x); здесь и Z>0. Имеем t2-l t2+l 4atdt dx =------- (Z2+l)2 х2+а2 = 2o2(Z4+l) (t2+1)2 х = а---- dx _ 1 C2t2+2 (х2 + а2)Уа2-х2 202J '‘+1 1 f 1 1 dt = —\ ------ +-------------- 2a®J [t2+ty2+l z2-?Y2+l = —-— (arctg (t У2+1) + arctg (/ /2 - 1)] + C, а2У2 куда еще нужно подставить для получения окончательного результата [ а+х ! а-х Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным соотношением 1 п arctg—= - arctg а ± — (при а < 0), а 2 можно придать результату более простую форму 1 хУ2 ( п А ----arctg +С, где С^СЧ -1. а2У2 Уа2-х2 V 2а2 У2) (б) Если к тому же интегралу применить II подстановку Уа2 - х2 = tx-a, то получим, что Г-----dx = _ 1— jarctg (у2+ l)r+ arctg ($2-1)/] + С' J (х2+а2)Уа2-х а2У2 а+Уа2-х2 при t =---------. Этот результат годится в отдельности для про- ле межутка (-в, 0) и для промежутка (0, в); легко сообразить, что изменяя зна- чение постоянной С при переходе х через 0, можно сделать его пригодным во всем промежутке (-а, а). Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то он отождествится с предыдущим результатом. 9) f--------V—- • J (х2+Х) Ух2+д I подстановка: y%2+/t = t-х. Имеем f 2 ( Ж 2 f J (%24-2) Ух214 + 2(22 —/z)t2+jU2 J h2 + 2(22-*|U)zz4'|U2 5 Г. М. Фихтенгольц, т. II
66 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1284 Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в резуль- тате надлежит подставить и = t2 = (х + Ух2+/()2. 284. Другие приемы вычисления. Хотя подстановки Эйлера прин- ципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении интеграла типа (4) в конечном виде, но иной раз - при их применении - даже простые дифференциалы приводят к сложным выкладкам. Ввиду важ- ности интегралов рассматриваемого типа мы укажем и другие приемы для их вычисления. Для краткости положим Y = ах2 + Ьх + с и у = /У. Рациональная функция R(x, у) может быть представлена в виде част- ного двух целых многочленов относительно х и у. Заменяя у2 всюду на Y, мы приведем R(x, у) к виду п/ , Р1(х)+Р2(х)у где Pfa) - целые многочлены. Умножая числитель и знаменатель этой дроби на выражение Р3(х) - Р4(х)у (и снова заменяя у2 на У), придем к новой форме для R R(x, у) = R^x) + R2(x')y. Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выражать в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь вторым слагаемым. Умножая и деля его на у, окончательно получим такое выражение R*(x) - = R*(x) --1---, У \ax2+bx+c интегрированием которого мы и займемся. Прежде всего выделим из рациональной функции R*(x) целую часть Р(х), а правильно-дробную часть представим себе разложенной на простые дроби [274]. В таком случае интегрирование полученного выражения сведется к вычислению интегралов следующих трех типов; I. Гdx, J ]'ax2+bx+c у у р A dx J (x-a)ft ^[ax^ybx+c’ HI. f---------Mx+N J (x2+px+^)m Yax3+bx+c где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена x2+px + q - мнимые. Остановимся на каждом из них в отдельности.
284] 8 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 67 I. Положим (для m = 0, 1, 2, ...), Vm хт dx— fxmdx ^ax^ + bx+c J УР Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов. С этой целью, считая возьмем производную (х-1 /У)' = (т - 1)х-2УУ | ~~-= _2(т- l')xrn-2(ax2 + bx+c)+xm~1(,2ax+b) " ___ _ л™ ( П , хт-1 , хт-2 = та —== + т - = о ——- + (т - 1)с —— I 2) Уу У? и проинтегрируем полученное тождество xm”iyy=waFm + ^/n--^Z>F„1-i 1 (rn-l)cVm-2- Беря здесь /и = 1, найдем У=1/У * JZ; 1 а ' 2а ° полагая затем т-2 (и используя выражение для Vj), получим Уг = (2ах - ЗЬ) / У + (3Z>2 - 4ас) Vo. Поступая так дальше, придем к общей формуле Vm=pm_t(x)YY+2mV0, где pm-i(x) есть многочлен (т- 1)-й степени, а Ят = const. Таким обра- зом, все интегралы Vm приводятся к Уо. Если в интеграле I многочлен Р(х) будет и-й степени, то этот ин- теграл представит собой линейную комбинацию интегралов Уо, Vr, ... ..., Vn> а значит, по предыдущей формуле, напишется в виде J^^ = <2(x)/y+Aj^, (9) где Q(x) - некоторый многочлен (и - 1)-й степени, a z = const. Самое определение многочлена Q(x) и постоянной Я обычно про- изводится по методу неопределенных коэффициен- тов. Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на /У, получим Р(х) = Q'(x)(ax2 t- hx + с) + i Q(x)(2ax + b) + 2. 5»
68 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 Если вместо Q(x) подставить сюда многочлен (и - 1)-й степени с бук- венными коэффициентами, то в обеих частях мы будем иметь много- члены и-й степени. Приравнивая их коэффициенты, придем к системе п + 1 линейных уравнений, из которых и определяется п коэффициен- тов многочлена Q(x) и постоянная Л *. Замечание. Формула (9) осуществляет выделение алге- браической части из интеграла №dx. J /У Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отноше- нию к интегралу общего вида f-® dx, J уу где R - знак произвольной рациональной функции. На этом мы не останавливаемся. II. Интеграл р dx J (х-а)ЛУУ 1 приводится подстановкой х - а=- к только что рассмотренному типу. Действительно, имеем dx- ax^ + hx + c-(а«,+^+с)г!!+(2аа+^+а v«-V — у “г 1/Л । V ~” ^2 9 так что (считая для определенности х=-« и />0) р dx _ р__________tk~1 dt______ J (х-а^Уax^+bx+c J y(aaa+&x+c)f2+(2aa+Z>)f+a Если az2 + b<x. + c = 0, t. e. a оказывается корнем трехчлена Y, то дело еще упрощается: мы получаем интеграл типа, рассмотренного в 278. III. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо слу- чай, когда трехчлен ах2 + Ьх + с лишь множителем а отличается от трехчлена x2+px + q. Тогда искомый интеграл имеет вид [• Mx+N , ----------“X. I 2/п-Н J (ах2 + Ьх+с) 2 * Из доказанного явствует, что эта система будет совместной при любых значениях свободных членов, а в таком случае ее определитель необходимо отли- чен от 0, и система оказывается всегда определенной. Этим попутно устанавли- вается и единственность представления (9). (Ср. стр. 42 и 46).
284] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 69 Его легко представить как сумму двух интегралов: М Г 2ах+Ь , (,, Mb\ f dx 2а-----------2/n+T dx+ ---------2^+f ’ (ax3 + bx + c) 2 (axa + foc + c) 2 из которых первый сразу берется подстановкой t = ax + bx \ с. Для вычисления интеграла ~ dx с dx 2m-H ~ I 2т+1 (ах2+Ьх+с) 2 J у 2 всего удобнее так называемая подстановка Абеля (N.-H. Abel) Ь ах+— t = (/У)' = Y =-------— 2]/У }ах3 + Ьх+с Возводя в квадрат и умножая на 4Y, получим равенство 4/2 У = (У')2=4а2х2 + 4abx + Ь2, которое вычтем из умноженного на 4а равенства У = ах2 + Ьх +с. В результате получится 4(а--/2)У=4ас-й2, откуда /4/7Г —Л2\пг 1 ут __ / *ис и ____1 (1П\ 1 [ 4 ) (a-t2jrn * v ' Дифференцируя теперь равенство t^Y=ax | , найдем /у dt j t2 dx = a dx, так что —=-^_ . (П) уу a-t3 v 7 Из (11) и (10) —fr = f—1(а - z2)m-1 dt 2m+l [4ac-b3 ( ’ Y 2 и, наконец, [(a-t^dt. (12) I 14ac - b2 v 7 47 J у 2 J
70 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [284 Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от многочлена. В частности, например, при т = 1 имеем Г dx _ 2 2ах+Ь J (ax2+bx+cy/>~ 4ac-bs ' (б) В общем случае для большей симметрии обозначений положим ах2 + bx + c = а(х2 А-р'х + q'), причем теперь мы можем предположить, что трехчлен в скобках не тождествен с трехчленом x2+px + q. Поставим себе задачей пре- образовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах одновременно исчезли члены первой степени. Пусть сначала р^р'. Тогда нашей цели можно достигнуть с по- мощью дробно-линейной подстановки надлежаще подобрав коэффициенты дир. Имеем > . nv,,,_ (jl2+PP'+q)t“ + [2fiv+p(p+v)-r2q]t+(y1+pv + g) х +px + q- и аналогично - для второго трехчлена. Искомые коэффициенты опре- деляются из условий 2др т p([i + р) + 2q = 0, 2др + р\р + р) 4 2q' = 0 или Таким образом, дир суть корни квадратного уравнения О -p')z2 + 2(4 - q')z + (p'q -pq') = 0. Для того чтобы эти корни были вещественны и различны * (необхо- димо и), достаточно условие (q -q')2-(p -p'Xp'q-pq') =-0; (14) удостоверимся в его выполнении. Перепишем условие в равносильной форме [2(4 + д') -рр']2 => (44 -p2)(4q'-р'2). (14*) Дано, что 44~д2>0 (ибо трехчлен x2+px + q имеет мнимые корни), поэтому неравенство (14*) заведомо выполняется, если одновременно * При д = v подстановка теряет смысл, ибо сводится к х=д.
284] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 71 4«?'-р'2-<0. Остается исследовать случай, когда и 4^'-р'2=-0. Тогда ^>0, с/'>0и4 y~qq'>pp', и мы имеем последовательно* [2(?+q') - рр']2»\аУqq' -рр']2= = (4# -р2)(4с/' -р'2) + 4(р/#' - р'/(7)2г=(4(7 -р2)(4</ -р'2). Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства, но равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно: если q^q', то равенства, наверное, нет в первом случае, а при q=q', на- верное, нет во втором. Таким образом, неравенство (14*), а с ним и (.14), доказано. Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл к виду г Pit) dt J (r2 + A)myaz2+^ ’ где P(t) есть многочлен степени 2т -1 (и А >0). Снова прибегнув (при т=-1) к разложению правильной дроби Pit) на простые, мы придем к сумме интегралов вида Г----/у—г dt (к= 1, 2, ..., т). .1 (/2+Я)*У<х12+/? В исключенном случае, когда р=р', уничтожение членов первой „ р степени достигается еще проще - подстановкой х = t - , и мы н е- посредственно приходим к интегралу только что указанного вида. Полученный интеграл, естественно, разлагается на два: Л г at dt 4 /? Г dt a J (12+Л)п’У«г2+/9 J (12+Л)п’Уаг2+Д ’ Первый из них легко берется подстановкой и = УаГ2+/3. Ко второму же приложима уже знакомая нам подстановка Абеля at и= ,___— . ]/а/2+/? Именно, в силу (11), имеем dt _ du yat^+^tt-u2' * Поскольку а» yqq .
72 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [285 кроме того, как легко вычислить, 1 + а(а-«2) • Поэтому Г_____________________л_______ т г (g-и2)"»-1 , J (Г2+Я)'"Уа72+7 а J [(£-“Л)«а+Яаа]т и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функции. Замечание. Помимо того что мы в настоящем п° указали ряд новых приемов для вычисления интегралов типа (4), совокупность приведенных соображений дает независимое от прежнего доказатель- ство утверждения, сформулированного в конце п° 281. С х& ~~ х~|~ 1 285. Примеры. 1) I---------dx. J Ух2+2х+2 Полагаем ;х»-л: + 1 _________ С dx --------dx<=(ax2 + bx + c)Yx‘‘ + 2x+2+() — . Уха+2х+2 J Ух2+2х+2 откуда х*-х+1 = (2ax+b)(x!1+2x+2)+(axa+bx+c)(x+V)+d. Система уравнений Зй=1, 5а+2Ь = 0, 4ст+ЗЬ~{- с =—1, 26 + с+5 = 1 1 5 15 приводит к значениям а = —, Ь=---, с = —, д = — . Таким образом, если учесть 3 6 6 2 стример 5) п° 283, окончательно получим С* — % 4" 1 1 _________5 —= dx = — (2х2 - 5х +1) Ух2+2х+2+- In (х +1 + Ух2 + 2х+2) + С. J Ух2+2х+ 2 6 2 f dx 2) ---- J (х- 1)3Ух2-2х-1 1 Подстановка х-1=— (если, скажем, х>1 и 1=>0) приводит интеграл к виду Г t‘dt J уГ^2Г2‘ Этот интеграл легко берется элементарными средствами [см. 283, 4)]. Ответ: — t У1 - 2/2-— arcsin 11/2+С= 4 4У2 1 v---------- ’ • 72 » f-----------. J (2х’-х+2)’/«
285] § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 73 Подстановка Абеля 4х-1 Г=—.------- 2У2ха-х+2 преобразует интеграл следующим образом: 64 г ----- (2-/2)Mz; 3375 J при этом можно либо повторить для частного случая общие выкладки п° 284, III (а), либо воспользоваться готовой формулой (12). 64 ( 4х-1 Ответ:-----!2 •----------- 3375 ( (2ха-х+2)7. 1 (4х-1)3 1 (4х-1)5 | ? ’ (2ха-х+2)7.+160 ’ (2ха-х+2)‘/.)+С’ (x+3)dx (ха-х+1)Уха+х+1 Дробно-линейная подстановка fit+r 7+Т дает ха±х+1 = Требования (д’ ±д +1)/ а+ [2fiv ± (д+i>)+2]Z + (у2 ± v +1) (/+1)а 2др±(д+р)+2 = 0 или д+v = 0, дг = -1 удовлетворяются, например, при д = 1, v = - 1. Имеем если - для определенности - считать t+1 =-0 (т. е. х< 1). Таким образом, Г (x+3)rfx f (8Z+4)tft J (ха-х+1)Ух’+х+1 J (га+3)Уз7а+Т Полученный интеграл разбивается на два: Г tdt Г 8 --------------+4 --------------. J (zа+3)уЗга+1 J (tа+3)УЗга+1 Первый легко вычисляется подстановкой и = УЗг а+1 и оказывается равным + С'. Ко второму применим подстановку Абеля 3Z и= —... — . уз/а+1 1Г- I/3P+1 У8 arctg I —-—
74 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [286 которая приведет его к виду f du 1 12 —-----= —In j27-8«2 уб 3]f3 + 2y2U 3]/3-2y2« Остается лишь вернуться к переменной х. f (х? + l)Vx2+x+l +х3 - 1 5) ----- ------------ dx. Указание. Представить подинтегральную функцию в виде 2x4+xs-r-2x2+l 2х5+2х4+Зх3-1 х+1 (х+1)У^+Х+1 4 4 2х4 + 3х2-3х+3 = (2х3 — х2 + Зх — 3) +----—-----------1-----— -—, х+1 ]Ах2+х + 1 (х+1)Ух2 + х+1 к третьему слагаемому применить метод п° 284, I, а к последнему - подстановку х+1=-. t § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов i?(sin х, cos х) dx. Дифферен- циалы этого вида всегда могут быть рационализированы подстанов- кой t = tg~ ( - л < х < л). Действительно, x 2tg — 2 2t Sin X=-------= 4— x 1 + t 1+tg2- х = 2 arctg t, 1-tg2- 2 1-t2 cosx =----7=r+^’ i+tg2- , 2dt dX=lVt* ’ так что R(sin х, cos a) dx = R 2t 1-t 2'1 2dt 1 + t2 ’ 1 + t2 l+t! Таким образом, интегралы типа (1) всегда берутся в конечном виде', для их выражения, кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональных дифференциалов, нужны лишь еще тригонометрические функции. Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для интеграла типа (1), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более
286] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 75 простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементар- ные замечания из области алгебры. Если целая или дробная рациональная функция R(u, v) не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например, и, т. е. если R( -u,v) = R(u, v), то она может быть приведена к виду R(u, v) = R^u2, v), содержащему лишь четные степени и. Если же, наоборот, при изменении знака и функция R(u, v) также меняет знак, т. е. если R( - и, v) = - R(u, v), то она приводится к виду R(u, v) = R2(u2, v)u; это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить к функции —. I. Пусть теперь R(u, v) меняет знак при изменении знака и; тогда 7?(sin х, cos х) dx = 7?0(sin2 х, cos х) sin х dx = - Ло(1 - cos2 х, cos х) d cos x, и рационализация достигается подстановкой t = cos х. II. Аналогично, если R(u, v) меняет знак при изменении знака v, то 7?(sin х, cos х) й?х = 7?*(sin х, cos2 х) cos х dx = 7?J(sm х, 1 - sin2 х) d sin х, так что здесь целесообразна подстановка t=sin х. III. Предположим, наконец, что функция R{u, v) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и и v R(-u, -v)=R(u,v). В этом случае, заменяя и на v, будем иметь R{u, v) = R v, vj = R* , vj . По свойству функции R, если изменить знаки и и v (отношение при этом не изменится), IV J IV I а тогда, как мы знаем, Л*(“, = R? . |t> ’ I 1 Itr I
76 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [287 Поэтому 7?(sin х, cos х) = ^*(tg х, cos2 х) = R* (tg x, t. e. попросту /?(sin.x, cos x) = i{(tg x). Здесь достигает цели подстановка Z = tgx , и^° 7?(sinx, cos х) dx = R(t) и т. д. Замечание. Нужно сказать, что каково бы ни было рацио- нальное выражение R(u, v), его всегда можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных выше частных типов. Например, мо- жно положить z . R(u, v)-R(-u, v) R(-u, v)-R(-u, -v) R(-u, —v)+R(u, «) R(u, V) =------j------+----------2--------+---------2------' Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака и, вто- рое меняет знак при изменении знака v, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака и и v. Разбив выражение 7?(sin х, cosx) на соответствующие слагаемые, можно к первому из них при- менить подстановку Z = cosx, ко второму - подстановку Z=sinx, и, наконец, к третьему - подстановку Z = tg.x. Таким образом, для вы- числения интегралов типа (1) достаточно этих трех подстановок. 287. Интегрирование выражений sin’ х • cos" х. Будем считать v и ц рациональными числами, а переменную х - изменяющейся в про- межутке (о, . Тогда подстановка z=sin2x, dz = 2 sin х cos х dx дает 1 — sin’ х cos" x dx = sin’-1 x(l - sin2 x) 2 2 sin x cos x dx = ! 4=1 4=1 =2(1 -z) 2 z 2 dz, так что дело сводится к интегрированию биномиального диф- ференциала [279] if 4=1 4=1 j sin’xcos" х Jx = 2 I (1-z) 2 z2 dz=-J^y ,-i . (2) J ~~2~ ’ ~T~ Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциалов, мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется в конеч-
287] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 77 Д~ 1 ( v-1А ном виде, 1) если ^-у- или -у— есть целое число, т е. если /л (или v) есть нечетное целое число, либо же 2) если есть целое число, т. е. если /л + v есть четное целое число. Сюда же, в частности, относится случай, когда оба показателя ц и v - целые; впрочем, тогда выражение sin” х cos" х рационально относительно sin х и cos х, т. е. принадлежит классу выражений, уже рассмотренному в предыдущем п°. В этом случае, если показатель v (или /г) будет нечетным, то рационализация сразу достигается подстановкой t=cos х (или t=sin х). Если же оба показателя v и д четные (а также если они оба н е- четные), то можно для той же цели применить подстановку t=tg х или t=ctgx. Заметим, что если показатели v и ц оба суть положительные четные числа, то предпочтительнее другой прием, основанный на применении формул sin х cos х = sin 2х 2 . о 1 - cos 2х sin2 х = cos2 X = l+cos2x 2 Именно, если v = 2n, ц = 2т, то при v=^u пишут sin2n х cos2m . . /"sin 2лЛ2™/" 1-cos 2x'i X = (sin X COS x)2m Sin2!"-m' X = —y---------------2---- а при v<n sin2n x cos2m . . /sin2x'|2n/’l+c°s2x V X = (sin X COS x)2n COS2!"1- n> X = —y— ---------2---- В развернутом виде получится сумма членов вида С sin"' 2х cos"' 2х, где v'+lu'=ssn + m=^y.. Те члены, у которых хоть один из показа- телей v', /j,’ есть нечетное число, легко интегрируются по указан- ному выше способу. Остальные члены подвергаем подобному же раз- ложению, переходя к sin 4х и cos 4х, и т. д. Так как при каждом раз- ложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то процесс быстро завершается. Вернемся к установленной выше зависимости (2). Мы можем теперь воспользоваться формулами приведения биномиальных интегралов [280], чтобы, полагая там а=1, b- -1, ’ установить формулы приведения для интегралов рассматриваемого типа.
78 ГЛ. VIII. ПЕРВООЬРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [288 Таким путем получатся следующие формулы (которые, конечно, могут быть выведены и самостоятельно): (I) sin” х cos'1 х dx = sm>’+1xcos"+1x v+n + 2 . , =------------q------+-----— Sin” X COS"+2 X dx (ll - 1). /1+1 /4+1 J V 7 (II) J sin” x cos'1 x dx = sin,,+1 x cos/'11 x v+u+2 C . . ,, =---------------4---— sin”+2 x cos" x dx (г# - I), 1>+1 v+l J V U (III) J sin” x cos" x dx = smr+1xcosi‘-1x u-l f . „ „ 9 , n. =---------------+-— sin” x cos"-2 x dx (y 1 и 0), l’+/4 v+flJ 4 1 (IV) j sin” x cos" x dx = sin”-1xcos4'+1x v-1 f . m =-----------;-------1-----sin”-2 x cos" x dx (v + и + 0). v+n v+/lJ \ г z Эти формулы вообще позволяют увеличить или уменьшить показа- тель v или /t на 2 (за указанными исключениями). Если оба показа- теля v и /t - целые числа, то последовательным применением формул приведения можно свести дело к одному из девяти элементарных интегралов (отвечающих различным комбинациям из значений v и д, равных -1,0 или 1) 1) J<Zx ==x, 2) Jcosx<Zx=sin х, f dx . . (х л) 3) ------= ln tg Ь + 7 , ' J cos х 6 (2 4 J 4) J sin х dx — - cos х, -х f • , sin2x 5) J sm x cos x dx = , 6) f—— dx= -In Icos x| ' J cosx 1 1 7) f-^- = ln tg 7 J sin X ° 8) f dx = In | sin x I 7 J smx 1 1 9) f_—— — In Itgxl 7 J Sin X COS X I ° I 288. Примеры. 1) J sin® x cos3 x dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены cos х на - cos х. Подстановка t=sin х: С . г , t3 sin3 х sin5 x sin2 x cos3 xdx = Z2(l -I2) dt =------pC=--------------FC •J j 3 5 3 5
288] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 79 г sin5 X 2) ----dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены sin х J cos4x на - sin х. Подстановка t = cos х: f sin5 x rt4-2t23-l dx - -------------dt- } cos4x J t4 2 1 2 -t----1---l-C= -cosx- t 3t3 cosx 1 3--------- 3 COS3 A f ax 3) I-----------. Подинтегральное выражение не изменяет своего значения J sin4 л* cos2 х при замене sin х на - sin х и cos х на - cos х. Подстановка t = tg х: dx f (1+t2)2 2 1 1 ---------— = ------------dt-=t-----------F С = tg х - 2 ctg x--ctg3 x + C. sin4 x cos2 x J ti t 3t3 3 4) J sin2 х cos4 х dx. Здесь пригодна та же подстановка, но проще пользоваться формулами удвоения угла sin2 x cos4 x = — sin2 2x(cos 2x-b 1) = — sin2 2x cos 2x3-(1 - cos 4x) 8 8 16 и r 111 sin2xcos4x dx = — sm3 2x3—x-sin4x3-C. J 48 16 64 J' dx 1 r dx ----------= — ------------. Пригодна подстановка t = sin x, но проще sin x sin 2x 2 J sin2 x cos x прибегнуть к II формуле приведения: 1 г dx 1 1 г dx 2 J sin2xcosx 2sinx 2 J cosx 1 1 -------F— In 2 sin x 2 6) -----. Пригодна подстановка t = sin x, но проще дважды J cos5 x прибегнуть к I формуле приведения: dx sin х 3 г dx cos6 х 4cos4x 4 J cos3 x в свою очередь, r dx J cos3x sin x 1 r dx sin x 1 -------1— ------= ------1— 2cos2x 2 J cosx 2cos2x 2 ,S 2+f 4 c. так что r dx J cos5 x sin x 3 sin x 3 -------1------1— In 4cos4x 8cos2x 8 Г+4 +C
80 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [Ж 7) [~C0S Х dx. Пригодна подстановка Z = cosx, но проще воспользоваться J sin3 х II и III формулами приведения: г cos* х cos5 х 3 г cos4 х --------dx --------------------------ах, J sin3 х 2 sin2 х 2 J sin х cos4 x 1 rcos2x 1 ----- dx=— cos3x+ -------dx~— cos3x+cosx+ln sin x 3 J sin x 3 так что (после упрощающих преобразований) (•cos4x cosx 3 ------dx --------------cos x - — In J sin3 x 2 sin2 x 2 <• dx r dx 8)-------------= -------------------. Подстановка t = cos x: J sin x cos 2x J sin x(2 cos2 x -1) dx Г dt 1 sinx(2cos2x- 1) J (1-Z2)(l-2?2) y2 i+z Vz 1-/^2 tg2 +C, 1 1-Г +~ Id --h C ~ 2 1 + Г c sin® x cos x 9) ------------dx. Так как при изменении знаков у sin х и cos х подин- J sinx+cosx тегральное выражение не терпит изменения, то пригодна подстановка Z = tgx: rsin2xcosx г t1dt rrl 1 1 f-1 1 t-1 1 J sinx+cosx J (1 +r)(l + r2)a J 14 z+1 4 t2+l 2 (t2+l)2J 1 1+Z 1 1 + t =—In --------------hC= 4 yi+72 4 i+i2 1 1 = —In |sinx+cosx|--cosx(sinx+cosx)+C. 4 4 10) f------------—-------------при A С - B- 0. Предполагая -= x -= —, J A cos2x+2Bsinxcosx+Csin2 x 2 2 с помощью подстановки t = tg x приведем интеграл к виду С dt J A + lBt+Ct1 1 Ctgx+B Ответ: —=== arctg —— +C . улс-в2 улс-Б2
288] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 81 и) = Г_______________dl_____ Ja+btgx J (a+bt)(l+t2) (л л\ ----=Х-= —I . 2 2) Разлагая на простые дроби 1 _ A Bt+C (a+btXl+t*)~ a+bt + l+t2 ’ для определения коэффициентов А, В, С получим уравнения A + bB = Q, аВ+ЬО-О, А+аС~1, а Ь a+bt Ответ: ------arc tg t Н---In------h С = a2+Z>2 a2+b2 yj 1 = —— [ах+6 In | a cosx+6 sin x|]+C'. a2+o2 12) К этому же интегралу приводятся следующие два: г sin х dx с cos х dx acosx+bsinx> 2 J acosx+isinx ’ Впрочем, проще вычислить их, исходя из связывающих их соотношений Z>T’1+aT’2 = J tix = x+C1, г -asinx+icosx - aT1+bTi = I----------dx = J acosx+bsmx г d(a cos x+6sinx) = ----------:--= ln lacosx+isinxl + C2, J acosx+bsmx откуда и получаем 1 7i =--— [6x-aln |acosx+isinx|]+C, a2+o2 Тг=——— [ax+Z>ln |acosx+isinx|]+C'. a2+o2 1 f 1-r2 13) —J -—2rcosx+ra -л^х^п). Применим здесь универ- X сальную подстановку t = tg — . Имеем 1г 1 - г2 , „ г dt — ------------dx = (l- гг) ------------ 2 J l-2rcosx+r2 J (l-r)2+(l + r)2/2 * (1 + r 1 (l + r = arctg -— t +C=arctg --tg— +C. U-r J Ц-r 2J 6 Г. M. Фихтенгольц, т. II
82 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [288 К этому интегралу приводится и такой: 1-rcosx г г1 1 1 - г2 ] 1 (1 + г х] ------------ dx = —I---------------dx = — x+arctg ----tg — + C. l-2rcosx + r2 J L2 2 l-2rcosx + r2J 2 (1 - r 2 J p dx 14) --------, в предположении, что lai 5 IZ>| (-л^х^л). J a+bcosx x Пусть сперва | a | > | b | и (что не умаляет общности) а =- 0. Подстановка t - tg —, как и в только что рассмотренном частном случае, дает Г dx J a \-b cosx Можно преобразовать это выражение к виду 1 acosx+6 ± —...— arcsin----------1 С, ya2 _ lyi а+b cos х причем верхний знак берется, если 0==х-=л, а нижний - если - я-=х^0, и значение л постоянной С' возрастает на-------при проходе х через 0. Уа2-Ь2 Пусть теперь |a| -= |Z>| и 6=-0. Та же подстановка: Г dx _ Г 2dt 1 Ja+6cosx J (b+a)~(b~a)t2 уь^-а2 УЬ+а+УЬ-at У b+a- УЬ-at 1 -.... In yz>2-a2 b+a- ]’b - a tg— Это выражение легко преобразуется к виду 1 .... In Уй2-а2 b+a cos x+ УЬ2-а2 sin x a+b cosx + C. c dx л Интеграл I ——------ приводится к предыдущему подстановкой x = — ±t. J a+b sin x 2 r dx 15) Наконец, к интегралу 14) приводится и интеграл -------------. Если J a+bcosх+ сsinx ввести угол а под условием, что b с cos a = —... , sm a =-------, УЪ2+с2 yb2+c2
2891 § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 83 то интеграл перепишется в виде f dx J а+ Yb2+c2 cos (x-a) подстановка i = x-a. И здесь, конечно, интересен случай |а| Y&+C2. 289. Обзор других случаев. В 271, 4) мы уже видели, как интегри- руются выражения вида Р(х)е“х dx, P(x)sin bx dx, P(x) cos bx dx, где P(x) - целый многочлен. Любопытно отметить, что дробные выражения ех , sin х , cosx , . , - _ . — dx, —=- dx, —=- dx (n = 1, 2, 3, ...) xn xn xn ' 7 уже не интегрируются в конечном виде. С помощью интегрирования по частям легко установить для ин- тегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их, соответственно, к трем основным: I. J y dx = J - И у * («интегральный логарифм»); И. * <7x=si х («интегральный синус»); III. J^|^</x = cix («интегральный косинус»)**. Мы знаем уже [271, 6)] интегралы г , asinbx-b cos bx , „ e°x sin bx dx =---+ G J a2+b2 f „ l j 6 sin 6x +a cos fex „ e0* cos bx dx =---,—r,----e“x + C. J a2 + b2 Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы J хпеах sin bx dx, J xnda cos bx dx, где n = 1,2,3, ... Именно, интегрируя по частям, получим г „ , „asinbx-b cos bx nr xneax sin bx dx = xn----r—------eax - J a2+b2 —tttz f •^n“’eax sin bx dx -I f xn^,eax cos bx dx, a2+b2J a2+b2j Г l j n b sintx+e cos bx „„ xne°x cos bx dx = xn--5—t-.------ J a2+bA - [xn~leax sin bx dx- f.\-n~'cax cos bx dx. a-+b-j a2+b2j ‘ * Подстановка x = lny. * * Впрочем, во всех трех случаях надлежит еще фиксировать произвольную постоянную; это будет сделано впоследствии. б'
84 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [290 Эти рекуррентные формулы позволяют свести интересую- щие нас интегралы к случаю и = 0. Если под Р(...) по-прежнему разуметь целый многочлен, то, как окончательный результат, можно утверждать, что в конечном виде берутся интегралы J Р(х, еа'х, е0"*, ..., sin b’x, sin b"x, ..., cos b’x, cos b"x, ...) dx, где а’, а", Ь’, Ь", ... - постоянные. Дело сводится, очевидно, к интегрированию выражения хпеах sin^b'x sin*" b"x ... cos™' b’x ... Если использовать элементарные тригонометрические формулы . , , l-cos2ta sin2 bx =------------------------j----, sin b’x sin b"x [cos(Z>'-b")x-cos (b' + b")x\ и им подобные, то легко разбить рассматриваемое выражение на сла- гаемые типа Ахпе°х sin bx и Вхпе°х cos bx, с которыми мы уже умеем справляться. § 5. Эллиптические интегралы 290. Общие замечания и определения. Рассмотрим интеграл вида §R(x,y)dx, (1) где у есть алгебраическая функция от г, т. е. [205] Удо- влетворяет алгебраическому уравнению Р(х,у) = 0 (2) (здесь Р - целый относительно х и у многочлен). Подобного рода интегралы получили название абелевых интегралов. К их числу от- носятся интегралы, изученные в § 3, т J R (х, У J К (х, У ахг + Ьх + с) dx. Действительно, функции т y-}ax2 + bx + c удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям (ух + S)ym - (ах +/3) = 0, у2- (ах2 + Ьх + с) = 0.
290] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 85 Становясь на геометрическую точку зрения, абелев интеграл (1) считают связанным с той алгебраической кривой, которая определяется уравнением (2). Например, интеграл J R (х, У ах2 + bx + c) dx (3) связан с кривой второго порядка у2 = ах2 + Ьх-\ с. Если кривая (2) может быть представлена параметрически y=r2(t) так, что функции и r2(t) оказываются рациональными (в этом случае кривая называется уникурсальной*), то в инте- грале (1) становится возможной рационализация подинтегрального вы- ражения: подстановкой x = r1(i) оно приводится к виду К (МО, r2(ty)r[(t)dt. К этому классу и относятся оба упомянутые выше случая. В част- ности, возможность рационализации подинтегрального выражения в интеграле типа (3) связана именно с тем фактом, что кривая вто- рого порядка уникурсальна [281, 282]. Очевидно, что переменные х и t связаны алгебраическим уравне- нием, так что t является алгебраической функцией от х. Если расширить класс элементарных функций, включив в него и все алгебраические функции, то можно сказать, что в случае уникурсаль- ности кривой (2), интеграл (1) всегда выражается через элемен- тарные функции в конечном виде. Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле исключением. В общем случае кривая (2) не уникурсальна, а тогда, как можно доказать, интеграл (1) заведомо не всегда, т. е. не при всякой функции R, может быть выражен в конечном виде (хотя не исключена возможность этого при отдельных конкретных R). С этим мы сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса интегралов J R (х, Уаэ? + Ьх2 + сх + д) dx, __________________________ (4) j R (х, Уах* + bx? + сх2 + Эх + е) dx, содержащих квадратный корень из многочленов 3-й или 4-й степени и естественно примыкающих к интегралам (3). Интегралы вида (4) - как правило - уже не выражаются в конечном виде через элемен- тарные функции даже при расширенном понимании этого термина. Поэтому знакомство с ними мы отнесли к заключительному пара- графу, чтобы не прерывать основной линии изложения настоящей * Можно дать и чисто геометрическую характеристику уникурсальной кривой, но мы на этом останавливаться не будем.
86 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [291 главы, посвященной, главным образом, изучению классов интегралов, берущихся в конечном виде. Многочлены под корнем в (4) предполагаются имеющими веще- ственные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать, что у них нет кратных корней, ибо иначе можно было бы вынести ли- нейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к интегри- рованию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл выра- зился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может иметь место иной раз и при отсутствии кратных корней; например, легко проверить, что rl+x4 dx _ х „ Jl-x" yirr<=yra+ ’ f dx = x У2хЧТ+С. J /2x3+1 Интегралы от выражений типа (4) вообще называют эллиптиче- скими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столк- нулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)]. Впрочем это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же, вроде только что приведенных, называют псевдоэллиптическими. Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значений) интегралов от выражений (4) при произвольных коэффициентах а, Ь, с, ..., разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание свести все эти интегралы к немногим таким, в состав которых входило бы по возможности меньше произвольных коэффициен- тов (параметров). Это достигается с помощью элементарных преобразований, кото- рые мы рассмотрим в последующих пп°. 291. Вспомогательные преобразования. 1°. Заметим, прежде всего, что достаточно ограничиться случаем многочлена 4-й степени под корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем многочлен 3-й степени. Действительно, многочлен 3-й степени ах3 + + Ьх1 + сх + д с вещественными коэффициентами необходимо имеет вещественный корень [81], скажем, 2 - и, следовательно, до- пускает вещественное разложение axs + bx2 + ex + д = а(х - А)(х2 + рх + q). Подстановка х - 2 = t2 (или х - Л = - Z2) и осуществляет требуемое при- ведение J R (х, У ах3 + ...) dx = Jl? (t2 + A, + ...) 2t dt. Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержащие корень из многочлена 4-й степени.
291] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 87 2°. По известной теореме алгебры, многочлен четвертой степени с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения двух квадратных трехчленов с вещественными же коэф- фициентами: ах4 + fex3 + bx2 + <)х + е = д(х2+рх + <?)(х2 + р'х + <?')• (5) Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обоих трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело с по- добной же задачей в 284, III (б). Если р=р', то наша цель достигается, как указывалось, простой подстановкой х=/-^. Пусть теперь в этом случае мы вос- пользуемся, как и выше, дробно-линейной подстановкой „ fit+v х'~ t+1 ' Возможность установить вещественные и притом различные значения для коэффициентов р и v, как мы видели, обусловлена неравенством (^-7')2-(Р”Р')(р'?-Р?')=-0. (6) Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один из рассматриваемых трехчленов имеет мнимые корни, и это играло существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь трех- члены (5) оба имеют вещественные корни, скажем, первый - корни а и /3, а второй - корни у и 8. Подставляя р=-(а+/3), <? = а/3, р'=-(у + <5), q'=yb, можно переписать (6) в виде (a-7)(«-W-7)(^-^)>0, (6') а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позабо- титься, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, чтобы было а>/3>у>3), что в нашей власти*. Таким образом, надлежаще выбрав и и v, с помощью указанной подстановки мы получим /ли <"• * Заметим попутно, что представление неравенства (6) в форме (6') может быть использовано для доказательства его и в тех случаях, когда корни а, /?, .. невещественны. Если лишь первый трехчлен имеет невещественные, т. е. комплекс- ные сопряженные корни а и р, а числа у и Й вещественны, то множители а-у и р—у будут сопряженными, так что их произведение будет, как известно, положительным вещественным числом; то же относится и к множителям а -/? и р~ 8. Если же как корни а, р, так и корни у, $ суть попарно сопря- женные комплексные числа, то сопряженными же будут множители а-у и Р~6, а также а-8 w р~у, и их произведения снова дадут положительные вещественные числа.
88 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [292 что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой- либо из коэффициентов М, N, М', N' оказывается нулем) переписать в виде /Л(1 + mr2)(l yrn't2)) dt, при А, т и т‘ отличных от нуля. 3°. С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, кото- рые были применены в начале п° 284, можно свести этот интеграл, с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому: [-7==^)— dt. J ]/Л(1 +/и1г)(1+тп72) Разложим теперь рациональную функцию R*(t) на два слагаемых R*(t\ = RW+R*(~t) R*(t)-R4-t) Первое не меняет своего значения при замене t на -t, следовательно сводится к рациональной функции от Г2: ^(г2); второе же при указан ной замене меняет знак, а потому имеет вид R^t2)t *. Рассматриваемый интеграл представится в форме суммы интегралов г_____R^dt + j- R2(t2)tdt J УA(l + mt2)(l+m't2) J YA(l+mt2)(l + m't2j Но второй из них подстановкой u = t2 сразу приводится к элементар- ному интегралу 1 г Л2(“) du ул(1 + ти)(1+/п'и) и берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследова- нию подлежит лишь интеграл Г_____R&г) dt_____ J ул(1 + тпг2)(1 + тп72) ’ V 7 292. Приведение к канонической форме. Покажем, наконец, что каждый интеграл типа (7) может быть представлен в форме г R(z2) dz J У(1 -22)(1 -k2z2) ’ V ’ где к есть некоторая положительная правильная дробь: 0<&<1. На- зовем эту форму канонической. Положим для краткости у = УА(1 + mt2)(l + m't2). * Ср. замечания по аналогичному поводу в 286.
292] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 89 Не умаляя общности, дозволительно считать здесь А= ±1; кроме того, для определенности ограничимся положительными значениями t. Рассмотрим теперь различные возможные комбинации знаков А, т, т' и укажем для каждого случая подстановку, непосредственно приводящую интеграл (7) к канонической форме. 1) А — +1, т = -h2, т' = -й"2 (й>й'>0). Для того чтобы радикал имел вещественные значения, нужно, чтобы было или Полагаем ht = z, где 0<z<l или z=-^, . Л Тогда dt dz , h’ так что за к здесь следует принять . 2) Л=+1, m=-h2, m' = h'2 (h, h' >0). Для того чтобы радикал имел вещественные значения, ограничимся значениями . Пола- гаем Тогда й/=/1-г2, где 0<z=sl. dt 1 dz у Л'2 Л2+Л'2 z2 1 и И МОЖНО ВЗЯТЬ К = . улчТ2 3) А = + 1, т = h2, т' = h'2 (h>h! > 0). Изменение t ничем не стеснено. Полагаем В этом случае ht = Л= , где 0=sz<l. yi -z2 dt _ dz , Уй2-й'2 И K = --,--- . h 4) A = - 1, m = равенством -h2, m' = h'2 (h, h'>0). Изменение t ограничено не- Берем ht = 1___ yi-z2’ ’ где 0<z<l,
90 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ [293 так что dt _ dz У “ Г 7 Tfi ) и к - ... . ]/й2+Л'2 5) А= -1, т = т' = -й'2 (й>й'=-О). Переменная t может из. 1 1 тт меняться лишь между и . Полагаем Имеем Л2-Л'2 Л2 dt У где 0-=z-=l. dz V/;2 _ h'2 и к = -—— . Этим исчерпываются все возможные случаи, ибо в случае, когда А = - 1 и оба числа т, т’ >0, радикал вообще не мог бы иметь вещественных значений. О множителе R^t2) мы не гово- рили ничего, ибо во всех случаях он, очевидно, преобразовывался в рациональную функцию от z2. Отметим еще, что, рассматривая интеграл (8), мы можем огра- ничиться значениями z<l; случаи z>r приводится к этому по дета- 1 К новкой kz--^, где С<1. 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Теперь остается изучить простейшие из интегралов вида (8), к которым могли бы быть сведены все интегралы этого вида, а следовательно, в ко- нечном счете, и все вообще эллиптические интегралы. Выделим из рациональной функции R(x), фигурирующей в под- интегральном выражении (8), целую часть Р(х), а правильно-дробную ее часть разложим на простые дроби. Если не объединять сопряжен- ные комплексные корни знаменателя (как мы это делали в 274), а рас- сматривать их порознь, подобно вещественным корням, то R(x) пред- ставится в виде суммы степеней хп (и = 0, 1, 2, ...) и дробей вида (х-а)т = 2, 3, ...), где а может быть и мнимым числом, умно- женных на числовые коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8), в общем случае, является линейным агрегатом следующих интег- ралов: Т г z2n dz тт г dz 1„ = ____ и Нт = --------------===== . J У(1-г2)(1-/с2г2) J (z2-a)"IV(l-z2)(l-A:2z2) (n=o,l,2, ...) (га = 1,2, ...)
293] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 91 Остановимся на интегралах 1п. Если проинтегрировать (легко про- веряемое) тождество [z2n-3/(i -z2)(l -&2z2)]' = (2л-3)za"-4/О -z2)(l -&2z2) + + 72Л-3 2fc8z8-(fca-H)z (2n - Dkw* - (2n - 2)(fca + l)z2n~2 + (2л - 3)zan~4 y(l-z2)(l-Z:2z2) ” ]/(l-za)(l-/caza) ’ то получится рекуррентное соотношение (2л - l)k2In - (2л - 2)(fc2 + 1)/п_! + (2л - 3)Zn_2 = = z2"-3/(T-^2X1“”/c2F), (9) связывающее три последовательных интеграла I. Полагая здесь л = 2, выразим 12 через 10 и 1г; если взять и = 3 и вместо 12 подставить его выражение через 10 и 1Г, то и Z3 выразится через эти интегралы. Про- должая так дальше, легко убедиться, что каждый из интегралов 1п(п^2) выражается через /0 и/1( и даже, учитывая (9), можно установить и вид связывающей их формулы In = a„Z0 +М1 + 42 л_з(и)У(1-г2)(1-т где лп и ;3П - постоянные, а ^2Л-з(г) есть нечетный многочлен степени 2л - 3. Отсюда ясно, что если Рп(х) есть многочлен л-й сте- пени от х, то .f 4 +zQn-^2) (10) J ('(1-z2)(l ~K2Z2) где a и p - постоянные, a Qn-2(x) есть некоторый многочлен (л-2)-й степени от х. Определение этих постоянных и коэффициентов много- члена Q может быть произведено (если многочлен Р конкретно за- дан по методу неопределенных коэффициентов [ср. 284, I]). Заметим, что из (9) можно было бы выразить через 10 и 1г инте- гралы 1п и при отрицательных значениях (л = - 1, - 2, ...), так что в интегралах Нт достаточно ограничиться случаем а#0. Переходя к интегралам Нт (скажем, при вещественных а), подоб- ным же образом установим для них рекуррентное соотношение (2т - 2) [ - а + (к2 + 1>2 - Ш] Нт - - (2т - 3)[1 - 2а(к2 + 1) + 3/t2a2] Z/m_t + + (2т - 4)[(&2 +1) - Зк2а]Нт~2 - (2т - 5)к2Нт~3 = = (7П^/(^2ХЬ^г),
92 ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (293 справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т. Отсюда все Нт выразятся через три из них: г dz 1 1 (z2 - а) У(1-z2)(l-A2z2) ’ Яо= f —= r J V(l-z2)(l-Aaza) °’ г =I j J У(1~г2)(1-/с2г2) 1 ' т. е. окончательно через /0, и Н1. Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при мнимых значе- ниях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяснения по этому поводу, отсылая читателя к § 5 главы XII. Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к такому общему заключению: все эллиптические интегралы с помощью эле- ментарных подстановок - и с точностью до слагаемых, выражаю- щихся в конечном виде, - приводятся * к следующим трем стандарт- ным интегралам: и dz г z2 dz У(1-г2)(1-&2г2) ’ J У(1 -z2)(l -£2z2) r dz___________ J (1 +te2) V(l-z2)(l-^2z2) (0<fc<l) (последний получается из HY введением, взамен a#0, нового пара- метра h = -. Эти интегралы, как показал Лиувилль (J. Lion- ville), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр назвал элли- птическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рода. Пер- вые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него, еще (комплексный) параметр h. Лежандр внес в эти интегралы еще дальнейшие упрощения, выполнив в них подстановку z=sin q> изменяется от 0 до . При этом первый из них непосредственно переходит в интеграл f dtp J yi -A2 sin2 9? (H) * Хотя выше даны достаточные указания для того, чтобы вопрос о приведении произвольного эллиптического интеграла к упомянутым трем мог считаться принциги ально решенным, но на практике на этом пути могут встретиться трудности. В специальных монографиях, посвященных эллиптическим интегралам и смежным вопросам, можно найти другие практически удобные приемы для этой цели.
293] § 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 93 Второй преобразуется так: г sin2^ 1 г J yi-fc2sin2<p ^2J У1 — Л2sin2<jr> ^2J т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу J/1 - к2 sin2 <р <кр. (12) Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в f-------------------------------d<p .-.. - (13) J (1 + h sin2 <р) У1 — /c2sin2<p Интегралы (11), (12) и (13) также называются эллиптическими инте- гралами 1-го, 2-го и 3-го рода - в форме Лежандра. Из них особую важность и частое применение имеют первые два. Если считать, что эти интегралы при q> = 0 обращаются в нуль, и тем фиксировать содержащиеся в них произвольные постоянные, то по- лучатся две вполне определенные функции от гр, которые Лежандр обозначил соответственно через F(k, гр) и Е(к,<р). Здесь, кроме неза- висимой переменной <р, указан также параметр к, называемый мо- дулем, который входит в выражения этих функций. Лежандром были составлены обширные таблицы значений этих функций при различных гр и различных к. В них не только аргу- мент ср, трактуемый как угол, выражается в градусах, но и модуль к (правильная дробь!) рассматривается как синус некоторого угла 0, который и указывается в таблице вместо модуля, и притом также в градусах. Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были изучены глубочайшие свойства этих функций, установлен ряд отно- сящихся к ним формул и т. д. Благодаря этому функции F и Е Ле- жандра вошли в семью функций, встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями. Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в ко- нечном виде». Однако было бы ошибочно думать, что этим ограни- чиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллиптические интегралы F и Е являются примерами таких функций, которые пло- дотворно изучаются по их интегральным выражениям и с успехом применяются, хотя и не могут быть представлены через элементар- ные функции в конечном виде. Мы еще вернемся к интегралам F и Е в следующей главе и во- обще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 294. Другой подход к задаче о площади. Вернемся к задаче об опре- делении площади Р криволинейной трапеции ABCD (рис. 4), которой мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас другой подход к решению этой задачи*. Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со- ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок (см. рисунок). Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря- моугольником, основание кото- рого то же, что и у полоски, а П Рис. 4. высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото- рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь- ников. Обозначим абсциссы точек деления через х0 = а<х1-=х2-< ... <х,-<х,+1-=:... <хп = Ь. (1) Основание i-ro прямоугольника (i = 0, 1, 2, ..., п- 1), очевидно, равно разности х/+1-х,-, которую мы будем обозначать через Axt. Что же касается высоты, то, по сказанному, она равна Г/=/(*/)• Поэтому площадь i-ro прямоугольника будет у, Jx,- = /(х,) Зх.. * Обобщая при этом идею, уже однажды примененную в частном примере [32, 4].
294] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 95 Просуммировав площади всех прямоугольников, получим при- ближенное значение площади Р криволинейной трапеции р=2 yt ^xi или р '2f(xi) ^xi i=0 <=0 Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех /1х, стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как пре- дел: Р = lim 2 У/ ^xi = ’ im 2f (xt) ^xi > (2) в предположении, что все длины Ах, одновременно стремятся к 0. Тот же прием применим и к вычислению площади Р(х) фигуры AMND (рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы отрезок AM. Заметим еще, что случай, когда у = f(x), принимает и отрицательные значения, исчерпывается заключенным в 264 условием считать пло- щади частей фигуры под осью х отрицательными. Для обозначения суммы вида -^х (вернее сказать - пре- дельного значения этой суммы) Лейбниц и ввел символ J у dx, где у dx напоминает типичное слагаемое суммы, a J есть сти- лизованная буква 5 - начальная буква латинского слова «Summa» *. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со- хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать J Дх) dx, если речь идет о переменной площади, и ь J Дх) dx а - в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из- менению х от а до Ь. Мы воспользовались интуитивным представлением о площади, чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобразных сумм вида (2) (которые исторически и были введены в связи с за- дачей о вычислении площади). Однако самое понятие площади ну- ждается в обосновании, и - если речь идет о криволинейной трапе- ции - оно достигается именно с помощью упомянутых пределов. Разумеется, этому должно быть предпослано изучение пределов (2) * Термин «интеграл» (от латинского integer - целый) был предложен учеником и сподвижником Лейб ница Иоганном Бернулли (loh. Bernoulli); Лейб- ниц первоначально и говорил «сумма».
96 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [295 самих по себе, отвлекаясь от геометрических соображений, чему и посвящена настоящая глава. Пределы вида (2) играют исключительно важную роль в матема- тическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут неодно- кратно повторяться на всем протяжении курса. 295. Определение. Пусть функция f(x) задана в некотором про- межутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между а и b точки деления (1). Наибольшую из разностей /1х, = х,+1 - х,- (г = 0, 1, 2, ..., и - 1) будем впредь обозна- чать через Я. Возьмем в каждом из частичных промежутков [хг, х,+1] по про- изволу точку х=£; * х,-^|,^х/+1 (i=0,1, ..., п - 1) и составим сумму /=0 Говорят, что сумма а при Я—О имеет (конечный) предел I, если для каждого числа е=-0 найдется такое число й>0, что, лишь только Я<Й (т. е. основной промежуток разбит на части, с длинами Лх,<й), неравенство выполняется при любом выборе чисел Записывают это так: 1=lima. (3) Этому определению «на языке е-й», как обычно, противопоста- вляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [а, Ь] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем - вторым, третьим и т. д. Такую по- следовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений Я = ЯГ, Я2, Я3, ... сходится к нулю. Равенство (3) можно понимать теперь и в том смысле, что по- следовательность значений суммы а, отвечающая любой основной последовательности, разбиений промежутка, всегда стремится к пре- делу I, как бы ни выбирать при этом Доказательство равносильности обоих определений может быть проведено в том же порядке идей, что и в 53. Второе определение * Выше мы в качестве £, брали во всех случаях наименьшее значение х/.
296) § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 97 позволяет перенести основные понятия и предложения теории преде- лов и на этот новый вид предела. Конечный предел 1 суммы о при Я-»0 называется определен- ным интегралом функции f(x) в промежутке от а до b и обозначается символом в I=^f(x)dx; а в случае существования такого предела функция Дх) называется ин- тегрируемой в промежутке [а, Ь}. Числа а и b носят название, соответственно, нижнего и верх- него пределов интеграла. При постоянных пределах опреде- ленный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Риману (В. Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. И самую сумму о иногда называют римановой суммой*; мы же будем предпочтительно называть ее интеграль- ной суммой, чтобы подчеркнуть ее связь с интегралом. Поставим теперь себе задачей - выяснить условия, при которых интегральная сумма с имеет конечный предел, т. е. существует опре- деленный интеграл (4). Прежде всего заметим, что высказанное определение в действи- тельности может быть приложено лишь к ограниченной функ- ции. В самом деле, если бы функция Дх) была в промежутке [а, Ь} неограничена, то - при любом разбиении промежутка на части - она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки £ можно было бы сделать а с ней и сумму с, - сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для с, очевидно, существовать не могло бы. Итак, интегри- руемая функция необходимо ограничена. Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед предпо- лагать рассматриваемую функцию Дх) ограниченной m^f(x)^M (если а^х^Ь). 296. Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства иссле- дования, наряду с интегральными суммами, введем в рассмотрение, по примеру Дарбу, еще другие, сходные с ними, но более простые суммы. Обозначим через /и,- и М,, соответственно, точные нижнюю и верх- нюю границы функции Дх) в i-м промежутке [x,-,xi bl] и составим суммы п—1 n—L 8 = Mi^Xi, s = M^Xf. i=0 i=o * На деле еще Коши отчетливо пользовался пределами подобных сумм, но лишь для случая непрерывной функции. Г. М. Фихтенгольц, т. II
98 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [296 Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верх- ней интегральных сумм, или сумм Дарбу. В частном случае, когда f(x) непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечаю- щих взятому разбиению, так как в этом случае функция /(х) в каждом промежутке достигает своих точных границ, и точки можно выбрать так, чтобы — по желанию - было Ж> = mi или Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и верх- ней границ имеем Умножив члены обоих этих неравенств на /1х,- (/1х,- положительно) и просуммировав по i, получим s S. При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными числами, в то время как сумма а еще остается переменной ввиду произвольности чисел Но легко видеть, что за счет выбора £, мо- жно значения /(£/) сделать сколь угодно близкими как к mh так и к М-„ а значит - сумму а сделать сколь угодно близкой к s или к S. А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже об- щему замечанию: при данном разбиении промежутка суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм. Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами: 1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться. Доказательство. Для доказательства этого свойства до- статочно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам де- ления еще одной точки деления х'. Пусть эта точка попадет между точками хк и xfc+1, так что Х^<Х Если через S" обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней S' она будет отличаться только тем, что в сумме S' промежутку [хк, xft+1] отвечало слагаемое М^хк+1-хк), а в новой сумме S' этому промежутку отвечает сумма двух слагае- мых Л4(х' - хк) + Мк(хк+1 - х'),
2961 § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 99 где Мк и Мк суть точные верхние границы функции f(x) в проме- жутках [xft, х'] и [х', xfc+1]. Так как эти промежутки являются частями промежутка [xfc,xft+1], то Mk<stMk, Мк^Мк, так что Мк(х’ - хк)^;Мк(х' - хк), Мк(хк+1 - x')*sMk(xk+1 - х'). Складывая эти неравенства почленно, получим - Xft) + Mfc(xfc+1 - х') ^Мк(хк+1 - xft). Отсюда и следует, что 5'==5. Для нижней суммы доказательство ана- логично этому. __ _ Замечание. Так как разности Мк-Мк и Мк — Мк, очевидно, не превосходят колебания Q функции Дх) во всем промежутке [а, Ь}, то разность 5- S' не может превзойти произведения QAxk. Это оста- ется справедливым и в том случае, если в к-ом промежутке взято несколько новых точек деления. 2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превос- ходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому раз- биению промежутка. Доказательство. Разобьем промежуток [a, Z>] произволь- ным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу Si и Sj. (1) Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с пер- вым, разбиение промежутка [а, 6]. Ему также будут отвечать его суммы Дарбу % и S2. (II) Требуется доказать, что С этой целью объединим те и дру- гие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное, разбиение, которому будут отвечать суммы и 53. (III) Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых то- чек деления; поэтому, на основании доказанного 1-го свойства сумм Дарбу, имеем Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно гак же за- ключаем, что
100 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (297 Но s3sS3, так что из только что полученных неравенств выте- кает что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что все множество {5} нижних сумм огра- ничено сверху, например, любой верхней суммой 5. В таком случае [11] это множество имеет конечную точную верхнюю границу V~sup {.?} и, кроме того, какова бы ни была верхняя сумма S. Так как множество {5} верхних сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу числом /*, то оно имеет конечную точную нижнюю границу I* = inf {5}, причем, очевидно, Сопоставляя все сказанное, имеем (5) для любых нижней и верхней сумм Д а р б у. Числа 7* и I* называют, соответственно, нижним и верхним ин- тегралами Дарбу [ср. ниже 301]. 297. Условие существования интеграла. С помощью сумм Дарбу теперь легко сформулировать это условие. Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было lim(S-j)=0. (6) 2.0 Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого предела. Например, «на языке е-<5», условие (6) означает, что для любого г=-0 найдется такое что лишь только (т. е. промежуток разбит на части с длинами Лх^б), тотчас выполняется неравенство S-s-^e. Доказательство. Необходимость. Предположим, что существует интеграл (4). Тогда по любому заданному е > 0 най- дется такое й-0, что лишь только все тотчас |сг или Z-e-=<7-=7+e, как бы мы ни выбирали в пределах соответствующих промежут- ков. Но суммы и S, при заданном разбиении промежутка, являются,
298] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 101 как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, т о ч- н ы м и нижней и верхней границами; поэтому для них будем иметь I- s^ss^sS^I I Е, так что limx=/, lim5=Z, (7) л-»о л-»о откуда и следует (6). Достаточность. Предположим, что условие (6) выполнено; тогда из (5) сразу ясно, что /*=/* и, если обозначить их общее зна- чение через I, s&sI^sS. (5*) Если под <7 разуметь одно из значений интегральной суммы, отве- чающей тому же разбиению промежутка, что и суммы s, S, то, как мы знаем, №=сг=^5. Согласно условию (6), если предположить все достаточно малыми, суммы s и 5 разнятся меньше, чем на произвольно взятое е>0. Но в таком случае это справедливо и относительно заключенных между ними чисел <7 и Г. |<7 -I | <е, так что I является пределом для <7, т. е. определенным интегралом. Если обозначить колебание Mt - ш, функции в ьом частичном про- межутке через со,-, то будем иметь п — 1 п — 1 S-s=^ (Mj - /и,) dx; = o)jAx,, 1 = 0 1=0 и условие существования определенного интеграла может быть пере- писано так: л —1 lim £ co/lx, = 0. (8) л-»о ;=о В этой форме оно обычно и применяется. 298. Классы интегрируемых функций. Применим найденный нами признак к установлению некоторых классов интегрируемых функций. I. Если функция f(x) непрерывна в промежутке [«, />], то она ин- тегрируема. Доказательство. Раз функция /(х) непрерывна, то на осно- вании следствия из теоремы Кантора [87] по заданному е>0 всегда найдется такое Й=-0, что лишь только промежуток [а, Ь] раз- бит на части с длинами Дх(<<5, то все со;<«. Отсюда л-1 л-1 £ со,-/1х, <g /1x;-=s(ft - а). 1=0 1=0
102 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [298 Так как b-а есть постоянное число, а е произвольно мало, то условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование инте- грала. Можно несколько обобщить доказанное утверждение. II. Если ограниченная функция f(x) в [а, Ъ\ имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема. Доказательство. Пусть точки разрыва будут х', х", ..., х(Л). Возьмем произвольное е>0. Окружим точки разрыва окрестностями (х'-е', х'+е'), (х"-е", х" +е"), ..., (х® x^ + e(fc)) таким образом, чтобы длина каждой была меньше е. В оставшихся (замкнутых) промежутках функция /(х) будет непрерывной, и мы можем применить к каждому из них в отдельности следствие из теоремы Кантора. Из полученных по е чисел 3 выберем наимень- шее (его мы также будем обозначать буквой S). Тогда оно будет годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам не мешает взять при этом <5<е. Разобьем теперь наш промежуток [а, Ъ\ на части так, чтобы их длины Лх( все были меньше д. Полу- ченные частичные промежутки будут двух родов: 1) Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестностей около точек разрыва. В них колебание функции &>,-=£. 2) Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенных окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие. Так как функция /(х) предположена ограниченной, то колебание ее 12 во всем промежутке [а, Ь\ будет конечно; колебание же в любом частичном промежутке не превосходит Q. Сумму разобьем на две: ^со/Дх,- и ^Щ'Дх,", распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго рода. Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь ^со,Дх,- -=е^Zlxi'<e(b - а), i' i' Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестностей, в сумме промежутков же, лишь частично налегающих на них, может быть не больше 2к, и сумма их длин <2кд, а значит и подавно <2ке. Следовательно, ^щ-Дх," -=12^Дх^ • Зке.
299] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 103 Таким образом, окончательно, при Лх^д имеем <e[(Z> - а) + ЗкО]. I Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скоб- ках содержится постоянное число, а е произвольно мало. Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функций, не покрывающийся предыдущим. III. Монотонная ограниченная функция f(x) всегда интегрируема. Доказательство. Пусть f(x) - монотонно возрастаю- щая функция. Тогда ее колебание в промежутке [xh xi+1] будет о>/=Л^+1)-Я^)- Зададимся любым г>0 и положим s 8 /(«-/(а) ’ Как только Дху-гй, тотчас будем иметь 2^ 2№(+1)-/(%,)] = W)-/(а)] =с, откуда и следует интегрируемость функции. 299. Свойства интегрируемых функций. Из признака п° 297 можно вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций. I. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и функ- ции |/(х)| и kf(x) (где k = const) интегрируемы в этом промежутке. Доказательство проведем для функции |/(х)|. Так как для любых двух точек х', х" промежутка [xf, xz+1] имеем [17] то и колебание со? функции |/(х)| в этом промежутке не превосходит СО/ [85]. Отсюда ^Дх^со^ > так как последняя сумма стремится к нулю (при Я-»0), то первая и подавно, что влечет интегрируемость функции |/(х)|. II. Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ъ], то их сумма, разность и произведение также интегрируемы. Доказательство ограничим случаем произведения /(x)g(x). Пусть | f(x)| =szK, |g(x)|==L. Взяв в промежутке [х,, х,+1] любые две точки х', х", рассмотрим разность f(x")g(x”) -f(x')g(x'} = [/(%") - /(x')]g(x") + [g(x") - g(x')]/(x').
104 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [299 Очевидно, |/(x")g(x") -/(x')g(x')| + если через со,-, со,- обозначить, соответственно, колебания функций f(x), g(x) в промежутке [х,-, х,-+1]. Но тогда [85] и для колебания £?,- функ- ции f(x)g(x) в этом промежутке будем иметь Qi^Lt4i + Kcbi, откуда ^<^>i^Xi + K ^co/lx,. Так как две последние суммы стремятся к нулю (при Я—0), то пер- вая и подавно, что и доказывает интегрируемость функции /(x)g(x). III. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [a, й], то она интегрируема и в любой части [ос, Д] этого промежутка. Наоборот, если промежуток [а, й] разложен на части, и в каждой части в от- дельности функция f(xj интегрируема, то она интегрируема и во всем промежутке [а, й]. Доказательство. Предположим, что функция f(x) интегри- руема в промежутке [а, й], и построим для этого промежутка сумму ^ацЛх/ (считая, что а и р входят в состав точек деления). Аналогич- ная сумма для промежутка [а,/?] получится отсюда, если опустить ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если стремится к нулю первая сумма. Пусть теперь промежуток [а, й] разложен, скажем, на две части [а, с] и [с, й] (где а-=с-=й), и в каждой из них функция /(х) интегри- руема. Возьмем снова сумму ^со,/1х,- для промежутка [а, й]; если точка с оказалась в числе точек деления, то названная сумма соста- вится из двух подобных же сумм для промежутков [а, с] и [с, й] и вме- сте с ними стремится к нулю. Заключение это остается в силе и для случая, когда с не является точкой деления: присоединив эту точку, мы изменим лишь один член суммы, который сам, очевидно, стре- мится к нулю. IV. Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе ( = А) точек, то интегрируемость ее не нарушится. Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения кос- нутся не более чем к членов суммы J>7o,Zlx,-. Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не по- терпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций - исходной и измененной - точки В,- в интегральной сумме всегда мо- жно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для ко- торых значения их разнятся. Замечание. Благодаря этому свойству мы получаем возмож- ь ность говорить об интеграле J/(x)</x даже тогда, когда функция /(х) о
300] § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 105 не определена в конечном числе точек промежутка [а, 6]. При этом можно приписать в этих точках нашей функции совершенно произ- вольные значения и рассматривать интеграл от функции, определен- ной таким образом во всем промежутке. Как мы видели, ни суще- ствование этого интеграла, ни величина его не зависят от значений, приписанных функции в точках, где она не была определена. 300. Примеры и дополнения. В качестве упражнения приведем еще примеры применения признака п° 297 к конкретным функциям. 1 1) Вернемся к функции, рассмотренной в 70, 8): /(х)=—, если х есть несокра- р q тимая правильная дробь —, и равно 0 в прочих точках промежутка [0, 1]. q Пусть промежуток [0, 1] разбит на части с длинами zlx,a=z. Возьмем произ- вольное натуральное число N. Все частичные промежутки распределим на два класса: р (а) К первому отнесем промежутки, содержащие числа — со знаменателями q q^sN', так как таких чисел существует лишь конечное число к = к^, то и промежут- ков первого рода будет не больше 2к, а сумма их длин не превзойдет 2fcZ. (б) Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для 1 них колебание очевидно, меньше —. Если соответственно этому разложить сумму ^ач^х, на две и оценить каждую порознь, то получим в результате X- 1 х, cofZlx, -= + —. 2 г х, Взяв сначала N~—, а затем --------= о, будем иметь что доказывает е 4км интегрируемость функции. Пример этот интересен тем, что функция здесь имеет бесчисленное множество точек разрыва и все же интегрируема. [Впрочем, примеры такого рода можно построить и на основе теоремы III.] 2) Теперь рассмотрим вновь функцию Дирихле [46; 70, 7)] /(х)=1, если х - рациональное число, и 0, если х иррационально. Так как в любой части про- межутка [0, 1] колебание этой функции а>=1, той ^а>;Дх1 = 1, так что функция заведомо не интегрируема. 3) Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297, может быть представлен в следующей форме: Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы по заданным числам е=»0 и <т>0 можно было найти такое <5>0, что, лишь только все Jx;-=i5, сумма 2лхр длин тех промежутков, которым отвечают колебания сама <а.
106 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [301 Необходимость ясна из неравенства 2 ацАх^ ац'Ах^еАх с, i i' I’ если, за счет выбора <5, сделать первую сумму меньшей чем га. Достаточность же вытекает из оценок: ^ailAxt = ^a>i'Axi'+^a>i"Axi"^ Q^Axi' +e^Axi" -= Qa +e{b - a). (Здесь Q, как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом про- межутке; значком i" отмечены частичные промежутки, в которых колебания 4) Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего предложения: Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, 6], причем значения ее не выходят за пределы промежутка [с, d], в котором непрерывна функция ip(y), то сложная функция ц>(ф(хУ) также интегрируема в [а, 6]. Возьмем по произволу числа «=-0 и а>0. По числу а, в силу непрерывности функции <р(у), найдется такое г]>0, что в любом промежутке значений у с длиной -=?? колебание функции <р будет «=е. Ввиду интегрируемости функции /, по числам г/ и а теперь найдется такое 8, что лишь только промежуток разбит на части с длинами Ах^д, сумма ^Лху длин тех из них, для которых колебания функции /:o>i'[/]s=V, сама, меньше а [см. 3)]. Для прочих промежутков имеем од"[/]*=’7, а следовательно, по самому выбору числа г;, ад"[<р(/7Н е. Таким образом, для сложной функции ?>(/(х)) колебания могут оказаться э=е лишь в некоторых из промежутков первой группы, сумма длин которых заведомо -=сг. Применяя к сложной функции критерий 3), убеждаемся в ее интегрируемости. 5) Если и относительно функции <р предположить лишь интегрируемость, то сложная функция может оказаться и неинтегрируемой. Вот пример: В качестве функции f(x) возьмем ту, которая была уже изучена выше в 1); она интегрируема в промежутке [0, 1], причем значения ее также не выходят за пределы этого промежутка. Далее, пусть 9?(у) = 1 для <р(0)=0. Функция <р(у) также интегрируема в [0, 1]. Сложная же функция ?>(/(х)), как легко видеть, совпадает с функцией Д и р и х- л е [см. 2)]: она не интегрируема в [0, 1]. 301. Нижний и верхний интегралы как пределы. В заключение мы вернемся к ниж- нему и верхнему интегралам, которые в п° 296 были определены как точные границы сумм Дарбу s и S. Мы покажем теперь, что вместе с тем они являются и пределами названных сумм. Теорема Дарбу. Какова бы ни была ограниченная функция f(x), для нее всегда I* = lim s, I* = lim S. л—о ;.-о Доказательство проведем, например, для верхних сумм. Прежде всего, по наперед заданному е>0, возьмем такое разбиение проме- жутка [а, Ь}, что для отвечающей ему верхней суммы S' будет (9)
301) § 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 107 ио возможно, так как 1* служит точной нижней границей для множества верхних сумм. Пусть это разбиение содержит т’ (внутренних) точек деления. Положим теперь е <5=-. , 2т'Q гдс_Й означает колебание функции f(x) во всем промежутке [а, Ь], и рассмотрим произвольное разбиение промежутка, для которого все Ах^ д; пусть ему отвечает сумма S. Для того чтобы оценить разность между S и I*, введем еще третье разбиение нашего промежутка, объединив точки деления первых двух разбиений. Если соот- ветствующая ему верхняя сумма есть S", то, по 1-му свойству сумм Дарбу [296], S"=sS,'; так что и подавно [см. (9)] 5"-=/*+у. (10) С другой же стороны, по замечанию п° 296 разность S-S" не превосходит произ- ведения Q на сумму длин Ах( тех промежутков второго разбиения, внутрь которых попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков не больше т', а длина каждого из них меньше 8, так что откуда, в связи с (10), S-S"^m'Q8 = -, 2 S^I*+e. Так как, с другой стороны, Ss l*, то, лишь только /1х, -= д, O^S-I* так что, действительно, S-I*. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что всегда lim (5-j) = /*-A. ;.-о Это соотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в сле- дующей форме [ср. 297]: Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы нижний и верхний интегралы Дарбу были между собой равны 1,-1*. При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного интеграла. Новая форма условия имеет некоторое преимущество перед прежней. Для того чтобы убедиться в равенстве интегралов Дарбу, достаточно установить, что неравенству S-s^e при произвольном е удовлетворяет хоть одна пара сумм s и S. Действительно, в силу (5), тогда будет также 07=s*-7,-=e, откуда, ввиду произвольности е, и вытекает требуемое равенство. Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие интегрируемости, высказанное в предыдущем п° [см. 3)].
108 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1302 § 2. Свойства определенных интегралов 302. Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор, говоря об «определенном интеграле в промежутке от а до Z»>, мы всегда под- разумевали, что а - b. Устраним теперь это стеснительное ограни- чение. С этой целью мы, прежде всего, устраним понятие направ- ленного или ориентированного промежутка. Под ори- ентированным промежутком [а, Ь] (где может быть и а^Ь и а ~'Ь) мы будем разуметь множество значений х, удовлетворяющих неравенствам, соответственно, а=&х^Ъ или as=xs=b и расположенных или упорядоченных от а к Ь, т. е. в порядке возрастания, если а<Ъ, или убывания, если а^Ь. Таким образом, мы различаем промежутки [а, b\ и [Ь, а]: совпадая по своему составу (как числовые множества), они разнятся по направле- нию. То определение интеграла, которое было дано в 295, относится к ориентированному промежутку [а, Ь\, но лишь для случая, когда а^Ь. Обратимся к определению интеграла в ориентированном проме- жутке [a, Z>], в предположении, что а>Ь. Можно повторить для этого случая обычный процесс дробления промежутка путем вставления точек деления, идущих в направлении от а к Ь'. а-х0>х^хг~ хГ1 -Ь. Выбрав в каждом частичном промежутке [л;-, х,+1] по точке так что x,^;S=xi+1, составим интегральную сумму 1=0 где - на этот раз - все Axt=х,-+1 - х( < 0. Наконец, предел этой суммы при Я = тах ->0 и приведет нас к понятию интеграла ь f f(x)dx - lim ст. л->о а Если для промежутков [а, Ь\ и [Ь, а] (где а'^Ь) взять те же точки деления и те же точки I, то отвечающие им интегральные суммы будут разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пределам, полу- чаем такое предложение:
303] S 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 109 1°. Если f(x) интегрируема в промежутке [Ь, а], то она интегри- руема и в промежутке [а, Ь\, причем Ь а ^f(x)dx = -\f(x)dx. и ь Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за о п р е- ь деление интеграла J при a b в предположении, что интеграл а ч | существует. ь Заметим еще, что по определению же полагают а J/(x) dx = 0. а 303. Свойства, выражаемые равенствами. Перечислим дальнейшие свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами*. 2°. Пусть f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков [a, Z>], [а, с] и [с, &]**. Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство Ь с b | f(x) dx=\ f(x) dx + J/(x) dx, a a c каково бы ни было взаимное расположение точек а, b и с. Доказательство. Положим сначала, что а<с<Ь и функ- ция интегрируема в промежутке [а, 6]. То, что функция интегрируема в промежутках [а, с] и [с, Ь\, сле- дует из 299, III. Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь\ на части, причем точку с будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сум- му, будем иметь (смысл обозначений ясен) Ь с b 2f(Mx=£ШЛх |- Zftfyix. а а с b * Здесь и впредь, если речь идет об интеграле j , мы считаем возможным (при отсутствии специальной оговорки) оба случая: а-^Ь и а-~Ь. * * Вместо этого можно было бы предположить, что функция /(х) интегрируема в каждом из двух меньших промежутков: тогда она была бы интегрируема и в большем.
110 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [304 Переходя к пределу при z-О, мы и получим требуемое равенство. Другие случаи расположения точек а, Ь, с приводятся к этому. Пусть, например, и функция f{x) интегрируема в проме- жутке [с, Ь\, или - что то же ввиду 1° - в промежутке [/>, с]. В этом случае, по доказанному, будем иметь с а с j /(Л-) dx -= j/(x) dx + j /(x) dx, b b a откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равен- ства в другую и переставив пределы (на основании свойства 1°), при- дем опять к прежнему соотношению. 3°. Если f(x) интегрируема в промежутке [а, £>], то и kf{x) {где k = const) также интегрируема в этом промежутке, причем ь ь J kf{x)dx = k J f{x) dx. а а 4°. Если f{x) и g{x) - обе интегрируемы в промежутке [а, Ъ}, то и f{x)±g{x) также интегрируема в этом промежутке, причем ь ь ь J [/(*) ± gW] dx = J/(x) dx ± J g(x) dx. a a a В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, например, для последнего утверждения. Разобьем промежуток [a, Z>] произвольно на части и составим ин- тегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь 2 [/&) ± №№=± 2gWxt. Пусть теперь л—0; так как для обеих сумм справа пределы суще- ствуют, то существует предел и для суммы слева, чем устанавливается интегрируемость функции f(x)±g{x). Переходя в предыдущем равен- стве к пределам, приходим к требуемому соотношению. Замечание. Обращаем внимание на то, что при доказатель- стве двух последних утверждений не было надобности опираться на предложения 299, I и II: интегрируемость функций kf{x) и f{x)±g{x) устанавливается непосредственно переходом к пределу. 304. Свойства, выражаемые неравенствами. До сих пор мы рас- сматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; перейдем теперь к таким, которые выражаются неравенствами.
304] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 111 5°. Если функция fix), интегрируемая в промежутке [а, 6], н е- отрицательна и а<Ь, то ь j/(x)(Zxs»0. а Доказательство очевидно. Труднее доказать более точный результат: Если функция f(x), интегрируемая в промежутке [а, />], положи- тельна и а<Ь, то ь j/(x)dx>0. а Доказательство проведем от противного. Допустим, что ь J/(x)(Zx = O. а Тогда при 2—0 и верхняя сумма Дарбу S также стремится к нулю [297 (7)]. Взяв произвольное £х=-0, можем сделать эту сумму мень- шей чеме^ - а). При этом хотя бы одна из верхних границ М, окажется меньшей q, иными словами, найдется в [а, />] такая часть [а,, в пределах которой все значения fix) . Так как и j/(x)t/x = O*, а1 то, аналогично, из [а1г выделится часть [а2, Ь2], в пределах кото- рой f(x)<e2, где е2 - любое положительное число <е1, и т. д. Взяв последовательность положительных чисел е/{—0, можно опре- делить такую последовательность вложенных один в другой (и - если угодно - убывающих по длине до 0) промежутков [ак, Ь^, что 0</(x)-=eft, если ak^x^bk (k = 1, 2, 3, ...). * Действительно, по 2°:
112 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [304 Тогда по лемме п° 38 существует точка с, общая всем этим про- межуткам; для нее должно быть 0</(c)<efc при & = 1, 2, 3, ..., что невозможно, ибо Теорема доказана. Простым следствием отсюда (и из 4°) является 6°. Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, />] и всегда /(x)==g(x) [или f(x)<g(x)], то и h b b 1> | f(x) dx=s j g(x) dx [или J f(x) dx ~ J g(x) i/xj a a a a в предположении, что a<b. Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности g(x) -fix). Так же легко получается: 7°. Пусть функция f(x) интегрируема в пром 'жутке [а, Ь] и а<Ь, тогда имеем неравенство ъ ь j \f(x)dx | - • j |/(х)|А:. а а Существование последнего интеграла следует из 299, I. Свойство 6° применяем затем к функциям Впрочем неравенство легко получить и непосредственно, исходя из интегральных сумм* и переходя к пределам. 8°. Если f(x) интегрируема в [я, ft], где а<Ъ, и если во всем этом промежутке имеет место неравенство m=sf(x)=sM, то ь m(b - n)=s J/(x) dx=s,M(b - а), а Можно применить свойство 6° к функциям т, f(x) и М, но проще непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами т^^Хг-а Mjf/lxt* и перейти к пределу. * Так как а-^Ь. то все 1л, =И).
304] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ИЗ Доказанным соотношениям можно придать более удобную форму равенства, освобождаясь в то же время от ограничения а<Ь. 9°. Теорема о среднем значении. Пусть f(x) интегрируема в [а, й] (а §6) и пусть во всем этом промежутке ms f(x)sM', тогда 1 ъ ^f(x)dx=p(b-a), а где mspsM. Доказательство. Если а<Ь, то по свойству 8° будем иметь ь откуда Положив ь ms ~ J/(x) dxsM. а b а получаем требуемое равенство. Для случая, когда а > Ъ, проводим эж ох рассуждение для , а ь затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле. Только что доказанное равенство принимает особенно простой вид, когда функция f(x) непрерывна. Действительно, если считать, что т и М суть наибольшее и наименьшее значения функции, существующие по теореме Вей- ер ш т р а с с а, 85, то и проме- жуточное значение р, по теореме Больцано-Коши, 82, дол- жно приниматься функцией f(x) в некоторой точке с промежутка [а, 6]. Таким образом, ь §f(x)dx = (b-d)f(c), где с содержится в [а, />]. Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть f(x)s0. Рассмотрим криволинейную фигуру ABCD (рис. 5) под кривой у=/(х). Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая определенным 8 Г. М. Фихтенгольц, т. П
114 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [304 интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием и с некоторой средней ординатой LM в качестве высоты. 10°. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ь]; 2) m*sf(x)=ssM; 3) g(x) во всем промежутке не меняет знака'. g(x)a=0 [g(x)=s0]. Тогда* ь ь J7(*)g(*) dx=р J g(x) dx, а а где Доказательство. Пусть сначала g(x)s=0 и а<Ь', тогда имеем mg(x) ^f(x)g(x) ^Mg(x). Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем ь ъ ь т J g(x)dx*z J/(x)g(x) dx*sM Jg(x)dx. a a a Ввиду предположения о функции g(x), по 5°, имеем ь Jg(x)</x==0. а Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно, что одновременно также ь ^f{x)g(x)dx = Q, а и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двой- ного неравенства, положим ь ^f(x)g(x)dx jg(x)dx а и придем к требуемому результату. * Самое существование интеграла от произведения f(x)g(x) следует из 299, II. Впрочем, можно было бы вместо интегрируемости функции f(x) непосредствен- но предположить интегрируемость самого произведения f(x)-g(x).
305) § 2. свойства оирьцышных шгыралов 115 От случая а<Ь легко перейти к случаю а>Ь, равно как от пред- положения g(x)s=0 - к предположению g(x)as0: перестановка преде- лов или изменение знака Дх) не нарушат равенства. Если Дх) непрерывна, то эта формула может быть записана следующим образом: ь ь J dx =f(c) j g(x) dx, (i a где с содержится в [a, b], 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Если функция Дх) интегрируема в промежутке [a, ЭД (a^b), то [299, Ш] она интегрируема и в промежутке [а, х], где х есть любое значение из [а, ЭД. Заменив предел b определенного интеграла переменной х, получим выражение * ** X Ф(х)=|дол, 0) а которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает следующими свойствами: 11°. Если функция f(x) интегрируема в [а, ЭД, то Ф(х) будет не- прерывной функцией от х в том же промежутке. Доказательство. Придав х произвольное приращение Дх = h (с тем лишь, чтобы x + h не выходило за пределы рассматриваемого промежутка), получим новое значение функции (1) x+h х х4-Л Ф(х.ЭД=/д/)Л=/ + / [см. 2°], так что х+Л Ф(х 1- й) — Ф(х) = J f(t) dt. X Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9° Ф{х + й) - Ф(х) = uh; (2) здесь р содержится между точными границами т’ и М' функции Дх) в промежутке [х, х т ЭД, а следовательно, и подавно между (посто- янными) границами ее т и М в основном промежутке [а, ЭД *!|г. * Переменную интегрирования мы обозначили здесь через t, чтобы не сме- шивать ее с верхним пределом х; разумеется, изменение обозначения пере- менной интегрирования не отражается на величине интеграла. ** Напомним, что интегрируемая функция ограничена [295].
116 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |305 Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно, Ф(х + /г)-Ф(х)^0 или Ф(х + Л)-*Ф(х), что и доказывает непрерывность функции Ф(х). 12°. Если функцию f(f) предположить непрерывной в точке t = х, то в этой точке функция Ф(х) имеет производную, равную f(x) Ф\х)=/(х). Доказ ателье гво. Действительно, из (2) имеем Ф(х+Й)-Ф(х) , --------- -=р, где т ^р^М . Но, ввиду непрерывности функции f(t) при t = x, по любому е>0 най- дется такое б=-0, что при |//|<3 Дх)-е< Д/)-=Дх) + е для всех значений t в промежутке [х, х + Л]. В таком случае имеют место и неравенства Дх)-e=sm'=sp=sM'=s f(x)+e, так что Теперь ясно, что Ф'(х) = lim ^(х+1гХ. = limр = f(x), /1-0 " л-о что и требовалось доказать. Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное и прикладное значение. Если предположить функцию Дх) непре- рывной во всем промежутке [а, Л»], то она интегрируема [298, I], и предыдущее утверждение оказывается приложимым к любой точке х этого промежутка: производная от интеграла (1) по пере- менному верхнему пределу х везде равна значению f(x) подинтеграль- ной функции на этом пределе. Иными словами, для непрерывной в промежутке [а, &] функ- ции f(x) всегда существует первообразная', примером ее является опре- деленный интеграл (1) с переменным верхним пределом. Таким образом, мы, наконец, установили то предложение, о ко- тором упоминали еще в 264. В частности, мы теперь можем записать функции F и Е Лежандра [293] в виде определенных интегралов V ч> С de г -------- F(k. <р)= .... Е(к, I ]/1 — sin2 © J V1 - A'2sin20 J о 1 (I
3061 § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 117 По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответственно, для функций 1 г____________ ---------, У1 - к~ sin2 <р /1 -Ar2sin2?s и притом обращающиеся в 0 при <р = 0. Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем п°, легко распространяются на случай интеграла с переменным нижним пре- делом, так как (1°) Ь х ]’лол=-/лол. X b Производная от этого интеграла по х, очевидно, равна - /(л) (если х есть точка непрерывности). 306. Вторая теорема о среднем значении. В заключение установим еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведения двух функций ь 1= $f(x)g(x)dx. а Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства сле- дующего предложения: 13°. Если в промежутке [a, />] (a-=Z>) f(x) монотонно убывает (хотя бы в широком смысле) и неотрицательна, a g(x) интегрируема, то ь { / f(x)g(x) dx =f(a) J g(x) dx, (3) a a где £ есть некоторое значение из названного промежутка. Разбив промежуток [а, 6] произвольным образом на части с по- мощью точек деления х, (i=0,1, ..., и), представим интеграл I в виде Х<+1 /=2' f f(x)g(x)dx = 2 f(xi) f g(x)dx + 1=0 J i=0 J x< M-H + 2 f LA*) - f(xt)\g(x) dx = a+Q. Xi Если через L обозначить верхнюю границу для функции |g(x)|, а через atj (как обычно) колебание функции Дх) в (-ом промежутке
118 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [306 [х;, х,+1] длины zlx(-, то, очевидно, л-1 Х*+1 leHZ f |/(x)-/(x,)||g(x)| Jx^L^co^x.-. 1=0 J z=o Отсюда ввиду интегрируемости функции f(x) [298, 111] ясно, что р-0 при z = maxzlx,—0, так что /=lim о. я-о Введем теперь функцию G(x) = \g(t)dt а и с ее помощью перепишем сумму о так: <r=S/(Xi)[G(x/+1)-G(x/)] /=0 или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые, а=жжо - Ж)]+G(Wn-i)- i=l Непрерывная функция G(x) [305, 11°], при изменении х в проме- жутке [а, Ь\, имеет как наименьшее значение т, так и наибольшее зна- чение М [85]. Так как все множители Ж-О - Ж/) (при i = 1, 2, ..., п - 1) и /(х„_1), в силу сделанных относительно функции /(х) предположений, неот- рицательны, то, заменяя значения G соответственно через т и М, мы получим два числа: mf(a) и между которыми содержится сумма а. Между теми же числами, оче- видно, содержится и интеграл I как предел этой суммы, или иначе где Но, по непрерывности функции G(x), в промежутке [а,Ь\ найдется такое значение £, что p, = G(£) [82]. Тогда /=/(n)G©, что равносильно формуле (3).
