Text
                    Д. П. ЖЕЛОБЕНКО
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ
И МЕТОДЫ
ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МЦНМО
МОСКВА 2004


ББК 517.2 Ж 51 УДК 517.5 Ж 51 Желобенко Д. П. Основные структуры и методы теории представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004. — 488 с. Предмет этой книги можно определить как топологическую алгебру, точнее — как теорию алгебро-топологических структур, допускающих естественные (операторно- значные) представления в векторных пространствах. К числу таких структур относятся топологические алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Детально излагаются фундаментальные аспекты теории, в том числе теория инвариантных мер на локально компактных группах, теория Софуса Ли о связи между алгебрами Ли и группами Ли. Особенно подробно рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли, банаховы алгебры, квантовые группы. Книга рассчитана на широкий круг читателей, от студентов и аспирантов физико-математических специальностей, до научных работников, интересующихся общими вопросами современной теории представлений. ББК 517.2 Научное издание Желобенко Дмитрий Петрович Основные структуры и методы теории представлений Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 39,7. Бумага офсетнал М> 1. Гарнитура литературная. Тираж 1000 экз. Подписано к печати 01.07.2004. Заказ № 184 . Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 121002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГП «Облиздат». 248640, г. Калуга, пл. Старый торг, 5. Оригинал-макет подготовлен с использованием издательской системы АР-ТеХ. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга». Адрес магазина: Москва, Бол. Власьевский пер., д. 11. Тел. (095)-241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru ISBN 5-94057-115-8 © Д. П. Желобенко, 2004. "МЦНМО, 2004.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Часть I. ВВЕДЕНИЕ 9 Глава 1. Основные понятия 9 § 1. Алгебраические структуры 9 § 2. Векторные пространства 15 § 3. Элементы линейной алгебры 22 § 4. Функциональное исчисление 29 § 5. Унитарные пространства 36 § 6. Тензорные произведения 46 § 7. S-модули 52 Комментарии к главе 1 60 Часть П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 61 Глава 2. Ассоциативные алгебры 61 § 8. Алгебры, модули 61 § 9. Полупростые модули 69 § 10. Групповые алгебры 76 §11. Системы образующих 83 § 12. Тензорные алгебры 89 § 13. Формальные ряды 95 § 14. Алгебры Вейля 101 § 15. Элементы теории колец 109 Комментарии к главе 2 114 Глава 3. Алгебры Ли 116 § 16. Общие вопросы 116 § 17. Разрешимые алгебры Ли 122 § 18. Билинейные формы 127 § 19. Алгебра U(g) 133 § 20. Полупростые алгебры Ли 139 § 21. Свободные алгебры Ли 145 § 22. Примеры алгебр Ли 151 Комментарии к главе 3 158 Глава 4. Топологические группы 160 § 23. Топологические группы 160 § 24. Топологические векторные пространства 167 § 25. Топологические модули 175 § 26. Инвариантные меры 181 § 27. Групповые алгебры 189 § 28. Компактные группы 196 § 29. Разрешимые группы 202 § 30. Алгебраические группы 208 Комментарии к главе 4 213
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Группы Ли 215 § 31. Многообразия 215 § 32. Группы Ли 221 § 33. Формальные группы 228 § 34. Локальные группы Ли 233 § 35. Связные группы Ли 240 § 36. Представления групп Ли 247 § 37. Примеры, упражнения 252 Комментарии к главе 5 258 Часть III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 260 Глава 6. Полупростые алгебры Ли 260 § 38. Картановские подалгебры 260 § 39. Вопросы классификации 267 § 40. Модули Верма 273 § 41. Конечномерные 0-модули 280 § 42. Алгебра Z($) 286 § 43. Алгебра Fext(g) 293 Комментарии к главе 6 299 Глава 7. Полупростые группы Ли 301 § 44. Редуктивные группы Ли 301 § 45. Компактные группы Ли 307 § 46. Максимальные торы 312 § 47. Полупростые группы Ли 318 § 48. Алгебра A(G) 325 § 49. Классические группы 331 § 50. Задачи редукции 338 Комментарии к главе 7 344 Глава 8. Банаховы алгебры 346 § 51. Банаховы алгебры 346 § 52. Коммутативный случай 353 § 53. Спектральная теория 360 § 54. С*-алгебры 365 § 55. Представления С*-алгебр 372 § 56. Алгебры фон Неймана 379 § 57. Алгебра C*(G) 386 § 58. Абелевы группы 392 Комментарии к главе 8 399 Глава 9. Квантовые группы 400 § 59. Алгебры Хопфа 400 § 60. Алгебры Вейля 407 § 61. Алгебра Uq(z) 413 § 62. Категория Оы 421 § 63. Алгебра Aq(q) 427 § 64. Гауссовы алгебры 435 § 65. Проективные пределы 442 Комментарии к главе 9 448 Добавление А. Корневые системы 450 Добавление В. Банаховы пространства 464 Добавление С. Выпуклые множества 468 Добавление D. Алгебра В(Н) 473 Список литературы 480 Предметный указатель 484
ПРЕДИСЛОВИЕ Название этой книги допускает двойное истолкование, с акцентом на «основные структуры» либо на «теорию представлений». Вторая трактовка предпочтительней, поскольку было бы затруднительно определить, что такое основные структуры современной математики. Тем не менее, в известном смысле обе трактовки совпадают, т. е. выполняется стандартный закон ассоциативности: a(bc) = (ab)c. Действительно, теория представлений имеет дело с фундаментальными аспектами математики, начиная с алгебраических структур: полугруппы, группы, кольца, ассоциативные алгебры, алгебры Ли и т. д. Постепенно в игру включается топология, посредством алгебро-топологических и алгебро- аналитических структур: топологические группы, многообразия, группы Ли и т. д. Формально говоря, предмет теории представлений составляют гомоморфизмы (представления) абстрактных структур в линейные структуры, составленные, как правило, из линейных операторов в векторных пространствах. Однако, фактически теория представлений нераздельна с теорией структур. Так, уже студентам первого курса известно, что «теория колец неразрывна с теорией модулей над ними». Здесь существенно, что все указанные структуры либо линейны, либо обладают надлежащей линеаризацией (линейные оболочки полугрупп, касательные алгебры к группам Ли и т. д.). Здесь мы касаемся вопроса о роли теории представлений в современной математике. Первоначально (в начале XX века) эта роль была скромна и сводилась к теории представлений конечных групп, с последующим расширением до теории конечномерных (ассоциативных) алгебр. Известны связи этой теории с вопросами симметрии в алгебре и геометрии, в том числе с теорией Галуа (симметрия алгебраических уравнений) и с задачами кристаллографии. Постепенно круг проблем теории представлений значительно расширился, в связи с общими проблемами анализа, геометрии и физики. Существенную роль в развитии теории представлений сыграли фундаментальные открытия теоретической физики, в том числе теория относительности и квантовая механика. Оказалось, например, что логические основы квантовой механики адекватно выражаются в терминах автоморфизмов некоторых алгебр (алгебры наблюдаемых). Описание наблюдаемых сводится также к теории представлений некоторых групп и алгебр Ли. Среди классических достижений этого периода особо выделяются работы Э. Кар- тана и Г. Вейля по общей теории групп Ли и гармоническому анализу на компактных группах. Идея гармонического анализа на группах основана на связи между группой G и ее «дуальным объектом» G, составленным, грубо говоря, из неприводимых представлений группы G. Группа G в стандартной ситуации однозначно восстанавливается по своему дуальному объекту G однозначно, с точностью до изоморфизма. Один из замечательных аспектов гармонического анализа состоит в восстановлении числовых функций на группе G по их (операторным) «образам Фурье», где роль элементарных гармоник играют
6 ПРЕДИСЛОВИЕ неприводимые представления группы G. Корректное определение образов Фурье оказывается возможным на локально компактных группах, благодаря известным результатам А. Хаара, Дж. фон Неймана, А. Вейля о существовании (и единственности) инвариантных мер на этих группах. В этом смысле классический анализ Фурье (ряды и интегралы Фурье) включается в грандиозную программу развития гармонического анализа на топологических группах. Логические основы анализа Фурье значительно проясняются в рамках «абстрактного гармонического анализа», где вместо группы G рассматриваются специальные алгебры (С*-алгебры). Фундаментальные работы в этом направлении принадлежат И. М. Гельфанду и М. А. Наймарку (40-е годы прошлого века). Начиная с 50-х, теория С*-алгебр развивается исключительно интенсивно и в значительной мере определяет лицо функционального анализа XX века. Существенно, что эта теория имеет ряд фундаментальных приложений, в том числе к операторным алгебрам, к динамическим системам, к статистической механике, к квантовой теории поля и т. д. Современная теория представлений имеет дело с широким спектром ассоциативных алгебр, в том числе со структурными алгебрами многообразий и групп Ли, с обертывающими алгебрами алгебр Ли, с групповыми (сверточ- ными) алгебрами, с алгебрами Хопфа, с квантовыми группами и т. д. Кстати, и теория групп Ли, рожденная в рамках дифференциальной геометрии, включается в систему функционального анализа посредством рассмотрения биалгебр и формальных групп, ассоциированных с группами Ли. В теорию представлений при желании можно включить ряд смежных дисциплин, в том числе абстрактную теорию дифференциальных уравнений, теорию пучков на однородных многообразиях, микроанализ, квантовую теорию поля и т. д. Существует известный тезис, согласно которому «теория представлений — это и есть математика». Антитезис сводится к тому, что «теория представлений — это еще не вся математика». Здесь заслуживает внимания сама постановка вопроса. Синтез, видимо, сводится к тому, что масштабы теории представлений уже сопоставимы с масштабами всей математики. По-видимому, именно желание систематизировать математику в духе теории представлений привело (коллективного автора) Н. Бурбаки к созданию многотомной энциклопедии «Элементы математики». Несмотря на известные недостатки этого титанического труда (незавершенность, излишний формализм), мы имеем в этом издании оригинальное изложение ряда фундаментальных вопросов, включая общие вопросы алгебры, топологии, теории интегрирования, теории групп и алгебр Ли и т. д. В настоящее время существует большое число монографий по отдельным вопросам теории представлений, в том числе по группам и алгебрам Ли [Б 2; Дже; Д2; Се; Кап; Ше], по банаховым алгебрам [Б 6; БР; ГРШ; Д1; М; Са], по алгебраическим группам [Бор; ВО; Ха; Ша], по бесконеч* номерным группам [Hep], по общим вопросам теории представлений [Кир]. Монография автора 1970 г. [Ж1] может рассматриваться как популярный источник информации по теории представлений групп Ли, особенно для
