В.А.Садовничий
ТЕОРИЯ
ОПЕРАТОРОВ
УДК 517 5(075.8)
Садовничий В. А. Теория операторов. — 2-е изд.—М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1986 — 368 с.
Учебник соответствует программе курсов «Функциональный
анализ», «Теория операторов», «Анализ III», которые читаются в
МГУ и других университетах. В книге приведены основные тео-
ретико-множественные понятия, представлена общая теория метри-
ческих, топологических, линейных топологических и нормированных
пространств, общая теория меры, измеримых функций и интеграла
Лебега. Подробно рассмотрены теория операторов в гильбертовом
пространстве, спектральная теория самосопряженных операторов,
применения методов теории аналитических функций в спектральной
теории песамосопряжснных операторов, теория преобразования*
Фурье и обобщенные функции. Во втором издании (1-е изд.—
1979 г.) значительно расширен материал, посвященный теории сле-
дов операторов и изучению спектра дифференциальных и дискрет-
ных операторов, приведены новые задачи.
Библиогр. 20 назв.
Рецензент: кафедра математики МФТИ
УЧЕБНИК
ВИКТОР АНТОНОВИЧ САДОВНИЧИЙ
ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
Зав. редакцией С И. Зеленский
Редактор А. А Локшин
Художественный редактор Е. М. Демина
Технический редактор Л. Р. Черемискина
Корректоры М. И. Эльму с, Л. С. Клочкова,
Т. С. Милякова
ИБ № 233G
Сдано в набор 02.12.85. Подписано в печать 29.07.86.
Л-67364. Формат ЬОхОО1/^. Бумага типогр. № 1.
Гарнитура Литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 23,0.
Уч.-изд. л. 24,5. Тираж 7600 экз. Заказ 257. Цена 1 р. 10 к
Изд. № 4119
Ордена «Знак Почета» издательство
Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы
С
1702050000—139
120—86
© Издательство Московского университета, 1986 г.
077(02)—86
ОГЛАВЛ ЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию .................. 6
Предисловие к первому изданию ................... 7
1 и тература........................................ 9
I лава I. МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 19
§ 1.	Простейшие понятия теории множеств.........................19
1.	Основные свойства множеств. Отображения. Прямое произ-
ведение множеств.....................................10
2.	Мощность множества...................................15
3.	Частичная упорядоченность. Упорядоченность...........18
4	Сравнения мощностей..................................19
§ 2.	Метрические пространства.................................  21
1.	Определение метрического пространства. Примеры ...	22
2.	Открытые и замкнутые множества.......................26
3.	Всюду плотные и совершенные множества................29
4.	Сходимость. Непрерывные отображения..................31
5.	Компактность.........................................33
6.	База топологии пространства ........................... 35
Задачи.................................................38
§ 3, Свойства метрических пространств........................39
1.	Пополнение метрических пространств...................41
2.	Основные теоремы в полных метрических пространствах .	43
3.	Компактность в метрических пространствах, е-сеть	...	49
Задачи........................................... 52
§ 4. Топологические пространства.............................53
1. Определение топологического пространства. Хаусдорфово
топологическое пространство. Примеры.....................53
?. Замечание о топологических пространствах.............56
Задачи.................................................59
§ 5, Свойства топологических пространств ...................... 60
1.	Регулярные, вполне регулярные и нормальные	пространства	60
2	Регулярные пространства со счетной базой. Теорема Ти-
хонова ..................................................62
3.	Компактные хаусдорфовы и нормальные пространства	.	.	63
4.	Метрические и топологические пространства............64
5.	Тихоновские произведения топологических пространств	.	.	61
6.	Теорема Стоуна — Вейерштрасса........................67
Задачи ...............	69
I л а о а II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.................................70
§ 1. Линейные топологические пространства.......................70
1. Группа, кольцо, поле, линейное пространство ....	70
2. Линейные операторы. Пространство операторов ....	76
♦3. Банаховы пространства...................................77
.ч
4.	Выпуклые множества, функционал Минковского, полунормы 7 8
5.	Линейные топологические пространства. Теорема А. Н. Кол-
могорова ...................................... »	.	•	«	88
6.	Счетно-нормированные пространства........................88
Задачи.....................................................91
§ 2. Линейные ограниченные операторы в банаховых и F-простран-
ствах. Основные принципы функционального	анализа ...	91
1.	Линейные ограниченные операторы в банаховых простран-
ствах. Банахово пространство операторов. Понятие F-npo-
странства ........................................ .....	92
2.	Принцип равномерной ограниченности......................96
3.	Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отоб-
ражения ...................................................102
4.	Продолжение операторов и функционалов. Принцип продол-
жения Банаха — Хана........................................106
5.	Различные топологии, различные типы сходимостей. Общие
виды функционалов в конкретных пространствах	.	.	.	112
6.	Компактные множества, слабая компактность .	.	. .	123
Задачи................................................... 127
Глава III. ТЕОРИЯ МЕРЫ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕ-
ГРАЛ ...........................................................128
§ 1.	Теория меры................................................128
§ 2.	Измеримые функции..........................................143
§ 3.	Интеграл Лебега............................................147
1.	Определение интеграла Лебега............................148
2.	Свойства интеграла Лебега...............................150
3.	Предельный переход под знаком интеграла Лебега .	.	.	156
4.	Связь интеграла Лебега с интегралом Римана .	.	. .	159
5.	Пространство ...........................................161
§ 4.	Абсолютно непрерывные функции множеств. Теорема Радона—
Никодима................................................    164
1.	Абсолютно непрерывные функции	множеств..................164
2.	Теорема Радона — Никодима...............................166
§ 5.	Прямое произведение мер. Теорема	Фубини....................169
1.	Прямое произведение мер.................................169
2.	Теорема Фубини..........................................173
Задачи....................................................174
Глава IV. ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА. СПЕК-
ТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ......................................176
§ 1.	Гильбертовы пространства...................................176
1.	Геометрия гильбертова пространства......................176
2.	Базисы гильбертова пространства.........................181
3.	Размерность гильбертова пространства .................. 186
4.	Ортогональные разложения в гильбертовом пространстве .	188
5.	Биортогональные последовательности......................189
6.	Матричное представление линейного ограниченного опера-
тора в Н..................................................196
Задачи..................................................202
§ 2.	Спектральные теоремы.......................................203
1.	Сопряженный оператор....................................204
2.	Понятие о вполне непрерывном операторе.................205
3.	Абсолютная норма оператора.............................207
4.	Альтернатива Фредгольма................................210
5.	Проектирующие операторы................................215
6.	Спектр оператора.......................................218
7.	Симметрические операторы. Свойства квадратичной формы
оператора .	.	............................ 221
8.	Квадратный корень из симметрического оператора .	.	.	224
9.	Спектральная теорема для симметрического оператора в
n-мерном пространстве.......................................225
10.	Вполне непрерывные операторы. Спектральная теорема .	.	228
11.	Спектральная теорема для симметрического ограниченного
оператора...............................................231
12.	Спектральная теорема для унитарного оператора	....	236
13.	Неограниченные операторы............................243
14.	Спектр симметрического ограниченного оператора .	.	.	256
15.	Спектр и резольвента неограниченных операторов	....	260
Задачи................................................265
§ 3.	Операторные уравнения. Аналитические функции и операторы .	266
1.	Аналитические свойства резольвенты..................266
2.	Теорема Келдыша.....................................275
3.	Корневые векторы и корневые подпространства несамосо-
пряженных операторов........................................278
4.	Дифференциальные операторы...............................286
Глава	V. СЛЕДЫ ОПЕРАТОРОВ.................................292
€ 1. Теорема о следе для оператора в /г-мерном пространстве .	.	292
§ 2.	Ядерные операторы. Теорема	о следе.........................293
1. Теорема о следе для положительного ядерного оператора .	293
. 2. Свойства s-чисел вполне непрерывных операторов .	.	.	297
3.	Оценки собственных значений вполне непрерывного опера-
тора ......................................................305
4.	Оценки s-чисел произведений и сумм линейных вполне не-
прерывных операторов.......................................311
5.	Теорема о следе для ядерного оператора...................313
$ 3. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций.
Следы дифференциальных операторов............................320
1.	Функции класса К.........................................320
2.	Дзета-функция...........................................322
3.	Регуляризованные суммы корней функции класса К .	.	.	325
Задачи...................................................329
$	4.	Следы дискретных операторов................................330
Лава VI. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 341
§	1.	Обобщенные функции........................341
1.	Понятие обобщенной функции...............................341
2.	Основные свойства обобщенных	функций.............346
3.	Дифференциальные уравнения с	обобщенными функциями .	351
4.	Прямое произведение и свертка обобщенных функций .	.	353
j 2. Преобразование Фурье........................................356
1.	Преобразование	Фурье	функций	из	пространства	L1	.	.	356
2.	Преобразование	Фурье	функций	из	пространства	L2	.	.	359
3.	Преобразование	Фурье	обобщенных	функций ....	360
Предметный указатель........................................364
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Во второе издание книги внесены существенные изменения и
дополнения с целью еще большего приближения ее содержания
к современным программам обязательных курсов по функцио-
нальному анализу, читаемых во многих университетах нашей
страны.
Изменена структура изложения некоторой части материала.
Добавление I (Теория меры, измеримых функций и интеграла),
добавление II (Обобщенные функции Преобразование Фурье)
расширены и помещены отдельными главами.
Переработано изложение главы II «Линейные пространства».
В ней подробно изложен современный материал по выпуклым
линейным множествам и линейным топологическим пространст-
вам.
Расширен материал главы IV, посвященной спектральной тео-
рии операторов. В эгу главу добавлен параграф, посвященный
неограниченным операторам и спектральной теории самосопря-
женных неограниченных операторов, включен также материал,
посвященный компактным операторам. Проведены доказательст-
ва некоторых утверждений, которые в первом издании содержа-
лись в виде задач, а для ряда утверждений даны более подроб-
ные доказательства.
Глава V «Следы операторов» увеличена, в нее включены не-
которые новые результаты автора, относящиеся к следам дис-
кретных операторов. Эти новые исследования могут быть исполь-
зованы для нахождения регуляризованных следов дифференци-
альных операторов с частными производными. Этот материал мо-
жет быть прочитан в виде специального курса Добавлено зна-
чительное число примеров, иллюстрирующих содержание, а так-
же включены новые задачи, способствующие лучшему усвоению
материала.
Автор выражает глубокую благодарность своим ученикам
А С Печенцову, В. А. Любишкину, С. В. Курочкину, прочитав-
шим рукопись и сделавшим ряд замечаний.
В Садовничий
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория операторов охватывает обширную часть анализа, име-
ет многочисленные применения в прикладных вопросах и постоян-
но развивается. Курс «Теория операторов» под этим названием
пли под другим (например, Анализ-Ш) читается в качестве ос-
новною во многих учебных заведениях.
Предлагаемая книга возникла в результате чтения на протя-
ении ряда лет автором такого курса в МГУ и наиболее тесно
сязана с программами курсов, читаемых на механико-математи-
ческом факультете Московского университета.
В книге содержится как необходимый материал для обяза-
юльных курсов по теории операторов, так и материал, который
можно использовать при чтении спецкурсов.
В настоящее время имеется целый ряд первоклассных учебни-
ков и монографий по теории операторов. В отличие от традици-
онных способов изложения мы делаем больший упор на изуче-
ние свойств операторов (или отображений) в различных про-
странствах, а, например, теорию меры, теорию функций действи-
тельного переменного мы излагаем более сжато в добавлении I
Возможно, в будущем эти разделы анализа займут свое само-
стоятельное место ib виде отдельного курса, читаемого в вузах.
Книга построена по следующему плану.
Общая теория пространств и операторов излагается в первых
двух главах На наш взгляд, изучение топологических пространств
естественно начать на примере метрических пространств Поэто-
му в § 1, посвященном метрическим пространствам, излагаются
общие свойства таких пространств, использующие только нали-
чие открытых и замкнутых множеств (функция расстояния при
этом используется лишь для их определения). После этого под-
готовительного шага, в § 3, посвященном топологическим про-
странствам, уже излагаются общие свойства топологических про-
странств и непрерывных отображений. Во втором параграфе из-
ложены лишь те свойства метрических пространств, которые ис-
пользуют функцию расстояния, фундаментальные последователь
ности и полноту пространства. Именно эти свойства, как наибо-
лее ярко характеризующие метрические пространства, обычно^
изучаются при рассмотрении метрических пространств. А в § |
исследуются свойства общих топологических пространств: регв
лярность, вполне регулярность, нормальность, связь между нЛ
ми и др.	в
7
Глава II «Линейные пространства» посвящена линейным топо-
логическим пространствам и линейным операторам. Здесь изло-
жены три важных принципа анализа: принцип равностепенной
непрерывности в F-пространствах, принцип открытости отображе-
ния в ^-пространствах и принцип продолжения выпуклых (функ-
ционалов в линейных пространствах. В ряде случаев рассмотре-
ния проводятся сначала в банаховых пространствах.
В главе III «Спектральная теория операторов» рассматрива-
ются прежде всего вопросы полноты и базисности систем функций.
В § 1 доказаны различные критерии полноты и базисности (на-
пример, теорема Банаха о базисе), изучено важное понятие би-
ортогональной системы. В § 2 доказаны три теоремы о самосо-
пряженных операторах — о их приведении к «диагональному» ви-
ду, а именно спектральные теоремы. Сначала доказывается спект-
ральная теорема для операторов в n-мерном пространстве, затем
для линейных вполне непрерывных операторов и ограниченных
операторов. Изучается спектр таких операторов. Имея в виду
приложения, в § 3 «Аналитические методы в спектральной тео-
рии операторов» развивается необходимый материал теории функ-
ций комплексного переменного. Сочетание результатов и методов
теории операторов и теории аналитических функций сильно рас-
ширяет возможности приложений абстрактных результатов. В § 3
изучаются элементарные свойства абстрактных векторнозначных
и операторнозначных функций, аналитически зависящих от ком-
плексного параметра, а также исследуются пучки операторов.
В последней, четвертой, главе доказываются теоремы о сле-
де для операторов в n-мерном пространстве, для произвольного
вполне непрерывного оператора, а также их аналог — теорема о
следе для дифференциальных операторов (теорема о регуляризо-
ванных суммах нулей некоторого класса целых функций). В этой
главе проведено детальное изучение свойств s-чисел вполне не-
прерывных операторов.
В двух добавлениях — добавлении I («Теория меры, измери-
мых функций и интеграла») и добавлении II («Обобщенные
функции. Преобразование Фурье») — приведен материал, как
правило, читаемый по этим разделам в курсах.
При написании книги я стремился выдержать сравнительно
элементарный уровень изложения и сделать эту книгу доступной
широкому читателю. В книге около 200 примеров и задач, кото-
рые можно использовать в качестве упражнений на практиче-
ских занятиях.
Автор выражает благодарность доц. А. В. Михалеву, доц.
О. Г. Смолянову и В. В. Дубровскому за плодотворные и цен-
ные обсуждения материала книги, способствовавшие ее улучше-
нию, а также Т. Я. Кушниковой, Н. Н. Марчук, Л. И. Фомичевой
за помощь при оформлении рукописи.
В. Садовничий
ЛИТЕРАТУРА
i 1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топо-
логию. М : Наука, 1977.
2.	Б а н а х С. Курс функционального анал!зу. Кшв: Радяньска школа, 1948.
3.	Б и ц а д з е А. В. Основы теории аналитических функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1966.
4.	Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Физматгиз,
1958.
5.	Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.
6.	Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
7.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука,
1976.
8.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 1.
Обобщенные функции и действия над ними. М, Физматгиз, 1959.
9.	Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.
М.: ИЛ, 1962
10.	Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов
несамосопряженных линейных операторов. — УМН, 1971, т. 26, вып. 4,
с. 15—41.
11.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.
12.	Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному
анализу. М.: ИЛ, 1954.
13.	П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
14.	Рудин У. Функциональный анализ М.: Мир, 1975
15.	Ильин В. А., Поз дня к Э. Г. Основы математического анализа.
Ч. I. М.: Наука, 1971.
16.	Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математиче-
ский анализ. М.: Наука, 1979.
17.	Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. I, М : Высшая школа,
1973.
18.	Н и к о л ь с к и й С. М. Курс математического анализа, т. 2. М : Наука,
1975.
19.	Тихонов А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения математической фи-
зики. М.: Наука, 1972.
20.	Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных произ-
водных. М.: Наука, 1976.
Глава I
МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Основные свойства множеств. Отображения.
Прямое произведение множеств
Множество — это совокупность объектов, обладающих неко-
торым заданным свойством.
Всякое множество определяется некоторым свойством Р и со-
стоит из тех и только тех объектов, которые обладают этим свой-
ством.
Условимся в дальнейшем рассматривать только множества,
входящие в некоторое «универсальное» множество £*, и обозна-
чать рассматриваемые множества большими буквами А, В, С, ...
или X, У, Z, .... Объекты, составляющие множество, называются
его элементами и обозначаются маленькими буквами: а, Ь, с, х,
у, z, .... Множество А, состоящее из элементов х, у, z, ..., часто
обозначают так: А — {х, у, z, ...}.
Если элементы а и b совпадают, то пишут а = Ь. Если элемен-
ты а и b различны, то пишут а^Ь. Условие, что элемент а при-
надлежит множеству А, записывают так: а^А, а запись а ее А
(или а&А) означает, что элемент а не принадлежит множеству
А (не обладает свойством Р).
Если необходимо подчеркнуть, что множество А составляют
элементы, которые принадлежат универсальному множеству Е и
обладают свойством Р, то часто применяют запись:
А = {аеЕ:Р}.
Читается эта запись так: «множество А состоит из тех элементов
Е, которые обладают свойством Р».
А. Включение множеств.
Пусть А и В — два множества из Е. Говорят, что множество
В содержится в множестве А (включено л) в множество А), если
каждый элемент множества В является и элементом множества
А. Включение множества В в множество А обозначают символом
«сз» и записывают так: ВаА. Множество В не содержится в А
(BqLA), если существует хотя бы один элемент Ь^В, что Ь^А.
Два множества А и В называются совпадающими (равными),
есл|и они состоят из одних и тех же элементов, и тогда пишут
А=В.
Отношение включения двух множеств обладает следующими
свойствами:
*) Является подмножеством.
10
1°) Ас=А;
2°) если Ас:В, a BdA, то А = В;
3°) если Вс:А, а АсС, то BczC.
Б. Понятие пустого множества.
Рассмотрим множество элементов {а} из Е, для которых
s£a. Такое множество не содержит ни одного элемента, называет-
ся пустым множеством и обозначается символом 0:
0={а^Е: а-^а}.
Если множество А#=0, то оно содержит хотя бы один эле-
мент.
Множество А и 0 называются несобственными подмножества-
ми множества А. Остальные подмножества А называются собст-
венными. Очевидны следующие два свойства:
4°) 0czA для любого А из В;
5°) AczE для любого А из Е.
В. Операции над множествами.
Пусть А и В — два множества из Е. Объединением (или сум-
мой) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех
элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Объединение С двух множеств А и В обозначается так: C=AJB.
Аналогично С= (J Аа обозначает объединение любого числа
а
множеств Аа, где индекс а в свою очередь принадлежит неко-
торому множеству.
Пересечением множеств А и В называется множество С, со-
стоящее из элементов, принадлежащих как множеству А, так и
множеству В. Пересечение двух множеств А и В обозначается
так: С = АПВ.
Точно так же С = Г|Аа обозначает пересечение любого числа
а
множеств Аа.
Введенные операции обладают следующими свойствами, кото-
рые проверяются непосредственно:
6°) ЛиВ = Ви^4 (коммутативность объединения);
7°) ЛрВ = ВПЛ (коммутативность пересечения);
8°) Ли(BJC) = (ЛиВ)ОС (ассоциативность объединения);
9°) ЛП(ВПС) = (ЛПВ)ПС (ассоциативность пересечения);
10°) Л1)Л=Л;
11°) ЛЛЛ=Л;
12°) (ЛиВ)ПС= (ЛПС)и(ВПС) (дистрибутивность пересече-
ния),
(уЛа)ПВ= уИаПВ);
13°) (Л(]В)иС= (ЛиС)П(ВиС) (дистрибутивность объедине-
ния),
(ПЛа)иС= П(ЛаиС);
14е) Л[)0=А;
1 15е) ЛП0=0;
11
15’) А[)Е = Е;
1Г) A(]E=A;
18°) A<=B эквивалентно условиям A\JB=B или A(\B=A.
Свойства Г)—18°) обладают двойственностью в том смысле,
что если заменить символы «о на «:э», «и» на «П» и «0» на
«Е», то получится снова одно из этих восемнадцати свойств. Та-
ким образом, каждой теореме, доказанной на основании свойств
1°)—18°), соответствует двойственная теорема.
Разностью множеств А и В называется совокупность тех эле-
ментов А, которые не принадлежат В. Разность множеств А и В
обозначается так: АХВ. Таким образом, А\В = {х^Е: х^А и хе
ей. В этом определении не предполагается, что А=эВ.
Дополнением А’ множества А называется совокупность тех
элементов из Е, которые не принадлежат А:
А'= {х<=Е:х^А} = Е\А.
Очевидно, справедливы следующие свойства:
19°) AUA' = E;
20°) AQA' = 0;
21°) 0'=Е;
22°) Е' = 0;
23°) (А')' = А;
24°) условие AczB эквивалентно условию А'зэВ';
25°) (AUB)' = AznB' (дополнение суммы равно пересечению до-
полнений), (иАа)'=ПА^;
а	а
26°) (AQB)'=A'UB' (дополнение пересечения равно сумме до-
полнений) , ( П Aa)f = (J А'.
а	а
Свойства 19°)—26°) также обладают двойственностью, как и
свойства Г) —18°).
Симметрической разностью двух множеств А к В называется
множество С, определяемое следующим образом: C=(A|J5)\
\(АПЙ). Симметрическая разность множеств А и В обозначает-
ся символом ЛАВ. Легко видеть, что А&В= (A\B)U(B\A).
Г. Отображения. Прямое произведение множеств.
Важнейшим понятием в анализе является понятие отображе-
ния одного множества в другое.
Пусть А и В — два множества. Допустим, что каждому эле-
менту а множества А поставлен в соответствие определенный эле-
мент b = g(a), содержащийся в множестве В. В этом случае опре-
делено отображение g множества А в множество В, что кратко
можно записать так:
g'A-+B.
Элемент b называется образом элемента а при отображении
g, а элемент а — прообразом или одним из прообразов элемен-
та Ь, Часто элемент а^А называют переменным, или аргументом
отображения g, а элемент g(a)^B — значением g на элемен-
те а.
12
Если каждый элемент b множества В имеет хотя бы один
прообраз а при отображении g, то говорят, что отображение g
есть отображение А на В.
Пусть MczA, тогда g(M) обозначает множество таких эле-
ментов из В, которые являются образами элементов а^М. Мно-
жество g(M) называется образом М при отображении g.
Таким образом, если g:A-+B и g(A)=B, то g — отображе-
ние А на В. Если g(A)czB, то говорят, что g отображение А в В.
Если AfczB, то через g~l(N) обозначается множество таких
элементов из А, образы которых при отображении g содержатся
в N. Множество g~x(N) называется полным прообразом множест-
ва N при отображении g.
Отображение g:A-+B иногда удобно назвать функцией с об-
ластью определения А и областью значений, лежащей в В. В не-
которых разделах математики в зависимости от природы мно-
жеств А и В и свойств g отображение g называется оператором,
функционалом и т. д.
Отображение g множества А на множество В называется вза-
имно-одпозначным (или биекцией), если каждый элемент множе-
ства В имеет при этом лишь один прообраз при отображении g.
Если g:A-+B и если из того, что а^=а' следует, что g(a)=£
^g(a'), то отображение g называется инъекцией, таким образом,
в этом случае для любого Ь^В уравнение g(a)=b имеет не бо-
лее одного решения. Инъекция — это взаимно-однозначное отоб-
ражение А в В.
Если g:A-+B и если для любого Ь(=В уравнение g{a)=b
имеет по крайней мере одно решение, то отображение g — сюръ-
екция. Сюръекция — это отображение А на В.
Согласно сказанному биекция — это инъекция и сюръекция
одновременно, т. е. для любого Ь^В уравнение g(a)=b имеет
одно и только одно решение.
Очевидно, что если g — взаимно-однозначное отображение
множества А на множество В или взаимно-однозначное соответ-
ствие между элементами этих двух множеств, то можно опреде-
лить отображение g~\ обратное по отношению к g, т. е. из урав-
нения fc = g(a), зная элемент Ь, можно однозначно определить а
и тем самым положить a-=-g~l(b).
Пусть А — некоторое множество. Рассмотрим некоторое под-
множество R множества всех упорядоченных пар (а, Ь) элемен-
тов этого множества. Если (a, b)^R, то говорят, что а и b свя-
заны отношением ф = фя и обозначают а—Ь. Отношение <р назы-
ф
вается отношением эквивалентности, если оно рефлексивно (т. е.
для любого элемента а<=А), симметрично (т. е. если а—Ь,
ф	ф
то b—а), транзитивно (т. е. если а—b, b~с, то а~~с).
ф	ф ф	ф
Нетрудно убедиться, что эти условия необходимы и достаточ-
ны для того, чтобы отношение ф разбивало множество А на не-
пересекающиеся классы.
13
Действительно, разбиение множества на классы определяет
некоторое -отношение эквивалентности. При этом а~Ь означает,
ф
что а и b принадлежат одному классу
Обратно, если ф — некоторое отношение эквивалентности на
множестве А и Ка — класс элементов хеА, эквивалентных а,
то в силу рефлексивности а^Ка- Покажем, что два таких клас-
са либо не пересекаются, либо совпадают Пусть с^А и с^Ка,
с^.Кь, т. е. с~а, с~Ь. Тогда в силу симметричности а —с и в си-
ф ф	ф
лу транзитивности а~Ь. В силу этого отношения, если х^Ла,
ф
т. е. х—zz, то х^а—Ь, и поэтому х~Ь, т. е.	Точно так же
ф	ф ф	ф
доказывается, что всякий элемент у^.Кь входит в Ка Таким об-
разом, два класса Ка и Кь, имеющие хотя бы один общий эле-
мент, совпадают.
Если g — отображение множества А в В, то элементы мно-
жества А, образы которых совпадают, образуют непересекающие-
ся классы в множестве А, т. е. разбиение на классы тесно свя-
зано с понятием отображения.
Перейдем теперь к рассмотрению важного понятия — прямого
произведения множеств. Пусть Q = {1, 2, ..., п} и Аь А2, ...г
.Ап — подмножества некоторого множества А. Прямым про-
п
изведением f] Ak множеств Ак называется совокупность всех
/г==1
функций f, отображающих ЙвА так, что f(k)^Ak, k=l, ..., n.
п
Очевидно, что j~| Ak можно рассматривать как всевозможные
k=i
наборы (ai, а2, ..., ап), a^Ak. Аналогично, если Q = {1, 2, 3, ..
00
то П есть множество всевозможных последовательностей
k=\
{ai, а2, аз, ...,}, а^Ал для любого k.
Точно так же, если Q — произвольное множество и для каж-
дого a^Q определены подмножества Аа множества А, то прямым
произведением [~| Аа множеств Аа называется совокупность всех
a
функций f, отображающих Q в А, для которых f(a)^Aa, aeQ.
п
Если Q = {1, 2, ..., п}, то обозначают еще и так: AiX
/г=1
ХА2Х...ХАП; если A=At=A; для любых t, /= 1, ..., и, то приня-
то обозначение АХАХ.. .ХА=АП.
Представляет интерес также понятие верхнего предела после-
довательности множеств. Пусть задана некоторая бесконечная
последовательность множеств {Ап}. Множество А, состоящее из
всех точек, которые принадлежат бесконечному числу множеств.
14
Лп, называется верхним пределом последовательности множесЦ
Лп и обозначается следующим образом:
А = НшЛп.
Нижним пределом последовательности множеств {АД называ-
ется множество Л, составленное из всех элементов, принадлежа-
щих всем Лп, за исключением разве конечного числа. Для ниж-
него предела последовательности множеств используется обозна-
чение
А = lim Ап.
Если последовательность множеств монотонно возрастает, т о
Л1С=Л2ссЛзс:..., то
lim Ап~ lim Ап= U Лм
i=i
Аналогично, если последовательность множеств монотонно убы-
вает, то
lim Лп “ lim Лл — Q AL.
2.	Л1ощность множества
Два множества называются эквивалентными, если между ИХ
элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие,
Будем говорить, что эквивалентные множества имеют одинако-
вую мощность, или кардинальное число. Таким образом, каждо-
му множеству сопоставлен некоторый объект — его мощность,
причем эквивалентным множествам соответствует одна и та же
мощность.
Множество называется конечным, если оно эквивалентно на-
бору натуральных чисел {1, 2, .. , п} для некоторого п. Мощность
такого множества естественно обозначить той же буквой п.
Первой бесконечной мощностью ягляетгя мощность множества
всех натуральных чисел {1, 2, ...}. Множества такой мощности
называются счетными, а их мощность будем обозначать буквой &
Мощность множества точек отрезка [0, 1] называется МОЩНО*
стью континуума. Обозначается эта мощность буквой с.
Мощность произвольного множества X будем обозначать сим
волом т(Х).
Примеры
1.	Множество всех точек сферы в трехмерном простр inc
эквивалентно множеству точек расширенной плоскости. Вз но-
♦однозначное соответствие можно установить с помощью, ри-
мер, стереографической проекции.
2.	Множество рациональных чисел счетно
15
Пусть r=piq, g>0; p,q — целые и дробь несократима. Назо-
вем |р|+<7 высотой рационального числа г. Ясно, что число дро-
бей, имеющих данную высоту, конечно Осталось занумеровать
все рациональные числа, имеющие высоту 1, 2, .... При этом
всякое рациональное число получит некоторый номер — нату-
ральное число.
3.	Множество всех точек отрезка [а, &], а=^Ь несчетно.
Действительно, допустим противное, что множество всех точек
отрезка мож<но расположить в последовательность
ХЬ х2, .., хп, ...
Разделим отрезок на три равных части. Выберем ту из частей,
которая не содержит точку Xi (ни внутри, ни на границе) Обо-
значим указанный отрезок через М. Далее, обозначим через Х2
одну из трех равных частей отрезка М, на которой не лежит х2,
и т. д Бесконечная последовательность отрезков
=)... в силу известной теоремы анализа имеет общую точку у.
Эта точка у принадлежит каждому из отрезков Л*, следователь-
но, не может совпадать ни с одной из точек хЛ. Значит, последо-
вательность Xi, х2, ...» хп... не может содержать всех точек
отрезка.
4.	Объединение конечного или счетного числа счетных мно-
жеств есть снова множество счетное. Всякое подмножество счет-
ного множества — конечное или счетное множество. Объединение
двух множеств континуума имеет мощность континуума. Этот
пример иллюстрирует своеобразие арифметики кардинальных
чисел.
Докажем, например, что счетная совокупность счетных мно-
жеств есть счетное множество. Пусть Л2, Д3, . . — совокуп-
ность множеств, каждое из которых счетно.
Расположим элементы множеств Ai, А2, Л3, ... в виде после-
довательностей:
^41 = {<211, <212, <213» • • J,
42 = {а21, 022, 023, . .
^4з = {<2з1, 032, 033, • •
0п3, • • •},
Пусть Л= и 4 = U Ап-
п	П=1
Проведем нумерацию элементов а множества Л = {0} следую-
щим образом:
01 = 0ц, 02 = 02Ь 03 = 012,	04 = 031, 05 = 022, #6 = #13
И Т. Д.
У некоторых множеств At и А} (i=A=j) могут оказаться общие
элементы. В этом случае мы их учитываем только один раз. Та-
16
ким образом, элементы множества А можно занумеровать, г. е.
поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством
натуральных чисел N, т. е. А счетно.
5	Отрезок [0, 1] и интервал (0, 1) — эквивалентные между
собой множества.
Взаимно-однозначное соответствие можно, например, устано-
вить так. точке интервала (0, 1) хп= l/(n+1) поставим в соот-
ветствие точку уп из отрезка [0, 1], и=1, 2, 3,	.. Здесь t/i=0,
yk = Xh-2,	4, 5 .... Всем остальным точкам хе(0, 1)
ставим в соответствие точки с теми же абсциссами.
6	Трансцендентных чисел несчетное множество (Веществен-
ное число называется трансцендентным, если оно не является
корнем никакого уравнения вида ацхп + а]Хп~х +.. .4-а?г = 0, п —
натуральное и aL — целые, flo^O, t = 0, 1, ..., п. Вещественные
числа, являющиеся корнями таких уравнений, называются алгеб-
раическими.)
Множество алгебраических чисел, как легко показать, счет-
ное Значит, поскольку все числа на оси R1 образуют множества
мощности континуум, множество трансцендентных чисел несчет-
но. Выше мы воспользовались эквивалентностью интервала (0, 1)
и оси R1: у — — arctgxd——, а также тем, что объединение двух
л	2
счетных множеств есть множество счетное.
7	Множества точек отрезка и квадрата эквивалентны.
Пусть I — множество точек отрезка [0, 1], X — множество’
десятичных записей чисел (точек) отрезка I. Некоторые числа t
имеют двойную десятичную запись: t~ — оканчивающуюся девят-
ками и — оканчивающуюся нулями (для 1 мы фиксируем
единственную запись — 0, 99.. .. 9 . . .). Чисел, имеющих
двойную запись, счетное число. Занумеруем их: t\, /2, .. •, tk, .. -
и назовем числами первого рода, остальные числами второго ро-
да. Построим биекцию ф : Л->/, полагая ^(t)=t, если t — запись
второго рода, ф(/7) = /21-ь ф(/+)=^-
Существует естественная биекция $:Х-+ХхХ, определяемая
следующим образом:
ф (О.ащгаз... а* ...)=- (О, сиаз... c^-i..., 0,а2а4... а2*...).
Определим отображение
фХф:ХхХ-»-/Х/,
полагая
<рХ<р(а, &) = (ф(а), ф(&)).
Тогда композиция отображений,
будет биекцией между точками отрезка и точками квадрата.
17
Этот результат можно сформулировать таким образом: квад*
;рат множества мощности континуума имеет снова мощность кон-
тинуума.
8.	Пусть C = A|JB и С имеет мощность континуума. Тогда или
А, или В имеет мощность континуума. Действительно, С эквива-
лентно квадрату [О, 1]Х[0, 1] Допустим теперь противное,
что ни А, ни В не имеют мощности континуума. Рассмотрим
вертикальные отрезки, нижние концы которых являются точками
отрезка [0, 1] оси Ох, а верхние — лежат на противоположной
стороне квадрата. Тогда каждый из рассматриваемых отрезков
не может целиком состоять из образов (при нашей биекции мно-
жества С на квадрат), например множества А. Значит, на каж-
дом таком отрезке имеется по крайней мере один образ точки
множества В И это справедливо для каждого отрезка. Получа-
ется противоречие с допущенным ранее.
3.	Частичная упорядоченность. Упорядоченность
Множества, расположенные на числовой прямой, естественным
образом упорядочены, т. е. между двумя любыми элементами
можно поставить определенный знак неравенства. Однако во мно-
гих важных случаях (некоторые из них нам встретятся в даль-
нейшем), как говорят, такое «отношение порядка» на множестве
не всегда имеет место. Поэтому дадим следующие определения.
Пусть дано множество А. Пусть, далее, выделено некоторое
подмножество R множества всех пар элементов А, т. е. RczAxA.
Если пара (а, Ь) принадлежит R, io будем записывать это так:
а^Ь. Мы говорим, что отношение «<(» является отношением ча-
стичного порядка, если выполняются следующие условия:
1)	из а-ХЬ и ЬХ^с следует
2)	аХ^а для любого а<=А;
3)	из а<^Ь, b-Ха следует, что а = Ь
((2) и (3) показывают, что порядок является нестрогим, т. е. не
исключает совпадения элементов). Элементы а и Ь, для которых
имеет месю соотношение а<Ь или b-Ха, называются сравнимы-
ми, а исходное множество А называется частично упорядоченным
отношением
Если для любых двух различных элементов а и b множества
А известно, что либо аХ^Ь, либо Ь^а, то множес1во А называется
упорядоченным отношением
Подмножество В частично упорядоченного отношением
множества А называется ограниченным сверху, если существует
элемент а^А такой, что ЬХ^а для любых Ь^В. Любой такой
элемент а называется верхней границей множества В (Аналогич-
но определяется нижняя граница.) Если, кроме того, а^с для
всякой другой верхней границы с множества В, то а называется
точной верхней границей, или верхней гранью множества В (ана-
логично определяется нижняя грань).
18
Если некоторый элемент т частично упорядоченного множест-
ва А обладает тем свойством, что из соотношений рЕгА и т-^р
следует, что р — т, то т называется максимальным элементом.
(Аналогично определяется минимальный элемент.)
Нам часто придется иметь дело с объектами, которые, если
их рассматривать как множества, являются бесконечными. При
доказательстве теорем о таких объектах часто используется сле-
дующая лемма.
Лемма Цорна. Если в непустом, частично упорядоченном
множестве А для всякого упорядоченного подмножества ,В суще-
ствует верхняя грань, то в А существует максимальный элемент.
Непустое упорядоченное множество называется вполне упоря-
доченным, если любое его непустое подмножество имеет мини-
мальный элемент.
Теорема Цермело. Всякое множество путем введения не-
которого отношения порядка можно сделать вполне упорядочен-
ным.
Доказательство теоремы Цермело опирается на так называе-
мую аксиому выбора, утверждающую, что если дана любая си-
стема непустых попарно непересекающихся множеств, то суще-
ствует новое множество, имеющее с каждым из множеств систе-
мы по одному и только одному общему элементу.
Утверждение аксиомы выбора кажется интуитивно ясным, од-
нако использование этой аксиомы приводит к неконструктивным
доказательствам, так как закон выбора не может быть указан
явно. Многие факты, установленные с помощью аксиомы выбора^
не являются наглядными. (Например, можно так разбить шар на
четыре равные части, что из двух частей можно составить целый
шар того же радиуса, «двигая» их как «твердые» тела. Из двух
других частей можно составить точно такой же шар.)
Можно показать, что лемма Цорна, аксиома выбора и теоре-
ма Цермело — эквивалентные друг другу утверждения. Они яв-
ляются обобщением принципа математической индукции в случае
несчетных множеств.
В некоторых разделах функционального анализа использует-
ся понятие направленного множества.
Частично упорядоченное множество А называется направлен-
ным, если каждое конечное его подмножество имеет верхнюю
границу.
Легко проверить, что, для того чтобы множество было на-
правленным, достаточно, чтобы каждое его подмножество из
двух элементов имело верхнюю границу.
4.	Сравнения мощностей
* Пусть А и В — два произвольных множества. Если А экви-
валентно В, то их мощности (по определению) равны. Если одно
Из множеств, например А, эквивалентно некоторому подмноже-
ству множества В, то говорят, что мощность множества А не
19
больше мощности множества В, и пишут т(А) <пг(В) Если при
этом в Л не существует подмножества, эквивалентного В, то есте-
ственно сказать, что мощность А меньше мощности В, и обозна-
чить т(А)<т(В). Принципиально возможны еще два случая:
1	В содержит подмножество, эквивалентное А, и А содержит
подмножество, эквивалентное В
2	. Множества А и В не эквивалентны, и ни одно из них не
содержит подмножества, эквивалентного другому «множеству
В первом случае можно показать, что множества А и В эк-
вивалентны Что же касается другого случая, то он на самом
деле невозможен. Это можно вывести из теоремы Цермело. Та-
ким образом, для любых двух множеств А и В их мощности
сравнимы. Так введенное отношение порядка удовлетворяет свой-
ствам 1)—3) п 3 Счетная мощность является наименьшей бес-
конечной мощностью. Вопрос о том, является ли мощность кон-
тинуума следующей за ней или между ними есть промежуточ-
ные (так называемая континуум-гипотеза) долго не поддавался
решению. Недавно было доказано, что утверждение об отсутствии
промежуточной мощности не противоречит остальным аксиомам
теории множеств и не может быть выведено из этих аксиом.
Примеры.
def
1.	Пусть А — некоторое непустое множество иЛ4 = {В} = 2А—
совокупность всех его подмножеств В.
Будем считать, что Bi<<B2, если BitzB2. Очевидно, что ука-
занное отношение есть отношение порядка, удовлетворяющее ус-
ловиям 1)—3) п. 3 Ясно также, что в общем случае М не будет
упорядоченным (вполне упорядоченным).
Если N — любое подмножество множества Mf то оно ограни-
чено сверху. Его точной верхней границей будет множество =
= U В. В М существует максимальный элемент: это само мно-
жество А, рассматриваемое как подмножество, и утверждение
леммы Цорна очевидно. Теорема Цермело утверждает, что М
можно сделать вполне упорядоченным. Однако, как это сделать,
из теоремы неясно.
2.	Если задано некоторое множество А, то множество М, эле-
ментами которого являются все подмножества множества А, име-
ет мощность большую, чем А.
Действительно, обозначим мощность множества А через
sn(A), а мощность множества М — через т(М) ==2mW Очевид-
но, что т(Л1)>т(А). Исключим возможность равенства: т(М) =
= т(А). Допустив противное, установим взаимно-однозначное со-
ответствие между элементами {а} множества А и элементами {В}
множества М — подмножествами множества А. Объединим в
множество Bq все элементы {а} множества А, не принадлежащие
тем подмножествам, которым они соответствуют при взаимно-
однозначном отображении А на М. Пусть ао — тот элемент из
Л, который соответствует Bq. Элемент а0 не может принадлежать
20
множеству Bq и не может ему не принадлежать Получилось
противоречие Множество, содержащее п элементов, очевидно,
имеет 2й подмножеств. Убедимся в том, что множество подмно-
жеств счетного множества имеет мощность континуума. Дейст-
вительно, у каждой точки отрезка [0, 1] есть разложение в дво-
ичную дробь. Каждое такое разложение можно трактовать как
подмножество натурального ряда (число п принадлежит этому
подмножеству или нет в зависимости от того, стоит ₽ п-м. разря-
де 1 или 0) Каждой точке отрезка соответствует не менее одно-
го и не более двух разложений *>. Получаем, что
с<2а<2-с
(где с — мощность континуума, а — мощность счетного множе-
ства) Но (см. пример 4 п. 2) с = 2-с, значит, 2“=с.
Этот пример показывает, в частности, что множество точек
отрезка несчетно, т е. мощность континуума не раВ^а счетной,
а является действительно некоторой новой мощностью. Мы ви-
дим также, что «бесконечное» — не просто противопоставление
конечному: существует много неэквивалентных между собой бес-
конечных множеств.
В частности, множество всех подмножеств множества мощно-
сти континуума имеет мощность большую, чем мощность конти-
нуума, — так называемую мощность гиперконтинуума.
3.	Если X=lim Ап, то А= П II Ат.
п=1 т~п
Доказательство получается стандартным рассуждением: пусть
а^А, тогда as Q Q Ат и наоборот.
/2=1 1П—П
4	Семейство {2} подмножеств некоторого множества назы-
вается фильтром, если:
а)	0е{2};
Ь)	если ЛоВ и В<={2}, то Де{2};
с)	если А, Ве={2}, то Xf|Be{2}.
Если {2} и {В} — два фильтра и {2}гэ{В}, то говорят, что
фильтр {2} мажорирует {F}. Ультрафильтром называемся фильтр,
не мажорируемый никаким другим фильтром, кроме самого се-
бя. Из леммы Цорна вытекает, что нсякий фильтр мажорируется
некоторым ультрафильтром.
§ 2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В математическом анализе важнейшую роль играет понятие
предела. В основе различных определений предела лежит то или
иное понятие близости между объектами. Поэтому естественно
попытаться для множеств произвольной природы ввест'и понятие
расстояния между элементами, а затем и понятие предельного
См. подробнее п 3 § 2 этой главы
21
перехода. Более того, мы увидим, что многие свойства метриче-
ского пространства зависят лишь от набора его так называемых
открытых подмножеств. Понятие открытого множества в свою
очередь может быть принято за основу для определения еще бо-
лее общих пространств — топологических.
1. Определение метрического пространства.
Примеры
Определение 1. На множестве X определена структура
метрического пространства, если задана функция пары аргумен-
тов
prXXX-^R1, R1 — числовая ось,
обладающая свойствами;
1)	р(*> У) =0 тогда и только тогда, когда х = у;
2)	р(х> У) ==р(^> х) (свойство симметрии);
3)	р(*, ^/)<p(x, г) +p(z, у) (неравенство треугольника).
Функция р(х, у), х,у^Х называется метрикой, или функцией
расстояния, число р(х, у) называется расстоянием между точка-
ми X и у.
Таким образом, пара: множество X и функция р образуют
метрическое пространство; будем обозначать его через
(X, о) или /?=(Х, р),
или просто через X, если ясно, о какой метрике идет речь.
Если в 3) положить х=^у, то, учитывая 1) и 2), получим, что
0<p(y, г), т. е. функция расстояния — неотрицательная функция
своих аргументов.
Приведем примеры наиболее часто встречающихся метриче-
ских пространств.
Примеры.
1. Арифметическое /г-мерное пространство X, точки которо-
го — упорядоченные наборы п действительных чисел, х =
= (%1, ..., хп), будет метрическим пространством, если положить
р (*,!/)= [21*г—&12]1/2.
1=1
Доказательство неравенства треугольника для этого пространст-
ва приведено ниже в примере 3. В дальнейшем будем обозначать
эту пару (X, р) также через Rn.
В арифметическом n-мерном пространстве X можно ввести и
другие функции расстояния, например:
1 ( Щ л > У )
b)	Р1(х,у)= max |х,-—z/J;
*) См также пример 3.
22
с)	р2 (х, у) = у |х,— уИ;
j\ / X ( 1, X у,
d)	р3(х, у) = 1
10,	х=у;
г)М«,Ы₽(Х,9’,еСЛ"Р(*'9)<1'
(	1, если р (х, у) > 1.
Естественно, что при этом одно и то же множество превращает-
ся в различные метрические пространства.
2.	Пусть Y — множество непрерывных функций, заданных на
отрезке [а, Ь]. Введем метрику, полагая, что р (х, у) = max |x(Z)—
— y(f)\. Получившееся пространство (У, р) есть метрическое
пространство. Оно обозначается через С[а, Ь\.
Множество непрерывных функций можно превратить и в дру-
гие метрические пространства, введя функцию расстояния, напри-
мер, по правилам а), <1), е) примера 1 или полагая, что
ь
р(х,у) = J \x(i)—y(t)\dt;
а
ИЛИ
6	1
р(х,у) = [j \x(t)—y(t)\ pdt\ Р, р>\.
а
Точно так же множество Z п раз непрерывно дифференцируемых
функций на отрезке [а, &], д>1 становится метрическим простран-
ством, если ввести метрику по правилу:
р (%, у) = max max | x(t) (0 — y^t} (t) |,
хЮ)(/)=х(0,
Это пространство обозначается обычно так: Сп[а, Ь], п>1.
3.	Пусть [/ — множество, состоящее из последовательностей
00
комплексных чисел (xi, х2, ..., хп, ...) таких, что J? |xj2<oo.
Введем функцию расстояния р(х, у) по правилу:
р(*,У) = [2	л12]1/2.
1=1
где х= (х„ х2, ...), У— (f/i, У2, .. •).
Аксиома треугольника получается предельным переходом из
неравенства (см. также пример 1):
23
п
1/2
Lfe=l
которое есть следствие известного неравенства Коши — Буняков-
ского:
п	__	п	п
|2а^12<21сл821М2,
/2=1	k=l	k=l
где a*, bk, k= 1, ..., n — произвольные числа.
Неравенство Коши — Буняковского можно доказать так:
пусть X — произвольное число, а и b — векторы, а=(аь ... „
..., ап), b= (&i, ..., Ьп). Тогда (Ха—Ь, ка—Ь) >0, или
ХХ(а, а)—Х(а, Ь)— Х(Ь, а) + (Ь, Ь)>0.
Положим Х=ге“*ф, где <p = arg(a, b). Получим, что г2(а, а) —
—2г | (а, Ь) | + (Ь, Ь) >0. .Дискриминант этого квадратного трех-
члена неположителен, и тем самым неравенство Коши — Буня-
ковского справедливо.
Для функции р(х, у) нетрудно также проверить выполнение
остальных аксиом расстояния.
00	00	00
Заметим, что если I	2 < ^, ^ | z/fe |2 < оо, то и |
fe=i	k=\	k=i
±уД2<°° и функция расстояния р(х, у) действительно может
быть введена по указанному выше правилу.
Таким образом, выше мы определили метрическое пространст-
во ((7, р). Оно обозначается обычно /2.
В этом же множестве U, точками которого являются после-
довательности со сходящимся рядом из квадратов ее членов,
можно ввести функцию расстояния многими способами. Один из
интересных способов таков: расстояние определяется по формуле
р(х, у) = sup|xk—yk\- Нетрудно убедиться, что указанная верхняя
k
грань существует и что функция р(х, у) задает расстояние.
4.	Пусть V — множество последовательностей чисел
00
(%1, х2, ..., хп, .. •) таких, что 2 lxfel₽ < °°> Р 1 •
£=1
Определим функцию расстояния по формуле
р(х,У) = [2 \Хк — Ук\р]'/Р ,
где х= (хь х2, хп, ...), у= (yi, у2, уп, )
Это метрическое пространство обозначается 1р, р>1.
Из всех аксиом метрики нуждается в проверке лишь неравен-
ство треугольника. Доказать его можно по такой схеме:
24
а)	Пусть 0<а<1. Тогда функция
f(x)=xa—ах+а—1<0 при х>0.
б)	Пусть а>0, Ь>0, р>1 и q таково, что
Тогда, подставив x—ajb и а=1/р, можно получить, чго *>
а\!р ь^ч < — + —.
р я
в)	Пусть х(>0, «/г>0, i— 1, ..., п.
Подставив
А У'
CL = ----, и —----------,
и ’	/г ’
2И	2^
7=1	7=1
получим
1	ур	1	iq
W <	1	xi	,1
П 1 , n 1 /	n n	n n
(2«?)"(2<"	P	2^	’	2»!
7=1	7=1	7=1	7=1
Просуммировав no i от 1 до и, получим неравенство
п	п	п
1=1	1=1 '	1=1
которое называется неравенством Гёльдера.
г) Пусть xh yi, р и q те же, что и выше. Запишем тождество:
2 (*<+Ус)р=2Xi (Xi + у‘)₽~1 + 2	+ yty~' 
1=1	1=1	1=1
Применив к каждому из членов правой части неравенство Гёль-
дера и произведя сокращения, получим неравенство
п	п	п
1=1	z=l	i=l
д) Пусть Xi, yt, i—i, ..., п — комплексные числа. Тогда из
предыдущего следует неравенство Минковского:
(2 к, + у, Vf < (2 Г )'/0 + (i I у, г f .
i=l	i=l	t=l
♦> Это неравенство называется неравенством Юнга.
25
Из него уже легко получить неравенство треугольника для р>1.
Случай р=1 проверяется непосредственно.
5. Пусть W — множество всех последовательностей х =
= (*t, *2, •••> хП) •••) чисел xk таких, что sup |xj<oo. Пусть
1
р (x,z/)= sup \xk—yk\, тогда (R7, р) есть метрическое лро-
оо
странство. Выполнение аксиом расстояния здесь очевидно. Это
метрическое пространство обозначается символом т.
6. Пусть S — совокупность всех последовательностей
(пь л2, ...) натуральных чисел. Определим расстояние между
двумя такими последовательностями х и у по правилу р(х, у) =
— 1/Лг, где k — первый из номеров, для которых координата п&
последовательности х отличается от соответствующей координа-
ты последовательности у. Положим р(х, £/) = 0, если х = у. Тогда
(S, р) есть метрическое пространство, называемое бэровским
нульмерным пространством, обозначается оно обычно симво-
лом Во-
Заметим, что, как уже неоднократно нами подчеркивалось,
если р(х, у) — функция расстояния в некотором метрическом
пространстве, то по формулам а) или е) примера 1 мы можем
получить новую функцию расстояния.
2.	Открытые и замкнутые множества
Определение 1. Шаром О (а, г) в пространстве X {замкну-
тым шаром К {а, г)) с центром ib точке а и радиусом г называет-
ся совокупность точек xgeX таких, что р(л:, а)<г (р(х, а)<г).
Определение 2.Множество SczX называется открытым в
X, если вместе с каждой своей точкой х оно содержит и некото-
рый шар 0(х, г) Ч
Определение 3. Окрестностью точки х^Х называется
любое открытое множество, содержащее х. Окрестностью некото-
рого подмножества X, быть может самого X, называется любое
открытое множество, содержащее данное подмножество. Окрест-
ность точки х будем обозначать через
Определение 4. Пусть УсзХ, тогда точка х^Х называет-
ся предельной точкой множества У, если каждая окрестность
точки х содержит по крайней мере одну точку у: y^Y, у^х.
Точка y^Y называется изолированной точкой множества Y*
если существует окрестность точки у, в которой нет точек У, от-
личных от у.
Определение 5. Точка у&УсХ называется внутренней,
если она содержится в } вместе с некоторой своей окрест-
ностью **>. Точки, внутренние для дополнения У в X, называют-
*) Очевидно, что любой открытый шар в метрическом пространстве яв-
ляется открытым множеством (см пример 3 в конце этого параграфа).
**) Совокупность всех внутренних точек множества Y называется внутрен-
ностью множества У и обозначается через У
26
ся внешними по отношению к У. Если точка не является ни вн;
ренней, ни внешней по отношению к У, то она называется гр
яичной для У. Множество граничных точек для У обозначает
через ЗУ.
Определение 6. Множество в метрическом пространст
называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Сумма любого числа открытых множеств, nepei
чение любого конечного числа открытых множеств есть множес
во открытое, 0 и X открыты.
Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнут
сумма любого конечного числа замкнутых множеств замкну.
0 и X замкнуты.
ф Пусть {Sa} — семейство открытых в X множег
Если хе (J Sa, то существует индекс ссо такой, что хе2ао, зь
a
чит, существует число г>0 такое, что О(х, r)cz2a0, т. е. 0(х, г)
<=USa- Далее, если Si, ..., открыты в X, то из того, ч
а
хе р| St-, следует, что для любого f=l, ..., п хеЕь т. е. д
i=i
z = l, ..., п существуют числа rt>0 такие, что О(х, rr)czSi. Вз
r = min rL, получаем, чго для любого i=i, ..., п О(х, г)
с=О (х, rt), т. е. О (х, г) с: Q .
i=l
Второе утверждение непосредственно следует из первого, ес
воспользоваться принципом двойственности для множеств. 1
что 0 и X одновременно открыты и замкнуты, очевидно. Ц
Определение 7. Замыкание У множества У есть Пересе1
ние всех замкнутых множеств, содержащих У. Очевидно, что во:
содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем У. Cj
довательно, замыкание множества У — наименьшее из всех за
кнутых множеств, содержащих У.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Операция замыкания в метрическом пространалъ-
облаоает следующими свойствами:
1)	Л=эЛ; 2) 2 = А; 3) ЛцВ-Л [)В\ 4) & = Х^Х.
ф Свойство 1) очевидно, если хеЛ, то х принадлежит лю(
му замкнутому множеству, содержащему Л, т. е. хеА; овош
во 2) вытекает из того, что А — замкнуто (лемма I). Докаж из
свойство 3). Множество Л^ВоЛ, отсюда ЛОВпэЛ, так как ка
дое замкнутое множество, содержащее ЛОВ, содержит Л, их о
ресечение также содержит А. Следовательно, ЛОВпоЛ. Анал
гично ЛиВпэВ. Таким образом, AIJBzdAUB. Обратно, А[)В по
казанному (лемма 1) замкнуто, следовательно, AJBzdAUB. 3
27
верждение 4) означает, что 0 и все X — замкнутые множест-
ва. Ц	_ __
Попутно мы доказали, что если множество CczlD, то CaD.
Справедливо следующее утверждение
Утверждение 1. Точка а^А в том и только том случае,
если каждая окрестность точки а пересекается с А,
ф Если допустить, что а^.А, то существует окрестность Sa
(например — дополнение Л), не пересекающаяся с Л (и даже с
Л), что противоречит условию утверждения. Обратно, пусть а^А
и Sa — окрестность точки а, которая не пересекается с А, Тогда
дополнение 2а — замкнутое множество, содержащее А, а значит,,
и А, что приводит к противоречию с тем, что а^А. 
Для множества А в метрическом пространстве обозначим че-
рез А множество его предельных точек. Справедливо утверждение.
Утверждение 2. Для любого множества А выполнены со-
отношения А = A JA = A|J(9A
ф Очевидно, Дет Л. Из определения 4 и утверждения 1 следу-
ет, что ЛстЛ Если аеЛ, то либо аеД, либо а^Д, и тогда каж-
дая окрестность точки а содержит точку из А, отличную от а,
т. е а^А Таким образом, А = А[)А. Для доказательства равенст-
ва А = А[)дА достаточно заметить, что_внешние точки множества
А составляют в точности дополнение к А. 
Пусть (X, р) — метрическое пространство, а У — подмноже-
ство в X. Метрику р можно рассматривать только на точках из
УсзХ. Поэтому У само превращается в метрическое пространство
и пара (У, р) называется подпространством пространства (X, р).
Определение 8. Пусть X — метрическое пространство, а
У — его подпространство. Множество 2уС=У называется откры-
тым относительно У, если существует такое открытое в X множе-
ство 2х, что 2у = УП2х-
Докажем, что множество 2уС=У открыто относительно У тогда
и только тогда, когда оно открыто в У, рассматриваемом как под-
пространство. Пусть 2у открыто относительно У, т е. 2у=УГ|2х,
2х открыто в X. Тогда для каждой точки y<=Y№x существует
шар О (у, г), содержащийся в Sx- Множество О (у, г)Г|У являет-
ся тогда шаром в У, содержащимся в Sy, т. е. Sу открыто в У.
Обратно, пусть 2у открыто в У. Это значит, что для каждой точ-
ки г/Е2у существует шар в У с центром в у, содержащийся в
Sy. Рассмотрим для каждого такого шара соответствующий шар
в X с тем же центром и того же радиуса. Объединение всех та-
ких шаров (по всем ;/е2у) дает нам открытое множество
Очевидно, что 2у=УС|2А-
Аналогично определяются множества Т^устУ, замкнутые отно-
сительно У; для них также справедливо утверждение, аналогич-
ное вышеприведенному.
Подчеркнем, что, когда говорится об относительно открытом
(замкнутом) множестве, указывается наряду с основным прост-
28
ранством X его подпространство Y, относительно которого и да-
ются определения
Например, интервал != (О, 2) не является открытым множест-
вом в R2, но открыт относительно R1 в R2, так как /=R1QO(a, 1),
где О1) — открытый в R2 круг с центром в точке а=(1, 0)
и радиусом 1.
Определение 9. Пространство X называется связным, ес-
ли его нельзя представить в виде суммы двух непустых замкну-
тых (или двух открытых) непересекающихся подмножеств.
Множество У в метрическом пространстве X называется связ-
ным, если У связно как подпространство в X.
3.	Всюду плотные и совершенные множества
Определение 10. Пусть А и В два множества в метриче-
ском пространстве X. Множество А называется плотным в В, ес-
ли Л=эВ. Множество А называется всюду плотным в X, если А =
=Х.
Пространства, в которых имеются счетные, всюду плотные
множества, называются сепарабельными.
Нетрудно убедиться, что рассмотренные выше примеры 1—4
метрических пространств являются сепарабельными метрически-
ми пространствами Так, в Rn счетным, всюду плотным множест-
вом является множество точек, у которых все координаты — ра-
циональные числа. В пространствах С [а, Ь], Сп[а, 6] такими мно-
жествами являются множества многочленов с рациональными ко-
эффициентами; в пространствах /2, 1р — множества последова-
тельностей рациональных чисел, в которых отлично от нуля лишь
конечное, свое для каждой последовательности, число членов.
Пространство m — пример несепарабельного пространства. Ес-
ли рассмотреть множество Ео последовательностей, состоящих
только из нулей и единиц, то мощность такого множества есть
континуум, поскольку в двоичной записи эти последовательности
изображают все числа отрезка [0, 1]
Для того чтобы в этом убедиться, надо поступить так: пусть
xe[0, 1] и отрезок [0, 1] разбивается на две равные части и по-
сле нуля с запятой ставится 0 или 1 в зависимости от того, при-
надлежит число х первому или второму отрезку Если оно при-
надлежит обоим отрезкам (х=1/2), то пишется произвольно О
или 1. Дальше процесс повторяется неограниченно с тем мень-
шим отрезком, к которому отнесена точка х В результате мы
получим некоторую последовательность из нулей и единиц:
0, 011001 .... Если х=^у, то в результате делений эти точки на
некотором этапе станут принадлежать разным отрезкам, а поэто-
му и последовательности, им отвечающие, будут разные. Значит,
множество всевозможных последовательностей из нулей и еди-
ниц есть множество мощности не меньше, чем континуум. Для
наших целей достаточно и этого. (Легко убедиться, что на самом
деле множество всевозможных последовательностей из нулей и
29
^единиц есть множество мощности континуума). Взаимные рассто-
яния между любыми двумя различными элементами х и у мно-
жества Eq равны единице. Значит, приблизить сколь угодно точ-
но каждую из этих точек элементами счетного множества нель-
зя, поскольку множество шаров с центрами в точках множества
Eq и радиуса 7з является множеством мощности континуума и
эти шары не пересекаются. Так как	то пространство т
несепарабельно.
Множество А называется нигде не плотным в метрическом
пространстве R, если любое открытое множество этого простран-
ства содержит другое открытое множество, целиком свободное от
точек множества А.
Например, в пространстве С[0, 1] множество А функций вида
у = пх2 (п — целые числа) нигде не плотно. Другой пример ниг-
де не плотного множества на отрезке [0, 1] (рассматриваемом
как метрическое пространство) дает так называемое «канторово
совершенное множество».
Множество А, расположенное в метрическом пространстве,
называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точ-
ка множества А является его предельной точкой.
Канторово совершенное множество на отрезке 7 = [0, 1] строит-
ся следующим образом. Из отрезка [0, 1] удаляется интервал
(7з, 7з), и оставшееся множество — объединение двух отрезков
[О, 7з], Р/з, 1] — обозначается через Л. Из этих двух отрезков
в свою очередь удаляются их трети: интервалы (7э, 2/э), (7/э, 8/э)«
Объединение оставшихся отрезков обозначим через Л- Продол-
жим этот процесс неограниченно. Очевидно, /оДсэ/гТЭ... и
есть объединение 2п отрезков, длина каждого из которых равна
3~п.
Множество К = Р) /л и называется канторовым множеством.
П—1
Покажем, что К — совершенно. То, что оно замкнуто, следует
из построения и леммы 1, остается показать, что К не содержит
изолированных точек Пусть х^К и пусть — произвольная
окреслность точки х. Готда по определению открытого множества
найдется интервал (шар с центром в точке х), содержащий
точку х и OxCzZx. Пусть Лп — тот отрезок множества 1п, кото-
рый содержит точку х. Если п достаточно большое, то Лпс=ох.
Обозначим через ап тот конец отрезка Лп, который не совпадает
с х. Из построения множества К следует, что ап^К. Значит, про-
извольная окрестность точки х — множество — содержит
точку ап=£х :	т. е. точка х — предельная для мно-
жества К и, следовательно, X — совершенно.
Докажем теперь, что К — нигде не плотное множество на от-
резке [0, 1], рассматриваемом как метрическое пространство с
обычным евклидовым расстоянием. Поскольку любое открытое
множество на отрезке содержит внутри себя интервал, то доста-
точно показать, что любой интервал (шар) содержит внутри се-
30
бя другой интервал, не содержащий точек множества К. Пусть
о— произвольный интервал отрезка [0, 1]. Если он не содержит
точек множества /(, то построение в этом случае закончено. Ес-
ли же имеется точка xczK и то мы можем выбрать столь
большое т, что х^Лтс=/?п и Amczo, т — натуральное. Возьмем
интервал длины 7зт+1 с центром в середине Ат. Этот интервал
не содержит точек множества К и содержится в о
Таким образом, множество К нигде не плотно на отрезке
[0,1].
Замечание. Легко видеть, что если множество замкнуто и
iHe является нигде не плотным, то оно целиком содержит некото-
рый шар.
Действительно, допустим противное, что шара, состоящего
целиком из точек данного замкнутого множества, нет, т. е., ка-
нон бы шар мы ни взяли, в нем всегда найдется точка дополне-
ния к данному множеству. Поскольку дополнение открыто, то
любая точка дополнения входит в него с некоторым шаром, при-
надлежащим дополнению. Таким образом, получается, что в лю-
бом шаре найдется другой шар, свободный от точек данного
множества, т. е. множество является нигде не плотным.
Получилось противоречие.
4.	Сходимость. Непрерывные отображения
Определение И. Последовательность {ап} точек метриче-
ского пространства называется сходящейся к точке а этого про-
странства, если любая окрестность точки а содержит все точки
последовательности, за исключением конечного их числа. Если
последовательность ап сходится к а, то пишут ап-+а, п-^оо или
lim а==а.
П-*СО
Непосредственно из данного определения следует, что если
ап->а, то р(ап, а)->0,
Справедлива
Лемма 3. Точка a^R принадлежит замыканию А некоторо-
го множества А тогда и только тогда, когда существует последо-
вательность {а А точек множества Л, сходящаяся к а'.
ф Если ап-+а, то каждая окрестность точки а содержит точки
из {ап} и, значит, пересекается с Л, т. е. а^А.
Обратно, пусть а^А. Рассмотрим последовательность шаров
О (а, 1/п). В каждом из них есть точки из Л (п. 1 утвержде-
ния 1). Взяв для каждого п по одной такой точке ап, получим
последовательность {ап}, где ап<^О(а, 1/п). Эта последователь-
ность сходится к а, так как р(а, ап)-^6 при п->оо. Щ
Определение 12. Отображение g одного метрического
пространства R=(X, р) в другое Rq=(Y, р0) называется непре-
рывным в точке х, если для каждой окрестности 2Я(Г) точки g(x)
Найдется такая окрестность точки х, что g(Sx)	Если g
31
непрерывно в каждой точке, то оно называется непрерывным
на R.
Лемма 4. Отображение g:R-+Ro непрерывно тогда и только
тогда, когда полный прообраз любого открытого множества от-
крыт.
ф Пусть g — непрерывное отображение и Go — открытое
множество в Ro. Если полный прообраз Go »не пуст, то он — от-
крытое множество. Действительно, если a^g-^Go), то, посколь-
ку g непрерывно в точке а, существует такая окрестность 2« точ-
ки а, что g-(Sa)czG0, т. е. Sa принадлежит g-1(Go) — полному
прообразу множества Go. Поскольку g-1 (Go) = (J 2a, то
£-1(Go) — открытое множество, как объединение открытых Если
полный прообраз Go — пустое множество, то его открытость оче-
видна. Обратно, если полный прообраз любого открытого в Ro
множества открыт, то, взяв точку а^Х и произвольную окрест-
ность 2g(a) ее образа, мы имеем, что g~1 (2g(a)) — открытое мно-
жество в R, образ которого содержится в 2§<а), т. е. g — непре-
рывно. |
Утверждение 3. Пусть g:X-+Y — отображение метриче-
ского пространства X в метрическое пространство У. Непрерыв-
ность g эквивалентна следующему свойству', если хо, хп<^Х, п =
= 1, 2, 3, ... и хп-+хо, то g(xn) (х0).
ф Пусть g непрерывно и хп—*-х0. Для каждой окрестности
Sg(A:o) czz Y существует окрестность SXo cz X такая, что g(SXo)cz
cz2g(A;o). Окрестность 2*о содержит все точки хп начиная с не-
которого номера по:хпе2Хо при /г>п0. Но тогда g (хл) е g(2Хо) cz
cz ^g(^o) Для /z>n0. Таким образом, любая окрестность 2$(х0)
точки gf(x0) содержит все точки {g(xn)}, кроме конечного числа,
т. е. g(xn)->g(xo).
Обратно, пусть SczzF — открытое множество, G = {xeX:g(x)<=
^2} — его прообраз. Если бы G не было открытым, то некото-
рая его точка х0 принадлежала бы замыканию дополнения G.
Тогда (см_лемму 3) существовала бы последовательность {хп},
где все xneG, сходящаяся к х0. Тогда мы имели бы, с одной сто-
роны, что g(xn)^g(G) и, значит, g(xn)e2, а, с другой стороны,
g(xn)->g(x0) е2. Это противоречит открытости 2. 
Определение 13. Отображение g метрического пространст-
ва X в метрическое пространство У называется гомеоморфным,
если g отображает X на У взаимно-однозначно и g непрерывно
вместе с g~\
Примеры.
1.	Очевидно, что отображение g:X-+X метрического простран-
ства X в себя, определенное по правилу g(x)=x для любого хе
€=Х, — непрерывно. Такое отображение называется единичным и
обозначается символом Е.
2.	Функция расстояния р(х, у), отображающая XXX в R1 -
непрерывная функция. Непрерывность ее следует из неравенства
32
четырехугольника |р(х, z)—р(у, и) | < |р(х, y)+p(z, ы)|, которое,
очевидно, получается из двух неравенств р(х, z)<p(x, у) 4-
+ р(*Л z)cp(x, у)+р(у, и)+р(ы, г), р(у, и)ср(у, х)+р(и, х)«
ср (у, х)+р(х, z)+p(z, и), если из первого вычесть р(у, и), а из
второго р(х, z). При z—u получается второе неравенство тре-
угольника:
|р(х, г)— р(у, z) |ср(х, у).
5.	Компактность
Покрытием множества А в метрическом пространстве назы-
вается любое семейство открытых множеств, объединение которых
содержит А.
Определение 14. Метрическое пространство (X, р) (под-
множество метрического пространства) называется компактным
или компактом, если любое его покрытие содержит конечное под-
покрытие. Пространство называется локально-компактным, ес-
ли каждая его точка имеет окрестность, замыкание которой ком-
пактно.
Примерам компактного метрического пространства может слу-
жить отрезок [0, 1], рассматриваемый как метрическое прост-
ранство с обычным евклидовым расстоянием. Примером локаль-
но-компактного пространства является пространство R1 (или Rn,
п>1) или, например, пространство С — комплексная плоскость
с обычным расстоянием.
Определение 15. Система подмножеств {Аа} множества А
называется центрированной, если любое конечное подсемейство
этой системы имеет непустое пересечение.
Справедливы следующие леммы.
Лемма 5. Для того чтобы метрическое пространство R =
= (X, р) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы каж-
дая центрированная система замкнутых его подмножеств имела
непустое пересечение.
+ Пусть пространство X — компактно и пусть {/у — цент-
рированная система замкнутых подмножеств. Множества Ga =
= X\Fa открыты, и никакая конечная система из этих множеств
Gan, 1	оо не покрывает X. Значит, поскольку X — ком^
пактно, {Ga} не могут служить покрытием компактного простран-
ства X. В противном случае мы смогли бы выбрать конечное
подпокрытие {Gai, ..., GaJ пространства X из системы {Ga}, а
это означало бы, что Fai f)...	= Но, если {Ga} не покры-
вает X, то n Fa не пусто.
a
Обратно, пусть любая центрированная система замкнутых
подмножеств из R имеет непустое пересечение. Пусть {Ga} —
«открытое покрытие X. Положим Fa = X\Ga и заметим, что так
как {Ga} покрывает все X, то A Fa = 0 • Значит {£а} не является
а
центрированной, т. е. существуют такие Fif F2, ..., Fm, что
2 в А. Садовничий
33
м
Л Л = 0, М < оо, но тогда ={-Х\Л}1=1— конечное под-
Г=1
покрытие покрытия {ба}. Ц
Лемма 6. Замкнутое подмножество компактного метрическо-
го пространства компактно
ф Пусть F — замкнутое подмножество компактного метри-
ческого пространства X и {2а} — некоторая система открытых
множеств, покрытие F. К системе {Sa} присоединим открытое
множество G = X\F и полученное покрытие всего пространства
обозначим через {2^}=^{2a}|J G. Выберем в силу компактности X
из системы {2^} конечное покрытие всего пространства — систе-
му	Выбрасывая, если это необходимо, из системы {2^}^
множество G, мы получим конечное покрытие множества F, вы-
бранное из системы {Sa}. R
Лемма 7. Образ компактного пространства X при непрерыв-
ном отображении — компактное пространство,
ф Пусть g — непрерывное отображение X на У. Пусть {2а} —
покрытие У открытыми множествами, а 4ra = g~1 (2а). Множества
Ч'а открыты (см. лемму 4) и {Va} — покрытие X. Выберем из это-
го покрытия в силу компактности X конечное подпокрытие:
WXli» тогда {2,}^, 7И<оо — покрытие У, 2г- = ^(Чгг), г=1,...,М |
Лемма 8. Компактное подмножество, рассматриваемое как
подпространство метрического пространства X, замкнуто.
ф Пусть F — компактное подмножество и пусть a<=X\F; для
любой точки x^F существуют окрестности Sa и 2Х точек а и х
соответственно, такие, что SaC|2x = 0. В качестве таких окрестно-
стей можно, например, взять шары О (а, г) и О(х, г), г——-р (а,
х). Множество G= U 2Х— покрытие множества F. В силу КОМ-
хеК
пактности F выберем из этого покрытия конечное подпокрытие:
{2xz}^Lr Рассмотрим соответствующие 2Хг окрестности 2^, кото-
z г м .
рые по построению не пересекаются с 2 и таковы, что Q 2* = 2,
i=i
является окрестностью ^гочки а. Очевидно, что Sf]2x = 0, i =
= 1, ... ,М, и поэтому 2П^ =0. Значит, SczXX/7, т. е. множество
ХХ/7 — открыто, а F — замкнуто. |
Лемма 9. Пусть g: X-^R1, R1 — действительная числовая
ось. Если g — непрерывное отображение, а X — компакт, то g ог-
раничено и достигает своих верхней и нижней граней.
Ф Пусть g(X) — непрерывный образ компакта (компактного
пространства). По лемме 7 подмножество g(X) метрического про-
странства R1 — компактно, поэтому оно ограничено и замкнуто.
Это, очевидно, означает, что существует такое неотрицательное
*) Множество, замыкание которого есть компакт, называется предком-
пактным.
34
число Г, что |я(х)|<Г и g(X) содержит свои верхнюю и ниж-
нюю грани. И
Выше было дано (см. определение 8) понятие относительно
•открытого и относительно замкнутого множества. Подчеркнем еще
раз, что понятия открытости или замкнутости множества относи-
тельны в том смысле, что одно и то же множество может быть
открытым в одном пространстве и не быть открытым в другом
метрическом пространстве, содержащем первое.
Приведем еще один пример, поясняющий это. Отрезок / =
= [0, 1] — открытое множество в метрическом пространстве (У, р),
где У= [0, 1], а р — обычная евклидова метрика на отрезке.
О другой стороны, этот же отрезок [0, 1] не является открытым
множеством в метрическом пространстве (X, р), где Х=(—оо, оо),
ар — та же функция. Заметим, что Y — подпространство прост-
ранства X, I^YczX.
Однако компакт — понятие абсолютное, т. е. не зависящее от
объемлющего пространства. Справедливо.
Утверждение 4. Пусть (F, р), (У, р), (X, р) — метриче-
ские пространства, причем FcziYaX. Тогда множество F одновре-
менно компактно в У и в X.
ф Предположим, что F — компакт в X. Пусть {2а} — семей-
ство множеств, открытых относительно У, и Fcz|j2a. Согласно
a
определению 8 при каждом а существует множество Ga, открытое
относительно X. такое, что yp|Ga. Поскольку F — компакт в
X, мы имеем Fez Gai (J ... J Gan при некотором выборе конечного
числа индексов си,..., ап. Так как FczY, то из последнего включе-
ния следует, что FczSaiu ... U Тем самым доказано, что
множество F компактно в (У, р).
Пусть теперь F компактно в У. Пусть {Ga} — открытое в X по-
крытие F и 2a=ynGa. Тогда существует конечное число индексов
«1,..., an таких, что Fez 2ai U • • • U 2an- Поскольку SaczGa, то
справедливо включение Fczz GaiJ ... (J Gan. Тем самым F компакт-
но в X. Ц
Положив в этом утверждении y=F, получаем, что F — ком-
пактно относительно какого-либо объемлющего пространства то-
гда и только тогда, когда оно компактно «относительно себя»,
т. е. просто компактно.
6.	База топологии пространства
Определение 16. Система открытых множеств {Sa} мет-
рического пространства (X, р) называется базой топологии этого
пространства, если всякое непустое открытое множество простран-
ства X может быть получено как объединение некоторых множеств
из системы {Sa}.
Простейшим примером базы топологии, сокращенно — базы,
является совокупность всех открытых множеств данного простран-
2*	35

ства. Справедлив следующий факт, позволяющий устанавливать,
является ли данная система базой пространства.
Лемма 10. Для того чтобы система {Sa} открытых множеств
была базой пространства (X, р), необходимо и достаточно, чтобы
для всякого открытого множества G и всякой точки a^G нашлось
такое множество 2ао из данной системы, что а^ Saocz G.
♦ Пусть {Sa} — база пространства X и пусть G — произволь-
ное открытое множество и a^G. Тогда существует подсистема
{SaJ такая, что G= U SaA;, значит, существует 2ао такое, что
ae2aocz U %ak = G.
k R
Обратно, если условия леммы выполнены, то для любой точки
x^G найдется такая окрестность Sx из системы {Sa}, что xe2xcz
czG. Тогда G= (J 2Х, а поэтому {Sa} — база пространства X, В
x£G
Таким образом, в метрическом пространстве совокупность, на-
пример, открытых шаров образует базу.
Определение 17. Метрическое пространство (X, р) назы-
вается пространством со счетной базой, если в нем существует
хотя бы одна база, состоящая не более чем из счетного числа мно-
жеств. Пространства со счетными базами называют еще простран-
ствами со второй аксиомой счетности.
Лемма 11. Метрическое пространство (X, р) является про-
странством со счетной базой тогда, когда в нем имеется счетное
всюду плотное множество. Обратно, если в пространстве X име-
ется счетная база, то в нем есть и счетное всюду плотное мно-
жество.
ф Пусть Л -={ал}“— счетное всюду плотное множество в X.
Всевозможные шары О(ап, 1/пг), где и, m — всевозможные нату-
ральные числа, образуют базу пространства, причем счетную.
Обратно, если в X имеется счетная база {Sn}®=1, то, выбрав
по точке ane2n, мы получаем множество А = {ап}^=1, которое
всюду плотно. Действительно, если бы А=£Х, то открытое множе-
ство G = X\A было бы не пустым и не содержало бы ни одной
точки из A = {an}, что невозможно, так как G — открытое множе-
ство и оно есть объединение некоторых из множеств системы {2П}Г
а an^=Sn« 
Примеры.
1.	Можно построить метрическое пространство (X, р) и замк-
нутые шары Г1) и Кг (^2/2) такие, что Лдс/<2, а ri>r2.
Действительно, пусть (X, р) — метрическое пространство, со-
стоящее из всех точек (х, у) замкнутого круга на плоскости
ху :Х={(х, у) :х2 + у2<9} с обычной евклидовой метрикой р. Шар
Х2 определим так: К2= (X, р). Пусть шар К1 = К2(}{(Х,У) • (х—2)2 +
4-у2< 16}. Тогда Л1<=К2, ri = 4, г2 = 3, гх>г2.
2.	Множество А метрического пространства замкнуто тогда и
только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием А, т. е.
А=А.
36
Действительно, если А=А, то, так как замыкание любого мно-
жества замкнуто (как пересечение замкнутых), А — замкнуто.
Обратно, всегда AczA, и если А замкнуто, то в нем содержится
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А, т. е. AczA.
С другой стороны, по самому определению замыкания Ас=Д, т. е.
если А — замкнуто, то А = А.
Тем самым показано, что множество замкнуто тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки (см. ут-
верждение 2).
3.	Шар О(х0, г) в метрическом пространстве X — открытое
множество.
Если хеО(х0, г), т. е. р(х, х0)<г, то шар О(х, е) при 0<8<
<г—р(х0, х) будет принадлежать исходному множеству: О(х, e)cz
czO(xo,r). Действительно, если #еО(х, е), т. е. р(х, у)<&, то
р(*о, У)<р(*о, *)+р(х, */)<р(*о, х)4-г—р(х0, х)=г.
Точно так же замкнутый шар — множество К(х, r)={y :р(х, у)<
<г} есть замкнутое множество в X. Это следует из того/что его
дополнение есть открытое множество.
4.	В метрическом пространстве (X, р) можно построить откры-
тый шар О(х, г) ={у :р(х, у)<г} и замкнутый шар /((х, г) =
=={у:р(х, у) <г} с общим центром и равными радиусами, такие,
что
О(х, г)=#/<(х, г).
Действительно, пусть X — множество, состоящее более чем из
одной точки, и пусть
{1, если х=£у,
О, если х = у.
Рассмотрим метрическое пространство (X, р). Пусть х — произ-
вольная точка из X. Тогда О(х, 1) ={х}, Л(х, _1)=Х. Поскольку
здесь предельных точек у шара О(х, 1) нет, то О(х, 1)=О(х, 1)=^
¥=К(*, 1).
5.	Пусть R2 — двумерная плоскость с обычным евклидовым
расстоянием. Пусть О\ — подпространство R2, единичная окруж-
ность: х24-у2=1. Обозначим через Ц промежуток действительной
оси [0, 2л). Зададим отображение множества /=[0, 2л) на еди-
ничную окружность 01 с помощью формул: x = cos<p, y = sin<p,
<реЛ. Непрерывность и взаимная однозначность этого отображе-
ния очевидна, однако обратное отображение пространства 01 на
пространство Ц не является непрерывным в точке с координатами
х = 1, у=0.
6.	Если последовательность {ап} точек множества У метриче-
ского пространства сходится к точке а метрического пространства,
то точка а либо предельная для множества У, либо изолированная
точка множества У.
Действительно, если ап-+а, то любая окрестность точки а
содержит все точки последовательности {ап}, за исключением ко-
37
нечного их числа. Поэтому в любой окрестности точки а либо
найдется точка последовательности апЕУ, и тогда а — пре-
дельная для К, либо существует такая окрестность точки а, где
нет точек из последовательности {ап}, отличных от а, и тогда а —
изолированная точка множества У.
7.	Пусть (X, р) и (У, pi) — метрические пространства и g: Л->-
—>У. Отображение g будет непрерывным в точке а^Х тогда и
только тогда, если для любого е>0 найдется 6>0 такое, что
pi(g(x), £(а))<£ Для любого х такого, что р(х, а)<б.
Действительно, зафиксируем а^Х и 8>0 и пусть OG(g(a), е) —
шар в пространстве У радиуса 8 и с центром в g(a):
у) <в}. Oo(g(a), е) — открытое множество в У. Поэтому сущест-
вует 6>0 такое, что точка а входит в g-^Oo) вместе с шаром
О (а, 6) радиуса 6:{х:р(а, х)<6}. Но если	то
поэтому pi (g(a), g(x))<8. Обратное очевидно. Заметим, что
если а — изолированная точка множества AczX, то из доказан-
ного следует, что любое отображение g, определенное в этой точ-
ке, непрерывно в ней: для любого 8>0 существует 6>0 такое,
что в шаре р(а, х)<6 будет только одна точка х=а, тогда
Pi(Hx)J(a))=0<e.
8.	Метрическое пространство компактно тогда и только тогда,
когда для любой центрированной системы {2а} его подмножеств
П 5а =7^ 0 •
а
В самом деле, если условия утверждения выполнены и {Fa} —
произвольная центрированная система замкнутых подмножеств
пространства, то согласно примеру 2, приведенному выше, и лем-
ме 5 пространство компактно.
Обратно, пусть пространство компактно и пусть {Sa} — про-
извольная центрированная система__его подмножеств. Рассмотрим
систему {Sa}, где SaczSa. Система Sa — центрирована и согласно
лемме 5 р|2а^0’ так как множества Sa — замкнуты (см. при-
a
мер 2).
ЗАДАЧИ
1	Пусть А и В — два подмножества в метрическом пространстве X, число
р(Д, В) = inf p(a, b) называется расстоянием между под множен вами
Ь£В
А и В в X Привести пример двух подмножеств А и В в метрическом про-
странстве X таких, что А(]В = 0, но р(А, В)=0
2	Доказать, что множество А всех непрерывных на отрезке [0, 1] функ-
ций f(x), удовлетворяющих неравенству а<[(л)<Ь, где а<Ь — заданные числа,
является открытым множеством в С [0, 1]
3	Рассмотрим метрическое пространство (X, р), где X — числовая ось, а
р — обычная евклидова метрика (пространство R1) Пусть Л = {2^/9}, где р и
q — всевозможные натуральные числа Найти замыкание множества А
4	Доказать, что множество точек вида sin г (где г — всевозможные рацио-
нальные числа отрезка [—л/2, л/2]) всюду плотно на отрезке [—1, 1]
5	Показать, что в пространстве С\а, Ь] существуют замкнутые ограничен-
ные множества (множество А, расположенное в метрическом пространстве
(X, р), ограничено, если существует такое число N>0, что р(х, a)^N для лю-
38
бой точки а<=А, где х — некоторая точка пространства X), не являющиеся
компактными в С [а, Ь]
6	Построить на прямой R1 непустое совершенное множество, все точки ко-
торого иррациональны
7	Доказать, что на прямой R1 связными множествами являются только
промежутки (включая и бесконечные) интервалы, полуинтервалы, отрезки
8	. Отображение g одного метрического пространства (X, р) на другое
(У, ро) называется открытым, если любое открытое множество А в X перехо-
дит в открытое множество g(A) в У Докажите, что отображение g открыто
тогда и только тогда, когда для любой точки а^Х и любой ее окрестности So
в X существует окрестность 2g(a) точки g(a)^Y такая, что 2^(a)Czg(Sa)
9	Пусть (X, р)—метрическое пространство, пусть (У, р)—его подпро-
странство Пусть система {2а} — база в X. Обозначим через {5а}С0В0КУп'
ность всех множеств вида 2аГ)У. Тогда {5°}— база в У. Доказать
10	. На множестве X непрерывных функций, определенных на отрезке
[а, 6], задать две такие функции расстояния р и р0, чтобы дополнение единич-
ного шара в пространстве (X, р) было всюду плотно в единичном шаре про-
странства (X, ро)
§ 3. СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В предыдущем параграфе были изложены основные свойства
метрических пространств, базирующиеся на понятии открытого и
замкнутого множества. Следует подчеркнуть, что фактически все
утверждения предыдущего параграфа используют только свойства
открытых множеств: объединение любого числа и пересечение ко-
нечного числа открытых множеств есть множество открытое, все
пространство и пустое множество открыты и не используют такие
понятия, как шар, расстояние. Вместе с тем, поскольку в струк-
I уру метрического пространства введена функция расстояния, эти
пространства должны обладать своими, присущими только им
свойствами. Более того, чаще всего именно эти свойства и изуча-
ются при рассмотрении метрических пространств.
В настоящем параграфе и изложены эти фундаментальные свой-
ства метрических пространств. Все они используют понятие пол-
ноты пространства.
Определение 1. Последовательность {хп}, п=1, 2,... эле-
ментов метрического пространства (X, р) называется фундамен-
тальной, если p(xn, хт)->0, когда п, п, т — натуральные
числа.
Заметим, что, как уже говорилось, если последовательность
{хп} сходится к элементу х пространства, то р(хп, х)~>0 при
П->оо.
Очевидно также, что если последовательность {хп} сходится к
Элементу х, то в силу неравенства треугольника p(xn, хт)<
<р(хп, х)+р(Хщ, х)->0 при n, т->0, т. е. последовательность
{Яп} является фундаментальной.
С другой стороны, не всякая фундаментальная последователь-
ность {хп} элементов метрического пространства (X, р) является
Сходящейся последовательностью в данном пространстве.
Действительно, рассмотрим, например, в качестве метрического
Пространства (X, р) интервал (0, 1)=Хс обычным расстоянием
39	।
р между числами этого интервала. Последовательность {1/я},
п«1, 2,..., является, очевидно, фундаментальной, поскольку Р
J\_| J_____1_
т ) | п	т
1
tl
когда и, m—>оо? но эта последовательность
не сходится ни к какому элементу множества Х=(0, 1), т. е. не
является сходящейся в пространстве (X, р).
В связи с этим дадим следующее определение.
Определение 2. Метрическое пространство (X, р) назы-
вается полным, если в нем всякая фундаментальная последова-
тельность сходится к некоторому пределу, являющемуся элемен-
том этого пространства.
Приведенный выше пример показывает, что не всякое метри-
ческое пространство является полным. Поэтому возникает вопрос:
можно ли каким-нибудь способом пополнить неполное метриче-
ское пространство?
Ниже будет дан утвердительный ответ на этот вопрос.
Приведем примеры полных метрических пространств.
Примеры.
1.	Полнота пространства Rn вытекает из полноты R1 — дейст-
вительных чисел. Действительно, пусть — фундаментальная
последовательность точек из Rn. Тогда для любого е>0 найдется
такое JV = .V(e), что
4=1
при всех р, q>N. Здесь
= (£(Л в<р>, • • •,	В”» = (£(Л• • •.^)-
Тогда для любого k=l, 2,..., тем более
1Г-Г1<е-
т.	е. {Цр)}— фундаментальная числовая последовательность.
Пусть =	g= (gi, g2,...,gn). Очевидно, что lim В<^> = В.
2. Установим полноту пространства С[а, Ь]. Пусть {хп} — фун-
даментальная последовательность в С[а, Ь]. Тогда для любого
е>0 существует такое N, что
max \xn(t)—xm(t)\< е
a<t<b
при п, m>N. Отсюда вытекает, что последовательность {хп(0}
сходится на [а, Ь] равномерно. В этом случае ее предел x(t) будет
непрерывной функцией. Устремляя в неравенстве |хп(0—*т(0|<
<е к бесконечности т, получим
|%п(0 %(/)|С8
40
для всех /е[а, Ь] и для n>N. Следовательно, {хп(/)} сходится к
х(<) в смысле метрики пространства С[а, Ь].
1.	Пополнение метрических пространств
Определение 3. Взаимно-однозначное отображение g од-
ного метрического пространства (X, р) на другое (У, р0) называ-
ется изометрией, если для любых точек х2^Х справедливо соот-
ношение р(хь х2) =Po(g(*i), £(*2)). В этом случае пространства
(X, р) и (У, ро) называются изометричными друг другу.
Определение 4. Полное метрическое пространство (У, р0)
называется пополнением метрического пространства (X, р), если
(*, р) является подпространством (У, р0) и замыкание подпрост-
ранства (X, р) совпадает со всем (У, р0).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Для любого метрического пространства (X, р)
существует его пополнение (У, р0). Это пополнение (У, р0) единст-
венно с точностью до изометрии.
ф Пусть (X, р) — произвольное метрическое пространство.
Назовем две фундаментальные последовательности {хп} и {хп}
Из X эквивалентными и обозначим {хп}—{х^}, если lim р (хп,
П->оо
1*0. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично
транзитивно. Значит, все фундаментальные последовательности,
вторые можно составить из точек пространства X, распадаются
I* классы эквивалентных между собой последовательностей. Оп-
ределим теперь пространство (У, р0). В качестве У мы возьмем
Множество классов эквивалентных между собой последователь-
ностей. Обозначим эти классы так: х0, уо,..., а расстояние введем
По правилу: р0 (-*0’*/о) = lim Уп)> где {хп}, {уп} — произвола
П—*-оО
ИЫе фундаментальные последовательности из классов х0 и yQ со-
ответственно. Указанный предел существует и не зависит от вы-
бора последовательностей {хп}, {уп}. Действительно, |р(хл, уп)—
Р(Хт,Ут)\<Р<Уп>Ут) + р(хп,хт)	= если п, m^N(e),
• и к как последовательности фундаментальные. Поэтому числовая
... юдовательность ап = р(*п, Уп) фундаментальна и в силу пол-
...I R1 имеет предел. Пусть теперь {х„} я{х'п} е х0, {уп} и {у'п}^у0.
I  1 '•! также IР (хп, уп)—р (х'п, у'п) | < р (хп, х'п) + р(у„, у'п)< -±- +	= е,
m n^N (г), так как {х„}~ {х'п}, {«/„} — {уп}. Значит, lira р (х„, уп) =
П->00
шр(Хд, уп) и число р0(х0, уо) не зависит от выбора представите-
й классов х0 и уо.	)
В пространстве У, очевидно, выполняются все аксиомы метри-
ского пространства. Так, неравенство треугольника получается
неравенства треугольника в X путем предельного перехода.
41
Покажем теперь, что метрическое пространство У является по-
полнением пространства X. Пусть хеХ. Рассмотрим стационар-
ную последовательность {хп}, хп = х. Очевидно, она фундаменталь-
на. Обозначим через х элемент У, являющийся классом эквива-
лентных ец фундаментальных последовательностей Непосредст-
венно проверяется, что для любых xb х^Х p(xb x2)=p0(xi, х2).
Это означает, что пространство X изометрично своему образу
XczF при отображении х->х. Отождествим X и X и будем считать,
что X есть подпространство У. Докажем теперь, что оно плотно
в Y Пусть x0<=Y и 8>0. Выберем какую-нибудь фундаменталь-
ную последовательность {хп} из класса х0. Тогда существует та-
кое что р(хп, хт)<& при любых n, m>N. Возьмем элемент
Xjv = {XJV,XAr, ..., XN, ...}^Х Тогда р0(Х0,Хдг) <8.	-
Докажем, что У полно. Пусть х*, х2, ... — фундаментальная
последовательность точек из У. Поскольку X плотно в У, можно
указать такие точки хп^Х, что ро(х/2?хо) < —. Из аксиомы тре-
угольника получим
Р (хт> х«) = Ро (х/п> хп) Ро (Хт’ х0 ) 4“ Ро(хп> хо) “Ь Ро (х0 , хо)
Отсюда следует, что {хп} фундаментальна в X. Значит, ей соот-
ветствует некоторый элемент У (по определению У); обозначим
его через х0. Имеем далее:
Ро (хо, *о) < Ро (*0> хп) 4- р0(х„, х0) •
Каждое из слагаемых в правой части стремится к нулю при п->оо;
первое — в силу выбора точек хп, второе — из-за фундаменталь-
ности {хп} в X. Значит, х0 является пределом (в У) последователь-
ности {х"}, и У полно.
Осталось доказать единственность пополнения. Пусть (У, р0)
и (У',р0)— два пополнения пространства (X, р). Пусть х0 — про-
извольная точка из пространства (У, р0). Тогда существует после-
довательность {хп} точек из (X, р), сходящаяся к х0. Точки хп
принадлежат и (К,р^). Так как У' полно, а последовательность^
{хп} фундаментальна, то {хп} сходится и в У' к некоторой точке
х', эта точка не зависит от выбора последовательности {хп}, схо-
дящейся к х0. Определим отображение g пространства У на Y' по
правилу g(x0)~ Xq. Это изометричное отображение пространства
У на У' такое, что g(x) =х для любых х^Х. Действительно, пусть
{хп}^х0 в Y, {хп} в Y',
в У, {Уп} ~+У'о в Y'.
42
Тогда
Ро (х0, у0) = lim р0 (х„, уп) = lim р (х„, уп)
П—Ь оо	п—> оо
И
Ро (*о> 4>) = lim Ро = I’m р (х„, уп).
Поэтому р0(х0, у0) = рд(х', z/q) и по построению отображение взаим-
НО-однозначное, т. е. получили изометрию. То, что g(x)=x для
Любого хеХ, очевидно по построению. Ц
2.	Основные теоремы в полных метрических
пространствах
В этом пункте будут доказаны основные теоремы в полных
МС1рических пространствах такие, как принцип вложенных шаров,
теорема о категориях и принцип сжимающих отображений. Эти
Теоремы имеют большое значение при изучении метрических про-
странств, а также чаще всего будут использоваться в дальнейшем.
Справедлива теорема.
Теорема 2 (принцип вложенных шаров). Для того чтобы
Метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно,
чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных
друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела
непустое пересечение.
ф Необходимость. Пусть (X, р) — полное метрическое прост-
ранство, а К\ (хь ti)zdJ<2(x2, /*2)=^... — вложенные друг в друга
Эамкнутые шары. Последовательность их центров фундаментальна,
так как p(xn, хгп)<гп при т>п, а гп->0 при п->оо. Поскольку
Пространство X — полное, то существует элемент х=\\тхп, х&
f	ОО
в X.Очевидно, что х £= Q Кп. Действительно, для любого п х —
,	п==1
Предельная точка Кп. Так как все КЛ замкнуты, то х принадле-
жит Лп Для любого п, т. е. хе Q Кп (см. лемму 3 § 1).
п—1
Достаточность. Надо показать, что если {хп} — фундаменталь-
ная последовательность, то она имеет предел х^Х Выберем точ-
ку Хп, такую, что р(х„,хП1)< — для любого и>пь Примем хл, за
центр замкнутого шара радиуса 1: /<(хЛ1, 1). Выберем далее точ-
ку хп, из последовательности {хп}, удовлетворяющую следующим
условиям: р (х„, хп,)<-Т-для любого п>п2, п2>п\. Примем точку
Ч аа центр шара радиуса -Д (хп, ) • Пусть Хп„
(п> < «а < • • • < nk) Уже выбраны, тогда x„A+j выберем так,
чтобы ВЫПОЛНЯЛИСЬ условия: Р (Х„, Xnk+1 ) < для любого
43
:>nM, nft+i>nfe. Как и выше, примем хп за центр замкнутого
1	(	1 \	"г4
шара радиуса : К I xnk+1, ) и т- Д- Мы получили последо-
вательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы
которых стремятся к нулю. По предположению существует точка х,
общая для всех шаров. Ясно, что p(x„fe, х)->0, nfe->oo. Таким
образом, фундаментальная последовательность {хп} содержит под-
последовательность {х„Д, сходящуюся к некоторой точке х прост-
ранства. Тогда и сама последовательность сходится к этому же
пределу. Действительно, применяя свойство треугольника для
функции расстояния (см. § 1, определение 1), имеем
р (хл, х)< р (хп, xnk) +р (х, xnk) ->0, n, nk -> оо,
т. е. пространство X полное — всякая фундаментальная последо-
вательность сходится к пределу, принадлежащему пространству. В
Замечание. Все условия теоремы являются существенны-
ми: полнота пространства, замкнутость шаров, условие того, что
они вложены, стремление их радиусов к нулю. Наименее очевид-
ной является существенность последнего условия. Вот пример пол-
ного метрического пространства и последовательности вложенных
друг в друга шаров, имеющих пустое пересечение.