306] § 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 119 Аналогично, если функция f(x), оставаясь неотрицательной, моно- тонно возрастает, то имеет место формула ь ь \f{x)g{x) dx =f(b) jg(x) dx, a S где a^^sb. Эти формулы обычно называют формулами Бонне (О. Bonnet). Наконец, 14°. Если сохранить только предположение о монотонности функ- ции f(x), не требуя ее неотрицательности, то можно утверждать: ь f 6 J f{x)g(x) dx =f(a) J g(x) dx +f(b) J g(x) dx (4) a a $ (aSf^Sb) Действительно, пусть, например, функция f(x) монотонно убывает; тогда, очевидно, разность /(х)-/(/>)э=0, и стоит только к этой функ- ции применить формулу (3), чтобы после легких преобразований по- лучить (4). Доказанная теорема и носит название второй теоремы о среднем значении [ср. 304, 10°]. Следующее простое замечание позволяет придать ей несколько более общую форму. Если изменить значения функции Дх) в точках а и Ь, взяв вместо них любые числа А и В под условием лишь Л^Да + 0) и B*if(b-G) (если f убывает), А < f(a + 0) и f(b - 0) (если f возрастает), то не только значение интеграла I не изменится, но и сохранится монотонность функции Дх), так что по образцу (4) можно утвер- ждать ь t ь J /(*)&(*) dx=A J g(x) dx + В J g(x) dx. (5) a a t В частности, b Sb f f(x)g(x) dx = f(a + 0) J g(x) dx + f(b - 0) J g(x) dx. (5*) a a $ Здесь, как и выше, £ означает некоторое число из промежутка [«, Ь], но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел А и В.
120 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [307 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 307. Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем ряд примеров вычисления определенного интеграла, непосредственно как предела интегральных сумм - в согласии с его определением. Зная наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для в ы- числения его мы можем выбирать разбиение промежутка и точки 5, руководствуясь исключительно соображениями удобства. ь 1) I" хк dx (a, b - произвольные вещественные числа, а. к - натуральное a число). Сначала вычислим п равных частей, а для его правого конца, сумма a интеграл J xk dx (a* 0). Промежуток [0, a] о в каждом частичном промежутке функцию если а=~0, и для левого - при а-=0. Тогда разобьем на хк вычислим интегральная " (i \к а 1Л+2Л + ... +пк „ _ У —а — = afc+1--------------------- ” i=iVn J п nk+1 и, если учесть пример 14) п° 33, С ак+1 хк dx= lim ап =----. J п-*-ж к +1 о Отсюда уже нетрудно получить и общую формулу b Ь а \xkdx = Г - | ----------. J J J к+1 а 0 0 b 2) х? dx (Ь^а^О, ц - произвольное вещественное число). а На этот раз мы разобьем промежуток [а, 6] на неравные части, а именно между а и b вставим л - 1 средних геометрических. Иными словами, положив рассмотрим ряд чисел а, ад, ..., ад1..адп = Ь. Заметим, что при л отношение ? = разности же ад1+г-ад1 все меньше величины b(q -1) - 0. Вычисляя функцию для левых концов, имеем п—I л—1 ап = 2 (aqt)idaql+i~agl) = ai1+1(g-}.') (?#‘+1);. I«0 i^O
307] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 121 Предположим теперь д/-1; тогда - I a I q --1 оп ~ a!‘+\q-1)---——— - (/>"+> - ад+1) — gp+i-l ^/‘+1-1 и, используя уже известный предел [пример 5), (в), 77], получим л Г />/•'+’ —а/'+1 I Xi1 dx = lim ап = (b"+1 - й."+') lim -------------------- J <7—1 qi‘+1-1 /i+i а В случае же /ь = -1 будет и на основании другого известного результата [там же, (б)] ь " г dx fl П> А — = lim ап = lim л /------1 = In b - In а. J X П-*-со П-*-оо I I О I а b f . Ь — а 3) sin х dx. Разделив промежуток [а, Ь] на п равных частей, положим h ------; J п а функцию sinx вычислим для правых концов, если а<Ь, и для левых при а>Ь. Тогда л ап = А 2 s’n (° + *А). /я1 Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее на , . h 2 sm а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, легко получим n 1 n h 2 sin (a+ih) ------— 2 sin (a+ih) sin — = . h 2 2sm — 2 h i=i 2sin — L 2 Таким образом, cosla+i-yAl-cos a+i+-/i h 2 ~h sin — 2 cos I ( 1 -cos а+лн— ' V 2 h 2 sin — 2 (1) 1
122 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [307 Так как Л * *0 при л —~, то h I Г / 1 ) Г 1 'll sin х dx--- lim------- cos a + — A -cos I — /г = cos a -cos b. л-o h L I 2 J v 2 /J sin — 2 Аналогично, исходя из элементарной формулы * (2) легко установить, что & j cosx dx=sin Ь-sin а. а 4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл п J In (1 - 2r cos х + г2) dx, о обычно связываемый с именем Пуассона (S.-D. Poisson). Так как (1 - | г |)2=sl - 2r cos х+гг, то, предполагая |r| # 1, видим, что подинтегральная функция непрерывна, и ин- теграл существует. Разделив промежуток [0, л] на п равных частей, имеем = — 2 In (1 - 2r cos fc —К № I = — In Г(1 + г)8 ГТ (1 - 2r cos к —hr8 л ы I л J п L V п где П есть знак произведения. С другой стороны, из алгебры известно разложение ** п-1 г Ч z2n- 1 = (z2-1) ТТ 11 - 2z cos Hz8 . 4=1 I п J л * Которая получается из (1) заменой а на a-i—. 2 ** Учитывая значения корней степени 2л из единицы, имеем такое разложение zm - 1 на линейные множители: п— 1 г2П _ П ' кл кл~ z-cos i sin— л п , где i есть мнимая единица. Если выделить множители z= ± 1 (отвечающие к = - л
308J § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 123 Используя это тождество при z = г, представим ап в виде л «т+1 1 ал = -1п{—-(г2«-1Й. п 1г —1 1 Пусть теперь | г | < 1, тогда г-п - 0 и 71 I In (1 - 2r cos х + г2) dx = lim ап = 0. J о Если же | г | >1, то, переписав ип так: л гг+1 Г2П“1) 0п = -1п{—-—— 1 + 2л 1п|г|, п 1г-1 rm J найдем я J In (1 -2r cos x + r2) dx---- 2л In | г|. о Читатель видит, что прямой способ вычисления определенного интеграла, как предела сумм, требует даже в простых случаях зна- чительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным яв- ляется прием, излагаемый в следующем п°. 308. Основная формула интегрального исчисления. Мы видели в 305, что для непрерывной в промежутке [а, 6] функции f(x) интеграл X ф(*)= а оказывается первообразной функцией. Если F(x) есть любая первообразная для Дх) функция (например, найденная методами §§1-4 предыдущей главы), то [263] Ф(х) = Дх) + С. Постоянную С легко определить, положив здесь х = а, ибо Ф(а) = 0; будем иметь 0=Ф(а) = F(a) + С, откуда С= -Да). Окончательно Ф(х) = Дх) - Да). и к = 0) и собрать вместе сопряженные множители, то мы и получим, что z2n - 1 равно I кл кл\ I кл кп\ (z2- 1) I I lz~cos-i sin — z-cos —H’ sin — = i v n n! \ n n ' Л— 1 / f X -ГТ / кл \ = (z2 - 1) [[ 1 - 2? cos-\-z2 . 4=1 1 n
124 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1308 В частности, при х = Ь получим ь &{b^f(x)dx = F(b)-F(a). (А) а Это - основная формула интегрального исчисления *. Итак, значение определенного интеграла выражается раз- ностью двух значений, при х = Ь и при х = а, любой первообраз- ной функции. Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9°] и вспом- нить, что f(x) = F'(x), то получим F(b) - F(a) = Дс) • (b - а) = Г(с) • (Z> - а) (а^с^Ь); читатель узнает в этом формулу Лагранжа [112] для функции F(x). Таким образом, с помощью основной формулы (А) устанавли- вается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и ин- тегральном исчислении. Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычисле- ния определенного интеграла от непрерывной функции f(x). Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первооб- разную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают символом F(x) |£ («двойная подстановка от а до Z»>) и формулу пишут в виде ь |Дх)Л = Д<. (А*) а Так, например, сразу находим: ь 1) —------- (д#-1), J la 1 а b cdx ь 2) — = In x = In b - In a (a =- 0, 6 => 0), J X a a * Эту формулу называют также формулой Нью тон а-Лейбниц а. Читатель видит, что рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми мы пользовались в 264 при вычислении функции Р(х) и площади Р. Сама формула (А) легко могла бы быть получена сопоставлением результатов пп° 264 и 294.
3091 J 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 125 ь 3) j sin х dx = -cos x |* =cos a-cos b, a b cos x dx = sm x J* = sin b - sin a a - результаты, не без труда полученные нами в предыдущем п° [ср. примеры 1,) 2), 3)] *. 309. Примеры. Приведем дальнейшие примеры использования формулы (А): f 1 Г sin (т - п)х 4) (a) sin тх sin пх dx = — --------- J 2 L т-п = 0 f If sin2mxl +я (б) sin2mxiZx = — л:--------1 =я J 2 L 2m J -n sin (т + п)х т + п (п т), [CM. 267, 17), 18)]. Аналогично 71 (в) j sin mx cos nx dx = 0, л (r) J cos mx cos nx dx = 0 или л, смотря по тому будет ли п^т или п = т. — п 5) Найти значения интегралов (т, п - натуральные числа): Л 2 г sin (2/и - 1) а (а) -----------— dx, J sin х о Указание, вывести, что (а) Из формулы (2), полагая в ней а = 0, h = 2л- и п = т - 1, можно j т — 1 —+ 2 cos 2ix = 2 ;=i sin (2m - l)x 2 sin x * Пример 4) предыдущего n° уже не может быть исчерпан так просто, ибо соответствующий неопределенный интеграл в конечном виде не выражается.
126 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1309 Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются по формуле (А), сразу получается 2 г sin (2т - 1)х л I-----------ах = — . J sin х 2 о (б) Из формулы (1), полагая а = - x, h = 2х, найдем Д 1 - cos 2пх sin2 пх 7. sin (2m - I )х-----------=-------. m=l 2sinx sin л Отсюда, если использовать предыдущий результат, 6) Вычислить интеграл 1 dx /1 -2ах+а2 У1 -2/?х+/?2 -I где 0-=а, (5^- 1. Если в формуле [283 (6*)] dx 1 — =— In ax2 + bx+c Ь .г- ./------ ! ах+—+уа уах2+Ьх+с | отождествить ах2 + Ьх + с = (1 -2ах + а2) (1 -2/?х+/?2), то, дифференцируя, найдем b ах + — = -а(1-2/?х+/?8)-/?(1-2ах+а2). Отсюда легко вывести, что при х = 1 выражение, стоящее под знаком логарифма, получит значение - а(1 - /9)2 - £(1 - а)2 + 2 У^(1 -«)(!-/?) = = - [ yi(l - /О - УД(1 - а)]2 = - (1 + ]М2, а при х = - 1 значение -(У^-У^)2(1-У^)2- Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выра- жение 1 , 1+У^ У<х/? 1 - зависящее только от произведения а/?*. * Наши выкладки безупречны лишь при но легко видеть, что результат верен и при а = р.
3091 § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 127 Заметим, что при выводе основной формулы нам на деле не было надобности требовать, чтобы функция F(x) была для f(л) первообразной в замкнутом промежутке [а, />]. Опираясь на следствие п° 131, достаточно было бы предположить это для открытого промежутка (а, Ь), лишь бы только и на концах его функция F(x) сохраняла непрерывность. Поэтому, например, мы имеем право писать [268] а г» _____ Г 1 ______ • I J ][d1-x‘idx= I — %]/ а2 -х2 + у arcsin — — а а — а ла2 Т’ хотя при х = ± а вопрос о производной найденной первообразной еще требовал бы исследования. Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла п г 1 - г2 8) dx (0-=г-=1), J l-2rcosx + r2 — п так как найденная в 288, 13) первообразная /"1 + г х F(x) = 2 arctg --------tg — 11 -г 2 не имеет смысла при х= ±л. Однако существуют, очевидно, пределы lim F(x)= - л, lim F(x)=n, х-^я+о х-п— 0 и если, как обычно, положить В(-я) и F(n) равными именно этим пределам, то функция F(x) будет не только определена, но и непрерывна на концах промежутка. Поэтому все же имеем С 1 - г2 Р -—------------ dx = F(x') = F(n) -F(~n) = 2л. J l-2r cos r2 j-л n 9) Аналогично вычисляется и интеграл я 2 f dx --------------------------- (АС J A cos2 x+2Bcos х sin x+Csin2 х п ~2 Мы уже имели [288, 10)] выражение первообразной 1 ж Ctgx+B F(x) = - arctg ————-, У АС-В2 У АС-В2 пригодное для -~ 2 —. Отсюда 2 2 dx --0 2 - Дх) . A cos2 х + 2В cos х sin х + С sin2 х 2+() Уле-В2’ 2
128 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (310 причем значки — ~0 символизируют необходимость брать соответствую- щие предельные значения функции F(x). 10) Если при вычислении интеграла исходить из формально вычисленной первообразной 1 - — arctg Зх(х2-1) х4-4х2+1 и подставить сюда х = 0 и х=1, то для интеграла получится парадоксальное зна- чение 0 (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое значение!). Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при х = У2-Уз = х0. Если порознь вычислять интегралы от 0 до х0 и от х0 до 1, то получится правиль- ный результат 1 л х«+0 3 ' о И) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы 2 1 1 п о 4 ' 1 г dx = arctg х Jl+x2 о Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то можно получить, например, такие предельные соотношения: ( 1 1 1 ) lim------I---I = In 2, л-*оЛл4’1 л+2 2л у ,. f 1 1 11л 1 im I ———— 4- 1 4" • ♦ • 4-1 • ft-. n-~l.M2 + l2 л2 + 22 2л2/ 4 310. Другой вывод основной формулы. Установим теперь основную формулу (А) при более общих предположениях. Пусть функция f(x) интегрируема в промежутке [а, 6], а непрерывная в [а, Ь] функция F(x) имеет f(x) своей производной F'(x)=f(x) (3) повсюду в (а, Ъ) или даже лишь повсюду, исключая конечное число точек.
310] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 129 Разобьем промежуток [а, Ь] произвольным образом на части точ- ками G — Xq Xg [позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те точки, где не имеет места соотношение (3), если такие точки есть]. Очевидно, будем иметь ОД) - ОД)=У[ОД,+1) - ОД,)]. 1=0 Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы, формулу конечных приращений, - условия для ее применения все выполнены. Тогда получим ОД)-ОД) = ^'ОД(х,+1-х,), где есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значение х между х, и х,+1. Так как для этого значения F'(s,) = то мы можем написать од)-ОД)=2’ЖШ-. 1=0 Справа получилась интегральная сумма о для функции /(х). Мы предположили, что для суммы а при А-<-0 существует определенный предел, не зависящий от выбора чисел Следовательно, в частно- сти, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе этих чисел) постоянное значение, также стремится к интегралу, откуда и вытекает, что ОД)-ОД) = J/(x)tZx. В предыдущем п° мы с помощью основной формулы вычисляли определенный интеграл. Но она может быть использована и в дру- гом направлении. Заменив в основной формуле b на х, а /(х) на F\x), можно написать ее в виде ОД) = ОД)+ jF\t)dt. Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определен- ный интеграл есть предел), по заданной производной F'(x) «вос- станавливается» первообразная функция Дх). Впрочем, это предполагает, что производная не только ограни- чена, но и интегрируема в согласии с римановым определением, что осуществляется не всегда. 9 Г. М. Фихтенгольц, т. II
130 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [311 311. Формулы приведения. Мы видели, что основная формула при благоприятных условиях сразу дает значение определенного интеграла. С другой стороны, с ее помощью различные формулы приве- дения в теории неопределенных интегралов преобразуются в ана- логичные формулы уже в определенных интегралах, сводящие вы- числение одного определенного интеграла к вычислению другого (во- обще более простого). Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по частям J и dv = uv - J v du и ее обобщение [270 (3) и (5)], а также другие формулы приведения [271 (6); 280; 287], частично на ней же основанные. Общая форма их такова: У/(х) dx = <р(х) - У g(x) dx. (4) Если областью применения подобной формулы является промежу- ток [а, Ь\, то ей в определенных интегралах отвечает формула ь ь УДх) dx = <р(х) £ - ] g(x) dx. (5) а а При этом функции f g будем считать непрерывными. Для доказательства обозначим последний интеграл в формуле (4) через Ф(х). Тогда ъ j Дх) dx = [Дх) - Ф(х)] |*=Дх) |* - Ф(х)\ьа . а Так как, в то же время, 6 jg(x)dx=0(x)£ , а то мы и приходим к доказываемой формуле. В частности, формула интегрирования по частям примет теперь вид ь ь У и dv = uv^a- У w du, (6) а а а обобщенная формула перейдет в такую: ь ь УшХп+1) dx=\udn'1 -u'lfi1-^ +- ... +(-l)nw('1)i’]j* + (-l)n+1j iAn+r>vdx; (7) a a
312] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 131 при этом по-прежнему функции и, v и все встречающиеся их произ- водные предполагаются непрерывными. Формула (5), устанавливающая соотношение между числами, принципиально проще формулы (4), в которой участвуют функции; она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю. 312. Примеры. 1) Вычислить интегралы (при натуральном т). Интегрируя по частям, найдем Jm ~ I sin"1-1 ,т4( - cos г) =- — sinm ~1 х cos х п п “ 2 4 (т 1)| sin"1-2 х cos2 х dx. о J о Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos2x через I -sin2 .г, получим = (.т ~~ 2 ' > откуда рекуррентная формула: т— 1 dm~ - dm — 2 > in по которой интеграл Jm последовательно приводится к /0 или /г. Именно, при т = 2п имеем о . (2и —1)(2и-3).. .3-1 л sin2" х dx ----------------------, 2п-(2л-2)...4-2 2 если же т = 2л+1, то 2 •4'1+1= Jsin2n+1 х dx = о 2и-(2и-2)...4-2 (2л+1)(2л-1)...3-1 Такие же точно результаты получаются и для Jrn 9»
132 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1312 Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом т!! *. Тогда можно будет написать 2 о 2 J cosm х dx = о (т -1)!! л -------— при т четном. ml! 2 (m-l)U ------- при т нечетном. ml! (8) 2) Доказать формулы cosm х cos (m + 2)x dx - 0, о 2 0 1 cos'” х sin (т+2)х dx = -, mA-1 2 sinm x cos (m+ 2)x dx тп sin--- 2 ///+1 тл cos--- 2 0 sinm х sin (m+2)x dx -- mA 1 (где m - любое положительное число). Рассмотрим интеграл 2 2 x cos(m + 2)x dx о и дважды произведем в нем интегрирование по частям: 2 J cosm+2 х cos (т+2)х dx = о 1 zn + 2 [cosm+2 х sin (т А2)х - cosm+! х sin х cos (т+2)х] 2 + о + f [-(/n-l 1) cosm xsin2.v-icosm+2x] cos (тА-2)х dx. m+2J о * Напомним, что /и!! означает произведение натуральных чисел, не превосходя- щих т и одной с ним четности.
312] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 133 Двойная подстановка обращается в 0. Заменяя под знаком интеграла sin2 х через 1 - cos3 х, придем к равенству я/2 J cos'” 12 х cos (tn + 2)х dx = О п/2 п/2 т + 1 г г =--------- cosm х cos (т+2)х dx-'- cosm+2 х cos On + 2)x dx, m + 2 J J о о откуда и следует (a). Аналогично устанавливаются остальные равенства. 3) Вычислить (при натуральном п) интегралы я я 2 2 - j cosn х sin nx dx, Ln = J cosn x cos nx dx. о 0 Интегрируя по частям, будем иметь л/2 Кп -----I cosn-1 х sin х cos nx dx. n J 0 n Если к обеим частям прибавить по Кп, то преобразуя выражение под знаком интеграла справа, легко получить 1 1 (1 1 2Кп---j или Кц~—I—\-Кп—1 . п л । .. । По этой рекуррентной формуле легко уже найти 1 (2 22 23 2п\ И+2 + 1 n Аналогично Ln ” 2п+г 4) Найти интеграл 1 77^ т = xk lnm х dx, о где к>0, а т - натуральное число. Интегрирование по частям [ср. 271, 5)] m x4lnmxt/x =----X*+1lnm.Y, . •> k + \ (+0 fc+l.l о О приводит к рекуррентной формуле т откуда и получается m! ,n = (-l)m-------- (Jk+l)m+i
134 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [313 Особенность этого примера в том, что в точке х = 0 значения как подинтеграль- ных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как предель- ные при х- +0. 5) По формуле (Ш) п° 280 имеем (считая ряд натуральными числами) г (1-х)Рх«+1 р р (1 - х)РхЧ dx ------1--------(1 - x)P~lx? dx, J р+^ + 1 p + что при переходе к определенным интегралам в промежутке от 0 до 1 дает 1 1 С (1 - х)Рх9 dx = —— J (1 - х)Р~1хЧ dx. о о Последовательно применяя эту формулу, получим р(р-1)...1 1 г p(p-i)---i Г (1 - х)Рх? dx --------------------- х? dx J (p + g + l)(p+?).. .(?+2)J о о и окончательно Г Pdf- (1 - х)РхЧ dx =-------------- J (д + <7 + 1)! о 6) Если в формулах (IV) п° 287 при натуральных ди v перейти к определенным интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более общую формулу х cosp х dx- о (v - 1)!!(д-1)1! 71 --------------—(при четных fi и г), (»+,«)!! 2 (г-1)!!(д-1)!! , (во всех прочих случаях). (г+д)1! 313. Формула замены переменной в определенном интеграле. Та же основная формула (А) позволит нам установить правило замены пере- менной под знаком определенного интеграла. ь Пусть требуется вычислить интеграл J/(х) dx, где f(x) - непре- а рывная в промежутке [а,Ъ\ функция. Положим х=д?((), подчинив функ- цию 99(1) условиям: 1) <p(f) определена и непрерывна в некотором промежутке [а,/?] и не выходит за пределы промежутка [а, Ь] *, когда t изменяется в [«,£]; * Может случиться, что функция /(х) определена и непрерывна в более широ- ком, чем [а, />], промежутке [А, В], тогда достаточно потребовать, чтобы значения <p(t) не выходили за пределы промежутка [А, В].
314] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 135 2) ф(х) = а, <р{Р) = Ъ', 3) существует в [а, Д| непрерывная производная Тогда имеет место формула * |3 J/(x) dx = dt. (9) a a Ввиду предположенной непрерывности подинтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответ- ствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно воспользо- ваться основной формулой. Но если F(x) будет одной из первооб- разных для первого дифференциала f(x)dx, то функция Ф(/) = F(<p(t)), как мы знаем, будет первообразной для второго дифференциала /(<p(f))q9'(O dt [ср. 268]. Поэтому имеем одновременно ь §f(x)dx = F(b)-F(a) а И Р dt = - Ф(х) = F^S) - F(<№) = F(b) - F(a), откуда и вытекает доказываемое равенство. Замечание. Отметим одну важную особенность формулы (9). В то время как при вычислении неопределенного интеграла с по- мощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной через переменную t, мы должны были возвращаться к старой пере- менной х, здесь в этом нет надобности. Если вычислен второй из определенных интегралов (9), который представляет собой число, то тем самым вычислен и первый. а 314. Примеры. 1) Найдем интеграл J Уа2-х2 dx с помощью подстановки о зг x = asin/; рель аир здесь играют значения 0 и —. Имеем 2 а п/2 г ,,------ г а2 ( sin 2t\ |”/2 ла2 уа2 - х2 dx = a2 cos21 dt = — I f+ - = — J J 2 [ 2 J о 4 о о [cp. 268]. 2) Вообще при n натуральном с помощью той же подстановки получим а п/2 С г 2л!1 (а2-х2)п </x = a2n+i cos2n+11 dt = a-niA------- J J (2n+1)!! о 0
136 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (314 [см. (8)], и аналогично а О L+rl (2л-1)!! л ;2-х2) 2 dx = a2n--------------- 2л!! 2 2а 3) dx. а Подстановка х = a sec t; пределам а и 2а переменной х отвечают пределы О и .т/3 переменной t. Находим +3 a2 J 0 1 sin3t cos t dt = — ----- a2 3 л/3 ]/з о 8а2 4) Рассмотрим интеграл C x sin x I--------dx. J 1+cos2 x 0 Подстановка x = 7t-t (где t изменяется от 71 до 0) приводит к равенству о xsin х 1 +cos2t r(7i:-t)sint ----------- dt J 1+cos2/ 0 или г х sin х J 1 + cos2 х о г sm t ( t sm t 1 ----------dt - -----------dt. J 1 + cos21 J 1 + cos21 о 0 Перенеся последний интеграл (в лево, получаем котором вместо t снова можно написать х) на- г х sin х J 1 +cos2 х о f sin t --------dt = J 1+cos21 0 71 " 7t" ----arctg (cos t) I = — 2 jo 4 2 Ср. ниже 11), где этот пример будет обобщен. 1 rln (1 +х) 5) Вычислить интеграл J= J —-----— dx. о Подстановка х = tg у | где 95 изменяется от 0 до я/4 J In (1 + tg 95) dtp. Но о л! — переводит его в 4J 1 -И tg<p cosy
3141 § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 137 так что л/4 л/4 — In 2 = In sin J-4- р j dtp - j In cos ср dip. о о Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстанов- кой <р =—ip, причем ip изменяется от — до ОI, то окончательно 4 4 J -In 2. 8 Заметим, что то же значение имеет убедиться интегрированием по частям. 6) Установить, что 1 ( arctg х и интеграл I -------— dx, в чем легко J 1 4-х о 1 arctg х -------dx = Л/2 J х о О Указание. Подстановка х = tg —. 2 7) Преобразовать один в другой интегралы п л f (х+ Ух2 - 1 cos<p)n dp = f-------—------------------, ' ' (х — Ух2 — 1 cos б)лЧ“1 считая х > 1 и л - натуральным. Это достигается путем преобразования переменной по формуле Отсюда (.X + Ух2 - 1 COS гр) (х - Ух2"- 1 cos 0 ) = 1. - Ух2 - 14- х cos 0 cos ср =----------------, X- Ух2 - 1 cos 0 причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы, и каждому 0 в промежутке [0, я] однозначно отвечает некоторое <р в том же проме- жутке. При 0 = 0 или л также и ср = 0 или л. Имеем sin 0 dd sin ср dp =--------— -------- (х- Ух2 - 1 cos 0)2 и так как sin 0 de dcp =-------——-----, х - Ух2 - 1 cos 0 sin p =............ , TO X - Ух2 - 1 cos 0 так что окончательно , м уп М (х+Ух2-1 cos®) dp =---------=—--------, (х- Ух2 - 1 cos 0)n+1 откуда и следует требуемое равенство.
138 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [314 [Заметим, что оба интеграла (с точностью до множителя л) выражают и-й многочлен Лежандра Рп(х), 118, 6).] 8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке [0, а] (а»0) функция f(x), всегда а а Jfix') dx = Jf(a -1) dt о о (Л 1 y-xl , то при любой непрерывной функции F(u) будет л/2 л/2 J F(sin х) dx = J F(cos х) dx. о о 9) Пусть f(x) непрерывна в симметричном промежутке [-а, а] (а=~О). Тогда в случае четной функции [99, 25)] а а J Дх) dx = 2 J/(x) — а О а в случае нечетной а y/(x)rfx=0. — а а 0 а В обоих случаях интеграл у представляется в виде суммы интегралов У + У — а — а О и к первому из них применяется подстановка х = -t. 10) Пусть имеем непрерывную периодическую функцию /(х) с перио- дом а>, так что при любом х: /(х+ш) = /(х). Тогда в любых промежутках с дли- ной to, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же значение а 4-со о) У f(x)dx-= j'/W ^х- а 0 а 4-со 0 со а Для доказательства разлагаем: у = j' и, применяя к третьему а а 0 со интегралу справа подстановку x = t+a>, убеждаемся, что он лишь знаком разнится от первого. 11) Доказать, что 71 П У x/(sin х) dx = — /(sin х) dx, о о где /(«) - любая непрерывная в промежутке [0, 1] функция.
314] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 139 Указание. Воспользоваться подстановкой х = .т-/. 12) Доказать, что 2л п j rp(a cos fl + b sin 0) de =-• 2 j g?( У<з2 + 62 cos A) d2, о о где <p(u) - любая функция, непрерывная для |ц| «=Уа2 + />2. Определяя угол а соотношениями а b c°s а = , sin а = — , Уа2+/>2 Уч + Ч имеем a cos 0 1 b sin 0 -= Уа2 + />2 cos (0 - а). В силу (10) можно написать 2л а-у л | <р(а cos 9 + b sin 0) d 0 = j <р( /аг+Ьг cos (0 - a)) d0 0 а—тс или, если положить 0 - а = А и использовать 9), п тс У<р(У<г2+62 cos 2) «ZA = 2 |*95(Уа2+/>2 cos A) d2. — тс О 13) Доказать, что л/2 л/2 J g (sin 2и) cos и </« = У g (cos2 v) cos v dv, о о где g(z) - любая непрерывная функция от z в промежутке [0, 1]. п/2 п/1 п/2 Представив первый интеграл в виде суммы интегралов j = У + У , 0 0 л/1 подстановкой « = --«' приводим и второй из них тоже к промежутку [0, .т/4] 2 и получаем я/4 У g (sin 2«)(cos и+sin и) du. о Здесь мы делаем замену переменной, исходя из соотношения sin 2« = cos2 v; возрастанию и от 0 до л/4, очевидно, отвечает убывание v от л/2 до 0. Дифферен- цируем cos 2и du = - sin v cos v dv; учитывая, что cos 2и= yi -sin2 2и= У1 -cos4= sini>yi + cos2r и 1 +cos!i’‘-1 + 2 sin и cos u = (sin и+cos и)2, находим окончательно (sin и + cos и) du = - cos v dv. Теперь уже нетрудно получить требуемый результат.
140 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [314 14) В заключение вернемся к интегралу Пуассона 71 Кг) = j In (1 - 2r cos x+г1 2 *) dx о [cp. 307, 4)]. Мы уже знаем, что при |r| # 1 подинтегральная функция непрерывна и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого искус- ственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную роль. Заметим предварительно, что из очевидных неравенств (1 - | г|)2«: 1 -2r cos х + r2=s(l + | г | )2, логарифмируя и затем интегрируя от 0 до п, получаем (при |г|-с1) In In (I - I г I )^il(r)=s2n In (1 + I г I). Отсюда ясно, что при г-0 и Z(r)-O. Рассмотрим теперь интеграл Л 7(- r) = Jin (1 H-2r cos x4-r2) dx. о Если в этом интеграле положить х = тс-Ц причем t изменяется от п до 0, то ока- жется, что 0 п /(- r) = Jin (1 +2r cos (п-Z) + r2) d(n-t) = J In (1 -2r cos Z + r2) dt = I(r). n 0 В таком случае Л 2Z(r) = 7(r)+/( - г) = j In [(1 - 2r cos хч- r2)(l H- 2r cos x-l r2)] dx 0 или Л 2/(r) = J In (1 - 2r2 cos 2x4- r4) dx. о Полагая x = t/2 (где t меняется от 0 до 2л), получим 2л л 2л 27(r) = —Jln(l-2r2cosZ + r4)tZZ = yJ +yj • 0 О п Последний из полученных интегралов подстановкой / = 2л - и (где и меняется от 71 до 0) приводится к первому, так что у нас получается 1 2/(г) = /(г2), откуда 7(r) = yZ(r2). Заменяя здесь г на г2 и т. д., легко получить общую формулу 7(г) = —7(гаП) (п=1, 2, 3, ...).
3151 § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 141 Пусть теперь | г | -= 1, так что г2" - 0 при п - ~; так как при этом (согласно заме- чанию вначале) /(г2”)-*0, то должны иметь тождественно 7(г) = 0 при |г|-=1. Легко теперь вычислить этот интеграл и при |г[ =-1. В самом деле ( 1 1 1 - 2r cos х ' г2 = г- 1 -2—cosx+ — (г г2 и ( 1 In (1 -2r cos х+г2) =• 2 In | г | +ln 1 - 2—cos х-<- — ( г г- гак что, интегрируя от 0 до л, будем иметь I(r) = 2n In | г| +7 j— j . m Но, по предыдущему, I — I - 0; следовательно, при | г | =-1 имеем ( г ) I(r) = 2~ In | г |. Те же результаты мы получили и в 307. 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена. В качестве еще одного примера на замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную Гауссом (С. F. Gauss) для преобразования интеграла Положим здесь G - I ----------V------- (а^Ь^О). j' у<з3 cos2 <р + Ьг sin2 <р 2а sin О sin® =------------------ (a+b~)+(a-b) sin2 0 легко видеть, что при изменении 0 от 0 до л/2 и д> растет в тех же пределах. Диф- ференцируем (а + b) - (а - />) sin2 0 cos® d<p = 2а-----------------cos 0 <70. [(a+b)+(a - b) sin2 0]2 Ho l[(a+b)2-(a-b)2 sin2 0 cos ® =---------------------cos 0, (a + b) + (a— b) sin2 0 так что dtp = 2a (a+7>) - (a - 6) sin2 0 (a + Z>) + (a-Z>) sin2 0 d0 У(а+Ъ)2-(а-/>)2 sin2 0 С другой стороны, ------------------------------------ (a+b) - (a - b) sin2 0 2 cos2 ®+b- sin2 (p = a -—-------- (a+6)+(a-b)sin2 0 и окончательно d<p de /я2 cos2 <p+b2 sin2 75 cos2 0 I- ab sin2 0
142 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |315 а + Ь Если положить а, =---- 2 bi = УаЬ, то п/2 п/2 г dtp г dO J Уa2 cos2 tp + b2 sin2 tp J ^а2 cos2 9+ft? sin2 0 Это и есть формула Гаусса. Применяя это преобразование повторно, получим, что п/2 dtp У«2 cos2 tp + ft2 sin2 tp (/7=1, 2, 3, ...), где варианты a,,, bn определяются рекуррентными соотношениями an~i+bn-i ..---------------- ап------------, bn~ yCin—ibn—i' Мы уже знаем [35, 4], что эти варианты стремятся к некоторому общему пределу р=р(а, ft), который мы назвали «средним арифметико-геометрическим» чисел а и 6. Из легко получаемых неравенств 2а., 2ft,, переходя к пределу, находим теперь, что С = л/2р(а, b), откуда д(а, b) = n/2G. Таким образом, каждое из чисел G и р просто выражается одно через другое. Пусть, например, требуется вычислить интеграл п/2 п/2 f dO г dO G= I > yi+cos20 - V2cos20+sin2 0 o' o' Здесь a = ]/2 и b = 1; варианты an и bn, определенные выше, стремятся к/гбыстро: уже а4 и ft4 оба приближенно равны 1,198140, и можно р положить равным этому числу. Тогда получаем приближенно G = —=1,3110288. 2д Обратно, интеграл G приводится к полному* эллиптическому интегралу первого рода и легко может быть вычислен по таблицам; а уже отсюда получается р. * Полными называют интегралы F(k, tp) и Е(к, </) Лежандра [293, 305] при tp = л/2: в этом случае в их обозначении обычно опускают второй аргумент и пишут К(&), Е№). Для полных интегралов существуют особые таблицы.
316] § 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 143 Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода я/2 f dip " У1 - L2 sin2 <р при любом значении модуля к он получается из G при а=1 и 6 = у 1 - Л2 = Л'. Желая применить к нему формулу Г а у с с а, вычисляем прежде всего 1 + У1-Л2 1+&' а. =--------= 2 2 bi = У к', 01 1 -к )+к ----1 + кг, 01 так что л/2 dp л/2 г ае *1----------- У1 - A2 sin2 * У1 - к\ sin2 0 или ад = (1+л1)к(л1). Эта формула, равносильная формуле Гаусса, на деле была получена до Гаусса и представляет частный случай так называемого преобразования Ландена (Landen). Последовательно применяя ее, получим K(fc) = (1+М1 + *2) • • • (1 + кпуК(кп), где вариант кп определяется индуктивно 1-уг^щ; кп-------------, так что 0cL,;-=l п kn^kn-i, чем обеспечивается быстрое стремление кп к 0 при п В то же время я/2 dp л/2'_______________ Г1 - У1 - sin2 ср л 1 - /1 - И — ----d<? -----------------, J yi-fc2sin2<? 2 yi-£* о О J - к% sin2 99 о откуда K(Ln) -* у при п ~ ~ и, наконец, W) = — lim (И-^1)(14-Л2)...(Ц-^п). Z П-^со На этом основывается метод приближенного вычисления интеграла К(Л), который - при достаточно большом п — попросту полагают равным (Ю) K(fc)=у (1 + ^)(1 + *2) • • (1 + кп). 316. Другой вывод формулы замены переменной. Мы дадим теперь другой вывод формулы (9) при измененных предположениях. Прежде всего (и это - самое важное) мы не станем предполагать функцию f(x) непрерывной, а только лишь интегрируемой.
144 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [316 Зато от функции 99(f) мы дополнительно потребуем, чтобы при изме- нении t от а до р она переходила от значения а=99(a) к значению Ь = =<р(Р), монотонно изменяясь. Для определенности допустим, что а<Ь и а</?, так что функция 99(f) монотонно возрастает. Разобьем промежуток [а, р] произвольно на части с помощью точек 'Х ~ fg ' fj f2 ' • • • ?i+l • • • ' если положить х,-==^(/,) (i=0, 1, 2, ..., и), то одновременно будем иметь Cl —- Хд Х^ " • • ' ,г~ Х( ~ —— • • —— Х^ == Ь. Если наибольшая из длин 4ti = ti+1-tj (обозначим ее через 2) стре- мится к нулю, то ввиду (равномерной) непрерывности функции х — =q>(t) то же будет справедливо относительно наибольшей из длин Zfx; = x1+1-xf=99(fz+1)-99(f,) [см. 87]. Возьмем теперь по произволу число т,- в каждом промежутке [f,-, f,+1] и составим интегральную сумму для второго из интег- ралов (9) 1 Положим $1=99(1,), так что Х/=4;=бХ;+1. Если к функции q(t) в про- межутке [f,, f(+1] применить формулу конечных приращений, то по- лучим Дх;- = х/+1 - Xi=<p(ti+1)-99(Л) =9>'(тг) zlfb где также f,<Tz<fi+1, но tz (нам не известное) вообще отлично от наудачу взятого значения т;. Вместе с тем интегральной сумме для первого из интегралов (9) i теперь можно придать вид I Эта сумма при Л->0, очевидно, имеет своим пределом интеграл ь §f(x)dx. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится а и сумма ст, достаточно установить, что разность а-а стремится к нулю. Задавшись произвольным числом е=-0, ввиду (равномерной) не- прерывности функции можно найти такое <5 ^0, чтобы при 2 <<5 выполнялись неравенства |99,(^)-9’'(т,-)| <е
317] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 145 [см. 87, следствие]. Тогда / если через L обозначить верхнюю границу для |/(л) | и сумму ^At заменить через /?-а. ь Теперь ясно, что при z-»0 сумма а стремится к пределу J/(x) dx, Р а а это значит, что существует интеграл и имеет место а формула (9). Доказательство завершено. Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанного простые и часто полезные формулы, установленные в упражнениях 8), 9), 10) п° 314, распространяются теперь на случай любой инте- грируемой функции f(x). § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 317. Формула Валлиса. Из формулы (8) п° 312 легко вывести знаменитую фор- мулу Валлиса (J. Wallis). Предполагая 0<х-=л/2, имеем неравенства sin2n+1 x-=sin2n x-=sin2n-1 х. Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до л/2: п/2 ti/2 тс/2 Jsin2n+1 х dx^ Jsin2nx«/x-= Jsin2n“1x dx. о oo Отсюда, в силу (8), находим 2л!! (2л-1)!! тт (2л-2)!! (2л+ 1)!!* 2л!! I" (2л- 1)!! или ..... ................ г 2л!! 1» 1 71 г 2л!!' I2 1 1(2л- 1)!1] 2л + 1 Т Ц2л-1)!!1 2л’ Так как разность между двумя крайними выражениями 1 г 2л!! V 1 71 2л(2л+1) |_(2л- 1)!!J ' 2п 2 ’ очевидно, стремится к 0 при п - то л/2 является их общим пределом. Итак, 71 г 2л!! ]2 1 — = lim -------- ----- 2 п—1(2л-1)!!] 2л+1 или 71 2-2-4-4 ... 2л-2л — = lim------------------------• 2 1-3-3.5 ... (2л-1)-(2л+1) Это и есть формула Валлиса. Она имеет исторический интерес, как первое представление числа л в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты. В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас [см., например, 406]. 10 Г. М. Фихтенгольц, т. II
146 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [318 Для приближенного вычисления числа л; теперь существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели [410]. 318. Формула Тейлора с дополнительным членом. Положим в обобщенной формуле интегрирования по частям (7) [311] v = (b-x)n. Тогда -д(6-х)п-1, v" = n(n-Г)(Ь-х)п~2, ..., г<п) = (_1)пя(га_1) ... 1, ^«+0 = 0; при x = все функции v, v, ..., обращаются в нуль. Пользуясь для и, и', и", ... функциональным обозначением /(х), f'(x), f"(x), ..., перепишем (7) в виде 0 = ( ~ П" [и! /(/>) - л!/(а) - п\ f'(a)(b -a)- ^f''(a)(b -а)2- ... - /<п>(а)(6 - а)п j + ь + (_])nnj f<.n+i\x)(b-x)ndx. а Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла ь f'(a) f"(d) fW(a) lr, ч a) + ->-< (b-a)*+ ..(Ь-аГ + - f^D(x)(b-xr dx. 1! 2! «! mJ a Переходя к обозначениям nn° 124 -126, заменим здесь b через х, а через хв: /'(х0) /"(х„) /(П\х0) /(х) =f(x0) + - - (х - х0) + —— (х - х0)2 + ... +-— (х - х0)п + 1! 2! и! + ij/(n+1)(l)(x-l)nJr. Новое выражение для дополнительного члена, в отличие от изученных в 124 и 126, не содержит никаких неизвестных чисел. Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что мно- житель (х- t)n подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к по- следнему интегралу обобщенную теорему о среднем [304, 10°] 1г 1Г /(п+1>(с) - f^Xt)(x-trdt = -f<n+lKc) (x-tr dl-~----------- (х-ХоУ1*1, и! J и! J («4-1)! х0 х0 где с содержится в промежутке [х0, х]. Таким образом, мы вновь получили лагран- жеву форму дополнительного члена. 319. Трансцендентность числа е. Та же формула (7) п° 311 может послужить отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Эрмита, относящейся к числу е. Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяются на два класса - алгебраические и трансцендентные. Число назы- вается алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравне- ния с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти
3191 § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 147 коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называют трансцендентным. Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: число - — служит корнем уравнения 17лч-11=0, а число у 1 + ]/2 - корнем уравнения х6 - Зх4+Зх2 - 3 = 0 и т. д. Эрмит установил, что е является трансцендентным числом*. Мы приведем доказательство этой теоремы. Допустим, что е служит корнем уравнения с0 + с,е + с2е2+...+cmem = 0, (1) где все коэффициенты с„, с1; ..., ст - целые числа. Пусть в формуле (7) п° 311 будет произвольный многочлен и-й степени, a v = (- 1)п+'е~х; тогда, если взять а = 0, эта формула примет вид ь \j(x)e~xdx = -е~х[/(х)+/'(х) + ...+/W)]L I о так как /(п+1>(х) = 0. Полагая для краткости /(х)+/'(х)+ • +/W) = Их), имеем отсюда с е '’ДО) = F(b) + е 6 J f (х)е "х dx. о Возьмем здесь последовательно b = 0, 1, 2, ..., т; умножая получаемые равен- ства соответственно на с0, q, с2, •. ., ст и складывая, в силу (1), придем к оконча- тельному равенству i O = coF(O) + qF(l)+ ... + cmF(m) + ^cte‘ f/(х)<?~х1/х, (2) Z=o J о которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена /(х). Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство (2) стало невозможным; этим теорема и будет доказана. Положим, с этой целью, 1 f(x) =-----хР->(х - 1)Р(Х - 2)Р... (х - т)Р, (д-1)! где р - простое число, большее т и | с01. Производные этого многочлена порядка р и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чисел делится на р!. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют целые значения, кратные р. Так как при х= 1, 2, ..., т многочлен /(х) и его первые * Вслед за этим Линдеман (F. Lindemann) доказал трансцендентности числа л, чем впервые установил неразрешимость исстари знаменитой задачи о квадратуре круга. 10’
148 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [320 р-1 производных обращаются в 0, то Д1), F(2)...F(m) будут целыми числами, кратными р. Иначе обстоит дело с F(0). При х = 0 многочлен f(x) обращается в 0 лишь с р - 2 своими производными, так что ДО) =/(Р-1)(0)+/(Р)(0)+ • • Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные р; но /(Р-1)(0) = (- 1)Р(/и!)Р, ас ним и ДО), на р не делится. Так как при сделанных относительно р предположениях и с0 не делится на р, то приходим к заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве (2) справа, есть целое число, не делящееся на р и, следовательно, заведомо не равное нулю. Обратимся ко второй сумме в (2). В промежутке [0, т], очевидно, 1 mmp+p-i I /(*)I -----тР 1тРтр =-------. 11 (Р-D! (Р-1)! Поэтому i i ттР+Р~1с ттР+Р~1 --------I е~xdx^----------- (р-1)! J (р-1)! о и, если сумму | с01 + I ci I + • • • + I cm I обозначить через С, ( m r mmp+p-i (OTm+i)p-i с,е( f(x)e~xdx ^Сет----------= Сеттт-----------. J (р-1)! (р-1)! о Но мы знаем [35, 1)], что последний множитель при стремится к 0, так что вторая сумма в (2), при достаточно большом р, будет по абсолютной величине меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться 0, и мы пришли к противоречию. J f(x)e~x dx о 320. Многочлены Лежандра. Поставим себе задачу — найти такой многочлен л-й степени Хп(.х), чтобы для любого многочлена Q(x) степени ниже п выполня- лось равенство ь prn(x)e(x)dx = 0, (3) а где а и b - произвольные, но фиксированные числа. Каждый многочлен n-й степени Хп(х) можно рассматривать как n-ю произ- водную от некоторого многочлена Дх) степени 2п, который из Хп(х) получается n-кратным последовательным интегрированием. Если при каждом интегрирова- нии произвольную постоянную выбирать так, чтобы при х = а интеграл обращался в 0, то для многочлена Дх) окажутся выполненными еще условия Да) = 0, Д(а) = 0...Д^-»(а) = 0. (4) Итак, задача наша сводится к нахождению такого многочлена Дх) степени 2п, чтобы было ь |Дп1(х)2(х)р?х = 0 (5)
320] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 149 для любого многочлена <2(х) степени ниже п и, кроме того, выполнялись равенства (4). Но по формуле (7) п° 311, если заменить в ней п на п - 1, ь J RtnXx)Q(x) dx = [Q(x)Rn-i\x) - е'(х)Жп ~2>(х) + ... a b . .. ± Q<"-D(x)l?(x)] £ + J0^Хх)Л(х) dx. a Если принять во внимание (4), а также то, что Qtn\x) s 0, то условие (5) приведется к виду _QXb)№-zXb)+ ... ± = 0. (6) Ввиду полной произвольности многочлена (л-1)-й степени Q(x) значения Q(b), Q'(b), ..., Q^n~1Xb) этого многочлена и его последовательных производных при х = b можно рассматривать как произвольные числа, а тогда условие (6) равносильно следующим: R(b) = 0, RXb) = 0, ..., R^-'Xb) = 0. (7) Из (4) и (7) видим, что многочлен R(x) должен иметь числа а и b корнями и-й кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться от произведения (х—а)п(х-Ь)п. Таким образом, окончательно dn Хп(х) = сп — [(х - аГ(х - ЬП dxn Если, в частности, взять л=-1и&=+1, то придем к уже знакомым нам много- членам Лежандра </п(х2-1)п Мы условились в 118, 6) обозначать многочлены Лежандра через Pn(x), если постоянные сп выбраны так: 1 1 См —----------\ 2п-п\ 2л!! для этих многочленов имеем Pn(l) = 1, Рп(-1) = (-1)п. Обыкновенно полагают еще Р0(х) = 1. Все члены многочлена Рп имеют показатели одинаковой с л четности. Старший коэффициент, очевидно, будет 2л(2л-1)...(л+1)_(2л-1)!! 2и!! п\ ’ По самому определению многочленов Лежандра имеем всегда г J Pn(x)Q(x)clx = 0, (8) „1 каков бы ни был многочлен 2(х) степени ниже л. В частности, если п и т - два неравных неотрицательных числа, то 1 Jpn(x)Pm(x) <£х=0. (9) -1
150 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1320 Г , 1 Найдем значение интеграла Р‘п(х) dx; он лишь множителем = -——- отлича- J (2л!!)2 ется от интеграла rd'Hx2- б/Чх2- 1)п --------------------dx. J dxn -1 dxn Если применить к последнему снова формулу (7) п° 311, заменив п на п -1 и по- ложив rfn(x2 - 1)" и =------------- dxn = (х2-1)п> то он сведется к интегралу 1 1 гб72П(л-2-1)" г ' ,ч” 1 Ч*2-1)п^ = 2.2и! (1-х2)«б/х -1 о (все внеинтегральные члены исчезают, потому что функция v и ее производные до (л-1)-й включительно при х±1 обращаются в 0). Полагая здесь x = sinf [ср. 314, 2)], получим dx2n 2л!! 2 2 • 2и!-------------------(2л!!)2, (2л+1)!! 2л + 1 так что окончательно Г 2 РпМ dx = --- . J 2 л 4 1 -1 В заключение, используя свойства многочлена Лежандра, выведем рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных таких много- члена. Заметим предварительно, что степень хп может быть представлена в виде линейной однородной функции от Ро, PL.Рп с постоянными коэффициентами; тогда то же справедливо и для любого многочлена степени л. Поэтому xPn^a3Pn+l+alPn+a2Pn-l+a3Pn_2+ • •> где ад, alt аг, а3, ... - постоянные коэффициенты. Легко установить, что а3 = а4 = = ... = 0. Например, чтобы определить а3, умножим обе части этого равенства на A)i_2 и проинтегрируем от - 1 до +1 ill з dx-\-cii У РпРп—2 dx 4- -1 (Ю) П-2 -1 1 2 dx+a3 J/л-2 dx+ ... -1 Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, и мы получим 1 а3 Р„ _ 2 dx = 0, откуда а3 = 0. 1
321] § 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 151 Коэффициент aL также равен 0, ибо левая часть равенства не содержит вовсе члена с хп. Для определения а0 приравняем коэффициенты при хп+х в обеих частях равен- ства (2л-1)!! (2л+1)!! п+1 ----i— = а° 7 Z~i\i ’ откуда а» = 7 • п\ (л+1)! 2п +1 Наконец, чтобы найти а2, приравняем обе части равенства при х= 1: п 1=а0+а,, так что а2 = 1-а0 =-------. 2п+1 Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем (п + 1)Р„+1 - (2п+ 1)хРп+пРП-1 -О. (И) Это и есть искомое рекуррентное соотношение, которое позволяет находить много- члены Лежандра последовательно, отправляясь от Ро = 1 и PL = х: Зх2-1 „ 5x3-Зх 35х4-30х2 + 3 Р2 = „ > Дз------- > РА =------~ > • • 321. Интегральные неравенства. В п° 133 и 144 был выведен ряд неравенств для сумм, покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть установ- лены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции р(х), <р(х), v'W будем считать интегрируемыми*. 1) В п° 133 мы имели неравенство (4), которое можно переписать так: Zppnat v е 2Pi Рассмотрим в промежутке [а, Л] положительные функции р(х) и р(х). Разделив промежуток точками Ц = Хд-< Xj-c . . . -< Xj^ . . . < Xfi — b на части, с длинами z!x, = х(+1- х,-, положим теперь в написанном неравенстве Pt=p{xi)-Axi, сц=<р(х{У, мы получим Z/foMxj ZplXi+plx^ Axj е . 2Р(ХЦ ЭХ; Все суммы здесь имеют вид интегральных сумм и при zlx, - 0 стремятся к соответствующим интегралам. Таким образом, в пределе получим «интеграль- ный аналог» неравенства (12): ь О р(х) dx * Из этого предположения вытекает уже интегрируемость и других встре- чающихся ниже функций: для обоснования этого достаточно сослаться на п° 299, П и п° 300, 4).
152 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [321 В частности, при р(х) = 1, будем иметь: 1 ? ---\ ln<Kx)dx b b~aa 1 Г е «----<р(х) dx. b-a J а Выражение справа называется «средним арифметическим» значений функции р(х) в промежутке [а, Ь], а выражение слева - их «средним геометрическим». 2) Выведем теперь интегральные аналоги неравенств Коши - Гельдера и Минковского [133, (5) и (7)]: 2«^{2^-{2ькТ (13) и (14) (*•‘-444 Пусть в промежутке [а, />] даны положительные функции <р(х) и у’(х); разложив, как и выше, этот промежуток точками X/, положим в (13): £ 1 к к' at = <p(xi) • Axj, bj = ir(xi) Ax, , а в (14): i_ 1 к к ai = 'dxi, b, = y’Cx,) -Axi. Будем иметь: Г i 2v(xi)v(xd Axt*s{2 [7,(xI)lk- zlxj* • {2 M*()l*'- dxi}* И 111 {2[fto) +vto)]*- 4xj}k s{2[?>(х;)]к • Ах}к 4- {2[vC*»)]* • ^xt}k. Переходя к пределу, при получаем окончательно ь J <Zx =! b 1 Ь J р )* ( Г . (рк dx\ • j v*' (13*) а а а b 1 ь 1_ b 1 dx | yfk dx . (14*) а a a Отметим частные случаи этих неравенств при к = к' = 2; b J?-y> dx= a / b / b s / jtp2dx • / §tp2dx (13') a a
322] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 153 и ь J t'P+V’]2 а Ь j у2 dx . а (14') Первое из них принадлежит В. Я. Буняковскому. Второе легко приводится к первому возведением в квадрат. 3) Перейдем, наконец, к неравенству Йенсена [144 (12*)]: f2Pixi'] I 2л Г 2л ’ (15) здесь функция /(х) предполагается выпуклой в некотором промежутке X, которому принадлежат точки х(; р, - положительные числа. Пусть в некотором промежутке [a, Z>] задана функцияу(х), значения которой содержатся в X, и по- ложительная функция р(х). Теперь х,- будут означать точки деления про- межутка [а, />]; прежние х(- в (15) заменим на ?(х,), а р, положим равными p(x,)-zlx, . Переходя, как и выше, от интегральных сумм к интегралам, получим интегральное неравенство Йенсена: ' ь | р(х)<р(х) dx 'а Ь b ^p(x)-f(<p(x))dx 'а b | р(х) dx а § 5. Приближенное вычисление интегралов 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций. Пусть требуется ь вычислить определенный интеграл J /(х) dx, где /(х) есть некоторая заданная а в промежутке [а, 6] непрерывная функция. В § 3 мы имели много примеров вычисле- ния подобных интегралов, либо с помощью первообразной, если она выражается в конечном виде, либо же - минуя первообразную - с помощью различных приемов, большей частью искусственных. Нужно отметить, однако, что всем этим исчерпывается лишь довольно узкий класс интегралов; за его пределами обычно прибегают к различным методам приближенного вычисления. В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов, в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому числу значений подинтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно равно- отстоящих) значений независимой переменной. Первые относящиеся сюда формулы проще всего получаются из геометри- 6 ческих соображений. Истолковывая определенный интеграл J/(х) dx как площадь а некоторой фигуры, ограниченной кривой у = f(x) [204], мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.
154 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [322 Прежде всего, вторично используя ту мысль, которая привела к самому поня- тию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 6) на полоски, Ь — а скажем, одной и той же ширины* Дх,=-, а затем каждую полоску прибли- п женно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле ь г Ь-а f(X) dx±—слшжн. •. +/(£n-i)J, J п а где , (z = 0, 1, ..., п— 1). Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступен- чатой фигуры (или - если угодно - определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников. нюю ординату /(^)=/(xl+i/,) обозначить через yt+ч,, то формула перепишется в виде ь г Ь-а f(x) dx~----О'1/.+3'"/,+ • • • + №-/,)• (1) J п а Впредь, говоря о формуле прямоугольников, мы будем иметь в виду именно эту формулу. Геометрические соображения естественно приводят и к другой, часто при- меняемой, приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (х,-, у,), гдеуг = /(х() (Z=0,1.п- 1). Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций (рис. 7). Если по-прежнему считать, что промежуток [а, 6] разбит на равные части, то пло- щади этих трапеций будут b-а Уо+л b-а +у2 b-а уп-1+Уп п 2 ’ п 2 ’ ’ п 2 Складывая, придем к новой приближенной формуле ь с Ь-а /уп+уп I f(x)dx±----р_£2+У1+у2+...+Уп_1 . (2) J п [ 2 ) а * Мы сохраняем обозначения п° 294.
322] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 155 Это так называемая формула трапеций. Можно показать, что при возрастании п до бесконечности погрешности фор- мулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким обра- зом, при достаточно большом п обе эти формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности. Для примера возьмем известный нам интеграл и применим к нему обе приближенные формулы, беря п= 10 и вычисляя на четыре знака. По формуле прямоугольников имеем х1/2 =0,05 у1/2 =0,9975 vS/2 =0,15 у3/2 =0,9780 х6/2 =0,25 у6/2 =0,9412 Х’/2 =0,35 ^/2 =0>8909 л'“/2 = 0’45 Уа1г =°>8316 7,8562 ------= 0,78562 *п/2 = 0,55 у11/2= 0,7678 ю х1з/2 = 0,65 уИ/2 = 0,7030 x15/2 = 0,75 >Ts/2 = 0,6400 хп/2 = 0,85 у17/з = 0,5806 *1в/2 = 0,95 y1J/2 = 0,5256 сумма 7,8562 По формуле же трапеций хо = 0,0 у0 = 1,0000 Xi = 0,1 Л = 0,9901 xl0 = 1,0 у10 = 0,5000 х2 = 0,2 у2 = 0,9615 сумма 1,5000 х3 = 0,3 у3 = 0,9174 = 0,78498 х4 = 0,4 хй = 0,5 х6 = 0,6 х7 = 0,7 х8 = 0,8 х9 = 0,9 у4 = 0,8621 ys = 0,8000 у6 = 0,7353 у7 = 0,6711 у8 = 0,6098 у9 = 0,5525 сумма 7,0998 Оба полученных приближенных результата обладают примерно одинаковой степенью точности - они разнятся от истинного значения (в ту и в другую сторону) меньше чем на 0,0005. Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. Для того чтобы наши формулы были действительно пригодны для приближенных вычислений,
156 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [323 нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не только оценивать погрешность при данном п, но и выбирать п, обеспечивающее требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в п° 325. 323. Параболическое интерполирование. Для приближенного вычисления интег- ь рала J f(x) dx можно попытаться заменить функцию f(x) «близким» к ней много- а членом У = Рк(.х) = аохк + а1хк~1 + ... +ак_1х+ак (3) и положить ъ ь J/(х) dx J Рк(х) dx. а а Иначе можно сказать, что здесь - при вычислении площади — данная «кривая» y=f(x) заменяется «параболой к-т о порядка» (3), в связи с чем этот процесс получил название параболического интерполирования. Самый выбор интерполяционного многочлена Рк(х) чаще всего производят следующим образом. В промежутке [а, Ь] берут к+1 значений независимой пере- менной £0, , • • •, £к и подбирают многочлен Рк(х) так, чтобы при взятых значениях х его значения совпадали со значениями функции f(x). Этим условием, как мы знаем [128], многочлен Рк(х) определяется однозначно, и его выражение дается интерполяционной формулой Лагранжа: p,fy>_ (x-^)(x-i2)...(x-^k) (х-£0)(х-£2)...(х-$к) к • -йо-ад л х/(fl) + ... + Iх х'у--(х Sk-^ При интегрировании получается линейное относительно значений /(f0),... ..., fdk) выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не зависят. Вычислив коэффициенты раз навсегда, можно ими пользоваться для любой функ- ции /(х) в данном промежутке [а, Ь]. В простейшем случае при к = 0, функция /(х) попросту заменяется постояв- а + Ь ной /({Д где - любая точка в промежутке [а, 5], скажем, средняя: ~ . Тогда приближенно (4) Геометрически - площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площадью прямоугольника с высотой, равной средней ее ординате. При к=1 функция /(х) заменяется линейной функцией Л(х), которая имеет одинаковые с ней значения при x=f0 и х=5Р Если взять £0 = а, = Ь, то х-b х-а А(х)-----/(«)+---/(/>) а-b Ь-а (5)
323] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 157 (6) и, как легко вычислить, га ,/(«)+/(« J Л(х) dx=(b- а)------------------------------ а Таким образом, здесь мы приближенно полагаем ь -th J^)+f(b) J f(x) dx~(b- а)------ а На этот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции: вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы. Менее тривиальный результат получим, взяв к = 2. Если положить £0=а0, a+Z> = —— ,$2 = Ь, то интерполяционный многочлен Р2(х) будет иметь вид I д+61 1х--^—1(х-6) А(х) = 7--г-гт----Ж + а + Ь 1 a- -j(a-b) ! (х-а)(х-Ь) Д (а+Ь \(а+Ь А I I 2 Д 2 j С помощью легкого вычисления установим ь , J а+Ь\ (х-а)1х----— 1 +------7------J-f(b). (Ь-а) у-1 а и х — ь 2 С (7) а+Ь dX (b-a)2J а 2 (Г^а)2 L 3 (х-b)3 Ь-а (х-6)2] Ь 2 Ь-а ~6 аналогично 2 а ь (х - а)(х - Ь) Ь-а dx = 4---, а + Ь ~\[а+Ь А 6 -----а--------6 2 2 ) а 6 I 2 I Ь-а -------------ах =--- ,, Да а + ь] 6 (b-a)lb~ —— а Таким образом, приходим к приближенной формуле ъ С Ь-а г (а+Ь\ |/(x)dxi—|/(а)+4/ 2 (8)
158 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [324 Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется площадью фигуры, ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через крайние и среднюю точки кривой. Увеличивая степень к интерполяционного многочлена, т. е. проводя параболу (3) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитывать добиться большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробле- ния промежутка. ь 324. Дробление промежутка интегрирования. При вычислении интеграла j f(x)dx а можно поступить так. Разобьем сначала промежуток [а, />] на некоторое число, п, равных промежутков [х0, л-i), Ui, х2].[хл-1, *л] (*<• = «. хп = Б), в связи с чем искомый интеграл представится в виде суммы х, х, х„ J Дх) dx + J Дх) dx+ ...+ J Дх) dx. (9) X, X, х»-. Теперь же к каждому из этих промежутков применим параболическое интерполи- рование, т. е. станем вычислять интегралы (9) по одной из приближенных формул (4), (6), (8), ... Легко сообразить, что, исходя из формул (4) или (6), мы таким путем вновь получим уже известные нам формулы прямоугольников и тра- пеций, (1) и (2). Применим теперь к интегралам (9) формулу (8); при этом, для краткости, положим, как и выше, X,+^,+1 = X;+i/t , /(x,-+v,)=y,-+x/,. Мы получим С Ь-а f(x)dx=-—- O’0 + 4yi, ,+л), J 6 л 12 X, с . b-a f(x)dx=-—- (д+4у8/ +y2), J 6л /2 Xi Хл r b-a f(x) dx- - (Ул-1+4Ул-7. + Уп). J 6n Xn-i Наконец, складывая почленно эти равенства, придем к формуле ь С Ь-а J Дх) dx'_ [(Уо+Уп) + 2(У1+У2+ • . +Уп-1) + 4(у3/2 + уБ/2+ • • • +Ул-7,)]- (™)
325] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 159 Она носит название формулы Симпсона (Th. Simpson); этой формулой пользуются для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формулами прямоуголь- ников и трапеций, ибо она - при той же затрате труда - дает обычно более точный результат. 1 г dx Для сравнения вычислим снова интеграл - - [см. 322] по формуле J 1+х2 о Симпсона. Мы возьмем л = 2, так что число использованных ординат на этот раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков) 1 1 3 *о = °; х1/Г~, = *з/2 = 7; То=1; 4у1/2= 3,76471; 2Л = 1,6; 4у8/з = 2,56; л = 0,5. 1 — (1 + 3,76471 + 1,6 + 2,56 + 0,5) = 0,78539... - все пять знаков верны! Конечно, по отношению к формуле (10) могут быть повторены замечания, сделанные в конце п° 322. К оценке погрешности приближенных формул мы сейчас и переходим. 325. Дополнительный член формулы прямоугольников. Начнем с формулы (4). Предположим, что в промежутке [а, Ь] функция f(x) имеет непрерывные произ- водные первых двух порядков. Тогда, разлагая f(x) [по формуле Тейлора, а+Ь 126 (13)] по степеням двучлена х--—вплоть до квадрата его, будем иметь для всех значений х в [а, Ь] (а + Ь\ ( a + b\ (а + Ь\ 1 ( а+Ь\г ЛхЦ^-] +(х- ,Г| 2 J • 2; Г ) Ж - а + Ь где 4 содержится между х и — и зависит от х. Если проинтегрировать это равенство в промежутке от а до Ь, то второй член справа исчезнет, ибо ь Яа+Ь\ х----—I dx = 0. (11) а Таким образом, получаем ь ь С (a+b] If ~ ( a+b )2 /(x)rfx=(*-e)H - + - /"({) х- - рх, J ( 2 ) 2 J V 2 ) а а так что дополнительный член формулы (4), восстанавливающий ее точность, имеет вид г> 1р ~ ( а+Ь\г Р = -]/''(Цх- — jdx. а Обозначив через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции /"(х) в промежутке [а, Ь] [85] и пользуясь тем, что
160 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [325 второй множитель подинтегрального выражения не меняет знака, по обобщенной теореме о среднем [304, 10°] можем написать ь 1 г( а+Ь\г (b-dp р = —ц I х----ах ---------и, 2 Д 2 ) 24 а где ц содержится между т и М. По известному свойству непрерывной функции [82], найдется в [а, Ь] такая точкачто f "(,$*), и окончательно (Ь - а)3 Р = (12) Замечание. Естественно было бы, разлагая функцию f(x) по степеням а+Ь х-----— , оборвать разложение уже на первой степени этого двучлена, т. е. восполь- зоваться формулой (а + Ь'\ ( а + Ь'\ Лх)=/[-у- ) + (*--2- J/’XO. Это привело бы нас, при интегрировании, к равенству ь ь С (а+ЬА г ~ ( а + Ь\ J f(x) dx = (b-a)fl -у-1+ J / © Iх-I dx’ а а так что дополнительный член выразился бы интегралом ь р ~ ( а+ЬА Р= J /'(?)Iх--— I dx, а содержащим лишь первую производную f'(x). Но здесь второй множитель подинтегрального выражения меняет знак в промежутке [а, Ь], и применение обобщенной теоремы о среднем - в целях упрощения выражения для р - оказы- вается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложении еще на один член, в связи с равенством (11), обеспечило нам успех. Если теперь разделить промежуток [a, Z>] на и равных частей, то для каждого частичного промежутка [х,, х;+1] будем иметь точную формулу М+1 Г b-a (b-a)3 * дх) dx= — /(xi+1/1)+/"«*) (x,^e(*=s х,+д J п 24л3 Сложив эти равенства (при / = 0, 1, ..л - 1) почленно, получим при обычных сокращенных обозначениях ь С Ь-а J /(х) dx = (У1/2+уг/2+ . +Уп-'/,) + Кп, а где выражение _ (b-a)3 f"(^)+f"(it)+... + r(^-1) п 24д2 Л
326] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 161 и есть дополнительный член формулы прямоугольников (1). Так как выражение п также содержится между т и М, то и оно представляет одно из значений функ- ции f"{x). Поэтому окончательно имеем (Ь - а)3 (a^b). 24л2 (13) 1 При возрастании п этот дополнительный член убывает примерно как — 1 и2 г dx Вернемся для примера к вычислению интеграла ---------, произведенному J 1+х2 1 1+х2 в 322. Для подинтегральной функции /(х) = о Зх2-1 имеем /"(х) = 2------; эта (1+х2)2 производная в промежутке [0, 1] меняет знак, но по абсолютной величине остается меньшей 2. Отсюда, по формуле (13) | А1о |-=0,85 • 10-3. Мы вычисляли ординаты на четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно видеть, что погрешность от округления ординат может быть включена в приведенную выше оценку. Истинная погрешность, действительно, меньше этой границы. 326. Дополнительный член формулы трапеций. Займемся теперь формулой (6) при прежних предположениях относительно функции /(х). Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным членом [129 (7)], можем написать [см. (5)] /(х) = Р, (х) + /" ®(х - «)(х - Ь), а-=г,-=Ь. Интегрируя эту формулу от а до Ь, найдем ь ь Г,,,, /I. + , 1 f V МЛ J /(х) dx = (b- а)-------+—J f - a)(x - b) dx, a a так что дополнительный член формулы (6) будет ь Р = у J /"(»?)(Х - а)(х - Z>) dx. а Рассуждая, как выше, и пользуясь тем, что второй множитель подынтеграль- ной функции и здесь не меняет знака, найдем ь 1 с (Ь~ а)3 Р = — j (х - d)(x -b)dx =-----------—— (a=ST}**sb). tt * Мы говорим: примерно, ибо и £ может изменяться с изменением п. Это следует помнить и впредь. И Г. М. Фихтенгольц, т. II
162 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [327 Наконец, для случая деления промежутка на п равных частей Ап=- (6-а)з 12л2 /"(»/) (14) (a*&]=sj>). Таков дополнительный член формулы трапеций (2). При возрастании п он также убывает примерно как -. Мы видим, что применение формулы трапеций л2 приводит к погрешности того же порядка, что и для формулы прямоугольников. 327. Дополнительный член формулы Симпсона. Обратимся, наконец, к формуле (8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что, снова воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным членом [129 (7)] и положить [см. (7)] f(x) = Р2(х) (* j (x-b) Ь). (15) Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в п° 325 (см. замечание). Именно, проинтегрировав равенство (15), мы не могли бы упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью тео- ( а+Ь\ ремы о среднем, так как выражение (х-а) I х---— I (х - Ь) в подинтегральной функции уже меняет знак в промежутке [а, 6]. Поэтому мы поступим иначе. Выражение R«(z) + K(z - а) 2^ (z-b), _ а+Ь каково бы ни было число К, в точках z = а, , Ь принимает те же значения, что и функция f(z). Легко подобрать теперь число К так, чтобы и про- а+b (а+Ь) изводная этого выражения при z= совпадала с производной /' ----------1. Таким образом, при этом значении К, мы имеем в лице написанного выражения не что иное, как интерполяционный многочлен Эрмита [130], отвечающий , а+Ь простым узлам а, Ь к двукратному узлу ——. Воспользовавшись формулой Э р- мита с дополнительным членом [130 (11)] - в предположении существования для функции f(x) производных до четвертого порядка включительно - получим: ( а + Ь) /(0(f) ( а + Ь\2 Дх) = Р,(х) + К(х-а) |х ~~ I (х-Ь) + ——(х-а) lx--y-j (x-b) (a^l^b). Теперь проинтегрируем это равенство от а до Ь; мы найдем, что ь ь С . Ь-аГ (а + Ь) 11г ~ ( а + Ь)2 /(х)Дг=-— /(а)+4/ -— +/((>) +— I/(3)(С)(х - а) х------------------- (x-b)dx, •/ U L \ £ j J л) 1 2л 1 а а
327] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 163 так как ь ь Гл a + b\f l'( a + а + ЬГ (Ь~а)21^ п J (х-а) 1х — I (x-b)dx = J 1х——-1 11х—— I -—I дх = 0. Если предположить производную /(4)(х) непрерывной, то, как и в предыдущих случаях, дополнительный член формулы (8) ь 1 с ( а + Ь\2 Р = — J /<4>(?)(л- - а)1 х - 1 (х - b) dx, а пользуясь тем, что второй множитель в подинтегральном выражении не меняет знака, можно представить в такой форме*: ь 1 с ( а+Ь)2 Р = — /(4>(С*) J (х - а)1 х - — I (х - b) dx = а (Ь - а)5 180-24 Л4)©. Если промежуток [а, Ь] разделен на п равных частей, то - для формулы С и м- пеона (10) - получим дополнительный член в виде Rn- (b-d)s 180-(2л)4 Л4)© (16) (а^^Ь). При возрастании п это выражение убывает примерно как —; таким и4 образом, формула Симпсона действительно выгоднее двух предшествующих формул. 1 С dx Обратимся снова к примеру интеграла --------. Для того чтобы избежать J 1 1-х2 о вычисления четвертой производной, фигурирующей в формуле (16), мы заметим, 1 что функция f(x) =----сама является производной от у = arctg х, так что мы можем воспользоваться готовой формулой из 116, 8). В согласии с пей Д4)(х) j’(5) = 24 cos5 у sin 5 I у + -) = 24 cos5 у cos 5у; * Если f(x) есть многочлен степени не выше третьей, то, очевидно, р обра- щается в 0. Значит, для такого многочлена формула (8) будет точной (в чем легко убедиться И непосредственно). и*
164 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1328 это выражение, по абсолютной величине, не превосходит 24, так что по формуле 1 (16) 0,0006. Истинная погрешность, как мы видели, значительно меньше этой границы. Замечание. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешности, найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой. К сожалению - и в этом практический недостаток выведенных формул, - подобное обстоятельство встречается нередко. Тем не менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оценивать погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление определен- ных интегралов. Обратимся к примерам. 2 С dx 328. Примеры. 1) Вычислим интеграл — In 2 с точностью до 0,001, во- J х 1 спользовавшись формулой прямоугольников. 1 2 Так как для /(х) = — имеем 0^f'(x) = —я=2 (если 1 asх=е2), то по формуле (13) х х3 12л2 Если взять п = 10, то дополнительный член нашей формулы будет А10-= 1 1200 -= 0,84 • 10-3. Нам придется внести еще погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на 1 0,16 • 10~3. С этой целью достаточно вычислять значения функции — с четырьмя х знаками, с точностью до 0,00005. Имеем: х1/2 = 1,05 у1/2 = 0,9524 ^=145 у3у2 = 0,8696 х3/,= 1,25 >’++0’8 х7/2=1,35 у,/2 = 0,7407 а'9/2=1.45 = 0,6897 *п/2=1.55 А1/2 = 0,6452 = 0,69284 х1з/2= 1>65 Лз/2 = 0,6061 10 х13/2= 1,75 у16/2 = 0,5714 х1?/2 = 1,85 У1,/2 = 0,5405 х1в/2 = 1,95 У1»/2 = 0,5128 сумма 6,9284 Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно, и к их среднему арифметическому) содержится между ±0,00005, а также принимая во внимание оценку дополнительного члена Rlo, найдем, что In 2 содержится между границами 0,69279 = 0,69284 - 0,00005 и 0,69373 = 0,69284 + 0,00005 + 0,00084, а следовательно, и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, In 2 = 0,693 + 0,001.
328| § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 165 2) Провести то же вычисление по формуле трапеций. В этом случае по формуле (14) Л„-0, I КпН—• 6п2 Попробуем и здесь взять л= 10, хотя тогда гарантировать можно лишь что | А1о | - -=----= 1,7-10~3. Ординаты (вычисленные с той же точностью, что и выше) 600 будут X; = 1,1 У1 = 0,9091 х»=1,2 >2 = 0,8333 х3=1,3 = *0=1,0 >„ = 1,0000 *4 = 1,4 >4 = 0,7143 х1о = 2,О >10 = 0,5000 *5 = 1,5 >5-0,6667 сумма 1,5000 *3 = 1,6 у6 = 0,6250 *7=1,7 у, = 0,5882 *в= 1,8 >8=0,5556 1 /1,5000 1 *9=1,9 ><, = 0,5263 —+6,1877) =0,69377 сумма 6,1877 Учитывая все поправки, найдем, что In 2 содержится между границами 0,69202 = = 0,69377 - 0,00005 - 0,00170 и 0,69382 = 0,69377 + 0,00005, т. е. снова между 0,692 и 0,694, и т. д. 3) С помощью формулы Симпсона, при том же числе ординат, можно получить более точный результат. Так как четвертая производная под- 24 интегральной функции есть — , то по формуле (16) х5 К,г-0 и 24 2 -------=--------. 180-(2п)4 15-(2п)4 При п = 5 (тогда число ординат будет то же, что и в предыдущем случае) имеем |J?S| -= 1,4-10~6. Вычисление поведем на пять знаков, с точностью до 0,000005: *1= 1,2 У1 = 0,83333 *1/2 = 1,1 У1; =0,90909 *2=1,4 у2 = 0,71429 *з/2-!,3 >., =0,76923 *з= 1,6 у3 = 0,62500 *5/,= 1,5 >5^ =0,66667 *4=1,8 >d = O,55556 Х’/2=1’7 >7/ =0,58824 сумма 2,72818-2 *»/2=1’9 >»/2 = 0,52632 5,45636 сумма 3,45955-4 13,83820 хо=1,О у0= 1,00000 х5 = 2,0 уб = 0,50000 сумма 1,50000 1 — (1,50000+5,45636+13,83820) = 0.693152.
166 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [328 Отсюда In 2 содержится между границами 0,693133 = 0,693152 - 0,000005 - 0,000014 0,693157 = 0,693152 + 0,000005, так что, например, можно положить In 2 = О,69315±О1О()()О2. В действительности In 2 = 0,69314718..и истинная погрешность оказывается меньшей чем 0,000005 [ср. замечание в конце предыдущего п°]. 4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический ин- теграл 2-го рода* 2 Е 1 1 - — sin2 х dx 2 о с точностью до 0,001 по формуле Для функции f(x) = |/(4) | < 12**, поэтому [см. (16)] Симпсона. 1 1-----sin2 х, 2 при изменении х от 0 до —, имеем In Is 2 1 I —---------------------------, 1 180-(2л)4 3 (2 л)4 Возьмем л = 3, так что | А31-= 0,00052. Тогда х„ = 0 (0°) у0= 1,0000 л-1АГ^(150) 4у1/г /12 +У12 = 3,9324 х, = - (30°) 2Л = У14/2 = 1,8708 6 (4У) 4у8/2=У12 = 3,4641 л 15,47 = у (60°) 2уг = У10/2 =1,5811 2 18 -Ч/2 = (75’) 4у6/2 = /12-/12 = 2,9216 х3 = ^ (90°) у3= У2/2 = 0,7071 сумма 15,4771 * См. сноску на стр. 142. * * Очевидно, у=/(х)э=—; дифференцируя тождество у2=1— sin2x, легк< ]/2 2 последовательно получить оценки (сверху) абсолютных величин производны: у', у", у'”, У<а>-
328] § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 167 К полученному результату, кроме поправки Rs, следует добавить еще (неотрица- 0,0003. л тельную) поправку на округление, которая не превосходит --------«=0,00003. 36 Таким образом, 1,35011 «=Е| — |«= 1,35118, (1 I и можно утверждать, что Е — =1,351+0 001. (На деле в полученном результате все знаки верны.) 5) Вычислить интеграл 1 о с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона. Непосредственно вычислив четвертую производную от подинтегральной функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; поэтому 12 180-(2и)4 Достаточно взять п =5, ибо | Т?5|-=0,7-10=Имеем хо = О,О у„= 1,00000 х5=1,0 л = 0,36788 сумма 1,36788 %! = 0,2 Л = 0,96079 х, = 0,4 у» = 0,85214 *з = 0,6 уд = 0,69768 *4 = 0,8 у4 = 0,52729 сумма 3,03790-2 6,07580 *1/ =0,1 У1, =0,99005 ,.;;.о.9в93 *5/, = 0,5 у5/2 = 0,77680 *,/2 = 0,7 у7/* = 0,61263 х9/з = 0,9 у8 = 0,44486 сумма 3,74027-4 14,96108 1,36788 + 6,07580+14,96108 30 = 0,746825 0,746813-= 0,746837 О,74684.о ,00005 • (И здесь в полученном результате верны все шесть знаков!) 6) Найдем интеграл 1 гarctg х G^-~T~dx о
168 ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [32 [ср. 314, 6)] по формуле Симпсона, при п = 5, вычисляя на пять знаков Уо=1 у5 = 0,78540 сумма 1,78540 У! = 0,98698 у.,= 0,95127 у3 = 0,90070 = 0,84343 сумма 3,68238-2 7,36476 л,2 = 0,99668 у3/г2 = 0,97152 Л/г = 0,92730 у7/г = 0,87246 ув/2 = 0,81424 сумма 4,58220 • 4 18,32880 1,78540 + 7,36476 +18,32880 = 0,915965. В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить погрешность по формуле (16). Значение G иногда называют постоянной Каталана (Е. Catalan) [см. также 440, 6) (а)]. Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так что ими воспользоваться для вычисления определенных интегралов было бы не- возможно. Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных инте- гралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принци- пиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю для элементарных функций. На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближен- ные выражения.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ § 1. Длина кривой 329. Вычисление длины кривой. Пусть на плоскости параметриче- скими уравнениями x=<p(0, y=y(t) (1) задана непрерывная простая кривая АВ. В первом томе [247] было установлено понятие длины кривой как точной верхней гра- ницы S' периметров, вписанных в кривую ломаных S = sup{p). (2) В предположении, что функции (1) имеют непрерывные производные, было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. длина дуги конечна. Больше того, если рассмотреть переменную дугу AM, где М - любая точка кривой, отвечающая значению t параметра, то было установлено, что длина AM=s = s(t) есть дифференцируемая функция от t, производная которой выра- жается так: или - короче - (3) [248 (10)] и, очевидно, тоже непрерывна. Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к вы- числению длины s кривой АВ. По основной формуле интеграль- ного исчисления, сразу получим т 5'(T)-5(r0) = \s'tdt
170 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (329 ИЛИ т т АВ = 5 = j VxfTy? dt = J VTFW НТЮ]2 dt. (4) to te Длина переменной дуги AM, о которой выше шла речь, как легко понять, выразится формулой t AM = .s' = s(t) = J Ух?+у? dt. (5) to Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая- либо внутренняя точка Мо. Если t0 по-прежнему определяет именно эту точку (в этом случае t0 уже не будет концом проме- жутка, где изменяется ?), то формула (5) дает, очевидно, величину дуги AM со знаком, именно, со знаком плюс, если t > t0 и точка М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг Мо, и со знаком минус, если t-^t0 и точка М лежит с отрицательной стороны от Мо. Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных коор- динатах у=/(х) (хй^х^Х), то, принимая х за параметр, из формулы (4), как ее частный случай, получим х х S = J V Пу? dx = J fl + L/W2 dx. (4а) х9 х0 Наконец, случай полярного задания кривой r=g(&) (0О^0), как известно, также приводится к параметрическому с помощью обыч- ных формул перехода х = г cos в = g(0) cos О, y = r sin 0 = g(ff) sin 0; роль параметра здесь играет 0. Для этого случая о в S = J do=J /М2 Hiw de. (46) о, о„ Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать и выражения для величины переменной дуги AM, если М отвечает абсциссе х или полярному углу 6: X AM =s = s(x) = j У1 +y'x2 dx (5a)
330) § I. ДЛИНА КРИВОЙ 171 или, соответственно, AM = 5 = s(0) = j г'2 dO. (56) о, 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вы- числению. При определении самого понятия длины непрерывной про- стой кривой (1) мы исходили из равенства (2). Докажем теперь, что - в случае незамкнутой кривой - ее длина S является не только точной верхней границей для множества длин {р}, вписанных в кривую ломаных, но и попросту пределом для р - при условии, что стремятся к 0 длины всех сторон ломаной (/>) (или, точнее, длина Я* наибольшей из этих сторон)-. S = lim р. (6) л»-о Впрочем, удобнее исходить из значений параметра t: А) ' (1 ' • ' hh+i <1п~Т, (7) определяющих положение на кривой вершин ломаной (р), и предпо- ложить, что стремятся к нулю все приращения Zk, = zi+1-7, (или, точнее, наибольшее из них Л = max At}. Две леммы п° 245 обеспечи- вают равносильность обеих характеристик предельного процесса. Итак, подлежит доказательству предельное соотношение S = lim р. (6*) Л-0 Сначала отметим следующее важное свойство периметра р. Если он отвечает некоторому способу (7) разложения промежутка [Го, Г], и затем мы вставим еще одну точку деления t: tk<t< th+l ’ то периметр р разве лишь увеличится, причем увеличение его не прев- зойдет удвоенной суммы колебаний функций <p(t) и у(7) в промежутке [rft, 4+1]. Действительно, добавление новой точки t заменяет в сумме р одно слагаемое (длину стороны): / [?>(4+i) ф0/<)]2 + tyfc+i) - У^л)]2 (8) суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон) У [<?W-q>(tky]2+[ii)(i) -y(Zfc)]2 + j/[<p(fA+i) -ф(?)]2 + IVfe+i) -vW, (9) которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8).