ПРЕДИСЛОВИЕ 7 читателей-физиков. Однако, до сих пор не существует монографий, объединяющих эти вопросы в хрестоматийной форме. Предлагаемая книга задумана именно как хрестоматия, т. е. сборник канонических текстов по теории представлений. В ней дается систематическое описание широкого спектра алгебро-топологических структур. Создание книги такого рода привлекательно, поскольку позволяет сопоставить идеи и методы из разных областей теории представлений, но также и рискованно, поскольку не объять необъятное. Тем не менее, автор считает, что частичное решение этой задачи возможно, благодаря существенной отшлифовке предлагаемых текстов. Содержание книги можно разделить на три концентра. Часть t (Введение) содержит общие сведения для начинающего читателя, в том числе по линейной алгебре и элементам функционального анализа. В том же стиле исполнены обзорные параграфы по топологии, теории интегрирования и т. д. (§§ 23, 24, 26, 31), а также добавления А, В, С, D, расположенные в конце книги. В основной части II (Общая теория) рассматриваются ассоциативные алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Частично затрагиваются вопросы теории колец и теории алгебраических групп. Детально излагаются классические результаты из этих областей математики, в том числе вопросы инвариантного интегрирования и теория Софуса Ли о связи между группами Ли и алгебрами Ли. В части III (Специальные вопросы) рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли, банаховы алгебры, квантовые группы. Содержание книги подводит читателя вплотную к современной проблематике «некоммутативного анализа», включая гармонический анализ на локально компактных группах. Автор предлагает рассматривать материал этой книги как программу-минимум для желающих всерьез заниматься теорией представлений. Хрестоматийное начало, заложенное в этой книге, позволяет автору в известной мере произвольно определять границы изложения. Например, мы доказываем теорему о сопряженности подалгебр Картана (в комплексных алгебрах Ли), но опускаем аналогичное изложение для подалгебр Боре л я (в полупростых алгебрах Ли). Тем не менее, автор надеется, что общая панорама теории представлений представлена в этой книге достаточно широко и обрисована достаточно детально. Изложение разнообразного материала неизбежно связано с разногласием в традициях, что приводит иногда к некоторой избыточности в определениях и обозначениях. Например, обозначение End X в категории векторных пространств иногда заменяется на ЦХ), где dim X < оо. Упражнения, включенные в текст, играют, как правило, роль контрольных вопросов для начинающего читателя. Иногда (в умеренной степени) результаты этих упражнений используются для сокращения отдельных доказательств. Лишь отдельные упражнения, отмеченные звездочкой, можно рассматривать как более-менее серьезные задачи. Нумерация разделов, принятая в книге, стандартна. Например, 11.5 означает п. 5 § 11. Аналогично, (11.5) означает формулу 5 § 11. Конец доказательства отмечается очередным подзаголовком (не обязательно с номером).
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К числу таких подзаголовков относятся Пример, Упражнение, Замечание и т. д. Лишь в отдельных случаях, когда доказательство растягивается на несколько разделов, этот факт специально отмечается. Субъективно при написании книги автор чувствовал себя летописцем. Действительно, содержание книги касается векового периода развития математики, в должной мере, вероятно, еще не оцененного. Изложение в книге существенно основано на двух спецкурсах, прочитанных автором в 1996-1998 гг. в Независимом Московском университете. Конспекты лекций по одному из этих спецкурсов опубликованы в 2001 г. [Ж 4]. Работа над книгой частично поддержана грантами РФФИ 01-01-00490, NWO 047-008-009. Автор благодарен В. Р. Нигматуллину за помощь при работе над корректурой по тексту этой книги. Д Желобенко
Часть I ВВЕДЕНИЕ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В этой главе для начинающего читателя приводятся основные сведения об алгебраических структурах, в том числе о линейных операторах в векторных пространствах. Следуя классической традиции, мы относим термин «линейная алгебра» к конечномерным векторным пространствам. Тем не менее, общие методы линейной алгебры применяются также и в бесконечномерных векторных пространствах. Например, в § 5 излагаются, в качестве справочного материала, элементы теории линейных операторов в гильбертовых пространствах. § 1. Алгебраические структуры 1.1. Полугруппы и группы. Абстрактное множество S называется полугруппой у если в нем фиксирована бинарная операция S x S -> 5, (ж, у) \-> ху, называемая умножением и наделенная аксиомой ассоциативности x(yz) = (xy)z (1.1) для всех x,y,zeS. Элемент (1.1) обозначается xyz. Аналогично (индукцией по п) определяются ассоциативные слова (одночлены) х{... жп. В частности, для каждого х е S определена ассоциативная степень хп. Полугруппа S называется коммутативной, если ху = ух для всех ж, у€ е S. Полугруппа S называется полугруппой с единицей, если в S определен элемент е (единица), удовлетворяющий соотношениям еж = же = ж (1-2) для всех x€S. Единица е определяется аксиомой (1.2) однозначно. Действительно, если е —другая единица, то е = ее' = е'. Элемент хе S называется обратимым, если существует у е S, для которого ху = ух = е. Если также ху' = у'х = е, то из равенства У=уе = у(ху') = (ух)у' = еу' = у' 1 Зак. 184
10 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ следует единственность элемента у, обозначаемого аг1. Элемент ж-1 называется обратным к элементу ж. Заметим, что (жу)"1 = у-}х~1 для всех обратимых ж, у е S. Полугруппа G называется группой, если G есть полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обратим. Коммутативная группа G называется также абелевой группой. Умножение в абелевой группе иногда записывается в аддитивной форме: (ж, у) i-+ ж + у. В этом случае роль единичного элемента исполняет нулевой (или нейтральный) элемент Ое G. Примеры. 1. Для каждого множества М пусть EndM — множество всех эндоморфизмов (т. е. преобразований а: М —> М) множества М. Ясно, что End M есть полугруппа относительно композиции эндоморфизмов (аЬ)ж = а(Ьж), (1.3) где а, Ь е End М, ж G М. В этом случае роль единицы исполняет тождественное преобразование еж = ж (ж £ М). 2. Подмножество Aut McEndM, состоящее из автоморфизмов (обратимых эндоморфизмов) множества М, есть группа (группа автоморфизмов множества М). В общем случае аксиома ассоциативности (1.1) может рассматриваться как результат абстракции от ситуации, связанной с полугруппой End M. Отметим примеры аддитивных групп: Z (множество целых чисел), Zp (циклическая группа порядка р), Q (множество рациональных чисел). Примеры аддитивных полугрупп: Z+ (множество неотрицательных целых чисел), N = Z+ \ {0} (натуральный ряд). 1.2. Кольца и поля. Абстрактное множество R называется кольцом, если в нем фиксированы две бинарные операции: сложение (ж, у) ь-» ж + у и умножение (ж, у)н+ ху, связанные между собой соотношениями дистрибутивности: x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz (1.4) для всех ж, у, z e R. Помимо этого, предполагается, что обе операции ассоциативны и R есть аддитивная группа по сложению. В частности, R обладает нулевым элементом 0, относительно которого 0 • ж = ж • 0 = 0 для всех ж е R. Кольцо R называется коммутативным (соответственно, кольцом с единицей), если R коммутативно (соответственно, содержит единицу) по умножению. Кольцо с единицей называется телом, если в нем каждый ненулевой элемент обратим. Коммутативное тело называется полем. Подмножество GxcG (соответственно, R^cR) называется подгруппой группы G (соответственно, подкольцом кольца R), если G, замкнуто относительно групповых операций (ж, у) «-► жу"1 (соответственно, относительно кольцевых операций (1.4)). В этом случае G (соответственно, R) называется расширением группы G{ (соответственно, Д,). Единичный элемент кольца R обычно обозначается символом 1. Обычно также предполагается, что кольцо с единицей нетривиально, т. е. 0^ 1.