Пусть /?= (N, р), где N — множество натуральных чисел, а
р (т, п) =
л + т ’
о,
если п^ьт,
если п — т.
Определим последовательность замкнутых шаров с центрами в
точках п и радиуса 1 Н---— :
Д’ f n, 1 Н——= \tn : p(m, n)< 1 Н——1, п = 1,2, ... ♦
\	2п /	[	2п J
Тогда очевидно, что шары Д^п, 1+——замкнуты и вложены
друг в друга, а пространство полно, поскольку каждая фундамен-
тальная последовательность сходится в пространстве. Она явля-
ется, как говорят, «почти постоянной». Однако пересечение этих
шаров пусто.
Определение 5. Подмножество М метрического простран-
ства X называется множеством первой категории, если его можно
представить в виде объединения не более чем счетного числа нигде
не плотных в X множеств.
Все остальные множества называются множествами второй
категории.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3 (о категориях). Пусть (X, р) — непустое пол-
ное метрическое пространство, тогда X — множество второй кате-
44
гории, т. е. X нельзя представить в виде объединения счетного
числа нигде не плотных множеств.
ф Предположим противное, что X = Ап и каждое из мно-
п=1
жеств Ап, п=1, 2,... нигде не плотно в X. Пусть Ко — некоторый
замкнутый шар радиуса единица. Поскольку множество Д1 нигде
не плотно, то существует замкнутый шар Ki радиуса меньше 1/2
такой, что KiCzKo и /С1(И1 = 0- Поскольку множество А2 нигде
не плотно, то точно так же существует замкнутый шар
радиуса меньше 1/22, для которого К2(]А2 = 0, и т. д. В резуль-
тате мы получаем последовательность вложенных друг в друга
замкнутых шаров {/Сп}"=1, радиусы которых стремятся к нулю. По
теореме 1 существует точка х^Кп Для любого целого п и хеХ.
Так как по построению Кп(]Ап = 0, то хеДп для любого п. Зна-
чит, хё Q Ап. Это противоречит предположению, что X = Q Ап.
П—1	П—1
Определение 6. Отображение g метрического простран-
ства X в себя называется сжимающим, если существует такое
число 0<а<1, что p(g(x), £(*/))<ар(х, у) для любых х, у^Х.
Теорема 4 (принцип сжимающих отображений). Всякое
сжимающее отображение полного метрического пространства
(X, р) в себя имеет и притом только одну неподвижную точку, т. е.
такую точку х^Х, что g(x) =х.
ф Пусть х0 — некоторая точка из X. Определим последова-
тельность точек {хЛ}*=1 по правилу: xx=g(Xo),xn — g(xn-\). По-
следовательность {хп} фундаментальна в X. Действительно, если
т>п, то
Р (*„, Хт) - Р (g (Xzz-1), g (Xzn-l)) < ap (Xn-l, Xm-i) < . . . <
•<anp (x0, хт—an {p (x0, Xi) 4~ P (x^, x2) 4~ •.. 4~ p (xm—n—i > Xm—n)}
< anp (x0> хг) {1 + a + a2 + ... +	anp (x0, xj —-—,
1 —a
где а<1. Таким образом, p(xn, хто)->0, n->co, m>n. В силу пол-
ноты пространства X существует	Пусть х = lim хп. Тогда
в силу непрерывности отображения g (см. § 1, пример 8) имеем
g(x) — lim g(xn) = limxn4-i = x. Следовательно, неподвижная точ-
8	П->СО
ка существует. Докажем ее единственность. Еслй g(x)=x и
g(y)=y, то р(х, у)<ар(х, у), т. е. р(х, у)=0, поэтому х^у. 
Замечание. Если отображение g метрического пространст-
ва X в себя обладает свойством, что p(g(x), g(y))<p(x, у) для
любых х, у^Х, х^у, то неподвижной точки может и не быть. Вот
соответствующий пример: рассмотрим пространство (X, р), где
А=[1, оо), а р — обычная евклидова метрика. Пусть g(x) —х-Ь
45
+ —• Тогда P(gO),g(y)) = |x+ -----у---J- <]x —y\. Непод
X	I x	у
вижпой точки нет: g(x)=x-\---=£x ни для какого xeJV.
X
Определение 7. Говорят, что два отображения g и gi мет-
рического пространства (X, р) в себя коммутируют, если для вся-
кого хеХ справедливо равенство g (gi (х)) = g{ (g (х)).
Теорема 5 (обобщение принципа сжимающих отображений).
Пусть g и gi — отображения полного метрического пространства
(X, р) е себя. Тогда, если отображение gi сжимающее и отобра-
жения^ и gi коммутируют, то уравнение g(x)=x имеет решение.
ф По теореме 3 существует и притом только одна точка х та-
кая, что gi(x)=x. Применим к обеим частям равенства отобра-
жение g. Воспользовавшись тем, что отображения коммутируют,
получим g(gi(x)) =g(x) и, следовательно, gi (g(x)) = g(x), т. е.
g\ (У)=У, где У==ё(х)- Учитывая, что отображение gi сжимающее
и неподвижная точка у этого отображения одна, получим, что
x = y — g(x). Поэтому и у отображения g есть неподвижная точ-
ка. В
Замечание, п-й степенью отображения g называется ото-
бражение gn, полученное в результате п последовательных при-
менений отображения g:
gn(x) =g(g(...g(x))...), хеХ.
Из теоремы 5 следует, что если отображение g таково, что неко-
торая его степень — сжимающее отображение, то уравнение*
g(x)=x имеет одно и только одно решение. Единственность ре-
шения следует из того, что всякая точка, неподвижная относи-
тельно отображения g, будет неподвижной и относительно g”, а
последнее отображение сжимающее.
Примеры.
1.	Нахождение корней функций.
Пусть <p(Z),	— действительная функция, удовлетворяю-
щая условию Липшица
|<Р(М—ф(*2) |<0pl —12\, ^1,	Ь], О<0<1,
и отображающая отрезок [а, Ь] в себя. Если ввести метрическое
пространство (X, р), где Х=[а, Ь], а р — обычная евклидова мет-
рика на отрезке, то отображение qp в X сжимающее, и поэтому
числовая последовательность /о,	=	^2 = <pGi), ••• сходится к
единственному корню уравнения	для любого [а, Ь]-
Отображение <р сжимающее, если, например, |<р'(01<0<1 для
всех t^[a, Ь].
Допустим, что необходима решить уравнение вида F(t)=O,
причем — действительная, определенная на [а, Ь] функция
и FM<0, 77(Ь)>0, О<0^Р(О<02, t^[a, Ь]. Тогда если рас-
смотреть функцию	—XF(/), XeR1 и найти корень уравне-
ния	то будет решена и исходная задача. К этому послед-
нему уравнению можно применять предыдущие рассуждения, если*
46
например, | <p'(Z) | <0< 1. Имеем, что 1—%02«р'(О < 1—Ж, Х>0.
Нетрудно подобрать действительное число Z>0, чтобы было вы-
полнено условие | д/ (0 | <0< 1.
2.	Нахождение решений системы уравнений вида у = Ах + Ь.
Пусть А = {а£}}^ i==1 — матрица, X—n-мерное пространство
п
строк (хг ... , хд),	A-be—отображение пространства
/=1
X в себя: набор х== (хь х2,..., хп) переходит в набор g(x) =
- (#ь Уъ Уп), Т. е. g(x) =Ах+Ь.
Если отображение g(x) будет в пространстве X с некоторой
метрикой и при некоторых условиях сжимающим, то векторное
уравнение g(x)=x будет иметь по предыдущему одно и только
•одно решение. Найдем такие условия на отображение g и введем
^метрику на множестве X, т. е. образуем соответствующие метри-
ческие пространства. Рассмотрим следующие случаи:
а)	Пусть
Рх(х,у) = шах |^—xj;
тогда нетрудно получить оценку: если у'—Ах'+Ь, у"=Ах"+Ь, то
Pi («/',/)< max V	х , х, у , у” t= X,
1<(<п ~
и условие того, что отображение g сжимающее, будет выполнено,
если, например,
п
| У | < а < 1, i = 1, ... , п.
/=1
Ь)	Если ввести метрику на X по правилу
Р2 (%,</)= У |Х;— УА,
1=1
лю, как нетрудно убедиться, отображение g будет сжимающим,
если
2 Iй»’/ К а<  ,П.
с)	Наконец, если метрика задана так:
Рз (*,£/) = [2 ki —г/И2]1/2 .
i=l
47
то отображение g будет сжимающим, если
п
£ la.fl2 <«< 1 •
Выписанные условия достаточны для того, чтобы уравнение
g(x)=x имело и притом единственное решение, или, что то же
п
самое, чтобы система xf = 2 atjxj + f = 1, ... , п имела и при-
том одно решение.
3.	Существование и единственность решения задачи Коши для
дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть задана задача Коши
У^о) = Уо,
at
Предположим, что функция f(t, у) непрерывна на множестве:
—oo<i/< + oo и удовлетворяет условию Липшица по у,
т. е.
\f(t,y')-f(t, У")\<К\У'~У"\
для любых у' и у". Существование и единственность решения за-
дачи Коши эквивалентны существованию и единственности реше-
i
ния интегрального уравнения: у(0 = #0+J/(£>#(&))^- Рассмот-
to
рим отображение множества функций {y(t)} по правилу: g(y(ty) =
— у0 +- Jf (£, t/(|))d£. Введем пространство С[а, Ь], тогда задача
to
о нахождении решения интегрального уравнения сводится к на-
хождению неподвижной точки отображения g, т. е. к нахождению
функции у такой, что g(y) = у. Для того чтобы такая точка сущест-
вовала и была одна, достаточно, чтобы отображение g было сжи-
мающее.
Поскольку из условия Липшица следует, что
|W, f/1)— f(t, Уъ)	^|,
то для у, zeC[a, 6] имеем	z
t	/
Р (g (У)> g (*) X max^ | j Kp (y, z¥&, | = К (b —a) p (у, г),
to
P(y,z)= max |г/(0—г(/)|.
Следовательно, отображение сжимающее, если отрезок [а, до-
статочно мал, т. е. если
К(й-а)=0<1.
48
При этих условиях справедлива теорема существования и един-
ственности решения задачи Коши на таком отрезке [а, Ь].
4.	Свойства оператора Вольтерра и его степени.
Покажем, что некоторая степень отображения, задаваемого*
Интегральным оператором Вольтерра,
а
X — некоторое число, K(t, £)еС([а, 6] X [а, 6]), <p(Z)<=Ci[a, b] —
Непрерывные функции своих аргументов, есть сжимающее отобра-
жение в С [а, Ь],	Пусть
М= max |К(/,ё)|, P(/1,f2)= max 1А(0—f2(0l-
Тогда
I g (h (0) - g (fi (0) I = I *11 f К (Л 5) (fl (Э-h (Ю) dl I <
a
< |X|-Al.(/-a)-p(f1,/2),
li* (fl (0)-£2 (f2 (0) I = I * 11J * (U) to (fl ©-gfa (5))) К I <
a
t
«И1-Л1-J|X|-M-(g-a)P(fi.fi)dg< IX|2'My-~-^-P(fi. f2)-
a
Отсюда
I ga (fi)-gn (f2) IС IX |« - Af" - -(<~a)n • P (f15 f2).
Всегда можно выбрать такое п, что J1-------------— <1 и при;
п*
этом п отображение gn будет сжимающим. Согласно замечанию*
после теоремы 5 интегральное уравнение вида g(f) =f имеет при
любом X решение, притом единственное.
3. Компактность в метрических
пространствах, е-сеть
Продолжим дальнейшее изучение свойств метрических прост-
ранств и рассмотрим свойства компактного метрического прост-
ранства. Дадим следующее определение.	I
Определение 8. Пусть А — некоторое множество в мет-
рическом пространстве (X, р) и е — некоторое положительное
число. Множество В из этого пространства называется Е-сетью
для множества А (быть может А=Х), если для любой точки х^А
найдется хотя бы одна точка у^В такая, что р(х, у)<е.
Справедлива следующая теорема.
49
Теорема 6. Пусть X — метрическое пространство. Следую-
щие свойства пространства X эквивалентны:
1)	X компактно;
2)	X полно и для любого е>0 в X существует конечная г-сеть;
3)	из любой последовательности точек X можно выбрать схо-
дящуюся подпоследовательность (так называемая секвенциальная
компактность);
4)	любое бесконечное подмножество в X имеет хотя бы одну
предельную точку (так называемая счетная компактность).
ф Доказательство проведем по «круговой схеме». Покажем,
что из свойства 1) вытекает свойство 2).
Пусть X компактно. Докажем сначала его полноту. Пусть
{ап} — фундаментальная последовательность в X. Положим Ап =
— {О'п, fln+i, и Вп = Ап. Из компактности следует, что Г| Bt не-
пусто (так как {Вг} — центрированная система замкнутых подмно-
жеств). Пусть aQ ее Q Bt. Тогда для любых N и е>0 в 8-окрест-
i=i
ности точки aQ имеются точки последовательности с номерами,
большими N. Из этого и из фундаментальности {ап} следует, что
aQ — предел {ап}. Поэтому пространство X полно.
Допустим теперь, что существует ео>0 такое, что в X нет ко-
нечной 8о-сети. Возьмем произвольную точку В X есть хотя
бы одна точка, обозначим ее а2, такая, что р(аь а2)>80. Если бы
это было не так, то уже одна точка а{ была бы 8о-сетью в X.
Точно так же найдется такая точка а3^Х, что p(fli, а3)>8о и
р(а2, я3)>8о и т. д. Пусть точки «i,...,an уже выбраны, тогда,
очевидно, найдется точка ап+{(=Х такая, что р(аг, an+i)>8o,
г=1, ..., п. Таким образом, построена бесконечная последователь-
ность точек аь а2,... Легко видеть, что каждое из множеств
Ап = {ап, an+i...} замкнуто. Они образуют центрированную систему
с пустым пересечением, что противоречит компактности X.
Покажем теперь, что из свойства 2) следует свойство 3). Пусть
{ап} — последовательность точек X. Выберем в X какую-нибудь
конечную 1-сеть и построим вокруг каждой из точек, образующих
ее, замкнутый шар радиуса 1. Объединение этих шаров покры-
вает все X, а число их конечно, поэтому по крайней мере один из
них, скажем Ki, содержит бесконечную подпоследовательность
{ап}п==\ последовательности {ап}. Выбрав далее конечную 1/2-сеть
и повторив для нее рассуждения, но уже примененные к {^} вме-
сто {ап}, получим шар К2 радиуса 1/2, содержащий подпоследо-
вательность	последовательности {а^. Повторяя процесс
дальше, для каждого m получим шар Кт радиуса 1/т и содер-
жащуюся в нем подпоследовательность {а™} последовательности
{а™""1}. Рассмотрим теперь последовательность {bn}„=v где =
Очевидно, {Ьп} — подпоследовательность последовательности {#п}.
50
Кроме того, при т>/г0 Ьт s {а"°}"=1 с=КПо. Это значит, что {Ьп} —
фундаментальна, и в силу полноты X она имеет предел.
То, что из свойства 3) следует свойство 4), очевидно. Пока-
жем, наконец, что из свойства 4) следует свойство 1). Для этого
докажем сначала, что для любого е>0 в X можно выбрать ко-
нечную е-сеть. Если бы это было не так, то, построив, как при
доказательстве того, что из 1) следует 2), последовательность
ац ^2,... мы получили бы бесконечное множество без предельных
точек, а это противоречит предположению. Построим для каждо-
го п конечную 1/л-сеть. Рассмотрим объединение всех этих сетей.
Полученное множество плотно в X и не более чем счетно. Таким
образом, X сепарабельно и по лемме И § 2 обладает счетной ба-
зой. А для того, чтобы доказать компактность пространства, име-
ющего счетную базу, достаточно проверить, что лишь из любого
счетного (а не произвольного бесконечного) открытого покрытия
можно выбрать конечное подпокрытие (и соответственно для цен-
трированных систем замкнутых множеств). Действительно, пусть
{Ua} — произвольное покрытие пространства X, a {Vn} — его
счетная база. Каждая точка х^Х содержится в некотором Ua.
По определению базы найдется некоторое Уг^{Уп} такое, что
xeV2czL/a. Если для каждой точки х<=Х мы рассмотрим такую
окрестность V,, то совокупность этих окрестностей будет счетным
покрытием X. Если мы сможем выбрать из него конечное {Vlp... ,
Кп), то, взяв для каждого содержащее его 17а, получим
конечное подпокрытие исходного (не обязательно счетного) по-
крытия.
Таким образом, осталось доказать, что из любого счетного от-
крытого покрытия X можно выбрать конечное подпокрытие. До-
кажем эквивалентное (по лемме 5 § 2) утверждение для замкну-
тых подмножеств.
Пусть {Fn}^—• центрированная система замкнутых подмно-
00	П
жеств X. Покажем, что Q Ег=И=0. Пусть Фл~ Q Fk; ясно, что*
/1=1	%=1
Фп замкнуты, непусты, поскольку система {Fn} центрирована, И
□ ... , р Ф„ = р Fn.
п—l	/1=1
Могут представиться два случая:
а)	начиная с некоторого номера
Фп0 — Фпо-Н "=...= Ф/1о-Н = . . •
Тогда, очевидно,
ОО	00
Q Fп —	Фл = Фп0 =?£ 0
П=Л	/1=1
51
б)	среди имеется бесконечно много попарно различных.
При этой, очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда все Фп
различны между собой. Пусть апеФп\Фп-нь тогда последователь-
ность	представляет собой бесконечное множество различ-
ных точек из X и в силу доказанного нами имеет хотя бы одну
предельную точку, скажем а0. Так как Фп содержит все точки
zzn, ап-н ..., то aQ — предельная для каждого Фп и в силу замкну-
тости Фп (см. § 2, пример 2) аоеФп для любого п. Поэтому
йоер| Ф„= р Fn, т.е. р Fn не пусто. 
П= 1	П=1	Л=1
Из доказательства теоремы следует, что существование конечр
ной е-сети необходимо и достаточно для предкомпактности X.
ЗАДАЧИ
1.	Построить метрическое пространство	р), в котором всякое од-
ноточечное множество открыто, а вместе с тем R — неполно
2.	Показать, что ни одно из условий а), Ь), с) примера 2, являющееся до-
статочным для того, чтобы отображение было сжимающим, не является необ-
ходимым для применимости метода последовательных приближений, применен-
ного при доказательстве теоремы 3
3.	Пусть X — множество непрерывных функций на отрезке [а, Ь], а
р — функция расстояния, определенная по формуле (пространство Ср [а, 6]):
b
р(Ж£(0)= [] 1/(0—я(ОГ],/р. р> 1.
а
Показать, что пространство Ср [a, Ь] = (Х, р) неполно. Убедиться, что про-
странства примеров п. 1 § 2: т\ Сп[а, 6], л^1; 1р,	— полные метрические
пространства.
4.	Введем на прямой Х=(—оо, 4-оо) метрику по правилу: р(х, г/) =
= arctg |х— у\. Будет ли пространство (X, р) полным?
5.	Пусть X — множество всех ограниченных непрерывных функций на пря-
мой, У— множество всех непрерывных функций, у которых lim/(x) = 0,
Z — множество всех непрерывных финитных функций, т. е. непрерывных функ-
ций, равных нулю вне некоторого интервала. Будут ли пространства (X, р),
(У, р), (Z, р), где P(/,g) = SUp )/(/)—§(01» полными?
6.	Пусть А — множество первой категории в компактном метрическом про-
странстве (X, р). Доказать, что дополнение А в X всюду плотно в (X, р) :
: А'=Х.
7.	Два сжимающих отображения gi и & в полном метрическом простран-
стве (X, р) удовлетворяют условию. p(gi(x), g2(*))<l для любой точки хеХ.
Пусть а=тах(а1, аг), где
p(giW, gi (у) )^<Чр(х, у), p(g2(x), g2G/))<a2p(x, у)
для любых х, у^Х, аг<1, а2<1. Тогда неподвижные точки отображений g\ и
g2 лежат в некотором шаре радиуса 1/(1 —а).
8.	Пусть X — полное метрическое пространство, a Y — его подпростран-
ство, причем незамкнутое. Доказать, что в Y существуют фундаментальные по-
следовательности, которые не имеют предела в У, т. е. У — неполное простран-
ство.
9	Доказать, что замыкание множества KciZ2 элементов х= (хь х2, ...
компактно тогда и только тогда, когда все числа |х^| ограничены
52
фиксированной постоянной и для любого е>0 можно указать такой номер п,
оо
что	I xk 12 6 для всех элементов х из К.
k=n
§ 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В настоящем параграфе будут рассмотрены основные свойства
топологических пространств. Материал данного параграфа вполне
аналогичен изложенному в § 2, и поэтому мы повторим лишь ос-
новные определения, а доказательства некоторых теорем, посколь-
ку они являются дословным повторением соответствующих дока-
зательств в § 2, опустим. Подробнее мы остановимся лишь на спе-
цифических особенностях топологических пространств.
1. Определение топологического пространства.
Хаусдорфово топологическое пространство.
Примеры
Определение 1. Говорят, что на множестве X определена
структура топологического пространства, если задана система {S}
его подмножеств, обладающая свойствами:
1) само множество X и пустое множество 0 принадлежат {S};
2) сумма любого числа множеств системы {S} и пересечение
любого конечного числа множеств системы {S} принадлежат {S}.
Система {S}, удовлетворяющая условиям 1)—2), называется
топологией на множестве X, а составляющие ее множества — от-
крытыми в этой топологии *.
Таким образом, пара, состоящая из множества X и топологии
{S}, является топологическим пространством, которое иногда удоб-
но обозначать через Т=(Х, S).
Определение 1 выделяет весьма общий класс пространств.
Обычно этот класс несколько сужают, добавляя к свойствам г)
и 2) так называемые аксиомы отделимости. Из большого числа
этих аксиом мы рассмотрим наиболее часто используемые.
Аксиома Т2 (Хаусдорфа): для любых различных точек х
и у, принадлежащих множеству X, существуют множество со-
держащее точку у, и множество Sx, содержащее точку х, такие,
что они оба принадлежат системе {S} и не пересекаются, т. е.
2хП2У = 0.
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме Т2
(аксиоме Хаусдорфа), называются хаусдорфовыми.
Аксиома 7\: для любых двух различных точек х и у, при-
надлежащих множеству X, существует множество Sx, принадле-
жащее системе {X}, содержащее точку х и не содержащее точку
у, а также существует множество из системы {X}, содержащее
точку у и не содержащее точку х.
♦) Множество, являющееся дополнением к открытому, называется замкну-
тым в топологическом пространстве.
53
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме
называются Т^-пространствами.
Ясно, что если выполнена аксиома Г2, то и аксиома 7Х выпол-
нена, т. е. класс топологических пространств, удовлетворяющих
аксиомам 1), 2), Г2, — более узкий, чем класс топологических
пространств, удовлетворяющих аксиомам 1), 2), Тх, который в
свою очередь естественно более узкий, чем класс топологических
пространств, удовлетворяющих аксиомам 1) и 2).
Примером пространства, удовлетворяющего аксиомам 1), 2), Тх
и не удовлетворяющего аксиомам I), 2), 72, является следующее
топологическое пространство. Множество X состоит из точек от-
резка [0, 1], а открытыми считаются следующие множества:
X, 0,	= [0,1]\{«п} где {ал} — произвольное не более чем
счетное множество отрезка [0, 1]. Очевидно, что аксиомы 1), 2),.
Ti — выполнены. Однако аксиома Т2 не выполняется.
Не всякое топологическое пространство удовлетворяет аксио-
ме Тх. Вот традиционный пример. Множество Х = {а, Ь} состоит из.
двух точек. Топологию зададим открытыми множествами, к кото-
рым отнесем все X, пустое множество 0 и точку Ь. Аксиомы 1)
и 2) выполнены, а аксиома Тх — нет.
В следующем параграфе мы познакомимся с другими, не менее
важными примерами аксиом отделимости.
Приведем наиболее часто встречающиеся примеры топологи-
ческих пространств.
Примеры.
1.	Рассмотрим произвольное метрическое пространство
R = (X, р). Открытые множества в силу леммы 1 § 2 удовлетворя-
ют свойствам 1) и 2) определения 1 топологического пространства.
Аксиома Т2 определения 1 также выполняется в метрическом про-
странстве: если х=£у, то р(х, у)=а>0 и шары О(х, а/3),
О (г/, а/3) — открытые множества в R= (X, р) такие, что О(х, а/3) ft
ПО (у, а/3)=0.
Таким образом, всякое метрическое пространство R=(X,p)
является и хаусдорфовым топологическим пространством Т =
= (X, S), где {£} — система открытых множеств в R = (X, р).
2.	Рассмотрим множество X произвольной природы. Отнесем
к системе {S} только все множество X и пустое множество 0. Ак-
сиомы 1), 2), очевидно, выполнены. Однако аксиомы Т$ и Т2 не
выполнены. Такая топология называется антидискретной.
3.	Пусть X — произвольное множество. Отнесем к системе {£}
все подмножества множества X. Легко проверить, что {S} — ха-
усдорфова топология. Такая топология называется дискретной.
Дадим следующее определение.
Определение 2. Окрестностью точки х, принадлежащей
топологическому пространству Т=(Х, S), называется любое от-
крытое множество, содержащее точку х. Окрестностью некоторого*
подмножества X (быть может, самого X) называется любое от-
54
крытое множество, содержащее данное подмножество (или X).
Окрестность точки х будем обозначать 2Х.
Предположим, что для каждой точки х, принадлежащей топо-
логическому пространству Т== (X, S), среди всех окрестностей
этой точки выделены некоторые, причем так, что, какова бы ни
была точка х и ее произвольная окрестность 2Х, существует окре-
стность^ точки х из выделенной системы, что	2Х.
Определение 3. Система выделенных окрестностей {2*}
называется определяющей системой окрестностей данного тополо-
гического пространства *).
Справедлива следующая лемма, которая дает удобный способ
задания топологии.
Лемма 1. Пусть X — произвольное множество. Для каждой
точки х определим некоторые подмножества 2Х, называемы# «ок-
рестностями» точки х и удовлетворяющие условиям:
а)	каждая точка имеет хотя бы одну сбою «окрестность» и
принадлежит любой своей «окрестности»;
Ь)	пересечение двух «окрестностей» точки содержит некоторую
«окрестность» этой же точки;
с)	каковы бы ни были «окрестность» 2Х точки х^Х и точка
г/сн2х, существует «окрестность» 2V точки у такая, что 2ус:2х.
Тогда если отнести к системе {2} всевозможные «окрестности»
2Х точек х^Х, их всевозможные объединения и пустое множество,
то будет задана топология на множестве X и Т=(Х, 2) — топо-
логическое пространство, в котором система всех «окрестностей»
является определяющей системой. Обратно, всякое топологическое
пространство может быть получено таким способом.
ф Проверим выполнение аксиом 1)—2) топологического про-
странства. То, что все X принадлежит {2}, очевидно, 0 отнесено
к {2} по условию.
Аксиома 1) выполнена.
Для проверки аксиомы 2) надо убедиться лишь в том, что
21П22ен{2}, если 2i^{2}, 22^{2}. Следовательно, надо устано-
вить, что 21П22 может быть получено как объединение некоторых
«окрестностей», т. е. надо убедиться, что для любой точки хе
^21П22 существует «окрестность» 2хс:21П22. Но 21 и 22 принад-
лежат {2}, поэтому имеются «окрестности» 2^cz 2Х и —
их пересечение содержит по условию Ь) некоторую «окрестность»
2Х точки х, которая содержится, очевидно, в 2if|22.
Обратно, если задано топологическое пространство Т= (X, 2),
то в качестве «окрестностей» точки х, удовлетворяющих условиям
«а)—с), можно взять произвольные множества из системы {2}, со-
держащие точку х. И
Используя эту лемму, приведем примеры еще двух хаусдорфо-
вых топологических пространств.
*) Если х — фиксировано, то система {Sx} называется определяющей
системой окрестностей данной точки х.
55
Примеры.
1	В качестве X возьмем двумерную плоскость R2. Окрестность
любой точки х^Х получим, если из любого открытого круга с
центром в х удалим все отличные от самой точки х точки, лежа-
щие на вертикальном диаметре этого круга. Полученное тополо-
гическое пространство является хаусдорфовым.
2	. Рассмотрим в качестве X отрезок [0, 1], окрестности всех
точек, кроме точки 0, определим обычным образом, а окрестностя-
ми точки 0 будем считать всевозможные полуинтервалы [0, а),
а>0, из которых выкинуты точки 1/и, где п — натуральное число.
Это, как легко видеть, пример хаусдорфова топологического про-
странства.
Пусть Т=(Х, S) — топологическое пространство, a Y — под-
множество X. Тогда на подмножестве Y можно рассмотреть след
системы {S}, т. е. множества вида {2у}={УП2а}, 2а^{2}. Легко
видеть, что тем самым на У задана топология, поэтому У само
превращается в топологическое пространство и Ту=(У, Sy) назы-
вается подпространством пространства Т. Топология, задаваемая
системой {2у}={УП2а}, 2ае{2}, называется индуцированной то-
пологией.
Так же, как и в случае метрических пространств, пространст-
во Т=(Х, S) называется связным, если его нельзя представить в
виде суммы двух непустых открытых непересекающихся подмно-
жеств. Множество У в топологическом пространстве Т связно,
если У связно как подпространство в Т: (У, 2y)cz(X, 2).
2. Замечание о топологических
пространствах
После того как введены открытые множества, для топологи-
ческих пространств можно ввести все понятия § 2, введенные там
для метрических пространств. Так, дословно сохраняются опреде-
ления предельной точки множества У (см. определение 4 § 2), оп-
ределение внутренней точки*) (см. определение 5 § 2), определе-
ние замкнутого множества (см. определение 6 § 2), определение
замыкания множества (см. определение 7 § 2), определение плот-
ного и всюду плотного множества (см. определение 10 § 2), пол-
ностью сохраняются определения понятий нигде не плотного и со-
вершенного множеств, данные в § 2 для метрических пространств.
Точно так же, как и в случае метрических пространств, в случае
топологических пространств определяется важное понятие непре-
рывного отображения (определение 12 § 2), понятие гомеоморф-
ного отображения (определение 13 § 2), определение компактного
топологического пространства, или компакта (см. определение 14
§ 2). Так же, как и в § 2 для метрических пространств, для топо-
*) Совокупность всех внутренних точек множества У называется внутрен-
ностью множества У и обозначается через У Внутренность У, очевидно, есть
объединение всех открытых множеств, принадлежащих У.
56
логических пространств вводятся понятия центрированной зистемы
(определение 15 § 2), базы топологии топологического простран-
ства (определение 16 § 2) топологического пространства со счет-
ной базой. Топологические пространства со счетной базой называ-
ются топологическими пространствами со второй аксиомой счет-
ности.
Читатель без труда сформулирует эти определения для случая
топологических пространств, для этого в соответствующих опреде-
лениях § 2 выражение «метрическое пространство» следует заме-
нить на выражение «топологическое пространство».
Согласно этим определениям в случае топологического про-
странства остаются справедливыми основные утверждения § 2,
доказанные там для метрических пространств. Это вполне естест-
венно, поскольку доказательства этих утверждений в основном
используют понятие открытого и замкнутого множества и непо-
средственно не зависят от введенной там метрики.
Так, лемма 1 § 2, утверждающая, что объединение произволь-
ного числа открытых множеств и пересечения конечного их числа
является множеством открытым, есть собтветствующая аксиома
топологического пространства; утверждение леммы 2 § 2, в том
числе и доказательства свойств операции замыкания, полностью
сохраняются.
На топологические пространства переносится также и понятие
сходящейся последовательности (определение 11 § 2). А именно,
последовательность {ап} точек топологического пространства на-
зывается сходящейся к точке а этого пространства, если любая
окрестность точки а содержит все точки последовательности {ап},
за исключением конечного числа. Если последовательность {ап}
сходится к точке а, то пишут, что ап-+а при п->оо или lim а.
П~+<Х>
Однако в топологических пространствах это понятие не играет
столь большой роли, как в метрических пространствах. В самом
деле, лемма 3 § 2 утверждала, что в метрическом пространстве
точка а принадлежит замыканию А некоторого множества А то-
гда и только тогда, когда существует последовательность {ап} то-
чек множества А, сходящаяся к а. В топологическом пространстве
этот факт может быть несправедлив. (Вспомним, что при дока-
зательстве этого утверждения в метрических пространствах мы
строили последовательность шаров О (а, 1/п), вложенных друг в
друга для любого натурального п.)
Можно выделить класс топологических пространств, обладаю-
щих аналогичным свойством.
Назовем топологическое пространство пространством с первой
аксиомой счетности, если для любой его точки а существует счет-
ная система ее окрестностей {S"} такая, что для любого откры-
того множества Sa, содержащего точку а, найдется окрестность
обладающая свойством	Такая система окрестно-
стей называется определяющей системой окрестностей точки а
(см. сноску на с. 55).
57
В метрическом пространстве первая аксиома счетности, оче-
видно, выполнена.
В топологическом пространстве 7 с первой аксиомой счетности
справедливо утверждение: точка а<=Т принадлежит замыканию*
А некоторого множества А тогда и только тогда, когда существует*
последовательность {ап} точек множества А, сходящаяся к а.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству
соответствующего утверждения для случая метрических прост-
ранств. Последовательность шаров О (а, 1/лг) следует заменить на
последовательность окрестностей из системы {S"}, причем всегда
можно считать, что	В противном случае S" надо за-
менить на Q 2*.
£=1
Утверждение 1 и утверждение 2 § 2 полностью сохраняются.
Сохраняется также и утверждение леммы 4 § 2 — критерий не-
прерывности отображения.
На случай топологических пространств полностью переносится
критерий компактности в терминах центрированной системы замк-
нутых подмножеств (лемма 5 § 2)', утверждение 4, а также утверж-
дения лемм 6, 7, 8, 9 о свойствах компакта и непрерывных функ-
ций на нем.
Из леммы 10 § 2, справедливой и для топологического про-
странства, следует, что система {2а} образует базу тогда и только»
тогда, когда она является определяющей системой окрестностей
данного пространства. Таким образом, эти два понятия эквива-
лентны.
Заметим, что топологическое пространство может не быть про-
странством со счетной базой топологии даже тогда, когда оно
является пространством с первой аксиомой счетности и в нем име-
ется счетное всюду плотное множество. Однако если в топологиче-
ском пространстве есть счетная база топологии, то топологическое
пространство сепарабельно и удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности (ср. с леммой И § 2). Точно так же, как и в случае метри-
ческих пространств (см. определение 17 § 2), топологическое про-
странство называется пространством со второй аксиомой счетно-
сти, если в нем существует хотя бы одна база топологии,
состоящая не более чем из счетного числа множеств.
Примеры.
1.	Множество А топологического пространства Т замкнуто то-
гда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием Д',
т. е. А=А (см. пример 2 § 2).
2.	Множество топологического пространства называется мно-
жеством типа G&, если оно является пересечением счетного числа
открытых множеств. Множества, дополнительные к бб-множест-
вам, называются множествами типа Fa. Например, множество ра-
циональных чисел в R1 есть множество типа Fc. Множество ирра-
циональных чисел является множеством типа G6.
58
3.	Замыкание А множества А топологического пространства
состоит из всех точек, которые являются либо предельными точка-
ми множества Д, либо элементами А (ср. утверждение 2 § 2).
4.	Важный класс множеств в топологическом пространстве
представляют так называемые «борелевские» множества, которые
получаются из открытых (замкнутых) при помощи не более чем
счетного числа операций, причем каждая операция это либо опе-
рация объединения, либо пересечения, либо переход к дополнению.
Семейство {В} борелевских множеств в топологическом про-
странстве есть наименьшее семейство множеств, удовлетворяющее
следующим условиям:
а)	всякое открытое множество принадлежит {В};
б)	если множество Де{В}, то	где А' — дополнение
множества Л;
в)	если множества Ап^{В}, то |J Ап^{В}.
п=1
ЗАДАЧИ
1.	Отображение g: А-+В направленного множества А в множество В на-
зывается обобщенной последовательностью (или сетью) в В. Обобщенная по-
следовательность g : А—>Х в топологическом пространстве Т = (X, 5) называется
сходящейся к точке х^Х, если для любой окрестности 2Х точки х найдется
такая точка а0^А, что из того, что а<=А, вытекает, что g(a)^£x.
В этом случае говорят, что предел g по А существует и равен х, т. е.
lim g(a) = х
А
Доказать, что в хаусдорфовом топологическом пространстве Т=(Х, 2)
каждая обобщенная последовательность имеет не более одного предела.
2.	Фильтр {F} (см. § 1) подмножеств топологического пространства Т=
= (X, 2) сходится к точке х<=Х, если каждая окрестность точки х принадле-
жит {F}.
Доказать, что в хаусдорфовом топологическом пространстве любой фильтр
может сходиться лишь к одной точке, называемой пределом данного фильтра.
3.	Доказать, чю для того, чтобы топологическое пространство было ком-
пактным, необходимо и достаточно, чтобы каждый ультрафильтр подмножеств,
принадлежащих пространству, сходился к некоторой точке пространства.
4.	Отображение g одного топологического пространства Т= (X, 2) в дру-
гое 7О=(АГО, 20) называется замкнутым, если из того, что А'е2, следует, что
(g(4))zG2o (А' — дополнение множества А). Привести примеры топологиче-
ских пространств и такого непрерывного отображения одного пространства в
другое, которое не является замкнутым.
5.	Отображение g одного топологического пространства Т = (X, 2) в дру-
гое Т$= (Хо, 20) называется открытым, если из того, что Ле2, следует, что
g(A)^20. Привести примеры топологических пространств и такого непрерыв-
ного отображения одного пространства в другое, которое не является от-
крытым.
6.	Пусть Т=(Х, 2)—топологическое пространство, пусть TQ— (У, 2у) —
его подпространство: YczX. Пусть система {2а} — база топологии в Т. Обозна-
чим через {2^} совокупность всех множеств вида 2аПУ. Тогда {2^}~—база
топологии в То- Доказать.
7.	Доказать, что в /^-пространстве (следовательно, и в хаусдорфовом) вся-
кая точка есть замкнутое множество
59
§ 5. СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В этом параграфе излагаются фундаментальные свойства то-
пологические пространств. Многие из них связаны с приведенными
ниже новыми аксиомами отделимости.
1. Регулярные, вполне регулярные
и нормальные пространства
Аксиома Т3: для любой точки а и всякого не содержащего
ее замкнутого множества F можно найти два непересекаюгциеся
открытые множества 2а и S такие, что aeSa, FczS.
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам Tt
и Т$, называются регулярными.
Аксиома Т для любой точки а и всякого замкнутого
3-
множества F, не содержащего точку а, существует такая непре-
рывная числовая функция f, заданная на этом пространстве, что
0с/(х)<1, если х принадлежит пространству, и f(a)=0, f(x) = l,.
если х принадлежит множеству F.
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам Tj
и Т । , называются вполне регулярными, или тихоновскими про*
3 -
странствами.
Аксиома Т4: для любых двух замкнутых непересекающихся
множеств F\ и F2 существуют два непересекающиеся открытые
множества 21 и S2 такие, что FiCzSi, F2cz22.
Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам
и Т4, называются нормальными.
Заметим, что ни аксиома Хаусдорфа, ни даже аксиома Тх не
следуют ни из одной из аксиом Т3, Т t , Т4.
3 ~
Примерами хаусдорфовых пространств, не являющихся регу-
лярными, могут служить примеры 1 и 2 в конце п. 1 § 4. Всякое
вполне регулярное пространство является, очевидно, регулярным.
Действительно, рассмотрим вполне регулярное пространство.
Пусть f, точка а, множество F — те же, что и в формулировке
аксиомы Т j . Пусть /0= [0, 1/2), Л =(1/2, 1]. Тогда множества
3 —
Ха = /-1(/о) и S = открыты, так как f — непрерывное ото-
бражение, и, очевидно, не пересекаются, причем FczS.
Следовательно, для любой точки а и любого не содержащего
ее замкнутого множества F мы построили два открытые непере-
секающиеся множества 2а и 2 такие, что FeS, т. е. пока-
зали, что вполне регулярное пространство является регулярным.
Оказывается, что нормальные топологические пространства яв-
ляются вполне регулярными. Этот факт будет легко следовать из
доказываемой ниже леммы.
60
Лемма (Урысон). Для всяких двух непересекающихся замк-
нутых множеств Fi и F2 нормального топологического пространст-
ва Т=(Х, 2) существует такая непрерывная числозая функция f,
заданная на Т, что 0<f(x)<l, хеХ; f(х) =0, если f(x)=l,
если x^F2.
ф Построим последовательность открытых множеств 2(г)г
Отвечающих рациональным числам вида r = kl2n, & = 0, 1, 2wr
п — целое, п>0, обладающих свойствами:
1) £10=2(0), £2 = 2'(1) (штрих означает дополнение) и
2) 2(г)с=2(г') при г<т'.
Построение будем вести индукцией по я. Пус-ь п = 0. Тогда
система 2 (г) должна содержать лишь два множества. Так как
пространство Т — нормальное, то существуют открытые непере-
секающиеся множества 21 и 2з такие, что £1С=2Ь F2<zlZ2. Тогда
множества 2 (0) =2i и 2(1) = £^ есть искомые.
Допустим теперь, что множества 2 (г) построены для чисел
г = ^/2п~1, & = 0, 1,	, 2П~1 и условия 1) и 2) при этом выполнены.
Возьмем некоторое целое нечетное значение fe>0, fe+K2n. Тогда
El k — 1 \ Vi / fc+1 \	fe —1 fe+1
------ с ) -------- , так как числа 	и —’— имеют
\ 2п ) La \ 2п )	2п 2п
вид - — —где 0<^'<2п~1. Поскольку Т — нормальное простран-
VM-1 \ пГТ / Ж \
ство, a Jj f—~7j (—“—) 0 и эти множества замкнуты^
то существуют открытые множества G и Gi такие, что^ t “—)с=
cz G, V j с= Gx и G1nG2 = 0. Тогда G' замкнуто и
Gc=Gi'c= V Y т. е. Gcz V Л--1 . Полагая V =
Li \ 2п )	La\ 2п )	XJ \ 2п J
-=2 (r) = G, мы завершаем построение по индукции.
Определим теперь функцию f(x), положив

О, если хе 2(0),
sup г, если хе2' (0).
хе2(г)
Тогда по условию 1) функция f(x)=O, если f(x) = l, если
хе£2- Действительно, если xgF2, то хе2'(1), т. е. хе2(1), зна-
чит, хе2'(г), г<1. Кроме того, если xgF2, то xe2(0)=2i, зна-
чит, х^2'(0) и указанная верхняя грань равна 1, поскольку она
берется по всем числам г, указанным выше.
Докажем непрерывность функции f(x). Возьмем произвольное
и произвольное целое п>0. Выберем г такое, что /(х0)<
<r<f(x0) 4-2-n~I. Пусть 2 = 2 (г) П (2 (г—2“п))', где мы считаем,
что 2(s) = 0, s<0, 2(s)=X, s>l. Открытое множество 2 содер-
жит точку х0, так как /(х0)<г, а значит, хое2(г); точно так же
61
из того, что (г—2~п~1)</(х0) вытекает, что хое2 (г—2~!)а:
«сз(2(г—2~п)У. Далее, если x*=S, то xeJ(r), и поэтому f(r)<r.
Кроме того, хе(2(г—2~п)У cz S' (г—2~п), и, следовательно,
г—2-ncf(r). Поэтому, если xeS, то |/(г)—f (Ло) I <1/2п. Следо-
вательно, для любой окрестности Sf(x0> (на числовом отрезке
[О, 1]) существует такая окрестность S точки х0, что f(S)czSpX|)>
т. е. функция f (х) непрерывна на Т. |
Следствие. Нормальные топологические пространства яв-
ляются вполне регулярными
Для доказательства надо воспользоваться леммой и заметить,
что в топологическом ^-пространстве всякая точка есть замкну-
тое множество (задача 7 п. 2 § 4).
2.	Регулярные пространства со счетной базой.
Теорема Тихонова
В настоящем пункте доказана теорема, которая устанавлива-
ет связь между аксиомами отделимости и аксиомами счетности (см.
п. 2 §4).
Теорема 1 (Тихонов). Регулярное топологическое простран-
ство со счетной базой топологии нормально.
♦ Пусть Т= (X, S) — регулярное топологическое пространство
со счетной базой топологии {2JX=i и ^2 — Два непересекаю-
щихся замкнутых множества^ Для любой точки x^F2 существует
такая окрестность Ux, что Ux(]F2 = 0. Это следует из того, что
в регулярном пространстве всякая окрестность точки содержит
замыкание некоторой окрестности этой же точки*). Из покрытия
{Ux:x^F\} множества F\ можно выбрать счетное подпокрытие,
т. е. в множестве F{ существует такая счетная система точек
Х1,1, Х1>2, Xi,p, что
л <= U
fe=4
При этом UXl k П F„ = 0. Аналогично, можно выбрать счетное
покрытие {UX2 множества F2 так, что UX2 0Для лю-
бого k.
Определим теперь по индукции для любого п>1 множества
V\,n, 'V2,n, полагая
Vl,n= UXl n\ Q ^х2,Л’ ^2.n=UX2n\ Q Ux\,k‘
k=l	k=l
*) Пусть 5 — некоторая окрестность точки а, множество Л = Л\2 замкну-
то и существуют открытые множества Sa, содержащие точку а, и множество
Z?, содержащее Л, такие, что 2аПб? = 0. Тогда SaczX\4 = 5, что и требова-
лось.
62
Легко видеть, что для любых п, т, Vi,n и V2m не гересекаются.
Действительно, если нет, то
v,.„ n и2,т cz иХ1 п n (UX2m\ uXXtn)=<z.
(Если п>т, то проверяется аналогично.)
Следовательно, множества
Vx= 0 V1>n, и2= и v2,n
П=1	Пва!
также не пересекаются. С другой стороны, они содержат соответ-
ственно множества F{ и F2. Таким образом, мы доказали, что лю-
бые два замкнутые непересекающиеся множества Fi и F2 прост-
ранства Т можно заключить в непересекающиеся открытые мно-
жества — пространство Т нормально. Ц
3.	Компактные хаусдорфовы
и нормальные пространства
Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь меж-
ду компактностью хаусдорфова топологического пространства и
его нормальностью.
Теорема 2. Компактное хаусдорфово топологическое про-
странство является нормальным.
ф Пусть Т= (X, 2) — компактное хаусдорфово топологическое
пространство. Докажем сначала, что оно регулярно. Пусть а и
F — точка и не содержащее ее замкнутое множество: a<=F. Для
любой точки xgeF и точки а существуют такие окрестности Sx и
S*, что = 0. Замкнутое подпространство F компактного
пространства само компактно (см., например, лемму 6 § 2). Из
покрытия F открытыми множествами {2Х} выберем конечное по-
крытие SX1,SX2,... , 2Хд. Пусть Q а пересечение соот-
п	k=\
ветствующих окрестностей точки а обозначим S2 =
г
= fl Тогда ае22, FczSi и 22П21 = 0. Следовательно, про-
странство Т регулярно.
Пусть теперь F\ и F2 — два замкнутых множества таких, что
^1П^2 = 0. В силу регулярности пространства для любой точки
x^Fi существуют такие открытые множества Sx и Gx, что
F2aGx и SxC|Gx = 0. Из покрытия компактного пространства А
открытыми множествами {2Х} выберем конечное подпокрытие
и обозначим |J 2Ц,- Пересечение соответствующих
k~\
63
т
открытых множеств GXk обозначим через 22= Q GXk. Тогда
ЛсЕ1, F2cz22 и 21f|22 = 0, т. е. пространство Г = (X, 2) — нор-
мально. в
4.	Метрические и топологические пространства
Мы уже говорили о том, что во всяком метрическом простран-
стве /?= (^, р) открытые множества, определяемые через функцию
расстояния р, удовлетворяют аксиомам 1)—2), определяющим
топологию на множестве X, а также аксиоме Хаусдорфа Т2. Тем
самым метрическое пространство является хаусдорфовым тополо-
гическим пространством (см. пример п. 1 § 4).
В метрическом пространстве всегда выполнена первая аксиома
счетности (см. п. 2 § 4), а также справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Метрическое пространство является нормальным
топологическим пространством.
♦ Пусть /?( X, р) — метрическое пространство, а Fi и F2 —
два замкнутых множества, FiC|F2 = 0. Пусть x^Fu y^F2, 2* —
шар с центром в х и радиусом р(х, F2)/3 (см. задачу 1 § 2) и
— шар с центром у и радиусом р(у, F})/3. Очевидно, что ве-
личины р(х, F2), р(у, Fi) положительны в силу замкнутости Fi
и F2. Пусть	U О fx, P(*’F-2) \ 22= U o(y,'p(y,F1}-\ —
xGFt \	3	/	y£F2 \	3	/
открытые множества, содержащие Fi и F2 соответственно. Тогда
210^2 = 0. Действительно, если zeSiHSs, то найдется точка
Xq^Fi такая, что р(х0, z) <p(x0,F2)/3, и точка y^F2 такая, что
p(z, i/o)<p(f/o, Fi)/3. Пусть, например, р(х0, F2)<p(y0, FJ. Тогда
по неравенству треугольника р(х0, у о) <р(х0, г) + p(z, f/o) <р(*/о, Fi),
т. е. х0еО(//0) р(r/o, FJ), что противоречит определению р(у0, Л).И
Таким образом, метрическое пространство, рассматриваемое
как топологическое, удовлетворяет первой аксиоме счетности и
является нормальным. Отсюда следует, что ни в каком топологи-
ческом пространстве, которое не удовлетворяет первой аксиоме
счетности или не является нормальным, открытые множества (то-
пология) не могут быть введены с помощью какой бы то ни было
метрики.
Определение 3. Топологическое пространство Т = (X, 2)
называется метризуемым, если топология {2} в нем может быть
задана с помощью какой-нибудь метрики.
Выполнение первой аксиомы счетности и нормальность прост-
ранства являются необходимыми условиями для метризуемости.
Теоремы, в которых даются достаточные условия метризуемости,
носят название метризационных теорем.
5.	Тихоновские произведения
топологических пространств
Перейдем теперь к изучению важного понятия — прямого про-
изведения топологических пространств.
64
Определение 4. Прямым произведением хаусдорфовых то-
пологических пространств Та= (Ха, Sa), aeQ, где Q — некоторое
множество, называется пара
Т= (X,S) = П Та, где Х= П
а система {2} — хаусдорфова топология, определенная так:
открытыми множествами называются всевозможные объединения
множеств вида ["[ 2а, где 2а — открытые множества простран-
ос€й
ства Та, совпадающие с Ха для всех а, кроме конечного числа
значений а. Данная топология называется тихоновской.
Убедимся в том, что мы действительно задали хаусдорфову
топологию. Поскольку проверка первых двух аксиом, определяю-
щих топологию, проста, проверим лишь выполнение аксиомы Г2.
Пусть fi (и) й f2(a), aeQ — две различные точки пространства
Т = (Х,2) = П Ta = (Xa,2a), Х= П^а- Тогда найдется
такое пространство 7\, что fi (ai)=#f2(ai). Так как в простран-
стве Tai существуют непересекающиеся окрестности 2^ и 2^
точек fi(ai) и f2(ai), то окрестности 21 = f-l(2JcJ и 22 = f~l(2^)
в пространстве Г, очевидно, не пересекаются (здесь f“1 (2у—•
прообразы (при «проектировании» f: Т ~+Tai) множеств 2£ , i =
= 1,2).
Рассмотрим теперь произведение конечного или счетного чис-
ла метрических пространств и докажем следующую теорему.
Теорема 4. Произведение конечного или счетного числа
метрических пространств метризуемо.
♦ Доказательство проведем для более сложного счетного слу-
чая. Пусть (Хп, рп), п=1, 2, ... — метрические пространства. Для
*= (*i, *2,...) и у = (yh у2,...), x^Xi, y^Xi положим
р (X, у} = У —----рп(*п’Уп) .
^2" 1+р„(х„,(/„)
/2 = 1
•О
Непосредственно проверяется, что р является метрикой на И Хп.
п—1
Осталось проверить, что топология, порождаемая этой метрикой,
совпадает с тихоновской топологией. Пусть 2Х — тихоновская ок-
рестность точки х= (хь х2,...). По определению тихоновской топо-
логии 2Х содержит множество вида {у(= ["] Хп : рп^ (хП£, уп) <
/г=1
где 8>0 и («1,..., nk) — некоторый набор индексов. Но это мно-
жество в свою очередь содержит шар (в метрике р) радиуса
_______е_______
2тах(Л1.лр+1 *
3 В. А. Садовничий	65
Обратно, пусть 0х — «метрическая» окрестность точки хе
Ю	оо
е= Хп. Можно считать, что Ох flХп : р (г,у)< е| для не-
П=1	П=1
оо
которого 8>0. Пусть N таково, что у; — < —.
Рассмотрим тихоновскую окрестность точки х:
Sr = (z/^n Xm:p„(x„, z/„)< е/2, п= 1, 2, ... ,
т=1
Простой подсчет показывает, что 2Х^ОХ. И
Теорема 5 (теорема Тихонова). Произведение Т = J-] Та
aGS
компактных топологических пространств Та — компактно,
ф Пусть {2} — произвольная центрированная система подмно-
жеств X, где Т=(Х, S). Рассмотрим систему {2Ш}, обладающую
свойствами:
a)	{2} содержится в {2т} как подсистема;
b)	{2™} — центрированная;
с)	система {2т} не является собственной подсистемой какой-
либо другой центрированной системы, содержащей (2} в качестве
подсистемы.
Очевидно, что нами введено отношение порядка по включе-
нию, и существование системы {2т} следует из леммы Цорна.
Рассмотрим фиксированный элемент 2™ системы {2Ш}, и пусть
для любого ae Q 2™ = {/(a):fE 2™} cz Ха. Обозначим через {2™}
систему всевозможных множеств 2™, построенных выше. Систе*
ма {2™} центрирована. Так как пространство Та компактно, то
найдется по крайней мере одна точка аа(=Ха и такая, что аа&
е fl 2a. Это следует из утверждения примера 8 § 2*>. По-
кажем, что точка а= J~J аа принадлежит пересечению Q
aGQ
Тогда согласно тому же примеру 8 пространство Г будет компакт-
ным.	_
Поскольку точки aao принадлежат пересечению Г|
то всякое открытое множество Gao пространства Та>, содержа-
щее aao, пересекается с каждым из множеств 2™ е{2™ }.	По-
этому открытое множество G(ao) = : х = П xa, ха. <= Gao} про-
странства Т должно пересекаться с каждым из множеств 2т си-
*> Заметим, что доказательство утверждения этого примера, приведенного
в конце § 2, для случая топологических пространств, такое же, как и для слу-
чая метрических пространств.
66
стемы {2m}. Согласно свойству с) системы {2т} множество G(ao)
должно принадлежать {Sw}. Снова из свойства с) следует, что
пересечение любого конечного числа множеств типа G(CZo),
также должно принадлежать системе {Sm} и, значит, такое мно-
жество пересекается с каждым множеством	Всякое
открытое множество пространства Г, содержащее точку а, по оп-
ределению содержит некоторое пересечение указанного типа; сле-
довательно, точка а = П аа е А £ . 
аео ъте{хт}
6.	Теорема Стоуна — Вейерштрасса
Из анализа известна классическая теорема Вейерштрасса, ут-
верждающая, что множество полиномов плотно в С [а, Ь]. Мы до-
кажем здесь ее далекое обобщение, полученное Стоуном. В дока-
зательстве нам потребуется такое следствие теоремы Вейерштрас-
са: для любого а>0 и 8>0 существует полином р(х) такой, что
sup | |х| —р(х)|< е.
х€[—а,а]
Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Пусть Т= (X, S) —
компактное хаусдорфово топологическое пространство и С(Х) —
множество всех вещественных непрерывных функций на X. Пусть
В(Х) — подмножество С(Х) такое, что:
а)	из того, что f, g^B(X) следует, что f-g и af+Pg принад-
лежат В(Х), а, р — вещественные числа;
Ь)	константы принадлежат В (X);
с)	предел всякой равномерно сходящейся последовательности
{fn} функций из В (X) принадлежит В (X).
В этом случае В(Х)=С(Х) тогда и только тогда, когда для
любых двух различных точек Xi и х2 множества X существует
функция f^B(X) такая, что f (xi)#=f (х2).
ф Действительно, согласно теореме 2 компактное хаусдорфо-
во топологическое пространство нормально и согласно лемме
Урысона существует непрерывная функция f^B такая, что
f (xi)#=f(x2) для любых точек Xi и х2, Xi=/=x2.
Обратно, пусть fVsr=max(f(х), g(x)), /7\g- = min(f (х), g(x)).
Легко видеть, что
Поскольку пространство компактно, то всякая функция f^C(X)
ограничена, а значит, по теореме Вейерштрасса |f(x)| есть предел
равномерно сходящейся последовательности полиномов от f, т. е.
|f|^B(X), f^B(X). Следовательно, множество В(Х) замкнуто
относительно операций V и Л-
Пусть g(x)^C(X) и Xi и х2— произвольные точки из X, Xi#=
=^=х2. Выберем функцию h^B так, что h(xi)=^=h(x2). Составим ли-
3*
67
нейную комбинацию /*,х, = оЛ+р с неизвестными пока a, feR*.
Числа аир определим из системы
сЛ <Xl)+₽=g(Xl),
a/i(x2)+p=g-(x2).
Пусть теперь 8>0 произвольно и у^Х. Для любой точки х^Х су-
ществует окрестность 2Х такая, что fxy (u)>g(u) — г для любой
точки ме2ж. Пусть множества 2Х1, 2Ж|1, ..., Х.Хп покрывают
компактное пространство 7; положим fy = fXiy V • • • V f*nv- Тогда
(X) и fy(u)>g(u)—s для любой точки и^Х. Более того,.
fv(y)~ё(У)> так как fxty (У) = ё(У)- Следовательно, существует
такая окрестность 2У точки у, что fy(u) <g[u.) +е для любой точ-
ки ие2и. Пусть множества 2У1......2^ покрывают Т; поло-
жим f = fVl А... Л fyk. Тогда ff=B(X) и f (u)>g (и) — в для лю-
бой точки и^Х, так как fyj(u) > g (и)—е, для любого иеХ. Кро-
ме того, для любой точки иеХ, и в частности для и е= Ъу., спра-
ведливы неравенства f (и) < fyj (u) < g (и) 4- е. Следовательно,
| f (и) —gty) |<е для любой точки аеХ, что и требовалось. В
Заметим, что в случае отрезка числовой оси многочлены, оче-
видно, обладают свойствами подмножества В(Х), указанного в.
теореме. В этом случае мы получаем классическую теорему Вей-
ерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции рав-
номерно сходящейся последовательностью многочленов.
У теоремы Стоуна—Вейерштрасса есть также такое интерес-
ное следствие: пусть Та= (Ха, 2a), аеА — семейство компакт-
ных хаусдорфовых пространств. Пусть Т = (Х, 2)= П Та- В про-
а£А
странстве С(Х) рассмотрим множество функций, зависящих лишь
от конечного числа координат (т. е. вида f(x) = f(xnt.Хпй)).
Из теоремы Стоуна—Вейерштрасса следует, что множество таких
функций плотно в С(Х). Отсюда можно вывести, что любая
функция из С(Х) зависит лишь не более чем от счетного числа
координат (множество индексов А может быть при этом любым).
В этом рассуждении мы неявно использовали теорему Тихонова
о компактности произведения компактных пространств.
Примеры.
1. Прямоугольник —оо<а^Х1^Ь1<+оо, щ<Ьг, i=l,...,п
в R” — компакт.
Это следует из теоремы о произведении компактных цро-
странств и того, что отрезок числовой оси с топологией, индуци-
рованной метрикой р(х, у) = \х— у\, — компакт.
2. Произведение двух хаусдорфовых, регулярных, вполне регу-
лярных пространств является соответственно хаусдорфовым, ре-
гулярным, вполне регулярным топологическим пространством.
68
ЗАДАЧИ
1.	Привести пример нормального неметризуемого топологического про-
странства.
2.	Пусть Si и 32 — открытые подмножества нормального пространства^
FcSiU22 и замкнуто. Показать, что /'=/riU^2, причем Ftc:Xt, i=l, 2 и замк-
нуты.
3.	Пусть Тх = R1 для х (= R1, Т = Тх, тогда Т содержит счетное
X6R1
подмножество, замыкание которого совпадает с Т, но не имеет счетной базы
•I опологии.
4.	Пространство называется вполне нормальным, если каждое его открытое
множество нормально. Привести пример не вполне нормального топологическо-
го пространства.
5.	Доказать, что метрическое пространство вполне нормально
6.	Потребуем, чтобы в топологическом пространстве, удовлетворяющем
аксиоме Т1, любые два замкнутых непересекающихся множества имели окрест-
ности, замыкания которых не пересекаются. Будет ли полученный класс про-
странств более узким, чем класс нормальных пространств?
7.	Доказать, что на всяком бесконечном множестве существует топология,
удовлетворяющая аксиоме Хаусдорфа, по отношению к которой никакая точка
множества не является изолированной.
8.	Привести пример топологического пространства, в котором все одно-
। очечные множества замкнуты (т. е. выполняется аксиома 7\) и одновременно
любые два непустых открытых множества пересекаются.
9.	Пусть Т — хаусдорфово топологическое пространство и множество всех
сто неизолированных точек конечно. Докажите, что пространство Т — нор-
мально.
10.	Доказать, что регулярное топологическое пространство со счетной ба-
зой топологии метризуемо. В частности, компактное хаусдорфово пространство
метризуемо в том и только том случае, если оно имеет счетную базу топо-
логии.
Глава II
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.	ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В первой главе были введены важные классы пространств: ме-
трические и топологические и изучены их основные свойства.
Однако часто возникает необходимость рассматривать множе-
ства, на которых над их элементами определены операции: сло-
жение, умножение на скаляры, удовлетворяющие определенным
свойствам. Такие множества, называемые линейными простран-
ствами, и являются основным объектом изучения в этой главе.
Наиболее интересные результаты получаются в том случае, когда
линейное пространство наделено еще структурой топологического
пространства или некоторой другой структурой, например нормой,
которая определяет топологию в пространстве, и при этом линей-
ные операции непрерывны в этой топологии. Линейные топологи-
ческие пространства, так называемые «F-пространства» и норми-
рованные пространства, играют исключительно важную роль в
анализе и поэтому будут детально изучены. Обычно выделяют не-
сколько важных принципов в теории таких пространств — это
принцип равномерной ограниченности, принцип открытости отоб-
ражения, принцип продолжения функционалов. Этот материал и
будет являться предметом изучения в данной главе.
1. Группа, кольцо, поле, линейное пространство
Определение 1. Множество G элементов произвольной
природы называется группой, если в G установлена операция,
ставящая в соответствие каждой паре элементов х, у из G неко-
торый элемент w = xy, называемый произведением элементов х и
у, причем справедливы следующие аксиомы:
1) (xy)z = x(yz) (ассоциативность);
2) в G имеется левая единица, т. е. такой элемент а, что ех =
— х для любого x^G;
3) для всякого элемента x^G существует левый обратный
элемент, т. е. такой элемент х~\ что х~1х = а.
Если, кроме того, для всяких двух элементов х и у имеет ме-
сто равенство ху = ух, то группа называется коммутативной, или
абелевой. Для коммутативных групп обычно групповую операцию
записывают в виде сложения w — x-\-y, при этом единица группы
называется нулем и обозначается символом 0, а элемент г1, об-
70
ратный к х, называется противоположным и обозначается —х.
Такие группы называют аддитивными.
Если U и V — два подмножества группы G, то через UV обо-
значается подмножество, составленное из всех элементов вида ху,
где x^U, y^V. Через обозначается подмножество, состав-
ленное из всех элементов вида г-1, где хе U.
Определение 2. Множество GT называется топологиче-
ской группой, если:
1)	GT есть группа;
2)	GT есть топологическое пространство;
3)	групповые операции, введенные в GT, непрерывны в топо-
логическом пространстве GT, т. е. если х и у — два элемента из
GT, то для всякой окрестности W элемента w = xy найдутся такие
окрестности U и V элементов х и у, что GVgzVT, и для всякой
окрестности 2 элемента х"1 найдется такая окрестность U эле-
мента х, что [7-1cz2.
Примеры.
1. Легко видеть, что левая единица е группы G является и
правой единицей, т. е. хе = х для любого xeG.
Действительно, х~1хх“1 = х-1. Умножая это равенство слева на
левый обратный элемент к элементу х~1, получаем хх~х = е, т. е.
левый обратный является и правым обратным, более того, эле-
мент, обратный к х-1, есть х. Далее, имеем хе = хх~1х = ех = х,
т. е. левая единица является и правой.
2. В группе G каждое из уравнений
ах = Ь,
уа = Ь
относительно неизвестных х и у имеет единственное решение.
Действительно, легко убедиться подстановкой, что а~хЬ — ре-
шение первого уравнения, Ьа~х — второго. Данные решения един-
ственны, ибо, умножая первое уравнение на а-1 слева, получаем
х = а-1&, точно так же из второго уравнения получаем у = Ьа~\
Важным понятием является понятие кольца. Дадим следую-
щее определение.
Определение 3. Кольцом К называется множество, в ко-
тором определены две операции — сложение и умножение, обла-
дающие следующими свойствами:
1)	относительно сложения К—абелева группа;
2)	(xy)z = x(yzy,
3)	x(y+z)=xy+xz,
(y+z)x=yx+zx.
Кольцо называется коммутативным, если в нем выполнено ра-
венство ху = ух для всех х,у^К. Если кольцо К содержит эле-
мент 1 такой, что 1 -х=х- 1 = х для всех хеК, то будем говорить,
что К — кольцо с единицей.
Определение 4. Полем Р называется коммутативное
кольцо с единицей, ненулевые элементы которого образуют» груп-
пу по умножению.
71
Всюду в наших рассмотрениях мы будем предполагать, что Р
есть поле действительных или комплексных чисел.
Перейдем теперь к определению важнейшего понятия — ли-
нейного пространства.
Определение 5. Линейным пространством L над полем
Р называется множество, в котором определены операции — сло-
жение и умножение на элементы поля, обладающие следующими
свойствами:
1) относительно сложения L является абелевой группой;
2) выполнены соотношения: а(х-]-у) =ах-\-ау, (а+₽)х=ах+
4-₽х, а (0х) = (<x0)x, 1-х=х, где 1, а, реТ3, х, y^L.
Элементы х, у,... называются векторами линейного про-
странства L, элементы поля Р:1, а, р,... называются скаля-
рами.
Поясним более подробно пункты 1) и 2). То, что L — адди-
тивная абелева группа, означает, что определена сумма х-\-у
двух любых элементов, x,y<^.L, являющаяся элементом того же
множества, причем операция сложения удовлетворяет условиям:
а)	х+у=у+х — коммутативность;
б)	х+ (y+z) = (х-Н/) 4-z — ассоциативность;
в)	существует однозначно определенный элемент 0 такой, что
0+х = х
для любого xeL;
г)	для каждого элемента xeL существует однозначно опре-
деленный элемент (—х) того же пространства такой, что
(—х) 4-х=0.
В дальнейшем мы вместо (—у) 4~х будем писать х — у.
Элемент 0, как уже говорилось, называется нулем, а элемент
(—х) — противоположным к х.
Пункт 2) означает, что в L определено умножение элементов
х, у, z,... на скаляры а, р, Л,, ц.,... из поля Р, причем, напри-
мер, элемент %х снова принадлежит L, и при этом выполнены
все четыре условия пункта 2).
В качестве простых следствий из аксиом, содержащихся в
пунктах 1), 2) определения линейного пространства, получаем
следующие утверждения.
1.	Ох=0. (Заметим, что символом 0 мы обозначаем и число
0, и нулевой элемент линейного пространства. Из текста легко
установить, о чем идет речь в том или ином случае.)
Действительно, х=1-х= (0-|-1)х=0-х-|-1 -х = 0-х4-х.
Отсюда (используя равенство х=0-х-|-х) имеем (—х)4-х=
= (—х)4-0-х-(-х,
или	0=0-(-0-х=0-х.
2.	(—1)х=—х, поскольку
(—1)х4-х= (—14-1)х = 0-х=0
и, следовательно, х — противоположный к (—1) -х.
72
3.	%-0=0, т. е. скаляр Л, умноженный на нулевой элемент
пространства L, является нулевым элементом L. Действительно,
л-0 = 7.[(—х) ~Ьх] = л (—х) _ЬА.х== (—7.) х+7.x—7.x—%х=[).
4.	Пусть Хх#=р.х и х#=0, тогда
В самом деле, если Zx = p,x, то 7.x— рх=0, или (% — ц,)х = 0.
Пусть теперь Тогда х = %Н)х==	•0 = 0.
что противоречит условию х=#0.
5.	Отметим наконец такой интересный факт: если L — линей-
ное пространство, то коммутативность сложения является след-
ствием остальных аксиом. Действительно.
— (х+у) + (у+х) = (— 1) (х+у) + (у+х) = (— 1) х+ (— 1) у+
+у+х= (—1)х+ [(—1)у+у] 4-х= (— 1)х+0+х= (—1)х4-х=0.
п
Вектор вида £ atxt, где а,еР, xteL называется линейной
i=i
комбинацией векторов x„ i= 1, 2,..., п.
Если L — линейное пространство, Лс£, Bc.L, x^L и а^Р,
то будут использоваться обозначения
х — А = {х — а:а^А), A-j-B = {a-j-b : а^А, ЬеВ),
аА = {аа: а&Л}.
Определение 6. Множество элементов GaL называется
Линейным многообразием *>, если оно содержит все линейные
комбинации входящих в это множество векторов. Будем гово-
рить, что многообразие натянуто на множество Л, если оно со-
впадает с совокупностью всех линейных комбинаций элементов
из Л.
Определение 7. Совокупность векторов Xi, Хг,...,хп ли-
нейного пространства называется линейно независимой, если из
п
того, что = 0 следует, что все аг = 0. Бесконечная систе-
i=i
ма {ха) векторов линейного пространства называется линейно не-
зависимой, если любая ее конечная подсистема линейно незави-
сима.
Определение 8. Множество B^L называется алгебраи-
ческим базисом, если любой вектор х пространства можно един-
ственным способом представить в виде некоторой линейной ком-
п
бинации х= а£хг, где щ-еР, хгеВ.	>
i=i
*) В лине^рой алгебре чаще используется термин «линейное подпростран-
ство линейного пространства».
73
Мощность множества элементов, составляющих алгебраиче-
ский базис, называется размерностью линейного пространства L.
Проиллюстрируем данные определения многообразия и ли-
нейной независимости векторов на примерах. Пусть, например,
L — какое-нибудь линейное пространство, xeL, х^=0. Совокуп-
ность {Хх}, где ХеР, образует, очевидно, линейное многообразие.
Размерность этого многообразия как линейного пространства
равна 1.
Если С [а, Ь] —пространство непрерывных функций, а {Рп}—
совокупность всех многочленов, заданных на отрезке, то {Рп}—
линейное многообразие бесконечной размерности
Пусть L — линейное пространство, D — некоторое линейное
многообразие и LlczL. Будем говорить, что два элемента х и у
из L эквивалентны (х~у], если х— y<=Lx. Это отношение обла-
дает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивно-
сти (т. е. соответственно если х~у, то у~х\ если
то x~z). Поэтому это отношение эквивалентности разби-
вает все L на непересекающиеся классы. Класс эквивалентных
элементов называется классом смежности по многообразию L1.
Совокупность всех классов смежности по L1 называется фактор-
пространством пространства L по L1 и обозначается L/L1. В фак-
тор-пространстве L/L1 вводятся линейные операции по следую-
щему правилу: если £ и т] — два элемента из L/L1, то их суммой,
называется тот элемент	который содержит все элементы,
эквивалентные элементам х-\-у, где х — представитель класса
а у—представитель класса т]. Аналогично определяется умноже*
ние элемента geL/L1 на скаляр а. Нетрудно убедиться, что еслй
L — пространство размерности п, а размерность L1 равна k, то
k^.n и размерность L/L1 равна / = п — k. Эта размерность назы*
дается коразмерностью многообразия L1 в L.
Если D имеет конечную коразмерность Z, то в L можно вы-
брать элементы хь %2, . ..,*г так,что всякий элемент x<=L одно-
значно представим в виде х =	+ а^Р, Z=L...,/, у^.
t=i
(Р— поле комплексных или действительных чисел.)
Линейное пространство L называется алгебраической прямой
суммой линейных пространств L\ и L2i если Li и L2— линейные
Многообразия в L и любой элемент x^L однозначно представим
в виде x=xi+x2, где Xi^Li, x2^L2.
Если Ц и L2 — линейные пространства над полем Р, то пря-
мое произведение
L = LiXL2
(см. гл. I, § 1, п. 1) становится линейным пространством, если
операции в нем определить по правилам
(Х1, Х2) + (У1, у2) = (Х1+У1, Х2+у2),
X(xi, х2) = (Ххь Хх2),
где Xi€=Li, x2^L2) (xi, х2)L2.
74
Примеры.
1. Любые два базиса линейного пространства равномощны.
В том случае, когда существует конечный базис, это юрошо из-
вестный факт из курса линейной алгебры
2. Если К—кольцо, то множество /Qcz/C называется под-
кольцом, если элементы из образуют кольцо относительно
операций в Л. Назовем подкольцо /cz/С правым идеалом *> коль-
ца Л, если справедливы аксиомы:
1)	Ixczl при всех 1х = {у-х}, у^1\
2)	Оу=/у=/(.
Определение левого идеала аналогично. Подкольцо IczK, являю-
щееся одновременно и правым, и левым идеалом, называется
двусторонним идеалом.
Идеал (правый, левый, двусторонний) называется максималь-
ным идеалом (правым, левым, двусторонним), если он не содер-
жится ни в каком другом идеале (правом, левом, двустороннем).
3)	Пусть Р — поле, множество А называется алгеброй над по-
лем Р, если А является одновременно и кольцом, и линейным
пространством над Р, причем
а(ху) = («%)// = % (а//)
для всех элементов х, у из А и всех скаляров а.
4)	Приведем примеры наиболее часто встречающихся колец.
Пусть С(Х)—множество всех комплексных функций {х(/)},
определенных и непрерывных на топологическом пространстве X.
Очевидно, С(Х) есть коммутативное кольцо с обычным сложе-
нием и умножением функций. Точно так же Ch(X)—множество
k раз непрерывно дифференцируемых функций есть коммута-
тивное кольцо с обычными операциями сложения и умножения
функций.
Пусть L — пространство многочленов с комплексными коэф-
фициентами, степень которых не превосходит п, и К—множест-
во отображений из L в L вида
m
f^Y.akDk
fe=0
где f^L, ak^P, D — оператор дифференцирования. Тогда К —
коммутативное кольцо и Dn+1 = 0.
Совокупность всех матриц n-го порядка, где п>1, с обычны-
ми операциями над матрицами образует некоммутативное
кольцо.
5)	Примером двустороннего идеала кольца С [а, Ь], [а, &]—
отрезок вещественной оси (см. пример 4, кольцо С(Х)), может
служить совокупность всех функций из С [а, &], равных нулю на
отрезке [0, 1/2]. Можно убедиться, что максимальным двусто-
*) Часто такой правый идеал называется собственным.
75
роннии идеалом этого кольца является совокупность всех функ-
ций из С [а, Ь], обращающихся в нуль в какой-нибудь фиксиро-
ванной точке отрезка [а, Ь].
2.	Линейные операторы. Пространство операторов
Определение 9. Отображение А линейного пространства
Li в линейное пространство Ь2 над тем же полем Р называется
линейным оператором, (обозначение A:Li->L2), если выполнены
следующие аксиомы:
1)	А(х+у)=Ах-[-Ау
для любых х и у из Li;
2)	А (ах) =аАх
для любого xeLi и любого аеЯ
Если Li = L2 = L, то А называется линейным оператором в
пространстве L.
Введем понятие суммы операторов А : Li->L2 и В : L[-^L2 сле-
дующим образом: (А+В)х=Ах+Вх,	очевидно, что
(А-{-В)—линейный оператор, (A-j-B) : Li->L2. Точно так же
вводится понятие произведения линейного оператора А на ска-
ляр аеР, а именно (аА)х=а(Ах) для любого x^L\. Наконец,
если А : L^L2t В : L2->L3, то произведение линейных операто-
ров В и А определяется по правилу (ВА)х=В (Ах). Произведе-
ние ВА является линейным оператором и отображает Li в L3.
Таким образом, мы приходим к важнейшему понятию — про-
странству линейных операторов.
Определение 10. Совокупность всех линейных операто-
ров, отображающих линейное пространство Li в L2, образует ли-
нейное пространство с введенными выше операциями сложения
операторов А и В и умножения оператора А на скаляр а^Р. Это
пространство называется пространством линейных операторов и
обозначается (Li->L2).
Если Li = L2 = L, то (L->L) является кольцом.
Таким образом, мы построили новое пространство (Lj->L2),
элементами которого являются линейные операторы.
Рассмотрим теперь частный случай линейного отображения А
линейного пространства Li в поле действительных или комплекс-
ных чисел. Дадим в связи с этим следующее определение.
Определение II. Линейный оператор А: L\-+L2 назы-
вается линейным функционалом, если L2czP, где Р — поле коэф-
фициентов.	<
Таким образом, функционал отображает линейное простран-
ство в поле коэффициентов, т. е. функционал — числовая
функция.
Напомним, что всюду поле Р, над которым определено линей-
ное пространство L, либо совпадает с R1, либо с полем комплекс-
ных чисел С. (В первом случае L называется вещественным ли-
нейным пространством, во втором—комплексным.)
7в
3.	Банаховы пространства
В функциональном анализе важнейшую роль играют нормиро-
ванные и банаховы пространства.
Определение 12. Линейное пространство N над полем Р
действительных или комплексных чисел называется нормирован-
ным, если каждому x^N сопоставлено неотрицательное вещест-
венное число ||х||, которое называется нормой элемента х, при-
чем справедливы следующие аксиомы:
1)	lk+#ll<IWl + llyll для всех х и у из N\
2)	||ах|| = '|а| ||х|| для любого x<=N и аеР;
3)	||х||>0, если х^О, ||0|| = 0, где 0 — нулевой элемент из N.
Каждое нормированное пространство можно рассматривать
как метрическое пространство, в котором функция р(х, у) опре-
делена так: р(х, у) = \\х — у||.
Очевидно, из аксиом 1)—3) определения 12 получим, что
функция р(х, у) удовлетворяет аксиомам 1)—3) определения рас-
стояния (см. п. 1 § 2 гл. I).
Таким образом, нормированные пространства обладают всеми
свойствами метрических пространств. В частности, все понятия,
введенные нами в § 2, 3 гл. I, переносятся и на нормированные
пространства. В частности, нормированные пространства явля-
ются топологическими пространствами.
Перейдем теперь к определению банахова пространства.
Определение 13. Банаховым пространством В назы-
вается нормированное пространство, полное относительно метри-
ки р(х, у) = Ik— у\\, определяемой его нормой.
Примерами банаховых пространств могут служить метриче-
ские пространства примеров п. 1 § 2 гл. I такие, как Rn, С [а, Ь],
Сп[а, b] (п>1), /2, 1р, ш, в которых норма элемента х опреде-
ляется как его расстояние до нуля, т. е. ||x(|=ip(x, 0).
Приведем один пример, показывающий, что в банаховом про-
странстве геометрия может проявлять черты, не соответствую-
щие обычным представлениям. Определим, например, для векто-
ра /= (/ь f2) двумерной плоскости норму: ||f|h= |А| + |Ь|.
Единичным шаром в так введенном нормированном простран-
стве R? будет единичный квадрат с вершинами с точках (1, 0),
(0,—1), (—1,0), (0,1), лежащих на осях координат ОХ и OY.
Проведем прямую, проходящую через начало координат под
углом 45° к оси ОХ. Обозначим эту прямую через М и будем
рассматривать М как подпространство нормированного простран-
ства Ri2. Любой вектор g, принадлежащий М, имеет координаты
(gi, Si)> т- е-	£1)* Поэтому, если рассмотреть вектор /=
= (1, 0) и записать ||/—gill = |l—gi| + |gi|, то норма разности
векторов f и g достигает своего минимума, равного единице, для
любого g\ такого, что O^Zgi^l.
Таким образом, минимум расстояния от вектора f до подпро-
странства М достигается на бесконечном множестве векторов
g из подпространства.
77
Ясно, что если бы мы рассмотрели плоскость R2 с обычным
евклидовым расстоянием, то указанный минимум достигался бы
только на одном векторе.
А в некоторых нормированных пространствах, когда М беско-
нечномерно, этот минимум может не достигаться вообще.
Банахово пространство называется равномерно выпуклым у
если для любого е>0 существует 6>0 такое, что если— ||/ + gj| >
>1-6, 11/11 = IISTlI =U ТО Ilf-Sll<€.
Если банахово пространство равномерно выпукло, то вектор
g из подпространства М, доставляющий минимум ||f—g|| для
некоторого f из пространства, если существует, то только один,
4.	Выпуклые множества, функционал Минковского,
полунормы
В функциональном анализе важную роль играет понятие
выпуклого множества в линейном пространстве. В связи с этим
дадим следующее определение.
Определение 14. Множество В, принадлежащее линей-
ному пространству L, называется выпуклым, если для любых
элементов х, у^В и скаляра /,	выполнено соотношение
/х+(1 — t) у^В.
Другими словами, требуется, чтобы множество В со всякими
двумя своими точками содержало и отрезок, их соединяющий.
Свойство множества В быть выпуклым можно записать и так:
/В+(1 —/)Вс=В, 0<^1.
Справедливо следующее простое свойство.
Свойство 1. Пересечение любого числа выпуклых мно-
жеств есть множество выпуклое.
+ Действительно, пусть C=QCa и каждое Са выпукло. Пусть
х и у — произвольные точки из С. Тогда х и у принадлежат каж-
дому Са, В силу выпуклости каждого Са этим множествам при-
надлежит и отрезок, соединяющий точки х и у. Но тогда этот
отрезок принадлежит и пересечению всех Са, т. е. множеству С.
Таким образом, множество С — выпукло. 
Мы будем пользоваться также понятием уравновешенного
множества.
Определение 15. Множество В, принадлежащее линейно-
му пространству В, называется уравновешенным, если для любо-
го скаляра аеР такого, что |а|^1, выполняется соотношение
aBczB, т. е. для любого элемента х^В элемент ах^В, |а|^1.
Например, круг на плоскости, шар в Rn с центром в начале
координат — выпуклые и уравновешенные множества. Прямо-
угольник в Rn: аг^.х^Ьг, f=l, 2,...,n — множество выпуклое
и, вообще говоря, неуравновешенное.
Перейдем теперь к следующему понятию.
78
Определение 16. Множество BczL называется абсолют-
но выпуклым, если для любых х, у^В и любых к, реР таких,
что | К| + ] ц|	1, выполняется соотношение A,x+jju/^B.
Нижеперечисленные свойства могут быть установлены из дан-
ных выше определений.
Свойство 2. Множество В является абсолютно выпуклым
в том и только том случае, если оно выпукло и уравновешено.
ф Пусть В — абсолютно выпукло. Тогда оно, очевидно, выпук-
ло и уравновешено.
Обратно, пусть В — выпукло и уравновешено. Выберем х,
еВ и |%| +	Если Л = 0 (или ц = 0), то, очевидно, Хх+рЦ/ =
(или =	в силу того, что В уравновешено.
Пусть теперь Х#=0 и р#=0, тогда
у^-^—у&В,
IM	||LX|
также в силу того, что В — уравновешено.
Запишем соотношение
%х+^_(|Х| +	=
\ IM + Inl IM IM+IN ||Х| /
= а(/х1 + (1 — Of/i),	< ;
где
0<а=|Х| + |р|<1, 0<^= - ^1- <1,
IM-HN
х1 = -^-х^В, у, = -^—у^В.
IM	1н1
Следовательно, %x+py = a(fxi+(1— /)r/i)eB, так как в силу
выпуклости В элемент z=/xi+(l— t)y^B, а в силу того, что
В уравновешено, az^B, 0<а^1. 
Свойство 3. Пусть В\ и В2— выпуклые множества из L
(абсолютно выпуклы), Х<=Р, тогда множества Bi+B2, АА
выпуклы (абсолютно выпуклы).
ф Докажем, например, что Bi4-B2 выпукло. Пусть х,у^В]-\~
+А	Тогда х=Х1+х2, y = r/i+f/2, где хь у^Вх\ х2,
енВ2.
Имеем, что
Zx-j- (1 — t) у = t (xi-j-x2) + (1 — t) (//1+У2) ==
= /xi+ (1 — t) Z/1+/X2+ (1 — t)y2^Bi~\-B2i
поскольку в силу выпуклости Bi и В2 элемент Zxi+(1— Z)yieBb
а элемент /х2+(1 — £)у2^В2. Точно так же устанавливаются и
другие утверждения свойства 3. Ц
Свойство 4. Пусть В — непустое абсолютно выпуклое мно-
жество в L, тогда О^В, и если	то kBczpB.
79
фТо, что ОеВ, очевидно. Пусть теперь |А|^|jx|^O и хе АВ.
Тогда х = Кх\, где XjeB, и в силу того, что В абсолютно выпук-
до, —xteB (поскольку |А,|Д|1|^1). Другими словами,
Л И
— х^—уеВ, т. е. Axi = |xy> или АВ<=рВ.
р
Случай, когда р=Л=О, очевиден. 
Если В — произвольное непустое множество из L, то совокуп-
ность конечных линейных комбинаций SAiX,, где Ai>0, 2А»=Г,
jtisB, называется выпуклой оболочкой множества В. Очевидно,
что выпуклая оболочка В есть наименьшее выпуклое множество,
содержащее В.
Множество всевозможных линейных комбинаций 2А,х<, где
S|Ai|^l,	называется абсолютно выпуклой оболочкой
множества В. Точно так же, абсолютно выпуклая оболочка мно-
жества В есть наименьшее абсолютно выпуклое множество, со-
держащее В.
Определение 17. Множество В, лежащее в линейном
пространстве L, называется поглощающим, если для любого хе
eL существует такое число Х=А(х)>0, что хецВ для всех ц
таких, что |р|^А.
Геометрически это свойство означает, что на всяком луче, вы-
ходящем из нуля, имеется интервал с концом в нулевой точке,
целиком содержащийся в В.
Например, любая окрестность нуля в Rn является погло-
щающим множеством.
В силу свойства 4, если множество В абсолютно выпуклое,
то оно будет поглощающим тогда и только тогда, когда для лю-
бого xeL существует такое А>0, что хе АВ, т. е. когда
L= J АВ (или когда L= U пВ).
1>0	п=1
Перейдем теперь к важному понятию полунормы и к изуче-
нию свойств связанного с полунормой функционала Минков-
ского.
Пусть	р(х)—вещественный	функционал (вещественная
функция), определенная на линейном пространстве L.
Функционал называется полуаддитивным, если для любых
X],
1)	p(xi+x2l<p(xi)4-p(x2);
положительно однородным, если для А^О
2)	р(Ах)=Ар(х);
однородным, если для любого А
3)	р (Ах) = | А | р (х).
Определение 18. Вещественный функционал, обладающий
свойствами 1) и 3), называется полунормой.
80
Функционал, удовлетворяющий свойствам 1) и 2), называется
калибровочной функцией.
Отметим, что:
а)	р(0)=0 для любой калибровочной функции или полу-
нормы.
б)	Если р — полунорма, то р(х)^0 для любого x<=L.
Действительно,
О=р (0) =р (x-h (—х)) =^р (х) +р (—х)(=2р (х),
т. е. р(х)^0.
в)	Для полунормы р справедливо соотношение
\р(х)—р(у)\^р(х — у).
В самом деле, имеем в силу полуаддитивности
р (х) =р (х — р+уХр (х — у) +р (у).
Поменяем в этом неравенстве местами х и у и заметим, что
р(х —у)=р((—1) (у — х))=р(у — х),
получим
Р(У)=Р(У — х+х) «Ср (х — у) +р (х).
Из этих двух неравенств и вытекает требуемое соотношение.
г)	Для калибровочной функции р, аналогично, справедливо»
соотношение
|р(х) — р(р)|<тах(р(х — у), р(у — х)).
Здесь заметим, что равенство р(х— у)=р(у— х) отсутствует и
поэтому оценка имеет указанный выше вид.
Заметим, наконец, что хотя для любой полунормы р(0)=0,
однако из того, что р(х)=0, вообще говоря, не следует, что х=
= 0. Полунорма, для которой из соотношения р(х)=0 следует,
что х = 0, является, очевидно, нормой.
Определение 19. Пусть В — поглощающее множество в
линейном пространстве L. Функционал Минковского множества
В определяется по формуле
рв (х) = inf {ц : р > 0, хеецВ},
м-
где x^L,
Заметим, что рв(х)<оо для всех x<=L, поскольку множества
В поглощающее.
Оказывается, что полунормы на L — это в точности функцио-
налы Минковского всевозможных уравновешенных выпуклых по-
глощающих множеств.
Поскольку свойство множества быть выпуклым и уравнове-
шенным эквивалентно свойству быть абсолютно выпуклым, то
оказывается, что полунормы на L — это функционалы Минков-
ского всевозможных абсолютно выпуклых поглощающих мно-
жеств. А именно справедливо следующее свойство.
81
С в о й с тв о 5. Если р — неотрицательная калибровочная
функция, то для любого Х>0 множества {хр(х)<Х} и {х:р(х)^С
являются выпуклыми и поглощающими. Если р — полунор-
ма, то эти множества и уравновешенные, т. е. являются абсолют-
но выпуклыми.
С другой стороны, каждому выпуклому поглощающему мно-
жеству BczL соответствует функционал Минковского Рв(х) =
= inf {ц: р. > 0, xe jiB}, причем
и
{х рв(х)<1}с=Вс={х:рв(х)^1}.
Если В, кроме того, уравновешено, то рв — полунорма.
ф Докажем, что множество {х:р(х)<Х}, А,>0 выпукло. Пусть
х и у — две произвольные точки из этого множества и 0^7^ 1.
Тогда точка /х4-(1 — t)y в силу пол у аддитивности и положи-
тельной однородности р также принадлежит этому множеству:
p{tx+(\ — t)y)^p{tx)+p({l — t)y}=ip(x) + (\ — t)p(y)<'k.
Покажем, что множество {х : р(х) <Х}, Х>0 поглощающее.
Пусть тах(р(х), р{—х)) = а Выберем р, из неравенства: |ц|>
^(аЦ-е)Д, е>0. Тогда
Р (—1 = V— Р(signр(signцх) < V>
\ Н /	1и1	а+8
откуда получается, что хец{х : р (х) <л}, Z>0. Следовательно,
множество {х : р (х) <Х} — поглощающее.
Докажем вторую часть утверждения. Поскольку В поглощаю-
лцее, то рв(х) <4-°°. Пусть теперь Х>0, проверим* **) положи-
тельную однородность функционала рв. Имеем в силу того, что
ХхецВ тогда и только тогда, когда xejm/XB:
рв (Хх) = inf {р > 0 : kx е рВ} = k inf /р/Х : р. > 0, х е —= крв (х),
ц	ц I	к )
что и доказывает положительную однородность рв> Проверим
полуаддитивность функционала Минковского. Пусть x,y^L, е>
>0. Существуют такие скаляры к, ц>0, что
рв (х) <к<рв (%) +е, рв (у) <н<Рв (у) +е.
Отсюда х/к, у!ул=В в силу того, что В уравновешено. На осно-
вании выпуклости множества В имеем
х+у к . х . у czB
к 4- р, к р, к к 4“ р< р.
*> Если ц — комплексное число и р-У=0, то sign р,= | р,|/р,; sign р,=0,
/если р = 0.
**) При %=0 в силу того, что рв(0)=0, свойство положительной однород-
ности рв является очевидным.
82
Поэтому рв(х+у) <Х+|л<рв(х) +рв(у) +2е. В силу произвольно-
сти е получаем полуаддитивность рв
Рв (х+у) ^рв (х) +рв (у).
Пусть теперь В уравновешено. Установим, что рв — однород-
ная функция и тем самым полунорма. В силу уравновешенности
тогда и только тогда, когда |В. Откуда
PB(M = inf{p >0:Ххе=цВ} = |%| inf f-t-:p>0, xe-f-fi) =
ц	ц I |л|	IM J
= IMPbW-
что и требовалось. Ц
5.	Линейные топологические пространства.
Теорема А. Н. Колмогорова
Сейчас мы переходим к изучению важнейшего понятия функ-
ционального анализа — понятия линейного топологического про-
странства.
Определение 20. Множество Lr называется линейным^
топологическим пространством над полем Р вещественных или
комплексных чисел, если
1)	множество LT является линейным пространством над по-
лем Р;
2)	множество LT есть топологическое пространство;
3)	операции линейного пространства непрерывны в заданной,
на LT топологии, т. е. для любых точек xi, x2^LT и любой
окрестности 2 точки Xi+x2 существуют такие окрестности 2р 22
точек xi, х2 соответственно, что 2i4-22cz2, аналогично, если хе
е£т, аеР и 2ах— окрестность точки ах, то найдутся число б>
>0 и некоторая окрестность 2Х точки х такие, что справедливо
соотношение 02xcz2ax, если только |0 — а| <б.
Другими словами, линейное пространство LT является линей-
ным топологическим пространством над полем Р, если LT =
= (GT, f), где GT — коммутативная топологическая группа по*
сложению, а отображение f: PxGT-+GT, заданное по правилу:
f (a, х) =ax,
непрерывно.
Непосредственно из сказанного следует, что отображение*
РХРХ ... ХРХ GtX GtX ... X GT-+GT, для которого
(ai, a2,..., an, хь x2,..., xn)->aiXi+a2x2+ ... +anxn,
непрерывно, т. e. в LT всевозможные линейные комбинации ска-
ляров ai, a2,..., an и векторов Xi, х2, ...,хп являются непрерыв-
ными отображениями РХРХ ... XPXGTXGTX ... XGT в GT.
Вместо слов «линейное топологическое пространство» в даль-
нейшем часто будет использоваться сокращение: л.т.п.
83
Ясно, что всякое нормированное пространство является ли-
-нейным топологическим пространством, причем за окрестность
каждой точки берется открытый шар, ее содержащий.
Легко видеть, что линейное подмножество л.т.п. LT само яв-
ляется л. т.п., если рассмотреть в нем топологию и линейные
операции, индуцированные исходным пространством. Такое под-
множество называется подпространством л.т.п. LT.
Поскольку л. т. п. LT является топологическим пространством,
то естественно возникает вопрос об изучении открытых множеств
в Lt.
В силу леммы 1 § 4 гл. I для задания открытых множеств в
топологическом пространстве достаточно задать окрестность
каждой точки. В л.т.п. для того, чтобы задать совокупность всех
окрестностей всех точек, достаточно задать совокупность всех
окрестностей нуля.	J
Установим в связи с этим следующее свойство.
Свойство 6. Если 2Х— окрестность точки х в LT, то 2Х-
— х=2о— окрестность нуля пространства LT.
фДля доказательства свойства достаточно, очевидно, устано-
вить, что если 2 — открытое множество, то 2 — х0, х0— фикси-
рованная точка, — также открыто. Действительно, пусть #е2—
— х0, т. е. у = х — х0, хе2 и 2 является окрестностью точки у+
+хо = х^2. В силу непрерывности операции сложения сущест-
вуют окрестности 2Хо и 2^ точек хо и у соответственно, такие,
что 2У + 2Х, cz2. В частности, 2v+xocz2, т. е. 2^cz2 — х0. Тем
лсамым показано, что всякая точка у входит в множество 2 — х0
вместе с некоторой своей окрестностью 2^, т. е. множество 2 —
— Хо — открыто. В
Аналогично показывается в силу непрерывности операции
умножения на скаляры, что вместе с множеством 2 множество
р2— открыто, — полю коэффициентов, р=И=О.
Подобные свойства справедливы и для замкнутых множеств.
Таким образом, в л.т.п. каждая окрестность точки х имеет
вид 2о+х, где 2о — окрестность нулевого элемента простран-
ства. Если {2о} образуют определяющую систему окрестностей
нуля (см. определение 3 § 4 гл. I), то система окрестностей {20+
+х} образует определяющую систему окрестностей фиксирован-
ной точки х.
В силу определения определяющей системы получаем, что в
л.т.п. существует определяющая система окрестностей нуля {20}
такая, что для любых 21, 22^{2о} найдется окрестность 2з^{20},
обладающая свойством 2зс=21П22.
Справедливы свойства:
Свойство 7. Какова бы ни была окрестность 20е{20}, су-
ществует окрестность 2 такая, что 2+2с=20.
♦ Действительно, поскольку 0+0 = 0 и операция сложения не-
прерывна в л. т. п., то указанное свойство выполнено. Ц
Свойство 8. Каждая окрестность нуля 2о в л. т.п. является
поглощающим множеством.
84
фВ самом деле, 0-х=0. В силу непрерывности операции
умножения найдутся окрестность 2Х точки х и число 6>0 такие,
что pSxCzSo при |р|^б. В частности,	при |1/р]^
₽
Свойство 9. Каждая окрестность нуля 20 в л. т. п. содер-
жит уравновешенную окрестность нуля.
ф В силу непрерывности операции умножения и того, что
0-0 = 0 (здесь второй сомножитель и элемент справа — нулевые
элементы л.т. п.), для любой окрестности нуля So существуют
окрестность 2в и число б>0 такие, что pSeczS0 при |Р|^6. Пусть
So= U
Поскольку So id S26, а множество б2б является, как мы
отмечали, открытым и, следовательно, окрестностью нуля, то
окрестностью нуля будет и множество So. Оно уравновешено:
если |а|^1, то aSj= J apS6czSj. Наконец, поскольку все
pS6czS0 при |р|^6, той SoczS0. 
