Author: Желобенко Д.П.
Tags: анализ здравоохранение медицинские науки математика
ISBN: 5-94057-115-8
Year: 2004
Text
Д. П. ЖЕЛОБЕНКО
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ
И МЕТОДЫ
ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЦНМО
МОСКВА 2004
ББК 517.2
Ж 51
УДК 517.5
Ж 51 Желобенко Д. П. Основные структуры и методы теории
представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004. — 488 с.
Предмет этой книги можно определить как топологическую алгебру, точнее —
как теорию алгебро-топологических структур, допускающих естественные (операторно-
значные) представления в векторных пространствах. К числу таких структур
относятся топологические алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Детально
излагаются фундаментальные аспекты теории, в том числе теория инвариантных мер
на локально компактных группах, теория Софуса Ли о связи между алгебрами Ли и
группами Ли. Особенно подробно рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли,
банаховы алгебры, квантовые группы.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, от студентов и аспирантов
физико-математических специальностей, до научных работников, интересующихся общими
вопросами современной теории представлений.
ББК 517.2
Научное издание
Желобенко Дмитрий Петрович
Основные структуры и методы теории представлений
Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 39,7. Бумага офсетнал М> 1. Гарнитура литературная. Тираж
1000 экз. Подписано к печати 01.07.2004. Заказ № 184 .
Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 121002,
Москва, Бол. Власьевский пер., 11.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГП «Облиздат». 248640, г. Калуга, пл. Старый торг, 5.
Оригинал-макет подготовлен с использованием издательской системы АР-ТеХ.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга». Адрес
магазина: Москва, Бол. Власьевский пер., д. 11. Тел. (095)-241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
ISBN 5-94057-115-8 © Д. П. Желобенко, 2004.
"МЦНМО, 2004.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Часть I. ВВЕДЕНИЕ 9
Глава 1. Основные понятия 9
§ 1. Алгебраические структуры 9
§ 2. Векторные пространства 15
§ 3. Элементы линейной алгебры 22
§ 4. Функциональное исчисление 29
§ 5. Унитарные пространства 36
§ 6. Тензорные произведения 46
§ 7. S-модули 52
Комментарии к главе 1 60
Часть П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 61
Глава 2. Ассоциативные алгебры 61
§ 8. Алгебры, модули 61
§ 9. Полупростые модули 69
§ 10. Групповые алгебры 76
§11. Системы образующих 83
§ 12. Тензорные алгебры 89
§ 13. Формальные ряды 95
§ 14. Алгебры Вейля 101
§ 15. Элементы теории колец 109
Комментарии к главе 2 114
Глава 3. Алгебры Ли 116
§ 16. Общие вопросы 116
§ 17. Разрешимые алгебры Ли 122
§ 18. Билинейные формы 127
§ 19. Алгебра U(g) 133
§ 20. Полупростые алгебры Ли 139
§ 21. Свободные алгебры Ли 145
§ 22. Примеры алгебр Ли 151
Комментарии к главе 3 158
Глава 4. Топологические группы 160
§ 23. Топологические группы 160
§ 24. Топологические векторные пространства 167
§ 25. Топологические модули 175
§ 26. Инвариантные меры 181
§ 27. Групповые алгебры 189
§ 28. Компактные группы 196
§ 29. Разрешимые группы 202
§ 30. Алгебраические группы 208
Комментарии к главе 4 213
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Группы Ли 215
§ 31. Многообразия 215
§ 32. Группы Ли 221
§ 33. Формальные группы 228
§ 34. Локальные группы Ли 233
§ 35. Связные группы Ли 240
§ 36. Представления групп Ли 247
§ 37. Примеры, упражнения 252
Комментарии к главе 5 258
Часть III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 260
Глава 6. Полупростые алгебры Ли 260
§ 38. Картановские подалгебры 260
§ 39. Вопросы классификации 267
§ 40. Модули Верма 273
§ 41. Конечномерные 0-модули 280
§ 42. Алгебра Z($) 286
§ 43. Алгебра Fext(g) 293
Комментарии к главе 6 299
Глава 7. Полупростые группы Ли 301
§ 44. Редуктивные группы Ли 301
§ 45. Компактные группы Ли 307
§ 46. Максимальные торы 312
§ 47. Полупростые группы Ли 318
§ 48. Алгебра A(G) 325
§ 49. Классические группы 331
§ 50. Задачи редукции 338
Комментарии к главе 7 344
Глава 8. Банаховы алгебры 346
§ 51. Банаховы алгебры 346
§ 52. Коммутативный случай 353
§ 53. Спектральная теория 360
§ 54. С*-алгебры 365
§ 55. Представления С*-алгебр 372
§ 56. Алгебры фон Неймана 379
§ 57. Алгебра C*(G) 386
§ 58. Абелевы группы 392
Комментарии к главе 8 399
Глава 9. Квантовые группы 400
§ 59. Алгебры Хопфа 400
§ 60. Алгебры Вейля 407
§ 61. Алгебра Uq(z) 413
§ 62. Категория Оы 421
§ 63. Алгебра Aq(q) 427
§ 64. Гауссовы алгебры 435
§ 65. Проективные пределы 442
Комментарии к главе 9 448
Добавление А. Корневые системы 450
Добавление В. Банаховы пространства 464
Добавление С. Выпуклые множества 468
Добавление D. Алгебра В(Н) 473
Список литературы 480
Предметный указатель 484
ПРЕДИСЛОВИЕ
Название этой книги допускает двойное истолкование, с акцентом на
«основные структуры» либо на «теорию представлений». Вторая
трактовка предпочтительней, поскольку было бы затруднительно определить, что
такое основные структуры современной математики. Тем не менее, в
известном смысле обе трактовки совпадают, т. е. выполняется стандартный
закон ассоциативности: a(bc) = (ab)c.
Действительно, теория представлений имеет дело с фундаментальными
аспектами математики, начиная с алгебраических структур: полугруппы,
группы, кольца, ассоциативные алгебры, алгебры Ли и т. д. Постепенно в
игру включается топология, посредством алгебро-топологических и алгебро-
аналитических структур: топологические группы, многообразия, группы Ли
и т. д. Формально говоря, предмет теории представлений составляют
гомоморфизмы (представления) абстрактных структур в линейные структуры,
составленные, как правило, из линейных операторов в векторных
пространствах. Однако, фактически теория представлений нераздельна с теорией
структур. Так, уже студентам первого курса известно, что «теория колец
неразрывна с теорией модулей над ними». Здесь существенно, что все
указанные структуры либо линейны, либо обладают надлежащей
линеаризацией (линейные оболочки полугрупп, касательные алгебры к группам Ли
и т. д.).
Здесь мы касаемся вопроса о роли теории представлений в современной
математике. Первоначально (в начале XX века) эта роль была скромна и
сводилась к теории представлений конечных групп, с последующим
расширением до теории конечномерных (ассоциативных) алгебр. Известны связи
этой теории с вопросами симметрии в алгебре и геометрии, в том числе
с теорией Галуа (симметрия алгебраических уравнений) и с задачами
кристаллографии. Постепенно круг проблем теории представлений значительно
расширился, в связи с общими проблемами анализа, геометрии и физики.
Существенную роль в развитии теории представлений сыграли
фундаментальные открытия теоретической физики, в том числе теория
относительности и квантовая механика. Оказалось, например, что логические
основы квантовой механики адекватно выражаются в терминах автоморфизмов
некоторых алгебр (алгебры наблюдаемых). Описание наблюдаемых
сводится также к теории представлений некоторых групп и алгебр Ли. Среди
классических достижений этого периода особо выделяются работы Э. Кар-
тана и Г. Вейля по общей теории групп Ли и гармоническому анализу на
компактных группах.
Идея гармонического анализа на группах основана на связи между
группой G и ее «дуальным объектом» G, составленным, грубо говоря, из
неприводимых представлений группы G. Группа G в стандартной ситуации
однозначно восстанавливается по своему дуальному объекту G однозначно, с
точностью до изоморфизма. Один из замечательных аспектов
гармонического анализа состоит в восстановлении числовых функций на группе G по их
(операторным) «образам Фурье», где роль элементарных гармоник играют
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
неприводимые представления группы G. Корректное определение образов
Фурье оказывается возможным на локально компактных группах, благодаря
известным результатам А. Хаара, Дж. фон Неймана, А. Вейля о
существовании (и единственности) инвариантных мер на этих группах. В этом смысле
классический анализ Фурье (ряды и интегралы Фурье) включается в
грандиозную программу развития гармонического анализа на топологических
группах.
Логические основы анализа Фурье значительно проясняются в рамках
«абстрактного гармонического анализа», где вместо группы G
рассматриваются специальные алгебры (С*-алгебры). Фундаментальные работы в этом
направлении принадлежат И. М. Гельфанду и М. А. Наймарку (40-е годы
прошлого века). Начиная с 50-х, теория С*-алгебр развивается
исключительно интенсивно и в значительной мере определяет лицо
функционального анализа XX века. Существенно, что эта теория имеет ряд
фундаментальных приложений, в том числе к операторным алгебрам, к динамическим
системам, к статистической механике, к квантовой теории поля и т. д.
Современная теория представлений имеет дело с широким спектром
ассоциативных алгебр, в том числе со структурными алгебрами многообразий и
групп Ли, с обертывающими алгебрами алгебр Ли, с групповыми (сверточ-
ными) алгебрами, с алгебрами Хопфа, с квантовыми группами и т. д.
Кстати, и теория групп Ли, рожденная в рамках дифференциальной геометрии,
включается в систему функционального анализа посредством рассмотрения
биалгебр и формальных групп, ассоциированных с группами Ли.
В теорию представлений при желании можно включить ряд смежных
дисциплин, в том числе абстрактную теорию дифференциальных уравнений,
теорию пучков на однородных многообразиях, микроанализ, квантовую
теорию поля и т. д.
Существует известный тезис, согласно которому «теория
представлений — это и есть математика». Антитезис сводится к тому, что «теория
представлений — это еще не вся математика». Здесь заслуживает внимания
сама постановка вопроса. Синтез, видимо, сводится к тому, что масштабы
теории представлений уже сопоставимы с масштабами всей математики.
По-видимому, именно желание систематизировать математику в духе
теории представлений привело (коллективного автора) Н. Бурбаки к
созданию многотомной энциклопедии «Элементы математики». Несмотря на
известные недостатки этого титанического труда (незавершенность,
излишний формализм), мы имеем в этом издании оригинальное изложение ряда
фундаментальных вопросов, включая общие вопросы алгебры, топологии,
теории интегрирования, теории групп и алгебр Ли и т. д.
В настоящее время существует большое число монографий по
отдельным вопросам теории представлений, в том числе по группам и алгебрам
Ли [Б 2; Дже; Д2; Се; Кап; Ше], по банаховым алгебрам [Б 6; БР; ГРШ;
Д1; М; Са], по алгебраическим группам [Бор; ВО; Ха; Ша], по бесконеч*
номерным группам [Hep], по общим вопросам теории представлений [Кир].
Монография автора 1970 г. [Ж1] может рассматриваться как популярный
источник информации по теории представлений групп Ли, особенно для
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
читателей-физиков. Однако, до сих пор не существует монографий,
объединяющих эти вопросы в хрестоматийной форме.
Предлагаемая книга задумана именно как хрестоматия, т. е. сборник
канонических текстов по теории представлений. В ней дается
систематическое описание широкого спектра алгебро-топологических структур.
Создание книги такого рода привлекательно, поскольку позволяет сопоставить
идеи и методы из разных областей теории представлений, но также и
рискованно, поскольку не объять необъятное. Тем не менее, автор считает,
что частичное решение этой задачи возможно, благодаря существенной
отшлифовке предлагаемых текстов.
Содержание книги можно разделить на три концентра. Часть t
(Введение) содержит общие сведения для начинающего читателя, в том числе по
линейной алгебре и элементам функционального анализа. В том же
стиле исполнены обзорные параграфы по топологии, теории интегрирования и
т. д. (§§ 23, 24, 26, 31), а также добавления А, В, С, D, расположенные в
конце книги. В основной части II (Общая теория) рассматриваются
ассоциативные алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Частично
затрагиваются вопросы теории колец и теории алгебраических групп.
Детально излагаются классические результаты из этих областей математики,
в том числе вопросы инвариантного интегрирования и теория Софуса Ли о
связи между группами Ли и алгебрами Ли. В части III (Специальные
вопросы) рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли, банаховы алгебры,
квантовые группы.
Содержание книги подводит читателя вплотную к современной
проблематике «некоммутативного анализа», включая гармонический анализ на
локально компактных группах. Автор предлагает рассматривать материал этой
книги как программу-минимум для желающих всерьез заниматься теорией
представлений.
Хрестоматийное начало, заложенное в этой книге, позволяет автору в
известной мере произвольно определять границы изложения. Например, мы
доказываем теорему о сопряженности подалгебр Картана (в комплексных
алгебрах Ли), но опускаем аналогичное изложение для подалгебр Боре л я (в
полупростых алгебрах Ли). Тем не менее, автор надеется, что общая
панорама теории представлений представлена в этой книге достаточно широко
и обрисована достаточно детально.
Изложение разнообразного материала неизбежно связано с разногласием
в традициях, что приводит иногда к некоторой избыточности в
определениях и обозначениях. Например, обозначение End X в категории векторных
пространств иногда заменяется на ЦХ), где dim X < оо.
Упражнения, включенные в текст, играют, как правило, роль
контрольных вопросов для начинающего читателя. Иногда (в умеренной степени)
результаты этих упражнений используются для сокращения отдельных
доказательств. Лишь отдельные упражнения, отмеченные звездочкой, можно
рассматривать как более-менее серьезные задачи.
Нумерация разделов, принятая в книге, стандартна. Например, 11.5
означает п. 5 § 11. Аналогично, (11.5) означает формулу 5 § 11. Конец
доказательства отмечается очередным подзаголовком (не обязательно с номером).
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
К числу таких подзаголовков относятся Пример, Упражнение, Замечание
и т. д. Лишь в отдельных случаях, когда доказательство растягивается на
несколько разделов, этот факт специально отмечается.
Субъективно при написании книги автор чувствовал себя летописцем.
Действительно, содержание книги касается векового периода развития
математики, в должной мере, вероятно, еще не оцененного.
Изложение в книге существенно основано на двух спецкурсах,
прочитанных автором в 1996-1998 гг. в Независимом Московском
университете. Конспекты лекций по одному из этих спецкурсов опубликованы
в 2001 г. [Ж 4]. Работа над книгой частично поддержана грантами РФФИ
01-01-00490, NWO 047-008-009.
Автор благодарен В. Р. Нигматуллину за помощь при работе над
корректурой по тексту этой книги.
Д Желобенко
Часть I
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В этой главе для начинающего читателя приводятся основные сведения
об алгебраических структурах, в том числе о линейных операторах в
векторных пространствах. Следуя классической традиции, мы относим термин
«линейная алгебра» к конечномерным векторным пространствам. Тем не
менее, общие методы линейной алгебры применяются также и в
бесконечномерных векторных пространствах.
Например, в § 5 излагаются, в качестве справочного материала, элементы
теории линейных операторов в гильбертовых пространствах.
§ 1. Алгебраические структуры
1.1. Полугруппы и группы. Абстрактное множество S называется
полугруппой у если в нем фиксирована бинарная операция S x S -> 5,
(ж, у) \-> ху, называемая умножением и наделенная аксиомой
ассоциативности
x(yz) = (xy)z (1.1)
для всех x,y,zeS. Элемент (1.1) обозначается xyz. Аналогично
(индукцией по п) определяются ассоциативные слова (одночлены) х{... жп. В
частности, для каждого х е S определена ассоциативная степень хп.
Полугруппа S называется коммутативной, если ху = ух для всех ж, у€
е S. Полугруппа S называется полугруппой с единицей, если в S
определен элемент е (единица), удовлетворяющий соотношениям
еж = же = ж (1-2)
для всех x€S. Единица е определяется аксиомой (1.2) однозначно.
Действительно, если е —другая единица, то е = ее' = е'.
Элемент хе S называется обратимым, если существует у е S, для
которого ху = ух = е. Если также ху' = у'х = е, то из равенства
У=уе = у(ху') = (ух)у' = еу' = у'
1 Зак. 184
10
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
следует единственность элемента у, обозначаемого аг1. Элемент ж-1
называется обратным к элементу ж. Заметим, что
(жу)"1 = у-}х~1
для всех обратимых ж, у е S.
Полугруппа G называется группой, если G есть полугруппа с единицей,
в которой каждый элемент обратим. Коммутативная группа G называется
также абелевой группой. Умножение в абелевой группе иногда
записывается в аддитивной форме: (ж, у) i-+ ж + у. В этом случае роль единичного
элемента исполняет нулевой (или нейтральный) элемент Ое G.
Примеры. 1. Для каждого множества М пусть EndM — множество
всех эндоморфизмов (т. е. преобразований а: М —> М) множества М. Ясно,
что End M есть полугруппа относительно композиции эндоморфизмов
(аЬ)ж = а(Ьж), (1.3)
где а, Ь е End М, ж G М. В этом случае роль единицы исполняет
тождественное преобразование еж = ж (ж £ М).
2. Подмножество Aut McEndM, состоящее из автоморфизмов
(обратимых эндоморфизмов) множества М, есть группа (группа автоморфизмов
множества М).
В общем случае аксиома ассоциативности (1.1) может рассматриваться
как результат абстракции от ситуации, связанной с полугруппой End M.
Отметим примеры аддитивных групп: Z (множество целых чисел), Zp
(циклическая группа порядка р), Q (множество рациональных чисел).
Примеры аддитивных полугрупп: Z+ (множество неотрицательных целых
чисел), N = Z+ \ {0} (натуральный ряд).
1.2. Кольца и поля. Абстрактное множество R называется кольцом,
если в нем фиксированы две бинарные операции: сложение (ж, у) ь-» ж + у
и умножение (ж, у)н+ ху, связанные между собой соотношениями
дистрибутивности:
x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz (1.4)
для всех ж, у, z e R. Помимо этого, предполагается, что обе операции
ассоциативны и R есть аддитивная группа по сложению. В частности, R
обладает нулевым элементом 0, относительно которого 0 • ж = ж • 0 = 0 для
всех ж е R.
Кольцо R называется коммутативным (соответственно, кольцом с
единицей), если R коммутативно (соответственно, содержит единицу) по
умножению. Кольцо с единицей называется телом, если в нем каждый
ненулевой элемент обратим. Коммутативное тело называется полем.
Подмножество GxcG (соответственно, R^cR) называется подгруппой
группы G (соответственно, подкольцом кольца R), если G, замкнуто
относительно групповых операций (ж, у) «-► жу"1 (соответственно, относительно
кольцевых операций (1.4)). В этом случае G (соответственно, R)
называется расширением группы G{ (соответственно, Д,).
Единичный элемент кольца R обычно обозначается символом 1. Обычно
также предполагается, что кольцо с единицей нетривиально, т. е. 0^ 1.
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 11
Примеры. 1. Если R — кольцо с единицей, то R содержит подкольцо
jRp составленное из элементов, кратных единице, т. е. элементов 0, ±п, где
п = 1 +... + 1 (п слагаемых).
2. Каждое кольцо R обладает расширением Д[ж|, составленным из
многочленов от независимой (абстрактной) переменной ж.
Здесь мы используем интуитивное понимание многочлена как элемента
вида
/(ж) = % + ахх +... + апжп,
с коэффициентами о{ей (г = 0,1,..., п). Более детальный анализ этого
понятия будет отмечен в п. 4.1.
Отметим также стандартные обозначения R, С, Н (соответственно) для
поля вещественных чисел, поля комплексных чисел, тела вещественных
кватернионов.
1.3. Векторные пространства. Множество X называется векторным
пространством над полем F, если в X определены операции сложения
X хХ —>Х, (ж, у)н->ж+у и умножения FxX->Х, (А, ж)«-+Аж, связанные
между собой соотношениями дистрибутивности
А(ж + у) = Аж + Ау, (А+/х)ж = Аж + ^ж (1.5)
для всех A,/z€.F, x,yeX. Помимо этого, предполагается, что X есть
аддитивная группа по сложению, с нейтральным элементом 0. В частности,
0 • ж = 0 для всех ж 6 X, где 0 в левой (правой) части этого равенства есть
нулевой элемент поля F (пространства X).
Элементы ж € X в этом случае называются векторами, элементы А е
€ F — скалярами. Операции (1.5) называются векторными операциями в
пространстве X.
Мы будем также использовать обозначение 0 для тривиального
(нулевого) векторного пространства, составленного из единственной точки 0.
Примеры. 1. Для каждого поля F его декартова степень Fn
естественно снабжается структурой векторного пространства над полем F. А
именно, каждый элемент же Fn записывается в виде «упорядоченной п-ки»
ж = (ж1?..., жп),
где х{ е F (г = 1,..., п) и векторные операции в Хп определяются
покомпонентно (покоординатно). Последнее означает, что вектор х + у
(соответственно, А ж) обладает координатами х{ + у{ (соответственно, Аж£), где
г = 1,..., п.
2. Для каждого множества М множество F(M), составленное из всех
F-значных функций /: М—* F, естественно снабжается (поточечно)
структурой векторного пространства над полем F.
1.4. Линейные операторы. Пусть X, Y — два векторных пространства
над полем F. Отображение а: X —► Y называется линейным, если
а(Аж + /ху) = Ааж + /лау (1.6)
для всех A,/x6F, ж, уеХ.В частности, а(0)=0 (где один и тот же символ 0
означает нулевой элемент в пространствах Ху Y).
г
12
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Линейные отображения а: X —► Y называются также линейными
операторами (из X в У). Еще один термин: такие отображения называются
гомоморфизмами (из X в Y). Здесь подчеркивается, что операторы (1.6)
согласованы с векторными операциями в пространствах X, У.
Множество всех гомоморфизмов а: X —> У обозначается Hom(Jf, У).
Ясно, что Нот(Х, У) есть векторное пространство над полем F относительно
векторных операций
(Ха + рЬ)х = Хах + //Ьж, (1.7)
где А, /х€F, а, Ь€Hom(X, Y), хеХ. Линейные операторы а: X->X
называются эндоморфизмами векторного пространства X. Соответственно,
в этом случае используется символ End X = Hom(X, X).
Существенно, что в этом случае символ End X используется только для
множества линейных отображений (1.6). Иногда (во избежание возможных
недоразумений) вместо символа EndX используется ЦХ).
Отметим также важное обобщение понятия линейного отображения.
А именно, для каждого набора векторных пространств Х{ (г = 0,1,..., п)
отображение а: Хх х... х Хп —> Х0 называется полилинейным (п-линейным),
если оно линейно по каждому аргументу х^Х{ (г = 1,..., п). Вместо
термина «n-линейность» при п = 2,3 используются (соответственно) термины
♦билинейность», «трилинейность».
1.5. Алгебры. Векторное пространство А над полем F называется
алгеброй (над полем F), если в нем фиксирована билинейная операция
А х А—> А: (ж, у) i-+ xy, называемая умножением в алгебре А.
Условие билинейности умножения равносильно в данном случае
соотношениям дистрибутивности (1.6), (1.7) для элементов а, Ь, ж, у е А.
Алгебра А называется ассоциативной (соответственно,
коммутативной), если умножение в ней ассоциативно (соответственно, коммутативно).
Алгебра А называется унитальной (или алгеброй с единицей), если она
обладает единицей по умножению. Единица в этом случае обычно
обозначается символом 1.
Подмножество Х{ с X (соответственно, Ах с А) называется
подпространством векторного пространства X (соответственно, подалгеброй
алгебры А), если Хх замкнуто относительно векторных операций в X
(соответственно, алгебраических операций в алгебре А). В этом случае X
(соответственно, А) называется расширением векторного пространства Хх
(соответственно, алгебры Ах).
Если А —унитальная алгебра, то отображение F —► A, A ь-+ Л • 1
определяет вложение поля F в качестве подалгебры в алгебру А. Соответственно,
в этом случае можно использовать запись Л еА вместо Л • 1 е А.
Примеры. 1. Для каждого векторного пространства X над полем F
множество L(X) = EndX (п. 1.4) есть ассоциативная алгебра над полем F.
2. Алгебра L(n)=Mat(n, F), составленная из квадратных матриц порядка
п над полем F, есть ассоциативная алгебра над полем F.
3. Подалгебра D(n) с L(n), составленная из всех диагональных матриц
в Цп), коммутативна.
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 13
1.6. Алгебраические структуры. Абстрактное множество S
называется алгебраической структурой, если в S определен некоторый набор
n-арных отношений (в декартовых степенях 5П), связанных между собой
системой аксиом. Обычно эти отношения записываются в виде функций,
т. е. отображений 5П —> Sm. К числу таких отображений относятся
рассмотренные выше операции сложения и умножения.
В этом смысле все рассмотренные выше примеры (полугруппы, группы,
кольца и т. д.) суть частные случаи алгебраических структур. Две такие
структуры SX,S2 называются одноименными, если обе они определяются
одним и тем же набором отношений и аксиом.
Желание использовать одну и ту же терминологию в различных
алгебраических структурах естественно приводит к понятию морфизма
алгебраических структур. А именно, морфизмом структуры 5, в одноименную
структуру 52 называется всякое отображение (р: Sx —> S2, согласованное со
структурами S,, 52 (т. е. переводящее структурные отношения в Sx в
соответствующие отношения в 52).
Например, морфизмом (или гомоморфизмом) полугруппы Sx в
полугруппу 52 называется всякое отображение <р: Sx —► S2, сохраняющее рперацию
умножения, т. е.
<р(ху) = (р(х)<р(у) (1.8)
для всех x,yeSx. Если 5,, S2 — полугруппы с единицей, то обычно
предполагается дополнительно, что
у>(е) = е, (1.9)
где в левой (правой) части этого равенства имеется в виду единица
полугруппы S{ (соответственно, 52).
Если SUS2—две группы, то (1.8) влечет (1.9). Это ясно из тождества
<р(е)2 = <р(е) (ввиду существования <р(е)~1). Более того, из (1.8) при ху = е
получаем
*,(*)-'= ¥>(*-') (1.10)
для всех хе S{.
Аналогично рассматриваются морфизмы колец, векторных пространств,
алгебр и т. д. Множество всех морфизмов <р: Sx —► 52 обозначается
Мог(5п 52) или Нот(51, S2).
Одноименные структуры 5И 52 называются изоморфными, если
существует морфизм </?: 5j -* S2, обладающий обратным морфизмом <p~l: S2-> Sx.
В этом случае обычно используется обозначение Sxtt S2.
Примеры. 1. Экспонента у = ех определяет изоморфизм аддитивной
группы R с мультипликативной группой R, = (0, +оо).
2. Изоморфизмы <р е Hom(5, S) называются автоморфизмами
структуры S. Множество всех таких автоморфизмов обычно обозначается Aut S.
Ясно, что Aut S есть группа (относительно композиции морфизмов,
определенной в Нот(5, S)).
1.7. Категории. Известные логические трудности, возникающие в
теории множеств, не позволяют говорить о «множестве всех множеств»,
даже с фиксированной алгебраической структурой. В этом смысле принято
14
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
говорить о «классе множеств». Например, утверждение «G есть группа»
можно выразить, сказав, что «G относится к классу групп».
Класс множеств К называется категорией, если для каждой пары
множеств А, В класса К (называемых объектами категории К) определено
множество морфизмов Мог(А, В) с выполнением следующих аксиом:
(а) Если либо А Ф А', либо В Ф В1\ то множества Mor(A, J3),
Mor(A', J5') не пересекаются.
(/3) Для каждой тройки объектов А, В, С категории К определен
ассоциативный закон композиции
Мог(А, В) • Мог(Б, С) с Мог(А, С). (1.11)
(7) Для каждого объекта А категории К существует морфизм \Ае
бМог(А,А), действующий тождественно (слева или справа) в
композиции (1.11).
В этом случае (как в п. 1.1) легко проверяется, что существование мор-
физма \А влечет его единственность. Обычно множество Мог(А, В)
составляется из отображений (р: А —> В и композиция (1.11) совпадает с
композицией таких отображений. Для всех рассмотренных выше алгебраических
структур (п. 1.6) отображение Мог(А, В) заменяется на Нот(А, В).
Примеры. 1. Категория множеств, обозначаемая SET, определяется
отображениями tp: А —► В, где А, В —произвольные множества.
2. Категория групп, обозначаемая GROUP, определяется
гомоморфизмами групп (р: G —> Н.
3. Категория векторных пространств над полем F обозначается VECT
(= VECTp). В этом случае Мог(Х, Y) = Hom(X, Y) в обозначениях п. 1.4.
Читатель может самостоятельно продолжить этот список для категорий
полугрупп, колец, алгебр над полем F и т. д.
Примеры. 1. Для каждого оператора аеНот(Х, Y) в категории VECTF
его ядро
kera={xeX: аж = 0}
и его образ im а = аХ суть подпространства (соответственно) в X, Y.
2. Аналогично, в категории ALGF ker a, im а суть подалгебры
(соответственно) в X, У.
1.8. Категорный лексикон. Для сравнения различных категорий
между собой используется специальный лексикон, включающий понятия
подкатегории, дуальной категории, ковариантных (или контравариантных)
функторов из категории Кх в категорию К2, и т. д.
НапршЛр, подкатегория Кх категории К определяется как произвольный
подкласс КхсК (наделенный теми же морфизмами, что и в категории К).
Категория Кор, дуальная к категории К, состоит из тех же объектов, что
и категория К, но с заменой Мог(А, В) на Мог(Б, А).
Говорят, что задано отображение Ф: Кх —► К2 из категории Кх в
категорию К2, если каждому объекту А категории Кх сопоставлен
объект А' = Ф(А) категории К2 и каждому множеству Мог(А, В) в
категории Кх сопоставлено множество Mor(A', J3') в категории К2. Отображение
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15
Ф: К{ —> К2 называется ковариантным функтором (из К{ в К2), если
оно сохраняет все композиции (1-11). Ковариантный функтор Ф: Кх —> К£р
называется также контравариантным функтором К{-> К2.
Ковариантный функтор Ф: К{ —> К2 называется изоморфизмом
(эквивалентностью) категорий КХ1К2, если он обладает обратным
функтором Ф"1: К2-*Ки определяемым с точностью до изоморфизма (т. е.
Ф~х(Ф(А))ъ А для всех объектов А категории Кх). Ковариантный функтор
Ф: Кх —► К2 называется вложением категории Кх в категорию К2, если Ф
определяет изоморфизм категории Кх с некоторой подкатегорией
категории К2.
Мы будем лишь изредка использовать категорный лексикон для
сокращения некоторых формулировок. Впрочем, иногда (в специальной части III)
эти сокращения могут оказаться существенными.
Пример. Для каждого морфизма а: М —► N в категории SET определен
сопряженный морфизм a*: F(N)—> F(M) (п. 1.3) по правилу
(*/)(*) =/(о*), (1.12)
где / е F(N), х е М. Легко проверяется, что (ab)* = Ь*а* для
композиций (1.11).
В этом смысле отображение М н-> F(M) определяет контравариантный
функтор из категории SET в категорию алгебр над полем F.
§ 2. Векторные пространства
2.1. Обозначения. Пусть X — векторное пространство над полем F.
Мы будем рассматривать системы e = (eji6/l составленные из элементов
пространства X (где / — произвольное множество индексов). Конечные
суммы
x = EA<ei) (2.1)
i
где Л,, е F (не более конечного числа А. ^0) называются линейными
комбинациями элементов е{ (г el). Множество Fe всех таких линейных
комбинаций называется линейной оболочкой системы е.
Ясно, что Fe есть подпространство векторного пространства X. Если
Х{ = Fe, то принято также говорить, что подпространство Хх натянуто
на систему е.
Система е называется линейно независимой (соответственно, полной),
если равенство х=0 в (2.1) возможно только при Х{ =0 для всех iel
(соответственно, Fe = X). Условие линейной независимости равносильно тому,
что каждое разложение (2.1) однозначно. В этом случае (2.1) записывается
в виде
х = £*,е0 (2.2)
»
где коэффициенты xi (iel) однозначно определяются по вектору ж.
16 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Положим в этом случае ж,. = е{(х). Коэффициенты xi (г е I) называются
координатами вектора х (по отношению к е).
Каждая полная линейно независимая система е в пространстве X
называется базисом пространства X. В этом случае каждый вектор х е X
однозначно записывается в виде (2.2), с координатами х{ = е,(ж).
Примеры. 1. Координатное пространство Fn (п. 1.3) обладает базисом
из элементов е. = (0,..., 0,1,0,..., 0) с единицей на г-м месте. В этом
случае запись х = (ж,,..., хп) определяет координаты xi = е£(х) вектора xeFn
по отношению к базису (е{), где г = 1,..., п.
2. Пусть F[M] С F(M) — подмножество всех «финитных» функций /:
M-+F, т. е. функций, отличных от нуля лишь в конечном числе точек
х € М. Ясно, что F[M] есть векторное пространство (подпространство в
F(M)) с базисом из «дельта-функций» 6а (аеМ), где 6а(х) = 0 при хфал
*.(<*) = 1.
В дальнейшем мы отождествляем обМс дельта-функцией 6aeF[M].
Соответственно, М вкладывается (в качестве базиса) в F[M].
Пространство F[M] называется формальной линейной оболочкой (над полем F)
множества М.
2.2. Базисы. Согласно известной теореме Хаммеля (см., например,
[Бах]), каждое векторное пространство X над полем F обладает
базисом. Доказательство этой теоремы сводится к использованию
принципа максимума (леммы Цорна) для построения максимальной (по
включению) линейно независимой системы в пространстве X. Легко проверяется
(упражнение), что каждая такая система есть базис пространства X.
Существенное уточнение теоремы Хаммеля состоит в следующем:
каждые два базиса пространства X равно мощны. Наметим вкратце
доказательство этого утверждения.
Если X обладает конечным базисом, то это утверждение легко
проверяется (упражнение). Остается рассмотреть тот случай, когда X
обладает базисами А, В с бесконечными кардинальными числами (мощностями)
а = card А, (3 = card В. Заметим, что А представляется в виде
дизъюнктного объединения подмножеств Ап (п 6 N), где Ап состоит из элементов
аеА, каждый из которых есть линейная комбинация с ненулевыми
коэффициентами ровно п элементов be В. Легко проверяется, что card Ап ^ п(Зп.
Отсюда оо
^Е#- (2.3)
Как известно (см., например, [ВШ]), /32 = /3 для каждого бесконечного
кардинала /3, так что (Зп = /3 для всех п е N. Более того, правая часть (2.3)
совпадает с /3. Отсюда а < /3. Аналогично (в силу симметрии) (3 ^ а. В
результате а — (3.
Таким образом, с каждым векторным пространством X однозначно
связывается кардинальное число dimX, называемое размерностью
пространства X и определяемое как мощность произвольного базиса в
пространстве X. Пространство X называется конечномерным (соответственно,
бесконечномерным), если его размерность dimX конечна (соответственно,
бесконечна).
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
17
Примеры. 1. dimFn = n.
2. Существуют векторные пространства произвольной размерности.
А именно, dim F[M] = card M.
Упражнение. Проверьте (по аналогии с теоремой Хаммеля), что
каждая линейно независимая система в пространстве X содержится в
некотором базисе пространства X.
Например, каждый вектор ОфхеХ можно включить в некоторый базис
пространства X.
2.3. Предложение. Пусть ае Hom(X, Y) (в категории VECTF). Тогда
(а) Оператор а однозначно определяется своими значениями ае{ для
каждого базиса е,. (г е I) пространства X.
(/3) Для каждого набора элементов f{ е Y (г е I) существует
оператор аеНот(Х, F), определяемый по правилу ае{ =/,. для всех i el.
Доказательство. Достаточно заметить, что действие оператора на
элемент (2.2) определяется по правилу
«* = £*/<■ (2.4)
i
В частности, а = 0 равносильно /,. =0 для всех г е I. Отсюда получаем
(а), (/?), т. е. правило
Нош(Х,У)«Уа, (2.5)
где a = dimX.
2.4. Следствие. Равенство dim X =dim Y (в категории VECTF)
равносильно X « Y.
Действительно, если dim X = dim У, то равенство ае{ = ft для базисов е{,
fi (соответственно) в X, Y определяет искомый изоморфизм Х«У,
Примеры. 1. Каждое n-мерное векторное пространство X (п € Z+)
изоморфно Fn.
2. Каждое векторное пространство X над полем F изоморфно F[M], где
dim X = card М.
2.5. Матрицы. Фиксируем базисы е = (еД€/, / = (/»)»е/ в
пространствах (соответственно) X, Y. Разлагая элементы aej (j e J) по базису /,
получаем
<*, =£«*/., (2-6)
t
с коэффициентами a{j e F.
Семейство а/е = (а.Д где i el, j e J, называется матрицей
оператора а (относительно базисов /, е). Элементы ai3- при фиксированном i
(соответственно, j) называются строками (соответственно, столбцами)
матрицы а/е. Согласно (2.6), столбцы ае. матрицы afe удовлетворяют
следующему условию финитности:
(Ф) Для каждого jeJ не более конечного числа элементов а^ отлично
от нуля.
18
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Обратно, из предложения 2.3 (/?) следует, что каждая матрица а/е,
удовлетворяющая условию (Ф), однозначно определяет оператор aeHom(X, Y)
с матрицей а/е (относительно базисов /, е).
Таким образом, отображение a*->afe определяет изоморфизм Hom(X, Y)
с векторным пространством всех матриц (2.6), удовлетворяющих
условию (Ф).
В том случае, когда базисы /, е фиксированы, мы будем использовать
обозначение а вместо af e (так что оператор а е Hom(X, Y) отождествляется
со своей матрицей (2.6)).
Легко проверяется (упражнение), что композиция операторов а—Ьс (в
том случае, когда она определена) сводится к стандартному правилу
умножения матриц
a*=EW (2.7)
к
В частности, алгебра EndX изоморфна матричной алгебре Mat (га, F), где
ra = dimX, составленной из «квадратных» матриц (2.6), удовлетворяющих
условию (Ф).
Как правило, мы будем использовать символ Mat(n, F) в случае п < оо.
В этом случае Mat(n, F) состоит из всех квадратных матриц формата п х га
над полем F.
2.6. Сопряженные пространства. Векторное пространство Х\
состоящее из всех F-значных линейных функций (функционалов) над X,
называется сопряженным пространством к векторному пространству X
(X* = Hom(X,F)).
Согласно (2.5), каждый функционал / е X* однозначно записывается в
виде
/(*) = £/,•*,-, (2-8)
*
где х( = е{(х) — координаты вектора х относительно базиса е (п. 2.1),
/,. G F — произвольный набор коэффициентов, однозначно определяющих
функционал /. В этом смысле (2.8) записывается в виде
X*«Fa, (2.9)
где a =dimX.
Пусть e = (et)<€/ — линейно независимая система в X. Покажем, что
в X* существует дуальная система е{ (г б I), определяемая по правилу
г,(еу) = ^, (2.10)
где 6ц — символ Кронекера (6% = 0 при i Фэ, 6и = 1). Действительно,
система е может быть расширена до базиса пространства X (п. 2.2). В этом
случае е{(х) = х{ суть координаты вектора хеХ в базисе е (п. 2.1).
В частности, для каждого 0 Ф х е X существует / е X*, для которого
1(х)ф0.
Использование дуальных систем позволяет явно выписать матричные
элементы (2.6) оператора а. А именно,
% = ^К), (2.11)
где (р{ (i el) — система, дуальная к базису /,. (г € I) пространства Y.
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19
Примеры. 1. Пространство Fn отождествляется со своим
сопряженным по правилу (2.8), где г = 1,..., га.
2. Пространство, сопряженное к F[M], отождествляется с F(M) по
правилу
</(/) = £/(*)</(*),
где feF[M],geF(M).
Упражнение. Если a=dimX бесконечно, то dimX* = 2a.
[Указание: базис пространства F(M) составляют характеристические функции
подмножеств N с М.]
2.7. Билинейные формы. Билинейная форма /: X х Y—> Z (в категории
VECTF) называется невырожденной, если для каждого ОфхеХ
(соответственно, Оф у Е Y) существует у е Y (соответственно, х £ X), для которого
!(х,У)фЪ.
Условие невырожденности формы / равносильно инъективности каждого
из отображений жиД, уу-+ /у, где
ЛЫ = /(х,у) = /у(х). (2.12)
В этом смысле (2.12) определяет вложение X (соответственно, Y) в
Hom(l^Z) (соответственно, Hom(X, Z)).
В общем случае левое ядро кегЛ / (соответственно, правое ядро кегр /)
формы / определяется как ядро отображения жи/х (соответственно, уi-+
н-> /). Таким образом, невырожденность формы / означает, что кегЛ / =
= кег,/ = 0.
Примеры. 1. Если Z = F и форма / невырождена, то (2.12) определяет
вложения X —► У*, Y -+ X*.
2. Билинейная форма (ж, у) = у(х) невырождена в X х X* (п. 2.6). В этом
случае (2.12) записывается в виде
*(V) = {*>V) = V(X), (2.13)
так что первая часть этого равенства определяет вложение X во второе
сопряженное пространство X** = (X*)*.
3. Если dim X < оо, то это вложение определяет изоморфизм X « X**.
4. Соотношение (2.11) может быть переписано в виде
йц = (ае,,п). (2.14)
Билинейная форма (2.13) называется канонической билинейной формой
в X х X*.
Упражнение. Пусть (•, •) — невырожденная симметричная
билинейная форма в конечномерном векторном пространстве X. Соотношение
я(у) = (ж, у) = у(х)
определяет изоморфизм векторных пространств X « X*. Симметричность
формы (•, •) означает, что (ж, у) = (у, х) для всех х,уеХ.
20
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.8. Сопряженные операторы. Для каждого оператора аеНот(Х, Y)
определен сопряженный оператор а* е Нот(У*, X*) по правилу
{ах, у) = (ж, а*у) (2.15)
(в соответствии с (1.12)). Действительно, для каждого у е Y*
соотношение (2.15) однозначно определяет а*уеХ*.
Заметим, что отображение аи а* линейно и удовлетворяет
соотношению (ah)* = Ь*а* (в том случае, когда композиция аЬ определена). Если
dim X, dim Y < оо, то а** = а (т. е. отображение а\-> £ инволютивно).
Иногда в этой ситуации обозначение а*-> а* заменяется одним из
обозначений a»-*af, аь-*аг (транспонирование).
Упражнения. 1. Матрицы операторов a, d транспонированы друг
другу относительно базисов е, / (соответственно, в I, У) и дуальных
базисов е, <р (соответственно, в X*, У*), т. е.
4,. = ^. (2.16)
2. Замена базисов е, / новыми базисами
^• = Е^е„ £ = £ч,/г) (2-17)
8 Г
где и = (и^), v = (vH) — обратимые матрицы, приводит к замене матрицы a
новой матрицей
a = v-lau. (2.18)
В частности, при X = У, е = / матрицы а, а подобны друг другу, т. е.
а = и~1аи.
2.9. Прямые суммы. Пусть Х{ (г е /) — произвольное семейство
векторных пространств над полем F. Их прямая сумма
Х=®Х< (2.19)
определяется как подпространство в декартовом произведении
Х = П*„ (2.20)
г
состоящее из всех финитных наборов х = (Xi)iei> ГДе х% € -X,. (»' e /).
Здесь имеется в виду, что в пространстве^ векторные операции х+у, Л х
определяются покомпонентно. Вектор хе X называется финитным, если
х{ ^0 лишь для конечного числа компонент х{ (г el).
В этом случае каждому оператору aeEndX можно сопоставить блочную
матрицу a=(ai:j), составленную из операторов
% =PtaPj e Нот(Хя X,.), (2.21)
где р. —оператор проектирования в (2.19) на компоненту Х(. Здесь имеется
в виду сужение оператора a{j на подпространство Х^
Легко проверяется, что блочные матрицы (2.21) удовлетворяют
стандартному правилу композиции (2.7) (в том случае, когда композиция аЬ
определена).
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
21
Оператор а е End X называется блочно-диагональным (относительно
разложения (2.19)), если a{j = 0 при гф]. В этом случае мы
используем обозначение а = фаг. или a = diag(al), где а{ = ай. Если / = {1,..., п},
то мы используем (соответственно) обозначения
a = 0at. =diag(an ..., an). (2.22)
i
Упражнение. Общий вид линейного функционала / е X* в
пространстве (z.19) есть
/(*) = £/<(*<), (2-23)
t
где ft е XI (г el) — произвольный набор линейных функционалов. В этом
смысле
** = Г№- (224)
i
Здесь (2.23) есть конечная сумма (в силу финитности элементов х е X).
2.10. Факторпространства. Пусть Х0 — подпространство векторного
пространства X. Полагая х ~ у при х — у е XQ, получаем отношение
эквивалентности в пространстве X, с классами эквивалентности
тг(ж) = х + Х0, (2.25)
где х е X (т. е. п(х) есть множество всех векторов х + у, где у е Х0).
Заметим, что равенство 7г(ж) = 7г(у) равносильно х ~ у. Отсюда ясно, что
определение
Л7г(ж) = 7г(Аж), тг(х) + 7г(у) = 7г(х + у) (2.26)
не зависит от выбора представителей ж, у в классах 7г(ж), 7г(у). Полученное
векторное пространство п(Х) обозначается Х/Х0 и называется фактор-
пространством пространства X по его подпространству Х0.
Заметим, что (2.26) означает свойство линейности отображения 7г: X —>
—> Х/Х0. Отображение я- называется канонической проекцией (X на
ВД>)-
Выбирая в Х0 некоторый базис % и дополняя этот базис до базиса е$ U ех
в пространстве X, получаем
1 = Х0е1„ где X^Fe^X/X^ (2.27)
Отсюда dim X = dim XQ + dim X{. Второе слагаемое в этой сумме
обозначается codim XQ и называется коразмерностью XQ в пространстве X.
Пример. Если codim XQ = 1, то Х0 есть гиперплоскость в
пространстве X, выделяемая линейным уравнением 7г(ж) = 0. Соответственно, (2.27)
записывается в виде
X = X0eFeo, (2.28)
для каждого %, не лежащего в Х0. Ясно также, что все классы (2.25)
совпадают с гиперплоскостями 7г(ж) = const.
22
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.11. Инвариантные подпространства. Подпространство Х0 с X
называется инвариантным относительно оператора -ае End Х% если aXQ с Х0
(т. е. ах е Х0 для каждого х € Х0). В этом случае равенство
7г(а)тг(я:) = тг(ах) (2.29)
определяет индуцированный оператор а— 7г(а) е EndX, где X = Х/Х0.
Условимся записывать операторы а е End X в виде блочных матриц а =
= (а<у), где г, ,7 = 1,2 (в соответствии с (2.27)). Условие инвариантности
аХ0 С Х0 в этом случае равносильно о^ = О (т. е. верхней треугольности
матрицы а).
Упражнение. Каждый оператор аеHom(Jf, У) определяет
изоморфизм векторных пространств
X/kera«ima. (2.30)
2.12. Выбор основного поля. В дальнейшем нам придется накладывать
некоторые ограничения на природу основного поля F.
Поле F называется алгебраически замкнутым, если F содержит корни
всех алгебраических уравнений /(ж) = 0, где / — полином с
коэффициентами из поля F. В общем случае F обладает алгебраическим замыканием,
т. е. алгебраически замкнутым расширением F (F вложено в F в качестве
подполя). См., например, [Бах]. Классический пример: поле С есть
алгебраическое замыкание поля R.
Поле F называется полем характеристикир=0 (соответственно, рфО),
если пф0 для всех п еN (соответственно, р — наименьшее из чисел п еN,
для которых п = 0).
Здесь имеется в виду определение п = 1 + ... + 1 (п. 1.2).
Характеристика поля F обозначается р = char F. Если р Ф 0, то р — простое число
(упражнение). Пример: поле вычетов Fp = Z/pZ.
Иногда мы будем рассматривать обобщения векторных пространств (в
частности, алгебр), в которых роль основного поля F играет некоторое
кольцо R.
Например, матричная алгебра Mat(n, R) над кольцом R, где п —
кардинальное число, определяется как алгебра всех матриц a=(ai3) с элементами
a{j € -R (i, j е I), где card / = п, удовлетворяющих условию (Ф) п. 2.5.
Упражнения. 1. Докажите, что теорема Хаммеля обобщается на
векторные пространства X над телом R.
2*. Попробуйте доказать следующую теорему Фробениуса: каждое
конечномерное тело над полем R изоморфно одному из тел R, С, Н.
3. В частности, каждое конечномерное поле над R изоморфно либо R,
либо С. См. также [Бах].
§ 3. Элементы линейной алгебры
3.1. Определители. Всюду в этом параграфе X — конечномерное
векторное пространство над алгебраически замкнутым полем F. Как известно,
в этом случае теория матриц доставляет эффективный аппарат для
исследования линейных операторов ае End X.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 23
Заметим вначале, что понятие определителя естественно переносится с
матрицы ае = а^ (п. 2.5) на оператор ае End X. Действительно, для каждой
пары базисов е, / пространства X матрицы ае, af подобны (п. 2.8), откуда
det ae = det af. Поэтому равенство
deta = detae (3.1)
однозначно определяет число det a, называемое определителем
(детерминантом) оператора а. Использование матриц позволяет сформулировать
известный критерий обратимости в EndX: оператор aGEnd-X" обратим
тогда и только тогда, когда det а ф 0.
Число а е F называется собственным значением оператора а, если
существует ненулевой (собственный) вектор хеХ, для которого ах = ах,
т. е. (а— а)ж = 0. Критерий существования такого вектора сводится к
необратимости оператора a— a, т. е. к равенству
det(a-a) = 0. (3.2)
Здесь мы отождествляем а € F с оператором a • 1 е End X (1 —
тождественный оператор в End X). Поскольку поле F алгебраически замкнуто и левая
часть (3.2) есть полином от а, мы заключаем, что уравнение (3.2)
разрешимо, т. е. каждый оператор oeEnd-X" обладает хотя бы одним собственным
значением а е F.
Таким образом, множество собственных значений оператора а
совпадает с множеством корней (без учета их кратностей) характеристического
уравнения (3.2).
Числовая функция pa(A) = det(A - а) называется характеристическим
многочленом (полиномом) оператора а. Заметим, что
Р.(А)=Х>,.(а)А«, (3.3)
где о{(а) — полиномы от оператора а (т. е. полиномы от матричных
элементов оператора а). В частности, an(a) = l, <т0(а) = (—l)n det a. Здесь
n = dim-X".
3.2. Инвариантные флаги. Цепочка подпространств Т\ 0 = Х0 с
С Хх с... С Хп = X называется флагом подпространств пространства -X",
если (Ит(Х./Х{_ {) = 1 для всех г = 1,..., п, так что п = dim X. Флаг Т
называется инвариантным относительно оператора aeEndX, если все
подпространства Х{ инвариантны, т. е. аХ{ С Х{ для всех г = 1,..., п.
Фиксируем базис е{ (г = 1,..., п) пространства X, определяемый по
правилу Х{ = Х,_1 ф Fe^. Условие инвариантности флага Т означает, что
aet = a.e^mod Х{_х) для всех г = 1,..., п. Иначе говоря, матрица
оператора а в этом базисе имеет верхнюю треугольную форму
(3-4)
\0 'о./
24 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
где звездочка означает некоторый набор матричных элементов afJ. (1 ^ г <
< 3' ^ п)- Обратно, если матрица оператора а в некотором базисе имеет
вид (3.4), то этот базис определяет инвариантный флаг относительно
оператора а. Вычисляя в этом базисе характеристический многочлен оператора
а, получаем п
А(А)=П(А-а,). <3-5)
3.3. Теорема. Каждый оператор а е End X обладает
инвариантным флагом, т. е. приводится в некотором базисе к треугольной
форме (3.4). Более того, треугольная форма (3.4) оператора а существует
для каждого порядка в системе корней а{ многочлена (3.5).
Доказательство. Пусть ех — собственный вектор оператора а,
отвечающий собственному значению ах. Дополняя ех до произвольного
базиса е{ (г = 1,..., п) пространства X, находим, что в этом базисе оператор a
обладает блочно-треугольной матрицей
-(о ;)•
(3.6)
где а{ — квадратная матрица порядка п — 1. Вычисляя в этом базисе
характеристический многочлен ра, получаем
p0(A) = (A-a,)Pa,(A))
так что множество корней многочлена р^ получается из множества
корней многочлена ра удалением единственного корня ах. Остается применить
индукцию (по n = dimX) к оператору ах. В результате матрица (3.6)
превращается в (3.4).
Пример. Если оператор а обладает единственным собственным
значением а, то
А(А) = (А-а)", (3.7)
т. е. а есть корень кратности п характеристического многочлена (3.7).
Упражнение. Матрица ах в (3.6) есть матрица оператора ах = 7г(а),
индуцированного оператором а (п. 2.10) в факторпространстве Хх =X/Fex.
Применяя теорему 3.3, мы получаем следующий важный результат о
разделении собственных значений оператора ае End X.
3.4. Теорема. Пусть Х{ (г = 1,..., к) —множество всех попарно
различных собственных значений оператора aeEndX. Тогда оператор а
есть прямая сумма операторов а{ (г = 1,..., А;), где а{ имеет
единственное собственное значение \{. Иначе говоря, пространство X есть
прямая сумма а-инвариантных подпространств
1=Ф4 (3.8)
» = 1
где а{ = а\х (г = 1,..., к ).
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 25
Доказательство. Согласно теореме 3.3, оператор а в некотором
базисе обладает блочно-треугольной формой
-(; 5).
(3.9)
где а имеет единственное собственное значение Хх и 8 не имеет
собственного значения А,. Заменяя оператор а оператором а— Ар можем считать,
не ограничивая общности, что Aj=0, так что оператор а нильпотентен
(ат = 0 при некотором га) и оператор 8 обратим. Покажем, что в этом
случае матричное уравнение
разрешимо (относительно ж), так что оператор а подобен оператору Oq =
= diag(o:, 8).
Поясним, что 1 в (3.10) есть единичный оператор соответствующего
порядка. Уравнение (3.10) сводится к соотношению
ж$-аж = Д (3.11)
Полагая <»
x=Y;akP6-k-1, (3.12)
получаем конечный ряд (поскольку ата = 0). Заметим, что х8 отличается от
ах лишь слагаемым при к =0, откуда следует (3.11).
Таким образом, (3.12) есть решение уравнения (3.11). Остается
применить индукцию по n = dimX к оператору 8. В результате получаем (3.8),
т. е. a = diag(a1?..., ак).
Пример. Если все корни характеристического многочлена ра
однократны (т. е. оператор а имеет п различных собственных значений), то оператор
а приводится в некотором базисе к диагональной форме a=diag (an ..., ап).
3.5. Следствие. Каждый оператор aeEndX удовлетворяет
уравнению Гамильтона — Кэли
Р.(а) = 0, (3.13)
еде левая часть означает результат подстановки Амав многочлен ра.
Действительно, если оператор а имеет единственное собственное
значение а, то из (3.4) следует
(а-а)п = 0. (3.14)
В общем случае из теоремы 3.4 получаем
П(а-а,.р=0,
где т{ =dimXi, что совпадает с (3.13).
Упражнение. Проверьте, что для оператора a€EndX следующие
условия равносильны:
26
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
(а) (а- а)п = 0, где n = dimX,
(/?) (а — а)*ж = 0 при к = к(х), для каждого яЕ-Х",
(7) оператор а имеет единственное собственное значение а,
(б) характеристический многочлен ра имеет вид (3.7).
3.6. Корневые подпространства. Теорема 3.4 приобретет более
законченный вид, если явно указать инвариантные подпространства Х{ (i =
= 1,...,*).
Для каждого А €F пусть Хх(а) — множество всех векторов хеХ,
удовлетворяющих соотношениям
(а-А)*х = 0 при к^кь(х). (3.15)
Очевидно, Хх(а) есть подпространство в X, инвариантное относительно
оператора а. Оно называется корневым подпространством оператора а,
отвечающим корню А.
Ясно, что Хх(а) содержит собственное подпространство ker(a-А)
оператора а, натянутое на собственные векторы оператора а с собственным
значением А. Более того, Хх(а)фО лишь в том случае, когда ker(a- A)^0,
т. е. когда А есть собственное значение оператора а. Ясно также, что а
имеет единственное собственное значение А в подпространстве Хх(а).
Подпространство Х0 называется нильпространством оператора а.
3.7. Теорема. Пространство X разлагается в прямую сумму
корневых подпространств оператора а:
Х = ®Хх(а), (3.16)
где Хх(а)ф0 только при А = А. (% = 1,..., п) в обозначениях л. 3.4, так
что (3.16) совпадает с (3.8).
Доказательство. Как показано в п. 3.4, каждый оператор a€ End X
есть прямая сумма а^фа!, где оператор Oq нильпотентен, оператор d
обратим. Применяя это замечание к оператору a - А, где А — собственное
значение оператора а, получаем
Х = 1А(а)еГ,
где Хх(а)ф0, X1 — подпространство, инвариантное относительно
оператора а, в котором оператор а не имеет собственного значения А. Остается
применить допущение индукции (по dimX) к подпространству X'.
Упражнение. Проверьте непосредственно, исходя из
определения (3.15), что семейство подпространств Хх(а) линейно независимо.
[Указание: индукция по длине соотношений
где х{ е Хх.(а), А. ф Ау при гфэ- Примените к этому равенству оператор
(а— \х)п при надлежащем п и затем (а- \{)~п.]
Пример. Собственные векторы оператора а, отвечающие различным
собственным значениям, линейно независимы.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 27
3.8. Следствие. Каждый оператор а е End X имеет единственное
представление в виде
а=8 + е, (3.17)
где оператор 8 диагоналей, оператор е нильпотентен и операторы 5, е
взаимно перестановочны: 8е = е6.
Доказательство. Полагая 8х = Хх при х е Хх(а), получаем
диагональный оператор 8, для которого оператор е = а— 6 нильпотентен (в
каждом Хх(а), но тогда и всюду в X). Отсюда следует (3.17).
Обратно, для каждого разложения (3.17) (с указанными свойствами)
пространство X есть прямая сумма подпространств Хх(6) = кег(5 — Л),
инвариантных относительно а ( в силу аб = 6а). Оператор е = а — 8 может быть
нильпотентен в Хх(6) лишь в том случае, когда Л есть единственное
собственное значение оператора а в Хх(6). В результате Хх(а) = Хх(8) для
всех A G F, откуда следует единственность разложения (3.17).
Упражнения. 1. Каждый оператор из EndX, перестановочный с
оператором а, перестановочен также с его компонентами 5, е.
2. deta = deU.
3. Если оператор а обратим, то оператор и = а6~х унипотентен, т. е.
имеет вид и = 1 + ж, где хп = 0.
4. Разложение а= 8и, где оператор 8 диагоналей, оператор и унипотентен
и 8u = u8t единственно.
3.9. Жордановы клетки. Оператор а е End X называется
циклическим, если X натянуто на векторы акх$ (к £ Z+) при некотором Xq€ X (в
этом случае вектор Xq также называется циклическим). Очевидно, в этом
случае X натянуто на векторы акх^ при O^fc^n—1, где n = dimX —
наибольшее из чисел к, для которых векторы акХц (О^к ^.п — 1) линейно
независимы.
Если а — нильпотентный оператор, то опа^ = 0и матрица оператора а в
базисе ei = an~ixQ принимает следующий вид:
/0 1 0 0 ... 0
[ 0 0 1 0 ... 0
0 0 0 0 ... 1
\0 0 0 0 ... 0
Полученная матрица jn(0) есть частный случай жордановой матрицы (или
жордановой клетки)
jn(a) = a+jn(0), (3.19)
получаемой из jn(0) подстановкой диагональных элементов Оьча в (3.18).
Упражнения. 1. Проверьте, что для оператора a = j (0)
подпространство keram (соответственно, imam) совпадает с линейной оболочкой
базисных векторов ер ..., ет (соответственно, еи ..., еп_т).
2. Проверьте, что оператор a = jn(0) неразложим, т. е. его нельзя
представить в виде diag(a15 а?) при а,. ^0 (г = 1, 2).
(3.18)
28 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
3.10. Теорема. Каждый оператор aeEndX есть прямая сумма
жордановых клеток а{ = jn.(at), где а{ —собственные значения оператора
а (сумма всех щ совпадает с n = dim -X").
Доказательство. Согласно теореме 3.4, достаточно рассмотреть
случай, когда оператор а имеет единственное собственное значение а.
Заменяя а на а— а, можем также считать, что а =0, т. е. оператор а ниль-
потентен.
Фиксируем 0 Ф хх е X и положим X = Хх ф Х2, где Хх — линейная
оболочка векторов akxx (keZ+). Соответственно, оператор а приводится к
виду (3.9), где а = j (0), 8 (допущение индукции) — прямая сумма I
жордановых клеток (I е &+).
Условимся считать, что пх = dim Хх принимает максимально возможное
значение в пространстве X и покажем, что в этом случае уравнение (3.11)
разрешимо, так что a = diag(a, 8).
Повторяя рассуждения п. 3.4, находим, что достаточно рассматривать
случай / = 1. В этом случае 5=^(0), где щ^щ. Соответственно, Х2
натянуто на векторы а*^, где ап*х2еХх. Заметим, что
аП1ж2 = аП1""П2(аП2ж2) = 0
(поскольку а"1 =0 во всем пространстве -X"). Применяя упражнение 1 п. 3.9
(либо непосредственное вычисление), находим, что а"2^ есть линейная
оболочка векторов акхх при к ^ т^. Следовательно,
a^Xz^a^XQ
при некотором Xq€ Хх. Заменяя х^ на а% — а^, получаем а% = 0. В этом случае
подпространство Х2 инвариантно, т. е. a = diag(a, 8).
Остается заметить, что подстановка а^ н-* х^ — Xq имеет вид (3.10), так что
уравнение (3.11) разрешимо при I = 1. В общем случае решение (3.11) имеет
блочный вид х = (ж,,..., xt), где х{ — решение (3.11) при 8 = 8{. Отсюда
заключаем, что a = diag(a, £,,..., 8{).
3.11. Определение. Представление оператора а е End X в виде
прямой суммы жордановых клеток зпХад называется нормальной жордановой
формой оператора а.
Упражнение. Проверьте, что число жордановых клеток в
нормальной жордановой форме нильпотентного оператора а совпадает с dim (ker a).
3.12. Проекционные операторы. Оператор р е End X называется про-
ещионным, если р2 =р. В этом случае р' = 1 — р есть также проекционный
оператор, причем р'р = рр' = 0. Отсюда следует (упражнение), что
Х=рХ®р'Х,
так что оператор р проецирует X на рХ параллельно подпространству р'Х.
В общем случае с каждым разложением (2.19) пространства X в прямую
сумму подпространств Х{ (г el) связано семейство проекционных
операторов р{(х) = xif где х{ (i el) — компонента вектора хеX в
подпространстве Х{. Отсюда
l=Eft, ЙРУ = 0 при гфз. (3.20)
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
29
Поскольку мы рассматриваем случай dim X < оо, здесь следует положить
card / < оо.
Легко проверяется (упражнение), что сумма s = p + q, где р, q G End X —
проекционные операторы, есть проекционный оператор лишь в том случае,
когда операторы р, q связаны соотношением ортогональности p±q: pq =
= qp = 0. В этом случае
sX =pX ®qX.
Соответственно, разность г = р — q есть проекционный оператор лишь в
том случае, когда операторы р, q связаны соотношением порядка q ^p:
pq = qp = qt что равносильно рХ — qX @rX, т. е. qX С рХ.
Семейство проекционных операторов (р{){е1 называется
ортогональным, если выполнено второе соотношение (3.20). Семейство (р{){е1
называется ортогональным разложением единицы, если выполнены оба
соотношения (3.20). Очевидно, в этом случае X есть прямая сумма
подпространств Х{ =р{Х.
Упражнения. 1. Диагональностьоператора аеEndX, т. е. равенство
а = diag(of!,..., ап) в базисе е = (е1э..., еп) равносильно разложению
а=Еед} (3.21)
где р{ —оператор проектирования X на Xi = Fe{ (t = l,...,n).
2. Если а. ф aj при i-fij, то операторы р. записываются в виде
Л=Пгз^7- (3-22)
its • 3
3. Докажите, что и в общем случае операторы проецирования р{: X на Х{
в (3.8) суть полиномы от оператора а. [Указание: используйте
вспомогательные операторы р^ = (а- Л,)*?,, где
с показателями щ = dim X. (0 ^ к < п^ - 1).]
§ 4. Функциональное исчисление
4.1. Алгебра F[x]. Пусть F[x] — векторное пространство над полем F
с базисом из символов хк, где к е Z+. Элементы / е F[x] однозначно
записываются в виде п
/(*)=£/***, (4-1)
Л: =0
где Д е F, и называются (формальными) многочленами от независимой
переменной ж = ж1.
30
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Соотношение хкхг = хк+г, где fc, г eZ+, определяет однозначно (по
билинейности) операцию умножения в пространстве F[x], относительно
которой F[x] становится ассоциативной (коммутативной) алгеброй с единицей
х° = 1 над полем F.
Многочлены (4.1) допускают операцию подстановки жиа(т. е. хк\-*ак)
для каждого фиксированного элемента ае А, где А — ассоциативная
алгебра над полем F. А именно,
/(«)=£/*<**• (4.2)
Применяя правило умножения в алгебре F[x], находим, что отображение
7- f(x)*-* f(a) есть гомоморфизм алгебры F[x] в алгебру А, однозначно
определяемый соответствием х «-► а.
В частности, для каждого Л £ F число /(А) называется значением
многочлена f e F[x] в точке А € F. Таким образом, отображение Л »->/(А)
при фиксированном / есть числовой полином (полиномиальная функция /:
F->F).
Если поле F бесконечно, то легко проверяется (с помощью
определителей Вандермонда), что числовые функции Д(А) = А* линейно независимы. В
этом случае отображение f(x)н->/(А) определяет изоморфизм алгебры F[x]
с алгеброй P(F) числовых полиномов /: F —► F.
В общем случае отображение j: f(x)\->f(a) (при фиксированном аеА)
называется функциональным исчислением (класса F[x]) в алгебре А.
Аналогично, каждое продолжение j до гомоморфизма ^: Ф-> А, где Ф —
расширение алгебры F[x], называется функциональным исчислением класса
Ф в алгебре А.
В дальнейшем мы не делаем различия между терминами «многочлен» и
«полином». Последний термин даже предпочтительней, в связи с
обозначением P(F) и другими аналогичными обозначениями (п. 11.7).
Для каждого многочлена / е F[x] его производная f G F[x] определяется
по правилу (ж*)' = kxk~l для всех k e Z+, т. е.
f'(x)=±kfkxk->. (4.3)
Аналогично определяются кратные производные /(m) = (/(m_1));, где те
€ Z+, /(0) =/. Заметим, что /<п+1> = 0 для каждого многочлена (4.1).
Нам понадобится также следующий аналог формулы Тейлора в
алгебре F[x].
4.2. Предложение. Положим char F = 0, и пусть ж, у — две
независимые (взаимно перестановочные) переменные. Тогда для каждого
f e F[x] имеем п f(k)/
Ди + У)=£^2Л (4.4)
fc«0
где п — степень многочлена (4.1).
Доказательство. Поскольку обе части (4.4) линейно зависят от /,
достаточно рассмотреть случай f(x) = xn. В этом случае
/<*>(ж) = п(п - 1)... (п - к + 1)хп~к
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 31
для всех значений к EZ+, и равенство (4.4) превращается в бином Ньютона
(* + У)п=Е Cn*sn-V, (4.5)
А: =0
где С£ — биномиальные коэффициенты.
Здесь существенно, что переменные ж, у взаимно перестановочны.
Соотношение (4.5) проверяется индукцией по п. Условие char F = 0 влечет
kl ф0 для всех к € Z+ (в частности, 0! = 1). Таким образом, (4.4) доказано
для всех / 6 F[x].
4.3. Определение. Положим (для простоты изложения) F = С, и
пусть X — конечномерное векторное пространство над полем С. Напомним
(п. 3.8), что каждый оператор а б End X обладает каноническим
разложением (3.17), где бе = е8. Наименьшее из чисел т e Z+, для которых em+1 =0,
называется высотой нильпотентности оператора а= 6 + е.
Пусть вначале га = 0, т. е. а = S = diag (а,,..., ап), относительно
некоторого базиса е в пространстве X. В этом случае для каждой функции /:
F —> F положим
/(а)ж = /(А)ж при хбХА(а), (4.6)
т. е. /(a) = diag(/(a1),.. .,/(а:л)) относительно базиса е. Согласно (4.6),
это определение не зависит от выбора базиса е в пространстве X.
В общем случае пусть Фт — алгебра функций /: F —► F, имеющих в
точках с^ (г = 1,..., п) производные /(Л)(аг) Д° порядка т включительно.
Здесь т — высота нильпотентности оператора а. Положим в этом случае
при/еФт: я {к)
Здесь имеется в виду, что операторы f{k)(S) определяются по
правилу (4.6) (с заменой / на /(А)). Применяя предложение 4.2, находим, что
равенство (4.7) выполняется автоматически для полиномов / е F[x].
Таким образом, определение (4.7) продолжает определение (4.2) на
функции класса Фт.
Примеры. 1. Для жордановой клетки а=jn(a) определение (4.7)
принимает следующий вид:
/(*»>-£ ^Л (4.8)
где е =jn(0). Ясно, что /(а) есть верхняя треугольная матрица с
элементами f^k4ot)/k\, расположенными в fc-й полосе, параллельной главной
диагонали. Например, при п = 3
/(<*)= I 0 f(a) ~f'(a) I • (4-9)
2. Положим /(А) = еА. Используя (4.8) и нормальную жорданову форму
оператора а, получаем
е" = е"е% где ee-Y,T\- (4.10)
32 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Упражнение. Докажите (используя упражнение (3) п. 3.12), что
компоненты 5, е суть полиномы от оператора а.
4.4. Теорема. Отображение *у: f«-+ /(а), определяемое
равенством (4.7), есть функциональное исчисление класса Фт, где т -—высота
нильпотентности оператора а е End X.
Доказательство. Достаточно проверить мультипликативность
отображения 7- Фт —>End X. Для этого воспользуемся правилом Лейбница
(/5)<*>= Е С*7('У° (4.11)
для функций £деФт. Напомним, что С£ = ^ф. В частности, С£ ^0 только
при 0 < s ^ fc. Заменяя в (4.7) функцию / на fg, получаем
(/5)(а) = Е Е fl'\\(y>ek=f(a)g(a), (4.12)
т- е. 7(/^) = 7(/)' 7(5)- Следовательно, 7 есть гомоморфизм алгебры Фт в
алгебру EndX.
Пример. Полагая Л (А) = е*А, где £ Е F = R, С, получаем семейство
операторов u(£) = ete (а6 End X), удовлетворяющих соотношениям
u(t + s) = u(t)w(5), u(0) = 1 (4.13)
для всех tjaeF.
Упражнения. 1. Проверьте, что функция u(t) = eta
дифференцируема по t € F (голоморфна при F = С), причем
u\t) = au(t) = u(t)a (4.14)
для всех £ eF.
2. Пусть NilX (соответственно, UniX) — множество всех нильпотент-
ных (соответственно, унипотентных) операторов aeEndX. Докажите, что
формулы оо и оо ( п* *
e*=Efn ЬО + яИЕ1^, (4Л5>
где x e Nil X, определяют биекцию между множествами Nil X, Uni X.
Отметим также более общее свойство мультипликативности для
операторных экспонент в EndX.
4.5. Предложение. Если операторы a, beEndX взаимно
перестановочны, то
е*еь = еа+ь (4.16)
Доказательство. Для нильпотентных операторов а, Ъ
равенство (4.16) проверяется непосредственно с использованием конечных
сумм (4.10). В общем случае заметим, что каждое корневое
подпространство Хх(а) инвариантно относительно оператора Ь (ab = Ьа). Отсюда
Х=е*Ам, (4.17)
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 33
где ХХ{г— пересечение подпространств Хх(а), Х^Ь). Более того, каждое
подпространство XXfi инвариантно относительно операторов а, Ь. Сужая эти
операторы на XXfi, получаем а=\ + е, Ь = ^+£;, где операторы е, е' взаимно
перестановочны. Отсюда
eaeb = ex + fieeee' = ex + tie£ + £' = ea+b.
Замечание. Определение (4.7) становится более естественным, если
заменить алгебру Фш алгеброй Ф формальных степенных рядов, имеющих
вид (4.1) при п = оо. А именно, можно показать, что из сходимости рядов
/(Л)(А) в точках Л = ait где 0< к ^ га, следует (покоординатная) сходимость
операторного ряда (4.2). Например, операторная экспонента еа (ае End X)
определяется сходящимся рядом
еа=££- (4-18)
п=0 '
Мы вернемся к этому вопросу в п. 13.8. Пока отметим еще один
подход к функциональному исчислению в EndX, пригодный также в случае
dim X=oo.
4.6. Нормированные пространства. Пусть X — векторное
пространство над полем F = R, С. Числовая функция р: X —> R называется
полунормой в пространстве X, если выполняются следующие аксиомы:
(а) р(\х) = \Х\р(х) для всех А е F, хеХ;
(/3) р(х + у) < р(х) + р(у) для всех ж, у е X.
Заметим, что из (а) при Л =0 следует р(0) = 0. Помимо этого, из (/3)
при х + у = 0 следует р(х) ^ 0 для всех х е X, т. е. р принимает значения
bR+ = [0, +оо).
Полунорма р называется нормой в пространстве X, если р(ж) = 0 только
при ж = 0. В этом случае обычно используется обозначение р(х) = \\х\\ (по
аналогии с |А| в поле F). Легко проверяется, что функция
Р0*у) = ||*-у|| (4.19)
есть метрика в пространстве X. Соответственно, функция ||ж|| = р(ж, 0)
интерпретируется как длина вектора х (расстояние от точки х до
точки ОеХ).
Пространство X называется нормированным, если в нем фиксирована
норма р(ж) = ||х||. Соответственно, в X фиксирована метрика (4.19).
Нормированное пространство X называется банаховым, если X полно
относительно метрики (4.19).
Упражнения. 1. Докажите, что векторные операции в
нормированном пространстве X непрерывны (относительно метрики (4.19)).
2. Докажите, что каждая полунорма р в пространстве X удовлетворяет
соотношению
\р(х)-р(у)\^р(х-у) (4.20)
для всех х,уеХ.
3. Докажите (используя (4.20)), что функция р(ж) = ||ж|| непрерывна (в
нормированном пространстве X).
4 Зак. 184
34
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Примеры. 1. Пространство X = Fn банахово относительно каждой
из норм , п и/р
Nif={:cfcr} . (4.2i)
где 1 ^ р < оо.
2. Пусть 1р — множество всех последовательностей х = (жп ..., х{,...),
где x{€F, удовлетворяющих условию
ЕкГ<оо. (4.22)
t = l
Пространство X = 1р банахово относительно нормы (4.21) с
подстановкой п = оо.
3. Пусть С (а, Ь) — пространство всех непрерывных (F-значных) функций
на отрезке [а, Ь]. Формула
||/||= max \f(t)\ (4.23)
определяет равномерную норму в пространстве С(а, Ь), относительно
которой С(а, Ь) есть банахово пространство.
4. Пусть Г — множество с лебеговой мерой /х. Пусть Lp(T, /х) —
векторное пространство измеримых функций /: Т -> F, для которых функция |/|р
суммируема. Формула
11/1!, = {j !/(*)№(«)}'' (4.24)
определяет полунорму в Lp(7}/x), равную нулю на функциях /~0, где
f ~д означает, что функции /, д равны почти всюду (относительно меры /х).
Полунорма (4.24) становится нормой, если функции /~0 считать равными
нулю. В этом смысле Lp(T, /х) есть банахово пространство.
Доказательства этих утверждений можно найти в учебниках по
функциональному анализу (см., например, [КФ; Ш1]). Семейство норм (4.21), (4.24)
дополняется также параметром р = оо. Например, для (4.21) полагаем
NL = sup|x,.|. (4.25)
Аналогично, L^T, /х) определяется как пространство существенно
ограниченных (ограниченных почти всюду) измеримых функций /: Т ->F.
Пространство Ьоо(Т, /х) есть банахово пространство относительно нормы
||/||=inf (sup |/(t)|), (4.26)
T~S s
где Г ~ S означает д(Г \ S) = 0.
В частности, пусть Т=[а, Ь], /х — стандартная мера Лебега (порожденная
евклидовой мерой на отрезке [а, 6]). В этом случае пространство Lp(T, /x)
обозначается Lp(a, b). Аналогично используется обозначение Lp(R).
Упражнения. 1. Проверьте (используяоценку а+ Ь<2тах(а, Ь) при
а=|жД, Ь = |у.|), что 1р (аналогично, Lp(T, /x)) есть векторное пространство.
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 35
2. Проверьте, что сходимость /п —►/ в С(а, Ь) есть равномерная
сходимость £(*)=*/(*)•
3. Проверьте, что С (а, Ь) всюду плотно в Lp(a, b) (1 ^ р < оо).
4.7. Алгебра В(Х). Пусть X — нормированное пространство. Для
каждого а е L(X) = End X положим
||a|| = supJjgJi=sup|M|. (4.27)
хфО ,|U/|1 |jx|| = l
Оператор aeEndX называется ограниченным, если ||а|| <оо, т. е. ||ах|| ^
^ С||х|| для всех х е X (с константой С ^ 0).
Легко проверяется, что условие ограниченности оператора aeL(X)
равносильно его непрерывности в пространстве X. Векторное пространство
В(Х), составленное из всех ограниченных aeL(X), есть нормированное
пространство относительно нормы (4.27). Более того, В(Х) есть алгебра
над полем F, с оценкой
ИИ <N-11*11 (4-28)
для всех а, Ь е В(Х). Применяя (4.28) индуктивно, получаем
IMI ^ IN" (4-29)
для всех п е Z+. Заметим также, что ||1|| = 1.
Если X полно, то В(Х) полно (см., например, [КФ; Ш1]). В этом случае,
используя оценку (4.29), легко проверить, что для каждого ряда (4.1) (при
п = оо) операторный ряд (4.2) сходится в В(Х) при ||а|| < г(/), где r(f) —
радиус сходимости ряда (4.1).
Фиксируем о Е В( J), и пусть Фа — алгебра степенных рядов (4.1)
с радиусом сходимости r(f) > \\a\\. Легко проверить, что отображение
7: /(х)*-*1(а) есть функциональное исчисление класса Фв.
Примеры. 1. Функция /(А) = П — А )-1 разлагается в геометрическую
прогрессию с радиусом сходимости 1. Соответственно, оператор
/(a) = Е*1 (4.30)
п = 0
определен при ||а|| < 1. Непосредственно проверяется (упражнение), что
/(a) = (1-о)"'.
2. Экспонента /(А) = еА определяется степенным рядом с радиусом
сходимости оо. Соответственно, операторная экспонента
/<*)=«•= eS <431>
п = 0 '
определена для всех а € В(Х).
4.8. Случай dim X < оо. Полунормы р, q в векторном пространстве X
называются эквивалентными, если
р(х) < Aq(x), q(x) < Вр(х) (4.32)
4*
36 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
для всех х € X (с некоторыми константами А, В ^ 0). Легко проверяется
(см., например, [Вин 1]), что в случае dimX <oo все нормы в
пространстве X эквивалентны.
Используя оценку (4.32) для норм р, q в пространстве X, находим, что
р-сходимость хп —> х равносильна g-сходимости хп -+ х. Поэтому для оценки
сходимости в пространстве X (dim X < оо) достаточно фиксировать какую-
либо одну из норм (4.21), (4.25).
Отсюда ясно, что B(X) = L(X) для каждой нормы в пространстве X
(т. е. все линейные операторы непрерывны при dim X < оо).
Соответственно, функциональное исчисление класса Фа (п. 4.7) можно рассматривать
при a€L(X).
Например, экспонента (4.31) определена для всех а€ L(X).
Упражнения. 1. Пусть dim X < оо. Проверьте, что определение (4.2)
при f еФа (п = оо) совпадает с определением (4.7).
2. Проверьте (используя (3.4)), что
det(ee) = etra, (4.33)
где tra (след оператора а) определяется (по аналогии с п. 3.1) как trae,
для каждого базиса е пространства X.
3. Проверьте (используя жорданову форму оператора а), что
e' = lim(l + £)n. (4.34)
В дальнейшем мы будем использовать также обозначение В(Х, Y) для
векторного пространства всех ограниченных (=непрерывных) операторов
aeHom(X,F).
§ 5. Унитарные пространства
5.1. Определение. Пусть X — векторное пространство над полем F =
= Е, С. Функция /: X х X —► X называется эрмитовой формой в
пространстве X, если
(а) /(ж,у) = /(у,ж),
(/3) f(ax + Py,z) = af(x,z) + Pf(y,z)
для всех а, /3 G F и всех x,y,zeX. Здесь черта означает комплексное
сопряжение в поле F. Из условий (а), (/3) следует, что функция / анти-
линейна по второму аргументу, т. е.
/(ж, ay + (3z) = аУ(ж, у) + Д/(ж, z).
Эрмитова форма / называется скалярным произведением в
пространстве X, если она (строго) положительно определена, т. е.
(т) /(я>я)^0, /(ж, ж) = 0 только при ж = 0.
Пространство X называется унитарным, если в нем фиксировано
скалярное произведение /. В этом случае обычно используется обозначение
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37
/(ж, 2/) = (ж, у). Условие (7) позволяет также определить неотрицательную
функцию
\\х\\ = у/&х). (5.1)
Если F = R, то комплексное сопряжение в (а), (/3) тривиально, так что /
есть симметричная билинейная форма в пространстве X. Унитарное
пространство над полем R называется также евклидовым пространством.
5.2. Предложение. Функция (5.1) есть норма в пространстве X
{так что X есть нормированное пространство над полем F).
Помимо этого, имеем:
(а) Для каждой пары векторов х,уеХ выполняется следующее
«неравенство Шварца»
|(*у)|*;М|.|М|. (5.2)
(/3) Неравенство (5.2) превращается в равенство лишь в том случае,
когда векторы ж, у коллинеарны. Более того, для каждого хеХ
||х|| = max Щ^ = max |(я, z)\. (5.3)
11 " 3,^0 IMI N-1
Доказательство. Неотрицательная функция || х — А у ||2 совпадает
при у Ф О с квадратным трехчленом
^(A) = ||x||2-2Re(X-(x,j/)) + |A|2||i/||2,
где А 6 С. Подстановка А = teia при (ж, у) = ре™ (полярная запись числа
(ж, у)) превращает <р(А) в неотрицательный трехчлен
*,„(*) = INI2-2tp + t2||y||2,
где t e E, дискриминант которого А должен быть неположителен, что
совпадает с (5.2). Отсюда следует (а).
Более того, равенство Д = 0 влечет <р(А) = 0 в некоторой точке А, т. е.
х = А у, откуда следует (/?). В свою очередь, из (5.3) легко выводится
«неравенство треугольника» (/?) п. 4.6 для функции (5.1). Ясно также, что
выполнено (а) п. 4.6. Следовательно, (5.1) есть норма в пространстве X.
Примеры. 1. Пространство Fn унитарно относительно скалярного
произведения п
(я, у) = Е xi¥v (5.4)
2. Пространство ^ (п. 4.7) унитарно относительно скалярного
произведения (5.4) при п = оо. В данном случае (5.4) есть абсолютно сходящийся
ряд, что ясно из оценки
аЬ<±(а2 + Ь2), (5.5)
где a=|xj, Ь = Ы-
3. Пространство L2(T,p,) унитарно относительно скалярного
произведения г
(/,<?)= №g(t)dp(t), (5.6)
38
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
существование которого также следует из оценки (5.5) при а= |/(*)|, b =
= \9(t)\.
Заметим, что неравенство Шварца в пространствах 1^, L2(% \i) совпадает
с известным неравенством Коши — Буняковского.
Упражнения. 1. Проверьте (используя неравенство Шварца), что
скалярное произведение в унитарном пространстве X непрерывно (по
совокупности переменных ж, у € X).
2. Норма (5.1) удовлетворяет равенству параллелограмма
||* + у||2ЧЧ1*-У||2 = 2(И2 + 1М12) (5-7)
(для всех ж, у е X). Помимо этого, выполняется правило поляризации
Re(x,y) = i(||x + 2/||2-||x-y||2) (5.8)
(для всех ж, у el).
3. Нормированное пространство X унитаризуемо (т. е. норма в нем
имеет вид (5.1)) лишь в том случае, когда выполняется (5.7).
4. Пространство С(а, Ь) не унитаризуемо.
5. Пространство 1р (аналогично, Lp(T, /x)) унитаризуемо только при р=2.
5.3. Пространство ^(а;). Еще один пример унитарного пространства
можно получить, если заменить счетные ряды (в определении 4)
обобщенными рядами вида
а=Евц (5-9)
i€l
где а{е F, I — произвольное множество индексов.
А именно, частичной суммой ряда (5.9) называется каждое число aF,
получаемое из (5.9) заменой I на произвольное конечное подмножество F С
С/. Если а{ ^0 (для всех г el), то суммой ряда (5.9) называется a=sup aF.
F
Соответственно, ряд (5.9) называется сходящимся, если а < оо. В общем
случае аналогично определяется абсолютная сходимость ряда (5.9).
Положим и = card I, и пусть 1р(ш) (1 ^ р < оо) — множество всех
наборов я = (я.).е/, где ж. е F и ряд, составленный из чисел |ж{|р, сходится. В
этом случае легко проверить (по аналогии с 1р), что lp(w) есть банахово
пространство относительно нормы
И, = {£кГ}*- (5.Ю)
В частности, £j(a>) унитарно относительно скалярного произведения (5.4),
где конечная сумма заменяется абсолютно сходящимся рядом из элементов
*«У< (* € /).
Упражнение. Если ряд (5.9) абсолютно сходится, то не более
счетного числа его элементов отлично от нуля.
В частности, для каждого ж е 1р(и>) не более счетного числа координат х.
(г е I) отлично от нуля.
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
5.4. Ортогональные системы. Пусть X — унитарное пространство.
Элементы х, у е X называются ортогональными (х ± у), если (ж, у) = 0.
Система е = (е<)<€/ в пространстве X называется ортогональной
(соответственно, ортонормированной), если е£ J_ey при i^j (соответственно,
(е.,еу)=6^).
Фиксируем ортонормированную систему е в пространстве X. Для
каждого х е X числа
a* = (*,e4) (5.11)
называются координатами (или коэффициентами Фурье) вектора х
(относительно системы е). Нетрудно видеть, что для каждого хеХ
выполняется следующее неравенство Бесселя:
Ekl2<N!2. (5.12)
Действительно, из общего определения суммы ряда (5.9) следует, что
достаточно проверить (5.12) в случае card J <oo. Положим в этом случае
/ = {1,...,п} и рассмотрим вспомогательный вектор
п
для которого у,- = xi (i = 1,..., п). Соответственно, вектор z = x - у
ортогонален к системе е (z{ = 0 для всех i = 1,..., п). Отсюда ж = у + z, где
у ±2. Очевидно, в этом случае ||х||2 = ||у||2 + ||г||2 (правило Пифагора).
Помимо этого, || у||2 совпадает с левой частью (5.12). Отсюда следует (5.12)
(поскольку ||у||2<||ж||2).
Используя (5.12), находим, что для каждого х е X не более счетного
числа координат х{ del) отлично от нуля.
Ортонормированная система е в пространстве X называется полной
(соответственно, замкнутой), если ее линейная оболочка всюду плотна в
пространстве X (соответственно, если условие zi = 0 для всех г е I влечет
2=0). Система е называется (ортонормированным) базисом
пространства X, если каждый хеХ представляется в виде ряда
= Е М, (5.13)
X
iel
где не более счетного числа коэффициентов с.е F отлично от нуля.
Используя непрерывность скалярного произведения в пространстве X,
находим с{ = х{ для всех iel (т. е. коэффициенты в (5.13) определяются
однозначно). Аналогично проверяется, что
Nl2 = £kf. (5.14)
Примеры. 1. Пусть е( е ^(ш) — вектор с координатами 6{j (j e I).
Тогда система e = (e.)i€l есть ортонормированный базис в ^(и).
2. Функции
еп(0 = ^е-, (5.15)
где п е Z, образуют ортонормированную систему в £2(0, 2п).
40 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Покажем, что система (5.15) полна. Действительно, линейная оболочка
Т(0, 2п) системы (5.15) есть алгебра тригонометрических полиномов в
пространстве L2(0, 27г). Согласно теореме Вейерштрасса, Г(0, 2п) всюду
плотно в С(0, 27г) относительно равномерной метрики, но тогда и относительно
метрики в L2(0, 27г). С другой стороны, С(0, 2п) всюду плотно в £2(0, 2п)
(п. 4.6). Отсюда заключаем, что Т(0,2п) всюду плотно в £2(0,27г).
5.6. Гильбертовы пространства. Унитарное пространство Я
называется гильбертовым, если оно полно (относительно нормы (5.1)).
В частности, все унитарные пространства, рассмотренные в пп. 5.1, 5.2,
суть гильбертовы пространства.
Унитарные пространства X, Y над полем F называются изоморфными,
если существует линейный изоморфизм и: X —> Y, сохраняющий скалярное
произведение, т. е.
(их, иу) = (ж, у) (5.16)
для всех х,у€Х.
Упражнения. 1. Соотношение (5.16) равносильно тому, что и есть
изометрия, т. е. ||ш;|| = ||ж|| для всех хеХ. [Указание: воспользуйтесь
правилом поляризации.]
2. Если унитарное пространство X изоморфно гильбертову
пространству Y, то X есть гильбертово пространство.
6.6. Лемма. Пусть Я — гильбертово пространство. Тогда для
каждой ортонормированной системы е = (е.)£€/ в пространстве Я и
каждого набора чисел х. (г el) со сходящимся рядом (5.12) существует
вектор
х=^х(е{ (5.17)
в пространстве Я, для которого xi (i e /) суть координаты вектора
х (относительно системы е). Соответственно, в этом случае
неравенство Бесселя (5.12) превращается в равенство (5.14).
Доказательство. Напомним (п. 5.3), что не более счетного
количества чисел xt (г е I) отлично от нуля. Поэтому достаточно рассматривать
счетные ряды вида ж
*=Е*«е<. (5.18)
г = 1
Пусть sn (neN) — частичная сумма ряда (5.18). Используя правило
Пифагора, находим, что ||sn — sm||2 совпадает с соответствующим остатком
ряда (5.12). Отсюда следует (ввиду полноты пространства Я) сходимость
ряда (5.18).
Остается напомнить, что остальные утверждения этой леммы доказаны
в п. 5.4.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основную теорему теории
гильбертовых пространств.
5.7. Теорема. В каждом гильбертовом пространстве Я существует
ортонормированный базис. Более того, для ортонормированной
системы е в пространстве Я следующие свойства эквивалентны:
(i) система е полна;
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41
(ii) система е замкнута;
(Ш) система е есть базис пространства Я.
Доказательство. Соотношение ортогональности z J_ е (т. е. z{ = О
для всех % е I) равносильно z J_ Я(е), где Я(е) — замыкание линейной
оболочки системы е. Если (i) выполняется, то z±H. В частности, 2_1_2,
т. е. 2 = 0. Отсюда получаем импликацию (i)=»(ii). Импликация (ii)=>(iii)
вытекает из леммы 5.6. Действительно, для каждого х е Я пусть у е Я —
вектор, определяемый равенством (5.17), где х{—коэффициенты Фурье
вектора х. Тогда для вектора z = х — у имеем z J_ е, т. е. z = 0. В результате
х = ув (5.17). Импликация (iii)=>(i) вытекает непосредственно из равенства
ж = Итзп, где sn — частичные суммы ряда (5.18). Таким образом, утверж-
п
дения (i), (ii), (iii) эквивалентны.
Используя принцип максимума, находим, что в Я существует
максимальная (по включению) ортонормированная система е. Если 0^ z _L е, то
нормированный вектор 2ь = £/||г|| расширяет систему е, что невозможно. Но
это означает, что система е замкнута. Следовательно, е есть базис
пространства Я.
Пример. Система (5.15) есть ортонормированный базис в £2(0,27г).
Иначе говоря, каждая функция / е L2(Q, 2я-) разлагается в ряд Фурье
/(*)= £ с.е", (5.19)
П = —00
сходящийся в метрике £2(0,27г), с коэффициентами
cn = ^^f(t)e-^dt (5.20)
Более того, соотношение (5.14) превращается в формулу Планшереля
\f(t)\4t= £ |cj2. (5.21)
п = — оо
5.8. Следствие. Каждое гильбертово пространство Я
изоморфно ^(а;) (при некотором ш).
Действительно, фиксируем ортонормированный базис е пространства Я.
Используя лемму 5.6, находим, что отображение ux = (x{)ieI
(относительно е) определяет изометрию Я с ^(cj). Используя упражнение (1) п. 5.5
(либо непосредственную проверку), получаем Я«У4
Нетрудно проверить (по аналогии с п. 2.2), что каждые два ортонор-
мированных базиса в пространстве Я равномощны. Поэтому изоморфизм
Я w ^(cj) однозначно определяет кардинальное число и> = dim Я,
называемое гильбертовой размерностью пространства Я.
В общем случае алгебраическая размерность пространства Я (п. 2.2)
отличается от гильбертовой размерности dim Я. Однако, если хотя бы одна
из этих размерностей конечна, то они совпадают.
Примеры. 1. Гильбертово пространство L2(a, b) (a^ b) счетномерно.
Например, это ясно из рассмотрения рядов Фурье (5.20).
2*1
3 Зак. 184
42 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2. Пространство Я называется сепарабельным, если в нем существует
счетное всюду плотное множество. Соответственно, в Я существует
конечная или счетная линейно независимая система f{ (i e I). Применяя к этой
системе известный процесс ортогонализации (Грама — Шмидта), находим,
что Я обладает конечным или счетным ортонормированным базисом.
Отсюда заключаем, что каждое сепараоельное гильбертово пространство
изоморфно либо Fn (n 6N), либо ^ (над полем F).
Упражнения. 1. Проверьте, что пространства L2(a, Ь), Ь2(Ш) сепа-
рабельны.
2. Фиксируем в пространстве Я ортонормированный базис е{ (г € I) и
поставим в соответствие каждому оператору а € В(Я) числовую матрицу
%=(аеяе<). (5.22)
Проверьте, что действие у — ахъ пространстве Я выражается в
коэффициентах Фурье по стандартному правилу
й=Е^, (5-23)
3
где ряд в правой части (5.23) абсолютно сходится.
5.9. Ортогональные суммы. Пусть Щ (г el)— произвольное
семейство гильбертовых пространств над полем F. Пусть
Н=@Н{ (5.24)
— множество всех наборов х = (ж,),€/, где х{ € Н{ и ряд, составленный из
чисел ||ж. ||2, сходится. Легко проверяется (по аналогии с ^(о;)), что Я есть
гильбертово пространство относительно скалярного произведения
(*, у) =£(*,,%) (5.25)
(абсолютно сходящийся ряд).
Не следует путать обозначение (5.24) с прямой алгебраической суммой
пространств Я; (п. 2.9). Каждое пространство Н{ естественно
вкладывается в Я, так что Н{ ± Яу при г\ф j. Пространство Я называется прямой
ортогональной суммой гильбертовых пространств Н. (г е I).
Заметим, что ш = dim Я есть сумма кардинальных чисел ш. = dim Ht
(г G J). Отсюда вытекает общий способ представления произвольного
гильбертова пространства Я в виде суммы (5.24). Достаточно фиксировать
ортонормированный базис е пространства Я и рассмотреть его разложение в
дизъюнктную сумму подмножеств е. (г € /). В этом случае Н{ определяется
как замыкание линейной оболочки подсистемы е. (г el).
Пример. Для каждого замкнутого подпространства Я0 С Я пусть Я, =
= Я0-*- — его ортогональное дополнение (т. е. множество всех у е Я, для
которых у ± Я0). Тогда имеем
Н = Щ®НХ.
(5.26)
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43
Проекционный оператор р в пространстве Я называется ортопроекто-
ром, если (рж, у) = (ж, ру) для всех ж, у е Я, так что (рж, р'у) = 0 для всех
ж, у € Я, где р' = 1 — р (дополнительный ортопроектор). Соответственно, в
этом случае имеем ортогональное разложение (5.26), где Н0=рН, Нх =р'Н.
Семейство ортопроекторов (р{){€1 в пространстве Я называется
ортогональным, если pipj = 0 при г jkj. Легко проверяется, что в этом случае
формальный ряд
%
сходится на каждом векторе ж б Я. Более того, р проецирует Я на
прямую ортогональную сумму подпространств Н{ =р{Н. В частности, р = 1
(единичный оператор) в (5.24).
Упражнения. 1. ЕслирФ0 — ортопроектор, то \р|| = 1 (вчастности,
реЩЩ).
2. Каждая неубывающая последовательность ортопроекторов рп е В(Я)
сходится на элементах ж € Я к ортопроектору р € В(Я). [Указание:
семейство Арп = рп - рп _ j (^ = 0) ортогонально.]
6.10. Теорема. Общий вид линейного непрерывного функционала f e
Е Я' есть
/(ж) = (ж, у),
где уеН. Более того, ||/|| = ||у||. Соответственно, отображение у«-+ /
определяет антилинейный изоморфизм Н &Н'.
Доказательство. Положим Я0 = ker/ и заметим, что codimЯ0 = 1
при /ф0. Отсюда следует (5.26) при одномерном дополнении Н{ = Fe^, где
Офво±Я0. Полагая ж = а^ + Ае^, где ^бЯ0, А 6 F, получаем
/(ж) = А/(во), (ж, ео) = А (во, е^),
откуда следует (5.26) при у = /(ео)е^, ||еь|| = 1. Вычисляя норму
функционала (5.26), воспользуемся равенством (5.3) (с заменой ж на у). Отсюда
И/И = 1М1.
Упражнение. Проверьте, что антилинейный изоморфизм Н & Н'
определяется по правилу
<*У) = (Х,У). (5.27)
где in ж — комплексное сопряжение в Я (относительно ортонормирован-
ного базиса в пространстве Я).
6.11. Теорема. Для каждого аеВ(Н) (п. 4.7) существует
единственный (сопряженный) оператор а* е В(Я), определяемый по правилу
(аж,у) = (ж,^у) (5.28)
для всех ж, у G Я. Отображение а*->а* антилинейно и удовлетворяет
соотношениям (ab)* = Ь*а*, а** = а. Более того, \\а\\ = ||а*||.
Доказательство. Достаточно заметить, что /(ж) = (аж, у) есть
непрерывный линейный функционал в пространстве Я, откуда /(ж) = (ж, z)
з*
44
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
при некотором (однозначно определенном) zeH. Ясно, что z есть
линейная функция от у. Полагая z = а*у, получаем (5.28). Напомним также, что
||а|| =sup ||аж||, где sup берется по единичной сфере ||ж|| = 1. Отсюда
||а|| =sup |(аж, у)\ = sup |(ж, а*у)\ = ||а*||,
где sup берется при ||ж|| = ||у|| = 1. Остальные свойства отображения а*-+а*
очевидны из (5.28).
Упражнение. Функция /: Я х Я -+F называется условно
билинейной (или полуторалинейной), если /(ж, у) линейно по ж и антилинейно
по у. Докажите, что каждая непрерывная условно билинейная функция /:
Я х Я -> F имеет вид (5.28) (при некотором ае В(Я)).
5.12. Определение. Оператор аеВ(Я) называется (соответственно)
эрмитовым, антиэрмитовым, унитарным, если а* = а, а* = —а, а* = а"1 (в
последнем случае предполагается, что оператор а обратим в В(Я)).
Легко проверить (упражнение), что равенство а* = а равносильно эрмито-
вости формы /(ж, у) = (аж, у) и также вещественности квадратичной формы
<р(ж) = (аж, х). Помимо этого, равенство а* = а равносильно эрмитовости
матрицы (5.22) (для каждого ортонормированного базиса в пространстве Я).
Подстановка а\-* га (при F =С) осуществляет биекцию между
вещественными подпространствами эрмитовых и антиэрмитовых операторов в В(Я).
Для каждого a е В(Я) операторы
ах = ^(а+а% о^^а-а*)
эрмитовы, так что a=al + ia2 (единственное разложение). Унитарность
оператора ае В(Я) означает, что а определяет автоморфизм гильбертова
пространства Я.
Упражнения. 1. Если а= а*, то каждое собственное значение а
оператора А вещественно и каждые два его собственных вектора с различными
собственными значениями а ф /3 взаимно ортогональны.
2. Если аН0 с Щ (Я0 — подпространство в Я), то а*Н^ С Я^. В
частности, разложение (э.25) инвариантно при а=а*.
3. Если Я — конечномерное унитарное пространство над полем С, то
каждый эрмитов оператор а е ЫЮ диагонализуем. [Указание:
доказательство основано на упражнениях 1, 2.]
4. Каждый эрмитов оператор а е В(Я) однозначно определяется своей
квадратичной формой <рЛх) = (аж, ж). Иначе говоря, а= Ъ <Ф ipa = ipb.
[Указание: форма /а(ж, у) = (ах, у) выражается через у?в по правилу (5.8).]
Пример. Оператор аеВ(Я) называется положительным (а^О), если
(аж, ж) ^ О для всех ж е Я. В частности, а=а*, т. е. оператор а эрмитов.
Если штЯ<оо, то a = diag(an..., ап), где а. ^0 (г = 1,..., п).
5.13. Компактные операторы. Линейный оператор aeL(H)
называется компактным, если он переводит каждое ограниченное множество
А с Я в предкомпактное множество аМ С Я. Эквивалентное определение:
пусть S{ — единичный шар в пространстве Я (т. е. множество всех хеН,
для которых ||ж|| ^ 1). Тогда множество aS{ предкомпактно.
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45
Здесь мы используем определение предкомпактности в метрическом
пространстве Я (JVC Я предкомпактно, если его замыкание N компактно). В
частности, каждое предкомпактное множество N с Я ограничено (по
норме в Я). Отсюда заключаем, что каждый компактный оператор а е L(H)
ограничен, т. е. аеВ(Н).
Пример. Пусть Я = L2(T, /4), где м(Т) < оо. Интегральный оператор
(af)(t)= [ K(t, s)x(s)dp,(s), (5.29)
где К €L2(T2, /x2), называется оператором Фредгольма в пространстве Я.
Легко проверяется (см., например, [Ш1]), что оператор
Фредгольма (5.29) компактен. Более того, из теоремы Фубини следует, что а
обладает сопряженным оператором Фредгольма а*, порожденным функцией
K*(t, s) = K(s, t). Непосредственно из (5.29) вытекает оценка
NK 11*11, (5-30)
где ||if||— норма функции К в L2(T2,p,2). Наконец, из теоремы Фубини
следует, что для каждого ортонормированного базиса еп (n e N) в
пространстве Я матричные элементы атп = (аеп, ет) оператора а вычисляются по
правилу
атп = Ктп = (К,етп), (5.31)
где emn(t, s) = em(t)en(s). Здесь скобка в правой части (5.31) означает
скалярное произведение в L2(T2, р2).
В дальнейшем полагаем F =С. Базис е = (e,)i€/ в пространстве Я
называется собственным относительно ае В(Я), если ае{ = а£е{ для всех iel.
5.14. Теорема (Д. Гильберт). Каждый компактный эрмитов
оператор a G В(Я) обладает собственным ортонормированным базисом в
пространстве Я. Иначе говоря,
Н = ®НХ (5.32)
(прямая ортогональная сумма), где ЯА=кег(а—А). Помимо этого,
имеем:
(i) Если А =^0, то (ИтЯА <оо (т. е. собственное значение А имеет
конечную кратность).
(ii) Число различных собственных значений оператора а конечно или
счетно.
(Ш) Если число собственных значений оператора а счетно, то они
образуют последовательность Хп —> 0.
Доказательство можно найти в добавлении D (п. D. 4). См. также
[КФ;Ш1].
5.15. Следствие. Оператор Фредгольма (5.29) при К* = К обладает
собственным ортонормированным базисом еп (п е N). Помимо этого,
имеем:
46 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
(а) Собственные значения ап (п eN) вещественны и удовлетворяют
оценке «,
£<*п2<оо. (5.33)
п=1
(/3) Если интегралы J(t) — J |if(*, s)\2dfi(s) равномерно ограничены,
то каждая функция у = ах (у е im а) разлагается в (обобщенный) ряд
Фурье
У(0=Е«п^п(0, (5.34)
сходящийся абсолютно и равномерно.
Действительно, если en (n e N) — собственный базис оператора (5.29),
то имеем из (5.31): ^
*(М)=Е"«е»(*К00. (5.35)
В частности, левая часть (5.33) совпадает с ||iif ||2, откуда следует (а).
Для доказательства (/?) достаточно заметить, что числа anen(t) суть
коэффициенты Фурье функции (5.35) при фиксированном t. Применяя
неравенство Бесселя, получаем
£|anen(t)|4J(*)^C
Остается применить неравенство Коши — Буняковского для оценки
сходимости ряда (5.34). В результате получаем (/?), т. е. ряд (5.34) сходится
абсолютно и равномерно.
Утверждение (/3) называется обычно теоремой Гильберта —Шмидта.
§ 6. Тензорные произведения
6.1. Теорема-определение. Для каждой пары векторных
пространств Х, Y над полем F существует единственное, с точностью до
изоморфизма, векторное пространство X ® Y, называемое тензорным
произведением пространств X,Y и определяемое следующими
условиями:
(а) Существует билинейное отображение 7г: X х Y —>X® Y, (ж, у)ь->
ь-» х <8> у, образ которого порождает X ® Y.
(/3) Для каждой пары линейно независимых систем е, /
(соответственно) в X, Y система е ®/, составленная из векторов х®у, где хее,
yEf, линейно независима в X ® Y.
Помимо этого, из(а),(/3) следует, что пространство X®Y обладает
следующим свойством универсальности в категории VECTF:
(7) Каждое билинейное отображение а: X xY->Z (в категории
VECTp.) однозначно поднимается до линейного отображения /3: X®Y—>
-> Z по правилу
а(х,у) = Р(х®у), (6.1)
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 47
гдехеХ, yeY. Наконец, пространствоX&Y определяется однозначно
(с точностью до изоморфизма) по условиям (а), (7).
Доказательство. Пусть F[X xY] — векторное пространство над
полем F с базисом X х Y (п. 2.1). Определим X ® У как факторпростран-
ство F[X xY] по подпространству N, порожденному элементами
(Аж + р,х\ у) - Л(ж, у) - р,(х\ у), (6.2)
(ж, Ху + р,у') - Л(ж, у) - д(ж, у')» (6.3)
где A, fi e F, ж, х1 е X, у, у7 е У. Согласно этому определению, каноническая
проекция 7г: F[X xY]-> X ®Y билинейна и накрывает X ® Y. Полагая
тг(ж, у) = ж ® у, получаем (а). Покажем, что при этом определении
выполняется также условие (7).
Действительно, (6.1) определяет линейный оператор (3 на базисе X х У,
но тогда и во всем пространстве F[X x Y] (п. 2.3). Используя
билинейность а, находим, что /3 аннулирует векторы (6.2), (6.3), т. е. /3(7\Г) = 0.
Но тогда оператор (3 определен на классах смежности (mod N), т. е. может
рассматриваться как линейный оператор X ® У -* Z. Отсюда следует (7).
В частности, для каждой пары линейных операторов а€ Hom(X, X')t Ь е
€Нот(1^ Y') (в категории VECTF) отображение а (ж, у) = ах<8>Ьу билинейно
и потому определяет линейный оператор /3 = а® Ь е Hom(X ® Y, X' ® Y9)
по правилу
(а® Ь)(х ® у) = аж ® Ъу, (6.4)
где ж G -X*, у € У. Ниже мы отметим связь символа а® Ь с тензорным
символом в (а). Аналогично, для каждой пары линейных функционалов / £ X*,
gEY* равенство
(/®<7)(ж®у) = /(ж)<Кж) (6.5)
определяет линейный функционал / ® g € (X ® У)*. Здесь мы
отождествляем F®F с полем F, так что (6.5) можно рассматривать как частный
случай (6.4).
Фиксируем два базиса е, / (соответственно) в X, Y и пусть е, у? — их
дуальные системы (соответственно) в -X**, У*. Применяя (6.5), находим, что
система е®/ обладает дуальной системой е® у?. Следовательно, система
е®/ линейно независима и потому (согласно (а)) образует базис вХ®У.
Отсюда следует (/3).
Таким образом, мы построили пространство X ® У, удовлетворяющее
условиям (а), (/3), (7).
Помимо этого, если Z (вместо Х®У) удовлетворяет условиям (а), (/3),
то отображение /?(ж®у) = ж®у определяет (в силу равенства размерностей)
изоморфизм X® y«Z. Аналогично, если Z удовлетворяет условиям (а),
(7), то Z&X&Y.
6.2. Следствие, (i) dim(X ® У) = dim X • dim У.
(ii) Для каждой пары базисов е, / элементы z е X ® У однозначно
записываются в виде
* = ЕМ*®/Д <6-6>
с коэффициентами z^eF. h3
48 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Действительно, каждая из систем е, / может быть расширена до
базиса (соответственно, в Х% Y). Поэтому (i) есть частный случай (/3) п. 6.1.
Утверждение (ii) очевидно.
Заметим, что векторы z = х® у выделяются в (6.6) условием ztj = ж.уу.
Упражнения. 1. Отождествляя 1 ®х (соответственно, х® 1) с
элементом х е X, получаем (с точностью до изоморфизма) соотношение
F®X = X®F = X (6.7)
в категории VECTF.
2. Для каждой линейно независимой системы е в пространстве X
соотношение
£е,.®у<=0 (6.8)
*
в пространстве X ® Y возможно только при у{ = 0 (для всех г е /).
3. Элементы х ® у заполняют X ® Y только в случаях dim X = 1 либо
dimF=l.
Замечание. Практически можно определить X®Y как формальную
линейную оболочку базисной системы е ®/. Значение теоремы 6.1 в этой
ситуации сводится к тому, что данное определение не зависит от выбора
базисов е, / (соответственно) в X, Y.
6.3. Определение. Пусть Х{ (i = 1,..., п) — конечное семейство
векторных пространств над полем F. Повторяя аргументы п. 6.1, получаем
единственное (с точностью до изоморфизма) тензорное произведение
Х= eX^JT,®...®^, (6.9)
i = l
определяемое (а) n-линейным отображением 7г(ж,,..., хп) = х{ <8>... ® хп,
образ которого порождает Х> и условием
(/3) dimX=n dimX,.
i = l
В этом случае условие (7) означает, что каждое n-линейное отображение
а: Хх х .. .Хп —> Z однозначно поднимается до линейного отображения /3:
X^Z.
В частности, пусть п = 3. Применяя правило (7) к трилинейным
отображениям а (ж, у, z) = x <g> (у <g> г), а'(ж, у, г) = (ж ® у) ® 2, находим, что
тензорное произведение X <8>Y<8>Z в категории VECTF совпадает (с точностью
до изоморфизма) с пространством
X ® (У ® Z) = (X ® Г) ® Z (6.10)
Соотношение (6.10) интерпретируется как свойство ассоциативности
тензорного умножения. Ясно также, что это умножение дистрибутивно по
отношению к операции прямой суммы в категории VECT^. Согласно (6.7),
одномерное пространство F играет роль единицы в тензорном умножении (6.9).
Определение (6.9) можно также перенести на произвольные семейства
векторных пространств Х{ (г El). В этом случае пространство X натянуто
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 49
на элементы вида х, ®... ® ж^, где г,,..., гп — произвольный (конечный)
набор индексов г е I.
6.4. Операторы а®Ь. Отображение (а, Ь)н-*а®Ь, определенное в (6.4),
билинейно и потому продолжается до линейного отображения
Нош(Х, X1) ® Hom(i; У) -> Hom(X ® Y, X1 ® У), (6.11)
по правилу а® Ь i-+ а® Ь (где в левой части имеется в виду тензорный символ,
определенный в (а) п. 6.1). Ясно также, что операторы (6.4) удовлетворяют
правилу умножения
(d ® V)(a® Ь) = da®Vb, (6.12)
в том случае, когда каждая из комбинаций da, Ь'Ъ определена. Отметим
следующие частные случаи (6.11):
End X ®End Y ->End(X ® У), (6.13)
X*®Y*->(X®Y)*. (6.14)
6.5. Предложение. Отображение (6.11) (в частности, (6.13), (6.14))
инъективно. Если dimX, dim Y < оо, mo каждое из отображений (6.13),
(6.14) есть изоморфизм.
Доказательство. Фиксируем базис е{ (г е I) в пространстве
Hom(l^ Y') и запишем каждый элемент в левой части (6.11) в виде
/i = £/i,®e0
с коэффициентами Л. € Нот(Х, X'). Предположим, что Л =0 как оператор
в X®Y. Применяя преобразование (/®1)Л, где /б(-Х"')*, к элементу ж®у,
получаем
£/(МКу = о
%
для всех х б X, yeY, откуда f(h{x) = 0 (в силу линейной независимости
операторов е<) для всех / е (X')*. Поэтому Л,ж = 0 (п. 2.3), т. е. ^ =0 для
всех г е I. Отсюда заключаем, что отображение (6.11) инъективно.
Сюръективность отображений (6.13), (6.14) в конечномерном случае
очевидна из соображений размерности. А именно, если т = dim X, п = dim Y,
то размерность обеих частей в (6.13), (соответственно, (6.14)) есть (тп)2
(соответственно, тп).
6.6. Пространство Hom(X, Y). Для каждой пары элементов y€Y,fe
€ X* определим оператор у ® / в пространстве X по правилу
(у®/)(х) = /(*)у, (6.15)
так что у ® / € Нот(Х, У). Если / =^ 0, то найдется жбХ, для которого
/(ж)=^0. Отсюда заключаем, что пространство im(y®/) одномерно:
im(t/®/) = Fy. (6.16)
50
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Операторы у ® / при / ф 0 называются одномерными операторами в
пространстве X. Их линейные комбинации (т. е. все линейные операторы
с конечномерными образами в Y) называются конечномерными
операторами в Hom(Jf, Y).
Покажем, что символы у®/ можно отождествить со стандартными
символами тензорных произведений (п. 6.1). Действительно, отображение (6.15):
(У» /)•-* У ®/ билинейно и потому поднимается (по теореме 6.1) до
линейного отображения
ш\ Y®X*->Hom(X,Y).
Нетрудно видеть (по аналогии с п. 6.5), что отображение w инъективно.
Действительно, фиксируем базис f{ (г el) в X* и запишем элементы Y&X*
в виде
с коэффициентами у{ е Y (г е I). Положим Л =0 в Hom(-X, F), и пусть 10 —
подмножество индексов i e J, для которых у. Ф 0. Поскольку 10 конечно,
существуют векторы xj € X (упражнение), для которых /Дху)= S{j (г, j e 10).
Применяя к этим векторам оператор h, получаем у,. =0 для всех iel (т. е.
Jo = 0), что равносильно инъективности отображения ш.
Таким образом, Y ® X* вкладывается в Hom(-X', Y) как множество всех
конечномерных операторов X —► Y. Если dim X < оо либо dim Y < оо, то все
операторы в Нот(Х, У) конечномерны. В этом случае ш есть изоморфизм
векторных пространств, т. е.
Нот(Х,Г)«У®Х\ (6.17)
В частности, условие dim X < оо влечет изоморфизм векторных пространств
EndX«X®X*. (6.18)
6.7. Алгебра Т(Х). С каждым векторным пространством X над полем F
связаны его тензорные степени Т0(Х) = F, Тп(Х) = Х®п при n ^ 1, где
Хвп = X ®... ® X (п сомножителей). (6.19)
Операция тензорного умножения Tn(X) x Tm(X)->Tn+m(X) превращает
векторное пространство
Т(Х)= 0 ТП(Х) (6.20)
п = 0
в ассоциативную алгебру над полем F. Алгебра Т(Х) называется (ковари-
антной) тензорной алгеброй векторного пространства X.
Для каждого базиса е. (г е /) одночлены
^..Л = ^®.--®Ч, (6.21)
где ik е I (к = 1,..., п), образуют базис в ТП(Х) при п ^ 1. Элементы £ е
еТп(Х)} называемые тензорами ранга п, однозначно записываются в виде
*=EV..<A...t,, <622>
(О
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 51
где t^ in€F (финитный набор) и суммирование ведется по всем наборам
(г) = (г\,..., гп) 61п. Элемент е^ = 1 есть базисный элемент в Т0(Х).
Заменяя в (6.21) элементы е{ дуальными элементами е{ (г е /), получаем
одночлены ^...»п» дуальные к системе (6.21). Элементы вида
/ = E/v..<ne (6.23)
(О
где /*>•*»» gF (финитный набор), можно отождествить с функционалами
в Тп(Х) по правилу
(О
Элементы (6.23) составляют лишь часть сопряженного
пространства ТП(Х)*. Общий вид функционала / еТп(Х)* есть (6.24) с произвольными
наборами /*> ~*п (т. е. функциями /: In -> F).
Ситуация упрощается, если dim X < оо. В этом случае (6.23) есть общий
вид функционала в Тп(Х), так что
Т„(ХГ«Т„(Х'). (6.25)
6.8. Полилинейные формы. Пусть Fn(X) — векторное пространство
всех п-линейных F-значных форм в пространстве X. Общий вид элемента
/€Fn(X)ecTb
/(я, у,..., «г) = £ Л ~{пЪУи • • • *V (6.26)
(О
где /*»••*« е F (произвольный набор), ж. — координаты вектора х е X
относительно фиксированного базиса е{ (г е I) в пространстве X.
Используя независимость векторов ж, у,..., го, находим (упражнение),
что равенство /=0 равносильно /*'»••*'* =0 для всех наборов (») = (tlf..., гп).
Соответствие между коэффициентами в (6.24), (6.26) определяет
изоморфизм векторных пространств
Tn(XY^Fn(X). (6.27)
Заметим, что (6.26) есть значение функционала (6.24) на элементе t = ж®
®у®.. .®гу. Поэтому изоморфизм (6.27) соответствует правилу (/?) п. 6.23,
согласно которому каждый функционал / еТп(Х)* однозначно
определяется своими значениями в декартовой степени Хп.
Упражнение. Пусть (•, •) — билинейная форма в X х X1
(соответственно, Y ® У). Покажите, что равенство
(х ® у, х1 ® у') = (ж, ж')(у, у') (6.28)
однозначно определяет билинейную форму в (X ® Y) х (X' ® У).
6.9. Расширение поля коэффициентов. Пусть X — векторное
пространство над полем F, К — расширение поля F (т. е. F вкладывается
в К в качестве цодполя). Полагая
Х' = К®Х (6.29)
52 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
и используя правило А(/х ® х) = Хр, ® ж, будем рассматривать X' как
векторное пространство над полем К. Элемент 1 <8>ж отождествляется с х (для
всякого жб1), так что X вкладывается в X'.
Согласно упражнению 2 п. 6.2, каждый базис е{ (г е I) векторного
пространства X есть также базис пространства X1 (над полем К). Элементы
хеХ* однозначно записываются в виде
x = Ylxieii (6.30)
»
с коэффициентами х. е К. Подпространство X выделяется в X' по
правилу xi е F для всех i el. В этом смысле операция 1иХ' называется
расширением поля коэффициентов (F н-» К).
Таким образом, (6.29) определяет инвариантное (не зависящее от выбора
базиса в X) расширение поля коэффициентов (F ь-> К). Согласно (6.30),
имеем также
dimF-X" =dimicX'.
Пример. Для каждого вещественного X пространство X' = С <8> X =
= Х ®гХ называется комплексификацией пространства X.
Соответственно, X называется вещественной формой пространства X'.
§ 7. 5-модули
7.1. Представления, модули. Наша цель в этом параграфе —
исследование связи между «основными» алгебраическими структурами § 1 и их
линейными представлениями в алгебре End-X", где X — векторное
пространство (над полем F).
Для того, чтобы более четко обозначить эту задачу, нам понадобится ряд
формальных определений.
Пусть 5, X —два множества. Каждое бинарное отображение S х X —> X,
(s, х)ь-+зх называется левым действием множества S в множестве X.
Полагая
7r(s)x = sx, (7.1)
получаем семейство операторов tt(s): X —► X, определяющих
действие (7.1). Действие (7.1) называется линейным, если X—векторное
пространство (над полем F) и операторы (7.1) линейны, т. е. 7r(s)EEndX для
всех s e S.
Предположим теперь, что S наделено одной из алгебраических структур,
определенных в § 1. В этом случае в понятие левого действия
включается условие гомоморфности отображения 7г: S —► End X в соответствующую
(под)структуру алгебры End-X". Пространство X (соответственно,
отображение 7г) называется в этом случае левым S-модулем (соответственно,
представлением структуры S в векторном пространстве X).
Аналогично рассматриваются правые действия S х X —> X, (s, х) »-* xs.
В этом случае условие гомоморфности заменяется некоторым условием «ан-
тигомоморфности». Соответственно, вместо термина «представление»
используется термин «антипредставление».
§ 7. S-МОДУЛИ 53
Поясним эти термины на примерах отдельных алгебраических структур.
(а) Если 5 — полугруппа, то условие гомоморфности действия (7.1)
означает, что
(st)x = s(tx) (7.2)
для всех s,t € S, хе X. Если S — полугруппа с единицей е, то обычно
требуется дополнительно, чтобы
ех — х для всех х 6 X. (7.3)
На языке операторов (7.1) соотношения (7.2), (7.3) означают, что
7r(st) = 7г(5)тг(*), тг(е) = 1, (7.4)
для всех s,teS.
((3) Если G — группа, то из (7.4) следует обратимость операторов ir(g)
(д е G). А именно,
тЫ-1^*-1). (7.5)
Таким образом, 7г: G->AutX — гомоморфизм группы G в группу AutX.
Обратно, для каждого такого гомоморфизма выполняются условия (7.4)
(п. 1.6).
(7) Если А — ассоциативная алгебра над полем F, то действие А х
х!->1, (а, х)*-*ах (в пространстве X над полем F) предполагается
билинейным. В частности, к условию (7.2) добавляется условие линейности
функции 7г, т. е.
(Ха + уЪ)х = Хах + уЬх (7.6)
для всех X,fieFt а, Ь € А, х е X.
А-модуль X называется унитальным, если алгебра А унитальна (1 € А)
и 1 • х = х для всех х е X.
Аналогично рассматриваются правые действия 7r(s)x = xs. Однако, в этом
случае условие (7.2) заменяется соотношением x(st) = (xs)t, т. е.
7Г(5*) = 7Г(*)7Г(5) (7.7)
для всех 5, t € S.
В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под терминами
«действие», «5-модуль» понимаются «левое действие», «левый 5-модуль».
В том случае, когда структура S фиксирована, мы будем использовать
символ (X, 7г) (соответственно, (эт, -X")) для 5-модуля X с представлением
7г (соответственно, для представления 7г в пространстве X).
Использование одного из этих символов отличается лишь акцентом (на
пространство X или представление 7г).
Примеры. 1. Каждый оператор деEndX, удовлетворяющий
соотношению д2 = 1, определяет представление 7г циклической группы Z2 == {е, s}
по правилу 7г(з) = д.
2. Экспонента п(х) = ех есть представление аддитивной группы R в
пространстве R.
54 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
3. Группа G=AutX действует в пространстве Тп(Х) (п. 6.7)
операторами
пп(д) = д®п = д®. ..®д (псомножителей).
4. Операция свертки, определенная в классе суммируемых функций на
прямой, превращает L{(R) в коммутативную алгебру (над полем F = R, С)
и каждое пространство Lp(R) (1 <р < оо) в LX(R) — модуль. Здесь Lp(R) =
= Lp(R, д), где /х —стандартная мера Лебега, определенная в R.
7.2. S-пространства. Если действие (7.1) не предполагается линейным,
то вместо термина « 5-модуль» используется термин «5-пространство».
В известной степени исследование ^-пространств можно свести к
теории 5-модулей. А именно, для каждого левого 5-пространства X векторное
пространство F(X) (п. 1.3) снабжается структурой правого 5-модуля по
правилу
(/*)(*) = /(*х), (7.8)
где s € 5, х е X. Аналогично, для каждого правого 5-пространства Х
пространство F(X) снабжается структурой левого 5-модуля по правилу
(sf)(x) = f{xs), (7.9)
где з е 5, х е X. Поскольку X С F[X] С F(X) (п. 2.1), структура
S-пространства X однозначно восстанавливается по структуре 5-модуля F(X).
Если 5 — группа, то инверсия s н-* s~l (s e 5) превращает каждый
левый 5-модуль в правый 5-модуль (и обратно). Например, в условиях (7.8)
операция
(sf){x) = f(s-lx) (7.10)
превращает F(X) в левый 5-модуль.
В дальнейшем мы будем использовать «типичные» термины «А-модуль»,
«G-модуль» для случаев, когда G — группа, А —ассоциативная алгебра
над полем F.
Если G — группа, то для каждого левого G-пространства Х отношение
х ~ у при у — дх (geG) есть отношение эквивалентности в множестве X.
Соответствующие классы эквивалентности Gx (xeX) называются
орбитами группы G в пространстве X. Пространство X называется однородным
(а действие в нем транзитивным), если X состоит из единственной
орбиты, т. е. X = Gx (при некотором х е X).
Заметим, что левые G-пространства образуют категорию G-SPACE, мор-
физмы которой суть отображения ip: X —> У, сохраняющие действие
группы G, т. е. ip(gx) = g<p(x) для всех g€G, xeX. Соответственно
определяется изоморфизм левых G-пространств Х « Y.
Примеры. 1. Пусть Я — подгруппа группы G. Пусть GJH —
множество классов смежности gH (geG) группы G по подгруппе Я, снабженное
левым действием
9о(9Щ = (%д)Н,
где </, Д)€ G. Множество G/H называется (левым) факторпространством
группы G по подгруппе Я. Очевидно, G/H = G(eH), т. е. G/H однородно.
§ 7. 5-МОДУЛИ 55
2. Обратно, пусть X — однородное (левое) G-пространство. Для каждой
точки х^ е X подмножество
GxQ^lgeG: gxQ = x0}
есть подгруппа группы G, называемая стационарной подгруппой точки а^.
Полагая Я = Gqcq, находим, что отображение эд н+ дН корректно
определено и определяет изоморфизм G-пространств Х « G/H.
Таким образом, все однородные (левые) G-пространства
исчерпываются, с точностью до изоморфизма, факторпространствами G/H. Аналогично
рассматриваются правые G-пространства.
Подгруппа Я называется нормальной (или нормальным делителем
группы G), если дН = Яд, т. е. дНд~х = Я для всех geG.B этом случае G/H
наследует умножение группы G:
(9lH)(g2H) = (gl92)H
для всех gl} g2 е G. Ясно также, что G/H есть группа (с единичным
элементом Я = еЯ). В этом случае G/H называется факторгруппой группы G
(по нормальному делителю Я).
Упражнение. Изоморфизм G-пространств X « Y равносилен
изоморфизму G-модулей F(X)«F(Y)t относительно каждого из
действии (7.8)—(7.10). [Указание: рассмотрите X С ^[Х].]
7.3. Алгебра F[S]. Пусть S — полугруппа. Условимся записывать
элементы / € F[S] в виде
/=£/<*)* (7Л1)
seS
(относительно базиса S С ^[5]). Умножение базисных элементов s,teS
однозначно продолжается (по билинейности) на элементы (7.11), так что
F[S] становится алгеброй (над полем F).
Алгебра А = F[S] называется линейной оболочкой полугруппы S.
Ясно, что алгебра А ассоциативна (ввиду ассоциативности полугруппы S).
Если S —полугруппа с единицей е, то е есть также единица алгебры А.
Умножение / = д * h в алгебре А выражается в терминах
коэффициентов (7.11) следующим образом:
/(*>= Е 9(s)h(t) (7.12)
(свертка функций р, h на полугруппе 5). Если 5 — группа, то (7.12) может
быть переписано в виде
/(*) = Е 9(xt~l)h(t) = £ 9(*Щв-1х).
t 8
Более того, для каждого (левого) S-модуля X равенство (7.11) можно
интерпретировать как определение линейного оператора / в пространстве X.
В этом смысле X снабжается структурой (левого) А-модуля. Обратно,
каждый левый А -модуль при сужении А [ S становится левым S-модулем.
56
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Очевидно, каждый морфизм левых 5-модулей (р: X —► Y однозначно
продолжается до морфизма левых А-модулей у>: X —► У, и обратное
соответствие также определено (посредством сужения А I 5).
В этом смысле категория 5-модулей эквивалентна категории А-модулей,
где A=F[SJ.
7.4. Операции над модулями. Пусть 5 — произвольное множество.
Для каждой пары 5-модулей X, Y их прямая сумма X ®Y снабжается
структурой 5-модуля по правилу
з(х ф у) = sx ф sy, (7.13)
где символ ж фу используется вместо пары (ж, у). Аналогично определяется
прямая сумма произвольного семейства 5-модулей Х{ (i e I). Для каждого
левого 5-модуля X его сопряженное пространство X* снабжается
структурой правого 5-модуля по правилу (7.8), т. е.
(sxj) = (xjs) (7.14)
для всех х е X, f € X*.
Если G — группа, то тензорное произведение G-модулей Х <8> Y
снабжается структурой G-модуля по правилу
д(х <8>у) = дх® ду, (7.15)
где д € G, х € Xt yeY. Сопряженное пространство X* снабжается
структурой G-модуля по правилу (7.10), т. е.
(№/) = <*г7>, (7.16)
где^еС, хех, fex*.
Заметим, что аналогичная конструкция для алгебр не всегда определена.
См. по этому поводу п. 59.3.
Подмодулем 5-модуля X называется каждое подпространство Х0сХ,
инвариантное относительно действия 5: SX0 С Х0, т. е. зХ0 с Х0 для всех
seS.
Фактормодулем 5-модуля X по его подмодулю Х0 называется фактор-
пространство Х/Х0, снабженное структурой 5-модуля по правилу
5(ж + Х0) = 5х + Х0, (7.17)
где з е 5, х€Х.
Примеры. 1. Для каждой пары G-модулей Х, Y пространство
Hom(X, Y) снабжается структурой G-модуля по правилу
g.h = ghg~\ (7.18)
где geG, heHom(X,Y). Согласно (7.15), (7.16), вложение У®Х*->
-+ Hom(X, Y) (п. 6.6) есть гомоморфизм G-модулей.
2. В частности, при dim X < оо либо dim Y < оо соотношение
Нот(Х,Г)«У®Х* (7.19)
(п. 6.6) есть изоморфизм G-модулей.
§ 7. S-МОДУЛИ 57
3. Для каждого G-модуля Х подпространство его инвариантов
XG = {х € X: дх = ж, V^ е G} (7.20)
есть подмодуль модуля X.
7.5. Решетка V(X). Для каждого 5-модуля X пусть V(X) = VS(X)—
множество всех подмодулей 5-модуля X. Полезно помнить, что для каждой
пары подмодулей Х{, Х2 модуля X их сумма Хх +Х2 и пересечение Х1пХ2
также суть подмодули модуля X. Соответственно, V(X) есть решетка (по
включению), в смысле теории упорядоченных множеств.
Последнее означает, что каждое двухэлементное подмножество {Хх, Х2}
в V(X) обладает точной нижней гранью (Хх Г\Х2) и точной верхней гранью
(Х,+Х2).
5-модуль 1^0 называется простым, если его решетка V(X)
тривиальна, т. е. V(X) = {0, X}. 5-модуль X называется полупростым, если
его можно представить в виде прямой суммы простых подмодулей (в этом
случае не исключается возможность X = 0). 5-модуль Х называется ре-
дуктивным, если V(X) есть решетка с дополнениями, т. е. для каждого
Х{ G V(X) имеем X = Х{®Х2 при некотором Х2 € V(X).
Если X — простой (соответственно, полупростой) 5-модуль, то
соответствующее представление (тс, X) называется неприводимым
(соответственно, вполне приводимым).
Примеры. 1. 5-модуль (X, 7г) называется симметричным, если X —
гильбертово пространство и семейство 7г(5) симметрично относительно
эрмитова сопряжения: 7г(5)* = 7г(5). Если также dimX < оо, то модуль X
редуктивен (п. 5.12).
2. G-модуль (Х, 7г) называется унитарным, если представление 7г
унитарно, т. е. п(д)* = тг(^)"1 для всех д е G. Поскольку тг(д)~1 = 7г(^"1), мы
находим, что модуль -X* симметричен. Если dim X < оо, то модуль X
редуктивен.
Упражнения. 1. Пусть 5 С End X. Решетка V(X) не изменится, если
заменить семейство 5 подалгеброй A cEndX, порожденной семейством 5
(т. е. А —линейная оболочка элементов ах... sn, где s. e 5):
VS(X) = VA(X). (7.21)
2. Простота 5-модуля X* влечет простоту 5-модуля X. Если dim X < оо,
то простота 5-модуля X равносильна простоте 5-модуля X*.
3. Если X — редуктивный 5-модуль, то все его подмодули и фактормо-
дули редуктивны.
Если X — конечномерный 5-модуль, то его полупростота равносильна
его редуктивности (упражнение). Сейчас мы докажем, что это утверждение
справедливо для всех 5-модулей.
7.6. Теорема. Для каждого 5-модуля X следующие условия
эквивалентны:
(а) Модуль X есть сумма (линейная оболочка) своих простых
подмодулей.
(/3) Модуль X полупрост.
(7) Модуль X редуктивен.
58
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Доказательство. Используя принцип максимума, находим, что
каждый 5-модуль X содержит максимальный полупростой подмодуль Х0.
Для каждого простого YeV(X) имеем 10ПУ^0 (в противном случае
X0@Y мажорирует Х0), откуда Х0 П Y = У, т. е. У с Х0.
Следовательно, Х0 есть сумма (линейная оболочка) всех простых подмодулей YeV(X).
Отсюда вытекает импликация (а) => (/3). Ясно также, что (/3) => (а).
Применяя то же рассуждение, находим, что для каждого Хх 6 V(X)
существует полупростой подмодуль Х2 Е V(X), содержащий все простые
подмодули У, не входящие в Х{. Очевидно, Хх П Х2 = 0 и сумма X, © Х2
содержит все простые подмодули YeV(X). Если X — полупростой 5-модуль,
тоХ = Хг®Х29 т. е. (/3)=^(7).
Обратно, пусть X — редуктивный 5-модуль. Заменяя множество 5 на
подалгебру с единицей А, порожденную действием 7г(5) в пространстве
(X, 7г), можем считать, не ограничивая общности, что 5 = А. Покажем,
что решетка V(X) при X фО содержит хотя бы один простой подмодуль
Ye V(X). А именно, пусть ОфхеХ. Используя принцип максимума,
построим максимальный подмодуль N, не содержащий ж, и пусть M = N+Ax.
Ясно, что М фИ (ибо х е М) и в цепочке N СМ нет промежуточных
подмодулей, что равносильно простоте M/N. Используя упражнение 2 п. 7.5,
получаем М = N © У, где У « M/N.
Применяя этот результат к разложению X = Х0 ф Xv где Х0 —
максимальный полупростой подмодуль модуля X, Хх —дополнительный
подмодуль, получаем Хх — О (в противном случае существует простой подмодуль
УСХ{, что невозможно). Следовательно, Х = Х0 — полупростой 5-модуль,
(7) => (/3). В результате (а) & (/?) <& (j).
7.7. Гомоморфизмы. Оператор <р е Hom(X, Y) называется морфизмом
(гомоморфизмом) 5-модулей X, У, если он перестановочен с
действием 5, т. е.
ip(sx) = sy?(z) (7.22)
для всех s е 5, жбХ. Множество Нот5(Х, У) всех таких гомоморфизмов
есть подпространство векторного пространства Нот(Х, У).
Соответственно, левые 5-модули (над полем F) образуют категорию
5-Mod с морфизмами (7.22). Изоморфизм 5-модулей X « У определяет
также эквивалентность соответствующих представлений т ~ а.
Подпространство #5(Х) = End5X (= Hom5(X, X)) есть подалгебра в
EndX, называемая коммутантом 5-модуля X. Ясно, что KS(X) есть
алгебра с единицей (1 £ EndX).
Примеры. 1. Мы уже отмечали, что (7.19) есть изоморфизм G-mo-
дулей.
2. Для каждой пары G-модулей Х, У имеем
HomG(X, У) = [Нот(Х, У)]°, (7.23)
в обозначениях (7.18), (7.20).
Упражнение. Для каждого 5-модуля X пусть А — подалгебра с
единицей в EndX, порожденная семейством 7г(5) (п.7.5). Тогда имеем:
К8(Х) = КЛ(Х). (7.24)
§ 7. 5-МОДУЛИ 59
7.8. Предложение (лемма Шура). Если X — простой S-модуль,
то каждый ненулевой гомоморфизм <р е Hom5(X, Y) (соответственно,
Ф eHoms(Y, X)) есть вложение (соответственно, накрытие). В
частности, если X, Y — простые S-модули, то каждый ненулевой
гомоморфизм (р е Нот5(Х, Y) есть изоморфизм.
Доказательство. Если <р е Нот5(Х, У), то ker <p e V(X), im ip e
eV(Y). Если <р фО, то ker ip фX, im (p фО. Поэтому из простоты S-модуля
X следует ker (р=0 (т. е. (р есть вложение). Аналогично, из простоты 5-мо-
дуля Y следует im (р = Y (т. е. (р есть накрытие).
7.9. Следствие, (i) Если X — простой S-модуль, то его
коммутант KS(X) есть тело.
(ii) Если поле F алгебраически замкнуто, dim X <oo, то в условиях (i)
K8(X) = F-l.
(iii) Если действие S коммутативно, то в условиях (ii) dim X = 1.
Действительно, (i) есть частный случай леммы Шура при X = У.
Если А — собственное значение оператора <р Е KS(X), то оператор ip — А • 1
необратим, откуда <р - А • 1 = 0, т. е. (р = А • 1. Отсюда получаем (ii). Если
действие 5 коммутативно, то n(s)eKs(X) для всех s€S, откуда 7r(s) = A(s)-l,
где X(s) G F, что возможно (для простого модуля X) только при dim X = 1.
Отсюда получаем (iii).
Упражнения. 1. Для каждой пары простых G-модулей Х, Y в
условиях (ii) положим N(X, У) = (Y <g> X*)fe. Тогда имеем:
N(X, У) = 0 при X?6Y; JV(X,X) = Fe, (7.25)
где е ^ 0 — единственный (с точностью до скалярного множителя) G-инва-
риант в X <8>Х*.
2. Положим также (в условиях (ii)) I(X, Y) = F(X, Y*)G, где F(X, У) —
векторное пространство всех билинейных (F-значных) форм в X х У, с
естественным (поточечным) действием в X х У*. Тогда имеем:
/(X, У) = 0 при Х?£У; I(X,X) = Ffi
где / — каноническая билинейная форма в X х X *.
3. Если матрица aeMat(n, F) перестановочна со всеми матрицами хе
GMat(n, F), то а=А • 1.
Последний результат можно также вывести из (ii), если заметить, что
каждое векторное пространство X есть простой EndX-модуль (п. 8.3).
Замечание. Лемма Шура в форме (ii) обобщается также на счетно-
мерные А-модули. Соответствующий аналог (ii) называется леммой Квил-
лена. См, например, [Д; Кир].
7.10. Коммутанты. Для каждого 5-модуля X положим S' = KS(X), S" =
= (Sf)' (бикоммутант модуля X) и т. д.
В частности, пусть S с EndX, так что 5 С 5". Аналогично, S" с S" и
т. д. С другой стороны, если S С Т, то Т" с 5'. В частности, S'" С S',
откуда S' = S'". Аналогично, S" = SIV и т. д. Отсюда заключаем, что цепочка
кратных коммутантов модуля X сводится к паре S', S".
60
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пример. В условиях (и) предложения 7.9 имеем 5' = F • 1, откуда
S" = EndX.
Комментарии к главе 1
На протяжении этой главы мы опирались лишь на общие сведения из
линейной алгебры (теория определителей), топологии (теория метрических
пространств), теории интеграла (интеграл и мера Лебега). Мы приводим с
доказательствами основные результаты линейной алгебры (§§ 3, 4, 5, 6),
поскольку эти результаты играют существенную роль в дальнейшем
изложении. Дальнейшие детали этой теории можно найти в ряде учебников по
алгебре (см., например, [Вин1; КМ]).
Элементы теории гильбертовых пространств, изложенные в § 5,
представляют собой лишь часть содержательной теории алгебры В(#). Продолжение
этой тематики можно найти, например, в учебниках по функциональному
анализу [КФ; Ш 1], в монографиях [Р; М]. См. также добавление D в конце
этой книги. Для любителей активного метода обучения может быть
рекомендована теория гильбертовых пространств в задачах [Х2]. Вопросы
спектральной теории в гильбертовых пространствах мы будем рассматривать
также в главе 8.
Исследование произвольных семейств операторов S С End X
представляет собой необозримую задачу. Методика теории представлений сводится, по
существу, к выделению таких алгебраических структур S с EndX, для
которых эта задача в известном смысле разрешима. Содержательные примеры
такого рода мы будем рассматривать во всех последующих главах.
Часть II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Глава 2
АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Как мы видели в § 7, изучение произвольных 5-модулей сводится, по
существу, к теории А -модулей, где А —ассоциативная алгебра над полем F.
Поэтому ассоциативные алгебры занимают особое место в теории
представлений.
Содержание этой главы можно рассматривать как программу-минимум
по теории ассоциативных алгебр. Основное внимание уделяется
полупростым А-модулям. Среди результатов следует упомянуть структурную
теорему Веддерберна и теорему плотности Джекобсона (§ 9). Для наших целей
особое значение имеет также частный случай теоремы Веддерберна,
относящийся к теории конечных групп (§ 10).
Остальная часть главы связана с описанием ассоциативных алгебр в
терминах их генетики (т. е. образующих и соотношений между ними). Мы
стремимся не столько к общности результатов, сколько к изложению
содержательных примеров: алгебры полиномов, алгебры формальных рядов,
тензорные алгебры, алгебры Вейля и т. д.
В конце главы показано (§ 15), как теория ассоциативных алгебр
погружается в общую теорию колец.
§ 8. Алгебры, модули
8.1. Алгебры. Пусть А —ассоциативная алгебра над полем F.
Умножение в алгебре А мы будем иногда записывать в виде /х(ж, у) = ху.
Операция /х'(ж, у) = ух, называемая противоположным умножением,
превращает векторное пространство А в противоположную алгебру Аор.
Для каждой пары ассоциативных алгебр А, В над полем F векторные
пространства А®В, А®В снабжаются структурами ассоциативных алгебр
по правилу
(a® b)(x®y) = ax® by, (a® b)(x® у) = ах® by, (8.1)
где а, ж е А, Ь,у€В. Здесь имеется в виду, что вторая часть (8.1)
продолжается по билинейности до умножения в пространстве А® В.
62
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Зачастую вместо А® В используется также символ Ах В для
обозначения прямой суммы алгебр А, В. Аналогично (покомпонентно) определяются
прямые суммы и тензорные произведения произвольного семейства алгебр
Ai (г € I), с использованием символов © (либо П)> ® и т. д.
г i i
Категория ассоциативных алгебр над полем F обозначается ASSALGF.
Для каждой пары подпространств X, Y с А символ X + Y
(соответственно, XY) обозначает векторную сумму подпространств Ху Y
(соответственно, линейную оболочку элементов ху, где х е X, у е Y). Произведение XY
называется свободным, если отображение х <8> у ■-♦ ху определяет
изоморфизм векторных пространств X ® Y « XY.
Семейство элементов et (г el) алгебры А называется системой
образующих алгебры А, если А есть линейная оболочка ассоциативных слов
где *!,...,*„€ /. Если А —унитальная алгебра (с единицей 1), то к
семейству одночленов (8.2) добавляется также единичное слово ^=1.
В этом случае также говорят, что элементы ei (i € /) порождают
алгебру А.
Для каждой пары элементов а, Ь еА элемент [a,b] = ab-ba называется
коммутатором элементов а, Ь.
Примеры. 1. Алгебра F[x] (п. 4.1) есть алгебра с единственной
образующей х.
2. Пусть D(x) — подалгебра в End-Ffx], порожденная операторами ж, д,
где х рассматривается как оператор умножения в F[x], df = /'
(производная, определенная в п. 4.1). Заметим, что операторы ж, д связаны
перестановочным соотношением [е>, ж] = 1, т. е.
дх = хд + 1. (8.3)
Упражнение. Проверьте (используя (8.3)), что D(x) есть алгебра
всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами
в пространстве F[x]9 т. е. операторов вида
с коэффициентами fk(x) e F[x].
8.2. Модули. Категория левых (соответственно, правых) А-модулей над
полем F обозначается A-Mod (соответственно, Mod-А). Как правило,
термин «А-модуль» означает «левый А-модуль».
Заметим, что каждый правый А-модуль можно рассматривать как левый
Аор-модуль. В этом смысле категория Mod-А совпадает с Aop-Mod.
Для каждой пары ассоциативных алгебр над полем F и каждой пары
объектов X, Y (соответственно) категории A-Mod, Б-Mod определение (8.1)
при х е X, у е Y позволяет рассматривать X ®Y (соответственно, X ® Y)
как объект категории (А 0 5)-Mod (соответственно, (A ®B)-Mod).
Векторное пространство X над полем F называется А х В-бимодулем,
если X наделено перестановочными операциями левого А-модуля и правого
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 63
В-модуля. Здесь перестановочность означает, что
(ах)Ъ = а(хЪ) (8.4)
для всех ае А, х е X, b е В. Категория А х JS-бимодулей обозначается
A-Mod-В. Вместо термина «А х А-бимодуль» используется «А-бимодуль».
В частности, пусть А — унитальная алгебра. В этом случае обычно
рассматриваются унитальные А-модули X (1 • х = х для всех х е X). В
определение А-бимодуля X обычно включается условие согласованности Ьж = ж-1
для всех х е X. А -бимодуль X называется унитальным, если 1 • х = х • 1 = х
для всех хеХ.
Решетка подмодулей А-модуля X обозначается V(X) = VA(X). Модуль
X ^0 называется простым, если V(X) = {О, X}. Модуль X
называется полупростым (или редуктивным), если X есть прямая сумма простых
А-модулей.
Категория К, составленная из А-модулей (т. е. подкатегория A-Mod)
называется полу простой, если все ее объекты полупросты. Категория К
называется мономиальной, если она полупроста и обладает единственным
(с точностью до изоморфизма) простым объектом Y. Иначе говоря, в этом
случае каждый модуль X категории К есть сумма простых А-модулей Х{«
«У (iel).
Семейство элементов е = (е{)<€/ называется системой образующих
А-модуля X, если X есть векторная сумма циклических подмодулей Ае£
(i € I). В этом случае также говорят, что элементы е{ (г е I) порождают
А-модуль X.
Отметим простой, но важный критерий простоты А-модуля X в терминах
его циклических подмодулей.
8.3. Предложение. Пусть А —унитальная алгебра, X —унитальный
А -модуль. Простота А -модуля X равносильна выполнению следующего
условия:
Axq — X для всех O^Gl (8.5)
Доказательство. Поскольку Xq = 1 • Xq E Axq, мы имеем Axq Ф0.
Если X — простой А-модуль, то отсюда следует (8.5). Обратно, если (8.5)
выполняется, то для каждого О^УС V(X) и каждого О^еУ имеем
X с Y, откуда X = Y. Следовательно, X есть простой А-модуль.
Примеры. 1. Каждое векторное пространство X есть простой
End X-модуль. Действительно, каждый вектор Офх^еХ можно включить
в базис пространства X. Поэтому значения ах^ (ае End X) можно выбрать
произвольно, откуда следует (8.5).
2. Если char F =0, то F[x] есть простой 1?(ж)-модуль (в обозначениях
п. 8.1). Действительно, если /^0, то dnf при некотором п есть ненулевая
константа, откуда 1 € D(x)f. Применяя операторы хп, получаем D(x)f =
= F[x].
Упражнение. Положим А = Mat(n, F), где п <оо. Докажите, что
категория А-модулей мономиальна (с простым объектом V = Fn).
[Указание: для каждого А-модуля X проекционные операторы р{ = еи (ei;. —
64
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
стандартный базис алгебры А) определяют матричное действие алгебры А
в прямой сумме подпространств Х{ =р-Х (г = 1,..., п). Соответственно, X
есть прямая сумма подмодулей Vv = Ахи « У, где (ж„) — некоторый базис
векторного пространства Х^ (при фиксированном %).]
8.4. Коммутаторы. Рассмотрим алгебру А как А-бимодуль. Мы
будем использовать следующие обозначения для операторов умножения в
алгебре А:
А (а)х = аж, /о(а)х = жа, (8.6)
где а, ж е А. Положим также
(ad a)x = [а, ж], (8.7)
так что ada= Л (a) — p(a). Из взаимной перестановочности операторов
А (а), р(а) получаем
(г6а)пх = "£(-1)кС£ап-кхак (8.8)
для всех п G N (C,f — биномиальные коэффициенты), где суммирование
ведется от 0 до п. Аналогично, из взаимной перестановочности операторов
А (а), р(а) с ad а получаем
апж = £Сп*ж<*>ап-*, жап = £(-1)*С>п-*ж<*>, (8.9)
* к
где ж(Л) = (ad а)* ж. Здесь символ ad используется как сокращение слова
adjoint (присоединенный).
Пусть А — произвольная (не обязательно ассоциативная) алгебра.
Линейный оператор жь^ж'в алгебре А называется дифференцированием
алгебры А, если
(жг/)' = ж'г/ + жу' (8.10)
для всех ж, у е А. Отсюда (индукцией по п) получаем формулу Лейбница
(a?y)(-> = ECL*x^V-*>f (8.11)
где ж(0) = ж, ж(п) = (ж(п" *>)' при п ^ 1.
В частности, пусть А — ассоциативная алгебра. Легко проверяется
(упражнение), что для каждого а € А преобразование ж' = [а, ж] есть
дифференцирование алгебры А. Соответственно, для каждого оператора ad a
(аеА) выполняется формула Лейбница (8.11).
Элемент z е А называется центральным, если [a, z] = 0 для всех а е
€ А, т. е. z' = 0 для всех операторов ad а. Применяя (8.10), находим, что
Z(A) есть подалгебра алгебры А. Подалгебра Z(A) называется центром
алгебры А.
Упражнения. 1. Пусть А — ассоциативная алгебра, жн+ ж; —
дифференцирование алгебры А. Если [ж, ж']=0, то (жп)' = пжп~1 для всех п еN.
2. Проверьте следующее тождество Якоби для коммутатора в алгебре А:
[а,[Ь,с]] + [6,[с,а]] + [с,[а,Ь]] = 0
для всех а,Ь,сеА. [Указание: это тождество сводится к (8.10) при замене
ху коммутатором [ж, у].]
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 65
3. Для каждой (не обязательно ассоциативной) алгебры А векторное
пространство D(A) всех дифференцирований алгебры А есть алгебра
(подалгебра в End А) относительно умножения //(а, Ь) = [а, Ь].
Нетрудно видеть, что D(А) не есть подалгебра в End А относительно
умножения (а, Ь)|-+аЬ. В частности, алгебра D(A) не ассоциативна.
8.5. Идеалы. Подмодули левого (соответственно, правого) Л-модуля А
называются левыми (соответственно, правыми) идеалами алгебры А.
Подмодули А-бимодуля А называются идеалами (двусторонними идеалами)
алгебры А.
Для каждого левого (правого) идеала / алгебры А пространство А/1
наследует структуру левого (правого) А-модуля. Если /—двусторонний
идеал алгебры А, то А/1 наследует все алгебраические операции,
определенные в А. В этом случае А/1 называется факторалгеброй алгебры А
по идеалу /.
Решетка левых (соответственно, правых) идеалов алгебры А
обозначается VA(A) (соответственно, Vp(A)). Решетка идеалов алгебры А
обозначается V(A).
Алгебра А ^0 называется простой, если V(A) = {0, А}. Алгебра А
называется полу простой t если А есть прямая сумма простых идеалов А{
(»€/).
В дальнейшем мы будем рассматривать также иные определения
простоты и полупростоты (в терминах решеток VA(A), Vp(A)). См. по этому
поводу пп. 9.4, 15.1.
Примеры. 1. Аннулятором подмножества Y С X, где X — левый
(соответственно, правый) А-модуль, называется множество Ann Y,
составленное из элементов аеА, для которых aY = 0 (соответственно, Уа = 0).
Очевидно, Ann Y есть левый (соответственно, правый) идеал алгебры А.
2. Для каждого морфизма ip: A -»В (в категории ASSALG) его ядро ker <p
есть идеал алгебры А. Более того, канонический изоморфизм
A/ker (pttimtp (8.12)
есть изоморфизм в категории ASSALG.
Упражнения. 1. Предположим, что алгебра А полупроста, т. е.
А=®А{, (8.13)
где At. (г е I) — идеалы алгебры А. Тогда имеем
А<Ау=0 при гфз. (8.14)
2. Если алгебра А унитальна, то разложение (8.13) конечно. Более того,
оно соответствует ортогональному разложению единицы
1 = 0е,
г
в сумму идемпотентов (проекционных элементов) е{ е А{. Помимо этого,
et. e Z(A) для всех % el. [Указание: см. аналогичное утверждение в п. 9.6.]