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 11 Примеры. 1. Если R — кольцо с единицей, то R содержит подкольцо jRp составленное из элементов, кратных единице, т. е. элементов 0, ±п, где п = 1 +... + 1 (п слагаемых). 2. Каждое кольцо R обладает расширением Д[ж|, составленным из многочленов от независимой (абстрактной) переменной ж. Здесь мы используем интуитивное понимание многочлена как элемента вида /(ж) = % + ахх +... + апжп, с коэффициентами о{ей (г = 0,1,..., п). Более детальный анализ этого понятия будет отмечен в п. 4.1. Отметим также стандартные обозначения R, С, Н (соответственно) для поля вещественных чисел, поля комплексных чисел, тела вещественных кватернионов. 1.3. Векторные пространства. Множество X называется векторным пространством над полем F, если в X определены операции сложения X хХ —>Х, (ж, у)н->ж+у и умножения FxX->Х, (А, ж)«-+Аж, связанные между собой соотношениями дистрибутивности А(ж + у) = Аж + Ау, (А+/х)ж = Аж + ^ж (1.5) для всех A,/z€.F, x,yeX. Помимо этого, предполагается, что X есть аддитивная группа по сложению, с нейтральным элементом 0. В частности, 0 • ж = 0 для всех ж 6 X, где 0 в левой (правой) части этого равенства есть нулевой элемент поля F (пространства X). Элементы ж € X в этом случае называются векторами, элементы А е € F — скалярами. Операции (1.5) называются векторными операциями в пространстве X. Мы будем также использовать обозначение 0 для тривиального (нулевого) векторного пространства, составленного из единственной точки 0. Примеры. 1. Для каждого поля F его декартова степень Fn естественно снабжается структурой векторного пространства над полем F. А именно, каждый элемент же Fn записывается в виде «упорядоченной п-ки» ж = (ж1?..., жп), где х{ е F (г = 1,..., п) и векторные операции в Хп определяются покомпонентно (покоординатно). Последнее означает, что вектор х + у (соответственно, А ж) обладает координатами х{ + у{ (соответственно, Аж£), где г = 1,..., п. 2. Для каждого множества М множество F(M), составленное из всех F-значных функций /: М—* F, естественно снабжается (поточечно) структурой векторного пространства над полем F. 1.4. Линейные операторы. Пусть X, Y — два векторных пространства над полем F. Отображение а: X —► Y называется линейным, если а(Аж + /ху) = Ааж + /лау (1.6) для всех A,/x6F, ж, уеХ.В частности, а(0)=0 (где один и тот же символ 0 означает нулевой элемент в пространствах Ху Y). г
12 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Линейные отображения а: X —► Y называются также линейными операторами (из X в У). Еще один термин: такие отображения называются гомоморфизмами (из X в Y). Здесь подчеркивается, что операторы (1.6) согласованы с векторными операциями в пространствах X, У. Множество всех гомоморфизмов а: X —> У обозначается Hom(Jf, У). Ясно, что Нот(Х, У) есть векторное пространство над полем F относительно векторных операций (Ха + рЬ)х = Хах + //Ьж, (1.7) где А, /х€F, а, Ь€Hom(X, Y), хеХ. Линейные операторы а: X->X называются эндоморфизмами векторного пространства X. Соответственно, в этом случае используется символ End X = Hom(X, X). Существенно, что в этом случае символ End X используется только для множества линейных отображений (1.6). Иногда (во избежание возможных недоразумений) вместо символа EndX используется ЦХ). Отметим также важное обобщение понятия линейного отображения. А именно, для каждого набора векторных пространств Х{ (г = 0,1,..., п) отображение а: Хх х... х Хп —> Х0 называется полилинейным (п-линейным), если оно линейно по каждому аргументу х^Х{ (г = 1,..., п). Вместо термина «n-линейность» при п = 2,3 используются (соответственно) термины ♦билинейность», «трилинейность». 1.5. Алгебры. Векторное пространство А над полем F называется алгеброй (над полем F), если в нем фиксирована билинейная операция А х А—> А: (ж, у) i-+ xy, называемая умножением в алгебре А. Условие билинейности умножения равносильно в данном случае соотношениям дистрибутивности (1.6), (1.7) для элементов а, Ь, ж, у е А. Алгебра А называется ассоциативной (соответственно, коммутативной), если умножение в ней ассоциативно (соответственно, коммутативно). Алгебра А называется унитальной (или алгеброй с единицей), если она обладает единицей по умножению. Единица в этом случае обычно обозначается символом 1. Подмножество Х{ с X (соответственно, Ах с А) называется подпространством векторного пространства X (соответственно, подалгеброй алгебры А), если Хх замкнуто относительно векторных операций в X (соответственно, алгебраических операций в алгебре А). В этом случае X (соответственно, А) называется расширением векторного пространства Хх (соответственно, алгебры Ах). Если А —унитальная алгебра, то отображение F —► A, A ь-+ Л • 1 определяет вложение поля F в качестве подалгебры в алгебру А. Соответственно, в этом случае можно использовать запись Л еА вместо Л • 1 е А. Примеры. 1. Для каждого векторного пространства X над полем F множество L(X) = EndX (п. 1.4) есть ассоциативная алгебра над полем F. 2. Алгебра L(n)=Mat(n, F), составленная из квадратных матриц порядка п над полем F, есть ассоциативная алгебра над полем F. 3. Подалгебра D(n) с L(n), составленная из всех диагональных матриц в Цп), коммутативна.
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 13 1.6. Алгебраические структуры. Абстрактное множество S называется алгебраической структурой, если в S определен некоторый набор n-арных отношений (в декартовых степенях 5П), связанных между собой системой аксиом. Обычно эти отношения записываются в виде функций, т. е. отображений 5П —> Sm. К числу таких отображений относятся рассмотренные выше операции сложения и умножения. В этом смысле все рассмотренные выше примеры (полугруппы, группы, кольца и т. д.) суть частные случаи алгебраических структур. Две такие структуры SX,S2 называются одноименными, если обе они определяются одним и тем же набором отношений и аксиом. Желание использовать одну и ту же терминологию в различных алгебраических структурах естественно приводит к понятию морфизма алгебраических структур. А именно, морфизмом структуры 5, в одноименную структуру 52 называется всякое отображение (р: Sx —> S2, согласованное со структурами S,, 52 (т. е. переводящее структурные отношения в Sx в соответствующие отношения в 52). Например, морфизмом (или гомоморфизмом) полугруппы Sx в полугруппу 52 называется всякое отображение <р: Sx —► S2, сохраняющее рперацию умножения, т. е. <р(ху) = (р(х)<р(у) (1.8) для всех x,yeSx. Если 5,, S2 — полугруппы с единицей, то обычно предполагается дополнительно, что у>(е) = е, (1.9) где в левой (правой) части этого равенства имеется в виду единица полугруппы S{ (соответственно, 52). Если SUS2—две группы, то (1.8) влечет (1.9). Это ясно из тождества <р(е)2 = <р(е) (ввиду существования <р(е)~1). Более того, из (1.8) при ху = е получаем *,(*)-'= ¥>(*-') (1.10) для всех хе S{. Аналогично рассматриваются морфизмы колец, векторных пространств, алгебр и т. д. Множество всех морфизмов <р: Sx —► 52 обозначается Мог(5п 52) или Нот(51, S2). Одноименные структуры 5И 52 называются изоморфными, если существует морфизм </?: 5j -* S2, обладающий обратным морфизмом <p~l: S2-> Sx. В этом случае обычно используется обозначение Sxtt S2. Примеры. 1. Экспонента у = ех определяет изоморфизм аддитивной группы R с мультипликативной группой R, = (0, +оо). 2. Изоморфизмы <р е Hom(5, S) называются автоморфизмами структуры S. Множество всех таких автоморфизмов обычно обозначается Aut S. Ясно, что Aut S есть группа (относительно композиции морфизмов, определенной в Нот(5, S)). 1.7. Категории. Известные логические трудности, возникающие в теории множеств, не позволяют говорить о «множестве всех множеств», даже с фиксированной алгебраической структурой. В этом смысле принято
14 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ говорить о «классе множеств». Например, утверждение «G есть группа» можно выразить, сказав, что «G относится к классу групп». Класс множеств К называется категорией, если для каждой пары множеств А, В класса К (называемых объектами категории К) определено множество морфизмов Мог(А, В) с выполнением следующих аксиом: (а) Если либо А Ф А', либо В Ф В1\ то множества Mor(A, J3), Mor(A', J5') не пересекаются. (/3) Для каждой тройки объектов А, В, С категории К определен ассоциативный закон композиции Мог(А, В) • Мог(Б, С) с Мог(А, С). (1.11) (7) Для каждого объекта А категории К существует морфизм \Ае бМог(А,А), действующий тождественно (слева или справа) в композиции (1.11). В этом случае (как в п. 1.1) легко проверяется, что существование мор- физма \А влечет его единственность. Обычно множество Мог(А, В) составляется из отображений (р: А —> В и композиция (1.11) совпадает с композицией таких отображений. Для всех рассмотренных выше алгебраических структур (п. 1.6) отображение Мог(А, В) заменяется на Нот(А, В). Примеры. 1. Категория множеств, обозначаемая SET, определяется отображениями tp: А —► В, где А, В —произвольные множества. 2. Категория групп, обозначаемая GROUP, определяется гомоморфизмами групп (р: G —> Н. 3. Категория векторных пространств над полем F обозначается VECT (= VECTp). В этом случае Мог(Х, Y) = Hom(X, Y) в обозначениях п. 1.4. Читатель может самостоятельно продолжить этот список для категорий полугрупп, колец, алгебр над полем F и т. д. Примеры. 1. Для каждого оператора аеНот(Х, Y) в категории VECTF его ядро kera={xeX: аж = 0} и его образ im а = аХ суть подпространства (соответственно) в X, Y. 2. Аналогично, в категории ALGF ker a, im а суть подалгебры (соответственно) в X, У. 1.8. Категорный лексикон. Для сравнения различных категорий между собой используется специальный лексикон, включающий понятия подкатегории, дуальной категории, ковариантных (или контравариантных) функторов из категории Кх в категорию К2, и т. д. НапршЛр, подкатегория Кх категории К определяется как произвольный подкласс КхсК (наделенный теми же морфизмами, что и в категории К). Категория Кор, дуальная к категории К, состоит из тех же объектов, что и категория К, но с заменой Мог(А, В) на Мог(Б, А). Говорят, что задано отображение Ф: Кх —► К2 из категории Кх в категорию К2, если каждому объекту А категории Кх сопоставлен объект А' = Ф(А) категории К2 и каждому множеству Мог(А, В) в категории Кх сопоставлено множество Mor(A', J3') в категории К2. Отображение
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15 Ф: К{ —> К2 называется ковариантным функтором (из К{ в К2), если оно сохраняет все композиции (1-11). Ковариантный функтор Ф: Кх —> К£р называется также контравариантным функтором К{-> К2. Ковариантный функтор Ф: К{ —> К2 называется изоморфизмом (эквивалентностью) категорий КХ1К2, если он обладает обратным функтором Ф"1: К2-*Ки определяемым с точностью до изоморфизма (т. е. Ф~х(Ф(А))ъ А для всех объектов А категории Кх). Ковариантный функтор Ф: Кх —► К2 называется вложением категории Кх в категорию К2, если Ф определяет изоморфизм категории Кх с некоторой подкатегорией категории К2. Мы будем лишь изредка использовать категорный лексикон для сокращения некоторых формулировок. Впрочем, иногда (в специальной части III) эти сокращения могут оказаться существенными. Пример. Для каждого морфизма а: М —► N в категории SET определен сопряженный морфизм a*: F(N)—> F(M) (п. 1.3) по правилу (*/)(*) =/(о*), (1.12) где / е F(N), х е М. Легко проверяется, что (ab)* = Ь*а* для композиций (1.11). В этом смысле отображение М н-> F(M) определяет контравариантный функтор из категории SET в категорию алгебр над полем F. § 2. Векторные пространства 2.1. Обозначения. Пусть X — векторное пространство над полем F. Мы будем рассматривать системы e = (eji6/l составленные из элементов пространства X (где / — произвольное множество индексов). Конечные суммы x = EA<ei) (2.1) i где Л,, е F (не более конечного числа А. ^0) называются линейными комбинациями элементов е{ (г el). Множество Fe всех таких линейных комбинаций называется линейной оболочкой системы е. Ясно, что Fe есть подпространство векторного пространства X. Если Х{ = Fe, то принято также говорить, что подпространство Хх натянуто на систему е. Система е называется линейно независимой (соответственно, полной), если равенство х=0 в (2.1) возможно только при Х{ =0 для всех iel (соответственно, Fe = X). Условие линейной независимости равносильно тому, что каждое разложение (2.1) однозначно. В этом случае (2.1) записывается в виде х = £*,е0 (2.2) » где коэффициенты xi (iel) однозначно определяются по вектору ж.
