Элементарное введение в абстрактную алгебру - Фрид Э.

Author: Фрид Э.
Tags: математика алгебра точные науки абстрактная алгебра
Year: 1979
Similar
Лекции по общей алгебре
Лекции по обшей алгебре
Основные структуры и методы теории представлений
Математическая энциклопедия. Том 4
Text
                    E. Fried
ABSZTRAKT
ALGEBRA-
ELEM I
UTON
Budapest, Muszaki Konyvkiado, 1972

Э. Фрид
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ
ВВЕДЕНИЕ
В АБСТРАКТНУЮ
АЛГЕБРУ
Перевод с венгерского Ю. А. Данилова
Издательство «Мир»
Москва 1979

17.2.2
Ф88
Фрид Э.
Элементарное введение в абстрактную алгебру.
Ф88 Пер. с венгер. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1979.
260 с. с ил.
Книга крупного венгерского математика посвящена одно-
одному из наиболее важных и бурно развивающихся разделов
современной математики — абстрактной алгебре.
Написанная простым и доходчивым языком, она позво-
позволяет овладеть основными понятиями современной алгебры и
рассчитана на студентов, инженеров и всех тех, чья работа
или интересы связаны с математикой.
17.2.2
Редакция научно-популярной
и научно-фантастической литературы
1702020000
«поло jo- © dr. Pried Ervin, 1972
Ф ДКЯм—Ц" 187—79
041@1)—79 © Перевод на русский язык, «Мир», 1979

Оглавление
От переводчика
Предисловие
1. АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА
Глава первая. ГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ
1. Группы подстановок
1.1. Перестановки и подстановки
1.2. Последовательное выполнение подстановок
1.3. Разложение подстановок, циклы, транспозиции
2. Понятие группы
2.1. Числовые примеры групп
2.2. Другие примеры групп
2.3. Определение группы
3. Свойства элементов группы
3.1. Различные способы определения группы
3.2. Тождества в группе
3.3. Коммутативные группы
4. Теоретико-групповые конструкции
4.1. Подгруппа группы
4.2. Фактор-группа группы
4.3. Прямое произведение групп
5. Отображение групп
5.1. Изоморфизм групп
5.2. Гомоморфные отображения
5.3. Операции, осуществляемые гомоморфязмами
6. Полугруппы и автоматы
6.1. Полугруппа, полугруппа о единицей, группа
6.2. Свободные полугруппы с единицей
6.3. Алгебраическая теория автоматов
7. Представления групп
Глава вторая. КОЛЬЦА, ТЕЛА И ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Кольца и тела
1.1. Целые числа и многочлены
1.2. Разложение на простые множители

2. Векторные пространства и модули
2.1. Свойства векторов и элементов
2.2. Пространства, порожденные векторами, линейная зависимость,
размерность
2.3. Изоморфизм и прямая сумма векторных пространств
2.4. Модули
3. Однородные линейные отображения
3.1. Гомоморфизм векторных пространств
3.2. Операции над однородными линейными отображениями
3.3. Матрицы
4. Группы и кольца
4.1. Представления групп матрицами
4.2. Групповые алгебры
Глава третья. СТРУКТУРЫ. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
1. Структуры и операции над множествами
1.1. Операции над частями одного множества
1.2. Структуры, специальные структуры
1.3. Частично упорядоченные множества и структуры
2. Соотношения между структурами
2.1. Подструктура, гомоморфизм, прямое произведение
2.2. Идеал, примарный идеал, логические связка
2.3. Представления структур
Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННОЙ
АЛГЕБРЫ
1. Общая алгебра, алгебраические структуры
2. Категории, гомологическая алгебра
2. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
К главе первой
К главе второй
К главе третьей
3. КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

От переводчика
Мощь и красота идей и методов современной абстрактной алгебры общепри-
знаны, а сфера ее применения расширяется столь стремительно, что иногда
поговаривают об «алгебраической чуме», охватившей не только математику,
но и другие науки. Тем не менее основы абстрактной алгебры известны дале-
далеко не так широко, как они того заслуживают. Одна из причин этой несколь-
несколько парадоксальной ситуации кроется в том, что в отличие от специальной ли-
литературы, рассчитанной на профессионала, учебная и в особенности паучно-
популярная литература по абстрактной алгебре чрезвычайно бедны.
Предлагаемая вниманию читателя книга венгерского математика Эрви-
на Фрида в какой-то мере восполняет этот пробел. Тщательно продуманная
последовательность изложения, простые, недостаточно строгие доказательст-
доказательства, умение выделить главное и выразительные иллюстрации позволят чита-
читателю сравнительно легко войти в крут основных алгебраических структур,
а многочисленные примеры и задачи помогут ему активно овладеть специфи-
специфическими особенностями алгебраического мышления.
Тем, кто пожелает продолжить свое знакомство с одним из важнейших
разделов современной математики, для более углубленного изучения абст-
абстрактной алгебры рекомендуем обратиться к таким руководствам, как «Лек-
«Лекции по общей алгебре» А. Г. Куроша (М., Наука, 1973) и «Алгебра» Б. Л. ван
дер Вардена (М., Наука, 1976), в которых приведена обширная библиогра-
библиография.
Ю. Данилов

Предисловие
Успешная научно-исследовательская работа во второй половине двадцатого
века немыслима без углубленного изучения той или иной узкой дисциплины.
Соблюдение этого непременного условия приводит к тому, что специалисты в
различных областях науки не понимают языка своих ученых коллег, даже ес-
если те трудятся «по соседству». Такое положение дел весьма прискорбно, так
как разобщенность научных дисциплин лишает исследования благотворного
влияния взаимосвязей, существующих между различными областями науки.
Ущерб, наносимый узкой специализацией, в какой-то мере восполняют рабо-
работы популярного или полупопулярного характера, предназначенные не для
более подробного изложения результатов, имеющих наибольшее значение,
а для ознакомления читателя с более широким кругом сведений. Решению
именно такой задачи и посвящена эта книга.
Как уже упоминалось, в наши дни невозможно получить сколько-ни-
сколько-нибудь значительные результаты, не овладев основательно определенной об-
областью знаний. Вместе с тем именно в наши дни проникновение методов од-
одних наук в другие началось в невиданных ранее масштабах. В первую очередь
это относится к математике, методы которой находят применение в языко-
языкознании, биологии, экономике и других науках. Но для использования в этих
областях требуется совершенно «новая» математика. Математика нового ти-
типа необходима для современных вычислительных машин и физики элементар-
элементарных частиц. Раньше большинство физических или инженерных задач сводили
к «подходящему» дифференциальному уравнению, решение которого давало
ответ на поставленный вопрос. (Если найти точное решение оказывалось не-
невозможно, то удовлетворительных результатов удавалось достичь при помо-
помощи достаточно «хорошего» приближения.) В настоящее время общепринятые
взгляды на решение задач претерпели изменения.
Вместо того чтобы, как прежде, рассматривать «индивидуальные» зада-
задачи, исследователи обратились к решению «массовых» задач. Например, в
языкознании наряду с изучением структуры конкретных языков возник во-
вопрос о выяснении общей структуры языков (стимулом для постановки такого
вопроса послужили проблемы машинного перевода). При проектировании
заводов было бы неразумно стремиться к чрезмерному разнообразию: гораздо
целесообразнее сосредоточить внимание на возможностях, таящихся в типо-
типовом проектировании. При анализе работы математических машин было бы
весьма неудобно привлекать для описания каждой машины все новые и новые
принципы. Гораздо проще описывать вычислительные машины на основе не-
некоторых общих признаков.
Ни в одном из перечисленных выше случаев исследователям не приходится
прибегать к математике типа «дважды два — четыре». Гораздо чаще речь
идет о том, чтобы, исходя из тех или иных свойств, принятых за основные,
при помощи допустимых умозаключений вывести определенные следствия.
(Вспомним хотя бы о языкознании, которое учит нас, как из тех или иных час-
частей речи по определенным правилам строить грамматически допустимые пред-
предложения.) При проведении «доказательств» мы отвлекаемся от конкретных
8

особенностей основных свойств подобно тому, как в языкознании нас интере-
интересует не содержание, а лишь грамматическая правильность предложения.
Намеченный выше подход к изучению различных областей науки называется
аксиоматическим методом, а свойства, принятые за основные, — аксиомами.
В математике аксиоматический метод известен с незапамятных времен.
Впервые он был применен в геометрии (в «Началах» Евклида), но в своем
первоначальном варианте аксиоматический метод существенно отличается от
сформулированных выше требований. Аксиоматизация геометрии понадоби-
понадобилась для того, чтобы выделить некоторый единичный объект (плоскость или
пространство) из множества других объектов. Аксиоматизация, о которой
говорилось выше, необходима для того, чтобы мы могли одновременно рас-
рассматривать многие, быть может, самые различные по своим свойствам
объекты.
Внутри самой математики аксиоматические исследования нового типа
впервые появились в абстрактной алгебре. Более того, можно с полным ос-
основанием утверждать, что они ознаменовали рождение абстрактной алгебры
как науки. На вопрос «Что такое абстрактная алгебра?» ответить довольно
трудно: абстрактная алгебра связана с другими разделами математики весьма
прочными узами. Вероятно, проще всего на этот вопрос можно было бы отве-
ответить так: абстрактная алгебра представляет собой не что иное, как естествен-
естественное развитие аксиоматического метода, которое занимается изучением опе-
операций, производимых над определенными элементами. Результаты, получен-
полученные в абстрактной алгебре, находят широкое применение в математике и дру-
других науках. Тем не менее возрастающее день ото дня значение абстрактной
алгебры основано не на полученных результатах, а на развитых в этой об-
области математики методах.
Для понимания книги, безусловно, необходима определенная математи-
математическая подготовка. Мы имеем в виду не столько знание фактического
материала, сколько определенную культуру математического мышления.
В нашей книге мы пытались показать, насколько «абстрактное алгебра-
алгебраическое мышление» отличается от «общематематического мышления». Осо-
Особенностям последнего (в более или менее популярной форме) посвящено
очень много книг. Три из них мы рекомендуем вниманию читателя особенно
горячо: «Диалоги о математике» недавно скончавшегося выдающегося вен-
венгерского математика Альфреда Реньи (М., Мир, 1969), занимательную книгу
Розы Петер «Игра с бесконечностью» (М., Просвещение, 1968), знакомство с
которой вопреки несколько «легкомысленному» названию полезно не только
для тех, кто не сведущ в математике, и, наконец, книгу Дьердя Пойа «Как
решать задачу» (М., Учпедгиз, 1959), позволяющую читателю овладеть осно-
основами математического мышления. Названные нами работы не только позволят
читателю подготовиться к чтению нашей книги, но и послужат прекрас-
прекрасным введением в изучение всей математики в целом.
В этой книге мы прежде всего намеревались показать, какие методы встре-
встречаются в абстрактной алгебре, какого типа задачи они позволяют решать
и каково их происхождение. Важным звеном в осуществлении намеченной
нами программы являются доказательства. В большинстве случаев их лег-
легко отличить от основного текста, так как они набраны петитом.
Мы отнюдь не намеревались рассматривать приложения алгебры, пос-
поскольку для этого потребовалось бы основательное знакомство с теми областя-
областями науки и техники, в которых применяются методы абстрактной алгебры.
Для выполнения столь обширной задачи ограниченный объем нашей книги
явно недостаточен. Тем не менее мы убеждены в том, что все читатели, от
любознательных учащихся средних школ до инженеров, экономистов и ма-
математиков-неалгебраистов, найдут в книге немало интересного для себя.

Наибольшей простотой и наглядностью отличается первая глава, в ко-
которой вводится понятие группы в интерпретации, предусматривающей воз-
возможность дальнейшего развития. Для понимания этой части не требуется
особой математической подготовки. Те примеры, в которых предполагается
«накомство с комплексными числами, можно опустить, хотя разбор их, не-
несомненно, будет способствовать лучшему усвоению материала.
Центральная тема второй главы— векторное пространство, играющее
весьма важную роль в более новых приложениях математики, в первую
очередь тех, которые возникли в связи с появлением цифровых вычислитель-
вычислительных машин. В этой главе все вопросы рассмотрены главным образом «теоре-
«теоретически».
Третья глава посвящена множествам, над элементами которых произ-
производятся операции, совсем не похожие на обычные. Этим мы хотели подчерк-
подчеркнуть, сколь широким может быть диапазон операций в абстрактной алгебре.
(В свое время считалось, что множества, наделенные «необычными» опера-
операциями, «не имеют смысла».)
Наконец, в четвертой главе приведен совсем краткий обзор «современ-
«современной» алгебры. Разумеется, речь идет не о том, что те разделы алгебры, с ко-
которыми читатель познакомился в предыдущих главах, устарели. Мы хоте-
хотели лишь показать, что проводимые ныне исследования можно рассматривать
как новые самостоятельные разделы алгебры.
Мне доставляет особое удовольствие выразить свою признательность
Дьюлане Олах за добросовестное редактирование и любовь, с которой она
отнеслась к книге, а также Яношу Герцегу за забавные рисунки, как нельзя
лучше передающие существо дела.
Автор

АБСТРАКТНАЯ
АЛГЕБРА

Глава первая
Группы
и полугруппы
Группы подстановок
1.1. Перестановки и подстановки
В популярных книжках и школьных
учебниках математики часто встре-
встречаются разделы, посвященные ком-
комбинаторике и, в частности, переста-
перестановкам. Под перестановками неко-
некоторых элементов ( чаще всего чисел)
принято понимать все возможные
способы, которыми эти элементы мож-
можно выстроить в ряд. Подсчет числа
таких способов представляет собой
задачу комбинаторики.
Ясно, что один-единственный эле-
элемент можно «выстроить в ряд» лишь
одним способом. Если число элемен-
элементов равно двум (например, если мы
рассматриваем числа 1 и 2), то вы-
выстроить их в ряд можно двумя спо-
способами: 12 и 21. Числа 1, 2 и 3 мож-
можно выстроить в ряд следующими спо-
способами: 123, 132, 213, 231, 312 и 321.
Всего их шесть. Все они различны,
и других способов выстроить в ряд
три элемента не существует. Действи-
Действительно, на первом месте могут стоять
только числа 1, 2 и 3, а два осталь-
остальных числа в каждом из трех возмож-
возможных случаев можно выстроить в ряд
двумя способами. Аналогичный прин-
принцип позволяет подсчитать число пе-
перестановок из четырех элементов:
1, 2, 3 и 4. Любое из чисел 1, 2, 3 и
4 может стоять на первом месте, а
12
число всех перестановок трех осталь-
остальных чисел равно 6:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321.
Нетрудно видеть, что число пере-
перестановок из четырех элементов рав-
равно 24.
Число перестановок из четырех
элементов мы получим, умножив чис-
число перестановок из трех элементов
(равное 6) на 4 B4 =4-6). Шесть
перестановок из трех элементов мы
получим, умножив число переста-
перестановок из двух элементов (равное 2)
на 3. Следовательно, число переста-
перестановок из четырех элементов можно
представить в виде 24 = 4 • 3 • 2 •
•1. Проводя аналогичные рассуж-
рассуждения, нетрудно показать, что чис-
число перестановок из пяти элементов
равно 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 и т.д.
В общем случае число перестано-
перестановок из п элементов равно произве-
произведению всех целых чисел от 1 до к.
Это число принято обозначать п\
(читается: «эн факториал»).

Выполнение перестановок,
иначе говоря, рассмотрение подста-
подстановок, выходит за рамки задач ком-
комбинаторики. О подстановке мы го-
говорим в том случае, если, например,
от перестановки 1432 требуется пе-
перейти к перестановке 3124.
Подстановка — это операция, из-
изменяющая порядок элементов в пе-
перестановке.
В нашем примере
/1234
\3421
Что необходимо для того, чтобы
подстановку можно было считать
полностью заданной?
1. Необходимо задать всю сово-
совокупность элементов, над которыми
производится подстановка, то есть
конечное множество, называемое
областью определения подстановки.
это — одна перестановка, а это — другая перестановка.
1432 3124
t t
Ьсли эту перестановку заменить этой перестановкой (замену
можно обозначить горизонтальной стрелкой —>-), то получит-
получится подстановка.
Итак, подстановка приводит к за-
замене каждого элемента исходной пе-
перестановки некоторым другим эле-
элементом (этот элемент может случай-
случайно совпадать с исходным). В рассмо-
рассмотренном выше примере подстанов-
подстановка приводит к замене 1 на 3, 4 на
1, 3 на 2 и 2 на 4. Если подстановку
задавать простым перечислением
всех производимых ею замен, то
результат получится труднообозри-
труднообозримым. Поступим иначе: запишем под
каждым элементом исходной пере-
перестановки тот элемент, в который он
переходит под действием подстанов-
подстановки. В этих обозначениях описанная
выше подстановка будет иметь сле-
следующий вид:
Сама подстановка не зависит от
того, в каком порядке выписаны
пары, состоящие из элемента исход-
исходной перестановки и соответствую-
соответствующего ему элемента конечной переста-
перестановки. В рассмотренном выше при-
примере элементы исходной переста-
перестановки можно расположить по номе-
номерам: 1 переходит в 3, 2 — в 4, 3 —
в 2 и 4 —в 1. Следовательно, инте-
интересующую нас подстановку можно
записать в виде
2. Необходимо задать алгоритм
подстановки, то есть для каждого
элемента, принадлежащего области
определения подстановки, указать
тот элемент, в который он переходит
под действием подстановки, причем
так, чтобы различные элементы при
подстановке переходили в различ-
различные.
Две подстановки называются оди-
одинаковыми, если их области опреде-
определения совпадают и каждый элемент,
принадлежащий совместной области
определения, они переводят в один
и тот же элемент.
ПРИМЕРЫ
1. Уже рассмотренные нами под-
становки (|f ||) и («!*) одина-
ковы, поскольку область определе-
определения каждой из них состоит из чисел
1, 2, 3, 4 и второе условие «равенст-
«равенства» подстановок также выполнено.
2. Подстановку, одинаковую с пре-
предыдущей, можно получить по сле-
следующему сложному алгоритму: «Рас-
«Рассмотреть натуральные числа, кото-
которые меньше 5. К тем из них, которые
расположены на числовой оси левее
числа 2,5, прибавить по 2, а осталь-
остальные числа заменить разностями меж-
между числом 5 и числами, симметрич-
13

ными им относительно точки 2,5».
Обе области определения, очевидно,
совпадают. Второе условие одина-
одинаковости подстановок также выполне-
выполнено, поскольку согласно приведен-
приведенному рецепту 1 переходит в 1 + 2 =
=3,2—в 2 + 2=4, 3—в 5—3 = 2
и 4 — в 5—4 = 1,
о тт Д432\ A234\
3. Подстановки ^3124j и \.3124/
различны. Области определения их
совпадают (более того, элементы ниж-
нижней строки расположены в одном и
том же порядке), но первая подста-
подстановка переводит, например, 4 в 1,
в то время как вторая подстановка
переводит 4 в 4.
, rr /1432X A4325\
4. Подстановки |3124j H\.31245J
также различны, хотя каждый эле-
элемент, который подвергается «пере-
«перемещению», в обоих случаях переходит
в один и тот же элемент: области оп-
определения этих подстановок не сов-
совпадают.
5. Алгоритм D324) вообще не
задает никакой подстановки, пос-
поскольку согласно ему числа 1 и 4
должны были бы переходить в
одно и то же число 1.
6. О подстановке можно говорить
(что часто и делают) и в случае бес-
бесконечных множеств. Но при этом
уже недостаточно требовать, что-
чтобы различные элементы переходи-
переходили в различные. Рассмотрим, на-
например, натуральные числа и вмес-'
то каждого из них запишем число,
которое больше исходного на 2.
У нас получится бесконечный алго-
/12 34 5... \ „
ритм \34 567...J- Видно, что не-
некоторые натуральные числа от-
отсутствуют. Поэтому в случае бес-
бесконечных множеств должно выпол-
выполняться условие: в каждый из эле-
элементов должен переходить какой-
то из элементов.
1. Если множества конечны, то
условие, приведенное в примере 6,
в действительности становится лиш-
лишним, поскольку оно всегда выпол-
выполняется.
2. Если множества бесконечны,
то из условия, приведенного в при-
примере 6, не следует, что различные
элементы переходят в различные.
3. Если множества конечны, то
из условия, приведенного в приме-
примере 6, всегда следует, что различ-
различные элементы переходят в различные.
1.2. Последовательное
выполнение подстановок
Мы рассматривали подстановки
как своего рода алгоритмы. Если
у нас имеется не один, а несколько
алгоритмов, то их можно выполнять
последовательно, один за другим.
Аналогично можно поступить и с
подстановками.
Прежде всего выберем область оп-
определения подстановок: пусть это
будет, например, множество чисел
О, 1, 2, 3 и 4. Рассмотрим две под-
подстановки:
/01234\
первую подстановку ^32401;
/01234\
вторую подстановку \^ 3 4 01 /
Поскольку нам придется иметь
дело с двумя подстановками, удоб-
удобно их как-то назвать. Лучше всего
говорить не о «первой» и «второй»
подстановках, а обозначить каждую
из подстановок так, как это принято
в математике, особой буквой.
Пусть Р— первая подстановка,
a Q — вторая подстановка.
Посмотрим, что получится, если
сначала мы выполним подстановку
Р, а затем подстановку Q.
Если выполнить подстановки не
полностью, а частично, то получит-
получится следующее.
Подстановка Р: , 2
ЗАДАЧИ
Доказать следующие утвержде- Подстановка О: ]
1я: 1
нияз
После подста-
подстановки Р выпол-
выполнена подстанов-
подстановка Q.
14

Подстановка Р: J * 2. f.4. Эти nePe'
Л24011становки
Подстановка <?: J 2 J 01} можно вы-
04123 черкнуть.
Во что перейдет под действием
подстановок любое из заданных чи-
чисел, можно определить, взглянув
на числа, стоящие в нижних пере-
перестановках. Например, в подстанов-
подстановке Р под числом 2 стоит число 4.
Если после подстановки Р требует-
требуется произвести подстановку Q, то
необходимо выяснить, во что перей-
перейдет под действием подстановки Q
число 4. Поскольку под ним стоит
число 1, то после выполнения двух
подстановок число 2 перейдет в 1.
Итак, элементы верхней строки
подстановки Q удобно расположить в
том же порядке, в каком они следуют
в нижней строке подстановки Р.
Выполнив сначала подстановку Р,
а затем подстановку Q, мы получим
„Л С01234\
подстановку PQ = \o4123j-
Нетрудно видеть, что полученная
подстановка имеет ту же область
определения, что и подстановки Р
и Q. Содержащийся в подстановке
PQ алгоритм всегда выполним
(рис. 1).
Если после любой подстановки Р
выполнить подстановку Q, то полу-
получится подстановка, которая назы-
называется произведением подстановок
Р и О и обозначается PQ.
Например, рассмотрим вместе с
заданными выше подстановками Р
и Q подстановки РР и QQ.
Подстановку Р можно предста-
представить в различных видах:
/01234Х _ /32401Х
(^32401/ ~ @4132J-
Поскольку нижняя строка в первой
записи совпадает с верхней стро-
строкой во второй записи, то верхняя
строка произведения РР совпадает
с верхней строкой первой записи, а
нижняя строка — с нижней строкой
второй записи:
Аналогичным образом можно по
строить и подстановку QQ:
/012 34\ исключив
\k2 340lh8T1ICTpo./<M
Из того что последовательное вы-
выполнение подстановок называется
умножением, может показаться,
будто для этого «умножения» спра-
справедливы все правила обычного ум-
умножения. Посмотрим, так ли это.
Прежде всего выясним, как об-
обстоит дело с коммутативностью, или
переместительным законом, умноже-
умножения подстановок. В обычном умно-
умножении (чисел) произведение не за-
зависит от порядка сомножителей.
Для умножения подстановок такое
утверждение не верно! Чтобы убе-
убедиться в этом, достаточно привести
один-единственный пример того, как
изменение порядка сомножителей
сказывается на произведении. Вер-
Вернемся к рассмотренному выше при-
примеру. Подстановка PQ уже известна.
Найдем теперь подстановку QP:
п_ /012 34Х
V~ I 2340lJe
Р =
/23401Х
откуда
01234
40132
04132
Эта подстановка заведомо отличает-
отличается от подстановки PQ, поскольку,
например, та переводит 3 в 2, в то
время как в подстановке QP 3 пе-
переходит снова в 3.
Разумеется, в силу «случайного»
стечения обстоятельств умножение
подстановок может оказаться ком-
коммутативным. Например, подстанов-
подстановка РР не изменяется при переста-
перестановке сомножителей, поскольку оба
сомножителя одинаковы.
Умножение чисел обладает еще
одним весьма важным свойством —
15

Подстановка Р
Подстановка Q
Риг. /.
ассоциативностью, или сочетатель-
сочетательным законом.
Ассоциативность означает, что
произведение трех сомножителей не
зависит от того, в каком порядке
производится умножение: а(Ьс) =
Ш
Покажем, что это тождество вы-
выполняется при умножении подста-
подстановок. Рассмотрим три подстановки
и обозначим их в том порядке, в
котором они входят в произведение;
А, В и С. Требуется доказать, что
А(В€) = (АВ)С.
Это равенство выполняется в том
случае, если подстановки, стоящие
16
в его правой и левой частях, имеют
одну и ту же область определения
я задаваемые ими «алгоритмы» сов-
совпадают. Поскольку подстановки
А, В и С имеют одну и ту же область
определения, области определения
подстановок А(ВС) и (АВ)С сов-
совпадают. Совпадение алгоритмов обеих
подстановок будет доказано, если
мы убедимся в том, что обе подста-
подстановки всегда переводят любой эле-
элемент в один и тот же элемент.
Выберем произвольный элемент и
обозначим его а. Предположим, что под-
подстановка А переводит элемент а в элемент
Ь, подстановка В переводит элемент &

Ь ) а
Рис. 2.
в элемент с и, наконец, подстановка С
перевонит элемент с в элемент d (рис. 2).
Тогда подстановка А В переводит элемент
а в элемент с, а подстановка ВС переводит
элемент Ь в элемент d (рис. 3).
Выполнив сначала подстановку А, а
затем подстановку ВС, или сначала под-
подстановку АВ, а затем подстановку С, мы
придем к следующему результату*.
элемент а в обоих случаях переходит
в элемент d, а это и означает, что подста-
подстановки А (ВС) и (АВ)С в действительности
совпадают (рис. 4).
Рис. 4 .
Для человека непривычного ум-
умножение подстановок таит удиви-
удивительные «сюрпризы». Например, пе-
перемножим подстановки Р — C421)
Л /1234\ о
и Q = D312)» оаписав по дета-
новку Q в виде Q =()
Рис. 3.
трудно видеть, что PQ — ()
Мы получили «подстановку», ко-
которая, строго говоря, не перестав-
переставляет элементы. Но если мы хотим,
чтобы умножение подстановок в не-
некоторых случаях не приводило к
появлению новых подстановок, то
предыдущую «подстановку» (при
«выполнении» которой в действитель-
действительности ничего не происходит) также
надлежит считать подстановкой.
Заданная на некотором множестве
подстановка называется тождествен-
тождественной, или единичной, если под дей-
действием ее все элементы множества
переходят в себя.
Поскольку для тождественной под-
подстановки алгоритм подстановки за-
задан, то тем самым указана и ее об-
область определения. Так как тож-
тождественные подстановки «ничего не
делают в своей области определения»,
то их можно считать независимыми
17

Рис. 5.
от области определения. Поэтому
для единообразия тождественные
подстановки принято всегда обозна-
обозначать одной и той же буквой /.
Тождественная подстановка игра-
играет в множестве подстановок такую
же роль, какая отведена в умноже-
умножении чисел единице: если А — лю-
любая подстановка, то подстановки AI
и IA совпадают с А.
Действительно, предположим, что под-
подстановка А переводит элемент а в элемент
6. Так как тождественная подстановка
переводит элемент а в а, а элемент 6 в 6,
то подстановки AI и IA переводят эле-
элемент а в элемент Ь. Тем самым соотноше-
соотношения AI = IA = А доказаны (рис. 5).
Нетрудно проверить, что в част-
частном случае, когда одна из двух под-
подстановок тождественная, умноже-
умножение подстановок коммутативно. К
аналогичному выводу мы придем,
рассмотрев произведения подстано-
„ /12344 /1234\
вок Р= ( J
было показано, подстановка PQ
совпадает с тождественной. Записав
подстановку Р в виде Р= A234)'
мы без труда убедимся в том, что про-
произведение QP также представляет
собой не что иное, как тождествен-
тождественную подстановку.
Рассмотрим теперь две подстанов-
подстановки, связанные друг с другом доста-
достаточно тесно: то, что порождает одна
подстановка, «уничтожает» другая.
Если воспользоваться аналогией с
умножением чисел, то выяснится,
что такие подстановки образуют па-
пары, весьма напоминающие пары
«число и обратное ему число» (разу-
(разумеется, речь идет только о числах,
для которых обратные числа суще-
существуют, то есть о числах, отличных
от нуля). Такого же рода связь мож-
можно обнаружить между функцией и
обратной функцией (обратные функ-
функции также существуют далеко не для
всех функций, но здесь мы имеем
в виду такие функции, для которых
обратные функции существуют). По-
Последняя аналогия навела на мысль
назвать каждую из подстановок, об-
образующих пару, обратной по отно-
отношению к другой подстановке.
Если Р и Q — такие подстановки,
что как произведение PQ, так и
произведение QP совпадает с тож-
тождественной подстановкой, то под-
подстановка Q называется обратной под-
подстановке Р. (Разумеется, в этом слу-
случае Р является подстановкой, обрат-
обратной подстановке Q.)
Определение обратной подстанов-
подстановки начинается со слова «Если ...»
Это означает, что заранее неизвест-
неизвестно, существует ли подстановка, об-
обратная данной. Как будет показано,
обратная подстановка в действитель-
действительности существует для любой подста-
подстановки. Проблема будет состоять в
том, чтобы научиться находить под-
подстановку, обратную данной. Отве-
Ответить на эти два вопроса проще всего
следующим образом: сначала мы пре-
предложим способ, позволяющий по дан-
данной подстановке выписывать обрат-
обратную, а затем проверим, что наш ре-
рецепт действительно порождает под-
подстановку.
Как уже упоминалось, подстановка
Р и Q взаимно-обратны, если одна из них
«уничтожает» действие другой. Предпо-
Предположим, что задана некоторая подстановка
18

Рис. 6.
Р. Попытаемся найти обратную подста-
подстановку Q исходя из замечания о связи
меяеду действием «прямой» и обратной
подстановок: если подстановка Р пере-
переводит элемент а в элемент 6, то подстанов-
подстановка Q переводит элемент Ь в элемент а
(рис. Ь).
Отсюда следует, что подстановки PQ
и QP тождественные (рис. 7).
Осталось еще проверить, что Q —
действительно подстановка. Но по
определению Q получается из под-
подстановки Р, если в Р поменять мес-
местами верхнюю и нижнюю строку.
/верхняя строка1*
\ нижняя строка;
Q
(ННЗКШ|Я строка \
'верхняя строка;
Рис. 7.
Следовательно, в верхней и ниж-
нижней строках подстановки Q встре-
встречается, причем ровно один раз, каж-
каждый элемент, принадлежащий об-
области определения, а это и означает,
что Q действительно является под-
подстановкой.
В связи с обратной подстановкой
необходимо обратить внимание еще
на одну проблему. Мы указали спо-
способ, позволяющий находить обрат-
обратную подстановку, но осталось не-
невыясненным, нельзя ли каким-ни-
каким-нибудь другим способом получить «дру-
«другую» обратную подстановку. Пока-
Покажем, что, даже если какой-нибудь
другой способ построения подстанов-
подстановки, обратной заданной подстанов-
подстановке Р, и существует, он приводит
не к другой, а к той же самой обрат-
обратной подстановке, которую мы нау-
научились находить.
Мы приведем два доказательства
этого утверждения. Для первого из
них существенно лишь само определе-
определение подстановки, второе основано на
использовании некоторых свойств
операций, производимых при подста-
подстановке.
Первое доказательство. Предположим,
что для подстановки Р мы по уже известно-
известному «рецепту» нашли обратную подстановку
Q и что R — некоторая подстановка, об-
обратная подстановке Р. Требуется доказать,
что подстановки Q и R переводят любой
элемент в один и тот же элемент. (Области
определения подстановок Q и В, очевидно,
совпадают.) По предположению подста-
подстановка Q переводит элемент Ь в элемент а.
Следовательно, выполнив подстановку Q
после подстановки Р, мы переведем эле-
элемент Ь в элемент о. Если подстановка R
переводит элемент 6 в элемент с, то по оп-
определению произведения подстановок
подстановка Pi? переводит элемент о
в элемент с. Но PR — тожд-ественная
подстановка и поэтому должна пере-
переводить элемент о в о, что возможно
лишь в том случае, если с = о. Но это
означает, что подстановка R так же, как
и подстановка Q, переводит элемент Ь в-
элемент о. Поскольку элемент 6 выбран
произвольно, то доказываемое утвержде-
утверждение выполняется для всех элементов. Сле-
Следовательно, R — Q.
Второе доказательство. Предполо-
Предположим теперь, что, следуя приведенному
выше «рецепту», мы нашли подстановку <?,
обратную подстановке Р, и что R — не-

которая подстановка, обратная подста-
подстановке Р. Выписав цепочку равенств, на-
начинающуюся подстановкой R и кончаю-
кончающуюся подстановкой Q, мы докажем, что
эти подстановки совпадают.
1. По свойству тождественной подста-
подстановки R = /?/.
2. Так как Q — подстановка, об-
обратная подстановке Р, то / = PQ, в силу
чего RI = R(PQ).
3. Умножение подстановок ассоциа-
ассоциативно, поэтому R{PQ) = (RP)Q-
4. Так как R — подстановка, обрат-
обратная подстановке Р, то RP = I, в силу
чего (ДР)<? = IQ-
5. Воспользуемся еще раз тем, что
/ — тождественная подстановка: IQ =
= Q. Итак, получаем следующую цепочку
равенств:
R = RI = Д (Р<?) = (ДР) Q = IQ=Q.
Подстановку, обратную подстанов-
подстановке Р, принято обозначать Р~~г.
Согласно доказанному, обрат-
обратная подстановка однозначно опре-
определяется по заданной подстановке.
Поэтому для обозначения обратной
подстановки можно использовать ту
же букву (или любой другой «сим-
«символ функциональной зависимости»),
которая выбрана для обозначения
«прямой» подстановки. Именно так
принято обозначать обратные
числа.
ЗАДАЧИ
1. Выписать подстановки, обрат-
обратные всем рассмотренным выше под-
подстановкам.
2. Найти подстановку, обратную
тождественной подстановке /.
3. Для заданной подстановки Р
найти подстановку, обратную об-
обратной подстановке.
4. Найти подстановку, обратную
произведению подстановок (подста-
(подстановки, обратные сомножителям, счи-
считаются известными).
1.3. Разложение подстановок,
циклы, транспозиции
Выясним, как «ведет себя» под-
подстановка в области определения. В
качестве примера рассмотрим под-
п ЛI23456789\
становку Р = ^3587209146J-
подстановка заменяет нуль тройкой.
Поскольку тройка «уходит» с того
места, которое она занимала снача-
сначала, то полезно сразу же установить,
какое число займет освободившееся
место. Поскольку под тройкой сто-
стоит семерка, то она и заполнит обра-
образовавшийся «пробел». На место, ко-
которое прежде занимала семерка, вста-
встанет единица (поскольку под 7 стоит
1). Далее мы видим, что место еди-
единицы в исходной перестановке зай-
займет пятерка, а на место пятерки
встанет нуль, который уже встре-
встречался нам, то есть нуль также будет
«как-то пристроен». Если все пере-
перечисленные замены записать в той
последовательности, в которой мы
их производили, то подстановка Р
примет вид Р = (з71508294б)-
Нетрудно видеть, что подстановка Р
по существу оказалась разложен-
разложенной на две части. Первые пять мест
содержат сведения о том, как под-
подстановка Р действует на числа 0, 1,
3, 5, 7, а последние пять мест хра-
хранят информацию о действии подста-
подстановки Р на числа 2, 4, ft, 8, 9.
Все это можно записать, например,
так;
Г/03715\ /24689
| И ^
|Д37150/ И
Со второй частью подстановки
/24689Х
\8 2 9 4 6 |можно поступить так же, как
ранее мы поступили с подстановкой
Р. Заметив, что 2 переходит в
8, 8—в 4, а 4 — в 2, получим:
/24689N /28469\
Это означает, что подстановка Р до-
допускает
(рис. 8):
следующее разложение
0 3 7 1
/284\
P~l 'v37150J' и (^842 J *
96JJ
и
20

Э0000© > 0~0
Э00000000С
Э00000000С»
Рис. 8.
Полученное разложение показы-
показывает, что подстановка Р в действи-
действительности состоит из трех незави-
независимых частей, каждая из которых
перемещает элементы, принадлежа-
принадлежащие ее области определения, на
одно место в ту сторону, куда
направлен «указательный палец»
(см. рис. 10).
Именно потому, что все три час-
части подстановки Р независимы, со-
совершенно безразлично, какую из под-
С03715Х, B84\ F9\
становок^7150/U42jHM (эб]вы-
(эб]выполнять первой, какую — второй и
какую — третьей.
Кроме того, две подстановки мож-
можно считать одинаковыми, если их
области определения различны, но
алгоритмы обеих подстановок сов-
падают.
Если подстановки C7l5oJ' 1,842^
и (д е) выполнять последователь-
но, одну за другой, то такие дей-
действия можно рассматривать как ум-
умножение подстановок. Однако до сих
пор мы говорили об умножении под-
подстановок лишь в тех случаях, ког-
когда области определения подстано-
подстановок совпадали. Здесь же области
определения подстановок различ-
Рис. 9.
21

Рис, 10.
ны. Преодолеть возникшую пробле-
проблему не представляет особого труда:
условимся считать, что наши под-
подстановки переводят каждый «недос-
«недостающий» элемент в самого себя.
Итак, подстановка Р допускает
следующее разложение (рис. 9):
/
0123456789
3587209146
03715\ /284
69
Это разложение более точно по-
показывает, какие действия произво-
производит подстановка Р, но выглядит более
сложным, чем исходная запись под-
подстановки. Кроме того, из него не
видно, допускают ли отдельные час-
части подстановки Р дальнейшее раз-
разложение.
Оба недостатка можно исправить,
если заметить, что в разложении,
стоящем в правой части равенства,
нижние строки совершенно излиш-
излишни. Действительно, верхние строки
в правой части состоят из тех же.
элементов, что и нижние, причем
каждый элемент под действием под-
подстановки переходит в следующий.
Этот порядок не нарушается до
тех пор, пока мы не доходим до пос-
последнего элемента каждой части. Одна-
Однако нетрудно видеть,что под последним
элементом в нижней строке всегда
стоит первый элемент. Следователь-
Следовательно, под действием подстановки пос-
последний элемент каждой части пе-
переходит в первый элемент той же
части. Посмотрим, как можно за-
записать подстановку после произве-
произведенных упрощений.
В новых обозначениях подстанов-
подстановка Р выглядит так:
Р = @37 15) B84) F9).
Подстановки, стоящие в правой
части, называются циклическими
подстановками или циклами ■ (рис.
10).
Точное определение циклической
подстановки весьма длинно, и поэ-
поэтому мы его опускаем. Заметим,
что циклы в новой записи подстано-
подстановок не могут быть какими угодно.
Нетрудно видеть, что каждая циф-
цифра входит лишь в один цикл. Такие
циклы, не имеющие общих элемен-
элементов, принято называть независимы-
независимыми. Пользуясь этим определением,
можно сказать, что мы разложили
подстановку Р в произведение неза-
независимых циклов.
Аналогичное разложение можно
получить для любой подстановки.
Те элементы, которые цикличес-
циклическая подстановка С переводит в дру-
другие элементы (то есть элементы,
входящие в запись никла), назы-
называются элементами цикла С. Если
два цикла не имеют ни одного обще-
общего элемента, то мы говорим, что они
независимы.
«Строгое» доказательство тео-
теоремы о разложении любой подста-
подстановки в произведение независимых-
циклов также было бы весьма гро-
22

моздким и сложным, но из приве-
приведенного выше способа построения
циклов видно, что такое разложение
осуществимо. Более того, ясно, что
разложение подстановки в произве-
произведение независимых циклов однознач-
однозначно определено (то есть два разложе-
разложения одной и той же подстановки мо-
могут отличаться самое большее поряд-
порядком, в котором следуют циклы-сом-
циклы-сомножители).
Итак, любая подстановка допус-
допускает разложение в произведение не-
независимых циклов.
В качестве примера найдем раз-
разложение подстановки
/0123456789\
~ ^2405918763^
в произведение независимых цик-
циклов.
Проще всего зто сделать так. Выб-
Выбрав любой элемент в верхней стро-
строке, выяснить, какой элемент ока-
окажется на его месте в результате под-
подстановки. Затем найти Элемент, ко-
который займет освободившееся мес-
место, и продолжать так до тех пор,
пока мы не встретим в нижней стро-
строке элемент, выбранный нами в верх-
верхней строке с самого начала. Посколь-
Поскольку этот элемент первым «уступил»
свое место, то до этого момента он
не появлялся.
Итак, подстановку Q можно пред-
представить (рис. 11) в виде
0123456789
2405918763
= (О2)A4935)F8)G).
Цикл G) в этой записи можно опу-
опустить, поскольку мы условились счи-
считать, что элементы, не указанные в
явном виде, как бы незримо присутст-
присутствуют, но под действием подстанов-
ки переходят сами в себя. Следова-
Следовательно, Q = @2) A4935) F8).
Из двух подстановок Р и Q мож-
можно образовать подстановки PQ, QP,
РР, QQ и проверить, что их разло-
разложения в произведения независимых
циклов имеют следующий вид;
= @526374)(98),
= @7531)B48),
QP = A5867 2 943),
QQ = A9 54 3).
Глядя на эти разложения, трудно
догадаться, в каком порядке сомно-
сомножители Р и Q входят в подстановки
PQ и QP. Гораздо проще подметить
зависимость между разложениями
подстановок Р и РР или Q и QQ в про-
произведения независимых циклов. За-
Запишем для этого подстановки Р и
РР:, Q и QQ одну под другой.
/» = @3715)B84)F9),
РР = @7 5 31)B4 8),
<?= @ 2)A4935)F8),
QQ= A9 543).
Нетрудно видеть, что каждый из
циклов в нижней строке содержит
только те элементы, которые входят
в цикл, стоящий непосредственно
над ним в верхней строке (некото-
(некоторые или даже все циклы в нижней
строке могут отсутствовать). Так
происходит потому, что произведе-
произведение независимых циклов не изменя-
изменяется от перестановки сомножителей.
Например, в произведении РР =
= @3715) B84) F9) @3715) B84) F9)
четвертый цикл можно поставить
вслед за первым, пятый — вслед за
вторым и шестой — вслед за третьим:
=!@ 3715)@3715)B84)B84)х
ХF9)F 9) = @7531)B48).
Рис. 11.
23

Рис. 12.
Такой способ вычисления подста-
подстановок оказывается весьма удобным,
если требуется найти произведение
нескольких одинаковых подстано-
подстановок. В этом случае произведение на-
называется степенью подстановки и
обозначается РР = Р2, РРР = Р3
и т. д."
Из сказанного выше следует, что
если подстановка разложена в про-
произведение независимых циклов, то
степень подстановки равна произ-
произведению соответствующих степеней
циклов.
Итак, чтобы вычислить степень
подстановки, необходимо вычислить
ту же степень образующих ее цик-
циклов. Прежде чем приступать к реше-
решению этой задачи, сделаем два заме-
замечания, которые понадобятся нам в
дальнейшем.
Для цикла, как и для любой под-
подстановки, несущественно, что пред-
представляют собой те элементы, на
которые он действует. Не ограни-
ограничивая общности, можно считать, что
речь всегда идет о числах. Именно
поэтому для вычислений нам не
понадобятся никакие «свойства» от-
отдельных циклов, кроме их «длины».
Длиной цикла называется число
входящих в него элементов.
Например, циклы @1), @1234),
C52140) имеют длину, равную 2, 5
и 6.
Своим вторым замечанием мы хо-
хотели бы особо подчеркнуть «нераз-
«неразличимость» элементов цикла. Если
задан какой-то цикл, то с точки зре-
зрения подстановки существенно лишь,
какой элемент следует за данным
элементом, поскольку именно он зай-
займет место своего «предшественника»
после того, как подстановка будет
выполнена. Из этого правила су-
существует лишь одно исключение:
элемент, занимающий почетное пос-
последнее место, поскольку под действи-
действием подстановки он переходит на пер-
первое место. Именно поэтому можно
считать, что, переставив в конец эле-
элемент, стоявщий в записи цикла на
первом месте, мы получим тот же
самый цикл.
Например, все циклы @1234),
A2340), C4012) и D0123) в действи-
действительности обозначают одну и ту же
подстановку. Поэтому при возведе-
возведении цикла в степень достаточно сле-
следить лишь за элементом, стоящим
на первом месте. Полученный ре-
результат без труда переносится на
все остальные элементы.
После этих предварительных за-
замечаний рассмотрим, например,
цикл @1234).
Нетрудно видеть, что под дейст-
действием подстановки Р2 нуль перейдет
в двойку, а место любого другого
элемента займет элемент, находив-
находившийся на втором месте позади него.
Аналогично под действием подста-
подстановки Р3 каждый элемент окажется
замещенным элементом, находив-
находившимся на третьем месте позади не-
него, под действием подстановки Р* —
элементом, находившимся на четвер-
четвертом месте позади него, и т.д. (рис. 12).
Разумеется, всякий раз, когда мы
доходим до «конца» цикла, необхо-
необходимо, не прерывая счета, возвращать-
возвращаться к «началу». Итак,
@1234J = @2413), @1234K =
=@3142), @1 2 3 4L = @4 3 21).
Если рассматриваемый нами цикл
возвести в пятую степень, то в со-
соответствии все с тем же принципом
каждый элемент уступит место эле-
элементу, стоявшему на пятом месте по-
позади него, и мы получим тождествен-
тождественную подстановку. Наш метод вы-
24

числения степеней остается в силе
для цикла любой длины!
Если к — длина цикла С, то С* —
тождественная подстановка.
Ясно, что тогда С2* = Ск ■ С* =-
=// =/ окажется тождественной под-
подстановкой и подстановки Сзк, C*k
и т. д. будут совпадать с тождествен-
тождественной подстановкой.
Предположим, что подстановка Р
допускает разложение в произве-
произведение, например, трех независимых
циклов: Р = ABC (при большем чис-
числе циклов рассуждения останутся
те же, но потребуется большее чис-
число букв.) Пусть к — длина цикла А,
т — длина цикла В и п — длина
цикла С Поскольку циклы А, В и С
независимы, то любая степень под-
подстановки Р совпадает с произведе-
произведением циклов А, В и С, возведенных
в ту же степень. В частности, рктп =
=Актп Bkmn Ckmn. Но по предположе-
предположению А ктп, Вктп, Сктп—тождественные
подстановки, так как произведение
ктп кратно длине каждого из трех
циклов. Поэтому и подстановка рктп
как произведение тождественных
подстановок Актп, Вктп и Сктп также
совпадает с тождественной подста-
подстановкой.
Наименьшее натуральное число п,
при котором Рп совпадает с тождест-
тождественной подстановкой, нааываст-
ся порядком подстановки Р.
Из приведенных выше рассужде-
рассуждений следует, что любая подстановка
в некоторой степени равна тождест-
тождественной подстановке.
Обратимся теперь снова к рас-
рассмотрению циклов. Мы видим, что
@1234M — тождественная подста-
подстановка. Запишем ее несколько иначе:
@1234) @1234L = /. С другой сто-
стороны, нам известно, что две подста-
подстановки, связанные такой зависимо-
зависимостью, взаимно-обратны, поскольку
для каждой подстановки существу-
существует обратная подстановка, и при-
причем только одна. Следовательно,
@1234L—подстановка, обратная цик-
циклу @1234). При более внимательном
рассмотрении нетрудно заметить,
что цикл @1234L = @4321) =
= D3210) получается из исходного
цикла, если элементы исходного цик-
цикла записать в обратном порядке. Тем
же способом можно получить и под-
подстановку, обратную любому циклу.
Но можно воспользоваться и тем,
что обратная подстановка действу-
действует как бы «наперекор» прямой под-
подстановке. Из обоих соображений сле-
следует, что цикл, обратный данному,
мы получим, записав элементы ис-
исходного цикла в обратном порядке.
Итак, обратный" цикл можно по-
получить, записав элементы исходно-
исходного цикла в обратном порядке.
Интересным свойством обладают
самые короткие циклы —циклы
длины 2 (циклов длины 1 не су-
существует, поскольку, если все эле-
элементы, за исключением одного, ос-
остаются на своих местах, то и этому
элементу не остается ничего друго-
другого, как остаться на своем месте).
циклы длины 2 называются транс-
транспозициями.
Циклы длины 2 выделяются сре-
среди всех прочих циклов тем, что каж-
каждый цикл длины 2 совпадает с обрат-
обратным циклом (то есть обладает таким
же свойством, как и число — 1 от-
относительно обычного умножения).
Действительно, какой-то цикл сов-
совпадает с обратным, если, записав
его элементы в обратном порядке,
мы снова получим исходный цикл,
то есть если перед каждым элемен-
элементом и после него стоит один и тот же
элемент. Но так может быть лишь
в том случае, если длина цикла рав-
равна 2, причем тогда это условие дей-
действительно выполняется.
Транспозиция, как следует из са-
самого названия, означает перемеще-
перемещение: она переставляет два элемента,
то есть заставляет каждого из них
занять то место, которое занимал
ДРУГОЙ.
Учитывая, что транспозиции явля-
являются очень простыми подстановка-
подстановками, было бы полезно научиться все
прочие подстановки представлять в
виде произведения транспозиций.
Покажем, что любую подстановку
действительно можно разложить в
25

произведение транспозиций. Пос-
Поскольку любую подстановку можно
представить в виде произведения
(независимых) циклов, то достаточ-
достаточно доказать, что циклы допускают
разложение в произведение транс-
транспозиций.
Рассмотрим, например, разложе-
разложение цикла A2345) в произведение
транспозиций (рис. 13). (Аналогич-
(Аналогичный способ применим и во всех ос-
остальных случаях.)
Мы видим, что после завершения
всех операций на месте каждого эле-
элемента оказался следующий за ним
(а первый элемент перешел на пос-
последнее место), то есть
A234 5) = A2) A3) A4)A5).
(Этот способ разложения циклов
аналогичен «методу», к которому при-
прибегает человек, опоздавший к нача-
началу киносеанса: на свое место в се-
середине ряда он пробирается, пе-
пересаживаясь с места на место так,
что каждый раз в «транспозиции»,
кроме него, участвует лишь один че-
человек.)
Предложенный выше способ раз-
разложения циклов в произведение
транспозиций не единственный. Дру-
Другой способ задает, например, раз-
Начнем с исходного расположения
элементов
Переставим сначала эти злементы
и, наконец, эти
э © © ©
Рис. 13.
ложение A2345) = B3451) = B3) х
ХB4) B5) B1). Но, как нетрудно ви-
видеть, оба разложения содержат по
четыре сомножителя. Если учесть,
что, например, произведение B3) B3)
совпадает с тождественной подста-
подстановкой [вместо B3) можно было бы
взять любую другую транспози-
транспозицию], то цикл A2345) можно было
бы представить в виде
A2 34 5) = A2) A3) A4) A5) B3) B3)
или
A2 34 5) = B3) B3) A2) A3) A4) х
ХA5)B3)B3).
Легко заметить, что во всех этих
разложениях число транспозиций
четно (и равно 4, 4, 6 и 8). Ясно, что
способ, «удлиняющий» разложения,
всегда приводит лишь к четному
числу транспозиций. Но различные
разложения исходного цикла мож-
можно получить и другими способами.
В первом разложении цикла A2345)
элементом, входившим во все транс-
транспозиции, было число 1. Но если мы
разложим подстановку в произве-
произведение независимых циклов, то транс-
транспозиции, входящие в такое разло-
разложение, уже не будут иметь фикси-
фиксированного общего элемента. Тем не
менее существует способ, позволяю-
позволяющий для любой подстановки полу-
получать разложение заданного цикла
в такое произведение транспозиций,
в котором любые две транспозиции
содержат заранее выбранный об-
общий элемент. Пусть, например, мы
рассматриваем цикл A2345) и чис-
число 0 —тот элемент, который должен
входить во все транспозиции. (Ана-
(Аналогичным образом можно поступать
и в любом другом случае.)
Основная идея избранного нами
способа состоит в том, чтобы снача-
сначала ввести нуль в цикл, затем пере-
переставить соответствующие злементы
и, наконец, в том же месте, где про-
произошло «вторжение», исключить
«чужеродный» элемент из цикла. Всю
процедуру в целом можно записать
в следующем виде:
A2 34 5) = @1) @2) @3) @4) @5) @1).
26

Число транспозиций, в произве-
произведение которых разложен исходный
цикл, равно 6, то есть четно. Можно
доказать, что число транспозиций,
входящих в любое разложение дан-
данной подстановки, может быть либо
всегда четным, либо всегда нечет-
нечетным. Например, какими бы способа-
способами мы ни разлагали подстановку
{1234), число транспозиций в произ-
произведении всегда оказывалось нечет-
нечетным. Если число транспозиций в лю-
любом разложении подстановок всег-
всегда четно, то подстановка называется
четной. В противном случае мы го-
говорим, что подстановка нечетная.
ЗАДАЧИ
1. Записать различные степени
цикла @12345). Всегда ли при воз-
возведении этой подстановки в степень
получается один-единственный цикл?
2. Какие подстановки могут быть
-степенями циклических подстано-
подстановок?
3. Найти произведение подстано-
подстановок @1234) @567). Сформулировать
полученный результат для общего
случая.
4. Что можно сказать о подстанов-
подстановке Р~1 @1234) Р, если Р —произ-
—произвольная подстановка? Какое обоб-
обобщение допускает это утверждение?
2.
Понятие группы
2.1. Числовые примеры групп
На множестве подстановок мы
определили операцию: последова-
последовательное выполнение подстановок.
Выяснилось, что эта операция об-
обладает достаточно многими «полезны-
«полезными» свойствами. Рассмотрим теперь
лее операции с «хорошими» свойства-
свойствами.
I. Операция ассоциативна, то есть
для любых трех подстановок А, В и
С выполняется соотношение <АВ)С=
= А(ВС).
II. Существует единичный эле-
элемент, то есть такая подстановка /,
что при любой подстановке А вы-
выполняется соотношение IA -.= AI =
==Л.
III. Существует обратный эле-
элемент, то есть для любой подстанов-
подстановки А можно найти такой однознач-
однозначно определенный элемент А~1, что
А А'1 --А~*А — / (единичный эле-
элемент).
На других множествах так же,
как и на множестве подстановок,
можно задать операции, обладаю-
обладающие всеми тремя свойствами «хоро-
«хорошей» операции.
В таких случаях принято говорить,
что выбранное множество с задан-
заданной на нем операцией образует груп-
группу. Сама операция называется груп-
групповым умножением. Рассмотрим те-
теперь примеры множеств, наделен-
наделенных различными операциями, и по-
попытаемся выяснить, являются ли
они группами или нет.
Изучая умножение подстановок,
мы часто упоминали о том, что наз-
названия его свойств выбраны по ана-
аналогии с названиями аналогичных
свойств умножения чисел. Но обла-
обладает ли само умножение чисел тре-
тремя перечисленными выше свойства-
свойствами группового умножения? Ответ,
разумеется, зависит от того, какие
числа мы рассматриваем: как нетруд-
нетрудно понять, на одних множествах
чисел обычное умножение наделе-
наделено всеми свойствами группового ум-
умножения, на других — лишено их.
ПРИМЕРЫ
1. Целые числа. В мно-
множестве целых чисел умножение всег-
всегда выполнимо, то есть произведение
любых двух целых чисел также яв-
является целым числом. Остается лишь
проверить, обладает ли оно тремя
свойствами группового умножения.
I. Умножение ассоциативно. Дей-
Действительно, хорошо известно, что
умножение чисел обладает ассо-
ассоциативностью (именно поэтому в
дальнейшем мы не будет проверять
27

умножение чисел на ассоциативность).
II. Существует такое целое число
е, что при любом целом числе а вы-
выполняется соотношение еа = ае = а.
Это целое число е— 1.
(В дальнейшем полезно иметь в виду
следующее замечание. Бели е — такое
число, что при любом отличном от нуля
числе о выполняется соотношение еа = о,
то это возможно лишь в одном случае:
при е = 1. С другой стороны, если рас-
рассматриваемое множество чисел содержат
единицу, то все входящие в него числа
удовлетворяют соотношениям lo = ol =
= о. Следовательно, для множества чи-
чисел с обычным умножением в качестве
предполагаемого группового умножения
проверка свойства II сводится к ответу на
в<5прое, принадлежит ли единица к инте-
интересующему нас множеству. Единственное
исключение составляет множество, со-
содержащее только один элемент — нуль.)
III. Обратный элемент не сущест-
существует. Например, для числа 2 невоз-
невозможно указать такое целое число х,
которое удовлетворяло бы соотно-
соотношению 2х = 1, так как в левой час-
части стояло бы четное, а в правой —
нечетное число.
Следовательно, целые числа не об-
образуют группу по умножению.
Нетрудно видеть, что послужило
препятствием к образованию груп-
группы: во множестве целых чисел де-
деление выполнимо не во всех случа-
случаях. Именно поэтому в дальнейшем
разумно рассматривать лишь та-
такие множества чисел, в которых де-
деление всегда выполнимо.
2. Рациональные ч и с -
л а . Поскольку произведение двух
рациональных чисел — число ра-
рациональное, то обычное умноже-
умножение не выводит за пределы множества
рациональных чисел.
Проверим, всеми ли свойствами
группового умножения оно облада-
обладает.
Ассоциативность в проверке не
нуждается, единица — рациональ-
рациональное число. Нам остается лишь убе-
убедиться в том, что на множестве ра-
рациональных чисел умножение обла-
обладает свойством III.
Если рациональное число (дробь)
умножить на обратное число, то
получится единица. Возникает во-
вопрос: для всякого ли рационально-
рационального числа имеется обратное? Извест-
Известно, что обратные числа существуют
почти для всех рациональных чи-
чисел. Единственное исключение сос-
составляет нуль. Причина «ущербнос-
«ущербности» нуля состоит в том, что при
умножении его на любое рациональ-
рациональное ( и вообще любое число) всегда
получается нуль. Это означает, что
произведение двух сомножителей,
один из которых равен нулю, никак
не может быть равно единице. Поэ-
Поэтому в множестве рациональных чи-
чисел с заданным на нем умножением
обратный элемент существует не для
всех элементов.
Следует твердо помнить: для вы-
выполнения условий I —III необходи-
необходимо (если речь идет об умножении
чисел), чтобы 0 не принадлежал рас-
рассматриваемому множеству (и, в час-
частности, оно не должно состоять из
одного лишь нуля).
Итак, рациональные числа не обра-
образуют группу по умножению.
3. Рациональные чис-
числа, отличные от ну-
л я . Поскольку произведение двух
рациональных чисел, отличных от
нуля, не равно нулю (и, как упоми-
упоминалось в предыдущем примере, ра-
рационально), то умножение не вы-
выводит за пределы рассматриваемого
множества чисел. А раз единица —
рациональное число, отличное от
нуля, то нам остается лишь прове-
проверить, выполнено ли третье условие.
Но в предыдущем примере уже упо-
упоминалось о том, что для чисел, от-
отличных от нуля, всегда существуют
обратные числа: числа, которые при
умножении на данные числа дают
единицу. Эти обратные числа так-
также рациональны и отличны от нуля.
Отличные от пуля рациональные
числа образуют группу по умноже-
лию.
4. Положительные ра-
рациональные числа. Из
предыдущего примера ясно, что про-
проверке подлежит только третье усло-
условие. Поскольку число, обратное по-
28

ложительному рациональному чис-
числу, также положительно и рацио-
рационально, то это условие выполнено.
Положител ьнме -рационал ьй ые чис-
числа образуют группу по умножению.
5. Числа ' +1 и —1. При
умножении на + 1 результат совпа-
совпадает со вторым множителем, а (—1)Х
Х(—1) = + 1. Следовательно, умно-
умножение не выводит за пределы рас-
рассматриваемого множества чисел. Ос-
Остается проверить, выполняется ли
третье условие (выполнение осталь-
остальных условий очевидно). Умножение,
рассматриваемое на множестве чи-
чисел + 1 и —1, обладает свойством
III группового умножения, так как
каждое из этих двух чисел совпа-
совпадает с обратным.
Числа + 1 и —1 образуют груп-
группу по умножению.
6. Отрицательные ра-
рациональные числа. Так
как произведение двух отрица-
отрицательных рациональных чисел явля-
является положительным рациональным
числом, то в множестве отрицатель-
отрицательных рациональных чисел обычное
умножение не может служить груп-
групповым умножением (можно сказать,
что умножение выводит за пределы
множества отрицательных рацио-
рациональных чисел).
Следовательно, отрицательные ра-
рациональные числа не образуют груп-
группу по умножению.
7. Один лишь нуль. Рас-
Рассматривая пример 1, мы убедились,
что проверка некоторых свойств груп-
группового умножения упрощается, если
множество чисел состоит не только
из нуля. Именно поэтому интересно
выяснить, что происходит в том слу-
случае, когда множество чисел содер-
содержит один-единственный элемент —
нуль. Так как 0-0=0, то умно-
умножение не выводит из этого множест-
множества. Замечание об ассоциативности
умножения остается в силе и для
множества чисел, содержащего толь-
только нуль, поскольку нуль все же оста-
остается числом, даже если ему «немного
Одиноко». Наконец, соотношение 0 X
Х0 = 0 показывает, что на множестве
чисел, содержащем только нуль, ум-
умножение обладает свойствами II и
III «хорошей» операции.
Число 0 образует группу по ум-
умножению.
В примере 7 мы видели, что в ро-
роли единичного элемента выступил
нуль. Поскольку это единственный
случай такого рода, то элемент, со-
соответствующий единичному, при ум-
умножении чисел принято называть
единицей.
Но умножение — не единствен-
единственная известная нам операция, про-
производимая над числами. Вместе с
умножением (и даже несколько рань-
раньше, чем с ним) мы все знакомились
со сложением. Рассмотрим теперь
сложение чисел некоторых типов.
Но прежде чем мы приступим к рас-
рассмотрению частных случаев, выяс-
выясним, нельзя ли некоторые свойства
сложения установить в общем виде
или свести к проверке более простых
условий.
I. Об ассоциативности можно не
заботиться, так как на множестве
чисел сложение всегда ассоциатив-
ассоциативно.
II. Единицей относительно сло-
сложения может быть такой элемент е,
который при любом элементе а, при-
принадлежащем рассматриваемому
множеству чисел, удовлетворяет со-
соотношению е + а = а. Но это ус-
условие выполняется лишь для нуля:
действительно, при любом а нуль
удовлетворяет условию 0 + а = а +
+ 0 — а. Следовательно, необходима
лишь каждый раз проверять, при-
принадлежит ли нуль рассматриваемо-
рассматриваемому множеству чисел.
III. Числом, «обратным» числу а,
при сложении служит число 6, удов-
удовлетворяющее соотношению a -f- b =
= 0. Таким числом может быть лишь
b = —а. Действительно, для него
условие (—а) + а = а + (—а) =0
выполнено. Поэтому достаточно кай«-
дый раз проверять, содержит ли рас-
рассматриваемое множество чисел вмес-
вместе с каждым принадлежащим числом
то же число, взятое со знаком минус.
Рассмотрим уже знакомые мно-

жества чисел, на которых в качест-
качестве операции задано сложение.
1а. Целые числа (опе-
(операция— сложение). Так как
сумма двух целым чисел также яв-
является целым числом, то сложение
не выводит за пределы рассматрива-
рассматриваемого множества. Поскольку нуль —
целое чиеио и любое целое число,
взятое со знаком минус, — также
целое число, то сложение, задан-
заданное на множестве целых чисел, об-
обладает всеми свойствами группово-
группового умножения.
Целые числа образуют группу по
сложению.
2а. Рациональные чис-
числа (операция — сложе-
сложение). Сумма двух рациональных
чисел — число рациональное, по-
поэтому сложение не выводит за пре-
пределы множества рациональных чи-
чисел. Нуль — рациональное число.
Кроме того, любое рациональное чис-
число, взятое со знаком минус, также яв-
является рациональным. Следователь-
Следовательно, сложение на множестве рациональ-
рациональных чисел обладает всеми свойствами
группового умножения.
Рациональные числа образуют
roynuv по сложению.
З'а. Рациональные чис-
числа, отличные от нуля
(операция —сложение).
Это множество чисел по определению
не содержит нуля, в силу чего сло-
сложение не обладает свойством II.
Рациональные числа, отличные от
нуля, не образуют группу по сложе-
сложению.
4и. Положительные ра-
рациональные числа (опе-
(операция — сложение). Как по-
показывают соображения, аналогич-
аналогичные приведенным в предыдущем
примере,
положительные рациональные чис-
числа не образуют группу по сложению.
4 6. Неотрицательные
рациональные числа
(операция — ело ж ен и е).
Если к множеству чисел из преды-
предыдущего примера присоединить нуль,
то тем самым будет устранено пре-
пятствие, мешавшее сложению «обза-
«обзавестись» свойством И.
Действительно, сложение не вы-
выводит за пределы! множества неотри-
неотрицательных рациональных чисел сло-
сложения, так как сумма таких чисел
не может быть отрицательной, но
в то же время она рациональна. Не-
Необходимо выяснить лишь, обладает
ли сложение свойством III. Как по-
показывает проверка, это условие ока-
оказывается невыполненным, так как
любое положительное рациональное
число, если его взять со знаком ми-
минус, становится отрицательным (и,
следовательно, не принадлежит мно-
множеству неотрицательных рациональ-
рациональных чисел).
Итак, неотрицательные рациональ-
рациональные числа не образуют группу по сло-
сложению.
5а. Числа + 1 и —1 (опе-
(операция — сложение). 6 а.
Отрицательные раци-
рациональные числа (опе-
(опера ц и я— сложение). В обоих
случаях рассматриваемые множест-
множества чисел не содержат нуля, и это слу-
служит основным препятствием к обра-
образованию группы.
7а. Один лишь нуль
(операция—ело ж ен и е).
Так как 0 + 0 = 0, то сложение не
выводит за пределы рассматривае-
рассматриваемого множества. Остальные усло-
условия, очевидно, выполнены.
Число 0 образует группу по сложе-
сложению.
Подробное рассмотрение всех понятий,
возникающих в связи с каждым примером,
увело бы нас слишком далеко от основной
темы, поэтому мы будем считать их из-
известными. Бели же кто-нибудь из читате-
читателей, перейдя к очередному примеру, об-
обнаружит, что не понимает, о чем идет речь,
то соответствующий пример можно впу-
впустить. То же относится и к задачам, при-
приведенным ниже.
ЗАДАЧИ
Определить, образуют ли следую-
следующие множества чисел группу по сло-
сложению и умножению.
1. Все вещественные числа.

2. Вещественные числа, отличные
от нуля.
3. Положительные веществен-
вещественные числа.
4. Неотрицательные вещественные
числа.
5. Комплексные числа.
6. Комплексные числа, не равные
нулю.
7. Комплексные числа с модулем,
равным единице.
8. Комплексные числа с модулем
больше единицы.
9. Целые положительные степени
двойки (числа 2, 4, 8 и т. д.).
10. Все степени двойки (с целым
положительным, целым отрицатель-
отрицательным и нулевым показателем).
11. Числа 1, —1, I = Y—^ и —L
12. Числа вида а + Ы, где а и Ь —
целые числа, i = ~\/—1.
13. Числа вида а + Ы, где а и Ь —
рациональные числа, i = ~\/—1.
14. Те же числа, что и в предыду-
предыдущем примере, кроме нуля.
2.2. Другие примеры групп
Начнем с геометрических приме-
примеров.
1. Векторы на плос-
плоскости (операция —сло-
—сложение векторов). Сложив
любые два вектора, мы снова полу-
получим вектор. Следовательно, в этом
случае операция не выводит за пре-
пределы рассматриваемого множества.
Что касается ассоциативности, то,
как известно, сложение векторов об-
обладает этим свойством. Единичным
элементом служит нулевой вектор,
а элементом, обратным данному век-
вектору, — противоположный вектор
(то есть вектор, занимающий то же
положение и имеющий ту же длину,
что и данный вектор, но направлен-
направленный в противоположную сторону).
Следовательно, в этом нримере мы
имеем дело с группой.
2. Движения на плос-
плоскости (операция — пос-
последовательное выпол-
выполнение движений).
Преобразование плоскости на-
называется движением, если:
1) между точками плоскости до
преобразования и теми точками, в
которые они переходят под действи-
действием преобразования, существует вза-
взаимно-однозначное соответствие;
2) расстояние между любыми дву-
двумя точками плоскости совпадает
с расстоянием между соответствую-
соответствующими им точками,
Каждому движению на плоскости
соответствует своя «картинка». Одни
движения сводятся к сдвигам, дру-
другие — к поворотам, третьи —к пово-
повороту на 180° вокруг прямой, лежа-
лежащей в плоскости (то есть к отраже-
отражению относительно этой прямой). Раз-
Разнообразие движений весьма затруд-
затрудняет доказательства. Представьте се-
себе, сколько случаев потребовалось
бы рассмотреть, если бы мы захоте-
захотели выяснить, какое движение воз-
возникает в результате последователь-
последовательного выполнения двух движений пе-
перечисленных выше типов. Поэтому
представляется целесообразным пред-
предварительно выяснить, что такое дви-
движение.
Движение Т переводит каждую
точку А плоскости в однозначно
определенную точку А' так, что раз-
различные точки переходят в различ-
различные. Кроме того, если движение Т
переводит точку В в В', то расстоя-
расстояние между точками А и В совпадает
с расстоянием между точками А' и
В' (рис. 14).
(При помощи геометрических ме-
методов можно показать, что преобра-
преобразования трех перечисленных выше
типов обладают требуемыми свойства-
свойствами.)
Точку, в которую преобразование
Т переводит точку А, обозначим Т(А).
(Интересно отметить, что выбранное
нами обозначение до некоторой сте-
степени напоминает обозначения функ-
функций. «Аргументом А» служит точка
плоскости, а «функцией Т» — дви-
движение.)
Рассмотрим теперь два движения
на плоскости: Т и S. Выполним сна-
сначала движение Т, затем движение S.
31

■A'
О
A'.
Рис. 14.
Нетрудно видеть, что преобразо-
преобразование ST [переводящее точку А
плоскости в точку S(T(.4))] также
переводит каждую точку плоскости
в некоторую однозначно определен-
определенную точку плоскости (рис. 15).
Ясно, что различные точки под дей-
действием преобразования ST перехо-
переходят в различные. Действительно,
если А и В — различные точки пло-
плоскости, то точки Т(А) и Т(Б) не мо-
могут совпадать (так как движение Т
переводит различные точки плос-
Рис. 15.
кости в различные, но тогда движе-
движение S, подействовав на точки Т(А)
и Т(Б), также переведет их в какие-
то несовпадающие точки плоскости).
Пусть X — произвольная точка
плоскости. Поскольку S и Т —
движения, то существует точка Р,
которую S переводит в точку X, и
точка Y, которую Т переводит в
точку Р. Но тогда преобразование
ST переводит точку Y в точку X и,
следовательно, обладает требуемым
свойством (рис. 16).
Наконец, необходимо убедиться в
том, что преобразование ST сохра-
сохраняет расстояние между точками. Но
это свойство следует из того, что ни
одно из преобразований S и Т не
изменяет расстояний между точками
(рис. 17).
Рис. 17
32

Рис. 18
Итак, мы показали, что произве-
произведение двух движений на плоскости
есть также* некоторое движение.
Следовательно, последовательное
выполнение движений не выводит за
пределы рассматриваемого множест-
множества преобразований.
I. Проверим, ассоциативна ли вве-
введенная нами операция. Пусть Т, S
и R — три движения плоскости.
Требуется доказать, что R(ST) сов-
совпадает с (RS)T, то есть что зти два
движения переводят любую точку А
плоскости в одну и ту же точку.
Предположим, что Т переводит точ-
точку А в точку В, S переводит точку В
в точку С и R переводит точку С в
точку D. Тогда движение ST пере-
переводит точку А в точку С, а движение
RS переводит точку В в точку D.
Следовательно, каждое из интере-
интересующих нас преобразований перево-
переводит точку А в точку D (рис. 18).
II. Нетрудно видеть, что единич-
единичным элементом служит тождествен-
тождественное преобразование I, переводящее
все точки плоскости в самих себя.
Действительно, тождественное пре-
преобразование можно считать движе-
движением, поскольку все условия для
этого выполнены. Ясно также, что
для любого движения Т справедли-
справедливо соотношение TI = IT =T (рис.
19).
III. Наконец, необходимо убедить-
убедиться в том, что для каждого движения
существует обратное. Нетрудно ви-
видеть, что обратное движение пред-
представляет собой преобразование, воз-
возвращающее все точки в исход-
исходное положение. Определим поэтому
2—35
преобразование S так, чтобы оно
переводило точку Т(А) в точку А
(А — произвольная точка плоскости).
Поскольку образом точки А при
движении Т может быть любая точ-
точка плоскости [иначе говоря, лю-
любую точку плоскости можно обоз-
обозначить Т(А)], то о любой точке пло-
плоскости можно утверждать, что имен-
именно в нее преобразование S переводит
какую-то точку плоскости (рис. 20).
Проблема состоит лишь в том, что-
чтобы выяснить, однозначно ли это
преобразование. Не может ли слу-
33

читься так, что одну и ту же точку
можно обозначить Т(А) не одним, а не-
несколькими способами? Нет, такое
никак не может произойти: по пред-
предположению движение Т переводит
различные точки плоскости в раз-
различные, поэтому любая точка пло-
плоскости является образом лишь од-
ной-единственной точки А [то есть
представима в виде Т(Л)]. Нам оста-
осталось еще проверить, что в каждую
точку плоскости под действием пре-
преобразования S переходит какая-то
точка плоскости. Но это очевидно,
поскольку в точку А переходит
точка Т(А). Наконец, необходимо
выяснить, сохраняет ли преобразо-
преобразование S расстояния. Так как рас-
расстояние между точками Т(А)ш Т (В)
совпадает с расстояниями между точ-
точками А и В, то справедливо и обрат-
обратное утверждение: расстояние между
точками А и В такое же, как меж-
между точками Т(А) и Т(В). Это и озна-
означает, что преобразование S сохра-
сохраняет расстояния.
Итак, преобразование S с полным
основанием можно назвать движе-
движением. Необходимо лишь проверить,
что S — движение, обратное движе-
движению Т. Предположим, что Т перево-
переводит точку А в точку В. Тогда S пере-
переводит точку В в точку А. Поскольку
движение S в каждую точку плоскос-
плоскости переводит некоторую точку пло-
плоскости, и притом только одну, то про-
произвольно заданную точку плоскос-
плоскости можно считать (по выбору) либо
точкой А, либо точкой В. Но TS(B) =
=?(А) =В, ST(A) = S(B) = А, по-
поэтому и движение TS и движение ST
переводят произвольно выбранную
точку плоскости в себя и, следо-
следовательно, совпадают с тождествен-
тождественным преобразованием, (рис. 21)
Тем самым полностью доказано,
что движения на плоскости образу-
образуют группу, если в качестве «умно-
«умножения» взять последовательное вы-
выполнение движений.
3. Линейные функции
(операция — лин ейная
замена переменных).
Линейной называется функция ви-
вида у — ах + Ь, где аф 0, а в осталь-
остальном а и Ь — произвольные веществен-
вещественные числа.
Подставим в функцию у — ах + b
вместо независимой переменной х в
правой части функцию у = сх + d.
Из тождества а(сх + d) + Ь —
= (ас)х + (ad + b) следует, что «про-
«произведением» функций у = ах + Ь
и у = сх + d будет функция
у = (ас)х + (ad + b). Поскольку
на множестве функций и сложение
и умножение имеют смысл и
обе эти операции используются в
линейной функции, то вновь введен-
введенную операцию — линейную замену
независимой переменной — мы обоз-
обозначим маленьким кружком:
(у = ах + b)o(y*=cx + d) =
= (у = (ас) х + (ad + Ь)).
Чтобы «липшие» знаки равенства
нам не мешали, опустим во всех
скобках «г/—». Тем самым мы как бы
говорим, что нас интересуют выра-
выражения вида ах + Ь, где а и b— ве-
вещественные числа, причем аф 0. Вы-
Выражения ах + b и сх + d равны,
если а — с и b = d. Но при «умно-
«умножении» мы получаем
(ах + Ь) о (сх + d) = (ас) х -f (ad+b).
Так как по предположению ни а, ни
с не равны 0, то число ас также от-
отлично от нуля. Поскольку ас и ad +
+Ь — вещественные числа, то (ас)х +
+ (ad + 6)— линейная функция. Сле-
Следовательно, линейная замена неза-
независимой переменной в линейной функ-
функции не выводит за пределы множества
линейных функций.
I. Прежде всего проверим, ассо-
ассоциативна ли наша операция. Запи-
Запишем еще одну линейную функцию
(у =) ех + /. Так как (ас) (ех + /) +
34

+ (ad
то
b) = (ace)x + (acf + ad + b),
{(ax + b) о (ex
= (асе) а: +
d)] о (ex + f) =
acf + ad + b).
С другой стороны, используя соот-
соотношение (сх + d)o (ex + f) = е(еа: +
+ f)-\-d= (ce)x + (с/ + d), получаем
(ах + Ь)о Цех + d) о (еа: + /)] =
= а{(се)х + (cf + d)) + b = (асе)х +
+ (acf -\- ad 4- b), что и доказыва-
доказывает ассоциативность.
II. Проверим, существует ли еди-
единичный элемент. Им может быть
лишь такая линейная функция их +
+v, для которой при любой линейной
функции ах + b выполняется ра-
равенство
ах + b = (ах + Ь) о (иа: + i>) =
= (аи) х -+- (аг> + &)•
Но из условия равенства линейных
функций следует, что аи =.а и b =
= av + b. Из последнего равенства
находим: аи = 0. В частности, если
число а выбрать равным 1 (это мож-
можно сделать, так как важно лишь,
чтобы оно было вещественным чис-
числом, отличным от нуля), то и = 1
и v = 0. Следовательно, единичным
элементом может быть только ли-
линейная функция (у ■=) х. Поскольку
аAа: + 0) + Ь = 1 (ах + Ь) + 0 =
= ах + b при любых вещественных а
ш Ь, то х действительно служит еди-
единичным элементом.
III. Наконец, необходимо опреде-
определить обратный элемент. Если ли-
линейная функция их + v обратна ли-
линейной функции ах -\- Ь, то должно
выполняться условие х = (их + v) о
о (аа: + Ь) = (иа)х + (ub + *>), ко-
которое можно записать в виде 1 =
=иа и 0 = ub + i\ По предположе-
предположению a=?fc 0, поэтому число, обрат-
обратное числу а, существует и и = а,
f = —ub = —а~гЬ. Для того чтобы
найденная линейная функция дей-
действительно была обратной линей-
линейной функции ах + Ь, не только про-
произведение (их + v) о (аа: + Ь), но и
произведение (ах + Ь) о (иа: + i>)
2*
должно быть равно единичному эле-
элементу. Проверяем: (ах + Ь) о (иа: +
+ь>) = (аи)а: + (аь1 + Ь) = (ааГ^х +
+ (а(-^Ь) + Ъ) =х.
Следовательно, линейные функ-
функции образуют группу относительно
линейной замены независимой пе-
переменной.
4. Определим на множестве, сос-
состоящем из вершин и центра тяжести
равностороннего треугольника, сле-
следующую операцию. Произведением
любой вершины и центра тяжести
условимся считать ту же вершину.
Произведениями любой вершины или
центра тяжести на самих себя бу-
будем считать центр тяжести. Произ-
Произведением двух различных вершин
выберем третью вершину.
Поскольку во всех мыслимых слу-
случаях заданная операция приводит
к одной из точек, принадлежащих
рассматриваемому множеству, то
«умножение» не выводит за пределы
рассматриваемого множества точек.
Пусть А, В и С — вершины. S —
центр тяжести равностороннего
треугольника. По определению SA =
=AS=S,SB =BS=B,SC=CS=
= С и SS = S. Следовательно, S —
единичный элемент. Условие А А =
=ВВ = СС = S означает, что эле-
элементы А, В и С совпадают со своими
обратными элементами (аналогич-
(аналогичное утверждение справедливо и от-
относительно единичного элемента).
Необходимо лишь проверить ассо-
ассоциативность. Поскольку операция
на множестве задана так, что мы не
располагаем ни общими понятиями,
ни одним алгоритмом, то все случаи
необходимо рассматривать в отдель-
отдельности. Это означает, что мы должны
перебрать 64 произведения, содержа-
содержащих по 3 сомножителя, вычислив
каждое из них двумя способами. Но
столь скучное занятие вряд ли при-
придется кому-либо по вкусу. Именно
поэтому необходимо по возможнос-
возможности сократить перебор. Если какой-
нибудь из сомножителей трехчлен-
трехчленного произведения совпадает с еди-
единичным элементом, то этот сомно-
сомножитель как бы «отсутствует»: неза-
35

6
Рис. 22.
висимо от того, ассоциативно ли «ум-
«умножение», произведение равно про-
произведению двух остальных сомножи-
сомножителей. Следовательно, не ограничи-
ограничивая общности, можно предположить,
что в произведение входят лишь
множители А, В ж С. Поскольку
«умножение» определено так, что
ни одна из вершин не выделена по
сравнению с другой, то произведе-
произведение вершин не зависит от того, ка-
какими буквами обозначены вершины
равностороннего треугольника.
Например, можно считать, что на
первом месте в произведении стоит
вершина, обозначенная буквой А.
На втором месте также может стоять
вершина А. Если же второе место
занято другой вершиной, то, не огра-
ограничивая общности, можно предпо-
предположить, что это вершина В. На
третьем месте в обоих случаях мо-
может находиться вершина А, В и С.
Итак, остались произведения, в ко-
которых сомножители расположены в
следующем порядке: ААА, ААВ,
А АС и ABA, ABB, ABC. Всего на-
набирается шесть произведений, и пе-
перебор их не представляет никакого
труда. (Произведение ABB также
следовало бы исключить из списка
произведений, подлежащих рассмо-
рассмотрению, поскольку оно «зеркальна
симметрично» произведению ААВ,
но строгое обоснование «вычерки-
«вычеркивания» слишком длинно для того,
чтобы его приводить.)
Итак, (АА)А =SA =A = AS =
= А(АА), (АА)В = SB =B=AC =±=
=А{АВ) (в случае ААС ассоциатив-
ассоциативность доказывается так же), (АВ)А =
=СА =В = АС =А(ВА), (АВ)В =
=СВ=А =^AS =A(BB) и, наконец,
(АВ)С= СС =S = А А =А(ВС). Сле-
Следовательно, вершины треугольника
и его центр тяжести образуют груп-
группу относительно введенной опера-
операции.
ЗАДАЧИ
Доказать, что следующие множест-
множества образуют группы относительно
введенных на них операций.
36

1. Векторы, направленные в одну
и ту же сторону, относительно сло-
сложения векторов.
2. Векторы, имеющие произволь-
произвольные направления в пространстве,
относительно сложения векторов.
3. Сдвиги плоскости относитель-
относительно умножения (последовательного
выполнения) движений.
4. Повороты плоскости вокруг
заданной точки относительно умно-
умножения движений.
5. Движения плоскости, переводя-
переводящие некоторый заданный равносто-
равносторонний треугольник (квадрат) в се-
себя, относительно умножения движе-
движений.
6. Движения в пространстве, для
которых умножение определено по
аналогии с умножением движений
плоскости.
7. Преобразования подобия на пло-
плоскости (при которых расстояние меж-
между любой парой точек может изменять-
изменяться, но так, что отношение расстояний
не зависит от выбора пары точек,
а определяется только преобразо-
преобразованием) относительно последователь-
последовательного выполнения преобразований.
8. Движения в пространстве, пе-
переводящие заданный тетраэдр в се-
себя, относительно произведения дви-
движений.
9. Функции, принимающие в ну-
нуле значение, равное 0, в единице —
значение, равное 1, а между нулем
и единицей — все значения, заклю-
заключенные между 0 и 1, причем так, что
большим значениям независимой пе-
переменной соответствуют большие зна-
значения функций (такими свойствами
обладают непрерывные функции, мо-
монотонно возрастающие на отрезке
[О, 1J) относительно подстановки
одной функции в другую.
2.3. Определение группы
Рассмотренные нами примеры
показывают, как часто встречаются
множества с заданными на них ас-
ассоциативными операциями, относи-
относительно которых существует единич-
единичный элемент и все элементы имеют
обратные. В таких случаях говорят,
что соответствующие множества об-
образуют группы относительно задан-
заданных на них операций.
Попытаемся теперь дать точное
определение группы. Итак, что же
такое группа? Мы видели, что груп-
группы содержат элементы и эти элемен-
элементы образуют те или иные множества.
Можно ли отождествить группу с
множеством ее элементов? Ясно, что
нельзя. Ведь множество всех целых
чисел может и быть группой и не
быть группой в зависимости от того,
какую операцию мы зададим на ней:
сложение или умножение чисел. Сле-
Следовательно, операция каким-то об-
образом неразрывно связана с группо-
групповым свойством. Разумеется, столь
же неразрывно связано с групповым
свойством и то множество, над эле-
элементами которого производится опе-
операция.
Пара ( G; f ) , состоящая из мно-
множества G и двухместной (или бинар-
бинарной) операции /, называется груп-
группой, если операция / удовлетворяет
следующим аксиомам.
I. Операция / ассоциативна, то
есть для любых элементов а, Ь и с
множества G
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,e)).
II. Существует единичный эле-
элемент, то есть такой элемент е множе-
множества G, что для любого элемента а
из G
f(e, a)=f(a,e) = a.
III. Существует обратный элемент,
то есть для любого элемента а мно-
множества G можно найти такой эле-
элемент Ь, что
f(a, b) = f{b, a) = e.
Операция / называется групповой
операцией или групповым умноже-
умножением, а элементы множества G —
элементами группы.
Итак, группа представляет собой
пару, состоящую из множества и за-
заданной на нем операции, которая
обладает определенными свойства-
37

ми. Но, прежде чем переходить к
описанию этих свойств, выясним,
что такое операция. Групповая опе-
операция (групповое умножение) ста-
ставит в соответствие каждой паре эле-
элементов некоторый элемент — их
«про из ведение».
Следовательно, заданная на мно-
множестве операция есть не что иное,
как функция, отображающая любую
пару элементов множества в некото-
некоторый элемент того же множества.
{Осторожно! Элементы пары пере-
перенумерованы, то есть указано, ка-
какой элемент является первым и ка-
какой — вторым.)
Не столь бесспорен выбор функ-
функциональных обозначений для груп-
групповой операции (в особенности для
тех, кому уже приходилось встре-
встречаться с группами), поскольку обыч-
обычно групповую операцию принято обо-
обозначать каким-нибудь значком, сто-
стоящим между отображаемыми эле-
элементами. Впрочем, и мы будем ис-
использовать функциональные обоз-
обозначения только в определениях.
(И здесь групповую операцию мож-
можно было бы обозначить как-нибудь
иначе, например + (а, Ь), и «читать»
ее как «сумма элементов а шЬ».) Если
операция задана каким-нибудь ес-
естественным способом и обозначена,
то вместо «функции» / можно исполь-
использовать соответствующее обозначение.
Например, если Е —множество це-
целых чисел, Р —множество поло-
положительных вещественных чисел, то
( Е; + ) означает группу, об-
образуемую целыми числами по сло-
сложению, а { Р; • ) — группу, об-
образуемую положительными вещест-
вещественными числами по умножению.
Вместе с тем необходимо подчерк-
нуть,что символ {GJ) еще не означает,
будто речь непременно идет о груп-
группе. Указаны лишь множество G и
заданная на нем операция /. Требует-
Требуется еще проверить, выполнены ли все
условия, которым должна удовлет-
удовлетворять групповая операция.
Мы хотели бы завершить этот раздел
небольшим отступлением.
Обычно в книгах по теории групп при-
приводится следующее определение группы:
элементы некоторого множества называ-
называются группой, если на них задана опера-
операция, которая ассоциативна, существует
единичный элемент и для каждого эле-
элемента — обратный элемент. Нетрудно ви-
видеть, что в таком определении существо-
существование операции устанавливается аксио-
аксиоматически. Но такое понимание группо-
групповой операции не согласуется со взглядами,
принятыми в современной алгебре и в по-
последних работах по теории групп, согласно
которым операции (или операции) счита-
считаются заданными вместе с множеством, а
свойства операций подлежат особому изу-
изучению.
ЗАДАЧИ
Пусть Е — множество целых чи-
чисел, Р — множество положитель-
положительных вещественных чисел и h — опе-
операция возведения в степень [то есть
h(a, b) =а*].
1. Группа ли (Е; h)?
2. Группа ли (Р; fe)?
3.
Свойства
элементов группы
3.1. Различные способы
определения группы
При более внимательном рассмот-
рассмотрении приведенных выше доказа-
доказательств того, что соответствующие
множества образуют группы относи-
относительно заданных на них операций,
нетрудно заметить одну особенность.
Определение обратного элемента ис-
используется вэтих доказательствах «од-
«односторонне»: умножая тот или иной
элемент на обратный с одной стороны
(либо слева, либо справа), мы полу-
получали единичный элемент, а затем
доказывали, что «прямой» и обрат-
обратный элементы можно поменять мес-
местами. Но если перестановка «прямо-
«прямого» и обратного элементов всегда
допустима, то это означает, что в
каждом отдельном случае можно ог-
ограничиться доказательством сущест-
существования «одностороннего» обратного
элемента, поскольку отсюда в общем
38

случае следует, что именно этот эле-
элемент будет и двусторонним обратным.
Возникает вопрос: нельзя ли
еще более сузить круг условий, с
тем чтобы подвергать проверке мень-
меньшее число свойств?
Этому вопросу в какой-то мере
близка следующая проблема. Могут
встретиться (и действительно встре-
встречаются) такие группы, для которых
проверка соответствующих свойств
сопряжена с большими трудностя-
трудностями. В то же время можно легко до-
доказать, что эти группы обладают дру-
другими свойствами, из которых в об-
общем случае следуют и свойства, под-
подлежавшие проверке.
В дальнейшем мы всегда будем
предполагать, что операция двух-
двухместна и ассоциативна. Именно поэ-
поэтому для множеств с заданной на
них операцией разумно ввести осо-
особое название: так как свойства груп-
группы выполнены лишь наполовину,
то такие множества называются по-
полугруппами.
Пара { F; f) называется полу-
полугруппой, если F — некоторое мно-
множество, а / — двухместная ассоциа-
ассоциативная операция на множестве F.
С полугруппами нам приходилось
встречаться и прежде, поэтому теперь
мы лишь сошлемся на некоторые при-
примеры. Строго говоря, особой необ-
необходимости в этом нет, так как по
определению полугрупп все группы
являются одновременно и полугруп-
полугруппами. Но для тех, кто хотел бы поз-
познакомиться с полугруппами, не при-
принадлежащими к числу групп, упо-
упомянем о том, что если на каком-то
множестве чисел определена опера-
операция сложения или умножения (не вы-
выводящая за пределы множества), то
это множество образует относитель-
относительно заданной на нем операции полуг-
полугруппу, поскольку и сложение и ум-
умножение ассоциативны. Следователь-
Следовательно, задачи, приведенные в разделе
2.1 (за исключением задачи 4), мо-
могут служить примерами множеств
чисел, образующих полугруппы по
умножению (см. таблицу, приведен-
приведенную в решении). Кроме того, зада-
задачи 3 и 4 дают примеры полугрупп
по сложению, не являющихся груп-
группами по сложению.
Сравнивая определения полугруп-
полугруппы и группы, нетрудно видеть, что
полугруппа является группой в том
и только в том случае, если:
I) существует такой элемент е,
что для любого элемента а полугруп-
полугруппы еа = ае = а;
II) для любого элемента а можно
найти такой элемент Ь, что Ьа =
= ab = е.
При рассмотрении группы подста-
подстановок мы «строго» доказали, что ле-
левый обратный элемент совпадает с
правым обратным элементом. Теперь
мы докажем гораздо больше.
Если в полугруппе (G; /) сущест-
существует левый единичный элемент и для
каждого элемента существует левый
обратный элемент, то:
1) все левые обратные элементы яв-
являются одновременно правыми об-
обратными (и, следовательно, обрат-
обратными) элементами;
2) левый единичный элемент явля-
является одновременно правым единич-
единичным (и, следовательно, единичным)
элементом;
3) (G; /) - группа.
Перечисленные условия можно за-
записать в следующем виде (догово-
(договоримся опускать обозначение опера-
операции, как при умножении чисел, и
понимать ab как результат примене-
применения / к элементам а и Ь множества
G):
в полугруппе существует такой
элемент е, что если а — любой эле-
элемент полугруппы, то еа = а, и для
произвольно выбранного элемента а
полугруппы найдется такой элемент
Ь, что Ьа = е.
1. Прежде всего необходимо дока-
доказать, что (в принятых выше обозна-
обозначениях) ab = e. Из соотношения
Ьа = е, принятого за исходное, сле-
следует, что bab = (ba)b = eb = b
(здесь мы воспользовались тем, что
е — левый единичный элемент). Но
для элемента b существует левый
обратный элемент (обозначим его с),
для которого cb = е, поэтому, во-
39

первых, c(bab) = cb — e, во-вто-
во-вторых, c(bab) = (cb)(ab) = e(ab) =
= ab (поскольку cb = e и e — ле-
левый единичный элемент). Сравнивая
оба равенства, получаем: ab = е,
что и требовалось доказать.
2. Докажем теперь, что для любого
элемента а полугруппы ае— а. Нач-
Начнем с того, что уже известно: еа = а
и Ьа = ab = е. Из этих соотноше-
соотношений получаем
а ш> еа = (аб) а = а (Ьа) = ае,
что и требовалось доказать.
3. Наконец, необходимо убедиться
в том, что у нас действительно полу-
получилась группа. Но это — не что
иное, как своего рода общий итог
доказанных ранее утверждений
1 и 2.
Нам уже неоднократно приходи-
приходилось говорить о единичном элементе
или об элементе, обратном данному
элементу, и всякий раз речь шла об
однозначно определенных элементах.
Однако в общем случае мы не можем
заранее утверждать, что единичный
элемент или элемент, обратный дан-
данному, однозначно определены, по-
поскольку в перечисленных выше усло-
условиях ничего не говорится ни о един-
единственности единичного элемента, ни о
единственности элемента, обратного
данному. Разумеется, однозначную
определенность нетрудно вывести из
заданных условий. Например, из
того, что в полугруппе существует
левый единичный элемент и для
всех элементов существует левый
обратный элемент, как было показа-
показано, следует, что существует «двусто-
«двусторонний» единичный элемент, а левый
обратный элемент совпадает с «дву-
«двусторонним» обратным элементом. Сле-
Следовательно, однозначная определен-
определенность единичного элемента и элемен-
элемента, обратного данному, в действитель-
действительности свойственна любой группе.
Итак, в любой группе единичный
элемент однозначно определен, и для
каждого элемента существует един-
единственный обратный элемент.
Во всякой группе единичный эле-
элемент однозначно определен, и для
каждого элемента существует единст-
единственный обратный элемент.
Нетрудно убедиться в правильности
обоих утверждений. Бели бы е был левым,
а / — правым единичным элементом . в
группе, то
е/ = / (так как е — левый единичный
элемент),
е/ = е (так как / — правый единичный
элемент),
и, следовательно, / = е/ == в. Аналогич-
Аналогично, если бы 6 был правым, ас — левым
обратным элементом для элемента о, то
об = е (так как Ь — правый обратный
элемент для а),
«о =ч= е (так как с — левый обратный
элемент для а),
откуда
с = се = с (об) = (са) b = eb = 6.
Однозначная определенность об-
обратного элемента позволяет рассмат-
рассматривать его как функцию, заданную
на элементах группы, и использовать
для его обозначения два символа:
функции и того элемента, от которого
берется обратный элемент. Обычно
элемент, обратный элементу а, при-
принято обозначать как элемент а в
«минус первой степени», то есть как
а'1
Элемент, обратный элементу а,
обозначается а'1.
Необходимость в обратном элементе
возникает при выполнении деления.
Всегда ли выполнимо деление, если
для каждого элемента существует
обратный элемент? Ответ на этот во-
вопрос оказывается утвердительным.
Всегда существуют такие элементы
группы х и у, для которых ах = b
и уа = Ь.
Во всякой группе деление выпол-
выполнимо, то есть для любых элементов
группы а и b можно найти элементы
группы х и г/, удовлетворяющие
уравнениям
ах = Ь и уа ■=■ Ь.
С каким элементом (или с какими эле-
элементами) группы мы встретимся, разре-
разрешив эти уравнения относительно х и у?
Умножив первое из уравнений слева на
40

элемент, обратный а, получим с одной
стороны
о (ах) == (а~*а) х = ex = х,
а с другой стороны
о~1 (ах)
что возможно лишь в том случае, если
х = a~lb. В том, что найденный элемент
действительно удовлетворяет уравнению,
нетрудно убедитьск прямой подстанов-
подстановкой:
а (а~1Ъ) == (аа~1) b = eb = 6.
Так как
Ьа = (уо) о = у (аа~*) = уе = д,
то ;/ может принимать лишь единственное
значение и, действительно,
(Ьа-1) а = 6 (а~1а) = Ье — Ь.
Итак, мы доказали, что в любой группе
всегда выполнимо деление. Справедливо
даже более сильное утверждение:
в любой групде деление выполнимо
однозначно.
Но выполнимость деления сама по
себе — условие столь сильное, что
из него следует групповое свойство.
Если в некоторой полугруппе вы-
выполнимо деление, то эта полугруппа
является группой.
Итак, если в некоторой полугруппе
деление всегда выполнимо, то эта
полугруппа является группой. Для
доказательства этого утверждения
необходимо убедиться в существова-
существовании левого единичного элемента и в
том, что для каждого элемента сущес-
существует левый обратный.
Убедиться в существовании левого
единичного элемента достаточно легко:
поскольку для каждого элемента о дол-
жек существовать такой элемент е, что
еа = о, то требуется лишь доказать, что
именно этот элемент е и будет левым еди-
единичным элементом. Но если мы выберем
произведение вида еЬ, то нам ие удастся
продвинуться в доказательстве ни на шаг,
поскольку относительно этого произве-
произведения можно что-либо утверждать, лишь
когда после элемента е стоит элемент а
(действительно, еа = о). Поэтому элемент
Ь удобно выбрать в виде произведения, в
которое первым множителем входит эле-
элемент а. Это всегда можно сделать, так как
по предположению для заданного элемен-
элемента а в любого элемента Ь найдется такой
элемент х, что ах = 6. Но тогда
еЬ = е (ах) = (еа) х = ах = Ь,
то есть е — левый единичный элемент.
Теперь уже нетрудно показать, что
для каждого элемента существуем левый
обратный элемент. Действительно, так
как деление всегда выполнимо и для лю-
любого элемента а и левого единичного эле-
элемента е можно найти такой элемент у,
для которого уа = е, то этот элемент у
и будет левым обратным для элемента а.
В дриведенном выше доказательст-
доказательстве мы воспользовались при выборе
элемента а тем, что какой-то элемент
заведомо принадлежит полугруппе.
До сих пор «содержимое» полугруп-
полугруппы не причиняло нам никаких хло-
хлопот, поскольку всегда предполага-
предполагалось, что в полугруппе существует
единичный или левый единичный
элемент. Теперь же в принятых пред-
предположениях ничего не говорится о
том, что в полугруппе существует
какой-то элемент. Разумеется, в кон-
конкретных случаях это не приводит к
каким-либо проблемам, поскольку
рассматриваемые полугруппы всег-
всегда содержат какой-то элемент. Но
строгие чисто логические дока-
доказательства сталкиваются с серьезны-
серьезными трудностями, если существование
в полугруппе по крайней мере одного
элемента не оговорено особо в ис-
исходных предпосылках. Поэтому мы
будем предполагать, что полугруппа
содержит по крайней мере один эле-
элемент. Тем самым нам удается избе-
избежать возможных возражений по по-
поводу того, что соображения, облекае-
облекаемые в математические формулировки,
истинны не всегда или не всегда
не истинны.
В любой группе действует закон
сокращения элементов слева.
Действительно, деление в группе
всегда выполнимо и результат его
однозначно определен. Следователь-
Следовательно, если аи = аи, то и = v. Именно
это свойство и называется законом
сокращения слева.
В любой группе действует закон
сокращения элементов справа.
Аналогично, если га = за (г, а и
s — элементы группы), то г =* s.
Но если для какого-то множества
выполняются оба закона (сокраще-
41

ния слева и справа), то это еще не
означает, что перед нами «настоящая»
группа. Например, мы убедились в
том, что положительные числа обра-
образуют полугруппу по сложению. Яс-
Ясно, что для этой полугруппы выполня-
выполняются и правило сокращения справа,
и закон сокращения слева (равен-
(равенства а + и=а-\-иии + а =
= и + а возможны лишь в том слу-
случае, если и = v). Тем не менее поло-
положительные числа не образуют группу
по сложению. Можно ли наложить
такие дополнительные условия, ко-
которые позволяют утверждать, что
данная полугруппа является груп-
группой? Оказывается, такие условия
существуют.
Если полугруппа содержит конеч-
конечное число элементов и в ней выпол-
выполняются законы сокращения слева и
справа, то она является группой.
Покажем, что в полугруппе, обладаю-
обладающей указанными выше свойствами, деле-
деление всегда выполнимо. В силу симметрии
достаточно доказать, что для_ любых эле-
элементов а и & в полугруппе найдется такой
элемент х, для которого ах — Ь.
Поскольку рассматриваемая полу-
полугруппа содержит конечное число элементов,
то их можно перенумеровать: хх, ж2,...,жп.
Образуем произведения всех элементов
и выбранного элемента а: ахг, ахг,...,ахп.
Умножая элемент о на хг, мы каждый
раз получаем новые элементы полугруппы,
поэтому среда произведений ахг, ах2,...,ахп
содержатся все элементы полугруппы (во-
(вообще говоря, в ином порядке, чем они были
перенумерованы сначала). При этом ни
один элемент полугруппы не может встре-
встретиться среди произведений ахг, axi,..,axn
более одного раза. Действительно, если
при каких-то натуральных числах i в /
выполняется равенство axt = axj, то по
закону сокращения слева выполняется
равенство Ж; = Xj, что невозможно, если
элементы xt и Xj различны (то есть прн
i Ф j). Итак, произведения ахх, ах2,...,ахп
— различные элементы полугруппы. Их
•столько, сколько элементов в полугруппе,
причем каждый элемент встречается среди
произведений ахх, ахг,...,ахп один и толь-
только одни раз. Но это возможно лишь в том
случае, если среди произведений ахх, ах%,...
...,ахп встречаются все элементы полу-
полугруппы.
В частности, любой элемент Ь полу-
полугруппы совпадает с каким-то произведе-
произведением ахх, ахг,...,ахп. Следовательно, в
полугруппе существует такой элемент xt,
42
для которого axt = 6. Но именно это и
требовалось доказать.
Итак, сопоставляя и сравнивая
различные определения группы,
можно утверждать следующее.
Если о полугруппе известно, что
в ней существует левый единичный
элемент и для каждого элемента су-
существует обратный,
или что
в ней всегда выполнимо деление,
или что
она конечна (то есть содержит ко-
конечное число элементов) и в ней дей-
действует закон сокращения справа и
слева,то эта полугруппа является
группой, причем
в ней существует однозначно оп-
определенный (двусторонний) единич-
единичный элемент;
всегда однозначно выполнимо (дву-
(двустороннее) деление;
действует закон сокращения спра-
справа и слева.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что, если в полугруппе
существует правый единичный эле-
элемент и для каждого элемента су-
существует правый обратный элемент,
то эта полугруппа является груп-
группой.
2. На некотором множестве (на-
(например, на множестве целых чисел)
операция задана следующим образом:
аЪ = Ь (то есть произведение всегда
совпадает со вторым множителем).
Доказать, что при этом:
а) получается полугруппа;
б) в этой полугруппе существует
левый единичный элемент;
в) для каждого элемента существу-
существует правый обратный элемент.
3. Получается ли в предыдущем
примере группа? Какие следствия
можно извлечь из ответа?
4. Доказать, что в любой группе
ни один элемент не обладает «своим»
особым единичным элементом, то есть,
если для какого-то е и элемента а
выполняется равенство еа = а, то
е — единичный элемент группы.
5. Привести пример конечной полу-