6 Зак. 184
66
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
8.6. Свободные модули. Левый А-модуль X называется свободным,
если он обладает системой образующих е, (г е /), линейно независимой
над А. Последнее означает, что каждый элемент х е X однозначно
записывается в виде линейной комбинации
i
с коэффициентами а{еА. Иначе говоря, X есть прямая сумма циклических
подмодулей Ае{ (г el). В этом смысле
Х = А®Е, (8.15)
где Е — векторное пространство над полем F с базисом е{ (г el).
Соотношение (8.16) можно рассматривать как равенство (изоморфизм) А-модулей,
где правая часть наделяется структурой А-модуля по правилу
а0(а® ж) = а0а(8>ж,
для элементов а^ае А, хеЕ.
Система е = (е^),е/ в этом случае называется базисом свободного
модуля X. Число а = card I называется рангом модуля X (относительно
системы е).
Заметим, что (в отличие от векторных пространств) различные базисы
А-модуля X не обязательно равномощны. Поэтому ранг модуля X зависит
от системы е.
Свободные А-модули обладают следующим свойством универсальности
в категории A-Mod.
8.7. Предложение. Пусть X —свободный А-модуль с базисом е( (г е
el). Тогда
(i) Каждый гомоморфизм <р е Нотл(Х, Y) однозначно определяется
своими значениями f{ = <р(е{) (г е I).
(и) Элементы f{ (г е I) можно выбрать произвольно (т. е. для каждого
набора f{eY существует гомоморфизм <р: X -> У, для которого /£ =
= ¥>(*,)).
(Ш) Каждый модуль У категории A-Mod изоморфен одному из
модулей X/N, где X —свободный А-модуль, N е V(X).
Доказательство. Утверждения (i), (ii) можно считать очевидными
(значение <р(х) на элементе (8.15) однозначно определяется элементами
/t. = ^(ej). Для доказательства (Ш) достаточно выбрать произвольную
систему образующих е{ (г е I) модуля Y. Согласно (ii), отображение е. >-> е{
(г е I) определяет гомоморфизм <р е Нотл(Х, У), накрывающий У.
Применяя (8.12), находим
YkX/N, где N = kev<p. (8.16)
Упражнение. Пусть А есть алгебра с делением (т. е. каждый
ненулевой элемент алгебры А обратим). Докажите, что в этом случае каждый
А-модуль X свободен (аналог теоремы Хаммеля).
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 67
8.8. Примитивные модули. Левый А-модуль X называется
примитивным, если он полупрост и все его простые подмодули изоморфны между
собой. Примитивный модуль X называется модулем типа Y, если все его
простые подмодули изоморфны простому модулю Y.
Разлагая модуль X в прямую сумму подмодулей Х{ « Y (i € I), заметим,
что Y = Аец при некотором е^ так что X. =Ае{, где е{ — образ вектора ^
при изоморфизме Y &Х{. Отсюда (по аналогии с п. 8.6) получаем
X = Y®E, (8.17)
где Е —векторное пространство с базисом е{ (i e I). Соотношение (8.17)
есть равенство (изоморфизм) А -модулей, где правая часть наделяется
структурой А-модуля по правилу %(а® х) = а^а® х.
Соотношение (8.17) позволяет записывать модуль X в инвариантной
форме (безотносительно к базису е{ € Е). Ниже будет показано, что
подпространство Е в данном случае определяется однозначно с точностью до
изоморфизма.
8.9. Предложение. Пусть X —примитивный А-модуль (8.17). Тогда
имеем:
(а) Каждый подмодуль модуля X имеет вид Y®Е0, где Е0
—подпространство в Е.
(/3) Каждое разложение модуля X в прямую сумму простых
подмодулей Х{ (г е I) определяется равенством Х{ = Y <8> Feif где е{ (г € /) —
некоторый базис пространства Е.
Доказательство. Достаточно проверить (а) для простых
подмодулей XQ e V(X). Для каждого подмодуля Хе = Y ® Fe, где О Ф е е Е, имеем
Х0пХе = 0 либо Х0Г\Хе = Х0 = Хе, причем последнее равенство определяет
вектор е с точностью до гомотетии. Отсюда также получаем (/3).
8.10. Следствие. Векторное пространство Е в (8.17) определяется
однозначно с точностью до изоморфизма. Соответственно,
кардинальное число a =dim E определяется однозначно (по данному X).
Действительно, каждый изоморфизм <р: Y®E —> Y<&E' переводит прямое
разложение Y® Fei (г el) в прямое разложение Y<8> Fji (г € /), где f{ =
= <р(е{). Отсюда dim Е = dim Е', так что Е « Е'.
Обозначение. Число dimE в (8.17) обозначается [X: Y]n
называется кратностью простого модуля Y в модуле X. Соответственно, модуль
X записывается в виде аУ, где а =[Х: Y].
Упражнения. 1. Каждый гомоморфизм А-модулей Y —► X
(соответственно, X —> Y) в обозначениях (8.17) имеет вид у»-> у®е (соответственно,
у ® е н-* у/(е)), где е е Е, f € Е*. В этом смысле
HomA(Y,X)*E, НотА(Х, Y)&E*.
2. Если dim£?<oo, то каждый эндоморфизм аеКА(Х) имеет вид
a^Y^i ® cit где b{ € KA(Y), c{ € End E. В этом смысле
КА(Х) = KA(Y)® End E. (8.18)
6*
68
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
[Указание: Действие алгебры А в (8.17) имеет вид п(а) = 7г0(а) ® 1, где
а е А, 7Гр — действие алгебры А в модуле F. Отсюда для каждого базиса
ei (i e I) пространства Е имеем:
i^(X)«Mat(n,iO, (8.19)
где n = cardl, К = KA(Y), что равносильно (8.18).]
В частности, пусть поле F алгебраически замкнуто, dim X < оо. В этом
случае равенство (8.19) означает, что
КА (X) = F <8> End E w End E. (8.20)
8.11. Характеры. Характером алгебры А называется каждый
ненулевой гомоморфизм х- -А —> F алгебры А в поле F. Если А —унитальная
алгебра, то х(1)^0 (в противном случае х(а) = х(а#1) = 0 Для всех а€ А).
Отсюда и из равенства хО)2 = хО) получаем х(1) = 1.
Докажем следующую теорему Артина: если алгебра А унитальна, то
ее характеры линейно независимы.
Действительно, условие линейной зависимости для попарно различных
характеров х, (г = 1,..., п) может быть записано в виде
£с,Х<=0, (8.21)
*=1
где с{ ф0 (г = 1,..., п) и число п минимально среди всех соотношений (8.21)
для характеров х» (» = 1,..., п). В частности, n ^ 2. Применяя (8.21) к
элементу ах (ае А), получаем также
£c,X,.(a)Xi=0. (8.22)
t = l
Заметим, что система (8.21), (8.22) имеет дискриминант Д = Xi(a) - Х2(а)
относительно переменных Xi> Х2- Поскольку Х\ ФХ2> мы можем выбрать ае
е А с условием Xi(a)^%2(a)- В этом случае систему уравнений (8.21), (8.22)
можно разрешить относительно Хи Хг» чт0 невозможно, ввиду определения
числа п. В результате заключаем, что (8.21) влечет с. =0 (г = 1,..., п).
Ниже мы получим (п. 9.12) обобщение теоремы Артина на неприводимые
представления алгебры А.
8.12. Диагональные модули. А-модуль X называется диагональным,
если он полупрост и его простые компоненты одномерны (т. е.
определяются характерами алгебры А). Иначе говоря, модуль X обладает «весовой
градуировкой»
Х=®ХХ, (8.23)
где Л —характер алгебры А, ХхсХ — подпространство, состоящее из
векторов х е X, удовлетворяющих соотношению ах = Х(а)х для всех аеА.
Характер Л называется весом модуля X, если Хх ф0. Элементы 0фхеХх
называются весовыми векторами (веса А) модуля X.
Покажем, что каждый подмодуль Y сХ градуирован разложением (8.23),
т. е. Y есть прямая сумма своих весовых компонент Yx = Yr\Xx.
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 69
Действительно, пусть у е Y есть сумма весовых компонент ухеХх.
Применяя к вектору у преобразование /о а, где / € X*, аеА, / |у = О, получаем
J2А(а)/(г/А) = 0 для всех абЛ,
А
откуда /(уА)=0 для всех А (по теореме Артина). Заметим, что условие f\Y =
=0 позволяет отождествить функционалы / с элементами (X/Y)*. Поэтому
f(yx) = 0 для всех / € (X/Y)*, т. е. уА 6 У для всех характеров А.
В дальнейшем мы получим (п. 9.2) обобщение этого результата на все
полупростые А-модули.
§ 9. Полупростые модули
9.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе А — ассоциативная алгебра
над полем F. Начиная с п. 9.4, мы предполагаем, что алгебра А унитальна.
Напомним, что S' = EndsX означает коммутант подмножества S с End X
(п. 7.10). Для каждого А-модуля (X, 7г) положим
К(Х) = End^X, К'(Х) = End^X, (9.1)
где символ А заменяет 7г(А), А' = 7г(А)' (так что К(Х) = КА(Х) —
коммутант, К'(Х) — бикоммутант модуля X).
Пример. Для каждой алгебры А имеем А (А) с р(А)', р(А) с А (А)'
(в обозначениях 8.4). Если А — унитальная алгебра, то имеем:
А(А) = р(А)', р(А) = \(А)'. (9.2)
Действительно, если <рер(А)', то <р(а) = <р(Ьа) = <р( 1 )а для всех а€ А, т. е.
<р € А (А). Аналогично проверяется второе равенство (9.2). Отсюда также
А(А) = А(А)", р(А) = р(А)\ (9.3)
т. е. каждое из множеств А (А), р(А) совпадает со своим бикоммутантом.
Дальнейший план изложения сводится к следующему. Вначале мы
собираем общую информацию о полупростых А-модулях (п. 9.2). Использование
этой информации позволяет полностью описать структуру (классически)
полупростых унитальных алгебр (п. 9.8). В конце параграфа рассматриваются
более тонкие вопросы теории А-модулей, связанные с теоремой плотности
Джекобсона (п. 9.9).
9.2. Теорема. Пусть X — полупростой А-модуль. Тогда имеем:
(а) Модуль X однозначно представляется в виде прямой суммы
своих изотипических компонент Х{ (г € I):
Х=®Х» (9.4)
i
где Х{ = п{У{ (п. -—кардинальное число), У{—простой А-модуль, Yi^Yj
при i^j.
70
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
((3) Разложение (9.4) индуцирует разложение коммутанта К(Х) в
прямую сумму идеалов K(Xi):
К(Х) = ЦК(Х<). (9.5)
(7) Если щ < оо, то коммутант К(Х{) определяется по
правилу (8.19), т. е.
К(Х<)*МяА(ъ,К€), (9.6)
где К{=К(У{) (тело над полем F).
Доказательство. Утверждение (а) вытекает непосредственно из
теоремы 7.6. А именно, Xi есть сумма (линейная оболочка) всех простых
подмодулей модуля Хл изоморфных Yt. Иначе говоря, Х{ есть наибольший
подмодуль модуля X, кратный модулю Y{.
Для доказательства (/?) представим aeEndX в виде блочной
матрицы (2.21) с элементами atj Е Hom(X,, Xt). Легко проверить, что включение
ае К(Х) равносильно a{j е Нотл(ля Х{). Отсюда (по лемме Шура) a{j = 0
при гфз. Отсюда следует (/3). Утверждение (7) вытекает непосредственно
из (8.19).
Упражнение. Докажите, что каждый подмодуль V модуля (9.4)
имеет вид
i
где Vi = kiYi (подмодуль в Х{), 0 ^ к{ < п..
9.3. Следствие. Если X = nY — примитивный А-модуль (8.17)
конечной кратности га, то имеем
K(X) = K®EndE, К'(Х) = К'®1, (9.7)
где К = K(Y)t К' = K'(Y). Если поле F алгебраически замкнуто,
dim Y < 00, то (9.7) означает, что
К(Х) = 1 ® End В, К'(Х) = End Y <8> 1 (9.8)
(в обозначениях (8.17)).
Действительно, первая часть (9.7) сводится к (9.6) (случай card/ = 1),
вторая часть доказывается по аналогии с п. 9.2. А именно, для каждого
Ь е К'(Х) имеем [Ь, е{Л = 0, где е^ — стандартные матричные единицы в
EndKE. В частности, [Ь, ei{] = 0 для всех г, откуда btj = 0 при г ф j.
Помимо этого, из равенств [Ь, ei3] = 0 при г ф j следует Ьи = Ь^ для всех г, j.
В результате Ь = diag(A,..., А), где Ае К\ что соответствует второй
части (9.7).
Остается напомнить, что в условиях (9.8) (по лемме Шура) К = F, К' =
= End У. Отсюда следует (9.8).
Замечание. Ниже будет показано (п. 9.9), что К' = EndKY. Поэтому
формулы (9.7) также имеют симметричный вид и определяют
двойственность между алгебрами К(Х), К'(Х).
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 71
9.4. Унитальные алгебры. Пусть А — унитальная алгебра над
полем F. Алгебра А называется полупростой слева (соответственно,
справа), если А полупроста как левый (соответственно, правый) А -модуль.
Алгебра А называется примитивной слева (соответственно, справа),
если А примитивна как левый (соответственно, правый) А-модуль.
Иногда в этих случаях вместо термина «полупростота» используется
термин «редуктивность». Таким образом, каждая редуктивная слева (справа)
алгебра А есть прямая сумма примитивных слева (справа) алгебр А{ (г El).
Ниже мы увидим, что левые и правые варианты в этих определениях в
действительности совпадают. Более того, каждая примитивная слева
(справа) алгебра А проста (п. 9.7). Соответственно, каждая редуктивная слева
(справа) алгебра А полупроста (в смысле п. 8.5).
Существенно, что обратные импликации справедливы не всегда.
Например, не каждая простая алгебра А примитивна (п. 14.3). Полупростые слева
(справа) унитальные алгебры А обычно называют классически
полупростыми.
В § 15 мы отметим также связь определенных здесь понятий с
терминологией теории колец.
Примеры. 1. Для каждого конечномерного векторного
пространства X алгебра A = EndX как А-бимодуль обладает каноническим
разложением (6.18), т. е.
А=Х®Х*. (9.9)
В частности, А — пХ (соответственно, А = пХ*) как левый (соответственно,
правый) А-модуль. Отсюда следует, что алгебра А примитивна (слева или
справа).
2. То же верно для алгебры A =EndA-X, где К — тело над полем F.
Действительно, в этом случае равенство (9.9) по-прежнему имеет место,
с компонентами
где a^dim^F, X* — пространство, сопряженное к пространству X над
телом К. В частности, А = паХ (соответственно, А = паХ*) как левый
(правый) А-модуль.
9.5. Лемма. Пусть L —простой левый идеал алгебры А. Тогда для
каждого А -модуля X и каждого XqEX либо Lxq = 0, либо Lxq^L (в
категории A-Mod). В частности, пусть X —простой А-модуль. Тогда
имеем:
либо LX = 0, либо X « L.
Доказательство. Ясно, что LXqeV(X). Отображение <р: L —► Lа^,
(р(а) = ах0 есть гомоморфное накрытие (в категории A-Mod). Если Lxq^O,
то кег<р = 0 (в силу простоты А-модуля L), откуда Lxq&L. Если X —
простой А-модуль и LX ^0, то ЬхцфО при некотором qcqEX, откуда
Lxq=:X (в силу простоты А-модуля X), т. е. L « X.
9.6. Теорема. Пусть алгебра А редуктивна слева, и пусть L{ (г el) —
семейство ее попарно неизоморфных простых левых А -модулей. Тогда
имеем:
72 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
(а) Алгебра А есть конечная сумма примитивных (слева) идеалов
А{ = niLi, где п{ < оо, п = card I < оо:
А = еА,. (9.10)
Более того, А{ = е{А=Ае{, где 1 = et +... + еп —разложение единицы в
сумму центральных идемпотентов ei е Z(A).
(13) Категория A-Mod полупроста, с простыми объектами L{ (i =
= 1,..., п). А именно, каждый (унитальный) А-модуль X записывается
в виде
Х=Ф4 (9.11)
где Х{ = е£Х = mtLt. (изотипическая компонента типа Lt).
(7) £сли алгебра А примитивна (слева), то категория A-Mod моно-
миальна и каждая пара простых левых идеалов L, М алгебры А связана
соотношением
M = La при некотором аеА. (9-12)
Доказательство. Пусть А{ (i el) — изотипические компоненты
левого А-модуля А. Поскольку правое действие алгебры А перестановочно
с левым, оно сохраняет А., т. е. каждая компонента Ai есть идеал
алгебры А.
Применяя (8.14), получаем AiAj = 0при гф]. Иначе говоря, аД =0при
г Фз для каждой пары а, Ь е А, где а{ — проекция элемента а на компоненту
А{ (г е I). В частности, eiaj = а^е. = 0 при г ф j, где е{ (i el) — проекция
единичного элемента е = 1. Отсюда
a< = eia=aei для всех аеА. (9.13)
Следовательно, е£ е Z(A) и множество I конечно (поскольку а. = 0 при
е. = 0). Применяя аналогичное рассуждение к отдельной компоненте Af
(либо используя упражнение 2 п. 8.5), получаем п{ < оо для всех iel.
Полагая / = {1,...,п}, получаем (9.10). Помимо этого, из разложения
единицы 1 = ех + ... + еп (где eiej = 8^) следует (9.11), с компонентами
Х{ — е{Х. Имеем также
А{Х, = Ае<Х,=0 при гф3\ (9.14)
откуда следует, что Х{ есть унитальный А^-модуль (е{ — единица алгебры
А.). Применяя лемму 9.5 к циклическим подмодулям А{х (хеХ{),
получаем, что Xi есть сумма простых А-модулей Ь{х&Ь{. Следовательно, Х{
есть примитивный А-модуль типа L{.
Если алгебра А примитивна (слева), то каждый А-модуль X имеет вид
mL, где L — единственный простой левый идеал алгебры А. Более того,
для каждого простого левого идеала М алгебры А имеем А = М ф N, при
некотором JV = VA(A). Пусть р— оператор проектирования на М в этом
разложении, так что р € #(А). Отображение (р(х) = <р0(рж), где (р0: М —>
—► £ —изоморфизм А-модулей, содержится в А(А)' = р(А) (п. 9.1), откуда
следует (9.12).
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 73
9.7. Следствие, (i) Если алгебра А примитивна (слева или справа),
то она проста.
(ii) Обратно, если алгебра А проста и редуктивна слева (справа), то
она примитивна слева (справа).
Действительно, если алгебра А примитивна слева, то из равенства (9.12)
получаем А = LA. Тем более для каждого идеала I фО алгебры А имеем
А = 1А с/, т. е. 1 = А. Следовательно, алгебра А проста. Обратно, если
алгебра А проста и редуктивна слева, то п = 1 в (9.10), т. е. алгебра А
примитивна слева.
Остается заметить, что аналог теоремы 9.6 выполняется также для
алгебр, редуктивных справа (в терминах правых идеалов алгебры А). Поэтому
утверждения (i), (ii) справедливы также в терминах правой редуктивности.
Отсюда ясно, что левая редуктивность (соответственно, примитивность)
алгебры А совпадает с ее правой редуктивностью (соответственно,
примитивностью). Более того, это свойство влечет полупростоту (соответственно,
простоту) алгебры А.
Упражнения. 1. Конечномерная алгебра А редуктивна слева
(справа) тогда и только тогда, когда она полупроста. [Указание: если dim A < оо,
то алгебра А содержит хотя бы один простой левый (правый) идеал.]
2. Если алгебра А редуктивна (слева, справа), то она не содержит
идеалов N, для которых N ф 0, N2 = 0.
Пример. Алгебра End X (аналогично, End^-X") проста при dim X < оо
(аналогично, dim^ X < оо).
Заметим, что этот результат можно вывести также из мономиальности
категории A -Mod (п. 8.3).
Следующий результат известен под названием структурной теоремы
Веддерберна.
9.8. Теорема. Каждая редуктивная алгебра А изоморфна конечной
прямой сумме матричных алгебр
А« 0 Mat(nt.,*Q, (9.15)
» = i
где К( —некоторое тело над F, п{ < оо (г = 1,..., п). Если алгебра А
примитивна (слева или справа), то п = 1 в (9.15), т. е. А есть
матричная алгебра над некоторым телом К.
Доказательство. Согласно теореме 9.6, достаточно рассматривать
случай, когда алгебра А примитивна (слева или справа). Используя уни-
тальность алгебры А, находим кег А = кегр =0 (в обозначениях п. 9.1). В
частности,
Аъ\(А)ыр(А)'.
Если алгебра А примитивна справа, то p(A) = nY в категории Mod-А,
где Y — простой правый А-модуль, п < оо. Вычисляя р(А)' по
правилу (9.6), (случай card 1 = 1), получаем
A«Mat(n,iO, (9.16)
5 Зак. 184
74
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
где К = K(Y) — тело над полем F. Аналогично, если алгебра А
примитивна слева, то имеем Аор« А(А)', откуда по-прежнему следует (9.16), где
А(А) = пУ, K = K(Y).
Пример. Если поле F алгебраически замкнуто, dim Y < оо, то (9.16)
записывается в виде
A a* Mat (n, F).
Согласно теореме 9.8, условия редуктивности алгебры А слева или справа
эквивалентны между собой (так что алгебра А классически полупроста).
Займемся теперь более детальным изучением А-модулей, где А —уни-
тальная ассоциативная алгебра над полем F.
9.9. Теорема. Пусть X --полупростой А-модуль. Тогда для каждого
Ь е К'(Х) и каждого набора элементов х{еХ (i = 1,..., п) существует
а€А, для которого
axi^bxi (г = 1,..., п). (9.17)
Доказательство. Для каждого хеХ имеем X = Ax®N, где N —
дополнительный подмодуль. Пусть р— оператор проектирования на Ах в
этом разложении. Тогда имеем р £ К(Х), откуда
Ьх = Ърх = pbx е Ах,
т. е. Ьх = ах при некотором ае А, что совпадает с (9.17) при п = 1. В общем
случае достаточно положить ж = (ж1,..., хп)епХ, где пХ = Х ©.. .®Х (п
слагаемых), так что равенство аж = Ьх совпадает с (9.17).
Замечание. Соотношение (9.17) означает, что для каждого
конечномерного подпространства Е с X имеем
А\в=А"\в С9-18)
где А" = К'(Х) (бикоммутант А-модуля X). Иначе говоря, в
условиях (9.17) имеем ае Ue(oq) при Ь = Oq, где
4i(4o) = {a€EndX:(a-4o)U=0}. (9.19)
Выбирая семейство (9.19) в качестве базисной системы окрестностей точки
OoEEndX, получаем топологию в End-X*, относительно которой каждая
точка Oq e А" есть предельная точка множества 7г(А).
Иначе говоря, множество п(А) всюду плотно в А". В этом смысле
теорема 9.9 называется теоремой плотности (или теоремой Джекобсона).
9.10. Следствие (теорема Бернсайда). Если X —простой
конечномерный А-модуль над алгебраически замкнутым полем F, то
7r(A) = EndX (9.20)
Действительно, в этом случае A' = F, A" = EndX и в равенстве (9.18)
можно положить Е = X.
Упражнение. Если X — простой конечномерный G-модуль над
алгебраически замкнутым полем F, то линейная оболочка множества n(G)
совпадает с EndX.
Замечание. Теорема Бернсайда обобщается также на счетномерные
А-модули, с использованием леммы Квиллена (п. 7.9). В частности, если
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 75
алгебра А счетномерна, то все ее простые модули имеют либо конечную,
либо счетную размерность.
Упражнения. 1. А-модуль X называется абсолютно простым, если
он остается простым при каждом расширении поля F. Докажите, что (9.18)
в этом случае имеет вид
A\E = (EndX)E.
2. Абсолютная простота А-модуля X равносильна КА(Х) = F.
3. Если (X, 7г) — абсолютно простой конечномерный G-модуль, то
линейная оболочка множества n(G) совпадает с End-X".
9.11. Матричные элементы. Пусть S — произвольное множество, X —
произвольный 5-модуль (§ 7). Числовые функции s н-» (s£, 77), где £ е Хл
г] е X*, называются матричными элементами модуля X.
В частности, пусть А — ассоциативная алгебра над полем F, А —
множество классов эквивалентности простых А-модулей. Для каждого Л е А
фиксируем простой А -модуль (УА, тА) класса Л, и пусть Vx = (VA)*. Положим
т/ч(а) = <а^), (9.21)
где ае А, £ е Vх, rj £ Vx. Заметим, что для каждого базиса е. (г е I)
пространства Vх элементы (9.21) суть линейные комбинации матричных
элементов
7i)(a) = <ae,,e<), (9.22)
где е{ (г е /) — дуальная система к базису е{ (i G I). Элементы (9.22)
связаны с операторами тх(а) соотношениями
гА(а)еу=Е^(«К. (9.23)
г
Условимся считать (для простоты изложения), что поле F
алгебраически замкнуто. Отметим следующее обобщение теоремы Артина (п. 8.11) на
матричные элементы (9.22).
9.12. Теорема. Система матричных элементов (9.22), где АеЛ,
i, j G /Л f линейно независима. В частности, функции (9.22) при
фиксированном А линейно независимы.
Доказательство. Фиксируем линейное соотношение между
матричными элементами (9.22):
£Ф£=0, (9.24)
где с,А. е F, и пусть Л (соответственно, J) — множество тех А
(соответственно, У), для которых хотя бы одно из чисел с£ отлично от нуля. Положим
V= © Vх, (9.25)
АбЛ
так что (9.24) есть линейное соотношение в End У для операторов тх(а)
(аеА). Согласно теореме плотности (п. 9.10), каждое такое соотношение
наследуется операторами Ь е А" (в силу конечности множеств Л, J).
С другой стороны, пусть e{j = е. <8> ei — система одномерных операторов
в Vх (при фиксированном А). Используя первую часть (9.7) при X = Vх,
5*
76
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
находим e{j € К'(Vх). Положим также е£ = e{j в компоненте УА, е£ =0 в
компонентах Vм при р,ф\. Тогда имеем е^еА" (=K'(V)). Подставляя
в (9.24) оператор е£ (вместо т£(а)), получаем с* =0 для всех А, г, j.
Упражнения. 1. Пусть А — унитальная алгебра. Если два простых
конечномерных А -модуля X, Y имеют хотя бы один общий нетривиальный
(Ф 0) матричный элемент, т. е.
<<wb, f о> = (аУо> Vo) (9.26)
для всех а е А, где Xq € Хл щ е Y, £0е X*, г)0 е F*, то!«У. [Указание:
соотношение (9.26) влечет
{ааъ, Ъ£0) = (а%, Ц)}
для всех а,ЬеА.]
2. Утверждение (1) остается справедливым для бесконечномерных
А-модулей, при условии, что X*, У* суть простые А-модули.
§ 10. Групповые алгебры
10.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе G — конечная группа, А —
= F[G]— линейная оболочка группы G над полем F (п. 7.3). Напомним,
что элементы / £ А записываются в виде
/= 12/(9)9, (ЮЛ)
geG
с коэффициентами f(g) е F. Алгебра А = F[G] называется обычно
групповой алгеброй группы G (над полем F).
Если характеристика р поля F не делит порядок п = card G (в частности,
если р = 0), то в алгебре А определен элемент
ft = i£<7, (Ю.2)
называемый средним значением (или оператором усреднения) по
группе G. Заметим, что для каждого G-модуля Х вектор р^х можно
интерпретировать как «центр тяжести» орбиты Gx (xeX).
10.2. Предложение. Оператор р$ проецирует каждый G-модуль X
на подпространство его инвариантов
XG = {xeX: gx = x, VgeG}.
Доказательство. Умножая (10.2) слева на g0g, заметим, что
подстановка g н* gQg не изменяет суммы (10.2), поскольку g >-> %g — автоморфизм
множества G. Отсюда
9оРо = Ро для всех g0eG. (10.3)
Суммируя (10.3) по gQe G, получаем ^ = д>, т. е. Pq есть проекционный
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 77
элемент алгебры А. Соответственно, р0 е End X есть проекционный
оператор в пространстве X.
Согласно (10.3) \mp0eXG. Обратно, если xeXG, то р0х = х, откуда
х е imPq. В результате im p^ = Xе.
Пример. Пусть G = Z2 = {е, а}, где сг2 = е. В этом случае оператор
р0 = ^(е + а) проецирует X на подпространство четных элементов хеХ
(для которых ах = ж}.
Начиная с этого момента, мы положим, для простоты изложения, F=C.
Переход к общему случаю будет отмечен в п. 10.14.
10.3. Предложение. Каждый конечномерный G-модуль X унитарен
(относительно некоторого скалярного произведения) и потому
полупрост.
Доказательство. Исходя из произвольного скалярного
произведения (•, -)0 в пространстве X и применяя к нему оператор усреднения (10.2),
относительно действия группы G в X х X, получаем новое скалярное
произведение
(я, у) = Е (9Х> 9У)о,
geG
удовлетворяющее условию G-инвариантности
(ДО ду) = (ж, у)
для всех g€G, хеХ, у Е У. Полученное равенство в терминах
представления (7г, X) означает, что это представление унитарно, т. е.
*(gY = *(g)-l = *(g-1) (Ю.4)
для всех geG. Остается напомнить (п. 7.5), что в этом случае модуль X
полупрост.
Замечание. В п. 10.14 будет изложено другое доказательство
полупростоты, пригодное для произвольного поля F (при условии, что р не
делит п).
Пример. Рассмотрим F[G] как G-бимодуль. Операции этого бимодуля
можно выразить в терминах представлений
(«(?)/)(*) = /ОТ1*), i/3(9)f)(x) = f(xg),
где у, х е G. Легко проверяется, что каждое из этих представлений унитарно
относительно скалярного произведения
(/.,/2)=ЕШШ (Ю.5)
geG
в пространстве F[G].
Представление а (соответственно, /3) называется левым
(соответственно, правым) регулярным представлением группы G. Заметим также, что
оператор (jf)(x) = f(x~{) определяет эквивалентность представлений а, /3.
78 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
10.4. Матричные элементы. Пусть G — множество классов
эквивалентности всех неприводимых конечномерных представлений группы G.
Для каждого A G С? фиксируем простой G-модуль (Vх, тА) класса А.
Функции
где £ G Vх, г} G Vx, называются матричными элементами модуля Vх. Легко
проверяется, что
°(8К-Чт> МК-Ъг (10-6>
Например, для каждого базиса ei (i = 1,..., пА) в пространстве Vх
оператор тх(д) определяется матрицей
^Ы = (тА(5)еяе<), (10.7)
где ei G Vx —дуальная система к элементам е,.. В том случае, когда ei
(г = 1,..., пх) — ортонормированный базис пространства Vх, эта матрица
записывается в виде
т$(д) = {т*(д)е„е<). (10.8)
Фиксируем скалярное произведение (10.8), относительно которого
операторы тх(д) унитарны. Заметим, что условие унитарности (10.4) для
оператора п(д) = тх(д) означает, что
^Ы = ^у-1=тгЫ, (10.9)
где 7г = тА —сопряженное представление в пространстве Vx. Здесь 1т(д) —
оператор, комплексно сопряженный к 7г(д) относительно базиса е. (г = 1,...
...,пА).
Иначе говоря, представление тА отождествляется с комплексно
сопряженным представлением ТА, относительно антилинейного изоморфизма Vх« Vx
(п. 5.10).
10.5. Лемма. Каждое вложение Vx —► (А, а) (соответственно, Vх ->
—► (А, /3)) совпадает с одним из вложений
Ч»-+тД (соответственно, f ь-*тД), (10.10)
при фиксированном 0ф f G VA (соответственно, 0ф r\ e Vx).
Доказательство. Согласно (10.6), каждое из отображений (10.10)
есть гомоморфизм. Ясно также (из простоты Vх), что равенство тД =0 при
фиксированных f, 77 возможно только при £ =0 либо 77 = 0. Поэтому каждое
из отображений (10.10), где £ ^0 (соответственно, rj^O), есть вложение.
Обратно, пусть X — простой подмодуль типа А в (А,/3). Для каждого
фиксированного базиса е. (i = 1,..., пх) в пространстве X имеем
еДэя) = Е *£(»)*(*)•
i
где элементы r^(g) определяются по правилу (10.7). Полагая х = е,
получаем
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 79
где r] = Ylci£i> с коэффициентами с£ = е.(е). Таким образом, вложение
i
Vх —>(А, /3) определяется по правилу (10.10). Случай Vx —> (А, а)
рассматривается аналогично.
10.6. Теорема. Алгебра A = F[G] полупроста, с простыми
компонентами Ах (А е G):
А=©А\ (10.11)
где Ах = FX[G]—линейная оболочка элементов (10.7) при
фиксированном А. Отображение f ®rj»-* тД определяет (относительно /3 <8> а) азо-
морфизм G-бимодулей
АА«УА®УА. (10.12)
Доказательство. Согласно (10.6), пространство АА есть G-бимо-
дуль. Ясно также, что Ах есть А-бимодуль, т. е. идеал алгебры А.
Соответственно, векторная сумма В всех Ах (X е G) есть G-бимодуль. Используя
унитарность представлений а, /3 (п. 10.3), находим, что ортогональное
дополнение В1 в пространстве А также есть G-бимодуль.
Согласно лемме 10.5, каждый простой подмодуль левого (правого)
G-модуля А содержится в В. Следовательно, В± = 0, А = В. Более того, Ах
есть изотипическая компонента типа А G-модуля (А,/3). Отсюда следует,
что А = В есть прямая сумма компонент Ах, что совпадает с (10.11).
Утверждение (10.12) можно вывести, например, из теоремы Бернсайда
(п. 9.10), согласно которой dim Ax = пх. Отсюда следует, что отображение
£ <8>т?»-»тД инъективно и потому определяет изоморфизм (10.12). Ниже
будет изложено также другое доказательство (10.12), основанное на
соотношениях ортогональности для элементов (10.8).
10.7. Следствие. Порядок n = card G связан с размерностями пх (А е
е G) соотношением
п = 1>а2 (10.13)
А
(первое тождество Бернсайда).
10.8. Теорема. Система матричных элементов (10.8) ортогональна
в F[G]. Элементы (10.8) обладают нормировкой
ll^ll2 = V (Ю.14)
для всех А е G. Здесь ||/||2 = (/, /) в пространстве F[G].
Доказательство. Положим HXfM = Нот(Ум, УА). Согласно (6.17),
имеет место изоморфизм G-модулей
tfA/i«yA<g>v;.
Применяя лемму Шура в виде (7.25), получаем
йЯД||=0 при А^м, PoHxx=Fe, (10.15)
80 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
где Pq — оператор усреднения (10.2) в HXfM, е = 1л — единичный оператор в
алгебре ЯАА. Напомним (п. 10.4), что тА = Тх. Соотношение (10.15)
означает, что
£ £ rx(g)x^r(M(g)y=SX(Me(x,y)lx, (10.16)
дев
где е — билинейная G-инвариантная форма в Vх ® Vx.
Продолжая форму е до элемента сопряженного пространства (VX<8>VX)* =
= Vx ® Vх и снова применяя лемму Шура, находим е(ж, у) = с (ж, у), где с —
ненулевая константа. В частности, е(е., еу) = с5.у, где е. (г = 1,..., пх) —
ортонормированный базис в пространстве Vх.
Полагая в (10.16) x = eit у = е; и применяя к полученному равенству
функционал ек ® е1, получаем соотношение ортогональности между
матричными элементами (10.8):
№,т$) = с6х,8«6н. (10.17)
Для вычисления константы с положим А =д, г = j, fc = /. Заметим, что
сумма чисел |т.^(^)|2 при фиксированных А, к совпадает с 1 (ввиду
унитарности матрицы (10.8)). Отсюда спх = 1, что совпадает с (10.14).
10.9. Следствие. Разложение (10.11) ортогонально относительно
скалярного произведения (10.5).
Впрочем, этот факт можно было бы доказать и непосредственно (по
аналогии с п. 10.6).
Используя соотношения ортогональности системы (10.8) при
фиксированном А, находим dim Ax = пх, что равносильно теореме Бернсайда для
модулей Vх. Отсюда следует другой вариант завершения доказательства
в п. 10.6.
Согласно (10.12), каждое представление тА группы G содержится в левом
(правом) регулярном представлении группы G с кратностью пх = dim Vх.
Заметим также, что теорему 10.8 можно рассматривать как уточнение
теоремы 9.12.
Упражнения. 1. Проверьте, что функции е^ — ^(пд)"1^ образуют
стандартный базис матричной алгебры (10.12), т. е.
e%jeki = °jkeu-
2. Положим Ах —FX(G) = FX(G) (в соответствии с (10.9)). Проверьте, что
ААУ=0 при А^/х.
[Указание: воспользуйтесь вложением Vм С (А, а) (п. 10.5), т. е. VcA^.]
10.10. Алгебра Z(A). Центральность элемента (10.1) в алгебре А
равносильна его перестановочности с базисными элементами heG, что сводится
к равенству
f(gh) = f(hg) для всех g.heG (10.18)
Соотношение (10.18) означает также, что функция / постоянна на классах
сопряженности в группе G, т. е.
J(9x9~l) = 1(х) для всех g>xeG. (10.19)
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 81
Таким образом, алгебра Z(A) совпадает с алгеброй функций (10.19).
Поскольку значения этих функций на классах сопряженности можно выбрать
произвольно, мы находим
dimZ(A) = x(G), (10.20)
где x(G)— число классов сопряженности в группе G.
С другой стороны, размерность (10.20) можно выразить в терминах G-mo-
дулей Vх (A G G). Заметим вначале, что для каждого конечномерного G-mo-
дуля (V; 7г) его характер x(5f)==tr ж(д) есть центральная функция на группе
G, т. е. xeZ(A).
В частности, каждая функция %А =trrA содержится в Z(A). Характеры
Xх (A G G) называются примитивными характерами группы G.
10.11. Теорема. Характеры хх (А € G) образуют ортонормированный
базис в алгебре Z(A). Отсюда также
card G = x(G) (10.21)
(второе тождество Бернсайда).
Доказательство. Ортонормированность системы % (А € G)
легко проверяется с использованием соотношений ортогональности (10.17). С
другой стороны, из теоремы 9.6 следует, что каждая функция / е А
разлагается в «ряд Фурье» с компонентами
/A(5) = tr(cArA(5)), (Ю.22)
где сА GEnd Vх. Очевидно, центральность функции / равносильна
центральности ее компонент (10.22). В свою очередь, центральность (10.22)
равносильна перестановочности сА со всеми операторами rx(h) (h e G).
Иначе говоря, сА е К(Vх), откуда следует (по лемме Шура) скалярность
всех матриц сА (А 6 G). Отсюда заключаем, что характеры %А (А Е G)
образуют полную систему, т. е. ортонормированный базис в Z(A).
Пример. Пусть G = Sn — симметрическая группа, определяемая как
группа подстановок множества {1,..., п}. Легко проверяется, что card Sn =
= n!, x(5n) = 2,3,5 (соответственно) при п = 2,3,4. Первое тождество
Бернсайда (10.13) принимает в этих случаях следующий вид:
2 = 1 + 1, 6=1+4+1, 24=1+9 + 4 + 9+1. (10.23)
Упражнения. 1. Проверьте, что каждая группа Sn обладает
двумя одномерными представлениями: 6(g) — 1 (тривиальное представление),
e(g) = sign g (четность подстановки д).
2. Каждая группа 5П обладает неприводимым представлением т
размерности п — 1 (в гиперплоскости хх +... + хп = 0 пространства Сп).
3. Отсюда следует также, что группа Sn обладает неприводимым
представлением г' — е®т (размерности п — 1).
Заметим, что все эти факты отражаются в тождествах Бернсайда (10.23).
Описание неприводимых представлений группы Sn в общем случае связано
82 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
со специальной комбинаторикой (диаграммы Юнга). См. по этому поводу,
например, [Ж1; Ж4; Кир].
10.12. Теорема. Элементы рх = (п>х)~1Хх> г&е Хх ==^гта (^ € ^)»
образуют ортогональное разложение единицы в Z(A), т. е.
РхР^Р^Рх = *amAi ЕРа = 1> (10.24)
для всех X.fieG. Более того, для каждого (не обязательно
конечномерного) G-модуля X равенство
Х = ®ХХ, (10.25)
где Хх=рхХ, определяет разложение модуля X на его изотипические
компоненты Хх = тх Vх.
Доказательство. Соотношения (10.24) проверяются
непосредственно из соотношений ортогональности (10.17). Отсюда также
следует (10.25), где Хх =рхХ. Помимо этого, из включения рх е Ах и
упражнения 2 п. 10.9 следует рхХ^ =0 при А фр,, откуда заключаем, что Хх есть
примитивный А-модуль типа А.
10.13. Следствие. Категория G-модулей полупроста, с простыми
объектами Vх (А е G). В частности, каждый простой G-модуль X
конечномерен и изоморфен одному из модулей Vх (А £ G).
В заключение отметим правило перехода от поля С к произвольному
полю F.
10.14. Теорема (Машке). Групповая алгебра A = F[G] полупроста
тогда и только тогда, когда характеристика р = char F не делит
порядок п = card G.
Доказательство. Если р не делит п, то каждый
конечномерный G-модуль X полупрост. Действительно, пусть У е V(X) и пусть
<р € Hom(X, Y) — произвольный оператор, равный 1 при сужении на Г.
Очевидно (из соображений размерности), что X = У фкег <р. Применяя
к оператору <р оператор усреднения р^ (п. 10.1), относительно
действия (7.18) группы G, получаем новый оператор <peHomG(X, Y), для
которого ker (p eV(X). Следовательно, модуль X полупрост. В частности,
алгебра F[G] полупроста.
Обратно, пусть р делит п, и пусть е — сумма, определенная в (10.2).
Тогда имеем е2 = пе=0. Более того, Офе € Z(A), откуда следует, что
идеал N = Ае = еА удовлетворяет соотношениям N ф 0, N2 = 0. Согласно
упражнению 2 п. 9.7, отсюда следует, что алгебра А не полупроста.
Остается заметить, что все результаты этого параграфа переносятся без
существенных изменений на поле F (при условии, что р не делит п).
Например, соотношения ортогональности (10.17) заменяются соотношениями
биортогональности для представлений тА, г .
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 83
§ 11. Системы образующих
11.1. Определение. Пусть S — одна из алгебраических структур,
определенных в § 1. Для каждого семейства e = (e.)i€/, составленного из
элементов структуры 5, пусть 5е — наименьшая «подструктура» структуры 5,
содержащая семейство е. Если S = Se, то семейство е называется системой
образующих структуры 5. В этом случае также говорят, что элементы е{
(г е I) порождают структуру 5.
Для того, чтобы сделать это определение более конкретным, рассмотрим
следующие частные случаи: (1) S — полугруппа, (2) G— группа, (3) А —
ассоциативная алгебра над полем F.
(1) Se состоит из одночленов (8.2), где ix,..., гп е I. Если S — полугруппа
с единицей, то в число этих одночленов обычно включается также
единичный элемент % = 1.
(2) Ge состоит из одночленов (8.2), порожденных семейством eUe"1, где
е"1 =(ег1)|.€/. Ясно, что Ge есть наименьшая подгруппа группы G,
содержащая семейство е.
(3) Ае есть линейная оболочка одночленов (8.2). Если А — алгебра с
единицей, то в число этих одночленов обычно добавляется единичный элемент
ео=1-
Примеры. 1. Симметрическая группа 5П (п. 10.11) порождается
транспозициями г. = (г, г + 1), где г = 1,..., п — 1.
2. Каждая система образующих полугруппы S есть также система
образующих алгебры А = F[S].
Заметим, что каждый гомоморфизм ip e Hom(5, T) в категориях (1), (2),
(3) однозначно определяется своими значениями на образующих et (г €
el). Однако, значения <р(е{) не всегда можно выбрать произвольно. Для
того, чтобы избавиться от этого ограничения, в каждой из этих категорий
вводится понятие «свободной» структуры 5.
11.2. Свободные структуры. Для каждого абстрактного семейства е =
= (ei)iei ПУСТЬ (е) — множество всех слов (8.2), включая единичное слово
во = 1. Здесь имеется в виду, что слово (8.2) есть лишь иное обозначение
конечного подмножества {г\,..., гп} с / (так что слово ео соответствует
пустому подмножеству). Операция
превращает (е) в полугруппу с единицей, называемую свободной
полугруппой с системой образующих е.
Аналогично, пусть [е] — множество всех слов (8.2), порожденных
семейством eUe""1 и следующим правилом отождествления: ае{е71Ь = аЬ для всех
одночленов а, Ь и всех г е /. Ясно, что [е] есть группа, порожденная
элементами et. (г el). Группа G называется свободной группой, порожденной
элементами е{ (i el).
Аналогично, пусть (е) — формальная линейная оболочка множества (е)
надполем F (т. е. (e) = F[(e)] в обозначениях 2.1). Операция (11.1)
продолжается по билинейности до операции умножения в алгебре (е). Полученная
84 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
алгебра (е) называется свободной ассоциативной алгеброй над полем F
с системой образующих е.
Для каждой свободной структуры 5 = (е),[е],(е) гомоморфизмы ip e
eHom(5, T) (в соответствующей категории) определяются произвольно на
элементах е{ (г € /). Действительно, для каждого набора элементов f{e T
(г € /) отображение <p(et) = /. (г € /) однозначно поднимается (по правилу
гомоморфизма) на одночлены (8.2) и их линейные комбинации (в случае
алгебр над полем F).
Полученное правило называется свойством универсальности свободных
структур в категориях (1), (2), (3) п. 11.1.
11.3. Фундаментальные соотношения. Пусть G — группа. Фиксируем
в G некоторую систему образующих е, и пусть G = [е] — свободная группа,
порожденная семейством е. Согласно свойству универсальности (п^11.2),
отображение е4 »-► е{ однозначно поднимается до гомоморфизма <р: G —> G,
накрывающего G. Отсюда
G&G/N, (11.2)
где N = ker ip — нормальный делитель группы^ G (N есть множество всех
geG, для которых <р(д) = е). Операция G*->G сводится к отождествлению
точек ж, у е G, для которых <р(х) = </?(у). Таким образом, каждая группа G
может быть записана (с точностью до изоморфизма) в виде (11.2), где G —
свободная группа.
Аналогично, пусть А — ассоциативная алгебра над полем F с
фиксированной системой образующих е. Полагая А = (е), получаем гомоморфное
накрытие <р: А -+ А, относительно которого
A&A/N, (11.3)
где N = ker <р — идеал алгебры A (N есть множество всех а€ А, для
которых <р(а) = 0). Таким образом, соотношение (11.3) определяет общий вид
(с точностью до изоморфизма) произвольной ассоциативной алгебры над
полем F.
Семейство f = (fj)jeJl состоящее из элементов fjEN, называется
системой образующих нормального делителя N, если N есть наименьший
нормальный делитель группы G, содержащий семейство^. Аналогично
определяется система образующих идеала N в алгебре А.
Согласно (11.2) (соответственно, (11.3)), группа G (соответственно,
алгебра А) однозначно определяется парой (е, /). Пара (е, /) называется
генетикой группы G (алгебры А).
Элементы /. (j е J) обычно записываются в виде «некоммутативных
многочленов» /Де) от образующих е. (г G I). Соотношения /у(е) = 1 в группе G
(соответственно, /Де) = 0 в алгебре А) называются фундаментальными
(или определяющими) соотношениями группы G (алгебры А).
Весь этот педантизм имеет существенное значение в конструктивной
теории групп или алгебр над полем F.
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 85
Примеры. 1. Как известно (см., например, [Кац]), симметрическая
группа Sn определяется соотношениями
nn + ir< = *i + ir<r< + i О1-4)
для образующих г{, определенных в п. 11.1.
2. Для каждого гомоморфизма tp: G —> Н (или tp\ А -+ В) и каждого
«некоммутативного многочлена» /(e) имеет место равенство
W/(e)) = /(v(e)), (11.5)
где <р(е) = (<р(е£))г€1 и элемент в правой части (11.5) понимается как
результат подстановки ei к-> <р(е.) в многочлен /(e).
Заметим также, что каждый гомоморфизм <р: G -+ Н (аналогично, ц>\
А—>В) однозначно определяется своими значениями на образующих е{
(iel).
11.4. Предложение. Пусть G (соответственно, А) — группа
(соответственно, алгебра) с генетикой (е, /). Отображение е{ н+ h{
(г е I) поднимается до гомоморфизма G —> Н (соответственно, А —> В)
тогда и только тогда, когда оно сохраняет фундаментальные
соотношения, т. е.
f.(h) = 1 (соответственно, /ДЛ) = 0), (11.6)
для всех j e J, в группе Н (алгебре В).
Доказательство. Согласно свойству универсальности свободных
структур (п. 11.2), отображение е{ н-> h{ поднимается до гомоморфизма е:
G-> Н (соответственно, А —> В), в обозначениях (11.2)
(соответственно, (11.3)). Для того, чтобы гомоморфизм е был однозначно определен
на классах эквивалентности в (11.2) (соответственно, (11.3)),
необходимо и достаточно, чтобы e(N) = {e} (соответственно, e(N) = 0), что
равносильно (11.6).
Пример. Пусть W — ассоциативная алгебра с единицей над полем F,
порожденная элементами а, Ь и фундаментальным соотношением [а, Ь] = 1.
Согласно (8.3), отображение а\-*д, Ъ\-*х сохраняет фундаментальные
соотношения алгебры W. Следовательно, это отображение определяет действие
алгебры W в пространстве V = F[x]. Иначе говоря, пространство V
наделяется структурой W-модуля.
11.5. Предложение. Пусть А —ассоциативная алгебра с генетикой
(е, /). Отображение ei i-> h. (iel) поднимается (однозначно) до
дифференцирования a\-*d алгебры А тогда и только тогда, когда оно
сохраняет фундаментальные соотношения, т. е.
f;(h) = 0 даявсех j e J. (11.7)
Доказательство. Если А — свободная алгебра, то отображение
е» ■-► К однозначно поднимается на алгебру А по правилу (8.10). В
частности, из (8.10) при ж = у= 1 следует Г = 0. В общем случае достаточно
воспользоваться соотношением (11.3) и заметить, что дифференцирование
86 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
a\->d алгебры А определяется на классах смежности в (11.3) тогда и
только тогда, когда N' = 0, что равносильно (11.7). Ясно также, что каждое
дифференцирование алгебры А однозначно определяется своими
значениями е[ = h{ (поскольку равенство е[ = 0 для всех г е I влечет d = 0 для
всех аеА).
11.6. Градуированные алгебры. Векторное пространство X над
полем F называется градуированным (Г-градуированным), если в нем
фиксировано разложение
x=el, (11.8)
тег
где Г — произвольное множество. Элементы х е Х1 называются в этом
случае однородными, степени deg ж = 7 (так что функция deg однозначно
определена для однородных элементов х ф 0). Подпространство Х1 называется
однородной компонентой (степени 7) пространства X.
Подпространство Y с X называется градуированным, если оно
совпадает с суммой своих однородных компонент Y^ = YnX (7 £ Г). В этом случае
факторпространство X/Y наследует градуировку (11.8), с компонентами
(X/Y)y = Xy/Yr (11.9)
Ассоциативная алгебра А называется градуированной (Г-градуирован-
ной), если А как векторное пространство обладает градуировкой Ат (7 €Г),
где Г — аддитивная полугруппа, причем
AaAficAa+fi (11.10)
для всех а, /3 е Г. В этом случае для каждого градуированного идеала N
алгебры А факторалгебра A/N градуирована компонентами Ay/Ny.
В частности, пусть А —свободная алгебра с образующими е. (г е /). В
этом случае для каждой аддитивной полугруппы Г и каждого набора
элементов 7^ € Г (г G I) соотношение deg е. =7» (i € I) однозначно определяет
Г-градуировку алгебры А, по правилу
degv.^^ + '-' + 'V (1M1)
в обозначениях (8.2). Градуировка (11.11) наследуется каждой факторалгеб-
рой (11.3), при условии, что N есть градуированный идеал алгебры А. Ясно
также, что образующие /. (j e J) идеала N можно выбрать однородными,
так что фундаментальные соотношения /. = 0 однородны.
Примеры. 1. Алгебра F[x] обладает стандартной Z+-градуировкой
(определяемой по правилу deg хп = п).
2. Алгебра W (п. 11.4) обладает Z-градуировкой, определяемой на
образующих по правилу dega = — 1, degb = 1. Действительно, фундаментальное
соотношение [а, Ь]= 1 однородно относительно этой градуировки (т. е.
определяющий идеал N алгебры W градуирован).
11.7. Полиномы. Пусть х = (х{,..., хп) — система независимых
переменных. Алгебра А = F[xu ..., хп] определяется как ассоциативная алгебра с
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 87
единицей над полем F, порожденная элементами х{ (i = 1,..., п) и
фундаментальными соотношениями
х.жу = х^ (г, j = 1,..., п). (11.12)
Очевидно, алгебра А коммутативна и натянута (как векторное
пространство) на одночлены
х« = х? ...а£», (11.13)
где а = («!,..., otn) G Z+. Покажем, что эти одночлены линейно независимы,
откуда следует, что отображение аижв определяет изоморфизм
ассоциативных алгебр
F[Zl}*A = F[Xl,...,xn]. (11.14)
Действительно, пусть ei = (0,..., 0,1,0,..., 0) с единицей на г'-м месте
(базис решетки Z"). Отображение х{ н-> е{ (г = 1,..., п) сохраняет
фундаментальные соотношения (11.12) и потому продолжается (п. 11.4) до
гомоморфизма ассоциативных алгебр A ->jF[Z"]. Поскольку образы
одночленов (11.13) при этом отображении линейно независимы, сами эти
одночлены линейно независимы и потому образуют базис векторного
пространства А. Остается заметить, что отображение х{ i-+ e{ обратно отображению
ei *""* xi (т- е-аи ха).
Таким образом, каждый элемент алгебры А однозначно записывается в
виде полинома от переменных х = (ж,,..., хп):
/(*) = £./>а, (П.15)
а
с коэффициентами fa€F. Умножение в алгебре А определяется по правилу
хахР = ха+Р (a,/3eZ;).
Полагая degx. = 1 (г = 1,..., п), получаем г+-градуировку алгебры А,
относительно которой degxa = |a|, где \а\ = ах + ... + ап.
Условимся использовать сокращенное обозначение А = F[x]9 где х =
= (&!,..., хп). Аналогично определяется алгебра A = F[x] для
произвольного семейства независимых переменных х = (х{).€1. В этом случае базисные
одночлены алгебры А записываются в виде
:*-=*««...*£>, (11.16)
где (*) = (*if •••»*»)-
Очевидно, алгебра A — F[x] обладает следующим свойством
универсальности в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над полем F:
каждое отображение xi\-^yieB (г el) однозначно поднимается до
гомоморфизма алгебр А —> В.
Примеры. 1. Положим ж = (хи ..., хп). Для каждой точки А = (А1э...
..., Лп) е Fn отображение х, »-* А. (г = 1,..., п) определяет характер А:
F[x\-^F, так что А(/) = /(А), где
/(А) = Е/„А« (11.17)
a
(в обозначениях (11.15)). Число /(А) называется значением полинома / е
eF[x] в точке XeFn.
88 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
2. Числовая функция /: X —► F в векторном пространстве X (над
полем F) называется полиномом в векторном пространстве X, если /
есть полином от координат х{ = еДя) (х € X), относительно некоторого
базиса е пространства X. Очевидно, это определение не зависит от выбора
базиса е пространства X.
Пусть Р(Х) — множество всех полиномов в векторном пространстве X.
Очевидно, Р(Х) есть алгебра (над полем F).
Упражнения. 1. Алгебра А = F[x] есть тензорное произведение
алгебр A. = F[xA:
F[x]= ®F[x{]. (11.18)
2. Если поле F бесконечно, то отображение fix) i-+/(A) (определенное
в примере 1), определяет изоморфизм алгебры F[x] с алгеброй P(Fn).
11.8. Алгебра Diff F\ Пусть Diff Fn — подалгебра в End P(Fn),
порожденная операторами х{1 di = d/dxi (г = 1,...,п), где xi рассматривается
как оператор умножения в алгебре Vn = P(Fn). Заметим, что
операторы di (г = 1,..., п) взаимно перестановочны и связаны с операторами xj
(j = 1,..., п) соотношениями коммутации
[*„<*] = *« (Н.19)
(по аналогии с (8.3)). Ясно также, что операторы di (г = 1,...,п) суть
дифференцирования алгебры Vn, определяемые по правилу
0Д*,) = ^, (11.20)
где г, j = 1,..., п. Используя соотношения (11.19) (или (11.20)), легко
проверить, что алгебра Diff Fn есть алгебра всех дифференциальных
операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве Vn.
Упражнения. 1. Пусть char F = 0. Проверьте, что одночлены
да = ф...д?1 (11.21)
где а = (а,,..., an)t линейно независимы.
2. Проверьте, что
где а! = а{\... ап! при а € Z" (а! = оо, если а. < 0 хотя бы при одном
значении i = 1,..., п).
3. Проверьте следующее тождество Лейбница в алгебре Vn:
д*Ш= £ с'д,(/)д,(д), (И.23)
0 + 7 = «
где Cf — произведение биномиальных коэффициентов С$ (г = 1,..., п).
4. Пусть ха (а eZ") —дуальная система к базису (11.13) в F[x].
Проверьте, что
*а(Л)= Е ^(/К(^)- (1124)
0 + 7 = а
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 89
[Указание: достаточно проверить (11.23), (11.24) на одночленах / = ж*, д =
= же.]
Замечание. Если char F = 0, то элементы ха связаны с
операторами (11.21) соотношениями
*«(/) = («!)-'(0«/)(О). (11.25)
§ 12. Тензорные алгебры
12.1. Алгебра Т(Х). Пусть X — векторное пространство над полем F,
Т(Х) — тензорная алгебра пространства X (п. 6.7). Для каждого базиса ei
(i GI) пространства X одночлены (8.2) совпадают с тензорными
одночленами (6.21). Из линейной независимости этих одночленов в алгебре Т(Х)
следует, что Т(Х) есть свободная алгебра с образующими ei (г е I).
Разложение (6.20) определяет Z+'Градуировку алгебры Т(Х),
определяемую на образующих по правилу degei — 1 (i el).
Известное свойство универсальности свободных алгебр (п. 11.2)
перефразируется в терминах алгебры Т(Х) следующим образом: каждое
линейное отображение X -> А, где А —ассоциативная алгебра над
полем F, однозначно поднимается до гомоморфизма ассоциативных
алгебр Т(Х)^ А.
Упражнение. Каждое n-линейное отображение Хп —► Y I в категории
VECTF) однозначно поднимается до линейного отображения Тп(Х) —* Y.
12.2. Симметрия. Пусть Sn — симметрическая группа (п. 10.11).
Операция f*-> fa, определяемая на базисных одночленах / еТп(Х) по правилу
(%..<> = е,,,...,^ (12.1)
где а е Sn, определяет в Тп(Х) структуру правого 5П-модуля. Полагая af =
= fa~l, получаем в Тп(Х) структуру левого 5П-модуля.
Заметим, что действие f *-> erf сводится к замене Д...»п на /^t..M<rtn в
разложениях
/-EA..w.-t.. <122>
(О
где f. in e F. Применяя это правило к элементам g eTn(X)* (п. 6.7),
получаем
(°f,crg) = (fg) (12.3)
для всех a G Sn, т. е. & -=-а~х, где а\-*а*— операция транспонирования
относительно формы (12.3).
Тензор / еТп(Х) называется симметрическим (соответственно,
антисимметрическим), если af = / (соответственно, af = e(a)f) для всех
а е Sn, где е(а) — sign a — характер группы Sn, определяемый на
образующих т{ (п. 11.1) по правилу е(г<) = —1.
Предположим, что char F = 0. Согласно общей теории конечных групп
(п. 10.1), оператор
а
90 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
проецирует Тп(Х) на подпространство STn(X) всех симметрических
тензоров ранга п. Аналогично, оператор
проецирует Тп(Х) на подпространство ЛТП(Х) всех антисимметрических
тензоров ранга п.
Условимся считать (не ограничивая общности), что множество
индексов I линейно упорядочено.
12.3. Предложение. Если char F = О, то элементы
^V...Ve,n=p(V.<n), (12.4)
где г{ <... ^ гп, образуют базис пространства STn(X). Аналогично,
элементы
e^A...Aein=g(V.in), (12.5)
где г, < ... < гп, образуют базис пространства КТп(Х).
Доказательство. Ясно, что STn(X) натянуто на элементы (12.4).
С другой стороны, пусть е. е X* —дуальная система к элементам е{ (г е I).
Из равенства (12.3) имеем
{pf,9) = ttpg) (12.6)
для всех /еТп(Х), деТп(Х)*. Используя (12.6), легко проверить, что
элементы е. V... V е^ (*'i < ... < О образуют дуальную систему к
элементам (12.4). Отсюда следует, что элементы (12.4) линейно независимы и
потому образуют базис в STn(X).
Аналогично, АТп(Х) натянуто на элементы (12.5). Здесь мы имеем в
виду правило антисимметричности aq = e(a)q (a G 5n), согласно которому
элемент (12.5) обращается в нуль, если хотя бы одна пара его индексов
совпадает. Имеем также
(qf,9) = (f,Q9) (12.7)
для всех feTn(X), деТп(Х)*. Повторяя предыдущие рассуждения (с
заменой (12.4) на (12.5)), находим, что одночлены (12.5) линейно независимы
и потому образуют базис в ЛТП(Х).
Пример. Пусть dim X = га < оо. Тогда имеем
UmATn(X) = C?> (12.8)
так что ЛТП(Х) ^0 только при 0 ^ п ^ т. Более того, пусть ЛТ(Х) —
сумма подпространств ЛТП(Х). Тогда имеем
dimAT(X) = 2m. (12.9)
12.4. Алгебра S(X). Пусть / — идеал алгебры Т(Х), порожденный
элементами ху — ух, где х,уеХ. Факторалгебра
S(X) = T(X)/I
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 91
называется симметрической алгеброй пространства X. Поскольку / —
градуированный идеал, имеем
S(X)= ®Sn(X),
n = 0
где Sn(X) — компонента однородности степени п в алгебре S(X).
Пространство Sn(X) называется n-й симметрической степенью
пространства X.
Заметим, что для каждого базиса е = (е{)>€/ пространства X идеал I
порождается элементами eiej — е-е{. Отсюда ясно, что отображение е{ н-+
»-► х{ (г е I) определяет изоморфизм алгебры S(X) с алгеброй F[x], где
ж = (ж.).е/. В частности, алгебра S(X) коммутативна, и одночлены (8.2),
где ij ^ ... ^ гп, образуют базис векторного пространства S(X).
Согласно предложению 12.3, отсюда получаем (при char F =0)
изоморфизм векторных пространств
Sn(X)*STn(X).
А именно, этот изоморфизм определяется по правилу е, л ие, V...Vei
при ц < ... < гп.
Умножение в алгебре S(X) иногда обозначается символом / V д. В этом
смысле одночлен (8.2) отождествляется с (12.4).
Заметим, что алгебра S(X) обладает свойством универсальности в
категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над полем F. А именно,
каждое линейное отображение X —> А однозначно продолжается до
гомоморфизма коммутативных алгебр S(X) —> А.
Примеры. 1. Каноническое отображение X —> X** (п. 2.7) определяет
изоморфизм коммутативных алгебр
S(X)«P(X*). (12.10)
2. Пусть (•, •) — невырожденная билинейная форма в конечномерном
векторном пространстве X. В этом случае пространство X отождествляется
с X* (с канонической формой (•, •)) и (12.10) переписывается в виде
S(X)«P(X). (12.11)
Упражнения. 1. Полилинейное отображение у>\ Xn-+Y
называется симметрическим, если оно инвариантно относительно подстановок
аргументов (ж.,..., хп) Е Хп. Проверьте, что каждое такое отображение
однозначно продолжается до линейного отображения Sn(X) —► Y.
2. В частности, равенство
flV...Vfu=p(fl9...9fn)
определяет вложение Sn(X*) в Sn(X)*. Если dimX <oo, то это вложение
есть изоморфизм, т. е.
sn(*r«sn(x-).
92
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
12.5. Алгебра А(Х). Пусть J — идеал алгебры Т(Х), порожденный
элементами ху + ух, где ж, у е X. Факторалгебра
A(X) = T{X)/J
называется внешней алгеброй (или алгеброй Грассмана)
пространства X. В этом случае (по аналогии с п. 12.4) имеем также
А(Х)= @Ап(Х).
71=0
Умножение в алгебре А(Х) обычно обозначается символом (/, g)*-+f A
А д (и называется внешним умножением в А(Х)). Элементы feAp(X)
называются р-векторами (поливекторами ранга р) над пространством X.
Компонента Ар(Х) называется р-й внешней степенью пространства X.
Для каждого базиса ei (i e I) пространства X алгебра А(Х)
порождается элементами et и соотношениями е-еу + e;et. =0. В частности, 2е. Л е( =
= 0, откуда е( А е{ = 0 при char F ф 2. Если char F = О, то соответствие
е.\...г *■* ег. Л • • • л ev Где *i < • • • < *п» определяет изоморфизм векторных
пространств
ЛП(Х)«ЛТП(Х).
В частности, из (12.9) при га = dim X < оо следует
dimA(X) = 2m.
Упражнения. 1. Пусть char F = 0. Векторы х{е X (г = 1,..., п)
линейно независимы тогда и только тогда, когда
ж,Л,..Лз;п^0. (12.12)
[Указание: если векторы х{ линейно независимы, то они включаются в
некоторый базис пространства X, так что (12.12) есть один из базисных
одночленов в Ап(Х).]
2. Фиксируем базис е{ (г € I) пространства X, и пусть
где г = 1,..., п. Проверьте, что координаты вектора хх А ... Л хп в
базисе (12.5) суть миноры порядка п матрицы х = (ж{>), где j € J.
3. Проверьте (по аналогии с п. 12.5), что равенство
/^...ЛД^^®...®/»)
определяет вложение Ап(Х*) —> ЛП(Х)*. Если dim X < оо, то это вложение
превращается в изоморфизм
ЛП(Х)*«ЛП(Х*).
12.6. Супералгебры. Алгебра А над полем F называется
супералгеброй, если она обладает г2-градуировкой А{ (г = 0,1), так что
А0А<сА{, А{А0сА„ Аг?сА0, (12.13)
где г = 0,1 (элементы циклической группы Z2 = Z(mod 2)).
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 93
В частности, А0 есть подалгебра алгебры А, А{ есть А0-бимодуль.
Элементы х е AQ (соответственно, хеАх) называются четными
(соответственно, нечетными) элементами алгебры А. Функция p(x) = degx
(определенная для однородных элементов хфО) называется функцией четности
в алгебре А.
В частности, пусть А —ассоциативная супералгебра над полем F. Для
каждой пары однородных элементов а, Ь е А элемент
[а, Ь] = аЪ- (-l)*Wrt*>ba (12.14)
называется суперкоммутатором элементов а, Ь. Операция (12.14)
продолжается однозначно (по билинейности) до умножения в пространстве А.
Элемент (12.14) совпадает с обычным коммутатором в алгебре А в том
случае, когда либо а, либо Ь есть четный элемент. Если же оба элемента
а, Ь нечетны, то [a, b] = ab + Ъа (антикоммутатор в алгебре А).
Супералгебра А называется коммутативной (или
суперкоммутативной), если [a, b] = О для всех а, Ь еА.
Примеры. 1. Алгебра Грассмана А(Х) есть коммутативная
супералгебра относительно градуировки deg е{ = 1 (т. е. все элементы е{ считаются
нечетными).
2. Пусть F[x, f ] — ассоциативная алгебра с единицей, порожденная
элементами х = (жп ..., хп), £ = (f J,..., f m) и соотношениями
xixi = а^, ж.£а = £аж., £а^ + £fi£a = 0, (12.15)
где г = 1,..., п, а = 1,..., га. Ясно, что F[x, £1 есть коммутативная супе-
ралгебра относительно градуировки deg х{ = 0, deg £Q = 1.
3. Для каждого векторного пространства X = Х0@ХХ пусть S(X) —
ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами хеХ и
соотношениями
[ж, у] = 0, где degz = e при хеХе (е=0,1). (12.16)
Здесь имеется в виду суперкоммутатор (12.14) в тензорной алгебре Т(Х).
Согласно этому определению, S(X) есть коммутативная супералгебра
(называемая симметрической алгеброй суперпространства X).
Упражнение. Проверьте, что F[x, f ] есть тензорное произведение
F[x] <8> F[£]. Аналогично,
S(X) = S(X0)®A(X{), (12.17)
в обозначениях примера 2.
12.7. Алгебра Клиффорда. Пусть <р — квадратичная (F-значная)
форма в векторном пространстве X. Алгебра Клиффорда К(Х, <р)
определяется как факторалгебра Т(Х) по идеалу N^, порожденному элементами
х2 - (р(х) • 1 (х € X). Иначе говоря, К(Х, ip) есть ассоциативная алгебра с
единицей, порожденная элементами х £ X и соотношением
(р(х) = х2 для всех х е X. (12.18)
94 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
В этом смысле К(Х^<р) есть расширение поля F (в категории
ассоциативных алгебр над полем F), в котором допустимо «извлечение квадратного
корня» (12.18) из формы <р(х).
В частности, пусть X — конечномерное векторное пространство с
базисом е{ (i = 1,..., га) и квадратичной формой
<р(х) = x? + ... + xl
В этом случае алгебра К(Х, <р) обозначается Кп. Соотношение (12.18)
переписывается в виде
(ххех + ... + хтет)2 = х? + ... + х2т
для всех х{ е F, что равносильно
е<е, + е,е<=0 при гф], е? = 1. (12.19)
Если char F ф 2, то эти соотношения записываются в виде
е<е. + е^=2^, (12.20)
для всех г, j = 1,..., га.
Отсюда ясно, что Кп есть ассоциативная алгебра с генетикой (12.19)
(или (12.20)). Соотношения degeo = 0 (% = 1), deget. = 1 (г = 1,..., т)
определяют Z2-гpaдyиpoвкy алгебры Кт. Легко проверяется (см.,
например, [Ше]), что одночлены (8.2) при ix < ... < in (n ^ га), включая ^ = 1,
образуют базис векторного пространства Кт. В частности,
dimii:m = 2m.
Если v? = 0, то алгебра К(Х, р) превращается в алгебру Грассмана Л(Х).
12.8. Предложение. Если га четно, то алгебра Кт проста, Z(Km) =
= Feo. Если т нечетно, то Z(JRTm) = Fe0©Fe0, где e0 = ei n. Более того,
в этом случае имеем при п = ^т(т + 1):
(а) Если (-1)" не есть квадрат в поле F, то алгебра Кт проста.
(Р) Если (-1)" = j2, то алгебра Кт есть прямая сумма идеалов рКт,
QKm, где
Р = 2 (% + 3%), Ч = 5 (^ - ^о)-
Несложное доказательство этого утверждения можно найти в [Ше].
Упражнение. Для каждого подмножества А = {»п ..., гп} в {1,...
..., га}, где »!<...<*„, положим еА = е^ ^. Проверьте, что умножение в
алгебре Кт определяется по правилу
еАев=Р(А>в)еАьв>
где А Л В — симметрическая разность множеств А, В, р(А, В) — функция
четности, принимающая значения ±1. Найдите явный вид функции р(А, В).
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 95
§ 13. Формальные ряды
13.1. Определение. Формальным степенным рядом (над полем F) от
набора независимых переменных х = (жи ..., хп) называется бесконечный
ряд
/(*) = Е/«*в. (13.1)
а
определяемый произвольным набором коэффициентов faeF (т. е.
функцией Z+—> F). Здесь ха означает одночлен (11.13) и суммирование ведется
по индексам а е Z+.
Таким образом, (13.1) есть лишь иная форма записи для функции а ь-*
*-+ /a(Z+ —► F). Множество -Р[[ж]] всех рядов (13.1) рассматривается как
векторное пространство (с покомпонентными операциями), так что F[x]
отождествляется с подпространством в F[[z]], состоящим из конечных
рядов (13.1).
Существенно, что операция умножения, определенная в F[x],
естественно продолжается до умножения в F[[z]], так что jP[[x]] становится алгеброй
над полем F. Действительно, умножение f = gh в алгебре F[x]
определяется в терминах коэффициентов (13.1) как частный случай свертки (7.12), т. е.
/а= £ 9„К (13-2)
0 + 7 = а
Произведение (13.2) имеет локальный характер, т. е. сумма (13.2) конечна
для каждой пары рядов #, h e F[[x]]. Поэтому (13.2) определяет умножение
в F[[x]]. Очевидно, алгебра F[[x]] ассоциативна, коммутативна и содержит
единицу х° = 1. Соответствующий коэффициент /0 называется свободным
членом ряда (13.1).
Группируя в (13.1) одночлены фиксированной степени \а\ = т, получаем
интерпретацию ряда (13.1) как формальной суммы
/(*)=£/„(*). (13.3)
ш = 0
где fm(x) € Fm[x] — однородный полином степени т. Здесь семейство
однородных полиномов fm (m e Z+) можно выбрать произвольно. В этом смысле
F[[x])= f[ Fm[x] (13.4)
го = 0
(декартово произведение подпространств -Рт[ж]).
Аналогично определяется алгебра -Р[[ж]] для произвольного семейства
независимых переменных х = (х{){е1. В этом случае базисные одночлены
в ^[[ж]] записываются в виде (11.16).
13.2. Топология в ^[[ж]]. Положим для краткости XQ = F[x], X =
= F[[x]]. Для каждого O^feX определим число u>(f) как наименьшее
из чисел р, для которых / ^0 в (13.3). Положим также ш(0) = оо, и пусть
Np = {feX:u>(f)>P}> (13.5)
так что N^ = 0. Семейство (13.5) выбирается в качестве базы
окрестностей нуля в пространстве X. Соответственно, каждая точка feX
96 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
наделяется окрестностями f+Np. Сходимость fi -+/ в этой топологии
означает, что ш(/{ — /) —> оо.
В частности, пусть sp (peZ+)— частичная сумма ряда (13.3),
определяемая как сумма элементов (13.1) при 0< |а| ^р. Тогда имеем f — sp€Np+l,
т. е. sp—>/. Следовательно, каждый ряд (13.1) сходится в топологии
пространства X. В этом смысле Х0 всюду плотно в X.
Здесь мы используем «наивный» подход к топологическим терминам. Для
читателя, не знакомого с элементами общей топологии, описание этих
терминов приводится в § 23. Отметим также (в качестве упражнений)
следующие утверждения относительно алгебры X.
(а) Пространство X полно, т. е. в нем всякая фундаментальная
последовательность (или даже направленность) сходится.
Последовательность fneX называется фундаментальной, если w(fn-fm)^P при
п,т^ ^Ор).
(/3) Np есть идеал алгебры X.
(7) Умножение в алгебре X непрерывно (по совокупности перемен-
ных). Иначе говоря, если fn -> /, gn^> g, то fngn -* fg.
Заметим также, что формула Лейбница (11.23) продолжается (по
непрерывности) с алгебры Х0 на алгебру X.
13.3. Двойственность. Для каждого полинома / е Х0 определим
дифференциальный оператор / как результат подстановки х{ *->д{в полином /(ж),
/ = £/.«", (13.6)
а
где да определяется равенством (11.21). Полагая
(/,0) = (М>, (13.7)
получаем билинейную форму в алгебре Х0. Используя (11.22), находим
(х«,х*) = а\6а0 (13.8)
для всех а, /3 eZ". Отсюда следует, что форма (13.8) симметрична (в общем
случае) и невырождена при char F = 0.
Согласно (13.8), однородные компоненты алгебры Х0 ортогональны
относительно формы (13.7). Отсюда ясно, что форма (13.7) продолжается на
декартово произведение XQx X (либо на X х Х0).
Действительно, если / е Х0, g € X, то форма (13.7) отлична от нуля лишь
на конечном числе однородных компонент gm (га e Z+), так что (/, д)
определено. Аналогично, если /еХ,деХ0,то действие / сводится к конечной
сумме, т. е. число (/, д) также определено.
Упражнения. 1. Если char F = 0, то равенство (13.7) при / е Х0,
деХ определяет общий вид линейного функционала в Х0, т. е. Х£ = X.
Билинейные формы (13.7) в пространствах XQ = F[x], Y0 = F[y], ZQ = F[x, у],
где х = (ж,,..., хп), » = (»!,..., ут) связаны соотношением
(f®g)(h®k) = Uh)(g,k), (13.9)
относительно интерпретации Z0 = Х0 <g> Y0.
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 97
2. В частности, пусть п = га. Оператор А: Х0 —> ZQt (Д/)(х, у) = f(x + у)
сопряжен к операции умножения в алгебре Х0, т. е.
(аЬ,/) = (а®Ь,А/) (13.10)
для всех а, be XQ, f G ZQ.
3. Соотношение (13.10) продолжается (по непрерывности) на элементы
а,ЬеХ (/€ Х0) либо на элементы f е X (a,b€ Х0).
13.4. Правило подстановки. Пусть X = F[[x]], 5^=[[у]], где ж = (ж15...
• • •» #«)» У = (Ун • • •! Ут) — независимые переменные. Фиксируем / е F, и
пусть £ = (flfj,..., дт) е Хт — некоторый набор формальных рядов.
Естественно попытаться определить формальный ряд f(g) как результат
подстановки у{ н-* gi (iI = 1,..., га) в формальный ряд /(у).
Если / — полином, то эта задача разрешима. А именно, f(g) есть
линейная комбинация одночленов
5а = 5Г •..<£". (13.11)
Однако, если / — бесконечный ряд и хотя бы один из рядов д. имеет
ненулевой свободный член, то существует бесконечное число одночленов да с
ненулевым свободным членом. В этом случае вычисление свободного члена
ряда f(g) сводится к суммированию счетных (не обязательно сходящихся)
рядов.
С другой стороны, если и>(д{) ^ 1 для всех г = 1,..., га, то ряд f(g)
корректно определен. Действительно, в этом случае f(g)Q = /0, линейные
члены ряда f(g) суть линейные комбинации элементов да при \а\ — 1,
квадратичные члены ряда f(g) суть линейные комбинации элементов да при
|а| = 1,2 и т. д. Соответственно, все члены ряда f(g) корректно
определены, f(g)eX.
Таким образом, подстановка у. н+ д. (г = 1,..., га) в произвольный ряд
f eY корректно определена лишь в том случае, когда ш(д{) ^ 1 для всех г
(т. е. gi — ряды без свободного члена).
Примеры. 1. Положим char F = 0 и рассмотрим следующие ряды от
одного независимого переменного х:
(1-х)-1=£х«, ехрж=£^, 1п(1-х)=££. (13.12)
п=0 п=0 ' п=1
Здесь в последнем случае имеется в виду подстановка ряда д = 1 — ехр х
(без свободного члена) в ряд f(y) = ln(l — у).
13.5. Критерий обратимости. Покажем, что формальный ряд (13.1)
обратим в алгебре X тогда и только тогда, когда его свободный член отличен
от нуля.
Действительно, из равенства fg = 1 в алгебре X следует /0gQ = 1, откуда
/о» 9о Ф 0- Обратно, если /0 ф 0, то / = /0(1 - h) в алгебре X, откуда
/-w0-4i-fc)-Wo-lf>n.
п = 0
8 Зак. 184
98 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
13.6. Тензорные произведения. Для каждой пары декартовых
произведений векторных пространств
х = П*„ г = пъ (13.13)
* 3
(в категории VECTF) определим их полное тензорное произведение по
правилу
X®Y = l\Xi®Yr О314)
Применяя это правило к декартовым произведениям (13.4) в случае X =
= ^[[ж]], Y = ^[[у]], заметим, что однородные компоненты алгебры Z =
= F[[x, у]] определяются по правилу
Fm[x,y}= П F,[x]®Ft[y].
Суммируя эти равенства по т е Z+f получаем полное произведение
вида (13.14). Отсюда заключаем, что
Z = X®Y (13.15)
Полученное равенство можно интерпретировать следующим образом. Для
каждого кольца R пусть R[x] (соответственно, #[[ж]]) — кольцо полиномов
(соответственно, формальных рядов) (13.1) с коэффициентами fa€R. Тогда
соотношение (13.15) означает, что
X[[y)] = Z = Y[[x]). (13.16)
Упражнение. Для каждой пары независимых переменных х, у имеем
ехр(х + у) = ехр х • ехр у
в алгебре F[[x, у]].
13.7. Дифференцирования. Напомним (п. 13.3), что каждый
оператор д{ (г = 1,..., п) однозначно поднимается на формальные ряды (13.1),
т. е. на алгебру X.
Заметим также, что u)(dj) ^ u{(f) - 1 для всех / е X. Отсюда следует,
что правило дифференцирования (8.10) продолжается (по непрерывности)
на элементы fcgeX, т. е. каждый оператор д{ есть дифференцирование
алгебры X.
13.8. Теорема. Положим char F = 0. Тогда для каждого формального
ряда f e X выполняется следующий аналог формулы Тейлора (в алгеб-
реХ[[у)]):
fix + y) = Е(<х<)-1Ш)(х)у°. (13.17)
а
В частности, линейная часть (дифференциал) формального ряда f
записывается в виде п
#<* у) =£№/)(*)%- (13.18)
1 = 1
Доказательство. Заметим, что билинейная форма (13.7) обладает
следующим свойством «контравариантности»:
mg) = (f,xi9) (13.19)
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 99
для всех г = 1,..., п. Запишем f(x + у) в виде суммы ряда с элементами
fa(x)ya. Используя (13.10), (13.19), находим
(в./, Я) = (/, *а9) = (А/, 9 в Г) = £(/„ *)(У, 2/0-
Применяя к правой части соотношения ортогональности (13.8), получаем
Ш,д) = а\(/а,д)
для всех д е Х0. Из невырожденности формы (•, •) получаем
daf = a\fa, (13.20)
что равносильно (13.17).
Упражнение. Докажите, что формула Тейлора в виде (13.20)
выполняется над произвольным полем F. [Указание: вместо формы (13.19)
используется каноническая билинейная форма в X х X* и операторы да
заменяются элементами ха €Х*, дуальными к системе ха (п. 11.8).]
Замечание. Применяя формулу Тейлора (13.17) при п = 1, получаем
функциональное исчисление класса -F[[z]] в алгебре End V при dim V < оо
(п. 4.5).
13.9. Системы уравнений. Мы будем рассматривать следующие
системы уравнений в алгебре Z = F[[x, у]]:
/,tey(*)) = Of (13.21)
где /. G Z (г = 1,..., га) — система рядов без свободного члена, у(х) еХт —
система неизвестных рядов без свободного члена. Элемент
J(/) = det(a,/,)6Z (13.22)
называется якобианом системы (13.21).
Система (13.21) называется невырожденной, если ее якобиан обратим,
что равносильно (п. 13.5) условию («7/)0^0.
13.10. Теорема. Каждая невырожденная система (13.21) имеет
единственное решение у(х) = (у{(х),..., ут(х)).
Доказательство. Из условий на свободные члены получаем
следующий вид рядов f.:
Мъу) = /Ах) + 12Мх)ул + я(х,у), (13.23)
3
где /Дж) — ряды без свободного члена, &(ж, у) разлагается по
одночленам уа при |а| ^2. Из условия (J/)0 = det(/iJ(0))^0 следует, что матрица
f — ifij) обратима. Умножение на /_1 приводит (13.21) к эквивалентной
системе, в которой fi;j(x) = 6{j. В этом случае (13.21) переписывается в виде
fi(x) + yi(x)^hi(x9y(x))t (13.24)
где 1г{(х,у) разлагается по одночленам уа при |а|^2. Соответственно,
и(к((х, у(х))^2. Разлагая (13.24) по степеням однородности, находим, что
8*
100 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
компонента однородности степени р ряда у{(х) есть полином от компонент
однородности степени ^ р - 1 рядов у3(х). В частности, yi0(x) = -fi0(x)
(г = 1,..., n).
Таким образом, (13.24) сводится к системе рекуррентных соотношений
для однородных компонент ряда у(х). Отсюда следует, что решение у(х)
системы (13.21) существует и единственно.
13.11. Сходящиеся ряды. Положим F = R или С. Ряд f(x) e X
называется сходящимся в точке А Е Fn, если ряд /(А), получаемый из f(x)
подстановкой х{ н-* А^ (г = 1,..., п), сходится. В этом случае /(А)
называется значением ряда f(x) в точке А.
Формальный ряд f(x) называется сходящимся, если он сходится в
некоторой окрестности точки 0е Fn. В этом случае ряд f(x) сходится в
некотором полицилиндре Р(г), выделяемом соотношениями |AJ ^ г (г = 1,..., п).
Отсюда следует, что коэффициенты (13.1) ряда f(x) удовлетворяют оценке
|Д|г'в><М, (13.25)
с некоторой константой М (М^О). Обратно, если условие (13.25)
выполняется, то ряд (13.1) сходится в открытом полицилиндре Р0(г)сР(г),
выделяемом соотношениями |Ai|<r(i = l,...,n). Более того (по лемме Абеля),
ряд / сходится равномерно в каждом полицилиндре Р(г') при г' < г.
В этом случае функция A i-+/(A) аналитична (над F) в
полицилиндре Р0(г).
Рассмотрим в качестве иллюстрации следующую задачу Коши в алгебре
X = F[[x]], где х = (х{,..., хп):
x'(t) = f(x(t)), *(0) = 0, (13.26)
где f(x)eXn, x(t)eF[[t]]n — система неизвестных рядов с нулевыми
свободными членами.
13.12. Теорема. Если char F =0, то система (13.26) имеет
единственное решение. Если F=R,Cu ряд f e Хп сходится, то ряд x(t) также
сходится (в некоторой окрестности точки t =0).
Доказательство. Положим
k a
где хкУ fa e Fn (xq = 0). Система (13.26) принимает следующий вид:
что сводится (приведением коэффициентов) к системе рекуррентных
соотношений
kxk=Pk{fa,*r), (13-27)
гДе Рк — однозначно определенные полиномы с коэффициентами из Z+ от
переменных /eJ хг при г, |а| < к -1. Отсюда заключаем, что решение
системы (13.26) существует и единственно.
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 101
Допустим, что ряд /(ж) сходится, так что его коэффициенты
удовлетворяют оценке (13.25). Изменяя, если надо, масштаб параметра t, можем
считать, что М= 1. В этом случае ряд f(x) мажорируется (почленно) рядом
5(я) = Е(9*Г=П(1-<№)-',
а » = 1
где g = l/r. Пусть ук —аналог хк при замене f(x) на д(х). Используя
указанные свойства полиномов (13.27), получаем
фк\^РЛяИ,Уг) = кук,
откуда следует, что ряд x(t) мажорируется аналогичным рядом y(t) с
коэффициентами ук.
Легко проверяется, что решение y(t) системы (13.26), где / заменяется
на д, имеет вид (£(£)> • • •» f (0)> гДе £(*)— решение задачи Коши
£'(*) = (!-tf(t)r, £(0) = о.
Полагая r](t) = (l — q£(t))n+lt получаем 7]'(t) — —(n + l)g, r/(0)= 1, т. е.
rj(t)=l —(n + l)t. Соответственно, функция y(t) аналитична при малых
£, скажем, при \t\ ^ 6. Но тогда и функция x(t) аналитична при \t\ ^ 6.
§ 14. Алгебры Вейля
14.1. Определение. Алгеброй Вейля (ранга п) над полем F называется
ассоциативная алгебра W с единицей, порожденная элементами а,., Ь{ (г =
= 1,..., п) и соотношениями коммутации
К,«у] = [ь.У=о, fc, *,] = *«,, (ИЛ)
где г, j = 1,..., п. Используя эти соотношения, легко проверить, что
каждое слово от образующих алгебры W содержится в АВ (аналогично, В А),
где А (соответственно, В) — подалгебра с единицей, порожденная
элементами а{ (соответственно, Ь{). Отсюда
W = AB=BA. (14.2)
Соотношения (14.1) однородны относительно каждой градуировки,
удовлетворяющей условию dega. +degfo. =0 (случай i = j в (14.1)). В
частности, алгебра W обладает Z-градуировкой, определяемой на образующих по
правилу
dega, = -l, degb. = l. (14.3)
Подстановка a. = bit Ь. = —а{ сохраняет соотношения (14.1) и потому
однозначно продолжается до автоморфизма жи х алгебры W. Подстановка
d{ = Ь{, Ь[ = а{ изменяет порядок сомножителей в (14.1) и потому однозначно
продолжается до антиавтоморфизма алгебры W.
102 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Положим V = F[x{,..., жп], и пусть х{, д{ — операторы, определенные в
п. 11.8, так что xi рассматривается как оператор умножения в алгебре V.
Согласно (11.19), операторы
Ъ=д{, Ь{ = х( (14.4)
удовлетворяют соотношениям (14.1). Отсюда заключаем, что алгебра W
действует в пространстве V операторами (14.4), так что образ W
содержится в алгебре Diff Fn (п. 11.8).
Мы уже рассматривали частный случай алгебры W при п = 1 (п. 11.4).
Повторяя почти дословно рассуждения, приведенные в п. 8.3 (пример 2),
находим, что V есть простой И^-модуль.
Таким образом, алгебра Вейля W имеет определенную связь с
основными операциями алгебры и анализа в Fn. Помимо этого, соотношения (14.1)
существенно связаны с основами квантовой механики (операторы
координаты и импульса, операторы рождения и уничтожения в теории элементарных
частиц). Соотношения (14.1) обычно называют каноническими
коммутационными соотношениями квантовой механики.
Мы будем рассматривать алгебру W в качестве классического объекта
для иллюстрации общих методов теории ассоциативных алгебр.
Упражнения. 1. Пространство V с градуировкой deg х{ = 1 (г = 1,...
..., п) есть градуированный ТУ-модуль, т. е.
WpVqcVp+q (14.5)
для всех p,qeZ(Vp = 0 при р <0).
2. Положим с = ]С Ь,а». Тогда имеем:
а<с = (с + 1)а-, 6.с = (с-1)Ь-. (14.6)
3. Подпространство Vp совпадает с ker(c - p). В частности, V0 есть
множество всех решений системы уравнений а{х = 0 в пространстве V, где
г = 1,..., п.
4. Имеет место равенство
W=®W{, (14.7)
i — 1
где W{ —алгебра Вейля ранга 1, порожденная элементами ai% b{ при
фиксированном г.
5. Алгебра W не имеет конечномерных модулей X Ф 0.
Отметим указание к упражнению 5: достаточно вычислить след
соотношений (14.1) в конечномерном W-модуле Х.
14.2. Теорема. Пусть W —алгебра Вейля над полем F, где char F = 0.
Тогда имеем:
(а) Отображение х{ н-* а{ (соответственно, х{ »-* Ь.) определяет
изоморфизм ассоциативных алгебр V« А (соответственно, 7«В).
(/?) Каждое из разложений (14.2) свободно, т. е. отображение х®у*-+
н-» ху определяет изоморфизм векторных пространств
W&A®BttB®A. (14.8)
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 103
(7) Действие алгебры W в пространстве V определяет изоморфизм
ассоциативных алгебр
WnD№Fn. (14.9)
В частности, V есть простой точный W-модуль.
Доказательство. Пусть аа (соответственно, Ьа) — образ
одночлена ха при отображении х{ ь+ а{ (соответственно, х{ н-> bt). Напомним
(п. 11.8), что одночлены аа, Ьа линейно независимы в End V. Тем более
эти одночлены линейно независимы в алгебре W. Отсюда следует (а), (7).
Мы докажем первую часть (14.8), если проверим, что каждое разложение
f = Ef«ba
а
с коэффициентами fa e А однозначно. Для этого рассмотрим систему
дифференцирований 6(х = [а{} х] в алгебре W. Заметим, что
4(A) = 0, «,(ft,) = V
Сопоставляя это правило с (11.20), находим, что оператор <5t в алгебре В
совпадает с оператором д{ при отождествлении V = В. Отсюда (по аналогии
с алгеброй V) получаем
*!/« = *./ (14.10)
для старшего члена fa полинома /, относительно лексикографической
упорядоченности индексов а = (а1э..., ап) (а < (3, если а{ < /3{, либо ах == /Зр
но а2< /32 и т. д.). Поэтому равенство / = 0 возможно только при fa = 0
для всех a G Z".
Применяя инволюцию ян-* ж (п. 14.1), получаем также второй вариант
изоморфизма (14.8).
Поскольку в этих рассуждениях использовались только коммутационные
соотношения (14.1), мы находим, что аналог (14.8) выполняется в
алгебре Diff Fn. В частности, одночлены хад& линейно независимы — и потому
образуют базис векторного пространства Diff Fn. Отсюда следует точность
действия (р: W—>Diff.Fn, т. е. изоморфизм (14.9).
Упражнение. Докажите, что V = В • 1 — свободный В-модуль (с
единственной образующей 1), так что алгебра В действует свободно в
модуле V. Последнее означает, что равенство Ьж = 0, где Ъ е В, х е V, возможно
только при 6=0 либо х = 0.
14.3. Теорема (char F = 0). Алгебра Вейля W проста, Z(W) = F • 1.
Доказательство. Пусть J — идеал алгебры W. В частности, 8i (I) С
С / (г = 1,..., п). Применяя (14.10) к элементу / Е /, получаем fael (для
старшего члена полинома /). Поэтому каждый идеал I фЬ содержит
ненулевой элемент аеА. Применяя инволюцию жижк идеалу I ^0, находим,
что / содержит также ненулевой элемент be В. Еще раз применяя (14.10)
к полиному / = Ь, получаем 1 е /, т. е. / = W. В результате V(W) = {О, W},
т. е. алгебра W проста.
Напомним (п. 14.1), что компонента V0 = F -I совпадает с kerc (в
обозначениях (14.6)). Отсюда ясно, что V0 инвариантно относительно действия
104
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
центральных элементов z e Z(W). Следовательно, z • 1 = X(z) • 1 (А
—характер алгебры Z(W)). Но тогда для каждого x = b-leV(beB) имеем
zx = zb • 1 = Ь • z\ = A(z)x,
т. е. z = A(z) во всем пространстве V. Поскольку V есть точный W-модуль
(п. 14.2), z = А (г) • 1 также и в алгебре W.
Замечание. Алгебра Вейля W проста, но не примитивна, т. е. она
не примитивна (и даже не редуктивна) как левый или правый W-модуль.
Упражнения. 1. Пусть W — подалгебра в End W, порожденная
операторами Ъ0 6- (г = 1,..., п). Проверьте, что W есть примитивный
W-модуль (относительно разложений (14.8)).
2. Проверьте, что алгебра W изоморфна алгебре W.
14.4. Допустимые модули. Условимся говорить, что W-модуль Х
допустим, если семейство а = (а1?..., ап) действует в нем локально нильпо-
тентно, т. е.
аах — 0 при \а\^Пъ(х), (14.11)
для всех х е X. В частности, (14.11) выполняется при X = V (п. 14.1), т. е.
модуль V допустим.
Для каждого W-модуля X подпространство Хв = кега, т. е.
Ха = {хеХ: аж = 0}, (14.12)
называется экстремальным (или вакуумным) подпространством
модуля X.
Если X Ф 0 — допустимый W-модуль, то ХафО (что легко выводится
из (14.11)).
Упражнения. 1. Если X — допустимый W-модуль, то все его
подмодули и фактормодули допустимы.
2. Обратно, если модуль X содержит допустимый подмодуль Х0 с
допустимым фактормодулем Х/Х0, то модуль X допустим.
14.5. Теорема. Каждый допустимый W-модуль Х кратен простому
модулю V: X = nV (n — кардинальное число). Иначе говоря, категория
допустимых W-модулей мономиальна, с единственным простым
объектом V.
Доказательство. Пусть X — простой допустимый W-модуль. Тогда
имеем Ха Ф 0 и для каждого 0фх^еХа имеем
Х = Wxq^BAxq^Bxq
(поскольку Axq = Fxq). Аналогично, V = В • 1, причем представление х = b• 1
(beВ) в модуле V однозначно (п. 14.2). Поэтому отображение <р(Ь-1) = Ьяо
корректно определено. Заметим, что
^(Ьг^) = ^(^Ь1) = Ь,ЬаЪ = Ь1^(х) (14.13)
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 105
для каждого х = Ъ • 1 (be В). Заметим также, что аДЬа^) = ^(Ь)а^. Отсюда
<р(а{х) = <р(*<(Ь) -1) = 5ДЬК = а^(я). (14.14)
Согласно (14.13), (14.14), отображение <р: V —> X есть гомоморфизм
W-модулей, накрывающий X. Имеем также ker tp = 0 (поскольку V —
простой модуль). В результате У«Х.
В общем случае положим Y = WXa, так что Y есть сумма простых W-mo-
дулей Wx « У, где 0 ^ ж е Ха. Соответственно, У = пУ, где п = dim Ха.
В частности, У обладает г+-градуировкой К = nV. Остается показать,
что X = Y.
Если X фУ, то (X/Y)aф0, и это означает, что существует вектор а^,
не входящий в У, для которого а.^ЕУ (г = 1,..., п). Полагая у = cxq (в
обозначениях (14.6)), находим y€Y. Разлагая вектор у по однородным
компонентам ур € Y, напомним (п. 14.1), что сур=рур. Поэтому
подпространство оо
Z = Fx0®Fy0®j:Fyp (14.15)
p = i
инвариантно относительно оператора с. Заметим, что оператор с обратим
в последней компоненте Zx разложения (14.15) и нильпотентен в фактор-
пространстве ZjZx. Поэтому вектор a^(mody) можно выбрать так, чтобы
ур=0 при рфО (теорема 3.4). В этом случае са^ = %, откуда аДса^) = 0
(г = 1,..., п). Применяя (14.6), получаем
(с + 1)а.а% = 0, т. е. с(а<аъ) = -а,^.
Однако, Х_х = 0. Поэтому ata^ = 0 (г = 1,..., п). В результате x^eY, что
противоречит определению Xq. Отсюда заключаем, что X = F.
Ниже будет отмечено (п. 14.9) другое доказательство этой теоремы.
14.6. Алгебра П. Согласно теореме 14.2, одночлены Ьаа0 образуют базис
векторного пространства W, так что каждый элемент / е W однозначно
записывается в виде
/ = £/0„Ь»<Л (14.16)
a,/J
с коэффициентами faff€F. В этом смысле
W= фВат, (14.17)
п = 0
где ат—линейная оболочка одночленов аа при фиксированном |a| = m.
Аналогично, можно рассматривать формальные ряды (14.16), с
коэффициентами foa^F-
Пусть П — множество формальных рядов (14.16), удовлетворяющих
условию финитности (Ф): для каждого /3 не более конечного числа
коэффициентов /а/9 отлично от нуля. Очевидно, П есть векторное пространство над
полем F, получаемое из (14.17) заменой з^ака суммы на знак декартова
произведения, т. е. оо
П= П Ват = В[[а]], (14.18)
гдеа = (а„..., ап).
7 Зак. 184
106
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Заметим, что каждый элемент / е П можно рассматривать как оператор в
допустимых W-модулях. Действительно, (14.11) означает, что апх0 = 0 при
п ^ щ(х). Поэтому равенство fx = fpx при р ^ щ(х), где fp — частичная
сумма ряда / в (14.17), однозначно определяет оператор / в
пространстве X.
14.7. Теорема. Пространство П есть алгебра относительно
умножения формальных рядов (14.16). Более того, действие алгебры П в про-
странстве V (л. 14.1) определяет изоморфизм ассоциативных алгебр
n«EndK (14.19)
Доказательство. Вычисление формального ряда fg, где /, g e П,
сводится к разложению одночленов
baa?Va6 (14.20)
по базисным одночленам ЬАам. Достаточно представить а^Ъ1 в виде
линейной комбинации одночленов ЪТаа. Соответственно, (14.20) есть линейная
комбинация одночленов ЬАа/1, где
А = а + т, /х = а + &
В частности, 0^ 6{ < р., так что лишь конечное число индексов 6 вносит
ненулевой вклад в компоненту (fg)Xfi. Отсюда (по условию финитности)
находим, что это же верно для индексов 7- Более того, заметим, что |/3| —
— |<у| = |а| — |т|. Поэтому
0<|/3|<|7l + H<l7l + H
(поскольку 0 < а. < р.). Отсюда следует, что не более конечного числа
индексов /3 (но тогда и а) вносит ненулевой вклад в компоненту (fg)Xll-
Отсюда заключаем, что ряд fg корректно определен. Следовательно, П
есть алгебра (расширение алгебры W).
Рассмотрим теперь произвольный оператор а е End V и запишем его
действие в базисе х1 (7 £ Z+) в виде
а^=Х>еТж% (14.21)
е
с коэффициентами ает е F. С другой стороны, из равенства (11.22) находим
для каждого / е П:
/*7 = ЕЛ*с**в+7-'. О4-22)
с коэффициентами (
Сопоставляя (14.21), (14.22) при a +j - /3 = е, заметим, что (с^) есть
верхняя треугольная матрица (с^ ф 0 только при 0 < Д < 7* Д^я всех г =
= 1,..., п), с диагональными элементами с^ = 7! ^ 0. Уравнение ах1 = /ж7
разрешимо (относительно /), если матричные уравнения
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 107
разрешимы для всех е, 7 (относительно /ет), где 0^ — линейная комбинация
элементов /е,7, при е' < е либо 7; < 7 (что означает е[ < е{ либо 7/ < 7» хотя
бы при некотором значении г).
Поскольку с^фО, мы находим, что система (14.23) однозначно
разрешима, т. е. существует единственный элемент / е П, для которого а = / во
всем пространстве V. Отсюда получаем (14.19).
Пример. Алгебра П при п = 1 состоит из формальных рядов
f=£fn(x)dn, (14.24)
п = 0
с коэффициентами /n e F[x]. Соответственно, (14.24) есть общий вид
оператора / е End У, где V = F[x].
Упражнение. Умножение формальных рядов (14.16) не всегда
определено. [Указание: рассмотрите формальные ряды
00 00
/=Е«", д=Т,ьп
над алгеброй W при п = 1. Воспользуйтесь тождеством
anbn = n\(modWa).]
14.8. Следствие. Пусть Фр — векторное пространство всех рядов f €
е П, имеющих степень однородности peZ, т. е. имеющих вид (14.16),
где \а\ - \/3\ =р. Положим
Ф = фФр (14.25)
р
(т. е. каждый элемент / е Ф есть конечная сумма компонент f € Фр).
Тогда Ф есть алгебра (подалгебра алгебры П), наделенная Z-граоуиров-
кой (14.25).
Действительно, Ф есть подпространство в П. Используя правило
сложения степеней (в W), находим
ФрФ,СФр+?. (14.26)
Упражнения. 1. Инволюция жиж' алгебры W (п. 14.1) однозначно
поднимается на алгебру Ф.
2. Образ алгебры Ф относительно изоморфизма (14.19) есть алгебра
р
где Ер — множество всех / £ End У, удовлетворяющих соотношениям fE С
CEp+q(qeZ+).
14.9. Пример (оператор р). Пусть вначале п = 1. Положим
Р=£Ч£ъпа» (14.27)
п«0
7*
108
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
(в обозначениях п. 11.4). Легко проверить, что ap = pb = 0, откуда также
р2 = р. В общем случае положим
Р=ПД. (14-28)
t = l
где р. —аналог (14.27) для подалгебры W{ (ранга 1) с образующими а{, Ъ{.
Тогда имеем
а{р = рЪ{=0 (г = 1,...,п). (14.29)
Отсюда по-прежнему р2 = р. Заметим, что р' = р, р € Ф0 (т. е. degp = 0).
Упражнения. 1. Проверьте (используя теорему 14.7), что р есть
единственное решение системы (14.29), удовлетворяющее условию
нормировки Дх)=1.
2. Проверьте (непосредственно из (14.27)-(14.29)), что оператор р
проектирует каждый допустимый W-модуль Х на его подпространство Ха,
параллельно подпространству ЬХ, где Ь—линейная оболочка операторов
Ь{ (г = 1,..., п). В частности,
Х = Ха®ЪХ.
Замечание. Утверждение (2) очевидно, если воспользоваться
изоморфизмом (14.19). Однако, напротив, оператор р можно использовать в
доказательстве теоремы 14.5.
А именно, применяя оператор р к вектору Xq (п. 14.5), получаем
вакуумный вектор х{ е Y', для которого Xq = ж,(mod У), что следует из явного
вида (14.27). Но тогда з^еУ, что противоречит определению а%. В
результате X = F, чем и завершается доказательство теоремы 14.5.
Упражнение. Докажите, что оператор (14.27) может быть записан
в виде бесконечного произведения
Р=П(1-£). (14-30)
11= 1
где с — Ъа (п. 14.1). [Указание: прямое вычисление или действие оператора с
в пространстве V.]
14.10. Комментарии. Стандартная модель соотношений (14.1),
реализованная в модуле V, интерпретируется в квантовой механике в терминах
операторов «рождения» и «уничтожения».
А именно, элементы х е V интерпретируется как некоторые состояния
микромира, где Офхе V понимается как состояние, «содержащее р частиц».
В частности, 0 Ф х е V0 есть вакуум (состояние без частиц). Соотношение
Ь{Ур с Vp+{ означает увеличение числа частиц (Ь. —оператор рождения).
Соотношение а{У cVp_x означает уменьшение числа частиц (а.
—оператор уничтожения). В частности, а. 1^ = 0. Теорема 14.5 означает
единственность (с точностью до кратности) реализации алгебры W (в категории
допустимых W-модулей).
Другая замечательная интерпретация алгебры W связана с
соотношениями Гейзенберга [р{, q5] = ебц для операторов импульса (р{) и
координаты (q3). Здесь е = ih (г = л/^Г), h — положительная константа (называемая
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 109
постоянной Планка). Теорема единственности 14.5 допускает в этом случае
содержательную интерпретацию в терминах самосопряженных операторов
в гильбертовом пространстве. См., например, [Кир].
§ 15. Элементы теории колец
15.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе А — кольцо с единицей.
Аддитивная группа X называется (левым) А-модулем, если задано биадци-
тивное действие А хХ —>Х, (а, х)>-+ах, удовлетворяющее условию
ассоциативности (7.2) и условию унитальности (7.3). Соответственно, подмодуль
Х0сХ есть произвольная А-инвариантная подгруппа Х0сХ.
Остальные термины теории А-модулей совпадают, по существу, с их
аналогами в теории ассоциативных алгебр. Более того, ряд изложенных выше
результатов естественно переносится на кольца. К ним относятся,
например, теоремы Ведцерберна, Джекобсона и др. Теорема Хаммеля о базисах
приобретает более законченный вид в теории колец. А именно, если А-тело,
то каждый А-модуль свободен (п. 8.7).
Мы будем использовать также новые определения простоты и
полупростоты в категории колец (по Джекобсону):
(а) Кольцо А называется простым, если оно обладает точным простым
(левым) А-модулем.
(/3) Кольцо А называется полу простым, если оно обладает точным
полупростым (левым) А-модулем. Эквивалентное определение: если О^ае А,
то найдется простой А-модуль X, для которого X ф0.
Мы рассмотрим в этом параграфе несколько сюжетов теории колец: ар-
тиновы кольца, нетеровы кольца, индуцированные модули и т. д.
15.2. Артиновы кольца. А-модуль X называется артиновым, если
каждая убывающая цепочка его подмодулей X^ D X2 D... обрывается, т. е.
Хп = Хп+1, начиная с некоторого п. Очевидно, в этом случае каждое
непустое семейство подмодулей S С V(X) содержит (хотя бы один)
минимальный элемент. Действительно, в противном случае можно было бы построить
строго убывающую последовательность подмодулей Хп€ 5.
Применяя это замечание к семейству S всех ненулевых подмодулей
модуля X, находим, что X ^0 содержит (хотя бы один) простой подмодуль.
Как мы видели в § 9, это свойство весьма существенно при исследовании
структуры решетки V(X).
Кольцо А называется артиновым, если оно артиново как левый
А-модуль. В частности, А содержит (хотя бы один) простой левый идеал.
Упражнения. 1. Если модуль X артинов, то все его подмодули и
фактормодули артиновы.
2. Если X содержит артинов подмодуль Х0 с артиновым фактормодулем
Х/Х0, то модуль X артинов.
Следующая теорема (представляющая собой обобщение теоремы
Ведцерберна) называется обычно теоремой Веддерберна — Артина.
по
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
15.3. Теорема. Каждое простое артиново кольцо изоморфно одному
из матричных колец Mat(n, К), где К — тело, п < оо. Каждое
полупростое (по Джекобсону) артиново кольцо изоморфно прямой сумме
матричных колец.
Доказательство. Пусть А — простое артиново кольцо, L —
простой левый идеал алгебры А. Полагая I = Ann L (относительно левого
действия алгебры А), получаем идеал алгебры А. Поскольку А —униталь-
ное кольцо, мы имеем 1фА, откуда / = 0. Следовательно, L есть точный
простой А-модуль. По лемме Шура, его коммутант К = EndAL есть тело.
Покажем, что dim^L < оо.
Действительно, в противном случае существует последовательность е. £
€ L (i = 1,2,...), линейно независимая над К. Полагая Ln = Ann{el9...
..., еп}, получаем убывающую последовательность левых идеалов, откуда
Ln = Ln + 1, начиная с некоторого п. С другой стороны, пусть В = End^L
(бикоммутант модуля L). Поскольку последовательность е,- можно
расширить до базиса if-модуля L, существует be Bf для которого 6^=0
(г = 1,..., n), ben+l ф0. Согласно теореме плотности Джекобсона,
существует ае А, для которого ае{ = Ье- (г = 1,..., п + 1). Отсюда aeLn, аеп + 1ф0,
что противоречит равенству Ln = Ln + l. В результате dim^L < оо.
Применяя теорему плотности к конечному базису if-модуля L, получаем
A «End^L, т. е. A «Mat(n, К).
Если А — полупростое (по Джекобсону) артиново кольцо, то из тех же
рассуждений следует, что А обладает точным полупростым А -модулем X
с конечным числом изотипических компонент Х{ (i = 1,..., п). Полагая
Х{ = п{У{ (с простыми компонентами Y^), заметим, что Апп^=АппЗ^.
Поэтому можем считать, не ограничивая общности, что п{ = 1 (г = 1,..., п).
Положим N{ =АппХ;, и пусть А{ = A/Nit с канонической проекцией 7Г^:
А —► А{. Отображение
тг(а) = (тг1(а),..., тгп(а))
есть вложение алгебры А в прямую сумму алгебр А{ (г = 1,..., п).
Рассматривая действие А{ в Xif находим (как и выше) А{ «Ма1;(п0 К{), где
К{ = КА(Х{). Выбирая в каждом Х{ конечный базис (над К{) и
применяя теорему плотности к объединению этих базисов, получаем А « В, где
В =Endir-X'. Ясно также, что В есть прямая сумма идеалов В{ wEnd^X^.
В результате
А« 0 Mat(nt,i^).
t = i
15.4. Следствие. В категории артиновых колец примитивность
(соответственно, редуктивностъ) кольца А равносильна его простоте
(соответственно, полупростоте), как в классическом смысле (п. 8.5),
так и в смысле Джекобсона (п. 15.1).
Заметим, что теорема 15.3 сформулирована в ее наиболее сильном
варианте. А именно, из ее формулировки следует, что классическая простота
алгебры А (п. 8.5) влечет примитивность и потому простоту по Джекобсону.
С другой стороны, полупростота по Джекобсону влечет классическую
полупростоту (т. е. разложимость алгебры А в прямую сумму простых идеалов).
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ
111
Можно также доказать (см., например, [Пи]), что в категории колец
условия артиновости (п. 15.2) в терминах левых и правых идеалов равносильны.
15.5. Нетеровы кольца. А-модуль X называется нетеровым, если
каждая возрастающая последовательность его подмодулей Хх с Х2 с ...
обрывается, т. е. Хп = Хп+1, начиная с некоторого п. Очевидно, в этом случае
каждое непустое семейство S С V(X) содержит (хотя бы один)
максимальный элемент.
Применяя это замечание к циклическим подмодулям Af € V(-X"), где / —
конечное подсемейство в системе образующих модуля X, находим Af — X
при некотором /, т. е. каждый нетеров модуль конечнопорожден. Обратно,
каждый конечнопорожденный модуль X нетеров (упражнение).
Кольцо А называется нетеровым (слева), если оно нетерово как левый
А -модуль. Кольцо А нетерово тогда и'только тогда, когда каждый его левый
идеал конечнопорожден.
Упражнения. 1. Если X — нетеров А-модуль, то все его подмодули
и фактормодули нетеровы.
2. Обратно, если X содержит нетеров подмодуль Х0, для которого фак-
тормодуль Х/Х0 нетеров, то модуль X нетеров.
Следующая теорема представляет собой один из классических
результатов коммутативной алгебры.
15.6. Теорема (Д. Гильберт). Если А — коммутативное нетерово
кольцо, то кольцо многочленов A[t](t —независимая переменная)
также нетерово.
Доказательство. Пусть I — идеал кольца A[t]. Поставим в
соответствие каждому многочлену
/(*)=£/»**
(степени < п) его коэффициент /п. Отображение / »-* /я переводит идеал /
в идеал 1п кольца А. Операция f(t)*->tf(t) определяет вложение 1п с In+,,
откуда /n = Jn+1, начиная с некоторого п.
Пусть еп — конечная система образующих идеала 1п. Пусть Еп —
фиксированное множество представителей системы еп в идеале /. Покажем,
что множество Е = EQ U ... U Еп при In = In+l есть система образующих
идеала /.
Действительно, пусть / е I — многочлен степени < к. Если к ^ п, то
найдется д е АЕк, для которого / -£ есть многочлен степени ^ к - 1 (в
частности, / = # при к = 0). Отсюда (из соображений индукции по к)
получаем feAE. Если к = п +1, где / ^0, то найдется geAtlEn, для которого
также / - д есть многочлен меньшей степени. В результате / = АЕ, т. е.
идеал / конечнопорожден. Отсюда заключаем, что кольцо A[t] нетерово.
15.7. Следствие. Если А — коммутативное нетерово кольцо, то
каждое кольцо Ап = А[хи ..., хп] также нетерово. Более того, для каждого
идеала I e V(An) кольцо AJI также нетерово.
Действительно, нетеровость Ап проверяется индукцией по п, поскольку
An+l=An[t]f где t = xn+1. Остается заметить (упражнение), что
гомоморфный образ нетерова кольца нетеров. В частности, кольцо Ап/1 нетерово.
112
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Замечание. Аналог теоремы Гильберта выполняется также для
алгебры формальных степенных рядов Вп = А[[ж1? ..., хп]] (см., например, [Л 1]).
Существует интересная связь между артиновыми и нетеровыми
модулями. А именно, если кольцо А артиново и А-модуль X артинов, то
модуль X нетеров. В частности, каждое артиново кольцо нетерово (см.,
например, [Пи]).
15.8. Жордановы ряды. Если модуль X артинов и нетеров, то X
обладает конечной цепочкой подмодулей
0 = Х0 с Хх с ... С Хп = X, (15.1)
с простыми компонентами Хк/Хк_х (к = 1,..., п). Цепочка (15.1)
называется композиционным рядом (или рядом Жордана — Гёльдера) модуля X.
Разумеется, модуль X может обладать различными композиционными
рядами (15.1). Однако, его простые факторы Fk =Xk/Xk_{ определяются
однозначно с точностью до изоморфизма и перестановки индексов к (теорема
Жордана — Гёльдера). Доказательство можно найти, например, в [Л 1].
Число п (зависящее только от X) называется длиной композиционного
ряда (15.1).
15.9. Радикал Джекобсона. Пусть А — кольцо. Левый идеал МсА
называется максимальным, если А/М есть простой А-модуль (т. е. М
максимален по включению среди левых идеалов L ф А).
Пусть R(A) — пересечение всех максимальных левых идеалов кольца А.
Поскольку правое действие А-бимодуля А перестановочно с левым, оно
переставляет левые идеалы. Следовательно, R(A) есть идеал кольца А.
Идеал R(A) называется радикалом Джекобсона кольца А.
Используя принцип максимума, находим, что каждый левый идеал L фА
содержится в некотором максимальном левом идеале М. Следовательно,
R(A) есть также пересечение всех левых идеалов алгебры А. Отсюда
R(A)X = 0 для каждого А-модуля X (действительно, R(A)C Ann X).
Обратно, если аеАппХ для всех (или хотя бы всех простых)
А-модулей X, то а€ Ann(A/L) для всех (или хотя бы всех максимальных) левых
идеалов L С А, т. е. аА С L. В частности, a = a(l)eL, т. е. aeR(A).
Таким образом R(A) есть пересечение аннуляторов АппХ для всех (или
хотя бы всех простых) А-модулей X.
Кольцо А называется полупростым (по Джекобсону), если i?(A) = 0.
Очевидно, это определение совпадает с данным в п. 15.1.
Упражнения. 1. Кольцо A/R(A) полупросто (по Джекобсону).
2. Если кольцо А артиново, то его радикал нильпотентен, т. е. R(A)n =0
при некотором п.
Можно также показать (см., например, [Пи]), что R(A) есть пересечение
всех (или хотя бы всех максимальных) правых идеалов кольца А.
15.10. Локализация. Пусть А —кольцо. Элемент аеА называется
делителем нуля, если существует Оф Ь е А, для которого либо аЬ = 0, либо
Ьа = 0. В противном случае элемент а называется регулярным (или
неделителем нуля).
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 113
Подмножество S С А, состоящее из регулярных элементов а е А,
называется мультипликативным (или мультипликативно замкнутым), если
оно образует полугруппу относительно умножения в кольце А. Кольцо В
называется кольцом частных алгебры А относительно 5, если А
содержится в В в качестве подкольца, элементы s e S обратимы в В и каждый
элемент be В записывается в виде Ь — as~l (a€A,s€ S), т. е. В = AS"1.
Говорят, что множество S с А удовлетворяет левому условию Оре, если
для каждой пары aeA,s€S существуют Ь е A, t € 5, для которых at = sb.
В этом случае кольцо частных AS"1 существует (см., например, [Д1]).
Аналогично определяются правые условия Оре и кольца частных вида S~lA.
В частности, пусть S — множество всех регулярных элементов аеА.
Если S удовлетворяет одновременно левому и правому условию Оре, то
S~lA = AS~{ есть тело, обозначаемое Fract А и называемое телом
частных (или телом отношений) кольца А. Если А — коммутативное кольцо,
то Fract А есть поле, называемое полем частных (или полем отношений)
кольца А.
Примеры. 1. Если А — коммутативное кольцо без делителей нуля,
то А обладает полем частных Fract А (в этом случае S = А \ {0}).
2. Если А = F[x], то поле Fract А обозначается F(x). Элементы / е F(x)
называются рациональными функциями от независимой переменной х.
Упражнения. 1. Докажите (индукцией по п), что алгебра F[z] =
= F[x{,..., хп] не имеет делителей нуля.
2. Если А —коммутативное нетерово кольцо, то кольцо S~lA =AS~l
также нетерово.
15.11. Индуцированные модули. Пусть А — кольцо, В — его подколь-
цо. Для каждого В-модуля V определим аддитивную группу
IndV = A<g>B V (15.2)
как факторгруппу W/N, где W — свободная аддитивная группа,
порожденная множеством А х V, N — ее нормальный делитель, порожденный
соотношениями биаддитивности для элементов a® v = 7г(а, v) (п —
каноническая проекция W -♦ W/N) и соотношением согласованности В-модулей
ab®v = a®bv (15.3)
для всех a€A,beB,veV. Аддитивная группа Ind V наделяется структурой
А-модуля по правилу ^(а® v) = а^а^у, где а, с^ € A, v e V\
Отображение V н+ Ind V определяет ковариантный функтор из категории
J5-Mod в категорию A-Mod. А-модуль Ind V называется индуцированным
А-модулем (относительно исходного В -модуля V).
С другой стороны, для каждого А-модуля Е определен функтор
ограничения (restriction) Е *-+ResE из категории A-Mod в категорию 2?-Mod.
Следующая теорема двойственности (Фробениуса) определяет
двойственность между функторами Ind, Res.
15.12. Теорема. Для каждого гомоморфизма f G HomB( V, Res E)
отображение
f(a®v) = af(v) (15.4)
114
Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
однозначно поднимается до гомоморфизма f e Homx(Ind V,E) и
определяет изоморфизм аддитивных групп
HomA(Ind V, Е)« HomB(V, Res E). (15.5)
Доказательство. Продолжение (15.4) на аддитивную группу (15.2)
определяется по аналогии с тензорными произведениями в категории VECT
(п. 6.1). Доказательство основано на тождестве
f(ab ® v) = abf(v) = af(bv) = f(a® bv),
согласно которому f(N) = 0. Заметим также, что
/(%а® v) = OQaf(v) = ^/(а® v),
откуда следует / е HomA(Ind V, Е). Остается заметить, что исходный
гомоморфизм /€HomB(V;Res£?) восстанавливается по правилу /(г;) = /(1<8>г;).
Примеры. 1. Пусть G — конечная группа, Я — ее подгруппа, и
пусть V (соответственно, Е) — простой Я-модуль (соответственно,
С?-модуль). Полагая A =F[G], В = F[H], получаем следующее правило двои-
ственности Фробениуса:
[Ind У: E] = [ResE: V]. (15.6)
Очевидно, (15.6) определяет «спектр» полупростого модуля Ind У (в
категории G-Mod).
2. Пусть G — группа, Я — ее подгруппа. Для каждого Я-модуля V
положим
Ind V = {/ е V(G): f(hx) = hf(x), V/i e Я}, (15.7)
где V(G)& V <8>F(G)— пространство всех F-значных функций на G и
символ hf(x) означает действие h е Я на значение f(x) £ V в точке х е G.
Пространство Ind V снабжается структурой левого G-модуля по правилу
(9f)(x) = f(xg). (15.8)
Несмотря на то, что обозначение (15.7) принято в теории G-модуЛей,
оно отличается от (15.2) (но в известном смысле двойственно
определению (15.2)).
Упражнение. Докажите, что для каждого у? е Нотн(Е, V) и каждого
£ € Е оператор <р(£)(ж) = <р(х£), где х € G, содержится в HomG(E, Ind V)
и определяет изоморфизм векторных пространств
Нотс(Е,ШУ)ъНотн{Ъе$Е, V). (15.9)
Комментарии к главе 2
Элементы теории ассоциативных алгебр, изложенные в этой главе,
содержат лишь вопросы классического характера. Изложение более
специальных вопросов читатель может найти в монографиях [Д1; Л1; Пи]. См.
также [Бах].
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 2 115
Теория конечных групп (§ 10) включается в нашем контексте в общую
теорию унитальных ассоциативных алгебр (§ 9). Однако, ясно, что этот
частный случай допускает независимое изложение. Такой «наивный» подход
обычно применяется в литературе. См., например, [В1; С2; Ж4].
Тенденция к изучению полупростых А-модулей восходит к линейной
алгебре (диагонализация линейных операторов, разложение на корневые
подпространства и т. д.) Теория полупростых алгебр и колец изначально
связана с теорией представлений конечных групп (§ 10). Известные
разногласия в терминологии, связанные с понятиями простоты и полупростоты,
возникли в связи с переходом от классической теории конечномерных
алгебр (Шур, Фробениус, Веддерберн) к кольцевой терминологии (в смысле
Джекобсона). Достаточно заметить, что в каждой из указанных выше
монографий регистрируется собственная терминология. Нам тоже приходится
подвергнуться этому испытанию, несмотря на бережное отношение к
существующим традициям.
Как показано в § 15, теория ассоциативных алгебр становится логически
более завершенной при ее вложении в общую теорию колец. Тем не менее,
мы уделяем особое внимание ассоциативным алгебрам, как ввиду
сравнительной легкости их описания, так и ввиду их многочисленных приложений
к задачам алгебры, геометрии, анализа, математической физики. Начиная
с некоторого момента, в теории групп и алгебр Ли мы вообще ограничимся
теорией алгебр над классическими полями R, С.
Глава 3
АЛГЕБРЫ ЛИ
Мы переходим к изучению алгебр Ли, которые представляют собой
наиболее известный и наиболее изученный класс неассоциативных алгебр.
Структурная теория алгебр Ли достаточно развита лишь для алгебр конечной
размерности. Известны также замечательные классы бесконечномерных
алгебр Ли, возникающие, как правило, в задачах геометрии и математической
физики.
Среди математиков бытует анекдотическая версия о том, что «все алгебры
ассоциативны». Для алгебр Ли эта версия выражается в точной форме
теоремой Пуанкаре — Биркгофа — Витта (ПБВ), согласно которой категория
алгебр Ли (над полем F) вкладывается в категорию ассоциативных алгебр
(над полем F). Этот результат имеет не только философский, но и
существенно прикладной характер. А именно, теория представлений алгебр Ли
сводится к теории А -модулей для соответствующего класса ассоциативных
алгебр А (над полем F).
Один из глубоких математических результатов, принадлежащий Софусу
Ли, состоит в установлении тесной связи между конечномерными
алгебрами Ли (над полными нормированными полями) и аналитическими группами
(группами Ли). Описание этой связи (над полями F = R, С) будет изложено
в главе 5.
§ 16. Общие вопросы
16.1. Определение. Алгебра L над полем F называется алгеброй Ли,
если в ней выполняются следующие аксиомы:
я2 = 0, (16.1)
x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0, (16.2)
для всех ж,у,2Е£.
Заменяя х на х+у в (16.1), получаем ху+ух=0 для всех ж, yEL, т. е.
умножение в алгебре L антикоммутативно. Обратно, если это условие
выполняется, то 2х2 = 0, откуда х2 = 0 при char F^2. Поэтому аксиома (16.1)
иногда записывается в виде ху = —ух (для всех ж, у е L). Аксиома (16.2)
называется тождеством Якоби.
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 117
Алгебра L называется коммутативной, если ху = 0 для всех x,yeL.
Очевидно, каждое векторное пространство можно рассматривать как
алгебру Ли с тривиальным (нулевым) умножением.
Примеры. 1. Каждая ассоциативная алгебра А есть алгебра Ли
относительно операции коммутирования
[а, Ь] = аЪ — Ьа, (16.3)
где а, Ь е А (п. 8.4).
2. Для каждой (не обязательно ассоциативной) алгебры А алгебра ее
дифференцирований есть алгебра Ли относительно коммутатора (16.3) в
End А (п. 8.4).
3. Пространство F3 с базисом г, j, k есть алгебра Ли относительно
операции векторного умножения
[iJ] = K [**] = *, [М] = У. (16.4)
4. Для каждого векторного пространства V пространство Г( V) = V ф
®A2(V) есть алгебра Ли относительно умножения
ху = хЛу, ж£=£77 = 0 (16.5)
для всех ж, у G V, f, rj £ Л2(V), где (ж, у) и ж Л у — операция внешнего
умножения в алгебре Грассмана A(V) (так что ху е Л2(У)).
Обозначения. В теории алгебр Ли существует традиция (связанная
с теорией групп Ли) обозначать алгебры Ли малыми готическими буквами
д, [),... Мы будем, как правило, придерживаться этой традиции. Помимо
этого (в связи с примером 1), умножение в каждой алгебре Ли принято
обозначать символом [х, у]. Элемент [ж, у] называется (лиевским)
коммутатором элементов х, у.
16.2. Определение. Пусть g — алгебра Ли над полем F.
Представлением алгебры g в векторном пространстве X над полем F называется
всякий гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли End X (снабженную
коммутатором (16.3)). Соответственно, X в этом случае называется (левым)
g-модулем. Гомоморфность действия g в терминах представления (эт, X)
означает, что
тг([а,Ь]) = [тг(а),7г(Ь)] (16.6)
для всех а, Ь е д. Здесь коммутатор в левой (соответственно, правой)
части (16.6) есть лиевский коммутатор в алгебре g (соответственно,
коммутатор (16.3) в End-X").
Аналогично определяются правые g-модули. Категория левых
(соответственно, правых) g-модулей обозначается g-Mod (соответственно, Mod-g).
Легко проверяется (упражнение), что тождество Якоби в алгебре g
равносильно каждому из следующих утверждений:
(а) Каждый оператор
(ada)x = [a, ж], (16.7)
где а, х е д, есть дифференцирование алгебры g (называемое внутренним
дифференцированием алгебры д).
(/3) Отображение a»-* ad a есть представление алгебры g в векторном
пространстве д, называемое присоединенным представлением алгебры д.
118
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Таким образом, каждая алгебра Ли g наделяется структурой д-модуля
(ad g-модуля, где adgc D(q)). Подмодули этого модуля называются
идеалами алгебры д.
Заметим, что в этом определении можно было бы рассматривать правое
действие x(ada) = [x, а]. Однако, из условия антикоммутативности (п. 16.1)
следует, что в алгебрах Ли нет различия между левыми и правыми идеалами
алгебры д.
Решетка всех подмодулей g-модуля Х обозначается V(X). Решетка всех
идеалов алгебры g обозначается V(g).
Примеры. 1. Каждая алгебра Ли g обладает тривиальным (нулевым)
представлением размерности 1.
2. Каждая подалгебра Ли g С End X обладает тождественным
представлением 7r(a) = a, действующим в пространстве X.
3. Для каждой пары д-модулей X, Y их тензорное произведение X ® Y
снабжается структурой g-модуля по правилу дифференцирования, т. е.
а(х ® у) = ах ® у + х ® ay, (16.8)
где а£д, хеX, ye Y.
4. Аналогично, пусть Ф(Х, Y) — векторное пространство всех
билинейных (F-значных) форм в X х Y. Пространство Ф(Х, Y) снабжается
структурой д-модуля по правилу дифференцирования, т. е.
(а/)(х, у) =/(ах, у) + /(х, ау). (16.9)
5. Полагая в (16.8) X = Y и продолжая правило (16.8) на тензорные
степени ТП(Х), находим, что алгебра g действует в Т(Х)
дифференцированиями алгебры 7(Х).
6. Для каждого g-модуля Х пространство End X снабжается структурой
g-модуля по правилу (16.7), где ае g (в модуле X), х е End X.
7. Для каждого g-модуля Х подпространство
Р = {хбХ: дх = 0} (16.10)
есть подмодуль модуля X. Его элементы суть «константы» относительно
дифференцирований ad а (ае д). Его элементы х^О называются
^-инвариантами модуля X.
В частности, форма / € Ф(-Х, Y) называется ^-инвариантной^ если она
инвариантна относительно действия (16.9), т. е.
/(ах,2/) + /(х,ау) = 0 (16.11)
для всех aGg, xeX, yeY.
Для каждого g-модуля Х его сопряженное пространство X* наделяется
структурой g-модуля так, чтобы каноническая билинейная форма (•, •) была
инвариантной, т. е.
(ах,у) + (х,ау)=0 (16.12)
для всех aGg, xeX, у€ X*.
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 119
Упражнения. 1. Элемент z e q называется центральным, если
[a, z] = 0 для всех а е g (т. е. 2 есть инвариант присоединенного действия
ad g). Множество j(g) всех центральных элементов z e g есть идеал алгебры
д, называемый центром алгебры д.
2. Для каждого g-модуля Х каноническое вложение Х®Х* ->End X есть
гомоморфизм д-модулеи.
3. Для каждо'й пары элементов а€А, 6 € D(A), где А —ассоциативная
алгебра, имеет место равенство
[5,ada] = ad(5a), (16.13)
согласно которому множество Dq(A) всех внутренних дифференцирований
алгебры А есть идеал алгебры ЩА).
4. Если dim X < оо, то отображение a ■-► tr a есть тривиальное
представление алгебры Ли EndX.
5. Билинейная форма
/(x,y) = tr(xy), (16.14)
где ж, у G End X, инвариантна относительно действия (16.7) алгебры End X.
Обозначения. Для того, чтобы отличить умножение Ли от
ассоциативного умножения алгебры End V, мы будем использовать обозначение
gl(V) вместо End V для алгебры Ли End V. Аналогично используется
обозначение gl(n) = g[(n, F) вместо Mat(n, F). Обозначение д[
(ассоциированное с теорией групп Ли) расшифровывается как «general linear» (например,
gl(n) — полная линейная алгебра Ли в пространстве Fn).
16.3. Идеалы. Из тождества Якоби легко выводится следующее свойство
идеалов алгебры Ли д: для каждой пары идеалов a, b E V(g) их коммутатор
[а, Ь] (т. е. линейная оболочка коммутаторов [а, Ь], где а е а, Ь е Ь) также
есть идеал алгебры д.
Полученное правило позволяет активно «размножать» идеалы алгебры д.
Например, д' = [д, д] есть идеал алгебры д, называемый производной
подалгеброй (или производным идеалом) алгебры д. Отсюда (индукцией по п)
получаем убывающую цепочку кратных производных
0<"+1> = (0<*))<, (16.15)
состоящую из идеалов алгебры д. Аналогично определяется следующий
центральный ряд идеалов алгебры д:
0n+l=[0,0nL (16.16)
гдед0 = д.
Для каждого идеала I) С g факторпространство g/fj наследует структуру
алгебры Ли д. Полученная алгебра Ли g/Ij называется факторалгеброй
алгебры д (по идеалу I)).
Для каждого гомоморфизма алгебр Ли (р: g-> f) его ядро ker (p есть идеал
алгебры д. Индуцированное действие ц>: g/ker<p-*f) определяет
изоморфизм алгебр Ли
g/kery? wim ip. (16.17)
120 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Примеры. 1. Факторалгебра g/g' коммутативна. Соответственно, в
цепочке (16.15) все факторалгебры fn = д(п)/б(п+1) коммутативны.
2. Пусть dim V < оо. В этом случае кег <р для функции <р(ж) = tr x есть
алгебра Ли
sl(V) = {aeSl(V): tra = 0}. (16.18)
Аналогично, при замене gl(^) на gl(n) используется символ sl(n) (вместо
sl(V)). Здесь $1 — сокращение термина «special linear». Например, sl(n) есть
специальная линейная алгебра Ли в пространстве Fn.
Упражнения. 1. Если gn+1 =0, то gnCj(g). Соответственно, каждая
факторалгебра f)„ = gn/g„+i содержится в центре алгебры g/gn+1.
2. Докажите, что
(в'). С д.. (16.19)
16.4. Структурные константы. Пусть д — алгебра Ли над полем F.
Для каждого базиса е{ (г el) векторного пространства g имеем
где с* G F.
Очевидно (в силу билинейности умножения), что равенство (16.20)
однозначно определяет закон умножения в алгебре д. Константы сг* называются
структурными константами алгебры д (относительно базиса е).
Упражнения. 1. Стандартные базисные элементы ец алгебры gt(n)
удовлетворяют соотношениям
К-, еы] = Sjkea - 6uekj, (16.21)
где 8^ — символ Кронекера.
2. Проверьте (используя (16.21)), что g((n)' = el(n), sl(n)' = sl(n).
3. Проверьте, что алгебра g = sl(2) определяется базисными элементами
е, /, h и соотношениями коммутации
[e,/] = /i, [Л,е] = 2е, [Л|/] = -2/ (16,22)
[Указание: можно положить е = е12, / = е^.]
16.5. Системы образующих. Для каждого семейства е = (е^{ е1 в
алгебре g пусть де — наименьшая подалгебра алгебры д, содержащая семейство
е. Используя правило (а) п. 16.2, легко проверить (упражнение), что ge
есть линейная оболочка кратных коммутаторов
eK,...,in] = [eii,[e^...,hni,eiJ...]]. (16.23)
Если д = де, то семейство е называется системой образующих алгебры д.
В этом случае также говорят, что элементы е{ (г El) порождают алгебру д.
Примеры. 1. Элементы е. = е^£ +, (соответственно, /. = е. + 1 ;) в
обозначениях (16.21) порождают подалгебру п+ (соответственно, п_),
состоящую из верхних (соответственно, нижних) треугольных матриц в sl(n).
2. Элементы е., £ (г = 1,..., п - 1) порождают sl(n).
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 121
3. Элементы e^f. вместе с единичной матрицей е^= 1 порождают д1(п).
Центр g[(n) совпадает с Fe^.
4. Для каждого базиса (е,),^ векторного пространства V элементы ei
(iel) порождают Г(У) (п. 16.1).
16.6. Свободные алгебры Ли. Для того, чтобы определить понятие
свободной алгебры Ли, нам понадобится общее понятие свободной
(неассоциативной) алгебры над полем F.
Пусть е = (e{)ieI — произвольное семейство. Положим е(1) = еи
определим (индукцией по п) семейство непересекающихся множеств
е<»>= (J eWxeW, (16.24)
p + q = n
где n G N. Согласно этому определению, каждый элемент w e е(п) совпадает
с единственной парой (u, v), где и 6 е*р), v E е<9). Положим в этом случае
ги = гш. Отображение
(u, v)\-> w = uv (16.25)
определяет (неассоциативное) умножение в объединении всех множеств
е<п). Соответственно, векторное пространство
А(е) = 9 4(e), (16.26)
п = 0
где AQ(e) = F, -Ап(е) — линейная оболочка множества е(п) над полем F,
есть алгебра относительно умножения (16.25) с единичным элементом leF.
Алгебра А(е) называется свободной (неассоциативной) алгеброй над
полем F с системой образующих е. Элементы (16.25) называются
(неассоциативными) словами от образующих е{ (г Е /). Число п = l(w) для элементов
w e е(п) называется длиной слова w.
Пусть А°(е) — идеал в A(e)f составленный из компонент (16.26)
при пфО. Пусть J — идеал алгебры А°(е), порожденный элементами
ж2, 7(я> У> я), где 7 —левая часть тождества Якоби (16.2). Факторалгебра
L(e) = A°(e)/J (16.27)
называется свободной алгеброй Ли (над полем F) с системой
образующих е.
Покажем, что идеал J градуирован разложением (16.26). Действительно,
пусть / — идеал в А°(е), составленный из элементов х е А°(е), однородные
компоненты которых содержатся в J (так что / С J). Заметим, что условие
х2 е J влечет ху + ух е J для всех ж, у G А°(е). Применяя это правило
последовательно к однородным компонентам
0*2)п= Е ЪЪ
(хп е Ап(е) — компонента элемента х е А(е))1 получаем х2 е /. Аналогично
проверяется, что j(x, у, z)e I для всех ж, у, z е А°(е). В результате / =
= J, так что идеал J градуирован. Следовательно, алгебра L(e) наследует
градуировку алгебры А°(е), т. е.
L(e)= elje). (16.28)
n= 1
122
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
16.7. Предложение (свойство универсальности). Каждое
отображение (р: et. »->/< €g, где g — алгебра Ли над полем F, однозначно
продолжается до гомоморфизма алгебр Ли <р: L(e)->g. В частности, каждая
алгебра Ли g над полем F изоморфна одной из алгебр Ли
a(ip) = L(e)/kev<p. (16.29)
Доказательство — по аналогии с п. 11.2. А именно, отображение
<р, продолженное на А°(е), обращается в нуль на идеале J (п. 16.6) и
потому может рассматриваться как гомоморфизм L(e)->g. В частности,
для каждой алгебры g существует сюръективный гомоморфизм ip: L(e) —>g,
откуда следует (16.29).
16.8. Предложение. Предположим (не ограничивая общности), что
множество индексов I (п. 16.6) линейно упорядочено. Тогда
элементы е., [е0 ej при г < j линейно независимы и потому образуют базис в
L1(e)0L2(e).
Доказательство. Пусть V — линейная оболочка элементов е-
(г el). Согласно (16.29) имеем
T(V)&L(e)/N, (16.30)
в обозначениях п. 16.1, где N — некоторый идеал в L(e). Поскольку
элементы eit [et., ej] при г <j линейно независимы в T(V) (п. 16.1), они тем
более линейно независимы в L(e).
Упражнение. Приведите пример свободной алгебры Ли, для которой
коммутаторы [е0 [е^ ек]\ линейно зависимы при г < j < к.
Мы продолжим изучение свободных алгебр Ли в § 21.
§ 17. Разрешимые алгебры Ли
17.1. Определение. Всюду в этом параграфе g — алгебра Ли над
полем F. Начиная с п. 17.3, полагаем dim g < оо.
Алгебра g называется разрешимой, если ее производный ряд (16.15)
обрывается, т. е. g(n) = 0 при некотором п. Наименьшее из таких п называется
высотой разрешимости алгебры д. Если п = 1, то алгебра д коммутативна.
Алгебра д называется нильпотентной, если ее центральный ряд (16.16)
обрывается, т. е. gn=0 при некотором п. Наименьшее из таких п
называется высотой нильпотентности алгебры д. Если п = 1, то алгебра д
коммутативна.
Используя (16.19), находим, что условие gn =0 влечет g(n+l) =0, так что
каждая нильпотентная алгебра g разрешима. Из равенства gn+1 = (adg)gn
следует, что условие нильпотентности алгебры g записывается в терминах
присоединенного действия следующим образом:
(ad^)...(adxn) = 0 (17.1)
для всех £,,..., zn Eg.
§ 17. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 123
Примеры. 1. Пусть g — векторное пространство с базисом г,а{)Ь{
(г = 1,..., п). Соотношения коммутации
[а£,Ь.] = 6.,.г, zeb(g) (17.2)
превращают g в разрешимую алгебру Ли высоты 2 (алгебра Ли — Гей-
зенберга).
2. Пусть Ь(п) (соответственно, п(п)) — подалгебра Ли в gWn),
составленная из верхних треугольных (строго треугольных) матриц, легко
проверить, что
b(n)' = n(n), п(п)п_1=п(п)<л-1) = 0,
откуда b(n)(n)=0. Следовательно, алгебра Ь(п) разрешима (высоты п),
алгебра п(п) нильпотентна (высоты п — 1).
Упражнения. 1. Если алгебра gфО нильпотентна, то з(д)Ф0.
2. Каждое подпространство, заключенное между g и д;, есть идеал
алгебры д.
3. Если алгебра д^О разрешима, то она содержит идеал коразмерности 1.
[Указание: воспользуйтесь упражнением 2.]
17.2. Предложение. Пусть g — алгебра Ли над полем F. Тогда имеем:
(i) Если алгебра g разрешима (соответственно, нильпотентна),
то все ее подалгебры и факторалгебры разрешимы (соответственно,
нильпотентны).
(и) Если алгебра g содержит разрешимый идеал, факторалгебра по
которому разрешима, то алгебра g разрешима.
(Ш) Если каждый из идеалов а, Ъ алгебры g разрешим
(соответственно, нильпотентен), то идеал а+b также разрешим (соответственно,
нильпотентен).
Доказательство. Утверждение (i) легко проверяется.
Разрешимость g/f) означает, что g(n) С f) при некотором п, откуда g(m) = 0 при
некотором т)пв условиях (И). Отсюда следует (И).
Для проверки (Ш) положим Ij = a+b, t = аП Ь. Легко проверяются
(индукцией по п) следующие сравнения (mod t):
b« = a« + b<">, I)„ = an + bn, (17.3)
откуда следует (iii).
17.3. Радикалы. Положим dimg<oo. Согласно (iii) п. 17.2,
существует наибольший разрешимый (соответственно, нильпотентныи) идеал r(g)
(соответственно, n(g)) алгебры д, называемый радикалом (соответственно,
нильрадикалом) алгебры д.
А именно, г(д) (соответственно, п(д)) есть сумма всех разрешимых
(соответственно, нильпотентных) идеалов алгебры д.
Положим s(g) = g/r(g). Ясно, что s(g) не имеет разрешимых идеалов,
отличных от 0.
Алгебра g называется полупростой, если t(g)=0. Ясно, что в этом случае
также n(g) = 0.
Упражнения. 1. Если f) — идеал алгебры д, то его производные tyn)
суть также идеалы алгебры д.
124
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
2. Алгебра g полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит
коммутативных идеалов, отличных от нуля. [Указание: воспользуйтесь
упражнением 1.]
Ниже будут получены другие критерии разрешимости, нильпотентности,
полупростоты алгебры д. Предварительно отметим общие свойства д-моду-
лей X, где dim X < оо.
17.4. Теорема (С. Ли). Пусть g —разрешимая алгебра Ли над
алгебраически замкнутым полем F. Тогда имеем:
(а) Каждый g-модуль Х (dim X <oo) обладает инвариантным флагом
(т. е. действие алгебры g в некотором базисе модуля X треугольно).
(/3) Каждый простой g-модуль Х (dim X < оо) одномерен.
Доказательство. Положим g ф О, и пусть fj — идеал алгебры g
коразмерности 1 (п. 17.1), так что g = |)®Fe при некотором е. Исходя
из соображений индукции (по dim g), можно считать доказанным, что X
содержит вектор а^^О, собственный относительно fy, т. е. /ia^ = A(/i)o^
для всех h G f), где А G fj*. Положим хп = епх^ (n G N). Используя (8.9) для
операторов Л, е в алгебре EndX, получаем
hxn = X(h)xn+± CZ\(hk)xn_k, (ПА)
k = \
где fiQ = h, hk = [hk_^ e] при k ^ 1, так что hk G t) для всех k G Z+.
Согласно (17.4), линейная оболочка Х0 векторов хп (n GZ+) есть подмодуль
g-модуля X. Если X — простой g-модуль, то Х0 = X.
Очевидно, dim Х0 = п+1, где п — максимальная длина линейно
независимой цепочки 2q, ..., хп. Используя действие (17.4) в этом базисе, находим
trfc = (n + l)A(fc).
Заметим, что след коммутатора равен нулю. Поэтому \(hk) = 0 при k ^ 1,
и формула (17.4) означает, что hxn = \(h)xn для всех п, т. е. hx = X(h)x
для всех ж G -Xq.
Используя алгебраическую замкнутость поля F, находим, что в Х0
существует собственный вектор щ оператора е, так что Fy^ есть подмодуль
g-модуля Х0. Если X —простой g-модуль, то отсюда следует X = Fy)9 т. е.
dimX = l.
Таким образом, (/3) доказано. Остается применить индукцию по dimX.
Отсюда следует (а).
Упражнение. Если отбросить условие алгебраической замкнутости
поля F, то утверждение (/3) заменяется следующим: для каждого
простого g-модуля (X, 7г) алгебра jr(g) коммутативна. [Указание: пусть д, X —
расширение пары д, X над F, где_^ — алгебраическое замыкание поля F.
Если X — простой g-модуль, то X — полупростой g-модуль.]
17.5. Следствие, (i) Если алгебра g (над алгебраически замкнутым
полем F) разрешима, то ее присоединенное действие треугольно, т. е.
g обладает флагом идеалов
0 = f,0cf,1C...C^ = g, (17.5)
где dim ^/^„, = 1.
§ 17. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 125
(п) Если алгебра g нильпотентна, то ее присоединенное действие
строго треугольно, т. е. g обладает флагом (17.5), где
[fl,Wcb*_, (17.6)
для всех к = 1,..., п.
Действительно, (i) вытекает непосредственно из теоремы С. Ли. Если
алгебра g нильпотентна, то из (17.1) следует, что все операторы ad ж (хе
€ д) нильпотентны и потому строго треугольны относительно флага (17.5).
Отсюда следует (И).
Упражнения. 1. Алгебра g разрешима тогда и только тогда, когда
ее производная подалгебра д; нильпотентна. [Указание: действие д;
относительно флага (17.5) строго треугольно.]
2. Утвержде2ше (ii) справедливо для произвольного поля F. [Указание:
если g-модуль Х (в обозначениях п. 17.4) обладает ненулевым инвариантом,
то этим же свойством обладает g-модуль Х.]
Доказательство следующей теоремы независимо от теоремы С. Ли.
17.6. Теорема (Р. Энгель). Пусть gcEndX —линейная алгебра Ли,
состоящая из нильпотентных операторов (ап = 0 для всех а е д, где
п зависит от а). Тогда алгебра д нильпотентна и ее действие в
пространстве X строго треугольно.
Доказательство. Пусть f) фд — подалгебра алгебры д. Применяя
допущение индукции (по dimg) к присоединенному действию adF) в g/F),
находим, что это действие аннулирует некоторый ненулевой вектор в g/f).
Иначе говоря, существует е £ д, для которого е ^ f), [f), е] С f). В этом случае
J) ф Fe есть подалгебра алгебры д, содержащая f) в качестве идеала.
Применяя это правило последовательно, начиная с одномерной
подалгебры f)0, получаем после конечного числа шагов, что алгебра g обладает
идеалом коразмерности 1, так что g = f)©Fe. Согласно допущению
индукции, теорема верна для подалгебры J). Поэтому для каждого g-модуля ХфО
подпространство
Х0 = {хеХ: 1)х = 0}
отлично от 0. Заметим, что еХ0 С Х0. Действительно, для каждой пары h e \),
х € XQ имеем
h(ex) = e(hx) + [h, e]x = 0,
поскольку [/i, e] € f). Ввиду нильпотентности оператора е, существует
ненулевой вектор Xq e XQt для которого exQ = 0. Но тогда имеем да^ = 0, т. е. Fxq
есть одномерный (тривиальный) д-подмодуль.
Остается применить индукцию по dim X для построения инвариантного
флага в пространстве X, относительно которого действие алгебры g строго
треугольно. Отсюда также следует, что алгебра g нильпотентна.
17.7. Следствие. Условие нильпотентности (17.1) алгебры g
равносильно
(adx)n=0 (17.7)
для всех хед, где п—высота нильпотентности алгебры д.
Действительно, (17.1) влечет (17.7). Обратно, если (adx)m=0 для всех
х б д, где т зависит от ж, то действие ad g строго треугольно (по теореме
126
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Энгеля), алгебра g нильпотентна и в ней выполняется (17.1), где п — высота
нильпотентности алгебры д. Соответственно, т^п для всех х е д.
17.8. Корневые подпространства. Пусть X — произвольный д-модуль.
Для каждого А € д* пусть Хх — подпространство в X, состоящее из
векторов х G X, удовлетворяющих соотношениям
(а-\(а))пх = 0
для всех аЕ g (где п зависит от х).
Вектор А е д* называется корнем модуля X, если Хх фО. Элементы
ОфхеХх называются корневыми векторами модуля X.
Подпространство Хх называется корневым подпространством модуля X (отвечающим
корню А).
Заметим, что Хх содержит собственное (или весовое) подпространство
Хх модуля Хл состоящее из векторов х е X, для которых ах = А (а)ж (для
всех a eg). Более того, Хх фО только при Х^фО.
Если алгебра g коммутативна, то каждое подпространство Хх есть
подмодуль g-модуля Х (п. 4.5). Более того, из рассуждений п. 4.5 следует, что
X есть прямая сумма своих подмодулей Хх. Покажем, что эти результаты
остаются справедливыми для нильпотентных алгебр Ли.
17.9. Теорема (Фиттинг). Пусть g (dim g < оо) — нильпотентная
алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F. Тогда каждый
конечномерный Q-модуль X есть прямая сумма корневых подмодулей Хх
(А €д*):
Х = ®ХХ. (17.8)
Доказательство. Покажем вначале, что Хх есть подмодуль модуля
X. Применяя первую часть (8.9) к операторам а, Ь модуля X и заменяя в
этом тождестве а на а— А (а), получаем
(а-\(а))пЪх = 0 (17.9)
для элементов х € Хх (где п зависит от Ь, ж). Действительно, если п
достаточно велико, то либо Ь<*>=0 в (8.9), либо (а- \(а))п~кх = 0, откуда
следует (17.9). В результате ЪХХ с Хх для всех Ь е д, т. е. дХх с Хх.
Положим д = J)® Fe (п. 17.6), где t) — идеал алгебры д. Применяя
допущение индукции (по dimg) к подалгебре I), находим, что X есть прямая сумма
корневых подмодулей Х^ где p,el)*. Согласно (17.9), дХ^ с Х1^ Разлагая
X на корневые подпространства Хи(е) оператора е (п. 3.7), находим, что
X есть прямая сумма д-подмодулей
Хц„ = Х'ц П Хи(е),
где /х G f)*, veF. Применяя в этой ситуации теорему С. Ли, получаем
треугольное действие алгебры g в Х^ с одинаковыми собственными значениями
\(а) = X(a0 + te) = p(oq) + Щ
где а= Оо+te е g, a^ G1), t е F. В результате X = Хх, откуда следует (17.8).
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 127
Упражнение. Для каждого базиса е{ (г = 1,..., п) алгебры g имеем
хд=Пхд<<*),
гдеА. = А(е{). '-1
17.10. Следствие. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над алгебра-
ически замкнутым полем F. Тогда для каждой нилъпотентной
подалгебры f) с g алгебра g обладает разложением Фиттинга
относительно adf):
g = egA, (17.10)
где gA —корневое подпространство \j-модуля g (A e I)*).
Упражнения. 1. Докажите (индукцией по п) следующий аналог
тождества Лейбница (8.11):
(ada-a)n[x,y] = X;^[(ada-A)^(ada-/x)"-fc2/], (17.11)
к
для всех а е f), ж, у е д, а = А + /х.
2. Проверьте (используя (17.11)), что разложение Фиттинга (17.10) есть
градуировка алгебры д, т. е.