Свойство 10. Пусть {So} — база окрестностей нуля в
л. т. п. LT. Для того чтобы LT было хаусдорфовым, необходимо и
достаточно, чтобы П 2 = {0}.
ф Пусть LT — хаусдорфово, т. е. различные точки х и у обла-
дают непересекающимися окрестностями. Пусть тогда су-
ществует окрестность нулевого элемента Soe{So}, не содержащая
точки х. Следовательно, указанное пересечение может содержать
лишь нулевой элемент.
Обратно, если Г) 2 = {0} и хФу, то существует окрест-
ность So, не содержащая элемент х — у. В силу свойств 7 и 9
найдется уравновешенная окрестность нуля такая, что S+SczSo.
Тогда %+2 и у+2—окрестности точек х и у соответственно,
причем непересекающиеся. Действительно, если бы они пересе-
кались и (х+2)П(у+2), то мы бы получили, что
х — у — (z — у) — (z —х)е2 —2 = 2+2 czSo.
Последнее соотношение противоречит выбору окрестности So.
Следовательно, LT — хаусдорфово пространство. |
Всюду в дальнейшем мы будем считать рассматриваемые ли-
нейные топологические пространства хаусдорфовыми (т. е. вы-
полнена аксиома отделимости Хаусдорфа). Именно эти про-
странства представляют наибольший интерес в функциональном
«анализе.
Ниже нами будет использовано следующее утверждение.
Свойство 11. Если У — выпуклое множество в л. т. п. LT,
то его внутренность Y — выпуклое множество *>.
*> См. сноску в п. 2 § 4 гл. I — внутренность множества есть объединение
всех открытых множеств, принадлежащих данному множеству.
85
ф Можно считать, что Г=#0. Пусть точка хеУ. Введем мно-
жество U=x—У. Это множество выпукло (см. свойство 3 п. 4
этого параграфа) и содержит нулевой элемент пространства,
причем его внутренность U = x—У. Покажем, что множество U—
выпукло. Для этого покажем, что (7 = {х :ри(х) <1}, где ри —
функционал Минковского множества U (см. свойство 5 п. 4 это-
го параграфа). Напомним, что функционал Минковского выпук-
лого поглощающего множества U обладает тем свойством, что
{х:р[/(х) <l}c[/cz{x :рсл(х)^1}. Поэтому для точек U функцио-
нал ри(х) не превосходит 1. Допустим, что для x^U, ри(х) = 1.
Покажем, что любая окрестность 2 точки х содержит точки
y^U, что будет противоречить тому, что хеУ. Действительно,
так как S — окрестность точки х, то найдется 8>0 такое, что
r/=(l+e)reS. Тогда ри(у) = (1+е)рг(х) = 1Н-е>1, откуда y^U.
Следовательно, для точек x<=U, ри(х)<1 и 1/ = {х: ри(х) < 1}.
В силу свойства 5 п. 4 этого параграфа U— выпукло, а тогда
выпукло и У=х—U. Н
Докажем следующее утверждение.
Свойство 12. В л. т.п. LT каждая выпуклая окрестность
нуля содержит уравновешенную выпуклую окрестность нуля.
ф Пусть 2о — выпуклая окрестность нуля. Выберем уравно-
вешенную окрестность нуля 2cz20 согласно утверждению свой-
ства 9.
Поскольку 2 уравновешена, то а~12 = 2, аеР при |а| = 1,
следовательно, 2са20, поэтому 2 с (7 = Г) а20, а отсюда сле-
|а|=1
дует, что внутренность U множества U является окрестностью
нуля. Ясно, что C/cz20. Будучи пересечением выпуклых мно-
жеств, множество U — выпукло, следовательно, согласно свой-
ству 11 U тоже выпукло.
Покажем, что U уравновешено, для этого достаточно устано-
вить, что U уравновешено. Выберем X и р так, что 0^Д^1, ]р| =
= 1. Тогда
tydJ = f] %ра20= Л %а20.
|а|=1	|а|=1
Так как а20 — выпуклая окрестность нуля, то %a2ocza2o. Такйм
образом, Xpt/czt/. Следовательно, U — искомая выпуклая урав-
новешенная окрестность нуля, t/cz2o. 
В линейных топологических пространствах важную роль иг*
рает понятие ограниченного множества.
Определение 21. Множество А в линейном топологиче-
ском пространстве называется ограниченным, если для любой
окрестности нуля 2о существует такое р^Р, что Дс=а20 при всех
а>р>0.
86
Отметим некоторые простые факты, относящиеся к понятию
ограниченного множества.
Утверждение 1. Пусть и А2 — ограниченные подмно-
жества л. т.п, LT. Тогда подмножества ЬТ:А^А^ АД, где Хс
czP, — также ограничены.
фДля подмножества АЛ1 утверждение очевидно. Для подмно-
жества Л1+Л2 утверждение следует из того, что для всякой
окрестности нуля 2о существует окрестность нуля 2 такая, что
2+2<=2о (см. свойство 7 п. 5 этого параграфа). Ц
Утверждение 2. Для того чтобы множество А линейного
топологического пространства было ограниченным, необходимо
и достаточно, чтобы для любой последовательности хп точек мно-
жества А и последовательности скаляров ап^Р такой, что ап->0
при п-^оо, выполнялось условие’. апхп—>0 при п-^оо.
ф Пусть А — ограниченное множество, а 2 — уравновешенная
окрестность нуля. Тогда существует такое а>0, что Дсза2. Выбе-
рем число N такое, что | ап| а< 1 для эсех ri>N. Пусть хп^А.
Тогда а~1хпе2, а так как 2 — уравновешенная окрестность, то
<xnaa-1xn = an^n^2 для всех n>N, т. е. anxn->0 при п-+оо.
Обратно, пусть для любой последовательности точек хп^А и
последовательности {an} скаляров такой, что an->0 при и->оо,
выполнено условие: anxn-^0, п->оо. Докажем, что множество
А — ограничено. Допустим противное. Тогда существует такая
окрестность 2 нуля и такая последовательность скаляров уп->оо,
что уп2 не содержит А. Пусть хп^А и хпеуп2. Тогда ни одна
из точек У71%л не принадлежит множеству 2, т. е. последова-
тельность	не сходится к нулю прй п-+оо.
В связи с данными выше определениями линейного топологи-
ческого пространства (определение 20 |того параграфа) и нор-
мированного пространства (определение 12 этого параграфа)
возникает вопрос о том, когда л. т. п. является нормируемым,
т. е. когда можно ввести в LT норму так, чтобы задаваемая с по-
мощью этой нормы совокупность открытых множеств (опреде-
ляемая как и в метрическом пространстве с помощью открытых
шаров) совпадала с совокупностью открытых множеств, ранее
имевшейся в л. т. п. LT.
Справедлива следующая теорема о нормируемости линейного
топологического пространства.
Теорема (Колмогоров). Для того чтобы л. т. п. LT было
нормируемым, необходимо и достаточно, чтобы в нуи, существо-
вала выпуклая ограниченная окрестность нуля.
ф Пусть 2 — указанная в условиях теоремы окрестность. Без
ограничения общности можно считать, что окрестность 2 урав-
новешенная (свойство 12 этого параграфа). Подчеркнем, что со-
гласно свойству 8 окрестность 2 является поглощающим мно-
жеством.	I
87
Пусть х — произвольный элемент LT. Введем функционал
Минковского р2, отвечающий множеству 2:
(х) = inf {fi: р. > 0, х е ц2}.
и
Согласно утверждению свойства 5 этого параграфа функцио-
нал р2 является полунормой. Покажем, что р2(х) задает на са-
мом деле норму в пространстве Lr. Для этого достаточно пока-
зать, что р2(х)=0 тогда и только тогда, когда х=0. То, что
р2(О)==0, мы уже знаем. Если х=Н=0, то найдется такое натураль-
ное число По, что похе2. \
Действительно, если |/п = дхе2 для любого и, то согласно
утверждению 2 в силу ограниченности 2 будет справедливо со-
отношение — Ул->0, что противоречит тому, что —	=
Д	|	п
Следовательно, существует натуральное число и0 такое, что
иохе2, а поэтому хё—2. Таким образом, мы заключаем, что
п0
>0, т^ е. есл^ х=£0, то и р2(х)>0.
^0	I
Тем самым мы показали, что функционал Минковского, отве-
чающий выпуклой ограниченной окрестности нуля 2, обладает
всеми свойствами нормьц и мы можем записать, что р2(х) = ||х||.
Докажем теперь, что совокупность окрестностей нуля полу-
чившегося нормированного пространства совпадает с совокуп-
ностью окрестностей нуля, ранее имевшейся в л.т.п. LT. Пусть
2о — произвольная окрестность нуля. Поскольку окрестность 2,
с помощью которой вводилась норма, является ограниченным
множеством, то существует такое число ХХ), что 2czr~120.
С другой стороны, единичный шар ||х||<1 принадлежит окрест-
ности 2. Следовательно,' шар ||х||^г принадлежит г2, т. е. 20.
Обратно, пусть задан шрр llxll^Cp. Из определения нормы еле*
дует, что этот шар целиком принадлежит окрестности нуля р'2,
где р' — произвольное положительное число, большее чем р. Это
завершает доказательство достаточности условий теоремы.
Докажем необходимость. Пусть топология пространства LT
нормируема и || • || — норма, задающая совокупность окрестностей
нуля, совпадающую с совокупностью окрестностей нуля, ранее
имевшейся в LT, Тогда 0 = {х: ||х||<1} является выпуклой огра-
ниченной окрестностью нуля. В проверке нуждается лишь выпук-
лость единичного шара. Пусть х и у — произвольные точки О и
пусть z=£x+(l — t)y,	Тогда ||z|| = || /х+ (1—
</||х|1 + (1	1) ||{/||<Ч-1 — t= 1, т. е. z^O. Ц
6. Счетно-нормированные пространства
Важными примерами линейных топологических пространств
являются так называемые счетно-нормированные пространства. <
Для того чтобы определить эти пространства, введем одно вспо- ’
могательное понятие.	*
89
Допустим, что в линейном пространстве L заданы две нормы
II‘III и II-Иг. Назовем эти нормы согласованными, если любая по-
следовательность {хп}, принадлежащая L, фундаментальная по
каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу xeL
ПО одной из этих норм, сходится к тому же пределу х и по вто-
рой норме.
Определение 22. Линейное пространство L называется
счетно-нормированным пространством, если в нем задана счет-
ная система согласованных друг с другом норм Ц-iln, п=1, 2,... .
Всякое счетно-нормированное пространство превращается в
линейное топологическое, если за определяющую систему окрест-
ностей нуля принять совокупность окрестностей 2п,е, зависящих
от номера п и числа 8>0, причем каждая окрестность 2п,в со-
стоит из всех тех элементов xeL, для которых
1|х||1<18, ..., Цх||п<8.
Легко видеть, что такая система окрестностей нуля действи-
тельно определяет топологию (см. лемму 1 п. 1 § 4 гл. I). Дей-
ствительно, нуль принадлежит любой окрестности, пересечение
двух окрестностей 2П1,е1, указанного вида есть снова
окрестность указанного вида (следует взять меньшее из чисел
fi и 82 и больший из номеров Hi, Иг), наконец, какова бы ни была
окрестность Sn,e, существует другая окрестность, ей принадле-
жащая.
Так же легко проверяется, что операция сложения элементов
и умножения их на скаляры из поля Р непрерывны в данной то-
пологии. Проверим, например, непрерывность операции умноже
ния на числа. Для любой окрестности Sn,e ввиду того, что О-О-
= 0 (второй сомножитель слева и выражение справа — нулевые
элементы пространства), найдутся окрестность 2П1>81 нуля и чи-
сло 6>0 такие, что
aSrtlf81czSn>£ при |a|<S;
ДЛЯ ЭТОГО достаточно ПОЛОЖИТЬ П\—П, 81=8, 6^1.
Подчеркнем, что всякое счетно-нормированное пространство
удовлетворяет первой аксиоме счетности, поскольку систему
окрестностей нуля Sn>8, п=1, 2, ...,8>0 можно заменить счетной
подсистемой Sn,i/fe, 2,..., й=1, 2,... . Топология при этом
не изменится. Таким образом, в этом пространстве сходящиеся
последовательности восстанавливаются в своих правах, и в их
терминах можно описать топологию.
В счетно-нормированном пространстве L можно ввести и мет-
рику, например, по правилу
р (х, у) = V----11 *------- х, у е L
V	2п(1 + \\х-У\\п) У
п=1
89
Метрика р(х, у) обладает интересным свойством, она инвариант-
на относительно сдвигов:
р (х+2, z/4-z) =р (х, у), X, у, Z<=L.
Примеры.
1. Рассмотрим пространство К [я, Ь] бесконечно дифференци-
руемых функций f на отрезке [а, &] с обычными линейными опе-
рациями над функциями. Положим
II Л In = sup Н<*>(0|.
Очевидно, что все эти нормы согласованы между собой и что
тем самым введена топология счетно-нормированного простран-
ства.
2. Пусть S— пространство всех бесконечно дифференцируе-
мых функций на прямой, стремящихся на бесконечности к нулю
вместе со всеми своими производными быстрее любой степени
|/|-1, т. е.	при 11\-->оо для любых фиксированных k
и q.
Положим
НЛ1п= sup	«=1,2,....
k,q<Qn—1
Очевидно, что S — счетно-нормированное пространство.
В заключение отметим, что нормы в счетно-нормированном
пространстве L можно считать удовлетворяющими условию
l|xlk<llx||m при k<m,
в противном случае мы бы рассмотрели нормы
||х||м = шах(||х||1, ||х||2,...»Ilxllfe),
определяющие ту же топологию.
Счетно-нормированное пространство можно пополнить по вве-
денной метрике р. Отметим при этом, что последовательность
{хп} фундаментальна относительно метрики р (сходится по мет-
рике р) тогда и только тогда, когда она фундаментальна относи-
тельно каждой из норм ||-||п (сходится по каждой из норм), т. е.
полнота L означает, что в нем всякая последовательность, фун-
даментальная по каждой из норм || • ||п, сходится.
Пополнив пространство L по каждой из норм II • Пл, удовлетво-
ряющих неравенству ||x|k^||x||m при k<m, получим естественные
вложения полных нормированных пространств
Lk^Lm при k<m,
где Lh и Lm — нормированные пространства с нормами || • ||ft и
II • ||т соответственно, при этом П L.
90
ЗАДАЧИ
1.	Пусть LT — С — одномерное линейное пространство над полем комплекс-
ных чисел С. Доказать, что уравновешенными являются множества: С, 0, од-
ноточечное множество {0}, круг с центром в точке 0 (открытый или замкну-
тый). Найти уравновешенные множества, если LT = R2 (двумерное линейное
пространство над полем вещественных чисел R1).
Пусть B = {(zb 22)еС2: (zj ^|z2|}, С2=СхС, С — поле комплексных чи-
сел. Доказать, что В — уравновешенное множество.
2.	Пусть М — подпространство линейного нормированного пространства N,
не совпадающее с N. Тогда для любого е>0 найдется в N такой элемент у с
нормой, равной единице, что ||х—1/||>1 — е для всех х<=М. Напомним, что в
нормированном пространстве подпространством называется замкнутое линей-
ное многообразие.
3.	Доказать, что замыкание линейного множества в л. т. п. есть линейное
множество.
4.	Докажите, что замыкание выпуклого множества выпукло. Замыкание
абсолютно выпуклого множества абсолютно выпукло.
5.	Пусть L — линейное множество, в котором выделено семейство {So},
удовлетворяющее свойствам: какова бы ни была окрестность 2о^{2о}, суще-
ствует 2е{20}, что 2+Scz20, каждая S0^{20} — уравновешенное и поглощаю-
щее множество, каковы бы ни были 2b S2e{S0}, существует 23е{50} такая,
что 23с=21П22. Тогда, если принять за окрестности элемента x(=L любые мно-
жества вида х-Ь50, Soe{So}> то линейное множество L превращается в линей-
ное топологическое пространство, в котором система {50} будет определяющей
системой окрестностей нуля (ср. со свойствами 7, 8, 9 п. 5 этого параграфа).
6.	Пусть Х={х(/)}— совокупность функций, заданных на прямой R1, бес-
конечно дифференцируемых на ней и обращающихся в нуль вне некоторого,
своего для каждой функции, отрезка. Сумма функций и произведение функции
на число определяются обычным образом. За окрестности нуля принимаются
множества e) = {x(Z) : |x(i)(/) | <е, i=l, ..., k} любого е>0 и любого
целого положительного k. Проверить выполнение всех аксиом линейного топо-
логического пространства.
7.	Подмножество В линейного топологического пространства LT назы-
вается вполне ограниченным, если для любой окрестности нуля 50 в LT суше-
п
ствует конечное подмножество	cz В такое, что В CZ J (x^ + S0).
k—1
Доказать, что конечное множество вполне ограничено, что вполне ограниченное
множество ограничено.
8.	Линейное топологическое пространство называется локально выпуклым,
если оно обладает базисом из выпуклых окрестностей нуля. Доказать, что мно-
жество всех непрерывных функций на отрезке [а, 6] становится локально
выпуклым пространством при наделении нормой ||х|| = sup |х(/)| , т. е. про-
1	a<t<-b
странство С[а, 6], аналогично, C(X) (X — компакт)—локально выпуклые то-
пологические пространства.
9.	Доказать, что функция р, введенная в счетно-нормированном простран-
стве L (см. ц. .5 этого параграфа), удовлетворяет всем аксиомам расстояния.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В БАНАХОВЫХ И F-ПРОСТРАНСТВАХ.
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА В
В этом параграфе изучаются свойства операторов, действую-
щих в основном в банаховых пространствах. Многие утвержде-
ния, факты, определения, приведенные ниже, справедливы и в
более общих пространствах: линейных топологических, F-npo-
91
странствах и других. Соответствующие обобщения приводятся в
излагаемом материале. Подчеркнем, что хотя мы не стремились
изложить материал сразу в максимальной общности, однако»
если доказательство теоремы идейно более просто в более общей
ситуации, мы приводим сначала его.
1. Линейные ограниченные операторы в банаховых
пространствах. Банахово пространство
операторов. Понятие F-пространства
Пусть Lt± и Lt2— два линейных топологических пространства^
а линейный оператор А отображает LT1 в Lt.—A: Lt1^Lt2.
Определение 1. Линейный оператор AtLr^L^ назы-
вается ограниченным, если он переводит ограниченные множест-
ва в ограниченные *>. (Заметим, что данное определение приме-
нимо и к линейным функционалам.)
Очевидно, что если оператор А действует из одного нормиро-
ванного пространства TVi в другое JV2, т. е. A:N^N2f то данное
выше определение эквивалентно следующему.
Определение Г. Линейный оператор A:N^N2 назы-
вается ограниченным, если существует такая постоянная М, что
||^4х||м'С 7И || х ||^ для любого x&Ni.
Здесь Ni и А7г — два нормированных пространства, запись
|| Ах ||дг2 и ||х||д\ означает, что нормы берутся в пространствах
N2 и N[ соответственно. В тех случаях, когда это не вызывает
недоразумений, индексы Ni и А72 внизу мы будем опускать.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть TVi и N2 — два нормированных простран-
ства, А — линейный оператор, отображающий А/\ в N2, тогда, для
того чтобы он был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы
он был ограничен.
ф Необходимость. Допустим, что непрерывный оператор (см.
определение 12 § 2 гл. I) не ограничен. Значит, существует по-
следовательность элементов {хп}, xn^Nb такая, что ||4хп||>
>п||хп||. Пусть	тогда |||nll = 1/п->-0, п->оо, т. е. ^п->0,
п II хп II
п->оо. (Напомним, что на нормированные пространства перено-
сятся все определения, данные нами для метрических про-
странств. В частности, ^п-*0,	означает, что р(0, Sn)-^00,
т. е. ||gnll->0, п->оо.)
Вычислим величину |ЩП||. Имеем ||	=-jj—-jj|| Ах„||> 1.
Поэтому HAgnll при п->оо не стремится к нулю, т. е. Agn не стре-
мится к нулю при п->оо. Оператор А — линейный (см. определе-
ние 9 п. 2 § 1), поэтому А0=А(х — х)=Ах — Ах=0. Из предыду-
*) Множество U, расположенное в нормированном пространстве, ограниче-
но, если существует такое число JV>0, что ||х|| = р(х, 0)<М для любой точки
хе[/ (см. задачу 5 § 2 гл. I).
92
щего, таким образом, следует, что последовательность {Л£п} не
стремится к элементу ЛО, что противоречит непрерывности опе-
ратора Л. Следовательно, наше допущение о том, что оператор
А не ограничен, не верно.
Достаточность. Пусть оператор А — ограничен, докажем его
непрерывность. Пусть хп->х, т. е. ||хп— х||->0 при п->оо. Тогда
ЦАхп — Лх|| = ||Л(хп —х)||<Л1||хп— х||->0. Значит, Лхп->Лх, и,
П—>00
следовательно, оператор А непрерывен. Ц
(Заметим также, что теорема, естественно, остается справед-
ливой и для линейных функционалов, удовлетворяющих усло-
виям теоремы.)
Если Lrt и Lt2— линейные топологические пространства, а
оператор А — линейный и отображает Lt\ в Lt2, то справедлива
Теорема 2. Пусть Lrt и Lt2— два линейных топологиче-
ских пространства, А — линейный оператор, отображающий
в Lt2, тогда из непрерывности оператора А следует его ограни-
ченность,
♦ Пусть Е— ограниченное подмножество в Егх (см. опреде-
ление 21 п. 5 § 1 этой главы), a So — окрестность нуля в ЬтЛ-
Так как А — непрерывный линейный оператор, то, во-первых,
элемент 0 переходит в 0, а во-вторых, в 1л\ найдется такая
окрестность нуля 2, что Л(2)с=20. Поскольку множество Е огра-
ничено, то EczaS для достаточно больших а. Следовательно,
А (Е) с=Л (aS) =аЛ (S) c=aS0,
т. е. Л (Е) — ограниченное множество в ЬТ2. Ц
Нетрудно показать, что из ограниченности Л в л.т.п., вообще
говоря, не следует его непрерывность.
Определение 2. Пусть Л — линейный ограниченный опе-
ратор, отображающий одно нормированное пространство А/\ в.
другое N2. Нормой ||Л|| оператора А называется наименьшая на
постоянных А4, удовлетворяющих условию ||Лх||||х||.
Таким образом, по определению норма ||Л|| оператора Л об-
ладает двумя свойствами:
а)	для любого xeNi ||Лх||^||Л|| ||х||;
б)	для произвольного е>0 существует элемент хе такой, что»
||Лхв||> (ИЛИ — е)||хв||.
Покажем, что || Л || = sup || Лх||, или, что то же,
IWK1
II л II = sup JI Лх И
1ИМ=° ||Х||
Действительно, если ||х||<1, то ||Лх|| < (| Л || || х[| < || Л ||. Значит,
и sup ||Лх||<||Л[|. С другой стороны, для любого е>0 су-
*!<!
ществует элемент хе такой, что ||Лхв[| > (||Л ||—е)||хе||. Пусть
|8= Пхе Тогда ||Л^|| = 1'^1>-±-(||Л||-е)||хЕ|| = ||Д||-8.
Ike II	Ike II 1кг II
93
Так как 11^11 = 1, то sup ||Ах||>|| А£8|| ||А [|—е.	Следо-
вательно, sup ||Ах|| > || А ||, значит, ||А|| = sup ||Ах||.
||ЖЛ	1И1<1
Примечание. Из проведенных рассуждений следует, что
|| А || = sup || Ах||, поэтому || А|| = sup
11^11=1	IWI^O IIXII
Выше (см. определение 10 п. 2 § 1) было введено простран-
ство (£i~+£2) операторов, отображающих линейное пространство
Li в линейное пространство £2. Это пространство играет важную
роль в различных разделах анализа, и мы сейчас продолжим его
изучение.
Предположим сейчас, что указанные выше линейные про-
странства £i и L2 являются нормированными. Для удобства, что-
бы подчеркнуть, что они нормированы, переобозначим их через
Ni и V2 соответственно, а линейное пространство, элементами
которого являются линейные и ограниченные операторы, — через
В пространстве (Л\->М2) можно ввести норму. Для!
этого норму элемента А пространства (ЛА->Л^2) введем по пра-*
вилу || Л||= sup || Ах ||. Легко видеть, что эта норма удовлетво-
ряет аксиомам определения 12 п. 3 § 1. Таким образом, линей-
ное пространство	элементами которого являются ли-
нейные ограниченные операторы, есть линейное нормированное
пространство. Возникает естественный вопрос: когда это про-
странство является полным, т. е. банаховым?
Ответ на этот вопрос содержится в доказываемой ниже тео-
реме.
Теорема 3. Если линейное нормированное пространство
В2— банахово, то пространство линейных ограниченных операто-
ров (Ny-^Bz) также является банаховым.
ф Пусть {Ап} — фундаментальная последовательность про-
странства операторов (Mi->B2), т. е. ||АП— AJI->0, когда п, т-+
->оо. Для любого х из Ni имеем ЦАпх—АтхЦ<||АП—AmllXI
Х||х||->0 при и, т->оо. Поэтому если x^Nx фиксировано, то
последовательность элементов {Апх} фундаментальна в В2, зна-
чит, в силу полноты пространства В2 эта последовательность схо-
дится. Обозначим j/=limAnx. Мы получили таким образом
отображение из AZi в В2. Оператор, осуществляющий это отобра-
жение, обозначим через А. Из свойств предела следует, что 6н
линеен. Покажем его ограниченность. Из того, что ||АП— Ат||->0
при п, т-^оо, следует, что |||АП||— ЦАт|||->0 при п, т-^со, т. е.
что числовая последовательность {||АП||} фундаментальна в R1, а
значит, и ограничена. Существует такая постоянная М, что
ЦАП||^Л1 для любого натурального п. Отсюда получаем, что
||Апх||^||Ап||||х|КЛ1||х||, т. е. в силу того, что функция, опреде-
ляющая норму (расстояние), непрерывна, имеем
|| Ах|| = lim||A„x|| < М ||х||.
«-►00
94
Таким образом, оператор А — ограничен. Оператор А был опре-
делен как оператор, отображающий Л\ в В2 по указанному выше
правилу. Покажем, что А есть предел последовательности {Ап} в
смысле сходимости по норме в пространстве	Зададим
е>0 и выберем и0 так, что ||Ап+рх— Апх||<е для п^п0, р>0 и
любого х такого, что ||х||^1. Пусть р->-оо, тогда ||Ах— Апх||^Се
для п^п0 и всех х с нормой, не превосходящей единицы. Поэто-
му для п^п0
ПЛ—А|| = sup ||(A„—А)х|| <е.
ИК1
Следовательно, A = limA„ в смысле сходимости по норме в-
П-»се
пространстве	т. е. это пространство банахово. Ц
Определение 3. Пусть линейные непрерывные функцио-
налы F отображают линейное топологическое пространство LT в
поле коэффициентов Р, т. е. F : Lr^P. Тогда сопряженным с Ат
пространством называется пространство всех таких функциона-
лов {J7}.
Как это следует из доказанной выше теоремы, в силу полно-
ты поля Р сопряженное пространство к нормированному яв-
ляется банаховым.
Примеры.
1 Норма единичного оператора Е:	(т. е. оператора,
ставящего в соответствие каждому элементу х нормированного
пространства N тот же элемент х пространства W) равняется,
очевидно, единице. Действительно, Ех=х, поэтому sup ||£’х|| =
IWI=1
= sup || х || = 1. Аналогично, норма нулевого оператора 0 :
1И=1
(т. е. оператора, заданного по правилу 0х=0 для любого x^Nx)
равняется нулю.
2. Рассмотрим пространство непрерывных функций С [а, Ь] и
оператор дифференцирования D : Df(t) =f'(/), f^C[a, b],
^7^b. Этот оператор, который мы полагаем действующим иа
С [а, Ь] в С [а, Ь], определен не на всем пространстве непрерыв-
ных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имею-
щих непрерывную производную. Этот оператор D, очевидно, ли-
неен, но не является ограниченным. В самом деле, если бы он
был ограничен, то согласно теореме 1 этого параграфа, он был
~	г sin nt
бы непрерывен. Однако последовательность /«=--------- сходится
п
к нулю в метрике С [а, Ь] (так как шах ---•п	->0, п->оо), а.
a^t^b п
последовательность Dfn = cosnt к нулю не сходится. Оператор £>,.
действующий из С1 [а, Ь] в С [а, Ь], ограничен.
3. Рассмотрим в пространстве С [0, 1] функционал F, дейст-
вующий по правилу: F (f (/)) =7(0), 0^^1. Очевидно, норма
этого функционала равна единице. Действительно, sup | F (/) | =
ПЛ1=1
95
^=|| F|| = sup |/(0) |=1. Аналогично, норма функционала
max |f(0|«l
oc/ci
1
gE С [О, 1 ] (функционал также определен
о
i
в С [О, 1]) вычисляется по формуле ||f|| = J l£(OI di.
о
2. Принцип равномерной ограниченности
Естественно возникает вопрос о полноте пространства линей-
ных операторов	и в смысле точечной сходимости опе-
раторов Ниже мы дадим ответ на этот вопрос.
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Утверждение 1. Пусть дана последовательность линей-
ных ограниченных операторов {Дп}^(ЛЧ-^2), п=1, 2, ... такая,
что числовая последовательность {ЦДЛ}, п=1, 2, ... не ограниче-
на. Тогда множество {||Л*х||} не ограничено, если х берется при-
надлежащим любому замкнутому шару Л(%о, е).
ф Допустим противное, что множество {||Лпх||} ограничено
ла некотором замкнутом шаре Л(хо, е). Очевидно, элемент
х =	+	е), где g—произвольный элемент из Nv.
Для линейного нормированного пространства N% ограниченность
множества {||Апх||}, х<=/С(х0, е), п=1, 2,.. означает, что существу-
ет такая постоянная С, что ||Дпх||<С для любого хе/С(х0, е) и
любого п. Следовательно,
I и t и II 1МЛИ 'С II и tn II
I IISII	II 11g II	11
Из этих неравенств получим
плик с+||ЛпУо11 inn.
е
Последовательность {IIЛпх0||} согласно допущению ограничена
постоянной С. Следовательно, существует такая постоянная С\ =
= 2С/е, что IHnglKCi||g|| для любого п, т. е. 1ИЛ^С1, что про-
тиворечит условию утверждения 1. Ц
Следующая теорема имеет важное значение в теории опера-
торов, ее относят к одному из основных принципов функциональ-
ного анализа, так называемому принципу равномерной ограни-
ченности.
Теорема 4 (Банах). Пусть последовательность {Лп} линей-
ных ограниченных операторов, отображающих банахово про-
странство В в нормированное пространство N, поточечно схо-
дится при п-^-оо к оператору А. Тогда числовая последователь-
ность {||ДП 11} ограничена, следовательно, ИшЛпх = 0 равномер-
х->0
96
Но относительно п=1, 2, 3,... и оператор	огра-
П-+сп
ничей.
ф Допустим противное, что числовая последовательность
£{||ДП||} не ограничена. Согласно утверждению 1 множество
|1Ип*11} не ограничено на любом замкнутом шаре /С(х0, £). Пусть
ео)—некоторый замкнутый шар в К. Тогда множест-
о {||Дпх||}, не ограничено. Поэтому существует такой но-
ер /21 и элемент х^Ко, что HA^xJI >1. Оператор ЛП1— огра-
ниченный линейный оператор. Поэтому согласно теореме 1 этого
параграфа он является и непрерывным. Следовательно, сущест-
вует такой шар /G = /<i(xi, ei)cz/<o, что для всех х^К\ выпол-
няется неравенство || ЛП1х || > 1. В самом деле, согласно приме-
ру 7 в конце § 2 гл I, для всякого 8>0 существует такое 6>0,
что НДг^—ЛП1х||<8, если ||х— %ill<6. Поэтому
III Л«1х11| || ЛП1х || |	|| АП1Х} Antx || < е,
т. е.
— 8 <|| Лп^П— || ЛП1Х || < 8,
откуда
II ЛП1х|| > ll^njill—е.
Выбирая е столь малым, чтобы выполнялось неравенство
IIAaII—^>1, мы находим такое 6>0, что для всех х из
шара ||х — X1IK6 выполнено неравенство ||ЛП1х|| > 1. Наконец,
радиус si замкнутого шара Ki выбираем меньшим б и берем
Kicz/Co.
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность
вложенных друг в друга замкнутых шаров	• • • =>
ZD/<nZD ..., величины радиусов ео, 81,... которых можно всегда
считать удовлетворяющими неравенствам 80>ei> ...->0. Тогда,
согласно принципу вложенных шаров (теорема 2 § 3 гл. I), су-
ществует точка х, принадлежащая всем шарам Кп- В этой точке
выполняется соотношение || Лп^х || ;> &, что противоречит тому,
что последовательность {Апх} сходится для любого х из банахо-
ва пространства В. Таким образом, наше допущение о том, что
числовая последовательность {||ЛП||} не ограничена — неверно.
Следовательно, существует такая постоянная М, что ||Лпх||^
<JVflWI Для всех номеров п и любого х. Переходя к пределу при
п->оо, получим, что ||Лх||<7М||х||, т. е. что оператор А ограни-
чен. |
Заметим, что доказательство теоремы не изменится и теорема
остается справедливой, если вместо поточечной сходимости по-
следовательности {Лп} потребовать, чтобы последовательность
Апх являлась фундаментальной в каждой точке х^В и даже
была ограниченной в каждой точке. Тогда доказанную теорему
можно сформулировать еще и так (принцип фиксации особенно-
4 В А Садовничий	97
сти): если sup ||Л„|| = оо, то найдется такой элемент х0^В, что
sup ||Л„хв|| = оо.
Л
В качестве приложения доказанной теоремы покажем, что на
отрезке [—л, л] существуют непрерывные функции f(x), для ко-
л
торых ряд Фурье ckelkx, ck =	§
k	—л
во всех точках. Из теории тригонометрических рядов известно,
что частичная сумма ряда Фурье записывается в виде 3„(х) =
in -j- 1
л	1 sin----- z
1	2
-------- называется ядром
sinT
Л
Дирихле Заметим прежде всего, что J \Dn(z)\dz-+- оо при п-^
—л
сходится не
= J f (х + z) Dn (z)dz, где Dn (z)
—л
2л
->оо. Действительно, числитель дроби	=
1	2/i -4- 1	/1 .	1 \	1
ращается в 1 в точках, где —~ z—lk + — ) л, ^=-0,
Окружим каждую из этих точек интервалом
об-
ЭТИХ
—, длина каждого из которых равна
интервалов
. 2/i -J- 1
sin——
2
2/1 4“ 1
sin —z
2
I z
2л sin —
1	2
1,
2/г+1	26+
2	2
———. В каждом из
3(2/г+ 1)
z не меньше, чем 1/2. Оценим вели-
~ у 2 у
2'<Т<
Поэтому интеграл от
промежуткам, больше,,
чину sin-|-Ha#-M интервале (А = 0, 1,...,п). Имеем sin
1	/2^+1 , л \ [2п+ 1\-1	k+ 1
2	\ 2	3 J \ 2 /	2/i + 1
| Dn (z) |, взятый только по выделенным
чем сумма
2
2А+1
2

1 V4 1	1________4л _ 1 VI 1
2л 2-1 2 ±±_L „ 3(2/1 + 1) “ Зл 2j k+ Г
2/1+1	k=Q
Эта сумма стремится к бесконечности при п->оо. Рассмотрим в
полном нормированном пространстве С[—л, л] последователь-
л
ность функционалов Fn(f) — J Dn(x)f(x)dx. Согласно задаче 3
—Л
л
предыдущего пункта имеем, что ||F„||= J |Dn(х) | dx. Согласно
—л
98
сказанному нормы функционалов Fn не ограничены в совокупно-
сти, а следовательно, по доказанной теореме существует непре-
Л
рывная функция /(х) на [—л, л] такая, что lim f Dn(x) f (x) dx
П-*ао '
—Л
не существует, а это значит, что ряд Фурье этой функции в нуле
«е является сходящимся.
Докажем теперь теорему, дающую ответ на вопрос о полноте
в смысле точечной сходимости пространства операторов.
Теорема 5. Пусть В\ и В2 — банаховы, пространства, тогда
пространство линейных ограниченных операторов (В{—>В2) яв-
ляется полным пространством в смысле точечной сходимости.
ф Рассмотрим некоторую точку х^Вх и фундаментальную в
смысле точечной сходимости последовательность {Дп}. В силу
полноты В2 существует такой элемент у^В2, что y=-limAnx.
П->ОО
Таким образом, определен оператор у=Ах, отображающий про-
странство Bi в пространство В2. Из свойств предела с очевид-
ностью следует, что А — линейный оператор. Из теоремы 4 этого
параграфа заключаем, что он и ограничен. И
Теорема 4 (принцип равномерной ограниченности) допускает
простое обобщение на так называемые F-пространства и носит
название принципа равностепенной непрерывности. В связи с
этим дадим следующее определение.
Определение 4 Линейное пространство с введенной ме-
трикой р называется /’-пространством, если выполнены следую-
щие условия:
1.	Метрика р на этом пространстве инвариантна относитель-
но сдвига, т. е.
р(*, Z/)=p(* —У, 0).
2.	Отображение f-.PxF-+F, определенное по правилу
/(а, х)=ах, непрерывно по аеР для каждого x^F и непрерывно
по х для каждого а, где Р — поле, над которым задано линейное
пространство.
3.	Метрическое пространство F полно.
Несколько позже будет показано, что /-пространство яв-
ляется линейным топологическим пространством, поэтому множе-
ство А в /-пространстве естественно называть ограниченным,
если для любой окрестности нуля 20 существует такое р^Р, что
Лс=а2о при всех а>р>0.
Теорема 6 (принцип равностепенной непрерывности). Пусть
для каждого элемента о некоторого множества 2 задано линей-
ное непрерывное отображение Аа одного F-пространства F\ в
другое F-пространство F2. Если для каждого x^F\ множество
{Лох: сг^2} ограничено, то 11шЛах=0 равномерно относитель-*
х->0
но <j(=S.
В связи с этой теоремой сделаем ряд пояснений. В формули-
ровке теоремы содержится два условия, в каждом из которых
4*	99
один из двух параметров фиксирован. Утверждается же в теоре-
ме справедливость соотношения, в котором оба параметра меня-
ются. Поскольку F-пространство — частный случай метрического
пространства, то понятия предела, стремления переменной к
фиксированной точке и т п. понимаются в смысле метрического
пространства.
ф Зафиксируем число е>0, и для любого натурального п рас-
смотрим множество
ХЛ=[х:р (— Аах, (Л < 8, <т е si , л=1, 2, ... .
I \ п )	I
Отображение Аа непрерывно, поэтому множества Хп. замкнуты
при любом п.
В самом деле, функция расстояния р(х, у) есть непрерывная
функция аргумента х при фиксированном у (см. пример 2 в кон-
це п. 4 § 2 гл. I).
Поэтому, если х2<=Хп, хг-+х,	то р—Aoxt, 0 )<8, а
S	\ П	/
следовательно, lim р Аохь 0^=р/—Аох, о\ < е, т. е. х^Хп.
z-»oo \ п	/ у п	)
Тем самым множества Хп замкнуты, так как содержат все
свои предельные точки.
Продолжим доказательство теоремы. Покажем, что ^-про-
странство F\ допускает представление: Fr= [J Хп, В самом
П=1
деле, множество {Лах} при каждом x<=Fi ограничено в F-npo-
странстве F2, поэтому р (—Аох, 0 j->0 при п->оо для любого
x^Fi. Другими словами, если xeFi, то существует такой номер
и, что х^Хп.
По теореме о категориях (теорема 3 § 3 гл. I) по крайней
мере одно из множеств Хп, скажем ХПо, не является нигде не
плотным. Поэтому существует шар О(х0, б)сзХПо, состоящий из
точек множества ХПо т. е. выполняется неравенство pf— Аох, о\ <
\ п0 /
<8, если р(х, хо)=р(х— Хо, 0)<6 (см. замечание п. 3 § 2
гл. I). Пусть х — хо = у, тогда pf—Лб(у4-х0), 0^<8, если
\ п0	/
р(у, 0)<6 для любого o^S. Запишем соотношения
Р f АоУ> — Р f Аоу-] /4qXq ./IqXq, О
\ п0 /	\ и0	и0	п0
Р f {У Н~ -^о) ^а-Хо> О 1 — Р f Ао (у -J- Xq), AgXq j
V ио	n0	/	\ Ho	n0 /
<p (— Л„(1/ + х0), O') +p f— Aax0, O') < 2e.
\ Hq	/	\ Hq	/
100
Поэтому, если р(у, 0) <6, то р^-~-Лау, 0^ = р ^Ла	< 2е
для всех oeS. Любую точку x^Fi можно представить в виде
х = п0- —= —, z = nox. Последнее неравенство выполнено для
п0 п0
любого у и, в частности, для у = п$х. Поэтому р(Лах, 0)^0, если
р(по*> 0)^6. Если х->0, то р(поХ, 0)->0, следовательно,
р(Лах, 0)->0 равномерно по ое2. 
В качестве следствия этой теоремы получаем следующее
Утверждение 2. Каждое F-пространство является линей-
ным топологическим пространством.
+ ^-пространство — линейное пространство. Непрерывность
операции сложения следует из определения /'-пространства. Надо
проверить, что отображение PXF-+F; f (а, х)=ах непрерывно.
Это отображение линейно по обеим переменным и непрерывно по
а для каждого фиксированного х и непрерывно по х для любого
фиксированного а. Для каждого фиксированного xQ рассмотрим
множество {а%о}, |а|<1. Это множество ограничено. Действи-
тельно, если р — элемент поля скаляров (поля действительных
или комплексных чисел), достаточно малый по модулю, то и ска-
ляр а0 будет сколь угодно мал. Пользуясь непрерывностью отоб-
ражения /(а, х) по а при фиксированном х = х0, мы заключаем,
что для всякого 8>0 существует такое б>0, что р(ах0, 0)<е,
если |а|<6. Выбирая реР достаточно малым, так чтобы
| сьр| <6, мы получим, что р(ра%о, 0)<е, т. е. рах0 принадлежит
сколь угодно малому шару с центром в нуле, т. е. p{axo}czSo —
произвольной окрестности нуля, т. е. множество {ах0} ограниче-
но. Согласно теореме 6, если ее применить к отображению
f(a, х), для любого 8i>0 существует такое 6i>0, что р(ах, 0)<8ь
если | а | < 1 и р(х, 0) <61. Но это и означает непрерывность ото-
бражения f(a, х) =ax, f : PxF-^F. Ц
Часто оказывается полезным следующее утверждение, кото-
рое является простым следствием принципа равномерной огра-
ниченности.
Утверждение 3. Для того чтобы последовательность ли-
нейных ограниченных операторов {Лп}, отображающих банахово
пространство В в нормированное пространство N, поточечно схо-
дилась к линейному ограниченному оператору Ао, необходимо и
достаточно, чтобы:
а)	последовательность {||ЛП||} была ограничена;
б)	Anx-^AQx для любого х из некоторого множества X, ли-
нейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в В
(т. е. замыкание множества линейных комбинаций совпадает
с В).
ф Необходимость условия а) есть утверждение теоремы 4.
Необходимость условия б) очевидна. Докажем достаточность.
Пусть М = sup ||ЛП|| и пусть ЦХ)—линейная оболочка мно-
n=Q, 1, ...
жества X. В силу линейности операторов Ап и Ло и условия б)
101
Апх-*~Аох для любого x<^L(X). Выберем теперь элемент
eL(X), Пусть е>0 и элемент геЛ(Х), такой, что||х—£||<
Запишем: ||Л£— Д£|| <||/Ц—А„х|| + || Апх—Аох|| + ||Лох —
— АЛ1КПАл—Д)*П+-|-. В силу того, что Апх-^Аох, найдется
номер по такой, что для	будет выполнено неравенство
ЦАпх— Лох||<е/2. Для этих же номеров ri^nQ будет выполнено
неравенство
ILM-A^IKe. 
Заметим, что это утверждение, в частности, справедливо и
для последовательности линейных ограниченных функциона-
лов {Fn}.
3.	Теорема об обратном операторе.
Принцип открытости отображения
Пусть оператор А отображает банахово пространство Вх на
банахово пространство В2. Обратный оператор (обратное отобра-
жение), если он существует, обозначим через Л-1.
Справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Оператор Л”1, обратный линейному оператору А,
является линейным.
♦	Пусть Axi=yh Ах2 = у2. Тогда A (aiXi+a2%2) = ^\У\+^2У2,
си, а2еЛ По определению обратного отображения (см. п. 1 § 1
гл. I) можно записать, что А~ху\—Х\,	А~ху2=х2. Умножая эти
равенства — первое на си, второе на а2 — и складывая, получим
а1Д~1//1+а2Д”1у2 = а1Х1+а2х2. Но по определению обратного опе-
ратора имеем, что
а1Х1+а2х2=Д“1 (aiyi+a2y2).
Сравнивая два последних равенства, получаем
A"1 (ai£/i+a2y2) == a>iA~1yi-j-a2A~'ly2.
Это равенство справедливо для любого вектора из области зна-
чений R(A) оператора — множества {Ax^B2i x^D(A)}, где
D(A)—область определения оператора: {xeBi, Ах^В2}. 
Лемма 2. Если А — линейный непрерывный оператор, отоб-
ражающий банахово пространство В\ на банахово пространство
В2, то замыкание образа (при отображении А) любой окрестно-
сти нуля пространства Bj содержит некоторую окрестность нуля
пространства В2.
♦	Пусть So — произвольная окрестность нуля пространства
Bi. Ее образ при отображении А обозначим 4S0. Всегда можно
указать такую окрестность Л10 нуля в пространстве Вь что Л40—
— MoCzS. Действительно, как мы уже отмечали, нормированное
пространство является, в частности, линейным топологическим
102
пространством, и существование окрестности Мо следует из не-
прерывности операции сложения (так как 0 — 0 = 0).
Далее, если то х/п->0 при п->оо. Значит, при достаточ-
но большом п имеем, что х/п^М^ т. е. xenAfo. Другими словами,
Вх = Q пА40, В2 = ДВ1 = Л( Q /гЛ40) = Q пАМц. Тем более, В2 =
П=1	П=1	П = 1
= ^JnAM0. По теореме о категориях (теорема 3 § 3 гл. I) одно
л=1	_____
из множеств, скажем п0АМ0, не является нигде не плотным, а
поэтому содержит непустое открытое множество. Тогда и AAf0
содержит непустое открытое множество. Обозначим это послед-
нее через V. Имеем
Л20 =d АМ0 —АМ0 о АМ0—Жо о V—V.
Докажем, что множество V—V открыто. Пусть х^У, тогда мно-
жество х—У={х—у: ус: У} открыто (см. свойство 6 п. 5 § 1 этой
главы). Далее, V—V = |J а—V	и, следовательно, V—V от-
a£V
крыто, как сумма открытых множеств. Точка 0 принадлежит
V—У, поэтому это множество — окрестность нуля. Н
Лемма 3. Пусть А — линейный непрерывный оператор, ото-
бражающий банахово пространство Вх на банахово пространство
В2, тогда образ любой окрестности нуля пространства В{ содер-
жит некоторую окрестность нуля пространства В2.
ф Пусть 8>0 и Xe = {x^Bi: р(х, 0)<е}, Уе = {у^В2: р(у, 0) <
<е}. Выберем 8о>О и пусть 8г — произвольная последователь-
О0
ность положительных чисел такая, что у ег < е0. Согласно
t=i
лемме 2 существует такая последовательность положительных
чисел т]г>0, щ-^0, i = 0, 1, 2, ..., 'По>'П1 > • • , что	t ==
= 0, 1, 2......
Пусть г/еУПо. Найдем элемент хеХ2Со и такой, что
Ах—у. Действительно, поскольку ЛХ£() ю Уп„, то существует
.гоеХ£, такое, что р(у—Ахо, 0) = ||г/—Лх0||<т]1. Точно так же, по-
скольку у—Ах0 е УЛ1, найдется такое xt^XZl, что ||у—Ах0—
—Лх1|| <т|2- Продолжим процесс построения векторов хп неограни-
ченно. Найдется такое хп е XSn, что
л (SXi)||<T,n+i’п=0, 2’ ••• •
1=0
k	k-\-p
Положим г* = у хг, тогда ||zft+p—zft||=p (zk+p—zk, 0)=р [ у xt, 0 ) <
1=0
*) Здесь р(х, 0) — ||х||, p(t/, 0) = ||г/||, поскольку пространства нормированы.
103
k±p
p>0. Последовательность {zk} — фундаментальная,
i=Hi
и в силу полноты 23i она сходится. Отсюда получаем
k	k
x = limz4= lim V р(х, 0) = ||х|| = limp (zfe, 0) < lim (V ей < 2е0.
Л->0О	Л-*00 “	&-^ОО	&~>ОО	/
4=0	i=0
Оператор А непрерывен Пользуясь непрерывностью функции
расстояния и этим свойством, получаем
п	п
limp [у—А [V гЛ, 0] = lim
т. е.
п
у = A lim V xt =Ах.
1=0
Следовательно, сфера X2SoczB1 с центром в начале координат
имеет своим образом множество ЛХ280, которое содержит сфе-
ру	с центром в начале координат Таким образом, при
отображении А образ окрестности нуля пространства Bi содер-
жит некоторую окрестность нуля пространства В2. И
Лемма 4. Пусть А — линейный непрерывный оператор,
отображающий банахово пространство Bi на банахово простран-
ство В2, тогда образ любого открытого множества пространства
Bi есть открытое множество в пространстве В2.
ф Пусть SczSi — непустое открытое множество, xeS и So —
окрестность нуля в В\ такая, что x+SqczS. Пусть Si — такая ок-
рестность нуля в пространстве В2, что 4So=dSi, окрестность Si
согласно лемме 3 всегда существует. Запишем следующие оче-
видные соотношения:
A^zdA (x+So) =Лх+Л50=эЛх+5ь
Подчеркнем, что множество Лх + Si есть открытое множество —
окрестность точки Ах. Таким образом, поскольку х — произволь-
ная точка из S, т. е. Ах — произвольная точка образа Л5, мно-
жество Л5 содержит вместе с каждой своей точкой ее некоторую
окрестность. Тем самым множество Л5 открыто. И
Из доказанных выше лемм непосредственно следует
Теорема 7 (теорема Банаха об обратном операторе).
Пусть А — линейный непрерывный оператор, взаимно-однознач-
но отображающий банахово пространство Bi на банахово про-
странство В2. Тогда обратный оператор Л-1 тоже линеен и не-
прерывен.
ф Линейность оператора Л-1 следует из леммы 1. Согласно
лемме 4 оператор 4 переводит открытые множества в открытые,
следовательно, при отображении Л”1 прообраз любого открытого
104
множества открыт, т. е. согласно лемме 4 п. 4 § 2 гл. I отображе-
ние А~1 непрерывно. Ц
Если еще раз вернуться к доказательству теоремы 7, то мож-
но убедиться, что все рассуждения применимы и в случае, если
рассматривать отображение А одного ^-пространства в другое.
Тем самым доказана теорема.
Теорема 8. Пусть А — линейный непрерывный оператор,
взаимно-однозначно отображающий F-пространство Fi на F-npo-
странство F2. Тогда обратный оператор А~1 также линеен и не-
прерывен.
Утверждение, содержащееся в лемме 4, также допускает
обобщение на случай F-пространств.
Теорема 8' (принцип открытости отображения). Пусть А —
линейное непрерывное отображение одного F-пространства на
другое. Тогда образ каждого открытого множества является от-
крытым множеством.
Вернемся снова к рассмотрению понятий непрерывности и ог-
раниченности отображения. В случае банаховых пространств не-
прерывность оператора и его ограниченность — эквивалентные
понятия (см. теорему 1 п. 1 § 1). В общем случае линейных то-
пологических пространств, как мы уже говорили, из ограничен-
ности оператора не следует его непрерывность. Однако, если ли-
нейное топологическое пространство метризуемо, т. е. его тополо-
гия может быть задана при помощи метрики, то:
1)	непрерывность оператора А,
2)	ограниченность оператора Л,
3)	ограниченность множества {Лхп}, если хп~+0, п=1, 2, ..., 4
4)	стремление Ахп к нулю при хп-+Ъ
являются эквивалентными утверждениями.
Мы докажем лишь, что в случае F-пространств непрерывность
и ограниченность линейного оператора — эквивалентные понятия.
Теорема 1'. Пусть F\ и F2 — два F-пространства, А — ли-
нейный оператор, отображающий Fi в F2, тогда, для того чтобы
он был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был огра-
ничен.
ф Если А — линейный непрерывный оператор и множество
2 ограничено, то, поскольку F-пространство является линейным
топологическим пространством, множество ЛЕ ограничено и, сле-
довательно, оператор А — ограничен согласно теореме 2 п. 1 это-
го параграфа.
Пусть теперь А — линейный ограниченный оператор, т.
отображает ограниченное множество ® ограниченное. Докажем
его непрерывность. Сначала докажем его непрерывность в точке
0. Пусть Xn^Fi и limxn = 0. Тогда limp(x„, 0)=0. Выберем
П—>00	П-*СО
последовательность натуральных чисел kn такую, что lim£n=oo^
П-*0О *
limfenp(x„, 0) =0. Имеем
П-*оО
p(knXn, 0) =р(хп + хп+ ... +хп, 0)<£пр(хп, 0).
105
Переходя в этом неравенстве к пределу при ге->оо, получим, что
limp(ferax„, 0) = 0, т. е. lim£„x„=0. Рассмотрим множество
п—*00	П—>оО
B={knXt}. Это множество, очевидно, ограничено. Следовательно,
множество A{knxn} = {knAxn} — ограничено, поскольку А — огра-
ниченный оператор. Значит, lim Лх„ = lim-^—Akxnn = 0 (см.п.5§1),
п->оо	/г->ао kn
Таким образом, непрерывность оператора А в точке 0 доказа-
на. В силу линейности он непрерывен всюду. В
Следствие Каждое линейное отображение одного F-про-
странства в другое, переводящее любую сводящуюся к нулю по-
следовательность в ограниченное множество, — непрерывно.
4. Продолжение операторов и функционалов.
Принцип продолжения Банаха — Хана
Если в линейном пространстве задан оператор или функцио-
нал, определенный не на всем пространстве L, а лишь на некото-
ром многообразии L'czL, то естественно возникает вопрос о его
продолжимости с сохранением тех или иных свойств на все про-
странство. Другими словами, требуется построить новый оператор
или функционал, определенный уже на всем пространстве, обла-
дающий определенными свойствами и совпадающий с ранее опре-
деленным на L'.
Для линейных операторов данный вопрос решается легко, если
исходный оператор задан на линейном многообразии, всюду плот-
ном во всем пространстве.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 9. Линейный ограниченный оператор А о, заданный
на линейном многообразии L', всюду плотном в линейном норми-
рованном пространстве N, со значением в банаховом пространст-
ве В, может быть продолжен на все пространство без увеличения
своей нормы. А именно на пространстве N можно определить опе-
ратор А такой, что Ах=~Аох, x^Lr, |И||^= 1М0Нь'-
ф Пусть x^N, но x^U. Поскольку L'=N, то найдется по-
следовательность {хп}, принадлежащая L', такая, что хп~+х при
п->оо (см. лемму 3 п. 4 § 1 гл. II). Следовательно, последователь-
ность {хп} фундаментальна. Тогда ||Лохп—^oxJ|<||Ao||L'||xn—
—	при п, т->оо. Отсюда следует, что последователь-
ность {Ао*п} фундаментальна и в силу полноты банахова прост-
ранства В она сходится к некоторому элементу у^В. Положим
Ах = у = ИтЛвхл. Если {х'п}—	другая последовательность из L',
П->оо
сходящаяся к элементу x^N, то	ЦА^хп—ЛоХп||<||Лох„—Лх|| +
+ ЦА^Хп—Лх||->0	при п-»-оо, т. е. ЛоХп—Аоуп-*-О при п->оо и опе-
ратор А определен на элементах N, не лежащих в L', однозначно.
Если же хе!/, то полагаем х=хп для всех п и
Лх = 1 im Лох„ = Лох.	*
П->00
106
Следовательно, оператор Див этом случае определен одно-
значно.
Построенный оператор А в силу свойств предела линейный.
Он является также и ограниченным, поскольку ||Лохп|| < ||Д0|| ||хп11,
И, переходя в этом неравенстве к пределу, получим, что ||Лх||<
<НЛ ||l'||x||, т. е. ||Л|к<||Л01к'- Заметим, что при продолжении
оператора норма не может уменьшиться, поэтому ||Л||дг = ||Л0||£/. 
Указанный процесс продолжения называется продолжением
ПО непрерывности. Если оператор не является ограниченным, то
ёго продолжение обычно называется расширением. Теория рас-
ширений операторов составляет самостоятельную и интересную
область функционального анализа.
Если задан линейный непрерывный функционал (см. определе-
ние И п. 2 § 1 этой главы), то его можно продолжать с сохране-
нием нормы, даже если первоначально он задан на линейном
многообразии не обязательно всюду плотном в пространстве. Со-
ответствующая теорема играет важную роль в анализе и носит
название принципа продолжения Банаха — Хана.
Теорема 10 (принцип продолжения Банаха — Хана). Пусть
на вещественном линейном пространстве L задана калибровочная
функция р(х), т. е. такая вещественная функция *\ что
p(xi + %2) <p(xi) +р(х2), р(Хх)=Хр(х), Xi,	Х>0.
Пусть f(x) — вещественный линейный функционал, определенный
на линейном многообразии L'czL и такой, что
f(x)^p(x),	x^L'.
Тогда существует вещественный линейный функционал F, опреде-
ленный на всем L и такой, что:
1) F (х) =f (х), xeL7,
2) F(x) <р(х), x<=L.
Если L — линейное вещественное нормированное пространст-
во и f — ограниченный функционал на L'^L, то в качестве р(х)
можно взять р(х) = ||х|| Hflk', x^L, и тогда справедливо ра-
венство
2') \\F\\l~ H/IIls
г. е. функционал f продолжается до непрерывного функционал^
F на L с сохранением нормы.
♦ Покажем, что если LZ=/=L, то функционал f можно продол^
жить с L' на некоторое большее многообразие Lq.
Пусть элемент xeL, xeLz. Введем в рассмотрение множество
(Z/; x)=Lq элементов вида tx + xo, Xq^L', t — вещественное чис-
ло. Очевидно, что Lo есть линейное многообразие; легко убедить-
ся, что каждый элемент из Lo однозначно представим в виде
*> См определение 18 п. 4 § 1 этой главы.
107
fx+xo- Обозначим через искомое продолжение функционала f
на £q. Положим
ji(tx+x0)=tfi(x) +f(x0) =tc+f(x0),
где число c=fi (х) нам надлежит выбрать так, чтобы на Lo выпол-
нялось неравенство
fi(tx+x0) <.p(tx+x0).
Для этого рассмотрим сначала случай />0. Тогда указанное не-
равенство равносильно следующему:
f (-у)+с<р(^- + х),
ИЛИ
С<р(-^- + х)-f
где c=fi (х), x^L.
Если t<0, то аналогично возникает условие
/(-^-)+О-р
ИЛИ
Заметим, что всегда существует число с, удовлетворяющее этим
двум условиям. Действительно, пусть х' и х" — произвольные эле-
менты из L', тогда
f(x")— f (х')<р(х"—х') =р((х"+х) —(х' + х)) <
<р(х"+х) +р(—х'—х),
т. е.
—f (х") + р (х"+х) >— f (х') —р (—х'—х).
Пусть
с"= inf(—f(х') + р(х" + х)), c'=supX—f(x')—р(—х' —х)).
xn€L'	x'£Lf
В силу произвольности х" и х' из предыдущего неравенства выте-
кает, что Выбрав с так, что с">ос', определим функцио-
нал f' на Lo по правилу
fi(tx+xQ)=tc+f(xo),
При таком выборе числа с на Lo выполняется неравенство
fi(tx+xQ)<cp(tx+xo).
Таким образом, искомое продолжение с L' на Lo функционала f
получено. Если в L можно выбрать счетную систему элементов
108
хь x2, x3, •••, порождающую L*\ то функционал F строим по ин-
дукции, рассматривая возрастающую последовательность линей-
ных многообразий Li=(L'; Xi), L2=(Lb х2), каждый раз Lk+i
есть наименьшее линейное многообразие, содержащее многообра-
зие Lk и элемент xk (т. е. пересечение всех таких многообразий).
Каждый элемент x^L войдет в некоторое Lkl следовательно, функ-
ционал будет продолжен на все пространство L.
В общем случае, т. е. когда счетного множества {xz}/°Li, по-
рождающего L, не существует, проведем следующие рассуждения.
Пусть Ф//— множество всевозможных продолжений функцио-
нала f, удовлетворяющих неравенству /(х)ср(х). Как показано
выше, такие продолжения существуют. Введем в этом множестве
отношение порядка, а именно f'-Kf", f, Г^Фг, если линейное
многообразие Lo, на котором определен содержится в много-
образии Lo, на котором определен f", и f' (х) = (х) при x^L'.
Легко проверить, что все свойства, задающие отношение порядка,
выполнены и множество Фи, таким образом, частично упоря-
дочено.
Пусть теперь {fa} — произвольное, упорядоченное указанным
отношением порядка, подмножество множества Фг. Это подмно-
жество имеет верхнюю грань, которой является функционал f,
определенный на линейном многообразии L=-\jLa, где La —
а
область определения /а, причем f(x) =fa0 (х), если x^L есть
элемент из Lao. Очевидно, что f— линейный функционал, f Фг-
Таким образом, выполнены все условия леммы Цорна и Фь'
имеет максимальный элемент F. Этот функционал определен на
всем L, так как в противном случае его можно было бы продол-
жить и F не был бы максимальным элементом Ф^.
Если L — линейное нормированное пространство, то в качест-
ве р(х) всюду в доказательстве выше можно взять функционал
11/1к'1|х||д = р (х), xeL. Ясно, что этот функционал удовлетво-
ряет свойствам, сформулированным в теореме. И
Примеры.
1.	Если вещественная функция р(х) над линейным простран-
ством L является калибровочной функцией, т. е. удовлетворяет
свойствам
а)	р(х+у) <р(х) +р (у) для любых х, y^L,
б)	р (ах) = ар (х) для любых xeL и а>0,
то при любом a^R1 будет выполнено р(ах) >ар(х). Действи-
тельно, при а>0 это очевидно, при а = 0 это следует из того, что
р(а-О) =р(0) =ар(0), а>0, т. е. р(0)=0. Пусть теперь а<0. Име-
ем р(ах) +р(|а|х) =р(ах) + |а|р(х). Но для любого элемента
*>	Т. е. многообразие L может быть натянуто на множество {x/J/Lp или
каждый элемент L является линейной комбинацией элементов указанного мно-
жества
109
z<=L p(z+(—z))=p(O) ~0<p(z)+p(—z).	Поэтому p(ax)4-
+ | a|p(x) 5>0, t. e. p(ax) — |a|p (x) = ap (x).
2.	Функционалы p(x) =||f||-||x||, где f — линейный функционал
над линейным нормированным пространством, рт (х) — sup|хп|
п
над линейным пространством ограниченных последовательностей
т являются примерами калибровочных функций, а также приме-
рами полунорм. Линейный функционал также является примером
калибровочной функции и полунормы (см. определение 18 п. 4
§ 1 этой главы).
3.	Если N — нормированное пространство и Xq^N, то суще-
ствует линейный функционал F(x), определенный на всем N, и
такой, что F7 (хо) = llxoll, | F (х) | < || х||, x^N. Действительно, пусть
хо=ДО, положим {tx^ = Nr, t^P — полю вещественных чисел;
N7 — линейное многообразие. Определим на № функционал f(x)
по правилу f (х) =/||хо1|. Очевидно, что f (х0) = ||х0||, )f(x)| =
= И • Цх0|| ==||х||, т. е. ||f|| = l. Продолжая функционал f(x) на все
пространство без увеличения нормы, получим требуемый резуль-
тат. Заметим, что ||F|| = 1. Если х0==О, то полагаем F = 0.
4.	Если последовательность {an}^Z2 и {рп}^/2, то в силу нера-
венства Коши — Буняковского (S |anpn|)2<2|an|22|pn|2, т. е. по-
следовательность {an(3n}^F (см. п. 1 § 2 гл. I, примеры).
Справедливо и обратное утверждение. А именно, если
2|anPn|<oo для любой последовательности, для __ которой
S|anp<oo, то 2|pn|2<oo. Действительно, пусть yk = (pi, р2, •
л.., р£, 0, 0...), черта означает комплексное сопряжение. Ясно,
что y^Z2,	2, .... Пусть /=(аь «2, . • ) — любой вектор из
k	оо
/2. Тогда FVk(f} =	при £->оо. Поэтому для каж-
/=1	/=1
дого f из Z2 Fyk(f) сходится к некоторому элементу Fv(f) =
оо
= JF ayPy. В силу принципа равномерной ограниченности нормы
/=1
функционалов Fyk ограничены в совокупности: HF^H'CC для
всех k. Но ||FVJ|! = QjT lp/12 у/2, следовательно, {pn}^Z2.
/=i
5.	Пусть В — банахово пространство, Е — тождественный опе-
ратор в В, а Л — такой ограниченный линейный оператор, отоб-
ражающий В в себя, что ||АIIcq< 1. Тогда оператор (Е—А)~1
оо
существует, ограничен и представляется в виде (Е—А)—1 = £ Ak,
/г=0
где последний ряд сходится в пространстве операторов (В->В),
п
т. е. последовательность его частичных сумм Sn = сходит-
k=0
ся равномерно. Действительно, в силу полноты В для сходимости
НО
последовательности Sn достаточно, чтобы она была фундамен-
тальной. Но при р>0 и целом
HSn+p-Sn|| = ||A«-1+Xn+2+ ... +Л»+р||<МНп+1+ ••• +||Л||п+р.
Это вытекает из того, что если операторы В и С принадлежат
пространству	то ||В + С||с||В|| + ||С|| и ||ВСх||<||В||X
XllCxIlcllBIIIICIIIkll, т. е. ||ВС||<||В||||С|| или ||A*UI|A||* (конеч-
но, если имеет место включение /?(С)с£)(В) — область значений
оператора С принадлежит области определения оператора В).
Таким образом, ЦВи+р.—S„||<z/r,+1/(1—при п->-оо. Поэтому,
00
как мы уже говорили, в силу полноты В, Ak представляет
/г=о
собой ограниченный линейный оператор. Далее, для любого
п: (Е—Д)	Ak = £Ak(E—А) = Е—Д'Н-1.	Перейдем к пределу
k=0	k—0
при и->оо. Поскольку ||Дп+1||<1|Д||п+1->0 При П->ОО, ТО
(Е—A)^Ak = ^Ak(E — А) = Е.	Откуда, как легко видеть
6=0	А?=0
00
(E-A)-i = Д\ ЧТО и требовалось показать. (Впрочем, сущест-
во
вование и ограниченность оператора (Е—Д)-1 следуют также из
следующего примера).
6. Рассмотрим пространство (Bi~*B2). Пусть U(B^B2) —
подмножество в (Bi~>B2), состоящее из операторов, отображаю-
щих Bi на В2 и имеющих ограниченный обратный. Это множество
открыто в (Bi~*B2), а именно пусть A0<^U (Bi~*B2) и пусть Дб —
произвольный оператор из (Bi->B2) такой, что ||Дб||<—zj—.
1И0 II
Тогда оператор (Д0 + Дб)-1 существует и ограничен, т. е. Ао + А&^
(В1->В2) *>. В самом деле, пусть у^В2 и Ах = А^у—Д^Д^.
Поскольку ||Дб||<||Д^'1||~1, то отображение А — сжимающее:
р(Дх', Дх") = |Ho”^6(x'—х")||< qp (х'х"), q < 1, х', /еВ^
а функция расстояния индуцируется нормой соответствующего
пространства. Так как пространство В\ полно, то существует един-
ственная неподвижная точка х отображения А:х= Ах —
=А^у—А^А6х. Откуда А0х + А6х = у. Если существует х'
такая, что А^х' +А&х' = у', то х'— тоже неподвижная точка отобра-
жения, так что х'=-х. Таким образом, для всякого у^В2 уравне-
ние AQx + A6x = y имеет единственное решение. Тем самым по оп-
ределению обратного отображения определен оператор (До + Дб)"1,
*> Следовательно, произвольный элемент A0^U (By-^Bz) входит в это мно-
жество с некоторой своей окрестностью, т. е. множество U (Вг+В2) открыто.
111
причем определен он на всем В2 и осуществляет взаимно-одно-
значное соответствие между В2 и В{. По теореме 7 об обратном
операторе он ограничен, что и требовалось.
5. Различные топологии, различные типы
сходимостей. Общие виды функционалов
в конкретных пространствах
В пространстве операторов можно определить различные виды
сходимостей, различные топологии. В связи с этим дадим ряд
определений
Определение 5. Сходимость в пространстве линейных огра-
ниченных операторов	в смысле нормы этого пространст-
ва называется равномерной сходимостью. Другими словами, если
последовательность линейных операторов Ап сходится при п-+<х>
по норме к оператору Л, т. е. ||ДП—Л||-^0, п-^оо, то говорят, что,
при п-+-оо {Лп} сходится к А равномерно. Обозначают эту сходи-
мость символом: Лп=>Л при п-*оо.
В этом же пространстве операторов (Ni~^N2) можно ввести и
другую сходимость, называемую точечной.
Определение 6. Будем говорить, что последовательность
операторов Ап при п->оо сходится к оператору А в смысле точеч-
ной сходимости в пространстве (Ni~+N2), если для любого значе-
ния хеМ справедливо соотношение lim Апх= Ах. Точечную схо-
димость в пространстве линейных ограниченных операторов
(A/i->^) обозначают так: Ап-+А, п-^оо.
Легко убедиться, что из равномерной сходимости последова-
тельности {An}^(N\-+N2) следует точечная, а обратное, вообще
говоря, неверно. Действительно, пусть N\ = N2 = l2, а Ап — опера-
торы проектирования на подпространства Z2, порожденные элемен-
тами £1= (1, 0, ...), е2= (0, 1, 0, ...), ..., еп = (0, ..., 0, 1, 0, ...),
в последнем векторе единица занимает место после (п—1)-го ну-
ля. Тогда для любого geZ2
Л„В = £ (L et)e(
i=l
i=l
& l =	|2,
поэтому An-+E — единичному оператору поточечно. С другой
стороны, ||Лпеп+1—An+p^n+i II ~ 1 (норма элемента берется в прост-
ранстве/2, т. е. |^|| = р(^ 0) = 1/£|^|2, $ =	В2, По-
1=1
скольку норма вектора en+i равна единице,||ЛП—Лп+ || = sup||4nx—
||х|1=1
— Л„+рх||> 1, т. е. равномерной сходимости Ап нет.
Напомним, что выше ’было определено сопряженное простран-
ство к данному линейному топологическому пространству как
112 я
совокупность линейных непрерывных функционалов, отображаю-
щих LT в поле коэффициентов. Удобно в дальнейшем для сопря-
женного пространства ввести обозначение Lt.
Сопряженное пространство является частным случаем прост-
ранства операторов, и в нем, в частности, можно ввести сходимо-
сти, определенные выше.
Поэтому в сопряженном пространстве можно ввести тополо-
гии — сильную и слабую. Первая из них отвечает равномерной
сходимости в пространстве функционалов, сопряженном норми-
рованному, а вторая — точечной сходимости. (Заметим, что в
случае сопряженного пространства точечную сходимость называ-
ют слабой сходимостью, что будет еще подчеркнуто ниже.)
Рассмотрим сначала случай, когда исходное пространство нор-
мируемо, и дадим следующие определения.
Определение 7. Пусть N — линейное нормируемое прост-
ранство, a N* — его сопряженное пространство. Сильной тополо-
гией в пространстве называется топология, отвечающая вве-
денной в 7V* норме (если f^N*, то II/IIjv* = sup | / (х) |). Другими
l|x|W<l
словами, за окрестность нуля в пространстве jV* принимается
совокупность функционалов {/}, удовлетворяющих условию ||f||<e;
или, говоря иначе, за окрестность нуля ib пространстве i/V* прини-
мается совокупность функционалов, для которых \f(x) | <е, когда
х принадлежит замкнутому единичному шару К : ||х||< 1. Выбирая
всевозможные 8, получим определяющую систему окрестностей
нуля: 2’Л = {/:|/(х)|< е, х<=К}.
Подчеркнем, что сходимость в сопряженном пространстве, оп-
ределяемая этой топологией, согласно определению 5 называется
равномерной сходимостью. В случае сопряженного пространства
к нормированному часто употребляется еще название «сильная
сходимость».
Пусть по-прежнему N — линейное нормированное пространст-
во, №* — ему сопряженное. Пусть Вп — произвольное подмноже-
ство пространства N, состоящее из п элементов пространства N,
Вп = {х^=1. За окрестности нуля в пространстве №*
примем множества вида = {Л \f (х)| < 8, Х1<=Вп}, где s— про-
извольное положительное число. Ясно, что таким образом мы
ввели некоторую определяющую систему окрестностей нуля (см.
определение 3 § 4 гл. I).
Дадим теперь следующее определение.
Определение 8. Пусть N — линейное нормированное про-
странство, a N* — ему сопряженное. Слабой топологией в прост-
ранстве N* называется топология, заданная следующей системой
окрестностей нуля пространства вп = {f:\f (xt) | < с, х^ е
eBJ, где 8 — произвольное положительное число, Вп — про-
извольное множество, состоящее из п элементов пространства
N, п<оо.
113
Слабая топология, введенная выше, определяет в пространстве
N'*- некоторую сходимость, называемую слабой сходимостью.
А именно, последовательность функционалов fm^N* называется
слабо сходящейся к функционалу f^N* при /п->оо, если для лю-
бого элемента x^N выполнено соотношение fm(x)->f(x), m->oo.
Другими словами, слабая сходимость — это сходимость на каж-
дом фиксированном элементе. Такую сходимость в пространстве
операторов мы назвали точечной сходимостью. Из сильной сходи-
мости функционалов в силу оценки \fm(x)—f(x)|<||fm—f||||x||
следует слабая сходимость функционалов. Обратное, вообще
говоря, неверно. Покажем, что слабая топология действительно
определяет слабую сходимость. Пусть для простоты f = 0. Пусть
для любого x<=N	т-^оо. Тогда для любой окрестности
нуля К,вп = {Л\f (xi) |< е, Xi е Вп} найдется такое М, что
fk е 2* в при всех Действительно, для этого достаточно
выбрать Mt так, что \fk(xt) |<8 при	и затем положить
М = maxMf. Обратное очевидно.
Точно так же, как и в пространстве операторов Af*, в исходном
пространстве N можно вводить топологию разными способами.
Мы остановимся лишь на двух способах введения топологии.
В связи с этим приведем следующие определения.
Определение 7'. Пусть N — линейное нормируемое про-
странство. Сильной топологией в пространстве N называется топо-
логия, отвечающая введенной в N норме. Другими словами, за
окрестность нуля в пространстве N принимается совокупность эле-
ментов {х}, удовлетворяющих условию ||х||<8. Выбирая всевоз-
можные 8, получим определяющую систему окрестностей нуля:
2е={* : 1И1<е}.
Сходимость в пространстве N, определяемая этой топологией,
называется сильной сходимостью в исходном пространстве N.
Пусть по-прежнему N — линейное нормированное пространст-
во, №* — ему сопряженное. Пусть Вп— некоторое подмножество
пространства JV*, состоящее из п элементов пространства АГ,
/г<оо, Bn={fi}Z=\- За окрестности нуля в пространстве N примем *
множества вида 2е в* = {х: |Д- (х) | < 8, fi е В*}, где 8 — произ-
’ п
вольное положительное число.
Определение 8х. Пусть N — линейное нормированное про-
странство, N* — ему сопряженное. Слабой топологией в прост-
ранстве N называется топология, заданная следующей системой
окрестностей нуля пространства N: 2е в* = {x:\ft (х)| < 8, Д- ей*},
где 8 — произвольное положительное число, Вп— произвольное
множество, состоящее из п элементов пространства Af*, п<оо.
Слабая топология определяет в пространстве N некоторую
сходимость, называемую слабой сходимостью. А именно последо-
вательность элементов xm^N называется слабо сходящейся к
114
‘моменту x^N при т->оол если для любого элемента f<^N* вы-
полнено соотношение f(xm)-+f(x), т-^оо. Доказательство этого
утверждения в точности повторяет доказательство, проведенное
в случае слабой сходимости в пространстве N*. Точно так же за-
ключаем, что из сильной сходимости последовательности в про-
странстве N следует ее слабая сходимость. Обратное, вообще го-
воря, неверно.
Заметим, что выше определены сильная и слабая топологии в
сопряженном пространстве N* и в исходном — N' в случае, когда
пространство N было нормируемым.
Определения 7, 8, 1' и 8х остаются справедливыми и в том
случае, когда исходное пространство есть линейное топологиче-
ское пространство Lt. В этом случае единичный шар в упомяну-
тых выше определениях надо заменить ограниченным множеством
в LT. Естественно, что исходная топология в пространстве LT
задается уже некоторой системой открытых множеств, а не нор-
мой пространства. Заметим еще, что слабая топология пространст-
ва LT уже не обязана удовлетворять хаусдорфовой аксиоме отде-
лимости.
Непрерывные линейные функционалы на линейном нормиро-
ванном пространстве N сами образуют линейное нормированное
пространство N*. Поэтому можно построить пространство №***,
сопряженное к Af*, и т. д Пространство Af** называется вторым
сопряженным пространством.
Всякий элемент Xq из N определяет некоторый линейный функ-
ционал на N*. В самом деле, положим FXo(j) =f(xQ), где х0 —
фиксированный элемент из N, a f пробегает все Af*. Очевидно, что
при этом FXo(f) является функционалом на №*. Так как при
этом
FXt Ofi + Р/2) = afi (*о) +	(*о) =	(/J + pF*. (f2),
то этот функционал линеен. Функционал F(f) часто записывают
так: (F, f).
Далее, всякий такой функционал непрерывен на N*. Действи-
тельно,	= |f(*o)l«IWI ll/ll, IITJIClkoll, т. e. Fx, огра-
ничен, а поэтому и непрерывен.
Таким образом, мы получили отображение всего пространства
N на некоторое подмножество пространства Л/"**. Такое отобра-
жение пространства N в N** называют естественным отображе-
нием. На самом деле это отображение взаимно-однозначно. Дей-
ствительно, как это следует из теоремы Банаха — Хана, для лю-
бых двух точек х' и х" пространства N существует такой функ-
ционал /(х), что f (x')=j^f (х") (см. пример 3 п. 4), и поэтому
Fxi и Fx„— различные функционалы на Ж.
Построенное выше естественное отображение является изо-
морфным, т .е. из того, что x+-+Fx, y++Fy, следует, что х + у++
•*-+Fx + Fy, а также, что kx+-+FKX, к<=Р. Это следует из соотношения
Fx(f) =f(x) и линейности функционала f. Это отображение явля-
ется также изометричным, т. е. из того, что x++Fx, следует, что
115
||л|| = [|Л||. Действительно, из теоремы Банаха — Хана (см. пример
3 п 4) следует, что для любого x^N', хо=Н=О существует линейный
функционал f такой, что ||/|| = 1 и f(x0) = ||х0||. Поэтому l/^oC/)! —
= 1/(х0)| = ||х0|| = Il/П 1|х0||- Поскольку всегда ||FXo||<1|х0||, тс
11Л0|| = 1|х0||. что и требовалось. В ряде интересных случаев оказы-
вается, что между элементами исходного пространства N и про-
странства N** можно установить взаимно-однозначное соответст-
вие с сохранением линейных операций (изоморфизм) и расстоя-
ния (изометрия).
Определение 9 Если естественное отображение линейноп
нормированного пространства У отображает его на все У**, т(
пространство П называется рефлексивным. В этом случае прост
ранства N и N** можно не различать: N = N*\
Рассмотрим более подробно понятия слабой и сильной сходи-
мости. Пусть У — линейное нормированное пространство и
{fn} — последовательность линейных функционалов из сопряжен-
ного пространства У*. Нами было отмечено, что если последова]
тельность {fn} слабо сходится к функционалу fQ^N*9 то fn(x)-*\
-+fo(x) для любого хеУ, т. е. слабая сходимость функционалов
совпадает с точечной сходимостью.
В терминах слабой сходимости теорема 5 и утверждение 3
п. 2 § 2 этой главы могут быть сформулированы применительно
к функционалам следующим образом.
Теорема 5'. Пусть В — банахово пространство, а В* — ему
сопряженное (т. е. пространство линейных ограниченных функци-
оналов в пространстве В, отображающих В в поле коэффициен-
тов). Тогда пространство В* является полным в смысле слабой
сходимости.
Другими словами, если последовательность функционалов {fn}
фундаментальна в каждой точке хеВ, то существует линейный
функционал f такой, что
fn (х) —f (%)
для любого х^В.
Утверждение 3'. Для того чтобы последовательность ли-
нейных ограниченных функционалов {fn}, отображающих банахово
пространство В в поле коэффициентов Р, слабо сходилась к функ-
ционалу f0, необходимо и достаточно, чтобы:
а)	последовательность {||/п||} была ограничена',
б)	fn(x)->f0(x) для любого множества X, линейные комбина-
ции элементов которого лежат всюду плотно в В (т. е. замыкание
множества линейных комбинаций совпадает с В).
Утверждение 3". Для того чтобы последовательность^
{хп}^В слабо сходилась к х0^В, необходимо и достаточно,
чтобы:
а)	последовательность {11x^11} была ограничена;
б)	/(хп)->/(х0) для любого f из некоторого множества F ли~<
нейных функционалов, линейные комбинации элементов которого
лежат всюду плотно в В*.
Это утверждение — частный случай утверждения 3'. Действи-
116
1ельно, слабая сходимость {хп}^В к элементу xQ^B равносильна
слабой сходимости этой же последовательности, но рассматривае-
мой как последовательность линейных функционалов, определен-
ных на В*, к хо, рассматриваемому как линейный функционал на
В*.
Докажем еще два утверждения, связанных с понятием слабой
сходимости.
Утверждение 4. Пусть линейный оператор А отображает
одно нормированное пространство N\ в другое — N2. Если после-
довательность {xn}cz.Nx слабо сходится к хоеЯ то последователь-
ность {Axn}czN2 слабо сходится к Axq^N2,
Рассмотрим произвольный функционал F е N2. Тогда
F (Axn)=f(xn), где f^N\ и F (Axq) = f(x0). Поскольку хп слабо
сходится к Хо, то f(xn)->f(xo), т. е. F(Axn) ~+F(Ax0), а так как
F — произвольный функционал из N2i то Ахп слабо сходится к
Axq. Следовательно, можно сказать, что любой линейный непре-
рывный оператор является и слабо непрерывным. И
Утверждение 5. Слабо сходящаяся последовательность
{хп} элементов нормированного пространства N ограничена, т. е.
нормы элементов этой последовательности ограничены в сово-
купности.
ф Действительно, элементы хп, п=1, 2, ... можно рассматри-
вать как элементы Л/**. Тогда слабая сходимость последователь-
ности {хп} к элементу x^jV означает, что последовательность
функционалов {XnJczW** сходится к функционалу xeAf** для
всех элементов f^N*. Но тогда в силу теоремы 4 п. 2 § 2 этой
главы последовательность {||хп||} ограничена в совокупности. 
Слабая сходимость в конечномерном прост-
ранстве Rn. Покажем, что в конечномерном пространстве сла-
бая сходимость совпадает с сильной. Действительно, пусть {х(*>}—
последовательность в Rn, слабо сходящаяся к элементу х. Пусть
£1, е2, ..., еп — какой-либо ортонормированный базис в Rn. Тогда
можно записать, что
Ak) _ Ak) Ak) .	. Ak)
x — x\ er -f- x2 e2 < • • • । ent
X = x^i + x2e2 + ... + xnefl.
Поскольку величины x(tfe) = (x(fe), ^), f=l, ... , n— линейные не-
прерывные функционалы в Rn, то х(1Л) = (х(й), ex)-->(x, ej =хх, ... ,
Xn} = (xk, en)-+-xn. T. e. последовательность {x(fe)} покоординатно
сходится к x. Но тогда
п
р(л**>, х) = (£	х*1а)1/2 ->о, k-^oo,
1=1
т. е. {х(АД сильно сходится к х. Поскольку из сильной сходимости
вытекает слабая, равносильность этих сходимостей в Rn доказана.
117
Слабая сходимость в Z1. Покажем, что из слабой сходи-
мости в пространстве I1 вытекает также сходимость покоорди-
натная.
Действительно, если ei = (1,0, 0,...), е2 = (0,1,0,...),... — базис
пространства Z1 и последовательность {х(^)} слабо сходится к эле-
QO
менту х, то можно записать, что x(fe) = £ х(/%,
4=1
х = £х£е£, где х<Л) = (х(1\ Хг0, ...), х = (х1? х2, ...),
4=1
и справедливы следующие соотношения
х<? = £ х^е\ -> £ х£е} = хх, x(2k) = £ х^ -> £ х,4 = х2, ... ,
4=1	4=1	4=1	4=1
k ->оо,
4	i *	( 1, если i = /,
в/—z-я координата вектора e/t е]=Оц — 1
( 0, если i #= /.
Написанные соотношения следуют из слабой сходимости векторов
х(Л) к вектору х. Действительно, например, выражение х(1Л)=
= f (х(Л)) = £ х{®е[ (здесь е{ = 1 при 4=1 и ei = 0, при 4>1), оче-
4=1
видно, представляет собой линейный непрерывный функционал.
Таким образом, из слабой сходимости в Z1 следует сходимость по-
оо
координатная. Поскольку ||х(А;)— х||р = £ |х/Л)—xJ,to можно по-
4=1
казать, что слабая сходимость в Z1 на самом деле совпадает с
сильной.
Перейдем теперь к изучению общих видов функционалов в
конкретных пространствах, а также к построению сопряженных
пространств.
Конечномерное пространство Rn. Найдем общий
вид линейного функционала в Rn, а также найдем пространство,
сопряженное к Rn.
Скалярное произведение в Rn вектора х и заданного вектора
g, когда х пробегает все пространство, есть, очевидно, линейный,
непрерывный функционал
п
f(x) = (x,
4=1
где xt, & — координаты векторов х и g соответственно в базисе
♦) Здесь &— число, сопряженное к числу
118
{<?J, i=l, n. Линейность функционала f(x) проверяется непо-
средственно, а непрерывность его следует из неравенства Коши —
Буняковского: | (х, |) |2<||х||2 Ш2, где IMI2 = £ 1%;|2, 1Ш12 =
i=l
п
=£ | |2 (см. примеры п. 1 § 2 гл. I). Установим обратный ре-
i=l
зультат. Покажем, что всякий линейный непрерывный функцио-
нал f(x) на Rn имеет вид скалярного произведения, записанного
выше, с некоторым вектором g, который однозначно определяется
по функционалу f. Пусть ei= (1, 0, ..., 0), е2= (О, 1, 0, ..., 0),...,
еп= (0, 0, ..., 1) — базис в Rn. Для любого ©ектора *eRn имеем
п
равенство х= ^х^е^,х = (х1, ..., хп).Следовательно, для любого
i==l
линейного функционала f справедлива запись
п	п
f(x) = 1£txif(ei)=yix^i = (x'	г = 1, ... , п.
1=1	i==l
Докажем, что по функционалу f вектор g определяется однознач*
но. Действительно, пусть f(x) = (x, g) и x = et. Тогда f(et) =
= (в/, g)=gr, т. е. получаем, что gi обязательно равняется
Из неравенства |f(x)| = |(x, g) |<||х|| ||g||<Л1||х|| следует, что
функционал f(x) ограничен, и, более того, положив x = g=^=0, полу-
чаем, что |f(g) | = ||g|| ||g||, т. е. наименьшая из констант М, для
которой выполнено неравенство \f(x) |<Л4||х||, равна ||g||, поэтому
||f|| = llgl|. Случай g = 0 тривиален.
Из проведенных рассуждений следует, что между функциона-
лами f и векторами geRn установлено взаимно-однозначное соот-
ветствие с сохранением линейных операций, т. е. изоморфизм, а
также с сохранением нормы элементов, т. е. изометрия. Таким
образом, пространство Rn рефлексивно, так как совпадает со
своим сопряженным: Rn=(Rn)*.
Пространство Z1. Рассмотрим пространство Z1 числовых
QO
последовательностей х= (xi, х2, ...) таких, что £ |xj<oo. По-
i=l
кажем, что сопряженным пространством к нему будет простран-
ство т — ограниченных числовых последовательностей: g е т,
g = (gx, g2, ...), sup [gfe|< оо. Найдем общий вид линейного
непрерывного функционала на I1. Точно так же, как и в предыду-
ОО
щем примере, заключаем, что выражение =	(х/, &—
f==i
координаты векторов х и g соответственно) есть, очевидно, когда
х пробегает все пространство Z1, линейный непрерывный функцио-
нал на Z1. (Указанный ряд абсолютно сходиться для всех хе/1.)
119
Непрерывность f (х) следует из неравенства
|/(x)|<sup |^|.V |x£| = |||||m.||x||z.,
к*<«>
т- е. ||/II<||5||ra.
Покажем обратное, что всякий линейный непрерывный функ-
ционал f на /' имеет вид: /(x) = J?x£f{, где х= (хь х2,
i=i
£ — (£ь ^2, • •) Пусть в] = (1,0,...), е2= (0,1,0,.— базис
в Z1, т. е. каждый /е/1 допускает единственное представление
00
вида х = £хпе„. (Набор {е„} действительно базис: если х* =
Л=1
k	оо
х„еп, то ||хй—х||р =	|хп|—>-0, й->оо. Единственность та-
п—1	n=k+i
кого разложения очевидна. Следовательно, любой вектор х^11
00
может быть записан, и притом однозначно, в виде: * =
i=i
Пусть f — линейный непрерывный функционал на Z1, тогда
оо	П	П
f(x) = f	=	Ух|’й)= Нт/(Ух(й) =
' ^’7	/	П->00	/	П-+00	/
1 = 1	1 = 1	1 = 1
1=1	1=1
Числа g/ = f(ez) образуют ограниченную последовательность: |gz| =
= И(е,) |< 11/11. Следовательно,	sup |U<llfll> 1= (Вк В2>
1<6<оо
...). Вектор g определяется по функционалу f однозначно. Дей-
СО
ствительно, пусть f (%) = £ xfet и х = е/. Тогда f(ez)=g,, т. е. полу-
i=i
чаем, что gz обязательно равняется f(ez).
Из полученных выше неравенств мы имеем также, что
11/11= sup 1^1 = 11^
l<fe<O0
Таким образом, между линейными и непрерывными функцио-
налами на I1 и элементами пространства т существует изоморф-
ное и изометричное соответствие, поэтому (Z1)* = m.
Пространство lp, р> 1. Найдем общий вид линейного функ-
ционала в пространстве IP, а также сопряженное к нему простран-
ство. Пусть /(х) — линейный функционал на 1р. Поскольку эле-
120	1
менты ek = {e^}f где eki = O при i^k и е*=1, образуют базис в 1р>
то для любого элемента х^.1р справедлива запись
В силу линейности функционала f имеем
/(*) = £ Xif(et).
i=l
Положим	и выясним свойства этих чисел. Пусть
Чл = {ха)}> гДе
xjfc") = J I arg Ч при & < п
I 0	, при k>n.
(Число q выбрано из соотношения — + — = 1.) Получаем
р я
п
i=l
Поскольку
n	n
iwkiiai nw=ii/n(j;i^i<’-i’'’j/p=ii/ii(y; i^i’jp,
t=l	i=l
следовательно,
n	n	i/
2 iki’cii/ii (E i&r) ,
i=l	t=l
откуда при любом n справедливо неравенство
(£ l&l’f’oi/il-
i=l
Поэтому
(f
i=l
t. e. и справедливо неравенство ||£||z<7< ||fl|.
С другой стороны, возьмем произвольную последовательность
d = {dJeZ^. Тогда
ОО
<р (х) = У diXi, х = {xj Е 1Р
121
является линейным функционалом в пространстве 1р. Действитель-
но, аддитивность этого функционала очевидна, а ограниченность
следует из соотношения, устанавливаемого с помощью неравенства
Гельдера:
1<₽«1 <(£	Г = wk-.
£=1	г=1
Таким образом, формула
/W = £	=	^ = /(ez)
1=1	t=l
дает общий вид линейного функционала в пространстве 1р. Опреде-
лим норму функционала f. Имеем
l/(*)l = |£*&|<(£	l^lp)1/₽ = WWIzp,
i=l	i=l	t=l
т. е.	Сравнивая это неравенство с ранее полученным
неравенством ||£||/(7<||f||, получаем, что ||/|| = ||B||Z?=	IBil")17’.
i=l
Отсюда получаем, что пространством, сопряженным с пространст-
вом 1р, будет пространство lq, где----Ь — =1, р, 1. Следова-
Р Я
тельно, справедливы равенства
(/р) * = /<?,	(/р)**= (/<?)* = /р,
т. е. пространство 1Р— рефлексивно.
В частности, если рассмотреть пространство Z2, то общий вид ли-
нейного непрерывного функционала, определенного на Z2, будет
f (х) = £ х&,
i=i
°°	/ "	1/2
где |£г|2<оо и ||/|| = (£ |^|2]	=||£||р, £ = {!>•}. Следователь-
1=1	1=1
но, (Z2)* = Z2.
Слабая сходимость в 1р. Оказывается, что для того,,
чтобы последовательность {хп} элементов хп = {^} из простран-
ства 1р слабо сходилась к элементу Xq = {^}<eeIp, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность {||хп||} была ограничена и
чтобы ^п)->^0), п->оо при каждом номере Z. Другими словами,
слабая сходимость в 1р означает сходимость по координатам при
условии ограниченности норм.
122
В этом мы убеждаемся, заметив, что линейные комбинации
элементов Д = {0, 0, ..., 0, 1, 0, ..i=l, 2, ... лежат всюду плот-
но в /’=(/р)*. Поэтому в силу утверждения 3", для того чтобы
слабо сходилась к х0, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось условие ограниченности норм и чтобы =
=Bf0) для любого i, что и требовалось.
6. Компактные множества, слабая компактность
Напомним, что в п. 5 § 2 гл. I было дано определение ком-
пактного пространства (множества) как такого пространства
(множества), из всякого покрытия которого можно выбрать ко-
нечное подпокрытие. Множество было названо предкомпактным,
если его замыкание компактно. Напомним также, что мы не де-
лаем различия между понятиями «компактное множество» и
«компакт».
В этом пункте мы продолжим изучение свойств компактных
множеств (компактов) в линейных нормированных пространст-
вах.
Докажем сначала следующее утверждение.
Теорема 10. В конечномерном нормированном пространст-
ве Хп предкомпактность равносильна ограниченности,
ф Если множество М предкомпактно, то М — компакт и, сле-
довательно, М ограничено. В самом деле, если бы компакт не
был ограничен, то нашлась бы последовательность {хп} такая, что
||хп||->оо, и, взяв ее подпоследовательность {xnk} такую, что
||х^+1Ц > IknJI + 1, мы бы пришли к противоречию с тем, что
М — компакт (поскольку такая подпоследовательность не сходит-
ся, см. теорему 6 п. 3 § 3 гл. I).
Обратно, пусть М ограничено. Построим конечную е-сеть для
М. Пусть •••>	— координаты в Хп. Поскольку М ограни-
чено, существует число С такое, что |xJ<C, f=l, 2, ..., п, для
всех х — (%1, х2, ..., хп)^М. Пусть R — радиус наименьшего шара
в Хп, содержащего единичный#куб. Выберем число К из неравен-
ства Я/К<г. В качестве е-сети можно выбрать точки вида (fei/K,
k2(K, ..., knIK), где kt — целые числа, заключенные в пределах:
—KC^kt^KC. Заметим, что число элементов в построенной сети
равно (27<С)П, т. е. имеет порядок О(е-П) при е->0, п — размер-
ность пространства Хп. |
Теорема 11. В бесконечномерном линейном нормированном
пространстве N единичный шар 0 = {x^N: ||х||<1) не является
предкомпактным множеством.
ф Допустим противное, что шар О — предкомпактное множе-
ство и его можно покрыть конечным числом шаров О2, ..., Ом
радиуса г<1. Рассмотрим n-мерное подпространство Хп в прост-
ранстве М которое содержит центры этих шаров. Такое подпро-
странство существует по крайней мере, если п>А1.
123
Пусть О, Olt 02, ... ,ОМ— пересечения шаров О, Оь О2, •
.Ом с Хп. Множество О является шаром в Хп радиуса 1, а
множества 02, ... ,Ом— шарами радиуса г в Хп. Допустим,
что объем*) р шара О равен единице: р(<5) = 1. Тогда имеем,
что (л(<5г) = rn, i= 1, 2, М. Поскольку шар О содержится в
объединении шаров Ot, i=l, 2, .. , М, то справедливо неравенст-
во 2И-гп>1, а так как r< 1, то при достаточно большом п это не-
равенство не будет выполняться. Получилось противоречие. |
Однако справедлива следующая теорема.
Теорема 12. Пусть N — сепарабельное линейное нормиро-
ванное пространство. Тогда всякий шар в сопряженном простран-
стве N* слабо компактен, т. е. из всякой последовательности ли-
нейных функционалов {fn} с ограниченными нормами можно вы-
делить подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому
линейному функционалу fo.
ф Напомним, что для линейных функционалов понятие слабой
и точечной сходимости совпадают, поэтому в силу теоремы 3 п. 1
§ 2 этой главы сопряженное пространство 7V* полно ib смысле
слабой сходимости. Для доказательства теоремы достаточно до-
казать, что из всякой последовательности {fn} линейных функцио-
налов с ограниченными нормами можно выделить подпоследова-
тельность, фундаментальную в смысле слабой сходимости. Пока-
жем это. Пусть для простоты IIMK1 и %i, х2, ..., хп, ... — счет-
ное всюду плотное в N множество. Поскольку
\fn(Xi) IcIIMIlIXilldlXill,
то числовая последовательность {fn(xT)} — ограничена. Выделим
из нее сходящуюся подпоследовательность
fn{^’ ЬМ’-
Так как
lfni (*2)1 < llfnill Ы < W,
nk	nk
то числовая последовательность {f \ (х2)} ограничена. Выделим
из нее сходящуюся подпоследовательность
/п2(Х2), /л2(Х2)..