16 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Положим в этом случае ж,. = е{(х). Коэффициенты xi (г е I) называются координатами вектора х (по отношению к е). Каждая полная линейно независимая система е в пространстве X называется базисом пространства X. В этом случае каждый вектор х е X однозначно записывается в виде (2.2), с координатами х{ = е,(ж). Примеры. 1. Координатное пространство Fn (п. 1.3) обладает базисом из элементов е. = (0,..., 0,1,0,..., 0) с единицей на г-м месте. В этом случае запись х = (ж,,..., хп) определяет координаты xi = е£(х) вектора xeFn по отношению к базису (е{), где г = 1,..., п. 2. Пусть F[M] С F(M) — подмножество всех «финитных» функций /: M-+F, т. е. функций, отличных от нуля лишь в конечном числе точек х € М. Ясно, что F[M] есть векторное пространство (подпространство в F(M)) с базисом из «дельта-функций» 6а (аеМ), где 6а(х) = 0 при хфал *.(<*) = 1. В дальнейшем мы отождествляем обМс дельта-функцией 6aeF[M]. Соответственно, М вкладывается (в качестве базиса) в F[M]. Пространство F[M] называется формальной линейной оболочкой (над полем F) множества М. 2.2. Базисы. Согласно известной теореме Хаммеля (см., например, [Бах]), каждое векторное пространство X над полем F обладает базисом. Доказательство этой теоремы сводится к использованию принципа максимума (леммы Цорна) для построения максимальной (по включению) линейно независимой системы в пространстве X. Легко проверяется (упражнение), что каждая такая система есть базис пространства X. Существенное уточнение теоремы Хаммеля состоит в следующем: каждые два базиса пространства X равно мощны. Наметим вкратце доказательство этого утверждения. Если X обладает конечным базисом, то это утверждение легко проверяется (упражнение). Остается рассмотреть тот случай, когда X обладает базисами А, В с бесконечными кардинальными числами (мощностями) а = card А, (3 = card В. Заметим, что А представляется в виде дизъюнктного объединения подмножеств Ап (п 6 N), где Ап состоит из элементов аеА, каждый из которых есть линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами ровно п элементов be В. Легко проверяется, что card Ап ^ п(Зп. Отсюда оо ^Е#- (2.3) Как известно (см., например, [ВШ]), /32 = /3 для каждого бесконечного кардинала /3, так что (Зп = /3 для всех п е N. Более того, правая часть (2.3) совпадает с /3. Отсюда а < /3. Аналогично (в силу симметрии) (3 ^ а. В результате а — (3. Таким образом, с каждым векторным пространством X однозначно связывается кардинальное число dimX, называемое размерностью пространства X и определяемое как мощность произвольного базиса в пространстве X. Пространство X называется конечномерным (соответственно, бесконечномерным), если его размерность dimX конечна (соответственно, бесконечна).
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 17 Примеры. 1. dimFn = n. 2. Существуют векторные пространства произвольной размерности. А именно, dim F[M] = card M. Упражнение. Проверьте (по аналогии с теоремой Хаммеля), что каждая линейно независимая система в пространстве X содержится в некотором базисе пространства X. Например, каждый вектор ОфхеХ можно включить в некоторый базис пространства X. 2.3. Предложение. Пусть ае Hom(X, Y) (в категории VECTF). Тогда (а) Оператор а однозначно определяется своими значениями ае{ для каждого базиса е,. (г е I) пространства X. (/3) Для каждого набора элементов f{ е Y (г е I) существует оператор аеНот(Х, F), определяемый по правилу ае{ =/,. для всех i el. Доказательство. Достаточно заметить, что действие оператора на элемент (2.2) определяется по правилу «* = £*/<■ (2.4) i В частности, а = 0 равносильно /,. =0 для всех г е I. Отсюда получаем (а), (/?), т. е. правило Нош(Х,У)«Уа, (2.5) где a = dimX. 2.4. Следствие. Равенство dim X =dim Y (в категории VECTF) равносильно X « Y. Действительно, если dim X = dim У, то равенство ае{ = ft для базисов е{, fi (соответственно) в X, Y определяет искомый изоморфизм Х«У, Примеры. 1. Каждое n-мерное векторное пространство X (п € Z+) изоморфно Fn. 2. Каждое векторное пространство X над полем F изоморфно F[M], где dim X = card М. 2.5. Матрицы. Фиксируем базисы е = (еД€/, / = (/»)»е/ в пространствах (соответственно) X, Y. Разлагая элементы aej (j e J) по базису /, получаем <*, =£«*/., (2-6) t с коэффициентами a{j e F. Семейство а/е = (а.Д где i el, j e J, называется матрицей оператора а (относительно базисов /, е). Элементы ai3- при фиксированном i (соответственно, j) называются строками (соответственно, столбцами) матрицы а/е. Согласно (2.6), столбцы ае. матрицы afe удовлетворяют следующему условию финитности: (Ф) Для каждого jeJ не более конечного числа элементов а^ отлично от нуля.
18 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Обратно, из предложения 2.3 (/?) следует, что каждая матрица а/е, удовлетворяющая условию (Ф), однозначно определяет оператор aeHom(X, Y) с матрицей а/е (относительно базисов /, е). Таким образом, отображение a*->afe определяет изоморфизм Hom(X, Y) с векторным пространством всех матриц (2.6), удовлетворяющих условию (Ф). В том случае, когда базисы /, е фиксированы, мы будем использовать обозначение а вместо af e (так что оператор а е Hom(X, Y) отождествляется со своей матрицей (2.6)). Легко проверяется (упражнение), что композиция операторов а—Ьс (в том случае, когда она определена) сводится к стандартному правилу умножения матриц a*=EW (2.7) к В частности, алгебра EndX изоморфна матричной алгебре Mat (га, F), где ra = dimX, составленной из «квадратных» матриц (2.6), удовлетворяющих условию (Ф). Как правило, мы будем использовать символ Mat(n, F) в случае п < оо. В этом случае Mat(n, F) состоит из всех квадратных матриц формата п х га над полем F. 2.6. Сопряженные пространства. Векторное пространство Х\ состоящее из всех F-значных линейных функций (функционалов) над X, называется сопряженным пространством к векторному пространству X (X* = Hom(X,F)). Согласно (2.5), каждый функционал / е X* однозначно записывается в виде /(*) = £/,•*,-, (2-8) * где х( = е{(х) — координаты вектора х относительно базиса е (п. 2.1), /,. G F — произвольный набор коэффициентов, однозначно определяющих функционал /. В этом смысле (2.8) записывается в виде X*«Fa, (2.9) где a =dimX. Пусть e = (et)<€/ — линейно независимая система в X. Покажем, что в X* существует дуальная система е{ (г б I), определяемая по правилу г,(еу) = ^, (2.10) где 6ц — символ Кронекера (6% = 0 при i Фэ, 6и = 1). Действительно, система е может быть расширена до базиса пространства X (п. 2.2). В этом случае е{(х) = х{ суть координаты вектора хеХ в базисе е (п. 2.1). В частности, для каждого 0 Ф х е X существует / е X*, для которого 1(х)ф0. Использование дуальных систем позволяет явно выписать матричные элементы (2.6) оператора а. А именно, % = ^К), (2.11) где (р{ (i el) — система, дуальная к базису /,. (г € I) пространства Y.
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19 Примеры. 1. Пространство Fn отождествляется со своим сопряженным по правилу (2.8), где г = 1,..., га. 2. Пространство, сопряженное к F[M], отождествляется с F(M) по правилу </(/) = £/(*)</(*), где feF[M],geF(M). Упражнение. Если a=dimX бесконечно, то dimX* = 2a. [Указание: базис пространства F(M) составляют характеристические функции подмножеств N с М.] 2.7. Билинейные формы. Билинейная форма /: X х Y—> Z (в категории VECTF) называется невырожденной, если для каждого ОфхеХ (соответственно, Оф у Е Y) существует у е Y (соответственно, х £ X), для которого !(х,У)фЪ. Условие невырожденности формы / равносильно инъективности каждого из отображений жиД, уу-+ /у, где ЛЫ = /(х,у) = /у(х). (2.12) В этом смысле (2.12) определяет вложение X (соответственно, Y) в Hom(l^Z) (соответственно, Hom(X, Z)). В общем случае левое ядро кегЛ / (соответственно, правое ядро кегр /) формы / определяется как ядро отображения жи/х (соответственно, уi-+ н-> /). Таким образом, невырожденность формы / означает, что кегЛ / = = кег,/ = 0. Примеры. 1. Если Z = F и форма / невырождена, то (2.12) определяет вложения X —► У*, Y -+ X*. 2. Билинейная форма (ж, у) = у(х) невырождена в X х X* (п. 2.6). В этом случае (2.12) записывается в виде *(V) = {*>V) = V(X), (2.13) так что первая часть этого равенства определяет вложение X во второе сопряженное пространство X** = (X*)*. 3. Если dim X < оо, то это вложение определяет изоморфизм X « X**. 4. Соотношение (2.11) может быть переписано в виде йц = (ае,,п). (2.14) Билинейная форма (2.13) называется канонической билинейной формой в X х X*. Упражнение. Пусть (•, •) — невырожденная симметричная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве X. Соотношение я(у) = (ж, у) = у(х) определяет изоморфизм векторных пространств X « X*. Симметричность формы (•, •) означает, что (ж, у) = (у, х) для всех х,уеХ.