[0л,0,]СдА + , (17.12)
для всех А, р, Е 1)*.
Пример. Пусть I) = J)(n) — диагональная подалгебра алгебры g = gt(n).
Положим h = diag(tj,..., tn) e J), и пусть et(h) = t. (г = 1,..., n). Тогда
имеем:
[М*] = <М>*кл О7-13)
где е^. (г, j = 1,..., п) — стандартный базис в gl(n) (п. 16.4), сац = е{ — еу.
Отсюда получаем, что равенство
0 = 0о® Ев* (17-14)
с компонентами д0 = f), д.у = Fe.y есть разложение Фиттинга алгебры д
(относительно ()).
Заметим, что в данном случае действие ad f) диагонально, так что
корневые подпространства д0, д^- суть весовые подпространства, отвечающие
(соответственно) весам А =0, А = aijt
В дальнейшем мы увидим, что разложения Фиттинга (17.10)
представляют собой эффективный аппарат в структурной теории конечномерных
алгебр Ли.
§ 18. Билинейные формы
18.1. Билинейные формы. Билинейная форма / над алгеброй Ли g
называется инвариантной, если
fi[x,v),z) = f(x,[y,z)) (18.1)
128 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
для всех ж, у, z е д. Условие (18.1) может быть переписано в виде
/((ad а)ж, у) + /(ж, (ad а)у) = 0 (18.2)
для всех а, ж, г/ е g, что соответствует общему правилу (16.11) для
присоединенного действия алгебры д.
В частности, для каждого конечномерного g-модуля (Х, 7г) билинейная
форма
/(х,у) = 1гтг(ж)7г(2/), (18.3)
где ж, у е д, симметрична и инвариантна в алгебре д. Если dim д < оо, то
в этом определении можно рассматривать модуль (g, ad). Инвариантная
форма
(ж, у) = tr(ad ж • ad у) (18.4)
называется формой Киллинга алгебры д.
Мы будем использовать символ ортогональности ж J_ у относительно
формы Киллинга (18.4) (т. е. (ж, у) = 0). Соответственно, для каждого
подмножества f) С g символ [)х означает ортогональное дополнение к подмножеству
I) (т. е. множество всех ж е д, ортогональных ко всем у € f)).
Используя свойство инвариантности (18.2), находим, что для каждого
идеала fj с g его ортогональное дополнение f)1 также есть идеал алгебры д.
Условие дх=0 означает невырожденность формы Киллинга (18.4). Отметим
также следующие свойства формы Киллинга алгебры д.
(i) Сужение формы Киллинга на каждый идеал f) С д совпадает с
формой Киллинга идеала f).
(И) Если алгебра д разрешима, то д JL д;, где д; = [д, д] — производная
подалгебра алгебры д.
(Ш) Если алгебра д нильпотентна, то ее форма Киллинга тривиальна,
т. е. (ж, у) = 0 для всех ж, у б д.
Действительно, из включения (ad f))g С f) следует, что операторы ad ж
(х el)) имеют в соответствующем базисе бл очно-треугольный вид с
диагональными компонентами ас^ ж, 0, где ас^ ж — сужение оператора ad ж на
подпространство J). Поэтому
(ж, у) = tr(ad0 ж • ado у) = (ж, у)0
для всех ж, у е J), где (•, -)о — форма Киллинга алгебры fj. Отсюда
следует (i). Для доказательства (и) достаточно считать, что поле F
алгебраически замкнуто_(поскольку разрешимость алгебры g сохраняется при
расширении FhF). В этом случае (11) очевидно из треугольности операторов
ad ж (ж е д) и строгой треугольности операторов ad у (у е д'). Если алгебра
д нильпотентна, то отсюда также следует (ш).
Замечание. Условие (ж, у)=0 для всех ж, у е g равносильно (ж, ж) = 0
для всех ж G д. Действительно, заменяя в последнем случае ж на ж ± у и
используя симметричность формы Киллинга, получаем (ж, у) = 0.
Упражнения. 1. Если форма Киллинга алгебры g невырождена, то
алгебра g полупроста. [Указание: алгебра g не содержит коммутативных
идеалов, отличных от нуля. См. также упражнение 2 п. 17.3.]
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 129
2. Если F = R, (ж, ж) = 0 для всех х е д, то алгебра g нильпотентна.
[Указание: воспользуйтесь теоремой Энгеля.]
18.2. Корневые системы. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над
алгебраически замкнутым полем F. Фиксируем нильпотентную подалгебру
f)Cg и покажем, что разложение Фиттинга (17.10) обладает следующим
свойством ортогональности относительно формы Киллинга:
gx±Sfl при \+рфО. (18.5)
Действительно, из (17.12) следует
(adgA)(adgAI)gl/CgA+/i + l, (18.6)
для всех А, /х, v б fy*. Иначе говоря, для каждого оператора w = (ad z)(ad у),
где жедА, уЕдм, имеем
где е = А + /х. Предположим, что е^Ои упорядочим корни а е \f (для
которых да т^О) таким образом, чтобы а < а + е (для всех корней а).
Используя (18.7), находим, что оператор w нильпотентен, откуда tr w = 0, т. е.
(ж, 2/) = 0. Отсюда следует (18.5).
Обозначения. Пусть Л(д, ()) — множество всех корней алгебры д
относительно I) (т. е. множество тех А е \j*t для которых дЛ ^0). Положим
Д(Я.Ь) = А(в,Ь)\{0>. (18.8)
Корни А € Д(д, I)) называются собственными. Семейство (18.8) называется
(собственной) системой корней алгебры д относительно I).
Мы займемся более детальным изучением разложений Фиттинга (17.10).
Предварительно отметим (в соответствии с (17.12)), что д0 есть подалгебра
алгебры д, дА есть gQ-модуль (относительно действия adg) для всех А е
eA(g,f)).
18.3. Определение. Для каждой подалгебры f) с g множество
n(fj) = {aeg: (ada)t)Cl)} (18.9)
называется нормализатором подалгебры fj в алгебре д. Ясно, что n(f)) есть
наибольшая подалгебра алгебры д, содержащая f) в качестве своего идеала.
В частности, n(f)) содержит подалгебру
c«)) = {a€g:(ada)f, = 0},
называемую централизатором подалгебры I) в алгебре д. Если подалгебра
I) коммутативна, то I) с c(f)), так что в этом случае
ЪСс(Ъ)Сп(Ъ). (18.10)
Подалгебра f) с g называется картановской подалгеброй алгебры д, если
она нильпотентна и совпадает со своим нормализатором (18.9), т. е. f)=n(J)).
Если также I) коммутативна, то из (18.11) следует, что в этом случае
f) = c(f)). Последнее равенство означает, что подалгебра fy максимальна
ЮЗак. 184
130
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
в классе коммутативных подалгебр алгебры д. В этом случае также говорят
(для краткости), что I) есть максимальная коммутативная подалгебра
алгебры д.
18.4. Предложение. Для каждого разложения Фиттинга (17.10)
подалгебра 0О совпадает с нормализатором подалгебры I) в алгебре q:
0о = п«,). (18.11)
Доказательство. Поскольку подалгебра f) нильпотентна, ее
действие в f) строго треугольно (п. 17.5), откуда J)C0o. Согласно (18.9), имеем
также (ad f))n(f)) С f). Отсюда ясно, что некоторая степень оператора ad x
(х е I)) аннулирует п(()). Следовательно, u(f)) С Qq. Обратно, из
рассмотрения 0-инвариантных флагов
O = J)oCf)iC...C()n = 0o,
гДе ft? Ыcbi-v находим (индукцией по г), что fjt Сn(f)) для всех г = 1,...
..., п. Следовательно, 0О С n(f)). В результате получаем (18.11).
18.5. Следствие. Если I) — картановская подалгебра алгебры 0, то
разложение (17.10) принимает вид
0 = *)® Ед0*> (18.12)
где Д = Д(0, ()).
Иногда картановские подалгебры называют также регулярными
подалгебрами алгебры 0. Соответственно, разложение Фиттинга (18.12)
называется регулярным.
Вопрос существования картановских подалгебр решается положительно
над произвольным полем F. Мы рассмотрим, для простоты изложения,
случай F = С.
Общий случай намечен в п. 18.7.
Фиксируем х е 0, и пусть дх(х)— корневое подпространство оператора
ad ж, отвечающее корню XeF. Элемент хед называется регулярным,
если его нильпространство д0(х) имеет минимальную размерность среди
размерностей 0о(у), где у е 0.
18.6. Теорема. Каждая комплексная (конечномерная) алгебра Ли g
обладает картановской подалгеброй. А именно, для каждого
регулярного х е 0 его нильпространство gQ(x) есть картановская подалгебра
алгебры д.
Доказательство. Запишем корневое разложение алгебры д
относительно ad ж в виде
0 = 0о(*)©0+(*)> (18.13)
где д+(х) — сумма корневых подпространств дх(х) при Л ^0. Согласно
следствию 17.10 (для алгебры 1> = Сж), 0о(ж) есть подалгебра алгебры 0, д+(х)
есть 0о(ж)-модуль, т. е.
[0о(*),0Л*)]С0+(*)- О8-14)
Заметим, что х е д0(х) и оператор ad x невырожден в 0+(ж), т. е.
det(ad х) ф 0 в подпространстве д+(х). Поскольку det(ad у) есть полином
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 131
от у е д0(я), мы имеем det(ad y)^0 в некоторой окрестности точки х е
Ед0(ж). Поэтому в+(х) не содержит нулей оператора ad у, т. е. д0(у)Сд0(ж).
Поскольку х — регулярный элемент, отсюда следует д0(у) = д0(х)-
Таким образом, оператор ad у нильпотентен в д0(я), т. е. его
характеристический полином /(A) = det(A -adу) в подпространстве д0(х) имеет
вид Ап. Иначе говоря, /(А) имеет нулевые коэффициенты, за исключением
старшего коэффициента 1. Напомним, что у пробегает окрестность точки
x€gQ(x). Поскольку коэффициенты /(А) суть полиномы от у (п. 3.1), мы
имеем /(А) = Ап для всех у£д0(ж), т. е. оператор ad у нильпотентен в д0(ж).
Применяя теорему Энгеля, находим, что алгебра д0(ж) нильпотентна.
Поскольку х G д0(х), алгебра д0(х) не имеет нулей в д+(х), т. е. ее ниль-
пространство совпадает с д0(х). Но это означает (п. 18.5), что д0(х) есть
картановская подалгебра алгебры д.
Упражнение. Если х — регулярный элемент, то д0(х) есть
наибольшая нильпотентная подалгебра алгебры д, содержащая х.
18.7. Следствие. Теорема 18.6 справедлива для всех (конечномерных)
вещественных алгебр Ли.
Действительно, пусть g — вещественная алгебра Ли, g = g © ig — ее
комплексная оболочка. Легко проверяется (упражнение), что
Во(х) = 0П5о(х)
для всех х G д, откуда следует, что алгебра g обладает
разложением (18.13), где _
д+(я) = дПд+(ж).
Если х — регулярный элемент алгебры д, то х есть также регулярный
элемент алгебры д, так что д0(х) есть картановская подалгебра алгебры д.
В частности, д0(х) не имеет нулей в д+(ж), откуда следует, как и выше, что
д0(х) есть картановская подалгебра алгебры д.
Замечания. 1. Читатель, знакомый с топологией Зарисского, может
проверить (по аналогии с п. 18.6), что теорема 18.6 справедлива над каждым
алгебраически замкнутым (но тогда и над каждым) полем F.
2. Читатель, не знакомый с топологией Зарисского, может познакомиться
с ней в п. 30.6.
18.8. Лемма (char F = 0). Пусть g — алгебра Ли с разложением Фит-
тинга (18Л2). Положим z = [x, у], где хеда, у€д_а, так что ze\). Тогда
имеем:
tr(ad2)m = cma(2)m (18.15)
для всех т е Z+, где ст —-рациональное число, положительное при
четном га. В частности,
(z,z) = c2a(z)2. (18.16)
Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда a (z) ф 0
(откуда g±a т^О и множество Д непусто). Для каждого А е fy*
подпространство
g(A) = egA+jfctt,
к
10*
132 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
где fc e Z, инвариантно относительно тройки ж, у, z (где сумма конечна,
ввиду конечности Д). Поскольку ad z = [ad ж, ad у] и след коммутатора равен
нулю, мы имеем
Е%(А(2) + Ь(^)) = 0, (18.17)
*
где пк =dim gA + fea. Если А е Д, то сумма п = ]Г) nfc отлична от нуля и урав-
нение (18.17) можно разрешить относительно X(z):
\(z) = rxa(z),
где гА — рациональное число. Возводя это равенство в степень га и
суммируя по А € Д, получаем (18.15), где ст — сумма чисел гАш. В частности,
ст ^ О при четном га.
Заметим, что подстановка А' = А+а: сводится к замене пк на пк + 1. Отсюда
гА, — гА = 1. В частности, гх фО при некотором А е Д. Отсюда заключаем,
что ст ^ 0 при четном га.
18.9. Теорема (Э. Кдртан). Пусть g — конечномерная алгебра Ли над
полем С (либо над полем F характеристики 0). Тогда имеем:
(а) Если (ж, ж) = 0 (Эля всех ж е д, то алгебра д разрешима.
(/3) Алгебра д разрешима тогда и только тогда, когда д ± д'
(относительно формы Киллинга алгебры д).
(7) Алгебра д полупроста тогда и только тогда, когда ее форма
Киллинга невырождена.
Доказательство. Заметим вначале, что справедливость теоремы
над полем F влечет ее справедливость для каждого подполя F0 с F.
Поэтому можно считать, что поле F алгебраически замкнуто (в частности,
F=C).
(а) Если g = g', то подалгебра f) в (18.12) порождается компонентами
[ga, g_a], где a G Д. Применяя (18.16) к элементам z = [ж, у], где ж G gQ,
У € fl-a» и используя условие (г, z) = 0, получаем a(z) = 0 для всех a e Д,
откуда a(/i) = 0 для всех /i 6 f), что противоречит определению Д.
Следовательно, g ф д\ Аналогично, д' ^ д,; и т. д., откуда g(n) = 0 при некотором
п, т. е. алгебра g разрешима.
(/?) Если g ± д', то (ж, ж) = 0 для всех ж е д; и алгебра д' разрешима. Но
тогда и алгебра g разрешима (поскольку факторалгебра g/g; коммутативна).
Обратно, если алгебра g разрешима, то g J_g' (п. 18.1).
(7) Если ж G g1, то (ж, ж) = 0, так что д1 есть разрешимый идеал
алгебры д. Если алгебра д полупроста, то отсюда следует д1 = 0, т. е.
форма Киллинга невырождена. Обратная импликация уже отмечена в п. 18.1
(упражнение 1).
Упражнение. В общем случае (char F = 0) ядро формы Киллинга
совпадает с радикалом r(g) алгебры д, т. е.
gx = t(o). (18.18)
[Указание: рассмотрите (по аналогии с п. 18.2) оператор w = (ad ж)^ у),
где ж € д, у € а, а — коммутативный идеал алгебры д. Отсюда r(g) С д.
Обратное включение следует из (а) (при char F =0).]
§ 19. АЛГЕБРА U(fl) 133
18.10. Редуктивные алгебры Ли. Алгебра g называется редуктивной,
если она редуктивна как g-модуль, т. е.
0= eg,, (18.19)
i = 1
где дг (г = 1,..., п) — простые ad д-модули. В частности, все д{ суть идеалы
алгебры д, откуда
[Я.-»ЯЛ = 0 при гфз, [g*,fli] = 0 или д... (18.20)
Заметим, что подалгебра д' есть сумма подпространств [gt, gj.
Согласно (18.20), д' есть сумма компонент gt., для которых [gt, gj = gt.. Легко
проверяется также, что з(д) есть сумма компонент gt«, для которых [gt, gt] = 0.
В результате
0 = 0,в3(д). (18.21)
Поскольку подалгебра д; не содержит коммутативных идеалов, она
полупроста. Отсюда ясно, что радикал алгебры (18.21) совпадает с центром з(д)
алгебры д.
18.11. Определение. Алгебра д^О называется простой, если она
некоммутативна и V(g) = {0, д}, т. е. д не содержит идеалов, отличных от 0 и д.
Исключение коммутативных идеалов из числа простых есть традиция
теории алгебр Ли, связанная с альтернативой (18.20). В частности, д; в (18.21)
есть сумма всех простых идеалов алгебры д.
Упражнение. Проверьте (используя (16.21)), что алгебра sl(n)
проста при п Ф 1. Соответственно, алгебра gl(n) = F • 1 @sl(n) редуктивна.
18.12. Теорема (char F = 0). Алгебра g полупроста тогда и только
тогда, когда она представила в виде прямой суммы своих простых
идеалов (т. е. алгебра g редуктивна и з(д) = 0).
Доказательство. Пусть Ц — идеал алгебры д. Тогда f)0 = fjПf)1 есть
также идеал алгебры д, для которого (I)0, f)0) = 0. Используя свойство
инвариантности формы Киллинга, находим
Если алгебра g полупроста, то отсюда следует [fj0, f)0]=0, т. е. ()0 —
коммутативный идеал алгебры д. Следовательно, 1)0=0 (п. 18.1). Отсюда заключаем,
что g = f) © I)1 для каждого идеала fj С д, т. е. алгебра д редуктивна. Более
того, j(g) = t(g) = 0, т. е. д = д; — сумма простых идеалов алгебры д.
Обратно, если д есть сумма своих простых идеалов, то г(д)=з(д) = 0, т. е.
алгебра g полупроста.
Для дальнейшего исследования алгебр Ли нам понадобится новый
аппарат, связанный с ассоциативными оболочками алгебр Ли.
§ 19. Алгебра U(g)
19.1. Определение. Пусть g — произвольная (не обязательно
конечномерная) алгебра Ли над полем F. Пусть J — идеал тензорной алгебры Т(д),
порожденный элементами
[ж, у] - (ху - ух), (19.1)
134
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
где ж, у G д, [ж, у] — коммутатор в алгебре д. Факторалгебра
U(fl) = T(8)/J (19.2)
называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры д.
Пусть 7г — каноническая проекция Т(д) на U(g), e — сужение проекции
7г на подпространство Tt(g) = g. Поскольку 7г = 0 на элементах (19.1), мы
имеем
е([х,у]) = [Ф),еШ (19.3)
для всех ж, у е д, т. е. 6 есть гомоморфизм алгебры д в алгебру Ли U(g)
(относительно коммутатора [а, Ь] — аЪ — Ьа в алгебре U(g)).
Значение термина «универсальный» в определении U(g) определяется
следующим свойством универсальности алгебры U(g) в категории
ассоциативных алгебр над полем F.
19.2. Предложение. Для каждого гомоморфизма алгебр Ли <pQ: д—> А,
где А — унитальная алгебра над полем F, существует единственный
гомоморфизм унитальных алгебр (р: U(g)-> А, продолжающий </?0, т. е.
р(1)=1, <рое = (р0.
Доказательство. Отображение <р0 однозначно продолжается
(п. 12.1) до гомоморфизма унитальных алгебр <р: Т(д)—► А. В частности,
для каждой пары ж, у е g имеем
<р(жу - ух) = |>0(я), vb(y)] = ц>0([х, у]) = <р([ж, у]),
откуда заключаем, что <р=0 на элементах (19.1), т. е. </?(J) = 0.
Следовательно, <р есть функция классов, т. е. (р можно рассматривать как
гомоморфизм U(g)—► А.
В частности, ipoe = ip0 и равенство уь = ^Ь влечет (^-^)ое=0. Поскольку
р(1) = ^(1) и е(д) — система образующих алгебры U(g), мы имеем <р =
= ф всюду на U(g). Иначе говоря, гомоморфизм </?: U(g)—► А определяется
единственным образом.
Упражнение. Пусть А{ (г = 1,2) — унитальные алгебры над
полем F, снабженные гомоморфизмами е{: g—> Ait где еДд) порождает А^
и удовлетворяющие условию универсальности (вместо U(g)) относительно
гомоморфизмов <р0: g —> А (в категории унитальных алгебр). Тогда имеем
А\ ^ А2.
Отсюда следует, что алгебра U(g) определяется указанным свойством
универсальности с точностью до изоморфизма.
Исходя из этого, можем считать, что универсальная обертывающая
алгебра U(g) алгебры g определяется с точностью до изоморфизма.
Примеры. 1. Если алгебра g коммутативна, то U(g) = S(g).
2. Для каждого базиса е. (г е I) пространства g идеал J порождается
элементами (19.1), где x = eit y = ev Отсюда следует (ввиду свободности
Т(д)), что U(g) есть унитальная алгебра с генетикой
К>е,] = 1Хе4, (19.4)
к
где с£ —структурные константы (16.20) и коммутатор в левой части (19.4)
есть [a,b] = ab — ba.
§ 19. АЛГЕБРА U(g) 135
Таким образом, при отображении g»-+U(g) лиевский коммутатор (16.20)
заменяется на коммутатор Га, b] = ab - Ьа.
Поскольку соотношения (19.4) имеют квадратичный характер,
естественно предположить, что gfl J = 0, т. е. е: g —>U(g) есть вложение.
Действительно, это будет доказано в п. 19.7.
19.3. Следствие. Каждое представление 7г0: g -+ End X однозначно
продолжается до представления 7г: U(g)->EndX, /п. е. каждый &-мо-
дуль X можно рассматривать как Щ$)-модуль.
Обратно, каждое представление 7г: U(g) —► End X порождается
соответствующим представлением 7г0 = 7г о е алгебры д. В этом смысле
можно не делать различия между терминами *д-модуль» и «и(д)-лю-
дуль*.
Упражнения. 1. Для каждого g-модуля Х имеем
Ve(X) = VU(e)(X).
2. Для каждой пары g-модулей Х, Y имеем
Hom,(X, Y) = HomU(fl)(X, Г). (19.5)
Соотношение (19.5) означает, что отображение U: g—► U(g) определяет
ковариантный функтор из категории g-Mod в категорию U(g)-Mod.
Соответственно, теория представлений алгебры g сводится к теории
представлений алгебры U(g).
19.4. Фильтрация Un(g). Согласно (19.4), генетика алгебры U(g) не
однородна (относительно Z+'градуировки в Т(д)). Однако, алгебра U(g)
наследует фильтрацию алгебры Т(д) по ее степеням однородности.
А именно, для каждого базиса е{ (г е I) пространства g пусть Un(g) —
линейная оболочка одночленов е. ... е, (п. 8.1), где 0^ к < п. Тогда имеем
U(e)=UU„(fl). (19.6)
п = 0
Очевидно, определение Un(g) не зависит от выбора базиса е. (г е /),
семейство Un(g) не убывает, и также
Un(0)Um(g)cUn+m(g) (19.7)
для всех п, т е %+. Семейство ил(д) (n € Z+) называется канонической
фильтрацией алгебры U(g).
Согласно (19.4), операция коммутирования ad е,- (г е I) понижает длину
одночленов х е Un(g) на единицу, т. е. [g, Un(g)] С Un_ ,(g). Отсюда
(индукцией пот) получаем
[UJfl^U^lC^^.^fl). (19.8)
Условимся считать (не ограничивая общности), что множество индексов
/ линейно упорядочено. Используя (19.4), находим, что Un(g) есть линейная
оболочка одночленов
где г, < ... < гк (О < к < п).
136 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Если алгебра g коммутативна, то все коммутаторы в (19.8) тривиальны,
и одночлены (19.9) образуют базис векторного пространства U(g) = S(g).
В общем случае (19.8) позволяет установить определенную связь между
векторными пространствами U(g), S(g).
А именно, пусть RJg) = Un(g)/ Un_ j(g), где U0(g) = F • 1. Векторное
пространство
R(0)= ®KW (19.10)
n = 0
естественно снабжается структурой градуированной алгебры
(факторизация Un(g)Um(g) no Un+m_1(g)). Алгебра (19.10) называется
градуированной алгеброй, ассоциированной с фильтрацией (19.6).
Применяя (19.8), находим, что для каждой пары х е Un(g), ye\Jm(g)
коммутатор [ж, у] имеет нулевой образ в R„+m(g). Иначе говоря, [х, у] — 0
для каждой пары х е R«(g), у е Rm(g) — но тогда и для всех ж, у е R(g).
Следовательно, алгебра R(g) коммутативна.
Используя свойство универсальности алгебры S(g) (п. 12.4), находим, что
отображение ei i-+ е- (г el) определяет гомоморфное накрытие
w:S(g)^R(g). (19.11)
Следующая теорема называется теоремой Пуанкаре — Биркгофа —
Витта (сокращенно ПБВ).
19.5. Теорема (ПБВ). Для каждого базиса е{ (г el) векторного
пространства g одночлены (19.9) при гх ^ ... ^ ik образуют базис
векторного пространства U(g).
Помимо этого имеем:
(i) Отображение е. -п н-» е. in определяет изоморфизм векторных
пространств S(g)«U(g).
(ii) Отображение е. н-» е{ (i e I) определяет изоморфизм
градуированных алгебр (19.11).
Доказательство. Пусть F[x] — алгебра полиномов от системы
независимых переменных я = (ж,)<€/. Покажем, что F[x] можно наделить
структурой g-модуля таким образом, чтобы
va0>-v.*. <1912>
для всех гх < ... ^ гп. Здесь х^ in — аналог (19.9) при подстановке е. н+ х{
(г el). Поскольку одночлены (19.12) линейно независимы в F[x]9
отсюда будет следовать линейная независимость (т. е. базисность)
одночленов (19.9).
Ясно, что отсюда также вытекают утверждения (i), (ii).
Таким образом, для завершения доказательства достаточно построить
искомый g-модуль F[x].
19.6. Модуль F[x]. Условие (19.12) будет выполнено при п= 1, если
положить е£(1) = ж. (г el). Предположим, что условие (19.12) выполнено
при данном п и определим индуктивный шаг п н-> п + 1. Положим
Х(Р) = ХР1...РП ПРИ P = (ft»---iA)i
и пусть 1(р) = п — длина слова х(р).
§ 19. АЛГЕБРА U(fl) 137
Условимся считать (не ограничивая общности), что множество / вполне
упорядочено, и пусть операторы ej уже определены при j < г с
выполнением условия (*): ejx(p) есть линейная комбинация одночленов x(q)
при /(g)^i(p) + 1. Оператор ei на одночленах х(р) определяется теперь
следующим образом:
е{х(р) = х{х(р) при »<Ри (19.13)
еЛе3х(я)) = е3(егх(я)) + К, ej]x(q) при г > д (19.14)
где имеется в виду подстановка х(р) = ejx(q) в (19.14), т. е. j = р{.
Помимо этого, имеется в виду, что операторы е{ и их линейные комбинации (в
том числе [е0е ]) уже определены на одночленах l(q), где l(q) = n (при
1(р)=п+1).
Ясно также, что условие (*) сохраняется при индуктивном переходе
пнп + 1. Таким образом, соотношения (19.13), (19.14) однозначно
определяют операторы ei {% е I) во всем пространстве F[x],
Используя свойство универсальности алгебры Т(д), продолжим
отображение е( i-+ е{ до действия <р алгебры Т(д) в пространстве F[x]. Остается
проверить, что <p(J) = 0, т. е. действие ip согласовано с генетикой алгебры
U(g). Иначе говоря, мы должны проверить, что
е<еуж(р) = е3е(х(р) + [е0 е^х(р) (19.15)
для всех г, j e I и всех значений р.
Достаточно (ввиду антисимметрии) проверить (19.15) при i>j. Если
3 ^Pi$ то ejx(p) = xjx(p) (по правилу (19.13)) и равенство (19.15) вытекает
из (19.14) (с подстановкой q »-+р). Остается рассмотреть случай г > j > к,
где к = р{. В этом случае (19.15) сводится к тождеству
(еда): (е;е, - еуе.)е,ж(д) = [е„ еу]е4ж(д),
где ж(р) = ekx(q), т. е. g = (р2,..., рп).
Определим лексикографическую упорядоченность в I2, полагая (г, j) >
> (к, /), если г > к либо г = kf j > I, так что множество Р вполне
упорядочено. Предположим, что (eijk) уже доказано при замене пары (г, j)
произвольной парой (г', f) < (г, j). Тогда соотношения
(£;ы) = (г*Д (^) = (^у)
уже доказаны. Прибавляя к этим соотношениям (еще не доказанное)
тождество (eijk), получаем
7**(g) = 7**(9), (19.16)
где 7yjb = 7(e*> еу» ek) есть левая часть тождества Якоби (16.2). Здесь ~fijk в
левой (соответственно, правой) части (19.16) определяется коммутатором в
EndF[x] (соответственно, коммутатором алгебры д). Поэтому левая часть
равна нулю (во всем пространстве F[x]) и правая часть равна нулю по
допущению индукции (19.15) (с подстановкой р>-+ q).
В результате получаем, что исходное тождество (eijk) также выполняется,
т. е. F[x] есть g-модуль. Поэтому теорема ПБВ также доказана.
9 Зак. 184
138
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
19.7. Следствие. Отображение е: g —> U(g) есть гомоморфное
вложение алгебры g в алгебру Ли U(g) (с коммутатором аЬ — Ьа).
Действительно, образы базисных элементов е. (г el) линейно
независимы в U(g).
Таким образом, алгебра g канонически вкладывается в ассоциативную
алгебру U(g), так что лиевский коммутатор [а, Ь] в алгебре g превращается
в U(g) в коммутатор аЬ — Ьа.
Упражнения. 1. Для каждой подалгебры д{ с g и каждого векторного
разложения g = д{ ф д2 отображение х ® у н-+ ху определяет изоморфизм
векторных пространств
U(fl)« U(01) ® S(02)« S(02) ® U(fll). (19.17)
2. В условиях (19.17) имеем
U(fl)« Щ01) e U(fl)02« U(01) ф 02 U(fl). (19.18)
3. Если g=g!©g2 — прямая сумма идеалов, то (19.17) записывается в виде
U(g)«U(fll)®U(fc). (19.19)
4. Докажите (используя изоморфизм U(g) « S(g)), что алгебра U(g) не
имеет делителей нуля. [Указание: алгебра F[x] не имеет делителей нуля
(п. 15.10).]
Согласно общему правилу (п. 16.2), присоединенное представление
(ad, g) продолжается до действия алгебры g дифференцированиями алгебры
Т(д). Легко проверить, что это действие аннулирует идеал J (п. 19.1), так
что g действует дифференцированиями алгебры U(g) (аналогично, S(g)).
Для исследования связи между этими действиями рассмотрим
отображение а\ S(g) -* U(g), определяемое на базисных одночленах по правилу
*(*(*)) = i £ еИ0> (19-2°)
где e(k)=ek k при fc=(fcn..., kn). Отображение (19.20),
определяемое симметрическими группами Sn, называется симметризацией а:
S(g)-U(g).
19.8. Предложение. Пусть a: S(g)-^U(g)—• отображение
симметризации (19.20). Тогда имеем:
(i) сх(хп) = хп для всех х Е g, n G Z+ (где правая часть означает хп е
€U(g)).
(ii) Отображение а однозначно определяется соотношениями (i) (для
всех же д, neZ+).
(iii) Отображение о определяет изоморфизм ^-модулей S(g), U(g).
Доказательство. Утверждение (i) очевидно при х = 0. Если хф0,
то можно считать, что х = е{ — один из базисных элементов
пространства д. В этом случае (i) есть следствие общего правила (19.20). Заметим
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 139
также, что S(g) обладает базисом, составленным из элементов хп (х е д,
п G Z+). Отсюда следует (ii). Применяя общее правило дифференцирования
х' = (ad а)х к элементам а, ж е д, получаем а((хп)') = (хп)' для всех п е Z+.
Отсюда следует (Ш).
19.9. Оператор Д. Мы будем рассматривать U2(g) = U(g) <g> U(g) как
алгебру с покомпонентным умножением (п. 8.1). Используя свойство
универсальности алгебры U(g), находим, что соотношение
Дж = ж® 1 + 1 ®ж, (19.21)
где х е д, продолжается до гомоморфизма алгебр A: U(g) -+ U2(g).
Отображение А называется диагональным гомоморфизмом в алгебре U(g).
Пример. Если алгебра g коммутативна, то отображение е{ н-> х{
(п. 19.5) определяет изоморфизм U(g) « S(g) « F[x]. Нетрудно видеть,
что соответствующее диагональное отображение в этом случае имеет вид
Af(x,y) = f(x + y)(n. 13.3).
Элемент х е U(g) называется примитивным, если он удовлетворяет
соотношению (19.21).
19.10. Теорема. Если char F = 0, то множество П(д) всех
примитивных элементов х е U(g) совпадает с подпространством д С U(g).
Доказательство. В коммутативном случае (п. 19.9) примитивность
элемента / е F[x] сводится к его аддитивности, т. е.
/<* +у) = /(*) + /(»)• (19.22)
Очевидно, (19.22) сводится к тому, что все однородные компоненты fm
полинома / аддитивны. Полагая / = /т, получаем
2f(x) = f(2x) = 2mf(x), (19.23)
что возможно (при / ф 0) только при т = 1. Отсюда deg / = 1 для всех
0^/<ЕП(д), т. е. /€д.
В общем случае достаточно заметить, что А индуцирует диагональный
гомоморфизм коммутативных алгебр R(g)«S(g). Следовательно, Ri(g) = g
есть множество всех примитивных элементов алгебры R(g). Поднимаясь в
U(g), получаем П(д) С F • 1 ф д. Легко проверяется, что элемент А • 1 + х
(х е д) примитивен только при А = 0. В результате П(д) = д.
§ 20. Полупростые алгебры Ли
20.1. Элементы Казимира. Пусть д — конечномерная алгебра Ли,
наделенная невырожденной инвариантной симметрической билинейной формой
/. Из невырожденности / следует существование канонического
изоморфизма g«g* (п. 2.7). Инвариантность формы / в данном случае означает,
что этот изоморфизм есть также изоморфизм д-модулей.
Здесь имеется в виду присоединенное действие (ad, g) и его
сопряженное действие (coad, g*), где coada=-(ada); (п. 16.2). Представление coad
называется коприсоединенным представлением алгебры д.
9*
140
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Напомним (п. 16.2), что канонический изоморфизм Endg«g®g* есть
также изоморфизм g-модулей. Рассмотрим следующую цепочку изоморфных
д-модулей:
Endg«g®g*«g®g = T2(g). (20.1)
Заметим, что единичный оператор 1 G End g записывается в g ® g в виде
суммы элементов е£ ® eit где eiiei (г = 1,..., п) — два дуальных базиса в g
(т. е. /(е{, е^ = 6{А, n = dimg. Применяя к этому элементу каноническую
проекцию Т(д) —► и(д), получаем квадратичный элемент
z=±ei£i (20.2)
г = 1
в алгебре U(g). Из этой конструкции следует, что элемент (20.2) не зависит
от выбора базисов в алгебре g и централен, т. е. z e Z(g), где Z(g) — центр
алгебры U(g).
Полученный элемент (20.2) называется элементом Казимира алгебры g
(ассоциированным с билинейной формой /).
Примеры. 1. Пусть g — полупростая алгебра Ли над полем F
характеристики 0. Для каждого точного конечномерного g-модуля (Х, 7г)
билинейная форма
/^y) = trir(*)ir(y) (20.3)
инвариантна (п. 16.2) и невырождена в д. Действительно, ее ядро дх есть
разрешимый идеал алгебры g (по теореме Картана), откуда дх = 0. Заметим,
что в этом случае
tr ф) = ± tr ф,)Фд = ± Д(е0 е{) = dim g, (20.4)
t=i t=i
где z — элемент Казимира, ассоциированный с формой Д.
2. Элемент Казимира, ассоциированный с формой Киллинга алгебры д,
называется кратко элементом Казимира алгебры д.
Примеры. 1. Если д — простая алгебра Ли над алгебраически
замкнутым полем F, то все инвариантные билинейные формы в алгебре g
коллинеарны между собой (по лемме Шура) и потому коллинеарны форме Киллинга
алгебры д.
2. Элемент Казимира алгебры g=sl(2) имеет (с точностью до нормировки)
следующий вид
z = \h(h + 2) + fe, (20.5)
в обозначениях п. 16.4.
Если поле F алгебраически замкнуто, то элемент (20.2) (как и всякий
элемент z € Z(g)) скалярен в каждом простом конечномерном g-модуле Х.
Этот факт будет использован при доказательстве следующей теоремы.
20.2. Теорема (Г. Вейль). Пусть char F = 0 и g — полупростая
(конечномерная) алгебра Ли над полем F. Тогда каждый
конечномерный g-модуль Х полу прост.
Доказательство. Исходя из соображений индукции (по dimX),
можем считать доказанным, что максимальный подмодуль Y фХ полупрост.
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 141
Остается доказать, что X — Y ® Z, где Z e V(X) (Z « X/Y — простой
g-модуль).
Повторяя стандартные рассуждения линейной алгебры (см. замечание в
конце п. 3.10), находим, что решение этой задачи сводится к ее частному
случаю, когда Y есть простой g-модуль. Можно также считать (переходя к
алгебраическому замыканию поля F), что поле F алгебраически замкнуто.
1. Случай codim Y = 1. В этом случае q(X/Y) = 0 (п. 16.2).
Исключая тривиальный случай д(Х) = 0 и заменяя, если надо, g на g/AnnX,
можем считать, что X есть точный g-модуль. Применяя (20.4) к элементу
Казимира z, ассоциированному с формой (20.3), получаем z = А • 1 в Y, где
A dim Y = dim g,
откуда А т^О. С другой стороны, z(X/Y) = 0. Отсюда следует, что Y
дополняется нильпространством Z = ker z, т. е. X = Y @ Z. Используя
центральность элемента z, получаем Z E V(X).
2. Общий случай. Используем известный прием для сведения
общего случая к случаю 1. А именно, рассмотрим End X как g-модуль (п. 16.2),
и пусть М (соответственно, N) — множество всех операторов aeEndX,
переводящих X в Y и скалярных (соответственно, равных нулю) в
подпространстве Y. Ясно, что М, N суть подмодули в EndX, dim(M/JV) = 1.
Применяя к этой паре результат (1), получаем М = N ф Fw, где weM —
инвариантный элемент, w\Y ф0. Отсюда X = Y ф Z (по аналогии со
случаем 1), где Z = ker ги. Остается заметить, что инвариантность элемента w
означает [g, w] = 0. Поэтому Z e V(X).
Замечание. Первоначальное доказательство Г. Вейля имело
топологический характер и основывалось на связи между алгебрами Ли и группами
Ли. Мы отметим это оригинальное доказательство в п. 47.5.
20.3. Следствие (сЬаг^=0). Пусть g — конечномерная алгебра
Ли, \)—ее полупростой идеал. Тогда имеем:
fl = b®cfo), (20.6)
где c(t)) — централизатор подалгебры J) (п. 18.3).
Доказательство. Согласно теореме Вейля, имеем д = I)ф8, где t —
идеал алгебры д. Отсюда [fj,£] = 0, т. е. tCc(f)). С другой стороны, из
равенства a(fj) = 0 имеем I) П c(f)) = 0, откуда следует (20.6).
20.4. Следствие (char F =0). Если алгебра g полупроста, то каждое
ее дифференцирование 6eD(g) внутреннее, т. е. S = ad x при некотором
(единственном) х е д.
Доказательство. Пусть Ц,(д) С D(g) — идеал, составленный из
внутренних дифференцирований алгебры g (п. 16.2). Поскольку 3(f)) = О,
отображение х »-* ad х инъективно, откуда заключаем, что g « Д>(в) (И30"
морфизм алгебр Ли). Применяя в этой ситуации (20.6), получаем
Я(0) = А>(0)©С(0),
142
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
где С(д)— централизатор DQ(g) в D(g). Напомним (п. 16.2), что
[<5,adx] = ad 6(х)
для каждого S e D(g). Полагая в этом равенстве 8 е С(д), получаем
ad 5(ж) = 0, откуда 6(х) = 0. В результате С(д) = 0, т. е. £>(д) = Д>(д).
20.5. Теорема (Леви). Пусть д — конечномерная алгебра Ли над
полем F характеристики О, г(д) — радикал алгебры д (п. 17.3). Тогда
имеем
g = s©t(g) (20.7)
(прямая сумма векторных пространств), где s — полупростая
подалгебра алгебры д.
Доказательство. Задача состоит в отщеплении полупростой фак-
торалгебры
flo = flA(fl)
от радикала r(g). Доказательство сводится к следующим этапам.
1. Случай г(д) = з(д). В этом случае присоединенное действие t(g)
в алгебре g тривиально, т. е. алгебра д0 действует в д. Применяя к этому
действию теорему Вейля, получаем (20.7), где s « g0 — полупростая
алгебра Ли.
2. Случай [r(g), r(g)] = 0, з(д) = 0. Применяя конструкцию (2) п. 20.2
к д-модулю X = g с подмодулем Y = r(g), получаем цепочку подмодулей
iVcMcEndg, (20.8)
где dim(M/iV) = 1. Напомним, что для каждого теМ выполняются
соотношения
mjct(j), (m-A(m))t(g) = 0 (20.9)
при некотором А е М\ A(JV) = 0. Отличие данной ситуации от п. 20.2
состоит лишь в том, что алгебра g не полупроста. Однако, можно свести
рассмотрение к полупростой факторалгебре д0.
А именно, для каждого х е r(g) оператор m = ad x удовлетворяет
соотношениям (20.9) при А(т) = 0 (ввиду коммутативности радикала t(g)).
Отсюда следует, что N0 = ad r(g) есть подмодуль g-модуля End g, содержащийся
в N. Помимо этого, для каждой пары пе NQf m e M находим из (20.9)
пт = 0. Ясно также, что тп = A(m)n. Отсюда
in, ml = — A(m)n. (20.10)
В частности, [N0, M] С NQ. Факторизуя цепочку (20.8) по NQ и применяя
результаты (2) п. 20.2 к факторалгебре д0, получаем М = N © Fm, где
[adg,m]cJV0, A(m)^0. (20.11)
Полагая A(m) = -1 и используя (20.10), (20.11), получаем для каждого хед
[ad х, m] = ad у (ye r(g)), [ad у, m] = ad y, (20.12)
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 143
откуда [ad(z—у), т]=0, т. е. х—yeAnn(m) (относительно присоединенного
действия в алгебре д). Следовательно, х = у + z, где z € Ann(m).
Согласно (20.12), включение уеАпп(га) влечет ady = 0, т. е. у = 0
(поскольку j(g) = 0). Иначе говоря, г(д) П Апп(га) = 0 и разложение х = у + z
однозначно. В результате получаем (20.7), где s = Ann(m).
3. Случай [t(g),t(g)] = 0. Применяя теорему Вейля к действию д0
в г(д), находим, что r(g) есть полупростой д0-модуль. Задача отщепления д0
от г(д) сводится теперь (стандартным способом) к случаю, когда r(g) есть
простой д0-модуль. Если [д0, г(д)] = 0, то г(д) ==з(в)- Если [g0, t(g)] = t(g), то
3(д) = 0. Согласно (1), (2), во всех этих случаях имеем (20.7).
4. Общий случай. Полагая fj = [r(g), t(g)] и применяя (20.7) к
факторалгебре g/f) (с коммутативным радикалом), получаем
0/f) = so©t(fl)/fb
где s0 — полупростая подалгебра в g/fj. Полагая g = 7r_I(so) (к—
каноническая проекция g —► g/f)), получаем t(g) = f). Рассуждая индуктивно (по
высоте разрешимости r(g)), получаем g = s®^, где алгебра s полупроста.
Отсюда
g = s + r(g).
Остается заметить, что s П r(g) = 0 (поскольку s не содержит разрешимых
идеалов). В результате получаем (20.7).
20.6* Комментарии. Согласно (20.7), подалгебра s есть максимальная
полупростая подалгебра алгебры g (т. е. в максимальна в классе
полупростых подалгебр алгебры д).
Существенное уточнение теоремы 20.5 (принадлежащее А. Мальцеву)
состоит в том, что алгебра s в разложении Леви (20.7) определяется
однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры д. Теорема 20.5
в этой форме называется теоремой Леей —Мальцева,
Еще одно уточнение теоремы 20.5 состоит в учете действия [5, r(g)] С t(g).
А именно, будем говорить, что алгебра Ли g есть полупрямое
произведение своих подалгебр s, t, если
g = s0t, [s,t]Ct. (20.13)
Согласно этому определению, равенство (20.7) определяет разложение
алгебры g в полупрямое произведение подалгебр s, r(g).
Заметим, что действие (20.13) алгебры s в алгебре t записывается в виде
[а,у]=*(а)й (20.14)
где 8 (х) G D(i) — сужение оператора ad x на подпространство t.
Отсюда ясно, что определение полупрямого произведения можно
перенести на каждую пару алгебр Ли s, t, если алгебра s действует
дифференцированиями 6(х)е D(t). А именно, равенство (20.14) определяет структуру
алгебры Ли в прямой сумме векторных пространств g = s Ф t.
144
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Пример. Если t — коммутативная алгебра Ли, то алгебра (20.13)
может быть реализована как алгебра формальных матриц
1=(о 5)"
с элементами s e s, t e t и действием 6(s)t = st.
Упражнение. Если алгебра g не проста как ad g-модуль, то ее можно
представить в виде полупрямого произведения g = s © t, где s, t Ф 0.
20.7. Теорема (критерий редуктивности). Положим char F=0, и
пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем F. Конечномерный
д-модуль X полупрост тогда и только тогда, когда t(g) -модуль X
полупрост. Более того, в этом случае
[g>t(g)] = 0 в модуле X (20.15)
Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда поле F
алгебраически замкнуто. Применяя теорему С* Ли к g-модулю Х фО,
находим, что X содержит хотя бы одно ненулевое подпространство
Хх={хеХ: аж = А(а)х, Vaet(g)}. (20.16)
Легко проверяется (по аналогии с п. 17.4), что Хх есть подмодуль д-моду-
ля X. Если X —полупростой g-модуль, то отсюда следует (индукцией по
dimX), что
Х=®ХХ, (20.17)
где A G r(g)*. Заметим, что действие алгебры g в (20.17) перестановочно со
скалярным действием t(g) в Хх. Отсюда следует (20.15).
Обратно, если X —полупростой g-модуль, то мы имеем (20.17) с
компонентами (20.16). Заменяя алгебру g ее образом g0 = g/AnnX в EndX и
используя (20.15), получаем г(д0) = з(д0). Согласно теореме Леви, имеем
до = *о©з(0о). (20.18)
Применяя теорему Г. Вейля к действию полупростой алгебры Ли s0 в 1А,
находим, что Хх есть полупростой д0-модуль для каждого A Gj(g0)*. Отсюда
заключаем, что g-модуль Х полупрост.
20.8. Следствие. Если алгебра g обладает точным полупростым
д-модулем X (dim X < оо), то r(g) = j(g).
Действительно, это следует (при g = g0) из (20.18).
20.9. Следствие. Для каждой пары полупростых g-модулей Х, У
(dim X, dim Y < оо) их тензорное произведение X ® Y есть полупростой
g-модуль.
Действительно, можем считать, что поле F алгебраически замкнуто.
Согласно теореме 20.7, действие r(g) в модулях X, Y диагонально. Но тогда и
действие r(g) bX0F диагонально. Применяя снова теорему 20.7,
заключаем отсюда, что X ® Y есть полупростой g-модуль.
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 145
20.10. Следствие. Если X (dimX <oo) есть полупростой д-модуль,
то его тензорная алгебра Т(Х) есть также полупростой д-модуль.
Действительно, из следствия 20.9 получаем (индукцией по п), что каждая
компонента Тп(Х) есть полупростой g-модуль, но тогда это верно и для
алгебры Т(Х).
Упражнения. 1. Положим char F = 0. Если X — полупростой
д-модуль, то каждый из g-модулей X*t EndX, S(X), A(X) полупрост.
2. Аналогично, если X, Y — два полупростых (конечномерных) д-модуля,
то g-модуль Hom(X, Y) полупрост.
§ 21. Свободные алгебры Ли
21.1. Ряды Пуанкаре. Пусть V — векторное пространство,
градуированное конечномерными подпространствами Vn, где п eZ+. Формальный ряд
DimV= ®(dimVn)tn, (21.1)
n = 0
где Dim V е F[[t]]t называется рядом Пуанкаре пространства У.
Очевидно, отображение V н+ Dim V аддитивно по отношению к прямой
сумме, т. е.
Dim( V е W) = Dim V + Dim W. (21.2)
Помимо этого, отображение V»-»Dim V мультипликативно по отношению
к тензорному произведению, т. е.
Dim( V ® W) = Dim V • Dim W. (21.3)
Действительно, однородная компонента (V®W)n есть прямая сумма
слагаемых V ® Wq при р + q = п, что совпадает с правилом умножения
формальных рядов Dim Vt Dim W.
Пример. Пусть F[x] = F[x{,..., хп] — градуированная алгебра с
градуировкой deg х- = 1 (г = 1,..., п). Тогда имеем
Dim F[z] = (!-*)-".
Действительно, это верно при п = 1 (в этом случае dim Fk[x] = 1 для всех
k e Z+). Остается применить (21.3). Аналогично, если degcc£ = ei (i = 1,...
711 TO
DimF[z]=nO-£iO-1. (21.4)
» = i
Использование рядов Пуанкаре удобно также при изучении свободных
алгебр Ли L(e) (п. 16.6).
21.2. Теорема. Пусть А(е) — свободная ассоциативная алгебра,
порожденная семейством e = (et)i6/. Тогда имеем:
(a) U(L(e)) = A(e).
146
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
(/?) Если а = card I < оо, то размерности lp = dim Lp(e) связаны
соотношениями
Е^ = «", (21-5)
р\п
где п е N и сумма берется по всем делителям числа п (т. е. р\п). В
частности,
*, = <*, h = ^f^, h = 2i2TJ1- (21-6)
Доказательство, (а) Согласно предложению 16.7, отображение
ei ■-* ei (г € I) поднимается до гомоморфизма алгебр Ли (р: L(e) -> А(е).
В свою очередь, этот гомоморфизм поднимается (п. 19.2) до
гомоморфизма ассоциативных алгебр <р: U(L(e))—► А(е). В частности, <р определяет
изоморфизм векторных пространств L{(e)« Ах(е). Обратное отображение
е% *~* ei (г € /) поднимается (в силу универсальности А(е)) до гомоморфизма
ассоциативных алгебр ф\ А(е) —> U(L(e)), так что (рф = г1хр = \ (поскольку
это верно на образующих et). Следовательно, ц> есть изоморфизм.
(/?) Напомним, что dege^ = 1 в алгебре А(е) и одночлены е{ ... ein
образуют базис в Ап(е) при фиксированном п. Поэтому dim Ап(е) = ап" и ряд
Пуанкаре алгебры А(е) записывается в виде
DlmA(e) = (l-at)-1. (21-7)
С другой стороны, для каждого базиса /. (j e J) векторного пространства
L(e) одночлены
/Ль...,0 = (ДГ'..(/.тГ'". (21-8)
где v = (их,..., vn) е Z+, г, <... < гт (относительно линейной
упорядоченности в J), образуют базис в U(L(e)) = A(e). Можно, в частности, считать,
что элементы fi (j G J) однородны, откуда
m
deg/^i,...,0=£^fc, (21.9)
где dj = deg/i (j G J). Отсюда
Jb = l
DimA(e)= ПО-tV- (2U0)
Действительно, коэффициент этого ряда при tn есть число разбиений (21.9)
числа п, т. е. совпадает с dimAn(e). Группируя в (21.10) сомножители с
одним и тем же dj=p1 получаем
DimA(e)= ПО-*')"^ (21П)
где lp = dimLp(e). Таким образом, ряды (21.7), (21.11) совпадают.
Применяя к этим рядам операцию логарифмирования (определенную в F [[£]]),
получаем «, ж , .кр оо „,п
ЕЕЧ—Е^. (21-12)
что равносильно (21.5).
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 147
Упражнения. 1. Пусть р — функция Мебиуса, определяемая по
правилу оо
П(1-Г)=Ем(Ф"с5 (21.13)
р п = 1
где р пробегает множество простых чисел (так что (21.13) есть С(5)~1> гДе
С —функция Римана). Тогда имеем
nln = J2v(k)<*n/k. (21.14)
k\n
2. Алгебра п = п+(3) обладает генетикой [ж, [ж, у]] = О, где х = еи у = е^
(либо х = е2,у = е{). [Указание: используйте (21.6) при а =2.] Заметим
также, что алгебра U(n) имеет генетику 0(ж, у) = 0(у, х) = 0, где
в(х, у) = х2у - 2хух + ух2. (21.15)
21.3. Следствие. Если char F = 0, mo £(e) совпадает с множеством
примитивных элементов алгебры А(е), /п. е.
L (е) = {хе А(е): Ах = х <8> 1 + 1 <8> х}, (21.16)
где Д: А (е) -> А2 (е) — диагональное отображение (19.21), определенное
при g = L(e).
21.4. Алгебра А(е). Пусть А(е), L(e) — пополнение (соответственно)
A(e),L(e), определяемое по правилу
A(e)=f[An(e), L(e)= ft Ln(e). (21.17)
n=0 n=l
Согласно (21.17), элементы хеА(е) (соответственно, xeL(e)) можно
рассматривать как формальные ряды с компонентами хпеАп(е)
(соответственно, хп е Ln(e)). Положим также
А2(е)= П An(e)®Am(e), (21.18)
тц т= 1
так что А2(е) есть пополнение алгебры А2(е) = А(е) <8> А(е). _
Повторяя £ассуждения пп. 13.2, 13.3, находим, что операции р: А2(е)—►
—>А(е), Д:А(е)—>А2(е) непрерывны относительно стандартных топологий
в (21.17), (21.18). Отсюда заключаем, в частности, что равенство (21.16)
сохраняется при замене А(е), LJ^e) (соответственно) на А(е), L(e).
Пусть М (соответственно, М) — идеал алгебры А(е)
(соответственно, А(е)), составленный из рядов с нулевым свободным членом в (21.17).
Заметим (по аналогии с п. 13.4), что операция подстановки у = /(ж)
корректно определена для элементов х е М и формальных рядов f(t)e F[[t]]
от одной независимой переменной t. Здесь существенно, что степени хп
(п € Z+) взаимно перестановочны.
В частности, мы будем рассматривать (взаимно обратные) отображения
exp: M-+1+M, In: 1+М-^М. (21.19)
148
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Элемент у е А(е) называется групповым (или группоидным), если
Ду=у <g> у.
21.5. Лемма (char F=0). Отображения (21.19) определяют^биекцию
между множеством Р(М) всех примитивных элементов хеМ и
множеством G(M) всех группоидных элементов у Е 1 Ф М.
Доказательство. Полагая у = ехр ж, где х Е Р(М), и используя
непрерывность оператора А, находим
Ау = ехр Ах = ехр(ж ® 1) ехр(1 <8> ж) = у ® у,
т. е. уЕ G(M). Обратно, полагая ж = 1пу, где уЕ G(M), получаем
Дж = In Ду = 1п(у ® у) = ж ® 1 + 1 ® ж,
т. е. ж Е Р(М).
21.6. Теорема (Кемпбелл — Хаусдорф). Положим char F=0. Тогда
для каждой пары ж, у Е Р(М) существует единственный элемент z =
= г(ж, у) Е Р(М), для которого
ехр ж • ехр у = ехр z. (21.20)
Доказательство. Достаточно проверить (в силу леммы 21.5), что
множество G(M) замкнуто относительно умножения. Действительно, пусть
а = be, где b,c€ G(M). Тогда имеем
Да = ДЬ • Дс = (b <8> b)(c ® с) = Ьс <8> Ьс = а ® а,
т.е. aG G(M). В частности, при Ъ = ехр ж, с = ехр у получаем (21.20), где
г(ж, у) = 1п(ехрж -ехр у). (21.21)
21.7. Определение. Формальный ряд (21.21) называется рядом Кемп-
белла — Хаусдорфа в алгебре А(е).
Непосредственное вычисление показывает, что однородные компоненты
2п(ж, у) при п = 1, 2 имеют следующий вид:
^(ж, у) = ж + у, ^(ж, у) = ±[ж, у]. (21.22)
Ниже будет изложено описание компонент zn(x, у) для всех п Е N.
21.8. Лемма. Пусть ш: M-*L(e) —линейное отображение,
определяемое на базисных одночленах по правилу
"(*) = *, ci;(e^..J = I(ade^)...(adVX (21.23)
при п > 2 (char F =0). Тогда сужение и наЬ (е) тождественно в L (е):
а;(ж) = ж для всех жЕХ(е). (21.24)
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 149
Доказательство. Пусть (эт, А(е)) — представление алгебры А(е),
продолжающее представление (ad, А(е)) алгебры £(е). Согласно
определению (21.23), имеем
ш(ах) = 7г(а)ш(х) (21.25)
длявсехаеА(е), жеМ. Имеем также (21.24) при degж=l (т. е. xeL{(e)).
Дальнейшее доказательство сводится к индукции по n e N.
Пусть xeLn(e), где п> 1. Напомним, что ж есть линейная
комбинация элементов [у, z\ где у е Lp(e), z e Lq(e)t p + q = n, р, q е N. Поэтому
достаточно рассматривать случай ж = [у, z].
Положим Щх) = пш(х) при ж е Ап(е) и напомним, что 7г(а) = ad а для
элементов aeL(e). Имеем
Щ[У, z\) = n{y№(z) " n(z)n(y) = qn(y)z - pn(z)y =
= (P + Q)[y,z] = n[y,z],
т. e. Q(x) = nx для всех xeLn(e). Отсюда следует (21.24) для всех xeL(e).
21.9. Теорема (Дынкин). Для каждого х е L(e) положим хк =
= (fc!)_1(ad ж)*, где к е Z+. Для каждой пары элементов ж, у € L(e)
положим {
aM = E^-SPiyqi...xpJy), (21.26)
(m)
где p,q€Z+ и сумма берется по всем разбиениям р = р{ +... + рт, q =
= qx +... + qm, где р{ + О 1 (t = 1,..., m - 1), pm ^ 1, qm = 1. Положим
также {
^-E^^W-S^W. (21.27)
(m)
где сумма берется по всем разбиениям р = pL +... + рт, q = q{ + . .. + qm,
Pi + О * (г = 1,..., га - 1), рт = 1, qm = 0. Тогда 1шее;к
М*»)=4 £ («* + *«>• (21.28)
Доказательство. Имеем
«px-expy- (е$) (е §) = 1 +£,«»*. (2L29>
где ж* = (fc!)"^* (аналогично для у). Отсюда
\m+l
«.<* У) = Е 1=ЧЬ—»k»k • • • «т, (21-30)
где сумма берется по всем р + q = п и всем разбиениям р = р{ + ... + рт,
q = qx + ... + qm, p{ + q{ ^ 1 (г = 1,..., га).
Напомним, что г = г(ж, у) е Ь(е), откуда uj(z) = z. С другой стороны,
применение оператора и к правой части (21.29) сводится к замене
операторов левого умножения соответствующими операторами ж = ad ж, у = ad у.
150
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Заметим, что (adz)z = (ady)y = 0. Поэтому действие и аннулирует
элементы (21.30), для которых qm^2 либо рт ^ 2, qm = 0. Оставшиеся члены
совпадают с одним из членов (21.26), (21.27). Отсюда следует (21.28).
21.10. Следствие. Формула Дынкина выполняется для каждой
алгебры Ли g и для каждой пары элементов ж, у е д, если рассматривать
z = z(x, у) как формальный ряд от переменных х1 у.
Действительно, пусть д(ж, у) — подалгебра алгебры д, порожденная
элементами ж, у. Тогда имеем
g(z, y)&L(x, y)/N,
где L (ж, у) — свободная алгебра Ли с образующими ж, у.
Соответственно, z = z(x, у) можно рассматривать как элемент пополненной алгебры
L(x, y)/N, где N — замыкание идеала N в L(z, у).
Примеры. 1. Если алгебра g нильпотентна, то ее ряд Кемпбелла —
Хаусдорфа конечен, т. е. обрывается после конечного числа шагов.
2. Если идеал N градуирован, то ряд z = z(x, у) также градуирован в
алгебре д.
В общем случае возникает вопрос о сходимости ряда Кемпбелла —
Хаусдорфа в алгебре g (над нормированными полями). Если F = R, С, то
ряд (21.28) обладает быстро убывающими коэффициентами, и это
позволяет предположить, что он сходится (в случае dim g < оо).
21.11. Оценка сходимости. Положим F = R, С и введем в
подпространство j«Fn какую-нибудь норму. Из ограниченности билинейной функции
/(я, у) = (ad х)у при ||х|| = ||у|| = 1 следует, что
||(adx)y||<a||x||||y||
для всех ж, у е g (с некоторой константой а ^ 0). Условимся считать, что
а ф 0. Заменяя норму в g гомотетичной нормой, будем также считать, что
а = 1. Соответственно, ряд z(x, у) мажорируется (по норме) сходящимся
рядом
(m) УЧ
где р\=р{\ -.. рт\ (аналогично для q). Здесь имеется в виду добавление
слагаемых (21.30), отброшенных при действии оператора и) (п. 21.9). Из
сравнения этого ряда с (21.29), (21.30) получаем
w(x, у) = 1п(1 - и), и = еМ + М - 1,
где 1п(1 - и) интерпретируется как формальный ряд в -F[[w]], сходящийся
при |гг| < 1. Заметим, что в нашем случае и ^0. Поэтому соотношение и < 1,
||х|| + |М|<1п2
достаточно для сходимости ряда z(x, у).
Отсюда заключаем, что ряд Кемпбелла — Хаусдорфа сходится (в
окрестности нуля) для каждой конечномерной алгебры Ли над полем F = R, С.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 151
§ 22. Примеры алгебр Ли
22.1. Линейные алгебры Ли. По классической традиции алгебру Ли g
принято называть линейной, если она изоморфна подалгебре в gl(n) (при
некотором п). Согласно теореме Адо (см., например, [ГГ]), этим свойством
обладает каждая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0.
Мы уже рассматривали некоторые подалгебры в gl(n), а именно
подалгебру sl(n), диагональную подалгебру 1)(п), треугольные подалгебры Ь±(п),
нильпотентные подалгебры п±(п). Другие замечательные классы линейных
алгебр Ли связаны с рассмотрением билинейных (или квадратичных) форм
в пространстве Fn.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F.
Фиксируем билинейную (F-значную) форму / в пространстве V, и пусть д(/) —
множество всех операторов аЕ End V, аннулирующих /, т. е.
f(ax,y) + f(x,ay) = 0 (22.1)
для всех ж, у е V. Записывая это равенство в виде а/ = 0 (п. 16.2), находим,
что д(/) есть алгебра Ли над полем F. Если форма / фиксирована, то иногда
вместо д(/) используется обозначение t>(V).
Фиксируем базис в пространстве V и рассмотрим стандартную
билинейную форму
(ж, у) = ж,у{ + ... 4- жлуп, (22.2)
где п = dim V. Заметим, что каждая билинейная форма в пространстве V
однозначно записывается в виде
/(ж, у) = (<тж, у), (22.3)
где а — матрица коэффициентов формы / = /, в координатах (22.2).
Согласно определению (22.1), имеем
0(/) = {а е дГ(п): аа+с£сг = 0}, (22.4)
где av-*d — транспонирование в gl(n).
Применяя транспонирование к определяющему условию в (22.4),
находим, что д(/) аннулирует также сопряженную форму f' = ffft. Более того,
д(/) = д(/'). Заменяя пару /, /' компонентами /±/;, приходим к
рассмотрению частных случаев, когда форма / симметрична или антисимметрична в
пространстве V.
Интересно также рассматривать случай, когда форма / невырождена
(deta ^0). В этом случае определяющее условие в (22.4) сводится к
условию косой симметрии а=—а, относительно автоморфизма a = a~lda.
Если поле F алгебраически замкнуто, то каждая невырожденная
симметрическая форма / в пространстве V приводится в некотором базисе к
каноническому виду (22.2). Соответствующая алгебра Ли д(/)
обозначается t)(n) и называется ортогональной алгеброй Ли в пространстве V = Fn.
Иногда в этом случае вместо формы (22.2) выбирается сопряженная форма
/,(ж, у) = х{уп +... + хпУ{, (22.5)
152
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
отвечающая матрице а^ = 8Vi% где V = п — г + 1. Условие принадлежности
ае t)(n) имеет вид d — —a относительно формы (22.2) и вид а = -а
относительно формы (22.5), где а,у-+а — транспонирование в $1(п) относительно
второй (побочной) диагонали.
Рассмотрим в gl(n) стандартный матричный базис eijt где г, j = 1,..., п.
Элементы /iy = e{j - e^ в реализации (22.2) (либо e{j - ejV в
реализации (22.5)) образуют оазис алгебры Ли и(п). Отсюда
dimt)(n) = ^=-^. (22.6)
Если форма / антисимметрична, то она может быть невырожденной
только в случае четной размерности n = 2fc. В этом случае алгебра д(/)
обозначается sp(n) и называется симплектической алгеброй Ли в
пространстве Fn. Если поле F алгебраически замкнуто, то / приводится в некотором
базисе к виду
/2(х, у) = ххуп +... + xkyk, - xk,yk — ... —я^У1, (22.7)
где &' = п — & + 1. Элементы
где г, j = 1,..., к, образуют базис в sp(n). Отсюда
dimsp(n) = ^Ii. (22.8)
Примеры. 1. Запишем каждую матрицу а е gl(n) при п = 2fc в виде
блочной матрицы
-(; ?)■
с компонентами из gl(fc)- Условие принадлежности аеъ(п) в
реализации (22.5) имеет вид
а = -$ 0 = -Д т = -7, (22.9)
где xi-+ ж — транспонирование относительно побочной диагонали. Условие
принадлежности aesp(n) имеет вид
а = -$ 0 = Д 7 = Т (22.10)
2. Если n = 2fc + 1, то условие принадлежности a£t)(n) записывается
в виде
a £ /3
v о е,
7 »7i 5
где матрицы а,(3,%6 связаны соотношениями (22.9), ^ = -^, Vi — ~1-
Здесь £ е F* — вектор-столбец, v) € F* — вектор-строка.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 153
Упражнения. 1. Пусть g — одна из алгебр Ли &(га), sp(n),
ассоциированных с формами (22.5), (22.7). Проверьте, что g обладает образующими
е,=Д, + „ /,=/4 + м, (22.11)
где г = 1,..., к, к = [п/2].
2. Проверьте, что g обладает «треугольным разложением»
g = n_el)en+, (22.12)
где fj (соответственно, п±) — пересечение алгебры g с fj(n) (соответственно,
с п±(п)).
Замечание. Термины «ортогональный», «симплектический» в
приложении к алгебрам Ли связаны с соответствующими терминами для групп
Ли (см. § 37).
22.2. Векторные поля. Пусть V — векторное пространство конечной
размерности над полем F = R, С. Каждая вектор-функция £: V—> V
называется векторным полем в пространстве V. Поле £ называется k-гладким,
где к = 0,1,..., оо, cj, если этим свойством обладает функция f (о>-глад-
кость = аналитичность).
Фиксируем базис в пространстве V с координатами ж. (г = 1,..., п).
Сопоставим векторному полю f дифференциальный оператор
£ = ЕЫ*Ж, (22.13)
где £i(x) — координаты вектора f (ж), д{ = д/дх{. Условие fc-гладкости
поля £ равносильно £{ € Ck(V) для всех г = 1,..., п, где Ск(V) — алгебра
fc-гладких (F-значных) функций в пространстве V.
Если к ^ 1, то оператор (22.13) определен в пространстве Ck(V). Более
того, (22.13) есть общий вид дифференцирования алгебры Ck(V).
Соответственно, Lk(V) = D(Ck(V)) есть алгебра Ли (подалгебра в EndCk(V)).
Легко проверяется, что коммутатор векторных полей f, rj есть векторное
поле С, где
С, = Ш^-Щ%). (22.14)
Полученное равенство означает, что алгебра Ли Lk(V) фактически не
зависит от параметра к. Соответственно, алгебра Ли Lk(V)
обозначается Vect V (алгебра векторных полей в пространстве V).
Аналогично определяется алгебра векторных полей Vect M на
произвольном (fc-гладком) многообразии М над полем F (п. 31.4). Известные
подалгебры алгебры Vect M возникают (по аналогии с д(/)) как аннуляторы
некоторых дифференциальных форм, определяемых на многообразии М. К
числу таких подалгебр относятся алгебры Ли гамильтоновых и контакт-
них векторных полей на многообразии М (см., например, [Кир]).
Если М — симплектическое многообразие (наделенное невырожденной
кососимметрической билинейной формой), то алгебра Ck(V) при к ^2 есть
также алгебра Ли относительно скобки Пуассона, определенной в Ck(V)
(см., например, [Кир]).
154
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Примеры. 1. Векторные поля
е = х,д2, f = x2dv h = xldl-x2d2 (22.15)
образуют алгебру Ли, изоморфную sl(2), с каноническим базисом (16.22).
2. Алгебра Витта V(S) = VectS, где S—единичная окружность
(алгебраическое многообразие), обладает базисом en = zn+{d/dz, с
соотношениями коммутации
[en,ej = (m-n)en+m, (22.16)
где m, n € Z.
Упражнение. Проверьте, что операторы
Д=£0?, x*=±xf, e=±xA (22.17)
* = 1 » =s 1 t « 1
образуют алгебру Ли, изоморфную sl(2). Здесь ж; (г = 1,..., п)
рассматриваются как операторы умножения в алгебре Ск(V) при к ^ 2.
22.3. Алгебра «1(2). Положим g = sl(2) над полем F = С (для простоты
изложения). Фиксируем канонический базис е, /, Л алгебры g с
соотношениями (16.22) и заметим, что
/ie = e(/i + 2), hf = f(h-2) (22.18)
в алгебре 17(g). Заметим также, что
[eJn] = nfn~l(h-n + \) (22.19)
для всех n EZ+.
Пусть X — конечномерный g-модуль. Пусть а^еХ — собственный вектор
оператора h с собственным значением А. Согласно (22.18), вектор ех^ есть
либо 0, либо собственный вектор оператора h с собственным значением
А +2. Применяя это рассуждение последовательно (и используя конечность
числа собственных значений оператора Л), находим О^а^бХ, для которого
е^ = 0, hx0 = Xx0. (22.20)
Полагая xk=fkx^ (к еZ+) и используя (22.19), получаем
ехк = &(А - к + 1К_,, (22.21)
где к eN. Согласно (22.21), линейная оболочка Х0 элементов хк (к €Z+)
инвариантна относительно операторов е, / (но тогда и относительно h).
Иначе говоря, Х0 есть подмодуль модуля X. Если X —простой д-модуль,
тоХ0 = Х.
Положим 10 = Хи заметим, что X натянуто на базис Xq,..., хп, где п —
наибольшее из чисел keZ+, для которых эти векторы линейно независимы.
Заметим, что векторы хк имеют попарно различные собственные значения
относительно h. Отсюда хк + 1 = 0. Полагая в (22.21) к = п + 1, получаем
А = п (так что А е Z+).
Явный вид операторов е, /, /i в пространстве X удобно записывать в
базисе £т = (I + га)!же_т, где / = п/2, так что m = -/, -J + 1,..., Z.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 155
Используя (22.21) и определение векторов хк, получаем
ee» = ('-"0em+I, tf„ = (* + "»)£»_„ htm = 2mtn. (22.22)
Отсюда заключаем, что каждый простой конечномерный д-модуль X = Vn
определяется однозначно, с точностью до изоморфизма, числом п е Z+ и
записывается в виде (22.22).
Пример. Рассмотрим векторные поля (22.15) в пространстве
полиномов Е =С[х1} а^], и пусть Еп — подпространство в Е, состоящее из
однородных полиномов степени п. Легко проверяется, что операторы (22.15)
имеют вид (22.22) в базисе
С — ~ш1 + т~»1 — т
Sm — х{ ^2
векторного пространства Е. Отсюда Vn&En.
Таким образом, алгебра Е есть полупростой g-модуль, содержащий
однократно все простые конечномерные модули Vn&En. Заметим также, что
ЕпЕт = Еп+т (22.23)
для всех п, т € Z+.
Ниже будет построен (см. § 48) аналог алгебры Е для всех полупростых
комплексных алгебр Ли.
22.4. Алгебра д(а). Фиксируем комплексную матрицу a=(ai:j),
нумерованную индексами г, j e I, где card/ = n < oo. По аналогии с матрицами
Картана (п. А. 14), мы будем рассматривать «реализацию» матрицы а,
определяемую по правилу
ау = </*;,",>> <22-24)
где h. (соответственно, а^)— линейно независимая система в векторном
пространстве fj (соответственно, \)*) над полем С. Если матрица а
невырождена, то реализация (22.4) существует и единственна (с точностью до
изоморфизма дуальной пары f),f)*) при dimf) = n. В общем случае имеет
место аналогичный результат при dim fj = 2п - Z, где I = rank а [Кац].
Пусть д(а) — алгебра Ли над полем С, порожденная элементами h et),
е,., f. (i el) и фундаментальными соотношениями следующего вида:
[М'] = 0, [е,,/у] = ^Л, (22.25)
[Л,^] = а,(Л)*, [Л,/J = -*,(*)*, (22.26)
где Л, h' e f), г, j e I.
Значение этой конструкции проявится в должной мере при исследовании
полупростых комплексных алгебр Ли (п. 39.2). Отметим пока некоторые
общие свойства алгебр Ли jj(a).
Согласно данному определению, подмножество fj вложено в 5(a) как
коммутативная подалгебра алгебры g(a). Присоединенное действие ad f)
диагонально на образующих, но тогда и во всей алгебре д(а). Иначе говоря, д(а)
есть прямая сумма весовых подпространств
Ва = {* € я(а): [К х] = a(h)x> V/i e ()}, (22.27)
где a G Q, Q =J2Za. —решетка в f)*, порожденная векторами а. (г Е I).
156
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
Заметим, что весовая градуировка (22.27) определяется на образующих по
правилу
deg е, = - deg /. = а{, deg h = 0, (22.28)
где h е f), г el. Ясно также, что
[*«,%] Сда+, (22.29)
для всех а, /3 е Q.
Положим Q± = ± ^2 %+ai> и пусть п± — прямая сумма компонент да при
^ * ~
aeQ±. Ясно, что п± есть подалгебра алгебры g(a). Ясно также, что f)
нормализует п±, т. е.
[f),n±]Cn±. (22.30)
22.5. Теорема. Подалгебра I) совпадает с нулевой компонентой
Q-градуировки (22.27). Соответственно, в алгебре д(а) выполняется
«треугольное разложение»
fl(a) = n.ef)®n+. (22.31)
Более того, подалгебрап+ (соответственно, п_) есть свободная алгебра
Ли с образующими ei {соответственно, f{), где г е I.
Доказательство. Пусть X — свободная ассоциативная алгебра с
образующими х( (г el). Фиксируем Л еI)* и рассмотрим в пространстве X
следующие линейные операторы:
&х = х(х, Ь(1) = А(Л)1, e(l) = 0, (22.32)
Л(»ух) = -ау(Л)я:уя + /ДЛя), где h e 1), (22.33)
«<Ц*) = Syhtx + xfax), (22.34)
где имеется в виду индуктивное определение операторов Л, et. по длине
одночленов х е X.
Легко проверяется (упражнение), что эти соотношения согласованы с
генетикой алгебры д(а) и потому определяют в пространстве X
структуру д(а)-модуля Хх (зависящего от А е I)*). Мы используем этот 5(а)-модуль
для доказательства данной теоремы.
Пусть е (соответственно, f) — подалгебра в J(a), порожденная
элементами е{ (соответственно, £). Используя соотношения (22.25), (22.6),
легко проверить, что 5(a) есть векторная сумма подпространств е, f, l).
Покажем, что эти подпространства линейно независимы. Действительно, пусть
e+f+h =0, где е € е, / Gf, h e f). Применяя это равенство к элементу 1 е Хх,
заметим, что е • 1 =0, откуда /• 1 + \(h)\ = 0. Поскольку эти слагаемые
линейно независимы в алгебре X, мы находим /• 1 = А(Л) = 0 для всех A e \f,
т. е. / = h = 0, откуда также е = 0. В результате 5(a) есть прямая сумма
подпространств f, f), е. Остается заметить, что эта сумма совпадает с (22.31).
Положим Х± = U(ti±). Согласно (22.32), отображение Х_ -»X, f »-* / • 1
накрывает алгебру X. Поскольку X —свободная алгебра, отсюда следует,
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 157
что отображение f{ ь-> х{ определяет изоморфизм Х_&Х. Заметим также,
что 5(a) обладает автоморфизмом х «-> х, определяемым на образующих по
правилу 5Г=— х', где
*<=/«, Я = е„ fc' = fc, (22.35)
где hel),i el. Поскольку этот автоморфизм переставляет подалгебры Х±,
мы находим также 1+«1. Отсюда заключаем (п. 16.6), что п± есть
свободная алгебра Ли, порожденная (соответственно) элементами е0/г..
22.6. Следствие. Среди идеалов алгебры 5(a), имеющих нулевое
пересечение с подалгеброй J), имеется максимальный (наибольший) идеал
г(а). Более того,
r(a) = r_(a) ф г+(а), (22.36)
где г±(а) = г(а) П п±.
Действительно, каждый идеал г алгебры 5(a) наследует весовую
градуировку алгебры *Q(a) и потому наследует треугольное разложение (22.31).
Определяя г(а) как векторную сумму идеалов rCg(o), для которых rfif)=0,
получаем (22.36).
22.7. Следствие. Факторалгебра
g(a) = g(a)/r(a) (22.37)
не содержит ненулевых идеалов г, для которых rnfj = 0 (здесь fj
отождествляется со своим образом в g(a)). Более того, g(a) обладает
треугольным разложением
g(a) = n_®f)en+, (22.38)
где n± = n±/r±(a).
Упражнения. 1. Алгебра g(a) обладает Q-градуировкой (22.28).
2. Алгебра g(a) обладает Z-градуировкой
deg е< = - deg /< = 1, deg h = О, (22.39)
где h е J), i е I.
22.8. Предложение, (i) Если хеп±, [ж,/J = 0 для всех г el, то х = 0.
(ii) Центр j(a) алгебры д(а) есть множество всех het),
удовлетворяющих условию а.(ж) = 0 для всех i el. В частности,
dim3(a) = n-/, (22.40)
где I = rank а.
Доказательство, (i) Пусть дг — однородная компонента степени 1
в д(а), относительно Z-градуировки (22.39). Полагая
т(х)= £ (adfll)*(adf))^,
получаем подпространство в д(а), инвариантное относительно adf), adef,
ad f€ (г е I). Следовательно, m(x) есть идеал алгебры д(а). Ясно также,
что т(х) имеет нулевое пересечение с подалгеброй f). Отсюда тп(ж) = 0,
ж = 0.
158
Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ
(И) Если х е i(a), то все его компоненты в разложении (22.38)
содержатся в з(а). Используя (i), получаем х е f). Используя (22.26), получаем
утверждение (И).
22.9. Следствие. Если deta^O, moj(a) = 0.
Действительно, в этом случае элементы h{ (г el) образуют базис
векторного пространства f). Полагая h = ]CciA> а^(Л) = 0 для всех j E i", получаем
г
для всех j e J, откуда с. = 0 для всех % € I, h = 0.
22.10. Предложение. Алгебра g(a) проста тогда и только тогда,
когда матрица а удовлетворяет условию связности (А.28) и det афО.
Доказательство. Согласно следствию 22.28, условие det аф О
необходимо. Легко проверить также (упражнение) необходимость условия
связности. Обратно, пусть оба эти условия выполнены, и пусть m Ф 0 — идеал
алгебры g(a). Тогда имеем m П f) ф 0, т. е. существует ненулевой элемент
hemnt). Поскольку j(a) = 0, мы имеем h g j(a), что равносильно
[Л, е,] = Хе{ ф0 при некотором г е I. (22.41)
Отсюда е,- еш. Применяя к (22.41) автоморфизм (22.35), находим также
f{ e m, откуда h{ e m. Используя условие связности, легко проверить, что в
этом случае е,., /., ht G m для всех г Е /. В результате m = g(a), т. е.
алгебра g(a) проста.
Упражнения. 1. Если a — матрица Картана (п. А. 14), то алгебра g(a)
конечномерна и полупроста.
2. Если матрица а связна, то каждый идеал алгебры g(a) либо содержит
g'(a) = g(a)', либо содержится в j(a).
3. Если det a ф 0, то g'(a) = g(a).
22.11. Алгебры Каца — Муди. Алгебра g(a) называется алгеброй Ка-
ца — Муди, если а — обобщенная матрица Картана (п. А.21).
В частности, пусть а — обобщенная связная матрица Картана.
Алгебра g(a) относится к одному из классов (Fin), (Aff), (Ind), если матрица а
принадлежит этому классу.
Ниже мы увидим (п. 39.2), что алгебры класса (Fin) исчерпывают, с
точностью до изоморфизма, все простые конечномерные алгебры Ли.
Алгебры класса (Aff), называемые также аффинными алгебрами Ли, детально
изучены в [Кац]. Алгебры класса (Ind) практически не изучены.
Комментарии к главе 3
Материал по алгебрам Ли, изложенный в этой главе, имеет
классический характер и связан, главным образом, с работами Э. Картана, Г. Вей-
ля, Леви — Мальцева по структурной теории конечномерных алгебр Ли.
Теорема Леви (п. 20.5) позволяет свести (с использованием полупрямых
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 3 159
произведений) теорию конечномерных алгебр Ли к теории двух
специальных классов: полупростых и разрешимых алгебр Ли. Теорема Г. Вейля
(п. 20.2) играет принципиальную роль в теории представлений
полупростых алгебр Ли. Теоремы ПБВ (п. 19.5), Кемпбелла — Хаусдорфа (п. 21.6),
Дынкина (п. 21.10) представляют собой фундаментальные результаты по
общей теории алгебр Ли.
Теория полупростых алгебр Ли достаточно детально разработана.
Имеется полная классификация полупростых алгебр Ли над полями F = R, С
(глава 6). Существует довольно обширная литература, в которой
излагаются эти (и более специальные) результаты по теории алгебр Ли. Достаточно
отметить монографии [Дже; Д2; Кап; С1]. Частично мы используем
методические достижения, изложенные в работах [Кап; С1]. Например, теорема
ПБВ доказывается в стиле [С 1]. Теорема 20.7 (критерий полупростоты)
излагается обычно в упрощенной форме, для алгебр Ли с центральным
радикалом (см., например, [С 1]). Тем не менее, общая формулировка этой теоремы
также известна [Ж 5]. В оценке сходимости рядов Кемпбелла — Хаусдорфа
мы ограничились полями R, С. Однако, аналогичные оценки справедливы
также над всеми полными нормированными полями (см., например, [С1]).
С другой стороны, задача классификации разрешимых (даже нильпотент-
ных) алгебр Ли приводит к серьезным техническим трудностям.
В этой главе мы лишь слегка коснулись теории бесконечномерных
алгебр Ли. Более детальную информацию по этим вопросам можно найти в
монографиях [Кац; Hep].
Глава 4
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В этой главе излагаются основы теории топологических групп и
топологических G-модулей. Для удобства ссылок в начале главы приводятся
краткие обзоры по общей топологии (§ 23), по теории локально выпуклых
пространств (§ 23), по теории интегрирования (§ 26). В конце главы
излагаются также общие сведения по теории алгебраических многообразий и
алгебраических групп.
Центральное место в теории топологических групп занимает теорема
А. Хаара — Дж. фон Неймана о существовании инвариантных мер на
локально компактных группах. Использование этих мер позволяет
конструировать «интегральные» групповые алгебры (по аналогии с алгебраической
конструкцией гл. 2), играющие важную роль в теории топологических G-mo-
дулей.
Читатель заметит, что некоторые сюжеты теории G-модулей (§ 29) имеют
аналогию с подобными сюжетами теории g-модулей, где g — алгебра Ли.
Значение этой связи прояснится в главе 5.
§ 23. Топологические группы
23.1. Топология. Множество X называется топологическим про-
странством, если в нем фиксировано семейство подмножеств, называемых
открытыми и удовлетворяющих следующим аксиомам:
(а) Каждое объединение открытых множеств открыто.
(/3) Каждое конечное пересечение открытых множеств открыто.
(7) Пустое множество 0 и все множество X открыты.
Соответствующее семейство т, состоящее из открытых множеств
пространства X, называется топологией в пространстве X.
Таким образом, топологическое пространство — это пара (X, г), где X —
множество, г — топология, определенная в X.
Окрестностью точки х € X называется всякое открытое множество,
содержащее точку х. Последовательность точек хпеХ называется
сходящейся к точке х (хп —► х или х = lim жп), если для каждой окрестности U точки х
п
выполняется xneU при п ^ щ(Щ. Подмножество А С X называется
замкнутым, если его дополнение А* = X \ А открыто. Очевидно, топологию в
X можно задать в терминах замкнутых подмножеств множества X.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 161
Интерьером (или внутренностью) множества А С X называется
наибольшее открытое подмножество А0 с А. Существование такого
подмножества следует из (а), а именно, А0 есть объединение всех открытых
подмножеств, входящих в А. Замьисанием множества А с X называется
наименьшее замкнутое множество А, содержащее А. Подмножество дА = А \ А0
называется границей множества А.
Топологическое пространство X называется ^пространством
(соответственно, Т2-пространством), если каждая точка хеХ образует
замкнутое множество (соответственно, каждые две точки х ф у обладают
непересекающимися окрестностями). Очевидно, каждое 2^-пространство есть
^-пространство. Каждое jQ-пространство называется также отделимым (или ха-
усдорфовым).
Если X отделимо, то в нем все пределы единственны. Иначе говоря,
существование предела х = lim xn влечет его единственность. То же верно
п
для пределов «по направленности», определяемых следующим образом.
Упорядоченное множество / называется направленным, если в нем
каждая пара элементов г, j обладает мажорантой к, т. е. г < k, j ^ к.
Семейство точек х{еХ (г е I) называется направленностью, если множество I
направлено. Сходимость xi —► х в пространстве X определяется по
аналогии со случаем хп (п е N). Использование направленностеи в топологии
определяется следующим фактом: все окрестности точки х Е X образуют
направленность относительно инверсного порядка: U ^ V, если U С V.
Упражнение. Замыкание А множества А есть множество всех
предельных точек х = lim х{ (предел по направленности), где х{ е А.
i
Подмножество А называется всюду плотным в X, если А — X, т. е.
каждая точка х € X есть предельная точка множества А:
х = lim ж., х.еА.
i
Примеры. 1. Стандартная топология в R состоит из интервалов и их
объединений (достаточно рассматривать счетные объединения).
2. Поле Q рациональных чисел всюду плотно в R.
3. Пусть /: [а, Ь] —>Ш — вещественная функция на отрезке [а, Ь]. Ее
интегральные суммы Римана 57/, отвечающие всевозможным разбиениям j
отрезка [а, Ъ], образуют направленность (относительно естественной упо-
[)ядоченности разбиений). Интеграл Римана If (если он существует) есть
im SJ.
23.2. Непрерывность. Отображение /: X -> У, где X, Y —
топологические пространства, называется непрерывным в точке Xq€ X, если для
каждой окрестности U точки /(аь) существует окрестность V точки а%,
для которой f(V) с U. На языке направленностеи это означает, что
каждая сходимость х. —> Xq влечет f(x{)-* /(а^). Непрерывность функции / во
всем пространстве X (т. е. в каждой точке х^еХ) означает, что для
каждого открытого U с Y его полный прообраз f~l(U) открыт в пространстве X
(упражнение).
Отображение /: X-+Y называется открытым, если для каждого
открытого VсХ его образ /(V) открыт в пространстве Y. Если / — биекция,
12 Зак. 184
162
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
то это свойство равносильно непрерывности обратного отображения /_1:
Y—*Х. Непрерывная и открытая биекция X на Y называется
гомеоморфизмом пространств X, Y. В этом случае используется обозначение X ~ Y
(или X « У).
Говорят, что топология т мажорирует топологию а в пространстве X
(а ^ г), если сг с т. В этом случае также говорят, что топология т сильнее
топологии а (или а слабее топологии г).
Очевидно, соотношение а < г равносильно тому, что единичный
оператор 1: (X, т) —► (X, ^) непрерывен.
Примеры. 1. Каждое множество X обладает тривиальной
(наименьшей) топологией rmin = {0, -X"} и дискретной (наибольшей) топологией
ттах = 2* (множество всех подмножеств множества X).
2. В дискретной топологии каждое подмножество А с X одновременно
открыто и замкнуто (такие множества называются открыто-замкнутыми).
Если X наделено дискретной топологией, то все отображения X -»Y
непрерывны.
3. Для каждого отношения эквивалентности R в пространстве X
фактормножество Y = X/R снабжается фактортопологией по правилу: А с Y
открыто, если чгх(А) открыто в Х> где 7г: X —> У — каноническая
проекция. Очевидно, фактортопология есть слабейшая топология в Y,
относительно которой проекция 7г: X —► Y непрерывна.
23.3. Базы и предбазы. Подсемейство (3 С т называется базой
топологии т, если каждое открытое множество J7 6 г есть объединение базисных
открытых множеств V е /3. Иначе говоря, для каждой точки а^бХи
каждой окрестности U точки а% найдется базисная окрестность V е /3
ТОЧКИ Д^, ДЛЯ КОТОРОЙ Zq Е V С 17.
Очевидно, для определения сходимости xi -* Xq достаточно использовать
базисные окрестности точки а%. Аналогично, и другие топологические
понятия можно выразить в терминах базы топологии т.
Подсемейство 7г С т называется предбазой топологии т, если его
оболочка /3 = /3(7г), составленная из всех конечных пересечений подмножеств
А € 7г, есть база топологии г.
Нетрудно видеть (упражнение), что для каждого семейства 7гс2х,
покрывающего X (т. е. X совпадает с объединением семейства 7г),
существует единственная топология т = т(7г), содержащая 7г в качестве предбазы.
А именно, элементы т(7г) суть всевозможные объединения базисных
множеств V е /?(тг).
Примеры. 1. Метрическое пространство М с метрикой р есть
топологическое пространство с предбазой, состоящей из открытых шаров
Se(a) = {xeM: р(а, х) < е}, (23.1)
где е > 0.
2. Для каждого множества X и каждого семейства функций ft: X —►
—► Xit где Xt. (г € /) — топологические пространства, существует слабейшая
топология г в пространстве Ху относительно которой все функции f{ (г G I)
непрерывны. А именно, т = т(7г), с предбазой 7г, состоящей из множеств
At(U) = ft-^U), (23.2)
где г € I, U — открытое подмножество в Х{.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 163
3. В частности, пусть
X=UX( (23.3)
— декартово произведение топологических пространств Х{ (г el).
Определим д: X —► Xif р((х) = xit как проекцию точки х = (х{) на компоненту Х^.
Слабейшая топология в X, относительно которой все функции д (г € /)
непрерывны, называется топологией Тихонова в пространстве X.
Упражнение. Сходимость в топологии Тихонова есть поточечная
сходимость. Иначе говоря, сходимость ха —► х означает р{(ха) ->р{(х) для
всех г G /.
23.4. Аксиомы счетности. Говорят, что X обладает 1-й аксиомой
счетности, если каждая точка Xq£ X обладает счетной базой
окрестностей. Говорят, что X обладает 2-й аксиомой счетности, если топология т
в пространстве X обладает счетной базой.
Очевидно, в каждом из этих случаев для описания топологических
понятий в пространстве X достаточно использовать последовательности хп-*х
(вместо направленностей х{—>ж).
Примеры. 1. Метрическое пространство (М, р) обладает 1-й аксиомой
счетности (шары (23.1) с рациональным радиусом е).
2. Евклидово пространство Rn обладает 2-й аксиомой счетности
(шары (23.1) с рациональными координатами вКпи рациональным радиусом е).
3. Интеграл Римана // (п. 23.1) может быть представлен в виде lim S /,
где 7П — последовательность вложенных разбиений отрезка [а, Ь].
Ниже будут рассматриваться также другие топологические понятия
(связность, компактность и т. д.) в пространстве X.
23.5. Топологические группы. Группа G называется
топологической, если в ней определена топология т, относительно которой групповые
операции (ж, у)у-+ху, жк х~{ непрерывны, т. е. функция
/:GxG-.G, f(x,y) = xy-> (23.4)
непрерывна. Здесь имеется в виду (по умолчанию), что G x G наделяется
топологией Тихонова.
Если G — топологическая группа, то каждый из сдвигов х н-> дхЛ х »-* хд
(д, х е G) есть гомеоморфизм пространства G. Поэтому преобразование
х i-> дх (соответственно, х н-> хд) определяет биекцию между
окрестностями V точки е и окрестностями gV (соответственно, Vg) точки д € G.
В этом смысле топология в G однородна (относительно левых и правых
сдвигов в группе G).
Ясно также, что инверсия х »-> х~х есть гомеоморфизм группы G на себя.
Соответственно, инверсия ху-+ х~х переводит каждую окрестность V
точки е в окрестность V"1 точки е. В частности, е обладает симметричной
окрестностью V0 = V П У"1 (инвариантной относительно инверсии).
Заметим, что условие непрерывности функции (23.4) в точке е сводится к
следующему: для каждой окрестности U точки е существует окрестность V
точки е, для которой V • У"1 с U (аналогично, V~l • V С U).
12*
164
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Если G как топологическое пространство обладает одним из стандартных
топологических свойств (отделимость, связность и т. д.), то говорят, что
этим свойством обладает группа G.
Примеры. 1. Аддитивная группа Шп есть топологическая группа
(относительно стандартной топологии в Rn).
2. Полная линейная группа GL(n) = GL(n, F), состоящая из всех
невырожденных матриц в L (n) = Mat(n, F), где F = R, С, есть топологическая
группа.
3. Унитарная группа U(V), состоящая из всех унитарных операторов в
унитарном пространстве V, есть топологическая группа.
Упражнение. Проверьте, что замыкание подмножества А с G есть
пересечение всех окрестностей AV (или VA) подмножества А, где V —
произвольная окрестность точки ее G.
23.6. Топология в G/H. Пусть G — топологическая группа, Я — ее
подгруппа. Топология в левом (соответственно, правом) G-пространстве
X = G/H определяется как фактортопология (п. 23.2) относительно
эквивалентности х ~ у, определяемой по правилу хН = уН (соответственно,
Нх = Ну). При таком определении левое (правое) действие GxI->I
непрерывно.
Напомним (п. 23.2), что проекция 7г: G —► X непрерывна. Покажем, что
эта проекция также открыта. Действительно, для каждого открытого А с G
его образ 7г(А) = АН (либо НА) есть объединение открытых множеств Ах
(аналогично, хА), где хе Я, так что множество 7г(А) открыто.
Если Я есть замкнутая подгруппа группы G, то G/H есть
^-пространство. Действительно, каждая точка 7г(х) = хН (либо 7г(ж) = Нх) есть
замкнутое множество в G/H.
Пример. Функция /: G -» Y, где Y — произвольное множество,
называется функцией классов относительно Я, если f(x) = f(y) при х~у.
В этом случае равенство
/(жЯ) = /(ж) (аналогично, /(Яж) = f(x)) (23.5)
устанавливает биекцию между функциями классов /: G-^Уи функциями
/: X —> У, где X = G/Я. Если г—топологическое пространство, то (23.5)
устанавливает биекцию между непрерывными функциями классов /: G -> Y
и непрерывными функциями f: X -+Y.
23.7. Предложение. Каждая Тггруппа есть также Т2-группа (т. е.
G отделима). В частности, для каждого замкнутого нормального
делителя Я группы G факторгруппа G/H отделима.
Доказательство. Пусть х ф у — две различные точки группы G.
Поскольку точка ху~х образует замкнутое множество, его дополнение V
есть окрестность точки е, для которой х $ Uy. Полагая V"1 V с U (V —
окрестность точки е), получаем VxC\ Vy = 0, т. е. группа G отделима.
В частности, G/H есть ^-пространство (п. 23.6). Следовательно, фак-
торпространство G/H отделимо.
Упражнение. Пусть Я0 — наименьшее замкнутое множество,
содержащее точку е. Тогда Я0 есть наименьший замкнутый нормальный делитель
группы G.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 165
23.8. Связность. Пространство X называется связным, если его
невозможно представить в виде дизъюнктного объединения непустых открыто-
замкнутых подмножеств.
Подмножество А с X называется связным, если оно связно в
индуцированной топологии, состоящей из подмножеств А П U, где U открыто в X.
Легко проверяются следующие утверждения:
(а) Непрерывный образ связного множества связен.
(/3) Каждое топологическое пространство X представляется
(единственным образом) в виде дизъюнктного объединения минимальных открыто-
замкнутых подмножеств Х{ (г Е /), называемых связными компонентами
пространства X.
Пусть G — топологическая группа, Ge — компонента связности
группы G, содержащая точку е. Ясно, что Ge инвариантно относительно
преобразований х «-> gxg~l (g EG). Следовательно, Ge есть (замкнутый)
нормальный делитель группы G. Ясно также, что факторгруппа G/Ge вполне
несвязна. Последнее означает, что все компоненты связности в G/Ge
одноточечны.
Если А, В —два связных подмножества группы G, то их групповое
произведение АВ (составленное из точек аЬ, где ае А, Ъ е В) также связно.
Действительно, каждая компонента связности в А В имеет вид АС
(упражнение), где С — компонента связности в В. В нашем случае В = С, т. е.
А В связно.
Примеры. 1. Мультипликативная группа R+=R\{0} есть объединение
двух связных компонент, выделяемых условиями х < 0, х > 0.
2. Для каждой связной окрестности V точки е е G подмножество
V°° = U Vп (23.6)
п = 1
связно и потому содержится в Ge. Более того, V°° открыто.
Замыкание V00 содержится в каждом множестве V°°V0, где V0 — окрестность
точки е (п. 23.5). Полагая V0 = V, получаем, что У°° замкнуто. В результате
Замечание. Равенство V°° = Ge означает, что Ge порождается
каждой связной окрестностью V точки е. Если G связна, то каждая такая
окрестность есть система образующих группы G.
Упражнения. 1. Пространство X называется линейно связным,
если каждые две его точки ж, у можно связать непрерывным путем, т. е.
существует непрерывное отображение [0,1]—> X, t н+ x(t), для которого
х(0) = х, ж(1) = у. Докажите, что линейная связность пространства X
влечет его связность.
2. Пусть Н — связная подгруппа группы G. В этом случае связность
группы G равносильна связности левого (правого) факторпространства G/H.
23.9. Компактность. Топологическое пространство X называется
компактным (или компактом), если каждое его открытое покрытие 7г
(состоящее из открытых множеств) содержит конечное подпокрытие 7г0 с 7г.
Подмножество АсХ называется компактным, если оно компактно в
индуцированной топологии (п. 23.8).
166
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Например, из леммы Гейне — Бореля следует, что отрезок [а, Ь]
компактен. Однако, интервалы и полуинтервалы в пространстве Ш не компактны.
Все пространство R тоже не компактно.
Компакты обладают рядом замечательных свойств. Например,
непрерывный образ компакта есть компакт. В частности, каждая непрерывная
функция /: X —► R (либо /: X —► (М, р)), где X — компакт, ограничена (теорема
Вейерштрасса). Отсюда также нетрудно вывести, что / обладает минимак-
сом, т. е. принимает значения min /(ж), max f(x) в некоторых точках х е X.
Отметим следующий критерий компактности. Семейство S С 2х
называется центрированным, если каждое его конечное подсемейство имеет
непустое пересечение. Пространство X компактно тогда и только тогда
(упражнение), когда в нем каждое центрированное семейство 5,
составленное из замкнутых множеств, имеет непустое пересечение.
Упражнения. 1. Групповое произведение компактов А В в группе G
есть компакт.
2. Каждое замкнутое подмножество компакта есть компакт.
3. Из каждой направленности х{ е X, где X — компакт, можно выбрать
поднаправленность, сходящуюся к некоторой точке хеХ. [Указание: в
противном случае семейство (х-) замкнуто в X и все его точки изолированы.]
4. Если X отделимо, то каждое компактное подмножество А с X
замкнуто.
5. Непрерывная биекция ц>: X —> F, где X — компакт, Y отделимо, есть
гомеоморфизм. [Указание: из упражнений (2), (4) следует открытость
отображения <р.]
6. Если X отделимо и компактно, то X обладает следующим свойством
нормальности: каждые два непересекающихся замкнутых подмножества
А, В с X обладают непересекающимися окрестностями: А с U, В С У,
где Uf)V = 0.
Помимо этого, в условиях (6) существует непрерывная функция /: X ->
-> [0,1], для которой /(ж) = 0 при х е A, f(x) = 1 при хеВ (лемма Уры-
сона).
Декартова степень компакта есть компакт (теорема Тихонова).
Например, декартова степень [0,1]а (а —кардинальное число) есть компакт.
Доказательства двух последних утверждений можно найти в стандартных
учебниках по топологии. См., например, [Ке; Лю].
23.10. Лемма. Пусть /: Ix7->Z-непрерывная функция. Если
Y0cY компактно и ZQ с Z открыто, то множество
Х0 = {хеХ: /(ж, у) е Z0 для всех y€Y0} (23.7)
открыто.
Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда Х0
непусто. Фиксируем Xqе Х0, и пусть Uх V — окрестность точки (^%)El0x YQi
для которой /(Ц V) С Z0. Соответствующие окрестности V покрывают YQi
поэтому конечное число окрестностей U{ x V{ (i = 1,..., п) покрывает XqxY0.
Отсюда Xq e UQ с Х0, где U0 — пересечение окрестностей С/, (г = 1,..., п).
Следовательно, Х0 открыто.
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 167
23.11. Теорема. Если группа G компактна, то каждая непрерывная
функция /: G —► F (F = R, С) равномерно непрерывна (относительно
левых или правых сдвигов в группе G). Иначе говоря, для каждого е>0
существует окрестность единицы V, относительно которой
|/(х)-/(у)|<е (23.8)
при условии x~lyeV (аналогично, ух~х е V).
Доказательство. Достаточно применить лемму 23.10 к одной из
функций f(g, x) = f(x)-f(gx), f(g, x) = f(x)-f(xg). В этом случае роль Х0
играет окрестность
V = {geG:\f(g,x)\<e}.
23.12. Локальная компактность. Пространство X называется
локально компактным, если каждая точка х е X обладает окрестностью VQ с
компактным замыканием (такие множества называются предкомпактными).
Очевидно в этом случае точка х обладает базой предкомпактных
окрестностей (вида V0 П V, где V — окрестность точки х).
Условие локальной компактности группы G сводится к тому, что точка
е е G обладает предкомпактной окрестностью. В этом случае подгруппа
Ge = V°° а-компактна, т. е. предотавима в виде счетного объединения
компактов (в данном случае Кп = Vя).
Пространство X называется локально евклидовым, если каждая его
точка обладает окрестностью, гомеоморфной некоторой ограниченной
окрестности в Rn.
Упражнения. 1. Группа GL(n) локально евклидова (и потому
локально компактна).
2. Если G локально компактна, то каждый компакт К с G обладает
предкомпактной окрестностью и G/H локально компактно для каждой
подгруппы Я с G.
3. Теорема 23.11 переносится на функции с компактным носителем в
локально компактной группе G. Здесь носитель supp/ функции /
определяется как замыкание множества точек х е X, для которых f(x) ^0.
Ясно также, что лемма Урысона (п. 23.9) справедлива для компактов
А, В в отделимом локально выпуклом пространстве X.
Замечание. Лемма Урысона справедлива в каждой (не обязательно
отделимой) локально компактной группе. Это ясно из отделимости G/Щ,
где Н0 — наименьший замкнутый нормальный делитель группы G (п. 23.7).
§ 24. Топологические векторные пространства
24.1. Определение. Векторное пространство X над полем F = R, С
называется топологическим векторным пространством (ТВП), если в нем
введена топология, относительно которой векторные операции х + у, Хх
непрерывны (соответственно, в X х X, F х X).
В частности, функция /(ж, у) = х — у непрерывна, т. е. X есть
топологическая группа по сложению.
168
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Здесь выбор основного поля связан с наличием топологии в R, С,
определяемой абсолютным значением А н+ |А|. Определение ТВП переносится
также и на другие (р-адические) нормированные поля.
Стандартный способ введения топологии в векторное пространство X
состоит в рассмотрении «открытых шаров»
Sp£(a) = {xeX:p(x-a)<e}, (24.1)
где а€Х, реР, е > О, Р — некоторое семейство полунорм, фиксированное
в пространстве X.
А именно, пусть т(Р) — топология в пространстве X с предбазой из
открытых шаров (24.1). Нетрудно видеть, что сходимость х. —► х в
топологии т(Р) есть сходимость по каждой полунорме р € Р, т. е. р(х( - х) —> 0.
Отсюда легко выводится (по аналогии с п. 4.6), что каждое (X, т(Р)) есть
ТВП. Ясно также, что т(Р) есть наименьшая топология в пространстве X,
относительно которой все полунормы р е Р непрерывны.
Упражнение. Пространство (X, т(Р)) отделимо тогда и только
тогда, когда для каждой точки х^О найдется полунорма реР, для которой
р(х)ф0.
Полунормы ре Р называются базисными полунормами в пространстве
(Х,т(Р)).
Примеры. 1. Нормированное пространство X (с единственной
базисной полунормой р(х) = ||х||) отделимо.
2. Пространство С^т)(а, Ь), состоящее из функций /: [a, b]->F с
непрерывными производными /(fe), где 0 ^ к < га, снабжается полунормами
А(/)= max |/W(x)|, (24.2)
а^ х ^ о
где 0 < к ^ т. Сходимость /п —► / в этом пространстве есть равномерная
сходимость /W z3 /(*\ где 0 ^ к ^ га.
3. Аналогично определяется С°°(а, Ь) с полунормами (24.3), где к е Z+.
4. Пространство С(Т), состоящее из непрерывных функций /: T->Fb
топологическом пространстве Т, снабжается полунормами
Pjf(/) = max|/(t)|, (24.3)
где К С Т — произвольный компакт. Сходимость /,•—>/ в С(Г) означает
равномерную сходимость /^ =3 / на каждом компакте К с Т.
5. Если Т — компакт, то топология в С(Т) определяется единственной
нормой
11/11 =РАЛ- (24.4)
24.2. Локальная выпуклость. Подмножество V с X называется вы-
пуклым, если вместе с каждой парой точек ж, у е V оно содержит отрезок
[ж, у], состоящий из точек
z = £ж + (1 - t)y, где 0<t<l.
Отсюда следует (индукцией по п), что вместе с каждыми точками х{ е V
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 169
(г = 1,..., п) множество V содержит их выпуклую комбинацию
П v 71
х=^2оцЪ> ГДе 0<а<<1, Еаг = 1-
Ясно также, что пересечение любого числа выпуклых множеств в
пространстве X есть выпуклое множество.
Топологическое векторное пространство X называется локально
выпуклым (ЛВП), если оно обладает предбазой (но тогда и базой), состоящей из
выпуклых множеств. Например, все шары (24.2) суть выпуклые множества,
т. е. каждое («У, т(Р)) есть ЛВП.
Обратно, можно показать (см., например, [Р]), что каждое ГГЛВП есть
(X, т(Р)). Мы не станем пользоваться этим результатом. Тем не менее,
термин ЛВП будет ассоциироваться с конструкцией (X, т(Р)).
Согласно общей схеме (п. 23.3), топология т(Р) обладает базой,
составленной из конечных пересечений шаров (24.1). Если шар (24.1) содержит
точку Oq, то он содержит также шар S^Oq) (при некотором е0 ^ е). Отсюда
ясно, что выпуклые множества
У-й^Ы (24-5)
1 = 1
образуют базу окрестностей точки Oq. Описание базисных окрестностей
можно еще более упростить, если расширить семейство Р до семейства Р0,
состоящего из присоединенных полунорм
й)(ж)= max р{(х), (24.6)
1 ^ г ^.п
где р( е Р (г = 1,..., п). Ясно, что каждая окрестность (24.5) содержит шар
^е0(ао) ПРИ fib = m'n(ei! • • ■> еп)- Таким образом, открытые шары (24.1), где
р€Р0, образуют базу окрестностей точки аеХ.
24.3. Предложение. Полунорма р в пространстве (X, т(Р))
непрерывна тогда и только тогда, когда она мажорируется одной из
полунорм Срц, где С > 0, р^ е Р0, т. е.
р(х) < Cpq(x) для всех х е X. (24.7)
Доказательство. Непрерывность полунормы р в точке 0 означает,
что для каждого е > О существует базисная окрестность нуля V = 5 (0),
для элементов которой х е V имеем р(х) ^ е. Слегка уменьшая £q,
можно считать, что условие Pq(x) < е0 влечет р(х) ^ е. Если Ро(х) ф0, то для
вектора
— £ох
*° " ъ(х)
имеем #)(zq) = e0, откуда p(xq) ^ е, что совпадает с (24.7) при С = е/е0. Если
Ро(х)=0, торь(пж) = 0ддя всех n€N, откуда р(пх) < е, т. е. р(х)^е/п для
всех п eN, р(ж) = 0. Соответственно, оценка (24.7) также выполняется.
Обратно, если (24.7) выполняется, то полунорма р непрерывна.
Действительно,
\р(х) - р(у)\ < р(х - у) < Cpq(x - у)
11 Зак. 184
170
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
для всех ж, у е X. Полагая у = х{ -» ж, получаем p(xj —> р(ж), т. е.
полунорма р непрерывна.
24.4. Следствие. Непрерывность линейного оператора aeHom(X, Y)
в топологиях (X, т(Р)), (Y, r(Q)) сводится к оценкам
q(ax) ^ Сръ(х) (24.8)
для каждой полунормы q € Q при некоторых С ^ 0, р0 е Р0
(зависящих от q).
Действительно, непрерывность оператора а равносильна непрерывности
всех полунорм р(х) = q(ax)t где q e Q.
Примеры. 1. Непрерывность линейного функционала / Е X* сводится
к оценке
\f(x)\^Cp0(x). (24.9)
2. Оценка (24.8) для нормированных -X, Y сводится к стандартной оценке
||ax|K||a||||x||(n.4.7).
Обозначения. Мы будем использовать (по аналогии с теорией
нормированных пространств) обозначение В(Х> Y) для векторного
пространства всех непрерывных операторов a E Hom(X, Y). В частности, В(Х) =
= В(Х, X) есть подалгебра в End X.
Упражнения. 1. Если семейство Р конечно и топология т(Р)
отделима, то (X, т(Р)) нормируемо, т. е. топология в X определяется
единственной нормой Pq е Р0.
2. Пространство С°°(а, Ь) не нормируемо. [Указание: Если X
нормируемо, то норма в X мажорируется одной из норм
(в обозначениях п. 24.1). С другой стороны, pk(x) < CJ|x|| для всех к е N,
так что ограниченность производных /(fe) при 0 < к ^ m влечет
ограниченность /<m+1). Противоречие.]
3. Топология в Х/Х0, где -X" — ЛВП с топологией т(Р), определяется
системой полунорм
p(x)=inip(y), (24.10)
х~у
где р € Р и х ~ у означает ж - у е Х0 (Х0 — подпространство в X).
Условимся говорить, что функционал f e X* подчинен полунорме р в
пространстве X, если |/(ж)| ^ р(х) для всех хеХ.
24.5. Теорема (Хан — Банах). Пусть X —векторное
пространство над полем F = R,С, р—полунорма в пространстве X. Если
линейный функционал /0 в подпространстве Х0 подчинен полунорме р, то он
продолжается до линейного функционала f во всем пространстве X,
подчиненного полунорме р.
Доказательство можно найти в учебниках по функциональному анализу.
См., например, [КФ; Ш 1]. Мы отметим ряд следствий из этой теоремы.
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 171
(а) Для каждой точки XqеX и каждой полунормыреР в
пространстве X существует функционал f е X*, для которого
f(xo) = P(xo)> 1/1<Р
(т. е. \f(x)\ < р(х) для всех х е X). Соответственно, полунорма р
записывается в виде
р(х) = тах|/(х)|. (24.11)
1/1 о
(/3) Если X —ЛВП(с топологией т(Р)), то каждый линейный
непрерывный функционал в подпространстве Х0сХ можно продолжить до
линейного непрерывного функционала во всем пространстве X.
(7) Если X — отделимое ЛВП, XQ — замкнутое подпространство
в X, то для каждого Xq, не лежащего в Х0, существует линейный
непрерывный функционал f е X*, отделяющий Xq от Х0:
/к = 0, /ЫФО. (24.12)
Действительно, в условиях (а) равенство /0(Аа^) = Ар(а^) определяет
искомый функционал /0 в одномерном подпространстве Fxq. Остается
применить теорему Хана — Банаха. Соответственно, полунорма
p(x)=sup |/(ж)|
1/1 о
переписывается в виде (24.11). Утверждение (/?) следует из критерия
непрерывности (24.9). Утверждение (7) следует из (а), (/?) при замене X на
Х/Х0. Достаточно даже рассматривать случай X = Xq®Fxq. Согласно (а),
для каждой полунормы ре Р существует / е (Х/Х0)*, удовлетворяющий
соотношению
f(x + \x0) = p(x + \x0),
где хеХ0, A eF, ^определяется по правилу (24.10). Здесь /,
^рассматриваются как функции классов (относительно Х0). Согласно предложению 23.7,
пространство Х/Х0 отделимо. Поэтому найдется полунорма ре Р, для
которой pix^^O. Отсюда следует (24.12).
Пример. Пусть X отделимо (так что 0 есть замкнутое
подпространство в X). В этом случае критерий (24.12) означает, что равенство ж = 0 в
пространстве X равносильно /(ж) = 0 для всех непрерывных / е X*.
Утверждение (7) входит в серию «теорем отделимости» для отделимых
ЛВП. См. по этому поводу добавление С.
24.6. Двойственность. Два векторных пространства X, Y над полем F
называются двойственными друг другу относительно билинейной формы
S3: X х Y-> F, если эта форма невырождена в X х Y (п. 2.7). Полагая
ру(х) = \Р(х,у)\ = рх(у), (24.13)
получаем две системы полунорм (соответственно, в X, Y).
Соответствующая топология а(Х, Y) в пространстве X (аналогично, в Y) называется
слабой топологией в X (аналогично, в Y).
и*
172
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Из невырожденности формы /3 следует, что каждая точка х е X
(аналогично, ye Y) однозначно определяется своими «координатами» (3(х,у).
Отсюда ясно, что топология <т(Х, Y) (аналогично, a(Y,X)) отделима.
Примеры. 1. Билинейная форма
ь
(f,9)=\f(x)g(x)dx (24.14)
а
невырождена в пространстве С(а, Ъ).
2. Форма (24.14) невырождена в Lp(a, b) x Lq(a, b) при условии
f+H- <24Л5)
24.7. Пространство Х\ Пусть X —ТВП. Сопряженное
пространство X1 определяется как подпространство в X*, состоящее из линейных
непрерывных функционалов в пространстве X.
Если X — отделимое ЛВП, то пара X, X'. находится в двойственности
относительно билинейной формы (•, •), определенной в X х X* (п. 2.7).
Действительно, равенство х = 0 в пространстве X возможно (по теореме
Хана — Банаха) только при f(x) = (ж, /) = 0 для всех / е X'. В то же время
/ = 0 означает (по определению), что f(x) = 0 для всех я е X.
Заметим, что исходная (сильная) топология т = т(Р) мажорирует слабую
топологию сг = <т(Х, X'). Действительно, если ж{ —► ж в топологии г, то f(x{ —
— х) —* 0 для всех / Е X', т. е. xi —* х в топологии <т. Аналогично, в X1
определяется сильная топология г' с базисной системой полунорм
p^(/) = sup|/(x)|, (24.16)
х€А
где А —ограниченное множество в пространстве X. Поясним, что
подмножество А с X называется ограниченным, если оно ограничено по каждой
полунорме р е Р (т. е. р(х) ^ С для всех хе А). Очевидно, & < г', где
<т' = <7(Х',Х).
Соответственно определяется второе сопряженное пространство X" =
= (X')9 с топологией г" = (т')\ Пространство X называется
полурефлексивным (соответственно, рефлексивным), если X" = X (соответственно,
Х" = Х, т" = т).
Замечание. Топология т' называется топологией ограниченной
сходимости в X'. Очевидно, эта топология мажорирует топологию простой
сходимости в X', определяемую одноточечными подмножествами в X'.
Примеры. 1. Каждое гильбертово пространство Н рефлексивно
(п. 5.10).
2. Пространство, сопряженное к L (а, Ь), изоморфно Lq(a, b) при
условии (24.15) (относительно формы (24.14)). Соответственно, Lp(a,b)
рефлексивно при р ф 1.
Упражнение. Пространство, сопряженное к L{(а, Ь), изоморфно
^оо(а> Ь) (относительно (24.14)).
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 173
24.8. Полнота и квазиполнота. Направленность xi € X называется
фундаментальной, если она фундаментальна по каждой полунорме р е Р,
т. е. р(х{ - Xj) < е при г, j ^ ^(г). Пространство (X, т(Р)) называется
полным (соответственно, квазиполным), если в нем каждая фундаментальная
направленность сходится (соответственно, каждое ограниченное замкнутое
подмножество в X полно). Пространство X называется секвенциально
полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.
Известно (см., например, [Б 8; Ше]), что каждое полурефлексивное
ЛВП X квазиполно. Если X обладает первой аксиомой счетности, то
свойство его полноты выражается в терминах последовательностей, т. е.
совпадает со свойством секвенциальной полноты.
Пример. Все пространства из примеров 2-5 п. 24.1 суть полные ЛВП.
24.9. Вектор-функции. Пусть X — векторное пространство, Т —
произвольное множество. Каждое отображение х: Т -> X называется вектор-
функцией, определенной в Т (со значениями в X). Обычно в этом
случае функция х: Т —* X отождествляется с множеством ее значений x(t)
(t € Г).
Если X — ТВП и Г — топологическое пространство (соответственно,
область в Шп), то можно говорить о непрерывных (соответственно,
дифференцируемых) функциях х: Т —>Х. Если в X рассматривается сильная
(слабая) топология, то обычно говорят о сильно (слабо) непрерывных (или
дифференцируемых) функциях х: Т-+Х.
В дальнейшем мы считаем (без особых оговорок), что X есть отделимое
ЛВП с топологией т(Р).
Пример. Положим Т = [а, Ь] и покажем, что дифференциальное
уравнение x'(t) = 0 в пространстве X имеет только постоянные решения.
Действительно, для каждого / е X' имеем (в силу линейности и непрерывности
функционала /):
для всех (дифференцируемых) x(t)eX. Если ж'(£) = 0, то /(х(£))' = 0 для
всех / € X'. Отсюда f(x(t)) = f(x(a)) для всех / е X', т. е. x(t) = х(а)
(п. 24.6). В результате x(t) = const.
24.10. Интеграл Римана. Положим Г = [а, Ь], и пусть х: Т -+ X —
непрерывная вектор-функция. Если X полно (или хотя бы квазиполно), то
интеграл Римана
ь
xQ= f x(t)dt (24.17)
а
корректно определен (стандартное рассуждение) как сильный предел
интегральных сумм Римана. Использование интегральных сумм и предельных
переходов показывает, что
ь ь
f(xo) = [ f(x(t)) dt, pfo) < ( p(x(t)) dt (24.18)
174
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
для всех / G X' и каждой непрерывной полунормы р в пространстве X.
Аналогично рассматриваются и другие области определения интеграла Римана
(область в Еп и т. д.).
Заметим, что интегральные суммы Римана суть направленности
(относительно разбиений отрезка [а, Ь]). Однако, их рассмотрение сводится
стандартным образом к рассмотрению последовательностей (2П-разбиения
отрезка [а, Ь]). Поэтому условие полноты в определении (24.17) можно
заменить условием секвенциальной полноты.
Упражнение. Докажите (по аналогии с примером п. 24.9) аналог
теоремы Коши об интегралах по замкнутому контуру от голоморфных вектор-
функций х: D —>Xt где D —односвязная область в комплексной
плоскости С.
24.11. Интеграл Лебега. Пусть Г — пространство с мерой Лебега /х.
Вектор-функция х: Г—>Х называется измеримой (соответственно,
суммируемой) на Г, если все ее «координаты» f(x(t)) измеримы (соответственно,
суммируемы) на Г. Если вектор-функция x(t) суммируема, то равенство
/0%)= J/(*(t))d/i(t)f (24.19)
где / G Х'у однозначно определяет вектор
аь= f x(t)dp(t) (24.20)
как элемент пространства (X')*, алгебраически сопряженного к
пространству X'.
Если X квазиполно, то можно показать (см., например, [БЗ]), что в
этом случае интеграл (24.19) непрерывно зависит от feX't т. е.
равенство (24.20) определяет элемент Xq e X". В частности, пусть X
полурефлексивно. В этом случае X квазиполно (что уже отмечалось в п. 24.8),
Х" = Х и равенство (24.20) определяет элемент а^еХ.
Таким образом, интеграл Лебега (24.20) определен в пространстве X
для каждого полурефлексивного пространства X. В этом случае (24.19)
вытекает непосредственно из определения интеграла (24.20).
24.12. Предложение. Если функция x(t) измерима в пространстве
X, то для каждой непрерывной полунормы р в пространстве X
числовая функция p(x(t)) измерима. Еслих^еХ (в обозначениях п. 24.11), то
Р(Ч>К Jp(*(0)<*/i(t). (24.21)
Доказательство. Измеримость функции p(x(t)) вытекает из
равенства (24.11). Соответственно, интеграл в правой части (24.21) либо
существует (как число), либо равен оо. Согласно следствию (а) из теоремы
Хана — Банаха, имеем р(а%) = /(а^) для некоторого / G Х\ подчиненного
полунорме р. Отсюда
рЫ = \П*о)\<* \ |/(x(t))| **(*)< \ P(*(t))d»(t),
что совпадает с (24.21).
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 175
Пример. Пусть х( t) — непрерывная функция с компактным носителем
в Rn. В этом случае p(x(t)) есть также непрерывная функция с компактным
носителем в Rn. Соответственно, интеграл в правой части (24.21) конечен.
Более детальное изложение теории интегрирования для вектор-функций
можно найти в [БЗ]. Частный случай вектор-функций в банаховом
пространстве рассматривается в [Лю; Н2].
§ 25. Топологические модули
25.1. Определение. Пусть G — топологическая группа. Представление
(я-, X) группы G в ТВП X называется непрерывным, если действие
/х: GxX->X, /л(д,х) = тг(д)х (25.1)
непрерывно. В этом случае X (с умножением /x(<gr, х) = дх) называется
топологическим G-модулем.
Представление (7г, X) называется раздельно непрерывным, если
действие (25.1) раздельно непрерывно (по переменным д, х). Очевидно,
непрерывность по х е X означает тг(д) еВ(Х) для всех g€G, непрерывность по
д € G означает непрерывность отображения д н+ 7г(д) относительно
топологии простой сходимости в В(Х) (п. 24.7), т. е. на каждом векторе х е X.
Если dim X < оо, то топология простой сходимости в В(Х) = End X
совпадает с обычной (евклидовой) топологией в End-X". В этом случае
непрерывность отображения д н-> ъ(д) равносильна непрерывности матричных
элементов оператора 7г(#) на группе G, относительно произвольного
базиса векторного пространства X.
Если X — топологический G-модуль, то мы приписываем к термину
«G-модуль» каждое топологическое свойство пространства X. Например,
«квазиполный G-модуль» означает «квазиполное (локально выпуклое)
пространство X, наделенное непрерывным представлением группы G».
25.2. Предложение. Пусть X — ЛВП. Непрерывность
умножения (25.1) равносильна выполнению двух следующих условий:
(а) Умножение /х раздельно непрерывно.
(/?) Умножение р равностепенно непрерывно в некоторой
окрестности U точки е е G. А именно, для каждой базисной полунормы р
выполняется оценка
р(дх)^Ро(х) (25.2)
для всех g € U, х е X, где р^ — непрерывная полунорма (зависящая
от р, U).
Доказательство. Если /х непрерывно, то (а) выполняется, и также
для каждого е > О выполняется неравенство р(дх) ^ е при (д, х) е U х V,
где U х V — некоторая окрестность точки (е, 0) е G х X. Отсюда следует,
что функция
р0(х) = sup p(gx)
geU
определена для элементов х е V.
176
Гл^а 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Заметим, что равенство р0(\х) = |А| • Pq(x) определяет однозначное
продолжение функции Pq до полунормы в пространстве X. Из оценки
\Ро(х) - Рб(У)\ < Ро(х - У К е ПРИ x-yeV
следует непрерывность полунормы pq. Отсюда следует (/3). Обратно, из
условий (а), (/3) получаем
Р(0я - 00^) < £(#* ~ №) + PiSPo - QoXq) ^ p0(x -Xq) + p(hgQx^ - д,^),
где h = jgg"1, так что это выражение сколь угодно мало при (Л, ж) € U х
х W, где W — достаточно малая окрестность точки Xq. Отсюда следует
непрерывность умножения р в G х X.
25.3. Следствие. £слы X —локально выпуклый G-модуль, то
умножение (25.1) равностепенно непрерывно на каждом компакте К С G.
Если группа G компактна, то умножение (25.1) равностепенно
непрерывно на G, т. е. (25.2) выполняется для всех g€ G.
Действительно, К покрывается окрестностями Ug, где д € К. Выбирая
из этого покрытия конечное подпокрытие, получаем
КС [J Ug0
i = i
где д. Е К (г = 1,..., п). Полагая g^ugit где и € U, р{(х)=р0(д{х), получаем
из (25.2), что функция р(дх) мажорируется непрерывной полунормой
р(я)= max Pi(x),
для элементов де К. Заменяя в этой оценке обозначение р на р0,
получаем (25.2) для всех де К.
Примеры. 1. Если X — конечномерное пространство, то условие (а)
означает, что матрица оператора тг(д) непрерывна в каждом базисе
пространства X, так что (а)=Ф(/3). В этом случае раздельная непрерывность
представления тт равносильна его непрерывности.
2. Пусть G — топологическая группа. Пространство C(G) есть раздельно
непрерывный G-бимодуль (относительно левых и правых сдвигов в
группе G). Если группа G локально компактна, то C(G) есть
топологический G-бимодуль.
25.4. Предложение. Пусть G—локально компактная группа, 7г —
раздельно непрерывное представление группы G в банаховом
пространстве. Тогда представление 7г равномерно ограничено в некоторой
окрестности V точки е:
\\*{9)НС для всех 9eV. (25.3)
Доказательство. Если функция gн+ ||я"(</)|| не ограничена ни на
какой предкомпактнои окрестности точки е, то существует направленность
9% —> е (9i € Vit где Vi — направленное семейство окрестностей точки е), для
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 177
которой ||7г(&)|| —юо. Согласно теореме Банаха — Штейнгауза (см.,
например, добавление В), отсюда следует, что существует хеХ, для которого
IKCftMl^00- Но это противоречит раздельной непрерывности
представления 7г (в точке е). Отсюда получаем (25.3) для некоторой (предкомпактной)
окрестности точки У.
25.5. Следствие. Представление 7г равномерно ограничено на
каждом компакте К с G. Если группа G компактна, то представление 7г
равномерно ограничено (т. е. (25.3) выполняется для всех g e G).
Доказательство — по аналогии с п. 25.3.
Пример. Представление 7г называется равномерно непрерывным,
если функция g i-> 7г(д) непрерывна в равномерной операторной топологии,
т. е. по норме в В(1). В этом случае (25.3) есть следствие непрерывности
нормы (в пространстве В(Х)).
Нижеследующий пример (п. 25.6) показывает, что оценка (25.3) полезна
даже в случае dim X < оо. С другой стороны, предложение 25.4 обобщается
также на другие классы полных ЛВП (пространства Фреше, индуктивные
пределы и т. д.). См., например, [Р; Шеф].
25.6. Однопараметрические группы. Пусть X — ТВП. Семейство
u(t)e В(Х), где t eR, называется однопараметрической группой
операторов в пространстве X, если
u(t + a) = u(t)u(s), u(0) = 1 (25.4)
для всех £, s е R и функция t *-> u(t)х непрерывна для каждого х € X. Иначе
говоря, отображение tv-*u(t) есть раздельно непрерывное представление
группы R в пространстве X.
Заметим, что условие непрерывности функции u(t)x достаточно
накладывать в точке 0, т. е. u(t)x —> х при t —>0. Действительно, в этом случае
для каждой точки ^ Е R имеем
u(t)x - u(tQ)x = (u(At) - l)u(t0)x -> О
при t -»0 (где At = t - to). Аналогично (с заменой R на R+) определяются
также однопараметрические полугруппы в пространстве X.
Если X — банахово пространство, то функция t «-> ||w(t)|| равномерно
ограничена при малых t (предложение 25.4), т. е. ||u(t)|| ^ С при |t| < £.
Полагая С = еа, получаем для каждого t = п8 + е, где п е Z+, 0 ^ е ^ <5:
||u(t)|| = \\и(6)пи(е)\\ < Сп + { = Се™ ^ Ceta.
Аналогично (при замене t на — t) получаем
||u(t)|| < СеЫь Д™ всех * е к> (25-5)
т. е. функция ||ii(£)|| возрастает не быстрее экспоненты.
Однопараметрическая группа (или полугруппа) t *-+u(t) называется
равномерно непрерывной, если она непрерывна по норме в В(Х), хотя бы в
точке 0, т. е.
||ti(t)-l||-»0 при t->0.
178 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Изменяя, если надо, масштаб параметра t, будем считать, что ||u(t) —1|| < 1
при 0^ t < 1. В этом случае функция A(£) = lnu(£) определена, непрерывна
и аддитивна, скажем
\(t+s) = \(t) + \(s) при 0<t,s<j.
Отсюда заключаем, что \(t) = at (0^ t < 5)» гДе <*= А(1). В результате
u(t) = eta (25.6)
при малых £ (0< t ^ j)- Повторяя рассуждения при выводе (25.5), находим,
что равенство (25.6) выполняется для всех t e R.
Таким образом, (25.6) дает общий вид равномерно непрерывной однопа-
раметрической группы (даже полугруппы) в банаховом пространстве X.
Существенно отметить, что исходное условие непрерывности влечет
аналитичность функции (25.6).
В конечномерном случае непрерывность функции u(t) влечет ее
равномерную непрерывность, т. е. (25.6) есть общий вид однопараметрической
группы (даже полугруппы) в пространстве X.
В теории операторов доказывается, что последний результат остается в
силе для банаховых пространств произвольной размерности. Однако, в этом
случае оператор а не обязательно ограничен (и даже не всюду определен).
Соответственно, экспонента (25.6) требует особого определения. См.,
например, [Р].
В общем случае (25.6) есть единственное решение задачи Коши
u'(t) = au(i), <u(0) = l (25.7)
в пространстве В(Х). Отсюда следует (упражнение), что функция x(t) =
= u(t)xQ есть единственное решение задачи Коши
x'(t) = ax(t), x(0) = Xq (25.8)
в пространстве X.
Замечание. Однопараметрическая полугруппа (25.6) определяет
«закон эволюции физической системы» (25.8), где t €R+ интерпретируется как
время. Если а€ В(Х), то функция (25.6) определена также при t <0, что
позволяет однозначно определить «прошлое» данной системы. В общем
случае это не так, т. е. оператор е~а может оказаться не определенным. В этом
случае (25.6) определяет только «будущее» системы (25.8).
25.7. Унитарные представления. Представление 7г группы G в
гильбертовом пространстве Н называется унитарным, если все операторы ir(g)
(9 € G) унитарны, т. е.
*(*Г = *(*)-'= *(*-•). (25.9)
Нетрудно видеть, что в этом случае непрерывность функции д »-> ъ(д)х
равносильна ее слабой непрерывности. Это следует из тождества
\\*(д)х - х\\2 = 2 Re(n(g)x - я, х) (25.10)
для всех д е G, х€ Н.
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 179
Пример. Общий вид унитарной однопараметрической группы в
гильбертовом пространстве Н есть (25.6), где a=ih, h — самосопряженный (не
обязательно ограниченный) оператор в пространстве Н.
Доказательство (основанное на спектральной теории операторов) можно
найти в [Кир; Р].
Унитарные группы (25.6) играют принципиальную роль в квантовой
механике. А именно, они дают общий вид решения уравнения Шрёдинге-
ра (25.8), где а=г'Ь, Ъ—оператор Гамильтона, определяющий эволюцию
системы (25.8).
25.8. Матричные элементы. Пусть (щ X) — представление группы G
в пространстве X. Числовые функции
*ху(9) = {*(9)х,у), (25.11)
где х е X, у G X*, называются матричными элементами
представления (7Г, X).
Если 7г раздельно непрерывно (хотя бы в слабой топологии
пространства X), то матричные элементы (25.11) непрерывны при у е X'. Если
Х = Н — гильбертово пространство, то естественно записывать (25.11) в
виде
**Ы = (*(*)*, V), (25.12)
где х,уеН. Если 7г — унитарное представление, то функции (25.12) при
х — у обладают специальным свойством «положительной определенности»
на группе G.
Числовая функция / на группе G называется положительно
определенной, если п _
Е т1Ь)М**0 (25.13)
для всех наборов g. е G, f< e F (г = 1,..., п). В этом случае равенство
(£,*?)= £ ПяхяКЛ, (25.14)
определяет скалярное произведение в пространстве Fn. Полагая п = 2 и
применяя к (25.14) неравенство Шварца (п. 5.2), получаем
\f(9)\<f(e) для всех geG. (25.15)
Заметим, что множество F+(G) всех положительно определенных
функций на группе G есть конус. А именно, F+(G) адцитивно и выдерживает
все гомотетии / н+ £/, где t e R+.
Примеры. 1. Положим / = к в обозначениях (25.12), где 7г —
унитарное представление группы G. Тогда левая часть (25.13) совпадает со
скалярным квадратом (у, у) в пространстве Я, где
п
У =12 £i9i*-
i = 1
Следовательно, функция / положительно определена.
180
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
2. В частном случае dim Я < оо функция
Ш = ь*(д) (25.16)
положительно определена. Функция (25.16) называется характером пред-
ставления 7г.
25.9. Предложение. Пусть -X, У — два простых конечномерных
G-модуля с представлениями (соответственно) т, а. Тогда имеем:
(а) Если модули X, У обладают хотя бы одним общим матричным
элементом
(ffabt£o) = <S8b»4b)> (25.17)
с ненулевыми векторами XqEX, у0 Е У, £0e Х*у r/0 e У*, то X &Y.
((3) Если поле F алгебраически замкнуто и модули X, Y обладают
одинаковым характером (/т = /Д то X &Y.
Доказательство, (а) Полагая в (25.17) g = b~la, получаем
(«Ч>, Ь£о) = (аУо> И) (25.18)
для всех a,beG. Заметим, что линейная оболочка орбиты Ga^
(соответственно, Gq0) совпадает с X (соответственно, с У*), в силу простоты модулей
X, У. Отсюда следует, что отображение
(р(аз^) = ау0
есть корректно определенный оператор (р €HomG(X, У). Аналогично, v?"1 E
е HomG(l^ X), так что X к У.
(/3) Если fT = fa, то dim X =dim У. Более того, для каждой пары
элементов g,heG имеем
tr(T(tf)T(b)) = tr(a(0Mfc)).
Согласно теореме Бернсайда (п. 9.10), линейная оболочка операторов r(h),
где h € Gy совпадает с EndX. Поэтому
tr(r(g)a) = tr(a(g)b)
для всех д £ G, где Ъ = 6(a) — однозначная линейная функция
End X-+ End У.
Ясно также, что отображение ан-» Ь(а) есть гомоморфизм End X -->End У.
Напомним (п. 8.3), что каждый EndX-модуль кратен модулю X.
Поскольку dim X = dim У, отображение а*->Ъ(а) определяет изоморфизм End X w
« End У, т. е. b(a) = и~хаи при некотором и € Нот(Х, У). Отсюда
tr(r(£)a) = \.х(иа{д)и~ха)
для всех ре G, a€End X. Остается заметить, что билинейная форма (а, Ь) =
= tr ab невырождена. В результате
т(д) = шт^гГ1
для всех д е G, т. е. X « У.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 181
Замечание. Как видно из доказательства, утверждение (а)
переносится также на бесконечномерные G-модули, при условии, что X*, Y* суть
простые G-модули.
25.10. 5-модули. Терминология теории G-модулей переносится также
на ^-модули, где S — топологическое пространство. В частности, 5-мо-
дуль X называется топологическим, если умножение (s, x) н-> sx
непрерывно в S х X.
Топологические 5-модули образуют категорию TS - Mod, морфизмы
которой суть непрерывные гомоморфизмы <р е В(Х, Y). Множество таких
гомоморфизмов обозначается BS(X, Y).
В теории топологических 5-модулей естественно ограничиться
замкнутыми подмодулями Х0 с X. Решетка всех таких подмодулей обозначается
V8(X) (или CV8(X)).
Представление (тг, X) структуры 5 называется топологически
неприводимым, если X фО, CV5(X) = {0, X}. В этом случае модуль X называется
топологически простым.
Унитарные G-модули образуют категорию, морфизмы которой суть
изометрические морфизмы X —► Y.
Примеры. 1. Ассоциативная алгебра А над полем F = R, С называется
топологической, если А есть ТВП с непрерывным умножением.
2. А -модуль X называется топологическим, если X — ТВП с
непрерывным действием А х X —► X.
3. Каждый унитарный G-модуль редуктивен в топологическом смысле
относительно разложений Н = Н0®Н^, для каждого замкнутого подмодуля
Я0СЯ.
Упражнения. 1. Если S всюду плотно в Г (т. е. S = Т), то для
каждого Т-модуля X имеем
CVS(X) = CVT(X).
2. Если два топологически простых унитарных G-модуля Х, Y имеют
общий матричный элемент
(flabi аъ) = (ОД» %)>
где О Ф Xq е X, О ф t/q e Y, то они изометрически изоморфны, т. е. X « У.
Мы займемся более детальным изучением унитарных G-модулей в § 57.
§ 26. Инвариантные меры
26.1. Интегралы. Пусть X — топологическое пространство, Е =
= С0(Х) — векторное пространство всех F-значных (F = R,C)
непрерывных функций с компактными носителями в пространстве X. Для того,
чтобы X обладало достаточным числом компактных подмножеств, условимся
считать, что X локально компактно.
Мы будем рассматривать в Е отношение порядка / ^ g при f — g e Е+,
где Е+ — подмножество (конус) всех неотрицательных функций в G0(X).
Символ |/| для функции / означает функцию |/|(ж) = |/(я)|.
182
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Линейный функционал I в пространстве Е называется интегралом
(интегралом Даниеля), если он принимает неотрицательные значения на
неотрицательных функциях, т. е.
If^O при /^0. (26.1)
Заметим, что -|/| ^ / ^ |/| для вещественных /, откуда
\Щ<1\Я (26.2)
Оценка (26.2) выполняется также для комплексных функций. А именно,
если If = peia (полярная запись числа If), то р = 1д для функции д = fe~ia,
откуда Ig = /(Re g) ^ 1\д\, что равносильно (26.2) для функции /.
Легко проверяется, что интеграл / в пространстве Е обладает следующим
свойством монотонной непрерывности:
если /п 10, то Ifn -+ 0, (26.3)
где fniO означает, что последовательность /п не возрастает (/п ^/п + 1) и
fn(x) —> 0 во всех точках ж€Х.
Действительно, в этом случае /п —► 0 равномерно (лемма Дини), так что
О < /п < еД при п ^ Ло(е), откуда следует (26.3).
Упражнения. 1. Если X — компакт, то I есть непрерывный
линейный функционал в С(Х).
2. В общем случае I есть непрерывный линейный функционал
относительно топологии компактной сходимости (т. е. равномерной сходимости
на компактных подмножествах А с X) в С0(Х).
26.2. Борелевские меры. Подмножество А С X называется борелев-
ским, если оно может быть получено из открытых множеств
пространства X применением счетного числа кольцевых операций, к которым
относятся объединения, пересечения и разности (в том числе А' = X \ А).
Семейство /3 всех борелевских подмножеств множества X есть наименьшая
(7-алгебра, содержащая топологию т пространства X.
Борелевской мерой в пространстве X называется всякая счетно
аддитивная (неотрицательная) мера /х, принимающая конечные значения на
компактных подмножествах АсХ. Интеграл Лебега по мере \i обозначается
символом
J/= J /(х)ф(х). (26.4)
Согласно общим свойствам интеграла Лебега, сужение этого интеграла на
Е = С0(Х) есть интеграл Даниеля в пространстве Е. Обратно, (26.4) есть
общий вид интеграла Даниеля в пространстве Е (см., например, [Лю; XI]).
Иначе говоря, каждый интеграл Даниеля I порождает борелевскую
меру /х в пространстве X и продолжается до интеграла Лебега (26.4) в
пространстве L(X, /х) всех суммируемых (по Лебегу) функций / относительно
меры /х.
Мера /х называется конечной (соответственно, а-конечной), если ц(Х)<
< оо (соответственно, X есть счетное объединение множеств конечной
меры). Мера /х называется локально конечной, если X есть объединение
множеств, на каждом из которых мера р, а-конечна.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 183
Мера /х называется регулярной, если:
(1) р(А) для каждого открытого А имеет вид
р(А) = sup р(К),
КсА
где К — компакт (входящий в А),
(2) р(В) для каждого измеримого В имеет вид
»(В)=Ыац(А),
где А —открытое множество (содержащее В). Если меры /х, г/ регулярны
и их интегралы (26.4) совпадают, то р = и. Например, для метрических
компактов все борелевские меры регулярны. Существуют также
(патологические) примеры нерегулярных мер. См., например, [XI].
Существенно, что борелевская мера р, порожденная интегралом Дани-
еля, всегда может быть выбрана регулярной. Соответственно,
представление (26.4) единственно в классе регулярных борелевских мер в
пространстве X.
26.3. Инвариантные меры. Пусть G — локально компактная группа.
Борелевская мера р на группе G называется левоинвариантной (право-
инвариантной), если
р(ди) = р(ш) (р(и>д) = р(ш)) (26.5)
для всех geG и всех борелевских wcG. Здесь дш (соответственно, шд)
есть множество всех дх (соответственно, хд), где хеш.
Нам будет удобно в этой главе рассматривать следующие операции
в CQ(G):
(gf)(x) = f(9~lx), (fg)(x) = f(*9-1), (26.6)
где g,xeG. Соответственно, условия инвариантности (26.5)
переписываются в виде
I(9f) = I(f) (I(fg) = I(f)) (26.7)
для интегралов (26.4).
Мера р называется двусторонне инвариантной, если она одновременно
левоинвариантна и правоинвариантна. Аналогично, интеграл / в данном
случае называется двусторонне инвариантным.
Заметим, что инверсия х*-> х~х в группе G переводит левоинвариант-
ные меры в правоинвариантные меры (и обратно). Если группа G абелева,
то в ней нет различия между левоинвариантными и правоинвариантными
мерами.
Примеры. 1. Евклидова мера на прямой (и также в Еп) инвариантна.
2. Соответствующая мера на торе T = R/27rZ инвариантна.
3. На группе G = GL(n, R) имеется п2 линейно независимых ле-
во(право)инвариантных дифференциальных форм 1-го порядка. А именно,
эти формы суть матричные элементы соответствующих матриц
а (ж, dx) = x_1dx, /3(ж, dx) = dx • ж"1,
184 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
где dx = (dxi:j) — матрица дифференциалов элементов х = (x(j).
Соответственно, внешнее произведение этих форм есть дифференциал лево (право)-
инвариантной меры /х на группе G.
4. То же верно над полем С, если дополнить формы aijt /3(j их комплексно
сопряженными атт, /Э^.
Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы о
существовании нетривиальных инвариантных мер на локально компактной
группе G.
26.4. Теорема (А. Хаар). На каждой локально компактной
группе G существует нетривиальная (фО) левоинвариантная (аналогично,
правоинвариантная) регулярная борелевская мера.
Доказательство (по А. Вейлю). Пусть Е+ — неотрицательный
конус в пространстве Е (п. 26.1). Для каждой пары ненулевых функций
/, (р £ J3+ из локальных оценок вида f(x) < c(p(gx) (ge G) и компактности
supp / вытекают суммарные оценки
Я*К £ с^(&я), (26.8)
где с. GR+ (г = 1,..., п). Положим в этом случае
Ivf = mi±Ci, (26.9)
г = 1
где inf берется по всем оценкам (26.8) (при фиксированном у>).
Функционал (26.9) в известной степени подобен интегралу. А именно, он
однороден в Е+ (относительно гомотетий f^tf, где t GR+), неотрицателен
(в смысле (26.1)) и левоинвариантен (в смысле (26.7)). Однако, вместо
аддитивности он обладает лишь свойством полуаддитивности
^(f + gXiJ + i^g
для всех /, д€Е+. Легко проверяется следующая оценка:
IJ^IvOcIJ (26.10)
для всех ненулевых <р, а е Е+.
Фиксируем ненулевую функцию а е Е+ и нормируем функцию ц>
условием I^a = 1. Тогда из (26.10) получаем I^f < Iaf. Применяя транспозицию
функций /, а, получаем также оценку снизу для If. В результате из (26.10)
вытекает двусторонняя оценка
М^уав/. (26.il)
Дальнейшее доказательство основано на следующей лемме (и будет
закончено в п. 26.6).
26.5. Лемма. Фиксируем две функции0ф/р /2£#+. Для каждого е>0
можно выбрать окрестность V точки е Е G таким образом, чтобы
V.+V^Wi + ^ + e, (26.12)
при условии supp <р с V.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 185
Доказательство. Применяя лемму Урысона (см. замечание в конце
п. 23.12), находим, что существует функция f0eE+, равная единице на
компакте supp^ + /2). Положим
/ = А/0 + /1+/2, (26.13)
где Л > 0, и пусть h{ = fjf при / ф О, \ = О при / = О (г = 1, 2). Ясно,
что \ E Е+ (г = 1,2). Используя равномерную непрерывность функций h{
(п. 23.11), находим
\К(х)-Ыдх)\<6 (26.14)
для каждого 6 > О, где х е G, д Е V, V —достаточно малая окрестность
точки е (зависящая от 6).
Положим supp <р С V, и пусть ц>(д{х)фО в оценке (26.8) для функции /.
Тогда имеем д(хеУ, так что (26.14) выполняется при д = д{. Поэтому
fp(x) = f(x)hp(x)^J2 сМ&х)[\(9г*) + Я
i = 1
где р = 1,2. Складывая эти оценки, заметим, что h{ + h2 ^ 1. Отсюда
Vi + V2<(1+25)Eci.
i = l
Заменяя суммы в правой части их точной нижней гранью J /, получаем
U + V2<0+2W-
Подставляя в эту оценку (26.13) и используя мажоранту (26.11),
получаем (26.12), где
е = 251о(/,+/2) + А(1+25)/а/0,
так что е сколь угодно мало при малых А, 5.
26.6. Конец доказательства. Для каждой ненулевой функции / еЕ+
пусть Af —числовой отрезок (26.11), в котором содержится I^f. Положим
д=Плл (2615)
так что I можно отождествить с точкой множества А (с
компонентами I^f). Согласно теореме Тихонова (п. 23.9), Д есть компакт.
Помимо этого, для каждой окрестности V точки е пусть Iv —
множество всех точек 1^ е Д, для которых supp ip С V. Пусть S — семейство всех
множеств Iv (замыкание Iv). Заметим, что
^n...nvn = ^ n...nlVn c7Vi n...п7Уп,
откуда следует, что семейство S центрировано (п. 23.9) и потому имеет в Д
непустое пересечение. Следовательно, существует точка /, принадлежащая
всем Iv.
186
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Напомним (п. 23.9), что сходимость в А есть поточечная сходимость.
Поэтому для каждой пары функций ^, /2 € J5+ и каждой пары е, V в условиях
леммы 23.5 найдется функция у> е Е+, для которой
\19 ~ 1у9\ ^ е>
где flr = /i,/2, /i +/2. Сопоставляя эту оценку с (26.12) и пользуясь
произвольностью числа е, находим, что функционал / аддитивен, т. е. I(fl+f2)=:
= Ifx + If2 (для всех /,, /2 G Я+).
Легко проверяется, что равенство I(f-g) = If-Ig определяет
однозначное продолжение функционала I до линейного функционала в пространстве
Е = Е+ — Е+. Ясно также, что I есть левоинвариантный интеграл Дание-
ля. Отсюда следует, что J имеет вид (26.4), где /х — левоинвариантная
регулярная борелевская мера в группе G. Напомним также, что I^a = 1.
Поэтому рфО.
26.7. Определение. Каждая левоинвариантная (соответственно, право-
инвариантная) регулярная борелевская мера /х на группе G называется
левой (соответственно, правой) мерой Хаара на группе G.
Замечания. 1. Если группа G компактна, то /x(G) < оо.
2. В общем случае из сг-компактности подгруппы Ge (п. 23.12) следует,
что мера р, на подгруппе Ge <т-конечна.
3. Напомним, что группа G есть дизъюнктное объединение связных
компонент Gx = xGe = Gex (по некоторому семейству элементов х е G). Поэтому
каждая мера Хаара на группе G локально конечна.
4. В отличие от общего случая, теорема 26.4 для групп Ли доказывается
элементарно. См. по этому поводу п. 32.9. См. также п. 26.3 для случая
G = GL(n).
Упражнение. Если p(G) <оо, то группа G компактна. [Указание:
в противном случае G содержит счетное дизъюнктное семейство,
составленное из множеств одинаковой ненулевой меры.]
Теорема 26.4 о существовании меры Хаара существенно дополняется
следующей теоремой единственности этой меры.
26.8. Теорема (А. Вейль). Пусть G —отделимая локально
компактная группа. Тогда каждая левая (правая) мера Хаара группы G
единственна с точностью до числового множителя (0^ А е Ш+).
Доказательство. Пусть I, J — два левоинвариантных интеграла
в Е. Фиксируем / €Е+, и пусть U — предкомпактная окрестность
множества К = supp /. Пусть /0 е Е+ — функция, равная единице на окрестности
U. Можно выбрать симметричную окрестность V точки е, для которой
(a) VKuKVcU,
(/3) \f(xy) -/(2/*)Ю,
где х е С?, у Е V (при фиксированном е > 0). Отсюда
(7) \f(xy)-f(yx)\<efQ(x)
для всех х € G, yeV.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 187
Фиксируем также симметричную функцию heE+ (h(x) = h(x~l) для всех
х е G), для которой supp h с V, Ih фО. Применяя интеграл J&I к функциям
у?(ж, y)=f(x)h(y), ф(х, y) = f(y)h(x), заметим, что результат не изменится
(ввиду инвариантности J, J) при подстановках
¥>(я, y)^f(yx)h(y),
Ф(х, у) ь-> f(y)h(y-lx) = f(y)h(x~ly) н-> f(xy)h(y).
Соответственно, разность ^(ж, у) — <р(ж, у) преобразуется в функцию
[f(xy) — f(yx)]h(y). Применяя (7) и теорему Фубини (о перестановочности
повторных интегралов), получаем
\If -Jh-Ih- Jf\ ^ elh • J/0. (26.16)
Предположим, что If ф0. Тогда (26.16) переписывается в виде
\6(f)-6(h)\<e-$, (26.17)
где 6(f) = Jf/If (аналогично для h).
Напомним, что выбор функции h ограничен условием supp h с V. Однако,
можно заменить функцию h произвольной функцией д € Е+, для которой
1д ф0. А именно, используя (26.17) для функций /, д, получаем
где д0 — аналог /0 для функции д. Поскольку правая часть сколь угодно
мала (при фиксированных /, д), мы находим 6(f) = 6(g), т. е. J/ = А//, где
Л не зависит от /.
Остается рассмотреть случай // = 0. В этом случае из (26.16) следует
J/ = 0. В результате J/ = AI/ для всех /еЕ+ (но тогда и для всех f ЕЕ).
26.9. Модулярная функция. В дальнейшем мы считаем (имея в виду
теорему А. Вейля), что группа G отделима. Для каждого левоинвариант-
ного интеграла I и каждого g E G интеграл Igf = I(fg) левоинвариантен.
Поэтому
I(fg) = A(g)If (26.18)
где ОфА(д) Е R+. Используя непрерывность отображения / н+ fg в C0(G)
(п. 25.3), находим, что Д: G -»R+ есть непрерывный характер группы G.
Характер Д называется модулярным характером (или модулярной
функцией) группы G. Группа G называется унимодулярной, если Д(<7) = 1
для всех ge G. В этом случае (26.18) означает, что интеграл I двусторонне
инвариантен. Например, это верно, если группа G коммутативна.
Если группа G компактна, то (26.18) можно применить к функции / = 1,
откуда Д= 1, т. е. группа G унимодулярна. Более того, подстановка ол-+ ш~1
переводит меру /х в инвариантную меру /Г=с/4. Полагая ш = G,
получаем с = 1. Таким образом, мера Хаара группы G инверсно инвариантна.
188
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В общем случае покажем, что для всех f ЕЕ выполняется следующее
тождество:
( f(x-{)A(x-l)dfi(x) = f f(x)dp(x), (26.19)
где Д — модулярная функция группы G.
Действительно, пусть /'/— левая часть (26.19). Легко проверяется, что
интеграл /' левоинвариантен, откуда Г = с1 (ОфсеЕ+). Фиксируем е >О
и выберем симметричную окрестность V точки е, в которой |Д(у)- 1| < е.