П1	п2
Этот процесс можно продолжить, выделив подпоследователь-
ность {Дз} и т. д Каждая следующая подпоследовательность
является частью предыдущей и поэтому сходится на каждом эле-
менте, на котором сходятся предыдущие подпоследовательности.
Выделим так называемую «диагональную» подпоследователь-
ность функционалов
/„1. /„2, ... ,f k,    
♦	п1 п2	nk
Определение объема (меры) множества в Хп см. в следующей главе.
124
Эта «диагональная» подпоследовательность сходится на каж-
дом элементе х2, ... из счетного всюду плотного в N множест-
ва, причем нормы функционалов последовательности ограничены
в совокупности. Тогда согласно утверждению 3' последователь-
ность {/ Л слабо сходится. 
nk
Докажем, наконец, теорему, дающую критерий предкомпактно-
сти множества в пространстве С (А), где К — компакт, т. е. в
пространстве непрерывных функций на метрическом компакте К
с метрикой р. Напомним, что норма функции f^C (К) определя-
ется по формуле IlfH = шах |/(х)|.
хек
Говорят, что семейство М функций f(x)^C(K) равномерно
ограничено, если существует такая постоянная С, что
для всех f^M.
Семейство М функций f(x)<=C(K) равностепенно непрерывно,
если для каждого 8>0 существует такое 6>0, что \f(x)—f(y) | <8
при р (х, у) <6 для всех f^M.
Теорема 13 (Арцела — Асколи). Для того чтобы семейство
непрерывных функций MczC(K) было предкомпактным, необхо-
димо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным й
равностепенно непрерывным.
ф Пусть М — предкомпактно. Тогда существует конечная
8/3-сеть /1, ..., fN. Поскольку каждая из функций i=l, ..., №
непрерывна на компакте Л, то согласно лемме 9 п. 5 § 2 гл. I
каждая функция ft ограничена, а следовательно, существует такая
постоянная Cty что | ft (х) | < Ct, i=l, ..., N. Пусть С —
= шах Сс + — .Тогда для любой функции в силу свойства
3
е/3-сети следует, что найдется такой номер i, что |f(x)—
<8/3, для всех х^К, а поэтому
i/wi < \fcwi
О	О
Итак, семейство М равномерно ограничено.
Далее, каждая из функций ft, образующих е/З-сеть, непрерыв-
на на компакте А, следовательно, равномерно непрерывна на нем.
Поэтому для данного s/З существует такое 6^, что
IA (-«О—А(х2) | <8/з,
если р(хь х2) <6t.
Пусть 6 = min61( тогда при p(xi, х2)<6 для любой функции
I
fs=M, выбрав ft так, что |/(х)—А(х)|<е/3, хе/С, имеем
I f (Х1)-f (Х2) I < I f (X.) —(X.) I + I fl (X,) -А (х2) I +
+ |/<(х2)— /(х2)|<е.
Равностепенная непрерывность семейства М установлена.
125
Обратно, пусть М — равномерно ограниченное и равностепен-
но непрерывное семейство функций.
Выберем 6 так, чтобы выполнялось неравенство
1/(^1)—7(^2) 1 <в/з
при р(хь х2) <6,
Пусть {i/i, у2, .., yn}jj=S — конечная б-сеть для компакта К.
Рассмотрим множество M = {f(yi),	•••, f(l/n)}, где f — любая
функция из М. Множество М можно считать принадлежащим про-
странству ограниченных последовательностей m=W (см. пример
5 п 1 § 2 гл. I). Напомним, что норма элемента | = |2, • • •} в
таком пространстве определяется по правилу ||£||^ = sup .
На самом деле мы можем ограничиться конечномерным про-
странством Wn последовательностей g=(gi, §2,_..., ?п) с той же
нормой, что и в пространстве т. Множество М в ограничено
(в силу равномерной ограниченности семейства функций Л4) и по-
этому предкомпактно. Пусть Д, f2, •••,	— конечная s/3-сеть
для множества М в нормированном пространстве Wn. Заметим,
что каждый элемент ft из этой сети имеет вид
ММШ),	i=i, 2, ...,м
Покажем, что набор функций fi, f2, ..., является 8-сетью для
множества М в пространстве С (К). Прежде всего запишем, что
для любой функции f ее «след» f={f(yi), .НУп)} в Wn отстоит
от некоторого элемента ft из е/З-сети для М не более чем на е/З
в смысле расстояния в Wn. Оценим расстояние между f и ft в
смысле метрики С (/С). Пусть х — любой элемент из /С, a y^S—
ближайший к нему элемент б-сети S. Тогда р(х, у^)<б. Следова-
тельно,
I f (х)-J (yk) I <8/3,	If, (X) -f, Ы I < 8/3
согласно выбору б. Кроме того,
If (гм)—А (У k) |<е/3,
так как
sup | f (yk) —fl (yk) 1 = ||f—AIL„ < -7•
Таким образом,
I f (x) —f, (x) I < I f (X)-f (yk) I + I f (yk)-f. (yk) I +
+ 1АЫ—f< Wl<8.
а ПОЭТОМУ Ilf—f,||C(X)<8.
Следовательно, семейство M обладает конечной 8-сетью и по-
этому предкомпактно. Ц
126
ЗАДАЧИ
1.	В пространстве 1р (р>1) на векторах х вида {хь х%, 0,..} определен
линейный функционал
f(x)=f({x1} х2, 0, ...})=Xi + 2x2.	1
1 Найти его продолжение на все 1р, норма которого будет равна (1 + 2?)1/ <7, — +•
Р
2.	Обозначим через X линейное многообразие многочленов в пространстве
С [0, 11. Пусть на X определены линейные функционалы вида: f (х) = [х(0) 4-
+х(1)]/2, хе1,
1
ft(x) = J x(t)dt, х(^Х.
о
Существуют ли продолжения этих функционалов на все С [0, 1]? Будут л»
эти продолжения единственными?
3.	Доказать, что в пространстве I1 последовательность в|=(1, 0, 0,...)„
*-(0, 1, О,...),... не имеет ни сильного, ни слабого предела.
4.	Доказать, что единичная сфера в 1р (р>1) сильно замкнута. Найти
замыкание единичной сферы S = {x : ||х|| = 1} в 1р в смысле слабой сходимости.
5.	Убедиться, что последовательность {хп(£) = /п} не имеет ни слабого, ни
тем более сильного предела в С [0, 1].
6.	Доказать, что пространство С [0, 1] нерефлексивно.
7.	Рассмотрим банахово пространство В. Доказать, что если В* — сепара-
бельно, что В — также сепарабельно.
8.	Пусть линейный оператор А отображает нормированное пространство
ЛД на нормированное пространство N2 Доказать, что если для всех вы-
полнено соотношение ||Лх||^7п||х||, т>0, то А-1 существует и ограничен.
9.	В пространстве 1р (р^1) задан оператор А по правилу Ах==
“=А(хь х2,...) = (XiXi, Х2х2,...), причем sup | | < оо. Имеет ли этот опера-
п
тор обратный?
10.	Доказать, что если L — бесконечномерное нормированное пространство,
то на нем существует разрывный функционал
11.	Доказать, что банахово пространство рефлексивно тогда и только то-
1да, когда шар ||х||^1 компактен в слабой топологии.
12.	Пусть в линейном нормированном пространстве N задано линейное
многообразие М и элемент х0<=М такой, что d — inf |[х0 — x|f >0. Построить
xGM
функционал Д определенный всюду на N, такой, что /(х)==0, х^М, f(x0) = l>
\\f\\ = d-i.
Глава III
ТЕОРИЯ МЕРЫ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
И ИНТЕГРАЛ
§ 1.	ТЕОРИЯ МЕРЫ
В настоящем параграфе при построении абстрактной меры
осуществлена конструкция продолжения счетно-аддитивной меры
о полукольца на кольцо, а также лебеговское продолжение меры,
разобран случай меры в Rn.
Всюду ниже, если задано некоторое множество X, то 2Х=М(Х)
есть множество всех его подмножеств.
Определение 1. Кольцом подмножеств некоторого множе-
ства X называется семейство К (X) czM (X), замкнутое относитель-
но операций объединения, пересечения и разности, т. е. из того,
что А, В(=К, следует, что ЛОД ДПВ, Л\В<=7(.
Очевидно, что симметрическая разность в этом случае также
принадлежит кольцу, т. е. если Л,В^К, то
Алгеброй А (X) множеств называется кольцо, содержащее еди-
ницу Е. Е — единица кольца, если для любого множества
Лс=/С(Х) имеет место включение Лсг£.
в-кольцом называется кольцо, замкнутое относительно опера-
ции счетного объединения; о-алгеброй называется о-кольцо с
единицей. Легко убедиться, что о-алгебра замкнута и относитель-
но операции счетного пересечения, т. е., как говорят, является 6-
алгеброй.
В дальнейшем через Лг ц Л2 Ц • • • LMn будем обозначать объ-
единение непересекающихся множеств.
Определение 2. Полукольцом подмножеств некоторого
множества X называется семейство P(X)czAf(X), замкнутое отно-
сительно операции пересечения, содержащее пустое множество, и
такое, что если А,В^Р, AzdB, то А\В = С1Ц С2 Ц - И Сп,
С^Р.
Из определения кольца подмножеств непосредственно вытека-
ет, что пересечение К= А-Ка любого множества колец Ко. так-
се
же является кольцом.
Данную систему подмножеств могут содержать, вообще гово»
ря, разные кольца.
Кольцо; содержащее данную систему подмножеств и содержа»
щееся в любом кольце, содержащем эту систему, йазывается мШ
нимальным.
Данной системой подмножеств минимальное кольцо, очевидно,
определяется однозначно. Действительно, если бы было хотя бы
128
два различных минимальных кольца, то, взяв их пересечение, мы
бы получили кольцо, содержащееся в этих минимальных кольцах
(что противоречило бы минимальности исходных колец).
Утверждение. Если Р — полукольцо, то среди колец, со-*
держащих Р, есть единственное минимальное кольцо оно сов-
падает с системой Z множеств {А}, допускающих конечные разло-
жения: А= цС£, Сс(=Р.
1=1
ф Существование и единственность минимального кольца до-
казать легко. Действительно, если М(Р) — множество всех под-
множеств множества J А, то Ко = П К есть единственное ми-
АЕР	KGS
нимальное кольцо, содержащее Р, здесь S — совокупность всех
колец множеств, содержащихся в К(М) (кольцо всех подмно-
жеств М(Р)) и содержащих Р. Докажем теперь совпадение Kq
С системой Z. Проверим, что Z — кольцо. Если A, BeZ, то
А= цА, В =	А(, [В/^Р. Тогда	Ц (АПВу),
I	1	l,j
а так как AflA^A то A(]B^Z. Если А('\В = 0, то А{)В —
= А цВ= цЛг ц ц B,^Z. Далее, Л\В = ц Лг\(ц А) =
I	/	i	j
п
е= и ((J (А£\В7)). По определению полукольца Р, А£\В7 = ц С£,
1	/	i=i
С(^Р, т. е. At\Bj^Z. Поэтому по доказанному A\B^Z. Нако-
нец, AUB=(A\B) ц (АрВ) ц (B\A)(=Z. Таким образом, Z —
кольцо, причем, очевидно, минимальное, т. е. совпадает с Ко-
Утверждение доказано. Ц
Приведем примеры кольца подмножеств, полукольца, о-коль-
ца, алгебры, о-алгебры.
Примеры.
1.	Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой
является кольцом. Действительно, легко видеть, что объединение,
пересечение и разность двух ограниченных подмножеств числовой
оси являются снова ограниченными подмножествами, т. е. при-
надлежат той же совокупности. Данное кольцо не является, оче-
видно, о-кольцом. Система же всех подмножеств числовой оси яв-
ляется примером о-алгебры. Единицей является сама числовая
ось.
2.	Система всех конечных подмножеств произвольного множе-
ства X представляет кольцо множеств. Данная система будет ал-
геброй в том и только том случае, когда множество X само ко-
нечно.
3.	Для любого непустого множества X система {0, X}, состоя-
щая из множества X и пустого множества 0, образует алгебру с
единицей Е = Х.
4.	Рассмотрим плоскость R2 и всевозможные прямоугольники
{П}: at^x^bt, i=l, 2, a^bt. В неравенствах выше все знаки <
или некоторые могут быть заменены на знаки <. Система Р = {П}
всех таких прямоугольников образует полукольцо.
б В. А. Садовничий	129
1
Действительно, пересечение двух прямоугольников указанного
вида (стороны таких прямоугольников параллельны осям ОХ и
OY прямоугольной системы координат), очевидно, есть снова пря-
моугольник данного вида (случай «пустого» прямоугольника
a/ = &z, i= 1, 2 из нашей системы не исключается).
Для того чтобы убедиться, что Р — полукольцо, достаточно
проверить, что разность двух любых прямоугольников А и В из
системы Р представляется в виде объединения непересекающихся
прямоугольников Ct, i= 1, 2, ., п из Р. Но этот факт геометриче-
ски очевиден. Таким образом, система Р = {П} — полукольцо.
5.	Множество на плоскости называется элементарным, если его
можно представить хотя бы одним способом как объединение ко-
нечного числа попарно непересекающихся прямоугольников. Спра-
ведлив факт, что объединение, пересечение, разность и симметри-
ческая разность двух элементарных множеств являются также
элементарными множествами.
В самом деле, если Q и G — два элементарных множества,
т. е. Q = U Ak, G— U В,, Ak и В} — прямоугольники, то QflG =
k 1
= U (ЛПВ/)- также элементарное множество (так как пересе-
kj
чение двух прямоугольников есть прямоугольник).
Разность двух прямоугольников есть, как это легко проверить,
элементарное множество. Следовательно, если из прямоугольника
П вычесть элементарное множество Q, то FI\Q= (П\ U =
= Л (П\АЛ) есть снова элементарное множество (как пересече-
k
ние элементарных). Пусть теперь Q и G — два элементарных
множества. Очевидно, найдется прямоугольник П, содержащий
каждое из них. Тогда множество QUG = n\[(n\Q)n (n\G)] —
элементарное. Отсюда, а также из соотношений
Q\G = Qn (n\G),	QXG= (QUG) \(QnG)
получаем, что разность и симметрическая разность элементарных
множеств являются элементарными множествами, что и требо-
валось.
Из доказанного выше следует, что совокупность всех элемен-
тарных множеств образует кольцо. Это кольцо, очевидно, являет-
ся минимальным кольцом, содержащим прямоугольники (полу-
кольцо Р = {П}).
Перейдем теперь к изучению основного понятия данного па-
раграфа.
Определение 3. Мерой р, на полукольце Р называется не-
отрицательная функция, принимающая конечные значения и яв-
ляющаяся аддитивной, т. е.
и(Л ц В) =ц(Л) +ц(В)
для любых А и В, принадлежащих полукольцу Р, А ц В^Р.
130
Счетно-аддитивной мерой на полукольце Р называется мера,
обладающая свойством счетной аддитивности, т. е.
* 00	ОО	00
р(и Л) = £ н(4). ЛеЛ ]_|ЛеР.
1=1	1=1	1=1
Аддитивная неотрицательная функция множества, заданная
на некоторой системе множеств, обладает рядом простых свойств,
которыми мы будем часто пользоваться:
а)	ц(0)=О.
В самом деле, u(0U0) = ц(0) =р(0) + ц(0) = 2ц(0), т. е.
ц(0) = 2ц (0). Поэтому ц(0)=О.
И	и
б)	Н (|J Aj = И (Л) для любого натурального п.
i=l	i=l
Доказательство этого соотношения легко получается по ин-
дукции.
в)	ц(А\В)=ц(Л)—ц(В), если ВсзА.
Действительно, А = (А\В) цВ, поэтому
р(А)=и(Л\В)+р(В).
г)	Ц (AiUA2) + ц (А 1ГИ2) = ц (A i) + р(Л2).
Покажем это. Запишем соотношение
A1UA2=X1 IT (А2\(А 1АА2))•
Поэтому в силу аддитивности ц, а также свойства в) получаем
p(Ai(jA2) =ц(А1) +ц (А2\(А1ПА2)) =p(Ai) +ц(Л2)—|х(А1АА2),
что и требовалось.
д)	ц(А1)<ц(А2), если Л1С=Л2.
В самом деле,
A2=Ai и (Л2\Л1).
Поэтому
ц(А2) =ц(А1) +ц(А2\А1) >ц(А1).
Докажем теперь теорему, которая является одной из основных
в построении теории меры.
Теорема 1. Всякая счетно-аддитивная мера, определенная
на полукольце Р, однозначно продолжается до счетно-аддитивной
меры, определенной на минимальном кольце Ко, содержащем Р.
ф Всякий элемент А^Ко допускает разложение
д= ись c{f=p.
i=l
п	п
Положим по определению р.(Л) = р. = JT n(Cf). Если А
i=i	i=i
m	n,m
представляется также в виде А = | J D/, D^P, то А== J | Ci(}Dj и
/=1	i,i
5*	131
b
п,т	т	п
Р (Л) =£р (С{ n D,) = £ (I (О/) = £ р (С,), с.- (] Df= Р,
i,j	/=1	i=l
т. е. мера множества А^Ко не зависит от вида его разложения *>.
Докажем счетную аддитивность этой меры. Пусть А и At — мно-
00
жества из кольца /(о- Пусть А = ц Лх, тогда
1=1
п
А = []С;,	= П cik,
j=i	k=i
ClkC\Cj=Cikl, С„С1к^Р;
множества Сщ попарно не пересекаются, причем
00 т£	П
с/=[] LI Cik‘’ c« = Llcw
i=l Л=1	/=1
В силу счетной аддитивности меры на Р имеем
00 т£	П
и (с/) = Е S И <clkt), н Ы = £ р (Ciki).
1=1 k=\	]=л
По определению меры на кольце /Со получаем
и	тг
pO4) = £p(Cz), И(Л<)=£|1(С«).
/=1	Л=1
Тогда, поскольку все слагаемые неотрицательны, то
ц(Л) = £и(С/) = £ £ £n(C/t/) = £ £p(Cifc) = £p(A),
/=1	/=1 i=l fc=l	i=l k=l	i=l
что и требовалось. 
Установим теперь важное свойство счетно-аддитивной меры.
Покажем, что счетно-аддитивная мера непрерывна, т. е. если
4 э Д2 □ ... , А = Я АП1 то р (Л) = lim р (Лл)<
п	n-^QD
*) Единственность продолжения меры на кольцо Ко следует из того, что
если р — другое продолжение, то
и	п
р (Л) = £ р (Q) = £ р (С/) = р (Л)
1=1	1=1
132
Рассмотрим, например, случай Л=0, тогда
LI М«Мж)» • • • - Ап = и (ЛХЛ+0-
i=l	i==n
Поэтому
и (А) = £ и (А\А+1), • • •, н Мп) =£ м (А\Д+1).
,	i=l	i=n
Ряд для р Mi) сходится, поэтому его остаток р(Л„)—--*0. Посколь-
ку ц.(Л) =ц.(0) =0, то все доказано. Общий случай сводится к дан-
ному заменой Ап на ЛП\Д.
Свойство непрерывности меры можно сформулировать и следу-
ющим образом: если Аг cz A2cz ... , А = и Л„, то ц(Д) = Нтц (Д„).
п	п-+а>
(Доказательство сводится к разобранному переходом к дополне-
ниям множеств.)
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Счетно-аддитивная мера р на полукольце
Р является счетно-монотонной, т. е. если
A cz U Ah
i
mo
р(Д)<£и(Л„).
И
п—1
♦ Действительно, пусть Мп 0 Л)Х U 51 = Д1П^, тогда
Bi П В/ = 0, i=£ j, Bn cz A„ и A = ц Bn- Отсюда и следует неравенство
п
в силу счетной аддитивности меры:
И(Д) = £р(Вя)<£ц(Д„). 
п	п
Таким образом, выше проведена следующая конструкция: на
полукольце Р(Х) была задана счетно-аддитивная мера ц. Оказа-
лось, что ее можно однозначно продолжить до счетно-аддитивной
меры на минимальное кольцо Ко(Х), содержащее данное полу-
кольцо. (Здесь X — некоторое исходное множество.) Поэтому
мбжно с самого начала считать, что мера задана на кольце *>.
*) Из доказательства теоремы 1 следует, что если ц аддитивна на полу-
кольце Р, то она однозначно продолжается до аддитивной меры р на кольце
Хо» содержащем полукольцо Р.
Возможно продолжение меры р на кольцо более обширное, чем Хо- Соот-
ветствующее построение называется продолжением по Жордану. Идея такого
построения состоит в приближении множества Л, для которого определяется
Кера Жордана, множествами Л' и Л" (которым мера уже приписана) изну-
три и снаружи, т. е. так, что Д'сЛсЛ".
133
Данный кольцом Ко (X), вообще говоря, не исчерпываются все
множества из М (X), множества всех подмножеств X. Возникает
вопрос: на какой же максимальный класс множеств можно про-
должить функцию р, и как сделать это продолжение? Ответ дает-
ся с помощью так называемого лебегова продолжения. Рассмот-
рим случай, когда А'еР, р(А')<оо.
Определение 4. Пусть задано полукольцо Р(Х)^Х и
счетно-аддитивная мера р на Р(Х), ц(Х)<оо. Верхней мерой р*
на множестве М(Х) всех подмножеств множества X называется
функция
и*(4)= Jnf SR(Q).
U ci, CSP
1=1
Здесь нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множе-
ства А системами множества из полукольца Р.
п
Если А е Ко, то |i*(A) = p(A). Действительно, если А=ц
i=i
Ai<~P, то^*(4)<£ц(ДЭ = нИ); если А(=:	тор(Д)<^р(С£\
i=l	*	i
так как мера счетно-монотонна. Отсюда и следует, что р*(4) =
= ц(А), если Ае/(о. Дадим следующее определение, которым мы
воспользуемся ниже.
Определение 5. Расстоянием между множествами А и В
назовем число
р(А, В)=р* (ААВ).
Поскольку AABcz(AAC)U(BAC), то р(А, В)<р(А, С) +
+ р(В, С), т. е. выполнена аксиома треугольника.
Легко проверить, что р(А, В)=р(В, А) и р(А, А)=0. Тем не
менее из того, что р(А, В)=0, не следует, что А = В. Однако если
считать множества А и В эквивалентными в случае, когда
р(А, В)=0, то данное расстояние превращает совокупность клас-
сов эквивалентных множеств в метрическое пространство R =
= (Х И, Р).
Переходим теперь к определению важнейшего понятия — из-
меримого по Лебегу множества.
Определение 6. Множество АеМ(Х) называется измери-
мым по Лебегу, если для любого 8>0 существует такое множест-
во В^Ко(Х), что
р(А, В)<е.
Здесь Ко(Х) — минимальное кольцо, на которое продолжена ме-
ра р, заданная на полукольце Р(Х) czM (X), X — некоторое исход-
ное множество, Х^Р(Х).
Таким образом, множество А измеримо, если его с любой
точностью можно приблизить (по введенному расстоянию) мно-
жествами кольца.
134
Класс измеримых по Лебегу множеств будем обозначать
Ж Ясно, что «27(А') является некоторым подмножеством
АЦХ) — множества всевозможных подмножеств X. Функция ц*,
рассматриваемая на	называется лебеговой мерой и обо-
значается символом ц. Таким образом, счетно-аддитивная функ-
ция ц, определенная сначала на полукольце Р(Х), может быть
Продолжена на кольцо Ко(Х) и, более того, на множество 3?(Х).
Изучим свойства этого продолжения.
Основной является следующая теорема.
Теорема 2. Класс измеримых по Лебегу множеств 3?(Х)
Является о-алгеброй, а функция р — счетно-аддитивной мерой
на &(Х).
ф Покажем сначала, что 2? (X) — кольцо. Пусть множества
Ai — измеримы, a Bt^Ko(X). Непосредственной проверкой уста-
навливаются следующие включения:
п	п	п
(иЛ)д(ив‘)си(л‘АВ‘)’
1=1	1=1	1=1
(П A.-)A(QBi)<=(J(Al.ABi)>
i=l	i=l	i=l
(Л\Л) А (Л\В2) ст (А, А В.) и (А2 А В2).
Но тогда по определению р(А, В) ив силу полуаддитивности
ц справедливы неравенства
р(ил‘-> U<£рИьва,	и
i=l i=l
п	п	п
р(Г| А-, ПВ()<Гр(4 А),
i=i	i=i	“
р(Л1\Л2, Bi\В2)<р(А, В1)+р(Д2, В2).
Правые части в силу измеримости входящих множеств можно сде-
лать сколь угодно малыми, и, следовательно, 3? (X) замкнуто от-
носительно конечных операций суммы, пересечения, разности, т. е.
и п
множества Q Aif Q Ah Аг\А2 измеримы: аппроксимируются
i=l i=l
п	п
с любой точностью элементами кольца U	П
i=i i=i
Bi е К0(Х). Тем самым показано, что 3? (X) — кольцо. Посколь-
ку оно содержит единицу, то кольцо 3?(Х) — алгебра.
Докажем, что S(X)—о-кольцо. Пусть A,, i=l, 2, ... измери-
мы, выберем В^Ко(Х) так, чтобы р (А,\^0 <е/2п. Тогда, перехо-
дя к пределу при п~*оо в неравенстве (*), получаем, что
р(А, В) <е,
135
где
4=0 А, В=(| Bt.
i=l	i=l
z—1	<*>
Положим Ct=B£\|J тогда B=z LJCt’	Ряд£р(С\) cxo-
k—l	t=l	i
дится (рассматривается полукольцо с единицей и g(X)<oo), сле-
оо
довательно, существует число N такое, что ц (С\) < 8. Тогда
N
Р {в, и С.-) < е и
1=1
У	W
р (Л, Ц Cz) < р [В, и С,) + Р (Л, В) < 2е.
1=1	1=1
Поскольку С^Ко(Х), то'множество Л измеримо и S’(X)—
о-кольцо.
Докажем конечную аддитивность р* на 3?(Х). Следующие
два включения очевидны:
Л<=ви (ЛАВ),
В<=ЛЩЛДВ).
В силу монотонности р* и определения, р (Л, В) из этих включе-
ний имеем
| р*(Л)—р* (В) | <р(Л, В).
Пусть Л1 и A2^S (X) и Л=Л] ц Л2. Выберем е>0 и множества
Вь В2^К.о(Х) так, чтобы р(Л„ BI)<e/6, i=l, 2. Тогда
р(Л1 и А2, B1UB2) <р(Л1, Bi) + р(Л2, В2) <е/3.
Далее,
|р*(Л1 цЛ2)-р*(В1иВ2)|<р(Л1 ц Л2, B,UB2)<e/3.
В силу аддитивности р* на Ко(Х) имеем (на Ко мера р* совпа-
дает с р):
р* (B,UB2) = р (BjUB2) = р (Bi) + р (В2) -р (В,ПВ2).
Вычислим меру p(Bif|B2). Имеем
=Р(В.П52, 0) — р(В1ЛВ21 Л 1Г|Л2)с
Cp(Bi, Л1)'+р(В2, Л2)<е/3.
Наконец
|р*(Л,)-н*(В.)1<р(Л.,В,)<е/6, i=l, 2.
Окончательно получаем:
I И* Их А2 ц ) —р* (Л^) — р* (Л2) | =
136
— In (^i LI 4) H (4U4)"I“M (4U 4) И (4) Н (4)1
< )н* (А и 4)—n*(4U4)l + |ц*(4)— м*м1)| +
+ | Н* (4)—Н* (4) I + Н* (4 Л 4) <
Так как в произвольно, то
И* (4 ц Л2)=и*(Л1)+р*(Л2),
т. е. мера ц* аддитивна на 3?(Х).
Оказывается, что мера р‘ является и счетно-аддитивной. Действи-
00
тельно, пусть Л=ц тогда из счетной монотонности следует, что
k=i
00
р*(Л)<^Г 1-1* (4)- *) С другой стороны,
А=1	N
н* (4=н‘ (и 4) + ц‘( и 4) >£ н* (4)
।	/?=1	k=N-\-l	k=\
для любого N, т. е.	р*(АО- Значит, ц*И) = |Г р*(Л*). 
Заметим, что процесс продолжения меры по Лебегу тесно свя-
зан с процессом пополнения метрического пространства R =
= (X, ц, р), р(Л, В) =ц* (ЛДВ). Оказывается, что Z (X) совпадает
с пополнением этого метрического пространства по метрике р.
(Множества А и В, для которых р(Л, В)=0, не различаются.)
Примеры.
1.	Пусть полукольцо Р образуют прямоугольники {П} в Rn:
i=l, 2, n, fliCbr. В неравенствах выше все знаки
< или некоторые могут быть заменены на <. Так же, как и для
плоскости, проверяется, что Р — полукольцо. Тогда минимальное
кольцо Ко над этим полукольцом будет совпадать с множеством
всех элементарных подмножеств в Rn. (Как и в случае плоско-
*) Действительно, если Л с U 4, то Для любого 8 > О существует система
/г
{4/}. 4/ е р такая, что 4 <= U Akj и ц* (Ak) >^Н(4/) — ТогДа
/
л CZ U Aki и |Х* (Л)< V |1 (4/)< У>* (4) + 8.
k*i k
В силу произвольности 8 получаем, что |1* (Л) < У ц* (Л*).
137
сти, множество элементарно, если оно есть объединение конечного
числа прямоугольников.) Зададим на Р аддитивную меру ц так:
п
мера прямоугольника П равна его объему S= J"J (&t—а/) = р(Щ
i=i
Эта мера может быть продолжена до счетно-аддитивной меры на
кольце /G. Далее может быть определена мера ц*, как и в абст-
рактном случае, и мера ц может быть продолжена на класс 2^
как и в теореме 2, до счетно-аддитивной функции. Класс Z назы-
вается классом измеримых по Лебегу множеств в Rn.
Единственным отличием в построении меры Лебега <в Rn oi
абстрактного случая является то, что здесь не предполагается
счетная аддитивность меры на полукольце Р. Счетная аддитив-
ность меры на № и на классе 2? следует только из аддитивности
и топологических свойств множеств в Rn (леммы Бореля — Ле<
бега).
В самом деле, вернемся снова к доказательству счетной адди^
тивности меры ц* в абстрактном случае. Основным моментом я
этом доказательстве является утверждение о ее счетной монотон-
ОО
ности, т е. утверждение о том, что если A cz |J Ak, тс
k=\
<х
рГ(А)<2? |i*(AJ. В свою очередь это неравенство, как мы по-
л=1
казали при доказательстве теоремы 2, вытекает из счетной мо-
нотонности меры ц, определенной на полукольце.
Следовательно, для того чтобы показать счетную аддитивность
меры ц* в случае Rn, необходимо только показать счетную моно-
тонность меры |i, определенную на прямоугольниках и продол^
женную на элементарные множества (на кольцо Ко) по правилу:
если А = ц Пл,
то |1(Л) = Гц(Щ)
«wad
k
(здесь А — элементарное множество, Ш — прямоугольники).
Установим счетную монотонность аддитивной меры р для эле-
ментарных множеств в случае Rn. Пусть А — элементарное мно-
жество и {Дп} — конечная или счетная система элементарных
множеств такая, что A^(jAk, тогда покажем, что р(Д)<
<^?р(Дй). Выберем е>0 и такое замкнутое элементарное мно-
k
8
жество fczA, что jx(F)>p(A)----Для этого, очевидно, доста-
точно каждый из прямоугольников FL, составляющих А, заменить
замкнутым прямоугольником с объемом большим, чем |х(П1)---
138
Далее, для каждого Ak выберем открытое элементарное мно-
жество Gjfe, содержащее Ak и удовлетворяющее условию
ji(GJ <ц(4) +-^-.
Очевидно, что Fa |J Gk. Из системы {G*} по лемме Бореля —
k
Лебега выберем конечную подсистему G*,.....Gkp, покрываю-
щую F. При этом, очевидно,
1=1
гак как в противном случае множество F оказалось бы покрытым
конечным числом прямоугольников с суммарным объемом мень-
шим, чем ц(Р).
Следовательно,
р
pH)<p(F) + ^<yp(Gfcp + ^<Vp(Gft) + ^<
£ Ляв	Лнл	£
1=1	k
<2и(Л)+2'^т+т=2и(4)+е’
k	k	k
откуда в силу произвольности е следует счетная монотонность
меры ц для элементарных множеств:
и И) < £ и (4)-
k
Отсюда, как уже говорилось, точно так же, как и в абстрактном
случае, получаем счетную монотонность, также счетную аддитив-
ность продолженной на класс Z меры ц* в Rn.
Таким образом, в отличие от случая построения меры на про-
извольной системе множеств, образующих полукольцо, в случае
системы множеств из R,n не требуется счетная аддитивность меры
на полукольце — она вытекает из аддитивности и леммы Боре-
ля — Лебега.
2.	Часто используется следующее утверждение. Оказывается,
что в определении ц*(Л) в случае Rn для покрытий можно брать
только открытые прямоугольники Q из полукольца Р, Q =
={% : at<x<bt, i= 1, 2, ..., п}.
В самом деле, если
ц‘(Д)= inf Гц(П4), а |х;(Л)= inf У\(3А),
и nk,nkefi	лею Qk.Qkep %
где П*—произвольные прямоугольники, a Q*—открытые, то всегда
|1*(Д)<р.д(Л). Докажем, что р*(Д) = Цд(Д). Пусть выполнено про-
139
тивное, ц*(Д) <|i*(X),	|л*(Л) = е. Выберем такое покрытие
множества А, что
£и(П0-и*М)<-^.
k
Заменим каждый прямоугольник открытым Qk,	и та-
ким, что
Тогда
k
т. е.
JJhCQO-4-е<-^,
k
k
что противоречит определению ц*(А). Таким образом, р£(Л) =
= ц* (Л). Поэтому, если множество А измеримо, то для любого
€>0 существует такое открытое множество СэЯ, G= (J Qk>
что ц*(б\Д)<е. Перейдя к дополнениям, заключаем, что для
любого 8>0 существует такое замкнутое множество F, что
p*(4\F)<8, FczA.
3.	Открытые множества измеримы, т. е. принадлежат о-кольцу
2? (X) с единицей X (в этом случае мы называли кольцо о — ал-
геброй). Действительно, в Rn, как мы знаем из рассмотрений
§ 2 гл. I, открытые прямоугольники образуют счетную базу.
Поэтому, поскольку всякое открытое множество А есть объедине-
ние счетной системы открытых прямоугольников (а они, очевидно,
измеримы), в силу теоремы 2 множество также измеримо. Замк-
нутое множество, как дополнение открытого, является также из-
меримым. Борелевским называется множество (см. пример 4 п. 2
§ 4 гл. I), которое может быть получено с помощью не более чем
счетного числа операций, исходя из открытых множеств, причем
каждая операция — это либо взятие объединения, либо пересече-
ния, либо переход к дополнению. Всякое борелевское множество,
например, единичного квадрата, является измеримым. Борелев-
ские множества образуют наименьшее из о-колец, содержащее
открытые множества.
4.	Счетные множества в Rn измеримы и имеют меру нуль.
Действительно, пусть A = {Xk} — счетное множество. Покроем точ-
ку xk открытым прямоугольником Qk таким, что p(Qfe) =е/2<
140
Тогда ц*(Л)<е для любого е>0, т. е. ц*(Л)=0. Множество Л,
для которого верхняя мера равна нулю, оказывается всегда изме-
римым. В самом деле, заметим, что пустое множество всегда при-
надлежит кольцу: 0еДо(-Х), а также что
р(Л, 0) =ц*(ЛД0) = ц*(Л) =р,(Л) =0.
5.	При построении меры в R” удобно рассматривать сначала
только подмножества единичного квадрата Е. Тогда полукольцо
Р обладает единицей Е и ц(£) = 1. От этого ограничения можно
освободиться, покрыв все Rn счетной системой единичных квадра-
тов Ek и назвав множество Л измеримым, если измеримы его пе-
ресечения с каждым из квадратов и И (Л П £ft) < оо, при этом
k
М(Л)=2>(ЛЛ^).
k
6.	Если полукольцо произвольных множеств, на котором опре-
делена исходная мера ц, не имеет единицы, то все построения
остаются в силе, но мера ц* оказывается определенной только на
такой системе множеств, для каждого из которых существует по-
крытие J Ck множествами из Р с конечной суммой ^T|x(Cfe).
k	k
7.	Мера ц называется полной, если из соотношений р(А)=О
и AiCzA вытекает, что ц(А1)=0. Лебегово продолжение меры
полно. Действительно, если AiczA и ц(А)=0, то ц*(А1)=0, а
любое множество В, для которого ц*(В)=0, как уже показыва-
лось © примере 4, измеримо.
8.	Можно показать, что если исходная мера р, задана не на
полукольце, а на произвольной системе множеств, то на 2 (X)
она продолжается не однозначно.
9.	Пусть X — произвольное множество. Тогда (X, Ка, ц) на-
зывается пространством с мерой, если существует a-кольцо Ка
подмножеств X и счетно-аддитивная мера ц на Ка- Если Х<=Ка,
то X называется измеримым пространством. Например, X — еди-
ничный квадрат в Rn, ц — мера Лебега в Rn, тогда (X, Ка, ц) —
измеримое пространство. Пусть X — множество положительных
чисел, Ка — множество его подмножеств, ц(А) — число элемен-
тов множества А, тогда (X, Ка, ц) — измеримое пространство.
В теории вероятности событие — это множество, а вероятность
наступления события — это аддитивная или счетно-аддитивная
функция множества (его мера). Часто, если ясно, о чем идет речь,
для обозначения измеримого пространства (или пространства с
мерой) будет использоваться просто символ X.
10.	Пусть Х = {%1, Х2, ...} — произвольное счетное множество.
Поставим в соответствие каждому элементу х^Х его «вес» —
ОД
положительное число ап, причем потребуем, чтобы afe=l.
»	k=A
Пусть Р — полукольцо всех подмножеств X. Для каждого AczX
141
положим И(4) = yj ak Очевидно, что р(Х)=1, а также легко
проверить, что ц — счетно-аддитивная мера
11.	Приведем пример еще одной меры. Пусть Ф(£) — некото-
рая неубывающая, непрерывная слева функция на прямой. По-
ложим
ц(а, Ь)=Ф(&)—Ф(а + 0), ц[а, i] =Ф(Ь4-0)— Ф(а),
Ь] =Ф(& + 0)—Ф(аЧ-О), |л[а, Ь) = Ф(Ь)—Ф(а).
Так определенная функция ц неотрицательна и аддитивна.
Применяя к ней общую схему продолжения меры, можно по-
строить класс 2 измеримых множеств, на котором мера ц будет
счетно-аддитивна. Меры, получаемые с помощью таких функций
Ф(0, называются мерами Лебега—Стилтьеса. В частности, если
ф(/) = /, то отвечающая ей мера будет обычной мерой Лебега на
прямой.
12.	В рассмотрениях выше всюду мы имели дело с измеримы-
ми множествами. Класс 2 (X) измеримых множеств содержит все
открытые, замкнутые, борелевские множества и является весьма
широким.
Построим сейчас пример неизмеримого множества на окруж-
ности С длины 1. Пусть а — иррациональное число. Разобьем
точки окружности на классы, отнеся к одному классу те точки
окружности С, которые могут быть переведены одна в другую
поворотом на угол kaix, k — целое. Каждый из таких классов
будет состоять из счетного множества точек. Выберем теперь в.
каждом классе по «представителю» — некоторую точку. Объеди-
нение всех таких точек образует неизмеримое множество Wo-
Обозначим через W* множество, получаемое из Wo с помощью
поворота на угол алй.
Все множества W* попарно не пересекаются, и их объединение
составляет всю окружность.
Если бы множество Wo было измеримо, то были бы измеримы
и конгруэнтные ему множества W&. Поскольку С = II Wb W* HW/ =
да
= 0, А =/= /, то мы бы получили, что
И(С)=1= £ №).
k=—оо
Но все множества V* должны иметь одну и ту же меру, т. е.
p(4fft)=y. Следовательно, получилось противоречие, так как если
[00
p(4f*)=y = 0, той £ р(Vft) — 0#: 1, а если у>0, то ряд
£==—оо
142
оо
2^ Н (^fe) расходится. Следовательно, множество Vo и каждое
й««— ОО
неизмеримы.
13.	Условие X<=KQ(X) в ряде случаев оказывается слитком
сильным. Поэтому часто рассматривают более слабые условия,
когда X принадлежит к Ла (X)— минимальному сг-кольцу, со-
держащему исходное полукольцо Р(Х), Тогда все множество
X является счетным объединением множеств из полукольца: Х=
«ЦХЪ Xke=P(X).
Мера р в этом случае называется ^-конечной.
Множество А называется измеримым по Лебегу относительно
су-конечной меры р, если измеримы все множества
й=1, 2, ...
оо
Мерой множества А называется сумма ряда	р*(А П XJ,
1=1
если он сходится, и +оо в противном случае.
Нетрудно убедиться, что измеримые множества по-прежнему
образуют а-алгебру, а определенная выше верхняя мера является
счетно-аддитивной, причем обе части равенства
И(Ц А») = Г|1(Л)
k	k
могут равняться бесконечности.
§ 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Переходим теперь к изучению важного класса функций, кото-
рые называются измеримыми. Именно для таких функций в сле-
дующем параграфе будет построена теория интеграла.
Рассмотрим измеримое пространство X, т. е. произвольное
множество с выделенной в нем о-алгеброй подмножеств (едини-
ца — само множество X) и с заданной на этой <у-алгебре счетно-
аддитивной мерой. (Множества являются измеримыми, если они
принадлежат указанной о-алгебре).
Дадим следующее определение.
Определение 7. Вещественнозначная функция f(x), за-
данная на измеримом пространстве X, называется измеримой,
если при любом числе ggR1 измеримо множество {х: f(x)>a}.
Справедливо следующее простое утверждение.
Утверждение. Функция f(x) будет измеримой, если при
любом числе а измеримо одно из следующих множеств:
•	{x:f(x)>a}, {x:f(x)<a}, {x:f(x)<a}.
143
x:f(x)>a------j, {х: f(x)<c) = Х\{х :f(x)>a),
ф Доказательство утверждения следует из представлений:
^а}= Q
*==i
{х:/(х)<а}= Q [x: f (x)<a + -Ц, {x: /(x) >a} = X\{x:f (x)<a},
fe=l l	Л )
а также из того, что само X измеримо, (пересечения измеримых
множеств, дополнения измеримого* множества до всего X — изме-
римы (X — измеримое пространство). Ц
Справедливы следующие свойства измеримых функций.
Свойство 1. Если функция f(x) измерима, то и функция |f(x) |
измерима.
ф Действительно,
{х: |/(х) | >а}={л : f (х) >a}(J{x • f (х) < — а}. 
Свойство 2. Если функции fn(x) измеримы, то функции
fsup (х) = sup/„ (х), /ш{ (х) - inf fn (х);
п	п
7'(x) = lim/„(x), f(x) = lim/„(x),
П "*СО	П->ОО
I также функции f+(x) =max{f(x), 0}, f~(x)=—min{/(x), 0} изме-
римы.
ф Действительно,
{х: fsup (х) > а} = Q {х: fn (х) > а},
Л=1
7 (х) = inf gm (х), gm (х) = sup fn (х).
m	n>m
Для функций finf(-v), f(x) доказательство аналогично. В част-
ости, предел измеримых функций измерим. Функции f+(x), f~(x),
чевидно, также измеримы. Ц
Свойство 3. Если f(x) и g(x) — измеримые, принимающие
онечные значения вещественные функции, определенные на мно-
жестве X, функция F(u, v) вещественна и непрерывна на R2, то
ункция F(f(x), g(x)) измерима. В частности, функции f+g>
g, fm, где m — натуральное число, измеримы.
В самом деле, пусть 1п — прямоугольник:
In~{u, v *. ап<и<Ьп, cn<.v<dn}, ап<Ьп, Cn^dn-
огда, поскольку прямоугольники 1п образуют базу в R2, а в си*
у непрерывности F(u, v) на R2 множество, на котором F(u*
)>а, а — вещественно, открыто, то можно записать
{и, v:F(u, v) >а}= Q /п.
П=1
144
Множество {x:f(x), g(x)^In} = {x:an<f(x)<bn}ft{x: cn<
<g(x)<dn} — измеримо.
Поэтому множество
{x:F(f(x), g(x)) >a}=(J {x:f(x), g(x)<=In}
n=\
— измеримо, что и требовалось. 
Комплекснозначная функция называется измеримой, если
измеримы ее вещественная и мнимая часть.
Для измеримых функций можно определять различные типы
сходимостей. Например, а) равномерная сходимость:
^^авн,^д если SUp|^(x)—/(х)|->0, n_>o0. б) СХОДИМОСТЬ ПОЧ-
хех
ти всюду:	если fn(x) сходится при п-+оо для всех х,
кроме подмножества меры нуль; в) сходимость по мере fn——lp^K
если для любого е>0 р{х: |fn(x)—/(х) | >е} стремится к нулю
при п->оо.
Из равномерной сходимости следует, очевидно, сходимость,
почти всюду и по мере Из сходимости почти всюду на измеримом
пространстве Х(|л(Х)<оо) следует сходимость по мере. Это сле-
дует из того, что множества Еп,&= (J {х: |/&(х)—f(x)l >®}
k^n
обладают свойством £i,ezz>E2,8=> • • • и ц(£п,е)->0, п->оо.
Нетрудно убедиться, что из сходимости последовательности
функций по мере не следует, вообще говоря, сходимость почти
'всюду, например, последовательность fik), /2А), •••, ft, k =1,2,...,
1, —<К-, i=l, 2, ..., k,
k	k
О для остальных x
сходится к нулю по мере, но не сходится к нулю ни в одной
точке.
Однако, если несколько изменить исходную последователь-
ность, то обратное утверждение справедливо: если fn-^f по мере,,
то существует подпоследовательность {fn(k)}> сходящаяся к f почти
всюду. В самом деле, пусть Рп,е = {х: |/л(х)—/(*)!>£}• По усло-
вию limfi(Pn>£) = 0 при 8>0. Поэтому для любого натураль-
П->оО
ного k существует такой номер n(k), что р(Pn(k),i/k) < 1/2*.
Утверждается, что подпоследовательность fn(k) — искомая: мно-5
жество тех х, где fn(k)(x) не стремится к f(x), содержится в мно-
жестве	а поэтому оно имеет меру нуль (здесь
___	fe->oo
lim означает верхний предел последовательности множеств)’.
Следующие две теоремы играют важную роль в теории изме-
римых функций и проясняют их структуру.
Теорема (Егоров). Пусть X — измеримое пространство
(р(Х) <оо) и	на X, тогда для любого 6>0 существует
/!*’(*) = 1
145
множество EtcX такое, что ц(Еа) <б и па Х\Еа fa сходятся к f
равномерно, п^-оо.
♦ Пусть En>e= И {х: 1А(Х)—f (х) | > е).	Для любого вату-
k^n
рального р существует такой номер п(р), что р.(ЕП(Р), i/P) <6/2^.
Пусть Е6 = Q Enw.vp, топда ц,(Еа)«б и при k>n(p) |fs(x) —
Р=1	—
—f (х) I< 1/р, если хеЕб, что и требовалось. |
Теорема (Лузин). Пусть f(x) принимает конечные значения
и измерима на измеримом пространстве X, ц(Х) <<*>, X — под-
множество R". Для любого 8>0 существует такое измеримое мно-
жество 4eczX, что р(1\Де)<£ и f(x) непрерывна на Ае (т. е. не-
прерывна как функция,, заданная на Ае).
ф Так как f = f+—f~, то можно считать />0. Пусть сначала
m
J — простая функция, т е. f(x) = с, при хеХ;, Ц Xt = Х, Xt f| Х; =
1=1
= 0,	/, Х(— измеримы. Согласно примеру 1) для каждо-
го Х( найдем такое замкнутое множество Е,сХ„ что ц(Х(\Е,)<
<е/т. Пусть Г = ЦЕ(, F{ f\Ft = 0, i=£ j. Тогда p(X\f)<8
1 = 1
и f(x) непрерывна на F. В самом деле, пусть Xq^F, тогда Xo^Fj
на некотором /, все F} замкнуты, число их конечно, значит, х0 —
предельная точка только Fj. Функция f(x) постоянна на Fh по-
этому непрерывна на Fh а по сказанному — и на F.
Пусть теперь f(x) — произвольная, конечная, неотрицатель-
ная и измеримая функция. Образуем последовательность простых
'функций
... если -^"</(х)< Kv<ft2.
fk (х) = fe	Ь	k
I k, если f (%) > k.
Простой проверкой убеждаемся, что fi, f2, . . . сходятся на X к f.
По теореме Егорова существует множество £e/2czX такое, что
g(£e/2) <е/2 и fk сходятся равномерно к f на Х\Е&/2. По дока-
занному для каждой fk найдется такое множество FgCiX, что
jx(X \fg) < и fk(x) непрерывны на На множестве
Д8 = Х\(Ее/2и и (Х\^))
k=l
функции ffe(x) непрерывны и последовательность fi, f2, . . . cxo-t
дится к f равномерно, т. е. f(x) непрерывна на Ае. Далее,
ц(Х\Дг) <8,
что и требовалось. |
146
§ 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
В настоящем параграфе строится интеграл Лебега по абст-
рактной мере.
Определение 8. Вещественная функция s(x), определенная
на множестве X, называется простой, если множество значении
функции s конечно.
Пусть множество значений функции s состоит из различных
чисел ci, с2, . . . , сп и
Et = {x : s(x) = ct}, i= 1, 2, . . . , n.
Тогда очевидно, что простая функция s(x) представляется как
линейная комбинация (конечная) характеристических функций
Xez (х) множеств £\, 1=1, 2, . . . , п, т. е.
п	(1 Y F
s(x)= JF с,Х£<(х), Х£Дх) = |о’
Следующая лемма об аппроксимации простыми функциями
будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть f — вещественная функция, определенная
на множестве X. Тогда существует последовательность {sn(x)}
простых функций такая, что sn(x)-+f(x) при п->оо для всех х^Х
Если f измерима, то существует последовательность измеримых
функций {sn(x)}, сходящаяся поточечно к f(x). Если f>0, то по-
следовательность {sn} можно считать монотонно возрастающей.
Последовательность {sn} сходится к f равномерно, если f огра-
ничена.
ф Если то положим
Еп =	</(*)< ^}’ Fn = {x:f(x)^n},
п=1, 2, i=l, 2,	п-2п.
Положим
п 2п
Sn = V^±XE + nXF.
^1 2п ni п
(=1
Очевидно, что sn удовлетворяют всем условиям теоремы для
функций f>0. Действительно, зафиксируем х=х« и рассмотрим
случай f (Хо)<°°:
I f (х0)—sn (х0) | < f (х0)——1 + n*Fn (х0),
•> В случае произвольной функции f(x) следует воспользоваться представ*
лением f (х) =f+ (х) — f- (х).
147
если
------- < f (*о) < ~ .
v и/ 2п
sn(x])\< -~r+nXFa(xo)^0, П^<Х>,
т. e.
так как если /(хо)<«>, то при п, достаточно большом (n>?V),
Л*о)<л и, значит,	Х^п(хо) = 0,	Очевидно так-
же, что при п->сю мы всегда можем добиться того, чтобы —
< f (х0) < при некотором /, 1</<п-2п. Если f ограничена на
множестве X, то величина пХ^(х) =0 для всех х^Х при дос-
таточно большом п, поэтому согласно проведенной выше оценке
стремление Sn(x) к f(x) будет происходить равномерно относи-
тельно х^Х. Если же в точке х0 f (*о) = Н-°°, то, очевидно, и
-£п(хо)->+°о, так как в этом случае Хрп(х0)=1. Последова-
тельность sn(x) по* своему построению монотонно возрастающая.
Если функция f измерима, то все множества Еп., Fn изме-
римы, поэтому измеримы и функцииХ^, Х?п и их комбинации. В
1. Определение интеграла Лебега
Мы определим *> интегрирование функций на измеримом прост-
ранстве X с о-кольцом Ка и мерой р.
п
Определение 9. Пусть s(x) = JF ctX£z(x), хеХ, >0 —
i=l
измеримая, простая неотрицательная функция. Пусть множество
E^S?(X), т. е. множество Е измеримо. Интегралом Лебега по
множеству Е такой простой функции называется число
п
/£(s) = £Cl.R(£n^).
1=1
Если функция f измерима, f>0, то интегралом Лебега функции f
по измеримому множеству Е относительно меры ц называется
числ0	fdp = sup IE (s),
E	s
где верхняя грань берется по всем простым функциям s таким,
что	Число (/ф может быть равно и бесконечности.
Е
* Данная схема построения интеграла Лебега изложена в книге: Рудин У.
Основы математического анализа. М.: Мир, 1977.
148
Если f — простая функция, то J/dp= 1Е (f). Действителен
Е
но, J /ф > /е (/). Покажем, что
Е
Пусть з — .простая функция, отличная от f : Ocscf. Возьмем
какое-нибудь Et={x : f (х) =с,} и рассмотрим интегралы от f и $ го
£|"|£г. Тогда, если
Ен = {х(=Е(:з (х) = kif}, у Ен = Е П Ес, то IЕ( (/) = с.ц (Е П Д(),
4Д«) = 1>/Р((ДЛД<)ПД//).
/
Имеем
IEi ($) < max kif £ ц ((Д П Дг) Л Ец) < с{ £ р ((Д П ДО Л Д/,)-
' /=1 /=1
Но
(Д л Ei) л Ец л (Д л д с) Л Eki = 0 при j =£ k.
Поэтому
V ц((Д л Ei) л Efi) = и (и (Д Л д() Л Ец).
Далее,
U (ДПД<)ПД/< = ДЛДр
Следовательно,
7£.(3)<С/ц(ДЛД0=/£/(/).
Таким образом, если s < f, то
Ie (s)</£(/), sup/£ (з)</е (f), J/dp</E(/:).
s	Е
Отсюда и следует равенство J f dn = IE(f), если f—простая функция.
Е
Определение 10. Интегралом Лебега произвольной функ-
ции f по измеримому множеству Е называется число
ЕЕ	Е
если хотя бы один из интегралов справа конечен.
Определение 11. Функция f называется интегрируемой
(или суммируемой) по Лебегу на измеримом множестве Ё по мере
д, если оба интеграла	конечны. Класс интег-
Е	Е
149
рируемых ио Лебегу на множестве Е по мере р, функций будем
обозначать L1 (ц)
Следует подчеркнуть, что при данных определениях интеграл
Лебега от функции может быть определен и равняться 4-оо или
—оо, но функция может не быть интегрируемой по Лебегу. Функ-
ция интегрируема по Лебегу только тогда, когда ее интеграл по
этому множеству конечен
2. Свойства интеграла Лебега
Докажем следующие свойства интеграла Лебега
Свойство 1 Если функция f измерима и ограничена
(|f|<К) на множестве Е и p(E)<Z + <», то f интегрируема в
смысле Лебега по множеству Е, т е.
ф Если — простая, измеримая, ограниченная функция,
то
J j dp = IE (/) = £ С(И (£ n E.x К • £ P (E n Et) =
E	i=l
= K«|i( и £AFt.)<K-p(£)< oo, (/</<).
i=i
Если же f — простая и меняет знак, то утверждение следует из
представления
Таким образом, для простых функций все доказано. В общем
случае для оно следует из того, что j/dp = sup/£ (s), где
Е	s
s — простые функции такие, что Ocscf, а поэтому s ограничены
одним и тем же числом К	следовательно, Ie(s) ограниче-
ны одним и тем же числом /С-р,(Е). Представление f=f+—f~ за-
канчивает доказательство. И
(Свойство 2. Если f измерима на Е, ц(Е)< + оо и
a<f(x)<b, то
ар(Е)<С$ fdp<b-p(E).
Е
ф Утверждение следует из свойства 1:
f(x)<b, —f(x)<—a. 
Свойство 3. Если f и geL'(p) и если f(x)<g(x) для всех
х^Е, то
f	J gdp.
Е	Е
150
ф Для простых функций неравенство проверяется (непосред-
ственно. Пусть f и g неотрицательны. Тогда
j f dp = sup 7e(s), s<f,
E	s
f gdp = sup7£(0,
E	t
s, t— простые функции. Поскольку s^f^g, то ясно, что sup/e (s) <
s
<Csup/E(/). В общем случае надо воспользоваться представле-
t
•НИЯМИ
/=Г—Г, g=g+—g~, f+^g+, g-<f-' 
Свойство 4. Если f^L1 (pi), то cf^L'fa) на Е, для любого
числа с, не равного бесконечности, и
J cf dp — с J f dp.
Е	Е
♦Свойство 4 следует из аналогичного свойства для простых
функций взятием верхней грани. И
Свойство 5. Если ц(£) = 0, a f — измерима, то
,f^p = O.
Е
фИз определения интеграла Лебега для простых функций
получаем, что
/e(s) = £ Cip(£(l£i) = 0.
1=1
Поэтому для f>0 имеем, что
f / dp = sup/е (s) = О, s<f.
Е	s
Таким образом,
= 1 /+dp — f/-dp = O,
ЕЕ	E
что и требовалось. И
Свойство 6. Если f<=Z.‘(p) на Е, А^З?(Х) (измеримо),
А<=Е, то /е£'(р) на А.
ф Если f>0 — простая функция на Е, то для ее сужения 7
на А справедливо:
п	п
W) = E сгр(АПЛ)<£ С#(Е(\Е(),
1=1	1=1
151
где
At= {х е А: f(x) = cj.
Пусть теперь f>0 — произвольная функция, /еЬЦр), тогда
sup/^(s)<sup/£(s), где s, f— сужения функций s и f на
?<Г «СГ
Acf. Как и выше, доказательство заканчивает представление
f=f+-h 
Докажем теперь основные теоремы теории интеграла Лебега.
Т еорем а 3. Пусть j измерима и неотрицательна на множест-
ве X, Для А^2 (X) определим ф (Л) = [ f dp. Тогда функция
А
qp — счетно-аддитивная функция на 2?(Х). То же верно, если
f^L1 (ц) на X.
оо
фМы должны показать, что ф(Л) = JT ф(Лп), если Ап^З?(Х)
n=i
оо
для всех л, Alf]AJ = 0 при * i^j, Л=ц Ai- Если f — характе-
п=1
ристическая функция, то счетная аддитивность функции <р следует
из счетной аддитивности меры р. Действительно,
jx£dp = p(AA^).
А
Если f — простая функция, т. е.
m
f = £c{XEi(x),
1=1
то
m
Ф(Л)= { fdn = IA(f) = £ Cin(A{]Ei).
A	i=l
В силу счетной аддитивности ц получаем, что
<Р(Л)=£ ф(Д„).
П=1
Далее, для каждой простой измеримой функции $ такой, что
Ocscf, имеем
/л(8) = рф = £ рф<£<р(Ал),
А	п=1 Ап	п=1
поскольку scf.
152
> Поэтому
Ф(Л) = sup /л(s)< У ф(Лп).
°<s<'	£1
Докажем обратное неравенство.
Если ф(Л„)= + оо при каком-нибудь /г, то так как ф>(Л)>
>ф(Лл) для всех п, ф(Л) = У/ф^ J f dp. Поэтому пусгь
Д	Ап
<р(Лга)< + оо для любого п. Для заданного s>0 выберем измери-
мую простую функцию s так, что Ocscf и
jsdp>J/dp—е, Jsdp> J f dp—е.
At	Al	At	Ax
Тогда
f sdp = J sdp +J sdg > ф(Л,)-|-ф(Л2)—2e.
ДцА A Aa
Следовательно-,
Ф (^i 11 ^2) >ф(А1) +Ф (A2) •
Поэтому для любого n
фИ1Ц^2Ц. • • 11 An) Xp(Xi) 4-. . . + tp(An).
Поскольку A zd Aj LL U4. TO /л (s) /Л1Ц...цАп (s) И
SUp IA (S) > SUp /Л,ц.. ,цЛ_ (S),
s	s
t. e.
ч>И) > £ ф(Л£).
i=l
Откуда
фИ) > £ ф(А).
i=i
Если f — произвольная функция, то надо рассмотреть пред-
ставление f=f+—f~ и применить доказанное утверждение. В
Следствие. Если В, XeS’(X), ВсЛ, ц(Л\В)=0 и функ-
ция f измерима, то
$fdp = $fdp.
А	В
♦В самом деле,
Л = ВЦ(Л\В), j‘fdp = pdp+ j fdp = pdp,
А	В	А\В	В
поскольку |1(А\В)=0. Ц
153
Приведенное следствие показывает, что множествами меры
нуль при интегрировании но Лебегу можно пренебречь.
В связи с этим дадим следующее олределе1ние.
Определение 12. Если свойство Т выполнено для каждого
и если р(Д)=0, то будем говорить, что свойство Т вы-
полнено почти всюду на измеримом множестве Е, или для почти
всех х^Е при заданной мере ц.
Если |л({х if (x)=#g(.x)}f|E) =0, то f эквивалентна g на E, f~g
на E Так f~f; из f~g следует, что g~f\ из f~g,g~h сле-
дует, что f~h:
{х : f^h]a{x : f=/£}lj{x : g=£h}.
Если f~g на E, то для любого ,4c£ ^/dp = Jgdp, если один
A	A
из этих интегралов существует. Действительно, пусть А' — то
множество, где f^=g. Тогда
р(А')=О, J/dp= J	= J gdpH-\gdp= \gdp.
А	АхА'	А'	АхА'	А’	Л
Теорема 4. Если f^L'(n), то и |f | е£*((л) «
|рdp|< J |/|ф.
Е	Е
фПусть Е=АЦВ, где f>0 на Л и f<0 на В. Поскольку ин-
теграл Лебега — аддитивная функция множества, то
J = 1/1.Ф + J |/1ф==р+ф +р~ф< + °о.
Е	А	В	А	В
Поэтому | f |eL1 (ц). Далее, f< |f|, —	|f|,
Е	Е	ЕЕ
юэтому I рф|< J 1/1Ф. что и требовалось. 
Е	Е
Теорема 5. Пусть функция f измерима на Е, |f|<g;
тогда
фВсегда f+<g, f~^g, значит, если 0<s<f+ и s — простая
)ункция, то sпоскольку £ £ф== sup/я (s) < +оо, то и [f+djx <
Е	s	Е
С +оо. Аналогично проводятся рассуждения для f~. В
Теорема (Чебышев). Если функция f(x)>0 на	то
{х: х е A, f (х) > с} < J f dp
для любого числа г>0.
А
154
фПусть А'={х-.х^А, f(x)>c}. Тогда
A	А’	Л\Д'	А'
что и требовалось. Ц
ч Следствие. Если J |f|dp-O, то f=0 почти всюду.
А
фПо теореме Чебышева
р |х:х<= A, If|> — | <п С \f\dp = 0 для n = 1, 2, ....
I	J V
А
Поэтому
ц{х: xg Л, /^0} -< у р |х: хе Л, |/|^>-^-|=0,
п—1
поскольку
{х:хеЛ, f#=0}= U /х:хеЛ, |/|>—1.И
п=1 (	П J
Свойство 5 интеграла Лебега утверждало, что интеграл по
множеству нулевой меры равен нулю для измеримой функции f.
Справедлива следующая теорема, которая выражает свойство
абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Теорема 6. Если функция f интегрируема по мере р на
измеримом множестве Е, то для любого е>0 существует 6>0
такое, что
|рф|<е
е
для любого измеримого eazE такого, что р,(е)<6.
ф Если |f| ограничена числом К<2 +°°, то по доказанному
| J f dp | <	(е),
е
и утверждение теоремы очевидно. Пусть £„ = {x:xg£, n-C|f(x)|<
<n+l}, BN = (J Еп, Cjv = E\Bn. Тогда в силу а-аддитив-
п=0
ности интеграла
J 1Л<4*=£ У
Е	п=0 Еп
Дыберем N так, что
00
5 f 1/1Ф= Jl/MuC-p
n==2V+l Еп	CN
155
и пусть
Если теперь ц(е) ей, то
|JNh|<[ 1/1Ф= J 1/1Ф+ J |f|d|iC(N+ 1)ц(е) + ^-< е,
е	е	еПВд	eQCN
что и требовалось доказать. Ц
3. Предельный переход под знаком интеграла
Лебега
Важную роль в анализе играют теоремы о предельном перехо-
де под знаком интеграла Лебега.
Теорема 7 (теорема о монотонной сходимости). Пусть мно-
жество Е измеримо и пусть {fn} — такая последовательность из-
меримых функций, что 0</i (х) </2 (х) < ..., х^Е. Пусть f опре-
делена равенством
/(x) = limf„(x) для любого х^Е.
Тогда
J fndp->- § fdp при п-+ оо.
Е	Е
ф Используя свойство 3 интеграла Лебега, имеем, что 0 < j ф <
Е
< J	. Поэтому существует такое а, что
Е	Е
при п->оо; а так как Jfndp< Jfdp, ТО
Е	Е
a < $ f dp.
Е
Пусть число 0<с<1 и пусть s — простая измеримая функция
такая, что Ocscf. Пусть En = {x:fn(x)>-cs(x)}, п=1, 2, 3, ... .
Согласно свойству монотонности последовательности {fn} полу-
чаем: Е^Е^Е^с.. . . и, поскольку f= lim fn, то Е = U ^п-
П-*<Х>	П=1
Для любого п имеем, что §fndp^ §fndp^c Jsdp- Пусть
Е	Еп	Еп
<р(Ел) = ] sdp, <р(Е)= [sdp. Тогда из непрерывности счетно-
аддитивной функции множества следует, что (р(Еп)-хр(Е), п->оо.
156
Следовательно, a>cjsdp. Устремим теперь с к единице, тогда
Е
fsd|i и	sup fsd[t= f /dp. Таким образом, a= f/ dp,
£	0<s<f EE	E
T. e. j /„dp—>-J f dp, что и требовалось. Ц
E	E
Следствие 1. Пусть / = /i+/2, где //eL^p), i=l, 2. Тогда
feL'ln) и
EE	E
фЕсли fi>0, f2>0 и простые, то утверждение следует из опре-
деления интеграла для простой функции. Если fi>0, /2>0 произ-
вольны, выберем монотонно возрастающие последовательности
&}, {sn} неотрицательных измеримых простых функций, сходя-
щихся к fi и /2 соответственно. Пусть
Sn s -1- S .
n n 1 n
Тогда
Js„dp=Js;dp + Js"dp.
£ £ £
Устремим теперь n->oo и применим теорему 7 о предельном пере-
ходе. Этим доказательство в данном случае закончено.
Пусть теперь fi>0, /2<0. Положим
А={х: f (х) >0}, В = {х: f(x) <0}.
Тогда функции f, fit —f2 неотрицательны на А. Поэтому
J f № + J (—f2)dn= f /dp—J/2dp.
A	A	A	A	A
Аналогично, функции — f, fi, —/2 неотрицательны на В, так что
J (— /2)^ = р1Ф + 1 (—
В	Е	В
j	fidn = j	fdfi—j f2dn.
в	в	в
В общем случае надо	выбрать	четыре	множества на каждом
из которых fi и /2 сохраняют знак. По доказанному
(fdp= j’/xdp-b f/2dp, i=l, 2,3,4. 
£\ £( £г
157
Следствие 2. Пусть Е — измеримое множество. Если {/Л} —
последовательность неотрицательных измеримых функций и
f(x)=£ fn(x), xf=E, mo J fdp = j? jfndp.
я=1	Е	n=l Е
фВ самом деле, частичные суммы ряда для f(r) образуют мо-
нотонно возрастающую последовательность. Осталось применить
предыдущую теорему. |	«
Теорема (Фату). Пусть множество Е — измеримо, {fn}
последовательность неотрицательных измеримых функций и
f(x) — Vmfn(x) для любого х^Е, п = 1, 2, .
П-»со
тогда
У f dp < lim ,f Мн-
E	n->oo E
♦Положим gn (x) = ’inf ft (x) для любого n=l, 2, . . . и xg£.
Тогда gn измеримы на £ и
0<gi(x)<g2(x)< . . . ,
gn(x)^fn(x),
gn(x)-+f(x), n-^oo.
Согласно теореме 7 о предельном переходе получаем, что
J gn Ф -> J f dP- Поскольку У gn dp < У fndp, to f f dp < lim J fndp. 
EE	E	E	E	n-^<x> E
Теорема (теорема Лебега об ограниченной сходимости).
Пусть Е<^.2?(Х) и {fn} — последовательность измеримых функций
такая, что fn(x)-^f(x), х^Е, п-+-оо. Если существует /функция
g^L'(p) такая, что
IM-0 I <£(*).	/1=1,2..... Х(=Е,
mo lim J f„dp = J / dp. Теорема справедлива, если fn-^-f почти
Е	Е
всюду на Е.
♦Заметим, что из теоремы 5 следует, что f^eL^p), а также,
что f^L1 (р). По теореме Фату У (f 4- g) dp < lim У (fn + g) dp,
E	n-^aE
так как fn + g>0. Поэтому j f dp < lim J /„dp. Аналогично,
E	rwoo E
J (g—f) dp < lim У (g—fn) dp,	так как g—fn^0. Следовательно,
E	n~^ao E
158
— ,f /ф<Нт[— J Мн].
E	n-+a> E
т. e.
£	n~>00 v
Поэтому существует предел lim [/„фи f/dpi = lim [ fndp. 
П—*ao £	£	Л—>oo £
Следствие. Если ц(Е)< +<х>, последовательность {fn} рав-
номерно ограничена на Е и fn-+f при всех х^Е, то
f/ф = Ит j fndp.
E	П-+ОС £
В рассмотрениях выше мы предполагали, что f — веществен-
ная функция. Если f — комплексная функция, f = ф1 + ир2, то, как
уже говорилось, она измерима, если измеримы cpi и ф2. Легко
видеть, что сумма и произведение комплексных измеримых функ-
ций измеримы, модуль комплексной измеримой функции (1/1 =
= (ср* + ф2)1/2) также измерим.
Комплексная функция f интегрируема по Лебегу на измеримом
множестве Е (f <= jC1 (у,)), если f измерима и |/|ф<оо, при
Е
этом по определению
[/dp. == J ф!djii J <р2ф.
ЕЕ	Е
Ясно, что	тогда и только тогда, когда фЬ ф2еЛ1(ц), по-
скольку |ф1|<1Л, |ф2|<|/|, 1Л<|ф1|+ |<₽2|. Очевидно, что все
основные факты теории интеграла для вещественных функции
остаются справедливыми и для комплексных функций.
4. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана
Важным является вопрос о связи интеграла Лебега с интегра-
лом Римана. Справедлива следующая теорема.
Теорема 8. Если функция f интегрируема по Риману на
отрезке [a, b] (f^R), то она интегрируема и по Лебегу на отрез-
ке [а, Ь] и
ь	ъ
f f dx = J f (x)dx = R J f(x) dx.
[a,d]	a	a
♦Напомним, что разбиением P отрезка [a, b] называется
множество точек a=x0<xi<. • • <хп = 6. Пусть
^xt=Xi—Xi-i, i=l, 2, ..., n, Mi= sup f(x),
159
mt= mf f(x), U(P,	L(P,/}=S m£ &Xt,
xi—i^x^xt	1=1	t=i
d(P) = max Дх£ —диаметр разбиения P
1<><п
Функция f(x) интегрируема по Риману тогда и только тогда,
когда для любого 8>0 существует такое разбиение Р, что
U(P, f)—L(P, j)<e. Разбиение Р является измельчением разбие-
ния Р, если каждая точка разбиения Р служит точкой разбиения
Р. Пусть теперь {R\} — таьая последовательность разбиений от-
резка [а, Ь], что Pk+i — измельчение разбиения Р* и диаметр
разбиения Pk стремится к нулю при й->оо (cf(Pft)->-0, fe->oo).
Пусть
Uk(a) =Lk(a) = f(a), Uk(x)=Mh Lk(x)=mlt x^icxcx,,
i= 1, 2.........................n.
Тогда U(Pk,f) = J Uk(x)dx, Lk(Pk, f)= I Lk(x)dx. Поскольку
[<4]	[a6]
Pk+\ — измельчение разбиения Pk, то
[/i(x)>C/2(x):>. •>Li(x), acxcfc.
Положим U (x) = lim Uk (x), L (x) = limLk (x).
k-+ao	k-*-<x>
Пусть теперь f^R. Так как d(P*)-»-0, то
ь	ь
U (Pk, f)-+R$f (x)dx, L(Pk, f)-+R$f(x)dx.
a	a
В силу теоремы о предельном переходе под знаком интеграла
Лебега имеем
J Ukdx-+ [ Udx, J Lkdx-^ J Ldx.
[a>]	[a>]	[a>]	[a,d]
Поэтому
b
J Udx — J Ldx~R J f(x)dx.
[a,d]	[a.d]	a
Ho L(x)<f(x)<C7(x). Следовательно,
J L (x) dx < J f (x) dx <C f U (x) dx = J L (x) dx.
[a,b]	[a>]	[a>]	[a>]
Поэтому L(x) =f(x) =U(x) почти всюду на [a, Ь]. Действительно,
J (U—f)dx= J <p(x)dx = 0 и <p(x)>0. Тогда по следствию
]a’fc]	[a.b]
из теоремы Чебышева получаем, что ср(х)=0 понти всюду. Следо-
вательно, U=f = L почти всюду.
160
Функции U и L измеримы, поэтому измерима и функция f.
Таким образом, feL*(p) и
ъ
J Ldx — J fdx = J U dx = R j f (%) dx. 
[a, 6]	[a, 6]	[a,b]	a
5. Пространство Lp
Развитый аппарат теории меры и интеграла Лебега позволяет
ввести в рассмотрение важный в приложениях класс пространств
р>1. (При р=1 получаем пространство L1^) суммируе-
мых по Лебегу функций)
Определение 13. Функция	на измеримом
пространстве X со счетно-аддитивной мерой р, если f(x) измерима
И I/(-’) 1₽^’(ц)-
Заметим, что поскольку при интегрировании по Лебегу мно*
жеством меры нуль можно пренебречь, то на самом деле элемен-
тами пространства Лр(ц) являются классы эквивалентных между
собой функций (совпадающих почти всюду). Из неравенства
Юнга (см. пример 4 п. 1 § 2 гл. I)
aZ? <а>0,	— + — =1, р>1
р q	р q
следует, что если	и g’^A^(p), р>1, то f+g^Lp(p,) и
(f m+£«ip^)1/₽<(f 1Жгф)1/рЯ| |£(х)1рф)1/р.
кХ	XX
Если положить ||/||lp= (J I/|рф^1/₽, то пространство £р(р),
х
р>1 превращается в нормированное пространство с обычными
операциями между функциями, а метрика
р(/, S) = \\f—£IIlp
делает его и метрическим пространством. Аксиомы нормы и рас-
стояния проверяются непосредственно с использованием доказан-
ного неравенства.
Важной является следующая теорема.
Теорема 9. Пространство £р(ц), (р>1) — полное нор миро*
ванное (метрическое) пространство.
фПусть {fm} — фундаментальная последовательность:
lim ||/л—AnllLp = 0.
n,m->cc
*> При р=1 используется очевидное неравенство:	| + |g|.
6 В А Садовничий	161
Докажем, что эта последовательность сходится к элементу из
L₽(p). Найдем номер АД такой, чтобы
Тогда
«ч-
Рассмотрим частичные суммы sn(x) следующего ряда:
f*.+ S (х)	(*)),
k=l
Stl(x) = /м, + У	(х) — fNk (х)) = fN (х).
КтЛ	к	/*>+х
ft=l
Докажем, что введенный выше ряд сходится абсолютно почти
всюду.
Выберем произвольную функцию g (х) е L4 (ц), — + — = 1.
Р Я
Тогда в силу легко устанавливаемого неравенства *>
f\f-g\ (j	Igl’dpp,
XXX
— + — =1, p> 1, q>l,
p q
получаем соотношение
f \g-(fNk+1-fNk)\dp< (CI4+1-/mJp^V/p- (f 1г1?ФУ/в<
I	rVTl	rv	\	)	rv*T*X	rv	/	\ I	/
X	X	X
Таким образом,
£ J lg(/Mft+1— fNk)\ФСШд?.
k=l X
Применяя следствие 2 теоремы 7, поменяем местами суммирова-
ние и интегрирование. В результате получим, что
J F (х) dp < ос, FJx) > 0 на X,
х
*) Это неравенство устанавливается так же, как и соответствующее нера
венство для /р (см. § 2 гл I).
162
Z?=l
Следовательно, F (x)< + oo почти всюду на X. Отсюда уже сле-
дует, что ряд
i/nJ+X <+°°
fe=l
почти всюду. В противном случае, выбирая g отличной от нуля
на множестве положительной меры (там, где ряд расходится),
мы бы пришли к противоречию с тем, что F (х) < + оо *>. По-
скольку sn (х) = fNn+i (х), то
lim sn (х) = lim fN (х) = f(х)
П->оо	П—>00
существует почти всюду. Покажем, что так определенная функция
/(х), во-первых, принадлежит Лр(р) и, во-вторых, есть предел по
норме Lp(p) исходной последовательности {fm(x)}.
В самом деле, пусть в>»0 и N(в) такое, что
llAvm—/x„llLP<e, Nn, Nm^N(e).
Тогда по теореме Фату
Ilf—f лД1лр < Ит	fлг„||,.р<е, Nn>N(e.).
т-+ оо
Таким образом,
f-fNnеLp(и), f = (f-fNn) +fNn^L”(ji).
Запишем неравенство:
Ilf - fmllLP < llf-fw„llLP + IIM„-fm\\LP.
Выберем m и Nn столь большими, чтобы каждое слагаемое в
правой части не превосходило е/2. Тогда ||f—fm\\Lp < е и. сле-
довательно, fm стремится к f по норме Lp. Ц
В различных разделах анализа часто используется утвержде-
ние о том, что в пространстве Lp(p,), XcR”, р,(Х)<оо непрерыв-
ные функции образуют всюду плотное множество. Для этого,
очевидно, достаточно доказать, что любой элемент пространства
£р(р) может быть с любой точностью приближен по норме
♦) При р— 1 можно воспользоваться неравенством
j [ IfjvJ	lfXfe+x~ fjvj] < llfw,llL‘+ 1
X	й=1
Я отсюда заключить, что этот ряд сходится почти всюду.
6*	163
£р(ц) непрерывной функцией. Покажем сначала, что характери-
стическую функцию %м(л) измеримого множества М,
можно приблизить непрерывными функциями. Согласно приме-
ру 1 из § 1 этой главы для данного множества М существуют
замкнутое множество FM и открытое GM такие, что
р(бдг)—р.(Лм) <е.
Пусть
/.W-—,
р|»,Х\Ол) + |.(«.
где р(х, Я) — расстояние от точки х до множества А Эта
функция /в(х) равна 0 при x^.X\GM, равна единице при x^FM
и непрерывна, так как все входящие в ее определении функции
непрерывны и знаменатель нигде не обращается в 0. Функция
|Хм(х)—f8(x) |<1, x^GM\FM, и равна 0 вне этого множества.
Следовательно,
Пхм (х)-/е (X)IILP = (f |Хм (x)-fe (X) I ₽ 4) 1/P < 8 VP.
X
Из доказанного следует, что любую простую измеримую функ-
цию можно аппроксимировать в Лр(р) последовательностью не-
прерывных функций (простая функция есть конечная линейная
комбинация характеристических).
Пусть теперь	и f>0, а {$п} — такая монотонно воз-
растающая последовательность простых неотрицательных измери-
мых функций, что sn(x)->f(x) при всех х. Далее, |f—sn|	|f|по-
этому по теореме Лебега об ограниченной сходимости	||/—sn\\Lp
—> 0,	если л->оо, т. е. sn стремятся к f в Lp(ji). Представление
f = f+—f~ заканчивает доказательство для любой функции
feZ-P(g).
Если в изученном нами классе пространств /Л(р), Р>1 поло-
жить р=1 и р = 2, то мы приходим к двум важным примерам ба-
наховых пространств ЬЦц) и L2(p). Пространство ЬЦц) называ-
ется пространством суммируемых функций; определяемая его нор-
мой сходимость называется сходимостью в среднем.
Пространство L2(p) состоит из классов эквивалентных функ-
ций с интегрируемым квадратом модуля. Сходимость, задаваемая
нормой этого пространства, называется сходимостью в среднем
квадратичном.
Для случая отрезка Х=[а, Ь] и меры Лебега на отрезке оно
обычно обозначается Ь2[а, &].
§ 4. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
МНОЖЕСТВ. ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА
1. Абсолютно непрерывные функции множеств
Пусть на измеримом пространстве (X, /С, ц) задана на мно-
жествах А^Ка еще одна о-аддитивная мера -v(X)<oo.
164
Определение 1, Мера у(Л) называется абсолютно непре-
рывной относительно меры р(Л), если для любого е>0 найдется
fl>0 такое, что у (Л) <е, как только р(Л) <S
Определение Г. Мера v(A) называется абсолютно непре-
рывной относительно меры р(А), если у(Д)=0, как только
м(Д)=о.
Докажем эквивалентность этих определений.
фПусть v(A) — абсолютно непрерывная мера в смысле опре-
деления 1. Если |х(А) =0, то тогда у(Л)<е для любого е>0.
Т. е. т(Л)=0. Таким образом, у (А) абсолютно непрерывна в
смысле определения 1'.
Пусть теперь у(А)=0, как только р(А)=0. Нужно показать,
что у — абсолютно непрерывна в смысле определения 1. Предпо-
ложим противное. Тогда существует е0>0 и последовательность
множеств Ап<=Кс таких, что р(Ап)<1/2п иу(Ап)>в0-
Положим
Еп = J
k=n
Е~ П Еп.
fc=l
Имеем р (Е) = lim pi (Еп) и v (£) = lim v(En), поскольку меры p и v
n->00	n->00
о-аддитивны и EiZ^Ez^E^zd. . .
Однако
QO
J] н(А) < при n->0°>
k—n
v(En) >v(An) >eo-
Поэтому ц(Е')=0, v(E')>co, что противоречит определе-
нию Г. 
Приведем некоторые примеры.
Пример 1. Пусть f(x)>0 и f(х)eL1 (ц).
. Положим для А^Ко
v (Л) = f fdp..
А
Тогда у(Л) — пример меры, абсолютно непрерывной относительно
меры ц.
Пример 2. Пусть Х=[0, 1],	— измеримые по Лебегу
Множества, ц — мера Лебега на отрезке [0, 1]. Определим меру
<у(Л) следующим образом:
165
v(4) =
1, если —e A,
2
О, если — е А.
2
Легко убедиться, что v(A) — аддитивная мера и
v({1/2}) = 1.
Поэтому v(A) не является абсолютно непрерывной мерой относи^
тельно меры Лебега.
2. Теорема Радона — Никодима
Докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть 'v(A) — мера, абсолютно непрерывная относи*
тельно меры ц. Если v(X)=H=0, то существует функция f(x)>0, нВ
эквивалентная нулю, f(x)eL1(p) и
v И) > J /ф
А
для любого А<=Ка.
♦Зафиксируем е>0. Положим f0(x)=&. Рассмотрим все мно-
жества А^К„ такие, что
v (А) < f /0Ф-
А
Пусть ^i = supp(A) по всем таким множествам А. Рассмотрим
два случая:
а)	Xi = pi(X);
б)	Л1 (X).
Покажем, что во втором случае искомая функция f(x) найдется.
Выберем А1 так, чтобы p,(Ai) >Xi/2. На X\Ai рассмотрим
снова все множества А^/Са, для которых
v (А) < f /0Ф-
А
Пусть X2 = supp,(A) по всем таким множествам А. Покажем,
ЧТО'
1X2^ ^1/2.
Действительно, если бы i%2>Xi/2, тогда существовало бы множест-
во А' такое, что
v(A') < роФ>
А'
М(А')>-^.
166
Тогда ц (Я'иЛ1) >Л1 и
vH'IMjX [ /„ф,
Л'ил
чго противоречит выбору числа Ль
Выберем множество А2 так, чтобы p(X2)>^s/2, и продолжим
этот процесс до бесконечности. Получим последовательность чи-
сел {Лп} и множеств {Дп} таких, что
Ли+1 -=СЛ/г/2,
|1(Лп)>Лп/2
И Xn=sup |л(Д), где верхняя грань берется по всем множествам
Де/Со, Лс^\Л\Л2\. • M-i таким, что
v(4) < J /0Ф-
А
Из этих условий следует, что
Пусть £=XiU^2U^3U- • • • Докажем, что для любого множест-
ва Лс=Х\£ такого, что р(А)>0, выполняется неравенство
v(4)> f /0Ф-
А
Действительно, если бы для некоторого Ло выполнялись неравен-
ства
v(4) < J /оФ и И (4) > 0, Лос=Х\£,
Ло
то это означало бы, что при любом п
Ц (Ло) .
Это соотношение противоречит неравенству An+i<X/2n. Заметим,
далее, что р(£) <М<р(Х), поскольку
v(E)< f /оФ-
Е
Поэтому функция
(	[	0, х^Е,
I f0(x), хеЕ
ке эквивалентна 0. Очевидно, что f(x)>0,
Пусть А^К.а — произвольное измеримое множество. Тогда
у(Л) = т(ЛП£) + *(Л\£)>т(Л\Е)> | /ф = рф.
А\Е А
Итак, во втором случае искомая функция f (х) найдется. '
167
Если же Х1=|л(Л), то существует последовательность мно-
жеств Л ,<=/(«, р(Ля)-*-р(Х) н таких, что
v(A„) < J ^ф = ер(Л„).
Ап
В силу абсолютной непрерывности меры v
при п->оо. Отсюда
v(Y) <8р(Х).
Поэтому, если e<v(X)/p(X), то случай а) невозможен.
Лемма доказана. В
Пусть, как и выше, (X, Ло, у.) — измеримое пространство. До-
кажем следующую важную теорему.
Теорема (Радон—Никодим). Пусть v(X)—мера, абсолютно
непрерывная по мере у. Тогда существует функция f (x)^Ll (р),
f(x):>0 и такая, что
v(4)=f/dti
А
для любого множества А^К0. (Функцию f можно назвать про-
изводной меры v по мере ц.)
фПусть F+ — множество всех функций	f(x)>0
и
j fdp < v (Л)
А
для любого Ле/С0. Пусть
М = sup [ fdp
х
и fn(x) таковы, что
lim (fndp = M.
х
Положим
gn(х) = max[Д (x), f2 (x).fn (x)].
Для любого
J £„ф<м(Л).
A
n
Действительно, множество Л можно представить в виде || Ак,
k=i
где Ak не пересекаются и gn(x)=f*(x) при хеЛ*. Поэтому
п	п	п
^gfAi='£ \gndp='£	£ V0fe) = v (Л).
A	k=l Ak	k=l Ak	k=l
168
Положим
f0(x)=lim gn(x),
П-+<»
который существует для почти всех (по мере ц) х^Х по теореме
о монотонной сходимости. Тогда
[/оф = Л1
X
И
/оф < V (Л) ДЛЯ Л = Ка-
А
Покажем, что
^(Л)—J fodp = о.
А
Действительно, Х(Л) = у(Л) — Jfody.— мера, абсолютно непре-
А
рывная относительно ц. Если Х(Л)^О, то согласно лемме сущест-
вует f(x)^>0, не равная нулю почти всюду, fsL'(p) и такая, что
Х(Л)—J fdn >0.
А
То есть f + fQ^F+ и j* (/ + /о) dp > М. Данное противоречие до-
х
называет теорему. |
§ 5. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР. ТЕОРЕМА
ФУБИНИ
В различных вопросах анализа большую роль играют теоремы
о сведении двойного интеграла к повторному (или многократных
интегралов к повторным). В случае кратных интегралов Лебега
основополагающей в этом вопросе является теорема Фубини.
1.	Прямое произведение мер
Если Уь Уг, Уп — системы подмножеств множеств
Х2, ..., Хп, то
л р
У = у1ХГ,х...хУл = П^
обозначает систему подмножеств множества
/>
Х = Х,х Х2 х...хХ„ = ПХъ
fe=l
169
представимых в виде
A = Ai х А2 х ... X 4=П А»
fe=i
где 4*еУл.
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Если Р\(Х\), Р2(Х2), ...» Рп{Хп] — полу-
кольца, то и Р(X) = Р, (Хх) х Р2 (Хг) х . ..хРп(Х„) = П pk (Xfe)
a=i
есть полукольцо.
♦Для простоты рассмотрим случай п=2. Пусть А, В^Р(Х).
Если А=Л1ХА2, В = В1хВ2, где Alt Bl^Pl(Xl), i— 1, 2, то
А п в = Их nВх) х (Д п в2) е ?! (Хх) х Р2 (Х2) = Р (X).
Пусть дополнительно Вг с Д, В2 cz Д2, тогда существуют мно-
жества В]0 <= Р1(Х1), B'f е Р2 (Х2), i=l,2,	j= 1,2,... , nv
такие, что
п	m
А^В, = и вГ, А2\в, = и в$.
1=1	/=1
Поэтому
0! х Д2)\(В1 X В2) = [J LI (Bi° X В^),
1=1 /=1
где
вМ’еадхВД и
Заметим, что из того, что системы К\ PG), /<2(^2), . . . ,
Kn(Xn) — кольца, еще не вытекает, вообще говоря, что их произ-
ведение будет кольцом
Пусть Pi(Xi) и Р2(^г) — два полукольца, а ц и v — меры на
Pi (Xi) и Р2(Х2). Рассмотрим полукольцо Р(Х) =Л (Xi) ХР2(Х2)
и определим на нем функцию pXv, полагая (pXv) (ЛхВ) =
= ц(А)-v(B). Эта функция, как можно убедиться, аддитивна и
называется произведением мер ц и v.
Докажем следующую лемму
Лемма. Если меры ц и v счетно-аддитивны, то этим свой-
ством обладает и мера pXv.
фДля любого множества С = ЛхВ из полукольца Р\(Хх)Х
ХР2(Х2) определим функцию
fc(x1)=XA(xi)v(B),
где Xa(xi)—характеристическая функция множества А Пусть
С = ц Cki Ck^ Р (X) = Pr (XJ х Р2 G’Q- Из счетной аддитив-
Л=1
170
ности меры v вытекает, что
k=\
По теореме Лебега об ограниченной сходимости следует равен-
ство
JM* = £
X	k=l X
Поэтому
(ц X v)(C) = £ (ц Xv)(Ct),
k=l
что и требовалось доказать Ц
Рассмотрим отображение C-+fc, определенное по правилу
fc(xT) =XA(xi) *v(B), С=АхВ.
Распространим его на минимальное кольцо KQ(X), содержащее
полукольцо Р(Х) по правилу
Заметим, что
fct— fcz = fAt — fA2,
Поэтому
f и ck Е fck-
k=l R k=l
если С]=Л]ЦВ, С2=А2ЦВ, где В = С1ПС2, то
/с1дс2 = /л1 + /л2-
I f (fc~fc2) dp | < \\fc-fc2\\i'W <(n x v) (Cj A C2) = p (C12 C2).
X
Поэтому отображение C-+fc продолжается до отображения всей
а-алгебры измеримых по мере (цХт) множеств из 3?(Х1ХХ2) в
пространство L1 (ц) суммируемых по мере р, на Xi функций по
формуле	______
/ит c„=limfcn,
п	п
где первый предел берется в «^(АдХ^), а второй — в ЛЦц).
Действительно, приведенные выше неравенства дают оценку рас-
стояния р(/с1? fc2) в пространстве АЧн) через расстояние в
Пространстве 2? (ХлХХ2) измеримых функций. Поэтому предель-
ные переходы можно делать, и отображение C-+fc продолжается
на всю а — алгебру.
Справедливы следующие леммы.
Лемма. Пусть множество С^2? (XiXX2). Тогда для почти
всех х^Х\ множество СХ1сХ2, задаваемое формулой СХ1 = {х2е
в : (%i> %г) Q, измеримо по мере v и v (СХ1) = fc (*i)«
171
♦Для множеств, составляющих минимальное кольцо
X = X1X%2, это следует из определения /с.
Если {С(я)} — монотонная последовательность множеств*’, то
в силу счетной аддитивности меры v справедливо соотношение
v (lim С%) = Ншт (О.
п	п
Поэтому равенство <v(CXl) = fc (xj остается справедливым при
монотонных предельных переходах
Покажем, что всякое измеримое множество С (C^S(XiXX2))
может быть с точностью до множества меры нуль получено из
множеств минимального кольца Ко(Х) = K0(^iXХ2) двумя моно*
тонными предельными переходами Действительно, пусть
CneK0(^iXX2) и p(Cn, С)<2-п,
да оо
где аппроксимация берется по мере р X v. Пусть D = Q |J Cn+k*
п=1 £=1
Тогда (ц X v) (C\|J C„+fe) = 0, (М X v) (|J Cn+ft\C) < t. e.
(pXv) (DAC) =0. Поэтому fc и fD совпадают почти всюду.
Следовательно, для почти всех xi&Xi
fc (Xi) = fD (Xi) = V (DX1) = V (CX1). gg
Рассмотрим два пространства с мерой (X, Ко, ц) и (Х2, Ко, v).
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть ц и v—в-конечные меры, С — измеримое по
мере (jxXv) подмножество в ХххХ2. Тогда для почти всех x^Xi
(по мере pt) множество CXi измеримо по мере v, функция
fc(x1) = v(CA:1) измерима по мере ц и
(р X v) (С) = ( /сф
xt
(причем обе части могут одновременно равняться бесконечности).
фЕсли множество С имеет конечную меру, то справедливость
леммы следует из утверждения, содержащегося в предыдущей
лемме, а также из того, что соотношение (р X v)(C)= f fcdyt,
сохраняется при переходе к пределу слева в пространстве
2?(XiXX2), а справа — в пространстве Ь'(р).
Если мера множества С бесконечна, то существует возрастаю-
щее семейство подмножеств конечной меры CrtczC таких, что
(JCn = C и (|iXv) (Сп)->оо. Тогда
fc (%1) = lim fcn (%i) и J	= (fl х v) (C„) -> оо. Щ
"	Xi
*) См гл I, § 1, п. 1
172
Замечание! В силу т ого, что меры р и % а также ыноже
ства Xi и Х2 всюду в рассмотрениях входят симметрично можнс
записать, что
(p,Xv)(C)= fn(Cx,)dv,
хг
Wft Сх, = {х1 е Xr: (t„ х2) е С}. Отсюда следует также, что
(Ч(СХ1)ф= p(C^)dv.
xt	х2
Замечание 2 Если имеется произведение трех пространств
с мерой
(Х1(	(Хх), и), (Х2, Х|(Х2), V), (Х„ Х*(Х3), X),
то аналогично можно записать, что
(fixvxX)(C)= j A(CX1>Xt)d(|* х v)= рц x v)(CXi)dk,
X1XX2	X3
где
Cxltx2 ~ {-^3 X3 . (Xjj %2> ^3)	»
Cx3 — {(-^1, ^2)	^1 X ^2 • (^1» ^2’ ^0	£*}•
2.	Теорема Фубини
Справедлива следующая важная теорема
Теорема (Фубини). Пусть f(xi, х2) — суммируемая по мере
(pXv) функция на произведении пространств (Х19 Ко (XJ, р) и
(Х2, /Са(Х2), у). Тогда
а)	для почти всех x^Xi (по мере р) функция f(xi, х2) сумми-
руема на Х2 (по мере v) и ее интеграл по Х2 является суммируе-
мой функцией на
б)	для почти всех х2^Х2 (по мере у) функция f(xif х2) сумми-
руема на Xi (по мере р), а ее интеграл по Х{ является суммируе-
мой функцией на Х2\
в)	верны следующие равенства:
j f(Xi,x2)d(|iXv) = J ( p(xlt x2)dvjdfi = J ^f(xlt x2) dji) dv;
XtxX2	Xi X2	7 X2 Xi
г)	для неотрицательных измеримых no мере (pXv) функций
из существования одного из повторных интегралов вытекает су-
ществование кратного, т. е. суммируемость f(x^ х2) на Х\ХХ2.
♦Рассмотрим случай неотрицательной функции f. Пусть мно-
жество Сс=Х1ХХ2ХХ3, где X3=R1 — числовая ось с обычной
мерой Лебега % = dx3, причем
С = {(*ь x3)e(XiXX2XR1) :0cx3<f(xi, х2)}.
173
Применим к этому случаю соотношения, выписанные в замеча-
нии 2. Получим
^х1гхг — {%з €= R1 • 0 ’С / (^1, х2)};	— / (х1э х2)‘,
Cxt — {С^2> *^з) X R1 • 0 Х3 / (Xj, x2)}j
(ц х К) (Сх,) = j f(xt, х2) dv.
хг
Отсюда вытекают все утверждения теоремы в случае -неотрица-
тельной функции. Разложение f=f+—f~ заканчивает доказатель-
ство в общем случае. В
Примечание. Пусть К0(Х) — некоторое a-кольцо. Вещест-
венная (или комплексная) функция v на /СО(Х) называется заря-
дом (комплексным зарядом), если она счетно-аддитивна в следу-
QO
ющем смысле: для любых А^К0(Х) из того, что А = ц Ак
k=i
00
принадлежит К0(Х), следует, что ряд JF v(4fe) сходится и его
*=i
сумма равна v(X).
Понятие заряда является естественным расширением понятия
меры, и многие факты, о которых говорилось выше, остаются
справедливыми и для зарядов.
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что система множеств, замкнутая относительно операций
объединения и пересечения, вообще говоря, не является кольцом.
2.	Доказать, что система множеств, замкнутая относительно операций объ-
единения и разности, является кольцом.
3.	Обозначим через Х={а, Ь, с} множество, состоящее из трех элементов..
Пусть 2 х—множество всех его подмножеств. Описать все полукольца и коль-
ца, которые можно построить из элементов 2х.
4.	Доказать, что мощность множества измеримых по Лебегу подмножеств
отрезка [0, 1] больше мощности континуума.
5.	Доказать, что всякое измеримое по Лебегу множество на прямой есть
объединение борелевского множества и множества меры нуль.