группы с законом сокращения слева,
не являющейся группой.
6. Является ли полугруппой пара
{Р; h) из задачи 2 в разделе 2.3?
3.2. Тождества в группе
До сих пор мы определяли группу
как пару, состоящую из множества и
двухместной операции, удовлетво-
удовлетворяющей трем основным условиям.
Поскольку в любой группе мы за-
заранее требуем, чтобы эти условия
были выполнены, то их можно рас-
рассматривать как аксиомы.
Понятие аксиомы впервые было
использовано в геометрии. Первона-
Первоначально аксиомы были такими «пер-
«первичными» истинами, правильность
которых предполагалась заранее.
Именно поэтому аксиомы не требова-
требовалось доказывать, да, собственно го-
говоря, их и невозможно было дока-
доказать. Например, такую аксиому: че-
через две различные точки можно про-
провести прямую, и притом только одну.
Должно быть, читателю покажется
странным, что мы заговорили об
аксиомах после того, как во всех
рассмотренных примерах со всей
тщательностью доказали, что аксио-
аксиомы группы выполнены.
Но стоит лишь внимательно при-
присмотреться к приведенным выше при-
примерам, как можно заметить, что каж-
каждый из них заканчивается словами:
«... образует группу» (или каким-ни-
каким-нибудь аналогичным выражением). Ина-
Иначе говоря, всякий раз, когда мы гово-
говорим: «Это — группа», — подразу-
подразумевается, что аксиомы группы выпол-
выполнены.
Теоремы и доказательства, исполь-
использующие только аксиомы группы, на-
называются теоретико-групповыми тео-
теоремами и доказательствами.
Например, в предыдущем разделе
из аксиом группы мы вывели правила
сокращения.
Теоретико-групповые доказательст-
доказательства полезны тем, что результаты, к
которым они приводят, остаются в
силе для любых «частных» групп. По-
Поскольку мы всегда стремимся полу-
получить результаты, обладающие наи-
наибольшей общностью, теоретико-груп-
теоретико-групповые теоремы или доказательства
не могут следовать из каких-либо
других предпосылок, кроме аксиом
группы. Но неожиданно выясняется,
что именно такие общие теоремы и
доказательства позволяют избежать
многократного рассмотрения боль-
большого числа частных случаев. «Част-
«Частность» означает, что помимо аксиом
группы предполагаются выполненны-
выполненными некоторые другие условия, на-
например новые аксиомы.
В теории групп строго соблюдаются
два запрета:
1) не говорить о том, что такое
элементы группы',
2) не говорить о том, что такое
групповая операция.
Мы не даем точного определения того,
что следует понимать под словами «в»
говорить». По существу они означают сле-
следующее. Если известно, например, что
элементами группы являются подстанов-
подстановки, а групповая операция состоит в после-
последовательном выполнении подстановок, то
соответствующее утверждение уже нельзя
считать теоретико-групповой теоремой
В тех случаях, когда элементы
группы и групповая операция зада-
заданы конкретно, мы говорим, что перед
нами пример группы, и доказательст-
доказательство того или иного утверждения отно-
относительно этого примера сводится к
применению общей теории групп к
данному конкретному примеру. В та-
таких случаях группу принято назы-
называть конкретной группой. Если же
речь идет лишь о выполнении акси-
аксиом группы, то группу называют аб-
абстрактной группой.
Деятельность тех, кто занимается
теорией групп и ее применениями,
можно разделить на два типа. Во-
первых, бывает необходимо доказать,
что тот или иной «объект» является
конкретной группой (то есть удовлет-
удовлетворяет не только аксиомам группы,
но и некоторым другим, частным тео-
теоретико-групповым аксиомам). Во-вто-
Во-вторых, для абстрактных групп необхо-
необходимо доказывать определенные ут-
утверждения, выполняющиеся во всех
конкретных случаях.
43

Деятельность первого типа, как уже
упоминалось, не относится к теорнн групп,
хотя, разумеется связана с ней весьма
тесно (ведь именно этой разновидностью
деятельности определяется полезность тео-
теорнн групп). Нарнсуем теперь в общих
чертах простейшие этапы этой деятель-
деятельности.
Всякий раз, когда речь заходит о
группе, предполагается, что задано не-
некоторое множество и на нем какая-то
операция. Необходимо еще выяснить, од-
однозначно ли определено это множество
(то есть известно лн, какие элементы об-
образуют множество, в каких случаях эле-
элементы, заданные различными способами,
можно считать тождественными и т. д.).
Затем необходимо проверить, является
ли операция, введенная на множестве,
групповой операцией (то есть принадле-
принадлежат лн рассматриваемому множеству эле-
элементы, сопоставляемые операцией парам
элементов множества).
Далее следует проверка ассоциатив-
ассоциативности: необходимо убедиться в том, су-
существует лн левый единичный элемент
и для каждого лн элемента существует
левый обратный элемент. (Последнюю про-
проверку можно заменить выяснением того,
всегда лн выполнимо деление, а в случае
конечного множества — выполняются лн
законы сокращения в зависимости от
того, что более целесообразно.) После
того как это установлено, мы знаем (из
общих теорем теорнн групп), что левый
единичный элемент однозначно определен
н т. д. (Разумеется, совсем не плохо,
если, например, удастся установить, что
существует единичный элемент, илн вы-
выполняется еще какое-нибудь следствие
из аксном группы.)
Обратимся теперь к свойствам аб-
абстрактных групп.
Прежде всего докажем так назы-
называемую «обобщенную ассоциатив-
ассоциативность».
В любой группе произведение не
зависит от того, как расставлены
скобки.
Для трех множителей а, Ь и с
это утверждение означает, что а(Ьс) =
= (аЪ)с. Именно поэтому и допустимо
говорить об обобщенной ассоциа-
ассоциативности. Для четырех множителей
скобки можно расставить следующи-
следующими способами:
a[b(cd)\, a[(bc)d], (ab){cd), [a(bc)]d,
l(ab)e]d.
Утверждение относительно обобщен-
обобщенной ассоциативности помимо прочего
44
состоит в том, что эти пять произве-
произведений совпадают.
Теорема об обобщенной ассоциа-
ассоциативности позволяет в каждом произ-
произведении большого числа сомножите-
сомножителей избавиться от лишних скобок,
поскольку независимо от расстанов-
расстановки скобок конечный результат ока-
оказывается одним и тем же. Следова-
Следовательно, произведение трех сомножи-
сомножителей можно записывать в виде аЬс,
произведение четырех сомножителей
— в виде abed и т. д. До сих пор мы
не упоминали об этом, так как всегда
речь шла лишь о произведениях двух
сомножителей.
Доказательство осложняется тем, что
разобраться в огромном количестве ско-
скобок бывает довольно трудно. Поэтому
разумнее всего начать с произведений, со-
содержащих небольшое число сомножите-
сомножителей.
Прежде всего теорему об обобщенной
ассоциативности необходимо доказать для
трех сомножителей. Но в этом случае
утверждение теоремы очевидно само по
себе, поскольку ассоциативность произ-
произведения трех сомножителей входит в чис-
число аксном группы.
Уже в случае четырех сомножителей
доказательство ассоциативности становит-
становится громоздким. Чтобы доказать, что в
каждом не пяти возможных случаев ре-
результат оказывается одним и тем же, не-
необходимо доказать 10 равенств. Если вме-
вместо этого доказать, что каждое из пяти
произведений совпадает с каким-нибудь
одним из них, например с последним, то
число подлежащих доказательству ра-
равенств понизится до четырех. (Здесь мы
молчаливо предполагаем траваитивность:
если о = 6, 6 = с, то о = с.) Доказав
четыре равенства, мы тем самым докажем
равенства произведений четырех сомножи-
сомножителей при всех возможных способах рас-
расстановки скобок, поскольку, если каж-
каждое произведение совпадает с последним,
то все произведения равны между собой.
Доказательство того, что четвертое,
произведение совпадает с пятым, то есть
что [a(bc)]d = [(ab)c]d, не вызывает особых
трудностей, необходимо лишь воспользо-
воспользоваться ассоциативностью произведений
трех сомножителей, заключенных в квад-
квадратные скобки (рис. 23). Аналогичным
образом можко убедиться в том, что первое
произведение совпадает со вторым. Оста-
Остается лишь доказать, что второе и третье
произведения совпадают с пятым (или с
четвертым). В этом можно убедиться сле-
следующем образом. Пусть be = и и об =
— v (ведь каждое из произведений Ьс и аЬ

[a(bc)]dx> (at)led)
[(ab)c]d
Рис. 23.
является элементом группы). Тогда вто-
второе произведение можно записать в виде
a(ud)< третье — в виде v(cd). Ассоциатив-
Ассоциативность произведений трех сомножителей
доказана. Следовательно,
a (ud) = {аи) d = [a (be)] d и v (cd) =
= (ve)d = [(ab)e]d.
Продолжая аналогичные рассуждения,
можно доказать ассоциативности произ-
произведений пяти, шести и большего числа
сомножителей. По существу приведенное
выше доказательство основано на полной
нндукцнн.
Нетрудно заметить, что на протяжении
всего доказательства мы использовали
лишь одну аксиому группы — аксиому
ассоциативности. Следовательно, полу-
полученный нами результат остается в силе
н для полугрупп.
Из обобщенной ассоциативности,
разумеется, следует, что и в любой
конкретной группе операция ассо-
ассоциативна. Ассоциативно сложение и
умножение чисел, последовательное
выполнение подстановок и т. д. Стро-
Строго говоря, гораздо важнее другое:
во всех этих случаях утверждение об
ассоциативности верно не само по се-
себе, не «безусловно», а является зако-
закономерным следствием ассоциативнос-
ассоциативности произведений трех сомножителей.
Перейдем теперь к рассмотрению
одного частного случая, когда все
сомножители, входящие в произведе-
произведение, совпадают, то есть рассмотрим
«степени» элементов группы. По-
Поскольку групповая операция ассо-
ассоциативна, то произведение, состоя-
состоящее из одинаковых сомножителей,
зависит лишь от того, какие сомно-
сомножители в него входят и сколько их.
Следовательно, такое произведение
можно рассматривать как «функцию
двух переменных». Бели в произведе-
произведение входят сомножители а и число их
равно п, но такое произведение мы
обозначим а". Так как число сомно-
сомножителей не меньше 2, то и «показа-
«показатель степени» п не меньше 2.
Из определения степени элемента
группы видно, что ассоциативность не-
необходима. Не будь ее, произведение оди-
одинаковых сомножителей могло бы зависеть
не только от числа сомножителей и от
элемента, выбранного в качестве основа-
основания степени, но и от расстановки скобок.
Подчеркнем: могло бы зависеть, но не
обязательно зависело бы. У читателя,
возможно, появится подозрение, что эта
осторожная формулировка — не более чем
неуклюжая попытка доказать «раз н на-
навсегда» независимость «произведения» от
расстановки скобок. Чтобы рассеять эти
необоснованные подозрения, приведем при-
пример «произведения», зависящего от расста-
расстановки скобок. Разумеется, такое возмож-
возможно лишь в том случае, если «умножение»
не ассоциативно. С неассоциативнон опе-
операцией нам уже приходилось встречаться:
этим свойством обладало возведение в
степень, то есть операция h(a, b) = о*.
Итак, h(h(a, а), а) = (ов)° = о»г и
h(a, h(a, а)) = ов°, но (если а ф 1 нлн
а ф 2) оба произведения различны: на-
например, 33' = 3» и 33' = 34
Однако не следует думать, что, если
операция не ассоциативна, то «возве-
«возведение в степень» не имеет смысла. Нетруд-
Нетрудно представить себе операцию, ассоциа-
ассоциативную лишь «прн возведении в степень».
Это означает, что операция обладает ас-
ассоциативностью лишь в том случае, если
все сомножители одинаковы, а в общем
случае ассоциативно не всякое произве-
произведение. Столь «коварную» операцию мож-
можно задать даже на множестве целых чисел.
Например, пусть операция состоит во
взятии среднего арифметического, то есть
s(a, b) = f-i— Так как s(a, а) = о,
то сколько бы одинаковых элементов ни
входило в «произведение», оно всегда
будет совпадать с «основанием степени» —
любым нз элементов. Наоборот, шроиз-
45

ведения» s(a, s(b, с)) =-
2я
+ c
4 , 6), c) =1 (f±-6+c)=
=°Xri£L различны, если а ф с. Сле-
Следовательно, эта операция ассоциативна
«прн возведении в степень», но не ассо-
ассоциативна вообще.
Но вернемся теперь к возведению
в степень элементов группы. Все на-
названия в этом случае остаются таки-
такими же, как при возведении в степень
чисел: если Ъ = а", то элемент Ь
называется п-й степенью элемента
а, а — основанием ига — показате-
показателем степени. Относительно послед-
последнего мы предположили, что он не
меньше 2. Но поскольку при возведе-
возведении в степень мы обращаемся с эле-
элементами группы, как с обыкновен-
обыкновенными числами, то показатель степе-
степени можно определить как произволь-
произвольное целое число.
Пусть а1 = а, ай = е и а'п =
= (а)" (п — натуральное число,
а —элемент, обратный элементу а).
Можно доказать, что степени эле-
элемента а удовлетворяют следующему
тождеству:
апак = ап*к и (ап)к = апк
(п шк — произвольные целые числа).
Доказательство этих тождеств на-
наталкивается на многие вычислитель-
вычислительные трудности, поскольку га-ю сте-
степень элемента а можно определить
пятью способами. Она равна
а"—произведению п сомножите-
сомножителей, каждый из которых равен
а при п > 1;
а при п = 1;
е при п = 0;
элементу, обратному а, при
п = -1;
произведению элементов, об-
обратных а, при га< —1.
Множитель ак также определяется
пятью способами. Следовательно, для
доказательства первого тождества
(апак = ап*к) необходимо рассмот-
рассмотреть 25 вариантов (не считая переста-
перестановки множителей а" и ак). К тому
же возможны различные «подслучаи»:
например, если п больше 1, а к мень-
меньше 1, то сумма п + к все же может
быть больше или равной единице.
Нетрудно убедиться в том, что и при
доказательстве второго тождества не-
необходимо рассмотреть 25 возможных
случаев.
Поскольку рассмотрение столь
большого числа случаев было бы
весьма громоздко, то мы опустим
доказательство. Те, кого интересуют
подробности, смогут провести его
самостоятельно, используя в каждом
отдельном случае соответствующие
определения степени элемента.
Упомянем лишь несколько важных
следствий из приведенных выше тож-
тождеств.
Из первого тождества следует, что
степени одного и того же элемента
можно переставлять местами
апак = акап.
Если один из показателей пик
положителен, а другой отрицателен,
то это соотношение можно рассматри-
рассматривать как обобщение утверждения о
том, что «левый обратный» для любо-
любого элемента группы совпадает с «пра-
«правым обратным».
Второе тождество при п =
= к = —1 означает, что элемент,
обратный обратному, совпадает с
исходным элементом
(a-i)-i = а.
(Это соотношение необходимо ис-
использовать при доказательстве вто-
второго тождества.) Действительно, по
определению элемент а, обратный
элементу а, удовлетворяет соотно-
соотношению а'ха = е. Это же соотноше-
соотношение означает, что элемент а является
правым обратным для элемента а'1.
Поскольку для каждого элемента
группы обратный определен одно-
однозначно, то тем самым наше утверж-
утверждение доказано
(а-*)" = (апГ1.
Этот частный случай также необ-
необходимо использовать для доказа-
доказательства второго тождества. Так как
46

—n = n(— 1), то а'" = (а"). Со-
Сопоставляя это соотношение с перво-
первоначальным определением обратного
элемента, мы приходим к следующе-
следующему заключению: «га-я степень обрат-
обратного элемента совпадает с элементом,
обратным га-й степени». Оно следует
из того, что произведение (а~1)пап,
как можно показать, используя ассо-
ассоциативность и шаг за шагом «вычер-
«вычеркивая» пары (а^а), равно е. Посколь-
Поскольку элемент, обратный данному, оп-
определен однозначно, то (а'1)п совпа-
совпадает с элементом, обратным элементу
По существу второе тождество _можно
рассматривать как частный случай «воз-
«возведения в степень произведения». Дока-
Доказательство известного нз арифметики со-
соотношения «ге-я степень произведения рав-
равна произведению п-х степеней сомножи-
сомножителей» не проходит даже в простейших
вариантах. Разумеется, в тривиальных
случаях это соотношевне остается верным.
Например, равенство ol6l = (abI выпол-
выполняется по определению. Соотношение
(обH = о°6° следует из того, что в правой
и в левой частях равенства стоят единич-
единичные элементы. Однако в общем случае не-
невозможно доказать, что а*Ьг совпадает
с (обJ = abab. Действительно, умножив
равенство ааЬЬ = abab слева на о, а
справа на б, получим ab = Ьа. Следова-
Следовательно, соотношение а*Ьг — (об)* может
выполняться, лишь если об = Ьа. В этом
«лучае говорят, что элементы о и 6 комму-
коммутируют, или что их можно переставлять.
К аналогичному результату мы при-
пришли бы, заменив показатель степени 2 на
—1. В общем случае произведение а~1Ь~*
не совпадает с элементом, обратным эле-
элементу об. В этом нетрудно убедиться.
Умножив произведение аЬ слева на произ-
произведение обратных элементов, взятых в
обратном порядке, мы получим епинич-
ный элемент:
(об) = б (а~Щ Ь = Ь~1еЬ =
= Ъ-Ч = е.
(об) =
то есть
Но вернемся снова к рассмотрению
степеней одного-единственного эле-
элемента. Все степени одного элемента
могут быть различными — как, на-
например, целые числа, образующие
группу по сложению. Но может слу-
случиться и так, что не все степени одно-
одного элемента будут различными. На-
Например, если группа содержит ко-
конечное число элементов, то, какой
бы элемент мы ни выбрали, все его
степени не могут быть различными,
ибо в противном случае группа со-
содержала бы бесконечно много эле-
элементов.
Итак, рассмотрим какой-нибудь
элемент а группы, не все степени ко-
которого различны, и попытаемся на-
навести некий порядок среди совпада-
совпадающих степеней.
Прежде всего можно установить,
что совпадение степеней зависит лишь
от «расстояния» между показателями
степени. Это означает, что, если, на-
например, ап = ак, то, умножив на
а, мы получим апП = а"а = ака =
= а*+1, а умножив на а'1 — равен-
равенство а"'1 = апа~г = ак-а~1 — ак~1.
Следовательно, достаточно опреде-
определить те степени, которые совпадают с
единичным элементом. Действитель-
Действительно, соотношение а" = ак выполня-
выполняется в том случае, если а"~к = е.
Это соотношение можно доказать, во-
первых, повторив достаточное число
раз приведенное выше рассуждение.
Во-вторых, если а" = ак, то а"'к =
= апа~к = акаГк = ак~к = а0 =
= е, а если ап~к = е, то цепочка ра-
равенств а" = ака"~к = аке = а"
формально доказывает наше утверж-
утверждение.
Используя второе тождество для
возведения в степень, получаем: ес-
если ап = е, то апк = (а")* = ек =
= е (так как ее = е, то любая сте-
степень единичного элемента есть еди-
единичный элемент). Следовательно, ес-
если какая-то «небольшая» степень эле-
элемента а совпадает с единичным эле-
элементом, то и многие «большие» сте-
степени элемента а также совпадают с
единичным элементом. Это утверж-
утверждение справедливо для тем большего
числа элементов, чем меньшая сте-
степень элемента а (совпадающая с еди-
единичным элементом) выбрана первона-
первоначально. Это означает, что разумно
рассматривать наименьшие степени
элементов, обращающиеся в единич-
единичные элементы.
47

Наименьшее положительное целое
число d, при котором выполняется
равенство ал = е, называется поряд-
порядком элемента а и обозначается о(а)._
Итак, пусть d = о(а). Как нам
уже известно, соотношение adk = е
выполняется всегда. Возникает во-
вопрос: не может ли равенство а" = е
выполняться при каком-нибудь дру-
другом га? Если га — такое число, то,
поскольку ай = е, тем же свойст-
свойством обладают числа га + d и га — d.
Следовательно, вычитая d из га до-
достаточное число раз (или, если га
отрицательно, прибавляя d к га до-
достаточное число раз), мы получим не-
неотрицательное число, меньшее d и
обладающее тем же свойством, что и
га. Пусть га — kd — г — такое це-
целое число, для которого
0<r<d
и аГ — ап~ы = ап {а")'к = ее"* = е.
Поскольку d — наименьшее поло-
положительное число, при котором ай =
= е, то число г не может быть поло-
положительным. Но г — целое неотри-
неотрицательное число и поэтому не мень-
меньше нуля. Следовательно, г может
быть только равно нулю. Это озна-
означает, что га = kd.
Доказано, что а" = е только в
том случае, если показатель степе-
степени га кратен порядку элемента а.
Отсюда прежде всего следует, что
все элементы
е, а
(d = O(a))
различны. Действительно, если ка-
какие-то два из этих элементов совпа-
совпадают, то, во-первых, разность их по-
показателей меньше d (поскольку каж-
каждый из показателей меньше d), во-
вторых, эта разность, как было пока-
показано, делится на d и, следовательно,
может быть равной только нулю, то
есть оба показателя совпадают.
Нетрудно видеть, что любая сте-
степень элемента а совпадает с одним из
выписанных нами элементов. Дейст-
Действительно, для любого целого числа га
найдется такое целое число к, что
п — kd — г — целое число, для
которого
О < г < d и аг = ап'ы — a"(ad)~h =
= апа'к = с".
Тем самым наше утверждение дока-
доказано.
Если все степени какого-нибудь
элемента различны, то он называет-
называется элементом бесконечного порядка.
Нетрудно убедиться в том, что чис-
число различных степеней элемента а
совпадает с порядком элемента а. Но
в том случае, когда все степени эле-
элемента а различны, порядок элемен-
элемента а утрачивает смысл. Поэтому опре-
определение порядка элемента целесооб-
целесообразно сформулировать так, чтобы по-
порядок элемента всегда совпадал с
числом его различных степеней.
ЗАДАЧИ
1. Определить порядок следующих
подстановок: A2), A23), A234). Как
можно определить порядок цикла в
общем случае?
2. Определить порядок следующих
подстановок: A2)C4),A23)D56), A2) X
ХC45), A2) C456). Как можно опреде-
определить в общем случае порядок подста-
подстановки, разложенной в произведение
циклов, не имеющих общих элемен-
элементов?
3. Найти элементы конечного по-
порядка в мультипликативной (опера-
(операция — обычное умножение) группе
вещественных чисел, отличных от
нуля.
4. Найти элементы конечного по-
порядка в мультипликативной группе
комплексных чисел, отличных от ну-
нуля.
5. Найти элементы конечного по-
порядка в группе монотонно возраста-
возрастающих функций, непрерывных на от-
отрезке [0,1] (точное определение груп-
группы см. в задаче 9 из раздела 2.2).
3.3. Коммутативные группы
Мы видели, что тождества для сте-
степеней удается доказать лишь в том
случае, если входящие в них элемен-
элементы можно переставлять. Весьма мно-
многие конкретные группы обладают
48

тем свойством, что любые два их
элемента коммутируют. Таковы, на-
например, группы чисел как по сложе-
сложению, так и по умножению. Именно
поэтому представляет интерес особо
рассмотреть группы такого типа.
Группа (G, /) называется комму-
коммутативной, или абелевой, если опе-
операция / коммутативна, то есть для
любых двух элементов а и Ъ группы
G выполняется равенство /(а, Ь) =
- f(b, a).
Коммутативная группа облада-
обладает обобщенной коммутативностью,
состоящей в том, что произ-
произведение любого числа сомножите-
сомножителей не зависит от их порядка. Истин-
Истинность этого утверждения не вызыва-
вызывает сомнений, поскольку, перестав-
переставляя соседние сомножители, мы всег-
всегда можем перейти от любого исход-
исходного расположения сомножителей к
любому другому расположению. От-
Отсюда следует, что соотношение (ab)n =
— anbn выполняется при целых п,
больших единицы. В свою очередь
из этого соотношения мы заключаем,
что аналогичное равенство выполня-
выполняется при произвольном целом п и
любом числе сомножителей.
Коммутативные группы играют в
алгебре весьма важную роль, но мы
не будем здесь рассматривать их
более подробно.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что все числовые
группы как по сложению, так и по
умножению всегда коммутативны.
2. Доказать, что группа движений
плоскости (с последовательным вы-
выполнением движений в качестве груп-
групповой операции) неабелева.
3. Пусть а и Ъ — элементы комму-
коммутативной группы, причем о (а) =
= п и оф) = к. Доказать, что;
а) о{аЪ) делит наименьшее общее
кратное чисел пик;
б) если пик — взаимно простые
числа (то есть не имеют общих дели-
делителей, отличных от 1), то o(ab) =
= пк\
в) если пик — не взаимно прос-
простые числа, то может случиться, что
o(ab) будет делителем чисел пик.
4. Доказать, что в абелевой группе
произведение элемента конечного
порядка и элемента бесконечного по-
порядка всегда имеет бесконечный по-
порядок, а произведение двух элемен-
элементов бесконечного порядка может
иметь конечный порядок.
4
Теоретико-групповые
конструкции
4.1. Подгруппа группы
В приведенных выше примерах
групп нам неоднократно встречались
такие пары групп, что каждый эле-
элемент одной из групп принадлежал
другой группе. Напомним несколько
таких пар.
1. Группа целых чисел по сложе-
сложению и группа рациональных чисел по
сложению. (Каждое целое число ра-
рационально.)
2. Группа отличных от нуля ве-
вещественных чисел по умножению и
группа отличных от нуля комплекс-
комплексных чисел по умножению. (Каждое
вещественное число можно рассмат-
рассматривать как комплексное число.)
3. Группа положительных вещест-
вещественных чисел по умножению и группа
вещественных чисел по сложению.
(Каждое положительное веществен-
вещественное число, разумеется, является ве-
вещественным числом.)
4. Группа сдвигов плоскости (от-
(относительно умножения преобразо-
преобразований) и группа движений плоскос-
плоскости (относительно умножения преоб-
преобразований). (Каждый сдвиг принад-
принадлежит к числу движений.)
Присмотревшись к этим примерам
повнимательнее, нетрудно заметить,
что в третьем примере групповые
операции в двух группах, образую-
образующих пару, различны, а во всех ос-
остальных примерах совпадают. Ясно,
что в тех трех примерах, в которых
групповые операции совпадают,
49.

связь между группами гораздо тес-
теснее, чем в том случае, когда группо-
групповые операции различны. По сущест-
существу в каждом из рассмотренных нами
примеров речь шла о некоторой связи
между двумя группами. Но группы—
это не только наборы элементов, а
пары, состоящие из множества эле-
элементов и заданной на этом множестве
операции. Именно поэтому установ-
установление связи между группами должно
сопровождаться установлением оп-
определенной зависимости между груп-
групповыми операциями. Если же между
операциями в группах никакой за-
зависимости не существует, то, даже
располагая самыми подробными све-
сведениями о свойствах «большей» груп-
группы, мы сможем очень мало сказать
о свойствах «меньшей» группы. В тех
же случаях, когда операции в двух
группах «совпадают», операция, за-
заданная на большей группе, уже пол-
полностью определяет операцию, задан-
заданную на меньшей группе — на под-
подгруппе.
Группа (Н, К) называется под-
подгруппой группы (G, g), если Н —
подмножество множества G и опера-
операции g и h совпадают на множестве
Н.
Прежде чем переходить к рассмот-
рассмотрению примеров подгрупп, попыта-
попытаемся выяснить, каким образом можно
решить, образуют ли элементы, при-
принадлежащие тому или иному подмно-
подмножеству элементов группы, подгруппу
или не образуют.
Прежде всего необходимо, чтобы
интересующее нас подмножество
было такой группой, в которой умно-
умножение совпадает с операцией, задан-
заданной на всей группе. На самом под-
подмножестве никакой «своей» группо-
групповой операции не задано, и это хоро-
хорошо, поскольку операцию на нем мож-
можно вводить лишь так, как она опре-
определена на исходной группе. Поэтому
мы должны не задавать операцию на
выбранном подмножестве, а прове-
проверить, не выводит ли за его пределы
операция, определенная на исходной
группе, то есть можно ли эту опе-
операцию считать групповым умноже-
умножением на интересующем нас подмно-
подмножестве. Если это действительно так,
то заведомо выполнены следующие
условия.
1. Произведение любых двух эле-
элементов подмножества принадлежит
подмножеству. (Иногда это условие
формулируют так: подмножество зам-
замкнуто относительно умножения.)
Тем самым на подмножестве ока-
оказывается заданной операция, причем
именно так, что подмножество ста-
становится подгруппой. (Более того,
операция, превращающая наше под-
подмножество в подгруппу исходной
группы, определена единственным
образом.) Проверим, все ли аксиомы
группы выполнены. Первая аксио-
аксиома утверждает ассоциативность груп-
группового умножения. Но соответству-
соответствующее тождество выполняется для
любых трех элементов исходной
группы. Следовательно, оно выполня-
выполняется и в том случае, если эти три
элемента выбраны из рассматривае-
рассматриваемого подмножества. Отсюда следует
вывод:
ассоциативность можно не прове-
проверять.
(Это. не только «приятно», но и по-
полезно, потому что именно проверка
ассоциативности представляет наи-
наибольшую трудность.)
Далее необходимо проверить, су-
существует ли относительно введенной
на подмножестве операции левый
единичный элемент. Если / — такой
элемент, то // = /. Но поскольку
е/ = / (е — единичный элемент ис-
исходной группы), то е/ = //, откуда,
применяя закон сокращения спра-
справа, получаем: е = /. Следовательно,
если в подмножестве относительно
введенной на нем операции существу-
существует единичный элемент, то этим эле-
элементом может быть только единичный
элемент исходной группы. Наобо-
Наоборот, если единичный элемент исход-
исходной группы принадлежит выбранно-
выбранному подмножеству, то он, разумеется,
является левым единичным элемен-
элементом относительно определенной на
подмножестве операции. Отсюда сле-
следует вывод:
50

2. Единичный элемент должен при-
принадлежать рассматриваемому под-
подмножеству.
(«Теоретически» сначала следова-
следовало бы проверить, существует ли еди-
единичный элемент в выбранном подмно-
подмножестве. Но «практически» достаточно
воспользоватьсй тем, что этим эле-
элементом может быть только единичный
элемент исходной группы, и поэтому
свести «поиски» к' проверке принад-
принадлежности одного вполне определен-
определенного элемента группы выбранному
подмножеству.)
Наконец, следует проверить, для
каждого ли элемента подмножества
существует принадлежащий подмно-
подмножеству обратный элемент (относи-
(относительно определенной на подмножест-
подмножестве операции). Поскольку достоверно
известно, что единичный элемент ис-
исходной группы должен принадле-
принадлежать подмножеству, то элемент, об-
обратный любому элементу подмно-
подмножества, совпадает с элементом, об-
обратным этому элементу в исходной
группе. А это означает следующее:
3. Вместе с каждым элементом
подмножество должно содержать об-
обратный элемент.
Пара (Н, К) образует подгруппу
группы {G, g) в том и только в том
случае, если Н -- подмножество
множества G, удовлетворяющее ус-
условиям 1, 2 и 3 (по определению опе-
операция h совпадает с операцией g на
Н).
Заметим, что условия 1, 2 и 3 мож-
можно представить в несколько более
простом виде, но проверка условий
по-прежнему осталась бы довольно
сложной.
В дальнейшем при рассмотрении
подгруппы мы не будем особо задавать
на ней операцию, поскольку группо-
групповое умножение в подгруппе всегда
совпадает с операцией, определенной
на исходной группе.
ПРИМЕРЫ
1. Рассмотрим группу целых чисел
по сложению. В ней можно выделить
следующие подгруппы;
а) Множество четных чисел,
так как сумма двух четных чисел
четна, нуль — четное число (его
можно представить в виде 2-0) и
число, обратное или противополож-
противоположное четному числу, также четно,
б) Множество, содержащее только
нуль,
так как 0 + 0 = 0, сам нуль при-
принадлежит множеству и —0 = 0.
в) Множество всех целых чисел,
так как по определению они образу-
образуют группу по сложению.
2. Рассмотрим группу рациональ-
рациональных чисел по сложению. В ней мож-
можно выделить следующие подгруппы:
а) Множество целых чисел,
так как сумма двух целых чисел —
целое число, нуль — целое число
и любое число, противоположное
целому (то есть равное целому числу
с обратным знаком), — также целое.
б) Все подгруппы аддитивной (то
есть со сложением в качестве группо-
групповой операции) группы целых чиеел,
так как выполнение всех трех усло-
условий «гарантировано» тем, что они
выполнены в группе целых чисел.
в) Рациональные числа, предста-
вимые в виде дробей с нечетными зна-
знаменателями,
так как, если знаменатели дробей
alb и eld нечетны, то и их сумма —
дробь (ad + bc)/bd — имеет нечет-
нечетный знаменатель, нуль можно пред-
представить, например, в виде 0/1, то
есть записать в виде дроби с нечет-
нечетным знаменателем, а число, противо-
противоположное рациональному числу (то
есть отличающееся от рационального
числа знаком), — в виде дроби с
тем же знаменателем, что и у исход-
исходного числа, в силу чего, если исход-
исходное рациональное число представимо
в виде дроби с нечетным знаменате-
знаменателем, то и противоположное ему
рациональное число также предста-
представимо в виде дроби с нечетным зна-
знаменателем.
(Мы не могли бы утверждать, что
дроби с нечетными знаменателями
образуют подгруппу, поскольку лю-
любую дробь можно представить в виде
дроби с четным знаменателем: на-
51

пример дробь 2/3 можно записать в
виде 4/6. Следовательно, хотя в дей-
действительности мы имеем в виду дро-
дроби с нечетными знаменателями, сле-
следует использовать лишь приведенное
выше точное название подгруппы.)
3. Рассмотрим мультипликатив-
мультипликативную (то есть с умножением в качест-
качестве групповой операции) группу ве-
вещественных чисел, отличных от ну-
нуля. В ней можно выделить следующие
подгруппы:
а) Мультипликативная группа по-
положительных вещественных чисел,
так как произведение двух положи-
положительных вещественных чисел поло-
положительно (и вещественно), единица —
число положительное и число, об-
обратное положительному, также по-
положительно.
б) Мультипликативная группа ра-
рациональных чисел, отличных от ну-
нуля,
так как произведение двух отличных
от нуля рациональных чисел также
является рациональным числом, от-
отличным от нуля, единица — рацио-
рациональное число и число, обратное от-
отличному от нуля рациональному чис-
числу, рационально.
в) Множество, состоящее из чисел
+1 и -1,
-так как произведение любых двух из
них (не обязательно различных) рав-
равно либо +1, либо —1, число +1 при-
принадлежит множеству, каждое из двух
чисел обратно самому себе и, следо-
следовательно, вместе с каждым из чисел
+1 и —1 множеству принадлежит и
обратное число.
Рассмотренные нами примеры поз-
позволяют заметить следующее,
1. Все группы содержат в качестве
подгруппы множество, состоящее
.только из единичного элемента. Та-
Такая подгруппа называется единичной
подгруппой.
Это утверждение нетрудно дока-
вать в общем виде: ее — е, е принад-
принадлежит рассматриваемому множеству
и е'1 = е.
2. Любая группа содержит себя в
качестве подгруппы.
Это утверждение очевидно, по-
поскольку аксиомы группы заранее
считаются выполненными.
3. Во всякой группе все подгруппы
любой подгруппы являются в то же
время подгруппами исходной группы.
Единичная подгруппа и вся груп-
группа называются тривиальными под-
подгруппами, а все остальные подгруп-
подгруппы называются истинными подгруп-
подгруппами.
Доказать утверждение 3 можно
совсем просто. Во «внутренней» груп-
группе операция, единичный элемент и
обратные элементы остаются такими
же, как и в объемлющей ее «большой»
группе. Следовательно, проверяя вы-
выполнение условий в «малой» группе,
мы тем самым как бы проверяем и
выполнение условий в исходной груп-
группе.
Как показывают примеры, элемен-
элементы каждой подгруппы обычно обла-
обладают каким-нибудь отличительным
свойством. Иногда все элементы, вхо-
входящие в подгруппу, удается «на-
«назвать поименно». К последнему спо-
способу построения подгруппы можно \
прибегнуть в том случае, если под-
подгруппа содержит конечное число эле-
элементов и • проще перебрать все ее
элементы, чем найти их отличитель-
отличительный признак.
Если подгруппа задана каким-то
свойством, то не составляет особого
труда определить, обладает ли этим
свойством единичный элемент. (Как
правило, единичный элемент обла-
обладает всеми «хорошими» свойствами.
Действительно, из двух других усло-
условий следует, что единичный элемент
принадлежит рассматриваемому под-
подмножеству.) Таким образом, по су-
существу необходимо проверить лишь
два условия", замкнутость относи-
относительно умножения и взятия обратно-
обратного элемента. Если группа конечна,
то есть содержит конечное число
элементов, то достаточно проверить
одно из этих условий.
Если некоторое подмножество эле-
элементов конечной группы содержит
единичный элемент и замкнуто отно-
относительно умножения, то оно является
подгруппой.
52

Действительно, если о — элемент ко-
конечной группы, то число различных сте-
степеней элемента а не может быть больше
числа элементов в группе. Следовательно,
о — элемент конечного порядка, и если
4 = о(о), то на соотношения ааа~г — ad=e
мы получаем что о1* — элемент,
обратный элементу о. Это означает, что
в конечной группе элемент, обратный лю-
любому элементу группы, совпадает с одной
нз его степеней. Поэтому, если какое-то
подмножество элементов конечной группы
замкнуто относительно умножения, то
вместе с каждым своим элементом оно со-
содержит н все его степени, а следовательно,
н обратный элемент.
Отображения множеств
На многих примерах мы убедились,
что подгруппы можно задавать, ука-
указывая какой-нибудь отличительный
признак. Именно так обстояло, на-
например, дело с движениями на плос-
плоскости, когда мы рассматривали толь-
только сдвиги или только повороты во-
вокруг одной и той же точки. Но ана-
аналогичный принцип позволяет опре-
определить и все движения на плоскости.
Действительно, преобразование плос-
плоскости называется движением, если:
1) оно устанавливает взаимно-од-
взаимно-однозначное соответствие между точка-
точками плоскости, причем
2) расстояние между любыми дву-
двумя точками до преобразования сов-
совпадает с расстоянием между теми
точками, в которые они переходят
под действием преобразования.
Условие 2 представляет собой не
что иное, как дополнительное тре-
требование, налагаемое на взаимно-од-
взаимно-однозначные преобразования плоскос-
плоскости. Если о взаимно-однозначных пре-
преобразованиях плоскости известно,
что они образуют группу {относитель-
{относительно «обычной» операции — последо-
последовательного выполнения преобразова-
преобразований), то условие 2 «предписывает»
рассматривать лишь те из них, кото-
которые образуют определенную подгруп-
подгруппу.
Прежде всего необходимо прове-
проверить правильность исходного пунк-
пункта наших рассуждений, то есть убе-
убедиться в том, что движения действи-
Н
Это - множество ff,
нарисованное еще раз
Рис. 24
тельно составляют часть некоторой
группы.
Но вместо того, чтобы изучать ото-
отображения плоскости на себя, гораз-
гораздо удобнее рассмотреть отображения
произвольного множества на себя.
Итак, рассмотрим все взаимно-од-
взаимно-однозначные отображения на себя не-
некоторого заданного множества Н.
Прежде всего необходимо договорить-
договориться относительно того, что следует
понимать под взаимно-однозначным
отображением множества на себя.
Если каждому элементу множества
Н поставлен в соответствие некото-
некоторый элемент множества Н, то мы го-
говорим, что задано отображение мно-
множества Н в себя. Если Т — отобра-
отображение множества Н в себя и Р —
элемент множества Н, то Т(Р) озна-
означает элемент, в который Т отобража-
отображает Р (рис. 24).
[Рис. 24 можно рассматривать как
своего рода аналогию привычного
всем изображения системы коорди-
координат (рис. 25). Вместо двух веществен-
вещественных прямых на рис. 24 показаны мно-
множество Н в «двух экземплярах».
Обозначения также выбраны по ана-
53

У н
Рис. 25
Если зти злвмвнты -то эти
различны, элементы
также разлиты
Рис. 26
логии с обозначениями функций.J
Произведение двух отображений
множества Н в себя определим как
последовательное выполнение одно-
одного отображения за другим, то есть
как «подстановку» одной «функции»
в другую.
Если отображение Т ставит в соот-
соответствие различным элементам мно-
множества Н различные элементы того
же множества и при этом каждый
элемент множества Н оказывается
образом какого-нибудь элемента, то
Т называется взаимно-однозначным
отображением множества Н на себя.
Произведением взаимно-однознач-
взаимно-однозначных отображений Т и S множества
Н на себя называется такое отобра-
отображение R, которое любой элемент Р
множества Н переводит в элемент
ЩР) = S(T(P)). Это отображение
R принято обозначать TS.
[Возможно, кому-нибудь покажет-
покажется странным, что TS(P) совпадает с
S(T(P)). Такое впечатление обманчи-
обманчиво и связано с тем, что обозначения
«аргумента функции» (Р) и отобра-
отображения TS лишь стоят рядом, не «вза-
«взаимодействуя» друг с другом. Во мно-
многих случаях удобно считать, что
«функция» действует не «вправо»,
а «влево», то есть записывать ее
вместо привычного обозначения Т(Р)
в виде (Р)Т. При такой записи (P)TS—
= ((P)T)S, что во многих случаях
облегчает понимание того, как дей-
действует отображение. Иногда обозна-
обозначение «функции» записывают в виде
«показателя» (то есть в виде Рг),
54
что также позволяет упростить опи-
описание отображения.]
Важное значение имеет следующая
теорема:
Взаимно-однозначные отображения
любого множества на себя образуют
группу относительно произведения
отображений.
Докажем эту теорему. Ясно, что произ-
произведение диух взанмко-однозначиых ото-
отображений множества Н на себя также-
является отображением этого множества
на себя. Необходимо лишь доказать, что
произведение взаимно-однозначно. Пусть
R = TS. Если элементы Р и Q раз-
различны, то н их образы Т(Р) и Т@ различ-
различны, поскольку Т — вэанмно-однозначное
отображение (рнс- 26). Но тогда элементы
S(T(P)) и S(T«?)) также различны, по-
поскольку не только Т, но и S — взаимно-
взаимнооднозначное отображение. Выберем теперь
произвольный элемент R множества Н. Так
как отображение S взанмно-однозначно,
то для элемента R найдется такой элемент
S, что R = S(S) (рис. 27), а для эле-
элемента S в еиою очередь найдется (посколь-
(поскольку отображение Т взаимно-однозначно)
такой элемент Т, что S = Т(Г), то есть
R = 8(Т(Г)). Но это н означает, что
произведение отображений S и Т взаим-
взаимно-однозначно. Следовательно, произведе-
произведение отображений также порождает взаим-
но-одноэначное отображение множества на
себя.
Чтобы доказать ассоциативность, рас-
рассмотрим три взаимно-однозначные отобра-
отображения Т, S я L). Отображения L)(ST) и
(US)T еоипьдают, если любой элемент Р
множества Н они переводят в один н тот
же элемент.
Но
[U (ST)] (Р) = (ST) [V (Р)] = Т {S [U IP)]}
н, кроме того,
[(US) Т] (Р) = Т {(US) (Р)} = Т {S [U (Р))}.

Если этот злемент
задан,
поторып отображение]
'переводит <?ч
И
(US)
Рис. 27
Следовательно, оба произведения U(ST)
н (US)T совпадают (рис. 27). Тем самым
ассоциативность доказана.
Нетрудно проверить, что тождествен-
тождественное отображение служит единичным эле-
элементом. Действительно, если ЦР) = Р
для любого элемента Р множества Н, то
1(Т(Р)) = Т(Р). Следовательно, I — ле-
левый единичный элемент. (Ясно, что тож-
тождественное отображение взанмно-одно-
значно.)
Обратный элемент определим так же,
как мы делалн зто прежде: если отобра-
отображение Т переводит злемент Р множества
Н в элемент Q, то отображение Т воз-
возвращает Q на место Р. Поскольку все
элементы множества Н можно представить
в виде Т(Р), то отображение Т задано
иа всем множестве Н. Так как отображе-
отображение Т переводит различные элементы мно-
множества Н в различные, то отображение
Т однозначно определено на исех эле-
элементах Q множества Н. По определению
T~i(T(/>)) совпадает с Р, поэтому Т дей-
действительно отображение, обратное ото-
отображению Т. Осталось лишь доказать, что
отображение Т взаимно-однозначно. Но
<? = ЩР), В = ТE). Следоиательно, если
Р = S, то Q = Д, поэтому Р = Т~1@
и S = Т-1(Л) не могут совпадать при раз-
различных элементах Q и R. Кроме того, из
условия Т~1(Т(Р)) = Рш заключаем, что
отображение Т переводит в каждый эле-
элемент множества Н какой-нибудь элемент
того же множества. Зтн два сиойства и
означают, что Т — изаямно-однозначное
отображение множества И на себя.
Итак, взаимио-одноэначяые отобра-
отображения множества Н на себя образуют
полугруппу, в которой существует левый
единичный элемент и для каждого эле-
элемента — левый обратный элемент, то есть
группу.
Доказанная нами теорема по су-
существу означает следующее.
Если впредь нам понадобится до-
доказать, что некоторые взаимно-одно-
взаимно-однозначные отображения, обладающие
тем или иным отличительным свой-
свойством, образуют группу, то можно не
заниматься проверкой, во-первых, ас-
ассоциативности и, во-вторых,взаимной
однозначности произведения ото-
отображений или обратных отображе-
отображений. Необходимо проверить лишь,
обладает ли произведение отображе-
отображений отличительным свойством инте-
интересующего нас множества отображе-
отображений.
Если взаимно-однозначные ото-
отображения множества Н на себя наде-
наделены некоторым отличительным свой-
свойством, причем этим свойством обла-
обладают также:
1) произведение любых двух рас-
рассматриваемых отображений;
2) тождественное отображение;
3) отображение, обратное любому
из отображений, обладающих требу-
4
55

Рис. 28
емым отличительным свойством, то
такие отображения образуют под-
подгруппу группы всех взаимно-одно-
взаимно-однозначных отображений множества Н
на себя.
Если в качестве отличительного
свойства выбрана способность ото-
отображений «не изменять что-нибудь»
в множестве Н, то, как нетрудно до-
доказать, условия 1—3 выполняются.
Например, отображения могут со-
сохранять расстояния между точками,
отношения расстояний, расстояния и
направления, упорядочение чисел на
отрезке [0, 1] (это означает, что под
действием отображений большие чис-
числа переходят в большие). Во всех
этих случаях отличительное свойство
отображений состоит в их способнос-
способности оставлять «что-нибудь» неизмен-'
ным. Из приведенных выше приме-
Рис. 29
ров видно, что все перечисленные
нами отображения образуют группы.
Если отличительных свойств не-
несколько, то каждое ив них можно
рассматривать в отдельности. Эле-
Элементы групны, обладающие каждым
из «подсвойств», образуют подгруппу.
Образуют подгруппу и те элементы,
которые обладают полным набором
отличительных свойств. Эта подгруп- :
па состоит из элементов, каждый из
которых принадлежит всем подгруп-
подгруппам, выделенным при рассмотрении
отдельных отличительных свойств.
Аналогичная взаимосвязь существует
и между подгруппами всех других
групп:
элементы группы, принадлежащие
двум или большему числу подгрупп,
образуют подгруппу.
Пусть, например, #j, Я2,... и т. д. —
некоторые подгруппы группы (G, /) и
Н — множество элементов группы, при-
принадлежащих каждой на подгрупп Нъ
Hi,... и т. д. Предположим, что мно-
множеству Н принадлежат элементы группы
о и Ь. Тогда элементы о н Ь принадлежат
каждой из подгрупп fff, И%, ... и т. д.
(рис. 28 н 29). Следовательно, произведе-
произведение элементов я н Ь также принадлежит
каждой на подгрупп Ни Н2,~. и т. д.
(рис. 30). Но это и означает, что произве-
произведение аЬ принадлежит подмножеству Н,
так как именно Н содержит общие элемен-
элементы всех подгрупп (рис. 31).
Аналогичным образом можно показать,
что Н содержит единичный элемент (так
как он принадлежит каждой из подгрупп)
и что вместе с любым элементом множест-
56

Рис. 31
во Н содержит н обратный элемент (по-
(поскольку обратный элемент также принад-
принадлежит' каждой нв подгрупп).
Это теперь уже доказанное свойст-
свойство подгрупп позволяет находить в
любой группе «наименьшую» под-
подгруппу, содержащую заранее задан-
заданные элементы группы.
Рассмотрим элементы группы а,
Ь, с, .... Наименьшая подгруппа, ко-
которой принадлежат зти элементы,
заведомо содержится во всякой дру-
другой подгруппе, включающей в себя
ломимо элементов а, Ь,с,..., возмож-
возможно, еще какие-то другие элементы
группы. Следовательно, наименьшая
подгруппа содержится в общей части
всех таких подгрупп (состоящей из
общих элементов группы а, Ь, с,...).
Любая меньшая подгруппа не могла
бы содержать все перечисленные эле-
элементы, поскольку общая часть мень-
меньше любой другой подгруппы, содер-
содержащей элементы а, Ь, с, ... .
Выясним теперь, что можно
сказать о подгруппе, порожденной
элементами а, Ь, с. (Во всех осталь-
остальных случаях рассуждения прово-
проводятся так же.)
Общая часть подгрупп любой груп-
группы, содержащих элементы а, Ь,
с,..., называется подгруппой, порож-
порожденной этими элементами, и обозпа-
чается {а, Ь, с, ...}.
Подгруппа, порожденная элемен-
элементами а, Ь, с, ... , — наименьшая из
подгрупп, содержащих каждый из
этих элементов.
Если подгруппа, порожденная эле-
элементами а, Ь, с, ..., совпадает со всей
группой, то а, Ь, с, ... называются
системой образующих элементов
группы.
Поскольку подгруппа {а, Ь, с}
содержит элементы а^ Ь, с, то три
элемента этой подгруппы уже из-
известны. Кроме того, мы знаем, что
подгруппе {а, Ъ, с} принадлежит
единичный элемент. По свойству
подгруппы вместе с каждым из эле-
элементов а, Ъ, с ей принадлежат и все
(целые) степени элемента, а также
произведения степеней. Следователь-
Следовательно, подгруппа {а, Ь, с) состоит из
элементов вида а11Ы*с?'а1*..., где
показатели ^,'^2, ... — целые числа.
Некоторые из произведений alt V* •
• d>al*... могут не содержать какого-
нибудь из элементов а, Ь, с, но и в
этом случае их можно представить в
таком же виде, положив соответст-
соответствующие показатели равными нулю.
Произведение двух элементов, запи-
записанных в виде произведения степеней
образующих элементов а, Ь, с, также
представимо в виде произведения сте-
степеней образующих элементов; эле-
элемент, обратный элементу вида
ah узс«".а1*..., имеет аналогичный
вид (только сомножители следуют в
обратном порядке, а каждый из по-
показателей степени взят со знаком
минус); наконец, единичный элемент
также можно записать в виде произ-
произведения степеней (с показателями,
равными нулю) образующих элемен-
элементов,
Fpynna, порожденная некоторыми
элементами, состоит из произведений
степеней образующих элементов.
ПРИМЕРЫ
1. Найти подгруппу, порожденную
числом 2, аддитивной группы целых
чисел.
Эта подгруппа состоит из всех
«степеней» числа 2, то есть (в силу
аддитивности) из всех целых кратных
числа 2, или, что то же, из четных
чисел.
57

2. Найти подгруппу {4, 6} аддитив-
аддитивной группы целых чисел.
Элементами этой подгруппы (в си-
силу аддитивности) служат числа вида
Ак + 6га, где к ш п — целые числа.
Ясно, что все зти числа четные, по-
поскольку их можно представить в ви-
виде 2Bк + Зга). Но все ли четные чис-
числа принадлежат интересующей нас
подгруппе? Да, все, так как среди
чисел вида 4& + 6га содержится и
число 2-2+ 6( — 1) =2 и, следо-
следовательно, все элементы подгруппы,
порожденной числом 2, то есть все
четные числа. Итак, рассматривае-
рассматриваемая подгруппа состоит из четных чи-
чисел.
3. Найти подгруппы {0} и {1} ад-
аддитивной группы целых чисел.
Первая подгруппа состоит из крат-
кратных нуля, а поскольку любое число,
кратное нулю, равно нулю, то эта
подгруппа содержит только один
элемент — число 0. Вторая под-
подгруппа состоит из всех чисел,крат-
чисел,кратных единице, и поэтому совпадает со
всей аддитивной группой целых чи-
чисел. Отсюда следует, что единица —
(единственный) образующий элемент
аддитивной группы целых чисел.
4. Найти подгруппу {V2, V4. Ч.--}
аддитивной группы рациональных
чисел.
В эту подгруппу должны входить
все целые кратные рационального
числа 1/2, то есть любое целое число
вторых. Кроме того, подгруппе {V2,
Vi» Vg. •••} принадлежит любое целое
число четвертых, восьмых и т. д.
Следовательно, эта подгруппа со-
содержит все дроби, которые можно
записать в таком виде, чтобы в зна-
знаменатель не входили никакие прос-
простые числа, кроме 2 (то есть в знаме-
знаменателе стояли лишь степени числа
2). Но такие дроби образуют под-
подгруппу, содержащую все заданные
числа. Следовательно, подгруппа
{X/2> 1U-> xUi •••} состоит из дробей,
знаменателями которых служат сте-
степени числа 2.
5. Найти подгруппу {2} мульти-
мультипликативной группы положитель-
положительных чисел.
Эта подгруппа состоит из степеней
числа 2 (на этот раз — из «настоя-
«настоящих» степеней, так как в мультипли-
мультипликативной группе положительных чи-
чисел операцией служит обычное умно-
умножение).
6. Найти подгруппу {1} мульти-
мультипликативной группы положитель-
положительных чисел.
Поскольку число 1 служит единич-
единичным элементом мультипликативной
группы положительных чисел, то
подгруппа {1} состоит лишь из числа
1.
7. Описать подгруппу {@1), @2),
@3), @4), @5), @6)} группы всех
подстановок элементов 0, 1, 2, 3, 4Г
5, 6.
При рассмотрении подстановок мы
убедились, что любую подстановку
можно представить в, виде произве-
произведения транспозиций, перечисленных
в фигурных скобках. Следовательно,
подгруппа {@1), @2), @3), Ю4),@5),
@6)} содержит все подстановки эле-
элементов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Один-единственный элемент, вы-
выбранный из любой группы, порож-
порождает некоторую подгруппу. Такая
подгруппа, порожденная одним эле-
элементом, называется циклической под-
подгруппой.
Если данная группа порождена
одним элементом, то она называется
циклической группой.
Если а — элемент группы, то под-
подгруппа {а} состоит из всех различ-
различных степеней элемента а. Следова-
Следовательно, число элементов в подгруппе
{а} совпадает с порядком элемента а.
Итак, число элементов в подгруппе
{а} равно о (а). В соответствии с
этим порядком группы называется
число элементов в ней, если группа
конечна. Если же группа содержит
бесконечно много элементов, то по-
порядок ее бесконечен.
ЗАДАЧИ
1. Найти подгруппы {га}, {—га},
{га, к}, где га и А; — заданные целые
числаа аддитивной группы целых чи-
чисел.
58

2. Найти подгруппы
{- 1}; {- 1, 2}; {1, 2, 3, 4,...};
ill i/ l/ \.
I ' 2> '3> '4> •" />
{-1,2,3,4,...};
{положительные числа, меньшие
единицы}
мультипликативной группы вещест-
вещественных чисел, отличных от нуля.
3. Найти подгруппу {@1),@123456)}
группы всех подстановок элементов
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
4.2. Фактор-группа группы
Вернемся теперь к самому началу
— к группе подстановок. Группу
подстановок п элементов принято
обозначать Sn. Как будет показано в
дальнейшем, проводимые ниже рас-
рассуждения не зависят от п, но для
большей наглядности мы выберем
какое-нибудь конкретное значение п.
Стационарная подгруппа
Пусть п = 5. Группа подстановок
S5 содержит особые, весьма важные
подгруппы. Предположим, напри-
например, что переставляемыми элементами
служат цифры 0, 1, 2, 3, 4. Тогда
подстановки, оставляющие на месте
любую из этих цифр, очевидно, об-
образуют подгруппу. Действительно,
если каждая из двух подстановок ос-
оставляет на месте, например, цифру
О, то, выполнив эти две подстановки
одну за другой (или подействовав на
цифры подстановкой, обратной лю-
любой из двух подстановок), мы снова
переведем цифру 0 в 0. Тождествен-
Тождественная подстановка обладает свойством
сохранять 0 (как, впрочем, и любую
другую цифру) на прежнем месте.
Поскольку цифра 0 остается «непод-
«неподвижной», или стационарной, под
действием подстановок, то рассмат-
рассматриваемые подстановки образуют ста-
стационарную подгруппу группы S5.
Говоря о стационарной подгруппе,
необходимо указывать не только чис-
число элементов, на которых заданы ее
подстановки, но и тот элемент, кото-
который они оставляют неподвижным.
Этот элемент мы будем указывать в
виде верхнего правого «индекса».
Итак, группа подстановок S5 содер-
содержит стационарные подгруппы Sg,
S\, SI, Si и S£.
Как уже говорилось, подгруппа
S9, состоит из подстановок, остав-
оставляющих на месте цифру 0. Выясним,
образуют ли подгруппу подстановки,
переводящие в 0 не 0, а 1.
Нетрудно убедиться в том, что та-
такие подстановки не могут образовы-
образовывать подгруппу. Объясняется это
среди прочего и тзм, что тождествен-
тождественная подстановка переводит 0 именно
в 0, а не в 1. Тем не менее выделение
таких подстановок в особое множест-
множество полезно, поскольку то, что каж-
каждая из входящих в множество под-
подстановок переводит в 0 один и тот же
элемент, свидетельствует о теспой
связи между подстановками.
Все подстановки можно разбить
на классы в зависимости от того,
какой из переставляемых ими эле-
элементов они переводят в нуль.
В приведенных выше примерах мы
видели, что любая подстановка пере-
переводит каждый элемент в какой-ни-
какой-нибудь из элементов, принадлежащих
ее области определения. Обозначим
через S^J множество подстановок, пе-
переводящих элемент i в элемент /.
То, что подстановка Р переводит
элемент i в элемент /, то есть принад-
принадлежит множеству S'/, мы условимся
обозначать так: P6S'/. В частном
случае при i = / полученное мно-
множество подстановок совпадает со ста-
стационарной подгруппой Scb.
Выясним прежде всего, как подмно-
подмножество Soi связано со стационарной
подгруппой вуля S °.
Если подстановка Р переводит 0 в 0,
а подставовка Q переводит 0 в 1, то под-
подстановка PQ (произведение подстановок
понимается в обычном смысле) переводит
0 в 1. (Сведения, которыми мы распола-
располагаем о подставовках Р uQ, слишком скуд-
скудны и ве позволяют анчего утверждать о
том, «что происходит» с подстановкой QP.)
Отсюда следует, что, если выбрать любой
элемент из мвожества ^ь1, например
подстановку @1), то при любой подета-
59

/>ис. 32
новке Р из стационарной подгруппы S'
подстановка Р@1) всегда будет принад-
принадлежать множеству Si1. Вопрос заключается
лишь в том, все лн элементы множества S
удастся прн этом получить. Действительно,
если подстановка Q переводит 0 в 1, то
можно ли найти в стацнокариой подгруппе
нуля такую подстановку Р, прн которой
Q — Р@1)? Поскольку подстановки об-
образуют группу, то подстановка Р существу-
существует, н притом только одна. Но это еще
не все требуется установить, принадле-
принадлежит лн подстановка Р стационарной под-
подгруппе нуля или не принадлежит. Так
как Q = Р@1), то Р = <?@1)-i = <?@1),
поскольку подстановка @1) совпадает со
своей обратной подстановкой. Подстановка
Q Переводит 0 в 1, а за ней следует под-
подстановка @1), переводящая 1 снова в 0.
Это и означает, ято Р £Sf.
Итак, все элементы множества SJJ1
можно получить, умножая по поряд-
порядку все элементы множества Sg на
подстановку @1), поэтому вместо
обозначения Sg1 часто бывает удобно
использовать обозначение SSJ . @1).
Оно лучше раскрывает «структуру»
множества SjJ1.
Аналогичным образом, выбирая
вместо 1 цифры 2, 3 и 4, мы получим,
что все элементы группы подстановок
встречаются среди элементов под-
подмножеств
Sg, Sf@1), S5°@2), S°5 @3), Sg @4)
только один раз.
Смежные классы
Эти множества называются пра-
60
выми смежными классами группы
S5 по подгруппе SSj.
Аналогичным образом можно оп-
определить и левые смежные классы
группы S5 по подгруппе S£. В их
число помимо подгруппы S5° входят
множества вида (Oi)SSJ.
Элементами этих множеств являются
подстановки вида @г) Р, где Р —любая
подстановка, принадлежащая стационар-
стационарной подгруппе S5. Поскольку подстанов-
подстановка @i) переводит г в 0, а подстановка Р
оставляет 0 на месте, то все элемекты од-
одного левого смежного класса переводят
число i в 0. Отсюда следует, что левы»
смежные классы не имеют общих элемен-
элементов. Остается лишь выяснить, все ли эле-
элементы группы принадлежат какому-ии-
будь левому смежному классу. Рассмот-
Рассмотрим, например, подстановку Q, перево-
переводящую 1 в 0. Подстановка Р = @1) Q пе-
переводит сначала 0 в 1, а затем 1 снова в 0.
Действительно, Р &1 @1)~1 = @1), таг?
как Q = @1) Р. Следовательно, любой
элемент группы принадлежит одному из
левых смежных классов.
Наши рассуждения справедливы не
только.для конкретной группы (мы
привели их для группы S5). Пусть
G — произвольная группа, Н —
любая из ее подгрупп. Выберем в
группе G фиксированный элемент
а и составим все произведения вида
ха, где х — элемент подгруппы Н
(рис. 32). Множество произведений
принято обозначать На. Оно называ-
называется правым смежным классом груп-
группы G по подгруппе Н.
Множество произведений вида ах,
где х — произвольный элемент под-
подгруппы Н, принято обозначать аН.
Оно называется левым смежным клас-
классом группы G по подгруппе Н. Мно-
Множество На называется правым смеж-
смежным классом.
Покажем, что каждый элемент группы
принадлежит ровно одному правому смеж-
смежному классу. (Разумеется, аналогичное
утверждение справедливо и для левых
смежных классов.)
Нетрудно видеть, что каждый элемент
группы принадлежит какому-нибудь смеж-
смежному классу. Действительно, рассмотрим
элемент о группы G. Поскольку единич-
единичный элемент е принадлежит подгруппе
Н, то элемент о = еа входит в правый
смежный класс На.

Предположим, что элемент о принадле-
принадлежит также правому смежному классу НЬ.
Требуется доказать, что тогда этот смеж-
смежный класс совпадает со смежным классом
Не. По предположению элемент а можно
представить в виде а = hb, где h — неко-
некоторый фиксированный элемент подгруп-
подгруппы Н. Но если х — произвольный элемент
подгруппы, то, е одной стороны, ха =
(xh)b, а с другой стороны, xb= {xh~x)a.
Так как Н — подгруппа, то произве-
произведения xh и xhr1 принадлежат Н. Поэтому
нз первого равенства следует, что каждый
элемент правого смежного класса Но при-
принадлежит правому смежному классу НЬ,
а в силу второго равенства каждый эле-
элемент правого смежного класса НЬ принад-
принадлежит правому смежному классу Но.
Итак, два рассмотренных нами смежных
класса совпадают.
Смежные классы позволяют доказать те-
теорему Лагранжа, в которой говорится об
одном интересном свойстве ковечных
групп.
Теорема Л а с р а в ж а. По-
Порядок любого элемента конечной группы
является делителем порядка группы.
Пусть группа G содержит п элемевтов,
: а подгруппа Н — А; элементов. Правому
смежному классу Но принадлежат эле-
элементы вида ха, где х — произвольный
элемент подгруппы Н. Так как элементов
х может быть не больше, чем элементов
в подгруппе Н, то смежный класс Но
содержит не больше элементов, чем под-
подгруппа Н. Но все элементы вида ха раз-
различны (это следует из закона сокращения),
поэтому смежный класс Но содержит ров-
ровно столько элементов, сколько содержит
их подгруппа Н. Если число правых смеж-
смежных элементов равно т, то ебщее число
элементов группы равно тк, так как каж-
каждый из т смежных классов содержит по к
элементов (рис. 33). Но соотношение п =
=/raft означает, что к—делитель числа п, то
есть порядок конечной группы всегда делит-
, ея на порядок любой подгруппы.
Теорема Лагранжа устанавливает до-
довольно жесткие пределы для существо-
существования подгрупп данной группы. Из нее
нетрудно вывести важное следствие от-
относительно элементов группы.
Бели о — элемент группы G, то порядок
о(о) элемента о и порядок подгруппы {а)
по определению совпадают. По теореме
Лагранжа" порядок подгруппы {о} делит
порядок группы G. Следовательно, и по-
порядок о(о) элемента о также делит поря-
порядок группы G.
На примере подстановок мы виде-
видели, что для стационарной подгруппы
левые смежные классы, как правило,
отличаются от правых смежных клас-
классов. Но если группа коммутативна,
то все равно, записан ли элемент в
Рис. 33
виде ха или ах. Рассмотрим, напри-
например, аддитивную группу целых чисел
и выделим в ней подгруппу всех
четных чисел. Смежный класс по
этой подгруппе мы получим, выбрав
все числа вида а + х, где х — про-
произвольное четное число. Возможны
два случая: если число а четно, то
смежный класс содержит четные чис-
числа; если число а нечетно, то мы полу-
получим нечетные числа. Следовательно,
существуют два смежных класса ад-
аддитивной группы целых чисел по
подгруппе четных чисел.
Нетрудно заметить, что сумма двух
четных чисел всегда четна, сумма
одного четного и нечетного чисел
всегда нечетна, а сумма двух нечет-
нечетных чисел всегда четна.
Аналогичным образом можно по-
получить разбиение аддитивной группы
целых чисел по подгруппе не четных,
а, например, делящихся на 3 чисел.
Смежный класс, содержащий чис-
число 0, представляет собой не что иное,
как выбранную подгруппу, то есть-
состоит из чисел, делящихся на 3.
Обозначим его [0]. Элементы смежно-
смежного класса, содержащего число 1,
мы получим, прибавив по 1 к числам,
делящимся на 3. Все числа, образую-
образующие новый смежный класс, при деле-
делении на 3 дают остаток 1. Обозначим
этот смежный класс [1]. Аналогич-
Аналогичным образом можно убедиться в том,
что смежный класс, которому при-
принадлежит число 2, состоит из чисел,
61

дающих при делении на 3 остаток 2.
Обозначим этот смежный класс [2].
Поскольку всякое целое число (в
том числе и отрицательное) при деле-
делении на 3 дает в остатке 0, 1 или 2,
то других смежных классов не су-
существует.
Таким образом, ответ на вопрос,
какому из смежных классов принад-
принадлежит сумма двух чисел, зависит не
от самих чисел, а от того, какие ос-
остатки они дают при делении на 3.
Например, если одно из двух чисел
при делении на 3 дает остаток 1, а
другое — остаток 2, то их сумма
всегда будет делиться на 3.
Выясним, на чем основано это
свойство. Пусть Н — подгруппа
группы (G, /), а оН иШ - два
левых смежных класса. Мы хотим
убедиться в том, что произведение
элементов, взятых из смежных клас-
классов аН. и ЬН (порядок классов одина-
одинаков для всех произведений), не зави-
зависит от выбора элементов и всегда
принадлежит одному и тому же смеж-
смежному классу.
Ясно, что элемент о принадлежит смеж-
смежному классу оН, а элемент Ь — смежному
классу ЬН. Следовательно, произведение
любых двух элементов, из которых пер-
первый взят из смежного класса оН,а второй—
из смежного класса ЬН, должно при-
принадлежать тому же смежному классу, что
и произведение аЬ. Элементы смежных клас-
классов оН а ЬН можно представить в виде
ах и by, где х и у — произвольные эле-
элементы подгруппы Н, а ах произведение —
в виде ахЬу. Поскольку все произведения
ахЬу должны принадлежать тому же смеж-
смежному классу, что и произведение аЪ, то в
подгруппе Н существует элемент h, при
котором ахЬу = abh, или (после сокраще-
сокращения на a) xby = bh. Умножая обе стороны
последнего равенства справа на у"% пола-
полагая z = hy"Г, получаем: хЪ = Ьг. Но по-
поскольку элементы h и у'1 принадлежат Н,
то а г = hy~l также принадлежит Н, по-
поэтому соотношение хЪ = Ьг позволяет
прийти к приведенному ниже выводу.
Для любого элемента Ь группы G
и любого элемента а подгруппы Н
существует элемент z подгруппы Н,
удовлетворяющий соотношению xb =
= bz, в силу чего каждый правый
смежный класс по подгруппе Н со-
,62
держится в некотором левом смежном
классе по той же подгруппе Н.
Этот результат очень напоминает
одно свойство, обнаруженное у ком-
коммутативных групп: всякий левый
смежный класс коммутативной груп-
группы является одновременно и правым
смежным классом, и наоборот. Более
того, с помощью довольно хитроум-
хитроумного «трюка» можно показать, что
это утверждение следует из получен-
полученного результата. Итак, требуется
доказать, что для любого элемента b
и любого элемента х подгруппы най-
найдется элемент и подгруппы, для ко-
которого выполняется соотношение Ьх=
= ub. Вместо этого равенства рас-
рассмотрим соотношение для обратных
элементов, которое запишем в виде
х~гЬ~% = Ь'^и'1.
Поскольку вместе с элементом х под-
подгруппа содержит обратный элемент х'1,
то в левой части равенства стоит некото-
некоторый элемент правого смежного класса
НЬ. Следовательно, как показано выше,
этот элемент принадлежит левому смежно-
смежному классу Ь"ХН, то есть его можно предо-
предоставить в виде b~lv, где v — некоторый
элемент подгруппы Н. Бели теперь эле-
элемент v подгруппы записать в виде v = и'1
(при этом, разумеется, и = V1), то эле-
элемент и также принадлежит подгруппе Н,
и мы получаем требуемое равенство.
Итак мы показали, что смежные
классы могут обладать интересую-
интересующим нас свойством лишь в том случае,
если левые и правые смежные клас-
классы по подгруппе совпадают. Но ос-
остается не выясненным, следует ли из
совпадения левых и правых смежных
классов неизмененная принадлеж-
принадлежность произведения элементов двух
смежных классов одному и тому же
смежному классу. Нетруднечвидеть,
что ответ на этот вопрос утвердитель-
утвердительный.
Действительно, если для заданного эле-
элемента Ь группы и произвольного элемента
х подгруппы существует такой элемент г
подгруппы, для которого выполняется со-
соотношение хЬ = bz, то, выбрав еще один
элемент у подгруппы, мы получим цепоч-
цепочку равенств (ax)(by) = a(xb)y = а{Ъг)у =
=(ab)(zy).Следовательно, произведение эле-
элементов группы ах и by принадлежит тому
же левому смежному классу, что и эле-
элемент ab, поскольку вместе с элементами

Рис. 34
г и у подгруииа содержит и их произведе-
произведение. Этот важный результат заслуживает
того, чтобы мы сформулировали его еще
раз.
Подгруппа Н группы G называет-
называется нормальным делителем, или ин-
инвариантной подгруппой, если для
любых двух смежных классов аН и
Ш по подгруппе Н произведение
а'Ь' произвольного элемента а' из
класса аН и произвольного элемента
Ь' из класса Щ всегда принадлежит
одному и тому же смежному классу
аЬН (рис. 34).
Как мы видели, в коммутативных
группах всякая подгруппа является
нормальным делителем. Прежде чем
приводить новые примеры нормаль-
нормальных делителей, попытаемся заменить
отличительный признак, приведен-
приведенный в определении инвариантной под-
подгруппы, каким-нибудь другим, бо-
более «удобным в обращении».
Подгруппа Н группы G является
нормальным делителем в том и толь-
только в том случае, если каждый левый
смежный класс по Н совпадает с
некоторым правым смежным классом
по Н (и наоборот).
Отличительный признак нормаль-
нормального делителя, состоящий в том, что
всякий левый смежный класс по
нормальному делителю Н является
одновременно и правым смежным
классом, можно сформулировать
следующим образом: для произволь-
произвольного элемента а группы G смежные
классы аН и На совпадают. Более
того, как мы заметили, для этого•
достаточно, чтобы все элементы смеж-
смежного класса аН (разумеется, при лю-
любом элементе а группы G) лежали в
смежном классе На. Иначе говоря,
в подгруппе Н для произвольного
элемента х существует (также при-
принадлежащий подгруппе Н) такой
элемент г, что ах = ъа. Это равенст-
равенство позволяет найти элемент г : г =
= аха'1. Следовательно, отличитель-
отличительный признак нормального делителя
Н утверждает, что если а — произ-
произвольный элемент группы, ах —
элементы подгруппы Н, то г также
должен принадлежать Н.
Итак, подгруппа Н группы G яв-
является нормальным делителем в том
и только в том случае, если при лю-
любом элементе а группы G и произволь-
произвольном элементе х подгруппы Н элемент
аха'1 принадлежит подгруппе Н
Рассмотрим некоторые примеры
подгрупп.
ПРИМЕРЫ
1. Четные подстановки
(в группе всех подстановок, содер-
содержащей п элементов). Четными назы-
называются подстановки, разложимые в
произведение четного числа транс-
транспозиций. (Мы воспользуемся сейчас
тем, что четность подстановки не за-
зависит от того, в произведение каких
транспозиций она разложена.) По-
Поскольку произведение двух четных
подстановок заведомо представимо
в виде произведения четного числа
транспозиций, то оно также принад-
принадлежит подмножеству четных подста-
подстановок. Единичный элемент группы
подстановок можно записать, напри-
например, в виде @1)@1). В случае конеч-
конечной группы этих двух свойств уже
достаточно, чтобы мы получили под-
подгруппу. Далее, если Р — произ-
произвольная подстановка, представимая
в виде произведения к транспозиций,
то разложение подстановки Р'1 мы
получим, записав обратные транспо-
транспозиции в обратном порядке. Посколь-
Поскольку каждая транспозиция совпадает с
обратной себе, то в разложение под-
63

становки Р'1 входят те же к транспо-
транспозиций, что и в разложение подстанов-
подстановки Р, только в обратном порядке.
Рассмотрим теперь четную подстанов-
подстановку Q. По определению она допуска-
допускает разложение в произведение неко-
некоторого четного числа (например, 2т)
транспозиций. Следовательно, под-
подстановку PQP'1 можно представить
в виде произведения к + 2т + к,
то есть 2(к + т) подстановок, а это
означает, что PQP'1 — четная под-
подстановка. Именно это и требовалось
доказать.
2. Функции вида у =
= х + с (в группе линейных функ-
функций). Линейными называются функ-
функции вида у = ах + Ъ (а ф 0).
Они образуют группу относительно
линейной замены переменной х : у =
= (ах + b)o(cx + d) = а(сх + d) +
+ b = (ac)x + (ad + b).
В силу соотношения у = (х +
-Ь с)о(х + d) = х + (d + с) «про-
«произведение» двух функций за-
заданного вида также имеет требуемый
вид. Единичный элемент группы —
функция у = х — представима в
виде у = х + с (с =0). Наконец,
функцией, обратной функции у =
= х + с, является линейная функ-
функция у = х — с, так как (х + с) —
— с = х. Эта функция представима
в требуемом виде у = х — с = х-\-
+ (—с). Итак, мы показали, что
функции вида у = х + с образуют
подгруппу в группе линейных функ-
функций. Для того чтобы эта подгруппа
была нормальным делителем, она
вместе с любыми двумя элементами
/ и g должна содержать и элемент
gcf о g'1. Если g—функция у=ах +
+ Ь, то g — функция у = (а~1)х+
-Ь (а'гЬ). Следовательно, для произ-
произвольной функции у = х + с мы
лолучаем?
(ах 4- Ь) о (х + с) о (а~хх — а'Щ —
= (ах + Ь) о (а~1х — a'lb + с) —
= а (а'1х — а~хЬ 4- с) + b =
= х—b 4- ас 4- b = х + ас,
tro есть функция gofog также име-
имеет требуемый вид. Тем самым дока-
64
зано, что функции у = х + с дей-
действительно образуют нормальный де-
делитель в группе линейных функций
(относительно линейной замены не-
независимой переменной).
3. Движения на плос-
плоскости (в группе преобразований
подобия). Как уже говорилось, пре-
преобразованиями подобия на плоскости
называются такие преобразования,
при которых расстояния между па-
парами точек изменяются, но так, что
отношение расстояний постоянно.
Иначе говоря, для всякого преобра-
преобразования подобия Т найдется такое
положительное вещественное число
Я (зависящее от преобразования),
что, если расстояние между произ-
произвольно выбранными точками Р и Q
плоскости равно d, то расстояние
между точками Т(Р) и Т((?) равно
Ы. Ранее мы уже убедились в том,
что все движения на плоскости, как
и все преобразования подобия, обра-
образуют группу относительно произве-г
дения (последовательного выполне-
выполнения) преобразований. Поскольку
групповая операция в обоих случаях
одинакова и все движения являются
преобразованиями подобия (с % =
= 1), то движения на плоскости об-
образуют подгруппу группы преобра-
преобразований подобия.
Необходимо еще доказать, что движения
образуют не просто подгруппу, а нормаль-
нормальный делитель в группе преобразований
подобия. Возьмем движение S и образуем
преобразование подобия TST (Т — про-
произвольное преобразование подобия).
Для доказательства того, что TST" —
движение,, воспользуемся следующим за-
замечанием. Если расстояние между точка-
точками Т(Р) и T(Q) равно умноженному на К
расстоянию мезвду точками Р и Q, то рас-
расстояние между точками Р = Т~Х(Ч{Р)) и
Q — Т"Х(Т(^)) равно умноженному на
%  расстоянию между точками Т(Р) и
T(Q). Следовательно, зяая коэффициент
подобия для исходного преобразования,
можно найти коэффициент подобия обрат-
обратного преобразования (для этого достаточ-
достаточно заменить X на X), поскольку этот коэф-
коэффициент не зависит от выбора пары точек.
Пусть Р — произвольная точка плос-
плоскости, Pt = Т-\Р), Рг — S(Pt) и Ps =
= Т(Р2). Аналогичным образом опреде-
определим для данной точки Q точки Qit Q% и Qg.
Пусть d — расстояние между точками Р

Рис. 35
и Q, <tt — расстояние между точками Р^
и Qlt <h — расстояние между точками Р2
и Qi, d3 — расстояние между точками Ра
и <?3 (рис. 35).
Преобразование Т изменяет расстояние
между любыми двумя точками в % раз,
преобразование Т — вА, раз, а преобра-
преобразование S оставляет все расстояния неиз-
неизменными, так как S — движение. Следо-
Следовательно,
= d1 и d3 =
откуда
Поскольку полученное преобразование
TST также принадлежит к числу иро-
образований подобия, то отношение рас-
расстояний между парами точек до и после
преобразования не зависит от выбора па»-
ры точек. Как показано выше, существует
пара точек, для которых это отношение
равно 1. Следовательно, оно всегда равно
1, а это означает, что под действием пре-
преобразования TST расстояние между лю-
любой парой точек сохраняется, то есть
TST — движение. Итак, мы доказали,
что движения образуют нормальный дели-
делитель в группе преобразований подобия.
Но оставим примеры и обратимся
снова к рассмотрению смежных клас-
классов.
Нормальные делители характери-
характеризуются тем, ^то, выбрав по одному
элементу из двух построенных по
нормальному делителю смежных
классов, мы всегда получим произве-
произведение, принадлежащее одному и тому
же смежному классу независимо от
того, какие элементы выбраны из
двух заданных смежных классов
(рис. 34).
Это позволяет любым двум смеж-
смежным классам по нормальному дели-
делителю группы поставить в соответст-
соответствие третий смежный класс — тот,
которому принадлежат произведения
элементов двух выбранных смежных
классов. Прежде чем выводить отсю-
отсюда те или иные следствия, полезно
сначала рассмотреть множество про-
произведений рассмотренного нами типа
во всей общности.
Итак, пусть А и В — два подмно-
подмножества произвольной группы. (Пред-
(Предполагается, что каждое из подмно-
подмножеств содержит по крайней мере один
элемент. Рассматривать подмно-
подмножества, не содержащие ни одного
элемента, вполне допустимо, но, по-
поскольку мы стремимся к большей
наглядности, то удобнее считать, что
подмножества А и В не пусты.)
Рассмотрим произведение ab эле-
элемента а множества А и элемента b
множества В. Множество всех таких
произведений называется произведе-
произведением комплексов — множеств А и В
— и обозначается АВ. (О «комплек-
«комплексах» мы заговорили потому, что под-
подгруппы групп часто называют комп-
комплексами. Кроме того, название «про-
«произведение комплексов» удобно со-
сохранить за произведением множеств,
определение которого приведено вы-
выше, чтобы его можно было отличать
от другого произведения множеств.)
Подмножества элементов группы обра-
образуют относительно умножения комплек-
комплексов полугруппу. То, что умножение ком-
комплексов определено на всех подмножествах
элементов группы, очевидно. Необходимо
лишь показать, что эта операция ассоциа-
ассоциативна. Выберем для этого три подмножест-
подмножества элементов группы и обозначим их А, В
и С.
Элементами множества {АВ)С служат
произведения, первый множитэль кото-
которых принадлежит множеству АВ, а вто-
второй — множеству С. Так как множество
АВ состоит из произведенный вида, об, где
о —произвольный элемент множества А,
3—35
85

a & — произвольный элемент множества В,
то элементы множества (АВ)С — это про-
произведения вида (ab)c, где а — произволь-
произвольный элемент множества А, 6 — произволь-
произвольный элемент множества Вис — произволь-
произвольный элемент множества С. Аналогично
можно убедиться в том, что множество
А (ВС) состоит из произведений вида а(Ьс),
где элементы а, & и с выбраны так же, как
это было сделано выше. Поскольку каж-
каждое произведение (об)с совпадает (в силу
ассоциативности группового умножения)
с составленным из тех же элементов про-
произведением оFе), to множества {АВ)С и
А(ВС) состоят из одних и тех же элемен-
элементов. Следовательно, эти два множества
совпадают. (Разумеется, иногда случает-
случается, что в некоторых произведение» ка-
какой-нибудь элемент возникает «не единож-
единожды», так как произведения различных пар
элементов могут совпадать.)
Умножение комплексов позволяет
дать новое определение нормального
делителя группы.
Подгруппа Н является нормаль-
нормальным делителем в том и только в
том случае, если произведение комп-
комплексов, в качестве которых выбраны
любые два левых смежных класса
по Н, также является левым смеж-
смежным классом по Н.
Рассмотрим подгруппу Н группы б
и левые смежные классы оН и 6Н. Произ-
Произведение комплексов (оН)FН) содержит
влемент об и поэтому является левым смеж-
смежным классом, которым может быть только
левый смежный класс яЬН. Еще До того,
как мы перешли к более подробному рас-
рассмотрению умножения комплексов, было
ясно, что подгруппа Н является нормаль-
нормальным делителем в том и только в том слу-
случае, если при любых смежных классах
яН и ЬН произведение комплексов (яН)-
•( 6Н) содержится в левом смежном классе
обН. •
Следовательно, достаточно доказать, что
произведение комплексов (оН)FН) со-
содержится в левом смежном классе обН
н том и только в том случае, если оно сов-
совпадает с этим смежным классом. Ясно,
что коль скоро произведение комплексов
совпадает с каким-то смежным классом,
то оно содержится в нем. Итак, предпо-
предположим, что произведение комплексов
(аН)FН) содержится в левом смежном
классе обН. Любой элемент этого смеж-
смежного класса можно представить в виде
abh, где h — произвольный элемент под-
подгруппы Н. Поскольку о — элемент смеж-
смежного класса оН, a 6ft(ft£H) — элемент
смежного класса 6Н, то abh — элемент
произведения комплексов (оН)FН). Сле-
Следовательно, вто произведение комплексов
66
действительно совпадает с левым смеж-
смежным классом обН. (Впрочем, последнее
утверждение справедливо для любой под-
подгруппы! произведение комплексов всегда
содержит соответствующий смежный класс,
ио в общем случае оно содержит не один,
а несколько смежных классов.)
Полученный результат можно
сформулировать в более общем и
более сжатом виде:
подгруппа Н является нормальным
делителем в том и только в том слу-
случае, если взятие по Н левые смежные
классы образуют полугруппу по ум-
умножению комплексов.
Это утверждение можно разбить
на две части. Одна из них гласит:
на левых смежных классах опреде-
определена операция умножения комплек-
комплексов. По доказанному выше, именно
эта часть утверждения означает, что
подгруппа Н является нормальным
делителем. Вторая часть утвержде-
утверждения отмечает «полугрупповое свой-
свойство» умножения комплексов — ас-
ассоциативность. Нетрудно видеть, что
этим свойством обладают любые
комплексы. Следовательно, умноже-
умножение комплексов всегда ассоциативно
независимо от того, оговариваем ли
мы это свойство заранее или обходим
молчанием. Но почему бы в таком
случае не опустить вторую часть
утверждения и сохранить только
первую? Вторую часть утверждения
мы привели потому, что
если левые смежные классы по под-
подгруппе Н образуют полугруппу по
умножению комплексов, то зта по-
полугруппа является группой.
В правильности этого утверждения
мы убедимся, если нам удастся показать,
что в полугруппе существует левый еди-
единичный элемент и вместе с каждым эле-
элементом она содержит элемент, обратный
ему относительно левой единицы.
Как известно, произведение левых смеж-
смежных классов можно получить следующим
образом: (аН)(Ш) = обН (разумеется, ес-
если выполнить умножение). При я — е
(е — единичный элемент группы), следуя
этому правилу, находим: (еН)FН) = 6Н.
Таким образом, левый смежный класс
еН служит левым единичным элементом
полугруппы, образуемой левыми смеж-
ми классами по умножению комплексов.
Выбрав а = Ь~х, приходим к соотношению
F~XH)FH) = еН, означающему, что ле-

вый смежный класс Ь~^В. является левым
обратным для левого смежного класса
6Н (и также принадлежит рассматривае-
рассматриваемой полугруппе).
Небезынтересно отметить, что
смежный класс еН совпадает с под-
грунпой Н. Кроме того, как нетруд-
нетрудно понять, левый смежный класс
Ь-1Н состоит из элементов, обратных
элементам левого смежного класса
Ш.
Группа, образованная левыми
смежными классами группы (G; /)
по нормальному делителю N относи-
относительно умножения комплексов, на-
называется фактор-группой исходной
группы и обозначается G/N.
Нетрудно заметить, что в обозна-
обозначении фактор-группы, как и в обоз-
обозначении подгруппы, мы не указыва-
указываем в явном виде групповую операцию.
Мы поступаем так потому, что груп-
групповая операция в фактор-группе од-
однозначно определена групповой опе-
операцией в исходной группе. В даль-
дальнейшем мы будем часто опускать сим-
символ групповой операции в обозначе-
обозначении группы, коль скоро по самому
множеству нетрудно догадаться, ка-
какая операция на нем задана, а все
другие операции лишены смысла.
Рассмотрим несколько примеров
фактор-групп.
ПРИМЕРЫ
1. Пусть G — группа целых чи-
чисел, а N — подгруппа четных чисел.
Найдем фактор-группу G/N. (Груп-
(Групповая операция в G — сложение.
Фактор-группа G/N существует, так
как N — нормальный делитель.)
Мы уже знаем, что в G существу-
существуют два смежных класса: один из
них совпадает с подгруппой N и, сле-
следовательно, состоит из четных чисел,
другой представляет собой не что
иное, как множество всех нечетных
чисел. Для краткости условимся
первый смежный класс называть
просто «четным», а второй смежный
класс «нечетным». Пользуясь этой
терминологией, групповую операцию
3*
фактор-группы можно описать сле-
следующим образом;
четный + четный = нечетный+
+ нечетный = четный,
четный -4- нечетный = нечет-
нечетный + четный = нечетный.
[Эта «таблица умножения» обще-
общеизвестна. Хотя в данном случае сло-
слова «четный» и «нечетный» имеют не-
необычный смысл (например, «чет-
«четный» означает не четное число, а
множество всех четных чисел), все
же наша «таблица умножения» отра-
отражает привычные всем свойства чет-
четных и нечетных чисел.]
2. Пусть G — группа целых чисел,
а N — группа чисел, делящихся на
3. Найдем фактор-группу G/N (груп-
(групповая операция в G — сложение.
Фактор-группа существует в силу
коммутативности сложения).
Смежные классы группы G, при-
приведенной в этом примере, нам уже
приходилось рассматривать, и мы
обнаружили, что всего их три: мно-
множество чисел, делящихся на 3, и
множества чисел, дающих при деле-
делении на 3 остатки 1 и 2. Эти смежные
классы мы обозначили [0], [1] и [2].
Сумму двух классов остатков, или
вычетов, определим следующим об-
образом (это и будет групповой опера-
операцией в фактор-группе). Сложив со-
соответствующие числа, стоящие в
квадратных скобках, определим, ка-
какой остаток дает при делении на 3
их сумма, и будем считать суммой
смежных классов тот, которому при-
принадлежит полученный остаток. «Таб-
«Таблица умножения» для фактор-груп-
фактор-группы G/N имеет следующий вид:
[0] + [0] = [1] + [2] «= [2] + [1] = [0];
[0] + [1] = [1] + [0] = [2] + [2] = [1]|
[0] + [2] = [2] + [0] = [1] + [1]= [2].
Из «таблицы умножения» ясно,
что фактор-группа коммутативна.
Кроме того, можно утверждать, что
система образующих элементов сос-
состоит из смежного класса [1], посколь-
поскольку все смежные классы совпадают с
его «степенями»: [1], [1] + [1] =
67

Вещественные числа
Рис. 36
= [2] и [1] + [1] + [1] = [0]. По-
Поскольку фактор-группа порождена
одним-единственным элементом, то
она циклическая.
3. Пусть G — группа всех подста-
подстановок п элементов, а N — подгруп-
подгруппа четных подстановок. Найдем фак-
фактор-группу G/N.
Рассматривая примеры нормаль-
нормальных делителей, мы убедились в том,
что N действительно является нор-
нормальным делителем группы G. Было
показано, что помимо смежного клас-
класса N существует еще один смежный
класс — множество нечетных под-
подстановок, который мы обозначим Р.
Поскольку произведение двух чет-
четных или двух нечетных подстановок —
всегда четная подстановка, а про-
произведение четной и нечетной подста-
подстановок (независимо от того, какая из
них первая и какая — вторая) —
всегда нечетная подстановка, то таб-
таблица умножения для смежных клас-
классов имеет следующий вид:
NN = РР = N и NP = PN = Р.
(Из этой таблицы видно, что фак-
фактор-группа G/N коммутативная и
циклическая; образующим элемен-
элементом служит смежный класс Р.)
Интересно заметить, что, если и в
этом случае ввести сокращенные на-
названия для смежных классов, то
получится фактор-группа, состоя-
состоящая, как и в первом примере, из
двух элементов: «четного» и «нечетно-
«нечетного». Более того, нетрудно проверить,
что «таблицы умножения» в обоих
примерах совпадают, хотя «символы»
или «названия» операций различны.
4. Пусть G — группа линейных
функций, а N — подгруппа линей-
линейных функции вида х + Ь. Найдем
фактор-группу G/N.
Ранее мы уже имели возможность
убедиться в том, что N — нормаль-
нормальный делитель. Следовательно, фак-
фактор-группа G/N существует, и ее
элементами служат смежные классы
по N. Прежде всего выясним, каким
образом можно распознать, принад-
принадлежат ли данные линейные функции
одному смежному классу или не при-
принадлежат. Так как N содержит ли-
линейные функции вида х + с, то '
все функции вида (х + с)о(ах + Ь)=
= (ах + Ь) + с = ах + (Ь + с)
принадлежат тому же правому смеж-
смежному классу, что и линейная функ-
функция ах + Ь. Следовательно, функ-
функции, принадлежащие одному и тому
же смежному классу, имеют одина-
одинаковые коэффициенты при х. Остается
ответить лишь на один вопрос: если
коэффициенты при х двух линейных
функций совпадают, то всегда ли
такие функции принадлежат одному
и тому же смежному классу? Нетруд-
Нетрудно видеть, что всегда. Например, для
линейных функций ах + b и ах +с?
получаем
ах + d = ах -+- b + (d — b) =
= (х + [d — b]) о (ах + b)
Эта проверка показывает, что в
рассматриваемом примере смежные
классы .можно «пометить» отличными
от нуля вещественными числами:
каждому вещественному числу постаг
вить в соответствие какой-нибудь
смежный класс, причем различным
числам — различные смежные клас-
классы. Вещественному числу а мы со-
68

поставим смежный класс, которому
принадлежат функции вида ах + Ъ.
Чтобы смежные классы можно было
отличить от вещественных чисел,
условимся обозначать через [а]
смежный класс, «помеченный» ве-
вещественным числом а. Из соотноше-
соотношения (ах + b)o(cx + d) = а(сх +
+ d) + Ь = (ас)х + (ad + Ь)
следует, что умножение смежных
классов производится по правилу
[а][с] = [ас] {рис. 36). Нетрудно ви-
видеть, что умножение смежных клас-
классов происходит «так же», как умно-
умножение отличных от нуля веществен-
вещественных чисел.
ЗАДАЧИ
1. Найти фактор-группу G/N в
следующих случаях:
а) G — аддитивная группа комп-
комплексных чисел, N — подгруппа ве-
вещественных чисел;
б) G — мультипликативная груп-
группа отличных от нуля комплексных
чисел, N — подгруппа положитель-
положительных вещественных чисел{
в) G — мультипликативная груп-
группа отличных от нуля комплексных
чисел, N — подгруппа комплексных
чисел с модулем, равным 1;
г) G — аддитивная группа ве-
вещественных чисел, N = {2я};
д) '. G — группа преобразований
подобия, N — подгруппа движений;
е) G — группа всех подстановок
цифр 1, 2, 3, 4, N —подгруппа,
порожденная подстановками A2) C4)
и A3)B4).
2. Пусть G — группа линейных
функций, Н — подгруппа функций
видааа;. Описать левые и правые
смежные классы по подгруппе Н.
Сколько общих элементов имеет в
общем случае левый смежный класс
по подгруппе Н с правым смежным
классом по той же подгруппе? Сколь-
Сколько общих элементов имеет подгруппа
Н со смежным классом группы G по
N, где N — подгруппа линейных
функций вида у = х + с? Найти
произведения комплексов HN и NH.
3. Пусть Н — подгруппа, N —
Фипсированная точна
Рис. S7
нормальный делитель группы G, М —
множество общих элементов под-
подгрупп Н и N. Доказать, что М —
нормальный делитель подгруппы Н и
что, если Н — нормальный делитель
группы G, то и М — нормальный
делитель группы G.
4.3. Прямое произведение групп
Рассматривая векторы на плоскос-
плоскости, нетрудно убедиться в том, чта
они образуют группу по сложению-
векторов. Операция сложения век-
векторов производится по правилу па-
параллелограмма. Если считать, что
все векторы отложены от некоторой
фиксированной точки, то суммой двух
векторов будет вектор, совпадающий
с диагональю параллелограмма, сто-
сторонами которого служат векторы-
слагаемые (рис. 37, 38).
Поскольку начальная точка всех
векторов фиксирована, то векторы
однозначно определяются заданием
концов. Если ввести на плоскости
систему координат и все векторы от-
b + d

кладывать от ее начала, то векторы
будут однозначно определяться ко-
координатами концов, которые мы
назовем координатами векторов.
Зная координаты векторов-слагае-
векторов-слагаемых, можно вычислить координаты
вектора-суммы: если координаты
векторов равны (а, Ь) и (с, d), то
координаты их суммы равны (а +
+ с, Ь + d).
Итак, векторы задаются парами
чисел, и операция сложения векторов
сводится к нахождению сумм первых
и вторых координат в отдельности.
Но аналогичным способом можно
из любых двух групп строить новую
группу.
Рассмотрим две группы (A; /) и
{В; g). Если мы хотим построить
по ним какую-то группу, то необхо-
необходимо указать элементы этой группы
и групповую операцию.
Пусть элементами новой группы
будут пары элементов (а, Ь), где
а€А, Ь6В, причем равенство {at, bt) =
= («2, b2) выполняется лишь в том
случае, если аг = а2 и bt = Ь2-
Групповую операцию h определим
так, чтобы над первыми «компонен-
«компонентами» производилась операция /, а
над вторыми — операция g:
h (К. *>i). («г. Ьг)) =
= if К. «г). S Фи Ьг))-
Построенная ртами группа называ-
называется прямым произведением групп
А и В и обозначается А X В.
Прежде всего необходимо доказать,
что прямое произведение двух групп дей-
действительно является группой. Для про-
простоты условимся опускать знаки всех
епераций и считать, что два элемента,
стоящие рядом, означают произведение,
то есть (af, b1)(ai, h) = (о^, 6,Ь2).
Элементы прямого произведения из-
известны [это — пары (о, Ь)], и операция
«умножения» на них определена (и сво-
сводится к выполнению операции / над пер-
первыми компонентами и операции g над вто-
вторыми компонентами пар). Следовательно,
необходимо лишь доказать, что прямое
произведение удовлетворяет трем аксио-
аксиомам, входящим в определение группы.
Ассоциативность операции h будет до-
доказана, если мы убедимся в том, что пря-
прямое произведение любых трех элементов
получается одним и тем же при двух
различных способах расстановки скобок.
Действительно, соотношения
(«1.
Ь3)] =
доказывают ассоциативность операции,
определенной на прямом произведении
(при этом существенно используется ас-
ассоциативность групповой операции как
в группе А, так и в группе В).
Для дальнейшего нам понадобят-
понадобятся единичные элементы групп А и
В, а также элементы, обратные эле-
элементам этих групп. Поскольку эле-
элементы и групповые операции обеих
групп легко отличимы (на «первом
месте» каждой пары стоят только
элементы группы А, на которые дей-
действует операция /, на «втором мес-
месте»— только элементы группы В, на
которые действует операция g), то,
обозначив единичные элементы обеих
групп через е, а обратные элементы
через «минус первые степени», мы
не создадим никакой «путаницы».
Не составляет труда обнаружить в
прямом произведении элемент, кото-
который может быть единичным элемен-
элементом группы, а также элемент, обрат-
обратный данному. Их легко угадать, и
правильность догадки настолько оче-
очевидна, что по существу не требует
доказательства. Мы ограничимся
лишь тем, что «предъявим» читателю
единичный элемент прямого произве-
произведения и элемент, обратный данному.
Итак, мы утверждаем', (е, е) — левый
единичный элемент прямого произ-
произведения, (а, Ъ~г) — элемент, ле-
левый обратный элементу (а, Ь).
Первое утверждение [относительно (в,в)]
следует из соотношения (в, в)(о, Ь) =
= (во, еЪ) = (о, Ь), второе утверждение —
из соотношения (о, S) (о, 6) = (о 1а,
б Ъ) = (•,•).
Используя прямое произведение
групп, можно утверждать, что адди-
аддитивную группу векторов на плоскос-
плоскости допустимо рассматривать как пря-
прямое произведение аддитивной груп-
группы вещественных чисел на себя.
70

ЗАДАЧИ
1. Доказать, что, если А — цик-
циклическая группа порядка р, В —цик-
—циклическая группа порядка q, где
р и q — различные простые чис-
числа, то их прямое произведение
А X В — циклическая группа по-
порядка pq.
2. Доказать, что, если А и В —
циклические группы порядка р, то
их прямое произведение А X В —
не циклическая группа.
3. Доказать, что, если А и В —
конечные группы, то порядок их
прямого произведения равен произ-
произведению порядков групп А и В.
4. Доказать, что элементы прямого
произведения двух групп, у которых
на втором месте стоит единичный эле-
элемент, образуют нормальный делитель
прямого произведения.
5. Доказать, что каждый из смеж-
смежных классов, полученных при раз-
разложении прямого произведения двух
групп по нормальному делителю,
описанному в предыдущей задаче,
содержит ровно один элемент, у ко-
которого на первом месте стоит единич-
единичный элемент.
Отображения групп
5.1. Изоморфизм групп
Нам уже неоднократно приходи-
приходилось встречать (главным образом в
задачах предыдущего раздела) груп-
группы, обладавшие «сильным сходством».
Например, при построении фактор-
факторгруппы группы преобразований по-
подобия по подгруппе движений мы
обнаружили, что элементы фактор-
факторгруппы (то есть смежные классы по
подгруппе движений) однозначно оп-
определяются положительными вещест-
вещественными числами. Операция, произ-
производимая над смежными классами,
приводит к такому же результату,
как если бы мы занимались умноже-
умножением положительных вещественных
чисел.
Выясним, что между фактор-груп-
фактор-группой группы преобразований подобия
по подгруппе движений и мультипли-
мультипликативной группой положительных
вещественных чисел общего и в чем
различие этих двух групп.
При задании любой группы необ-
необходимо указать, из каких элементов
она состоит ■ и какая групповая опе-
операция на них задана. Элементами од-
одной из интересующих нас групп слу-
служат множества преобразований по-
подобия, элементами другой — ве-
вещественные числа. Следовательно,
обе группы состоят из совершенна
различных элементов. Различны и
групповые операции. В одной из
групп в роли групповой операции
«выступает» умножение подмножеств,
в другой — умножение вещественных
чисел.
И все же, несмотря на столь замет-
заметные различия, наши две группы об-
обладают несомненным сходством: ведь
если отвлечься от того, из каких эле-
элементов состоит каждая группа и ка-
какой групповой операцией она наде-
наделена, то обе группы становятся «не-
«неотличимыми». Это означает, что, ес-
если обе группы рассматривать как
абстрактные группы, то получится
одна и та же группа, поскольку при
«абстрактном подходе» нас интере-
интересует не природа элементов и не приро-
природа групповой операции, а лишь
как действует групповая операция
на элементах группы.
Группы, в которых групповые опе-
операции действуют «одинаково», назы-
называются изоморфными.
Наше определение не полно: необ-
необходимо пояснить, что, собственно,
означают слова «действуют одинако-
одинаково». Ведь их можно понять, напри-
например, так: группа целых чисел и груп-
группа вещественных чисел изоморфны
потому, что обе группы наделены
одной и той же групповой операцией.
Ясно, что, говоря об «одинаковом
действии» групповых операций в изо-
изоморфных группах, мы имеем в виду
совсем другое.
71

Рис. 39
В выбранном нами примере смеж-
смежные классы определяются заданием
одного-единственного вещественного
числа, то есть функции, ставящей в
соответствие каждому положитель-
положительному вещественному числу Я некото-
некоторый смежный класс. Если эту функ-
функцию обозначить через q>, а смежный
класс, сопоставляемый ею положи-
положительному вещественному числу Я,
через ф (Я), то относительно ф можно
утверждать следующее:
1. Различным положительным
вещественным числам соответствуют
различные смежные классы. Иначе
говоря, если ф(Я) = ф([л), то Я =
= (i-
2. Каждый смежный класс постав-
поставлен в соответствие некоторому по-
положительному вещественному числу,
то есть для каждого смежного класса
[Т] найдется такое положительное
вещественное число Я, при котором
ф(Я) = [Т].
3. Операцию над смежными клас-
классами можно производить так, как
если бы речь шла об умножении со-
соответствующих вещественных чисел,
то есть произведением смежных клас-
классов ф (Я) Иф(A) (взятых в надлежащем
порядке) служит смежный класс,
соответствующий произведению чи-
чисел АцЗф^фЫ =<p(ty)-
Первые два условия устанавлива-
устанавливают соответствие между элементами
двух групп, а третье условие озна-
72
чает, что групповые операции дейст-
ствуют одинаково. Поскольку изо-
изоморфизм групп определен при помо-
помощи функции, отображающей одну из
групп на другую, то «вторую» груп-
группу удобно назвать образом (в данном
случае изоморфным образом) «пер-
«первой». Аналогичное определение изо-
изоморфизма можно дать и для общего
случая.
Группа (С; /') называется изо-
изоморфным образом группы (G; /),
если существует взаимно-однознач-
взаимно-однозначное отображение ф группы G на
группу G', сохраняющее групповую
операцию, то есть:
1) если a, b — различные элемен-
элементы группы G, то ф(а), ф(Ь) — раз-
различные элементы группы G';
2) для каждого элемента а' группы
G' можно найти такой элемент а
группы G, при котором а' = ф(а);
3) если а' = ф(а), Ь' =ф(Ь)ги
с = f(a, Ь), то /'(а', Ь') = ф(с), или
в более компактной записиф (/(а, Ь))—
= /'(<р(«), Ф(Ь)) (рис. 39).
Это определение верно, то есть
абсолютно точно, но группы (G; /)
и (С; /') входят в него не симмет-
симметрично: оно не позволяет говорить,
что две группы изоморфны «друг
другу», а лишь дает основание ут-
утверждать, что «одна группа изоморф-
изоморфна другой». Но если это так, то дан-
данное выше определение непригодно,
поскольку «одинаково устроенные»
группы — понятие симметричное.
В действительности свойства 1
и 2 функции ф обеспечивают
существование функции <]>, отобра-
отображающей элемент ш(а) группы G' в
элемент а группы G. Функция <]> ото-
отображает группу G' на группу G
и обладает свойствами 1 и 2. Нетруд-
Нетрудно видеть, что функция <]> обладает и
свойством 3.
Действительно, если элементы о', 6', с'
группы G' связаны соотношением с' =
= /'(»', Ь') и о' = ф(о), 6' = ФF), а с'=
= <р(с), то