Фиксируем также симметричную функцию feE+, для которой / С V, // = 1.
Тогда имеем:
|с - 1| = |/'/ - i/| = /(А"1 - 1)/ < е.
В результате, с = 1 (ввиду произвольности е).
Упражнения. 1. Подгруппа G0 = kerА унимодулярна.
2. Модулярная функция группы G = GL(n, F) есть
A(ff) = |detffr,
где е = 1 при F = Ш, е = 2 при F — С. Отсюда следует также, что подгруппа
GQ = SL(n, F) унимодулярна.
26.10. Квазиинвариантные меры. Пусть G — топологическая
группа. Левое G-пространство Х называется топологическим (левым) G-npo-
странством, если действие (#, х)*-+ дх непрерывно в G х X. Борелевская
мера /х в пространстве X называется квазиинвариантной, если
dfi(gx) = 6(g, x)dfx(x), (26.20)
где 6 — неотрицательная функция, суммируемая по мере р, для каждого
д е G. Мера р, называется инвариантной, если 6 = 1. Аналогично
определяются квазиинвариантные меры на правых G-пространствах.
В частности, пусть X = G/H — левое однородное G-пространство,
где Н — замкнутая подгруппа в G. В этом случае в G существует бо-
релевское подмножество В, для которого
G = BH&B хЯ, (26.21)
так что X « В (гомеоморфизм). Положим 6(h) = A0(h)/A(/i), где heH,
А (соответственно, А0) — модулярная функция группы G
(соответственно, Н). Легко проверяется, что искомая мера р, связана с левыми мерами
Хаара на G, Н соотношением
dfi(xy) = 6(y)dp,(x)dp(y), (26.22)
где х е В, уеН. См., например, [В; Кир].
Примеры. 1. Пусть В — подгруппа группы G. В этом случае левая
мера Хаара группы В определяет инвариантную меру в пространстве Х&В
(так что 6 = 1 в (26.22)).
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 189
2. Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп
В, Я, если она имеет вид (26.21), где Н — нормальный делитель группы G.
В этом случае также
dp(yx) = e(x)dp(x)dp,(y), (26.23)
где е — характер подгруппы В, определяемый соотношением dp(xyx~l) =
= e(x)dp(y).
Упражнение. Проверьте, что группа G обладает унимодулярным
расширением G{ = G • Ш+ (полупрямое произведение).
§ 27. Групповые алгебры
27.1. Пространство Lp(X, /x). Напомним основные сведения о
пространствах Lp = Lp(X, /х), где X —локально компактное пространство, /х — бо-
релевская мера в пространстве X, 1 ^ р < оо.
Согласно общей концепции Даниеля (п. 26.2), пространство
суммируемых функций L{ возникает непосредственно как пополнение векторного
пространства Е = С0(Х) по интегральной норме
И/И.=ВД (27.1)
где I — интеграл по мере /х. Поэтому Е всюду плотно в L{. Отсюда также
выводится (см., например, [Лю; Н2]), что Е всюду плотно в Lp (1 ^р ^ оо).
Параметры р, q называются двойственными по Юнгу, если они связаны
соотношением (24.15). В этом случае для каждой пары функций / е Lpi g €
eLq функция fg суммируема и для нее выполняется неравенство Гёльдера
11/511, < ||/||„ • 1Ы1(. (27.2)
Билинейная форма (/, g) = I(fg) определяет двойственность векторных
пространств Lp, Lq (и также сопряженность Lp = Lq при р ф оо).
Напомним, что Lp есть банахово пространство (относительно нормы
|| • ||р). Пространство L2 есть гильбертово пространство со скалярным
произведением (/, д) = (/,#), где <7»-+0 — комплексное сопряжение
(нетривиальное в случае F = С).
27.2. Определение. Пусть G—локально компактная группа.
Фиксируем левую меру Хаара р на группе G. Интеграл по мере р будет
записываться в виде
If = [ f(x) dx (27.3)
(т. е. символ dx заменяет dp(x)). Пространство L =L (G, р) обозначает-
ся Lp(G).
Наличие групповой структуры позволяет определить в пространстве Е =
= C0(G) групповую свертку h = f*g по правилу
h(x)= [ f(xy)g(y-')dy= f f(y)g(y-lx)dv, (27.4)
190
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
где /, д€Е. Здесь равенство двух интегралов есть следствие левой
инвариантности меры Хаара. Определение (27.4) можно записать в симметричной
форме
*(*)= | f(*M*)dth (27.5)
где у = t~x или у = 5 (в соответствии с (27.4)). Если группа G унимодулярна,
то в (27.4) можно также заменить у на у1.
Интерпретация (27.5) определяет аналогию интегральной свертки (27.4)
в C0(G) с алгебраической сверткой в F[G] (п. 7.3). Более того, эти свертки
совпадают, если группа G дискретна.
27.3. Предложение. Для каждой пары функций /Gip g€Lp их
свертка (27А) определена почти всюду и содержится в Lp. Более того,
\\f*g\\P < 11/11, • Mr (27.6)
Доказательство. Пусть вначале р = 1, так что функция <р(ж, у) =
= f(x)g(y) суммируема в G х G (см., например, [Ш1]) относительно меры
fji х ц. Тогда имеем
I*V = If-Ig, (27.7)
где Р — интеграл в G х G (по мере р х /г). Заменяя в этом интеграле у на
ху и используя теорему Фубини, получаем P(p = Ih, где h = f*g. Отсюда
следует (по теореме Фубини), что h e L{. Ясно также, что \h\ < |/|*Ы-
Применяя эту оценку к правой части (27.7), получаем
|Н1, =I\h\< I\f\ .I\g\ = И/И, .|Ы1„
т. е. (27.6) доказано при р = 1.
В общем случае для каждой тройки вещественных функций feL{, g€Lpt
he Lq1 где параметры р, q двойственны по Юнгу, имеем
(f*9,h)= j /Щ 5(г'*)М*)^]^11/11.115№11в
(по неравенству Гельдера для функций </, h). Если /, g, h комплексны, то
подстановка h^e^h превращает левую часть этого неравенства (при
надлежащем а) в !(/*£, h)\, откуда
l(/*ft*)KB/HilWIFl|fc||t (27.8)
для всех /, & h. В результате f*g€Lq = Lp (при рф 1). Более того, из (27.8)
вытекает (27.6).
27.4. Следствие, (i) LX(G) есть ассоциативная алгебра
относительно свертки.
(И) LP(G) есть Ь{(С)-модуль (относительно свертки в L{ x Lp).
Действительно, ассоциативность свертки легко проверяется (с
использованием левой инвариантности интеграла в CQ(G)).
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 191
Упражнения. 1. LX(G) (соответственно, LAG)) есть
топологическая алгебра (соответственно, топологический ^(бг^модуль).
2. Алгебра LX(G) коммутативна тогда и только тогда, когда группа G
коммутативна.
3. Алгебра L{(G) содержит единицу тогда и только тогда, когда группа G
дискретна.
4. Если группа G дискретна, то семейство Lp(G) не убывает, т. е.
L^G)CL^G) при й<й.
27.5. Предложение. Если группа G компактна, то семейство Lp{G)
не возрастает. Более того,
Lft(G)*Lft(G)cLft(G) при А<д. (27.9)
В частности, каждое Lp(G) (I ^р ^ оо) есть подалгебра в L{(G).
Доказательство. Если /еL (G), то функция g = |/|Pl содержится
в Lp(G) при p — p^lPv Воспользуемся также включением 1 eLq(G), где
р, q двойственны по Юнгу. Отсюда
И/И* -Ig = <ftl)<||*||f||l||f,
так что feL^(G). В результате L^(G) С L (G). В частности, Lp(G)c
С LX(G) для всех значений р (1 ^р < оо). Применяя следствие 27.4 (И)
(при p = ft), получаем (27.9).
27.6. Предложение. Для каждой функции f € Lp(G) преобразования
9^9f* 9*~* f9 непрерывны на группе G.
Доказательство. Если / Е CQ(G), то непрерывность вектор-
функций gf,fg (g G G) в метрике i^G) равносильна равномерной
непрерывности функции / (п. 23.12). Отсюда для каждого р (1 ^ р < оо) имеем
при if = supp/:
hf - /1С = х|я/ - /Г < м(*)11я/ - /IL < ч*<#)
при условии д€ V, где V—достаточно малая окрестность точки е.
Аналогично рассматривается функция д*-> fg.
В общем случае достаточно аппроксимировать функции f eLp(G)
функциями h e C0(G) с использованием указанных оценок для функций h e
eC0(G).
Упражнение. Пространство Lp(G) есть топологический G-бимодуль
(относительно действия / »-* afb, где a,b eG).
27.7. Топологические модули. Сохраним обозначения п. 27.2, и пусть
(X, 7г) — полурефлексивный G-модуль. В этом случае для каждой функции
f eCQ(G) интеграл
*(f)=[f(9)*(9)dg (27.10)
192 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
определен как оператор в пространстве X по правилу
7Г(/)Ж= j f(9)n(9)xdg,
где хе X. Напомним (п. 24.11), что
(тг(/)х, у) = J /Ы<тг(,г)х, у) dg (27.11)
для всех t/бГи
*>ИЯ*К j \f(g)\p(7r(g)x)dg
для каждой непрерывной полунормы р в пространстве X (п. 24.12). Отсюда
следует оценка
р(тг(/)х)^Ср6(х), (27.12)
где С = v(K), K = suppf, Рь(х) — максимум функции р(п(д)х) на
компакте К.
Заметим, что Pq — непрерывная полунорма в пространстве X (п. 25.2).
Отсюда заключаем, что оператор (27.10) непрерывен в пространстве X,
т.е. n(f)eB(X).
Легко проверяется, что / н-* 7г(/) есть представление сверточной
алгебры Е. Таким образом, каждому полурефлексивному С?-модулю X
сопоставляется Е -модуль X. Отметим следующие варианты этого определения.
(а) Если группа G локально евклидова, то интеграл (27.11) можно
рассматривать как интеграл Римана. В этом случае интеграл (27.10) определен
для каждого квазиполного G-модуля Х.
(/?) Если X — банахово пространство, то интеграл (27.11) определен в
LX(G) для каждого ограниченного представления группы G (т. е. ||тг(<7)|| <
< С для всех д е G). В этом случае оценка (27.12) заменяется оценкой
IM/MKII/IINI, (27.13)
где II/H = ll/Цр так что ||7г(/)|| < ||/||. Соответственно, /н* 7г(/) есть
представление алгебры LX(G) в пространстве X.
(7) Если X — гильбертово пространство и представление 7г группы G
унитарно, то ||тг(<7)|| = 1 Д-ля всех 9 € С?, так что X есть Ь1(С)-модуль. В
этом случае
тг(/*) = тг(/)* для всех feL{(G), (27.14)
где f*(x) — f(x~l) (инволюция алгебры L{(G)) и звездочка в правой
части (27.14) означает эрмитово сопряжение.
Пример. Если группа G компактна, то полунорму р^ в (27.12) можно
выбрать не зависящей от / (случай К = G). В этом случае (27.12) означает,
что представление / н+ 7г(/) равностепенно непрерывно.
Упражнения. 1. Операторы (27.10) связаны со структурой G-бимо-
дуля Е = C0(G) соотношениями
'(Я/) = *(*)*(/), 1г(/д) = A(g)7r(f)n(g), (27.15)
где д е G, f € Е, Д — модулярная функция группы G.
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 193
2. Соотношения (27.15) сохраняются для функций f eLx(G) в
случаях (/?), (7).
27.8. Алгебра Mq(G). Пусть M(G) — векторное пространство
всех -Р-значных борелевских мер на G. Согласно теореме Рисса (см.,
например, [Лю; XI]),.пространство M(G) сопряжено к C0(G) относительно
билинейной формы
</,М>= j/ЫФЫ, (27.16)
где / G C0(G)f peM(G). Иначе говоря, (27.16) определяет общий вид
линейного непрерывного функционала в пространстве M(G). Нетрудно
видеть, что сильная топология в пространстве M(G) определяется
полунормами
М/0 = И(Я"), . (27.17)
где К с G — произвольный компакт, \р\ — неотрицательная борелевская
мера (вариация меры р), определяемая по правилу
п
|/z|(w) = sup£m(4-)>
» = i
где супремум берется по всем борелевским разбиениям и = и>{ и ... U шп.
Соответственно, для функций / е C0(G) выполняются оценки
Itf/01 < 11/11-ftrM, (27.18)
где if = supp/, 11/Ц —равномерная норма в C0(G). Если группа G
компактна, то M(G) есть банахово пространство с нормой \\р\\ = M(G).
Пусть MQ(G) — подпространство в M(G), состоящее из мер с
компактным носителем. Если р eM0(G), то интеграл (27.16) определен для всех
/ е C(G) и равенство (27.16) определяет общий вид линейного
непрерывного функционала в пространстве C(G). В этом смысле C(G)' = Mq(G).
Использование групповой структуры позволяет определить свертку мер
А =р*и в пространстве Mq(G) по правилу
</>Л>=и f(xy)dp(x)dv(y),
где р, v e Mq(G). В этом смысле M0(G) есть ассоциативная алгебра над
полем F. Алгебра C0(G) вкладывается в Mq(G) в качестве подалгебры,
посредством отображения
/ н-> dp(x) = f(x) eta,
где p e M0(G), dx —дифференциал левой меры Хаара на группе G.
Отображение /н* 7г(/) (п. 27.7) поднимается на алгебру M0(G) по
правилу
*(м)= |*ЫФЫ, (27.19)
где р е MQ(G). Повторяя рассуждения п. 27.7, находим, что п(р) е
еВ(Х) для всех р е M0(G) и отображение р н-> п(р) есть представление
14 Зак. 184
194
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
алгебры M0(G) в пространстве X. Если X — банахово пространство, то
Нм)|К|Ы1, где |H| = H(G). (27-20)
Заметим, что G естественно вкладывается в M0(G) как множество
5-функций 8а (a EG), где Sa(f) = /(a). Представление (27.19)
редуцируется до представления группы G по правилу
тг(<7) = 7г(4,). (27.21)
27.9. Алгебра D0(G). Предположим, что G есть гладкое многообразие
(класса С00), с гладкими групповыми операциями (ж, у)»-* ху~К Положим
C0°°(G) = CQ(G) П C°°(G), (27.22)
где C°°(G)— векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых
функций на группе G. Легко проверяется, что C0°°(G) есть подалгебра свер-
точной алгебры C0(G).
Согласно общей схеме теории обобщенных функций (см.,
например, [Ш2]), пространство, сопряженное к C0°°(G), есть пространство D(G),
состоящее из обобщенных функций на группе G, т. е.
C~(G)' = D(G). (27.23)
Каноническую билинейную форму в этом случае иногда удобно записывать
в символическом виде
(v,f)=\<P(x)f(x)dx, (27.24)
где (р е C0°°(G), / € D(G). Символический интеграл (27.24) превращается
в интеграл Лебега в случае, когда функция / локально интегрируема (так
что feD(G)).
Пусть DQ(G) — подпространство всех финитных обобщенных функций
(т. е. функций с компактными носителями) в D(G). В этом случае
билинейная форма (27.24) продолжается на все функции <р е C°°(G) и определяет
соотношение сопряженности
C*(G)' = Db(G). (27.25)
Пространство DQ(G) есть алгебра относительно свертки h = f*g,
определяемой по правилу
<<ft h) = j v(xy)f(x)g(y) dxdy (27.26)
(в символической записи (27.24)). Алгебра Mq(G) естественно
вкладывается в D0(G) в качестве подалгебры.
Представление (эт, X) группы G называется слабо дифференцируемым,
если его матричные элементы (25.11) дифференцируемы на группе G.
Отсюда можно вывести (см., например, п. 36.9), что все эти элементы
бесконечно дифференцируемы. Соотношение (27.11) в этом случае определяет
представление /н+ 7г(/) алгебры D0(G) в пространстве X.
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 195
27.10. Определение. Согласно пп. 27.7-27.9, мы имеем следующую
цепочку сверточных алгебр:
С0°°(С) С CQ(G) с ЩС) с D0(G), (27.27)
называемых (наряду с L{(G)) групповыми алгебрами группы G.
Заметим, что каждая из алгебр (27.27) соответствует той или иной
категории топологических G-модулей (от общих полурефлексивных до слабо
дифференцируемых). Аналогично, алгебра LX(G) соответствует категории
ограниченных (в том числе унитарных) G-модулей.
Условимся говорить, что X есть допустимый G-модуль, если операторы
/ ь+ тг(/) еВ(Х) определены в пространстве X по правилам пп. 27.7-27.9.
27.11. Предложение. Пусть X —допустимый G-модуль. Тогда
подпространство X0 = C0(G)X всюду плотно в X. Аналогично, в условиях
/г. 27.9 подпространство X™ = C£°(G)X всюду плотно в X.
Доказательство. Согласно лемме Урысона, существует «5-образ-
ная» направленность 8г е CQ(G), для которой 16( = 1 и компакты К{ =supp 6{
стягиваются к точке е G G, т. е. К{ с V при г ^ io(V) для каждой
окрестности V точки е. Заметим, что
6{х - х = f 8.(g)(gx - x) dg (27.28)
(в модульной записи), для каждого хеХ. Отсюда для каждой базисной
полунормы р в пространстве X имеем
р(8{х — х) ^ С{ тахр(<7ж — х) = С{р(д{х — ж),
где С{ = р(К{) (м — мера Хаара), д{ £ К{ (по теореме о среднем для
непрерывной функции р(дх - х)). Отсюда х = lim 8{х, так что Х0 всюду плотно в
X. Аналогично, в условиях п. 27.9 можно выбрать 6i € G0°°(G), так что X™
всюду плотно в X.
27.12. Предложение. Пусть X —допустимый G-модуль, наделенный
(как выше) структурой А-модуля, где А —одна из алгебр (27.27) (либо
A=L{(G)). Тогда
CVA(X) = CVG(X). (27.29)
Аналогично, для каждой пары допустимых G-модулей Х, Y имеем
BA(X,Y) = BG(X,Y). (27.30)
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (с
использованием 5-образных направленностей п. 27.11).
Соотношение (27.30) означает, что отображение G н* А определяет
изоморфизм категории допустимых G-модулей с соответствующей
категорией А-модулей.
14*
196
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 28. Компактные группы
28.1. Обозначения. Пусть G — отделимая компактная группа.
Фиксируем меру Хаара группы G, нормированную условием //(G) = 1. Мы будем
рассматривать допустимые (в том числе конечномерные) G-модули. Для
каждого такого G-модуля (Х, 7г) положим
й>=| *(<?)<& (28.1)
Повторяя рассуждения п. 10.2, с заменой суммы (10.2) интегралом (28.1),
находим, что р^ проецирует X на подпространство инвариантов XG.
Отсюда, как и в п. 10.3, следует, что каждый конечномерный G-модуль Х
унитарен и потому полупрост. В дальнейшем полагаем F = С.
Пусть G — множество классов эквивалентности неприводимых
конечномерных (непрерывных) представлений группы G. Для каждого X е G
фиксируем простой G-модуль (УА, тА) и положим (по аналогии с п. 10.4)
i$(0) = (*„«), (28.2)
где е{ (г = 1,..., пА) — ортонормированный базис пространства Vх,
относительно скалярного произведения (•, •), в котором матрицы (28.2) унитарны.
Напомним, что матричные элементы (28.2) непрерывны, т. е. содержатся
в C(G).
Повторяя рассуждения п. 10.8, находим, что система функций (28.2)
ортогональна в L2(G). Более того, имеем
|К)||2 = пА-' (28.3)
в пространстве L2(G) (для всех А, г, j).
28.2. Теорема (Ф. Петер, Г. Вейль). Линейная оболочка Т системы
функций (28.2) всюду плотна в C(G). Соответственно, эти функции
образуют ортогональный базис в L2(G).
Доказательство. Рассмотрим действие алгебры Е = C(G) в
пространстве H = L2(G), порожденное левыми сдвигами (26.6). Согласно
общей схеме (27.10), это действие определяется операторами
(*(/)¥>)(*)= \ /(y)v(y-1*)^y = (/*v)(*),
где / е Е, (р€Н. Напомним (п. 26.9), что мера Хаара группы G инверсно
инвариантна. Поэтому оператор 7г(/) переписывается в виде
<*(/)?)(*) = j f(xy-{)<p(y) dy. (28.4)
Следовательно, 7г(/) есть оператор Фредгольма в пространстве Я,
определяемый непрерывной функцией /. Если /* = / (в обозначениях (27.14)),
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 197
то я"(/)* = я"(/)» т. е. оператор 7г(/) эрмитов. Применяя к этому оператору
теорему Гильберта (п. 5.14), получаем
# = ©#«,
а
где На —собственное подпространство оператора 7г(/), отвечающее
собственному значению а. Более того, если а фО, то dimHa < oo и функции
7г(/)<р разлагаются только по компонентам На при о: ^0. Отсюда
f*<pe в Яа. (28.5)
Поскольку левые сдвиги (26.6) перестановочны с правыми, каждое
подпространство На инвариантно относительно правого действия группы G.
Повторяя рассуждения п. 10.5, находим ЯасГ при а ф0у где Г —
линейная оболочка матричных элементов (28.2). Отсюда (ввиду (28.5)) получаем
Е*ЯСТ, (28.6)
где Г — замыкание системы Г в пространстве Я. Действительно, каждая
функция / G Е записывается в виде f{ + if2, где /ft* = fk (к = 1, 2). Отсюда
следует (28.6).
Согласно предложению 27JJ, левая часть (28.6) всюду плотна в
пространстве Я. Следовательно, Т = Н. Иначе говоря, система (28.2) замкнута
и потому образует ортогональный базис в пространстве Я.
Помимо этого, к функциям 7г(/)<р можно применить теорему
Гильберта— Шмидта (п. 5.15), согласно которой каждая из этих функций есть
равномерный предел функций класса Г. Отсюда Е*Е с Т, где Г —
замыкание системы Г в пространстве Е. Применяя снова предложение 27.11,
получаем Т = Е.
Замечание. Если группа G линейна (т. е. G — компактная
подгруппа в GL(n)), то в этом доказательстве вместо теоремы Гильберта —
Шмидта можно применить известную теорему Стоуна — Вейерштрасса (см.,
например, [Лю], п. В.9). А именно, Г есть подалгебра в C(G)
(относительно поточечного умножения), содержащая единицу, замкнутая относительно
комплексного сопряжения и разделяющая точки компакта G (каждая
пара точек х ф у разделяется матричными элементами тождественного
представления^ группы G). Согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, отсюда
следует Т = С(<3). Тем более, Г содержит C(G), откуда Т = L2(G).
28.3. Следствие. Семейство тА (Л £ G) разделяет точки группы G.
Иначе говоря, для каждой пары точек хфу существует А е G, для
которого тх(х) ф тх(у).
Действительно, равенство тх(х) = тх(у) для всех Л е G влечет f(x)=f(y)
для всех / G Г, но тогда и для всех / е C(G), откуда х = у.
28.4. Следствие. Каждая функция f e L2(G) разлагается в
(обобщенный) ряд Фурье по элементам (28.2), сходящийся в L2(G):
/(*)=£ ф£(х), (28.7)
A, hj
198
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
с коэффициентами Фурье
4 = nx(f,r>). (28.8)
Более того, для каждой функции f eL2(G) выполняется формула План-
шереля г
|/(*)|2d* = £njc*|2. (28.9)
Действительно, все эти утверждения вытекают непосредственно из
теории ортогональных базисов в гильбертовом пространстве Я (пп. 5.4, 5.7).
Пример. Пусть G — одномерный тор. В этом случае Г есть алгебра
тригонометрических полиномов на группе G, всюду плотная в C(G) по
теореме Вейерштрасса. Соответственно, (28.7) совпадает с классическим
рядом Фурье (5.19).
Заменяя матрицу сА = (с*) транспонированной матрицей сА,
перепишем (28.7) в виде
/<*) = Е*(сдт*(а)). (28.10)
А
Соответственно, формула Планшереля (28.9) переписывается в виде
(|/(x)|2d* = 5>Atr(cAcA*). (28.11)
J А
Упражнение. Пусть G — компактная группа, Я — ее замкнутая
подгруппа. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
(а) Каждое неприводимое представление группы G остается
неприводимым при сужении на Я.
(/3) Операция сужения G[Н инъективна в C(G) (т. е. равенство fH = 0
для функции f eC(G) равносильно / = 0).
(<у) G = Я. [Указание: воспользуйтесь леммой Урысона для импликации
03) =47).]
28.5. Следствие. Характеры Хх =trrA (X eG) образуют ортонор-
мированный базис в центре Z(H) алгебры Я = L2(G).
Доказательство — по аналогии с п. 10.11. А именно, центральность
функции / б L2(G) равносильна тому, что ряд Фурье (28.7) имеет вид
Я*) = £<*аХа(я). (28.12)
А
с коэффициентами dxeF. Ортонормированность системы %а (^ € G)
вытекает непосредственно из ортогональности матричных элементов (28.2). Из
равенства (28.3) получаем ||хА|| = 1.
28.6. Алгебра L2(G). Используя следствие 28.5, легко проверить, что
элементы рх = пАХд~ образуют ортогональную систему эрмитовых
проекторов в алгебре Я = L2(G):
ВД = *аА (28ЛЗ>
для всех А, /х е G. Разложение в ряд Фурье (28.7) определяет разложение
алгебры Я в прямую ортогональную сумму идеалов
Н = @НХ, (28.14)
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 199
где Нх = рхН = Нрх —линейная оболочка матричных элементов
представления тА = тА (комплексное сопряжение).
Повторяя рассуждения п. 10.6, получаем изоморфизм G-бимодулей
HX&VX®VX (28.15)
(относительно а ® /3).
Помимо этого из леммы 10.5 следует, что все конечномерные подмодули
левого (правого) G-модуля Н содержатся в одной из компонент (28.15).
Соотношение (28.15) означает, что каждое представление тА (А е G)
содержится в L2(G) с той же кратностью, какова его размерность.
28.7. Лемма. Каждый замкнутый подмодуль X левого (правого)
G-модуля Н градуирован разложением (28.14), т. е. имеет вид
ортогональной суммы
Х = @ХХ} (28.16)
с компонентами ХХ=Х ПНХ.
Доказательство. Рассмотрим для определенности левое
действие (26.6). Из замкнутости X следует, что X обладает структурой Е-мору-
ля, т. е. Е*Х с X для всех А е G. В частности, X содержит компоненты
Фурье хх =рхх (А е G) для всех хеХ, откуда следует (28.16).
28.8. Теорема. Каждый топологически простой^ G -модуль X
конечномерен и изоморфен одному из модулей Vх (А е G).
Действительно, фиксируем 0^fQeX* и заметим (по аналогии с п. 10.5),
что модуль X вкладывается в (7(G) посредством отображения
*"/.(*) = <№/о)- (28.17)
А именно, равенство / (д) = 0 для всех geG при Xq ф0 означало бы, что /0
аннулирует линейную оболочку орбиты Ga^, всюду плотную в X (ввиду
простоты модуля X), что возможно только при /0 = 0. Поэтому
отображение (28.17) инъективно.
Пусть Fx —образ модуля X при вложении (28.17). Ясно, что Fx «X
(изоморфизм G-модулей относительно действия g^gg^ в C(G)). Если
dimX = оо, то ^ПЯА=0 для всех А е G и также Fx Г) Нх = 0 (Fx —
замыкание Fx в C(G)). Согласно (28.16), отсюда следует Fx =0, что
возможно только при X = 0.
Для дальнейшего изучения G-модулей нам понадобится дополнительная
информация о центре Z(H) алгебры Я.
28.9. Предложение. Оператор ортогонального проектирования в Н
на Z(H) имеет в подпространстве C(G) следующий вид:
(pf)(x)=\f(yxy-l)dy. (28.18)
Доказательство. Непосредственно проверяется, что каждая
функция (28.18) центральна. Ясно также, что pf = / для центральных
функций /. Поэтому р2 = р (в C(G))t р проецирует C(G) на Z0 = Z(H)r\C(G).
200
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Применяя к (28.18) неравенство Коши — Буняковского (для функции / =
= / • 1), получаем
|(р/)<*)|< и/т-
Интегрируя полученное неравенство по группе G, получаем ||р/||2 ^ Ц/Иг»
так что оператор р продолжается (по непрерывности) до оператора р е
€ В(Н). Отсюда ясно, что р проектирует Я на Z(H). Помимо этого, соот-
ношение (р/, *) = (/, «>,
справедливое для функций f,g€C(G), продолжается по непрерывности
на функции /, д G Я. Отсюда р* = р, т. е. р есть оператор ортогонального
проектирования в Я на Z(Я).
28.10. Определение. Топологическое векторное пространство X
называется прямой топологической суммой своих подпространств Xi (г Е /),
если эти подпространства линейно независимы и их линейная оболочка
совпадает со всем пространством X. Мы будем в этом случае использовать
обозначение
Х= ®Х<. (28.19)
iel
28.11. Теорема. Пусть G — компактная группа, X — допустимый
G-модуль (п. 27.10). Тогда имеем:
(а) Каждый вектор хеХ содержится в замыкании линейной
оболочки своих «компонент Фурье» хх—рхх (X е G).
(/3) Модуль X есть прямая топологическая сумма своих подмодулей
Хх=рхХ (A6G):
Х=§ХА, (28.20)
где Хх —максимальный подмодуль модуля X, кратный простому
модулю Vх.
Доказательство. Предположим, что функционал / G X' аннулирует
]<0я,/>ХаЫ<*<7 = О
для всех А € G. Отсюда следует, что функция f(g) = {gx, f) ортогональна
центру Z(H) алгебры Я, так что pf = 0 (р — оператор ортогонального
проектирования Я на Z(H)). Заметим, что feC(G). Применяя (28.18)
при ж = е, получаем (р/)(е) = /(е) = 0, т. е. (ж,/)=0. Согласно теореме
Хана — Банаха (п. 24.5 (7)), отсюда следует (а).
Применяя соотношения ортогональности (28.13), находим, что
подпространства Хх линейно независимы. Поэтому из (а) следует (28.20).
Остается заметить (по аналогии с п. 10.12), что рх = 1 в модуле Vх. Отсюда
ясно, что Хх=рхХ есть максимальный (наибольший) подмодуль модуля X,
кратный модулю Vх.
Пример. Групповая алгебра A = C(G), Lp(G) (1 ^р^оо) есть прямая
топологическая сумма своих минимальных идеалов Ах=рхА «Mat(nA, С),
где А е G.
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 201
Замечания. 1. Если рф2, то мы не можем утверждать, что ряд
Фурье функции f еА сходится к / (в топологии алгебры А).
2. Теорема 28.8 сильнее частного случая теоремы 28.11, относящегося к
простым G-модулям (поскольку в п. 28.8 не накладывается условие
допустимости G-модуля Х).
Упражнение. Каждый вектор х е X содержится в замыкании вы-
пуклой оболочки своих компонент хх (А е G). [Указание: воспользуйтесь
следствием С. 10.]
28.12. Линейные группы. Группа G называется линейной, если она
изоморфна подгруппе в GL(n) (при некотором п). Полагая для
определенности F =С, будем считать (с точностью до изоморфизма), что G с GL(n).
Если G — топологическая группа, то в этом определении полагается, что G
наследует топологию группы GL(n).
Для того, чтобы это определение не зависело от выбора базиса,
можем считать, что G С GL(V) = Aut У, где V — конечномерное
векторное пространство над полем С. Если группа G компактна, то G С U(V),
где U(V) — подгруппа унитарных операторов (относительно некоторого
скалярного произведения) в GL(V). Выбирая в пространстве V
ортонормированныи базис, можем также считать, что G с U(n), где U(n) —
подгруппа унитарных матриц в GL(n).
Используя условие унитарности (ии* = и*и = е) матрицы и е U(n),
находим, что группа U(n) замкнута в Mat(n, С). Имеем также
п
tru*u= J2 Kl2==n>
откуда следует, что множество U(n) ограничено. Следовательно,
группа U(n) компактна. Отметим следующие свойства группы К = U(n).
(а) Пространство V = Сп есть простой К-модуль.
((3) Группа К есть максимальная компактная подгруппа группы G =
= GL(n).
(7) Каждая максимальная компактная подгруппа Кх группы G
сопряжена подгруппе К относительно внутренних автоморфизмов
группы G, т. е.
K{=gKg-t (28.21)
при некотором g е G.
Действительно, если О^еУ, то вектор V можно включить, после
надлежащей нормировки, в ортонормированныи базис пространства V, откуда
следует, что орбита Gxq совпадает со сферой пространства У и ее
линейная оболочка совпадает с V. Отсюда следует (а). Согласно лемме Шура,
отсюда следует также, что скалярное произведение в пространстве V,
относительно которого компактная подгруппа K{cG унитарна, определяется
с точностью до скалярного множителя. Поэтому из включения К с Кх
следует обратное включение К{с К, откуда следует (/3).
Остается заметить, что отмеченное выше вложение К{ с ^(V') означает,
что К{ С gKg~l при некотором g е G. Если подгруппа Кх максимальна, то
отсюда следует (28.21).
13 Зак. 184
202
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 29. Разрешимые группы
29.1. Коммутаторы. Пусть G — произвольная группа. Для каждой пары
элементов ж, у € G элемент
[х,у] = хух-{у-1 (29.1)
называется (групповым) коммутатором элементов ж, у е G. Подгруппа
группы G, порожденная элементами (29.1), называется коммутаторной
подгруппой группы G.
Пусть G — топологическая группа. Для каждой пары подгрупп А, В
группы G пусть [А, В]— замыкание подгруппы, порожденной коммутаторами
[а, Ь], где ае A, be В. Очевидно, [А, В] есть наименьшая замкнутая
подгруппа группы G, содержащая коммутаторы [а, Ь] (ае А, Ь € В).
Если А и В —нормальные делители группы G, то [А, В] есть также
нормальный делитель группы G. Действительно, для каждого с 6 G
преобразование х \-> хс = сже-1 есть автоморфизм группы G. В частности,
[я,у]с = [*с,Ус] (29.2)
для всех ж, у е G. Подставляя в это тождество элементы х е А, у € В,
получаем [ж, у]с е [А, В] для всех с е G. Но это и означает, что [А, В] есть
нормальный делитель группы G.
Производная подгруппа группы G определяется по правилу G'^IG, G].
Соответственно определяется цепочка кратных производных
G" = (G% ..•> G(n+1) = (G(n)y, ... (29.3)
Аналогично определяются нормальные делители
G1 = G', ..., Gn+I=[G,GJ, ... (29.4)
Если группа G дискретна, то ее производная подгруппа G' совпадает с
коммутаторной подгруппой группы G.
Групповые коммутаторы (29.1) обладают определенной аналогией с
коммутаторами в алгебрах Ли. Например,
[х,у] = [у,х]-\ [x,yz] = [x,y].[x,Zy (29.5)
для всех x,y,2eG. Существует также аналог тождества Якоби, для
описания которого удобно заменить [ж, у] коммутатором (ж, у) = х~1у~[ху.
Несложное вычисление показывает, что
(яу, (У> z)) = (У, «I я)"1(я> у, *),
где (ж, у, г^яжг"1^. Отсюда, с использованием циклических подстановок,
получаем тождество Холла
(*", (У, *))' (У, (*, *))' (**> (*> У)) = * (29.6)
для всех ж, у, 2 £ G.
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 203
Упражнения. 1. Подгруппа G' есть наименьшая среди замкнутых
подгрупп Я С G с абелевой факторгруппой G/H.
2. Если группа G связна, то подгруппа G' также связна. [Указание:
подмножество К, составленное из коммутаторов (29.1), связно (как связный
образ множества G x G).]
29.2. Разрешимые группы. Топологическая группа G называется
разрешимой, если цепочка ее производных (29.3) обрывается, т. е. G(n) = {е}
при некотором п. Наименьшее из таких п называется высотой
разрешимости группы G. Если п = 1, то группа G абелева.
Топологическая группа G называется нильпотентной, если ее
цепочка (29.4) обрывается, т. е. Gn = {e} при некотором п. Наименьшее из таких
п называется высотой нильпотентности группы G. Если п= 1, то
группа G абелева.
Легко проверяется (индукцией по п), что G(n+1) С (G')n. Поэтому
каждая нильпотентная группа разрешима. Каждая подгруппа разрешимой
группы разрешима. Каждая подгруппа нильпотентной группы нильпотентна.
Если Я — нормальный делитель группы G, то нильпотентность группы G
влечет нильпотентность G/H. Разрешимость группы G равносильна
разрешимости каждой из групп Я, G/H.
Классические примеры разрешимых групп возникают как треугольные
подгруппы в GL(n), где GL(n) рассматривается как дискретная группа (над
произвольным полем F) либо как локально евклидова группа (над полями
F = R,C).
Примеры. 1. Подгруппа В+(п) С GL(n), составленная из верхних
треугольных матриц, разрешима. Действительно,
B+(n)' = N+(n), (29.7)
где N+(n) — подгруппа унипотентных (с единицами на главной диагонали)
матриц в В+(п). Легко проверяется также, что
N+(n)(—) = N+(n)n_,={e}, (29.8)
откуда В+(п)(п) = {е}. Следовательно, группа N+(n) нильпотентна
(высоты п - 1), группа В+(п) разрешима (высоты п). Например, группа N+(2)
абелева.
В дальнейшем мы часто используем обозначение L(V) (соответственно,
GL(V)) вместо End У (соответственно, Aut У), где V — конечномерное
векторное пространство над полем F.
29.3. Теорема (Колчин). Пусть V —-конечномерное векторное
пространство над полем F, G с GL(V) — линейная группа, каждый
элемент которой g e G унипотентен в пространстве V (т. е. g = 1 + а,
где ап=0). Тогда пространство V обладает G-инвариантным флагом
(так что G с N+(n) при матричной интерпретации группы G). В
частности, группа G нильпотентна.
Доказательство. Достаточно проверить, что каждый простой G-mo-
дуль V одномерен (и тривиален, т.е.^ = 1в End V для всех ge G). Заметим,
что для каждого д е G имеем tr д = tr 1 = п, где п = dim V. Поэтому
tv((g - l)h) = tvgh - tr h = 0 (29.9)
13*
204
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
для всех g,heG. Если поле F алгебраически замкнуто, то использование
теоремы Бернсайда (п. 9.10) позволяет заключить, что (29.9) выполняется
для всех h е End V. Отсюда_£=^_(\/0 е G),_dim V = 1.
В общем случае положим V = F ® У, где F — алгебраическое замыкание
поля^Р, и пусть е{ (г el) — некоторый базис F пространства F. Записывая
х е V в виде
i
с коэффициентами xi е V, находим, что равенство дх = х (д е G)
равносильно дх{ = х. для всех i el. Полагая О Ф х е V , получаем О Ф х{ е VG
при некотором г. Если V — простой С?-модуль, то отсюда по-прежнему
dimV = l.
Остается заметить, что существование G -инвариантных флагов вытекает
отсюда индукцией по dim V.
Таким образом, доказанная теорема есть групповой аналог теоремы Р. Эн-
геля (п. 17.6). Соответственно, следующий результат есть групповой аналог
теоремы С. Ли (п. 17.4).
29.4. Теорема (С. Ли). Пусть G—связная разрешимая группа.
Тогда каждый конечномерный (топологический) G-модуль V над
алгебраически замкнутым полем F треуголен (т. е. обладает
G-инвариантным флагом). В частности, каждый простой (конечномерный)
G-модуль V одномерен.
Доказательство. Достаточно проверить последнее утверждение
теоремы. Если группа G абелева, этот факт вытекает из леммы
Шура (п. 7.9 (Ш)). В общем случае — индукция по высоте разрешимости
группы G.
Напомним (п. 29.1), что G' есть связная подгруппа группы G.
Поскольку высота разрешимости группы G' строго меньше высоты разрешимости
группы G, можем считать, что теорема доказана для подгруппы Н = G'.
Соответственно, для каждого V ф 0 подпространство
Vx={xe V: hx = \(h)x, \fh e Я},
где Л —характер подгруппы Я, отлично от нуля при некотором Л.
Поскольку Н — нормальный делитель группы G, мы имеем для каждого х е Vx:
hgx = g(g~l hg)x = \g(h)gx,
где geG, he Я, Xg(h) = X(g~{hg). Отсюда заключаем, что
9VxcVXg (29.10)
для всех geG.
Пусть Л — множество всех характеров подгруппы Я, для которых Vx фО.
Рассмотрим в Л слабейшую топологию, относительно которой все функции
Л н-> Л (ж) (хе Я) непрерывны. Тогда отображение g н-» \g (geG)
непрерывно. Из связности группы G следует связность множества Л0 всех Хд
(д е G). Из конечности множества Л следует, что Aq сводится к
единственной точке Л. Согласно (29.10), отсюда следует GVX с Vx.
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 205
Если V — простой G-модуль, то V = Vx при некотором А. Напомним,
что V обладает Я-инвариантным флагом, откуда det h = (X(h))n для всех
h е Я, где п = dim V. С другой стороны, det h = 1 для всех
коммутаторов (29.1), но тогда и для всех h е Я. Отсюда заключаем, что X(h) = 1
(tfh е Я), т. е. /i = 1 во всем пространстве V. Значит, действие G в
пространстве Я коммутативно. Применяя к этому действию лемму Шура (п. 7.9 (Ш)),
получаем dim V = 1.
29.5. Следствие, (i) Если отбросить условие алгебраической
замкнутости поля F, то действие группы G в простом (конечномерном)
модуле V коммутативно.
(ii) Если группа G связна, отделима, разрешима и компактна, то
группа G абелева.
Действительно, (i) уже отмечено при доказательстве теоремы 29.4
(можно также применить расширение F н+ F). Если выполнены условия (ii),
то тА(й) = 1 для всех h e G' (A e G). Согласно следствию 28.3, отсюда
получаем h = е, т. е. ху = ух для всех x,yeG.
29.6. Группа В+(п). Положим F = С. Использование матричных
элементов в N+(n) определяет гомеоморфизм
N+(n)«Fm, где m = 2fc^f
так что группа N+(n) связна и односвязна. Ясно также, что
B+(n)/N+(n)«D(n)«(FJ",
где G(n) — подгруппа диагональных матриц в GL(n), F+ = F \ {0}.
Напомним (п. 23.8), что связность группы G со связной подгруппой Я
равносильна связности факторпространства G/H. Отсюда заключаем
(индукция поп), что группа В+(п) связна для всех п.
Более того, каждая матрица Ь е В+(п) допускает однозначное
разложение ху, где х е D(n), у е N+(n). Поэтому
B+(n) = D(n)N+(n)
— полупрямое произведение (поскольку D(n) нормализует N+(n)).
Отсюда также очевидна связность группы В+(п).
Аналогично, В_(п) = В+(п);, где жиж' — транспонирование в GL(n),
есть полупрямое произведение D(n) с нильпотентной подгруппой N_(n) =
= N+(n)'.
29.7. Разложение Гаусса. Пусть Др = Ар(д) — главный диагональный
минор матрицы д е GL(n), составленный из первых р строк и первых р
столбцов (1 ^.р < п). Матрица д называется регулярной, если Ар(д)^0
для всех р= 1,..., п.
Как известно из линейной алгебры, регулярные матрицы д е GL(n)
допускают однозначное разложение
g = xyz, (29.11)
называемое разложением Гаусса в GL(n), где х £ N_(n), у е D(n),
ze N+(n).
206
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Поскольку разложение Гаусса играет существенную роль в дальнейшем
изложении, приведем доказательство его существования (и
единственности). Условие нижней треугольности матрицы gh при heN+(n)
записывается в виде р
£ 9ikhkp=0 ПРИ ! < *' <Р ^ И|
что сводится к системе матричных уравнений
»л-1я> + УР = °|
где др — усечение матрицы д индексами 1,..., р, хр (соответственно, ур) —
вектор-столбец с координатами hip (соответственно, gip), i = l,...,p.
Поскольку Др = det о, Ф О (р = 1,..., п), эта система однозначно разрешима в
N+(n), т. е. gheB_(n).
Заменяя h на z~{ G N+(n) и записывая gz~l в виде ху (xeN_(n), ye
G D(n))t получаем однозначную запись (29.11).
Нетрудно выписать явно компоненты (29.11). А именно,
воспользовавшись правилом умножения миноров в GL(n), получаем
Ар = 6х...6р, Дм = Др*м при р<д,
где 6{ —диагональные элементы матрицы у G D(n), Ам — минор матрицы
д> составленный из строк с номерами 1,..., р и столбцов с номерами 1,...
.. .,р— 1, д. Отсюда
^VVi- ** = *„/*,> <29Л2>
где Д0 = 1. Аналогично вычисляются элементы х в (29.11).
Отсюда заключаем, что разложение Гаусса (29.11) определяет
аналитический (бирациональный) гомеоморфизм
Gteg(n) = N_HN+*N_ xHxN+, (29.13)
где Gt (п) — множество всех регулярных точек д G GL(n), Н = D(n),
N±=N±(n).
Отметим приложение гауссовой структуры (29.13) к описанию простых
конечномерных G-модулей над группой G = GL(n, С).
29.8. Теорема (Р. Годман). Пусть X —простой (топологический)
конечномерный G-модуль над полем С. Тогда имеем:
(а) В пространстве X существует единственное одномерное
подпространство -X0 = Fe0, инвариантное относительно действия
подгруппы В =В+(п), т. е.
Ц, = А(Ь)ео для всех be В, (29.14)
где А —характер подгруппы В, тривиальный на подгруппе N = N+(n)
(так что А однозначно определяется своим сужением на подгруппу
H = D(n)).
(/?) Характер А однозначно продолжается до непрерывной функции
/л на GL(n) no правилу
fx(xyz) = X(y) для элементов (29.11). (29.15)
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 207
Более того, характер А определяет G -модуль X с точностью до
изоморфизма.
Доказательство. Согласно теореме С. Ли (п. 29.4), в
пространстве X существует вектор е^О, удовлетворяющий (29.14). Аналогично, в
X* существует вектор /0^0, удовлетворяющий (29.14) с заменой А
некоторым характером /х подгруппы В_(п). Заметим, что А = 1 на производной
подгруппе N = N+ (аналогично, р = 1 на iV_). Отсюда следует, что функция
/(#) = (fl^j /о) удовлетворяет соотношениям
f(xyz) = f(y) (29.16)
для всех х е iV_, у е G, z e N+, и также
/(Л) = А(Л)/(е) = м(ЛГ7(е) (29.17)
для всех h е Я (здесь мы используем правило (де^, /0) = (е^ g~{f0) (п. 7.4)).
Согласно (29.16), при у = Л, равенство /(e) = 0 влечет f(g) = 0 для всех
д€ GKg(n), откуда /=0 (поскольку GT4(n) всюду плотно в G). Но это
означало бы, что GeQ±fQt что невозможно (в силу простоты G-модуля Х).
В результате /(e) = (во, /0) ^0. Полагая (е^ /0) = 1, получаем из (29.17)
А =/х~!- Поэтому характер А в пространстве X определен однозначно.
Более того, если вектор ех еX удовлетворяет (29.14) (с подстановкой во»-» е{),
то ех -аво X/0 при некотором а е С, откуда е{ = ае^. В результате dim XQ = 1.
Отсюда следует (а).
Соотношения (29.16), (29.17) при /(e) = 1 однозначно определяют
продолжение (29.15) характера А до непрерывной функции на группе G.
Остается напомнить (п. 28.8), что отображение f «-+ (д£, /0) определяет
вложение G-модуля Х в правое регулярное представление группы G. Отсюда
следует (/?).
29.9. Индуктивные характеры. Характер А группы H = D(n)
назовем индуктивным, если он продолжается по правилу (29.15) до
непрерывной G-финитной функции на группе G, где G-финитность означает
конечномерность орбиты G/ относительно правого регулярного представления
группы G.
Согласно теореме 29.8, описание (с точностью до изоморфизма) всех
простых конечномерных G-модулей сводится к описанию индуктивных
характеров подгруппы Я.
Упражнение. Пусть G = GL(2), Я = JD(2) (над полем С). Тогда
имеем:
(i) Характер a(h) = af, где h = diag(а15 а2), индуктивен для всех п е Z+.
(ii) Характер a(h) = аГа{т, где п - m € Z+, индуктивен тогда и только
тогда, когда n, m Е Z+.
(Ш) Все простые голоморфные (соответственно, все простые) G-модули
определяются характерами (i) (соответственно, (ii)).
Мы вернемся к этому вопросу в п. 47.10. Пока отметим приложение
гауссовой структуры (29.13) к унитарной структуре в GL(n).
Пусть Р — Р(п)— множество всех положительно определенных матриц
в GL(n). Положим также А=РГ)D(n), К = U(n), N = N+(n).
208 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
29.10. Предложение. Умножение в группе С? = GL(n) определяет
следующие два аналитических гомеоморфизма:
(a) G = KAN&KxA xN.
(Р) G = КР &К х Р (полярное разложение в GL(n)).
Доказательство. Согласно критерию Сильвестра (см.,
например, [Вин 1; КМ]), все матрицы реР регулярны. Используя единственность
разложения Гаусса р = xyz и эрмитовость р€Р, находим х* = z, у е А.
Заметим также, что g*g е Р для всех g€ G.
(а) Полагая g*g = xyz (разложение Гаусса), и полагая a=y{f2 e А,
получаем д*д = /*/i где / = az, откуда следует, что д = kf, где к* = к~{, т. е.
кеК. Элементы к, a, z суть вещественно аналитические функции от де G,
откуда следует (а).
(/3) Полагая д*д = р2, тце ре Р, получаем д = кр, где к еК. Элементы
fc, р суть вещественно аналитические функции от де G, откуда следует (/3).
Упражнение. Докажите, что каждая точка р е Р содержится в
(единственной) однопараметрической подгруппе
p(t) = eto, где teR, a* = a, (29.18)
например, при t = 1.
§ 30. Алгебраические группы
30.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе V — конечномерное
векторное пространство над полем F. В соответствии с традицией теории
алгебраических групп, мы используем символы L( V), GL(V) (соответственно)
вместо End У, Aut V.
В том случае, когда фиксирован изоморфизм V « Fn (т. е. фиксирован
базис пространства V), мы будем использовать обозначения L(n), GL(n)
(соответственно) вместо L(V), GL(V).
Символ P(V) означает алгебру полиномов в векторном пространстве V.
Соответственно, Q(V) = FractP(V) — поле рациональных функций в
пространстве V.
30.2. Определение. Подмножество McV называется алгебраическим
многообразием в пространстве V', если оно выделяется в V системой
алгебраических уравнений
/(х) = 0 для всех feS, (30.1)
где S с P(V) — фиксированное семейство полиномов в пространстве V.
Систему (30.1) можно заменить эквивалентной системой, расширяя 5
до идеала I, порожденного семейством 5. С другой стороны, по теореме
Гильберта (п. 15.6), идеал I обладает конечной системой образующих.
Поэтому можно считать, не ограничивая общности, что семейство S в (30.1)
конечно.
Примеры. 1. Сфера xf +... + х\ = 1 есть алгебраическое
многообразие в Fn.
§ 30. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 209
2. Ортогональная группа
0(V) = {geL(V):g'g = gg' = e}, (30.2)
где д*->д' — транспонирование в L(V), есть алгебраическое
многообразие в L(V).
3. Группа GL(V) не есть алгебраическое многообразие в L(V). Однако,
можно отождествить GL(V) с алгебраическим многообразием
GL(V) = {(9)\):\detg=l} (30.3)
в пространстве L(V)0F.
Упражнение. Если М, N — алгебраические многообразия
(соответственно) в VJ W, то М х N есть алгебраическое многообразие в
пространстве V © W.
30.3. Алгебра Р(М). Различные идеалы могут определять одно и то же
многообразие М. Например, идеалы /и 12 в F[t]9 порожденные
(соответственно) одночленами £, t2, порождают одно и то же многообразие {0} С F.
Однако, для каждого алгебраического многообразия М существует
наибольший идеал 1(М), выделяющий М. А именно, М состоит из всех полиномов
/ eP(V), равных нулю на многообразии М.
Для каждого / е Р(V) его сужение /м на М называется полиномом на
многообразии М. Очевидно, равенство }м = дм равносильно / - де 1(М).
Поэтому алгебра
P(M) = P(V)/I(M) (30.4)
называется алгеброй полиномов на многообразии М. Соответственно,
алгебра
Q(M) = FractP(M) (30.5)
называется алгеброй рациональных функций на многообразии М.
Рациональная функция feQ(M) называется определенной в точке
А € М, если существует представление / = p/q, где jp, q G P(M), q(X)^0.
Точка А € М, в которой функция / не определена, называется особой
точкой функции /.
Пример. Согласно (30.3), функция /(#, А) = А = (det g)~l есть полином
на многообразии GL(V).
Упражнения. 1. Каждый характер алгебры Р(М) имеет вид xm(f)=
= /(т), при фиксированном теМ. [Указание: рассмотрите сначала случай
M=V.]
2. Каждый гомоморфизм P(N)-*P(M), где М, N — алгебраические
многообразия (соответственно) в пространствах V, W, имеет вид
(h*f)(x) = f(hx), (30.6)
где h: M-+N — полиномиальное отображение (полином на М со
значениями в N).
3. Если функция / G Q(M) не имеет особых точек, то / е Р(М).
210
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Соотношение (30.6) означает, что алгебра Р(М) определяет
многообразие М с точностью до полиномиального изоморфизма M&N. В этом смысле
алгебра Р(М) называется структурной алгеброй многообразия М.
Обозначения. Алгебры Р(М), Q(M) имеют в литературе
(соответственно) альтернативные обозначения F[M], F(M). Однако, в нашем
тексте эти символы имеют другое значение (пп. 1.3, 2.1).
30.4. Определение. Линейная группа G cGL(V) называется
алгебраической группой в пространстве V, если G есть алгебраическое
многообразие в L(V).
Например, O(V) (соответственно, GL(V)) есть алгебраическая группа в
пространстве V (соответственно, V @F)).
Заметим, что групповые операции (ж, у)ь-> ху~1 полиномиальны в GL(V).
В частности, х~1 есть полином от параметров ж = (ж^), (det ж)"1,
определенных в GL(V).
Рассмотрение полиномиальных изоморфизмов позволяет устранить
зависимость многообразия М (группы G) от пространства V. С этой целью мы
будем использовать категорную терминологию.
30.5. Определение. Пусть AM (соответственно, AG) — категория всех
алгебраических многообразий (соответственно, алгебраических групп) над
фиксированным полем F, морфизмы которой определяются как
полиномиальные отображения h: M—>N.
Напомним, что переход к сопряженному отображению (30.6) определяет
биекцию между морфизмами h: М —► N и морфизмами алгебр h*\ P(N) -+
—► Р(М). В этом смысле категория AM дуальна категории структурных
алгебр Р(М).
Каждый класс изоморфизма в категории AM (соответственно, AG)
называется аффинным многообразием (соответственно, аффинной группой)
над полем F. Аффинное многообразие, порожденное многообразием McV,
обычно обозначается тем же символом М. В этом смысле McV
называется реализацией аффинного многообразия М в пространстве V.
Заметим, что Р(М1)ъР(М2) для каждой пары реализаций Мх «М2.
Поэтому символ Р(М) определен однозначно (с точностью до
изоморфизма) для каждого аффинного многообразия М, и то же верно для алгебры
Q(M) = FractP(M).
Пример. GL(V) есть аффинная группа над полем F.
30.6. Топология Зарисского. Пусть AM(V) — множество всех
алгебраических многообразий в пространстве V. Заметим, что АМ(У) замкнуто
относительно всевозможных пересечений и конечных объединений.
Действительно, если S{ с P(V) выделяет многообразие М{ (г е I), то объединение
систем S{ определяет пересечение всех Mi (г € /). Аналогично, в случае
card/ < оо полиномы вида / = nt/i, где f{ e Sit определяют объединение
многообразий Mi (i e I).
Ясно также, что 0, УеАМ(Т^). Поэтому можно рассматривать АМ(У)
как семейство замкнутых множеств в пространстве V. Соответствующая
топология называется топологией Зарисского в пространстве V.
Читателю предлагается проверить, в качестве упражнения, следующие
свойства топологии Зарисского:
§ 30. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 211
(а) Каждое непустое открытое множество всюду плотно в V.
(/3) Каждые два непустых открытых множества в пространстве V
имеют непустое пересечение.
(j) Пространство V связно в топологии Зарисского.
Аналогично, для каждого MeAM(V) топология в М, индуцированная
топологией Зарисского в пространстве У, называется топологией
Зарисского в многообразии М. В этом случае можно показать (упражнение), что
условия (а), (/3), (7) эквивалентны в многообразии М. Если эти условия
выполняются, то многообразие М называется неприводимым.
Упражнения. 1. Каждое полиномиальное отображение h: M —> N
непрерывно в топологиях Зарисского.
2. Многообразие М неприводимо тогда и только тогда, когда алгебра
Р(М) не имеет делителей нуля.
3. Если F = E,ChM связно в стандартной (евклидовой) топологии, то
М неприводимо.
Для комплексных многообразий верно и обратное (см., например, [ВО;
Ше]): если М неприводимо, то М связно.
30.7. Алгебраические группы. Абстрактная группа G называется
алгебраической группой над полем F, если G обладает структурой
аффинного многообразия над F, относительно которой групповые операции
(ж, у) i-+ ху~1 полиномиальны.
Здесь имеется в виду отображение G х G н-> G относительно структуры
алгебраического многообразия в G х G (п. 30.2).
Примеры. 1. Аддитивная группа Fn есть алгебраическая группа над
полем F.
2. То же верно для мультипликативной группы F", называемой
алгебраическим (n-мерным) тором.
3. Группа QL(V) есть алгебраическая группа (над полем F).
В действительности можно показать [ВО], что каждая алгебраическая
группа изоморфна некоторой линейной алгебраической группе (т. е.
подгруппе в GL(y)).
Алгебраические группы над полем F образуют категорию (по отношению
к полиномиальным гомоморфизмам). Стандартная терминология в этой
категории естественно связана с топологией Зарисского.
Например, подгруппаHcG алгебраической группы G называется
алгебраической подгруппой группы G, если множество Н замкнуто в топологии
Зарисского. Представлением группы G в векторном пространстве V
называется всякий полиномиальный гомоморфизм группы G в группу GL(V).
Мы отметим в этом параграфе лишь простейшие свойства
алгебраических групп, связанные с характерами, т. е. одномерными
представлениями G->F+.
Пусть X(G) — множество всех характеров группы G. Ясно, что X(G)
есть группа (относительно поточечного умножения функций на группе G).
Группа X(G) называется группой характеров группы G.
212
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
30.8. Предложение. Каждый характер алгебраического тора T = F+n
имеет вид
Х(«) = О--•*>, (30.7)
где *=(«!,..., tn)e Т, * = (*!,..., fcn)GZn, так: что X(T)&Zn.
Доказательство. Достаточно рассматривать случай п = 1.
Напомним (п. 30.7), что х есть полином от переменных £, £_1 (t = t{). Напомним
также, что х фО (откуда х(1) = 1). Полагая
*(*)= £ <***>
/г = — m
можем считать, что сп ф 0 либо с_ш ^ 0 (где n, m G Z+).
Полагая, например, сп ф 0 и вычисляя коэффициенты полинома
Х(*)х(*~|) = 1» получаем с{сп = 0 при г ф п, откуда х(0 = а£п.
Поскольку х(1) = 1, имеем а = 1, т. е. х(0 = *п- Случай с_т фО рассматривается
аналогично.
Замечание. Непрерывные характеры группы Т (относительно
евклидовой топологии) при F — R, С не исчерпываются характерами (30.7).
Например, все комплексные характеры группы К, имеют вид
x(t) = l*lA(signt)e, (30.8)
где ЛеС, е = 0,1.
Упражнение. Группа Г восстанавливается по Х(Т) по правилу
Т&Х(Х(Т)).
Используя изоморфизм X(T)«Zn (в соответствии с (30.7)), мы можем
отождествить Х(Т) с векторной решеткой (свободным Z-модулем) в Fn,
относительно стандартного базиса вГ.
30.9. Следствие. Каждый автоморфизм а алгебраического тора Т =
= FJ1 имеет вид
a(t) = (a{(t),...}an(t)), (30.9)
где а{ (г = 1,..., п) — один из базисов векторной решетки Х(Т)« Zn.
Действительно, а имеет вид (30.9), где а. еХ(Т), г = 1,..., п. Применяя
предложение 30.8 к новым параметрам а{ (вместо t{), получаем, что каждый
характер х € -Х"(Т) однозначно записывается в виде произведения
характеров а** (г = 1,..., п). Но это и означает, что характеры а. (г = 1,..., п)
образуют базис решетки Х(Т).
30.10. Предложение. Каждая алгебраическая подгруппа S группы
Т совпадает с одной из подгрупп
TN = {teN:X(t) = lnpu XeN}, (30.10)
где N—фиксированная подгруппа в Х(Т). Более того, автоморфизм
Oi \ J. W FJ1 можно выбрать таким образом, чтобы подгруппа S
выделялась системой уравнений
tf = ... = ***" = !> (30.11)
где 0 < т ^ п.
Доказательство предоставляется читателю в виде следующих
упражнений.
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 4 213
Упражнения. 1. Пусть M«Zm — векторная решетка в Fm. Тогда
каждая подгруппа N с М есть подрешетка в М, N « Zn при 0 ^ n ^ m.
2. Каждый базис е{ е N (г = 1,..., п) продолжается до базиса е. е М
(г = 1,..., га).
3. Пусть JV — аннулятор некоторой подгруппы 5 с Т. Тогда
существует автоморфизм а е Aut T, для которого а(5) определяется
соотношениями (30.11), так что S С T„.
4. S = T„.
Замечание. Алгебраическая группа G называется квазитором, если
G = А х В (прямое произведение), где А — алгебраическая группа, В —
конечная абелева группа. Согласно (30.11), каждая алгебраическая подгруппа
5 с Т есть квазитор.
30.11. Вещественные группы. Для каждого комплексного векторного
пространства V пусть VR — его овеществление (т. е. V как пространство
над Ш). Переход V н-> V^ сводится к замене комплексных координат х{ (г =
= 1,..., п) в пространстве V вещественными параметрами Re xi% Im x{. В
частности, dim VR = 2 dim У.
Соответственно, каждое алгебраическое многообразие М CV можно
рассматривать как многообразие над полем R. Достаточно рассматривать
полиномы / е Р( V) как полиномы от параметров Re x{, Im ж. (либо как полиномы
от параметров ж{, яГ.), где г = 1,..., п. Полученное многообразие MR С VR
называется овеществлением комплексного многообразия М.
Алгебраические подгруппы G С GL(V)R называются вещественными
подгруппами комплексной группы GL(V).
Примеры. 1. Группа GL(n, R) есть вещественная алгебраическая
подгруппа в GL(n, С).
2. Унитарная группа U(n) есть вещественная алгебраическая подгруппа
в GL(n, С).
3. Псевдоунитарная группа U(p, q), где p+g = n, определяется как
подгруппа в GL(n, С), состоящая из матриц g e GL(n, С), сохраняющих
квадратичную форму
/(х) = |х1|2 + ... + |х/-|хр+1|2-...-К|2. (30.12)
Ясно, что U(p,q) есть вещественная алгебраическая подгруппа
группы GL(n, С).
Комментарии к главе 4
Материал по общей топологии (§ 23) и теории ТВП (§ 24) можно
найти в стандартных учебниках по топологии (см., например, [Ке; ЗТ; НФ]) и
в монографиях по топологическим векторным пространствам (см.,
например, [Б 8; Лю; Н2; Ше]). Элементы теории топологических G-модулей
можно найти, например, в [Лю; Н2; ХР]. Это же касается теории инвариантных
мер (§ 26) и групповых алгебр (§ 27). Теория представлений компактных
групп, разработанная Ф. Петером и Г. Вейлем (§ 28), сводится к
гармоническому анализу на компактных группах. В § 29 собраны лишь отдельные
этюды по теории разрешимых групп, связанные с теоремами Колчина и С. Ли.
214
Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Теория алгебраических групп (§ 30) может рассматриваться как
рафинированный вариант теории групп Ли. Мы частично воспользуемся методами
этой теории при изучении полупростых комплексных групп Ли (§§ 44, 46).
Содержание этой главы подводит нас вплотную к гармоническому
анализу на локально компактных группах. Основная идея этой теории состоит в
обобщении классических интегралов Фурье, подобно тому, как ряды Фурье
обобщаются на компактные группы (§ 28). Мы частично коснемся этих
вопросов в § 58.
Следует отметить, что локально компактные группы, возникающие в
задачах анализа, геометрии и т. д., относятся, как правило, к более узкой
категории групп Ли (гл. 5). С этой точки зрения общая теория локально
компактных групп может показаться избыточной. Например, фундаментальная
теорема А. Хаара — фон Ноймана сравнительно просто доказывается в
категории групп Ли (п. 26.7). С другой стороны, в анализе возникают и более
мощные (не локально компактные) топологические группы. К ним
относятся, например, группы диффеоморфизмов гладких многообразий (п. 31.3).
Фрагменты теории таких «бесконечномерных» групп можно найти,
например, в монографии [Hep].
Глава 5
ГРУППЫ ЛИ
Группы Ли (аналитические группы) суть топологические группы с
аналитической структурой. Последнее означает, что группа G обладает
структурой аналитического многообразия, относительно которой групповые
операции аналитичны.
Существует замечательная связь (открытая Софусом Ли) между
группами Ли и алгебрами Ли. А именно, для каждой группы Ли G ее касательное
пространство g = Ге G есть алгебра Ли, определяющая структуру группы G
хотя бы локально, т. е. в некоторой окрестности единичной точки ее G.
Более того, если ограничиться (связными) односвязными группами Ли, то
соответствие Ли определяет изоморфизм соответствующих категорий групп
и алгебр Ли.
Соответствие Ли определяет также фундаментальную связь между
представлениями групп Ли и представлениями соответствующих алгебр Ли.
§ 31. Многообразия
31.1. Определение. Топологическое пространство М называется
многообразием (или локально евклидовым пространством) над полем R, если
каждая точка хеМ обладает окрестностью, гомеоморфной окрестности
нуля в евклидовом пространстве Е = Rn. Число п = п(ж) (не зависящее от
выбора окрестности точки х) обозначается dim^M и называется размер-
костью многообразия М в точке х. Если М связно, то число сНтжМ не
зависит от х. В этом случае оно обозначается dim M и называется размер-
костью многообразия М.
Каждая пара (Ца), где U — открытое множество в М, а
—гомеоморфизм этого множества на открытое множество в Rn, называется картой
многообразия М. Декартовы координаты точки аж€Кп называются
локальными координатами точки ж. Согласно этому определению, для каждой
пары карт (Ца), (К/3) функция
<*/3"!: P(UnV)->a(UnV) (31.1)
определяет гомеоморфизм между открытыми множествами в Rn. Функция
а(3~1 называется функцией склейки (или согласования) между картами
(Ц а), (V, /3). Семейство карт (С/0 а,), покрывающее М (т. е. семейство XJi
покрывает М), называется атласом многообразия М.
216
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Наличие атласа определяет локальные координаты для каждой точки
а^еМ (зависящие от карты (Ц а)). Если точка Xq фиксирована, то обычно
полагают ах^=0 (т. е. aU — окрестность нуля в Rn). Открытость карт
удобна для операций математического анализа (возможность малого смещения
в пределах карты (Ца)).
Аналогично (с заменой R на F) определяется понятие многообразия над
нормированным полем F. Мы будем рассматривать только классические
поля F = R, С.
Примеры. 1. Каждое открытое подмножество в Rn можно
рассматривать как многообразие, состоящее из единственной карты.
2. Сфера 5П*~1 с Rn есть вещественное многообразие размерности п - 1.
Упражнение. Сфера Sn~l обладает атласом из двух карт.
31.2. Классы гладкости. Атлас Л многообразия М называется
к-гладким, где к = 0,1,..., оо, и>, если в этом атласе все склейки (31.1) суть
fc-гладкие вектор-функции (т. е. функции класса Ск). Здесь fc-гладкость
при конечном к означает наличие и непрерывность всех производных до
порядка к включительно, оо-гладкость означает бесконечную дифференци-
руемость, w-гладкость — аналитичность.
Напомним, что аналитичность функции / означает ее локальную
представимость в виде рядов Тейлора (в области определения функции /). Если
F = С, то аналитичность функции / равносильна ее голоморфности.
Многообразие М называется к-гладким (или многообразием
класса Ск), если М обладает fc-гладким атласом Л. В этом случае М
обладает максимальным атласом Лтвх, составленным из всех карт, к -гладко
связанных с картами атласа Л. Многообразие класса Сш называется также
аналитическим многообразием.
Существенно, что в одном и том же топологическом пространстве М
можно по-разному вводить структуру многообразия. А именно,
структура fc-гладкого многообразия в М определяется парой (М, Л), где Л —
максимальный атлас класса Ск.
Максимальные атласы в М называют также полными атласами в М.
Условие полноты атласа Л выражается следующим образом: если карта
(Ца) к -гладко связана со всеми картами атласа Л, то (Ц а) е Л.
31.3. Морфизмы. Отображение у>: M->N, где M,N — два
многообразия класса Ск, называется I-гладким, где I < к, если оно
определяется Z-гладкими функциями локальных координат, относительно
максимальных I-гладких атласов многообразий М, N.
Множество всех Z-гладких отображений <р: М —> N обозначается
Cl(M,N). Векторное пространство всех числовых /-гладких функций р:
М —» F обозначается С1(М).
Многообразия класса Ск, снабженные морфизмами класса Ск, образуют
категорию к-гладких многообразий над полем F. Изоморфизмы в этой
категории называются гомеоморфизмами класса Ск. Гомеоморфизмы
классов С00, Сы называются (соответственно) диффеоморфизмами,
аналитическими гомеоморфизмами.
§31. МНОГООБРАЗИЯ 217
Напомним, что мы рассматриваем вещественные многообразия (над
полем F = R). Аналогично, с заменой R на С, рассматриваются комплексные
многообразия. В этом случае мы будем рассматривать только многообразия
класса Сш.
31.4. Касательные пространства. Положим к ^ 1. Локальная
структура многообразия М позволяет каноническим образом связать с
каждой точкой хе М пару сопряженных векторных пространств размерности
п = dimxM. Мы рассмотрим два варианта такого определения.
(1) Пусть Fl(M) — векторное пространство, сопряженное к С1(М), где
I < к. Отождествляя каждую точку теМ с соответствующей
8-функцией 5m(/) = /(m), мы вкладываем М в Fl(M). В частности, М
вложено в Fk(M).
Касательным вектором к многообразию М в точке XqE M называется
всякий линейный функционал £ eFk(M), удовлетворяющий соотношениям
Ш9) = Ш)-9(хо) + Я*о)-£(9) (31.2)
для всех /, д е Ск(М). Множество всех таких функционалов обозначается
Т^М и называется касательным пространством к многообразию М в
точке Xq.
Ясно, что Т^М есть векторное пространство (подпространство в Fk(M)).
Легко проверить, что в локальных координатах каждый вектор £ € Т М
записывается в виде
W) = ttAf(*o)> (31.3)
i = l
где £. GF, д{ = д/дх{. Здесь xi (t = 1,..., п) — локальные координаты точки
х е U, относительно карты (Ца). Отсюда ясно, что dim Т^М = п.
Пространство Т*М, сопряженное к Т^М, называется кокасательным
пространством к многообразию М в точке Xq. Элементы этого
пространства называются дифференциалами (или кокасательными векторами) и
записываются в виде
df=idif(x0)dxi, (31.4)
« = i
где dx( (г = 1,..., п) — базис в Т*МУ дуальный к базису et = 6^ о д{
пространства Т^М. Соответственно, функционал (31.3) записывается в виде
£(/) = <£,<*/). (31.5)
Число f (/) называется производной функции f e Ck(M) по направлению
вектора £ еТ М.
(2) Пусть S — семейство А:-гладких кривых t н-> x(t) e M, определенных
в некоторой окрестности точки Ое F и проходящих через точку Xq при t =0.
Функционал
€(/)8ВЙЩЙ1| (31.6)
218
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
содержится в Т^М и обозначается символом f = ж'(0). Очевидно, равенство
ж'(0) = у'(0) равносильно следующему отношению эквивалентности х ~ у в
семействе 5:
||e(*(t)-y(*))|| = o(t) при i->0, (31.7)
где || • || — норма в пространстве Е = Fn (п. 31.1). Ясно также, что каждый
вектор f € Z^M имеет вид (31.6). Соответственно, Т^М можно
отождествить с множеством классов эквивалентности (31.7) в семействе S.
Упражнение. Векторным полем в многообразии М называется
всякое дифференцирование д € D(Ck(M)) алгебры С*(М). Проверьте, что
в локальных координатах векторное поле д имеет вид
0 = Е£.(*Ж, (31.8)
где tteCh(M) (»= 1,...,п).
В этом смысле векторное поле (31.8) отождествляется с вектор-функцией
£(*) = «,(*)), т. е. £€C*(M,F").
31.5. Касательное отображение. Заметим, что каждое отображение
(р е Ck(M, N) сохраняет классы эквивалентности (31.7). Соответственно, (р
определяет отображение
T4<p:T4M-+T,N, (Т^)хЩ = уЩ, (31.9)
где y(t) = <p(x(t)), Уо = <р(хо)- Отображение (31.9) линейно и называется
касательным отображением к отображению <р в точке XqEM.
Очевидно, T^ip можно рассматривать как «главную линейную часть»
отображения (р в точке Xq. Легко проверяется, что сопряженное
отображение Т*(р имеет следующий вид:
T±<p:T±N-*T±M, (T^<p)df = d(fo<p), (31.10)
где/еС*(#).
Пример. Функция <р(х) = ех есть аналитический морфизм из L(V) в
QL(V). Полагая y(t) = (p(x(t)), ж(0) = 0, находим у'(0) = ж'(0). Отсюда
(%<р)(х) = х
для всех х е L (V). Здесь мы отождествляем Ц V) с каждым из касательных
пространств T0L(V), TeGL(V).
31.6. Локальные изоморфизмы. Два многообразия М, N класса С*
называются локально изоморфными в точках а^еМ, % Е iV, если
существует изоморфизм некоторой карты (Ца) в точке Xq с некоторой картой
(V, /3) в точке Эд). Последнее условие может быть записано в виде ах = (Зу
для элементов xeU, у € V, так что функция <р = (3~1а определяет
гомеоморфизм (класса Ск) окрестностей Ц V.
Если к ^ 1, то наличие локального изоморфизма <р: U —► V
равносильно невырожденности касательного отображения T^jp. Действительно,
невырожденность Т ч> равносильна невырожденности якобиана J(ip)=det(di<pj)
§31. МНОГООБРАЗИЯ 219
в точке Xq, где <р3-(х) — локальные координаты точки <р(х) £ V (х £ U).
Отсюда следует, по теореме об обратной функции (см., например, [Н]), что
отображение ip~l существует (и относится к классу Ск) при некотором
сужении пары (Ц V) до окрестности (C/j, VJ) точки (а^, %).
В частности, пусть f. (г = 1,..., п) — система /г-гладких функций,
определенных в некоторой окрестности U точки Xq £ М. Семейство f£
определяет локальные координаты точки Xq (в окрестности U{cU) тогда и
только тогда, когда дифференциалы df{ линейно независимы (и потому
образуют базис векторного пространства Т^М).
В дальнейшем нас интересует, главным образом, случай к = и>. Теорему
о неявной (в частности, обратной) функции в этом случае можно вывести
из теоремы 13.10.
Примеры. 1. Для комплексных аналитических многообразий известен
следующий результат: если <р £ СШ(М, N) есть гомеоморфизм (класса С0),
то </? есть аналитический изоморфизм.
2. Для вещественных многообразий это не так. Например, отображение
(р: R —► R, (р(х) = хп есть морфизм класса Сш для всех нечетных п £ N.
Однако, обратное отображение есть морфизм класса Сш только при п = 1.
31.7. Регулярность. Отображение <р £ Ск(М, N) называется
регулярным в точке XqEM, если оно локально инъективно в точке Xq. Последнее
означает, что отображение (р определяет инъекцию (р: U—> V для некоторой
пары карт (Ц а), (V, /3), содержащих (соответственно) точки а^, % = <р(зь),
с условием
P(<p(U)) = (3(V)nFm. (31.11)
Здесь имеется в виду естественное вложение Fm с Fn при га < п, так что
т — dim, M, n = dim,, N.
Например, вложение Fm с Fn можно выбрать таким образом, чтобы
вложение <p(U) с V выражалось в локальных координатах уравнениями у( = 0
при i — т + 1,..., п.
Нетрудно видеть, что условие регулярности отображения ip в точке Xq
равносильно инъективности касательного отображения Т <р.
Действительно, последнее условие необходимо и записывается в виде im(Z^<p) = Fm с
С Fn. Обратно, если это условие выполняется, то у расширяется до
невырожденного отображения
<ф: U xU{^V, ф(х, у) = <р(х) + у,
где Ux —окрестность нуля в Fn~m. Следовательно, ф есть локальный
изоморфизм (при достаточно малых Ц t/lf V). Обратное отображение
определяет локальные координаты в окрестности V вида ((3(ip(x)), у), так что
/3(ip(V)) выделяется условием у = 0. Соответственно, (р есть регулярный
морфизм.
Отображение tp e Ck(M, N) называется регулярным, если оно регулярно
в каждой точке а^ £ М.
31.8. ^регулярность. Отображение tp £ Ск(М, N) называется корегу-
лярным в точке Xq £ М, если оно локально сюръективно в точке Xq.
Последнее означает, что отображение (р определяет сюръекцию <р: U —► V
220
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
для некоторых карт (Ца), (V, /3), содержащих (соответственно) точки
а*» Уо = ^Ю с условием
а(уг100) = а(17)П*т. (31.12)
Здесь имеется в виду естественное вложение Fn с Fm при 0 ^ n ^ га, так
что т = dim, М, n = dim,, N.
Например, окрестность a(ip~l(V)) можно выделить в a(U) локальными
уравнениями ж. = 0 при г = п + 1,..., га.
Нетрудно видеть (по аналогии с п. 31.7), что условие корегулярности у?
в точке Хц равносильно сюръективности касательного отображения Т ч>.
Отображение у> е Ск(М, N) называется корегулярным, если оно корегу-
лярно в каждой точке Xq б М.
31*9. Подмногообразия. Пусть М — многообразие. Подмножество
М0с М наделяется индуцированной топологией и индуцированным
атласом Aq, состоящим из карт (U0, а0), где U0 = U П М0, а0 = а\ц, (Ца) —
произвольная карта максимального атласа Л многообразия М.
Подмножество М0сМ называется подмногообразием многообразия М,
если вложение М0 —► М регулярно. В этом случае каждая точка Xq e М0
обладает окрестностью (Ца) в М с координатами а(х) = (у, z) € Fm x
х Fn_m, где [/0 = t/nM0 выделяется условием z = 0.
Заметим, что М0 локально замкнуто в М, т. е. каждая точка Зр е М0
обладает окрестностью (Ца) в М, для которой 17 П М0 = С/П М0 (т. е.
UnM0 замкнуто в 17). Если М — многообразие класса Cfc, то М0 есть
также многообразие класса С*.
Пример. Группа К = U(n) есть вещественное подмногообразие
(размерности п2) комплексного аналитического многообразия G = GL(n, С).
Действительно, точка е € G обладает окрестностью (Ца) с
логарифмическими координатами а(х) = \пх (п. 3.5). Соответственно, точка ее К
обладает окрестностью (U0, a0), где а0 — сужение а на подпространство в
Mat(n, С), составленное из антиэрмитовых матриц а (а* = -а). Ясно
также (ввиду однородности группы G), что вложение <р: К —► G регулярно в
каждой точке а^е К.
Упражнение*. Пусть М — алгебраическое многообразие в векторном
пространстве V над полем С. Условимся говорить, что М регулярно, если
(1) М неприводимо,
(2) идеал 1(М) порождается полиномами /. (г = 1,..., р), дифференциалы
которых df{ (г = 1,..., р) линейно независимы хотя бы в одной точке Xq e M.
Докажите, что М есть многообразие класса Сш и размерности п - р
(n = dim V). [Указание: рассмотрите дополнительные (например, линейные)
функции f. (i =p + 1,..., п), определяющие локальные координаты в М.]
См. также [ЗС].
31.10. Фактормногообразия. Пусть М — многообразие класса С*,
R — отношение эквивалентности, определенное в М. Фактормножество
M = M/R, наделенное фактортопологией (п. 23.2), называется фактор
многообразием многообразия М, если существует атласмсласса С* в М,
относительно которого каноническая проекция 7г: М -+ М корегулярна.
§32. ГРУППЫ ЛИ 221
В этом случае каждая точка qcqE M обладает специальными картами
(Ц а) с локальными координатами а(х) = (у, z)eF2xFm~nt где параметры
yeFn суть локальные координаты точки 7г(ж) е М и параметры z e Fm~n
постоянны на классах эквивалентности (modi?).
Заметим, что R есть подмножество в МхМ (отношение х~у
равносильно (ж, у) G R). Если M/R обладает структурой фактормногообразия, то:
(a) R есть подмногообразие вМхМ;
(/?) отображение R —► М, (х, у) н-> х корегулярно.
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. В
действительности можно показать, что условия (а), ((3) не только необходимы,
но и достаточны для наличия структуры фактормногообразия M/R.
Более того, если M/R обладает структурой фактормногообразия, то
эта структура единственна. Фактически это утверждение будет доказано
в п. 32.3. См. также [С 1].
Упражнение. Унитарная сфера 52n_1 = U(n)/U(n — 1)
обладает структурой фактормногообразия. [Указание: каноническая проекция 7г:
U(n)-> S*n~l может быть записана в виде 7г(ж) = же1, где ех —один из
базисных векторов в С1.]
§ 32. Группы Ли
32.1. Определение. Топологическая группа G называется группой Ли
(или аналитической группой) над полем Е, если G обладает структурой
аналитического многообразия над Е, относительно которой групповые
операции /(ж, у) = ху~{ аналитичны.
Заметим, что в этом определении достаточно требовать аналитичность
умножения д(ж, у) = ху. Аналитичность инверсии <р{х) = х~{ выводится с
помощью теоремы о неявной функции. Соответственно, в этом случае
функция /(ж, у) = д(ж, (р(у)) аналитична.
Если G — группа Ли, то каждая из операций х»-»gxt x i-+ xg в группе G
есть аналитический гомеоморфизм. Из равенства <р = ц>~{ ясно также, что
(р(х) = х~х есть аналитический гомеоморфизм.
Аналогично определяются группы Ли над другими нормированными
полями (F = К, С, Qp). Мы будем рассматривать только вещественные (F = Ш)
и комплексные (F = С) группы Ли. Если поле F не указывается явно, то
имеются в виду вещественные группы Ли.
Из локальной евклидовости группы Ли следует, что каждая группа Ли
отделима и локально компактна. Следовательно, на каждой группе Ли
существуют левые и правые меры Хаара, единственные с точностью до
скалярных множителей (п. 26.8). Впрочем, этот результат для групп Ли может
быть получен независимо, с использованием дифференциальных форм 1-го
порядка на многообразии G (см., например, п. 32.9).
Группы Ли над полем F образуют категорию, морфизмы которой суть
аналитические гомоморфизмы групп G —► Я. Соответственно, изоморфизм
групп Ли есть аналитический изоморфизм.
222
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Пример. Групповые операции в группе G = GL(n) над полем F = R, С
аналитичны над полем F. Поэтому G над полем R (соответственно, С) есть
вещественная (соответственно, комплексная) группа Ли.
32.2. Подгруппы Ли. Пусть G — группа Ли. Подгруппа Я с G
называется подгруппой Ли группы G , если Я есть также подмногообразие
многообразия G (п. 31.9).
Согласно этому определению, каждая подгруппа Ли Я с G локально
замкнута (п. 31.9). Покажем, что в действительности подгруппа Я
замкнута в G.
А именно, пусть g E G — предельная точка подгруппы Я, т. е. g = \imhif
где h{eH. Тогда для каждого he H имеем: *
дк-1=Нтк{к-1еТ1.
г
Для каждой окрестности V точки е^дожно выбрать h еН таким образом,
чтобы gh~l e V, так что gh~l € V П Я. Используя локальную замкнутость
подгруппы Я, выберем окрестность V настолько малой, чтобы УпЯ = УП
П Я. Тогда имеем gh~x е Я, т. е. д е Я. Таким образом, Я содержит все
свои предельные точки, т. е. Я замкнуто в G.
Очевидно, каждая подгруппа Ли группы G есть группа Ли (относительно
индуцированной структуры подмногообразия Я с G).
Примеры. 1. Подгруппа SL(n) с GL(n) есть подгруппа Ли.
Действительно, рассмотрим (в некоторой окрестности точки е £ GL(n))
экспоненциальные координаты
д(х) = ех, где жбЦп). (32.1)
Заметим, что det(e*) = etra;, поэтому включение g(x)eSL(n) равносильно
tr х = 0. Отсюда ясно, что SL(n) есть подмногообразие в GL(n).
2. Подгруппа 0(n)cGL(n) есть подгруппа Ли. Действительно, включение
д(х) е О(п) равносильно кососимметричности матрицы х (х' = -ж).
3. Аналогично, 17(га) есть вещественная подгруппа Ли в GL(n, С).
Перейдем к рассмотрению вопроса о фактормногообразиях группы G.
32.3. Теорема. Пусть G — группа Ли, Я —ее подгруппа Ли. Тогда
имеем:
(a) G/H есть аналитическое фактормногообразие.
(/3) Действие группы G в G/H аналитично.
(7) Если Я — нормальный делитель группы G, то G/H есть
группа Ли.
Мы отложим доказательство этой теоремы до того момента, когда будет
подготовлен соответствующий аппарат теории групп Ли (п. 34.12).
Непосредственный вывод этой теоремы из общей теории аналитических
многообразий можно найти в [С 1].
Заметим пока, что из существования аналитической структуры в G/H
следует ее единственность. Действительно, пусть А{ (г = 1,2)—два
максимальных атласа в G/Я, относительно которых проекция 7r: G —► G/H
§ 32. ГРУППЫ ЛИ 223
корегулярна. Напомним, что в этом случае каждая пара карт (Ц, /3t) Е Л{
(г = 1,2) поднимается (посредством 7г-1) до пары карт (U^ а{) в группе G,
аналитически согласованных между собой (п. 31.10). Отсюда следует, что
карты (V^ Д) аналитически согласованы, т. е. A{=A2-
Таким образом, утверждение (а) имеет однозначный смысл
(относительно единственной аналитической структуры в G/H).
Для исследования локальной структуры в группах Ли нам
понадобится новая терминология, связанная с понятием локальной (топологической)
группы.
32.4. Локальные группы. Топологическое пространство L называется
локальной группой, если в нем фиксированы следующие объекты: точка
eel/, окрестность L0 точки е и два отображения /х: L0xL0—> LQ, <p:
LQ —> L0, обозначаемые д(х, у) = ху, <р(х) = х"1, с выполнением следующих
условий:
(а) хе = ex = x в некоторой окрестности VJ С L0,
(/3) хх"1 = х-1х = е в некоторой окрестности V2 С LQ,
(7) x(yz) = (xy)z в некоторой окрестности V3cL0, для которой V3VzcL0.
Пусть L, L' —две локальные группы с объектами е, е', L0, L'Q
(соответственно). Отображение (р: L0—> L1 называется гомоморфизмом локальных
групп L,L\ если <р(е) = е', <р(ху) = <р(х)(р(у) в некоторой окрестности
\^Clr0. Локальные группы L, I/ называются подобными, если
существуют гомоморфизмы у?: LQ —> L', ^: ^о ~~* ^о» Л"51 которых ^V = 1> <рф = 1 в
некоторых окрестностях (соответственно) точек е, е;.
Локальная группа L называется локальной группой Ли, если L —
аналитическое многообразие и структурные операции /х(х, у) = ху, <р(х) = х"1
аналитичны. Соответственно, в определении гомоморфизмов для локальных
групп Ли L, L' требуется дополнительно, чтобы гомоморфизмы \р\ L —► L'
были аналитичны.
Очевидно, отношение подобия есть отношение эквивалентности в
категории локальных групп (аналогично, в категории локальных групп Ли).
Пример. Если G — топологическая группа (соответственно, группа
Ли), то каждая окрестность L единичного элемента е е G есть локальная
группа (соответственно, локальная группа Ли).
32.5. Формальные ряды. Игнорируя сходимость степенных рядов,
определяющих закон умножения в локальной группе Ли, мы приходим к
определению «группового закона умножения» в классе формальных рядов
(над полем F).
Пусть х = (хп ..., хп), у = (у1э..., уп) — независимые переменные.
Мы будем использовать обозначения X, Y, W (соответственно) вместо
*1[ж]]> ^[ML Р[[я, у]]. Положим также G^ = Wn (n-я декартова степень
пространства W).
Элемент /г G G^ называется формальной группой (или групповым
законом) порядка п над полем F, если выполняются следующие условия:
(а) /х(х,0) = х, /х(0, у) = У,
(Р) м(^м(У|*)) = м(/Ф*уМ)
224
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
для всех (n-кратных) независимых наборов х, у, z. В частности, (/?)
означает закон ассоциативности умножения р,(х, у) = ху.
Согласно этому определению, формальный ряд /z(x, у) имеет
следующий вид:
д(х, у) = х + у + Ь(х, у) + о(3), (32.2)
где Ь — билинейная форма (от параметров х, у) и символ о(р) означает
формальный ряд /, для которого cj(/) ^ р (п. 13.2). Помимо этого, существует
единственный элемент <р(х)е X, удовлетворяющий соотношениям
//(х, <р(х)) = 0 = /х(<р(х), х). (32.3)
Действительно, из общего вида (32.2) следует, что каждое из
уравнений (32.3) имеет единичный якобиан и потому имеет единственное решение
в классе формальных рядов без свободного члена. Пусть <р(х)
(соответственно, ф(х)) — решение левого (соответственно, правого) уравнения (32.3).
Тогда имеем (по аналогии с п. 1.1) <р(х) = ф(х). Сопоставляя с (32.2),
находим
(р(х) = -х + Ь(х, х) + о(3). (32.4)
В дальнейшем мы используем обозначение /г(х, у) = ху. Следует
помнить, однако, что роль нейтрального элемента в этом умножении играет
точка OeG^.
32.6. Предложение. Пусть /х € G^ — формальная группа. Тогда
билинейная форма
[х, у] = Ь(х, у) - Ь(у, х) (32.5)
определяет (при отождествлении х, у с элементами Fn) структуру
алгебры Ли в Fn.
Доказательство. Очевидно, форма (32.5) антисимметрична
([х, х] = 0). Используя (32.2), (32.3), получаем
хух~{ = у + [х, у] + о(3), у{ху = х + [х, у] + о(3), (32.6)
откуда следует, что групповой коммутатор (х, у) = х~1у~1ху имеет
следующий вид:
(*,у) = [х,у] + о(3). (32.7)
Соответственно,
(x^,(y,2:)) = [x,[y,z]] + o(4).
Подставляя это выражение в тождество Холла (29.6), получаем тождество
Якоби для коммутатора (32.5).
32.7. Определение. Алгебра Ли g = g(/z) = Fn, определяемая
коммутатором (32.5), называется алгеброй Ли, ассоциированной с формальной
группой /х.
Аналогично, пусть G —локальная группа Ли (над полем F = R, С). Для
каждой карты (Ца) точки е е G касательное отображение Теа
определяет изоморфизм TeG&Fn, что позволяет ввести структуру алгебры Ли в
пространство TeG по правилу (32.5). Согласно (32.7), это определение не
§ 32. ГРУППЫ ЛИ 225
зависит от выбора карты (Ц а). Полученная алгебра Ли g = TeG называется
касательной алгеброй Ли к локальной группе Ли G.
В частности, пусть G — группа Ли. В этом случае принято использовать
обозначение
g = LieG (32.8)
(вместо TeG). Алгебра Ли (32.8) называется алгеброй Ли,
ассоциированной с группой Ли G. Мы будем использовать это обозначение также для
локальных групп Ли.
32.8. Предложение. Отображение G ь-> g = Lie G есть ковари-
антный функтор из категории (локальных) групп Ли в категорию
(конечномерных) алгебр Ли над полем F.
Доказательство. Пусть <р — гомоморфизм локальной группы Ли G
в локальную группу Ли G'. Согласно (32.7), имеем
(<р(х), <р(у)) = [<р{(х), <р{(у)] + о(3),
где <р{ —главная линейная часть отображения ipf и также
¥>((я, y)) = <ft([z,y]) + o(3).
Поскольку tp — гомоморфизм, эти формулы совпадают (в достаточно малой
окрестности точки е). Поэтому
Vi([^y]) = [Vi(^Vi(y)]
для всех ж, у е д. Отсюда следует, что <рх есть гомоморфизм алгебры Ли
g = Lie G в алгебру Ли g' = Lie G'.
Упражнение. Воспользовавшись экспоненциальными
координатами (32.1), проверьте, что коммутатор в алгебре Ли g[(n) = LieGL(n)
совпадает с коммутатором в L(n).
32.9. Дифференциальная геометрия. Пусть G — группа Ли.
Векторное поле (31.8) называется левоинвариантным (соответственно, правоин-
вариантным), если оно перестановочно с левыми (соответственно,
правыми) сдвигами (26.6) в алгебре C"(G).
Пусть L(G) (соответственно, R(G)) — векторное пространство всех ле-
воинвариантных (соответственно, правоинвариантных) векторных полей на
группе G. Заметим, что левая (соответственно, правая) инвариантность
поля (31.8) равносильна левой (соответственно, правой) инвариантности
определяющей функции f, т. е.
£ (дх) = £ (х) (соответственно, £ (хд) = £ (х))
для всех ж, д. В частности, функция £ однозначно определяется своим
значением £(е) е Te(G). Отсюда заключаем, что отображение £ ■-♦ £(е)
определяет изоморфизмы векторных пространств
L(G)«g«i?(G), (32.9)
гдед=ГеС.
16 Зак. 184
226
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Ясно также, что L(G) (соответственно, R(G)) есть подалгебра Ли в
D(CU(G)). Предлагается проверить (упражнение), что изоморфизм (32.9)
есть также изоморфизм алгебр Ли.
Аналогично, пусть L*(G) (соответственно, R*(G)) — векторное
пространство всех левоинвариантных (соответственно, правоинвариантных)
дифференциальных форм 1-го порядка на группе G. Повторяя предыдущие
рассуждения, получаем изоморфизмы векторных пространств
L*(G)«g«fl*(G). (32.10)
Соотношение (32.10) означает, что на группе G имеется ровно п
линейно независимых левоинвариантных (соответственно, правоинвариантных)
дифференциальных форм 1-го порядка и>{ (г = 1,..., п).
Используя этот результат, получаем возможность непосредственно
построить дифференциал (правой) левой меры Хаара группы G (внешнее
произведение соответствующих форм ш{). Аналогично определяется
дифференциал (право-) левоинвариантной римановой метрики
<fa2=£>t? (32.11)
в группе G. Соответствующая метрика р(ж, у) в группе G определяется
как инфимум интегралов от ds по гладким кривым, соединяющим точки
ж, у (см., например, [Гор; КФ]).
Таким образом, каждая группа Ли G есть (полное) риманово
пространство, наделенное (право-) левоинвариантной метрикой.
Ясно также, что эта метрика определяет исходную топологию группы G.
Отсюда заключаем, что группа G метризуема. Более того, G есть полное
метрическое пространство, наделенное одной из метрик (32.11).
32.10. Подгруппы. Пусть G — группа Ли, Я — ее подгруппа Ли. В
этом случае алгебра Ли I) = Lie Я естественно вкладывается в качестве
подпространства в алгебру Ли g = Lie G.
Используя правило (32.7), находим, что f) есть подалгебра алгебры д.
Помимо этого, если Я — нормальный делитель группы G, то I) есть идеал
алгебры д.
Примеры. 1. Для каждой пары групп Ли G,, G2 имеем
Lie(GlxG2) = g1xg2, (32.12)
где & =LieQ (г = 1,2).
2. Пусть G С Aut A — группа автоморфизмов алгебры А. В этом случае
д(аЪ) = д(а)д(Ь)
для всех а, Ь е А. Применяя к этому равенству касательное преобразование
h = £;(0) (п. 31.4), находим heD(A). Отсюда Lie GcD(A).
32.11. Теорема. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем F =
= R, С. Тогда
§ 33. ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 227
(а) Существует формальная группа /х над полем F, для которой
fl(M) = 0.
(/?) Существует локальная группа Ли G, для которой Lie G = g.
Доказательство. Пусть с£ — структурные константы (16.20)
относительно базиса е,. (г = 1,..., п) алгебры д. Коммутатор 2 = [ж, у] в алгебре д
определяется в соответствующих координатах по правилу
**=Еф«Гу- (32.13)
Исходя из этого правила, определим коммутатор h = [/, g] в
пространстве G по правилу
A»=E^/i*ii (32.14)
где / = (/i, -.., /п) (аналогично для #, Л). Заметим, что
Ц[/, *])>"(/) + "(*) (32.15)
для всех /, #е G^. Отсюда заключаем, что коммутатор (32.14)
непрерывен в G^.
Пусть Ьщ — свободная алгебра Ли с образующими ж, у. Используя
свойство универсальности (п. 16.7), определим гомоморфное накрытие (р: L^-*
—> G (по правилу у>(ж) = ж, р(у) = у). Используя (32.15), находим
для всех кратных коммутаторов / от образующих в L^. Отсюда следует,
что <р продолжается (по непрерывности) до гомоморфизма алгебр Ли Мщ —>
-* G , где М —пополнение алгебры L в топологии формальных рядов
(п. 16.7).
Используя формулу Кемпбелла — Хаусдорфа (п. 21.6), определим
элемент z = z(x, у) е Мху, для которого
ехр х • ехр у = exp z.
Полагая fi(x, у) = <p(z(x, у)), получаем групповой закон р, е G^, для
которого
/х(ж, у) = ж + у + 5[ж, у] + о(3),
где [ж, у] определяется по правилу (32.13) при отождествлении
параметров х{ (» = 1,..., п) с координатами алгебры д. Отсюда следует (а).
Напомним также (п. 21.11), что ряд Кемпбелла — Хаусдорфа сходится
в некоторой окрестности точки 0£д. Следовательно, тройка G = (g, 0,/х)
есть локальная группа Ли, для которой g = Lie G.
Здесь имеется в виду, что G = g есть локальная группа Ли с начальной
точкой е = 0 и умножением /х (в некоторой окрестности точки 0),
относительно которого определяется также инверсия (32.4) в локальной группе G.
32.12. Следствие. Пусть /х = /х(д) — умножение
Кемпбелла—Хаусдорфа, определенное в п. 32.11, и пусть д = д(/х) — алгебра Ли, определенная
формальным законом \i (п. 32.7). Тогда имеем
Я<М(0))*Я- (32.16)
16*
228 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Локальная группа G = (д, 0, /х), определенная в п. 32.11, называется
локальной группой Кемпбелла—Хаусдорфа.
Теорема 32.11 будет использована для более глубокого изучения связи
между алгебрами Ли и группами Ли.
§ 33. Формальные группы
33.1. Обозначения. Пусть X = F[[x]]— алгебра формальных рядов от
переменных х = (хи ..., хп), снабженная групповым законом /х(ж, у) = ху.
Напомним, ЧТО /X £ ^ху
есть формальный ряд без свободного члена.
Наличие группового закона позволяет определить в алгебре X операцию
коумножения
A:X->W, (Д/)(х,2/) = /(ху), (33.1)
где W = F[[x, у]]. Применяя повторно оператор Д (по переменным ж, у),
получаем оператор
2»: X -> W, (*/)(* у, z) = f(xyz), (33.2)
где W' = F[[x, у, z]]. Здесь мы пользуемся ассоциативностью группового
закона /х. Соотношение (33.2) означает, что оператор Л совпадает с каждым
из операторов
(Д<8>1)Д = (1®Д)Д. (33.3)
Соотношение (33.3) называется свойством коассоциативности
оператора Д. Помимо этого, операция е(/) = /(0) определяет коединицув алгебре
X, связанную с Д соотношениями
(е®1)Д = (1®е)Д=1, (33.4)
что вытекает непосредственно из определения 33.1.
Согласно (33.1), Д есть гомоморфизм коммутативных алгебр X, W
(относительно умножения формальных рядов). В этом смысле X есть биалгебра
(п. 59.3), с единицей 1 е X и коединицей е е X*.
Подпространство М = kere, состоящее из рядов без свободного числа,
есть максимальный идеал алгебры X.
Ясно также, что М есть единственный максимальный идеал алгебры X.
Действительно, если идеал I содержит хотя бы один обратимый элемент
(/(е)^0),то/ = Х.
Напомним (п. 13.2), что степени Np = Mp определяют систему
окрестностей точки Ое Ху т. е. определяют топологию в пространстве X.
Напомним также, что X есть декартово произведение векторных
пространств Хт = Fm[x] (однородные компоненты в F[x]). Линейный
функционал tp е X* называется финитным, если он отличен от нуля лишь на
конечном числе компонент Хт (га € Z+).
Пусть Ф — подпространство в X*f состоящее из всех финитных
функционалов в пространстве X. Тогда имеем
ф=еФт, (33.5)
§ 33. ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 229
где Фт = Х^. Имеем также Ф*т = Хт (ввиду конечномерности Хт). Согласно
общему правилу (2.24), отсюда следует
Ф* = X, (33.6)
т. е. Ф есть векторное пространство, «предсопряженное» к пространству X.
33.2. Предложение. Линейный функционал <реХ* непрерывен тогда
и только тогда, когда он финитен. Соответственно, Ф есть
подпространство всех непрерывных функционалов в X*.
Доказательство. Ясно, что каждый функционал (реФ непрерывен.
Обратно, если функционал (р€Х* непрерывен, то (p(fp)->0 для всех fpe Хг
Отсюда ясно, что (р € Ф (в противном случае существует счетное семейство
элементов /р, для которых у>(/р) = 1).
33.3. Алгебра Ф. Наличие в X коумножения А позволяет определить в
пространстве Ф сопряженную операцию умножения по правилу
(VU/) = (1P®UA/), (33J)
где <р, Ф € Ф, / € X и скобки в (33.7) получаются перестановкой аргументов
из канонических скобок (соответственно) в X х X*, W x W*.
Здесь существенно, что <р ® ф есть финитный функционал в W, так
что (33.7) определяет умножение Ф <g> Ф —► Ф.
Из равенства (33.3) следует, что алгебра Ф ассоциативна. Из
равенства (33.4) следует, что е е Ф есть единица алгебры Ф.
С другой стороны, операция умножения в алгебре X определяет (по
сопряженности) операцию коумножения Д: Ф->Ф®Ф. Действительно,
равенство
(Д^/®»> = (№/»>. (33.8)
определяет линейный непрерывный функционал А(р e (Х®Х)*. Поскольку
Х®Х всюду плотно в W = Х®Х (п. 13.6), функционал Aip продолжается
(по непрерывности) до финитного функционала в W, т. е. Д<р е Ф <8> Ф.
Покажем, что Д: Ф —> Ф <8> Ф есть гомоморфизм. Действительно, из
тождеств (33.7), (33.8) для элементов <р, ф еФ, f,g€X имеем
(А(<рф), f <g> g) = (уф, fg) = (<р <8> ф, A(fg)) = (<р <8> ф, Д/ • Ад) =
= (А(<р ®ф), Д/ <8> Ад) = (А(р • Аф, / ® у).
Здесь мы воспользовались тождествами (33.7), (33.8) для операторов Д(а®
® Ь) = Да® АЬ в пространствах Ф ® Ф, -X" ® X. Отсюда
А(<рф) = А(р-Аф (33.9)
для всех (р,ф еФ (поскольку X ®Х всюду плотно в W).
Полагая в (33.8) / = 1 либо д = 1, получаем исходный функционал (р е Ф,
т. е. равенство (33.4) выполняется при замене X на Ф, е на 1. Отсюда
заключаем, что Ф есть биалгебра с единицей е и коединицей 1.
230 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Заметим, что пространство Ф содержит базис ха (a 6Z+), дуальный к
базису одночленов ха е F[x]. Заметим также, что формула Лейбница (11.24)
переписывается в виде
Дяа= £ ^<8>ж7. (33.10)
0 + 7 = <*
Пример. Применяя (33.10) к линейным элементам ха е Ф{, находим,
что каждый элемент <р е Ф{ примитивен, т. е.
А(р = <р ® 1 + 1 ® (р.
Упражнение. Проверьте (по аналогии с п. 19.10), что Ф! есть
множество всех примитивных элементов биалгебры Ф.
Замечание. Оператор Д, определенный в п. 13.3, есть частный
случай (33.1) для группового закона /х(х, у) = х + у.
33.4. Лемма. Пусть Ф(т) — сумма однородных компонент Фр при
0 < р < т. Тогда имеем:
*а*ц = <£+,*.+* тоАФ(т - 1) (33.11)
для всех а, /3: |ог| +1/?| = ггг. Помимо этого, сравнение (33.11)
превращается в равенство в применении к элементу 1еХ.
Доказательство. Согласно (32.2), имеем
Ах1 = (х + Уу= £ С«х«уК
С другой стороны, применяя (33.7) к элементам у? = ха, V = 2fy, / = я7 при
\а + Р\ ^ Ы» получаем нулевые результаты, за исключением случая
(хах0,х*+')шс;+0.
Отсюда следует (33.11) на всех подпространствах X . Остается заметить,
что обе части (33.11) в применении к элементу 1 € X совпадают с 6аО60О.
33.5. Следствие. Подпространство Ф{ есть алгебра Ли (с
коммутатором ab - Ъа). Более того, подпространство Фх порождает алгебру Ф.
Действительно, из (33.11) следует [а, Ь]бФ0ФФ1 для элементов а, ЬбФ1.
Помимо этого, ([а, Ь], 1) =0, откуда [а, Ъ] еФ{. Следовательно, Фх есть
алгебра Ли. Применяя (33.1) последовательно при |а| = 1, |/3| € Z+, находим,
что линейная оболочка степеней Ф™ (meZ+) содержит все базисные
одночлены ха и поэтому совпадает со всем пространством Ф.
33.6. Лемма. Пусть q = q((jl)—алгебра Ли, ассоциированная с
групповым законом fi (п. 32.7). Тогда отображение г. в-^Фр определяемое
по правилу
<Ф0,/>-/|<*>. (ЗЗЛ2)
где х = (х{) б д, /» —линейная часть элемента / € X, определяет
изоморфизм алгебр Ли g » Ф|.
Доказательство. Ясно, что отображение (33.12) определяет
изоморфизм векторных пространств д»ФР Согласно (33.7), имеем также
<[^,/}H^®V>,V/>, (33.13)
§ 33. ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 231
где (V<p)(a;, y) = f(xy) — f(yx). Согласно следствию 33.5, если ip, ф €ФР то
[у>, ^>]бФ|. Поэтому функционал [<р, ф] определяется своими значениями
на элементах / € Хх. Полагая / е Хх, получаем
V/(x,y) = /([*,y]), (33.14)
где коммутатор в правой части есть коммутатор алгебры g = g(/x).
Полагая в (33.13) у? = eit ф = ejt f = ж\ где е{(хк) = 8ik, мы можем
заменить V/ элементом (32.14). Отсюда
<[«,*,], **) = <& (33.15)
где с£ — структурные константы алгебры g(/z). С другой стороны, левая
часть (32.15) есть также структурная константа алгебры Ф1 (в базисе е.).
В результате g « Ф, есть изоморфизм алгебр Ли.
33.7. Теорема. Отображение (33.12) определяет изоморфизм алгебр
Ли g « Ф1 и изоморфизм ассоциативных алгебр 17(g)« Ф.
Доказательство. Первая часть теоремы совпадает с леммой 33.6.
Используя свойство универсальности алгебры U(g), находим, что
отображение с: д-*Ф1 продолжается до гомоморфизма ассоциативных алгебр <р:
17(g) -+ Ф. Согласно следствию 33.5, это отображение есть накрытие. Ясно
также, что ¥>(17т(0))сФ(т), в обозначениях леммы 33.4. Покажем, что кр
индуцирует изоморфизм векторных пространств
СШ«Ф(т), (33.16)
для всех т eZ+. Действительно, это верно при т = 0,1. Полагая (33.16)
доказанным при замене m на m - 1 и применяя лемму 33.4, находим,
что ^(^m(fl)) содержит базис однородной компоненты Фт. Отсюда
следует (33.16) для всех т е Z+. В результате ker <р = 0, т. е. [/(g) «Ф.
33.8. Следствие. (1) Изоморфизм <р\ 11(д)ъФ есть также изоморфизм
биалгебр (в определениях пп. 19.9,33.3).
(И) Соотношение (33.6) определяет двойственность между биалгеб-
рами U(g), F(g).
Действительно, А однозначно определяется своими значениями на
образующих х 6 g (соответственно, <реФ{). Остается сопоставить
примитивность элементов х € g с примитивностью элементов (р е Фх (п. 33.3).
33.0. Гомоморфизмы. Пусть g: Y -* X — непрерывный гомоморфизм
алгебры Y = F[[y]] в алгебру X = F[[x]]t где х = (х,,..., хп)% у = (уп ...
..., уп). Ясно, что д определяется своими значениями на полиномах / € F[x]
и потому набором своих значений
д(х)ш(л(х),..чЯл(х)) (33.17)
на образующих у< (г = 1,..., п): д<(х) = (ду{)(х).
Покажем, что непрерывность гомоморфизма д: Y-+X равносильна #(0) =
= 0, т. е. g(N) с М, где N — максимальный идеал алгебры Y (аналог
идеала М в алгебре X).
232
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Действительно, если g(N) с М, то g(Np) с Мр для всех р е Z+, откуда
следует непрерывность гомоморфизма д. Обратно, если д — непрерывный
гомоморфизм, то (д{(х))р = (ду{)р —>0 при р —► оо, что возможно только при
д.(0) = 0 для всех г = 1,..., п, т. е. #(0) = 0. Отсюда заключаем, что
<fl/)<*) = /(*(*))- (33.18)
А именно, равенство (33.18) выполняется для всех /е ^[ж], но тогда (по
непрерывности) и для всех / G У.
Предположим теперь, что в алгебрах Jt, У определены (соответственно)
групповые законы /х, i/, так что X, У суть биалгебры (п. 33.1). Условимся
говорить, что д: Y-> X есть гомоморфизм биалгебр, если
(g®g)AY = Axg, (33.19)
где Ах (соответственно, Ду) — коумножение в алгебре X (соответственно,
в У). В нашем случае (33.19) означает, что
f(g(x)g(y)) = Ы)(ху) = Нд(ху)) (33.20)
для всех f eY. Здесь #(xy) — результат подстановки х н-> жу в формальный
ряд (33.17).
Поскольку (33.20) выполняется для всех / € У, мы имеем
д(ху) = д(х)д(у), (33.21)
где ж = (жп..., жп), у = (у19..., yj.
Подстановка ж »-► у(ж) (где д(0) = 0) называется гомоморфизмом
формальных групп /х, I/, если выполняется (33.21), т. е. равенство (33.18)
определяет гомоморфизм биалгебр д: У—>Х.
Соответственно, формальные группы /4, v называются изоморфными (или
подобными), если существует непрерывный изоморфизм биалгебр g: X&Y.
Пусть g = g(/x), д'= д(/х') — алгебры Ли, отвечающие групповым законам
/и, р' (п. 32.7). Из непрерывности гомоморфизма (33.18) следует
существование сопряженного гомоморфизма д*\ Ф—>Ф*, где Ф' — аналог Ф для
умножения /х'. А именно, равенство
(9*<P,f) = (<P,9f) (33.22)
однозначно определяет непрерывный функционал д*<р е Ф. Если д —
гомоморфизм биалгебр (Y-> X), то д* есть также гомоморфизм биалгебр
(Ф-^Ф'). Согласно лемме 33.6 линейная часть д*(р{ еФ^ определяет также
гомоморфизм алгебр Ли g —► g'.
33.10. Теорема. Отображение д(х)*-+ д*->д* определяет биекцию
множества Нот(/х, р') в категории формальных групп с векторным
пространством Нот(д, д;) в категории алгебр Ли:
Нот(д, р')« Нот(д, д'). (33.23)
§ 34. ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 233
В частности, условие изоморфности (р «р1) в категории
формальных групп совпадает с условием изоморфности (g « д') в категории
алгебр Ли.
Доказательство. После сказанного в п. 33.9, остается обратить
отображение g(x) i-+ д*. Если ш: g -+ g' — гомоморфизм алгебр Ли, то ш
индуцирует также гомоморфизм ассоциативных алгебр ш: U(g) —> Z7(g'),
т. е. ш: Ф—>Ф\ Сопряженное отображение д = ш* однозначно определяется
равенством (33.22) (с заменой д* на а;).
Полагая в (33.22) <р = е (единица алгебры Ф), находим, что и>(е) = е'
(единица алгебры Ф'). Отсюда g(N) с М, где i\T — аналог М в алгебре F.
Но это означает, что гомоморфизм д непрерывен, т. е. имеет вид (33.18),
где д(х) — гомоморфизм формальных групп р —> р'. Отсюда следует (33.23).
Замечание. Сужение (33.22) на Ф{ х Yx сводится к сопряженности
линейных операторов д{, g*t где дх —линейная часть гомоморфизма д: Y-+X.
33.11. Следствие. Каждый гомоморфизм g e Hom(/x, р')
однозначно определяется своей линейной частью (касательным отображением
9i=T0g).
Действительно, gx = w (см. п. 33.10) есть гомоморфизм алгебр Ли g->g',
определяющий (по правилу (33.23)) исходный гомоморфизм д: р —> р\
Пример. Экспонента g(t) = eta, где teF(=R, С), может
рассматриваться как гомоморфизм формальной группы p^t, s) = t +s в группу
G = GL(n, F), относительно локальных координат (например, д(х) = е + ж),
в некоторой окрестности единичного элемента е 6 G.
Здесь aeMat(n, F) (фиксированный элемент). Очевидно, в этом случае
<?,(£) = £а, откуда заключаем, что g(t) есть единственный аналитический
гомоморфизм F->Gc линейной частью д'(0) = а.
Согласно п. 25.6, мы знаем даже больше. А именно, каждый
непрерывный гомоморфизм и: F -+ G аналитичен и потому имеет вид (25.6), т. е.
ti(t)=ete.
33.12. Следствие, (i) Каждая формальная группа р (над полем F)
изоморфна одной из формальных групп Кемпбелла—Хаусдорфа.
(и) Категория формальных групп (над полем F) изоморфна
категории конечномерных алгебр Ли (над полем F).
Действительно, пусть р' = /х(д) — умножение Кемпбелла — Хаусдорфа,
определенное алгеброй g = g(/x) (п. 32.12). Согласно (32.16), имеем
д(м')«Я(м)|
откуда р' w/x (по теореме 33.10). Отсюда получаем (i). Помимо этого, из
теоремы 32.11 следует, что соотношение (33.23) определено для каждой
пары д, д'. Отсюда получаем (И).
§ 34. Локальные группы Ли
34.1. План работы. В этом параграфе доказывается основная теорема
С. Ли (п. 34.5) о связи между группами Ли и алгебрами Ли. Доказываются
две теоремы Э. Картана (пп. 34.7, 34.8) о группах Ли и теорема 34.11
15 Зак. 184
234 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
о категории групп Ли. Излагается основной аппарат теории групп Ли,
связанный с «экспоненциальным отображением» ехр: g н-» G, где jj = Lie G.
Прежде чем перейти к основному изложению, отметим некоторые
свойства локальных групп Ли.
Напомним, что в категории локальных групп Ли существенно
используется понятие подобия (локального изоморфизма). В частности, каждому
классу подобия локальных групп Ли соответствует единственная (с точностью
до изоморфизма) конечномерная алгебра Ли g = Lie G. Ясно также, что
существуют локально изоморфные, но не изоморфные, локальные группы Ли,
в том числе и группы Ли. Например, аддитивные группы R, Т локально
изоморфны, но не изоморфны.
Поэтому естественно возникает вопрос о соответствии между классами
подобия локальных групп Ли и классами изоморфизма (конечномерных)
алгебр Ли.
34.2. Определение. Пусть G — топологическая группа.
Подмножество Я С С? называется локальной подгруппой группы G, если Я (в
индуцированной топологии) обладает непустой окрестностью единицы V0, для
которой V0V0~{ с Я (т. е. ху~{ е Я для всех ж, у € V0).
В частности, каждая подгруппа Я группы G есть также локальная
подгруппа группы G. В этом случае в качестве VQ можно взять любую
индуцированную окрестность VQ = U0C\H, где UQ — окрестность единицы в
группе G.
Аналогично, пусть G — группа Ли. Подмножество Я С G называется
локальной подгруппой Ли группы G, если Я есть локальная подгруппа
группы G и подмногообразие многообразия G.
В частности, каждая подгруппа Ли группы G есть также локальная
подгруппа Ли группы G.
34.3. Предложение. Каждая локальная подгруппа Я с С? (G
—топологическая группа) подобна некоторой топологической группе GHl
непрерывно вложенной (как подгруппа) в группу G. Более того, если G
есть группа Ли, то GH есть также группа Ли, непрерывно
вложенная в G.
Доказательство. Пусть GH — множество всех точек ge G,
удовлетворяющих следующему условию: существует окрестность U точки е е G
(U зависит от д), для которой
ипН=ипд~1Нд. (34.1)
Нетрудно видеть, что GH есть подгруппа группы G. А именно, если пара
точек д{, &€ G удовлетворяет (34.1) с окрестностями 17п U2 (соответственно),
то точка д = д^ удовлетворяет (34.1) с окрестностью
и = и2п£1ихя.
Аналогично, если д Е GH, то д~х Е GH.
Покажем, что GH содержит некоторую окрестность единицы точки е е Я.
Уменьшая, если надо, окрестность V0, входящую в определение Я (п. 34.2),
§ 34. ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 235
получаем окрестность VJ с V0 со следующим свойством: каждая точка у =
= 9Х9~1> гДе А х £ ^р содержится в Я. Отсюда ж е д~хНд. Напомним, что
Vj = Ux Г\Н, где ETJ —окрестность единицы в группе G. Отсюда
UxC\HcUxng-xHg. (34.2)
Заменяя в этом рассуждении Я локальной подгруппой д~1Нд, получаем
окрестность V2 = U2 П Я, для которой выполняется включение, обратное
к (34.2). Но тогда для окрестности V3 = VJ П \^ выполняется (34.1).
Заменяя VQ на Vv будем считать, не ограничивая общности, что
окрестность V0, входящая в определение локальной подгруппы Я,
содержится в GH.
Определим топологию в Ся, выбирая в качестве базы окрестностей точки
eeGH всевозможные окрестности вида VJjnV, где V = Е/ПЯ —
произвольная индуцированная окрестность единицы в группе Я. Поскольку V с U,
мы находим, что вложение г: GH-> G непрерывно в точке е, но тогда и в
каждой точке geGff.
Покажем, что GH есть топологическая группа. Действительно, из
определения топологии в GH следует, что умножение (ж, у) н+ ху непрерывно в
некоторой окрестности точки е е GH. Более того, отображение ал-+ дхд~1
непрерывно (в окрестности точки е) для всех geGH. Отсюда следует
непрерывность умножения во всех «отдаленных» точках вида д{х{ (х{ е V{), где
г = 1,2. Это ясно из тождества
glxlg2x2 = glg2(&lxlg2)x2,
где точка д£1ххд2 пробегает окрестность <klV{g2. Аналогично, операция хи
■-► х"1 непрерывна в GH. Помимо этого, из определения топологии в GH
следует, что локальная подгруппа Я подобна топологической группе GH.
Если G — группа Ли, то структура подмногообразия в локальной
подгруппе Я индуцирует структуру многообразия в Gffi относительно которой
групповые операции в GH аналитичны, т. е. GH есть группа Ли.
Пример. Если Я = {е}, то GH есть группа G с дискретной топологией.
34.4. Следствие. Пусть g с ЦV) —линейная алгебра Ли, где dim V <
< оо. Тогда существует группа Ли G, непрерывно вложенная (как
подгруппа) в GL(V), для которой g = Lie G.
Действительно, множество Я = g n GL(V) есть локальная
подгруппа Ли группы GL(V) относительно умножения Кемпбелла — Хаусдорфа
(п. 32.12), для которой g = Lie G. Согласно предложению 32.3, имеем
также g = Lie G, где G = GH.
34.6. Теорема (С. Ли). Для каждой конечномерной алгебры Ли g над
полем F = R, С существует группа Ли G над полем F, для которой
g = LieG.
Доказательство этой теоремы можно вывести непосредственно из
леммы 34.4, если воспользоваться теоремой Адо (см., например, [ГГ]), согласно
которой каждая конечномерная алгебра Ли изоморфно вкладывается (как
подалгебра Ли) в L(V), где dim V < оо.
15*
236 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Примеры. 1. Если з(д) = 0 (в частности, если д полупроста), то ее
присоединенное представление точно (т. е. алгебра g изоморфна
подалгебре в L(g)).
2. Если алгебра g коммутативна, то она имеет точное линейное
представление в Fn+l, где n = dimg (упражнение).
Поскольку в нашей книге теорема Адо не доказывается, мы изложим
ниже (п. 36.8) другое доказательство теоремы С. Ли (основанное на теории
представлений групп Ли). Отметим пока уточнение предложения 34.3.
34.6. Лемма. Пусть G—группа Ли, Я— локальная подгруппа Ли
группы G. Если подгруппа GH (п. 34.3) замкнута в G, то GH есть
подгруппа Ли группы G.
Доказательство. Пусть К — связная компонента единицы
группы GH. Напомним (п. 26.7), что группа К а-компактна. Более того, К
покрывается счетным числом компактов вида gnV (neN), где V — пред-
компактная окрестность точки е еК. Поскольку вложение г: GH-*G
непрерывно, каждое подмножество gnV компактно в группе G. Следовательно,
К есть а-компакт в топологии группы G.
Предположим, что подгруппа GH замкнута в группе G. В этом случае
GH есть полное метрическое пространство относительно метрики, которая
определяет топологию группы G (п. 32.9). Применяя к подгруппе К
(замкнутой в GH) теорему Бэра (см., например, п. В.1), находим, что хотя бы одно
подмножество gnV содержит внутреннюю точку gng, где g е V. Но тогда
единичная точка е еК есть внутренняя точка (в топологии G) множества
9-{9п1(9гУ) = 9-{У.
Уменьшая, если надо, окрестность V', можем считать, что V V с U,
где U — фиксированная окрестность в топологии GH точки ее К. В
частности, U содержит окрестность (в топологии G) V~lV точки ее К.
Поэтому отображение г"1: г(К) —> К непрерывно в точке е, но тогда и всюду
в г~1(К).
Остается заметить, что отображение г регулярно в точке е (ввиду
подобия Я, Ся), но тогда и в каждой точке %е К. Следовательно, К есть
подгруппа Ли группы G. Но тогда и GH (как объединение связных
компонент gK (g e GH)) есть подгруппа Ли группы G.
34.7. Теорема (Э. Картан). Каждая замкнутая подгруппа
(вещественной) группы Ли есть подгруппа Ли.
Доказательство. Пусть G — группа Ли, Я — ее замкнутая
подгруппа, VQ — связная окрестность единицы е е Я. Тогда V0 есть также
окрестность единицы eeGH. Отсюда
где Яе (соответственно, К) — связная компонента единицы группы Я
(соответственно, GH). Из замкнутости Я следует замкнутость Яв. Применяя
лемму 34.6, находим, что Не — К есть подгруппа Ли группы G. Но тогда
и Я есть подгруппа Ли группы G.
§ 34. ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 237
Примеры. 1. Каждая замкнутая подгруппа в GL(n,С) есть
вещественная группа Ли.
2. Каждая алгебраическая группа G в пространстве V над полем F = R, С
есть группа Ли (в данном случае над полем F).
34.8. Теорема (Э. Картан). Пусть G, Я -— две группы Ли. Тогда
каждый непрерывный гомоморфизм /: G —* Я (вещественно) аналитичен.
Доказательство. Пусть Gf — график отображения /: G —>Я, т. е.
Gf = {(g,f(g)):g€G},
так что Gf есть подгруппа в G х Я. Если / — непрерывный морфизм, то
подгруппа Gf замкнута в G х Я. Согласно теореме 34.7, Gy есть
подгруппа Ли группы G х Я. Остается заметить, что / совпадает с композицией
аналитических морфизмов
g*->(Shf(9))*-+f(g)*
так что /: G —> Я есть аналитический морфизм.
34.9. Однопараметрические подгруппы. Пусть G — топологическая
группа. Семейство g(t)e G, где t e R, называется однопараметрической
подгруппой группы G, если отображение £ »-»#(0 есть непрерывный
гомоморфизм. В частности,
9(t+s) = g(t)g(s), g(0) = e (34.3)
для всех t, s б Е.
Если G — группа Ли, то использование теоремы Картана (п. 34.8)
позволяет заключить, что отображение t *-* g(t) аналитично. Применяя
следствие 33.11 (к соответствующим формальным группам), находим, что
семейство g(t) однозначно определяется своим касательным вектором
a=0'(O)eg = Liea (34.4)
Отметим существенное усиление этого результата. Для каждого gQ e G
определим левый (правый) сдвиг g0: TeG -> T^G, сопоставляя
эквивалентным кривым x(t), где ж(0) = е, эквивалентные кривые <foz(£)
(соответственно, x(t)g0), проходящие через точку д,. Дифференцируя (34.3) по одному
из параметров ty s, получаем
g'(t) = ag(t) = g(t)a (34.5)
для всех t e R, где а = д'(0).
Применяя в этой ситуации теорему существования и единственности
(п. 13.12), находим, что для каждого а£д существует единственная од-
нопараметрическая подгруппа (34.3) с касательным вектором (34.4).
Действительно, это решение существует при малых t: \t\ ^ 6. Полагая
238
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
при 111 ^ пб, заметим, что функция дп не зависит от выбора n e N. А именно,
если п, m ^ no(t), мы имеем
9n(t) = 9{^yn = 9{i)m = 9m(t).
Полагая g(t) = gn(t) при п ^ По(£), получаем единственное однопараметри-
ческое семейство g(t), удовлетворяющее условиям (34.3), (34.4).
Мы будем использовать в этой ситуации (по аналогии с экспонентой
в GL(V)) обозначение
0(*) = ехр*а. (34-6)
Аналогично рассматриваются комплексные однопараметрические
подгруппы g(t) e G в комплексной группе Ли G (с параметром Л е С).
Пример. Пусть G — замкнутая подгруппа в GL(У), и пусть g = Lie G.
В этом случае для каждого ае 0 однопараметрическая подгруппа g(t) = eta
целиком содержится в группе G.
34.10. Экспоненциальное отображение. Полагая в (34.6) t = 1,
получаем отображение ехр: д—► G, а «-►ехр а, называемое экспоненциальным
отображением алгебры Ли д = Lie G в группу G.
Согласно (34.5), касательное отображение к отображению ехр в точке О
имеет вид Тх = х. Следовательно, отображение ехр невырождено и потому
определяет аналитический гомеоморфизм некоторой окрестности нуля V с
С g с окрестностью единичного элемента ft = ехр V в группе G.
Обратное отображение In: Q —> V называется логарифмическим
отображением в группе G. Соответственно, (ft, In) есть карта многообразия G,
элементы которой однозначно записываются в виде д(х) = ехр х (х е V).
Декартовы координаты точки х е V называются экспоненциальными
координатами или каноническими координатами (1 рода) в окрестности ft.
Напомним, что групповое умножение в некоторой окрестности ft0 с ft
определяется (сходящимся) рядом Кемпбелла — Хаусдорфа.
Заметим также, что для каждой векторной суммы 0 = 0! Ф 02 мы можем
заменить параметры х £ 0 параметрами xi € q{ (i = 1, 2), по правилу
g(xx, x%) = ехр хх • ехр а^. (34.7)
Действительно, касательное отображение к (34.7) в точке 0 имеет вид Тх =
= хх + Х2 = ж. Соответственно, отображение (34.7) невырождено в точке 0 и
потому определяет локальные координаты (х{, а^) в некоторой окрестности
точки е е G.
Пусть е,. (г = 1,..., п) — некоторый базис векторного пространства 0.
Применяя (34.7) индуктивно, получаем параметризацию
0(*и • • •• О = ехр *1в!.-- ехр tnen (34.8)
в некоторой окрестности ft! точки е€ G. Соответствующие параметры t{
(г = 1,..., п) называются также каноническими координатами (2 рода) в
окрестности ftp
§ 34. ЛОКАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 239
Пример. Пусть G — замкнутая подгруппа в GL(У), и пусть g = Lie G.
В этом случае экспоненциальные координаты в группе G определяются
матричной экспонентой д(х) — ех.
Упражнения. 1. Докажите, что экспоненциальное отображение
д(х) = ех накрывает группу G = GL(n, С). Однако, это неверно для группы
G{=GL(n,R).
2. Докажите, что каждая связная абелева группа Ли G изоморфна R* <g>
® Tm, где Тт — т-мерный тор. А именно,
G = expg«exp(g/#),
где R — решетка (свободная аддитивная группа) в векторном
пространстве д, состоящая из элементов жбд, для которых ехр ж = 1 в группе G.
В частности, пусть G — связная компактная абелева группа Ли. В этом
случае G«Tn (n-мерный тор).
34.11. Теорема. Отображение g = Lie G определяет биению
между классами подобия (локальных) групп Ли и классами изоморфизма
(конечномерных) алгебр Ли над полем F. Более того, для каждой пары
Qi = Lie G{ (г = 1,2) имеем
Home(Gu q2)«Hom(g1,fl2), (34.9)
где левая часть означает множество всех подобий (локальных
изоморфизмов) G, —> G2. В этом смысле ковариантный функтор Lie:
G i-+ Lie G определяет эквивалентность категории локальных групп Ли
с категорией конечномерных алгебр Ли над полем F.
Доказательство. Для каждого гомоморфизма ц> eHome(G{, G2)
его касательное отображение Те(р: д{ —> д2 есть гомоморфизм алгебр Ли
(п. 32.8).
Обратно, каждый гомоморфизм ш: ${ —>д2 поднимается до гомоморфизма
соответствующих формальных групп Кемпбелла — Хаусдорфа (п. 33.10),
т. е. до локального изоморфизма и>: Gx —> G2.
Применяя теорему С. Ли (п. 34.5), находим, что соотношение (34.9)
имеет смысл для каждой пары конечномерных алгебр Ли gt. (г = 1, 2) над
полем F. Отсюда получаем соответствующий изоморфизм категорий
локальных групп Ли и конечномерных алгебр Ли над полем F.
34.12. Фактормногообразия. Отметим приложение экспоненциальных
координат к доказательству теоремы 32.3 о фактормногообразиях в
категории групп Ли.
Положим g = Lie Gf f) = Lie Я, и пусть g = {j0f (с некоторым
подпространством f с д). Согласно (34.7), функция
д(х, у) = ехр х -ехр у,
где х € f), у е f, определяет локальные координаты в некоторой окрестности
V точки е 6 G. /
В этом случае V П Н выделяется условием у = 0, откуда заключаем
(п. 31.10), что G/H есть аналитическое многообразие с локальными
параметрами /($/) = ехр у (уEl)). Более того, действие группы G на эти параметры
240 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
определяется по правилу
9f(y) = ехр х' • ехр у' = ехр х' • f(y'),
откуда ясно, что это действие аналитично при д, f(y) e V0, где V02 с V.
Соответственно, для каждой пары «удаленных» точек вида g{g,g2f(y) мы
имеем
(9i9)(92f(y)) = 9i92(92l992)f(y)>
откуда следует аналитичность действия группы G во всем
пространстве G/H.
Аналогично, если Н — нормальный делитель группы G, то групповые
операции в G/H аналитичны, т. е. G/H есть группа Ли.
34.13. Следствие. Если G — группа Ли, Н — ее замкнутый
нормальный делитель, то G/H есть группа Ли, для которой
Lie(G/tf) = g/f>, (34.10)
где g = Lie G, I) = Lie Я.
Пример. Пусть N — дискретный нормальный делитель группы G. В
этом случае имеем
Lie(G/JV) = g. (34.11)
34.14. Виртуальные подгруппы. Пусть G — группа Ли, g = Lie G —
алгебра Ли группы G. Для каждой подалгебры f) с g подгруппа G0(fj),
порожденная экспонентами ехр х, где х £ {), называется виртуальной
подгруппой группы G, порожденной подалгеброй ().
Пусть G(f)) — замыкание подгруппы G0(fj) в группе G, так что G(\j) есть
подгруппа Ли группы G. Поскольку все однопараметрические подгруппы
g(t) = ехр tx, где х е 1), содержатся в G(fj), мы имеем f) С Lie G(fj).
Подалгебра f) называется регулярной, если J) = Lie G(fj). Полагая в этом случае
#== G(f)), получаем f) = Lie Я. В противном случае подалгебра fj называется
сингулярной.
Известный пример, связанный с «иррациональными обмотками тора»,
показывает, что сингулярные подалгебры существуют.
А именно, пусть G =Т2 —двумерный тор с алгеброй Ли д = К2.
Фиксируем Xq = (a, b) G R2, и положим f) = Rxq, так что f) есть подалгебра алгебры д.
Легко проверяется, что кривая g(t) = etx° периодична (т. е. возвращается в
исходную точку 0(0) == е) лишь в том случае, когда отношение а/Ь
рационально. В противном случае кривая g(t) охватывает тор G всюду плотно,
т.е. G(f)) = G.
§ 35. Связные группы Ли
35.1. Гомотопий. Для дальнейшего изложения нам понадобится
элементарный лексикон теории гомотопий. В основном мы будем рассматривать
гомотопий в локально евклидовых пространствах.
Пусть X — топологическое пространство. Непрерывное отображение
/: [0,1]-*-Х" называется путем в пространстве X, с начальной точкой
§ 35. СВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 241
(началом) /(0) и конечной точкой (концом) /(1). Если /, д — два пути, для
которых /(1) = д(0), то для них определяется композиция (склейка)
(fg)(t) = f(2t) при 0<t<J, (fg)(t) = g(2t-\) при J<t<l.
Единичный путь в пространстве X определяется как отображение в точку,
т. е. е(£) = е(0) для всех t е [О,1]. Обратный путь f~l определяется по
правилу /~1(t) = /(l — t), так что g = f~lf (аналогично, ff~l) есть
замкнутый путь, для которого g(0) = g(l).
Операция склейки напоминает умножение. И она действительно
превращается в умножение, если отождествить эквивалентные (или
гомотопные) пути /, д, где гомотопия f ~ g определяется следующим образом:
пути /, д получаются друг из друга непрерывной деформацией без
смещения концов.
Последнее означает, что существует непрерывная функция у>: [О, I]2—>Х,
для которой
¥>(0,О = /(О, V(M) = 0(O, ?(*,0) = /(0) = яг(0), v(*,l) = /(l) = 0(l).
Отношение эквивалентности / ~ <jr согласовано с операциями склейки и
взятия обратного. А именно, если f~f, g~g' и /(1) = ^(0) (так что склейки
fg, f'g' определены), то
Помимо этого, если е — единичный путь, для которого хотя бы одна из
склеек е/, /е определена, то мы имеем (соответственно)
е/~/, /е~/.
Наконец, если /, #, /i —три пути, для которых /(1) = д(0), g(l) = h(0), то
имеет место закон ассоциативности
(fg)h~f(gh).
Пусть / — замкнутый путь, т. е. /(0) = /(1). Если / ~ е, где е —
единичный путь, то путь / называется гомотопным нулю. В этом случае также
говорят, что путь / стягивается в точку.
35.2. Определение. Фиксируем точку р е X, и пусть Qp — множество
всех замкнутых путей пространства X, начинающихся (и кончающихся)
в точке р. Операции склейки и взятия обратного сохраняют множество
Slp. Факторизация по отношению к гомотопии (п. 35.1) превращает Пр в
группу 1г{(р), называемую гомотопической группой точки р.
Предположим теперь, что пространство X связно и локально евклидово.
В этом случае X линейно связно, т. е. каждую пару точек p,qeX можно
связать путем /: /(0) = р, /(1) = д. А именно, пусть Y — подмножество
всех точек х £ X, связанных с р некоторым путем. Легко проверяется, что
множество Y открыто и замкнуто, откуда У = Х.
242
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Из линейной связности пространства X следует, что для каждой пары
точек р, q G X их гомотопические группы 7г,(р), n{(q) изоморфны.
Действительно, если путь д связывает точки р, q, то склейка
7(/) = <Г7<7
определяет отображение 7- ^Р —► fy> согласованное с гомотопией, т. е.
fi~f2 влечет 7(/i)~7(/2)- Соответственно, 7 можно рассматривать как
отображение классов гомотопии, т. е. j: ж^р)-* nx(q). Ясно, что
7(/,/2) = 7(/,)7(/2)
для всех /i,/2E^p, откуда заключаем, что 7 есть гомоморфизм групп
*\(р) ~~* п\(я)- Поскольку 7"1 существует (замена д на д~{), то j есть
изоморфизм.
Фиксируем точку р е X. Гомотопическая группа ^(р) обозначается
7Tj(X) и называется (с точностью до изоморфизма) фундаментальной
группой (или группой Пуанкаре) пространства X.
Пространство X называется односвязным, если его фундаментальная
группа тривиальна, т. е. пх(Х) = {е}. В этом случае каждый замкнутый
путь пространства X стягивается в точку, т. е. / ~ 0.
Примеры. 1. Евклидово пространствоRn (аналогично, Сп) односвязно.
2. Каждый тор Tn (n e N) неодносвязен.
3. Пусть S = Sn — единичная сфера в Rn+1. Фиксируем точку ре 5.
Стереографическая проекция
а(х) = (1 - (ж, р))~1(х - (ж, р)р)
проектирует S\{p} (гомеоморфно) на гиперплоскость #pcRn+1,
ортогональную к вектору р. Отсюда заключаем, что пространство 5 \ {р} одно-
связно.
Если п ^ 2, то каждый путь / е Qq, где q^p, гомотопен некоторому
пути р, не проходящему через точку р, т. е. g содержится в 5 \{р}.
Следовательно, / ~ g ~ 0. Отсюда заключаем, что сфера S при n ^ 2 односвязна.
35.3. Предложение. Если G—связная локально евклидова группа,
то ее фундаментальная группа n{(G) коммутативна.
Доказательство. Группа G действует в множестве путей
пространства G слева и справа по правилу
(a/)(i) = a-/(t), (/b)(i) = /(t).b,
где a, b e G. Нетрудно видеть, что для каждой пары путей /, g с начальной
точкой е е G имеет место гомотопия
f-ag~g-fb, (35.1)
где а = /(1), 6 = 0(1). А именно, функция y?(s, t) = f(s)g(t), определенная
в [О, I]2, позволяет ассоциировать каждый из путей (35.1) с одним из
полупериметров квадрата [О, I]2. Отсюда ясно, что оба пути (35.1) гомотопны
диагональному пути h(t) = у>(*> 0 й потому гомотопны между собой.
§ 35. СВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
243
Полагая в (35.1) /, д € fte (е — единица группы G), находим fg ~ gf, т. е.
группа n{(G) коммутативна.
35.4. Накрывающие пространства. Пусть X, Y — два связных
локально евклидова пространства, (р: Y —> X — непрерывное отображение.
Фиксируем две точки р е Хл q € У, связанные соотношением р = </?(д).
Отображение
/(*) = ¥>(»<*)) (35.2)
переводит каждый путь g(t) е Y с началом q в путь f(t)eX с началом р.
Отображение (35.2) согласовано со склейкой, взятием обратного и го-
мотопией, а также переводит замкнутый путь g(t)eY в замкнутый путь
f(t)eX. Поэтому (35.2) определяет гомоморфизм фундаментальных групп
<р: пх(¥)->щ(Х). (35.3)
Непрерывное отображение (р: Y —>Х называется кратным накрытием,
если для каждой точки ре X существует окрестность U точки р, для
которой полный прообраз <p~l(U) есть дизъюнктная сумма подмножеств Vi
(i е /), каждое из которых накрывает U гомеоморфно, т. е.
<p-l(U) = U<Prl(U), (35.4)
г
где ip. = <p\v (гомеоморфизм V{« U) и символ Ц означает дизъюнктное
объединение. Пространство Y в этом случае называется накрывающим
пространством пространства X. Кардинальное число а — card I называется
кратностью накрытия (р в точке реХ.
Если (р: Y —>Х — кратное накрытие, то индуцированное отображение (р:
щ(У) —► щ(Х) есть вложение. Мы опускаем доказательство этого
утверждения (хотя его нетрудно вывести из упражнения 2 п. 35.5). См. также [По].
35.5. Односвязное накрытие. Покажем, что каждое связное локально
евклидово пространство X обладает односвязным накрытием (в
действительности это верно для каждого линейно связного пространства X).
Фиксируем точку реХ, и пусть Тр — множество всех путей
пространства X с начальной точкой р.
Для каждого х € X пусть х. (i е I) — множество классов гомотопии путей
/ е Гр с конечной точкой ж. Пусть X — множество всех таких классов,
т. е. пар (х, г), где хе X, i el. Здесь I = IX зависит от точки ж. Однако,
из рассмотрения односвязных окрестностей точки х следует Ix ~ I для
достаточно близких ж, у, так что можно положить 1х — 1у. Полагая ш(х{) =
= ж, получаем отображение ш: Х—>ХУ удовлетворяющее условию (35.4)
(с подстановкой^ i-+ cj).
Определяя в X топологию посредством расслоенных окрестностей (35.4),
находим, что пространство X локально евклидово и отображение ш: X —>
—> X непрерывно. Нетрудно видеть, что X связно. Действительно, пусть
х = ж., у = yi (при некоторых г, j) — два класса гомотопии в X. Рассмотрим
путь / е Гж, для которого /(1) = у. Полагая f8(t) = f(st), где s, t e [0,1],
244
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
получаем семейство путей, непрерывно зависящее от s, для которых /s(0) =
= ж, /5(l) = /(s). Пусть f(s) — класс гомотопии пути fa. Легко проверяется,
что отображение /: [0, 1]—>Х непрерывно и связывает точку же точкой у.
Отсюда заключаем, что X линейно связно (но тогда и связно).
В частности, I = 1р (как множество) можно отождествить с
гомотопической группой щ(р) точки р (п. 35.2). Отсюда заключаем, что Ip~Iq для
всех р, q е X, так что можно положить Ip = Iq.
Покажем, что X односвязно. Достаточно проверить, что каждый путь
/ Е £1- гомотопен нулю. Но условие / е 0>~ означает, что исходный путь
/ еПр содержится в одном классе гомотопии с единичным путем е е Пр.
Отсюда / ~ 0, / ~ 0.
Упражнения. 1. Односвязное накрытие пространства X
определяется однозначно, с точностью до гомеоморфизма. Иначе говоря, если YJ Z —
два односвязных накрытия пространства X, то Y ~ Z.
2. Для каждой подгруппы рСкх(Х) существует накрытие ip: Y-+X,
для которого щ(У) = р. [Указание: повторите предыдущие рассуждения с
заменой эквивалентности f~g эквивалентностью (fg~l)€p, где (/) — класс
гомотопии, содержащий путь /. См. также [По].]
35.6. Накрывающие группы. Пусть G — связная локально евклидова
группа, G — односвязное пространство, накрывающее группу G (п. 35.5).
Фиксируем начальную точку ее С,^для которой ш(е) — е. Для каждой пары
классов /, д€ G, где /, д ЕГв, пусть fg — класс гомотопии, содержащий путь
fc=/-/(l)ff.
Легко проверяется, что это определение корректно, т. е. не ^ависит^от
выбора путей /, д из классов /, д. Более того, отображение (/, §) н* fg есть
умножение, относительно которого G есть группа (с единицей е). Помимо
этого, отображение ш: G -+ G (п. 35.5) гомоморфно, т. е.
си(ху) = ш(х)и)(у) (35.5)
для всех ж, у е G. Полагая N = ker ш, получаем
G « G/N. (35.6)
Соотношение (35.6) определяет n-кратное накрытие группы G, где п =
= card N. Поскольку группы G,G локально изоморфны, N есть дискретный
нормальный делитель группы G. Ясно также, что
N = kx(G). (35.7)
35.7. Предложение. Пусть G —связная топологическая группа, N —
дискретный нормальный делитель группы G. Тогда N с Z(G). В
частности, N в (35.6) есть центральный дискретный делитель группы G.
Доказательство. Для каждого aeN отображение fa(g) = gag~l есть
непрерывное отображение G —> N, для которого /а(е) = а. Из связности G
§ 35. СВЯЗНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 245
следует связность образа im fa в группе N. Из дискретности N следует,
что im fa сводится к единственной точке а. Следовательно, да = ад для
всех aeN, g€ G, т. е. NcZ(G).
Нижеследующая теорема определяет свойство универсальности однос-
вязных групп Ли в категории связных групп Ли (над полем F).
35.8. Теорема. Пусть С?, Н — две связные локально евклидовы группы
над полем F, где группа G односвязна. Тогда каждый локальный
гомоморфизм ipQ: G0->H, где G0 — окрестность точки eeG, однозначно
поднимается до гомоморфизма групп Ли <р\ G —> Я.
Доказательство. Если искомое продолжение существует, то оно
единственно. Действительно, G0 есть система образующих группы G
(п. 23.8) и каждый гомоморфизм ip: G-+H однозначно определяется своим
сужением на систему образующих, т. е. в данном случае своим сужением
Если G односвязна, то искомое продолжение <р можно построить с
помощью путей класса Ге. Заметим, что определение гомоморфизма <р вдоль
пути g(t) равносильно определению функции
h(t) = <p(g(t)) (35.8)
со значениями в группе Я. Изначально эта функция уже определена при
малых t (там, где (р = <р0). В общем случае определим е > О таким образом,
чтобы g(tx)~xg(t2) e G0 при \t{ - t2\ ^ е. Предположим, что функция (35.8)
уже определена при 0 ^ t ^ £0, где t0 = пе (п е N). Полагая t = t0 + 6, где
О ^ 6 ^ е, заметим, что
^(0 = ^(*о)Ы*о)-^(А) + *)).
Поэтому искомое продолжение функции h с необходимостью имеет вид
МО = М*о)(М*оГ1М*о + *))) (35.9)
где сомножитель в скобках определяется функцией ip0. Существенно,
что (35.9) не противоречит предшествующему определению функции h
(случай 6 < 0). Поэтому (35.9) однозначно определяет продолжение
функции h на отрезке [0, t0 + e].
Отсюда заключаем, после конечного числа шагов, что равенство (35.6)
определяет функцию h на всем отрезке [0,1]. Более того, значение
функции h на отрезке [t0, t0 + e] зависит только от значений функции g на этом
отрезке. Отсюда заключаем, что значение h(l) сохраняется при «малых
деформациях» пути g(t) (на отрезках [£0, tQ + e]).
Поскольку группа G односвязна, каждая пара путей g, g' e Ге с общим
концом #(1) гомотопна. Нетрудно видеть, что гомотопия д ~ д' сводится
к последовательному применению указанных выше «малых деформаций»
пути д. Отсюда следует, что соответствующие пути (35.8) имеют общий
конец h(l) = h'(l). В частности, равенство p(g(\)) = /i(l) не зависит от
выбора путей д е Гв с фиксированным концом д(1). Но это и означает., что
ip0 однозначно продолжается до гомоморфизма (р: G —► Я.
246
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
35.9. Следствие. Односвязная накрывающая G связной локально
евклидовой группы G определяется однозначно с точностью до
изоморфизма.
Действительно, пусть Gn G2 —две односвязные накрывающие группы G.
Тогда они локально изоморфны. Согласно теореме 35.8, этот локальный
изоморфизм однозначно продолжается до изоморфизма Gx « G2.
Односвязная накрывающая G группы G (определяемая с точностью
до изоморфизма) называется универсальной накрывающей группой
группы G.
Упражнения. 1. Если ip: GX->G — гомоморфное (кратное) накрытие
с дискретным ядром Nx = ker ip, то
7rl(G1) = 7r1(G)/ker^ (35.10)
(при естественном вложении ker ip с ^(G)).
2. Пусть G — группа Ли, Н — ее односвязная подгруппа Ли. В этом
случае односвязность группы G равносильна односвязности факторпростран-
ства G/H.
В заключение суммируем полученные выше результаты в применении к
связным группам Ли.
35.10. Теорема. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем F =
= R, С. Тогда имеем:
(i) Существует единственная, с точностью до изоморфизма,
односвязная группа Ли G, для которой g = Lie G.
(ii) Все связные группы Ли с алгеброй Ли g определяются с
точностью до изоморфизма соотношением (35.6), где N — дискретный
центральный делитель группы G.
(Ш) Отображение g = Lie G определяет эквивалентность категории
конечномерных алгебр Ли (над полем F) с категорией односвязных
групп Ли (над полем F).
Доказательство. Согласно теореме С. Ли (п. 34.5), существует
связная группа Ли G, для которой g = Lie G. Заменяя группу G ее
универсальной накрывающей G, получаем (i). Утверждение (ii) вытекает
непосредственно из результатов пп. 35.6, 35.7. Остается заметить, что в каждом
классе подобия локальных групп Ли существует лишь одна, с точностью до
изоморфизма, односвязная группа Ли. Соответственно, из теоремы 34.11
получаем (iii).
Замечание. Известен глубокий результат, представляющий собой
решение V проблемы Гильберта, согласно которому каждая локально
евклидова группа G есть в действительности группа Ли.
А именно, этот факт означает, что в группе G существует
аналитический атлас, относительно которого групповые операции группы G аналитич-
ны. Доказательство вместе с историческими комментариями можно найти
в [Кап].
§ 36. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 247
§ 36. Представления групп Ли
36.1. Постановка задачи. Если следовать формальной категорной
логике, то термин «G-модуль», где G — группа Ли, следует понимать в узком
смысле как аналитический G-модуль, т. е. модуль X с аналитическим
действием G хX —>X. Для того, чтобы понятие аналитичности пожеХ было
определено, следует также положить dim X < оо.
Однако, из теоремы Картана (п. 34.8) следует, что в этой ситуации
достаточно требовать непрерывность представления G —► End X (откуда следует
вещественная аналитичность модуля -X"). Поэтому естественно расширить
понятие G-модуля, рассматривая все (в том числе бесконечномерные)
топологические G-модули.
Итак, пусть G — группа Ли. Под представлением группы G в ТВП
X понимается всякое непрерывное представление группы G в
пространстве X. Таким образом, в этом определении аналитическая структура группы
G игнорируется. Соответственно, термин «G-модуль» означает
«топологический G-модуль».
Ниже мы увидим (п. 36.10), что в случае квазиполного G-модуля Х
аналитическая структура группы G в известной степени восстанавливается (на
всюду плотном подмодуле G-модуля -X").
В случае, когда поле F явно не оговаривается, мы считаем, что G —
вещественная группа Ли. С другой стороны, G-модуль Х удобно считать
комплексным. Действительно, это условие всегда может быть достигнуто
посредством комплексификации модуля X.
36.2. Дифференциалы. Пусть вначале (V,n) — конечномерный (и
потому вещественно аналитический) G-модуль. Для каждого о€д пусть
ga(t) = expta — однопараметрическая подгруппа группы G с касательным
вектором а. Полагая
На)=!щт\^ (36.1)
получаем касательный вектор 7г(а) (в точке 0) к однопараметрической
подгруппе 7r{ga(t)) в GL(F).
Заметим, что в этом определении можно заменить ga(t) произвольной
кривой g(t), проходящей через точку е при t = 0 и имеющей в этой точке
касательный вектор flr'(0) = а. Соответственно, 7г(а) совпадает с
касательным отображением Те7г: д—>ЦУ) к представлению 7г: G -> GL(V).
Полагая, в частности, g(t) = gXa(t), g(t) = ga(t)gb(t) и вычисляя
оператор (36.1), получаем
тг(Аа) = Атг(а), тг(а + Ъ) = тг(а) + тг(6) (36.2)
для всех А 6 R, а, Ь е 0, т. е. отображение а\-* 7г(а) линейно (над R). Полагая
</(£) = (&(£), gb(t))t где скобка означает групповой коммутатор (п. 29.1),
напомним, что
g(t) = e + t2[a,b] + o(t2),
где правая часть может рассматриваться как формальный ряд над д. С
другой стороны, в алгебре L(V) имеем
248
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Подставляя g(t) в (36.1) и переходя к параметру т= t2, получаем
[тг(а),7г(Ь)] = 7г([а,Ь]) (36.3)
для всех а, Ь е д.
Соотношения (36.2), (36.3) означают в совокупности, что
операторы (36.1) определяют представление алгебры g в пространстве V.
Полученное представление (7г, V) алгебры g называется дифференциалом исходного
представления (эт, V) группы G в пространстве V.
До сих пор мы не использовали общий вид однопараметрической
подгруппы в GL(V) (п. 25.6). Применяя в нашем случае формулу (25.6), получаем
т(зв(*)) = е'*<0) (36.4)
для всех teR. Отсюда ясно, что представление (эт, V) группы G однозначно
восстанавливается по своему дифференциалу в окрестности Q точки eeG
(п. 34.10).