6.	Найти меру Лебега подмножества единичного квадрата плоскости, со-
стоящего из точек (х, у) таких, что | sin х| <1/2, a cos(x+t/) иррационально.
7.	Пусть функция f интегрируема по Лебегу на множестве X, ц(Х)<оос
Тогда
ffdp,= lim	tk<f <
J d(T)-tO ь?
A	k
где Т={/л} — разбиение вещественной оси, d(T)—диаметр разбиения, — лю-
бая точка такая, что	^+1]. Таким образом, интеграл Лебега может
быть вычислен как предел интегральных сумм, но, в отличие от интеграла Ри-
мана, берется разбиение области значения функции f. Докажите это.
(Утверждение этой задачи остается верным и в случае ц(Х) = оо, если до-
полнительно предположить, что £* = 0 для тех /г, для которых отрезок
[^, /*+1] содержит точку 0.)
174
8	Пусть ф — монотонно возрастающая гладкая функция на отрезте
(а, /?], ф = ср~1— обратная к ней.
Рассмотрев интеграл как предел интегральных сумм, доказать, что
J = J yy’dy.
[а,Ь]	[<р(а),ф(Ь>]
9.	При каких значениях параметров а и (J функция x“sinxp, определенная
на [0, 1], интегрируема по Лебегу.
10.	Пусть и измерима на X, р,(Х)<оо. Тогда f суммируема тогда и
оо
только тогда, когда ряд У 2^р({х е X: f > 2^}) сходится. Докажите это.
k=o
11.	Вычислить интеграл Лебега по отрезку [0, л] функции
„	( cos г, если х рационально,
f (*) =
( sin г, если х иррационально.
12.	Пусть g— измеримая функция на вещественной оси, f—непрерывная
вещественная функция. Показать, что h=g(f), вообще говоря, неизмерима.
13.	Пусть f — вещественная функция. При каких п из измеримости [f]n
следует измеримость f?
14.	Пусть f — дифференцируемая на отрезке [0, 1] функция. Доказать, чяо
f' — измерима по Лебегу.
15.	Исследовать на сходимость и равномерную сходимость следующие по-
следовательности функций:
пх
fn(x)= д2	xeRi, fn(x) = xn, хе [О, 1].
п sin пх
16.	Пусть fn(x) =----------, хе[0,л]. Пусть 6>0 задано. Указать
1 + и2 sin2 х
явно множество Е& такое, что на множестве [0, л]\Ед fn(x) сходится равно-
мерно (см. теорему Егорова).
* i
Глава IV
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
Настоящая глава посвящена спектральной теории операторов
в гильбертовом и банаховых пространствах Важнейшими задача-
ми этой теории являются утверждения о приведении изучаемых
операторов к так называемому диагональному виду — спектраль-
ные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных
векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значе-
ниях. Наиболее изученным классом операторов являются вполне
непрерывные операторы и их подклассы — ядерные операторы и
операторы Гильберта—Шмидта.
Решение ряда важных задач спектральной теории операторов
связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основ-
ные объекты, характеризующие спектральную задачу для опера-
тора, такие, как резольвента, характеристический определитель,
нулями которого являются собственные значения оператора, и др ,
являются аналитическими функциями спектрального параметра в
определенных областях.
§ 1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
В гл. I и II были изучены топологические, метрические, линей-
но топологические, нормированные пространства и некоторые
свойства операторов (отображений) в них. Наиболее тонкие из
приведенных свойств были получены в нормированных и банахо-
вых пространствах. Это вполне закономерно, поскольку эти прост-
ранства являются наиболее частным случаем из изученных
Еще более интересные теоремы будут получены в этой главе
при изучении частного случая банахового пространства — гиль-
бертова пространства.
Исторически математики подошли к изучению гильбертова
пространства, пользуясь другими соображениями: необходимость
его введения диктовала физика, изучение интегральных уравне-
ний, некоторые обобщения свойств конечномерных пространств.
1. Геометрия гильбертова пространства
Дадим сразу основное определение.
Определение 1. Гильбертовым пространством называется
множество Н элементов f, g, h, ..., обладающее следующими
свойствами.
176
1) Н представляет собой линейное пространство, т. е. в Н
определены действия сложения элементов и умножения их на
действительные или комплексные числа (в зависимости от этого
Н называется действительным или комплексным пространством) ;
2) в Н введено скалярное произведение, г. е. числовая функ-
ция (f, g) от пары аргументов f и g, удовлетворяющая аксио-
мам
а)	(aL g)=a(/, 8) Для любого числа а;
б)	(Rg, h) = (f, h) + (g, А);
в)	(A g)=(g, /)> гДе черта обозначает комплексное сопря-
жение;
г)	(A f) >0 ПРИ (А /) =0 при f = 0,
3) Н является полным метрическим пространством относитель-
но расстояния p(f, g) = \\f—gll Л), где для любого элемента h^H
его норма определяется из соотношения \\h\\ = (h, Л)1/2.
Приведем некоторые примеры.
Примеры.
1	Простейшим примером гильбертова пространства является
конечномерное линейное пространство R", если в нем ввести ска-
лярное произведение, удовлетворяющее аксиоме 2 определения 1.
2.	Рассмотрим пространство /2, элементами которого являются
оо
последовательности чисел {£4 таких, что |£J2< °°. В этом»
пространстве естественно определяются линейные операции: если
S, iqe/2, £={Ы. пНпЛ, то а§ + Рг] = {оз^1 + ₽г]1) а^ + Рпг, • • •}, где
аи|3 — некоторые числа.
Введем в этом пространстве скалярное произведение элемен-
тов g, т] по формуле
(£, П)=£Вя-Чг.
п—1
Согласно неравенству Коши—Буняковского (см гл. I, § 2»
п. 1) имеем
I&ч)1 = |£е^|<Ё 15„1’Г 2>гГ<~
п—1	П=1	П=1
Поэтому скалярное произведение можно ввести по данному пра-
вилу. Нетрудно также убедиться в справедливости всех аксиом
скалярного произведения. Согласно задаче 3 § 3 гл. I I2 —
^олное пространство.
J Таким образом, /2 — гильбертово пространство.
3.	Рассмотрим множество L?[a, £>] интегрируемых с квадратом
Модуля по Лебегу функций на отрезке [а, Ь]. Поскольку при ин-
*> Ниже будет доказано неравенство Коши—Буняковского, из которого
в^дет следовать, что функция р (f, g) = ||f — g|| задает расстояние в Н.
177
чегрировании по Лебегу множествами меры нуль можно прене-
бречь, то на самом деле элементами Р[а, Ь] являются классы
эквивалентных между собой функций (совпадающих почти
всюду).
В этом пространстве можно ввести линейные операции —
обычное сложение функций и умножение функции на число.
Скалярное произведение в этом пространстве вводится по
правилу
(/. g)= j f-gdx, где /(х), g(x)(=L2[a, 6].
[0.6]
Из неравенства
lf(x).g(x)|<-L(|f(x)|2-b|g(x)|2}
вытекает, что если f, g^L2[a, b], то и произведение f-g принад-
лежит L2[a, Ь]. Аксиомы скалярного произведения проверяются
непосредственно исходя из свойств интеграла Лебега. Таким об-
разом, L2[a, b] — гильбертово пространство.
4.	Из аксиом а) ив), определяющих скалярное произведение,
непосредственно следует, что число а может быть вынесено из
под знака скалярного произведения, если оно является сомножи-
телем первого аргумента, а также, что число а выносится со зна-
ком комплексного сопряжения, если оно сомножитель второго ар-
гумента скалярного произведения, т. е.
(af, g)=a (f, g), (f, ag) = (ag, f) =a(f, g).
5.	Пусть N — нормированное пространство. Возникает вопрос:
каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма на
N, чтобы она определялась некоторым скалярным произведе-
нием? Оказывается, что для этого необходимо и достаточно, что-
бы для любых двух элементов f и g выполнялось равенство
llf + gll2+llf-gl|2 = 2(||f||2+||g||2).
В одну сторону это утверждение проверяется непосредственно' и
очевидно. Для того чтобы показать обратное, необходимо рас-
смотреть функцию (f, g), заданную по правилу (/, g)== — (||/ +
+ gll2—\\f—gll2), и показать, что если исходное равенство вы-
полнено, то функция (f, g) удовлетворяет всем аксиомам скаляр-
ного произведения.
В гильбертовом пространстве Н важное значение имеет не-
равенство Коши—Буняковского, доказательство которого сейчас
будет проведено. Пусть f, К — действительное число. Тог-
да, если положить h = f + K(f, g)g, то, поскольку (й, /г)>0, имеем
0<(й, h) = (f+k(f, g)g, f+k(f,g)g) =
= (f, f)+2X|(f, g) |2+Л2| (f, g)|2(g, g).
178
Следовательно, такой квадратный трехчлен (относительно %)*
не может иметь различных действительных корней. Поэтому его
дискриминант не является положительным, т. е.
КА g)l4-(A f) I (f. g)l2(g. g)<0.
Таким образом (даже в случае (f, g)=0),
КА g)l2<(A f)(g, g),
ИЛИ
l(Ag)MflHlgll.
Полученное неравенство и называется неравенством Коши—Бу-
няковского. Знак равенства в нем помимо тривиального случая
f=0 или g = 0, достигается только тогда, когда f =—?i(f, g)g при
некотором значении X, т е. когда векторы f и g коллинеарны.
Используя неравенство Коши—Буняковского, легко проверить^
что Ц/H = (f, f)1/2 и расстояние p(f, g) = \\f—gll удовлетворяют ак-
сиомам нормы и расстояния соответственно.
Для этого фактически необходимо лишь проверить неравен-
ства треугольника llf + glldlfll + llgll и p(f, g)<p(f, h)+p(g, h)
(или, что то же, Ilf—g’ll<Ilf—M + ||g—h\\). Но эти неравенства
являются следствием неравенства Коши—Буняковского.
Наличие метрики в гильбертовом пространстве позволяет рас*
смотреть понятия, связанные с предельным переходом.
Отметим, что скалярное произведение (f, g) есть непрерывная
функция от обеих переменных f и g. Действительно, имеем по*
неравенству Коши—Буняковского
I (A g) —(fn. gn) 1 = 1 (f, g) — (f—kn, g—hn) I =
= I (f, hn) + (kn, g) — (kn, /in) I <
< llfll • ll/lnll + llgll • Ш1 + НЫ • H/ln||->0, rt—>00,
где
g—gra = /ln, f—fn = kn,	gn-^g, n->0O.
Поэтому (fn, gn)-+(f, g) При fn-+f, gn-^g, ЧТО и требовалось.
Скалярное произведение позволяет ввести в Н понятие коси-
нуса угла между двумя отличными от нуля векторами (// — веще-
ственное пространство):
Понятие косинуса угла в свою очередь позволяет назвать два
вектора ортогональными, если косинус угла между ними равен*
нулю.
Другими словами, векторы fug вещественного или комплекс-
ного пространства называются ортогональными, если (f, g) =0.
Для обозначения двух ортогональных векторов используется сим-
вол fig.
179
Если М и N — подмножества (подпространства) в Н, то сим-
вол M±N означает, что f_Lg для любых и g<^N.
Заметим, что если вектор f ортогонален векторам gi, ... , gn,
п
то ой ортогонален и их линейной комбинации aigt- Если
i=i
векторы gi, gni ... ортогональны вектору fn gf=lirngrt,
п->оо
то вектор g также ортогонален вектору f
Действительно, в силу непрерывности скалярного произведе-
ния имеем
(g, f) = \im(gn, f) = 0,
П->0О
что и требовалось.
Из сказанного следует, что совокупность всех векторов, орто-
гональных векторам {fa}, образует замкнутое линейное много-
образие, т. е. подпространство которое называется ортогональ-
ным дополнением к множеству {/«}.
Если векторы f и g ортогональны, то легко проверяется сле-
дующее равенство: \\f+g\\2=(f+g, f+g) = llfll2+ llgll2 — теорема
Пифагора или более общее соотношение:
llfll2=llfill2 + . . .+ IIMI2, если ^=^ + /2+. . , + fn, ft±fh i^=j.
В гильбертовом пространстве важную роль играют ортого-
нальные системы векторов. Для получения такой системы приме-
няется метод ортогонализации данной неортогональной систе-
мы — метод Шмидта.
Возьмем в Н какую-нибудь последовательность элементов
{fn}, fn=£0, каждый из которых линейно независим с предшествую-
щими.
Покажем, что ее можно заменить ортонормированной последо-
вательностью {ф«}, т. е. такой, что (фл, ф/?)=бп/г, и каждый эле-
мент фл представляет собой линейную комбинацию элементов fm
с номерами men, и обратно, каждый fn есть линейная комбина-
ция элементов фот, т<лт.
(pn = enifi + en2f2-h • • . + £nnfn,
^п = Уп1ф1 4-уп2ф2 + • • . + ?ппфп.
Построение будем вести по индукции. Положим Ф1 =
тогда сП1== Yn= ll/ill- Вычтем из f2 элемент ф1 с некоторым чис-
ловым множителем, подобранным так, чтобы разность h2 = f2—уфх
была ортогональна вектору ф1 : (h2, ф1) = ^2, Ф1)— у(фь ф1)=0-
Следовательно, у должно быть выбрано равным (f2, Ф1).
Так как f2 и fi, а следовательно, f2 и ф1 линейно независимы,
то h2=/=0 и мы положим фг = h2/\\h2\\. При этом, как легко видеть,
♦) Подчеркнем, что всюду подпространство — это замкнутое линейное мно-
гообразие.
180
<jp2 оказывается линейной комбинацией /2 и ft; и обратно, f2 вы-
ражается линейно через ф2 и <рь Построение указанной выше сис-
темы {<р4 легко закончить по индукции.
Дадим следующие определения.
Определение 2. Систему гильбертова (банахова) прост-
ранства Н мы назовем полной в Я, если она порождает все
пространство, т. е. если произвольный элемент И может быть
сколь угодно точно приближен по норме линейными комбинация-
ми элементов этой системы.
Определение 3. Гильбертово пространство Н называется
сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное
множество, т. е. такое множество, замыкание которого по метри-
ке Н совпадает со всем пространством Н.
Заметим, что если пространство сепарабельно, то в нем, есте-
ственно, существует и счетная полная в Н система (сами элемен-
ты счетного всюду плотного множества образуют и счетную пол-
ную систему). Справедливо и обратное утверждение: если су-
ществует счетная полная в Н система, то пространство Н — се-
парабельно. Действительно, в этом случае любой вектор можно
приблизить линейной комбинацией полной системы, а затем коэф-
фициенты этой линейной комбинации можно приблизить числами
с рациональными компонентами, т. е. числами вида у = а + ф, где
•а и р— рациональные числа. Множество таких линейных комби-
наций будет счетным и всюду плотным в Н. Следовательно,
Н — сепарабельно-.
Легко видеть, что если данная система {ф^} полна, то в Я не
существует ни одного вектора, не равного нулю, ортогонального
всем векторам системы Действительно, допустим, что для некото-
рого вектора g^O выполнены равенства (g, ф^) =0 (&=1, 2,...).
Ортогональное дополнение к вектору g содержит все векторы ф/г,
все линейные комбинации этих векторов и замыкание множества
линейных комбинаций, т. е. все пространство Н. В частности,
(g, g) = 0, откуда g = 0, что противоречит допущению.
Если система {фл} получена путем ортогонализации некоторой
системы {ftj, то в силу формул ортогонализации легко видеть,
что доказывать полноту системы {фл} можно путем доказательства
всюду плотности в Н всех линейных комбинаций исходных век-
торов {ftj.
2.	Базисы гильбертова пространства
Очень важным вопросом при изучении полных систем {ej яв-
ляется вопрос о том, образует ли данная система базис сепара-
бельного пространства, т. е. можно ли любой элемент х из прост-
ое
ранства представить в виде х = %iei и притом однозначно
i=i
(здесь — числа, а ряд сходится по норме пространства).
" Заметим, что данное выше определение базиса пространства
сохраняется в точности и для сепарабельных банаховых прост-
181
ранств. Интересно отметить, что, хотя для всех основных сепара-
бельных 'банаховых пространств базисы были построены, вопрос
о том, существует ли базис в произвольном сепарабельном бана-
ховом пространстве, оказался сложным и был отрицательно ре-
шен совсем недавно
Отметим, что если система {eJczZ;, где Е — банахово прост-
ранство, полна и не содержит линейно зависимых элементов, то
отсюда еще не следует, что она является базисом. Действительно,
возьмем, например, пространство С [0, 1]. Последовательность
{tk}> fe = 0, 1, ... по теореме Вейерштрасса полна в этом прост-
ранстве, но базисом она не является. Действительно, если функ-
00
ция f (О =	представлена равномерно сходящимся рядом*
fc=O
то, очевидно, из равномерной сходимости следует аналитичность
/(/) при |/|<1. Ясно, что этими функциями не исчерпывается
все пространство С [О, 1], и потому система	k = 0, 1, ... не
является базисом в С [О, 1].
Последовательность {£*} не является также базисом и в гиль-
бертовом пространстве L2 [О, 1] (интегрируемых с квадратом по»
Лебегу функций, (/, g) = § fgdx^. Пусть f^L2 [О, 1] и f^y^cktk,
ЩИ	feo
где ряд сходится в метрике L2 [О, 1]. Умножим обе части
этого равенства на функцию = {	и проинтегри-
(0, t > s
руем. Получим для любого s, Ocscl равенство
S
откуда вытекает аналитичность функции F(s) = J f (/) dt при
о
is| <1, а значит, и функции f(t) при
Если же пространство гильбертово и сепарабельно, то оказы-
вается, что полная ортонормированная система является базисом..
Причем для коэффициентов §х, которые однозначно определяются*
верно равенство ||x||2 = S||£J|2. В данном случае коэффициенты
определить легко, поскольку система {ег} ортонормирована, и по-
оо
этому из соотношения х = £ t>iei вытекает, что
i=i
п	п
(х, ек) = (limy	e^ = lim (Т	ек\ = 1к.
Ш-Юо"-"	/	П-+ж>	/
1=1	1=1
*) В 1972 г М Энфло построил рефлексивное сепарабельное банахово*
пространство, в котором базис не существует.
182
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. В сепарабельном гильбертовом пространстве Н
•всякая полная ортонормированная система {фп} является бази-
сом, т. е. для любого имеет место разложение
f = YPf’ <Рп)фл>
П=1
оо
причем ||f||a = I (А фл)|2 (равенство Парсеваля).
П=1
оо
♦•Докажем, что ряд £ |(А <р„)|2 сходится. Составим вектор
П=1
р
S = £ (А ф(1)фл, пусть f=g + h, где h подлежит определению.
п=\
Вектор h ортогонален любому из векторов фЬ . . . , фр и, следо-
вательно, и их линейной оболочке. Действительно,
р
(h, 4>i) = (f, ф/)—(g, Ф/) = (А Ф/) —(£(А ф«)фп. ф; ) =
П=1
=(А Ф/)—(А Ф/)=о, j = i, 2,... ,р.
По теореме Пифагора
р	р
Н/Н2= llgll2 + 11Л||2=£ К/. Ф„)12 + 11ЛЦа>1 КА Ф«)12.
П=1	П=1
р
Таким образом, У |(/, фл)12<||/||2 при любом р. Переходя к
П=1
пределу при р->оо, получим так называемое неравенство Бесселя:
f 1(А ф„)12<11А12.
п— 1
Положим теперь для сокращения записи (f, фл) =|п. Пусть
р	«
Sp = '£tln<Pn- Тогда ||sp-< = J] |gj2, q>p. При p->oo эта
n=l	n=p+l
величина стремится к нулю вследствие сходимости ряда из чисел
||п|2 (см. неравенство Бесселя). Поэтому последовательность {$₽}
фундаментальна и в силу полноты Н сходится: limsp = se/f.
д->оо
Покажем, что s = f. Для этого заметим, что при фиксированном
k и для всех p>k справедливо соотношение (s, фЛ) = Нт(эр, ф*) =
Р-Й«О
р
= lim (V 4>k) = lk = (f*	\ Поэтому для любого k имеем,
183
чго (f—s,	<h) — (s, <ps) =0; так как система {cpn} полна,
то f=s, т. е.
f = lims =УХф„.
₽-*°°
В силу непрерывности скалярного произведения получаем
р	оо
Н/П2=(Л f) = (limsp, limsp) = lim(sp, s ) = limV |?„|2=V |?„|2 »
n-»oc p—>oo	p—>CO	C—>0O «
n=l	n=l
Замечание 1. Если g — любой другой (вектор пространст-
ва, то, очевидно, (f, g)=£(f, <p„)-(g, <Р„) =£^„-4, = (L П)₽, где
п=1	п. =1
П„ = (£» Фл)>	причем g = {M, П = {л«}еЕ/2.
п=1
Замечание 2. Если , gn,... — любая последователь-
ОО	оо
ность чисел такая, что |£J2< 00, то ряд Вл(₽л сходится
п=1	п=\
в Н. Если обозначить его сумму через f, то, умножая f на qkt бу-
дем, очевидно, иметь	(р/г)- Итак, между всевозможными
последовательностями чисел со сходящимся рядом из их квадра-
тов, т. е. пространством /2, и векторами гильбертова пространства
Н существует взаимно-однозначное соответствие. Такое соответ-
ствие сохраняет, очевидно, и линейные операции. В линейном про-
странстве, состоящем из последовательностей чисел {gn} таких.
оо
чт0 ISnl2 < 00, как было сказано в примере 2, можно ввести
/2=1
скалярное произведение по формуле
& п)-£ Vnn<°o.
п=1
Из замечания 1 следует, что взаимно-однозначное соответствие
между векторами произвольного сепарабельного гильбертова про-
странства Н и векторами гильбертова пространства I2 (вектору
ставится в соответствие вектор g = {grt}e/9, координаты кото-
рого суть коэффициенты Фурье вектора f По ортонормированной
оо
системе {фл}7 =	?пфп j сохраняет и скалярное произведение.
т. е. (f, g)H=(& n)
Таким образом, любые два сепарабельных гильбертовых прост-
ранства изоморфны, (взаимно-однозначное соответствие с сохра-
нением линейных операций и скалярного произведения) простран-
184
ству I2 и, следовательно, изоморфны между собой; такие прост-
ранства мы различать не будем.
В частности, пространство L2[a, й], элементами которого яв-
ляются классы эквивалентных между собой интегрируемых с квад-
ратом по Лебегу функций (см. пример 3), является гильбертовым
пространством, изоморфным пространству I2. Скалярное произве-
дение в этом пространстве, как мы знаем, вводится по правилу
ь _______
(f, g) = ^f(x)g(x)dx, /(х), g(x)t=L2[a, b],
а
g(x) означает класс функций, комплексно-сопряженных g(x)
(класс совпадающих между собой почти всюду функций).
Пространство L2[a, b], как мы знаем из рассмотрений гл. III,
§ 3, является полным пространством. Оно, очевидно, и сепарабель-
но. Счетным всюду плотным множеством в нем является, напри-
мер, множество многочленов с рациональными коэффициентами:
эти многочлены всюду плотны в С[а, Ь], а непрерывные функции
плотны в L2[a, b], таким образом, пространства L2 [а, Ь] и /2 —
изоморфны между собой, и их можно не различать, поскольку
они представляют собой различные реализации сепарабельного
гильбертова пространства Н.
Остановимся сейчас более подробно на свойствах полных орто-
нормированных систем в сепарабельных гильбертовых простран-
ствах.
Выше отмечалось, что если данная ортонормированная систе-
ма полна в гильбертовом пространстве Н, то не существует ни од-
ного вектора, отличного от нуля, ортогонального всем векторам
системы.
Оказывается, справедливо и обратное утверждение. Если зада-
на ортонормированная система {фп} в сепарабельном гильберто-
вом пространстве Н и если она обладает тем свойством, что
не существует ни одного не равного нулю вектора, ортогонального
всем векторам системы, то данная система полна в Я*. Дейст-
вительно, пусть {ф4 не полна в Н, т. е. для нее не выполнено ра-
венство Парсеваля. Поскольку неравенство Бесселя выполнено
для любой функции, то невыполнение равенства Парсеваля озна-
оо
чает, что существует такой вектор g, что llgll2 >	1^12>
fe—1
00
== Фб)- РЯД	1^12 сходится, а значит, согласно замечанию 2
k=i
после теоремы 1 существует такой вектор что (Д ф^)=^ и
*> Т. е. система {фп} согласно утверждению теоремы 1 является базисом
Пространства Н.
185
оэ
(А <Р*)Фл=Л Но тогда ||f||2=£ |ld2. Вектор f—g орто-
fe=i	k=i
гонален всем векторам <рк. Но ||/||2 = £ 1&12<ша.
Л=1
Поэтому Ц/112—||g||2<0, тогда и ||f||=/=||g||, следовательно, h = f—
=#0. Таким образом, существует вектор /г=Д0, ортогональный всем:
векторам q^, и получилось противоречие с допущением. Итак, до-
казано следующее утверждение»
Утверждение 1. Для того чтобы, ортонормированная сис-
тема {ф^} была полна в сепарабельном гильбертовом пространстве
И, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора,
не равного нулю, ортогонального всем векторам системы {ф4-
3.	Размерность гильбертова пространства
Сепарабельное гильбертово пространство, с одной стороны,,
является линейным пространством и обладает алгебраическим
базисом, а с другой стороны, наличие скалярного произведения
позволяет рассматривать ортогональный базис. Поэтому понятие
размерности гильбертова пространства имеет два различных
смысла: размерность, определяемая как мощность множества эле-
ментов, составляющих алгебраический базис (алгебраическая раз-
мерность) и размерность — мощность элементов полной ортонор-
мированной системы {фа}. (Ниже показано, что последняя не зави-
сит от выбора ортонормированной системы {фа}.) Эта размер-
ность называется ортогональной размерностью.
В сепарабельном гильбертовом пространстве, как это следует
из теоремы 1, имеется ортогональный базис (имеющий мощность
счетного множества*)). Действительно, подвергнув процессу орто-
гонализации счетную полную в Н систему, мы получим снова
счетную полную и ортонормированную систему, т. е. базис. С дру-
гой стороны, если в Н есть ортонормированный базис, то в Н име-
ется и счетное всюду плотное множество. Пусть {фл}£=1— орто-
п
нормированный базис, М — совокупность векторов вида £ Уа")(Рй.
s=i
=	+	a*”’,	— рациональные числа. Для любого h^H
п
любого е>0 можно найти такое п, чтобы || h—J? (h, Ф^) Ф^ || <	>
£=1
а затем числа (h, <р/е) заменить столь близкими к ним числами
п
у1п), чтобы ||^{(Я, <pft)—<pfe || < — • Таким образом, вектор
*) В п. 2 в самом определении базиса пространства предполагалась его»
счетность.
186
п
fn= £vkn)<Pfe принадлежит счетному множеству М и с любой
k=i
точностью аппроксимирует произвольный вектор h^H : ||h—fn\\<
<е. Поэтому пространство Н сепарабельно. Т. е. сепарабельные
гильбертовы пространства, и только они, обладают (счетным)
ортонормированным базисом.
Мощности любых двух полных ортонормированных систем
в сепарабельном пространстве одинаковы. Действительно, то, что
сепарабельное пространство обладает счетной ортонормирован-
ной системой, показано выше. Если допустить, что имеется еще и
несчетная ортонормированная система, то, чтобы с любой точ-
ностью приблизить ее элементы, счетного множества окажется
недостаточно. Поэтому пространство в этом случае будет несепа-
рабельно, что и приводит к противоречию.
Таким образом, любая полная ортонормированная система
в сепарабельном гильбертовом пространстве имеет мощность, рав-
ную мощности счетного множества, и сепарабельные гильбертовы
пространства называются счетномерными (имеется в виду ортого-
нальная размерность). На самом деле, в любом, не обязательно
сепарабельном, гильбертовом пространстве все ортонормирован-
ные полные системы имеют одинаковую мощность, которая и на-
зывается ортогональной размерностью пространства. Доказатель-
ство этого факта мы не приводим, а дадим лишь пример несчет-
номерного гильбертова пространства.
Рассмотрим множество всех функций вида е1\ —оо<^< + оо,
где параметр X^R1. Пусть L — линейная оболочка этого множе-
м
ства, т. е. элементы вида =	Определим скалярное
k=i
произведение двух таких элементов по правилу
т	м, n	т
0м, gN)= Hm-L- f fM-gNdt=\im V ahbp-^-\ e^-^dt =
T-+<x> 22 J	Г-»со	22 J
—T	k,p=l	—T
= у 6 (A*, nP)akbp, где б(Х, |x) = ( ’
I 1, Л =
Пополним L в метрике, порождаемой этим скалярным произведе-
нием. В результате получим гильбертово пространство Н. Это
пространство несепарабельно, так как в нем имеется континуум
попарно ортогональных векторов. Согласно вышесказанному, раз-
мерность этого пространства равна мощности множества действи-
тельных чисел, т. е. континууму.
187
4.	Ортогональные разложения в гильбертовом
пространстве
Для гильбертова пространства Н справедлива следующая важ-
ная теорема.
Теорема 2. Пусть Н — гильбертово пространство и L под-
пространство в Н. Для любого вектора существует разло-
жение f = g+h, g^L, h±_L (т. е. вектор h ортогонален любому
вектору из L), при этом g uh определены однозначно.
ф Обозначим d = inf||f—ёф. Пусть d = 0, тогда найдется пос-
ледовательность gn^L такая, что \\f—£п!1->0, откуда следует, что
f — предельная точка для L, а потому, в силу замкнутости Д
f&L. Искомое разложение имеет вид /4-0.
Пусть d>0. Рассмотрим последовательность gn^L, для кото-
рой \\f—gn\\->d. Простой проверкой убеждаемся, что справедливо
следующее равенство:
2IIWJI3 + 2||/— gm||2 = 4 ||f-+ ll^-^П2-
При n, m-^oo левая часть стремится к 4d2. Первое слагаемое
в правой части ^4с?2, так как	g £, f—jj ^d.
Следовательно, ||gn—gmll->0. Поэтому последовательность {gn}
фундаментальна, а в силу полноты Н она сходится: g=limgn,
П->00
причем g^L в силу замкнутости L в Н. Пусть h = f—g, тогда
h_LL. Действительно, для любого вектора l^L и любого числа X
<Mf-(g—XZ)||2=II/i4-XZ||2=(/i4-XZ, Zi4-V) =
= rf2+A(/i, Z)4-X(Z, £)4-фХ|2||/||2.
Отсюда получаем, что l(h, Z)4-%(Z, h) 4- |X|2||Z||2>0. Но это воз-
можно при любом X, лишь если (ft, Z) = (Z, h)=0. Действительно,
достаточно положить число X=i/-ezarg(h’Z), t — вещественно.
Разложение f=g4-h единственно. Допустим, что f = g+h =
=g'+h', где g, g' принадлежат L, a h, h'±.L. Имеем 0=(g—g') 4-
4-(/г—/Г), где (S’—a (Zi—h')A_L. В силу теоремы Пифаго-
ра g—g' = h—h' = 0, откуда g=g', h = h'. Ц
Совокупность всех векторов й, ортогональных подпространству
£, образует (замкнутое) подпространство М, которое называется
ортогональным дополнением подпространства L.
Таким образом, доказано, что у всякого подпространства
Lc^H имеется ортогональное дополнение тИ, причем для любого
вектора f^H справедливо разложение f = g + h, g^L, h^M.
Говорят, что пространство Н разложено в прямую сумму под-
пространств L и 7И, и записывают H = L®M или L=H9M, где
символы фи© означают соответственно, что сумма и разность
«прямые», т. е. f=g+h, g(=L, h(=M, gl.h или g = f—h, g_Lh, и эти
представления единственны.
188
5.	Биортогональные последовательности
Пусть в гильбертовом пространстве Н даны две последова-
тельности {ЛЬ°°=1 и
Определение 4. Пара последовательностей
М = Ь 2, ..., оо,
из Н образует биортогональную систему, если
(fh Sk) =6]k>
Не для всякой линейно независимой последовательности векто-
ров существует биортогональная к ней последовательность. На-
пример, в А2 [0, 1] последовательность {tk}k=^ линейно независи-
ма и не имеет биортогональной. Действительно, если бы такая
последовательность {g/J/Xo существовала, то выполнялись бы
равенства
i	1
gm (/) tmdt = 1, J gm (0 tkdt = О, k*m.
О	о
1
Но тогда было бы J* {gm (/) tjdt = 0, / = 0, 1, ... . Однако
о
на основании полноты системы *> {^}£=о в L2[0, 1] (по теореме
Вейерштрасса система	полна в С[0, 1]; непрерывные
функции плотны в L2[0, 1]) получили бы, что gm(£)/m+1 = 0, т. е.
gm(Z)/^ = O, т. е.	= что противоречит соотношению
1 0
^gmtmdt = I-
О
Займемся более подробно изучением биортогональных систем.
Докажем один критерий существования у данной системы
биортогональной.
Теорема 3. Последовательность векторов {fk} имеет биорто-
гональную последовательность в том и только том случае, когда
ни при каком натуральном j вектор f} не принадлежит замкнутой
линейной оболочке остальных векторов fi, f%, ..., f7-i, /л-i, ....
(Система, удовлетворяющая последнему условию, называется
минимальной,) Если система минимальна и полна, то биортого-
нальная к ней определяется единственным образом.
ф Достаточность. Пусть система {fk} минимальна. Обозначим
замкнутую линейную оболочку векторов fi, ..., f7-i, f/+i, ... через
Mh а замкнутую линейную оболочку всех векторов fk, k — \, 2,...—
*) Т. е. любой элемент f из L2[0, 1] может быть с любой точностью при-
ближен по норме L2[0, 1] линейными комбинациями системы.
189
через М По условию при любом натуральном / справедливо со-
отношение	Пусть Nj=M G Mj — ортогональное дополне-
ние Mj. Возьмем вектор gj<=Nj. Такой вектор £7, очевидно, суще-
ствует. Пронормируем его условием
(A, g/)=i-
Очевидно, что (f/, gk) =0 при j=£k, поскольку gk^Nk — ортого-
нальному дополнению к линейной оболочке {fi, f2,	fk-\,
Поэтому последовательность {gk} биортогональна к {fk}.
Необходимость. Если последовательность {gk} биортогональна
к {fk}, то при любом / вектор /, не может принадлежать М/. Дейст-
вительно, в этом случае он был бы ортогонален к вектору gj (по-
скольку вектор gj ортогонален Afz = (fi, f2, .f/-i, f/+i, ...} ввиду
биортогональности системы {gk} к {fk}'. {gj, fk) =0, k=£j. Таким об-
разом, получилось бы, что и {gj, fj)=O, что невозможно в силу
биортогональности системы {£&} к {fk}.
Пусть, наконец, система {fk} минимальна и полна. Тогда N,
одномерно (иначе не было бы полноты системы). Элемент gj в та-
ком случае однозначно определяется условиями gj^Nj, {gj, fj) =
=1- 
Биортогональная система позволяет определять коэффициенты
оо
разложения по базису. Действительно, если f= ^ckfk* а система
/г=1
{g/} биортогональна к {fk}, то {f, gj)~Cj.
Рассмотрим теперь банахово пространство и определим биор-
тогональную последовательность к базису. Пусть последователь-
ность {<р«} — базис сепарабельного банахова пространства В. Рас-
смотрим числовые последовательности у = {с\,	сп, ...} такие,
оо
что ряд	сходится по норме пространства В. Совокуп-
на
ность всех таких последовательностей образует, очевидно, линей-
ное пространство В\. Введем в нем норму, полагая
llf/lh=SUp||£ С(ф;||.
1=1
Выполнение всех аксиом нормы проверяется без труда. Пока-
жем, что это пространство полное (т. е. банахово). Если {ут} —
фундаментальная последовательность
В^ут = {сТ......
ТО
Jlf/m—sup||£ (сГ—с1)<р< || <е для т, fc>2V(e)
п 1=1
190
и поэтому
п
|| £ (с?1—cf)||< е, т,	для любого п.
1=1
Отсюда
п	п—1
II (сп	сп) фп|| = || (pi	ci) ф/	(Ci	Ci) ф/1| <Z 2e.
i=l	i=l
Поэтому
\Cn—Cn \ < —— , tn, k > jV(e), для любого n.
IlTnll
Следовательно, числовая последовательность {с„}, т=\, 2,
сходится к некоторому пределу сп, и это имеет место при любом
п
п. Перейдем к пределу в неравенстве ||^Г (сГ— с*)ф(|| < 8. Имеем
1=1
lim ||2(гГ—4)<Рг|| т. е. ||^(сГ-с’)Фг||<8.
1=1	i=l
Положим
п	п
т V1	* V1 *
sn — Ci ф^-, Sn — Cifpi.
i=l	i=l
Учитывая предыдущее неравенство, будем иметь
||Sn+p— Sn|K||s^.|_p — s„|| + 2е для m^JV(e), для любого п.
Пусть задано некоторое б>0. Выберем 8>0 так, чтобы
2е<6/2, затем, зафиксировав N(e,), возьмем Мо так, чтобы
||Sn+p—s?||<y для п >.Мо, для любого р>0
QO
(это возможно в силу сходимости ряда у Сп <Р„). Тогда ||s„+p—s„||<
n=l
00
<6 для п >Л40,т. е. ряд^с^ф„ сходится, а поэтому у* = {с\, ....
П=1
п
сп,-..}^Вг. Кроме того, имеем, что	sup || JF (с™—с*)ф^||<Се
п 1=1
для /n:>V(e), т. е. \\ут—у*||в1'<8 для m>Af(e), и полнота про-
странства В\ доказана.
00
Очевидно, каждому х = £ q>{ е В соответствует единствен-
1=1
191
ный элемент i/x={Bi, |л,	обратно, каждому элементу
у = {^,}еВ| соответствует единственный элемент ху^.В, а именно
1=1
Таким образом, можно считать, что определен оператор х=Ау,
взаимно-однозначно отображающий В\ на В. Легко видеть, что
оператор А линеен. Кроме того,
оо	П	оо
IPM = IWI = || £ L<Pi || < sup || £ ^<pz || = ||r/|!, x = £ ^<P»>
t=l	П i=l	i=l
т. e. он ограничен. По теореме Банаха об обратном операторе су-
ществует обратный оператор у=А~1х, который также является
линейным и ограниченным.
Q0
Пусть х = ^ё1-ф£ е В. Определим функционал F*, полагая
i=i
Очевидно, функционал Fk — линеен. Кроме того,
k—i
|Ffc(x)| = |ld =
Ibl IlTfell
ПФа11
< 2 sup || V ^<Pi||^rJ-7
211У11 =	< 2ЦЛ-1» .. ..
11ф*|| IlTfell IlTfell
Следовательно, ||/7/e||^2||A“1H/||(p^ll, т. e. функционалы Fk ограни-
чены для любого k.
Таким образом, для любого х^В имеем
оо	00
i=l	i=l
г-r	гг	~ f 1, если i = /,
Положим, в частности, х = ср/. Тогда gt- = <	в силу
( 0, если i=£j
единственности разложения х по базису, т. е.
(Л, Ф/) = Л-(Ф/)=б£/, 6(7=р’ 1’ = Л
I 0. ȴ=/,
a (Ft> ф/) — означает уже не скалярное произведение в гильбер-
товом пространстве, а другую запись функционала Л(ф/). По
этому поводу шла речь в гл. II. Назовем последовательность
{Fi} сопряженно биортогоналъной к последовательности {<pz}. Под-
черкнем, что Fi^B* — сопряженному пространству, и, вообще
говоря, В* не совпадает с В. В определении 4 биортогональная
192
к данной система была определена как последовательность, при-
надлежащая тому же пространству Н, что и исходная система.
Последовательность	и поэтому она названа сопряженно
биортогональной.
В случае гильбертова пространства последовательность, биор-
тогональную к базису, можно всегда указать в исходном же про-
странстве. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что гильбер-
тово пространство обладает свойством Н = Н*. Действительно,
справедлива следующая теорема об изоморфизме пространств
Н и /7*.
Теорема 4. Пусть Н — действительное гильбертово прост-
ранство. Для всякого непрерывного линейного функционала F
на Н существует единственный элемент h^H такой, что
F(h) = (h, До), ЬееН,
причем ЦТ7!! = ||Д0||. Обратно, если h$(=H, то F(h)=(h, hQ) — не-
прерывный линейный функционал и ||F|| = ||А0||. Таким образом,
пространства Н и Н* изоморфны.
Очевидно, что для любого вектора h^H по формуле
Г(Д) = (Д, До) определяется линейный функционал. Так как
\F(h) |<||Д|| 1|Д0||, то этот функционал непрерывен и ||F||^||ftolh
При Д=Д0 в написанном неравенстве достигается знак равенства:
В(Д0) = (До, До) = IIДо112= IIДо11 ИДо11. Поэтому
11/Ч1 = 11До11.
Покажем, что всякий непрерывный линейный функционал пред*
ставим в виде скалярного произведения с некоторым вектором
До. Если F = 0, то полагаем До = О. Пусть теперь F=^G и Но —
= {h : F(Д) =0} — подпространство нулей функционала F (так как
F непрерывен, то HQ — замкнуто). Заметим, что теперь Hq=£H.
В таком случае по теореме об ортогональном дополнении суще-
ствует отличный от нуля элемент fo^H © HQ. Рассмотрим эле-
менты F(h)fo—F(jo)h, где Д пробегает все Н. Эти элементы при-
надлежат Hq. Следовательно, (F(h)fo—F(fQ)h, fo)=O, откуда
F(h)(f0, М = F(fo) fo)- Если положить До = —,7-"°/-- /о, то из
(/о, /о)
полученного равенства будет вытекать F(h) = (Ji, hQ). Это и есть
требуемое представление функционала.
Оно единственно. Допустим противное, тогда (Д, До) = (Д, До)
для любого вектора h^H, h^^ho. Взяв Д = Д0—До, получили
бы, что ||До—До|| — 0, т. е. Д0 = Д0, что противоречит допущению,
что До =/= До. 
Замечание 1. Теорема 4 верна и в случае комплексного
пространства Н, но отображение И в Я* будет уже сопряженным
изоморфизмом, т. е. элементу ХДо соответствует функционал AF.
Замечание 2. Теорема 4 устанавливает и общий вид линей-
ного непрерывного функционала в Н, А именно, всякий линейный
7 В. А. Садовничий
193
непрерывный функционал в Н имеет вид F(h) = (h, h0), где Ло —
фиксированный элемент пространства.
Пусть теперь {<р4 — базис гильбертова пространства Н и пусть
оо
g —	Как и в случае банахова пространства, введем функ-
пионалы Fif ставящие в соответствие вектору g коэффициент
его разложения по базису {срл}:
Используя теорему об общем виде функционала в гильберто-
вом пространстве,представим функционал Fi(g) в виде скалярного
произведения, т. е. запишем, что A(g) = (g, gi), где gi — некото-
рый вектор из пространства Н,
Выбирая в качестве g вектор ср, / = 1, 2, ... и пользуясь соот-
ношениями, справедливыми для произвольного банахова прост-
ранства: 77Дф/)=б1/, получим Л(ф/) = (фу, gi)=^ih т. е. {gj —
биортогональная система к {ф7}. Здесь уже запись (ф/, gt) озна-
чает скалярное произведение в Н. Система {g\} определяется един-
ственным образом.
Если вектор g ортогонален всем gi любого f=l, 2, ..., то
Ъ= (g, St) =0 Для любого г, и, следовательно, так как {ф:} — базис,
00
имеем, что ^ = ^^Ф^ = 0. Поэтому согласно утверждению 1 би-
i=i
ортогональная последовательность к базису всегда полна *> в Я.
Более того, имеет место
Теорема 5 (теорема Банаха). Биортогональная последова-
тельность {ф;} к базису {ф7} гильбертова пространства Н также
является базисом пространства И.
+ Любой вектор разлагается в сходящийся по норме ряд
/-=£(/> %) Фл
/=1
а поэтому для любого h^H числовой ряд
(У. Л) = £(А ч?/) (Ф/. Л)
/=1
п
сходится. Таким образом, (/,	V (А, ф/)ф/^для любого»
П-*00 \	'
/=1
вектора f^H. Но это означает, что последовательность
hn=Qnh =	(А, Ф/) ф/, п = 1, 2, ... , h<=H
__________ /=1
*) Заметим, что система {gj не является, вообще говоря, как это тре-
буется в утверждении 1, ортонормированной. Однако, применив к системе {gj
метод ортогонализации, мы получим согласно утверждению 1, что полученная
ортонормированная система полна. Отсюда в соответствии с формулами орто-
гонализации вытекает полнота и системы {g,}.
194
слабо сходится к вектору h. Действительно, для любого непрерыв-
ного линейного функционала 77=(-, /) имеет место равенство
F(hn) = (hn, f) и =	h)=F(h) при л->оо. Но, как
было показано в гл. II, всякая слабо сходящаяся последователь-
ность ограничена, а поэтому при любом п имеем	\\h\\,
||/г|| = 1, следовательно,	= const. Таким образом, доказана
равномерная ограниченность норм операторов Qn-
В силу полноты последовательности {ф/} в И для любого е>0
и любого fa=If найдутся числа с? (/=1, 2, Nz) такие, что
^8
II h—rfofy| < е, и, стало быть, для вектора
7=1
(л — 2с^/)=— 2 ‘W п > N&'
i=i	/=1
имеем
||Qnh— 2	|| < Ms, п > Ms-
/=1
Из полученных неравенств следует, что при n>Nz
\\Qnh-h\\<(l+M)s.
Таким образом, любой вектор h^H разлагается в сходящийся по
QO
норме ряд h= cz4/, причем коэффициенты с/, /=1, 2, ... од-
7=1
позначно определяются из равенств
Q=(^, Ф/), / = 1, 2, .... 
Определение 5. Системы fb f2, ... и g^ g2, ... называются
квадратично-близкими, если
2 и/*—ы2<°°-
/г=1
Теорема 6. Если <рь ф2, ... — ортонормированный базис
в гильбертовом пространстве Н, a f2, ... — ортонормированная
система векторов, квадратично-близкая к базису фЬ ф2, ... , то
fi, Аь  -  — также ортонормированный базис пространства Н.
фДокажем, что если вектор f Q~L.fi для любого 7 = 1, 2, ..., то
/о = О. В силу утверждения 1 этого параграфа из этого будет следо-
вать полнота системы /ь /2, ..., а в силу теоремы 1 будет следо-
вать, что эта система является и базисом.
Допустим, что из соотношений fo-L/i, 7 = 1, 2, ... не следует, что
/о = О, т. е. пусть /а=7^0. Но тогда fQ> fb f2, ... — ортогональное мно-
жество ненулевых векторов, а потому оно линейно независимо.
Покажем, что этого не может быть. Выберем такое Л4, что
7*
195
2 1!фл> — ДН2< !• Убедимся, что М4-1 векторов f0, fi, ..., fw —
k>M
линейно зависимы. Пусть
м
ёк = ^(Ь>ч>/)ъ> &=о,1,... ,м.
/=1
Векторов gk всего М4-1 штук, и все они принадлежат замкнутой
линейной оболочке векторов <pi, ф2, .. •, Фль Поэтому векторы
м
go, g\, •••> ём линейно зависимы. Пусть ^ckgk^=O. Тогда, под-
k=0
ставляя в это равенство выражение для gk, имеем
мм	мм
22 ф/)ф; = (2 c^k’ф/)ф/=°'
k—О /=1	J=1 fe=0
Векторы <р/, /=1, 2, ..., М линейно независимы. Следовательно,
в последнем соотношении все коэффициенты — нули, т. е.
м	м
(2	=0, /= 11 21 ••• >М- Пусть h= ^ckfk. Тогда полу-
/г=0	/г=0
чается, что h ортогонален векторам фЬ <р2, ..., фль
оо
Вычислим норму вектора h. Имеем: ||/г||2 =	1(А> Ф*)12==
Ляж1
ОО
=	(^>Фл)12- С другой стороны, вектор h принадлежит замк-
/г=М4-1
нутой линейной оболочке векторов /0,	..., fM, т. е. ортогонален
/м+1, М+2, .... Поэтому
цлн2= 2 ка-^)-(л./й)12< 2 f*na< wi2-
fc=M+l	fe=Al+l
Отсюда следует, что вектор Д = 0, т. е. векторы /0, Л» ...» М линей-
но зависимы. Ц
6. Матричное представление линейного
ограниченного оператора в Н
Остановимся теперь на матричном представлении ограничен-
ного оператора в ортонормированном базисе.
Пусть А — определенный на всем сепарабельном гильберто-
вом пространстве Н линейный ограниченный оператор. Покажем,
что он допускает матричное представление, которое аналогично
матричному представлению линейного оператора в конечномерной
пространстве.
196
Пусть {<pn} — ортонормированный базис в Н. Положим Аф„=
=gn, (gk, ф/) = (Афй, Ф/) ==«/*, /, £ = 1, 2, ... . Числа a!k — коэффи-
циенты Фурье в разложении вектора gk по базису ф/. Поэтому
Q0
gk^^ik^i, £ = 1,2, ...
/=1
И
21М2= 2/,^=1,2,....
/=1	7=1
Покажем, что матрица {^}у°Л==1 определяет оператор А, т. е. по-
кажем, что по матрице {aJk} и ортонормированному базису {<р4
можно однозначно восстановить оператор. Было показано, что
00
Xcpfe " g/г = ajk^b £=1,2,... . Задача состоит в нахождении
/=1
значения Af для любого вектора f^H. Пусть
оо	N	оо	N
2^<Pft и 2^-Тогда А^= где 2а*&-
fc=l	fe=l	7г=1	/=1
Имеем, далее, в силу непрерывности оператора Л, что
W	QO
^ = И/,ф*)= lim (AfN, фА) =limr]ftv= lim Уа^/ = УМ/.
ДГ->оо	Л7->оо R N-+-
/=1 /=1
Следовательно, для любого вектора справедливо равенство
00	00
Af = ckqk, где ck —	т. е. действительно получено
k=i	/==1
матричное представление оператора А в базисе
Примеры.
1.	Строго выпуклые множества. Если точка h гиль-
бертова пространства Н принадлежит интервалу, соединяющему
точки f и g (отрезком, соединяющим точки f и g, называется со-
вокупность векторов вида tf+(l—t)g, где 0^7^1), то h предста-
вимо в виде h = tf+ (1—t)g, 0</<1 и называется внутренней точ-
кой отрезка. Если точка выпуклого множества не служит внут-
ренней ни для какого отрезка, принадлежащего этому множеству,
то она называется крайней точкой этого множества. Замкнутое
выпуклое множество в Н называется строго выпуклым, если все
его граничные точки крайние.
Покажем, что, например, единичный шар в любом гильберто-
вом пространстве — строго выпуклое множество. Граничные точки
замкнутого единичного шара есть векторы f, для которых II/II = 1.
Поэтому следует показать, что если f — tg+ (1—t)h, где 0</<1,
11/11 = 1, IlglKl, НМ<1, то f=g = h. Имеем, что ! = (/,/) =
197
=a, tg+ (i-ол) =/(f, g)+(i-o(f, ft)-но ।(f, g) «1, । (f, h)
^1, и в силу строгой выпуклости единичного замкнутого круга
на плоскости имеем, что (f, g) = (f, /г)=1. Но тогда неравенство
Коши—Буняковского превращается в точное равенство. Следова-
тельно, векторы g и f и векторы h и f коллинеарны, т. е. g = af,
h=fif, а, ₽ — коэффициенты. Тогда 1 = (/, g) — (f, af)=a, 1 =
= (f, h) = (А РЛ) =p, т. e. f=g = h.
2.	Сильная и слабая сходимость в Н. Гильбертово
пространство является метрическим пространством, а следователь-
но, и топологическим пространством. Сильная топология, как мы
знаем, задается системой окрестностей нуля вида 2o,e = {f: llf||<s},
8 — произвольное положительное число.
Слабая топология задается системой окрестностей нуля вида
S8,n — {f: | Л (f) | <8, i = 1, 2, ..., и}, где F/, £=1,2, ..., n — линей-
ные непрерывные функционалы на И. Учитывая теорему 4 об об-
щем виде функционала в Н, для задания слабой топологии дос-
таточно задать систему окрестностей нуля вида =
= {/: | (Л М |<е, £=1, 2, .Л, и}.
Покажем, что каждое множество, замкнутое в слабой тополо-
гии, замкнуто и в сильной топологии.
Пусть М — замкнутое в слабой топологии множество в Н и
fn^M, ||fn—/||->0. Докажем, что f&M. Заметим для этого, что из
сильной сходимости следует слабая. В самом деле, справедлива
оценка
|(М, g)-(f, g)|<17n-/ll-llgll->0.
Таким образом, если {fn} сходится к вектору f сильно, т. е.
Wfn—fll->0 при п->оо, то {fn} сходится к f слабо. Поскольку М
замкнуто в слабой топологии, т. е. относительно слабой сходимос-
ти, и fn^M, то получаем, что что и требовалось.
Заметим, что из слабой сходимости естественно не следует
сильная сходимость. В самом деле, пусть {фп} — ортонормирован-
ная последовательность. Тогда для любого вектора f^H коэффи-
циент Фурье (/, <рЛ) по этой ортонормированной системе в силу
оо
сходимости ряда КЛ Фп)12 стремится к нулю: (f, <р„) ->0 при
п=\
п-^оо. Следовательно, qn слабо сходится к нулю. Однако, посколь-
ку ||фп|| = 1 для любого п, последовательность {фп} сильно к нулю
не сходится. Отсюда, в частности, следует, что множество {фп}
не замкнуто в слабой топологии. А в сильной топологии оно дис-
кретно, не имеет предельных точек (так как эта последователь-
ность ортонормирована), а поэтому замкнуто.
Докажем еще одно утверждение, часто оказывающееся полез-
ным. А именно, если последовательность {fn} сходится к вектору
f слабо и IIM-4lfll, то \\fn—fll->0, т. е. fn-+f сильно. Действи-
тельно,
\\fn-f\\2=(fn-f9 fn-f)=\\fn\\2-(f, fn)-(fn, f) + llfll2.
198
*В силу слабой сходимости fn к f имеем, что (/, fn) ->||f||2,
(fn,f)->llf II2. Согласно условию НМ1->||/||, поэтому \\fn—f\\-+O при
п~>оо, что и требовалось.
3.	Пространство A2(D). Пусть D = {z: |z| <1} — откры-
тый круг комплексной плоскости С, A2(D) — совокупность всех
аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля функ-
ций. Тогда A2(D) —линейное пространство по отношению к обьпь
ным операциям с функциями. На этом множестве можно ввести
и скалярное произведение, положив (f,g)= ^f(z)g(z)dz. Можно
b
показать, что это пространство полное по отношению к введенной
метрике и поэтому является гильбертовым. Простая проверка по-
казывает, что функции (рп (?) = -п~^—• гп образуют ортонор-
мированную систему. Действительно,
(m+l)(n+l)
л
C±tll<ZL±12_ J J e^^^p^^dpdQ =
о о
|z|<r
__ 2(/п4-1)(М~1 )	т
(m+n+2)
где
X _ I 1 ’ если
( 0, если
образом, положив r = 1, получим (фя, ф/п)=бя,/п. На са-
векторы фи(г) образуют полную систему, т. е. базис
в пространстве Д2(О).
Действительно, пусть функция f(z)^A2(D) разложена в ряд
1/2 / \
ЗДп (*)•
пфт.
Таким
мом деле,
Тейлора:
/2=0	п=0
В силу равномерной сходимости ряда Тейлора имеем, что
оо
>„) = (“Ту) а”‘ Согласно неравенству Бесселя ряд1ал12
/1=0
сходится. Поэтому ряд Vf—-—V/2 аЛ<рп (z) = f (z) сходится по
\ 1 /
/1=0
норме пространства A2(D).
Таким образом, выше даны два разных доказательства того,
что система {фп} — базис пространства A2(D). С одной стороны,
допустив, ЧТО /_1_фп для любого п, мы бы получили по формуле
(Л Фп)= ““у72 ап, что все ап — 0, т. е. что функция f(z)=O,
т. е. система {фя} полна, а поэтому — и базис. С другой стороны»
199
показано, что всякая функция f может быть разложена в сходя-
щийся по норме ряд по системе {срл}, и притом единственным об-
разом, т. е. система {<рл} — базис пространства A2(D).
4.	Пример всюду плотного множества в/2. Пусть
0< | а | <1.
Оказывается, что замкнутая линейная оболочка множества
всех векторов вида
^=(1, а", а2\ ...), Л=1, 2, ...
совпадает со всем пространством I2.
Действительно, пусть вектор f = (go, li, •••) — ортогональный
всем векторам gk- Имеем
n=0
где г/г = а/г, k= 1, 2, ....
Поэтому, как это легко заключить из вида коэффициентов
ряда Тейлора, аналитическая в круге |z|<l функция име-
ет бесконечно много нулей zk->0 при £->оо.
Такая функция есть тождественный нуль, следовательно, все
коэффициенты gn = 0, а поэтому вектор f = 0, что и требовалось
показать.
5.	Счетно-аддитивная мера в Я. Введем счетно-адди-
тивную неотрицательную функцию ц на гильбертовом пространст-
ве Я. Потребуем, чтобы ц(2)>0 для любого непустого открытого
множества 2сзЯ и чтобы ц(f + 2) = ц(2) для любого вектора f и
любого открытого множества 2. Оказывается, что для любой та-
кой счетно-аддитивной функции и любого непустого шара В
будет выполнено соотношение ц(Я)=оо. Другими словами, если
указанную функцию назвать мерой в Я, то мера любого непус-
того шара в Я бесконечна.
Пусть {<р4 — ортонормированная система в Я. Пусть —
г>4
Таким образом, Вп — шары с центрами в точках <рл и ра-
диусами г/4. Если f^Bn, то
11/11 <|/-Фл|| + [y Фл|| <Г,
т. е. f^B, так что Вп^В. Если f^Bn, g<^Bm, то при п^=т имеем,
что ||/—g||>0, т. е. шары Вп и не пересекаются. Действи-
тельно,
У Фл----4>т | <	Фл — f । + II/ —gll + |g — -j- Фл1 I,

200
Таким образом, шар В содержит бесконечно много непересека-
кЛцихся открытых шаров одинаковой положительной меры, т. е.
р(В)>2И(В,,) = ~.
6. Базис из тригонометрических функций. В про-
странстве L2 [0, 2л] тригонометрическая система функций
п = 0,±1,... образует базис пространства, и, сле-
довательно, всякий вектор f^L2 [0, 2л] может быть разложен!
в сходящийся по норме ряд
00	2Л
/=2с,,(Рп’ фп= фя> =
—оо	О
Докажем полноту системы {<рп}. Согласно теореме 1 отсюда бу-
дет следовать, что она образует базис, так как очевидно, что она
ортонормирована. Допустим, что существует функция g&
ei2 [0, 2л], отличная от нуля, и такая, что
2л
J g (0 e~int dt = O, п = 0, ±1, ... .
(	о
Интегрируя эти соотношения по частям, получаем, что длят
любой константы С выполняются соотношения
2Л	t
{F(t)—c}e~inidt = O, F(t) =	n=±l, ±2, ..... :
0	0
Подберем постоянную с так, чтобы это равенство имело место и,.
2л
при п = 0, т. е. положим с=---- IF (/) dt. По теореме Вейер-
2л J
о
штрасса при любом е>0 можно найти такой тригонометрический:
N
полином сг(О= 2 ^ke‘kt, что	|Ф(0—а(О|<е,	где Ф(/)==
k=—N
=F(t)—с. Поэтому
2л	2Л	2Л
[Ф(/)Ф(0<# = J |Ф(012^ = J Ф(0[Ф(0—
ООО
2Л	2Л
<е[ |Ф(/)|Л<8(2л)1/2	|Ф(/)|2Л]1/2.
о	о	/
201
Таким образом,
2л
J |Ф(012^<2пе2.
0
Поскольку e произвольно, то ф(/)=0, г. е. /?(Z)=const. Следо-
вательно, g(t) =0 почти всюду (см. гл. III, § 4).
ЗАДАЧИ
1	Многочлены, получающиеся при ортогонализации функций 1, х, х2,... в
пространстве L2[—1, 1], называются многочленами Лежандра, Показать, что
л-й многочлен Лежандра имеет вид
Рп (х)=с„[(х2—1)«](«).
2.	Доказать полноту системы полиномов Лежандра в пространстве
f x4t)
3.	Во множестве функций, удовлетворяющих условию i	>
J у 1 t
— 1
определим скалярное произведение по формуле
(*
x(t) y(t) ..
—-------at.
/1 —z2
Показать, что ортогонализация системы функций xn(t)—tn n=0, 1,... относи-
тельно этого скалярного произведения приводит (с точностью до постоянной)
к многочленам Тп (0 =cos(n arccos t), n=l, 2,... (полиномы Чебышева).
4.	Функции, получающиеся при ортогонализации системы %«(/)
n=0, 1, ... в пространстве L2[0, оо) называются функциями Лагерра. Пока-
зать, что n-я функция Лагерра имеет вид
dn
atn
5.	Система функций Хаара %л, %*еС2 [0, 1] (С2[0, 1] — пространство кусоч-
но-непрерывных функций, принимающих в точках разрыва значения, равные
полусумме предельных значений слева и справа, причем метрика в этом про-
странстве вводится по правилу: ||х— у||2 =(х — у, х— у)=р2(х, у)= J [х(0-
о
— y(t)]2di) определяется следующим образом:
Х1 = 1. Х2 =
1
2 ’
2

2s—1
2fe+i

—/2* , te
2s—1
2fe+i * 2k
l<s<2*, 6=1,2
S
— Zs—1
О, Ze
\ 2*
s
2k
202
Доказать, что эта система ортонормирована и каждая функция из С [0, 1]
Может быть равномерно аппроксимирована полиномами по системе Хаара.
6.	Построить в пространстве L2[a, b] ортогональную систему непрерывных
функций Я1(х),	(*),.••> обладающую следующими свойствами:
ь
а)	из того, что J f(x)an(x)dx~ 0, п = 1,2, ... , следует, что f(x)s=0,
а
какова бы ни была непрерывная функция f(x);
б)	линейные комбинации функций аДх), a2(x)t... неплотны в простран-
стве L2[a, 6].
7.	Пусть {fk} — полная система векторов в Н. Пусть , %}") — наи-
меньшее и наибольшее собственные значения матрицы Грама {«/&}” <%jk =
==(/Ъ //) • Если lim XjP = А >• 0, lim	оо, то последовательность {/>}
fc->00
является базисом в 7/.
8.	Доказать, что всякий линейный, ограниченный, обратимый оператор А
преобразует любой ортонормированный базис пространства Н в другой базис
пространства w. Последний называется базисом Рисса. Если последователь-
ность {ф5}— базис Рисса, то последовательность {ср3}={ф^/Пф^Н}— также базис
Рисса.
9.	Если последовательность {фД— базис Рисса, то существуют числа ai>0,
Лг>0 такие, что для любого п и любых чисел уь Y2>.««,Yn
п	п	п
IY/12 < || 2 Y/'Ф/Ц2 < Ъ	IY/I2-
/=1	/=1	/=1
10.	Если	последовательность	{фД— базис	Рисса,	то для любого f&fi
00	М
7=1	/=1
где {gj} — биортогональная к {фД последовательность.
11.	Базис пространства И называется перестановочным, если при любых
перестановках его членов он остается базисом Н. Всякий ортонормированный
базис перестановочен, более того, базис Рисса перестановочен.
12.	Последовательность, векторов gj называется ы-линейно независимой*
оо	оо
если равенство Cjgj = 0 невозможно при О <Z lc/l2llg/ll2< °о • Дока-
/=1	/=1
зать, что всякая со-линейно независимая последовательность {gj}, квадратично-
близкая к базису Рисса, является базисом Рисса.
13.	Доказать, что если определенный всюду в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н линейный оператор А допускает матричное представление в
каком-нибудь ортонормированном базисе, то он ограничен.
§ 2. Спектральные теоремы
Прежде чем приступить к изложению спектральных теорем,
дадим несколько важных понятий, относящихся к операторам.
Подчеркнем, что всюду в этом параграфе, кроме п. 12, рассмат-
риваются линейные, ограниченные операторы, определенные на
всем пространстве.
203
1.	Сопряженный оператор
Определение 1. Оператор А* называется сопряженным
к линейному ограниченному оператору А, если для всех f, g^H
выполнено равенство
(Af, g) = (f,A*g).
При фиксированном g (Af, g) представляет собой линейный
функционал, примененный к переменному элементу в силу
теоремы 4, доказанной в § 1, существует однозначно определен-
ный элемент g* такой, что (Af, g) = (f, g*) для любого /. Поло-
жим A*g=g*; так определенный оператор, очевидно, линеен.
Покажем, что он ограничен и его норма равна норме оператора А.
Пусть f=A*g, тогда можно записать, что
(A*g, A*g) = (AA*g, gKI|AA*g|| ||g||<||A|| ||А*^| ||g||.
Поэтому l|A*g||^||A|| llgll, 1|А*||^||А||. Точно так же, положив
g=Af, получим, что ||А||^||А*||. Следовательно, ||А|| = ||А*||.
Единичный оператор Е и нулевой оператор О совпадают со
своим сопряженным, т. е. £==£*, О* = О.
Определение 2. Если линейный ограниченный оператор
совпадает со своим сопряженным, то он называется симметричес-
ким (самосопряженным).
Из определения сопряженного оператора вытекают следующие
равенства:
(аА)* = аА*, (А^А^А^+А^ (А^Г^ А2Х (А*)* = А.
Если последовательность {АЛ} сходится по норме к А, то, в силу
того что ||А*|| = ||А||, последовательность {А*} сходится по норме
к А*:А*=^>А* при п->оо.
Сопряженный оператор можно определить и для более общих
(чем гильбертово) пространств. Пусть заданы, например, два ли-
нейных нормированных пространства и и оператор А : 2Vi->
->#2- Пусть Ф(£) — линейный функционал на Л^- Если g=Af,
g^N2, то Ф(£) =Ф(А/) = F(f), где F(f) — функционал,
определенный на Ni. Очевидно, что функционал F — линеен. Та-
ким образом, получается, что каждому функционалу Ф из N*2 ста.
вится в соответствие функционал F из N*v т. е. построен оператор
А*Этот оператор А* называется сопряженным к опе-
ратору А, равенство ®(g) =F (f) записывается в виде Е=А*Ф.
Если вспомнить, что в нормированных (или линейных) простран-
ствах запись функционала Ф(£) можно представить в виде, ана-
логичном виду функционала в гильбертовом пространстве, т. е.
с помощью аналога скалярного произведения, то из сказанного
выше получается запись, вполне аналогичная записи в гильберто-
вых пространствах:
Ф&) = (§, ф) = (М, ф) =/=(/) = (f. F) = (/, А*Ф).
204
Здесь Ф(§) = (g, Ф) = (Ф, g) — запись функционала в форме,
аналогичной скалярному произведению (см. п. 5 § 2 гл. II). Точно
так же получаем, что F (/) = (Д F) = (F, /). В частности, элементы
g и Ф называются ортогональными (в нормированном простран-
стве !), если Ф(£) = (g\ Ф) = (Ф, g) =0.
В случае нормированных пространств все свойства сопряжен-
ного оператора, справедливые для гильбертова пространства, со-
храняются.
Будем говорить, что последовательность операторов {XJ
в гильбертовом пространстве Н слабо сходится к оператору Д,
если для любых f, g^H
(Anf, g)->(Af, g).
Очевидно, что если {Лп} слабо сходится к Л, то и {Л*} слабо
сходится к Л* при п->оо.
Напротив, из поточечной сходимости Ап->А не следует, вообще
говоря, поточечная сходимость	при п->оо. Действитель-
но, пусть в /2 заданы операторы
ЛЛ(Х1, Х2, ...) = (хп+1, Хл+2, ...), Х=(ХЬ Х2,
тогда
Ап (Х^, %2 f • • • ) ~	, • • • >	> -^2» • • • ) >
где перед Xi стоят п нулей. При этом Апх->0 при /2->оо для лю-
бого х, тогда как ||Л*х|| = ||х||. Если для оператора А существует
обратный оператор Л-1, то справедливы равенства
*= (Лг1Л)* = Е* = Е. Следовательно, оператор А* также имеет об-
ратный и (Д*)-1= (Л4)*.
2.	Понятие о вполне непрерывном операторе
Гильберт первый обратил внимание на один важный класс
операторов, аппроксимируемых конечномерными, а именно на
вполне непрерывные операторы.
Определение 3. Определенный всюду в Н линейный опе-
ратор А называется вполне непрерывным, если он переводит
всякое ограниченное множество точек в такое множество, из вся-
кой бесконечной последовательности которого можно выделить
сходящуюся подпоследовательность к некоторому элементу Н *> (в
смысле метрики в Н).
Вполне непрерывный оператор ограничен. Действительно,
в противном случае существовала бы последовательность векто-
ров {fk}> k=l, 2, ... , для которой 11/^11 = 1, ||Л/>||>£, однако из
*> Можно показать, что вполне непрерывные операторы (отображения), и
только они, переводят замкнутый единичный шар в компактное множество.
Легко также убедиться, что при вполне непрерывном отображении замыкание
образа ограниченного множества есть множество компактное. Часто такие опе-
раторы называют компактными.
205
множества точек {А/>} нельзя выделить сходящуюся подпоследова-
тельность, т. е. получается противоречие.
Легко доказываются следующие утверждения.
Утверждение 1. Если А вполне непрерывен, а оператор №
определен всюду в Н и ограничен, то АВ вполне непрерывен. \
Утверждение 2. Если Аь А2 — вполне непрерывные one*
раторы, то (XiAi+ 02^2 — также вполне непрерывный оператор. *
Теорема 1. Если А — ограниченный линейный оператор,
определенный всюду в Н, и если А*А вполне непрерывен, то и
оператор А вполне непрерывен.
ф Пусть М — какое-нибудь бесконечное ограниченное мно-
жество точек Д причем ||f||<c. Пусть {fk} — некоторая последов а-.
тельность элементов этого множества, которая оператором: А*А
переводится в сходящуюся последовательность. Поскольку «
\\Afn-Afm\\^ (A(fn-fm), Atfn-fml) =
= (A* A	, fn-M < ||A*Afn-A*AM • \\fn-fm\\
И
lim ||А*А/„-А’А/=т|| = О, \\fn-L||<2c,
n,m->co
to lim ||A/„—Afm|| = O, t. e. {Afn} сходится. |
n,m->oo
Следствие 1. Если оператор А вполне непрерывен, то тем
же свойством обладает и оператор А*.
Действительно, если оператор А вполне непрерывен, то вполне
непрерывен и оператор АА*=(А*)*А*; остается применить только
что доказанную теорему.
Следствие 2. Если А — вполне непрерывный оператор, а
линейный оператор В, определенный всюду в Н, ограничен, то
оператор ВА вполне непрерывен.
Действительно, оператор (ВА)* = А*В* будет вполне непрерыв-
ным, следовательно, вполне непрерывен и оператор ВА.
Теорема 2. Оператор А, являющийся пределом (в смысле
сходимости по норме в пространстве операторов) вполне непре-
рывных операторов, вполне непрерывен.
Рассмотрим последовательность положительных чисел
8ь 62, • • •, 8П, ..., 8i>82> ..., 8п->0 при и->оо. Тогда существует
последовательность Ае вполне непрерывных операторов такая,
что ||А—A8J|< 8Z, г=1, 2, ... . Пусть М — произвольное ограни-
ченное множество точек причем llfll^- Пусть {fk}*—
произвольная бесконечная последовательность. Выделим из этой
последовательности подпоследовательность	которая опе-
ратором AS1 переводится в сходящуюся последовательность. Из
этой последовательности выделим подпоследовательность {Д2л)Г>
которая оператором A8js переводится в сходящуюся последова-
тельность. Продолжим этот процесс неограниченно. Рассмотрим
206
1
диагональную последовательность {fkk}™- Докажем, что эта пос-
ледовательность переводится оператором А в сходящуюся. Преж-
де всего заметим, что она переводится в сходящуюся каждым из
операторов Ае., Далее,
1И/„„-Д/тт|К||(Л-Деь) /„„II + ||(Д - Aek) fmm\\ +	!
Н“	^8д/тги||'С 2c8fc +	Azjmm\I •
Выбирая сначала достаточно большим номер k, а затем номе-
ра п и т, мы сделаем правую часть сколь угодно малой. Следо-
вательно, последовательность {Afnn} сходится в Н. Ц
3.	Абсолютная норма оператора
Рассмотрим понятие абсолютной нормы оператора. Пусть Н —
сепарабельное гильбертово пространство и А — линейный огра-
ниченный оператор, определенный всюду в Н. Пусть {fk}?
и {Ф*}*— два произвольных ортонормированных базиса в Н,
Предположим, что
2 1(д/й,Ф<)12<оо.
i,k=l
Класс операторов, для которых выполняется это неравенство, на-
зывается классом Шмидта. Так как (Afk) <рг), 4=1, 2, ... — коэф-
фициенты Фурье вектора Afk в базисе	то согласно равенст-
ву Парсеваля
•о	сю
2 ।<₽‘-)12= 21Ш|2-
i,A=l	А=1
С другой стороны, (Д*ф<, fk) = (ф«, Afk) — коэффициенты Фурье
вектора Д*ф< в базисе {Mf. Поэтому
2 к^,Фг)г= 2ihw-
i,k=l	L=l
Таким образом, величина ||А||2 =	I (Afk, <р^) |2 не зависит
г
от выборов базисов {fk} и {qpz}, а зависит лишь от оператора А. Эта
величина ||А||2 называется абсолютной нормой*^ оператора А.
Поскольку в качестве fi можно взять любой единичный вектор,
то
1ИЛК1И112, IIAIKMIh,
т. е. обычная норма не превосходит его абсолютной нормы. Легко
♦) Величину MII2 называют также нормой Шмидта,
207
видеть, что если С — произвольный ограниченный оператор, то
Далее,
||СА||2^||С|| UAHs, ||АС||2<||С|| ||Д||2.
1И+вц2=
+ \т\у
< У z nW + у z \т\2 =||ац2+||В||2,
г /=1 r
А и В — линейные операторы.
Положим в формулах выше fk=q>k для любого индекса k.
Тогда
1И||2=1/ 5 IG4<pft,<pf)l2= У J |a<ft|2,
Г t,k=l	Г i,k=:l
где aik=(Aqk, фг). Таким образом, если ||Л||<оо, то оператор А
допускает матричное представление, причем
ОО
i,k=l
Более того, справедлива
Теорема 3. Если ||Л||2<оо, т. е. оператор принадлежит клас-
су Шмидта, то оператор А вполне непрерывен.
ф Пусть {gjjj0— какой-нибудь ортонормированный базис
пространства Н. Тогда ||Л||2= у У . Пусть 8>0, выбе-
* k=i
00
рем число М столь большим, чтобы IH’£ft||2 < е2. Пусть
fc=M+l
Ае — оператор, определенный по формуле
м
AJ = ^Af,gk)gk.
k=l
Оператор Ае — конечномерный и поэтому вполне непрерывен»
При любом имеем, что
1Н/-Ае/||2= 2 |(А/,^)|2= 2 |(АА-^)12<
£=ЛН-1	k=M+l
<н/н2 2 imw <82пл12.
£=M4-1
208
Следовательно, ||А— Де||<8 и оператор А, как предел (по иорме*
пространства операторов) вполне непрерывных операторов, явля-
ется сам вполне непрерывным. Н
Рассмотрим теперь конкретный пример оператора из класса
Шмидта — интегральный оператор Гильберта—Шмидта,
Пусть <р — функция из пространства L2 [а, Ь]9 а функция*
ь ь
K(s, /)е£2([а, й] X [а, Ь]), т. е. J J |№(s, t)\dsdi < оо. Опреде-
а а
лим оператор Д по следующему правилу:
ъ
А<Р = J К (s, 0 <р (0 dt.
а
Покажем прежде всего, что так действительно определен ог-
раниченный оператор на гильбертовом пространстве L2 [а, Ь].
Заметим сначала, что в силу теоремы Фубини для почти всех
ь
s существует интеграл J |№(s/)\dt, т. е. как функция t ядро
а
7<(s, t) почти при всех s принадлежит L2[a, Ь]. Так как произве-
дение функций с суммируемым квадратом суммируемо, то функ-
ция Аф существует для почти всех se [а, Ь]. Покажем, что А<р<=
^L2[a, Ь]. По неравенству Коши—Буняковского для почти всех
s имеем
ь	ь	ъ
|Л<р|2= (Jк(S,0фХО|2с J \K?(s,t)\dt-[ |ф2(01^=
а	а	а
Ь
= 11ф||2 f \K4s,f)\dt.
а
Интегрируя по $ и заменяя повторный интеграл двойным, полу-
чаем
ь ъ
ЦЛф||2< ||<p||2J J |№(s,OI^.
а а
т. е
ь ъ
IIAll< J J |№(s,0l^f
а а
и оператор А действительно ограничен.
Покажем сейчас, что интегральный оператор А Гильберта —
Шмидта является на самом деле вполне непрерывным и, более
того, оператором из класса Шмидта, причем
ь ъ
ЦА||2= \K*(s,t)\dsdt.
а а
209
Пусть {fk(s)} и {(рД/)} — полные ортонормированные системы
в L2[a, b] (с аргументом s) и L2[a, Ь] (с аргументом /). Тогда
система {fk (s) <рг (0} — полная ортонормированная система
в L2([a, b] X [а, Ь]). Действительно, ортонормированность прове-
ряется непосредственно. Докажем полноту. Пусть функция
<o(s, /)еЛ2([а, b] X [а, Ь]) и ортогональна каждой из функций
системы {0jfc,i=^(s)<Pf(O}, т. е. (со, 0л,г)=О для всех k и i. Тогда,
как мы знаем, функция
ь
«л (0 = J ® (S, t) fk (s) ds
a
принадлежит L2[a, Ь]. Поэтому
(co, 0/eJ = (со, Дфг) = ((Ofc, фг).
"Таким образом, из того, что (со, 0^,г)=О для всех k и t, следует,
что (со*, фг)=0, и в силу полноты системы {cpj следует, что со^ = О
.для всех k. Далее, он (0 определено для почти всех t и равно
.нулю при каждом k для почти всех t. В силу полноты {fk} выте-
кает, что co(s, 0=0 для почти всех s и t, т. е со = 0 как элемент
Х2([а, Ь] Хр, Ь]) и система {f^(s) фДО) полна.
Вернемся теперь к вычислению абсолютной нормы оператора
Л. Имеем в силу полноты и ортонормированности {f&cpj:
оо	со b b
||Д||22= 2 1(^’ФЭ12= 2	OA(s)<Pi(O^|2 =
k, 1=1	fe,i=l а а
b b
= j1 J \К(s, t)\2dsdt.
а а
b Ь
Таким образом, при условии, что j J |К (s, О |2 dsdt < оо, оператор
а а
b
Лф = J К (s, /) ф (/) dt является оператором из класса Шмидта.
а
4. Альтернатива Фредгольма
Часто приходится находить решения различных интегральных
или дифференциальных уравнений.
Примером интегрального уравнения может быть уравнение
ь
ф (s) = J к (s, f) ф (/) dt + f (s),
а
тде f и К — заданные функции, а ф — искомая функция. Матема-
тики давно рассматривали и изучали отдельные виды интеграль-
210
них уравнений. Так, например, еще в 1823 г. Абель рассмотрел
уравнение вида, несколько отличного от приведенного выше, а
именно уравнение
S
=	0<а<1, f(0) = 0,
О
где f — заданная функция, а <р — искомая, и показал, что реше-
ние этого уравнения имеет вид
ч>(0 =
t
sin яа Г f(s) ,
я J (/_s)i-aaS-
О
К решению интегральных уравнений сводятся и многие дифферен-
циальные уравнения.
Например, рассмотрим хорошо известное уравнение Штурма—
Лиувилля
—y"+q(x)y = p2y,
где q(x) — известная функция, р — некоторый числовой пара-
метр, у — функция, подлежащая определению.
Методом вариации произвольных постоянных нетрудно, на-
пример, убедиться, что решение задачи Коши (i/(0)=0, t/'(0) = l)
данного уравнения можно найти из следующего интегрального-
а
1	1 Г
уравнения: у(х) = — sinpxH------I sinp(x—£)<?(£) «/(£)<#•.
Р	р .1
О
Причем важно подчеркнуть, что часто рассматриваемые ин-
тегральные уравнения, которые в ряде случаев можно записать
в виде
Ф = /Сф+/
(ф — искомая функция, К — интегральный оператор, f — задан-
ная функция), оказываются уравнениями с вполне непрерывным
оператором К.
Докажем сейчас важную теорему относительно разрешимости
таких уравнений, причем в дальнейшем нас не будет интересо-
вать конкретный вид оператора К. Всюду в дальнейшем будем
считать, что К — произвольный вполне непрерывный оператор,
заданный в гильбертовом пространстве Н.
Положив А = Е—/С, где Е — единичный оператор, уравнение
можно переписать в виде
4q> = f.
Наряду с этим уравнением рассмотрим в Н однородное уравне-
ние
Афо = О
211
и два уравнения с сопряженным оператором — неоднородное
A*q—g
и однородное
А*ф0=О.
Теорема (альтернатива Фредгольма). Справедливы следую-
щие утверждения.
а)	Неоднородное уравнение Aq = f разрешимо для тех и толь-
ко для тех векторов которые ортогональны всем решениям
сопряженного уравнения А*ф0 = 0
б)	Либо однородное уравнение АфО=0 имеет ненулевое реше-
ние, либо неоднородное уравнение имеет при любом одно и
только одно решение.
в)	Однородные уравнения Аф0 = 0 и А*фа=0 имеют одно и то
же конечное число линейно независимых решений.
Сделаем несколько замечаний в связи с сформулированной
теоремой.
Во-первых, если бы оператор /Сбыл, например, интегральным
п
оператором с вырожденным ядром вида t)= P.OQc (t),
1=1
то нетрудно убедиться, что все уравнения сведутся к
системам линейных алгебраических уравнений, для которых все
утверждения теоремы сведутся к известным утверждениям из
курса линейной алгебры. Интегральный оператор с произвольным
ядром K(s, t)^L2([a, b] X [а, 6]) можно аппроксимировать опе-
ратором с вырожденным ядром и таким способом доказать тео-
рему. Подчеркнем, что мы рассматриваем абстрактные операто-
ры в Н, и, следовательно, приведем доказательство, не связанное 1
с рассмотрением вырожденных ядер.
Во-вторых, все, что сказано выше, может быть в точности пе*
ренесено и на случай, когда оператор А действует из одного ба-
нахова пространства Bi в другое В2, и в этой теории возникает
ряд новых, широко используемых понятий, которые мы сейчас и
поясним. Пусть Кег(А) =Z(A) — ядро оператора А, т. е. совокуп-
ность всех решений уравнения
Аф0 = 0, фо£=В1.
Пусть R (Л) обозначает образ оператора А в В2, т е совокуп-
ность всех f^B2, для которых разрешимо уравнение Aq = f. Ясно,
что кегА — подпространство (как прообраз при непрерывном
отображении). Множество /?(А) не всегда замкнуто. Аналогично
можно определить kerA* = Z(A*) и /?(А*). Если R{A) и R(А*) —
замкнутые подпространства, можно определить * банаховы прост-
ранства (фактор-пространства)
coker А = В2//?(А) и coker A* = Bi*/R(A*).
Они называются коядрами операторов А и А* соответственно.
212
Пусть
а(А) =dimker Л, р(Д) = dim coker А,
г(Л)=а(Л)^р(А),
(dim — означает размерность). Оператор А называется фред-
голъмовым, если числа а(Д) и р(Д) конечны. В этом случае i(A)
называется индексом оператора А,
В конечномерном случае, когда dimBi=Afb dimB2=^2, легко
проверить равенства
Л^—а(А) =N2—₽ (Д) = rang Д,
N2—а(Д*) =Wi—₽(Д*) = rang4*,
а поскольку rang4 = rang4* (теорема о ранге матрицы), то
а(Д) =Р(Д*), Р(Д) =МЛ*), i(A) = —/(Д*).
После сделанных общих замечаний перейдем непосредственно
к доказательству альтернативы Фредгольма в случае, когда опе-
раторы А и Д* действуют из гильбертова пространства Н в это
же пространство Н.
фПокажем прежде всего, что в рассматриваемом случае мно-
гообразие R(A) — область значений оператора А — замкнуто,
т. е. является подпространством, многообразие /?(Д*) — замкну-
то и что справедливы разложения
Я=7(Д)ФЯ(Д*),
я=г(Д*)Ф/?(Д).
Действительно, пусть fn^R(A) и fn-+f. Существуют такие век*
ТОрЫ	что	4
fn = А срп = (рп—К(рп,
где А = Е—К. Всегда можно считать, что векторы фЛ ортогональ-
ны к Z(A) (для этого, если необходимо, из ф« надо вычесть его
проекцию на Z(A)). Покажем, что ||фп|| ограничены в совокуп-
ности. В самом деле, если это не так, то существует подпоследо-
Фп	Фп
вательность, для которой ||фл ||->оо. Поэтому ---—К—-------->0
k	II ф/z^ll	Пфп^П
при nk-+co. Перейдя снова к подпоследовательности
{ф^}, можно считать в силу вполне непрерывности Д, что по-
I ^nk 1	гт	/ I
следовательность {—х, У сходится. Поэтому и 1 ——?	бу-
1|1Ф^111	1||Фп*1и
дет сходиться, скажем, к вектору 2(=Н. Тогда ||г|| = 1, Az = 0, т. е.
z^Z(A). Однако мы считаем векторы фл ортогональными Z(A),
а i/оэтому и z±Z(A). Получилось противоречие, следовательно,
||фп|| ограничены в совокупности. Вместе с тем в этом случае
последовательность {Дфп} можно считать сходящейся, а тогда из
213
уравнения fn=<Pn—Kffn будет следовать, что {<рп} — сходится.
Пусть <p = limq)n, тогда f=A(p, что и требовалось. Для R(A*)
доказательство аналогично.
Покажем теперь справедливость разложений для Н. Пусть
h^Z(A), тогда (h, Л*ф) = (Л/г, ф)=0 для всех ф«=Я, т. е.
И(Л)±7?(Л*). Остается заметить, что никакой ненулевой векто-р
г не может быть одновременно ортогонален Z(A) и /?(Л*), т. е.
что действительно Н=Z(A)®R(A*). Пусть существует z^H и
такой, что г±/?(Л*). Тогда для любого ф^Я имеем (Az, <р) =
= (z, Л*ф) =0, т. е. z^Z(A), что и требовалось.
Из доказанных утверждений вытекает утверждение а) теоре-
мы. Действительно, flZ(A*) тогда и только тогда, если f^R(A),
т. е. существует такой вектор ф, что Лф = /.
Перейдем теперь к доказательству утверждения б) теоремы.
Для каждого целого k положим Hk = R(Ak) (в частности,
И1 = R (Л)). Очевидны включения	. . , а по дока-
занному все Hk замкнуты, при этом A(Hk) ==Hk+l.
Покажем, что, во-первых, существует такой номер I, чго
Hk+x = Hk для всех k^l, а также, что если Z(A) = {0}, то R(A)=H^
и обратно, если R(A)=H, то 2(Л) = {0}.
В самом деле, если I не существует, то все Hk различны. По-
строим ортонормированную последовательность {фй} такую, что
qk^Hk и фй±//*+1. Пусть p>k, тогда
Кфр—/Сф^= — ф^+ (фр+Лф*—Лфр)
и, следовательно, ||7<фр—Лф^||>1, так как фр+Лф^—Aqp^Hk+1.
Поэтому из последовательности {Лхр&} нельзя выбрать сходящей-
ся подпоследовательности, что противоречит вполне непрерывно-
сти оператора К.
Далее, если Z(A)={0}, то оператор Л взаимно-однозначен и,
следовательно, если при этом R (Л) =#=//, то цепочка {Hk} состоит
из различных пространств, что противоречит сказанному выше
Поэтому R(A)=H, аналогично, R(A*)=H, если 7(Л*)={0}.
Если же R(A)=H, то из разложения H = R(A)®Z(A*) сле-
дует, что 7(Л*)={0}, а тогда и R(A*) =Н. Из разложений
/7 = /?(Л*)®7(Л) получаем, что 7(Л)={0}, что и требовалось.
Таким образом, утверждение б) теоремы доказано. Действие
тельно, доказанные выше утверждения, что если 7(Л)={0}, то
R(A) = Н, а также, что если R(A) = Н, то Z(A) = {0}, и составляют?
содержание пункта б) теоремы.
Докажем, наконец, часть в) теоремы. Предположим, что про^
странство Z(A) — бесконечномерно. Тогда в нем существует бес*
конечная ортонормированная система {фд} и _при этом Лф£ = фл*
Следовательно, если п=£т, то ||Кфп—Кфт11=У2, и из последова-
тельности {/СфД нельзя выделить сходящуюся, что противоречит
вполне непрерывности оператора К.
Пусть а = Шш/(Л) — размерность пространства Z(A), 0 =
= Шш7(Л*) — размерность 7(Л*). Предположим, что (Нт7(Л)<
214
<dimZ(A*). Пусть {<pi, ..., фа} — ортонормированный базис в
Z(A), а {фь фр}—ортонормированный базис в Z(A*). Пусть
a
Tq = Аф +	(ф, ф/)ф/. Так как оператор Т получается из
/=1
оператора А прибавлением конечномерного, то все результаты, до-
казанные выше для А, справедливы и для Т. Покажем, что урав-
нение Тф = 0 имеет только тривиальное решение. Пусть Аф+
a
+ \^(ф, Ф/)ф/ = 0. Так как все векторы ф/ ортогональны векто-
/=1
рам вида Аф, то получаем, что Аф = 0, (ф, ф/)=0, 1</<а.
Поэтому вектор ф является, с одной стороны, линейной ком-
бинацией векторов ф;, а с другой — ортогонален им, следователь-
но, ф = 0.
Таким образом, уравнение Тф = 0 имеет только- тривиальные
решения, но тогда согласно пункту б) теоремы существует вектор
a
f такой, что Af + £(Л =
/=1
Умножив скалярно это равенство на фа+ь получим слева 0, а
справа 1. Таким образом, предположение, что а<р, неверно.
Следовательно, т. е. dimZ(A)>dimZ(A*). Заменяя опера-
тор А на А*, получим, что р^-a, и, следовательно, dimZ(A) =
= dim Z(A*).
Теорема (альтернатива Фредгольма) полностью доказана. |
5.	Проектирующие операторы
Пусть G — некоторое подпространство гильбертова простран-
ства Н и F — его ортогональное дополнение, т. е. H=G®F или
F = HQG. Это означает, что каждый вектор h^H однозначно
представим в виде h = g + f, g^G, f^F. Вектор g называется про-
екцией h на G.
Определенный во всем гильбертовом пространстве Н оператор,
который каждому вектору h^H относит его проекцию на под-
пространство G, называется проектирующим оператором на G
(оператором проектирования на G, ортопроектором) и обознача-
ется символом Р или PG, так что
g = Ph = PGh.
Проектирующий оператор, очевидно, линеен. Кроме того, он
ограничен и его норма равна единице. Действительно, так как
liA||2 = llgll2+ll/ll2, то ||g|<l|A||, т. е. \\Ph\\<\\h\\. Однако если
AeG, то g = h, так что I Ph\\ = \\h\\. Следовательно, ||Р|| = 1.
Для проектирующих операторов справедливо равенство Р2 = Р.
Действительно, для любого вектора h^H вектор g=Ph(=G, и
215
поэтому P2h=Ph, т. е. Р2^ Р. Пусть hi, h2^H, hi=gi+fi, h2 =
=g2+f2- В таком случае
(gi, h2) = (gi, g2) = (/ii, g2), (Phi, h2) = (hi, Ph2),
т. e. P* = P. Проектирующий оператор определяется этими двумя
свойствами
Теорема 4. Если Р есть линейный определенный всюду в Н
оператор, для которого при любых hi, h2^H
(P2hi, h2) = (Ph{, h2),
(Phi, h2) = (hi, Ph2),
то существует подпространство GaH, оператором проектирова-
ния на которое является Р.
♦Оператор Р ограничен:
\\Ph\\2=(Ph, Ph) = (P2h, h) = (Ph, h), ||P/i||2<||P/i|| -\\h\\,
t. e. IIP/illcllM.
Обозначим через G множество векторов g^H, для которых
Pg = g. Ясно, что G — линейное многообразие, докажем, что оно
замкнуто, т. е. подпространство. Пусть gn^G, п=\, 2, ... и
gn->g. Тогда Pgn = gn и Pg—gn = Pg—Pgn=P(g—gn), откуда
ll^g—gJIcllg—gnll. Устремим n->oo, получим ||Pg—gllcO, t. e.
Pg = g, и замкнутость G доказана.
Обозначим через Pg оператор проектирования на G. Пока-
жем, что Pg = P. Для любых h^H вектор Ph = g<=G, так как
P(Ph)=Ph. Подпространству G принадлежит также PGh. Поэто-
му необходимо доказать, что (Ph—PGh, g')=0, или (Ph, g') =
= (Pah, g') при любом g'^G. Но это следует из того, что
(Ph, g') = (h, Pg') = (h, g'),
(PGh, g')=(h, PGg') = (h, g'). 
Заметим, что если P — оператор проектирования на G, то
Е—Р, где Е — единичный оператор, есть также оператор проек-
тирования, причем Е—Р проектирует на HQG. Действительно,
(Е—Р)* = Е—Р, (Е—Р)2 = Е—Р, причем для любого вектора
h^H имеем (Е—P)h = h—g=f, где f^HQG.
Теорема 5. Произведение двух проектирующих операторов
PGi и Pg2 является проектирующим оператором тогда и только
тогда, когда они перестановочны:
РГ Рс = Рг РГ ’
1 Gix G2 1 G2x Op
если это условие выполнено, то PGiPG2 = PG, где G = GiQG2.
♦Если произведение двух операторов	есть проекти-
рующий оператор, то
PgJ\ = (PgJ\Y = Pg2Pg. = Pg2PG1.
216
Вектор g = Pg.PgJ1^ Pg.PgJ^ в силу первого представления при-
надлежит Gi, а в силу второго — G2, т. е. он принадлежит
G1QG2, следовательно, GczGinG2. Так как в обратную сторону
включение очевидно, то необходимость в теореме доказана.
Допустим теперь, что PG1PG.== PGJ?G1 = Р. Отсюда следует,
что Р2 (Pg.Pg.)2 = Pg.Pg.Pg.Pg. = Pg.Pg.Pg.Pg. = Pg.Pg. = Р. Далее,
Р* = (Pg.Pg.Y = Pg2Pg. = Pg2Pg. = Р* Но эти два свойства показывают,
что Pg.Pg. является проектирующим оператором. И
Следствие. Два подпространства Gi, G2 ортогональны в
том и только том случае, когда Pg.Pg.= ®’
Сформулируем ниже три утверждения, которыми будем поль-
зоваться и доказательство которых проведем ниже.
Утверждение 3. Сумма проектирующих операторов
Pg. + .. • + Pon = Q (я<оо)
есть проектирующий оператор в том и только том случае, когда
PGPGk=^Q (jzjbk), т. е. тогда и только тогда, когда подпростран-
ства Gt (1=1, 2, ..., п) попарно ортогональны, и в этом случае
Q = Pg, еде G = Gi®G2®. . ®Gn.
Утверждение 4 Разность двух проектирующих операто-
ров PG.—Pg. есть проектирующий оператор тогда и только тог-
да, когда G^G\, и в этом случае PGi—PG. есть оператор про-
ектирования на GiGG2.
Утверждение 5. Соотношение G2cz Gi эквивалентно не-
равенству IIPg/IKIIPgJH или неравенству (PGJ, Л < (Л?Л /)
для любого f^H.
Доказательство утверждения 3.
ф Необходимость Пусть оператор Q является проектирую-
щим оператором. Для двух различных индексов /, k в силу нера-
венства 0<(Pf, f)<ll/ll2, справедливого для любого f и для лю-
бого проектирующего оператора Р, имеем
п
[(PG,f. f) + (PGkf,n	Z) = (QA fXllfll2.
1=1
Положив f = PGh, получаем
НЛХ12 + (PGkPGlh, PG,h) < 11Pa /ill2.
J	K J	J	J
Следовательно,
(P^PgA, PGh)^\\PGkPGh\\^0.
217
Так как последнее равенство справедливо для любого вектора h„
то
а в силу следствия из теоремы 5 получаем G3-LGk-
Достаточность условия следует из теоремы 4. В силу соотно-
шения	j ?-k имеем Q2=Q и Q* = Q. Равенство
G = Gi®G2®. . .®Gn очевидно. H
Доказательство утверждения 4.
ф Достаточность Пусть G2czGi. Рассмотрим подпространство
G = Gi ©G2 Так как G±Gi и G®G2=Gi, то в силу утверждения 3
имеем, что оператор	+ ?g2 является проектирующим.
Отсюда имеем, что разность PG1—Pg2 есть проектирующий опе-
ратор.
Необходимость. Пусть оператор PG = PG1—PGi является про-
ектирующим оператором. Отсюда имеем, что сумма
Pg + Pg2 — PG1
является проектирующим оператором, а следовательно, из ут-
верждения 3 имеем
G®G2=Gi, т е G2czGi. Ц
Доказательство утверждения 5.
ф Необходимость. Пусть G2czGi. В силу утверждения 4 имеем
проектирующий оператор
Pg^Pg.—Pg2, где G = G1©G2.
Поэтому для любого f^H
(Pof, f)=(PaJ, f)~(PaJ,
Достаточность. Рассмотрим подпространства L\ = HQG\ и
L2 = HQG2.
Пусть	тогда PgJ = 0. Отсюда в силу неравенства
IIPgJII <11^/11 для любого вектора f(=H имеем PGzf = O, т. е.
f^L2. Поэтому LiCzL2, что равносильно включению G2czGi. |
6.	Спектр оператора
Одна из главных задач, связанная с изучением линейных опе-
раторов в гильбертовом или банаховом пространстве, состоит
в отыскании элементов, сохраняющих под действием оператора
свое направление, т. е. элементов, удовлетворяющих уравнению
Af = Kf, где А, — число Каждый такой элемент f=#0 называется
собственным вектором оператора, а % — собственным значе-
нием.