Требуется доказать, что с = /(о, 6). По-
Поскольку функция ф обладает свойством
3, то
<р(/(о. 6)) = /'(¥(»), f (Ь)) =
= /'(«', 6') = е' = ¥(с),
откуда в силу свойства 1 следует, что эле-
элементы /(о, 6) и с группы G совпадают.
С точки зрения алгебры изоморф-
изоморфные группы неотличимы: отображе-
отображение, порождающее изоморфизм, по-
подобно зеркалу, переводит элементы
и групповую операцию одной группы
в элементы и групповую операцию
другой группы. Все, что бы мы ни
проделали при помощи групповой
операций над элементами одной груп-
группы, повторяется «по другую сторону
зеркала» — в другой группе, и это
хорошо, поскольку позволяет рас-
рассматривать свойства операции «в чис-
чистом виде» независимо от конкретных
особенностей элементов и групповых
операций.
Если взять какую-нибудь группу и
рассмотреть изоморфные ей группы,
то нетрудно понять, что алгебраичес-
алгебраически они все одинаковы и отличаются
только элементами и групповыми
операциями. Это означает, что изо-
изоморфные группы, если их рассмат-
рассматривать как абстрактные группы,
совпадают.
Множество групп, изоморфных
данной, условимся понимать как аб-
абстрактную группу. Эта абстрактная
группа называется представителем
любой из изоморфных групп.
Определение абстрактной группы
означает примерно следующее. Су-
Существует великое множество цикли-
циклических групп, содержащих по два
элемента. Каждая из них обладает
элементами, отличными от элемент
тов других групп, и групповой опе-
операцией, носящей иной характер, чем
групповые операции других групп.
Но все эти группы обладают и общи-
общими свойствами: каждая из них содер-
содержит по два элемента, которые преоб-
преобразуются соответствующим образом
под действием групповой операции,
и один из этих двух элементов явля-
является образующим для группы. Имен-
Именно это и имеют в виду, когда говорят,
что абстрактная группа выражает
общие свойства всех групп, изоморф-
изоморфных данной группе. Иногда ту же
мысль облекают в несколько иную
форму и утверждают, что абстракт-
абстрактная группа — это все множество
изоморфных групп. (Мы оказались бы
в аналогичной ситуации, если бы нам
понадобилось определить, что такое
«румяное яблоко». Мы бы сказали,
что это свойство, присущее всем
румяным яблокам. Но ту же мысль
можно выразить и несколько иначе.
Рассмотрим все румяные яблоки. Их
множество и будет «тем самым» румя-
румяным яблоком, поскольку оно содер-
содержит все румяные яблоки и только их.)
Понятие абстрактной группы поз-
позволяет «перечислять» группы, узна-
узнавать, сколько существует (абстракт-
(абстрактных) групп с заданным числом эле-
элементов. (Эту задачу можно сформу-
сформулировать следующим образом: сколь-
сколько существует не изоморфных групп
с заданным числом элементов?)
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕРЫ
1. Циклические груп-
группы заданного порядка.
Если порядки циклических групп
{а} и {Ь} совпадают, то отображение
<р: а1 -*■ ¥, очевидно, взаимно-одно-
взаимно-однозначно и сохраняет групповую опе-
операцию. Следовательно, каждая из
этих групп изоморфна другой, а эта
означает, что существует лишь одна
циклическая (абстрактная) группа
данного порядка.
2. Группа заданного
простого порядка. По тео-
теореме Лагранжа порядок любого эле-
элемента конечной группы является де-
делителем порядка группы. Поскольку
в рассматриваемом случае порядок,
группы — простое число, то порядок
каждого элемента группы равен это-
этому простому числу или 1. Группа, о
которой идет речь, содержит по край-
крайней мере один элемент, отличный от
единичного (число элементов в груп-
группе не меньше двух, так как наимень-
73

шее простое число равно 2), поэтому
существует элемент, порядок кото-
которого равен порядку группы. Но это
означает, что группа циклическая.
Используя результат, полученный в
примере 1, приходим к выводу, что
существует только одна группа дан-
данного простого порядка.
3. Группы не более чем
седьмого порядка. Ясно,
что существует лишь одна группа
порядка 1. Кроме того, как показы-
показывает пример 2, существует по одной
группе порядка 2, 3, 5 и 7.
Рассмотрим теперь группы четвер-
четвертого порядка. По теореме Лагранжа
порядок любого элемента такой груп-
группы является делителем числа 4.
Если в группе существует элемент
четвертого порядка, то этот элемент
порождает группу, и, следовательно,
группа циклическая. Как показано
в примере 1, существует лишь одна
циклическая группа четвертого по-
порядка. Если же в группе нет элемен-
элемента четвертого порядка, то квадрат
любого элемента группы совпадает с
единичным элементом. Нетрудно ви-
видеть, что такие группы коммутатив-
коммутативны.
Действительно, если о и 6 — произ-
произвольные элементы такой группы, то, во-
первых, аЪаЪ = (обJ = е, во-вторых, е =
= аЩ% = ааЬЬ. Используя эти соотно-
соотношения, получаем: аЪаЬ = ааЬЬ. Сокра-
Сокращая слева на а, а справа на Ь, находим:
аЪ = Ьа, что и требовалось доказать.
Группа интересующего нас типа
содержит три элемента, отличных от
единичного, каждый из которых име-
имеет порядок, равный 2. Следователь-
Следовательно, произведение любых двух эле-
элементов второго порядка может быть
равно только третьему элементу вто-
второго порядка (для доказательства
этого утверждения достаточно вос-
воспользоваться законом сокращения).
Такая группа изоморфна подгруппе
N, рассмотренной в задаче 1е из раз-
раздела 4.2, — так называемой четвер-
четверной группе Клейна. Следовательно,
существуют 2 группы четвертого по-
порядка.
Перейдем теперь к группам шесто-
шестого порядка. Прежде всего убедимся
в том, что в группе шестого порядка
заведомо существует элемент третье-
третьего порядка.
Действительно, если бы группа не со-
содержала элемента третьего порядка, то
в ней не могло бы быть элементов шестого
порядка, поскольку квадрат элемента ше-
шестого порядка имеет порядок, равный 3.
Следовательно, по теореме Лагранжа,
поскольку группа не содержит элементов
третьего порядка, то все элементы группы
имеют порядок, равный 2. Такая группа
(как показано выше) заведомо коммута-
коммутативна, и два элемента, отличных от еди-
единичного, порождают подгруппу из четы-
четырех элементов. Отсюда (также по теореме
Лагранжа) следует, что порядок группы
делится ва 4 и, следовательно, не может
быть равен 6. Полученное противоречие
означает, что- группа шестого порядка не-
непременно должна содержать эмемеят
третьего порядка.
Пусть b — элемент третьего по-
порядка. Существуют лишь 3 различ-
различные степени его: е (единичный эле-
элемент), b и Ь2. Если элемент а не при-
принадлежит циклической подгруппе,
порожденной элементом Ь, то эле-
элементы еа, Ьа и Ьга образуют правый,
а элементы ае, ab и аЬг — левый
смежный класс. Оба смежных клас-
класса должны совпадать, так как рас-
рассматриваемая группа содержит все-
всего шесть элементов, а ни один из пе-
перечисленных нами элементов смеж-
смежных классов не принадлежит под-
подгруппе {Ь}. Это означает, что {Ь} —
нормальный делитель и элемент
aba'1 принадлежит этой подгруппе.
Поскольку aba'1 не может быть еди-
единичным элементом (в противном слу-
случае выполнялось бы равенство b =
= a'laba~l — a~lea — е, что невоз-
невозможно), то либо aba'1 = b, либо
aba = b2. Нетрудно проверить, что
в первом случае мы получаем цикли-
циклическую группу шестого порядка, а
во втором — группу, изоморфную
группе всех подстановок трех эле-
элементов. Следовательно, всего сущест-
существует две группы шестого порядка.
Аналогичным образом (ио с использо-
использованием большего количества «вспомога-
«вспомогательных средств») можно показать, что
74

существуют 5 групп восьмого порядка
C из них — коммутативные), 2 группы
девятого порядка (обе коммутативные),
2 группы десятого порядка (одна го кото-
которых коммутативная). Кроме того, нетруд-
нетрудно убедиться и в том, что, если р — не-
нечетное простое число, то существуют 2
группы порядка 2р и 2 группы порядка
р*, причем одна из групп порядка 2р и обе
группы порядка ра коммутативны.
= означает изоморфизм.
Символ =£ для обозначения изо-
изоморфизма групп заимствован из гео-
геометрии, где его, как известно, ис-
используют для обозначения конгру-
конгруэнтных фигур. Итак, если группы
(G; /) и (С; /') изоморфны, то
это можно записать либо как (G;
/)s(G';/'), либо еще более кратко: G=s
==г G'. Если желательно указать,
какая из групп служит прообразом
и какая — образом при отображе-
отображении <р, то используют обозначение
q,: (G; f) ~, <<?'; /') или более
краткое обозначение ц>: G ^ G'.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что изоморфизм реф-
рефлексивен и транзитивен (то есть вся-
всякая группа изоморфна самой себе, и
если одна группа изоморфна второй,
а вторая — третьей, то первая груп-
группа изоморфна третьей).
2. Доказать, что прямое произве-
произведение коммутативно и ассоциативно,
то есть, если А и В — две группы,
тоАхВ=ёВхАи(АхВ) х
X С s* A X (В X С) для любых
трех групп А, В и С.
3. Доказать, что, если А и В —
нормальные делители группы G, по-
порождающие вместе всю группу и не
имеющие общих элементов, кроме
единичного, то G s А X В.
5.2. Гомоморфные отображения
Итак, с точки зрения алгебры изо-
изоморфные группы можно считать тож-
тождественными: не существует способа,
позволяющего отличить одну изо-
изоморфную группу от другой. Вместе
с тем нельзя не заметить, что в неко-
некоторых случаях такое отождествление
становится «несколько преувеличен-
преувеличенным».
Например,ясно, что отображение <р,
изменяющее знак каждого целого
числа на противоположный, устанав-
устанавливает изоморфизм аддитивной груп-
группы целых чисел самой себе. Тем не
менее элементы этой группы не сов-
совпадают со своими образами при ото-
отображении q>, поскольку, если бы они
совпадали, то должно было бы, на-
например, выполняться равенство —1 =
= 1, что, очевидно, невозможно.
Вообще следует «соблюдать осторож-
осторожность» во всех случаях, когда речь
идет об изоморфизме различных под-
подгрупп одной группы.
От опасений подобного рода можно
избавиться, если всегда указывать
отображение, осуществляющее изо-
изоморфизм. Таким образом, отображе-
отображение и его свойства приобретают пер-
первостепенное значение, и их необхо-
необходимо изучить более подробно.
Рассмотрим группы G и G', в каж-
каждой из которой групповую операцию
условимся указывать, записывая ря-
рядом элементы-сомножители. Пусть <р:
G -*■ G' — некоторое отображение.
Выясним, удовлетворяет ли оно всем
условиям, «предъявляемым» к изо-
изоморфизму. Эти условия сводятся к
следующим:
1) каждый элемент группы G име-
имеет образ;
2) каждый элемент группы G'
имеет прообраз;
3) групповая операция при ото-
отображении сохраняется.
Прежде всего займемся сохранени-
сохранением групповой операции. Это свойство
отображения означает, что, если а и
Ь — произвольные элементы груп-
группы G, то
<р (ab) = <р (а) <р (Ь).
Это единственное из всех условий,
в котором фигурируют групповые
операции. Не будь его, мы имели бы
дело с отображением множеств, ко-
которое нас сейчас, естественно, не
интересует.
Наоборот, мы получим весьма важ-
важный тип отображений, если потре-
75

буем, чтобы они удовлетворяли толь-
только условию сохранения групповых
операций, и откажемся от прочих
условий. Такие отображения назы-
называются гомоморфизмами, или гомо-
гомоморфными отображениями.
Гомоморфизмом называется ото-
отображение одной группы в другую,
сохраняющее групповую операцию.
Если гомоморфизм удовлетворяет
какому-нибудь из условий A) или
B), то мы получаем частную разно-
разновидность гомоморфизма, имеющую
свое специальное название.
1. Каждый из элементов группы G
имеет образ — мономорфизм.
2. Каждый из элементов группы G'
имеет прообраз — эпиморфизм.
Если выполнено каждое из усло-
условий A) и B), то, как известно, гомо-
гомоморфное отображение называется изо-
изоморфизмом. Следовательно, изомор-
изоморфизм можно определить как мономор-
мономорфизм, являющийся одновременно и
эпиморфизмом.
Следует заметить, что в давние времена,
Когда отображениям еще не уделяли до-
достаточного внимания, гомоморфизмами на-
называли те отображения, которые теперь
принято называть эпиморфизмами. Такую
терминологию можно встретить в старой
литературе.
Существует четыре типа отображе-
отображений, или, точнее, один тип отображе-
отображений (гомоморфизм) и три его менее
общие разновидности. Все они об-
обладают общим свойством сохранять
групповую операцию. Опознавать
разновидности отображений нам по-
помогают различия между ними. Сле-
Следовательно, пытаясь найти различия
между отображениями, мы можем
не принимать во внимание их общее
свойство и рассматривать их так,
как если бы речь шла об отображени-
отображениях множеств. (Разумеется, группо-
групповые свойства придают отображениям
многие особенности, которыми не
обладают произвольные отображения
множеств. Но для того, кто хотел
бы выяснить различия между ото-
отображениями групп, эти особенности
не представляют интереса.)
Предположим, что все сведения
Рис. 41
об отображении ф укладываются в
одну короткую фразу: q>: G -*■ G' —
некоторое отображение. Тогда мы
можем лишь утверждать, что эле-
элементы группы G каким-то образом
отображены в группу G', и не более
того. Этот случай изображен на
рис. 40.
Если предполагается, что образы
различных элементов различны (мо-
(мономорфизм), то отображение не мо-
может переводить несколько элементов
в один. Поэтому на рис. 41 отображе-
отображение показано не сходящимися, а
параллельными линиями.
Если требуется показать, что все
элементы группы G' служат образа-
образами каких-то элементов группы G,
то на рисунке необходимо изобра-
изобразить, что элементов в группе G' «хва-
«хватает» для всех элементов группы G.
В этом случае опять придется вос-
польвоваться сходящимися линиями
(рис. 42).
Наконец, рисунок, изображающий
изоморфизм, должен совмещать в
76

себе особенности обоих предыдущих
рисунков (рис. 43).
«Самую узкую» разновидность го-
гомоморфизма — изоморфизм — мы
изучили достаточно подробно. Рас-
Рассмотрим теперь, каким образом мо-
может осуществляться мономорфизм
или эпиморфизм.
Пусть Н — подгруппа группы G.
Каждому элементу подгруппы Н по-
поставим в соответствие его же самого,
но уже как элемент группы G. (Та-
(Такое соответствие можно понимать
следующим образом. Мы рассматри-
рассматриваем только элементы подгруппы Н,
•«забывая» об остальных элементах
группы G, но сами элементы подгруп-
подгруппы Н считаем элементами группы G.)
Мы получим отображение Н -*■ G,
обладающее тем свойством, чтОф (а) =
— а для любого элемента а подгруп-
подгруппы Н. Это отображение — гомомор-
гомоморфизм, так как ц>(аЬ) = ab, что сов-
совпадает с произведением элементов
■ю(а) = а и ф(Ь) = Ь, равному ab.
Кроме того, отображение ф — мо-
мономорфизм, поскольку, если ф(а) =
= ф(Ь), то а =ф(а) = ф(Ь) = b, a
это доказывает, что образы различ-
различных элементов при отображении ф
различны.
Итак, мы показали, что любая
подгруппа определяет мономорфизм
в группу, а именно «естественное»
отображение, при Котором элементы
подгруппы переходят сами в себя.
Аналогичное утверждение спра-
справедливо и относительно фактор-груп-
фактор-группы любой группы. Пусть N — нор-
нормальный делитель группы G. Как
известно, элементами фактор-груп-
фактор-группы G/N являются смежные классы
по N. Установим «естественное» со-
соответствие, сопоставив каждому эле-
элементу группы G некоторый смежный
класс по N. Поскольку каждый эле-
элемент группы G содержится в одном и
только в одном смежном классе,
то, очевидно, каждому элементу
удобно сопоставить тот смежный
класс, которому он принадлежит. Мы
получим отображение ф: G -*■ G/N,
обладающее тем свойством, чтОф (а) =
= aN. Сохранение групповой опе-
Рис. 42
Рис. 43
рации следует из того, что N — нор-
нормальный делитель группы, именно
поэтому выполняется соотношение
aNbN = abN (рис. 44). Таким об-
образом, ф(аЬ) = abN = (aN)FN) =
= ф(а)ф(Ь). Отображение ф в дейст-
действительности представляет собой эпи-
эпиморфизм, поскольку каждый смеж-
смежный класс содержит по крайней мере
один элемент и поэтому в него под
действием отображения переходит по
крайней мере один элемент группы.
Итак, всякая фактор-группа опре-
77

деляет некоторый эпиморфизм ис-
исходной группы, а именно такое «ес-
«естественное» отображение группы на
фактор-группу, при котором каждый
элемент группы переходит в содер-
содержащий его смежный класс.
Полученные нами результаты по-
показывают, что мономорфизмов и эпи-
эпиморфизмов существует «достаточно
много». Возникает вопрос: а нельзя
ли найти все мономорфизмы и эпи-
эпиморфизмы? Разумеется, нет — в том
смысле, что подгруппы или фактор-
факторгруппы можно заменять изоморфны-
изоморфными им группами и рассматривать со-
соответствующие отображения как мо-
мономорфизм или эпиморфизм. Но по-
полученные таким способом мономор-
мономорфизмы и эпиморфизмы нельзя счи-.
тать существенно отличающимися от
рассмотренных выше, поскольку раз-
различиями между изоморфными груп-
группами мы пренебрегаем. Каждое из
«отвергнутых» отображений в дейст-
действительности уже известно: подстав-
подставляя вместо подгрупп и фактор-групп
изоморфные им группы, мы не смо-
сможем получить ни мономорфизм, ни
эпиморфизм нового типа. Более того,
оказывается, что все гомоморфизмы
по существу «составлены» из рассмот-
рассмотренных нами мономорфизма и эпи-
эпиморфизма.
Последнее утверждение требует до-
доказательства. Пусть ф — произ-
произвольный гомоморфизм группы G в
группу G'. Если бы G была под-
подгруппой группы G', как в рассмот-
Рис. 45
Рис. 46
ренном выше «естественном» отобра-
отображении, то гомоморфизм q> помог бы
нам отобрать те элементы группы G',
в каждый из которых под действием
ф переходит по крайней мере один
элемент группы G. Воспользуемся
тем же приемом и покажем, чтв те
элементы группы G', которые слу-
служат образом по крайней мере для
одного элемента группы G, ив об-
общем случае также образуют под-
подгруппу группы G'.
Итак, рассмотрим все элемента
группы G', представимые в виде
ф(а), где а — произвольный элемент
группы G (элементы ф (а) группы G'
представляют собой не что иное,
как «область значений» функции ф).
Покажем, что эти элементы образуют
подгруппу группы G' (рис. 45). Эта
подгруппа называется образом гомо-
гомоморфизма ф и обозначается Im ф
(от английского image — образ).
Групповое умножение не выводит за
пределы Im ф, так как вследствие сохра-
сохранения групповой операции <р(а)<р(Ь)= <р(*&)г
то есть произведение образов любых двух
элементов группы G имеет такой вид,,
какой должны иметь элементы подгруппы
1шф. Единичный элемент группы G' так-
также легко представить в требуемом виде.
Действительно, единичный элемент груп-
группы G' совпадает с образом единичного,
элемента группы G, так как в силу соот-
соотношения ф(е)ф(я) = ф(во) = ф(а) элемент
ф(е) может быть только единичным эле-
элементом группы G'. Нетрудно показать,,
что образ элемента, обратного любому
элементу а группы G, совпадает с эле-
элементом группы G', обратным образу эле-
элемента о: ф(о"х)ф(о) = ф(о~хо) = ф(е), сле-
следовательно, ф(о) совпадает с (ф(о)).
78

Гомоморфизм сохраняет не толь-
только групповую операцию, но и еди-
единичный и обратные элементы.
Для отображения групйы в фак-
фактор-группу необходим нормальный
делитель. Следовательно, его надо
найти прежде всего. При естествен-
естественном отображении в фактор-группу
элементы нормального делителя ха-
характеризуются следующим свойст-
свойством: они образуют смежный класс,
переходящий под действием <р в еди-
единичный элемент фактор-группы. Вос-
Воспользуемся аналогичным приемом
и в общем случае.
Рассмотрим элементы группы G,
которые гомоморфизм q> отображает в
единичный элемент е' группы G'.
Пвкажем, что эти элементы образуют
нврмальный делитель группы G
{рис. 46).
Эта подгруппа называется ядром
гомоморфизма <р и обозначается Кег<р
{от английского kernel — ядро).
Относительно элемента <р(е) уже из-
известно, что он совпадает с единичным эле-
элементом группы G', поэтому элемент е
группы G принадлежит ядру гомомор-
гомоморфизма ф. Если о и 6 — элементы, входя-
входящие в Ker ф, то, с одной стороны, ф(оЬ) =
= ф(о)ф(Ь) = е'е' = в', а с другой сторо-
стороны, ф(о~х) = (ф(о)) = (в') = в', и, сле-
следовательно, Кег ф — подгруппа группы G.
Наконец, если х — произвольный элемент
группы G и о — произвольный элемент
из Кег ф, то щ{хах~1) = ф(ж)ф(о)ф(ж) =
= ф(л)в'ф((л))~1. Это н доказывает, что
Кег ф — нормальный делитель.
Связь между фактор-группой
группы G по нормальному делителю
Кег q> и подгруппой Im ф группы G'
устанавливает теорема о гомомор-
гомоморфизмах^.
если q>: G -*■ G' — произвольный
гомоморфизм, то существует естест-
естественный изоморфизм ф: (G/Кег q>)^
rxlm ф, при котором
ф : (а • Кег <р) ->- а.
(Изоморфизм ф принято называть
естественным, поскольку он опреде-
определяется одинаково при любом гомо-
гомоморфизме <р и не использует никаких
«индивидуальных» особенностей го-
гомоморфизма.)
Рис. 47
Наиболее трудной частью доказа-
доказательства, состоящей в отыскании ис-
используемого в теореме изоморфизма,
мы уже располагаем. Следовательно,
нам не остается ничего другого, как
показать, что полученное нами ото-
отображение действительно является
изоморфизмом.
Итак, требуется проверить, что
отображение ф — изоморфизм. Для
этого нам необходимо убедиться в
том, что устанавливаемое им соот-
соответствие не зависит от выбора
элементов, представляющих смеж-
смежные классы. Воспользуемся этим за-
замечанием для завершения доказа-
доказательства теоремы о гомоморфизмах.
Бели смежные классы а. Кег ф a 6. Кег <р
совпадают, то это означает, что, например,
элемент b принадлежит смежному классу
о. Кег ф, то есть что 6= ах (где х — со-
ответстэуюший элемент на Кег ф). Иначе
говоря, два смежных класса совпадают
при условии, что элемент х = а^Ь. при-
принадлежит Кегф. Выясним теперь, когда
ф(я) совпадает с фF). Совпадение образов
элементов аи Ь группы G означает, что
79

(ф(о))~1ф(Ь) — единичный элемент груп-
группы G'. Производя несложные преобразо-
преобразования, получаем (ф(о))~1фF)=ф(о)фF)=
= ф(о6). По определению этот элемент
совпадает с единичным элементом группы
G', если а~хЬ принадлежит Кег ф. Итак,
мы показали, что смежные классы а. Кегф
и 6 • Кег ф совпадают в том и только в том
случае, если совпадают элементы ф(я)
и ф(Ь) группы С, поскольку оба «совпа-
«совпадения» происходят при одном условии:
элемент а~1Ьдолжен принадлежать Кегф.
Итак, соответствие, устанавливаемое
между элементами фактор-группы G/Кегф
и Im ф однозначно, то есть действительно
является отображением. Но мы доказали
лишь, что образы различных элементов
фактор-группы различны, то есть что вы-
выполнено одно из трех условий изоморфизма
(условие мономорфизма). Второе условие
(условие эпиморфизма) также выполняет-
выполняется, поскольку все элементы множества Im
<р представимы в виде ф(а),то есть явля-
являются образами элементов фактор-группы.
Проверим, наконец, сохранение груп-
групповой операции. Смежному классу (а.
• Кегф)F. Кегф) =аЬ. Кегф отображениеф
ставит в соответствие элемент Ф(о6). Но
поскольку гомоморфизм <р сохраняет груп-
групповую операцию, то щ(аЬ) совпадает с
произведением элементов ф(а)(р(й).
Если ф — эпиморфизм, то есть если
G' совпадает с Im <p, то группа G' яао-
морфна фактор-группе группы G. Вели
Ф — мономорфизм, то Кег ф содержит лишь
один элемент — единичный элемент груп-
группы G. Действительно, при гомоморфизме
единичный элемент е группы G отобра-
отображается в единичный элемент е' группы
G', а так как ф — мономорфизм, то дру-
другие элементы группы G не могут перехо-
переходить в е'. Следовательно, все смежные
классы состоят из одного элемента, и
отображение а -*■ а- Кег ф, очевидно, яв-
является изоморфизмом. Таким образом, в
зтом случае группа G изоморфна фактор-
факторгруппе группы G',
Отображение а -*■ а-Кегф, пред-
представляющее собой не что иное, как
естественный гомоморфизм на фак-
фактор-группу, вообще говоря, не явля-
является изоморфизмом. Если х — ес~
тественный гомоморфизм, то гомо-
гомоморфизм <р можно осуществить сле-
следующим образом: сначала. выпол-
выполнить гомоморфизм х (сопоставляю-
(сопоставляющий элементу а группы G смежный
класс а-Кегф), а затем — изомор-
изоморфизм ф (сопоставляющий смежному
классу а-Кегф элемент ср(а) группы
G'). Отображение х — эпиморфизм,
а если бы Im ц> совпадал с G', то
80
отображение ф можно "было бы счи-
считать мономорфизмом. Итак, «разло-
«разложение» произвольного гомоморфизма
на эпиморфизм и мономорфизм по-
получено. Оно изображено иа рис. 47.
ЗАДАЧИ
1. Пусть а — произвольный эле-
элемент группы G. Доказать, что су-
существует однозначно определенный
гомоморфизм ф, отображающий в G
аддитивную группу целых чисел и
удовлетворяющий условию а = q> A).
Что можно сказать об этом отобра-
отображении, когда ф — мономорфизм и
когда ф — эпиморфизм? Каким об-
образом дополнительные сведения о ф
можно было бы использовать для
определения порядка элемента е?
2. Доказать, что в каждом из сле-
следующих случаев отображение явля-
является эпиморфизмом, найти его ядро и
сравнить полученные результаты с
решением задачи 1 из раздела 4.2.
а. Аддитивная группа комплекс-
комплексных чисел отображена на аддитив-
аддитивную группу вещественных чисел так,
что каждому комплексному числу
поставлена в соответствие его мни-
мнимая часть: а + Ы -*■ Ъ.
б. Мультипликативная группа от-
отличных от нуля комплексных чисел
отображена на группу комплексных
чисел с модулем, равным 1, так, что
каждому комплексному числу по-
поставлено в соответствие комплексное
число с тем же аргументом, но с
модулем, равным 1:
^(cos <р + i sin <p) -*■ cos <p + i sin ср.
в. Мультипликативная группа от-
отличных от нуля комплексных чисел
отображена на мультипликативную
группу положительных веществен-
вещественных чисел так, что каждому комп-
комплексному числу поставлен в соответ-
соответствие его модуль:
г. Группа преобразований подобия
отображена на мультипликативную
группу положительных веществен-
вещественных чисел так, что каждому преобра-

зованию поставлено в соответствие
число, показывающее, во сколько раз
преобразование изменяет длину от-
отрезка.
3. Пусть G = А X В. Доказать,
что q> : а -*■ (а, е) — мономорфизм,
а ф : (а, Ь) -*■ Ъ — эпиморфизм
(ф : А -> G; ф : G -> В).
Проверить также, что 1ш ф =
= Кег ф.
4. Пусть N и М — такие нормаль-
нормальные делители группы G, что М содер-
содержится в N, и пусть Н — произволь-
произвольная подгруппа группы G. Доказать,
что соответствие МЛ -*■ hN, где h
пробегает все элементы подгруппы
Н, — гомоморфизм, отображающий
фактор-группу {Н, М}/М в фактор-
факторгруппу {Н, N}/N. Какой изомор-
изоморфизм возникает при этом в силу тео-
теоремы о гомоморфизмах?
5. Рассмотрим предыдущую зада-
задачу в двух частных случаях, когда
М = {е} и когда Н = G. (Эти
случаи называются теоремами Нётер
об изоморфизмах.)
Первая теорема об изоморфизмах:
H/HflN^{H, N}/N.
Вторая теорема об изоморфизмах:
(G/M)/(N/M)ssG/N.
5.3. Операции, осуществляемые
гомоморфизмами
До сих пор мы рассматривали го-
гомоморфизмы как особый класс функ-
функций, как некоторую разновидность
отображений. Но в тех случаях,
^когда речь идет об отображениях
множества в себя, удобно рассмат-
рассматривать операции, осуществляемые
гомоморфизмами. Каждая такая опе-
операция представляет собой определен-
определенный набор функций. Ранее нам уже
приходилось последовательно вы-
выполнять отображения, одно из кото-
которых не было отображением множест-
множества на себя (набор таких отображений
составил гомоморфизм q> : G -*■ G').
Поскольку такие наборы отображе-
отображений позволяют более наглядно за-
записать «структуру» гомоморфизмов,
В
то операции, осуществляемые гомо-
гомоморфизмами, целесообразно рассмот-
рассмотреть в общем виде.
Начнем с двух отображений
(рис. 48):
Непосредственно ясно, что отобра-
отображение ф можно выполнять вслед за
отображением <п лишь в том случае,
если множества В ж С совпадают.
Те, кому кажется, будто достаточно ог-
ограничиться более слабым условием и по-
потребовать, чтобы образы элементов мно-
множества А содержались в множестве С,
заблуждаются. Предположения о том,
что элементы множества В принадлежат
множеству С, недостаточно для того,
чтобы отображение ф Можно было выпол-
выполнять вслед за отображением <р. Действи-
Действительно, полное описание последовательного
выполнения двух отображений должно
было бы включать и вспомогательное ото-
отображение, переводящее множество В в
множество С. Следовательно, «в нерерыве»
между двумя отображениями необходимо
выполнить третье, вспомогательное, ото-
отображение множества В на множество €.
Но если В = С, то последователь-
последовательное выполнение двух отображений
81

B--D
Рис. 49
становится вполне определимый и
сводится к следующему:
■фср: а —*- Щ (<р (а)) при любом а 6 А
Ясно, что, выполнив одно за другим
отображения ф и ф, мы получим не-
некоторое новое отображение tyy: A -*•
-*■ £>, которое называется произве-
произведением отображений q> и ф (рис. 49).
Рис. 50
Отображение фф! A -*■ Z) назы-
называется произведением отображений
ф и ф.
Нетрудно видеть, что умножение
отображений ассоциативно. Это ут-
утверждение надлежит понимать в сле-
следующем смысле: если какое-нибудь
из произведений х(Фф) и (ХФ^ СУ~
ществует, то другое произведение
отображений также выполнимо и сов-
совпадает с первым. Действительно, су-
существование любого произведения
означает, что можно задать отобра-
отображения
Но тогда, как уже неоднократно бы-
было показано, х(Фф) = (хФ^ (рис. 50).
Для гомоморфизмов справедливы
следующие утверждения:
Если произведение фф гомоморфиз-
гомоморфизмов «риф существует, то это — го-
гомоморфизм. Если оба сомножителя
q> и ф — мономорфизмы, эпиморфиз-
эпиморфизмы или изоморфизмы, то и произведе-
произведение фф — соответственно мономор-
мономорфизм, эпиморфизм или изоморфизм.
Прежде всего докажем утверждение
относительно гомоморфизмов. По сущест-
существу необходимо лишь доказать, что произ-
произведение гомоморфизмов 4*р сохранят груп-
групповую операцию. Гомоморфизм <р сохра-
сохраняет групповую операпию, поэтому <р(а6)=
= <р(а)<рF). Но гомоморфизм ф также
сохраняет групповую операцию, откуда
4'(ф(о)фF)) = ^(фСо)) ф(фF)). Взятые вме-
вместе, эти соотношения и означают, что
произведение <]лр гомоморфизмов сохра-
сохраняет групповую операцию.
Бели <р и ([< — мономорфизмы, то выбе-
выберем элементы о и 6, для которых ф(ф(о)) =
ф(F)) Так как ф — мономорфизм, те
82

из равенства ф(<р(а)) = ф(ф(Ь)) следует,
что ф(о) = ф(Ь). В свою очередь равенст-
равенство ф(о) = ф(Ь) означает, что а — Ь, пос-
поскольку Ф — мономорфизм. Итак, ф<р —
мономорфизм.
Если фиф — эпиморфизмы, то для
любого элемента с найдется такой элемент
Ь, что с — ф(Ь), а для элемента Ъ найдется
элемент а, переходящий в Ь под действи-
действием эпиморфизма ф: Ъ — ф(о), то есть вы-
выполняется соотношение с — ф(ф(о)). Сле-
Следовательно, фф — эпиморфизм.
Бели оба сомножителя ф и ф — изо-
изоморфизмы, то наждый из них является
одновременно мономорфизмом и эпимор-
эпиморфизмом. Следовательно, произведение Щ
также сочетает в себе все свойства моно-
мономорфизма и эпиморфизма, а это и озна-
означает, что <]«р — изоморфизм.
Среди гомоморфизмов встречают-
встречаются и гомоморфные отображения групп
в себя. Такие гомоморфизмы назы-
называются эндоморфизмами.
В частном случае, когда эндомор-
эндоморфизм сводится к изоморфному ото-
отображению группы на себя, он назы-
называется автоморфизмом.
Наиболее частным случаем авто-
автоморфизма, в котором каждый эле-
элемент группы переходит в себя, явля-
является тождественное отображение.
(Разумеется, существует не одно, а
много тождественных отображений.
У каждой группы оно «свое»,)
Тождественное отображение вы-
выделяется среди прочих «сильным
сходством» с единичным элементом.
Тождественное отображение i группы
G — это такой однозначно опреде-
определенный гомоморфизм i : G -+ G, для
которого £<р = q> при любом гомо-
гомоморфизме q> : А -> G и ф{ = <]> при
любом гомоморфизме ф : G —*■ В.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что для всякого го-
гомоморфизма q> существует такой эпи-
эпиморфизм х и такой мономорфизм ф,
для которых q> = i|*X-
2. Доказать, что на мономорфизм
можно сокращать слева, а на эпи-
эпиморфизм — справа, то есть, если
ф — мономорфизм и фа = ю Э, то
а = р, а если ф — эпиморфизм и
^ф = бф, то у =8.
3. Доказать, что гомоморфизм ф
является изоморфизмом в том иг
только в том случае, если существует
обратный гомоморфизм, то есть та-
такой гомоморфизм ф, для которого фф
и ф<р — тождественные отображения.
4. Доказать следующие утвержде-
утверждения:
а) если Ра — мономорфизм, ш
а — мономорфизм;
б) если Ра — эпиморфизм, то Р —
эпиморфизм.
5. Пусть G = А X В. Доказать,
что существуют гомоморфизмы а:
:A->GhP;G->B, для которых
Ра — тождественное отображение.
6. Предположим, что для групп
А и В существуют гомоморфизмы а :
cA-»-GhP:B->G, для которых
fkx — тождественное отображение.
Доказать, что, если Im a — нор-
нормальный делитель группы G, то
существует такая группа G, для кото-
которой G s A X В.
6
Полугруппы и автоматы
6.1. Полугруппа, полугруппа
с единицей, группа
При рассмотрении подгрупп мы
упоминали о группе однозначных
отображений данного множества на
себя. Было показано, что такая
группа всегда содержит подгруппу,
состоящую из всех взаимно-одно-
взаимно-однозначных отображений множества на.
себя. Как показало рассмотрение
гомоморфизмов, не только взаимно-
взаимнооднозначные, но и все отображения:
играют в алгебре важную роль. Со-
Сопоставляя эти два факта, нетрудно»
понять, что изучение всех отображе-
отображений множества на себя — задача,
заслуживающая внимания.
Любые два отображения одного и:
того же множества на себя можно-
выполнять последовательно, поэтому"
они образуют полугруппу (в преды-
предыдущем разделе мы показали, что, ес-
если «умножение» отображений имеет-
смысл, то оно ассоциативно.)
Все отображения множества на
себя образуют полугруппу, которая
83

называется полугруппой отображе-
отображений, данного множества.
Любая совокупность отображений
множества на себя, если она полу-
полугруппа, непременно является либо
подполугруппой, либо подгруппой
полугруппы всех отображений мно-
множества на себя. Но этим сведения о
полугруппе отображений далеко не
исчерпываются. В рассмотренных на-
нами примерах единичным элементом
групп всегда было тождественное ото-
отображение и оно же было единицей
полугруппы отображений. Единич-
Единичный элемент содержат очень многие
важные подполугруппы полугруппы
всех отображений множества на се-
себя. Это означает, что о подполугруп-
подполугруппах с единицей полугруппы с едини-
единицей приходится говорить довольно
много.
При рассмотрении подгрупп мы
подчеркивали, что так называются
подмножества, каждое из которых
-является группой относительно опе-
операции, определенной на исходной
группе. Нетрудно видеть, что в под-
подгруппе единичный элемент и элемент,
обратный данному, совпадает с еди-
единичным элементом и элементом, об-
обратным данному, всей группы. В
случае полугрупп все обстоит иначе.
Рассмотрим числа 0 и 1. Они обра-
образуют полугруппу по умножению,
поскольку любое произведение, сос-
составленное из нулей или единиц, рав-
равно либо 0, либо 1..Эта полугруппа с
единицей: единичным элементом слу-
служит число 1. Число 0 образует под-
подполугруппу всей полугруппы, так
как произведение нулей всегда равно
0. Но в «нулевой» подполугруппе
содержится и «своя», единица —
число 0. Ясно, что единичный эле-
элемент «нулевой» подполугруппы отли-
отличен от единичного элемента исходной
полугруппы.
Следовательно, если мы хотим,
чтобы и в случае полугрупп единица
подполугруппы совпадала с единицей
всей полугруппы (в приведенных
выше важных примерах дело обстоя-
обстояло именно так), то отнюдь не доста-
достаточно предположить, что полугруппа
с единицей должна содержать под-
подполугруппы с единицей. Не сущест-
существует ли какого-нибудь «регулярного»
способа, позволяющего определять,
принадлежит ли данной подполу-
подполугруппе единичный элемент всей по-
полугруппы?
В случае подгрупп «общность» еди-
единичного элемента подгруппы и всей
группы следует из того, что операция,
определенная на исходной группе,
продолжает оставаться групповой
операцией и при переходе к под-
подгруппе. Следовательно, если бы нам
удалось каким-то образом получить
единичный элемент всей полугруппы,
произведя над элементами подполу-
подполугруппы некую операцию, относи-
относительно которой подполугруппа «зам-
«замкнута», то единичный элемент заве-
заведомо принадлежал бы интересующей
нас подполугруппе. Таким образом,
ответ содержится в самом поставлен-
' ном вопросе: необходимо задать опе-
операцию, которая всегда порождает
единичный элемент полугруппы.
Полугруппу можно рассматривать
как пару (S; /), где S — (непус-
(непустое) множество, а / — операция,
удовлетворяющая условию f(a, f(b,
с)) = /(/(а, Ь), с). Полугруппа с
единицей — это тройка (S; /, е),
где (S; /) — полугруппа, а опе-
операция е удовлетворяет условию
/ (е, а) = f (а, е) = а.
Такая запись позволяет дать новое
определение группы. Действительно,
группу можно рассматривать как
полугруппу с единицей, в которой
для каждого элемента существует
обратный элемент. Следовательно,
группа — это четверка (S; /, е, i),
где {S; /, е) — полугруппа с еди-
единицей, а операция i удовлетворяет
условию f(i(a), а) — f(a, i(a)) =e .
Разумеется, такое определение
группы приводит к новым определе-
определениям подгрупп и гомоморфизмов.
При рассмотрении подгрупп мы
убедились в том, что единичный эле-
элемент группы принадлежит всем под-
подгруппам и каждая подгруппа вместе
с любым своим элементом содержит и
обратный ему элемент. Изучая гомо-
84

морфизмы, мы установили, что вся-
всякий гомоморфизм переводит единич-
единичный элемент исходной группы в еди-
единичный элемент той группы, в кото-
которую отображается исходная, и образ
элемента, обратного данному, сов-
совпадает с элементом «новой» группы,
обратным образу данного элемента
исходной группы. Следовательно, не-
независимо от того, каких определений
мы будем придерживаться, подгруп-
подгруппы и гомоморфизмы будут одними и
теми же.
Но для чего в таком случае пона-
понадобилось определять группы столь
сложным образом? Ясно, что выбрать
можно любое из определений. Во-
Вопрос состоит лишь в том, почему мы
ввели второй, «сложный», вариант
определения. «В защиту» его приве-
приведем два соображения. Во-первых,
сложный способ определения групп
, позволяет отделить условия, утверж-
утверждающие существование того или ино-
иного объекта (единичного элемента или
элемента, обратного данному), от
условий, требующих выполнения ка-
какого-нибудь тождества (что оказы-
оказывается весьма полезным во многих
случаях). Во-вторых, если существо-
существование какого-нибудь элемента обес-
обеспечено «рецептом» его получения,
то существование такого элемента
становится более «зримым» и «ося-
«осязаемым»: ведь мы можем не только
утверждать, что тот или иной эле-
элемент существует, но и указывать, как
его «сотворить».
Операции в определении группы
перечислены в следующем порядке:
/, е и i. С операцией / все обстоит как
нельзя лучше. Это функция «двух пе-
переменных»: любым двум элементам а
и b она ставит в соответствие некото-
некоторый элемент f(a, Ь) (называемый про-
произведением элементов аи Ь). Не воз-
возникает никаких осложнений и с
операцией i: ее можно рассматривать
как функцию «одного переменного»,
которая каждому элементу а ставит
в соответствие элемент i(a) (представ-
(представляющий собой не что иное, как эле-
элемент, обратный элементу а). А как
следует понимать операцию е? О ней
известно лишь, что она... ставит в
соответствие единичный элемент. Но
чему сопоставлен единичный элемент,
заранее неизвестно, поскольку опре-
определение группы об этом «умалчивает».
Тем не менее такой тип соответствия
отнюдь не нов. Мы встречались с
ним и ранее при рассмотрении функ-
функций, принимающих одно и то же зна-
значение — постоянных, или констант.
Если функция двух переменных не
зависит от одной из них, то мы гово-
говорим, что она зависит лишь от другой
переменной, то есть является функ-
функцией не двух , а одного переменного.
По аналогии с этим функцию одно-
одного переменного, не зависящую от сво-
своего аргумента, можно назвать функ-
функцией «нуля переменных». Следова-
Следовательно, функция нуля переменных —
это не что иное, как константы.
Итак, полугруппы определены од-
одной двухместной операцией, полу-
полугруппы с единицей — одной двух-
двухместной и одной нульместной опе-
операциями и, наконец, группы — одной
двухместной, одной одноместной
и одной нульместной операциями.
Кроме того, во всех трех случаях
должны выполняться определенные
тождества.
В качестве упражнения докажем, что
эндоморфизмы группы G образуют под-
подполугруппу полугруппы отображений мно-
множества G (в данном случае полугруп-
полугруппу отображений множества G и полу-
полугруппу эндоморфизмов группы G мы
рассматриваем как полугруппы с едини-
единицей).
Чтобы получить подполугруппу, не-
необходимо лишь убедиться в том, что
произведение двух сохраняющих группо-
групповую операцию отображений также сохра-
сохраняет групповую операцию. Ясно, что эндо-
эндоморфизмы обладают этим свойством. Еди-
Единица полугруппы всех отображений
множества G на себя принадлежит полу-
полугруппе эндоморфизмов, так как тождест-
тождественное отображение сохраняет группо-
групповую операцию.
Аналогичным образом можно доказать,
что эндоморфизмы группы G = А X В,
отображающие все элементы группы G
на элементы вида (а, е), образуют под-
подполугруппу полугруппы всех эндомор-
эндоморфизмов (входящей в качестве подполу-
подполугруппы в полугруппу всех отображений
множества G на себя). (Это утверждение
85

перестает быть верным, если интересую-
интересующие иас полугруппы и полугруппу эндо-
эндоморфизмов группы G рассматривать как
полугруппы с единицей.)
Ясно, что произведение Двух эндомор-
эндоморфизмов, отображающих элементы группы
G на элементы вида (о,е), обладает тем же
свойством. Полугруппа этих специальных
эндоморфизмов содержит единицу: еди-
единичным элементом служит отображение,
переводящее элемент (о, 6) группы G в
элемент (о, е). Но поскольку, как нетруд-
нетрудно видеть, элемент (о, е) не совпадает с
единицей полугруппы всех эндоморфиз-
эндоморфизмов,, то полугруппа частных эндоморфиз-
эндоморфизмов, рассматриваемая как полугруппа с
единицей, не является подполугруппой
полугруппы всех эндоморфизмов.
6.2. Свободные полугруппы
с единицей
В приведенных выше примерах все
полугруппы имели весьма специаль-
специальный вид: их элементы были связаны
многочисленными соотношениями,
рассмотрение которых не входило
в нашу задачу. Таково, например,
множество целых чисел, на котором
задана операция сложения: помимо
ассоциативности сложение целых чи-
чисел обладает и коммутативностью.
Чтобы не затемнять существо дела,
мы рассмотрим операцию умножения
на полугруппах, элементы которых
связаны только соотношениями, ис-
используемыми при выводе свойств
самого умножения (например, соот-
соотношениями, вытекающими из ассо-
ассоциативности умножения).
Поскольку в наиболее важных слу-
случаях нам встречаются полугруппы с
единицей, то в дальнейшем мы огра-
ограничимся рассмотрением полугруппы
с единицей.
Если х — произвольный элемент
рассматриваемой полугруппы, то эта
же полугруппа заведомо содержит
элемент е (единичный элемент) и
элементы х, хг, х3, ..., хп, ... . Не-
Некоторые из них могут совпадать, но
если это особо не оговорено, то все
элементы должны быть различными.
Известен пример (полугруппа неот-
неотрицательных целых чисел по сложе-
сложению), в котором все эти элементы
действительно различны.
Если рассматриваемая полугруппа
содержит еще один элемент у (отлич-
(отличный от е, х, хг, ..., хп, ...), то она
содержит и много других элементов,
например таких:
у, ух, ухъ,..., ху, я?у,... угх, угхг,...,
или еще более «сложных»:
х*ух*у3х, хухухуху5, уг&угх*>уг& и т.д.
Можно ли в некоторых случаях без
особого труда установить, что два
элемента совпадают? Например, эле-
элемент хгух совпадает с элементом
хгух, так как оба элемента «выглядят»
одинаково. Но все элементы полу-
полугруппы записаны по-разному, и,
следовательно, по их «внешнему ви-
виду» мы не можем решить, совпадают
они или различны.
Можно представить себе (хотя это и
не верно), что между элементами всег-
всегда имеется какое-то весьма сложное
соотношение, носящее характер за-
закона. Такую «неожиданную связь»
мы продемонстрируем на примере.
(Поскольку в полугруппах соотноше-
соотношения между элементами не возникают
«самопроизвольно», мы приведем
пример из области групп.)
Пусть а, Ъ, с, d, x, у, и, v — эле-
элементы некоторой группы. Предполо-
Предположим, что они удовлетворяют следую-
следующим равенствам: ах = by, аи = bv
и сх = dy.
Формально равенство си = dv не
следует из этих трех равенств (и в
случае полугрупп оно выполняется
далеко не всегда), но если восполь-
воспользоваться обратными элементами, то
вывод равенства си — dv не составит
особого труда. Действительно, из
системы трех исходных равенств мы
получим:
Ъ~1а = ух'1, Ь'га = да
и
дГхс = ух'1,
то есть
d~xc = узг1 = b'la —- vu'1,
а из соотношения d"xc — vu'1 сле-
следует, что си = dv.
86

Возвращаясь к полугруппе, мы
хотели бы доказать, что «различные
по форме» элементы всегда различны.
Разумеется, если операция уже за-
задана, то наша задача невыполнима.
Поэтому мы поступим наоборот: сна-
сначала выпишем различные по «внеш-
«внешнему виду» элементы, затем докажем,
что они различны, и лишь после все-
всего этого зададим операцию. Если
нам «повезет», мы получим полу-
полугруппу. Если же нас постигнет не-
неудача, то никакой полутруппы полу-
получить не удастся. (Сейчас наш опыт
будет успешным, но в других случа-
случаях — когда речь идет не о полу-
полугруппе — аналогичный метод не
всегда приводит к желаемому ре-
результату.)
Итак, выберем произвольные эле-
элементы и назовем их буквами, посколь-
поскольку буквами они и обозначены. (В
действительности эти элементы пред-
представляют собой не что иное, как бук-
буквы некоторого алфавита.) Если отка-
отказаться от особого обозначения для
операции возведения в степень, то
речь пойдет о том, имеет ли смысл
тот или иной набор букв, записанных
одна за другой в определенном поряд-
порядке. Такие наборы называются сло-
словами. Среди слов, разумеется, будут
встречаться и «однобу к венные», сос-
состоящие из одной-единствённой буквы.
Более того, в число слов входит и
так называемое «пустое слово», не
содержащее ни одной буквы. Два
слова называются равными, если они
состоят из одних и тех же букв, по-
порядок которых совпадает. (Говоря о
совпадении дорядка букв в словах,
мы имеем в виду следующее. Слова
хху и хух различны: хотя они и сос-
состоят из одних и тех же букв и хотя
в каждом из них после буквы х идет
буква у, в первом слове на втором
месте стоит буква х, а во втором сло-
слове — буква у.)
Слова, составленные из букв задан-
заданного алфавита, будут элементами по-
полугруппы. Необходимо еще задать
операцию. Определим' произведение
двух слов как новое слово, которое
получится, если к первому слову
приписать второе. (Если одно из
слов пусто, то от приписывания его
к другому слову или другого слова к
нему другое слово не изменяется.)
Например,
(полу) • (группа)=(полутруппа).
Осталось доказать лишь, что вве-
введенная нами операция умножения
слов ассоциативна. Ясно, что без-
безразлично, в каком порядке выпи-
выписывать слова-сомножители: сначала
первые два и к их произведению при-
приписать третье или же сначала пер-
первое слово и к нему приписать про-
произведение второго и третьего слов.
Точное доказательство ассоциатив-
ассоциативности более громоздко, но по сущест-
существу следует той же схеме (с использо-
использованием полной индукции).
Ясно, что пустое слово играет в
полугруппе роль единичного элемен-
элемента.
Заметим, наконец, что построенная
полугруппа не содержит ни одной
подполугруппы, отличной от нее
самой, в которую входили бы все
буквы алфавита, поскольку в про-
противном случае, образуя соответст-
соответствующее произведение букв, можно
было бы получить любое слово.
Именно поэтому буквы исходного
алфавита порождают полугруппу и
называются системой образующих по-
полугруппы. Поскольку между буква-
буквами нет никаких соотношений, то ал-
алфавит называется системой свобод-
свободных образующих, а построенная из
букв полугруппа — свободной полу-
полугруппой с единицей.
Напомним об одном характерном свой-
свойстве свободных полугрупп: для любой
свободной полугруппы всегда можно найти
однозначно определенный гомоморфизм
полугрупп, переводящий ее в заданную
полугруппу, причем так, что образую-
образующие элементы под действием гомоморфиз-
гомоморфизма переходят в заранее указанные эле-
элементы заданной полугруппы.
ЗАДАЧИ
1. Полугруппы отображений ка-
каких множеств содержат подполу-
подполугруппу, изоморфную свободной по-
87

лугруппе, порожденной одним эле-
элементом?
2. Доказать, что любую группу,
порождаемую системой образующих,
состоящей из к элементов, можно по-
получить как гомоморфный образ сво-
свободной полугруппы, порожденной 2к
элементами.
6.3. Алгебраическая теория
автоматов
Полугруппы, главным образом
свободные полугруппы, весьма тесно
связаны с одним из современных раз-
разделов алгебры — с .алгебраической
теорией автоматов.
Разумеется, мы лишены возмож-
возможности сколько-нибудь подробно из-
изложить столь сложный круг вопро-
вопросов и ограничимся лишь тем, что
покажем, каким образом автоматы
связаны с алгеброй и, в частности, с
полугруппами.
Автоматом обычно называют уст-
устройство, самостоятельно выполняю-
выполняющее свои функции. Разумеется, сам
автомат «не сознает», какие действия
он должен производить; свои функ-
функции автомат выполняет, подчиняясь
командам извне. Например, торго-
торговый автомат выдает необходимый
товар лишь в том случае, если в него
опустить монету соответствующего
достоинства или специальный жетон.
Однако и этого еще не достаточно:
усилия покупателя окажутся на-
напрасными, если внутри автомата ис-
иссяк запас товара. Таким образом,
функционирование автомата опреде-
определяется двумя факторами. Одним из
факторов служит команда, подавае-
подаваемая автомату извне; этот фактор на-
называется сигналом ни входе. Другим
фактором является мгновенное «ка-
«качество» автомата, которое называет-
называется его внутренним состоянием или,
кратко, состоянием. При заданном
внутреннем состоянии автомат одно-
однозначно реагирует на заданный сиг-
сигнал на входе. Как именно реагирует
автомат? Его реакции могут быть
различными. Каждую отдельную
реакцию принято называть сигналом
^ Сигнал
\на входе..
Сигнал
на выходе
Рис. 51
на выходе. Например, сигналом на
выходе торгового автомата может
быть либо товар, выданный покупа-
покупателю, либо сигнал о том, что автомат
пуст. Но если присмотреться вни-
внимательнее, то можно заметить, что
происходит и нечто другое. Напри-
Например, если внутри автомата находи-
находилась одна-единственная шоколадка,
то после того, как автомат выдаст ее
покупателю, в нем не останется ни
одной шоколадки. Следовательно, в
дальнешием автомат не сможет выда-
выдавать шоколадки: одновременно с сиг-
сигналом на выходе изменяется и сос-
состояние автомата.
Функционирование такого торго-
торгового автомата схематически показа-
показано на рис. 51.
Собирательное понятие «автомат»
включает в себя необычайно много
самых различных устройств. К числу
автоматов, разумеется, относятся и
все электронные вычислительные
машины. Но и обычная пишущая
машинка — тоже автомат (рис. 52).
Автоматом (в силу данного выше
определения) можно считать и любое
живое существо, а значит, и челове-
человека, хотя описать сколько-нибудь
88

Сигнал
входе
(Нажим на
клавиши или
перевод сшрони)
Рис. 52
просто сигналы на входе, внутренние
состояния и сигналы на выходе жи-
живых автоматов невозможно.
Если учесть, что «спектр» автома-
автоматов чрезвычайно широк, то не при-
приходится удивляться, что об автоматах
«вообще» можно сказать сравнитель-
сравнительно мало. Именно поэтому удобно
рассматривать определенные классы
автоматов. Одна из задач, которые
мы ставим, приступая к изучению
автомата того или иного класса,
состоит в выяснении простейшей
структуры автомата, способного вы-
выполнять определенные функции.
Чтобы задать автомат, прежде все-
всего необходимо указать три множест-
множества:
множество сигналов на входе X,
множество состояний А,
множество сигналов на выходе Y.
Но это еще не все: необходимо так-
также задать две функции (при желании
их можно рассматривать как опера-
операции). Одна из функций каждому сиг-
сигналу на входе и каждому внутренне-
внутреннему состоянию ставит в соответствие
некоторое внутреннее состояние, а
другая — каждому сигналу на вхо-
входе и каждому внутреннему состоя-
состоянию ставит в соответствие определен-
определенный сигнал ла выходе:
./(*, а)£А, g(x,a)£Y,
где х£Х, а£А.
Функционирование автомата схема-
схематически показано на рис. 53.
Итак, автомат можно определить
как пятерку (X, А, Г, /, g), где
первые три места заняты множества"
ми, а остальные два — функциями-
Но функционирование автомата от-
отнюдь не исчерпывается реагировани-
реагированием на отдельные сигналы, на вход
автомата может поступать и серия
сигналов, идущих один за другим.
Пусть, например, автомат находится
во внутреннем состоянии а, и на его
вход поступает сначала сигнал хи
а затем сигнал х2. После поступления
сигнала хх автомат переходит в новое
внутреннее состояние f(xt,a), а на
выходе «выдает» сигнал g\xt, a).
Следующий сигнал на входе х2 «за-
«застает» автомат во внутреннем сос-
состоянии /(#!, а) и переводит его в сос-
состояние f(x2, f(xi, а)). Сигнал на вы-
выходе также изменяется и переходит
в g(xz, f(xt, a)).
Как показывают аналогичные рас-
рассуждения, если автомат первоначаль-
первоначально находится во внутреннем состоя-
состоянии a vl на вход поступают сигналы
хг, х2, х3, то автомат перейдет из
состояния а в конечное состояние
/(я8, f(x%, /(«1, а))), а на выходе
последовательно появятся сигналы
*i, a), g(*z, /fai, a)), g(xs, f(x2,
)))
Обозначив сигналы на выходе че-
через уг, у г, уа, мы установим следую-
следующее соответствие между сигналами
на входе и на выходе автомата:
сигналы на входе сигналы на выходе
УМЯа
Ux;a)
д(х,а)
Рис. 53

Разумеется, это соответствие отнюдь
не означает, что, если автомат нахо-
находится в состоянии а и на вход посту-
поступает сигнал х2, то на выходе появля-
появляется сигнал у2, а если на вход пода-
подается сигнал ха, то на выходе возни-
возникает сигнал уа, поскольку сигнал на
выходе зависит не только от сигнала
на входе, но и от внутреннего сос-
состояния автомата, а состояния аг —
= /(#!, а) и аг = f(x2, at), вообще
говоря, отличаются от исходного.
Итак, функционирование автома-
автомата можно изучать, описывая пе толь-
только его реакцию на отдельные сигна-
сигналы, подаваемые на вход, но и на се-
серии сигналов. Это и позволяет под-
подходить к сигналам на входе как к
образующим свободной полугруппы.
Сигналы на выходе также можно рас-
рассматривать как образующие свобод-
свободной полугруппы.
Таким образом, свободные полу-
полугруппы позволяют сравнительно
просто описывать работу автоматов.
7.
Представления групп
Идея рассматривать группы «вооб-
«вообще», абстрактно, возникла при изу-
изучении конкретных групп. Именно
переход к абстрактным группам по-
позволил подробно исследовать груп-
групповые операции. Лишь таким спосо-
способом удалось избавиться от конкрет-
конкретных свойств, не существенных для
решения общих проблем и даже за-
затрудняющих их понимание.
Но сколь ни широки возможности,
открываемые переходом от конкрет-
конкретных групп к абстрактным, все же и
они ограничены. Не следует думать,
будто в «устройстве» конкретных
групп мы сможем разбираться лишь
до тех пор, пока соответствующие
абстрактные группы будут не слиш-
слишком велики. Кроме того, определен-
определенные типы конкретных групп всегда
обладают особыми, только им при-
присущими свойствами, упрощающими и
облегчающими описание групп. Бы-
Было бы хорошо использовать такие
группы для описания других групп.
Например, очень удобно описывать
группу ( подстановок — результаты
при этом получаются весьма нагляд-
наглядными.
Но существует поистине неисчер-
неисчерпаемое множество групп, элементы
которых не являются подстановка-
подстановками. Неужели при описании столь
обширного класса групп непременно
требуется отказаться от упрощений,
которых удается достичь при опи-
описании группы подстановок? К
счастью, столь ощутимой потери уда-
удается избежать: понятие изоморфизма
позволяет преодолеть трудности,
возникающие при описании групп.
Напомним, что с точки зрения ал-
алгебры изоморфные группы не счита-
считаются различными. Следовательно,
при описании любой группы мы мог-
могли бы воспользоваться всеми пре-
преимуществами группы подстановок,
если бы нам удалось лишь доказать,
что интересующая нас группа изо-
изоморфна некоторой подгруппе группы
подстановок. О группе, изоморфной
подгруппе группы подстановок, го-
говорят, что она представлена подста-
подстановками.
Пусть Sh — группа всех подста-
подстановок множества Н (групповая опе-
операция входит в обозначение Sh).
Говорят, что группа (G; /) пред-
представлена подстановками множества
Н, еели существует мономорфизм
ц>: {G; /) -*■ Sh-
Теорема Кэли. Всякую группу
можно представить подстановками.
Для доказательства теоремы Кэли
прежде всего необходимо подобрать
множество Я, а затем для каждого
элемента заданной группы найти со-
соответствующую ему подстановку эле-
элементов множества Н.
Если задана только группа {G; /),
то известно лишь одно множество!
множество G. Задача: для каждого
элемента g множества G найти соот-.
ветствующую ему подстановку эле-
элементов того же множества. (Соответ-
(Соответствие между элементами и подстанов-
подстановками зависит от групповой операции.)
90

Проще всего такую подстановку мож-
можно получить, записав под произволь-
произвольным элементом х группы G элемент
Прежде всего необходимо убедиться в
том, что предложенный нами алгоритм
действительно порождает подстановку. То,
что при заданном g и соответствующим
образом выбранном х можно получить
любой элемент о группы G, следует из
разрешимости уравнений xg — а для груп-
группы. То, что при отображении х -»- xg раз-
различные элементы переходят в различные,
следует из закона сокращения.
Если Pg — подстановка, поставленная
указанным выше способом в соответствие
злементу g, то она имеет следующий зид:
Пусть <р: g -*- Pg — отображение, пере-
переводящее элементы группы (G; /) в груп-
группу So. Для доказательства теоремы Кэли
• требуется установить, что <р переводит
различные элементы g в различные под-
подстановки и, кроме того, сохраняет группо-
групповую операцию.
Пусть g и h — различные элементы
группы G. Подстановка Pg переводит
единичный элемент е в элемент eg — g,
а подстановка Р^ — в элемент eh — h.
Так как элементы g и h различны, то и
подстановки Pg и Р^ различны.
Осталось доназать, что отображение <р
сохраняет групповую операцию. Для это-
этого необходимо проверить, что подстанов-
подстановка Pgh, соответствующая проязведению
gh, совпадает с произведением подстано-
вок PgPh.
Подстановка Pg^ переводит произволь-
произвольный элемент х группы G в элемент x(gh).
Произведение подстановок PgPfr означа-
означает, что сначала производится подстанов-
подстановка Pg, а затем подстановка Р^. Первая
подстановка переводит х в xg, а вторая
переводит xg в (xg)h. Поскольку группо-
групповая операция ассоциативна, то x(gh) сов-
совпадает с (xg)h, что и требовалось доказать.
Заметим, что представления игра-
играют весьма важную роль во всей ма-
математике. Позднее нам еще предста-
представится случай встретиться с ними.
ЗАДАЧИ
1. Что можно сказать о разложе-
разложении подстановок, представляющих
элементы конечной группы, в произ-
произведение циклов? Что изменцтся, ес-
если от конечных групп перейти к бес-
бесконечным?
2. Что произойдет, если элементу
g группы G поставить в соответствие
подстановку Qg, переводящую эле-
элемент х в элемент gxf
3. Как следует видоизменить тео-
теорему Кэли для полугрупп? Какая
проблема при этом возникает и для
каких полугрупп она отпадает?

Глава вторая
Кольца, тела
и векторные
пространства
1.
Кольца и тела
1.1. Целые числа и многочлены
В конце предыдущей главы мы узна-
узнали, что группы можно получать,
задавая на множествах несколько
операций. Но множества с несколь-
несколькими операциями возникали в мате-
математике и раньше, причем более «ес-
«естественно», чем в случае групп, и
первым из таких множеств было мно-
множество целых чисел.
На множестве целых чисел су-
существует две наиболее часто исполь-
используемые, наиболее важные и наиболее
«естественные» операции: сло-
сложение и умножение. Каждую из
этих операций в отдельности мы уже
рассматривали и знаем, что целые
числа образуют (коммутативную)
группу по сложению и (также ком-
коммутативную) полугруппу по умноже-
умножению. Но известно также, что на мно-
множестве целых чисел операция сло-
сложения связана с операцией умноже-
умножения законом дистрибутивности, то
есть для любых трех целых чисел
а, Ъ и с выполняется соотношение
(а + Ъ)с = ас + be.
Тому, кто захочет более точно оп-
определить свойства операций сложе-
сложения и умножения, необходимо найти
«какой-нибудь» объект, на котором
заданы две операции, удовлетворяю-
удовлетворяющие (быть может, неявно) опреде-
определенным тождествам. Коммутатив-
Коммутативность умножения не всегда следует
из этих тождеств, поскольку су-
существуют важные примеры, в кото-
которых умножение обладает всеми свой-
свойствами, кроме коммутативности.
Объекты с двумя заданными на
них операциями, удовлетворяющими
этим условиям, называются кольца-
кольцами. Если операция умножения ком-
коммутативна, то говорят, что кольца
коммутативно. Рассмотрим снача-
сначала несколько примеров.
ПРИМЕРЫ
1.Кольцо чет,ных чисел.
На множестве четных чисел обычна
принято рассматривать сложение и
умножение. Из предыдущей главы
известно, что четные числа образуют
группу по сложению. По умножению
они образуют полугруппу, так как
произведение двух четных чисел —
число четное, а умножение ассоциа-
ассоциативно. Поскольку сложение и умно-
умножение четных чисел связаны законом
дистрибутивности (так как этот за-
закон выполняется для любых трех
четных чисел), то мы действительно
92

получаем кольцо, причем, как оче-
очевидно, коммутативное кольцо.
2. Кольцо рациональ-
рациональных чисел. О рациональных чис-
числах известно, что они образуют груп-
группу по сложению и полугруппу по
умножению. Поскольку на множестве
рациональных чисел сложение и ум-
умножение связаны законом дистрибу-
дистрибутивности, то мы получаем (коммута-
(коммутативное) кольцо.
3. Кольцо веществен-
вещественных чисел.
4. Кольцо комплекс-
комплексных чисел. В обоих случаях
рассуждения, доказывающие, что мы
действительно получаем кольцо,
проводятся так же, как и в случае
рациональных чисел.
5. Кольцо многочленов
с целочисленными коэф-
коэффициентами.
Выражения вида }(х) — апхп +
+ а^х"'1 + ... + агх* + ахх +
+а0, где а0, at, az, ..., ап — целые
числа, называются многочленами с
целочисленными коэффициентами.
Задание операций на множестве
многочленов существенно упроща-
упрощается, если члены многочлена запи-
записать в обратном порядке: f{x) —
= а0 + агх + апж" и, кроме того,
не обращать внимания на степень
многочлена.
Говорят, что многочлен f(x) сов-
совпадает с многочленом
g(x) = bo + bix-] \-bkxk,
если равенства Ьо= а0, Ъх= %, .^
выполняются до тех пор, покуда
существуют как коэффициенты Ьц
так и коэффициенты af, если же ка-
какой-нибудь из коэффициентов аг или
bf не существует, то коэффициент
другого многочлена с тем же номером
либо также не существует, либо ра-
равен нулю. (Например, многочлены
2 + За; и 2 ,+ Зх + Ож2 совпадают.)
Суммой h(x) = f(x) + g(x) мно-
многочленов f{x) и g(x) называется мно-
многочлен
h (x) = (а„ + Ьп) + (а, + bt) x + ■ ■ ■ +
(Предполагается, что п > к, и в
многочлене g(x) «отсутствующие»
коэффициенты заменены нулями.)
Относительно определенной такиы
образом операции сложения много-
многочлены образуют коммутативную
группу, поскольку при любом х1 мо-
может стоять произвольное целое чис-
число, а целые числа образуют кольцо»
Произведением к(х)" = f(x)g(x)
многочленов f(x) и g(x) называется
многочлен
к (х) = аф0 + (ао6, + atb0) * +
-\- (aub2 + atbt + аф0) хг -\ +
+ anbhx«+l1.
Можно доказать, что введенная на-
нами операция умножения многочленов
ассоциативна. Следовательно, мно-
многочлены образуют полугруппу, и
эта полугруппа коммутативна. Мы
не будем приводить подробное дока-
доказательство этого утверждения, по-
поскольку оно довольно громоздко и
требует использования полной ин-
индукции. По тем же причинам мы не
будем останавливаться и на доказа-
доказательстве дистрибутивности. Скажем
лишь, что заданные на множестве
многочленов с целочисленными коэф-
коэффициентами операции сложения и
умножения связаны законом дистри-
дистрибутивности. Следовательно, много-
многочлены с целочисленными коэффици-
коэффициентами образуют коммутативное
кольцо.
6. Кольцо многочленов
с рациональными коэф-
коэффициентами.
7. Кольцо многочленов
с вещественными коэф-
коэффициентами.
8. Кольцо многочленов
с комплексными коэффи-
коэффициентами.
Во всех трех примерах 6—8 дока-
доказательство того, что соответствующие
множества многочленов являются
кольцами, проводится так же, как
в случае многочленов с целочислен-
целочисленными коэффициентами.
9. Рассмотрим пары вещественных
чисел (а, Ь). [Пары (а, Ь) и (с, d) бу-

дем считать равными в том и только
в том случае, если а = с и Ъ = d.]
Определим сложейие пар при помо-
помощи тождества (a, b) +(c,d) = (а +
+ с, Ъ +d ), а умножение — при
помощи тождества (а, Ъ) (с, d) =
= (ас, М).
Пары вещественных чисел образу-
образуют коммутативную группу относи-
относительно заданной на них операции
сложения. Это следует из того, что
операция сложения совпадает с опе-
операцией сложения, определенной на
прямом произведении двух вещест-
вещественных прямых. (Аналогичные рас-
рассуждения применимы и к операции
умножения, если воспользоваться не
вводившимся ранее, но вполне разум-
разумным понятием прямого произведения
полугрупп.) Умножение пар ассоциа-
ассоциативно, поскольку операция, произ-
производимая над каждой компонентой
•пар, ассоциативна. По той же при-
причине умножение пар вещественных
чисел коммутативно.
Дистрибутивность нетрудно про-
проверить при помощи несложных вы-
кладокЗ с одной стороны, [(а, Ь) +
+ (с, d))(e, f) = (а + с, Ь + d).
• (е, f) = ([а + с)е, [b + d]f), а с
другой стороны, (a, b) (е, f) + (с,
d) (е, /) = (ае, bf) + (се, df) =
= (ае + се, bf + df). Элементы,
стоящие в правых частях последних
равенств, совпадают в силу дистри-
дистрибутивности сложения чисел по умно-
умножению.
Итак, доказано, что пары вещест-
вещественных чисел образуют коммутатив-
коммутативное кольцо.
10. Рассмотрим тройки веществен-
вещественных чисел (а, Ь, х). (Две тройки счи-
считаются равными, если их соответст-
соответствующие компоненты равны.) Опре-
Определим сложение троек тождеством
(а, Ъ, х) + (с, d, у) = (а + с,
b + d, х + у), а умножение — тож-
тождеством (а, Ь, х) (с, d, у) = (ас,
bd, xy).
Если ограничиться рассмотрением
лишь двух первых компонент, то
получится коммутативное кольцо,
изученное в предыдущем примере.
Следовательно, нам остается лишь
доказать, что третьи компоненты
троек, стоящих в левых и правых
частях соответствующих тождеств,
всегда равны.
С операцией сложения никаких
трудностей не возникает, поскольку
множество троек вещественных чисел
с заданной на нем операцией сложе-
сложения можно рассматривать как прямое
произведение трех аддитивных групп
вещественных чисел. При умножении
третья компонента произведения
1(а, Ь, х) (с, d, у)] (е, /, и) равна аси+
+ f(ey + dx), а третья компонента
произведения (а, Ъ, х) [(с, d, у) (е,
/, и)] равна а(си + fy) + dfx. Не-
Нетрудно видеть, что обе компоненты
совпадают. Заметим, что умножение
троек вещественных чисел не комму-
коммутативно, так как третья компонента
сх + by произведения (с, d, у) (а,
Ь, х), вообще говоря, не совпадает с
ay + dx.
Все это вместе приводит к появ-
появлению двух законов дистрибутив-
дистрибутивности. В зависимости от того, с ка-
какой стороны — справа или слева —
разрешается умножать почленно сум-
сумму, говорят о «правом» или о «левом»
законе дистрибутивности. Выясним,
выполняется ли для сложения троек
какой-нибудь закон дистрибутив-
дистрибутивности и, если выполняется, то какой
именно? Третья компонента произве-
произведения [(а, Ь, х) + (с, d, y)\(e, f, и)
равна (а + с)и + f(x + у); третья
компонента суммы произведений (а,
Ь, х)(е, /, и) + (с, d, y)(e, f, и) равна
(аи + fx) + (си + fy). Нетрудно
видеть, что обе компоненты совпада-
совпадают. Следовательно, сложение троек
дистрибутивно справа.
Третья компонента произведения
(е, }, и)[(а, Ъ, х) + (с, d, у)] равна
е(х + у) + (b + d)u, третья ком-
компонента суммы произведений (е, /,
и) (а, Ъ, х) + (е, /, и)(с, d, у) равна
(ех + Ьи) + (еу + du). В этом
случае обе компоненты совпадают.
Следовательно, сложение троек дист-
. рибутивно не только справа, но и
слева. Итак, тройки вещественных
чисел образуют кольцо, но кольцо
не коммутативное.
94

Кольцом называется тройка {R; /,,
g), где R—некоторое множество,
(R; f) — коммутативная группа, (R;
g) — полугруппа, и для любых трех
элементов а, Ь и с множества R опе-
операции / и g связаны соотношениями
g{f(a, b), с) = f(g(a, с), g(b, с))
g(c, f{a, b)) = Me, a), g(c, b)).
Операция / задает в кольце «сло-
«сложение», а операция g — «умножение»
(поэтому операцию / часто обознача-
обозначают, как обычное сложение чисел,
знаком+, а операцию g—точкой).
Рассмотрим теперь подробно, ка-
каким требованиям должно удовлетво-
удовлетворять кольцо. Подчеркнем еще раз,
что в определение кольца входят оба
закона дистрибутивности.
Прежде всего, на множестве R
должны быть заданы две операции:
сложение и умножение. Обе опера-
операции должны быть ассоциативны:
{а + Ь) + с = а + ф + с)
и (ab) с = a (be).
Относительно операции сложения
в кольце должен существовать еди-
единичный элемент, называемый нулем
кольца и обозначаемый 0. Если а —
произвольный элемент кольца, то
а + 0 = а. Операция сложения
должна быть коммутативной: а +
+ b = b + а. Для каждого эле-
элемента в кольце должен существовать
обратный элемент (относительно опе-
операции сложения), называемый также
противоположным; элемент, противо-
противоположный элементу а, принято обо-
обозначать (—а). Он удовлетворяет соот-
соотношению а Н- (—а) = 0.
Наконец, операции сложения и
умножения должны быть связаны
двумя законами дистрибутивности:
(a -f b) с = ас -f be
и с (а + Ь) = са + cb.
(Оба тождества должны выполнять-
выполняться для любых элементов аг b и с
множества R.)
Заданная в кольце операция сло-
сложения, разумеется, обладает всеми
свойствами групповой операции в
коммутативной группе.
Сумму элементов Ъ и (—а) часто
обозначают b — а.
Докажем, что нуль кольца являет-
является «нулевым элементом» для опера-
операции умножения, то есть при умноже-
умножении на него любого элемента кольца
всегда получается нуль кольца. (Ана-
(Аналогичное свойство числа 0 известно;
мы же выведем это свойство нуле-
нулевого элемента из аксиом кольца.)
Так как соотношение 6 = 6 + 0 вы-
выполняется для любого элемента 6 кольца,
то для всех элементов а кольца справед-
справедливо соотношение аЪ = а(Ъ + 0), откуда
в силу левого закона дистрибутивности
получаем аЪ = аЪ + аО. Поскольку эле-
элементы кольца образуют аддитивную груп-
группу (относительно заданной в кольце опе-
операции сложения), то отбрасывая (или «вы-
«вычитая») члены ab из правой и левой частей
последнего равенства, получаем, что 0 =
= аО для любого элемента а кольца. (Ана-
(Аналогичным образом можно доказать, что
для любого элемента а кольца выполня-
выполняется соотношение 0а = 0.)
Из полученных тождеств следует
правило знаков, хорошо известное
для чисел.
Используя уже доказанные свойства
сложения, выведем из соотношения 0 =
= 6 + (—Ь) новое соотношение 0 =
= аО = аF + (—6)) = аЪ + а(—6), вы-
выполняющееся для любых элементов а и 6
кольца. Так как элемент, противополож-
противоположный любому элементу кольца, однозначно
определен, то элемент а(—6) может быть
только противоположным элементу ab,
то есть совпадать с элементом —(об). Ана-
Аналогичным образом можно убедиться в-
правильности соотношения (—а)Ь =
= —(об). Сравнивая выведенные соотно-
соотношения, получаем (—а)(—6) = —(а(—6))=
= — ((—а)Ь), что совпадает с ab, так как
любой элемент совпадает с элементом,
противоположным противоположному.
Полученные соотношения позволяют беа
труда доказать, что а(Ь—с) = ab — ас и
F — с)а — Ьа — са. Столь же легко до-
доказывается дистрибутивность и при боль-
большем числе слагаемых, даже если некото-
некоторые из них входят со знаком минус. (Ра-
(Разумеется, при раскрытии скобок с «от-
«отрицательными» слагаемыми надлежит
пользоваться правилом знаков.)
В общем случае свойства колец
существенно отличаются от свойств
95

кольца целых чисел. Из примера 10
ясно, что @, Ь, х) (с, 0, у) = @,0,0)
и что это произведение — нуль коль-
кольца троек вещественных чисел.
Два элемента кольца, произведе-
произведение которых равно нулю, хотя каж-
каждый из сомножителей отличен от ну-
нуля, называются делителями нуля.
Если кольцо не содержит делителей
нуля, то оно называется кольцом
без делителя нуля.
Наиболее «естественные» кольца,
такие, как кольцо целых чисел или
кольцо многочленов, не содержат
делителей нуля и коммутативны.
Чтобы подчеркнуть сходство ком-
коммутативных колец без делителей ну-
нуля с кольцом целых чисел, их приня-
принято называть областями целостности.
Термин «коммутативное кольцо»
означает, что умножение в кольце
коммутативно. Аналогичным обра-
образом любое другое определение, стоя-
стоящее перед словом «кольцо», также
характеризует какое-то свойство опе-
операции умножения в кольце (посколь-
(поскольку другая операция в кольце — сло-
сложение — обладает Максимальным
запасом «хороших» свойств). Так,
единичным элементом, или единицей,
кольца называется элемент е, для
которого соотношение еа = ае = а
выполняется при любом элементе а
кольца. (Если выполняется соотноше-
шение еа = а, то е называется левой
единицей. Если же выполняется со-
соотношение ае = а, то е — правая
«диница кольца.)
Если в кольце есть единица, то
оно называется кольцом с единицей.
Если для элемента а кольца най-
найдется такой элемент Ь, что Ъа = е,
то Ъ называется левым обратным
элементом для элемента а. Анало-
Аналогичным образом определяется и пра-
правый обратный элемент.
Если Ъ — левый, ас — правый
обратный элемент для элемента а,
то, поскольку Ъ = be = b(ac) .=
= фа)с —ее = с, элементы Ъ и
с совпадают. Эта же цепочка равенств
показывает, что элемент b (или с)
определен однозначно. В таких слу-
случаях говорят, что существует эле-
элемент, обратный элементу а, и обоз-
обозначают его с.
Наиболее важными среди полу-
полугрупп были такие, в которых для
каждого элемента существовал об-
обратный элемент: полугруппы, об-
обладавшие этим свойством, оказались
группами. Было бы очень интересно
найти кольца с аналогичным свойст-
свойством. Итак, рассмотрим кольцо с
единицей е. Если для всех элементов
кольца существуют обратные эле-
элементы, то нуль кольца также обла-
обладает обратным элементом, который
мы обозначим Ь. Следовательно,
должно выполняться соотношение
60 = е. Но произведение Ь0, как
известно, совпадает с 0, поэтому ра-
равенство ЬО — е может выполняться
только в том случае, если е =0.
Но тогда для произвольного элемен-
элемента а кольца получаем а = ае =
= а0 =0. Следовательно, кольцо
с интересующим нас свойством со-
содержит лишь один элемент — нуль.
Кольцо, в котором для всех эле-
элементов существуют обратные, сос-
состоит только из нуля и называется
нулевым кольцом.
Итак, если мы не хотим ограни-
ограничиться рассмотрением столь бессо-
бессодержательного случая, то от сущест-'
вования обратных элементов для всех
элементов кольца придется отказать-
отказаться. Более того,, придется отказаться
и от существования обратных эле-
элементов для делителей нуля. Действи-
Действительно, если ab = 0 и са = е, то,
поскольку 0 = сО = c(ab) = еЬ =
= Ь, «второй» сомножитель равен
нулю. («Первым» мы считаем сомно-
сомножитель, для которого в кольце су-
существует обратный элемент, в дан-
данном случае — элемент а.) Кольца, в
которых для всех отличных от нуля
элементов существуют обратные, на-
называются телами. Как мы только что
убедились, в телах не существует
делителей нуля.
Кольца, в которых для всех от-
отличных от нуля элементов существу-
существуют обратные, называются телами.
Тела не содержат дрлителей нуля.
Если тело коммутативно, то оно
96

заведомо является областью целост-
целостности (то есть коммутативным коль-
кольцом без делителей нуля).
(Сравнительно недавно в специ-
специальной литературе тела было при-
принято называть коммутативными те-
телами, а если коммутативность не
предполагалась, то тела назывались
косыми.)
Та (заметим, немаловажная) роль,
которую среди полугрупп играют
группы, среди колец отведена телам.
Действительно, тела — это кольца,
в которых «для стольких элементов
существуют обратные элементы,
сколько вообще можно себе предста-
представить». Тело не является группой от-
относительно операции умножения, по-
поскольку обратные элементы сущест-
существуют только для элементов, отлич-
отличных от нуля. Именно поэтому все
элементы, отличные от нуля, удобно
рассмотреть особо.
Если кольцо является телом, то
оно не содержит делителей нуля, то
есть произведение любых двух от-
отличных от ' нуля элементов кольца
также отлично от нуля. Это означает
(поскольку операция умножения ас-
ассоциативна), что отличные от нуля
элементы тела образуют полугруппу
по умножению. Так как тело содер-
содержит единичный элемент и элемент,
обратный отличному от нуля элемен-
элементу, отличен от нуля (поскольку эле-
элемент, обратный обратному, сущест-
существует), то элементы тела, отличные от
нуля, образуют группу по умноже-
умножению. Наоборот, если отличные от
нуля элементы кольца образуют
группу по умножению, то единичный
элемент этой группы совпадает с еди-
единицей кольца (так как Ое = еО =
= 0) и для всех элементов, отличных
от нуля, существуют обратные. Сле-
Следовательно, такое кольцо является
телом.
Рассмотрим несколько примеров
тел.
ПРИМЕРЫ
1. Тело рациональных
чисел. О рациональных числах
уже известно, что они образуют коль-
кольцо. Мы хотим удостовериться в том,
что это кольцо является телом. Для
этого требуется доказать, что для
всех отличных от нуля рациональных
чисел существуют обратные числа (ъ
множестве рациональных чисел!). Но
это очевидно, так как известно, что
всякое рациональное число можно
представить в виде alb (а и b — це-
целые числа) и если оно отлично от ну-
нуля, то а Ф 0 и поэтому существу-
существует такое рациональное число Ь/а,
для которого {alb) (Ыа) = 1. (Очень
важно, чтобы обратный элемент при-
принадлежал тому же кольцу, которому
принадлежит исходный элемент. На-
Например, целые числа не образуют
тела, хотя для любого отличного от
нуля целого числа и существует об-
обратное, но, как правило, оно не це-
целое.)
2. Тело вещественных
чисел. Вещественные числа обра-
образуют кольцо потому, что для любого
отличного от нуля вещественного
числа в множестве вещественных чи-
чисел существует обратное. («Строгое»
доказательство этого утверждения
было бы весьма громоздким, посколь-
поскольку мы не дали точного определения
того, что следует понимать под ве-
вещественным числом.)
3. Тело комплексных
чисел. О комплексных числах уже
известно, что они образуют кольцо.
Докажем, что это кольцо является
телом, то есть что для всякого отлич-
отличного от нуля комплексного числа
а + Ы найдется комплексное число
х + yi, которое при умножении на
а + Ы даст 1. (Поскольку умноже-
умножение комнлексных чисел коммутатив-
коммутативно, то безразлично, с какой стороны
умножать х -\- yi на a -f- Ы —
справа или слева). Умножив х + yi
на а + bi, получим систему из двух
линейных уравнений, допускающую
единственное решение; х = а/(аг+
+ Ь*), у = ( - 6)/(а2 + б2).
Прежде всего заметим, что оба
числа х и у действительно су-
существуют: знаменатель дробей отли-
отличен от нуля (в противном случае чис-
4—35
97

ла а и Ъ и, следовательно, а + Ы
были бы равны 0). Вычислив произве-
произведение
(а 4- Ы) (х + yi) = {ax — by) +
+ (ay + bx)i
и подставив вместо х и у найденные
значения, получим
ах-
и
ау + Ьх =
a (— b) + ba
a24- b2
Следовательно, произведение дейст-
действительно равно 1 + 0г, то есть 1.
4. Тело чисел вида а +
+ Ь~\/2 (ашЬ — рациональные чис-
числа). Поскольку речь идет о числах,
то все тождества выполняются. Не-
Необходимо лишь проследить за тем,
чтобы операции сложения и умноже-
умножения не выводили из рассматриваемо-
рассматриваемого множества. Соотношения (а +
+ ЪУ2) +(с +_ dV2J = (а +_£)+
+ F + d)V2; - (а + ЬУ2) =
= (-а)_ + (-6I/2 и 0=0 +
+ 0у2 показывают, что числа вида
а + by2 образуют группу по сло-
сложению (здесь мы используем извест-
известное свойство рациональных чисел —
то, что они образуют группу по сло-
сложению). Рассмотрим теперь произве-
произведение двух таких чисел:
= ас + аёУТ 4г fcc]/2 + bd • 2=
= (ас + 2М) + (ad + be) ]/2~.
Так как числа ас + 2bd и ad + be
рациональны, то произведение имеет
тот же вид, что и сомножители.
Следовательно, числа вида а + Ь~\/2
с рациональными а и Ъ образуют
кольцо. Осталось лишь доказать, что
для чисел такого вида, отличных от
нуля, всегда существуют обратные
числа (также представимые в виде
а + Ь~\/2 с рациональными а и Ь).
Коэффициенты числа, обратного чис-
числу а + Ъ~\/2, мы найдем, решив сис-
систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными. Единственное
решение имеет вид
а* — 2Ьа
a2 — 262
Как показывает прямая проверка,
это число действительно обратно чис-
числу а 4- Ъ~\/2, но необходимо еще
поразмыслить над тем, «существует»
ли число (а 4- Ь~\/2)~х, то есть не об-
обращается ли знаменатель в нуль. Но
если бы знаменатель обращался в
нуль, то выполнялось бы равенство
а2 — 262 = 0, а это означало бы,
что ~\/2 — рациональное число. По-
Поскольку число ~\/2 иррационально,
то число (а 4- Ь~]/2)~х «существует».
Если кольцо не содержит делите-
делителей нуля, то это еще не означает,
что оно является телом. Например,
в кольце целых чисел делителей ну-
нуля нет, но это кольцо все же не тело
(например, в нем не существует чис-
числа, обратного числу 2). Кольцо
многочленов также не содержит де-
делителей нуля.
Доказать это можно следующим обра-
образом. Рассмотрим многочлен f(x) = а0 4-
+ ахг+ ... +апхп и предположим, что
ап =ф 0. (Такое предположение всегда
допустимо, если только речь не идет
о многочлене, тождественно равном ну-
нулю.) Такой многочлен называется л*ко-
гочленом п-й степени, а ап — коэф-
коэффициентом при старшем члене. Ес-
Если g(x) = 60 4- btx + ... + bjj2* — мно"
гочлен k-й степени (следовательно, bh —
коэффициент при старшем члене), то про-
произведение многочленов f(x) и g(x) имеет
вид aaba + ... 4- anbkx • ^T0 много-
многочлен (га 4- к)-ш степени, а коэффициент
при его Старшем члене равен апЪ^. По-
Поскольку апЬ^ф. 0, то мы действительно
получаем многочлен степени га 4- к, и,
следовательно, произведение любых двух
многочленов, тождественно не равных ну-
нулю, также тождественно не равно нулю.
«Сходство» между кольцом целых
чисел и кольцом многочленов от-
отнюдь не исчерпывается тем, что оба
кольца не содержат делителей нуля.
Известно, что любое целое число
можно (по существу единственным
98

способом) представить в виде произве-
произведения простых чисел. Решение ал-
алгебраических уравнений высоких сте-
степеней весьма упрощается тем, что
многочлены допускают аналогичное
разложение. Всякий многочлен (на-
(например, с рациональными коэффици-
коэффициентами) можно представить в виде
произведения неразложимых далее
многочленов (также с рациональны-
рациональными коэффициентами), причем это раз-
разложение в определенном смысле
единственно. Известно, что для лю-
любых двух целых чисел существует
наибольший общий делитель: ана-
аналогичное утверждение справедливо
и для любых двух многочленов.
Известно также, что в множестве це-
целых чисел деление без остатка может
оказаться невыполнимой операцией,
но всегда выполнимо деление с ос-
остатком. Аналогичное утверждение
можно доказать и для многочленов.
Все это свидетельствует о том, на-
насколько интересно рассматривать
кольца целых чисел и многочленов,
обладающие столь необычайным
«сходством».
ЗАДАЧИ
1. На множестве многочленов за-
задана следующая операция: если f(x)=
= а0 + ахх + агх% + ... + апхп,
то f(x)og(x) = а0 + а^х) + а2Х
X(g(x))* + ...+ an(g(x))n. Доказать,
что относительно сложения и задан-
заданной операции (рассматриваемой как
умножение в кольце) многочлены
образуют «почти» кольцо, то есть обе
операции удовлетворяют всем усло-
условиям, за исключением левого закона
дистрибутивности. Какой вывод мож-
можно сделать на основании приведенно-
приведенного примера?
2. Доказать, что, если кольцо
содержит не более трех элементов, то
оно коммутативно.
3. Построить пример кольца с че-
четырьмя элементами, которое не ком-
коммутативно.
4. На множестве пар комплексных
чисел заданы следующие операции:
(а, fe) + (с, d) = (а + с, Ъ + d);
(a, b)(c, d) = ас — bd, ad — fee).
Доказать, что при этом получается
не коммутативное тело (d и с означа-
означают числа, комплексно сопряженные
с числами d и с).
5. Доказать, что, если на элемен-
элементах произвольной коммутативной
(аддитивной) группы задать опера-
операцию, сопоставляющую любым двум
элементам нуль (то есть единичный
элемент группы), то получится коль-
кольцо. (Это кольцо называется амнуля-
торным кольцом.)
1.2. Разложение
на простые множители
Продолжим рассмотрение целых
чисел и многочленов. Мы уже упо-
упоминали о том, что многие свойства
кольца целых чисел и кольца мно-
многочленов аналогичны. К наиболее
важным общим свойствам относятся
разложение целых чисел в произве-
произведение простых чисел и разложение
многочленов в произведение нераз-
неразложимых множителей. Докажем,
что оба разложения следуют
из осуществимости операции «де-
«деление с остатком» на множествах
целых чисел и многочленов. Разуме-
Разумеется, мы не будем проводить отдель-
отдельно два доказательства, а покажем,
что, если в кольце осуществимо «де-
«деление с остатком», то его элементы
в определенном смысле допускают
разложение на простые множители.
Прежде всего поясним, что такое
деление с остатком. Каким образом
можно убедиться в том, что оно осу-
осуществимо в множестве целых чисел?
Трудность заключается в том, что,
если производить деление не только
положительных, а любых целых чи-
чисел, то делитель не обязательно бу-
будет положительным. Предположим,
что целое число а требуется разде-
разделить на целое число fe. Если fe = О,
то все кратные числа fe также равны
нулю, и поэтому остаток всегда ра-
равен а. Следовательно, при fe = 0 ни о
каком делении с остатком говорить
нельзя. Рассмотрим теперь случай,
когда fe -ф 0. Отложим на числовой
99

\ь
\ь\
\b\ \b\
Рис. 54
1*1
\b\
оси вправо и влево от точки 0 числа,
кратные числу Ъ (рис. 54).
Длина каждого отрезка не обяза-
обязательно равна Ъ: можно лишь утверж-
утверждать, что она равна |6| (абсолютной
величине числа Ъ). Точка, соответст-
соответствующая числу а, находится где-то
на числовой оси между двумя после-
последовательными кратными числа Ъ.
Предположим, что qb — наиболь-
наибольшее из кратных чисел Ь, не превосхо-
превосходящих числа а. (Число q может быть
отрицательным и даже нулем.)
На рис. 55 разность а — qb либо
равна нулю, либо положительна, но
меньше \Ь\. Обозначив разность а —
— qb через г, мы сможем сформули-
сформулировать результат наших рассуждений
следующим образом:
для любого целого числа а и отлич-
отличного от нуля целого числа Ъ всегда
найдутся такие целые числа q и г,
что
а = qb + r, 0 «: /• < | Ь | .
Перейдем теперь к делению с ос-
остатком многочленов. Для этой опе-
операции небезразлично, какие коэффи-
коэффициенты у многочленов, поскольку,
например, для многочленов с цело-
целочисленными коэффициентами деле-
деление с остатком выполнимо не всегда.
(Для выполнимости операции «деле-
«деление с остатком» необходимо лишь,
чтобы коэффициенты многочленов бы-
были элементами какого-нибудь ком-
коммутативного тела.) В случае много-
многочленов мы не можем сказать, что
один многочлен меньше другого.
Единственный показатель, но кото-
Число а находится гве-то
здесд
Число а может Здесь число а
находиться здесь находиться
уже не может
Рис 55.
рому мы в каком-то смысле можем
судить о «величине» многочлена, —
это степень многочлена. Покажем
на примере, что степень многочлена
действительно служит мерой «ве-
«величины» многочлена.
Пример выбран так, что оба много-
многочлена имеют целочисленные коэффи-
коэффициенты и коэффициент при старшем
члене делителя (при наивысшей сте-
степени х) равен 1.
Мы рассмотрим довольно частый слу-
случай деления с остатком многочленов. Но
добиться, чтобы коэффициент при стар-
старшим члене многочлена-делителя был равен
1, можно всегда. Действительно, если за-
заданы два многочлена Цх) и g(x) (первый
многочлен требуется разделить на вто-
второй), а коэффициент при старшем члене
многочлена g(x) равен с, то от исходных
многочленов f(x) и g(x) можно перейти к
многочленам f*(x) a g*(x), выбранным
так, что f(x) — cf*(x) и g(x) = cg*(x).
Частное от деления многочлена f*(x) на
многочлен g*(x) будет таким же, как част-
частное от деления многочлена f(x) на много-
многочлен g(x), но остатки от деления исходных
многочленов и многочленов со звездочкой
будут различными из-за деления на коэф-
коэффициент при старшем члене делителя.
Если f*(x) = q(x)-g*(x) + r*(z), то, ум-
умножив обе части равенства на с, получим:
fix) = q(x)g(x) + г(х), где r{x) = cr*(x).
Так как при умножении на число, отлич-
отличное от нуля, степень многочлена не из-
изменяется, то все соотношения между сте-
степенями, выполняющиеся для одного ра-
равенства, остаются в силе и нри переходе
к другому равенству. Пользуясь этим, мы
в дальнейшем, чтобы не усложнять
вычислений, будем выбирать делитель с
коэффициентом при старшем члене, рав-
равным 1.
на
Итак, пусть заданы два многочле-
многочлеа
f{x) = Зж5 — 2х* + & — х* + 5 и
g(x) = xa~-3x2-\-2x — 3.
(Мы записали первыми старшие чле-
члены многочленов потому, что такая
запись более удобна при выполнении
деления.) Прежде всего разделим
старший член делимого на старший
100

член делителя: Зх5 : ж3 = Зх2. Ум-
Умножим частное на g(x) и полученное
произведение вычтем из многочлена
M*) = /(x)-3x2g(x) =
= (Зх3 — 2х* + х3 — Xs + 5) —
— (Зх3 — Зя* + 6х3 — 9л*) =
= х* — 5х* + 8г> + 5.
Повторим все с самого начала, за-
заменив многочлен f(x) многочленом
fx(x). От деления старших членов
мы получим х* : х3 — х, поэтому
/а (*) = Л (*) — *£(*) =
= (х4 — 5х3 + 8х* + 5) —
— (я4 — х* + 2х2 — Зх) =
= — 4х3 + бж3 + Зх + 5. .
Проделаем все действия еще раз.
Так как (—Ах3) : х3 = —4, то
М*) = /»(*) — (— *)*(*) =
= (-14х3 + 6х8 + Зх + 5) —
+ — 7.
Подставляя в это соотношение
полученные выражения для /2(х)
и fi (х), получаем
10х8 + 11* —7 = /,(*) —(—4)g(*) =
= (Л (*) — xg (х)) — (— 4) g (x) =
= (/ (*) - (Зх8) g (*)) — (х — 4) g (*) =
= /(*) — (Зх*+х — 4)g(*),
откуда
+ A0г2+ Их —7),
или, если ввести обозначения q{x)=
= 3х* + х —4 и г(ж) = 10хг+ Их—
7
проделанные нами операции всегда
выполнимы, поскольку деление про-
продолжается до тех пор, пока не полу-
получится многочлен, степень которого
меньше степени делителя g(x), или
многочлен, тождественно равный ну-
нулю.
Для любого многочлена / (х) и не
обращающегося тождественно в нуль
многочлена g(x) существуют такие
многочлены q(x) и г(х), что
+г (*),
где степень многочлена г(х) меньше
степени многочлена g(x). Ясно, что
где степень многочлена г(х) меньше
степени многочлена g(x) или г(х)^
== 0.
(Запись г(х) ■= 0 означает не ал-
алгебраическое уравнение, а много-
многочлен г(х), все коэффициенты которого
равны нулю.)
Евклидовы кольца. По-
Попытаемся теперь обобщить получен-
полученные результаты, распространив их
на другие кольца. Выполняя деление
с остатком в кольце целых чисел и в
кольце многочленов, мы находили
остатки, которые в каком-то смысле
были меньше делителя. В каком
именно смысле надлежит понимать
«величину» делителя и остатка, мож-
можно определить при помощи функции,
заданной на элементах кольца. По-
Поскольку многочлен, тождественно
равный нулю, «не имеет» степени,
то эту функцию целесообразно рас-
рассматривать только на элементах
кольца, отличных от нуля. Каждому
элементу а кольца, отличному от ну-
нуля, поставим в соответствие значе-
значение функции ф(а), которое в обоих
рассмотренных нами случаях (для
кольца целых чисел и кольца много-
многочленов) могло быть только неотрица-
неотрицательным. Поэтому в дальнейшем мы
будем рассматривать области це-
целостности с единицей, в которых лю-
любому отличному от нуля элементу а
поставлено в соответствие неотри-
неотрицательное число ф(а), и для любых
элементов а и b кольца (если Ъ Ф 0)
можно найти такие элементы ц иг
кольца, что
а = qb ■+• г,
101

причем либо г = 0, либо ф (г) <
«С ф(Ь). Деление с остатком иозволя-
ет осуществить так называемый ал-
алгоритм Евклида (по крайней мере
воспользоваться этим алгоритмом для
нахождения общего делителя), по-
поэтому рассмотренные нами кольца на-
называются евклидовыми кольцами.
Как было показано, целые числа
или многочлены с рациональными
коэффициентами образуют евклидо-
евклидовы кольца. Коммутативные тела так-
также являются евклидовыми кольцами.
Действительно, если всем отличным
от нуля элементам поставить в соот-
соответствие единицу, то при Ъ ф О
получим: а = (a/b)b + 0, что и до-
доказывает наше утверждение.
Если мы хотим доказать, что во
всяком евклидовом кольце существу-
существует наибольший общий делитель и эле-
элементы допускают однозначно опре-
определенное разложение на простые мно-
множители, то введенным нами поняти-
понятиям необходимо дать самые общие оп-
определения. Более того, кое-какие
понятия необходимо определить и
«про запас» — они понадобятся нам
в дальнейшем для доказательств.
Прежде всего следует пояснить,
что означают такие понятия, как
делимость, делитель и кратное для
произвольного евклидова кольца. Де-
Делимость по существу означает выпол-
выполнимость деления. Но обычно опера-
операция деления известна, тогда как для
колец такое доиущение в общем слу-
случае неверно. Именно поэтому для ко-
колец делимость удобно определить
«с конца» — по результату деления.
Выполнив деления, мы получаем
частное, которое при умножении на
делитель дает делимое. Это можно
сформулировать и в общем случае.
Элемент b области целостности на-
называется делителем элемента а об-
области целостности, если в области
целостности найдется такой элемент
с, для которого а — be, элемент а
называется кратным элемента Ъ.
Такое определение позволяет го-
говорить о делимости и в том случае,
когда деление невыполнимо. Напри-
Например, на нуль делить нельзя. Тем не
менее можно утверждать, что нуль
является делителем нуля (или делит
нуль), так как, например, при с = 1
выполняется соотношение 0 =0-1.
Символ Ь\а означает, что b — дели-
делитель элемента а (Ь делит а). Теперь
уже не представляет особого труда
ввести для произвольного кольца
понятие общего делителя.
Общим делителем двух или боль-
большего числа элементов кольца назы-
называется такой элемент, который делит
каждый из этих элементов.
Даже располагая определением об-
общего делителя, ввести для произ-
произвольного кольца понятие «наиболь-
«наибольший общий делитель» не так-то прос-
просто. Легко найти наибольший общий
делитель нескольких чисел. В слу-
случае многочленов трудность можно
обойти, выбрав делитель наибольшей
степени, но для прочих колец вопрос
о том, какой из общих делителей
следует назвать наибольшим, остает-
остается открытым. Среди элементов про-
произвольного кольца нет ни больших,
ни меньших. Чтобы понять, как же
все-таки определить наибольший об-
общий делитель для элементов произ-
произвольного кольца, рассмотрим чуть
более внимательно решение задачи о
нахождении наибольшего общего де-
делителя двух чисел, например 24 и
60. Выпишем их общие делители:
2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из них
равен 12. Нетрудно заметить, что
число 12 не только наибольший об-
общий делитель, но и кратно всем дели-
делителям, а это уже такое свойство, о
котором можно говорить и в общем
случае.
Элемент d — (а, Ъ) называется
наибольшим общим делителем эле-
элементов а и b кольца, если:
а) d — общий делитель элементов
а и Ъ;
б) d — кратное всех делителей
элементов а и Ь.
Но еще не известно, соответствует
ли этому определению наибольший
общий делитель целых чисел. Пока-
Покажем, что во всяком евклидовом коль-
кольце для любых двух элементов сущест-
существует наибольший общий делитель.
102

Кроме того, мы убедимся в том, что в
любом кольце наибольший общий
делитель d элементов а и Ъ можно
представить в виде d = ах + by,
где х и у — некоторые элементы
кольца. (Мы доказываем это свойство
наибольшего общего делителя пото-
потому, что оно необычайно важно для
дальнейшего.)
Начнем с рассмотрения элементов
кольца, представимых в виде ах +
+ by. Мы не будем доказывать, что
наибольший общий делитель элемен-
элементов а и b существует и его можно
представить в виде ах + by, а вмес-
вместо этого докажем, что наибольший
общий делитель находится среди эле-
элементов вида ах + by.
Пусть Н(а, Ъ) — множество эле-
элементов кольца, представимых в ви-
виде ах + by. Это множество обладает
следующими свойствами:
1) разность любых двух элементов
множества Н(а, Ъ) принадлежит мно-
множеству Н(а, Ь);
2) произведение любого элемента
множества Н(а, Ь) и произвольного
элемента кольца всегда принадлежит
множеству Н(а, Ь);
3) элементы а и b принадлежат мно-
множеству Н(а, Ь).
■ Доказательство всех трех утверждений
сводится к несложным выкладкам. Тож-
Тождество (ах -f- by) — (аи -f- bv) ■ =
= а(х ■— и) -f- b(y — v) выполняется при
любых элементах х, у, и и v кольца. Но
а(х ■— и) -f- b(y ■— v) заведомо принадле-
принадлежит множеству Н(а, Ь), так как х — и
л у — v ■— элементы кольца. Чтобы до-
доказать второе утверждение, рассмотрим
какие-нибудь элементы х, у и и. Для них
выполняется тождество (ах -f- by)u =»
= а(хи) -f- b(yu), из которого и следует
наше второе утверждение. Наконец, третье
утверждение мы докажем, выбрав специ-
специальным образом элементы кольца. При
х = е и у = 0 получаем ах -f- by = ae -f-
+ 60 = a -f 0 = а. При х = 0 и у — е
аналогичное тождество имеет вид ах -f-
-f by = аО + be = 0 + b = 6. Следо-
Следовательно, а и 6 принадлежат множеству
И(а, Ь).
Докажем теперь, что множество
Н(а, Ъ) состоит лишь из элементов,
кратных d. Это утверждение очевид-
очевидно, если в множестве Н(а, Ъ) нет дру-
других элементов, кроме нуля, так как
все элементы, кратные нулю, совпа-
совпадают с нулем. Если в множестве
Н(а, Ъ) есть и другие элементы поми-
помимо нуля, то каждому из них (посколь-
(поскольку кольцо евклидово) можно поста-
поставить в соответствие некоторое неотри-
неотрицательное целое число.
Выберем в множестве Н(а, Ь) элемент
й, которому поставлено в соответствие
наименьшее [для элементов множества
Н(а, Ь)\ неотрицательное целое число.
Иначе говоря, если d1 — произвольный
элемент множества Н(а, Ь), которому со-
соответствует неотрицательное целое число
9(dx), то <p(di) по крайней мере не меньше,
чем (f(d). [Такой элемент d в множестве
Н(а, Ь) действительно существует, посколь-
поскольку в любом подмножестве неотрицательных
целых чисел всегда имеется наименьшее
число. Никакие другие свойства целых
чисел в приводимом нами доказательстве
не используются.] Пусть с — произволь-
произвольный элемент множества Н(а, Ь). Посколь-
Поскольку d ф 0, то для элементов d и с в кольце
найдутся такие элементы q и г, что с =
= qd + г и либо г — 0, либо <р(г) < (f(d).
Если г — элемент множества Н(а, Ь), то
неравенство ф(г) < ф(а!) выполняться не
может. Но принадлежит ли г множеству
Н(а, 6)? Разрешив равенство с = qd -j- r
относительно г, получим: г — с ■— qd. Так
как d £ Н(а, Ь), то по свойству 2 qd £
(^Н(а, Ь). Кроме того, поскольку с(^H(ab),
то по свойству 1 Шг = qd^H(a, b). Но
. неравенство ф(г) < (f(d) не может выпол-
выполняться в силу выбора элемента d. Это
означает, что г = 0, то есть с = qd. Сле-
Следовательно, любой элемент множества,
Н(а, Ь) действительно кратен элементу
d. Утверждение о том, что все кратные
элемента d прннадлежат множеству Н(а,Ъ),
следует из свойства 2 множества Н(а. Ь),
Сопоставляя полученный резуль-
результат со свойством 3 множества Н(а, Ъ),
мы заключаем, что d — общий дели-
делитель элементов а и Ъ. Более того,
справедливо даже более сильное ут-
утверждение: d — наибольший общий
делитель элементов а и Ъ. Для дока-
доказательства этого утверждения необ-
необходимо лишь убедиться в том, что
элемент d кратен всем общим делите-
делителям элементов а и Ъ.
Действительно, если с\а н с\Ь (то есть
если существуют такие элементы и н v
кольца, что а = си и 6 = cv), то действо-
действовать можно следующим образом. Посколь-
Поскольку d £ Н(а, Ъ), то найдутся такие элементы
t и s кольца, что d = at + bs. Подставляя
в это соотношение а — си и 6 = cv, полу-
получаем
103.

d = at + bs — (си) t + (cv) s = cut + cvs —
= c(ut + vs).
Правая часть последнего равенства оз-
означает, что элемент d кратен элементу с.
Именно это и требовалось Доказать.
Далее следовало бы доказать, что
наибольший общий делитель одно-
однозначно определен, но от этого шага
мы воздержимся. Более того, если
придерживаться приведенного выше
определения, то наибольший общий
делитель не будет однозначно опре-
определенным, даже если говорить о
кольце целых чисел: действительно,
вместе с d всеми свойствами наиболь-
наибольшего общего делителя обладает и
число —d. Аналогичное утверждение
справедливо и относительно кольца
многочленов с рациональными коэф-
коэффициентами, в котором наибольший
общий делитель сохраняет свои свой-
свойства при умножении на любое рацио-
рациональное число. Итак, наибольшие
общие делители двух элементов коль-
кольца неотличимы, ни один из них ни-
ничем не выделен по сравнению с дру-
другим. Следовательно, необходимо вы-
выяснить, как связаны между собой
наибольшие общие делители элемен-
элементов и кольца. По определению все
они делят друг друга, поэтому не-
неудивительно, что в тех случаях, ког-
когда речь идет о делимости, наиболь-
наибольшие общие делители ничем не отли-
отличаются один от другого. Если каждый
из двух элементов коммутативного
кольца делит другой, то такие эле-
элементы называются ассоциированными.
Элементы а и Ъ кольца называются
ассоциированными, если в кольце
существуют такие элементы и и v,
что а — Ьи и Ь == аи.
Из определения следует, что а =
= bu = (av)u = a(vu), откуда
а(е — vu) = а — avu = 0. Так как
кольцо не содержит делителей
нуля, то (если а Ф 0) е = vu. Сле-
Следовательно, ми v — делители
единичного элемента.
Делители единичного элемента
кольца называются единицами.
Например, в кольце целых чисел
существуют две единицы: +1 и —1,
104
в кольце многочленов единицами яв-
являются рациональные числа. Следо-
Следовательно, если два элемента кольца
ассоциированы, то каждый из них
отличается от другого множителем,
равным единице. Наоборот, если
один элемент кольца равен другому
элементу кольца, умноженному на
единицу, то эти элементы ассоцииро-
ассоциированы.
Действительно, если а ~ Ьи и
и — единица (то есть если в кольце
существует такой элемент v, что
uv = е), то, поскольку av — (bu)v ---
= be = b, элементы а и b ассоции-
ассоциированы.
С точки зрения делимости произ-
произведение не изменится, если умно-
умножить его на единицу или заменить
любой из сомножителей ассоцииро-
ассоциированным с ним элементом. Поэтому
разложение любого элемента кольца
можно получить, записав его в виде
произведения, содержащего на одну
единицу больше, чем прежде. Но та-
такое разложение не позволяет «уп-
«упростить» элемент, поскольку каждый
сомножитель ассоциирован с исход-
исходным.
Элемент кольца, отличный от еди-
единичного и допускающий лишь такие
разложения в произведение двух эле-
элементов, в которые одним из сомножи-
сомножителей входит единичный элемент
кольца, называется неразложимым..
В кольце целых чисел неразложи-
неразложимыми элементами являются простые
числа. Поэтому теореме об одно-
однозначном разложении на простые мно-
множители всякого (отличного от 1)
натурального числа в случае произ-
произвольного кольца соответствует сле-
следующее утверждение: «Всякий (от-
(отличный от единицы) элемент можно
представить в виде произведения не-
неразложимых элементов». Но в дан-
данном случае нам необходимо другое
свойство простых чисел — так назы-
называемое свойство простоты. Для ев-
евклидовых колец оба свойства — не-
неразложимость и простота — совпа-
совпадают, но в общем случае эти два свой-
свойства не совпадают. Именно поэтому
они и получили различные названия.