Если группа G комплексна и представление (7г, V) голоморфно, то
определение (36.1) можно распространить на комплексные значения
параметра t. В этом случае (36.2) выполняется для всех А £ С, т. е.
представление (36.1) комплексно линейно. Обратно, если дифференциал (36.1)
комплексно линеен, то равенство (36.4) влечет голоморфность исходного
представления группы G в точке е, но тогда (по однородности) и на всей
группе G.
Если группа G односвязна, то для каждого представления (эт, V)
алгебры g операторы (36.4) однозначно продолжаются (по теореме 35.8) до
представления (7г, V) группы G с дифференциалом (36.1).
Полученный результат означает, что каждый G-модуль V (dim V < оо)
можно автоматически рассматривать как g-модуль. Если, группа G одно-
связна, то можно отождествить понятие G-модуля с понятием д-модуля
(g = LieG).
36.3. Предложение. Пусть G —группа Ли, g = Lie G —-ее алгебра Ли.
Тогда имеем в категории конечномерных G-модулей:
(a) VGVcVBVt HomG(V}W)cHom9(V,W).
(/3) Если группа G связна, то каждое из включений (а) есть
равенство.
(7) Если группа G односвязна, то категория конечномерных
G-модулей эквивалентна категории конечномерных д-модулей.
Доказательство. Если V конечномерно, то каждое
подпространство V0cV замкнуто. Поэтому каждый подмодуль VQeVGV выдерживает
операцию дифференцирования (36.1), т. е. V0eVgV. Аналогично
проверяется второе включение (а).
Если группа G связна, то равенство (36.4) (сходимость в топологии
пространства V) позволяет получить включения, обратные к (а). Отсюда
следует (13).
Если группа G односвязна, то ((3) определено для всех g-модулей VJ W
(п. 36.2). Отсюда следует (7).
§ 36. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 249
Упражнения. 1. Для каждого конечномерного G-модуля V имеем:
VG с V (36.5)
(относительно определений пп. 7.4, 16.2). Если группа G связна, то
VG=V*.
2. Для каждой пары V, W дифференциал G-модуля V®W (п. 7.4)
совпадает с д-модулем V ® W (п. 16.2).
36.4. Следствие. Если группа G комплексна и односвязна, то
категория ее голоморфных (конечномерных) G-модулей эквивалентна
категории конечномерных ^-модулей.
36.5. Автоморфизмы. Говорят, что группа G действует
автоморфизмами алгебры А, если задано представление (я*, А) группы G со
значениями в Aut А, т. е.
9(ху) = gx-gy (36.6)
для всех geG, ж, у € А.
В частности, пусть dim А <оо. Полагая в (36.6) g = ga(t) и переходя к
касательным векторам, получаем
а(ху) = ах • у + х • ау (36.7)
для всех g€g, ж, у G А, т. е. а€ D(A).
Обратно, если (36.7) выполняется, то из равенства (36.4) и формулы
Лейбница (8.11) получаем (36.6) для элементов g e ft, но тогда и для всех
g e Ge (п. 23.8). Если группа G связна, то (36.6) выполняется для всех
geG.
Если группа G односвязна, то формула (36.4) поднимает каждое
действие (36.7) алгебры g до действия (36.6) группы G. В этом смысле категория
всех представлений G —> Aut А эквивалентна категории всех представлений
B-*D(A).
Упражнения. 1. Если G=Aut А, то q = D(A). [Указание: для
каждого aG D(A) операторы
p(t)x = etaxe~to, (36.8)
где хеА, содержится в Aut А.]
2. Пусть А — ассоциативная алгебра, dim A < оо. Подгруппа Aut0A,
порожденная внутренними автоморфизмами
ot{g)x = gxg"{, (36.9)
где g — обратимый элемент алгебры А, есть связная компонента единицы в
Aut А. [Указание: подгруппа Aut0A связна и содержит окрестность единицы
в Aut А.]
36.6. Присоединенное представление. Пусть G — группа Ли. Для
каждого %eG преобразование
(AdgQ)g = g0gg^1 (36.10)
250
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
есть внутренний автоморфизм группы G, сохраняющий классы
эквивалентности гладких кривых, проходящих через точку е. Соответствующее
касательное преобразование Ad %: g —► g может быть записано в виде
(Ad д0)х = sbxg^1, (36.11)
относительно двустороннего действия группы G, определенного в п. 34.9.
Повторяя рассуждения п. 36.5 (с использованием групповых
коммутаторов в группе G), находим, что дифференциал представления (36.11)
совпадает с присоединенным действием (ad а)х = [а, х] в алгебре д.
Представление (36.11) называется присоединенным представлением
группы G. Замкнутая подгруппа Ad g, порожденная операторами exp(ad a),
где а € д, называется присоединенной группой алгебры д.
Согласно общей схеме, изложенной в п. 36.5, имеем
DQ(g) с Lie(Ad g) С Lie(Aut g) = £>(д), (36.12)
где Д>(в) — идеал в D(g), состоящий из операторов ad а (а Eg).
Заметим, что группа Adg связна. Если D0(g) = D(g), т. е. все
дифференцирования алгебры g внутренние, то Lie(Adg) = .D(g). В этом случае Adg
есть связная компонента единицы группы Aut g.
Пример. Если алгебра g полупроста, то D0(g) = D(g) (п. 20.4). Более
того, в этом случае присоединенное представление (ad, g) точно (з(д) = 0).
Отсюда заключаем, что Lie(Ad g)« g.
Упражнение. Ядро представления (Ad,g) в группе G совпадает с
централизатором Ze(G) связной компоненты единицы Gt группы G. Если
группа G связна, то это ядро совпадает с Z(G).
36.7. Полупрямое произведение. Пусть G, Я —две группы, a: G-+
—►AutЯ —действие группы G автоморфизмами группы Я. Полагая
(9и M(ft> M = (Pifti h\' аЫМ* (36.13)
получаем (как легко проверить) ассоциативное умножение в G х Я. Ясно
также, что
(ftfc)-1-^1,*^)-1*). (36.14)
Полученная группа G х Я обозначается GxaH и называется
полупрямым произведением групп G, Я (относительно действия а). Отождествляя
группы G, Я с соответствующими компонентами (подгруппами) в G х Я,
находим, что Я есть нормальный делитель группы GxaHt факторгруппа
по которому изоморфна группе G.
Если G — группа Ли, Я — ее подгруппа Ли и а: G -► Aut Я есть морфизм
групп Ли, то GxaH есть также группа Ли. Очевидно, в этом случае
Ue(Gxeff)-gxeftf (36.16)
где правая часть означает полупрямое произведение алгебр Ли g = Lie G,
[) = Lie Я, относительно действия а: д—► D(l))t определяемого
дифференциалом действия а в Aut Я (п. 20.6).
§ 36. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 251
Отсюда ясно, что для каждого полупрямого произведения алгебр Ли gxaf)
существует односвязная группа Ли GxaH, удовлетворяющая (36.15).
Действительно, пусть G (соответственно, Н) — односвязная группа Ли с
алгеброй Ли g (соответственно, {>)• Согласно теореме 35.8, локальное действие
a: g —> D(\j) поднимается до морфизма групп Ли a: G —► Aut H.
Соответственно, в этом случае выполняется (36.15).
36.8. К теореме С. Ли (п. 34.5). Как отмечено в п. 34.5, теорема
С. Ли выполняется для всех коммутативных и всех полупростых (и потому
для всех редуктивных) алгебр Ли.
Если алгебра g не редуктивна, то она по теореме Леви (см. также
упражнение в п. 30.6) представима в виде полупрямого произведения sxat,
где s, t — алгебры Ли меньшей размерности. Применяя допущение
индукции (по размерности) и используя (36.15), находим, что теорема С. Ли
выполняется для каждой алгебры g (dim g < оо).
36.9. Пространство Гординга. Пусть G — группа Ли, X —
произвольный (не обязательно конечномерный) топологический G-модуль. Вектор
х е X называется дифференцируемым, если вектор-функция х(д) = дх
дифференцируема на группе G.
Аналогично, вектор х называется к-гладким, если вектор-функция х(д) =
= дх есть функция класса С* (к = 0,1,..., оо, ш). Если к = оо
(соответственно, к = и>), то вектор х называется бесконечно дифференцируемым
(соответственно, аналитическим).
Заметим, что дифференцируемость вектор-функции х(д) = дх в точке
е € G равносильна существованию производных этой функции по всем
направлениям a 6 g (g = Lie G). Из равенства
9(9оЯ) = 9о(9£199о)х
следует, что свойство дифференцируемости наследуется каждым вектором
9ох ($)€ G). Полагая в этом равенстве g = ga(t) и вычисляя касательные
векторы, получаем
а(Я>я) = fttf х,
где a! = (Adg0)~la. Соответственно, %ax = dg0x, где d = (Ad д0)а. Полагая
в этом равенстве #> = &(*) и вычисляя касательные векторы, находим, что
вектор ах (а е g) также дифференцируем.
Отсюда заключаем (индуктивно), что каждый дифференцируемый вектор
хеХ бесконечно дифференцируем.
Пространство X00 всех дифференцируемых (бесконечно
дифференцируемых) векторов х е X называется подпространством Гординга G-мо-
дуля X.
Согласно сказанному выше, подпространство Гординга X00 есть
подмодуль G-модуля Х, в котором также определено действие алгебры g
(дифференциал G-модуля Х).
Таким образом, для каждого G-модуля Х определен его дифференциал в
подпространстве Х°°.
252
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Если X = Х°°, то G-модуль Х называется дифференцируемым.
Аналогично, если X =ХШ, где Хш — подпространство всех аналитических
векторов х € Ху то G-модуль Х называется аналитическим.
Если G — комплексная группа Ли и вектор-функция x(g)~gx голоморфн-
ма, то вектор х € X называется голоморфным. Если каждый вектор модуля
X голоморфен, то модуль X также называется голоморфным.
Пример. Все указанные определения можно отнести к слабой
операторной топологии в В(Х), определяемой полунормами
P^(a) = K«B»»>li (36.16)
где а€В(Х), хеХ, у€X'. Соответственно, в этом случае используются
термины «слабая дифференцируемость», «слабая голоморфность» и т. д.
Упражнения. 1. Пространство C°°(G) есть дифференцируемый
левый (правый) G-модуль.
2. Если G — компактная группа, то подпространство C°°(G) совпадает с
подпространством Гординга в L2(G).
36.10. Предложение. Если X —квазиполный G-модуль, то его
подпространство Гординга Х°° всюду плотно в X.
Доказательство. Поскольку группа G локально евклидова,
интегралы (27.10) определены (как интегралы Римана) в пространстве X.
Следовательно, алгебра А = C0°°(G) действует в пространстве X. Полагая gQ e G,
/ 6 А, х е X и используя левую инвариантность меры Хаара в группе G,
получаем (в модульной записи)
Sb/z= J f(9)g09xdg= \ f(gol9)gxdg,
т- е. go(fa) = (g0f)x относительно действия (g0f)(g)=zf(golg) в алгебре А.
Полагая в этом равенстве 5Ь = <7а(0 и вычисляя касательное действие,
получаем
a(fx)=(af)x
для всех абд, f €А, хеХ (здесь /i-+ af — дифференциал представления
/ *""* 9of в алгебре А). Отсюда заключаем, что АХ с Х°°.
Согласно предложению 27.11, АХ всюду плотно в X. Следовательно, X00
всюду плотно в X.
Замечание. Если X — банахово пространство, то Хш также всюду
плотно в X. См., например, [Гор].
Пример. Если dim X < оо, то Хш = Х°° = X.
§ 37. Примеры, упражнения
37.1. Линейные группы. Согласно теореме Картана (п. 34.7), каждая
замкнутая подгруппа G с GL(n) над полем F = R, С есть вещественная
группа Ли.
В излагаемых ниже примерах нам нет необходимости пользоваться
теоремой Картана. Тот факт, что рассматриваемые подгруппы в GL(n) суть
§ 37. ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ 253
группы Ли, гораздо проще вывести, например, из существования матричной
экспоненты ехр х = еж, определенной в L(n) = Mat(n, F).
В частности, группа GL(n), выделяемая в Цп) условием
невырожденности (detgф0) элементов geL(n), есть открытое подмножество в L(n),
т. е. многообразие, составленное из единственной карты, с декартовыми
координатами д = (ду). Очевидно, групповые операции в GL(n) аналитич-
ны, так что GL(n) есть группа Ли (комплексная при F = С, вещественная
при F = R).
Полагая, например, д(х) = е + ж, получаем локальные координаты в
окрестности единичной точки е е GL(n). Откуда ясно, что касательная
алгебра Ли gl(n) = Lie GL(n) совпадает с Цп) по запасу элементов.
Вычисляя групповой коммутатор элементов д(х), д(у), получаем выражение
xy — yx + o(3)f откуда следует, что умножение в fll(n) определяется
коммутатором [ж, у] = ху — ух.
Если F = С, то группа GL(n) связна. Действительно, это верно при п = 1
(GL(1)«CJ. В общем случае имеем
GL(n)/GL(n-l)«Fn.
Согласно общему правилу (упражнение 2 п. 23.8), из связности Fn
и связности GL(n — 1) (индуктивное предположение) заключаем о
связности GL(n) для всех значений п.
Если F = R, то группа GL(n) распадается на две связные
компоненты GL±(n), в соответствии со знаком детерминанта det g e R± (R_ = -К+).
Для описания однопараметрических подгрупп группы GL(n)
используются экспоненциальные координаты ехр х = еж, определенные в некоторой
окрестности ft точки е € GL(n). Напомним (п. 25.6), что общий вид одно-
параметрической подгруппы в GL(n) есть
&(*) = е-,
где t €f, xGfll(n).
Упражнения. 1. Группа GL(n,С) неодносвязна, группа GL+(n,R)
односвязна для всех значений п.
2. Экспоненциальное отображение накрывает GL(n, С), но не
накрывает GL+(n, R). [Указание: рассмотрите матрицы вида Ае (A е R).]
3. Запишите однопараметрическую подгруппу
/ cost sint\
yv ' V — sin t cost У v '
в экспоненциальной форме.
4. Определим левое регулярное представление группы G = GL(n) по
правилу (gf)(x) = f(g'x) (д*~* д' — транспонирование). Проверьте, что
дифференциал этого представления определяется по правилу
еу = £*<Ля (37-2)
к
254
Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
37.2. Группа SL(n). Подгруппа SL(n) с GL(n) выделяется условием
det д = 1. Полагая П{ = £1П SL(n) и используя тождество
det(e*) = etr*, (37.3)
находим, что окрестность С1Х обладает локальными координатами (37.3) при
trx = 0. Ясно также, что окрестности gti{ (geSL(n)) образуют
аналитический атлас в SL(n). Отсюда следует, что SL(n) есть группа Ли с
алгеброй Ли
sl(n) = {х е gl(n): trx = 0}.
Повторяя рассуждения п. 37.1, находим, что группа SL(n) связна и од-
носвязна для всех значений п.
Напомним также (п. 26.9), что группа SL(n) унимодулярна, т. е. обладает
двусторонне инвариантной мерой Хаара.
37.3. Группа 0(/). Фиксируем билинейную форму / в пространстве
V &Fn, и пусть 0(/) — подгруппа в GL(n), сохраняющая форму /.
Записывая / в виде (27.3), находим
0(/) = {де GL(n): g'ag = а}. (37.4)
Полагая С12 = О П 0(/), находим, что окрестность Q2 обладает локальными
координатами (27.3), где х'с+ах=0. Ясно также, что окрестности д£12 (де
е 0(f)) образуют аналитический атлас в 0(/). Отсюда заключаем, что 0(/)
есть группа Ли с алгеброй Ли
o(f) = Lie0(/) = {жб gl(n): x'a + сгх = 0}.
Повторяя рассуждения п. 22.1, находим, что при изучении групп 0(/)
достаточно ограничиться случаями, когда форма / симметрична или
антисимметрична.
37.4. Группа О(п). Выбирая в пространстве V стандартную билинейную
форму (22.2), получаем ортогональную группу О(п), выделяемую в GL(n)
условием д'д = е. Соответственно,
о(п) = Lie O(n) = {х е gl(n): х' + х = 0}.
Согласно определяющему условию д'д — е, имеем (detflr)2 = l для всех
д€0(п), откуда ясно, что О(п) есть объединение двух подмножеств 0±(п),
определяемых по знаку детерминанта det g = ±1.
Легко проверяется (упражнение), что группа 0+(п) связна при п ^ 2.
Следовательно, О(п) есть объединение двух связных компонент 0±(п).
Подгруппа 0+(п) (как пересечение подгрупп O(n), SL(n)) обычно
обозначается SO(n).
Заметим, что группы O(n), SO(n) локально изоморфны. Поэтому
естественное обозначение so(n) = Lie SO(n) отождествляется с о(п).
Существенно, что группа SO(n) неодносвязна. Вскоре мы увидим, что
группа SO(n) обладает двулистным односвязным накрытием.
§ 37. ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ 255
Упражнение. Группа SO(n) порождается однопараметрическими
подгруппами &,(£), определяемыми по правилу (37.1) в подпространстве
1Л. = Fe{ ф Fejf где гфз (вращение в плоскости V^). [Указание:
соответствующие касательные преобразования определяются по правилу а^ек = 0
при к ф г, У, а^е{ = ejf a^ = -е,.]
37.5. Группа Sp(n). Выбирая в пространстве V невырожденную косо-
симметрическую билинейную форму (22.6) (случай n = 2fc), получаем в
качестве 0(/) симплектическую группу Sp(n). Повторяя предыдущие
рассуждения, находим, что Sp(n) есть группа Ли с алгеброй Ли
sp(n) = {х е flt(n): х'а + ах = 0},
где а — матрица коэффициентов билинейной формы (22.6).
В частности, при п=2 билинейная форма (22.6) принимает вид х1у2-х2у1.
Условие сохранения этой формы преобразованием д е GL(ra) сводится к
условию det д = 1. Отсюда заключаем, что Sp(2) = SL(2).
Упражнение. Группа Sp(n) связна и односвязна для всех (четных)
значений п.
37.6. Группа U(n). Фиксируем скалярное произведение (5.4) в
пространстве Сп, и пусть U(n) — унитарная группа, состоящая из всех
унитарных матриц д е GL(n), сохраняющих (5.4) (д*д = е). Повторяя
предыдущие рассуждения, находим, что U(n) есть вещественная группа Ли
(вещественная подгруппа в GL(n)) с алгеброй Ли
u(n) = Lie Щп) = {х е Ql(n): х* + х = 0}.
Положим также SU(n) = SL(n) П U(n). Ясно, что SU(n) есть группа Ли с
алгеброй Ли
su(n) = {х е u(n): trx = 0}.
Заметим, что U(2)«T (единичный тор), так что группа U(2) связна, но не
односвязна. В то же время SU(2) = {e}. Применяя, как и выше, индукцию
по п, заключаем, что группы U(n), SU(n) связны для всех значений п,
группа SU(n) односвязна для всех значений п.
37.7. Кватернионы. Пусть И — тело вещественных кватернионов, т. е.
алгебра над полем R с базисом е$ (единица), еп е^ % и с законом умножения
е. = —^о, е.е^ = — е3е- = ел,
где индексы г, j\ к образуют циклическую перестановку индексов 1,2,3.
Сопоставим каждому кватерниону х е И квадратную матрицу
/ Xq + гхъ х{ + ix2
х — i
где х. — координаты элемента х относительно базиса е. (г =0,1,2,3).
Легко проверить, что это отображение есть изоморфизм, т. е. алгебра Н
изоморфна алгебре матриц (37.5), с вещественными ж,, (г =0,1,2,3).
Заметим, что
det х = х* + х? + х* + а£. (37.6)
(37.5)
256 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Операция ж. н-» -ж. (г = 1,2,3) совпадает с эрмитовым сопряжением
матриц (37.5) и переводит каждый кватернион ж е Ш в сопряженный
кватернион ж*, для которого
хх* = ж* ж = (det х)ец.
Отсюда ясно, что Н есть тело. Действительно, если х ф О, то det х Ф О
(согласно (37.6)), так что ж-1 = (det ж)"1 ж*. Заметим также, что алгебра
матриц (37.5) совпадает с R+ • U(2).
Переходя к комплексным координатам, находим, что алгебра К = Н ©
©Ш изоморфна алгебре L(2) = Mat(2, С). Полагая G = SL(2), находим, что
равенство
т(а,Ъ)х = ахЬ~1 (37.7)
определяет в К структуру G-бимодуля. Согласно (37.6), группа G х G
действует в К ортогональными преобразованиями, т. е. равенство (37.7)
определяет гомоморфизм
т: GxG->SO(4). (37.8)
Здесь мы воспользовались связностью группы G, из которой следует, что
образ отображения (37.7) связен, т. е. содержится в связной компоненте
единицы группы 0(4).
Заметим, что алгебры Ли gxg, sp(4), где g=sl(2), имеют одинаковую
размерность (=6). Следовательно, образ отображения (37.8) содержит
некоторую окрестность единицы в S0(4). Поскольку каждая такая окрестность
порождает S0(4) (п. 23.8), мы находим, что отображение (37.8) есть
накрытие.
Соотношение т(а, Ь) = 1 означает, что ах = хЬ для всех ж е Н, но
тогда и для всех ж 6 R, что возможно только при а= Ь = Ае, где А2 = 1.
Следовательно, ядро отображения т состоит из пар ±(е, е). Отсюда
заключаем, что (37.8) есть двукратное накрытие. Поскольку группа G = SL(2)
односвязна (п. 37.2), мы находим, что (37.8) есть двукратное односвязное
накрытие группы S0(4) = S0(4, С).
Заменяя в (37.7) группу G ее подгруппой U=SU(2), получаем двукратное
односвязное накрытие
г: UxU^S0(4,R).
Полагая в (37.7) а=Ь, заметим, что это действие сохраняет гиперплоскость
а\) = Ов алгебре К (в подалгебре Н). Отсюда получаем следующие
двукратные односвязные накрытия:
G-+S0(3,C), U^S0(3,R).
Упражнение. Проверьте, что каждый автоморфизм тела Н,
сохраняющий скалярный квадрат (37.6), имеет вид ж н* ажа~\ где ае SU(2).
37.8. Группа Spin(n). Результаты п. 37.7 переносятся на все
ортогональные группы SO(n). В общем случае роль кватернионов играет алгебра
Клиффорда Кп (п. 12.7).
§ 37. ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ 257
Пусть G = G(Kn) — группа обратимых элементов алгебры Knt G{ —
подгруппа элементов, сохраняющих линейную оболочку Еп элементов et
(п. 12.7), относительно преобразований
т(9)х = дхд~1, (37.9)
где д е G. Связная компонента единицы G0 группы Gx обозначается
Spin(n) и называется спинорной группой, ассоциированной с Кп.
Напомним (п. 12.7), что
х = (ж, х)е§,
где (•, •) — стандартная билинейная форма в пространстве Еп. Отсюда
следует, что (37.9) индуцирует ортогональное преобразование в Еп. Учитывая
связность, получаем гомоморфизм
т: Spin(n) -> SO(n). (37.10)
Напомним, что касательное преобразование к (37.9) в точке е совпадает
с коммутатором т(а)х = ах-ха, где а, хеКп. Легко проверяется (из закона
умножения в алгебре Кп), что
{0 при к ф г, у,
2еу при к = г, (37.11)
-2еу при к = j\
где i ф j. Сопоставляя это действие с общим правилом, отмеченным в
упражнении п. 37.4, находим, что образ касательного отображения
содержит so(n) = Lie SO(n). Отсюда получаем, что (37.10) есть накрытие.
Если т(д) = 1, то д содержится в центре алгебры Кп. Напомним
(п. 12.7), что этот центр конечен. Иначе говоря, (37.10) есть конечнократ-
ное накрытие.
Используя (37.11), легко проверить, что группа Spin(n) содержит элемент
ехр(е1е2) = -е0. Поэтому кегт содержит элементы ±е$. Соответственно,
кратность накрытия (37.10) ^ 2. С другой стороны, используя цепочку
S0(n)/S0(n-l)«5n-\
напомним (п. 35.2), что сфера Sn односвязна при n ^ 2. Напомним
также (п. 37.7), что 7r,(SO(3)) = Z2. Отсюда следует (индукцией по п), что
кратность накрытия (37.10) не может быть больше 2. Соответственно, эта
кратность равна 2.
В результате получаем, что группа Spin(n) односвязна, группа SO(n)
двусвязна для всех значений п ^ 2, т. е.
MSOfn)) = Z2
для всех значений п ^ 2.
Мы отметим в п. 49.8 другое доказательство этого утверждения (без
использования алгебры Клиффорда), основанное на теории представлений
группы SO(n).
18 Зак. 184
258 Глава 5. ГРУППЫ ЛИ
Нижеследующий сюжет относится к теории многообразий (§31).
Перенос этой темы в конец главы связан с нежеланием нарушать изложение,
ориентированное на теорию групп Ли.
37.9. Алгебра DiffM. Пусть М— гладкое многообразие (класса С°°).
Определим подпространство Dk(M) с End C°°(M) по правилу
Dk(M) = {ae End C°°(M): [a, DQ(M)] с Dk_{(M)}, (37.12)
где к е Z+, D0(M) — подалгебра в End C°°(M), составленная из операторов
умножения / н-» gf, где /, д € С°°(М).
Очевидно, последовательность Dk(M), где к €Z+, не убывает. Легко
проверяется (индукцией по fc, r), что
Dk(M)D,(M)cDk+r(M)
для всех fc, r e Z+. Отсюда следует, что векторное пространство
DiffM= U Dk(M)
есть алгебра (подалгебра в End C°°(M)).
Легко проверяется, что элементы aeDk(M) в локальных
координатах суть дифференциальные операторы (порядка < к). Соответственно,
DiffM называется алгеброй дифференциальных операторов на
многообразии М.
Аналогично, пусть М — алгебраическое многообразие. В этом случае
DiffM определяется по прежнему правилу (37.12), с заменой С°°(М)
на Р(М).
Упражнения* 1. Пусть М — регулярное алгебраическое
многообразие (п. 31.9). Докажите, что Р(М) есть простой (даже абсолютно простой)
Diff М-модуль.
2. Если каждая неприводимая компонента многообразия М регулярна, то
Р(М) есть полупростой Diff М-модуль.
Соответственно, в Р(М) выполняется теорема плотности (п. 9.9).
Заметим также, что Diff V есть алгебра Вейля (п. 14.2).
Комментарии к главе 5
Теория групп Ли создана Софусом Ли из желания перенести теорию
симметрии Галуа с алгебраических уравнений на уравнения в частных
производных. Излишне говорить, что этот проект далек от завершения. Тем не
менее, мы имеем теорию групп Ли как одно из достижений классической
математики.
Фактически Софус Ли имел дело с локальными группами Ли.
Центральное место в теории занимает построение (хотя бы локальной) группы Ли
по данной конечномерной алгебре Ли (над полем F = R, С). В
оригинальной версии Софуса Ли этот процесс сводится к построению интегрального
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 5 259
многообразия некоторой системы дифференциальных уравнений.
Интересно отметить, что критерий совместности этой системы выражается именно
в терминах алгебр Ли (теорема Фробениуса). С таким дифференциально-
геометрическим подходом читатель может познакомиться, например, по
монографиям [Сте; У1].
Альтернативный метод изложения, выбранный в этой книге, основан на
методах функционального анализа (биалгебры, формальные группы).
Существенно, что при этом подходе выявляется роль биалгебр в теории групп и
алгебр Ли.
В § 36 изложена лишь прелюдия теории бесконечномерных G-модулей,
где G — группа Ли. Мы отмечаем здесь лишь общий феномен, согласно
которому аналитическая структура групп Ли частично проявляется в теории
топологических G-модулей.
Теория локально компактных групп сводится в известной степени к
теории групп Ли (см., например, [Кап]). А именно, каждая связная локально
компактная группа G может быть представлена в виде «проективного
предела» некоторого семейства связных групп Ли. Последнее означает, что G
содержит семейство нормальных делителей N{ (i G /), сколь угодно близких
к единице, для которых Gt = G/N. есть группа Ли.
18*
Часть III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Глава 6
ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Специфика теории полупростых алгебр Ли над полем F
характеристики 0 определяется наличием в этих алгебрах невырожденной инвариантной
билинейной формы (форма Киллинга). Мы уже использовали это
свойство при доказательстве теоремы Г. Вейля о полной приводимости (п. 20.2).
Дальнейшее применение этого метода приводит к полной классификации
полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F
(характеристики 0).
Мы ограничимся в этой главе описанием полупростых комплексных
алгебр Ли. Помимо этого, будут рассматриваться «допустимые» g-модули
(известные в просторечии как «модули со старшим весом»). Универсальные
модули этой категории (модули Верма) имеют определенную аналогию с
простыми допустимыми модулями над алгебрами Вейля (§ 14). Категория
допустимых g-модулей (категория О) содержит, в частности, все
конечномерные д-модули.
Описание (с точностью до изоморфизма) простых конечномерных д-мо-
дулей излагается в § 41. В свою очередь, эти результаты применяются к
исследованию универсальной обертывающей алгебры U(g) (§ 42). В § 43
излагаются более специальные вопросы, связанные с исследованием
универсальных модулей Верма.
§ 38. Картановские подалгебры
38.1. Обозначения. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли
(dimg<oo). Напомним, что подалгебра fy С g называется картановской
подалгеброй алгебры д, если она нильпотентна и совпадает со своим
нормализатором в алгебре g (п. 18.3).
Согласно теореме 18.6, картановские подалгебры всегда существуют.
А именно, для каждого регулярного х е g его нильпространство
f, = flo(x) (38.1)
§ 38. КАРТАНОВСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ 261
(относительно (ad, g)) есть картановская подалгебра алгебры д. Элемент х е
eg называется регулярным (п. 18.5), если оператор ad x имеет минимально
возможную кратность нуля в алгебре д, т. е. наименьшую размерность
l(x) = dimg0(x). (38.2)
Число rankg = min l(x) называется рангом алгебры д.
Напомним также, что с каждой картановской подалгеброй \) алгебры g
связано регулярное разложение Фиттинга
0 = f>e£fla, (38.3)
а€Д
где Д = Д(д, I)) — система всех (ненулевых) корней алгебры д
относительно Ь» 0« — корневое подпространство, отвечающее корню а е Д.
В теории полупростых алгебр Ли принято называть корнями только
ненулевые корни. Соответственно, система Д = Д(д, f)) называется системой
корней алгебры д относительно картановской подалгебры f).
Допустим вначале, что F — произвольное поле.
38.2. Лемма. Множество R(q) всех регулярных элементов алгебры g
открыто и всюду плотно относительно топологии Зарисского в
алгебре д. То же верно в стандартной (евклидовой) топологии при F = R, С.
Если F =С, то Д(д) связно.
Доказательство. Пустьpe(A)=det(A — adx) — характеристический
полином оператора ad x:
А(А)=ЁФ)А', (38.4)
где n = dimg, r = rankg, аДж) — однородный полином от х е g (согласно
определению ранга, аДх) = 0 при г < г), ап(ж) = 1. Отсюда
Д(в) = в\Л(0).
где JV(g) — алгебраическое многообразие в д, выделяемое уравнением
аг(х) = 0. Следовательно, R(g) открыто. Ясно также, что N(g) не содержит
ни одной внутренней точки (в противном случае аг(ж) = 0). Следовательно,
R(g) всюду плотно в д. Более того, каждая прямая, соединяющая точки
ж, у е R(g), пересекается с iV(g) лишь в конечном числе точек. Если F =С,
то отсюда следует (линейная) связность множества i?(g).
38.3. Теорема. Если g — комплексная алгебра Ли, то каждая
картановская подалгебра \) алгебры g имеет вид (38.1), где xeR(a). Более
того, каждые две картановские подалгебры алгебры g сопряжены
между собой относительно группы Ad g (n. 36.6).
Доказательство. Фиксируем картановскую подалгебру f)Сg и
покажем, что f)fli?(g) непусто. Согласно теореме С. Ли (п. 17.4), действие
ad f) в пространстве V = g/l) треугольно, т. е. может быть записано в виде
(ad х)е{ = а{(х)е{ mod V{_, (38.5)
262 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
относительно некоторого базиса е{ (г = 1,..., п) с инвариантным флагом
V{ = F{e,,..., е-}. Элемент ж Eg регулярен тогда и только тогда, когда
а{(х)фО для всех г = 1,..., п.
Покажем, что линейные формы а- (г = 1,..., ш) отличны от нуля.
Если это верно для индексов 1,..., i — 1, то полином р(х) = а,(ж)... а{_х(х)
отличен от нуля, и потому существует х е I), для которого р(х) ф 0.
Если а{ =0, то а,(ж) = 0. Отделяя нулевое собственное значение оператора
ad х в пространстве Vit можем считать, что (ad x)e{ = 0, так что е, € 0о(ж),
где flo(x)= 0о(ж)Л) — образ д0(ж) в пространстве V. Одномерное
подпространство Се{ = до(а;)п V{ инвариантно относительно ad t). Согласно (38.5),
отсюда следует, что (ad Ц)е{ =0, т. е. [I), е{] С I), где е{ — произвольный
представитель элемента е. в алгебре д. Поэтому ei €n(f)) = f), т. е. е{ = 0, что
невозможно. В результате а. ф О (»' = 1,..., п), так что I) П R(д) ^ 0.
Положим X = f> П Л(д), и пусть F = GX — орбита множества X
относительно группы G = Ad д. Иначе говоря, Y есть образ отображения
А*(<7> х) = ДО» где 5 е G, ж € X. Для вычисления касательного отображения
Те(/л) в точке е = (е, ж) заметим, что
g = f>e(adz)g (38.6)
(ввиду регулярности ж). Нетрудно видеть, что образ Te(ii) содержит обе
компоненты в (38.6). А именно, это следует из равенства t) = ТХХ и
рассмотрения касательных векторов (ad у)ж = —(ad х)у к кривым [ехр(£ ad y)]x
при t=0.
Отсюда заключаем, что отображение /х невырождено в точке (е, ж), т. е. Y
содержит некоторую окрестность точки /z(e, ж) = ж. Аналогично, используя
левые сдвиги на G, находим, что Y содержит окрестности всех своих точек,
т. е. Y открыто.
Согласно лемме 38.2, R(g) всюду плотно в д. Поэтому УпЯ(д)^0,
т. е. Y содержит некоторый регулярный элемент Хц. Заменяя, если надо, Xq
на дхц, можем считать, что Хц е Х> т. е. Хц е f). Применяя теорему 18.6,
получаем J) = д0(аъ).
Остается заметить, что Л(д) распадается на открытые классы вида Yb =
= GXb, где I) пробегает множество взаимно несопряженных
(относительно G) картановских подалгебр алгебры д. Поскольку R(g) связно
(лемма 38.2), число этих классов сводится к единице, т. е. все картановские
подалгебры t) с g сопряжены между собой относительно группы G.
Упражнение. Докажите, что первая часть теоремы выполняется
также для вещественных алгебр Ли. Более того, вещественная алгебра Ли g
имеет лишь конечное число классов сопряженности (относительно Adg)
картановских подалгебр t) С д.
Примеры. 1. Каждая картановская подалгебра \) алгебры g[(n,С)
сопряжена диагональной подалгебре f)(n) (п. 17.10).
2. Регулярные элементы
не сопряжены в я[(2, R).
§ 38. КАРТАНОВСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ 263
3. Все картановские подалгебры алгебры sl(2, R) одномерны и сопряжены
одной из подалгебр Rx, Ry.
38.4. Теорема. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли.
Тогда имеем:
(а) Каждая картановская подалгебра \) алгебры g коммутативна и
ее действие ad f) диагонально в алгебре д.
(/3) Сужение формы Киллинга на подалгебру I) и на каждое
подпространство да ©д_а (а € Д) невырождено.
Доказательство. Заметим, что (/?) вытекает непосредственно из
соотношений ортогональности (18.5) и невырожденности формы Киллинга
алгебры д. Перейдем к доказательству (а).
Согласно критерию Картана (теорема 18.9), имеем f)-L[f), J)] относительно
формы Киллинга в подалгебре f). Поскольку эта форма невырождена, мы
находим [I), ЭД = 0, т. е. подалгебра I) коммутативна.
Поскольку алгебра g полупроста, ее присоединенное представление
точно, т. е. можно считать, что g = ad g (подалгебра в End g). Фиксируем х е f) и
положим ж= 8+е в обозначениях 3.8, где оператор 8 диагоналей, оператор
е нильпотентен и 8е = е8. Используя упражнение 1 п. 3.8 (см. также конец
п. 4.3), находим [5, у] = [е, у] = 0 для всех у el). В частности, <5, е Е n(f)),
откуда 5, е е I). Условие [е, у] = 0 влечет нильпотентность оператора z = ye,
откуда (у, е) = tr z = 0 для всех у е I). В результате е = 0, ж = 5, и мы
заключаем, что действие ad t) диагонально в алгебре д.
38.5. Следствие. Каждая картановская подалгебра f) С g
максимальна в классе коммутативных подалгебр алгебры д.
Действительно, из равенства t) = n(f)) и коммутативности подалгебры I)
следует f) = c(f)) (п. 18.3).
Заметим, что не каждая максимальная коммутативная подалгебра f) С g
регулярна (т. е. f) не есть картановская подалгебра алгебры д). Например,
это верно для подалгебры t) с sl(2), составленной из матриц
Упражнение. Пусть t) — максимальная коммутативная подалгебра
алгебры g с диагональным действием ad f) в алгебре д. Тогда I) есть
картановская подалгебра алгебры д.
Замечание. Картановские подалгебры t) сg иногда удобно
записывать в виде д* (централизатор элемента ж), где х — полупростой
«нерегулярный» элемент алгебры д. Условие корегулярности означает, что dim g*
минимально среди dimgy (уEg), откуда dimg* = rankg. См., например, [Д2],
где вместо терминов «регулярность», «корегулярность» используются
(соответственно) термины «невырожденность», «регулярность».
38.6. Лемма. Пусть g Ф 0 — полупростая комплексная алгебра Ли.
Тогда для каждого а е А подпространство t)a = [ga,g_a] одномерно и
натянуто на элемент za e fj, определяемый по правилу
(h,a) = (h,za),
(38.7)
264 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
где (•, •) —каноническая билинейная форма в \)хI)*, (•, -)—сужение фор-
мы Киллинга алгебры g на подалгебру I). Более того, сх(га)фО и для
каждой пары х е да, у Е д_а имеем
[х,2/] = (х,2/К. (38.8)
Доказательство. Заметим, что t)aC\). Положим z=[x, у], где ж£да,
г/Е д_а. Используя инвариантность формы Киллинга, находим
(Л, z) = (Л, [х, у]) = ([Л, х], у) = а(Л)(х, у) (38.9)
для всех h e t). Поскольку форма Киллинга невырождена в f), элемент 2а
в (38.7) определен однозначно. Подставляя (38.7) в (38.9), получаем
(h,z) = (h,za)(x,y)
для всех h e t), откуда следует (38.8).
Если a(ha) = 0, то [г, х] = [z, у] = 0 и элементы ж, у, z образуют ниль-
потентную алгебру Ли — Гейзенберга (п. 17.1). Согласно теореме С. Ли,
действие этой алгебры в пространстве g треугольно. Но тогда оператор
z = [#» У] строго треуголен, (3(z) = 0 для всех /3 е A, ad 2 = 0, т. е. z = О
(поскольку представление (ad, g) точно). Согласно (38.8), имеем (ж, у) = О
для всех ж е да, у Е д_а, что невозможно. В результате a(ha) фО.
38.7. Теорема. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли.
Тогда имеем:
(а) Множество Д = А(д, ()) есть приведенная система корней (п. АЛ)
в пространстве f)*, dim да = 1 для всех а Е Д.
(/?) Для каждого а е Д существует единственный элемент ha Е f)a
(п. 38.6), определяемый по правилу a(ha) = 2.
(7) Подпространство g(a) = I)a ®ga ©g_a есть подалгебра Ли,
изоморфная sl(2, С).
(5) Если а, 13, а + /ЗеД, то [ga, g^] = ga+/3.
Доказательство. Согласно лемме 38.6, каждый элемент /i Е f)a кол-
линеарен га. Поэтому элемент ha e f)a однозначно определяется
условием нормировки a(/ia) = 2. Согласно (38.8), существуют элементы еа Ef)a,
fa €*)-«» ДЛЯ КОТОРЫХ
K,/J = ba, [fce,ej = 2eef [fcel/J = -2/e> (38.10)
откуда следует (7) (см. (16.22)). Дальнейшее доказательство основано на
теории представлений трехмерной алгебры Ли g(a)«sl(2) (п. 22.3).
(i) Если dim ga ^ 2, то существует 0 Ф у Е g_a, для которого (еа, у) = 0.
Согласно (38.8), имеем также [еа, у] = 0, т. е. у есть младший вектор веса
—а(Лв) = —2 ДЛЯ алгебры g(a). В этом случае д(а)-модуль, порожденный
вектором у, не может быть конечномерным (п. 22.3). Отсюда заключаем,
что dim ga = 1 для всех а Е Д.
§ 38. КАРТАНОВСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ 265
(ii) Пусть а, (3 G А. Полагая р = fi(ha), получаем [ha, у] = ру для каждого
у G g^. Если у т^О, то р есть вес конечномерного д(а)-модуля, откуда р G Z.
Полагая
* =/а У ПРИ Р^О» 2 = е"ру при р<0,
находим, что z обладает весом (3—ра, так что /3 —pa G Д при 2^0.
Поскольку a(/ia) = 2, преобразование га(3 = /3 —pa есть отражение относительно
корня а (п. АЛ). Отсюда заключаем, что гаА с А для всех a G Д.
Если вектор /i G f) удовлетворяет условию a(h) = 0 для всех a G А, то
h G 3(0), откуда ft =0 (поскольку з(д) = 0). Отсюда заключаем, что СА = I)*.
Следовательно, А есть система корней в пространстве ()*.
Заметим также, что д(а)-модуль д(а) не может быть расширен до
д(а)-модуля X посредством добавления корневых подпространств д±па при
п ^ 2. Действительно, фактормодуль Х/%(а) не содержит весов 0, ±а, что
невозможно (п. 22.3). В результате д^ =0 при п ^±1, т. е. А есть
приведенная система корней в ()*.
(Ш) Пусть а, /3 G А — неколлинеарные корни. Положим
где р (соответственно, q) — наибольшее из чисел к G Z+, для которых /3 -
— Аю (соответственно, J3 + ка) есть корень. Поскольку все веса /3 + fca
однократны, У есть простой д(а)-модуль. Отсюда следует (5).
38.8. Следствие. Алгебра g обладает базисом из элементов h e f), еа
(a G А), соотношения коммутации в котором имеют вид
[М'] = 0, [Мв] = а(Л)ев, (38.11)
K,e.a] = /ia, [eele,] = J^ee + /n (38.12)
где h,h' el), a, /3 G A, Na/j G С, iVa/? =^ 0, тогда и только тогда, когда
а + Р G Д.
Полученный базис называется базисом Картана — Вейля алгебры д.
Ниже будет отмечено, что константы Nal3 можно выбрать рациональными (и
даже целыми).
38.9. Следствие. Алгебра g обладает следующим «треугольным»
разложением:
g = n_ef)©n+, (38.13)
где п± — нильпотентная подалгебра, натянутая на векторы е±а при
a G Д+ (п. А.З). Подалгебра п+ (соответственно, п_) порождается эле-
ментами
е. = еа (соответственно, f. = e_a ), (38.14)
где а{ (i G J) —-система простых корней алгебры g (п. А.З).
Действительно, (38.13) вытекает из (38.3) и разложения А в
дизъюнктную сумму подсистем Д± (А_ = -Д+). Помимо этого, каждый корень а е Д+
17 Зак. 184
266 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
есть сумма цростых корней о^ + ... + а^, где каждая частичная сумма
а^+... + а{ (1 ^ А; ^ п) содержится в Д"(п. А.5). Отсюда следует, ввиду
соотношении (38.12), где Na/3^0, что подалгебра п+ (соответственно, п_)
порождается элементами ei (соответственно, ft). Остается воспользоваться
конечностью системы Д±, из которой следует, что лишь конечное число
одночленов (кратных коммутаторов) от образующих в п± отлично от нуля,
т. е. алгебра п± нильпотентна.
Заметим также, что I) нормализует п±: [I), п±] С п±. Поэтому каждое
подпространство Ь± = f) ф п± есть разрешимая подалгебра алгебры д.
Упражнения. 1. Ь'± = п±.
2. Каждая из подалгебр Ь± есть максимальная разрешимая подалгебра
алгебры д. [Указание: воспользуйтесь изоморфизмом да* ad д.]
38.10. Теорема. Элементы (38.14) порождают алгебру д и
удовлетворяют следующим соотношениям, где h{ =[e0/J, а = (а<у)— матрица
Картана системы А (л. А. 14):
[А.Л1-0, №,6,1 = 0^, [Л„Л1 = -^/я (38.15)
[«./,] = М»' (38.16)
(adei)1"^ei = (ad/i),~a^7y=0 при гф3\ (38.17)
Доказательство. Согласно следствию 38.9, элементы (38.14)
порождают п±. Помимо этого, элементы ^ = [е,,/,] порождают I). Отсюда
следует, что е,,/, (г el) есть система образующих алгебры д.
Соотношения (38.15) вытекают непосредственно из (38.11), (38.12). Нулевая часть
соотношений (38.16) следует из того факта, что ai — ay не содержится в Д
при г ф j.
Напомним также, что а^ £ Z, а^ < 0 при i Ф j. Отсюда следует, что
элемент
^(aj) = (adxi)1"e^a;i (38.18)
корректно определен при х{ = е{ (аналогично, /f). Заметим, что вес этого
элемента есть
Поскольку а{ - а .$ А при г ф j, мы находим 0€(ж) = О. Отсюда
получаем (38.17).
Определение. Элементы et., f. (либо et.,/0 h{) обычно называют
образующими Шевалле алгебры д. Соотношения (38.17) называются
соотношениями Серра.
Упражнения. 1. Пусть г- еAdg — автоморфизм алгебры д,
определяемый по правилу
г, = еаде«е-аё/'еа<1е«'. (38.19)
Проверьте, что rtfj с Ц и сопряженный оператор г, е I)* есть отражение по
направлению корня а{.
2. Пусть Ad(g, t)) — подгруппа группы Ad g, сохраняющая {).
Проверьте, что
Mfl.W/Ad&«WXe,W, (3820>
где W(g, t)) — группа Вейля системы Д = A(g, f>) (п. АЛ).
§ 39. ВОПРОСЫ КЛАССИФИКАЦИИ 267
38.11. Борелевские подалгебры. Подалгебра Ь С g называется боре-
левской, если она максимальна в классе разрешимых подалгебр алгебры д.
Для каждого треугольного разложения (38.13) подалгебры b± = l)®n± суть
борелевские подалгебры алгебры g (п. 38.9).
Можно также показать (см., например, [ВО; Се]), что каждая борелев-
ская подалгебра b С g сопряжена одной из подалгебр Ь± относительно
группы Ad g.
Упражнение. Подалгебры Ь± сопряжены между собой относительно
группы Вейля (38.20).
38.12. Редуктивные алгебры Ли. Результаты пп. 38.4-38.10
переносятся без существенных изменений на комплексные редуктивные алгебры
Ли. Существенное отличие сводится к тому, что форма Киллинга
алгебры g вырождается в I), а именно, fyx = 3(0). Соответственно, к образующим
Шевалле следует добавить элементы h e j(g).
Пример. Элементы hef)(n)t е. = e,i + 1, Л = е| + 1$., где г = 1,..., п-1,
суть образующие Шевалле алгебры g[(n) (п. 16.5).
§ 39. Вопросы классификации
39.1. Обзор. В этом параграфе излагается краткая схема классификации
(с точностью до изоморфизма) всех полупростых алгебр Ли над полями
F = R, С.
Для комплексных алгебр Ли результат классификации сводится, по
существу, к теореме Э. Картана об описании полупростых комплексных алгебр
Ли в терминах их корневых систем. Известное уточнение этой теоремы
состоит в построении «исключительных» алгебр Картана, не входящих в
классические серии Ап> 2?n, Cn, Dn. Мы используем для этой цели методику
Серра, связанную с описанием алгебры g = g(a) в терминах
фундаментальных соотношений (38.15)-(38.17).
Для вещественных алгебр Ли мы ограничиваемся сведением их
классификации к описанию вещественных форм полупростых комплексных алгебр
Ли. Особое внимание уделяется компактным формам Вейля алгебры д.
39.2. Теорема. Пусть д — полупростая комплексная алгебра Ли с
матрицей Картана a = (a{j) (n. 38.14). Тогда имеем:
(а) Соотношения (38.15)-(38.17) определяют генетику алгебры д (в
терминах образующих (38.13)).
(/?) Разложение алгебры д в прямую сумму простых идеалов
соответствует разложению матрицы а в прямую сумму неприводимых матриц
Картана.
(7) Обратно, для каждой матрицы Картана а = (ai3)
соотношения (38.15)-(38.17) определяют полупростую алгебру Ли над полем С.
Доказательство (схема). Пусть д — алгебра Ли, порожденная
элементами enf{ (i el) и фундаментальными соотношениями (38.15), (38.16)
(без учета соотношений Серра). Фиксируем Л 61)*, и пусть X —свободная
17*
268
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
алгебра с образующими f{ (i е /). Легко проверяется, что X наделяется
структурой g-модуля по правилу
/,(*) = /,* (39.1)
М1) = А41 hiUjx) = -aijx + fj(hix), (39.2)
е.(1) = 0, е.(^х) = ^ж + /Де<Ж), (39.3)
где х е X, А; = А(^) (координаты вектора А е ()*). Здесь операторы /i., et
определяются рекуррентно (по длине одночленов хеХ). Согласно (39.1), X
есть циклический С7"(д)-модуль, порожденный единичным элементом 1 еХ.
Используя соотношения (38.15), (38.16), легко проверить, что g есть
векторная сумма подалгебр f), n±, где п+ (соответственно, п_) — подалгебра с
образующими е, (соответственно, /f). Покажем, что эти подалгебры
линейно независимы, т. е.
g = n^ef)0n+. (39.4)
Действительно, пусть а=а_+а0+а+, где c^el), а±еп±. Применяя оператор а
к элементу 1 еХ, получаем а(1) = а_(1) +А(оо), где элементы а_(1), X(oq)
линейно независимы. Если а = 0, то а_ =0, X(oq) = 0 для всех А е f)*, так
что Oq = 0. Отсюда также а+ = 0, и мы получаем (39.4).
Положим JV = U(ti_). Согласно (39.1), X есть свободный ЛГ-модуль,
порожденный элементом 1. Следовательно, N&X. Полагая
"(*) = -/«. «(/,) = -*, "(М = ^, (39.5)
получаем автоморфизм алгебры д, переставляющий п±. Отсюда u(N) =
= U(n+)»-X". Полагая
deg e,- = - deg f{ = а <, deg Л, = 0, (39.6)
получаем Q-градуировку алгебры д, где Q —решетка в f)*, порожденная
корнями с^ (i el).
Положим Q+ = ]П Z+a^ и заметим, что п± градуировано подпространства-
ми д±в, где a е Q+. Ясно также, что dim ga < оо для всех а е Д.
Займемся теперь условиями Серра (38.17). Пусть ш+ — идеал алгебры д,
порожденный элементами (38.18), где х{ = е{ (г е I). Легко проверяется
(упражнение), что операторы ad/t. (г el) аннулируют все элементы (38.18).
Ясно также, что эти элементы весовые (относительно ad ()). Отсюда
m+ = (ad g)9 = (ad n+)9 с п+,
где 9 — множество всех Q{. (г ф j). Аналогично проверяется, что тп_ =
= о>(т+) содержится в п_. Полагая т=т_Фт+, получаем идеал алгебры J,
порожденный соотношениями Серра (38.17). Полагая
0' = fl/m, (39.7)
получаем факторалгебру д', накрывающую д (относительно отображений
ei *-* et» fi^fi* гДе г € I). Утверждение (а) будет доказано, если проверить,
§ 39. ВОПРОСЫ КЛАССИФИКАЦИИ 269
что g = g'. Для этого достаточно проверить, что д'а = да для всех а е А
(где g'Q — весовая градуировка алгебры д', индуцированная градуировкой
алгебры д).
Заметим вначале, что вес ±а{ не содержится среди весов идеала т.
Поэтому dim g'a = 1 при а = ±а{. Применяя автоморфизмы (38.19) и используя
транзитивность группы Вейля W в системе Д (п. А.7), находим dim g'Q = 1
для всех а Е Д. Аналогично проверяется, что д'^ = 0 при п ф ±1 (n € Z).
Остается рассмотреть случай А ^ ZA, где О Ф А е Е = RA. Покажем, что
в этом случае д'а = 0 (тем более да = 0). Действительно, пусть Ех с Е —
гиперплоскость, ортогональная к вектору А. Поскольку А ^ ZA, Ех не
содержится в объединении гиперплоскостей Еа (a G Д). Поэтому
существует вектор х € Ех, для которого а (ж) ф0 (Va 6 А). Применяя подходящий
автоморфизм группы Вейля, можем считать, что а.(х) > 0 для всех i G /.
Полагая A =$^tfa,. (t{ е К), находим, что равенство А(ж) = 0 возможно
лишь в том случае, когда t< *. < 0 для некоторой пары г, j. Однако, в этом
случае А ^ Q. В результате д;А = 0.
Суммируя полученные результаты, находим dim g' = dim g, откуда g = g;,
т. е. мы получаем (а). Отсюда также следует (/3), если проверить, что
неразложимость матрицы Картана влечет простоту алгебры д.
Фактически это было сделано в п. 22.10 (для алгебры g(a)). Однако,
приведем другое доказательство, основанное на общих свойствах корневых
систем.
Пусть ОфУе V(g). Согласно общей схеме п. 8.12, подмодуль V наследует
весовую градуировку алгебры д. Поэтому найдется вектор 0 Ф х е Vx при
некотором А е A(g, fj). Применяя к этому вектору операторы еа (а € А+),
можем считать, не ограничивая общности, что А есть старший корень, т. е.
А + а $ А для всех а е А+. Если матрица Картана неприводима, то старший
корень А определяется однозначно и все остальные ц е Л(д, I)) имеют вид
А - а, где a G Q+. Отсюда ясно, что V содержит компоненты ga при a E А.
В частности, е0 f{ е V для всех г е I, откуда V = д, т. е. алгебра д проста.
Остается заметить, что изложенная выше конструкция применима к
произвольной матрице Картана а, т. е. алгебра д = д(а) определена (и
конечномерна). Применяя в этой ситуации утверждение (/3), находим, что алгебра g
полупроста, откуда следует (7).
39.3. Следствие. Все простые комплексные алгебры Ли
исчерпываются типами Ап (п ^ 1), Вп (п ^ 2), Сп (п ^ 3), Dn (n ^ 4) и
исключительными типами J?6, £7, £?8, FA, G2.
39.4. Следствие. Алгебра g = g(a) обладает автоморфизмом Шевал-
ле (39.5) и Q -градуировкой (39.6).
Заметим также, что равенство х' = —ш(х) определяет инволютивный
антиавтоморфизм (транспонирование) алгебры д.
39.5. Следствие. Существует нормировка корневых векторов еа (а е
е А), относительно которой [ea, e_a] = ha (a € А+) и константы Na0
в (38.12) удовлетворяют соотношению
tf«* = -tf-a,-,- (39-8)
270 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Действительно, для каждой системы корневых векторов еа (а е Д) имеем
[еа, ш(еа)] = taha, где 0ф ta e С. Пусть за — один из квадратных корней
числа ta. Полагая еа = s~lea, е_а = — ЦО при а € Д+, получаем [еа, е_а] =
= ha. Помимо этого, равенство
^([еа)в/,]) = [а;(еа),а;(е/3)]
сводится к (39.8).
Замечания. 1. Идея доказательства теоремы 39.2 восходит к Дже-
кобсону и в явном виде реализована Серром.
2. Нормировка (39.8) называется нормировкой Шевалле. Как доказано
Шевалле, в этом случае Nafi = ±(р + 1), где р е Z+ —число, определенное
в п. 38.7 (Ш).
3. Детальное вычисление структурных констант Na0 можно найти в [Кац]
(§§ 7.8, 7.9).
39.6. Вещественные формы. Пусть g — комплексная алгебра Ли.
Вещественная подалгебра & С g называется вещественной формой алгебры д,
если g=go©*flo- В этом случае каждый базис подпространства д0 есть также
базис пространства д, в котором структурные константы алгебры д
вещественны.
Обратно, для перечисления всех вещественных форм алгебры д
достаточно перечислить все базисы пространства д, в которых структурные
константы алгебры д вещественны. В этом случае комплексное сопряжение
коэффициентов (относительно длинного базиса) определяет операцию
комплексного сопряжения хихв алгебре д, стационарное подпространство
которого 0о С g есть вещественная форма алгебры д.
В свою очередь, операцию комплексного сопряжения можно определить
аксиоматически как инволютивный автоморфизм вещественного
пространства gR (gR — овеществление комплексного пространства д). Если х н-> а:
есть также автоморфизм алгебры gR, то его стационарное подпространство
до С д есть вещественная форма алгебры д.
Примеры. 1. Для каждой вещественной алгебры Ли д0 определена
ее комплексная оболочка g = go® iffa, так что до есть вещественная форма
алгебры д. Поэтому для описания всех вещественных алгебр Ли достаточно
описать вещественные формы комплексных алгебр Ли.
2. Пусть до — комплексная алгебра Ли. Рассматривая до как алгебру над
полем R, положим
g = flo®Jflo» (39.9)
где j — формальный символ, для которого j* = —1. Соответственно, g
содержит две «мнимые единицы» i, j, перестановочные между собой. В этом
случае алгебра (39.9) называется бикомплексной. Полагая
P=J(l-tf), ff = jO+*J>, (39.10)
получаем, как легко проверить, разложение единицы 1 =р + д в сумму двух
ортогональных проекторов (р2 = р, q2 = g, pq = qp = 0). Соответственно,
g = oeb, (39.11)
§ 39. ВОПРОСЫ КЛАССИФИКАЦИИ 271
где a=pg, b=gg, так что a=kerg, b=kerp. Заметим также, что tp = j(t+j),
iq = ^(i-j), поэтому i=jb подпространстве a, i = — j в подпространстве Ь.
Отсюда ясно, что [о, b] =0, т. е. (39.11) есть прямая сумма двух идеалов.
Отображение хн-»рх (соответственно, x\->qx) определяет вещественный
изоморфизм go ^ a (соответственно, ^ « Ь). Таким образом, комплексная
оболочка алгебры g есть сумма двух идеалов (39.11), каждый из которых
изоморфен алгебре д0.
Упражнение. Проверьте, что алгебра (39.11) может быть
непосредственно определена в виде (39.11), где a=b = g0, с комплексным
сопряжением (х, у) = (у, х), где х, у е д0. В этом случае новая мнимая единица
в (39.9) определяется по правилу j(х, у) = (х, -у) (так что j e End g).
Соответственно, мы имеем (39.9), где д0 — диагональная подалгебра в д:
до = {(х, х): х € д0}.
39.7. Предложение. Если алгебра Qq проста, то ее комплексная
оболочка g = go 0 гд0 либо проста, либо бикомплексна и потому есть
сумма двух простых идеалов (39.11), каждый из которых изоморфен
алгебре д0.
Доказательство. Отображение 1)0 н-* 1)о0 г\ переводит каждый
идеал f)0 С до в идеал I) = 1)0 0 it)0, удовлетворяющий условию симметричности
f) = fy (ж h-> x — комплексное сопряжение в g относительно д0). Обратно,
каждый симметричный идеал fj С g имеет вид ()0 © г{)0, где ()0 = I) П д0 —
идеал алгебры д0.
Если алгебра д0 проста и алгебра д содержит только симметричные
идеалы, то алгебра g проста.
Предположим теперь, что g содержит идеал а, для которого а Ф а.
Поскольку каждый из идеалов {) = а П а, а + а симметричен, он имеет вид
f)o0^o» r^e Ьо~ идеал алгебры до- Если алгебра д0 проста, то 1)0 = 0, д0,
откуда t) = 0, g. Заметим, что условие аф а исключает тривиальные случаи
a = 0,g. Остается единственный случай afia = 0, a+a = g, откуда g = a©a,
что сводится к (39.11), где b = a.
Очевидно, случай (39.11) возможен лишь тогда, когда алгебра д0
обладает комплексной структурой. А именно, комплексная структура идеала a
индуцирует комплексную структуру алгебры g0« a.
39.8. Следствие. Классификация простых вещественных алгебр Ли
сводится к классификации вещественных форм простых комплексных
алгебр Ли.
Примеры. 1. Напомним (п. 39.5), что структурные константы Nal3
вещественны при некоторой нормировке базиса Картана — Вейля. Поэтому
вещественная линейная оболочка д! этого базиса есть вещественная форма
алгебры д = д(а).
2. Положим теперь
' 02 = и(д) = {хед: х* = -х}, (39.12)
где х* = х* (черта — комплексное сопряжение относительно др х' =
= -о;(х) — транспонирование Шевалле, определенное в п. 39.4). Иначе
272
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
говоря, д2 есть стационарное подпространство относительно автоморфизма
ш е Aut g. Заметим, что g = g2 Ф гд2. Поэтому д2 есть вещественная форма
алгебры д = д(а).
39.9. Компактные алгебры Ли. Вещественная алгебра Ли ^
называется компактной, если она обладает инвариантным скалярным
произведением, так что операторы ad ж (ж e g0) антиэрмитовы. Отсюда следует, в
частности (п. 7.5), что каждая компактная алгебра Ли редуктивна.
Примеры. 1. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли.
Эрмитова форма
(х,у)о = (ъУ*) (39.13)
(в обозначениях п. 39.8) удовлетворяет условию (ad ж)* = ad ж* для всех
х е д. Отсюда
(ж, ж)0 = (ж, ж*) = tr(ad z)(ad ж)* ^ 0 (39.14)
для всех ж е д. В частности, (ad ж)* = — ad ж при ж е д, т. е. форма
(ж,у)0 = -(ж,у) (39.15)
инвариантна в ц(д). Следовательно, u(g) есть компактная форма алгебры д.
Заметим, что алгебра и(д) при нормировке Шевалле (39.8) обладает
ортогональным базисом из элементов
to. ca = i(ea + i/J, *e = £(ee-t/e), (39.16)
где /iGf), аеД+ (/a = e_J.
2. Каждая комплексная редуктивная алгебра Ли g = g' ф j(g) обладает
компактной формой
и(0) = и(0Оезо(0), (39.17)
где 3o(fl) — произвольная вещественная форма векторного пространства j(g)
(снабженная некоторым скалярным произведением).
Определение. Вещественная алгебра Ли g2 = u(g) называется
компактной формой Вейля алгебры д.
Заметим, что это определение зависит от выбора базиса Картана — Вейля
(с нормировкой Шевалле). Однако, можно показать (см., например, [ВО;
Се]), что в случае полупростых алгебр Ли все компактные формы алгебры g
сопряжены алгебре u(g) относительно группы Ad g.
Упражнение. Пусть К = Ad gnU(n) (относительно эрмитовой
структуры (8.13) в алгебре g = Cn), так что группа К компактна. Докажите, что
К порождается операторами ad ж, где ж £ u(g), так что
Lie if =u(g). (39.18)
39.10. Автоморфизмы Картана. Автоморфизм в е Aut g называется
автоморфизмом Картана, если он инволютивен (02 = 1) и сохраняет
компактную форму Вейля u(g) алгебры д.
Согласно этому определению, имеем д = £Фр, где I (соответственно, р) —
подпространство элементов ж е д, для которых вх = ж (соответственно, вх =
= —ж). Отсюда
[MIC*, [«,р]ср, [pfp]ct (39.19)
§ 40. МОДУЛИ ВЕРМА 273
В частности, 6 есть подалгебра алгебры g (называемая инволютивной), р
есть ad fc-модуль. Положим также
Во = flo(0) = «о © Ро> "(0) = «о e «ft,, (39.20)
где ^о = (Пи(д), Ро = гРПи(0)- Используя (39.19), находим, что Qq есть
вещественная форма алгебры д.
Разложения (39.20) называются (соответственно) разложениями Кар-
тана вещественных форм д^ и(д).
Основной результат теории вещественных полупростых алгебр Ли
(принадлежащий Э. Картану), сводится к следующему: каждая вещественная
форма алгебры g = g(a) сопряжена одной из форм (39.20) относительно
группы Ad g.
Соответственно, для классификации всех простых вещественных алгебр
Ли достаточно перечислить все автоморфизмы Картана алгебры д.
Результаты этой классификации можно найти в [ГГ; Хел].
§ 40. Модули Верма
40.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе g — полупростая
комплексная алгебра Ли. Фиксируем картановскую подалгебру f) С g и систему
простых корней а{ е Д (г G J). Напомним, что алгебра g порождается
образующими Шевалле et,/0 h{ (г £ I) и соотношениями (38.15)—(38.17).
Соответственно, алгебра {7(g) обладает генетикой (38.15)—(38.17), где
коммутаторы понимаются в ассоциативном смысле (ab — Ъа). Отсюда ясно,
по аналогии с п. 39.4, что алгебра 17(g) обладает Q -градуировкой (39.6)
и автоморфизмом Шевалле (39.5). Мы будем записывать Q -градуировку
алгебры Щд) в виде
^(в) = еВД). (40-1)
где /xG Q.
Продолжая присоединенное представление (ad, g) до представления
(ad, C/(g)), заметим, что однородные компоненты (40.1) выражаются в
терминах этого представления следующим образом:
Що) = {* 6 U(g): N h)x = /х(Л)*, Vfc 6 f)}. (40.2)
Иначе говоря, градуировка (40.1) совпадает с весовой градуировкой ad
^-модуля 17(g). Соотношение (40.2) доказывается индукцией по длине
одночленов х е U(q).
Напомним также, что алгебра g обладает треугольным
разложением (38.13). Применяя теорему ПБВ, получаем свободное разложение
U(g) = N_HN+, (40.3)
где Я = I/ft), N± = U(n±).
Ясно, что подалгебра N± наследует ф±-градуировку алгебры U(g). А
именно, (ЛГ±)М ^0 только при \i € Q±.
274
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Подалгебра Н называется картановской подалгеброй алгебры U(g).
Подалгебры
B± = HN± = N±H (40.4)
называются борелевскими подалгебрами алгебры U(q).
40.2. Определение. Пусть /+ (соответственно, /(A))—левый идеал
алгебры 17(g), порожденный элементами е{ (соответственно, е,., h{ -А(Л^)),
где i € J, A e if. Положим
M=U(8)/I+t M(X)=U(S)/I(X). (40.5)
Заметим, что М (соответственно, М(А)) есть циклический [/(д)-модуль,
порожденный единственным вектором 1+ = 1 +/+ (соответственно, 1А = 1 +
+/(A)), где 1 —единица алгебры U(q). Согласно определению идеалов /+,
/(А), имеем:
е,1+=0, е,1А=(Л,.-А(Л,))1А=0 (40.6)
для всех г е I.
Используя треугольное разложение (40.3), находим U(q) = В ф /+ = N ф
ф/(А), где N = N_, В = В_. Согласно (40.5), отсюда получаем следующие
изоморфизмы векторных пространств:
М = В1+«Д М(А) = ДПА«ЛГ, (40.7)
относительно отображений 6 ь-* Ы+, п ь-* nlA, где be В, neN.
Согласно (40.7), пространство М (соответственно, М(А)) есть свободный
Б-модуль (соответственно, JV-модуль). Отсюда следует, что алгебра В
(соответственно, N) действует свободно в модуле М (соответственно, М(А)).
Поскольку идеал /+ содержится в /(А), модуль М накрывает каждый
модуль Af(A). А именно,
М(А)«М/Д(А),
где Л (А) — подмодуль модуля М, порожденный элементами (hi-X(hi))lx.
Модуль М называется универсальным модулем Верма алгебры g (или
U(g)). Модуль М(А) называется модулем Верма со старшим весом А.
Упражнение. Проверьте, что модуль Верма М(А) изоморфен
модулю X (с характером А), использованным в доказательстве теоремы 39.2.
40.3. Градуировка. Пусть U^ = t^(g) — градуировка алгебры U=U(g)t
определенная в п. 40.1. Поскольку идеал /+ выдерживает эту градуировку,
мы получаем индуцированную градуировку модуля М:
М, = ^1+ = 2у+«В,, (40.8)
(в соответствии с (40.7)), где В^ = В DU^. Согласно (40.8), имеем
U^CM^ (40.9)
для всех /г, и € Q. Ясно также, что М^фО только при // = -i/, где v € Q+.
Аналогично, семейство
М(А)А_„ = ^Л (40.10)
§ 40. МОДУЛИ ВЕРМА 275
образует весовую градуировку модуля М(А). А именно, это следует из
тождества
hxlx = [(ad h)x]lx + x(hlx),
где h € t), x € N_„.
Заметим, что градуировка (40.8) может быть выражена в терминах
ad fy-модуля М. А именно, идеал /+ выдерживает умножение справа на
элементы h е f). Соответственно, М наделяется структурой правого fj-модуля.
Таким образом, М есть fj-бимодуль. Поэтому в М определены операторы
(ad h)x = hx — х/ц
где h € f), х е М. Отсюда ясно, что (40.8) есть весовая градуировка ad
fy-модуля М (по аналогии с (40.2)).
Согласно (40.10), М(А)М ф0 только при /х < А (относительно
упорядоченности в Q, определяемой по правилу А - д е Q+). Ясно также, что
М(А)А = С1А, так что старший вес А имеет единичную кратность в М(А).
Согласно (40.8), имеем также М0 = # 1+ « Я.
Упражнение. Пусть С+ (соответственно, СА) — одномерный
^-модуль (соответственно, В+-модуль), определяемый по правилу
е,С+ = 0, е,СА=(^-А(Л,))СА=0
для всех г е /. Проверьте, что
М = Ind£+C+, М(А) = Ind£+CA
в обозначениях п. 15.11.
40.4. Экстремальные модули. Пусть е (соответственно, /) —
семейство образующих Шевалле е{ (соответственно, /f). Для каждого g-модуля Х
подпространство
Хе = {хеХ: ех = 0}
называется экстремальным подпространством модуля X
(относительно е). Аналогично определяется Xf. Элементы О ф х € Xе называются
экстремальными (или старшими) векторами модуля X. Аналогично
ОфхеХ? — младшие векторы модуля X.
Заметим, что Xе (аналогично, Xf) есть подмодуль ^-модуля X.
Действительно, если het), xeXe, то из равенства
e4hx = (h — а{(к))е{х = 0
следует, что hx € Xе. Заметим также, что Xе = ker п+ — пересечение ядер
кега, где а€п+.
Модуль X называется экстремальным (относительно е), со старшим
весом А € I)*, если X = Uxq, глеОфх0еХе — весовой вектор веса А.
40.5. Предложение. Модуль Верма М(Х) универсален в классе
экстремальных ^-модулей V со старшим весом А:
V*M(\)/Ny (40.11)
где N — некоторый подмодуль модуля М(А), не содержащий 1А.
276
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
В частности, для каждого X е I)* существует единственный, с
точностью до изоморфизма, простой экстремальный модуль со старшим
весом X, а именно
V(X) = M(X)/N(X), (40.12)
где N(X)—наибольший среди подмодулей N с М(А), не содержащих 1А.
Доказательство. Пусть V = Uxq — экстремальный g-модуль, где
0ф Xq e Vx. Тогда имеем V « U/R, где R = Апп(а^) (в алгебре U). Заметим,
что R содержит /(А). Факторизуя U/R почленно по /(А), получаем (40.11),
где N = R/I(X).
Напомним (п. 8.12), что каждый подмодуль g-градуированного модуля
градуирован. Применяя это правило к подмодулю N сМ(А), находим, что
условие 1А £ N равносильно 7VnClA =0. Поэтому для каждого X el)*
подмодуль ЩХ) однозначно определен (как объединение всех N, для которых
NГ\С1Х =0). Отсюда следует (40.12).
40.6. Следствие. Пусть X — экстремальный g-модуль со старшим
весом X. Тогда
(i) Модуль X наследует Q-градуировку накрывающего модуля М(А),
так что все веса f)-модуля X (для которых Х^фО) удовлетворяют
условию /х < А; в частности, dim Хх = 1.
(и) Семейство e = (e{)i€l действует в X локально нильпотентно:
епх = 0 при п ^ щ(х) для всех хеХ, т. е.
е^ ... е-пх = 0 при п ^ п^(х). (40.13)
Действительно, (i) можно считать очевидным. Для доказательства (ii)
достаточно рассматривать весовые векторы хеХ^ и выбрать п = ^(х) таким
образом, чтобы вес р! = /х + а^ +... + ain не удовлетворял условию р! ^ А.
40.7. Следствие. Экстремальный g-модуль X прост тогда и только
тогда, когда dim Xе = 1.
Действительно, из (40.13) ясно, что Xе ф 0 при X фО. Применяя это
правило к подмодулю ОфУ сХ, получаем Ye фО. Если dim Xе = 1, то
отсюда следует Ye — Xе, откуда Y = Х, т. е. X есть простой g-модуль.
Обратно, если dim Xе Ф 1, то найдется экстремальный вектор % веса р Ф
Ф X, т. е. /х < А. В этом случае циклический подмодуль Y = Х1щ не совпадает
с X, т. е. модуль X не прост.
40.8. Следствие, (i) Все простые модули (40.12) попарно не
изоморфны.
(ii) Каждый простой экстремальный g-модуль определяется своим
старшим весом с точностью до изоморфизма.
Действительно, если V(A)« V(p), то V(X)e « V(p)e, откуда A =/i (no
следствию 40.7). Отсюда также следует (ii).
Упражнение. Каждый простой конечномерный g-модуль
экстремален.
§ 40. МОДУЛИ ВЕРМА 277
40.9. Характеры. Пусть Г — аддитивная группа. Кольцом формальных
экспонент над группой Г называется кольцо К = К (Г), порожденное
элементами еА (Л е Г) и соотношениями
е° = 1, еАе" = еА + "
для всех А, р, еТ.
Согласно этому определению, кольцо К коммутативно. Если Г — решетка
в векторном пространстве Е, то К изоморфно кольцу экспоненциальных
функций ех(х) = еА(ж), где хеЕ. Отсюда ясно, что К не имеет делителей
нуля и потому обладает полем частных
<£ = Fracti£
Использование формальных экспонент позволяет рассматривать аналоги
рядов Пуанкаре (п. 21.1) для градуированных векторных пространств. Нас
будут интересовать градуированные ^-модули
Х = ©Х, (40.14)
А»
где X (/хЕГ)— весовая градуировка ^-модуля X, Г — некоторая
решетка в §* (в частности, Г= Q). Модуль X называется корректным, если
dim Хр < оо для всех /х е Г.
Характером модуля X называется формальный ряд
chX=E(dimX/1)e^ (40.15)
над кольцом if. Модуль X называется рациональным, если chX £Ф =
= FractiT.
Нетрудно видеть (по аналогии с п. 21.1), что
ch X = ch X0 + ch(X/X0), ch(X ® У) = ch X . ch У
для каждой пары корректных fy-модулей Х, У и каждого подмодуля Х0 €
GV(X).
Ясно также, что все эти определения переносятся на случай, когда Г —
аддитивная полугруппа.
Пример. Если T=Z+, то характер (40.15) можно отождествить с рядом
Пуанкаре dimX модуля X.
40.10. Предложение. Каждый модуль Верма М(Х) рационален и
обладает характером
chM(A) = ff-!eA+', (40.16)
где р — полусумма положительных корней а е Д+ и знаменатель деК
определяется по правилу
9= П (еа/2 - е"а/2) = £ е(ь>)е**, (40.17)
а е А+ w € W
где W —группа Вейля системы Д, e(w) = det w (= ±1).
278
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Доказательство. Определим д е К (в соответствии с (40.17)) по
правилу
9 = # П О-*-*). (40.18)
Тогда имеем: +
<Г' = Е РИе-""'. (40.19)
где р(и) — функция Костанта, определяемая как число различных
представлений вектора и е fj* в виде суммы положительных корней а е Д+.
Очевидно, р(и) = dim N_u (в обозначениях п. 40.3).
Умножая (40.19) на ел+р и сравнивая с (40.10), получаем (40.16).
Для доказательства (40.17) достаточно заметить, что каждая из функций,
входящих в это равенство, антисимметрична относительно группы Вейля W
и содержит единственную экспоненту с доминантным показателем р с
коэффициентом 1. Соответственно, разность этих функций не содержит
доминантных показателей и потому равна нулю. Отсюда получаем (40.17).
40.11. Центральные характеры. Пусть Z = Z(g) — центр
алгебры 17(g). Характер х алгебры Z называется центральным характером
Q-модуля Х, если
zx = x(z)x Для всех 2 € Д xeX. (40.20)
Нетрудно видеть, что каждый экстремальный д-модуль V = Uxq (0 Ф Xq e
е V{) обладает центральным характером. Действительно, для каждого
центрального z e Z имеем zVе с Vе. В данном случае dim Vе = 1, так что
zxq = х(г)а% для всех ze Z. Отсюда для каждого х = uocq (и € V) имеем
zx = zuXq = uzXq = x(z)uxo = x(z)x-
Согласно (40.11), характер х зависит только от старшего веса А в М(А).
Для явного вычисления воспользуемся треугольным разложением (40.3),
согласно которому
U = H®(n_U+Un+). (40.21)
Пусть ft — проекция 17 на Я в этом разложении. Напомним, что Un+
аннулирует 1А. Ясно также, что п_£ПА содержится в сумме компонент М(А)М
при Хфр.. Отсюда
ulA = VA, где Vv^PqU (ueU). (40.22)
Воспользуемся также естественным отождествлением 17(f)) = 5(f)) = Р(Ъ*)
(п. 12.4), согласно которому щ\х = щ(\)1х, где щ(А) — значение полинома
г«0еР(^*) в точке А. Отсюда получаем явное выражение для характера
Хл(^) = 2о(А) для всех zeZ. (40.23)
Пример. Пусть zeZ(g) — элемент Казимира алгебры g (п. 20.1).
Вычисляя этот элемент в базисе Картана — Вейля с нормировкой (еа, е_а) =
= 1 для всех а € Д, получаем
* = Е <*? + Е (eee_e + е_аеа), (40.24)
t а € Д+
§ 40. МОДУЛИ ВЕРМА 279
где а{ (i el) — ортонормированный базис в подалгебре f). Полагая za =
= lea>e-aL получаем
i а€Д+
Полагая А{ = А(а<), где А € I)*, заметим, что A(z ) = (A, a) относительно
скалярного произведения в I)*«fj, a н-* яа (п. 38.6). Отсюда
^>(А) = ЕА?+ £ (А,а) = (А,А+2р). (40.25)
i «€Д+
Заметим, что последнее выражение можно также записывать в виде
^(А) = ||А+р||2ЧН|2, (40.26)
где||А||2 = (А,А).
Таким образом, элемент Казимира z e Z обладает собственным
значением (40.25) (или (40.26)) в модуле М(А).
40.12. Теорема. Пусть Е(Х) = М(Х)е —экстремальное
подпространство модуля М(Х). Тогда имеем:
(i) Отображение ¥>»-игь(<р)=у>(1м) определяет изоморфизм векторных
пространств
Home(M(M), М(А))« Д(А)„, (40.27)
edeE{X)tt = E(X)nM(X)§i.
(ii) Каждый ненулевой гомоморфизм (40.27) есть вложение.
(Ш) Вложение (40.27) возможно лишь в том случае, когда \\Х + р\\ =
= |м+р|.
Доказательство. Поскольку М(//) — циклический U-модуль,
порожденный вектором 1 , каждый гомоморфизм у?: М(/х)-*М(А)
однозначно определяется вектором а%(у>) = <р(1Д Отсюда следует (i).
Если <рф0, то у?(М(/х)) = М*Ъ(У>) есть свободный JV-модуль
(поскольку алгебра N свободно действует в М(Х)). Следовательно, chy?(M(/x)) =
= chM(/x), откуда у?(М(/х))«М(/х). Отсюда следует (ii).
Остается сравнить центральный характер (40.26) модуля М(А) с
характером его подмодуля у>(М(/х)). Ясно, что эти характеры должны совпадать.
Отсюда следует (Ш).
Экстремальные векторы О^хеЕ(Х)^ называются обычно особыми
векторами (веса ц) модуля М(А).
Упражнения. 1. Проверьте следующие тождества:
(ad е,)/гп = nfr 1(К - п + 1). (40.28)
2. Положим А< = A(fc{), и пусть A. €Z+ при некотором i. Проверьте, что
вектор
*.(А) = /<А' + ,1а (40.29)
есть особый вектор модуля М(Х) веса /*, где ц + р = гДА + р). [Указание:
ft = 1 (п. А.6).]
3. Проверьте, что центральные характеры (40.23) связаны соотношением
Хх = Хр при n + p = w(\+p), (40.30)
280
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
где w е W. [Указание: воспользуйтесь вложением (40.29), т. е. М(р,)
->М(А) при /л + р = г{(Х +р).]
§ 41. Конечномерные д-модули
41.1. Обозначения. Пусть Р —решетка в fj*, состоящая из всех
«целочисленных» векторов X el)*:
Р = {\ ef>*: А. еЪ для всех г el}, (41.1)
где Х- == А(/^). Соответственно, пусть Р+ —доминантная часть решетки Р:
Р+ = {А еР: Х{ еZ+ для всех г el}. (41.2)
Ниже будет показано, что Р+ совпадает с множеством старших весов
простых конечномерных g-модулей. Соответственно, Р совпадает с
множеством весов всех простых (но тогда и всех) конечномерных д-модулей.
В этом смысле решетка Р называется весовой решеткой алгебры g
(относительно I)).
Предварительно будут доказаны две леммы. Помимо этого мы получим
явный вид характеров ch V(X) (теорема Г. Вейля).
41.2. Лемма. Пусть п — нильпотентная алгебра Ли (dim n < оо) с
системой образующих с, X —произвольный п-модуль с системой
образующих S (относительно U(n)). Тогда имеем:
(а) Если операторы аее действуют нильпотентно на векторы х е
еб, то операторы аеп действуют локально нильпотентно во всем
пространстве X.
(/?) Если также (в условиях (a)) card S < оо, то dim X < оо.
Доказательство. Достаточно рассматривать случай card 8 = 1, т. е.
X = Nxq, где N = U(n). Если оператор аеп действует нильпотентно на
вектор Xq, to из тождества (8.9) следует, что а действует локально
нильпотентно во всем пространстве X, т. е. апх = 0 при п ^ щ(х), для всех х е X.
В частности, каждая однопараметрическая группа (?(£) = exp£a (t e R)
корректно определена (как локальный полином) во всем пространстве X.
Полагая
9(t)b = 9(t)bg(t)-\ (41.3)
где Ь е EndX, получаем однопараметрическую подгруппу в EndX.
Производящий оператор этой подгруппы имеет вид
dg(t)b
dt
=о
= [a,b), (41.4)
т. е. совпадает с оператором (ad a)x = [а, х] в алгебре End X. В частности,
пусть ben (оператор n-модуля Х). В этом случае коммутатор в правой
части (41.4) совпадает с модульным оператором [a, b] e п.
§ 41. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ^-МОДУЛИ 281
Пусть По — линейная оболочка всех элементов Ъ е п, действующих
локально нильпотентно в модуле X. Поскольку преобразование (41.3) есть
автоморфизм алгебры EndX, мы имеем (согласно (41.4)) [ty, п^СПо, т. е. х^
есть подалгебра алгебры п. Поскольку По содержит систему образующих
алгебры п, мы имеем щ = п.
В частности, алгебра п содержит базис из элементов Ь{ (г = 1,..., п),
действующих в X локально нильпотентно. Применяя теорему ПБВ, находим,
что X есть линейная оболочка элементов
х(к) = Ь^...Ь^х0,
где к = (fcj,..., кп) е Z", 0 ^ к{ ^ mi (в силу локальной нильпотентности
операторов Ь{). Отсюда dim X < оо.
В общем случае X есть векторная сумма конечномерных подмодулей Nxq,
где Xq e 5, в каждом из которых операторы а€п действуют локально
нильпотентно. Отсюда получаем (а), (/3).
41.3. Лемма. Пусть X = Uxq — экстремальный Q-модуль,
порожденный вектором а^Е1е, доминантного веса \et)*. Тогда Xе не содержит
доминантных весов ц Ф А.
Доказательство. Центральный характер z0(X) модуля X
совпадает с центральным характером ^(ц) каждого экстремального подмодуля
Хх = Uxx, где О Ф хх € X*. В частности, пусть z e Z — элемент Казимира
алгебры д. Тогда имеем при /х = Л — е (е € Q+):
^(А)-^(/х) = (А,А+2р)-(/х,/х + 2р) = 2(/х + р,е) + (е,е). (41.5)
Если /х —доминантный вес, то (/х + р, е) ^ 0. Заметим также, что (е, е) ^ 0.
Поэтому равенство Zq(\) = ^(/z) возможно только при е = 0.
41.4. Теорема. Каждый простой конечномерный Q-модуль Х
изоморфен одному ив модулей V(\) (п. 40.4), где А е J^.. Более того, в этом
случае имеем:
(i) Подмодуль N(X) в (40.12) порождается элементами (40.29).
(ii) Аннулятор старшего вектора а^(А)€ V(A) в алгебре N есть левый
идеал Ах с N, порожденный элементами
/,(А) = /4А< + \ (41-6)
где г € /. Аннулятор вектора а^(А) в алгебре U порождается
элементами е0 Л. - А (Л.) и элементами (41.6).
Доказательство. Поскольку X порождается каждым ненулевым
вектором Xq е X, мы можем положить X = Uxq, где Xq € ХАе (при
некотором А). Для каждого а е А+ подпространство
есть конечномерный д(а)-модуль со старшим весом Aa = A(ha). Полагая
a = ait получаем А. € Z+ для всех i el (22.3), т. е. А еР+.
282
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Обратно, пусть А ЕР+, так что векторы (40.21) корректно определены.
Напомним, что ж.(А) есть особый вектор веса /х < А (/х = А - (At. + 1)а{).
Соответственно, подмодуль N0(X), порожденный этими векторами, не
содержит 1А. Полагая
V0(X) = M(X)/N0(X),
получаем экстремальный g-модуль V£(A) = Uxq, где а^= 1А +ДО0(А), так что
/i(A)a^ = 0 для всех i € I. Применяя лемму 41.2 к подалгебре п_ (с
образующими /<), получаем dim V0(X) < оо.
Согласно лемме 41.3, экстремальное подпространство V0(X)e одномерно.
Применяя следствие 40.7, получаем VQ(X) = V(A), так что N0(X) = N(X).
Отсюда следует (i).
Докажем (ii). Пусть Ах =Ann Xq(X) в алгебре N. Включение а€ Ах
означает, что alA € N(X). Следовательно, а\х = ЫА, где Ь — элемент идеала с
образующими (41.6). Отсюда а= Ь (ввиду свободности действия N в М(А).
Аналогично, пусть Вх = Ann Xq(X) в алгебре U. Напомним (п. 40.1)), что
U = N0/(A). Ясно также, что /(А) с Вх. Отсюда
ВХ = АХ®ЦХ).
41.5. Следствие, (i) Аннулятор В+ в алгебре U всех векторов а^(А),
где X е Р+, совпадает с 1+.
(ii) Универсальный модуль Верна М= U/I+ есть точный U-модуль. В
частности, М есть точный %-модуль.
Действительно, пусть х € U^ —весовой вектор алгебры U. Согласно
теореме 41.4, включение хеВх означает, что
i
где xteN (весовые элементы), уеЦХ). Заметим, что х{ имеет вес /х+(А{ +
+ l)at., откуда xi =0 при достаточно больших значениях X еР+. Поэтому
включение х е В+ возможно только при х = у € /(А) (для всех А е Р+).
Положим
3
где n,. (j e J) — фиксированный базис в N, yj e Я, ze I+. Включение у е
е 1(Х) равносильно у,(А) = 0 (для всех j e J). Поэтому включение у е В+
возможно только при у = z е /+.
Отсюда следует (i), что равносильно (ii).
Заметим, что в этом рассуждении (и поэтому в (i)) можно заменить Р+ на
произвольное подмножество Р\ всюду плотное в §* в топологии Зарисского
(так что равенство уДА) = 0 для всех А е Р* влечет у, =0).
41.6. Фундаментальные веса. Элементы ш{еР+, определяемые по
правилу о;.(/^) = Sijt называются фундаментальными весами алгебры д.
Очевидно, эти элементы образуют базис весовой решетки Р.
Покажем, что категория Т конечномерных g-модулей порождается
(относительно операций ф, ®) фундаментальными модулями V{ = У(ш{), где г el.
§ 41. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ g-МОДУЛИ 283
Достаточно проверить, что для каждой пары весов А, /х € Р+ модуль V(А +
+ д) содержится (в качестве подмодуля) в произведении V(A)® V(m). Но
это ясно из разложения
У(А)®У(м)= ф n(e)V(\+ii-e), (41.7)
e€Q+
где п(0)= 1. А именно, все веса ^-модуля V(A)<g> V(jjl) имеют вид А +/х — е
(ее Q+), откуда следует (41.7). Ясно также, что вес А + /л (отвечающий
старшему вектору Xq(\) <8> яь(/х)) однократен: п(0) = 1.
В действительности следует рассмотреть кольцо представлений Rep(^),
порожденное простыми объектами категории Т и операциями ф, <g>.
Согласно (41.7), кольцо Rep(^) порождается объектами У{ (г е /).
В частности, каждый модуль V(A), где А е Р+, содержится в тензорном
произведении представлений У*\ где At. = \(h-)t г е I.
Примеры такого рода (для классических групп и алгебр Ли) будут
рассмотрены в § 49.
41.7. Категория О. Модуль X над алгеброй д называется модулем
категории О, если он обладает конечномерной Q -градуировкой (40.14) и
локально нильпотентен относительно е (п. 40.6).
В частности, все модули М(А) суть модули категории О. Ясно также,
что J7 есть подкатегория категории О.
Если X есть модуль категории 0, то все его подмодули и фактормодули
суть модули категории О. Если модуль X содержит подмодуль Х0, для
которого X, X/XQ суть модули категории 0, то X есть также модуль
категории О.
Если X ф0 есть модуль категории О, то Xе ф0 (по аналогии с п. 40.6).
Весовой вектор хх € X называется примитивным, если он определяет
старший вектор некоторого фактормодуля Х/Х0, т. е. ж, ^ Х0, ехх С Х0.
Множество всех весов примитивных векторов х € X обозначается ЩХ) и
называется примитивным спектром модуля X.
Пусть Y — подмодуль модуля X, порожденный примитивными векторами
х е X. Ясно, что (X/Y)e=0, откуда X = Y. Иначе говоря, каждый модуль X
категории О порождается своими примитивными векторами.
Ясно также, что все простые объекты категории О суть модули V(A),
где А е t)*.
41.8. Теорема. Каждый модуль Верма М(\) есть жорданов модуль
категории О. Более того, М(\) обладает композиционным рядом
0 = Х0сХхС...сХп = М(\), (41.8)
с простыми факторами Х{/Х^х w V(aO» где р,х < ... < /хп и каждый из
весов fi = fi{ удовлетворяет условию ||/х + р\\ = ||А + р||.
Доказательство. Пусть П(А) — примитивный спектр
модуля М(А). Повторяя рассуждения п. 41.3, находим, что П(А)
содержится в сфере ||д + р\\ =const (проходящей через точку А). Следовательно,
сагс!П(А)<оо.
284
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Более того, из конечномерности компонент M(X)/i следует, что все веса
р, e П(А) имеют конечные кратности. Отсюда ясно, что разложение (41.8)
может быть доказано индукцией по п.
Если сагс1П(А)= 1, то М(А) есть простой g-модуль и (41.8)
выполняется при п = 1. В общем случае упорядочим веса в П(А) в порядке их
неубывания, и пусть уже построены подмодули Xjf где 0^ к ^ j'^ n и
ЩХк) содержит лишь веса р. < рк. Тогда среди таких весов найдется
максимальный, для которого ни один из весов р + а{ (г € I) не содержится в
ЩХк). Соответствующий примитивный вектор Xq экстремален, откуда
следует (теорема 40.12 (и)), что Ux0^M(p). Следовательно, Uxq содержит
подмодуль N0, изоморфный N(p). Остается положить Хк_{ = N0, и это
построение заканчивается после конечного числа шагов.
41.9. Лемма. Определим действие группы Вейля W на экспоненты ех
по правилу w(ex) = ewX (w е W). Тогда для каждого конечномерного
Q-модуля X его характер х = ch X есть инвариант группы W.
Доказательство. Согласно теореме Г. Вейля о полной
приводимости (п. 20.2), достаточно рассматривать случай, когда X — простой д-мо-
дуль. Достаточно также проверить, что г{х = X Для всех * € /.
Фиксируем корень а,, (г 6 /), и пусть 0t=0(a*)®3t—центральное
расширение алгебры д(а,) «$[(2), где jt. = (Л^)х в подалгебре t) (так что
в = С/^ Фз{). Применяя к алгебре ad g. критерий редуктивности (п. 20.7),
находим, что действие д{ редуктивно в алгебре д. Замена веса р е f>* на
r./z сводится к замене /х,. на -/х. (с сохранением проекции на jf). Согласно
теории представлений алгебры sl(2) (п. 22.3), весовой спектр модуля X
инвариантен относительно этой замены. В результате г{х = X Для всех г € Л
откуда wx = X Для всех w € W.
41.10. Теорема (Г. Вейль). Характер простого конечномерного
^-модуля V(X) имеет вид
chV(\) = g~l X) e(w)e«x+'l (41.9)
weW
Помимо этого, размерность d(A) = dim V^A) имеет вид
<*(*) = П l*£jf1- (41.10)
Доказательство. Согласно теореме 4.10, имеем
chM(A) = chF(A)+ £ aXfMchV(p), (41.11)
/*<А
где aA/i € Z+ и сумма ограничена условием \\р + р\\ = ||А + р\\. Используя
рекуррентный характер соотношения (41.11), получаем
ch V(A) = chM(A) + £ bXttchM(p), (41.12)
/j<A
где ЬА„ e Z.
§ 41. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ g-МОДУЛИ 285
Согласно (40.16), функция gchV(X) есть линейная комбинация
экспонент е''+р, где ||/х + р\\ = ||А +р||. Из последнего условия следует (в
соответствии с (41.5)), что данная сумма содержит лишь один доминантный
показатель А +р, с коэффициентом 1. Помимо этого, из леммы 41.10
следует, что функция gchV(\) антисимметрична относительно группы W.
Остается заметить, что этими же свойствами обладает сумма в правой
части (41.9). Отсюда (как и в п. 40.10) получаем (41.9).
Заменяя в (41.9) формальные экспоненты еА экспоненциальными
функциями еА(ж) (п. 40.9), где х е f), получаем числовую функцию /: fj —► С, для
которой /(0) = d(A). Вычисление /(0) требует раскрытия
неопределенности в (41.9). Сформулируем детали этого вычисления в виде следующих
упражнений.
Упражнения. 1. Пусть Sx — числитель формулы Вейля (41.9).
Отождествляя I)«{)* (п. А.6), запишем 5А в виде
5А(ж)= £ e(w)e<w<A+<**>,
wew
где х е f)*. Предлагается проверить, что
й(*Р) = <« П (А + 4а)Г» + о(Г»),
а€Д+
где О^с^ЕС, m = card Д+. Заметим также, что знаменатель формулы Вейля
есть SQ.
2. Используя (1), получаем доказательство формулы (41.10).
Пример. Для алгебры g = sl(2) формула Вейля принимает вид
ch^(A)=e e,_;_, .
41.11. Теорема. Пусть 7гА —представление алгебры g в модуле V(\).
Если кх(и) = 0 для всех А Е Р+, где и £ J7(g), то и = 0. Иначе говоря,
П кегтгА=0.
АбР+
Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку изоморфных
ad g-модулей:
f(0)«S(g) = P(g*)«P(g), (41.13)
где первый шаг определяется отображением симметризации (п. 19.7) и
последний— формой Киллинга (п. 20.1).
Пусть р^ — проекция 17(g) на 17(f)), определенная в п. 40.11. Пусть q0 —
аналогичная проекция в 5(g), определяемая разложением
S(g) = 5ft)eS'(fl), (41Л4>
где S'(g)— сумма подпространств 5(g)n±. При переходе к Р(д)
(относительно (41.13)) эта проекция определяется разложением
Р(9) = Р(Ъ)®Р'(В), (41.15)
286
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
в соответствии с (38.13), где Р'(д) состоит из полиномов, равных нулю при
сужении на f).
Нам понадобится связь между проекциями д>, q0. Пусть т: P(g)-> 17(g) —
изоморфизм, определяемый цепочкой (41.13). Для каждого / G P(j)
положим / = /0 + /' в соответствии с (41.15). Вычисление проекции p^(rf)
сводится к приведению элемента т/ = т/0 + rf{ к каноническому виду (40.3),
посредством соотношений коммутации в алгебре 17(g).
Поскольку полиномы в Р'(д)« 5"(д) содержат сомножители из п±, их
вклад в проекцию д>(т/) имеет степень, строго меньшую степени т/0 = /0
(при отождествлении 17(f)) = P(I))). Отсюда
ft(tf) = /o + ftOf). (41.16)
где второе слагаемое имеет степень, строго меньшую степени /0.
Положим и = т/, и пусть 7гл(и) = 0 для всех А Е Р+. Согласно
следствию 41.5, имеем uel+. В частности, р^и—0. Согласно (41.16), отсюда
следует /0 = 0, т. е. / = 0 при сужении на картановскую подалгебру f).
Поскольку \) — произвольная картановская подалгебра, мы имеем, в
соответствии с теоремой 38.3, / = 0 в /2(g). Поскольку Д(д) всюду плотно в
g (п. 38.2), отсюда следует / = 0. В результате « = 0.
Замечание. В условиях теоремы вместо Р+ можно рассматривать
произвольное подмножество Р', всюду плотное в \f в топологии Зарисского
(см. замечание в конце п. 41.5).
Теорема 41.11 определяет свойство полноты системы конечномерных
представлений 7гА (А е Р+) алгебры U(\j).
Пример. Пусть g = sl(2). В этом случае система 7гА (А е Р+)
исчерпывается симметрическими степенями crm(g) алгебры g (п. 22.3).
Соответственно, равенство a^m(g) = 0 (ae U) для всех meZ+ равносильно а = 0.
§ 42. Алгебра Z(g)
42.1. Обозначения. Наша цель в этом параграфе состоит в описании
центра Z(g) алгебры 17(g) в терминах изоморфизмов (41.13). Полученные
результаты будут использованы для дальнейшего изучения модулей Верма.
Пусть У(д) (соответственно, /(g)) — образ алгебры Z(g) в 5(g)
(соответственно, Р(д)). Тогда имеем
Y(g) = S(B)G, J(g) = P(g)G (42.1)
относительно группы G = Ad g (п. 36.6). Заметим, что действие группы G
в Р(д) определяется равенством
(9f)(x) = f(g~lxg) (42.2)
(в обозначениях п. 34.9), где д е G, х е д. Действительно, дифференциал
этого действия совпадает с (ad, P(g)).
§ 42. АЛГЕБРА Z(q) 287
Пусть / н-> /0 — сужение полинома / е Р(д) на картановскую подалгебру
() (/о = %/ в обозначениях п. 41.11). Напомним (п. 38.10), что группа G
содержит подгруппу G, = Ad(g, fj), для которой
G{/G0 = WM), (42.3)
где G0 = Adf). Соотношение (42.3) определяет действие группы Вейля W =
= W(g, I)) в пространствах I) и f)*. Согласно (42.1), включение / € /(g) влечет
/о €/(&), где
'(W^CW (42.4)
(подалгебра W-инвариантов в P(f))).
Мы используем (42.4) для более детального описания алгебры Z(q).
Аналогично (в п. 42.7) будет рассматриваться образ алгебры Z(g) в P(f)*).
42.2. Лемма, (i) Алгебра 1(f)) есть линейная оболочка полиномов
/Г(х) = 1гтгА(хГ, (42.5)
где хеf), ХеР+, теZ+.
(ii) Каждый полином /0 е 1(f)) поднимается до полинома f € /(g) (так
4mofQ = f\b).
Доказательство. Ясно, что P(f)) есть линейная оболочка
полиномов Л(х)т, где ХеР+. Соответственно, 1(f)) натянуто на усредненные
полиномы
0лт(*)= E(wA(z))».
weW
Заметим, что подстановка еА ь-* Х(х)т переводит характер ch V(X) в
полином (42.5). Используя формулу Вейля для характеров ch V(X) (п. 41.10),
получаем рекуррентное соотношение
/Г(х)=Е^л(м)5лто(х),
где nA(/x) = dim V(A)M (кратность веса р, в V(X)). В частности, пА(А) = 1.
Обращая это соотношение, получаем (i).
Остается заметить, что утверждение (ii) выполняется для
полиномов (42.5), но тогда и для всех / € 1(f)).
42.3. Теорема (Шевалле). Изоморфизм S(q)&P(q) (п. 41.11)
определяет при сужении на f) изоморфизм коммутативных алгебр
¥(а)ъЩ) = Р(ЪГ. (42.6)
Доказательство. Согласно лемме 42.2, отображение Y(g)-* 1(f))
сюръективно. Для доказательства инъективности положим / € Y(g)« /(g),
и пусть /0 = 0 (для фиксированной подалгебры f)). Из равенства gf = /
(Vfl е G) следует /0 = 0 для каждой картановскои подалгебры f) С д. Отсюда
/|Д(в)=0, / = 0. В результате получаем (42.6).
288 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
42.4. Следствие. Алгебра Z(g) изоморфна алгебре полиномов от I
однородных образующих, где I = rank g:
3(fl)«C[*p. ••,*!]. (42.7)
Действительно, этот факт вытекает из теории конечных групп,
порожденных отражениями (см., например, [Б 2] (IV-VI)), применительно к
алгебре (42.6). Остается заметить, что У(д) есть градуированная алгебра,
ассоциированная с фильтрацией Zn(g) = Z(g)fl i/n(g). Отсюда также
следует (42.7).
Степени однородности m. =deg2,. (i = 1,..., I) называются примитив-
ными экспонентами алгебры д. Из теории конечных групп, порожденных
отражениями, выводится следующее тождество для примитивных
экспонент:
т, + ... + т, = 5( 1+ dim g).
Упражнение. Алгебра д не имеет инвариантов степени 1, т. е. т{ ^ 2
для всех г = 1,..., I.
Заметим, что в систему образующих (42.7) можно включить элементы
Казимира алгебры д, для которых mi =2. Остальные элементы (42.7) иногда
называются обобщенными элементами Казимира алгебры д.
Для применения алгебры Z(g) к модулям Верма удобно модифицировать
теорему 42.3 в терминах изоморфизма 17(g)» Р(д*).
42.5. Лемма. Пусть U0(g) — нулевая компонента Q-градуировки
алгебры U(q) (п. 40.1). Тогда имеем:
(а) Проекция р^: 17(g)-* 17(1)) определяет гомоморфизм алгебры Uq(q)
в алгебру U(i)).
(/?) Гомоморфизм Pq инъективен при сужении на центр Z(q)
алгебры U(g).
Доказательство. Положим для краткости U = U(g), U0 = UQ(g), и
пусть U* == n_ U + Un+. Заметим, что пересечение Щ = UQ П U' имеет вид
Щ=иоГ)п_и=иопип+.
Отсюда ясно, что Po(fg) = Д>(/)#)Ы ДЛЯ всех /, g e U0. Утверждение (Н)
вытекает непосредственно из теоремы Шевалле.
42.6. Гомоморфизм Хариш-Чандры. Напомним (п. 40.11), что для
каждого zeZ(g) его проекция Zq=p^z связана с центральными характерами
ХА (А € I)*) по правилу (40.23), т. е.
Ха(*) = *Ь(а).
причем Ха есть центральный характер модуля М(А). Согласно (40.30),
имеем
*Ь(а) = *Ь(а0 при n + p = w(\+p). (42.8)
Согласно (42.8), каждая функция Zq есть инвариант группы Вейля W,
относительно действия
М)(\) = /Ы*+Р)-Р) (42.9)
§ 42. АЛГЕБРА Z(g) 289
в алгебре P(f)*). Полагая
получаем гомоморфизм р,: Z(q) —► 1(1)*), называемый гомоморфизмом
Хариш-Чандры алгебры U(q).
Согласно лемме 42.4, гомоморфизм р{ инъективен. Впрочем, это ясно
также из теоремы 41.11. Действительно, если Xx(z) = 0 Для всех А € Р+, то
7гл(2) = 0 для всех X еР+, откуда 2 = 0.
42.7. Теорема (Хариш-Чандра). Отображение р{: zt->X\(z)
определяет изоморфизм алгебры Z(g) с алгеброй /(f)*), т. е.
Zto)*IQn = PW)w- (42.10)
Доказательство. Мы уже отметили в п. 42.5, что гомоморфизм рх
инъективен. С другой стороны, полагая zl(X) = z0(X — p) и используя
отождествление !)«{)*, находим zx EP(\j)w. Ясно также (в соответствии с (42.6)),
что гомоморфизм рх сюръективен. В результате получаем (42.10).
42.8. Следствие. Равенство Х\ = Хм возможно только при р + р =
= w(X + р), где w e W.
Действительно, это следует из теории конечных групп, порожденных
отражениями. А именно, алгебра /(()*) разделяет орбиты группы W
(относительно действия (42.9)). Иначе говоря, если /(А) = /(/х) для всех функций
/ G /(()*), то р + р = w(X + р) при некотором w e W.
Здесь мы нарушаем замкнутость изложения, ссылаясь на теорию
конечных групп, порожденных отражениями. Однако, нужный результат можно
рассматривать как весьма частный случай излагаемой ниже теоремы 45.2
относительно if-инвариантов, где К — компактная группа.
Упражнение. Докажите, что каждый конечномерный модуль V «
« V(A) определяется своим центральным характером Ха (с точностью до
изоморфизма).
42.9. Следствие. Вложение М(р) —> М(Х) возможно лишь в том
случае, когда р + р = w(X + р) при некотором w € W.
Действительно, это вытекает из (40.23) и следствия 42.8.
Для более детального изучения модулей Верма мы рассмотрим
специальную билинейную форму (со значениями в 17(1))) в алгебре 17(g).
42.10. Форма Шаповалова. Пусть хих' — инволюция Шевалле
алгебры U(g), определенная в п. 39.4. Для каждой пары ж, у е U(g) положим
¥>(я,у) = (*'у)о, (42.11)
где Uq^PqU (п. 40.11). Согласно этому определению, функция <р есть
билинейная форма в алгебре U(g) со значениями в J7(f)).
Заметим, что (и')0 = щ для всех и € U(g), откуда следует, что
форма (42.11) симметрична. Непосредственно из (42.11) вытекает следующее
свойство контравариантности формы <р:
<р(ах, у) = <р(ж, dy) (42.12)
20 3ак. 184
290
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
для всех а,х,уе 17(g) (т. е. инволюция а»-» а! в алгебре 17(g) совпадает с
сопряжением относительно формы (р). Если хе Ux(g), ye IL(q), то x'ye
€ C^_A(fl)» откуда х± у (относительно формы (р) при А ^/х. В этом смысле
Ux(g)±U(M(a) при Хфр. (42.13)
Ясно также, что /+ содержится в ядре формы (р. Поэтому можно
интерпретировать ср как билинейную форму в универсальном модуле Верма
M=U(g)/I+.
Используя равенство U(fj) = P(t)*), мы можем отождествить форму <р с
семейством числовых форм
РА(а,у) = ?(*у)(А), (42.14)
где A G ()*. Заметим, что кег <рх содержит подмодуль R(X) С М(А),
определенный в п. 40.2. Поэтому отображение жи хх = ж1А позволяет
отождествить (рх с билинейной формой
<Рх(хх,ух) = <рх(х,у) (42.15)
в модуле М(Х). Согласно (42.11), имеем также
<рх(х,у)\х=(х'у)01х. (42.16)
Форма (42.11) называется формой Шаповалова в алгебре U(g).
Упражнения. 1. Форма (р есть единственная (Я-значная)
билинейная форма в М, удовлетворяющая условию контравариантности (42.12) и
условию нормировки <р(1,1)= 1.
2. Аналогично, <рх есть единственная (F-значная) билинейная форма
в М(А), удовлетворяющая условию <рА(1,1)= 1.
42.11. Предложение. Пусть ip (соответственно, (рх) —форма
Шаповалова в алгебре U(g) (соответственно, в модуле М(А)). Тогда имеем:
(i) Ядро формы уэ (соответственно, <рх) совпадает с 1+
(соответственно, с N(\)).
(ii) Форма ip (соответственно, ipx) невырождена в М
(соответственно, в V(A)).
(Ш) Модуль М(\) прост тогда и только тогда, когда форма (рх
невырождена в М(Х).
Доказательство. Имея в виду соотношения ортогональности
(42.13), мы можем ограничиться рассмотрением однородных элементов
х, J/6 C^(g). В этом случае (42.16) переписывается в виде
4>х(х,у)\х = х'у\х. (42.17)
Если у1А=0, то ж'у1А=0 для всех же U(q), т. е. y€kev<px. Если у\х^0, то
найдется (в силу простоты V(A)) элемент xeU^g), для которого х'у\х = 1А,
т. е. <рх(х, у) = 1. Отсюда находим, что включение у Е кег <рх равносильно
§ 42. АЛГЕБРА Z(g) 291
2/1А =0, т. е. yeN(X). Отсюда получаем (i) для формы <рА, что также
влечет (ii), (Ш) для формы <рА.
Если у е ker ip, то у е ker ipx для всех А е fj*. В частности, у е Апп(1А)
для всех А е Р+. Согласно следствию 41.6 (i), отсюда у € /+. Обратно, если
у е /+, то у е ker (р. Отсюда получаем (i), (ii) для формы у?.
Примеры. 1. Пусть Ме — экстремальное подпространство модуля М.
Из невырожденности формы Шаповалова в М следует
где /М — линейная оболочка подпространств /-М (т. е. сумма компонент
М_п при п ф 0).
2. Пусть (ж, у) = (у*х)0 — эрмитов аналог формы Шаповалова (жнх* —
эрмитова инволюция алгебры {7(g), порожденная инволюцией алгебры g
(п. 39.8)). Полагая
(ж, у)А=(ж, у)(А),
получаем эрмитову форму в модуле М(А). Непосредственно проверяется
(см., например, [Кац]), что (•, -)А есть скалярное произведение в
пространстве V(X) при A е P+.
Упражнение. Докажите последнее утверждение, исходя из сужения
GI К, где G — односвязная группа Ли с алгеброй Ли д, К — максимальная
компактная подгруппа группы G (пп. 47.2, 47.3).
42.12. Теорема. Пусть ipe(X) — сужение формы рх на конечномерное
подпространство М(А)А_е, где е е Q+. Тогда имеем:
оо / \ ре(п, а)
det¥>e(A)= П ЩА+Р-Х'*) <4218>
а€Д+п=Р '
(с точностью до ненулевого скалярного множителя), где pe(n, a) e Z+.
Более того, сумма кратностей ре(п, а) совпадает с суммой чисел р(е —
- па), где р —функция Костанта (п. 40.10).
Доказательство. Пусть det ipe(X) — дискриминант конечномерной
формы у>е(Х), т. е. детерминант соответствующей матрицы (42.15), где
каждое семейство жА,уА образует некоторый базис в М(А)А_е.
Соответственно, можем считать, что элементы ж, у пробегают некоторый базис в N_e
(п. 40.3). В частности, будем считать, что элементы ж, у в (42.16) имеют
следующий вид:
x = ein...eii, » = /4.../w (42.19)
где et. — базисный элемент в да , /. = е[ — базисный элемент в д_а и а( (г е
е I) пробегают систему всех (не только простых) корней а е А, для которых
0 < а ^ е. Согласно (42.19), индексы ik (1 < к < п) связаны с параметром е
соотношением
е = <*. +... + с^ (42.20)
(аналогично для jk).
Согласно (42.16), вычисление det<pe(X) определяется приведением
элемента х'у к разложению (40.3), посредством соотношений (38.15), (38.16).
20*
292 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Непосредственный вклад в det<pe(A) вносят лишь свободные члены этого
разложения, определяемые коммутаторами [еа, /в] = ha, где ha e I)
отождествляется с линейной функцией Ла(А) = А(Ла), коллинеарной (А, а).
Согласно (38.11), последующие операции вида hafp=f0(ha-(3(ha)) сводятся
к подстановкам А н+ А — /?.
Отсюда ясно, что старший член ре(Х) полинома det<pe(A) порождается
лишь диагональными членами (х = у) матрицы <ре(\). Более того, ре(Х) есть
произведение линейных функций (А, а) по всем а = а{ во всевозможных
разложениях (42.20).
Фиксируем а € Д+. Число разложений (42.20), содержащих а однократно
(соответственно, двукратно и т. д.) имеет вид р(е — а) — р(е — 2а)
(соответственно, р(е — 2а) — р(е — 3а) и т. д.), где р — функция Костанта. Поэтому
полная степень вхождения (А, а) в ре(Х) есть
00 ОО
]П [jp(e - та) - р(е - (т + 1)а)] = ]Г) Р(е " па)-
-. т= 1 п— 1
В итоге оо
А(А)= П П^.о)*-«>, (42.21)
а € Д+ п = 1
с точностью до скалярного множителя с(е) е С, входящего в определение
дискриминанта det<pe(A). Поскольку форма ц> невырождена (п. 42.10), мы
имеем с(е)фО. В частности, мы полагаем с(е) = 1.
Согласно предложению 42.10, форма <рх вырождается лишь в том случае,
когда М(\) содержит подмодуль М(р) при /х = А - е, 0^ е Е Q+. Напомним
(п. 40.3), что в этом случае 2b(^) = 2b00' что сводится (согласно (40.5)) к
уравнению ае(/х) = 0, где
ае(/х) = 2(м + р,е) + (е,е). (42.22)
Заметим, что ае(/х) = а_е(А). Таким образом, det<pe(A) отличается лишь
константой от произведения функций а_е(А). Согласно (42.21), эта функция
входит в det <ре(\) лишь в случае е = па, где п е N, а е Д+.
Остается заметить, что подстановка е = гаа: переводит функцию а_е(А),
с точностью до константы, в общий член правой части (42.18). Отсюда
получаем (42.18).
42.13. Следствие, (i) Форма <ре(\) вырождена лишь в том
случае, когда е = па, где п е N, аеД+ (такие элементы называются
квазикорнями).
(Н) Ненулевое вложение М(д) —> М(\) при \фр возможно лишь в
том случае, когда А — р, = па — квазикорень.
Замечания. 1. Теорема 42.11 есть упрощенная версия теоремы
Шаповалова [Ш] (см. также [ЖЗ]), согласно которой ре(п, а) = р(е - па) для
всех е € Q+. Несложное доказательство теоремы Шаповалова, основанное
на фильтрации Янсена (и пригодное даже для алгебр Каца — Муди),
предложено В. Кацем и Д. Кажданом [КК] (см. также [ЖЗ]).
2. Нетрудно показать, что ненулевое вложение М(р) —>М(Х)
действительно существует для всех квазикорней А — /х. Более того, это
вложение однозначно и композиции таких вложений исчерпывают все вложения
М(/х)-+М(А) [БГГ] (см. также [Д1]).
§ 43. АЛГЕБРА Fext(g) 293
§ 43. Алгебра F^fa)
43.1. Обозначения. Мы будем рассматривать формальные ряды над
алгеброй 17(g), определяемые треугольным разложением (40.3), т. е.
формальные ряды следующего вида:
/= £ «<4А (43-1)
с коэффициентами /^ £ Я, где а. (соответственно, bj) — некоторый базис
в N_ (соответственно, в N+). В частности, можно считать, что Ъ{ = d{
относительно инволюции Шевалле в алгебре 17(g) (п. 39.4).
Для того, чтобы наши рассуждения не зависели от выбора базисов,
запишем N+ как прямую сумму подпространств еп (п € Z+), где е —линейная
оболочка образующих Шевалле е. (г е 7), так что еп есть линейная
оболочка всевозможных одночленов е{ ... е{ длины п. Соответственно, U(q) есть
прямая сумма подпространств кНеп"тце N = N_.
Заменяя эту сумму соответствующим декартовым произведением,
получаем векторное пространство
Fad(g)=UNHe", (43.2)
п = 0
состоящее из формальных рядов (43.1), удовлетворяющих некоторому
условию финитности.
А именно, будем считать, что элементы ап bj в (43.1) однородны, т. е.
содержатся (соответственно) в компонентах /п, еп, где / — аналог е при
подстановке е{ н-> ft (г е 7). Тогда принадлежность / £ Fext(g) определяется
условием финитности
(Ф) Для каждого j £ Z+ не более конечного числа коэффициентов j{j
отлично от нуля.
43.2. Предложение. Векторное пространство Fext($) есть алгебра
относительно умножения формальных рядов (43.1), т. е. Fext(s) есть
расширение алгебры U(q).
Доказательство сводится к повторению первой части доказательства
теоремы 14.7 (с подстановкой a. i-+ е{, Ь{ н-* /., где г £ 7).
Упражнение. Докажите (по аналогии с п. 14.7), что умножение
формальных рядов (43.1) не всегда определено. [Указание: рассмотрите
формальные рЯДЫ оо оо
71=0 71=0
где е, / — образующие Шевалле алгебры g = s[(2) (п. 16.4).]
Заметим, что элементы / £ Fext(g) можно интерпретировать как операторы
в «допустимых» g-модулях Х, удовлетворяющих условию нильпотентности
п. 40.6 (ii), т. е. еп+1х = 0 при п ^ щ(х) для каждого х £ X.
А именно, пусть / —частичная сумма ряда (43.1), содержащая
компоненты еп при 0 < п < р. Тогда имеем fpx = f х при р, q ^ щ(х). Поэтому
294 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
равенство fx = fpx при р ^ гс^ж) однозначно определяет / как оператор
модуля X.
Соответственно, каждый допустимый g-модуль наделяется структурой
^(в)-модуля.
43.3. Алгебра i^t(fl). Формальный ряд (43.1) назовем
Ъ-градуированным степени р е Z, если все его компоненты имеют степень р (т. е.
содержатся в подпространствах fmHen при п — т = р). Положим
3nt(0)=©/p(0)> (43.3)
р = 0
где F(g)— подпространство однородных рядов (43.1) фиксированной
степени р. Элементы / 6 Fint(g) суть формальные ряды (43.1), суммирование в
которых ограничено условием | deg а, + deg Ъ. | ^ const.
Очевидно, Fp(g) содержится в Fext(g) для всех р е Z+. Более того, из
правила сложения степеней следует
WWcF,+f(g) (43.4)
для всех р, q G Z+. Отсюда заключаем, что Fini(g) есть подалгебра в Fexi(g),
градуированная разложением (43.3).
Аналогично, пусть i^(g)— векторное пространство всех Q-однородных
рядов (43.1) степени однородности /х е Q. Полагая
^,„(fl)= ®Л(0), (43-5)
мед
получаем подалгебру i*Jin(g) С Fext(g), градуированную разложением (43.5).
Заметим, что Q -градуировка (43.5) тоньше Z-градуировки, определенной
в (43.3). А именно, i^(g) с Fn(g) при |/х| = п, где
Ы=£|М<| ПРИ М=ЕМ<<*<-
г i
Отсюда заключаем, что алгебра ^1п(д) содержится в F{nt(g).
В результате получаем следующую цепочку расширений универсальной
обертывающей алгебры J7(g):
^(0)С^п(0)С^(в)С^(В). (43.6)
Здесь индексы fin, int, ext могут быть расшифрованы (соответственно) как
«final», «internal», «external», но также как «fine», «integer», «extensive» (и
также как «extremal»).
Обобщение (даже некоторая аксиоматика) этой конструкции
излагается в п. 65.2.
43.4. Рациональные оболочки. Заметим, что условие однородности
/ € С^(д) может быть записано в виде
hf = fh для всех heH, (43.7)
где fillip — автоморфизм алгебры Я, определяемый на образующих по
правилу h{ *-+к{+ /xt. (г G /), где /х£ = /х(Л,).
§ 43. АЛГЕБРА Fext(g) 295
Заметим также, что отображение h{ »-* h{ -f р. определяется в терминах
линейных форм ЛДА) = Х{ по правилу подстановки Ai-*A+ju. Поэтому
автоморфизм (43.7) записывается в виде /ьДА) = h(X + /х) лля всех he H.
Соответственно, этот автоморфизм продолжается на поле частных
Д(1)) = Fract !/(*)), (43.8)
что будем сокращенно записывать в виде R = Fract Я (где Я = 17(f))).
Пусть е— вложение U(l)) в Д(^). Для каждого левого (правого)
^-модуля V его расширение Vе = R <8>V (соответственно, V <8> R) называет-
н н
ся рациональной оболочкой модуля У. Если V — свободный ^-модуль с
базисом vi (г € I), то расширение V н+ Vе сводится к расширению поля
коэффициентов в базисе ^ (г е J).
В частности, из (40.3) (с использованием правила перестановки (43.7))
следует, что {7(g) есть свободный левый (правый) Я-модуль с базисом из
элементов aibj (г, j е Z+). Полагая
^(e) = ^(g)e«(Wi (43.9)
получаем 17 х jR-бимодуль, где U = 17(g). Весовые соотношения (43.7), где
/ € ^x(fl)» ^ G Д, определяют структуру алгебры в Z7'(g), так что U'(q) есть
расширение алгебры 17(g)« J7(g) ® 1.
Заметим, что каждое расширение (43.6) перестановочно с
расширением (43.9) (для компонент формальных рядов). Отсюда заключаем, что
цепочка расширений (43.6) включается в цепочку их рациональных оболочек
U'(S) С ЦМ С iu(fl) С F^fl). (43.10)
Упражнение. Инволюция Шевалле ihi'(h также жиж*)
алгебры 17(g) однозначно продолжается до инволюции каждой из алгебр i*Jin(g),
l?nt(g) и их рациональных оболочек ^;„(д), ^(д).
43.5. Модуль М'. Напомним, что М есть g x ^-бимодуль (п. 40.3),
удовлетворяющий условию локальной нильпотентности п. 40.6 (И). Полагая
М' = М ® ЯП)),
ЩЬ)
получаем рациональную оболочку модуля М, наделенную весовой
градуировкой М^ = (Мц)'. Ясно также, что М' можно интерпретировать как
универсальный модуль Верма над алгеброй J7'(g).
Для описания структуры модуля М' мы будем рассматривать следующие
подалгебры в алгебрах End M, End M'.
Пусть L(M) (соответственно, L(M')) — подалгебра всех ае End M
(соответственно, aGEndM'), перестановочных с правым действием алгебры Я
(соответственно, R =Fract Я). Очевидно, действие алгебры Fexi(g)
(соответственно, i^xt(fl)) определяет гомоморфизм Fext(fl) —> L(M) (соответственно,
i^t(g)^L(M')).
Заметим, что модуль М наследует Z-градуировку алгебры U(q). Оператор
ае EndM называется Z-однородным степени р е Z, если аМп сМп+р для
296 Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
всех neZ. Аналогично определяются Q-однородные операторы aeEndM.
Полагая
Llnt(M)= е Ц(м),
р = —оо
где Ц(М) — векторное пространство однородных операторов a € L(M)
степени р е Z, получаем подалгебру в L(M), градуированную
разложением (43.12). Аналогично определяется Lint(M'). Аналогично (с заменой Z
на Q) определяется алгебра
LBn(M)= ф К(М),
наделенная тонкой Q-градуировкой L (М), так что Ьцп(М) с Lint(M).
Аналогично определяется Lfin(M').
43.6. Теорема. Действие алгебры F^xt(g) в модуле М' определяет
изоморфизм ассоциативных алгебр
2£(Я)«ЦМ'). (43.11)
Соответственно, (43.11) определяет изоморфизмы градуированных
алгебр
^t(g)«Lint(M'), ^(fl)«Lfin(M'). (43.12)
Мы опустим доказательство этой теоремы, поскольку более общая
теорема будет доказана в п. 65.4. Заметим только, что это доказательство
основывается на невырожденности формы Шаповалова в модуле М (п. 42.10).
43.7. Следствие, (i) Пространство М (соответственно, М') есть
точный простой U(g)-модуль (соответственно, U'(g)-модуль).
(И) То же верно при замене U(g) (соответственно, Z7'(g)) на одну из
алгебр (43.6) (соответственно, (43.10)).
(iii) Существует единственный элемент р е %(д), удовлетворяющий
системе уравнений
ер = р/ = 0, ^ = 1, (43.13)
где /оо — свободный член ряда (43.1) при элементе ОоЬ0 = 1. Более того,
из (43.13) следует
р* = р = р' = р% p€F0'(g), (43.14)
где Fq (д) — компонента нулевой градуировки в каждой из
градуированных алгебр F^t(B), F{(n(g).
(iv) Оператор р проектирует каждый допустимый А-модуль X,
где А —одна из алгебр (43.10), на его экстремальное подпространство
Xе параллельно /X. В частности,
X = Xe®fX,
где fX —сумма подпространств f(X (г е I).
§ 43. АЛГЕБРА Fext(g) 297
Доказательства этих утверждений (по аналогии с пп. 14.2, 14.9)
предоставляются читателю в качестве упражнений. В частности,
изоморфизм (43.11) позволяет отождествить элемент р € i^t(fl) с оператором
p€L(M'), проектирующим М' на М0' параллельно сумме подпространств М'р
при р ф 0 (либо М'р при /х ф 0).
Элемент peFJxt(g), определяемый уравнениями (43.13), называется
экстремальный проектором алгебры g [ЖЗ].
Экстремальный проектор играет в теории представлений алгебры g
примерно ту же роль, что и вакуумный проектор над алгебрами Вейля (п. 14.9).
Существенная разница сводится к тому, что коэффициенты р^ оператора
р в (43.1) суть рациональные функции (ptj e R). Поэтому действие
оператора р определено не для каждого g-модуля Х.
Пример. Экстремальный проектор р алгебры g = sl(2) имеет (в
канонических образующих) следующий вид:
Р=Ъ^Гепч>п\ (43.15)
п = 0
где
¥>.= n<* + J + l)- (43Л6)
Упражнения. 1. Используйте оператор (43.15) (по аналогии с
п. 14.9) для доказательства редуктивности конечномерных g-модулей, где
g = st(2).
2. Проверьте, что операторы
в пространстве X = F[x{,..., жп], где Д — оператор Лапласа, е = X} ЖД —
г
оператор Эйлера, х2 — оператор умножения на х2 = ]Г)ж?» образуют
канонический базис алгебры Ли g «sf(2). *
3. Проверьте, что оператор (43.15) в этом случае совпадает с
«гармонической проекцией» Х-^Яв разложении
Х = Н®х2Х,
где # = ker А — подпространство гармонических полиномов в алгебре X.
43.8. Топология в i^(fl). Согласно (43.11), мы можем отождествить
i^t(fl) с пространством L(M'). Определим топологию в L(M') посредством
окрестностей нуля
i; = {a€L(M'):a|W(n)=0},
где М(п) — возрастающая фильтрация модуля М, определяемая как
сумма Z-однородных компонент M_k при 0 ^ к < п.
Используя эту топологию, мы можем рассматривать не только
формальные ряды, но и формальные произведения элементов L(M'). Мы
ограничимся коммутативными семействами операторов а{ е L(M£), где г е Z+. А
именно, а = П4а{ определяется как limbjt где Ьу — частичное произведение,
составленное из элементов а{ при 0 < г < j.
19 Зак. 184
298
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Упражнение. Проверьте, что экстремальный проектор (43.15)
записывается в виде оо / - ч
р=Д(1-тфг&П))- <4317>
[Указание: прямая проверка или действие в L{M').\
43.9. Лемма. Каждый центральный элемент z e i^t(fl)
удовлетворяет характеристическому уравнению
П(*-*.) = 0, (43.18)
где z0 = pQz (п. 41.11), ze(\) = zQ(\+e) и левая часть (43.18) понимается
как lim bn (bn —частичные произведения в (43.18) при \е\ ^ п).
п
Доказательство. Напомним, что zl+ = ZqI+. Используя
центральность элемента z, находим при х £ N_e:
zxl+ = xzl+ = xz0l+ = zexl+.
Напомним также, что М'_€ = N_eH. Отсюда
(z-z9)MLg=0. (43.19)
Соответственно, ЬпМ!_е=0 при \е\ < п. В результате fon —>0 (в
топологии L(M')), что равносильно (43.18).
43.10. Теорема. Экстремальный проектор р Е Fq(q) имеет
следующий вид:
*>=П(1-«7Ч)> (43-20)
где z+ = z - Zq, z —элемент Казимира алгебры g (п. 20.1), ае = zt - Zq —
аффинная функция (42.2), т. е.
ае(А) = 2(А+р,е)-(е,г).
Доказательство. Пусть рп — произведение сомножителей (43.20)
при |е| ^ п. Заметим, что
1 - a~lz+ = (z - ze)(z0- гш)~\
так что рп совпадает на М(п) с интерполяционным полиномом Лагранжа
(= 1 на М0', =0 на М'_е при е фО), Поэтому рп =рт на М(п) при п ^ га.
Отсюда ясно, что р = lim pn.
п
Пример. Напомним, что Zq = h (Л +1) в алгебре а = s[(2) (с точностью
до нормировки элемента z). Отсюда следует, что (43.17) есть частный
случай (43.20).
43.11. Теорема. Особенность ае в (43.20) неустранима лишь в том
случае, когда е = па —квазикорень (п е N, а е Д+).
Доказательство этой теоремы (основанное на следствии 42.13) изложено
в [Ж 6]. Схема доказательства имеется также в [ЖЗ].
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ б 299
Существует еще один метод описания экстремальных проекторов, при
использовании которого утверждение теоремы становится очевидным. А
именно, для каждого абД+ положим (по аналогии с (43.15))
Р«=ЁЦ^/>>^ (43.21)
где п=°п
^п=тК+Р«+эУ (43.22)
Здесь ра = p(ha). Фиксируем нормальный порядок Д+ = {а^,..., ат} и
положим
Р = Р«г.-Р«т- (43.23)
43.12. Теорема. Элемент (43.23) не зависит от выбора нормального
порядка в системе А+ и совпадает с экстремальным проектором р
алгебры д.
Доказательство этой теоремы, изложенное в [ЖЗ], сводится к
непосредственной проверке для алгебр типа 2 (А2, B2J G2), с последующим
использованием структурных соотношений в группе Вейля W (для произвольного
ранга п).
Заметим, что действие оператора ра в М(А)м, где /х = А — е, сводится к
подстановке ha*->/ха в (43.22). Поэтому особенности оператора ра
содержатся в гиперплоскостях
Гп,«-»«+Р« + п=0, (43.24)
где /х = А - па (а е Д+). Соответственно, особенности оператора (43.23)
содержатся в объединении этих гиперплоскостей.
Напомним, что рьа =2(д, а)/(а, а). Поэтому оценка (43.24) совпадает с
оценкой теоремы 43.11.
Комментарии к главе 6
Классификация полупростых комплексных алгебр Ли восходит к Р. Кил-
лингу и была завершена Э. Картаном в терминах систем корней (или
соответствующих матриц Картана). Полученное позднее описание полупростых
комплексных алгебр Ли в терминах их генетики (п. 39.2) позволяет непо- «
средственно определить алгебру Ли g = g(a) через матрицу Картана
алгебры д. В частности, список простых комплексных алгебр Ли исчерпывается
списком связных схем Дынкина An-G2.
Результат классификации переносится без изменений на все
алгебраически замкнутые поля характеристики 0. Для этого достаточно
воспользоваться известным правилом Лефшеца, согласно которому поле F заменяется
подполем F0, порожденным над Q структурными константами алгебры д.
Это поле F0 вкладывается в С, после чего используется известный
результат классификации над полем С. См., например, [С1].
Условие алгебраической замкнутости также можно отбросить. Однако,
для этого требуется перечислить все подалгебры над F в полупростых
алгебрах Ли над алгебраическим замыканием F поля F. Для вещественных
19*
300
Глава 6. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
алгебр Ли (случай R = C) этот процесс намечен в пп. 39.6-39.10, где также
приводится библиография по этому вопросу.
Модули Верма М(А), введенные М. Верма, естественно возникают как
универсальные накрывающие простых конечномерных g-модулей и более
общих циклических (экстремальных) g-модулей. В известном смысле
структура модулей М(А) проще, чем структура простых экстремальных
модулей V(A), что позволяет использовать модули Верма при изучении
модулей V(X). Например, при этом подходе возникает простое доказательство
классической теоремы Г. Вейля о характерах (п. 41.11).
Универсальные модули Верма и связанные с ними объекты
(формальные расширения алгебр 17(g), экстремальные проекторы и т. д.)
рассматривались в работах автора, начиная с 1983 г. Билинейная форма
Шаповалова фактически (в несколько иной редакции) была введена в [ГК].
Основные результаты по дискриминантам формы Шаповалова получены
в [Ш] и позднее в [КК]. Конструкции, близкие к экстремальным
проекторам, имеются в [Каш 1]. Аналог алгебры ^(д) = ^'п(0) рассматривался также
в 1984 г. [Кац] в связи с обобщенными операторами Лапласа над
алгебрами Каца — Муди. Более детально история этих вопросов изложена в [ЖЗ].
См. также [Мо 1; Мо2].
Глава 7
ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Основное содержание этой главы относится к полупростым группам Ли.
Значительная часть главы посвящается также более широкому классу ре-
дуктивных (в том числе компактных) групп Ли.
§ 44. Редуктивные группы Ли
44.1. Определение. В теории групп Ли принято следующее соглашение:
связная группа Ли G называется (соответственно) простой, полупростой,
редуктивной, разрешимой, нильпотентной, если этим свойством
обладает ее алгебра Ли g = Lie G.
Нетрудно видеть, что введенные таким образом понятия разрешимости
и нильпотентности совпадают с соответствующими понятиями в категории
топологических групп (п. 29.2). Однако, обобщение данного определения на
произвольные (не обязательно связные) группы Ли привело бы к известным
противоречиям. Например, произвольная дискретная группа G (для
которой 0 = 0) оказалась бы разрешимой, что противоречит общим понятиям
теории групп.
Тем не менее, термины, связанные с редуктивностью (в том числе с
простотой и полупростотой), можно считать вакантными в теории
топологических групп. Поэтому мы можем перенести приведенное выше понятие
редуктивности (простоты, полупростоты) на произвольные группы Ли.
Следует, однако, предупредить читателя, что в литературе эти
термины употребляют с некоторой осторожностью, иногда добавляя некоторые
дополнительные ограничения (например, конечность центра Z(G),
конечность G/Ge и т. д.). Существуют также другие варианты определений, в
том числе для линейных групп Ли.
Пример. Группа G называется линейно редуктивной, если она
обладает точным линейным (конечномерным) представлением (7г, V), в котором
она редуктивна (т. е. V — редуктивный G-модуль).
Упражнения. 1. Если G — линейно редуктивная группа Ли, то она
редуктивна. [Указание: воспользуйтесь следствием 20.8.]
2. Каждая компактная группа Ли G редуктивна (рассмотрите
присоединенное действие группы G).
3. Если группа G полупроста, то она редуктивна и ее центр Z(G)
дискретен.
302
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Еще один существенный пример связан со свойством симметричности
линейной группы GcGL(V), где V — унитарное (конечномерное)
пространство. А именно, группа G называется симметричной, если G = G* (т. е.
geG<$g* e G). Согласно общему критерию редуктивности (п. 7.5), в этом
случае V есть редуктивный G-модуль, т. е. группа G линейно редуктивна.
В дальнейшем мы считаем, что термин «линейная группа» включает в
себя условие замкнутости подгруппы G cGL(V). Согласно теореме Картана
(п. 34.7), в этом случае G есть группа Ли.
Упражнение. Пусть G сGL(V) — связная линейная группа, / —
аналитическая функция в L(V). Если / = 0 в некоторой окрестности
единицы группы G, то / = 0 всюду на группе G. [Указание: рассмотрите
сужение / на однопараметрические подгруппы группы G.]
44.2. Теорема. Пусть G с GL(V) — симметричная линейная группа
в пространстве V над полем С. Тогда имеем:
(а) Группа G наследует полярное разложение группы GL(V). Иначе
говоря, умножение (ж, у)*->ху определяет аналитический гомеоморфизм
G = KP&KxP, (44.1)
где К (соответственно, Р) подмножество всех унитарных
(соответственно, положительно определенных) операторов ge G.
(/3) Касательные алгебры Ли g = Lie G, t = LieK связаны
соотношением
0 = «ер, (44.2)
где р = it = ТеР — касательное пространство к вещественному
многообразию Р. Помимо этого, касательное отображение ехр х = ех
определяет аналитический гомеоморфизм
P = expp«Rn, (44.3)
где п = dim t = dim р (= dimcg).
Доказательство. Пусть g = kp — полярное разложение элемента
g е G в объемлющей группе GL(V). Тогда имеем р2 = g*g е G. Используя
диагональную форму оператора р, находим р = еа, где а* = а.
Следовательно, р содержится в однопараметрической подгруппе
р\ _. е\а^ где д G с. (44.4)
Поскольку р2 е G и G есть группа Ли, мы имеем рх е G для всех Л € С.
В частности, ре G. Отсюда также к = gp~x е G. В результате к е К, ре
е Р. Ясно также, что к = к(д), р — р(д) суть (вещественно) аналитические
функции от д. Отсюда следует (а).
Поскольку G = G*, имеем также g = g*, откуда д = £фр, где I
(соответственно, р) — множество всех антиэрмитовых (соответственно, эрмитовых)
элементов a eg. Полагая в (44.4) \ = t, \=it, где t eR, получаем t = Lie К,
p= TeP. Остается заметить, что (44.4) при А е К определяет вещественно
аналитический гомеоморфизм (44.3). Отсюда следует ((3).
§ 44. РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 303
Пример. Теорема выполняется для каждой алгебраической группы
G = G*. В этом случае включение рх eG можно вывести непосредственно
из алгебраичности группы G (см., например, [ВО; Ж1]).
44.3. Следствие, (i) Соотношение (44.4) устанавливает биекцию
между связными компонентами группы G и ее подгруппы К. А именно,
все связные компоненты группы G имеют вид
ав = кяр*кжхр,
где хеК пробегает множество представителей в классах К/Ке.
(ii) Связность (односвязность) группы G равносильна связности
(односвязности) подгруппы К.
(iii) Подгруппа К максимальна в классе компактных подгрупп
группы G.
Действительно, утверждения (i), (ii) очевидны из связности
(односвязности) компоненты Р в (44.1). Помимо этого, если К с Klt где Кх
—компактная подгруппа группы G, то К{ = KPV где Р{ = Р П Кх — компактная
подгруппа в Rn, что возможно только при Р{ = {е}. Отсюда следует (iii).
Упражнения. 1. Если группа G связна, то irl(G) = irl(K) (т. е.
группы G, К имеют общую группу Пуанкаре).
2. Центр Z(G) группы G есть прямое произведение своих пересечений
с подгруппами К, Р.
3. Если группа G полупроста, то Z(G) = Z(K). [Указание: в этом случае
3(0) = 0, откуда Z(G)HP = {e}.]
Отметим приложение теоремы 44.2 к теории голоморфных G-модулей.
Под термином «G-модуль» будем понимать топологический G-модуль в
отделимом квазиполном ЛВП.
44.4. Следствие. Для каждого голоморфного G-модуля X имеем:
(i)vGx = vKx.
(ii) Простота G-модуля X равносильна простоте К-модуля X.
(iii) Если X —простой G-модуль, то dim X < оо.
Действительно, условие X0eVGX равносильно обращению в нуль
матричных элементов f(g) = (#1, 77), где f £ Х0, ц е XJ- (аннулятор Х0 в X').
Условие f(g) — 0 на компоненте Gx равносильно с?/(ж)=0 (ввиду
голоморфности функции /), т. е. {df(to), у) = 0 для всех у € д. Согласно (44.2), где
р = it, достаточно рассматривать элементы у € 6. Поэтому условие f(g) = 0
на Gx равносильно f(g)^0 на КХ. Иначе говоря, условие XQe VGX
равносильно Х0 G Vjr-X", т. е. мы получаем (i). Отсюда также следует (ii).
Применяя теорему 28.8, получаем (iii).
Заметим, что в этом утверждении достаточно предполагать слабую
голоморфность модуля X (т. е. голоморфность его матричных элементов
(п. 36.9)).
44.5. Определение. Комплексная группа Ли G называется
комплексной оболочкой своей вещественной подгруппы С?0, если выполняются
следующие условия:
(<*) 0 = 0о Ф *0о> гДе 0 = Lie G, 0О = Lie G0.
304 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
(/3) Каждая связная компонента группы G содержит ровно одну связную
компоненту подгруппы G0.
Заметим, что в этом случае выполняется аналог следствия 44.4 (i), т. е.
VGX = V^X для каждого голоморфного G-модуля Х.
В частности, группа G в (44.1) есть комплексная оболочка своей
максимальной компактной подгруппы К.
В дальнейшем нам будет удобно фиксировать ортонормированный базис
в пространстве V. Соответственно, будем считать, что
GcGL(n), КсЩп). (44.5)
44.6. Теорема. Пусть G с GL( V) — связная симметричная
алгебраическая группа в пространстве V. Тогда имеем (в соответствии
с (44.5)):
(а) Группа G наследует разложение Гаусса группы GL(n). Иначе
говоря, отображение (x,y,z)*-> xyz определяет комплексно
аналитический (бирациональный) гомеоморфизм
Gt4 = N_HN+ « N_ x Я х N+, (44.6)
где GTeg (соответственно, Я, N±) —пересечение группы G с множеством
регулярных элементов в GL(n) (соответственно, с подгруппами D(n),
N±(n)).
(/3) Подмножество Gteg всюду плотно в G —как в стандартной
топологии, так и в топологии Зарисского группы G. Подгруппа Я обладает
полярным разложением
Н = ТА*ТхА, (44.7)
где Т = НГ)К, А = ЯПР (в обозначениях п. 44.2). Подгруппы N± связны
и односвязны.
(7) Если группа G связна, то ее подгруппа Я связна, что
соответствует связности компоненты Т = Я ПК.
Доказательство. Положим G0 = N_HN+. Вычисляя
дифференциал отображения /(ж, у, z) = xyz в точке е, находим, что образ этого
дифференциала совпадает с треугольным разложением (38.13), где g = LieG,
i) — LieH, n±= Lie N±. Соответственно, отображение / невырождено в
точке е. Поэтому GQ содержит некоторую окрестность ft точки е.
Согласно общим формулам разложения Гаусса (п. 29.7), элементы х =
= х(я)> У = у(у)> z = z(9) СУТЬ рациональные функции точки д е GL(n),
знаменатели которых суть одночлены от миноров Ар = Ар(д) (1 ^ р < п).
Если д е П, то элементы ж, у, z содержатся в G и потому удовлетворяют
системе алгебраических уравнений (ЗОЛ), определяющих группу G.
Пусть / — один из определяющих полиномов в (30.1). Подставляя в /
значение х = х(д) и умножая на подходящий одночлен h от миноров Ар,
получаем полином /, равный нулю в окрестности П. Отсюда заключаем
(упражнение в конце п. 44.1), что /=0 на группе G. Умножая это равенство
на h~x в точке де Greg, находим, что х — х(д) удовлетворяет системе (30.1),
т. е. ж € G. Аналогично, у, z e G, т. е. мы получаем (а).
§ 44. РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
305
Сингулярное множество Е = G \ G выделяется в группе G системой
полиномиальных уравнений Ар(х) = 0 (1 ^ р < п). Следовательно, Е
замкнуто в топологии Зарисского, G открыто, непусто и потому всюду плотно
в G (п. 30.6). Ясно также, что Greg всюду плотно в G в стандартной
топологии группы G (индуцированной из L(V)). Отсюда следует первая часть
утверждения (/?).
Применяя теорему 44.2 к подгруппе Я (что возможно, поскольку Я =
= #*), получаем (44.7). Если группа G связна, то подгруппа Н — GnD(n)
связна, что равносильно (п. 44.2) связности ее компактной компоненты
Г = Я П К. Наконец, подгруппа N± совпадает с Ge П N±(n) и потому
связна. Остается напомнить (п. 37.1), что каждая связная подгруппа в N±(n)
односвязна. Отсюда получаем (/3), (7).
Заметим также, что экспоненциальное отображение ехр х = ех определяет
аналитический гомеоморфизм
А=ехра«а, где a = LieA.
Подгруппа А (соответственно, Т) называется векторной (соответственно,
компактной) частью подгруппы (44.7).
44.7. Следствие. Отображение (А;, а, п) »-* кап, где к е К, аеА, п€
eN = iV±, определяет аналитический гомеоморфизм
G = KAN*KxAxN
(разложение Ивасавы в группе G).
Доказательство. Для каждого g € G имеем g*g e P, откуда g*g e
G Greg (п. 29.10). Используя эрмитовость элемента g*g и единственность
разложения Гаусса g*g = xyz, получаем ж* = 2, у* = у. Полагая t/ = a2, f = an,
где а€ A, neN, получаем g*g = f*f. Отсюда следует унитарность матрицы
k = gf~{, т. е. кеК.
В результате д= кап (единственное разложение), где к е К, аеА, пе
е N. Ясно также, что fc, a, n суть вещественно аналитические функции от
переменных g€G. Отсюда следует (44.9).
Применяя к (44.9) инверсию д*-+д~{, получаем также инверсное
разложение Ивасавы G = NAK в группе G.
44.8. Нормализаторы. Пусть G — произвольная группа, Я — ее
подгруппа. Нормализатором подгруппы Я в группе G называется подгруппа
NG(H) = {g e G: gHg-* = Я}. (44.8)
Очевидно, NG(H) есть наибольшая подгруппа группы G, содержащая Я в
качестве нормального делителя. Ее подгруппа
ZG(H) = {g e G: ghg~x = Л, Vfc € Я} (44.9)
называется централизатором подгруппы Я в группе G. Если
подгруппа Я коммутативна, то Я с ZG(H).
306
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Аналогично, пусть G — группа Ли, g = Lie G. Для каждой подалгебры
f) С g положим
NG(b) = {geG:(Adg)bCt)}. (44.10)
Заметим, что определяющее условие в (44.10) равносильно (Ad #)() = ().
Поэтому NG(t)) есть подгруппа группы G, называемая нормализатором
подалгебры I) С д. Ее подгруппа
ZG(b) = {geG: (Adg)h = h,Vhe\)} (44.11)
называется централизатором подалгебры I) в группе G.
Если G — топологическая группа, то ее подгруппы (44.8), (44.9)
замкнуты в G (для каждой подгруппы Я с С?). Если G — группа Ли, то каждая
из подгрупп (44.10), (44.11) есть подгруппа Ли группы G. Вычисляя
касательные алгебры, получаем
LieJVG(f,) = n„(l)), LieZG(l,) = 38(f>), (44.12)
где n0(J)) (соответственно, j0(f))) — нормализатор (соответственно,
централизатор) подалгебры I) в алгебре g (п. 18.3).
Примеры. 1. Если G — алгебраическая группа, то все ее
подгруппы (44.8)—(44.11) алгебраичны.
2. Если G — симметричная подгруппа в GL(V) и Я — Я*, f) = J)*, то
каждая из подгрупп (44.8)—(44.11) симметрична.
3. В частности, это верно для пары G, Я в (44.6) и алгебры Ли f) = Lie Я.
Соответственно, каждая из групп (44.9)-(44.12) наследует разложение
Гаусса (44.6) с полной компонентой Я.
44.9. Картановские подгруппы. Пусть G — группа Ли, g = Lie G — ее
алгебра Ли. Подгруппа Я с G называется картановской подгруппой
группы G, если она совпадает с нормализатором (44.10) одной из картановских
подалгебр I) алгебры д.
Напомним, что подалгебра f) совпадает со своим нормализатором nfl(fj).
Поэтому для каждой картановской подгруппы Я с G имеем t) = Lie Я.
Пример. Если группа G редуктивна, то все картановские подалгебры
f) С g коммутативны. Поэтому для каждой картановской подгруппы Я с G
имеем также Я = ZG(t)).
44.10. Гауссовы группы. Алгебраическая группа GcGL(V)
называется гауссовой группой, если она симметрична и обладает следующим
свойством регулярности: существует базис пространства У, относительно
которого подгруппа Я = G(lD(n) есть картановская подгруппа группы G.
Упражнение. Подгруппа Я в (44.6) есть картановская подгруппа
группы G тогда и только тогда, когда
^a(l))nJV± = {e}.
Примеры. 1. Подгруппа Я = D(n) есть картановская подгруппа
группы G = GL(n).
2. Подгруппа Н0 = Н П G0, где G0 = SL(n), есть картановская подгруппа
группы G0.
§ 45. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 307
Как видим, теория (линейно) редуктивных групп Ли существенно
сводится к теории компактных групп Ли. Для компактных групп Ли существует
содержательная структурная теория, к изложению которой мы сейчас
переходим.
§ 45. Компактные группы Ли
45.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе G — компактная группа
Ли, g = Lie G — ее алгебра Ли. Напомним (п. 44.1), что группа G редуктив-
на. Помимо этого, группа G/Ge компактна, дискретна, и потому конечна.
Следовательно, G содержит лишь конечное число связных компонент.
Если G полупроста, то з(д)=0, откуда следует, что центр Z(G) группы G
конечен. Применяя это замечание к односвязной группе G, находим, что
G обладает лишь конечным числом локально изоморфных (попарно
неизоморфных) связных групп Ли Gt = G/Z{ (i = 1,..., п). Соответственно, для
каждой группы G{ ее группа Пуанкаре Zt конечна.
Для каждого конечномерного (топологического) G-модуля V пусть
P(V) — алгебра полиномов в пространстве V. Стандартное правило
(gf)(x) = f(g-lx) (45.1)
определяет в алгебре P(V) структуру левого G-модуля. Подмножество
всех G-инвариантных полиномов (gf = / для всех д е G) образует
подалгебру инвариантов
I(V) = P(V)G (45.2)
алгебры P(V).
Заметим, что каждый G-инвариантный полином постоянен на орбитах
группы G в пространстве V.
45.2. Теорема. Алгебра I(V) конечнопорождена и разделяет орбиты
группы G. Последнее означает, что для каждой пары орбит 0{ Ф 02
найдется инвариантный полином f € I(V), принимающий различные
значения на орбитах 01э 02, т. е.
f(x)^f(y) при хеОиуе02. (45.3)
Доказательство. Пусть N — идеал алгебры Р(У), порожденный
инвариантными полиномами / £ I(V) без свободного члена (/(0) = 0).
Согласно теореме Гильберта (п. 15.6), идеал N имеет конечное число
образующих ш{ (г = 1,..., п). Очевидно, эти элементы можно считать однородными.
В частности, каждый однородный полином без свободного члена f e I(V)
записывается в виде
/=ЕЛЧ, (45.4)
i = l
с однородными коэффициентами f{ e P(V), где cleg/. < deg/ (i = 1,..., n).
Применяя к (45.4) операцию усреднения по группе G (п. 28.1), получаем
аналог (45.4) с инвариантными коэффициентами /,. (г = 1,..., п). Применяя
308
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
к этим полиномам допущение индукции (по cleg/), находим, что / есть
полином от элементов ш. (г = 1,..., п). Таким образом, алгебра I(V) конеч-
нопорождена.
Фиксируем какую-либо норму в пространстве У, и пусть р(х, у) = \\х —
— у\\ — соответствующая метрика в пространстве V. Заметим, что функция
6(х) = р(х, 0{)- р(х, 02)
непрерывна и принимает на орбитах О,, 02 значения разных знаков (6(х)<
^0 при хеО{1 6(х)^0 при хе 02). Из компактности орбит 0{ Ф02 находим,
что число е = min 6(х) отлично от нуля на орбитах Ом 02, так что 6(х) фО
в 0{ U 02.
Применяя теорему Вейерштрасса, находим полином / е P(V)t для
которого \f(x) — 6(х)\ < е на орбитах О,, 02. Применяя к этому полиному
операцию усреднения, получаем инвариантный полином /0 = р0/, разделяющий
орбиты 0И 02.
45.3. Следствие, (i) Орбиты группы G в пространстве V суть ал-
гебраические многообразия в пространстве V.
(ii) Каждая компактная подгруппа G с GL(V) алгебраична в
пространстве V.
Действительно, каждая орбита группы G в пространстве V выделяется
системой алгебраических уравнений f(x) = const, где feI(V). Компактная
подгруппа G С GL( V) совпадает с орбитой G • е, где е — единица в GL(У),
откуда следует, что множество G алгебраично в L(V).
45.4. Теорема. Каждая компактная группа Ли G обладает точный
линейным представлением и потому изоморфна (как топологическая
группа) некоторой компактной подгруппе G{ cGL(V).
Доказательство. Согласно следствию 28.3, для каждой точки g Ф е
существует конечномерное представление т, отделяющее g от е, т. е.