20 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2.8. Сопряженные операторы. Для каждого оператора аеНот(Х, Y) определен сопряженный оператор а* е Нот(У*, X*) по правилу {ах, у) = (ж, а*у) (2.15) (в соответствии с (1.12)). Действительно, для каждого у е Y* соотношение (2.15) однозначно определяет а*уеХ*. Заметим, что отображение аи а* линейно и удовлетворяет соотношению (ah)* = Ь*а* (в том случае, когда композиция аЬ определена). Если dim X, dim Y < оо, то а** = а (т. е. отображение а\-> £ инволютивно). Иногда в этой ситуации обозначение а*-> а* заменяется одним из обозначений a»-*af, аь-*аг (транспонирование). Упражнения. 1. Матрицы операторов a, d транспонированы друг другу относительно базисов е, / (соответственно, в I, У) и дуальных базисов е, <р (соответственно, в X*, У*), т. е. 4,. = ^. (2.16) 2. Замена базисов е, / новыми базисами ^• = Е^е„ £ = £ч,/г) (2-17) 8 Г где и = (и^), v = (vH) — обратимые матрицы, приводит к замене матрицы a новой матрицей a = v-lau. (2.18) В частности, при X = У, е = / матрицы а, а подобны друг другу, т. е. а = и~1аи. 2.9. Прямые суммы. Пусть Х{ (г е /) — произвольное семейство векторных пространств над полем F. Их прямая сумма Х=®Х< (2.19) определяется как подпространство в декартовом произведении Х = П*„ (2.20) г состоящее из всех финитных наборов х = (Xi)iei> ГДе х% € -X,. (»' e /). Здесь имеется в виду, что в пространстве^ векторные операции х+у, Л х определяются покомпонентно. Вектор хе X называется финитным, если х{ ^0 лишь для конечного числа компонент х{ (г el). В этом случае каждому оператору aeEndX можно сопоставить блочную матрицу a=(ai:j), составленную из операторов % =PtaPj e Нот(Хя X,.), (2.21) где р. —оператор проектирования в (2.19) на компоненту Х(. Здесь имеется в виду сужение оператора a{j на подпространство Х^ Легко проверяется, что блочные матрицы (2.21) удовлетворяют стандартному правилу композиции (2.7) (в том случае, когда композиция аЬ определена).
§ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 21 Оператор а е End X называется блочно-диагональным (относительно разложения (2.19)), если a{j = 0 при гф]. В этом случае мы используем обозначение а = фаг. или a = diag(al), где а{ = ай. Если / = {1,..., п}, то мы используем (соответственно) обозначения a = 0at. =diag(an ..., an). (2.22) i Упражнение. Общий вид линейного функционала / е X* в пространстве (z.19) есть /(*) = £/<(*<), (2-23) t где ft е XI (г el) — произвольный набор линейных функционалов. В этом смысле ** = Г№- (224) i Здесь (2.23) есть конечная сумма (в силу финитности элементов х е X). 2.10. Факторпространства. Пусть Х0 — подпространство векторного пространства X. Полагая х ~ у при х — у е XQ, получаем отношение эквивалентности в пространстве X, с классами эквивалентности тг(ж) = х + Х0, (2.25) где х е X (т. е. п(х) есть множество всех векторов х + у, где у е Х0). Заметим, что равенство 7г(ж) = 7г(у) равносильно х ~ у. Отсюда ясно, что определение Л7г(ж) = 7г(Аж), тг(х) + 7г(у) = 7г(х + у) (2.26) не зависит от выбора представителей ж, у в классах 7г(ж), 7г(у). Полученное векторное пространство п(Х) обозначается Х/Х0 и называется фактор- пространством пространства X по его подпространству Х0. Заметим, что (2.26) означает свойство линейности отображения 7г: X —> —> Х/Х0. Отображение я- называется канонической проекцией (X на ВД>)- Выбирая в Х0 некоторый базис % и дополняя этот базис до базиса е$ U ех в пространстве X, получаем 1 = Х0е1„ где X^Fe^X/X^ (2.27) Отсюда dim X = dim XQ + dim X{. Второе слагаемое в этой сумме обозначается codim XQ и называется коразмерностью XQ в пространстве X. Пример. Если codim XQ = 1, то Х0 есть гиперплоскость в пространстве X, выделяемая линейным уравнением 7г(ж) = 0. Соответственно, (2.27) записывается в виде X = X0eFeo, (2.28) для каждого %, не лежащего в Х0. Ясно также, что все классы (2.25) совпадают с гиперплоскостями 7г(ж) = const.
22 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2.11. Инвариантные подпространства. Подпространство Х0 с X называется инвариантным относительно оператора -ае End Х% если aXQ с Х0 (т. е. ах е Х0 для каждого х € Х0). В этом случае равенство 7г(а)тг(я:) = тг(ах) (2.29) определяет индуцированный оператор а— 7г(а) е EndX, где X = Х/Х0. Условимся записывать операторы а е End X в виде блочных матриц а = = (а<у), где г, ,7 = 1,2 (в соответствии с (2.27)). Условие инвариантности аХ0 С Х0 в этом случае равносильно о^ = О (т. е. верхней треугольности матрицы а). Упражнение. Каждый оператор аеHom(Jf, У) определяет изоморфизм векторных пространств X/kera«ima. (2.30) 2.12. Выбор основного поля. В дальнейшем нам придется накладывать некоторые ограничения на природу основного поля F. Поле F называется алгебраически замкнутым, если F содержит корни всех алгебраических уравнений /(ж) = 0, где / — полином с коэффициентами из поля F. В общем случае F обладает алгебраическим замыканием, т. е. алгебраически замкнутым расширением F (F вложено в F в качестве подполя). См., например, [Бах]. Классический пример: поле С есть алгебраическое замыкание поля R. Поле F называется полем характеристикир=0 (соответственно, рфО), если пф0 для всех п еN (соответственно, р — наименьшее из чисел п еN, для которых п = 0). Здесь имеется в виду определение п = 1 + ... + 1 (п. 1.2). Характеристика поля F обозначается р = char F. Если р Ф 0, то р — простое число (упражнение). Пример: поле вычетов Fp = Z/pZ. Иногда мы будем рассматривать обобщения векторных пространств (в частности, алгебр), в которых роль основного поля F играет некоторое кольцо R. Например, матричная алгебра Mat(n, R) над кольцом R, где п — кардинальное число, определяется как алгебра всех матриц a=(ai3) с элементами a{j € -R (i, j е I), где card / = п, удовлетворяющих условию (Ф) п. 2.5. Упражнения. 1. Докажите, что теорема Хаммеля обобщается на векторные пространства X над телом R. 2*. Попробуйте доказать следующую теорему Фробениуса: каждое конечномерное тело над полем R изоморфно одному из тел R, С, Н. 3. В частности, каждое конечномерное поле над R изоморфно либо R, либо С. См. также [Бах]. § 3. Элементы линейной алгебры 3.1. Определители. Всюду в этом параграфе X — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем F. Как известно, в этом случае теория матриц доставляет эффективный аппарат для исследования линейных операторов ае End X.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 23 Заметим вначале, что понятие определителя естественно переносится с матрицы ае = а^ (п. 2.5) на оператор ае End X. Действительно, для каждой пары базисов е, / пространства X матрицы ае, af подобны (п. 2.8), откуда det ae = det af. Поэтому равенство deta = detae (3.1) однозначно определяет число det a, называемое определителем (детерминантом) оператора а. Использование матриц позволяет сформулировать известный критерий обратимости в EndX: оператор aGEnd-X" обратим тогда и только тогда, когда det а ф 0. Число а е F называется собственным значением оператора а, если существует ненулевой (собственный) вектор хеХ, для которого ах = ах, т. е. (а— а)ж = 0. Критерий существования такого вектора сводится к необратимости оператора a— a, т. е. к равенству det(a-a) = 0. (3.2) Здесь мы отождествляем а € F с оператором a • 1 е End X (1 — тождественный оператор в End X). Поскольку поле F алгебраически замкнуто и левая часть (3.2) есть полином от а, мы заключаем, что уравнение (3.2) разрешимо, т. е. каждый оператор oeEnd-X" обладает хотя бы одним собственным значением а е F. Таким образом, множество собственных значений оператора а совпадает с множеством корней (без учета их кратностей) характеристического уравнения (3.2). Числовая функция pa(A) = det(A - а) называется характеристическим многочленом (полиномом) оператора а. Заметим, что Р.(А)=Х>,.(а)А«, (3.3) где о{(а) — полиномы от оператора а (т. е. полиномы от матричных элементов оператора а). В частности, an(a) = l, <т0(а) = (—l)n det a. Здесь n = dim-X". 3.2. Инвариантные флаги. Цепочка подпространств Т\ 0 = Х0 с С Хх с... С Хп = X называется флагом подпространств пространства -X", если (Ит(Х./Х{_ {) = 1 для всех г = 1,..., п, так что п = dim X. Флаг Т называется инвариантным относительно оператора aeEndX, если все подпространства Х{ инвариантны, т. е. аХ{ С Х{ для всех г = 1,..., п. Фиксируем базис е{ (г = 1,..., п) пространства X, определяемый по правилу Х{ = Х,_1 ф Fe^. Условие инвариантности флага Т означает, что aet = a.e^mod Х{_х) для всех г = 1,..., п. Иначе говоря, матрица оператора а в этом базисе имеет верхнюю треугольную форму (3-4) \0 'о./
24 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ где звездочка означает некоторый набор матричных элементов afJ. (1 ^ г < < 3' ^ п)- Обратно, если матрица оператора а в некотором базисе имеет вид (3.4), то этот базис определяет инвариантный флаг относительно оператора а. Вычисляя в этом базисе характеристический многочлен оператора а, получаем п А(А)=П(А-а,). <3-5) 3.3. Теорема. Каждый оператор а е End X обладает инвариантным флагом, т. е. приводится в некотором базисе к треугольной форме (3.4). Более того, треугольная форма (3.4) оператора а существует для каждого порядка в системе корней а{ многочлена (3.5). Доказательство. Пусть ех — собственный вектор оператора а, отвечающий собственному значению ах. Дополняя ех до произвольного базиса е{ (г = 1,..., п) пространства X, находим, что в этом базисе оператор a обладает блочно-треугольной матрицей -(о ;)• (3.6) где а{ — квадратная матрица порядка п — 1. Вычисляя в этом базисе характеристический многочлен ра, получаем p0(A) = (A-a,)Pa,(A)) так что множество корней многочлена р^ получается из множества корней многочлена ра удалением единственного корня ах. Остается применить индукцию (по n = dimX) к оператору ах. В результате матрица (3.6) превращается в (3.4). Пример. Если оператор а обладает единственным собственным значением а, то А(А) = (А-а)", (3.7) т. е. а есть корень кратности п характеристического многочлена (3.7). Упражнение. Матрица ах в (3.6) есть матрица оператора ах = 7г(а), индуцированного оператором а (п. 2.10) в факторпространстве Хх =X/Fex. Применяя теорему 3.3, мы получаем следующий важный результат о разделении собственных значений оператора ае End X. 3.4. Теорема. Пусть Х{ (г = 1,..., к) —множество всех попарно различных собственных значений оператора aeEndX. Тогда оператор а есть прямая сумма операторов а{ (г = 1,..., А;), где а{ имеет единственное собственное значение \{. Иначе говоря, пространство X есть прямая сумма а-инвариантных подпространств 1=Ф4 (3.8) » = 1 где а{ = а\х (г = 1,..., к ).