Элемент р области целостности на-
называется простым элементом, если
он делит любое произведение тогда и
только тогда, когда является делите-
делителем одного из сомножителей.
Докажем, что в евклидовом кольце
элемент прост в том и только в том
случае, если он неразложим.
«В одну сторону» это утверждение до-
доказывается без труда. Действительно, если
д — простой элемент, то рассмотрим раз-
разложение q = ab. Его, разумеется, можно
представить в виде qe = ab. Следователь-
Следовательно, q — делитель произведения ab. По
свойству простоты отсюда следует, что
q — делитель какого-то из сомножителей,
например элемента а, то есть а = qu.
Но тогда элементы а и q делят друг друга
и поэтому ассоциированы, в силу чего
6 — единица. Это означает, что элемент
q допускает разложение в произведение
двух сомножителей лишь в том случае,
если один из сомножителей — единица,
то есть элемент q неразложим. Предпо-
Предположим теперь, что элемент р неразложим
и делит произведение ab. Кроме того,
пусть d — наибольший общий делитель
элементов р и а. Так как d — делитель
неразложимого элемента р, то d либо еди-
единичный элемент, либо элемент, ассоции-
ассоциированный с р. В последнем случае р за-
заведомо делит а, так как d — делитель
элемента а (как общий делитель элементов
р и а), а р — делитель элемента d (посколь-
(поскольку d — элемент, ассоциированный с р).
Если же d совпадает с единичным элемен-
элементом, то наибольший общий делитель эле-
элементов q и р делит ассоциированный с ним
единичный элемент. Следовательно, по
определению множества #(р, а), существу-
существуют такие элементы х и у кольца, что рх -f-
-f- qa = е. Умножая это соотношение на
Ь, получаем pxb + qab = 6. Первое сла-
слагаемое в левой части, очевидно, делится
иа р. Второе слагаемое делится на р по
предположению. Следовательно, сумма
обоих слагаемых, то есть 6, также делится
на р. Итак, мы доказали, что, если р\аЪ,
то либо р\а, либо р\Ь. Это и означает, что
р — простой элемент.
После того как мы установили, что
для евклидовых колец понятия
«простой элемент» и «неразложимый
элемент» совпадают, для заверше-
завершения доказательства теоремы об одно-
однозначном разложении произвольного
элемента на простые множители ос-
остается сделать немного: во-первых,
доказать, что такое разложение воз-
возможно, и, во-вторых, доказать его
единственность. Осуществимость раз-
разложения можно сформулировать сле-
следующим образом: в евклидовом колъ~
це всякий элемент, отличный от еди-
единичного, можно представить в виде
произведения (конечного числа) прос-*
тых элементов.
Пусть а — произвольный элемент коль-
кольца. Если а — простой элемент, то, пред-
представив его в виде «произведения», состоя-
состоящего из одного-единственного сомножи-
сомножителя, получим разложение на простые
множители а = а. Если а — не простой
элемент (и, кроме того, отличен от еди-
единицы и от нуля), то существует разложе-
разложение а = be, в котором ии один из элемен-
элементов b и с не является единицей кольца.
Если элементы 6 и е разложимы, то про-
продолжим разложение До тех пор, пока не
получим произведение, состоящее только
из неразложимых сомножителей. Непри-
Неприятность могла бы возникнуть лишь в том
случае, если бы разложение никогда ие
завершалось, то есть не обрывалось бы
ни на каком шаге. Это означало бы, что
в разложении а=*Ъ\с\ один из двух сомно-
сомножителей, например 6t, в свою очередь до-
допускал бы разложение (если оба сомно-
сомножителя Ь| и а неразложимы, то разложе-
разложение исходного элемента а закончено). Эле-
Элемент 6i можно было бы представить в виде
bi — biCi, где ни один из сомножителей Ьг
н сг не является единицей кольца, и какой-
то из них, например Ьг. допускал бы даль-
дальнейшее разложение. Выполнив его, мы по-
получили бы &2=Ьзсз и т. Д.
Покажем, что разложение любого эле-
элемента кольца не может продолжаться
неограниченно долго, то есть что после
конечного числа шагов какой-нибудь из
двух сомножителей, возникающих при
разложении очередного элемента, непре-
непременно должен совпасть с единичным эле-
элементом кольца.
Предположим, что это не так. Пусть
Н — множество элементов кольца, крат-
кратных какому-нибудь из элементов bt. Ясно,
что, если в кольце есть хотя бы один такой
элемент, то, умножив его на любой эле-
элемент кольца, мы снова получим элемент,
кратный какому-то из элементов bt. С дру-
другой стороны, разность двух элементов,
каждый из которых кратен какому-то из
элементов bt, также принадлежит мно-
множеству Н. Например, если и=Ь\х в
v=b3y,то [таккакб1=О2С2=(ЬзСз)с2] а—1>=»
= Ьз(сзС2*)—6з9=Ьз(сзС2*—у), то есть раз-
разность а—v кратна элементу Ьз- Аналогич-
Аналогичным образом можно доказать, что разность
любых двух элементов множества Н также
кратна какому-то из элементов bt. Следо-
Следовательно, множество Н обладает двуми
свойствами множества Н (а, 6), опреде-
определяемого наибольшим общим делителем й
элементов а и Ь, а относительно множества
Н (а, Ь) доказано, что оио состоит из яле-
105

ментов, кратных одному и тому же элемен-
элементу. Таким образом, элементы множества Н
кратны некоторому фиксированному эле-
элементу d кольца. Поскольку каждый эле-
элемент множества Н кратен какому-нибудь
из элементов bt, то элемент d, как показа-
показано выше, можно представить в виде d—bnt
при некотором индексе п. С другой сторо-
стороны, элемент bn+t кратен какому-то из эле-
элементов &! (в действительности — единич-
единичному элементу) и, следовательно, как эле-
элемент множества Н его можно представить
в виде &n+1 = fl!s (t и s — единицы кольца).
Поскольку bn+t = ds — bnts*=tbn+icn + its, то
e=c+i*s. Следовательно, en+i вопреки
предположению является единицей коль-
кольца.
Всякий элемент евклидо ва кольца
(отличный от нуля и единицы) можно
разложить в произведение простых
элементов.
Прежде чем приступать к доказа-
доказательству однозначности разложения,
необходимо точно сформулировать,
как следует понимать однозначность.
Известно, что в каждом разложении
(вследствие коммутативности) со-
сомножители можно подвергать лю-
любым подстановкам. Следовательно,
разложения, отличающиеся лишь по-
порядком сомножителей, нельзя счи-
считать различными. Мы уже упомина-
упоминали о том, что от замены сомножите-
сомножителей ассоциированными с ними эле-
элементами произведение по существу
не изменяется. Более того, может
случиться, что при такой замене
произведение вообще остается неиз-
неизменным. Так происходит в том слу-
случае, если соответствующее произведе-
произведение единиц совпадает с единичным
элементом кольца. Следовательно,
разложения, отличающиеся тем, что
какие-то из сомножителей заменены
ассоциированными элементами, так-
также нельзя считать различными. Эти
замечания показывают, как следует
понимать однозначность разложения.
Два разложения называются по
существу тождественными, если они
отличаются только порядком сомно-
сомножителей и делителями единицы, то
есть если множители, входящие в
одно разложение, можно поставить
во взаимно-однозначное соответствие
с множителями другого разложения
так, что соответствующие друг другу
сомножители окажутся ассоцииро-
ассоциированными.
Два разложения называются по
существу тождественными, если они
отличаются только порядком сомно-
сомножителей и сомножителями, равными
делителям единицы.
Итак, мы приходим к следующему
утверждению: всякий элемент ев-
евклидова кольца, отличный от нуля и
единицы, допускает однозначное раз-
разложение в произведение простых эле-
элементов.
В том, что вснкий элемент евклидова
кольца можно разложить в произведение
простых элементов, мы уже убедились.
Остается доказать, что такое разложение
однозначно определено. Предположим, что
Р\ ■ Рг
• Рп =
— два разложения на простые множители
одного и того же элемента. Так как рх —
делитель левой части равенства, то этот
же элемент делит и произведение, стоя-
стоящее в правой части. Поскольку рх — про-
простой элемент, то это означает, что рх делит
один из множителей, входящих в произве-
произведение qx-qt ?fc. От изменения поряд-
порядка сомножителей разложение не изме-
изменяется, поэтому, не ограничивая общ-
общности, можно предположить, что рх —
делитель элемента qx. Из соотношения
в^= P\U следует, что и — единица.
Действительно, так как q — простой эле-
элемент, то он неразложим, а рх — не еди-
единица. Поскольку мы рассматриваем коль-
кольцо без делителей нуля, то на рх можно
сократить, и мы приходим к равенству
Рг
Як-
Продолжая сокращать на р2, Ps H т. д.,
мы в конце концов «исчерпаем» все про-
простые элементы в правой или в левой части
исходного равенства. Но простые элемен-
элементы должны одновременно «иссякнуть» и
в другой части равенства, поскольку про-
произведение простых чисел не может быть
равно единице. Следовательно, число про-
простых множителей в правой и левой ча-
частях исходного равенства одинаково, а
простые элементы, на которые мы произ-
производили сокращения, ассоциированы. Они
не обязательно должны совпадать с про-
простыми элементами, входившими в исход-
исходные разложения (например, после первого
шага в правой части возник множитель
щ%, который не обязательно тождествен
множителю q%), но могут отличаться лишь
«коэффициентами», равными единицам, и
поэтому ассоциированы.
106

ЗАДАЧИ
Доказать следующие утверждения.
1. Числа вида а + bi (а и Ъ —
целые числа, г = "J/—1) образуют
кольцо. Это кольцо евклидово (функ-
(функция ф определена соотношением
<р(а + Ы) = а8 + Ъ%).
2. Многочлены с целочисленными
коэффициентами образуют область
целостности. В этом кольце наиболь-
наибольший общий делитель многочленов
2х и Xs не представим в таком виде,
в каком представимы наибольшие
общие делители элементов евклидова
кольца.
3. Числа а + Ъ~\/— 5 (а и Ъ —
целые числа) образуют кольцо. Чис-
Числа 2 и 1 + "J/—5 не имеют наиболь-
наибольшего общего делителя (представимо-
го в таком виде, в каком можно пред-
представить наибольшие общие делители
элементов евклидова кольца). Числа
2 и 1 + "]/—5 неразложимы, но они
не простые. Каждое из разложений
6 =2^ и 6 = A + y^Kl —
— "]/—5) содержит неразложимые
множители, но оба разложения су-
существенно различны.
Векторные пространства
и модули
2.1. Свойства векторов
и элементов
Подобно тому как теория групп ро-
родилась из рассмотрения подстановок,
изучение алгебры векторов в гео-
геометрии привело к созданию весьма
важного алгебраического понятия.
Прежде всего выясним, что можно
сказать о векторах вообще и о век-
векторах на плоскости в частности.
Векторами называются «направлен-
«направленные величины». Следуя этому «оп-
«определению», векторы можно изо-
изображать в виде стрелок, имеющих
различную длину и различное на-
направление. Вектор считается задан-
Эти векторы не равны
Эти векторы не равны
Эти векторы не равны
Эти векторы ровны
Рис. 56.
ным, если известны его длина и на-
направление. Если два вектора имеют
одинаковую длину и одинаковое на-
направление, то они считаются равны-
равными (рис. 56).
Направление векторов включает в себя
и «положение» их на плоскости. Мы кто
рнм, что направление двух векторов сов-
совпадает, если векторы параллельны и «на-
«наконечники стрел» указывают в одну сто-
сторону.
Замыкающая
в
отложенных
вепторое
Правила
параллелограмма 'А \
107

Нулевой
вентор
Вектор
и противоположный
вектор
Рис. 58.
Если векторы рассматривать с точ-
точки зрения алгебры, то необходимо
исследовать, какие операции и как
можно производить над ними. Из-
Известна операция сложения векторов:
сумма векторов а и Ь определяется
либо как замыкающая последова-
последовательно отложенных векторов, либо
по правилу параллелограмма
(рис. 57).
Пользуясь введенным выше поня-
понятием равенства векторов, нетрудно
показать, что оба определения сум-
суммы векторов приводят к одному и то-
тому же результату. Из первого опре-
определения следует, что сложение век-
векторов ассоциативно, из второго —
что оно коммутативно. (Построить
замыкающую последовательно отло-
отложенных векторов можно и в том слу-
случае, если два вектора-слагаемых па-
параллельны и их нельзя дополнить
до параллелограмма.) Итак, сложе-
сложение векторов — операция ассоциа-
ассоциативная и коммутативная, то есть век-
векторы образуют (коммутативную) по-
полугруппу относительно сложения.
Всякий раз, когда нам встречается
полугруппа, полезно выяснить, не
является ли она группой относитель-
относительно той же операции. Прежде всего
следует решить, существует ли еди-
единичный элемент, то есть (поскольку
операцией является сложение) су-
существует ли «нуль-вектор». Нетрудно
видеть, что быть нулевым вектор
может лишь в том случае, если он не
имеет ни длины, ни направления.
Хотя такой вектор нельзя «нарисо-
«нарисовать», все же можно сказать, что
всеми свойствами нулевого вектора
обладает вектор, стянутый в точку.
Затем надлежит выяснить, для каж-
каждого ли элемента полугруппы су-
существует обратный элемент, то есть
для каждого ли вектора на плоскости
найдется вектор, дающий в сумме
с ним нулевой вектор. Нетрудно ви-
видеть, что вектор, обратный данному,
имеет одинаковую с ним длину и
противоположное направление (рис
58). О таком векторе говорят, что
он равен исходному вектору, взято-
взятому со знаком минус, и называют его
противоположным (исходному) век-
вектором.
Итак, мы установили, что векторы
на плоскости образуют коммутатив-
коммутативную группу относительно сложения
векторов. Это означает, что любое
утверждение, доказанное относитель-
относительно коммутативных групп, справед-
справедливо относительно векторов на плос-
плоскости.
Над векторами на плоскости мож-
можно производить не только сложение,
но и другую операцию, а именно ум-
умножение на число. Умножить век-
вектор на вещественное число X означает
«растянуть» вектор в X раз. Разумеет-
Разумеется, о растяжении можно говорить
лишь в том случае, если X >1.
При X = 1 вектор остается неиз-
неизменным, а если число X меньше еди-
единицы, но положительно, то вектор
сжимается. Направление вектора во
всех этих случаях не изменяется.
Рис. 59.
108

Если же число X отрицательно, то
направление вектора изменяется на
противоположное (рис. 59).
Но нам не достаточно знать, как
умножать векторы на числа. Чтобы
эту операцию можно было использо-
использовать в вычислениях, необходимо вы-
выяснить, каким тождествам она удов-
удовлетворяет.
Мы приведем наиболее важные
тождества без доказательств. Не-
Нетрудно проверить, что они действи-
действительно выполняются во всех случаях.
Если X и ц — вещественные чис-
числа, а и Ь — векторы, то выполня-
выполняются следующие тождества:
(к 4- ja) a =' Ха 4- ра,
X (а 4- Ь) -г Ха + Ш,
(Хц)а — Х((ла), 1 • а = а.
Запомнить эти тождества весьма
просто: два первых тождества выра-
выражают дистрибутивность, а третье —
ассоциативность.
Последнее из ириведенных нами тож-
тождеств очевидно. Оно необходимо по сле-
следующим соображениям. Если мы хотим
в дальнейшем рассматривать операции
сложения векторов и умножения векто-
векторов на числа с общих алгебраических
позиций, то, разумеется, нам нельзя упо-
упоминать о том, что означает любая опера-
операция (этого мы не знаем), поскольку
разрешается лишь указывать, каким тож-
тождествам она удовлетворяет. Если бы по-
последнее тождество не входило в число «обя-
«обязательных», то можно было бы утверждать,
что произведение числа и вектора всегда
равно нулевому вектору. Все остальные
тождества при этом также были бы выпол-
выполнены. Следовательно, последнее тождествен
необходимо, чтобы исключить из рассмот-
рассмотрения такие «бессодержательные» случаи.
Скал яры. После этих предва-
предварительных замечаний перейдем к
определению общего понятия, соот-
соответствующего векторам. Прежде все-
всего заметим, что при рассмотрении
векторов нам встречаются два мно-
множества; множество векторов и мно-
множество вещественных чисел (числа,
чтобы подчеркнуть их отличия от
векторов, при этом принято назы-
называть скалярами).
Векторное пространст-
в о. На множестве векторов задано
сложение, относительнв которого век-
векторы образуют группу. О скалярах
(множестве вещественных чисел) из-
известно, что они образуют тело. Связь
между скалярами и векторами вы-
выражается в том, что их можно умно-
умножать (скаляр на вектор), и в резуль-
результате получается вектор. Умножение
вектора на скаляр и операции, за-
заданные на множествах векторов и
скаляров, удовлетворяют приведен-
приведенным выше тождествам. Во всех та-
таких случаях говорят, что мы имеем
дело с векторным пространством
над соответствующим телом.
Прежде всего рассмотрим несколь-
несколько примеров векторных пространств.
ПРИМЕРЫ
1. Векторы в трехмер-
трехмерном пространстве над
телом вещественных чи-
чисел. Определения операции сло-
сложения и умножения на число для
векторов в трехмерном пространстве
остаются такими же, как и для век-
векторов на плоскости. Поэтому и тож-
тождества для этих операций выглядят
так же, как и для векторов на плос-
плоскости.
2. Векторы, параллель-
параллельные заданному вектору,
над телом вещественных
чисел. Сумма и разность век-
векторов, параллельных заданному
вектору, также параллельна задан-
заданному вектору. При умножении век-
векторов на вещественное число парал-
параллельность не нарушается. Необхо-
Необходимость в проверке тождеств отпада-
отпадает, поскольку для векторов на плос-
плоскости все тождества выполнены.
3. Четверки ве ществен-
ных чисел над телом ве-
вещественных чисел, на ко-
которых операции заданы следующим
образом:
а) (а, Ь, с, d) = (х, у, и, v)
означает, что а = х, b = у, с = и,
d^v;
б) {а, Ь, с, d) + (х, у, и, v) =
= (а + г, b 4- у, с + и, d + v);
109

в) а (х, у, и, v) = (ах, ау, аи, av).
Относительно сложения четверки
образуют прямую сумму четырех ад-
аддитивных групп вещественных чисел,
то есть коммутативную группу.
Произведение вещественного числа
и четверки есть некоторая четверка.
В том, что операция умножения чет-
четверки на вещественное число удов-
удовлетворяет соответствующим тождест-
тождествам, можно убедиться следующим
образом. Выпишем соотношения
(а + Ь) (х, у, и, v) =
= Ца + Ъ)х, (а+Ь)у, (а + Ь)и,
(а + Ь) v)
и
а(х, у, u,v) -f Ъ (х, у, и, v) =
= (ах + Ьх, ay -\- by, аи 4- Ьи,
av 4- bv).
Равенство соответствующих компо-
компонент в правых частях этих соотно-
соотношений следует из дистрибутивности
сложения вещественных чисел.
Выпишем далее соотношения
а[(хи хг, х8, xt) 4- (yit уг, у3, yt)]'=
= (a (*i 4- yt), а (хг 4- У%),
x2, х3, х4) 4- а (ух, уг, у3, у4) =
я, 4- ауи ахг 4- ау2, ахя + ау3,
И в этом случае соответствующие
компоненты равны в силу дистрибу-
дистрибутивности сложения вещественных
чисел.
Следующая пара соотношений име-
имеет вид
(ab) (х, у, и, v) = ((ab) x, (ab) у,
(ab)u, (ab)v)
и
а [Ь (х, у, и, v)] = (a (bx), a (by),
a (bu), a (bv)).
Соответствующие компоненты в пра-
вых частях равны в силу ассоциа-
ассоциативности умножения вещественных
чисел. Наконец, последнее тождество
выполняется, так как
1 ■ (а, Ь, с, d) = A-а, 1-6, 1-е, l-d)=
= (а, Ь, с, d).
4. Наборы из п вещест-
вещественных чисел над телом
вещественных чисел от-
относительно операций,
заданных в предыду-
предыдущем примере. Доказательство
проводится так же, как и в предыду-
предыдущем примере. Необходимо лишь
иметь в виду, что число компонент
равно не 4, а п (впрочем, это не при-
приводит ни к каким «осложнениям»,
так как соответствующие тождества
для наборов из п чисел выполняют-
выполняются в том и только в том случае, если
они выполняются для каждой ком-
компоненты в отдельности, то есть не за-
зависят от числа компонент).
5. Бесконечные после-
последовательности вещест-
вещественных чисел над те-
телом вещественных чи-
чисел. Две числовые последователь-
последовательности ах, аг, ..., ап, ... и bt, b2, ...
...,Ъп,... считаются равными, еслиа^ =
= Ъх, а^ = Ь2, ..., ап = Ьп, ... .
Суммой последовательностей at, а.2, ...,
..., ап,... Hbj, Ъг, ..., Ъп, ... называется
последовательность (at 4* bi), (#2+
4- Ьг),---, (ап + К),..., а произведе-
произведением последовательности at, az, ...
..., ап,... и числа Ъ — последователь-
последовательность bat, Ьа2,..., Ьап,... . (Бесконеч-
(Бесконечные числовые последовательности и
производимые над ними операции
играют важную роль в математичес-
математическом анализе.)
Доказательство тождеств по су-
существу не отличается от доказа-
доказательств, приведенных в двух преды-
предыдущих примерах. Действительно, из
определения равенства двух после-
последовательностей следует, что все тож-
тождества надлежит проверять поком-
покомпонентно.
6. Многочлены с ве-
вещественными коэффи-
110

циентами над телом ве-
вещественных чисел. Опе-
Операция сложения определена как сло-
сложение многочленов, операция умно-
умножения на число — как почленное
умножение на число.
Как известно, многочлены обра-
образуют коммутативную группу отно-
относительно сложения многочленов. Про-
Произведение многочлена и веществен-
вещественного числа надлежит понимать в
смысле тождества
с (а0 + atx +
апхп) =
= са0 + catx -f • • • -f canxn.
7. Многочлены от мно-
многих переменных с ве-
вещественными коэффици-
коэффициентами над телом ве-
вещественных чисел. Опера-
рации сложения и умножения на
вещественное число определены как
сложение многочленов и почленное
умножение их на вещественное
число.
Многочлены от многих переменных
с вещественными коэффициентами
образуют коммутативную группу.
Если умножение на вещественное
число определить как частный слу-
случай умножения многочленов, когда
один из сомножителей вырождается
в постоянную, то первые два из до-
доказываемых тождеств следуют из
дистрибутивности, а третье — из ас-
ассоциативности умножения много-
многочленов. Последнее тождество также
выполнено, поскольку многочлен,
тождественно равный 1, является
единичным элементом в кольце мно-
многочленов.
8. Векторное простран-
пространство над телом вещест-
вещественных чисел образуют
и вещественнозначные
функции, если операции опре-
определены следующим образом: h(x) =
= f(x) + g(x) — функция, прини-
принимающая в точке с значение /(с) +
+ g(c), a a-f(x) — функция, при-
принимающая в точке с значение а-}(с).
Поскольку сложение чисел комму-
коммутативно и ассоциативно, то сложение
функций обладает теми же свойст-
свойствами. Нулевым элементом относи-
относительно сложения служит функция,
всюду равная нулю, а функцией,
противоположной функции f(x), —
функция, принимающая в точке
с значение —f(c). Произведение
вещественнозначной функции и
вещественного числа всегда при-
принадлежит множеству вещественно-
эначных функций. Остается прове-
проверить, выполняются ли соответст-
соответствующие тождества. Функция (а -\-
+ b)-f(x) принимает в точке с зна-
значение (а + b)-f(c) =a-f(c) +
-\- b-f(c). Это —не что иное, как
значение, принимаемое в точке с
функцией a-f(x) + b-f(x). Функция
a(f(x) + g(x)) принимает в точке с
значение «(/(с) + g(c)) = a-f(c) +
+ a-g(c), совпадающее со значением
функции a-f(x)-j-a-g(x) в точке с.
Функция (ab)-f(x), как и функция
а(Ь-}(х)), принимает в точке с зна-
значение, равное abf(c), а значение
функции 1 -f(x) в точке с совпадает
со значением функции f(x).
9. Векторное прост-
пространство над телом ве-
вещественных чисел об-
образуют компл е к с н ы е
числа, если операцию сложения
определить как сложение комплек-
комплексных чисел, а умножение на вещест-
вещественные числа — как частный слу-
случай умножения комплексных чисел.
Как показано выше, комплексные
числа образуют относительно сло-
сложения коммутативную группу. Ум-
Умножение комплексных чисел всегда
порождает комплексное число, то
есть не выводит из множества комп-
комплексных чисел. Тождества, ко-
которые требуется доказать, в мно-
множестве комплексных чисел перехо-
переходят в законы дистрибутивности и ас-
ассоциативности, а последнее тождест-
тождество означает, что число 1 «исполняет
роль» единичного элемента в кольце
комплексных чисел.
10. Вещественные чис-
числа образуют векторное
пространство над телом
рациональных чисел, ес-
111

ли операция сложения определена
как сложение вещественных чисел,
а умножение на рациональное чис-
число — как умножение вещественных
чисел.
Доказательство проводится так
же, как и прежде, и опирается на
то, что тело вещественных чисел со-
содержит тело рациональных чисел.
Итак, векторное пространство по
существу можно рассматривать как
две «пятерки», каждая из которых
состоит из множества и четырех
двухместных операций. Две двух-
двухместные операции вместе с одним
из множеств образуют тело (разу-
(разумеется, для зтого еще должны вы-
выполняться соответствующие тож-
тождества), одно множество с одной опе-
операцией образуют коммутативную
группу и еще одной операцией яв-
является умножение вектора на ска-
скаляр. Чтобы всякий раз не пере-
перечислять все элементы двух пятерок
(поскольку теперь понятия группы
и тела можно считать известными),
достаточно рассматривать лишь
«тройку», состоящую из одной груп-
группы, одного тела и одной операции
умножения на скаляр. Такой под-
подход позволяет дать строгое опре-
определение векторного пространства.
Коммутативная группа М на-
называется векторным пространством
над коммутативным телом Г, если
задана операция, ставящая каж-
каждому а 6 Г и а 6 М в соответст-
соответствие некоторый элемент из М, обо-
обозначаемый аа. Эта операция обла-
обладает следующими свойствами:
а (а + Ь) — аа -|- <хЬ;
1-а = а.
Элементы М называются векто-
векторами, а элементы Г — скалярами.
Во всех примерах тело Г состо-
состояло из чисел. Но почти все полу-
полученные результаты остаются в силе
и для любых других тел. Наиболее
важны те тела, которые чаще всего
встречаются на практике, и среди
них — тело вещественных и тело
комплексных чисел. Векторные поля
над телом рациональных чисел при-
приведены скорее как иллюстрация об-
общего принципа. Встречаются так-
также и векторные пространства над
конечными телами и, в частности,
над телами, состоящими всего лишь
из двух элементов.
Рассмотрим теперь некоторые «де-
«детали» векторных пространств и до-
докажем их важные свойства.
Нулевые элементы существуют
и среди скаляров, и среди векторов,
но они различны. (Например, если
речь идет о четверках вещественных
чисел, то скалярным нулевым эле-
элементом является число 0, а нуле-
нулевым вектором — четверка @, 0,0, 0).)
Тем не менее и нулевой скаляр, и
нулевой вектор обладают одним свой-
свойством числа 0: если один из сомно-
сомножителей равен нулю, то произведе-
произведение также равно нулю.
Пусть а — произвольный скаляр,
аи — любой вектор. Тогда для ну-
нулевого скаляра и нулевого вектора
справедливы следующие соотноше-
соотношения:
и= 1-й = @+1) .ц = 0-ц + 1-ц =
= 0 • и + и;
а@
а-и.
Из группового свойства сложе-
сложения векторов следует, что опера-
операция, обратная сложению, — вычи-
вычитание — определена, и, следователь-
следовательно, 0-и и а-0 —нулевой вектор.
Векторные пространства обла-
обладают свойством, аналогичным свой-
свойствам колец без делителей нуля,
например кольца целых чисел: эле-
элемент аи может быть нулевым векто-
вектором лишь в том случае, если либо
а —нулевой скаляр, либо и —
нулевой вектор. Действительно, ес-
если аи = 0 и аф 0, то (поскольку
существует скаляр а) выполняет-
выполняется соотношение
0 = а0 = а-1 (аи) = (а^а) и = и,
то есть и = 0.
112

При вычислениях, производимых
с векторами, вектор, противопо-
противоположный данному, удобно записы-
записывать в виде исходного вектора, ум-
умноженного на скаляр (—1). Как
показывает соотношение
и + (— 1)м = 1-м + (— 1)-м =
вектор (—1)-м действительно сов-
совпадает с вектором, противополож-
противоположным вектору и.
Последнее заметание весьма «при-
«приятно», поскольку позволяет исклю-
исключить вычитание векторов: доста-
достаточно заменить в каждой разности
уменьшаемое вектором, умножен-
умноженным на соответствующий скаляр,
и свести вычитание к сложению про-
произведений векторов и скаляров. Тем
самым мы получаем общий способ
строить из заданных векторов но-
новые: составление сумм из заданных
векторов, умноженных на ска-
скаляры. Возможность представления
векторов в виде сумм скалярных
кратных заданных векторов при-
принадлежит к числу наиболее важных
свойств векторов. Такие суммы на-
называются линейными комбина-
комбинациями векторов.
Липойпой комбинацией векторов
и,, «2, ..., ип называется выражение
нида
где tXj, a2, ..., ап — произвольные
скаляры.
Если все скаляры, входящие в
линейную комбинацию, равны нулю,
то и сама линейная комбинация по-
порождает нулевой вектор. Такая ли-
линейная комбинация называется три-
тривиальной.
Нулевой вектор могут порождать
не только тривиальные линейные
комбинации. Например,
5.A, 2,-3)+ 4-B, -3,5) +
~f~ I • \ *±, О, X) ~f- \ О}' (О, 1, U] =5=
= E, 10, - 15) + (8, - 12, 20) +
+ (-4,5, 1) + (-9, -3,-6) =
=(_5 + 8 — 4 — 9, 10 — 12+5—3,
1 —15 + 20 + 1 — 6) = @, 0, 0).
Составив из заданных векторов
линейные комбинации, мы можем
составить линейные комбинации из
вновь полученных векторов, затем
линейные комбинации линейных
комбинаций новых векторов и т. д.
О важности линейных комбинаций
свидетельствует и то, что, начиная
со второго шага, мы будем получать
выражения одного и того же вида,
какие бы линейные комбинации ли-
линейных комбинаций ни составляли.
Это означает, что любая линейная
комбинация линейных комбинаций
заданных векторов является линей-
линейной комбинацией исходных векторов.
Например,
ц (ага
(asa
Аналогичным образом это ут-
утверждение можно доказать и при
любом другом большем или меньшем
числе заданных векторов. (Разумеет-
(Разумеется, строгое доказательство для обще-
общего случая потребовало бы использова-
использования полной индукции.)
Из полученного нами результата
следует, что ни сложение, ни вычи-
вычитание, ни умножение на скаляры не
выводит из множества линейных ком-
комбинаций заданных векторов. По-
Поскольку соответствующие тождества
выполняются во всем векторном про-
пространстве, то они выполняются и для
линейных комбинаций заданных век-
векторов.
Итак, мы получили подмножество
векторного пространства, элементы
которого образуют векторное прост-
пространство относительно операций, за-
заданных в исходном векторном прост-
пространстве. Подмножества такого типа
соответствуют подгруппам группы и
по аналогии с геометрией называют-
называются подпространствами.
Подмиозкество N векторного прост-
113

задает
эту точку
Этот вектор
Начало координат
Рис. 60.
рапства М называется подпростран-
подпространством векторного пространства, если
оно является векторным пространст-
пространством относительно операций, задан-
заданных в М.
Рассмотрим несколько примеров
подп ростра нств.
ПРИМЕРЫ
1.Нулевое пространст-
пространство и все пространство.
Так как 0 + 0 = аО = 0, то
подмножество, состоящее только из
нулевого вектора, всегда является
подпространством, а поскольку нуле-
нулевой вектор принадлежит всем под-
подпространствам, то подмножество, сос-
состоящее только из нулевого вектора, —
«наименьшее» из всех подпространств.
С другой стороны, множество всех
векторов также можно считать под-
подпространством, поскольку по опре-
определению оно является векторным
пространством относительно задан-
заданных операций. Нулевое подпрост-
подпространство и все пространство называ-
называются тривиальными подпространст-
подпространствами. Все остальные подпространства
называются истинными подпрост-
подпространствами.
2. Подпространства
векторов в трехмерном
пространстве. Поскольку под
действием параллельного переноса
векторы переходят в тождественные
им векторы, то удобно считать, что
все векторы отложены от некоторой
фиксированной точки (то есть из
каждого семейства одинаково на-
направленных, равных по длине и па-
параллельных векторов выбрать по
одному «представителю»). Эта точка
называется началом координат.. Все
векторы можно однозначно задать,
указав их концы, а любую точку
пространства рассматривать как ко-
конец некоторого вектора. Тем самым
устанавливается взаимно-однознач-
взаимно-однозначное соответствие между векторами и
точками в трехмерном пространст-
пространстве (рис. 60).
Это соответствие удобно тем, что
позволяет вместо множеств векторов
рассматривать гораздо более нагляд-
наглядные множества точек.
Если подпространство состоит из
одного-единственного элемента —
нулевого вектора, то соответствую-
соответствующее ему множество точек содержит
только начало координат.
Если в подпространстве существует
вектор а, отличный от нулевого, то
этому же подпространству принадле-
принадлежат и все скалярные кратные векто-
вектора а. Нетрудно видеть, что они об-
образуют подпространство, поскольку
являются линейными комбинациями
вектора а. Все эти векторы парал-
параллельны вектору а. Длина их может
быть произвольной, а направление
либо совпадает с направлением век-
вектора а, либо противоположно ему.
Следовательно, концы скалярных
кратных вектора а располагаются на
прямой, проходящей через конец
вектора а и начало координат. Если
множество концов векторов, образу-
образующих подпространство, мы условим-
условимся для кратности называть просто
подпространством, то результат на-
наших рассуждений можно сфор-
сформулировать следующим образом.
Подпространствами, заведомо пре-
превосходящими по «запасу» элементов
нулевое подпространство, состоящее
только из начала координат, слу-
114

жат прямые, проходящие через на-
начало координат. Все истинные под-
подпространства состоят из таких пря-
прямых, и каждая прямая, проходящая
через начало координат, сама явля-
является истинным подпространством.
Предположим теперь, что под-
подпространство содержит по крайней
мере две различные прямые, прохо-
проходящие через начало координат. Это
означает, что помимо вектора а под-
подпространству принадлежит вектор Ь,
не представимый в виде произведе-
произведения вектора а и скаляра. Тогда наше
подпространство содержит все век-
векторы вида аа + Ь. Их концы лежат
на прямой, параллельной вектору а и
проходящей через конец вектора Ъ
(рис. 61).
Таким образом, все точки прямой,
заполненной концами векторов аа +
+ Ь, принадлежат нашему подпрост-
подпространству. Следовательно, этому под-
подпространству принадлежат и все точ-
точки прямых, проведенных через кон-
концы векторов аа + Ь и начало коор-
координат/ Выбрав подходящий скаляр
а, мы сможем «дотянуться» вектором
до любой точки плоскости и провес-
провести через нее прямую, проходящую
через начало координат. Так как
концы векторов ал -\- Ъ принадле-
принадлежат нашему подпространству, то от-
отсюда следует, что ему принадлежат
и все точки плоскости. С другой сто-
стороны, ясно, что векторы, лежащие в
одной плоскости, образуют подпрост-
подпространство. Итак, вслед за прямыми,
проходящими через начало коорди-
координат, мы получаем в качестве под-
подпространств плоскости, проходящие
через начало координат.
Из приведенных выше рассужде-
рассуждений следует, что если две прямые
(проходящие через начало коорди-
координат) принадлежат некоторому под-
подпространству, то вся плоскость, на-
натянутая на эти прямые, принадлежит
тому же подпространству. Если рас-
рассматриваемое пространство помимо
плоскости содержит еще одну точку
(то есть вектор с, не представимый в
виде линейной комбинации введен-
введенных ранее векторов а и Ь), то, как
расположены концы
векторов вида da+b
~a
Начало
rfoopffi/нат
Рис. 61.
показывают геометрические сообра-
соображения, аналогичные приведенным
выше, нашему подпространству при-
принадлежат все точки трехмерного
пространства (рис. 62). Итак, пол-
полный перечень подпространств трех-
трехмерного пространства включает в
себя:
1) начало координат;
2) прямые, проходящие через на-
начало координат;
3) плоскости, проходящие через
начало координат;
4) все пространство.
3. Четверки чисел ви-
вида (а, Ь, 0, 0) образуют подпрост-
подпространство в векторном пространстве
четверок вещественных чисел.
Достаточно доказать, что линей-
линейная комбинация четверок вида (а,
Ъ, 0, 0) имеет такой же вид. Имеем
с(а, Ъ, 0,0) + d (х, у, 0,0) =
= (са + dx, cb + dy, 0, 0).
Здесь расположены нонцы
векторов в ив a d.a+ flb+c
Рис. 62,
115

4. Четверки чисел (а,
b, с, d), для которых а + Ъ + с +
+ d = 0, образуют подпространст-
подпространство векторного пространства всех чет-
четверок. '
Образуем опять линейную комби
нацию. Если a + fe + c + d
их + y + u + y =0, то р(а, Ь,
c, d) + q(x, у, и, v) = (pa + qx,
pb + qy, pc + qu, pd + qv) и для
последней четверки выполняется со-
соотношение pa + qx + pb + qy +
+ pc + du + pd + qv =
= p(a + 6 + с + d) + q(x + y+
+ u + y) =0 + 0 =0, что и до-
доказывает наше утверждение.
5. Числовые последо-
последовательности, у которых
все члены, начиная с не-
некоторого, равны нулю,
образуют подпространство в вектор-
векторном пространстве вещественных чис-
числовых последовательностей.
Ясно, что в сумме двух таких по-
последовательностей, начиная с неко-
некоторого места, все члены также рав-
равны нулю; таким местом будет место,
с которого члены обеих последова-
последовательностей равны нулю. Ясно также,
что, если такую последовательность
умножить на скаляр, то в произве-
произведении все члены заведомо равны ну-
нулю, начиная с того же места, что и в
исходной последовательности. (Если
последовательность умножить на 0,
то нули в произведении могут на-
начаться с «более близкого» места, чем
в исходной последовательности.)
Относительно связи между под-
подпространствами и линейными комби-
комбинациями мы уже установили, что
линейные комбинации заданных век-
векторов всегда образуют подпростран-
подпространство векторного пространства. «Пол-
«Полное обращение» зтого утверждения
неверно. Тем не менее, как нетрудно
понять, всякое подпространство об-
обладает следующим свойством: вмес-
вместе с любыми принадлежащими ему
векторами оно содержит и все их
линейные комбинации. Действитель-
Действительно, если какие-то векторы принадле-
принадлежат подпространству, то тому же
подпространству должны принадле-
принадлежать (по самому определению под-
подпространства) и векторы, отличаю-
отличающиеся от них скалярными множите-
множителями, и их суммы.
= О ЗАДАЧИ
1. Доказать, что четверки чисел
(х, у, и, v), для которых выполняются
соотношения 2х — Ъу + Ъи + v =
— 0 и —Ъх + 2у + v = 0, образу-
образуют подпространство векторного про-
пространства всех четверок чисел.
2. Доказать, что так называемые
ограниченные последовательности
образуют подпространство векторно-
векторного пространства бесконечных после-
последовательностей . (Последовательность
называется ограниченной, если ее
члены по абсолютной величине мень-
меньше ^некоторого числа, зависящего
лишь от выбора последовательности.)
3. Доказать, что последовательнос-
последовательности, у которых сумма квадратов их
членов ограничена числом, завися-
зависящим лишь от выбора последователь-
последовательности (независимо от того, сколько
членов последовательности входит в
сумму), образуют подпространство
векторного пространства всех огра-
ограниченных последовательностей.
4. Доказать, что многочлены от к
переменных с вещественными коэф-
коэффициентами образуют подпростран-
подпространство векторного пространства много-
многочленов от п переменных с веществен-
вещественными коэффициентами при к < п.
5. Доказать, что многочлены от п
переменных степени не выше 1 об-
образуют подпространство векторного
пространства многочленов от п пе-
переменных с вещественными коэффи-
коэффициентами.
6. Доказать, что в векторном про-
пространстве многочленов от п перемен-
переменных степени не выше 1 с веществен-
вещественными коэффициентами многочлены,
имеющие своими корнями заданные
наборы из п чисел, образуют подпро-
подпространство.
116

2.2. Подпространство,
порожденное векторами,
линейная зависимость,
размерность
Как известно, общие элементы под-
подгрупп одной группы образуют от-
отдельную подгруппу. Аналогичное ут-
утверждение справедливо и относи-
относительно подпространств.
Рассмотрим подпространства N(, Ns, ...
векторного пространства М. Обозначим
через f)(Nj) множество их общих эле-
элементов (если число подпространств ко-
конечно, например равно 2, то множество
их элементов можно обозначить Nx f) N2
или аналогичным выражением, содержа-
содержащим соответствующее число членов). Пусть
и и v — элементы множества N = D(Nj).
Тогда оба элемента принадлежат каждому
из подпространств tit, и поэтому любая
линейная комбинация аи -f- pp также при-
принадлежит каждому из подпространств N;,
а значит, и множеству N. Нулевой вектор
также принадлежит множеству N, по-
поскольку его содержит каждое из под-
подпространств N|. Следовательно, необ-
необходимо лишь доказать, что множество N
вместе с любым числом векторов содер-
содержит и их линейные Комбинации. Впрочем,
можно сослаться на то, что доказательство
этого утверждения для произвольного чис-
числа векторов проводится так же, Как и для
двух векторов,
Небезынтересно отметить, что по су-
существу наше утверждение уже доказано.
Действительно, если какое-то подмноже-
подмножество векторного пространства содержит
нулевой вектор (и, следовательно, не пус-
пусто) и вместе с любыми двумя векторами
и и v ему принадлежит произвольная ли-
линейная Комбинация аи -{- Р». то это под-
подмножество является подпространством.
Действительно, полагая а=р=1ир =
= 0, мы убеждаемся, что наше подмно-
подмножество содержит векторы и -\- v и аи.
По определению это и означает, . что
перед нами подпространство.
Используя доказанное свойство
подпространств, рассмотрим общую
часть подпространств, содержащих
каждый из заранее заданных векто-
векторов. (Согласно доказанному общая
часть представляет собой подпрост-
подпространство, содержащее все заданные
векторы.)
Общая часть подпространств, каж-
каждое из которых содержит все заранее
заданные векторы, называется под-
подпространством, порожденным задан-
заданными векторами.
Подпространство, порожденное
векторами и^, и2, ..., ип, ..., обозна-
обозначим
{щ, «2,... , ип,... }.
Ясно, что подпространство, порож-
порожденное векторами u1, и2, ..., ип, ...
..., содержит все линейные комбина-
комбинации этих векторов. Но, с другой сто-
стороны, линейные комбинации этих век-
векторов образуют подпространство (и в
том случае, если векторов щ, и2 , ...
...,мп, ...бесконечно много, посколь-
поскольку в каждую линейную комбинацию
входит лишь конечное число векто-
векторов, а как построить линейную ком-
комбинацию даже очень большого, но
конечного числа векторов известно).
Подпространство, порожденное
векторами U), и2, ..., ип, ..., состоит
из линейных комбинаций этих векто-
векторов. Если оно совпадает со всем век-
векторным пространством, то множест-
множество векторов м1( 1*2, ..., ип, ... называ-
называется системой образующих.
Например, в трехмерном прост-
пространстве система образующих состо-
состоит из любых трех векторов, не лежа-
лежащих в одной плоскости, в двумерном
пространстве (на плоскости) — из
любых двух непараллельных векто-
векторов.
Заметим, что, присоединив к систе-
системе образующих новый вектор (или
новые векторы), мы опять получим
систему образующих, поскольку и до
расширения исходной системы обра-
образующих она не принадлежала ни
одному истинному подпространству.
Элементами подпространства, по-
порожденного заданными векторами,
как мы убедились, являются векто-
векторы, представимые в виде линейных
комбинаций заданных векторов. По-
Поскольку элементы подпространства
линейно выражаются через заданные
векторы, то говорят, что они линейно
зависят от заданных векторов.
Вектор v называется линейно зави-
зависимым от лекторов щ, и2, ..., м,м,если
его можно цредстаиить л виде линей-
линейной комбинации векторов ии ц2, ...
117

..., ип. Вектор v называется линейно
независимым от векторов их, и^, ...
..., ип, если ни одна линейная комби-
комбинация этих векторов не совпадает с
вектором v.
Поскольку линейные комбинации
заданных векторов являются эле-
элементами порожденного этими векто-
векторами подпространства, то линейную
зависимость можно выразить следу-
следующим образом:
вектор v линейно зависит от векто-
векторов иг, и2, ..., ип, если *>€{«!, «г. —
•••, «Л,
вектор v не зависит линейно от
векторов щ, и2, ..., ип, если v £
Циг, u2, ..., ип}.
Рассмотрим несколько элементар-
элементарных свойств линейной зависимости.
а) Нулевой вектор линейно зави-
зависит от любого множества векторов.
Это утверждение просто означает, что
нулевой вектор принадлежит любому под-
подпространству векторного пространства.
б) Всякий вектор линейно зависит
от любого содержащего его множест-
множества векторов.
Это утверждение очевидно. Оно озна-
означает, что подпространство, порожденное
заданными векторами, содержит каждый
из них.
в) Если вектор w линейно зависит
от векторов vu v?,, ..., vh, а каждый
из этих векторов линейно зависит
от векторов их, u2, ..., ип, то вектор
w линейно зависит от векторов ut,
и2. ••-, «п-
В правильности этого утверждения мож-
можно убедиться без особого труда. Если ш —
элемент подпространства, порожденного
векторами vlt v%,...,vh, то w принадлежит
любому подпространству, содержащему
каждый из векторов vx, щ,...,ик. Но по
предположению \и1г U2,,..,un} — такое
подпространство. Следовательно, вектор
w линейно зависит от векторов иг, и^,...,
ип, что и требовалось доказать.
В связи с линейной зависимостью
возникает весьма важный вопрос об
«экономии». Предположим, что в не-
некотором векторном пространстве су-
существует система образующих, сос-
состоящая из трех элементов (таково,
например, трехмерное пространство).
118
Но представим себе, что из-за какой-
то «оплошности» нам удалось по-
построить только систему образующих,
содержащую помимо трех исходных
векторов еще два дополнительных.
(Известно, что, если к системе обра-
образующих присоединить новые векторы,
то расширенный набор векторов так-
также будет системой образующих.) Это
нежелательно по многим причинам,
хотя бы потому, что расширенная
система образующих содержит лиш-
лишние элементы. Два новых вектора
можно исключить, поскольку они
линейно зависят от трех остальных
образующих. Действительно, спра-
справедливы следующие два утверждения:
1) каждый из пяти построенных
векторов линейно зависит от трех ис-
исходных векторов (два вектора — по
предположению, а три исходных век-
вектора — по свойству (б) линейной за-
зависимости);
2) все векторы линейно зависят от
пяти построенных векторов (по пред-
предположению эти пять векторов сос-
составляют систему образующих век-
векторного пространства).
Если утверждения A) и B) запи-
записать подряд (каждый из пяти по-
построенных векторов линейно зависит
от трех исходных векторов; все векто-
векторы линейно зависят от пяти постро-
построенных векторов), то из этих посылок
в силу свойства (в) линейной зависи-
зависимости следует, что «все векторы ли-
линейно зависят от трех исходных век-
векторов», то есть три исходных вектора
служат системой образующих век-
векторного пространства.
В приведенном выше рассуждении
нигде не использовалось то, что «три
исходных вектора» — это «те самые»
заданные векторы: выбрав любую
другую тройку векторов (но непре-
непременно из пяти векторов расширенной
системы образующих!), мы пришли
бы к тому же заключению.
Окончательный результат наших
рассуждений можно сформулировать
следующим образом: если в системе
образующих один из векторов ли-
линейно зависит от остальных, то, вы-
вычеркнув его, мы снова получим сие-

тему образующих. Следовательно, ес-
если некоторую систему образующих
требуется по возможности «сокра-
«сократить», то необходимо выяснить, не
найдется ли среди ее элементов та-
таких , которые линейно зависели бы от
остальных.
Аналогичный вопрос возникает не
только для систем образующих, но
и для любой системы векторов, по-
порождающих подпространство (для
подпространства, рассматриваемого
как «самостоятельное» векторное про-
пространство, порождающую его сис-
систему векторов допустимо считать сис-
системой образующих). «Хорошей » счи-
считается такая система векторов, ко-
которая не содержит ни одного вектора,
линейно зависимого от остальных
элементов системы. Два типа систем
векторов — «хорошие» и «плохие» —
получили особые названия.
Если в системе векторов Uj,u2, ...
..., ип существует вектор, линейно
зависимый от остальных элементов
системы, то такая система векторов
называется линейно зависимой (или,
кратко, зависимой). Если же систе-
система не содержит линейно зависимых
векторов, то она называется линейно
независимой.
Если система векторов линейно
зависима, то, вычеркнув из нее те
векторы, которые линейно зависят
от остальных, мы получим систему
векторов, порождающую то же под-
подпространство, что и исходная систе-
система. При этом новая система векторов
может оказаться как линейно зависи-
зависимой, так и линейно независимой. Это
означает, что, вычеркнув из линейно
зависимой системы принадлежащий
ей вектор, мы можем получить как
линейно зависимую, так и линейно
независимую систему. Если же сис-
система линейно независима, то, вы-
вычеркнув из нее любой вектор, мы
снова получим линейно независимую
систему. Действительно, если после
вычеркивания вектора какой-нибудь
из векторов «укороченной» системы
линейно зависел от остальных век-
векторов, то та же линейная зависи-
зависимость связывала бы векторы и в ис-
исходной системе, что невозможно, так
как исходная система линейно неза-
независима.
(Интересно отметить, что в случае
линейно независимых систем мы стал-
сталкиваемся с ситуацией, обратной той,
с которой встретились при рассмот-
рассмотрении системы образующих: там при-
присоединение нового вектора не изме-
изменяло характера системы.)
Установить описанным выше спо-
способом, является ли данная система
векторов линейно зависимой или ли-
линейно независимой, было бы делом
весьма сложным и трудоемким. Бы-
Было бы чрезвычайно неудобно, если
бы мы могли утверждать, что ни один
вектор системы не зависит линейно
от других ее векторов, лишь пере-
перебрав все векторы системы. Именно
поэтому возникла мысль, найти при-
признак линейной независимости, поз-
позволяющий отвечать на вопрос о том,
зависит ли данный вектор линейно от
остальных векторов системы или нет,
«сразу», не рассматривая каждый
элемент системы в отдельности.
Система векторов линейно незави-
независима в том и только в том случае,
если в ней нулевой вектор предста-
представим лишь в виде тривиальной линей-
линейной комбинации.
Сформулируем признак линейной
независимости системы векторов
более подробно.
Предположим, что заданы векторы
«х, и2, ..., ип. Если найдутся такие
скаляры at, a2, ..., а„, из которых
по крайней мере один отличен от ну-
нуля, что
то система векторов и,, и2, ..., ип
линейно зависима. Если же линей-
линейная комбинация atut + а^Щ + ...
... + апип совпадает с нулевым векто-
вектором лишь в том случае, если все ска-
скаляры аг, o&2, ••-, an равны нулю, то
система векторов их, и%, ..., ип линей-
линейно независима.
Доказать это утверждение можно сле-
следующим образом.
Если векторы щ, щ.,...,ип линейно за-
зависимы, то по определению среди них су-
119

шествует такой вектор, который лииейио
зависит от остальных. Пусть это будет,
например, вектор иг. Его можно предста-
представить в виде линейной комбинации
или (если вектор, противоположный век-
вектору щ, записать в виде скалярного крат-
кратного вектора Uj)
Если вектор и линейно зависит
^дгп этих венторов,
(- 1) «! +
+
+ ?„«„ = 0.
Итак, нулевой вектор можно представить
в виде .линейной комбинации векторов
Uj, U2,...,un Эта линейная комбинация
заведомо нетривиальна, так как первый
сналяр —1 отличен от нуля.
Наоборот, если существует нетривиаль-
нетривиальная линейная комбинация векторов щ,
щ ,..,,ип, совпадающая с нулевым век-
вектором OjU^-Ь 0ЦЦ2 ■+• ■••+ апиП = 0, ТО
по крайней мере один из скаляров аи
аг,.-,^ отличен от нуля. Не ограничивая
общности, можно предположить, что, на-
например, 04=7^ 0 Перевеся член 04иг в дру-
другую часть равенства и умножив на а
(а существует, так как а^ф 0), получим
Это и означает, что вектор иг линейно
зависит от остальных заданных векторов.
В трехмерном пространстве любые
три вектора, не лежащие в одной плос-
плоскости, линейно независимы, но гео-
геометрия относительного расположе-
расположения векторов носит довольно слож-
сложный характер. С точки зрения
геометрии гораздо более простым яв-
является случай, когда система состо-
состоит из трех попарно ортогональных
векторов единичной длины. Вполне
возможно, что при решении каких-
то математических задач предпочте-
предпочтение следует отдавать не каким-нибудь
«более удобным» в том или ином смыс-
смысле системам векторов. Разумеется,
с алгебраической точки зрения воп-
вопрос о том, какая из линейно незави-
независимых систем лучше, лишен смысла.
(Как мы убедимся в дальнейшем,
с алгебраической точки зрения все
линейно независимые системы «рав-
«равноправны»). Таким образом, пробле-
проблема «усовершенствования» линейно не-
независимой системы векторов в алгеб-
алгебре не возникает, но вопрос о том,
каким образом одну систему линейно
независимых векторов можно преоб-
но
не зависит линейно
от этих венторов,
то вектор у линейно
зависит от этих векторов
Рис. 63.
разовать в другую, носит вполне
алгебраический характер. Следова-
Следовательно, каждое «усовершенствова-
«усовершенствование», вносимое в заданную линейно
независимую систему векторов, над-
надлежит оценивать особо и лишь за-
затем решать, удалось ли «улучшить»
исходную систему.
В данный момент нас интересует
вопрос о том, каким образом одну
линейно независимую систему век-
векторов можно преобразовать в дру-
другую. В рассмотренном выше случае
трехмерного пространства обе сис-
системы — исходная (любые три век-
вектора, не лежащие в одной плоскости)
и конечная (три попарно ортого-
ортогональных вектора единичной длины) —
содержали одинаковое число векто-
векторов. К такому преобразованию мы
придем, заменяя векторы исходной
системы по одному до тех пор, пока
шаг за шагом не заменим все «старые»
векторы на «новые». Поэтому прежде
всего необходимо выяснить, в каких
случаях один вектор допустимо за-
заменять другим. Ответ на этот вопрос
гласит:
если вектор и линейно зависит от
векторов иг, и2, ..., un, v, но не за-
зависит линейно от векторов их, иг, ...
..., ип, то вектор v линейно зависит
от векторов иг, и2, ..., ип, и (рис. 63).
Доказательство этого утверждения весь-
весьма просто. Если вектор и линейно за-
зависит от векторов щ, щ,...,ип, v, то его
можно представить в виде
120

В этой линейной комбинации скаляр ($
не может быть отличен от нуля, поскольку
в противном случае вектор и зависел бы
линейно от Викторов щ, U2,...,un. Следова-
Следовательно, существует скаляр Р~1. Умножая
на него и перенося векторы а^щ, а^щ,...,
апип в ДРУГУЮ часть равенства, полу-
получаем
что и требовалось доказать.
При рассмотрении систем образу-
образующих было показано, что, присое-
присоединив к системе новые векторы, мы
снова придем к системе образую-
образующих. Изучая линейно независимые
системы «опытным путем», мы обна-
обнаружили, что при исключении из
системы отдельных векторов возни-
возникает новая линейно независимая сис-
система. Возникает «подозрение», что
линейно независимые системы «уже»,
а системы образующих — «шире».
В обоснованности подобных со-
сомнений можно убедиться, если по-
подойти к задаче с «противоположной
стороны». Действительно, присое-
присоединив к системе образующих новый
вектор, линейно зависимый от ос-
остальных векторов системы, мы не
сможем получить линейно независи-
независимую систему векторов. Вычеркнув из
линейно независимой системы векто-
векторов любой вектор (линейно независи-
независимый от остальных векторов), мы не
сможем получить систему образую-
образующих.
В любом векторном пространстве
ни одна линейно независимая систе-
система векторов не может содержать
больше элементов, чем любая систе-
система образующих.
В определенном смысле аналогич-
аналогичное утверждение остается в силе и в
том случае, если линейно независи-
независимая система содержит бесконечно
много элементов. Нас же теперь ин-
интересуют только линейно независи-
независимые системы, состоящие из конеч-
конечного числа элементов. Если система
образующих содержит бесконечно
много элементов, то, разумеется, она
заведомо «шире» любой конечной ли-
линейно независимой системы. Следова-
Следовательно, необходимо рассмотреть лишь
такой случай, когда и линейно
независимая система векторов, и сис-
система образующих состоят из конеч-
конечного числа элементов.
Пусть %, а2, ..., an — система
образующих векторного простран-
пространства, а Ьи Ъг, ..., bh — система ли-
линейно независимых векторов в том
же векторном пространстве. Требует-
Требуется доказать, что к < п. Для этого
достаточно убедиться в том, что в
данной системе образующих найдется
к векторов, образующих линейно
независимую систему. (Отсюда, в
частности, будет следовать, что дан-
данная система образующих заведомо
содержит к векторов.)
В процессе доказательства мы по-
покажем, что из линейно независимой
системы можно вычеркнуть вектор
(если только все векторы линейно
независимой системы не принадле-
принадлежат системе образующих) и заменить
его вектором из системы образующих
так, чтобы получившаяся система
снова была линейно независимой.
Для простоты, не ограничивая общ-
общности, предположим, что, если в ли-
линейно независимой системе имеются
векторы, не принадлежащие системе
образующих, то они «идут первыми».
Будем считать, что элементы систе-
системы образующих расположены в
«удобном» (хотя и заранее неизвест-
неизвестном) порядке, при котором элемент,
пригодный для замены очередного
вычеркнутого вектора, всегда идет
«следующим». Итак, пусть Ьи Ъг, ...,
b/j — векторы линейно независимой
системы, а %, а2, ..., ап — векторы
системы образующих. Вычеркнем
вектор Ьх и заменим его вектором %.
Выполнив это преобразование, мы
получим линейно независимую сис-
систему, а система образующих при этом
не изменится. Вычеркнем затем век-
вектор Ь2 и заменим его вектором а2.
Вновь полученная система векторов
также линейно независима, а систе-
121

ма образующих и на этот раз остает-
остается без изменений. Продолжая эти
преобразования, мы после конеч-
конечного числа шагов «исчерпаем» век-
векторы Ъ и получим линейно независи-
независимую систему, состоящую из к век-
векторов системы образующих.
Линейно независи-
независимая система
Система
образующих
Ь?, b9, ... . Ьь I
f- - -f
Вычеркнув этот вектор и заменив его этим
вектором, мы получим новую линейно неза-
независимую систему, а система образующих
останется прежней:
Система образующих
Линейно независимая
система
Повторив преобразование еще раз,
мы придем к следующим системам!
Система образующих
Линейно независимая
система
Докажем, что сделанные «шаги» ведут
к доказательству нашего утверждения.
Вычеркнем из линейно независимой сис-
системы какой-нибудь вектор, например Ь,.
Прежде всего докажем, что в системе об-
образующих найдется вектор, который не
зависит линейно от системы векторов
b2,...,bfe.
Если такого вектора в системе образую-
образующих не было, то
все векторы а.{ зависели бы линейно
от -векторов Ь2, b3,...,bh. A)
Но поскольку aj, п2,...,ап — система об-
образующих , то
вектор bj линейно зависит от векто-
векторов а,, аг,...,ап. __ B)
Из этих двух утверждений и свойства
(в) линейной зависимости следовало бы,
что вектор bj линейно зависит от векторов
b2,...,bh. Но тогда система векторов Ьи
6a,...,bfe вопреки предположению была бы
линейно независимой.
Следовательно, один из элементов сис-
системы образующих (если 1аких элементов
несколько, то любой из них), например
а., не зависит линейно от векторов Ьг,•••.&&■
Это овначает, что векторы b2,...,bfe, <ц
обравуют линейно независимую систему.
Действительно, если бы система векторов
b2.-.,b/j, % была бы линейно зависимой,
то некоторая нетривиальная линейная ком-
комбинация векторов bi,...,bk, а| была бы
равна нулевому вектору. В этой линейной
комбинации элемент, кратный вектору
ах, содержал бы скаляр, отличный от нуля,
независимо от того, с какими скалярами
входят в линейную комбинацию члевы,
кратные векторам b%,...,bk. Но это не-
невозможно, так как вектор о, линейно не-
независим ет векторов b2,...,bfe.
В векторных пространствах особо
важную роль играют такие системы
векторов, которые «не слишком ма-
малы и не слишком велики», то есть
системы образующих, обладающие
еще одним, дополнительным свойст-
свойством: линейной независимостью. Та-
Такие системы образующих называются
базисами.
Линейно независимая система об-
образующих векторного пространства
называется базисом.
Разумеется, нельзя утверждать за-
заранее, что во всяком векторном про-
пространстве существует базис, но мож-
можно доказать соответствующую теоре-
теорему. В общем случае для выполнения
этой задачи нам понадобилось бы
большое число математических поня-
понятий, и поэтому мы проведем доказа-
доказательство лишь для частного случая,
когда в векторном пространстве су-
существует конечная система образую-
образующих.
Может случиться, что, вычеркнув из
системы образующих какой-нибудь эле-
элемент, мы вновь получим систему образую-
образующих. Если это так, то будем вычеркивать
из исходной системы образующих элемен-
элементы до тех пор, пока это возможно. По-
Поскольку на каждом шаге мы получаем
систему образующих, то и оставшиеся
элементы также составляют систему об-
образующих. Нетрудно убедиться в том,
что эта система линейно независима. Дей-
Действительно, если бы, например, вектор
щ линейно зависел от остальных векторов,
то по свойству (в) линейной зависимости
все элементы векторного пространства ли-
линейно зависели бы от векторов щ,..,ип, то
есть векторы ua,...,un были бы системой
образующих векторного пространства и,
следовательно вычеркивание векторов нель-
нельзя было бы завершить по достижении
системы образующих щ, ui,..,,un.
Базис векторного пространства
«выделен» среди линейно независи-
независимых систем и систем образующих в
следующем смысле.
Если в векторном пространстве
122

существует базис, состоящий из п
элементов, то:
1) любая линейно независимая сис-
система в этом векторном пространстве
содержит не более п элементов;
2) любая система образующих в
этом векторном пространстве содер-
содержит не менее п элементов;
3) любой другой базис в этом век-
векторном пространстве содержит равно
п элементов.
Базис векторного пространства можно
рассматривать как систему образующих,
содержащую п элементов. Так как число
элементов в линейно независимой системе
векторов не превышает числа элементов
в системе образующих, то утверждение
A) можно считать доказанным. Доказатель^1
ство утверждения B) мы получим, если
будем рассматривать базис как ли-
линейно независимую систему векторов. На-
Наконец, утверждение C) следует из того,
что базис как линейно независимая систе-
система образующих по утверждению A) со-
содержит не более, а по утверждению B)
не менее п элементов.
Следующая теорема позволяет по-
понять, почему в векторных простран-
пространствах базисы играют столь важную
роль:
в произвольном векторном прост-
пространстве всякий вектор можно одно-
однозначно представить в виде линейной
комбинации векторов любого базиса;
наоборот, если всякий вектор можно
однозначно представить в виде ли-
линейной комбинации векторов неко-
некоторой Системы, то эта система обра-
образует базис векторного пространства.
Заранее известно, что система век-
векторов является системой образующих
векторного пространства лишь в том
случае, если всякий вектор можно
представить в виде линейной комби-
комбинации векторов системы. Следова-
Следовательно, достаточно доказать, что сис-
система векторов линейно независима
лишь в том случае, если всякий век-
вектор, представимый в виде линейной
комбинации ее векторов, можно ли-
линейно выразить через эти векторы
только одним способом.
Прежде чем приступать к доказа-
доказательству, вспомним одно из приво-
приводившихся выше определений линей-
линейной независимости: система векторов
линейно независима в том и только в
том случае, если нулевой вектор од-
однозначно представим в виде линей-
линейной комбинации векторов системы
(то есть если только тривиальная
линейная комбинация равна нулево-
нулевому вектору). Следовательно, утверж-
утверждение, которое нам предстоит дока-
доказать, можно сформулировать так:
один заданный вектор допускает од-
однозначное представление в виде ли-
линейной комбинации векторов систе-
системы в том и только в том случае, если
все векторы однозначно представимы
в виде линейных комбинаций векто-
векторов этой системы.
Одна часть последнего утверждения оче-
очевидна: если все векторы однозначно пред-
представимы в виде линейных комбинаций
заданных векторов, то и нулевой вектор
обладает тем же свойством. Поскольку
тривиальная линейная комбинация по-
порождает нулевой вектор, то никакая дру-
другая линейная комбинация не может быть
нулевым вектором. Это и означает, что
заданная система векторов линейно не-
независима.
Предположим теперь, что вектор v
можно представить в виде линейной ком-
комбинации линейно независимых векторов
щ, Ui,...,un двумя различными способами:
V = OjUj -f- Я2Ц2
-f Я„«п =
Отсюда следует, что вектор 0 = и — v
допускает представление в виде линейной
комбинации
=(«l— Pi)
— РЯ) «2 И" ••
Поскольку векторы ux, щ,..., ип линейно
независимы, эта линейная комбинация
может быть только тривиальной, то есть
все «коэффициенты» равны нулю. Это
означает, что щ — Pi, а% = Рг,--,о&и ==
== Рп, то есть представление любого век-
вектора в виде линейной комбинации заданных
векторов однозначно.
Приведем теперь несколько при-
примеров базисов.
ПРИМЕРЫ
1. Векторы на плоскос-
плоскости и в трехмерном про-
пространстве. В множестве векто-
векторов на плоскости базис образуют
123

любые два непараллельных вектора.
Поскольку векторы базиса не парал-
параллельны, то ни один из них не являет-
является скалярным кратным другого и
поэтому они линейно независимы.
Так как всякий вектор на плоскости
можно представить в виде линейной
комбинации этих векторов, то их
можно рассматривать как систему
образующих. В трехмерном прост-
пространстве базисом служат любые три
вектора, не лежащие в одной плос-
плоскости.
2. Векторное прост-
пространство четверок ве-
вещественных чисел. Базис
образуют четверки A,0,0, 0), @. 1
0, 0), @, 0,1, 0) и @, 0,0, 1). Их ли-
линейная комбинация получается по
«рецепту»:
аA, 0,0, 0) + Ь@, 1,0,0) +
+ с@, 0, 1,0)+ «/@,0,0, 1) =
= (а, Ъ, с, d).
Поскольку в правой части равенства
может стоять любая четверка ве-
вещественных чисел, то заданный набор
четверок можно рассматривать как
систему образующих. Вектор, стоя-
стоящий в правой части равенства, мо-
может быть нулевым лишь в том случае,
если а = Ъ = с — d = 0, а это и
означает, что векторы A, 0, 0, 0),
@, 1,0, 0), @,0, 1,0) и @,0, 0,1)
линейно независимы.
3. Векторное прост-
пространство комплексных
чисел над телом вещест-
вещественных чисел. Базис образу-
образуют комплексные числа 1, г, так как
любой вектор допускает однознач-
однозначное представление в виде аЛ + Ъ• i =
= а + Ы.
4. Многочлены с вещест-
вещественными коэффициен-
коэффициентами. Базис образуют много-
многочлены 1, х, х%, ..., хп, ...'. В этом
базисе бесконечно много элементов,
но, как нетрудно видеть, всякий мно-
многочлен можно однозначно предста-
представить в виде линейной комбинации
элементов базиса.
5. Вещественные числа
над телом рациональ-
рациональных чисел. Можно показать,
что базис существует и в этом слу-
случае, но как выписать его в явном ви-
виде, мы не знаем.
В первом примере было показано,
что на плоскости (как принято назы-
называть двумерное векторное простран-
пространство) базис состоит из двух, а в трех-
трехмерном пространстве — из трех
элементов. Аналогичным образом
можно определить и га-мерное век-
векторное пространство.
Векторное пространство называет-
называется га-мерным, если в нем существует
базис, содержащий га элементов.
Поскольку число элементов бази-
базиса однозначно определено, то раз-
размерность векторного пространства
также однозначно определена. Од-
Однако не следует забывать и о том, от
чего зависит размерность: над каким
телом рассматривается векторное
пространство. Например, тело комп-
комплексных чисел над телом веществен-
вещественных чисел образует двумерное век-
векторное пространство, а над телом
комплексных чисел (то есть над са-
самим собой) — одномерное вектор-
векторное пространство.
Векторные пространства, в кото-
которых ни при каком целом га не сущест-
существует базиса, содержащего га элемен-
элементов, называются бесконечномерными.
Следуя общему определению, мы
должны были бы назвать нульмер-
нульмерным векторное пространство, базис
которого содержит «нуль элементов».
Разумеется, такое «определение» бы-
было бы бессмысленным. По аналогии
(и многим другим соображениям)
векторное пространство, содержащее
только нулевой вектор, называется
нульмерным.
Заметим также, что векторное про-
пространство одномерно в том и только
в том случае, если оно состоит из
скалярных кратных одного (отлич-
(отличного от нулевого) вектора.
ЗАДАЧИ
1. Выяснить, какие из приводи-
приводимых ниже утверждений совпада-
124

ют и какие различны по содержа-
содержанию:
а) в векторном пространстве не
существует линейно независимой сис-
системы из к элементов;
б) в векторном пространстве су-
существует линейно независимая сис-
система из к элементов;
в) в векторном пространстве су-
существует линейно независимая систе-
система из к элементов, но не существу-
существует линейно независимой системы из
к + 1 элементов;
г) в векторном пространстве су-
существует линейно независимая сис-
система из к элементов, но не существует
линейно независимой системы более
чем из к элементов;
д) в векторном пространстве не су-
существует системы образующих из к
элементов;
е) в векторном пространстве су-
существует система образующих из
к элементов;
ж) - в векторном пространстве су-
существует система образующих из к
элементов, но не существует системы
образующих из к — 1 элементов;
з) в векторном пространстве су-
существует система образующих иэ
к элементов, но не существует систе-
системы образующих менее чем из к эле-
элементов;
и) размерность векторного прост-
пространства не меньше к;
к) размерность векторного прост-
пространства равна к;
л) размерность векторного прост-
пространства не больше к.
2. Доказать, что в векторном про-
пространстве все системы образующих
содержат некоторый базис.
3. Доказать, что в га-мерном век-
векторном пространстве всякую линей-
линейно независимую систему векторов
можно дополнить до базиса.
4. Доказать, что, если все элемен-
элементы линейно независимой системы
векторов принадлежат некоторой
системе образующих, то в этой сис-
системе образующих можно выделить
подмножество, которое содержит рас-
рассматриваемую линейно независимую
систему векторов и является б азисом.
2.3. Изоморфизм и прямая сумма
векторных пространств
Изоморфизм — наиболее важное
понятие в теории векторных прост-
пространств, как, впрочем, и в теории
групп и полугрупп. С алгебраической
точки зрения изоморфные век-
векторные пространства невозможно от-
отличить, поскольку изоморфизм век-
векторных пространств означает, что
операции действуют в них «одина-
«одинаково». С другой стороны, нам вовсе
не требуется различать изоморфные
векторные пространства потому, что
результаты получаются гораздо про-
проще, если отвлечься от конкретных
особенностей операций и элементов.
О том, что векторные пространст-
пространства изоморфны, можно говорить лишь
в случае, если они заданы над одним
и тем же телом. (Строго говоря, до-
достаточно потребовать, чтобы тела,
над которыми заданы векторные про-
пространства, были изоморфными. Но
поскольку с алгебраической точки
зрения изоморфные тела ничем не
отличаются, то для простоты мы сра-
сразу же будем считать, что они совпа-
совпадают.) Под изоморфизмом векторных
пространств понимают взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие между ними,
сохраняющее операцию.
Векторные пространства Мх и М2
над телом Г называются изоморфны-
изоморфными (Мх ss M2), если существует та-
такое взаимно-однозначное соответст-
соответствие
<р: М, -> М2,
что при любом скаляре а из Г и лю-
любых векторах и и v из М,
!р (аи) = а • 9 (и)
и
<р (и + v) = <р (и) + <р (v).
Перечисление всех неизоморфных
групп (или скорее полугрупп) —
задача весьма трудная, но в случае
векторных пространств она имеет
простой ответ:
два векторных пространства ко-
конечной размерности изоморфны в том
125

и только в том случае, если их раз-
размерности совпадают. (Если два век-
векторных пространства изоморфны, то
достаточно предположить, что одно
из них имеет конечную размерность,
отсюда уже следует, что и другое
векторное пространство также конеч-
конечномерно.)
По существу изоморфизм означа-
означает, что векторные пространства над
заданным телом характеризуются од-
одним числом: размерностью прост-
пространства.
Предположим, что ф: Mt -> М2 —
изоморфизм. Так как число элемен-
элементов в базисе совпадает с размерностью
векторного пространства, то доста-
достаточно показать, что изоморфизм ф
переводит базис векторного прост-
пространства Мх в базис векторного прост-
пространства М2. Докажем это утвержде-
утверждение, разбив его на две части: сначала
докажем, что ф переводит линейно
независимые векторы в линейно не-
независимые, а затем, чтоф отображает
систему образующих в систему об-
образующих.
Пусть щ, Ui,...,un — система линейно
независимых векторов в Мх. Предполо-
Предположим, что при соответствующим образом
подобранных скалярах выполняется со-
соотношение ^Ф^) + ^ф^г) + ... +
+ <щ(ип) = 0. Поскольку изоморфизм <р
сохраняет операции, то из этого соотно-
соотношения следует, что ф(%«1 + <Ищ + ...
...+апип) = 0. Таким образом, изоморфизм
векторных пространств означает, что век-
векторные пространства изоморфны как ком-
коммутативные группы. Но тогда образом
нулевого элемента из Мх- при изоморфиз-
изоморфизме ф может быть только нулевой элемент
из Мг, то есть %% + а^щ + ... +anun =
= 0. Так как векторы и1г,щ,..., ип линей-
линейно независимы, то последнее соотноше-
соотношение может выполняться только в том слу-
случае, если каждый из скаляров равен нулю,
а это в свою очередь означает, что векторы
<((щ), ф(«гЬ-.-,ф(«я) линейно независимы.
Пусть Vf, vzi-.-iVk — система образую-
образующих векторного пространства Mj, у —
произвольно выбранный вектор из Мг.
Поскольку между векторными простран-
пространствами Mf и Мг изоморфизм ф устанав-
устанавливает взаимно-однозначное соответст-
соответствие, то вектор у — образ некоторого век-
вектора х из Mj, иначе говоря, его можно
представить в виде у = ф(г). Запишем х
в ввде линейной комбинации образующих:
х = Pi^i + Р2У2 + ••• +Мь- В силу
сохранения операций этому соотношению
для векторов из Мх- соответствует соот-
соотношение у = ф(г) = p*i<p(i>i) + Ргф(Рг) +••-
...+ РьФ(рь)для векторов из М2, которое
означает, что <f(vx), <$(v?),..., <f(vk) — сис-
система образующи! в векторном простран-
пространстве М2.
Для доказательства обратного утверж-
утверждения рассмотрим в-мерные векторные
пространства Мх и Мг- В каждом из этих
пространств существует базис из п эле-
элементов. Пусть векторы иг, иг,...,ип об-
образуют базис в Mj, а векторы yl5 vt,...,vn —
базис в Мг. Ясно, что отображение
ф: Мх-*-Мг действует следующим образом:
+ апип) =
\- anvn.
1. Прежде всего необходимо убедиться
в том, что ф — отображение векторного
пространстваМх на векторное пространство
Мг. Поскольку базис в М^ известен, то
каждый вектор из М, можно представить
в виде линейной комбинации векторов
i%, U2,..,un. Следовательно, о каждом
векторе из Мх можно утверждать, что ф
отображает его в некоторый вектор из Мг.
2. Если мы возьмем два различных век-
вектора из М,, то им соответствуют две раз-
различные линейные комбинации. Образы
этих комбинаций также представляют со-
собой две различные линейные комбинации
векторов vt, v-s,...,vn. Но поскольку базис
в М2 состоит из линейно независимых
векторов, то две различные линейные
комбинации векторов р^, %,...,vn порож-
порождают различные векторы из Мг. Итак,
при отображении ф различные векторы
из Mi переходят в различные векторы из
Мг.
3. Поскольку в пространстве Мг име-
имеется система образующих, то любой век-
вектор из М2 можно представить в виде ли-
линейной комбинации векторов vt, щ,...,Рп
и, следовательно, рассматривать как об-
образ соответствующей линейной комбина-
комбинации векторов Bj, uz,...,un из Мх.
4. Сохранение операций следует из то-
того, что в обоих векторных пространствах
сложение и умножение на скаляр произ-
производится покомпонентно.
Итак, «удачно выбрав» га-мерное
векторное пространство, мы могли
бы понять «устройство» всех га-мер-
га-мерных векторных пространств. Одним
из «благодарных» объектов для
изучения га-мерных векторных
пространств может служить вектор-
векторное пространство наборов из га эле-
элементов.
Пусть Г — некоторое тело. Сос-
Составим из его элементов наборы
(a,, a.it..., а„).
126

Нетрудно видеть, что такие наборы
образуют векторное пространство,
если операции сложения и умноже-
умножения на скаляр производить покомпо-
покомпонентно.
Докажем, что векторное пространство
наборов из га элементов тела Г га-мерно.
Для этого необходимо доказать, что базис
пространства состоит из га элементов. Про-
Проверим, что наборы
A, 0 0), @, 1 0),...
.... @, 0,... ,1)
образуют базис нашего векторного про-
пространства. Действительно, так как
, 0 0) + а2@, 1, ... , 0)+.-.
... +««@, 0, ... » 1) = (<*1, а2, ... , а„),
то каждый вектор однозначно представим
в виде линейной комбинации га наборов
A, 0 0), @, 1,...,0),..., @,0,...,1). §то
и означает, что векторное пространство
наборов из п элементов тела Г га-мерно.
Некоторые подпространства по-
построенного нами га-мерного вектор-
векторного пространства допускают не-
необычайно простое описание. Рассмот-
Рассмотрим, например, векторное прост-
пространство пятерок вещественных чи-
чисел. Его одномерными подпространст-
подпространствами являются векторы вида (а,
0, 0, 0, 0), @, а, 0, 0, 0), и т. д., то
есть пятерки чисел, у которых все
координаты, кроме одной, равны ну-
нулю. Двумерные подпространства об-
образуют векторы, у которых две ко-
координаты могут принимать любые
вещественные значения. К их числу
относятся, например, векторы (а, Ь,
0, 0, 0) и @, а, 0, 0, Ъ). Каждое из
таких подпространств определяет
другое подпространство, состоящее
из векторов, у которых нули расстав-
расставлены там, где у векторов исходного
подпространства их не было. Так,
подпространство векторов @, а, 0, 0,
Ъ) «дополняет» подпространство век-
векторов (с, 0, d, e, 0). Тем самым мы
получаем возможность разложить все
векторное пространство в сумму двух
дополняющих друг друга подпро-
подпространств (рис. 64).
При рассмотрении групп анало-
аналогичное разложение мы называли пря-
М
[Пятимерное пространство)
Изоморфизм
С а,Ь , с ; d, в)
Векторное пространство пятерок еещвст-
венных чисел
(a,b,0,0 ,0J + ( 0,0,c,d,e)
Изоморфизм
{ a , b ) ( с, d,e )
„ Сложение '
t t
I Изоморсризм I
, b ) (c,d
\ „ Сложение " F
(( a,b ), ( c,d, e))
Рис 64.
мым произведением подгрупп. Ана-
Аналогичным образом можно интерпре-
интерпретировать это понятие и в данном слу-
случае. Правда, применительно к век-
векторным пространствам (по вполне
понятным причинам) чаще говорят
о прямой сумме подпространств, по-
поскольку групповой операцией в век-
векторных пространствах является сло-
сложение. (Заметим, кстати, что в слу-
случае коммутативных групп прямое
произведение принято называть пря-
прямой суммой.)
Прямой суммой Mj + Мг вектор-
векторных пространств М, и М2 над одним
и тем же телом Г называется мно-
множество пар (и, v) элементов, на кото-
котором операции сложения и умножения
на скаляр определены следующим
образом:
(и„ vj + (uz, v2) =
= («, + м2, vi + v2)
и
а (и, v) = (аи, av),
где а — произвольный скаляр из
тела Г, и, «, и «2 — элементы мно-
127

:г;ества М,, у, vs и у2 — элементы
множества М2.
Тождества, которым должна удов-
удовлетворять операция сложения, мож-
можно не проверять: ведь если отвлечься
от умножения на скаляры и рассмат-
рассматривать только операцию сложения,
то мы получим «прямое произведе-
произведение» соответствующих векторных
пространств как коммутативных
групп. Проворим, все ли тождества
выполняются для умножения на ска-
скаляр:
(а + Р)(и,») = ((« + Р)и, (« + Р)») =
= (аи + fl«, w + fly) = («и, av) +
+ (рм, fly) = а (jt, y) + fl(u, v);
а [(к,, vt) + (м2, у2)] =
= (aut + аи2, аУ4 + <*у2) =
= (аи,, avt) + (аи2, ay2) =
= а (м„ у,) + а («2, у2);
(ар) (и, i;) = ((ар) и, (ар) ») =
= (а (flu), а (pi;)) = а фи, fly) =
. = « № («. »)];
1 • (м, £>) = A-м, !•£>) = (и, у). ,
Таким образом, и для умножения
на скаляр все тождества выполнены.
Прежде чем привести определе-
определение прямой суммы векторных про-
пространств, мы «разложили» заданное
векторное пространство на два под-
подпространства и из них построили
прямую сумму. Если векторное про-
пространство допускает разложение на
два подпространства, то такую опе-
операцию можно производить и в общем
случае.
Итак, если U и V — подпрост:
ранства векторного пространства М и
l){ff,F} = M, 2)UflV = {0},
то соответствие ф: (u, v) -+■ и +
+ v изоморфно отображает прямую
сумму U 4- V на векторное прост-
пространство М. Изоморфизм ф отобража-
отображает на подпространство U векторы
(и, 0), а на подпространство V —
векторы @, у) и только их.
Однозначность отображения <р следует
из представления векторного пространст-
128
ва М в виде прямой суммы подпространств
U в V. Если образы элементов (щ, л)
и («г, Уг) совпадают (то есть если иг +
+ vx = щ, + Уг), то щ — иг = t>2 — Н-
Элемент, стоящий в левой части последнего
равенства, принадлежит подпространст-
подпространству U, элемент, стоящий в правой части ра-
равенства, принадлежит подпространству V.
По предположению подпространства U
и V имеют единственный общий элемент—
нулевой вектор. Следовательно, щ = иг
и vx = V2. Итак, доказано, что образы раз-
различных элементов при отображении <р
различны.
Образы всех элементов при отображе-
отображении ф имеют вид и + v, где а(Ив v £ V.
Ясно, что всякий элемент векторного про-
пространства М, представимый в таком виде,
имеет прообраз, или, что то же, служит
образом некоторого элемента прямой сум-
суммы подпространств U + V. Значит, если
каждый элемент векторного пространства М
нам удастся представить в виде и + v,
то тем самым будет доказано, что у всех
элементов М существуют прообразы при
отображении <р. Более того, достаточно
доказать, что элементы векторного про-
пространства М, представимые в виде и + v,
образуют подпространство, содержащее
каждое из подпространств U и V. Действи-
Действительно, ведь отсюда следовало бы, что
каждый элемент векторного пространст-
пространства М содержится в таком подпространстве,
так как М (в силу соотношения М =
= {V, U)) —едивственное подпростравство,
которому принадлежит U и V. В том, что
элементы векторного пространства М,
представимые в виде и + v, образуют
подпространство, нас убеждают соотно-
соотношения
(«1 + vi) + (и2 + "г) =
а (и -f- v) = аи -f- av
(так как U и V — подпространства, то
ui + Ui и от принадлежат U, a i>i + v%
и аи принадлежат V).
Наконец, сохранение операций следует
из соотношений
<P[(«1, "l)+(«2. Vi)\ =<P((«1 + «2.
Vl + "г)) = («l + «г) + ("l + "г) =
= (Щ + Н) + (Щ + "г) =
<р [а (и, v)] = <р ((аи, аи)) = аи -f- av
+ v)).
В зтом случае говорят, что век-
векторное пространство М — прямая
сумма подпространств U и V.
Между двумя приведенными выше
определениями прямой суммы по су-
существу нет различия, хотя с точки

зрения логики они не тождественны.
Чисто внешне они отличаются тем,
что в одном из них говорится о про-
пространствах, а в другом о подпрост-
подпространствах. Но если по каким-нибудь
соображениям желательно особо под-
подчеркнуть различие между двумя оп-
определениями прямой суммы и ука-
указать, какое из них имеется в виду,
то в первом случае говорят о внешней
прямой сумме, а во втором случае
(когда речь идет о подпространст-
подпространствах) — о внутренней прямой сумме.
Чтобы наглядно представить себе
прямую сумму, рассмотрим трехмер-
трехмерное пространство. Как известно, его
подпространства можно изображать в
виде геометрических «фигур», прохо-
проходящих через начало координат. Усло-
Условия, при которых прямая сумма
двух подпространств совпадает со
всем пространством, сводятся к сле-
следующему:
1) каждое из подпространств допол-
дополняет другое до всего пространст-
пространства;
2) подпространства не имеют дру-
других общих элементов, кроме начала
координат. Дье прямые, проходящие
через начало координат, не имеют
(если они не совпадают) других об-
общих точек, кроме начала координат,
но не дополняют друг друга до трех-
трехмерного пространства. Две плоскос-
плоскости (если они не совпадают) дополняют
ДРУГ друга до всего пространства,
но пересекаются по прямой. Плос-
Плоскость и прямая (не лежащая в плос-
плоскости) образуют «благоприятную
комбинацию»: они имеют только од-
одну общую точку и дополняют друг
друга до всего пространства. Если
плоскость фиксирована, то прямую
можно выбирать произвольно, лишь
бы она не лежала в плоскости. Если
фиксирована прямая, то плоскость
можно проводить как угодно, лишь
бы она не проходила через прямую.
И в том и в другом случае прямая
сумма плоскости и прямой совпада-
совпадает со всем пространством. Как пока-
показывает этот пример, если одно из
слагаемых прямой суммы задано, то
второе слагаемое определяется не
однозначно. Другие примеры неод-
неоднозначного восстановления второго
слагаемого прямой суммы по задан-
заданному подпространству можно по-
построить, рассматривая пятерки ве-
вещественных чисел.
ЗАДАЧИ
1. Доказать что при изоморфизме
линейно независимая система векто-
векторов переходит в линейно независи-
независимую систему векторов, а система
образующих — в систему образую-
образующих.
2. Доказать, что, если ф — такое
сохраняющее операции сложения и
умножения на скаляр отображение,
которое переводит линейно независи-
независимую систему векторов в линейно неза-
независимую систему векторов и систе-.
му образующих в систему образую-
образующих, то ф — изоморфизм.
3. Пусть ф — отображение, со-
сохраняющее операции сложения и
умножения на скаляр. Какое из
двух входящих в определение изо-
изоморфизма условий (образы различ-
различных элементов не совпадают; у каж-
каждого элемента векторного простран-
пространства, на которое отображается исход-
исходное пространство, существует про-
прообраз) эквивалентно утверждению о
том, что ф переводит линейно неза-
независимую систему векторов в линейно
независимую систему векторов, и
какое — утверждению о том, что
Рис 65.
5—35
129

1 __J A:I J
j 3a+b+2c
Рис. 66.
Ф переводит систему образующих в
систему образующих?
4. Доказать, что размерность пря-
прямой суммы равна сумме размерностей
слагаемых.
5. Привести пример векторного
пространства, представимого в виде
прямой суммы любых двух из трех
заданных подпространств (рис. 65).
2.4. Модули
В векторных пространствах ска-
скаляры по предположению образуют
(коммутативное) тело. Однако столь
богатой «структурой» запас скаляров
обладает далеко не всегда. Рассмот-
Рассмотрим, например, комплексные числа
а + Ы с целыми а и Ь. При умноже-
умножении такого комплексного числа на
целое число получается комплексное
число того же вида (с целой вещест-
вещественной и мнимой частью), чего нель-
нельзя с уверенностью сказать в том слу-
случае, когда умножение производится
на дробное число. Другим примером
«почти векторного пространства»
(коммутативной группы над множест-
множеством скаляров, наделенным более
«бедной» структурой, чем тело) могут
служить линейные комбинации с це-
целочисленными коэффициентами лю-
любых трех векторов трехмерного про-
пространства, не лежащих в одной плос-
плоскости. Концы векторов, представи-
мых в виде таких линейных комби-
комбинаций, задают в пространстве так
называемую точечную решетку (рис.
66). Точечные решетки встречаются
при рассмотрении некоторых гео-
геометрических фигур.
Помимо частных примеров, мате-
математиков интересовал и общий во-
вопрос: что можно сказать об аддитив-
аддитивной группе над множеством скаля-
скаляров, в котором невыполнима опера-
операция деления? Стремясь получить на
свой вопрос достаточно общий ответ,
математики рассмотрели случай, ког-
когда скаляры образуют не тело, а все-
всего лшпь кольцо (коммутативность не
предполагается), и назвали новый
«объект» модулем над кольцом.
Коммутативная (аддитивная) груп-
группа М называется модулем над коль-
кольцом R, если операция аи определена
для всех абй и м£М так, что аи £ М
и
(а -\- Р) и -■ аи | Ри;
а (и -\- v) = аи -(- аи;
где а, 06Д и и, v£M.
Строго говоря, приведенное выше
определение относится к левому It-
модулю. Правый R-модуль получится
в том случае, если элементы модуля
умножать на элементы кольца R
справа. Различие между левым и
правым Д-модулем далеко не фор-
формально, потому что, хотя левый Д-
130

модуль можно обозначить как пра-
правый, при этом вместо третьего тож-
тождества, приведенного в определении
модуля, должно выполняться тож-
тождество (ар)м = (З(ам). Разумеется,
если кольцо R коммутативно, то
левый Л-модуль совпадает с правым
R-модулем. Но встречаются и такие
кольца, которые «слева» выглядят
совсем иначе, чем «справа».
Если кольцо содержит единичный
элемент, то предполагается (но не
всегда!), что 1-м —и. (В действи-
действительности этот вопрос не имеет осо-
особого значения: если R — кольцо с
единицей, то Л-модуль можно разло-
разложить в прямую сумму (определяемую
так же, как и прямая сумма вектор-
векторных пространств) двух модулей, в
одном из которых выполняется соот-
соотношение 1-м — м, а в другом умно-
умножение на скаляр переводит любой
элемент в 0, после чего рассматри-
рассматривать каждое из «прямых слагаемых»
отдельно.)
Наиболее существенное различие
между модулями и векторными про-
пространствами состоит в том, что су-
существование нетривиальной линей-
линейной комбинации двух элементов моду-
модуля еце не означает линейную зависи-
зависимость одного элемента от другого.
Например, если ■ для каких-нибудь
элементов или модуля над кольцом
целых чисел 2м + 3v = 0 (в пра-
правой части стоит нулевой элемент мо-
модуля), то отсюдА не следует, что м
«линейно зависит» от v, поскольку
мы не можем разрешить линейную
комбинацию 2м + 3d = О относи-
относительно м, разделив «коэффициенты»
на 2.
Второе существенное различие
между модулями и векторными про-
пространствами заключается в том, что
среди модулей нет «наименьших»
(аналогов одномерных векторных
пространств). Пусть, например, мо-
модуль над кольцом целых чисел сос-
состоит из скалярных кратных одного
элемента м. Выбирая скалярные
кратные элементов 2м, 4м, 8м, ...,
мы будем получать «все меньшие и
меньшие» подмодули (определить под-
подмодуль можно по аналогии с опреде-
определением подпространства).
Если сравнить определения моду-
модулей и векторных пространств с оп-
определениями полугрупп, групп, ко-
колец и тел, то можно заметить, что они
относятся к двум типам определений,
между которыми имеется существен-
существенное различие: в определения модуля
и векторного пространства входит
одна «внешняя» операция.
Но при рассмотрении большого
числа однотипных систем (так назы-
называемых «алгебраических структур» —
полугрупп и групп и т. д.) множест-
множество весьма важных и полезных ре-
результатов удается получить, если
операции заданы «внутренним обра-
образом». Такие результаты «не чувстви-
чувствительны» к тому, какие именно опера-
операции заданы на множестве, и не зави-
зависят от числа мест («переменных») в
операции, а определяются только
тем, сколько операций задано на
множестве. Более того, и последнее
в каком-то смысле несущественно,
поскольку доказательства остаются
в силе и в том случае, если число
операций неограниченно возрастает.
Учитывая все преимущества «внут-
«внутреннего» рассмотрения, мы хотим
сейчас определить векторные прост-
пространства и модули при помощи не
«внешних», а «внутренних» опера-
операций. Сделать это можно следующим
образом. Вместо элементов фикси-
фиксированного кольца рассмотрим одно-
одноместную операцию, представляющую
собой не что иное, как умножение
на заданный элемент. Тождества,
приведенные во «внешних» определе-
определениях векторного пространства и коль-
кольца, позволяют нам установить соот-
соответствующие тождества для опера-
операций.
После того как эта программа
будет выполнена, мы сможем дать
точное определение того, что такое
модуль над заданным кольцом R.
Модулем над кольцом R называет-
называется система
где М — некоторое множество, g
131

двухместная операция (сложение), i —
одноместная операция {сопоставляю-
{сопоставляющая каждому элементу противопо-
противоположный, то есть обратный относи-
относительно операции g элемент), п —
нульместная операция (задающая
нулевой элемент кольца); кроме того,
каждому элементу а соответствует
такая одноместная операция fa, что:
1) {М; g, i, n) — коммутативная
группа;
2) /.+?(") = *(/«(")./?(")).
U («) = U (Л («))•
Следует обратить внимание на од-
одно весьма важное обстоятельство:
в случае векторных пространств (как
и в случае модулей) изоморфизм и
подпространство (подмодуль) озна-
означают одно и то же независимо от то-
того, какому из двух определений —
«внутреннему» или «внешнему» —
мы отдадим предпочтение. Действи-
Действительно, в одном случае сохранение
операций относится к сложению и
умножению на скаляр, в другом —
к каждой из операций, входящих в
определение, в отдельности. Следова-
Следовательно, мы всегда можем воспользо-
воспользоваться тем определением, которое
более удобно.
ЗАДАЧИ
1. Пусть R — произвольное коль-
кольцо. Построить из пар (а, |3) элемен-
элементов кольца R (абй, Рбй) множество,
которое было бы одновременно ле-
левым и правым Д-модулем.
2. Доказать, что в двустороннем Д-
модуле ни один элемент не может
быть левым скалярным кратным дру-
другого элемента без того, чтобы не
быть правым скалярным кратным
того же элемента.
Однородные
линейные отображения
3.1. Гомоморфизм
векторных пространств
Гомоморфизмом векторных прост-
пространств (по аналогии с гомоморфиз-
гомоморфизмом групп) мы называем однознач-
однозначное отображение, сохраняющее опе-
операции. Во многих приложениях ин-
интерес представляют главным обра-
образом конечномерные векторные про-
пространства. Поэтому в дальнейшем,
если нет особых оговорок, мы под
векторным пространством всегда бу-
будем подразумевать конечномерное
векторное пространство. Не боясь
«тяжелых последствий», мы можем
на время вообще забыть о бесконеч-
бесконечномерных векторных пространствах,
поскольку значительная часть поня-
понятий и методов, излагаемых ниже для
конечномерных векторных прост-
пространств, без труда переносится на
бесконечномерный случай.
Гомоморфизмы векторных прост-
пространств (по причинам, которые ста-
станут понятными в дальнейшем) при-
принято называть однородными линейны-
линейными отображениями.
Пусть Mj и М2 — векторные про-
пространства над толом /'. Отображение
А : Mj -+ Mt
называется однородным линейным
отображенном, если:
1) для любых элементов и и v из
М.
А (и •;•• г) - А {и) - А (о);
2) для любых /. и.{ /' и и из М,
А (Хм) >.А (и).
Наше знакомство с однородными
линейными отображениями мы на-
начнем с нескольких примеров, кото-
которые рассмотрим в наиболее легко
обозримом случае, когда оба вектор-
векторных пространства Mt и М2 являются
плоскостями, а Г — телом вещест-
вещественных чисел.
132

ПРИМЕРЫ
1. Нулевое отображе-
отображение и тождественное ото-
бражение. Пусть О — нулевое
отображение, ставящее в соответст-
соответствие любому вектору нулевой вектор.
Так как каждый из векторов О(м+
+ v), О(м), 0{v), О(Хи) совпадает с
нулевым вектором, то оба соотноше-
соотношения, входящих в определение одно-
однородного линейного отображения, вы-
выполняются.
Пусть I — тождественное ото-
отображение, то есть отображение, пере-
переводящее любой вектор в самого се-
себя: 1(м) == и. Ясно, что для I оба
соотношения также выполняются, по-
поскольку и -j- v = и -j- и, Хи = Хи.
2. Отражение относи-
относительно начала коорди-
координат (рис. 67). Отражение относи-
относительно начала координат переводит
каждый вектор и в вектор — и. Сле-
Следовательно, в этом случае мы имеем
дело с отображением А(м) = —и,
для которого
А(м + v) = — (и + и) — —м+(—v) =
= A(u)+A(v)
и
А (Хи) = — (Jut) = X (— м)=ХА (и).
Таким образом, А — однородное ли-
линейное отображение.
3. Отражение относи-
относительно прямой, прохо-
проходящей через начало ко-
координат (рис. 68).
Пусть и — вектор, направленный
вдоль заданной прямой, a v — век-
вектор, ортргональный вектору и (ни
A(t)'-t
A{v)=-v
Рис. 67.
Рис. 68.
один из векторов и и v не должен быть
нулевым вектором). При отра-
отражении относительно заданной пря-
прямой вектор и и все его скалярные
кратные переходят в себя, а вектор
v и все его скалярные кратные пере-
переходят в противоположные векторы.
Следовательно, при отражении от-
относительно заданной прямой линей-
линейная комбинация аи + $v переходит
в аи — ру, и мы получаем отобра-
отображение А(ам + $v) — аи — $v. По-
Поскольку для этого отображения
А ((аи + $v) + (уи + Щ =
= (аи — 0j>) + (уи — 3j>) =
= А (аи + $v) + А (уи + &>)
А (X (аи 4- И) = А (Ъ*и + Wv)
= Хаи — k$v —% (аи — $v) =
то А — однородное линейное ото-
отображение (любой вектор на плоскос-
плоскости однозначно представим в виде
линейной комбинации векторов и и
V).
4. Растяжение (сжатие)
от центра (рис. 69). Умножив
все векторы м, исходящие из начала
координат на скаляр а, мы получим
133