172 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [330 С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы Iф(0 -<p(tk)I +ly(0 -v(^)I +1<р0*+1)-чр(Ъ HI4>(h+i) I и, следовательно, увеличение периметраp и подавно не превос- ходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удвоенной суммы колебаний. В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного S. Для произвольно малого числа е >0, по определению точной верх- ней границы, найдется такой способ разбиения промежутка [т0, 7’] на части точками = (10) что для соответствующего периметра р* будет выполняться неравен- ство (И) Ввиду равномерной непрерывности функций rp(t) и у(0 существует столь малое число й=-0, что 1<р(7")-<?>(7')Н^, H(f")-y>(7')l<g^, лишь только \t"-t’\<8. Разобьем же промежуток [г0, 7] на части точками (7) под единственным условием, что (т. е. что все Д7,<<5), и составим соответствующую сумму р. Рассмотрим третий способ дробления промежутка [70, Т] на части, при котором точками деления служат как все точки 7, способа (7), так и все точки t* способа (10); пусть ему отвечает периметр р0. Так как этот способ получен из (10) путем добавления новых точек, то в силу сказанного вначале Ро^Р*- (12) С другой стороны, тот же способ получен и из (7) добавлением точек t*. Добавление каждой точки 7* увеличивает р не более, чем на удвоенную сумму соответствующих колебаний функций </>(7) и ip(7), е гг. т. е. меньше, чем на . Так как этот процесс повторяется меньше, чем m раз, то р0 превзойдет р меньше чем на ~: Ро<Р + ^- (13) Из неравенств (13), (12), (11) следует, что P-S-e,
330] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 173 так что 0<S-p<e, откуда вытекает доказываемое утверждение (6*), а значит и (6). Так как из (6) обратно вытекает (2), то равенство (6) можно рас- сматривать как новое определение длины кривой, равносильное преж- нему. Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае замкну- той кривой такое определение не может быть применено безогово- рочно: ведь даже при соблюдении указанного условия ничто не ме- ___-—' шало бы ломаной стягиваться в \ точку, а ее периметру стремиться Х/ / к 0 (рис. 8). Суть дела в том, g / у что при незамкнутой кри- вой одно убывание всех звеньев ломаной (р) до нуля уже обеспе- Рис- 8- чивает все более тесное примы- кание их к соответствующим частичным дугам; поэтому-то и естест- венно предел ее периметра р принять за длину всей дуги. В случае же замкнутой кривой дело обстоит уже не так. [Отметим, что если вместо стремления к 0 длин всех сторон ломаной, потребовать того же относительно диаметров соответствую- щих дуг, то новое определение было бы в равной мере приложимо как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.] Покажем теперь, как из определения (6) или - что то же - (6*) непосредственно вывести выражение (4) для длины S кривой. Будем исходить из готового выражения для периметра р ломаной [см. 248 (7)]; Р = 2 У[<р'(т,)]2 + [у>'(т,)]2 • л?,, i=0 где т, , т, - некоторые значения t из промежутка [г,-, г;+1]. Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде т, на г,, то преобразованное выражение <7=2* У [ф'(г/)]2 + [V'(T,)]2 -А, /=0 очевидно, представит собой интегральную сумму как раз для интеграла (4). При стремлении Я к нулю, эта сумма и будет иметь своим пределом упомянутый интеграл*. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной, достаточно обнаружить, что разность р - а стремится к нулю. * Существование его не вызывает сомнений, ибо подинтегральная функция непрерывна [298, I].
174 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (331 С этой целью произведем оценку этой разности \р - I I OFIvW I • А i Элементарное неравенство ^а^Ь^-Уа^ + Ь^Ь-Ь^*, если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы в отдельности, даст нам \р - ° I ^21 v'(^) -¥(*/) \Ati- i Ввиду непрерывности функции по любому заданному е>0 найдется такое <5=-0, что \y'(t)-y'(t)\<e, лишь только 11-f|<b. Если взять А-=й (т. е. все то и |т,т;[<Ь, так что и |р - ст! =se =£(Г- Го). i Это доказывает формулу (4). 331. Примеры. 1) Цепная линия: y a ch - (рис. 9). Мы имели уже в а способ графического спрямления 252, 1): ]/1 +у'х = ch -. а Тогда по формуле (5а), если за начало от- счета дуг принять вершину А кривой х s ----- AM = Г ch - dx = a sh - . J а a О x Вспоминая, что tg а = ух = sh —, имеем а также r = atga. Таким образом, в д MPS (рис. 9) катет MS=a tg а в точности равен (по длине) дуге г. Мы получили простой эй линии. 2) Парабола: у = — . 2р * Неравенство это очевидно при а-0; если же а у О, то оно непосредственно вытекает из тождества У<Р+& - УаЧЦ - — -2bl --------(b - bj, ]'а2 + №-]'а2 + />2 так как множитель при разности в скобках по абсолютной величине меньше единицы.
331] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 175 Приняв за начало отсчета дуг вершину О (х = 0), для произвольной точки М с абсциссой х имеем 1 ( _____ 1 Г 1 ______ П2 ______ 1 х s = ОМ= — Ух2+р2е/х = — —х ]'х2+р2Н— 1п(х+ ]/х2+р2) р J р 12 2 Jo О х 2р у-тт-.Р, *+№+Р2 [/ х2 -р=Н— In---. 2 р 3) Астроида: х = а cos31, у = a sin31. Пользуясь уже вычисленными [224, 4)] значениями xj и у'ь имеем -------------------- / я] У х[2 +у[2 = За sin t cos t I если 0=s 1 =s-1 . Длина четверти астроиды между точками А(а, 0) и В(0, а), по формуле (4), равна '—' г . За х АВ = За sin t cos t dt = — sin21 J 2 о о За 7 ’ так что длина всей кривой будет 6а. 4) Циклоида: x = a(l-sin t), у = a(l-cos t). Здесь (при Osgtasln) ,,------------------------------t У x/2 +yp = аУ(1 - cos t )2+sin2t = 2a sin —; длина одной ветви циклоиды, по формуле (4), будет 2л г t t tin 2a sin — dt = - 4a cos — = 8a. J 2 2 о 0 5) Эвольвента круга: x= a(/sin H-cos t), y = a(sin t-1 cos t). Имеем (при l=-0) Ух[2+у/2 = a\r(t cos t)2 + (t sin Z)2 = at, так что переменная дуга AM от точки А (1 = 0) до любой точки М (1=-0) выразится так: al2 АМ= s = —. 2 При 1с 0 в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак минус. 6) Архимедова спираль: r = a9. По формуле (56), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвечаю- щей углу 0), получаем о ом=a J yi + 02 de = а- [е у1 Тоз+1п (0 + y i + 02)]. о
176 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [331 г Любопытно, что подставив здесь 0 = —, мы придем к выражению, формально а сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 2)]. 7) Логарифмическая спираль: г = аетГ> (рис. 10). 1 Так как г!. = тг, то г = — г'в, и для дуги МпМ между двумя точками с координа- т тами (г0, 0О) и (г, 0) будем иметь по той же формуле (56) 5 = М0М= Уг2 + Г(')£/0 = 1 /и2 1 Если вспомнить, что для логарифмической спирали tg ш = —, то полученный т результат можно написать так: '—'о cos <1> Приближая точку Ма к полюсу О, т. е. устремляя г0 к нулю и прини- мая получаемый при этом предел длины дуги MtiM з а длину дуги ОМ, мы придем к еще более простому результату cos а> С помощью этой формулы из lMOT (см. рисунок) уже легко усмо- треть, что дуга s равна полярному отрезку касательной tp : ОМ=ТМ*. Мы получили весьма простой способ графического спрямления нашей кривой. X2 у2 8) Эллипс: —I—=1. а2 Ь2 Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме x = asin t, y--bc<xt. Очевидно, Ух/2+у/2 = У<72 cos2 t + b2 sin2 / = Уд2 - (а2 - Z>2) sin2 t-a^f \ -e2 sin2 Г, \'a2-b2 где r ------- есть численный эксцентриситет эллипса. а * Это свойство логарифмической спирали позволяет легко установить такое предложение: когда эта кривая катится без скольжения по прямой МТ, го полюс О (если считать его неизменно связанным с кривой) описывает некото- рую прямую. Предоставляем читателю доказательство.
331] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 177 Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадранте, получим з=а У1 - е2 sin21 dt = aE(t, t). Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим инте- гралом 2-го рода [293, см. также 305]; как указывалось, этот факт послужил поводом для самого названия «эллиптический». В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный эллиптический интеграл* Л 1 a J У1 - е2 sin21 dt = aE(f). о Длина же всего обвода будет S=4aE(e). X Интересно отметить, что для длины одной волны синусоиды у - с sin — , где ______ Ь получается в точности такой же результат. Геометрически это совпаде- ние объяснить легко. Вообразим прямой круговой цилиндр; в пересечении его поверхности с плоскостью, наклонной к образующим, получится эллипс. Если разрезать поверхность цилиндра по образующей, проходящей через вершину малой оси, и развернуть, то обвод эллипса перейдет в синусоиду. Аналогично к эллиптическим интегралам (обоих родов) при- водится и вычисление дуги гиперболы. 9) Улитка: r=acos0+6. Здесь г' = - a sin в и г 4аЬ в 1 г2 + г'2 = а2 + 2ab cos 0 + b2 = (e+6)2 1-sin2 — I . L (a+b)2 21 Поэтому (при Ь*а) для длины дуги от точки, для которой 0 = 0, до точки с любым О - л получим выражение в виде эллиптического интеграла (2-го рода) Г у 4аЬ 0 = (а+6) / 1--------sin2 — d0 = J (a+b)2 2 о _e 2 = 2(a+6) '2fab a+b 0 I Длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом: 5 = 4(а+6)Е * См. сноску на стр. 142. 12 Г. М. Фихтенгольц, т. II
178 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [331 Однако для частного случая - кардиоиды (Ь = а) дело значительно упрощается. В этом случае е r2+rg2 = 4а2 cos2 — , так что (О-=0«ет) о г 0 0 5 = 2а I cos — de = 4а sin - . J 2 2 о Если (рис. 11) из полюса О радиусом 2а описать дугу AL до пересечения с продолжен- ным радиусом-вектором ОМ, то хорда AL, очевидно, будет равна дуге s=AM. Длина всей кардиоиды будет 8а. 10) Лемниската: г2 = 2а2 cos 20. Вычислим длину дуги лемнискаты от вершины, отвечающей 0 = 0, до любой я точки с полярным углом 0«=-. 4 Имеем гг$ = - 2а2 sin 20, 2а2 sin 20 откуда гв =--------- В таком случае 2а2 г Усоз2в’ ]/г24-г£2 = аУ2 и по формуле (56) е Г de s=a о с de = а у 2 I —; J Vcos20 J У1 -2 sin2 0 о о мы снова приходим к эллиптичес- кому интегралу (1-го рода). Так как таблицы вычислены для интегралов, в которых множитель к2 при sin2 0 меньше единицы, то прибегаем к замене переменной. Положим 2 sin2 в = sin2 у (так как л 0-=-, то 2 sin2 0-= 1, и угол у отсюда определить действительно можно); тогда 4 1 1 cos 0 de = — cos <р dtp, sin 0 = — sing?, У2 dB = 1 cosy dtp (2i< i I 1 - - sin2 <p yi-2sin2y = cosy и окончательно 0
ззц § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 179 Полагая в предельном случае* для длины четверти лемнискаты 9 = -,а®=- 4 *2 получим выражение через полный эллиптический интеграл 2 f d<P s=a — — = аК1 — I; 1/ П IУ2 / 1 - - sin2 <р v ' J F 2 о ( 1 I длина всей лемнискаты будет 5=4аК — . kyxJ Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит именно к эллиптическим интегралам. 11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги при построении эвольвенты кривой [256]. Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обо- значить через (применительно к обозначениям п° 256), а дугу ее, отсчитываемую от вершины, - через а, то уравнение кривой напишется в виде 1] = а сп — , а а дуга представится формулой [см. 1)] u 5 а = a sh — . а Отсюда можно выразить ( и т] непосредственно в функции от а-. f = а[1п (а + Уа2 + а2)-1п а], г)= ]/<т2+а2. Теперь по формулам (17) п° 256, учитывая, что здесь [см. (18)] „а . „ а cos р = — , sin р = .......- , У а2 + а2 У о2 + а2 можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты х = а [in (а + У о2+а2) - In а] + (с - о) — , У<т2 + а2 у = У®2 + а2 + (с - о) — . Уо2+а2 Остановимся на той из эвольвент, которая отвечает с=0; она исходит из вер- шины цепной линии и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая а, эту кривую (называемую трактрисой) можно выразить и явным уравнением Г « + Уа2-у2 .----------- х - ± a In---------Уа2-у2 . У * Мы вынуждены рассматривать этот случай именно как предельный, пере- ходя 9 = - 4 в полученном выражении для з к пределу при так как при в — - или ®-»-, 4 г 2 производная fg = » и формула (56) непосредственно неприложима. 12«
180 I Л. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [332 Если вспомнить выражение «отрезка касательной» [230 (4)] / - j У 1+Я-21 - у то отсюда легко получить, что t = a. Этим выражено замечательное свойство трактрисы: отрезок касательной для нее имеет постоянную величину*. Этот результат легко получается и непосредственно из свойств цепной линии [см. в 1) ее спрямление, рис. 9]. 332. Натуральное уравнение плоской кривой. Представление кривой с помощью уравнения между координатами ее точек (по отношению к какой-либо системе координат), несмотря на всю полезность та- кого представления, часто носит искусственный характер, поскольку координаты не являются существенными геометрическими элементами кривой. Такими существенными элементами, наоборот, являются д у- г а кривой s, отсчитываемая в определенном направлении от некото- рой начальной точки, и радиус кривизны R (или сама кри- визна = [см. 250, 251]. Для каждой кривой между этими элементами можно установить зависимость вида F(s,/?) = 0, которая и называется натуральным уравнением кривой**. * С этим связано и самое название трактриса (происходящее от латин- ского глагола trahere - влечь, тащить): если движущаяся по горизонтали точка Т при помощи нити ТМ тащит за собой точку М, то последняя будет описывать как раз трактрису. ** Перевод немецкого термина: natiirliche Gleichung; не менее выразителен и французский термин: Equation intrinseque (т. е. «внутреннее уравнение»!.
332] § I. ДЛИНА КРИВОЙ 181 Докажем, что кривые, имеющие одно и то же натуральное урав- нение, могут отличаться только своим положением на плоскости, так что форму кривой натуральное уравнение определяет вполне однозначно. Пусть же две кривые (I) и (II) имеют одно и то же натуральное уравнение, которое мы возьмем в виде (14) Для того чтобы доказать их конгруентность, сначала перенесем одну из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кривых отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы сов- пали положительные направления касательных в этих точках. Отметим указателями (1 и 2) соответствующие одному и тому же значению s элементы обеих кривых: координаты переменной точки: (х1; и (х>. у2); угол касательной с осью х: х1 и а2; радиус кривизны: R, и R2. В силу (14) будем иметь при всех j: 4-=4-, т. е. [250, (2)1 я, к. Кроме того, как предположено, при s =0 = У1~Уг (16) и (17) Из (15), по следствию п° 131 вытекает, что ах и а2 могут разниться лишь на постоянную; но, как мы видели, при 5 = 0 эти величины сов- падают, следовательно равенство (17) имеет место всегда. В таком случае для всех значений s будет [249, (15)] dx, dx, = cos х, — cos ос, = , ds 1 2 ds dy, dy, ~ = sin x, =sm г, = 4 , ds 1 ds откуда аналогичным образом заключаем, что и равенства (16) имеют место всегда, т. е. кривые совпадают. Покажем теперь, как по натуральному уравнению (14) кривой восстановить координатное представление ее. Прежде всего из (14) cfa . . имеем j-=g(j), так что ds ” $ « = Jg(s)fifc-r а0, (18) о
182 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (332 где а0 - постоянная. Затем, исходя из равенств dx — cos a ds, dy = sma.ds, (19) интегрируя, находим $ 5 х = [ cos a ds + х0, у= Jsina ds + y0, (20) о о где х0 и у0 - новые постоянные. Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой измене- ние постоянной а0, а параллельное перенесение ее связано с измене- нием постоянных х0, у0*. Равенство этих постоянных нулю означает, очевидно, что кривая расположена так, что начальная точка для от- счета дуг совмещена с началом координат, а положительное направ- ление касательной в ней совпадает с положительным направлением оси х. Пусть теперь уравнение (14) взято произвольно [лишь функцию g(s) мы будем предполагать непрерывной]. Тогда, определив сначала а формулой (18), а затем х и у - уравнениями (20), получим пара- метрическое представление некоторой кривой. Дифференцируя (20), вернемся к (19), откуда прежде всего усматриваем, что ds2~dx2 + dy2, так что ds, действительно, является дифференциалом дуги этой кри- вой, а s - дугой (если надлежаще выбрать начальную точку отсчета). Затем те же равенства (19) приводят к заключению, что а служит углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец, дифферен- цируя (18), найдем, что кривизна будет равна da , ч и, таким образом, уравнение (14) действительно оказывается нату- ральным уравнением для нашей кривой. Итак, каждое урав- нение вида (14), где функция g(s) непрерывна, может быть рассматри- ваемо как натуральное уравнение некоторой кривой. Обращаем внимание читателей на то, что за счет выбора началь- ной точки и направления отсчета дуг на кривой в ее натуральное урав- нение можно вносить (впрочем несущественные) изменения. * Обращая эти утверждения, легко получить новое доказательство того предло- жения, которое было высказано выше.
333] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 183 В заключение заметим еще, что две симметрично располо- женные кривые* ** (рис. 13) имеют натуральные уравнения вида (14), разнящиеся лишь знаком правой части ^=g(j) и -g(s). (21) кривые, имеющие, соответ- Действительно, при согласном выборе начальных точек и направления для отсчета дуг на обеих кривых, радиусы кривизны их будут иметь противоположные знаки. Обратно, две ственно, уравнения (21), передви- жением по плоскости могут быть приведены в симметричное поло- жение. Можно не считать и такие две кривые существенно разнящи- мися по форме. 333. Примеры. 1) Найти кривую, отве- чающую натуральному уравнению А2 = 2as. Имеем da 1 ds ^2as’ а s = — a2, 2 так что ds=aa da. Выбирая a в dx - cos a ds » aa cos a da., откуда качестве параметра, получим затем dy = sina dr = aasin a da, у - a(sin a - a cos a). Кривая оказалась эвольвентой круга [225, 8)]. 2) То же для натурального уравнения R*+s’ = 16a*. Здесь da 1 s — ° —...—. a=>arcsin —, s-4a sin a, ds-4a cos a da. di yi6a»-s* 4a х - a(cos а+а sin а), Тогда dx = cosa ds = 4a cos2 a da, dy = sin a dr = 4a sin a cos a da и отсюда, интегрируя, ( 1 ) x = 2«la+ySin 2a I = a(2a+sin 2a), у= -acos2a = a-a(l+cos2a). * Совместить их перемещением по плоскости нельзя; для этого по- надобилось бы вращение в пространстве. ** Так как нам нужно восстановить хоть одну кривую, то выбирать постоян- ные интегрирования мы будем лишь по соображениям удобства. Это замечание следует иметь в виду и впредь.
184 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [333 Если перейти к параметру / = 2а-л, то уравнения полученной кривой примут вид x=jia+a(t-sin t), у = а-а(1-cost), и мы узнаем циклоиду [225, 6)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравне- нию с обычным ее расположением. 3) То же для натурального уравнения R^ms. Очевидно, da 1 In s — =—, а =---------, s = em, ds = mem da, ds ms m dx = cos a • me™ da, и, наконец, m x =------(m cos a +sin a)em<1, 1+/И2 Перейдем к полярным координатам. dy = sin a • mem da m у =-----(m sin a - cos a)emct. 1 +m2 Прежде всего m У\+тг „ 1 Затем, вводя постоянный угол со под условием tg со = —, будем иметь т 1 tg а-- у т sin а - cos а т _ =----------— =------= tg (а - со), х mcosa+sina 1 П—tga так что полярный угол 0 можно принять равным а-со, откуда а = со+0. Оконча- тельно полярное уравнение найденной кривой будет таково: т р = —_—_ ~\[Т+т* это - логарифмическая спираль [226, 3)]. Величина коэффициента при етв роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси. 4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой уста- навливать ее натуральное уравнение. (а) Для цепной линии у = a ch — имели [331, 1); 252, 1)] д* ________ у! s=ash — =/у’-а8, Я = —; а а отсюда Я = аЗ—. а (б) Для астроиды х = a cos31, у = a sin31, если за начало для отсчета дуг выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет [ср. 331, 3)] За За s = — sm21---, R = За sin t cos t. 2 4 Поэтому , За За [За \(3а ) 9а2 R2 = 4- — sin2t— cos21 = 4 1-Ил --s=-------4№ 2 2 ^4 Д4 J 4 и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде 9a2 A2+4s2 = ‘—.
334] § 1. ДЛИНА КРИВОЙ 185 (в) В случае кардиоиды r = а(1 + cos 0) у нас было [331, 9); 252, 6)] 0 4 0 j=4asin —, R = — a cos— ; 2 3 2 очевидно, 9R1 + s1 = 16а2. (г) Последние два результата содержатся как частные случаи в следующем. Для эпи- и гипоциклоиды [225, 7)] натуральное уравнение будет (14- + 2т)1 R2 + 52 = 16m2( 1 + т2)а2. (д) Нетрудно вновь получить натуральные уравнения эвольвенты кру- га, циклоиды и логарифмической спирали, известные нам из 1)-3). 5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное уравне- ние ее эволюты. Мы имели соотношение [255, 15)] dR P = Jfy. (22) ds Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было /? = <т [см. 255, 2°], то, исключая R и s из этих двух соотношений и натурального уравнения данной кривой, придем к зависимости между р и а, т. е. к натуральному уравнению эволюты. (а) Для логарифмической спирали Я = ms; тогда р = mR = та. С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда заклю- чаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от исходной может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)]. (б) Для эвольвенты круга ,,- а2 a = R= У 2as, s= — , 2а dR Га la a — = /----= —, р = a — = <J ds у 2 у 5 а а (результат, который следовало предвидеть). (в) Если натуральное уравнение кривой имеет вид R2+k2s2 = с1, то ее эволюта будет такой же кривой, но в к раз увеличенной по линейным размерам. Действительно, имеем а = R = У с2 - k2s2, ks = Ус2 - а2, dR k2s к}1 с2-а2 ds y^TTfci^' а и, наконец, кУс2-а2 _________________________ р= — а--------= -к)/с2-а2 или й2 + к2а2 = (кс)2. а Отсюда и вытекает сделанное утверждение. Полученный результат применим к циклоиде [ср. 254, 4)], к э п и - и гипоциклоиде, в частности, к кардиоиде и к астроиде [ср. 254, 3)]. Замечание. Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь о форме эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении. 334. Длина дуги пространственной кривой. По отношению к простой пространственнойкривой х=ф(О, y=y(t), z = %(f)
186 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (335 определение длины дуги может быть дано в таком же виде, как и для плоской кривой [249, замечание]. Здесь также для длины дуги получается формула, аналогичная (4), s=AB= ^Yxf+yf + z'fdt и т. д. На этот случай, почти без изменений, переносится все сказан- ное относительно случая плоской кривой. Не задерживаясь на этом, приведем примеры. 1) Винтовая линия: x = acosz, у = a sin t, z-ct. Так как здесь Vх? + у?+ Z? то длина дуги кривой от точки A (t = 0) до точки М (t — любое) будет s = AM= I Уаа + с2dt- Уа2+с2/ - результат очевидный, если вспомнить, что при разворачивании цилиндрической поверхности винтовая линия на ней превратится в наклонную прямую. 2) Кривая Вивиани: x = R sin21, у= A sin / cos t, z = R cos t. Имеем Уa/2+у?+z'? = R У1 +sin21. В таком случае длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом 2-го рода § 2. Площади и объемы 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности. Мно- гоугольной областью, или - короче - многоуголь- ником, мы будем называть произвольную конечную (возможно, и несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие площади было достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим в основу.
335] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 187 Возьмем теперь произвольную фигуру (В) на плоскости, пред- ставляющую собой ограниченную и замкнутую область. Ее границу или контур (X) мы всегда будем себе представлять в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых)*. Станем рассматривать всевозможные многоугольники (Л), цели- ком содержащиеся в (Р), и много- угольники (В), целиком в себе со- Vyy-------- держащие (В) (рис. 14). Если Ли V В означают, соответственно, их пло- \ щади, то всегда А^В. Множество \ чисел {Л}, ограниченное сверху лю- I бым В, имеет точную верхнюю границу Р* [11], причем Р*^В. Точно так же множество чисел {В}, — ограниченное снизу числом В*, имеет Рис- 14- точную нижнюю границу В*» э=В*. Эти границы можно было бы назвать первую - внутрен- ней, а вторую - внешней площадью фигуры (В). Если обе границы Р* = sup {Л} и В* = inf {В} совпадают, то общее их значение Р называется площадью фи- гуры (Р). В этом случае фигуру (В) называют квадрируемой. Как легко видеть, для существования площади необходимо и до- статочно, чтобы для любого е=-0 нашлись такие два многоугольника (Л) и (В), что В-А^е. Действительно, необходимость этого условия вытекает из основ- ных свойств точных границ [11]: если площадь В существует, то най- дется Л >В-^~ и В~=Р + ~. Достаточность сразу же следует из нера- венств Л «бВж«бВ**В. Пусть теперь фигура (В) разложена на две фигуры (Вг) и (В2)**; можно себе представить, например, что это осуществлено с помощью кривой, соединяющей две точки ее контура, или целиком лежащей внутри (В) (рис. 15, а и б). Докажем, что * В этом параграфе, говоря о кривой, мы всегда будем иметь в виду не- прерывную простую кривую, допускающую параметрическое представление. Как доказал Жордан (С. Jordan), замкнутая кривая этого типа всегда раз- бивает плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю, для которых и служит общей границей. ** Они могут иметь частично общую границу, но не налегают одна на другую, т. е. не имеют общих внутренних точек.
188 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1336 квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (Рх), (Р2) влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда Р = Р^Р2, (1) т. е. площадь обладает свойством аддитивности. Предположим для определенности, что имеют площади фигуры (Р^ и (Р2). Рассмотрим соответствующие им входящие и выходящие многоугольники (АД, (P-J и (Я2), (В2). Из взаимно неналегающих многоугольников (ЛД (Л2) составится многоугольная область (А) с площадью Л=Л1+Л2, целиком содержащаяся в области (Р). Из многоугольников же (5J и (Р2), возможно и взаимно налегающих, составится область (В) с площадью В ^Вг + В2, содержащая в себе область (Р). Очевидно, A1 + Ai=A^B^Bl + В2, так как при этом Рг от Аг и В2 от А2 могут отличаться произвольно мало, то это же справедливо относительно В и А, откуда и вытекает квадрируемость области (Р). С другой стороны, имеем одновременно A t + А2=А *иР*£В=чВ1 + В2 и Л1 + Л2=еР1 + Р2=«В1 + Р2, так что числа Р и Рх + Р2 содержатся между одними и теми же и при- том произвольно близкими границами Аг+А2 и В1+ В2, следовательно, эти числа равны, ч. и тр. д. Отметим, в частности, что отсюда Р^Р, так что часть фигуры имеет площадь, меньшую чем вся фигура. 336. Площадь как предел. Условие квадрируемости, сформулиро- ванное в предыдущем п°, может быть перефразировано так: 1) Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности много-
3361 § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 189 угольников {(Лп)} и {(В„)} и соответственно, содержащихся в (Р) и со- держащих (Р), площади которых имели бы общий предел lim Ап = lim Вп = Р. (2) Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р). Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие фигуры, квадрируемость которых уже установлена: 2) Если для фигуры (Р) можно построить такие две последова- тельности квадрируемых фигур {(£>„)} и {(Р„)}, соответственно, содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых имеют об- щий предел lim Qn = lim Rn = P, (3) то фигура (P) также квадрируема, причем упомянутый пре- дел и будет ее площадью. Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заменить каждую фигуру (<2„) содержащимся в ней многоугольником (Ап), а фигуру (Rn) - содержащим ее многоугольником (Вп), настолько близкими к ним по площади, чтобы одновременно выполнялось И (2). Хотя на практике выбор фи- гур (Л), (Вп), (Qn), (Rn), упоми- навшихся в двух сформулиро- ванных выше признаках, и не создает затруднений, но все же представляет принципиальный ин- терес устранение связанной с этим выбором неопределенност :. С этой целью можно поступить, например, так: Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого прямо- угольника (R) со сторонами, параллельными координатным осям, разобьем его на части с помощью ряда параллелей его сторонам. Из прямоугольников, целиком содержащихся в области (Р), составим фигуру (А) (на рис. 16 она заштрихована), а из прямоугольников, имеющих с (Р) общие внутренние точки, но могущих частично и вы- ходить из этой области, составим фигуру (В). Эти фигуры представ- ляют, очевидно, частный случай тех многоугольников (Л) и (В), о ко- торых была речь в определении понятия площади; их площади А и В зависят от способа разложения на части прямоугольника (7?). Будем через d обозначать длину наибольшей из диагоналей частичных прямо- угольников. 3) Если при d—Q обе площади А и В стремятся к общему пределу Р, и только в этом случае, область (Р) будет квадрируема-,
190 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [337 при выполнении этого условия упомянутый предел и будет площа- дью фигуры (Р). Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фи- гурирует, как «на языке е-<5», так и «на языке последовательностей». В доказательстве нуждается только необходимость ука- занного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и устано- вим, что тогда lim А — lim В = Р. (4) d-0 d-0 По заданному е=-0 найдутся [335] такие многоугольники А и В, что В-А^е; при этом можно предположить, что их контуры не имеют общих точек с контуром (К) фигуры (Р). Обо- значим через д наименьшее из расстояний между точками кон- туров обоих многоугольников, с одной стороны, и точками кривой (К) - с другой*. Если взять теперь то каждый частичный прямо- угольник, хотя бы в одной точке задевающий кривую (К), заведомо лежит вне многоугольника (А) и внутри многоугольника (В). Отсюда следует, что A^A^eP'&B'sB, так что Р-А^е и В-Р<е, что и приводит к (4). Ясно, что на равенстве (4) можно было бы построить и самое определение понятия площади, очевидно, равносильное прежнему. Такое определение представляется весьма простым и естественным; недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) зависимость от ориентации координатных осей. 337. Классы квадрируемых областей. Кривая (К) — контур области (Р) - играет существенную роль в вопросе о квадрируемости этой области. Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по задан- ному е=-0 кривая (К) может быть заключена в некоторую много- угольную область (В-А), содержащуюся между контурами обоих многоугольников (Л) и (S) (см. рис. 14) и имеющую площадь В-А^е. * Пусть имеем две конечные непрерывные кривые на плоскости; пред- положим, например, что они заданы параметрически (I) х =?(/), (II) х =у*(и), у =¥>*(«), где у, уу9 <?*, у>* - непрерывные функции, каждая от своего аргумента. Тогда рас- стояние между двумя произвольными точками этих кривых yi<p(f) - ?>♦(«)]» + [y(f) -v*(w)p будет непрерывной функцией от (/, и) в замкнутой области [Со, Т; и0, £7] и, следова- тельно, достигает там своего наименьшего значения [173]. Если кривые не пере- секаются, то это наименьшее расстояние будет отлично от нуля.