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 25 Доказательство. Согласно теореме 3.3, оператор а в некотором базисе обладает блочно-треугольной формой -(; 5). (3.9) где а имеет единственное собственное значение Хх и 8 не имеет собственного значения А,. Заменяя оператор а оператором а— Ар можем считать, не ограничивая общности, что Aj=0, так что оператор а нильпотентен (ат = 0 при некотором га) и оператор 8 обратим. Покажем, что в этом случае матричное уравнение разрешимо (относительно ж), так что оператор а подобен оператору Oq = = diag(o:, 8). Поясним, что 1 в (3.10) есть единичный оператор соответствующего порядка. Уравнение (3.10) сводится к соотношению ж$-аж = Д (3.11) Полагая <» x=Y;akP6-k-1, (3.12) получаем конечный ряд (поскольку ата = 0). Заметим, что х8 отличается от ах лишь слагаемым при к =0, откуда следует (3.11). Таким образом, (3.12) есть решение уравнения (3.11). Остается применить индукцию по n = dimX к оператору 8. В результате получаем (3.8), т. е. a = diag(a1?..., ак). Пример. Если все корни характеристического многочлена ра однократны (т. е. оператор а имеет п различных собственных значений), то оператор а приводится в некотором базисе к диагональной форме a=diag (an ..., ап). 3.5. Следствие. Каждый оператор aeEndX удовлетворяет уравнению Гамильтона — Кэли Р.(а) = 0, (3.13) еде левая часть означает результат подстановки Амав многочлен ра. Действительно, если оператор а имеет единственное собственное значение а, то из (3.4) следует (а-а)п = 0. (3.14) В общем случае из теоремы 3.4 получаем П(а-а,.р=0, где т{ =dimXi, что совпадает с (3.13). Упражнение. Проверьте, что для оператора a€EndX следующие условия равносильны:
26 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (а) (а- а)п = 0, где n = dimX, (/?) (а — а)*ж = 0 при к = к(х), для каждого яЕ-Х", (7) оператор а имеет единственное собственное значение а, (б) характеристический многочлен ра имеет вид (3.7). 3.6. Корневые подпространства. Теорема 3.4 приобретет более законченный вид, если явно указать инвариантные подпространства Х{ (i = = 1,...,*). Для каждого А €F пусть Хх(а) — множество всех векторов хеХ, удовлетворяющих соотношениям (а-А)*х = 0 при к^кь(х). (3.15) Очевидно, Хх(а) есть подпространство в X, инвариантное относительно оператора а. Оно называется корневым подпространством оператора а, отвечающим корню А. Ясно, что Хх(а) содержит собственное подпространство ker(a-А) оператора а, натянутое на собственные векторы оператора а с собственным значением А. Более того, Хх(а)фО лишь в том случае, когда ker(a- A)^0, т. е. когда А есть собственное значение оператора а. Ясно также, что а имеет единственное собственное значение А в подпространстве Хх(а). Подпространство Х0 называется нильпространством оператора а. 3.7. Теорема. Пространство X разлагается в прямую сумму корневых подпространств оператора а: Х = ®Хх(а), (3.16) где Хх(а)ф0 только при А = А. (% = 1,..., п) в обозначениях л. 3.4, так что (3.16) совпадает с (3.8). Доказательство. Как показано в п. 3.4, каждый оператор a€ End X есть прямая сумма а^фа!, где оператор Oq нильпотентен, оператор d обратим. Применяя это замечание к оператору a - А, где А — собственное значение оператора а, получаем Х = 1А(а)еГ, где Хх(а)ф0, X1 — подпространство, инвариантное относительно оператора а, в котором оператор а не имеет собственного значения А. Остается применить допущение индукции (по dimX) к подпространству X'. Упражнение. Проверьте непосредственно, исходя из определения (3.15), что семейство подпространств Хх(а) линейно независимо. [Указание: индукция по длине соотношений где х{ е Хх.(а), А. ф Ау при гфэ- Примените к этому равенству оператор (а— \х)п при надлежащем п и затем (а- \{)~п.] Пример. Собственные векторы оператора а, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 27 3.8. Следствие. Каждый оператор а е End X имеет единственное представление в виде а=8 + е, (3.17) где оператор 8 диагоналей, оператор е нильпотентен и операторы 5, е взаимно перестановочны: 8е = е6. Доказательство. Полагая 8х = Хх при х е Хх(а), получаем диагональный оператор 8, для которого оператор е = а— 6 нильпотентен (в каждом Хх(а), но тогда и всюду в X). Отсюда следует (3.17). Обратно, для каждого разложения (3.17) (с указанными свойствами) пространство X есть прямая сумма подпространств Хх(6) = кег(5 — Л), инвариантных относительно а ( в силу аб = 6а). Оператор е = а — 8 может быть нильпотентен в Хх(6) лишь в том случае, когда Л есть единственное собственное значение оператора а в Хх(6). В результате Хх(а) = Хх(8) для всех A G F, откуда следует единственность разложения (3.17). Упражнения. 1. Каждый оператор из EndX, перестановочный с оператором а, перестановочен также с его компонентами 5, е. 2. deta = deU. 3. Если оператор а обратим, то оператор и = а6~х унипотентен, т. е. имеет вид и = 1 + ж, где хп = 0. 4. Разложение а= 8и, где оператор 8 диагоналей, оператор и унипотентен и 8u = u8t единственно. 3.9. Жордановы клетки. Оператор а е End X называется циклическим, если X натянуто на векторы акх$ (к £ Z+) при некотором Xq€ X (в этом случае вектор Xq также называется циклическим). Очевидно, в этом случае X натянуто на векторы акх^ при O^fc^n—1, где n = dimX — наибольшее из чисел к, для которых векторы акХц (О^к ^.п — 1) линейно независимы. Если а — нильпотентный оператор, то опа^ = 0и матрица оператора а в базисе ei = an~ixQ принимает следующий вид: /0 1 0 0 ... 0 [ 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 ... 1 \0 0 0 0 ... 0 Полученная матрица jn(0) есть частный случай жордановой матрицы (или жордановой клетки) jn(a) = a+jn(0), (3.19) получаемой из jn(0) подстановкой диагональных элементов Оьча в (3.18). Упражнения. 1. Проверьте, что для оператора a = j (0) подпространство keram (соответственно, imam) совпадает с линейной оболочкой базисных векторов ер ..., ет (соответственно, еи ..., еп_т). 2. Проверьте, что оператор a = jn(0) неразложим, т. е. его нельзя представить в виде diag(a15 а?) при а,. ^0 (г = 1, 2). (3.18)
28 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3.10. Теорема. Каждый оператор aeEndX есть прямая сумма жордановых клеток а{ = jn.(at), где а{ —собственные значения оператора а (сумма всех щ совпадает с n = dim -X"). Доказательство. Согласно теореме 3.4, достаточно рассмотреть случай, когда оператор а имеет единственное собственное значение а. Заменяя а на а— а, можем также считать, что а =0, т. е. оператор а ниль- потентен. Фиксируем 0 Ф хх е X и положим X = Хх ф Х2, где Хх — линейная оболочка векторов akxx (keZ+). Соответственно, оператор а приводится к виду (3.9), где а = j (0), 8 (допущение индукции) — прямая сумма I жордановых клеток (I е &+). Условимся считать, что пх = dim Хх принимает максимально возможное значение в пространстве X и покажем, что в этом случае уравнение (3.11) разрешимо, так что a = diag(a, 8). Повторяя рассуждения п. 3.4, находим, что достаточно рассматривать случай / = 1. В этом случае 5=^(0), где щ^щ. Соответственно, Х2 натянуто на векторы а*^, где ап*х2еХх. Заметим, что аП1ж2 = аП1""П2(аП2ж2) = 0 (поскольку а"1 =0 во всем пространстве -X"). Применяя упражнение 1 п. 3.9 (либо непосредственное вычисление), находим, что а"2^ есть линейная оболочка векторов акхх при к ^ т^. Следовательно, a^Xz^a^XQ при некотором Xq€ Хх. Заменяя х^ на а% — а^, получаем а% = 0. В этом случае подпространство Х2 инвариантно, т. е. a = diag(a, 8). Остается заметить, что подстановка а^ н-* х^ — Xq имеет вид (3.10), так что уравнение (3.11) разрешимо при I = 1. В общем случае решение (3.11) имеет блочный вид х = (ж,,..., xt), где х{ — решение (3.11) при 8 = 8{. Отсюда заключаем, что a = diag(a, £,,..., 8{). 3.11. Определение. Представление оператора а е End X в виде прямой суммы жордановых клеток зпХад называется нормальной жордановой формой оператора а. Упражнение. Проверьте, что число жордановых клеток в нормальной жордановой форме нильпотентного оператора а совпадает с dim (ker a). 3.12. Проекционные операторы. Оператор р е End X называется про- ещионным, если р2 =р. В этом случае р' = 1 — р есть также проекционный оператор, причем р'р = рр' = 0. Отсюда следует (упражнение), что Х=рХ®р'Х, так что оператор р проецирует X на рХ параллельно подпространству р'Х. В общем случае с каждым разложением (2.19) пространства X в прямую сумму подпространств Х{ (г el) связано семейство проекционных операторов р{(х) = xif где х{ (i el) — компонента вектора хеX в подпространстве Х{. Отсюда l=Eft, ЙРУ = 0 при гфз. (3.20)