т(д)ф1. Следовательно, G содержится в открытом множестве <3Т = G\ker r.
Система множеств GT покрывает G \ {е} и потому покрывает каждое
компактное подмножество G\U, где U — окрестность точки е. Выбирая в этом
покрытии конечное подпокрытие, получаем, что нормальная подгруппа
N = f) ker т;
целиком содержится в окрестности [/". В частности, пусть U = ехр V,
где V — некоторая окрестность нуля в алгебре Ли q « Шп. Окрестность
V можно выбрать настолько малой, чтобы ни одна однопараметрическая
подгруппа g(t) = ехр tx (x e д) не лежала полностью в окрестности J7.
Следовательно, U не содержит ни одной однопараметрическои подгруппы — но
тогда и вообще ни одной подгруппы, кроме тривиальной подгруппы {е}. В
результате N = {е} и
т = е т.
есть точное представление группы G.
§ 45. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 309
Напомним также (п. 23.9), что каждая непрерывная биекция С? —► G{,
где G — компакт и пространство G{ отделимо, есть гомеоморфизм. Полагая
в нашем случае Gx =t(G), получаем G&G{ (топологический изоморфизм).
45.5. Следствие. Каждая компактная группа Ли алгебраична.
Действительно, это вытекает из теоремы 45.4 и следствия 45.3 (и).
45.6. Алгебра A(G). Пусть A(G) — векторное пространство всех
функций / е C(G), удовлетворяющих хотя бы одному из следующих
эквивалентных условий:
(i) Линейная оболочка орбиты Gf конечномерна.
(ii) Линейная оболочка орбиты fG конечномерна.
(iii) Функция / есть линейная комбинация матричных элементов (28.2)
группы G.
Здесь имеется в виду двустороннее действие группы G в
пространстве C(G). Мы уже отметили в п. 10.5, что каждое из условий (а), (/3)
влечет (7). Обратные импликации очевидны. Отсюда получаем
эквивалентность условий (а), (/3), (7).
Ясно, что A(G) есть подалгебра в C(G), содержащая единицу 1 е C(G).
Согласно (7), все функции feA(G) вещественно аналитичны. Условия (а),
(/3) обычно называют условиями G-финитности.
Таким образом, A(G) есть алгебра всех вещественно аналитичных G-фи-
нитных функций на группе G.
Фиксируем х € G, и пусть £ А = (£») — набор числовых матриц ££ = т^(ж),
где А е G, г, j = 1,..., пх (п. 28.1). Заметим, что матрицы £А (А е G)
удовлетворяют системе квадратичных соотношений
С®£' = Са0(С>®...®Сп)С^, (45.5)
определяющих разложение та ®т& в прямую сумму неприводимых
компонент та* (г = 1,..., п). Здесь
CafieEnd(Va®Vfi)
— система линейных операторов (не зависящих от точки х е G).
Обращая операторы Са/3, можно также интерпретировать (45.5) как
выделение компонент та* в та ®т&.
Фиксируем точное конечномерное представление (у>, V) группы G (в
пространстве V над полем С). Рассматривая тензорные степени (рп<8>Трт,
где тр — комплексно сопряженное представление (п. 10.4) и повторяя
рассуждения п. 28.2, находим, что система матричных элементов
представлений у?"®^™ полна в L2(G). Отсюда ясно, что линейная оболочка этих
матричных элементов совпадает с A(G).
Таким образом, для каждого точного представления (<р, V) группы G
матричные элементы x{j = <рц(х), ~x{j =Тр^(х) порождают алгебру A(G).
Заметим, что функции т£(х) суть полиномы от матричных элементов ж, "х.
Полагая в (45.5) £А = тА(ж), перепишем эту систему в виде
f(x,x) = 0 (/€5), (45.6)
где S — некоторая система полиномов от х, Ш, т. е. S С Р(УЛ).
310
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Таким образом, группа G содержится в алгебраическом многообразии М,
определяемом системой (45.6).
45.7. Теорема. Пусть G —компактная группа Ли, Тогда имеем:
(а) Алгебра A(G) обладает генетикой (45.5), где £А =(^.) — система
независимых переменных, с единицей £° = 1, отвечающей тривиальному
представлению т° группы G.
(/3) Для каждого точного конечномерного представления (<р, V)
алгебра A(G) обладает генетикой (45.6).
(7) Группа G как алгебраическое многообразие определяется
системой уравнений (45.6) в пространстве L(V).
Доказательство, (а) Пусть А — ассоциативная алгебра с
генетикой (45.5) и с единицей £° = 1. Подстановка %: £у*-*Ту(х) сохраняет
фундаментальные соотношения алгебры А и потому определяет характер
%: А —>С Семейство характеров % (х е G) определяет гомоморфное
накрытие 7- А —> A(G). Элементы £А имеют линейно независимые образы
в A(G) и потому линейно независимы в алгебре А. Согласно (45.5), эти
элементы образуют базис векторного пространства А. Отсюда заключаем,
что отображение 7 есть изоморфизм.
(/?) Покажем, что элементы £Д удовлетворяют системе (45.5) тогда и
только тогда, когда они записываются в виде
& = т£,(х,х), (45.7)
где матрицы ж, х удовлетворяют системе (45.6).
Действительно, пусть элементы £Д удовлетворяют соотношениям (45.5).
Положим
?rEMA.M)^ ^ = ЕМА,М)^, (45.8)
где правые части суть разложения по базисным элементам алгебры A(G).
Соотношения (45.8) равносильны выделению компонент т^ в тензорных
степенях ipn®Tpm. Иначе говоря, (45.8) есть следствие фундаментальных
соотношений (45.5). Заменяя в (45.8) £Д на т^(ж), находим, что матрицы
xi3- = <ру(х), "Ж;,- = 9?у(ж) удовлетворяют соотношениям (45.6).
Таким образом, идеал I, определяющий генетику (45.5), переходит
(при подстановке £Д н-> т£(х)) в идеал J, определяющий алгебру A(G) =
= F[x, af]/J. Но это и означает, что соотношения (45.6) суть
фундаментальные соотношения алгебры A(G).
(7) Пусть М — алгебраическое многообразие в ЦУ), определяемое
системой (45.6). Заметим, что эта система содержит (как следствие)
уравнение хх* = х*х = е, определяющее выделение инвариантов представления
<р ® V?. Отсюда следует, что каждая точка (ж, х)еМ однозначно
определяется своей первой компонентой х = x*~l £ U(n). В этом смысле
GcMcU(n).
Покажем, что М есть подгруппа в U(n). Действительно,
соотношения (45.6) позволяют отождествить каждую точку х е М с характером %
§ 45. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 311
алгебры A(G) по правилу
ПГ,(<Рц) = *ф Ъ&ц) = *ц- (45-9)
Соответственно, каждой точке х е М сопоставляются числовые матрицы
хх = £х(х) по правилу (45.7), удовлетворяющие системе уравнений (45.5).
Полагая
zx = xxyx, (45.10)
где ж, у е М, и используя общее правило умножения операторов в
пространствах Va <8> Vfi, находим, что матрицы (45.10) также удовлетворяют
системе (45.5). Отсюда
*А=£А(2),
где матрица z = (z.j) определяется по правилу (45.10), т. е. z = xy. Отсюда
заключаем, что zeM. Аналогично проверяется z~l еМ для каждого z e M.
Покажем, что G — М. Достаточно заметить, что векторное
пространство А(М) обладает базисом из элементов т£(х) = жД (в
обозначениях (45.10)). Из линейной независимости этих функций на подгруппе G
следует, что операция сужения f*->fG определяет изоморфизм А(М) w A(G).
В частности, каждый простой М-модуль остается простым при сужении на
G. Отсюда следует (упражнение п. 28.4), что М = G.
Замечание. Характеры 7 = %, определенные в (45.9), обладают
свойством симметричности _
7(Л = 7(Л (45.11)
для всех / G A(G), где /(ж) = f(x).
45.8. Следствие. Алгебра A(G) есть структурная алгебра
алгебраического многообразия G.
П р и м^е р. Алгебра A(G) группы G = SU(2) порождается элементами
а, Д а", /3 (матричные элементы фундаментального представления группы
G) и соотношением а а" + (3(3 = 1.
46.9. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, выделяемая
в L(V) системой (45.6). Пусть G—множество всех решений
расширенной системы
/0*У) = О (/€5),
где ж, у е Ц V). Тогда имеем:
(а) Отображение (ж, у) н* x определяет G как алгебраическую
(комплексную) подгруппу в GL(V).
(/3) Группа G есть комплексная оболочка группы G.
Доказательство. Повторяя рассуждения п. 45.8, находим, что
каждая пара (ж, у) е G удовлетворяет соотношению ху' = у'х = е. Поэтому
равенство ж = у'"1 е ЦУ) позволяет отождествить G с подмножеством
в GL(n). Помимо этого равенство 7*(^у) = ж# > гДе х € G, определяет
характер алгебры A(G). Отсюда (по аналогии с п. J5.8) получаем (а).
Заметим, что группа G симметрична (х € G =^ х* е G). Элементы х е G
соответствуют симметричным характерам (45.11), т. е. парам (ж,ж)е G.
312 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Отсюда заключаем, что G = G П U(n). Применяя теорему 44.2 (см. также
п. 44.5), получаем (/3).
45.10. Следствие. Пусть A(G) —линейная оболочка матричных
элементов всех простых голоморфных (конечномерных) G-модулей. Тогда
операция сужения GIG определяет изоморфизм структурных алгебр
A(G)*A(G). (45.12)
Пример. Алгебра A(G) группы G = SU(2, С) порождается элементами
а, Д 7, S и фундаментальным соотношением а 6 — fty = 1.
§ 46. Максимальные торы
46.1. Обозначения. Пусть G — связная компактная группа Ли. В
отличие от § 45, мы не будем использовать свойство алгебраичности группы G.
Изложение будет основано на общих методах теории групп Ли.
Каждая связная абелева подгруппа Ли Я с G называется тором
группы G. Напомним (п. 34.10), что в этом случае Я«ТП (n-мерный тор). Тор
Я группы G называется максимальным, если он максимален в классе всех
торов группы G.
Пример. Диагональная подгруппа D(n)n U(n) есть максимальный
тор группы U(n).
46.2. Теорема. Пусть G — связная компактная группа Ли, g =
= Lie G —ее алгебра Ли. Тогда имеем:
(а) Для каждой картановской подалгебры f) С g виртуальная
подгруппа Н = ехр fj есть максимальный тор группы G.
(/?) Н = ехр Ц есть общий вид максимального тора группы G.
В этом смысле экспоненциальное отображение ехр: g —> G
устанавливает биекцию между картановскими подалгебрами t)Cgu
максимальными торами Н с G группы G.
Доказательство. Из редуктивности алгебры g следует (п. 39.6),
что все картановские подалгебры I) с g коммутативны. Помимо этого, из
равенства
[, = п(1)) = иеЗД)
(п. 44.8) следует, что fj = Lie Я, где Н — связная компонента единицы
группы NG(t)). Следовательно, # = expf) есть тор (в частности, подгруппа Ли)
группы G.
Если Я С Я,, где Н{ — тор группы G, то I) С ^, где f), = Lie Hx. Отсюда
() = (), (в силу максимальности картановской подалгебры })). Следовательно,
Я = Яр т. е. Я есть максимальный тор группы G.
Обратно, каждый тор Я с С? имеет вид Я = ехр [), где fj — коммутативная
подалгебра алгебры g с диагональным действием ad fj в алгебре д.
Действительно, это следует из диагональности действия компактной абелевои
группы Ad f) в алгебре д. Если Я — максимальный тор, то I) максимальна в
§ 46. МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ 313
классе указанных подалгебр алгебры д, откуда следует (п. 38.5), что J) есть
картановская подалгебра алгебры д.
46.3. Следствие. Каждые два максимальных тора НХ,Н2 группы G
сопряжены друг другу относительно внутренних автоморфизмов
группы G. Иначе говоря, существует g e G, для которого
H2 = gH{g-K (46.1)
Действительно, согласно теореме 38.3, аналог (46.1) выполняется для
алгебр Ли {). = Lie Н{ (г = 1, 2), т. е.
(в обозначениях п. 36.6). Отсюда следует (46.1), поскольку Н{ =ехр fj. (г =
= 1,2).
46.4. Теорема. Если G — связная компактная группа Ли, то каждый
элемент geG содержится в некотором максимальном торе группы G.
Доказательство. Пусть К — объединение всех максимальных
торов группы G. Согласно следствию 46.3, имеем
К= (J QHg-\ (46.2)
geG
где Н — фиксированный максимальный тор группы G. Следовательно, К
есть компакт (как образ компакта G х Н при отображении (у, h) »-> ghg~l).
С другой стороны, покажем, что каждая точка д^д^1 е К есть
внутренняя точка множества К (т. е. К открыто). Поскольку К инвариантно
относительно внутренних автоморфизмов группы G, достаточно рассматривать
случай 0Ь = е. Положим
/(ж, у) = (exp y)(/io exp ж)(ехр у)"1, (46.3)
где ж, у Е g, и покажем, что семейство (46.3) содержит некоторую
окрестность U точки h^e К. Вычисляя касательное отображение Г/ в точке
Xq = % = 0, получаем
Tf (ж, y) = yh0-h0y+h0x = [(Ad ho)x - (Ad h^ - 1 )y]hQ
(в обозначениях п. 36.6).
Пусть I)0 = CIiq и пусть GQ — связная компонента единицы
централизатора NG(t)0) в группе G. Тогда g0 = Lie G0 есть собственное подпространство
оператора Adft^ в алгебре д, отвечающее собственному значению 1.
Соответственно, оператор Ad /iq- 1 обратим в ортогональном дополнении д^,
относительно инвариантного скалярного произведения в алгебре g (пример 2
п. 39.9). Если х е д0, у G д£, то из равенства Т/(х, у) = 0 следует
(Adho)x = (Adho~l)y = 0,
откуда х = у = 0, т. е. отображение Г/ инъективно. Поскольку g = g0 ф g£,
это отображение также сюръективно. Отсюда заключаем, что
отображение (46.3) невырождено в точке Xq = у0 = 0, т. е. искомая окрестность U
точки h^eK существует.
314
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Таким образом, К открыто и замкнуто в G. Поскольку G — связная
группа, мы имеем К = G.
46.5. Следствие. Каждая точка g0€G содержится в (единственной)
однопараметрической подгруппе группы G. Иначе говоря,
экспоненциальное отображение накрывает группу G.
Действительно, g0 G Я, где Я — максимальный тор группы G, откуда
д0 = ехр х при некотором х е fy = Lie Я. Следовательно, д0 содержится в
однопараметрической подгруппе <fc(t) = exp tx (t еШ) при t = 1.
Воспользуемся случаем отметить другое доказательство этого
утверждения, основанное на существовании римановой структуры в группе G
(п. 32.9). Согласно общей теории компактных римановых пространств (см.,
например, [КФ]), каждая точка д0 £ G содержится в геодезической,
проходящей через точку е. Легко проверяется (см., например, [КФ]), что все
такие геодезические суть однопараметрические подгруппы группы G.
Упражнения. 1. Каждый максимальный тор Я группы G совпадает
со своим централизатором ZG(H).
2. Пересечение всех максимальных торов группы G совпадает с
центром Z(G) группы G.
3. Каждая компактная группа Ли обладает однозначным разложением
G = NG{H)-Ge, (46.4)
где Я — фиксированный максимальный тор (Ge — связная компонента
единицы точки е Е G). В частности,
G/Ge*NG(H)/NGe(H). (46.5)
46.6. Группа Вейля WG(H). Пусть G — связная компактная группа
Ли, Я — ее максимальный тор. Напомним (п. 46.2), что группы Я, NG(H)
локально изоморфны. Соответственно, группа
WG(H) = NG(H)/H (46.6)
компактна, дискретна, и потому конечна. Эта группа называется группой
Вейля группы G (относительно максимального тора Я).
Поскольку все максимальные торы сопряжены в группе G, все группы
Вейля (46.6) также сопряжены и потому взаимно изоморфны.
Соответственно, можно говорить о группе Вейля W = WG(H), ассоциированной с
группой G.
Упражнения. 1. Докажите, что группа Вейля (46.6) изоморфна
группе Вейля W(g,\))t где g = LieG, f) = Lieff. [Указание: см. упражнение (2)
п. 38.10.]
2. Докажите, что группа Вейля группы G = GL(n) есть симметрическая
группа S = 5П.
В дальнейшем мы используем обозначение £(д) для множества классов
изоморфизма связных (локально изоморфных) групп Ли G с алгеброй Ли g
(т. е. g = Lie G).
§ 46. МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ 315
46.7. Теорема (Г. Вейль). Пусть g — полупростая компактная
алгебра Ли (п. 39.9). Тогда имеем в
(а) Существует лишь конечное число попарно неизоморфных
связных групп Ли класса £(д) (т. е. card£(g) < оо).
(/?) Каждая группа G класса £(д) компактна. В частности, однос-
вязная группа G класса £(д) компактна.
Мы приводим доказательство этой теоремы, предложенное Н. Бурбаки и
основанное на общих топологических конструкциях (лемма 46.8). Для
сравнения приводится также первоначальное доказательство Г. Вейля (п. 46.10),
основанное на использовании максимальных торов группы G класса £(д).
Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что группа G0 = Ad g
относится к классу £(д). Действительно, из равенства з(д) = 0 следует
точность присоединенного действия (ad, g) алгебры g, откуда g = Lie GQ.
Таким образом, в £(g) есть минимальная (по включению) группа G0 и
максимальная (односвязная) группа G с алгеброй Ли д. Все остальные
группы G класса £(д) содержатся (с точностью до изоморфизма) между G0 и
G.
Заметим, что <30« G/Z(G) (для каждой группы G класса £(д)). В этом
смысле Z(G) определяет отклонение группы G от минимальной группы G0.
Аналогично, группа Пуанкаре n{(G) определяет отклонение группы G от
максимальной группы G. Напомним также, что
*,(<?) = Z(G)/Z(G). (46.7)
46.8. Лемма. Пусть G —связная группа Ли, N —ее замкнутый
нормальный делитель, для которого факторгруппа К = G/N компактна.
Тогда
(а) N обладает компактной системой образующих.
(/3) Если группа G полупроста, то каждый непрерывный
гомоморфизм а: N -*Ш (в аддитивную группу Ш) продолжается до
непрерывного гомоморфизма /3: G —► К.
Доказательство, (а) Из локальной компактности и связности
группы G вытекает существование предкомпактной окрестности А точки
eeG, порождающей группу G. Соответственно, К покрывается
окрестностями тг(Ап) (nGN), где 7г — каноническая проекция G —► G/N. Выбирая
из этого покрытия конечное подпокрытие, получаем К = тг(В) при
некотором В = Ап. Отсюда G = BN. Тем более G = CN, где С — замыкание В в
группе G.
Из равенства G = BN следует, в частности, что С покрывается
окрестностями Вх, где xeN. Отсюда С2с СХ, где X — конечное подмножество
в N. Отсюда также Ст с СХт~1 для всех т еN. Поскольку G покрывается
компактами Ст, мы находим G = CY, где Y — подгруппа в N, порожденная
множеством X. В частности, N — DY, где D = С П N. Отсюда заключаем,
что N порождается компактным множеством D U X.
(/3) Пусть G{ = G х R — прямое произведение группы G и аддитивной
группы R. Пусть Н — подмножество всех пар вида (п, —а(п)), где пе N.
316 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Ясно, что Н есть замкнутый нормальный делитель в Gx. Подгруппа в Gv
порожденная подмножеством #UR, совпадает с JVj =N x R и потому
замкнута в Gv Факторизуя цепочку Н с Nxc Gx по нормальному делителю Я,
получаем связную группу Ли GJH с нормальным делителем NJH.
Заметим, что группа Gx/N{ « G/N полупроста. Применяя в этой ситуации
теорему Леви (п. 20.5), получаем
GJH = S-R (46.8)
(полупрямое произведение), где S » G/N « К. Ясно также (из
определения G{), что R содержится в центре группы (46.8). Отсюда заключаем,
что (46.8) есть прямое произведение групп 5, R. Полагая (3(sx) = x, где
s € 5, ж Е R, получаем непрерывный гомоморфизм /3: GJH-+R,
тривиальный на 5 и тождественный на R. Из тождественности на R следует,
что /3 поднимается до непрерывного гомоморфизма (3: G—>R. Применяя
равенство
(п, 0) = (п, -а(п))(е, а(п)),
получаем /3(п, 0) = а(п), т. е. /3: G —>R есть искомое продолжение
гомоморфизма а: N —► R.
46.9. Метод Н. Бурбаки. Пусть G — односвязная группа Ли
класса £(д). Положим Z0 = Z(G). Факторгруппа
G = G/Z0 (46.9)
изоморфна Adg и потому компактна (Adg С U(n), ввиду компактности
алгебры д). Напомним (п. 46.7), что в нашем случае группа Z0 дискретна, так
что G0 есть (минимальная) группа класса £(д).
Применяя лемму 46.8 к дискретному нормальному делителю N = Z0i
находим, что группа ZQ имеет конечное число образующих. Следовательно,
ZQ&Zk х FQ, где подгруппа F0 конечна. Если к ф0, то группа Z0 обладает
нетривиальным (ф 0) непрерывным гомоморфизмом а: Z0 -+ R. Применяя
снова лемму 46.8, получаем, что а продолжается до непрерывного
гомоморфизма /3: С? —>R. Заметим, что /3(C) = 0, где G' — производная подгруппа
группы G. Однако, из равенства g = g' (в нашем случае) и связности G, G'
следует G = С Следовательно, /3=0. Полученное противоречие означает,
что к = 0, т. е. группа ZQ = F0 конечна. В частности, группа G компактна,
и также card £(g) < оо.
Пример. Группа G = SU(n) односвязна (п. 37.6). Центр ZQ = Z(G) в
этом случае состоит из матриц Ае (А €<С), кратных единичной матрице е.
Условие det(Ae) = 1 означает, что Ап = 1, т. е. А есть корень гс-й степени
из единицы. Следовательно, Z0 « Zn (циклическая группа порядка п).
Заметим, что число различных подгрупп группы Zn есть с(п), где с(п) —
число всевозможных делителей числа п (включая 1 и п). Отсюда
заключаем, что
card£(g) = c(n) при g = su(n).
46.10. Метод Г. Вейля. Пусть G = Ad g — присоединенная группа
алгебры g (G = G0 в обозначениях п. 46.7). Тогда имеем
G = G/ZQ,
§ 46. МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ 317
где G — универсальная накрывающая группы G, Z0 = Z(G) = 7r1(G).
Теорема 46.7 будет доказана, если проверить, что card Z0 < оо.
Фиксируем максимальный тор Н группы G и будем записывать элементы
д е G в виде uhu~l, где heH, ueG. Элемент % е G назовем регулярным
(по аналогии с п. 18.5), если оператор g0eEndg имеет минимально
возможную кратность характеристического корня 1 среди операторов д е G,
действующих в д. Очевидно, регулярность элемента g = uhu~l равносильна
регулярности элемента heH.
Продолжая операторы д е G на комплексную оболочку 5=д©гд, заметим,
что эти операторы унитарны относительно скалярного произведения (39.13)
в алгебре J. Положим f) = l)©if), где jj=Lie Я. Операторы heH мы
записываем в виде h = exp ix, где х = х* е I). Заметим, что оператор h диагоналей
в базисе Картана — Вейля с собственным значением 1 в подпространстве \)
и с собственным значением xa(h) = eia№ в подпространстве Ja (a G A).
Регулярность элемента h равносильна а{х)ф2кж (к е Z) для всех а е Д+.
Сингулярность элемента h означает, что a(x) = 2kn при некотором а е Д+.
Фиксируем а е Д+, и пусть Sa — множество тех д е G, для которых
Xa(/i)= 1. Фиксируем /iqE^h напомним, что равенство (46.3) определяет
параметры в некоторой окрестности U точки h^eG, при условии, что хе
€ 0о» У € Во» гДе 0о — централизатор элемента а^ (h^ = ехр га^) в алгебре д.
Применяя к элементу Jiq малую деформацию, можем считать, что Х^Сч>) ^ 1
при (3 ф ±а. В этом случае
Яо = Ьо©в(<*),
где{)0 = кег а в подалгебре f), g(a) = gng(a), так что g(a)«su(2), dimg(a) =
= 3. Пересечение UQ= Unt,a определяется условием хе ()0. Отсюда
заключаем, что SQ есть подмногообразие в группе G коразмерности 3:
dimSa=dimG-3. (46.10)
Фиксируем регулярный элемент д0 е G и будем рассматривать замкнутые
пути g(t) (0< t < 1), для которых <7(0) = <7(l) = <fo. Согласно (46.10),
множество Е всех сингулярных элементов д е G есть объединение конечного
числа подмногообразий Sa коразмерности 3. Отсюда находим, что путь g(t)
можно заменить, посредством малой деформации, гомотопным путем, не
пересекающим множество Е. Иначе говоря, можем считать, что все точки g(t)
регулярны. Положим в этом случае
g{t) = u(t)h(t)u(t)-\
где h(t)eH, u(t)e G. Используя параметры (46.3), можем добиться,
чтобы функции h(t), u(t) были непрерывны. Условие замкнутости пути g(t)
записывается в виде
h(l) = uh(0)u>-1, (46.11)
где и) = и(1)-{и(0).
Полагая h(t) = ехргх(£), заметим, что числа a(x(t)) вещественны и
определяют координаты точки x(t)el) при а е S, где S — подсистема
простых корней в А+. Выбирая точку зь = д(0) = д(1) достаточно близкой к
318 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
точке е, можем считать, что условие
0<а(х(г))<2тг (46.12)
выполнено при t = 0 для всех а е А+. Но тогда из регулярности
элементов h(t) следует, что условие (46.12) выполняется для всех значений t
(0^ t ^ 1). В частности, отсюда следует (при а е 5), что элементы x(t)
определяются однозначно и непрерывно зависят от параметра t.
Предположим вначале, что h(0) = h(l), так что х(0) = ж(1) = Xq при
некотором Xq € I). Заметим, что семейство
x8(t) = (l-s)x(t) + sx0,
где 0< 5 ^ 1, удовлетворяет условию регулярности (46.12) и стягивает путь
XQ(t) = x(t) в точку xl(t) = x0. Соответственно, исходный путь g(t)
гомотопен регулярному пути
АЬ(') = «(*)Ло«(*)"1»
где /iQ = expia%. Заменяя в этом равенстве h0 на h0(s) = expis:cQ, получаем
однопараметрическую подгруппу g0{t)\ проходящую через g0(t) при 5=0.
Семейство
где 0 < s < 1, стягивает путь g0(t) в точку д0. В результате получаем, что
исходный путь g(t) гомотопен нулю.
В общем случае находим (рассматривая д-д'~1), что каждые два пути
9(t)i 9f(t) c общей точкой h(l) = h'(l) гомотопны между собой. Число
классов гомотопии определяется числом подобных матриц (46.11). Поскольку
эти матрицы получаются друг из друга перестановкой собственных
значений, их число конечно. Отсюда заключаем, что группа nx(G) конечна, что
и доказывает теорему 46.7.
§ 47. Полупростые группы Ли
47.1. Обозначения. Пусть G — полупростая связная комплексная
группа Ли. Напомним (п. 39.9), что алгебра g = Lie G обладает компактной
формой Вейля £ = u(g). Соответственно, группа G обладает виртуальной
подгруппой К = exp L Ниже будет показано, что К есть подгруппа Ли
группы G, G есть комплексная оболочка группы К, К — максимальная
компактная подгруппа группы G.
Пусть Я — картановская подгруппа группы G. Напомним (п. 44.9), что Я
есть нормализатор некоторой картановской подалгебры f) с д:
H = {geG:(Adg)bCl,h (47.1)
откуда f) = Lie Я. Поскольку группа G полупроста, все картановские
подалгебры [) с g коммутативны. Отсюда также Я = ZG(H) (п. 44.9).
§ 47. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ 319
47.2. Теорема. Пусть G —полупростая связная комплексная группа
Ли. Тогда
(а) Группа G обладает точным линейным представлением. Более
того, для каждого такого представления (я-, V) группа G алгебраична
в пространстве V.
(/3) Для каждой компактной вещественной формы Ь алгебры g = Lie G
виртуальная подгруппа К = ехр I есть максимальная подгруппа
группы G, G есть комплексная оболочка подгруппы К.
(7) Центр Z(G) (соответственно, n{(G)) совпадает с Z(K)
(соответственно, ъх(К)).
Доказательство. Пусть вначале группа G односвязна. Фиксируем
компактную вещественную форму teg, и пусть К — односвязная группа
класса C(t). Согласно теореме Г. Вейля (п. 45.7), группа К компактна.
Следовательно, группа К алгебраична (п. 45.5) и обладает алгебраической
реализацией К С GL( V).
Применяя теорему 45.9, находим, что К обладает комплексной
оболочкой G{ с GL(V)t так что алгебра Ли gj = Lie Gx есть комплексная
оболочка алгебры t: g{ «д. Отсюда заключаем (ввиду односвязности G, G{),
что Gx& G. Таким образом, в этом случае теорема доказана (в частности,
щ(0) = щ(К) = {е}).
В общем случае напомним, что каждая группа класса £(д) изоморфна
одной из групп
G = G/N, (47.2)
где G — односвязная накрывающая группы G, N — произвольная
подгруппа в дискретном^ентре ZQ = Z(G). Согласно упражнению 3 п. 44.3, имеем
Z^ — Z(K)y где К — максимальная компактная подгруппа в G. В частности,
N С К. Полагая
К = K/N, (47.3)
получаем компактную подгруппу К С G. Применяя к группе К предыдущие
рассуждения, находим G&GV где G{ — комплексная оболочка группы К.
Следовательно, G есть комплексная оболочка группы К, К = ехр 6 есть
максимальная компактная подгруппа группы G.
Остается напомнить (п. 44.3), что Z(G)~Z(K). Согласно (46.7), имеем
также 7T1(G) = 7r1(JK').
47.3. Основные следствия. Теорема 47.2 содержит существенную
информацию о структуре группы G. Отметим ряд следствий из этой теоремы.
Согласно (а), группа G алгебраична, т. е. обладает структурой
алгебраического многообразия над С, относительно которой групповые операции
группы G полиномиальны. Согласно (/3), для каждой компактной формы
tCg группа iJT = expt есть вещественное подмногообразие в G. В
частности, К есть подгруппа Ли группы G, G есть комплексная оболочка
группы К.
Согласно общей конструкции п. 45.9, G cGL(V) есть симметричная
подгруппа в GL(V), K = GnU(V). Соответственно, G обладает полярным
разложением (п. 44.2), разложением Гаусса (п. 44.6), разложением Ивасавы
320
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
(п. 44.7). Полярное разложение группы G индуцирует полярное
разложение (44.7) картановской подгруппы Я, т. е.
Н = ТА*ТхА, (47.4)
где Т = НГ)К (картановская подгруппа группы К), А = НГ)Р (векторная
часть подгруппы Я). Напомним (п. 44.2), что группа К связна. Согласно
теореме 46.2, Г есть максимальный тор группы К. Отсюда
Т = ехр £, А — ехр а « а, (47.5)
где t = Lie Г (картановская подалгебра алгебры 6), а = Lie A « Rn (n =
= rank g). Сопоставляя (47.4), (47.5), находим, что Я = ехр fj есть связная
подгруппа группы G.
Отсюда заключаем, что экспоненциальное отображение ехр: g —* G
устанавливает биекцию между картановскими подалгебрами fj с g и картанов-
скими подгруппами Я = ехр fj группы G.
Ясно также (ввиду теоремы 38.3), что все картановские подгруппы
группы G сопряжены относительно внутренних автоморфизмов группы G.
Согласно следствию 44.4, операция сужения G \ К определяет
эквивалентность категории голоморфных G-модулей с категорией
конечномерных if-модулей. В частности, каждый простой голоморфный G-модуль
конечномерен и остается простым при сужении на К. Более того, каждый
голоморфный G-модуль полупрост и однозначно определяется своим
сужением на К.
Упражнения. 1. Каждая картановская подгруппа Я с G
максимальна в классе абелевых подгрупп группы G, для которых присоединенное
действие Ad Я в алгебре g = Lie G диагонально.
2. Обратно, каждая абелева подгруппа Я С G с диагональным действием
Ad Я есть картановская подгруппа группы G.
3. Центр Z(G) совпадает с пересечением всех картановских подгрупп
группы G.
4. Для каждой борелевской подалгебры b = f)©u (п. 38.11) виртуальная
подгруппа В =ехр Ь замкнута в G, т. е. В есть подгруппа Ли группы G.
5. Подгруппа В разрешима и обладает разложением Гаусса
B=HN = NH (*HxN), (47.6)
где N = ехр n« n — односвязная подгруппа, N = B' (производная подгруппа
группы В).
47.4. Борелевские подгруппы. Борелевской подгруппой группы G
называется каждая подгруппа В = ехр Ь, где Ь — борелевская подалгебра
алгебры д. В частности, В имеет вид (47.6), где Я — картановская
подгруппа группы G.
Легко проверяется, что каждая борелевская подгруппа В группы G
разрешима и максимальна в классе связных разрешимых подгрупп группы G.
Можно также показать, что все борелевские подгруппы группы G
сопряжены относительно внутренних автоморфизмов группы G (см.,
например, [ВО; ГГ; Се]).
§ 47. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ 321
Упражнения. 1. Докажите, что борелевские подгруппы В± = HN± (в
обозначениях п. 44.6) сопряжены между собой относительно группы Вей-
ля (46.6).
2. Докажите, что для каждого а е А+ виртуальные подгруппы Ga =
= expg(a), Ga=expfl(o:), где д(с*) = д(а)ез(а) (j(a) = ker а в подалгебре
I)) суть подгруппы Ли с алгебрами Ли (соответственно) g(a), 5(a).
[Указание: _
Ga=NG(g(a)), Ga = Z56(a)).]
3. Фиксируем подмножество простых корней 50сА+,и пусть G0
(соответственно, GQ) — виртуальная подгруппа группы G, порожденная элементами
e±a, ha при а е SQ. Проверьте аналог утверждения 2 для G0, G0.
Подгруппы G0, G0 (называемые регулярно вложенными подгруппами
группы G) мы будем рассматривать в п. 50.2.
47.5. Теорема (Г. Вей ль). Пусть G — связная полупростая
(комплексная или вещественная) группа Ли. Тогда имеем:
(а) Каждый конечномерный G-модуль X полупрост.
((3) Модуль X полупрост (диагоналей над полем С) при сужении на
каждую картановскую подгруппу Н cG.
Доказательство. Достаточно напомнить, что VGX = VflX (п. 36.3)
и воспользоваться алгебраическим вариантом теоремы Г. Вейля (п. 20.2).
Отсюда следует (а). Можно также воспользоваться реализацией (40.12)
простых g-модулей (либо g-модулей, где g = g© гд). Отсюда следует (/3).
Уместно также привести первоначальное доказательство Г. Вейля, в
котором используется максимальная компактная подгруппа К с G (п. 47.2).
Если X — голоморфный G-модуль, то утверждения (а), (/3) вытекают
(соответственно) из компактности группы К и соотношений
VQX = VKX> VHX=VTX.
В общем случае достаточно считать, что группа G односвязна. Заменяя
объекты G, Xjix комплексными оболочками G, X, где g = Lie G = g® ig,
находим, что X есть голоморфный G-модуль. Отсюда снова получаем (а), (/3).
47.6. Теорема. Пусть G —связная полупростая комплексная группа
Ли, В =HN—ее борелевская подгруппа. Тогда имеем:
(а) Для каждого простого конечномерного G-модуля X его
подпространство XN одномерно и обладает структурой В-модуля, т. е.
Ьх = \(Ь)х для всех b еВ, хеХ, (47.7)
где А —характер группы В (тривиальный на N и потому однозначно
определяемый своим сужением на картановскую подгруппу Н).
(/3) Характер А определяет модуль X с точностью до изоморфизма.
Иначе говоря, изоморфность простых G-модулей X&Y равносильна
изоморфности Н-модулей XN » YN.
22 Зак. 184
322
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Доказательство. Достаточно воспользоваться инфинитезимальной
теорией (п. 36.3), переходя к дифференциалу G-модуля Х. В частности,
XN = Xe (экстремальное подпространство g-модуля Х), откуда следует, что
дифференциал характера А в (47.7) есть старший вес g-модуля X « V(X).
Однако, проще применить теорему С. Ли (п. 29.4) к связным разрешимым
группам В± (п. 47.4), где В = Я+. Повторяя почти дословно доказательство
теоремы 29.8, получаем (а), (/3), где роль XN играет единственный
одномерный Б-подмодуль Х0, определяемый равенством (47.7). Заметим также,
что BXN с XN (для каждого G-модуля -Х"). В нашем случае (по
теореме 47.5 (/?)), XN есть диагональный Я-модуль. Отсюда заключаем (ввиду
единственности Х0), что XQ = XN.
47.7. Следствие. Для каждого конечномерного G -модуля X
(i) Отображение X »-> XN определяет биекцию между изотипически-
ми компонентами Хх модуля X (X е G) и весовыми компонентами
XxN = XNnXx
Н-модуля X (где А —характер картановской подгруппы Я).
(И) Модуль X прост тогда и только тогда, когда dim XN = 1.
Действительно, (i) вытекает непосредственно из теоремы 47.6, с учетом
теоремы Г. Вейля о полной приводимости (п. 47.5). Ясно также, что (i)
влечет (и).
Характер А группы Я = ЯЛГ называется индуктивным, если он действует
в XN (по правилу (47.7)) в одном из простых конечномерных G-модулей Х.
Напомним (п. 29.8), что в этом случае характер А поднимается до
непрерывной функции /А на группе G, определяемой на регулярных элементах
g = mhn e Greg по правилу
fx(g) = fx(mhn) = \(h). (47.8)
Согласно теореме 47.6, классификация (с точностью до изоморфизма)
всех простых G-модулей сводится к описанию всех индуктивных характеров
картановской подгруппы Я.
47.8. Теорема. Пусть G —связная полупростая комплексная группа
Ли, В = HN —ее борелевская подгруппа. Тогда имеем:
(а) Индуктивность характера А группы G равносильна тому, что
функция (47.8) продолжается с Greg до непрерывной G-финитной
функции на группе G.
(13) Соответствующий G-модуль X « V^(A) голоморфен тогда и
только тогда, когда характер А голоморфен на картановской
подгруппе Я.
Доказательство. Если функция /А непрерывна и G-финитна, то
линейная оболочка X всех функций fx(xg), где ge G, есть конечномерный
подмодуль в C(G) (относительно правых сдвигов в C(G)). Заметим, что
каждая функция f еХ удовлетворяет соотношениям
f(mhx) = \(h)f(x),
§ 47. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ 323
для всех га Е N', h Е Я. Поэтому экстремальное подпространство XN не
содержит «старших векторов» /м при /х ф А, так что dim XN = 1. Применяя
следствие 47.7 (И), заключаем, что X есть простой G-модуль, т. е.
характер А индуктивен.
Помимо этого, если характер А голоморфен, то его дифференциал есть
комплексно линейный функционал в пространстве f) = Lie Я. Отсюда
заключаем, что <3-модуль X « V(A) голоморфен.
В п. 48.7 будет отмечено другое доказательство (/3), без использования
инфинитезимальной теории.
47.9. Характеры картановской подгруппы. Полярное
разложение (47.4) позволяет дать простое описание всех (непрерывных) характеров
подгруппы Я. Полагая h = at, где ае A, t еТ, получаем, что каждый
характер А группы Я имеет вид
X(h) = X(at) = ti(°)v{t), (47.9)
где /х (соответственно, v) — сужение характера А на подгруппу А
(соответственно, Г). Поскольку подгруппы Н,А,Т связны, мы можем
отождествить характеры (47.9) с их дифференциалами (соответственно) в fj*, a*,
t*. Перепишем (47.9) в виде
А(й) = а"Г, (47.10)
где а^ехр х) = е^х) (аналогично для tv). Поскольку А = expo «а,
параметр [I в (47.10) принимает все возможные значения в а*. Поскольку
Т=ехр ltti/R, где R — решетка, определяющая тор Т, мы находим veR°,
где правая часть означает множество всех v E f)*, удовлетворяющих условию
tu(R) = {l} (R° — дуальная решетка к решетке R).
Иногда удобно записывать (47.10) в символической форме
\(h) = h*V, (47.11)
в соответствии с полярным разложением а= (hh)l/2t t = orlh, так что /х =
= ог + т, 1/ = <7-т. В этом случае а, тЕI)* связаны соотношением а — г ЕR0.
Согласно (47.11), характер А голоморфен только при т = 0, т. е. A(/i) =
= hx, где A €R°. Характер (47.11) поднимается до голоморфного характера
группы Я х Я (с независимыми компонентами Л, Л) лишь в случае, когда
a,reR°.
Пусть A+(G) — множество всех голоморфных индуктивных характеров А
группы Я. Если группа G односвязна, то естественное вложение A+(G)c
С ()* (переход к дифференциалу характера А) превращается в равенство
Л+(<3) = Р+ (теорема 41.5). В общем случае A+(G) с Р+.
Напомним (п. 47.3), что центр Z(G) группы G содержится в каждой
картановской подгруппе группы G.
47.10. Теорема. Пусть G = GJZt где Gx — односвязная накрывающая
группа группы G, Z —-центральная подгруппа группы G{ (так что Z =
= 7г1(<3)). Тогда имеем:
(а) Характер X е Р+ содержится в A+(G) тогда и только тогда,
когда X(z) = 1 для всех ze Z.
(/3) Группа G односвязна тогда и только тогда, когда A+(G) = Р+.
22*
324 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Доказательство. Заметим, что H = HJZ, где Нх—картанов-
ская подгруппа группы G{. Условие A(z) = 1 (ze Z) означает постоянство
функции (47.9) на классах смежности (mod Z), что позволяет
рассматривать (47.9) как функцию на группе G. Отсюда следует (а).
Если A+(G) = Р+, то А(2) = 1 для всех \ еР+, откуда rx(z) = X(z)l = 1,
так что z G кег тА для всех А е Р+. Согласно теореме 41.12, отсюда следует
z = е. В результате Z = {е}, G = Glf т. е. мы получаем (/3).
47.11. Картановские решетки. Для описания индуктивных характеров
подгруппы Н нам понадобятся в § 48 некоторые специальные решетки в
алгебре fj = Lie Я.
Элемент xefy называется целочисленным, если а(х)eZ для всех а е А.
Достаточно, чтобы это условие выполнялось при а е S (S — подсистема
простых корней в Д+).
Пусть Тх (соответственно, Г0) — решетка всех целочисленных элементов
х el) (соответственно, подрешетка, порожденная элементами Шевалле ht
(i el)). Полагая ж = Х) x{hit находим, что условие хеТ{ сводится к системе
отношений ot-(x) £ Z для всех j £ /, т. е.
^«^sOmodZ, (47.12)
г
где a=(ai3) — матрица Картана системы Д. Полагая d = deta (так что
О Ф d e Z+), получаем Im х. = 0, dx{ £ Z для всех г £ J. Несложное
исследование системы (47.12) приводит к следующим результатам.
(а) Факторгруппа Т{/Г0 конечна и содержит ровно d элементов (d =
= deta).
(/3) Множество TJTQ совпадает с множеством всех столбцов
ассоциированной матрицы (a) = dd~1, отождествляемых (покоординатно)
посредством сравнения (mod Z).
Явный вид I^/Го для простых алгебр Ли определяется следующей
таблицей.
Алгебра g
г,/г„
Ап
Zn+,
вп
z2
сп
z2
D2k
ZjXZj
&2к+1
z4
Е6
z3
Е1
Z2
^8
z,
Я
z,
G2
zj
Здесь Zn — циклическая группа порядка п.
Решетка 1^ называется картановской решеткой в алгебре fy.
47.12. Линейные группы. Основные результаты этого параграфа
переносятся без существенных изменений на линейные симметричные (не
обязательно связные) группы Ли Gc GL(V) над полем С.
Основное отличие сводится к тому, что подгруппы К, Т, Н не обязательно
связны. Соответственно, характеры подгруппы Н не определяются своими
дифференциалами в f)*.
§ 48. АЛГЕБРА A(G) 325
Теорема 47.6 остается в силе для связных редуктивных комплексных
групп Ли. Действительно, второй вариант доказательства этой теоремы
переносится на редуктивный случай. А именно, из разложения Леви в
алгебре g = Lie G следует G = G' • Z(G) (локально прямое произведение).
Из скалярности действия Z(G) в модуле X следует по-прежнему, что Xs
есть диагональный Я-модуль. Отсюда, как и в п. 47.6, получаем равенство
X0 = XN, чем и завершается доказательство теоремы.
Однако, теорема Г. Вейля (п. 47.5) не выполняется даже для абелевых
групп Ли. Например, семейство матриц
приводимо, но не вполне приводимо.
Упражнения. 1. Пусть G — редуктивная связная группа Ли, X —
конечномерный G-модуль. Докажите, что редуктивность G-модуля Х
равносильна редуктивности его сужения на подгруппу Z(G)e (связная
компонента единицы группы Z(G)). [Указание: воспользуйтесь критерием
редуктивности п. 20.7.]
2. Докажите, что каждая группа GL(n, F) обладает приводимыми, но не
вполне приводимыми представлениями.
§ 48. Алгебра A(G)
48.1. Алгебра A(G). Всюду в этом параграфе G — гауссова группа
(п. 44.10). Согласно теореме 47.2 (см. также п. 47.3), к этому классу
относятся все связные полупростые комплексные группы Ли.
Пусть A(G) — алгебра всех голоморфных G-финитных функций на
группе G. Повторяя рассуждения п. 45.6 (см. также следствие 44.4), находим,
что A(G) есть линейная оболочка матричных элементов простых
голоморфных (и потому конечномерных) G-модулей. Следовательно,
Л(С)= ®^AX(G), (48.1)
XeG
где AX(G) — линейная оболочка мат{жчных элементов фиксированного
модуля (Vх, тА) класса XeG. Здесь G — множество классов изоморфизма
простых голоморфных G-модулей.
Заметим, что операция f ®ч»-*т^ (п. 10.4) определяет изоморфизм G-би-
модулей
AX(G)&VX®VX, (48.2)
где Vx = (^А)*, относительно действий (26.6) группы G в A(G).
Пусть К = Gn U(n) — максимальная компактная подгруппа группы G.
Согласно следствию 44.4, операция сужения G [К определяет биекцию
G ~ К, где К — множество классов изоморфизма простых конечномерных
ЯТ-модулей. А именно, каждый G-модуль (УА, тА) остается простым при
326 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
сужении G[К. Соответственно, (Vх, тА) есть аналитическое продолжение
одноименного К -модуля (где А е К).
В частности, все функции feA(G) однозначно определяются своими
сужениями на подгруппу К. Операция G[К определяет изоморфизм
ассоциативных алгебр (с поточечным умножением) A(G)&A(K),
относительно которого AX(G)«АХ(К). Отсюда (по аналогии с п. 45.10) находим,
что A(G) есть структурная алгебра многообразия G.
Если группа G связна, то множество G отождествляется (п. 47.9) с
множеством индуктивных характеров A+(G) картановской подгруппы Н = Gn
hD(n). Напомним, что отождествление характеров A eA+(G) с их
дифференциалами А е J)* (I) = Lie Н) определяет вложение A+(G) с Р+. Здесь Р+
для редуктивных алгебр Ли определяется прежним равенством (41.2)
(однако, в редуктивном случае множество Р+ не обязательно дискретно).
В дальнейшем мы предполагаем, что группа G связна. Заметим, что
множество Х(Н) всех характеров группы Н есть группа (относительно
поточечного умножения). Ниже будет показано, что A+(G) есть полугруппа
(относительно умножения в Х(Н)).
48.2. Алгебра A*(G). Фиксируем разложение Гаусса (44.6) в группе G,
и пусть A*(G)— подалгебра в -4(G), определяемая системой уравнений
f(mxn) = f(x) для всех т € N', n е JV, (48.3)
Заметим, что ДЙ(С) есть экстремальное подпространство G-бимоду-
ля A(G) относительно подгруппы М = iV' x N (а именно,
подпространство М-инвариантов G-бимодуля A(G)). Отсюда
A*(G) = е<С/\ (48.4)
где /А —единственный матричный элемент группы G, определяемый
уравнениями (47.9), что сводится к условиям (48.3) и к добавочному условию
fx(x) = X(x) для всех хеН. (48.5)
Заметим, что для каждой пары характеров A, р, eA+(G) функция fxffi
удовлетворяет соотношениям (48.3), (48.5), с заменой А на А/х. Используя
аддитивную запись умножения в Х(Н)У получаем
/АГ = /А + ", (48.6)
для всех А,/х eA+(G). Помимо этого f°(x) = 1 содержится в A(G).
Отсюда заключаем, что A+(G) есть полугруппа с единицей (с нейтральным
элементом 0 е Р+).
48.3. Предложение. Соотношение (48.1) есть Р+-градуировка
алгебры A(G). Более того, для каждой пары A, /i е Р+ имеем:
ДА(С)Д"(С) = ДА+*(С). (48.7)
§ 48. АЛГЕБРА A(G) 327
Доказательство. Достаточно заметить, что левая часть (48.7)
содержится в правой и содержит функцию /А+м, порождающую простой G-би-
модуль Ax+,i(G). Отсюда следует (48.7).
Упражнение. Докажите, что двойственность между алгебрами F(g),
17(g) (п. 33.8) индуцирует двойственность между алгебрами A(G), U(g).
48.4. Алгебра Л(Х). Пусть X = G/N' — правое (^-пространство,
составленное из классов смежности N'x, где xeG. Полагая /(ж) = f(N'x),
мы отождествляем функции f еС(Х)с функциями f eC(G), постоянными
на классах смежности (mod N'). Соответственно, подалгебра
Л(Х) = {/ € A(G): f(mx) = /(я), Vm € N'} (48.8)
может рассматриваться как алгебра голоморфных функций на комплексном
многообразии X.
Заметим, что А(Х) = A(G)N' есть экстремальное подпространство
правого G-модуля A(G) (относительно (26.6), т. е. относительно действия
(gf)(x) = f(xg)). Согласно следствию 47.7, имеем
Л(Х)= ®^АХ(Х), (48.9)
XeG
гдеДА(Х) = Д(Х)пЛА(С).
Экстремальное подпространство AX(X)N одномерно (и совпадает с С/А).
Отсюда заключаем, что АХ(Х) есть простой G-модуль. Более того, из (48.7)
получаем
АХ(Х)А"(Х) = АХ+»(Х), (48.10)
для каждой пары А, /х е A+(G).
Таким образом, алгебра А(Х) содержит однократно все простые
голоморфные G-модули. В этом смысле алгебру А(Х) обычно называют
универсальной моделью G-модулей (или универсальной
представляющей алгеброй группы G).
Напомним также (п. 45.10), что -4(G) есть структурная алгебра
алгебраической группы G. В этом смысле X есть аффинное многообразие
(выделяемое уравнениями (48.8). Обычно это многообразие X = G/N' называют
основным аффинным многообразием группы G.
Согласно разложению Гаусса (44.6), пространство X содержит всюду
плотное подмножество В = HN (борелевская подгруппа группы G).
Поэтому функции / € А(Х) однозначно определяются своими сужениями на В.
Если / € АХ(Х), то имеем также
f(hx) = \(h)f(x) (48.11)
для всех heH, xeG. Отсюда следует (при х е N), что функция /
однозначно определяется своим сужением на подгруппу N.
Пусть VX(N) — образ пространства АХ(Х) при сужении G IN.
Согласно (48.11), действие группы G в пространстве Vх (N) определяется по
правилу
(9f)(x) = 4x,g)f(x.g), (48.12)
328
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
где А (ж, g) = fx(xg) и элемент ж, = х • д определяется разложением Гаусса
хд = mlhlxl (ml е Nf, h{ еН, ххе N). В частности, А (ж, д) = А(^).
Примеры. 1. Положим G = SL(2,С) и заметим, что каждая матрица
х е В+(2) однозначно определяется своей первой строкой (жм а^).
Пространство Л(Х) в этом случае совпадает с СГх^а^]. Подпространство ЛХ(Х)
выделяется условием однородности (48.11), т. е.
f(txl,tx2) = \(t)f(xvx2), (48.13)
где \(t) = tn — характер картановской подгруппы # « С„ (пеZ+). Ясно
также, что действие группы G сводится к замене x^(xiix2) строкой хд
(дев).
2. Сужение на группу N сводится к подстановке ж, = 1. В этом
случае (48.12) принимает вид
(<7/)(х) = (« + 7*)7(£т$), (48.14)
где х = Х2 е С и а, /3, % 8 — матричные элементы тождественного действия
дев (а=0п, /? = 012 и т. д.).
Таким образом, использование алгебры Л(Х) позволяет получить
конструктивное описание всех простых голоморфных А-модулей.
48.5. Теорема. Пусть G—связная гауссова группа (в частности,
связная полупростая комплексная группа Ли). Тогда имеем:
(а) Для каждого A eA+(G) пространство VX(N) (n. 48.4) состоит
из полиномов (от экспоненциальных координат) в группе N.
(/3) Пространство Vх (N) натянуто на полиномы
\(x,g) = fx(xg), (48.15)
где xeN, geG. В частности, fx(x) = 1 есть старший вектор
G-модуля Vх (N).
(7) Семейство Vх(N) удовлетворяет соотношениям
VX(N)V»(N) = VX + »(N), (48:16)
для всех А, /х е A+(G).
Доказательство. Достаточно заметить, что функция /А при
сужении на N тождественно равна 1. Согласно (48.12), пространство Vх (N)
натянуто на функции А (ж, g) = (gl)(x). Согласно общему правилу (п. 29.8),
функция А (ж, д) = (хд^ /0) есть полином от элементов х € N (ввиду
нильпотентности группы N). Отсюда следует (а). Утверждение (/?) вытекает
непосредственно из (48.10).
Замечание. Экспоненциальное отображение определяет
гомеоморфизм N«Cm, где ra = cardA+. Таким образом, все простые
голоморфные G-модули реализуются в классе полиномов на векторном пространстве
48.6. Произведение Юнга. Условимся говорить, что G-модуль Vх+t*
есть произведение Юнга G-модулей Vх, V.
§ 48. АЛГЕБРА -4(G) 329
Согласно (48.10), произведение Юнга индуцируется умножением в
универсальной алгебре Л(Х). Согласно (48.16), это умножение можно
заменить умножением в алгебре полиномов P(N) на группе N.
П р и м е р ы. 1. Пусть G{ — односвязная полупростая комплексная
группа Ли. В этом случае A+(G{) = P+ — свободный Z+'МОдуль с базисом из
фундаментальных весов шр (l^p^n) алгебры g (п. 41.6). Соответственно,
каждый простой голоморфный Gx -модуль Vх есть произведение Юнга
Vх = ft KAS (48.17)
где V{ = VUi (семейство фундаментальных G^-модулей), Х{ = \(h.).
2. Соотношение (48.17) сохраняется для связных полупростых
комплексных групп Ли G = GJZ, если рассматривать V( как «многозначный» G-mo-
дуль (r-значный, где г < card Z).
3. Если G редуктивна, то к образующим V. (1 ^ г ^ п) добавляются
одномерные образующие, отвечающие характерам центра группы G.
В частности, пусть G = GL(n, С). В этом случае каждый простой
голоморфный G-модуль имеет вид (48.17), где вес шр (1 ^р < п)
соответствует главному диагональному минору Ар(х) матрицы ж, Хр е Z+ при
р = 1,..., п — 1, An e Z (здесь V^1 — одномерный G-модуль, отвечающий
характеру Д^1).
Упражнения. 1. Пространство VX(N) натянуто на кратные
производные функций (48.15) (по параметрам g e G) в точке е е G.
2. Пространство Vх (N) натянуто на функции (48.15) при g е £7, где U —
сколь угодно малая окрестность точки е е G.
3. Пусть G = GL(n, С). Пространство Vp в этом случае есть линейная
оболочка всех миноров ранга р, составленных из первых р строк матрицы
xeN. [Указание: линейная оболочка L всех таких миноров есть G-модуль,
для которого L N = С • 1.]
4. Положим G = SL(3, С). В этом случае Л(Х) есть алгебра с
образующими х., £. (г = 1,2, 3) и фундаментальным соотношением
х\£\ + Яг£2 + аз£з = 0.
[Указание: элементы х{ (соответственно, £t) порождают V{(N)
(соответственно, Х^(ЛГ)).]
48.7. Теорема. Пусть G — связная полупростая комплексная
группа Ли, H(N) — пространство всех голоморфных функций на группе N.
Тогда Vх(N) выделяется eH(N) (и также вP(N)) системой уравнений
£>tA* + 7 = 0 для всех г el, (48.18)
где Vi — образ элемента е^п(= LieN) в левом регулярном
представлении группы N, Х{ = А(^). Аналогично, VX(N) выделяется ejO°°(N)
системой (48.18), дополненной уравнениями Коши — Римана 2>./ = 0
Доказательство. Напомним, что А(ж, д) = (хд^ /0), где /0 —
младший вектор G-модуля Т^ = (Vх)*. Заметим, что ftXi + lf0 = 0 для всех г е I.
21 Зак. 184
330
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Отсюда (переходя к сопряженному модулю Vх) находим Vx(N)c WX(N),
где WX(N) — пространство всех решений системы (48.18) в H(N).
Применяя операторы (48.12) при х е V, д е U, где V> U — окрестности
единицы (соответственно) в JV, G, для которых VU С Greg, находим
(упражнение), что WX(N) есть д-модуль (относительно дифференциала (48.12)).
Повторяя рассуждения п. 41.5 (i) (с использованием леммы 41.3),
находим dim WX(N) < оо. Следовательно, WX(N) есть G-модуль. Заметим, что
WX(N)N = С- 1. Поэтому WX(N) есть простой G-модуль, т. е. VX(N) =
= WX(N). _ _
Остается заметить, что условие VJ = 0 (г е I) влечет Vaf = 0 (a £ А+),
где Va — образ элемента еа в левом регулярном представлении группы N.
Применяя в группе JV канонические координаты 2 рода, порожденные
элементами еа (аеА+), находим (упражнение), что H(N) выделяется в C°°(N)
уравнениями VJ =0 (г е I).
Замечания. 1. Фундаментальный G-модуль V{ = VWi (г £ /)
выделяется системой уравнений
Ю?/ = 0, ^/ = 0 при i^j. (48.19)
2. Теорему 48.6 можно было бы вывести из теоремы 45 (и). Однако, для
этого требуется существенная информация о двойственности между A(G),
17(g) (п. 48.3).
Система уравнений (48.18) называется индикаторной системой
модуля Vх (N). Более детальный вывод теоремы 48.6 можно найти в [Ж1].
48.8. Теорема. Пусть G — односвязная полупростая комплексная
группа Ли. В этом случае картановская подгруппа Н с G обладает
каноническими параметрами
h(x) = ехрх = J] ехРхгК) (48.20)
iel
где х е f), ht —элементы Шевалле в алгебре t) = Lie H и координаты ж.
вектора ж = £ #< \ подчиняются условию нормировки
i
0^1тжг<27г для всех iel. (48.21)
Доказательство. Заметим, что (48.20) есть общий вид элемента
группы Н. Заметим, также, что
адА = еА<*>=П еА*х< (48.22)
для всех А е ()*. Поскольку группа G односвязна, характер (48.22)
содержится в A+(G) для всех А е Р+. Соответственно, функции
к{(х) = ех** (48.23)
суть индуктивные (голоморфные) характеры группы Я для всех iel.
В частности, (48.23) есть индуктивный характер подгруппы G( = Ga,
(п. 47.4), порожденной корнем at (iel). Согласно (48.23), имеем A+(G,) =
= Р+ (для подгруппы Gt). Согласно теореме 47.10, отсюда следует, что
§ 49. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 331
группа G{ односвязна, т. е. G{ « SL(2, С). Поэтому условие (48.21)
определяет параметризацию подгруппы Н. = Я C\Gt.
Остается заметить, что равенство h(x) = e влечет h(x)x = 1 для всех
А е Р+9 что возможно (в силу (48.21)) только при х4 = 0 (для всех г е /).
Отсюда заключаем, что разложение (48.20) однозначно, т. е.
Я = #!... Нп « Я, х ... х Яп. (48.24)
48.9. Теорема. Пусть G0 = Ad g — присоединенная группа полу
простой комплексной алгебры Ли д. Тогда ее группа Пуанкаре щ(С0)
совпадает с картановской решеткой Т{/Т0 (я. 47.11).
Доказательство. Пусть G — односвязная накрывающая группа
группы G0. Напомним, что
■ki(G0) = Z(G) = Z(K),
где К — максимальная компактная подгруппа группы G. Ясно также, что
ZQ = Z(G) есть ядро представления (Ad, g) группы G.
Согласно (48.19), картановская подгруппа Я группы G отождествляется
с exp(\)/R0), где Д0 = 27ггТ0 в обозначениях п. 47.11. Подгруппа Z0cH
определяется условиями
Xa(h(x)) = еаМ = 1 для всех a G Д,
т. е. х €27ггТ1 в обозначениях п. 47.11. Полагая R{ =2irtTlf получаем
Zo^RJRo^TJTo.
48.10. Следствие. Число e(g) = card£(g) определяется следующей
таблицей
Алгебра д
Число £г(д)
к
с(п + 1)
вп
2
сп
2
А,
4
Е6
3
Е7
2
Е8
1
^4
1
~щ
1
Замечательно, что группа Г^Го, определяемая через матрицу Картана
алгебры g (п. 47.11), определяет топологические инварианты, т. е. классы
гомотопий группы Ad g.
§ 49. Классические группы
49.1. Обозначения. Исходя из общей схемы, изложенной в § 48, мы
дадим описание всех (с точностью до изоморфизма) простых голоморфных
G-модулей, где G С GL(n) — одна из классических линейных групп (над
полем С).
Напомним, что решение этой задачи сводится к описанию множества
индуктивных характеров Л+(С?)сЛ(Я), где Л(Я) — группа голоморфных
характеров картановской подгруппы Я.
21*
332
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Напомним также (п. 47.3), что все картановские подгруппы сопряжены
в группе G. Поэтому достаточно рассматривать диагональные подгруппы
H = GnD(n).
49.2. Группа G = GL(n). Подгруппа H = D(n) изоморфна
комплексному тору С?, относительно записи 8 =diag(<Sp ..., 8п) для элементов 8 е Я.
Соответственно, каждый голоморфный характер а е Л(Я) однозначно
записывается в виде
a(6) = 6P...6p, (49.1)
с показателями т{ £ Z (г = 1,..., п). Заменяя параметры 8i диагональными
минорами Д; = 8Х... 8{1 перепишем (49.1) в виде
а(5) = Д'1...Д'«, (49.2)
где г£ = т{-т{ + 1 (mn + 1=0).
Заметим, что каждый из миноров Д (1 ^ р < п) поднимается по
правилу (47.8) до G-финитной голоморфной функции на группе G
(соответствующее представление действует в пространстве ^-векторов над базисным
пространством V = Cn). Более того, характер Д;1 =(detg)~l голоморфен на
группе G. Отсюда заключаем, что характер (49.2) индуктивен при г. eZ+,
где г = 1,..., п — 1.
Обратно, если характер (49.2) индуктивен, то он индуктивен для каждой
подгруппы G0, регулярно вложенной в G (п. 47.4). Полагая G0= G{1 где G(
порождается простым корнем а{ — е. - ei + l9 получаем г{ € Z+ для всех г =
= 1,..., п — 1. В результате
Д+(С) = {а е Л(Я): rt e Z+ (г = 1,..., п - 1)}. (49.3)
Иначе говоря, каждый простой голоморфный G-модуль изоморфен
одному из модулей V (N), где характер а определяется условиями (49.3).
Пространство Va(N) есть линейная оболочка полиномов
а(хд) = А{(хд)г> ... Ап(^У\ (49.4)
где Ап(хд) = det g не зависит от xeN. Помимо этого, Va(N) выделяется
индикаторной системой (48.18) (с заменой Х{ на г{), где
Т>^±х^к^- (49.5)
k = i %к
относительно параметров x(j (1 ^ г < j ^ п) матрицы xeN. Например, при
п = 3 мы имеем операторы
Заметим, что условие индуктивности (49.3) записывается в
параметрах (49.1) в виде
Щ > . • • > гпп, (49.6)
с дополнительным условием т{ е Z (г = 1,..., п).
§ 49. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 333
Напомним также (п. 48.6), что Va(N) есть произведение Юнга
фундаментальных G-модулей V{ = VA*(JV), где модуль V{ встречается с кратностью
rt. (г = 1,..., п). Соответствующее представление та мы записываем в виде
та=Дг|...АГг. (49.7)
Упражнения. 1. Проверьте (48.19) для функций / = Д;, где Дг
означает А{(хд).
2. Проверьте, что Vp (1 ^.р ^ п) есть линейная оболочка миноров порядка
р, составленных из первых р строк матрицы х е N. В частности,
dim У, = С*.
49.3. Группа G = SL(n). Результаты п. 49.2 переносятся на SL(n)
посредством подстановки det<7 = l. Параметры т{ в (49.1) определяются в
этом случае с точностью до общей аддитивной добавки. Для их
однозначного определения можно ввести ту или иную нормировку, например, тп = О
или т{+...+ ran = const. Соответственно, в (49.2) можно положить гп = 0.
Таким образом, равенство (49.3) по-прежнему определяет полный
список всех простых (с точностью до изоморфизма) голоморфных G-модулей.
В частности, G = SL(n) обладает фундаментальными представлениями Д,
(г = 1,..., п-1).
Пример. При п = 3 мы имеем два фундаментальных G-модуля VJ, V2
размерности 3, где VJ натянуто на элементы 1-й строки матрицы х е N,
V2 — сопряженный G-модуль. А именно, положим
/1 s t\
х=\0 1 г ,
\0 0 1/
тогда VJ (соответственно, V2) натянуто на функции х{ = 1, а^ = s, xz = t
(соответственно, £х = sr — t, f2 = ~г» £з= *)» связанные соотношением
4^1 + ^2 + ^3 = 0. (49.8)
Например, представление Д, Д2 (присоединенное представление группы G)
действует в пространстве vxV2, натянутом на функции х.^ (г, j = 1,2,3).
Используя (49.8), находим
dim(VjV2) = 8.
Упражнения. 1. Докажите, что каждый простой йЦп)-модуль
остается простым при сужении на SL(n).
2. Докажите, что алгебра ,A(SL(3)) обладает генетикой (49.8).
49.4. Группа G = Sp(2n). Симплектическая группа G выделяется в
GL(2n) условием д[=д~\ где 'д^од'а, с определяющей матрицей
a=(-s о)' «* = **-> + • (i,J = h..,n). (49.9)
334
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Согласно этому определению, отображение х = sx's есть транспонирование
матрицы xeL(n) относительно «побочной» диагонали. Записывая geL(2n)
в виде блочной матрицы с элементами из L(n), получаем
Отсюда ясно, что это отображение сохраняет разложение Гаусса
группы GL(2n). Соответственно, группа G = Sp(2n) наследует разложение
Гаусса группы GL(2n).
В частности, подгруппа Я = GnD(2n) состоит из матриц 5 = diag(5Х,...
..., <Sn, 8~l,..., 5f1). Соответственно, каждый голоморфный характер а е
еА(Н) по-прежнему записывается в виде (49.1).
Более того, группа G содержит (регулярно вложенную) подгруппу GQ «
«GL(n), составленную из блочных матриц вида y = diag(a, d), где d = a~1.
Сужая характер (49.1) на подгруппу G0, находим, что условие (49.6) по-
прежнему необходимо для индуктивности характера (49.1).
Помимо этого, группа G содержит (регулярно вложенную) подгруппу
G{ « Sp(2)« SL(2), элементы которой сохраняют все базисные векторы, за
исключением еп, еп+1. Сужая характер (49.1) на эту подгруппу, получаем
необходимое условие тп е Z+.
Обратно, если тх ^ ... ^ гап ^ 0 — последовательность целых чисел, то
характер (49.1) поднимается до G-финитной голоморфной функции на
группе G. В результате получаем, что условие
m1^...^mn^0, (49.10)
где т{ G Z (г = 1,..., п), необходимо и достаточно для индуктивности
характера (49.1) над группой Sp(2n). Иначе говоря, A+(G) по-прежнему
определяется соотношением (49.3), с заменой п — 1 на п (тп + { = 0).
49.5. Бинарное разложение Гаусса. Для матриц четного порядка
удобно заменить разложение Гаусса (44.6) более грубым «бинарным
разложением» следующего вида:
»-(: 2)-(? 8) (г ?)(г ;)• <4911)
где е — единичная матрица пхп. Очевидно, разложение (49.11) существует
при det а Ф 0. В частности,
a = a, x = arlb (49.12)
(и также £ = саг1, /3 = d — ca~{b).
Пример. Симметрическая степень Д™ (т е Z+) фундаментального
представления Дп группы GL(2n) действует в пространстве Упш по
формуле
(gf)(x) = det(a+ xc)mf((a + xc)~l(b + xd)) (49.13)
в параметрах (49.11) (с подстановкой д\->пд (neN) при вычислении
правой части (49.13)). Соответственно, Упт натянуто на функции
fg(x) = det(a+xc)m. (49.14)
§ 49. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 335
Аналогично рассматриваются симметрические степени Д™ для
группы Sp(2n).
49.6. Группа G = SO(2n). Ортогональная группа G выделяется в
GL(2n) условием 'д = д~ху где д^-^'д — транспонирование в GL(2n)
относительно побочной диагонали:
§= ( ) (в обозначениях п. 49.4).
\ с a J
В частности, подгруппа Н состоит из матриц 8 = diag^,..., 5n, 8~{у...
..., 5fl), где 8{ € С, (г = 1,..., п). Соответственно, каждый голоморфный
характер а еА(Н) записывается в виде (49.1).
Условия rf G Z+, где г = 1,..., п (mn + 1 =0) по-прежнему достаточны для
индуктивности характера (49.1). Однако, в ортогональном случае эти
условия перестают быть необходимыми. Достаточно заметить, что группа G
обладает автоморфизмом д° = еде~1, где ееО(п) — перестановка
базисных векторов еп, еп+1. Заметим, что действие автоморфизма е на матрицу
8 е Н сводится к замене 8п на 8~1. Соответственно, индуктивность
характера аеА(Н) влечет индуктивность характера а°(<5) = а(8°), получаемого
из (49.1) заменой тп на — гап.
Например, характер Ап = Кп_х8п индуктивен, откуда следует также
индуктивность характера Д°п = Ап_18^{. Исходя из этого замечания,
перепишем (49.1) в виде
a(5) = AV..AV-22AzAr;, (49.15)
где Д_ = Д°п, Д+ = Дп и параметры г± связаны с показателями (49.1)
соотношениями г+ + г_ = тп_{, г+ — г_ = тп, т. е.
2г± = тп_1±тп. (49.16)
Откуда заключаем, что условия г. eZ+ (г = 1,..., п — 2), r± e Z+
достаточны для индуктивности характера (49.1). Непосредственно в
параметрах (49.1) эти условия записываются в виде
m1^...^mn_1^|mj, (49.17)
где га. € Z (г = 1,..., п).
Покажем, что эти условия также необходимы. Достаточно рассмотреть
(регулярно вложенную) подгруппу G0, состоящую из блочных матриц д =
= diag(a, a"1), где a€SL(n). Сужая характер а €Л(#) на подгруппу Я0 =
= #П<30, находим, что условия (49.17) необходимы при замене \тп\ на mn.
Применяя к характеру а автоморфизм a i-+ a°, получаем аналог (49.17) с
заменой \тп\ на — тп. Суммируя результаты, получаем необходимость
условий (49.17).
49.7. Группа G = SO(2n + l). Повторяя рассуждения п. 49.6, находим,
что подгруппа Н состоит из матриц 8 = diag(5l,..., 5П, 1, 8~{,..., 8fl).
Соответственно, каждый характер а еЛ(Я) имеет вид (49.1). Условия
индуктивности характера а записываются в виде
га,^...^гап^0, (49.18)
где mi €Z (г = 1,..., п).
336
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Заметим, что необходимость последнего условия в (49.18) вытекает из
рассмотрения регулярно вложенной подгруппы Gx « SO(3), элементы
которой сохраняют все базисные векторы, кроме еп, еп+1, еп+2.
49.8. Спинорные группы. Напомним, что спинорная группа Spin(n)
односвязна и двукратно накрывает группу SO(n):
S0(n)«Spin(n)/2; где Z«Z2.
Фиксируем разложение Гаусса N_HN+ группы Spin(n) и заметим, что
Z с Я. Поэтому индуцированное разложение Гаусса группы SO(n) имеет
вид N_H0N+, где HQ = H/Z. Отсюда ясно, что все простые голоморфные
С?-модули, где G = Spin(n), по-прежнему имеют вид Va(N), где N = N+ —
подгруппа в SO(n).
Иначе говоря, мы можем вложить «спинорные» G-модули в общую схему
описания (30-модулей над группой G0 = SO(n). Однако, эти «спинорные»
модули двузначны над группой G0 (т. е. индуцируются двузначными
характерами подгруппы Я0).
Покажем, что индикаторные системы п. 48.6 позволяют непосредственно
выделить подпространства Va(N) для спинорных <30-модулей.
Рассмотрим вначале группу GQ = SO(2n) и напомним, что оператор Т>{
в (48.18) соответствует простому корню а£ (г е I). В нашем случае
<*, = Ь - е| + 1 (г = 1,..., п - 1), ап = еп_, + ея.
Соответственно, фундаментальные представления группы G = Spin(2n)
должны выделяться уравнениями (48.19). В частности,
©<(А±) = 0 (г = 1,...,п-2), Р_(Д+) = Р+(Д,) = 0, (49.19)
где Д± означает функцию А±(хд), V_=Vn_l1 V+ = Vn.
Заметим, что Д+(е) = 1, поэтому А+(хд) > О для элементов ж, д,
достаточно близких к единице. Соответственно, в этих условиях существуют
аналитические функции
S±(xg) = (A±(xg)y* (49.20)
Заметим также, что Д+Д_ = ^n_i (п. 49.6), откуда S+5_ = Дп-1.
Согласно (49.19), имеем 2>+(S_) = 0. Поэтому
5.^(5+) = ^(55+):=:D2(An_i) = 0)
так что Vl(S+) = 0. Полученное соотношение распространяется на все
значения x€N, откуда заключаем, что функции S+(xg) суть полиномы на N,
порождающие фундаментальный G-модуль 5+.
Применяя к S+ автоморфизм д*-> д° (п. 49.6), получаем также
фундаментальный модуль S_.
Полагая в (49.13) Д± = 5|, находим, что условие индуктивности
характера а бЛ(Я) для группы G = Spin(2n) имеет вид (42.17), где числа тп{
(г = 1,..., п) одновременно полуцелые или целые.
§ 49. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 337
Аналогично рассматривается спинорная группа Spin(2n + 1). Например,
можно вложить SO(2n+l) в SO(2n+2) в качестве подгруппы, сохраняющей
вектор еп+1 — еп+2. Легко проверить, что сужения спинорных
представлений S± на подгруппу SO(2n + 1) склеиваются в одно представление 50, где
Подставляя в (49.1) выражение Дп = 502 (над группой SO(2n + 1)),
находим, что условие индуктивности характера (49.1) записываются в
виде (49.18), где числа т. (г = 1,..., п) одновременно полуцелые или целые.
49.9. Спинорные модули. Использование произведений Юнга (п. 48.6)
позволяет интерпретировать спинорные представления S± (соответственно,
S0) как «квадратные корни» из обычных (однозначных) представлений
ортогональной группы G = SO(2n) (соответственно, SO(2n + 1)). А именно,
из (49.20) следует:
Д± = Я?, Дп = 502. (49.21)
Интересно проследить, как эти соотношения связаны с алгеброй
полиномов P(N) на группе N. Например, представление А+ реализуется по
правилу (49.12), с производящей функцией
fg(x) = det(a+ хс) = det(e + ху) • det a,
где у = са~{. Заметим, что матрицы ж, у кососимметричны относительно
побочной диагонали (ж = —ж, у = — у). Применяя подходящий автоморфизм,
можем считать, что матрицы ж, у кососимметричны в обычном смысле (xf =
= ~ж, у' = —у). Соотношение (49.21) означает, что функция
/(x,y) = det(e + xy), (49.22)
где ж' = — ж, у1 = — у, есть квадрат некоторого полинома от элементов ж, у.
Пример. При п = 3 функция (49.22) имеет вид
/(я, у) = (1 ~ ж12у12 - х{3у13 - х23у23)2.
Сформулируем также несколько более общее утверждение относительно
кососимметричных матриц порядка п.
49.10. Теорема. Если матрицы ж, у е L(n) кососимметричны, то
функция dxy(A) = det(A - ху) (характеристический полином матрицы
ху) имеет следующий вид:
^(А) = Ле(Ржу(А))2, (49.23)
где е = 0 при четном п, е = 1 при нечетном п, р^Х) — полином от
ж, у, А, симметричный по ж, у е L(n) (где х' = —ж, у1 = —у).
Доказательство. Достаточно заметить, что
^(А) = а»/(-а-Чу)
в обозначениях п. 49.9, где /(ж, у) = д(х, у)2, д — полином степени < п/2
от каждого из переменных ж, у. Отсюда следует (49.23). Симметричность
по ж, у следует из равенства (ху)' = ух. А именно,
/(ж, у) = det(e + ху)' = det(e + ух) = /(у, х).
338
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Замечания. 1. Если матрица хеЦп) кососимметрична, то detx =
= р(ж)2, где р(х) — пфаффиан матрицы х (см., например, [Вин 1]). Если п
четно, то (49.23) при А = 0 принимает вид
det(xy) = det x • det у = р(х)2р(у)2.
То же верно при п нечетном, поскольку в этом случае р(х) = 0.
2. Можно показать, что коэффициенты полинома р^ суть функции от
диагональных миноров матриц ж, у.
3. В общем случае т
t=1
где т = 2n~l и функции д (ж) (1 ^ г < т) образуют базис спинорного G-mo-
дуля S+ (dim5+ = 2n"1).
§ 50. Задачи редукции
50.1. Обозначения. Пусть G — связная полупростая комплексная
группа Ли. Согласно теореме Г. Вейля (п. 47.5), каждый голоморфный G-mo-
дуль V полупрост, т. е.
V = ®mxV\ (50.1)
где mx=[V: Vх] — кратность вхождения простого модуля Vх в модуль V.
Семейство а (V), составленное из чисел гаА (X eG) называется спектром
модуля У.
Задача спектрального анализа в классе голоморфных G-модулей состоит
в описании спектра <r(V) и спектральных разложений (50.1).
Аналогично рассматривается задача спектрального анализа для гауссовых
связных (редуктивных) групп Ли и произвольных конечномерных
G-модулей V (с учетом критерия редуктивности, приведенного в упражнении (1)
п. 47.12). Однако, мы ограничимся, для простоты изложения, случаем
голоморфных G-модулей.
Фиксируем борелевскую подгруппу В = HN группы G. Согласно
следствию 47.7, разложение (50.1) индуцирует весовое разложение
экстремального подпространства Е = VN:
Е = ®тхЕх, (50.2)
rneEx = (Vx)N.
Весовая градуировка (50.2) содержит полную информацию о
разложении (50.1). Действительно, (50.2) определяет спектр <r(V) модуля V, и
также
VX=CGEX=CN'EX, (50.3)
т. е. Vх есть линейная оболочка (над С) орбиты GEX —N'EX. Последнее
равенство есть следствие разложения Гаусса (44.6) группы G.
Таким образом, задача спектрального анализа в классе модулей (50.1)
сводится к описанию весовых градуировок (50.2).
§ 50. ЗАДАЧИ РЕДУКЦИИ 339
Мы проиллюстрируем этот метод на простых примерах, связанных с
классическими группами (§ 49). Иногда нам будет удобно рассматривать также
редуктивные (комплексные) группы Ли.
50.2. Задачи редукции. Пусть S — система простых корней алгебры
g = Lie G. Фиксируем подсистему простых корней 50 с 5, и пусть д0
(соответственно, 0j) — подалгебра алгебры д, порожденная элементами e^f.
при а( G 50 (соответственно, центральное расширение подалгебры д0
посредством элементов h е I)). Повторяя рассуждения п. 47.4, находим, что
виртуальные подгруппы
G0 = expg0, G^expg!
суть подгруппы Ли группы G, для которых g0 = Lie GQt g{ =Lie G{.
Подгруппы G0, Gx называются регулярными (или регулярно вложенными)
подгруппами группы G. Очевидно, подгруппа G0 полупроста, подгруппа Gx
редуктивна, GQ « G{/Z{, где Z{ —центральный делитель группы Gx.
Задача редукции G I GQ состоит в спектральном анализе голоморфных
G-модулей V при их сужении на подгруппу G0. Поскольку категория
голоморфных G-модулей полупроста, достаточно рассматривать случай V = Va
при некотором а € G. Поскольку подгруппа G0 полупроста, мы имеем
Va=®ma(f3)V0\ (50.4)
где V<f — простой голоморфный С0-модуль с характером /3 е GQ (т. е. (3 е
eA+(G0)).
Применяя общий критерий редуктивности (п. 20.7) и используя диаго-
нальность действия подалгебры J) в Va, находим, что аналог (50.4)
выполняется также для подгруппы G{=expgx. Соответственно формулируется
задача редукции G | G{.
Фиксируем борелевскую подгруппу В = HN группы G, и пусть NQ = ND
П G0. Для решения задачи редукции (50.4) удобно положить Vе = Va(N)
(п. 48.4). Согласно общей схеме п. 50.1, задача сводится к рассмотрению
экстремального подпространства
E = (Va)No (50.5)
относительно подгруппы GQ.
Используя в N канонические координаты 2 рода относительно подалгебр
n = Lie N, По = Lie NQt легко проверить, что
N = XNQ*X xN0, (50.6)
где X «С* (k =dim n-dim По). Более того, подмножество X можно выбрать
Я-инвариантным относительно действия Ad Я, т. е. жи hxh~~l (he Н, хе
еХ).
Согласно (48.12), действие подгрупп Я, N в пространстве Va(N)
определяется по правилу
(nf)(x) = /(xn), (hf)(x) = a(h)f(h~lxh), (50.7)
где п е N9 h е Я, х е N.
340
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Полагая, в частности, п = r^ E NQl находим, что включение / е Е
равносильно независимости функции / от параметров neNQ (т. е. / есть функция
от же -X").
Таким образом, задача редукции G [G0 (аналогично, G i G{) сводится к
вопросу о диагонализации Я-модуля (50.5) относительно действия (50.7).
50.3. Редукция GL(n)|GL(n— 1). Условимся, что GL(n - 1)
вкладывается в GL(n) как подгруппа, сохраняющая базисный вектор еп. Положим
G = GL(n), G0 = GL(n — 1), и пусть G{ —расширение подгруппы <30,
получаемое расширением #0 = G0 П D(n) до полной картановской подгруппы
H = D(n). Заметим, что разложение (50.6) в данном случае можно выбрать
по правилу
(а х\__(е х\ (а 0\
{о \)-{о \){о i)>
где aeN+(n — 1), х G С""1 (вектор-столбец). Соответственно, функции / е
еЕ зависят только от вектора хеСп~1. Помимо этого, действие (50.7)
подгруппы Н в пространстве Е определяется по правилу
(hf)(x) = a(h)f№x6n), (50.8)
где h =diag(ft0, <5n), /^ e D(n - 1). Иначе говоря, преобразование (50.8)
сводится к действию ж, н+ 8г1х6п на координаты вектора х е С""1.
Напомним (п. 49.2), что характеры а е G, /3 е G0 определяются по
правилу
а(6)=8Г...8?*, /3(в) = ^...«яЧч, (50.9)
где т{ ^ ... ^ mn, lx ^ ... ^ 1п_ {. Аналогично, характер /3 G G{ получается
из (50.9) умножением на 6j*, где ln € Z.
50.4. Теорема. Спектр сужения G [ G0 для модуля Va (a eG) одно-
кратен и состоит из характеров /3, для которых
Щ>1\ ^гп2^...^тп_1 >1п_х ^тп. (50.10)
Аналогично, спектр сужения G [Gx определяется параметрами (50.10)
и параметром п п_{
1=Е™<-£^ (50.il)
i = 1 * = 1
Доказательство. Весовое разложение (50.2) сводится в данном
случае к разложению Е по одночленам
Ш = *Р •..*?--{, (50.12)
где 1А: € Z+ (г = 1,..., п - 1). Согласно (50.8), одночлену fu соответствует
вес (5v(8) = 8xh... 6j», где
n-l
1{ = т. -*/., ln = mn+ £ 4-
г = 1
§ 50. ЗАДАЧИ РЕДУКЦИИ 341
Используя индикаторную систему (48.18) (либо упражнение (1) п. 48.5),
находим, что одночлены fu содержатся в Е лишь при 0 ^ vi ^ ait где а. =
= mt. — шх._! (п. 49.2), что соответствует условиям (50.10).
Помимо этого, из равенства v{ = га£ — lt (г = 1,..., п — 1) получаем (50.11).
Замечания. 1. Соотношения (50.10) называются правилами
ветвления (для редукции G | G0).
2. Последовательное использование правил ветвления для редукций
GL(p) I QL(p — 1), где 2 < р ^ п, позволяет описать весовой спектр
модуля Va и построить специальные весовые базисы этого модуля, называемые
базисами Гельфанда — Цетлина (см., например, [Ж1]).
50.5. Редукция SO(n)J,SO(n-1). Положим G = SO(n), G0 =
= SO(n-l), относительно реализации пп. 49.6, 49.7. Воспользуемся общей
схемой п. 50.2 для случаев п == 2k + 1, п = 2& (к £ N).
(а) Случай n = 2fc + l. Подгруппа GQ выделяется условием
инвариантности базисного вектора ^ = ек + {. Матрица g £ G записывается в
блочном виде формата 3x3 относительно нумерации базисных векторов
еп • • •> Ч> ^ ек +и • • •> еп- Например, элементы Л £ Я0, n€N0 записываются
в виде
b = diag(«If.
1»15> °k +1
е.),
где а£ N+(k — 1), 6 £ L(fc), с = а"1 (в обозначениях п. 49.4). Дополнительное
подмножество X в (50.6) можно составить из матриц
2 =
(50.13)
где ж £ С* (вектор-столбец), у = /(ж) (вектор-строка). Экстремальное
подпространство (50.5) в этом случае состоит из полиномов от параметров
хеСк.
((3) Случай n = 2fc. Подгруппа G0 выделяется условием
инвариантности вектора % = ек — ек +,. Элементы 2 £ X записываются в виде
2 =
/ е ж х ху\
О I 0 у
О О I у
\0 0 0 е /
(50.14)
где хеСк~\ у = f(x) (вектор-строка). Экстремальное
подпространство (50.5) состоит из полиномов от параметров ж £ С*"1.
Здесь равенство у = f(x) означает, что у есть полином от ж,
определяемый соотношениями ортогональности в группе G. Явный вид полинома /
нам не нужен.
342 Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
50.6. Теорема. Спектр сужения G [G0 для модуля Va (aeG)
однократен и состоит из характеров /3 € G0, для которых
(n = 2fc + 1): т{^ 1Х^ щ^ ... ^ mk^h^ "~т*> (50.15)
(n = 2fc): m{ ^l{ ^m2^...^mk_l >lk_x ^\mk\ (50.16)
(в обозначениях nn. 49.6,49.7), где числа га0 l{ одновременно целые или
одновременно полуцелые (что соответствует замене SO(n) спинорной
группой Spin(n)).
Доказательство. Повторяя рассуждения п. 50.4, находим, что
подпространство Е натянуто на одночлены (50.12), с заменой п на к
(соответственно, к — 1) в случае n = 2fc +1 (соответственно, п = 2fc). Используя
индикаторную систему (48.6), находим, что условия (50.15)
(соответственно, (50.16)) необходимы и достаточны для включения /еЕ. Однократность
спектра cr(Va) (при сужении на G0) определяется однократностью
базисных одночленов (48.12).
60.7. Редукция Sp(2fc) I Sp(2fc - 2). Подгруппа GQ = Sp(2fc - 2)
вкладывается в G = Sp(2fc) условием инвариантности базисных векторов ек,ек + 1.
Повторяя предыдущие рассуждения, находим, что экстремальное
пространство Е состоит из полиномов от параметров х = (х{,..., хк_{), у = (у,,...
..., ук), где х,- = zik, y{ = z^k + l для матрицы z e N.
50.8. Теорема. Спектр сужения GI G0 для модуля Va (a e G)
состоит из характеров /3 е GQt параметры которых q{ е Ъ (г = 1,..., к - 1)
подчиняются соотношениям
т1^р1^т2^...^тк^рк^0, (50.17)
P\>Qi >P2^--->Pk-\>Qk-\>Pki (50.18)
где р{ (i = 1,..., к) — вспомогательные (целые) параметры.
Соответственно, кратность та((3) в (50.4) есть число целочисленных решений
системы (50.17), (50.18).
Доказательство. Пространство Е в данном случае состоит из
полиномов /(ж, у) (в обозначениях п. 50.7), удовлетворяющих индикаторной
системе (48.18), где
(с подстановкой хк = 1). Заметим, что эти операторы совпадают с
аналогичными операторами в редукции GL(fc + 1) i GL(k - 1), для модуля Va с
параметром тк + { = 0.
Отсюда заключаем, что пространство Е изоморфно аналогичному
пространству п. 50.3 (с заменой п на п + 1). Нетрудно видеть, что этот
изоморфизм есть также изоморфизм #0-модулей (где Н0 с G0
отождествляется с картановской подалгеброй в GL(fc - 1)). Применяя «правило
ветвления» (50.10) к последовательной редукции GL(k + 1) lGL(k) I GL(k - 1),
получаем весовой спектр (50.17), (50.18).
§ 50. ЗАДАЧИ РЕДУКЦИИ 343
Замечание. Между группами G, GQ существует промежуточная
полупростая подгруппа вида GQ х Sp(2). Однако, использование этой подгруппы
не проясняет ситуацию, связанную с правилами ветвления (50.17), (50.18).
Ситуация несколько проясняется с использованием промежуточных
подгрупп с коммутативным радикалом. См., например, [Mol; Мо2].
50.9. Модуль Vе® V". Пусть G — полупростая связная комплексная
группа Ли. Заметим, что тензорный модуль Va® V1* в реализации Va(N)<8
® VP(N) определяется операторами
(Я/К* У) = <*(*, g)P(th 9)f(* '9, У-9) (50.19)
(в обозначениях (50.7)). Заметим также, что задача спектрального анализа
для модуля V" ® V* сводится к задаче редукции (G x G) | G, где
подгруппа G отождествляется с диагональю в G x G:
G = {(g,g):geG}.
Запишем произвольную пару (ж, у)е Gx G в виде (г, е)(у, у), где z — xy~l.
Используя правило (50.6), находим, что экстремальное пространство
состоит из полиномов, зависящих только от параметров z = ху~1.
Заметим, что операция левого сдвига жиаж, у*->Ъу сводится к
преобразованию z н-* агЬ"1 для параметров z. Отсюда ясно, что индикаторная
система (48.18) в пространстве Е имеет вид
^ + 1/ = Р?* + 7 = 0, (50.20)
где V{ (соответственно, V.) — инфинитезимальные операторы левого
(соответственно, правого) сдвига на группе N, порожденные элементами Ше-
валле е{ € п (г = 1..., тг).
50.10. Теорема. Пусть т7(а, /3) — кратность вхождения V1 в
произведение V" ® V* и пусть V* —весовое подпространство веса /л в Va.
Тогда имеем
m7(a,/3) = dimy7a^(/3), (50.21)
еде V*(f3) —подпространство в V", состоящее из всех решений
системы уравнений
ef*+ 7 = 0 (г = 1...,п) (50.22)
в модуле Va.
Доказательство. Согласно (50.19) и первой части (50.20),
подстановка х н+ z = ху"1 определяет вложение пространства Е в
пространство Va. Заметим, что операторы V{ в (50.20) совпадают с операторами е{ в
модуле Va. Поэтому
Е = {/ е Va: ef* + 1/ = 0(г = 1..., п)}.
Согласно (50.19) при g = h е Я, весовая градуировка Я-модуля Е
получается из весовой градуировки Я-модуля Va умножением на характер /?.
344
Глава 7. ПОЛУПРОСТЫЕ ГРУППЫ ЛИ
Применяя аддитивную запись, получаем Е1 = V°(f3) при у = р, + /3.
Отсюда непосредственно следует (50.21).
Пример. Положим G = SL(2), и пусть тх = Д?/, где / € ^+- Тогда
имеем (даже независимо от теоремы 50.10) следующее правило Клебша —
Гордона:
Ъ®тт = т{1_т1®...®т1 + т. (50.23)
Упражнения. 1. Проверьте (независимо от теоремы 50.10)
следующее правило умножения фундаментальных представлений группы GL(n):
Др®Д, = ЕАр.Д+( (50.24)
t
при р ^ д, где сумма ведется по индексам г Е Z+, для которых р — г'^ 0,
g + г < п, т. е. 0 < г ^ min(p, n ~ д).
2. Проверьте, что
Д1®та= era + eS (50.25)
где характер а+е{ получается из а заменой га. на т. + 1 (с сохранением т.
при гфз).
50.11. Следствие. Пусть пА(/х) — кратность веса р в модуле Vх.
Тогда имеем
m7(a,/3)<na(7~/3). (50.26)
Упражнение. Докажите, что имеет место асимптотическое
равенство в (50.26) при достаточно больших значениях (3. [Указание: вторая
часть (50.20) тривиальна при больших значениях /3.]
Комментарии к главе 7
Основные результаты этой главы связаны с работами Э. Картана и Г. Вей-
ля. Полярное разложение (44.1) есть частный случай разложений Картана
в полупростых вещественных группах Ли. Заметим, что разложение
Картана (44.1) связано с описанием симметрического (риманова)
пространства G/K. Использование разложений Гаусса (44.6) можно рассматривать как
естественный метод алгебраической геометрии. Однако, основное внимание
к разложению Гаусса было привлечено работами по теории
бесконечномерных (унитарных) представлений группы G (см., например, [ГН]).
Структурная теория комплексных групп Ли существенно связана с
описанием максимальных торов, т. е. картановских подгрупп Н с G.
Кульминация этой теории определяется теоремой Г. Вейля (п. 46.7) о
компактности односвязных накрывающих компактных (связных) групп Ли. Переход
к комплексным оболочкам (§ 45) позволяет использовать развитую теорию
компактных групп Ли для детального описания структуры всех гауссовых
(в том числе комплексных связных полупростых) групп Ли (§ 47). Здесь
также существенную роль играет теорема Г. Вейля (п. 46.5) о
полупростоте конечномерных G-модулей, где G — связная полупростая комплексная
группа Ли.
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 7 345
Как показано в § 47, задача классификации простых конечномерных
G-модулей допускает простое решение даже без использования теории
алгебр Ли. Развитие этого метода естественно приводит к использованию
универсальных представляющих алгебр, индикаторных систем и т. д. ([Ж1],
см. также [Ж 5]).
Использование индикаторных систем приводит, в свою очередь, к
конструктивным методам решения конкретных спектральных задач, в том числе
к описанию «правил ветвления» для представлений классических
матричных групп. Например, теорема 50.10 дает эффективный критерий описания
спектра в тензорных произведениях простых конечномерных G-модулей.
Более детальное изложение этих методов можно найти в [Ж1].
Дальнейшее развитие этих методов связано с описанием «трансляторных
алгебр», определяющих редукцию g jt, где t — подалгебра Ли, редуктивно
вложенная в д. Последнее означает, что g есть редуктивный асН-модуль.
Частично эти результаты изложены в [ЖЗ].
Ограниченность объема не позволяет нам рассматривать в достаточной
мере теорию бесконечномерных G-модулей. Впрочем, эта теория относится
к весьма специальным вопросам теории представлений. См., например, [ГН;
Кир; Кн]. Отдельные вопросы теории унитарных G-модулей будут
рассмотрены в главе 8.
Глава 8
БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Мы знаем, что теория групп приобретает новое содержание под
влиянием топологии. Подобно этому, было бы естественно перейти от общей
теории алгебр к теории топологических алгебр. Однако, современная
теория топологических алгебр сводится, по существу, к специальному случаю
банаховых алгебр. Известны также содержательные примеры локально
выпуклых алгебр. К числу таких примеров относятся некоторые алгебры
аналитических функций и групповые (сверточные) алгебры, общие сведения о
которых были изложены в главе 4.
В классе банаховых алгебр наиболее развита теория специальных алгебр
с инволюцией, называемых С*-алгебрами. Исследование этих алгебр
связано с целым спектром проблем современной математики, от теории функций
до новых математических концепций, включающих «некоммутативную
топологию», «некоммутативное интегрирование» и т. д. Мы рассмотрим связь
теории С*-алгебр с теорией представлений локально компактных групп.
Содержание этой главы представляет собой лишь краткий обзор основных
положений теории банаховых алгебр. Сравнительно детально обсуждаются
вопросы, связанные с локально компактными группами (§§ 57, 58).
§ 51. Банаховы алгебры
51.1. Определение. Нормированное пространство А над полем С
называется нормированной алгеброй, если в нем определено ассоциативное
умножение (a, b)*-+ ab, связанное с нормой алгебры А соотношением
1И1КИ1И (бы)
для всех а,ЬеА.
Согласно этой аксиоме, умножение в алгебре А непрерывно (по
совокупности переменных). Если ефО — единичный элемент алгебры А, то
из (51.1) следует ||е|| ^ 1. Алгебру А принято называть унитальной, если
1И = 1.
Нормированная алгебра А называется банаховой алгеброй, если она
полна (т. е. А есть банахово пространство).
Примеры. 1. Алгебра С(К) всех непрерывных функций на компакте
К есть коммутативная банахова алгебра (относительно равномерной
нормы в С(К)).
§ 51. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 347
2. Алгебра Винера W (с поточечным умножением), состоящая из
абсолютно сходящихся рядов Фурье
/(*)= £ fneinx
п = -оо
есть коммутативная банахова алгебра относительно 1Х -нормы
||/н= £ i/j.
Умножение в алгебре W сводится к свертке (7.12) коэффициентов /п (над
группой Z). Выполнение аксиомы (51.1) в этом случае легко проверяется.
3. Алгебра В(Х) всех ограниченных линейных операторов в
нормированном пространстве X есть нормированная алгебра с единицей (1 е В(Х)).
Если X —банахово пространство, то В(Х) есть банахова алгебра.
Если А — банахова алгебра с единицей е, то в пространстве А
существует эквивалентная норма, относительно которой алгебра А унитальна.
А именно, пусть ||а||0 — операторная норма элемента аеА, определяемая
как норма оператора х\->ах (хеА). Согласно (51.1), имеем ||а||0 < ||а||.
С другой стороны, легко проверить (упражнение), что А полно
относительно операторной нормы. Отсюда следует, согласно теореме Банаха (см.,
например, п. В.6), что ||а|| < С||а||0, т. е. нормы || • ||, || • ||0 эквивалентны.
В частности, ||е||0 = 1, т. е. алгебра А унитальна относительно операторной
нормы.
Исходя из этого замечания, будем считать (не ограничивая общности),
что ||е|| = 1 для каждой банаховой алгебры А с единицей.
51.2. Группа G(A). Пусть А —унитальная банахова алгебра, G(A) —
группа обратимых элементов алгебры А. В частности, е £ G(A) (единица
группы G(A)). Рассматривая геометрическую прогрессию
(е - а)"1 = £ а",
п = 0
сходящуюся при ||а|| < 1 (п. 4.7), находим, что G(A) содержит
окрестность V элемента е, определяемую условием ||е — ж|| < 1 (т. е. х = е — а, где
||а|| < 1). Аналогично, каждая точка %€ G(A) входит в G(A) с окрестностью
g0V (или Vgo). Отсюда заключаем, что множество G(A) открыто.
Для каждого аеА вектор-функция
гА(а) = (а-Ае)->, (51.2)
где А е С, называется резольвентой элемента а. Ее область определения
/о(а) = {АеС: a-AeeG(A)} (51.3)
называется резольвентным множеством элемента а. Соответствующее
множество особых точек а(а) = С\р(а) называется спектром элемента а.
Заметим, что р(а) гомеоморфно пересечению CnG(A), где С
отождествляется с семейством точек а— Ае (А е С). Следовательно, р(а) открыто,
348 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
а(а) замкнуто. Используя равенство
гА(а) = (-А)-1(е~А-1а)-1 = - £ \-п~хапу (51.4)
п = 0
находим А е р(а) при ИА^аЦ < 1, т. е. при |А| > ||а||. Соответственно, а(а)
содержится в круге радиуса ||а||. Следовательно, <?(а) есть компакт.
Помимо этого, пусть А0 € р(а). Из равенства
а — Ае = а— А0е — ДАе = (а — А0е)(е — ДАгА (а)),
где ДА = А — А0, следует, что резольвента гх(а) выражается с помощью
степенного ряда от переменной ДА, сходящегося при малых ДА, а именно,
при |ДА| < 7"1, где 7 = \\гХо(а)\\.
Отсюда заключаем, что резольвента гх(а) аналитична (голоморфна) в
открытой области р(а).
Пример. Для алгебры А = В(Х) резольвента (51.2) есть операторная
резольвента, т. е. операторная функция от параметра А е р(а).
Упражнение. Докажите, что
а(аЪ)\{0} = а(Ьа)\{0} (51.5)
для всех a, be А. [Указание: включение е — аЪ £ G(A) равносильно е — Ьае
eG(A).]
51.3. Предложение. Фиксируем а,еА, и пустьр(а) — результат
подстановки х »-* а в полином р(х) е С[ж]. Тогда имеем
а(р(а)) = р(а(а)), (51.6)
где правая часть есть множество всех /х = р(А) при А е а(а).
Доказательство. Условимся считать (не ограничивая общности),
что старший коэффициент полинома р есть единица. Тогда имеем
р(а)-//=П (а-*,), (51.7)
где а. (г = 1,..., п) — корни полинома р(х) — /х. Заметим (упражнение),
что для каждого набора перестановочных элементов х{ £ А (г = 1,..., п)
обратимость элемента х = х{ ... хп равносильна обратимости всех х{ (г =
= 1,..., п). Применяя это замечание к (51.7), находим
р, е сг(р(а)) <& Эг: а{ е а(а).
С другой стороны, из равенства
р(А)-м= П(А-а,)
* = 1
следует, что включение с^ е а(а) равносильно p(A) = /z в точке А = а{ е а(а).
Отсюда следует (51.6).
§ 51. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 349
Пример. Если А е а(а), то Ап £ а(ап) для всех п G Z+. Поэтому |An| ^
^ ||ап||. Отсюда
lAI^H^II1/" дня всех n€Z+. (51.8)
Упражнение. Докажите, что равенство (51.6) выполняется для
каждой рациональной функции f(x) е С(х). [Указание: <т(сгх) = а(а)~1.]
51.4. Теорема. Пусть Г —замкнутый жорданов контур,
охватывающий спектр а(а) элемента а€ А. Тогда для каждого полинома р е С[х]
имеем
P(a) = ~<^§p(\)rx(a)d\ (51.9)
г
(аналог интегральной формулы Коши).
Доказательство. Пусть х(А)е А — голоморфная вектор-функция,
определенная в односвязной области DcC. Напомним (упражнение
п. 24.10), что для каждого замкнутого жорданова контура Г, лежащего в D,
выполняется формула Коши
x(X)dX=0.
г
Применяя это замечание к функции ж(А) = р(А)гА(а) и рассматривая
локальные деформации контура Г в (51.9) (в областях, где функция х(Х)
голоморфна), находим, что интеграл (51.9) не зависит от выбора контура Г.
В частности, можно положить
Г = Гг = {АеС:|А| = г},
где г > \\а\\. Подставляя в интеграл (51.9) соответствующее
выражение (51.4), заметим, что степенные ряды в банаховом пространстве можно
интегрировать почленно (в пределах радиуса сходимости). Поэтому
вычисление интеграла (51.9) сводится к вычислению числовых интегралов
/П=^Р(А)А—-ЧХ.
г
Достаточно положить р(А) = Ат, откуда 1п = 2т6тп (6тп — символ Кро-
некера). Подставляя это выражение в (51.9), получаем искомое равенство
ат = ат. Отсюда заключаем (по линейности), что (51.9) доказано для всех
р е С[х].
Пример. Используем (51.9) для оценки нормы операторов ап. Полагая
M = max||rA(a)|| при условии А е Тг и используя (51.9) при р(А) = Ап,
получаем
\\an\\^Mrn + l. (51.10)
51.5. Следствие, (i) Для каждого аеА спектр а(а) непуст,
(и) Каждое банахово тело изоморфно (изометрично) полю С.
350 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Действительно, если <7(а) = 0, то все подынтегральные функции в (51.9)
голоморфны, откуда р(а) = 0 для всех р е С[х]. В частности, при р(х) = 1
получаем е =0, что невозможно. Отсюда следует (i). Если А есть тело, то
каждый элемент а— Ае либо равен нулю, либо обратим. Полагая Л е сг(а),
получаем а=Ле. Отсюда следует (И).
Утверждение (ii) известно под названием теоремы Гельфанда — Ма-
зура.
51.6. Спектральный радиус. Число
г(а) = тах{|А |: Л е сг(а)}
называется спектральным радиусом элемента аеА. Используя
оценки (51.8), (51.10), легко найти явное выражение г(а) через числа ||ап||
(п е N).
А именно, используя предельный переход г^г(а), можно в (51.10)
заменить г на г(а). Отсюда ||an||l/n < r(a)/yl/n, где j = Mr(a). Сопоставляя
эту оценку с (51.8), получаем
г(а)*\\сГ\\1'**г(а)1Ч»
для всех п е N. Полагая п —> оо, находим, что
r(a) = lim ||ап\\ ^п (51.11)
п
(причем последовательность в правой части сходится для каждого аеА).
Пример. Элемент a e А называется обобщенным нильпотентным,
если a(a) = {0}. Согласно (51.11), это условие равносильно
lim||an||I/n=0.
п
Упражнение. Докажите, что в общем случае последовательность
ап = ||an||1/n не возрастает. [Указание: воспользуйтесь оценкой (51.1) для
чисел Лп = 1п ап.]
51.7. С*-алгебры. Алгебра А называется алгеброй с инволюцией, если
в ней определено антилинейное отображение а*->а* (эрмитово сопряжение),
обладающее свойствами антигомоморфности и инволютивности, т. е.
(ab)* = bV, (a?)* = a,
для всех a, be А. Элемент аеА называется (соответственно) эрмитовым,
антиэрмитовым, унитарным, если с? = а, а* = —а, а* = а-1. Банахова
алгебра с инволюцией называется С*-алгеброй, если
||a*a|| = ||a||2 дня всех аеА. (51.12)
Примеры. 1. Алгебра С(К) (п. 51.1) есть С*-алгебра с инволюцией
f*(x) = f(x) (комплексное сопряжение в С (К)).
2. Если Н — гильбертово пространство, то В(Н) есть С*-алгебра
(относительно эрмитова сопряжения в В(Н)).
§ 51. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ 351
Упражнения. 1. Если А есть алгебра с инволюцией и единичным
элементом е, то е* = е.
2. А =А8фгА8, где А8 —вещественное подпространство всех эрмитовых
элементов алгебры А.
Элемент аеА называется нормальным, если аа* = а*а. В частности, все
эрмитовы, антиэрмитовы, унитарные элементы алгебры А нормальны.
Если А есть С*-алгебра с единицей (е е А), то из равенства (51.12)
следует
||е|| = ||е||2, откуда ||е|| = 1.
61.8. Предложение. Пусть А — унитальная С*-алгебра. Тогда
(а) Если a=of, то а(а)еШ.
(13) Если аа* = а* а, то г (а) = ||а||.
(т) 1Н| = ||<*1| для всех а€ А.
Доказательство, (а) Положим Л е а(а) и заметим, что А + it е
€ cr(a+ it) для всех t е R. Отсюда
|А + it\2 < ||а+ ite||2 = ||(а- Йе)(а+ tte)|| = Ца2 + t2e|| < ||а2|| + *2.
Положим А = а + i(3, где а, /3 6 R. Тогда имеем
откуда следует, что линейная функция /3t ограничена сверху, что возможно
только при /3=0, т. е. AeR.
(/?) Если а=а*, то равенство (51.12) означает, что ||a2||1/2 = |lall-
Аналогично, ||an||1/n = ||a|| при п = 2*. Полагая в (51.11) п = 2*, получаем r(a) = ||a||.
В частности, для каждого аеА элемент Ъ = (fa эрмитов, откуда r(b) = ||Ь||.
Если а — нормальный элемент, то Ьп = (а*)пап. Отсюда
||а||2 = ||Ь|| = lim ЦЬ-H1/» = lim ||а"||2/* = г{а)2,
п п
т. е. ||а|| = г(а).
(7) Согласно (51.5), имеем r(a*a) = r(aa*). Отсюда (в соответствии с (/3))
получаем
||af = ||a*a|| = ||aa1| = ||o-||2.
Упражнения. 1. Пусть А — С*-алгебра. Докажите, что норма алгеб-
Е>ы А есть единственная норма, относительно которой А есть С*-алгебра.
Указание: используйте (/?).]
2. Каждый унитальный гомоморфизм (р: В —► А, где В —унитальная
банахова алгебра, не увеличивает норму, т. е.
IM*)II<INI Для всех хеВ. (51.13)
[Указание: r(tp(x)) ^ г(х).]
352 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
51.9. Следствие. Для каждого эрмитова ае А и каждого реС[х]
имеем
1Ь(а)|| = |Ы|Д) (51.14)
где норма в правой части есть равномерная норма функции р на
компакте Д = (т(а) (т. е. норма в С(А)).
Действительно, р(а) есть нормальный элемент алгебры А. Согласно
предложению 51.3, имеем
||р(а)|| = г(р(а)) = тах|р(А)| = Ы|д.
Л € А
51.10. Теорема. Пусть а — эрмитов элемент алгебры А. Тогда
отображение г/\ р*->р(а) продолжается до изометрического гомоморфизма
7:С(Д)->В(Я), /~/(а), (51.15)
где Д = а(а).
Доказательство. Фиксируем / £ С(Д). Согласно теореме Вейер-
штрасса, существует последовательность полиномов рп е С(Д), для которых
1|Рп ~~ /Ид -* 0- Заметим, что
\\pn(a)-pm(a)\\ = \\pH-pJb-+0,
откуда следует (ввиду полноты алгебры А) существование предела
/(a) = limA(a). (51.16)
п
Нетрудно видеть, что это определение корректно, т. е. не зависит от
выбора аппроксимирующей последовательности рп. Действительно, если также
qn -> f (в С(Д)), то ||ря - дп||д -> 0, откуда ||ря(а) - дя(а)|| -+ 0. Используя
непрерывность нормы в алгебрах А, С(Д), получаем
||/(a)||=lim|bn(a)||=lim||pnL = ||/|U,
п п
т. е. отображение 7: /»-*/(<*) изометрично. Наконец, из гомоморфности 7
на полиномах р Е С (А) и непрерывности умножения в алгебрах А, С (А)
следует гомоморфность отображения (51.15).
Таким образом, мы можем говорить о функциональном исчислении
класса С(А) (т. е. о непрерывных функциях /(a), где / е С(Д)).
51.11. С41-подалгебры. Пусть А — алгебра с инволюцией. Подалгебра
В с А называется симметричной, если В* —В (т. е. Ь е В => b* e В).
Если А — С*-алгебра, то каждая замкнутая симметричная подалгебра
В С А также есть С*-алгебра, называемая С*-подалгеброй алгебры А.
Пример. Для каждого аеА наименьшая замкнутая подалгебра С(а)
алгебры А, содержащая а, а*, есть С*-подалгебра алгебры А. Если a —
нормальный элемент, то алгебра С (а) коммутативна.
Если А — унитальная алгебра, то можно в этом рассуждении
заменить С(а) унитальной подалгеброй С{(а), порожденной элементами е, а, а*.
§ 52. КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ 353
Если А — унитальная банахова алгебра, В — ее подалгебра, содержащая
единицу ее А, то спектры стА(а), ств(а) элемента аеВ (соответственно)
в алгебрах А, В могут быть различны. Покажем, что для С*-алгебр это
различие исчезает.
51.12. Теорема. Пусть А —унитальная С*-алгебра, В —ее
С*-подалгебра, содержащая единицу ее А. Тогда для каждого аеВ имеем
*А(*) = °в("). (51Л7)
Доказательство. Если резольвента гх(а) существует в
подалгебре В, то она существует и в А, т. е. рв(а) с рА(а) для соответствующих
резольвентных множеств в алгебрах А, В. Для доказательства обратного
включения рассмотрим вначале случай а=а*.
Если а=а*, то а(а) имеет вещественный спектр, откуда ясно, что
каждое из резольвентных множеств рА(а), рв(а) связно в комплексной
плоскости С. Если резольвента гх(а) е А определена в предельной точке А = Л0
множества рв(а), то гх(а)еВ (в силу непрерывности гх(а) в точке А0).
Следовательно, рв(а) открыто-замкнуто в рА(а), откуда рА(а) = рв(а), так
что в данном случае (51.16) доказано.
В общем случае допустим, что элемент аеВ обратим в алгебре А. Тогда
эрмитов элемент Ь = аа* обратим не только в А, но и в В. Следовательно,
элемент a=b(a*)~l обратим в алгебре J3. Заменяя в этом рассуждении а
на а- Ае, получаем (51.17).
Пример. Спектр нормального элемента ае А совпадает с его спектром
в коммутативной алгебре С{(а) (п. 51.11).
§ 52. Коммутативный случай
52.1. Идеалы, характеры. Пусть А — коммутативная алгебра с
единицей. Покажем, что сингулярное множество
Z = A\G(A) (52.1)
совпадает с объединением всех собственных идеалов алгебры А (т. е.
идеалов IcA, для которых I ф А).
Действительно, каждый идеал IcA есть объединение идеалов 1а = аА =
= Аа, где ael. Ясно, что 1а = А равносильно ае G(A). Соответственно,
1аФ А равносильно а€Е. Отсюда следует, что Е есть объединение всех 1а
(аеЕ), т. е. объединение всех идеалов I фА.
Идеал / называется максимальным, если он максимален среди всех
собственных идеалов алгебры А. Используя принцип максимума (лемму Цор-
на), находим, что, каждый идеал I с Е содержится в максимальном идеале
алгебры А. Отсюда следует, что Е есть объединение всех максимальных
идеалов алгебры А.
В частности, пусть А —банахова алгебра. В этом случае G(A)
открыто, Е замкнуто (п. 51.2). Следовательно, каждый собственный идеал
алгебры А содержится в Е вместе со своим замыканием. Ясно также, что
24 Зак. 184
354 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
замыкание идеала есть идеал. Отсюда заключаем, что каждый
максимальный идеал алгебры А замкнут.
Пример. Пусть х — характер алгебры А (т. е. ненулевой гомоморфизм
А —> С). Полагая
/x = kerX = {aeA:x(a) = 0}, (51.2)
получаем идеал алгебры А. Поскольку codimx = 1, идеал 1Х максимален.
Напомним также, что х(е)= 1- Отсюда
A=Ce0Jx. (51.3)
52.2. Теорема. Пусть А — коммутативная банахова алгебра с
единицей. Тогда имеем:
(а) Отображение х *-* ker x есть биекция множества Х(А) всех
характеров алгебры А с множеством М(А) всех максимальных идеалов
алгебры А.
(/3) Для каждого аеА множество а(а) совпадает с множеством всех
чисел х(а), где х € Х(А):
<т(а) = {Х(а):ХеХ(А)}. (52.4)
(7) Каждый характер х^Х(А) непрерывен. Более того, он имеет
единичную норму:
||х|| = 1 для всех хеХ(А). (52.5)
Доказательство, (а) Мы уже знаем, что kerх^М(А) для
каждого х € Х(А). Обратно, если I е М(А), то идеал I замкнут (п. 52.2), откуда
следует, что В=А/1 есть банахова алгебра, М(В) = {0}. Следовательно, В
есть банахово тело. Применяя теорему Гельфанда — Мазура (п. 51.5),
получаем В « С. Отсюда / = Jx, где х — каноническая проекция А—>В.
(/?) Достаточно заметить, что включение Л е а(а) равносильно a— Ae еE,
откуда а—Ае е 1Х при некотором х €X(А). Соответственно, А = х(а)€<т(а).
(7) Применяя (/?), получаем |x(a)| < ||a|| для всех аеА. Помимо этого,
Х(е)=1, откуда ||х|| = 1.
52.3. Следствие (критерий обратимости). Обратимость элемента
аеА равносильна х(а) Ф® для всех х € Х(А).
Действительно, это условие означает, что а$ I для всех х € Х(А), т. е.
aeG(A).
Множество а(А) = Х(А)&М(А) называется спектром алгебры А.
Согласно (52.4), имеем
а(а) = (а(А))(а) для всех аеА.
52.4. Примеры. 1. Положим А = С (К). Покажем, что каждый
характер х есть точечный характер, т. е. х имеет вид
х(/) = f(m) при некотором те К. (52.6)
Действительно, (52.6) есть характер алгебры А. Обратно, пусть / е М(А).
Допустим, что для каждой точки те К существует функция fm е /, для
§ 52. КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ 355
которой /m(m) ф 0. Соответственно, К покрывается открытыми
множествами
Um = {x€K:fm(x)^0}.
Выбирая из этого покрытия конечное подпокрытие, получаем функцию
где /f = /m. (г = 1,..., п). Поскольку функция / отлична от нуля во всех
точках те К, она обратима, поэтому / = А, что противоречит определению
идеала /. Но тогда имеем I с 1т при некотором га, т. е. I = 1т (ввиду
максимальности идеала I).
2. Пусть А = W (алгебра Винера), и пусть А0 — подалгебра конечных
рядов Фурье в алгебре А, т. е. алгебра с образующими а, а"1, где а(х) = е**.
Фиксируем х € Х(А)- Полагая
е==х(а)> так что е"1 =х(а~1)>
заметим, что \е\±{ < 1, откуда \е\ = 1. В результате е = eim при некотором
т е R, откуда следует (52.6) для элементов / 6 А0. Поскольку А0 всюду
плотно в А, мы находим (52.6) для всех / еА.
3. Используя (2) и критерий обратимости в алгебре W, получаем
следующую теорему Н. Винера. Если функция feW не обращается в нуль ни в
одной точке meR, то она обратима в W, т. е. функция f~l(x) = f(x)~l
разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье.
52.5. Преобразование Гельфанда. Поставим в соответствие каждому
аеА числовую функцию
2(х) = х(а), где ХеХ(А). (52.7)
Отображение а»-* а есть гомоморфизм алгебры А в алгебру функций (с
поточечным умножением) на множестве Д = Х(А).
Отображение а*-* а называется преобразованием Гельфанда в
алгебре А. Его ядро
R(A) = {aeA: X(a) = 0, VX€*(A)} (52.8)
называется радикалом алгебры А. Алгебра А называется полу простой,
если Д(А) = 0.
Согласно теореме 52.2, R(A) есть пересечение всех максимальных
идеалов алгебры А. Если R(A) = 0, то преобразование Гельфанда инъективно и
потому определяет изоморфизм алгебры А с некоторой алгеброй функций
на множестве А.
Определим топологию в множестве А как слабейшую топологию, в
которой все функции (52.7) непрерывны. Отождествляя х € А с множеством
значений х(а) (a€A)t получаем вложение
АС П Да, (52.9)
где Да — замкнутый диск в комплексной плоскости с радиусом ||а||.
Заметим, что топология в А индуцируется топологией Тихонова в правой
24*
356 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
части (52.9) (т. е. слабейшей топологией, в которой все проекции (52.7)
непрерывны).
Согласно теореме Тихонова (п. 23.9), правая часть (52.9) есть компакт.
Покажем, что А замкнуто (в топологии Тихонова), откуда будет следовать,
что А есть компакт.
Действительно, включение х € Д определяется системой соотношений
Х(Аа+/хЬ)==АХ(а) + /хх(Ь), Х(аЬ) = х(а)х(Ь), Х(е) = 1 (52.10)
для элементов A,/zeC, а, be А. Напомним (п. 23.3), что сходимость в
топологии Тихонова есть поточечная сходимость. Отсюда заключаем, что
соотношения (52.10) сохраняются при предельных переходах хп"~*Х> где
Хп £ А. Следовательно, А замкнуто, т. е. А есть компакт.
В результате получаем, что преобразование Гельфанда (52.7) есть
гомоморфизм алгебры А в алгебру С(Д), где А—-компакт.
Используя (52.4), находим, что равномерная норма функции ае С (А)
совпадает со спектральным радиусом элемента а, т. е.
\\Щ = г(а) = 11т\\ап\\1'п. (52.11)
п
Пример. Пусть А — конечномерная коммутативная алгебра с
единицей, не имеющая нильпотентных элементов (кроме нуля), так что R(A) =
= {0}. В этом случае преобразование (52.7) определяет изоморфизм
алгебры А с алгеброй всех функций на конечном множестве А. Полагая
Д = {1,..., п}, получаем А «Сп (т. е. алгебра А есть прямое произведение
п экземпляров поля С).
52.6. Теорема (Гельфанд — Наймарк). Пусть А
—коммутативная С*-алгебра с единицей. Тогда преобразование (52.7) определяет
изометрический изоморфизм алгебры А с алгеброй С(Д), где А = сг(А)
(спектр алгебры А).
Доказательство. В нашем случае каждый элемент аеА нормален,
поэтому ||а || = r(a) = Ц2Ц (п. 51.8), т. е. отображение (52.7) изометрично.
В частности, Д(А) = 0, т. е. отображение (52.7) инъективно. Остается
показать, что это отображение сюръективно.
Напомним, что каждый элемент a е А однозначно записывается в виде
a=al + ia2, где а] = а{ (г = 1,2). Поскольку а(а{)сШ (п. 51.8), мы находим,
что функции а( (г = 1, 2) вещественны. Поэтому преобразование а*-» а* (ае
Е А) сводится к комплексному сопряжению функции ае С (А).
Отсюда заключаем, что образ А алгебры А в С(Д) есть подалгебра в
С(А), содержащая единицу 1 е_С(Д) и замкнутая относительно операции
комплексного сопряжения / »-* / в алгебре С(Д). Ясно также, что
алгебра А разделяет точки компакта Д. Действительно, равенство 2(Xi) = S(X2)
для всех аеА означает, что Х\(а) = %2(а) ДЛЯ всех ае А, т. е. %i = Хг-
Применяя теорему Стоуна — Вейерштрасса (см, например, JJlio]), получаем, что
подалгебра А всюду плотна в С(А). Однако, алгебра А полна (в силу
полноты алгебры А и изометричности отображения (52.7)). Отсюда заключаем,
что подалгебра А замкнута в С(Д), т. е. А = С(Д).
§ 52. КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ 357
Упражнение. Докажите, что С(К{)«С(К2) (изоморфизм униталь-
ных алгебр) лишь в том случае, когда К{ « К2 (гомеоморфизм). [Указание:
спектр а(А) есть инвариант алгебры А относительно унитальных
изоморфизмов (в категории ASSALG).]
Таким образом, теорема Гельфанда — Наймарка определяет
классификацию всех коммутативных унитальных С*-алгебр с точностью до унитального
изоморфизма.
Замечание. Отображение С: К ь-> С (К) есть контравариантный
функтор из категории компактов в категорию С*-алгебр. Действительно,
каждому гомоморфизму h: K{—>K2 отвечает сопряженный гомоморфизм
h*: С(К2)^С(Кх)(п. 1.8).
Если игнорировать направление стрелок, то можно сказать, что категория
компактов эквивалентна категории коммутативных унитальных С*-алгебр.
52.7. Системы образующих. Семейство e = (e.)ieI топологической
алгебры А называется системой образующих алгебры А, если А совпадает
с наименьшей замкнутой подалгеброй алгебры А, содержащей элементы е{
Иначе говоря, пусть А0 — подалгебра алгебры А, порожденная
(алгебраически) элементами е,. (г el). Элементы е{ (г el) порождают
топологическую алгебру А, если А0 всюду плотно в А.
Заметим, что каждый непрерывный гомоморфизм А —>В (В —
топологическая алгебра) однозначно определяется своими значениями на элементах
е{ (г е I). Действительно, это верно для подалгебры А0, но тогда и для всей
алгебры А (поскольку А0 всюду плотно в А).
В частности, каждый характер х € Х(А) однозначно определяется
набором чисел
Х. = (х(а,))<€,еС. (52.12)
Заметим, что отображение % *-* X* непрерывно (относительно топологии
Тихонова в С7).
В частности, пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей. В
этом случае образ Д+ спектра А = а(А) есть компакт. Поскольку
отображение Д -* Д,, есть биекция, мы имеем Д«Д, (п. 23.8). Таким образом,
можно отождествить компакты Д, Д+.
Последнее замечание особенно эффективно в том случае, когда число
образующих конечно. В этом случае Д+ С Сп, где п — число образующих.
Примеры. 1. А—коммутативная С*-алгебра с единицей. Если
алгебра А обладает единственной (топологической) образующей a=<f, то
а(А) = сг(а).
2. Аналогично, если А обладает парой образующих а, а* (так что аа* =
= а*а), то а(А) есть множество всех точек (х(а)» х(°*)) £ С2. Однако,
х(а*)==х(а) (п- 52.6), т. е. каждая точка в <т(А) определяется своей первой
координатой. Отсюда заключаем, что по-прежнему а(А) = а(а).
В общем случае множество Д+, составленное из точек (52.12), называется
совместным спектром системы a — (ai)ieI.
Таким образом, если алгебра А порождается (топологически) элементами
at (г е /), то спектр а(А) совпадает с совместным спектром элементов а{
(iel).
358
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
52.8. Функциональное исчисление. Пусть А — унитальная
С1"-алгебра. Для каждого нормального аеА пусть С,(а) — унитальная С*-подалгеб-
ра алгебры А, порожденная элементом а (так что а* е Сх(а)). Из
нормальности элемента а следует, что алгебра Сх(а) коммутативна. Применяя теорему
Гельфанда — Наймарка (с использованием примера 2 п. 52.7), получаем
С,(а)«С(<7(а)). (52.13)
Заметим, что обратное преобразование С(Д)-> Сх(а), /»-+/(а), где Д =
= а(а), можно рассматривать как функциональное исчисление класса С(Д)
в алгебре А. Более того, это функциональное исчисление есть изометрия.
Аналогично, в (52.13) можно заменить элемент аеА коммутативным
набором а=(а<){е1. В этом случае <т(а) означает совместный спектр
семейства а (п. 52.7).
52.9. Теорема (об отображении спектров). Пусть А —С*-алгебра
с единицей. Тогда для каждого нормального аеА и каждой функции
f e С(а(а)) имеем
a(f(a)) = f(a(a)). (52.14)
Доказательство. Согласно теореме 51.12, достаточно вычислить
спектр /(а) в подалгебре С (а) (п. 51.8). Поскольку алгебра С(а)
коммутативна, имеем
*(/(«)) = {*(/(«)): X € А} = {/(х(а)): х € А} = f (*(<*)),
где Д = а(а).
Пример. Если иеА — унитарный элемент, то из равенства ии* =
= и*и = е следует |x(*0l2 = 1 Для всех х € А, т. е. а(и) с Т (Т — единичная
окружность). Предположим, что а(и)^Ти докажем, что в этом случае
и = е*, где а = а*еА. (52.15)
Действительно, можем считать (используя подкручивание и н-* ei(pu), что
-1 ^ сг(и). Положим а= -г Inn, где In означает главную ветвь
логарифмической функции (при вложении иеС(А)). Используя (52.14),
находим а(а) с (—7г, 7г), так что а(а) С R, откуда а—а*. В результате
получаем (52.15).
52.10. Алгебры без единицы. Если алгебра А не содержит единицы,
то А можно вложить в качестве идеала в алгебру Ах = А ФС с единицей
1 е С (и законом умножения 1а= а\ = а для всех а € А).
Условимся записывать элементы алгебры At в виде а+ А, где аеА, А 6 С.
Если А — нормированная алгебра, то равенство
||а+А|| = ||а|| + |А| (52.16)
можно использовать для введения нормы в Ах. Если А — банахова
алгебра, то А, —тоже банахова алгебра. Можно также заменить норму (52.16)
эквивалентной (операторной) нормой
\\а+ А|| = sup \\ax + Ах||, (52.17)
X
где супремум берется по сфере ||ж|| = 1.
§ 52. КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ
359
Если А — С*-алгебра, то Ах есть также С*-алгебра относительно
нормы (52.17). Это видно из оценки
\\а + А||2 = sup \\ах + Хх\\2 = sup ||aj*(<f +X)(a+ A)x|| <
<||(tf + A)(a + A)|U||a+A||2,
откуда следует (51.12) для алгебры Ах. Более того, из упражнения (1)
п. 51.8 следует, что (52.17) есть единственная норма, относительно
которой Ах есть С*-алгебра.
52.11. Коммутативный случай. Пусть А — коммутативная С"-алгебра.
Ясно, что каждый характер алгебры А поднимается до характера х € Х(АХ)
по правилу х(1)= 1- В этом смысле Х(А) вкладывается в Х(АХ). Ясно
также, что
X(Ax) = X(A)U{e}, (52.18)
где е(а+ А) = Л —единственный характер алгебры Ах, равный нулю на
подалгебре А (так что A = kere). Полагая Д = Х(А), Ах = Х(АХ),
находим, что Д = Д, \{е} есть локально компактное пространство, получаемое
из компакта Ах «выкалыванием» точки е. Применяя теорему Наймарка к
алгебре Ах, получаем
А«С(Д), (52.19)
где правая часть означает пространство непрерывных функций на Д,,
равных нулю в точке е.
**
52.12. Алгебра С(Д). Для каждого локально компактного
пространства Д существует «одноточечная компактификация» Ах = Ди{оо}, где роль
окрестностей точки оо играют дополнения К1 = Д \ К произвольных
компактов К с Д. _
Соответственно, мы используем обозначение С (А) для алгебры всех
функций / е С,(Д), равных нулю в точке оо. Последнее означает, что
ton /(А) = 0. Очевидно, С(Д) есть С*-алгебра (относительно равномер-
А-»оо
ной нормы на Д). Таким образом, (52.19) есть общий вид (с точностью до
изоморфизма) коммутативной С*-алгебры, где Д — произвольное локально
компактное пространство.
Если А не содержит единицы, то спектром элемента а€А называется
спектр элемента в расширенной алгебре Ах = А ФС. Множество Д = Х(А)
называется спектром алгебры А.
Замечание. Вместо символа С (А) обычно используется
символ С0(Д). Однако, мы сохраняем С0(Д) для обозначения пространства
функций с компактными носителями на Д (п. 26.1).
Упражнение. Пусть А — С*-алгебра без единицы, В — ее С*-по-
далгебра. Докажите (используя (51.17)), что
<b(a)U{0}:=<7B(A)U{0} (52.20)
для всех аеВ.
360
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
§ 53. Спектральная теория
53.1. Обозначения. Пусть А — коммутативная С*-алгебра с единицей.
Фиксируем систему (топологических) образующих a = (a.)ieI алгебры А и
будем рассматривать функциональное исчисление
С(Д)э/н+/(а)<ЕА, (53.1)
где А — совместный спектр системы а (п. 52.8).
Аналогично, если А — коммутативная С*-алгебра без единицы, то мы
имеем аналог (53.1) с заменой С (А) на С (А) (в обозначениях п. 52.10).
Напомним, что этот случай сводится к предыдущему посредством
расширения Ах = А фС.
Функциональное исчисление (53.1) естественно продолжается также на
более широкие классы функций. Например, мы покажем, что алгебру С(А)
можно заменить на -В (А), где В (А) — алгебра ограниченных борелевских
(измеримых по Борелю) функций /: Д—>С на компакте А. Существенно,
что В (А) содержит характеристические функции хш всех борелевских
подмножеств о; с Д. Соответствующие элементы е(ш) = хЛа) образуют
«проекционную меру» на компакте Д.
Основное содержание спектральной теории сводится к представлению
элементов /(а) в (53.1) в виде интегралов по проекционной мере е(ш).
Частный случай этой теории сводится к известной спектральной теореме
для эрмитовых (или нормальных) операторов а€ В(Н).
53.2. Определение. Пусть Д — отделимый компакт, Н — гильбертово
пространство над полем С. Пусть ft — а-алгебра всех борелевских
множеств о; с Д. Проекционной мерой в пространстве Я называется всякое
аддитивное отображение е: ft-» V(#), где V(ff) — множество всех орто-
проекторов в пространстве Н.
Здесь условие аддитивности означает, что
е(ш{ U ш2) = е(и>{) + е(ш2) (53.2)
для каждой пары непересекающихся множеств с*;,, ш2 е ft. Отсюда е(0)=О и
проекторы е(о>,), е(ш2) взаимно ортогональны (п. 3.12), т. е. е(а;1)е(а;2) = 0.
Отсюда, в свою очередь, следует, что
е(шх П ш2) = е(о;1)е(а;2) (53.3)
для каждой пары ши ш2 € ft. Действительно, это вытекает из разложения
и{ (г = 1,2) в сумму непересекающихся множеств ш0 = и{ П а>2, и[ = и){ \ ш0.
Согласно (53.3) семейство е(и>) (и е ft) коммутативно. Напомним
также, что е(и)* = е(ш) (поскольку е(и>) — ортопроектор). Отсюда следует,
что для каждого хе Н числовая функция р,х(и>) = (е(а;)х, х) аддитивна и
неотрицательна. А именно,
цх(ш) = \\е(ш)х\\>20.
§ 53. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 361
Следовательно, fix есть неотрицательная мера на компакте А. Более того,
для каждой пары элементов ж, у е Н функция
М*у(^) = (е(^)х, у) (53.4)
есть комплекснозначная мера на компакте Д.
Проекционная мера е: Q->V(H) называется спектральной мерой, если
е(А) = 1 и мера р,х для каждого хе Н есть регулярная борелевская мера
на компакте Д. В частности, каждая мера /хж счетно аддитивна.
53.3. Предложение. Каждая спектральная мера е(и>) (ш е ft) счетно
аддитивна в следующем смысле: для каждого хеН и каждой счетной
суммы ш непересекающихся множеств w-6Q имеем
е(ш)х = ]£ е(и>.)х. (53.5)
»
Доказательство. Напомним (п. 5.9), что каждый ряд взаимно
ортогональных ортопроекторов pi Е V(ff) сходится в применении к каждому
вектору х е Н. В частности, ряд в правой части (53.5) определяет
некоторый эрмитов оператор e'(cj). Умножая (53.5) скалярно на ж, получаем
(е(ш)х, x) = (е'(о;)ж, ж),
откуда е'(и>) = е(ш) (поскольку каждый эрмитов оператор ае В(Н)
однозначно определяется своей квадратичной формой <ра(ж) = (аж, х) (п. 5.11)).
Замечания. 1. Используя правила поляризации (п. 5.1), находим,
что комплексная мера (53.4) есть линейная комбинация положительных
меР М*±у, V>x±iy
2. В доказательстве (53.5) не используется регулярность мер /лх. Не
используется также и равенство е(Д) = 1 (которое может быть восстановлено
при замене Н на сумму подпространств Н{ = е(ш{)Н).
53.4. Предложение. Пусть е: ft—> V(#) — спектральная мера в
пространстве Н. Тогда для всех f e В (А) функция
4Д/)={/(А)<К(А) (53.6)
есть условно билинейная форма (по ж, у) в пространстве Я,
удовлетворяющая оценке
\IJf)\^\\f\\M\\yl (53.7)
где II/H =тах |/(А)| —равномерная норма в В(А).
Доказательство. Пусть вначале / — простая функция, т. е. / =
п
= !£ ciXi> гДё ci € С Хг —характеристическая функция множества ш. е П
и множества u)i взаимно не пересекаются. В этом случае равенство (53.6)
принимает вид
У/)=Е^Ч(4 (53.8)
t = l
23 Зак. 184
362 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Для получения оценки (53.7) положим ш = 1/(ш0 x. = е(а>,)ж, у{ = е(ш{)у.
Тогда имеем:
Е ЫЧ)1 = Е \(*„ Vi)\ < ||е(а;)х||||е(а;)у|| ^ ||х||||у||,
t = 1 i = 1
откуда следует (53.7) для интеграла (53.8) (поскольку ||/|| = max |cj). Оста-
i
ется заметить, что каждая функция / е В (А) есть равномерный предел
последовательности простых функций fn (n e N). Используя (53.6) при х = у
и замечание (1) п. 53.3, получаем
/„(/) = lim !„(/„),
откуда также следует (53.7) (поскольку ||/|| = lim ||/n||).
п
53.5. Следствие. Существует единственный оператор If e В(Н),
удовлетворяющий соотношению
((//)* у) = !.,</) (53.9)
для всех ж, у € Я. Более того,
\\ifW < 11/11-
Мы будем в этой ситуации использовать обозначение
tf= [/(A)de(A) (53.10)
(интеграл Лебега по проекционной мере е: ft—> V(#)).
53.6. Теорема. Отображение /:/»-* I/, определенное
равенством (53.10), есть гомоморфизм алгебры В (А) в алгебру В(Н),
удовлетворяющий соотношениям
/(i) = i, J(/r = /(7) (53.il)
для всех f € В (А). Более того, каждый гомоморфизм I: С (А) —> В(Н),
удовлетворяющий условиям (53.11), однозначно продолжается до
гомоморфизма f н-> // алгебры В (А), где е —некоторая спектральная мера
на компакте А.
Доказательство. Интеграл (53.10) линеен по / и удовлетворяет
соотношению 1(1)= 1. Второе соотношение (53.11) выполняется для простых
функций /, но тогда и для всех / е В (А). Остается проверить, что
I(fg) = If.Ig (53.12)
для* всех простых (но тогда и для всех) функций /, g е С(А). Достаточно
даже считать, что / = хи » 9 = Хш » гДе о;п а;2 6 Д. В этом случае (53.12)
совпадает с (53.3).
§ 53. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 363
Предположим теперь, что f*->If есть гомоморфизм С(Д)—>Я(Я),
удовлетворяющий (53.11). Числовая функция 1ж(/) = ((1/)ж, х) линейна по / и
неотрицательна при / ^ 0. А именно, / можно представить в виде д2, где
де С (А) — вещественная функция. Отсюда
I.(f) = (I(9)*,I(g)x)>0.
Следовательно, 1Х есть интеграл в С(А), откуда следует, что 1Х
определяется равенством (53.6) при х = у, т. е. 1Х = 1^, где мж = Мжх — неотрицательная
борелевская мера в А. Соответственно, 1^ = (/(/)ж, у) имеет вид (53.6),
где р,щ — поляризация меры /лх (п. 53.3).
В этом случае (53.12) требует особого доказательства (поскольку мы еще
не знаем, что // имеет вид (53.10)). Заметим, что (53.12) равносильно
соотношению
IJf9) = U9), где * = (//)•*
Поскольку это равенство выполняется (при фиксированном / е С(А) для
всех д е С (А), то оно выполняется также и для всех д € Я(Д). Аналогично,
можно заменить / е С (А) на / е В (А). Отсюда следует (53.12).
Полагая e(cj) = J(xw), получаем е(ш)* = е(и>) = е(ш)2 (поскольку %J =
= Хш = х1)- Ясно также, что е(ш) удовлетворяет (53.2), т. е. е: £2—>У(Я)—
проекционная мера в пространстве Я. Поскольку меры р,х = р,^ в (53.6)
регулярны, мы находим, что е: ft —► V(#) есть спектральная мера в
пространстве Я.
Пусть J — интеграл (53.10), определяемый спектральной мерой е. Тогда
имеем I^U) = Jxyif) A™ всех я, у е Я, т. е. I = J.
53.7. Следствие. Оператор Ь е Я (Я) перестановочен со всеми If, где
f е С (А) (аналогично, f € В (А)), тогда и только тогда, когда
оператор Ь перестановочен со всеми е(ш), где и> Е fi.
Действительно, перестановочность оператора Ь со всеми е(ш) (ш еП)
влечет его перестановочность со всеми простыми функциями / 6 Я (А), но
тогда (упражнение) и со всеми / G Я (А) (в частности, / е С (А)).
Аналогично, если оператор Ь перестановочен с операторами //, где / € С(Д), то
он перестановочен со всеми операторами //, где / е Я (А).
53.8. Функциональное исчисление. Пусть А — коммутативная
С*-подалгебра в В(Н), содержащая единицу 1 еВ(Н). Гомоморфизм (53.1)
удовлетворяет соотношениям (53.11) и потому поднимается (по
теореме 53.6) до гомоморфизма Я (А) —► В(Н).
Пусть а = (а{){е1 — семейство топологических образующих алгебры А.
Согласно п. 52.7, компакт А отождествляется с компактом в С\ где а =
= cardl. В этом случае (53.10) (по аналогии с (53.13)) записывается в виде
/(*)= J/(A)<fe(A)f (53.13)
А
где е — спектральная мера, порожденная гомоморфизмом (53.1). Если I —
конечное множество, то (53.13) можно также записывать в виде
/(<*„...,<*„)= j/(A„...,An)dA1...dAn) (53.14)
А
23*
364 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
так что правая часть (53.14) определяет борелевскую функцию / от
(перестановочных) а,,..., ап е А.
Примеры. 1. Если at. (i = 1,..., п) — взаимно перестановочные
эрмитовы операторы в В(Н), то равенство (53.14) известно под названием
спектральной теоремы в пространстве Я.
2. Пусть аеВ(Н) — нормальный оператор, так что а= а, Ч-г^, где а, (г =
= 1,2) — взаимно перестановочные эрмитовы операторы. Применяя (53.14)
к С*-подалгебре с единицей, порожденной операторами а1? а^ (либо а, а*),
напомним (п. 52.7), что в этом случае а(А) = а(а). Соотношение (53.14)
принимает вид
№ = j /(A)de(A). (53.15)
<r(a)
Равенство (53.15) есть спектральная теорема для нормального (в
частности, эрмитова, унитарного) оператора аеВ(Н).
Аналогично, (53.14) можно сформулировать в терминах нормальных
операторов at. G В(Н).
А именно (см., например, [Р; М]), условие [а, Ь] = 0 для нормальных
а, Ь е В(Н) влечет [а, Ь*] = 0. Поэтому в (53.14) можно рассматривать
произвольное семейство перестановочных нормальных операторов а. е В(Н).
Замечание. Интеграл (53.14) для функций feC(A) можно
рассматривать как интеграл Римана. Действительно, пусть j — произвольное
разбиение компакта Д ССП на борелевские подмножества ш{ (* = 1,..., п).
Полагая
/»=Е/(А<)е(Ч),
i = 1
где А(. 6 ц, получаем интегральную сумму Римана (зависящую также от
выбора точек \{€ и>{). Напомним, что сумма проекторов e(a>.) есть 1.
Отсюда п
/(a)=£/(a)e(4).
• = i
Согласно следствию 53.5, имеем ||/(а)-/(А.)|| ^ е. на каждом
подпространстве Щ = е(ш{)Н, где е{ —колеоание функции / на подмножестве ш{\
Отсюда также
ll/(a)-/7(a)ll<* (53.16)
во всем пространстве Я, где е = ||/-/7||, Д — кусочно-постоянная функция,
равная /(Л.) на ш.. Выбирая достаточно мелкое разбиение компакта Д,
можно выполнить (53.16) для любого е >0. В результате
/(a) = lim/7(a), (53.17)
7
т. е. /(a) есть интеграл Римана.
53.9. Предложение. Каждая коммутативная С*-алгебра А
изоморфна С*-подалгебре в В(Н) (при некотором Я).
Доказательство. Достаточно рассматривать случай А = С(Д).
Полагая
# = 0ЯХ, (53.18)
§ 54. С*-АЛГЕБРЫ 365
гдеЯх — одномерный А-модуль, определяемый характером %, получаем
точный Л-модуль Я. Легко проверяется также, что для каждого аеА
операторная норма ||а||0 в В (Н) совпадает с ||а|| в С (А). Иначе говоря, вложение
А с В (Н) изометрично.
53.10. Следствие. Вложение А с В (Н) продолжается (по
теореме 53.6) до вложения В с В(Н), где В та В (А) при А та С (А).
Заметим, что алгебра В = В (А) определяется по алгебре А с точностью
до изоморфизма. Алгебра В называется борелевским расширением
алгебры А.
§ 54. С*-алгебры
54.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе А — С*-алгебра, As —
подмножество эрмитовых (selfadjoint) элементов алгебры А. Заметим, что А8
есть вещественное подпространство алгебры А. Ясно также, что А8
замкнуто (поскольку отображение av-*a* изометрично и потому непрерывно).
Следовательно, А8 есть банахово пространство над полем R.
Для каждого ае А8 пусть С (а) — С*-подалгебра (без единицы),
порожденная элементом а. Заметим, что С(а) есть замыкание множества
многочленов р(а) без свободного члена (р(0)=0). Согласно теореме Гельфанда —
Наймарка (п. 52.10), имеем изометрический изоморфизм
С(а)таС(Д), (54.1)
где А — спектр алгебры С(а). Используя упражнение п. 52.10, находим
Ди{0} = ог(а)и{0}, где а(а) — спектр элемента аеА (т. е. спектр элемента
а в алгебре А{). Более того, аналог (54.1) выполняется для нормальных
элементов аеА.
Элемент ае А называется положительным (а^О), если o-(o)cR+.
Полагая а^Ь при а—Ъ ^0, получаем частичную упорядоченность в А8 (и даже во
всей алгебре А). Действительно, отношение ^ транзитивно, и также ±а^0
влечет ||а|| = г(а) = 0, т. е. а = 0. Множество всех а^О обозначается А+.
Используя изоморфизм (54.1), находим
А8 = А+-А_, (54.2)
т. е. каждый элемент аеА8 записывается в виде а+ — а_, где а± ^ 0. Более
того, элементы а± можно выбрать так, чтобы
а+а_ = а_а+ = 0. (54.3)
В этом случае разложение а=а+- а_ называется разложением Жордана
элемента аеА8. Используя (54.1), находим
||a|| = max||a±||. (54.4)
Замечание. Подпространство А8 есть коммутативная (но
неассоциативная) алгебра относительно «йорданова» умножения
а о Ь = аЬ + Ьа.
366
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
54.2. Теорема. Пусть А —С*-алгебра. Тогда
(а) Для каждого ае А+ существует единственный элемент Ь е А+9
для которого а=Ь2 (обозначение: Ь = у/а или Ь = а1/2).
((3) Множество А+ есть конус в алгебре А, совпадающий с
множеством всех а*а, где аеА.
(7) Если О ^ а< Ь, то \\ а\\ ^ || Ь ||, у/а^. Vb. Если А содержит единицу
и элементы а, Ь обратимы, то О < Ь"1 ^ а"1.
Доказательство, (а) Существование элемента Ь вытекает из
изоморфизма (54.1). Заметим, что аЪ = Ьа. Если также а=с2, где с е А+9 то
ас = с3 = са, откуда Ьс = сЬ (поскольку Ь есть функция от а). Расширяя
подалгебру С(а) до С*-подалгебры С(Ь, с), порожденной элементами Ь, с,
и используя аналог (54.1) для алгебры С(Ъ, с), заключаем, что извлечение
квадратного корня (в классе А+) единственно, т. е. Ъ = с.
(/?) Достаточно рассматривать случай, когда А есть алгебра с единицей.
Заметим, что условие 0<a^Ae(A£R+) можно выразить в терминах нормы.
А именно,
0< а< АеФ>|
Л
а~2
^ 2
(что следует из (54.1)). В частности, для каждой пары а, Ь е А+ имеем
0<а^ А, 0^ Ь ^р, где А = ||а||, /х = ||Ь||. Отсюда
а+Ъ-*±*
a"2
Ь-f
A+/i
2 '
что равносильно а+ Ь е А+. Ясно также, что АА+ с А+ при А е R+.
Следовательно, А+ есть конус в алгебре А.
Фиксируем a=b + ie, где Ь,сеА8, и покажем, что a*a^0. Заметим
вначале, что
а*а + аа* = 2(Ь2 + с2) ^ 0. (54.5)
С другой стороны, пусть ж = х+—ж_ — разложение Жордана элемента х = а*а
(п. 54.1). Полагая у = ах_, получаем
2/*2/ = я_(х+ — я_)ж_ = —ж? ^ 0.
Согласно (52.20), имеем также уу* < 0. Сопоставляя эти факты с общим
правилом (54.5) при а=у, получаем у*у = уу* = 0. Соответственно, аг!=0,
так что х_ = 0 (поскольку ж_ € А5). В результате ж = ж+ ^ 0.
Таким образом, каждый элемент а*а (аеА) содержится в А+. Обратно,
из (а) следует, что каждый элемент аеА+ имеет вид Ь2 = Ь*Ь. Отсюда
следует (/3).
(7) Достаточно рассматривать случай, когда А содержит единицу. Из
оценки 0<а<&<||&|| следует ||а|| ^ ||Ь||. Далее, пусть х = у/а, у = у/Ь.
Положим
w = (А + х + у)(\ - х + у) = и + щ (54.6)
где A G R+, u, v e А8. Заметим, что
и =
го 4- w
= Х2 + 2\у + (Ь-а)^Х2,
§ 54. С'-АЛГЕБРЫ 367
откуда следует обратимость элемента и при А Ф 0. Умножая (54.6) слева
и справа на элемент и~1/2 и используя (54.1) при a=u~l/2vu~l/2t находим,
что элемент w обратим. Полагая
z = w'l(X + х + у),
получаем z(X — х + у) = е, откуда (А — х + y)z* = е, т. е. элемент А - х + у
обладает односторонним обратным. Отсюда следует, что он обратим и
z = (X-x + y)~{.
Полученное равенство означает, что R+ С р(х — у), так что а(у — х) с R+,
х < у. Наконец, соотношение 0 ^ а < Ъ для обратимых а, Ъ равносильно
1 < аГ^Ьа^2, откуда ахН~ха^2 < 1, т. е. Ь~х < от1.
Упражнения. 1. Если элементы а,ЬеА+ перестановочны, то ab е
е А+. [Указание: элементы а1/2, Ь1/2 перестановочны.]
2. Для операторов a е В(Н) условие а ^ 0 равносильно (а£, £) ^ 0 для
всех £ еН. [Указание: соотношение — А <а< А, где А еШ (А = А-1), влечет
<т(а)с[-А,А].]
54.3. Следствие. Группа G(A) обладает полярным разложением
G(A)=UP*UxP, (54.7)
где U —группа унитарных элементов алгебры А, Р = А+П G(A).
Действительно, для каждого ge G(A) имеем д*деР, откуда д*д = р2
при некотором р е А+. Заметим, что р обладает правым обратным р(д*д)~1,
откуда ре G(A)f так что ре Р. Полагая и = ар"1, получаем и*и = е, откуда
и е С?(А), и~{ = и*, т. е. и е U. В результате д = гхр, где u e U, р е Р. Ясно
также, что это разложение единственно, откуда следует (54.7).
54.4. Определение. Пусть А — алгебра с инволюцией. Линейный
функционал fe А* называется симметричным, если f(x*) = f(x) для всех хеА,
что равносильно f(x) e R при х = ж*. Линейный функционал / е А*
называется положительным, если f(x*x) ^0 для всех х е А. В этом случае
используется обозначение / ^ 0.
Множество всех симметричных функционалов А* с А* есть вещественное
подпространство в А*. Множество всех 0 < ае А* обозначается А*+.
Если А — £*-алгебра, то условие / ^ О равносильно f(x) ^ 0 для всех
х е А+. Отсюда ясно, что А* есть конус (дуальный к конусу А+). Ясно
также, что отношение / ^ д при / — д ^ 0 есть отношение порядка в А*.
Фиксируем / 6 А* и заметим, что для каждого набора элементов ate A
(г = 1,..., п) функция
(tv)= E №*,)*& (54.8)
368 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
есть эрмитова форма в пространстве Сп. Полагая
получаем (f, rj) = f(b*a). В частности, (f, £) ^ 0 для всех f б Сп. Полагая
п = 2 и используя неравенство Шварца, получаем
|/(b*a)|</(efa)/(6*6) (54.9)
для всех а,Ь еА. Если алгебра А унитальна, то отсюда следует
|/(*)|2</(е)/(х*а) (54.10)
для всех хеА.В частности, равенство /(ж*х) = 0 влечет /(ж) = 0. Отсюда
следует также, что (•, •) есть скалярное произведение в Сп.
Если А не содержит единицы, но оценка (54.10) выполняется (для всех
хеА) при замене /(e) некоторой константой С ^0, то функционал /
называется ограниченным. В этом случае равенство /(a+A) = /(a) + A (aeA,
А е С) определяет продолжение функционала / до ограниченного
функционала / е (А ф С)*. Обратно, если такое продолжение существует, то /
удовлетворяет оценке (54.10), где е = 1 в А ФС.