о
Рис. 69.
Фиксированная прямая
Рис. 70.
векторы аи. При а > 1 преобразо-
преобразование действительно является растя-
растяжением. При а =1 мы получаем
тождественное отображение. Если
скаляр а меньше единицы, но поло-
положителен, то отображение уместнее
называть сжатием. При а =0 мы
получаем нулевое отображение. Ес-
Если а = —1, то отображение перехо-
переходит в отражение относительно нача-
начала координат. При прочих отрица-
отрицательных значениях а соответствую-
соответствующее растяжение (или сжатие) со-
сопровождается отражением относи-
относительно начала координат. Отображе-
Отображение А(м) = Хи действительно явля-
является однородным линейным отобра-
отображением, так как
А (и + v) = а (и + v) = аи + av =
А (Хм) = а (%и) = к (аи) = %А (и).
5. Растяжение в направ-
направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном фиксированной пря-
прямой, проходящей через
начало координат (рис. 70).
Этому отображению можно придать
«физический смысл», если предста-
представить себе, что плоскость резиновая и
одинаково растянута в обе стороны от
заданной прямой. Чтобы мы могли
дать математическое описание это-
этого отображения плоскости, введем
вектор и, параллельный заданной
прямой и отложенный от начала ко-
координат, и вектор и, ортогональный
вектору и. Поскольку векторы и и v
образуют на плоскости' базис, то
любой вектор можно однозначно
представить в виде линейной комби-
комбинации аи + |3г>. В направлении за-
заданной прямой растяжение не проис-
происходит, оно сказывается только в
направлении, перпендикулярном за-
заданной прямой. Следовательно, мы
получаем отображение плоскости на
себяА(ам + ($v) = аи + \i $v. Не-
Нетрудно видеть, что А — однородное
линейное отображение.
6. Поперечный сдвиг. О
поперечном сдвиге мы говорим в
том случае, если две равные по ве-
величине, но противоположно направ-
направленные силы (например, лезвия нож-
ножниц) стремятся сдвинуть один слой
тела относительно другого. Один та-
такой слой остается на месте, а сосед-
соседние слои смещаются относительно
него (рис. 71). В физике обычно рас-
рассматривают такой сдвиг, когда даль-
дальние слои испытывают большие сме-
смещения, чем ближние. Математичес-
Математически такой поперечный сдвиг можно
описать следующим образом: А(ам +
+ gj>) = (а + ц $)и + (Зр. Нетруд-
Нетрудно проверить, что А — однородное
линейное отображение (рис. 72).
7. Поворот. Рассмотрим пово-
поворот на 90° в положительном направ-
направлении (против часовой стрелки) во-
вокруг начала координат (рис. 73). При
таком отображении плоскости на се-
Рис. 71.
134

бя произвольно выбранный (но от-
отличный от нулевого) вектор и пере-
переходит в ортогональный ему вектор v,
имеющий такую же длину, как и
вектор и. Если вектор v в свою оче-
очередь повернуть на 90° против часо-
часовой стрелки, то он перейдет в век-
вектор, имеющий ту же длину, что и
вектор и, но противоположное на-
направление, то есть в вектор —и.
Следовательно, записав произволь-
произвольно выбранный вектор плоскости в
виде линейной комбинации аи -f-
+ $v и подвергнув его повороту на
90° вокруг начала координат против
часовой стрелки, мы получим век-
вектор, представимый в виде той же
линейной комбинации, в которой век-
вектор и заменен вектором v, а вектор
v — вектором —и. Следовательно»
поворот на 90° в положительном на-
направлении вокруг начала координат
порождает отображение плоскости
на себя F(au + (Зг;) = av — |3м.
Нетрудно проверить, что F — одно-
однородное линейное преобразование
(рис. 73).
Рассмотрим теперь поворот во-
вокруг начала координат на 120°
в положительном направлении
(рис. 74). При таком повороте произ-
произвольно взятый вектор и переходит
в вектор v, имеющий ту же длину,
что и вектор м, но образующий с и
угол в 120°. При повторном повороте
вектор и переходит в вектор, проти-
противоположный вектору и + v. Следо-
Следовательно, повернутый вектор v рас-
расположен относительно вектора —(м+
+ v) так же, как исходный вектор
и относительно вектора v. Это озна-
означает, что поворот вокруг начала ко-
координат на 120° в положительном
направлении порождает отображе-
отображение плоскости на себя ¥(аи + $v) =
= av + (~Р)(« + v) = (—0)u+
+ (а — p)w. Нетрудно видеть, что
и в этом случае мы получаем одно-
однородное линейное отображение.
8. Ортогональная про-
проекция. Опустим перпендикуляры
из точек плоскости на прямую, про-
проходящую через начало координат.
Если и — (отличный от нулевого)
Рис. 72.
U
-720°
-(и* у)
Рис. 74.
вектор, параллельный выбранной
прямой, я v — вектор, ортогональ-
ортогональный ей, то образ любого вектора на
плоскости при ортогональной про-
проекции совпадает с его составляющей
в направлении вектора и: V (аи +
+ ру) = аи. Нетрудно видеть, что
V — однородное линейное отобра-
отображение.
В рассмотренных нами примерах
основное место занимало доказатель-
доказательство того, что в каждом случае мы
135

действительно имеем дело с однород-
однородным линейным отображением. Эту
трудность можно было бы обойти,
если бы мы умели распознавать «с
первого взгляда» те из отображений,
которые являются однородными ли-
линейными отображениями.
Прежде всего необходимо выяс-
выяснить, что следует знать об отображе-
отображении для того, чтобы его заведомо
можно было отнести к однородным
линейным отображениям. Предпо-
Предположим, что А : Mj -> М2 — задан-
заданное однородное линейное отображе-
отображение. Пусть их, щ, ..., ип — базис
векторного пространства Mt. Любой
вектор из Мх можно однозначно
представить в виде линейной комби-
комбинации векторов щ, щ, ..., ип. Но
если и = axut + а2м2 + ...
... + апип, то нетрудно определить,
во что переходит под действием од-
однородного линейного отображения А
вектор и. Действительно, так как А
сохраняет операции, то
А (и) = ctjA (mJ + а2А (м2) Ч +
Это означает, что любое однород-
однородное лилейное отображение однознач-
однозначно определено, если заданы образы
векторов базиса.
Естественно задать вопрос: на-
насколько «произвольно» можно зада-
задавать образы базисных векторов. От-
Ответ на этот вопрос гласит: образы
элементов базиса можно задавать
совершенно произвольно; всегда су-
существует такое однородное линей-
линейное отображение, которое переводит
векторы исходного базиса в заранее
указанные векторы.
Дли доказательства этого утвержде-
утверждения помимо базиса uv U2,...,un в вектор-
векторном пространстве Шг зададим в Мг произ-
произвольную систему векторов t>i, щ,...,рп.
Докажем, что существует однозначно опре-
определенное однородное линейное отобра-
отображение: В : М^ -*■ Мг, переводящее век-
векторы Uj в векторы Pj. Нетрудно показать,
что такое однородное линейное отображе-
отображение единственно. Действительно, посколь-
поскольку В сохраняет операции, то под действием
этого отображения произвольный вектор
из M-j переходит в вектор
V = а^ + +
из М2. Итак, остается доказать, что В —
однородное линейное отображение. Преж-
Прежде всего докажем, что каждый вектор из Ж1
под действием В переходит в некоторый век-
вектор из Мг. Это утверждение следует из того,
что каждый Вектор из Шг можно предста-
представить в виде линейной комбинации векто-
векторов uj, u2,...,un, образующих базис в Mt.
Докажем, далее, что В сохраняет опера-
операции. Это утверждение следует из того, что
B(Xu)
= Xa,
= X(a
=
"i4
и, кроме
... 4- R-'
* i
4-
=
••
4-
В
(«.
В
-X,
ч-
(Xa,ux +
я21?2 -f •
*№ + •
того, если
(и
+
(«i4-
■ +
a2i?s
(»
,ч-
+ «') =
Р2) «2 Ч-
я + Ря)с
• •• + ",
Аа2«2 Ч" •
■ • + Ха„1?„
•• +ая"я)
[ и'— $хщ
В ((а1 + Pi
• • • ч- к
(а2 + р2) v%
'я — (ai^l"
Л») + (Pi»j
• •ч-
=
= Хи
l4-P
l)"l-
+ Ря
|+»
h
Хапип) =.
. = ХВ (и)
|2«г Ч* •••
f
) "я) =
•
(Это доказательство можно рассматривать
как своего рода «унификацию» доказа-
доказательств сохранения операций, приведенных
в каждом из рассмотренных нами приме-
примеров в отдельности.)
Попытаемся теперь выяснить, по-
почему однородным линейным отобра-
отображениям в математике придается
столь важное значение. По существу
однородные линейные отображения
представляют собой не что иное, как
функции, ставящие в соответствие
векторам векторы. Чтобы рассмат-
рассматривать такие функции, необходимо
ввести «сокращенные обозначения»,
позволяющие записывать громозд-
громоздкие выкладки в удобообозримом ви-
виде и тем значительно облегчающие
их. Если воспользоваться изомор-
изоморфизмом векторных пространств оди-
одинаковой размерности, то произволь-
произвольное га-мерное векторное пространст-
пространство можно изоморфно отобразить на
векторное пространство наборов из
га чисел. При зтом функции, отобра-
отображающие вектор в вектор, «скроются»
за целым набором функций многих
независимых переменных.
Если оба векторных пространства
136

(«область определения» и «область
значений» однородного линейного
отображения) одномерны, то речь
идет о функции, ставящей в соответ-
соответствие «вектору» (I) «вектор» (ц).
Поскольку соответствие между «век-
«векторами» задано однородным линей-
линейным отображением, то |т}) = А((£)) =
= А(Щ)) = |А(A)). Но если ото-
отображение А переводит вектор A)
в вектор (а) = аA), то А можно
представить в виде т}-A) = £а-A).
Зависимость между Ч и I (т} = £<х)
здесь однозначна (а — фиксирован-
фиксированное вещественное число). Соотноше-
Соотношение т} 5= |а — это линейная функ-
функция без свободного (постоянного)
члена, которую обычно называют
однородной линейной функцией. Ес-
Если А отображает двумерное вектор-
векторное пространство на одномерное век-
векторное пространство, то (т}) =
= А((£х, £2)). Предположим, что
А(A, 0)) = аA), А(@, 1) = 0A).
Так как А — однородное линейное
отображение, то мы получаем одно-
однородную линейную функцию двух не-
независимых переменных т} = ai^ +
+ р|2. Если же, например, А ото-
отображает двумерное векторное прост-
пространство на двумерное векторное про-
пространство, то аналогичные рассуж-
рассуждения приводят к двум однородным
линейным функциям двух независи-
независимых переменных t}j = a£j + p|2 и
Эти примеры показывают, что од-
однородные линейные отображения
можно рассматривать как частный
случай наборов, состоящих из не-
нескольких функций многих неза-
независимых переменных. Однородные
линейные отображения не просто
принадлежат множеству функций
многих независимых переменных, но
и служат в этом множестве своеоб-
своеобразным «эталоном», позволяя «изме-
«измерять», насколько изменяется по ве-
величине и направлению «зависимый»
вектор, когда «независимый» вектор
изменяется в заданном направлении.
Именно поэтому линейным однород-
однородным отображениям в математике при-
придают столь большое значение.
Рассмотрим теперь однородные ли-
линейные отображения с алгебраичес-
алгебраической точки зрения.
Однородные линейные отображения
являются гомоморфизмами групп.
Следовательно, мы можем гово-
говорить о ядре и образе отображения.
Итак, пусть А : Mj —>■ М2 — од-
однородное линейное отображение.
1, Элементы А(м) векторного про-
пространства М2 образуют нодпрост-
ранство, которое называется обра-
образом отображения Л и обозначается
Im A.
2. Элементы и векторного прост-
пространства Mj, для которых Ми) == 0,
образуют подпространство, называе-
называемое ядром отображения А и обозна-
обозначаемое Кег А.
Оба утверждения легко поддаются
проверке. Если vt = А(м1) и v2 =
= А(м2), то avx + |3j>2 = аА(м1) +
+ рА(м2) = А(амл + 0м2), что до-
доказывает первое утверждение. Если
А(м1) = А(м2) =0, тоА(аМл + $и2) =
= аА^) + РА(«г) = 0, поэтому
Кег А — подпространство вектор-
векторного пространства Мг.
Векторные пространства Im А и
Кег А не вполне «независимы»: их
размерности связаны соотношением
dim (Im A) + dim (Кег А) = dim (MJ,
где dim (M) означает размерность век-
векторного пространства М. (Эта теоре-
теорема следует из аналогии с доказанной
для групп теоремой о гомоморфиз-
гомоморфизмах.)
Теорему о связи размерностей Im A
и Кег А можно доказать следующим об-
образом.
Пусть щ, иг,..., ип — базис векторного
пространства Кет А. Во всем векторном
Пространстве М^ векторы щ, щ,...,ип об-
образуют линейно независимую систему,
поэтому ее можно дополнить некоторыми
векторами vt, i>2,..., vk до базиса вектор-
векторного пространства М^. Отсюда, разумеется,
следует, что векторы Pj, Ba,...,t>j, образу-
образуют в Мх линейно независимую систему.
Эта система порождает подпространство
N (с базисом vx, i?2,...,i?n), и, объединяя N
с Кег А, получаем: Mj; = {Ker A, N}. По-
Поскольку линейная комбинация векторов
их, иг,..., ип может совпадать с линейной
комбинацией векторов dv щ,...,рк лишь
в том случае, если обе линейные комби-
137

нации тривиальны (обе системы векторов
линейно независимы), то Кег А П N =
= }0}. Следовательно, векторное про-
пространство Мх разлагается в прямую сум-
сумму подпространств Кег А и N. Размерность
векторного пространства Мх, равная п + к
(напомним, что векторы %, щ,,...,ип, vx,
v2,...,vk образуют базис в Мх), совпадает
с суммой размерностей подпространств
Кег А и N:
dim (N) + dim (Кег А) = dim (Mx).
Для доказательства исходного равен-
равенства необходимо убедиться в том, что
размерность подпространства N совпадает
с размерностью образа отображения А.
Но вместо того, чтобы доказывать не-
непосредственно равенство размерностей
подпространств N и ImA, мы докажем
эквивалентное утверждение, а именно
что подпространства N и ImA изоморфны.
Действительно, подпространство N мож-
можно отобразить на подпространство ImA
(переход N -*■ ImA осуществляет отобра-
отображение А). Так как А — однородное ли-
линейное отображение векторного прост-
пространства М( иа ImA, то А можно рас-
рассматривать и как однородное линейное
отображение на подпространстве N. Необ-
Необходимо лишь доказать, что различные
элементы иа N имеют различные образы
и что для каждого элемента из ImA в
N можно указать прообраз. Тем самым
будет доказано, что подпространства N
и ImA изоморфны.
Если образы каких-то двух элементов
из N совпадают, то разность этих элемен-
элементов под действием однородного линейного
отображения А переходит в нулевой вектор
пространства М2. Но всякий вектор из
Мх, образ которого совпадает с нулевым
вектором из Мг, принадлежит ядру ото-
отображении А, а так как Кег А и N имеют
единственный общий элемент — нулевой
вектор из Мх, то разность Двух выбранных
нами векторов равна нулевому вектору
из Мх, и эти векторы совпадают. Итак,
действуя на N, отображение А переводит
различные векторы в различные.
Рассмотрим теперь произвольный эле-
элемент образа отображения А. По определе-
определению образа отображения, для каждого
вектора А(м) подпространства ImA в
векторном пространстве Мх существует
нрообраз и. Записав его в виде линейной
комбинации векторов базиса их, U2,...,un,
vx, V2,...,vk, получим
(- а„ц„) +
Поскольку и' £ Кег A, t>£N, то А(м) =
= А(ц' + и) = А(и') + А(ц) = A(v). Сле-
Следовательно, элемент А(и) можно рассмат-
рассматривать как образ элемента »£N.
ЗАДАЧИ
1. Найти следующие однородные
линейные отображения трехмерного
пространства в себя:
а) отражение относительно начала
координат;
б) отражение относительно пря-
прямой, проходящей через начало коор-
координат;
в) отражение относительно плос-
плоскости, проходящей через начало ко-
координат;
г) ортогональную проекцию на
плоскость, проходящую через нача-
начало координат;
д) ортогональную проекцию на
прямую, проходящую через начало
координат.
2. В примерах однородных линей-
линейных преобразований из задачи 1 най-
найти ядро и образ преобразования.
3. Доказать, что следующие ото-
отображения являются однородными ли-
линейными отображениями, и найти
ядра и образы этих отображений.
а) Отображение векторного прост-
пространства наборов из га чисел, ставя-
ставящее в соответствие каждому набору
его первую компоненту.
б) Отображение векторного прост-
пространства многочленов степени не вы-
выше га, ставящее в соответствие каж-
каждому многочлену }(х) его значение
/(а), где а — фиксированное вещест-
вещественное число.
в) Отображение комплексных чи-
чисел как векторного пространства над
телом вещественных чисел, ставящее
в соответствие комплексному числу
а + Ы его мнимую часть Ъ.
3.2. Операции над однородными
линейными отображениями
Однородные линейные отображе-
отображения как частный случай отображений
обладают всеми их свойствами, ко-
которые были установлены нами ранее.
Два однородных линейных ото-
отображения называются совпадающи-
совпадающими, или равными, если они оба пере-
переводят одно и то же векторное прост-
пространство в одно и то же векторное
138

пространство, то есть если
причем так, что образы всех векторов
исходного пространства при обоих
отображениях совпадают, то есть
длш любого «6М,
А(н).-. В (и).
Для однородных линейных пре-
преобразований можно определить опе-
операцию умножения.
Относительно произведения двух
однородных линейных преобразова-
преобразований заранее известно, что оно явля-
является отображением, поскольку это
установлено для произведения лю-
любых отображений. Следовательно, не-
необходимо лишь доказать, что произ-
произведение двух однородных линейных
преобразований сохраняет операции.
Это доказательство проводится следую-
следующим образом:
ВА (Ки) = В (А (Хц)) = В (ХА (в)) =
ВА (и + v) = В (А (и + v)) = В (А (в)
+ A (v)) = В (А (и)) + В (A («,)) =
Относительно умножения однородных
линейных преобразований известно, что
оно ассоциативно, поскольку ассоциатив-
ассоциативность умножения доказана для произ-
произвольных отображений.
Если А:МД ->- М2 и В;М2 ->- М3 —
два однородных линейных преоб-
преобразования, то их произведение над-,
лежит понимать следующим обра-
образом: при любом «ЕМ,
ВА(м) В(А(м)).
Но над однородными линейными
отображениями (в некоторых слу-
случаях), можно производить и другие
операции. Если однородные линей-
линейные отображения рассматривать как
функции, то отсюда следует, что все
операции, производимые над функ-
функциями, применимы и к однородным
линейным отображениям. Как из-
известно, для функций операции сло-
сложения и умножения определены так.
что при любых значениях аргумен-
аргументов функция, получаемая в результа-
результате выполнения операции, принимает
значение, равное соответственно сум-
сумме или произведению значений, при-
принимаемых при тех же значениях ар-
аргументов функциями-слагаемыми или
функциями-сомножителями. Мы мо-
можем поступать так, поскольку зна-
знаем, как находить произведение и
сумму значений функций, то есть
чисел. Если же функции принимают
векторные значения, то умножать их,
как числа, невозможно, и остается
лишь одна «знакомая» операция —
сложение. Сумму двух однородных
линейных отображений определим
как такое однородное линейное ото-
отображение А + В, которое при лю-
любом «аргументе» и принимает значе-
значение, совпадающее с суммой векторов
А(м) и В(м). Оба слагаемых Аи В,
во-первых, должны быть заданы на
одном и том же векторном простран-
пространстве, или, что то же, отображать од-
одно и то же векторное пространство.
Во-вторых, для того чтобы векторы
А(м) и В (и) можно было суммиро-
суммировать, они должны принадлежать од-
одному и тому же векторному прост-
пространству.
Если А : М1 -»- М2 и В : Мх ->
-*- М2 — однородные линейные ото-
отображения, то их суммой называется
такое отображение
(А-1- В):М,->-Мо,
что при любом «6М-1
(А -| В)(и) А(м)-|-В(и).
Докажем, что отображение А + В
сохраняет операции. Доказатель-
Доказательство проведем для каждой операции в
отдельности. Поскольку доказатель-
доказательства приводимого ниже типа встре-
встречаются весьма часто, мы разобьем
их для большей ясности на три этапа.
Начнем с доказательства Сохранения
сложения.
1. Воспользуемся определением суммы
отображений:
(А + В) (и + v) = А (и + v) + В (и + v).
2. Для каждого из отображений А и В
воспользуемся тем тождеством, кото-
139

рое требуется доказать для их суммы
А + В:
А (и + v) + В (и + v) = А (и) -+■ A (v) -f
+ В (и) + В (р) = А (и) + В (и) +
+ А(р)+В(р).
3. Снова воспользуемся определением
суммы отображения:
А (и) + В (в) + А (р) + В (р)= (А+В) (и) +
+ (А + В) (v).
Той же схемы будем придерживаться
и при проверке второго тождества:
1) (А + В) (Аи) = А (Аи) + В (Аи);
2) А (Аи) + В (Аи) = АА (и) + АВ (и) =
= А (А (и) + В (и));
3) А (А (и) + В (и» = А ((А + В) (и)).
Произведение линейных отобра-
отображений невозможно определить как
произведение функций, поскольку
векторы нельзя умножать, как чис-
числа. Но по аналогии с умножением
вектора на скаляр можно попытаться
определить умножение линейного
отображения на скаляр.
"Если А : М, -> М2 — линейное
отображение, то линейным отобра-
отображением оА : М, -> М2 называется
такое отображение, что {аА)(и) ==
= а(А(и».
Покажем, что аА действительно
является линейным отображением (на
первом и последнем шаге в каждой
цепочке равенств мы используем оп-
определение отображения аА):
(аА) (« + *>) = а (А (и+ *;)) =
= а (А (и) + А (*;)) = а (А (и))+
(аА) (hi) = а (А (ки)) = а (X (А (и))) =
= Х(а(А<и))) = Х((аА)(и)).
Итак, приведенные выше онределе-
ния показывают, что для однород-
однородных линейных отображений изредка
можно определить произведение,
иногда сумму и во всех случаях —
произведение любого однородного ли-
линейного преобразования и произ-'
вольно выбранного скаляра. Однако
от определения операций до их
конкретного выполнения — путь не-
немалый. Для того чтобы мы могли про-
проделать над отображениями те или
иные операции, необходимо знать,
какие тождества помогут нам выпол-
выполнить соответствующие операции.
К рассмотрению этих тождеств мы
сейчас и приступаем. Поскольку опе-
операции над однородными линейными
отображениями выполнимы далеко
не всегда, необходимо в каждом слу-
случае проверять, осуществима ли инте-
интересующая нас операция. Мы не будем
всякий раз контролировать выпол-
выполнимость операции, поскольку такая
проверка удлинила бы и без того
громоздкие выкладки, и рассмотрим
лишь случаи, в которых намеченные
операции заведомо выполнимы. Ум-
Умножением однородных линейных ото-
отображений на себя мы заниматься не
будем, поскольку ранее было дока-
доказано, что возведение отображений в
степень ассоциативно.
1. Сложение, а) Ассоциатив-
Ассоциативность сложения. Во-первых, [А +
+ (В + С)](и) = А(и) + (В + С)(и) =
= А(и) + Щи) + С(и)\, во-
вторых, [(А + В) + С](и) = (А +
+ В)(и)хС(и) = [А(и)+В(и)] + С(и).
Так как сложение в векторных про-
пространствах ассоциативно, то каждое
из отображений А + (В + С) и
(А + В) + С, действуя на любой
вектор, иереводит его в один и тот же
вектор-образ. Следовательно, одно-
однородные линейные отображения А +
+ (В + С) и (А + В) + С сов-
совпадают.
б) Коммутативность сложения.
Так как сложение в векторных про-
пространствах коммутативно, то (А +
+ В)(и)=А(и)+В (и) =В(и)+А(в)=
= (В + А)(м), что и доказывает
наше утверждение.
в) Существование нулевого отобра-
отображения О. Пусть А : Mj -*■ М2 —
однородное линейное отображение.
Обозначим через О такое отображе-
отображение, которое каждый вектор из Мг
переводит в нулевой вектор из М2.
140

Так как соотношение (О + А)(м) =
= О(и) + А(и) = 0 + А(м) = А(м)
выполняется при любом и 6 Мх,
то О + А = А. Правда, мы еще не
доказали, что введенное нами ото-
отображение О однородно и линейно. Но
это действительно так, нескольку обе
части тождеств, входящих в опреде-
определение однородного линейного ото-
отображения для О, равны нулевому век-
вектору.
Следует иметь в виду, что для каж-
каждой нары векторных цространств су-
существует «свое», только ей ирисущее
нулевое отображение О. Введение
единого обозначения для различных
отображений не ириводит к какой-
либо путанице, нескольку в сумму
нулевого и любого другого однород-
однородного линейного отображения А все-
всегда входит нулевое отображение того
векторного нространства Мх, на кото-
котором онределено второе слагаемое А,
и зто нулевое отображение нереводит
векторное нространство Mt в нуле-
нулевой вектор векторного нространства
М2, содержащего образ векторного
нространства Mt относительно второ-
второго слагаемого суммы преобразова-
преобразований.
г) Существование противополож-
противоположного отображения. Если А : Мх ->
-*■ М2 — однородное линейное ото-
отображение, то отображением (—А) :
: Mj —»- М2 называется отображение
{—А)(м) = (—А)(м). Оно «противопо-
«противоположно» исходному отображению А,
так как((—А)+А)(м) = (—А)(м) +
+ А(и) = —А(м) + А(м) = 0 (по-
(поскольку — А + А= О). Необходимо
еще доказать, что отображение —А
обладает всеми свойствами однород-
однородного линейного отображения. Вместо
того чтобы проводить соответст-
соответствующие выкладки, достаточно ог-
ограничиться следующим замечанием:
тождества, входящие в определение
однородного линейного отображения,
выполняются для отображения —А,
поскольку получаются из соответст-
соответствующих тождеств для отображения
А при замене знаков в правой и
левой частях на противоположные.
Итак, из тождеств, выполняющих-
выполняющихся для суммы отображений, следует,
что однородные линейные отображе-
отображения векторного пространства Мх в
векторное пространство М2 образу-
образуют коммутативную группу по сло-
сложению.
2. У м н о ж е н и е на скаля-
р ы. Для этой операции мы докажем
лишь одно тождество: (а|3)А =
= а(рА). Выбрав произвольный век-
вектор (по определению отображение
уА задано на том же векторном про-
пространстве, что и отображение А),
получим: ((а0)А)(м) = (а$)(А(и)) =
= а(Р(А(и))) - (@А)())
А)(
(())
3. Тождества для сло-
сложения однородных ли-
линейных отображений и
умножения их на скаля-,
ры.'
Докажем, что образы любого вектора
и при действии отображений (а +
+ Р)А и - аА + рА совпадают:
((а + р)А)(и) - (а + Р)(А(и)) =
= а(А(и)) + Р(А(и)) = (аА)(и) +
+ (pA)(u) = (аА + pA)(u).
б) а(А + В) = аА + аВ.
Утверждение следует из того, что
(а(А + В))(и) = а((А + В)(и)) =
= а(А(и) + В(и)) - а(А(и)) +
+ а(В(и)) - (аА)(и) + (аВ)(и) =
= (аА + аВ)(м).
Сравнив доказанные тождества с
тождествами, входящими в определе-
определение векторного пространства, не-
нетрудно заметить, что
однородные линойные отображения
векторного пространства М, в век-
векторное пространство М^с заданными
ira них операциями сложения и ум-
умножения на скаляр образуют век-
векторное пространство, обозначаемое
Н,от(М„ М2).
Три буквы Нот, входящие в это
обозначение, — сокращение от сло-
слова «гомоморфизм», поскольку в дан-
данном случае речь действительна идет о
141

гомоморфизмах. Можно показать, что
аналогичные результаты получаются
как для абелевых групп, так и для
модулей.
4. Тождества для сло-
сложения и умножения од-
однородных линейных ото-
отображений.
а) Левый закон дистрибутивности.
Требуется доказать, что отображения
А(В + С) и АВ + АС переводят
любой вектор и в один и тот же век-
вектор. Действительно, (А(В + С))(м) =
= А((В + С)(и))= А(В(и) + С(и)) =
= А(В(и)) + А(С(м)) = (АВ)(и) +
+ (АС)(м) = (АВ + АС)(м).
б) Правый закон дистрибу-
дистрибутивности. Требуется доказать тож-
тождество (В + С)А = ВА + СА. А,
В и С означают здесь, вообще гово-
говоря, другие отображения, чем в (а).
Выбрав произвольный вектор и, по-
получим ((В + С)А)(м) = (В + С)Х
X (А(и)) = В(А(в)) + С(А(м)) =
= (ВА)(и) + (СА)(в) = (ВА +
+ СА)(и).
(Известно, что один из двух зако-
законов дистрибутивности может выпол-
выполняться даже в том случае, если дру-
другой закон дистрибутивности утрачи-
утрачивает силу. Для однородных линейных
отображений выполняются оба за-
закона дистрибутивности, но дока-
доказывать каждый из них необходимо
особо, поскольку они выражают
различные свойства операций.)
Сопоставляя тождества для сложе-
сложения и умножения однородных ли-
линейных отображений, можно заме-
заметить, что они совпадают с тождест-
тождествами, входящими в определение
кольца. Как известно, если опера-
операции в кольце вьшолнимы без каких
бы то ни было ограничений, то для
любых двух элементов кольца су-
существует сумма и произведение. Сло-
Сложение двух однородных линейных
отображений выполнимо в том слу-
случае, если каждое из отображений-
слагаемых иереводит заданное век-
векторное пространство Мх в одно и то
же векторное пространство М2. Что
же касается умножения (последова-
(последовательного выполнения) двух однород-
однородных линейных отображений, то эта
операция осуществима лишь в том
случае, если векторные пространства
М3 и М2 совпадают. Но в этом слу-
случае выполнимы обе операции — и
сложение, и умножение отображений.
Однородные линейные отображе-
отображения векторного пространства М
па себя образуют кольцо относитель-
относительно заданных выше операций сложе-
сложения и умножения отображений.
Элементы этого кольца называются
линейными преобразованиями век-
векторного пространства М.
5. Тождества для умно-
умножения линейных преоб-
преобразований и умножения
линейных преобразова-
преобразований на скаляр. Имеется два
таких тождества. Мы выпишем их
«подряд», в виде одной цепочки соот-
соотношений: а(А В) == (аА)В = А(аВ ),
но докажем каждое из тождеств в
отдельности:
а) ((«А)В)(в) = (аА)(В(в)) =
= а (А (В (и))) = а (АВ) (и) =
= (а(АВ))(в);
б) (А(аВ))(и)-А((аВ)(и)) =
= А(а(В(и))) = а{А(В(и))) =
= (а(АВ))(и).
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что соотношение 1 .А*=
= А выполняется для любого линей-
линейного преобразования А.
2. Доказать, что линейные преоб-
преобразования образуют кольцо с еди-
единицей.
3. Доказать, что для линейного нре-
образования А следующие утвержде-
утверждения эквивалентам:
а) для А существует левое обратное
преобразование;
б) для А существует правое обрат-
обратное преобразование;
в) А переводит различные элемен-
элементы векторного пространства в раз-
различные;
г) каждый элемент векторного про-
пространства служит образом какого-
142

то элемента того же векторного про-
пространства.
Такие цреобразовапия называются
невырожденными.
4. Доказать, что для линейного
преобразования А следующие утвер-
утверждения эквивалентны:
а) существует отличное от О ли-
линейное цреобразование В, удовлет-
удовлетворяющее соотношению ВА = О;
б) существует отличное от О ли-
линейное преобразование С, удовлет-
удовлетворяющее соотношению АС = О;
в) А не является невырожденным
преобразованием.
Такие преобразования называются
вырожденными.
5. Доказать, что, если линейное
преобразование Р удовлетворяет со-
соотношению Р2 = Р, то векторное
пространство М, отображение кото-
которого на себя задано преобразованием
Р, можно разложить в прямую сум-
сумму иодпространств КегР и ImP.
6. Доказать, что линейное преоб-
преобразование удовлетворяет условию
N2 = О в том и только в том случае,
если векторное цространство Im N
содержится в KerN, то есть
если Im NsKer N.
7. Найти размерность векторного
пространства Нот (Мх, М2).
3.3. Матрицы
При задании операций над одно-
однородными линейными преобразова-
преобразованиями или при рассмотрении тож-
тождеств, которым должны удовлетво-
удовлетворять эти оиерации, краткие и вместе
с тем более «емкие» (по сравнению
с применявшимися в предыдущих
разделах) обозначения отображений
были бы весьма кстати. Действитель-
Действительно, при изучении чисто алгебраичес-
алгебраических вопросов имеет значение лишь
то, какие оиерации заданы и каким
тождествам они удовлетворяют. Но
если при решении какой-то конкрет-
конкретной, практической задачи необходи-
необходимо выполнить те или иные оиерации,
то однородные линейные отображе-
отображения удобнее описывать каким-ни-
каким-нибудь числом или набором чисел и по
известным исходным значениям па-
параметров оиределять значения, ха-
характеризующие конечный результат
выполнения онераций.
Чтобы задать однородное линей-
линейное отображение, попытаемся выяс-
выяснить, какими параметрами характе-
характеризуются векторы. Весьма простое
описание допускают векторы на
плоскости. Действительно, всякий
вектор на плоскости однозначно он-
ределяется заданием его конца, если
его начало совмещено с началом ко-
координат. Следовательно, для зада-
задания вектора на плоскости необходи-
необходимы те числа, которые характеризуют
положение точки на плоскости, а их
мы без труда определим, введя на
плоскости систему координат (рис.
75).
Начала координат
Точтг
Начало пооодинат
Начало
ноордина)
Чинат
X
Координаты
Рис. 7S.
143

Аналогичным образом можно оп-
определять положение точек не только
на плоскости, но и в пространстве.
Существенного (принципиального)
различия между этими двумя слу-
случаями нет.
Но уже в связи с введением коор-
координат на плоскости возникает один
вопрос: какую систему координат
выбрать?
Начало
коорвинси
Ч
Начало
ноордшат
Координаты
Коней
вектора
Начало
координат
Рис 76.
ЛНачало
координат
Начало
координат
Начало
координат
Рис. 77.
На плоскости «решающий шаг» еще
кое-как можно было бы сделать, на-
например объявить «наилучшей» пря-
прямоугольную систему координат, оси
которой взаимно перпендикулярны,
а координатные линии параллельны
линиям обреза этой страницы (рис.
76). Прямому углу между осями ко-
координат или параллельности црямых
на плоскости можно придать вполне
наглядный смысл, хотя это еще не
свидетельствует о цревосходстве вве-
введенной системы координат перед дру-
другими (рис. 77). Несравненно труднее
придать наглядный смысл аналогич-
аналогичным понятиям, если размерность век-
векторного пространства больше трех,
а если речь идет о векторных прост-
пространствах не над вещественными чис-
числами, то задача становится безна-
безнадежной.
Следовательно, нам не остается
ничего другого, как смириться с
144

мыслью, что вводить можно любые
системы координат- Важно лишь,
чтобы, выбрав какую-нибудь одну
систему координат, мы придержива-
придерживались ее, пока не завершим вычисле-
вычисления: ведь одни и те же числа в раз-
личнрх системах координат опреде-
определяют различные векторы.
В системе координат (х, у) пара чи-
чисел (х = 2, у = 3) задает вектор
и, а в системе координат (х', у') та
же пара чисел (х' = 2, у' = 3)
определяет вектор и' (рис. 78). Век-
Векторы и и и' не совпадают.
Итак, мы установили, что ни одной
системе координат невозможно от-
отдать предпочтение, но, коль скоро
система координат выбрана, необ-
необходимо ее зафиксировать.
Но какой смысл имеют координаты
вектора в произвольной системе ко-
координат? Во всяком векторном про-
пространстве помимо векторов имеются
еще и скаляры. Если бы мы научи-
научились выражать координаты вектора
через скаляры, то тем самым нам уда-
удалось бы придать смысл и координа-
координатам вектора в цроизвольной системе
координат.
На плоскости запись вектора в
координатах можно рассматривать,
как цредставление вектора в виде
суммы двух векторов. Направления
векторов-слагаемых фиксированы, а
длины изменяются в зависимости от
вектора-суммы. Если вдоль каждой
из координатных осей выбрать но
единичному вектору, то координаты
любого вектора на цлоскости будут
показывать, с какими коэффициен-
\
\
\
\
\
\
4
\
1
i
к
и'
A U
1 Г
/Д
у }
**"
г f-
\
X
Рис 78.
тами выбранные единичные векторы
входят в линейную комбинацию, сов-
совпадающую с этим вектором. Но два
ортогональных вектора на цлоскости
можно рассматривать как базис, так
как любой вектор на плоскости мож-
можно представить в виде их линейной
комбинации.
Аналогичным образом можно ио-
ступать и в других случаях, посколь-
поскольку базис существует в любом конеч-
конечномерном векторном пространстве.
Координаты вектора цринято за-
записывать либо одну под другой в ви-
виде столбца, либо в виде строки. (Обе
формы записи по существу ничем не
отличаются, но над столбцами более
удобно производить выкладки. Ес-
Если бы произведение однородных ли-
линейных отображений следовало ио-
нимать не как (АВ)(м) = А(В(м)),
а как (АВ)(и) = В(А(м)), то такую
запись легче было бы читать «с кон-
конца»: (м)(АВ) = ((м)А)В, и действия
было бы удобнее производить над
векторами-строками.) Итак, в задан-
заданном базисе вектор и имеет координа-
координаты
. Это принято
записывать так:
Кратко координаты вектора и в за-
заданном базисе обозначаются [и].
Пусть еи е2, ..., еп — фиксиро-
фиксированный базис в га-мерном векторном
пространстве М над телом Г. Если
вектор и 6 М можно представить в ви-
виде линейной комбинации и — ахе,+
+«2<?2 + •••+ ос„еп, то скаляры а]}
а2, ..., ап называются координата-
координатами вектора и в базисе е,, е%, ..., еп.
Если речь идет не об одном век-
векторе, а о нескольких векторах, име-
имеющих различную размерность, то в
обозначении вектора указывают не
только координаты, но и размер-
размерность: [и]п означает координаты
n-мерного вектора и.
Рассмотрим, например, элементы ей/
базиса двумерного векторного простран-
пространства над телом вещественных чисел
145

Один из базисов
(рис. 79). Векторы g = e-f-/Hft = e —/
образуют другой базис того же векторно-
векторного пространства. Действительно, так как
е = l(g + ft), f = I {g - ft), то век-
торы g и ft можно рассматривать как сис-
систему образующих, а поскольку эта систе-
система состоит из двух элементов, то она яв-
является базисом. Вектор и = 4е + 6/ име-
имеет в базисе (в, f) координаты [\\ (рис. 80),
а в базисе (g* h) — координаты [_5{]
(рис. 81), так как и = 4е + 6/ =
Ввнгпар
Заданный
ДрдгоВ базис
Рис. 81.
=4. (l(g -f ft) -f 6 A. (g- ft)) =2(g-f ft) +
-f 3(g — ft) = 5g — ft. Вектор v, имею-
имеющий в базисе (g, ft) координаты [|], от-
отличен от вектора и (рис. 82), так как
v = 4g + 6ft = Це + /) + 6(е - /) =
— 10е — 2/.
Если в некотором базисе всем
векторам сопоставить их координаты,
то соответствие между векторами и
координатами будет взаимно-одно-
взаимно-однозначным (рис. 80). Более того, если
операции над столбцами производить
так же, как над наборами из п чи-
Другой
вектор
Рис. 80.
Рис. 82.
146

сел, то есть покомпонентно, то соот-
соответствие между векторами и коорди-
координатами будет изоморфизмом. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим, как
производятся над «столбцами» опе-
операции сложения и умножения на ска-
скаляр:
«2
+
"Pi"
P2
-PB_
«2
+
+
+
Pi
P2
Р„_
—
Xotj
Xa2
-4,-
Следовательно, если м = axe^ +
+ <*2e2 + - + *nen И V = P^i +
+ 02*2 + ••• + Pnen, TO U + V =
= («, + &K + (a2 + p2)e2 + ...
... + (an + Cra)en и, кроме того, Хи =
что и доказывает наше утверждение.
Полученный нами результат можно
«сформулировать» более кратко: [и+
+ v) = [и] + [v] и [ки] = к[и].
Если этими соотношениями вос-
воспользоваться достаточное число раз,
то координаты линейной комбинации
векторов можно представить в виде
линейной комбинации координат за-
заданных векторов:
[кьщ + к2и2 + - • • + кпип] =
= К [Щ] + Я2 [м2] Ч \- ^п [««]•
Перейдем тецерь к описанию одно-
однородных линейных отображений.
Пусть А : Mj —v M2 — однородное
линейное отображение. Как извест-
известно, любое однородное линейное
отображение однозначно определе-
определено, если задано, во что оно пере-
переводит элементы базиса. Более то-
того, было показано, что, какие бы
элементы векторного пространства
мы ни выбрали, всегда можно най-
найти однородное линейное отображе-
отображение, переводящее в них элементы ба-
базиса. Прежде всего зададим в век-
векторном пространстве Мг какой-ни-
какой-нибудь базис, например состоящий из
векторов ег, е2, ..., еп. Если этот ба-
базис фиксирован, то любое однородное
линейное отображение можно одно-
однозначно оиределить, указав образы
базисных элементов A(ej,), A(e2), ...
..., А(е„). Поскольку эти образы также
являются векторами, то их также
можно описывать при помощи коор-
координат, но для этого в векторном про-
пространстве М2, которому принадлежат
векторы А(е4), Х{е^, ..., А(е„), не-
необходимо задать и фиксировать ка-
какой-нибудь базис. Пусть /1; /2, ...
• ••>/п —векторы, образующие базис
в М2. В этом базисе образы векторов
е1У е2, ..., еп, составляющих базис в
векторном пространстве М1э имеют
координаты [A(ej)J, [A(e2)], ...,[ А(е„)].
Попытаемся теперь действовать в
обратном порядке. Если координаты
[А^е,)], [А(е2)], ..., [А(еп)] заданы, то
тем самым в векторном пространстве
М2 однозначно определены п векторов
(так как в векторном пространст-
пространстве М2 имеется фиксированный базис).
Поскольку в векторном пространстве
Mj также есть фиксированный базис,
то, какие бы п векторов в М2 мы ни
задали, всегда найдется такое одно-
однородное линейное отображение (и при-
притом только одно), которое переводит
элементы заданного базиса из Mj в
эти п векторов из М2. Следовательно,
задав в векторном пространстве М2
(с фиксированным базисом!) коорди-
координаты [Afo)!, [A(e2)], ..., [А(еп)]7 мы
однозначно определим однородное ли-
линейное отображение.
Запишем тецерь координаты век-
векторов, в которые переходят под дей-
действием этого отображения элементы
базиса векторного пространства М1#
Нам понадобится двойная нумерация:
один индекс поможет нам отличать
координаты данного вектора, а дру-
другой укажет порядковые номера век-
векторов. Следовательно, координаты
векторов-образов элементов базиса
векторного пространства Mj зависят
от двух индексов. Первый индекс ука-
указывает порядковый номер базисного
вектора, о котором идет речь, а вто-
второй индекс нумерует координаты
его образа. Итак, координаты век-
147

торов, в которые однородное линей-
иое отображение А иереводит эле-
элементы е1у е2, ..., еп базиса векторного
M
моугольной матрицыЗ
aii a2i — a"
пространства
виде
р
Mlf можно заиисать в
[А(е2)] =
а
'22
*nl
Необходимо произвести еще две
цроЕерки. Во-первых, мы должны
убедиться в том, что если задано одно-
однородное линейное отображение век-
векторного цространства Mj в векторное
пространство М2, то (при фиксиро-
фиксированных базисах в Мх и М2!) оно од-
однозначно онределяет набор п X к
координат, выписанных выше. Во-
вторых, требуется доказать, что, ес-
если задано п X к скаляров, упорядо-
упорядоченных но двум индексам, то они
(также при фиксированных базисах
в Мх и М2!) однозначно определяют
однородное линейное отображение.
Числа или какие-нибудь другие
элементы, записанные в определен-
определенном порядке, называются матрицей.
Разумеется, если речь идет о век-
векторных пространствах над телом ве-
вещественных чисел, то элементы мат-
матрицы являются вещественными чис-
числами. Разумеется, элементы могут
быть расположены в любом норядке,
важно лишь, чтобы он оставался не-
неизменным.
Если элементы расположены в ви-
виде прямоугольника, то говорят, что
они образуют нрямоугольную мат-
матрицу. Следовательно, однородное ли-
линейное отображение А в заданных
базисах можно записать в виде пря-
ni
а22
В этой связи необходимо заметить
следующее: для линейных преобра-
преобразований векторные пространства Mj и
М2 совпадают. В принципе и в этом
случае следовало бы задавать два
базиса: один базис — для записи
образов векторов, другой — для за-
записи координат, но оба базиса удоб-
удобно отождествлять и вместо двух
базисов рассматривать лишь один.
Приведем теперь несколько при-
примеров однородных линейных отобра-
отображений, зашисашшх в виде матриц.
ПРИМЕРЫ
1.Некоторые линейные
преобразования плос-
плоскости. (Мы рассмотрим лишь те
линейные преобразования, которые
были перечислены выше, как приме-
примеры однородных линейных отображе-
отображений.)
а) Отражение относительно прямой.
Для любых не параллельных век-
векторов и, v на плоскости линейное
преобразование А, действующее так,
что А(м) — —и и А(у) = —v, опре-
определяет некоторую матрицу. Предста-
Представив образ вектора и в виде (—1) • и +
+ 0-v, мы цолучим цервый столбец
матрицы I 2J- Записав образ век-
вектора v в виде линейной комбинации
0-м + (—l)-v, мы найдем второй
столбец матрицы [_|]. Итак, [AJ =
-Г. 4
б) Отражение относительно пря-
прямой, нроходящей через начало ко-
координат.
Если и — вектор, направленный
вдоль прямой, a v — вектор, орто-
ортогональный вектору и, то преобразова-
преобразование А действует так, что А(м) = и,
а A(v) = —v. Образ вектора и мож-
можно представить в виде линейной ком-
148

бинации 1-й + 0-у, а образ вектора
v — в виде линейной комбинации
0-м + (—1).у. Следовательно, мат-
матрица линейного преобразования А
состоит из двух столбцов (qJ и(д_) ,
то есть [Al = [J_i] .
в) Растяжение от центра.
В качестве базиса на плоскости
можно выбрать любые два непарал-
непараллельных вектора и и v. Линейное
преобразование А состоит в растя-
растяжении всех векторов в а раз, поэто-
поэтому А(м) =а-м + 0-1>, A(v) = 0-м-f
+ a-v и, следовательно, IAJ = |Оа| .
г) Растяжение в направлении, пер-
перпендикулярном прямой, проходящей
через начало координат.
Если «коэффициент растяжения»
равен а, и — вектор, направленный
вдоль прямой, я v — вектор, орто-
ортогональный прямой, то линейное пре-
преобразование А действует так, что
А(м) =l-u + 0-v, A(v) =0-м + а-у
и, таким образом, [А1 =
д) Поперечный сдвиг.
Если и — вектор, указывающий
направление сдвига, а v — вектор,
ортогональный вектору м, то попе-
поперечный сдвиг порождает линейное
преобразование А(м) = и, A(v) —
= v + цм с матрицей [Al = [oil •
(Заметим, что это первая матрица, в
которой элементы в «правом верхнем
углу» не симметричны элементам в
«левом нижнем углу» относительно
так называемой главной диагонали.)
е) Поворот.
Если F — поворот вокруг нача-
начала координат на 90° в положитель-
положительном направлении, а и, v — такие ор-
ортогональные векторы, что F(m) =
= v, F(v) = -и, то [F] = [}~J].
Если F — поворот вокруг начала
координат на 120° в положительном
направлении и v = F(m), to ¥(v) —
= -и + (-i)-v и [FI = [il{] .
Следует иметь в виду, что при опи-
описании поворота на 120° мы восполь-
воспользовались базисом, весьма точно «по-
«подогнанным» к преобразованию, но
порождающим несколько непривыч-
непривычную систему координат. Если бы
вектор v получался из вектора и при
повороте вокруг начала координат
на 90° в положительном направлении,
то в этом базисе, как нетрудно
проверить, линейному преобразова-
преобразованию, соответствующему повороту во-
вокруг начала координат на 120° в
положительном направлении, соот-
соответствовала бы матрица
ж) Ортогональная проекция.
В базисе и, v, приведенном в при-
примере 8, ортогональная проекция по-
порождает линейное преобразование
V(m) = и, V (v) = 0. Следователь-
Следовательно, его матрица имеет вид [V] =
]
М-
2. Тождественное ли-
линейное преобразование
векторного пространст-
в а. Если щ, иг, ..., ип — произ-
произвольный базис, то тождественное ли-
линейное преобразование действует так,
что I(mj) = щ, 1(«г) = М2> •••
..., 1(м„) = ип. Это означает, что в
матрице I (независимо от базиса)
в первом столбце первый элемент
равен единице, а остальные — нулю,
во втором столбце на втором месте
стоит единица, а все остальные"эле-
остальные"элементы равны нулю, и, наконец, в
последнем столбце на последнем мес-
месте стоит единица, а на всех предыду-
предыдущих—нули. Те места, на которых сто-
стоят единицы, называются главной диа-
диагональю матрицы. Разумеется, глав-
главной диагональю обладают лишь мат-
матрицы, в которых число столбцов сов-
совпадает с числом элементов в столб-
столбцах. Такие матрицы называются
квадратными.
3. Нулевое отображе-
отображение О. Если при отображении п-
мерного векторного пространства Мх
149

в й-мерное векторное цространство
М2 каждый вектор из Мх иереходит
в нулевой вектор из М2, то при лю-
любом выборе базиса в Мг всем его эле-
элементам будет соответствовать нуле-
нулевой вектор в М2. Следовательно, мат-
матрица нулевого отображения О со-
содержит п столбцов, в каждом из ко-
которых все к элементов равны нулю.
Таким образом, независимо от выбо-
выбора базиса все элементы матрицы ну-
нулевого отображения О всегда равны
нулю. •
Если матрица однородного линей-
линейного отображения известна, то, зная
координаты исходного вектора, мож-
можно найти координаты его образа при
отображении. Предполагается, что
исходный вектор и однородное ли-
линейное отображение заданы в одном
и том же базисе. Тогда образ вектора
задан во «втором» базисе однородно-
однородного линейного отображения.
Пусть А : Mj -> М2 — однород-
однородное линейное отображение, ех, е2,...
..., еп — базис векторного прост-
пространства Мг, а Д, /2, ..., /fe — базис
векторного пространства М2. Если
и = ^е, + ^2 + ••• + Ьпеп —
исходный вектор, то v = А(и) =
\( А ЬА
хх) г( (
образ вектора v при отображении А.
Координаты вектора v можно най-
найти, зная координаты векторов А(е,):
Первую координату вектора v мы най-
найдем, взяв первые координаты векторов
Afo), А(е2),...,А(е„), умножив их на
?i, £*,..., 6П (координату вектора А(е4)
на Ej) и сложив полученные произведения.
Аналогичным образом можно найти вторую
координату вектора v (необходимо лишь
вместо первых координат векторов А(е1),
А(е2),...,А(еп) взять их вторые координа-
координаты). Продолжая вычисления, мы, наконец,
найдем Лмю координату вектора v (про-
(проделав соответствующие действия над
fc-ма координатами векторов (А(ех),
А(ег),.. А(в„).
Выясним, нельзя ли алгоритм
отыскания координат вектора v
сформулировать проще. Внимательно
рассмотрев всю последовательность
действии, нетрудно заметить, что для
вычисления цервой координаты век-
вектора v необходимо учитывать только
цервые координаты векторов А(ег).
Эти координаты образуют первую
стропу матрицы [А]. Аналогичным
образом при вычислении второй ко-
координаты вектора и нам понадобится
лишь вторая строка матрицы одно-
однородного линейного отображения А,
а цри вычислении к-й координаты
вектора v — лишь к-я строка той же
матрицы.
Рассмотрим элементы первой стро-
строки матрицы [А], понадобившиеся при
вычислении цервой координаты век-
вектора v: аХ1, а21, ..., ап1. Первая ко-
координата вектора v равна сумме
«ii^i + «21^2 + ••• + ап1£„. В ана-
аналогичном виде представимы и дру-
другие координаты вектора v. Единствен-
Единственное отличие от первой координаты
состоит в том, что второй индекс эле-
элементов матрицы [А] равен не единице,
а натуральному числу, заключенно-
заключенному между 2 и к.
Рассмотрим, как образуются такие
суммы. Пусть заданы строка и стол-
столбец, содержащие одно и то же число
элементов. Умножим первый эле-
элемент строки на первый элемент столб-
столбца, второй элемент строки — на вто-
второй элемент столбца и т. д., послед-
последний элемент строки умножим на
последний элемент столбца, а произ-
произведения сложим.
Полученная сумма называется про-
произведением выбранных нами строки и
столбца. Координаты вектора A(v)
можно описать в терминах произве-
произведений строк и столбцов следующим
образом: умножив каждую строку
матрицы [А) на координаты вектора
v, зашисанные в виде столбца, полу-
получим соответствующую координату
вектора-образа A(v).
Произведение строки и столбца
|а„ аа,..., а„]
LLJ
150

к строк -
Рис. 83.
На рис. 83 произведения строк и
столбца отмечены кружками и распо-
располагаются на пересечении прямых,
указанных стрелками.
Рассмотрим теперь, как выглядят
«в переводе» на язык матриц опера-
операции, производимые над однородными
линейными отображениями.
1. Произведение матрицы на ска-
скаляр.
Матрицу [АА] определим по ана-
аналогии с матрицей [А]. Если еи е2, ...
..., еп — соответствующий базис, то
матрица [А] состоит из столбцов
[А(ех)], [А(е0], •••, [А(еп)], а столбцы
матрицы [ЯА] имеют вид lkA(ej)] =
M] [А] = UA(e2)], ...
]
(„) ()
Это означает, что матрица [ЯА]
получается из матрицы [А] при умно-
умножении всех элементов матрицы [А]
на К.
Удобно принять следующее опре-
определение: чтобы найти произведение
матрицы на скаляр, все элементы
матрицы следует умножить на ска-
скаляр.
Такое определение позволяет ут-
утверждать, что скалярное кратное
матрицы равно произведению мат-
матрицы на скаляр. Более точно наш
результат можно было бы сформули-
сформулировать следующим образом: скаляр-
скалярное кратное матрицы и произведение
матрицы на скаляр удовлетворяют
соотношению [КА] = к[А].
2. Сумма матриц.
Говоря о сложении однородных
линейных отображений А и В, мы
подразумеваем, что отображение А +
+ В существует. По определению
матрицы [А] ее у'-й столбец состоит из
координат вектора А(е;), то есть ра-
равен [А(еу)]. Аналогично ;-й столбец
матрицы [В] равен [В(е;)]. Исполь-
Используя уже известные соотношения, по-
получаем, что /-й столбец матрицы
[А + В] равен [(А + В)(е,)] =
= [А(в,) + В (е,)] = [А(е,)] +
+ [В(еу)]. Это означает, что/'-й стол-
столбец матрицы [А + В] совпадает с
суммой /-х столбцов матриц [А] и
[В]. (Сумму столбцов мы получим,
сложив покомпонентно столбцы-сла-
столбцы-слагаемые.) Следовательно, каждый эле-
элемент матрицы [А + В] можно най-
найти, вычислив сумму элементов мат-
матриц [А] и [В], стоящих «на том же
месте]».
Итак, сумму матриц разумно оп-
определить следующим образом.
Пусть заданы две матрицы с оди-
одинаковым числом строк и столбцов.
Их суммой называется матрица, в
которой ;-й элемент £-й строки (то
j-ucmaff6et( j-ucma/ifieip i-u ci
Рис. 84.
ш

j-йстол-
бец
Второй
сомножитель
1-я строка
Первый сомно-
сомножитель
Умножение
матриц воз-
возможно лишь
0 том случае,
если здесь
стоит квад-
квадрат
j
\
i
1 j
-J-
Лроиэеедеше
s пи
си стропи
лрог/зееденияг
Рис. 85.
есть элемент, стоящий на пересече-
пересечении t-й строки и /-го столбца) равен
сумме /-Х элементов г-х строк мат-
матриц-слагаемых (рис. 84).
Суммой двух матриц называется
матрица, в которой элемент, стоящий
на пересечении г-й строки и /-го
столбца, равен сумме элементов, сто-
стоящих на пересечении г-х строк и
/-х столбцов в *1атрицах-слагаемь|Х.
При таком определении выполня-
выполняется соотношение [А + В] = [А]+
+ [В].
3. Произведение матриц.
Введем операцию умножения мат-
матриц. Ее определение желательно вы-
выбрать так, чтобы матрица произведе-
произведения двух однородных линейных ото-
отображений совпадала с произведением
матриц, соответствующих отображе-
отображениям-сомножителям.
Предположим, что заданы однородные
линейные отображения А: М2 -*■ Мэ и
В: Мх -*■ М2 и существует однородное
линейное отображение АВ: Mt -*■ М3. Ес-
Если мы хотим записать матрицы отобра-
отображений, то во всех трех векторных про-
пространствах М1; Мг и М3 необходимо ука-
8ать базисы. Конкретно нас будет инте-
интересовать только базис в Мх. Пусть ех, е2, ...
..., еп — элементы этого базиса. Найти ;-й
элемент 1-й строки матрицы [АВ] означа-
означает то же самое, что и найти j-й элемент
ее /-го столбца. Но ?-й столбец матрицы
[АВ] мы получим без труда. Эхо — не
что иное, как столбец [AB(ej)]. Выясним,
как он связан с матрицей [А]. Для этого
столбец [АВ(е^)] удобно представить в
виде [А(В(е^))]. Из этой записи следует,
что i-& элемент столбца [АВ(е^)] мы полу-
получим, умножив i-ю строку матрицы fA] на
столбец, состоящий из координат вектора
В(е^. Но вектор В(е,) — это не что иное,
как jf-й столбец матрицы [В] (рис^ 85).
Итак, можно утверждать, что эле-
элемент матрицы [АВ], стоящий на пе-
пересечении г-й строки и /-го столбца,
совпадает с произведением г-й стро-
строки матрицы [А] и /-го столбца мат-
матрицы [В].
Следовательно, произведение мат-
матрицы разумно определить так: если
число строк первой матрицы равно
числу столбцов второй матрицы, то,
перемножив их (именно в том поряд-
порядке, в котором матрицы перенумеро-
перенумерованы!), мы получим матрицу, в ко-
которой ;-й элемент г-й строки совпа-
совпадает с произведением t-й строки пер-
первой матрицы и /-го столбца второй
матрицы.
Произведением двух матриц назы-
называется матрица, у которой /-й эле-
элемент г-й строки совпадает с произве-
произведением i-й строки первой матрицы и
/-то столбца второй матрицы.
При таком определении соотноше-
соотношение [АВ] = [AJ[B], как нетрудно
видеть, выполняется.
152

ЗАДАЧИ
1. Указать те из перечисленных
ниже матриц, для которых операция
сложения имеет смысл:
[1 3 -2];
г4 о аг
L2 —3 4Г
0)
1)
2)
3)
5)
6)
7)
8)
9)
2. Указать те из перечисленных в
предыдущей задаче матриц, которые
можно умножать одну на другую.
3. Доказать, что для любого линей-
линейного преобразования плоскости либо
существует базис, в котором матрица
преобразования имеет вид Ь,с »
либо во всяком базисе матрица пре-
преобразования имеет вид |Qa .
4. Пусть в некотором базисе мат-
матрица линейного преобразования А
плоскости имеет вид I" J и, кроме
того, p~a-\-duq~ad — be.
Доказать, что А8—p-A+q-l =0.
Г-7
13
L °
"—4
7
1
" 2"
7
-2.
13
1
— 5
13"
— 2
j
41"
0
13
?
Группы и кольца
4.1. Представление групп
матрицами
Решая задачи о линейных пре-
преобразованиях, мы выяснили, при
каких условиях для данного линей-
линейного преобразования существует об-
обратное линейное преобразование. По-
Поскольку преобразование, обратное
произведению преобразований, сов-
совпадает с произведением (взятых в
обратном порядке) обратных преоб-
преобразований, то невырожденные (то
есть такие, для которых существуют
обратные) преобразования образуют
группу по умножению. Такие линей-
линейные преобразования можно предста-
представить (если задан базис) квадратными
матрицами. Следовательно, те квад-
квадратные матрицы, для которых су-
существуют обратные, образуют груп-
группу относительно операции умноже-
умножения матриц. Такие матрицы в даль-
дальнейшем мы будем называть невырож-
невырожденными.
Вычисления с матрицами произво-
производятся сравнительно просто и совер-
совершенно «автоматически». Именно по-
поэтому групповые операции проще
изучать на группах, состоящих из
матриц. Подобно тому как элементы
групп мы некогда заменяли подста-
подстановками, теперь же их можно попы-
попытаться заменить матрицами. Точнее
говоря, речь идет об установлении
следующего соответствия между эле-
элементами групп и матрицами.
Если существует мономорфизм ф,
отображающий данную группу G в
мультипликативную группу невырож-
невырожденных матриц га X га, то гово-
говорят, что группа G представима мат-
матрицами га х п, а гомоморфизм
называется представлением группы
матрицами га X п.
Заметим, что когда говорят о представле-
представлениях групп (имеющих весьма важное
значение), то о ф известно лишь, что
это — гомоморфизм. Те представления, в
которых ф — мономорфизм, обычно на-
153

Группа
лодстановоп
п элементов
Группа невырожденных
линейных преобразова-
преобразований п-мерного век-
векторного /гространствй
Группа невырожденных
матриц
Рис. 86.
вываются «точными представлениями». По-
Поскольку мы будем и дальнейшем рассмат-
рассматривать только такие представления, то
условимся для краткосш вазывать их
просто представлениями и опускать слово
«точные».
Докажем, что всякую группу га-го
порядка можно представить матри-
матрицами п X п.
Для доказательства этого утверж-
утверждения весьма полезной оказывается
теорема Кэли, согласно которой
группа, содержащая га элементов,
изоморфна некоторой подгруппе
группы всех подстановок га элемен-
элементов. Используя теорему Кэли, доста-
достаточно было бы доказать, что всякая
группа подстановок изоморфна неко-
некоторой подгруппе невырожденных
матриц га X га. Тогда исходная груп-
группа била бы изоморфна некоторой
подгруппе группы матриц, посколь-
поскольку, если группа изоморфна какой-
нибудь подгруппе любой из под-
подгрупп, то она тем самым изоморфна
и подгруппе всей группы (рис. 86).
Но от матриц га X га мы могли бы
перейти к линейным преобразовани-
преобразованиям га-мерного векторного пространст-
пространства, поэтому достаточно рассмотреть
154
мономорфизм ф , ставящий в соответ-
соответствие каждой подстановке некоторое
невырожденное линейное преобразо-
преобразование га-мерного линейного простран-/
ства.
Пусть ег, ег,..., еп — базис заданного
га-мерного векторного пространства. Н&
ограничивая общности, можно считать,
что любая подстановка га элементов дей-
действует именно на векторах ег, еъ,..,,еп.
Каждому элементу базиса ег поставим
в соответствие тот элемент базиса ер в ко-
который вектор е^ переходит под действием
рассматриваемой подстановки. Но коль
скоро для каждого элемента базиса из-
известен его образ, то тем самым однозначно
определено однородное линейное отобра-
отображение, переводящее векторы е1 в их обра-
образы относительно подстановки.
Однозначное соответстиие между под-
подстановками и однородными линейными
отображениями допускает более точное
описание. Пусть Р — произвольная под-
подстановка базисных векторов ег, ег,...,еп.
Подстановке Р соответствует линейное пре-
образоиание Ар, для которого при всех
I < га выполняются условия Aj>(«j) =
= P(et). Покажем, что q>: P -*• Ар —
мономорфизм, отображающий группу под-
подстановок в группу невырожденных ли-
линейных преобразований.
Прежде всего заметим, что <р — отобра-
отображение, поскольку образы базисных век-
векторов относительно подстановки Р одно-
однозначно определяют линейное преобразо-
преобразование Ар. Ясно, что различным подста-
подстановкам соответствуют различные линей-
линейные преобразования. Действительно, два
линейных преобразования, соответствую-
соответствующих различным подстановкам, не могут
совпадать хотя бы потому, что среди эле-
элементов базиса заведомо найдется по край-
крайней мере один вектор, переходящий под
действием этих преобразований в различ-
различные векторы. Не представляет особого
труда и доказательство того, что <р со-
сохраняет операции. Линейное преобразо-
преобразование ApQ, соответствующее произве-
произведению подстановок PQ, переводит бази-
сныё вектор et в базисный вектор KpQ{et)==
= PQ(et). С другой стороны, произведе-
произведение линейных преобразований Ар и Aq ,
соответствующих подстановкам Р и Q,
переводит базисный вектор е$ в вектор
ApAq (e|) =Ap«?(<?j)) = P(Q(et)). Не-
Нетрудно видеть, что вектор P(Q(et)) совпа-
совпадает с вектором PQ(ei).
Остается еще доказать, что все линейны»
преобразования, соответствующие подста-
подстановкам, невырожденны. Убедиться в этом
нетрудно. Действительно, каждая под-
подстановка отображает базис на базис. Та-
Таким образом, при линейном преобразова-
преобразовании исе элементы базиса оказываются об-
образами каких-то элементов базиса. Следо-
Следовательно, образ преобразования содержит

все элементы базиса и поэтому совпадает
со всем векторным пространством. Но
именно это и означает, что преобразова-
лие невырожденно.
В качестве примера найдем пред-
представление группы подстановок треть-
третьего порядка матрицами 3 X 3. Тож-
Тождественная подстановка переводит
все элементы в самих себя. Следова-
Следовательно, соответствующее ей линей-
линейное преобразование также отобража-
отображает все элементы в себя, то есть явля-
является тождественным. Подстановка
A23) переводит ех в е2, поэтому и со-
соответствующее ей линейное преобра-
преобразование отображает вектор ех в век-
вектор е2. Следовательно, в первом стол-
столбце матрицы этого преобразования на
втором месте стоит единица (е2 =
= 1-е2), а на всех остальных мес-
местах — нули (коэффициенты образа
вектора ех при всех остальных базис-
базисных векторах равны нулю). Та же
подстановка A23) переводит е2 в
е3, поэтому соответствующее ей ли-
линейное преобразование отображает
вектор е2 в вектор е3. Это означает,
что во втором столбце матрицы пре-
преобразования на третьем месте стоит
единица, а на всех остальных мес-
местах — нули. Наконец, как показы-
показывают аналогичные рассуждения, в
третьем столбце матрицы преобразо-
преобразования первый элемент равен единице,
а два остальных — нулю. Пользуясь
тем же методом, найдем матрицы пре-
преобразований, соответствующих всем
шести подстановкам трех элементов;
001
тождественная
подстановка
A23).
<132) •
A2)-
B3)
10101
100 ;
001 J
В общем случае в таком представ-
представлении матрицы содержат «слишком
много» строк (и столбцов). Нередко
группу удается представить матри-
матрицами с меньшим числом элементов.
Имеются основания полагать, что
каким-нибудь другим способом число
«абсолютно необходимых элементов»
удастся еще более понизить. (Такое
действительно возможно, поскольку
каждая из матриц содержит много
элементов, равных нулю, а они «не
идут в счет» прн выполнении опера-
операций.) Следовательно, занимаясь по-
поисками представлений групп, важно
строить матрицы с наименьшим из
возможных числом элементов.
Например, для представления
группы второго порядка не обяза-
обязательно обращаться к матрицам 2 X
X 2. Представление этой группы
можно построить, поставив в соот-
соответствие образующему элементу чис-
число —1. Этот элемент имеет порядок,
равный 2, и мы получаем представле-
представление группы «матрицами» 1x1. Что-
Чтобы получить представление группы
третьего порядка, не обязательно
брать матрицы 3x3. Действитель-
Действительно, матрица mHi] в кубе совпадает
с единичной матрицей LJ . Сле-
Следовательно, сопоставив образующе-
образующего—П
му элементу группы матрицу |i_ij,
мы получим представление группы
третьего порядка матрицами 2x2.
Если образующему элементу груп-
группы третьего порядка поставить в со-
соответствие комплексное число z, куб
которого равен 1 (z = +J— 0)
то получится представление группы
«матрицами» 1x1. Этот пример
показывает, что «величина» представ-
представления зависит от того, над каким те-
телом рассматривать матрицы. (Ясно,
что построить представление группы
третьего порядка вещественными чис-
числами нам бы не удалось, так как не
существует отличного от единицы
вещественного числа, куб которого
был бы равен единице.)
155

ЗАДАЧИ
1. Доказать, что все группы чет-
четвертого порядка можно представить
матрицами 2x2.
2. Доказать, что группу пятого
порядка можно представить матрица-
матрицами 2x2, причем образующему
элементу будет соответствовать мат-
ГО11
рица [ia\.
3. Доказать, что любую (конечную)
циклическую группу можно предста-
представить матрицами 2 X 2 с веществен-
вещественными элементами.
4.2. Групповые алгебры
При рассмотрении представлений
групп матрицами мы сталкиваемся
с весьма интересной ситуацией. Если
группа изоморфна некоторой под-
подгруппе матриц, то с алгебраической
точки зрения она неотличима от
этой подгруппы матриц, тождествен-
тождественна ей. Но на множестве матриц по-
помимо групповой операции (умноже-
(умножения матриц) определены еще опера-
операции умножения матриц на скаляры и
сложения. Это позволяет придать
смысл таким понятиям, как произве-
произведение элемента группы и скаляра или
сумма двух элементов группы. Разу-
Разумеется, результат выполнения до-
дополнительных (по отношению к
групповой операции — умножению)
операций не обязательно должен при-
принадлежать группе и в большинстве
случаев не принадлежит ей. Допол-
Дополнительные операции, как правило,
«выводят» из группы. «Незамкну-
«Незамкнутость» группы относительно сложе-
сложения элементов и умножения их на
скаляры означает, что, перебирая
произведения элементов группы и
скаляров и образуя из них всеми
возможными способами суммы, мы
получаем элементы более широкого
(по сравнению с исходной группой)
кольца.
Матрицы «неудобны» лишь тем,
что определенные «линейные ком-
комбинации» элементов группы иногда
совпадают с одним и» элементов груп-
группы. В том, что такие случаи могут
156
представиться, нас убеждает, напри-
например, группа невырожденных матриц.
Если возврат к элементам исходной
группы желательно исключить, то
операции сложения элементов груп-
группы и умножения их на скаляры целе-
целесообразно рассматривать, минуя
представление групп матрицами. Схе-
Схема получения «новых» элементов, не-
неоднократно опробованная нами в
других случаях, сводится к следую-
следующему.
Сосредоточим внимание не на ре-
результатах выполнения операций, а
на «конструировании» новых эле-
элементов. Нас будут интересовать эле-
элементы, которые не могут не возни-
возникать под действием дополнительных
операций. «Синтезируя» новые эле-
элементы, мы ограничимся только са-
самым необходимым, то есть будем про-
продолжать пополнение их запаса лишь
до тех пор, пока не получим из новых
элементов элемент; встречавшийся
нам ранее. На множестве построен-
построенных элементов дополнительные опе-
операции определены, поскольку они
заведомо порождают лишь «допусти-
«допустимые» элементы (предполагается, что
при построении новых элементов мы
строго придерживались правил и
нигде не ошибались). Описанная вы-
выше схема применима к произвольным
группам, но мы рассмотри*: ее лишь
для конечных групп.
Если G — конечная группа с эле-
элементами gx, gi, ..., gn, то одна опе-
операция (умножение) на G уже задана.
Мы хотим, кроме групповой опера-
операции, ввести на G умножение на эле-
элементы некоторого трла Г и сложение
произведений элементов из G и из /%
то есть образовать элементы вида
ai£i + «2^2 + ... + angn, где аи
а2, ..., ап — элементы тела Г. Если
бы такие «суммы произведений» бы-
были определены» то в силу дистрибу-
дистрибутивности и ассоциативности группо-
групповой операции в G мы могли бы не
только умножать их на скаляры и
производить сложение, но и умно-
умножать одну «линейную комбинацию»
элементов группы G на другую, ос-
оставаясь во множестве «сумм произве-

дений» элементов из G и элементов из
Г. Именно поэтому, дойдя до «ли-
«линейных комбинаций», мы обрываем
построение «новых» элементов. Итак,
рассмотрим элементы вида tXjgj -f-
+ «2^2 + — + angn, где g;€G,
aj€/\ Множество всех таких элемен-
элементов (не только «готовых», но и тех,
которые можно получить, применяя
к уже построенным элементам опера-
операции умножения на скаляр и сложе-
сложения) обозначим (ft G). Будем пока
считать, что элементы множества (ft
G) заданы.
(Строго говоря, мы не можем ста-
ставить между элементами из (Г', G)
знак «плюс», поскольку это не сло-
сложение: операция сложения на (ft G)
еще не определена. Тем не менее мы
обозначаем неизвестную операцию
как сложение именно потому, что
хотим, чтобы она была сложением.
Выбор знака «плюс» для обозначе-
обозначения этой операции выражает наши
«чаяния».)
Введем на элементах множества
(Г; G) операции. Сначала выясним,
какие операции нам следовало бы
задать на (Г; G), а затем — как это
можно сделать. Речь идет о трех опе-
операциях: об умножении на скаляры,
о сложении и об умножении элемен-
элементов. Эти операции нам хотелось бы
определить так, чтобы выполнялось
как можно больше «хороших тож-
тождеств». С учетом наших «пожеланий»
операции целесообразно задать сле-
следующим образом (более того, это —
единственный способ задать операции
умножения на скаляр, сложения и
умножения элементов с соблюдением
максимального числа тождеств).
Если и = axgx + a2g2 + •••
...+urf,^;G) и к£Г, то пусть
Хи = (%а1 ) ft + ( %az ) g2 + ...
... + (Xan)gn. Если множество (Г; G)
содержит помимо и еще один элемент
V = Pift + 02#2 + ••• + $пёп, ТО
ПуСТЬ (и + V) = ((*! + fcjft +
( ) (+ $)
fc (
Труднее определить произведение
двух элементов множества (Г; G),
поскольку групповая опера-
операция (умножение) в G не задана кон-
конкретно. Именно поэтому целесообраз-
целесообразно ввести следующее определение. Об-
Образуем все выражения видаа|0/£{#у.
Рассмотрим те члены, в которых
произведение gig} совпадает с фикси-
фиксированным элементом gk группы G.
Коэффициенты при элементе gk груп-
группы G будут произведениями вида
at$j. (Разумеется, такие выраже-
выражения, как «коэффициенты», «члены» ш
«выражения», мы употребляем здесь
лишь в переносном смысле.)
Итак, операции на множестве (ft
G) определены. - Следовательно,
«принципиальные» трудности преодо-
преодолены. Но остались еще трудности
«практические», связанные с доказа-
доказательством тождеств, которым удов-
удовлетворяют введенные нами опера-
операции. «Нетрудно видеть», что боль-
большинство тождеств выполняются. Тем
не менее строгое доказательство тож-
тождеств достаточно сложно, поскольку
они должны относиться не к конкрет-
конкретному, заранее заданному числу чле-
членов, а к выражениям, содержащим
любое число членов. Именно поэтому
мы не будем приводить здесь доказа-
доказательства тождеств, а ограничимся
лишь тем, что перечислим их. Ясно,
что, задав на множестве (ft G) ум-
умножение на скаляры и сложение, мы
получим векторное пространство.
Операция умножения элементов оп-
определена так, что умножение дистри-
дистрибутивно относительно сложения как
слева, так и справа. Пользуясь этим
свойством умножения, а также ассо-
ассоциативностью группового умноже-
умножения, можно доказать, что умножение
элементов из (Г', G) ассоциативно.
Аналогичным образом можно убе-
убедиться в том, что выполняется тож-
тождество X(u-v) = (Xu)v — u(Xv).
Наконец, необходимо проверить,
удалось ли нам получить то, что хоте-
хотелось. Сделать это можно следующим
образом. Для каждого элемента gt
группы G рассмотрим тот элемент
мг множества (ft G), в который gt
входит с коэффициентом, равным еди-
единице, а остальные элементы группы
G — с коэффициентами, равными ну-
нулю. Элементы м$ образуют группу по
157

умножению, а соответствие м,-ч—>-gt
устанавливает изоморфизм этой
группы и группы G. С другой, сто-
стороны, для элементов и-г выполня-
выполняется соотношение
= ttj • Щ + <Х2 • М2 + • • • + dn-Un.
Для таких равенств умножение спра-
справа на скаляр совпадает с введенной
нами операцией умножения на ска-
скаляр, а сложение — с определенной
на (Г; G) операцией сложения. Сле-
Следовательно, множество (Г; G) сос-
состоит если не из линейных комбина-
комбинаций элементов группы G, то из ли-
линейных комбинаций элементов груп-
лы, изоморфной группе G. Поскольку
обе группы изоморфны, то «в сущнос-
сущности» речь идет о линейных комбина-
комбинациях, образованных из элементов
заданной группы.
Множество (/'; G) с тремя задан-
заданными на нем операциями (группового
умножения, умножения элементов
группы G па скаляры из Г и сложе-
сложения элементов из G) называется груп-
групповой алгеброй группы G над те-
телом Г.
Три операции, входящие в опреде-
определение групповой алгебры, мы умеем
выполнять на множестве линейных
преобразований векторного прост-
пространства, или, что то же, на множест-
множестве матриц га X га. Кроме того, в
зтом случае выполняются все необ-
необходимые тождества. Множество (Г;
G), на котором три операции, входя-
входящие в определение групповой алгеб-
алгебры, удовлетворяют полному набору
тождеств, называется алгеброй*
Кольцо А называется алгеброй над
телом /', если аддитивная группа Л
является векторным пространством
над Г и, кроме того, при любом
А,£/' и любых элементах и и и из Л
выполняется тождество k(uv)
-- (ku)v u(kv).
Нетрудно доказать следующее. Если в
алгебре, рассматриваемой как векторное
пространство, задан базис и определено
умножение для элементов базиса, то опе-
операцию умножения можно однозначно опре-
определить для любых двух элементов алгеб-
158
ры. Поэтому при проверке ассоциативно-
ассоциативности умножения достаточно убедиться в
том, что на элементах базиса умножение
ассоциативно. Таким образом, ассоциа-
ассоциативность умножения в групповой алгебре
является прямым следствием ассоциатив-
ассоциативности умножения в группе.
Рассмотрим несколько важных
примеров алгебр.
ПРИМЕРЫ
1. Полугрупповая ал-
алгебра. Если «формальные линей-
линейные комбинации» с коэффициентами
из заданного тела составить не из
элементов группы, а из элементов
полугруппы, то на множестве таких
линейных комбинаций можно задать
такие же операции, какие определены
в групповой алгебре. Тождества для
операций также выполняются, по-
поскольку умножение в полугруппе
ассоциативно.
Относительно полутрупповых алгебр нам
бы хотелось сделать два замечания.
Во-первых, построение полугрупповой
(групповой) алгебры можно начать с бес-
бесконечной полугруппы (группы). Разу-
Разумеется, в этом случае «линейные комбина-
комбинации» надлежит определить так, чтобы они
содержали лишь конечное число членов.
Но зато Для таких «укороченных» ли-
линейных комбинаций выполнимы все за-
заданные на алгебре операции и остаются
в силе соответствующие тождества.
Во-вторых, полугрупповую алгебру мож-
можно рассматривать как свободную алгебру
над заданной полугруппой. Произведе-
Произведения элементов свободной полутруппы не
удовлетворяли никаким другим тождест-
тождествам, кроме «самых необходимых». Ана-
Аналогично обстоит Дело и с полугрупповыми
алгебрами. Между элементами полугруп-
полугрупповой алгебры нет никаких зависимостей,
кроме той, что они образуют полугруппу
по умножению. (Иначе говоря, сложение
и умножение на скаляры не порождают
«новых» зависимостей между элементами
подгруппы. Действительно, элементы полу-
полугруппы должны быть линейно независи-
независимыми и (если они порождают «все») обра-
образовывать базис полугрупповой алгебры.
Но именно так мы и строили полугруппо-
вую алгебру.)
2. Кольцо многочленов.
Пусть свободная полугруппа с еди-
единицей порождена одним элементом х.
Тогда элементы полугруппы имеют
вид: 1 (единичный элемент), х, я?,.._

..., x", ... . Элементами полугруппо-
полугрупповой алгебры, построенной на этой
полугруппе, будут «линейные комби-
комбинации» %0 + Кх + ^2^2 + •••
... + %пх"с «коэффициентами» из не-
некоторого заданного тела. Так мы
получаем многочлены с коэффици-
коэффициентами из заданного тела, поскольку
операции, заданные на элементах
нолугрупповой алгебры, в этом слу-
случае совпадают с операциями, произ-
производимыми над многочленами. Это
обстоятельство позволяет нам рас-
рассматривать кольцо многочленов как
свободную алгебру свободной полу-
полугруппы, порожденной одним элемен-
элементом, над заданным телом.
Аналогичный метод применим в
алгебраических «конструкциях» и в
том случае, если «коэффициенты»
принадлежат не телу, а кольцу, и
позволяет определить многочлены с
коэффициентами из заданного коль-
кольца.
3. Комплексные числа.
Пусть ей i — элементы базиса
двухмерного векторного пространст-
пространства над вещественными числами. Опе-
Операцию умножения этих элементов
зададим следующим образом:
е • е = е, е • i = i • е = i,
Поскольку е «ведет себя» как еди-
единичный элемент, то ассоциативность
умножения необходимо проверить
лишь для случая, когда' все три со-
сомножителя равны i, а в этом случае
умножение ассоциативно. Следова-
Следовательно, мы получаем алгебру, кото-
которая (как кольцо) изоморфна телу
комплексных чисел.
4. Кватернионы. Пусть е,
i, ) и к — элементы базиса четырех-
четырехмерного векторного пространства
над телом вещественных чисел. Умно-
Умножение зададим следующим образом:
е-е — е, е-i = i-e= i, e-j = j-e = j,
e-k = k-e = k;
i'i = )•) = k-k = (— 1) • e.
Нетрудно видеть, что такое умно-
умножение ассоциативно. Следовательно,
мы получаем алгебру. Более того,
можно доказать, что это — алгебра с
делением (делить справа и слева
можно на любой элемент, отличный
от нуля). Следовательно, мы получа-
получаем некоммутативное тело. Оно назы-
называется телом кватернионов.
Заметим, что помимо тела кватер-
кватернионов существуют лишь два приме-
примера такого рода. Что именно кроется
за этим несколько туманным выраже-
выражением, точно сформулировал Фробе-
ниус.
Теорема Фробениуса.
Пусть А — алгебра над телом ве-
вещественных чисел, удовлетворяющая
следующим условиям:
1) как векторное пространство Л
конечномерна;
2) как кольцо А не содержит дели-
делителей нуля,
Тогда алгебра А изоморфна либо
телу вещественных чисел, либо телу
комплексных чисел, либо телу ква-
кватернионов,
Интересно заметить, что примеров
неассоциативных алгебр (в которых
умножение не предполагается ассо-
ассоциативным) можно привести сколь
угодно много. Многочисленность не-
неассоциативных алгебр имеет под со-
собой две причины. Одна из причин
внешняя: ясно, что в различных об-
областях математики (не только в ал-
алгебре!) встречается великое множест-
множество алгебр с неассоциативным умно-
умножением. Другая причина — внут-
внутренняя. При рассмотрении операции
умножения возникает естественное
условие дистрибутивности, позволя-
позволяющее одновременно рассматривать
все алгебры «над» данным векторным
пространством (то есть алгебры, сов-
совпадающие с данным векторным про-
пространством, если «забыть» об умно-
умножении), но из них нельзя «отсеять»
алгебры с неассоциативным умноже-
умножением.
159

ЗАДАЧИ
1. Доказать, что матрицы
с вещественными элементами образу-
образуют над телом вещественных чисел
алгебру, изоморфную телу комнлекс-
ных чисел.
2. Доказать, что матрицы
a
b
с
d
— 0
a
d
с
— с
— d
a
— b
d
— С
b
a
образуют над телом вещественных
чисел алгебру, изоморфную телу ква-
кватернионов.
3. Доказать, что всякий гомомор-
гомоморфизм, действующий из группы Gx
в группу G2, можно продолжить до
гомоморфизма, действующего из
групповой алгебры (Г', G^) в группо-
групповую алгебру (Г', G2), который явля-
является одновременно гомоморфизмом
колец и гомоморфизмом векторных
пространств.

Глава третья
Структуры,
булевы алгебры
Структуры и операции
над множествами
i.i. Операции над частями
одного множества
Содержание предыдущих глав дает
наглядное представление об отличи-
отличительных особенностях абстрактной
алгебры. Мы видели, что абстрактная
алгебра занимается изучением опе-
операций и различных способов их зада-
задания. Встречавшиеся нам до сих пор
операции по существу не отличались
от того, что можно было бы ожидать
от «естественных» операций. Вместе
с тем ясно, что действия, производи-
производимые над операциями, не зависели от
того, были ли эти операции обычны-
обычными или «экзотическими». В дальней-
дальнейшем речь пойдет об операциях, су-
существенно отличающихся от тех, с
которыми нам приходилось иметь
дело до сих пор.
В математике весьма фундамен-
фундаментальную роль играют множества.
Множество — это нечто такое, о чем
известно лишь, что оно состоит из
элементов. Поскольку в математике
элементы всегда наделены определен-
определенными свойствами, то обычно эти свой-
свойства позволяют отличать элементы
одного множества от элементов дру-
другого множества. Но нередко встреча-
встречаются и такие случаи, когда элементы
одного множества наделены не одним,
а несколькими свойствами, а рассмот-
рассмотрению подлежат элементы, обладаю-
обладающие какими-то или даже всеми задан-
заданными свойствами. Иногда бывает не-
необходимо найти элементы множества,
принадлежащие по крайней мере од-
одному из заданных множеств (содер-
(содержащиеся в заданных множествах).
Иначе говоря, возникает необходи-
необходимость из элементов одних множеств
строить другие множества. Это озна-
означает, что над множествами можно
производить операции. В простейшем
случае операции производятся лишь
над двумя множествами. (Впрочем,
как нетрудно видеть, общий случай
легко сводится к простейшему, ра-
разумеется, при условии, что соответст-
соответствующие операции придется неодно-
неоднократно повторить.) Если имеются
два множества (или любое большее
число множеств), то их можно рас-
рассматривать как части некоторого
«большого» множества. Поэтому в
дальнейшем мы будем говорить о
частях одного множества и о произво-
производимых над ними операциях.
Пусть А ж В — подмножества
множества Н.
Пересечением, или общей частью,
подмножеств А и В называется мно-
множество А О В, состоящее из тех и
только тех элементов множества Н,
которые принадлежат каждому из
подмножеств А и В.
Объединением подмножеств А и В
*/27-35
161

A(\B
Рис. 87.
Дополнением множества А назы-
называется множество А' тех и только тех
элементов множества Н, которые не
принадлежат множеству A (jyac. 88).
Уместно заметить, что два подмно-
подмножества одного множества считаются
равными, если состоят иэ одних и тех
же элементов. (Таким образом, под-
подмножество не зависит от того, каким
способом задано оно и каким — эле-
элементы.) Следовательно, чтобы задать
подмножество, необходимо указать
его элементы или по крайней мере
сообщить, каким способом их можно
было бы отличить.
Если два подмножества не имеют
общих элементов, то не существует
такого подмножества, которое было
бы пересечением данных подмно-
подмножеств. Такое исключение было бы
весьма неудобным и причинило бы
немало хлопот, чем значительно за-
затруднило бы описание производимых
над множествами операций. Именно
поэтому считается, что существует
однозначно определенное подмно-
подмножество, не содержащее ни одного
элемента. (То, что оно однозначно
определено, видно из определения
этого подмножества, поскольку оно
не может иметь одинаковых элемен-
элементов ни с одним другим подмножест-
подмножеством, кроме «однотипного» с ним «пус-
«пустого» подмножества.) Такое подмно-
подмножество называется пустым множест-
множеством. Если два подмножества не имеют
общих элементов, то говорят, их пе-
пересечение пусто, или — пустое мно-
множество.
Единообразия в рассмотрении подмно-
подмножеств можно достичь, добавив ко нсему
множеству еще одив элемент. Для боль-
большей ясности будем считать, что этот эле-
элемент — слвво, а именно слово «пустое».
Условимся считать яаш дополнительный
элемент принадлежащим всем подмно-
подмножествам «большого» множестна. Какие
бы подмножества мы ни выбрали, вни
окажутся такими же, как я прежде, толь-
„„ . ., _ ко после перечисления элементен каждо-
называется множество А[)В, сое- го из них нам придется добавить: «И еще
тоящее из тех и только тех злемен- одив элемент, а именно слоно ,,пустое"»,
тов множества Н, которые прияадле- Если пересечение днух подмивжестн до
жат хотя бы одному из подмножеств П0Н0ЛНения множества было пусто, то
А или В (о с -87) ™я""и™ш и после пополнения пересечение этих
т
£ст это множество А,
Рис. 88.
подмножеств будет «пустым множестном» —
162

в том смысле, что оно будет содержать
только слово «пустое».
Включив в рассмотрение пустое
множество, мы получаем возможность
утверждать, что пересечение любых"
двух подмножеств существует и объ-
объединение любых двух подмножеств
также существует. Для каждого под-
подмножества существует дополнение,
поскольку теперь все множество Н
также обладает дополнением: пус-
пустым множеством.
В дальнейшем мы будем обозна-
обозначать пустое множество через О, а
все множество через Е. Выясним,
какие тождества можно установить
для операций над множествами. Рас-
Рассмотрим сначала только тождества,
относящиеся к операциям объедине-
объединения и пересечения множеств, причем
тождества для обеих операций будем
выписывать одновременно. Первые
тождества имеют следующий видз
la) Af]А = Л; 16) А\)А = А.
(Эти два тождества называются за-
законами идемпотентности.)
Оба тождества очевидны. Первое
из них утверждает, что множеству
А принадлежат те и только те эле-
элементы, которые принадлежат мно-
множеству А и множеству А. Согласно
второму тождеству, множеству А
принадлежат те и только те элементы,
которые принадлежат множеству А
или множеству А. Вторая пара тож-
тождеств имеет следующий вид:
2а) А Л В = В Л А; 26) А [) В=В U А.
(Взятие.пересечения и объединения—
коммутативные операции.) Эти'
два тождества самоочевидны, так
как ни в определении пересечения,
ни в определении объединения ниче-
ничего не говорится о порядке подмно-
подмножеств. Третья пара тождеств имеет
следующий вид;
За) (А{\В){\С = А{\(В{\С)\
36) (AUB)\)C=AU(B[)C).
(Эти два тождества означают, что
взятые пересечения и объединения—
ассоциативные операции.)
Обратимся к доказательствам тождеств
За и 36. Рассмотрим множества, стоящие
в левой и в правой частях первого тожде-
тождества. Они образованы элементами, при-
принадлежащими каждому из подмножеств
А, В и С (и только такими элементами).
Рассмотрим множества, стоящие в левой
и в правой частях второго тождества. Они
образованы элементами, принадлежащими
по крайней мере одному из подмножеств —
А, В и С (и только такими элементами).
Следующие тождества, которые не-
необходимо рассмотреть, выражают за-
законы дистрибутивности. Возникает
вопрос, какая из двух операций
«похожа» на сложение и какая «на-
«напоминает» умножение. Поскольку на
зтот вопрос невозможно ответить со
всей определенностью, до сих пор
(по крайней мере в принципе) разли-
различают два закона дистрибутивности.
В рассматриваемом нами случае уди-
удивительным образом выполняются
оба законаЗ
4а) {A()B)UC = (A\JC)(\(B\)C);
46) (A
Эти два тождества доказываются
так же, как и предыдущие. В обоих
случаях необходимо убедиться в том,
что подмножества, стоящие в левой и
в правой частях тождества, образова-
образованы одними и теми же элементами.
Доказательство проводится в два
зтапа. Сначала мы показываем, что
одно из подмножеств содержится в
другом, а затем убеждаемся в том,
что все элементы второго подмно-
подмножества принадлежат первому под-
подмножеству. Поскольку оба зтапа до-
доказательства для обоих тождеств про-
протекают аналогично, мы сначала за-
закончим первые зтапы доказательства
для тождеств 4а и 46, а затем перей-
перейдем ко вторым этапам.
Первый этап доказательства основан
на использовании лишь свойства «вхож-
«вхождения», или «включения», одного иод-
множества в друвое, и в нем ни елевом яе
упоминается об элементах' надмножеств.
Напомним,, чтв объединение двух нод-
множеств А и В представляет собей наи-
наименьшее из подмножеств, содержащих оба
подмножества А и В, а пересечение под-
подмножеств А а В — наибольшее из под-
подмножеств, входищих в каждое из подмно-
163

зкеств А и В (и, кроме того, подмножество
любого подмножества является подмноже-
подмножеством исходного множества).
Поскольку подмножество A Л В принад-
принадлежит н подмножеству А , в подмножеству
В, то оно принадлежит и подмножествам
А I) С а ВЦ С, каждое из которых содер-
содержит и А, я В, и, следовательно, входит
в пересечение (А[)С) Л (ВЦС). Послед-
Последнее утверждение справедливо и относи-
относительно подмножества С, так как его со-
содержит и подмножество А Ц С, и подмно-
подмножество ВЦ С. Это означает, что объеди-
ненне подмножеств А(]В и С принадле-
принадлежит подмножеству (А ЦС) Л (ВЦ С), так
как каждое из подмножеств А (\В и С
в отдельности содержится в (А Ц С) Л
Л (В U С). Итак,
(А Л В) U Ccz {A U С) Л (ВЦ С).
Подмножество А Ц В содержит и под-
подмножество А, и подмножество В и по-
поэтому включает в себя каждое из подмно-
подмножеств А (]С и В(]С, а следовательно, и их
объединение (А Л С) Ц (В(]С). Под-
Подмножество С входит в объединение
(А Л С) U (ВО С), так как содержится в
подмножествах А (] С и В Г\С. Это озна-
означает, что пересечение подмножеств А ЦВ
и С содержит подмножество (А Л С) U
Ц(В()С). Итак,
(АЦВ)ПС ^(АПС)Ц(ВаС).
Докажем теперь, что всякий элемент х
подмножества (А Ц С) Л (ВЦ С) принад-
принадлежит подмножеству (А Л В) Ц С. Если
элемент х принадлежит подмножеству С,
то он принадлежит и подмножеству
(А Л В) U С (поскольку оно содержит под-
подмножество С). Следовательно, в дальней-
дальнейшем, не ограничивая общности, можно
предполагать, что х не является элементом
множества С. Поскольку х принадлежит
подмножеству (А ЦС) (] (ВЦ С), то х
входит в каждое^ из подмножеств
A U С и ВЦ С. Так как х по предположе-
предположению не принадлежит подмножеству С,
то это может быть лишь в том слу-
случае, еелн х принадлежит каждому из под-
подмножеств А и В в отдельности и, следова-
следовательно, их пересечению А (\В. Итак, х
принадлежит либо подмножеству С, ли-
либо подмножеству А Л В,, то есть входит
в объединение (А Л В) Ц С.
По определению пересечения и объедине-
объединения подмножеств произвольный элемент у
подмножества (А у В) Л С принадлежит
подмножеству С, а также по крайней мере
одному из подмножеств А или В (а может
быть, и обоим подмножествам А и В).
Если у — элемент множества А, то у
принадлежит пересечению Л Л С, а если
у — элемент подмножества В, то
у принадлежит пересечению В Л С. Ив
том и в другом случае у принадлежит
164
объединению этих подмножеств (А Л С) [}
U(B(]C), что и требовалось доказать.
Еще одна пара важных тождеств
показывает, что при взятии объеди-
объединения мы получаем большие, а при
взятии пересечения — меньшие под-
подмножества.
5а) (А(]В)ЦА = А;
56) (АцВ)Г\А = А.
(Эти тождества называются зако-
законами поглощения. Действительно, не-
независимо от того, возьмем ли мы сна-
сначала пересечение подмножества В с
подмножеством А, а затем — объе-
объединение подмножеств А П В и А,
или сначала образуем объединение
подмножеств Л и В, а затем — пере-
пересечение подмножеств A (JВ ж А, под-
подмножество В «поглощается».)
Оба тождества очевидны.
Перейдем теперь к тождествам,
относящимся к дополнениям под-
подмножеств. Дополнение дополнения
любого подмножества совпадает с
исходным множеством*
6) (А')' = А.
Тождества между переходом к до-
дополнению и взятием объединения
или пересечения подмножеств имеют
следующий вид:
7а) (А()ВУ = А'ЦВ';
76) (АЦВ)' =А'ПВ'.
Элемент х принадлежит подмножеству
(А Л В)' в том н только в том случае, если
он не принадлежит подмножеству А Л В.
В сиою очередь, если х не принадлежит
подмножеству А (]В, то он не входит по
крайней мере в одно из подмножеств А
и В. Но если элемент х не принадлежат А,
то он принадлежит А', а если х не принад-
принадлежит В, то ои принадлежит В'. По
крайней мере одно из этих условий заве-
заведомо выполняется, а это в означает, что
х принадлежит А' ЦВ'.
Элемент у принадлежит подмножеству
(А ц В)' в том и только в том случае, если
он не принадлежит ни подмножеству А,
ни подмножеству В. Иначе говоря, элемент
$г должен входить как в А', так и в В', а
это означает, что в А' Л В' входят те и толь-
только те элементы, которые принадлежат
(АЦВ)',

После того как мы достаточно ос-
освоились в алгебре, нетрудно прове-
проверить, что помимо взятия объединения
и пересечения подмножеств существу-
существуют еще две нуль-местные операции:
О и Е (пустое множество и «все»
множество). Нуль-местные операции
связаны с двухместными следую-
следующими тождествами:
8а) Of] A = О; 86) ЕЦА--- Е,
8в) ERA -- А; 8г) О\)А^ А.
Каждое из зтих тождеств очевид-
очевидно и не требует доказательства.
Наконец, с переходом к дополне-
дополнению нуль-местные операции связаны
следующими (столь же очевидными)
тождествами:
9а) О* =--= Е;
10а) AflA'-^-
96) Е' = О;
106) A U А' =■. Е.
Аналогичные операции можно за-
задать на подпространствах векторного
пространства. Общая часть, или пе-
пересечение, двух пространств, как
было показано выше, всегда является
подпространством. Теоретико-мно-
Теоретико-множественное объединение двух под-
подпространств не является подпрост-
подпространством, но существует «наимень-
«наименьшее» подпространство, содержащее
два заданных подпространства, а
именно подпространство, порожден-
порожденное двумя заданными подпространст-
подпространствами. Пустому множеству соответст-
соответствует подпространство, состоящее из
нулевого вектора, а всему множест-
множеству^—все векторное пространство. Но
понятия, аналогичного теоретико-
множественному дополнению, в век-
векторном пространстве не существует:
дополнение подпространства не яв-
является подпространством. Впрочем,
зто не причиняет никаких хлопот,
поскольку объединение двух под-
подпространств надлежит понимать не
в теоретико-множественном смысле,
а как объединение образующих эле-
элементов двух подпространств. До-
Дополнение подмножества А — зто
подмножество, пересечение которого
с подмножеством А пусто, а объеди-
6—35
нение с подмножеством А совпадает
со всем пространством. Соответст-
Соответственно дополнением подпространства
В векторного пространства мы назы-
называем подпространство, пересечение
которого с подпространством В пусто,
а объединение с подпространством
В порождает все векторное простран-
пространство. Это означает, что все векторное
пространство представимо в виде пря-
прямой суммы двух подпространств. Но
для любого данного подпространства
можно найти такое подпространство,
которое в прямой сумме с ним обра-
образует все векторное пространство.
Трудность состоит лишь в том, что
второе слагаемое в прямой сумме оп-
определено не однозначно, и поэтому
нельзя сказать, какое подпрост-
подпространство будет дополнением данного
подпространства. Выясним, наконец,
выполняются ли для векторных про-
пространств аналоги тождеств, перечис-
перечисленных выше для операций взятия
теоретико-множественного пересе-
пересечения и объединения.
Нетрудно видеть, что три первые пары
тождеств выполняются. От доказательств
соответствующих теоретино-множествен-
ных тождеств отличается только доказа-
доказательство ассоциативности объединения,
но и оно не представляет особой трудности
(в правой и в левой частях доказываемого
тождества стоят подпространства, порож-
порожденные тремя подпространствами).
Первая половина доказательства чет-
четвертой пары тождеств дословно вос-
воспроизводит доказательство их теоретико-
мнозкествеяных аналогов, поскольку для
векторного пространства пересечение под-
подпространств А и В остается наибольшим
из подпространств, принадлежащих каж-
каждому из подпространств А и В, а под-
подпространство, порожденное подпространст-
подпространствами А и В (аналог теоретнко-множест-
теоретнко-множественного объединения) — наименьшим
из подпространств, содержащих подпро-
подпространства А я В.
Но провести вторую половину доказа-
доказательства Для векторного пространства ока-
оказывается невозможно, поскольку правая
часть «тождеств» не равна левой, в чем
нас убеждает следующий контрпример.
Пусть А = {и}, В = {v} и С = {и + v),
где и и v — два непараллельных век-
вектора на плоскости. Тогда А(\В = {О},
(А Л В) U С — {и + о\ и, кроме того, так
как A U С = В U С = {и, vj, то (A U С) П
Л (В и С) = {u, i>J. Э о означает, что часть
аналога тождества 4а для векторных про-
.165

странств содержится в правой части, не
совпадая с ней. Можно также доказать,
что в левой части аналога тождества 46
для векторных пространств стоит под-
подпространство {в j- »}, а в правой части —
подпространство \О\, поэтому правая часть
содержится в левой, не совпадая с ней.
Как показывают достаточно мно-
многочисленные примеры, при опреде-
определенных условиях (если одно из под-
подпространств А и В, например под-
подпространство А, содержит подпрост-
подпространство С) законы дистрибутивности
остаются в силе и для векторных про-
пространств.
Действительно, если A \jC = А и
А (\С = С, то оба тождества переходят
в одно: (A(\B)[jC — АЩВиС) Дока-
Докажем eso. Так же как и при доказательстве
дистрибутивности теоретико-множествен-
теоретико-множественного пересечения относительно объеди-
объединения, непосредственно видно, что
(А ПВ)и-С ^ А П (ВUС) (разумеется, ес-
если А э,С). Рассмотрим элемент х под-
подпространства А Л (В U С). С одной стороны,
х принадлежит подпространству А, с
другой стороны, его можно представить
в виде х = Ь + с, где Ь — вектор из
В, а с — вектор из С. Поскольку СЕ Л,
то из принадлежности с подпространству
С следует, что с t А и элемент b = х — с
принадлежит подпространству А как раз-
разность двух элементов из А. Это означает,
что элемент х представим в виде суммы
элемента из А Л В (а именно Ь) и элемен-
элемента из С, то есть принадлежит подпрост-
подпространству (А Л В) U С-
Нетрудно видеть, что для векторных
пространств выполняются аналоги тож-
тождеств 5а и 56, а тождества 6 и 7 не имеют
смысла. Аналоги тождеств 8 очевидны,
а остальные тождества утрачивают смысл.
В качестве еще одного примера
рассмотрим все подгруппы одной
группы. Пересечение в этом случае
совпадает с теоретико-множествен-
теоретико-множественным пересечением, так как множест-
множество общих злементов двух подгрупп
само также является подгруппой.
Объединение двух подгрупп А ж В
надлежит понимать как подгруппу,
порожденную подгруппами А ж В,
поскольку это — наименьшая из
подгрупп, содержащих и А, ж В.
Хорошего аналога теоретико-мно-
теоретико-множественного дополнения для групп,
так же как и для векторных прост-
пространств, не существует, причем для
групп ситуация еще более «безна-
166
дежна». Действительно, в случае век-
векторных пространств существовало
несколько подпространств, каждое из
которых обладало всеми свойствами
дополнения. В случае групп нет' ни
одной подгруппы, которую можно
было бы считать «кандидатом» в
дополнение.
Выясним, как обстоит дело с тож-
тождествами. Что касается законов дис-
дистрибутивности, то ясно, что те тож-
тождества, которые выполняются для
векторных пространств, остаются в
силе и для групп. Более того, можно
доказать, что «первая половина» за-
законов дистрибутивности верна для
групп, а «вторая половина» отказы-
отказывает в таких же частных случаях,
как и для векторных пространств.
Рассмотрим, например, следующие
подгруппы группы подстановок цифр
1, 2, 3 и 4:
подгруппа А с элементами A2)C4),
A3)B4), A4)B3) и тождественной
подстановкой;
подгруппа В с элементами A23),
A32) и тождественной подстановкой;
подгруппа С, состоящая из под-
подстановки A2)C4) и тождественной
подстановки.
Ясно, что подгруппа А содержит
подгруппу С. Подгруппа A f\B сос-
состоит только из единичного элемента
и, следовательно, (А[\В)[)С = С.
Но, с другой стороны, подгруппе
В U С принадлежит, например, эле-
элемент . A32)A2){34)A23) = A4)B3).
Следовательно, этот элемент входит и
в подгруппу А П (В U С), которая,
таким образом, содержит элемент, не
принадлежащий подгруппе (А |~| В) \J
U С. Это означает, что подгруппы
.A(](B\JC) ж (А(]В)[}С не совпа-
совпадают.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрим подмножества неот-
неотрицательных целых чисел, состоя-
состоящие из конечного (может быть, равно-
равного нулю) числа злементов. Какие из
операций над множествами можно
задать на зтих подмножествах? Какие