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 29 Поскольку мы рассматриваем случай dim X < оо, здесь следует положить card / < оо. Легко проверяется (упражнение), что сумма s = p + q, где р, q G End X — проекционные операторы, есть проекционный оператор лишь в том случае, когда операторы р, q связаны соотношением ортогональности p±q: pq = = qp = 0. В этом случае sX =pX ®qX. Соответственно, разность г = р — q есть проекционный оператор лишь в том случае, когда операторы р, q связаны соотношением порядка q ^p: pq = qp = qt что равносильно рХ — qX @rX, т. е. qX С рХ. Семейство проекционных операторов (р{){е1 называется ортогональным, если выполнено второе соотношение (3.20). Семейство (р{){е1 называется ортогональным разложением единицы, если выполнены оба соотношения (3.20). Очевидно, в этом случае X есть прямая сумма подпространств Х{ =р{Х. Упражнения. 1. Диагональностьоператора аеEndX, т. е. равенство а = diag(of!,..., ап) в базисе е = (е1э..., еп) равносильно разложению а=Еед} (3.21) где р{ —оператор проектирования X на Xi = Fe{ (t = l,...,n). 2. Если а. ф aj при i-fij, то операторы р. записываются в виде Л=Пгз^7- (3-22) its • 3 3. Докажите, что и в общем случае операторы проецирования р{: X на Х{ в (3.8) суть полиномы от оператора а. [Указание: используйте вспомогательные операторы р^ = (а- Л,)*?,, где с показателями щ = dim X. (0 ^ к < п^ - 1).] § 4. Функциональное исчисление 4.1. Алгебра F[x]. Пусть F[x] — векторное пространство над полем F с базисом из символов хк, где к е Z+. Элементы / е F[x] однозначно записываются в виде п /(*)=£/***, (4-1) Л: =0 где Д е F, и называются (формальными) многочленами от независимой переменной ж = ж1.
30 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Соотношение хкхг = хк+г, где fc, г eZ+, определяет однозначно (по билинейности) операцию умножения в пространстве F[x], относительно которой F[x] становится ассоциативной (коммутативной) алгеброй с единицей х° = 1 над полем F. Многочлены (4.1) допускают операцию подстановки жиа(т. е. хк\-*ак) для каждого фиксированного элемента ае А, где А — ассоциативная алгебра над полем F. А именно, /(«)=£/*<**• (4.2) Применяя правило умножения в алгебре F[x], находим, что отображение 7- f(x)*-* f(a) есть гомоморфизм алгебры F[x] в алгебру А, однозначно определяемый соответствием х «-► а. В частности, для каждого Л £ F число /(А) называется значением многочлена f e F[x] в точке А € F. Таким образом, отображение Л »->/(А) при фиксированном / есть числовой полином (полиномиальная функция /: F->F). Если поле F бесконечно, то легко проверяется (с помощью определителей Вандермонда), что числовые функции Д(А) = А* линейно независимы. В этом случае отображение f(x)н->/(А) определяет изоморфизм алгебры F[x] с алгеброй P(F) числовых полиномов /: F —► F. В общем случае отображение j: f(x)\->f(a) (при фиксированном аеА) называется функциональным исчислением (класса F[x]) в алгебре А. Аналогично, каждое продолжение j до гомоморфизма ^: Ф-> А, где Ф — расширение алгебры F[x], называется функциональным исчислением класса Ф в алгебре А. В дальнейшем мы не делаем различия между терминами «многочлен» и «полином». Последний термин даже предпочтительней, в связи с обозначением P(F) и другими аналогичными обозначениями (п. 11.7). Для каждого многочлена / е F[x] его производная f G F[x] определяется по правилу (ж*)' = kxk~l для всех k e Z+, т. е. f'(x)=±kfkxk->. (4.3) Аналогично определяются кратные производные /(m) = (/(m_1));, где те € Z+, /(0) =/. Заметим, что /<п+1> = 0 для каждого многочлена (4.1). Нам понадобится также следующий аналог формулы Тейлора в алгебре F[x]. 4.2. Предложение. Положим char F = 0, и пусть ж, у — две независимые (взаимно перестановочные) переменные. Тогда для каждого f e F[x] имеем п f(k)/ Ди + У)=£^2Л (4.4) fc«0 где п — степень многочлена (4.1). Доказательство. Поскольку обе части (4.4) линейно зависят от /, достаточно рассмотреть случай f(x) = xn. В этом случае /<*>(ж) = п(п - 1)... (п - к + 1)хп~к
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 31 для всех значений к EZ+, и равенство (4.4) превращается в бином Ньютона (* + У)п=Е Cn*sn-V, (4.5) А: =0 где С£ — биномиальные коэффициенты. Здесь существенно, что переменные ж, у взаимно перестановочны. Соотношение (4.5) проверяется индукцией по п. Условие char F = 0 влечет kl ф0 для всех к € Z+ (в частности, 0! = 1). Таким образом, (4.4) доказано для всех / 6 F[x]. 4.3. Определение. Положим (для простоты изложения) F = С, и пусть X — конечномерное векторное пространство над полем С. Напомним (п. 3.8), что каждый оператор а б End X обладает каноническим разложением (3.17), где бе = е8. Наименьшее из чисел т e Z+, для которых em+1 =0, называется высотой нильпотентности оператора а= 6 + е. Пусть вначале га = 0, т. е. а = S = diag (а,,..., ап), относительно некоторого базиса е в пространстве X. В этом случае для каждой функции /: F —> F положим /(а)ж = /(А)ж при хбХА(а), (4.6) т. е. /(a) = diag(/(a1),.. .,/(а:л)) относительно базиса е. Согласно (4.6), это определение не зависит от выбора базиса е в пространстве X. В общем случае пусть Фт — алгебра функций /: F —► F, имеющих в точках с^ (г = 1,..., п) производные /(Л)(аг) Д° порядка т включительно. Здесь т — высота нильпотентности оператора а. Положим в этом случае при/еФт: я {к) Здесь имеется в виду, что операторы f{k)(S) определяются по правилу (4.6) (с заменой / на /(А)). Применяя предложение 4.2, находим, что равенство (4.7) выполняется автоматически для полиномов / е F[x]. Таким образом, определение (4.7) продолжает определение (4.2) на функции класса Фт. Примеры. 1. Для жордановой клетки а=jn(a) определение (4.7) принимает следующий вид: /(*»>-£ ^Л (4.8) где е =jn(0). Ясно, что /(а) есть верхняя треугольная матрица с элементами f^k4ot)/k\, расположенными в fc-й полосе, параллельной главной диагонали. Например, при п = 3 /(<*)= I 0 f(a) ~f'(a) I • (4-9) 2. Положим /(А) = еА. Используя (4.8) и нормальную жорданову форму оператора а, получаем е" = е"е% где ee-Y,T\- (4.10)
32 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Упражнение. Докажите (используя упражнение (3) п. 3.12), что компоненты 5, е суть полиномы от оператора а. 4.4. Теорема. Отображение *у: f«-+ /(а), определяемое равенством (4.7), есть функциональное исчисление класса Фт, где т -—высота нильпотентности оператора а е End X. Доказательство. Достаточно проверить мультипликативность отображения 7- Фт —>End X. Для этого воспользуемся правилом Лейбница (/5)<*>= Е С*7('У° (4.11) для функций £деФт. Напомним, что С£ = ^ф. В частности, С£ ^0 только при 0 < s ^ fc. Заменяя в (4.7) функцию / на fg, получаем (/5)(а) = Е Е fl'\\(y>ek=f(a)g(a), (4.12) т- е. 7(/^) = 7(/)' 7(5)- Следовательно, 7 есть гомоморфизм алгебры Фт в алгебру EndX. Пример. Полагая Л (А) = е*А, где £ Е F = R, С, получаем семейство операторов u(£) = ete (а6 End X), удовлетворяющих соотношениям u(t + s) = u(t)w(5), u(0) = 1 (4.13) для всех tjaeF. Упражнения. 1. Проверьте, что функция u(t) = eta дифференцируема по t € F (голоморфна при F = С), причем u\t) = au(t) = u(t)a (4.14) для всех £ eF. 2. Пусть NilX (соответственно, UniX) — множество всех нильпотент- ных (соответственно, унипотентных) операторов aeEndX. Докажите, что формулы оо и оо ( п* * e*=Efn ЬО + яИЕ1^, (4Л5> где x e Nil X, определяют биекцию между множествами Nil X, Uni X. Отметим также более общее свойство мультипликативности для операторных экспонент в EndX. 4.5. Предложение. Если операторы a, beEndX взаимно перестановочны, то е*еь = еа+ь (4.16) Доказательство. Для нильпотентных операторов а, Ъ равенство (4.16) проверяется непосредственно с использованием конечных сумм (4.10). В общем случае заметим, что каждое корневое подпространство Хх(а) инвариантно относительно оператора Ь (ab = Ьа). Отсюда Х=е*Ам, (4.17)