Решения уравнения = Ai — фиксировано, образуют, оче-
видно, в силу линейности и непрерывности оператора А подпрост-
ранство	Его размерность называется кратностью собствен-
218
него значения Ль а подпространство называется собственным
подпространством, отвечающим собственному значению Ль Если
dim = 1, то собственное значение Л1 называется простым.
Данные выше определения собственного значения и собствен-
ного вектора обобщают известные понятия из линейной алгебры,
в частности, совокупность всех собственных значений называется
в линейной алгебре спектром матрицы.
В общем случае линейного ограниченного оператора в беско-
нечномерном пространстве ситуация сложнее. Дадим определение
спектра оператора.
Рассмотрим оператор А—Л£ = В(Л). Допустим, что для неко-
торого Л оператор А—ЛЕ имеет обратный = (Л—ЛЕ)"1. Опера-
тор называется резольвентным оператором для оператора А.
Значения Л, при которых RK существует, определен во всем прост-
ранстве и ограничен, называются регулярными значениями опе-
ратора А (или принадлежащими резольвентному множеству опе-
ратора Л). Совокупность всех значений Л, не являющихся регу-
лярными, называется спектром оператора А, в частности, все
собственные значения принадлежат спектру.
Таким образом, спектр оператора — это множество, дополни-
тельное (в комплексной плоскости) к резольвентному.
Из рассмотрений гл. II об обратных операторах следуют ут-
верждения:
а)	Если Л таково, что —.т” 1ИП = Я < 1’	то оператор А—КЕ
|Л|
1 /	А
имеет ограниченный обратный и при этом R% =--------т- Е + -----F
Л \	л
Л2
Л2
.Таким образом, спектр оператора А принадлежит
множеству |Л|<||А||. В § 3 этот результат будет уточнен.
б)	Если Л — регулярное значение, то и Л+ДЛ при |ДЛ| <
<11 (А—ЛЕ)“HI"1 также есть регулярное значение. Отсюда полу-
чается, что совокупность регулярных значений (резольвентное
множество) есть открытое множество, а спектр, как его допол-
нение, — замкнутое множество.
В конечномерном пространстве, как мы знаем, могут быть
только две возможности:
— Уравнение Af=\kf имеет ненулевое решение, т. е. Л — соб-
ственное значение для оператора (матрицы) А; оператор (А—ЛЕ)-1
при этом не существует.
— Существует ограниченный (определенный на всем прост-
ранстве) оператор (А—ЛЕ)-1, т. е. Л — регулярная точка.
В бесконечномерном пространстве имеется еще и третья воз-
можность:
— Оператор (А—ЛЕ)-1 существует, т. е. уравнение Af=kf
имеет лишь нулевое решение, но этот оператор определен не на
всем пространстве
*> Таким образом, спектру принадлежат те и только те значения Л, при
219
В соответствии с этим спектр оператора делится на:
1.	Точечный спектр — те значения А,, при которых существует
ненулевое решение Af = kf. Точечный спектр оператора, очевидно,
совпадает с множеством собственных значений оператора.
2.	Непрерывный спектр — те значения А, для которых опера-
тор В((Х) = (Л—ХВ) обладает обратным B-1(Z,)=7?X с плотной об-
ластью определения, однако эта область не совпадает со всем
пространством
3.	Остаточный спектр — те значения Л, для которых оператор
В (X) = (Л—КЕ) обладает обратным В-1 (Д) = 7?х, однако область
его определения не плотна во всем пространстве.
Рассмотрим примеры
Примеры.
1. Пусть в банаховом пространстве С[0, 1] задан оператор
умножения на независимую переменную:
Af(x)=xf(x).
Покажем, что любое вещественное число л^[0, 1] принадле-
жит остаточному спектру оператора. Собственных функций и соб-
ственных значений у этого оператора нет, так как если Af(x) =
— xf (х) = Kf (х), то (х—X)f(x)=0na отрезке [0, 1]. Поэтому
f(x)=0 Таким образом, однородное уравнение имеет только три-
виальное решение и оператор RK=B~l (Л) = (Л—КЕ)~1 существует.
Область определения RK состоит из функций, которые в точке
X, л^[0, 1] обязаны обращаться в нуль. Следовательно, область
определения RK не плотна в С [0, 1], т е. любое число X, при-
надлежащее отрезку [0, 1], является точкой остаточного спектра
оператора.
2. Пусть в гильбертовом пространстве I2 задан оператор
сдвига: если g = е/2, то
А^=А(^ g2, - • -) = (0, gi, g2, . . .).
Оператор Л-1=(Л—О-В)-1 существует и осуществляет взаим-
но-однозначное отображение, но определен он только на последо-
вательностях, у которых первая координата равна нулю. Множе-
ство таких последовательностей не является плотным в Z2. Следо-
вательно, точка л = 0 принадлежит остаточному спектру операто-
ра А.
Таким образом, мы ввели следующую классификацию спектра
линейного ограниченного оператора: спектр состоит из трех мно-
жеств — точечного, непрерывного, остаточного, причем эти мно-
жества не пересекаются.
которых А — ХЕ не имеет ограниченного обратного, определенного во всем
пространстве Причины, по которым это может произойти, могут быть различ-
ными В соответствии с этим дается та или иная классификация спектра
220
7.	Симметрические операторы. Свойства
квадратичной формы оператора
Сейчас мы приступаем к изучению ограниченных, определен-
ных на всем гильбертовом пространстве симметрических опера-
торов. После этого будут доказаны спектральные теоремы.
Важную роль при изучении симметрического оператора играет
его квадратичная форма.
В случае симметрического оператора А значения отвечающей
ему квадратичной формы (Af, f) всегда действительны, так как
(Af, f) = (f, A*f) = (f, Af) = (AfTf)-
Верно и обратное утверждение: если в комплексном гильбер-
товом пространстве для некоторого оператора А квадратичная
форма (Af, f) действительна, то Л — симметрический оператор.
Действительно, всегда справедливо равенство
И(f+g), f+g) — (A(f—g), f—g) + i(A(f+ig), f+ig) —
—i(A(f—ig), f—ig)=4(Af, g).
Поменяв в нем местами f и g и перейдя к комплексно-сопряжен-
ным значениям, получим
(f+g, A(f+g)) — (f—g, A(f—g))+i(f+ig, A(f+ig)) —
—i (f~ig, A (f—ig)) =4 (f, Ag).
Если квадратичная форма (Af, f) принимает только действитель-
ные значения, то (f, Af) = (Af, f) = (Af, f) и левые части этих
двух равенств совпадают. Отсюда следует, что (Af, g) = (f, Ag),
т. е. Л*=Л.
Заметим, что это предложение справедливо только в случае-
комплексного гильбертова пространства.
Если квадратичная форма действительна, то все собственные-
значения оператора тоже действительны. В этом случае собствен-
ное число k= (Af, f)/(f, f), где f — собственный вектор.
Собственные элементы f и g, отвечающие различным собствен-
ным значениям К и р, ортогональны. Действительно, h(f, g) =
= g) = (Af, g) = (f, Ag) = (f, Hg)=p(f, g) и (f, g)=0, если
Л=7^=р.
Для квадратичной формы (Af, f) имеем неравенства
I (Af, /)|<||Л/|| IlfUMII llfll2.
Пусть наименьшая постоянная М, при которой для любого век-
тора f выполнено неравенство
|<лд f) |«WII2,
обозначена через Na, тогда Л/д<||Л||.
Это неравенство верно и для несимметрического оператора.
Если же оператор симметрический, то эти две постоянные равны.
221
В самом деле, так как (A2f, f) = (Af, Af), то при любом Л,>0
справедливо
та=4Т(л xf+4-дА-
4 L \ \ л / л /
<4Кй+-гл/112+^а| %/-4-^Г =
4 l II	II I л |
=±лгА[х»(+-1-||ЛЛ121.
z L	л* J
Если \\Af 11=7^0, то последнее выражение достигает своего наимень-
шего значения при Z2 = l|Af||/||f||, откуда следует, что
IMf||2<^||Af||. ||f||, ||Af||<AMf||,
эти неравенства справедливы и тогда, когда ||Af||=O. Таким об-
разом, ||А||<Na- Следовательно, ||А|| =Na-
Таким образом, доказана следующая
Теорема 6. Если А — линейный ограниченный, определен-
ный на всем пространстве, симметрический оператор в Н, то все
его собственные значения действительны, собственные элементы,
соответствующие различным собственным значениям, ортогональ-
ны, квадратичная форма (Af, f) действительна и, наконец, наи-
меньшая постоянная NA, для которой \\Af, f||<AMf||2, равна ||А||.
Заметим далее, что сумма симметрических операторов есть
симметрический оператор, линейная комбинация их с действитель-
ными коэффициентами есть также симметрический оператор.
В силу непрерывности скалярного произведения пределы по нор-
ме, поточечные и слабые пределы симметрических операторов
есть симметрические операторы. Произведение симметрических
операторов будет симметрическим оператором только тогда, ког-
да сомножители перестановочны, т е. AiA2 = A2Ai (пишут AioA2).
Между симметрическими операторами определяется отноше-
ние порядка А>В, если (Af,	f) для любого f^H.
Линейный оператор, обладающий тем свойством, что (Af, f)^0,
называется положительным. Положительный оператор в ком-
плексном гильбертовом пространстве симметричен Это следует
из того, что в этом случае квадратичная форма вещественна, а
выше было показано, что тогда А — симметричен.
Для положительного симметрического оператора выполняется
обобщенное неравенство Шварца-. | (Af, g)|2< (Af, f) (Ag, g).
Действительно, пусть hK=f + 2^(Af, g)g и К — действительное чис-
ло Тогда 0<(A/ix, hK) = (Af, f)+2X|(Af, g)|2+(V| (Af, g) |2X
X (Ag, g), и дискриминант этого квадратного трехчлена должен
<>ыть неположителен Отсюда и получается доказательство
222
Нижней и верхней гранями симметрического оператора А на-
зываются соответственно наибольшее т и наименьшее М из чи-
сел, для которых выполняются неравенства
m(f,	f),
т. e неравенства /пЕсЛсЛТЕ. Другими словами, М служит верх-
ней гранью, а т — нижней гранью значений квадратичной фор-
мы (Af, f), когда f подчинено условию ||f|| = 1. Но, как мы пока-
зали в предыдущей теореме, верхняя грань | (ЛД f) | равна норме*
оператора Л, следовательно,
||Л|| = шах{|/и|, |М|}.
Отсюда, в частности, следует, что соотношения Л>В и Л<В*
могут выполняться только тогда, когда А = В. В самом деле, если
они оба выполняются, то для оператора С=Л—В будем иметь
(С/, f)=0, откуда тс = А1с = 0, поэтому ||С|| = 0.
Введенное отношение порядка между операторами, очевидно,
транзитивно, т е если Л>В, а В^С, то Л>С. Кроме того, если
Л>В, то Л + С>В + С и kA^kB для любого оператора С = С* и
любого числа
Хотя эти свойства отношения порядка и напоминают свойства,
которыми обладают действительные числа, между теми и другими
есть важное различие: можно указать два симметрических опера-
тора, ни один из которых не превосходит другого в указанном
смысле. Мы видим, что множество симметрических операторов
частично упорядочено
Теорема 7. Всякая монотонная ограниченная последователь-
ность симметрических операторов {Л4 сходится поточечно к неко-
торому симметрическому оператору.
ф Не ограничивая общности, будем считать, что
ОСЛ^ЛзС. ..<Е.
Пусть т<п, тогда Атп=Ап—Ат^0. Воспользуемся обобщенным;
неравенством Шварца для оператора Лтп.
НЛ тпf\\*=(Amnf, Amnf)^(A mnf, f) (A^mnf, Amnf) •
Поскольку 0^Лтп^Е, TO ||Лтп||<1 И
\\Amf-Anf\\^[(Anf, /)-(Л4, D] Ш2.
Числовая последовательность {(Anf, f)} ограничена и не убы-
вает, следовательно, она сходится; таким образом, последователь-
ность векторов {Anf} фундаментальна и в силу полноты Н сходит-
ся. Оператор Л, определенный равенством Af — \imAnf для лю-
П-*оо
бого очевидно, линеен и симметричен. |
223
8. Квадратный корень из симметрического
оператора
Квадрат симметрического оператора всегда является положи-
тельным оператором: (Л2/, f) = (Af, Af)^O для любого f.
Возникает вопрос, а можно ли извлечь корень из симметричес-
кого положительного оператора?
Справедлива следующая
Теорема 8. Каждому симметрическому положительному
оператору А соответствует единственный положительный симмет-
рический квадратный корень, который обозначается А1/2
((А^2)2 = А). Он представляет собой поточечный предел некото-
рой последовательности многочленов от А и в силу этого переста-
новочен со всеми операторами, перестановочными с А.
ф Будем считать, не ограничивая общности, что О^Д^Е.
Пусть А=Е—В (О^В^Е) и Х=Л1/2=Е—У. Тогда решение урав-
нения Х2= (А1/2)2=А эквивалентно решению уравнения
Г = -Г(в + у2).
Решаем это уравнение методом последовательных прибли-
жений:
Уо=о, Л = -^в, •••’	n>°-
Покажем, что последовательность {Уп} сходится и предел ее слу-
жит решением требуемого уравнения.
Покажем прежде, всего, что Yn представляет собой многочлен
относительно В с неотрицательными действительными коэффи-
циентами; такой же вид имеет и оператор Yn—Yn-i. Пусть п=1.
Тогда эти утверждения верны. Допустим, что они верны и при
п = т, покажем их справедливость при n = m+l.
Для оператора Ym+{ утверждение очевидно, оно следует из
его вида. Имеем для оператора
Ym+1-Ym = Y (В + Гт)'- -у (В + Г2т_.) = -у (Ym +Ym-1) (Ym-Ym^).
Здесь мы воспользовались перестановочностью Ym и Ym_\, что
следует из предположения индукции (они многочлены от В). В
правой части стоит произведение двух многочленов от В с дейст-
вительными неотрицательными коэффициентами, а поэтому дока-
зательство по индукции закончено.
Далее, если В^О, то В^О, п = 2, 3, ... . Действительно, при
лП = 2& (B2kf, f) =||В^||2>0, а при /г = 2&+1 имеем (B2fe+1/, f) =
==(BBkf, Bkf) = (Bg, g) для любого вектора f. Поэтому Уп>0 и
Yn—Уп_^0. Наконец, ||УЛ||^1 для любого п. В самом деле, при
224
п = 0 это верно, а для остальных п доказывается по индукции
с помощью равенства
y„H = -l(B + y2n), и>0.
Применим теперь только что доказанную теорему о монотон-
ных последовательностях операторов. Получаем, что последова-
тельность симметрических операторов {Уп} монотонная, а поэтому
сходится, и ее предел — оператор У — удовлетворяет уравнению
У х= 4- (В + У2) (lim Уг+1 = lim4- (В 4 Уп) У
2	\п->оо	п-*оо 2	/
Таким образом, построен симметрический положительный опе-
ратор У, который является пределом последовательности много-
членов от 4, кроме того,
Х2=Д, Х = Е— У.
Докажем единственность квадратного корня. Пусть X' — по-
ложительный симметрический оператор такой, что Х/2=А. Так
как Х'А =Х,(Х,)2= (Х/)2Х/=ДХ/, то X' перестановочен со всеми
многочленами от оператора Д, а также с пределами таких много-
членов и, в частности, с X. Возьмем и рассмотрим квадратные
корни Z, Z' соответственно из X и X', построенные так, как только
что был построен корень из Д. Пусть g=(X—X')f для любого
f<=H. Имеем
ll^ll2 + \\Z'g\\2 = (Z2g, g) + (Z'2£, g) = (X£, g) + (X'g, g)
= ((X+X') (X-X')f, g) = ((X2—X'2)f, g) = ((A-A)f, g) =0,
поэтому Zg=Z'g=0 и, следовательно, Xg=ZZg = 0 и X'g=Z'Z'g=
= 0.	Отсюда получаем, что	|| (X—Х')/||2=((Х—X')2f, f) —
= ((X—X')g, f) =0, т. e. (X—X^f — G. Так как это справедливо для
любого то Х'=Х Ц.
,	9. Спектральная теорема для симметрического
оператора в n-мерном пространстве
Хорошо известно, что при решении задач о приведении матри-
цы к жордановой форме возникает вопрос о нахождении ее собст-
венных значений, а также собственных и присоединенных век-
торов.
Если матрица задана числами {а,*}, то, чтобы найти собствен-
ные векторы и собственные значения, необходимо решить систему
п
№tk)fk=-0, i=l, 2.............п.
Л=1
Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо
g В А. Садовничий
225
и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю. Определи-
тель является многочленом по к степени п и обращается в нуль
хотя бы при одном значении X. Поэтому в конечномерном комп-
лексном пространстве линейный оператор Л, заданный матрицей
{^ik} (не обязательно эрмитово симметрической), имеет хотя бы
одно собственное значение. В общем случае ничего большего ут*
верждать нельзя, например, оператор y=Af, где
,1 1 0 0 ... О О,
О 1 1 0 ... О О
001 1 ... О 0
о о о’о\.’. ‘1 ’1
0 0 0 0 ... О 1
имеет единственное собственное значение Х=1, притом оно прос-
тое, т. е. размерность отвечающего ему собственного подпростран-
ства равна 1.
Но если матрица эрмитово симметрическая (^ik = aki), или, что
то же, (ЛД g) = (Д Xg) для любых Д g^Rn, то существует орто-
нормированная система из п собственных векторов
А=(А1, Аг, .... fin), i‘=l, 2, .... п,
соответствующих собственным значениям Ki. Взяв их в качестве
нового базиса и разложив вектор f по базису, мы запишем, что
п	п	п
(Af> f) = 2 a^gtgk = у ьам=2'2>
i,k=l	Z?=l	k=l
где f = (gi, ..., gn) *>. Таким образом, квадратичная форма приве-
дена к диагональному виду. Имея в виду обобщения, получим этот
результат в иной форме.
Занумеруем собственные значения в порядке их возрастания:
Ki<K2<.. .<КР (здесь р^п).
Пусть — собственное подпространство оператора Л, отве-
чающее собственному значению X/,	Как мы видели, если
оператор А симметрический, т. е. atk = akt, то при ^bKk Н%.
Кроме того, =	р<п.
i
Положим Н (Ki) = ф Н%.. Тогда можно записать, что
/=1
я(Ч) = {0}.
1=1
п
*> В новом базисе из векторов fi вектор f представляется в виде
i=l
226
(Здесь всюду равенства понимаются в том смысле, что всякий
вектор из H = Rn однозначно разлагается по своим составляющим
из правой части.)
Подпространства //(Х4) образуют возрастающую последова-
тельность подпространств
{О} = Я(%о) с=Я(М) с=.. .с=Я(Хр) =Н.
Обозначим через £(М оператор ортогонального проектирования
на подпространство получим согласно утверждению 5 п. 5,
что
0 = Е(Хо)<£(М)<.. .<£(Xp-1)c£Up)=£.
Пусть Е^.— оператор проектирования на H(ki)	Сог-
ласно утверждению 4 п. 5, Е\. = Е (Xt)—£(2iz_x). Поэтому в тер-
минах проекционных операторов разложение
р
н=^[нменм]
1=1
Можно записать в виде
р	р
Е = 2 [£ (4)-5(4-1)] = V Eh, £ (4) = О
1=1	1=1
(£ — единичный оператор, т. е. оператор проектирования на все
И). Поскольку Е^ является оператором проектирования на соб-
ственное подпространство Н%г то AE^.f = 'kiE^£f для любого
т. е. АЕ%. = ^Е^. Отсюда
р	р	р
А = А 2 [£ (4)-Е (Ч-,)] = А 2 Е%. = 2 ^Еч =
1=1	i=l	i=l
Р
= 24 [£(4)-£(4-i)].
i=l
Так как
р р р р (0 при i kt
1 k k 1	( E^k при i = k,
то для степеней оператора А верна формула	;
р
i=!=l
Следовательно, многочлен степени п от оператора А
р (Л) =ao£' + aiA+ ... +ctnAn,
8*
227
cii — числа, может быть записан в виде
р	р
Р(А) = ^ р(^)Ек. = J р(М [Е(М-Е (WJ.
1=1	1=1
Позже мы убедимся, что подобные формулы будут иметь место
в случае произвольного симметрического оператора в гильберто-
вом пространстве. Формула
р
[Е (М -Е (Х,_х)]
ЯЖМ
1=1
называется спектральным разложением симметрического операто-
ра Л в Rn, ее можно пер’еписать в виде
р
(Af, g) =	(д»£ (М Л g) Для любых f, g<=H,
ЛвШЛ
1=1
(AiE(X)A g) = (E(MA g)-(£(WA g).
Таким образом, доказана спектральная теорема для симмет-
рического оператора в конечномерном пространстве.
Теорема 9. Всякому симметрическому оператору А в конеч-
номерном пространстве R" можно поставить в соответствие неко-
торое семейство проекционных операторов E(Xt), f=l, 2, ... f
р<.п, еде %i,...,	— собственные значения оператора А, который
обладают свойствами:
(а)	£(^)^£(Х7) при
(б)	£(М=£, £(Хо)=О;
(в)	с помощью Е (Хг) оператор А представим в виде
Р	4-00
д=2х£[Е(Х£)-^(^-1)]= f МЕ(Ь),
г=1	—оо
где интеграл символически обозначает сумму, стоящую слева.
10. Вполне непрерывные операторы. Спектральная
теорема
Наиболее простым обобщением спектральной теоремы для ко-
нечномерною случая является ее аналог для вполне непрерывных
операторов.
Пусть А — вполне непрерывный симметрический оператор
в гильбертовом пространстве Н. Тогда, как было показано,
sup|G4/, /)| =sup||4/|| =||Д||.
Hffl-1	11Л1=1
Пусть {gn} — последовательность элементов такая, что ||gn|| = 1 и
| (Agn, £п) |-Ч|Л|| при п~>оо. Допустим, что нумерация такая, что
228
(4gn, gn) сама сходится к некоторому вещественному числу %i;
Х1=||4|| или Л1=—||4|1- Рассмотрим квадратный трехчлен
H4gn||2-2Ь, (Agn, g„) +tf||g„|| = ll^n-Mnll2 >0.
Поскольку
Mg„H8<||4||2 = Xi (Agn,	||gn||2=l,
то ||4gn—Xignll-Н) при л-*оо, а поэтому Agn—при n-*oo.
Так как А вполне непрерывный оператор, то {4gra} содержит схо-
дящуюся подпоследовательность {AgnJ; так как Ag„k—^gn^a,
то {gnj также сходится к некоторому пределу fi. Имеем
Af\= lim4g„fe, Ц/xll =- lim||g„J| = 1, и, следовательно, Af1=k1fi.
Кроме того,
|(Ж Л)| = |(М1, Л)| = |М| = ЦА||,
l|4AII = IIWill = iM = 1И11-
Таким образом, всякий вполне непрерывный симметрический
оператор Л=/=0 имеет по крайней мере одно отличное от нуля соб-
ственное значение %i. Собственный вектор является решением
экстремальной задачи: найти вектор ф, ||<р|| = 1, при котором
I (Лф, ф) | достигает своего максимума. Этот собственный вектор
обозначим fi. Попытаемся найти другие собственные векторы опе-
ратора Л, ортогональные fi. Рассмотрим такое разложение: Н =
= Hx®Li, где Li = {f\} — подпространство, образованное векто-
ром fi. Подпространство Hi инвариантно относительно оператора
Л, т. е. AHiczHi. Действительно, (Af, fi) = (f, Afi) = (f, Kifi) =
=%i(f, Л)=0 Для любого f^Hi. Поэтому образ вектора также
принадлежит Hi.
Оператор Л, если его рассмотреть в Н^ является вполне непре-
рывным и симметрическим. Следовательно, в Н{ существует собст-
венный вектор Д, 11Ы = 1, и соответствующее собственное значе-
ние %2 равно по абсолютной величине наибольшему значению
| (ЛД f)|, ||ЛД|, при условии, что /е=Я1, f-Lfi и ||/|| = 1. Этот про-
цесс можно продолжить.
Таким образом, получим бесконечную систему {fn} собственных
векторов; эта система ортонормированная. По самому построению
|Xi |^|Х2|^... . Покажем, что при п-^оо. Допустим против-
ное, тогда fn] будет ограничена и последовательность об*
I лп j
разов {fn} при отображении Л будет содержать сходящуюся под-
последовательность, что невозможно, так как ||Д—Д||2 = 2,
Пусть f — любой вектор из Н. Положим
п
ft)f.
,	1=1
229
Так как каждый hn принадлежит подпространству Нп, образо-
ванному векторами, ортогональными векторам ft, fz, fn, то
|2.n+i | • ||ЛП||; кроме того,
п
IIM2 = ll/ll2-£ I (A Ml2 <11/II2, Ч+i-^o при n-»-oo,
1=1
п
поэтому Ahn = Af—(/, Д)ЛД->0 при п->оо, что можно записать
так:
л/=£ М/, /.)/,=£ (/, ЛА)А=£ (Af, fL)fc.
1=1	1=1	1=1
Такой ряд сводится к конечной сумме, если все Хг начиная с не-
которого номера равны нулю. Последовательность (конечная или
бесконечная) чисел Хг=тМ) содержит каждое отличное от нуля соб-
ственное значение оператора А столько раз, какова его кратность,
так как в противном случае существовал бы собственный вектор ф,
отвечающий собственному значению W=0, ортогональный всем
ft. Тогда
00
О#:Дф = А.ф = £ Х£(ф, Л)/г = О,
1=1
и, тем самым, получилось противоречие Из сказанного также
следует, что любое собственное значение Х=/=0 оператора А имеет
конечную кратность. В противном случае необходимо снова рас-
смотреть множество [—ф&|> где Лфь = ХфА. Формулу Af =
( X J
оо
= £ Х£ (/, f()/f запишем в виде
сю
Af = j bdE(K)f, E(k)f =
------00
У, (/, fk)fk при Х<0,
/— Е (/, fk)fk при Х>0.
Выше написан интеграл Стилтьеса. Заметим, что £(Х), как функ-
ция от %, постоянна между любыми двумя последовательными соб-
ственными значениями оператора Л, равна 0 для значений X, мень-
ших всех собственных значений, и равна единичному оператору Е
для значений X, больших всех собственных значений. Когда X,
изменяясь, переходит через собственное значение Хр, то £(Х)
претерпевает скачок, равный £ (Хр) = Е (Хр) —Е (Хр—0), Е (кр) —
проекционный оператор , проектирующий на собственное подпро-
странство, соответствующее данному собственному значению Хр.
230
Таким образом,
(E(Xp)-E(Xp-O)V = E(Xp)f = £ (Д fk)fk при Хр#=0,
Kk=Kp
E(O)f=f- S (А fk)fk.
№
Итак, доказана спектральная теорема для симметрического
вполне непрерывного оператора.
Теорема 10. Всякому симметрическому вполне непрерыв-
ному оператору А в Н можно поставить в соответствие некоторое
семейство проекционных операторов £(^), зависящее от действи-
тельного параметра %, которое обладает свойствами:
(а)	£(%)<£(р) пример;
(б)	£(Х+0)=£(Х);
(в)	£(Z)=0 при Z, меньшем наименьшего собственного зна-
чения оператора, £(Х)=£ при К, большем наибольшего собствен-
ного значения оператора. С помощью £(Х) оператор представим
в виде
Л= J XdE(%).
-----00
11. Спектральная теорема для симметрического
ограниченного оператора
Пусть А — симметрический оператор. Произвольному много-
члену с действительными коэффициентами
р(%)	... ~i~un%n
доставим в соответствие симметрический оператор
р (А) = а0£ + аИ + ... апАп.
Такое соответствие, очевидно, однородно, аддитивно и мультипли-
кативно; это означает, что многочленам ср (К), р(М + ?(М>
р(%)-#(к) соответствуют операторы ср (А), р(А)+#(А), р(А)Х
Xq(A). Далее, это соответствие положительного типа, т. е. если
р(Х)>0 при	где М и пг — верхняя и нижняя грани
оператора А, то оператор р(А)>0.
Для доказательства представим р(%) в виде
р (X) = d П (X-at) П (Р/-Х) П l(X-Yft)2 + di],
I	j	k
где d>0, ciiCm,	а множители в квадратных скобках соот-
ветствуют попарно сопряженным комплексным корням и при
fo = 0 корням, заключенным между пг и At В силу того что мно-
гочлен р(^)>0, они четной кратности. Если подставить оператор
231
А, то мы получим представление оператора р(А) в виде произ-
ведения перестановочных операторов, причем положительных. От-
сюда следует, что р(А) — положительный оператор. Действитель-
но, если Ai и Л2 — перестановочные положительные симметриче-
ские операторы, то AiA2 является положительным и симметриче-
ским оператором:
(AM f) = (A1A'2/2Al2/2f, f) = (A22A1A22f, f) = (^7,
Симметричность очевидна. Отсюда даже следует, что неравенство
Ai>A2 сохраняется, если обе его части умножить на один и тот
же положительный симметрический оператор С, перестановочный
с Ai и Д2’
А1 С* — С А1 СА2 — А2С.
Таким образом, мы можем сказать, что если два многочлена та-
ковы, что	то р(А) ^q(A).
Займемся теперь распространением рассматриваемого соответ-
ствия на функции, отличные от полиномов. Обозначим буквой С
класс, который состоит из всех непрерывных на отрезке [т, М]
вещественных функций ftp}, а также из всех кусочно-непрерывных
функций (обозначим {ф}), которые являются пределами монотон-
но убывающих, сходящихся в каждой точке последовательностей
непрерывных функций ftpn}. Справедлива
Лемма 1. Для всякой функции ф(А)еС, тсХстИ можно
построить бесконечную последовательность полиномов рп(к),
монотонно убывающую и сходящуюся в каждой точке
к функции ф(Х).
ф По определению класса С существует последовательность
{фп} — монотонно убывающая, сходящаяся в каждой точке к
ф(Х). Пусть п фиксировано, приблизим непрерывную функцию
ф/г (М +	с ТОЧНОСТЬЮ —..... ПОЛИНОМОМ Рп(к),
Имеем
Г	3	11	1
Рп(М фп (М + Qrt4-2 |*С 2^4-2 •
Следовательно, в каж-
дой точке X:	..<рп(X)—фп(Х)<~~-, а поэтому вместе с
<Рп(^) многочлен pn(Z) стремится к ф(Х) при л->оо в каждой точ-
ке X. Последовательность рп(Х) монотонно убывающая:
р«+1 W < Фп+1 (М +	< Ф" W	Рп (М»
что и требовалось. 
Построим теперь операторы рп(А). Они симметрические, мо-
нотонно убывают, ограничены снизу оператором аЕ, где
а= inf ф (X). Согласно теореме 7 п. 6 они поточечно сходятся
к некоторому оператору, который по определению примем за ф(А).
Оператор ф(А) не зависит от частного выбора последовательно-
232
сти {pn(X)J: если {^n(X)} — другая последовательность такого
же типа, то Нтр„(Л)= Ит<7„(Л). В самом деле, каково бы ни
П—>О0	П-*оО
было целое число г, неравенства
Л W < Яг (Л) + —, Яз (М < Рг (М + —
Г	г
выполняются при достаточно больших s в каждой точке к, а в
силу теоремы о конечных покрытиях — и для всех Л4].
Действительно, неравенства в силу непрерывности входящих
в него функций выполнены и в некоторых окрестностях каждой
точки К. Выбирая конечное подпокрытие отрезка [т, Л4], получим
требуемый результат. Тогда ps(A) < ^Г(А) + —, qs(A) <рг(А) +
£
Ч---. Переходя в этих неравенствах к пределу сначала при
$—>оо? а затем при г->оо, получим, что
Итр„(Л)= Нт<7„(Л).
П->оо	п—>оо
Тем же рассуждением легко показать, что если
ММ^ЧММ,	то ф1 (Л)>ф2И).
Таким образом, соответствие между операторами и функциями
класса С, как легко заключить, монотонно, аддитивно, однородно
и мультипликативно (последние три свойства следуют из свойств
предела).
Очевидно, соответствие между симметрическим оператором А
и функциями можно распространить на более широкий класс, чем
С, а именно на класс функций, которые можно представить
в виде разностей функций, принадлежащих С. Указанные выше
свойства монотонности, аддитивности, однородности и мультипли-
кативности можно сохранить.
Среди «функций» симметричного оператора А, которые только ’
что были определены, имеются и проекционные операторы; они
соответствуют функциям е(Х), принимающим только значения О
и 1. При этом, очевидно, [е(Х)]2 = е(Х), а поэтому [е(А)]2 = е(А).
Оператор в (А) — симметрический, как предел симметрических,
и [е(А)]2 = е(А), поэтому, как мы знаем, он проекционный.
Рассмотрим, в частности, функцию ММ, зависящую от па-
раметра р и принимающую значения 1 и 0 соответственно при
Хсц и при Х>ц, а при р<т, ММ^О и М%)==1 при
функция ец(Х)^С, следовательно, ей соответствует проекционный
оператор ец(А), который обозначим £(ц). Так как
ММ ММ = ММ,
то по свойству мультипликативности соответствия получим
'	E(ii)-E(v)=E(v)E(n)=E(n,).
233
Поскольку ец(Х)<е,(Л.) при p<v, то и Е(ц)<сЕ(у); так как в
интервале т<.Х<.М, согласно определению, eg(X)=0 при ц<т и
е„(А) = 1 при р>М, то Д(р)=0 при р<т и Е(р)=Е при р>М.
Функция ^(р) как функция параметра р непрерывна справа.
Действительно, зафиксируем какое-нибудь значение р и возьмем
убывающую последовательность многочленов рп(Л), стремящихся
к ец(Л.), Ае[/п, Л1], причем потребуем, чтобы р„(Л)>е . (X).
й+—
п
Тогда рп (А) > Д I р Н-)>£(р). Так как рп(А)->Д(р) при
\ Л /
п->оо, то Е (ц Н----при /г->оо. Поэтому, если е-И), так
\ п /
что 0<е<1/п, то Е (р + — j > Е (р + е) > Е (р). Следовательно,
£(р+е)->£(р) при 8->0.
Получим теперь интегральное представление для оператора А.
Заметим, если p<v, то, очевидно, выполнены неравенства
р [< (%) — (Л) ] <X[ev (%) —<?ц (А.) ] < v [ev (X) —(X) ],
поэтому можно записать:
р (£ (v) —Е (р)) <А (Е (v) —Е (р)) <v • (£ (v) -Е (р)).
Пусть P0<M<P1<P2< ... <рп-1<Л1<рп. Записав неравенства,
приведенные выше, для р=р&-1, v=pk, k=\, 2, ..., п и просумми-
ровав, получим
п	п
(£ (Hfe)—Е (Нй-1)) < А £ (Е (цк)—Е (р^)) <
k=l	k=l
< £ Ш (£ (щ) — б (l4_i)).
k=i
Из этих сумм вторая равна А(£(рп)—£(р0))=А(£—0)=А, и пр
max (pfe—И*—i) < 6 разность между первым и последними членам
п
этих неравенств не превосходит еЕ. Поэтому || А—yj (р*)-
k=i
—Б	гДе заключено между pft и pfe_i.
Если число п частичных интервалов (р^-ь рь) неограниченно
увеличивать так, чтобы наибольшая из длин стремилась к нулю,
п
то суммы У %* (Е (pft) —Е (pft_!)) будут по норме стремиться к
Л=1
оператору А. Поскольку Д(Х) как функция А постоянна при
и при Х</п, то полученный результат можно записать по анало-
234
гии с обычными интегралами Стилтьеса в виде
4 = +J%d£(X) = J KdE(k).
— оо	tn—О
<
Функцию Е(Х) в точке т мы считаем равной Е(т—0)=0.
Как отмечалось, интегральные суммы по норме стремятся к
оператору А, поэтому для любых f, g^H будет выполнено соот-
ношение
м
(Af, g)= J М(£(МА g)
tn—О
(поскольку из сходимости по норме следует слабая сходимость).
Левая часть этого равенства определена независимо от £(Х). Со-
гласно теоремам об обычном интеграле Стилтьеса числовая функ-
ция (E(K)f, g) с точностью до постоянного слагаемого определя-
ется равенством выше в точках ее непрерывности, а также при
А = т—0,	А так как эта функция непрерывна справа и в
точке М принимает значение (f, g), то она всюду определена одно-
значно, а отсюда следует, что и семейство £(Л) единственным
образом определяется по оператору А. Таким образом, доказана
спектральная теорема для линейного ограниченного симметриче-
ского оператора.
Теорема 11. Всякому симметрическому оператору А в Н,
имеющему нижнюю грань m и верхнюю грань М, можно поста-
вить в соответствие единственное семейство проекционных опера*
торов Е(к), зависящее от действительного параметра X, Хе=[т, 7И],
которое обладает свойствами:
а)	Е(Х)с£(ц)
б)	£(Х+О)=Е(М;
в)	Е(К)==О при h<m и Е(Х)=Е при С помощью E(k)
оператор А представляется в виде
4~оо	м
А = J %d£(X) = J Xd£(A). *>
—оо	m—О
Пример. Рассмотрим в пространстве L2[0, 1] оператор
умножения на независимую переменную. Af(x)=xf(x). Име-
ем A2f (х) = x2f (х), для любого многочлена р(х) имеем, что
p(A)f(х) = p(x)f(х). Для любой функции ф(х) из класса С полу-
чаем ф (4) f(x) =ф(х)/(х).	
*> Очевидно, что для многочлена р(Х), а также для любой непрерывной
функции и (%) справедливы представления:
м	м
р(А)= J p(X)d£(X), и(А) = J u(X)d£(X).
m—0	m—О
235
Нам надлежит вычислить проекционный оператор, соответст-
вующий функции
{1 при
О при х>р.
Эта функция принадлежит классу С, поэтому, в частности, EJ(х) =
= MX)/(X), т- е- проекционный оператор £(р) спектрального се-
мейства действует в пространстве L2 [0, 1] как оператор умноже-
ния на функцию еи(х). Имеем, очевидно, что
1
А = х = JXdex(x), 0<х< 1.
о
12. Спектральная теорема
для унитарного оператора
По аналогии с доказательством спектральной теоремы для
ограниченных симметрических операторов можно получить и спек-
тральную теорему для унитарных операторов, которые сейчас бу-
дут определены. Спектральная теорема для унитарных операторов
будет существенно использована также при доказательстве спек-
тральной теоремы для неограниченных симметрических операторов.
Определение 4. Линейный оператор V в гильбертовом
пространстве Н называется изометрическим, если он не меняет
величины скалярного произведения, т. е. если
(Vf, Vg) = (f, g) для любых f, gf=H.
Если при этом V отображает Н на все Н, то V называется унитар-
ным.
Утверждение 6. Ограниченный линейный оператор U, ото-
бражающий гильбертово пространство Н в себя, является унитар-
ным тогда и только тогда, когда и* = и~{.
ф Если U унитарный, то из соотношения
II Uf\\ = ||f II
следует, что уравнение Uf = O не имеет решений, кроме / = 0. От-
куда следует существование обратного оператора U-1, определен-
ного *> во всем Н:
Du = R(U)=H.
Пусть g = U^h, тогда для любого h^H имеем (C/f, h) = (f, U~lh),
т. e. [7* = [7~1. Обратно, из условия = следует инвариант-
ность скалярного произведения:
(Ы, ug) = (f, u*ug) = (f, u-'Ug) = (f, g).
*) Через Du и R(U) соответственно обозначаются область определения и
область значения оператора U.
236
В силу ограниченности оператора U оператор U* определен во
всем пространстве Я, поэтому имеем
R(U) = 0^ = 0^ = Я. 
Пример.
В пространстве H = L2(—оо, 4-00) оператор U действует на лК>
бой вектор х(/)е£2(—оо, 4-оо) следующим образом:
Ях(/)=х(/+а),
где а — произвольное вещественное число. U представляет собой
унитарный оператор.
В конечномерном пространстве всякий оператор с нулевым яд-
ром производит отображение на все пространство. Поэтому любой
изометрический оператор в конечномерном пространстве является
унитарным. В общем случае это не так. Пусть в пространстве I2
оператор V действует на любой вектор g=(gi, £2, . •., £п, ...) сле-
дующим образом: Vg = go= (0, gi, g2, •••)• Оператор V является
изометричным, но не унитарным.
Для унитарных операторов справедлива спектральная теорема,
аналогичная теореме 11 для симметрических ограниченных опера-
торов. Докажем ее. Начнем с того, что тригонометрическому мно-
гочлену
п
поставим в соответствие оператор
P(U)^ £ ckUk,
k——m
где U — унитарный оператор, коэффициенты ck могут быть лю-
быми комплексными числами. Очевидно, введенное соответствие
однородно, аддитивно и мультипликативно. Сопряженному мно-
гочлену
Р (е^) = £ cke-i}^
*	.	k=—m
соответствует оператор
£ ckU-k,
k=~m
который является сопряженным к оператору P(U):
п	п
£ ckU*f = £ ckU~k—T.
k=—m	k——tn
237
Из представлений для P(U) и Т получаем, что оператор P(U)
будет симметрическим тогда и только тогда, когда n = m, ch = c_k*
т. е. в том и только в том случае, когда Р(е/Ф) принимает вещест-
венные значения.
Следующая лемма* позволяет утверждать, что введенное соот-
ветствие — положительного типа, т. е. если
Р(егФ) >0 (0<fqx2ji),
то
Лемма 2. Всякий тригонометрический многочлен P(ei9)^Q
может быть представлен в виде квадрата модуля некоторого дру-
гого тригонометрического многочлена Q (е*ф):
Р(е*ф) = | Q (е^) I2.
ф В силу вещественности Р(е*ф) имеем
Р(е1‘Ф)= J? ckeik®, где ck = c_k.
k=—n
Запишем представление
P(eiv) =e~inv- (с_п+с_п+1в’ф+ ... +cnei2n,f) =
— е~in,f. М (е«ф),
где	______
Al(z) = z2n-Al(4j, г#=0.
Лемму достаточно доказать для многочленов Р(е<ф)>0, 0<ср< 2л,
так как в общем случае можно к Р(е'ф) прибавить е>0, а затем
перейти к пределу при е~>0. В силу сделанного предположения
многочлен M(z) не имеет нулей на окружности |z| = 1.
Из соотношения для Р(е’ф) заключаем, что если Zk — нуль
M(z), лежащий внутри окружности, то 4- также является ну-
Zfe
лем, лежащим вне окружности |z| = l той же кратности, что и
zk, и наоборот.
Следовательно,
М (z) == сп П (z— Zk)k (z—=
= Сп r[(Z—Zk)*-^-(zk — y) * =
k	zk	'
238
= ( — l)ncnzn П(г~-Zk)'k^r- =
[z ' V
= czn PI (z —zk)lk (Y — zk yk.
k
Поэтому
P (^<p) = e~in(PM (ei(p) = с П (е1'ф —zk)lk (e~^ —zk)tk =
k
= сП (e£(p—Zk)lk П (ei{$—zk)lk.
k	k
Постоянная c>0 в силу Р(е1ф)>0. Следовательно, многочлен
Q (е1’ф) = Yс П (et(p —zfe)Zfe
k
является искомым.
В силу доказанной леммы положительный многочлен можно
представить в виде
P(e^) = Q(e^)Q(e/(P),
поэтому
P(t/) = Q([7)Q([7)*
и, следовательно, при любом
(P(U)f, f) = (Q (t/) Q (£/)* A /) = (Q(t/)*A Q(f/)7)>0.
Установленное соответствие между тригонометрическими много-
членами и операторами распространим на более общие функции
с периодом 2л с сохранением линейности, мультипликативности
и монотонности. Введем класс функций С, который состоит из
всех непрерывных на единичной окружности вещественных функ-
ций {n(et<₽)}> а также из всех кусочно-непрерывных {ЧГ(^ГФ)},
0<ср<2л, которые являются пределами монотонно убывающих,
сходящихся в каждой точке последовательностей {ть(егФ)}. Ана-
логично доказательству леммы 1 для симметрических ограничен-
ных операторов доказывается следующая лемма.
Лемма 3. Для всякой функции	можно построить
бесконечную последовательность тригонометрических многочленов
{Рп(^ф)}1°°, монотонно убывающую и сходящуюся в каждой точке
к функции W (£*ф).
Последовательность симметрических операторов Pn(U) моно-
тонно убывает и ограничена снизу оператором аЕ, где
а= inf Т (е1ф). Следовательно, по теореме 7 п. 7 они поточечно
0<ф<2л
сходятся к некоторому симметрическому оператору, который при-
мем за W^U), Подобно тому как это было сделано в п. 11 для
239
симметрических ограниченных операторов, показывается, что опе-
ратор Т(£7) не зависит от частного выбора последовательности
Таким образом, соответствие между функциями и операторами
распространено на весь класс С с сохранением свойств этого со-
ответствия, справедливых для тригонометрических многочленов.
Рассмотрим класс Ci функций, которые можно представить в виде
разностей функций, принадлежащих классу С, при этом функции
Чгз(^ф)=Чг1(е^)— Т2(^ф)
мы ставим в соответствие оператор
Оператор Тз(С0 определен однозначно. Действительно, пусть
Чгз(егФ) представлена другим способом в виде разности двух функ-
ций из С:
Т3 (^) = Т4 (в1*)Т5 (е/ф).
Тогда из тождества
V1 (е*) —Т2 (егф) = Т4 (^ф) —Т5 (е*ф)
следует тождество
Ti (е*ф) +Т5(е*ф) = Т4(^Ф) + Т2(^Ф),
обе части которого принадлежат классу С, поэтому, воспользовав-
шись аддитивностью соответствия для функций класса С, имеег^
(U) + Т5((7) =T4(t/) + Т2(С7).
Откуда
Построенное соответствие будет монотонно и для функций из
т. е. из неравенства
ЧГ1(^Ф)>ЧГ2(^)
вытекает
Ti([/)>T2([/).
Действительно, из определения функций класса Ci имеем
V! (е*ф) = Т3(^Ф) — Т4(^ф),
Т2(е*ф)==Т5(^ф) — Т6(^ф),
где Т{(^ф)еС, i=3, 4, 5, 6.
Из условия
Т3 (е*) —Т4 (^ф) >Т5 (е*) —Т6 (^ф)
получаем
Т3 (^ф) + Те (^ф) >Т5 (е*) + Т4 (е*ф).
240

Откуда, в силу монотонности соответствия, для функций из клас-
са С имеем
Т3 (U) + 'Ге (U) >Т5 (U) + Ф4 (U),
Ч^з (U)-Т4 (U) >Т5 (U) -Т6 (U),
т. е. T1(t7)>'T2(t/).
В частности, классу С] принадлежат функции еДф), 0<]к2л,
определенные следующим образом: M<f)—0, е2п(ф) = 1 и для
0<ц<2л
1 1,
(ф) = 10)
если 2kn < ср < 2&л + р;
если 2&л + р< ф< 2(^ + 1) л, £ =	±1,...
Легко видеть, что функция е*(ф), равная 1 в точках ф = 2£л и рав-
ная нулю во всех остальных точках, принадлежит классу С. Да-
лее, введем функцию е1 (ф), 0 < р < 2л:
вц (ф)={
1,
о,
когда 2&л < ф <С 2£л + р;
когда 2£л + р<ф<2(&+1)л,
которая также принадлежит С. В силу того что
ец(ф) = е’1 (ф)—е’(ф),
заключаем, что еДф) принадлежит классу Сх и мы можем сопо-
ставить этой функции оператор
£(р)=еД(7)	(£(0)=0,	£(2л)=£).
Так как функции еДф) совпадают со своими квадратами, следо-
вательно, им соответствуют проекционные операторы: £(р) =
= (£(р))2, £*(р) =£(р). Если 0сг<р<2л, то ег(ф)<Мф)> по-
этому £(г)<Е(р). Покажем теперь, что £(р) как функция р
непрерывна справа. Функция е1^ (ф) принадлежит классу С, сле-
довательно, в силу леммы 3 можно построить убывающую после-
довательность тригонометрических многочленов Pn(ei4>), которая
стремится к е^(ф), причем так, что при достаточно больших п
выполняются неравенства
Pn(el<f)^ex (<р).
и+4-
п	b
Тогда для соответствующих операторов имеем при п->оо;
В силу представления
£'(н) =£(м)+£1(0),
241
которое следует из представления для функций (<р) = (<р) 4-
+ (<р), получаем
Е (ц + — -> £(р) при п->оо,
т. е.
lim Е (к) = Е (р).
Рассмотрим разбиение отрезка [0, 2л] точками
О = цо<Ц1< ••• <|Хп = 2л.
В каждом из интервалов [рь-i, ць] выберем произвольную точку
Для любого фиксированного целого г и любого ере [0, 2л]
справедливо неравенство
|еггч)—У	(ф)—^^(ф)]| <Итах(щ—
Действительно, для ц/ ~1<Ф< Ц/ имеем
п
e^k (ф) _е^ (ф)] | = ^Ф-^ | =
k=\
= 2 sinf(<P £ Ф'~| <И 1<Р—Ф1КИ (И/—Нг-1)-
Для ф = 0 неравенство также справедливо, так как левая часть
его обращается в нуль. Отсюда при достаточно малом диаметре
разбиения отрезка [0, 2л] получим, что
п
(е.гф_£ elr*k [^(ф)—^(ф)]) х
k=l
п
х [е1гч>—Y elr<fk [^(ф)—(Ф)]) <е2.
k=l
Переходя к операторам, находим
п	п
0 < F “S	-Е * (и -уе1ГЧ [£ (На)-£ (Hfe-1)] )<
k=i	k=l
<е2£,
откуда следует, что
п
II -У [Е (pft)—Е | < 8.
k=l
242
Последнее неравенство означает справедливость представления
2Л
Ur= J etr®dE (ф).
о
Единственность семейства проекционных операторов £(ф), соот-
ветствующего оператору [7, следует из свойств интеграла Стилтье-
са и доказывается аналогично доказательству единственности для
ограниченного симметрического оператора (теорема 11).
Резюмируем полученные результаты:
Теорема 12. Всякому унитарному оператору U можно по-
ставить в соответствие единственное семейство проекционных опе-
раторов £(ф), зависящее от действительного параметра ф^
Ф^[0, 2л], которое обладает свойствами:
а)	£(ф1)<£(ф2) при ф1<ф2;
б)	£(ф + 0) = £(ф);
в)	£(0)=0, £(2л)=£.
С помощью Е (ф) оператор U представляется в виде
U = J el^dE (ф).
о
Для любого тригонометрического многочлена и даже для лю-
бой непрерывной функции и(е^) справедливо
2Л
и (U) = J и (е1’’) dE (<р),
о
причем, интеграл понимается как предел по норме пространства
соответствующих интегральных сумм.
13.	Неограниченные операторы
Многие важные операторы являются неограниченными. Рас-
смотрим, например, оператор
Т=—d2ldx2
в гильбертовом пространстве Я=£2[0, л]. Пусть область опреде-
ления оператора Т состоит из бесконечно дифференцируемых на
отрезке [0, л] функций, удовлетворяющих условиям
г/(0)=у(л)=О.
Тогда функции
Уп(х) =sinnx
принадлежат области определения, причем
Т>Уп=и^Уш Ту п~'Кпу	%п—п2.
Поскольку оператор Т имеет сколь угодно большие собственные
243
значения, то он не является ограниченным. Итак, оператор в гиль-
бертовом пространстве Н — это линейное отображение некоторо-
го линейного многообразия DT пространства Н в пространство
J7. Поэтому, чтобы задать неограниченный оператор, вначале нуж-
но описать область, на которой он определен, а затем указать, как
юн действует на этой области. При изучении неограниченных опе-
раторов важную роль играет понятие графика оператора.
Определение 5. График GT линейного оператора Т есть
множество пар
{/=, Tf},
тд& f пробегает область определения DT.
Следовательно, GT является подмножеством в гильбертовом
пространстве
Ж = Н®Н,
состоящем из всевозможных пар {/, g}, g^H и основные опе-
рации в котором введены посредством формул:
C{f, g}={cf, eg},
{fl, gl} + {fz, g2} = {fl + fi, gl + gz},
({fl, glh {A, g2}) = (fl, А) + (£1, gt)-
Два оператора T\ и Т2 называются совпадающими, если Gt^ — Gt^
Если же Gt^Gt^ то Т2 называется расширением оператора 7\
В этом случае пишут T2zdTi. Иными словами, Т2иТх тогда и толь-
ко тогда, когда Dr^D^ и T2f = Txf для всех f е DTv Опера-
тор Т называется замкнутым, если график этого оператора —
замкнутое подпространство в гильбертовом пространстве 3fS=H®H.
Оператор Т допускает замыкание, если он имеет замкнутое рас-
ширение.
Определение 6 Оператор 7\ называется замыканием опе-
ратора Т, если GTi = Gt (где Gt— замыкание многообразия GT).
В этом случае оператор Т\ обозначают Т. Ясно, что оператор
Т является наименьшим замкнутым расширением оператора Т,
Естественно попытаться построить замкнутое расширение любого
оператора Т посредством замыкания его графика. Однако оказы-
вается, что подпространство GT, вообще говоря, не всегда обязано
быть графиком какого-либо оператора. Для примера рассмотрим
в гильбертовом пространстве /2 оператор S, действующий следую-
щим образом:
Se^ne^ еп— (0, 0, ..., 0, 1, 0 ...), п = 1, 2, ...,
п
область определения которого состоит из множества финитных
последовательностей. Точки вида (еп/п, е±) принадлежат Gs. Сле-
довательно, точка (0, ех) принадлежит Gs. Поэтому Gs не явля-
ется графиком какого-либо оператора, поскольку при линейном
отображении нулевой вектор должен переходить в нулевой.
244
Пусть Т — линейный оператор, область определения DT ко-
торого всюду плотна в Н. Пусть g — какой-нибудь элемент из Н,
которому можно поставить в соответствие некоторый элемент g*
таким образом, чтобы для всех f^DT выполнялось равенство
(Tf, g) = (f,g*).
Множество пар g и g*, для которых справедливо равенство при
любом f^DT, не пусто, поскольку, как легко видеть, что равен-
ство выполняется во всяком случае при g = g* = 0. Далее, если
DT плотно в Н, то элемент g* однозначно определяется элемен-
том g. В самом деле, допуская противное, имеем
(Tf, g) = (f, g*), (Tf, g) = (f, g*2) для всех fGDr.
Откуда получаем, что при любом f^DT
(f, g*)—(f, g2)=:(f, g‘1— g2) = 0.
Так как DT всюду плотно в Я, то в силу непрерывности операции
скалярного произведения заключаем, что g\~ g2- Таким обра-
зом, соответствие
g* = T*g,
при котором равенство (Tf, g) — (f, T*g) справедливо для всех
f^DT, задает некоторый оператор Т*, называемый сопряженным
оператором по отношению к Т. Покажем, что оператор Т* явля-
ется линейным оператором. Пусть gi и g2 принадлежат области
определения оператора Т*. Тогда для всех f^DT имеем
(Tf, agi + fig2)=a(Tf, gi) + p(Tf, g2)=a(f, T*gt) +
+ P (f, T*g2) = (f, aT*gl) + (f, pT*g2) = (f, aT*gi + $T*g2).
Поэтому agi + Pg2 принадлежит Dr* и T*(agi + Pg2) ==a71*gri +
+ Отметим следующие соотношения, которые непосредст-
венно следуют из определения сопряженного оператора:
а)	(сТ) * = £•?*, су=0.
б)	Если SczT, то S*zdT*.
в)	(1\ + Т2) *=d71i* + T2*, если область определения оператора
Т\ + Т2 плотна в Н.
Введем в гильбертовом пространстве 2№ = Н®Н унитарный
оператор V (аналог поворота на плоскости на угол я/2):
V{f, g}={-g, f}.
Пусть область определения DT оператора Т плотна в Н. Тогда
для определения сопряженного оператора T*g~g* имеем урав-
нение
(Tf, g)~(f, g‘),
которое выполняется для всех f^DT.
245
I
С помощью оператора V это уравнение записывается в виде
(W, Tf},{g, Г})=0.
Это означает, что элементы пространства 3^, принадлежащие Gr*r
ортогональны VGT. Обозначим через М-1- множество векторов в*
гильбертовом пространстве ортогональных к ТИсгЖ Итак, имеем
G7-.= (VG7-)-l.
Поскольку ортогональное дополнение образует замкнутое линей-
ное многообразие, то из этого соотношения следует, что опера-
тор Т* замкнут.
Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма.
Лемма 4. Пусть М — линейное подмножество гильбертова
пространства Н, тогда
A1 = (A1J-)X,
где М — замыкание М.
ф Обозначим через L замыкание линейного многообразия Af*
Тогда L — подпространство гильбертова пространства Н. Пока-
жем, что
Действительно, если х^ЛР-, то для любого у^М (х, у)=0. Для
любого элемента f^L существует последовательность {уп} такая,
что уп^М, п=1, 2, ... и Уп~Ч, п-+со. В силу непрерывности ска-
лярного произведения получаем (х, f)=0 для любых f^L, отку-
да следует, что хеА1, и мы имеем включение
Обратное включение MczAP- вытекает из соотношения MczL. По-
кажем теперь, что (L±)J- = A, откуда и будет следовать доказы-
ваемое нами утверждение. Действительно, в силу теоремы 2 п. 4
§ 1 гл. IV справедливо представление
т. е. каждый вектор h<=H однозначно представляется в виде
h = x+y1 x^L, y^L\
Если ZieL, то £/ = О, и для любого вектора feL1
(й, и) = (х, и) =0,
откуда заключаем, что
Обратно, пусть
f = x+y, xeL,
тогда
о= (f, У) = {у, У),
откуда y=Q и, следовательно, f^L. В
246
На основании леммы 4 равенство Gt* — (VGt)'L запишется в
виде
Gt* — 3&Q VGt.
В силу унитарности V имеем VGt = VGt и, следовательно,
GT* = ^eVGT.
Из этого соотношения следует следующее утверждение.
Утверждение 7. Справедливо следующее соотношение;
Z(T*)=HeRAT),
где Z(T*) — пространство нулей оператора Т*, R(T) — область
значений оператора Т, a R(Tj— замыкание R(T).
ф Пусть feZ(T*), следовательно,
{/=, 0}EGr*.
В силу равенства Gt* = S%qVGt имеем
{Л 0}e^eVGr,
откуда получаем, что
{/, 0}_1_{7'<р, —ф} для любого вектора фе£)т.
Таким образом,
/_1_Тф для любого <peDn
т. е.
f j-ад.
Легко видеть, что проведенные рассуждения можно провести в
обратном порядке.
Теорема 13. Оператор Т с областью определения, всюду
плотной в Н, допускает замыкание тогда и только тогда, когда
Dt* всюду плотна в Н. В этом случае
j* у**
ф Пусть область определения оператора Т* плотна в Н. Тогда
из соотношения Gt* =	Q VGr имеем
Gt** = MQVGt*.
Рассмотрим замыкание От — линейного подмножества в Ж В си-
лу леммы 4 имеем
0т — (0т)1'.
247
Учитывая, что V2=—£, получаем
(GrJ-)-L = ((PGT)1)±.
Заметим, что в силу унитарности V
У(ЛР-) = (VM)^
для любого линейного подмножества М в <№. Следовательно,
((IZ2Gr)x )х = (V (VGr)x)1 = (VGrO1 •
Итак,
Отсюда в силу равенства Gt** = 5% QVGt* получаем, что GT яв-
ляется графиком Gr**, т. е. т = Т**. Обратно, предположим, что
Dr* не плотна в /7. Тогда существует вектор f=/=0, ортогональный
всем векторам из Следовательно, элемент	будет
ортогонален всем элементам вида {—T*g, g}, где g пробегает Dt*.
Поэтому вектор {0, будет ортогонален V{g, T*g}, g е Dr*. От-
сюда получаем, что (И}г*)х не является графиком оператора.
В силу равенства Gr = (VGr*)“L имеем, что Gt не является гра-
фиком оператора, поэтому оператор Т не допускает замыкания*
что противоречит условию теоремы. Ц
Следствие. Если Т допускает замыкание, то
Определение 7. Линейный оператор Т в гильбертовом про-
странстве Н называется симметрическим, или эрмитовым, если
область определения DT плотна в Я и (Tf, g) = (/, Tg) для любых
векторов /, g^DT. Равносильное условие: оператор Т симметри-
ческий, если его область определения DT плотна в Я и
TgzT*.
Отсюда заключаем, что симметрический оператор всегда допускает
замыкание. Из теоремы 13 следует, что Г** является наименьшим
замкнутым расширением Т, поэтому справедливы включения
Тс=Т**с=Т*.
Поскольку Т^=Тк**, то из последнего включения следует, что
оператор Тк* также является симметрическим оператором. Поэто-
му в дальнейшем при рассмотрении симметрических операторов
мы всегда будем предполагать, что они замкнуты.
Определение 8. Оператор Т называется самосопряженным,
если Т — 7*.
Теорема 14 (критерий самосопряженности). Пусть Т —
симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
самосопряженность оператора Т эквивалентна каждому из сле-
дующих двух условий:
248
a)	T замкнут и Z(T*±iE) ={0};
б)	R(T±iE)=H.
ф Докажем, что из самосопряженности Т следует условие а).
Пусть фЕОр и Г*(р = /ф. Тогда Тф = цр и
(ф, Т*<р) = (Тер, <р)=*(ф, ф)-
Кроме того,
(Ф,Т‘Ф) = (Ф, г‘ф)=—'(ф, ф)-
Следовательно, <р = 0, т. е.
Z(T*-i£)={0}.
Аналогично доказывается, что
Z(T* + /£)={0}.
Докажем, что из условия а) следует условие б). В силу утверж-
дения 7 имеем, что RfJ^iE) —плотное множество в Н. Покажем
замкнутость R(T^iE). В силу симметричности Т для всех феОг
имеем
|| (7,±г£)ф||2= (Тф±/ф, Тф±г’ф) =
= 11Пр||2+ (Тф, ±1ф) + (±^ф, Тф) + (±Гф, ±/ф) =
= Ц7ф||2+ ||ф||2.
Из полученного соотношения следует, что если фпе£т и (Т±
=Н£)фп->/о, то фп сходится к некоторому вектору ф0 и 7фп также
сходится. В силу замкнутости Т имеем ф0^£т и (Т±г£)ф0 = ^.
Отсюда R(T±iE) — замкнутое множество, и поэтому
R{T±iE)=H.
Теперь покажем, что условие б) влечет самосопряженность Г.
Пусть феОр. Поскольку R (Т—iE)=H, то существует f(=DT
такой, что (Т—iE)f=(T*—iE)q. Так как Dt cz Dt*, то ф—[^Dt* и
(p-i£) (f-<p)=O.
По условию 6) R(T+iE) =Н, следовательно, в силу утверждения
7 имеем
Z(T*—/£)={0}.
Откуда следует, что f = q>^DT. Тогда Dt* = Dt, т. е. Т — само-
сопряженный оператор. 
Докажем теперь следующий простой критерий самосопряжен-
ности симметрического оператора.
Утверждение 8. Если для симметрического оператора Т
существует такое число А, что как элементы вида (Т—КЕ)х, так
и элементы вида (Т—ХЕ)х (x^DT) пробегают всё Н, когда х про*
бегает DTi то Т — самосопряженный оператор.
ф Пусть у е Dt*, тогда для всех x^DT имеем
((Т-ХЕ)х, у)~(х,(Т*-КЕ)у).
249
В силу условия теоремы существует h^DT такой, что
(Т—/.E)h=(T*—ЬЕ)у.
Тогда в силу симметричности Т получаем
(х, (Т*—XE)y) = (x, (Т-ЛЕ)Л) = ((Т—ХЕ)х, h),
отсюда для всех хеРг
((Т—ХЕ)х, у)= ((Т—ХЕ)х, h).
Так как (Г—ХЕ)х пробегает всё Н, то y=h^.DT, следовательно,
Т — самосопряженный. |
Пример.
В гильбертовом пространстве L2[0,1] введем оператор
Т= ——
dx2
с областью определения DT, состоящей из всех функций f(x) со
следующими свойствами: f-(x) и f'(x) — абсолютно непрерывны
на отрезке [0, 1],
1], /(О)=/(1) = о.
Замечание. Функция f(x) на [а, Ь] называется абсолютно
непрерывной, если для любого е>0 существует такое 6>0, что
п
£ 1/«)—Ж)1<6
1—1
для любого конечного набора интервалов [xt-, х'.], удовлетворяю-
щих условию Х(, х\ е [а, Ь],
У 1<— Х,|<6.
i=i
Для таких функций справедлива теорема. Если f(x) абсолютно
непрерывна на [а, 6], то f(x) почти всюду дифференцируема,
f'(x)^L1[a, 6]. Обратно, если §(х)^1}[а, &], то функция
G(x) = \g{t)dt
а
абсолютно непрерывна и G'(x)=g(x) почти всюду. (Ср. с теоре-
мой Радона — Никодима, гл. III.)
Проинтегрировав два раза по частям, убеждаемся, что для
f(x), g(x)<=DT
250
(Л, g)= f	dx = Г,g(x) +
J dx2	L • dx
о
+ ^W./(x)l1 + f/(x)./_J^L\dx==(/i Tg).
dx J о J \ dx2 j
0
Кроме того, множество Z)T, как легко видеть, плотно в L2 [0, 1].
Итак, Т — симметрический оператор. Покажем, что /?(?) =
= L2[0, 1], откуда в силу утверждения 8 будет вытекать самосо-
пряженность оператора Т. Действительно, для любой функции
[0, 1] введем функцию f(x) по формуле
X t	1 t
f (%) = —j ("J h (т) rfrj dt +x у [J h (т) drj dt.
oo	oo
В силу сделанного выше замечания f (x)^DT, причем
Tf~h.
Желая свести изучение неограниченного симметрического опе-
ратора к изучению изометрического оператора, введем так назы-
ваемое преобразование Кэли. Пусть Т — замкнутый симметриче-
ский оператор. Оператор V=(T—IE) • (T+iEy-1 называется пре-
образованием Кэли оператора Т. Существование оператора (Т+
+ iE)~1 следует из соотношения
\\(Т ±iE)h\\2—(Th, Th)±i(h, Th) + i(Th, Л) + (й, Л) =
= ЦП||2 + ||Л||2,
показывающего, что уравнение
(T+iE)h = 0
не имеет других решений, кроме 0. Областью определения и об-
ластью значений оператора V являются соответственно множества
векторов вида
g=(T—iE)h,
когда h пробегает все DT.
Докажем, что Dv и R(V) — замкнутые множества, а следова-
тельно, являются подпространствами в Н.
Пусть
fn=(T±iE)hn и п-^оо.
Имеем
Wfn-fmW2-II (T±iE) (hn-hm) |Р =
= \\T(hn-hm)\\2+\\hn-hm\\\
251
откуда из фундаментальности последовательности {fn} следует су-
ществование
lim hn и lim Thm.
n—m->oo
Пусть limhn = h, тогда в силу замкнутости оператора Т заклю-
П-*ОО
чаем:
lim Thn = Th.
п-*<п
Таким образом,
f=(T±iE)h,
что и доказывает замкнутость Dv и Оператор V — изомет*
рический. Действительно, из соотношения
\\(T±iE)h\\2=\\Th\\4\\h\\^
следует
\\(T-iE)h\\ = \\(T + iE)h\\,
т. е., что
\\(T—iE)(T+iE)~*f\\==\\f\\.
Если предположить, что оператор Т — самосопряженный, то его
преобразование Кэли есть оператор унитарный. Для доказатель-
ства этого утверждения достаточно показать, что
Dv==R(V)=H,
а это следует из теоремы 14.
Покажем, что оператор Т однозначно восстанавливается по его
преобразованию Кэли. Из соотношений f = (T+iE)h, g~(T—iE)h
имеем
Vf=(T—iE)h.
Складывая и вычитая выражение для Vf и для f, получаем
(E+V)f = 277i,
(E—V)f^2iEh.
Из последнего равенства следует, что если (Е—V)f = O, то h = 0,
по тогда в силу соотношения f= (T+iE)h имеем, что f = 0. Таким
образом, оператор (Е—V)-1 существует и
r=i(E+V) (Е— V)-1.
Перейдем теперь к доказательству спектральной теоремы для не-
ограниченных самосопряженных операторов.
Докажем следующую лемму.
Лемма 4. Пусть Hh Н2, ... Hi, ... — последовательность
подпространств гильбертова пространства Н, попарно ортогональ-
ных и в совокупности порождающих все Н. Проекцию произволь-
ного элемента f на подпространство Hi обозначим fi. Пусть
252
Т%, ..., Л, • • • — последовательность линейных операторов, обла-
дающая тем свойством, что на Нг оператор Ti ведет себя как
ограниченный самосопряженный оператор, отображающий са-
мо в себя. Тогда в Н существует и единствен самосопряженный
оператор Т, совпадающий с Ti на каждом Hi (i= 1,2,...). Область
определения оператора Т состоит из тех элементов f, для которых
сходится ряд
i==i
и для таких f
(*>
1=1
ф Оператор Г, определенный равенством (*), линеен. Область
определения DT плотна в Я, так как содержит элементы вида
п
У ft. Оператор Т является симметрическим оператором, так как
i=A
для любых f, g из DT
t=l	i—1
Пусть g — какой-нибудь элемент, принадлежащий Z)r*. Тогда для
любого f^DT
(Tf, g) = (f, T*g),
откуда следует, что
f (ыт-)-
1 = 1	z = l
Возьмем в качестве f какой-нибудь элемент подпространства Hj,
тогда последнее равенство примет вид
ТО, =
По условию леммы Т$ самосопряжен в поэтому
(ЛЛ, §i) = (fi, Tigi),
следовательно,
(T*g)j = Tjgj.
Откуда получаем
£ nw2=£ ii(mn2=юн2-
„_i	;_1
253
Таким образом, g принадлежит области определения операто-
ра Г и
1=1	1=1
Отсюда следует, что Fc?, а так как Т — симметрический опе-
ратор, то Т* = Т.
Для доказательства единственности предположим, что суще-
ствует другой самосопряженный оператор Т', совпадающий с Tt
на Ht. В силу замкнутости оператора Т к области его определения
оо
«будут принадлежать все f, для которых сходится ряд T'fl9
1=1
причем
= f Ttft = T’f.
1=1	1=1
Сходимость ряда ортогональных элементов
f
1=1
эквивалентна сходимости ряда из квадратов их норм
f ITOI2-
1=1
Поэтому совокупность таких f совпадает с DT, и для них T'f=Tf.
Таким образом, Т'=)Т. В силу самосопряженности операторов Т
и Т' имеем Т'=Т. |
2л
Пусть V=j е1<М£(ф) — спектральное разложение унитарного
о
оператора V, являющегося преобразованием Кэли самосопряжен-
ного оператора Т. С помощью соответствия
X — —ctg	0 < <р < 2я
между интервалом (0, 2л) и числовой осью (—°о, + оо) получим
семейство проекционных операторов
£(Х)=£(ф)=£(—2arcctgX), —оо<Х< + оо.
Действительно, функция Г(ф) непрерывна в точке 2л, так как
(£—V)-1 существует и, следовательно, 1 не является собственным
значением оператора V. Поэтому имеем
£( + оо)=£(2л—0) =£,
£(—оо) =F( + 0) =0.
254
Свойства
E(k)<E(yi.) при %<ц
и
Е(Х+0)=Е(Х),
очевидно, выполнены ввиду монотонности и непрерывности функ-
ции Х=— ctg-2-.
Рассмотрим множество точек {фт} на интервале (0, 2л), удов-
летворяющих уравнению
— ctg-^- = m (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Проекционные операторы
Р тп~ F (фтп) Р (ф-т—1)
будут попарно ортогональны, кроме того,
V Рт= Ьш F(q>k) — lim F^t) = E —О = Е.
>4-оо	Z->—со
пг=—оо
Обозначим через Нт подпространство, соответствующее проекци-
онному оператору Рт Так как оператор Рт перестановочен с Vr
а следовательно, и с T=i(E+V) (Е—V)-1, то подпространство Нт
приводит*) операторы V и Т. Функция (1—егч>у~1 непрерывна в
интервале фт-1<Ф<Фт, поэтому для f^Hm имеем
Tf = TPJ=itE + V). (Е—У)-1 • Pmf =
= J i (1 + el(₽) • (1—et^)—idF((p)f =
®m-i
m
= j (-ctg-0dF(<p)f= j KdE(k)f.
Мы получили, что в каждом Нт оператор Т действует как огра-
ниченный самосопряженный оператор
m	j
тт= J МЕ&).
m—1
Поскольку подпространства #0, #-i, Hi ... попарно ортогональны
*) Если Р — перестановочный с оператором Т проектор, a Q—E — Р й
Нр^РН, Hq — QH, то говорят, что подпространство Нр приводит оператор 1\
если Т может быть восстановлен по своим частям ТР и Tq, действующим в»
подпространства НР и Hq, причем область определения оператора Т состоит
из тех векторов, проекции которых на НР и Hq принадлежат соответственно-
областям определения операторов Тр и Tq
255
и порождают все Н, то в силу леммы 4 оператор Т представляется
в виде
оо	щ	оо
Т/=£	J M£(X)/m =	J М£(Х)/.
—оо	пг—1	—оо
Итак, доказана	ш
Теорема 15. Любому самосопряженному оператору Т в
гильбертовом пространстве Н можно поставить в соответствие
единственное семейство проекционных операторов Е (X), завися-
щее от действительного параметра Л, которое обладает свой-
ствами:
а)	Е(Х)^£(р) при
б)	£(Х+0) =£(%);
в)	Е(Х)-+О при —оо, £(Х)->£ при Х->оо. С помощью £(%)
оператор представим в виде
Т = J ME (X).
-----00
14. Спектр симметрического ограниченного
оператора
В настоящем пункте будут изучены свойства спектра симме-
трического оператора. Многое, о чем говорится в этом пункте,
справедливо и для неограниченного оператора. Однако здесь мы
рассматриваем только ограниченные симметрические операторы.
Теорема 16. Для того чтобы точка X была регулярным
значением симметрического ограниченного оператора А, необхо-
димо и достаточно существование положительной постоянной г
такой, что для любого f^H
W-VIIXII.
ф Необходимость. Пусть X— регулярное значение; тогда су-
ществует оператор (А — А£)-1 и ||7?J| =d<oo; для любого
вектора f^H имеем
||f || = \\RK (А - ХЕ) f ||<d|| (А - ХЕ) f ||.
Поэтому справедливо соотношение
||(Л-Х£)/|| >А-||/|| = г Ц/Ц.
а
Достаточность. Пусть g=Af— Xf для любого f^H. Тогда g
пробегает некоторое линейное многообразие L. В силу того, что
I) (А — XE)f\\^r\\f||, соответствие между векторами {f} и {§} вза-
имно-однозначно, ибо если fi и f2 переходят в один и тот же век-
тор g, то
Afi — Xf\ — Af2-4-Xf2= (А — ХЕ) (fi — fs) •
256
Значит,
llfi—fall <-^-||(А—X£)(fx—f2)||=0, т. e. /1 = /г
Покажем, что L всюду плотно в Н и замкнуто, т. е. что L =
«=Н, а затем воспользуемся теоремой Банаха об обратном опе-
раторе (см. гл. II).
Допустим, что L не всюду плотно в Н, тогда существует век-
тор /о=#О, fo^H и такой, что (f0, g) =0 для любого вектора g^
^L. Это означает, что (fo, Af — Xf) =0 для любого f^H. Тогда
Afo — Xfo=O, fo#=O. Но это невозможно: если X — комплексное,
то получилось бы, что симметрический оператор имеет комплекс-
ное собственное число; если % — вещественно, тоЛ = Х, ||/0|| < — х
X ||А/0 —-Xf0|| = 0. и поэтому fo = O.
Покажем, что L замкнуто. Пусть {gn}aL и gn= (А — kE)fn,
gn-+g. Тогда
\\fn-fm\\ < -ll(A-X£) (f„-fm)|| = — ||g„-gm||.
г	г
Поскольку последовательность {gn} сходится, то сходится и по-
следовательность {fn}. Пусть f = \imfn. При этом
П-*оо
(A—A£)f=lim (A—XE)fn = limgn = g,
п-*оо
т. е. g^L. Итак, L = H. Кроме того, соответствие g= (А—kE)f
взаимно-однозначно. Поэтому существует ограниченный обратный
оператор f = (А — X£)-1g=/?xg, определенный на всем Н. Имеем
||(A-l£)-‘g|| = ||f|| <-L||(A-X£)f|| = -J-||g||, т. е. ||Ях||<-к
Следовательно, Л — регулярное значение оператора А. Ц
Следствие. Точка л принадлежит спектру ограниченного
симметрического оператора А тогда и только тогда, когда суще-
ствует последовательность {fn} такая, что ||Afn—Xfnll<сп||/п||, где
сп->-0 при п^>-оо. Заметим, что можно считать, что ||fnll = l, а то-
гда ||А/П—Xfn||—>-0.
Теорема 17. Комплексные числа X=a-|-iP, где р=#0—суть
регулярные значения ограниченного симметрического (самосо-
пряженного) оператора А.
♦ Если g= (А — kE)f, то
(g, f) = (Af, f) -X(f, f), (f, g) = (gj) = (Af, f) -X(f, f).
Поэтому	; _
(f. g) - (g, f) = (X —Г) (f, f) = 2i₽||f||2,
9 BA Садовничий
257
2|₽|-llfll2<|(f, 2) 1 + 1(2, f) |<2||g||.||f||,
llgll>|₽|-||fll, t. e. || (Л - AE)f||>|M -11/11,
а далее следует применить предыдущую теорему. |
Теорема 18. Спектр симметрического (самосопряженного)
ограниченного оператора А лежит целиком на отрезке [т, 7И}
вещественной оси, где m и М — нижняя и верхняя грани опера-
тора соответственно,
ф Из предыдущей теоремы следует, что спектр оператора
А лежит на вещественной оси Докажем, что точки, лежащие
вне отрезка [т, Л4], являются регулярными точками оператора.
Пусть, например, k=MA~d, имеем
((Л - KE) f, f) = (Af, f)-K(f, f) (f, f) - X (A f) =-d\\f II2.
Отсюда
|((Д-Х£)А /)|><112.
С другой стороны, справедливо неравенство
|((Л_Л£)д f)|^|| (4_Z£)fl|.||/||.
Поэтому || (Л — X£)f||^ar||f||, что и требовалось доказать. Анало-
гично доказывается случай Х<т. |
Теорема 19. Числа m, М являются точками спектра опе-
ратора.
ф Заметим, что если оператор А заменить оператором Лд=
=А— р£, то его спектр сдвинется влево на р>0, а числа m и М
заменятся на m—р и М — р. Будем сразу считать, что
В таком случае, как было доказано, справедливо равен-
ство Л1=||Л||. При изучении вполне непрерывных операторов
было доказано, что для симметрического оператора существует
последовательность	такая, что
НМ = 1, /г=1, 2, 3,... ,
1|Л/П—||Л||-fn||->0	(и^оо).
(Вполне непрерывностью в этом месте не пользовались.) Для
доказательства теоремы достаточно применить следствие, при-
веденное после теоремы 16. И
Следствие. Каждый ограниченный самосопряженный опе-
ратор имеет непустой спектр.
Примеры.
1. Пусть А=Е. Тогда спектр А состоит из одного собственно-
го значения 1, соответствующее собственное подпространство
Hi = H. При Х#:1,	—— £ есть ограниченный оператор.
2. Пусть А задан в £2[0, 1] формулой Af(x) =xf (х). Очевид-
но, т = 0, Л4<1. Покажем, что все точки [0, 1] принадлежат
спектру оператора Л, а поэтому 2И=1. Пусть (hO^l. Рассмот-
258
рим *> отрезок [X, Х+е] с [0, 1]. Пусть
1
Уе

при х <= [X, Х + е],
О при хе [X, Х + е].
Имеем
Далее,
H/£WH2=peW^=l. Т. е. ||fe(x)||=l.
О
(Д—ХЕ)fe(х) = (х-X) ft (х), ||(А—ХЕ) /е(х)112 =
И-е	з
= — i (х—X)2dx = -^—.
с •)	3
X
При 8—>0 имеем II (Д— XBJfJI->0, следовательно, X — точка спек-
тра при любом X, удовлетворяющем неравенствам O^X^l. В то
же время оператор А не имеет собственных значений (это дока-
зывается так же, как и в пространстве С[0, 1]). Таким образом,
оператор имеет трлько непрерывный спектр
Теорема 20. Для того чтобы Хо было собственным значе-
нием ограниченного симметрического (самосопряженного) опера-
тора А, необходимо и достаточно, чтобы Хо было точкой разрыва
функции Е (X).
ф Необходимость. Пусть для некоторого fo^O
Д/о — Хо/о = О.
Тогда ((Д—ХоЯ)2/о, /о) =0 и, следовательно,
м
J (X—X0)2d(E(X)f0,/о) = О.
т—0
Так как подынтегральная функция неотрицательна, а инте-
грирующая монотонно возрастает, то и	(X—X0)2d(£(X)/0, fQ) = 0
’	а
М
для любого полуинтервала (а, р]. В частности, j (X—Х0)2 х
X d(Е(X)/о,/о) = 0 для любого е>0. Так как (X — Х0)2>е2, то
м
е2 J d(E(X)/0J0) = 82[(/0,/0)-(E(X0 + e)/0,/0)] = 0.
*> При Х=1 следует рассмотреть отрезок [1—8 , 1]
9
259
Следовательно,
(fo, fo) —(£(Xo+s)fo, fo)=0, £(Xo4-e)fo=fo-
Аналогично, E(k0— e)fo=O. Поэтому £(Xo-f-e)fo— E (Xo—e)fo = fo-
Поэтому (£(Xo+e) — £(X0 — e))fo = fo¥=0, т. e. Xo — действитель-
но точка разрыва для Е(К), причем собственный элемент fo при-
надлежит подпространству, соответствующему оператору
£(Д)=£(Х0)— Е(К0—е).
Достаточность. Пусть £(Хо— О)У=£(Хо) и fo — любой элемент
из подпространства £(Д), соответствующего оператору £(Хо)—
— £(Х0— е). Тогда (£(%0)—Е(^о — ®))fo = fo, т. е. fo принадле-
жит ортогональному дополнению пространства С?х0—о в про-
странстве ОлД Поэтому £(Xo)fo=fo, Е (Хо — O)fo=O, тем более
£(X)fo=0 при %<Хо и, следовательно, £(A)fo=fo для Д=*
= (Ло — е,Ло]. Но тогда
Af0 = 4£(A)f0= JXd£(X)/0,
Xq—-Е
Хо
Мо = 1о£(Д)/в= J Xod£(X)fo.
%о 8
Следовательно,
Х<о
Ato-hfo= J &-h)dE(K)f0.
Хо—8
Отсюда
JHfo-Woll<8||E(A)foll<e||foll.
Так как е произвольно, то \\Af0 — Xo/oll = O. Одновременно доказа-
но, что все подпространство, на которое проектирует оператор
Е (А) =Е (Хо) — Е (Хо — 0), состоит из собственных векторов опе-
ратора Д, отвечающих собственному значению Хп. 
15.	Спектр и резольвента неограниченных
операторов
Точно так же, как и в случае ограниченных операторов (см.
п. 6), можно ввести понятия резольвентного множества, спектра
и для неограниченных операторов.
Так же, как и для ограниченных операторов, если для неко-
торого Xi уравнение Tf=Xif имеет ненулевое решение /, то число
Xi называется собственным значением (собственным числом)
оператора Т, а решение f — собственным вектором, соответствую-
щим собственному значению Хь
*) Здесь бХо_0 и — подпространства, на которые операторы £(Х0 — 0)
и £(Х0) соответственно проектируют все пространство.
260
Совокупность всех собственных векторов {)}, отвечающих Ль
И нуль-вектор называют собственным подпространством
ведающим собственному значению Ль Его размерность назы-
вается кратностью собственного значения Ль
Пусть DT — область определения, a R(T)—область значений
линейного неограниченного оператора в гильбертовом простран-
стве Н. Пусть В(к) = Т — ХЕ. Числа Л, при которых область зна-
чений оператора В (Л) плотна в Н и существует непрерывный
обратный оператор В-1(Л) = (Т— ЛЕ)-1, называются регулярны-
ми значениями оператора Т (принадлежат резольвентному мно-
жеству). Оператор В-1(Л) = (7' — ЛЕ)-1 называется резольвент-
ным оператором, или резольвентой оператора Т, и обозначается
через Ех. Таким образом,
Ех= (Т —ЛЕ)-1 = В-1 (Л).
Множество, дополнительное к резольвентному (в комплексной
плоскости), называется спектром оператора Т (обозначается
о(П).
Можно дать следующую классификацию спектра оператора.
1.	Множество комплексных чисел А, при которых В (X) не
имеет обратного оператора, называется точечным спектром. Оче-
видно, что он совпадает с множеством собственных значений
оператора.
2.	Множество комплексных чисел %, при которых оператор
В(Х) обладает обратным с плотной областью определения, но
В-1 (Л) =RK не является непрерывным, называется непрерывным
спектром.
3.	Множество комплексных чисел Л, при которых оператор
В(%) обладает обратным, однако, область его определения не
плотна в Н, называется остаточным спектром.
Рассмотрим примеры.
Примеры.
1. Пусть H = L2(—оо, оо) и оператор Т — оператор умножения
на независимую переменную:
77=х).
Опишем область определения DT этого оператора. Очевидно,
что функции f(x) и xf(x) должны принадлежать Е2(—оо, оо), на
таких функциях Tf=xf. Пусть Tf=xf='kf, покажем, что тогда
любое вещественное число Л принадлежит непрерывному спектру
оператора Т. Собственных функций у этого оператора нет, так
как если (х — Л)/(х)=0 почти всюду, то f(x)=0 почти всюду,
т. е. f=0 как элемент Е2(—оо, оо). Таким образом, однородное
уравнение имеет только тривиальное решение и оператор Rk=
= В~1 (к) = (Т — ЛЕ)-1 существует.
Заметим, что все функции {g(x)J, равные нулю вне некоторой
окрестности точки Л (своей для каждой функции), входят в об-
ласть определения оператора Ех. Следовательно, область опре-
261
деления RK плотна в L2(—оо, оо). Оператор RK = --—- на этой
области неограничен. Тасим образом, любое число XeR1 принад-
лежит непрерывному спестру.
2. Рассмотрим оператор	, действующий в L2(0, 1).
Пусть область определения этого оператора состоит из абсолют-
но непрерывных на [0, 1] функций ф(х), имеющих ф' |х)< :
<=Л2(0, 1) и удовлетворяющих’условию:
ф(0) =Ф(1) =0.
Очевидно, что DT плотна в L2(0, 1) и оператор Т является не-
ограниченным. Кроме того, оператор Т — симметрический: для
любых ф, фе/)г имеем
1 _ _ 1 _______________ 1 ______
(Гф, ф) = j iq'tydx — tcpiplo + j ф(/ф)'^х=; j ф7^х — (ф, Тф),
о	6о
Заметим, что соотношение
(Гф, ф) = (ф, Тф)	,
будет выполняться и в том случае, когда ф^£>т, а функция ф(х)
является абсолютно непрерывной и ф'(x)<=L2(0, 1). Поэтому
ф Dt* и
Т*ф — i ф.
dx	•
Оказывается, что множество абсолютно непрерывных функций ф,
имеющих суммируемые с квадратом производные, является об-
ластью определения оператора Г* и
Т*ф = й|/.
Пусть фе Dt*. Тогда для любой ф^/)г имеем:
1 _________
(Тф, ф) = (ф, Т*ф) = (ф, ф*) — ф (х) ф* (х) dx —
6
1	X	\	X
+ i J ф' (х) j — J £ф* (/) dt + С| dx = J г’ф' (х) { — п|Г (/) dt + С| dx,
оо	об
где С — произвольная постоянная.
262
. Мы получили, ЧТО ДЛЯ любой <р<=£>т
1	X	’
f <р' (х) |ф (х) + lip* (t) dt—Cj dx = 0.
6	6
Постоянную С выберем из условия обращения в ноль интеграла:
1	х
J (х) + j i’4>* (0 dt— Cj dx = 0.
,	о	о
Тогда функция
Фо (х) = J |ip (s) + J lip* (t) dt—Cj ds
о 1 oJ
принадлежит области определения оператора Т, и соотношение
1	X
J ф' (*) (%) + j ty* (0 dt—dx = О
о	6
перепишется при <р = фо в виде
1	х
J | гр (х) + j пр* (/) dt— С12dx = 0.
о	о
Следовательно, почти всюду
гр (х) = —i j гр* (/) dt + С,
о
т. е.
/гр' (х) = гр*(х) = Т*гр.
Откуда следует, что ip (х) является абсолютно непрерывной на
[О, 1] функцией и гр'(х)^£2[0, 1].
1 Покажем, например, что точки %=±г принадлежат остаточ-
ному спектру рассматриваемого оператора.
Действительно, для любой функции ср(х)е£>т и ex^Dr*
имеем
((Т+^)ф> ех) = (<р, (Г* — iE)ex) = (ср, iex— iex) =0.
Элемент ех ортогонален линейному многообразию R(T-\-iE), и,
Следовательно, R(T-\~iE) не плотно в L2 [0, 1]. Аналогично пока-
аывается, что элемент е~х ортогонален R(T—IE), т. е. Х=—i
Также принадлежит остаточному спектру оператора Т.
Пусть Т — самосопряженный оператор в Н.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 21. Всякое комплексное число К для которого
1тЛ=И=0, принадлежит резольвентному множеству самосопряжен-
263
ного оператора Т, для таких X резольвента — ограниченный
оператор, для которого
1
[Im Л|
Кроме того,
Im((T —Х£) f, f) =—Im X||f||2, fe=DT.
♦ Для f^DT имеем, что (Tf, f) = (f, Tf) = (Tf, f), т. e. скаляр-
ное произведение вещественно. Отсюда получаем, что
Im((T-XE)f, f)=Im(Tf, f)-lmk(f, f) =-ImX||fl|2.
По неравенству Коши—Буняковского имеем
11(Г-х£)/|| llfil>|((T-A£)f,f)| = |(n, n-x(f, f)|>
>|ImX| Ilfll2,
т. e.
Следовательно, обратный оператор (Г—ХЕ)~[ существует. По-
кажем, что область значений оператора (Г—Х£) плотна в
Н, если ImV#=0. Допустим противное, что существует вектор
h_LR (Т — КЕ) — области значений оператора (Г — КЕ), ЛУ=0.
Тогда
0= ((Г—X£)f, Я) = (f, (Т —x£)/i), ff=DT.
Но DT плотна в Н, поэтому (Г — Х£)Л = О, т. е. Th = hh, что про-
тиворечит тому, что (Th, h) вещественно. Следовательно, при
ImX#=0 RK существует, ограниченна и ||/?х1К----------Я
{| Im л |
Теорема 22. Пусть Т — замкнутый линейный оператор в
Н. Тогда при любом X из резольвентного множества резольвента
Rx= (Т — КЕ)~1 представляет собой непрерывный (ограниченный)
оператор, определенный во всем Н,
♦ Поскольку Л принадлежит резольвентному множеству, то
—^£)— плотно в Н, причем существует такая
постоянная d>0, что
||(T-X£)f||>d||f||, ^DT.
Покажем, что область значений оператора Т—\Е совпадает
со всем Н.
Пусть для некоторой последовательности {fn} существует пре-
дел в Н последовательности (Т — KE)fn, равный g, т. е.
lim (Г—Х£) fn^g.
264
Тогда предел = / тоже существует. Но оператор Г —*
П->0О
замкнутый, поэтому (Т — hE)f=g. Следовательно, R(T— If) =
, поскольку по условию R[(T—кЕ) = Н. 
ЗАДАЧИ
1.	Построить пример оператора в гильбертовом пространстве Н, область'
значений которого не замкнута.
2.	Пусть Н — гильбертово пространство, {срj} — ортонормированный базис.
Пусть линейный оператор А задан по правилу
Лсру = Х7ср>, XjsC.
Доказать, что спектр такого оператора совпадает с замыканием множества
{М- Показать, что всякое замкнутое ограниченное множество комплексной
плоскости является спектром некоторого оператора указанного вида.
3.	В пространстве Z? оператор S действует на любой вектор ge/?, £ =
= (§i, ?2,...) следующим образом: Sg = g0= (g2, £з, •••). Найти спектр оператора
S, р>1.
4.	Рассмотрим в пространстве L2[0, 1] оператор В:
х
Bf(x) = \f(y)dy,	1].
6
Переводит ли оператор В какой-нибудь ненулевой вектор в нуль? Будет ли
оператор В*В оператором с конечной абсолютной нормой? Доказать, что В +
+ В*— оператор проектирования на одномерное подпространство из констант.
Показать, что спектр оператора Л=(£4-В)-1 состоит из точки {1} и ||Л||=1.
5.	Раствором двух линейных многообразий в Н называется норма разно-
сти операторов, проектирующих Н на замыкания этих линейных многообразий.
Значит, если раствор линейных многообразий Мь М2 обозначить 0(МЬ М2), то
0 (Mi, М2) = ||Р2— £111, где Pi, Р2— операторы проектирования на Мь М2 со-
ответственно. Доказать, что если 0(МЬ М2)<1, то размерности линейных мно-
гообразий Mi и М2 одинаковы.
6.	Пусть ограниченный и определенный во всем пространстве оператор А
таков, что всякий элемент вида Af может быть представлен по форме:
оо
4} = ^' (f, Ф<)Фь
1=1
где — ортонормированная последовательность, а при t->oo. До-
казать, что тогда А вполне непрерывен.
7.	Для ограниченного линейного оператора А существует предел lim ||ЛП||1/П=
rz—>эо
=г(Л) (см. теорему 1 на с. 269), который называется спектральным радиусом
оператора А. Доказать, что г(аА) = |а|г(Л) для любого числа а, а если опе-
раторы Л и В коммутируют (т. е. АВ—В А), то
г(Л+В)<г(Л)+г(В),
г(ЛВ)<г(Л)г(В).
8.	Найти спектр и спектральный радиус операторов Л в £2[0, 1], заданных
по формулам:
г	Г / s \«
Ах (/) — j In (ts) х (s) ds, Ax (t) = j f — j x (s) ds,
о	o'*'
265
а также операторов А : С [О» 1]->С[0, 1], заданных по формулам:
t
Ах (/) = J х (s) ds, Ах (/) — tx (t).
о
9.	Показать, что спектральный радиус оператора А: С [О, 1]->С[0, 1], олре*^
t
деленного по формуле Лх(О = Ук(^, s)x(s)ds, Д'(/, s)— непрерывная
о
функция двух аргументов на квадрате O^s, Z^l, равен нулю.
10.	Показать, что спектр оператора А : С [О, 1]->С[0, 1], определенного по
формуле Лх(/)=х(^2), лежит на единичном круге.
11.	Найти собственные векторы и собственные значения интегрального опе-
ратора Л в L2[0, 1], заданного формулой
1
Ах (/) — J К (/, $) х (s) ds,
Q
где K(t, s)=cos2ji(/ — s) или K(t, s)=min(/, s).
12.	В гильбертовом пространстве H=L2(—оо, оо) рассмотрим оператор
умножения на независимую переменную Tf(x)=xf(x) с областью определения
DT, состоящей из функций, для которых
+ <ю
J x2\f (x)\2dx<oo.
—оо
Доказать, что Т — самосопряженный оператор и его спектральное разложение
имеет вид
4-оо	4-о°
KdE(K)f= J Xd(ei(x)
— 00	—оо
где
(1, если х < X,
О, если
f(*)h
§ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРЫ
1.	Аналитические свойства резольвенты
Всюду ниже рассмотрения ведутся в гильбертовом простран-
стве Н. Операторы, которые здесь встречаются, не являются, во-
обще говоря, самосопряженными. Такие операторы называются
несамосопряженными.
Определение 1. Векторнозначной (операторнозначной)
функцией на гильбертовом пространстве Н называется функция
А (%) (оператор Л (А,)), которая при каждом значении параметра
А, из поля коэффициентов Р является вектором (ограниченным
линейным оператором) в Н.
Определение 2. Векторнозначная функция Л (А) (опера-
торнозначная Л (Л,)) на Н называется аналитической функцией
266
комплексного параметра X в некоторой области G плоскости X,
,	~	h(%+ ДА) — Л(А)
если в каждой точке AsG отношение —111------------------------
ДА
/ Л(А4- ДА) — А (А) \	*	„ ,
I ——-— --------——	Сходится по норме п (равномерной нор-
\	ДА	/
ме) к некоторому пределу h' (А) (А' (X)), являющемуся векторно-
значной (операторнозначной) функцией.
Для векторнозначных и операторнозначных функций имеют
место все основные свойства скалярных аналитических функций
комплексного переменного. В частности, для h (А) и Л (А) спра-
ведливы теорема Коши о вычетах, представление функций инте-
гралом ’ Коши. В окрестности изолированной особой точки А»
имеет место разложение в ряды Лорана:
+ °°	4-СО
. Л(А) = У——, Л(А) = У——
' ’	& (А— Ло)«	(А—А0)л
-00	—00
сходящиеся по норме локально равномерно по X, причем h^H9
Ап — линейные ограниченные операторы на //.
Заметим, что в случае векторнозначных (операторнозначных)
функций полюс, существенно особая точка, устранимая особен-
ность определяются аналогично скалярному случаю. Если в G
функции /г (X) и А (к) имеют в качестве особых точек лишь полю-
са, т. е. в разложениях в ряды Лорана присутствует лишь конеч-
ное число членов с отрицательными степенями (X — Хо), то й(Х)
и А (X) называются мероморфными функциями.
Функция /г(Х) (Л(Х)) называется целой, если она аналитична
во всей комплексной плоскости. Порядком целой функции
Л(Х) (Л(Х)) называется число
Рл= П5Г	|-РА= (шт “ФЦМ1П
|Х|-»оо	1п|Х|	\ |Х|^оо 1п|Х|	)
Аналогично скалярному случаю определяется тип целой функции
й(Х) или Л(Х). Для функций ||Л(Х)|| или ||Л (X) || справедлив
принцип максимума, а также утверждения типа теорем Линде-
лефа.
Рассмотрим, например, случай, когда А (X) не зависит от X, а
является «скалярным» оператором, т. е. пусть А — линейный
ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н. Пусть
Хо — регулярное значение ограниченного оператора Л, т. е. в этой
точке существует ограниченный, определенный на всем про-
странстве, оператор 1\0=(А—Х0Е)-1. Тогда, как известно (п. 6
§ 2) существует окрестность точки Хо Такая, что все точки этой
окрестности также являются регулярными точками оператора Л.