тождества будут при зтом выпол-
выполняться?
2. Рассмотрим подмножества, по-
получающиеся из множества всех от-
отрицательных чисел при выбрасыва-
выбрасывании конечных подмножеств элемен-
элементов. Какие из операций над множест-
множествами можно задать на зтих подмно-
подмножествах? Какие тождества будут при
этом выполняться?
3. Рассмотрим подмножества целых
чисел, состоящие из конечного набора
положительных целых чисел и всех от-
отрицательных целых чисел, за исклю-
исключением конечного подмножества.
Какие из операций над множествами
можно задать на зтих подмножествах?
Какие тождества будут при зтом
выполняться?
4. Доказать, что для подгрупп ком-
коммутативной группы выполняются та-
такие же тождества, как и для вектор-
векторных пространств.
5. Доказать, что для нормальных
делителей группы выполняются та-
такие же тождества, как и для вектор-
векторных пространств.
1.2. Структуры,
специальные структуры
В предыдущих примерах мы рас-
рассмотрели случаи, когда производи-
производились две операции: объединения и
пересечения. (Среди задач предыду-
предыдущего раздела встречались и такие,
которые не содержали аналогов пус-
пустого множества О или «всеобъемлю-
«всеобъемлющего» множества Е; понятие допол-
дополнения встречалось лишь в первом из
зтих сдучаев.) Во всех примерах не-
неизменно выполнялись все тождества,
за исключением законов дистрибу-
дистрибутивности 4а и 46. В таких случаях
множества (наделенные операциями
объединения и пересечения) принято
называть структурами. По доказанно-
доказанному все ^подмножества любого мно-
множества, все подпространства любого
векторного пространства и все под-
подгруппы любой группы образуют
структуры.
Тройка <#; П. U>. где Я —
множество, а Ц и U — две двух-
двухместные операции, называется струк-
структурой, если выполняются следую-
следующие условия:
1) обе операции идемпотентны, то
есть для любого элемента а из Н
а(]а = а и a\Ja — а;
2) обе операции коммутативны,
то есть для любых элементов а и Ь
из Н
3) обе операции ассоциативны, то
есть для любых элементов а, Ъ и с из
Н
4) выполняются оба закона по-
поглощения, то есть для любых эле-
элементов а и Ъ из Н
(af\b)\Ja=a и (a\Jb)f\a= а.
Тройка (Н; fl, \J) называется
структурой, если выполняются сле-
следующие условия:
1) а[\а— а и а\}а = а;
2 a(]b = bf\a и а\)Ь = ЬЦа;
3) (а(}Ъ)Пс =
4) (а П b) U а = а и (а \) Ь) (] а=а.
Два обстоятельства заслуживают
особого внимания. Во-первых, зако-
законы поглощения — единственное ус-
условие, связывающее обе операции.
Рассматривая структуру подмно-
подмножеств произвольного множества, мы
установили, что она дистрибутивна.
Но если бы мы удовлетворились
этим свойством, то заданные на струк-
структурах операции не были бы взаимо-
взаимосвязаны. В зтом случае о «совмест-
«совместном» действии двух операций нельзя
было бы почерпнуть никакой инфор-
информации, кроме той, что известна о
каждой из операций в отдельности.
(В частности, две операции могли бы
совпадать.)
167

Во-вторых, из двух законов погло-
поглощения (не используя других условий)
следует идемпотентность операций.
Интересно отметить, что в отличие от
структур во всех остальных случаях
(при рассмотрении групп, колец
и т. д.) идемпотентность вводится спе-
специальным предположением, хотя чис-
число условий всегда стремятся по воз-
возможности сократить.
Мы привели ■ достаточно примеров
структур (операции, заданные на не-
некоторых из них, помимо «обязатель-
«обязательных» тождеств удовлетворяли и «до-
«дополнительным» тождествам). Можно
было бы привести множество других
примеров из самых различных об-
областей математики, но для этого по-
потребовались бы такие познания в ма-
математике, которых мы не вправе ожи-
ожидать от читателя.
Приведем прежде всего нескрльйо
общих результатов, относящихся ко
всем структурам. Если рассмотреть
тождества 2 и 3, то можно заметить,
что структуры образуют относитель-
относительно обеих операций коммутативные
полугруппы. Обе операции сохраня-
сохраняют коммутативность и ассоциатив-
ассоциативность и в том случае, когда число
«сомножителей» или «слагаемых»
больше двух.
Принцип двойственности
Наше второе замечание подтверж-
подтверждается тем, что, если в любой паре
тождеств переставить символы вхо-
входящих в них операций (то есть за-
заменить объединение пересечением, а
пересечение объединением), то тож-
тождества, образующие рассматривает
мую пару, также «поменяются мес-
местами». Отсюда следует, что доказа-
доказательство любой теоремы останется в
силе, если символ каждой из двух
операций заменить парным символом.
Таким образом, у каждой теоремы
имеется свой «двойник», отличающий-
отличающийся от нее лишь тем, что каждая опе-
операция заменена парной. Теорема-
«двойник» истинна в том и только в
том случае, если истинна исходная
теорема- Именно поэтому каждую
теорему доказывают вместе с ее
«двойником» — так называемой двой-
двойственной теоремой. Это утверждение
известно под названием принципа
двойственности. В дальнейшем мы
воспользуемся этим принципом при
рассмотрении специальных структур
в предположении, что их «специаль-
«специальность» двойственна, то есть что наря-
наряду с каждым дополнительным («спе-
(«специализирующим») условием выпол-
выполняется и двойственное ему условие.
Такой подход не всегда позволяет
получить две теоремы, поскольку
некоторые утверждения двойствен-
двойственны самим себе. Их принято называть
самодвойственными утверждениями
(или теоремами).
Мы уже рассмотрели несколько
специальных структур. Одни из них
были дистрибутивными, другие об-
обретали дистрибутивность лишь в осо-
особых случаях. Сформулировать, чем
именно выделены эти случаи, мы пока
не можем, потому что в рассмотрен-
рассмотренных нами частных примерах структу-
структуры выполнялось условие, согласно
которому один элемент был частью
другого элемента. Аналогичное усло-
условие для структуры общего типа нам
не встречалось. Тем не менее понятие
дистрибутивности распространяется и
на общий случай, причем ввести его
можно не одним, а двумя способами в
зависимости от того, какому из за-
законов дистрибутивности отдать пред-
предпочтение. Покажем, что в действи-
действительности безразлично, какой из за-
законов дистрибутивности будет вы-
выбран: если один из них выполняется,
то выполняется и другой.
Напомним, что принцип двойствен-
двойственности позволяет вместо двух утверж-
утверждений доказывать лишь одно, по-
поскольку законы дистрибутивности
двойственны.
Если для любых трех элементов
а, Ъ и с структуры выполняется со-
соотношение (а П Ъ) U с ■-;- (a U с) П (Ъ U
U с), то для любых трех элементов
х, у, t той же структуры выполняет-
выполняется соотношение (х (J у) (] t — (xf\t)\)
U (у П *>•
168

Итак, предположим, что объединение
дистрибутивно (относительно пересече-
пересечения), то есть для любых трех элементов
выполняется соотношение (а Л b) (J с =-
= (а\}с) Л F и с). Подставляя в него
а — х, b — t, с = у Л t, получаем
По закону поглощения выражение, стоя-
стоящее во вторых прямоугольных скобках,
равно t. Элементы х и у Л t в Первых
прямоугольных скобках коммутируют,
а поскольку по предположению объеди-
объединение дистрибутивно относительно пере-
пересечения, то «содержимое» первой пары
прямоугольных скобок можно предста-
представить в следующем виде:
Подставляя в предыдущее соотношение и
используя ассоциативность, получаем
(* Л t) U (у Л t) = (хц у) Л [(*U *У Л t]. (
Элемент, стоящий в квадратных скобках,
по «другому» закону поглощения равен t.
Следовательно, для любых трех элемен-
элементов структуры пересечение дистрибутивно
(относительно объединения).
Рассмотренные нами специальные
структуры отличались не только тем,
что введенные на них операции удов-
удовлетворяли дополнительным тождест-
тождествам. Они содержали также особые
элементы и были наделены некоторы-
некоторыми операциями помимо взятия объе-
объединения и пересечения. Начнем с
особых элементов: нуля и единицы
структуры.
Если в структуре S существует
такой элемент 0, для которого соот-
соотношение Of] a = О выполняется при
любом a£S, то 0 называется нулем
структуры S. Если в структуре S
существует такой элемент е, для кото-
которого соотношение е [) а — а выполня-
выполняется при любом a£S, то е называется
единицей структуры S. Нуль назы-
называют также нижней, а единицу —
верхней гранью.
Структуры, для которых существу-
существуют верхняя и нижняя грань, называ-
называются ограниченными.
Общее название единицы и нуля —
грань — выбрано из следующих со-
соображений. При рассмотрении струк-
структуры подмножеств произвольного
множества нулем служит «ничто»,
или пустое подмножество, а едини-
единицей «все», или исходное множество.
Все остальные подмножества заклю-
заключены между этими двумя «избранны-
«избранными» подмножествами, причем нуль
ограничивает любое подмножество
«снизу», а единица — «сверху».
Прежде всего покажем, что если нуль
или единица существуют, то они един-
единственны. Пусть 0' .— еще един нуль струк-
структуры (помимо 0). Тогда должны выпол-
выполняться соотношения 0 Л 0' = 0' и 0' Л 0=
= 0. В силу коммутативности элементы
О и 0' равны, то, есть нуль однозначно
определен, Утверждение о единствен-
единственности единицы следует из принципа двой-
двойственности.
Заметим, что как нуль, так и еди-
единицу можно определить по-разному.
Элемент О является нулем структу-
структуры S в том и только в том случае,
если соотношение О (J а = а выпол-
выполняется при любом a£S. Элемент е
является единицей структуры S в
том и только в том случае, если соот-
соотношение е f]a = а выполняется при
любом a(-S. В силу принципа двойст-
двойственности достаточно доказать лшпь
одно из двух утверждений: либо от-
относительно единицы, либо относи-
относительно нуля. Докажем утверждение,
"в котором говорится о единице.
Если соотношение в Л а = а выпол-
выполняется при всех -a g S, то в [} а =
= е U (е Л а) = « (сначала мы подста-
подставили вместо элемента а равный ему эле-
элемент е Л а, а затем воспользовались за-
законом поглощения). Наоборот, если при
всех а £ S выполняется соотношение
е U а = а, то (также произведя подста-
подстановку и воспользовавшись законом пог-
поглощения) мы получим е Л а = (е [} а) П
Ла= а.
В приведенном выше доказатель-
доказательстве никак не используется ни «уни-
«универсальность» соотношения е (\ а =
= а (то, что а г- произвольный эле-
элемент структуры), ни то, что речь идет
о верхней и нижней грани структуры.
Следовательно, полученный нами ре-
результат допускает обобщение: соот-
соотношение а П Ь = Ъ выполняется в
том и только в том случае, если
а\}Ъ = а. .
Для элементов а и b структуры со-
соотношение а(]Ь — Ь выполняется в
169

томи только втом случае, если вы-
выполняется соотношение a (J Ъ —а.
Если это утверждение понимать так,
что второесоотношение следует из первого,
а первое — из второго, то в силу принци-
принципа двойственности достаточно доказать
лишь одно из них, так как соотношения
а Л 6 = 6 и а и 6 = а двойственны.
Пусть а Л 6=6. Тогда, произведя под-
подстановку и Используя закон поглощения,
получаем а [} 6 = а [} (а Л 6) = а.
Изучая структуры, мы сталкива-
сталкиваемся с такой же ситуацией, как и в
случае полугрупп с единицей. Если
структура обладает подструктурой и
та и другая «случайно» содержат по
нулю, то нуль подструктуры не обя-
обязательно должен совпадать с нулем
всей структуры. Но если говорят о
«структуре с нулем», то нуль любой
ее «подструктуры с нулем» по опре-
определению совпадает с нулем всей
структуры. Аналогичное утвержде-
утверждение справедливо и относительно
«структуры с единицей».
Рассмотрим, наконец, понятие до-
дополнения. Его можно определить для
структур, если учесть, что пересе-
пересечение любого элемента с его дополне-
дополнением равно нулю, а объединение лю-
любого злемента с дополнением равно
единице. Отсюда следует, что поня-
понятие дополнения имеет смысл лишь для
ограниченных структур, то есть
для структур, обладающих верхней и
нижней гранью.
Элемент а' называется дополнением
злемента а ограниченной структуры,
если выполняются соотношения
a f] а' = 0 и а \] а' = е.
В общем случае, как уже упомина-
упоминалось, если существует одно дополне-
дополнение, то может существовать и не-
несколько дополнений. Следовательно,
переход от злемента структуры к до-
дополнению нельзя считать операцией.
Но если структура дистрибутивна,
то для каждого ее злемента существу-
существует не более одного дополнения. По-
зтому для дистрибутивных структур
взйтие дополнения представляет со-
собой «почти» операцию и называется
частичной операцией. Термин «час-
«частичная операция» означает, что опе-
операция определена не для всех эле-
элементов структуры, но для тех эле-
элементов, для которых она определена,
операция задана однозначно. Час-
Частичные операции удовлетворяют оп-
определенным тождествам. С аналогич-
аналогичной ситуацией нам приходилось стал-
сталкиваться при рассмотрении отобра-
отображений. Различие состоит лишь в том,
что на зтот раз все элементы, о кото-
которых идет речь, принадлежат не двум
различным множествам, а одной
вполне определенной структуре.
Для любого злемента а дистрибу-
дистрибутивной структуры существует ле бо-
более одного дополнения а', для кото-
которого
1) (а')' = а;
2) е' = 0 и 0' = е;
3) (a U ЪУ=а' Л V и (а П Ь)'=а' [)&.
Прежде всего убедимся в том, что до-
дополнение однозначно определено. Пусть
х и у — дополнения элемента а, то есть
пусть
af\x — а(\у = О и а[)х = а[)у =е.
Так как е — единичный элемент, то х =
= х Л е, а вместо е можно подставить
элемент a и у. Но пересечение дистрибу-
дистрибутивно относительно объединения, поэтому
х = х Л (a U у) = (г Л a) U («Л V )•
Поскольку ifl а = 0 и О U (i Л у)=
= хП у, то х = х (] у. Пользуясь ана-
аналогичными рассуждениями, можно пока-
показать, что у = у Л х, а так как пересече-
пересечение коммутативно, то х и у совпадают и
каждый из этих элементов равен х Л у-
Если а' — дополнение злемента
а, то из соотношений a U а = е
и а П а =0 следует, что а — допол-
дополнение злемента а . Но дополнение
любого злемента структуры одно-
однозначно определено, поэтому (а')' —
= а.
Равенства е' — 0 и 0' = е не-
нетрудно вывести из соотношений
e(jO = е и ef)O = 0.
Однозначная определенность до-
дополнения существенно упрощает до-
доказательство последнего (третьего)
свойства дополнения; действительно,
достаточно доказать, что а' [) V —
дополнение злемента a (J b, a a' (J
U Ъ' — дополнение злемента а [) Ь.
170

Первое свойство позволяет еще более
сократить доказательство и свести
его к доказательству первого из двух
утверждений, поскольку второе ут-
утверждение эквивалентно первому,
только вместо а в него входит а ,
а вместо Ъ — дополнение У.
Используя дистрибутивность объедине-
объединения, получаем:
(аОЬ)П(а'иЬ')==(аПЬПа')и(аПЬПЬг).
Поскольку a()a' = b{]b' = O и
ЬПО=аЛО = О, то в правой части
стоит элемент 0 \j 0 = 0. Аналогичным
образом находим объединение элементов
а Л 6 и a' U Ь':
(а Л 6) U("' U Ь') =(аЦа' ЦЬ') Л F' Ua' U Ь')=
Итак (а Л 6) Л (а' U Ь') = 0, (а Л 6)U
U (а' U Ь') = е. Это и доказывает, что
каждый из элементов а Л Ь и а' [) Ь' слу-
служит дополнением другого
Разумеется, с введением операции
перехода к дополнению мы получа-
получаем структуру совсем «иного рода».
Может показаться, что дополнение
существует в ограниченной дистрибу-
дистрибутивной структуре и в содержащейся
в ней «полуограниченной» структуре,
но зти дополнения различны.
В действительности, как удается до-
доказать, рее обстоит иначе, то есть
дополнение в «части» структуры сов-
совпадает с дополнением во всей струк-
структуре (подобно тому, как единичный
элемент подгруппы совпадает с еди-
единичным элементом группы, а эле-
элемент, обратный данному элементу, в
подгруппе остается обратным ему при
«возвращении» ко всей группе).
Дистрибутивные ограниченные
структуры, в которых дополнение
существует для каждого элемента,
приобрели необычайную известность
(причем не только в математике!).
Они были «первыми» подробно изу-
изученными структурами и получили
особое название: булевы алгебры.
Дистрибутивные ограниченные
структуры, в которых для каждого
элемента существует обратный, на-
называются булевыми алгебрами.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что идемпотентность
следует из двух законов поглощения.
2. Доказать, что в дистрибутивных
структурах выполняются тождества
На U с) Л Ь) U с = (a U с) Л (Ь U
U с) и (а Л Ь) U (« Л в) = « Л IbU
U (а Л с)]> каждое из которых сле-
следует из другого (без предположения
о дистрибутивности структуры).
3. Доказать, что для любых трех
злементов в дистрибутивной структу-
структуре выполняется тождество
1.3. Частично упорядоченные
множества и структуры
В приведенных выше примерах
структур мы познакомились с весь-
весьма естественным способом сравнения
элементов: при выполнении опера-
операций над определенными подмножест-
подмножествами множества нам приходилось
учитывать, что одно подмножество
больше или меньше другого (или что
для рассматриваемых подмножеств
ни одно из «неравенств» не выполня-
выполняется). Кроме того, мы встретились и с
таким частным случаем, когда сами
подмножества удается определить
лишь при помощи сравнения. (Речь
идет о достаточно важном частном
случае — подпространствах век-
векторного пространства, понятия, с
необходимостью возникающего во
многих разделах математики.)
Было бы интересно рассмотреть
затронутые в примерах «проблемы
относительной величины» злементов
подробнее и, быть может, высказать
некоторые общие утверждения.
С вопросами относительной величины
злементов множества мы впервые стал-
сталкиваемся при изучении чисел. Какие
бы два (вещественных, рациональ-
рациональных, целых и т. д.) числа мы ни вы-
выбрали, всегда можно сказать, какое
из них меньше и какое больше или
что они равны. (Наше утверждение
не относится к комплексным чис-
числам!) Множества, обладающие та-
171

ким свойством, называются упоря-
упорядоченными (иногда говорят, что на
множестве задано отношение поряд-
порядка) или вполне упорядоченными. Ра-
Разумеется, понятию упорядоченного
множества необходимо дать строгое
определение, то есть точно указать,
какими свойствами обладает «поря-
«порядок». С алгебраической точки зрения
определению. с большей легкостью
поддается не тот случай, когда один
элемент множества меньше другого, а
несколько более общий случай, ког-
когда один элемент множества «не боль-
больше» другого, то есть удобнее говорить
о том, что один из элементов меньше
другого или равен ему.
Понятие «меньше или равен», оче-
очевидно,, является не операцией, а
связью, существующей (или не су-
существующей) между злементами мно-
множества. Такие связи называются от-
отношениями.
Множество называется упорядочен-
упорядоченным, если на нем задано отношение
<:, обладающее следующими свойст-
свойствами'
1) оно рефлексивно, то есть для
любого элемента а множества вы-
выполняется отношение а <: а;
2) антисимметрично, то есть если
для элементов а, и Ъ множества вы-
выполняются отношения а <: Ъ и Ъ <:
■^ а, то а = 6;
3) транзйтивно, то есть если для
элементов а, Ь я с множества выпол- .
няются отношения а <: Ъ и Ъ <: с,
то я < с;
4) трихотомично, то есть для лю-
любых элементов а и Ъ множества вы-
выполняется либо отношение а <: Ъ,
либо отношение Ъ <: а.
(Во многих случаях элементы
удобно записывать в обратном поряд-
порядке — «обратная» запись делает дока-
доказательство более «прозрачным», при
этом знак неравенства следует «по-
«повернуть» в противоположную сторо-
сторону: а >■ Ъ означает то же самое, что и
Ъ < а.)
Множество называется упорядочен-
упорядоченным, если на нем задано рефлексив-
рефлексивное, антисимметричное, транзитивное
и трихотомическое отношение.
В рассмотренных нами примерах
упорядочение не было «полным»: от-
отношение порядка не обладало трихо-
томичностью. Действительно, в каж-
каждом из примеров нетрудно указать
подмножества, одно из которых не
содержит другое. Множества такого
типа называются частично упоря-
упорядоченными или полуупорядоченными.
Множество называется полуупоря-
дочешшм, если на нем задано отно-
отношение <^, обладающее следующими
свойствами:
1) оно рефлексивно;
2) антисимметрично;
3) транзйтивно.
Во всех примерах, рассмотренных
нами перед введением в теорию струк-
структур, были определенные подмножест-
подмножества одного «универсального» множест-
множества, на которых было задано отноше-
отношение «принадлежности». Следователь-
Следовательно, А <: В означает для подмно-
подмножеств А в В, чао всякий элемент под-
подмножества А принадлежит подмно-
подмножеству В. Проверим, можно ли счи-
считать, что зто отношение частично
упорядочивает подмножества данно-
данного множества.
Так как любой элемент подмножества
А принадлежит подмножеству А, то это
отношение рефлексивно. Если любой эле-
элемент подмножества А принадлежит под-
подмножеству В, а любой элемент подмно-
подмножества В принадлежит подмножеству
А, то оба подмножества состоят из
одних и тех же элементов и, следова-
следовательно, совпадают, в силу чего отношение
антисимметрично. Наконец, если любой
элемент подмножества А принадлежит
подмножеству В, а любой элемент под-
подмножества В принадлежит подмножеству
С, то все элементы подмножества А при-
принадлежат подмножеству С и отношение
транзйтивно.
В качестве примера частично упо-
упорядоченного множества можно было
бы взять произвольное множество с
заданным на нем отношением «сов-
«совпадения», то есть отношением а <:
<: Ъ, которое выполняется, если эле-
элементы а и b совпадают. Нетрудно ви-
видеть, что «совпадение» рефлексивно,
антисимметрично и транзйтивно, то
есть обладает всеми свойствами отно-
172

шения, устанавливающего частичную
упорядоченность, (Аналогичный при-
пример можно было бы привести и с мно-
множествами, построив набор подмно-
подмножеств какого-нибудь множества, ни
одно из которых не содержит другого
подмножества.) Производить опера-
операции над элементами нашего частично
упорядоченного множества было бы
невозможно, поскольку ни «пересе-
«пересечение», ни «объединение» злементов
не определены. Чтобы операции ста-
стали выполнимыми, в общем случае
необходимо уметь из любых двух
элементов находить «непосредствен-
«непосредственно меньший» и «непосредственно
больший». Сначала мы дадим точное
определение того, какой из двух
элементов «меньший» и какой «боль-
«больший», а затем поясним, как следует
понимать выражение «один элемент
непосредственно следует за дру-
другим».
Элемент и частично упорядоченно-
упорядоченного множества называется нижней
гранью злементов а и Ь, если и <: а
и и <: Ь. Элемент v называется верх-
верхней гранью элементов а и Ь, если а<-
<: v и Ъ <: v.
Элемент х частично упорядоченно-
упорядоченного множества называется наиболь-
наибольшей нижней гранью элементов а и Ъ,
если он является их нижней гранью
и для любой нижней грани «элемен-
«элементов а и b выполняется отношение
и <^ х. Элемент у называется наи-
наименьшей верхней гранью злементов
а и Ь, если он является их верхней
гранью и для любой верхней грани v
элементов а та. Ъ выполняется отноше-
отношение у <: v.
Введя понятия наибольшей ниж-
нижней и наименьшей верхйей грани,
мы почти построили структуру: не
оговорено лишь, что и наибольшая
нижняя, и наименьшая верхняя
грань элементов а та. Ъ однозначно
определены. Но такая оговорка была
бы совершенно излишней, потому что
если для двух элементов частично
упорядоченного множества сущест-
существует наибольшая нижняя или на-
наименьшая верхняя грань, то она од-
однозначно определена.
Оба утверждения доказываются ана-
аналогично, поэтому мы приведем доказа-
доказательство лишь первого из них. Если каж-
каждый из элементов х и t служит наиболь-
наибольшей нижней гранью элементов а и 6, то
t <. х, так как х — наибольшая нижняя
грань, at — нижняя грань. Если t рас-
рассматривать как наибольшую нижнюю
грань, а х как нижнюю грань, то получим
отношение х <f. Из отношений t •< х
и х •< t (в силу антисимметричности) сле-
следует, что х = и
Итак, взятие наибольшей нижней и
наименьшей верхней грани можно
рассматривать как операции, по-
поскольку и наибольшая нижняя, и
наименьшая верхняя грань (если они
существуют) однозначно определены.
Если для элементов а и Ъ упоря-
упорядоченного множества существует наи-
наибольшая нижняя (наименьшая верх-
верхняя грань), то она называется пере-
пересечением (объединением) элементов а
и Ъ. Пересечение элементов обознача-
обозначается а Г) 6, а объединение — a (J Ъ.
Если для любых двух элементов
частично упорядоченного множества
существует пересечение и объедине-
объединение, то элементы этого множества
образуют относительно операций взя-
взятия пересечения и объедипения
структуру.
Проверим, что нам действительно
удалось построить структуру.
1. Доказательство идемпотентности:
для «элементов» а я а как наибольшая
дижняи, так и наименьшая верхняя грань
совпадают с о, что и доказывает идемпо-
идемпотентность пересечения и объединения.
2. Доказательство коммутативности:
так как и в определение наибольшей ниж-
нижней грани, и в определение наименьшей
верхней грани оба элемента входят сим-
симметрично, то о Л 6 совпадает е 6 Л а, а
а и Ь — с b U «• '
3. Для доказательства ассоциатив-
ассоциативности необходимо убедиться в том, что
(о Л Ь) Л с — наибольшая нижняя грань
элементов а, Ь и с, то есть что элемент
(а Л Ь) Л с не больше (меньше или равен)
каждого из элементов а, 6 и с и не меньше
(больше или равен) любого из элементов,
меньших или равных элементам а, Ь и
с. Действительно, так как элемент х =
= (а Л Ь) Л с — нижняя грань элемен-
элементов а О Ь н с, то 1 < af| t и К с
В свою очередь из отношения х < о Л Ь
следует, что KsiKi, Итак, мы ус-
установили, что выполняются три отноше-
отношении: z <S а, г <S b и z <g с. Но если
173

u<(inu<b, тоа<оЛ 6. Бела вы-
выполняется еще и отношение и •< с, то
и < (о Л 6) Л с, то есть х не
меньше (больше или равен) любой из трех
нижних граней.
Используя коммутативность пересече-
пересечения, получаем: а Л (Ъ Л с) = (Ь Л с) Л о.
Это означает, что элемент о Л(ЬЛс)—наи-
Л(ЬЛс)—наибольшая нижняя грань элементов Ъ, с а а.
Поскольку наибольшая нижняя грань
однозначно определена (для трех элемен-
элементов ато утверждение выполняется так же,
как и для двух элементов), то элемевты
(о Л Щ Л с и а Л (Ъ Л с) равны. Тем
самым ассоциативность пересечения до-
казава.
Ассоциативность объединения доказы-
доказывается аналогично. .
4. Для доказательства закона пог-
поглощения воспользуемся следующими оче-
очевидными фактами: если и •< v, то, с од-
одной стороны, и Л v = и, а с дру-
другой стороны, и и v = v. Так как а<.а(]Ь,
то вЛ(оиЬ)=°> а поскольку а Л b <. Ь,
то (о Л b) U Ь — Ь.
Превращение частично упорядо-
упорядоченного множества в структуры весь-
весьма «выгодно»: оно позволяет «нари-
«нарисовать» множество (о чем пойдет речь
несколько ниже) и «увидеть» структу-
структуру. Вопрос состоит лишь в том, все
ли структуры удастся «проявить»,
то есть все ли структуры можно
получить из частично упорядочен-
упорядоченных множеств изложенным выше спо-
способом. Ответ на этот вопрос утверди-
утвердительный: во всех структурах можно
задать частичное упорядочение так,
чтобы для любых двух элементов
получившегося частично упорядочен-
упорядоченного множества существовали наи-
наибольшая нижняя и наименьшая верх-
верхняя грани, совпадающие соответст-
соответственно с пересечением и с объединени-
объединением этих двух элементов.
Во всякой структуре можно задать
частичное упорядочение.
Чтобы доказать это утверждение,
рассмотрим произвольную структу-
структуру. Если бы она уже была частично
упорядоченным множеством, то от-
отношение а «г Ъ при помощи двух
заданных на структуре операций
можно было бы выразить двояко:
как а П Ь ■— а или как a (J Ъ = Ъ.
Действительно, оба соотношения сле-
следуют из условия а <: Ъ и справедли-
справедливы лишь в том случае, если это усло-
условие выполнено. Но для структур бы-
было доказано, что соотношение a f| Ъ =
= а выполняется в том и только в
том случае, если a \J fe=fe. Следова-
Следовательно, в структурах частичное упо-
упорядочение удобно задавать следую-
следующим образом:
отношение а <^ Ъ выполняется для
элементов а и Ъ структуры, если
а П Ь = а.
Покажем, что это отношение дейст-
действительно позволяет получить из
структуры частично упорядоченное
множество.
1. Отношение рефлексивно. Действи-
Действительно, в силу идемпотентности пересече-
вия о Л о = о, а это и означает, что вве-
введенное нами отношение рефлексивно.
2. Отношение антисимметрично. Пусть
о <: 6 и 6 «г о. Тогда оЛЬ==аиЬЛо =
= Ь. Поскольку пересечение коммутатив-
коммутативно, то а = а Л Ь = 6 Л о = Ь. Тем са-
самым антисимметричность отношения до-
доказана.
3. Для доказательства транзитивности
предположим, что о <6 и 6 •< с. Это
означает, что а П b = а и b (] с = Ь.
Подставляя 6 из последнего соотношения
в первое, получаем:
{производя преобразования, мы восполь-
воспользовались ассоциативностью пересечения
и соотношением а Л b = о). Полученное
соотношение а = а (] с означает, что
о •< с. Следовательно, введенное нами
отношение транзитивно.
Остается еще доказать, что для любых
двух элементов существуют наибольшая
нижняя и наименьшая верхняя грань,
совпадающие к тому же соответственно
с элементами а Л b и a \j b. Именно это и
позволяет упростить остальную часть до-
доказательства, поскольку известны те
элементы, относительно которых требует-
требуется доказать, что они являются наиболь-
наибольшей нижней и наименьшей верхней гранью.
Из тождеств, которым удовлетворяет
пересечение, следует, что
v (оЛ Ь) Ло== (оЛа)Л Ь= аГ\Ь
и аналогично, что (о Л 6) Л Ь = а Л Ь.
Но именно это и означает, что о Л b -—
нижняя грань элементов а и Ь. Если х —
любая нижняя грань элементов о и Ь, то,
используя соотношения х Л о = х Л Ь=
= х и тождества для пересечения, полу-
получаем:
Следовательно, а Л b — наибольшая ниж-
нижняя гравь элементов а и 6. Доказатель-
Доказательство утверждения относительно объеди-
174

иения несколько сложнее и значительно
упростилось бы, если бы частичное упоря-
упорядочение структуры можно было задать
при помощи объединения. Поскольку
это действительно можно сделать (так
как соотношения а (] Ь = а и а и 6 = Ь
выполняются одновременно), то доказа-
доказательство утверждения относительно объ-
объединения слово в слово (с учетом прин-
принципа двойственности) воспроизводит при-
приведенное выше доказательство утвержде-
утверждения о пересечении.
Итак, доказано, что из частично
упорядоченного множества (в опре-
определенных случаях) можно построить
структуру, а из структуры — час-
частично упорядоченное множество (при-
(причем именно такое, из которого можно
построить структуру). Это означает,
что можно поступить следующим об-
образом: взяв некоторую структуру,
построить из нее частично упорядо-
упорядоченное множество, а из него опять
построить структуру или. выбрав
какое-нибудь частично упорядочен-
упорядоченное множество, построить из него
структуру (если это возможно), а из
нее опять построить частично упоря-
упорядоченное множество. Заранее не пред-
предполагается, хотя это и так, что «вто-
«вторичная» структура, созданная из
частично упорядоченного множества,
которое построено из «первичной»
структуры, совпадает с первичной
структурой. (Следовательно, опре-
определенные «окольным путем» опера-
операции вторичной структуры в действи-
действительности оказываются такими же,
как операции в исходной структуре.)
Аналогичным образом отношение, за-
заданное на структуре, построенной из
частично упорядоченного множества,
совпадает с исходным отношением.
(Доказательство этого утверждения,
вообще говоря, не сложно: необхо-
необходимо лишь произвести кое-какие
выкладки. Тем не менее мы не будем
приводить доказательства, посколь-
поскольку оно достаточно длинно и громозд-
громоздко.)
Всякую структуру можно постро-
построить из соответствующим образом вы-
выбранного частично упорядоченного
множества.
Но, как было доказано выше, в
любой структуре можно задать час-
частичное упорядочение. Если структу-
структура содержит лишь конечное число
элементов, то возникает конечное
частично упорядоченное множество,
которое можно «нарисовать». Такой
подход позволяет получать «портре-
«портреты» конечных структур и даже ко-
конечных частей (не обязательно под-
подструктур) бесконечных структур.
Условимся, изображая конечное
частичное множество, помещать наи-
наименьший элемент в самом низу, а
большие элементы располагать выше.
Поскольку одного лишь такого пра-
правила недостаточно для построения
изображения, мы будем проводить
линии, показывающие, какой из
двух элементов больше и какой —
меньше другого. При этом, разуме-
разумеется, мы не станем проводить все
возможные линии, поскольку нера-
неравенство «больше —меньше» достаточ-
достаточно указать лишь для «непосредственно
следующих друг за другом» элемен-
элементов, после чего уже можно без труда
определять, какой из любых двух
элементов больше или меньше.
Наши «правила» допускают сле-
следующую точную формулировку. Эле-
Элемент Ъ непосредственно следует за
элементом а, а элемент а непосредст-
непосредственно предшествует элементу Ь, если
а <: Ь, элементы а и Ъ различны и не
существует элемента х, отличного
от элементов а и Ъ, который удовлет-
удовлетворял бы отношениям a < х <: Ъ.
Если и < v и элементы ми v раз-
различны, то v может непосредственно
следовать за и. В противном случае
найдется элемент х, отличный
от и и от v и такой, что
и <: х < v. Следовательно, эле-
элемент х можно «вписать» между эле-
элементами а и Ъ. Поскольку упорядо-
упорядочению подлежит конечное число эле-
элементов, то оно рано или поздно за-
завершается. Все элементы множества
оказываются внесенными в «список»
и <: хх <: х2 <: ... <: хп <: v, эле-
элементы и, хи х2, ..., хп, v различны и
каждый элемент непосредственно
следует за предыдущим. Таким об-
образом, отношение и < v означает,
что существуют элементы, которые
175

Частично упорядоченное, множество
из двух злементов, межву которыми
имеется овна отношение
Частично упорядоченное множество
из Зеух злемвнтов, между которыми
лет ни оЗного отношения
Рис. 89.
можно расположить по порядку и <з
<: хг «г х% < ... <: хп < v, и каждый
следующий элемент следует непосред-
непосредственно за предыдущим. Поэтому до-
достаточно знать, какие элементы и
за какими следуют непосредственно.
Если «непосредственное следование»
обозначить прямой, идущей снизу
вверх, то оно однозначно определит
частичное упорядочение на множест-
множестве элементов структуры.
Рассмотрим теперь несколько
«портретов» частично упорядоченных
множеств. Прежде всего заметим,
что «нарисовать» пустое множество
невозможно, изображение множества
из одного элемента не представляет
интереса, поскольку в нем нет двух
элементов и, следовательно, нет эле-
ЛУ
Деа
отношения отношения
О
Три отношения
О О О О
Нуль отношений
Одно отношение
Рис. 90.
мента, который непосредственно сле-
следовал бы за другим элементом.
В множестве из двух элементов
между двумя элементами может су-
существовать либо одно отношение,
либо ни одного отношения. Следова-
Следовательно, при рассмотрении таких мно-
множеств могут представиться два слу-
случая (рис. 89).
Возможные портреты частично упо-
упорядоченных множеств с тремя эле-
элементами показаны на рис. 90.
Рассмотрим теперь несколько
структур. Пустое множество не при-
принадлежит к числу структур (так же,
как оно не принадлежит и к числу
групп, но рассматривать его как час-
частично упорядоченное множество
вполне допустимо). Множество из
одного элемента является структу-
структурой, поскольку для любых «двух»
его элементов существует наимень-
наименьшая верхняя и наибольшая нижняя
грань. Единственный элемент мно-
множества является одновременно нуле-
нулевым и единичным элементом структу-
структуры. Из множеств с двумя элементами
к числу структур принадлежит то,
между элементами которого задано
отношение. Меньший элемент служит
нулевым, а больший — единичным
элементом структуры. В другом мно-
множестве из двух элементов не сущест-
существует ни верхней, ни нижней грани
для элементов.
В том множестве из трех элемен-
элементов, в котором имеется три отноше-
отношения, пересечением любых двух эле-
элементов служит меньший из них, а
объединением —больший. Следова-
Следовательно, наименьшим из трех элемен-
элементов является нулевой элемент, а наи-
наибольшим — единичный элемент. В
первом множестве из трех элементов
с двумя отношениями для двух мень-
меньших элементов не существует ниж-
нижней грани, а во втором множестве для
двух больших элементов не существу-
существует верхней грани. В множестве из
трех элементов с одним отношением
для «изолированного» элемента, рас-
рассматриваемого в паре с любым дру-
другим элементом, не существует ни об-
общей нижней, ни общей верхней гра-
176

ви. Наконец, в множестве из трех
элементов без отношений для любых
двух элементов не существует ни об-
общей нижней, ни общей верхней гра-
грани.
В рассмотренных нами конечных
структурах всегда существовали ну-
нулевой элемент и единичный элемент.
Это не случайно. Нулевой и единич-
единичный элементы существуют в любой
конечной структуре.
Во всякой конечной структуре су-
существуют нулевой и единичный эле-
элементы.
Пересечение всех элементов струк-
структуры (однозначно определенное в си-
силу ассоциативности) не больше (то
есть меньше или равно) любого эле-
элемента структуры и поэтому совпадает
с нулевым элементом. Аналогично
объединение всех элементов структу-
структуры совпадает с единичным элементом.
Это замечание оказывается весьма
полезным при рассмотрении структур
с более чем тремя элементами. Дейст-
Действительно, при изучении структуры с
двумя элементами было как их раз-
разместить: наименьший элемент дол-
должен располагаться в самом низу,
наибольший — в самом верху.
Следовательно, встретив структу-
структуру из четырех элементов, мы заведо-
заведомо знаем, что два других элемента
должны образовывать какое-то из
«двухэлементных» частично упоря-
упорядоченных множеств. Существует все-
всего два таких множества, поэтому и
структуры из четырех элементов воз-
мощны в двух вариантах. Нетрудно
видеть, что оба варианта существу-
существуют (рис. 91).
Аналогичные соображения приме-
применимы и к анализу структур из пяти
элементов. Положение двух элемен-
элементов определено заранее, а относи-
относительно трех остальных элементов из-
известно, что они образуют частично
упорядоченное множество. Посколь-
Поскольку существует всего пять частично
упорядоченных множеств из трех
элементов, то и структуры из пяти
элементов возможны в пяти вариан-
вариантах. Все пять типов структур сущест-
существуют (рис. 92).
Диаграммы двух струнтдр
из четырех элементов
Рис. 91.
структур t/з пяти еяеменшов
Рис, 92.
Для этого
элемента
зтот элемв!
и дяй зтоеа
элемента
этот элемент
служит наибольшей нижней
• гранью<
Рис. 93.
Заметим, что из некоторых час-
частично упорядоченных множеств
структура может не получиться не
только из-за отсутствия верхней или
нижней грани для некоторых эле-
элементов, но и из-за чрезмерного «изо-
«изобилия» верхних и нижних граней.
177

Одна из «не состоявшихся структур»
изображена на рис. 93.
Двоякие свойства структур позво-
позволяют в отдельных случаях исполь--
вовать частичное упорядочение. Весь-
Весьма полезны, например, свойства та-
такого рода: «объединение малых эле-
элементов меньше, чем пересечение боль-
больших элементов». В более точной фор-
формулировке зто утверждение гласит
следующее:
если структура состоит из эле-
элементов ах, аг, ..., ап и bt, bz, ...,Ьь
и для любой пары a t, Ъ j выполняется
отношение at -^.bj, то для наимень-
наименьшей верхней грани а элементов ai и
наибольшей нижней грани Ъ элемен-
элементов Ъ} справедливо отношение а ^ Ь.
По условию все элементы at служат
верхними гранями любого элемента bj.
Следовательно, каждый из элементов bj
не меньше (больше или равен) верхней
грани о элементов ог. Но это означает, что
а — нижняя грань элементов bj и по-
поэтому не больше (меньше или равна) наи-
наибольшей нижней грани Ь элементов bj.
Приведенное выше утверждение
позволяет без труда доказывать «не-
«неравенства», в которые в качестве
меньшего элемента входит объедине-
объединение, а в качестве большего — пере-
пересечение. Докажем, например,что эа-
кон дистрибутивности верен «в одну
сторону» для любой структуры.
Пусть о, бис — трн элемента струк-
структуры. Так как а Л 6 « в, а A 6 < Ь н
а «г в |J <V b <. b \J с, то в силу
транзитивности частичного упорядочения
о A 6<и U с и а Л 6 < 6 U с. А по-
поскольку ясно, что с<«исис<6ис,
то
Напомним, что это «неравенство»
составляет ту «половину» закона дис-
дистрибутивности, которая была дока-
доказана беэ обращения к отдельным эле-
элементам. Нетрудно видеть, что необ-
необходимости в обращении к элементам
подмножеств действительно не было,
поскольку операции или отношения
выражают лишь определенное свой-
свойство взаимосвязи между подмножест-
подмножествами.
Частичное упорядочение позволяет
178
сформулировать свойство, некогда
характеризовавшее подпространства
векторного пространства. Еще при
«первой встрече» с этим свойством
мы упоминали о том, что оно присуще
не только подпространствам вектор-
векторного пространства, но и подгруппам
коммутативной группы. В общем слу-
случае подмодули произвольного модуля
образуют структуру, наделенную тем
особым свойством, о котором идет
р^чь. Такие структуры называются
поэтому модулярными (или дедекин-
довыми).
Что касается равенства (а П Ъ) (J
(J с — а 0 (b (J с), входящего в оп-
определение модулярной структуры,то,
заменив его «неравенством в одну
сторону», мы получим отношение,
выполняющееся для всех структур.
Действительно, «неравенства» а [) Ь^.
<«,ufl fe<b(J сис<6 (J с оче-
очевидны, а отношение а -<с выполняет-
выполняется по условию, откуда и следует, что
(af\b) [J c<a f)(b [J с).
Разумеется, всякая модулярная
структура является одновременно и
«просто» структурой. Нетрудно дока-
доказать, что всякая дистрибутивная
структура модулярна. Действитель-
Действительно, в тождество (a f] b) (J с= (а[)
U с) Л (b (J с), выражающее закон
дистрибутивности при а ^ с, вместо
объединения a (J b можно подста-
подставить равный ему элемент а и нолу-
чить соотношение, означающее, что
структура модулярна.
Структура называется модулярной,
если для любого элемента Ъ и а > с
выполняется соотношение
Заранее не очевидно, следует ли из
модулярности дистрибутивность
структуры и не будут ли все структу-
структуры модулярными. Докажем, что от-
ответы на оба вопроса отрицательные:
построим примеры, в одном из кото-
которых структура не модулярна, а в
другом модулярна, но не дистрибу-
дистрибутивна. (С примерами такого рода нам
по существу приходилось встречать-
встречаться и раньше, но приводимые теперь
примеры необычайно важны.) На

рис. 94 показаны диаграммы двух
структур, одна из которых не моду-
лярна, а другая модулярна, но не
дистрибутивна.
В первом примере выполняется отно-
отношение а > с, но (о Л 6) U с — 0 и с =
— с, &a(](b[jc)=a(]e=a, а эле-
элементы с и а не равны.
Во втором примере, как нетрудно ви-
видеть, структура не дистрибутивна. Дей-
Действительно, (о Л 6) U с = 0 Uc=c,
(a U с) Л (b U с) = ef|e = e, а эле-
элементы сие различны. Во избежание пу-
путаницы в обозначениях запишем условие
модулярности в следующем виде: если
и > v, то <в Л О U » = " П (* U о). При
и — v обе стороны равенства по закону
поглощения переходят в элемент в Если
же элементы вис различны, то либо v — О,
либо в = е. В первом случае в
правой и в левой частях равенства стоит
в Л t, во втором — элемент ( U ». Ив
том, и в другом случаях структура моду-
модулярна.
ЗАДАЧИ
!. Верно ли утверждение, что
структур из п элементов существует
столько же, сколько частично упоря-
упорядоченных множеств из п — 2 элемен-
элементов?
2. Доказать, что для всякой струк-
структуры
(af]b)[j{bf]c)U{cf]a)<
<(a{)b)f)(bUc)(\{c\Ja).
3. Доказать, что на всяком упоря-
упорядоченном множестве можно задать
операции структуры и полученная
структура всегда будет дистрибутив-
дистрибутивной.
2.
Соотношения
между структурами
2.1. Подструктура, гомоморфизм,
прямое произведение
Изучая группы, кольца и тому
подобные «образования», мы говори-
говорили о «частях», напоминающих по
своим свойствам «целое»: подгруп-
подгруппах, подкольцах и т. д. Рассматривая
О
а) НелюЗулярмая и
недистрибутитая структура
из ляти з/гемвитов
6) Модулярная, но не
дистрибутивная структурп
из пяти элгмгнтов
Рис. 94.
структуры, можно было бы попытать-
попытаться ввести понятие подструктуры. Под-
Подструктурой естественно назвать под-
подмножество элементов структуры, об-
образующих «самостоятельную» струк-
структуру (относительно операций, задан-
заданных на исходной структуре). Излиш-
Излишне проверять для подструктуры тож-
тождества, которым должны удовлетво-
удовлетворять операции, поскольку эти тож-
тождества выполняются «автоматичес-
«автоматически»: по предположению они справед-
справедливы для любых элементов' исходной
структуры, в том числе и тех, кото-
которые образуют подструктуру. Но ус-
условия, входящие в определение
структуры, носят достаточно общий
характер и лишь в исключительных
случаях учитывают такие «мелочи»,
как существование отдельных эле-
элементов. Именно поэтому необходимо
проверить, замкнута ли выбранная
«часть» структуры относительно взя-
взятия объединения и пересечения.
Любое (непустое) подмножество
элементов структуры называется
подструктурой, если оно вместе с
любыми двумя своими элементами
содержит их объединение, и пересе-
пересечение.
Построение структур во многом
179

сблегчалось тем, что их можно было
изобразить наглядно в виде частич-
частично упорядоченных множеств. Было
бы весьма «кстати», если бы и под-
подструктуры нам удалось представить
в виде соответствующих подмно-
подмножеств частично упорядоченных мно-
множеств. Ясно, что любое подмножес-
подмножество элементов структуры (как час-
частично упорядоченного множества)
является частично упорядоченным
множеством. Разумеется, далеко не
каждое подмножество может быть
подструктурой. Требуется ввести осо-
особое предположение о том, что полу-
получившееся частично упорядоченное
множество является структурой от-
относительно частичного упорядоче-
упорядочения, заданного во всем множестве.
Но и этого мало. Рассмотрим, напри-
например, структуру из пяти элементов,
изображенную на рис. 95. Подмно-
Подмножество, состоящее из элементов а, Ь,
О и е, образует структуру относи-
относительно частичного упорядочения, за-
заданного на всей исходной структуре,
но пересечением элементов q, и Ь в
этом подмножестве служит 0, а в
исходной структуре — элемент с.
Следовательно, выбранное нами под-
подмножество из четырех элементов а,
Ъ, О и е не замкнуто относительно
взятия пересечения.
Тем не менее частично упорядочен-
упорядоченные множества можно с успехом ис-
использовать при изучении подструк-
подструктур. Необходимо лишь следить за
тем, чтобы объединения или пересе-
пересечения элементов не «выпадали» ' из
подструктуры, как в рассмотренном
выше примере.
Ясно, что если в структуре выпол-
выполняется какое-нибудь тождество, то
оно должно выполняться и в под-
подструктуре. Следовательно, любая
подструктура дистрибутивной струк-
структуры дистрибутивна, а любая под-
подструктура модулярной структуры мо-
дулярна. Иначе говоря, структура,
содержащая любую не дистрибутив-
дистрибутивную подструктуру, не дистрибутив-
дистрибутивна, а структура, содержащая любую
немодулярную подструктуру, не мо-
дулярна. Среди' структур из пяти
элементов можно указать две не-
дистрибутивные структуры и одну
немодулярную структуру (рис. 94).
Итак, структура, содержащая под-
подструктуру (а), не модулярна, а струк-
структура, содержащая как подструктуру
(а), так и подструктуру (б), не дистри-
дистрибутивна. Небезынтересно отметить,
что оба утверждения допускают об-
обращение: если структура не содержит
подструктуру (а), то она модулярна, а
если структура не содержит под-
подструктуру (б), то она дистрибутивна.
(То же можно выразить несколько
иначе: если структура не дистрибу-
дистрибутивна, то в ней существует либо
подструктура (а), либо подструктура
(б); если структура не модулярна, то
в ней заведомо существует подструк-
подструктура (а).)
Разумеется, если существование
нулевого или единичного элемента
(или существование обоих «гранич-
«граничных» элементов) особо оговорено или
предполагается, что существуют до-
дополнения элементов, то понятие под-
подструктуры надлежит формулировать
так, чтобы она содержала элементы,
существование которых постулиру-
постулируется.
Гомоморфизм в случае структур
можно определить как однозначное
отображение, переводящее «пересе-
«пересечение в пересечение» и «объединение
в объединение». Отсюда следует, что
гомоморфизм сохраняет частичное
упорядочение. Действительно, если
а<^6, то, поскольку а [\ Ъ = а, при
любом гомоморфизме ф выполняется
соотношение q> (а) = ф (а Л Ь) =ф (a) {]
П фF), а это и означает, что ц>(а) ^
<^ ф (Ь). (Гомоморфизм действует из
180

структуры St в структуру Sz, и в
структурах St и 52 операции и от-
отношения, задающие частичное упо-
упорядочение, различны. Однако если
мы выберем для зтих операций и от-
отношений одинаковые обозначения, то
это не приведет ни к каким недора-
недоразумениям — разумеется, при усло-
условии, что речь идет о различных мно-
множествах Или о множествах, рассмат-
рассматриваемых как различные.) Можно
ожидать, что произвольно выбранное
отображение одной структуры в дру-
другую, сохраняющее частичную упоря-
упорядоченность, не будет гомоморфиз-
гомоморфизмом.
Гомоморфизмы структур «ведут се- ■
бя» гораздо хуже, чем гомоморфиз-
гомоморфизмы групп. Гомоморфизм группы G, в
группу G2 отображает в один и тот же
элемент группы G2 целый смежный
класс группы G, по соответствующе-
соответствующему нормальному делителю- Зная лю-
любой из смежных классов, можно вос-
восстановить все остальные и тем самым
по существу задать гомоморфизм.
В частности, если гомоморфизм отоб-*
ражает в один элемент группы G2
лишь одиц-единственйый элемент
группы G1; то под действием зтого
гомоморфизма различные элементы
группы Gt переходят в различные
элементы группы G2.
С гомоморфизмами структур все
обстоит иначе. Один из контрприме-
контрпримеров «образцовому поведению» гомо-
гомоморфизмов можно привести, даже ес-
если структура дистрибутивна. Рас-
Рассмотрим упорядоченное множество.
Если его разделить на части, прости-
простирающиеся «отсюда и досюда», и
каждую часть стянуть в одну точку
независимо от того, что происходит
с остальными частями, то получится
гомоморфизм, при котором все эле-
элементы, которые принадлежат части,
тянущейся «отсюда и досюда», ото-
отображаются в одну и ту же точку.
Предположим, например, что в
, точку стягивается лишь одна часть
множества, а все остальные остаются
«в первозданном виде» (рис. 96) или,
если угодно, подвергаются каким-то
изменениям. Относительно получен-
\
Рис. 96.
него гомоморфизма нельзя утверж-
утверждать, ни что любая часть множества,
отображаемая в точку, содержит оди-
одинаковое число элементов, ни что по
одной такой части можно определить
все остальные.
Мы могли бы говорить о мономор-
мономорфизме структур — гомоморфизме,
отображающем различные элементы
в различные, и об изоморфизме —
взаимно-однозначном отображении
структур. Изоморфные структуры
можно считать одинаковыми, по-
поскольку с алгебраической точки йре-
ния между ними нет различий.
Наконец, на структуры можно пе-
перенести и понятие прямого произве-
произведения. Мы рассмотрим прямое про-
произведение лишь двух структур, но
все рассуждения остаются в силе и в
том случае, когда число «прямых со-
сомножителей» больше двух. Пусть А
ж В — две структуры. Обозначим
операции, заданные в каждой из
них, через U и |"). Прямым произве-
произведением А X В этих двух структур
называется множество пар (а, Ь),
Д81

где а£А, Ь^Ви, кроме того, (at, Ь1) =
— (а2, b2) означает, что аг = а2,
Ъг = Ь%, а операции выполняются по
следующим правилам:
(а„ bt) U (а2, Ь2) = (а, U а2, Ь, (J Ь2)
и
(«i, &i) П («г» ьг) = («i П а2, Ь4 П Ь4).
Нетрудно видеть, что мы опять по-
получили структуру (необходимо лишь
проверить все тождества).
Прямое произведение структур об-
обладает необычными свойствами. На-
Например, если фиксировать любой
элемент Ь из структуры В, то мно-
множество пар (а, Ъ) всегда образует
подструктуру прямого произведения,
изоморфную структуре А.
ЗАДАЧИ
1. Найти такие структуры, в кото-
которых любое подмножество' является
подструктурой.
2. Найти такие структуры, в кото-
которых любое подмножество, являющее-
являющееся структурой относительно заданно-
заданного на исходной структуре частично-
частичного упорядочения, представляет со-
собой подструктуру исходной структу-
структуры.
3. Доказать, что любой элемент
всякой структуры, содержащей не
менее двух элементов, принадлежит
некоторой подструктуре, отличной
от всей структуры.
4. Верно ли, что пересечение под-
подструктур одной структуры также яв-
является подструктурой?
5. Можно яи говорить о подструк-
подструктуре, что она порождена определен-
определенными элементами структуры?
6. Доказать, что существует вза-
взаимно-однозначное отображение одной
структуры из четырех элементов на
другую, сохраняющее частичное упо-
упорядочение, но не являющееся изо-
изоморфизмом.
2.2. Идеал, примерный идеал,
логические связки
При гомоморфизме структуры Sx в
структуру S 2 множество элементов
нз Sy, переходящих в один и тот же
элемент из 52, не может быть произ-
произвольным. Если ф — гомоморфизм
структур Иф(а) = ф(Ь), то, посколь-
поскольку ф сохраняет операции, получаем
(используя идемпотентность объеди-
объединения и пересечения): ф(а П Ь) =
= ф(а) П ф(Ь) =ф(а) и ф(а U Ь) =
= ф(а) (J фF) =ф(а), то есть об-
образы объединения и пересечения эле-
элементов а и Ь совпадают с образом эле-
элемента а (а следовательно, и Ъ). То же
можно сформулировать несколько
иначе: множество элементов из Sx,
отображаемых гомоморфизмом ф в
один и тот же элемент из S2, всегда
образуют подструктуру. Но эта под-
подструктура не произвольна. Напри-
Например, если структура содержит нуле-
нулевой и единичный элементы, то они,
очевидно, образуют подструктуру
Если эти «граничные» элементы пере-
переходят при гомоморфизме в один и
тот же элемент, то их образ (в «струк-
«структуре» образов) будет одновременно и
нулевым, в единичным элементом, а
это означает, что он будет образом
рсех элементов. Следовательно, о
структуре, состоящей из двух эле-
элементов, не может быть и речи. В об-
общем случае, если а <. Ъ и ф(а) —
= фF), то образ любого элемента х,
удовлетворяющего условию а <^ х <^
< Ь, будет совпадать с образом эле-
элементов а и Ь. Действительно, по ус-
условию х—a\Jxnx—xflb,
откуда х — a \J (х (] Ъ) и
ф(х) =ф(а) (J (фГх) П <р(Ь)). Из ус-
условия o^i^iiB закона поглоще-
поглощения следует, что элемент, стоящий
в правой части, совпадает с ф'(а).
Подструктура, обладающая этим
свойством, называется выпуклой под-
подструктурой. (Заметим, что отнюдь
не всякая выпуклая подструктура
встречается среди множеств элемен-
элементов, переходящих при гомоморфизме
в один и тот же элемент.)
Особенно важную роль играют
выпуклые подструктуры, которые мо-
могут отображаться при гомоморфиз-
гомоморфизмах в нулевой и в единичный элемен-
элементы (в тех случаях, когда исходная
структура не содержит ни нулевого,
ни единичного элементов).
Ш

Предположим, что к структуре до-
добавлен новый элемент, который мень-
меньше всех остальных элементов. Ото-
Отобразив новый элемент в нулевой эле-
элемент, мы получим тот же гомомор-
гомоморфизм, что и прежде. Если этот гомо-
гомоморфизм отображает элемент а в
нулевой элемент и х <^ а, то (так
как 0 <^ х) в силу выпуклости эле-
элемент также переходит в нулевой эле-
элемент.
Подструктура структуры, содер-
содержащая вмрсте с любым элементом а
все элементы х, удовлетворяющие ус-
условию х <; а, называется идеалом
структуры.
Подструктура структуры, содер-
содержащая вместе с любым элементом а
все элементы х, удовлетворяющие
условию а <^ х, называется двойст-
двойственным идеалом (рис. 97).
Подмножество / называется идеа-
идеалом структуры Н, если:
1) / замкнуто относительно объе-
объединения;
2) из а€/ и х <^ а следует, что
х£1 (и / не пусто).
Подмножество D называется двой-
двойственным идеалом" структуры //, ес-
если:
\) D замкнуто относительно пере-
пересечения;
2) из b£D и у > b следует, что
y£D (и D — не вся структура).
Любой элемент структуры опреде-
определяет идеал, состоящий из элементов,
которые не больше его. Выберем, на-
например, произвольный элемент с.
Если а <^ с и Ь < с, то каждый из
элементов а и Ь служит нижней
гранью для с, и поэтому а [I Ь <^ с.
Если i< о, то в силу транзитивнос-
транзитивности отношения, задающего частичнре
упорядочение, х ^ с, а так как а (]
f] fe^o, то отсюда следует замкну-
замкнутость относительно пересечения. По-
Полученный идеал обозначим (c)t. Ана-
Аналогично элементы, которые не мень-
меньше элемента с, образуют двойствен-
двойственный идеал (c)d. Можно показать, что
в конечной структуре существуют
идеалы только типа (с),- и двойствен-
двойственные идеалы только типа (c)d. Следо-
Следовательно, во всякой конечной струк-
Двопственный
идеал
Выпуклая
подструктура
Рис. 97.
туре имеется столько идеалов и двой-
двойственных идеалов, сколько она со-
содержит элементов (рис. 98).
Пустое множество естественно не
относить к числу идеалов, но из со-
соображений удобства пустое множест-
множество можно считать двойственным иде-
идеалом (в отличие от всей структуры,
которую исключают из числа двойст-
двойственных идеалов, хотя она и удовлет-
удовлетворяет определению).
Если в определении идеала потре-
потребовать, чтобы вместе с любым своим
элементом он содержал и все мень-
меньшие элементы, то отпадет необходи-
необходимость в предположении о замкнутос-
замкнутости относительно пересечения, по-
поскольку пересечение двух элементов
не больше каждого из них. Следова-
Следовательно , это (и аналогичное ему) свой-
свойство позволяют определить идеал и
двойственный идеал.
Двойственный
идеал (c)d,
порожденный
элементом.с
Идеал (сн,
порожденный
элементом с
Рис. 98.
183

Рис. 99.
Рассматривая условия A) и B) в
определениях идеала и двойственного
идеала, нетрудно заметить, что ус-
условия A) двойственны (условия B)
также можно считать двойственны-
двойственными). Действительно, разобьем струк-
структуру Н на две части А и В так, чтобы
они не имели общих элементов, а
любой элемент из Н принадлежал
какой-нибудь из них. (Иначе говоря,
если А и В рассматривать как под-
подмножества структуры Н, то А явля-
является дополнением для В, & В — до-
дополнением для А.) Условие B) , вхо-
входящее в определение идеала, выпол-
выполняется для А в том и только в том
случае, когда для В выполняется ус-
условие B), входящее в определение
двойственного идеала. Действитель-
Действительно, если условие B) для А выполне-
выполнено и Ь£В, то при у >■ Ь элемент у
не может принадлежать подмножест-
подмножеству А, поскольку в противном случае
А содержало бы элемент Ь. Следова-
Следовательно, yfiB. Аналогично, если усло-
условие B) выполняется для В, то а 6-4
и при х •<: а элемент х не может при-
принадлежать подмножеству В, посколь-
поскольку в противном случае элемент а был
бы из В. Следовательно, х £4.
О разбиении структуры на подмно-
подмножества А и В, обладающие перечис-
перечисленными выше свойствами, принято
говорить как о сечении. Подмно-
Подмножество А называется нижним, а
подмножество В — верхним сег-
сегментом структуры (рис. 99).
184
В общем случае при сечении струк-
структуры нижний сегмент не является
идеалом, а верхний сегмент — двой-
двойственным идеалом. Если же нижний
сегмент удовлетворяет определению
идеала, а нижний сегмент — опре-
определению двойственного идеала, то
говорят соответственно о примар-
ном идеале и двойственном примар-
ном идеале. Эти понятия играют
весьма важную роль в теории струк-
структур.
Примарный идеал и двойственный
примарный идеал можно получить
следующим образом. Если ф — го-
гомоморфизм структуры Н в структуру
из двух элементов, то под действием
ф в нуль переходят элементы нижне-
нижнего сегмента структуры, образующие
примарный идеал, а в единичный
элемент — элементы верхнего сег-
сегмента структуры при том же сече-
сечении, образующие двойственный при-
примарный идеал.
Свойство гомоморфизма сохра-
сохранять упорядочение приводит к тому, что
элементы, отображаемые гомоморфизмом
в нулевой и в единичной элементы, обра-
образуют соответственно нижний и верхний
сегменты. Если элементы а и Ь принадле-
принадлежат нижнему сегменту, то—так как <р(а (J Ь=
= фИ U ф(Ь) = О U 0 = 0— объеди-
объединение a (J Ъ также принадлежит ниж-
нижнему сегменту. Если же оба элемента а
и Ъ принадлежат нижнему сегменту, то —
так как (р(а Г) Ь) — <р(а) Г) <р(Ь) = е(\е—
= е — и их пересечение а Л Ь также
принадлежит верхнему сегменту. Следо-
Следовательно, нижний сегмент является идеа-
идеалом, а верхний — двойственным идеа-
идеалом, что и требовалось доказать.
Приведенное здесь свойство пол-
полностью определяет примарный иде-
идеал. Иначе говоря, цримарный идеал
можно получить, лишь отображая
структуру в структуру из двух эле-
элементов: примарный идеал образуют
элементы, переходящие при гомомор-
гомоморфизме в нулевой элемент. Итак, тре-
требуется доказать, что для любого при-
марного идеала можно найти соот-
соответствующий гомоморфизм. Ясно, что
таким гомоморфизмом может быть
лишь отображение, переводящее эле-
элементы примарного идеала в нулевой
элемент структуры из двух элемент

тов, а элементы двойственного
примерного идеала — в единичный
элемент структуры из двух элемен-
элементов (именно в этом но существу и сос-
состоит приведенное выше утверждение).
Следовательно, необходимо доказать,
что (однозначно определенное) ото-
отображение, о котором идет речь, пред-
представляет собой гомоморфизм.
Если элементы а и Ь принадлежат иде-
идеалу, то их пересечение а Л Ь также принад-
принадлежит идеалу (поскольку а(\Ъ не больше
элементов идеала а и Ь). Следовательно,
<р(а Л &) — нулевой элемент структуры из
двух элементов и <р(а) Л <р(&) — также ну-
нулевой элемент, поскольку каждый из
элементов <р(а) и <р(Ь) совпадает с нуле-
нулевым элементом. Если же элементы а и ft
принадлежат двойственному идеалу, то
их объединение а\)Ь также принадлежит
двойственному идеалу. Следовательно,
каждый из элементов <р(а), <р(Ь) и (p(a\Jb)
совпадает с единичным элементом струк-
структуры из двух элементов, а это означает,
что объединение первых двух из них сов-
совладает с третьим (рис. 100).
Структуры и примарные идеалы
весьма тесно связаны с «формаль-
«формальной» логикой и посредством нее —
с вычислительными машинами. Рас-
Рассмотрим какие-нибудь высказывания,
например «день жаркий» или «соба-
«собака лает», независимо от того, истин-
истинны они или нет. (Во многих случаях
определить истинно ли то или иное
высказывание бывает довольно за-
затруднительно: одно и то же высказы-
высказывание может быть иногда истинным,
а иногда ложным.) Из заданных вы-
высказываний образуем новые, связы-
связывая исходные высказывания союзами
(называемыми логическими связка-
связками) «и» и «или». Одно из полученных
«составных» высказываний «день
жаркий и собака лает» утверждает,
что оба начальных высказывания вы-
выполняются одновременно (независи-
(независимо от того, выполняются ли они в
действительности). Другое состав-
составное высказывание «день жаркий или
■собака лает» утверждает, что выпол-
выполняется по крайней мере одно из вхо-
входящих в него высказываний (а мо-
может быть, и оба высказывания).
Введенные нами «операции» над
высказываниями удовлетворяют та-
Единичяый
элемент
Нулевой элемент
Рис. 100.
ким же тождествам, как и «настоя-
«настоящие» операции в структурах. Напри-
Например, оба составных высказывания
«день жаркий и день жаркий» и
«день жаркий или день жаркий» оз-
означают, что «день жаркий» (идемпо-
(идемпотентность). Коммутативность и ассо-
ассоциативность не требуют особого до-
доказательства, поскольку безразлич-
безразлично, в каком порядке мы произносим
высказывания. Следующее высказы-
высказывание: «(день жаркий и собака лает)
или (день жаркий)» означает лишь,
что «день жаркий или день жаркий»
и, кроме того, «собака лает». Дейст-
Действительно, не зависит от «собачьего
лая» лишь та часть составного выска-
высказывания, в которой утверждается,
что «день жаркий». Следовательно,
для логических связок выполняется
закон поглощения. (Нетрудно по-
понять, что выполняются оба закона
поглощения.) Таким образом, вы-
высказывания образуют относительно
введенных нами операций структуру,
причем зта структура дистрибутивна.
185

Выясним теперь, что произойдет,
если одни высказывания, входящие в
составные высказывания, «истинны»,
а другие «ложны» (то есть не истин-
истинны). Рассмотрим два утверждения
и обозначим их А ж В. Возможны
следующие случаи*
й
А и В
А или В
истинно
истинно
ложно
ложно
истинно
ложно
истинно
ложно
истинно
ложно
ложно
ложта
истинно
истинно
истинно
ложно
Если логическую связку и обозна-
обозначить П > а логическую связку или
обозначить U , то эту таблицу можно
записать в следующем виде:
истинно Л истинно=истинно
истинно П ложно=ложно
ложно Л истинно=ложно
ложно Л ложно=ложно
истинно и истинно=истинно
истинно и ложно=истинно
ложно и истинно=истинно
ложно и ложно=ложно
Такие соотношения мы получили бы
для структуры из двух элементов,
в которой «истинно» отождествлено
с единичным элементом, а «ложно»
с нулевым элементом. Иначе говоря,
логическую связку и можно рассмат-
рассматривать как пересечение, а логичес-
логическую связку или как объединение.
Истинности одних и ложности дру-
других высказываний соответствует при
этом гомоморфное отображение ис-
исходной структуры в структуру из
двух элементов. «Ложными» называ-
называются прообразы нулевого элемента
(образующие прима рный идеал), «ис-
«истинными» — прообразы единичного
элемента (образующие двойственный
примерный идеал).
Наконец, нельзя не упомянуть еще
об одном результате, относящемся
к идеалам структур. Если / — про-
произвольный идеал, аи — произволь-
произвольный элемент структуры, то обозна-
обозначим через {/, и) наименьший идеал,
содержащий элемент и и идеал /.
Нетрудно видеть, что такой идеал
всегда существует, но мы все-таки
докажем, что множество {/, и} —
идеал. (Собственно говоря, «интерес»
представляет только случай, когда
элемент и не принадлежит идеалу /,
но предположение о том, что и£/,
было бы излишним, так как в про-
процессе доказательства оно не исполь-
используется.)
Множеству {1, и) принадлежат все
элементы а идеала / в элемент м.
Следовательно, оно содержит все объеди-
объединения a[J и. Кроме того, {/, м} содержит
все элементы х, для которых существует
верхняя грань а из /, то есть элемент a £ /,
удовлетворяющий «неравенству» х <. а,
так как идеал / вместе со всяким
своим алементом содержит и все меньшие
или равные элементы. Элементы х об-
образуют идеал, поскольку, как нетрудно
проверить, все условия, входящие в опре-
определение идеала, выполнены. Прежде все-
всего в этот идеал входят все элементы идеа-
идеала /, так как соотношение а <■ а[)и вы-
выполняется при любом а £ /. Кроме того,
так как и <. а[)и, то идеалу, состоящему
иа элементов х, принадлежит и элемент
и. Вместе с любым своим элементом х
этот идеал содержит и все элементы, мень-
меньшие или равные х, поскольку, если х <:'
< a\Ju в у < х, то в силу транзитив-
транзитивности отношения у <; о. Наконец,
если для элементов а и Ь идеала / вы-
выполняются соотношения x*£a\Ju и
у < b U и, то, так как х (J у < (a (J и) U
V(b\Ju) — (а[)Ь) и (mUm) = (aUb)UM,
объединение x[jy также обладает требуе-
требуемым свойством, поскольку элемент a\J b
принадлежит идеалу /. Тем самым дока-
вано, что элементы х, удовлетворяющие
«неравенству» х <; а, где о £ /, дейст-
действительно обравуют идеал.
Для идеалов типа {/, и) в случае
дистрибутивных структур выполня-
выполняется следующее соотношение:
Поскольку элемент uuv принадлежит
каждому ив двух идеалов, стоящих в пра-
правой части равенства, то поэтому в любой
структуре идеал {/, и Л и) содержится в
идеале {/, м} Л {/, v) (в том, что в правой
части равенства всегда стоит идеал, убе-
убедиться нетрудно, но мы не будем оста-
останавливаться на доказательстве этого ут-
утверждения, поскольку оно никак не
используется в дальнейшем). Предполо-
Предположим, что структура дистрибутивна и ж —
•лемент, принадлежащий {/, м} Л {/>"}■
Это означает, что идеал / содержит такие
элементы а и Ь, для которых выпол-
выполняется, в«-первых, соотношение х <. аЦи
186

и, во-вторых, соотношение х <; Ь (J и.
Так как элемент с = a (J Ь не меньше
каждого из элементов аш Ь, to * <c (Jm
и х < с U у. Таким образом, элемент
г является нижней гранью элементов
с U u и с \) v, а следовательно, и их
пересечения, то есть х < (е (J и) Г) (c(jf)-
В силу дистрибутивности элемент, стоя-
стоящий в правой части «неравенства», можно
представить в виде с (J (« (J »), а это
означает, что элемент ж принадлежит
левой части доказываемого равенства,
так как е — элемент идеала /.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что элементы структу-
структуры, которые не больше какого-ни-
какого-нибудь элемента заданной выпуклой
подструктуры, образуют идеал.
2. Доказать, что любую выпуклую
подструктуру можно представить в
виде пересечения идеала и двойст-
двойственного идеала структуры.
3. Доказать, что идеал Р структу-
структуры является примарным идеалом в
том и только в том случае, если при
а П Ь £Р либо а £Р, либо Ь £Р.
4. Доказать, что, если для элемен-
элемента структуры существует дополне-
дополнение, то любой примарный идеал со-
содержит либо элемент, либо его допол-
дополнение.
5. Доказать, что в структуре, за-
заданной на упорядоченном множестве,
всякий идеал примарный.
6. Существуют ли другие структу-
структуры, в которых всякий идеал примар-
примарный, кроме структуры из задачи 5?
7. Найти идеалы и примарные иде-
идеалы недистрибутивных структур из
пяти элементов.
2.3. Представления структур
Самыми «конкретными» из всех
рассмотренных нами структур были
структуры, состоящие из подмно-
подмножеств различных множеств, ,с опера-
операцией объединения, совпадавшей со
взятием теоретико-множественного
объединения, и операцией пересече-
пересечения, совпадавшей со взятием теоре-
теоретико-множественного пересечения.
Казалось бы, было бы весьма полез-
полезно научиться строить представления
произвольных структур при помощи
структур подмножеств подобно тому,
как при изучении представлений
групп удобно рассматривать пред-
представления произвольных групп груп-
группами подстановок или матрицами.
Для этого было бы необходимо на-
научиться строить гомоморфизм, ото-
отображающий заданную структуру в
структуру подмножеств некоторого
множества так, что различные эле-
элементы исходной структуры перехо-
переходят в различные подмножества (ина-
(иначе говоря, подлежащий построению
гомоморфизм является мономорфиз-
мономорфизмом).
Однако от подобных надежд, сколь
бы привлекательными они ни каза-
казались, необходимо сразу же отказать-
отказаться, поскольку структура подмно-
подмножеств любого множества дистрибу-
дистрибутивна и, следовательно, может слу-
служить представлением только дистри-
дистрибутивной структуры, но^зато для дис-
дистрибутивных структур задача пост-
построения представлений при помощи
структуры подмножеств разрешима.
Любую дистрибутивную структуру
можно представить некоторой под-
подструктурой подмножеств определен-
определенным образом выбранного множества.
Точная формулировка этого утверж-
утверждения известна под названием теоре-
теоремы Стоуна.
Теорема Стоуна о представлении
структур. Для любой дистрибутив-
дистрибутивной структуры существует мономор-
мономорфизм, отображающий ее в структуру
всех подмножеств некоторого мно-
множества, причем так, что дополнение
переходит в дополнение.
Доказательство теоремы Стоуна не
столь просто, как доказательство тео-
теоремы Кзли о представлении групп
подстановками. Именно поэтому про-
проследить от пачала до конца весь ход
рассуждений мы считаем весьма по-
поучительным. Особенно длинен один
из этапов доказательства. Чтобы не
прерывать общего хода доказатель-
доказательства, мы рассмотрим его заранее,
тем более что соответствующее ут-
утверждение, известное под названием
теоремы о сепарабельности элемен-
элементов дистрибутивной структуры, пред-
187

ставляет интерес и само по себе. Оно
гласит: ,
для любых двух различных элемен-
элементов дистрибутивной структуры
всегда найдется гомоморфизм, при
котором образы этих элементов
различны,.
При доказательстве сепарабель-
сепарабельности элементов произвольной дист-
дистрибутивной структуры мы будем ис-
исходить аз следующих соображений.
Если / — идеал структуры, a D —
двойственный идеал, не имеющий с
/ общих элементов, то в структуре
существует такой Содержащий / и
не имеющий общих элементов с D
идеал В, что любой идеал, больший
J5, уже имеет с D по крайней мере
один общий элемент.
Для конечных структур это ут-
утверждение очевидно, поскольку иде-
идеал, содержащий /, можно выбрать
столь большим, чтобы он еще не пе-
пересекался, но «был на грани пересе-
пересечения» с двойственным идеалом D.
Существование такого «максималь-
«максимального» идеала в случае бесконечной
структуры заранее не очевидно, хотя
можно доказать, что предположение
о существовании максимального иде-
идеала не приводит к противоречию.
(Допуская определенную «вольность
речи», можно сказать, что идеал до-
допускает «расширение» до тех пор, по-
пока он не «соприкоснется» с двойст-
двойственным идеалом).
Если структура дистрибутивна, то В —
примарный идеал. Убедиться в этом
мы сможем, доказав, что элементы струк-
структуры, не принадлежащие В, образуют
двойственный примарный идеал. Непо-
Непосредственно ясно, что, если какой-нибудь
элемент а не принадлежит В, то и все эле-
элементы структуры, не меньшие (большие
иди равные) а, не принадлежат В.
Следовательно, необходимо лишь дока-
доказать, что, если каждый из двух элементов
не принадлежит В, то их пересечение
также не принадлежит В. Если элемен-
элементы и и v не принадлежат В, то каждый
из идеалов {В, и} и {В, и} больше В и
поэтому имеют по крайней мере по од-
одному общему элементу с D. Пусть х и у —
общие элементы идеалов {В, и} и {в, и}
и двойственного идеала D. Тогда х (\ у
также принадлежит каждому из идеа-
идеалов {В, и) и {В, и}, поскольку
188
пересечение элементов х и у
меньше любого из них. Кроме того, х Л и
принадлежит D, так как D — двойст-
двойственный идеал. Поскольку идеал В «еще»
не имеет общих элементов с D, то идеал
{В, и Л и) больше идеала В. Но
это возможно лишь в том случае, если
и П » не принадлежит В, что и требо-
требовалось доказать.
Если теперь а и Ь — два различных эле-
элемента, дистрибутивной структуры, то мож-
можно рассуждать следующим образом. «Не-
«Неравенства» а < b и Ь « а не могут вы-
выполняться одновременно. Предположим,
что не выполняется, например, соотно-
соотношение b «g: а. Это означает, что элемент b
не принадлежит идеалу (а)г (состоящему
из элементов х, которые удовлетворяют
«неравенству» х <■ а) и что идеал (а)г
не имеет общих элементов с двойст-
двойственным идеалом (b)d (состоящим из эле-
элементов у, которые удовлетворяют «нера-
«неравенству» у < Ь). Следовательно, по дока-
ванному существует примарный идеал Р,
содержащий идеал (а);, но не имеющий об-
общих элементов с двойственным идеалом
(Ь)а, в силу чего а £ Р и Ь£Р. Таким об-
образом, гомоморфизм, отображающий эле-
элементы примарного идеала Р в нулевой
элемент, а остальные элементы исходной
структуры — в единичный элемент струк-
структуры из двух элементов, переводит элемент
а в нулевой, а элемент b — в единичный
элемент структуры из двух элементов, то
есть образы элементов а и b при таком го-
гомоморфизме различны. Итак, теорема о
сепарабельности элементов дистрибутив-
дистрибутивной структуры доказана.
Построить представление, о котором
говорится в теореме Стоуна, можно сле-
следующим образом. Пусть задана система
подмножеств некоторого множества, вы-
выбранных так, что вместе с любыми двумя
подмножествами она содержит их (теоре-
тико-множественное) пересечение и объе-
объединение. Наша задача состоит в том, чтобы
по заданным подмножествам определить
«точки» всего множества. (Действительно,
представление можно рассматривать как
ситуацию, в которой «подмножества» уже
заданы, а точки множества еще не извест-
известны»). Что можно утверждать о Подмно-
Подмножествах, содержащих некоторую точку
множества? Во-первых, теоретико-множе-
теоретико-множественное пересечение двух таких под-
подмножеств содержит выбранную точку.
Кроме того, любое подмножество, которое
больше подмножества, содержащего вы-
выбранную точку, обладает тем же свойством.
Это означает, что подмножества, которым
принадлежит выбранная точка, образуют
двойственный идеал. Во-вторых, если
два подмножества не содержат выбран-
выбранную точку, то она не может принадлежать
пересечению этих подмножеств. Кроме
того, если выбранная точка не принад-
принадлежит какому-нибудь подмножеству, то

я все меньшие подмножества также не
«одержат ее. Это означает, что подмно-
подмножества, не содержащие выбранную точку,
образуют идеал. Поскольку любое
подмножество либо содержит, либо не со-
содержит выбранную точку (и точка пе
может одновременно принадлежать и не
принадлежать одному и тому же под-
подмножеству), то идеал и двойственный иде-
идеал нашей структуры подмножеств будут
не чем иным, как нижним и верхним сег-
сегментами, порожденными сечением мно-
множества, то есть примарным идеалом и
двойственным примарным идеалом. Если
подмножествам, содержащим «приглянув-
«приглянувшуюся» нам точку поставить в соответ-
соответствие эту точку, а подмножествам, не со-
содержащим ее, — пустое множество, то
структура подмножеств окажется гомо-
гомоморфно отображенной в структуру из
двух элементов, нулевым элементом ко-
которой служит пустое множество, а еди-
единичным элементом — выбранная точка.
Приведенные выше рассуждения относятся
к каждой точке множества, поэтому гомо-
гомоморфизмы описанного выше типа позво-
позволяют определить все точки множества.
(Структура подмножеств иногда допуска-
допускает несколько гомоморфизмов такого типа.
«Обилие» гомоморфизмов не создает .осо-
.особых затруднений, поскольку определяе-
определяемую подмножествами точку множества
можно считать не простой, а «кратной».)
Обратим приведенные выше рассуж-
рассуждения. Пусть задана некоторая структура.
Рассмотрим «все» гомоморфизмы, ото-
отображающие ее в «структуры из двух эле-
элементов». Это утверждение нуждается в
уточнении, потому что, во-первых, если
имеется один такой гомоморфизм, то за-
задать любой другой гомоморфизм не пред-
представляет труда, так как все структуры
лз двух элементов изоморфны, во-вторых,
не все из этих гомоморфизмов «сущест-
«существенно» различны, поскольку, если два
гомоморфизма отображают в нулевой
элемент одни и те же элементы
исходной структуры, то различие в точ-
точках, служащих единичными элементами,
«почти никак» не сказывается на гомо-
гомоморфизмах. Учитывая это, мы будем стро-
строить для любого примерного идеала лишь
один гомоморфизм, отображающий все
его элементы в пустое множество, а ос-
остальные элементы исходной структуры —
в «точку»,то есть нулевым элементом струк-
структуры из двух элементов условимся раз
и навсегда считать пустое множество, а
единичный элемент называть точкой.
Гомоморфизм рассматриваемого типа
обозначим через ф, а единичный эле-
элемент структуры из двух элементов —
через Рц, (таким образом, Р<$ — точка,
соответствующая гомоморфизму <f).
Итак, элементами рассматриваемого мно-
множества служат определенные выше точки,
а элементам структуры соответствуют под-
Пустов множество
Отображаемая атруитура
из четырех элементов
Рис. 101.
множества, состоящие из точек множест-
множества. Соответствие устанавливается следую-
следующим образом: г
если а — произвольный элемент струк-
структуры, то ему соответствует подмножество
Н(а), содержащее такие точки Pv, для
которых (р(а) =•/><(. (следовательно, если
гомоморфизм ф отображает элемент а в
пустое множество, то Рф не принадлежит
подмножеству Н(а) (рис. 101).
Остается лишь доказать, что мы действи-
действительно получили представление исходной
структуры. Как показано выше, соответ-
соответствие а -*■ Н(а) является отображением,
поскольку элемент а позволяет однозначно
определить точки подмножества Н[а).
Покажем, что при отображении а -*■
-*■ Н{а) образы различных элементов разг
личны. Это утверждение следует из се-
сепарабельности элементов исходной струк-
структуры (именно здесь используется дистри-
дистрибутивность структуры). Действительно,
если а и Ъ — два элемента структуры, то
сепарабельность означает, что существует
гомоморфизм ф, отображающий, например,
элемент а в нулевой элемент, а элемент
Ъ — в единичный элемент, то есть
Ц>(а)ф Ру и ф(Ь) = Р9. Но тогда
i*9 не принадлежит подмножеству Н(а),
но является элементом подмножества Н(Ъ).
Следовательно, подмножества Н(а) и ы{Ь)
различны.
Проверим, сохраняются ли операции.
1. Включение P<j> (^Н(а(\Ь) означает,
что ф(аП Ъ) = ф(о)Пф(Ь) совпадает с
единичным элементом. Так может быть
лишь в том случае, если каждый из эле-
189

ментов ф(а) и <р(&) совпадает с единичным
элементом. Это овначает, что Р9 — эле-
элемент каждого ив подмножеств Н(а) и Н{Ь),
то есть Н(аПЬ) = Н(а)ПН(Ь).
2. Включение Pip £H(a\j b) означает, что
<f(a\Jb) = ф(а) U Ф(Ь) — единичный эле-
элемент. Так может быть в том и только в том
случае, если вв крайней мере один ив эле-
элементов <р(а) и ф(Ь) совпадает о единичным
элементом, то есть если Pip — элемент
по крайней мере одного ив подмножеств
Ща) и ЯF).
Итак, теорема Стоуна о представлении
двстрибутввных структур полностью до-
доказана.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что в представлении
структуры нулевому элементу (если
таковой существует в исходной струк-
структуре) соответствует пустое мно-
множество.
2. Доказать, что в представлении
структуры единичному элементу (ес-
(если таковой существует в исходной
структуре) соответствует множество,
состоящее из всех точек (то есть все
множество.)
3. Доказать, что, если один из
двух элементов исходной структуры
является дополнением другого, то и
соответствующие им подмножества
в представлении исходной структуры
также являются дополнениями одно-
одного для другого.

Глава четвертая
Основные
направления
развития
современной
алгебры
1.
Общая алгебра,
алгебраические структуры
От рассмотрения конкретно задан-
заданных групп мы перешли к изучению
абстрактных групп, перестав счи-
считать различными изоморфные груп-
группы. Аналогичным образом от рас-
рассмотрения конкретных колец и струк-
структур было естественно перейти к по-
построению общей теории колец и
структур. То же самое относится и
ко всем другим алгебраическим струк-
структурам.
Группы, кольца, тела — все зто
конкретные алгебраические струк-
структуры, или, точнее, типы алгебраичес-
алгебраических структур. В развитии алгебры
углубленное изучение отдельных
типов алгебраических структур про-
происходило параллельно с выяснением
их общих свойств. Рассмотренные
нами алгебраические структуры поз-
позволяют сразу указать то общее, что
их объединяет: все они представляют
собой определенную «систему», сос-
состоящую из некоторого множества и
заданных на нем операций.
Алгебраической структурой назы-
называется система
Ш={А\ ft, /*,...,/„.-...>,
первый элемент которой представля-
представляет собой множество, а остальные эле-
элементы— заданные на этом множест-
множестве операции (то есть функции конеч-
конечного числа переменных со значения-
значениями в том же множестве).
Раздел алгебры, занимающийся
изучением общих свойств алгебраи-
алгебраических структур, называется общей
алгеброй. К «компетенции» общей
алгебры относятся и обобщения по-
понятий, уже известных на примере
отдельных конкретных структур, и
рассмотрение различных структур с
«общих позиций». На многие вопро-
вопросы, в том числе и на те, которые были
затронуты выше, нам придется огра-
ограничиться лишь беглыми ответами.
В круг вопросов, относящихся к
общей алгебре, входят, например,
понятия подструктуры, гомомор-
гомоморфизма и прямого произведения. По
существу их можно определить так
же, как мы делали это до сих пор.
Подструктурой называется часть
структуры, замкнутая относительно
заданных на ней операций, гомомор-
гомоморфизмом — однозначно определенное
отображение, сохраняющее опера-
191

ции, а прямым произведением — та-
такой «набор элементов», компонента-
компонентами которого являются соответствую-
соответствующие алгебраические структуры, а
операции выполняются покомпонент-
покомпонентно. В этой связи возникает вопрос:
можно ли операции, производимые в
одной из структур, выполнять над
элементами другой структуры? При
ответе на этот вопрос можно исходить
из того, что о гомоморфизме или пря-
прямом произведении имеет смысл гово-
говорить лишь в том случае, если алгеб-
алгебраические структуры принадлежат к
одному и тому же типу. В свою оче-
очередь «однотипность» можно пони-
понимать как «выполнение одних и тех же
операций над всеми переменными».
Например, с этой точки зрения коль-
кольцо и структуру допустимо считать
однотипными алгебраическими струк-
структурами, если в кольце рассматривать
сложение и умножение, а в структу-
структуре—объединение и пересечение, по-
поскольку и в том и в другом случае
операции двухместны, или бинарны.
(Разумеется, прямое произведение
таких однотипных алгебраических
структур — «новообразование» до-
довольно причудливое и не является ни
кольцом, ни структурой.) Но если в
кольце относительно заданных в нем
операций существуют нулевой и еди-
единичный элементы, а для каждого
элемента — противоположный (об-
(обратный относительно операции сло-
сложения) ему элемент, то прямое про-
произведение кольца и структуры ока-
оказывается таким же, как булева ал-
алгебра, так как представляет собой
мно.жество, на элементах которого
заданы две нульместные, одна одно-
одноместная и две двухместные опера-
операции.
Если же мы все же захотим провес-
провести различие между прямыми однотип-
однотипными алгебраическими структурами,
то необходимы более тонкие сообра-
соображения. Например, кольца отличают-
отличаются от структур (или кольца с едини-
единицей — от булевых алгебр) тем, что
заданные на них операции удовлетво-
удовлетворяют различным условиям. В общем
случае эти условия заданы в виде тож-
тождеств или равенств (выражающих
коммутативность, ассоциативность
или законы поглощения), но встреча-
встречаются и такие условия, которые не-
невозможно записать в виде равенств
(например, в теории тел — существо- .
вание обратного элемента для всех
элементов, отличных от нуля; в тео-
теории структур — модулярность, за-
задаваемая при помощи частичного1
упорядочения). Ясно, что возмож-
возможность записать все условия в виде
равенств мы оцениваем как благопри-
благоприятную. В этих случаях говорят об
алгебраической структуре, заданной
равенствами. Можно доказать, что,
если в некоторой структуре опреде-
определенное равенство выполняется при
любом выборе элементов (то есть тож-
тождественно), то оно выполняется и во
всех подструктурах, гомоморфных
образах структуры (множества обра-
образов всех элементов структуры при
гомоморфизме) и прямых произведе-
произведениях нескольких «экземпляров»
структуры.
Отсюда следует, что тела невоз-
невозможно задать равенствами, так как
прямое произведение двух тел не яв-
является телом.
Более важная проблема состоит в
выяснении того, когда тот или иной
тип алгебраической структуры можно
задать равенствами. В этом направ-
направлении получен весьма серьезный ре-
результат. Оказывается, сформулиро-
сформулированное выше условие не только необ-
необходимо, но и достаточно для того,
чтобы алгебраическую структуру
можно было бы задать равенствами.
Речь идет о следующем. Если струк-
структура А задана каким-то образом и
доказано, что ее подструктуры, об-
образ при гомоморфизме и прямое про-
произведение А X А принадлежат к
тому же типу, что и Л, то существу-
существуют уравнения, определяющие алгеб-
алгебраическую структуру А.
От алгебраических структур, опре-
определяемых равенствами (и имеющих
достаточно важное значение), перей-
перейдем к более широкому, но1 все еще
четко ограниченному кругу.других
алгебраических структур. Прежде
192

всего нам бы хотелось упомянуть о
структурах, в которых от операций
требуется, чтобы 6 ни были не опера-
операциями, а лишь «частичными опера-
операциями», то есть были заданы не на
всех элементах. В том, что такие «па-
«патологические» структуры необходи-
необходимы, нас убеждает их распространен-
распространенность. Действительно, с «частичной
операцией» нам уже приходилось
сталкиваться при рассмотрении тел,
а именно с «операцией», порождаю-
порождающей обратные элементы, поскольку
они существуют только для элемен-
элементов, отличных от нуля. В подобных
случаях принято говорить о частич-
частичной алгебраической структуре. Та-
Таким образом, тело остается алгебраи-
алгебраической структурой, хотя ее и невоз-
невозможно задать равенствами. По су-
существу это означает, что алгебраи-
алгебраические методы не позволяют отличить
тела от «всех прочих» колец.
Перелистав книгу, нетрудно обна-
обнаружить и такие алгебраические
структуры, на которых заданы «не
операции» или по крайней мере «не
только операции». Мы имеем в виду
структуры, на которых наряду с
операциями заданы отношения. Что
же касается отношения, то они име-
имеют мало общего с операциями. Рас-
Рассмотрим, например, частичное упо-
упорядочение. Если множество частично
упорядочено, то для любых двух
элементов а и Ъ «неравенство» а <^ Ь
либо выполняется, либо не выполня-
выполняется, что позволяет определить отно-
отношение <: следующим образом.
Рассмотрим все возможные пары
элементов. Для каждой пары эле-
элементов а н Ь выясним, удовлетворя-
удовлетворяют ли они «неравенству» или оно не
выполняется. Если на этот вопрос
всегда можно ответить, то тем самым
«действие» отношения на элементах
множества полностью описано. Сле-
Следовательно, отношение можно рас-
рассматривать как некоторую функцию
двух переменных, принимающую'зна-
принимающую'значения не из области определения, а
из множества слов «истинно» и «лож-
«ложно» («да» и «нет»). Такие функции
называются логическими.
Если на алгебраических
структурах помимо операций опре-
определены еще и алгебраические функ-
функции, то такие алгебраические струк-
структуры называются алгебрами отноше-
отношений. Изучением алгебр отношений и
других абстрактных алгебраических
структур занимаются большие раз-
разделы современной алгебры. Многие
из них граничат с теорией множеств,
теорией моделей и математической-
логикой.
2.
Категории,
гомологическая алгебра
Значительная часть современных
работ по алгебре посвящена изуче-
изучению «внутреннего устройства» алгеб-
алгебраических структур, но появились
работы и другого направления, кото-
которое можно было бы охарактеризовать
как «внешнее». Внимание их авторов
сосредоточено в основном на таких
взаимосвязях между отдельными ти-
типами алгебраических структур, ко-
которые можно установить, не опреде-1
ляя операции или элементы структур.
В качестве простейшего примера
рассмотрим векторное пространство,
например конечномерное векторное
пространство над телом веществен-
вещественных чисел. Если мы хотим рассмот-
рассмотреть сразу все возможные векторные
пространства (во взаимосвязях, су-
существующих между ними), то, оче-
очевидно, нецелесообразно рассматри-
рассматривать элементы каждого векторного
пространства. Гораздо удобнее изу-
изучать интересующие пас векторные
пространства как «единые и недели-
неделимые» объекты. Но для однородных
линейных отображений векторные
пространства не представляют еди-
единого целого, так как каждое вектор-
векторное пространство (как объект) по-
разному связано с другими вектор-
векторными пространствами. Именно по-
поэтому при совместном рассмотрении
объектов и отображений последним
отводится особая роль.
193

Рис. 102.
Обычно принято говорить о сово-
совокупности объектов и отображений.
Объекты изображают в виде точек,
а отображения — в виде стрелок,
направленных от одной точки к дру-
другой. «Умножать» одно отображение
на другое можно не всегда, а лишь в
том случае, если первый сомножи-
сомножитель выходит из той точки, в которую
входит второй сомножитель (рис. 102).
Если существуют (в том или
ином смысле) произведения трех со-
сомножителей, то умножение отобра-
отображений ассоциативно. Кроме того,
предполагается, что для всякого объ-
объекта существует тождественное ото-
отображение, оставляющее его без из-
изменений. Если все эти условия вы-
выполнены, то совокупность объектов н
отображений называется кагйегори-
ей. Категории приобретают все бо-
более важное значение не только в ал-
алгебре, но и в других областях мате-
математики. Особенно тесно-теория кате-
категорий связана с топологией —одним
из разделов современной математики,
истоки которого восходят к геомет-
геометрии. В ней особо заметную роль иг-
играют категории, элементами кото-
которых являются модули над кольцами.
На стыке алгебры н топологии
зародилась новая математическая
дисциплина — гомологическая ал-
алгебра, уже снискавшая себе извест-
известность мощными методами и глубоки-
глубокими результатами. Она широко ис-
использует аппарат топологии и теории
модулей. Бегло перечисленные нами
разделы современной алгебры пред-
представляют собой «полигон», весьма
пригодный для испытания и провер-
проверки результатов новых теорий.

РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ

К главе первой
l.i
1. Если на месте каждого элемента
конечного множества оказывается ка-
какой-то другой элемент того же мно-
множества, причем различные элемен-
элементы переходят в различные, то и пос-
после выполнения подстановки мы будем
располагать всеми элементами ис-
исходного множества. Действительно,
число элементов, подвергшихся под-
подстановке, совпадает с числом перво-
первоначально заданных элементов, по-
поскольку ни один элемент не был за-
замещен двумя другими элементами и,
кроме того, каждый из замещающих
элементов заимствован из исходного
множества. Следовательно, и по за-
завершении подстановки мы получим
каждый из первоначально заданных
элементов.
2. Чтобы доказать утверждение
задачи, необходимд найти подстанов-
подстановку, перемещающую каждый из пер-
первоначально заданных элементов на
какое-то место, но отводящую неко-
некоторым (в частности, одному) элемен-
элементам несколько мест. (Иначе говоря,
нижняя строка подстановки должна
содержать все элементы верхней стро-
строки, но некоторые элементы должны
встречаться несколько раз.) Этому
требованию отвечает, например, под-
подстановка (|ff j|;;;).
3. Если все элементы исходного
множества «расписаны по местам»,
то ни один элемент не встречается
дважды, поскольку мест имеется
ровно столько, сколько элементов.
1.2
2. Если Q — подстановка, обрат-
обратная тождественной подстановке /»
то QI = I. Но так как QI = I, то
подстановкой, обратной тождествен-
тождественной подстановке /, может быть толь-
только сама /. Обратная подстановка
существует для любой подстановки,
следовательно, она существует и для
/ и, как мы только что убедились,
совпадает с самой тождественной под-
подстановкой /.
3. Пусть Q = Р'1 — подстанов-
подстановка, обратная подстановке Р, a Q'1 —
подстановка, обратная подстановке
Q. Так как PQ = /, а такому соот-
соотношению при заданной подстановке
Q может удовлетворять только под-
подстановка, обратная подстановке Q,
то Q'1 = Р. Следовательно, под-
подстановка, обратная обратной под-
подстановке, совпадает с исходной
(«прямой») подстановкой.
4. Рассмотрим произведение под-
подстановок PQ. Известно, что подста-
подстановка, обратная подстановке PQ,
существует. Достаточно найти под-
подстановку R, удовлетворяющую соот-
соотношению R(PQ) = I: только она и
может быть подстановкой, обратной
подстановке PQ. Докажем, что R =
= Q~XP~X. Вычислим для этого про-
произведение R(PQ):
= Q-4Q =
Итак, мы видим, что подстановка,
обратная произведению подстановок,
совпадает с произведением обратных
подстановок. Особое внимание сле-
следует обратить на то, что порядок об-
обратных сомножителей «обратен» по-
порядку «прямых» сомножителей в ис-
исходном произведении подстановок и
изменить его в общем случае невоз-
196

можно, поскольку умножение под-
подстановок не коммутативно. Но умно-
умножение степеней Рп и Pk коммутатив-
коммутативно, поэтому и сомножители в произ-
произведении подстановок, обратных сте-
степеням, можно переставлять, то есть
(pnpkyi = (рпуцрку! Используя
это свойство степеней, можно пока-
показать, что (Р11)-1 = (Р'1)".
1.3
1. Степени цикла Р = @12345)
равны: Р2 =@24)A35), Р3 =@3)х
ХA4)B5), Р* = @42)A53) и Ръ =
== @54321). Из них лишь Ръ состоит
из одного цикла.
2. На первом месте в циклической
подстановке может стоять любой
из элементов. Следовательно, если
ее степень допускает разложение в
произведение нескольких циклов, то
эти циклы должны иметь одинаковую
длину и быть независимыми. Как
показывает предыдущая задача, так
происходит лишь в том случае, если
общий делитель показателя степени
и длины исходного цикла отличны от
единицы. Нетрудно понять, что все
подстановки, допускающие разло-
разложение в произведение независимых
циклов одинаковой длины, действи-
действительно являются степенями цикли-
циклических подстановок. Одну из таких
подстановок (поскольку их сущест-
существует несколько. можно получить,
расположив по порядку сначала пер-
первые элементы циклов, затем вторые
элементы и т. д.
3. Чтобы найти произведение под-
подстановок, проще всего разложить
оба сомножителя в произведение
транспозиций: @1234) =@1)ГО2) @3) X
Х@4), @567) = @5)@6)@7), откуда
@1234)@567) = @1)@2)@3)@4) @5) X
Х@6)@7) =@1234567)
В общем случае при умножении
двух циклов, имеющих ровно один
общий элемент, мы получим цикл,
представимый в следующем виде:
на первом месте стоит общий элемент,
затем идут по порядку элементы пер-
первого сомножителя и в заключение —
элементы второго сомножителя. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо и
относительно произведения несколь-
нескольких сомножителей.
4. Решение задачи целесообразно
начать с подстановки Р, не разложи-
разложимой в произведение циклов. Пусть
* = (!"!!:::)•гдеа' *.«.*■«-
различные элементы (ни один из ко-
которых не встречается в нижней стро-
строке вторично). Обратная подстановка
имеет вид Р-1= ^J^|—V Требуется.
q 1234 ""
"")@1234)
х
найти подстановку
ЛИ234..Л
х\а Ь cd e...y
Подвергая исходные элементы а,
Ь, с, d, e подстановкам
abcde...
/abcde... N
\01234..J'
@ 1 2 3 4) и
01234
01234../
abcde ... ,
получаем
а
b
с
d
е
0
i
2
3
4
1
l
3
4
0
Ъ
e
d
е
а
Если взять исходный элемент и,
отличный от элементов а, Ь, с, d, e,
то под действием подстановки Р'1
он перейдет в какой-то элемент v,
отличный от 0, 1, 2, 3 и 4. Следова-
Следовательно, подстановка Р'1 переводит
и в v, циклическая подстановка
@1234) отображает v в v, а подстанов-
подстановка Р «возвращает» v на исходное место,
переводя его снова в и. Следова-
Следовательно, произведение подстановок
(abcde..Л /Л/|ОО/ч /01234...\
\01234...) @1234) \аЬЫе„.) оставля-
оставляет все элементы, отличные от пяти пе-
перечисленных выше элементов, на ме-
месте, то есть совпадает с циклом
{abcde). В доказательстве нигде не бы-
была использована длина заданного ци-
цикла. Это позволяет утверждать, что,
если С — цикл длины к, а Р — про-
произвольная подстановка, то Р~гСР —
цикл длины к.
Утверждение задачи допускает
обобщение. Если подстановка Q раз-
разлагается в произведение независи-
197

мых циклов А, В и С, то можно пока-
показать, что Р'ЫР, Р'1 ВР и Р~гСР —
независимые циклы, произведение
которых равно Р~Ч)Р. Следователь-
Следовательно, подстановки Q и P~XQP всегда
допускают однотипные разложения в
произведения независимых циклов.
2.1
Задачи этого раздела просты, и
решение их вряд ли вызовет какие-
нибудь затруднения у читателей.
Поэтому мы считаем возможным не
приводить подробное решение для
каждой задачи, а ограничиться лишь
ответами, чтобы каждый мог прове-
проверить, не допустил ли он ошибку в
своих рассуждениях. Поскольку
множество элементов, над которыми
производятся операции, по многим
причинам может быть «не группой»,
мы укажем в каждом примере, обла-
обладает ли соответствующее множество
чисел тем или иным групповым свой-
свойством или не обладает. Все ответы
сведены в таблицу. Ассоциативность
особо не отмечалась, поскольку во
всех примерах заданные операции
ассоциативны. Сокращенные обозна-
обозначения, стоящие в первой строке,
«расшифровываются» следующим об-
образом: С —сложение (чисел), ЕС —
существует единичный элемент отно-
относительно операции сложения, ОС —
существует обратный элемент относи-
относительно операции сложения, У —ум-
—умножение (чисел), ЕУ — существует
единичный элемент относительно ум-
умножения, ОУ — существует обрат-
обратный элемент относительно умноже-
умножения. В каждой следующей строке
приведен набор чисел (нулей и еди-
единиц), соответствующий примеру, но-
номер которого указан слева. Единица
означает утвердительный, а нуль —
отрицательный ответ на вопрос о
том, обладает ли то или иное
множество чисел соответствующим
свойством. Буквы С и У в конце каж-
каждой строки показывают, относительно
какой операции — сложения или
умножения — образуют группу чис-
числа, рассматриваемые в примере.
С ЕС ОС У ЕУ ОУ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
i
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
с
У
У
с
У
У
У
У
G
с
У
2.2
1. Доказательство проводится
так же, как и в случае векторов на
плоскости, поскольку, если два век-
вектора направлены в одну и ту же сто-
сторону, то и их сумма направлена в
ту же сторону.
2. Доказательство утверждения за-
задачи аналогично предыдущему.
3. Сдвиги на плоскости представ-
представляют собой движения, обладающие
тем отличительным свойством, что
они любой отрезок переводят в рав-
равный и параллельный отрезок. По-
Поскольку (I) произведение двух дви-
движений, обладающих этим свойством,
также наделено им, (II) движение,
обратное сдвигу, также обладает от-
отличительным свойством сдвигов, и
тождественное преобразование при-
принадлежит к числу движений, обла-
обладающих этим свойством, (III1 произ-
произведение любых трех движений ассо-
ассоциативно, то сдвиги на плоскости
действительно образуют группу.
4. Доказать, что повороты на плос-
плоскости вокруг заданной точки обра-
образуют группу, можно так же, как было
доказано утверждение предыдущей
задачи. Действительно, воспользу-
воспользуемся тем, что повороты представляют
собой движения на плоскости, обла-
обладающие тем отличительным свойст-
198

вом, что расстояние любой точки
плоскости от центра (точки, вокруг
которой производятся повороты) при
повороте остается неизменным.
5. Доказать, что движения на плос-
плоскости, переводящие заданный равно-
равносторонний треугольник (квадрат) в
себя, образуют группу, можно ана-
аналогично тому, как были доказаны ут-
утверждения предыдущих задач.
6. Доказать, что движения в про-
пространстве образуют Группу, можно
аналогично тому, как было доказано
групповое свойство движений на плос-
плоскости. Единственное отличие состо-
состоит в том, что на этот раз движения
могут «выводить из плоскости».
7. Доказательство того, что преоб-
преобразования подобия на плоскости об-
образуют группу, проводится так же,
как доказательство группового свой-
свойства сдвигов на плоскости. Трудность
возникает лишь в связи с тем, каким
образом можно дать более точную
геометрическую «характеристику»
преобразований подобия. Как пока-
показывают несложные геометрические
соображения, преобразования подо-
подобия отличаются тем, что переводят
любой треугольник в подобный тре-
треугольник.
8. Эта задача является частным
случаем задачи 6, так же как задача
5— частным случаем примера 2. По-
Поэтому доказать, что движения в про-
пространстве, переводящие заданный тет-
тетраэдр в себя, образуют группу, мож-
можно аналогично тому, как были дока-
доказаны групповые свойства множеств
в решениях предыдущих задач.
9. Пусть / —функция, удовлетво-
удовлетворяющая условиям задачи (одной бук-
буквой мы будем обозначать функции в
тех случаях, когда выписывание в
явном виде аргумента излишне), а
/(а) — значение, принимаемое функ-
функцией / в точке а (а — число, заклю-
заключенное между 0 и 1). Функции, кото-
которые нас интересуют, обладают сле-
следующими свойствами!
1) /@) = 0 и /A) = 1;
2) если 0 «: а <; р < 1, то 0 <з
3) если 0 <^ {3 <; 1, то существует
такое число а, что 0 < а < 1 и ^ =
- /(а).
Дав точное определение функций,
удовлетворяющих условиям задачи,
рассмотрим заданную на них опера-
операцию. Пусть / и g — функции, обла-
обладающие свойствами A)—C), я fog—
их «произведение», то есть функция,
которая получается при подстанов-
подстановке функции g в функцию /. Функцию
fog можно определить следующим
образом: в любой точке а «произведе-
«произведение» fog принимает значение fog(a) =
= /(#(<*)) (пока мы не задумы-
задумываемся над тем, определено ли выра-
выражение, стоящее в правой части этого
равенства).
Прежде всего покажем, что fog—
функция допустимого типа. Так как
при 0 ^ а ^ 1 значение g(a) удов-
удовлетворяет неравенствам 0 ^ g(a) ^
<^ 1, то значение f(g(a)) определено и
также заключено между нулем и
единицей. Следовательно, fog —
функция, заданная на отрезке 0 <з
<: а < 1.
Проверим, обладает ли /о g свой-
свойствами A)—C).
1. Пользуясь определением функ-
функции / og, получаем: fog@) = f(g(O)) =
=/@) =0 и fog(l) =/(*(!)) =
= /A) =1. Следовательно, / о g об-
обладает свойством A).
2. Пусть 0 <: а< {3 <з 1. Так как
функция g обладает свойством B),
то 0< g(a)< g(§) < 1. Поскольку
значения g(a) и g($) функции g
удовлетворяют тем же неравенствам,
что и числа а и {3, а функция / обла-
обладает свойством B), то 0 <з f(g(a)) <
</(|Г@Ж->1- Следовательно, / Og об-
обладает свойством B).
3. Предположим теперь, что 0<!
<: у <. 1. Так как функция / обла-
обладает свойством C), то существует
число р, удовлетворяющее неравен-
неравенствам 0 <; {3 «з 1 и такое, что у =
= /(р). Но функция g также обладает
свойством C), поэтому существует
число а, удовлетворяющее неравен-
неравенствам 0 « а <з 1 и такое, что р =
= g(a). Таким образом, у = /(р) =
= f(g(a)). Следовательно, fog обла-
обладает свойством C).
199

Итак, мы доказали, что операция
подстановки не выводит из множест-
множества допустимых функций. Остается
еще показать, что функции, обладаю-
обладающие свойствами A)—C), образуют
группу относительно операции под-
подстановки. Воспользуемся тем, что
две функции называются равными,
если они всюду принимают равные
значения. (Особого внимания в опре-
определении равных функций заслужива-
заслуживает слово «всюду». В данном случае
оно означает «на отрезке от нуля до
единицы». Действительно, все ос-
остальные значения независимой пере-
переменной мы не принимаем во внимание,
поскольку неизвестно, как ведут се-
себя допустимые функции вне отрезка
[О, 1]. Продолжив двумя различными
способами одну и ту же допустимую
функцию вне отрезка [0, 1], мы полу-
получим две различные функции на всей
числовой прямой. Тем не менее, с на-
нашей точки зрения, эти функции раз-
различными не будут, так как во всех
точках отрезка [0, 1] они принимают
равные значения. Поэтому приведен-
приведенное выше определение равных функ-
функций необходимо понимать с оговор-
оговоркой: «всюду», то есть при любых а
из области определения. О значени-
значениях, принимаемых функциями вне
области определения — интервала
[О, 1], нам ничего не известно, и мы
о них говорить не будем.)
I. Для доказательства ассоциатив-
ассоциативности подстановки рассмотрим три
функции: /, g и fe. Если они обладают
свойствами A)—C), то при любом а
(разумеется, удовлетворяющем не-
неравенствам 0 «: а «: 1) значение р =
= h(a) заключено между нулем и
единицей, то есть 0 •< р «: 1. То же
самое можно сказать и о значении
Y = g(P), удовлетворяющем неравен-
неравенствам 0 < ? <: 1, откуда в свою оче-
очередь следует, что б = /(?) удовлетво-
удовлетворяет неравенствам 0 <: б <: 1. Итак,
с одной стороны, мы получаем цепоч-
ну равенств
(/О g)h(a)=fog(h (a)) = fog (p) =
а с другой стороны, — соотношения
fo(goh){a)=f{g о Л(а))
=/(?) = 8-
Тем самым ассоциативность подста-
подстановки доказана.
II. Нетрудно видеть, что единич-
единичным элементом служит функция,
«тождественно равная независимой
переменной ж», то есть такая функ-
функция е, для которой при любом а вы-
выполняется соотношение е(а) == а. Ра-
Разумеется, прежде всего необходимо
доказать, что функция е обладает
всеми свойствами единичного элемен-
элемента группы. Но в этом можно убедить-
убедиться прямой проверкой. Действитель-
Действительно, если 0< а <: 1 и р = /(а), то
при 0 <: 0 <: 1 получаем
Следовательно,
f = eof = foe.
III. Наконец, определим функцию,
обратную заданной функции /. Для
этого рассмотрим функцию g, кото-
которая определена следующим образом:
если р =f(a), то g(P) = а. Прежде
всего необходимо убедиться в том,
что g —действительно функция до-
допустимого типа. Если функция /
обладает свойством C), то g(p) су-
существует при всех 0 <. р <: 1. Не-
Необходимо еще проверить, что число
g( p) однозначно определено. Но если
число у отлично от а, то по свойству
B) значение /(у) отлично от /(а) =
= р. Следовательно, функция / при-
принимает значение § лишь в одной точ-
точке. Выясним теперь, обладает ли
функция g всеми тремя свойствами
допустимых функций.
1) Так как /@) = 0 и /A) = 1, то
g{Q) =0и g(i) =1.
2) Пусть 0<а<Ср<1 и, кроме
того, а =/(у) и р =/(б). (По свой-
свойству C) такие f и б существуют и оба
принадлежат отрезку [0, П.) Если
1 = б, то а = f(y) = /(8) = р, а при
6<Y получаем из свойства B) функ-
200

ции /, что р =/F)</(Y) =a. И
равенство а = р, и неравенство $<;
< а противоречат условию а< р.
Следовательно, возможен лишь слу-
случай, когда ?<Ф. Так как у = g(a) и
б = g($), то это означает, что
О < g(a)< g(p) < 1.
3) Наконец, пусть 0< р <: 1. Тог-
Тогда для числа а = /(Р), с одной сторо-
стороны, выполняются неравенства 0 <^
<1а^1, а с другой стороны, по
определению функции g — соотноше-
соотношение р = g(a).
Осталось лишь доказать, что вве-
введенная нами функция g обратна
функции /. Пусть 0 «: а <: 1. Тогда
gof(a) = g(J(a)) = а, то есть gof =
= е. С другой стороны, по свойству
C) допустимых функций существует
такое р из отрезка [0, 1], что а =
= /(Р). Но тогда из определения
функции g следует, что а = g(p),
откуда /о g(a) = f(g(a)) =/(P) = а,
то есть / о g = e,
2.3
1. Нет, {Е; h) не группа (поэтому
сама форма записи {Е; h) «не закон-
законна»), так как множество Е не замкну-
замкнуто относительно операции возведения
в степень h. Действительно, возводя
целое число в степень с целым пока-
показателем, мы не всегда получаем целое
число (например, 2 = 1/2).
2. Нет, (Р; h) не группа. Хотя
множество Р и замкнуто относитель-
относительно операции возведения в степень h,
поскольку положительное число, воз-
возведенное в степень с положительным
(как, впрочем, и любым) показателем,
положительно, но операция h не ас-
ассоциативна. Чтобы убедиться в этом,
достаточно привести хотя бы один,
пример, когда ассоциативность на-
нарушается. Так, fe(feB,2),3) = feB2,3)=
= feD,3) = 4* = 64, a feB,feB,3)) =
= feB,23) = feB,8) = 28 = 256.
3.1
1. Приводимое ниже доказательст-
доказательство целиком переносится на тот слу-
случай, когда в полугруппе имеется
8—35
левый единичный элемент, а для каж-
каждого элемента существует левый об-
обратный (достаточно сослаться на
«симметрию правого и левого»).
Если е — правый единичный эле-
элемент и элемент Ъ — правый обратный
для элемента а, а элемент с — пра-
правый обратный для элемента Ь, то
Ъа = фа) е = (Ьа) фс) = b (ab) с =
= (be) с = bc = e.
Следовательно, элемент b — левый
обратный для элемента а. Кроме того,
еа = (ab) а = а (Ьа) = ае = а,
то есть е — левый единичный эле-
элемент.
2. а) Ясно, что относительно опе-
операции умножения, заданной так, что
произведение всегда совпадает со
вторым сомножителем, любое мно-
множество замкнуто. Следовательно, не-
необходимо проверить лишь, ассоциа-
ассоциативно ли такое необычное умножение.
Нетрудно видеть, что оно действи-
действительно ассоциативно*
(ab) с = be = с и a (be) = ac= с.
б) В этой полугруппе левый единич-
единичный элемент не только существует,
но и более того любой элемент являет-
является левым единичным элементом. Дей-
Действительно, поскольку умножение
определено так, что ab ==■ Ь для любо-
любого элемента Ь, то а — левый единич-
единичный элемент. А так как соотношение
ab = b выполняется при любом а,
то каждый элемент полугруппы явля-
является левым единичным элементом.
в) Рассмотрим элемент е полугруп-
полугруппы, который по доказанному явля-
является левым единичным элементом.
Соотношение ае = е выполняется
для произвольного элемента а полу-
полугруппы, а это означает, что элемент
е — правый обратный для элемента
а. (Небезынтересно отметить, что
все элементы полугруппы обладают
одним и теи же правым обратным эле-
элементом.)
3. Как показывает предыдущая
задача, полугруппа в общем случае
201

не является группой, если в ней име-
имеется единичный элемент «с одной сто-
стороны», а обратные элементы сущест-
существуют «с другой стороны». Действи-
Действительно, в полугруппе, рассмотрен-
рассмотренной в задаче 2, каждый элемент слу-
служит левым единичным элементом, в
силу чего эта полугруппа (если она
содержит по крайней мере два эле-
элемента) не может быть группой. Но,
как показывает задача 1, если потре-
потребовать, чтобы в полугруппе единич-
единичный элемент и обратные элементы су-
существовали «с одной и той же сторо-
стороны», то полугруппа становится груп-
группой. Таковы ответы на вопросы зада-
задачи 3.
4. Если еа = а, то для любого эле-
элемента Ъ группы выполняется соот-
соотношение Ъеа = Ьа, откуда (исполь-
(используя закон сокращения справа) полу-
получаем: be=b. Это означает, что е—пра-
е—правый единичный элемент группы. Ана-
Аналогичным образом, используя закон
сокращения слева, можно убедиться
в том, что е — левый единичный эле-
элемент группы. (Таким образом, ут-
утверждение задачи справедливо для
полугрупп, в которых выполняются
законы сокращения.)
5. Построить полугруппу, удовлет-
удовлетворяющую условиям задачи, можно
следующим образом. Если на произ-
произвольном конечном множестве (напри-
(например, на конечном множестве чисел)
задать операцию ab = b, то будет
выполняться левый закон сокраще-
сокращения. Действительно, если ах — ау, то
х = ах = ау = у. Такая полугруп-
полугруппа, как показано в задаче 2, не явля-
является группой, если содержит по край-
крайней мере два элемента.
6. Пара {Р; h) полугруппой не
является: в решении задачи 2 из
раздела 2.3 доказано, что операция
h не ассоциативна.
3.2
1. Чтобы определить порядок под-
подстановок, возведем их в целые поло-
положительные степени: A2I = A2),
A2J = тождественная подстановка;
A23)* = A23), A23)г =.A32),
202
A23K = тождественная подстанов-
подстановка; A234)х = A234), A234J=A3)B4),
A234K = A432), A234)* = тож-
тождественная подстановка. Следова-
Следовательно, порядок цикла совпадает.с
его длиной. Можно показать, что
это утверждение справедливо и в
общем случае.
2. Порядки подстановок равны 2,
3, 6 и 4. Можно доказать, что поря-
порядок подстановки равен наименьшему
общему кратному длин циклов, в
произведение которых разложена
подстановка. (Мы не приводим под-
подробного доказательства этого ут-
утверждения, поскольку оно весьма
громоздко.)
3. Если вещественное число а име-
имеет конечный порядок, то некоторая
степень его (речь идет о «настоящей»
степени, так как групповой опера-
операцией в мультипликативной группе
вещественных чисел служит обычное
умножение чисел) совпадает с еди-
единичным элементом группы, то есть
равна 1. Но условию ап = 1 из
всех положительных чисел удовлетво-
удовлетворяет только число 1, порядок кото-
которого равен 1, а из всех отрицатель-
отрицательных чисел только число —1, порядок
которого равен 2. (В общем случае
только порядок единичного элемента
группы равен 1.)
4. Требуется найти комплексные
числа, для которых при некотором п
выполняется соотношение а" = 1.
Этому условию удовлетворяют толь-
только так называемые комплексные кор-
корни n-й степени из единицы. Напри-
Например, при п = 4 существуют четыре
таких корня: 1, —1, i и —i. Порядок
двух первых корней найден в преды-
предыдущей задаче, порядок двух послед-
последних корней равен 4. (Комплексные
корни n-й степени из единицы распо-
располагаются на единичной окружности,
описанной на комплексной плоскости
вокруг точки 0, и совпадают с вер-
вершинами правильного и-угольника,
вписанного в эту окружность. Иначе
говоря, корни n-й степени из едини-
единицы не заполняют целиком всю еди-
единичную окружность, а лежат в точ-
точках пересечения ее с прямыми,

образующими с вещественной осью
углы, кратные 2л.1п.)
5. Единичным элементом в группе
монотонно возрастающих функций,
заданных на отрезке [0, 1], обращаю-
обращающихся при х = 0 в нуль, а при х =
= 1 в единицу, служит функция е,
удовлетворяющая при любом 0 <:
<^ а ^ 1 соотношению е(а) — а. Но
если / — элемент группы, отличный
от е, то между 0 и 1 заведомо найдет-
найдется такое а, при котором Ца)ф а.
Пусть, например, f(a)>a. Тогда
(так как / — монотонная функция)
f{f(a,)) > f(a) и, следовательно, а<
< /(а)< /2(а) (здесь /2(а) означает
/(/(а))). Продолжая подставлять в /
значения р(а), f(a) и т. д., получаем
возрастающую числовую последова-
последовательность a, f(a), f(a), ...,/" (а), —
Следовательно, /"(а) ни при каком п
не совпадает с а, то есть равенство
/л(а) = а исключается. Как показы-
показывают аналогичные рассуждения,
функция / не может быть элементом
конечного порядка и в том случае,
если f(a)<i а. Следовательно, в рас-
рассматриваемой группе имеется лишь
один элемент конечного порядка —
единичный элемент.
3.3
1. Утверждение задачи следует из
того, что как сложение, так и умно-
умножение чисел коммутативно.
2. В некоммутативности группы
движений на плоскости (то есть в
том, что не всякие два элемента
группы можно переставить, не изме-
изменив их произведения) можно убе-
убедиться, если нам удастся найти хотя
бы одну пару элементов группы,
произведение которых зависит от
порядка сомножителей. Поскольку
таких пар существует много, то пере-
перечислить все пары не представляется
возможным. Мы приведем лишь про-
простейший пример некоммутирующих
движений на плоскости (вполне доста-
достаточный для доказательства неком-
некоммутативности движений на плоскос-
плоскости), но читатель, несомненно, сможет
построить и другие примеры. Пусть
8*
АшВ —две (различные) точки плос-
плоскости. Докажем, что отражения от-
относительно точек А и В (принадле-
(принадлежащие к числу движений на плос-
плоскости) не коммутируют. Для этого
достаточно указать хотя бы одну
точку Р., которая под действием про-
произведений двух отражений (отличаю-
(отличающихся порядком сомножителей) пе-
переходит в различные точки плоскости.
Выберем точку Р так, чтобы точки
А, В и Р (именно в этом порядке!)
расположились в вершинах квадра-
квадрата (рис. 103).
Отразив точку Р относительно точ-
точки А, а полученную точку Рх отно-
относительно точки В, мы получим точку
Р2, изображенную на рис. 103 ввер-
вверху. Отразив точку Р относительно
точки В, а полученную точку Рх —
относительно точки А, мы получим
точку Рг, показанную на рис. 103
внизу. Нетрудно видеть, что резуль-
результаты получились различными.
3. а) Пусть t — любое (может быть,
наименьшее) общее кратное чисел
п и к. Тогда, как известно, а* и Ъ*
совпадают с единичным элементом
группы. Из тождества для степеней,
справедливого для любой коммута-
коммутативной группы, следует, что (at)' —
= а'¥ = ее — е. Сравнивая со-
соотношение (ab)' = е с определением
порядка элемента аЪ, заключаем,
что oiab) делит t.
Рис. 103.
203

б) В рассматриваемом случае, как
и всегда, порядок произведения аЬ
делит произведение пк.
Наоборот, если (ab)* =е, тоа*Ъ* =
= е. Возводя произведение а*Ьг в
n-ю и в к-ю степень, получаем
= е
= е.
По определению порядка злемента
группы ап = У1 = е, поэтому
Vй = е и аы~е.
Так как порядок элемента Ь равен к,
а порядок элемента а равен п, то
соотношения \Р* = е и аы = е мо-
могут выполняться лишь в том случае,
если к делит nt, a n делит Ы. В тео-
теории чисел доказывается, что, если
целое число делит произведение двух
целых чисел и взаимно просто с од-
одним из сомножителей, то оно делит
другой сомножитель. Применяя зту
теорему, получаем, что к делит t и
п делит t. Так как к и п — взаимно
простые числа, то их произведение
является делителем числа t. При
t = o(ab) отсюда следует, что произ-
произведение пк делит аЬ.
Но два положительных целых чис-
числа делят друг друга лишь в том
случае, если они совпадают. Следо-
Следовательно* о(аЪ) = пк, что и требова-
требовалось доказать.
в) Достаточно привести пример.
Из тождеств для степеней следует,
что о(а) = о(а) независимо от по-
порядка элемента а. Но порядок зле-
злемента ааГ1 равен 1, а единица делит
порядок любого злемента а.
4. Пусть а — элемент n-го поряд-
порядка, а Ь — элемент бесконечного по-
порядка. Тогда порядок элемента с =
= аЬ не может быть конечным. Дейст-
Действительно, если бы порядок злемента
с был равен к, то (поскольку о(а~х) =
= п) из предыдущей задачи следова-
следовало бы, что порядок элемента Ь —
= а~хс делит наименьшее общее
кратное чисел в и А, то есть вопреки
исходному предположению конечен.
Так как с — элемент бесконечного
порядка и порядок злемента, об-
обратного элементу Ъ бесконечного по-
порядка, бесконечен, то И ис — два
элемента бесконечного порядка, про-'
изведение которых а имеет конечный
порядок. С другой стороны, «квад-
«квадрат» (произведение на себя) злемента
бесконечного порядка имеет беско-
бесконечный порядок.
(Если группа некоммутативна, то
произведение двух элементов конеч-
конечного порядка может иметь бесконеч-
бесконечный порядок. Например, отражения
относительно точек (см. задачу 2)
являются элементами порядка 2
группы движений на плоскости, а
произведение их порождает сдвиг,
то есть элемент бесконечного поряд-
порядка той же группы.)
4.1
1. Элементы подгруппы {п} адди-
аддитивной группы целых чисел — это
«степени» одного злемента, то есть —
целые кратные числа п. Элементы
подгруппы {—п) —это целые крат-
кратные числа —п. Поскольку они совпа-
совпадают с целыми кратными числа п
(в силу равенства (—п)к =п(—к)), то
обе циклические подгруппы {п} и
{—п} также совпадают.
Элементами подгруппы {п, к) ад-
аддитивной группы целых чисел слу-
служат «произведения степеней» обра-
образующих элементов, то есть числа ви-
вида пх + ку, где х и у — произволь-
произвольные целые числа. Пусть d — наимень-
наименьшее из положительных целых чисел,
принадлежащих подгруппе {п, к).
Мы утверждаем, что подгруппа {п, к)
состоит из целых кратных числа d.
Выберем в подгруппе {п, к) произ-
произвольное число а. Разделив а на d,
мы получим какое-то частное д и
какой-то остаток г, который меньше
d и положителен или равен нулю, то
есть а можно представить в виде а =
= qd + г. Поскольку вместе с чис-
числами а и d подгруппе {п, к) принад-
принадлежат и целые кратные этих чисел и
суммы кратных, то подгруппа {п, к}
содержит и число г = а + (—q)d.
Число d выбрано так, что оно явля-
является наименьшим положительным
204

числом в подгруппе {п, к}. Так как
остаток г принадлежит подгруппе
{п, к) и меньше d, то г не может быть
положительным числом. По опреде-
определению остаток г либо равен нулю,
либо положителен. Следовательно,
остается единственная возможность;
г = 0, а зто означает, что а = dq.
Итак, любое число, принадлежащее
подгруппе {п, к), кратно d.
Из доказанного уже следует, что
подгруппа {п, к) циклическая. Но
если приведенное выше доказатель-
доказательство проанализировать более под-
подробно, то нетрудно убедиться, что
сама подгруппа {п, к) в нем нигде не
используется. Следовательно, любая
подгруппа аддитивной группы целых
чисел циклическая.
Выясним теперь зависимость чис-
числа d от заданных чисел п и к. По-
Поскольку числа п и к принадлежат
подгруппе {п, к), то, как и любой
другой элемент подгруппы, они де-
делятся на d. Это означает, что d —
общий делитель чисел п и к. С другой
стороны, число d как элемент под-
подгруппы {п, к) можно записать в виде
d = пи + ко (где и и о — целые
числа). Из этого представления чис-
числа d видно, что любое число, делящее
п и к, является делителем d, то есть
число d кратно любому общему дели-
делителю чисел п и к. Иначе говоря, d
обладает отличительным свойством
наибольшего общего делителя чисел
п и к. Итак, окончательный резуль-
результат наших рассуждений сводится к
следующему: всякая подгруппа ад-
аддитивной группы целых чисел, по-
порожденная любыми двумя числами,
совпадает с циклической подгруппой,
порожденной наибольшим общим
делителем этих двух чисел.
2. Поскольку рассматривается
мультипликативная группа вещест-
вещественных чисел, отличных от нуля, то
групповой операцией является умно-
умножение чисел, и поэтому произведение
степеней элементов группы совпада-
совпадает с произведением чисел. Подгруппа
{—1} состоит из степеней числа —1.
Существуют всего две различные сте-
степени этого числа: 1 и —1. Следова-
Следовательно, подгруппа {—1} состоит из
двух чисел; 1 и —1.
Подгруппа {—1, 2} состоит из чи-
чисел вида (—1)*2Я, где к и п —це-
—целые числа. Поскольку среди степеней
числа —I существуют лишь два раз-
различных числа, то элементы подгруп-
подгруппы {—1, 2} имеют вид 2", и —2", где
п — произвольное целое число (в
частности, п может быть равным ну-
нулю или отрицательным).
Подгруппа {1, 2, 3, 4, ...} состоит
из произведений степеней чисел 1,
2, 3, 4, ... Все эти числа положитель-
положительны, поэтому подгруппа {1, 2, 3, 4, ...}
может содержать только положитель-
положительные рациональные числа. С другой
стороны, нетрудно видеть, что любое
положительное рациональное число
принадлежит подгруппе {1, 2, 3,
4, ...}, поскольку дробь kin можно
записать в виде произведения первой
степени числа к и минус первой
степени числа п, то есть кп'1.
Подгруппа {V2, Vs, •••} содер-
содержится в подгруппе {1, 2, 3, 4, ...}.
Но образующие подгруппы {V2, Vs,
...} обратны отличным от 1 образую-
образующим подгруппы {1, 2, 3, 4У ...}. Сле-
Следовательно, образующие 2, 3, 4, ...
предыдущей подгруппы принадле-
принадлежат подгруппе {V2, Vs, • ••}, а по-
поскольку единичный элемент принад-
принадлежит всем подгруппам, то подгруп-
подгруппа {V2, Vs, •••} содержит подгруппу
{1, 2, 3, 4, ...}, Итак, подгруппа
{V2, Vs, •••} состоит из положитель-
положительных рациональных чисел.
Все элементы подгруппы {—1, 2, 3,
...} —рациональные числа. Так как
эта подгруппа содержит подгруппу
{2, 3, ...}, то ей принадлежат все
положительные рациональные числа.
Кроме того, она содержит число —1,
а значит и все числа, получающиеся
из положительных рациональных чи-
чисел, если их взять со знаком минус.
Итак, подгруппа {—1, 2, 3, ...} со-
содержит все рациональные числа (и
только рациональные числа).
Подгруппе, порожденной положи-
положительными числами, которые меньше
единицы, могут принадлежать толь-
только положительные числа, поскольку
205

целые положительные числа при воз-
возведении в степень с целым показате-
показателем остаются положительными. Если
а — положительное число и больше
единицы, то На —положительное
число и меньше единицы. Поскольку
а = A/а), то рассматриваемая на-
нами подгруппа содержит все отличные
от единицы положительные числа.
Это означает, что она содержит все
положительные числа (и только их),
так как единичный элемент (число 1)
принадлежит всем подгруппам.
3. Покажем, что элементы @1) и
@123456) порождают всю группу
подстановок элементов0, 1, 2, 3, 4, 5
и 6. Подгруппа {@1), @123456)}
вместе с циклом @123456) содержит и
обратный цикл F543210). Это означа-
означает, что вместе с транспозицией @1)
рассматриваемая подгруппа содер-
содержит следующие транспозиции*
F543210)@1)@123456) = A2),
F543210)A2)@123456) = B3),
F543210)B3)@123456) = C4),
F543210)C4)@123456) = D5),
F543210)D5)@123456) = E6),
F543210)E6)@123456) = F0).
Комбинируя их, находим подста-
подстановки, также принадлежащие под-
подгруппе {@1), @123456)}:
^ @1)A2)@1) = @2),
@2)B3)@2) = @3),
@3)C4)@3) = @4),
(О4)D5)(О4) = @5),
(О5)E6)(О5) = @6).
Итак, мы доказали, что рассмат-
рассматриваемая подгруппа содержит транс-
транспозиции @1), @2), @3), @4), @5) и
@6), порождающие, как известно,
всю группу подстановок чисел 0, 1,
2, 3, 4, 5 и 6.
Анализируя ход рассуждений, не-
нетрудно заметить, что по существу не
используется число элементов, на
которых действуют подстановки. Сле-
Следовательно, наши рассуждения поз-
позволяют доказать и более общее ут-
утверждение: группу всех подстановок
любого числа элементов порождают
[а*Ы]
S-0
[dl] c*di
Ы
N
Вещественная ось
dl (di)*N
Рис. 104.
два элемента: транспозиция — на-
например, транспозиция @1) — и цикл,
в которой входят все перемещаемые
при подстановках элементы, но так,
что элементы, затрагиваемые транс-
транспозицией, идут подряд [в рассматри-
рассматриваемом примере это означает, что
цикл может начинаться с цифр 0 и 1,
то есть иметь вид @1...)].
4.2
1. а) В аддитивной группе G комп-
комплексных чисел смежный класс вмес-
вместе с любым комплексным числом со-
содержит и все комплексные числа, по-
получающиеся из данного при сложе-
сложении с любым числом из подгруппы N
(то есть с любым вещественным чис-
числом). Это означает, что вместе с комп-
комплексным числом а + Ы смежный
класс содержит и все комплексные
числа, мнимая часть которых равна
Ь, то есть комплексные числа вида
х + bi, где х — произвольное ве-
вещественное число. На комплексной
плоскости смежным классам соответ-
соответствуют «горизонтальные» прямые, а
подгруппе N — вещественная ось
(рис. 104).
Чтобы задать смежный класс, не-
необходимо указать мнимую часть
(общую для всех) входящих в
него комплексных чисел. Пусть
[а + Ы] — смежный класс, ко-
которому принадлежит комплексное
число а + Ы. Вместо а + Ы можно
взять комплексное число Ы, так как
206

[a + bi] = [bi], поскольку оба чис-
ла а + bi и Ы принадлежат одному
смежному классу. Сложение смежных
классов производится следующим
образом: Ibi] + lei] = [Ы + ci] ~
= l(b + c)i]. [To, что при фактори-
факторизации G по N получается группа (фак-
(фактор-группа G/N), заранее извест-
известно, так как вещественные числа об-
образуют подгруппу аддитивной груп-
группы комплексных чисел, которая в
силу коммутативности является нор-
нормальным делителем.] Итак, сложение
смежных классов происходит «так
же», как сложение вещественных чи-
чисел.
На комплексной плоскости сложе-
сложение «горизонтальных прямых» можно
производить, сопоставляя каждой
прямой вещественное число, соответ-
соответствующее точке пересечения этой
прямой с мнимой осью, и производя
сложение полученных вещественных
чисел (рис. 105).
б) Фактор-группа G/N существу-
существует, так как N — подгруппа и, разу-
разумеется, нормальный делитель. Два
отличных от нуля комплексных числа
принадлежат одному смежному клас-
классу, если одно из них отличается от
другого вещественным множителем,
так как подгруппа N состоит из по-
положительных вещественных чисел.
Если комплексные числа записаны в
тригонометрической фЬрме, то спра-
справедливо следующее утверждение:
комплексные числа r(cosqj +
{{tr+c)(\
id]
Ш) c ■
Мнимая oci
t[b+c)i
■b
Ы
0-
\
1
i
b+c
f
О Положительные
вещественные числа
Рис. 106.
Вещественная ось
N
Рис. 105.
Положительные
вещественные числа
Рис. 107.
и s(cos<|) + £simj>) принадлежат одно-
одному смежному классу в том и только
в том случае, если их аргументы рав-
равны, то есть если ф = ф. Пусть [z\ —
смежный класс, которому принадле-
принадлежит комплексное число z. На комп-
комплексной плоскости элементами смеж-
смежного класса являются точки с одина-
одинаковым аргументом. Они заполняют
луч, выходящий из начала коорди-
координат (рис. 106).
Выясним теперь, что происходит
при умножении двух смежных клас-
классов. Если смежный класс [г] умно-
умножить на смежный класс [ш], то полу-
получится смежный класс [zw]. Как мы
уже знаем* смежный класс опреде-
определен в том и только в том случае, если
задан общий аргумент составляющих
его комплексных чисел. По теореме
Муавра аргумент произведения zw
равен сумме аргументов сомножите-
сомножителей z и w, поэтому на комплексной
плоскости «умножение» лучей, исхо-
исходящих из начала координат, сводится
к сложению аргументов. Разумеется,
важно все время следить за тем, что-
чтобы среди комплексных чисел не было
нуля, то есть производить все постро-
построения на комплексной плоскости, из
207

Рис. 108.
7.UX
Рис. 109.
которой «выколота» точка 0 (рис.
107).
в) Фактор-группа существует и в
этом случае. Для построения ее
комплексные числа удобно предста-
представить в тригонометрической форме.
Комплексные числа принадлежат од-
одному смежному классу мультиплика-
мультипликативной группы G комплексных чисел,
отличных от нуля по подгруппе N
комплексных чисел с модулем, рав-
равным единице, если их модули совпа-
совпадают. Чтобы задать смежный класс,
необходимо и достаточно задать об-
общее значение модуля входящих в
него комплексных чисел.
На комплексной плоскости числа,
имеющие одинаковый модуль, за-
заполняют окружность с центром в на-
начале координат и радиусом, равным
модулю. Следовательно, каждый
смежный класс изображается в виде
такой окружности, а все смежные
классы — в виде концентрических
окружностей (рис. 108). (Напомним,
что Ы означает смежный класс, со-
содержащий комплексное число z.)
208
Рис. НО.
При умножении смежных классов
необходимо вычислить произведение
вещественных чисел, соответствую-
соответствующих смежным классам — сомно-
сомножителям (модули комплексных чисел,
принадлежащих смежным классам).
Умножение смежных классов мож-
можно наглядно изобразить на комплекс-
комплексной плоскости. «Произведением» двух
окружностей будет окружность, ра-
радиус которой равен произведению
радиусов окружностей — сомножите-
сомножителей (рис. 109). (Все окружности опи-
описать вокруг начала координат.)
Небезынтересно отметить связь,
существующую между двумя послед-
последними задачами. Нетрудно убедиться
в том, что фигурирующие в них нор-
нормальные делители имеют лишь один
общий элемент: число 1. Всякое ком-
комплексное число (если оно отлично от
нуля) принадлежит одному из смеж-
смежных классов группы G по подгруппе
положительных вещественных чисел
и одному из смежных классов по
подгруппе комплексных чисел с мо-
модулем, равным единице, причем смеж-
смежные классы по каждому из нормаль-
нормальных делителей группы G не имеют
общих элементов. Действительно, лю-
любое отличное от нуля комплексное чи-
число однозначно определено, если зада-
заданы его модуль и аргумент (рис. 110).
Окружности и лучи задают на
комплексной плоскости «сетку», ис-
используемую в так называемых поляр-
полярных координатах.
г) Фактор-группа G/N существует,
так как любой элемент группы по-
порождает некоторую подгруппу, а

всякая подгруппа коммутативной
группы является ее нормальным де-
делителем. В один смежный класс с
вещественным числом х попадают все
вещественные числа, отличающиеся
от него на целое кратное число 2it
(поскольку в аддитивной группе G
вещественных чисел групповой опе-
операцией является сложение). Эти чис-
числа представимы в виде х + 2кп,
где к — произвольное натуральное
число. (Таким образом, все решения
некоторых тригонометрических урав-
уравнений принадлежат одному смежному
классу группы G по N = {2тс}.)
Разумеется, в качестве нормального
делителя можно было выбрать не
только подгруппу {2it}, но и любую
другую циклическую подгруппу.
д) Как было показано выше, дви-
движения образуют нормальный дели-
делитель группы преобразований подобия.
Поэтому в рассматриваемом случае
фактор-группа G/N существует. Вы-
Выясним, как «устроены» смежные
классы, из которых состоит фактор-
факторгруппа. Если Т — преобразование
подобия, то смежный класс [Т], кото-
которому оно принадлежит, состоит из
преобразований TS, где S — любое
движение. Ясно, что, если преобра-
преобразование Т изменяет расстояния меж-
между точками в А, раз (А, — положитель-
положительное число), то и любой другой эле-
элемент из смежного класса [Т] обладает
тем же свойством.
Действительно, движение S, вы-
выполняемое первым, не изменяет рас-
расстояний между точками, а произ-
производимое вслед за S преобразование
подобия Т изменяет расстояние меж-
между любой парой точек в А, раз. Следо-
Следовательно, каждый элемент из смеж-
смежного класса [Т! изменяет расстояния
в том же отношении.
Верно и обратное утверждение;'
если два преобразования изменяют
расстояния между точками в одном и
том же отношении, то они принадле-
принадлежат одному смежному классу.
Пусть R — преобразование подо-
подобия с коэффициентом подобия Я.
Рассмотрим преобразование S =
= T~XR. Ясно, 1.то S —преобразова-
—преобразование подобия. Так как Т изменяет все*
расстояния в А- раз, то Т приводит
к увеличению (или уменьшению) рас-
расстояний в А, раз. При умножении:
преобразований коэффициенты подо-
подобия также умножаются. Следова-
Следовательно, преобразованию подобия S
соответствует коэффициент подобия
А,"ХА, = 1. Но это и означает, что S —
движение. Таким образом, преобра-
преобразование подобия R можно представить
в виде R = TS-4R = TR, то есть R
принадлежит смежному классу ИМ.
Итак, мы установили, что одно-
одному смежному классу принадлежат
преобразования подобия, изменяю-
изменяющие (увеличивающие или уменьшаю-
уменьшающие) расстояние между точками в
одно и то же число раз. Произведение
двух смежных классов состоит из
преобразований с коэффициентом по-
подобия, равным произведению коэф-
коэффициентов подобия, соответствую-
соответствующих смежным классам-сомножите-
классам-сомножителям. Следовательно, умножение сме-
смежных классов подчиняется тем же
«правилам», что и умножение поло-
положительных вещественных чисел.
е) В этой задаче необходимо дока-
доказать, что N — нормальный делитель
группы G. Какие элементы принадле-
принадлежат подгруппе N? Три элемента из-
известны: зто тождественная подста-
подстановка и два образующих элемента
A2)C4) и A3)B4). Произведение их
дает подстановку A4)B3). Нетрудно-
проверить, что произведение любых
двух различных подстановок из
A2)C4), A3)B4) и A4)B3) совпадает
с третьей подстановкой, а квадрат
любой подстановки—с единичным эле-
элементом. (Пользуясь симметрией, мы
можем сократить объем работы и
рассмотреть лишь один из трех воз-
возможных вариантов). Итак, подгруппа
N состоит из четырех элементов. Не-
Нетрудно видеть, что квадрат любого1
из них совпадает с единичным эле-
элементом и каждый элемент является
четной подстановкой. Других эле-
элементов, обладающих этими свойства-
свойствами, в группе G нет, поскольку, если
квадрат элемента а совпадает с еди-
единичным элементом, то подстановка а
209

может быть лишь произведением
двух независимых циклов. Если к
тому же она четна, то и число- цик-
циклов четно, то есть равно либо 0, либо
2. Пусть Q — одна из подстановок
подгруппы N, отличных от единич-
единичного элемента. Тогда (PQP'1) 2 =
lQPl PQQpl рр1
QQ Q
= I, то есть квадрат подстановки
PQP'1 совпадает с тождественной
подстановкой (единичным элементом
группы) и подстановка PQP четна.
Следовательно, подгруппа N явля-
является нормальным делителем. Группа
G содержит 1-2-3 =24 элемента,
а подгруппа N — только 4 элемента.
Это означает, что в каждом смежном
классе содержится по 4 элемента,
то есть число смежных классов равно
24 : 4 = 6. Из каких элементов сос-
состоит отдельный смежный класс? Как
производить групповую операцию
над смежными классами? Для пол-
полного описания того, как действует
групповая операция в фактор-груп-
фактор-группе, прежде всего необходимо выб-
выбрать из каждого смежного класса по
представителю (элементу), а затем,
перебрав все попарные произведе-
произведения, установить, что при любом вы-
выборе представителей они всегда при-
принадлежат одним и тем же смежным
классам. (В общем случае перебор
элементов, представляющих смеж-
смежные классы, сопряжен с большим
объемом работы. Действительно, при
шести представителях число попар-
попарных произведений достигает тридца-
тридцати шести, и каждое из них необходи-
необходимо еще умножить поочередно на все
элементы нормального делителя. Ра-
Разумеется, многие из произведений
совпадают. В рассматриваемом слу-
случае задачу удается решить достаточ-
достаточно просто, не прибегая к перебору
попарных произведений всех пред-
представителей.) Докажем, что элементы
стационарной подгруппы числа 4
можно выбрать в качестве представи-
представителей смежных классов по нормаль-
нормальному дедителю N. Подстановки, об-
образующие эту стационарную под-
подгруппу, оставляют число 4 на месте,
поэтому их можно рассматривать как
подстановки трех элементов. Общее
число всех подстановок трех элемен-
элементов равно шести. Поскольку число
смежных классов также равно шес-
шести, достаточно доказать, что различ-
различные элементы стационарной под-
подгруппы числа 4 принадлежат раз-
различным смежным классам. Пусть Р и
Q — элементы этой стационарной
подгруппы. Требуется доказать, что,
если подстановки Р и Q не совпадают,
то они принадлежат различным смеж-
смежным классам по N. Наше утвержде-
утверждение можно сформулировать и иначе:
если подстановки Р и Q иэ стацио-
стационарной подгруппы цифры 4 принад-
принадлежат одному смежному классу по
нормальному делителю N, то они сов-
совпадают. Итак, предположим, что под-
подстановки Р и Q принадлежат одному
смежному классу по нормальному
делителю N, то есть что в N существу-
вует подстановка Т, удовлетворяю-
удовлетворяющая соотношению Q = РТ. Разре-
Разрешим зто равенство относительно Т:
:Т = Р~Ч). Поскольку N—подгруппа
группы G, то подстановка P~*Q при-
принадлежит N (и, следовательно, ос-
оставляет на месте число 4). Но эле-
элемент Р~Ч2, стоящий в правой части
последнего равенства, совпадает с
элементом Т, стоящим в левой части
того же равенства и принадлежащим
подгруппе N, а из всех элементов
нормального делителя N оставляет
на месте число 4 только тождествен-
тождественная подстановка /. Следовательно,
Т = /, то есть Q =РТ =Р1 =Р,
что и требовалось доказать.
Остается еще установить, каким
образом можно умножать смежные
классы. Сделать зто совсем не труд-
трудно, так как элементы, представляю-
представляющие смежные классы, образуют под-
подгруппу, и поэтому произведение лю-
любых двух представителей всегда пред-
представляет какой-нибудь смежный
класс. Это означает, что умножение
смежных классов происходит так же,
как умножение подстановок трех эле-
элементов.
2. Для большей наглядности по-
поставим в соответствие каждой линей-
линейной функции по точке плоскости.
210

Функции у = ах + b сопоставим точ-
точку с координатами (а, Ь). Поскольку
для линейных функций выполняется
условие а ФО, то мы будем рассмат-
рассматривать только такие точки плоскости,
у которых первая координата отлич-,
на от нуля (рис. 111).
Элементами подгруппы Н явля-
являются функции вида у = ах. Они об-
образуют подгруппу, так как функция
у = х также имеет заданный вид,
«произведение» (подстановка) функ-
функций у = ах и у = Ьх (функция у =
= (ab)x) и функция у = а'хх, обрат-
обратная функции у = ах, принадлежат Н.
Элементам подгруппы Н соответст-
соответствуют точки плоскости с координата-
координатами (а, 0). Они лежат на одной из
координатных осей. Выясним, ка-
какие точки плоскости соответствуют
нормальному делителю N. (В том,
что N — нормальный делитель, мы
уже убедились.) Так как нормально-
нормальному делителю N принадлежат линей-
линейные функции вида у = х + с, то им
соответствуют точки плоскости с ко-
координатами A, с). Они заполняют
прямую, перпендикулярную оси, со-
соответствующей подгруппе Н, и пере-
пересекающую зту ось в точке с коорди-
координатами A, 0). Пересечение двух пря-
прямых, изображающих на плоскости
(а, Ъ) подгруппу Н и нормальный де-
делитель N, в одной точке означает,
что зти две подгруппы имеют лишь
один общий элемент. Поскольку они
обе заведомо содержат единичный
элемент, то общая точка может соот-
соответствовать только ему. Действи-
Действительно, нетрудно видеть, что точка
A, 0) соответствует функции у =
= 1х + 0 (рис. 112).
Чтобы ответить на вопрос о том,
сколько общих элементов имеет ле-
левый смежный класс с правым смеж-
смежным классом по подгруппе Н, рас-
рассмотрим линейную функцию у =
= ах + Ь с заданными коэффици-
коэффициентами а и Ь. В один левый смежный
класс с ней попадают функции у =
= a(tx) + b, где t — произвольное
отличное от нуля вещественное чис-
число. Таким образом, элементами одно^
го левого смежного класса являются
Эта mov/ta соответствует
функции у=ах*Ь
■г Точки, лежащие на этой
I оси, не соответствуют никаким
линейным функциям. Всякая точка
плоскости, не лежащая на оси ордиг
Мцпредстаалзет линейную функцию
и притом одну, а каждой линейной
функции соответствует точка
плоскости, не лежащая на оси
ординат .
Рис. 111.
линейные функции с произвольным
(отличным от нуля) вещественным ко-
коэффициентом при х, но постоянным
свободным членом. Точки (а, Ъ), со-
соответствующие элементам смежного
класса, лежат на «горизонтальных»
прямых. Каждая точка такой пря-
прямой [за исключением «выброшенной»
оси @, Ь)] соответствует функции,
принадлежащей одному и тому же
левому .смежному классу. Аналогич-
Аналогичным образом правому смежному клас-
классу, содержащему функцию у = az-f
+ b, принадлежат линейные функ-
функции вида у = t(ax + b). Им соот-
N
(О; О)
AH) Н
Рис. 112.
211

(ax+b)H
И (ax+bt/
/
/ t
N
/
b)N
/
/
ах+Ь
Н
*N(ax+b)
Рис. 113.
ветствуют точки плоскости с коор-
координатами (ta, tb), отношение которых
(tblta) не зависит от выбора точки.
Такие точки заполняют прямую, про-
проходящую через начало координат.
Кроме того, зта прямая проходит
через точку (а, Ь) и, следовательно,
полностью определена. Определим
теперь смежные классы по подгруппе
N. Поскольку N — нормальный де-
делитель группы G, то достаточно оп-
определить смежные классы лишь с
одной из сторон: либо только левые,
либо только правые. В одном смеж-
смежном классе с функцией у = ах -+■ Ь
на этот раз оказываются функции ви-
вида (ах + b) + t, где t — произ-
произвольнее вещественное число. На плос-
плоскости им соответствуют точки с ко-
координатами (a, b -J- t), лежащие на
«вертикальной» прямой, которая про-
проходит через точку (а, Ь). На вопросы
о том, сколько общих элементов име-
имеют те или иные смежные классы,
проще всего можно ответить, если
рассмотреть соответствующие прямые
~в выяснить число их общих точек.
Горизонтальные прямые не имеют
общих точек. Следовательно, левые
смежные классы по подгруппе Н не
могут иметь общих элементов. Пря-
Прямые, проходящие через начало ко-
координат, имеют общую точку, но она
«выколота». Это означает, что и пра-
правые смежные классы по подгруппе Н
ле имеют общих элементов. Горизон-
Горизонтальная прямая, в общем случае име-
ет с прямой, проходящей через нача-
начало координат, одну общую точку
(исключение составляет прямая, про-
проходящая через начало координат и
совпадающая с горизонтальной осью,
с которой горизонтальные прямые
не имеют общих точек). Следователь-
Следовательно, в общем случае левый смежный
класс по подгруппе Н имеет один
общий элемент с правым смежным
классом по той же подгруппе, если
правый смежный класс не «вырожда-
«вырождается» в подгруппу Н: разумеется с
этим смежным классом ни один дру-
другой левый смежный класс по под-
подгруппе Н не имеет общих элементов.
Аналогичным образом можно убе-
убедиться в том, что все вертикальные
прямые имеют по одной общей точке
как с любой горизонтальной прямой,
так и с любой прямой, проходящей
через начало координат. Это означа-
означает, что соответствующие прямым
смежные классы имеют по одному
общему элементу (рис. 113).
Переходим к последнему вопросу
задачи. Требуется найти произведе-
произведения комплексов HN и NH. Иначе го-
говоря, необходимо выяснить, какие
линейные функции можно предста-
представить в виде «произведений» линейных
функций у — ах и у — х + Ь, то
есть в виде у — а(х + Ь) и у = (ах)-\-
+ Ь. Ясно, что в виде у = (ах) + Ъ
представима любая линейная функ-
функция, то есть NH совпадает со всей
' группой G. Если задана произволь-
произвольная функция у — ах + с, то ее
можно записать в виде у = а(х +
+ а"гс), а зто означает, что и HN сов-
совпадает со всей группой G.
3. Прежде чем приступать к реше-
решению задачи, изобразим наглядно
группу G и подмножества Н, М и N.
Из условий задачи известно, что
М — подгруппа группы G, посколь-
поскольку М состоит из общих элементов
двух подгрупп. Следовательно, М —
подгруппа в группе Н, так как в Н
действует та же групповая опера-
операция, что и во всей группе G (рис. 114).
• В предыдущей задаче мы доказали,
что М — нормальный делитель груп-
группы Н. Иначе говоря, если а£Н их £

€ М, то аха £ М. Поскольку М
содержится в Н, то и элемент х
принадлежит подгруппе Н. Но тогда
(по групповому свойству) элемент
аха'1 также принадлежит подгруппе
Н. Так как М содержится в нормаль-
нормальном делителе N, то среди прочих
элементов подгруппы М нормальному
делителю N принадлежит и элемент
х. Следовательно, элемент аха'1 так-
также принадлежит N. Таким образом,
аха'1 — общий элемент нормального
делителя N и подгруппы Н, а это
означает, что аха'1 принадлежит М.
Во второй половине приведенного
выше доказательства, как нетрудно
проверить, используется лишь то,
что N — нормальный делитель груп-
группы G. Никаких предположений от-
относительно свойств элемента а не
делается: им может быть любой эле-
элемент группы G. Можно доказать
также, что, если не только N, но и
Н — нормальный делитель группы
G и х £ М, то аха'1 £ Н при любом
а £ G. Это и означает, что аха'1 £ М
при любом а £ G.
4.3
1. Пусть а — образующий элемент
группы А, Ь — образующий эле-
элемент группы В. Тогда прямое произ-
произведение А X В состоит из пар эле-
элементов (а', У), где i и / — неотри-
неотрицательные целые числа, удовлетворя-
удовлетворяющие неравенствам i< p, /< q. По-
Поскольку при всех i и / мы получаем
различные элементы, то общее число
элементов в нрямом произведении
А X В равно pq. Докажем, что А X
X В — циклическая группа. Для
этого достаточно убедиться в том,
что А X В содержит элемент порядка
pq и даже что А X В содержит эле-
элемент, порядок которого не меньше
pq. (Элемент, у которого число раз-
различных степеней больше pq, не мог
бы существовать в группе А X В,
так как она содержит всего pq эле-
элементов.)
Докажем, что порядок элемента
{а, Ь) не меньше pq. Действительно,
если порядок элемента (а, Ъ) равен d,
Рис 114.
то (a, b)d = (е, е), где е — единич-
единичные элементы в группах А и В. По
определению групповой операции в
прямом произведении А X В полу-
получаем: (a, b)d = (аа, Ьа). Следова-
Следовательно, элемент ad совпадает с еди-
единичным элементом группы А, а эле-
элемент bd — с единичным элементом
группы В. Это возможно лишь в
том случае, если показатель степени
d кратен как порядку элемента а,
так и порядку элемента Ь, то есть
числам р и q. По условию задачи,
р и q — различные простые числа,
поэтому число d может быть кратным
каждому из них в том и только в
том случае, если оно кратно произве-
произведению pq и поэтому не меньше pq.
2. Доказать, что порядок группы
А X В равен рг можно так же, как
был установлен порядок прямого
произведения в решении предыдущей
задачи. Так как (а', Уу = (а'р,
V) = (а*, V») = (е*, «/) = (e, е),
то порядок любого элемента пря-
прямого произведения равен р. Следова-
Следовательно, ни у одного из элементов
прямого произведения А X В цикли-
циклических групп порядка р не существу-
существует рг различных степеней.
3. Пусть п — порядок группы А,
а к —порядок группы В. Тогда в
парах элементов, образующих пря-
прямое произведение А X В, первое мес-
место можно заполнить п различными
способами, а второе место к различ-
различными способами (независимо от пер-
первого). Следовательно, общее число
213

пар равно пк. Поскольку как первая,
так и вторая «компонента» пары (то
есть как элементы группы А, так и
элементы группы В) выбирались
каждый раз по-другому, то все полу-
полученные пары различны, и поэтому
прямое произведение А X В дейст-
действительно содержит' пк элементов.
4. Единичный элемент прямого про-
произведения двух групп принадлежит
к числу пар, у которых на втором
месте стоит единичный элемент, по-
поскольку обе его компоненты являют-
являются единичными элементами прямых
сомножителей. Произведение двух
элементов рассматриваемого вида
(и, е) и (v, e) равно (uv, е), то есть
его вторая компонента также совпа-
совпадает с единичным элементом второго
сомножителя прямого произведения.
Наконец, так как (и, е)'1 — {и'1, е), 1
то и элемент, обратный элементу
заданного вида, имеет вторую компо-
компоненту, равную е. Следовательно, эле-
элементы (и, е) прямого произведения
двух групп, где и — произвольный
элемент первого сомножителя, а е —
единичный элемент второго сомно-
сомножителя, образуют подгруппу. Дока-
Докажем, что для этой подгруппы выпол-
выполняется необходимый и достаточный
признак нормального делителя. Если
(а, Ь) — произвольный элемент пря-
прямого произведения, а элемент (и, е)
принадлежит интересующей нас под-
подгруппе, то (a, b)(u, e)(a, b)~1=(a, b)X
Х(м,е)(а-1, Ь'1) = (аиа-1, ЪеЪ'1) =
— (аиа'1, е), в силу чего (а, Ь)(и, е)
(а, Ь)'1 также принадлежит рассмат-
рассматриваемой подгруппе, что и требова-
требовалось доказать.
5. В один смежный класс с элемен-
элементом (а, Ь) попадают все элементы вида
(a, b)(u, e) =(au, b). Их второй компо-
компонентой является фиксированный эле-
элемент b группы В. Справедливо и об-
обратное утверждение: если вторая
компонента некоторого элемента пря-
прямого произведения А X В равна Ь,
то этот элемент принадлежит тому же
смежному классу, что и элемент (а,
Ь). Действительно, при любом с £ А
выполняется соотношение (с, Ь) =
= (aa'h, be) = (a, b^a^c, e), a
214
второй сомножитель в правой части
последнего равенства принадлежит
нормальному делителю. Поскольку
среди элементов вида (с, Ь) имеется
ровно один элемент, у которого пер-
первая компонента совпадает с единич-
единичным элементом группы А [элемент
(е, Ь)], то тем самым наше утвержде-
утверждение доказано.
5.1
1. Оба утверждения очевидны. Реф-
Рефлексивность изоморфизма следует из
того, что тождественное отображение
принадлежит к числу изоморфизмов,
а транзитивность — из того, что
отображение, получающееся при по-
последовательном выполнении двух
изоморфизмов, также является изо-
морфизмом.
(Рефлексивность, транзитивность и
симметрия изоморфизмов позволяют
утверждать, что все группы допуска-
допускают разбиение на непересекающиеся
классы. Каждая группа принадле-
принадлежит одному и только одному классу
и, следовательно, однозначно опре-
определяет некоторую абстрактную груп-
группу. Все группы, принадлежащие од-
одному классу, изоморфны. Любые две
группы, принадлежащие различным
классам, не изоморфны.)
2. Для доказательства коммутатив-
коммутативности воспользуемся тем, что соот-
соответствие (а, Ь) —*• (Ь, а) является изо-
изоморфизмом. Перейдем к доказатель-
доказательству ассоциативности. Элементы пря-
прямого произведения (А X В) X С име-
имеют вид ((а, Ь), с) а элементами пря-
прямого произведения А X (В X С) яв-
являются тройки (а, (Ь, с)). Ассоциатив-
Ассоциативность следует из того, что соответст-
соответствие ((а, Ь), с) ->• (а, (Ь, с)) является
изоморфизмом.
(Прямое произведение трех групп
можно было бы определить и непос-
непосредственно, как группу, элементами
которой являются тройки элементов
(а, Ъ, с). Изоморфизм ((а, Ъ), с) ->
-*~ (а, Ъ, с) показывает, что эта груп-
группа изоморфна прямому произведе-
произведению (А X В) X С и, следовательно,
прямому произведению А X (В X

X С). Таким образом, «длинное» пря-
прямое произведение, состоящее из трех
или большего числа сомножителей,
всегда можно записать в виде прямо-
прямого произведения прямых произведе-
произведений, что гораздо удобнее, чем «пря-
«прямая» запись прямого произведения
многих сомножителей.)
3. Докажем, что соответствие (а,
Ь) -*■ ab (где а£А, Ь€В) является
изоморфизмом. Поскольку равенст-
равенство пар элементов влечет за собой
совпадение компонент, то соответст-
соответствие (а, Ъ) -*■ ab можно считать ото-
отображением.
Если образы пар (alt bt) и (а2, Ьг)
при этом отображении совпадают,
то, умножив обе части равенства
a.\bi = я2Ь2 слева на а%~х, а справа
на Ьг~х, мы получим новое равенство
аг^ = bzbj'1. В его левой части
стоит элемент, принадлежащий под-
подгруппе А, а в правой части — эле-
элемент из подгруппы В. Поскольку
эти подгруппы не имеют других об-
общих элементов, кроме единичного
элемента, то a-fxax = е и b2b1~x = е.
Умножив первое соотношение слева
на а2, а второе соотношение справа
на Ъг, получим: ах = аг и Ьх — Ь2.
Итак, мы доказали, что при отобра-
отображении (a, b) -> ab различные пары
(а, Ь) переходят в различные произве-
произведения ab.
Докажем теперь, что любой эле-
элемент группы G можно представить в
виде произведения ab, где а£А и
Ь€В. Так как
(а^,) (a2b2) = а, (Ь,а2) Ь2 =
'1 = Ь-Ч'1 = а^
(ab)'1 =
то произведение элементов предста-
вимо в виде произведения ab, и эле-
элементы, обратные таким элементам,
также представимы в виде произве-
произведения ab (элементы а^Ьаг и ab~xa"x
принадлежат подгруппе В, посколь-
поскольку В — нормальный делитель груп-
группы G). Единичный элемент допуска-
допускает тривиальное разложение требуе-
требуемого вида. Следовательно, произве-
произведения ab образуют группу, содержа-
содержащую оба нормальных делителя А и В
группы G. Произведения ab включа-
включают в себя позтому все злементы под-
подгруппы, порожденной нормальными
делителями А и В, а поскольку зта
подгруппа совпадает со всей группой
G, то все злементы исходной группы
G представимы в виде произведений
ab. Отсюда тотчас же следует, что
каждый элемент группы G является
образом некоторого элемента пря-
прямого произведения нормальных дели-
делителей А и В; в элемент ab переходит
при рассматриваемом отображении
пара (а, Ь).
Необходимо еще проверить, со-
сохраняет ли отображение (а, Ь) -*■
-у ab групповую операцию. В пря-
прямом произведении «умножение» эле-
элементов определяется соотношением
{ах, 6i)(a2, bz) = (а^а, Ъф^. Для
сохранения операции необходимо,
чтобы для элементов группы G, соот-
соответствующих элементам прямого про-
произведения, выполнялось равенство
(a1b1)(a262) = ахаф-рг- Сокращая
слева на ах, а справа на Ь2, преобра-
преобразуем его к виду Ьга2 = афг. Итак,
требуется доказать, что для любого
элемента а из нормального делителя
А и любого элемента Ъ из нормально-
нормального делителя В выполняется соотно-
соотношение ab = ba, которое можно пред-
представить в виде
Ь~ха~гЬа = е.
Именно его нам и предстоит дока-
доказать. Поскольку нормальные дели-
делители А и В имеют лишь один общий
элемент — единичный элемент груп-
группы G, то достаточно доказать, что
элемент b~xa~xba принадлежит как
подгруппе А, так и подгруппе В.
Поскольку В — нормальный дели-
делитель группы G, то он содержит эле-
элемент а~хЬа, а подгруппа А по той же
причине содержит элемент b~xa~xb.
215

Оба элемента принадлежат В.
Оба элемента принадлежат А.
Но А и В — подгруппы, и поэто-
поэтому вместе с любыми двумя своими
элементами содержат и их произве-
произведение, что и требовалось доказать.
5.2
1. Поскольку гомоморфизм сохра-
сохраняет групповую операцию, то им мо-
может быть только отображение ф(и) =
= ап (п — целое число). Из тождеств
для степеней одного элемента груп-
группы следует, что оно действительно
является гомоморфизмом. ЕслИф —
мономорфизм, то все степени элемен-
элемента а различны, или, что то же, а —
элемент бесконечного порядка. Если
ф — эпиморфизм, то вся группа сос-
состоит из степеней элемента as то есть
является циклической.
Ядро гомоморфизма ф(я) = а" со-
сто ит из тех и только тех целых чисел
it, при которых а* совпадает с еди-
единичным элементом группы. Следо-
Следовательно, порядок элемента а ра-
равен некоторому целому числу, а
ядро гомоморфизма состоит из целых
кратных этого числа.
2. а) Сохранение групповой опе-
операции следует из закона сложения
комплексных чисел: (а -ф- Ы) +(с4
■$■ di) = (а ■$• с) ■$• (Ь 4 d)i. Ясно,
что при отображении а -Ф- Ы -*- b
множество образов совпадает с мно-
множеством всех вещественных чисел,
то есть отображение а -ф- Ы —*- b
является эпиморфизмом. Ядро этого
зпиморфизма образуют комплексные
числа, переходящие при отображе-
отображении в нуль, то есть комплексные чис-
числа с нулевой мнимой частью, или
вещественные числа. Следовательно»
по теореме о гомоморфизмах, фактор-
факторгруппа аддитивной группы комплекс-
комплексных чисел по аддитивной группе ве-
вещественных чисел изоморфна группе
вещественных чисел.
Щ Ясно, что соответствие
г (cos <p + i sin cp) ->■ cos ср + i sin ср
однозначно, а теорема Муавра поз-
позволяет утверждать, что оно являет-
является гомоморфизмом. Все комплексные
числа с модулем 1 при отображении
переходят в себя, поэтому в действи-
действительности можно говорить об эпи-
эпиморфизме. Ядро гомоморфизма об-
образуют комплексные числа с аргу-
аргументом, равным 0°. Это — не что
иное, как положительные веществен-
вещественные числа. Следовательно,.по теоре-
теореме о гомоморфизмах фактор-группа
мультипликативной группы отлич-
отличных от нуля комплексных чисел по
мультипликативной группе положи-
положительных вещественных чисел изо-
изоморфна мультипликативной группе
комплексных чисел с модулем 1.
в) Ясно, что соответствие а -f Ы —>-
->- j/a2 -Ф- Ь2 однозначно. Гомомор-
Гомоморфизмом оно является потому, что
модуль произведения совпадает с
произведением модулей всех сомно-
сомножителей. Поскольку каждое поло-
положительное вещественное число при
гомоморфизме аФ Ы -*-]/а2 •$■ Ь2пе-
реходит в себя, то в действительнос-
действительности мы имеем дело с эпиморфизмом.
Ядро этого эпиморфизма составляют
комплексные числа, отображаемые
в единицу,, то есть те и только те
комплексные числа, модуль которых
равен 1. Следовательно, по теореме о
гомоморфизмах, фактор-группа муль-
мультипликативной группы отличных от
нуля комплексных чисел по мульти-
мультипликативной группе комплексных
чисел с модулем 1 изоморфна мульти-
мультипликативной группе положительных
вещественных чисел.
г) Поскольку преобразования по-
подобия определены так, что число,
показывающее, во сколько раз из-
изменяется длина отрезка (коэффи-
(коэффициент подобия), зависит только от
преобразования, то мы действитель-
действительно получаем отображение. В решении
задачи 1д из раздела 4.2 было дока-
доказано, что при умножении преобра-
преобразований подобия коэффициенты по-
подобия также умножаются. Это озна-
означает, что рассматриваемое отображе-
отображение является гомоморфизмом. Если
216

X — произвольное положительное
число, то соответствующее ему пре-
преобразование подобия (с коэффици-
коэффициентом подобия, равным X) мы полу-
получим, рассмотрев растяжение в %
раз от какой-нибудь точки (или при
%<. 1 сжатие в % раз к какой-нибудь
точке). Итак, отображение, о кото-
котором говорится в задаче, является
эпиморфизмом. Ядро эпиморфизма
образуют преобразования подобия,
переходящие при отображении в еди-
единичный элемент мультипликативной
группы положительных веществен-
вещественных чисел, то есть преобразования
подобия с коэффициентом подобия 1.
Это — не что иное, как движения.
Следовательно, по теореме о гомомор-
гомоморфизмах, фактор-группа преобразо-
преобразований подобия по группе движений
изоморфна мультипликативной груп-
группе положительных вещественных чи-
чисел.
Сравнивая эту задачу с задачей 1
из раздела 4.2, можно заметить, что
по существу мы повторно доказали
утверждения этой задачи (придав
им точную формулировку, исполь-
использующую понятие гомоморфизма). Тео-
Теорема о гомоморфизмах позволила
существенно сократить доказатель-
доказательства.
3. Ясно, что ф иф — отображе-
отображения. Из определения групповой опе-
операции в прямом произведении групп
(поскольку над компонентой а произ-
производится групповая операция группы
А, а над компонентой b — группо-
групповая операция группы В) следует, что
ф и г|э — гомоморфизмы. При ахФ
Ф а2 пары (аг, е) и (а2, е) различны,
поэтому ф — мономорфизм. Так как
элемент b может быть любым эле-
элементом из группы В [например, как
образ пары (е, 6I, то г|э — эпимор-
эпиморфизм. Нетрудно видеть, что эпимор-
эпиморфизм \|; отображает элементы (а, е)
прямого произведения G в единич-
единичный элемент группы G, a пары (а, е)
образуют Im ф. Следовательно,
Im ф = Кег ч|э.
4. Прежде всего необходимо уста-
установить, что соответствие AM ->- AN
можно считать отображением. Это
следует из того, что М содержится в
N и, следовательно, AM — подмно-
подмножество смежного класса AN. Посколь-
Поскольку любое подмножество группы, если
оно содержится в некотором смежном
классе по N, может быть только та-
таким подмножеством, то AM однознач-
однозначно определяет смежный класс AN.
Ясно, что смежный класс AM при-
принадлежит подгруппе {Н, М}. Произ-
Произведение двух .таких смежных клас-
классов является одним из смежных
классов AM. Смежный класс, обрат-
обратный смежному классу ИМ, также при-
принадлежит к числу смежных классов
того же типа. Следовательно, под-
подгруппа {Н, М} исчерпывается смеж-
смежными классами AM. Итак, соответст-
соответствие AM ->- AN задает отображение
смежных классов группы {Н, М}
по нормальному делителю- М в неко-
некоторое множество — как показывают
аналогичные рассуждения, в фактор-
факторгруппу {Н, N}/N.
Это отображение является гомо-
гомоморфизмом, так как М и N — нор-
нормальные делители группы G и
(AXM)(A2M) = (AXA2M), (A1N)(A2N) =
= (A^N). Итак, рассматриваемое
отображение действительно сохра-
сохраняет групповую операцию.
Чтобы мы могли применить теоре-
теорему о гомоморфизмах, для получен-
полученного гомоморфизма ф необходимо
определить его образ 1тф и ядро
Кег <р. Как показывают рассуждения,
аналогичные приведенным выше, вся
подгруппа {Н, N} исчерпывается
смежными классами AN, то есть
Im ф = {Н, N}/N.
Рассмотрим теперь ядро гомомор-
гомоморфизма ф. Смежный класс AM принад-
принадлежит 1шф, если его прообраз при
гомоморфизме — смежный класс
AN — является единичным элемен-
элементом фактор-группы {Н, N}/N, то
есть если AN = N. Но так проис-
происходит в том и только в том случае,
если A£N. Так как элемент А по
определению принадлежит подгруппе
Н, то ядро гомоморфизма ф образуют
те смежные классы AM, для которых
А£Н (] N. (Через Н П N мы обо-
обозначили пересечение, то есть общую
217

часть, подгрупп Н и N.) Эти смеж-
смежные классы порождают подгруппу
{Н (~| N, М}. А поскольку элементы
ядра являются смежными классами
по нормальному делителю М, то яд-
ядро гомоморфизма ф совпадает с фак-
фактор-группой {Н f|N,M}/M. Отсюда
по теореме о гомоморфизмах получа-
получа({Н, М}/М)/({Н П N,M}/M)
SS{H, N}/N.
ем
5. Если М = {е}, то, с одной сто-
стороны, {Н, М} = Н и {Н (IN, M}=
= Н f| N, а с другой стороны, вмес-
вместо Н/М можно подставить Н, а вмес-
вместо Н П N/M — пересечение Hf|N.
Проделав зти преобразования, мы
получим первую теорему Нётер об
изоморфизмах:
H/HflNss{H, N>/N.
Если Н =G, то {G, М} = {G,
N} = G; кроме того, G П N =N
и {N, М} = N. Производя соответ-
соответствующие подстановки, преобразуем
приведенное выше соотношение к ви-
ДУ
(G/M)/(N/M)sG/N.
Это соотношение известно под назва-
названием второй теоремы Нётер об изо-
изоморфизмах.
Нетрудно вид еть, что правая часть
соотношения получена как бы при
сокращении одинаковых знаменате-
знаменателей «дробей», стоящих в числителе и
в знаменателе левой части. Первая
теорема Нётер также обнаруживает
общие черты с действиями, произво-
производимыми над обычными дробями. Если
соотношение
H/HAN^{H, N}/N
прочитать справа налево, то видно,
что числитель и знаменатель «дроби»
можно заменять пересечением с одной
и той же подгруппой. Если то же со-
соотношение прочитать слева направо,
то видно, что вместо числителя и зна-
знаменателя можно рассматривать под-
подгруппу, порожденную числителем и
218
нормальным делителем, которая про-
факторизована по нормальному де-
делителю.
5.3
1. Воспользуемся теоремой о го-
гомоморфизмах. Если ф : А—>-В, то х:
: а ->-а.Кегф и ф: а- Кегф ->-ф(а)
при любом а 6 А. Таким образом, ^ —
эпиморфизм, ч|э — мономорфизм и
ф = tfx, что и требовалось доказать.
2. Если ф — мономорфизм и
фа == фР, то при любом х, на кото-
который можно подействовать как ото-
отображением а, так и отображением {$,
выполняется соотношение ф<х(ж) =
= фР(ж). Поскольку различные эле-
элементы мономорфизм ф переводит в
различные элементы, то а(х) = Р(ж).
Это и означает, что а = р\
Пусть t|? — эпиморфизм и yty =
= 6Ч|). Это равенство означает, что,
если t|? отображает группу А на груп-
группу В, то как у, так и б отображают В
в какую-то другую группу. Пусть
Ъ — произвольный элемент группы
В. Так как t|j — эпиморфизм, то в
группе А существует элемент а, об-
образ которого при эпиморфизме* сов-
совпадает с 6, то есть b = t|? (а). По ус-
условию задачи, y(b) = yty(a) = 6t|) (a) =
= 6F). Так как b — произвольный
элемент группы В, то у = б, что и
требовалось доказать.
3. То, что для любого изоморфизма
Ф существует обратный изоморфизм
ф, было доказано при рассмотрении
изоморфизмов. Докажем обратное ут-
утверждение. Пусть ф : А -+-В — не-
некоторый гомоморфизм, а ф — гомо-
гомоморфизм, обладающий тем свойством,
что фЧ|) и фф— тождественные ото-
отображения. Гомоморфизм ф может
осуществлять только отображение
ф : В ->- А (в противном случае ото-
отображения фф и фф не могли бы быть
тождественными). Если ф^) =
= ф(«2)> то (поскольку отображение
фф любой элемент переводит в себя)
ai — Фф(а1) = Фф(аг) = «2- Следо-
Следовательно, ф — мономорфизм. Если
b — произвольный элемент группы
Bj то (поскольку отображение <рф лю-

бой элемент переводит в себя) b =
= фф(Ь). Это означает, что .любой
элемент b группы В является обра-
образом некоторого элемента, группы А
при гомоморфизме ф, то есть ф —
эпиморфизм. Но гомоморфизм, обла-
обладающий свойствами мономорфизма и
эпиморфизма, является изоморфиз-
изоморфизмом. Следовательно, ф — изо-
изоморфизм.
4. Утверждения задачи докажем от
противного, а) Если а — не моно-
мономорфизм, то существуют два различ-
различных элемента, переходящих под дей-
действием а в один и тот же элемент.
Но в этом случае ра отображает те
же два различных элемента в один
элемент и поэтому не может быть мо-
мономорфизмом, б) Рассмотрим гомо-
гомоморфизмы а:А->-В и р : В -> С.
Если р — Не эпиморфизм, то в груп-
группе С найдется элемент с, не являю-
являющийся образом ни одного из элемен-
элементов группы В, то есть не представи-
мый в виде с = Р(Ь). Но тогда ни
один из элементов а группы А не
представим в виде Ра(а), поскольку
а(а) — элемент группы В. Следова-
Следовательно, р<х — не эпиморфизм. В
обоих случаях полученные противо-
противоречия доказывают, что исходное пред-
предположение неверно, то есть что вы-
выполняются исходные утверждения за-
задачи.
5. Требуемым свойством обладают
гомоморфизмы а : а -*■ (а, Ь) и р :
: (а, Ь) -*-а.
6. Так как Ра — тождественное
отображение, а всякое тождественное
отображение является мономорфиз-
мономорфизмом, то из задачи 4 следует, что а —
мономорфизм. Это означает, что а
изоморфно отображает группу А на
Ima. Рассмотрим подгруппу Кег Р
группы G. И Ima, и Кег Р — нор-
нормальные делители группы G: I ma —
по условию задачи, КегР — как яд?-
ро гомоморфизма.
Если g£ Ima (~| Kei-p, то g можно
представить в виде if = a (a), где a —
некоторый элемент группы А, а
P(g) совпадает с единичным элемен-
элементом е группы А. Таким образом, е =
—Hg)= Pa(a)» а поскольку pa— то-
тождественное отображение, то pa(a)=
= а. Следовательно, а = е, поэтому
элемент g, являющийся образом эле-
элемента а при гомоморфизме а„ совпа-
совпадает с единичным элементом группы
G, а Ima и КегР имеют единствен-
единственный общий элемент — единичный
элемент.
Есаи g £G, ToaP(g) бОидляб =
= iKaPdf)) выполняется соотноше-
соотношение р(Ь) - PteJpapdT1). Но pa —
тождественное отображение, по-
поэтому р(Ь) = р^РСГ1) = е, то
есть b g Кегр. Нетрудно видеть,
что элемент a$(g) принадлежит Ima,
а элемент g можно представить в ви-
виде g = b-a$(g). Следовательно, все
элементы группы G принадлежат
группе, порожденной Ima и КегР,
то есть Ima и Кег Р порождают всю
группу G. Из задачи 3 раздела 5.1
получаем, что в этом случае
GssKeriJxIma и islma.
Утверждение задачи соответствует
В = Кегр.
6.2
1. Так как рассматриваемая полу-
полугруппа содержит бесконечно много
элементов, то речь может идти лишь
о множествах, допускающих беско-
бесконечно много отображений на себя.
Таким свойством обладают только
бесконечные множества. Это означа-
означает, что сколько бы элементов мно-
множества аг, п2, ..., ап,... мы ни пере-
перебрали, всегда найдутся элементы
множества, еще не названные нами.
Рассмотрим , отображение, которое
каждый из перенумерованных нами
элементов переводит в следующий
элемент, а каждый из остальных эле-
элементов оставляет на месте. Степени
этого отображения вместе с тождест-
тождественным отображением образуют полу-
полугруппу, изоморфную свободной
полугруппе, порожденной одним эле-
элементом.
2. Пусть gu gz, —, gh — образу-
образующие элементы группы. Выберем it
образующих элементов свободной
полугруппы и отобразим их на эле-
219

менты gx, g2, ..., gh, а остальные к
образующих свободной полугруппы
отобразим на обратные элементы g^1,
gt'1, ...» gk'1. Гомоморфизм, осущест-
осуществляющий заданное нами отображе-
отображение, существует (и более того — од-
однозначно определен).. Так как любой
элемент группы можно представить в
виде произведения образующих эле-
элементов и элементов, обратных об-
образующим, то вся группа.является
гомоморфным образом свободной по-
полугруппы.
(Система из 2к образующих эле-
элементов свободной полугруппы пона-
понадобилась потому, что одна лишь опе-
операция умножения не позволяет за-
задавать обратные элементы, поэтому,
если бы существование обратных эле-
элементов не гарантировалось заранее,
то его пришлось бы доказывать особо
в каждом отдельном случае. Сообра-
Соображения подобного рода используются
при построении так называемых «сво-
«свободных групп». Эти группы характе-
характеризуются тем, что их образующие
элементы не связаны никакими соот-
соотношениями, кроме тех, которые сле-
следуют из аксиом группы. Соответствие
между образующими элементами двух
групп однозначно определяет
гомоморфизм, а отличительное свой-
свойство свободных групп при гомомор-
гомоморфизме не нарушается.)
1. Если х — один из элементов
цикла, то элементы цикла располо-
расположены в следующем порядке: х, xg,
хф, ... . Все эти элементы различны
до тех пор, пока соответствующая
степень элемента g не совпадаете
единичным элементом группы. Сле-
Следовательно, длина каждого цикла
совпадает с порядком o(g) элемента
g. Поскольку (при g=£ e) каждый
элемент группы входит в один из
циклов, то общее число элементов во
всех циклах равно порядку группы.
Следовательно, порядок элемента яв-
является делителем порядка группы.
(Мы получаем новое, весьма простое,
доказательство частного случая тео-
теоремы Лагранжа.)
Если группа не конечна, то для
конечных элементов g длина циклов
будет по-прежнему совпадать с по-
порядком элемента о ,&), а для элементов
бесконечного порядка длина каждого
цикла бесконечна, причем в обе сторо-
стороны (вчастности, число бесконечных
циклов может оказаться равным
2. В этом случае подстановка Qg
переводит элемент х в элемент gx, a
подстановка Qh отображает gx в
(hg)x. Но именно в элемент (hg)x
элемент х переходит под действием
подстановки Qh . Следовательно, со-
соответствие х —>- gx не сохраняет, а
«обращает» групповую операцию, по-
поскольку образ произведения оказы-
оказывается равным произведению обра-'
зов, взятых в обратном порядке.
3. В случае полугрупп соответствие
Pg, при котором любому элементу х
сопоставляется элемент xg, вообще
говоря, не является подстановкой.
Соответствия Pg связаны с подста-
подстановками так же, как отображения
множества в себя с взаимно-одно-
взаимно-однозначными отображениями множества
на себя. Относительно соответствий
Р можно показать, что, если задать
на них операцию «умножения», ана-
аналогичную операции, производимой
над подстановками, то Р образуют
полугруппу.
Нетрудно проверить, что соот-
соответствие ф : g -*- Р сохраняет опе-
операцию. Тем не менее <р не является
мономорфизмом, как в случае групп.
Действительно, существуют полу-
полугруппы, в которых при различных
g и h для всех элементов х выполня-
выполняется соотношение xg = xh. (Такова,
например, полугруппа, в которой
умножение задано так, что произве-
произведение двух элементов совпадает с
первым сомножителем ab = а.)
При доказательстве теоремы Кэли
мы установили, что отображение ф :
5 g —*- Pv является мономорфизмом,,
использовав при этом существова-
существование единичного элемента группы. Не-
Нетрудно видеть, что если в полугруппе
220

существует (левый) единичный эле- кую полугруппу можно дополнить
мент, то мы также получаем моно- одним элементом так, что этот эле-
морфизм. мент будет единичным элементом рас-
Для произвольных полугрупп ширенной полугруппы, а для полу-
полусправедливо утверждение, аналогич- группы с единицей доказательство
ное теореме Кэлил поскольку вся- теоремы Кзли «проходит».

К главе второй
i.i
1. Все тождества относительно сло-
сложения выполнены, в этом мы убеди-
убедились при рассмотрении кольца мно-
многочленов. Операция, заданная на
множестве многочленов, представля-
представляет собой нечто иное, как замену пе-
переменной, илиподстановку. Докажем
ассоциативность. Пусть /(ж), g(x) и
h(x) — три многочлена и у(ж) =
= f{x) о g(x) = f(g(x)), и(х) = g(z)o
oh(x) = g(h(x)). Тогда
f{x) о [g (x) о h (x)] = f{x) о и (x) =
[/ (ж) о g (ж) ] о h (ж) = v (ж) о h (ж) =
Тем самым ассоциативность опера-
операции доказана.
Если Цх) = fix) -f gix), то для
любого многочлена и(ж) справедливо
соотношение &(ц(а:)) = /(и(ж)) -^
-Ф> giuix)), или (/(ж) + gix)) о и(ж) =
= /(ж) о и(х) ■£ #(ж) о и\х). Это оз-
означает, что для операции выполня-
выполняется правый закон дистрибутивнос-
дистрибутивности. В отличие от него левый закон
дистрибутивности для операции О
утрачивает силу. Например, при
fix) = gix) = x и uix) = хг
u(x)o(f(x)
= ж2о ж + з*о х = ж2 4- ж2 = 2х*.
Этот пример показывает, что из
тождеств, которым удовлетворяют за-
222
данные на элементах кольца опера-
операции, выпадает один из законов дист-
дистрибутивности. Поэтому существен-
существенно, чтобы в число условий входили оба
закона дистрибутивности.
2. Одним из элементов кольца яв-
является нулевой элемент. Умножение
на нуль всегда коммутативно. Если
кольцо содержит только один эле-
элемент, то утверждение задачи доказа-
доказано- Если в кольце имеется еще один
элемент а, то существует лишь одно
произведение, отличное от нуля: а-а.
Ясно, что оба входящих в него сомно-
сомножителя можно переставлять местами,
не изменяя произведение. Следова-
Следовательно, утверждение задачи можно
считать доказанным и для колец,
содержащих два элемента. Если коль-
кольцо, кроме нуля, содержит элементы
а и Ь, то элемент а ■£ Ъ не может сов-
совпадать ни с а, ни сЪ (так как оба эле-
элемента а и Ъ отличны от нуля), в силу
чего а -#■ Ъ =0. Но тогда ab =
= —аа (так как aia 4- b) = aa -#■
■#> ab и а(а ■#■ Ъ) = аО = 0) и,
кроме того, Ъа = —аа (так как
(а *& Ъ)а = аа ■£ Ьа). Таким обра-
образом, в этом случае отличные от нуля
элементы кольца удовлетворяют соот-
соотношению ab = ba. (Коммутатив-
(Коммутативность умножения для всех других
вариантов выбора двух элементов
кольца следует из приведенных выше
соображений.)
3. Начнем с группы по сложению,
состоящей из двух элементов: чисел
О и 1, Единичным элементом группы
является число 0, поэтому 1 ■#■ 1 =
= 0. Рассмотрим множество из че-
четырех элементов: прямое произведе-
произведение такой группы на себя. Оно сое-

тоит из пар (а, Ь), а каждая из компо-
компонент а и Ъ может принимать любое
из двух значений 0 или 1. Сложение
в прямом произведении групп опре-
определено, а умножениемы зададим сле-
следующим образом:
(а, Ь) (с, d) = ((a + Ь) с, (а + Ъ) d).
Прежде всего докажем ассоциа-
ассоциативность умножения:
(а, Ь) [(с, d) (е, /)] = (а, Ъ) ((с + d)e,
(a+b)(c
[(a, b)(c,d)\(e,f) =
=((a+b)c, (a + b)d)(e,f) =
=(((a + b)c + (a+b)d)e,
((a+b)c + (a + b)d)f).
Итак, умножение ассоциативно.
Аналогичным образом можно дока-
доказать и оба закона дистрибутивности.
Построенное кольцо не коммута-
коммутативно, так как, например, A,0)A,1)=
= A,1),аA,1)A, 0) =@,0).
4. Заданное на множествепар комп-
комплексных чисел сложение является
не чем иным, как операцией, задан-
заданной в прямом произведении аддитив-
аддитивной группы комплексных чисел на
себя, поэтому относительно сложе-
сложения пары комплексных чисел обра-
образуют группу. Как показывают пря-
прямые выкладки, умножение пар ассо-
ассоциативно и дистрибутивно (выполня-
(выполняются оба закона дистрибутивности).
Единичным элементом кольца слу-
служит пара A, 0), элементом, обрат-
обратным элементу (а, Ъ) — пара (a/N,
—bIN), где N = ал ■¥ ЬЪ = \a\i +
4* |Ь|2. Если (а, Ь) Ф @,0), то вещест-
вещественное число отлично от нуля, и
поэтому на него можно делить. Сле-
Следовательно, мы действительно полу-
получили тело.
Построенное тело не коммутатив-
коммутативно. Например, (г, 0) @, 1) = @—0,
г 4-0) = @, 0, а @, 1)(г, 0) = @-0,
о-м-0) =@, -О-
5. Ассоциативность и дистрибутив-
дистрибутивность следуют из того, что произве-
произведение двух и большего числа сомно-
сомножителей равно нулю-
1.2
1. Поскольку речь идет о числах,
то необходимость в доказательстве
тождеств отпадает- Используя свой-
свойства целых чисел, получаем: (a -f-
+ Ы) + (с -f di) = (а + с) +
+(b-td)i, 1 = 1 -f 0- г, —{а + Ы) =
= (—а) 4- (—b)i и (а + bi)(c-\- di) =
= (ас — bd) 4- (ad 4- bc)i. Следова-
Следовательно, комплексные числа a -j- Ы с
целой вещественной и мнимой частью
образуют кольцо.
Для упрощения выкладок заметим,
что ф(а 4- bi) совпадает с квадратом
модуля комплексного числа а ± Ы,в
силу чего значение функции ф, соот-
соответствующее произведению, равно
произведению ее значений, соответ-
соответствующих сомножителям. Рассмот-
Рассмотрим сначала случай, когда делитель—
положительное целое число N (рав-
(равное N 4- 0' 0* Выберем из заданного
кольца произвольный элемент и +
-fr vi. Разделим на N вещественную
часть и и мнимую часть у. Чтобы из-
избавиться от слишком больших остат-
остатков от деления, видоизменим не-
несколько процедуру деления- Если ос-
остаток от деления больше N12, то
увеличим частное на 1 и получим
остаток, заключенный между—N12 и
4s- N12. Итак, для и найдутся целые
числа р и г, а для v — целые числа
q и s, удовлетворяющие соотношени-
соотношениям и = pN 4- г и v = qN 4- s,
причем оба числа г и s заключены
между —N12 и N12 (то есть, если
х — любое из чисел rns,To —iV72<j
и
и 4- vi = (pN 4- г) 4- (qN 4- «) i =
Комплексное число и ■$■ vi уже
представлено в требуемом виде. Не-
Необходимо лишь доказать соответст,-
вующее неравенство:
223

о2 = 9 (N).
На этом рассмотрение первого слу-
случая завершается.
Пусть теперь а 4- Ы и с 4- di —
произвольные элементы кольца, а
с + di, кроме того, отличен от нуля.
Тогда (с + di)(c — di) = с2+ di =
= N — положительное целое число
и и -ф- vi = (а + Ы) (с — di) —
элемент кольца. По доказанному вы-
выше, существуют элементы р 4- qi и
г + si кольца, удовлетворяющие со-
соотношению
м + »* = (р + д») N +
Это означает, что
(а + Ы) (с — di)
(г + si).
+ {r + si).
Поскольку левая часть равенства и
первое слагаемое в правой части ра-
равенства делятся на с — di, то и вто-
второе слагаемое в правой части также
делится на с — di, то есть его можно
представить в виде г 4- si = (х -I-
4- yi)(c — di), где х -f yi — неко-
некоторый элемент кольца. Подставляя
это выражение в равенство и сокра-
сокращая обе части на отличное от нуля
комплексное число, получаем:
а + Ы = (р + qi)(c + di) + (x + yi).
Так как ф(с — di) = N, то
ср (г + si) = 9 (x+yi) 9 (c—di) =
Разделив обе части неравенстваЖ2>
>ф (х + yi) N на N, приходим к
окончательному результату: ф(ж +
4- yi)< N =ф(с +di).
2. Поскольку многочлены с рацио-
рациональными коэффициентами образуют
область целостности, то необходи-
необходимость в проверке тождеств отпадает.
Остальная часть первого утвержде-
утверждения доказывается так же, как в ре-
решении предыдущей задачи.
Переходим ко второму утвержде-
утверждению. Требуется доказать, что много-
многочлен 2г-/(аг) ■£ z*~g(z) (где f{x) и
g(x) — многочлены с целочисленны-
целочисленными коэффициентами) не может быть
наибольшим общим делителем много-
многочленов 2х и хг. Поскольку оба мно-
многочлена 2хжхг кратны многочлену х,
то их наибольший общий делитель
(если его можно представить в ука-
указанном выше виде) также кратен
многочлену х. Запишем его в виде
многочлена x-d(x). Если это — об-
общий делитель многочленов 2х их2,
то найдутся такие многочлены и(х)
и v(x) с целочисленными коэффици-
коэффициентами, что 2х = X'd(x) u(x) и я2 =
= x-d(x)v(x), или после сокраще-
сокращения 2 = d(x)u(x) и х = d(x)v(x). Из
первого равенства видно, что много-
многочлен d(x) может быть только посто-
постоянной, а из второго равенства
коэффициент при его старшем члене
равен 1 или —1- Число —1 является
единицей, поэтому можно предполо-
предположить, что d(x) = 1. Тогда 2x-f(x) 4-
•t xi-g(x) = х, или после сокраще-
сокращения 2f(x) 4- X'g(x) = 1. Ясно, что
последнее равенство выполняться не
может, так как свободный член пер-
первого слагаемого в его левой части
четен (так как равен удвоенному сво-
свободному члену многочлена /(#)), а
свободный член второго слагаемого
равен нулю, и их сумма никак не мо-
может быть равной единице.
Из приведенного решения видно,
что кольцо многочленов с целочис-
целочисленными коэффициентами не может
быть евклидовым кольцом, поскольку
в нем «кое-чего» недостает для этого.
Тем не менее элементы кольца допус-
допускают однозначное разложение на
простые множители. Доказательство
этого утверждения чрезвычайно гро-
громоздко и основано на использовании
большого числа лемм, поэтому мы
не будем приводить его здесь. Но
метод доказательства (применимый
не только к рассматриваемому, но и
ко многим другим кольцам) заслужи-
заслуживает того, чтобы сказать о нем не-
несколько слов.
Если элементы области целостное-
224

ти допускают однозначное разложение
на простые множители и выполняет-
выполняется специальное условие (кольцо
должно быть нетеровым), то построив
кольцо, элементами которого явля-
являются многочлены с коэффициентами
из заданного кольца, мы опять полу-
получим нетерово кольцо, и его элементы
будут допускать однозначное разло-
разложение на простые множители. Мож-
Можно показать, что всякое евклидово
кольцо является нетеровым. Следова-
Следовательно, кольцо многочленов с коэф-
коэффициентами иэ евклидова кольца
также принадлежит к числу нетеро-
вых. Тот же метод позволяет дока-
доказать, что в кольце многочленов от
любого числа переменных с коэффи-
коэффициентами из евклидова кольца все
элементы допускают однозначное
разложение на простые множители.
3. Доказать, что числа а 4- ЪУ—5
с целыми а и Ь образуют область це-
целостности, можно так же, как в пре-
предыдущих задачах. Но для доказа-
доказательства остальных утверждений не-
необходимы новые соображения.
Предположим, что а 4- ЬУ—5 —
делитель числа с 4 dV—5. Это оз-
означает, что существует число х 4
■Ф- yY—5, удовлетворяющее равен-
равенству (а 4 bV~^5)(x 4 yV^b) =
= с -$■ dj/ —5. Модули чисел a -f-
4 ЬУ^ЗГ.л: 4- yV^ и с4 dV^b
связаны между собой соотношением
(а2 4 ЪЪ*)(х2 4 5г/2) = с2 + 5d2.
Так как все три модуля — целые
числа, то отсюда следует, что а2 4-
4- 5Ь2 делит число с2 4- 5d2. Число
а2 4 5Ь2 называется нормой числа
а + Ъу —5. Понятие нормы позво-
позволяет сформулировать полученный ре-
результат следующим образом: если в
заданном кольце чисел одно число
делит друзое, то норма делимозо
кратна норме делителя. Полученный
результат будет неоднократно ис-
использоваться в дальнейшем, посколь-
поскольку он позволяет свести делимость
элементов к делимости их норм.
Число а 4- ЪУ —5 может быть
делителем числа 2 в том и только в
том случае, если а% 4 562 делит-2я =
= 4. Аналогичное утверждение спра-
справедливо и относительно числа 1 4-
41- V—5 ; число а 4 by/ —5 делит
его в том и только в том случае, если
а2 4- 5Ь2 делит I2 4- 5-12 = 6. По-
Поскольку наибольший общий делитель
чисел 4 и 6 равен 2, то рассматривать
необходимо только делители числа 2.
Число а2 4^ 5Ь2 неотрицательно и
поэтому равно либо 1, либо 2. При
Ьф 0 число а2 41- 5Ь2 не может быть
меньше 5. Следовательно, Ь = 0.
Так как квадрат целого числа не
равен 2, то а2 = 1. Будем считать,
что а = 41- Тогда наибольший об-
общий делитель двух чисел 2 и 1 4-
■ф- У — 5 равен 1 (другой общий
делитель равен —1). Предположим
теперь, что
2 (а +
Раскрывая скобки и группируя чле-
ны, содержащие и не содержащие
V—5, преобразуем равенство к виду
Bа + с 4- Ы) 4-
откуда
2в + с+И=1, 264-с 4-^ = 0.
Вычитая из первого равенства вто-
второе, получаем
2а — 1Ь + Ы = 1,
что невозможно, так как единица —
нечетное число.
Для доказательства неразложимос-
неразложимости чисел 2 и 1 4- У — 5, в кольце
чисел а 4 ЪУ —5 с целыми а и Ъ
воспользуемся тем же приемом. Од-
Однако на этот раз недостаточно огра-
ограничиться делителями числа 2, а
придется рассмотреть делители чисел
4 и 6. Поскольку в дальнейшем нам
понадобится доказать неразложи-
неразложимость чисел 3 и 1 — У — 5, рассмот-
рассмотрим также делители числа Зг = 9.
(При доказательстве неразложимости
225

числа 1 — V—5 речь опять пойдет
о делителях числа 6.) Нас будут ин-
интересовать только положительные
делители: 1, 2, 3, 4, 6 и 9. Так как
число —1 — единица кольца, то
можно считать, что рассмотрению
подлежат только делители вида a -f-
4- bV^E с а > 0. Если Ь > 2,
то а% + 5Ьг > 2, и мы заключаем,
что либо Ъ = 1, либо 6=0. Если
Ь = 1, то число а% ■$■ 5 может быть
равно 9 (при а = 2) и 6 (при а = 1).
Если же Ь = 0% то число а2 -I- 5
может быть равно 9 (при а = 3),
4 (при а = 2) и 1 (при а = 1).
Поскольку норма произведения
равна произведению норм сомно-
сомножителей, то одно из двух рав-
равных по норме чисел делит другое
лишь в том случае, если норма част-
частного равна 1. Как показано выше,
так бывает только в том случае, если
частное равно +1 или —1, то есть
если два числа совпадают или одно
из них равно другому, взятому со
знаком минус. Таким образом, из
полученных выше чисел 2 -Ф- 'У—5,
2 _ у^5, 1 -I- V-5, 1 - V^,
3, 2 и 1 первые два не делят ни одно
из заданных чисел, а все остальные
(кроме 1) делят только себя. Следова-
Следовательно, все зти числа неразложимы.
Доказательство того, что ни одно
из чисел 2 и 1 4- V—5 не простое,
проводится так же, как доказатель-
доказательство неразложимости, и сводится к
несложным выкладкам.
2.1
1. Предположим, что (а, Ъ, с, d)
и (х, у, и, v) — четверки чисел,
удовлетворяющие обоим соотноше-
соотношениям. Тогда 2(а + х) — 3(Ъ + У) +
+ Ыс + и) + (d + v) = Bа -ЗЬ +
+ 5с + d) + Bх -Зу + 5и + v) =
= 0 4- 0 = 0 и -3(а + х) + 2(Ь +
+ У) + (d + v) = (-За 4- 2Ь 4- с)+
4- (-3x4- 2у +v)= 04- 0=0. Кро-
Кроме того, 2{tx) —Цгу) 4- ЦЩ 4- (tv) =
= tBx —3y + 5u + v) = f.O =0
и —3(tx) 4- 2(ty) + tv = t(—Sx +
4- 2y + v) = t-0 = 0 при любом
t. Следовательно, четверки чисел,
удовлетворяющие двум приведенным
в условиях задачи соотношениям,
образуют подпространство в вектор-
векторном пространстве всех четверок чи-
чисел.
2. Если а1г аг, —, ап, — — огра-
ограниченная последовательность, то су-
существует такое вещественное число
А, что при любом г выполняется не-
неравенство —А < at<C А. Пусть blt
Ь%, •••» Ъп, ... — другая ограничен-
ограниченная последовательность, члены кото-
которой по абсолютной величине меньше
вещественного числа В, то есть при
любом i удовлетворяют неравенству
—#<; bj< В. Сумма двух после-
последовательностей также принадлежит к
числу ограниченных последователь-
последовательностей, поскольку —(А 4- #)< я*+
4- bj< А 4- В. Если все члены
первой последовательности умно-
умножить на вещественное число с, то
верхней гранью для членов последо-
последовательности будет число сА вместо
прежней верхней грани А (если чис-
число с отрицательно, то верхней гранью
будет число —с А; при с = 0 верх-
верхней гранью может служить любое
положительное число, например 1).
3. Прежде всего необходимо дока-
доказать, что последовательности, у ко-
которых ограничена сумма квадратов
их членов, являются ограниченными
последовательностями. Пусть ах, az,...
..., ап, ... — одна из таких последо-
последовательностей и сумма квадратов лю-
любого числа ее членов меньше числа А
(которое поэтому может быть только
положительным). Выбрав любой из
членов последовательности, получим:
аг2< А, то есть — V~A<. аг< VА.
Ясно, что верхней гранью для сум-
суммы квадратов членов последователь-
последовательности саг, са%, —, сап, ™ служит
число с2А.
Найдем верхнюю грань, соответст-
соответствующую сумме двух последователь-
последовательностей: аи а%, ~.., ап, ... с верхней
гранью для суммы квадратов ее чле-
членов, равной А, и Ъ1г Ъ2, ..., Ьп, ... с
верхней гранью для суммы квадратов
ее членов, равной В. Суммой двух
последовательностей является после-
226

довательность ах + Ьи аг + Ьг, ...
...,ап-\-Ьп, ... . Выбрав любое число
членов этой последовательности, об-
образуем сумму их квадратов. Если п —
номер последнего из отобранных
членов, то удобнее рассматривать
сумму квадратов п первых членов
последовательности (ах + &iJ +
+ (ал + Ъгу + ... + (а„ + Ьп)\
Бели бы квадрат суммы был равен
сумме квадратов, то верхней гранью
для (ах + Ь,J + (ал + bzy + ...
...4- (а„ 4- ЬпJ было бы число А +
4- В. Но число а2 4- Ъ% не может
быть верхней гранью для (а 4- Ь)%.
Однако нетрудно показать, что число
2(а2 4- Ь2) всегда больше (или рав-
равно) квадрата суммы (а + ЬJ. Дейст-
Действительно, вычитая из первого числа
второе, получаем: 2(а2 4- Ь2) — (а +
4- Ь)% = 2а2 4- 2Ь2 - а2 — lab —
— Ь2 = а2 — lab + Ь2 = (а — ЬJ.
Число (а — бJ как квадрат вещест-
вещественного числа не может быть отри-
отрицательным. Следовательно, для сум-
суммы двух последовательностей сумма
квадратов любого числа ее членов
ограничена сверху, например, чис-
числом 1(А + В).
Последовательности с ограничен-
ограниченными суммами квадратов их членов
играют важную роль в математичес-
математическом анализе.
Для тех, кто знаком с понятием
сходимости, заметим следующее. По-
Последовательности каждого из пере-
перечисленных ниже типов образуют
подпространство в векторных прост-
пространствах последовательностей пяти
остальных типов!
а) вещественные последовательнос-
последовательности;
б) ограниченные последовательнос-
последовательности;
в) сходящиеся последовательности;
г) последовательности, сходящиеся
к нулю;
д) последовательности с ограничен-
ограниченной суммой квадратов их членов;
е) последовательности, все члены
которых, начиная с какого-то номе-
номера, равны нулю.
4. Утверждение следует из того,
что, если многочлен умножить на
число или взять сумму двух много-
многочленов, то многочлен, который при
этом получается, содержит не больше
переменных, чем исходные много-
многочлены.
5. Утверждение следует из того,
что при умножении на число степень
многочлена не возрастает, а степень
суммы двух многочленов не выше
большей из степеней слагаемых.
6. Требуется доказать, что,
если многочлен а1х1 4- «2^2 4- ...
...4- апхп имеет корнями п каких-то
чисел, то те же числа будут корнями
многочлена (ta1)x1 4- (ta^xz 4~ •••
... 4- (tan)xn (t '— произвольное ве-
вещественное число), и если многочле-
многочлены пхХг 4" Я2#2 4" ... 4" О,пХп И
&!#! 4- Ь2х2 + ... + Ьпхп обладают
одинаковым набором п корней, то
те же п чисел являются корнями
многочлена (ах 4- bi)#i4- (а2 4- bz)xz+
... 4- (ап 4- Ъп)хп (atMbi — задан-
заданные вещественные числа). Дока-
Доказательство достаточно провести для
какого-нибудь одного набора из п
корней, так как ни один набор не
выделен. Пусть сх, с2, ..., с„ — на-
набор из п чисел, обращающих в нуль
заданные многочлены. Тогда
(tad Ч + (ta%) сгЛ 4- itan) cn =
= t (а^ 4- агсг 4- • • • 4- апсп) =
= f -0 = 0
(at
4-
Ь2с2 4-
(а2 4-Ь2)с2 Н
Ьп)сп =
4- • • • 4- апсп) +
4- Ьпсп)=04-0=0.
2.2
1. Выясним, что можно сказать в
каждом случае о размерности век-
векторного пространства. Для краткос-
краткости условимся обозначать размер-
размерность dim.
а) Если в векторном пространстве
не существует линейно независимой
системы из к элементов, то образуем
линейно независимую систему, вклю-
227

чив в нее максимально возможное
число элементов (некоторое число ли-
линейно независимых элементов в век-
векторном пространстве заведомо су-
существует: их больше нуля и мень-
меньше к). Пусть их, и2, ..., ит — линей-
линейно независимая система, содержа-
содержащая максимальное число элементов.
Мы знаем, во-первых, что т< к,
и, во-вторых, что любая система иэ
т + 1 элементов линейно зависима
(так как т — наибольшее число эле-
элементов в линейно независимой сис-
системе). Следовательно, при любом век-
векторе v система векторов v, ux, u2, ...
,.., ит линейно зависима. Это возмож-
возможно лишь в том случае, если вектор v
линейно зависит от векторов и1г иг,..,
..., Ujn. Так как v— произвольный
элемент векторного пространства, то
«1, .
ит — система образую-
образующих и, поскольку она линейно неза-
независима, базис векторного простран-
пространства. Следовательно, dim <; к.
Справедливо и обратное утвержде-
утверждение: если dim<; к, то любая систе-
система из к элементов линейно зависима,
в противном случае система образу-
образующих не могла бы состоять менее чем'
из к элементов.
б) Если в векторном пространстве
ни при каком п не существует базис
из п элементов, то векторное прост-
пространство бесконечномерно. Бели же
при каком-то п существует базис из
п элементов, то п >.Jc, так как базис
является системой образующих. Сле-
Следовательно, неравенство п :> к вы-
выполняется во всех случаях. Справед-
Справедливо и обратное утверждение. Бели
в векторном пространстве при каком-
то п существует базис из п элементов
и п > к, то существует линейно неза-
независимая система из к элементов (на-
(например, если из базиса вычеркнуть
п — к векторов, то оставшиеся к
векторов образуют такую систему).
Если же в векторном пространстве
ни при каком п не еуществует базис
из п элементов, то при любом к в
нем существует линейно независимая
система из к векторов. Действитель-
Действительно, если бы в векторном пространстве
при каком-нибудь к не существовала
линейно независимая система из к
векторов, то по доказанному в п. (а),
это означало бы, что при каком-то
т<С к существует базис из т эле-
элементов.
в) По доказанному в п. (б) размер-
размерность векторного пространства в этом
случае удовлетворяет неравенству
dim > к. По доказанному в п. (а)
должно выполняться неравенство
dim<; к -f- 1- Следовательно, оста-
остается единственная возможность:
dim = к. Разумеется, в этом случае
элементы базиса из к векторов сос-
составляют линейно независимую сис-
систему из к векторов, а поскольку ба-
базис является системой образующих,
то линейно независимая система из
к + 1 векторов не существует.
г) Так же как и в предыдущем слу-
случае, можно доказать, что dim = к.
д) Если в векторном пространстве
ни при каком п не существует базис
из п векторов, то векторное прост-
пространство бесконечномерно. Если же
при каком-то п в векторном прост-
пространстве существует базис из п эле-
элементов, то должно выполняться не-
неравенство п > к. В противном слу-
случае, дополнив баэис соответствую-
соответствующим числом элементов, мы получили
бы систему из к векторов, а посколь-
поскольку базис является системой образу-
образующих, то и новая система также была
бы системой образующих, что по ус-
условиям задачи невозможно. Это озна-
означает, что dim > к. Наоборот, если
dim > к и существует базис из п
элементов (то есть dim = п), то
система образующих из к элементов
существовать не может, так как
векторы базиса линейно независимы.
В п. (в) мы покажем, что, если систе-
система образующих из к элементов не
существует, то при некотором п су-
существует базис из п элементов. По-
Поэтому, если в векторном пространстве
базис из п элементов не существует
ни при каком п (то есть если вектор-
векторное пространство бесконечномерно),
то в нем не может существовать сис-
система образующих из к элементов.
е) Если в векторном пространстве
существует система образующих из к
228