337] 6 2. ПЛОЩАДИ И ОЬЪЁМЫ 191 Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заключен в многоугольную область (С) с площадью С-=е, где е - любое на- перед заданное положительное число. При этом, без умаления общ- ности, можно предположить, что (С) не покрывает всей фигуры (Р). Тогда из точек области (Р), не попадающих внутрь (С), составится многоугольная область (А), содержащаяся в (Р); если же к (Л) при- соединить (С), то получится многоугольная область (В), уже содер- жащая в себе (Р). Так как разность В-А = С<е, то - по критерию п° 335 - отсюда следует квадрируемость области (Р). Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или не- замкнутая) кривая (R) имеет площадь 0, если ее можно покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью. Тогда приведенное выше рассуж- дение позволяет сформулировать следующее условие квад- рируемости: для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур (К) имел площадь 0. В связи с этим приобретает важность выделение широких классов кривых с площадью 0. Прежде всего легко показать, что этим свойством обладает лю- бая непрерывная кривая, выражаемая явным уравнением вида 7=/(*) или x=g{y) (a^x^b) (c^y^d) (5) (fug- непрерывные функции). Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений. По заданному е>0 можно промежуток [a, Z>] разложить на части [х,-, х/+1] (/=0,1, . ..,п-1) так, чтобы в каждой из них колебание (Of функции f было [87]. Если обозначить, как обычно, через ти,- и М/ наименьшее и наибольшее значения функции f в f-ом про- межутке, то вся наша кривая покроется фигурой, составленной из прямоугольников [х,-, х,+1; т{, AfJ (i=0,1, ..., п-1) (см. рис. 17) с общей площадью 2 {Mt - mt)(xi+1 - х,) = 2 “>,ЛХ' <^2 Axi =s> что и требовалось доказать. Значит, кривая (5) имеет площадь 0. Отсюда следует:
192 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [338 Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными кривыми, каждая из которых порознь выражается явным уравнением (5) (того или другого типа), то эта фигура квадрируема. Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых имеет площадь 0, то и весь контур, очевидно, также будет иметь площадь 0. Из этого критерия можно получить другой, более частный, кри- терий, который на практике, однако, оказывается более удобным. Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями *=<р(0, у=у(1), (6) гладкой, если 1) функции у и уз имеют непрерывные производные во всем промежутке [10. Т] изменения параметра, и 2) на кривой нет ни кратных, ни вообще особых точек. В случае замкнутой кри- вой, потребуем еще равенства <р'(^о) Wo) =?'(П Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь 0. Возьмем на кривой любую точку М, определяемую значением t параметра. Так как эта точка - не особая, то, как мы видели [223], существует такой промежуток: а = (t - д, t+8), что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным уравнением. Применим теперь лемму Боре ля [88] к промежутку [/0, Т] и к покрывающей его системе £ = {<т} окрестностей; весь промежуток перекроется конечным числом таких окрестностей, так что кривая распадается на конечное число частей, каждая из которых выражается явным уравнением (5) (того или другого типа). Остается лишь со- слаться на доказанное выше. Итак, если фигура (Р) ограничена одной или несколькими гладкими кривыми, то она заведомо квадрируема. Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кривая имеет конечное число особых точек: выделив эти точки с по- мощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем иметь дело уже с гладкими кривыми. 338. Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вычи- слению площадей плоских фигур при помощи интегралов. На первом месте рассмотрим, впервые - в строгом изложении, уже встречавшуюся нам задачу об определении площади криво- линейной трапеции ABCD (рис. 18). Эта фигура ограничена сверху кривой DC, имеющей уравнение У=Ях),
3381 § 2. ПЛОЩАДИ И ОЬЪЁМЫ 193 где f(x) есть положительная и непрерывная в промежутке [а, &] функ- ция: снизу она ограничена отрезком АВ оси х, а с боков - двумя ординатами АВ и ВС (каждая из которых может свестись к точке). Собственно, существование площади Р рассматриваемой фи- гуры ABCD следует из доказанного в предыдущем п°, и речь идет лишь об ее вычислении. С этой целью разобьем промежуток [а, &], как обычно, на части, вставив между а и b ряд точек Q — .Xq «Х^ «X/ -Х/4-1 <х = Ь. Обозначив через и Mif соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в z-ом промежутке [xz, xl+1] (z = 0, 1,..., л-1), составим суммы (Дарбу) s- ^т^Х/, i i Они, очевидно, представляют со- бой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямо- угольников (см. рисунок). По- этому s^P^S. Рис. 18. Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Ах, обе суммы ь имеют своим пределом интеграл J/(х) dx*, следовательно, ему и равна искомая площадь “ ь ь Р = § у dx § f(x) dx. (7) а а Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу й сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых и у2 = /2(х) (а^х^Ъ), то, рассматривая ее как разность двух фигур ABFE и ABDC, получим площадь названной трапеции в виде ь ь ~У1) dx = J [Дх) - Дх)] dx. (8) а а * В силу 336, 1) это само по себе доказывает квадрируемость криволинейной трапеции ABCD; чтобы получить упоминавшиеся там последовательно- сти фигур, можно было бы, например, делить промежуток на равные части. 13 Г. М. Фихтенгольц, т. II
194 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |338 Пусть теперь дан сектор А О В (рис. 20), ограниченный кри- вой АВ и двумя радиусами-векторами О А и ОВ (каждый из которых может свестись и к точке). При этом кривая АВ задается полярным уравнением r=g(0), где g(0) - положительная непрерывная в про- межутке [а, fl] функция. И здесь вопрос стоит лишь о вычисле- нии площади Р сектора, так как существование площади обусловлено свойствами контура фигуры. Вставив между а и fl (см. рисунок) значения а=0о-=е1<02<...<0,.<е(.+1-=...<0л=д проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее из значений функции g(0) в [0/; 61+1]: ц,- и М(-, то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры АО В. Со- ставим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут а=4^Ж/ и 2=^2 мж и, очевидно, а<Р-=2- В этих суммах о и 2 легко узнать суммы Дарбу для инте- Р грала i /[хедж при стремлении к нулю наибольшей из разностей АО, обе они имеют пределом этот интеграл*, так что и Р Р Р=^гЧ9^[в(р)]*<Ю. (9) * Здесь можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию на стр. 193, но со ссылкой на 336, 2).
3391 § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 195 339. Примеры. 1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной х линией у = л ch —, осью х и двумя а О и х (рис. 9). Имеем X Р = f a ch — dx = a1 2 sh — = as, J а a о где 5 - длина дуги AM цепной линии [331, 1)]. Таким образом, искомая площадь АОРМ оказалась равной пло- щади прямоугольника, построенного на отрезках PS и SM (ибо SM=AM). у2 2) Даны эллипс —F — = 1 и а2 Ь2 ординатами, отвечающими абсциссам точка М(х, у) на нем (рис. 21). Определить площадь криволинейной трапеции ВОКМ и сектора ОМВ. Из уравнения эллипса имеем у = — ~\[а- - х-, так что по формуле (7) а г о ------ ао . х о .— ао х ху Р, = пл. ВОКМ - — Vo2 - х2 dx ~ — arcsin —F — х /а2 - х2 = — arcsin —I— . 1 J а 2 a 2a 2 a 2 0 Так как последнее слагаемое представляет площадь д ОКМ, то, отнимая ее, для площади сектора получим выражение Р.. = пл. ОМВ --- — arcsin — . 2 а лаЬ При х = а для площади четверти эллипса найдем значение — , так что площадь 4 всего эллипса Р=лаЬ. Для круга а=Ь = г и получается известная формула Р=хг2. X2 у2 3) Пусть даны гипербола----------= 1 и на ней точка М(х, у) (рис. 22). а2 Ь2 Определить площадь криволинейных фигур АКМ, ОАМ и OAML. Из уравнения гиперболы имеем у = — ]/х2-а2, и - по формуле (7) - а b <,.--------- b г 1 ----- а2 , .------. = пл. АКМ = — I Ух2 - a2 dx = — I — х Ух2 - а'1-------------In (х 1 Ух2 - а2) a J a L 2 2 а 1 ab х + Ух2 - а- — XV-----In ------------ 2 2 а 13
196 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [339 У*2-а2 у Так как ------= —, то это выражение можно представить в более симметричной а b форме Отсюда уже легко получить ab (х у Р,=пл. ОАМ = — In -+- 2 \a b 1 1 (X у Р3 = пл. OAML = — xy-\—ab In —I— 2 2 \a b Замечание. Полученный результат позволит нам несколько углубить аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими функциями. Сопоставим круг радиуса 1: х2+у2 = 1 и ра внобочную гипер- болу: x2-y2=l (рис. 23, а и б). Эти кривые параметрически могут быть пред- ставлены так: для круга: OP = x = cost, PM = y = sinf, для гиперболы: OP = х = ch t, PM=у = sh t. Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль t - это ОМ, для гиперболы так истолковать числовой параметр t невозможно. Можно, однако, для круга дать и другое истолкование параметра t, именно: t есть удвоен- ная площадь сектора АОМ (или площадь сектора М'ОМ). Оказывается, что это истолкование переносится и на случай гиперболы. В самом деле, если координаты точки М суть et + e~t е1-е~{ х = ch t =----, у = sh t =-------, 2 2 то x+y = e( и Z = ln(x+y). Если вспомнить найденную выше для Р2 формулу и положить в ней а = b = 1, то получим, что t равно удвоенной площади сектора А ОМ (как и для круга). Итак, в круге отрезки РМ и ОР представляют круговые синус и ко- синус от удвоенной площади кругового сектора АОМ, а для гипер- болы аналогичные отрезки выражают гиперболические синус и коси- нус от удвоенной площади гиперболического сектора АОМ. Роль
339] S 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 197 гиперболических функций по отношению к гиперболе вполне аналогична роли круговых (тригонометрических) функций по отношению к кругу. Рис. 23. lb) С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций, как некоей площади, связаны и обозначения обратных им функций [см. 49, 3) и 4)], Arsh х, Arch х и т. п. Буквы Аг являются начальными от латинского слова Area, означающего <площадь». 4) Найти площадь Р фигуры, ограни- ченной осями координат и параболой ]/х+Уу=Уа (й>0). а Г 1 Ответ: Р= \ydx----d2. (Читателю J 6 о самому предоставляется сделать чертеж.) 5) Определить площадь фигуры, за- ключенной между двумя конгруентными параболами у2 = 2рх и х2 = 2ру (рис. 24). Очевидно, нужно воспользоваться фор- мулой (8), полагая там а-2 ____ Л = —> У2=У2^л-. 2р Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдем абсциссу точки М пересечения обеих парабол, отличной от начала: она равна 2р. Имеем 2р г/,___ х2) (2 — - xs\'?p 4 У2рх-—рх= - }2дх2-— : = -р3. J V 2р) 1^3 6р] |о 3 о
198 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (339 6) Найти площадь Р эллипса, заданного уравнением Ах2 + 2Вху-\ Су-=1 (АС-В2 >0, С> 0). (10) Решение. Из этого уравнения - Вх - Ув2х2-С(Лх2-1) -Вх+У132х2-С(Лх2-1) причем ylt у2 получают вещественные значения лишь для х, удовлетворяющих неравенству C-(AC-B2)x2=sO, }Г~С т. е. содержащихся в промежутке [-а, а], где а= /--— . у АС-В2 Тогда искомая площадь будет а а Р- j(y2~yi)dx = - ]'уС-(Л(>Б2)хМх- — а —а 2 г------е.-----2 --------------1 л = - УЛС-52 Уа2-х2 А- - VaC-B2 — ла2----------г-. с r ' с 2 '(АС В' —а 7) Пусть, наконец, эллипс задан общим уравнением ах2 + 2Ьху + су2 + 2дх+2еу +/= 0: требуется найти его площадь Р. Задача эта может быть сведена к предыдущей. Если перенести начало в центр (£, г/) эллипса, определяемый, как известно, из уравнений а^ + Ьг, + д = 0, Ы+с?)+е = О, то уравнение примет вид ах2 + 2Ьху + су2 +/' = 0, где dS + er,+f= f. (12) Исключая £, г) из равенств (11) и (12), найдем | а b д \ b с е = 0, д е f-f' откуда а b д 1 А Г = - , где А-- = b с е * ас-Ь2 def * Очевидно, f' и А отрицательны (иначе уравнение не выражало бы веще- ственной кривой).
339| § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 199 Полученное уравнение легко приводится к виду, рассмотренному в 6), если положить Значит, площадь эллипса будет р=л!£1_ = _ 71/1 Уас-62 (ас-Ь*№ 8) Формула (7) может быть использована и в том случае, если кривая, ограни- чивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями вида (6). Произведя замену переменной в интеграле (7), получим (в предположе- нии, что х = а при t = t0 и х = b или t=T): т т Р= jyxf dt = j^(t)f>'(t)dt. (13) Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его пара- метрического представления x = acos/, jv sin t и учесть, что х возрастает от - а до а, когда t убывает от п до 0, то найдем О п Р = 2 J 6 sin t-(-a sin t) dt = 2ab J* sin21 dt = nab. n 0 Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоили ее. 9) Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой x = a(l-sint), y = a(l-cosf). Имеем по формуле (13) 2л г (3 а2(1-cosГ)2Л =я2 — f —2sin Г!—sin 2tl = 3ла2. J \2 4 у о о Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади обра зующего круга. 10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали г=ав (рис. 25). Имеем по формуле (9) 2л 1г аг 2л 4 Л = -а2 0М0 = - 03 = - яза2 2 J 6 о 3 о в то время как площадь круга радиуса 2ла будет 4л3а2. Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен еще Архимеду). Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с раз- ностью 8л3а2. 11) Найти площадь улитки f = ecos0 + 6 при Z>=es<?.
200 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |339 Имеем по формуле (9) 2л Р=— J (a cos 9 + b)2d9 = о 1 [71 ) 1 1 — — а2 + Ь2 0 Ч— а2 sin 20 + 2ab sin 0 2 |Д 2 I 4 J 2л ZI = —(а2 + 2й2). о 2 3 В частности, площадь кардиоиды (6 = а) равна — ла2. 12) Найти площадь лемнискаты г2 = 2а2 cos 20. Достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает изменение угла 0 от----до — : 4 4 71 П 4 4 Р = 2-^2а2 J cos 20 М = 4а2 У cos 20 М = 2а2. л О “ 4 13) Найти площадь декартова листа х34-у3-3оху = 0. Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой x=rcos0, y=rsinO, по сокращении на г2 придем к такому полярному уравнению.: За sin 0 cos 0 sin3 0+cos3 0
339] S 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 201 Так как самый виток кривой отвечает изменению угла 0 от 0 до —, то по формуле (9) 2 9а2 р sin2 0 cos2 0 2 J (sin3 0+ cos3 в)2 о Заменяя sin 0 через tg 0 cos 0, приведем подинтегральное выражение к виду tg2 9d tg 0 (1 +tg3 0)2 ’ откуда сразу находится первообразная функция 1 11 cos3 0 3 l + tg3 0 3 sin30 + cos30 Таким образом, За2 cos3 0 п За1 р------------------2 =— . 2 sin3 0 + cos3 0д 2 14) Решить задачу 6) наново, воспользовавшись полярными координатами. Решение. Вводя полярные координаты, представим уравнение (10) эллипса в виде 1 A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + Csin2 О Тогда по формуле (9) сразу получаем [309, 9)] 1 р d9 л, 2 J A cos2 0 + 2В cos 0 sin 0 + С sin2 0 у АС-В2 2 Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной площади той его части, которая лежит в I и IV координатных углах. Какие затруднения встретились бы при использовании результата 10) 288 для вычисления непосредственно всей площади эллипса? 15) Формулу (9) можно приспособить к случаю, когда кривая задана своими параметрическими уравнениями вида (6). Так как то у xyi - xiy r2 = x2+y2, 0 = arctg— и 0[=-----------, X x2+y2 1 1 - r2dB = — (xyt~ xiy) dt.
202 ГЛ X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [340 Если изменению угла 0 от а до f! отвечает изменение параметра t от ta до Т, то т т Р = — ^(xyt-x'ty)dt = ~ j (14) /о if Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым выкладкам. Например, если по ней вычислить плошадь эллипса, исходя из его параметрических уравнений х = a cos t, у = b sin t, то получим 2л 2л Р = — J (a cos t-b cos t + a sin t-b sin t) dt = — ab J dt = nab. о 0 16) Вычислим еще по формуле (14) плошадь астроиды х = a cos3 Z, у = а sin3 t. Имеем 2л Р = — J [a cos31-За sin21 cos t + 3a cos21 sin t-a sin3 r] dt-~ о 2л 3 r 3 I sin 4/1 |2л 3 = — a2 I sin21 cos21 dt = — a2 It- = — na2. 2 J 16 1 4 J |o 8 о 340. Определение понятия объема. Его свойства. Наподобие того, как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было уста- новлено понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем много- гранника. Итак, пусть дано произвольной формы тело (К), т. е. ограничен- ная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей (S) тела пусть служит замкнутая поверхность* (или несколько таких поверх- ностей). Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники (У) объема У, содер- жащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница Vif для X и точная нижняя граница V* для У, причем V* =s V*; их можно было бы назвать, соответственно, внутренним и внешним объемами тела. Если обе границы К*=sup{У} и V* = inf {У} совпадают, то их общее значение V называется объемом тела (Ю- В этом случае тело (И) иногда называют кубируемым. * Мы имеем в виду непрерывную поверхность, допускающую параметрическое представление.
340] 5 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 203 И здесь легко видеть, что для существования объема необходимо и достаточно, чтобы для любого е -0 нашлись такие два многогран- ника (X) и (У), для которых Y-Х^е. Далее: Если тело (К) разложено на два тела (КД и (К2), то из существо- вания объема для двух из этих трех тел вытекает существование объема для третьего. При этом т. е. и объем обладает свойством аддитивности. Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2), 3), которые в 336 были доказаны для площадей. 1) Для того чтобы тело (К) имело объем, необходимо и доста- точно, чтобы существовали такие две последовательности, соответ- ственно, входящих и выходящих многогранников {(Хп)} и {(Уп)}, объемы которых имели бы общий предел lim Хп = lim Yn = V. Этот предел и будет объемом тела (К). Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогран- ников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы. 2) Если для тела (К) можно построить такие две последователь- ности, соответственно, входящих и выходящих тел {(Тп)} и {(^п)}< которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему пределу lim Тп = lim Un = V, то и тело (Е) имеет объем, равный упомянутому пределу. В заключение упомянем о возможности выбирать многогранники, приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандартным» образом. Заключив тело внутрь некоторого прямоугольного параллелепипеда (1У) с гранями, параллельными координатным плоскостям, разобьем его на части с помощью ряда плоскостей, параллельных его граням. Из частичных параллелепипедов, входящих в (К), составим тело (X), а присоединив к ним и частично выходящие из (И) параллелепипеды, получим тело У. Эти тела представляют частные случаи тех много- гранников (X) и (У), о которых была речь выше. Будем обозначать через d наибольшую из диагоналей тех прямоугольных параллеле- пипедов, на которые был разложен параллелепипед (IV). 3) Если при d-*0 оба объема X и Y стремятся к общему пределу Ей только в этом случае тело (К) будет иметь объем', при выполнении этого условия упомянутый предел и выразит объем тела (К). Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем чита- телю; их легко скопировать с рассуждений п° 336-
342] $ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 205 окружить точку (и, v) на плоскости uv такой окрестностью о = (и - 8, и+ 8; V-8, v + 8), чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным урав- нением. Остается лишь применить к замкнутой области (2) и к по- крывающей ее системе окрестностей = {<т} лемму Б о р е л я [175], чтобы установить возможность разложения рассматриваемой глад- кой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выра- жается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда - по преды- дущему - следует, что гладкая поверхность имеет объем 0. Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями, заведомо имеет объем. Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверх- ности конечного числа особых точек, которые могут быть выде- лены окрестностями с произвольно малым объемом. 342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем, равный произ- ведению площади основания на высоту: V=PH. Рис. 26. Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (В„), соответственно со- держащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Н, то их объемы Хп=АпН и Yn=BnH будут стремиться к общему пределу V=PH, который в силу 1) п° 340 и будет объемом нашего цилиндра. Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (К), содержащееся между плоскостями х = а и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями,
342] $ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 205 окружить точку (и, о) на плоскости uv такой окрестностью а = (и - 8, и+ 8; V-8, v + 8), чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным урав- нением. Остается лишь применить к замкнутой области (2) и к по- крывающей ее системе окрестностей £ = {oj лемму Б о р е л я [175], чтобы установить возможность разложения рассматриваемой глад- кой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выра- жается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда - по преды- дущему - следует, что гладкая поверхность имеет объем 0. Теперь ясно, что тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями, заведомо имеет объем. Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверх- ности конечного числа особых точек, которые могут быть выде- лены окрестностями с произвольно малым объемом. 342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем, равный произ- ведению площади основания на высоту: V=PH. Рис. 26. Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (Вп), соответственно со- держащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы (Хп) и (Уп) высоты Н, то их объемы Хп=АпН и Yn=BnH будут стремиться к общему пределу V=PH, который в силу 1) п° 340 и будет объемом нашего цилиндра. Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (К), содержащееся между плоскостями х = а и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями,
206 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (342 перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти сечения квад- рируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе х, - обозначим ее через Р(х) - будет непрерывной функцией от х (для a=sx=sft). Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то они могут либо содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо частично одно на другое налегать или лежать одно вне другого (см. рис. 27, б, в). Рис. 27. Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных се- чения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси х, оказываются всегда содержащимися одно в другом. В этом предположении можно утверждать, что тело (К) имеет объем, который выражается формулой ь V=^P(x)dx. (15) а Для доказательства разобьем отрезок [а, />] на оси х точками на части и разложим плоскостями x =x,, проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим г-й слой, содержащийся между плоскостями x-xt и x = xi+l (i = 0, 1, ..., п - 1). В промежутке [х(, х1+1] функция Р(х) имеет наибольшее значение Л/, и наименьшее значение ; если сечения, отвечающие различным зна- чениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, х = х,, то все они (при сделанном предположении) будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь М/, и содержать в себе наимень- шее, с площадью т,. Если на этих, наибольшем и наименьшем, се- чениях построить прямые цилиндры высоты Axj = xi+1- xh то боль- ший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании
342] ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ 207 Рис. 28. сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут, соот- ветственно, Mj/iXt И Ш,/1х,. Из входящих цилиндров составится тело (7), а из выходящих - тело (1Г); их объемы равны, соответственно, и J£mi^xi i I и, когда стремится к нулю А = max Лх,, имеют общий пре- дел (15). В силу 340, 2) таков же будет и объем тела (И)*- Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположе- ние о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости ху кривую, задан- ную уравнением у = /(х) ^x=sb), где Дх) непрерывна и неотрицательна; станем вра- щать ограниченную ею криво- линейную трапецию вокруг оси х (рис. 28, а и б). Полученное тело (И), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сече- ния его проектируются на перпендикулярную к оси х плоскость в виде концентрических кругов. Здесь Р(х)=лу2=л[/(х)]2, так что ь ь K=7lJ/ dx =п J [у(х)]2 dx (J6) а а Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кри- выми д = /1(х) и у2 = то, очевидно, b ь Н [Д2-у2] tZx=7i J{[/2(x)]2- [Л(х)]2} dx, (17) а а хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Во- обще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, * Деля, например, промежуток на равные части, легко выделить те после- довательности входящих и выходящих тел, о которых говорится в цитиро- ванном предложении.
208 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [343 которые получаются путем сложения или вычитания из тел, удовлет- воряющих упомянутому предположению. В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (К) имеет объем*, то он выражается формулой (15). В самом деле, задавшись произвольным е=-0, мы можем между плоскостями х = а и х = Ъ построить такие два тела, (У) и (У), с о- ставленные из параллелепипедов, чтобы первое со- держалось в (К), а второе содержало в себе (И), и притом было У-Х<е. Так как к этим телам формула наша, очевидно, приложима, то, обо- значив через А(х) и В(х) площади их поперечных сечений, будем иметь ь ь X = J А(х) dx, Y= J В(х) dx. а а С другой стороны, так как Л(х)=сР(х)=сВ(%), то и ь ь ъ Х= УЛ(х) dx^s У Р(х) dx*s У В(х) dx = У, а а а b так что объем V и интеграл У Р(х) dx оба содержатся между одними и теми же границами X и У, разнящимися меньше, чем на е. Отсюда и вытекает требуемое за- ключение. 343. Примеры. 1) Вычислить объем V кругового конуса с радиу- сом основания г и высотой h. Проведем через ось конуса секу- щую плоскость и выберем эту ось за ось х, считая начальной точкой вер- шину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси конуса (рис. 29). Уравнение образующей конуса будет и - по формуле (16) - получим h h 1 = — лггЬ. о 3 Результат этот известен читателю из школьного курса. * Так будет, например, если тело ограничено одной или несколькими глад- кими поверхностями [341].
343] § 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ 209 х2 у2 2) Пусть эллипс —+—=1 вращается вокруг оси х. Так как 62 у2 = — (а2 - х2), а2 то для объема эллипсоида вращения найдем г Z>2 , 62 г Ь2 ( х3А Iя 4 У=л — (аг-х2) dx = 2n — (а2-х2) с!х = 2л — Iа2х-------------= — лаЬ2. J a2 a2 J а2 ( 3 J |о 3 — а О Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси у, найдем 4 выражение у ла2Ь. Предполагая же в этих формулах а = b = г, мы получим для 4 объема шара радиуса г известное значение улг3- 3) Определить объем тела, полученного от вращения цепной линии х у = а ch — вокруг оси х, между сечениями, соответствующими точкам 0 и х. а Имеем X X г , х . 1 г [ 2хА И=ла2 ch2 — dx-= — ла2 I 11 + ch — ] dx = J a 2 J V a) о о 1 / a 2xi 1 ( x x ] = — ла21 x + — sh — = — ла lax + a ch — -a sh — . 2 \ 2 a J 2 [ a a) Вспоминая [331, 1)], что ash — есть длина дуги s нашей кривой, окончательно а получим 1 V = — ла(ах+sy). 4) То же - для ветви циклоиды x = a(f-sinZ), y = a(l-cosr) (0=еГ=«2л). Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки x = a(Z-sin/), dx = а{\-cos t)dt в формуле 2ла о Именно: 2л Г /5 31' И=ла3 (1 - cos Г)3 dt = ла3 — Г - 4 sin ГН— sin 2ГН— sin3 t J [2 4 3 о 2л = 5л2а3. о 14 Г. М. Фихтенгольц, т. П
210 ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (343 5) То же для астроиды х3 +у3 = а3. Имеем — а Предлагается повторить вычисления, исходя из параметрических уравнений астроиды и прибегнув к замене переменной (как в предыдущей задаче). 6) Найти объем общей части параболоида 2az=x1 2+y2 и сферы x2+y2+z2= За2. Решение. Вместе с обоими этими телами и общая часть их будет телом вращения вокруг оси