Покажем, что резольвентный оператор (Л — ХЕ)-1, опреде-
ленный в этой окрестности, является аналитической операторно-
значной функцией, причем (—— ) =
267
В самом деле, в силу тождества Гильберта для резольвент
— Rz = (X — z) R^Rz,
которое легко выводится из следующего соотношения:
Rk — Rz=Rk (А — zE) Rz — Rt, (A— XE)R2 —
=RilARz — zRtfiz — RtARz~\~hRbRz~ (X — z)RiRZt
следует, что и Rz коммутируют. Кроме того, R>,= [1— (z—
— X)^]7?z. Разлагая выражение в квадратной скобке в ряд при
Х=Хо, мы приходим к соотношению (заменяя для удобства z
на X):
Rk = [1 —(X —Хо)	= £ (Х-Х0)"С‘.
п=0
Ряд в правой части абсолютно сходится, по крайней мере
для тех X, которые удовлетворяют условию
^-ЧКП^Н-1.
Разложение (в окрестности точки Хо)
п=0
называют рядом Неймана для резольвенты.
Это разложение показывает, что — голоморфная функция
от Л, ряд Тейлора которой имеет вид
£ (Х-Х,,)"/^1.
п=0
Следовательно,
(4-Г^=/г! ^+’>	2, 3, ... .
Для |Х|>||А|| резольвента RK допускает разложение (см. п. 6
§ 2)
_ х-1 (1	= — У к-п-'Ап.
п=0
Из наших рассмотрений следует, что спектр оператора А все-
гда непуст. Действительно, в противном случае R>. была бы це-
лой функцией, ограниченной во всей комплексной плоскости, от-
сюда по теореме Диувилля для целых функций следовало бы,
что 7?i=const, а поскольку 7?х->-0 при Х-*оо, то 7?>,=0.
Заметим также, что каждое собственное значение Хо операто-
268
pa А есть особая точка аналитической функции RK. В самом
деле, допустим противное, что Ло — регулярная точка (устрани-
мая особенность аналитической функции Тогда существует
предел по норме пространства
X—►Xg
Поэтому
(А—Х0Е) Rk, = lim (А —ХЕ) RK = Е.
X—►Хо
Таким образом, существует (Л—kQE)-l = Ri0, т. е. Хо не яв-
ляется собственным значением. Получилось противоречие.
Теорема 1. Для ограниченного линейного оператора А су-
ществует предел
Нт||Лп||1/л = г (Л),
который называется спектральным радиусом. Имеет место оцен-
ка г (А) < || Л ||. Если |Х| >г(А), то резольвента RK существует и
может быть представлена сходящимся по норме рядом:
£х = — J
п=0
ф Действительно, пустьr0= inf||Л'*||1/лг. Тогда, если показать,
_____ «^1
что lim ||ЛП||1/П < г0, то и существование предела Пш||Лп||1/л
П->00	П->оо
будет также показано.
Для каждого е>0 выберем k так, что IIAft|| 1/й^/'о+е. Для це-
лого п определим q из условия n=pk-\-q, O^q^k—1 (р — це-
лое). Поскольку ||АВ||^||А|| • ||В||, то
|| Ап || 1/п<|| Ай|| р/п • || A ||g/n^ (го+е) hP/n || А ||	.
Поскольку pk/n-^~\, q/n^-Q при n->oo, то
lim ||An||1/n < r0 + e.
В силу произвольности е получаем, что lim ||Art||1/" < г0. Су-
п->ов
(Чествование предела г (А) = lim ||А"||1/га доказано. Далее, ||АП||^
^||А||П и lim||An||1/n<||А||, т. е. г(А)^||А||. Отсюда получаем,
П->оо
что ряд для Rk сходится при |Х| >г(А). Действительно, если
J Х| (А) +е, е>0, то ||X-nA'1|| = | J • || А" || < (г (А) + е)-" х
(g \ п
г(Л)+ —j при достаточно больших п (здесь использовано
неравенство для |Х| и свойство предела г (A) = lim||A"||1/n). По-
П-*00
этому ряд для RK с общим членом Х-ПЛП сходится по норме. То,
269
что это ряд для резольвенты, проверяется умножением его слева и
справа на (Д—лЕ). Ц
Заметим, что для симметрического оператора А справедливо
равенство для спектрального радиуса:
г(А) = М||.
I Действительно, поскольку
(A2f, f)=(Af, 4f) = W,
то справедливы равенства: ||Д2|| = ||Л||2, ||Л4|| = ||Д||4, ..., ||Л2'"|| =
= ||Д||2 . В случае произвольного показателя п выберем т, что-
бы 2т —п=р>0. Тогда ||Х ||”+p = ||An+pIKI|A’tll • Ир||^||Ап|| • И11р,
т. е. ||Л||^|ИПН. Противоположное неравенство всегда справед-
ливо, таким образом
г(Д) = 11т(||Ап||)>/" = ||Д||.
/2—>со
Поэтому легко видеть, что для нормы резольвенты Rk симме-
трического оператора А справедливы соотношения
а (Л, S (Л))
где d(X, S(Л))—расстояние от точки К, где определена резоль-
вента Rk, до спектра 5(Л) оператора А.
Поскольку область сходимости ряда для резольвенты есть
множество |Х| >г(А), то на границе круга сходимости, т. е. при
|Z| = г(Л), существует по крайней мере одна точка спектра опе-
ратора А, Если же радиус сходимости ряда будет равен нулю,
то точка Х = 0 будет точкой спектра, так как в противном случае
резольвента была бы целой функцией, ограниченйой во всей
плоскости, чего быть, как мы знаем, не может.
Итак, можно резюмировать полученные результаты.
Спектр линейного ограниченного оператора А в гильбертовом
(или банаховом) пространстве лежит внутри круга
На границе круга имеется по крайней мере одна точка спектра.
Вне этого круга резольвента Rk представляется сходящимся по
операторной норме рядом
п=1
Для симметрического ограниченного оператора справедливы ра-
венства
г(Д) = ||Л||, \\RK\\=r(RK)=d-^K S(A)).
Продолжим изучение операторнозначных функций.
270
Через Л* (А) мы будем обозначать операторнозначную функ-
цию, значения которой при каждом ZoeG есть операторы 4*(Ао),
сопряженные к оператору А (Ао).
В дальнейшем операторнозначную функцию Л (А), определен-
ную в области G, будем называть просто оператором При этом,
конечно, подразумевается, что А (Ао) является линейным опера-
тором при каждом
Определение 3. Оператор 4(A) называется вполне не-
прерывным в области G, если операторы А (Ао) вполне непрерыв-
ны в каждой точке Ао области G.
Заметим, что если оператор А (А) вполне непрерывен в окрест-
ности изолированной особой точки А = А0, то коэффициенты ряда
Лорана являются вполне непрерывными операторами. Этот факт
следует из выражения Ап в виде интеграла
2ти д
и теоремы 2 п. 2 § 2 этой главы. Действительно, заменяя инте-
грал конечными суммами, мы представим Ап как предел сходя-
щихся по норме вполне непрерывных операторов.
Заметим также, что выше написан интеграл от операторно-
значной функции, который есть предел по равномерной норме
операторных интегральных сумм
I
где цг — точки деления, а предел берется при стремлении диаме-
тра разбиений к нулю. В данном случае берутся разбиения
окружности, содержащей внутри особую точку Ао. Такой интеграл
обладает всеми основными свойствами интеграла от скалярной
функции.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть k^FczG, F — замкнутое ограниченное под-
множество комплексной плоскости. Пусть А (А) — вполне непре-
рывный оператор, являющийся аналитической операторнозначной
функцией в области G, вектор f принадлежит ограниченному
множеству М гильбертова пространства Н. Тогда из всякой бес-
конечной последовательности множества {4(A)f}, Ае/7, f^M
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
ф Доказательство леммы получается из того факта, что из
всякого бесконечного множества {А}, принадлежащего замкнуто-
му подмножеству F комплексной плоскости, можно извлечь схо-
дящуюся подпоследовательность, а также из вполне непрерывно-
сти оператора 4(A). Ц
Продолжим наши рассмотрения.
Пусть {фп} — ортонормированный базис в Н. Запишем мат-
ричное представление вполне непрерывной аналитической в об-
271
ласти G операторной функции 4(A). Если g(k) =A(k)f, то gk =
=gk (М = И Wf. Фь) и g= (git g2,...). Пусть
/=У Л'Фь fN = '£fl<Vi, тогда AfN = y f{A(pi = Y fi ^ак^к,
i’=l	t = l	t=l	i = l k=l
где A<f>i = ^aki<i)k.
i=l
Перейдем к пределу при N—<x, получим
00 со
но 4/=£ gk<pk. Таким образом, gk = £ akift = (Af, <pk) = (g, <pfe).
Aj=1	i=1
Докажем следующую лемму.
Лемма 2. Если вполне непрерывный оператор А (X) есть
аналитическая операторная функция Л в области G, то для каж-
дого замкнутого ограниченного множества FczG можно указать
последовательность чисел €п~>0, для которых выполняются нера-
венства:
оо Q0	СО
S |У akifi\ <еп£ 1А12>
k=n t=l	1=1
00 00	00
s IS ak‘f‘ \ la-
l—n k=\	z = l
♦ Достаточно установить только первое неравенство, второе
есть следствие вполне непрерывности оператора Л*(Х). Разде-
00
лив обе части первого неравенства на ||/||2 = ^Г 1Л12» придем к
i=i
неравенству
‘‘ = w
k=n i=l	11,11
Тогда £ |/t|a = l, т. е. ||/|| = 1, если l=(li, 12,...). По предыду-
i=i
щей лемме из множеств элементов {4(A)/}, АеЕ, ||/|| = 1 можно
извлечь сходящуюся______в_ Н подпоследовательность. Другими сло-
вами, множество {4(A)/}, АеЛ, ||/|| = 1 — компактно. Тогда, если
g°(V=A(W и g°(A) = (g1°(A), g2°(A), ..., ^°(А), ...), то^(А) =
272
00.,
=£ akili. Следовательно, требуемые неравенства можно за-
i=i
писать так:
£ |g°WI2<s„, ЛеГ, 8„->0.
k—n
Однако, согласно задаче 9 п. 3 § 3 гл. I эти неравенства справед-
ливы, что и требовалось. Ц
Заметим, что, очевидно, справедливо и обратное. Если нера-
венства, записанные в условиях леммы 2, справедливы, то мно-
жество {Л(Х)/}— компактно. Таким образом, свойство вполне
непрерывного оператора, установленное в лемме 1, эквивалент-
но выполнению первого неравенства, доказываемого в лемме 2.
Определение 4. Резольвентой /?(Хо) оператора Л(Хо) на-
зывают оператор, для которого выполнено соотношение
(£4-Я(Х0))(£-Л(Х0))=£,
где Е— единичный оператор.
Если резольвента существует, то, очевидно, можно записать
соотношение
Е + R (Хо) — (E + R (Хо) ) Л (Хо) =£,
т. е.
R (Ао) = (Е-р/? (Хо)) А (Хо) = Л (Хо) 4”^ (Ао) Л (Хо).
Отсюда при условии, что Л (Хо)—вполне непрерывный опера-
тор, а /?(Х0)—ограниченный оператор, получаем, используя
свойства вполне непрерывных операторов, что /?(А0) является
также вполне непрерывным оператором.
Следующая теорема имеет важное значение в теории несамо-
сопряженных операторов.
Теорема 2. Пусть Л(Х) является вполне непрерывным опе-
ратором при любом значении X, принадлежащем некоторой об-
ласти G, и при Л (X)—аналитическая операторная функ-
ция. Если при некотором X=ZoeG существует и является огра-
ниченным оператором резольвента 7?(Х0), то /?(Х) существует ва
всей области G, за исключением множества изолированных то-
чек, и является мероморфной функцией X.
ф Рассмотрим уравнение
g=4(X)g+f,
которое в матричной записи выглядит так:
оо
gk=y^ Okigi + fk, k=\, 2, ... ,
i=l
где
g=(gi, g2,...), f=(h,
273
'Обозначим через Нп подпространство, натянутое на векторы вида
(gi, g2,...,gfn, 0, 0,...), а через HnL—подпространство, натяну-
тое на векторы (О,..., О, хп+ , хп+2, •••)• Пусть Р и Pi — проек-
ционные операторы, соответствующие этим подпространствам.
Обозначим через Fq произвольную замкнутую ограниченную
подобласть области G, содержащую точку Хо. Пусть еь е2, • • • —
числа, соответствующие множеству Fo в неравенствах леммы 2.
Выберем п столь большим, чтобы en+i<l. Первые п уравнений
QO
системы gk = \ aktgi + fk запишем в операторной форме
Pg = PAPg+PAP1g-\-Pf,	(*)
а остальные уравнения запишутся так:
Plg=PiAPg-[-PlAPig+Pif.	(**)
Согласно выбору номера п мы имеем, что
ЦРЛН <8n+i, XeF0.
Поэтому оператор Е— Р\А в области Fo имеет резольвенту, так
как он имеет в этой области обратный оператор. Для резольвен-
ты 7?i (X) в Fo, очевидно, справедливо разложение
£+/?1=£+Р1Д+(Р1Д)2+...
Очевидно также в силу равномерной сходимости ряда, что ре-
зольвента является аналитической функцией Л, причем
l|F 4-	+ 8^ + 8„+1 + ...	—-----
Применим оператор слева к равенству (**), имеем
(F+PO Pig = (Е+Р1)РгАРё+ (E+Ri)PiAPig+ (E+Ri)Pif.
Отсюда
Pig=(E+Ri)PiAPg+ (E+Ri)Pif+[(E+Ri)PiAPi-RiPi]g.
Оператор, стоящий выше в квадратных скобках, равен нулю,
так как
(E+Ri) (P1A-E+E)Pi-RiPi=-Pi+ (E+Ri)Pi-RiPi = 0.
Поэтому уравнение (**) эквивалентно уравнению
Pig= (E+Ri)PiAPg+ (E+Ri)Pif.	(**)'
Аналогично заключаем, что уравнение (*) эквивалентно равен-
ству
Pg = PA[E+(E+Ri)PiA]Pg+P[E+A(E+Ri)Pi]f. (*)'
Последнее уравнение представляет собой систему алгебраиче-
ских линейных уравнений относительно gi, g%, ...» gn, коэффици-
274
енты которых, согласно сказанному выше, являются голоморф*
ными функциями параметра Хе£0. Далее, оператор Е — А (Хо)
имеет обратный. Поэтому уравнение [£ — ^(X)]g = f и, в частно-
сти, уравнение (*)' имеют решение при любой правой части f.
Тогда, как это хорошо известно из курса линейной алгебрьц
определитель ДП(Х) системы (*)' отличен от нуля в точке Хо и
решение системы (*)' записывается в виде
р = £(%)р[£ +Л (£ + /?!)?!]/
Ап (%)
где £(Х) — определенный «разрешающий» оператор, аналитиче-
ски зависящий от X. Явный вид его можно найти, например, по*
правилу Крамера. Функция Дп (X)—голоморфная функция на F&
и обращается в нуль в конечном числе точек. Подставляя вме-
сто Pg в уравнение (**)' найденное выше выражение через
«разрешающий» оператор, запишем
Plg = (Е + RJ Р,А .LWPlE + A(E + ^p^f + (Е + RJ PJ.
Дл(1)
Окончательно получим, что
g = Pg + P,g = (£ + «/ -	+
Д„ (X)
+ (Е + R1) P1AL (К) Р [£ + Л (£ + К) Pt] f +	+ „ ) р.
Д« (А.)	11-
Поэтому
EA-R = -^—A£i-(.E + R1)P1A}{L^)P[E + A(E + R1)P1]} +
\К)
+ (£ +	Р±.
Все входящие в правую часть операторы являются аналитиче-
скими на Fq функциями. Единственными особыми точками пра-
вой части могут быть нули функции ДП(Х), которые являются
полюсами функции £*+/?, причем их конечное число. Теорема
доказана. И
2.	Теорема Келдыша
Определение 5. Пусть А (X)—вполне непрерывный опе-
ратор, аналитически зависящий от параметра ХеО. Нетривиаль-
ное решение g уравнения g=A(Ko)g называется собственным
вектором оператора 4(Х). Соответствующее значение параметра
Хо называется собственным значением оператора, отвечающим
данному собственному вектору g.
Определение 6. Элемент gk называется присоединенным
вектором порядка k к собственному вектору g, если удовлетво-
275
ряет следующим соотношениям:
g = А (k0)g,
gi = A(Mgl4-L-^l-g,
1! дк
0- Aik} 0 4- 1 дЛ(М 0	4-	4- 1 dkA^ а
gk-A(^gk + —-lj—g^1+...+— — g.
Говорят, что элементы g, gi, gz,--- образуют цепочку присо-
единенных векторов. Заметим, что в случае, когда Д(Х) есть по-
лином относительно X,
A (XJ =Ло+ХА1+ •. • +^m,
то функция u(t) вида
= gft4--LgA_1+ ...
удовлетворяет уравнению
и = А,и + А,^+...
dt	dtm
Поэтому вопросы обоснования применимости, например, метода
‘Фурье для нахождения решений таких операторных уравнений
приводят к доказательству теорем полноты собственных и присо-
единенных векторов оператора Л(2с).
Известно, что для вполне непрерывного оператора при задан-
ном собственном значении, отличном от нуля, число линейно не-
зависимых собственных векторов конечно (см. § 2, п. 10 этой
главы). Можно показать, что в случае, когда резольвента R(k)
оператора Л(Х) есть мероморфная функция X, порядок присоеди-
ненных векторов не превосходит порядка полюса резольвенты
при Х = Х0.
Пусть g — собственный вектор. Обозначим через пг макси-
мальный порядок присоединенных к g векторов. Число /п+1 бу-
дем называть кратностью собственного вектора g.
Определение 7. Канонической системой собственных и
присоединенных векторов при к=к0
g(k\ ...,g^k, k=l, 2, ...
называется система, обладающая свойствами:
а)	вектор g^ есть собственный вектор, кратность которого
достигает возможного максимума /П1+1;
б)	вектор g(h) есть собственный вектор, не выражающийся ли-
нейно через g(1),... кратность которого достигает возмож-
ного максимума
в)	векторы g{i\ ...» gmk образуют цепочку присоеди-
ненных векторов;
276
г)	векторы {g(ft)} образуют базис подпространства собственных
векторов при
Число М = /П1+1+яг2+1+... называется кратностью соб-
ственного значения Х=%0-
Непосредственно из определения канонической системы соб-
ственных и присоединенных векторов следует, что произвольный
присоединенный вектор порядка р есть линейная комбинация
векторов при Кратность собственного вектора Cig(1>4-
-f-.. •+cvg'(v) при cv=#0 равна mv. Числа ть т2>... не зависят от
выбора канонической системы.
Определение 8. Система собственных и присоединенных
векторов вполне непрерывного оператора А (X) называется
п-кратно полной, если любой набор из п векторов fo, ft, -  , fn-i
может быть представлен как предел по норме пространства ли-
нейных комбинаций
£4V₽,V). v=o, i, ..., n-i
k=l (р)
с коэффициентами, не зависящими от v, где
« = И- г.' (+... + 4)1 .
L dr \	1!	pl J Jtl=Q
— собственные значения вполне непрерывного оператора А(Х).
В частности, при п=1 это определение совпадает с обычным
определением полноты системы собственных и присоединенных
векторов. В случае, когда кратности всех собственных векторов
равны единице, вектор fv,N имеет вид
лг
aN ^kg •
fc=l
Пусть В — вполне непрерывный самосопряженный оператор.
Рассмотрим задачу на собственные значения
Ф = цВф.
Обозначим через рг- собственные значения этой задачи, а через
<Рг — ортогональную систему собственных векторов. Условимся,
что если Вфг=0, то рг=оо.
Определение 9. Оператор В называется полным, если
система собственных векторов фг-, отвечающая собственным зна-
чениям полна в Н.
Определение 10. Нижняя грань чисел р', для которых
00
называется порядком р оператора В.
1 = 1
Через Ва, а>0 обозначается оператор Ba==^'kadE(2i), где
£(Х) — разложение единицы оператора В.
277
Важное значение в затронутых нами вопросах играет следую-
щая теорема полноты.
Теорема 3 (Келдыш). Пусть В — полный, самосопряжен-
ный, вполне непрерывный оператор конечного порядка, Ло, А ь...
An-i—произвольные вполне непрерывные операторы. Для каж-
дого из уравнений
1	П-1
^(ЛО + ХВП 4+...+V-1B п Ап^+№В)ё,
1	И—1
g = (Ло + ХЛ^В " + ...+ К'-'Ап^В п + Х"8) g
система собственных и присоединенных векторов п-кратно полна..
3.	Корневые векторы и корневые подпространства
несамосопряЖенных операторов
Продолжим изучение спектральных свойств линейных ограни-
ченных операторов, определенных на всем гильбертовом про-
странстве Н. Так же, как и в предыдущем пункте, рассматривае-
мые операторы являются, вообще говоря, несамосопряженными..
Определение 11. Вектор называется корневым для
собственного значения Хо линейного оператора Л, если сущест-
вует натуральное число s такое, что
(Л — Хо^)^ = 0.
Множество всех корневых векторов оператора Л, отвечающих
одному и тому же собственному значению Хо, вместе с нулевым
вектором образует многообразие Л^о, называемое корневым мно-
гообразием. Размерность этого многообразия называется алгебраи-
ческой кратностью собственного значения Хо. Если эта размерность
конечна, то данное многообразие замкнуто и является подпрост-
ранством. Изолированное собственное значение, алгебраическая
кратность которого конечна, называется нормальным собственным
значением. В общем случае ограниченного линейного оператора А
многообразие LKo не является замкнутым. Если же LKo оказыва-
ется замкнутым, то его называют корневым подпространством.
Пусть RK= (Л—ХВ)”1 — резольвента оператора Л, о(Л)—
спектр оператора Л, т. е. те точки X, где не существует ограни-
ченного оператора Введем оператор
где Г1 — замкнутый спрямляемый контур, ограничивающий неко-
торую область Gi, содержащую изолированную часть щ спектра
оператора Л. Контур Г1 состоит из регулярных точек оператора
Л и имеет положительную ориентацию. Расстояние от oi до замк-
278
нутого множества, дополнительного к Gi, положительно. Отме-
тим следующие свойства оператора Pati
а)	Если спектр о (А) оператора А разбит на две непересекаю-
щиеся замкнутые части О] и 02 (о(А) = oiU^2, 01ГИ2 = 0), то
Pai Ро2 — Е.
ф Действительно, пусть П и Г2 ограничивают oi и о2 соответ-
ственно, тогда
Pax + Pa2=--1- f	J R-td'K,
2ш rtur8	2ш |^|=i|A||+i
так как спектр линейного ограниченного оператора лежит в кру-
те Cz = {z: |z\^||А||}, ибо RK = (А-КЕ)~^= —L-A- ... -
Л Л2
А1
— рщ—...сходится при |Х|>||А|| равномерно на любом ком-
пакте в дополнении к кругу Cz. Подставляя написанное разложе-
ние резольвенты в интеграл и интегрируя почленно, в силу со-
отношений
f Л = 0, n^l, f — = 2ш, а>0,
J Xя	J X
|Х| =а	|^| =а
получим, что
Г	Rldk =—L	[ [-V-gr А-
2m J	2ш J [	X+1
|Х|=ЦА||+1	1М=11А1Н-1	«=о
SX" Г dX _ р
2«( J Хп+х '
п=0	|%|=||А||+1
где А°=Е, а интегрирование и суммирование можно поменять
местами в силу равномерной сходимости (по операторной норме)
ряда для резольвенты. Ц
б)	Оператор PQl— проекционный оператор (такие операто-
ры называют еще операторами параллельного проектирования),
т. е. Ра1 = РО1, Ро,= Ц- f Ri.dK, Гх— содержит часть <ti
2ш J
Л
спектра оператора А, причем эта часть отстоит на положитель-
ном расстоянии от остального спектра,
♦ Действительно, рассмотрим контур Г', содержащий множе-
ство o’], лежащий целиком внутри Г], состоящий также из регу-
лярных точек оператора А. Такой контур в силу наших предпо-
ложений о О] существует. Тогда по теореме Коши
2ni I
г'
279
Следовательно,
= й‘“гКЛШг-
Г»	Г'	G Г'
Используя тождество Гильберта для резольвент
R*. — Rz~ (К — z)RxRz,
последний интеграл можно записать в виде
= —— ( f Rk~Rz dhdz = —— f f f —^-dAdz —
1	(2m)2JJ A-z	(2ra)2 [,) J A-z
G Г'	G Г'
— f f -^-dkdz]= ——	f— -----C Rzdz f-^’ =.
J J A-z J (2ni)’ .l J A- z J 2 JIA —zj
G Г'	G Г'	Г' G
=	^==PO1,
Г'
t. e. P<j,— проекционный оператор. В
Заметим, что выше мы воспользовались тем, что
С -^- = 0
J Л —г
Г'
(так как точка X находится вне контура Г'), а также равенством
f -^- = 2пй
J X — z
G
в)	Пусть HG1 = PG1H, тогда HGi— инвариантно для операто-
ра А, т. е.
РО1А = АРО1.
ф Это равенство следует из соотношения RKA=ARK. Ц
г)	Если AOi—сужение оператора А на HGl и о(Ла1)— спектр
'гератора АО1, то о (4ai) cz cri.
фВ самом деле, пусть geoi. Тогда
(A-IE) RK = (A-kE + (X-5) Е) R^Е + (X-£) RK.
ерепишем это равенство в виде
— S Л — S
яберем контур Г1, охватывающий сп, но такой, что точка g,
тается вне области, заключенной внутри Гь Проинтегрируем
следнее равенство, умноженное на---г. Получим
2ш*
280
----— (Л —|Е) f_^dX = — (—	1— ^RKdk = R„it
2ni V 'J X — 5	2m J X —g	2ni J K **
Г1	Гх	Гх
ТЭК как
f—— =0.
Jx-5
Таким образом,
(Aa-lE)Ba, = Pai,
где BGt—------- I —---dh, т. e. в силу того, что все операторы
2ш J X — £
Гх
перестановочны, следует, что оператор — резольвента опе-
ратора Aat— существует (£ находится вне области, заключен-
ной внутри Г1) и представляет собой сужение оператора
—1
2л1
X
X f dk на Нае Из сказанного следует, что <г(Аах) совпа-
J X — 5
rt
дает с частью спектра оператора А, попавшей в G — область, за-
ключенную внутри Г1, т. е. с оь Заметим, что в наших рассужде-
ниях множество Qi может быть и пустым. 
Пусть А — вполне непрерывный оператор в гильбертовом
пространстве Н. Тогда вне сколь угодно малой окружности с
центром в нуле спектр оператора А состоит из конечного числа
собственных значений. Пусть Хо— произвольное отличное от нуля
собственное значение оператора А. В силу сказанного выше су-
ществует окружность 1\0 с центром в точке Хо такая, что Хо яв-
ляется единственной точкой спектра оператора А внутри этой
окружности. Введем соответствующий проекционный оператор
Рк = - V- (
2л1 J
д)	Проектор Рк0 где Хо=#О и является точкой спектра (т. е.
собственным значением) вполне непрерывного оператора А, яв-
ляется конечномерным, т. е.	— конечномерное под-
пространство.
ф В самом деле, любая точка Хо=/=О, принадлежащая спект-
ру б (А) оператора А, образует изолированную часть спектра*
Отделим точку (Хо от остальных точек спектра малой окружно-
стью Г и запишем равенство
*к = -±[(A-KE)-A]RK = ^- + ± ARK.
К	к к
Тогда
1
2га
1 Г dX
2л i .) X
г
А
2га
^-^dk = A-B,
Г
281
1

где Ё=-
2лг
dk. Поскольку А — вполне непрерывный
г
оператор, В — ограниченный, получаем, что— вполне непреры-
вен Покажем, что подпространство = Р%0Н конечномернб.
Допустив противное, мы построили бы в нем с помощью процесса
ортогонализации бесконечную ортонормированную систему {ср4 и
имели бы, с одной стороны, в силу инвариантности Н%0 относи-
тельно Рхо, что = Фь т. е. из последовательности в силу
вполне непрерывности можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность, а с другой стороны, имеем, что ||<pfe—<рг||2 = 2,
т. е. сделать это невозможно. Полученное противоречие и дока-
зывает конечномерность Нк0. 9
Справедлива следующая лемма.
Лемма 3 Пусть А — вполне непрерывный оператор, Zo —
его собственное значение, не равное нулю Тогда корневое под-
пространство конечномерно и совпадает с пространством
ф Докажем, что ЬХо = ЯХо. Прежде всего заметим, что
В самом деле, так как сужение А%0 оператора А на
/До имеет спектром только точку Ао (свойство в)) и Цространст-
во Нх0 является конечномерным (свойство г)), то распада-
ется на конечное число подпространств, в каждом из которых А
есть клетка Жордана вида
Хо 1 0 ... О
О Хо 1 ... О
О 0 0 ... Хо
т. е. /До аннулируется некоторой степенью оператора А—
следовательно,	Пусть теперь	Тогда суще-
ствует вектор	и hE£.H^. Запишем разложение вектора
h: h^h^ + h,,,	Нк0 = Н%0— ортогональному
дополнению в Л;о. Существует такое натуральное число
что (А—= поскольку h — корневой вектор. По доказан-
ному выше существует такое натуральное число $2, что (А —
—lo£)s2ft1 = O, так как/г1^Ях0- Есливзять s = max(si, s2), то (А—*
—|XoE)s^2 = O. Выберем наименьшее из чисел s такое, что (А—
—Xo£)s/i2 = 0. Получим, что (А—XoE')s_1^2#=O. Тогда f = (А—
—KQE)s~1h2 — собственный вектор оператора А, поскольку
(A-X0£)f= (A—AoE)s/i2 = 0.
Вместе с тем спектр оператора А в Н£~о состоит из множества
d(A)\{Z0}. Таким образом, допустив, что /г2=£0, h2^H±0, мы
построили по нему собственный вектор /=/=0 с данным собствен-
ным значением Ао и пришли таким образом к противоречию.
Поэтому = и подпространство L^o конечномерно вме-
282
сте с Я?.о- Другими словами, отличный от нуля спектр вполне не-
прерывного оператора состоит из нормальных собственных зна-
чений В
Определение 12. Линейный ограниченный оператор А,
действующий в гильбертовом пространстве Я, называется конеч-
номерным, если его образ АН является конечномерным подпро-
странством Н, Размерность этого подпространства называется
размерностью оператора А и обозначается символом dim Л.
Замечание. Учитывая это определение, можно сказать, что
одно из утверждений леммы 3 означает, что оператор Р%9 являет-
ся конечномерным и его размерность равна алгебраической крат-
ности собственного значения Ло.
Непосредственно из определения легко доказываются следую-
щие свойства конечномерных операторов:
1) Пусть А — ограниченный оператор, действующий в гиль-
бертовом пространстве Н, а В — конечномерный. Тогда операто-
ры АВ и В А конечномерны, причем их размерность не превосхо-
дит размерности оператора В.
2) Пусть А и В — конечномерные операторы, действующие в
гильбертовом пространстве Н. Тогда оператор А + В также конеч-
номерен, причем dim (А + В) < dim А + dim В.
Продолжим изучение свойств оператора проектирования PGl.
Покажем, как, используя резольвентный оператор, можно строить
«функциональное исчисление от оператора А, ограниченного на
инвариантное подпространство Р^Н.
Лемма 4. Справедливы следующие равенства
лпро = --K-fmdz.
2m ’
г4
ф Воспользуемся тождеством
An—knE = (А—^Е) (An-! + Vln-2+ ... -W^E).
Умножая обе части этого равенства на
---R^ и интегрируя
2ш
по контуру Гь содержащему часть спектра аь получим
(UWrt-bn£)]^= -
— f (Дп-1 + W-2 + ... + X"-2E) dX.
2л1 J
rx
Заметим, что в правой части полученного равенства под знаком
интеграла стоит аналитическая внутри контура Г1 операторно-
значная функция. Далее, поскольку интегрирование ведется по
замкнутому контуру, мы заключаем, что выражение слева равно
нулю, откуда, в силу того что операторы А и RK коммутируют,
следует доказываемое утверждение. Ц
Используя лемму 4 и свойство аддитивности интеграла, легко
доказывается соотношение
283
p(A)Po=
2ш J
гх
где р(Х) — произвольный полином от X. Далее, используя те же
соображения, что и при построении функционального исчисления
в доказательстве спектральных теорем, можно расширить класс
функций f(X), для которых справедливо равенство
f(A)Pa=-±Af(K)RidK.
2га J
гх
Используем полученные результаты для изучения аналитиче-
ских свойств резольвенты вполне непрерывного оператора в окре-
стности собственного значения.
Пусть А — вполне непрерывный оператор, действующий в
гильбертовом пространстве Н, и Хо — его отличное от нуля соб-
ственное значение. Тогда согласно лемме 4 имеем
(Л-Ч£)"^.=
—-М
2ш J
Как уже отмечалось, операторнозначная функция является ана-
литической функцией в окрестности Хо, а следовательно, допускает
в окрестности этой точки разложение в ряд Лорана:
где А(Х) — правильная часть ряда Лорана, а Вк — постоянные
операторы. Применяя лемму 4, получаем, что
Вт=-2- [ (Х-Х0)—>ад=-(Л-Ч£)—
2ш J
ГХв
В частности, вычет резольвенты вполне непрерывного оператора
в окрестности отличного от нуля собственного значения Хо равен
—Далее, поскольку оператор Р^о конечномерен, то, как
следует из свойств 1) и 2) для конечномерных операторов, ука-
занных выше, операторы Вт также являются конечномерными,
причем их размерности не превосходят размерности оператора
Рх0, которая равна размерности соответствующего корневого под-
пространства Lx0. Покажем, что начиная с некоторого номера т®
все операторы Вт тождественно равны нулю, т. е. точка Хо явля-
ется полюсом операторнозначной функции
В самом деле, оператор Рх0 проектирует все пространство Н
на корневое подпространство Lx0, инвариантное относительно опе-
ратора А. Тогда сужение оператора А на это подпространство
является линейным оператором, действующим в конечномерном
пространстве, причем его спектр состоит из одной-единственной
284
точки Хо. Тогда оператор А на Lx. может быть приведен к жордано-
вой форме, которая в данном случае будет иметь вид
1
1 0
_______Хр_____________
Хо 1
0 •. 1
ч
t		>
Именно из этого представления и следует утверждение относи-
тельно операторов Вт, причем в качестве т0 можно взять длину
наибольшей цепочки Жордана, отвечающей собственному значе-
нию Хо.
Введем обозначения
L = (J Ч’ z = hql = l-l,
где L^k — корневые многообразия, отвечающие собственным
числам Xfe, Z — ортогональное дополнение к L в Я, a L — линей-
ная оболочка корневых многообразий L^k .
Определение 13. Оператор А называется вольтерровым*
если он вполне непрерывен и не имеет отличных от нуля собст-
венных значений.
Лемма 5. Пусть Q — ортогональный проектор на подпро-
странство Z, т. е. QH = Z, Q2=Q, Q = Q*, А — вполне непрерывный
оператор. Тогда оператор QA*Q — вольтерров.
ф Пусть не является вольтерровым. Так как оператор
QA*Q — вполне непрерывный, то существует такой вектор г/о=#О,
yo^Z, что Л*Уо=Л01/о, W=0 *). Тогда
0= (Л, (Л*—Xo)t/o) = (Л, О) = ((Л-Хо)Л, I/O)
для любого вектора h^H. Другими словами, вектор у^(А—
—&оЕ)Н. С другой стороны, y0^Z, т. е. у0Л-Ек0- Обозначим че-
рез {Хо}' дополнение до всего спектра оператора А точки спектра
Ло. Тогда на L^y оператор А—XqE обратим. Таким образом,
Выше было показано (см. свойство а)), что Н = Ьц +
+	Из того, что yQ±U0 и y0_LL{Ky, следует, что */о = О,
что противоречит допущению, и оператор QA*Q вольтерров. В
Подпространство L инвариантно относительно оператора Л, следователь-
но, подпространство Z инвариантно относительно Л*, сужение Л* на Z совпа-
дает с QA*Q.
285
В § 2 было показано, что самосопряженный (симметрический)
вполне непрерывный оператор может быть приведен к диагональ-
ному виду. Докажем теперь следующую лемму о приведении про-
извольного вполне непрерывного оператора к треугольному виду.
Лемма 6. (Шур). Пусть А — вполне непрерывный оператор,
a L— (J • Тогда в L существует полная ортонормированная
система {cpj такая, что при выборе ее в качестве базиса матрица
оператора А приводится к треугольному виду, т. е.
;4(Рг = аг1(р1 + аг2<Р2 4- . . . + аггфг,
причем
Ифг, ф;)=а1;, ап=(Лфг, <рг-)=Х,(Д),
следовательно, на диагонали матрицы стоят собственные значе-
ния оператора А.
ф В каждом из подпространств L% выберем базис Жордана
+ q><.«
ИЛИ
если — собственный вектор оператора А. Пронумеровав эле-
менты всех жордановых базисов, получим счетное число векторов,
которые линейно независимы в любом конечном числе. Ортогона-
лизуя и нормируя данную счетную систему, получаем требуемую
ортонормированную систему.
4. Дифференциальные операторы
Операторы дифференцирования, как мы уже отмечали, не яв-
ляются ограниченными операторами. При их изучении обычно пе-
реходят к обратным операторам, которые являются уже ограни-
ченными и во многих случаях даже вполне непрерывными. Однако
и изучение непосредственно операторов дифференцирования (без
перехода к обратным) имеет ряд своих преимуществ. Мы коснем-
ся лишь некоторых самых общих понятий, связанных с операто-
рами дифференцирования.
Линейной дифференциальной операцией называется выраже-
ние вида
1(у) = Po(x)yw+Pi(x)yn~' + ... +Рп(х)г/,
где функции р0(*), Pi*, .Рп(х) — это коэффициенты, а число
п — порядок дифференциальной операции. Функции [Po(*)J“S
Pi(x), ..., рп(*) предполагаются непрерывными; в некоторых слу-
чаях на них накладываются дополнительные условия. Если обо-
значить Сп\а, Ь] совокупность всех функций у(х), имеющих не-
прерывные производные до /г-го порядка включительно, то для
286
любой функции у<=Сп[а, £] определена дифференциальная опе-
рация 1(у) на отрезке [а, Ь].
Пусть
У (а), У'(а), , Уп-'(а), У(Ь), у'(Ь), ...,уп~1(Ь)
— значения функции у(х) и ее производных в точках а и b соот-
ветственно.
Обозначим через U (у) линейную форму относительно этих пе-
ременных, U (у) имеет вид
^(y)=a0Z/(a)+aif/'(a)+ ... +ап-1У(п”1)(^) +
+ РоУ (^) + Pi#' (Ь) + ... + pn-ii/(n-1)(&) •
Если задано несколько таких форм, то равенства Ur(y)=0 назы-
ваются краевыми (граничными) условиями. Целесообразно, вооб-
ще говоря, рассматривать только линейно независимые формы
Щ//).
Однородной краевой задачей для данного дифференциального
выражения 1(у) называется задача определения функции у ив
Cn[a, &], удовлетворяющей равенствам:
Z(j/)=O,	(г/) =0, r = 1,-2, ..., т.
В дальнейшем будем изучать только случай /п = п, где п — поря-
док 1(у),
Выясним, при каких условиях однородная краевая задача име-
ет нетривиальные решения у(х). Пусть r/i, у2, ..., уп — линейна
независимые решения дифференциального уравнения 1(у)=0. Как
известно, общее решение можно записать в виде
У — С.у. + С2у2+ ... Л-Спуп.
Определим константы Ci, С2, ..., Сп так, чтобы у было реше-
нием краевой задачи, т. е. удовлетворяло и краевым условиям
I7r(t/)=O, г=1, 2, ..., п. Легко приходим к выводу, что однород-
ная краевая задача имеет нетривиальные решения тогда и только
тогда, когда определитель матрицы
[7=1 ...............
равен нулю.
Представляет особый интерес рассмотреть тот случай краевой
задачи, когда коэффициенты дифференциальной операции и гра-
ничных форм являются аналитическими функциями некоторого
числового параметра Z, регулярными в некоторой области D.
Значения параметра X, при которых однородная краевая за-
дача имеет нетривиальное решение, называются собственными
значениями задачи, а им отвечающие решения — собственными
функциями (векторами), В этом случае определитель матрицы
287
(обозначим его А(Х)) будет аналитической функцией параметра
X в области D. Действительно, линейно независимые решения
М, yz(x, X), • ••, Уп(х, X) всегда можно выбрать решениями
задачи Коши, удовлетворяющими в точке а условиям
1	(1 при J = Г,
г, /=1, 2, ..., п. В этом случае решения уДх, к), /==1, 2, ..., п по
теореме об аналитической зависимости решений от параметра бу-
дут аналитическими в области функциями, а тогда аналитической
в той же области будет и функция Д(Х) — характеристический
определитель задачи.
Как уже говорилось, собственные значения однородной крае-
вой задачи обязаны быть нулями определителя матрицы (/, т. е.
нулями функции А(Х). Поскольку Д(Х) — аналитическая функция
параметра % в области D, то могут представиться две возмож-
ности:
1. Л(а)=0 в области Z); тогда каждое число Хе£> есть соб-
ственное значение задачи.
2. Д(Х)^0; тогда в области D существуют не более счетного
числа собственных значений, не имеющих предельных точек вну-
три D. Если, в частности, коэффициенты дифференциальной опе-
рации 1(у) и граничных форм Ur(y) — целые функции X, то и»
Д(Х) — целая функция; следовательно, в этом случае по теореме
единственности для аналитических функций собственные значения
не могут иметь конечной предельной точки (если только Д(Х)^О).
Таким образом, вопрос о нахождении собственных значений
краевой задачи свелся к вопросу нахождения корней функции Д(Х),
т. е. к решению уравнения Д(Х)=0. В общем случае получить
точную информацию о расположении этих корней нельзя. Однако
чаще всего рассматривают частные случаи зависимости коэффи-
циентов /(г/) и Ur(y) от параметра X. Наиболее простой и хорошо
изученной является следующая задача: /(у)=Ху, [Уг(у)=О, где
коэффициенты выражения 1(у) и форм Ur(y) от параметра X не
зависят. Часто рассматривают полиномиальную зависимость ко-
эффициентов задачи от параметра X. Если же мы рассматриваем
сложную зависимость коэффициентов и граничных форм от па-
раметра X и если мы хотим получить точную информацию о соб-
ственных значениях Хп или собственных функциях уп(х), то нам
придется наложить дополнительные условия на коэффициенты
краевой задачи. Чаще всего эти условия таковы, что, например,
функция А(Х) при каждом целом /г>0 допускает представление
Д(%)=	(Л),
k=Q
где oik — комплексные постоянные, а
288
л
Pk,h (К) = X"* v P*ft) %-v + 0 (№-h)
v=0
при V>oo. Здесь nk — целые числа, функции Ph,hM являются
аналитическими при достаточно больших значениях |%| в неко-
торых секторах, содержащих начало координат и покрывающих
всю ^-плоскость.
Найти асимптотику нулей функции Д(20 указанного вида уже
возможно. Асимптотические формулы для корней таких функ-
ций Д(Х) находятся, например, методом последовательных при-
ближений. Соответствующие формулы будут приведены в следую-
щей главе.
Примеры.
1.	Найти собственные значения и собственные функции крае-
вой задачи:
-у" = ку,
илу) = у^)^,
\и^У)=у(п) = 0.
Пусть X = s2, тогда общее решение данного уравнения записыва-
ется в виде у = С\ sinsx+C2cossx. Далее,
Л(*)= | .°	1
I sm sji cos sir
— —sinsjr.
Поэтому ^п = $2 = л2, yn(x) = Csinих, n=l, 2, ..., где С — кон-
станта, выбираемая обычно из условия нормировки собственных
функций.
2.	Рассмотрим задачу
-у"=лу, t/i(y)=f/(O)-f/(l)=O,
Пусть K=s2 и r/i = sinsx, y2 = cossx. Тогда
Д(Х) =
—sins
s(l +coss)
1 —cos s
—ssins
= s (sin2 s + cos2 s — 1) = 0,
т. e. каждое значение X является собственным. Собственные функ-
ции в этом случае записываются в виде Ceos si х + — 1.
Заметим, что в этих примерах мы выбирали фундаментальную
систему решений yi = sinsx, z/2 = cossx. Можно было бы выбрать
фундаментальную систему из целых по X функций (при каждом
фиксированном х):
zx = —sin s х, zx(0) = 0, z' (0) = 1;
z2 = cossx, z2(0) = l, Zg(0) = 0.
10 В. А. Садовничий
289
3.	Рассмотрим краевую задачу:
-ylv=W', */"(0) = /"(0) = у(1) =/(1) =0.
При Х = 0 уравнение r/IV = 0 имеет общее решение y = CQ+CiX+
Н-С2я2+С3х3; при заданных краевых условиях получаем, что у=0*
и поэтому Х = 0 не является собственным значением. Если L=/=0,
то общее решение уравнения есть у= Ci4-C2x + C3sin xs + С4 cos sx.
Из условия z//z(0)=0 имеем С4 = 0, а условия z/"'(0)=0, у'(1) =0,
у(1)=0 требуют равенства нулю С3, С2, С\ соответственно, т. е.
у данной задачи нет ни собственных значений, ни собственных
функций.
4.	Пусть
I (у) ==у"+2аКу'+ Ь^2у = 0,
^1(У)=//(О)=О, U2(y) =у(л,) =0,
где а и b — некоторые числа, причем а2—Ь = с<0. Легко_получаем,.
что в этом случае собственные значения	V=YICI, а со^"
ственные функции yn = e~anxsiny пх, п = ±\, ±2, ....
5.	Рассмотрим для примера подробнее дифференциальное вы-
ражение
1(у)=— у"+р(х)у
на отрезке [0, л], функцию р(х) предположим непрерывной на
[0, л]. Дифференциальное выражение 1(у) порождает различные
операторы в различных пространствах.
Если рассмотреть пространство С[0, л], то оператор L, соот-
ветствующий дифференциальному выражению /(у), можно опре-
делить на множестве дважды непрерывно дифференцируемых
функций, полагая на этом множестве DL, что L(y) =l(y), y^DL,
Можно сузить Dl, рассмотрев различные граничные условия:
//(0) = у (л) =0 (нулевые граничные условия), у,(0)=//,(л) (усло-
вия упругой границы)'.
Оператор L на области DL — максимальный в С[0, л], осталь-
ные операторы — уже его сужения.
Операторы L на DL необратимы, так как Ly = G имеет два ли-
нейно независимых решения, принадлежащих С[0, л]. Опера-
тор Ьь
1{У)=—У" + Р{х)у,
У(0) =У(л) =и
обратим, возможно, при некоторых дополнительных условиях.
Оператор Ь2:
1(у)=—у"+р(х)у,
у(0)=у'(0)=0
всегда обратим, поскольку задача Коши имеет единственное ре-
шение. Обратный оператор к оператору Li
^90
Ly==—y"+p(x)y,
г/(О)=г/(л)=О
является интегральным оператором
л
L~'f =
о
где G(x, g) — функция Грина для нулевых граничных условий:
gm= —
здесь у\, у2 — ненулевые решения уравнения Ly = Q такие, что
i/i(0)= 0, у2(л)=0, a IT — их вронскиан. (Если г/1(л)#=0, то
и функция Грина определена.)
6.	Рассмотрим снова (см. п. 13 § 2) «простейший» оператор:
1(у)=—у”,
г/(0) = */(л) =0
и исследуем его резольвенту. Очевидно, что собственные значения
оператора Хп = п2, а собственные функции sinnx, п=1, 2, 3, ... .
Резольвента RK является интегральным оператором, ядро ко-
торого совпадает с функцией Грина уравнения —у"=Ky = s2y для
нулевых граничных условий.
Нетрудно подсчитать, что
...........,	S2=x,
s-sin jxs
-а при нужно поменять местами х и § в правой части выра-
жения для G.
Из формулы для функции Грина, в частности, получаем, что
ее полюса — точки sn = n, т. е. Хп = п2 — собственные значения
этого оператора.
Детальное исследование поведения функции Грина обычно про-
водят при исследовании полноты, базисности собственных функ-
ций оператора.
Глава V
СЛЕДЫ ОПЕРАТОРОВ
В этой главе изучаются вопросы, связанные с понятием следа
линейного оператора. Хорошо известно, что сумма диагональных
элементов матрицы линейного преобразования в n-мерном прост-
ранстве, т. е. след матрицы, равняется сумме собственных значе-
ний преобразования с учетом их кратности.
Естественно возникает вопрос: справедлив ли этот факт и для
каких классов операторов в гильбертовом пространстве? Следы
операторов играют важную роль в различных разделах анализа,
в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при
решении обратных задач спектрального анализа, их изучение пред-
ставляет и самостоятельный интерес.
§ 1. ТЕОРЕМА О СЛЕДЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Условимся называть сумму собственных значений линейного
оператора в л-мерном пространстве спектральным следом, а сум-
му диагональных элементов матрицы преобразования — матрич-
ным следом.
Теорема 1. Матричный след линейного оператора А в п-мер-
ном линейном пространстве равен его спектральному следу.
+ Пусть преобразование А в некотором базисе задается мат-
рицей ||а^||? fe=1. Покажем, что характеристический многочлен
А (Л) преобразования А — определитель матрицы А—ХЕ, где
Д==||а^||" fe=eb_ не зависит от выбора базиса. Действительно,
известно, что в новом базисе матрица А принимает вид СНДС,
где С — матрица перехода к новому базису. Тогда
det || С-М С—ХЕ || = det || С~М С— ХС^ЕС || =
det|| б?-1 (А—ХЕ) С|| = det11С”111 • det\\А—ХЕ|| • detЦ С|| = А (X).
Вычислим теперь A(X)=det||4—%£|| через элементы матрицы А.
Для вычисления коэффициента при (—X)h мы должны взять сум-
му определителей, каждый из которых получается заменой k
столбцов матрицы ||аг,& столбцами единичной матрицы. Но
каждый такой определитель есть главный минор &-го порядка
матрицы lki,/||?/=el- Таким образом, характеристический много-
член А(Х) матрицы А имеет вид
292
A (%) = (— l)nUn—Si^ + SA^2— ... ±Sn),
где Si есть сумма диагональных элементов, S2 — сумма главных
миноров второго порядка и т. д., Sn — определитель матрицы А.
С другой стороны, Si равняется сумме всех корней А (Л) (собст-
венных значений преобразования Д) с учетом их кратностей, в
чем легко убедиться, вычислив А(Х) в базисе, приводящем пре-
образование А к жордановой форме. Таким образом, спектраль-
п
ный след оператора	равен его матричному следу SpA =
;=i
п
=	’ т‘ е* спРаведливо равенство
i=l
п	п
1=1	1=1
что и требовалось. |
§ 2. ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ТЕОРЕМА О СЛЕДЕ
1.	Теорема о следе для положительного
ядерного оператора
Продолжим изучение вполне непрерывных операторов. Хорошо
известно, что для оператора А в Rn можно получить следующее
представление *>:
£i)fi + (А §2)fs+ ... + (A gn)fn,
где {fn} — какой-нибудь базис в Rn, a {gk§=\— некоторая конеч-
ная система векторов, которая от f не зависит.
Теорема 2. Пусть А — произвольный вполне непрерывный
оператор в гильбертовом пространстве Н, пусть HQ — его нуле-
вое подпространство. Можно указать две ортонормированные си-
стемы векторов {fk}^ и {£fe}£Li и монотонно убывающую после-
довательность положительных чисел	sk-^0, &->оо такие,
что для любого вектора f^H справедливы разложения, сходящие-
ся по норме Н:
f=fo+ (А fi)A + (A A)A+ ...,
"4f = si (A f\)gl + Sz(f, fz)g2+ . • • •
Если оператор А симметрический и положительный, то наши
утверждения являются следствием рассуждений, проведенных для
♦> В самом деле, если {tpj} — биортогональная система к {/Д, то из равен-
п
ства Af =	следует, что c,= (Af, <P;) = (f,	= Si)-
/=1
293
j
вполне непрерывных операторов в предыдущей главе (§ 2, п. 10).
Действительно, было показано, что для любого вектора
со	]
справедливо равенство Af=~ (/, А)Л- Обозначим f0 = f—	'
/=1	\
Тогда f = f0+ 2(АЛ)ЛиД/о = Л/-^(Л/()4Л = О.
i=l	f=l	t==l
Следовательно, в этом случае теорема верна, причем можно по-
ложить Si = ki, gt = fi.
Пусть А — произвольный вполне непрерывный оператор. По-
строим оператор В=Д*Д. Оператор В согласно следствию из тео-
ремы 1 п. 2 §2 гл. IV является вполне непрерывным и положитель-
ным. Обозначим через {X*} последовательность отличных от нуля
его собственных значений	а через {fk} — ортонормирован-
ную последовательность его собственных векторов, отвечающих
числам Zfe. Тогда получим, что	X* = (Bfk, fk) = (A*Afk, fk) =
= (Afk, Afk) = s2k > 0, причем 5fe>0, Si.
Числа Si играют- важную роль при изучении вполне непрерыв-
ных операторов и называются s-числами оператора Л.
Заметим, что нулевые подпространства операторов В и А сов-
падают, так как для любых f^H
(AfЛ/=2) = (Л-ЛЛ, f2) = (Bfb fr).
Поэтому, поскольку для любого вектора f имеет место разложение
/=/» + 2(/.ШьТ0
k=l
Л/=£(/,/*)	=
fe=l	k=l
где обозначено Afk = skgk-
Далее,
(Afk, Aft^Sk-Sitgh, gi) =
= (Bfk, fi) =^k(fk, fi)
Поэтому (gk, gz)=Ski, т. e. последовательность {g*}^— орто-
нормирована. Ц
Пусть теперь оператор А имеет конечную абсолютную норму
N(A). Тогда, дополняя, если нужно, систему {fk} базисом нулево-
го подпространства оператора А до ортонормированного базиса во
всем пространстве {f'k}, имеем
и2 (Л) = j; т* - 2 ws. аг,) = 2 (A-Af„ г,)=
k=l	k=l	Jb=l
294
= i If- W = i »;•
Л=1	/г=1
здесь fk — ортонормированная система собственных векторов опе-
ратора А*А = В, отвечающая не нулевым собственным значениям,
Определение 1. Вполне непрерывный оператор А назы-
вается оператором из класса Шмидта, если ряд из квадратов его
оо
<$-чисел сходится, т. е. если s^< оо.
6=1
Таким образом*), вполне непрерывный оператор А является
оператором из класса Шмидта тогда и только тогда, когда он
имеет конечную абсолютную норму.
Определение 2. Вполне непрерывный оператор А назы
вается ядерным, если сходится ряд из его s-чисел, т. е. если
2«и< °°-
*=i
Теорема 3. Если А — ядерный оператор, то при любом........
00
боре ортонормированного базиса	в Н Ря& 2 (4<р*, <|, ।
/5=1
м	М
абсолютно сходится, имеет место неравенство V | (A<pfe, <pft) | < V
fe=i	Hi
00
и сумма ряда (4yfe, Tfe) = Sp 4, которую мы назовем матрич
k=i
ным следом оператора А, не зависит от выбора базиса.
ф Согласно теореме 2 для любого вектора f можно укаьнь
разложение
Af=si(f, fl)S‘l + S2(f, f2)g2 + ... ,
где Afk = skgk, A*Afk = hkfk, Kk = s2k>0. Поэтому
00
и<р*, %) = 2Si
и
2 <ык 2>{2 к<РьМ12}1/2 {2 кфь^)12}1/2 - j*’
fc=l	i=l ft=l	й=1	i—1
Далее,
2(фь/<)	=
♦) См. гл. IV, § 2, n. 3.
295
следовательно,
2 и<р*’ ф») == 2 2St (<₽ь	= 2s*
k=l	Л=11=1	1=1
и левая часть не зависит от выбора базиса {фОД1 • В
Определение 3. Спектральным следом ядерного операто-
ра А называется сумма его собственных значений Хл, т. е. выра-
оо
жение
В дальнейшем будет показано, что у ядерного оператора спек-
тральный след всегда существует и, более того, совпадает с мат-
ричным.
Пусть Н — гильбертово пространство над полем комплексных
чисел.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если А — ядерный положительный оператор
& Н, то его матричный и спектральный следы принимают конеч-
к	ао
ные значения и справедливо равенство Sp Л	т* е- мат~
k=i
ричный след оператора совпадает с его спектральным следом.
ф Заметим, что оператор А — положительный, и поэтому, как
было показано в п. 7 § 2 гл. IV, является самосопряженным.
Пусть {ZjJ — последовательность его положительных собственных
значений, a {fk} — ортонормированная последовательность собст-
венных векторов. Легко проверить, что положительный квадратный
корень из оператора А определяется на любом векторе f^H по
формуле
л>/2/=(Л>/2)7=	Ч/2>°-
£«=»!
Для этого в силу единственности положительного квадратного
корня достаточно проверить, что Л'ь — положительный оператор я
(Л'А)2=Л, а оба эти утверждения очевидны.
Далее, для любого ортонормированного базиса
2 ифь <pft) = 2 «Л1/2)2	=2 (Л'/2<р*’ л‘/2%) =
Л=1	/г=1
= 2 НЛ1/2Фл112<°о-
fe=l
Следовательно, оператор Л1/а является оператором из класса
Шмидта. Поэтому для любого ортонормированного базиса {£*}£.)
2 цл^ц2= 2 нл’^п2 = f нл,/2М12 = 2
£=1	/г=1	Л=1	Л=1
296
Заметим, что последовательность {fk)k=i не является базисом в
Я, она является базисом только в ортогональном дополнении к
Но — нулевому подпространству оператора А. Однако, выбрав
ортонормированный базис из {f^}^ в Hq, мы имеем, что
||Л'/2 /;||2 = (ЛV2 f'k, Л>/2 Q = (Afk, fk) = о,
f	WA^fkW2.
k=i	k=l
Поэтому мы выше и смогли записать равенство.
Итак,
f №,£*) = 8рЛ=£ Кк. Я
&=1	6=1
Замечание. Из доказательства теоремы, в частности, следу-
ет, что если для ограниченного неотрицательного оператора А ряд
оо
(Лф£, срб) сходится для любого ортонормированного базиса
k=\
{фД то такой оператор ядерный.
Таким образом, установлены теоремы о следе в двух случаях:
в случае оператора, действующего в n-мерном пространстве, и ib
случае положительного ядерного оператора, действующего в се-
парабельном гильбертовом пространстве Н над полем комплекс-
ных чисел. Естественно возникает вопрос о справедливости таких
теорем для произвольных, не обязательно положительных ядерных
операторов. Ответ на (вопрос, равняется ли матричный след про-
извольного ядерного оператора спектральному следу, будет дан
ниже. Однако для доказательства такой теоремы требуется суще-
ственное продвижение в изучении свойств несамосопряженных
вполне непрерывных операторов.
2.	Свойства s-чисел вполне непрерывных
операторов
Напомним, что всюду через R (Л) мы обозначаем область зна-
чений определенного на Н оператора A: R (А) ={Ах: х^Н}, а че-
рез Z(A) — подпространство его нулей: Z(A) = {х : Ах = 0}.
Лемма 1. Пусть А — непрерывный линейный оператор в
гильбертовом пространстве Н. Тогда*)
H = R\A¥)^Z(A), Я = Щ4)ф7(Л*)
(черта наверху означает замыкание соответствующих линейных:
*> См. также утверждение 6 п 13 § 2 гл. IV.
297
многообразий, Z(A) и Z(А*) в силу непрерывности операторов А
и А*, очевидно, всегда замкнуты).
♦ Пусть йое//©7?(Д*)> тогда (h0, А*х) =0= (Ah0, х) для
любого х^Н. Поэтому A/io=O, т. е. Н © R (A*) cz Z (А), Обратно.
Пусть Xo^Z(A), тогда Ахо=О и О=(Ахо, х) = (х0, А*х) для любо-
го х^Н, т. е. Хо±/?(А*) и в силу непрерывности скалярного про-
изведения х0 _L R (А*). Но если вектор ортогонален 7? (А*), то
он принадлежит HQR(A*). Следовательно, Z(А) с: НQR(А‘)
и, таким образом, Н= 7?(А‘) ф/(А). Доказательство второго
равенства аналогично и было проведено в утверждении 6 п. 13
§ 2 гл. IV. 
Определение 4. Оператор U, отображающий гильбертово
пространство Н в себя, называется частично изометрическим, если
он изометрически отображает подпространство HQZ(U) на
R(U).
Легко установить, что область значений R(U) частично изомет-
рического оператора замкнута.
♦ В самом деле, пусть yn^R.(U) и уп—>у, у¥=0. Покажем, что
существует такой элемент xgHQZ(U), для которого Ux = y.
Действительно, поскольку {//п} — сходящаяся последователь-
ность, то \\уп—У/пЦ-^0, и, т->оо и при n>N. Пусть хп и
хт — такие элементы из	что Uxn^yn, Uxm = ym, тогда
\\yn—ym\\ = \\Uxn—Uxm\\ = \\xn—xm\\-^O. Так как HQZ(U) — под-
пространство, то элемент	принадлежит HQZ(U).
Далее,
\\Ux—С/хп|| = ||х—Xnlj-’-O,	n->oo.
Поэтому Uxn = yn-+Ux, а так как yn^~y, п-^оо, то y=Ux. Если
уп-^0, то имеем С/0 = 0. |
Учитывая доказанный факт и утверждение леммы 1, мы можем
заключить, что частично изометрический оператор U производит
изометрическое отображение подпространств R(U*) на R(U), а
С/* производит обратное отображение R (U) на R(U*).
Лемма 2. Для любого частично изометрического оператора
U справедливы равенства U*U Ртци*), UU" = Priu), где Рщи*)
и Prod — операторы ортогонального проектирования на R(U*) и
R(U) соответственно.
ф Действительно, U*U — самосопряженный оператор на Н,
равный нулю на Z(U). Поэтому (U*Ux, у) = (х, U*Uy)=0 для
любых х^Н, y^Z(U). Поэтому U*Ux^HQZ(U) для всех х^Н,
следовательно, при х^НQ Z(U) также и х—(j*Ux^HQ Z(U).
С другой стороны,
(х, у) = (С/х, Uy) = (С/*С/х, у), (x—U*Ux, у) =0
для всех x^HQZ(U), y<=HQZ(U). Следовательно, вектор
х—С/* С/х ортогонален к HQZ(U). Но тогда x=U*Ux, т. е. U*U =
298
= Е на HQZ(U), U’U Phqz(U) = Pr(v*)- Аналогично показыва-
ется, что UU* = PRVu). В
Хорошо известно представление комплексного числа z в виде
г=ге‘ф, r>0, r=|zz|'/2, <p = argz. Заметим, что |е‘ф| = 1, е,ф-е‘ф=1.
Аналогичное представление справедливо для любого непрерывно-
го оператора А.
Лемма 3. Пусть А — линейный непрерывный оператор. Тог-
да существуют такие операторы С и U, что С>0, С — непрерыв-
ный, a U — частично изометрический оператор и A = UC.
<► Пусть С= (А*А)'/2, С>0, С — непрерывен. Имеем для лю-
бого хе//
||Сх||2 = (Сх, Сх) = (С2х, х) = (А*Ах, х) = (Ах, Ах) = ||Ах||2,
т. е. ||Сх|| = ||Ах||, и поэтому Z(A) = Z (С), R(A*) = R (С). Далее,
если у—Сх, то полагаем Су=Ах; если yeZ(C), то полагаем
Uy=Q.
Таким образом, определен оператор, который изометрично
отображает R (С) на R(A). Доопределим данный оператор U на
всем R(C) по непрерывности. Легко видеть, что
R(C) = ЩС2) = RfAfA) = R (А*) = R (£/*),
т. е. V — частично изометрический оператор. Заметим также, что
если у=Сх\ = Сх2, то С(х\—х2)=0. Но тогда и А(х^—х2)=0, т. е.
Axi=Ax2, и оператор U определен корректно — разным представ-
лениям элемента у вида Сх отвечает один и тот же элемент Uy. Ц
Замечание. Если оператор А вполне непрерывен, то A = UC,
где С>0, С — вполне непрерывный оператор.
В п. 9 § 2 гл. IV была доказана теорема о разложении по соб-
ственным векторам симметрического вполне непрерывного опера-
тора А. Из этой теоремы следует, что для любого вектора
(Af,f)= £ W.T<)I2.
1=1
где — ортонормированная система собственных векторов опе-
ратора А, отвечающих ненулевым собственным значениям Рас-
положим теперь положительные и отрицательные собственные
значения в две последовательности
здесь {%+}— положительные собственные числа, {Х;г} —
отрицательные. Пусть {ф+} и {ф~}— соответствующие им соб-
ственные векторы. Тогда можно записать
(л/, п = у; \+1 а, <₽+) ।2 + £ х-1 (/, ф-) ।а.
299
Из теоремы 10 (п. 10 § 2 гл. IV) непосредственно вытекает тео-
рема.
Теорема 5 (Гильберт). Для любого линейного вполне непре-
рывного симметрического оператора А справедливы равенства
%+ = max (Л/, f) = (Лф^, ф+);
1И=1
Мъ = max	(Af, f) = (Лф+ ф+_), j=l,2,....
I+ |ifli=i. (f.<rz)=o.	1+1
i—1.2..i
Аналогично,
min (Af, f) = (Лф- Ф7);
min	(Л/,/) = (Лф-рф- ) /=1,2,....
,+	|M=1, (f.<Pz)=o.	1+1
1=1,2../
Докажем также следующую теорему, позволяющую определять
n-е собственное значение.
Теорема 6 (Курант). Пусть hi, h2,..., hn — любые п элемен-
тов из Н, пусть L = L(hi, h2, ..., hn) — их линейная оболочка и
М = М (h19 h2, ... , hn) = max (А/, /).
i=l,2,...,/
Тогда
%+, = min\M (hlt h2, ... , hj) = M (ф+, ф+, ... ,ф+), /=1,2, ... ,
где RJ — всевозможные подпространства Н размерности j. Анало-
гично,
= max m (h19 h2, ... , hf) = т(ф~, ф~, ... , фг),
tn(h1,h2,...,hj) = min (Af>f)> j=l,2, ....
.../
ф Докажем, утверждение, относящееся к X/^i. Как уже гово-
рилось,
м (ф+, ф+, ... , ф+) =	.
Покажем, что при произвольных векторах hi, h2t ..., А/ выполня-
ется неравенство
Af (Ai, й2.../г;) > Х+и
Рассмотрим систему
l+i
£Л(ФМ*) = О, й=1,2-------------/.
1=1
300
Система содержит / линейных однородных уравнений с /+1 не-
известными. Такая система всегда имеет ненулевое решение
/+1	/+1
•••’/“+!•	ПУСТЬ	j	l^|2= L	Тогда	=£	/°<р+	будет
Х = 1	1=1
ортогонален всем	векторам	ft*,	&=1,	2,(f°,	hk)=0 и ||f°|| — 1
в силу равенства Парсеваля. Таким образом,
(Л/°, /°) < max (Af, f) = M (hlt h.......hf).
11/11=1. (f.\)=o
С другой стороны,
/-Н  	/+1	/+1
w°,f°)= j	W?i2>tf+i£ i/°i2=tf+i.
i,£«=l	t=l	i=l
Здесь мы воспользовались тем, что %+ > Л+ > ... > Х+ > И
Доказанная теорема дает возможность сравнивать между со-
бой собственные значения различных операторов.
Следствие 1. Если Q^.A<.B и А, В — вполне непрерывные
операторы, то А,/(Д) <А,/(В), где kj(A)—j-e собственное значение
оператора А, Л/(В) — j-e собственное значение оператора В, упо-
рядоченные по убыванию с учетом их кратностей.
ф Действительно, в этом случае ненулевые собственные зна-
чения операторов А и В положительны. Получаем
X/ (В) = max (ВД f) max (Л/, f)
НЯМ, AL<PZ,	,
C=l,2../—1	i=l,2.j—1
min max (Af,f) = 'ki(<A),
илм
где ф/ — собственные векторы оператора В:
Вфх=ХДВ)фо /= 1,2,..., /—1, L = L(/ib h2, ..., /ij-i)
— линейная оболочка векторов hi, h2, ...,	R}~{ есть j—1-мер-
яое евклидово пространство, — ортогональное дополнение к
В. Щ
Следствие 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор,
В — ограниченный линейный оператор. Пусть sk(BA) — s-числа
вполне непрерывного оператора ВА, а s^(X) — s-числа оператора
А, предполагается, что s-числа упорядочены по убыванию с уче-
том их кратностей, тогда
$*(ВЛ)<||В||$*И).
ф Действительно, по определению s-чисел
'	5?(ВЛ)=ЛЙ((ВЛ)*(ВЛ)),	$*2(Л)=МЛ*Л).
301
С другой стороны, легко видеть, что
((BA)*BAf, f) = ||BAf||2<||B||2||Af||2 =
= ||B||2(Af, Af) = (\\B\\2A*Af, f),
т. e.
0<(BA)*BA<||B||2A*A.
Применяя результат, полученный в следствии 1, приходим к тре-
буемому. В
Лемма 4. Пусть А — вполне непрерывный оператор, тогда
sk(A) =sk(A*).
ф Согласно ранее доказанному (см. теорему 2 этого парагра-
фа) запишем разложение для вполне непрерывного оператора
00
А<р= sk И) (ф, Ф^'Фл, где — ортонормированные собствен-
ные векторы оператора А*А, а — некоторая другая ортонорми-
рованная последовательность. Найдем вид сопряженного к А
оператора. Имеем
(Дф, ф) = у sfe (Д) (ф, ф*) (фь ф) = (ф, у sfe (Д) (ф, фй) ф*) = (ф, Д*ф).
•	fe=l	£=1
Таким образом,
Д’Ф=У Sfe (Д) (Ф> 'Ю Фй.
k=l
Из выражений для А и А* видно, что
Д<Р* = SfeM) %, Д*ф* = sft (Д) <Pfe,
Д*ДфА = 52(Д)Фъ ДД’ф* = s| (Д) ф*.
Отсюда получаем по определению s-чисел, что
SftH)=Sfe0*). 
Следствие. Пусть А — вполне непрерывный оператор, В —
ограниченный линейный оператор. Тогда
зА(ДВ)<||В|ЩД).
ф Поскольку ||В|| = ||В*||, то из леммы и следствия 2 теоремы
6 следует, что
Sfe(ДВ) =5А(В*Д*) «Sfe (Д*) ||В*|| = ||B||Sfe (Д). И
Докажем теперь формулу, которой воспользуемся ниже при
изучении свойств s-чисел вполне непрерывных операторов. Эта
302
формула в теории определителей называется формулой Бине —
Коши.
Лемма 5. Пусть С — квадратная матрица размера mXm,
В — прямоугольная матрица размера пХт, п>т, А — матрица
размера тХп и С = АВ. Тогда
det С- £
bstl • • • bSim
' • • bsmm
• • • ^lsm
• • • ^msm
ф Запишем выражение для элемента с1; матрицы С
п
Cij ~ У
s=l
Тогда
det С = det
П	п	I
£ aiSlbS1i ...	a'sm^mm
Si=l	Sm=l
1	tn
n	n
У amsfiS1i ...	amsmbsl^n
Si=l	sm=l
Используя элементарное свойство определителей, запишем
detC =
Si.
Gls, • • • Glsm
bs^bs^ • • • bsmm*
Числа Si, s2, ...» sm меняются независимо друг от друга. Будем
считать, что они все различны, так как в противном случае
-0.
CltnSi • • • ^rns^
В сумме присутствуют члены, некоторые из которых отличаются
только порядком столбцов в определителе. Объединяя их ® одно
слагаемое, можно записать, используя свойство подстановок и
определителей, что
. a\Sfn bS1i ... bS1m
det С- У
b .s!<s2<. ..<s/72<n<co amSi . . . ^msm bsmi . . . bsmm
что и требовалось доказать. Щ
Лемма 6. Пусть А — вполне непрерывный оператор, a hu
th, • • •, hm — произвольный набор векторов. Тогда
det НИЙ;,	с (Л) ... й (Д) det||(ftp hk)\|-=1.
303
ф Пусть (<р/} — полная ортонормированная система собствен-
ных векторов оператора С, С = (А*А)'>\ Тогда
К {А*А) = S2 (Л), (Ah,; Ahk) = (A-Ahh hk).
Пусть
hi= E Ф"’ л*= £
n=l	p=l
Запишем
(A*Ahh hk) = s2n(A)(h,;cpn)cpn, £ (hk, <pp) tppj =
n=l	p=l
'-=T Sn(A^hi’^(<fn,hk).
n—1
Введем матрицу	bi, = s,-(hi, <p;), тогда В*=||6{;||,
bij =Si(<Pi,hi), так как (hit <pz) = (<p;-, hc). Обозначим через K==
= ||(ЛЛ/, ДЛй)||м=ь тогда К=ВВ*. Применим формулу, получен-
ную в предыдущей лемме, к определителю матрицы К. Имеем
Sk'-fa, <fki) ...
det/<= V
l<fe1<...<Am<oo	Ф^1) • • • $кт'(hm, фАт)
Sk.  (<Pkt, hj) ... Sk,-(ffkt, hm)
skm-^km,h^ • • - skm-(4>km,hn)
J 4,... 4mdet||(/4, Фй)Н-detlKft/, <p*)||,
co
через det|| (Л/, ф&)|| и det||(/iz, <pfe)|| обозначены фигурирующие вы-
ше определители, из которых вынесены числа Sk^.
Все числа k}- различны и расположены в порядке возрастания,
тогда числа sk/ будут расположены в порядке убывания и
5^1,... , Sm
Поэтому, если снова воспользоваться формулой Бине — Коши, то
получим
detJC<4 ... 4r	detlK^-.tpJII-detlK/i/, <pft)|| =
= S2...^det||(/ti,ft/)||^.=1,
304
поскольку у (ht, <pft) (hj, <pfc) = {hi, hj), что и требовалось дока-
k=i
зать. Ц
3.	Оценки собственных значений вполне
непрерывного оператора
Следующее утверждение позволяет оценивать произведение
собственных значений вполне непрерывного оператора через про-
изведение s-чисел этого же оператора и имеет важное значение.
Теорема? (Г. Вейль). Пусть А — вполне непрерывный опе-
. ратор и %1(Л), Х2(Л), ..., %*(Л) — его собственные значения,
k<^v(A), у(Л)=	dimLa..,?^.— корневые подпространства
оператора А, отвечающие Ki. Тогда
|М(Л)МЛ)• •  МЛ) |	(Л)$2(Л)...sk(A).
♦ Пусть L — И Выберем в L базис Шура {<р/} (см. п. 3
§ 3 гл. IV), тогда
Л<р/ = адф1+ ...	ац=\Ауц, фу),
au = Ki = (Ау,, фг).
Имеем, что
det ||(Лфг, Лф;)||* ;.=1 < Sj (Л) si (Л) ... si (Л) det||(Ф{, ф,-)||*/=1.
Но
(ЛфЬ Лф;) = £ (Лф£, фр) (Лф;, фр).
Р=1
Тогда
det||(A<p,„ Лф,)!! = det||(Aq>f, <pz)||-det|](^<pf, ф/)|| =
= det||(Aq>,, Ф/)||^е1||(Лф£, ф^П = |det||(A<pf, ф/)|| |а.
Учитывая, что
[det||ЛФг, ф/||^/=1 = (Л) Кг (Л) ... Kk (Л),
получаем, что
det||(ЛФг, ЛФ/.)Ц = |МЛ)121Ч(Л)12... IW)12•
Запишем окончательно:
det || (Лф£, Лф/)!!* ,=1 = | (Л) • Х2(Л) ... МЛ) |2 < s2 (Л) si (A)... s| (Л),
так как det||(ф^, ф/)||*Z=I = 1, что и требовалось. 
11 В. А. Садовничий	305
Лемма 7. Пусть Ф(х) (—оо<х<оо) — выпуклая функция
такая, что Ф (—оо) = 11гпФ(х) = 0, а {а/}, {Ь/} — невозрастакщив
Х->— ао
последовательности действительных чисел таких, что
k	k
£ а/ < £ bf' k= 2’ • ’ • *
/=i	/=1
Тогда
h	k
Y Ф(а;)<у Ф(6/), £=1,2...........
ф Рассмотрим сначала функцию Ф(/)=е*. Для произвольной
функции затем произведем необходимые изменения. Обозначим
через
i/4- = max (у, 0).
Тогда
Н-оо	t	t
j (t—s)+eSds = j (/—s)e3ds= j tesds —
--00	—oo	—00
i
— (’ sesds= tes|* ’—sesP 4-e’l* „ =
•	I co	I 00	•—00
—co
Таким образом,
+«o
,	e* = j’ (t—s)+d(es)'.
--00
Для произвольной функции Ф(0, удовлетворяющей условиям
леммы, справедливо такое же представление
4-со
Ф(0 = у (/—s)+dO'(s).
—оо
Действительно,
00	t
(/—s)+dO'(s)= J (/— s)d<D’(s) =
—N	--N
t
= J Ф'(з)&—(/ + АОФ'(—2V), ^>0.
Левая часть написанного равенства положительна, поэтому
t
J O'(s)ds=O(0—Ф(—АГ)<Ф(О. О— N.
306
lim <D'(—AO — O, lim #Ф'(—Л0<<».
N-ь-оо	N->oo
Поскольку Ф(/)-*0 при t-+—оо, то
lim (*+2У)Ф'(—2V) = lim N<D'(—N)=O.
Af—>qo	jV->oo
Наконец, в равенстве
оо	t
J (t — s)+dO' (s) = J Ф' (s) ds—(t + N) Ф' (—N)
—N	—N
нужно перейти к пределу при N-^oo, и требуемое представление
для Ф(/) получено.
Из этого представления следует
k	Ч-оо
£ ф(а,)= J Aft(s)<*D'(s),
/=1	—эо
где
k
Ak(s) = 2 (af—s)+.
/=i
Аналогично,
k	4-оо
J Ф(&,)= j ВЛ(8)^Ф'(8)
/=1	--00
(заметим, что через Ф'(з) мы обозначили левую производную
выпуклой функции Ф(з), которая, как известно, всюду существу-
ет, неотрицательна и не убывает), где
*
Bfe(s) =	(Ь,—s)+.
/=1
Докажем, что функции Лл(з) и Bk(s) связаны между собой соот-
ношением
Aft(s)<B*(s),	k—\, 2, ....
Рассмотрим несколько случаев.
А. Пусть s>&i, тогда
Aft(s)=Bft(s)=O,
и неравенство тривиально выполняется.
Б. Пусть s<min(aft, bk), тогда
k
4fc(s) = J ai—ks>
/=1
II*
307
Bk(s) = £ bj—ks,
i—i
t. e.
Ak(s)<Bk(s).
В. Рассмотрим последний случай
aq+l^s<aq, bp+l^s<bp (p, q<ck).
Тогда при p>q
Ak = E a' —qSj< E b< ~cls + (fc?+i —«)+...+ (bp— s) = Bk (s),
/=1	/=i
так как
Q	Q
b^i^s, ... ,bp^s.
/=i	/=i
При p< q
Q	Q	P
^k(s) = J aj— qs <2 bi—4s = J bl~Ps +
i=i	j=i	j=i
+ (fep+i — s) + • • • + (b9—s) < J] bf —ps = Bk (s),
/=i
так как
fop+1<s, ..., bq^s.
Лемма, таким образом, доказана. Ц
В качестве следствия этой леммы получим новые неравенства
для собственных значений и s-чисел вполне непрерывного опера-
тора.
Теорема 8 (мажорантная теорема Г. Вейля). Пусть функ-
ция f(x) определена на [0, оо), /(0)=0 и становится выпуклой,
если вместо х подставить ef. Тогда для любого вполне непрерыв-
ного оператора А и для любого k < v (Л) = dim L^. справедливы
неравенства
k
j;/(i^H)i)<y/(s/И)), xz#:0, sz^o.
/^i	/=i
ф Рассмотрим функцию Ф = /(е9 и последовательности az =
= 1п|Х/(Л)|, &z = ln(sz(4)). Применяя теорему 7 и лемму 7, полу-
чим неравенства
k	k
J/(l?t/H)l)< J/(szH)).H
z=i	/=i
308
Следствие 1. Для любого вполне непрерывного оператора
А при k^.v(A) справедливы неравенства
k	k
/=1	/=i
Действительно, функция f(x)=x удовлетворяет условиям пре-
дыдущей теоремы.
Следствие 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор,.
Х>0, тогда
k	k
п (I +	И) I )< П (1 + Ч И)), k < V (Л).
/=1	/=1
Для доказательства достаточно рассмотреть функцию f(x) =
= In (li+ Zx).
Замечание. В предыдущих леммах и теоремах встречались
последовательности {Л/(Л)} и {s;(4)} — соответственно собствен-
ные числа и s-числа вполне непрерывного оператора А. В случае
вполне непрерывного оператора s-числа, вообще говоря, составля-
ют бесконечную последовательность. Собственные числа h нуме-
руются по убыванию модулей с учетом их алгебраических крат-
ностей, так что каждое число X/ фигурирует в суммах столько
раз, какова его кратность. Используемые выше суммы и произве-
дения могли содержать и бесконечное число слагаемых и сомно-
жителей, причем они могли быть и расходящимися.
Продолжим дальнейшее изучение свойств s-чисел вполне не-
прерывных операторов.
Лемма 8 (Фань Цюй). Пусть А — вполне непрерывный опе-
ратор и — ортонормированная система в Н, пусть U — уни-
тарный оператор, тогда
sup IV (СЛ4фг,ф,)| =у s£(X), п=1,2.........
♦ Пусть Рп — ортопроектор на подпространство L с базисом
<Рь ф2, • • •, <Рп- Тогда
(UAPnqt, Pn<f>i) = (UAyi, <р;) = (PnUAPn<pi, <p,).
Обозначим
A = PnUAPn.
Тогда	1
n	n
У (Дф£, <p£) = у Х/(Л),
l—l	1—1
309
где Х/(J) — собственные числа матрицы Л, которую задает опе-
ратор А в L. Используя теорему 1 и следствие 1 теоремы 8,
можно записать
— фг) —	(Л),
i=!	i=i
1£ (Лфь Ф<)I <£ IМЛ)|<£ St (Л) < s( (Л),
1=1	i=l
| У. (UA(Pi’ ф<) I < У st (Л).
£=1	i=l
поскольку
s{ (A)—s{(PnUAPn) (PJM)||P„||<||Pn||s,(t/Л)<s< (Л)||17|| =s<(Л).
Докажем, что в неравенстве достигается знак равенства. Пусть
A = UC
— разложение оператора А (см. лемму 3 выше), <₽? — собствен-
ные ортонормированные векторы оператора С:
Сф? = згф°.
Выберем унитарный оператор Uo, который на <р°, i= 1,2, ... , п
действует так:
ueuc^=Sl^(, \\иоис^\\=Si.
Так как
|Ц/СФ°|| = sd|CAp?|| = 3,1^11 = з,,
то
II t/ot/СфОЦ = ||17С<рО||.
Доопределим Uo на всем Н так, чтобы он оставался унитарным
оператором. Для этого оператора будем иметь
S (^0{/Сф0, ф°) = £ (с/оЛфО, ф») = £ S/ (Л). 
i=l	t=l	t=l
Следствие. Пусть А — вполне непрерывный оператор, тог-
да для любой ортонормированной системы векторов {<р/} справед-
ливо неравенство
£ |(Лфьф£)|<£МЛ), п=1,2--------------
i=l	i=l
310
ф Действительно,
I £ (UAcpi, <Pi) I < £ I (UAw, Ф/) | < £ Si (A).
i=l	i=l	i=l
U выберем так, что если
(Афъ Фл) = I Ифь Tft) |е‘Ч 0ft = arg (A<pft, ф*),
TO
e*T* = e‘%pft.
Тогда
(UA<pk, <f>k) = (Afpk, U*cpk) = e~iek (A<pft, q>ft) = | (Афь <pA) |,
таким образом,
4. Оценки s-чисел произведений и сумм линейных
вполне непрерывных операторов
Выше были получены различные оценки для собственных чп
сел и s-чисел вполне непрерывного оператора и для некоюрых
функций от собственных чисел и s-чисел вполне ненрерын
ного оператора. Развитая техника оценок позволяет получиib
аналогичные результаты для собственных чисел и s-чисел ирон i-
ведения двух (или более) вполне непрерывных операторов и их
сумм. Напомним, что всюду мы по-прежнему рассматриваем юль-
ко линейные операторы.
Лемма 9. Для любых двух вполне непрерывных операторов
А и В выполняются соотношения
п	п	п
П*/ИВ)< ГЬИШМЯ). п=1,2,... ,
/=1	/=1	/=1
£S/(A + B)< £ s,(A) + f sz(B), n=l,2...........
/=1 /=1 /=1
ф Согласно лемме 6 для произвольной полной ортонормиро-
ванной системы вокторов {<ру} выполнено неравенство
det||(AB<pf, АВф/)||«/1=1 <
п	п	п
< П sj И) det||(BTi, Вф,)!!"/=1 < П S? (А) П (В).
/=1	/=1	/=1
Выберем в качестве {фу} систему нормированных единицей соб»
311
ственных векторов самосопряженного оператора В*А*АВ. Тогда
справедливо равенство
п
det||(ABq>o АВф/)||".=1 = П Sy(AB),
/=1
и первое неравенство доказано.
Согласно лемме 8 существуют ортонормированная система
векторов {<р/} и унитарный оператор U такие, что
п	п
iy (£/(А + В) <р7» ф/) I = £S/(A + B).
/=1	/=1
Снова применяя эту же лемму, запишем
п	п	п
Y Si (А + В) < I £ (г/Афу, фу) I +1 £ UB<fj, фу I <
/=1	/=1	/=1
<£>И) + У SJB),
/=1 /=1
что и требовалось. И
Теорема 9 (Фань Цюй). Пусть А и В — вполне непрерыв-
ные операторы, а функция f(x) (0<х<оо) — неубывающая и вы-
пуклая, f(0)=0. Тогда
£ f (sy (А + В)) < f f (sy (А) + Sy (В)).
i=i	/=1
ф Действительно, применяя лемму 9 и лемму 7, в которой
надо положить aj=Sj(A + B), bj = Sj(A)+Sj(B),
X (/(*)• О<х< оо,
Ф(х)= f
I 0,	"  " Л
получаем, переходя к пределу
требуемое неравенство. 
Теорема 10 (А. Хорн).
f(0)=0) после подстановки х = е* ('—oo<t<oo) становится вы-
пуклой. Пусть А и В — два произвольных вполне непрерывных
оператора. Тогда
/=i	/=1
Точно так же, как и при доказательстве теоремы 9, доста-
точно применить леммы 7 и 9, причем надо положить
ay = s/(AB),	/?у=5ДА)5у(В),
что и требовалось. Ц
—оо 'Чч л и,
по верхнему индексу п в суммах,
Пусть функция f(x) (0<Х<оо,
312
 Следствие. Для любых двух вполне непрерывных операто-
ров А и В имеют место соотношения
S/04).S/(B), п = 1,2....
7=1	/=1
Действительно, в теореме 10 надо положить f(x)=x и приме-
нить доказанную теорему.
5.	Теорема о следе для ядерного оператора
Перейдем снова к изучению ядерных операторов. В начале-
этого параграфа было показано, что если А — ядерный оператор,
то при любом выборе ортонормированного базиса {<pj в Н ряд
оо
£ (Лф£, <pz) сходится абсолютно и не зависит от выбора базиса..
i=l
Справедливо следующее обращение этого утверждения.
Теорема 11. Пусть А — линейный ограниченный оператор,
определенный всюду в Н, и пусть для любого ортонормирован-
оо
ного базиса {ф/} ряд 5рЛ = ^Г (Лф/, ф,) абсолютно сходится, тогда.
i=l
Л — ядерный оператор,
+ Пусть сначала Л — самосопряженный ограниченный опера-
тор, Е(К) — его спектральная функция. Из спектральной теоре-
мы следует, что подпространство Е(0)Н = Н_ и (£—£(0))Н=Н+
являются инвариантными относительно оператора Л, причем оба
оператора Л_=—Л£(0) и Л+=Л(£—£(0)) неотрицательны..
Пусть {fj} и {ф/} — ортонормированные базисы соответственно в,
Н+ и Н_. Из условия теоремы следует, что
00	оо
£ И+fr, Л) < оо» £ И-Ф/> Ф/) < °° •
/=1	/=1
В силу теоремы 4 *> следует, что Л+ и Л_ — ядерные операто-
ры. Поскольку Л есть разность ядерных операторов, он сам явля-
ется ядерным. Действительно, из леммы 9 следует, что ряд из
s-чисел оператора, являющегося суммой (или разностью) двух
операторов, ряды из s-чисел которых сходятся, является сходя-
щимся.
Рассмотрим теперь общий случай несамосопряженного опера-
тора Л с конечным матричным следом. Сопряженный оператор»
Л*, очевидно, также имеет конечный матричный след. Поэтому
операторы
А^ = А(д + л*), 4 = -1-(А-А*)
*> См. замечание после теоремы 4.	,
313
имеют конечные матричные следы. Эти операторы, очевидно, са-
мосопряженные. По доказанному они являются ядерными. Точно
так же, как и выше, заключаем, что оператор
А = Ад + iAi
является ядерным. |
Рассмотрение ядерных операторов завершим теоремой о сов-
падении матричного следа ядерного оператора со спектральным
следом.
Теорема 12 (Лидский). Если оператор А — ядерный, то его
матричный след совпадает с его спектральным следом:
£ (Аф/, Ф/) = £^(Д),
/=1	i
где {<р/} — произвольный ортонормированный базис в Н, Х((Д) —
собственные значения оператора А.
♦ Докажем сначала теорему в случае, когда оператор А воль-
терров. В этом случае собственных значений, отличных от нуля,
нет. Поэтому должно выполняться
SpA = 0.
Пусть Рп — конечномерные ортопроекторы, п=1, 2, ..., выбран-
ные следующим специальным образом: если A = £sft(-, <рй)г1’ь
k
где {фй} и {ф*} — две ортонормированные системы, A — UC, С<р& =
= «4фй, то
РпЯ = {ф1,	фп} = £(фь ф2....фп),
L — линейная оболочка векторов <pi, <р2, • • •, фп- Очевидно, что
=£ sk (Pnf, <pk) ^k=Ylsk (f, фЛ)
k	k=i
Тогда
П(Д—ДРл)Л12=| £ М/.ф*)^Г= Е s*l(f.<Р*)12ПЛГ-
&=п+1	Л=п4-1
Следовательно,
||Л АР п || <sn+i->0.
Если оператор А вольтерров, то очевидно, что Хй(ДРп)->0 при
/г->оо. Действительно, оператор АРп — конечномерный и
АРп—А = Вп обладает тем свойством, что ||Вп||->0, п->оо. Опера-
тор (Д—%Е)~1 существует, если Х=И=0. Тогда легко видеть, что
(АРп—ХЕ)"1
существует вне круга Оп, радиус которого зависит от п и стремит-
ся к нулю, когда п->оо:
314
(ЛРп-ХЕ)-> = (АРп—А+А— А£)-* =
= (Л-%£)->(£+В„(Л—Л£)->)-1.
Пусть kf*— kj(APn)—собственные значения оператора АРп, j=
= 1, 2, ..., п, занумерованные с учетом их кратностей,
|МП)| > ю
Рассмотрим функции
ДП(Х) = П(1—U1"’).
/=1
Тогда
Дп(А.) Д|
Пусть |%Х{П)| < 1. Разлагая в ряд геометрическую прогрессию,
получим
а'	п 00	«
wt=- S S%1"	J м™,Л' •
/=1 А=0	Л=1
Mn)=Sp[G4P„)F= £
т==1
Далее,	>
J}	|^|*< |МП)Р"’У] |X^|.
т=1	т=1	т=\
Согласно мажорантной теореме Вейля
1^1 <s%> = sm(APn).
Нормы операторов Рп равны единице, поэтому
$т (ЛРя)<5тР).
Учитывая, что оператор Л — ядерный, заключаем:
п	п	п
у [ХЙ’Р< |ГIй-1 £ I^KIW-1 £М4)<
т— 1	т=1	т«1
у5»(Л)_Ц'1">|*-,С„где
Со= £М4)<оо.
*=1
315
Таким образом,
A^-+sPАI<|2И1П>—sPЛ| +1
Дл (л)	I	I	I
k=2
00	00
с |Л11П)—Sp А| +	1 C|Mn>—Sp л I +£|Мл)|*-1|М*~,С0<
Л=2	k=2
<|Min>-Sp4|4
l*(in)l-IMC
1- iM"’i-ixi '
Зафиксируем X, a n устремим к бесконечности. Тогда, как мы
показали,
Когда n-»-oo, Afin> = Х„ = Sp ЛР„ стремится к БрЛ. Действи-
т=1
тельно, для ортонормированного базиса {<pi, <рг> • • •}, A = UC, С<р* =
=5*(Л)фй можно записать
во	П
8рЛР„= у(ЛР„<ръ <pft)= £(Л<рь фй).
fe=l
00
С другой стороны, 5рД=^Г(Дфл, <pfe), следовательно, SpAPn“*
Л=1
->SpA при п~>оо. Учитывая все это, заключаем, что
Допустим, что 5рЛ = а=И=0. Произведение Дп(%) равномерно
сходится в силу доказанной оценки
rKl-XlX/^IxfKl-Xs^A)), %<0.
Ml	/=1
Поэтому, проинтегрировав предельное соотношение
lim~7W==“Sp4’
П->00
получим
lim Дп (Z) = e-a\
П-*оо
316
Оценим теперь функцию ДП(Х) и ее предел, используя другое
представление для Дп (%). Поскольку
д„(Х)=П(1-иу,)).
/=1
то
п	п
|Д„(Х)|<П(П IM lMn)D<П(1 + |Ь|3/ИЛ>))<
7=1	7=1
< П (1 + IMs/И)) < П (1 + I a, |S/ (Л)>.
7=1	7=1
ОО
Поскольку оператор А — ядерный, то у1 Sy(A) < оо. Поэтому
7=i
1Дл(^)1<П(1 + 1^|5/(Л)) = П(1 + |Х|5/(Д)) fl (l + |X|S/(4)).
/=1	/=1	j=N+l
Воспользуемся элементарным неравенством
1 +|l|s/(X)<el?,|s/(-4).
Тогда
N	/X) 2 si(A>
lAz.WKnU+IMs/H))* i=N+l .
i=i
Поскольку последняя оценка от п не зависит, она должна быть
выполнена для предельной от Дп (А) функции. Следовательно,
|e-^|<PJV(X)eElM,
N
где PN(k)= ["](1 + |X|s;(X))— многочлен степени N от |Х|, а
/=1
оо
8= у (А). Выбирая N достаточно большим, число 8 можно
/=ЛЧ-!
сделать сколь угодно малым. Очевидно, что неравенство е
не может выполняться для любого 8>0. Поэтому а = 0, т. е.
Sp А = 0 для вольтеррова оператора А.
Рассмотрим общий случай. Пусть А — произвольный вполне
непрерывный оператор. Пусть L= J — замкнутая линей-
ная оболочка всех корневых векторов оператора А, отвечающих
317
ненулевым собственным числам. Пусть {фу} — ортонормирован-
ная система, для которой (Дф/, Ф/)=Х/(Д) (система Шура). Пусть
До — оператор, являющийся сужением оператора А на L. Тогда
Sp До = S (Л<р/, фу) = X Kj (А).
i	i
Подпространство L инвариантно относительно оператора А. Пусть
Р — проектор на L, т. е. PH=L, a Q — проектор на 1^- = HQ L.
Тогда P + Q=E, PQ=QP—0 и
А = (P+Q) (Р+О)Д= (Р+<2)Д (P+Q) =
=РДР+рДР + РДф + <2Д<2.
Очевидно, что
Sp А = Sp РДР + Sp QAP + Sp РАQ + Sp С>ДQ =
= Sp РАР+Sp QPA+Sp ДРСЭ+ЗрСДф,
так как Sp 777=Spесли Т — вполне непрерывный оператор,
а Н — ограниченный. Докажем последнее утверждение. Пусть
Т = У>(Т)Ь ф/)ф/,
/=1
тогда
ЯТ = £зу(Т)(-. Ф/W/,
7=1
Sp (НТ)-= % (НТЪ, ^) = ^з{(Т)(Н^, Ъ)'
7=1	7=1
С другой стороны,
рн=у;5/(Т)(.,
7=1
sp7W = £ (ТЯф/, %) =	фу),
7=1	7=1
д', е.
Sp (НТ) =Sp (TH).
Учитывая, что QP=0, PQ = 0, а (?Д(2 — вольтерров оператор (см.
лемму 5 § 3 гл. IV), получаем
Sp Д = Sp РДР + Sp CMQ = Sp РДР.
Но Sp РДР = 5рД0=	Ху (Д).	Действительно, пусть H=L+Z,
i
318
— базис Шура в L, {<₽&}— какой-нибудь ортонормирован-
ный базис в Z. Тогда
Sp Р АР = ^(РАРф/, фУ) + £ (РАРф', <р;) = ^(Аф/) фу),
/	k	i
так как Рф^ = 0	для любого k, а (РАРф/, ф/) = (Аф/, ф/) для
любого /. Окончательно имеем
SpA=SpPAP=SpA0 = £%/(A). 
Итак, доказаны теоремы о совпадении матричных и спектраль-
ных следов в случае конечномерных операторов и в случае ядер-
ных операторов. Возникает вопрос об аналоге этих теорем для
неограниченных операторов. В этом случае спектральный и мат-
ричный следы оператора не существуют. Поэтому возникает по-
нятие так называемых «регуляризованных следов». Мы получим
регуляризованные следы для широкого класса операторов.
Примеры.
1.	Ограниченный линейный оператор А называется диссипатив-
ным, если его мнимая компонента =----—— является неотри-
I j4*
цательным оператором. Заметим, что Ац =—------
действительной компонентой. Справедливо равенство
Рассмотрим оператор в L2(0, 1)
называется
А =Ar + IA/,
A/ = 2i ^f(t)dt.