54.5. Предложение. Пусть А —С*-алгебра. Тогда каждый
положительный функционал / e А* непрерывен. Если алгебра А унитальна, то
11/11=/(e). (54.11)
Доказательство. Если / не ограничен в А+, то существует
последовательность ап е А+, для которой ||an|| < 1, f(an) ^ 2n. Полагая
00
получаем элемент аеА+. Пусть Ьп — частичная сумма этого ряда
(составленная из первых п его членов). Тогда имеем
для всех п б N, что невозможно. Отсюда заключаем, что функционал /
ограничен и потому непрерывен.
Если е € А, то из оценки (54.10) при ||я|| ^ 1 получаем ||/||2 < /(е)||/||,
откуда ||/|| ^ /(e) при / фО. С другой стороны /(e) ^ ||/||. Отсюда
получаем (54.11), поскольку это равенство выполняется также при / = 0.
54.6. Аппроксимативные единицы. Пусть А — нормированная
алгебра, S — замкнутый единичный шар алгебры А. Направленность и{е S
(г е I) называется аппроксимативной единицей алгебры А, если
a = limaut. = limuta
i i
для всех a G A.
§ 54. СГ-АЛГЕБРЫ 369
В частности, пусть А — С*-алгебра, S+ = Sn A+. Направленность щ е S+
называется строгой аппроксимативной единицей алгебры А, если она не
убывает и a=lim au{ для всех аеА. Применяя инволюцию (и заменяя а на
а*) находим также, что a=lim ща для всех аеА. Следовательно, и{ (г е /)
есть аппроксимативная единица алгебры А.
В дальнейшем термин «аппроксимативная единица С*-алгебры А»
означает строгую аппроксимативную единицу и{ е S+. Покажем, что для каждой
С*-алгебры А такие аппроксимативные единицы всегда существуют.
Пример. Все множество 5+ (с определенным в нем порядком) есть
аппроксимативная единица алгебры А. Действительно, пусть аеА+.
Используя изоморфизм (54.1), находим
Ца-щаЦ^е
для некоторого г^е CQ(a)OS+. Допустим теперь, что UQ^ueS+. Определяя
элементы v, v0 е S+ по правилу v2 = 1 — uf v$ = 1 — г^, заметим, что v2 < v2.
Отсюда
||a- гш||2 = lk2a||2 < ||ш||2 = ||at;2a|| ^ \\av2a\\ < \\a - ща\\ < г,
так что a = limua — для всех аеА., но тогда и для всех аеА (в соответ-
ствии с (54.2)).
Если / е А*, то для каждой аппроксимативной единицы и{е S+ (г е I)
имеем
|/(*)|2 = lim \f(Uiх)\2 < sup /Ю2/(х*х) ^ Ц/11 • /(*•*).
Заметим, что uf < uit откуда f(uf) ^ /(***). Направленность f(u.) не
убывает и ограничена сверху числом ||/[|. поэтому она обладает некоторым
пределом ш < ||/||, и предыдущая оценка уточняется следующим образом:
\f(x)\2^u>f(x*x)<u\\f\\ при ||г||<1.
Следовательно, ||/||2 < w||/||, так что ||/|| < и> при / =^0. Но тогда ||/|| = ш
(что верно также при / = 0). В результате
||/|| = lim/К). (54.12)
t
Если А содержит единицу е, то предел в правой части совпадает с /(e),
в соответствии с (54.11).
Упражнения. 1. Если G — локально компактная отделимая группа,
то каждая 5-образная направленность Si е CQ(G) (п. 27.11) есть
аппроксимативная единица алгебры LY(G).
2. Если А — сепарабельная С*-алгебра, то в ней существует счетная
аппроксимативная единица и.е S+.
54.7. Теорема. Пусть А —С*-алгебра. Линейный функционал / еА*
положителен тогда и только тогда, когда выполняется (54.12) хотя
бы для одной аппроксимативной единицы алгебры А.
370
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Доказательство. Допустим, что (54.12) выполняется. Положим (не
ограничивая общности) ||/|| = 1, и пусть ае А5, \\а\\ < 1. Тогда имеем при t е
GR:
\\а+ itu3.\\2 = ||(a- itUj)(a+ itu.)\\ ^ 1 + t2 + |t|||auy - и.аЦ
откуда
\f(a+itu3.)\2 ^ 1 + t2 + \t\Wauj - uja\\.
Заметим, что /(u.) —► 1, \\аи. - uya|| ->0. Переходя к пределу, получаем
\f(a) + it\2^l + t2.
Полагая /(a) = а+г/3, где а, /3 е R, находим, что линейная функция /3t
ограничена, что возможно только при /3 = 0. В результате /(a) G К, т. е. /GA*.
Предположим дополнительно, что ое5+. Из оценок 0^a^l,0^ut. ^1
получаем ±(а-гх.)< 1, откуда (с использованием (54.1)) получаем ||a-uj <
^ 1. Но тогда |/(a)-/(uf)| < 1. Переходя к пределу, получаем 1 -/(а) < 1,
т. е. /(а) ^ 0. В результате / G А+.
54.8. Следствие, (i) Если fige А*, то ||/ + д\\ = ||/|| + ||д||.
(ii) Если А =^0, то (Эля каждого нормального ае А существует / G А*,
для которого
11/11 = 1, l/(a)l = NI-
Действительно, в случае (i) имеем
||/ + g || = lim /(«,) + lim д(щ) = ||/|| + ||5||.
t t
Ясно также (из (54.1)), что существует характер х алгебры С(а), для
которого |х(а)| = 1М|, х(е) = 1» гДе е — присоединенная единица алгебры А.
Применяя теорему Хана — Банаха, получаем функционал / G (А ©С)*, для
которого |/(a)| = ||a||, /(e) = 1. Согласно теореме 54.7, функционал /
положителен и Ц/11 = 1.
54.9. Теорема. Пусть А —С*-алгебра, В —ее С*-подалгебра. Тогда
для каждого /€В+* существует функционал g G А*, продолжающий /,
для которого ||/|| = ||#||.
Доказательство. Пусть вначале А = Б © С. Полагая #(а + А) =
= /(а) + А ||/||, получаем g G А*, для которого
д(а + А) = lim f(au{) + A lim f(u{) = lim /((a + \)u{),
i i i
где гг, —аппроксимативная единица алгебры В. Отсюда
l5(a + A)|^ II/H sup ||(a+AK|K||/||||a+ A||,
г
т. е. ||р|| ^ ||/||. Обратное неравенство очевидно, т. е. ||/|| = \\д\\.
В общем случае можем предполагать (используя, если надо,
присоединение единицы), что А, В имеют общую единицу. Применяя теорему Хана —
Банаха к функционалу /, получаем д е А*, для которого ||^|| = ||/|| = /(e) =
= д(е). В результате д G А*.
§ 54. С*-АЛГЕБРЫ 371
54.10. Теорема (разложение Жор дана). Пусть А —С*-алгебра.
Тогда для каждого f e А* существуют функционалы f±eA*+, для которых
/=/+-/_)||/11=11/+11+1|/.ц.
Доказательство. Сопоставим каждому аеА8 непрерывную
функцию а(/) = /(а), где / е S+. Заметим, что S+ есть компакт (по аналогии с
п. 52.5). Равномерная норма на S+ обладает оценкой
||a|| = max|/(a)|<||a||.
Согласно следствию 54.8 (Н), оценка достигается при некотором / £ S+,
откуда || а]| = ||а||, т. е. отображение а н-» а изометрично. Поэтому можно
отождествить А8 с вещественным подпространством в C(S+).
Пусть / £ А*. Применяя теорему Хана — Банаха, продолжим / до
функционала geC(S+)* с сохранением нормы: ||/|| == \\д\\. Напомним, что д
определяется некоторой борелевской мерой на 5+. Полагая д = д+ — д_, где д± —
положительные меры, получаем (по теореме Жордана для борелевских мер)
llflll = IIff+ll + ||sl||. Отсюда также
/ = /+-Л. 11/11 = ИДИ + ИЛИ,
где /± — сужение д± на подпространство А5.
Упражнения. 1. Пусть А — С*-алгебра, и пусть /£ А*+. Проверьте,
что для каждого аеА
/(а*а) = 0<Ф/(Ьа) = 0 для всех be А. (54.13)
2. Проверьте, что в условиях упражнения 1 выполняется неравенство
f(b*a*ab) < ||a*a||/(b*b), (54.14)
для всех а,ЬеА. [Указание: рассмотрите функцию g(x) — f(b*xb)t где
9(e) = 1.]
54.11. Лемма. Пусть А — С*-алгебра, L —замкнутый левый идеал
алгебры А. Тогда для каждого aeL и каждой аппроксимативной
единицы щ (г £ I) С*-подалгебры В = L П L*
а = Нтсш.. (54.15)
г
Доказательство. Достаточно заметить, что а*а £ В, откуда
a*a = lim a*auim Но тогда имеем
\\а- ащ||2 = ||(1 - u,)rfa(l - ti,)|| ^ ||a*a(l - «,.)|| -О,
откуда следует (54.15).
54.12. Теорема. Каждый замкнутый идеал I С*-алгебры А
тричен, т. е. I есть'С*-подалгебра алгебры А. Факторалгебра А/1
есть С*-алгебра (относительно факторнормы, определенной в А/1).
372
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Доказательство. Воспользуемся равенством (54.15), где и{ —
аппроксимативная единица идеала In/*. Отсюда для каждого ае I получаем
а* = lim u{a* е J, так что J* = /.
Положим ае А. Фиксируем е >О, тогда существует Ь е I, для которого
||а+Ь|| < ||7г(а)|| + е, где 7г — каноническая проекция А на А/1. Существует
также индекс %, для которого ||Ь — и{Ь\\ ^ е при г ^ %. Отсюда
11« — Чв||< ||(1 - щ){а+ 6)|| + ||6 - ч-ЬК И« + ЬН + * < И«0И+2*
В результате
||тг(а)|| = lim ||а~п.а|| = lim ||а- ащ\\.
г i
Полагая ь{ = 1 — щ (1 — присоединенная единица алгебры А), заметим, что
|К||2 = |к<?аи<|| ^ ||^(а*а+ Ъ)ь<\\ + \\vfoW
для каждого Ь еВ. Полагая Ь el, получаем:
||тг(а)||2 = lim ||atij|2 < ||а*а+ Ь|| + lim \\bv{\\ = ||а*а + Ь||.
г г
Применяя к правой части исходную оценку для ||а+Ь||, получаем ||7г(а)||2 <
^ ||тг(о)*7г(а)||. Поскольку обратное неравенство очевидно, заключаем, что
А/1 есть С*-алгебра.
§ 55. Представления С*-алгебр
55.1. Гомоморфизмы. Пусть А, В — С*-алгебры. Гомоморфизм ц>: А ->
—► В называется симметричным (или ^-гомоморфизмом), если он
сохраняет инволюцию, т. е. (р(х*) = у>(х)* для всех х е А.
Напомним (п. 51.8), что для каждого гомоморфизма х\-^кр(х)
резольвентное множество не убывает, так что а(<р(х)) С сг(ж). Отсюда для каждого
♦-гомоморфизма х н+ <р(х) получаем
||р(х)||' = |M*)V(*)II = IM***)II < r(x*x) = ||х*г|| = ||*||2,
т. е. ||¥>(Х)И ^ INI ДЛЯ всех хе А. Следовательно, каждый *-гомоморфизм
не увеличивает норму и потому непрерывен.
Представлением С*-алгебры А в гильбертовом пространстве Я
называется всякий *-гомоморфизм (р: А -* Я (Я). Согласно сделанному выше
замечанию, каждое такое представление (</?, Я) раздельно непрерывно, но
тогда и непрерывно (п. В.8). Соответственно, (Я, <р) есть топологический
А -модуль.
Представление (<р, Я) называется невырожденным, если равенство
(р(а)£ =0 для всех аеА возможно только при £ = 0. Если А есть алгебра
с единицей, то каждое ее (унитальное) представление невырождено.
Представление (<р, Я) называется циклическим, если существует
вектор £о € Я, для которого <р(А)£0 всюду плотно в Я. В этом случае
вектор £0 называется циклическим (или порождающим) вектором
представления (<р, Я).
§ 55. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С*-АЛГЕБР 373
Представление (<р, Я) называется алгебраически (соответственно,
топологически) неприводимым, если решетка всех (соответственно, замкнутых)
А -подмодулей в Я совпадает с {О, Я}.
55.2. Матричные элементы. Пусть (<р, Я)— представление С*-алгеб-
ры А. Для каждого £0 е Я числовая функция
/(а) = Ко,£о) (55.1)
есть положительный функционал в алгебре А. Действительно, f(cfa) =
= ||af0||2 ^ 0. Если А есть алгебра с единицей, то имеем также
11/11= Не) = № (55.2)
Обратно, для каждого функционала / G А* можно построить
представление (<р, Я) с матричным элементом (55.1). А именно, положим
(* V) = /(»**), (55.3)
так что (55.3) есть эрмитова форма в алгебре А. Согласно
неравенству (54.9), ядро этой формы совпадает с подпространством
N = {х е A: f(x*x) = 0}. (55.4)
Используя (54.14), находим, что N есть левый идеал алгебры А.
Соответственно, форма (55.3) определена и невырождена в A/N.
Поясним, что A/N есть множество классов £(x) = x + N. Эрмитова
форма (55.3) переносится на A/N по правилу
(*(*),*(»)) = (* V), (55.5)
причем из неравенства Шварца (54.9) следует корректность этого
определения (правая часть зависит только от классов £(ж), £(у)). Равенство
(£(я)> £(ж)) = 0 возможно только при xeN,r. е. £(ж) = 0.
Отсюда заключаем, что эрмитова форма (55.5) есть скалярное
произведение в пространстве A/N.
Операция левого сдвига х*-*ахв алгебре А индуцирует действие af (x) =
= £(ах) алгебры А в A/N. Заметим, что
«(*), Ну)) = /(»* «*) = fWvY*) = (*(*), *«»)),
т. е. действие <p(a)f =af симметрично в A/N. Помимо этого, из (54.14)
имеем
\H(xW = f(x*a*ax)^\\a\m(x)\\\
т. е. ||a£|| ^ ||a||||£|| для всех а€ A, £eA/N.
Пополняя A/N до гильбертова пространства Я, получаем представление
(</?, Я) алгебры А, для которого выполняется (55.1) при £0 = £(е). Это ясно
из (55.3) при х = а, у = е.
Заметим, что £0 есть циклический вектор представления (<р, Я).
Действительно, A£Q = A/N всюду плотно в Я. Таким образом, (<р, Я) есть
циклическое представление алгебры Я (порожденное функционалом /).
374
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Представление (у>, Я), порожденное функционалом / е А*, называется
представлением Гельфанда — Наймарка (ассоциированным с
функционалом /).
Отображение /i-+ (<p, Я) переносится также на С*-алгебры без единицы.
В этом случае отображение /»-*(<£>, Я) называется конструкцией
Гельфанда — Наймарка — Сигала (или коротко ГНС-конструкцией).
Покажем, что циклический вектор £0 е Я существует также для <7*-ал-
гебр без единицы.
55.3. Предложение. Пусть (<р, Я) — представление алгебры А,
определенное соотношениями (55.3)-(55.5). Тогда существует
единственный вектор £0 е Я, удовлетворяющий соотношению
/(*) = <*(*)■&) (55-6>
для всех хеА. Более того, £(х) = х£0 для всех хеА, так что £0 есть
циклический вектор представления (<р, Я).
Доказательство. Поскольку f(N) = 0, мы можем рассматривать /
как линейный функционал в A/N, т. е. равенство f(£(x)) = f(x) корректно
определяет / е (A/N)*. Поскольку этот функционал ограничен, он
продолжается (по непрерывности) до линейного функционала в Я и потому имеет
вид (55.6) при некотором f0 е Я. Поскольку A/N всюду плотно в Я,
функционал £0 определяется единственным образом. Имеем также
({(x),a{0) = «(tfx),{0) = /(rfa!) = ({(*H(a))
для всех а, х е А. Поскольку векторы £ (ж) (хеА) пробегают всюду плотное
множество, мы находим
£ (а) = а£0 для всех а е А. (55.7)
Для вычисления нормы вектора £0 воспользуемся аппроксимативной
единицей щ (i el) в алгебре А. Заметим, что и{£(х) = €(и{х)->€(х) для всех
хеА, откуда и{£ —> f для всех £ е Я. В частности,
И£о112 = «о, *о) = Ит(«,£0, *о) = Ito /(«.) = 11/11
г г
(в соответствии с (54.12)).
55.4. Прямые суммы. Пусть (<рпЯДе/— произвольное семейство
представлений алгебры А. Прямая ортогональная сумма <р = ®<р{
представлений (pt определяется в гильбертовом пространстве *
я= ея.,
iel
по правилу ip(x) = 1р{(х) при х е Н{. Поскольку ||<р,(ж)|| < ||ж|| для всех г е I,
мы имеем <р(х) е В(Н) для всех хеА. Заметим, что
IM*)II = sup \\Vi(x)\\. (55.8)
§ 55. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С'-АЛГЕБР 375
Пусть S(A) — множество всех функционалов /еА+, нормированных
условием H/II = 1. Элементы / е S(A) называются состояниями алгебры А,
Для каждого / е S(A) пусть (у>р Hf) — представление Гельфанда — Най-
марка (п. 55.2), порожденное функционалом /. Положим
ъ^ЛаЛ (55,9)
55.5. Теорема (Гельфанд — Наймарк). Каждая С*-алгебра А
изометрически изоморфна некоторой С*-подалгебре в В(Н), где Н
—гильбертово пространство. В частности,
А ™ V>8(A)(A)-
Доказательство. Согласно следствию 54.8 (ii), для каждого х е А
существует состояние /€ 5(A), для которого ||ж||2 = /(х*ж). Отсюда
1М*)У2Ч1£(*)112=/(***) = И2-
С другой стороны, ||^(ж)£0|| < ||ж|| для каждого представления (</?, Н). В
результате
lk/(*)ll-IMI
(где / зависит от ж). Применяя этот результат к представлению ip = <pS{A)
и используя (55.8), получаем
М*)||=8ир||^(*)|| = И
для всех же А. Таким образом, отображение (р изометрично. Поскольку
алгебра А симметрична и полна, ее образ (р(А) есть С*-подалгебра в В(Н).
Отсюда получаем (55.9).
55.6. Следствие, (i) Представление (55.9) точно.
(и) Если xeAs, то включение хеА+ равносильно /(ж) ^ 0 для всех
feS(A).
Действительно, (i) вытекает непосредственно из теоремы 55.5. Если
f(x) ^ 0 для всех / е S(A), то f(x) ^ 0 для всех / е А*. В частности,
/(а*жа)^0 (поскольку функционал Д(ж) = /(а*жа) неотрицателен). Отсюда
(ж£(а),£(а)) = /(а*жа):*0
в представлении <pf. Соответственно, (ж£, f)^0 W* всех f еЯ;, т. е.
<pf(x)^0 в алгебре B(Hf) (п. 54.2), ^>8щ(х)^0. Применяя теорему 5.5,
напомним (п. 54.2), что упорядоченность в алгебре А определяется в
терминах нормы. В результате получаем, что х = 0.
Перейдем к дальнейшему изложению. Условимся говорить, что два
представления («ft, Н{), (<р2, Я2) алгебры А унитарно эквивалентны, если
существует изометрия (унитарный оператор) и: Нх «Я2, сплетающий <р15 <р2:
wpx(x) = <р2(х)и для всех х £ А. (55.10)
55.7. Лемма. Каждое циклическое представление алгебры А
унитарно эквивалентно одному из представлений (<pf, Hf), где f e S(A).
376
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Доказательство. Пусть $. (г = 1,2) — циклические векторы двух
представлений (<^,Я,). Предположим, что
Ki>Si) = K2>f2)
для всех аеА. Тогда имеем
(afpbfi) = (af2>bf2)
для всех а, Ь е А. Поэтому равенство и(а^г) = а£2 определяет изометрию
всюду плотных множеств А£{ « А£2. Следовательно, и продолжается (по
непрерывности) до изометрии Я, « Я2. Остается заметить, что
и(ах£{) = ах£2 = аи(х£{)
для всех а, ж 6 А, т. е. и(а£) = аи(£) для всех аеА, ^€Я„ что
равносильно (55.10).
В частности, для каждого циклического представления (<р, Я) его
матричный элемент (55.1) совпадает с матричным элементом (55.6) представления
(<рл Я/). Отсюда заключаем, что эти представления унитарно
эквивалентны.
55.8. Теорема. Каждое невырожденное представление (<р, Я) С*-ал-
гебры А унитарно эквивалентно прямой ортогональной сумме
некоторого семейства представлений (v?/5 ЯД где f e S(A).
Доказательство. Поскольку представление (<р, Я) симметрично,
оно обладает свойством ортогональной редуктивности, т. е. каждый
замкнутый подмодуль Я0 с Я обладает дополнительным А -модулем Я0Х (п. 7.5).
Применяя лемму Цорна, определим максимальный подмодуль Я0 с Я, пред-
ставимый в виде прямой ортогональной суммы циклических подмодулей. В
этом случае Я0Х не содержит циклических подмодулей, отличных от 0, что
возможно только при Я0Х =0, т. е. Я0 = Я.
Остается воспользоваться леммой 55.7.
Упражнение. Каждое представление (<р, Я) алгебры А есть прямая
ортогональная сумма невырожденного представления (^,Я,) и нулевого
представления (О, Я0).
Перейдем к описанию неприводимых представлений алгебры А.
Предварительно докажем следующий аналог леммы Шура.
55.9. Теорема. Пусть S = S* — симметричное подмножество в В(Н).
Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) S топологически неприводимо.
(/3) 5' = С-1.
(7) S» = B(H).
Здесь S' (соответственно, S") — коммутант (соответственно,
бикоммутант) множества S (п. 7.10).
Доказательство. Ясно, что множество S' симметрично. Поэтому
достаточно рассматривать эрмитовы элементы а€ S". Из
перестановочности элемента а с элементами х е S следует перестановочность спектральной
§ 55. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С*-АЛГЕБР 377
меры е(ш) оператора а с элементами ж 6 5, т. е. е(ш) е S". Если
выполнено (а), то е(ш) может принимать только значения 0,1 е В(Н), откуда
а= а • 1 (а G С). Поэтому (а) влечет (/3). Импликации (/?) =Ф> (7) =► (а)
очевидны.
Упражнение. Представление {ч>,Щ С*-алгебры А топологически
неприводимо тогда и только тогда, когда каждый ненулевой вектор £0 £ Н
цикличен.
55.10. Лемма. Пусть А — С*-алгебра. Фиксируем f e S(A). Тогда
общий вид линейного функционала g e А*, удовлетворяющего условию
О < g < /, есть
g(x) = f(xh) = (xhtQ,ZQ), (55.11)
edehe(pf(A)'t O^h^l.
Доказательство. Пусть 0 < # < /. Условно билинейная форма
<£(*), ^)i=*(if*)
корректно определена и мажорируется (по модулю) функцией ||£(ж)|| х
х ||£ (у)||. Поэтому она продолжается до непрерывной условно билинейной
формы в пространстве Hf. Отсюда
<£(*), *(»))i = («(*). «У». (55.12)
где h G B(Hf), \\h\\ < 1. Более того, эта форма положительно определена,
откуда h ^0. Из условия \\h\\ < 1 следует — 1 ^ h < 1 (п. 54.2). В результате
О ^ h < 1. Имеем также:
(a«(x)fe(y)) = (^(x)lrff(y)) = ff(»*ax) = (fcaf(x)J€(y»
для всех а, ж, у е А, откуда аЛ = ha для всех ае А, т. е. h € <Pj(A)'. Помимо
этого, имеем
g(y*x) = (hx£0, у£0) = (y*x/if0, £0).
Полагая в этом равенстве у = щ, где щ (г el) — аппроксимативная единица
алгебры А, получаем в пределе (55.11).
Обратно, если h е ty(A)' и 0< h ^ 1, то равенство (55.11) определяет
функционал д€А*, для которого O^g^f.
Упражнение. Элемент h в (55.11) определяется единственным
образом. [Указание: (55.11) совпадает с (55.12).]
55.11. Определение. Состояние f € S(A) называется чистым, если из
условия 0 ^ д ^ / следует д = А/, где 0 < А < 1. Множество всех чистых
состояний алгебры А обозначается PS(A).
55.12. Теорема. Представление ((pf,Hf) топологически неприводимо
тогда и только тогда, когда f € PS (A).
Доказательство. Согласно теореме 55.9 и лемме 55.10,
топологическая неприводимость ipf равносильна ipf(A)' = Cf что сводится к равенству
Л = Л • 1 в (55.1), т. е. fePS(A).
378 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
55.13. Крайние точки. Пусть X — векторное пространство над полем
F = R, С, V с X — выпуклое множество. Точка х е V называется крайней
точкой множества У, если из равенства х = ау+fiz, где у, z e V, О ^ а, /3 ^
< 1, а+/? = 1, следует либо ж = у, либо ж = z. Иначе говоря, х есть крайняя
точка каждого отрезка [у, z] с V.
Пусть 2? = Е( V) — множество всех крайних (экстремальных) точек
множества V. Согласно известной теореме Крейна — Мильмана (см.,
например, п. С. 12), каждое компактное выпуклое множество V в отделимом
ЛВП X совпадает с соЕ, где со 2? —замкнутая выпуклая оболочка
множества Е (замыкание выпуклой оболочки со 2? множества Е).
В частности, пусть А — С*-алгебра, V(A) — множество всех
функционалов / е А+, для которых ||/|| ^ 1. Ясно, что V(A) выпукло и замкнуто в
слабой топологии сг(А*, А). Следовательно, V(A) слабо компактно.
55.14. Лемма. Пусть Е(А)— множество крайних точек
множества V(A). Тогда имеем
£(A) = PS(A)U{0}.
Доказательство. Заметим вначале, что 0 € Е(А). Действительно,
если 0 = а/ + 0д, где fige V(A), 0< а,/? < 1, а +/3 = 1, то
O = af(cta) + 0g(a*a)
для всех аеА, что возможно только при / = д = 0 на А+, откуда / = д = О
в алгебре А.
Предположим теперь, что hePS(A), /i = a/+ fig (с предыдущими
условиями на /, д, а, /?). Поскольку 0 ^ k < h при к = а/, /3</, мы находим, что
каждый из этих элементов коллинеарен h. С другой стороны, из
следствия 54.8 (i) получаем
«11/11 + /%» = 114 = 1,
что возможно только при II/H = \\д\\ = 1. Но тогда (используя коллинеарность
fe, h) получаем / = g = h. В результате h e Е(А).
Обратно, пусть О Ф h e Е(А). Заметим, что
/i = o(£)+/?-0, где а = ||Л||, /? = 1-а,
откуда h = ah, т. е. \\h\\ = 1. Аналогично, пусть0<g<h. Полагая а = ||^||,
/3 = \\h - д\\, заметим, что а + /3 = 1. Имеем также
что возможно только при g=zah (поскольку h € Е(А)). В результате h G
GPS(A).
55.15. Теорема. Множество V(A) совпадает с со 22(A), где Е(А) =
= PS(A) U {0}. Если алгебра А унитальна, то Е(А) = PS(A).
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает непосредственно
из леммы 55.14 и теоремы Крейна — Мильмана. Если алгебра А унитальна,
§ 56. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА 379
то легко проверить (упражнение), что каждая точка E(S(A)) содержится
в Е(А), откуда PS(A) = E(A).
Упражнения. 1. Пусть ОФ ае А+. Докажите, что ||а|| = /(а) при
некотором / е S(A). [Указание: рассмотрите множество
Va = {feV(A):\\a\\=f(a)}
и докажите, что каждая его крайняя точка содержится в PS(A).]
2. Если А —коммутативная С*-алгебра, то PS(A) = X(A).
§ 56. Алгебры фон Неймана
56.1. Операторные топологии. Пусть Я — гильбертово пространство.
Мы будем рассматривать в В (Я) следующие «операторные» топологии.
(р) Равномерная топология р определяется нормой ai-+ ||a||.
(т) Сильная топология г определяется полунормами рх(а) = ||аж||,
где хеН.
(а) Слабая топология а определяется полунормами рщ(а) = |(аж, у)|,
где ж, у е Я.
Очевидно, сходимость ап->ав равномерной топологии влечет сходимость
ап —► а в сильной топологии, откуда, в свою очередь, следует сходимость
ап-*ов топологии <т. Отсюда заключаем, что а < т < р. Если dim Я < оо,
то а = т = /?.
Для каждого подмножества S с В(Н) пусть Sa —замыкание
множества S в топологии а = а, т, р. Очевидно,
SpcSrcS*. (56.1)
Для каждого S сВ(Н) пусть S" (соответственно, 5") — его коммутант
(соответственно, бикоммутант) в алгебре В(Н) (п. 7.10). Легко
проверяется, что множество S" слабо (но тогда и сильно, равномерно) замкнуто.
Соответственно, это верно и для S".
Пусть fi^ = ker S (пересечение ядер kera, где ае S). Ортогональное
дополнение Я0Х называется носителем множества S. Если S симметрично
(т. е. 5 = 5*), то операторы ае S удовлетворяют соотношениям
ae$ = е^а = а для всех а € 5, (56.2)
где е$ — оператор ортогонального проектирования в Я на Я0Х. Оператор е$
называется главной единицей множества S.
56.2. Предложение. Пусть А —симметричная подалгебра в Я (Я),
eQ—главная единица алгебры А. Тогда имеем
А° = АГ = А1 (56.3)
где А'о —множество всех аеА", удовлетворяющих (56.2).
Доказательство. Положим Нп = Яф.. .фЯ (п слагаемых) и будем
рассматривать Яп как А-модуль, по правилу
а(х,,..., хп) = (ажм ..., ахп),
380
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
где ж. € Я (г = 1,..., п). Для каждого ж = (ж,,..., хп) е Нп пусть Vx —
замыкание циклического подмодуля Ах в Нп. Пусть р — оператор
ортогонального проектирования в Дп на Ух. Тогда имеем ра= ар для всех ае А
(ввиду симметричности алгебры А). Записывая р в виде блочной матрицы
(Pij), относительно разложения Яп = Яф...©Я, находим p{j е А' для всех
г, j = 1,..., п. Отсюда для каждого be А" имеем рЬ = Ьр.
Поскольку pax = аж для всех ае А, мы имеем а(рх — ж) = 0, откуда е^{рх —
— ж) = 0. Поэтому для каждого Ь е А% имеем
Ь(рх — х) = Ьво(рж — ж) = 0,
так что pbx = bx, т. е. Ьж е Т^.. Поэтому для каждого е >0 имеем ||аж-Ьж|| ^ г
при некотором а € А. В результате
||аж,. — Ьж,|| ^ е для всех г = 1,..., п.
Полученная оценка означает, что в каждой окрестности точки Ъ в топологии
т найдется точка аеА, т. е. А всюду плотно в А%: АТ = А%. Поскольку
Ат с А* с А%% имеем также А* = А%.
56.3. Следствие, (i) £а/ш алгебра А содержит единицу алгебры
В(Н), то
А° = АГ = А". (56.4)
(И) Если алгебра А слабо замкнута и содержит 1 € -В(Я), то А = А".
Последнее утверждение известно под названием теоремы фон Неймана
о бикоммутанте.
Упражнение. Если S — выпуклое множество (в частности,
подпространство) в Я (Я), то Sa = Sr. [Указание: воспользуйтесь теоремой Хана —
Банаха.]
56.4. Определение. Каждая симметричная слабо замкнутая (= сильно
замкнутая) подалгебра А с В(Я) называется алгеброй фон Неймана в
пространстве Н.
Напомним, что из слабой замкнутости А с В (Н) вытекает равномерная
замкнутость. Следовательно, каждая алгебра фон Неймана есть С*-алгебра
(С*-подалгебра в Я (Я)). Однако, не каждая С*-подалгебра в В (Н) есть
алгебра фон Неймана.
Заметим, что каждая алгебра фон Неймана А с В (Н) унитальна. А
именно, А есть алгебра с единицей е^ где е^ — главная единица множества А
(п. 56.1). Действительно, A'HQcHQ в обозначениях п. 56.1, откуда
следует (56.2) для элементов аеА'. В частности, е^е А£ = А, так что % есть
единица алгебры А.
Пусть V(#) — множество всех ортопроекторов в пространстве Я. Для
каждого е е V(#) и каждого аеВ(Н) пусть ае — сужение оператора еае
на подпространство Не = еЯ. Заметим, что отображение а\-^ае определяет
♦-изоморфизм
еВ(Н)е*В(Не).
Если А —симметричная подалгебра в В(Н) иееА', то отсюда получаем
♦-изоморфизм еАе иАе, где Ае — множество всех ае (ае А).
§ 56. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА 381
В частности, пусть А — алгебра фон Неймана. В этом случае е^ е А' (е$ —
единица алгебры А). Отсюда получаем *-изоморфизм
А&А^. (56.5)
Заметим, что пересечение любого семейства алгебр фон Неймана (в
пространстве Н) есть снова алгебра фон Неймана. Поэтому для каждого
подмножества S с В(Н) существует наименьшая алгебра фон Неймана А(5),
содержащая 5. Ясно, что 5* с А(5). Если S = 5*, 1 е S, то из
равенства (56.4) получаем A(S) = S".
Упражнения. 1. Пусть А = А*. Тогда для каждого ортопроектора
ее А" имеем
(А% = (Ае)'.
2. Если множество S симметрично, коммутативно и содержит 1 е В(Н),
то алгебра A(S) коммутативна.
56.5. Пример. Пусть К — отделимый компакт, /х — конечная борелев-
ская мера на К. Положим A =LQO(K)i H = L2(K) (относительно меры jjl).
Операция
(af)(x) = a(x)f(x), (56.6)
где ае A, f е H, превращает Я в левый А-модуль. Легко проверяется, что
отображение А ->#(#), а*-+а есть ^-изоморфизм. Следовательно, можно
рассматривать А как коммутативную С*-подалгебру в В(Н).
Положим S = С (К), так что S есть подалгебра алгебры А. Легко
проверяется, что S1 — А. Отсюда заключаем, что алгебра А слабо замкнута,
т. е. А есть алгебра фон Неймана в В(Н).
Упражнения. 1. Положим S = C(K), A=L00(jKT). Проверьте, что
А = А' = 5". В частности, S сильно (слабо) плотно в А.
2. А=А(5).
56.6. Теорема. Пусть А —алгебра фон Неймана в В(Н). Слабо
замкнутая подалгебра В с Н есть идеал алгебры А тогда и только тогда,
когда В имеет вид
В = еА=Ае, (56.7)
где ееА'П V(ff) (единица алгебры В). В этом случае В есть алгебра
фон Неймана в В(Н), удовлетворяющая следующему «условию
насыщенности»: если О < а< Ъ е В, то ае В.
Доказательство. Пусть В — слабо замкнутый (и потому
равномерно замкнутый) идеал алгебры А. Напомним (п. 54.12), что В = В*, так
что В есть алгебра фон Неймана в В(Н). Пусть е е У(Я)— единица
алгебры В (п. 54.4). Поскольку В —идеал, элементы еа, ае содержатся в В,
откуда
еа = еае = ае
для всех ае А, т. е. е е А'. Поскольку b = еЪ — Ье для всех Ь еВ, мы
имеем (56.7). Обратно, для каждого ее А'П V(ff) подалгебра (56.7) есть
слабо замкнутый идеал алгебры А. Если О^а^ЬеВ, то из равенства
b = ebe получаем
(1 - е)а(1 - е)< (1 - е)еЬе(\ - е) = 0,
382
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
так что (1-е)а(1 —е) = 0. Следовательно, а1/2(1-е)=0, откуда а(1-е) = 0,
т. е. а = ае 6 В.
В дальнейшем мы используем термин «проектор» вместо «ортопроектор»
(в алгебре В(Н)).
56.7. Теорема. Каждая алгебра фон Неймана А совпадает с
замкнутой линейной оболочкой своих проекторов. Более того, если аеА,
О ^ а ^ е^, то а записывается в виде
*=£>. где aneAC)V(H). (56.8)
Доказательство. Воспользовавшись изоморфизмом (56.5), можем
считать (не ограничивая общности), что е^ = 1. Согласно спектральной
теореме (п. 53.8), каждый оператор аеА8 содержится в замкнутой линейной
оболочке проекторов е(и>)еА" = А. Следовательно, каждый оператор аеА
содержится в замкнутой линейной оболочке проекторов алгебры А.
Если 0< а^ 1, то а(а) С [0,1]. Положим а, =/(а), где / —
характеристическая функция отрезка [0,1/2]. Тогда имеем of = a, e А" = А. Имеем также
О < а— ах ^ 1/2. Применяя аналогичное рассуждение к элементу 2(а- ах)
и повторяя это построение индуктивно, получаем (56.8).
Отметим приложение этого результата к теории линейных операторов в
пространстве Я.
66.8. Теорема (Калкин). Пусть К(Н) — идеал компактных
операторов в В(Н). Если Н сепарабельно, то К(Н) есть единственный
нетривиальный (^0, В(Н)) идеал алгебры В(Н). Соответственно,
алгебра
С(Н) = В(Н)/К(Н)
(алгебра Калкина) топологически проста.
Доказательство. Пусть I — замкнутый идеал в В(Н). Если /^0,
то существует вектор единичной нормы е^ = ах, где а е I, х е Н.
Соответственно, I содержит одномерный оператор
е0^е0 = а(х ® х)а* Е /,
где ж € Я отождествляется с функционалом ж 6 Я' (п. 5.10).
Заметим, что каждый вектор единичной нормы е е Я записывается в виде
е = Ъе^ при некотором Ь е Я (Я) (даже Ь е U{H)), так что
е®е = Ь(ео®еь)Ь* el.
Отсюда заключаем, что / содержит все конечномерные операторы в В(Н).
Согласно теореме 54.12, К(Н)* = К(Н). Поэтому
К(Н) = Кш(Н)ф%Кл{Н),
где К8(Н) = К(Н)Г)В9(Н). Применяя теорему Гильберта (п. 5.14),
находим, что каждый оператор а е К(Н) аппроксимируется конечномерными.
Поэтому К(Н) С / (в силу замкнутости идеала /).
§ 56. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА 383
Если К(Н) ф I, то существует (по теореме 56.7) хотя бы один
проектор р G /, не эходящий в К(Н). Ясно, что этот проектор бесконечномерен
и потому счетномерен (ввиду сепарабельности Я), т. е. рН счетномер-
но. Если qeB(H) — другой счетномерный проектор, то pHatqH,
откуда р = и*и, q = ии*, где и — частичная изометрия между рН, qH. Отсюда
q=zq2 = upu* е I. Следовательно, J содержит все проекторы алгебры В (Я),
откуда I = В(Н).
Упражнение. Каждый линейный оператор аеВ(Н) есть линейная
комбинация унитарных операторов алгебры Я (Я). [Указание: если ае Аа,
\\а\\ < 1, то операторы
и± = j (а ± г \/l — а2)
унитарны.]
66.9. Теорема. Каждая алгебра фон Неймана А с Я (Я) наследует
полярное разложение алгебры В(Н). А именно, если а=и\а\ —полярное
разложение элемента аеА в алгебре В(Н) (\а\ = (а*а),/2, и — частичная
изометрия im \a\«imа), тоиеА, \a\eA.
Доказательство. Ясно, что \а\ е А. Применяя к полярному
разложению а=и|а| автоморфизм x*-*vxu-{, где v — унитарный оператор в А',
получаем uv = vu (в силу единственности полярного разложения).
Применяя упражнение п. 56.8 (к элементам из А'), получаем и е А" = А.
56.10. Лемма. Для линейного функционала f e Я (Я)* следующие
условия эквивалентны:
(а) / слабо непрерывен,
(/3) / сильно непрерывен,
(7) / имеет вид п
/<*)=E(*e<i4<)> (56.9)
где£0гцеН (г = 1,..., п).
Доказательство. Импликации (7) =*(а) =► (/?) очевидны.
Поэтому достаточно проверить (/?) =» (7). Согласно определению топологии т
(п. 56.1) и общей оценке (24.9), имеем
|/(*)|*<Сти |КЛ2
при некотором выборе элементов f,. 6 Я (определяющих окрестность нуля
в топологии т). Отсюда следует, что / можно рассматривать как
непрерывный линейный функционал в подпространстве Я(Я)£ с Яп (п. 56.2),
где f = (£,,..., £п). Продолжая этот функционал (по теореме Хана —
Банаха) до линейного непрерывного функционала в Яп, получаем (56.9). А
именно, (56.9) определяется общим видом линейного непрерывного
функционала в Яя.
Упражнение. Выпуклое множество VСВ(Н) слабо замкнуто тогда
и только тогда, когда оно сильно замкнуто. [Указание: этот факт вытекает
из леммы 56.10 и теоремы Хана — Банаха в В(Н). См. также п. С. 10.]
. 384 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
56.11. Лемма. Пусть А — алгебраJpon Неймана в В(Н). Тогда для
каждой вещественной функции f е C(R) отображение А+ —► А+,
определяемое по правилу а*-> f(a), непрерывно относительно сильной
топологии в В(Н).
Доказательство. Добавляя единицу к вещественной алгебре С(Ш)
и используя теорему Стоуна — Вейерштрасса, находим, что функции
/(t) = (l + t2)"1. 9(t) = t(l + t2)-* (56.10)
суть топологические образующие алгебры C(R). Докажем, что отображения
ah->f(a), a*->g(a) сильно непрерывны. Действительно, из оценок ||/(а)|| ^ 1,
||/(6)|| < 1 и тождества
д(а) - д(Ъ) = f(a)[a - Ь + а(Ь - a)b]f(b)
следует (д(а) - д(Ь))£ ->0 при а- Ь —>0 (в топологии г). Иначе говоря,
отображение а*-+ д(а) непрерывно, и то же верно для /(а) = 1 — ад(а).
Соответственно, для каждого полинома р от образующих /, д
отображение
a*->p(a) = p(f(a),g(a))
сильно непрерывно. Но тогда это верно (упражнение) и для каждого
отображения аь-» /(а), где / G C(R).
56.12. Теорема (И. Капланский). Пусть А —С*-подалгебра в В(Н),
В = Аа —ее слабое замыкание. Пусть Е —замкнутый единичный шар
в В(Н), {/= U (Н)— группа унитарных операторов в пространстве Я.
Тогда имеем:
(а) Е Г\А8 сильно плотно в Е П В8.
(/3) Е П А сильно плотно в Е П В.
(7) Если 1 € А, то U П А сильно плотно в U П В.
Доказательство. Заметим вначале, что А8 слабо плотно в В8.
Действительно, каждая точка Ъ е А8 имеет вид Ь = lim a{ (в топологии <т), где
а{е А. Отсюда также Ь = lim а\ (поскольку Ь = Ь* и отображение аи а*
непрерывно в топологии а). Следовательно, Ь=НтЛ., где /ь. = ^а^+а*)^,.
Применяя упражнение п. 56.10, находим, что А^ сильно плотно в В8.
Положим a G Е и рассмотрим функцию / Е C(R), определяемую по
правилу /(t) = * на отрезке [-1,1], /(*) = t'1 вне отрезка [-£, £]. Заметим,
что /(а) = а (поскольку а(а)С[—1, 1]). Если а{ € А8, а^ав топологии т,
то /(а,) —> /(а) (по лемме 56.11), /(at) € Я. Отсюда получаем (а).
Случай (/?) сводится к (а) посредством следующего приема: оператору
а е Е П В ставится в соответствие оператор
§ 56. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА 385
где Я2 = Я©Я. Заметим, что ||w(a)|| < 1. Применяя к этому оператору
утверждение (а), получаем направленность ги(а,)—► w(a) (в сильной
топологии), откуда следует {(3).
Случай (7) сводится к (а) посредством подстановки (52.15), где и е
е U(В). Заметим, что а= — г In и е А". Применяя (56.4) (с учетом 1 е А),
получаем а€ Bs. Полагая ип = е"п, где ап —► а (в топологии г), получаем
ип -» и (в топологии т), откуда следует (7).
56.13. Лемма. Пусть еи ..., еп — ортонормированная система в
пространстве Я. Тогда для каждого набора векторов ft- £ Я (г = 1,..., п)
существует 60еЯ(Я), для которого
Ь0е< = ^ (г = 1,...,п), ||b0Kv^||a (56.11)
где || f || = max ||f J|. Если также существует эрмитов элемент Ь е Я (Я),
г
удовлетворяющий соотношениям Ье. = £< (г = 1,..., п), то (56.11)
выполняется при Ь0=Ьц.
Доказательство. Полагая Ь0=]£ f »®е< и оценивая ||Ь0|| по неравен-
ству Коши — Буняковского, получаем (56.11). Если также существует
элемент Ь = Ь*, указанный в формулировке леммы, то можно положить Ь0 = Ьр,
где p = X)et®et —ортопроектор в В(Н). Заменяя Ь0 эрмитовым оператором
i
Ъх = Ър + рЪ — pbp,
получаем (56.11) с подстановкой 60н-> Ь,.
Следующую теорему можно рассматривать как топологический вариант
теоремы плотности Джекобсона (п. 9.9) для топологически простых
А-модулей.
56.14. Теорема (Кадисон). Пусть А —С*-алгебра в Я(Я),
относительно которой Я есть топологически простой А-модуль. Тогда
для каждого набора элементов е0 £,. (г = 1,..., п), где элементы е.
(г = 1,..., п) линейно независимы, существует элемент ае А, для
которого
aef = £f (г = 1,..., п). (56.12)
Доказательство. Условие топологической простоты А-модуля Я
означает, что АР = В(Н). Согласно (56.1), имеем также А<Г = Я(Я).
Условимся считать (не ограничивая общности), что система (е,) ортонормиро-
вана, ||£|| <ЛМ, где N = V2n. Отсюда ||Ь0|| < 1 в (56.11).
Предположим вначале, что Ь0 = 6q, т. е. Ь0 6 Е П Bs. Применяя теорему
Капланского, подберем %еЕ Г)А9, для которого И^е. - b0ej| ^ г, где е =
= 1/2JV, г = 1,..., п. Покажем (индукцией по k e Z+), что существуют две
последовательности операторов ак е As, bke Я (Я),, для которых
KIKjF, ИМКу, \\аке(-Ьке,\\^ек,
где г = 1,..., п. Действительно, если операторы сь, Ьу уже построены для
индексов j = l,..., к, то использование леммы 56.13 определяет тогда
26 Зак. 184
386
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
существование искомого оператора Ьк +,, для которого Ьк + { = Ьк - ак на
элементах е^ (г = 1,..., п). Заметим, что
к
J = l
и частичные суммы в правой части этого равенства сходятся к элементу
aeAs. Переходя в этом равенстве к пределу при к -*оо (на элементах et),
получаем
ае< = Ь0е. = £< (г = 1,..., п).
В общем случае достаточно положить Ь0 = Ь, + г*Ь2, где Ьм b2 e В(Н)8, и
определить искомый оператор а= ctj + &2, где а^ — аналог оператора а для
Ь. (г = 1,2). В результате снова получаем (56.12).
Упражнение. Если 1 б А и существует оператор и е U, для которого
ие{ = £f (г = 1,..., п), то в равенстве (56.12) можно положить a€AC\U.
Замечание. Теорему Кадисона можно было бы сформулировать
в большей общности, по аналогии с п. 9.9, а именно, в терминах биком-
мутанта А", для топологически редуктивных А -модулей.
56.15. Следствие, (i) Представление С*-алгебры А топологически
неприводимо тогда и только тогда, когда оно алгебраически непри-
водимо.
(И) Если f — чистое состояние алгебры А, то для соответствующего
представления Гелъфанда—Наймарка (<р, Я) (п. 55.2) H = A/N.
Доказательство — в качестве упражнения.
§ 57. Алгебра C'(G)
57.1. Обозначения. Пусть G — отделимая локально компактная
группа, A = Ll(G)— групповая алгебра группы G (п. 27.4). Операция
Г(х) = А(х~1)7(РГ) (57.1)
определяет инволюцию алгебры А, так что А есть банахова алгебра с
инволюцией.
Как отмечено в п. 54.6, каждая « 8-образная» направленность в группе G
есть аппроксимативная единица алгебры LX(G).
Нетрудно видеть (например, при G = R), что L{(G) не есть С*-алгебра.
Однако существует стандартный способ пополнить L{(G) (по некоторой
норме) до С*-алгебры, которая будет обозначаться C*(G).
Напомним (п. 55.13), что символ V(A) означает множество всех / е А*,
для которых ||/|| < 1.
57.2. Предложение. Пусть А — банахова алгебра с инволюцией,
обладающая аппроксимативной единицей и точным симметричным
представлением. В этом случае функция
Nlo= sup y/f&Z) (57.2)
f€V(A)
§ 57. АЛГЕБРА C*(G) 387
есть норма в алгебре А, относительно которой пополнение В = В (А)
алгебры А есть С*-алгебра (называемая обертывающей С*-алгеброй
алгебры А).
Доказательство. Для каждого симметричного представления ж
алгебры А имеем
||тг(ж)||2 = sup (тг(ж*ж)£, О = sup f(x*x),
II е ll = 1 /
где f € V(A) пробегает положительные функционалы, ассоциированные с
представлением 7г. Отсюда
|И0 = 8ир||7г(ж)||, (57.3)
где 7г пробегает все симметричные представления алгебры А.
Ясно, что функция (57.3) есть полунорма в алгебре А и даже норма,
поскольку А обладает точным симметричным представлением (п. 55.5). Ясно
также, что А есть инволютивная банахова алгебра по отношению к
норме (57.3). Поскольку
||7Г(Х*Ж)|| = ||тг(ж)||2 ДЛЯ ВСеХ 7Г,
мы находим, что ||ж*ж||0 = ||ж||2 для всех х е А. Пополняя А по этой норме,
получаем С*-алгебру В = В (А).
57.3. Предложение. Пусть В = В(А). Тогда имеем:
(а) Каждое симметричное представление (щ Н) алгебры А
однозначно продолжается до представления (эт, Я) алгебры В.
((3) Каждый непрерывный положительный функционал f e А*
однозначно продолжается до (непрерывного) функционала f €B*.
(j) Обратно, каждое представление 7г алгебры В (аналогично,
непрерывный функционал f e BI) однозначно определяется своим сужением
на подалгебру А,
Доказательство. Достаточно напомнить, что ||тг(х)|| ^ ||ж||0, откуда
следует, что 7г продолжается однозначно (по непрерывности) на элементы
хеВ. Аналогично, из оценок п. 54.6 получаем
l/(*)P<ll/l/<***)<ll/llfNS, (57.4)
поэтому / продолжается с А на В по непрерывности. Здесь мы используем
тот факт, что А всюду плотно в В. Отсюда также следует (7).
57.4. Определение. Вернемся к обозначениям п. 57.1 и напомним
(п. 27.4), что алгебра A = L{(G) действует в L2(G). Используя 5-образ-
ную направленность (в L2(G)), легко проверить, что это действие точно.
Следовательно, алгебра А удовлетворяет условиям предложения 57.2.
Обертывающая С*-алгебра алгебры L{(G) обозначается C*(G) и
называется С*-алгеброй группы G.
Согласно предложению 27.12, равенство
*(/)= [f(9)*(g)dg, (57.5)
26*
388 Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
где / eL^G), определяет эквивалентность категории унитарных
представлений (7г, Я) группы G с категорией симметричных представлений
алгебры L{(G).
Согласно предложению 57.3, эта эквивалентность переносится также на
представления алгебры C*(G). В частности, все неприводимые унитарные
представления группы G описываются в терминах чистых состояний
алгебры C*(G).
Покажем, что это описание можно выразить в терминах, непосредственно
связанных с группой G. Для этого рассмотрим специальные классы
функций на группе G.
57.5. Положительно определенные функции. Фиксируем унитарное
представление (ет, Я) группы G. Напомним (п. 25.8), что для каждого f0e Я
непрерывная функция
/(*) = (rfo.*o) (57-6)
положительно определена на группе G. А именно, для каждого вектора
п
£ = £ а{ftf0 (a. е С, ft € G) в пространстве Я имеем
t = i
U\\2= E /(Х19,)*&>0. (57.7)
Заметим, что f(g) = f(g~l). Согласно (25.14), имеем \f(g)\ </(е). Помимо
этого, из (25.10) легко выводится, что
П^е - «||2 = 2(1 -Re/^fc"1)) (57.8)
для каждой пары g,heG и каждого единичного (т. е. единичной нормы)
вектора f £ Я.
Обратно, пусть / ф 0 — непрерывная положительно определенная
функция на группе G. Пусть Lf —линейная оболочка левых сдвигов (gf)(x) =
= /(<Г1ж) функции /. Пространство Lf есть левый G-модуль с G-инвари-
антной эрмитовой формой
(<*,&)= t /($ГЧ>Д> <57-9)
п п
где а = J2 а{д{/, 6=2 Pi9if- Здесь мы считаем, не ограничивая общно-
i ш 1 * = 1
сти, что обе суммы берутся по одному и тому же набору элементов ft е G
(г = 1,..., п). Из неравенства Шварца для формы (57.9) следует, что
подпространство
Nf = {aeLf: (а, а)=0}
есть подмодуль модуля Lf. Более того, эрмитова форма (57.9) зависит
только от классов смежности a+Nf (a€Lf) и поэтому может рассматриваться
как невырожденная форма в пространстве Lf/Nf.
Пополняя Lf/Nf по скалярному произведению (57.9) (т. е. по
норме (57.7)), получаем циклическое представление (nf, H*) группы G с
циклическим вектором £0 = f+Nf и матричным элементом (57.6). Действительно,
§ 57. АЛГЕБРА C*(G) 389
полагая в (57.9) a = gf, b — f (т. е. дх = е, д2 = д и т. д.), получаем
/Ы = (<?/,/). (57.10)
Представление 7г = яу унитарно (в силу G-инвариантности формы (57.9)) и
непрерывно (в силу (57.8)). А именно,
||тг(<7) - тг(/1)||2 ^ 2(1 - Re/fob-1))- (57.11)
Повторяя рассуждения п. 55.7, находим, что каждые два циклические
унитарные представления группы G с одинаковым матричным элементом (57.6)
унитарно эквивалентны. В частности, из (57.10) следует, что каждое
циклическое унитарное представление группы G унитарно эквивалентно одному
из представлений (тг^ЯД где / — непрерывная положительно
определенная функция на группе G, для которой ||£0|| =/(е) = 1.
57.6. Теорема. Пусть P(G) —множество всех непрерывных
положительно определенных функций на группе G. Равенство
№=^a(g)f(g)dth (57.12)
где aeLx(G), / eP(G), определяет общий вид непрерывного
положительно определенного функционала / e А+, где A =LX(G). Более того,
равенство /, = /2 в P(G) равносильно f{ = f2 в А*.
Доказательство. Поскольку функция / непрерывна и ограничена
(числом /(e)), интеграл (57.11) определен. Используя (57.10), получаем
/(а) = (а£0, £0), где £0 = f + Nf (п. 57.5). Отсюда ясно, что /е А*. Обратно,
из общего правила соответствия (57.5) следует, что каждый непрерывный
положительно определенный функционал / е А* имеет вид (57.12).
Остается заметить, что применение аппроксимативной единицы
превращает равенство /, = /2 в А* в равенство ^ =/2 в Р((?).
Упражнения. 1. Докажите (используя 57.8), что каждая функция
/ е P(G), нормированная условием /(e) = 1, удовлетворяет соотношению
Ш - f(h)\2 < 2(1 - Re f(gh->)), (57.13)
для всех g,heG.
2. Поточечное произведение двух функций /,, /2 6 P(G) содержится
в P(G). [Указание: рассмотрите яу ®7Гу.]
3. Подмножество
P1(G) = {/€P(G):/(e)=l} (57.14)
выпукло и замкнуто в P(G) относительно слабой топологии a(P(G), L{(G)).
57.7. Чистые состояния. Функция f € PX(G) называется чистой,
если соответствующий функционал (57.12) есть чистое состояние алгебры
C*(G). Непосредственно в терминах функции / это означает выполнение
хотя бы одного из следующих эквивалентных условий:
390
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
(а) Для каждой функции /, е P(G) из условия f — f{e P(G) следует
/1 = Л/, гдеО<А<1.
(/?) Функция / есть крайняя точка выпуклого множества PX(G).
(7) Представление (7гя Hf) топологически неприводимо.
Упражнение. Если группа G абелева, то множество всех чистых
функций / е P\(G) совпадает с множеством всех (непрерывных) характеров
группы G.
57.8. Теорема. Слабая топология a(P{(G),L{(G)) совпадает с
топологией компактной сходимости, т. е. равномерной сходимости функций
f eP{(G) на компактах К с G.
Доказательство. Очевидно, компактная сходимость мажорирует
слабую сходимость в PX(G). Обратно, покажем, что сходимость на
компакте К мажорируется некоторой слабой полунормой в PX(G).
Заметим вначале, что для каждой пары функций aeLx(G)t f e P{(G)
выполняется тождество
(«/)(*)= Ja(xy)/(2/-1)d2/ = (x-1a,/), (57.15)
где f(y) = f(y~l) (п. 57.5), (•,•)—каноническая билинейная форма в
Lj(G) х L^G). Поскольку отображение жиг'а непрерывно (п. 27.6),
мы находим, что множество К~ха компактно в LX(G). Поэтому из слабой
сходимости /.и/ в P{(G) вытекает равномерная сходимость
a^zta*/ на компакте К. (57.16)
Покажем, что семейство функций /, /. (г el) равномерно аппроксимируется
(соответственно) функциями вида а*/, а*£, где aeL{(G).
Фиксируем fQeP{(G), e>0. Пусть V— предкомпактная окрестность
точки е G G, в которой |1 —/0(ж)| < е. Фиксируем нормировку меры Хаара /х
по правилу /j,(V) = 1 и определим слабую окрестность S функции /0 по
правилу |(х> /—/о)| ^ е> гДе X — характеристическая функция множества V.
Тогда для элементов f e S имеем:
/(*) - (%*/)(*) = j (/(») - /(Г1*)) dy.
V
Согласно (57.13), подынтегральная функция мажорируется функцией
V^l-Re/(г/))1'2. Отсюда находим (по неравенству Коши — Буняковского):
1/(з) - (х*/)(*)12 < 2 J (1 - Re /(у)) dy.
V
Интеграл в правой части неравенства отклоняется не более чем на е от
такого же интеграла для /0 (по определению 5). Помимо этого, интеграл
для /0 мажорируется числом е (по определению У). В результате
|/(*)-(х*/)(*)|2<2-2е = 4е
§ 57. АЛГЕБРА C*(G)
391
для всех хе G. Сопоставляя эту оценку с оценкой (57.16), положим р(/) =
= |(х, /)|. Мы находим, что условие p(f{ - /) -»0, т. е. /< е S при г ^ ^,
влечет f{ z=t f на компакте К.
67.9. Теорема. Каждая функция f € PX(G) есть предел в
топологии компактной сходимости функций вида /' = Axfx + ... + An/n, где
f{ e PX(G) — чистые функции, Х{ ^ 0, At +... + Ап = 1.
, Доказательство. Согласно теореме 55.15, указанная
аппроксимация выполняется для функционалов (57.12), т. е. /'—►/ в топологии
<r(Px(G), LX(G)). Остается применить теорему 57.8.
Упражнение. Каждая функция f(g) = (#£, f)» гДе £ € -S/i есть
равномерный предел на G функций вида
/'Ы = Е «.V^'ft).
где a, G С, gi € G (г = 1,..., п). [Указание: воспользуйтесь аппроксимацией
||/' - /|| < е, где /' = ± ai9it0 (п. 57.5).)
t = l
Условимся рассматривать, для простоты изложения, случай А = 1 (т. е. G
унимодулярна). Впрочем, общий случай сводится к этому посредством
одномерного расширения группы G (упражнение в конце п. 26.10).
57.10. Лемма. Если f € L2(G), то функция h—f^f* содержится
в P(G) и представима в виде равномерного предела функций
класса C0(G). В частности, h = 0 на бесконечности.
Доказательство. Заметим вначале, что
Чх) = j /(у)Г(у-1*) dy = ] /(y)/(»-'y) dy = (/, х/),
так что heP(G) (как матричный элемент левого регулярного
представления группы G). Заметим также, что
Ы Я - (*/о, /о)1 < Ы / " /о)1 + 1(*</ " /о), /о)! < .
<Ш-||/-/о11 + 11/-/о11И/о11.
откуда следует, что сходимость /-*/0 в L2(G) влечет равномерную
сходимость (ж/, /) -> (ж/0, /0) на группе G.
Полагая, в частности, /0 е L2(G), f € CQ(G), находим, что /0*/0* есть
равномерный предел функций /*/* € C0(G). В частности, /0*/0* = 0 на
бесконечности.
57.11. Теорема. Каждая непрерывная функция feC(G) есть
предел в топологии компактной сходимости линейных комбинаций чистых
функций f e PX(G).
Доказательство. Поскольку C0(G) всюду плотно в C(G),
достаточно рассматривать функции / £ CQ(G). Из рассмотрения б-образных
последовательностей следует, что / е CQ(G) есть равномерный предел функций
f*g, где geCQ(G). В свою очередь, /*р есть линейная комбинация функций
392
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
/о*/о*> гДе /о € Со(*2)- Согласно лемме 57.10, имеем /0*/0* е P(G). Можно
также считать (при надлежащей нормировке), что /0*/0* Е P\(G). Остается
применить теорему 57.9.
57.12. Следствие. Семейство неприводимых унитарных
представлений группы G разделяет точки группы G. В частности, для
каждой точки дфе существует неприводимое унитарное представление
я* группы G, для которого 7r(g) Ф 1.
Действительно, если 7г(ж) = 7г(у) для всех унитарных представлений
группы G, то f(x) = f(y) для всех / е C(G) (по теореме 57.11), откуда х = у.
В этом смысле группа G обладает «достаточно большим» запасом
неприводимых унитарных представлений.
§ 58. Абелевы группы
58.1. Обозначения. Пусть G — отделимая локально компактная абе-
лева группа, А = Lx(G)t В = C*(G), G — множество унитарных
характеров (т. е. неприводимых унитарных представлений) группы G. Стандартное
правило (57.5) (или (57.12)) совпадает в данном случае с преобразованием
Гельфанда
ftir) = w(/)=j/(*)*(*) dfc (58.1)
для элементов 7г е G « Д, где Д = a(C*(G)) — множество характеров
алгебры C*(G). Согласно теореме Гельфанда — Наймарка (п. 52.6),
преобразование (58.1) определяет изометрический изоморфизм
С*(С)«С(Д). (58.2)
Пример. Если G = R (аддитивная группа), то преобразование (58.1)
совпадает с классическим преобразованием Фурье в L,(R). Действительно,
в этом случае характеры группы G суть экспоненты 7г(ж) = eiXx, где А £ R,
так что Д = R.
Читатель, знакомый с теорией интегралов Фурье, заметит, что образ
Фурье алгебры L{(R) содержится в C(R), но не имеет достаточно
эффективного описания. Однако, образ Фурье объемлющей алгебры C*(R) совпадает
с C(R).
Аналогично, преобразование Фурье на группах Rn, ТГ сводится к
классическому преобразованию Фурье (в последнем случае — к определению
коэффициентов Фурье функции / € Lx(Tn)).
Соответственно, преобразование (58.1) называется преобразованием
Фурье на абелевой группе G.
58.2. Группа G. Множество G есть группа (относительно
поточечного умножения характеров на группе G). В частности, для каждого 7г е G
комплексно сопряженный характер ¥(ж) = 7г(ж~1) обратен к характеру 7г.
Тривиальный характер е(х) = 1 есть единица группы G.
§ 58. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 393
Соответствие G « Д позволяет рассматривать в G слабую топологию
а = о-(Д, А) (индуцированную топологией а(А*, А)). Заметим, что функция
/(**) = *(*) (58.3)
непрерывна в декартовом произведении G x G.
Действительно, заменим функцию (58.3) функцией fx(g, 7г) = п(дх), где
х е А. Заметим, что для всех <jr, gQe G, 7г, 7г0 е G, x e G имеем
\п(дх) - 7r0(ft,x)| < \\дх - д0х\\{ + ^(д^х) - тг0(^0ж)|,
откуда следует непрерывность функции fx на G x G. Выбирая ж G А так,
чтобы 7г0(ж)^0, и используя (27.15), получаем
n(g)=«ijEl
в некоторой окрестности точки (#0, тг0) е С? х G. Отсюда следует
непрерывность функции (58.3).
Используя теорему 57.8, находим, что слабая топология а = <т(Д, А)
совпадает с топологией компактной сходимости uj в группе Д. Впрочем, для
абелевых групп это утверждение проще доказать независимо.
А именно, пусть К С G — произвольный компакт. Используя
лемму 23.10, находим, что множество
К(Ч) = {« € G: \ж(д) - ж0(д)\ <е,Уд€ К}
открыто в топологии а, откуда ш ^ а. Обратно, если я- е V6(nQ), то для
каждой функции х е А имеем:
к(я») - ^{ях)\ = 1 х(д)Ыд) - ч(д)) *д
^efi(K) + 2u(K),
где и(К) — интеграл от \х(д)\ по G\K. Выбирая е достаточно малым и
К достаточно большим (так что v(K) мало), находим, что слабая
окрестность вида |7г(<7ж) - 7г0(дх)\ < 6 точки 7г0 содержит V^(7r0). Отсюда а ^ ш. В
результате а = ш.
Из равенства а = и> ясно, что групповые операции в G непрерывны
(непрерывность умножения в C(G)). Следовательно, G есть
топологическая группа.
Естественно ожидать (по аналогии со случаями G = Кп, ТГ), что
преобразование Фурье (58.1) обладает достаточно простой формулой
обращения. Мы начнем с рассмотрения положительно определенных функций на
группе G.
58.3. Теорема (Д. Райков). Каждая положительно определенная
функция f e P(G) однозначно записывается в виде интеграла Стил-
тьеса
/Ы=)1г(0)ФОг), (58.4)
25 Зак. 184
394
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
где р, — неотрицательная борелевская мера на группе G.
Равенство (58.4) устанавливает биекцию между P(G) и множеством M+(G)
всех неотрицательных конечных борелевских мер на G.
Доказательство. Сопоставим функции / функционал f € А*+ по
стандартному правилу
f(x)=\x(g)f(g)dg, (58.5)
где х Е А = L{(G). Ввиду изоморфизма В « G(A^, где В = C*(G), этот
функционал есть интеграл в С(А{) (в частности, в С(Д)), где А{ = Ди{оо}.
Следовательно,
/(*)= [тг(х)фОг), (58.6)
где 7г(ж) = аГ(7г) — преобразование Фурье функции х € L{{G), р —
неотрицательная борелевская мера в G, Полагая х = щ, где и{ (г el)—
аппроксимативная единица в Lx(G)f получаем
/(e) = /x(G)<oo, (58.7)
т. е. р € M+(G). Подставляя (58.1) (с заменой / на х) в (58.6) и используя
теорему Фубини, получаем
1 x(g)f(g)dg = 1 ж(#) I n(g)dp(n
О
dflf.
Поскольку это равенство справедливо для всех ж eL{(G), мы имеем (58.4).
Обратно, каждая функция (58.4), где /х € M+(G), существенно
ограничена и положительно определена. Последнее утверждение вытекает из
положительной определенности характера ж е G. А именно, для каждой пары
наборов #. е G, £{ € С (г = 1,..., га) имеем
£ H9i1gjKA=\ ( £ *(0ГЧКД.)^Ы^о.
Применяя к (58.4) общее правило соответствия (27.16) с заменой G на G,
находим, что функция / непрерывна, т. е. / е P(G).
58.4. Следствие. Каждая функция f eP(G) равномерно непрерывна.
Действительно, для каждого е > О можно выбрать компактное
подмножество К С G, для которого p,(G\K) ^ е. С другой стороны, из
равномерной непрерывности на компактах функций f eC(G) (п. 23.12) находим
1/Ы ~ /С01 ^ s ПРИ g,heK, gh~x e V, где V — окрестность
единичного элемента (зависящая от 6). Отсюда ясно, что функция / равномерно
непрерывна на всей группе G.
58.5. Интегралы в С0(А). Нам понадобится техническая подготовка,
связанная с описанием функционалов в идеалах алгебры А.
Пусть А — коммутативная банахова алгебра с инволюцией, содержащая
аппроксимативную единицу, А0 — всюду плотный идеал алгебры А, /0 —
§ 58. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 395
положительный функционал, определенный в А0. Для каждого р Е А0
функционал
fP(x) = fo(Px)
определен во всей алгебре А (поскольку А0 — идеал). Пусть Р —
множество всех р е А0, для которых функционал fp положителен и удовлетворяет
оценке
\fP(x)\2^Cf0(x*x)
для всех х Е А (с некоторой константой С ^ 0). Ясно, что функционал f
продолжается на алгебру B, = jB©C, где В = В (А) — С*-оболочка алгео-
ры А. Следовательно,
/,(х)= |здфр(тг), (58.8)
где fjb ^0 — некоторая конечная борелевская мера на компакте Ах = Ди{е}
(п. 52.10).
Заметим, что /р(1) = 0, где 1 —присоединенная единица алгебры В,
переходящая при преобразовании Гельфанда в характеристическую функцию
«бесконечно удаленной» точки е. Полагая в (58.8) ж= 1, находим, что
мера /х точки е равна нулю. Соответственно, мера /х сосредоточена на
локально компактном пространстве Д.
Оказывается, все интегралы (58.8) можно «склеить» в единый интеграл,
определенный в Се(Д).
58.6. Теорема. Существует единственная борелевская мера д на Д,
относительно которой р eL{(A, р) (при отождествлении В = С(Д)) и
для каждого хеА
/,(*)= |х(7г)р(тг)фр(7г). (58.9)
Доказательство. Пусть Q — множество всех элементов вида р =
= а\ах + ... + а*пап, где а(€ А0 (г = 1,..., п). Заметим, что Q с Р.
Действительно, для каждого р = а*а, где аеА0, имеем
fp(x*x) = f0(a*ax*x) = f0((ax)*ax) ^ 0,
и также
1/р(*)|2 = 1/о(а*ая)|2 < /о(^а)/о(У*») ^ /о(а*«)2/о(***),
где у = ах. Отсюда fp€P.
Фиксируем функцию ip е С0(А) с компактным носителем S = supp p.
Поскольку идеал А0 всюду плотен в алгебре А, для каждой точки А0еА
можно выбрать ае А0 с условием 2(А0)^0. Используя компактность 5^,
находим, что существует элемент реР, для которого р(\)ф0 во всех
точках А Е 5^. Здесь мы отождествляем элемент р Е Р с его преобразованием
Гельфанда р*Е С(Д). Полагая
р(А) = ( ^(А)/Р(Л) ПРИ ЛЕ5^
р \ 0 в остальных случаях,
получаем функцию tpp Е С0(Д).
25*
396
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
Пусть Ру — множество всех р е Р, для которых р(\)^0 в точках А е S^.
Заметим, что
1Р{ЧЧ>) = fo(PQ<P) = fq(PV)
для всех р, q G Р^. Иначе говоря, функционал /(^) = /р(^р) не зависит от
выбора р е Р^. Отсюда
/<¥>)= J ¥>(А)Ф(А), (58.10)
где \i — некоторая борелевская мера на А.
Условимся говорить, что точка А0еД существенна (относительно
меры /х), если для каждой окрестности U точки А0 найдется р е Р, для
которого интеграл fp отличен от тождественного нуля на функциях </? с
носителями 5^ с U. Пусть \ — множество всех существенных точек А € А.
Ясно, что А0 содержит носитель меры д.
Покажем, что р{\) ^0 на Д0 для всех ре Р. Действительно, если р(Х0) <
< 0, то р(\) ^ 9^(А0) в некоторой окрестности U точки А0. Если S^ с U,
ip ^ 0, то 0 < f{<p) = fp(<pp) < 0 (ввиду (58.8)). Отсюда f(<p) = 0 для всех \р\
Sy С U. Но тогда для каждого qeP имеем при <р ^О
О = f,(q<p) = Д(W) < jP( *o)/f (*>) < 0,
т. е. / (^) = 0, что противоречит определению Д0.
Покажем теперь, что выполняется (58.9). Достаточно проверить, что
/,<¥>) = /(w) (58.11)
для всех ip G С0(А). Формально это следует из (58.10), однако, supp <pp
может отличаться от supp <p, так что требуется более детальное
доказательство. Положим
ЛГ = {АеД0:р(А) = 0}.
Пусть Nk (соответственно, Мк)— множество тех точек А е Д0, для
которых р(А) ^ j- (соответственно, р(\) < дг+у)» где * е ^' ^° лемме Урысона,
существует функция дк е С(А{), где А{ = А0и{е}, равная нулю на NkuMk
и такая, что 0 ^ дк < 1 всюду на At. Полагая
находим, что еп [ е^ где <% — характеристическая функция множества N.
Отсюда также qenIqe^ для всех qeP (поскольку q^0 на Д0). В частности,
реп 10. Отсюда
fp(Q^o) = Um /,(gen) = lim f(pen) = 0,
для всех q E P. В частности, f^be^) = 0 для всех а, Ь € A0, но тогда и
для всех а, Ь е А. Следовательно, fp(<p%) = 0 для всех <р е ^(А). С другой
стороны, /(р<^ео) = 0, и это доказывает (58.11) при сужении на N.
§ 58. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 397
Остается заметить, что (58.11) выполняется при сужении на М = \\N.
А именно, пусть е'п = 1 - еп. Тогда имеем
/(рК) = /,Ю-
Переходя к пределу, получаем (58.11) при сужении на М.
Следовательно, (58.11) выполняется для всех <р е С0(А).
58.7. Лемма. Пусть L0(G) —линейная оболочка выпуклого
множества P(G)nL{(G). Тогда L0(G) всюду плотно в Lp(G) при р = 1,2.
Доказательство. Пусть М — множество всех функций /*0*, где
1,9^ C0(G). Напомним (п. 27.11), что М всюду плотно в C0(G)
относительно каждой из метрик Lp(G). С другой стороны, М С C0(G) (п. 57.11).
Следовательно, C0(G) всюду плотно в Lp(G).
58.8. Теорема. Для каждой функции х е LQ(G) ее образ Фурье
содержится в L{(G) и выполняется формула обращения
x(g) = ( х(ъ)Ч(д) ф(тг), (58.12)
где [I —надлежащим образом нормированная мера Хаара на группе G.
Доказательство. Напомним (п. 58.4), что каждая функция х е
е L0(G) равномерно непрерывна на группе G. Линейный функционал
/0(ж) = ж(е) определен и положителен на идеале AQ = L0(G).
Действительно, для каждого у = ж*х, где х е А01 имеем
у(#)= 1 x(h~l)x(h~lg) dh = 1 x(h)x(hg) dh,
откуда /.
y(e)=yx(g)\*dg>0.
Помимо этого, для каждой функции р € P(G) CiLx(G) имеем
/о(Р»)= [p(h)y(h-l)dh= §p(h)l^x(hxh-')dhdhx =
= \\p(h£lhl)x(h{)x(h2)dhldh2^0.
Таким образом, функционал fp(x) = f0(px) положителен в А0. Ясно также,
что р е Р, в обозначениях п. 58.6. Отсюда L0(G)cP. Применяя
теорему 58.6, получаем
/о(Рж)= 1 х(тг)р(п) d/z(7r),
для всех peLQ(G). Заменяя в этой формуле х на ж*, получаем
\p(g)x(9)dg= ]^Ы( \^y^dii(^)\dg,
398
Глава 8. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
откуда следует (58.12) для функции р (вместо х). В частности,
р(е)= |Я*)Ф(*). (58.13)
Заметим, что для каждой пары р е L0(G), х € G функция q = рх
содержится в L0(G) и ее преобразование Фурье имеет вид q{^) = p{^x)-
Применяя (58.13), получаем
\p(7rx)dp/(7r) = q(e) = p(e)= I р(тг) ф(тг). (58.14)
Согласно лемме 58.7, это тождество выполняется на всюду плотномлтодмно-
жестве в L{(G). Отсюда заключаем, что мера /х инвариантна на G, т. е. \i
есть мера Хаара группы G.
58.9. Теорема. Преобразование Фурье х\->х однозначно поднимается
до изометрического изоморфизма между L2(G) и L2(G). В частности,
имеет место следующий аналог формулы Планшереля:
^\x(g)\2dg= ||ЭД|2<*тг, (58.15)
где dn = d/x(7r) в обозначениях 58.8.
Доказательство следует стандартной схеме теории интегралов Фурье.
См., например, [КФ; СВ; Ш1].
58.10. Теорема двойственности. Симметрия между преобразованиями
Фурье (58.1), (58.12) позволяет получить простое доказательство известной
теоремы двойственности Л. Понтрягина: преобразование g(ir) = 7r(g), где
g E G, 7г G G, определяет топологический изоморфизм абелевых групп
G«<f. (58.16)
ЗдесьС — группа характеров группы G. См., например, [HI; П].
Упражнение. Группа G компактна тогда и только тогда, когда
группа G дискретна. [Указание: если группа G дискретна, то алгебра L{(G)
унитальна.]
В заключение отметим еще одно важное следствие из теоремы Гельфан-
да — Наймарка (п. 52.6).
58.11. Теорема. Пусть (эт, Н) —унитальное представление абелевой
локально компактной группы G в гильбертовом пространстве Н.
Тогда существует спектральная мера е: ft—>V(#), где ft — о -алгебра
борелевских множеств в G, относительно которой
7c(9)=[x(9)de(X). (58.17)
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 8 399
Доказательство. Спектральная теорема (53.15) означает в
данном случае, что операторы 7г(/), где / € LX{G), разлагаются по некоторой
мере е:
*(/)= \xU)de{X).
Полагая в этом равенстве / = д6{, где д € G, 8i — 8-образная
направленность в LX(G) и применяя предельный переход к матричным элементам в
(7г, Я), получаем (58.17).
Комментарии к главе 8
Работы Дж. фон Неймана по теории операторных алгебр
предшествовали (начиная с 1929 г.) пионерским работам И. М. Гельфанда и М. А. Най-
марка по теории «нормированных колец», называемых ныне банаховыми
алгебрами, с выделением особой роли «вполне регулярных» колец,
называемых С*-алгебрами (1943 г.). Теоремы Гельфанда — Наймарка в
коммутативном случае (п. 52.6) и в общей форме (п. 55.5) существенно определили
путь дальнейшего развития теории.
Исключительно интенсивное развитие теории С*-алгебр во второй
половине XX века привело к установлению результатов классического характера
как по структурной теории этих алгебр, так и по ряду приложений, в том
числе к динамическим системам, статистической физике, квантовой теории
поля. Первоначальные работы Дж. фон Неймана были ориентированы на
логические основы квантовой механики, где С*-алгебры выступают как
алгебры «наблюдаемых» (а их состояния — как «состояния физических систем»).
Существует обширная литература по теории С*-алгебр и их приложениям
(см., например, [БР; ГРШ; Ко; Лю; Н2; Ру; Са]), в том числе монография
А. Конна, посвященная философии С*-алгебр и их связям с различными
разделами математики. Среди современных учебников по теории С*-алгебр
можно отметить монографию Дж. Мерфи [М].
Результаты § 28, относящиеся к абелевым группам, занимают весьма
скромное место в общей теории локально компактных групп. Однако,
близкие конструкции существенно используются в гармоническом анализе на
произвольных локально компактных группах.
А именно, использование коммутативных подалгебр в C*(G), где G —
локально компактная группа, позволяет разложить произвольное
унитарное представление группы G в «прямой интеграл» неприводимых
представлений (см., например, [HI]). Частный случай этой конструкции состоит
в разложении функций класса L2(G) в обобщенный интеграл Фурье по
матричным элементам неприводимых (вообще говоря, бесконечномерных)
унитарных представлений группы G.
Для компактных групп эта теория сводится к обобщенным рядам Фурье
(§ 28). Общий случай значительно сложнее. Отдельные вопросы этой
теории можно найти в монографиях [ГН; Ж2; Н2; Кн]. См. также [ЭШ]
относительно развития теории двойственности для произвольных локально
компактных групп.
Глава 9
КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Содержание главы относится к сравнительно молодой математической
теории «квантовых групп». Следует пояснить, что квантовые группы суть
«not quantum nor groups». Сам термин «квантовые группы» еще
недостаточно устоялся. Квантовые группы в широком смысле определяются как
виртуальные объекты, понимаемые интуитивно как спектры специального
класса ассоциативных алгебр, называемых алгебрами Хопфа.
Практически мы имеем дело именно с алгебрами Хопфа, которые
интерпретируются как «структурные алгебры квантовых групп». Читатель должен
привыкнуть к ситуации, когда «точечные объекты» заменяются их
структурными алгебрами (функциональные алгебры в теории многообразий,
коммутативные С*-алгебры в теории локально компактных пространств).
Перспективность такого подхода сводится к тому, что мы можем на
некотором этапе освободиться от точечных объектов и перейти к надлежащим
обобщениям. Например, произвольные С*-алгебры могут
рассматриваться как структурные алгебры «некоммутативных локально компактных
пространств». Речь в данном случае идет о «некоммутативной топологии».
Аналогично, переход от коммутативных С*-алгебр к некоммутативным
позволяет заменить математическую логику булевых алгебр некоторой
«квантовой логикой» (например, логикой ортопроекторов в алгебрах фон
Неймана).
Основные примеры квантовых групп представляют собой «квантовые
деформации» классических объектов, к которым относятся произвольные
группы, алгебры Ли и т. д.
§ 59. Алгебры Хопфа
59.1. Коалгебры. Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей над
полем F. Поднимая операцию умножения д: А х А -> А до линейной
операции /х: А ® А —► А (п. 6.1), можно выразить свойство ассоциативности
алгебры А в виде следующего соотношения (в тензорном кубе А <8> А ® А):
/х(1®м) = м(м® О- (59.1)
§ 59. АЛГЕБРЫ ХОПФА 401
Действительно, применяя это соотношение к тройке (х, уу z), получаем
x(yz) = (xy)z в алгебре А. Наличие единицы в алгебре А можно выразить
в терминах вложения rj: F -+ А, с аксиомой
М(г?®1) = м(1®тг)=1. (59.2)
Действительно, (59.2) равносильно сх = же = х для всех х € А, где е = и( 1).
Наконец, условие коммутативности алгебры А записывается в виде д = /х',
где р! = /хт, r(x®y) = y®x — транспозиция в тензорном квадрате А® А.
Очевидно, что эти соотношения означают коммутативность некоторых
диаграмм, определенных над тензорными степенями алгебры А. Обращая
стрелки в диаграммах, получаем новую (двойственную) категорию коал-
гебр над полем F.
А именно, векторное пространство А над полем F называется коалгеб-
рой (над F), если в нем определено линейное отображение А: А —* А ® А,
называемое коумножением в пространстве А. Коумножение А называется
коассоциативным, если
(1®Д)Д = (Д®1)А. (59.3)
Соответственно, обе части (59.3) определяют линейный оператор /$: А —►
-> А ® А ® А. Линейный функционал е: А —► F называется коединицей
коалгебры А, если
(£®1)Д = (1®е)Д=1. (59.4)
Заменяя Д на Д; = тД, получаем противоположную коалгебру Асор. Коал-
гебра А называется кокоммутативной, если Д = Д (т. е. А = Асор).
Применяя оператор Д к произвольному элементу х е А, получаем сумму
элементов вида х\ ® х" £ А ® А. Сокращенно эта сумма обозначается
символом Шведлера х' ® х" или хх ® щ. Мы предпочтем второе обозначение,
к которому добавляется естественное правило «смещения индексов» при
итерациях. Например, соотношение (59.3) переписывается в этих символах
следующим способом:
№х = (х{ ® а^) ® з% = хх ® (х2 ® Xj). (59.5)
Соответственно, обе части (59.5) записываются в виде Д2ж = хх ® х^ ® х3.
Соотношение (59.4) означает, что
е(ж1)^ = х,в(а^) = ж (59.6)
для всех х е А. Здесь имеется в виду подстановка х[ (соответственно, х")
вместо ж, (соответственно, х^) и последующее суммирование по индексу г.
Аналогично, условие кокоммутативности записывается в виде х1®х2 — х2®х1
для всех хеА.
Примеры. 1. Для каждой группы G векторное пространство F[G]
(п. 2.1) есть коалгебра с коумножением (Д/)(ж, у) = f(xy) и коединицей
е(/) = /(е), где е — единица группы G.
2. Если А есть коалгебра над полем F, то сопряженное пространство А"
есть алгебра с умножением р. = Д\ т. е.
(xyfg) = (Axyf®g) (59.7)
402 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
для всех хе A, figeA*. Здесь имеется в виду естественное вложение
А* ® А* в (А® А)* (п. 6.4). Соотношение (59.7) в символах Шведлера
означает, что
(&)(*) = /(*i)0te) (59.8)
(с подстановкой х{ к-» х[, х^ н-> ж" и т. д.). Коединица алгебры А есть единица
е е А* алгебры А*.
3. Если А есть алгебра с умножением \i\ А ® А —> А, то сопряженный
оператор Д = /х*: А*->(А®А)* можно рассматривать как коумножение
лишь в том случае, когда его образ содержится в А*® А*. Например, это
верно в случае dim A < оо (п. 6.4).
4. В общем случае положим
А0 = {/ € А*: Д/ Е А* ® А*}. (59.9)
Легко проверить (упражнение), что ДА0 с А0 ® А0, так что А0 есть коал-
гебра с коумножением Д = /х*.
Отмеченную ассимметрию между ju и А можно в известной степени
устранить, если ввести понятие обобщенной (или топологической) коал-
гебры с обобщенным коумножением А: А-> А®А (п. 13.6). В этом случае
для каждой алгебры А с умножением д оператор Д = д* определяет
структуру обобщенной коалгебры в пространстве А*.
Например, оператор (Д/)(ж, y) = f(x+y) определяет структуру
обобщенной коалгебры в векторном пространстве ^[[х]] (п. 13.3).
В дальнейшем мы используем символ тройки (А,//,77) (соответственно,
(А, Д, е)) для алгебры (соответственно, коалгебры) А с умножением д,
коумножением Д, единицей rj, коединицей е.
59.2. Гомоморфизмы. Операция обращения стрелок позволяет
сопоставить каждому стандартному понятию в категории алгебр (гомоморфизм,
А-модуль и т. д.) соответствующее двойственное понятие для коалгебр.
Например, гомоморфизм коалгебр (Ai7 Д0 е.), где г = 1, 2, определяется
как линейный оператор <р: Ах-+ А2, для которого
(<р ® ^)Д, = Д2^, ег = e2v?. (59.10)
Здесь имеется в виду оператор (р ® <р: At ® At —* А2 ® А2.
Векторное пространство X (над полем F) называется (левым) А-комо-
дулем, если в нем определен оператор Д: X —> А ® X, называемый
коумножением (кодействием) в X и удовлетворяющий соотношению коассо-
циативности (59.3), где оператор Д® 1 (соответственно, 1 ® Д) понимается
как коумножение в А (соответственно, в X).
Если А — коалгебра с коединицей, то к этому определению добавляется
условие коунитальности (е®1)Д=1 в пространстве X. Гомоморфизм
комодулей (Xti Д,), где г = 1, 2, определяется как линейный оператор у?:
Хх —> Х2, удовлетворяющий соотношению (1 ® <р)Д! = Д2<р.
Категория левых А-комодулей над коалгеброй А обозначается A- Comod.
Упражнения. 1. Если А — коалгебра, X — левый А-комодуль, то
равенство (59.7) при / е A*, g е X* определяет в X* структуру левого
А*-модуля.
§ 59. АЛГЕБРЫ ХОПФА 403
2. Пусть (А, Д, е) — коалгебра, (В, д, г}) — алгебра (над полем F).
Векторное пространство # = Нот(А,1?) есть алгебра с умножением (59.8) и
с единицей ш = rje.
59.3. Биалгебры. Векторное пространство А над полем F называется
биалгеброй (над F), если в нем определены две согласованные структуры:
ассоциативной алгебры с единицей (А, /х, г}) и коассоциативной коалгебры
с коединицей (А, А, е). Согласованность означает, что каждое из
отображений А, е есть гомоморфизм (в категории унитальных алгебр). Здесь имеется
в виду умножение (8.1) в А ® А.
В действительности это определение равносильно следующему: каждое из
отображений /г, rj есть гомоморфизм (в категории коалгебр с коединицей).
Здесь имеется в виду следующее произведение коалгебр А, В:
Д(ж® у) = х{у{ <8>Х2у2, (59.11)
где Дж = хх ® а^, Ду = у{ ® у2> с добавочным условием коунитальности
е(х®у) = е(х)е(у). Помимо этого, поле F отождествляется с коалгеброй
F = F[l] с операциями Д(1) = 1® 1, е(1)=1.
Гомоморфизм биалгебр (р: А —► В определяется как линейный оператор
ср: А-+В, определяющий одновременно гомоморфизмы алгебр и коалгебр
А^Б.
Понятие биалгебры особенно существенно при изучении (левых)
А-модулей. А именно, если А —биалгебра, то для каждой пары А-модулей X, Y
их тензорное произведение X ® Y наделяется структурой А-модуля по
правилу
а(х ® у) = Аа(х ® у), (59.12)
где ае А, х € X, у EY. Здесь имеется в виду композиция гомоморфизма
ан-> Да с действием А® А в X ® У, так что равенство (59.12) определяет
действие алгебры А ъ X ®Y.
Таким образом, категория A-Mod замкнута относительно тензорного
умножения А-модулей X, Y. В этом смысле говорят, что A-Mod есть
тензорная категория. Аналогично проверяется, что A-Comod есть тензорная
категория (относительно операции (59.11)).
Примеры. 1. Алгебра F[M], где М — полугруппа с единицей (п. 7.3)
есть биалгебра с операциями Д, е, определяемыми ниже в (59.18).
2. Тензорная алгебра Т(Х) есть биалгебра с операциями Д, е,
определяемыми на образующих жбХпо правилу примитивности:
Дж = ж®1 + 1®ж, е(ж) = 0. (59.13)
3. То же верно для универсальной обертывающей алгебры f/(g), где g —
алгебра Ли над полем F.
4. Алгебра А = F[a], где а= (а-Д i, jf = 1,..., п — набор независимых
переменных, есть биалгебра с операциями
Д(а.,)= ± aik®akj. (59.14)
i,3-l
404
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
5. Если А — биалгебра с операциями /х, 77, А, е, то замена р, на р!
(соответственно, А на А) определяет в алгебре А структуру биалгебры А0?
(соответственно, Асор).
Упражнение. Для каждой биалгебры А пусть Prim A — множество
всех ее примитивных элементов (59.13). Проверьте, что Prim А есть алгебра
Ли (подалгебра Ли алгебры А).
59.4. Алгебры Хопфа. Биалгебра А называется алгеброй Хопфа, если
в ней определен оператор 7 € End A, называемый антиподом и связанный
с операциями биалгебры А соотношением
^(1<8>7)Д = М(7® 1)А = туе. (59.15)
Соотношение (59.15) в символах Шведлера означает, что
Zi7(^) = 7(^1)^2 = е(я), (59.16)
для всех х G А, где е(х) отождествляется с е(х)е.
Условимся рассматривать End A =Hom(A, А) как алгебру с
умножением (59.8). Напомним (п. 59.2), что End А есть алгебра с единицей u = rje.
Соответственно, (59.16) записывается в виде
1.7 = 7.1 = а, (59.17)
(относительно умножения (59.8)), где 1 = id — единичный оператор в
пространстве А. Отсюда заключаем о единственности антипода (при условии,
что он существует).
Примеры. 1. Если G — группа, то алгебра А = F[G] есть алгебра
Хопфа с операциями
Ах = х®х, е(х) = 1, j(x) = x~l (59.18)
для образующих x€G.
2. Если g — алгебра Ли, то U(g) есть алгебра Хопфа с операциями
Аж = ж®1 + 1®ж, е(х) = 0, -у(х) = -х (59.19)
для образующих х е д.
3. Аналогично, Т(Х) есть алгебра Хопфа с операциями (59.19), где хеХ.
4. Если А есть конечномерная алгебра Хопфа, то А* есть также алгебра
Хопфа (с антиподом 7*)-
Упражнение. Биалгебра F[M], где М — полугруппа с единицей
(п. 59.3), есть алгебра Хопфа лишь в том случае, когда М есть группа.
Соответствующий антипод имеет вид (59.18).
59.6. Теорема. Антипод j есть антигомоморфизм алгебры Хопфа А
(т. е. гомоморфизм А —► Аор). Более того, имеем:
(7®7)Д = ^7, 67 = с, (59.20)
где А = Дор (п. 59.1). Если алгебра А коммутативна или кокоммута-
тивна, то оператор j инволютивен, т. е. j2 = 1.
§ 59. АЛГЕБРЫ ХОПФА 405
Доказательство. Положим Н = Нот(А 0 А, А), где А® А
рассматривается как биалгебра с коумножением (59.11). Соответственно, Н
наделяется умножением (59.8) и единицей ш 0 ш, где ш = ^е.
Определим элементы fcgeH по правилу /(ж 0 у) = *у(ху), д(х (8) у) =
= 7(у)7(#)> гДе ж, у € А. Напомним, что /х 6 Я. Отсюда
(/м)(я 0 у) = /(х! 0 yl)fi(x2 0 у2) = 7(^1^1)^2% = и(ху) = (о; ® о;)(ж 0 у),
т. е. //х = и; 0 о; в алгебре Я. Аналогично,
Оед)(з 0 у) = р,(х{ 0 уО^а^ 0 у2) = ж1у17(у2)7(^2) =
= ^i^(y)7(^) = (w 0 <^)(s 0 2/),
т. е. /iflf = о; 0 а;. Следовательно, / (соответственно, #) есть левый
(соответственно, правый) обратный к элементу д е Я. Отсюда / = #, т. е. Д есть
антигомоморфизм алгебры Я. Ясно также, что 7(1) = 1-
Для доказательства (59.20) положим ip = Ду, ^ = (707)^> так что <А V> €
ЕЯ' = Hom(A, A 0 А). Используя умножение (59.8) в Я;, получаем
(<рД)(ж) = (/?(ж1)Д(ж2) = Д(7(ж1)ж2) = А(ш(х)) = (о; 0 о;)ж,
т. е. у?Д = о; 0 о;. Аналогично,
(Д^)(ж) = Д(х0(7 0 7)(^(Я2» = (*i ® ^)(7(^4) ® 7(а*)) =
= ж17(яз) ® £(х2) = ^17(^2) ® 1 = <*>(я) 0 1 = (^ 0 о;)ж.
Здесь мы воспользовались правилами смещения индексов (п. 59.1). В
результате (рД = Аф = о;0 а;, откуда (как и выше) заключаем, что <р = ф, что
равносильно первой части (59.20). Вторая часть легко проверяется.
Если алгебра А коммутативна, то (59.16) влечет j(x2)xl = е(я).
Отсюда легко выводится (упражнение), что 7 • 72 = <*> в алгебре End А.
Применяя (59.17), получаем у2 = 1 (ввиду единственности обратного в алгебре
End А). Случай кокоммутативности рассматривается аналогично.
59.6. Следствие. Антипод 7 есть гомоморфизм алгебр А -> А+, где
А+ = (Аор)сор = (Асор)ор. (59.21)
£слы 7 — обратимый антипод, то j определяет изоморфизмы алгебр
Хопфа
АъА+, Аор«Асор,
где каждая из алгебр Аор, Асор наделяется антиподом j'K
Упражнения. 1. Равенство Д х = а^ 0 Zg (где х G А) влечет Д ж' =
= ж£ 0 ж[, где х' = 7(ж)- [Указание: используйте (59.20).]
2. Элемент ж е А называется групповым (или группоидным), если Дж =
= ж0ж. Множество GA всех группоидных элементов ж е А есть полугруппа
(с единицей ее А).
3. Если А обладает обратимым антиподом, то GA есть группа.
406
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
59.7. Присоединенное представление. Пусть А — алгебра Хоп-
фа, X — А-бимодуль. Легко проверяется, что операторы
тг(а)х = а{ ха^, где а = 7(а)? (59.22)
определяют в X структуру левого А-модуля. А-модуль (X, 7г) называется
присоединенным А -модулем.
В частности, операторы ada=7r(a) определяют присоединенное
действие (представление) алгебры А в пространстве А.
59.8. Дуальность. Две алгебры Хопфа А, В (над полем F)
называются дуальными (двойственными) относительно билинейной формы (•, •) в
АхВ, если
(ж, yz) = (Ах, у ® z), (ху, z) = (x® у, Дг), (59.23)
(х, 1) = е(х), (1,2/) = е(у), {>ух, у) = (х, jy) (59.24)
для всех ж, у, z (из А или В). Здесь один и тот же символ 1, е, Д, 7
используется в алгебрах Хопфа А, В.
Аналогично (без учета антипода) определяется дуальность биалгебр А, В
над полем F.
Поскольку форма (•, •) невырождена, мы имеем канонические вложения
А С В*, В С А* (п. 2.7). Если алгебра А фиксирована, то все дуальные пары
(А, В) упорядочены по включению вторых компонент в пространстве А*.
Отсюда ясно, что все эти пары содержатся в максимальной паре (А, А0),
где А0 определяется равенством (59.9).
Заметим, что А0 есть алгебра всех А-финитных функционалов / е А*,
относительно каждого из действий
А(а)ж = аж, р(а)х = ха (59.25)
в алгебре А. Отсюда следует (упражнение), что А0 есть линейная оболочка
матричных элементов всех конечномерных (левых или правых) А-модулей.
Согласно первой части (59.23), аналогичные операторы в алгебре В
обладают сопряженными ду = А (у)', 6Z = p(z)' в алгебре А:
дух = у(х1)х2, 6zx = xlz(x2). (59.^6)
Операторы ду (соответственно, <5J, порожденные левыми (соответственно,
правыми) сдвигами в В, называются правоинвариантными
(соответственно, левоинвариантными) векторными полями в алгебре А.
69.9. Предложение. Операторы д = ду, 6Z удовлетворяют
следующим «тождествам Лейбница» в алгебре А:
д(аЬ) = д{(а)д2(Ь), (59.27)
где символ Ад = дх®д2 определяется соответствующим разложением
Ду = ух <g> y2, Az = zx <8> z2 в алгебре В.
Доказательство сводится к элементарной проверке. Например, для
оператора д = ду имеем:
д(аЬ) = у^Ь^Ъг = У^М^)^ = ^i(a)^(b)»
и случай д = 5^ рассматривается аналогично.
§ 60. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 407
Упражнение. Проверьте, что д(1) = е(у)1 для каждого оператора
д = ду, бу(уев).
59.10. Следствие. Операторы д — дг 6у (уеВ) связаны с
операторами х = А (ж), х° = р(х) соотношениями
Эх = дх(х)д2, дх° = d2(x)dv (59.28)
Пример. Алгебра А = F[x], где х = (х{,..., хп), самодуальна
относительно формы (13.7) (случай char F = 0). В этом случае тождество
Лейбница (59.27) сводится к обычному правилу дифференцирования для
производных д{ = d/dxit т. е.
да. = д{ ® 1 + 1®в0
где г = 1,...,п.
§ 60. Алгебры Вейля
60.1. Определение. Пусть А, В —дуальная пара алгебр Хопфа.
Используя векторные поля (59.27), определим Х>а/3 = Х>а/3(А, В) как подалгебру в
End Л, порожденную операторами а(а), /3(b)', где а, /3 = А,р. Используя
перестановочные соотношения (59.28), находим
2?^ = а(А)/3(ВУ, (60.1)
где а(А) (соответственно, (3(В)')— подалгебра, составленная из
операторов а(а),/3(b)' для всех аеА, ЬеВ. Здесь хиж' — операция сопряжения
относительно формы (•, •) в А х В.
Алгебра 2>а/9 называется алгеброй дифференциальных операторов типа
(а, /3) в алгебре А. Аналогично определяются алгебры дифференциальных
операторов в алгебре Б.
Поскольку все четыре алгебры Va0 имеют сходную структуру, мы будем,
как правило, рассматривать одну из них, например, Т>(А)=Т>ХХ(А, В).
Вместо символов А (а), Х(Ь)' будем использовать (соответственно) обозначения
а, 6'. Соотношение (60.1) в этом случае записывается в виде V(A) = AB'.
Если обе алгебры А, В коммутативны, то все четыре алгебры £>а/3 сли"
ваются в единую алгебру V(A). Если А = В = F[x], то алгебра V(A)
совпадает с DiffF" (п. 11.8). Ниже будет получено описание алгебр Vaj3 в
терминах их генетики (по аналогии со случаем Diff Fn).
60.2. Предложение. Коммутант алгебры Va(3 e End А
совпадает с F • 1.
Доказательство. Положим а = /? = А. Перестановочность
оператора / е End А с операторами аеА означает, что f(x) = жа при некотором
фиксированном а (а = /(1)). Перестановочность такого оператора со
всеми Ь' (ЬеВ) означает, что д(ха) = д(х)а для всех д = Ь'. В частности,
9(a) = е(Ь)а. Отсюда
(а,Ь)=.(в(а),1> = е(а)е(Ь) = е(о)<1,Ь)
для всех b e Bt т. е. а= е(а) • 1.
408 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
60.3. Определение. Для каждого х е А пусть 1(х)
(соответственно, г(х)) — линейная оболочка элементов хх (соответственно, Xg),
определяемых разложениями Ах = х1®х2. Подпространство 1{х)
(соответственно, г(х)) называется левым (соответственно, правым) ростком элемента
хеА.
Заметим, что это определение корректно, т. е. не зависит от выбора
разложения Ах = х1®х2. А именно, можем считать, не ограничивая общности,
что семейство х^ (соответственно, хх) линейно независимо и потому может
быть расширено до базиса пространства А. Очевидно, определение 1(х)
(соответственно, г(х)) не зависит от выбора базиса в пространстве А.
60.4. Лемма. Левый (правый) росток элемента хеА есть
циклический р(В)'-модуль (\(В)'-модуль), порожденный элементом х:
1(х) = р(В)'х, г(х) = Х(Вух. (60.2)
Доказательство. Используя (59.27), находим, что p(B)fx
(соответственно, Х(В)'х) содержится в 1(х) (соответственно, г(х)). Выбирая,
например, семейство х{ = (ж-), где г = 1,..., п, линейно независимым,
рассмотрим дуальную систему Ь^еВ (j = 1,..., п), для которой (ж{, Ьу) = 6{j.
Полагая в (59.27) y—bjt получаем А(2?)'ж = г(ж). Аналогично, р(В)'х = 1(х).
60.5. Теорема. Пусть А, В —дуальная пара алгебр Хопфа, Т>(А) =
= Va/3(A, В) —одна из алгебр, определенных в п. 60.1. Тогда имеем:
(i) T>(А)-модуль А абсолютно прост.
(И) Алгебра V(A) всюду плотна в End А в алгебраическом смысле, А
именно, для каждого конечномерного подпространства Е с А имеем
V(A)\E = {EndA)E. (60.3)
Доказательство. Пусть Офх^еА. Применяя к элементу Xq
оператор д = \(Ьу (Ь е В) и используя тождество
получаем (ввиду невырожденности формы (•, •)), что в г(а^) существует
х = дхц, для которого е(х) = 1. Применяя (59.17), получаем
1 = 7(^)^2 € Аг(х) С Аг(хц) = V(A)x0, (60.4)
где V(A)=VXX. В результате V(A)xq=А, т. е. А есть простой Х>(А)-модуль.
Остальные варианты а, /3 = А, р рассматриваются аналогично.
Поскольку (60.4) сохраняется для каждого расширения поля F, мы
находим (i), т. е. модуль А абсолютно прост. Согласно теореме плотности
(п. 9.9), отсюда также следует (и). Впрочем, (i) выводится также из
предложения 60.2 (см. упражнение (2) п. 9.10).
Замечание. Утверждение (ii) имеет «квантовомеханическую»
интерпретацию, по аналогии с п. 14.10. А именно, каждый оператор / eEndA
§ 60. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 409
аппроксимируется полиномами от образующих аеА (операторы рождения),
Ь' G В' (операторы уничтожения).
60.6. Теорема. Разложение (60.1) свободно. Иначе говоря,
отображение х®у\-*ху определяет изоморфизм векторных пространств
Va^a(A)®f3(B)'. (60.5)
Доказательство. Положим Т>(А) = £>АА и допустим, что в V(A)
выполняется линейное соотношение
где д{ = Ц и элементы а{ (г = 1,..., п) линейно независимы. Умножая это
равенство слева на р(А), справа на р(В)' и учитывая перестановочность
левых и правых сдвигов, получаем
±а,ЩА)д,=0,
где V(A) = Vpp. Применяя это тождество к элементу х е А, получаем
п т
t=lУ=1
где c{j G F — коэффициенты разложения элемента dtx по некоторому
базису ej (j = 1,..., m) в линейной оболочке элементов д{х. Применяя
теорему 60.5 (ii) к алгебре Т>(А), получаем элементы 8{ еЩА), для которых
6{(е.) = Si:j • 1 (г, j = 1,..., т). Отсюда
п
Еа*су=0 (j = l,-..,m),
что возможно (ввиду линейной независимости а{) только при е.. =0 для
всех г, j. Отсюда заключаем, что д{х = 0 для всех х е А, т. е. oi =0 для
всех г = 1,..., п.
Отсюда получаем (60.5) при а = /? = А. Остальные варианты
рассматриваются аналогично.
60.7. Определение. Пусть Wap — ассоциативная алгебра с единицей
над полем F, порожденная системой A U В и фундаментальными
соотношениями (59.28), где элементы х е А, уе В отождествляются
(соответственно) с операторами а(ж), /3(у) (с сохранением генетики в алгебрах А, В).
Например, при а = /3 = А соотношения (59.28) записываются в виде
дх = д{(х)д2, (60.6)
где 5 = V — отображение алгебры В в алгебру В' = J5op.
Алгебра W(A) = И^ называется алгеброй Вейля, ассоциированной с
дуальной парой А, В. Согласно (59.29), алгебра Wap накрывает алгебру
Ра/3 относительно отображения в: х *-+ х при х е A U В. В частности, А
наделяется структурой И^(А)-модуля.
60.8. Теорема. Пусть А, В — дуальная пара алгебр Хопфа.
Тогда W(А)-модуль А точен. Иначе говоря, отображение в определяет
410 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
изоморфизм ассоциативных алгебр
Доказательство. Пусть 6 — гомоморфизм накрытия (А) —► W(A),
где (А) — свободная алгебра с системой образующих AUB. Тогда имеем
в о 6 = 1 на АиВ, откуда следует, что каждую из подалгебр А, В можно
отождествить с ее образом (соответственно) а(А), /3(B)' в Vap.
Применяя (59.29), получаем (по аналогии с £>а/3)
^ = а(А)/3(Б)\ (60.7)
Заметим, что в переводит (60.7) в свободное разложение (60.1)
алгебры Vap. Тем более, разложение (60.7) свободно. Отсюда ker0 = O, т. е. в
определяет изоморфизм Wap &T>al3.
Замечание. Приведем другое доказательство свободности
разложения (60.7) (не зависящее от свободности (60.1)). Например, пусть а = /3 = А.
Согласно (оО.б), имеем
дху = д{(ху)д2 = д1(х)д2(у)д3,
дбх = д6{ (х) 62 = дх 6{ (х)д2 62
для всех ж, у е А и всех д, 8 еВ', где Ад = 0, <8>д2, £2д = д1®д2®д3
(аналогично для S). Используя эти соотношения, находим, что перестановка д
с произведением ху (соответственно, 8х) приводит к тому же результату,
что и последовательная перестановка сж,у (соответственно, 5, ж).
Отсюда следует, что приведение произвольного одночлена от
образующих алгебры W(A) к каноническому виду (60.7) единственно, и потому
разложение (60./) свободно.
Рассмотрим более детально частный случай, когда одна из алгебр А, В
коммутативна (так что другая кокоммутативна). Для этого нам понадобятся
две леммы.
60.9. Лемма. Условимся рассматривать W(A) (при а = /3 = А) как
присоединенный В0?-модуль относительно действия
ъ(д)х = дххд2, (60.8)
гдед = Ъ' (beВ), Ад = д{®д2, д = ч(д)(т. е. д = Ь', гдеЬ = ч(Ъ)). Тогда
тг(д)х при хеА совпадает с оператором левого умножения на дхеА.
Доказательство. Достаточно заметить, что при х е А
тг(0)ж = дххд2 = д{(х)д2д3 = д{(х)е(д2)
(относительно Д0, £2д). Отсюда для каждого у е А имеем
(п(д)х)(у) = д{(х)е(д2)у = (д{е(д2))(х) . у = д(х)у,
что равносильно п(д)х = д(х).
60.10. Лемма. Пусть I —идеал алгебры Wap, удовлетворяющий хотя
бы одному из соотношений 1Г)а(А)фО, IП/3(B)'ф0. Тогда I = Waj3.
§ 60. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 411
Доказательство. Положим а = (3 = А, и пусть Офх€ I ПА.
Используя инвариантность I относительно действия (60.8) и лемму 60.9,
находим В'(х)с1. Следовательно, I содержит AB'(x) = W(A)(x) = A (в
силу простоты И^(А)-модуля А). Соответственно, / содержит А, но тогда и
ABr=W(A), т.е. I = W(A).
Аналогично, если /ГШ'^О, то ГпВфО, откуда /' = W(B), т. е. I=W(A).
60.11. Теорема. Если алгебра А коммутативна или кокоммутатив-
на, то алгебра W(A) абсолютно проста.
Доказательство. Положим а = /3 = А и допустим, что алгебра В
коммутативна (так что А кокоммутативна). Применяя оператор 7г(#) к
элементу „
(в обозначениях п. 60.6), получаем
тг(9)х= ± тг^К • *(ад = Е дх(аМ{д2)д, = ± д(а{)д{.
г = 1 t = l * = 1
Здесь мы использовали равенство 7г(6)д = е(#)5 для элементов 6,де В',
вытекающее из коммутативности алгебры В (здесь е(д) = е(Ь) при 5 = Ь').
Умножая полученное равенство на элементы аеА, получаем
±ЩА)(а{Ще1.
1 = 1
Применяя теорему плотности (п. 60.5) к алгебре V(A)t получаем д{ =
= 0 для всех г = 1,..., п. Отсюда либо J = О, либо I П В' ф 0. Применяя
лемму 60.10, заключаем, что алгебра W(A) проста. Остальные варианты
а, (3 = А, р рассматриваются аналогично.
Остается заметить, что все эти рассуждения сохраняются при
произвольном расширении поля F. Отсюда следует, что алгебра W(A) абсолютно
проста.
В заключение рассмотрим другие аналоги алгебр Вейля, связанные с
градуированными алгебрами.
60.12. Градуированные алгебры. Пусть А — ассоциативная алгебра с
единицей, градуированная подпространствами Аа (а еГ), где Г —
аддитивная группа. Фиксируем систему однородных образующих ж. (г е I) и будем
считать (уменьшая, если надо, группу Г), что Г порождается элементами
a^degXi (iel).
Условимся считать, что элементы at линейно независимы над Z+, т. е.
равенство ]£ п{а{ =0 при щ 6 Z+ возможно только при nt- =0 (Vi £ /).
Полагая T+ = J2Z+aif определим упорядоченность а ^ /3 в группе Г по
правилу а — (3 е Г+.
Фиксируем характер г группы Г х Г (называемый также бихарактером
группы Г). Полагая
т(х, у) = т(а, /3) при (leg ж = а, degy = #
412
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
получаем числовую функцию, определенную на однородных элементах
алгебры А (и называемую мультипликатором в алгебре А). Выражение
[я, у]Т = жу - т(ж, у)ух, (60.9)
определенное на однородных элементах, продолжается по билинейности до
умножения в алгебре А.
Умножение (60.9) называется т-коммутатором в алгебре А. Легко
проверяется, что
[ж, yz]r = [ж, y]rz + т(ж, у)у[х, z]r (60.10)
для всех ж, у, z e A.
Алгебра А, наделенная указанной Г-градуировкой и коммутатором (60.9),
называется алгеброй типа (Г, г).
Преобразование 8 е End А называется т-дифференцированием
алгебры А, если
8(ху) = 5(ж) • у + т(ж, у)х • 5(у) (60.11)
для всех ж, уб А. Заметим, что (60.11) переписывается в виде
[5,ж]г=«(ж), (60.12)
относительно индуцированной градуировки в End А (п. 14.8), где же А
отождествляется с А (ж) е End А.
60.13. Алгебра ЩА). Сохраним обозначения п. 60.12. Алгебра А
называется 7-дифференцируемой, если существуют т-дифференцирования д{
(г е I), удовлетворяющие соотношениям
[0О*.]Т = ^ (60.13)
для всех г, j е I. Заметим, что deg^ = —а{ (г 6 /).
Пусть Х>(А) — подалгебра в End А, порожденная операторами ж0 д{ (г £
G /). Используя (60.13), находим, что
£>(А) = А£> = Ш, (60.14)
где D —подалгебра в Т>(А), порожденная операторами д{ (г е /). Легко
проверяется также, что в алгебре А существует единственная билинейная
форма (•,•), удовлетворяющая условию контравариантности
(ж<а,Ь) = (а,0,.Ь) (60.15)
(для всех г е I, а, Ь е А) и условию нормировки (1,1) = 1. Отсюда, в
частности, следует, что форма (•, •) симметрична.
Алгебра А называется невырожденной, если форма (•, •) невырождена в
алгебре А.
60.14. Теорема. Существует единственная, с точностью до
изоморфизма, невырожденная алгебра А типа (Г, т). А именно,
A=A/N, (60.16)
§ 61. АЛГЕБРА Uq(Q) 413
где А —свободная алгебра типа (Г, т), N —ядро формы (60.14) в
алгебре А. Более того, имеем:
(а) Разложение (60.14) в алгебре V(A) свободно.
(/?) Отображение х{ «-+ д{ определяет инволюцию (инволютивный
антиавтоморфизм) алгебры V(A).
(7) Генетика алгебры V(A) получается из генетики ее подалгебр
A, D добавлением фундаментальных соотношений (60.13).
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (в
дальнейшем тексте эти результаты не используются).
Согласно (7), алгебру V(A) можно рассматривать как естественный
аналог алгебры Вейля W.
Можно также показать (по аналогии с Vaj3), что для алгебры ЩА)
выполняется аналог теоремы плотности (теорема 60.5 (ii)).
60.15. Самодуальность. Сохраним обозначения п. 60.14. Определим
умножение в А ® А, полагая
(а® Ь)(х <g> у) = т(Ъ, х)(ах <g> by) (60.17)
для однородных а, Ь, ж, у е А. Положим также
(а® Ь <8> с)(х ® у <8> z) = т(Ьс, х2у)(ах ® by <g> cz).
Упражнения. 1. Умножение (60.17) ассоциативно.
2. А есть биалгебра относительно операции Д, определяемой на
образующих по правилу
Ах{ = ж. ® 1 + 1 <g> ж.. (60.18)
3. Алгебра А самодуальна относительно формы (60.15), т. е.
(Да, ж <8> у) = (а, жу) (60.19)
для всех а, ж, у е А.
4. Сопряженное правило коумножения в алгебре D имеет вид
Д0, = 3; <8> 1 + е, ® 0„ (60.20)
где е,. eEndA определяется по правилу еДж) = т(ж<ж).
§ 61. Алгебра Uq(g)
61.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе д = д(а) — полупростая
комплексная алгебра Ли, порожденная матрицей Картана a=(aij)1 где г, j e
el (I — конечное множество индексов). Напомним (п. А. 14), что
%• = (Ь» а3) = 2(<*о «у)/(оц <*,)> (61Л)
где h{ e f), a3G f)* (простые корни), I) — картановская подалгебра
алгебры 0, (•, •) — симметричная билинейная форма в ()*, нормированная
условием (а{, a.)eZ для всех г G /.
414
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Пусть F = C(q) — поле рациональных функций от независимой
переменной q, R =Z[g, q~l] — подкольцо лорановских полиномов в С(д). Положим
[п] = *-'<«»-«-), N! = [i]...N, (fc) = rdSiq!.
где n € Z, так что [n] e Д.
Заметим, что [п] = n mod(g — \)R, т. е. можно считать, что [n] —► n при
g —► 1 (при подстановке g € С). Элементы [п] называются квантовыми
целыми числами. Соответственно, [п]\ — квантовый факториал. Элементы
(£) называются биномиальными коэффициентами Гаусса.
В дальнейшем мы будем использовать подстановку q н-* qit где q. = g(a*'ai).
Соответственно, 0 заменяется на в{ = q. — gr1 и т. д. Заметим также, что
10]! = 1.
Пусть Hq — ассоциативная алгебра с единицей над полем F,
порожденная символами qh (h е P) и фундаментальными соотношениями
gV' = gft+ft\ g° = i, (61.2)
где Л, Ы е П, П С f) — решетка, порожденная элементами h( (г е I). Мы
будем рассматривать в Hq элементы
t.=gN=gK'ai)^, (61.3)
где q{ =zq(ai>ai\ Иногда нам будет удобно распространить обозначение [п]
на элементы вида h + п, где h Е П, п е Z. Например,
I^ + nh-^^tf-V'e,-). (61-4)
Помимо этого, мы будем рассматривать следующие полиномы от
независимых переменных х = (ж;), где »' € I:
m
т#(*)= Е(-1)пя<т-пЧ-х,<»\ (61.5)
п = 0
где i ф J, т = 1 — aiy (так что т € Z+), х\п) = «"/[п],! при n ^ О, xjn) = О
при п<0.
61.2. Определение. Пусть Sq(g) — ассоциативная алгебра с единицей
над полем F, порожденная элементами х{ (г el) и фундаментальными
соотношениями
7^у(ж) = 0 при гфз. (61.6)
Алгебра Sg(g) называется квантовой алгеброй Серра, ассоциированной с
алгеброй g = g(a). Соотношения (61.6) называются квантовыми условиями
Серра.
Мы будем рассматривать S.(g) как Q-градуированную алгебру, по
правилу degx,. = а{ (г € /), где Q — решетка в ()*, порожденная корнями а{
(п. А.З) с бихарактером
е(с*,/3) = д2<°Л (61.7)
§ 61. АЛГЕБРА Uq(Q) 415
где а, /3 е Q. Заметим, что 2(а, /?) € Z при а, /3 € Q. Легко проверяется, что
т„(х) = (ad *)'"""*,. (61.8)
где ad x — оператор присоединенного представления в Sq(o), определяемого
бихарактером (61.7) (п. 60.12). Отсюда ясно, что квантовые условия Серра
переходят при q —► 1 в соотношения Серра (38.17).
Упражнение. Проверьте, что алгебра Sq(g) т-дифференцируема.
[Указание: определите операторы д{ в свободной алгебре с образующими xi
(г G /) над полем F и проверьте, что
Замечание. Алгебра Серра Sq($) есть единственная, с точностью
до изоморфизма, невырожденная алгебра типа (Q, е) (либо (Q,"e)). См. по
этому поводу п. 60.14.
61.3. Определение. Пусть 17= Uq($) — ассоциативная алгебра с
единицей над полем F =C(g), порожденная элементами ef, /0 £t., trl и
фундаментальными соотношениями
*,*у = *,*!. *,*Г! = *ГЧ = 1> (61.9)
[*./,] = *<,[*.]«. (61Л0)
^"'-tf1'^ ^! = «Г*% (61.И)
^(e) = rv(/) = 0 при г^; (61.12)
где в (61.12) имеется в виду подстановка х{ *-+ eit х{ «-»►/,. (г е I) в
полином (61.5).
Алгебра U = Uq(o) называется алгеброй Дринфельда — Джимбо или
квантовой оболочкой алгебры g = g(a).
Формальная подстановка д = 1 превращает соотношения (61.9)—(61.12)
в определяющие соотношения (38.15)—(38.17) алгебры 17(g). В этом
смысле можно рассматривать Uq(g) как деформацию алгебры U(g). Последнее
утверждение принимает строгую форму, если заменить поле F кольцом
fl=Z[g,g-,](n. 61.12).
С другой стороны, можно расширить поле F до кольца степенных
рядов С[[е]] от формальной переменной е, с подстановкой q = ее. В этом
случае Uq = Uq(g) рассматривается как топологическая алгебра (с
топологией формальных степенных рядов). Соответственно, 17(g)« Uq/eUq (т. е.
Uq—деформация алгебры 17(g)).
Пример. Положим g = sl(2). В этом случае алгебра U = Uq(o)
порождается элементами е, /, £, t~x и соотношениями
[е, /] = [ft], tet"1 = g2e, t/*-1 = g~2/ (61.13)
(к которым также следует добавить tt~l = t~lt = 1).
41 б Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Упражнения. 1. Проверьте тождество
[c/^l^/^-^fc-n + l], (61.14)
где/<Л> = /7[п]!.
2. Докажите (индукцией по т, п), что
e(n)yr(m)=£^(m-*)e(n-*)
h + n — га
к
(61.15)
3. Докажите, что каждый конечномерный U-иоцулъ V обладает «старшим
вектором» Xq ф О, для которого
еаь = 0, tx0 = ±qnx0, (61.16)
где n e Z+.
4. Докажите, что каждый простой конечномерный [/-модуль со «старшим
весом» qn (знак + в (61.16)) имеет размерность п +1 и определяется
соотношениями (22.22), в которых каждый (целый) коэффициент га заменяется
квантовым числом [га].
Замечания. 1. Подстановка гаь-> [га] определяет функциональную
реализацию (п. 22.3) модуля V = Vn, в которой дифференциальные
операторы дх заменяются соответствующими разностными операторами.
2. Деформация U(g) н+ Uq(g) выдержана в духе «g-анализа», в котором
изучаются деформации специальных функций (в том числе биномиальных
коэффициентов). См., например, [ГР].
Результаты, отмеченные в упражнениях 1-4, получат обобщение на
алгебры g = fl(a). Помимо этого, в алгебре U = Uq(g) будет определена
структура алгебры Хопфа.
61.4. Автоморфизмы. Алгебра Uq(g) обладает автоморфизмом жиж,
определяемым на образующих по правилу
ё{ = е., Д= Л, 7< = *Г\ 7= Г1. (61.17)
где последнее равенство определяет автоморфизм поля C(q).
Действительно, фундаментальные соотношения (61.9)—(61.12) выдерживают этот
автоморфизм. Аналогично, алгебра Uq(g) обладает антиавтоморфизмом х »-* х'
(аналог инволюции Шевалле), определяемым на образующих по правилу
*' = /«. // = *. */ = *«. 9' = 9> (61-18)
где последнее равенство означает линейность автоморфизма х *-> ж'.
Помимо этого, алгебра Uq(g) обладает автоморфизмом х н-» х°,
определяемым по правилу х° = —х для элементов х = е0 /0 h{ (так что £? = trl).
Комбинируя эти отображения, можно также получить другие
(антиавтоморфизмы алгебры Uq(g). Например, ж* = а? есть инволютивный
антиавтоморфизм алгебры Uq(g).
61.5. Градуировка. Алгебра Uq(g) обладает Q-градуировкой,
определяемой на образующих по правилу
degef = - deg/t. = a., deg *t. =0. (61.19)
§ 61. АЛГЕБРА Uq(Q) 417
Действительно, определяющие соотношения (61.9)—(61.12) однородны
относительно этой градуировки. Аналогично, Uq(g) обладает Z-градуировкой,
определяемой на образующих по правилу
deg ei = - deg /, = 1, deg t, = 0. (61.20)
Заметим, что градуировка (61.19) тоньше Z-градуировки (61.20). А
именно, deggx = а => degz = |а| (в обозначениях п. 43.3).
Заметим, что градуировка (61.19) совпадает с весовой градуировкой
относительно элементов qh в алгебре Uq(g). А именно, условие degx — ju
равносильно
qhxq'h^q^^x (61.21)
для всех ft € П. Действительно, это совпадение легко проверяется
(индукцией по длине одночленов хе Uq(o)). Отсюда ясно, что (61.21) равносильно
весовому соотношению
fx = я/м для всех / € Я,
где Я —подалгебра в U(q) с образующими t^1, /i->/M—автоморфизм
алгебры Я, определяемый на образующих qh по правилу h ь-> h + (Л, /z).
Заметим также, что в определении 61.3 достаточно рассматривать
элементы qh при h € П0, где П0 — подрешетка в П, порожденная элементами
61.6. Предложение. Алгебра Uq(g) есть алгебра Хопфа с
операциями Д, е, 7» определяемыми на образующих по правилу
Д(^) = ^®<0 (61.22)
Д(е<) = е. ® 1 + tt ® е<, Д(/<) = /, ® if ® 1 ®/,, (61.23)
Ф<) = е(/<) = 0, *(*<) = 1, (61.24)
7(e<) = -*f4> 7(Л) = -М. 7(*i)=«T!. (61.25)
Доказательство сводится к непосредственной проверке. Детали
вычислений можно найти, например, в [Джо; ЧП]. Применяя автоморфизмы
алгебры Uq(g) (п. 61.4), можно также определить другие варианты структурных
соотношений (61.22)—(61.25).
Согласно (61.22), элементы qh (в том числе t.) суть группоидные
элементы алгебры Uq($).
Пусть X (соответственно, Y) — подалгебра с единицей алгебры U =
= Uq(s)t порожденная элементами f{ (соответственно, е<). Применяя
структурные соотношения (61.9)—(61.12), получаем
U = XHY. (61.26)
61.7. Лемма. Пусть U — ассоциативная алгебра с единицей над
полем C(q) и с генетикой (61.9)—(61.11) (т. е. без учета условий Серра).
Тогда имеем:
28 Зак. 184
418
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
(а) Алгебра U обладает свободным разложением XHY, еде X
(соответственно, Y) — подалгебра с единицей, порожденная
элементами fi (соответственно, е{).
(/3) Подалгебра Н (соответственно, X, Y) есть алгебра с
генетикой (61.6) (соответственно, свободная алгебра с образующими fit e{).
Доказательство. Согласно (61.9)—(61.11), каждое слово от
образующих алгебры U приводится к канонической форме XHY посредством
операций ж' = [е0 ж], ж* = t.xtr1 (где г G I). Заметим, что
(хуУ = х'у + ху', (ху)* = х*у*.
Отсюда следует, что перестановка элемента е{ (соответственно, £<) с
произведением ху приводит к тому же результату, что и последовательная
перестановка е{ (соответственно, £,) с элементами ж, у. Например, соотношение
е{ху = хуе{ + (ху)' равносильно последовательной перестановке
е{ху = (же,. + ж')у = хуе{ + х'у + жу'.
Отсюда заключаем, что все слова в U однозначно приводятся к их
канонической форме, откуда следует (а).
Для проверки ((3) рассмотрим векторное пространство W = S ® T над
полем C(q), где S (соответственно, Т) — свободная алгебра с образующими
xi (г € I) (соответственно, алгебра с генетикой (61.6)). Положим с^ж. =
= -а{ (г el) я рассмотрим следующие операторы в W:
Л(в® t) = xt.e® *,
t.(s <g> t) = s <g> tt.qjaii/t) при deg s = /u,
еДж,* ® t) = (fa + «<ДЛ,1<)(* ® *),
где s e S, t еТ и последнее равенство рассматривается как индуктивное
(по degs) определение оператора ej с начальным условием et(l <8> 1) = 0.
Легко проверяется, что эти операторы определяют действие алгебры U в
пространстве W. В частности,
W = ХН(\ ® 1) = U(\ ® 1) (61.27)
есть циклический 17-модуль, порожденный циклическим вектором 1 <8> 1.
Используя (61.27), находим^что отображение Х®Н->ХН(1®1)
накрывает 5® Г. Ясно также, что X (соответственно, Н) накрывает S
(соответственно, Г). Их свободности S (соответственно, из генетики Т) получаем
X & S (соответственно, Н&Т). Применяя инволюцию жиж' (п. 61.4),
получаем также У»S. Отсюда следует (/3).
61.8. Лемма. Пусть J — идеал алгебры U, порожденный
соотношениями Серра (61.12). Тогда имеем:
J = J_HY + XHJ+, (61.28)
§61. АЛГЕБРА Uq(Q) 419
где J. (соответственно, J+) —идеал алгебры X (соответственно, Y),
порожденный элементами (61.5) при x = f (соответственно, х — е).
Доказательство. Легко проверить (по аналогии с (61.2)), что
h,^(/)] = 0 (61.29)
для всех г, д к (j фк). Используя (61.21), (61.29) и инволюцию Шевалле
(п. 61.4), находим
UJCJ_HY, J+UcXHJ+. (61.30)
Заметим, что полученные соотношения равносильны следующим:
UJ_CJ_U, J+UCUJ+. (61.31)
Ясно также, что эти соотношения сохраняются при замене их левых частей
(соответственно) на UJ±U. Отсюда получаем, что J (т. е. сумма
слагаемых UJ±U) имеет вид (61.28).
61.9. Теорема. Пусть H,X,Y — подалгебры с единицей в Uq(g),
порожденные (соответственно) элементами t*1,/*, е.. Тогда имеем:
(а) Подалгебра Н есть коммутативная алгебра над полем F =C(g)
с генетикой (61.9).
(/?) Отображение ж,- н*/, (соответственно, х{*->е{) определяет
изоморфизм алгебры X (соответственно, Y) с алгеброй Серра Sq(g).
(7) Разложение (61.26) свободно.
Доказательство. Положим N = JJW « J. ® Г (в обозначениях
п^ 61.7). Согласно (61.31), N есть подмодуль 17-модуля W. Более того,
UW CN. Согласно (61.31), имеем также
J+W = J+U(l <8> 1) С UJ+(l в 1) = 0.
Отсюда заключаем, что JW с N, так что алгебра U = U/J действует в
факторпространстве V' = W/N. В этом случае аналог (61.27) есть
V = ХН(1 <8> 1)=Щ1 ® 1). (61.32)
Отсюда (по аналогии с п. 61.7) получаем (а), (/?), т. е.
Н « % X » Y « S/J_ « S,(g).
Для^проверки (7) фиксируем дополнительные подпространства Х{сХ,
YYcY к соответствующим идеалам J±. Используя (61.31) и свободность
разложения U = XHY, получаем
U = XxHYx®Jy
отсюда следует (7) с компонентами X «Х{, У«У[.
61.10. Определение. Свободное разложение (61.26) называется
треугольным разложением алгебры U= Uq (g). Подалгебра Н с генетикой (61.6)
28*
420 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
называется картановской подалгеброй алгебры U. Подалгебры
B± = HN± = N±H, (61.33)
где N_ = X, JV+ = У, называются борелевскими подалгебрами
алгебры U. Здесь имеется в виду, что подалгебра Я нормализует JV± (что ясно
из (61.11)).
Утверждение (7) теоремы 61.9 можно рассматривать как некоторый
аналог теоремы ПБВ в алгебре U. Применяя инволюцию Шевалле (п. 61.4),
получаем также свободное разложение
U = YHX. (61.34)
61.11. Определение. Пусть е — линейная оболочка образующих е. (г е
е I) алгебры U = Uq(g). Фактормодуль
M=U/Ue (61.35)
называется универсальным модулем Верма над алгеброй Uq(g).
Очевидно, М есть циклический U-модуль, порожденный «старшим
вектором» 1+ = 1 + Ue (так что el+ = 0). Применяя теорему 61.9 (7), получаем
изоморфизм векторных пространств
М = ХЯ1+«Х®Я, (61.36)
откуда ясно, что М « V (в обозначениях (61.32)). Используя градуирован-
ность идеала Ue, находим, что М наследует Q-градуировку алгебры 17, т. е.
М = ®М^ (61.37)
где /х = -i/ (и е Q+). Ясно, что Я нормализует Uet поэтому М обладает
структурой Е/хЯ-бимодуля. В частности, градуировка (61.35) определяется
весовыми соотношениями (61.22).
61.12. Алгебра UR(g). Пусть Ur(q) — аналог Uq(s) над кольцом R =
= Z[g, g"1], т. е. алгебра над R с генетикой (61.9)—(61.12). Заметим, что
это определение корректно, поскольку все коэффициенты этой генетики
содержатся в R.
Отсюда следует также, что треугольное разложение (61.26) в алгебре
U = Uq(s) индуцирует аналогичное разложение алгебры UR = UR(a)t т. е.
UR=XRHRYR, (61.38)
где Хю Ял, YR (соответственно) суть аналоги X, Я, Y в алгебре UR.
Легко проверить (используя генетику Х} Я, У), что каждая из
компонент (61.38) есть свободный R -модуль. Соответственно, это верно и для
алгебры UR. Отсюда заключаем, что отображение Uq(f})*-> Ur(q) сводится к
сужению поля коэффициентов (в каждом базисе пространства Uq($)).
Обратно,
Ц(8) = С(9)®дС/л(д). (61.39)
§ 62. КАТЕГОРИЯ 0{
421
Существенно, что алгебра UR(g) допускает подстановку q = 1
(специализация независимого переменного д = 1), что сводится к факторизации UR(g)
по идеалу (q — 1)Ur(q). Легко проверяется, что структурные
соотношения (61.9)—(61.12) переходят при q = 1 в структурные соотношения алгебры
U(q), т. е.
U(s)*UR(a)/(q- 1)17л(о). (61.40)
Здесь имеется в виду, что подстановка q »-> 1 сопровождается
подстановкой qh н+ 1 для всех h £ П0 (в частности, ^ »-> 1 для всех i GI).
Соответственно, можно придать строгий смысл рассуждениям о
деформациях в п. 61.3. А именно, равенство (61.40) означает, что UR(g) есть
деформация алгебры {7(g) (над кольцом R).
Заметим также, что соотношение (61.39) согласовано с
факторизацией (61.35), т. е.
М = С(д)®лМд,
где Мд —аналог М для UR(g).
§ 62. Категория Оы
62.1. Определение. Пусть Р — весовая решетка в пространстве \f
(п. 41.1). Модуль V над картановской подалгеброй Н (п. 61.10)
называется Р-диагональным, если он градуирован весовыми подпространствами
V^^ixeV: qhx^q^^x для всех h G П0}, (62.1)
где lie Р. Заметим, что эта градуировка согласована с Q -градуировкой
алгебры U (п. 61.5), т. е.
¥,С^ (62.2)
для всех Л е Q, \i € Р.
Модуль V над алгеброй U называется модулем категории О, если
он Р-диагоналей как Я-модуль и локально нильпотентен как ЛГ-модуль,
где N = N+ (в обозначениях п. 61.10). Иначе говоря, епж = 0 при п ^ щ(х)
для всех хе V, где еп — ассоциативная степень линейной оболочки е
образующих е{ (г € /).
Модуль V над алгеброй U называется модулем категории OinV если он
Р-диагонален и все операторы а= е,., f. (г е I) действуют в нем локально
нильпотентно, т. е. апх = 0 при п ^ щ{х) для всех х е V.
Очевидно, <9int есть подкатегория категории (9. Каждая из категорий
О} Oint замкнута относительно операций перехода к подмодулю и фактор-
модулю. Если V ф 0 есть модуль категории (9, то Vе ф 0, где Vе = ker e —
экстремальное подпространство модуля V.
Здесь индекс int определяется словом «integrable» [Кац].
Примеры. 1. Универсальный модуль М (п. 61.11) локально
нильпотентен по отношению к N+.
2. Для каждого А £ ^* модуль
М(А) = М/Я(А),
(62.3)
422 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
где R(X)— подмодуль, порожденный элементами qh-q^x\ есть модуль
категории О. В частности,
М(А)=1ПА«С///А, (62.4)
где 1Л = 1+ + R(А) (= 1 + 1А), /А —левый идеал, порожденный элементами
е, qh — д<*»Л>).
Соответственно, модуль М(Х) называется модулем Берма над алгеброй
U = Uq(g) со старшим весом А.
62.2. Модуль V(\). Повторяя рассуждения п. 40.5, находим, что
категория О содержит единственный, с точностью до изоморфизма, простой
[/-модуль V(A) со старшим весом А. А именно,
V(X) = M(X)/N(X), (62.5)
по аналогии с (40.12), где N(X)— наибольший подмодуль в М(А), не
содержащий 1А. Соответственно, N(A)nM(A)A =0, т. е. V^A) порождается
старшим вектором е(А) = 1А + N(X).
Повторяя рассуждения п. 40.10, находим, что модуль V(X) обладает
весовой градуировкой V(A)M, для которой
dlmV(\)^p(\-ii)9 (62.6)
где р — функция Костанта в fy*.
Если А е P+f то модуль V(X) конечномерен. Действительно, в этом
случае е(А) аннулируется (по аналогии с п. 41.5) элементами
Л(А) = ДА' + 1, (62.7)
где А. = (/it., А) для всех % е I. Отсюда (с использованием леммы 41.3)
получаем dim V(A) < оо. Обратно, если это условие выполняется, то А € Р+
(п. 41.5). Соответственно, в этом (и только в этом) случае V(A) есть
простой объект категории Оы.
Наконец, по аналогии с теоремой (41.6), находим, что аннулятор
вектора е(А) в N порождается (как левый JV-модуль) элементами (62.7).
Пример. Положим g = sl(2). Для каждого А е Z+ категория Оы
содержит простой конечномерный [/-модуль V(A), натянутый на базис
vk =/(А:)е(А), где 0< к ^ А, с операциями
fvk = [к + l]vk + u evk = [А - к + \]vk_{,
tvk=qx~2kvk,
где v_! =0. Мы уже отмечали (п. 61.3), что модули Vn = V(n) исчерпывают
все простые объекты категории Оы.
Упражнения. 1. Докажите, что семейство модулей V(A), где А €
еР+, разделяет точки алгебры U' = Uq(g). [Указание: рассмотрите элементы
ueUR(g).]
2. Докажите, что М (универсальный модуль Верма) есть точный
[/-модуль.
§ 62. КАТЕГОРИЯ Оы 423
3. Докажите, что каждый простой конечномерный 17-модуль V
получается «подкручиванием» из некоторого модуля VQ = V(X) категории Оы по
правилу
где С — одномерный U-модуль, определяемый характером u)(ti) = u)i^±\
(г € 1) картановской подалгебры Й. [Указание: частный случай при g =
= *Г(2,С) отмечен в (61.16).]
Таким образом, категория Т всех конечномерных U-модулей есть 2п-крат-
ное накрытие категории Оы, где n = card /.
Соотношения (61.8), (61.9) означают, что V(A) можно рассматривать
как деформацию одноименного g-модуля V(A). Покажем, что эта ситуация
имеет место для каждой простой конечномерной алгебры Ли g = g(a).
62.3. Определение. Пусть VR(X) — аналог V(A) над алгеброй UR(g)
(п. 61.12). Положим J = (g- l)R и условимся рассматривать C = R/J как
тривиальный R -модуль (qx = х для всех х € С). Положим при А е Р+
Ц(\) = С®М\), (62.8)
так что Vj(A) есть векторное пространство над полем С (операция
сужения поля коэффициентов). Пространство VJ(A) называется специализацией
модуля V(X) в точке q = 1.
Используя треугольное разложение (61.38) в алгебре UR(g), находим
VR(\) = R-e(\)QfVR(\), (62.9)
где / —линейная оболочка элементов f{ (г el). Отсюда также
VJ(A) = C.e(A)0/V;(A), (62.10)
где е(А) € Vj(A) отождествляется со своим прообразом в пространст-
ве VR(\).
Покажем, что векторное пространство (62.8) естественно наделяется
структурой g-модуля (Г7(д)-модуля) со старшим весом А. Покажем также,
что V(A) восстанавливается по VJ(A) по правилу
V(X) = C(q)®V{(X). (62.11)
Полученный результат будет означать, что V(X) есть «квантовая
деформация» классического g-модуля Vj(A).
62.4. Теорема (Люстиг). Пусть VJ(A) — специализация
U-модуля V(X) в точке q = 1 (определенная в (62.8)). Тогда для каждого X е Р+
имеем:
(а) Операторы е0 f{ (г € J) индуцируют в Vj(A) структуру g-модуля
со старшим весом X.
(/?) Пространство V(X) как Н-модуль однозначно
восстанавливается по весовой структуре g-модуля Vj(A). А именно,
V(X)ft=C(q)®Vl(X)ft (62.12)
424 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
для всех р еР (где X — весовая компонента веса fi каждого из модулей
X = V(X)JVl(\)).
Доказательство. Заметим, что Р-градуировка модуля У (А)
определяется весовыми условиями (62.1), где qh €HR (в обозначениях (61.38)),
и потому наследуется (п. 61.12) Яд-подмодулем VR(X) = UR(o)e(\),
т. е. VR(X) градуируется подпространствами
УЛ(\),шУя(\)ПУ(\),. (62.13)
Согласно (62.1), действие оператора [Л] в пространстве (62.12) сводится
к умножению на [п]. Отсюда, полагая q = 1 (т. е. переходя к
специализации (62.10)), получаем
hx = nx при хеУ{(\)^ (62.14)
где п = (Л, /х). Применяя весовое правило [/i]a = a[h + е]к элементам а =
= е{ (соответственно, а = /,.), где е = ei = (Л, а{) (соответственно, е = —е,),
получаем
[Л,е,] = е,е,., [Л, /,] = -*/, (62.15)
в пространстве V^(AV,, т. е. операторы Л, е{ удовлетворяют (61.11) во всем
пространстве VJ(A). Ясно также, что квантовые условия Серра (61.12)
превращаются в классические условия Серра в пространстве VJ(A). Отсюда
следует (а).
Покажем теперь, что V(X) получается из V^(A) операцией расширения
поля коэффициентов, т. е.
V(\) = C(q)®RVR(\). (62.16)
Действительно, из (61.39) следует, что отображение /®ih/ib (62.16)
накрывает V^(A). Остается проверить инъективность этого отображения.
Допустим, что
го го
E/i®a^0, ЕЛ*<=0, (62.17)
i -1 i - 1
где /. €C(g), xf G V)j(A) и mGN минимально в соотношениях (62.16).
Пусть р — оператор проектирования в (62.9) на R • е(А). Поскольку хх ^0,
существует одночлен е от операторов е{ (г е J), для которого рех{ =^0.
Полагая рех{ = #е(А), где & е Д, и используя (62.17), получаем
л*о, E/tft=o,
откуда следует, что /, есть линейная комбинация (над C(q))
элементов ji {%ф\). Но ъчо прочтаоречт отцедшекшо т. Ъ реаулътате иолу-
чаем (62.16).
Применяя аналогичное рассуждение к паре V^(A), VJ(A), получаем
VR(\) = R®V{(\). (62.18)
§ 62. КАТЕГОРИЯ Оы 425
Комбинируя (62.16), (62.18), получаем (62.11). Помимо этого,
отображения (62.16), (62.18) сохраняют Р-градуировку. В результате получаем (/3).
62.6. Следствие. Характер ия(д)-модуля V(A), где А еР+1
определяется классической формулой Вейля (41.9).
Таким образом, каждый классический модуль V(\), где Л еР+1 обладает
«квантовой деформацией» V(A) над алгеброй Uq(g). Более того, это
соответствие определяет биекцию категории простых конечномерных д-модулей
с категорией Оы над Uq(s).
62.6. Теорема. Категория Оы полупроста, с простыми объекта-
ми У (А), где X еР+.
Доказательство. Согласно общей схеме п. 20.2, достаточно
проверить, что каждый модуль V с подмодулем V(A) и фактормодулем V(/i)
полупрост при A, \i е Р+ хотя бы в случае А =^0, /х =0. Переходя к
сопряженному модулю V*, можно заменить эти условия дуальными условиями
А=0, /х^О.
Итак, пусть V содержит подмодуль V(0) = C(g) с фактормодулем V(jjl)
при fi Ф 0. Соответственно, V содержит вектор а%, удовлетворяющий
условиям
Xq $. V(Q), е,.а^ е "^(0) для всех % е /,
так что Xq + V(0) есть старший вектор в V(fi).
Разлагая V на корневые подпространства относительно Я, можем
считать, не ограничивая общности, что Xq е V^ (корневое подпространство
веса /х, определяемое по аналогии с (62.1)). Из квантовых условий (62.10)
следует, что вектор е^ содержится в весовом подпространстве У^+а (для
всех г el). Однако, из структуры модуля V следует 1^+а =0, так что
е.д^ = 0 для всех % el. Согласно лемме 41.3, подмодуль W = Uq(o)xQ не
пересекается с V(0). В результате
V = W 0 V(0).
Замечания. 1. Приведенное рассуждение пригодно также при /х = 0.
2. Попутно мы получили еще одно доказательство теоремы Г. Вейля
(п. 20.2), без использования элементов Казимира.
Упражнение. Докажите, что категория Т всех
конечномерных СЛ (д)-модулей полупроста. [Указание: воспользуйтесь упражнением 2
п. 62.2.]
В заключение рассмотрим более детально действие алгебры U = U.(g) в
универсальном модуле Верма М (п. 61.11). Напомним (п. 62.2), что М есть
точный 17-модуль.
Согласно (61.36), имеем М&Х ® Я «В, где В = ХН = НХ — боре-
левская подалгебра алгебры U. Поэтому можно рассматривать действие
алгебры U непосредственно в пространстве В « X ® Я.
62.7. Лемма. Оператор (ad е.)х = [е., х] действует в алгебре X = JV.
по правилу _
ad * = вгЧ*,в<-!<«,). (62.19)
27 Зак. 184
426
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
где операторы 0од{ (i el) определяются рекуррентными
соотношениями __
«,/, = ««,/,«« + **, д^=Ц^ + 8ф (62.20)
с коэффициентами giy = 6:(at., ау) (л. 61.2) и с начальным условием 5*(1) =
= д{(1) = 0. Здесь /у рассматривается как оператор левого умножения
в алгебре X.
Доказательство. Применяя (62.20) к элементу 1, получаем 0t (/,) =
= #»(/,) = 1. Соотношение (62.19) в применении к элементу ж = /,. сводится
к (61.10). Далее — несложная индукция по degx (подстановка x^f.x).
62.8. Предложение. Операторы д{, д{ связаны соотношениями
г<Дв) = *«,<*) = 0, 0Д = с^0Д при гфэ. (62.21)
Доказательство. Легко проверить (упражнение), что операторы
%'= Ту№) удовлетворяют соотношениям
с коэффициентами А^ €С(д). Отсюда а<уж = Ажа<у для каждого одночлена х
от образующих алгебры х (где А зависит от ж, г, /). В результате
т. е. а<у.= 0 во всем пространстве X. Аналогично рассматриваются
операторы Ъц = т<,(5), ^ = 0,0,. - д<,«Д.
Замечание. Операторы д{ (соответственно, #<) суть е-дифференци-
рования (соответственно, ^-дифференцирования) относительно оихаракте-
ра (61.7).
62.9. Теорема. Алгебра U = Uq(g) обладает точным
представлением в пространстве М = В1+ « 2?, где В = ХН = ЯХ — борелевская
подалгебра алгебры U. А именно, это действие определяется следующим
образом:
(а) Элементы feB действуют левыми умножениями в алгебре В (в
модуле М).
(/?) Элементы е{ (i e I) действуют по правилу
e.(au) = ((ade<)x)/i, где хеХ, heH. (62.22)
(7) Операторы ad е. (»еI) действуют в алгебре X по правилу (62.19).
Доказательство вытекает непосредственно из (61.36) и леммы 62.7.
Заметим в заключение, что результаты (и методы) этого параграфа
переносятся без существенных изменений на симметризуемые алгебры Каца —
Муди. Основное отличие состоит лишь в том, что простые модули
категории Оы в общем случае не обязательно конечномерны. См., например, [ЖЗ;
Кац].
§ 63. АЛГЕБРА Aq(Q) 427
§ 63. Алгебра Aq(g)
63.1. Обозначения. Пусть g — полупростая комплексная алгебра
Ли, G — связная группа Ли с алгеброй Ли g, A(G) — структурная
алгебра группы G (п. 45.10). Согласно общей схеме (п. 33.8) (см.
также п. 48.3), A(G) и 17(g) суть двойственные алгебры Хопфа (относительно
канонической билинейной формы, определенной в п. 33.8).
Исходя из этой схемы, можно определить «квантование» алгебры A(G)
как алгебру Хопфа, двойственную к алгебре Хопфа Uq(q) (§ 61).
Слегка упрощая задачу, будем считать, что группа G односвязна. В этом
случае алгебра A(G) обозначается А(д) (ввиду эквивалентности категорий
конечномерных модулей). Соответствующая «квантованная» алгебра
(двойственная к Uq(g)) будет обозначаться Aq(g).
Мы изложим общую схему этой конструкции с иллюстрацией на примере
классических алгебр Ли gt(n), sl(n) (первая из них рассматривается как
центральное расширение алгебры sl(n)).
Положим U = Uq(o) и будем рассматривать сопряженное пространство
U* = Uq(gY как U-бимодуль с операциями
(uf)(x) = f(xu), (fu)(x) = f(ux), (63.1)
где u,xeU. Заметим, что использование инволюции в алгебре U (п. 61.4)
позволяет также интерпретировать U* как левый U х 1Г-модуль.
63.2. Определение. Функционал f eU* называется интегрируемым
(или функционалом типа <9int), если выполняется хотя бы одно из
следующих эквивалентных условий:
(а) Подпространство Uf (составленное из элементов uf, где и е U)
есть U-модуль категории <9int.
(/?) Подпространство fU (составленное из элементов fu, где и е U)
есть {/-модуль категории Оы.
(т) Функционал / есть линейная комбинация матричных элементов
простых (конечномерных) модулей категории C?int.
Эквивалентность условий (а), (/3), (7) проверяется по аналогии с п. 45.6
(с использованием теоремы 62.6). Заменяя в (а), (/3), (7) категорию Оы
категорией Т всех конечномерных iJ-модулей, получаем также более широкое
определение д-финитных функционалов f eU* (функционалов типа Т).
Пусть Aq(g) — подпространство в U*, составленное из интегрируемых
функционалов /е U*. Заметим, что Aq(g) С U0 (в обозначениях п. 59.1),
откуда ясно, что Aq(g) есть алгебра Хопфа, дуальная к алгебре U = Uq(g).
А именно, умножение (соответственно, коумножение) в алгебре U
определяет сопряженное коумножение (соответственно, умножение) в Aq(g).
Единица (коединица) алгебры U определяет коединицу (единицу)
алгебры Aq(g). Антипод алгебры U определяет сопряженный антипод
алгебры Aq(g). Существенно, что функционалы / е Aq(g) разделяют точки
алгебры U (п. 62.2), откуда следует, что каноническая билинейная форма в
27*
428 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
U* х U невырождена при сужении на Aq($) x Uq(g), т. е. ДДд), Uq($) есть
дуальная пара алгебр Хопфа.
Упражнение. Операция коумножения в алгебре Aq(g) определяется
на матричных элементах по правилу
А^ = Е^®^. (63.2)
к
(что соответствует подстановке х н-> ху в матричный элемент т^).
63.3. Теорема. Пусть Aq(g) —линейная оболочка матричных
элементов U-модуля V(X) при фиксированном А еР+. Тогда
(а) Алгебра Aq(g) есть прямая сумма простых U-бимодулей Aq(g):
Л(я) = ?л$<в). (63-3)
где Aq(s)« Vх <8> Vx (относительно отображения f ®ту н->тД,
определенного в п. 9.11).
(/3) Разложение (63.2) есть Р+-градуировка алгебры Aq(g). Более
того,
ЛА(0К(в) = ^+/4(б) (63.4)
для всех \, р,еР+.
Доказательство — по аналогии с классическим случаем A(q) = A(G)
(п. 48.3). При доказательстве (/?) можно воспользоваться правилом
квантования модулей V(\) (т. е. теоремой Люстига).
Заметим, что данная теорема может рассматриваться как алгебраический
аналог теоремы Петера — Вейля для алгебры Aq(g).
63.4. Алгебра Aq(G). Пусть G — связная полупростая комплексная
группа Ли. Положим в этом случае
A(G>= © Л(в). <63-5>
* \€P+(G)
где P+(G) с Р+ —множество старших весов простых голоморфных G-mo-
дулей.
Заметим, что P+(G) есть полугруппа (относительно сложения весов в
Р+). Согласно (63.3), отсюда следует, что Aq(G) есть подалгебра в Aq(s).
Согласно (63.2), Aq(G) есть также подалгебра Хопфа в Aq(o). Помимо
этого, P+(G) всюду плотно в ()* в топологии Зарисского. Отсюда следует
(см. замечание в п. 41.11), что форма (•, •) невырождена в Aq(G) x Uq(n).
Следовательно, Aq(G), Uq(g) есть дуальная пара алгебр Хопфа.
Алгебра Aq(G) называется квантовой деформацией функциональной
алгебры A(G).
Напомним, что A(G) есть структурная алгебра алгебраической группы G.
В этом смысле иногда используется формальное обозначение
Aq(G) = A(Gq), (63.6)
где Gq — некоторый алгебраический объект, называемый квантовой
группой, ассоциированной с группой G (Gq называется также квантовой
деформацией группы G).
§ 63. АЛГЕБРА Aq(Q) 429
Более строгое определение можно получить, если определить категорию
квантовых групп как категорию, дуальную к категории алгебр Хопфа. В этом
смысле Gq отождествляется с Aq(G) (однако надо помнить об инверсии
стрелок при описании морфизмов в категории квантовых групп).
Определение алгебр *4g(g), Aq(G) естественно переносится также на ре-
дуктивные алгебры Ли над полем С. Можно также рассматривать и
линейные редуктивные (симметричные) группы над полем R.