элементов, то, как было показано вы-
выше, вычеркнув из нее некоторое
(может быть, равное нулю) число
векторов, мы получим базис. Следо-
Следовательно, в этом случае dim <: к.
Наоборот, если dim <: к, то, припи-
приписав к любому базису (который од-
одновременно является системой обра-
образующих) соответствующее число век-
векторов, мы получим систему из к эле-
элементов. Поскольку новая система
содержит систему образующих, то
она также является системой обра-
образующих.
ж) По доказанному в п. (е) dim <;
<• к, а по доказанному в п. (д)
dim > к — 1. Этим неравенствам
удовлетворяет только dim =k. Нао-
Наоборот, при dim = к любой базис яв-
является системой образующих из к
элементов, а поскольку векторы ба-
базиса линейно независимы, то в этом
случае в векторном пространстве не
существует системы образующих из
к — 1 элементов.
з) Векторное пространство &-мер-
но. Доказать это можно так же, как
в предыдущем случае.
Расположим все рассмотренные на-
нами случаи в порядке возрастания
размерности векторного пространст-
пространства. У нас получится следующая
последовательность:
1) dim< к — п. (а);
2) dim < к — п. (е) и (л);
3) dim = к — п. (в), (г), (ж), (з)
и (к);
4) dim > к — п. (б) и (и);
5) dim > к — п. (д).
Любое из условий B) [п. (е) и (лI
следует из условия A) [п. (а)] (если
одно число меньше другого, то оно
не больше другого). Точно так же из
условия E) [п. (д)] следует любое
из условий D) [п. (б) и (и)]. Кроме
того, любое из условий C) влечет за
собой каждое из условий B) и D)
(если одно число равно другому, то
оно не меньше и не больше другого).
Наконец, интересно отметить, что,
если любое из условий B) дополнить
любым из условий D), то из их сово-
совокупности будет следовать любое из
условий C) (если одно число не боль-
больше и не меньше другого, то оно рав-
равно другому числу). В частности, ес-
если в векторном пространстве при
некотором к существует линейно
независимая система из к векторов
и образующая система иэ к элемен-
элементов, то должен существовать и базис
из к векторов. (Более того, ис-
исходя из условий B) и C), можно по-
показать, что и линейно независимая
система иэ к векторов, и система из
к образующих являются в этом слу-
случае базисами векторного пространст-
пространства.)
2. Утверждение доказано дважды:
при рассмотрении векторных прост-
пространств и в решении предыдущей зада-
задачи. Было показано, что, если из
системы образующих вычеркивать
элементы до тех пор, пока суженная
система остается системой образую-
образующих, то последняя из полученных
таким способом систем образующих
будет линейно. независимой.
3. По существу для доказательства
утверждения достаточно воспользо-
воспользоваться тем, что в векторном прост-
пространстве существует система образу-
образующих.
Выберем в векторном пространстве
любую линейно независимую систе-
систему и начнем дополнять ее векторами,
следя за тем, чтобы после присоеди-
присоединения очередного вектора расширен-
расширенная система оставалась линейно не-
независимой. Будем расширять систе-
систему до тех пор, пока это возможно.
После конечного числа шагов про-
процесс оборвется, так как в векторном
пространстве с системой образующих
из п элементов ни одна линейно неза-
независимая система не может содер-
содержать более чем п векторов. Если ult
и2,..., щ—максимальная линейно не-
независимая система векторов, то, при-
присоединив к ней любой вектор v, мы
получим линейно зависимую систему
их, щ, ..., Uj,, v. Следовательно, су-
существует нетривиальная линейная
комбинация векторов %, ц2> •••> uh, v,
равная нулевому вектору. В этой
линейной комбинации коэффициент
при векторе v не может быть равен
нулю, поскольку в противном случае
229

векторы иг, и2, ..., uh вопреки пред-
предположению были бы линейно зависи-
зависимыми. Следовательно, вектор v ли-
линейно зависит от векторов щ, и2, ...
..., uk. Поскольку v — произвольный
элемент векторного пространства,
■го щ, и2, ..., ик — система обра-
образующих, а значит, и базис, так
как векторы щ, и2, ••., ик линейно
независимы.
4. Доказательство проводится так
же, как в предыдущей задаче, толь-
только векторы линейно независимой сис-
системы взяты из системы образующих.
Решение предыдущей задачи позво-
позволяет утверждать, что в векторном
пространстве существует линейно не-
независимая система векторов, которая
включает в себя исходную линейно
независимую систему, содержится в
системе образующих и обладает тем
свойством, что любой элемент систе-
системы образующих линейно зависит от
ее векторов.По свойству (в) линей-
линейной зависимости отсюда следует, что
каждый элемент векторного прост-
пространства линейно зависит от векторов
этой системы. Следовательно, она
является базисом векторного прост-
пространства.
2.3
1. Доказательство этого утвержде-
утверждения было приведено, когда мы пока-
показали, что размерности изоморфных
векторных пространств совпадают.
2. Предположим, что <р переводит
линейно независимую систему век-
векторов в линейно независимую систе-
систему. Поскольку любой (отличный от
нулевого) вектор линейно не зависит
от самого себя (только в тривиальной
линейной комбинации обращается в
нулевой вектор), то его образ при
отображении ф не может совпадать
с нулевым вектором, поскольку нуле-
нулевой вектор линейно зависим (су-
(существует нетривиальная линейная
комбинация, переводящая нулевой
вектор в нулевой вектор, например
1-0 =0, где скаляр при нулевом
векторе отличен от нуля). Таким об-
образом, если f(u) = f(v), то (посколь-
(поскольку <р сохраняет операции)ф(м — v) =
= ср(ц) —ф(») совпадает с нулевым
вектором, и поэтому и — v =0, или
в = v. Наоборот, предположим,
что образы различных векторов при
отображении <р различны, и рассмот-
рассмотрим систему линейно независимых
векторов щ, и2, ■■-, ип. Рассмотрим
образ такой линейной комбинации
этих векторов, которую отображение
f переводит в нулевой вектор:
<*i<P ("О + «2? ("г) Н +<**? (ип)= 0.
Так как ф сохраняет операции, то
<Р (ai"i + «2"г Н Ь *nun) = °-
Поскольку нулевой вектор может
быть образом только нулевого векто-
вектора и по условию образы различных
векторов не совпадают, то это озна-
означает, что atui + ос2и2 + ••• + оспип =
= 0. Но векторы щ, и2, ...
..., ип — линейно независимы, по-
поэтому все скаляры ах, а2, ..., ап рав-
равны нулю. Следовательно, образы век-
векторов щ, и2, ..., ип при отображении
ср —векторы f(uj), f(u2), ..., (f(un)~
линейно независимы.
Таким образом, отображение <р
переводит линейно независимую сис-
систему векторов в линейно независи-
независимую систему в том и только в том
случае, если образы различных эле-
элементов не совпадают.
Предположим теперь, что отоб-
отображение ср переводит систему
образующих в систему об-
образующих. Прежде всего заметим,
что система образующих существует
в любом векторном пространстве.
Но все элементы системы образующих
порождают векторное пространство и
поэтому не могут принадлежать ни
одному истинному подпространству.
Пусть ср отображает векторное
пространство Мг в векторное прост-
пространство М2. Выберем в векторном
пространстве М2 произвольный эле-
элемент, а в векторном пространстве
Mj систему образующих, элементы
которой обозначим uj. (Мы не выпи-
230

сываем все образующие по порядку,
поскольку не известно, конечно ли
их число и можно ли выписать их
все подряд.) Отображение <р перево-
переводит систему образующих и% вектор-
векторного пространства Мг в систему обра-
образующих (р(иг) векторного простран-
пространства М2. Следовательно, вектор v 6М2
можно представить в виде линейной
комбинации конечного числа векто-
векторов <p(ut) (обозначенных так, чтобы
индексы векторов и% шли по порядку):
v = а& (щ) +
+ аЛ<Р (ип) = <Р
(переход от линейной комбинации
образов к образу линейной комбина-
комбинации возможен потому, что отображе-
отображение ф сохраняет операции сложения
и умножения на скаляр). Получен-
Полученный результат показывает, что век-
вектор v является образом некоторого
вектора из пространства Мх. Выберем
в векторном пространстве Mt систему
образующих, элементы которой обо-
обозначим ut. Требуется доказать, что
элементы ф(и,) составляют систему
образующих векторного пространст-
пространства М2. Рассмотрим произвольный
вектор v из векторного пространства
М2. По предположению, этот вектор
имеет прообраз в векторном прост-
пространстве Mj, то есть его можно пред-
представить в виде v = <р(и). Так как
ut — элементы системы образую-
образующих в векторном пространстве Мх,
то поэтому вектор и из Mj можно
представить в виде линейной комби-
комбинации конечного числа векторов и,
то есть
и = агщ 4- <*2 4- •••
откуда
V = f (и) =
4" <*2U2 4" • * * 4"
Следовательно, вектор v можно пред-
представить в виде линейной комбина-
комбинации векторов ф^), ф(и2), ..., ф(и„).
то есть векторы ф(и$) — элементы
системы образующих в векторном
пространстве М2.
(Другое доказательство см. в ре-
решении задачи 2.)
4. Разумно доказать утверждение
для внутренней прямой суммы. Пусть
М = U + V — внутренняя пря-
прямая сумма. Требуется доказать, что,
объединив линейно независимую сис-
систему векторов в подпространстве U с
линейно независимой системой век-
векторов в подпространстве V, мы полу-
получим линейно независимую систему
векторов во всем векторном прост-'
ранстве М, а объединив систему об-
образующих в подпространстве U с
системой образующих в подпростран-
подпространстве V, мы получим систему образу-
образующих во всем векторном пространст-
пространстве М. Следовательно, аналогичное
утверждение справедливо и относи-
относительно базисов: объединив базисы
в подпространствах U и V, мы полу-
получим базис во всем векторном прост-
пространстве М. Это и означает, что раз-
размерность прямой суммы совпадает с
суммой размерностей соответствую-
соответствующих подпространств.
Итак, пусть щ,и2, ...,ип —ли-
—линейно независимая система векторов
в подпространстве U, ъ v%, v2, ...
..., vk — линейно независимая система
векторов в подпространстве V.
Предположим, что некоторая ли-
линейная комбинация векторов щг и2,-..
..., ип, vt, v2, ..-, vh равна нулевому
вектору:
4-
4- *пип
4- &hvh = 0.
Сумма первых п членов в левой части
равна некоторому вектору и из под-
подпространства U, а сумма п следую-
следующих членов равна некоторому векто-
вектору v из подпространства V (посколь-
(поскольку подпространства замкнуты отно-
относительно сложения и умножения на
скаляр). Преобразуем линейную ком-
комбинацию и -\- v = 0 к виду v = —и,
где у 6 V и —и 6 U. Посколь-
Поскольку подпространства U и V не имеют
других общих элементов, кроме ну-
231

левого вектора, то и = 0 и v = О,
или
А = О
Н
Так как мх, и2, ..., ип и рх, р2, ...
...,»к— линейно независимые системы
векторов, то обе линейные комбина-
комбинации тривиальны (иначе говоря, все
скаляры ах, а2, ..., а„ и f^, (}2, ...
..., (}fe равны нулю). Тем самым линей-
линейная независимость «объединенной»
системы векторов ut, u2, ..., ип,
рх, у2, ..., У/j доказана.
Предположим теперь, что щ, щ,...
..., ир и рх, у2, ..., vg — системы об-
образующих в подпространствах U и V.
Поскольку эти два подпространства
порождают все векторное простран-
пространство, то любой вектор из М можно
представить в виде и' + »', где
и' 6U и v' gV. В каждом из под-
подпространств U и V система образую-
образующих известна, поэтому при надлежа-
надлежащим образом выбранных скалярах
векторы и' и v' можно представить в
виде
?2 Н Ь
Следовательно, сумма м' + у' пред-
ставима в виде линейной комбинации
и' 4- v' = TjUj 4- Т2 Н h
& 4" &2*>2 Н
Таким образом, объединив системы
образующих в подпространствах U
и V, мы действительно получили сис-
систему образующих во всем векторном
пространстве.
5. Чем более простым окажется
наш пример, тем лучше. Разумеется,
в простейшем (но не вырожденном)
случае каждое из подпространств
должно быть одномерным. Прямая
сумма двух одномерных подпрост-
подпространств двумерна и, если скаляры
брать из тела вещественных чисел,
представляет собой плоскость в век-
векторном пространстве. Выберем в
этой плоскости два вектора и и v
так, чтобы они не были параллельны-
параллельными. Рассмотрим любую линейную
комбинацию векторов и и v, не парал-
параллельную ни одному из них, например,
вектор и 4- v (рис. 115). Ясно, что
любые два из подпространств {и},
{v} и {и 4- v) не имеют общих эле-
элементов, кроме нулевого вектора, и
что, кроме того, любые два из этих
трех подпространств порождают всю
плоскость.
Эта задача показывает, что прямую
сумму нескольких подпространств
было бы неудобно определить как
объединение подпространств, из ко-
которых любые два не имеют общих
элементов, кроме нулевого вектора.
Если прямая сумма внешняя, то ни-
никаких затруднений не возникает:
ее можно определить, взяв п вектор-
векторных пространств (над одним и тем же
телом) и образовав наборы из п эле-
элементов, г-я компонента которых яв-
является элементом г-го векторного
пространства. Задав на множестве
этих наборов операции, состоящие
в покомпонентном сложении и умно-
умножении на скаляры (элементы тела), мы
получим векторное пространство —
внешнюю прямую сумму п вы-
выбранных нами векторных прост-
пространств. Если бы мы попытались пере-
перенести эту схему на внутреннюю пря-
прямую сумму, то понадобилось бы ввес-
ввести дополнительное предположение о
том, что заданные подпространства
вместе порождают все векторное про-
пространство и из них нельзя выбрать
ни одно подпространство, которое
имело бы не только с остальными под-
232

пространствами, но и с подпростран-
подпространствами, порожденными остальными
подпространствами, какие-нибудь об-
общие элементы, кроме нулевого век-
вектора. Например, в трехмерном прост-
пространстве любые три не лежащие в од-
одной плоскости вектора порождают
подпространства, прямая сумма кото-
которых совпадает со всем пространст-
пространством.
Нетрудно видеть, что, если вектор-
векторное пространство разлагается в пря-
прямую сумму подпространств, то это
означает следующее: любой вектор
пространства можно представить,
причем однозначно, в виде суммы
векторов, принадлежащих подпрост-
подпространствам-слагаемым.
2.4
1. Определив на множестве пар
операцию сложения, как покомпо-
покомпонентное сложение, мы заведомо полу-
получим коммутативную группу, посколь-
поскольку множество пар с такой операцией
представляет собой не что иное, как
прямое произведение двух коммута-
коммутативных групп. Умножение на эле-
элемент f кольца R удобно задать сле-
следующим образом: у(а, 0) = (^а, ?(})
и (а, 0)? = (а-j, 0f). Нетрудно про-
проверить, что при этом выполняются
все тождества как для левого, так и
для правого модуля. Кроме того,
справедливо тождество (аи)§= a(uE),
где аир — элементы кольца, а
и — элемент модуля. Если для
модуля, который является ле-
левым и правым модулем (над одним и
тем же кольцом), выполняется еще
и это тождество, то он называется
двусторонним модулем.
2. Пример такого модуля можно
построить, если воспользоваться ре-
решением предыдущей задачи. Постро-
Построенный модуль будет двусторонним
модулем в смысле определения, при-
приведенного в конце решения, но нам
это понятие не понадобится.
Рассмотрим некоммутативное
кольцо с единицей. Так же как в
решении предыдущей задачи, по-
построим модуль из пар (a, jj) элемен-
9-35
тов этого кольца. Выберем элемент
A, ?), где 1 — единичный, а т —
пока произвольный элемент кольца
(условие, которому должен удов^
летворять элемент ?, будет выведено
чуть ниже). Умножив элемент A, -j)
слева на элемент кольца а, получим
элемент (а, щ), который будет «ле-
«левым скалярным кратным» для эле-
элемента A, т). Если элемент (а, а?) яв-
является «правым скалярным кратным»
элемента A, ?), то его можно предста-
представить в виде A, fH = @, 70), где 0—
некоторый элемент кольца. Прирав-
Приравняв отдельно первые и вторые компо-
компоненты пар, получим: a = 0 и, сле-
следовательно, a-j = ?{5 = ?a. Таким
образом, если элементы кольца а и
7 выбраны так, что они не коммути-
коммутируют, то элемент модуля (а, а^) бу-
будет левым скалярным кратным для
элемента A, ?), но не будет правым
скалярным кратным. Поскольку
кольцо некоммутативно, то такие
элементы аи ] всегда найдутся.
3.1
1. а) При отражении относительно
начала координат все векторы пере-
переходят в противоположные. Следова-
Следовательно, однородное линейное преоб-
преобразование А в этом случае действу-
действует следующим образом: А(и) = — и.
б) Если и — вектор, направлен-
направленный вдоль прямой, то при отражении
относительно прямой он переходит
в себя, а все векторы, ортогональные
прямой, переходят в противополож-
противоположные векторы. Следовательно, если
векторы v и w ортогональны вектору
и и тройка векторов и, v и w порож-
порождает все векторное пространство (век-
(векторы и, v и w не лежат в одной плос-
плоскости), то А(и) = и, A(v) = —v,
A(w) = —w.
Это означает, что на произвольно
выбранный вектор однородное линей-
линейное отображение действует следую-
следующим образом: А(аи + $v + Y) =
= аи — $v —yw.
в) При отражении относительно
плоскости я, проходящей через на-
начало координат, все векторы, лежа-
233

щие в плоскости я, переходят в себя
вместе с векторами ими, порождаю-
порождающими я, а все векторы w, ортого-
ортогональные плоскости я, переходят в
противоположные. Следовательно, на
произвольный вектор действует одно-
однородное линейное преобразование
А(аи + Eр + Y"*) — аи + &v —
— yw.
г) Однородное линейное преобра-
преобразование, соответствующее ортого-
ортогональной проекции на проходящую
через начало координат плоскость л,
можно построить так же, как в пре-
предыдущем случае — п. (в) : если и и
v — векторы, порождающие плос-
плоскость я, a w — вектор, ортогональ-
ортогональный плоскости я, то на произволь-
произвольный вектор действует однородное
линейное преобразование V (аи-f-|&+
-f- yw) — аи + $v.
д) Если и — вектор, направлен-
направленный вдоль прямой, на которую про-
производится ортогональное проектиро-
проектирование, у и w — векторы, ортогональ-
ортогональные вектору и, и тройка векторов
и, v и w порождает все векторное
пространство, то У (оси -f- $v + уц>) =
= аи.
2. При нулевом отображении Овсе
элементы векторного пространства
переходят в нулевой вектор, поэтому
Кег О совпадает со всем векторным
пространством, a Im О состоит толь-
только из нулевого вектора. При
тождественном отображении каждый
элемент векторного пространства пе-
переходит в себя и ни один вектор, кро-
кроме нулевого, не переходит в нулевой
вектор, поэтому КегI = {0}, a Iml
совпадает со всем векторным прост-
пространством.
При отражении относительно на-
начала координат и прямой, проходя-
проходящей через начало координат, растя-
растяжении от центра, растяжении в на-
правлении,перпендикулярном фикси-
фиксированной прямой, проходящей через
начало координат, поперечном сдвиге
и повороте ни один вектор не пере-
переходит в нулевой вектор, кроме него
самого. Следовательно, ядра всех
этих линейных преобразований сос-
состоят только из нулевого вектора. По-
234
скольку ядро как векторное прост-
пространство нульмерно, а сумма размер-
размерностей ядра и образа преобразова-
преобразования во всех перечисленных нами слу-
случаях равна 2, то размерность образа
преобразования равна 2, то есть обра-
образом преобразования является вся
плоскость.
При ортогональной проекции на
прямую образ преобразования сов-
совпадает с прямой, на которую произ-
производится проектирование, а ядро пре-
преобразования — с перпендикулярной
прямой.
Если от плоскости перейти к трех-
трехмерному пространству, то при отра-
отражениях относительно начала коор-
координат, а также прямой и плоскости,
проходящих через начало координат,
в нулевой вектор переходит только
нулевой вектор, поэтому ядро преоб-
преобразования состоит только из нулево-
нулевого вектора. Поскольку сумма раз-
размерностей ядра и образа преобразо-
преобразования равна размерности всего век-
векторного пространства, то образ пре-
преобразования трехмерен, а это озна-
означает, что он может совпадать только
со всем векторным пространством.
При ортогональной проекции на
плоскость я образом преобразова-
преобразования является плоскость я, а ядром—
ортогональная ей прямая. При орто-
ортогональной проекции на прямую обра-
образом преобразования служит прямая,
а ядром — ортогональная ей плос-
плоскость. (В обоих случаях сумма раз-
размерностей ядра и образа преобразо-
преобразования совпадает с размерностью все-
всего пространства: 1 + 2=3.)
3. а) Поскольку операции сохраня-
сохраняются, то их следует производить по-
покомпонентно. Первой компонентой
набора может быть любое веществен-
вещественное число (если речь идет о наборах
из п вещественных чисел), поэтому
образ преобразования совпадает с
телом всех вещественных чисел. Ядру
преобразования принадлежат набо-
наборы, переходящие при преобразова-
преобразовании в вещественное число 0, то есть
наборы, первая компонента которых
равна 0.
б) Так как значение, принимав-

мое в точке х — а суммой многочле-
многочленов, совпадает с суммой значений,
принимаемых в этой точке каждым
слагаемым, а многочлен с-f(x) при-
принимает значение c-f(a), то мы дейст-
действительно получаем однородное ли-
линейное отображение. Поскольку мно-
многочлен, тождественно равный пос-
постоянной, принимает в точке х =а
значение, равное этой постоянной, и
любому вещественному числу с мож-
можно поставить в соответствие много-
многочлен, тождественно равный с, то
образ рассматриваемого преобразо-
преобразования совпадает с телом всех вещест-
вещественных чисел. Ядро преобразования
состоит из многочленов, принимаю-
принимающих в точке х = а значение f(a) =
= 0, то есть имеющих корень а.
в) Рассмотрим отображение, ста-
ставящее в соответствие комплексному
числу а + Ы его мнимую часть (рав-
(равную не Ы, а вещественному числу Ь).
Так как мнимая часть суммы комп-
комплексных чисел (а + bi) -f- (с +
+ di) совпадает с суммой мнимых
частей слагаемых, а мнимая часть
комплексного числа с(а + bi) (с —
любое вещественное число) равна
умноженной на с мнимой части комп-
комплексного числа a -f- bi, то мы дейст-
действительно получаем однородное ли-
линейное отображение (которое в дан-
данном случае является линейным пре-
преобразованием). Поскольку образом
комплексного числа может быть лю-
любое вещественное число, то образ
преобразования совпадает с телом
всех вещественных чисел. Ядру пре-
преобразования принадлежат комплекс-
комплексные числа с мнимой частью, равной
нулю, то есть опять-таки веществен-
вещественные числа. Следовательно, ядро пре-
преобразования также совпадает с те-
телом всех вещественных чисел. Та-
Таким образом, мы сталкиваемся с ин-
интересным случаем, когда ядро и об-
образ преобразования совпадают.
3.2
1. По определению A-А)(и) =
= 1-(А(и)). По свойству векторны
пространств 1 • (А(и)) совпадает
А(и). Следовательно, линейные пре-
преобразования 1>А и А переводят лю-
любой вектор и в один и тот же вектор,
то есть равны.
2. Тождественное преобразование :
I отображает любой вектор и в се-
бя, то есть Ци) = и. Отсюда следу-
следует, что, во-первых, А(Ци)) = А(и) и,
во-вторых (если вместо и в равенст-
равенство Ци) = и под ставить А( и)), 1(А(ц))=
= А(и). Полученные равенства обоз-
обозначают, что AI =Аи IA = А, то
есть что I—единичный элемент коль-
кольца линейных преобразований.
3. Если ВА = I, то В(А(и)) =
= Ци) = и при любом векторе и.
При и 6 КегА и А(и) = 0 получаем:
и = В(А(и)) = В@) = 0, то есть яд-
ядро линейного преобразования А сос-
состоит только из нулевого вектора.
Если АС = I, то (поскольку и —
= Ки) = А(С(и))) все элементы век-
векторного пространства принадлежат
образу линейного преобразования А.
Так как сумма размерностей ядра
и образа преобразования должна
совпадать с размерностью векторного
пространства, то в том случае, ког-
когда образ совпадает со всем векторным
пространством, ядро преобразова-
преобразования состоит только из нулевого век-
вектора. Поэтому условия (в) и (г) экви-
эквивалентны и каждое из них следует
как из условия (а), так и из условия
9*
Сели выполняется одно из условий
(г) и (д), то выполняется и другое
условие. Следовательно, каждый
элемент векторного пространства до-
допускает однозначное представление
в виде А(и). Поэтому поставив векто-
вектору А(и) в соответствие вектор и,
мы получим однозначно определенное
отображение. Так как А(ц) -f- A(v) =
= A(u + v) ш aA(u) = A(au), то
это соответствие сохраняет операции
сложения и умножения на скаляры.
Однородное линейное отображение
ВА : (и) -*- и удовлетворяет соотно-
соотношению ВА = I (так как ВА(и) =
= и). Кроме того, однородные ли-
линейные отображения АВ и I отобра-
отображают любой вектор и в один и тот же
вектор из образа отображения А
235

[так как А(В (А(и))) = А(и)]. По-
Поскольку образ отображения А совпа-
совпадает со всем векторным пространст-
пространством, то АВ = I. Иначе говоря, каж-
каждое из условий (а) и (б) следует как
из условия (в), так и из условия (г).
4. Если преобразование невырож-
невырожденное, то из задачи 3 следует, что
для него существует левое и правое
обратные преобразования, которые,
разумеется, совпадают. Если А'1 —
преобразование, обратное преобра-
преобразованию А, то при В А = О и АС =
= О получаем: В = ВI = ВАА =
= ОА1 = О и С = 1С = А1АС =
— А-1О = О. Это означает, что ус-
условие (в) следует как из условия (а),
так и из условия (б). Если же пре-
преобразование А вырожденное, то его
ядро содержит не только нулевой
вектор, но и образ преобразования не
совпадает со всем векторным прост-
пространством. Пусть щ, и2, ... , иг —
базис подпространства Кег А и век-
векторы vXt v2, ..., vs дополняют его до
базиса всего векторного пространст-
пространства. Тогда подпространство ImA име-
имеет размерность s, а один из его бази-
базисов состоит из векторов аг = A(vx),
аг = Мрг), .... в, = A(vs). Этот ба-
базис также можно дополнить до бази-
базиса всего векторного пространства,
для чего потребуется г векторов.
Пусть это будут векторы Ъг, Ь2, ...
Какие бы r + s векторов мы ни
выбрали, всегда можно найти ли-
линейное преобразование, переводящее
в них векторы любого заданного
базиса. Следовательно, существует
такое линейное преобразование В,
что В (bj) = щ, В (Ъ2) = иг , .-,
В(ЬГ) = иг; В (fll) = В(а2) =•...=
= В (as) = 0. Нетрудно видеть, что
линейное преобразование АВ также
переводит все векторы а,- в нулевой
вектор. Поскольку и) € КегА, то
АВ (bj) = A(uj) = 0. Итак, линей-
линейное преобразование АВ переводит все
элементы базиса, состоящего из век-
векторов at и bj, в нулевой вектор, то
есть АВ = О. В то же время линейное
преобразование А, а значит и ВА,
переводит в нулевой вектор каждый
из векторов и{. Кроме того, В(а7-) =•
= 0 по определению линейного пре-
преобразования В, поэтому BA(vj) =
= B(uj) = 0. Следовательно, ли-.
нейное преобразование ВА переводит
в нулевой вектор все элементы бази-
базиса, состоящего из векторов щ и Vj,
то есть ВА = О. Так как ядро пре-
преобразования А состоит не только из
нулевого вектора, то г ;> 0, и поэто-
поэтому образ преобразования В содержит
не только нулевой вектор. Это озна-
означает, что В Ф О. Таким образом, из
условия (в) следует как условие (а),
так и условие (б) (хотя, умножив лю-
любое линейное преобразование спра-
справа или слева на преобразование В,
мы получим нулевое преобразование
О).
5. Соотношение Рг(и) = Р(и), кото-
которое можно представить в виде Р2(и)—
— Р(и) = 0, выполняется для лю-
любого вектора и. Следовательно, Рх
X (Р(и) — и) = Р2 (и) — Р (и) = О,
то есть Р (и) — и — v gKerP. Но
тогда и = Р(и) + (—v), где Р (и) =
= Im Ри —v 6 Кег Р. Это означает,
что образ и ядро линейного преобра-
преобразования Р порождают все векторное
пространство. С другой стороны, ес-
если вектор v принадлежит и образу,
и ядру линейного преобразования Р,
то, во-первых, ректор v можно пред-
представить в виде v = Р (и) и, во-вто-
во-вторых, V = Р(М) = P2(U) = Р(Р(м)) =
= Р (v) = 0 (так как P(v) = 0).
Таким образом, подпространства ImP
и Кег Р имеют только один общий
элемент — нулевой вектор. (Послед-
(Последнее — или, наоборот, первое — ут-
утверждение можно было бы не доказы-
доказывать: по теореме о соотношении меж-
между размерностями ядра и образа ли-
линейного преобразования достаточно
было бы ограничиться доказательст-
доказательством лишь одного из двух утвержде-
утверждений, но это существенно усложнило
бы доказательство.)
6. Если N2 = О, то, поскольку
соотношение N (N(u)) = 0 выполня-
выполняется для любого вектора и, линейное
преобразование N переводит в нуле-
нулевой вектор все элементы своего обра-
образа. Следовательно, Im N cKerN. С
236

другой стороны, если образ линей-
линейного отображения содержится в яд-
ядре того же изображения, то любой
вектор и (поскольку N(u) = 0) при-
принадлежит ImN, то ecTbN (N (и)) —
— О, а это и означает, что N2 = О.
. 7. Пусть ех, е2, ..., еп — базис
векторного пространства М1( а Д,
/г. ■•■>/* — базис векторного прост-
пространства Мг- Покажем, что базис век-
векторного пространства Нот (Мг, Мг)
можно получить следующим образом.
Пусть А^ — однородное линей-
линейное отображение, переводящее век-
вектор базиса е,- в вектор базиса fj, a
все остальные векторы заданного ба-
базиса векторного пространства М] —
в нулевой вектор. Поскольку обра-
образы векторов базиса можно задавать
совершенно произвольно, то для лю-
любой пары чисел i и / мы получаем по
одному однородному линейному ото-
отображению.
Докажем, что отображения А ц сос-
составляют систему образующих век-
векторного пространства HomfM]., М2).
Для этого рассмотрим любое одно-
однородное линейное отображение А из
этого пространства. Если А(е,-) =
= «ii/l + a,2/2 + ■■• + CCikfk, ТО,
как нетрудно видеть, отображение А
совпадает с суммой отображений
aijAij. Если же сумма отображений
$i]Atj является нулевым отображе-
отображением О, то любой вектор базиса ер
она переводит в нулевой вектор. Это
означает, что 0р1Д + Ррг/г + ••■ +
+ Ppft/s = 0- Поскольку система
векторов Д, /2, ..., fu как базис
линейно независима, то все коэффи-
коэффициенты Eр? должны быть равными
нулю. Следовательно, отображения
Ац линейно зависимы. Как линейно
независимая система образующих со-
совокупность однородных линейных
отображений Atj является базисом.
Так как этот базис состоит из пк эле-
элементов, то размерность векторного
пространства Нот(М1,М2) равна пк.
3.3
1. Операцию сложения можно про-
производить над матрицами с номерами
О и 4 (сумма матриц равна [6, О, 2])г.
а также 1 и 3 (сумма матриц равна
матрице
„о о о
Кроме того, операцию сложения
можно производить над матрицами
5 и 9, а также 6 и 8. Суммы матриц
равны соответственно
"
2
9
и
"О 2"
4 —2
0 0
Наконец, операцию сложения можно
производить над матрицами 2 и 7.
Сумма матриц равна
— 10 11 58"
28 —8 —1
4 0 13
2. Обозначим через (£,/) произведе-
произведение матриц с номерами i и / (i — но-
номер первого сомножителя, / — номер
второго сомножителя). Тогда
3"
@,5) = Ц, 3, -2]
— 5
11
= 1- 3-Ь
Аналогичным образом • вычисляем
следующие произведения:
(О, 2) = [34,-33, 14], @,6) =
=[_3, -25], @, 7)=[32, 20, 15],
(О, 8) = [15, 9], @, 9) = [27],
A2)J 0 7 68-1
A, 4-^_35 37 37J'
' «.«>-[£].
13 —23
(Можно было бы также вычислить
произведения матриц A,7), A,8),
A,9), B,2), B,5), B,6), B,7), B,8),
B,9), C,2), C,5) - C,9) и т. д.)
3. Если на плоскости существуем
такой вектор щ что векторы v —
237

= A(u) и и не параллельны, то в
базисе, состоящем из этих векторов,
линейному преобразованию А соот-
соответствует матрица Ji I» так как
А(и) = 0-и + 1-v. Если же тако-
такого вектора и на плоскости не сущест-
существует, то выберем два любых непарал-
непараллельных вектора и обозначим их и
и v. Так как образ вектора и паралле-
параллелен вектору и, а образ вектора v па-
параллелен вектору v, то А(и) = аи,
A(v) = $v, где аи {5 — некото-
некоторые вещественные числа. При
некотором у должно выполняться
равенство А(и + v) =sy(u + v), то
есть аи -\- Р*> = yu 4" Y"* По-
Поскольку векторы и и v линейно неза-
независимы, то а = {5 = Y • Это означа-
означает, что линейное преобразование А
представляет собой растяжение от
центра, то есть во всяком базисе его
матрица будет иметь вид " .
4. Достаточно доказать, что в за-
заданном базисе матрица А2 — рА +
4- ql совпадает с нулевой матрицей
(то есть все элементы матрицы равны
нулю), поскольку лишь в этом слу-
случае соответствующее линейное пре-
преобразование может быть нулевым
преобразованием О. Вычисляя мат-
матрицы, соответствующие каждому сла-
слагаемому в отдельности, а затем их
сумму, получаем:
[А]
■=[:
ac + cd bc
■]•
pb
[А2 — рА+ ?1] =
а2 + be — ра + q
ас -{- cd — рс + О
аЬ 4- М — рЪ +
4.1
1. Поскольку существуют две не-
неизоморфные группы четвертого по-
рядка, необходимо рассмотреть два
случая.
а) Все элементы группы имеют по-
порядок 2.
Известно, что среди вещественных
чисел существует лишь один элемент
порядка 2 (относительно умножения),
а именно: число —1. Это наводит на
мысль представить элементы поряд-
порядка 2 матрицами [~qj| или \q_\] ,
так как квадрат обеих матриц совпа-
совпас единичной матрицей Г*01
дает
Г
Но если матрицы ["~qi| и [a_i|
принадлежат группе, то их произве-
произведение также должно быть элементом
группы, и матрица A_Y является
элементом порядка 2. Нетрудно про-
проверить, что при этом мы действитель-
действительно получаем представление группы.
б) Циклическая группа.
Чтобы построить представление
для этого случая, необходимо найти
матрицу 2X2, которая была бы
элементом порядка 4. В задаче 3 из
раздела 3.3 было показано, что про-
произвольному линейному преобразова-
преобразованию соответствует либо матрица
в любом базисе, либо матрица
9?
в специально выбранном бази-
базисе. Поскольку соотношения между
линейным преобразованием и его
степенями выполняются независимо
от того, в каком базисе записана мат-
матрица преобразования, то, не ограни-
ограничивая общности, можно предполо-
предположить, что матрица преобразования
записана либо в виде \i Щ , либо в
виде [??]• Нетрудно видеть, что,
если четвертая степень матрицы пер-
первого типа совпадает с единичной мат-
матрицей Г!?]» то и квадрат той же
матрицы совпадает с единичной мат-
матрицей (предполагается, что элементы
матрицы принадлежат телу вещест-.
венных чисел!). Проще всего в этом
можно убедиться, вычислив четвер-
четвертую степень матрицы, но гораздо
238

лучше воспользоваться следующим
способом.
Как показано в задаче 4 из разде-
раздела 3.3 , рассматриваемое нами линей-
линейное преобразование А удовлетворяет
соотношению А2 = рА — gl, где
р = 0 + Ь = Ь, a q = 0-Ь— 1-а=
= а, то есть А2 = ЪА 4~ о,1. Воз-
Возводя в квадрат обе части последнего
равенства, получаем: А4 = (А2J =
=(ЬА + alJ = Ь2А2+ lab A +
+ аЧ = Ь2(ЬА + al) + 2аЬА +
+ аЧ = (Ь3 + 2аЪ)А + (ЪЧ +
+ в2) I- Поскольку преобразования
Аи I линейно независимы, то преоб-
преобразование А4 может совпадать с I
в том и только в том случае, если
Ъ3 + 2аЬ = 0 и ЪЧ 4- а2 = 1.
Первое равенство можно представить
в виде ЦЪг 4- 2а) = 0. Если Ь =
= 0, то из второго равенства следу-
следует, что а — 1 или а = —1. Нетруд-
Нетрудно проверить, что матрица [?~i| яв-
является элементом порядка 2. Если
же ЪФ 0, то должно выполняться
равенство Ъг = —2а. Подставляя это
значение Ъг во второе равенство, по-
получаем —а2 = 1, что невозможно,
так как квадрат любого вещественно-
вещественного числа положителен.
2. Представление группы пятого
порядка матрицами 2X2 можно
построить аналогично тому, как в
решении предыдущей задачи были
построены представления групп чет-
четвертого порядка. Известно, что все
группы пятого порядка изоморфны,
поэтому рассмотрению подлежит
лишь один случай. Так как пятая
степень матрицы ["°1 может совпа-
совпадать с единичной матрицей лишь в
том случае, если сама матрица рав-
равна единичной, то выбирать следует
только матрицы второго типа. В ре-
решении предыдущей задачи было по-
показано, что А4 = (Ь3 4- 2аЬ)А -\-
4- {ЪЧ 4- а2) I. Следовательно,
А6 = (Ъ3 + 2аЬ)А2 4- {ЪЧ +
4- а2)А = (Ъ3 4- 2аЪ){ЪА + I) +
+ {ЪЧ 4- а2)А = (Ь4 + ЗаЬ2 +
4- а2)А 4- (Ь3а 4- 2а2Ь) I. Так как
А5 = I, то Ь* + ЗаЬ2 + а2 = 0 и
Ъ3а 4- 2агЪ — 1. [Если в первом
равенстве произвести подстановку
Ьг = са, то оно преобразуется к ви-
виду (с2 4- Зс 4" 1)а2 = 0. Значение
а = 0 следует отбросить, так как
оно приводит к противоречию (из
второго равенства мы получили бы,
что 0 = 1), поэтому с2 4- Зс 4- 1 =
= 0. Из второго равенства при Ь2 =>
= еа получаем Ь(с 4- 2)а2 = 1. Воз-
Возводя обе части этого равенства в квад-
квадрат и еще раз подставляя Ъг = са,
преобразуем к виду с(с +2 )ЧЬ = 1.
А поскольку с(сг 4~ 4е ■ -Ь 4) = с[(с24-
4- Зс 4- 1) 4- с 4- 3] = с@ 4- с 4-
4-3) = с2 4- Зс = —1, то матрица,
соответствующая образующему эле-
элементу группы пятого порядка, при-
принадлежит к матрицам второго типа.1
При а = —1 из второго равенства
получаем Ь3 — 2Ъ + 1 = 0. Это
соотношение (так же как и соотноше-
соотношение Ь* — ЗЬ2 4-1 =0, в которое
переходит при а = —1 первое ра-
равенство) можно рассматривать как
уравнение относительно Ь. Посколь-
Поскольку Ъ = 1 — корень уравнения
Ь3 — 2Ь + i =0 (но не удовлетво-
удовлетворяет уравнению Ь4 — ЗЬ2 4- 1 =
= 0), то это уравнение можно пре-
преобразовать к виду {Ъ — 1)(Ь2 4-6 —
— 1) =0. Каждый иа корней вто-
второго множителя удовлетворяет урав-
уравнению Ъ* — 362 + 1 =0. Следо-
Следовательно, матрица, соответствующая
образующему элементу группы пято-
пятого порядка, имеет вид [i~{,]i где
Ь — ~|±>/5 (пригоден любой из кор-
корней).
3. Попытка решить эту задачу при
помощи простых и коротких выкла-i
док, приведенных в решении преды-
предыдущей задачи, кажется безнадежной.
Подобный «пессимизм» вполне обос-
обоснован: подход, использованный на-
нами в решении предыдущей задачи,
непригоден в общем случае не только
потому, что связан с необходимостью
рассмотрения бесконечного множест-
множества групп, но и потому, что весьма
часто сами выкладки становятся
трудно обозримыми. Гораздо удоб-
удобнее воспользоваться геометрическим
подходом и выяснить, существует ли
23$.

на плоскости линейное преобразова-
преобразование, га-я степень которого совпадает с
тождественным преобразованием (а
любая меньшая степень еще не совпа-
совпадает с тождественным преобразова-
преобразованием). Перебрав все известные ли-
линейные преобразования, мы обнару-
обнаружим, что таким преобразованием яв-
является поворот на A/й)-ю полной
окружности. Тем самым утверждение
задачи доказано- В качестве примера
найдем матрицу 2X2, порождающую
представление циклической груп-
группы шестого порядка. (Вычисление
этой матрицы по способу, применен-
примененному в предыдущей задаче, было бы
сопряжено с довольно громоздкими
выкладками.) Если преобразование
А переводит вектор и в вектор v, то в
базисе и, v первый столбец матрицы
преобразования А имеет вид m .
Поскольку поворот вокруг начала
координат на 1/6 полной окружности,
то угол между векторами и и v равен
60°. Подвергнув вектор v преобразо-
преобразованию А, мы переведем его в вектор
v — и, поэтому вся матрица преоб-
преобразования А в базисе и, v имеет вид
[0-11
Линейные преобразования позво-
позволяют представлять весьма многие
группы. Например, если взять две
прямые, проходящие через начало
координат, то отражения относитель-
относительно них порождают так называемую
группу диэдра. Если угол между
прямыми кратен 3607га (но не кра-
кратен 360°), то группа диэдра содержит
2га элементов и в ней существует нор-
нормальный делитель из га элементов,
который является циклической под-
подгруппой. Если угол между прямыми
таков, что ни один кратный ему угол
не совпадает с целым кратным угла
360°, то группа диэдра бесконечна и
также содержит (бесконечную) цик-
циклическую подгруппу. Фактор-груп-
Фактор-группа группы диэдра по этой цикличе-
циклической подгруппе имеет порядок 2.
Представления многих интерес-
интересных групп удается построить при
помощи линейных преобразований
трехмерного пространства.
4.2
1. Поскольку матрицы
сос-
составляют подмножество множества
всех матриц 2 X 2, то все тождества,
которым должны удовлетворять опе-
операции сложения и умножения, для
этих матриц выполняются. Необхо-
Необходимо лишь доказать, что множество
рассматриваемых матриц замкнуто
относительно сложения и умножения.
(Этот вопрос не возник бы, если бы
речь шла о сложении и умножении
вещественных чисел.) Замкнутость
относительно умножения легко дока-
доказывается прямыми выкладками, так
как
ас
ad
—bd
+ bc
— ad — be
ac — bd
то есть произведение двух матриц
имеет тот же вид, что и сомножители.
Замкнутость относительно сложения
очевидна.
Изоморфизм алгебры матриц и те-
тела комплексных чисел задается ото-
отображением [?~ь| ** а + bi.
2. Эта задача решается так же, как
и предыдущая, только вычисления
становятся гораздо более громоздки-
громоздкими. Но существует и другой способ
решения, позволяющий избежать
длинных выкладок. Воспользуемся
им.
Разобьем исходную матрицу дву-
двумя прямыми, проходящими через
ее центр, на четыре матрицы 2x2.
Матрица, стоящая в левом верхнем
углу, соответствует комплексному
числу а -+- bi. Рядом с ней по гори-
горизонтали стоит матрица, соответст-
соответствующая комплексному числу —(с +
-f- di), а под ней — матрица, соот-
соответствующая комплексному числу с —
— di. Наконец, в правом нижнем
углу исходной матрицы стоит мат-
матрица, соответствующая комплексно-
комплексному числу а — bi. Если комплексные
числа обозначить через а = а -\- Ы
ш

и р = с -+- di, а комплексно сопря-
сопряженные числа — через а = а —
— Ы и р = с — di, то исходную
матрицу можно записать в виде
[И_ . Это означает, что кватернио-
ны можно представить матрицами с
комплексными элементами так же,
как комплексные числа, — матрица-
матрицами с вещественными элементами. Эта
аналогия весьма точна, так как ве-
вещественные числа при комплексном
сопряжении переходят в себя. (Сле-
(Следовательно, если использовать толь-
только вещественные числа, то мы полу-
получим представление, приведенное в
предыдущей задаче.)
3. Если ф — гомоморфизм и glt
gz, ■■■, gn — элементы группы G,,
то отображение,«tifi -\- dzg^ Н~ •••4*
g Mp(£i) ф(Ы4
+ &n<p(gn) действительно является
гомоморфизмом. (Следует, иметь в
виду, что элементы ф(#г) в общем
случае не образуют базис в G2.)

К главе третьей
l.i
1. На конечных подмножествах
множества неотрицательных целых
чисел можно определить объединение
и пересечение, поскольку и объеди-
объединение, и пересечение конечных мно-
множеств конечны (в частности, могут
содержать 0 элементов). Среди под-
подмножеств имеется наименьшее (пус-
(пустое множество), но не существует
наибольшего, поскольку для любого
конечного подмножества можно ука-
указать содержащее его конечное под-
подмножество. Понятие дополнения не
имеет смысла для рассматриваемых
подмножеств, так как дополнение
конечного подмножества было бы
бесконечным и, следовательно, не
принадлежало бы к числу выделен-
выделенных подмножеств.
Что касается тождеств, они долж-
должны выполняться (речь идет о тождест-
тождествах, не содержащих всего множества
и дополнений), и поэтому мы не бу-
будем доказывать их особо (все зти
тождества справедливы для любых
подмножеств любого множества).
2. На подмножествах, о которых
говорится в задаче, можно задать
объединение и пересечение. Действи-
Действительно, если имеются два подмно-
подмножества и в каждом из них до множест-
множества всех неотрицательных чисел не-
недостает лишь конечного числа эле-
элементов, то и в пересечение не войдут
лишь те неотрицательные числа, ко-
которые не принадлежат либо одному,
либо другому подмножеству, и в пе-
пересечении будет отсутствовать лишь
конечный набор неотрицательных чи-
чисел. (В пересечении отсутствующих
чисел может оказаться меньше или
самое большее столько же, сколько в
обоих подмножествах, взятых вмес-
вместе.) Среди подмножеств существует
наибольшее (поскольку множество
всех неотрицательных чисел можно
рассматривать как подмножество, по-
получающееся при выбрасывании из
всего множества конечного, нулевого,
набора неотрицательных чисел), но
не существует наименьшего (посколь-
(поскольку если подмножество получено при
выбрасывании конечного набора эле-
элементов из множества неотрицатель-
неотрицательных чисел, то, выбросив из него еще
один элемент, мы получим подмно-
подмножество, которому до множества всех
неотрицательных чисел будет по-
прежнему недоставать лишь конеч-
конечного набора элементов). Ясно, что
понятие дополнения в рассматрива-
рассматриваемом случае лишено смысла и что
выполняются все тождества, в кото-
которые не входят пустое множество и
дополнения.
3. Так же как и в двух предыду-
предыдущих задачах, подмножества, о кото-
которых говорится в этой задаче, допус-
допускают объединение и пересечение. Ни
наибольшего, ни наименьшего сре-
среди рассматриваемых подмножеств не
существует, поскольку, выбросив из
любого (допустимого) подмножества
или присоединив к нему одно чис-
число, мы всегда получим подмножест-
подмножество такого же типа, как и исходное.
Все тождества, содержащие только
выполнимые операции, остаются в
силе.
4. Необходимо лишь выяснить,
выполняется ли одно тождество, а
именно: если А 2 С, то (А (") В) U
U С = А П (В U С). Относитель-
Относительно произвольных подмножеств из-
известно, что (А П В ) U С £ А П
П (В U С). Следовательно, остается
242

лишь доказать, что каждый элемент
подмножества А (") (В (J С) принадле-
принадлежит подмножеству (А("|ВI)С.
Если элемент х принадлежит
правой части доказываемого ра-
равенства, то, с одной стороны, х £ А,
а, с другой стороны, х £ В U С.
Так как группа коммутативна, то
В U С состоит из элементов вида
Ь-с, где Ъ £ В и с £ С. (Это— наибо-
наиболее важное место во всем доказатель-
доказательстве.) Равенство х = be запишем в
виде Ъ = хс'1 . Элемент х принадле-
принадлежит подгруппе А, так как по предпо-
предположению х £ А П (В U С). Элемент
с принадлежит подгруппе Д, так как
А .2 С. Следовательно, подгруппа А
содержит и элемент с'1, а значит, и
элемент Ь = хс'1. Поскольку эле-
элемент Ъ принадлежит и подгруппе В,
то он входит в число элементов пере-
пересечения А П В. Отсюда мы заклю-
заключаем, что элемент х = be принадле-
принадлежит подгруппе, порождаемой А П В
и С, а именно зто и требовалось дока-
доказать.
5. В решении предыдущей задачи
мы уже упоминали о том, что наибо-
наиболее важным местом во всем доказа-
доказательстве было утверждение о воз-
возможности представления элементов
объединения В U С в виде произве-
произведений be, где Ь € В и с £ С Посколь-
Поскольку для нормальных делителей это
условие выполнено, то доказательст-
доказательство, приведенное в решении предыду-
предыдущей задачи, дословно переносится
на случай нормальных делителей.
1.2
1. Подставив Ь = а (~| а в левую
часть тождества (a (J Ь) (") о, = а,
преобразуем ее к виду la U (я П аI П
П в. По второму закону поглощения
выражение в квадратных скобках
равно а. Следовательно, в левой час-
части тождества стоит а [\ а, что и тре-
требовалось доказать.
2. Прежде всего докажем, что в
дистрибутивных структурах выпол-
выполняются оба тождества.' Используя
дистрибутивность и ассоциативность,
преобразуем левую часть первого
тождества к виду (а(]Ь) [} 1(с П
П Ь) U с]. По закону поглощения
выражение в квадратных скобках
равно с. Используя дистрибутив-
дистрибутивность еще раз, получаем, что левая
часть доказываемого тождества сов-
совпадает с его правой частью- Второе
тождество следует из первого в силу
принципа двойственности.
Докажем теперь (опираясь опять-
таки на двойственность), что любое
из тождеств следует из другого (на
этот раз без предположения о дист-
дистрибутивности структуры). Для этого
достаточно доказать, что одно тож-
тождество следует из другого^ так как
рассматриваемые тождества двойст-
двойственны. Действительно, левые и пра-
правые части тождеств соответствуют
друг другу, поскольку в обоих слу-
случаях являются объединениями (пере-
(пересечениями). Если во второе тождест-
тождество вместо элемента а (] с подставить
с, а вместо элемента a — элемент
a U с, то обе левые стороны
совпадут, и левую сторону второго
тождества можно преобразовать,
используя первое тождество.
(Возможно, что такое преобразование
не ведет к цели, но испробовать его
все же стоит.) Итак, пусть d = af[c.
Тогда а [} d =а [) (а (\ с) =
= а (по закону поглощения). Следо-
Следовательно, в левую часть второго тож-
тождества можно подставить а = а [) d
и преобразовать ее к следующему
виду: [(а у d) A Я U d. Нетрудно
видеть, что зто выражение совпадает
с левой частью первого тождества
(необходимо лишь заменить с на d).
Поэтому выражение [(а [} d) (") Ы О
U d совпадает с правой частью пер-
первого тождества, в котором элемент
с заменен элементом d, то есть равно
(a U d) r\(b\Jd). Но так как a[)d=
= d, а d = a f) с, то (a U Ф П (Ъ U
U «О = в П 1Ь U (« П с)]. Тем са-
самым доказано, что второе тождество
выполняется, если выполняется пер-
первое тождество.
3. Прежде всего воспользуемся
дистрибутивностью и преобразуем
объединение двух первых пересече-
пересечений: (а П Ь) [} (с П Ь)= (a U с) П&-
243

Всю левую часть тождества запи-
запишем в виде [(а U с) П b] U (сПа) и,
воспользовавшись еще раз дистри-
дистрибутивностью, представим ее в виде
объединения пересечений элементов,
стоящих в квадратных скобках, с
■элементом с {] а, то есть в виде 1(а[)
U с) U (сП а)} П (Ь U (с ПяI- Вы-
Выражение в первых квадратных скоб-
скобках, используя ассоциативность, при-
приведем к виду a U [с U (с П а) 1- Из
закона поглощения следует, что с (J
U(c(")a)=c, поэтому а\}[с\}(с[\а)]=
.= a U с. Выражение во вторых
квадратных скобках дистрибутив-
дистрибутивность позволяет преобразовать к ви-
ДУ (b U с) П Ф[) а). Таким образом,
выражение, стоящее в левой части
доказываемого тождества, совпадает
с [(a U с) П (Ь[) с) П (&U а)], а зто
(в силу коммутативности и ассоциа-
ассоциативности) — не что иное, как выра-
выражение, стоящее в правой части тож-
тождества.
Справедливо и обратное утвержде-
утверждение: если выполняется тождество,
приведенное в задаче, то структура
дистрибутивна. Для доказательства
обратного утверждения прежде все-
то необходимо убедиться в том, что
выполняются тождества, приведен-
приведенные в задаче 2. Подставив в левую
часть исходного тождества вместо а
объединение а [] с, преобразуем ее
к виду [(a U с) (] Ъ) U Ф П с) [)
U Iе П (я U С)Ь По закону погло-
поглощения с П (<? U с) = с> поэтому все
выражение можно записать в виде
Ца U с) Л Ь] U 1(Ь П с) U с). Вы-
Выражение (Ь П с) U с, стоящее во
вторых квадратных скобках, можно
упростить, используя закон поглоще-
поглощения (Ь П с) U с — с> после чего ле-
левая часть тождества запишется в ви-
виде [(a U с) П Ъ] I) с. Именно это вы-
выражение стоит в левой части первого
тождества из задачи 2. Тот же эле-
<мент должен получиться из тождест-
тождества, приведенного в задаче 3(которое
по предположению выполняется),
©ели в его правой части элемент а
заменить объединением а [) с. Прог
изведя замену, преобразуем правую
.часть тождества к виду (а [) с [) Ь)[\
П (Ъ U с) П (cU a[J с). Так как
объединение идемпотентно, то с U
[)а[)с=а[)с, а закон погло-
поглощения позволяет упростить выраже-
выражение [a U Ф U с)] П (Ь[) с), сведя
его к Ь U с. После этих преобразо-
преобразований правая часть тождества прини-
принимает вид (b U с) П (a U с)- Ясно,
что это выражение совпадает с пра-
правой частью первого тождества из за-
задачи 2. Таким образом, в рассматри-
рассматриваемом нами случае выполняются
оба тождества из задачи 2 (посколь-
(поскольку в решении задачи 2 было доказано,
что одно из тождеств следует из дру-
другого), и в дальнейшем мы можем ис-
использовать любое из них.
Чтобы доказать дистрибутивность
структуры, рассмотрим выражение
о П (Ь U с)- Пользуясь законом по-
поглощения, произведем замену а =
= [а П (a U c)l> a B выражении,
стоящем в квадратных скобках, вмес-
вместо первого элемента а подставим
[а П (a U &)!• Так как пересечение
ассоциативно, то полученное выраже-
выражение можно преобразовать к виду
Сравнивая это пересечение с ле-
левой частью нашего исходного тож-
тождества, получаем:
а Пф U с)=а П [ф П с) U (а П с)\) (а П Ь)].
Выражение а (][(а (") b) (J (а [\с)]
совпадает с правой частью второго
тождества из задачи 2, в которой вмес-
вместо b подставили а [\ Ъ. Поэтому оно
должно совпадать с левой -частью
того же тождества, в которой эле-
элемент Ь заменен пересечением а (") Ь,
то есть с выражением [(а (") а П Щ [)
U (а П С)Ь Это выражение можно
упростить. Так как пересечение идем-
идемпотентно, то а П о, П Ь = а (") Ь и,
следовательно, для у — (а [\ Ь) [}
U (а П с) выполняется соотношение
а П yz=y- Обозначив через х пересече-
пересечение ЬA с, запишем полученное тож-
тождество в виде
Нетрудно видеть, что его правая
часть имеет такой же вид, как и пра>-

вая второго тождества из задачи 2, и,
следовательно, вместо нее можно за-
записать левую часть этого тождества,
то есть выражение [(а {] х) [) (а ("|
П у)]. Как было показано выше, а ("|
П у = у = (а П Ь) U ( а П с), то
есть в правой части нашего тождест-
тождества стоит элемент [(а (") Л;) U (а П^I U
U (а П с). Но
а по закону поглощения элемент
1(в П Ь) П с] U (а П Ь) совпадает
с а П&> Следовательно, а (") (& U с) =
— (а П Ь) U (я П с)> a это и означа-
означает, что структура дистрибутивна.
1.3
1. Нет, не верно. Утверждение бы-
было бы верно в том случае, если бы,
изъяв из любой структуры гранич-
граничные элементы, можно было бы полу-
получить частично упорядоченное мно-
множество, а дополнив частично упоря-
упорядоченное множество граничными эле-
элементами, превратить его в структуру.
Если частично упорядоченное мно-
множество содержит два или три эле-
элемента, то, приписав к нему гранич-
граничные элементы, мы действительно по-
получим структуры, содержащие соот-
соответственно четыре и пять элементов.
На рис. 93 изображено частично упо-
упорядоченное множество, полученное
таким способом из частично упоря-
упорядоченного множества, содержавшего
4 элемента. Дополненное множество
не является структурой, поскольку
содержит элементы, для которых су-
существует несколько «наибольших
нижних граней». Чтобы утверждение
стало верным, его необходимо видо-
видоизменить и относить не ко всем час-
частично упорядоченным множествам,
а лишь к таким, в которых никакие
два элемента не могут иметь по не-
нескольку «наибольших нижних гра-
граней». Действительно, если это усло-
условие соблюдено, то для любых двух
элементов верхняя грань, если она и
существует, может быть только наи-
наименьшей верхней гранью. Если такое
множество дополнить граничными
элементами, то те пары, для которых
ранее не существовало объединения
или пересечения, могут обрести н&-
достававший элемент. Впрочем, ни- (
каких проблем, связанных с одно-
однозначностью, при этом не возникает.
2. Пересечение, стоящее в левой
части, и объединение, стоящее в
правой части, содержат четыре эле-
элемента, поэтому какой-то иа элемен-
элементов а, Ь и с встречается дважды.
Поскольку каждое пересечение и
каждое объединение связывает раз-
различные элементы, то элемент, кото-
который встречается дважды (или, если
их несколько, элементы), должен
(должны) один раз входить в пере-
пересечение и один раз входить в объеди-
объединение. Предположим, что дважды
встречается элемент а. Тогда в левой
части он входит в пересечение х (")
П а, а в правой — в объединение
у U a, HiflKKyU1»' По-
Поскольку отношение <J. транзитивно,
то отсюда следует, что любое пере-
пересечение в левой части не больше
(меньше или равно) любого объеди-
объединения в правой части. Следователь-
Следовательно, объединение пересечений не
больше пересечения объединений,
что и требовалось доказать.
3. Прежде всего докажем, что для
любых двух элементов существует
наибольшая нижняя и наименьшая
верхняя грань. Пусть о ^6. Тогда
элемент а является, нижней гранью
элементов а и Ь, а Элемент Ъ — их
верхней гранью- Если элемент х —
любая нижняя грань этих элементов,
а элемент у — любая их верх-
верхняя грань, то по определению х <^
«С а и Ь ^ у, а это означает, что
а — наибольшая нижняя грань эле-
элементов а и Ъ, а Ъ — их наименьшая
верхняя грань.
Прежде чем приступать к доказа-
доказательству дистрибутивности, покажем,
что для всякой структуры справедли-
справедливо следующее утверждение: если а <,
<. Ь, то при любом элементе с выпол-
выполняется отношение a U с <. Ъ \) с (и
аналогично а (") с <. Ь (") с)- Дей-
ствртельно^ так как Ъ <* Ъ [) с, с <.
245

<, 6 (J с и а •< Ъ, то в силу тран-
транзитивности упорядочения элемент
b\J с является верхней гранью для
элементов а и с, то есть не меньше их
наименьшей верхней грани.
Тем самым мы доказали, что (а (~|
П Ь) U с = (а U с) П Ф U с). Так
как исходное множество частично
упорядочено, то какой-то из элемен-
элементов а и Ьне больше другого. Посколь-
Поскольку эти элементы входят в правую и
левую части выведенного равенства
симметрично (правая и левая части
тождества не изменятся, если эле-
элементы а и Ь переставить), то, неогра-
ничивая общности, можно предпо-.
ложить, например, что a <i Ь. Это
означает, что, во-первых, а [\ Ь =
= а и, следовательно, в левой части
равенства стоит элемент а [} с, а, во-
вторых, по доказанному а [} с <
•^ Ь U с, то есть пересечение, стоя-
стоящее в правой части равенства, также
равно a U с. Тем самым дистрибутив-
дистрибутивность структуры доказана.
2.1
1. Если любое подмножество струк-
структуры является подструктурой, то, в
частности, это можно сказать и о
подмножествах, содержащих по 2
элемента. Следовательно, если ашЪ—
различные элементы структуры
то пересечение а (] Ъ совпадает либо
с а, либо с Ь, а это означает, что либо
а^Ь, либо Ъ<£.а. Таким образом,
наша структура (как частично упо-
упорядоченное множество) заведомо упо-
упорядочена. Но структуры, получае-
получаемые из упорядоченных множеств,
обладают требуемым свойством,
поскольку любое подмножест-
подмножество вместе с двумя своими элементами
содержит их объединение и пересе-
пересечение: ведь и объединение, и пересе-
пересечение любых двух подмножеств сов-
совпадают с одним иэ них.
2. Пусть а и Ъ — два «не сравни-
сравнимых» элемента структуры (то есть
такие элементы, для которых не вы-
выполняется ни отношение а -^Ъ, ни
отношение Ъ •<. а). Если в структуре
существует такой элемент хх для
Рис. 116.
которого х ^ а П Ь, но хф а (] Ъ,
то четыре элемента х, а, Ь и а [) b
образуют подмножество, которое яв-
является структурой относительно объ-
объединения и пересечения, заданных
в исходной структуре, но не принад-
принадлежит к числу ее подструктур, так
как пересечение а (~| Ь в исходной
структуре отличается от пересечения
тех же элементов в построенной
структуре (рис. 116). Следовательно,
в исходной структуре пересечение
любых двух не сравнимых элемен-
элементов может быть только нулевым эле-
элементом, а объединение — только еди-
единичным элементом структуры. Итак,
возможны два случая. Если структу-
структура упорядочена как частично упоря-
упорядоченное множество, то любое под-
подмножество является подструктурой.
В противном случае структура сов-
совмещает в себе несколько упорядочен-
упорядоченных, множеств, и, кроме того, мы мо-
можем присоединить к ней нулевой и
единичный элементы. Итак, если не-
некоторое подмножество частично упо-
упорядоченного множества является
структурой, то она состоит либо иэ
элементов одного упорядоченного
множества (и является подструкту-
подструктурой исходной структуры), либо сос-
состоит иэ элементов по крайней мере
двух упорядоченных множеств. Сле-
Следовательно, если нулевой и единич-
единичный элемент принадлежат подмно-
подмножеству, то оно является подструкту-
подструктурой исходной структуры, поскольку
содержит объединение и пересече-
пересечение любых двух своих не сравнимых
элементов.
3. Утверждение очевидно. Действи-
Действительно, любой элемент структуры
сам по себе является подструктурой,
так как объединение и пересечение
246

идемпотентны. Если структура со-
содержит по крайней мере два элемен-
элемента, то каждый из них образует под-
подструктуру, отличную от всей струк-
структуры.
4. Нет, неверно. Из решения пре-
предыдущей задачи видно, что пересе-
пересечение двух подструктур, содержа-
содержащих по одному элементу, пусто. Если
структура содержит по крайней мере
два элемента, то такие подструктуры
заведомо найдутся.
5. Можно. Иэ решения предыду-
предыдущей задачи видно, что пересечение
двух подструктур может быть пус-
пустым, но если оно не пусто, то, оче-
очевидно, само является подструктурой.
Но пересечение подструктур, содер-
содержащих заданные элементы, не мо-
может быть пустым, поскольку будет
содержать эти элементы. Следова-
Следовательно, подструктура, порожденная
заданными элементами, представля-
представляет собой не что иное, как пересече-
пересечение подструктур, содержащих эти
элементы.
6. Ясно, что, если отображение
сохраняет частичное упорядочение,
то упорядоченное множество оно мо-
может переводить только в упорядочен-
упорядоченное множество, поэтому «вторая»
структура, на которую происходит
отображение, может быть только упо-
упорядоченной (рис. 117). Граничный
элемент может переходить только в
граничный элемент, поэтому во
второй структуре по существу может
быть лишь одно отображение инте-
интересующего нас типа [правда, «сред-
«средние» элементы могут отображаться
в «обратном» порядке (рис. 118)].
Ясно, что рассматриваемое отобра-.
жение сохраняет частичное упоря-
упорядочение. Оно не является гомомор-
гомоморфизмом (а значит, и изоморфизмом).
Это следует из того, что в «первой»
структуре пересечение двух не гра-
граничных элементов совпадает с нуле-
нулевым элементом, а пересечение их
образов не совпадает с нулевым эле-
элементом (точнее, не совпадает с обра-
образом нулевого элемента).
Рис. 117.
2.2
1. Если элементы х и у обладают
требуемым свойством, то есть, если
х ^. а и у ^ Ь, где а и Ь — элемен-
элементы выпуклой подструктуры, то я U у
также обладает зтим свойством (так
как x[)y^a[)b, a элемент а [} Ь
принадлежит выпуклой подструкту-
подструктуре). Таким образом, свойство 1 иде-
идеала доказано.
Если х •<, а и а — элемент вы-
выпуклой подструктуры, то при у •< х
вследствие транзитивности отноше-
отношения ^ элемент у также будет мень-
меньше хотя бы одного элемента выпук-
выпуклой подструктуры. Следовательно,,
свойство 2 идеала также доказано.
Нетрудно заметить, что выпуклость
подструктуры в доказательстве сов-
совсем не была использована.
2. Как показано в решении преды-
предыдущей задачи, заданная выпуклая
подструктура содержится в идеале,
состоящем из элементов структуры,
которые не больше какого-нибудь из
ее элементов. Аналогичным образом
мо"жно убедиться в том, что заданная
выпуклая подструктура содержится
Рис. 118.
247

в двойственном идеале, состоящем
из элементов структуры, которые
не меньше какого-нибудь из ее эле-
элементов. Следовательно, заданная
выпуклая подструктура содержится
в пересечении того идеала и того
двойственного идеала, о которых
шла речь. Докажем теперь, что она
совпадает с этим пересечением.
Если х — элемент идеала, то в
выпуклой подструктуре найдется
такой элемент а, что х <. а. Если же
элемент х принадлежит свойствен-
свойственному идеалу, то в выпуклой под-
подструктуре найдется такой элемент Ъ,
что Ь «С х. Поскольку выполня-
выполняются оба «неравенства», то есть 6 <^.
<^.х <^. а и оба элемента а и 6, при-
принадлежат выпуклой подструктуре,
то элемент х также принадлежит ей
(последнее следует из выпуклости
подструктуры). Таким образом, вы-
выпуклая подструктура совпадает с
пересечением идеала и двойствен-
двойственного идеала, о которых говорилось
выше.
(Этот метод позволяет строить «вы-
«выпуклую оболочку» произвольной
подструктуры, то есть наименьшую
выпуклую подструктуру, которая
содержит ее. Для этого достаточно
построить содержащий подструктуру
идеал так, как это было сделано в
решении задачи 1, а затем аналогич-
аналогичным способом построить содержащий
ее двойственный идеал. Пересечение
идеала и двойственного идеала и бу-
будет выпуклой оболочкой заданной
подструктуры.)
3. Каждый идеал можно рассмат^
ривать как нижний сегмент, порож-
порожденный некоторым сечением структу-
структуры. Идеал будет примарным идеа-
идеалом, если верхний сегмент, порож-
порожденный тем же сечением, является
двойственным идеалом. Одно из не-
необходимых для этого условий зара-
заранее выполнено, поскольку речь идет
о сечении структуры. Второе усло-
условие состоит в том, что, если элементы
а и Ь принадлежат двойственному
идеалу, то он содержит и пересече-
пересечение а П Ъ. Это условие можно сфор-
сформулировать и следующим образом:
если пересечение а [\ Ъ не принад-
принадлежит двойственному идеалу, то он
не содержит какой-нибудь из элемен-
элементов а и Ь. Иначе говоря, если а {] Ъ
принадлежит идеалу, то в нем дол-
должен содержаться и какой-нибудь
из элементов а и Ь. Тем самым ут-
утверждение задачи доказано.
(На свойство, о котором говорит-
говорится в задаче, указывает само назва-
ние«примарный идеал», то есть идеал,
напоминающий по свойствам про-
простые числа. Действительно, «струк-
«структурное» сходство следующих двух
утверждений весьма заметно: а) ес-
если пересечение двух элементов при-
принадлежит примерному идеалу, то ка-
какой-нибудь из них также принадле-
принадлежит примарному идеалу; б) если
произведение двух чисел делится
на простое число, то по крайней ме-
мере один из сомножителей делится на
это простое число- Но чаще свойства
примерных идеалов и простых чисел
бывают связаны не «тесными родст-
родственными узами», а обнаруживают
лишь отдаленное сходство. Мы не
рассматриваем здесь такие свойства,
поскольку не занимаемся выяснением
«внешних связей» между примарны-
ми идеалами и простыми числами.)
4. Если структура содержит эле-
элемент, для которого существует до-
дополнение, то в структуре имеются
нулевой и единичный элементы. Яс-
Ясно, что нулевой элемент структуры
содержится во всяком идеале, пото-
потому что нулевой элемент не больше
любого элемента структуры. Что же
касается единичного элемента, то он
по аналогичным причинам принад-
принадлежит любому двойственному идеа-
идеалу (за исключением «пустого» двой-
двойственного идеала). Если некоторый
элемент вместе со своим элементом
принадлежит одному идеалу, то этот
идеал содержит как единичный, так
и нулевой элемент, поскольку вмес-
вместе с любыми двумя элементами ему
принадлежат их объединение и пе-
пересечение. Следовательно, такой иде-
идеал может быть только всей структу-
структурой. Аналогично, из всех двойствен-
двойственных идеалов только вся структура
243

(которую мы не относим к двойствен-
двойственным идеалам) могла бы содержать
нулевой и единичный элементы. Сле-
Следовательно, истинный примерный
идеал может содержать что-нибудь
одно: либо элемент, либо дополне-
дополнение.
5. В решении задачи 3 условие при-
примарности идеала сформулировано
следующим образом: идеал приме-
рен, если он вместе с пересечением
двух элементов содержит какой-ни-
какой-нибудь из них. Этому условию удов-
удовлетворяет любое подмножество из
структуры, заданной на упорядочен-
упорядоченном множестве, поскольку вместе с
пересечением двух элементов оно
всегда содержит один из этих эле-
^ментов и этот элемент принадлежит
исходному множеству.
6. Докажем, что других структур,
в которых всякий идеал примерный,
не существует. Пусть а и Ь — произ-
произвольные элементы структуры. Идеал
(a f] b)ii состоящий из злементов,
каждый из которых не больше пере-
пересечения а [\Ъ, содержит элемент а (~|
(") Ъ. Если этот идеал примарный,
то он должен содержать какой-ни-
какой-нибудь из элементов а и Ъ. Не ограни-
ограничивая общности (поскольку оба эле-
элемента входят в пересечение а (") Ь
симметрично), предположим, что при-
марному идеалу принадлежит эле-
элемент а. Тогда по определению идеа-
идеала (а П b)t должно выполняться со-
соотношение а <. а П Ь. Сравнивая его
с соотношением a f) Ь < а и исполь-
используя антисимметрию частичного упо-
упорядочения, получаем а — а ("| Ь. Но
это и означает, что а ^ Ъ. Следова-
Следовательно, любые два элемента структу-
структуры допускают сравнение.
7. Напомним, что в конечной
структуре любой идеал состоит из
элементов, которые не больше дан-
данного элемента. Этот элемент являет-
является объединением всех элементов иде-
идеала (имеющим смысл в том случае,
когда структура конечна, посколь-
поскольку объединение конечного числа эле-
элементов существует), так как объе-
объединение всех злементов принадлежит
идеалу и не меньше любого из его
Рис 119.
Рис 120.
элементов. Следовательно, в каждой
из двух структур, содержащих по 5
элементов, существует ровно 5 иде-
идеалов. Эти идеалы показаны на рис.
119 и 120.
Рассмотрим сначала примерные
идеалы модулярной, но не дистрибу-
дистрибутивной структуры. Обозначим эле-
элементы структуры, отличные от гра-
граничных элементов, через а, Ъ и с.
Если задан примарный идеал, то по
крайней мере два из этих элементов
принадлежат либо примерному иде-
идеалу, либо двойственному примарно-*-
му идеалу. (Каждый элемент струк-
структуры принадлежит либо примерно-
примерному идеалу, либо двойственному при-
мерному идеалу, поэтому из трех эле-
элементов по крайней мере два должны
попесть либо в примерный идеал,
либо в его дополнение.) Вместе с
этими двумя элементеми примерно-
примерному идеалу или двойственному при-
мерному идеалу принедл ежит их объ-
249

единение и пересечение. Поскольку
объединение элементов совпадает с
единичным элементом, а пересече-
пересечение — с нулевым элементом, то либо
все элементы структуры принадлежат
примерному идеалу, либо все эле-
элементы структуры принадлежат двой-
двойственному примерному идеалу. Сле-
Следовательно, существует только три-
тривиальный примерный идеал, совпа-
совпадающий со всей структурой.
Можно показать, что во второй
структуре из пяти элементов сущест-
существуют два примарных идеала, один из
которых помимо нулевого элемента
содержит элемент Ъ, а другой — эле-
элементы а и с.
2.3
1. Образом нулевого элемента при
любом гомоморфизме может быть
только нулевой элемент, поэтому об-
образ нулевого элемента принадлежит
любому примерному идеалу. Следо-
Следовательно, точка Рф не будет образом
нулевого элементе ни при кеком го-
гомоморфизме <р, то есть подмножество
Н@) не содержит ни одной точки, а
это ознечает, что И@) —пустое мно-
множество. ,
2. Единичный элемент принадле-
принадлежит только тривиельному пример-
примерному идеалу, поэтому ни при кеком
гомоморфизме ф не может отобра-
жеться в нулевой элемент, то есть
ш(е) всегда совпедеет с точкой Рф.
Это ознечеет, что все точки Рф при-
недлежет подмножеству Н(е), то
есть оно совпедает со всем множест-
множеством.
3. Кек покезано в решении задечи
4 из резделе 2.2, любой нетривиаль-
ный примерный идеал содержит либо
элемент, либо его дополнение, но не
оба. Иначе говоря, если элементы
а и а' дополняют друг друге, то
один из образов ф(а) или ф(а') сов-'
падает с нулевым элементом. Это
означает, что точке Р9 принедлежит
одному и только одному из множеств
Н(а) и Н(а'). (Решения двух преды-
предыдущих зедеч позволяют доказать то
же утверждение исходя из свойства
гомоморфизме сохренять операции.)

КРАТКИЙ СЛОВАРЬ
ТЕРМИНОВ

В этом кратком словаре собраны наи-
наиболее важные или часто встречаю-
встречающиеся в книге термины. (Курсивом
выделены термины, смысл которых
раскрывается в других статьях сло-
словаря. Число в скобках указывает
номер страницы, на которой термин
встречается впервые.)
Абелева группа D9). Коммута-
Коммутативная группа. (Абелевы группы на-
названы в честь норвежского матема-
математика Нильса Хенрика Абеля.)
Абстрактная группа D3, 73).
Группа называется абстрактной в
том случае, если ни ее элементы, ни
групповая операция не заданы кон-
конкретно. Точнее говоря, абстрактной
группой называется множество групп,
изоморфных данной группе.
Автомат (88). Пятерка (X, А<
Y; /, g), где X — множество сигна-
сигналов на входе, А — множество внут-
внутренних состояний, Y — множество
сигналов на выходе, а / и g — две
двухместные операции, из которых
первая сигналу на входе и внутрен-
внутреннему состоянию ставит в соответст-
соответствие определенное внутреннее состо-
состояние, а вторая сигналу на входе и
внутреннему состоянию сопостав-
сопоставляет определенный сигнал на выходе.
АЕтоморфизм (83). Изоморфное
отображение на себя группы (или
любой алгебраической структуры).
Аксиомы D3). Свойства опера-
операций, налагаемые определением груп-
группы (или другой алгебраической струк-
структуры).
Алгебра A56). Кольцо А назы-
называется алгеброй над телом Г, есд'и
А — аддитивная группа и вектор-
векторное пространство над Г и, кроме
того, для любого X из Г и любых
элементов и, v из А выполняются
соотношения %{uv) = (ku)v = u(Kv).
Алгебра отношений A93). Тео-
Теория алгебраических структур, учи-
учитывающих наряду с операциями ло-
логические функции.
Алгебраическая структура A91).
Система Ш ~ {A; fu f2, ...»
fn, ...>, где А — некоторое мно-
множество, а /1? /2, ..., fn, ... — опера-
операции, определенные на элементах это-
этого множества.
Алгебраическая структура, оп-
определяемая равенствами A92). Ал-
Алгебраическая структура, в которой
аксшшы относительно операций мож-
можно задать равенствами (или тождест-
тождествами).
Аннуляторное кольцо (99).
Кольцо^ в котором произведение лю-
любых двух элементов равно нулевому
элементу кольца-
Ассоциативность A5). Свойство
операции, состоящее в том, что для
любых трех элементов (ab)c = а(Ьс)
(два элемента, стоящие рядом, озна-
означают, что над ними произведена опе-
операция).
Ассоциированный элемент A04).
Два элемента кольца называются ас-
ассоциированными, если каждый из
них делит другой.
Базис A22). Базисом векторного
пространства называется линейно
независимая система, которая одно-
одновременно является системой обра-
образующих.
Бесконечномерное векторное про-
пространство A24). Векторное прост-
пространство, в котором содержится по
крайней мере один ненулевой век-
вектор и не существует (конечного) ба-
базиса.
Булева алгебра A71). Ограничен-
Ограниченная и дистрибутивная структура, в
которой для каждого элемента су-
существует дополнение.
Вектор A12). Элемент векторного
пространства.
Векторное пространство A12).
Так называется коммутативная груп-
252

па М над коммутативным телом Г,
если любому а из Г и любому эле-
элементу и из М соответствует некото-
некоторый элемент аи из М; для любых
а, Р из Г и и, v из М выполняются
соотношения (а + р*)и = аи + р*и,
.а(и + у) —аи + ai>, (ap*)u =
= a(p*u) и для единичного элемен-
элемента 1 из Г и любого элемента и из М
справедливо соотношение lu = и.
Верхняя грань A73). В частич-
частично упорядоченном множестве а на-
называется верхней гранью для эле-
элементов Ь1г Ьг, ..., Ьп, ..., если при
любом индексе i выполняется отно-
отношение bt ^ а.
Взаимно-однозначное соответст-
соответствие C1). Взаимно-однозначное
отображение.
Взаимно-однозначное отображе-
отображение E4). Отображение, при ко-
котором каждый элемент выступает в
качестве образа какого-нибудь эле-
элемента и различные элементы пере-
переходят в различные.
Внешняя прямая сумма A29).
Прямая сумма.
Внутренняя прямая сумма A29).
Векторное пространство назы-
называется внутренней прямой суммой
двух подпространств, если они по-
порождают все векторное пространст-
пространство, а их пересечение состоит только
из нулевого вектора.
Выпуклая подструктура A82).
Подструктура структуры, содер-
содержащая вместе с любыми элементами
а и Ь все элементы х, для которых
а < х < Ъ.
Главная диагональ A49). Эле-
Элементы квадратной матрицы, стоя-
стоящие на пересечениях строк и столб-
столбцов с одинаковыми номерами.
Гомологическая алгебра A94).
Область современной абстрактной
алгебры, смежная с топологией.
Гомоморфное отображение G6,
180, 191). Отображение одной груп-
группы, структуры или алгебраической
структуры в другую, сохраняющее
операции. Последнее означает, что
образ результата операции, произ-
производимой над элементами исходного
множества, можно получить, выпол-
выполнив вад образами элементов опера-
операцию, определенную на содержащем их
множестве.
Группа C7, 84). Пара (G; f\,
состоящая из множества G и задан-
заданной на нем двухместной операции /;
операция / ассоциативна, сущест-
существует единичный элемент, и для каж-
каждого элемента из G существует об-
обратный1: Другое определение: чет-
четверка (G; /, е, i), состоящая из
множества G, одной двухместной опе-
операции /, одной нульместной опера-
операции ей одной одноместной операции i,
где / — групповая операция, е—
обозначение единичного элемента и
' — функция, сопоставляющая каж-
каждому элементу группы обратный эле-
элемент. Эти аксиомы определяют те же
свойства, что и предыдущее опреде-
определение группы.
Групповая алгебра A58). Ал-
Алгебра (Г, G) над телом Г, базис кото-
которой изоморфен группе G по умноже-
умножению.
Групповая операция C7). В груп-
группе (G; /) — это функция /, которая
каждой паре элементов из G ставит в
соответствие некоторый элемент из
G. Если групповая операция пред-
представляет собой умножение или не
имеет специального названия, то го-
говорят о групповом умножении. Если
же групповая операция представля-
представляет собой сложение; то группа назы-
называется аддитивной.
Движение C1). Взаимно-одно-
Взаимно-однозначное соответствие между точка-
точками плоскости или трехмерного про-
пространства (взаимно-однозначное ото-
бра жение плоскости или пространст-
пространства на себя), при котором расстояние
между любыми двумя точками не
изменяется.
Двойственный идеал A83). Вы-
Выпуклая подструктура, содержащая
вместе с любым элементом а все эле-
элементы х, удовлетворяющие отноше-
отношению а <, х.
Двойственный примарный идеал
A84). Двойственный идеал, содер-
содержащий объединение двух элементов
лишь при условии, если каждый из
них принадлежит ему.
253

Деление D0). В группах — ре-
решение уравнений ах = Ь и уа = Ъ.
Делитель A02). Элемент а из
области целостности называется де-
делителем элемента Ь, если в кольце
существует такой элемент с, для ко-
которого ас = Ь-
Делитель нуля (96). Два от-
отличных от нуля элемента кольца,
произведение которых совпадает с
нулевым элементом, называются де-
делителями нуля.
Дистрибутивность (94). Одна
операция (например, умножение) ди-
дистрибутивна относительно другой
операции (например, сложения), если
выполняются тождества (а 4- Ь)с =
— ас ■$■ Ъс и с(а 4- Ь) = са 4- сЬ. Ес-
Если выполняется только первое тож-
тождество, то говорят, что операция
дистрибутивна справа. Если выпол-
выполняется только второе тождество, то
операция называется дистрибутив-
дистрибутивной слева-
Дистрибутивная *структура
A68). Структура, в которой любая
из двух операций дистрибутивна
относительно другой.
Длина цикла B4). Число эле-
элементов, входящих в цикл (то есть
число фактически перемещаемых
элементов).
Дополнение A62). Дополнением
подмножества А называется под-
подмножество, объединение которого с
подмножеством А совпадает со всем
множеством, а пересечение пусто (пус-
(пустое множество). Дополнением эле-
элемента а структуры называется та-
такой элемент, объединение которого
с элементом а совпадает с единич-
единичным элементом, а пересечение с
нулевым элементом структуры.
Евклидово кольцо A01). Об-
Область целостности с единицей, в
которой каждому элементу а, от-
отличному от нулевого элемента, по-
поставлено в соответствие неотрица-
неотрицательное целое число <р(а) так, что
при любом а и отличном от нулевого
элемента Ь всегда найдутся элементы
q и г, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям а = bq 4- г и либо <р(г) <
< ф F), либо г = 0.
Единицы A04). Элементы коль-
кольца, являющиеся делителями еди-
единичного элемента.
Единичная подгруппа E2).
Подгруппа группы, состоящая толь-
только из единичного элемента.
Единичный элемент B9, 37,
96, 169). Элемент е группы (или
полугруппы), для которого при лю-
любом а из группы (или полугруппы)
выполняются соотношения еа =
= ае = а. Если выполняется толь-
только соотношение еа = а или только
соотношение ае = а, то е называет-
называется соответственно левым или пра-
правым единичным элементом. Единич-
Единичным элементом кольца называется
единичный элемент полугруппы, об-
образуемой элементами кольца отно-
относительно заданного в нем умноже-
умножения. Единичным элементом структу-
структуры называется элемент, служащий
верхней гранью для любого другого
элемента структуры.
Законы поглощения A64). Тож-
Тождества а [) (а 0 Ь) = а ш af|(aU
U Ъ) = а в теории структур.
Законы сокращения D1). Дей-
Действуют в полугруппе, если для про-
произвольных элементов из соотноше-
соотношений ах = ау или ха — уа следует,
что х = у. Если заключение о щ-
венстве х = у можно вывести толь-
только из первого соотношения, то гово-
говорят о левом законе сокращения,
а если только из второго соотноше-
соотношения, то о правом законе сокраще-
сокращения.
Замкнутость относительно опе-
операции E0). Свойство подгрупп (или
алгебраических подструктур) груп-
группы (алгебраическойструктуры), сос-
состоящее в том, что результат опера-
операции, производимой над элементами
подгруппы (подструктуры), также
принадлежит подгруппе (подструк-
(подструктуре).
Идеал A83). Выпуклая подструк-
подструктура структуры, содержащая вмес-
вместе со всеми элементами их нижнюю
грань.
Идемпотентность A63). Свойство
двухместной операции, состоящее в
том, что вторая степень некоторого
254

элемента совпадает с ним самим, то
есть аа = а. Идемпотентностью при-
принято называть аналогичное свойство
двухместной операции и в том случае,
если оно выполняется на всех
элементах. Например, в структурах
идемпотентны обе заданные на них
операции: а (] а = а и a [j a = а.
Изоморфное отображение G2).
Взаимно-однозначное гомоморфное
отобра жение.
Истинная подгруппа E2). Лю-
Любая нетривиальная подгруппа, груп-
группы.
Истинное подпространство A14).
Любое нетривиальное подпростран-
подпространство векторного пространства.
Категория A94). Совокупность
так называемых объектов и отобра-
отображений, удовлетворяющих опреде-
определенным тождествам.
Квадратная матрица A49). Пря-
Прямоугольная матрица, в которой чис-
число столбцов совпадает с числом строк.
Кольцо (95). Тройка (R; /, g),
где {R; /) — коммутативная груп-
группа, (R; g} — полугруппа и опера-
операция g дистрибутивна относительно
операции /.
Кольцо без делителей нуля
(96). Кольцо, не содержащее дели-
делителей нуля.
Кольцо с единицей (96). Кольцо,
в котором существует единичный
элемент.
Коммутативная группа D9).
Группа с коммутативной групповой
операцией.
Коммутативность A5). Свойст-
Свойство двухместной операции, состоящее
в том, что результат применения ее
к любым двум элементам не зависит
от того, в каком порядке они взяты.
Бели аЬ означает, что над элемента-
элементами а и Ь произведена операция, то в
случае коммутативности аЪ = Ъа.
Конечная группа E2). Группа,
содержащая конечное число элемен-
элементов.
Конкретная группа D3). Группа
с заданными элементами и операци-
операцией.
Координаты A45). Бели элемент
(вектор) векторного пространства
представить в виде линейной комби-
комбинации векторов базиса, то входящие
в эту линейную комбинацию скаля-
скаляры называются координатами векто-
вектора в заданном базисе.
Левый R-модуль A30). Так на-
называется коммутативная группа М
(в которой групповая операция обо-
обозначена как сложение) над кольцом
R, если любому а из R и любому эле-
элементу и из М можно поставить в со-
соответствие элемент аи из М (называ-
(называемый произведением а и и), причем
так, что
(а + р) и = аи + ри;
а (и + v) — аи + аи;
Левый обратный элемент C9).
Элемент Ь называется левым обрат-
обратным для элемента а полугруппы с
единицей, если произведение Ъа сов-
совпадает с единичным элементом полу-
полугруппы.
Левый смежный класс F0). Ес-
Если Н — подгруппа группы G и а —
некоторый элемент из G, то левым
смежным классом аН называется
множество элементов вида ах, где
*£Н.
Линейная зависимость A17).
Элемент векторного пространства
линейно зависим от определенных
, векторов, если его можно представить
в виде линейной комбинации этих
векторов. ,
Линейная комбинация A13).
Линейной комбинацией элементов
векторного пространства называется
сумма скалярных кратных этих эле-
элементов (произведений элементов и
скаляров).
Линейная независимость A18).
Элемент векторного пространства
линейно независим от определенных
векторов, если его нельзя предста-
представить в виде линейной комбинации
этих векторов. '
Линейно зависимая система
255

A19). Подмножество векторного про-
пространства, в котором имеется век-
тор, линейно зависящий от других
векторов.
Линейно независимая система
A19). Подмножество векторного про-
пространства, не содержащее вектора,
который был бы линейно зависим от
остальных векторов.
Линейное преобразование A42).
Однородное линейное отображение
векторного пространства на себя.
Матрица A48). Элементы, чаще
всего числа, расположенные в опре-
определенном порядке, обычно в виде
пр ямоугольника.
Модуль A30). Общее название
левых и правых модулей.
Модулярная структура A78).
Структура, в которой равенство
аП(Ь[)с)=(аПЬI)с
выполняется при а :> с для любого
элемента Ь.
Мономорфизм G6). Гомоморфное
отображение, при котором образы
различных элементов различны.
Наибольшая нижняя грань
A73). Нижняя грань двух (или боль-
большего числа) элементов частично упо-
упорядоченного множества, которая слу-
служит нижней гранью всех других ниж-
нижних граней этих элементов.
Наибольший общий делитель
A02). Общий делитель двух (или
большего числа) элементов области
целостности, делящийся на любой
другой общий делитель этих элемен-
элементов.
Наименьшая верхняя грань
A73). Верхняя грань двух (или боль-
большего числа) элементов частично упо-
упорядоченного множества, которая слу-
служит верхней гранью всех других
верхних граней этих элементов.
Невырожденная матрица A53).
Квадратная матрица, для которой
существует обратная (относительно
умножения) матрица.
Независимые циклы B2). Цик-
Циклы, не имеющие общих элементов.
Неразложимый элемент A04).
Элемент области, целостности, об-
обладающей единичным элементом,
который доцускает разложение на
два множителя лишь в том случае,
если один из них равен единице, но
сам отличен от единицы.
Нечетная подстановка B7).
Подстановка, допускающая разложе-
разложение в произведение нечетного числа
транспозиций.
Нижняя грань A73). Нижней
гранью двух (или большего числа)
элементов частично упорядоченного
множества называется элемент, ко-
который меньше этих элементов или ра-
равен им.
Нормальный делитель F3).
Подгруппа группы называется нор-
нормальным делителем, если любой
левый смежный класс по ней является
одновременно и правым смежным
классом (по ней же).
Нулевое кольцо (96). Кольцо,
состоящее из единственного элемен-
элемента — нулевого элемента.
Нулевой элемент A69). В
структуре — элемент, служащий
нижней гранью для любого другого
элемента. В кольце — единичный
элемент аддитивной группы.
Нульмерное векторное простран-
пространство A24). Векторное пространст-
пространство, состоящее только из нулевого
вектора.
Область целостности (96).
Коммутативное кольцо без делите-
делителей нуля.
Обратный элемент C7, 96).
Левый обратный элемент, который
является и правым обратным эле-
элементом.
Общая алгебра A91). Раздел
алгебры, изучающий общие свойства
алгебраических структур.
Общий делитель A02). Общим
делителем двух (или большего числа)
элементов области целостности на-
называется такой элемент, который
делит каждый из этих элементов.
Объединение A73, 161). Объеди-
Объединением двух элементов частично
упорядоченного множества называет-
называется их наименьшая верхняя грань.
Объединением двух подмножеств од-
одного множества называется подмно-
256

жество, состояще^из элементов мно-
множества, которые принадлежат по
крайней мере одному из этих двух
подмножеств.
Объект A93). Элемент катего-
категории.
Ограниченная структура A69).
Структура, в которой имеется ну-
нулевой элемент и единичный элемент.
Однородное линейное отображе-
отображение A32). Отображение А векторно-
векторного пространства Мг над телом Г в
векторное пространство М2 над те-
телом Г, для которого прн любых
элементах и и v из Мх и X из Г вы-
выполняются соотношения А(и Ч- и) =
= А(и) Ч* А(у) и А(Хи) = ХА(и).
Операция C7). В теории групп
или любых других алгебраических
структур так называют функции,
входящие в определение группы (или
алгебраической структуры). Эти
функции принимают значения из мно-
множества, входящего в определение.
Операция называется и-местной (или
и-арной), если соответствующая'
функция зависит от п переменных.
Отношение A72). Связь между
элементами одного множества
Отображение E3). Об отобра-
отображении одного множества в другое
говорят в том случае, если каждому
элементу первого множества по-
поставлен в соответствие какой-ни-
какой-нибудь вполне определенный элемент
второго множества. Следовательно,
отображение по существу представ-
представляет собой функцию. (Это не опре-
определение, а лишь пояснение к тому,
что такое отображение. В действи-
действительности же отображение принад-
принадлежит к числу фундаментальных не-
неопределяемых понятий математики.)
Отображение A94). Элемент ка-
категории.
Пересечение E6, 161). Пересе-
Пересечением подгрупп или вообще под-
подмножеств называется подмножество,
состоящее из тех и только тех эле-
элементов, которые принадлежат каж-
каждому иэ рассматриваемых подмно-
подмножеств.
Пересечение A65,173). Пересечение
двух (или большего числа) элемен-
элементов частично упорядоченного жно*
жества совпадает с наибольшей ниж-
нижней гранью этих элементов.
Перестановка A2). Запись эле-
элементов в определенном порядке.
Подгруппа E0). Подмножество
группы, элементы которого образу-
образуют группу относительно исходной
групповой операции.
Подгруппа, порожденная задан-
заданными элементами E7). Наимень-
Наименьшая из подгрупп, содержащих задан-
заданные элементы.
Подпространство A13). Подмно-
Подмножество векторного пространства,
замкнутое относительно операций,
заданных во всем векторном про-
пространстве.
Подпространство, порожденное
заданными векторами A17). Наи-
Наименьшее из подпространств, содер-
содержащих заданные векторы.
Подстановка A3). Любое изме-
изменение порядка, в котором располо-
расположены элементы.
Подструктура A79). Подмно-
Подмножество структуры, которое является
структурой относительно операций,
заданных на исходной структуре.
Подструктура алгебраическая
A91). Подмножество алгебраической
структуры, замкнутое относитель-
относительно каждой из операций.
Полугруппа C9). Пара (F; /),
где / — двухместная ассоциатив-
ассоциативная операция, заданная на множест-
множестве F.
Полугруппа отображений (83).
Множество отображений, элементы
которого образуют полугруппу от-
относительно операции умножения
отображений.
Полугруппа с единицей (84).
Полугруппа, в которой существует
выделенный относительно операции
единичный элемент.
Порядок группы E8). Если груп-
группа конечна, то ее порядок равен
числу элементов группы. В против-
противном случае порядок группы беско-
бесконечен.
Порядок элемента D8)' Бели
существуют положительные сте-
степени элемента группы, совпадающие
257

с единичным элементом, то порядок
элемента равен наименьшему из по-
показателей таких степеней. В против-
противном случае порядок элемента груп-
группы бесконечен.
Пустое множество A62). Множест-
Множество, по определению не содержащее
ни одного элемента.
Правый R-модуль A30). Поня-
Понятие, аналогичное левому R-модулю и
отличающееся лишь тем, что элемен-
элементы модуля умножаются на элементы
кольца Д не слева, а справа.
Правый обратный элемент C9).
Элемент с полугруппы с единицей
называется правым обратным для
элемента а, если произведение ас
совпадает с единичным элементом
полугруппы.
Правый смежный класс F0).
Если Н — подгруппа и а — эле-
элемент группы G, то правым смежным
классом На называется множество
элементов из G вида ах, где х £Н.
Представление матрицами A53).
Мономорфизм группы в группу не-
невырожденных матриц с заданным
числом элементов.
Представление подстановками
(90). Мономорфизм группы в группу
подстановок определенных элемен-
элементов.
Примарный идеал A84). Идеал в
структуре, который содержит пере-
пересечение двух элементов лишь в том
случае, если ему принадлежит каж-
каждый из этих элементов.
Принцип двойственности A68).
Принцип, согласно которому в тео-
теории структур из любого истинного
утверждения при замене пересече-
пересечения объединением, а объединения —
пересечением получается истинное
утверждение.
Произведение комплексов F5).
Для подмножеств А и В полугруппы
произведением комплексов называ-
называется множество элементов, предста-
внмых в виде аЬ, где а£А и Ь£В.
Произведение отображений (82).
Результат последовательного вы-
выполнения отображений. Первым,
выполняется отображение, входя-
входящее в произведение вторым сомно-
258
жителем. (Порядок выполнения ото-
отображений-сомножителей устанав-
устанавливается определением произведе-
произведения и может быть обратным.)
Простой элемент A05). Элемент
области целостности, который делит
произведение лишь в том случае,
если делит один из сомножителей.
Прямая сумма A27). Прямое
произведение векторных пространств
или абелевых групп.
Прямое произведение A70, 181).
Прямым произведением групп, струк-
структур или других алгебраических струк-
структур называется конструкция, поз-
позволяющая получать группы, струк-
структуры или алгебраические структуры.
Элементы прямого произведения сос-
составляются из элементов исходных
структур, а операции выполняются
покомпонентно.
Размерность A24). Если век-
векторное пространство состоит толь-
только из нулевого вектора, то его раз-
размерность равна нулю (оно нульмер-
нульмерно). Если же векторное пространство
состоит не только из нулевого векто-
вектора и в нем существует конечный
базис, то размерность векторного
пространства равна числу элемен-
элементов базиса. Во всех остальных слу-
случаях векторное пространство бес-
бесконечномерно.
Свободная полугруппа с единицей
(87). Полугруппа, состоящая из
слов — наборов свободных обра-
образующих и пустого слова с операцией,
состоящей в приписывании одного
слова к другому.
Свободная система образующих
(87). Заранее заданная система об-
образующих свободной полугруппы с
единицей, между которыми в полу-
полугруппе нет никаких соотношений,
кроме тех, которые следуют из ак-
аксиом, определяющих полугруппу.
Сепарабельность A87). Свойство
дистрибутивных структур, состоя-
состоящее в том, что для любых двух эле-
элементов можно указать примарный
идеал, содержащий лишь один из
них.
Система образующих E7,117). Под-
Подмножество группы (или векторного

пространства), элементы которого
порождают подгруппу (или подпро-
подпространство), совпадающее со всей
группой (всем векторным простран-
пространством).
Скаляр A12). В случае векторного
пространства заданными телом ска-
скалярами называются элементы тела.
Сложение в кольце (95). Опе-
Операция в кольце, относительно кото-
которой элементы кольца образуют ком-
коммутативную группу.
Степень B4). В теории групп
или полугрупп степенью называется
произведение, в которое сомножите-
сомножителями входят либо данный элемент,
либо обратный ему элемент, либо
единичный элемент.
Структура A67). Тройка (Н; {],
U >, где О И П— заданные на мно-
множестве Н идемпотентные, коммута-
коммутативные и ассоциативные двухместные
операции, для которых выполняют-
выполняются законы поглощения.
Тело (96). Кольцо, в котором для
всех злементов, отличных от нуле-
нулевого, существуют обратные элементы.
Теорема Лагранжа F1). Тео-
Теорема, утверждающая, что порядок
подгруппы конечной группы является
делителем порядка группы.
Теорема Кэли (90). Теорема,
утверждающая, что всякую группу
можно представить" при помощи
подстановок.
Теорема Стоуна A87). Теорема,
утверждающая, что для всякой дист-
дистрибутивной структуры существует
мономорфизм, отображающий эту
структуру в множество всех ее под-
подмножеств и переводящий дополнение
и дополнение.
Тождественное отображение
E5). Отображение, при котором
каждый элемент множества перехо-
переходит в себя.
Тождественная подстановка A7).
Подстановка, при которой каждый
элемент переходит в себя.
Тождественное преобразование
C3). Движение, при котором каж-
каждый элемент переходит в себя.
Транспозиция B5). Цикл дли-
длины 2.
Тривиальная подгруппа E2).
Подгруппа группы называется триви-
тривиальной, если она либо состоит только
из единичного элемента, либо совпа-
совпадает со всей группой.
Тривиальное подпространство
A14). Подпространство векторного
пространства называется тривиаль-
тривиальным, если оно либо состоит только из
нулевого вектора, либо совпадает
со всем векторным пространством.
Тривиальная линейная комбина-
комбинация A13). Линейная комбинация
элементов векторного пространства,
в которую все векторы входят умно-
умноженными на нулевой скаляр.
Умножение A5). Общее название
операции в группах или полугруппах.
Умножение в кольце (95). Опе-
Операция в кольце, относительно кото-
которой элементы кольца образуют полу-
полугруппу.
Упорядоченное множество A72).
Множество, на котором определево
отношение <^. Это отношение поряд-
порядка рефлексивно (а <^ а), антисиммет-
антисимметрично (если а ^ t и 6 < а, то а =
= Ь), трихотомично (для любых двух
злементов ашЬ заведомо выполняется
одно из отношений а <С Ь или Ь •<.
•<. а ) и транзитивно (если а <^(Ь и
6 ^ с, то о <^ с).
Фактор-группа F7). Группа,
образуемая (левыми) смежными клас-
классами по нормальному делителю отно-
относительно умножения комплексов (см.
произведение комплексов.)
Цикл B2). Циклическая под-
подстановка.
Циклическая группа E8). Груп-
Группа, система образующих которой сос-
состоит из одного элемента.
Циклическая подстановка B2).
Подстановка, переводящая каждый
из записанных в подходящем порядке
элементов в следующий, а последний
элемент — в первый.
Частичная алгебраическая струк-
структура A93). Алгебраическая струк-
структура, на которой определена час-
частичная операция.
Частичная операция A70). Опе-
Операция, определенная не на всех
элементах (парах злементов) мно-
259

жества, входящего в алгебраическую
структуру.
Частично упорядоченное- мно-
множество A72).- Множество, на кото-
котором задано отношение <,, не обла-
обладающее в отличие от упорядоченного
множества свойством трихотомич-
ности.
Четная подстановка B7). Под-
Подстановка, допускающая разложение
в четное число транспозиций.
Элемент бесконечного порядка
D8). Элемент группы или полугруп-
пы с единицей, все степени которого
различны.
Элемент группы C7). Элемен-
Элементом группы (G; /) называется эле-
элемент множества G.
Эндоморфизм (83). Гомоморфное
отображение группы (или любой
другой алгебраической структуры)
на себя.
Эпиморфизм G6). Гомоморфное
отображение группы Gx (или любой
другой алгебраической структуры
Sx) в группу G2 (в алгебраическую
структуру S2), при котором для каж-
каждого элемента из G2 (из S2) существу-
существует прообраз.

Э. Фрид
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ
В АБСТРАКТНУЮ АЛГЕБРУ
Научный редактор А. г. Белевцева
Мл. научный редактор Л. И. Леонова
Художник Л. М. Муратова
Художественный редактор Л. Е. Безручениов
Технический редактор В. П. Сизова
Корректор Н. И. Баранова
ИБ № 1633
Сдано в набор 10.01.79. Подписано и печати 14.08.79. Формат 70Xi007i«. Бумага кн.-журн. Гар-
нитура обыкновенная. Печать высокая. Объем 8,25 бум. л. Усл. печ. л. 21,45. Уч.-изд. л. 21,20.
Изд. № 12/9868. Тираж 75.000 экз. Зан. 35. Цена 1 р.50 к.
Издательство «Мир*
Москва. 1-й Рижский пер., 2.
Ярославский пшшграфкомбияат Союзполиграфдрома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и штатной торговли. 150014. Ярославль, ул. Свободы, 97.