6

Очевидно, что A*f = — 2i J f (i) dt, A if = J f (t) dt, A'Rf — i j f (t) dt—
XX	0
1 1 1 _______________________________________ 1
—* J f (0 dt Квадратичная форма (Af, f) = Ц f (t) dtf (s) ds = J | f (t) 12 x
x	ooo
xdt >0, и оператор A—диссипативный.
2.	Линейный оператор А называется простым, если он ограни-
чен и не имеет с Л* общего инвариантного подпространства, на
котором бы он совпадал с Л*. Интегральный оператор предыду-
щего примера является простым оператором.
3.	Если диссапативный оператор А является ядерным, то его
корневые векторы образуют полную систему в гильбертовом про-
странстве Я.
Действительно, согласно теореме о следе для ядерных опера-
торов
X/ (Л) = SpA = Sp Ar + i Sp А/.
319
Следовательно, сравнивая мнимые части равенства, имеем
£ Im А,, (Л) = Sp А/.
i
Пусть Lo= (J Ц.., Ло— сужение оператора А на Ц. Пусть
ImX;^0 1
{ф/} — ортонормированная система Шура, Lo — замкнутая ли-
нейная оболочка этой системы. Допустим, что L^H и, следова-
тельно, H = LO+Lo-. Выберем в Lox ортонормированный базис
{фД. Тогда системы {ф;} и {q/.}— базис, причем ортонормирован-
ный, в Н. Поскольку оператор Аг — ядерный, то
3РЛ' = £(Л'Фр Ф/) + Х(л/Ф;-. Ф>
/ /
Отсюда получаем, что ^(А/ф'., q>') = 0. Оператор А — диссипа-
тивный, А/ — неотрицательный оператор, поэтому каждое сла-
гаемое (А/ф'у, <р'.) = 0. Поскольку, кроме того, оператор Aj — са-
мосопряженный (он симметрический), то существует корень квад-
ратный из оператора А/. Тогда (А/ф/,ф/)=0=(А}/2А|/2<р/, ф^) = (А}/2ф;-,
л//2ф/)> т- е- л*/2ф/=0. А/ф/=0 для любого /. Мы получили, что
Lq-czZ(A/)— ядру оператора А/. На подпространстве
таким образом, оператор А=А* = АЛ, т. е. оператор А — само-
сопряжен. Если Lq" состоит только из нуля, все доказано; систе-
ма корневых векторов, отвечающих невещественным собственным
числам, полна. В противном случае к этой системе надо добавить
базис Lo" из собственных векторов оператора А.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СУММЫ КОРНЕЙ
ОДНОГО КЛАССА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ. СЛЕДЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
1. Функции класса К
Рассмотрим целую функцию /(г), которая при каждом целом
/i>0 допускает представление вида
f (z)^ ea^Pk.h(z),
где ak — комплексные постоянные, а
h
Pk.h (z) ~ znk £ р^г-* + о {znk~h)
v=0
при z->0. В формуле выше пк — некоторое целое число, а р^’^О.
320
Предполагается, что плоскость z можно покрыть конечным4
числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каж-
дом из которых функции Pk,h(z) являются аналитическими при'
М>£.
В дальнейшем мы будем опускать индекс h у Рц,н(х) и писать-
Pk (2) — Znk	z -> ОО.
v==0
Мы будем также предполагать, что представление для P^(z) до-
пускает почленное дифференцирование.
Функции с описанными выше свойствами условимся называть
функциями класса К. Числа а* и Р$Л) будем называть параметра-
ми асимптотики функции f(z).
Функции класса К возникают при решении дифференциальных
уравнений, содержащих параметр z. Рассмотрим, например, на.
отрезке 0<х<1 краевую задачу для дифференциального урав-
нения
dny 1	/	\ d^y .	,	/	\ л
~Т^+аЛх' 2}Т^ + ---+аЛх' 2)z/=0’
коэффициенты которого имеют вид
Q
aq{x, = z~iaqj (х), 9=1, 2, .п.
/=о
Пусть граничные условия также полиномиально зависят от z°;
mt
= t =	2.....n>
v=0
где l/i (y)—линейные формы относительно решения z/(x):
i/z (9)=£	(0)+bviky^
i
(1)}+
6
Пусть коэффициенты уравнения и функции a(v(x) бесконечно^
дифференцируемы по х. Если, кроме того, предположить, что,
aqo(x) =aqOr(x) (<?=1, 2, ..., га), где г(х)>0 и многочлен л(Х) =
— 'Кп + ОюА,”-1 +... + апо не имеет кратных корней, то уравнение для
определения собственных значений задачи имеет вид
/(г)=0,
где f(z)^K. Существенно, что при этом параметры асимптотики
/(z) явно выражаются через коэффициенты уравнения и коэффи-
циенты граничных условий.
321
Нашей целью является получение явных выражений через па-
раметры асимптотики f(z) для регуляризованных сумм корней
«функции f(z), т. е. сумм вида
Jd	(0} ~ smi	(*)
(0
здесь zi — корни функции f(z), Ат(1) — некоторые вполне опре-
деленные числа, обеспечивающие сходимость рядов, а т — любое
натуральное число.
Формулы (*) могут быть использованы для написания алгеб-
раической системы уравнений
р
=	2.....А
/=1
связывающей первые корни f(z). Это обстоятельство особенно су-
щественно при отыскании первых собственных значений краевых
задач.
Приводимые ниже теоремы не связаны с дифференциальными
операторами и носят теоретико-функциональный характер. Одна-
ко они позволяют единым методом получать значения регуляризо-
ванных сумм собственных значений общих краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений любых порядков.
В связи с этим заметим, что если коэффициенты уравнения
лишь h раз дифференцируемы по х, то функция f(z) при z->oo
также допускает представление
h+nk
Pk(z)~zn*	h + nk^0.
v=0
Для простоты изложения введем все рассмотрения для класса К
«функций f(z).
2. Дзета-функция
Построим дзета-функцию, ассоциированную с f(z). Пусть
f(z) — целая функция класса К- Отметим на комплексной плоско-
сти точки
<Хо, «1, . • • , СЬу-1,
и их выпуклую оболочку обозначим через R. В общем случае R
есть r-угольник (r<7Vj. Направления внешних нормалей к R
назовем критическими. Не нарушая общности, можно считать, что
в вершины r-угольника R попадают первые г показателей экспо-
нент
а0, си, ..., (Хг-ь
322
Удалим из z-плоскости г секторов сколь угодно малого раство-
ра (s = 0, 1, ...» г—1) с биссектрисами, параллельными крити-
ческим направлениям. Оставшуюся область обозначим через й;
она в свою очередь распадается на г открытых секторов й4
(s=0, 1,	г—1).
Легко устанавливается следующая
Лемма 1. При достаточно большом М в пересечении областей
| z| >М и й отсутствуют нули f(z).	__
ф В самом деле, легко проверить, что Reaz=(a, z), где спра-
ва стоит скалярное произведение векторов а и z. Пусть теперь z
для определенности принадлежит области Йо. Тогда геометриче-
ски ясно, что при z^R с некоторым б>0 будет выполняться не-
равенство Reao-z—ReafeZ>6|z| (k = 0). Вследствие этого сразу
получаем f (z) = czn®ea®2(l+о(1)). Аналогичные оценки справедли-
вы и в других секторах й$. Ц
Выберем теперь в одном из секторов й (для определенности
Йо) луч I и построим контур Го, состоящий из дважды проходи-
мого луча I и окружности у с центром в нуле. Не нарушая общно-
сти, можно считать, что f(0)#=0 (в противном случае f(z) можно
было бы разделить на целую степень z). Очевидно, при этом луч
/ и окружность у можно выбрать так, чтобы все нули f(z) оказа-
лись во внешности контура Го.
Замечая далее, что при 2^Г0, z-^oo,
введем в рассмотрение интеграл
Zo (a) = С г° dz9
ov 7	2л/ I f(z)
г«
который сходится в полуплоскости Reo>l. В формуле для Zo(a),
положено
z-a__e-« Ln Z
где Lnz — фиксированная регулярная ветвь логарифма во внеш-
ности Го. Функцию Zo(a) назовем дзета-функцией, ассоциирован-
ной с функцией f(z).
Лемма 2. При Re a> 1
Zo (or) = X V”»
(0
где zi — нули f(z).
♦ Поскольку f(z) — целая функция первого порядка, для
T(z)/f(z) справедливо равномерно сходящееся в каждом конечном
круге разложение
323
H?>_ = y[-J-4--L)+a.
f.(z)	*J(z — it	zt J
(I)
Используя тот факт, что при |z,| >R нули f(z) лежат в секторах,
нетрудно получить оценку \z—zi\>8|z/1 (б>0) для всех I и зеГ0.
Разобьем сумму в правой части на две:
(О (Г) (И
ютнеся ко второй слагаемые, для которых |z/| >R. Легко видеть,
что
(/") (И	(И
.при достаточно большом R. Умножив f'(z)lf(z) на z~° (Reo>2)
возьмем интегралы от обеих частей по контуру Го. Оценка для
суммы позволяет переставить местами интегрирование и суммиро-
вание. Так как далее
— f Z-° I—— + — ) dZ = 27-a,
2ш J	(z — zi	zi J 1
то при Recr>2 все доказано. Замечая, что обе части доказывае-
мого равенства определены и регулярны в полуплоскости Recr>l,
мы делаем вывод о справедливости равенства при Reo>l. Ц
Лемма 3. Дзета-функция Zo(o) аналитически продолжается
во всю о-плоскостъ как целая функция.
ф Для доказательства разобьем интеграл для Z0(o) на четыре
интеграла:
о
=4 (tf) + 4 (tf) + 4 (tf) + 4 (tf)-
Легко видеть, что Л (а) и /4(сг) — целые функции о; /2(о) анали-
тически продолжается в полуплоскость Reo>—vo. Наконец, Л (о)
при Reo>l равно нулю, и следовательно, аналитически продол-
жается нулем на всю плоскость. Поскольку v0 любое, лемма 3 до-
казана. И
Полученное представление позволяет найти значение Zo(cr)
в целых точках.
324
Лемма 4. При т = 2, 3, ...
Zo (пг) = ——-	— dz.
0V 2ш' У f(2) 2т
V
При т = 0, 1, 2, ...
где — коэффициенты в разложении f'(z)// (z).
ф Ограничимся доказательством последних равенств, которые
в дальнейшем будут иметь основное значение. Обратимся к фор-
муле для Zo(o'). При а целом и неположительном имеем Л(о)=0,
поскольку под знаком интеграла оказывается регулярная внутри
у функция z; далее, /2(а)=0 при целом а вследствие того, что
однозначная функция z интегрируется вдоль луча I в двух проти-
воположных направлениях. Учитывая далее, что /3(о)=0, мы све-
дем вопрос к вычислению интеграла Л (а). Это, очевидно, приве-
дет нас к формуле для Zo(—fn).
Аналогично устанавливаются равенства для Z0(/n). Подчерк-
нем, что значения Z0(o) в целых положительных точках опреде-
ляются поведением f(z) в окрестности нуля, в то время как зна-
чения <в целых отрицательных точках выражаются через пара-
метры асимптотики при z->oo. Ц
3. Регуляризованные суммы корней функции
класса К
Изучим асимптотику корней f(z). В общем случае можно
утверждать, что для больших по модулю корней f(z) справедли-
ва асимптотическая формула
zn,s = asn(l+о(1)), as = — 2ж --.
®s+l — а»
Здесь s=l, 2, ..., г—1 — номер сектора TSf в котором располага-
ется серия корней; а$ и as+i — вершины соответствующей сторо-
ны многоугольника R, причем при s = r—1 под аг следует пони-
мать «о.
Для получения значений регуляризованных сумм формула для
zn,s оказывается недостаточной. Однако при некоторых предполо-
жениях относительно показателей экспонент она допускает уточ-
нение.
Предположим сначала, что на границе многоугольника лежат
лишь числа «о, «1» • • •, «r-ь все остальные N—г показателей попа-
дают, следовательно, внутрь многоугольника. В этом случае фор-
муле для zn,s можно придать следующий вид:
[ 1 . h In n cs , VI ^s) (ln n) |
Zn,s~asn jl +bs n + n +2j „л+i j-
325
где Rks()nn)—полиномы степени k относительно Inn. Все коэф-
фициенты выражаются через параметры асимптотики f(z). В час-
тности
2 л i	1 ns — ns-[-x
as = -----, bs =------—,
as+1-as s
cs = —— {(ns—ns+i) Ln as—Ln Po+‘ + Ln £o + ni}.
Здесь числа ns суть показатели при главных членах © формуле
для Pk(z).
Асимптотическая формула для zn>s устанавливается методом
итераций, и мы не будем останавливаться на ее выводе.
Аналогичная формула для корней /(z) может быть получена
и в том случае, когда на стороне многоугольника R оказываются
не два, а три и более показателей экспонент (однако в предполо-
жении, что сторона делится соответствующими точками на соиз-
меримые части).
Соответствующие асимптотические разложения аналогичны
полученным, однако содержат дробные степени п.*>
Получим теперь регулированные суммы корней функции f(z).
Для простоты будем предполагать, что корни zn,s функции f(z)
допускают асимптотическое представление по целым степеням,
хотя и в случае асимптотики по дробным степеням п все проводи-
мые ниже рассмотрения в принципе сохраняются.
Возведя обе части для zn,a в степень —а, получаем
z~° ~ а-°п-а (1 4- bs 4-
ns s	5	*.
1 ,Гй‘’>(Ья)
’s n + L
k=A
—a
Поскольку известная формула Тейлора для функции (1+х)а спра-
ведлива и при комплексных х и а, мы можем представить третий
множитель в правой части асимптотическим рядом и в результа-
те получить формулу
V	1ПП)
'n-s 2. nk+a
k=Q
где.
k
QfeS) (a, In n) = У dk\ (a) lnv n,
v=0
в d£%(a)— полиномы относительно о. В частности,
do,о (tf) =• 1,
*) В случае, если стороны многоугольника разбиваются показателями экс-
понент на несоизмеримые части, все рассуждения в основном сохраняются, од-
нако асимптотические формулы для zn,e имеют гораздо более сложный вид.
326
(a) ~ — ocs, dli\(a) = —<jbs.
Фиксируем некоторое целое достаточно большое т. Из формулы
для z~°s следует, что функция
И=1 S—О	k=0
допускает аналитическое продолжение в полуплоскость
Re сг>—т,
так как общий член ряда есть O(lnT+1n/n-<T+1+a)). Наша цель —
отыскание чисел
¥?’(—т) (т<х),
которые мы назовем регуляризованными т-суммами корней f(z).
Заметим, что первый индекс корня zn,s определяется значени-
ем целочисленного параметра в асимптотической формуле; конеч-
ное число корней f(z) при таком способе нумерации может ока-
заться непронумерованным или же, наоборот, может оказаться
избыток целочисленных индексов в конечном числе. Штрих
над знаком суммы означает, что в первом случае непронумерован-
ные корни включаются в сумму, а во втором — что первые слагае-
мые в квадратной скобке, снабженные избыточными индексами,
считаются нулями.
Учитывая это замечание, найдем значения регуляризованных
сумм. Введем в рассмотрение функцию
n=l s=О k—Q
регулярную при Rea>l. Имеем Т?”(a) = Zo(<т)—Фт0)(о). Так как
Zo (а) — целая функция, то вместе с (о) функция ф!^ (<г)
аналитически продолжается в полуплоскость Rea>—т. Заметим,
что Ф<0)(а)
выражается через ^-функцию Римана и ее производ-
ные. В самом деле,
т k г—1	00
&==0v=0 s=0	n=s=l
т k
==SSD^(a)(~1)^<v)(^+(T)-
k=0 v=0
Поскольку значения ^-функции Римана и ее производных в целых
отрицательных точках известны, можно найти значения
327
Ф^(— tn)	при т<т. Учитывая формулы для Zo(—m), мы при-
ходим к следующей теореме.
Теорема 1. При любом целом т<% справедливы равенства
Inn)
=40^1-ф?)(-/п),
где <Om+i— коэффициенты разложения f'(z)/f(z), а числа
Фт0)(—пг) определяются формулой выше.
Оба слагаемых в правой части зависят от выбора контура Го,
введенного при определении функции Z0(o), в то время как их
разность не зависит от Го, поскольку этим свойством обладает
левая часть. Используя эту инвариантность, а также серию ли-
нейных соотношений, возникающих в результате приравнивания
нулю коэффициентов при полюсах ^-функции и ее производных’
можно получить линейную рекуррентную систему для определения
коэффициентов асимптотического ряда zn,s.
Получим систему для первых корней f(z). Пусть q0— некоторое
натуральное число. Поскольку общий член ряда для Т? есть
О (п“"т-1-а 1пт+1п), легко получаем для всех тст<1
+^+-
—Фт0) (—гп) + О (qm-x 1пт+1 q).
Эти соотношения можно рассматривать как систему уравнений
относительно первых корней функции f(-z). Недостатком этой си-
стемы является имеющаяся неопределенность в отношении числа
неизвестных в левых частях формулы. Мы сейчас устраним эту
неопределенность. Заметим, что
Qls)(0, lnn) = 0,	и($}(0, lnn)=l.
Поэтому, если положить в формуле т = 0, в левой части мы по-
лучим целое число, равное избытку или недостатку корней при
заданном способе нумерации. Это целое число мы будем называть
дефектом регуляризации и обозначать через х. При этом следует,
что
г—1	г—1
X = ®<°> + J- — У bs Lnas + У Cs,
s=0	s=0
где под Lnas понимаются значения регулярной ветви логарифма,
фиксированной нами. Таким образом, число неизвестных в левой
части формулы равно p = qr + %.
328
Полагая т>р, мы перепишем систему для корней f(z) в виде
р
X =	т=1, 2.......р.
1*=1
Через s*m(q) обозначены правые части. Из наших рассуждений
следует, что они определены с точностью до 0(<7-T+mlnT+1<7).
ЗАДАЧИ
1.	Пусть задан дифференциальный оператор L, порождаемый краевой за-
дачей: I(у) =—у"+р(х)у=ку,у(0) =у(я) =0. Пусть Хп—его собственные зна-
чения. Доказать, что
Sm „2	—г Р^+рМ
(Хп п Cq) — 2 со	>
п=1
где
л
со = ~ J p(x)dx.
о
2.	Пусть L — дифференциальный оператор:
И у) = г/(4)+р (х) у=г/ (0) = у" (0) =«/ (л) = у" (л) = о.
Пусть Хп — его собственные значения. Доказать, что
"»+"<">.
п=1
если
л
J p(x)dx = 0.
о
3.	Рассмотреть краевую задачу
(D2 - а2) 2у = iaR{ (р (х) - X) (D2 -а2) у- р" (х) у},
^(0)=/(0)=t/(l)=/(l)=0,
D=d[dx, X—спектральный параметр, а и R — вещественные константы, р(х) —
вещественная функция. Вычислить первую регуляризованную сумму.
Данная задача возникает в теории гидродинамической устойчивости и но-
сит название задачи Орра—Зоммерфельда.
4.	Пусть f(z)—целая функция класса К. Рассмотрим функцию £s(cf) =
= где zn>s — серия корней, расположенная в одном из секторов Т«.
(п)
Доказать, что
gs(a)=z^l(q)~zs(q)
b v ' е2Ша _ j
Поэтому t,s (a) — мероморфная функция .
329
5.	Пусть L —оператор I(у) = — у"+р(*)у=Ьу, */(0) = г/(л) =0. Пусть Хя>
>0. Доказать, что
со
V (v^—n— — 4——УКг arctg—7= — — ) =
4U \	пл	V Кп л /
п—.
где
л
л	1	1 Г	2
— “Г“> h — —"7“ , 1ъ — —"Т" I Р(х)^х> С1 =—	^2,
2	2	4 J	л
0
В2 — число Бернулли, у — постоянная Эйлера,
оо
Л(5) = 2к„-к'
П=1
§ 4.	СЛЕДЫ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Как уже было сказано выше, доказанная в предыдущем пара-
графе теорема 1 позволяет получать формулы регуляризованных
следов для широкого класса задач, порожденных обыкновенными
дифференциальными выражениями на конечном отрезке со слож-
ным вхождением спектрального параметра. Представляет значи-
тельный интерес вопрос о получении формул регуляризованных
следов дифференциальных операторов с частными производными.
В данном параграфе мы изложим решение этой задачи, основан-
ное на теории возмущений абстрактных дискретных операторов.
Дадим следующее определение.
Определение 1. Оператор Т, действующий в сепара-
бельном гильбертовом пространстве Н, называется дискретным,
если существует некоторое комплексное число Хо такое, что
Ru = (T—^E)-1 является вполне непрерывным оператором в Н.
Таким образом, оператор Т является дискретным, если при
некотором числе Хо его резольвента является вполне непрерывным
оператором.
Согласно свойству спектра вполне непрерывных операторов
(см. лемму 3 п. 3 § 3 г. IV) спектр оператора	состоит из
не более чем счетного набора нормальных собственных значений,
имеющих единственную предельную точку нуль.
Так как S(/?%0)— спектр оператора — это образ множе-
ства S(T) — спектра оператора Т (включая бесконечно удален-
ную точку) при отображении (А,—Ло)-1, то спектр оператора
Т состоит из изолированных точек, не имеющих предельных, кро-
ме бесконечности.
330
Согласно рассмотрениям § 3 гл. IV проектор, соответствующий
точке XeS(T), совпадает с проектором оператора 7?х0 соответст-
вующим собственному значению (X—Хо)-1. (Это можно показать
с помощью замены переменной в интегральном представлении
проектора.)
Таким образом, размерности собственных подпространств у
дискретного оператора Т конечны, т. е. каждое собственное зна-
чение оператора Т имеет конечную кратность. Из тождества Гиль-
берта для резольвент имеем для любого X из резольвентного мно-
жества:
Rk=Ях0 (£ + —Ч) RkP
Следовательно, если R^— вполне непрерывен, то оператор
RK вполне непрерывен для любого X.
Предварительно докажем некоторые вспомогательные утверж-
дения, представляющие и самостоятельный интерес.
В сепарабельном гильбертовом пространстве Н рассматрива-
ется замкнутый оператор Т. Пусть спрямляемый контур Г, огра-
ничивающий область D комплексной плоскости, обладает следую-
щими свойствами:
а)	все точки этого контура являются регулярными значениями
оператора Г;
б)	весь спектр оператора Т внутри D состоит из конечного чис-
ла нормальных собственных значений Хь ..., Хп.
Пусть Р — ограниченный оператор в Н — удовлетворяет ус-
ловию шах||Л£х(Т)|| =7< 1, где RK(T) = (T—ХЕ)-1 — резольвен-
% с г
та оператора Т. Покажем, что в этом случае все точки контура
Г являются регулярными значениями оператора Т+Р, причем для
резольвенты оператора Т+Р справедливо соотношение
(Т + Р) = (Т) + £ (-1)% (Т) [РРК (Т)]\
k=\
где операторный ряд в правой части сходится со скоростью гео-
метрической прогрессии со знаменателем q.
В самом деле, очевидно, справедливо равенство
(Т+Р-Х£) = (Т+Р-ХЕ) (Т-ХЕ)/?ДТ) = \E + PRK(T)](T—\E).
Поскольку при Х<=Г \\PRK(T)	то оператор E + PRK(T) об-
ратим, причем справедливо соотношение
[£+рт?х(Л]-1=£ (-1)ЧР/?ДЛГ.
Далее, поскольку при ХеГ обратим также и оператор Т—КЕ, то,
используя равенство	=	получим соотношение для
Rk(T+P).
331
Проинтегрировав по контуру Г это равенство, умноженное на
, получим соотношение
Pr(T + P) = Pr(T) + yCk,
где
Pr(T + P)=^-[RK(T + P)dk,
ZJT I
г
Pr(T)^-^-[RK(T)d%,
Л71 J
Г
cs=^f^[P/MW, k = \, 2,...
2Л J
Г
Пусть C = f Ck.
k^=\
Отметим, что в силу результатов п. 3 § 3 гл. 4 операторы
Рг(Т+Р) и Рг (Т) являются операторами проектирования, при-
чем, в силу свойств контура Г, Рг (Т) конечномерен и осущест-
п
вляет проекцию на подпространство Lp= где L%k— КОр-
k~i
невое подпространство, соответствующее нормальному собствен-
ному значению Kk^D.
Установим теперь, что операторы Ck и оператор С являются
конечномерными, причем след каждого из них равен нулю.
Теорема 1. При любом &=1, 2, ... операторы Ck являются
конечномерными, причем Sp С\ = 0.
ф По теореме Коши о вычетах имеем
Ck = Y R^.{RK(T)[PRK(T)]k}.
i=i
В окрестности точки X/ оператор-функция Ri(T) имеет следующее
разложение в ряд Лорана (см. п. 3 § 3 гл. 4):
₽,|'7, = 77^Ъ 1	^7Г=Т\ + Р« + Р‘(’— */>+••••
/V А у у	А —— Лу /
где операторы Р_т, т=1, 2, являются конечномерными, при-
чем размерность каждого из них не превосходит Af; = dimL^..
Используя это разложение, получим
Resx {/?Х(Т) [Р/?х(Т)Г} = Г Р£1РР£Г ... .PP/ft,
~1<‘т
332
Поскольку суммирование ведется по индексам 1т, удовлетворяю-
щим условию г’1 + .. . + ife+i = — 1, то в каждом слагаемом правой
части написанного выше равенства встречается хотя бы один
оператор Рт с отрицательным индексом, т. е. каждое слагаемое
является конечномерным оператором. Так как число слагаемых
конечно и число точек спектра оператора Т внутри D также ко-
нечно, получаем, что операторы С* конечномерны. Далее, исполь-
зуя очевидные свойства коммутативности и аддитивности следа-
конечномерных операторов и симметрию вхождения индексов
имеем
Sp Ck = Sp Resx. {Rx (T) [PRx (T)]*} =
I SpP12P...PffcPPZfe+1P{1P =
~^lm
= Sp Resx. {[Rx (Л	(T) P).
Откуда, применяя теорему Коши о вычетах, получим’
Sp cfe = ^- Sp у [Rx (Л Py-'Rl (D PdK.
г
Поскольку контур Г замкнут и на этом контуре Rk(T) является7
дифференцируемой оператор-функцией и -^-RK = R^ (см. п. I
dX
§ 3 гл. IV), окончательно имеем
SpCfe =Sp J d[RxPp = °. 
Г
Следствие. Спектр оператора Т+Р внутри D состоит и&
конечного числа нормальных собственных значений.
В самом деле, оператор Рг (Т+Р) является конечномерным,
поскольку он вполне непрерывен, как предел по норме вполне не-
прерывных (даже конечномерных) операторов, и является опера-
тором проектирования.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Оператор С является конечномерным, причем
SpC = 0.
ф Заметим, что конечномерность оператора С следует из ко-
нечномерности операторов Рг(Т+Р) и Pr (Т). Утверждение о ра-
венстве нулю следа оператора С нельзя непосредственно заклю-
чить из теоремы 1. Для того чтобы доказать равенство следа опе-
ратора С нулю, докажем предварительно несколько лемм.
Лемма 1. Размерности операторов Ck не превосходят
const •&, где константа не зависит от k.
333
ф Введем для произвольного целочисленного набора (ib i2, ...
ife+i) функцию g(/)=='^i/nf t = \, 2, ... , k4-1. Положим
m=\
g(0)=0. Поскольку в правой части формулы для Resx/ {7?х (Т) х
X	суммирование ведется по наборам индексов, удов-
летворяющих условию £(й+1)= — 1, то для любого такого набо-
ра найдется номер tQ такой, что g(^)>0 при 0<£<Z0,	1) <0,
причем £(/0)<—й<н-ь Тогда каждое слагаемое в правой части
указанной формулы представимо в виде
... />,,/)?-„ (РР,1М... pplt+l).
где m — одно из чисел 1, 2, ..., Z, g(Z)>0 при OcZcZo,
5Ко+О<О» ЖХт. i\+24- • •. 4-»fe+i = /n— 1 — g(/0).
Обратно, каждый оператор такого вида является слагаемым
правой части формулы для Res^.{/?х(Г) [PR%(T)]k}. Получаем,
что
k I tn—1
Resl; (R,. (7) [PR, (7)]‘> = (у у у у P,.₽... plt p) X
/o=0 m=l /t=0 ч+...+^0=^1
£ РР:.^--РРЦ
Заметим, что в правой части этой формулы (&+ 1)	— сла-
гаемых, каждое из которых есть конечномерный оператор, размер-
ность которого не превосходит Af/ = dimL^., откуда и заключаем
о справедливости леммы 1. |
Лемма 2. Пусть последовательность конечномерных операто-
ров Dn сходится по норме к конечномерному оператору D, причем
||Z)n—D||dimDn-+0 при п-+оо. Тогда SpZ)n->SpZ) при п-+оо.
ф Имеем разложение H=R(D—Dn)®Z(D*—Dn*)> где
R(D—Dn) — область значений оператора D—Dny Z(D*—Dn*)—
нулевое подпространство оператора, сопряженного к D—Dn.
Пусть фх, ... , <pVn— ортонормированный базис в пространстве
R (D—Dn>) Дополним его до ортонормированного базиса во всем
Н элементами ф7, / = vn+l, ... из Z(Z)*—Z)n*). Тогда, по теореме
<о следе для ядерного оператора, имеем
Vn	со
Sp (D— О„) 4- £ ((D—D„)<P/ ,<fj) 4- J ((D—D„)q>/r q>/)=
/=1	/=vn4-1
Vn	oo	vtl
= J ((£>—<p,) 4- £ (Ф/, (D‘—Dn)<p;)	Dn)q>/t <p/).
/=1 /=1
334
Отсюда заключаем, что
| Sp Dn—Sp D | < \\D—Dn||dim (D—Dn) <
<||D—Dn\\ (dimDn + dimD)~>0 при rw-oo. Ц
.Замечание. В ходе доказательства леммы 2 нами попутно
установлено утверждение о том, что след конечномерного опера-
тора не превосходит нормы этого оператора, умноженной на его
размерность.
Применяя леммы 1 и 2 и используя, что операторный ряд для
С сходится со скоростью геометрической прогрессии, получаем до-
казательство теоремы 2. Ц
В качестве непосредственного следствия доказанных теорем 1,
2 получаем известную теорему об устойчивости корневой кратно-
сти в формулировке, аналогичной формулировке теоремы Руше об
устойчивости числа нулей аналитической функции.
п
Пусть vr(T)=£J dimLxy* а vr(T + P)— аналогичная величина для
/=1
оператора (Т+Р).
Следствие (теорема об устойчивости корневой кратности).
Справедливо равенство: vr (T)=vr (Т + Р).
Действительно, для доказательства этого равенства доста-
точно взять след от обеих частей равенства
Рг(Т + Р) = Рг(Л + ХС*
£=1
и воспользоваться соотношениями
Vr(T+P)=SpPr (Т+Р), vr(T)=SpPr ID-
Эти последние соотношения получаются, если вычислить следы
соответствующих операторов в базисах, первые векторы которых
составляют ортонормированные базисы в пространствах, на кото-
рые операторы Рг (Т) и Рг(Т+Р) осуществляют проекции. Ц
Перейдем к изложению основного результата данного пара-
графа.
Рассмотрим в сепарабельном гильбертовом пространстве Н
дискретный самосопряженный оператор Т. Потребуем дополни-
тельно, чтобы существовало такое действительное число с, что
(Tf, f}>c(f, f)
для всех f(=JDT — области определения оператора Т. Операторы,
для которых выполнено указанное неравенство с квадратичной
формой, называются полуограниченными снизу. (Если выполнено*
противоположное неравенство, то оператор полуограничен сверху.).
Если, в частности,
(Tf, f)>0
335
для всех f<^DT, то оператор называется положительным, точно
так же, как и в случае ограниченного оператора. Всякий полуог-
раниченный оператор может быть выражен через некоторый поло-
жительный оператор посредством одной из формул
T = S +	Т=— S + cE.
Поэтому достаточно рассматривать только положительные
операторы.
Поскольку оператор Т — дискретный, то у него имеются лишь
собственные значения с единственной предельной точкой на бес-
конечности. Поскольку (Tf, то для собственных векторов
фп будут выполнены неравенства
0<(7фп, фп)=А,п(фп, фп),
"т. е. собственные значения положительного дискретного оператора
неотрицательны и могут накапливаться лишь к +оо. Расположим
их по возрастанию с учетом возможной (конечной) кратности:
41 0	.
Обозначим через N (X) следующую функцию: JV(X)~ £ 1. Пред-
положим, что N(k)=0(№), 0<р<1 при Д->оо. Пусть у — некото-
рое фиксированное число, удовлетворяющее условию у >-------.
1 — р
Справедлива следующая лемма.
Лемма 3. Существует последовательность действительных
чисел {ап}, an~^oof /гт<ап< (п+1)т такая, что dn~d(an,
>const-nT(1-p)-1, где константа не зависит от п, a d(A, S(T)) озна-
чает расстояние от точки К до спектра оператора Т.
ф Рассмотрим отрезок Ап = [п\ (п+ 1)т], /г=1, 2, .... Длина от-
резка Дп при п->оо есть величина порядка пт~1. Из условий на
N (А) следует, что при п-^оо число точек спектра оператора Г, на-
ходящихся на отрезке Дп, есть величина порядка не больше, чем
п1р. Отсюда следует, что при больших номерах п на отрезке Дп
существует точка ап, отстоящая от спектра оператора на величину
порядка не меньшего, чем п^1-?1. Лемма доказана. Ц
Обозначим lk = {k : Re k = ak}, и пусть и hn— ближайшие
к прямой lk собственные числа оператора Т, расположенные соот-
ветственно слева и справа. Согласно лемме 3
1Ч+1—Ч । const  Av(1-₽)_1 •
Пусть Р — некоторый ограниченный оператор, определенный
всюду в Н. Обозначим Г* прямоугольный контур на Х-плоскости
с вершинами в точках (—ak, ak), (ak, ak), (ak) —ak), (—ak, —ak).
Докажем лемму.
Лемма 4 Оператор Т + Р является дискретным оператором.
При достаточно больших k все точки контура Г* являются точка-
3?6
ми регулярности оператора Т+Р. Все собственные числа операто-
ра Т+Р, лежащие в полосе —ak<.ReK<ak, попадают внутрь пря-
моугольника число собственных чисел (с- учетом алгебраиче-
ской кратности) операторов Т и Т+Р внутри контура Г& совпада-
ет. На контуре Г* справедливо разложение
N
(Т + Р) =	(Т) 4- £ (-1	(Т) [РЯХ (Т)]* + BN,
где
Bn = Rk(T + P)[PRk(T)]^.
ф Необходимо показать, что при достаточно больших k для
любого g^H однозначно разрешимо уравнение
(T+P-\E)f = g, %е=Г*.
Поскольку Т — самосопряженный оператор, то (см. п. 1 § 3
гл. IV) ||/?х(Т) II = l/rf(X, S(T)), где d(2i, S(T)) — расстояние от
точки К до спектра 5 (Г) оператора Т. Согласно выбору контура
Г/г имеем
тах(|Л\(Т)(| =0 f—!— при fe->oo.
ьег^	\ dk /
Так как (1—р)у>1, то О f—при £->оо. Действуя
\ dk /
на равенство (Т + Р—KE)f=g оператором Rk(T) справа, получим
(E + PRk(T))J=RK(T)g. Так как Р — ограниченный оператор, то
при достаточно больших k ||Р/?К(Т) ||< 1 при Отсюда следу-
ет, что оператор E + PRK(T) обратим, причем на контуре П спра-
ведливо следующее важное для дальнейшего соотношение для
резольвент
Ъ. (Т + Р) = RK (Т) + £ (-	(Т) [PRK (Т)Г.
k=A
Из этого соотношения следует, что RK(T+P) = RK(T)BK, где Вк —
некоторый ограниченный оператор. Поскольку Т — дискретный
оператор, то R%(T) является вполне непрерывным оператором при
а следовательно, RK(T + P) есть также вполне непрерывный
оператор при ХеГ/е, т. е. оператор Т+Р является дискретным.
Утверждение, что все собственные числа оператора Т + Р, ле-
жащие в полосе —ak<Reh<cak, попадают при достаточно боль-
ших k внутрь прямоугольника Г*, а также утверждение, что число
собственных чисел операторов Т+Р и Т внутри контура Г& совпа-
дает, легко следуют из доказанной нами выше теоремы об устой-
чивости корневой кратности.
И наконец, в справедливости разложения для RK(T+P) убеж-
даемся непосредственно, подставив в формулу для Вы вместо
12 В А Садовничий	337
RK(T-]-P) правую часть равенства
RK (Т + Р) = RK (Т) + £ (-1 )WK (Т)	(Г)]*.
Лемма доказана. И
Умножим соотношение
RK (Т -Ь Р) =	(Л + У (- 1)% (Г) [PRk (ПР + BN
k=\
на и проинтегрируем по контуру Г* (т — натуральное чис-
2л
ло). Имеем
Prk(m, Т + Р) = РГ (tn, Л + У (-irC\(m)+D^(m),
v==l
где
Prk(m, T + P)=-f-[^RK(T + P)dK
rk
Pv^m' Т)=лН
n rk
crhW = ^-A lmRAT)[PP>AT)№, v=l, 2...........N,
н	2Л J
rft
D4 (m) = 4- f+ p) (?)Г+ 1JX-
R	2л J
Yk
Аналогично тому как была доказана лемма 1 этого параграфа,
получаем доказательство следующей леммы.
Лемма 5. Операторы Prk(rn, Т + Р), Prk(m, Т),	v =
= 1, 2, . .. , N, Dy^(ni) являются конечномерными, причем
dimDr^ (m) = O (б4™7) при &->оо
(сичвол dim означает размерность оператора).
Справедлива лемма.
Лемма 6. Норма оператора D{r^ (m) есть величина порядка
0 (^+2)[V(i-P)-i]+(-+i)v при k
338
ф Действительно, имеем оценку
IlM^ (т)|| = || ^ J М\(Т + Р) [РРх || <
П ГА
< const-max (|Ат| •||/?х(Т + Р)|(-||/?х(Т)|^+1)-ДЛ. Г*.
xerft
Заметим, что из соотношения Я*(Т+Р) = RK (Т) +	— 1)*Рх(Р)Х
6=1
X \PR%(T)]k следует, что на контуре Г\ норма RK(T+P) име^
ет при k-+oo тот же порядок убывания по kt что и норма
Rk(T), которая в свою очередь оценивается через расстояние от X
до спектра оператора 5(Г). Используя лемму 3 и свойства, кото-
рыми обладает контур Г*, непосредственным подсчетом убежда-
емся в справедливости леммы 6. В
Согласно лемме 4 внутри контура Г* при достаточно больших
k находится одинаковое число собственных чисел операторов
Т+Р и Т. Следовательно, собственные числа pt оператора Т+Р
можно занумеровать в порядке возрастания вещественных частей,
используя индексы от 1 до
Докажем, наконец, следующую лемму.
Лемма Z. Имеют место соотношения
nk
SpPrk(jn, Т + Р) = ^Т,
Z—1
nk
SpPrfe(/n, П=j*"
i=l
SpC?2(m) = —2. Sp-£- J [RK(T) P]v dk.
П rk
ф Доказательство первых двух равенств легко следует из ре-
зультатов п. 3 § 3 гл. 4, так как эти соотношения составляют со-
держание теоремы о следе операторов, действующих в конечно-
мерном пространстве. Для доказательства последнего соотноше-
ния необходимо повторить рассуждения, проводимые при дока-
зательстве теоремы 1, и применить формулу интегрирования по
частям. Ц
Взяв след от обеих частей равенства
N
[RK(Т + Р) = RK(7) + £ (~(Т) ]РЯх(ПГ + BN
6=1
12
339
и применяя лемму 7 и теорему Коши о вычетах, получим
п/г /
У ( уГ-К? + т Sp Res^ {X—> [Rx (T) P]} + ... +
i=I 4
+ -£ Sp Resx {b—1 [Rx (T) P]" \ = Sp Dff (m).
/V	L	J	K
Используя леммы 4, 5 и замечание после леммы 2, заключаем,
что SpZ?r^(m) при k-^oo есть величина порядка
о [------------5___________1.
Отсюда следует, что при N> — — --- —	— 2
у(1 — р) —1
SpDr^ (т) ~>0 при &->оо.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме о следах для
полуограниченных дискретных самосопряженных операторов.
Теорема 3 Пусть Т — самосопряженный полуограниченный
снизу дискретный оператор, действующий в сепарабельном гиль-
бертовом пространстве Н, такой, что Af(X)=O(Xp), 0<р<1. Пусть
у — некоторое число, удовлетворяющее условию у>1/(1—р).
Пусть Р — ограниченный оператор в Н.
Тогда оператор Т + Р является дискретным оператором, при-
чем для собственных чисел оператора Т + Р и собственных чи-
сел оператора Т (взятых с учетом алгебраической кратности),
занумерованных в порядке возрастания вещественных частей, су-
ществует подпоследовательность натуральных чисел nk такая, что
nk
lim V /нГ- *7 + m Sp Res, R—1 (RK (T) P)] + ... +
k~+ OO V
i=l
+ + sp ResX( [X—1 (Rx (P) РИ ] 0
при N > Y.("-+L+1£)_2.
У (1 — p)—1
Замечание Теорема 3 остается справедливой и в несколько
более общей формулировке. Так, например, можно отказаться от
условия полуограниченности оператора Т. Условие ограниченно-
сти оператора Р можно заменить на более слабое условие «под-
чинения» оператора Р оператору Т.
Заметим также, что многие классы операторов, задаваемые
краевыми задачами для уравнений с частными производными,
удовлетворяют условиям теоремы 3
Глава VI
ОБОБЩЕННЕЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Понятие обобщенной функции
В прикладных дисциплинах часто употребляется термин «син-
гулярная функция». Это понятие является обобщением классиче-
ского понятия функции. Приведем типичный пример сингулярной
функции, или, как мы ее будем в дальнейшем называть, обобщен-
ной функции. Вычислим плотность, создаваемую точкой массы 1,
находящейся в начале координат. Пусть единица массы распре-
делена равномерно внутри шара с центром в начале координат в
R3 радиуса е. Тогда средняя плотность f8(x) будет равна
/в (х) =
3___
4ле®
О ,
И < 6,
|х|>е.
Пусть 6(х) — искомая плотность, создаваемая материальной
точкой массы 1. Тогда, очевидно, что для любого объема V
f я , , , f 1, если 0 е V’,
о (х) ах — J	_
v	(О, если Ое F.
С другой стороны, если предположить, что
S / \	1- х / \	( +<эо, х —О,
6(х)= lim/e(x) =
е->0	(	0 , X ф О,
то, интегрируя это представление для б(х), приходим к противо-
речию, поскольку имеем § 8(х) dx = 0. Следовательно, такой по-
v
точечный предел от f8(x) не может быть принят за определение
плотности б(х). Посмотрим теперь на f8(x) как на функцию, за-
дающую функционал по правилу
Пеф^х,
Ф — любая непрерывная функция. Слабый предел последователь-
ности f8(x), е—>0, очевидно, равен
lim /в (х) ф (х) dx = ф (0).
___________ е->0 J
*) Если интегрирование распространяется на все пространство, мы в даль-
нейшем пределы интегрирования опускаем
341
Действительно,
I {<p(0)l = —2—1 [ [<p(x)—<p(0)]dx <
I J	I 4Л8л I J
|X|<8
3 f ,
< П------ dx = ri,
4jt83 J
|X| <E
где t] = max | ф (x)—ф (0) |. В силу непрерывности функции ф(х)
|х|<е
число ц->0, если е-^0.
Таким образом, слабым пределом f8(x), е~^0 является функ-
ционал б(х), сопоставляющий каждой непрерывной функции ф(х)
число ф(0):
lim f f& (х) ф (х) dx = (б, ф) = ф (0).
е->0 J
Запись функционала б(х) в виде (б, ф) удобна и будет употреб-
ляться <в более общих случаях. Вычислим теперь полную массу.
Имеем
(б, ф) = (б, 1) = 1, ф(х) = 1.
Функционал б(х) называется Ъ-функцией Дирака, или просто
&-функцией.
Выше уже было замечено, что для задания обобщенных функ-
ций необходимо задать определенное множество основных функ-
ций {ф}, через которые обобщенные функции выражаются или на
которые они действуют. Естественно при этом требовать, чтобы
это множество осно<вных функций было линейным пространством
с некоторой топологией. Существует много пространств основных
функций, их выбор в каждом конкретном случае зависит от цели
исследования.
Пространство основных функций К.
Это пространство образуют все финитные функции ф, имеющие
непрерывные производные всех порядков. Интервал *>, вне кото-
рого функция ф равна нулю, может быть различным для различ-
ных ф^/С. Это пространство линейное с обычными линейными опе-
рациями. В этом пространстве также можно определить понятие
сходимости.
Последовательность {фп} элементов из К называется сходя-
щейся к функции среК, если существует интервал, вне которого
все фп равны нулю, и на этом интервале последовательность про-
изводных {фп}} равномерно сходится к ф(Аг) при каждом фикси-
рованном k. Если, например,
*) В случае, если функция ф(х) является функцией многих переменных,
т. е. x = {xi, х2,..., хп} — точка пространства Rn, то вместо интервала необхо-
димо подразумевать ограниченную область в Rn.
342
аа
Ф (х, а) =
а2—|х|2
о ,
|х|<|а|,
|х|>|а|,
то фп(х) = —ф{х, а), п=1, 2, ...стремится к нулю в К при п-^оо.
Функции	(х) == — ф (— , а) не стремятся к нулю в Л.
п \ п /
Сходимость в пространстве К порождается топологией, кото-
рую в этом пространстве задает система окрестностей нуля, каж-
дая из которых задается конечным набором фо(х), • ••> фт(х) не-
прерывных положительных функций и состоит из тех функций из
К, которые при всех х удовлетворяют неравенствам
|q>W 1<Фо(х), •••, |ф(т)(*)К'Фт(х).
Нетрудно убедиться, что эта топология порождает введенную вы-
t ше сходимость в /С. Заметим, что в К существуют и другие топо-
логии, порождающие эту сходимость.
Следующее утверждение дает многочисленные примеры основ-
ных функций.
Утверждение 1. Для заданной области G и любого е>7>
существует бесконечно дифференцируемая функция ц (х) такая,
что 0сц(х)<1, т)(х) = 1 при x^Ge и т](х)=0 при x^G^. Область
G^G является ее ^-окрестностью.
ф Рассмотрим функцию
fe (х) =
СЁе 82-1x12, |х|<8,
О , |х|>8.
Постоянная Се выбирается из условия jfe(x)dx=l. Если х(х) —
характеристическая функция множества G2e, то функция
П (*)=$%(#) A (x-y)dy
удовлетворяет требуемым условиям. Действительно, функция
т](х) = J /е(х—y)dy— бесконечно дифференцируема. Далее,
G28
0<п(х) < J /Е(х—y)dy= ре(|)с£ = 1;
П(х) = Jx(jf) fs (x—y) dy =
ре(£Ж xeGe,
0	, xeGge,
что и требовалось. Щ
Из доказанного утверждения непосредственно вытекает, что»
если область G ограничена, то существует основная функция
ц (х)^К такая, что ц (х) = 1 при x^Ge.
343
Пространство основных функций Soo.
Пространство Sa> состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ф(х) на прямой, убывающих вместе со своими производ-
ными быстрее, чем любая степень |х|-1, т. е. ф(х)е5оо, если для
любых фиксированных /?, q = Q, 1, .. существует такая постоянная
Cp,q(q), что
|хрф^ (х) | <СРЛ, —оо<Х<оо.
Последовательность {фп} называется сходящейся в Soo к ф(х),
если для каждого q = 0, 1, ... последовательность {ф«} (х)} схо-
дится равномерно на любом конечном интервале к ф^>(х) и если
в неравенствах
|ХРфп} WK Cp,q
постоянные Cp,q можно выбрать не зависящими от п.
В пространстве Soo можно ввести структуру счетно-нормиро-
ванного пространства, если доложить
ПфНп= Е

sup 1(1 + И')ч#)(х)|.
х£(— оо, ос)
Можно убедиться, что сходимость в этом счетно-нормированном
пространстве равносильна введенной выше сходимости в Soo.
Дадим теперь точное определение обобщенной функции.
Определение 1. Обобщенной функцией называется всякий
линейный непрерывный функционал на пространстве основных
функций.
Значение обобщенной функции f(x) на основной функции ф
записывается в виде (f, ф). Обобщенную функцию записывают
также в виде /(х), где х — аргумент основных функций {ф(х)}.
Таким образом, если задана обобщенная функция f(x), то
каждой основной функции ф(х) сопоставлено число (f, ф), при-
чем:
1) обобщенная функция f есть линейный функционал, т. е. для
любых чисел си и а2, любых основных функций ф1 (х) и ф2(х)
(А «1ф1-Та2ф2) =си (f, ф1)+а2(/, фг);
2) обобщенная функция f есть непрерывный функционал над
пространством основных функций, т. е если фп->0 в пространстве
основных функций, ТО (f, фп)->0 при П-^ОО.
Ниже для определенности в качестве основного пространства
будем рассматривать пространство X. Пространство обобщенных
функций над X будем обозначать Xz.
Обобщенные функции, задаваемые формулой
(А ф) =Sf<pdx,
где f(x) — локально-интегрируемая функция, называются регу-
лярными, а все остальные — сингулярными. Если f(x) — локаль-
344
но-интегрируемая функция, то f(x) является и обобщенной функ-
цией, так как для функционала
(А ф)=5М*
выполнены условия 1) и 2) определения обобщенной функции.
В частности, можно совершать предельный переход, так как
интеграл берется по ограниченной области.
Функционал (б, ф)=ф(0) является примером сингулярной
обобщенной функции. Такой функционал не может быть представ-
лен в виде
J f (х) ф (х) dx
ни при какой локально-интегрируемОй функции /(х). Действитель-
____________________________________________________ fl2
но, если бы это было так, то, взяв в качестве ф (х) = е £fl2~W2, полу-
чили бы, что
— °2
J /(х)е а2~и^х = ф(0)==е-Ч
И <|al
Но интеграл слева стремится к нулю при а->0, что и приводит
к противоречию.
Пространство обобщенных функций К' — линейное пространст-
во. Пусть X, цеР полю коэффициентов, тогда операция сложе-
ния для f и gy принадлежащих К', определяется следующим об-
разом:
ф)=МА ф)+н(£> ф)> Ф^/С
Функционал Xf+pg — линейный. Действительно,
Uf+|ig; а1ф1 + а2ф2) =МА «1ф1 + «2ф2)+ц(£, «1ф1 + а2ф2) =
= ai[X(f, ф1) + p(g, ф1)] + а2[Х(/, ф2) + p(g, ф2)] =
= ai (V + pg, Ф1)+a2(Xf+pg, ф2).
Аналогично проверяется непрерывность. Если фп^О, и->оо в
К, то
(V+ц^ фп) = фп) 4-p(g, фп)->0, п->оо.
Сходимость в пространстве К' определим как слабую сходимость»
т. е. сходимость на каждой функции. Последовательность обоб-
щенных функций fi, f2, ... из К' сходится к обобщенной функции
fe/С, если для любой функции ф^/<
(fn, ф)->(/, ф), п->оо.
Введение такой сходимости последовательности {fn} к обобщенной
функции f естественно, поскольку пространство К' есть со-
345
пряженное пространство для К: пространство линейных непрерыв-
ных функционалов, в котором и определяется слабая сходимость.
Заметим, что с помощью аксиомы выбора можно показать, что
над К существуют линейные, не обязательно непрерывные функ-
ционалы.
Можно показать, что пространство К' — полное пространство.
А именно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть последовательность fif f2, ... обоб-
щенных функций сходится в К'. Тогда предельная функция f:
(f, q>) = lim(/„, ф), rpeK
П->00
принадлежит К'.
Если локально-интегрируемые функции fn(x), п=1, 2, ... в
каждой ограниченной области равномерно сходятся к локально-
интегрируемой функции f(x), то отвечающие им обобщенные функ-
ции fn сходятся к регулярному функционалу f. В самом деле,
(А» Я>) = fn(x)tp(x)dx.
В силу того что область интегрирования ограничена, сходимость
/n(x)->f(x) равномерна, можно перейти к пределу под знаком
интеграла Лебега. Поэтому
lim(A„ ф)= lim ff„(x)q>(x)dx= f f(x)<p(x)dx=(f, ф).
И->ОО	/2—> СО J	J
Применяя другие теоремы о предельном переходе под знаком ин-
теграла Лебега, можно сформулировать и другие условия, нала-
гаемые на локально-интегрируемые функции fn(x), обеспечиваю-
щие сходимость соответствующих обобщенных функций fn к пре-
дельной функции.
2. Основные свойства обобщенных функций
а) Обобщенные функции допускают линейную замену аргумен-
та. А именно, если f^K', а А — неособое линейное преобразование
(det||A||#=O), то для f(Ay + b)> b — вектор, полагаем по определе-
нию, что
(/ ИУ + ty, ф) = (/,	1	\ ф е /С.
Заметим, что если / — локально-интегрируема, то, очевидно,
ИУ + &), <Р) = ( f (Ay + b) ф (у) dy = , Д	ff (х) ф [А-^х—Ь)] dx=
J	det || Л|| J
фИ-ч^-О] \
det ||Л||	) ’
т. е. справедливо равенство, принятое нами за определение.
346
, б) Просто определяется произведение обобщенной функции,
их) на бесконечно дифференцируемую функцию а(х), а именно:
(af, ф) = (/, аф), ф^/С, Цф^Л.
Если f — локально-интегрируемая функция, то
(af, ф) = J п (х) / (х) ф (х) dx = (/, аф),
т. е. справедливо то же равенство, что подтверждает корректность
данного определения. Легко убедиться, что операция умножения
на бесконечно дифференцируемую функцию а(х) линейна и непре-
рывна из К' в К''.
a(V + pg)	+p(ag), f, gt=K\
afn->0, n-^oo в Xz, если fn->0, n->oo в Xz.
Определить произведение любых двух обобщенных функций
трудно. Уже даже произведение двух локально-интегрируемых
функций не обязано быть локально-интегрируемой функцией. Ана-
логичная картина возникает и для обобщенных функций. Произ-
ведение любых двух обобщенных функций не обязано быть обоб-
щенной функцией. Тем не менее, если функции подобраны специ-
альным образом, так что «нерегулярность» одной из них компен-
сируется «регулярностью» другой, их произведение есть обобщен-
ная функция.
в) Для обобщенных функций, как и для классических, важную
роль играет понятие производной. Для простоты рассмотрим слу-
чай, когда xeR1.
Определение 2. Производной обобщенной функции f^Kr
называется функция g^K\ определенная по правилу
(g, ф) = (А —ф'Г
Заметим, что фх также принадлежит К, и данная запись имеет
смысл. В дальнейшем функционал g обозначается через
f :g = f' = df/dx.
Если f — функция, обладающая классической непрерывной
производной, то
', ф) — J f'qdx = —
поэтому и для обобщенных функций сохраняют запись для про-
изводной в виде
(/'. ф) = — jfy'dx.
Легко показывается, что f' — линейный непрерывный функцио-
нал из К'- Действительно, он определен на всем К и линеен, так.
\fq’dx=(f, — q>'),
347
как —q/ — основная функция. Далее, если фп (х) -^0, п->оо в К,
то —фп(х)->0, rt ->оо в /С, поэтому из непрерывности f следу-
ет, что
(Г, фп) = (А — фп')-*0-
Таким образом, мы приходим к выводу, что каждая обобщенная
функция имеет производную.
Примеры.
1.	Если	f^K', то n-+oQ. Действительно,
(fn, <f) = (fn, —<p')=—(fn, ф') + ~(А Ф') = (А, ф),
Ясно, что при этом выполняется также соотношение
п-^оо для любого k= 1,2,... .
2.	Пусть fn(x)— ------, n = 0, 1, 2,.... Тогда fn~+0, п-+сх>
п
равномерно относительно х, fn(x) = cosnx не стремится ни к
какому пределу в классическом смысле. Однако функционалы
fn^K' обладают тем свойством, что все их производные fn\
£=0,1,... стремятся к нулю в /С. Действительно, при k = 0 полу-
чаем исходную последовательность, она, очевидно, стремится к
нулю и в ДЛ Пусть k = 1. Тогда
(/„, ф) =—(fn> ф')^---- f sin пх ф' (х) dx -> 0, п->оо
п J
и т. д.
3.	Пусть а(х) —бесконечно дифференцируемая функция, f^Kf.
Тогда
(afY — a'f+af'.
В самом деле,
((af)', ф) = (af, — Ф')= — (А аф')=—(А (<ир)'—я'ф) =
= —(f, («ф)') + (А а'ф) = (А, «ф) + (a'f, ф) =
= (af', Ф) + (a'f, ф) = (af'+a'f, ф).
4.	Пусть
[ 0, х < 0,
е(*)= ,
( 1, х > 0.
Вычислим производную функционала 0(х). Имеем
(е'(х), ф(х)) = (0(%), — ф'(х)) =
— — J ф' (х) dx = ф(0), т. е. б'(х) = д(х).
о
Аналогично,
0'(х—h) =б(х—h).
348
5. Пусть
л. _ f 0, х<0,
*+ | х\ х>0, —1<Х<0.
Найдем производную функционала х^. Имеем
ОО	00
((х^.)', <р)=—(%+, ср')— — fxxq/(x)dx =—lim Cxxcp'(x)dx —
J	8—>0 J
0	e
= —lim {xx [ф (x) + c] |"—J А,хх-1[ф(х) + с]с1г}.
e->0	e
Пусть c——<р(0). Тогда
((x+)', <p) = lim f Xxx—1 [<p (x)— <p (0)] dx.
8->0 *
8
Определенная этим равенством функция обозначается Хх^Г1’
(Х4-)' = Хх?р“1. Функционал Хх^Г1 не является регулярным, но
при х#=0 он совпадает с регулярным функционалом.
6.	Пусть ряд
^Ьк (x) = s(x)
£=1
(bk(x) — локально-интегрируемые функции) сходится равномер-
но в каждой ограниченной области. Тогда этот ряд, формально
продифференцированный любое число раз, будет сходиться в К'.
Действительно, последовательность sn(x) частичных сумм это-
го ряда равномерно сходится в каждой ограниченной области.
Из доказательства утверждения 2 следует, что последовательность
{sn} сходится к s в К', что и требовалось.
В качестве следствия получаем, что если коэффициенты три-
гонометрического ряда
—СО
£ ckelkx
k=--00
растут не быстрее некоторой степени т, т. е.
|cft| <ср|т,	|Aj|—>оо,
то такой ряд будет сходящимся в К'. Действительно, ряд
^+2	, у ck Cjkx
(m+2)l Zd (tfe)m+2
kz=z—00
сходится равномерно в любой ограниченной области числовой
349
оси. Тогда продифференцированный т + 2 раз ряд будет сходить
ся в Л'. Производная порядка т + 2 последнего ряда совпадает
рядом
4-00
£ ckelkx.
k=—оо
7.	Получим формулы регуляризации расходящихся интегралов
от локально-интегрируемых функций. Пусть f(x) — локально-ин-
тегрируемая функция всюду, кроме точки 0, а в нуле имеет неин-
тегрируемую особенность такую, что функция f (х) [хт| уже ло-
кально-интегрируема при некотором целом т. Тогда интеграл
(A <p)=Sfqpdx,
вообще говоря, расходящийся, допускает регуляризацию, напри-
мер, вида
(А ф) = J / [ ф (*) — [ ф(°) + -р^0)-х+ ...
... +-РОТ<Р(0) Х"!] 9(1 — |x|)l dx,
ml J	J
0(1— |x|) = l, \x\< 1 и 0(1-|X|)-0, |x|>l,
где D — оператор дифференцирования.
8.	Дельта-образные последовательности. Легко убедиться, что
предел при е-> + 0 в К! следующих последовательностей:
1	8	1.x	8	. 2 х	1	4в
---------, ---gin—, ------sin2—, -----=-е
Л [х2 + 82 ЛХ 8 ЛХ2	8	2 у Л8
есть б (х) — дельта-функция Дирака. Можно дать и общий кри-
терий того, чтобы данная последовательность Д(х) сходилась к
б(х). Для этого, очевидно, необходимо, чтобы для любого N>Q
величины
ь
| j fe (х) dx |
а
были ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, е,
а также, чтобы
V Гг/чл (0, а<6<ОиО<а<6,
lim ffe(x)dx =
s-и) J	I 1, а < 0 < Ь.
а	4
х
В этом случае Fe (х) = j* fe (Z) dt стремится к функции
—1
9(х) =
О, х < О,
1, х>0.
350
Поэтому
ft (х) = Fe (х) -> 0' (x) = 6 (x), 8 ~>+ 0.
3. Дифференциальные уравнения с обобщенными
функциями
Для обобщенных функций можно формально строить диффе-
ренциальные уравнения «вида
Яо (х) ум (х) + ai (х)	(х) +... + ап (х) у (х) = f (х),
«Дх) — бесконечно дифференцируемые функции, /=0, 1, п,
у, Возникает вопрос о решении таких уравнений в обобщен-
ных функциях. Для простейшего уравнения
/ = 0
в классическом случае нет других решений, кроме постоянной
функции. Оказывается, что и в классе К' это уравнение имеет
своим общим решением
у = С = const.
Действительно, обобщенную функцию f мы считаем равной нулю,
если для любой основной функции ср
(А ф)=о.
Поэтому наше дифференциальное уравнение можно записать в
виде
(/, ф) =— (у, ф') =0-
Таким образом, обобщенная функция у задана последним равен-
ством на подмножестве основных функций, совпадающем с первы-
ми производными основных функций. Естественно, что функцио-
нал надо продолжить с сохранением его линейности и непрерыв-
ности на все пространство /(. При этом надлежит выяснить сте-
пень произвола такого продолжения.
Основная функция ф0(х) может быть представлена как про-
изводная от основной функции тогда и только тогда, когда
У = 0. Действительно, положим, ср0(х) =cpi/(x). Тогда в силу
финитности ф1(х)(=7\
J Фо (х) ^х = j ф1 (х) dx = 0.
х
Обратно, пусть $фо(х)йх = О. Тогда Ф1(х)= J cp0(x)dx— основ-
-------------------------------------------00
пая функция, причем ф1(х) = ф0(х), что и требовалось.
351
Займемся теперь распространением функционала у на все К..
Для любой основной функции ф(х) справедливо равенство
Ф (х) = <рх (х) J <р (х) dx + <р0 (х),
где ф1(х) — основная функция такая, что
j" <рх (х) dx = 1.
В самом деле, пусть ф(х) — произвольная основная функция.
Тогда
Фо (х) = Ф (%)— Фх (х) j Ф (х) dx
--------------------00
есть также основная функция, как разность двух основных. Кро-
ме того, J ф0(х) dx = O.
Учитывая, что
ф (х) = ф0 (х) + фх (х) у ф (х) dx,
а на фо (х) функционал у определен, заключаем, что для продол-
жения у осталось его определить на функции фДх). Положим
(г/, ф1) =С = const. Тогда
(у, ф) = (У. Фо) + (у. Фх) У ф (х) dx = у Сф (х) dx.
Таким образом,
(у—С, ф)=0,	ф«=К,
т. е.
у = 0=const.
Функционал у определен теперь на любой основной функции
однозначно:
(У. ф) = (*А Ф1) J ф (АГ) rfAT.
Он, очевидно, линеен и непрерывен. Поэтому уравнение у' = 0 не
имеет других решений, кроме классических, т. е. кроме констант.
Обобщенная функция g, являющаяся решением уравнения
g'=f
в классе К', называется первообразной от обобщенной функции
f. Любая обобщенная функция имеет единственную, с точностью
до аддитивной постоянной, первообразную. Перепишем уравнение
для первообразной в эквивалентном виде
(g, —ф') = (А ф)-
Как и прежде, видим, что функционал g задан на подмножестве
352
основных функций, совпадающем с первыми производными основ-
ных функций. Продолжим функционал g на все пространство К.
Воспользуемся, как и выше, равенством для любой основной функ-
ции <р:
ф (*) = Фх W j Ф W dx + ф0 (х),
гдеф1(х) —основная функция, для которой J ф1(х)(Фс=1, а
J Фо (х) dx = 0. Тогда
(g, ф) = (g> Ф1) j Ф (*) dx + (g, ф0).
Положим (g, ф1)=0. Тем самым функционал g определен на лю-
бой основной функции ф, причем
(^, Ф) = (g, Фо) = — (A J Фо (0 dt).
— со
Действительно, на функциях {ф}, которые можно представить как
производные от других функций, функционал g определен и
(g,	=	ф)-
X
Поэтому, если ф0 = ф', т0 Ф = J Фо (О6# и
------------------------------00
(g, ф) = —(А Ф) = —(A j Фо (0 dt').
------------------------00
Далее, для этого функционала g
(g', <p) = (g, — ф')=—(g, ф') = (А J ф'(О^) = (А ф)>
-----------------------------------00
поскольку можно считать, что фо = ф'. Таким образом, функционал
g удовлетворяет исходному уравнению. Он, очевидно, линеен и
непрерывен. Эта первообразная, т. е. частное решение уравнения
g' = f, определяется с точностью до постоянного слагаемого — об-
щего решения однородного уравнения g' = 0. Тем самым показано^,
что у любой обобщенной функции существует первообразная.
Полученные результаты легко переносятся на системы п ли-
нейных обыкновенных дифференциальных уравнений с п неизве-
стными функциями.
4. Прямое произведение и свертка обобщенных
функций
Определим еще две важные операции для обобщенных функ-
ций — прямое произведение и свертку.
353
Если f(x) и g (у) — локально-интегрируемые функции (ска-
кем, в Rn и Rm соответственно), то функция f(x)g(y) также ло-
:ально-интегрируема (в Rn+m). Она определяет регулярную обоб-
ценную функцию, действующую на основные функции <р(х, у) по
формулам
С (x)g (у), ф(х, y))=$f(x)g(y)(p(x, y)dxdy=
= Sf(x)!g(y)<p(x, y)dydx= (f(x), (g(y), ф(х, y))),
(g(y)f(x), ф(х, у)=ШуЧ(*)ф(х, y)dxdy =
= $g(y)Sf(x)<p(x, y)dxdy= (g(y), (f(x), <p(x, y))).
/казанные равенства составляют утверждение теоремы Фубини.
Первое из этих равенств и принимается за определение прямо-
го произведения f(x)-g(y) обобщенных функций f(x)e/C(Rn) и
g (y)^Kf (Rw). По определению полагают
(f(x) -g(y), ф(х, y)) = (f(x), (g(y), ф(х, у))), феК(И«+т).
Можно убедиться, что правая часть последнего равенства опреде-
ляет линейный и непрерывный функционал на 7((Rn+m).
Операция прямого произведения коммутативна, т. е.
f(x)-g(y)=g(y)-f(x),
где g(y)-f(x) определяется аналогичным образом. Операция пря-
мого произведения f(x)-g(y) линейна и непрерывна относительно
f из 7C(Rn) в /C'(Rn+m) и относительно g из К' (Rm) в /('(R77^).
Эта операция ассоциативна, т е.
/ (х)-[g(y)-h(z)]=\f(x)-g(y)]-h(z).
Прямое произведение можно дифференцировать по правилу:
D?[/(x)^(y)] = D“/(x)-g(y),
а также умножать на функцию a(x)eC°°(Rn)
a(x)[f(x)-g(y)]= (a(x)f(x))-g(y).
Для прямого произведения определяется и сдвиг:
(f-g) (x+h, y)=f(x+h)-g(y).
Определим теперь свертку обобщенных функций. Пусть f(x)
и g(x) — локально-интегрируемые функции в Rn, причем функция
й (х) = J | g (у) / (х—y)\dy также локально-интегрируема. Тогда
сверткой f*g этих функций называется функция
(Ф * g) (х) = J f (у) g (х— у) dy = J g (у) f(x—y)dy=(g* f) (х).
Свертки f*g и |f I* |g| =h существуют одновременно и удовлетво-
ряют неравенству ) (f*g) (х) | <й(х) для почти всех х, так что
354
свертка f*g оказывается локально-инпч pnpj< MOlT^IHmVirT'R".
Поэтому она определяет регулярную обобщенную функцию, дей-
ствующую на основные функции <peK(Rn) но правилу
(f*g, 4>)=i(f*g) (t)4>(t)dt=^g(y)f(t—y)dt](f(y)dt=
= 5g(y)tif (t—y) ф (0 dt]dy=$ g (y) [j f (x) <p (x+y) dx]dy.
Выше мы воспользовались теоремой Фубини. Таким образом, в;
этом случае
(Z*g, <р) = jV (х) g (у) <р (х+у) dxdy,	ф<= Л (R").
Отметим, что функция h(x) будет локально-интегрируемой, и по-
этому свертка существует и определяется формулой выше, если,
например, функции f и g интегрируемы на Rn или если одна из
функций f или g финитна.
Перейдем теперь к определению свертки для обобщенных
функций.
Определим сходимость к 1 в Rn последовательности
eK(Rn) следующим образом. Для любого замкнутого ограничен-
ного множества F существует такой номер N, что <p^ (х) s 1 при
x<=F, k^>N\ функции ср^(х) равномерно ограничены в Rn вместе
со всеми своими производными константой, не зависящей от k.
Равенство, определяющее свертку, теперь можно записать в
виде
(f*g, <p)=-lim(/(x)g(g), y)<f(x + yY),
где фй(х, у) — любая последовательность, сходящаяся к 1 в R2n.
Пусть теперь f и g — две обобщенные функции такие, что суще-
ствует предел для любой последовательности ф*(х)-*1 в R2n
(f*g, <P) = lim(f(x)-g(y), <pfe (х, g)T(x+«/)) =
= (/(*)•£(«/), Ф(х + г/)), <pe7<(Rn),
не зависящий от выбора последовательности. Тогда функционал
f*g, определенный этим соотношением, называется сверткой обоб-
щенных функций f и g. Заметим, что ср (х+у) не принадлежит,
вообще говоря, 7((R2n). Так как она не финитна в R2n, поэтому
свертка обобщенных функций существует не всегда.
Можно показать, что f*g^K'(Rn) и что f*6 = 6*f = f для любой
Свертка f*g — линейная операция из К' в К! относитель-
но f и g в отдельности; операция свертки коммутативна. Спра-
ведливы следующие соотношения:
Dnf*g = Dn (f*g) =f*Dng, /г=1, 2, ... ,
f (x+h) *g(x) = (f*g) (x+h), h<=R.n.
355
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1. Преобразование Фурье функций
из пространства Л1
Пусть сначала функция f(x) интегрируема на числовой оси.
Тогда можно сопоставить этой функции функцию F (f)=g (а) =
= J f (В)	которая является ограниченной и непрерывной
функцией ст, lim g(о) = 0.1 Действительно, ограниченность g(a)
\а|->оо
вытекает из оценки
Jsr(<r)l <+f И (ВЖ-
— ОО
Непрерывность g(a) и ее стремление к нулю при |о|->оо выте-
кает из следующих рассуждений: пусть f(x) — характеристиче-
ская функция интервала (а, р), тогда
F (/) = g (a) = Г e-l0xdx =-------
J	/a
a
и в этом случае все доказано; для линейных комбинаций харак-
теристических функций утверждение тоже очевидно. Наконец,
любая функция f из Л1 есть предел (по норме L1) линейных ком-
бинаций характеристических функций. Неравенство выше показы-
вает, что соответствующая функция g(o) есть предел уже в смыс-
ле равномерной сходимости непрерывных функций, стремящихся
к нулю на бесконечности. Тогда и функция g(o) непрерывна и
стремится к нулю на бесконечности.
Функция F (f)=g (а) называется преобразованием Фурье инте-
грируемой функции f(x).
Докажем утверждение о существовании обратного соответст-
вия F-l(g)=f(x) — так называемой «формулы обращения», зада-
ваемой по правилу
4-00
F~4g) = f(x) = -2- I g(o)ei<!Xda.
1редположим, что функция f(x) удовлетворяет условию Дини,
*. е. существует 6>0 такое, что
б
J И
dt
оо.
огда
fN(x)
1
2л
ЛГ
У g (о) eiax da =
—N
N 4-oo
-ST J' {
—2V —00
d<r =
356
Ц-оо	JV	4-со
f f © И e^-^do Ы = — [ f (й
2л J (J	J л J	x — g
—co	-r-2V	—oo
+ °o
1 (’ £ / ( sin Nt i,
= — f(x + t)—— dt.
Л J	t
—co
Выше мы поменяли порядки интегрирования, пользуясь тем, что
внутренний интеграл сходится равномерно по параметру о. Далее,
4-со
/лг (%)-/(%) = — { [/(х + 0-/(х)]^-Л,
<JT J	г
— оо
—00
поскольку — С	В соотношении для fw(x)—f(x)
л J t
—со
путь интегрирования разобьем на два: | /| <М и |/| >М. Тогда
слагаемое, отвечающее второму пути, можно записать в виде
J f(x + t)^y^dt—f(x) j ~^dt.
|/|>Af	\t\>M
Оба интеграла сходятся, и при фиксированном х эта величина, при
М достаточно большом, становится сколь угодно малой, незави-
симо от N>\.
Слагаемое, отвечающее первому пути интегрирования, выгля-
дит так:
м
С f(x+^-f.Sx) sinNtdt.
J t
—м
ГЧ	ПА	f (Х + О — f (Х)	*
По условию Дини функция	———- суммируема; разбивая
sinA^Z на две экспоненты, согласно вышесказанному, заключаем,
что и эта величина стремится к нулю при N-^oo (см. поведение
преобразования Фурье при |а|->оо). Таким образом, если функ-
ция f(x) интегрируема и удовлетворяет условию Дини, то, во-
первых, определен оператор F (f)=g (о) и, во-вторых, существует
обратный оператор F-X(g)==f, что и требовалось показать.
Следующие свойства преобразования Фурье легко устанавли-
ваются исходя из определения оператора F.
а)	Пусть Р (— многочлен с постоянными коэффициен-
\ dx )
, ,	d / d \ VI dk
тами от оператора дифференцирования-----, Р ---- = > ak______,
dx \ dx /	dxk
<ik^P — поле коэффициентов. Тогда с помощью интегриро-
вания по частям заключаем, что если у функции <р(х) все
357
производные до порядка п интегрируемы, то
\	\ ах /	/
б)	В силу теоремы Фубини заключаем, что если fi и f2 — две
интегрируемые функции, fi*f2 — их свертка, то
P(fi*f2)=gi(o)g2(u), g1(a)=F(fi), g2(o)=F(f2).
в)	Пусть функции f (х), xf (х), • • •, xnf (х) являются интегрируе-
мыми на всей оси. Тогда формулу F(f) = g (о) можно дифферен-
цировать п раз по о, в силу равномерной и абсолютной сходимо-
сти интегралов справедлива формула
i*F^f)=g^)=F(xkf),	£ = 0, 1, ...,П.
Функции g(k)((j) непрерывны и стремятся к нулю при |о|->оо.
Для произвольного многочлена Р(х) степени не больше п и с по-
стоянными коэффициентами имеем, что
p(i-^-\F^) = F{P{x}^.
\ da /
Таким образом, чем более сильные условия на убывание на
бесконечности накладываются на функцию f(x), тем большей
гладкостью обладает функция g(o).
Если рассмотреть класс Soo (см. п. 1 § 1, пример 2), то при
преобразовании Фурье он отображается на весь класс Soo
(от аргумента о). Действительно, с одной стороны, мы легко за-
ключаем, что функции xkf^(x) ограничены и интегрируемы на
всей оси при любых k, q = 0, 1, ...
f Ixk+2fW (x) I < Ck+2, я, I xkfM (x) I < -q+2’.g •
Тогда функция g'(o) бесконечно дифференцируема, причем
^g(^)(a) =F (xqf(x)).
Далее, функция xqf (x) бесконечно дифференцируема вместе с
f(x) и все ее производные интегрируемы, так как по формуле
Лейбница они выражаются через интегрируемые функции
xJf^J)(x). Поэтому функции
(io) kg^ (о) = (—О ’И (х’ • f (х)) («],
как преобразования Фурье интегрируемых функций, ограничены
при всех k и q, т. е. g(g)eSoo.
Таким образом, если /(x)eSoo, то g (о) eSoo, т. е. F (Soo) eSoo
(от аргумента о).
358
С другой стороны, каждой функции (о) eSoo отвечает функ-
1
ция f (х) = F~l (g) я» — i g (п) el"*d(i. Функция 2 л/(~ х) есть
/	2л J
преобразование Фурье функции g(a) и поэтому принадлежит Soo.
Но тогда, очевидно, и функция /(x)eSt3u, причем функция g(a)
•есть преобразование Фурье функции f(x). Таким образом,
F(Soo)czSoo (от аргумента х).
Нами доказано, что F(SOO)=SOO; оператор F осуществляет взаим-
но-однозначное соответствие между этими классами. Этим фак-
том мы воспользуемся при определении преобразования Фурье
«обобщенных функций.
Случай интегрируемой функции f(x) нами полностью разобран.
2. Преобразование Фурье функций
из пространства L2
Рассмотрим теперь случай функции /(x)eL2(—оо, оо). Заме-
тим, что функция f^L2(—оо, оо) не обязана принадлежать
Ll(—оо, оо) (например, (1+х2)~1/2), и поэтому требуется расши-
рить понятие преобразования Фурье на этот класс функций.
Пусть f<=L^(—оо, оо) и
N
gN(a)= j f(x)e‘axdx,
—N
тогда можно показать, что g^(o)eL2(—оо, оо) при любом N и
сказывается, что существует такой элемент g^L2(—оо, оо), для
которого
llg—Ык*->-0, N-+oo.
Элемент geL2(—оо, оо) и называется преобразованием Фурье
функции f^L2(—оо, оо):
Основное утверждение для преобразования Фурье функций из
класса L2(—оо, оо) состоит в том, что
Пг((т)||Ь-=2л||/|к
•т. е.
-[-со	4-°о
J |g-(<T)|2<fo= 2л j \f(x)\2dx.
-00	—оо
Доказывается эта теорема по следующему плану. Если f при-
надлежит классу Soo, то утверждение очевидно. В силу плотности
функций из Soo в L2(—оо, оо) равенство распространяется по не-
прерывности на все L2(—оо, оо). Действительно, если f финитна
359
и принадлежит L2, то f^L'(>— а, а), где (—а, а) — интервал фи-
нитности f(x). Поэтому существует
4-00
g(p) = J f(x)e~iaxdx.
—оо
Пусть {fn} — последовательность функций из
в нуль вне (—а, а) и \\fn—/||l2->0, n->oo.
L2
gn — F(fn) сходится равномерно к g и
L2(—оо, оо), так как в силу уже сказанного
Soo, обращающихся
Последовательность
фундаментальна в.
Wgn—gm\\L2 = V2n\\fn—fm\\L2.
В силу полноты L2, {gn} сходится в L2, причем к тому же преде-
лу, к которому gn сходятся равномерно. Поэтому в равенстве
1Ы12 = 2<П||2
можно перейти к пределу, и в случае финитной f(x)^L2 все до-
казано.
Если f — произвольная функция из L2(;—оо, оо), то функция
W<"’
I 0 , ]x\>N,
принадлежит L'(—оо, оо), gN(о) =F(fN) существует и по доказан-
ному
IlgW—g'/nllt.2 = 2л||/л-—/лт||л=-
Следовательно, и функции gN сходятся в L2 к некоторому пре-
делу g.
Переходя в равенстве
1Ы12=2л11Ы2
к пределу при Af->-oo, снова получаем требуемое утверждение.
Заметим, что если feL2(—оо, оо^ЬЦ—оо, оо), то
g(o)=F(f)
существует в обычном смысле. Функции fN сходятся к f в L1, а
^(a)->g(o) равномерно. Кроме того, gN~^g и в L2(—оо, оо), где
g — некоторый элемент L2. Отсюда следует совпадение g(o) и
этого предела g из L2.
3. Преобразование Фурье обобщенных функций
Перейдем теперь к определению преобразования Фурье обоб-
щенных функций.
Выберем в качестве пространства основных функций простран-
ство Soo. Пусть Soo— соответствующее пространство обобщен-
360
ных функций. Тогда преобразованием Фурье функции f eS«
называется линейный непрерывный функционал гр е S^, опреде-
ляемый по формуле
(Ф, g)=2n(f, ф),	g=F(q>).
Таким образом,
(F(f),g)=2n(f, q>)=2n(f(F->(g)),
т. е. F(f), f^Soo есть функционал, который на элементе g^Soo
принимает значение, равное значению исходного функционала,
умноженному на 2л, на элементе ^ = F-1g^Soo. Элементы g = F (ф)
пробегают все пространство Soo, когда ф пробегает все простран-
ство S оо, т. е. функционал F(f) определен на всем Soo, и он, оче-
видно, линеен и непрерывен.
Если функции f^Soo, cpeSoo, то, как мы уже показывали,
2л (А ф) = (ф, g),
причем при заданной f существует лишь одна (с точностью до
множества меры нуль) функция ф при всех cp^Soo. С помощью
предельного перехода убеждаемся, что данное равенство справед-
ливо и для —оо, оо), т. е. данное нами определение преоб-
разования Фурье для функционалов является расширением этого
понятия для интегрируемых функций.
Если в качестве основного пространства взять, например, про-
странство К, то в определении преобразование Фурье уже будут
фигурировать четыре пространства:
К, К', F(K), F(K)'.
Примеры.
1.	Если функция f(x) обладает тем свойством, что f(x)eblx^
b>0, например, f(x) — финитна, то ее преобразование
Фурье F(f)=g(o) является аналитической функцией в открытой
полосе: |т| <fe, a = s + Действительно,
= g($ + rt)= J f (х) e~isxe~xxdx =
-------------00
Интеграл для g(o) сходится при |т| <Ь. Формальное дифферен-
цирование дает
Д-оо
g' (<т) = J f (х) e~iax (—ix) dx,
--------00
причем полученный интеграл равномерно сходится в некоторой
достаточно малой окрестности точки о, лежащей внутри полосы
jr| <b на a-плоскости. Таким образом, функция g’(o) обладает
производной в каждой точке открытой полосы |т| <Ь, т. е. являет-
ся аналитической в указанной области.
f (х) e~ioxdx.
361
2.	Оператор Фурье в пространстве L2(—оо, оо) является огра-
ниченным линейным оператором F\L2-+L2. Непосредственной про-
веркой легко убедиться, что функции фЛ = соЛе“х2/2, где
<о„(Л) + ап (х“-хп-2 +	хп-._.	\
\	4	4-8	/
являются собственными для оператора F, при этом те коэффици-
енты, четность индекса которых отлична от четности числа п, рав-
ны нулю. Коэффициенты, четность индекса которых совпадает с
/г, находятся по формуле
J Ф (х) eix®dx —
Функции фп попарно ортогональны и	1^, 24=--4л2.
Функции срп с точностью до числовых множителей совпадают с
функциями Эрмита, которые получаются с помощью процесса ор-
тогонализации в Л2(—оо, оо) функций е-х2/2, хе~х2'2у ... .
3.	Найдем преобразование Фурье от некоторых элементарных
функций. Пусть f (х) е~х2!2. Выбирая в качестве пути интегри-
рования любую прямую, параллельную вещественной оси, и при-
меняя теорему Коши о вычетах, имеем F (f) = )/2л f (or) = рЛ2л е~о2/2.
Если f(x) = l, то F (1)=£ (о) определяется равенством
4-00
(F(l), F (ф)) = 2л (1, ф) =-2л §q(x)dx = 2n
— 00
— 2ng (0) 2л (6, g),
т. е. F(l) =6. Наконец, пусть f(x)=6(x), тогда
4-оо
(F(6), Р(ф)) = 2л(6, <р) = 2лф(0)= J g(<r)d<y = (l, g),
т. е. F(a) = ——
2л
4. Обозначим через P(g) многочлен относительно переменных
&2, -sn- Пусть P(D) — линейный дифференциальный опера-
.	n 1 d
тор, который получается при замене операторами D}= — ——
Оператор P(D) представляется, таким образом, в виде
Р (D) = V aaDa, Da = П Dai, ГР — Е, Dai = -Д-,
dx-1
m>|a|^0	/=1	!
a=(«i, «2,	»n), причем 1<а7<т, |a| ==ai + a2 + -•-4-an-
Фундаментальным решением, соответствующим P(D), называ-
ется обобщенная функция <S в R" такая, что Р =6(х).
362
Выражение u=&*f, где f такова, что свертка существует, яв-
ляется решением уравнения
P(D)u=f
Действительно, согласно правилу дифференцирования свертки
имеем: если u =	то
P(D)u=P(D) (&*f)==P(D)&*f=6*f=f.
Если P(D) — оператор Лапласа,
Л =
в пространст-
ве Rn, /г>3, то
$ п —
и
1
(2 — п) Sn
2—и
(Sn — площадь поверхности единичной сферы в Rn) является
фундаментальным решением для Д.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 70
Абсолютно выпуклая оболочка 80
Абсолютно непрерывная мера 165
Абсолютно непрерывная функция
250
Абсолютная норма оператора 307
Аддитивная группа 71
Аксиома счетности 36
--- вторая 36
--- первая 57
Алгебра 75
—	множеств 128
—	о-алгебра 128
Алгебраический базис 73
Алгебраическая кратность собствен-
ного значения 278
— размерность 186
Алгебраическое число 17
Альтернатива Фредгольма 212
Аналитическая функция 182
База окрестностей нуля 85
База топологии 35
Базис алгебраический 73
— перестановочный 203
— Рисса 203
Банахово пространство 77
Биекция 13
Биортогональная система 189
Борелевское множество 59, 140
Вектор 72
—	корневой 278
—	ортогональный 179
—	присоединенный 275
—	собственный 218
Векторнозначная функция 266
Верхний предел 15
Верхняя грань 18
--- оператора 223
Верхняя мера 134
Вещественное линейное простран-
ство 76
Взаимно-однозначное отображение
13
Вполне ограниченное множество 91
— регулярное пространство 60
Всюду плотное множество 29
Вторая аксиома счетности 36
Второе сопряженное пространство
115
Выпуклая оболочка 80
Выпуклое множество 78
Гильбертово пространство 176
Гомеоморфное отображение 32
Граница верхняя 18
—	точная 18
Грань верхняя 18, 223
—	нижняя 18, 223
График оператора 244
Группа 70	'
—	абелева 70
—	коммутативная 70
—	топологическая 71
Двусторонний идеал 75
Дефект регуляризации 328
Дзета-функция 323
Диссипативный оператор 319
Дополнение множества 12
--- ортогональное 40
Единица алгебры множеств 128
— группы 71
Единичный оператор 95
Естественное отображение 115
Замкнутое множество 27
--- относительно 28
Замкнутый оператор 244
—	шар 26
Замыкание множества 27
Замыкание оператора 244
Заряд 174
Идеал 75
—	двусторонний 75
—	максимальный 75
—	правый 75
Изолированная точка 26
Изометрические пространства 41
Изометрия 41
Изоморфные пространства 184
Измельчение разбиения 160
Измеримая функция 143
Измеримое по Лебегу множество
134
Инвариантная метрика 99
Индекс оператора 213
Интеграл Лебега 148, 149
Инъекция 13
364
Каноническая система 276
Канторово множество 30
Кардинальное число 15
Квадратично-близкие системы 195
Класс смежности 74
Кольцо 71
—	множеств 128
—	коммутативное 71
—	о-кольцо 128
Компакт 33
Компактное пространство метриче-
ское 33
Конечное множество 15
Континуум 14
Коразмерность 74
Корневой вектор 278
Корневое многообразие 278
— подпространство 278
Краевое условие 287
Крайняя точка 197
Кратность собственного вектора 279
------ значения 218, 277
Критическое направление 322
Коммуникативная группа 70
Коммутирующие отображения 46
Комплексное линейное пространство
76
Кэли преобразование 251
Лебега мера 135
Лемма Урысона 61
— Фан Цюй 309
— Цорна 19
— Шура 286
Линейная дифференциальная опе-
рация 286
— комбинация 73
Линейное многообразие 73
Линейное пространство 72
----топологическое 83
Линейно-независимая система 73
Линейный оператор 76
— — вполне непрерывный 205,
271
----Гильберта — Шмидта 209
----дифференциальный 286
----замкнутый 244
----изометрический 236
------- частично 298
----непрерывный 31
----обратный 102
----ограниченный 92
----проектирующий 215
----самосопряженный 204, 248
----симметрический 204, 248
----сопряженный 204, 245
----унитарный 236
----ядерный 295
Локально-выпуклое пространство 91
Максимальный идеал 75
— элемент 19
Матричный след 295
Мера 130
—	верхняя 134
— Лебега 135
—	полная 141
—	счетно-аддитивная 131
Метризуемое пространство 64
Метрика 22
—	инвариантная 99
Метрическое пространство 22
	-компактное 33
Минимальная система 189
Многообразие линейное 73
—	корневое 278
Множества дополнение 12
—	замыкание 27
—	образ 13
—	отображение 12
—	полный прообраз 13
Множеств алгебра 128
—	кольцо 128
—	объединение 11
—	пересечение 11
—	произведение 14
—	разность 12
—	симметрическая разность 12
—	сумма 11
—	эквивалентность 15
Множество абсолютно выпуклое 7Э
—	борелевское 59, 140
—	всюду плотное 29
—	второй категории 44
—	выпуклое 78
—	замкнутое 27
—	измеримое 134
—	канторово 30
—	конечное 15
—	мощности континуума 15
—	направленное 19
—	нигде не плотное 30
—	плотное 29
—	ограниченное 38, 86
------ сверху 18
—	открытое 26
—	первой категории 44
— поглощающее 80
—	совершенное 30
—	строго выпуклое 197
—	счетное 15
—	типа F& 58
—	типа G& 58
—	упорядоченное 18
—	— частично 18
—	уравновешенное 78
—	элементарное 130
Мощность континуума 14
—	множества 15
Направленное множество 19
Непрерывное отображение 31
Неравенство Бесселя 183
— Коши — Буняковского 24, 17Э
Нижняя грань оператора 223
365
Норма .оператора 93
Нормальное топологическое прост-
ранство 60
Нормированное пространство 77
Обобщенная функция 344
--- регулярная 344
--- сингулярная 344
—	последовательность 59
Обобщенное неравенство Шварца
222
Образ множества 13
—	элемента 12
Обратное отображение 13
Ограниченное отображение 92
—	множество 38, 86
—	сверху множество 18
Ограниченный оператор 92
Окрестность подмножества 26, 54
—	точки 26, 54
’Оператор 19
—	вольтерров 285
— вполне непрерывный 205,	271
— Гильберта — Шмидта 209
—	единичный 95
—	диссипативный 319
—	дифференциальный 286
—	допускает замыкание 244
—	замкнутый 244
—	изометричный 236
--- частично 298
— конечномерный 283
—	линейный 76
—	непрерывный 31
—	обратный 102
—	ограниченный 92
—	полный 277
—	положительный 222
—	полуограниченный сверху 335
—	полуограниченный снизу 335
—	проектирующий 215
—	простой 319
— резольвентный 219
— самосопряженный 204, 248
— симметрический 204, 248
— сопряженный 204, 245
— Фредгольмов 213
— унитарный 236
— ядерный 295
Юператорнозначная функция 266
--- аналитическая 266
Определяющая система окрестнос-
тей 55
Ортогональная размерность 186
Ортогональное дополнение 180, 188
Ортогональный вектор 179
Открытое множество 26, 53
--- относительно 28
— отображение 39, 59
Относительно замкнутое (открытое)
множество 28
Отношение эквивалентности 13
Отображение 12
—	взаимно-однозначное 13
—	естественное 115
—	замкнутое 59
—	непрерывное 31
—	открытое 39, 59
Параметры асимптотики 321
Первая аксиома счетности 57
Первообразная 352
Пересечение множеств 11
Перестановочный базис 203
Подкольцо 75
Подпространство 28, 56
—	корневое 278
—	собственное 219
Покрытие 33
Поле 71
Полная система 181
Полное метрическое пространство
40
Полный оператор 277
Полный прообраз 13
Положительный оператор 222
Полукольцо подмножеств 128
Полунорма 80
Пополнение пространства 41
Порядок оператора 277
Последовательность сходящаяся 31
—	фундаментальная 39
Предел последовательности мно-
жеств 15
Предельная точка 26
Преобразование Фурье 356
— Кэли 251
Принцип вложенных шаров 43
—	открытости отображения 105
—	продолжения Банаха — Хана
107
—	равномерной ограниченности 96
—	равномерной непрерывности 99
—	сжимающих отображений 45
Присоединенный вектор 275
Проектор 215
Проекция вектора 215
Произведение мер 170
—	обобщенных функций 347
—	операторов 76
—	скалярное 177
Производная обобщенной функ-
ции 347
Прообраз полный 13
—	элемента 12
Простая функция 251
Простое собственное значение 219
Простой оператор 319
Пространство банахово 77
—	вполне регулярное 60
—	гильбертово 11
—	нормальное 69
—	линейное 72
— локально-выпуклое 91
366
—	метризуемое 64
—	метрическое 22
—	нормальное топологическое 60
—	нормированное 77
—	операторов 76
—	полное 40
—	равномерно выпуклое 78
—	регулярное 60
—	рефлексивное 116
—	связное 29, 56
—	сепарабельное 29
—	с мерой 141
—	со второй аксиомой счетности
36, 58
—	сопряженное 92
------второе 115
—	со счетной базой 36
—	с первой аксиомой счетности
57
—	счетномерное 187
—	счетно-нормированное 89
—	тихоновское 60
— топологическое хаусдорфово 53
___ р__99
— L1—149, Р—164, £р—161
Прямая сумма пространств 74
Прямое произведение 14
------обобщенных функций
— — топологических пространств
65
Пустое множество 11
Равенство множеств 10
— Парсеваля 183
Равномерная сходимость 112
Размерность 74
—	оператора 283
—	ортогональная 186
Разность множеств 12
Расстояние между подмножествами
38
—	множествами 134
Раствор двух многообразий 265
Расширение оператора 244
Регулярное значение 219
—	пространство 60
Регуляризованные суммы корней 327
Регулярная обобщенная функция 344
Резольвентное множество 219
Резольвентный оператор 219, 273
Рефлексивность 13
— пространств 116
Ряд Лорана 267
Ряд Неймана для резольвенты 268
Самосопряженный оператор 204, 248
Свертка обобщенных функций 355
Свойство почти всюду 154
Связное пространство 29, 56
Сепарабельное пространство 181
Сжимающее отображение 45
Сильная сходимость 113
— топология 113
Симметричность 13
Симметрическая разность 12
Симметрический оператор 204, 248
Сингулярная обобщенная функция
344
Скаляр 72
Скалярное произведение 177
Слабая сходимость 114
— топология 119
След матричный 295
Собственный вектор 218
Собственное значение 2 В
----нормальное 278
— подпространство 219
Собственная функция 287
Совершенное множество 30
Согласованные нормы 84
Сопряженно биортогональная по-
следовательность 192
Сопряженное пространство 95
Сопряженный оператор 204, 245
Спектральное разложение 228
Спектральный радиус оператора 265„.
269
Спектральный след оператора 296
Спектр оператора 219
----непрерывный 220
------остаточный 230
----точечный 220
Сравнимые элементы 18
Степень отображения 46
Строго выпуклое множество 197
Сумма множеств 11
— операторов 76
Сходимость 31
— в среднем 164
------- квадратичном 164
— обобщенных функций 335
— равномерная 112, 145
— точечная 112
Сходящаяся последовательность ЗЕ
---- по мере 145
----почти всюду 145
---- сильно, слабо 113
Счетно-аддитивная мера 131
Счетное множество 15
Счетномерное пространство 187
Сюръекция 130
Теорема Арцела — Асколи 125
Теорема Банаха 96, 104, 194
— Вейля 300, 308
— Гильберта 300
— Егорова 145
— Келдыша 278
— Колмогорова 87
—	Куранта 300
—	Лебега 158
—	Лидского 314
—	Лузина 146
—	Радона—Никодима 168
—	Стоуна—Вейерштрасса 67
— Тихонова 62, 66
367
— Фань Цюй 312
— Фату 158
— Фубини 173
— Хорна 312
— Цермело 19
— Чебышева 154
’Тихоновское произведение 60
— пространство 60
"Тихоновская топология 65
Топологическая группа 71
Топологическое пространство 53
---- вполне нормальное 60
---- линейное 72
----нормальное 60
----регулярное 60
—• — с аксиомами счетности 36,
57
— — тихоновское (вполне регу-
лярное) 60
Топология 53
—	антидискретная 54
—	дискретная 54
—	индуцированная 56
—	сильная 113
—	слабая 113
—	тихоновская 65
Точечная сходимость 112
Точка внутренняя 26
—	внешняя 27
—	граничная 27
—	изолированная 26
— предельная 26
Транзитивность 13
Трансцендентное число 17
.Ультрафильтр 21
Упорядоченное множество 18
---- вполне 18
Уравновешенное множество 79
Условие Дини 356
«Фактор пространство 74
Фильтр 21
Фундаментальная последователь-
ность 39
’Функционал 76
— Минковского 81
—	однородный 80
	— положительно однородный 80
—	полуаддитивный 80
«Функция 13
—	аналитическая 266
—	измеримая 143
—	калибровочная 81
—	класса К 321
—	мероморфная 267
—	обобщенная 344
—	основная 342
—	простая 147
—	расстояния 22
— суммируемая 149
---в квадрате (в степени р) 161,
164
— целая 267
— 6-функция 342
Хаусдорфова топология 53
Хаусдорфово топологическое про-
странство 53
Центрированная система 33
Цепочка присоединенных векторов
276
Частичная упорядоченность 17
Число алгебраическое 17
—	трансцендентное 17
—	s-число 294
Шар замкнутый 26
—	открытый 26
Эквивалентность множеств 15
Эквивалентные элементы 74
Элемент максимальный 19
—	минимальный 19
Элементарное множество 130
Ядерный оператор 295
/г-кратно полная система 277
s-число 294
/^-множество 58
F-пространство 99
Ge-множество 58
//-пространство 161
//-пространство 149
//-пространство 149, 164
6-функция 342
е-сеть 49
сг-алгебра 128
о-кольцо 128