Конкретное описание алгебр Aq(G) непосредственно в терминах
группы G известно для всех классических редуктивных групп над полем С. Мы
ограничимся краткой схемой этого описания для групп GL(n), SL(n).
63.5. Символика RTT. Пусть T = (£fi)— система независимых
переменных, где г, j = 1,..., п. Матрицу Т можно интерпретировать как
оператор (левого) умножения в пространстве
У(Т) = У®(Г),
где V = Fn (F — поле), (Г) — свободная алгебра с образующими t{j (г, j =
= 1,...,*).
Для каждого семейства V^V (г = 1,..., га) пусть 2J — реализация
оператора Г в г'-й компоненте тензорного произведения
Ут(Т) = ЩТ)9...ЪУм(Т),
(с тождественным действием в компонентах У3(Т) при г Ф j). Например,
при га = 2 матрицы Гп Т2 определяются по правилу 7] = Г ® 1, 2^=1<8>Г.
Фиксируем матрицу R e End(VJ ® V2), и пусть A(R) — ассоциативная
алгебра с единицей над полем С, порожденная системой Г и
фундаментальными соотношениями
RTXT2 = T2TXR, (63.7)
где (63.7) понимается как система соотношений между образующими t(j
алгебры А(Т). Например, при R = 1 система (63.7) сводится к условию
коммутативности t^tM = £ы£<- для всех г, j\ fc, I, т. е. алгебра А(1) совпадает
с F[T].
Положим R+ = PRP, где Р(х ® у) = у ® х — оператор транспозиции в
Vx ® V2. Заметим, что Р2 = 1, и также РТХР = Г2, РТ2Р = Г,. Поэтому
соотношения (63.7) могут быть переписаны в виде
ST2TX = TXT2S, (63.8)
где S = Д+. Если матрица R обратима, то (63.8) выполняется также при
S = R~, где R~ = Д"1. Легко проверяется, что A(R) есть коалгебра с
операциями
Д^=£**®**л Ф*)=Ч-> (63.9)
lb
что записывается коротко в виде
ДТ = Г®7; е(Г) = 1.
(63.10)
430 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
А именно, из (63.7) следует, что
(R ®R)AT{AT2 = AT2AT{(R ® Д),
и это означает, что операция Д согласована с фундаментальными
соотношениями (63.7). Соответственно, Д продолжается до гомоморфизма A(R) —>
—> A(R)®A(R). Аналогично, е продолжается до гомоморфизма A(R)-*C
Матрица R называется матрицей Янга — Бакстера (или R-матрицей),
если она удовлетворяет уравнению Янга — Бакстера
Rl2Rl3R23 = ^23^13^12» (63. П)
где Rtj — реализация матрицы R в компоненте V{ <g> Vj тензорного куба
Vj <g> v2® V3 (при г Фз). Соответственно, обе компоненты (63.11)
обозначаются Д123. Легко проверяется, что
RmTxT2Tz = TzT2TxRm. (63.12)
Аналогично (исходя из (63.11)) определяются композиции матриц Rijt
переводящие Г,... Т в Тр...Т{ (для всех р ^ 2).
Используя (63.12), легко проверить, что операция Д в алгебре A(R) ко-
ассоциативна, т. е. A(R) есть биалгебра с операциями (63.9).
Пример. Оператор Р есть R-матрица в пространстве V <8> V.
В дальнейшем полагаем F = С(д). Мы будем рассматривать
специальные R -матрицы над полем F.
63.6. Алгебра Aq(GL(n)). Пусть q — независимая переменная, Л =
= д—дг1. Непосредственно проверяется (см., например, [ЧП]), что матрица
R = t Ле« ® е„) + АЕе,®еу (63.13)
t, J = 1 t < j
есть Д-матрица (порядка 2п) над полем С(д). Например, при п = 2
матрица Д принимает вид
/д 0 0 0\
0 10 0
О А 1 О
\0 0 0 q/
В общем случае Д есть нижняя треугольная матрица (при естественном
упорядочении индексов матрицы R).
Например, при п = 2 фундаментальные соотношения (63.11) принимают
следующий вид:
*11*12 = 9*12*11» ^12^22 == 9*22*11» 1*12* *2lJ:=0»
*11*21 = 9*21*11» *21*22 = 9*22*21» 1*11» *22J =: ^ *12*21 •
В общем случае определим «квантовый детерминант» 6 = det9 T
матрицы Г по правилу
*=E(-9)I(')*hd---W).
Я =
(63.14)
§ 63. АЛГЕБРА Aq(Q) 431
где а пробегает симметрическую группу 5n, 1(a) — функция четности в 5П.
Пусть Г — соответствующая матрица «квантовых миноров»,
ассоциированная с Т, т. е. 7ц = (— 1У~3т#, где m{j — квантовый минор матрицы Т,
получаемый вычеркиванием г-и строки и j-ro столбца из матрицы Т.
Непосредственно проверяется, что
ТТ =ГТ = & (63.15)
Легко проверяется (упражнение), что элемент 8 централен, т. е. [5, fcJ=0
для всех г, у. Элемент £ называется квантовым детерминантом в Д(Д).
Итак, пусть R определяется равенством (63.13) и пусть Aq(GL(n)) —
расширение алгебры A(R) с помощью элемента S"1. Тогда Aq(GL(n)) есть
алгебра Хопфа с операциями (63.9) и с антиподом
7(Г)=Г-1, 7(«) = *-', (63.16)
где Г"1 = 6~1Т = Т 6~1 (в обозначениях (63.15)).
Заметим, что специальный выбор матрицы R может быть оправдан
некоторыми общими соображениями (регулярные правила редукции в тензорной
категории над A(R)). См. по этому поводу [Де; М2].
Алгебра A(R) в данном случае иногда обозначается символом Matg(n, С)
(квантовый аналог матричной алгебры Mat(n, С)). Соответственно,
вместо Aq(GL(n)) используется квантовый символ GLq(n).
Специализация 5 = 1 (т. е. факторизация по идеалу, порожденному
элементом 5-1) превращает Aq(GL(n)) в алгебру Aq(SL(n)), т. е. в квантовую
группу SLg(n).
Ниже будет показано, что обозначения Aq(GL(n)), Aq(SL(n))
согласованы с определением 63.2.
Упражнение. Определим Aq(Cn) как алгебру с единицей над
полем С(д), порожденную элементами х{ (i = 1,..., п) и соотношениями
x.Xj = qXjX- при 1 ^ г < j < п.
Проверьте, что естественное действие матрицы Т в Aq(Cn)
превращает Aq(Cn) в левый Л-модуль, где A = Matg(n, С).
63.7. Теорема. Пусть R -—матрица Янга—Бакстера, и пусть S = R±
в обозначениях п. 63.5. Тогда имеем:
(а) Существуют операторы xiV y{j eEnd A(R), где г, j = 1,..., п,
удовлетворяющие соотношениям коммутации
XXT2 = ST2XU YXT2=T2SYX, (63.17)
где Х=(а^.), У=(уу). Более того, каждая из матриц X, Y
однозначно определяется своим ^начальным значением* X(l)} Y(l) в точке
leA(R).
432
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
(/3) Операторные матрицы X, Y удовлетворяют следующим
^тождествам Лейбница*:
X(fg) = A(f)X(g), Y(fg) = B(f)Y(g), (63.18)
для всех /, g е A(R), где А (соответственно, В) — частный случай X
(соответственно, Y) при условии А(1) = В(1) = 1. В частности,
A(fg) = A(f)A(g), B(fg) = B(f)B(g). (63.19)
(7) Матрицы А, В однозначно определяются условиями (63.19) и
своими значениями на образующих алгебры A(R), а именно
AX(T2) = ST» BX(T2) = T2S. (63.20)
Доказательство. Применяя (63.17) индуктивно к одночленам от
системы Г, находим, что операторы X, Y однозначно определены в
свободной алгебре (Т) по своим начальным значениям Х(1), У(1). Полагая
Q. — STT- - TTS--
%з у з % * з %з
и используя соотношения (63.11) для матрицы S (вместо R), получаем
после несложных вычислений
Полученное равенство означает, что операторы X = (xi;j) сохраняют идеал
алгебры (Г), порожденный соотношениями (63.7). Следовательно, можно
рассматривать X как систему операторов в A(R). Отсюда получаем (а).
Заметим, что первое тождество (63.17) может быть записано в виде
^(ад=ады (63-2i)
для всех д€ А(Т). Ясно также, что (63.20) вытекает из (63.17) при X = А,
Y — В (применение к элементу 1 е A(R)). Поэтому (63.21) есть частный
случай (63.18) при / = tijt Применяя (63.21) индуктивно (по длине
одночленов в A(R)), получаем первую (аналогично, вторую) часть (63.18). Отсюда
следует (/3).
Остается заметить, что последнее рассуждение можно обратить (т. е.
вывести (63.17) из (63.18), (63.20)). Отсюда следует (7).
63.8. Следствие. Пусть Ае,Ве — решение системы (63.17) при S = Re
(где е = ±), с нормировкой A'(l) = f?e(l) = 1. Тогда имеем: |
1
ReA82A\ = A\A*Re, ReB{eB26 = B2S BxeRe (63.22)
для всех е, 6. Помимо этого, операторы Ае,В6 взаимно
перестановочны, т. е.
А\В* = В*А\. (63.23)
I
§ 63. АЛГЕБРА Aq($) 433
Докажем, например, (63.23). Пусть в^ — разность между левой и правой
частью в (63.23). Легко проверяется, что
"l2 -*3 == -*ЧЗ ^3-^23"l2*
Применяя это правило индуктивно, получаем в12/=/'в12 для всех / е A(R)
(где /' зависит от /). Отсюда
в12(/) = /'в12(1) = 0
для всех f € A(R), т. е. 012 = О. Соотношения (63.22) проверяются
аналогично.
63.9. Лемма. Операторные матрицы A, J3, X, Y, определенные (по
теореме 63.7) в алгебре Aq(GL(n)), удовлетворяют следующим условиям:
(а) Системы (63.17) эквивалентны между собой относительно
подстановки X = TY (так что Y — Т~1Х).
(/?) Матрицы А+, В+ (соответственно, А~, В~) имеют верхнюю
(соответственно, нижнюю) треугольную форму при соответствующей
реализации R±.
(7) Диагональные элементы aii} bu связаны с операторами t^
соотношениями
М* = *</**««. butfi = \atfibUi (63.24)
где \i:i = Siii;j — диагональные элементы треугольной матрицы S =
= (5ijiw)-
Доказательство. Утверждение (а) проверяется непосредственно.
Для проверки (/3) допустим, что матрица R имеет нижнюю треугольную
форму (п. 63.6), так что матрица 5 = Д+ (соответственно, R-) имеет
верхнюю (соответственно, нижнюю) треугольную форму. Применяя (63.20),
получаем
Я
откуда следует, что матрица aik(f), где / = tfl, имеет верхнюю
(соответственно, нижнюю) треугольную форму при S = R+ (соответственно, S = й~).
Применяя тождество Лейбница (63.19), т. е.
индуктивно (по длине одночленов /, д), находим, что матрица a{j(f)
имеет соответствующую треугольную форму для всех /е A(R). Аналогично
рассматривается матрица bijt Отсюда следует (/?).
Доказательство (7) основано на определении (63.17) с использованием
следующего специального свойства матрицы 5:
где 8^ — символ Кронекера.
434 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
63.10. Следствие. Операторы а%, b?{ (диагональные элементы
матриц А£,Ве) связаны соотношениями
4^ = № = 1. (63.25)
Действительно, матрицы Д* связаны соотношениями AiA« = 1.
Согласно (63.24), отсюда следует, что каждый из операторов (63.25)
перестановочен с операторами tfi. Остается заметить, что каждый из этих
операторов принимает единичное значение на элементе 1 € A(R). Отсюда
получаем (63.25) во всей алгебре A(R).
63.11. Следствие. Существует операторная матрица D = (di3) в
алгебре Aq(GL(n)), связанная с операторами А, В соотношениями
А = ТЦ В = Г° Д (63.26)
где r° = (£iy) интерпретируется как матрица операторов правого
умножения в алгебре Aq(GL(n)).
Действительно, пусть D — решение первого уравнения (63.17) с
начальным условием £)(1) = Г"1. Тогда TD есть решение этого уравнения с
начальным условием TD(1)= 1, откуда А = TD (согласно теореме 63.7 (а)).
Второе равенство (63.26) доказывается аналогично, с использованием
тождества
Bx(fT2) = Bx(f)T2S. (63.27)
63.12. Теорема. Пусть UA (соответственно, UB) —
подалгебра с единицей в End A (GL(n)), порожденная операторами а\3-
(соответственно, Ь-3). Тогда имеем:
(а) Каждая из алгебр UA, UB изоморфна алгебре Uq(gl(n)).
(f5) Алгебры Хопфа Aq(GL(n)), Uq(gl(n)) двойственны друг другу
относительно билинейной формы (•,•), определяемой на образующих по
правилу
(AUT2) = R°, <A',*) = g'. (63.28)
Мы отметим лишь набросок доказательства, основанного на
соотношениях коммутации (63.22) в алгебрах UA,UB.
А именно, правило t{ = at (соответственно, t{ = b£) определяет картанов-
ские элементы в алгебре UA (соответственно, UB). Элементы
5=Ч«+п Л = «г+М (63-29>
коллинеарны образующим Шевалле алгебры Uq($), где g = gt(n).
Соответственно, соотношения (63.24) определяют весовую градуировку в алгебрах
UA,UB. Отсюда выводится (а), причем соотношения (63.22) содержат
информацию относительно «корневых векторов» afjt Ь$ (соответственно, в
алгебрах UA,UB) при гф].
Операция коумножения в алгебрах UA, UB определяется, в соответствии
с (63.19), по правилу
АА=А®А, АВ = В®В. (63.30)
§ 64. ГАУССОВЫ АЛГЕБРЫ 435
Заметим, что (63.30) содержит правила коумножения для корневых
векторов а%, Ъ±(%ф]).
Билинейная форма (63.28) распространяется теперь (по правилу
дуальности) на декартово произведение Aq(g)<8> U, где U = UA)UB.
Невырожденность этой формы проверяется посредством специализации q —► 1.
Соотношения (63.21), (63.27) (при X = А) позволяют теперь
интерпретировать UA (соответственно, UB) как образ алгебры Uq(g) относительно
правого (соответственно, левого) действия алгебры Uq(g) в Aq(GL(n)).
Отсюда следует (/?).
Разумеется, все эти конструкции требуют более детального изложения.
Тем не менее, алгебра Aq(GL(n)), определенная в п. 63.6, имеет
самостоятельный интерес и может рассматриваться как квантовый аналог
алгебры A(GL(n)).
Упражнение. Пусть De = D (п. 63.11) для матрицы S = R£. Полагая
А = \~{(А+ - А-), D = \-l(D+ - D-), (63.31)
получаем для этих матриц аналог (63.26), т. е.
А = TD. (63.32)
Проверьте, что специализация в точке q = 1 переводит (63.32) в (37.2).
В этом смысле матрица D = (##) в (63.31) может рассматриваться как
матрица частных производных алгебры Aq(GL(n)).
§ 64. Гауссовы алгебры
64.1. Гауссовы структуры. Для того, чтобы систематизировать
разрозненный материал, рассмотренный ранее в §§ 14, 40, 43, 60, 61, 62, введем
следующее определение.
Пусть А —ассоциативная алгебра с единицей над полем F. Будем
говорить, что А обладает гауссовой структурой (JV_, Я, N+), если А содержит
три подалгебры N_, Я, N+, содержащие единицу алгебры А и
удовлетворяющие следующим условиям:
(а) Подалгебра Я нормализует N±, т. е. HN± — N±H.
(/3) Алгебра А обладает свободным разложением
A=N_HN+ (64.1)
(треугольное разложение алгебры А).
(7) Алгебра А обладает Z-градуировкой Ап (п е Z), относительно
которой подалгебры ЛГ_,Я, N+ порождаются (соответственно) однородными
элементами х при deg x < 0, deg x = 0, deg x > 0.
Согласно (а), каждое из подмножеств B± = HN± есть подалгебра с
единицей алгебры А. Согласно (/3), В+ (соответственно, В_) есть свободный
436
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
левый (соответственно, правый) Я-модуль с базисом из элементов N+
(соответственно, N_). Ясно также, что
А=Я_Я+, В_Г)В+ = Н. (64.2)
Согласно (7), N± порождается системой однородных образующих е± с
ненулевыми степенями, так что (N±)0 = F • 1. Полагая
М = А/Ае+, (64.3)
получаем циклический А-модуль, порожденный вектором 1+ = 1+Ае+
(универсальный модуль Верма над алгеброй А). Заметим, что это
определение не зависит от выбора системы е+. А именно, из (64.1) следует, что
А = Д_ ф Ае+. Поэтому отображение ан-» а1+ определяет изоморфизм
векторных пространств
М = А1+«Д_1+«В_ (64.4)
(так что алгебра В_ действует свободно в модуле М). Соотношение (64.4)
определяет Z-градуировку модуля М:
Мп = Ап1+*{В_)п, (64.5)
откуда ясно, что Мп ф 0 может быть только при п £ Z_ (= -Z+).
Алгебра А называется алгеброй конечного типа, если она обладает
конечными системами образующих е± (соответственно) в N±.
Примеры. 1. Алгебра Вейля W = Wn (§ 14). В этом случае
универсальный модуль М совпадает сУ = Уп.
2. Алгебра Вейля Vap(A, B)f ассоциированна с дуальной парой биалгебр
А, В (§ 60). В этом случае М«А.
3. Алгебра 17(g) (§ 40) и алгебра Uq(g) (§ 61), где g — полупростая
комплексная алгебра Ли. В этом случае модуль М уже определялся ранее
(пп. 40.2, 61.11).
4. Пусть g — алгебра Ли над полем F, наделенная Z-градуировкой gn
(п 6 Z) и треугольным разложением g = п_ ф fy ф п+, где I) = д0, п+
(соответственно, п_) — линейная оболочка компонент дп при п > 0
(соответственно, п< 0). Заметим, что [I), gnJ С дп для всех п е Z, откуда ясно, что
алгебра А = 17(g) обладает гауссовой структурой с компонентами Я = 17(f)),
N± = U(n±).
В частности, последний пример охватывает алгебры J7(g), где g = g(a) —
алгебра Каца — Муди (п. 22.11) и их квантовые аналоги Uq(s) (где g — сим-
метризуемая алгебра Каца — Муди). Ниже мы увидим, что к этому списку
добавляются также алгебры «подкрученных дифференцирований» алгебры
Серра X = Sq(a).
Заметим, что определение гауссовых структур допускает рассмотрение
тривиальных Z-градуировок. Например, для каждой унитальной алгебры А
можно положить Я = Af N± = F • 1. Ниже будут наложены другие
ограничения на природу алгебры А.
§ 64. ГАУССОВЫ АЛГЕБРЫ 437
Упражнения. 1. Проверьте (используя (64.1)), что
А = #0(е_А+Ае+). (64.6)
2. Проверьте, что М наследует структуру правого Я-модуля 2?_ = N_H.
Соответственно, М есть G х Я-бимодуль. Более того, М есть свободный
(правый) Я-модуль с базисом из элементов подпространства N_.
64.2. Контрагредиентность. Сохраним обозначения п. 64.1. Алгебра А
называется контрагредиентной, если в ней определена инволюция (инво-
лютивный антиавтоморфизм) х н-> ж', относительно которого h' = h для всех
heH, (АпУ = А_п для всех п е Z. В этом случае в алгебре А определена
билинейная (Я-значная) форма
<р(ж, у) = (х'у)0 (64.7)
(форма Шаповалова алгебры А), где х\-+ Хц — проекция х е А на
подалгебру Я в разложении (64.6). Заметим, что (ж')0 = Xq для всех хеА. Поэтому
форма (64.7) симметрична, т. е. <р(ж, у) = <р(у, х) для всех ж, у€ А. Заметим,
что А'пАт С Ат_п. Отсюда
Ап±Ат при пфт, (64.8)
т. е. разложение А = ®Ап ортогонально относительно формы (64.7). Ясно
п
также, что Ае+скег (р. Поэтому форма <р есть функция классов в (64.3).
Соответственно, ф можно рассматривать как билинейную форму в
пространстве М. Согласно (64.5), (64.8), имеем также
Мп J_ Mm при пфт. (64.9)
Заметим, что (р обладает следующим свойством билинейности
(относительно правого действия алгебры Я):
(p(xh, у) = h(p(x, у), <р(ж, yh) = <р(ж, y)h (64.10)
для всех he H, ж, у 6 А. Непосредственно из определения (64.7) следует,
что форма (р обладает следующим свойством контравариантности:
<р(ах, у) = <р(ж, а!у) (64.11)
для всех а, ж, у е А.
Согласно (64.8) (соответственно, (64.9)), форма у> однозначно
определяется своими сужениями <рп (п е Z) на подпространство Ап
(соответственно, Мп).
В частности, у?0(ж, у) = жу для элементов ж, у 6 Я. Симметричность формы
<р0 в данном случае означает, что ху = ух для всех ж, у € Я, т. е. алгебра Я
коммутативна. Например, элементы (64.10) совпадают (в алгебре Я).
Таким образом, если алгебра А контрагредиентна, то ее картановская
подалгебра Я коммутативна. Подалгебра Я в этом случае называется кар-
тановской подалгеброй алгебры А. Подалгебры B± = HN± называются бо-
релевскими подалгебрами алгебры А.
438 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Алгебра А называется невырожденной, если ее форма <р невырождена
в пространстве М (т. е. формы (рп невырождены в В_ для всех п е %_).
Заметим, что разложение (64.6) ортогонально относительно формы у?.
Действительно, это следует из (64.10) при я = 1, yee_Al)Ae+.
Следовательно, форма (р (= <р0) невырождена при сужении на подалгебру Я.
Поскольку <р0(ху) = ху при ж, у 6 Я, невырожденность этой формы означает,
что алгебра Я не имеет делителей нуля.
Упражнение. Форма <р есть единственная (Я-значная) билинейная
форма в алгебре А, удовлетворяющая условию контравариантности (64.11)
и условию нормировки <р(1,1) = 1.
64.3. Определение. Алгебра А называется гауссовой алгеброй,
если она контрагредиентна и невырождена. Соответственно, в этом случае
подалгебра Я коммутативна и не имеет делителей нуля.
Напомним (п. 64.1), что М есть свободный (правый) Я-модуль с
базисом из элементов подалгебры JV_. Если А есть алгебра конечного типа, то
отсюда следует, что форма <р определяется (в силу (64.10)) своими
конечномерными сужениями <рп на подалгебру N.. Соответственно,
невырожденность алгебры А равносильна det <рп фО (для всех п е Z_) при сужении на
подалгебру JV_. Здесь det y?n —дискриминант формы <рп.
Ниже будут выделены два подкласса гауссовых алгебр: алгебры
вейлевского типа (п. 64.5) и картановского типа (п. 64.7).
64.4. Предложение. Пусть А — контрагредиентная алгебра над по-
лем F, и пусть Ме = кег е, где е = е+. Тогда имеем:
(i) Если алгебра А невырождена, то Ме = М0.
(ii) Если М есть простой А х Н-бимодуль, то алгебра А невырождена
(т. е. А есть гауссова алгебра над полем F).
(Ш) Если Я есть поле (расширение поля F), то условие Ме=М0
равносильно простоте А х Н-модуля М и невырожденности алгебры А.
Доказательство, (i)Ясно, что М0сМе. Обратно, из условия
контравариантности (64.11) следует Ме J_e'M, т. е. Ме ортогонально Мп при
пфО. Если алгебра А невырождена, то отсюда следует Ме с М0. В
результате Ме = -Ц,.
(ii) Согласно (64.11), кег <р есть подмодуль А х Я-бимодуля М. Ясно
также, что ker tp Ф М (поскольку ip( 1,1) = 1). Отсюда кег (р=0, т. е. алгебра А
невырождена.
(Ш) Заметим, что модуль М локально нильпотентен относительно
семейства е. Поэтому для каждого подмодуля ЛГ^О имеем Ne фО. Если Ме = М0,
то отсюда следует, что Ne содержит элемент h • 1+, где Оф h e Я. Если Я
есть поле, NH с N, то отсюда получаем 1+ е N, т. е. N = M.
Соответственно, М есть простой А х Я-бимодуль. Применяя (ii), находим, что алгебра А
невырождена. Согласно (i), отсюда также следует Ме = М^.
64.5. Определение. Гауссова алгебра А называется совершенной (или
алгеброй вейлевского типа), если Я есть поле (расширение поля F).
§ 64. ГАУССОВЫ АЛГЕБРЫ 439
Согласно предложению 64.4, если А есть гауссова алгебра, то Ме = М0
и М есть простой А х Я-бимодуль. В частности, при H = F M есть простой
А-модуль.
Пример. Алгебра Вейля W (п. 14.1) совершенна. В этом случае Н = F,
М= V (в обозначениях п. 14.1).
Еще один пример совершенной алгебры связан с действием (62.19) в
алгебре Uq(s).
64.6. Алгебра Df(g). Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли,
и пусть Dq(g) — ассоциативная алгебра над полем С(д), порожденная
элементами а-, /< (г е /) и соотношениями
aJj^q^f^ + S^ r^(o) = rv(/) = 0 при гфз (64.12)
(по аналогии с (62.20), (62.21)). Согласно теореме 62.9, отображение а{ *-*
■"-*0<t /»*-*/* (* € J) определяет действие алгебры ДДд) в пространстве
* = 5,<д).
Заметим, что алгебра Dq(g) обладает инволюцией ж к» ж', определяемой по
правилу а£ = /{, // = af (% е I), и Z-градуировкой, определяемой по правилу
dega. = -deg/t. = l (64.13)
(для всех г е I). Применяя первую часть соотношений (64.12), получаем
Dq(g) = N_N+) (64.14)
где JV+ (соответственно, N_) — подалгебра с единицей, порожденная
элементами а{ (соответственно, /.). Более того, первая часть
соотношений (64.12) записывается в виде
к!/>]« = *</
(в обозначениях п. 61.2). Повторяя аргументы п. 60.8 (см. замечание в
конце п. 60.8), находим, что элементы х е Dq(s) однозначно приводятся к
виду (64.14), т. е. это разложение свободно.
Отсюда заключаем, что Dq($) обладает гауссовой структурой (64.14)
(с подалгеброй Н = C(q)).
Заметим, что действие N_ —► X, /»-*/• 1 накрывает X = S (д).
Поскольку X порождается условиями Серра, это возможно только при ЛГ_«Х.
Применяя инволюцию жнх', получаем JV+wX. Согласно общей схеме
(п. 64.1), имеем также А/«ЛГ_ «X.
Покажем, что экстремальное пространство Ха = ker a совпадает с Х0.
Положим 25п = ХаПХ_п и покажем (индукцией по п), что Еп=0 при пфО.
Для начала индукции заметим, что Х_х натянуто на элементы ft (i e I).
Согласно (64.12), имеем ai(fA = 6~, откуда ясно, что Ех =0.
Пусть уже доказано, что JS^ =р при данном п. Согласно (62.21),
имеем д<ХасХа. Ясно также, что д{Еп+1 с #п =0. Согласно (62.19), имеем
(ade.)#n+1=0, откуда
е{Еп+11+ = 0 в пространстве Sq(g),
что возможно только при Еп+1 =0.
440 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
В результате Ха = Х0. Согласно предложению 64.4 (Ш), отсюда
заключаем, что X есть простой ДДд)-модуль и алгебра Dq(g) невырождена.
Таким образом, алгебра D' (д) совершенна, с картановской подалгеброй
Н = С(д).
Упражнение. Докажите, что алгебра Серра X = Sq(g) есть
невырожденная алгебра типа (Г, т) относительно бихарактера т = e±l (п. 61.2).
Замечание. Согласно теореме 62.9, структура алгебры Uq(g)
определяется двумя совершенными алгебрами ДДд), Dq($), где Dq($)tt Dq(g)
относительно подстановки q н-* ~q (= g""1).
Из формулы (62.19) ясно, что алгебры Dq($), Dq(g) определяют
асимптотику алгебры Uq(g) (соответственно) в особых точках q = 0, оо (т. е.
в полюсах сферы Римана, при специализации параметра q в комплексной
плоскости С).
Последнее наблюдение положено в основу теории кристаллизации
М. Кашивары [Каш 2], где параметр q интерпретируется как температура и
переход q —> 0 означает стремление к абсолютному нулю.
В дальнейшем мы увидим (п. 64.8), что совершенные алгебры возникают
как расширения гауссовых алгебр более общего типа.
64.7. Алгебры картановского типа. Пусть А есть гауссова алгебра с
картановской подалгеброй Я. Фиксируем автоморфизм ht-bh^ алгебры Я
и будем говорить, что Ьф ае А есть весовой вектор веса /х, если
ha—ahp для всех h E Я. (64.15)
Пусть Ар — подпространство элементов аеА, удовлетворяющих (64.15).
Легко проверяется, что AxA/McAXfi1 относительно композиции ЛА/Х = (/1А)М.
Полученное правило принимает более привычную форму, если
ограничиться элементами А, р е Q, где Q — абелева подгруппа в Aut Я. Условимся в
этом случае использовать аддитивную запись умножения в группе Q. Тогда
имеем
^■A-^/i С Ax + fl
для всех А, /х е Q. Соответственно, будем говорить, что алгебра А обладает
Q-градуировкой, если
А = 0 Ах. (64.16)
Мы будем рассматривать случай, когда весовая градуировка (64.16)
тоньше исходной Z-градуировки алгебры А, т. е. А^сАп при п = п(р), где
/zi-»n(//) — аддитивная (Z-значная) функция в группе Q, п(0) = 0.
Условимся в этом случае говорить, что А обладает тонкой Q-градуировкой.
Условимся говорить, что А есть алгебра картановского типа, если А
обладает тонкой Q -градуировкой, где Q —упорядоченная абелева
подгруппа в Aut Я, и подалгебра N+ (соответственно, N_) порождается
Q-однородными элементами положительной (соответственно, отрицательной) степени
относительно Q.
Таким образом, в данном случае исходное определение гауссовой
структуры (п. 64.1) модифицируется в терминах тонкой Q -градуировки. В
частности, алгебры E7"(g), Uq(o)f где g — полупростая комплексная алгебра Ли,
§ 64. ГАУССОВЫ АЛГЕБРЫ 441
суть алгебры картановского типа. Более того, к этому классу относятся и
алгебры U(q), Uq(g), где g — симметризуемая алгебра Каца — Муди.
Заметим, что каждая алгебра вейлевского типа есть также алгебра
картановского типа. Здесь имеется в виду, что в качестве Q выбирается
тривиальная (единичная) подгруппа в Aut Я. Можно также рассматривать и
другие автоморфизмы поля Я.
Упражнение. Пусть алгебра А обладает Q-градуировкой (64.16).
Докажите, что А есть свободный левый (правый) Я-модуль с базисом из
элементов N_N+. [Указание: В± есть свободный левый (правый) Я-модуль
с базисом из элементов N±.]
64.8. Модули Верма. Пусть вначале А — произвольная гауссова
алгебра с картановской подалгеброй Я. Для каждого левого А-модуля V и
каждого левого Я-модуля Е определен индуцированный А -модуль
VE = V®HE (64.17)
(п. 15.11). Если Е есть Я-бимодуль, то пространство Vе наделяется также
структурой А х Я-бимодуля. Нас будут интересовать два частных случая
этого определения.
(1) Пусть Х(Н) — множество характеров алгебры Я. Для каждого Л е
Е Х(Н) пусть Fx = (F, А) — одномерный Я-модуль, определяемый
характером А. Применяя (64.17) к универсальному модулю Верма над алгеброй А,
получаем семейство А-модулей
M(A) = M®„FA, где ХеХ(Н). (64.18)
Модуль М(А) называется специализацией модуля М в точке А (или
модулем Верма со старшим весом А).
Легко проверить, что М(Х) есть циклический А-модуль, порожденный
вектором 1А = 1 <8> 1 в (64.18). Ясно также, что
elA=0, h\x=X(h)lx для всех /i G Я,
где е = е+ — система однородных образующих в N+.
В частности, для алгебр А = U(g), Uq(g) определение (64.18) равносильно
прежнему определению модулей Верма (пп. 40.2, 62.1).
(2) Пусть А есть алгебра картановского типа, К — коммутативное
расширение алгебры Я (можно также рассматривать случай, когда К —
кольцо). Расширение К назовем допустимым, если все автоморфизмы \i E Q
однозначно поднимаются до автоморфизмов /х е Aut К (так что группа Q
вкладывается в Aut К). Положим в этом случае
АК = А®НК, МК = М®НК (64.19)
Напомним (п. 64.7), что А есть свободный левый (правый) Я-модуль.
Продолжая весовые соотношения (64.15) на элементы h e К, мы
наделяем каждое из пространств (64.19) структурой свободного левого (правого)
442
Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
К -модуля. Более того, операция (64.15) превращает Ак в гауссову алгебру
(расширение алгебры А) с треугольным разложением
AK = N_KN+. (64.20)
Пример. Пусть Яс = Fract Я — поле частных картановской
подалгебры Я. Очевидно, расширение Я i-+ Я6 допустимо. Условимся в этом случае
использовать обозначения Ае, Ме (соответственно) вместо Ак, Мк.
Алгебра
Ae = N_H£N+ (64.21)
есть гауссова алгебра вейлевского типа (т. е. алгебра Ае совершенна).
Алгебра Ае называется локализацией (или рациональной оболочкой)
алгебры А над полем Яе = Fract Я.
Применяя предложение 64.4 (Ш), находим, что Ме есть простой Ае х
х Яв-бимодуль.
§ 65. Проективные пределы
66.1. Определение. Пусть Ех С Е2 С... — неубывающая
последовательность векторных пространств, снабженных отображениями 7гп: Еп+1 —> Еп
(п € N). Полагая тгпт = 7гп ... 7гт-1 при п^т, получаем проекции 7гпт:
Ет -» Еп (7гпп = 1). Последовательность хп е Еп называется согласованной,
если хп = пптхт при п ^ т.
Множество всех согласованных последовательностей ж = (xn)t
снабженное естественными (покомпонентными) векторными операциями,
обозначается
E = \imEn (65.1)
п
и называется проективным пределом семейства Еп (п е N). Элементы х е
е Е можно записывать также в виде формальных рядов
x=ESxn, (65.2)
n=l
где бхп = хп — хптт1 (а\, = 0), с частичными суммами 7гп(ж) = жп. Пространство
Еп отождествляется с подпространством в Е, состоящим из конечных рядов
X = X .
Пример. Алгебра F[[x]] есть проективный предел возрастающего
семейства подпространств
F[[x]]n= @Fk[x],
где Fk[x] — однородная компонента степени к в F[x].
65.2. Алгебра Аы. Пусть А — гауссова алгебра над полем F с
треугольным разложением (64.1). Заметим, что
А = е Я_е", (65.3)
п = 0
§ 65. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 443
где е —линейная оболочка системы однородных образующих е+ (п. 64.1).
Полагая оо
А^=ПВ_е", (65.4)
п=*0
получаем пополнение векторного пространства А (в топологии формальных
рядов пространства А^).
Повторяя (почти дословно) доказательство теоремы 14.7, находим,
что Aext есть алгебра над полем F (расширение алгебры А). Заметим, что
А^ есть проективный предел последовательности векторных пространств
ПП(А)= ф В_еп&А/Аеп+1. (65.5)
Фиксируем базис fy (j € J) векторного пространства JV+.
Используя (64.1), находим, что каждый элемент / е Aext записывается в виде
формального ряда
/=EW, (65.6)
hi
с коэффициентами f{j е Я, где £ »-* £' — инволюция в алгебре А и
коэффициенты f{j удовлетворяют условию финитности (Ф) (п. 14.6).
Впрочем, в (65.6) можно также считать, что £t' (г el) — произвольный
(независимый от £.) базис в пространстве N_.
Условимся считать, что элементы £,. однородны, так что пу = deg £y G
€ N. Формальный ряд (65.6) называется однородным, степени п е Z, если
он содержит лишь компоненты степени однородности п (т. е. п = пу — п.
в (65.6)). Полагая ж
Аы = 0A)f (65.7)
где А(п) — подпространство однородных рядов (65.6) степени п, получаем
подалгебру в AexV градуированную разложением (65.7). Если А есть алгебра
картановского типа, то можем также положить
Afin= eAw (65.8)
где A(Mv —подпространство Q -однородных рядов (65.6) степени
однородности /х. В этом случае мы считаем, что элементы fy Q-однородны, со
степенями /ху =deg^ e Q+ \ {0}. Таким образом, мы имеем цепочку вложенных
подалгебр
А С Aiin С Аы С Aext
(по аналогии с (43.6)).
65.3. Категория С(е). Пусть С(е) — категория всех А-модулей X,
локально нильпотентных по отношению к е (п. 65.2), т. е. еп+1ж = 0 при
п ^ По(ж), для всех х е X. Повторяя рассуждения п. 14.6, находим, что
каждый модуль X категории С(е) можно рассматривать как Аех1-модуль по
правилу
fx = fnx при п ^ гго(х), (65.9)
где / G Aext, /n = 7гп(/) — частичная сумма ряда / (п. 65.1).
444 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
В частности, М (универсальный модуль Верма над алгеброй А) есть
модуль категории С(е). Соответственно, мы будем рассматривать М как
Д^-модуль.
Напомним, что М есть А х Я-бимодуль, и пусть E(M) = EndHM —
алгебра всех эндоморфизмов ае End M, перестановочных с правым действием
алгебры Я. Оператор аеЕ(М) называется Ъ-однородным, степени meZ,
если аМп сМп+т для всех n, m e Z. Полагая
ЕЫ(М)=ФЕП(М), (65.10)
п = 0
где Еп(М) — подпространство всех однородных операторов степени п
в Е(М), получаем подалгебру в Е(М), градуированную
разложением (64.10). Если А есть алгебра картановского типа, то аналогично
определяется подалгебра
£JM)= e я(М), (65.il)
где Е^(М) — подпространство всех однородных операторов степени р,
в Е(М). В результате получаем цепочку вложенных подалгебр
еПп(М)сеы(М)сЕ(М).
В дальнейшем мы считаем, что А есть алгебра конечного типа (п. 64.1),
т. е. card e± < оо.
65.4. Теорема. Если алгебра А совершенна, то действие алгебры А
в пространстве М определяет изоморфизм унитальных алгебр Aext«
&Е(М) и изоморфизмы градуированных алгебр
АГю*ЕПп(М), Aini*Eint(M).
Доказательство. Фиксируем аеЕ(М) и покажем, что существует
формальный ряд / е Aext, для которого а=/ в модуле М, т. е. (а-/)М = 0.
Для этого рассмотрим в пространстве М возрастающую фильтрацию
М(п) = М0®...@М_п,
где п е Z+. Искомый ряд / € Aext определяется по правилу (а-/п)М(п) = 0,
где /п = 7гп(/) — частичная сумма ряда /. В частности, /0 е П0(А)
однозначно определяется по правилу
/01+ = а1+, /0еЯ.=П0(А)
(напомним, что М = Д_ • 1+).
Допустим, что частичная сумма /п_, уже построена, так что (а —
—fn_l)M(n —1)=0. Заметим, что SfnM(n —1)=0 (поскольку епМ(п — 1) =
= 0). Поэтому искомое равенство (а-/п)М(п) = 0 сводится к соотношению
*Л = а-/п-1 на М_п. (65.12)
§ 65. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 445
Фиксируем однородный базис £v (и €N) в пространстве JV_, и пусть ^
(г = 1,..., dn) — часть этого базиса в (iV_)_n, Тогда оператор аеЕ(М)
действует в М_п по правилу
«*, = ЕС,«*. (65.13)
и
с коэффициентами а^ е Я (где £ € JVL отождествляется с вектором £ =
= £•16 М). Аналогично, искомый элемент 6fn записывается в виде суммы
элементов £„/*& (/* € Я) и действует в М.п по правилу
«tf,-E *■/>«, (65.14)
где и)ц = ¥>п(£<, £j) (в обозначениях п. 64.2). Сопоставляя (65.13), (65.14),
находим, что равенство a=Sfn в М_п определяется системой уравнений
«* = Е/>*. (65.15)
однозначно разрешимых в поле Я (поскольку det <рп ф 0). Заменяя в этом
рассуждении а на а-/п, находим, что система (65.12) однозначно
разрешима (для всех п € Z+).
Таким образом, искомый ряд / € Atxi не только существует, но
определяется единственным образом по оператору аеЕ(М). В результате Аы « J5(M)
(изоморфизм унитальных алгебр).
Остается заметить, что включение а е ЕМ(М) (соответственно, а е
€ Elin(M)) влечет / € AInt (соответственно, / € Айп). Отсюда получаем
изоморфизмы градуированных алгебр, указанных в формулировке теоремы.
65.5. Следствие, (i) M есть точный АехХ-модуль (в частности,
А-модуль).
(И) Если Я = F, то М есть точный простой А-модуль.
Действительно, (i) есть часть теоремы 65.4 (инъективность действия А
в М). А именно, (i) вытекает из однозначности решений (65.15) в
компонентах М_п. Соответственно, (И) вытекает из (i) и общих свойств совершенных
алгебр (п. 64.5).
65.6. Следствие. Существует единственный элемент р е AexV
удовлетворяющий уравнениям
е+р = ре_ = 0 (65.16)
и условию нормировки р^ = п0(р) = 1. Более того, имеем
Р2 = Р = р\ реА{0)} (65.17)
относительно каждой из градуировок (65.7), (65.8).
Действительно, соответствующий оператор реЕ(М) однозначно
определяется как оператор проектирования в М на М0 параллельно е_М (т. е.
сумме подпространств М_п при пфО). Отсюда также р2 = р, р е А{0у
Остается заметить, что в (65.16) можно положить е_=(е+)'. Отсюда ясно,
что сопряженный элемент р1 удовлетворяет (65.16). Ясно также, что (р')0 =
= д> = 1. В результате р1 = р.
446 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Элемент р € Aext, определяемый системой (65.16) и условием д>= 1,
называется (по аналогии с п. 43.7) экстремальным проектором алгебры А.
6Б.7. Предложение. Оператор р проектирует каждый А -модуль X
на его экстремальное подпространство Xе (е = е+) параллельно
подпространству fX (/ = е_). В частности,
X = Xe®fX. (65.18)
Доказательство. Согласно (65.16), имеем kevpcXe, fXс imp. С
другой стороны, имеем р — 1 е (Aext)e, откуда (р — 1)Хе = 0, т. е. Xе с imp.
Аналогично, р — 1 € /(Д^), откуда imp = ker(p - 1) с fX. В результате
Xе = imp, fX =kerp, откуда также следует (65.18).
65.8. Предложение. Если алгебра А совершенна, то категория С(е)
полупроста. Если также H = F, то категория С(е) мономиальна, с
единственным простым объектом М.
Доказательство. Пусть X — объект категории С(е). Полагая Y =
= АХе, легко проверить (упражнение), что подмодуль Y полупрост. Если
Y Ф X, то существует х е X, удовлетворяющий условиям
х $ Yy axeY для всех а € е (65.19)
(так что x + Y содержится в (X/Y)e). Применяя к вектору х оператор р,
получаем экстремальный вектор Xq = рх € Xеt причем из включения р -1 е
е (Aext)e (п. 65.7) следует
аь - х е (Аы)еХ С Y,
т. е. а^ = ж(тос1 У). Согласно (65.19), отсюда следует Xq^Y. Полученное
противоречие означает, что X = F, т. е. модуль X полупрост.
Если Н = F, то легко проверяется (по аналогии с п. 14.9), что М
есть единственный, с точностью до изоморфизма, простой объект
категории С(е). Соответственно, категория £(е) мономиальна (с простым
объектом М).
Пример. Пусть А = Dq(g) (п. 64.6). В этом случае категория С(е)
мономиальна, с единственным простым объектом М = Sq(g).
65.9. Категория 0(e). Пусть А есть алгебра картановского типа,
снабженная тонкой градуировкой Ах (А £ Q), где Q —упорядоченная абелева
подгруппа в Autff. Заметим, что группа Autff действует в Х(Н)
посредством стандартного правила
(Ам)(Л) = м(Лд), (65.20)
где А € Q, /х € Х(Н). Для каждого А-модуля У отсюда следует стандартное
правило
A^cV^, (65.21)
где Vp — весовое подпространство веса /х в пространстве V (состоящее
из векторов х € V, удовлетворяющих соотношениям hx = p,(h)x для всех
ЛеЯ).
§ 65. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 447
Фиксируем подмножество Р С Х(Н), инвариантное относительно
группы Q (т. е. QP сР). А-модуль V называется Р-диагональным, если
F= e К. (65.22)
Пусть 0(e)— подкатегория в £(е), состоящая из Р-диагональных А-мо-
дулей (при фиксированном Р с Х(Н)).
Упражнения. 1. Для каждого А-модуля V категории О(е) его
экстремальное подпространство Vе наследует градуировку (65.22), т. е.
Vе = ® V;, (65.23)
гдеКв = УеПУм.
2. Каждый модуль Верма (64.18) есть модуль категории (9(e) с весами
вида аА, где а € Q_.
65.10. Регулярные алгебры. Сопоставим каждому элементу heH
числовую функцию Л(А) = \(h), где А е Х(Н). В этом случае h(X) называется
значением (специализацией) элемента heH в точке А. Алгебра Я
называется регулярной, если она разделяется точками А е Х(Н), т. е. равенство
Л(А) = 0 для всех А еА(Н) возможно только при h = 0. Соответственно,
heH можно отождествить с функцией A i-+ /i(A).
Пусть А есть алгебра картановского типа с картановской подалгеброй Я.
Используя весовое правило (64.15), перепишем (65.6) в виде
/= ё «ел, (65.24)
с коэффициентами f{j e Я. Положим в этом случае
/(/*)= Е W<,(A0, (65.25)
где /х е Х(Н). Формальный ряд (65.25) называется значением
(специализацией) ряда (65.24) в точке /х е Х(Н).
Согласно этому определению, формальный ряд (65.25) можно
интерпретировать как сужение оператора / на весовую компоненту V^ (для каждого
модуля V категории С(е)).
Условимся говорить, что алгебра А регулярна, если ее картановская
подалгебра Я регулярна. В этом случае каждый ряд (65.24) однозначно
определяется семейством рядов (65.25), где р е Х(Н). Можно также
заменить Х(Н) на подмножество Р с Х(Н), разделяющее точки алгебры Я.
Упражнение. Если алгебра А регулярна, то семейство модулей
Верма М(А), где А е Х(Н) (либо А е Р), полно. Иначе говоря, если аМ(Х) = 0
для всех А е Х(Н) (либо А е Р), где ае А, то а = 0.
65.11. Алгебра А^. Пусть А есть алгебра картановского типа, Ае — ее
локализация (п. 64.8) над полем Н£ = Fract Я. Заметим, что локализация
А \->А* перестановочна с расширением А н+ Aext. Соответственно, положим
^ext — (^ext) — № )(
(65.26)
448 Глава 9. КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ
Элементы / Е Aeext также можно записывать в виде (65.24) с
коэффициентами f(j eFract Я. Соответственно, можно определить специализацию (65.25)
с рациональными функциями f(j e Fract Я.
Точка А € Х(Н) называется регулярной относительно / € Aeext, если
существует запись (65.25), в которой все значения f{j определены в точке А.
В противном случае точка А называется особой (сингулярной) точкой
элемента /. Множество особых точек элемента / обозначается <т(/).
Напомним (п. 64.8), что алгебра Ае совершенна. В частности, в Aeext
определен экстремальный проектор р. Если А е Х(Н) есть регулярная точка
элемента р, то оператор р определен в компоненте VxcV (для каждого
А-модуля категории С(е)). Ясно, что в этом случае
ерУА=0, т.е. pVxcV\ (65.27)
65.12. Категория О^. Пусть V — модуль категории (9(e). Вектор х€ V^
называется примитивным, если существует подмодуль L с V, для которого
х £ L, ех С L (т. е. х + L содержится в (V/L)e). Соответствующий вес р,
называется примитивным весом модуля V.
Модуль V называется регулярным, если все его примитивные веса
регулярны относительно элемента р € Aeext (т. е. ряд р(р) определен для каждого
примитивного веса р модуля V). Пусть Oreg — подкатегория в 0(e),
состоящая из регулярных А-модулей.
Легко проверить (по аналогии с п. 14.9), что категория Oreg полупроста,
с простыми объектами М(А), где А $ а(р). См. также [Ж6].
Примеры. 1. Если алгебра А совершенна, то Ong = 0(e), так что в
этом случае категория (9(e) полупроста.
2. Если А = U(q), Uq(g) (g — полупростая комплексная алгебра Ли), то
категория Оы содержится в Oreg (п. 43.12). Соответственно, в этих случаях
категория Оы полупроста. В частности, мы получаем (по аналогии с п. 14.9)
новое доказательство теоремы 62.6.
Замечание. Алгебры Вейля Vaj5 = Val3(A,J5), ассоциированные с
дуальной парой А, В (п. 60.1), не обладают инволюцией и потому не
относятся к классу гауссовых алгебр (хотя в этом случае H = F). Однако можно
показать, по аналогии с W, что каждая из алгебр A =Val3 обладает
естественной мономиальной категорией «допустимых* Л-модулей (с простым
объектом М = В). См. по этому поводу [Ж7].
Комментарии к главе 9
Алгебры Хопфа введены в работах Хопфа по алгебраической топологии
(см., например, [Бах]). Значение алгебр Хопфа в теории алгебр Ли
определяется структурой алгебры Хопфа в U(q) (п. 59.4) и дуальной структурой пары
U(q)*, U(q) (п. 23.8). В этом случае U(q)* выступает как обобщенная
(топологическая) алгебра Хопфа. Дуальность между U(q)\ U(q) превращается
в стандартную дуальность алгебр Хопфа при сужении на пару A(G)y 17(g)
(п. 48.3).
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 9 449
Особый интерес к алгебрам Хопфа проявился после работ
ленинградской школы Л. Д. Фадеева по R -матрицам в теории рассеяния. В этих же
работах появились первые примеры алгебр Хопфа Uq(sl(2)) и Aq(G) для
группы G = GL(n). В работах В. Дринфельда и М. Джимбо, относящихся
к 1985 г., введены (независимо) алгебры Uq(g), называемые теперь
алгебрами Дринфельда — Джимбо. Философия квантовых групп, наряду с
содержательными результатами в этой области, развита В. Дринфельдом (см.,
например, [Др]).
Начиная с 1985 г., появляется много работ по теории квантовых групп,
в том числе монографии [Джо; Ка; ЧП]. Мы ограничились в этой главе
результатами общего характера, проясняющими в известной степени
магистральную линию развития теории. В качестве учебника по теории
квантовых групп можно отметить монографию Касселя [Ка]. Значительно более
специальные вопросы рассматриваются в [Джо; ЧП].
Алгебры Вейля 2>а/3, связанные с квантовыми группами, рассматривались
в работах автора (см., например, [Ж7]). Более широкий класс «алгебр Мил-
нора» рассматривался С. П. Новиковым в 1992 г.
Особо следует отметить связь теории квантовых групп с теорией
С*-алгебр. Алгебраическая теория квантовых групп заменяется в этом случае
топологической теорией, в которой С*-алгебры выступают как
некоммутативные аналоги локально компактных пространств. В частности, можно
ввести понятие (локально компактной) квантовой С*-группы. В этом случае
С*-алгебра А снабжается дополнительной системой аксиом, при которой
категория локально компактных групп вкладывается в категорию
квантовых С*-групп. См., например, [ЭШ].
В этом плане представляет особый интерес проблема обобщения теории
двойственности Понтрягина (п. 58.10) на неабелевы группы.
Нетривиальность проблемы очевидна уже на уровне компактных групп. А именно,
если G — компактная группа, то роль «дуальной структуры» G играет
семейство (VA,rA), составленное из простых G-модулей Vх и снабженное
алгебраическими операциями (п. 45.5), заменяющими структуру группы в G,
где G — абелева группа. В этом случае дуальный объект G может быть
интерпретирован в терминах ассоциативных алгебр специального вида
(связанных с соотношениями п. 45.5).
Недавно было доказано, что данная проблема имеет положительное
решение в категории C*QG, составленной из квантовых С*-групп. А
именно, категория C*QG содержит локально компактные группы вместе с их
двойственными объектами, и в этой категории выполняется аналог теоремы
двойственности Понтрягина (общая схема этой теории намечена в [ЭШ]).
Здесь мы вступаем в область специальных исследований, подобно тому,
как в главе 8 коснулись гармонического анализа на локально компактных
группах. Как видим, наступает время анализа и синтеза. Однако, это уже
материал для других монографий.
ЗОЗак. 184
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
В этом добавлении рассматриваются конечные корневые системы (в
конечномерных векторных пространствах). Отмечены также некоторые
обобщения (аффинные корневые системы).
АЛ. Определение. Пусть Е — конечномерное евклидово
пространство над полем R. Конечная система векторов АсЕ называется корневой
системой (или системой корней) в пространстве Е, если выполняются
следующие условия:
(а) 0^ Д, Д порождает Е.
(/?) Система Д замкнута относительно отражений
rj9 = j8-c(a,/5)af (A.1)
где а, /3 е Д и числа с (а, /?) определяются по правилу
°(°>п-Ш- (А2)
(7) Все числа с (а, /3) целые при а, (3 е Д.
Элементы а £ Д называются корнями в пространстве Е. Поясним,
что (АЛ) есть отражение в пространстве Е относительно
гиперплоскости Еа1 ортогональной корню а. Действительно, гаа = —а и
гиперплоскость Еа стационарна относительно (АЛ). Число n = dimJS называется
рангом системы Д.
Непосредственно из этого определения следует, что система Д
симметрична относительно замены а на —а. Ясно также, что вектор ta
(t €R), коллинеарный корню а е Д, может быть корнем лишь в случае
t =±1/2, ±1, ±2. Действительно, можем считать, что |£| < 1. Тогда из (7)
следует 2t eZ, т. е. t =±1/2.
Система Д называется приведенной, если включение ta е Д при а е Д,
t e Ш возможно только при t = ±1.
Заметим, что каждая корневая система Д содержит приведенную
подсистему До, составленную из векторов а € Д, для которых а/2 £ Д.
Пусть W — подгруппа в GL(E), порожденная отражениями га при а е Д.
Поскольку WД с Д и система Д конечна, группа W конечна. Ясно также,
что Wc О(Е), где О(Е) — ортогональная группа в пространстве Е. Группа
W называется группой Вейля корневой системы Д.
Примеры. 1. Существует лишь одна, с точностью до гомотетии,
приведенная корневая система Д ранга 1 (система типа АХ
2. Существуют следующие приведенные системы ранга 2: А2, B2t G2. См.
рис. 1.
Здесь каждая из указанных систем состоит из корнец ±е, где е
порождается корнями а, (3 (рис. 1). А именно, е имеет следующий вид:
(А2): а,(3 а+/3;
(В2): а,(3 а+(3,2а+/3;
(G2): a,(3 а+Д2а+ДЗа+ДЗа+2Д
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 451
Рис. 1
А.2. Предложение. Пусть А —корневая система в пространстве Е.
Тогда
(i) Целые числа с(а, /3) связаны соотношениями
с(а, /3) • с(Д а) = 4 cos2 <p, (А.З)
где <р—угол между корнями а,/3. Соответственно, (А.З) может при-
нимать лишь значения О,1,2,3,4.
(ii) Если <р Ф О, то задание угла у однозначно определяет пару чисел
с(а,/3), с(Д а) а отношение d(a, /3) = ||/3||/||а||. В частности, при ||о:||^
< ||/?|| шие&м с(а,/3) = ±1, откуда (соответственно)
с(а, /3) = ±1, ±2, ±3, d(a, (3) = 1, >/2, л/3. (А.4)
(Ш) £а/ш корни а, /3 неколлинеарны, с (а, /3) > 0, то а - /3 Е Д.
Доказательство. Утверждение (А.З) вытекает
непосредственно из (А.2). Полагая ||а|| ^ ||/3|| и пересматривая все возможности
в (А.З) при <р Ф О,7г/2, получаем (А.4) (что соответствует значениям ip =
= 7г/3,27г/3,7г/4,37г/4,7г/6, 57г/6). Наконец, в условиях (Ш) имеем с(/3, а) =
= 1, откуда (3 — а == т^а Е Д.
Упражнения. 1. Пусть е{ (i = 1,..., п + 1) — стандартный базис в
Rn+1, и пусть £7 —гиперплоскость в Шп + {, выделяемая условием хх + ...
... + яп+1 =0. Проверьте, что векторы
aij = ei-£3 ПРИ {^Э (А-5)
образуют корневую систему Д в пространстве Е.
2. Проверьте, что в этом случае группа Вейля W совпадает с
симметрической группой 5п+1 (естественно действующей в Rn+1).
А.З. Базисы. Пусть Д — корневая система в пространстве Е.
Подсистема S = {(Xi}i€l называется базисом системы Д, если S есть базис
пространства Е и каждый вектор а е Д записывается в виде
а = £ т{а„ (А.6)
30*
ш
452
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
где т{ — целые числа одинакового знака (одновременно mi ^ 0 либо т{ < О
для всех г € I).
Покажем, что базисы всегда существуют. Воспользовавшись конечностью
системы Д, фиксируем вектор teE*, для которого t(a)^0 при а е Д. Тогда
имеем
Д = Д_иД+
(дизъюнктная сумма), где А± = АпЕ±1 Е+ (соответственно, Е_) —
полупространство, выделяемое условием t(x)>0 (соответственно, £(ж)<0). Ясно
также, что Д_ = -Д+.
Корни а Е Д+ (соответственно, а е Д_) называются положительными
(соответственно, отрицательными). Корень а е Д+ называется простым,
если его невозможно представить в виде суммы двух других положительных
корней. Очевидно, каждый корень а € Д+ (соответственно, а е Д_)
записывается в виде (А.6) с целыми коэффициентами т^О (соответственно,
шг < 0), относительно системы S = St всех простых корней системы Д+.
В частности, ДсК5, откуда КД = К5 = Е. Мы покажем, что система
S = St линейно независима, откуда будет следовать, что S есть базис
системы Д.
А.4. Теорема. Для каждой корневой системы Д существует базис 5.
Помимо этого, имеем:
(а) (а, /3)^0 для всех а, /3 е S.
(/3) Каждый базис S системы Д совпадает с одним из базисов St,
определенных в /г. А.З.
Доказательство. Проверим выполнение (а) для системы S = St.
Согласно предложению А.2 (Ш), условие (а, (3) > 0 влечет а - (3 е Д, т. е.
а — (3 = ±7 при некотором 7 € Д+. Однако, это противоречит простоте
корней а, (3. В результате получаем (а).
Проверим, что (а) влечет линейную независимость системы S.
Действительно, каждое линейное соотношение между элементами системы 5 может
быть записано в виде
£V3=£™77, (А.7)
& 7
где п^, ш7 ^ 0 и корни Д j попарно различны. Пусть Л — общее
значение (А.7). Тогда имеем:
(A,A) = X)n/3m7^0,
/3,7
что возможно только при Л =0. Применяя к (А.7) функционал t (для
которого S = St)t получаем п^ = ш7 =0 для всех Д 7, т. е. система St линейно
независима. Напомним (п. А.З), что RS = Е. Таким образом St есть базис
системы Д.
С другой стороны, пусть S — произвольный базис системы Д. Из
линейной независимости системы S следует существование t еЕ*,
удовлетворяющего соотношениям t(а) >0 для всех а е Д+ (здесь Д+ — множество всех
корней (А.6) с коэффициентами га. ^0). Соответственно, 5 с St. Остается
напомнить, что card S = card St = dim E. В результате S = St.
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 453
Замечания. 1. Если S есть базис системы Д, то а -(3 $ Д для всех
а, /3 е S.
2. Корни а,/3 в примере (2) п. АЛ образуют базис соответствующей
системы Д.
А.5. Предложение. Каждый положительный корень /3 е Д+ может
быть представлен в виде
/3 = ^+... + ^, (А.8)
где частичные суммы fik = с^ +... + а{ содержатся в Д+ для всех к
Доказательство. Можно выбрать t e E* таким образом, чтобы
t(a) = 1 для всех а е 5. Если в этом случае t((3) = 1, то /3 € S и
равенство (А.8) выполняется при п = 1. В общем случае — индукция по t ф).
Если t(/3) ^ 2, то существует а € 5, для которого (а, /3) > 0 (в противном
случае система SU{/3} была бы линейно независимой). Если корни а,/3
коллинеарны, то /3 = 2а, откуда следует (А.8). Если корни а, /3 неколлине-
арны, то /3 - а = 7 € Д+ (согласно предложению А.2 (Ш)), так что /3 = а +7»
где *(7) = *(/?)- 1- Отсюда снова следует (А.8) (индукция по t(/3)).
А. в. Обозначения. В дальнейшем Д означает приведенную систему
корней в пространстве Е. Пространство Е отождествляется с Е* по
стандартному правилу t(x) = (я, *), где ж, t е Е. В этом смысле действие группы W
в J5* определяется по правилу W с О(Е), т. е.
(гиж, гуу) = (ж, у) для всех w € W. (A.9)
Отметим следующие свойства отражений ra (a e Д).
(i) Для каждого aeS подмножество Д+ \{а} инвариантно
относительно га (т. е. га меняет а на -а и переставляет остальные
положительные корни между собой).
(И) Пусть р —полусумма положительных корней а € Д+ (т. е. 2р —
сумма корней а е Д+). Тогда имеем с (а, р) = 1 при а € 5, т. е.
гар = р-а. (АЛО)
Действительно, из приведенности системы Д следует, что каждый корень
/3 € Д+ \{а} неколлинеарен а. Поэтому /3 имеет вид (А.6), где т{ > 0 при
некотором а^а. Согласно общему правилу (АЛ) (с заменой /3 на а,),
отражение га сохраняет кратность т{ корня а(. Но тогда и все остальные
кратности в разложении (А.6) для корня га(3 неотрицательны, т. е. гл/3 € Д+,
откуда следует (i). Более того, действие га на вектор р заменяет а на -а и
сохраняет полусумму остальных положительных корней, откуда следует (И).
Иногда нам будет удобно использовать обозначение Ав вместо с(а, А).
Положим также А< = AQ при а = а{ (так что числа А< однозначно
определяют вектор А € Е). В частности, из (АЛО) следует, что вектор р однозначно
определяется координатами
Pi = 1 для всех г € I. (АЛ 1)
Упражнение. Если а = ги/3 при некоторых а,/3 6 Д, то raw = wr^.
29 Зек. 184
454
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
А.7. Теорема. Пусть Д — приведенная система корней с
фиксированным базисом S0. Тогда имеем:
(а) Каждый базис S системы Д имеет вид wS0 при некотором we W.
(/3) Каждый корень а е Д имеет вид wa0, где w e W, cxq e S0.
(7) Группа W порождается отражениями га, где а е S0.
Доказательство. Пусть W0 — подгруппа в W, порожденная
отражениями гв, где а е SQ, и пусть р — полусумма корней в Д+ (относительно
базиса S0). Согласно теореме А.4, имеем S = St при некотором t e Е*.
Фиксируем w e WQ, для которого число (wt, p) максимально. Тогда для каждого
а е SQ имеем
(rawt, р) = (wt, р - а) = (wt, р) - (wt, a) ^ (wt, p),
откуда (wt, а) ^О для всех а е SQ. Полагая ^ = wt, получаем (как в п. А.4)
S0 = 5^. Согласно (А.9), условие (£, /3) >0 при /3 е S равносильно (^, ги/3) >
> 0, откуда заключаем, что wS = SQ. Заменяя ги на ги"1, получаем
утверждение (а) при w e W0.
Заметим, что для каждого а€Д гиперплоскость Еа отлична от всех
гиперплоскостей Щ при /3 ф±а. Поэтому существует ^ е Еа, для которого
(*о> /?) ^ 0 при /3 6 Д, /3 ^ ±а. Слегка отклоняясь от £0, получаем вектор
£ e Еу для которого
0<(t, a)<\(t,P)\ при /?^±а.
Отсюда ясно, что ае St. Согласно (а), имеем а = гш0 при некоторых w e
EW, а0 е 50. Отсюда следует (/3). Используя упражнение п. А.6, находим
также
откуда ra e WQ для всех a € Д. В результате W = W0, что равносильно (7).
А.8. Приведенные разложения. Пусть Д — приведенная система
корней в пространстве Е. Фиксируем базис 5 = {<*<}<€/ системы Д. Согласно
теореме А.7, каждый элемент w e W записывается в виде
w = V..rin, (АЛ2>
где 7\. = га при а = а{.
Разложение (А. 12) называется приведенным, если оно имеет минимально
возможную длину п = l(w). В частности, J(e) = 0, l(r{) = 1 для всех % е I.
Ясно также, что l(uv) < Z(u) + l(v) для всех гх, г; G W\
Разложение ги = ад; в группе W называется приведенным, если /(гу) =
= l(u)+l(v). Аналогично определяются приведенные разложения w — и{...
... ujf где щ е W (1 < г' ^ j). В частности, (А.12) есть приведенное
разложение при n = l(w).
Для каждого weW положим
Aw = {aeA+:w-la<0}. (A. 13)
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 455
А.9. Теорема. Пусть А — приведенная система корней в
пространстве Е. Тогда
(i) l(w) = card Д^ для всех w e W.
(ii) Для каждого приведенного разложения w = uv в группе W имеем
дизъюнктное разложение
Aw = AuUuAv. (A. 14)
(iii) Для каждого приведенного разложения (А. 12) множество Aw за-
писывается в виде дизъюнктной последовательности
7* = ™*-i<V (А.15)
где w0 = e, ti/fc = г,. ... г< (1 < к < п).
Доказательство. Фиксируем приведенное разложение (А. 12) и
покажем, что с^ € Дад. Действительно, в противном случае имеем
w~xa. = — v~x aL >0,
где v = г^ ... r.R, т. е. о^ Е Д„. Достаточно рассматривать случай п ^ 3
(случай п = 2 немедленно приводит к противоречию). Применяя допущение
индукции (по l(w)) к элементу v и используя (iii), получаем а^ = у'а{ при
некотором fc, где г/ = т^ ... г,. (2 ^ А; ^ п). Применяя упражнение п. А.6,
получаем r^v' = v'r{ , откуда
/*•... 7"• z=' Т- . . . V- .
Но тогда имеем г, ... rt. = г. ... г^ , что противоречит приведенности
разложения (А. 12). В результате ^еА^.
Ясно также, что условие w~la =v~l(r,a) <0 влечет либо а = а,, либо
г, а е Д„, т. е. а € г, Д„. Отсюда следует (А.14) при 1(и)= 1. Остается
применить индукцию по 1(и), откуда в общем случае получаем (i), (ii), (iii).
АЛО. Следствие, (i) Для каждой пары базисов 5, Т системы А
существует единственный элемент weW, для которого wS = Т.
(ii) Существует единственный элемент wmax e W максимальной
длины m = card Д+.
Действительно, из теоремы А.7 (i) вытекает существование элемента
w e W, для которого wS = Т. Если wu w2 —два таких элемента, то их
отношение w = wf1!^ сохраняет систему S, откуда l(w) = 0, т. е. ги = е,
так что wx = щ. Полагая, в частности, Т = -5, получаем единственный
элемент wmax e W, для которого l(wmsx) = m.
Замечания. 1. Утверждение (i) означает, что группа W действует
«просто транзитивное на множестве базисов системы Д.
2. С каждым базисом S системы Д связано множество
C(S) = {xeE: (ж, а)>0 для всех а е 5},
29*
456 ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
называемое камерой Вейля (относительно 5). Ясно, что объединение всех
камер Вейля C(S) совпадает с 25 \Е, где Е — объединение гиперплоскостей
Еа (а € Д). Соответственно, группа W действует просто транзитивно на
множестве камер Вейля C(S).
Гиперплоскости Еа, где а 6 5, называются стенками камеры_ Вейля
C(S). Добавляя эти стенки jc камере C(S), получаем замыкание C(S)
камеры C(S). Элементы Л е C(S) называются доминантными векторами
пространства Е (относительно базиса S).
Пример. В условиях (А. 5) можно выбрать в качестве S систему
векторов а. = е,. - е. + 1, где г = 1,..., п. В этом случае условие доминантности
вектора А 6 Е записывается в виде
А1>...>ЛЯН.1. (А.16)
А.11. Определение. Порядок А+ = {7н ..., 7m} называется нормальным,
если для каждого разложения у, = 7< + 7* суммарный корень т,- расположен
между 7i, 7* (т- е. t < j < fc либо k <j < г).
Фиксируем приведенное разложение элемента wmax и покажем, что
соответствующая последовательность (А. 15) определяет нормальный порядок
в системе Д+. Действительно, пусть 7> = 7* +7*» ГДе * < *• Допущение
i<k<j приводит к противоречию. А именно, из теоремы А.9 (Ш) находим
при w = wfc:
О < w-1^ = г/Г1^- + и>~1Ъ < 0>
что невозможно. Аналогично, допущение j <i<k приводит к противоречию
(при w = Wj). В результате i < j < к, т. е. порядок (А. 15) нормален.
А. 12. Теорема. Соотношение (А. 15) определяет биещию между
приведенными разложениями элемента iumax eW и нормальными порядками
системы Д+.
Доказательство. Мы уже знаем (п. А.11), что каждый
порядок (А. 15) нормален. Обратно, покажем, что каждый нормальный порядок
Д+ = {7П ..., 7т} имеет вид (А. 15) для некоторого приведенного
разложения элемента гитах € W.
Из нормальности порядка Д+ ясно, что 7i есть простой корень, т. е. 7i =
= а^ при некотором ц € J. Рассматривая этот факт как начало индукции,
будем считать, что цепочка 7i> • • •> 7n-i имеет ВИД (А. 15) и соответствует
элементу гип_1 = г^...г^ , для которого Z(tyn-1) = n-l. Полагая w = wnmm{9
покажем, что а = wl% есть простой корень.
Действительно, пусть а = /? + 7» где Д 7 € Д+. Тогда имеем *уп = wol +
+ w(3. Если оба этих слагаемых положительны, мы имеем wa = yit w(3= 7,
при некотором г, j, причем 7<» 7,« £ &w> откуда г, j > тг, что противоречит
нормальности порядка Д+. Аналогично, если гш = -7*» ги/3 = т,> то 7* =
= 7< + 7ш ГДе *^ п ^ 3% что также противоречит нормальности порядка Д+.
В результате 7n = wn-ia» где a = a, € 5.
Полагая wn = гуп-1г<п, напомним, что (и>п_!)"17< <0 при г = 1,..., ?г -
- 1. Более того, левая часть этого неравенства не может совпадать с -a<n
(в противном случае % = -7Л» что невозможно). Применяя отражение г<п,
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 457
получаем w~x% < О при г = 1,..., п - 1. Ясно также, что w~l/yn = rt a. <
<0. В результате l(wn) = n, т. е. мы получаем индуктивный шаг в (А. 15).
Таким образом, (А. 15) доказано для индексов п = 1,..., т. Полагая п = га,
получаем l(w) = га (= card А+), т. е. -ш = гитах.
Упражнения. 1. Для каждого г € I существует нормальный порядок
в Д+ с первым (аналогично, с последним) корнем а-.
2. Для каждого w e W, отличного от гитах, найдется г е I, для которого
Z(w.) = /(w) + l.
3. Для каждого w e W существует приведенное разложение
wmax = ww' (так что l(w) + l(w') = m).
4. Для каждого нормального порядка (А. 15) имеет место равенство
«>max = r7m...V (A.17)
Согласно (А. 17), преобразование гитах сводится к последовательности
отражений относительно стенок камер Вейля Ег (г = 1,..., ш).
Пример. Пусть А — приведенная система ранга 2. В этом случае wmax
имеет ровно 2 приведенных разложения
'21?
(А.18)
где r{j = г^г^ ... гк (к = г или j). Соответственно, в А+ имеется ровно 2
нормальных порядка (получаемых друг из друга с помощью инверсии).
Для систем ранга 2, изображенных в п. АЛ, нормальные порядки
определяются их проекциями на горизонтальную ось. Заметим, что для систем
А{ х А{1 А2, В2, G2 имеем (соответственно)
ZK,J = 2,3,4,6.
А.13. Дуальные системы. Понятие корневой системы можно
определить для произвольного (не обязательно евклидова) конечномерного
векторного пространства V над произвольным полем F.
А именно, фиксируем 0^ а eV и дуальный элемент 0^а*еГ, для
которого (а, а*) =2. Преобразование
гаж = х — (ж, а*)а (А.19)
(т. е. га = 1 — а® а*) называется отражением в пространстве V по
направлению вектора а (с неподвижной гиперплоскостью Va =ker а*). Заметим,
что гаа = — а.
Пусть А с V — конечная система, порождающая V. Для каждого a eV
существует не более одного отражения (А.19), сохраняющего А.
Действительно, если г, г' — два таких отражения, то р = гг' сохраняет Fa и
индуцирует тождественное отображение в V/Fa. Более того, рпх — х для всех
х G А при достаточно большом значении п (что следует из конечности
системы А), так что рп = 1 во всем пространстве V. Отсюда заключаем, что
458 ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
оператор р диагонализуем и имеет лишь единичные собственные значения.
В результате р = 1, т. е. г = г'.
Исходя из этого замечания, определим понятие корневой системы А с V
по аналогии с п. АЛ (при замене (АЛ) на (АЛ9)).
В частности, пусть F = R, С. Применяя процесс усреднения по группе
W к произвольному скалярному произведению в пространстве У, получаем
новое скалярное произведение, относительно которого W с 0(V). В этом
случае (АЛ9) с необходимостью имеет вид (АЛ), т. е. мы получаем прежнее
определение корневой системы в евклидовом пространстве Е = КД.
Тем не менее, даже в этом случае определение (АЛ9) позволяет
разграничить роли векторных пространств VJ V* в определении корневых систем.
Полагая в общем случае Д* = {а*: а е Д}, получаем (упражнение)
корневую систему в пространстве V*.
Пример. Пусть Д — корневая система в евклидовом пространстве Е.
В этом случае
а*=(Ц) <А-2°)
(при условии, что Е* отождествляется с Е).
А.14. Матрицы Картана. Пусть а—(а^) — целочисленная матрица
порядка п = card J, где г, j el. Матрица а называется матрицей Картана,
если выполняются следующие условия:
(i) ай = 2 для всех г е /,
(И) а^Опри %ф]%
(Hi) a{j = 0 влечет азЧ = О,
(iv) О 0, deta^O.
Здесь мы полагаем п < оо. Условие а > 0 означает положительную
определенность матрицы о относительно стандартного скалярного
произведения в Rn.
Фиксируем комплексное векторное пространство f) с базисом hit где г el.
Используя невырожденность матрицы а, легко проверить, что а однозначно
записывается в виде
а<у = (Л., а,), (А.21)
где otj (jel) — базис сопряженного пространства I)*. В частности, {h0 at) =
= 2, откуда следует, что равенство
г,.х = х - {^, х)а{, (А.22)
определяет отражение в f)* по направлению вектора а{.
Представление (А.21) называется реализацией матрицы Картана а=(а{Л.
Пример. Пусть Д — корневая система с базисом 5 = {aji€/.
Положим
*-«<*.«,>-?£#. <А23>
Заметим, что эта матрица удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii) п. А.14.
Полагая £ =]Г) £{а{, где £< € R, получаем
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 459
откуда а^О. Из линейной независимости векторов ^ (i € /), следует det аф
ФО. Таким образом, (А.23) есть матрица Картана.
Заметим, что определение (А.23) пригодно для произвольной (не
обязательно приведенной) системы А. Однако, матрица Картана системы А
совпадает с матрицей Картана соответствующей приведенной системы,
ассоциированной с А (п. АЛ).
Покажем, что приведенная система А определяется своей матрицей
Картана с точностью до изоморфизма. А именно, системы А^ с VJ (г = 1,2)
называются изоморфными, если существует изоморфизм векторных
пространств Vx « V2, переставляющий Ди Д2.
А.15. Предложение (F = R, С). Пусть Д. с VJ (г = 1,2) — приведенная
система с базисом S{ (г = 1,2), Предположим, что существует биекция
<р: Sx на 52, сохраняющая матрицу Картана, т. е.
c(^),#) = c(a,/J) (A.24)
для всех а, (3 е 5,. Тогда существует единственный изоморфизм
векторных пространств <р: Vj на V2, совпадающий с исходной биекцией (р:
Sx~ S2 и определяющий биекцию <р: Ах ~ Д2.
Доказательство. Напомним, что S( есть базис пространства V{
(г = 1,2). Поэтому биекция (р: Sx ~ 52 однозначно поднимается до
изоморфизма векторных пространств (р: Vx « V2. Используя (А.24), находим для
каждого /3 = (р(а):
r0o<p = <poraJ (A.25)
где a € 5,. Согласно (А.25), имеем W2 = (pWx<p~lt где W{ — группа Вейля,
ассоциированная с Д< (г = 1,2). Согласно теореме А.7, имеем Д^ = WiSi
{% = 1,2). Отсюда
A2 = W2S2 = <pWx<p-i(<pSx) = <pA2.
Пример. Пусть a — матрица Картана ранга 2, т. е.
— (J l)> <A-26>
где г, 6 € Z+. Заметим, что det a = 4 - eS. Поэтому а есть матрица Картана
лишь при еб = 0,1,2,3. Изменяя, если надо, нумерацию индексов, можем
считать, что S = 0,1, так что е = 0,1,, 2,3.
Отсюда заключаем, что все приведенные системы ранга 2
исчерпываются {с точностью до изоморфизма) системами типов Ах х Ах,
A2,B2,G2(n.A.l).
А.16. Определение. Матрица Картана а = (а{Л называется симметри-
зуемой, если она имеет вид a{j = е{Ьу, где е{ >0 {% el) и матрица Ь = (b{j)
симметрична. В частности, матрица Картана (А.23) симметризуема.
Покажем, что каждая симметризуемая матрица Картана aiy = е{Ъц имеет
вид (А.23) относительно некоторой (приведенной) системы Д. Для этого
воспользуемся реализацией (А.21) и заметим, что равенство
(alfa,) = b„ (A.27)
460
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
однозначно определяет скалярное произведение в пространстве V = fj* (с
базисом 5). В частности, Е =R5 есть евклидово пространство со
скалярным произведением (А.27).
Пусть W — подгруппа в GL(J5), порожденная отражениями (А.22). Ясно,
что эти отражения сохраняют решетку Q, натянутую на векторы а{ (i е I).
Отсюда следует, что группа W дискретна. Помимо этого, легко проверить,
что отражения (А.22) сохраняют скалярное произведение (А.27). Отсюда
W с 0(E) и группа W компактна. Следовательно, группа W конечна.
Полагая Д = WS, получаем конечное подмножество в Е, инвариантное
относительно W и удовлетворяющее условию (i) п. А. 1. Повторяя рассуждения
п. А.7, находим, что W содержит отражения га для всех а е Д.
Следовательно, Д есть система корней с группой Вейля W.
Более того, пусть Д0 — приведенная система, ассоциированная с
системой Д. Согласно теореме А.7, имеем \ = WS, т. е. \ = Д. Отсюда следует,
что матрица a—(ai:j) имеет вид (А.23) для приведенной системы Д.
А.17. Определение. Матрица Картана a = (aij), где г, j e I, называется
разложимой, если она обладает нетривиальным разложением а=а1®а2
относительно некоторого разбиения I = I{ U12 (так что ах, <% суть матрицы
Картана). В противном случае матрица а называется неразложимой.
Легко проверяется (упражнение), что неразложимость матрицы Картана
а равносильна следующему условию связности: для каждой пары индексов
г, j el существует последовательность i{}..., in G I, для которой
«V44-«w*0. (A.28)
В частности, пусть матрица а симметризуема, т. е. %• = £,&# (п- А. 16).
Используя критерий (А.28), легко проверить (упражнение), что в этом
случае матрицы е, Ь определяются с точностью до гомотетии (т. е. умножения
на А, где 0^ А е R). Соответственно, скалярное произведение (А.27)
определяется с точностью до гомотетии.
Система Д называется неразложимой, если ее нельзя представить в виде
нетривиального разбиения Д = Д1 U Д2. Легко проверяется (упражнение),
что неразложимость системы Д равносильна неразложимости ее матрицы
Картана (А.23).
Предложение А. 15 для неразложимых корневых систем формируется
теперь следующим образом: матрица Картана системы Д определяет
(приведенную) систему Д с точностью до гомотетии.
А.18. Схемы Дынкина. Пусть a=(a{j) — матрица Картана. Для каждой
пары индексов г, j ее сужение
*л-(5 %)
есть матрица Картана ранга 2. Соответственно, число п^ = аца^ принимает
лишь значения 0,1, 2,3 (п. А. 15).
Пусть С(а) — конечный граф, вершинами которого служат корни а.
(г е S) и вершины а{, ау соединены посредством п^ ребер (п^ =0,1,2,3).
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 461
Граф С(а) называется графом Кокстера, отвечающим матрице а.
Условимся считать, что I ф0. Соответственно, граф С(а) непуст для каждой
матрицы а.
Граф Кокстера С(а) называется связным, если каждая пара его
вершин связана линией, составленной из ребер графа С(а). Используя
критерий (А.28), находим, что связность графа С(а) равносильна
неразложимости (связности) матрицы а.
Граф С(а) содержит существенную информацию о матрице а. Для
полного восстановления матрицы а по графу С(а) следует указать (п. А.2)
отношения длин d{j = d(a-, ау) для каждой пары г, j при п^ Ф 0.
Напомним, что это отношение определяется равенством (А.4), где а =
= а{1 /3 = ajf ||аJ| < ||ау||. Условимся в этом случае снабжать систему ребер
между а<э а^ стрелкой, направленной от «большего» корня aj к «меньшему»
корню а. (при ||aj < ||ау||). Полученная схема (на базе графа Кокстера
С (а)) обозначается D(a) и называется схемой Дынкина, ассоциированной
с системой Д (т. е. с матрицей а).
Согласно общему критерию п. А. 17, для описания всех связных
(приведенных) корневых систем достаточно описать все связные схемы Дынкина.
Пример. Схемы Дынкина, отвечающие матрицам Картана ранга 2,
имеют следующий вид:
О О О—О О ?Ю СЕ==фО
А{ х Ах А2 В2 G2
А. 19. Теорема. Каждая связная схема Дынкина определяется
следующим списком Э. Картана.
Ап(п^\) о——о о—...—о о о
Вп (п ^ 2) о о о— • • • —о о=>о
462 ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Еа о——о о o—ch о о
F о о==»о о
G, а—>о
Доказательство этой теоремы сводится к несложной комбинаторике,
связанной с матрицами Картана. См., например, [ГГ; Кап]. Сравнительно
короткое доказательство можно найти в книге [Кац] (теорема 4.8, а)).
Здесь нижний индекс п означает ранг системы А (т. е. число вершин в
схеме Дынкина). Обозначения Картана для серий Ап - Dn можно
распространить на все значения п. Однако, очевидны следующие изоморфизмы:
А1&В1я*С1, В2«С2, A3&D3, Ахх АхъD2.
Пример. Последний изоморфизм можно получить из действия группы
SL(2) х SL(2) в теле кватернионов (п. 37.7).
А.20. Генетика группы Вейля. Из рассмотрения подсистем ранга 2 в
системе Д находим, что в группе W выполняются следующие соотношения:
П2 = е, (г,г,Г" = е, (А.29)
где ш^.=2,3,4,6 (соответственно) для подсистемы типа А{ х Ах% А2, В2, G2.
Оказывается, соотношения (А.29) фундаментальны, т. е. определяют
генетику группы W (в терминах образующих rit где i el). Например, в [Кац]
изложены два различных доказательства этой теоремы.
Отметим без доказательства еще одно утверждение (см., например, [Б 2]
(IV-VI)), [Ха2]: если элемент w e W сохраняет некоторую гиперплоскость
в пространстве Е, то w = га при некотором а е Д+.
А.21. Обобщенные матрицы Картана. Целочисленная матрица а =
= (а.у) называется обобщенной матрицей Картана, если она
удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii) п. А. 14.
Обобщенные матрицы Картана детально исследовались В. Кацем.
Основные результаты сводятся к следующему.
(1) Каждая неразложимая (п. А. 17) обобщенная матрица Картана
относится ровно к одному из следующих типов:
(Fin) a^O, det афО (т. е. а есть матрица Картана).
(Aff) а> 0, det а = 0 (матрица аффинного типа).
(Ind) Матрица а индефинитна (т. е. (а£, £) >0, (arj} 77) < О для некоторых
£, r\ e Rn, где п = card I).
ДОБАВЛЕНИЕ А. КОРНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
463
(2) Матрицы конечного (Fin) и аффинного (Aff) типов полностью описаны
в терминах (обобщенных) схем Дынкина.
(3) Матрицы индефинитного (Ind) типа практически не изучены.
Для матриц аффинного типа получено описание соответствующих
(обобщенных) систем корней и соответствующих (аффинных) групп Вейля.
Обобщенные матрицы Картана существенно используются при описании
семейства алгебр Ли g = g(a) [Кац]. В частности, случай (Fin) сводится к
классификации Картана простых комплексных алгебр Ли (п. 39.2).
Аналогичный результат получен в [Кац] для аффинных алгебр Ли.
Комментарии к добавлению А
Корневые системы как «эксклюзивный» геометрический объект
появились в работах Киллинга по теории полупростых алгебр Ли и были
полностью классифицированы Э. Картаном, что позволило ему также
получить классификацию полупростых комплексных алгебр Ли. Более детально
история вопроса изложена в [Б 2]. Корневые системы встречаются также в
других разделах математики, в том числе в теории особенностей гладких
многообразий и в теории представлений упорядоченных структур.
Мы уже отметили существование обобщенных (бесконечномерных)
корневых систем, ассоциированных с аффинными алгебрами Ли. Более
детально эти вопросы изложены в [Кац]. В [ЖЗ] можно найти ряд приложений
нормальных порядков в системах А+. Другие примеры такого рода
содержатся в [Кн]. См. также [Ж2; Ж6].
ДОБАВЛЕНИЕ В. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
В этом разделе излагаются вопросы теории банаховых пространств,
основанные на свойстве полноты, а именно, на теореме Бэра из теории
метрических пространств. Особо выделяется ключевая лемма В. 3, по существу
принадлежащая С. Банаху.
8.1. Теорема Бэра. Множество А в метрическом пространстве М
называется нигде не плотным, если его замыкание А не содержит ни одного
нетривиального шара в пространстве М. Теорема Бэра утверждает, что
полное метрическое пространство М нельзя представить в виде счетного
объединения нигде не плотных множеств.
Так, плоскость нельзя представить в виде счетного объединения прямых.
Наметим доказательство теоремы Бэра.
Допустим, что М есть^ объединение нигде не плотных множеств Ап
(n€N). Заменяя Ап на Ап, можем считать, что все Ап замкнуты.
Отсюда вытекает (индуктивно) существование последовательности вложенных
замкнутых шаров SXD S2D ..., таких, что
SnCM\A1U...UAn. (B.1)
Можно также считать, не ограничивая общности, что радиусы шаров Sn
стремятся к нулю. Из полноты пространства М вытекает существование
(единственной) точки z e M, лежащей в пересечении всех шаров Sn (n e
е N). Согласно (B.l), z не содержится в объединении всех Ап (п е N). Из
полученного противоречия вытекает теорема Бэра.
Упражнение. Докажите теорему Бэра в следующей (дуальной)
форме: если каждое из множеств Вп (п е N) открыто и всюду плотно в М, то
их пересечение всюду плотно в М.
8.2. Определение. Полунорма р в нормированном пространстве X
называется счетно полуаддитивной, если для каждого ряда х = £жп,
сходящегося в X, имеем п
р(х)<£р(хп). (В.2)
п=1
Пример. Если полунорма р непрерывна, то она счетно полуадцитивна.
Действительно, из равенства х = lim sn, где sn = xn +... + хп, получаем
п
П 00
p(x) = limp(sn)^\im £ p(xt.)= £ р(х{).
п п *=i t=i
8.3. Лемма (Банах). Полунорма р в банаховом пространстве X
непрерывна тогда и только тогда, когда она счетно полуаддитивна.
Доказательство. Допустим, что полунорма р счетно
полуаддитивна, и положим Ve = {х е X: р(х) ^ е}, где е > 0. Множество Ve выпукло и
симметрично (т. е. х е Ve =$> \х е Vt при |А | = 1). Ясно также, что семейство
Ve покрывает X. В частности,
оо
*=U К.
ДОБАВЛЕНИЕ В. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 465
Применяя теорему Бэра, находим, что хотя бы одно из множеств Vn не
является нигде не плотным. Однако, все множества Vn гомотетичны между
собой. В частности, Vn = riVv откуда следует, что множество VJ не является
нигде не плотным^
Иначе говоря, V{ содержит некоторый шар 5е(а) при ефО.
Следовательно, V{ содержит шар 5е(-а). Откуда заключаем, что
5,(0) С F,. (B.3)
Действительно, если х е 5в(0), то х есть середина отрезка с концами х ±
±ае Se(±a)t откуда следует (В.З).
Покажем, что замена е на е/2 позволяет снять черту в (В.З), т. е.
se/2(0)cv;. (B.4)
Действительно, пусть х е 5е/2(0). Применяя к (В.З) гомотетию с
коэффициентом 1/2, находим х = х{ + уи где х{ 6 VJ/2 и ух сколь угодно мало, скажем
У\ 6 Se/4(0). Рассуждая индуктивно, получаем
x = xA+... + xn + 2/n, (B.5)
где xk e Vj/2* (к = 1,..., п), уп -*• 0. Следовательно, х есть сумма ряда с
элементами хп (n e N). Применяя условие счетной полуаддитивности,
получаем
Р(*К£уг = 1>
т. е. же v[.
Таким образом, (В.4) доказано. Можем даже считать (слегка уменьшая
е), что условие ||х|| ^ е/2 влечет р(х) < 1. Аналогично, условие ||ж|| < 1
влечет р(х) < -. Но тогда
Р(х)<|||х||
для всех х е X и полунорма р непрерывна. Обратно, из непрерывности
полунормы р следует ее счетная полуаддитивность (п. В.2).
Ниже будут изложены приложения леммы Банаха к теории линейных
операторов в банаховых пространствах.
В.4. Определение. Пусть X, У — нормированные пространства.
Линейный оператор а: X -* У называется замкнутым, если его график Ga
(состоящий из пар (я, ах)) замкнут в X ф У.
Пример. Если оператор а непрерывен, то он замкнут. А именно, пусть
(хп, ахп) -* (ж, у) в X ф У, т. е.
ж = Нтяп, y = limaxn.
п п
Используя непрерывность оператора а, находим также ax = Iim axn, откуда
п
2/ = аж, т. е. (я, у) € Ga и оператор а замкнут.
В.б. Теорема (С. Банах). Если X, У --банаховы пространства, то
непрерывность оператора а (п. В.4) равносильна его замкнутости.
466 ДОБАВЛЕНИЕ В. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Предположим, что оператор а замкнут, и
покажем, что в этом случае полунорма р(ж) = ||аж|| счетно полуаддитивна, т. е.
IMKEIImUI (в.б)
для каждого сходящегося ряда ж = ]Г} хп. Достаточно рассматривать случай,
п
когда правая часть (В.6) конечна, откуда (ввиду полноты пространства Y)
следует сходимость ряда у = ]Сажп- Заметим, что x = limsn, y = limasn,
п п п
где sn = ж, +... + хп. Используя замкнутость оператора а, находим у —ах,
откуда
1М|»Шп||«л<Е11^Ц|
что совпадает с (В.6). Применяя лемму Банаха, находим, что полунорма
р непрерывна, что равносильно непрерывности оператора а. Обратно, из
непрерывности оператора а следует его замкнутость (п. В.4).
8.6. Следствие. Если оператор а: X ->Y есть непрерывная биекция
(в условиях В. 5), то обратный оператор аг1: Y-+X также непрерывен.
Действительно, Ga.i = TGa, где Г(х, у) = (у, х) — топологический
изоморфизм X®Y с Y®X. Непрерывность оператора а влечет замкнутость Ga, но
тогда и замкнутость Ga_i. Применяя теорему В.5, заключаем, что оператор
о"1 непрерывен.
Замечание. Теорема В.б называется обычно теоремой Банаха о
замкнутом графике. Соответственно, следствие В.6 называется теоремой Банаха
об обратном операторе.
Упражнения. 1. Если X есть банахово пространство относительно
каждой из двух норм р, qf где р(х) ^ q(x) для всех хе X, то эти нормы
эквивалентны, т. е. q(x) ^ Ср(х) для всех хеХ. [Указание: рассмотрите
единичный оператор 1: (X, q) —> (X, р).]
2. Если оператор а: X —► Y есть непрерывная сюръекция в условиях В.б,
то отображение а открыто (теорема Банаха об открытом отображении).
[Указание: воспользуйтесь биекцией X/kera& Y.]
8.7. Определение. Пусть S = (at)t€/— семейство операторов а{ е
€ В(Х, У). Семейство S называется ограниченным на векторе хеХ,
если
||О! х|| ^ Сх для всех г € /, (В.7)
с некоторой константой Сх ^ О (не зависящей от % е I). Семейство S
называется равномерно ограниченным, если ||aj| ^ С для всех г е I.
Если S равномерно ограничено, то в (В.7) можно положить Сх = С||ж||,
так что семейство S ограничено на каждом векторе х € X.
8.8. Теорема (Банах — Штейнгауз). Если X,Y — банаховы
пространства, то ограниченность семейства S на всех векторах хеХ
равносильна равномерной ограниченности семейства S.
Доказательство. Ограниченность S на векторах х е X влечет
определенность полунормы
p(x) = sup||at.x||
ДОБАВЛЕНИЕ В. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 467
во всем пространстве X. Поскольку каждый оператор ai (i e I) непрерывен,
имеем ж
\\а<х\\ < £ ||а,.х„|| (В.8)
для всех г е I и каждого сходящегося ряда х = ]£ хп. Заменяя каждый член
п
||а{жп|| его верхней гранью р(хп) и вычисляя sup в левой части (В.8), полу-
t
чаем (В.2). Согласно теореме В.5, р(х) ^ С||ж|| для всех х е X, так что (В.7)
выполняется при Сх = С||ж||.
Упражнение. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства, /:ХхУ-»
—► Z — билинейный оператор. Докажите (используя теорему Банаха —
Штейгауза), что раздельная непрерывность оператора / равносильна его
непрерывности на X х У, откуда также
||/<х,У)1К<7|И||у||
для всех х Е X, у € Y.
В.9. Теорема (Стоун — Вейерштрасс). Пусть А — подалгебра в
С(К), содержащая константы, замкнутая относительно
комплексного сопряжения и разделяющая точки компакта К. Тогда А всюду
плотна в С(К).
Доказательство (схема). Достаточно считать, что подалгебра А
замкнута. В этом случае требуется проверить, что А = С (К).
(1) Если алгебра А замкнута, то включение / € А влечет |/| е А. Это
следует (при |/| < 1) из равномерной сходимости ряда |/| = (/2)1/2 = (1—g)xl2
по степеням g = 1 — /2 е А (О < g ^ 1). Отсюда следует также, что алгебра А
замкнута относительно операций min, max (над конечным числом функций
из А).
(2) Для каждой пары точек рфд и каждой пары чисел а, Ъ существует
функция /я е А, для которой fm(p) = а, /М(Ь) = q. Это ясно из рассмотрения
функций вида / = g + А, где g разделяет точки р и q.
(3) Фиксируем f е С (К), е>0, a = f(p), ft = /(g). Пусть U
(соответственно V^q) — подмножество всех х е К, для которых /и(ж) < f(x) + e
(соответственно /и(ж) > /(ж) — е). Множество К покрывается конечным
числом подмножеств Up.qi где г = 1,..., п. Полагая
получаем функции fq € А, для которых fq< f + е всюду в Jf, fq> f — е
в Т^. Множество if покрывается конечным числом подмножеств Vq., где
j = 1,..., т. Полагая g = max/.., получаем функцию g € А, для которой
|/ - g\ < е всюду в К. В результате / € А, А = С(ЛГ).
Упражнение. Проверьте, что из этой теоремы вытекают две
классические теоремы Вейерштрасса (для полиномов на отрезке и полиномов на
окружности).
ДОБАВЛЕНИЕ С. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
В этом разделе излагаются классические результаты о выпуклых
множествах в локально выпуклых пространствах (ЛВП). Основные результаты
сводятся к теоремам отделимости (пп. С.5-С.10) и к теореме Крейна —
Мильмана (п. С. 12).
С.1. Одномерный случай. Всюду в этом разделе X — ЛВП (над полем
F =R, С), Р — базисная система полунорм, определяющая топологию в X.
Мы начнем с описания одномерных ЛВП.
Положим dim X = 1, т. е. X = Fa%, где Xq ф 0. В этом случае равенство
х(Х)=\х0 (XeF) определяет векторный изоморфизм X&F. Соотношения
/(*(А)) = аА, р(*(А)) = Ь|А|, (С.1)
где а€ F, 0 ^ Ь € R, определяют общий вид линейного функционала / и
полунормы р в пространстве X.
Используя общий критерий отделимости (п. 24.1), находим, что в нашем
случае отделимость пространства X равносильна существованию
ненулевой полунормы реР, т. е. Рф{0}. Согласно (С.1), отсюда следует, что
все полунормы в пространстве Р коллинеарны между собой и непрерывны.
Более того, каждый линейный функционал f ф0 определяет изоморфизм
ЛВП:Х«^.
Таким образом, либо Р = {0} (тривиальная топология вХ), либо XwF.
С.2. Теорема. Пусть X —ЛВП. Линейный функционал f в
пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро X0 = ker/
замкнуто. Если также /ф0, то отображение f открыто.
Доказательство. Ясно, что из непрерывности / следует
замкнутость Xq. Обратно, пусть Х0 замкнуто, тогда Х/Х0 отделимо (п. 23.7).
Достаточно рассмотреть случай /^0, так что dimX/X0 = l. Заметим, что
/ = /0 о 7г, где тг — каноническая проекция X на Х/Х0, /0 —
индуцированный функционал X/XQ-+F. В нашем случае /0^0, так что /0 есть
гомеоморфизм (п. С.1). Соответственно, отображение / = /0о7г непрерывно и
открыто.
Замечание. Критерий непрерывности функционала / можно
получить непосредственно (без использования Х/л0). А именно, пусть f фи.
Гиперплоскость Хх, выделяемая уравнением /(я) = 1, параллельна к Х0:
Хх = хх + Х0 (для каждого хх € лх). Если Х0 замкнуто, то Хх замкнуто и
Х\ХХ есть окрестность нуля. Следовательно, X \ лх содержит базисную
окрестность 5ре(0) (п. 24.1). Иначе говоря, имеет место импликация
р(х)<е=>/(х)ф1.
Очевидно, эта импликация не нарушится при замене х на А"1 ж, где |А| ^ 1,
т. е. /(х)ф\ при |А| ^ 1. Следовательно,
p(x)<e^\f(x)\<l.
Таким образом, функционал / ограничен на окрестности 5^(0). Отсюда,
как обычно, следует оценка (24.9), т. е. непрерывность функционала /.
ДОБАВЛЕНИЕ С. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 469
С.З. Лемма, (i) Если dim X > 1, то Х\ {0} связно.
(ii) Пусть С —- открытое выпуклое множество в X, не содержащее 0.
Если F = R, dim X > 1, то
С П Еж = 0 при некотором 0 ^ ж е X (С.2)
Доказательство, (i) Если векторы х, у линейно независимы, то они
связаны в X \{0} отрезком [х, у], состоящим из точек г = tx + (l - t)y, где
0 ^ t < 1. Если же векторы х,уф0 линейно зависимы, то они связаны в
X \{0} парой отрезков [х, г], [г, у], где каждая из пар (ж, z), (z, у) линейно
независима.
(И) Конус К = (J tC открыт и удовлетворяет соотношению КП(—К)=0.
t>0
Действительно, в противном случае мы имели бы txxx = — £2х^ при некоторых
хп Xg e С, tp £2 > 0, откуда
о=iiaJLba. с. с
*1 + *2 '
что невозможно. Поскольку множество X \ {0} связно, его нельзя
представить в виде суммы К U (—К). Поэтому найдется вектор х, не входящий в
К U (-K), что и сводится к (С.2).
С.4. Пространство X'. Напомним, что X1 означает векторное
пространство, сопряженное к X, т. е. множество всех непрерывных линейных
функционалов в пространстве X. Если F =С, / — линейный функционал в
пространстве X, то из равенства /(гх) = г/(х) находим
/(х) = и(х) — ш(гх), (С.З)
где и = Re / — вещественная часть функционала /. Обратно, для каждого
вещественно линейного функционала и в пространстве X равенство (С.З)
определяет комплексно линейный функционал /. Из равенства
«(*) = £(/(*)+Л£))
следует, что непрерывность функционала / равносильна непрерывности
функционала и = Re /. Формула (С.З) позволяет свести комплексный
случай к случаю F = R.
Следующие две теоремы называют обычно теоремами отделимости в
теории ЛВП.
Сб. Теорема. Пусть С —открытое выпуклое множество в X, не
содержащее 0. Тогда существует функционал f е X', отделяющий С
от 0, по правилу
Re /(х) > 0 для всех хеС. (С.4)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай F = R.
Обозначим через W множество всех замкнутых подпространств пространства X,
не пересекающих С Заметим, что W содержит 0 (замыкание нулевого
подпространства) и потому непусто. Множество W, упорядоченное по
включению, удовлетворяет условиям леммы Цорна. Поэтому W содержит
максимальный элемент Хп.
470 ДОБАВЛЕНИЕ С. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
Пусть 7г — каноническая проекция X на Х/Х0. Ясно, что тг(С) открыто,
выпукло и не содержит точки 0. Согласно лемме С.З, условие dim X/X0 > 1
приводит к противоречию. А именно, в этом случае существует хеХ, для
которого 7г(х)^0, 7г(Сг)ПК7г(ж) = 0, откуда Х0®ШхЕ W, что противоречит
максимальности XQ. Итак, dimX/X0= 1. Поскольку XQ замкнуто, мы имеем
X/X0&F (п. С.1).
Остается положить /=/0о7г, где /0 — ненулевой (и потому непрерывный)
линейный функционал в X/XQ. Отсюда / £ X1. Ясно, что / переводит С в
выпуклое подмножество R \ {0}, откуда
/(С) С (~оо,0) либо /(С) С (0,+оо).
Заменяя, если надо, / на —/, получаем (С.4).
Сб. Теорема. Пусть С —замкнутое выпуклое множество в X, не
содержащее 0. Тогда существует функционал f e Х\ строго отделяющий
С от О, по правилу
Re f(x) > 6 > О для всех хеС. (С.5)
Доказательство. Положим F = R и заметим, что Х\С содержит
непустую симметричную окрестность V точки 0. Соответственно,
множество
0= U(C-y)
yeV
не содержит точки 0. Заметим, что D открыто и выпукло. Применяя к этому
множеству теорему С.5, получаем
f(x) ~ f(y) > 0 для всех xeQyeV.
Остается заметить, что равенство / = 0 в окрестности V влечет / = 0 во
всем пространстве X (поскольку V поглощает X). Поэтому в нашем случае
/(у)^0 при некотором уе V. Заменяя у на А г/, где |Л| = 1, можем считать,
что f(y) > 0. Отсюда следует (С.5) при 8 =/(у).
Замечание. Обычно теоремы отделимости выводятся из теоремы
Хана — Банаха (п. 23.8). Здесь мы даем прямое доказательство,
заимствованное из [М].
Отметим ряд следствий из теоремы Сб.
С.7. Следствие. Пусть С —замкнутое выпуклое множество в X, не
содержащее точки Xq. Тогда соотношение
Ref(x)<S<Ref(x0) (C.6)
выполняется для всех хеС при некоторых f е Х\ 8 > 0 (/и. е.
гиперплоскость Re f(x) = 8 отделяет С от 0).
Действительно, (С.6) сводится к (С.5) подстановкой х^Хц- х (так что
C^Xq-C).
С.8. Следствие. Пусть С —замкнутое подпространство в Xf не
содержащее Xq. Тогда существует f e X', для которого
/(ж) = 0 при х е С, fix») = 1. (С.7)
h
ДОБАВЛЕНИЕ С. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 471
Действительно, в этом случае в (С.6) допустима подстановка жн+Аж
для всех Хе F, что возможно только при f(x) = 0. Соотношение /(а^) = 1
достигается надлежащей нормировкой функционала /.
С.9. Следствие. Если X отделимо, то каждая пара его точек хфу
разделяется некоторым функционалом, f e X1, m. e. /(х)Ф/(у).
Действительно, это утверждение есть частный случай (С.7) при
подстановке С = {0}, х н-» х - у.
С.10. Следствие. Пусть С —выпуклое множество в X. Точка х^еХ
есть предельная точка множества С (т. е. ocqEC) лишь в том случае,
когда существует направленность х{еС (г € I), удовлетворяющая
соотношениям
/(x) = lim/(a;<) (C.8)
S
для всех f e X'. _
Действительно, если XqEC, то (C.S) выполняется. Обратно, пусть
Xq не содержится в С. Заметим, что С выпукло. Применяя к этому
множеству (С.6), находим, что (С.8) нарушается при некотором f e X'.
Замечание. Следствие С.10 означает, что С совпадает с замыканием
С в слабой топологии а(Х, X') (п. 24.6).
С.11. Крайние точки. Точка хеС называется крайней точкой
выпуклого множества С, если из равенства х — ty+(l — t)z, где у, ze С, 0< t < 1,
следует x — y — z. Иначе говоря, точка х не может быть внутренней точкой
ни одного отрезка, лежащего в С.
Непустое выпуклое подмножество А с С называется гранью множества
С, если из равенства x — ty+(l-t)z, где у, zeC, 0< t <1, следует у, zeA.
Если С непусто, то С есть грань множества С. Точка хеС есть крайняя
точка множества С лишь в том случае, когда одноточечное множество {х}
есть грань множества С.
Если х есть крайняя точка множества А, где А есть грань множества С,
то х есть также крайняя точка множества С.
Эффективный метод поиска крайних точек связан с рассмотрением
функционалов /el' над полем R. А именно, пусть Г(/, С) — множество всех
точек х е С, в которых достигается точная верхняя грань значений f(x)
(х е С). Если С выпукло, то Г(/, С) выпукло. Если С компактно, то Г(/, С)
непусто. Более того, Г(/, С) есть грань множества С. Поэтому каждая
крайняя точка в Г(/, С) есть также крайняя точка множества С.
С.12. Теорема (Крейн — Мильман). Если X отделимо, то каждое
компактное выпуклое множество СсХ есть замкнутая выпуклая
оболочка множества Е своих крайних точек:
С = соЯ (С.9)
(в обозначениях п. 55.13).
Доказательство. Достаточно рассматривать случай С Ф 0.
Докажем, что в этом случае Е ф0. Пусть W — множество всех компактных
граней множества С. Заметим, что С eW, так что W Ф 0. Фиксируем
в W порядок, инверсный по включению: А ^ В, если А э В (А, В е W).
472
ДОБАВЛЕНИЕ С. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
Применяя принцип максимума (лемму Цорна), находим, что W содержит
максимальный элемент С0. Иначе говоря, С0 есть минимальная компактная
грань множества С.
Фиксируем /еX1 и напомним (п. СИ), что Г(/, С0) есть грань С0. Отсюда
Г(/, С0) = С0 (ввиду минимальности С0), так что f(x) — const на С0 для всех
/ € X*. Используя следствие С.9, находим, что С0 не может содержать двух
различных точек х ф у, так что С0 = {xq}, Xq есть крайняя точка множества
С. Поэтому Еф0.
Допустим, что соЕ фС, т. е. существует Xq е С \ соЕ. Пусть / е X' —
функционал, отделяющий х$ от соЕ, так что (С.6) выполняется при х есоЕ.
Если х — крайняя точка в Г(/, С), то (С.6) означает, что максимум / на
множестве С строго меньше /(а^). Из полученного противоречия
следует (С.9).
Замечание. Известно следующее уточнение теоремы Крейна —
Мильмана: Е минимально среди подмножеств S С С, для которых со S = С.
См., например, [М].
Пример. Пусть X = Mq(T) — векторное пространство всех
комплексных мер с компактным носителем на локально компактном пространстве Т,
и пусть М{(Т)сХ — подмножество всех вероятностных мер. Докажите
(упражнение), что МХ(Т) выпукло и множество Е его крайних точек
состоит из одноточечных мер (8-функций) в пространстве Т.
Заметим, что X есть ЛВП с топологией а(Ху С(Т)). Легко проверяется
Йпражнение), что МХ(Т) компактно в X. В этом случае теорема Крейна —
ильмана означает, что каждая мера /л е МХ(Т) есть предельная точка для
выпуклых комбинаций S-функций в пространстве Г.
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н)
Пусть Н — гильбертово пространство. Мы изложим в этом добавлении
элементарные вопросы, связанные с описанием идеалов алгебры В(Н).
D.I. Эрмитовы операторы. Фиксируем аеВ(Н) и напомним (п. 5.11),
что норма оператора а совпадает с супремумом |(аж, у)\ при ж, г/еГ, где Г —
единичная сфера, выделяемая уравнением ||ж|| = 1.
Если а—эрмитов оператор, то форма /а(ж, у) = (аж, у) выражается по
правилу (5.8) через квадратичную форму <ра(х) = (аж, ж). В частности, из
оценки |у>а(ж)| < а||ж||2 получаем
| Re(ax, у)\ < f (||* + „||> + ||х - у||«) = § (||*||> + ||у||>) = а,
где ж, уеТ. Заменяя у на уе* при надлежащем <р, можно превратить левую
часть этого неравенства в |(аж, у)\, откуда ||а|| < а. Выбирая в качестве а
супремум \ipa\ на сфере Г, получаем также а < ||а||. В результате
||а||=8ир|(аж,ж)|. (D.1)
х€Г
Таким образом, норма оператора а выражается равенством (D.1) через
его квадратичную форму <ра. Можно также доказать (упражнение), что
супремум в (D.1) достигается, т. е. совпадает с максимумом \<ра\.
D.2. Лемма. Если а = а*> mo хотя бы одно из чисел а =±||а|| есть
«аппроксимативное собственное значение» оператора а. А именно,
существует последовательность хп е Г, для которой
||ажп-ажп||-+0. (D.2)
Доказательство. Заметим, что
|(аж,ж)|<||аж||<||а|| (D.3)
для всех ж еГ. Согласно (D.1) существует последовательность хп е Г, для
которой |(ажп, жп)| —► ||а||. Заменяя хп на подходящую подпоследовательность,
можем также считать, что (ажп, жп)—> а, где а = ±||а||. Согласно (D.3)
имеем ||ажп|| —► а. Отсюда
||ажп - ажп||2 = ||ажп||2 - 2а(ажп, жп) + а2 -> 0.
D.3. Следствие. Если а —компактный эрмитов оператор иНфО, то
хотя бы одно из чисел а =±||а|| есть собственное значение оператора а.
Действительно, из компактности оператора а следует существование
предельной точки для семейства ахп в (D.2). Заменяя жп подходящей
подпоследовательностью, можем считать, что ахп —> у при некотором у е Н.
Согласно (D.2) имеем также ажп —* у. Достаточно рассматривать случай а ф0
(в противном случае а = 0). Отсюда хп —> ж, где ж = у/а. Применяя (D.2),
получаем ах = аж. Остается заметить, что ||ж|| =lim ||жп|| = 1, так что ж ф0.
31 Зак. 184
474 ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н)
D.4. Теорема Гильберта. Докажем теорему 5.14. Пусть М —
замыкание линейной оболочки подпространств Нх (п. 5.14). Тогда имеем (п. 5.9):
М = еЯл. (D.4)
Заметим, что аМсМ, откуда оМ1 с М1 (п. 5.12). Подпространство ML
не содержит ни одного собственного вектора, что возможно (в силу
следствия D.3) только при М-1 =0. В результате М = Н, что доказывает основную
часть теоремы 5.14.
Если Л ф 0, то ЯА не содержит ни одной ортонормированной
подпоследовательности. Это ясно из равенства
IK-aeJ' = |AHen-eJP = 2|A|',
которое противоречит компактности оператора а (из
последовательности аеп нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность). Поэтому
dim ЯА <оо.
Аналогично, пусть Н(6) — сумма подпространств ЯА при |А|^5>0.
Полагая еп € ЯЛ, етеН^ в Я(£), получаем
\\аеп-ахт\\>>26\
откуда, как и выше, заключаем, что dim H(6) < оо.
Таким образом, оператор а имеет лишь конечное число собственных
значений Л при |Л| ^ 6. Заменяя 6 на 8п ->0, находим, что число собственных
значений оператора а не более чем счетно. Более того, если число
собственных значений счетно, то они образуют последовательность, сходящуюся к 0.
Замечание. Подпространство Я0 может иметь произвольную
размерность. Действительно, оператор a = 0 компактен в любой размерности.
D.5. Операторы Гильберта — Шмидта, Фиксируем аеВ(Н) и для
каждого ортонормированного базиса e = (ei)t€/ в пространстве Я положим
"(a,e) = £IK||2 = £Kyl2, (D.5)
где ai:j = (ае , е{) — матричные элементы оператора а. Покажем, что
определение (D.5) не зависит от выбора базиса е. Действительно, для каждого
иного ортонормированного базиса / выражение (D.5) есть сумма двойного
ряда с элементами \а{.\2 = |/?.у|2, где
<Ч = (ае,., /у) = (е,., с?/у) = ^.
Согласно этому замечанию, имеем
u;(a,e) = u;(a*,/). (D.6)
В частности, (D.5) не зависит от выбора е. Соответственно, мы будем
использовать обозначение ш(а) вместо ш(а, е).
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н) 475
Оператор аеВ(Н) называется оператором Гильберта—-Шмидта, если
ш(а) < оо. Согласно (D.6) в этом случае оператор а* есть также оператор
Гильберта — Шмидта, ш(а) = ш(а*).
Пример. Используя (5.31), находим, что каждый оператор Фредгольма
в L2(T, р,) есть оператор Гильберта — Шмидта. А именно, в этом случае
и;(а) = ||#||2<оо.
D.6. Теорема. Пусть S2(H) — множество всех операторов
Гильберта—Шмидта в пространстве Н. Тогда имеем:
(a) S2(H) есть гильбертово пространство с нормой
\\а\\2 = (и>(а))1>2. (D.7)
(/?) S2(H) есть идеал алгебры В(Н). Более того, для элементов ае
е S2(H), Ь е В(Н) выполняется оценка
HIUNMIbll, ll4s<ll»IIHIr (D.8)
(7) Каждый оператор Гильберта — Шмидта компактен, т. е.
S2(H)cK(H), (D.9)
где К(Н)--идеал компактных операторов в В(Н).
Доказательство. Отображение ан-»(а^) переводит S2(H) в
пространство ^, составленное из последовательностей (aiy), для которых
правая часть (D.5) конечна. Обратное отображение определяется
координатным правилом
«,=Ew- (°л°)
з
А именно, если (a{j) € ij, то не более счетного числа элементов a{j отлично
от нуля. Более того, из неравенства Коши — Буняковского имеем
ЫЧ(£К12)И2,
3
откуда, суммируя по i, получаем ||у|| < ||а||2||х||. В результате (D.10)
определяет линейный оператор ае S2(H), для которого
||a||<||a||2<oo. (D.11)
Остается заметить, что преобразование аь->(а{з) изометрично, т. е.
определяет изоморфизм гильбертовых пространств S2(H) w ^, и также
a;(ba) = EI|baeJ|4||b||2a;(a)1
откуда следует (D.8) для оператора Ьа. Применяя сопряжение, получаем
и(аЬ) = ш(Ь*а*) ^ \\Ь*\\2ш(а*) = ||Ь||2а;(а),
31*
476
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н)
откуда следует (D.8) для оператора аЪ. Используя (D.8), находим, что S2(H)
есть идеал алгебры В(Н).
Для доказательства (D.9) достаточно рассмотреть случай, когда Н счет-
номерно, так что действие (D.10) записывается в виде
00
2/n = /Ld anmXm'
Пусть а(п) — усечение оператора а, определяемое матрицей aW = a{j при
h 3 ^ n» ajy> = 0 в остальных случаях. Оператор a<n) конечномерен и потому
компактен. Используя (D.11), находим
||a-a<»>||<||a-a<»>||2-»0.
В результате a = lim a(n) есть компактный оператор.
п
Пример. Теорема Гильберта (п. D.4) применима к каждому эрмитову
оператору a е 52(Я). Вычисляя ш(а) в собственном базисе оператора а,
получаем
«(a) = £«?,
t
где а{ (г G J) — семейство всех собственных значений оператора а.
D.7. Ядерные операторы. Пусть а€В(Н). Для каждого ортонормиро-
ванного базиса е в пространстве Н положим
tr(a,e) = £<v (D.12)
Оператор а называется ядерным (или оператором со следом), если
ряд (D.12) абсолютно сходится и не зависит от выбора базиса е. Число
tra = tr(a, e) называется следом оператора а.
Примеры. 1. Если а^ 0, то а= б2, где 6 ^ 0 (п. 54.2). В этом случае
tr(a,e) = £b^ = u;(b,e)
не зависит от базиса е. Более того, ядерность оператора а равносильна
Ь е S2(H), так что
tra= ш(Ь) <оо.
2. Если а= Ьс, где Ь, с € 52(Я), то имеем
*(а,е) = £Ь^ = (Ь,с*),
где (•, •) — скалярное произведение в S2(H).
В частности, мы видим, что скалярное произведение в S2(H)
записывается в виде
(b,c) = trbc\
Для дальнейшего исследования следов нам понадобится полярное
разложение в алгебре В(Н).
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н) 477
D.8. Теорема. Каждый оператор аеВ(Н) допускает единственное
(полярное) разложение следующего вида:
a = ws, (D.13)
еде s^0,u — частичная изометрия, определяемая как изометрия ims «
«ima, равная нулю на (ims)1- = ker s = кег а. Более того, в этом случае
s = (a* a)1/2, s = u*a. (D.14)
Доказательство. Заметим, что a*a^0, так что первая часть в (D.14)
корректно определена. Помимо этого, имеем
||аж||2 = (а*ах, х) = (s2x, х) = ||зж||2,
откуда ker а=кег 5 и оператор u(sx) = ax определяет изометрию ims «ima.
Полагая и = 0 на (ims)1, получаем единственную пару (гх, s), для которой
выполняются условия теоремы.
Замечания. 1. Оператор \а\ = s называется модулем оператора а.
2. Если оператор а обратим, то оператор и в (D.13) унитарен.
D.9. Теорема. Каждый эрмитов оператор аеВ(Н) обладает
следующим «разложением Жордана»:
а=а+ — а_у где a±^0. (D.15)
В частности, можно положить а± = ^(l^l ± а), где \а\ = (а2)1/2. В этом
случае
|а| = а+ + а_, а+а_ = а_а+=0. (D.16)
Более того, пространство Я обладает ортогональным разложением
Н = Н+®Н_, где а+Я_ = а_Я+=0. (D.17)
Доказательство. Используя определение операторов а±, данное
в теореме, получаем (D.16) и первую часть (Р. 15). Полагая Я+ = кега_,
получаем а_Я+=0. Полагая Я_ = Н£ = ima, заметим, что a+(ima_) = 0,
откуда a+ff_ =0. В результате имеем (D.17).
Остается заметить, что а+ = а= \а\ на Н+, а+ = 0 на #_, откуда a+ ^ 0
во всем пространстве Я. Аналогично, а_ =0 на Я+, а_ = —а= \а\ на Я_,
откуда a_ ^ 0 во всем пространстве Я.
Замечание. Соотношения (D.15), (1X16) следуют также из
рассмотрения коммутативной С*-алгебры С(а)«С(Д) (п. 54.1).
Упражнение. Подпространство Я+ = kera_ максимально среди
подпространств L с Я, инвариантных относительно а и удовлетворяющих
условию a\L ^0. В частности, кегасЯ+. [Указание: a^0<=>a= |a|.]
D.10. Теорема. Пусть SX(H) —множество всех ядерных операторов
в пространстве Я. Тогда имеем:
(a) SX(H) есть линейная оболочка операторов вида be, где Ь,се
€ 52(Я). Символически
51(Я) = 52(Я)2. (D.18)
В частности, S{(H) с К(Н) и S{(H) есть идеал алгебры Я (Я).
478
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н)
(/?) Условие aeSx(H) равносильно \а\ € SX(H).
Доказательство. Если ае Sx(H)f то trа можно вычислить в
разложении (D.17), откуда а± е S{(H), \a\ е 5,(Я). Более того, из (D.15)
следует, что а= Ь2 - с2, где b,ce S2(H) (п. D.7), так что aeS2(H)2. Обратно,
52(Я)2 с SX(H) (п. D.7). В результате имеем (а). Помимо этого, из
полярного разложения (D.13) и условия s = \а\ е S^H) следует ае S{(H).
По и м е р. Теорема Гильберта (п. D.4) применима к каждому эрмитову
ае S>i(H). Вычисляя tr а в собственном базисе оператора а, получаем
tra = X)a, (D.19)
(в обозначениях п. D.6).
Упражнение. Положим а е 5, (Я), Ь е Я (Я). Докажите, что
trab = trba. (D.20)
[Указание: разложите оператор В в линейную комбинацию унитарных
операторов (п. 56.8).]
D.11. Теорема. S{(H) есть нормированное пространство
относительно «ядерной нормы*
Nl.-trlal. (D.21)
Линейный функционал а ь-> tr а удовлетворяет оценке
ItraKNl! (D.22)
и потому непрерывен в S{(H). Более того,
\\а\\{ = max | tr ab\ = max | tr ba | (D.23)
для всех ае S{ (Я), где Г — единичная сфера в Я (Я).
Доказательство. Начнем с оценок (J9.23). Полагая а=ш, Ьа =
= vt (полярные разложения), получаем t =v*bus. Вычисляя ||Ьа||, =trt в
собственном базисе оператора з (зе{ = <т.е(), получаем
IIMIi = Е(*Ъи*е<, е<) < ||6|| J>4 = \\b\W\a\U
г г
(поскольку ||и||, ||v|| ^ 1). В частности, \\а\\{ есть верхняя грань чисел |Щ|19
где ЬеГ. Полагая Ь = и*, находим, что эта верхняя грань достигается, откуда
следует (D.23) для оператора Ьа. Из равенства ||а||, = \\а*\\{ следует (D.23)
для оператора ab.
Используя одно из равенств (D.23), легко проверить, что || • \\х есть норма
в 5, (Я). Полагая в (D.23) 6 = 1, получаем (D.22). Более того, функционал
а\-* tr а имеет единичную норму в 5,(Я).
Упражнение. Докажите, что ||а||2 < ||а|||. [Указание: достаточно
проверить эту оценку для оператора s = |а|.]
ДОБАВЛЕНИЕ D. АЛГЕБРА В(Н) 479
D.12. Теорема. S{(H) полно (относительно нормы (D.21)).
Доказательство. Легко проверить (упражнение) следующий общий
критерий: нормированное пространство полно тогда и только тогда, когда
в нем всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Абсолютная сходимость
ряда из операторов ап е 5, (Я) означает, что
£ IKIli < оо, (D.24)
откуда следует также (см. упражнение в конце п. D.11) абсолютная
сходимость в S2(H). Используя полноту S2(H), получаем оператор
a=£an€S2(H). (D.25)
п=1
Из оценки (D.22) следует, что ряд из чисел tr an также абсолютно сходится.
Более того, tr an есть сумма абсолютно сходящегося (счетного) ряда из
матричных элементов (апе0 е{). Поэтому tr а существует (как сумма двойного _
ряда), т. е. aeSx(H).
Упражнения. 1. Подпространство конечномерных операторов всюду
плотно в 5, (Я).
2. Билинейная форма
<a,b)=trab (D.26)
определяет общий вид линейного непрерывного функционала в 5, (Я) (ае
е SX(H), Ь е Я (Я)). В этом смысле
5,(Я)*«£(Я). (D.27)
Замечание. Билинейная форма (D.26) интерпретируется в квантовой
механике как среднее значение (математическое ожидание) «наблюдаемой»
аеВ(Н) в «состоянии» Ь е £2, где £1С 5,(Я) — подмножество операторов
Ь ^ 0, нормированных условием tr Ь = 1. Оператор Ь € & называется
оператором плотности соответствующего статистического ансамбля квантовой
механики. См., например, [ФЯ], [Хо].
Легко проверяется, что Q есть замкнутое выпуклое множество в SX(H).
Одномерные ортопроекторы р € Я (Я) суть крайние точки множества &.
Применяя теорему Гильберта к оператору Ь е С1, получаем
b = t/3iPi, (D.28)
1 = 1
где Д суть отличные от нуля собственные значения оператора 6, р{ —
соответствующие одномерные ортопроекторы. В частности, X) А = 1» так
что (D.28) есть счетный аналог выпуклой комбинации в 5,(Я).
Соотношение (D.28) есть специальный случай теоремы Крейна — Миль-
мана для множества и.
ЛИТЕРАТУРА*)
[All Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Фазис,
1999.
[А 2] Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. — R&C Dynamics, 2000.
[AM] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир,
1972.
[Бан] Банах С. Теория линейных операций. — Москва-Ижевск. R&C Dynamics, 2001.
[Бах] Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. — М.: Наука, 1990.
[БГГ] Бернштейн И. Н„ Гельфанд И. М., Гельфанд С. И. Структура
представлений, порожденных векторами старшего веса // Функц. анализ и его прил. — 1971.—
№5.-С.К
[Бер] Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с некоммутирующими переменными.—
М.: МГУ, 1983.
[Бор] Боре ль А. Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1983.
[БР] Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая
механика. — М.: Мир, 1982.
[Б1] Бурбаки Н. Алгебра (I, II, III) — М.: Наука, 1962, 1965, 1966.
[Б 2] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (I—III, IV-VI, VII-VIII, IX). — М.: Мир, 1976,
1972, 1978, 1986.
[БЗ] Бурбаки Н. Интегрирование (I-V, VI-VIII, IX). — М.: Наука, 1967, 1970, 1977.
[Б 4] Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка
результатов.— М.: Мир, 1975.
[Б 5] Бурбаки Н. Общая топология. — М.: Физматгиз, 1958.
[Б 6] Бурбаки Н. Спектральная теория. — М.: Мир, 1972.
[Б 7] Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.
[Б 8] Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: ИЛ, 1959.
[В] В е й л ь А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ,
1950.
[В 1] В е й л ь Г. Классические группы, их инварианты и представления. — М.: ИЛ, 1947.
[В 2] В е й л ь Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука, 1986.
[Вил] Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. — М.:
Наука, 1965.
[Вин1] Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 1999.
[Вин 2] Винберг Э. Б. Компактные группы Ли (учебное пособие). — М.: МГУ, 1967.
[ВО] Винберг Э. Б., О н и щ и к А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим
группам. — М.: УРСС, 1995.
[ВШ] Верещагин Н., Шень А. Начала теории множеств. — М.: МЦНМО, 1999.
[Гор] Гординг Л. Аналитические векторы в представлениях групп Ли. Математика
(сборник переводов). — (1965). — 9:5. — С. 78-94.
[ГГ] Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. — М.: Мир, 1981.
[ГН] Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Унитарные представления классических
групп // Труды МИАН. — 1950.
[ГК] Гельфанд И. М., Кириллов А. А. Структура тела Ли, связанного с полупростой
расщепимой алгеброй Ли // Функц. анализ и его прил. — 1969. — № 3. —С. 7-26.
[ГР] Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. — М.: Мир, 1993.
*) В этом списке, далеко не претендующем на полноту, собраны, главным образом,
монографии, имеющие отношение к тематике этой книги. Журнальные статьи включаются в
список лишь в исключительных случаях, когда ссылка на книжную литературу затруднительна.
ЛИТЕРАТУРА 481
[ГРШ] Гельфанд И. Мм Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные
нормированные кольца. — М.: Физматгиз, 1960.
[Де] Демидов Е. Квантовые группы. — М.: Факториал, 1998.
[Д1] Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. — М.: Мир, 1978.
[Д2] Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974.
[Дже] Джекобсон Н. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
[Джо] Джозеф A. (Joseph A.) Quantum Groups and their Primitive Ideals — Springer, 1995.
Др] Дринфельд В. Г. (Drinfeld V. G.) Quantum Groups // Proc. of Intern. Congress Math.
'Berkeley 1986). Providence, RI. AMS. — 1987.-—P. 798-820. Русский перевод в кн. «Записки
ЙОМИ», 155. —М.: Наука, 1986. —С. 18-49.
Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.—М.: Наука,
\1
1970.
970.
[Ж2] Желобенко Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах
Ли. —М.: Наука, 1974.
[ЖЗ] Желобенко Д. П. Представления редуктивных алгебр Ли. — М.: Наука, 1994.
[Ж4] Желобенко Д. П. Введение в теорию представлений. — М.: Факториал, 2001.
[Ж5] Желобенко Д. П. Классические группы. Спектральный анализ конечномерных
представлений // Успехи матем. наук.— 1962. — Т. 17, МЬ 1. — С. 27-120.
[Ж6] Желобенко Д. П. Конструктивные модули и экстремальные проекторы над
алгебрами Шевалле // Функц. анализ и его приложения. —1993. — Т. 27, МЬ 3. — С. 5-14.
[Ж7] Желобенко Д. П. Об алгебрах Вейля над квантовыми группами // Теор.
матем. физика. — 1999. —Т. 118, № 2. —С. 190-204.
[ЗС] Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра (I, II). — М.: ИЛ, 1963.
[3TJ Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Москва-Ижевск. R&C Dynamics,
2001.
[К] К а р т а н Э. Избранные труды. — М.: МЦНМО, 1998.
[Кап] Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные группы. — М.: Мир, 1974.
[Кае] Кассель К. Квантовые группы. — М.: Фазис, 1999.
[Кац] Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993.
[Каш 1] Кашивара М. (Kashiwara M.) The universal Verma module and the ^-function // In:
Algebraic Groups and Related Topics (Kyoto-Nagoya 1983), North-Holland. —1985. — P. 69-81.
[Каш 2] Кашивара M. (Kashiwara M.) Crystalyzing the ^-analogue of universal enveloping
algebras // Comm. Math. Phys. —1990. —V. 122, № 70.—P. 249-260.
[Ke] К е л л и Д ж. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
[Кир] Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978.
i а п п А. В. (Knapp A. W.) Representation Theory of Semisimple Groups. — Princeton
1986.
Кон н A. (Connes A.) Non commutative differential geometry // Publ. Math. IHES. —
1986".—V. 62. —P. 257-360.
[KK] Кац В. Г., Каждан Д. А. (Кае V. С, Kazdan D. A.) Structure of representations
with highest weight of infinite dimensional Lie algebras // Adv. in Math. — 1979. —V. 24. —
P. 97-108.
[КР] Кэртис X., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных
алгебр. — М.: Наука, 1968.
[КФ] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории представлений. — М.:
Наука, 1978.
[Л 1 ] Л е н г С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
[Л2] Ленг С. SLgOR). —M.: Мир, 1977.
[Лю] Л ю м и с Л. Введение в абстрактный гармонический анализ. — М.: ИЛ, 1956.
[Ml] Maнин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984.
Й\2] Манин Ю. И. (Manin Yu. I.) Quantum Groups and Noncommutative geometry.—
ontreal PQ, 1988.
[Кн] Kh*
U. P., 198
482
ЛИТЕРАТУРА
[М] М е р ф и Д ж. С*-алгебры и теория операторов. — М.: Факториал, 1997.
[Moll Molev A. A basis for representations of symplectic Lie algebras // Comm. Math.
Phys. —1999.— V. 201. —P. 591-618.
[Mo 2] Molev A. Gelfand — Tsetlin bases for classical Lie algebras // School of Mathematics
and Statistics. —Univ. of Sidney: Australia, 2002. P. 120-181.
К] Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — М.:
ир, 1971.
[HI] Наймарк М. А. Нормированные кольца.—М.: Наука, 1968.
[Н 2] Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
1Нер] Неретин Ю. А. Категории симметрии и бесконечномерные группы. — М.: УРСС,
998.
[Нес] Неструев Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые. — М.: МЦНМО, 2000.
[НФ] Новиков С. П., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной геометрии и
топологии. — М.: Наука, 1987.
[Он] О н и щ и к А. Л. Топология транзитивных групп преобразований. — М.: Физ.-мат.
литература, 1995.
[Пи] Пирс Р. Ассоциативные алгебры. — М.: Мир, 1986.
[По] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973.
[Р] Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
[С 1] С е р р Ж.-П. Группы Ли и алгебры Ли. — М.: Мир, 1969.
[С2] Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. —М.: Мир, 1970.
[Са] Сакаи С. (Sakai S.) C*-algebras and W*-algebras. — Springer, 1871.
[Ста] Старков А. Н. Динамические системы на однородных пространствах. — М.: Фазис,
1999.
[Ст] Стернберг P. (Steinberg R.) Invariants of finite groups generated by reflections //
Canad. J. Math. —1960.— V. 12. —P. 616-618.
[Сте] Стейнберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970.
[СВ] С т е й н И., В е й с Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах.— М.: Мир, 1974.
[Т] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар «Софус Ли». — М.: ИЛ, 1962.
[У] У и т н и X. Геометрическая теория интегрирования. — М.: ИЛ, 1960.
[У 1] У о р н е р Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. — М.: Мир, 1987.
[У 21 У о р н е р Д ж. (Warner G.) Harmonic analysis on semisimple groups (I, II). — Springer,
1972.
[Ф] Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. — М.: Наука, 1984.
[ФЯ] Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для
студентов-математиков. — Изд-во ЛГУ, 1980.
[XI] Халмош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.
[Х2] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — М.: Мир, 1970.
[Ха 1] Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980.
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — М.: МЦНМО,
[Хе] Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. — М.: Мир, 1987.
[Хо] X о л е в о А. С. Введение в квантовую теорию информации. —М.: МЦНМО, 2002.
[ХР] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ (I, И). — М.: Наука,
1976.
[ЧП] Чари В., Прессли A. (Chari V., Pressley A.) A guide to Quantum Groups. —
Cambridge U. P., 1995.
[Ill] Шаповалов Н. Н. Об одной билинейной форме над универсальной
обертывающей алгеброй комплексной полупростой алгебры Ли // Функц. анализ и его приложения. —
1972.—Т. 6, № 4. —С. 65-70.
[Ха2]
2003.
ЛИТЕРАТУРА 483
[Ш1] Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматгиз, 1960.
[Ш2] Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука,
[Ша] Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии (I, II). — М.: Наука, 1988.
[Ше] Шевалле К. Теория групп Ли (I, II, III).—M.: Мир, 1948, 1958, 1958.
[Шеф] Ш е ф е р X. Топологические векторные пространства. —М.: Мир, 1971.
[ЭШ] Энок М., Шварц Ж.-М. (Enock M., Schwartz J.-M.) Kac Algebras and Duality of
Locally Compact Groups. — Springer, 1992.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 10
— Картана 272
— структуры 13
— Шевалле 269
аксиома ассоциативности 9
— счетности вторая 163
первая 163
алгебра 12
— ассоциативная 12
— банахова 246
полупростая 355
унитальная 246
— вейлевского типа 438
— Вейля 101, 407
ассоциированная с
дуальной парой 409
— Винера 347
— Витта 154
— внешняя 92
— гауссова 435, 438
совершенная 438
— градуированная 86, 411
— Грассмана 92
— групповая 76, 189, 195
— т-дифференцируемая 412
— Дринфельда — Джимбо
415
— картановского типа 440
— касательная 225
— Каца — Муди 158
— квантовая Серра 414
— Клиффорда 93, 256
— коммутативная 12
— контрагредиентная 437
— Ли 117
ассоциированная с
группой Ли 225
с формальной
группой 224
аффинная 158
линейная 151
нильпотентная 122
ортогональная 151
полупростая 123,
133, 139, 267
простая 133
комплексная 269
разрешимая 122
редуктивная 133, 267
свободная 121, 145
симплектическая 152
— Ли — Гейзенберга 123,
264
— невырожденная 412,438
алгебра нормированная 346
— полиномов на
многообразии 209
— полупростая 65
— простая 65
— противоположная 61
— рациональных функций
на многообразии 209
— тензорная 50
— типа (Г,т) 412
— унитальная (алгебра с
единицей) 12, 70
полупростая слева
71
справа 71
примитивная слева
71
справа 71
— универсальная
обертывающая 134
— фон Неймана 379, 380
— формальных рядов 95
— Хопфа 400, 404
— Aexi 442
— A(G) 309, 310, 325
— Aq(t) 427
— Л(Х) 327
— В(Х) 347
— C*(G) 386
— С(К) 347
— С(Д) 359
— DQ(G) 194
— Dq(G) 439
— Diff(Fn) 88
— DiffM 258
— F[x] 29, 87
— F[[s]]95
— F[S] 55
" ^extOO 293
— flrtto) 294
— L,(G) 190
— Mq(G) 193
— S(X) 90
— T(X) 50, 89
— Z(q) 286
— A(X) 92
— U(s) 133
— CTfta)413
— sl(2) 154
— 5(a) 155, 157
С*-алгебра 350, 365
аннулятор 65
антикоммутатор 93
антипод 404, 405
атлас многообразия 215
полный 216
База топологии 162
базис пространства 16
— Картана — Вейля 265
— системы корней 451
— собственный 45
— свободного модуля 66
биалгебра 403
бикоммутант А -модуля 69
— S-модуля 59
бимодуль 62
— унитальный 63
Вектор 11
— голоморфный 252
— дифференцируемый 251
бесконечно
(аналитический) 251
— касательный 217
— кокасательный
(дифференциал) 217
— примитивный 283
— собственный 23
— циклический 27, 372
— р-вектор 92
вектор-функция 173
вес фундаментальный 282
высота нильпотентности 31,
122, 203
— разрешимости 122, 203
Генетика группы 84
гиперплоскость 21
гомеоморфизм
аналитический 216
— класса Ск 216
гомоморфизм 12
— биалгебр 232, 403
— диагональный 139
— S -модулей 58
— симметричный 372
— Хариш-Чандры 288
«-гомоморфизм 372
гомотопия 240
Q -градуировка 269,273,416
граф Кокстера 461
группа 10
— абелева 10, 392
— автоморфизмов 10
— алгебраическая 210,211
— Вейля WG(H) 314
W(g,b) 314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
485
группа вещественная 213
— гауссова 306
— гомотопическая точки
241
группа квантовая 400, 428
— Ли (группа
аналитическая) 221
компактная 307
линейно редуктивная
301
локальная 233
нильпотентная 301
полу простая 301, 318
простая 301
разрешимая 301
редуктивная 301
симметричная 302
— линейная 201, 324
— локальная 223
Кэмпбелла — Хаус-
дорфа 228
— накрывающая 244
— присоединенная 250
— однопараметрическая 177
— ортогональная 254
— полная линейная 164
— симплектическая 255
— спинорная 255, 336
— топологическая 163
нильпотентная 203
разрешимая 203
— унимодулярная 187
— унитарная 164, 255
— формальная (групповой
закон) 223, 228
— фундаментальная
пространства (группа
Пуанкаре) 242
—- характеров 211
— G{A) 347
— GL(n) 332
— SL(n) 333
— SO(2n) 335
— SO(2n+ 1) 335
— Sp(2n) 333
— Spin(n) 336
группы классические 331
Действие левое 52
— правое 52
— транзитивное 54
делитель нуля 112
детерминант оператора 23
— квантовый 431
диффеоморфизм 216
дифференцирование
алгебры Ь4
Ли внутреннее 117
г-дифференцирование 412
дифференциал G-модуля 251
— представления группы 248
дифференциал формального
ряда 98
дополнение ортогональное 42
дуальность алгебры Хопфа
406
Единица
аппроксимативная 368
— главная 379
Задача Коши 100
закон редукции 339
замыкание алгебраическое 22
— множества 161
значение собственное 23
— среднее 76
Идеал двусторонний 65
— левый 65
максимальный 112
— максимальный 353
— правый 65
— производный 119
— собственный 353
д-инвариант 118
изоморфизм локальный 218
интеграл Римана 161, 163,
173, 252, 364
— Лебега 174
— инвариантный двусто-
ронне 183
интерьер (внутренность)
множества 161
исчисление функциональное
30, 358, 363
Камера Вейля 456
карта на многообразии 215
категория 14
— векторных пространств
14
— групп 14
— дуальная 14
— А -модулей 62
— множеств 14
— £(е) 443
— Оы 421
— Oreg 448
— О(е) 446
кватернион 255
клетка жорданова 27
коалгебра 400
— кокоммутативная 401
— противоположная 401
кольцо 10
— артиново 109
— коммутативное 10
— полупростое 109, 112
— простое 109
— с единицей 10
— формальных экспонент 277
кольцо частных 113
комбинация линейная 15
компонента изотипическая
82
координаты вектора 16, 39
коммутант А-модуля 69
коммутант S -модуля 58
коммутатор 62
— групповой 202
т-коммутатор 412
компакт 165
комплексификация
пространства 52
компонента связная 165
константы структурные
алгебры Ли 120
координаты локальные 215
корень отрицательный 452
— положительный 452
— простой 452
коэффициенты Фурье 39
критерий обратимости 97,
354
— редуктивности 144
Лемма Квиллена 59
— Урысона 166, 167
— Шура 59
, аналог 376
Матрица Картана 158,
458
неразложимая 460
обобщенная 158,462
разложимая 460
симметризуемая 459
матрица оператора 17
— жорданова 27
— Янга — Бакстера (Л
-матрица) 430
матрицы подобные 20
мера борелевская 182
левоинвариантная
183
правоинвариантная
183
— инвариантная 181, 188
двусторонне 183
— квазиинвариантная 188
— конечная 182
— локально конечная 182
— проекционная в
гильбертовом пространстве 360
— регулярная 183
— Хаара 186
многообразие 215
— алгебраическое 208
— аналитическое 216
— аффинное 210
многочлен от независимой
переменной 29
486 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
многочлен
характеристический 23
множество всюду плотное
161
— выпуклое 168
— замкнутое 160
— открытое 160
— резольвентное 347
— связное 165
модуль Верма 273, 275, 441
со старшим весом
274
универсальный 274,
436
— категории О 283
— корректный 277
— рациональный 277
— спинорный 337
— экстремальный 275
— V(X) 276
— V* в V* 343
Л-модуль 54, 109
— артиновый 109
— диагональный 68
— индуцированный 113
— полупростой 63
— примитивный 67
— простой 63
— свободный 66
— топологический 181
— унитальный 53
G-модуль 54
— аналитический 252
— голоморфный 252, 303
— дифференцируемый 252
— допустимый 195
— топологический 175
— унитарный 57
g-модуль конечномерный 280
5-модуль левый 52
— полупростой 57
— простой 57
— редуктивный 57
— симметричный 57
— топологический 181
морфизм алгебраических
структур 13
— S-модулей 58
Набор финитный 20
накрытие кратное 243
— односвязное 243
направленность
фундаментальная 173
неравенство Бесселя 39
— Гёльдера 189
— Коши — Буняковского
38
— Шварца 37
нильпространство 26
нильрадикал алгебры Ли 123
норма равномерная 34
нормализатор подалгебры 129
— подгруппы 305
нормировка Шевалле 270
носитель множества 379
Оболочка квантовая 415
— комплексная 303
— линейная 15
формальная 16
образующие Шевалле
алгебры Ли 266
объект категории 14
овеществление
комплексного пространства 213
окрестность 160
— базисная 162
— симметричная 163
оператор антиэрмитовый 44
— блочно-диагональный 12
— Гильберта — Шмидта
474
— индуцированный 22
— компактный 44
— линейный 12
— ограниченный 35
— Q-однородный 295
— Z-однородный 295
— положительный 44
— проекционный 28
— сопряженный 20, 43
— унитарный 44
— усреднения 76
— Фредгольма 45
— циклический 27
— эрмитовый 44, 473
— ядерный 476
операция векторная 11
определитель оператора 23
ортопроектор 43
отображение касательное 218
— корегулярное 219
— линейное 11
— непрерывное 161
— открытое 161
— полилинейное 12
— регулярное 219
— экспоненциальное 238,
314
Параметры двойственные
по Юнгу 189
подалгебра 12
— алгебры Ли борелевская
267, 274, 437
инволютивная 273
картановская 129,
260, 274
производная 119
регулярная 130
С*-подалгебра 352
— борелевская 420, 437
— картановская 420, 437
подгруппа 10
— алгебраическая 211
— борелевская 320
— виртуальная 240
— картановская 306
— Ли 222, 226
— локальная 234
— однопараметрическая 237
— производная 202
подкатегория 14
подкольцо 10
подмногообразие 220
подмножество
мультипликативное (мультипликативно
замкнутое) 113
— открытое 160
— замкнутое 160
подмодуль 5-модуля 56
— циклический 63
подпространство 12
— Гординга 251, 252
— инвариантное 22
— корневое 26, 126
— собственное 26
— экстремальное 296
— экстремальное
(вакуумное) 104, 296
поле 10
— алгебраически
замкнутое 22
— векторное 153, 218
левоинвариантное
225
правоинвариантное
225
— характеристики нуль 22
— частных (поле
отношений) 113
поливектор ранга р 92
полином в векторном
пространстве 88
полугруппа 9
— коммутативная 9
— однопараметрическая 177
— с единицей 9
полунорма 33
— базисная 168
полунормы эквивалентные 35
порядок нормальный 456
последовательность
сходящаяся 160
правило ветвления 341
— подстановки 97
— поляризации 38
предбаза топологии 162
предел проективный 442
представление алгебры Ли
коприсоединенное 139
присоединенное
117
тождественное 118
тривиальное 118
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 487
представление алгебры Хоп-
фа присоединенное 406
— С*-алгебры 372
невырожденное 376
циклическое 376
— вполне приводимое 57
— группы 211
Ли 247
присоединенное
250
— неприводимое 57
—■ раздельно непрерывное
175
— регулярное левое 77
правое 77
— структуры 52
— унитарное 178
— циклическое 372
преобразование Гельфан-
да 355, 356
— Фурье 392
проблема Гильберта V 246
проектор экстремальный 297,
446
проекция каноническая 21
произведение полупрямое
алгебр Ли 250
групп 250
подалгебр 143
подгрупп 189
— тензорное G-модулей
56
0-модулей 118
полное 98
пространств 46
— свободное 62
— Юнга 328
— скалярное 36
производная многочлена 30
— функции по
направлению 217 <
пространство
бесконечномерное 16
— банахово 33
— векторное над полем 11
двойственное 171
— гильбертово 40
— евклидово 37
— касательное 217
— квазиполное 173
— компактное 165
— конечномерное 16
— локально евклидово 167
компактное 167
— накрывающее 243
—- нормированное 33
— однородное 54
— односвязное 242
— полное 173
— полурефлексивное 172
— рефлексивное 172
— связное 165
пространство
секвенциально полное 173
— сепарабельное 42
— сопряженное 18, 172
— топологическое 160
векторное (ТВП) 167
локально
выпуклое (ЛВП) 169
— унитарное 36
— Hom(5r, Y) 49
— Lp(Xifi) 189
^-пространство 54
!Zj-пространство 161
^-пространство 162
пространства унитарные
изоморфные 40
пути гомотопные 241
путь в пространстве 240
— гомотопный нулю 241
— замкнутый 241
Равенство
параллелограмма 38
радикал алгебры Ли 123
— Джекобсона 112
радиус спектральный 350
разложение Гаусса 205,304,
319
бинарное 334
— единицы ортогональное
29
— Жордана 365, 371, 477
— Ивасавы 305, 320
— Картана 273
— полярное 208, 323, 367,
383, 477
— приведенное 454
— треугольное 153, 156,
265, 419
— Фиттинга 127, 130
регулярное 130
размерность многообразия 215
— пространства 16
ранг алгебры Ли 261
— модуля 66
расширение алгебры 12
— группы 10
— векторного
пространства 12
— поля коэффициентов 52
редукция GL(n) J. GL(n - 1)
340
— SO(n)|SO(n-l) 341
— Sp(2Jfe)lSO(2Jfe-2) 342
решетка картановская 324
— 5-модуля 57
ряд композиционный
(Жордана—Гёльдера) 112
— Кэмпбелла — Хаусдор-
фа 148
— Пуанкаре 145
— формальный 95, 223
ряд формальный сходящий-
— Фурье 41
на группе G 81
Свертка групповая 189
свойство полноты системы
конечномерных
представлений 286
— универсальности 66,
122
система дуальная 18
— индикаторная 330
— корней 450
алгебры Ли 129
приведенная 450
— линейно независимая
15
— образующих алгебры 62
Ли 120
топологической
357
модуля 63
структуры S 83
— ортогональная 39
— ортонормированная 39
замкнутая 39
полная 39
— полная 15
Скаляр 11
— след оператора 36
сложение в кольце 10
соотношение
ортогональности 29
— порядка 29
соотношения Гейзенберга 108
— дистрибутивности 10
— Серра 266
— фундаментальные 84
состояние С*-алгебры 375
чистое 377
спектр алгебры 354
— модуля 338
— примитивный 283
— элемента 347
степень внешняя
пространства 92
структура алгебраическая 13
— гауссова 435
структуры изоморфные 13
— свободные 83
сумма прямая векторных
пространств 20
топологическая 200
5-модулей 56
ортогональная
идеалов 198
представлений 374
— ряда 38
супералгебра 92
— коммутативная 93
488
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
суперкоммутатор 93
схема Дынкина 460, 461
сходимость абсолютная 38
Тело 10
— банахово 349
— частных (тело
отношений) 113
тензор ранга п 50
теорема Адо 235
— Банаха 464, 465
— Банаха — Штейнгауза
467
— Бернсаида 74
— Бэра 465
— Веддерберна
структурная 73
— Веддерберна — Артина
109
— Вейля 140, 186, 284,
315, 321
— Гельфанда — Наймарка
356, 375, 398
— Гильберта 45, 474
— Гильберта — Шмидта
46
— Годмана 206
— двойственности (Пон-
трягина) 398
— двойственности (Фробе-
ниуса) 113
— Дынкина 149
— Кадисона 385
— Калкина 382
— Капланского 384
— Картана 132, 236, 237
— Колчина 203
— Крейна — Мильмана 378,
471
— Леви 142
— Леви — Мальцева 143
— Ли 124, 204, 235
— Люстига 423
— Машке 82
— Петера — Вейля 196
— Пуанкаре — Биркгофа —
ВиттаШБВ) 136
— Райкова 393
— Тихонова 166
— Стоуна — Вейерштрасса
467
— Хаара 184
— Хаммеля 16
— Хана — Банаха 170
— Хариш-Чандры 289
— Фиттинга 126
— Фробуниуса 22
— Шевалле 287
— Энгеля 125
тождество Бернсаида второе
81
первое 79
— Лейбница 88
тождество Холла 202
— Якоби 64, 117
— Лейбница 406
топология 160
— дискретная 162
— Зарисского 210, 304
— индуцированная 165
— операторная 379
— слабая 171
— Тихонова 163
— тривиальная 162
тор группы Ли 312
— максимальный 312, 313
точки крайние выпуклого
множества 378
Уравнение Янга — Бак-
стера 430
условие финитности 17,
условия квантовые Серра
414
умножение в алгебре 12
— Кэмпбелла — Хаусдор-
фа 227
— в кольце 10
— в полугруппе 9
— внешнее 92
— противоположное 61
уравнение Гамильтона — Кэ-
ли 25
уравнения Коши — Римана
условие финитности 293
Факторалгебра алгебры Ли
119
факторгруппа 55
фактормногообразие 220,239
фактормодуль 5-модуля 56
факторпространство 21, 54
фактортопология 162
фильтрация 135
флаг подпространств 23
инвариантный 23
форма билинейная
каноническая 19
невырожденная 19
симметрическая 19
— вещественная
пространства 52
алгебры Ли 270
— инвариантная 127
— 0-инвариантная 118
— Киллинга 128
— компактная Вейля 272
— контрвариантности 289
— оператора нормальная
жорданова 28
— полилинейная 50
— Шаповалова 289, 437
— эрмитова 36
формула Кэмпбелла — Ха-
усдорфа 227
— Лейбница 64
— Планшереля 41, 198
— Тейлора 30, 98
функтор ковариантный (кон-
травариантный) 14
функционал интегрируемый
функция модулярная 187
— положительно
определенная 179, 388
— рациональная 113
— склейки 215
— чистая 389
Характер банаховой
алгебры 354
— индуктивный 207, 322
— картановской
подгруппы 323
— модулярный 187
— примитивный 81, 198
— центральный д-модуля
278
Центр алгебры Ли 119
централизатор подалгебры
129
— подгруппы 305
Экспонента операторная
35
эквивалентность
представлений 58
элемент антиэрмитовый 350
— Казимира 140
обобщенный 288
— корегулярный алгебры
Ли 263
— матричный 373
— нормальный 351
— полугруппы обратимый
9
— примитивный 139
— регулярный алгебры Ли
130, 261
— унитарный 350
— центральный 64
— эрмитовый 350
элементы матричные 75, 78,
179
— ортогональные 39
эндоморфизм 10
— векторного
пространства 12
Ядро морфизма 65