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 33 где ХХ{г— пересечение подпространств Хх(а), Х^Ь). Более того, каждое подпространство XXfi инвариантно относительно операторов а, Ь. Сужая эти операторы на XXfi, получаем а=\ + е, Ь = ^+£;, где операторы е, е' взаимно перестановочны. Отсюда eaeb = ex + fieeee' = ex + tie£ + £' = ea+b. Замечание. Определение (4.7) становится более естественным, если заменить алгебру Фш алгеброй Ф формальных степенных рядов, имеющих вид (4.1) при п = оо. А именно, можно показать, что из сходимости рядов /(Л)(А) в точках Л = ait где 0< к ^ га, следует (покоординатная) сходимость операторного ряда (4.2). Например, операторная экспонента еа (ае End X) определяется сходящимся рядом еа=££- (4-18) п=0 ' Мы вернемся к этому вопросу в п. 13.8. Пока отметим еще один подход к функциональному исчислению в EndX, пригодный также в случае dim X=oo. 4.6. Нормированные пространства. Пусть X — векторное пространство над полем F = R, С. Числовая функция р: X —> R называется полунормой в пространстве X, если выполняются следующие аксиомы: (а) р(\х) = \Х\р(х) для всех А е F, хеХ; (/3) р(х + у) < р(х) + р(у) для всех ж, у е X. Заметим, что из (а) при Л =0 следует р(0) = 0. Помимо этого, из (/3) при х + у = 0 следует р(х) ^ 0 для всех х е X, т. е. р принимает значения bR+ = [0, +оо). Полунорма р называется нормой в пространстве X, если р(ж) = 0 только при ж = 0. В этом случае обычно используется обозначение р(х) = \\х\\ (по аналогии с |А| в поле F). Легко проверяется, что функция Р0*у) = ||*-у|| (4.19) есть метрика в пространстве X. Соответственно, функция ||ж|| = р(ж, 0) интерпретируется как длина вектора х (расстояние от точки х до точки ОеХ). Пространство X называется нормированным, если в нем фиксирована норма р(ж) = ||х||. Соответственно, в X фиксирована метрика (4.19). Нормированное пространство X называется банаховым, если X полно относительно метрики (4.19). Упражнения. 1. Докажите, что векторные операции в нормированном пространстве X непрерывны (относительно метрики (4.19)). 2. Докажите, что каждая полунорма р в пространстве X удовлетворяет соотношению \р(х)-р(у)\^р(х-у) (4.20) для всех х,уеХ. 3. Докажите (используя (4.20)), что функция р(ж) = ||ж|| непрерывна (в нормированном пространстве X). 4 Зак. 184
34 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Примеры. 1. Пространство X = Fn банахово относительно каждой из норм , п и/р Nif={:cfcr} . (4.2i) где 1 ^ р < оо. 2. Пусть 1р — множество всех последовательностей х = (жп ..., х{,...), где x{€F, удовлетворяющих условию ЕкГ<оо. (4.22) t = l Пространство X = 1р банахово относительно нормы (4.21) с подстановкой п = оо. 3. Пусть С (а, Ь) — пространство всех непрерывных (F-значных) функций на отрезке [а, Ь]. Формула ||/||= max \f(t)\ (4.23) определяет равномерную норму в пространстве С(а, Ь), относительно которой С(а, Ь) есть банахово пространство. 4. Пусть Г — множество с лебеговой мерой /х. Пусть Lp(T, /х) — векторное пространство измеримых функций /: Т -> F, для которых функция |/|р суммируема. Формула 11/1!, = {j !/(*)№(«)}'' (4.24) определяет полунорму в Lp(7}/x), равную нулю на функциях /~0, где f ~д означает, что функции /, д равны почти всюду (относительно меры /х). Полунорма (4.24) становится нормой, если функции /~0 считать равными нулю. В этом смысле Lp(T, /х) есть банахово пространство. Доказательства этих утверждений можно найти в учебниках по функциональному анализу (см., например, [КФ; Ш1]). Семейство норм (4.21), (4.24) дополняется также параметром р = оо. Например, для (4.21) полагаем NL = sup|x,.|. (4.25) Аналогично, L^T, /х) определяется как пространство существенно ограниченных (ограниченных почти всюду) измеримых функций /: Т ->F. Пространство Ьоо(Т, /х) есть банахово пространство относительно нормы ||/||=inf (sup |/(t)|), (4.26) T~S s где Г ~ S означает д(Г \ S) = 0. В частности, пусть Т=[а, Ь], /х — стандартная мера Лебега (порожденная евклидовой мерой на отрезке [а, 6]). В этом случае пространство Lp(T, /x) обозначается Lp(a, b). Аналогично используется обозначение Lp(R). Упражнения. 1. Проверьте (используяоценку а+ Ь<2тах(а, Ь) при а=|жД, Ь = |у.|), что 1р (аналогично, Lp(T, /x)) есть векторное пространство.
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 35 2. Проверьте, что сходимость /п —►/ в С(а, Ь) есть равномерная сходимость £(*)=*/(*)• 3. Проверьте, что С (а, Ь) всюду плотно в Lp(a, b) (1 ^ р < оо). 4.7. Алгебра В(Х). Пусть X — нормированное пространство. Для каждого а е L(X) = End X положим ||a|| = supJjgJi=sup|M|. (4.27) хфО ,|U/|1 |jx|| = l Оператор aeEndX называется ограниченным, если ||а|| <оо, т. е. ||ах|| ^ ^ С||х|| для всех х е X (с константой С ^ 0). Легко проверяется, что условие ограниченности оператора aeL(X) равносильно его непрерывности в пространстве X. Векторное пространство В(Х), составленное из всех ограниченных aeL(X), есть нормированное пространство относительно нормы (4.27). Более того, В(Х) есть алгебра над полем F, с оценкой ИИ <N-11*11 (4-28) для всех а, Ь е В(Х). Применяя (4.28) индуктивно, получаем IMI ^ IN" (4-29) для всех п е Z+. Заметим также, что ||1|| = 1. Если X полно, то В(Х) полно (см., например, [КФ; Ш1]). В этом случае, используя оценку (4.29), легко проверить, что для каждого ряда (4.1) (при п = оо) операторный ряд (4.2) сходится в В(Х) при ||а|| < г(/), где r(f) — радиус сходимости ряда (4.1). Фиксируем о Е В( J), и пусть Фа — алгебра степенных рядов (4.1) с радиусом сходимости r(f) > \\a\\. Легко проверить, что отображение 7: /(х)*-*1(а) есть функциональное исчисление класса Фв. Примеры. 1. Функция /(А) = П — А )-1 разлагается в геометрическую прогрессию с радиусом сходимости 1. Соответственно, оператор /(a) = Е*1 (4.30) п = 0 определен при ||а|| < 1. Непосредственно проверяется (упражнение), что /(a) = (1-о)"'. 2. Экспонента /(А) = еА определяется степенным рядом с радиусом сходимости оо. Соответственно, операторная экспонента /<*)=«•= eS <431> п = 0 ' определена для всех а € В(Х). 4.8. Случай dim X < оо. Полунормы р, q в векторном пространстве X называются эквивалентными, если р(х) < Aq(x), q(x) < Вр(х) (4.32) 4*
36 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ для всех х € X (с некоторыми константами А, В ^ 0). Легко проверяется (см., например, [Вин 1]), что в случае dimX <oo все нормы в пространстве X эквивалентны. Используя оценку (4.32) для норм р, q в пространстве X, находим, что р-сходимость хп —> х равносильна g-сходимости хп -+ х. Поэтому для оценки сходимости в пространстве X (dim X < оо) достаточно фиксировать какую- либо одну из норм (4.21), (4.25). Отсюда ясно, что B(X) = L(X) для каждой нормы в пространстве X (т. е. все линейные операторы непрерывны при dim X < оо). Соответственно, функциональное исчисление класса Фа (п. 4.7) можно рассматривать при a€L(X). Например, экспонента (4.31) определена для всех а€ L(X). Упражнения. 1. Пусть dim X < оо. Проверьте, что определение (4.2) при f еФа (п = оо) совпадает с определением (4.7). 2. Проверьте (используя (3.4)), что det(ee) = etra, (4.33) где tra (след оператора а) определяется (по аналогии с п. 3.1) как trae, для каждого базиса е пространства X. 3. Проверьте (используя жорданову форму оператора а), что e' = lim(l + £)n. (4.34) В дальнейшем мы будем использовать также обозначение В(Х, Y) для векторного пространства всех ограниченных (=непрерывных) операторов aeHom(X,F). § 5. Унитарные пространства 5.1. Определение. Пусть X — векторное пространство над полем F = = Е, С. Функция /: X х X —► X называется эрмитовой формой в пространстве X, если (а) /(ж,у) = /(у,ж), (/3) f(ax + Py,z) = af(x,z) + Pf(y,z) для всех а, /3 G F и всех x,y,zeX. Здесь черта означает комплексное сопряжение в поле F. Из условий (а), (/3) следует, что функция / анти- линейна по второму аргументу, т. е. /(ж, ay + (3z) = аУ(ж, у) + Д/(ж, z). Эрмитова форма / называется скалярным произведением в пространстве X, если она (строго) положительно определена, т. е. (т) /(я>я)^0, /(ж, ж) = 0 только при ж = 0. Пространство X называется унитарным, если в нем фиксировано скалярное произведение /. В этом случае обычно используется обозначение
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37 /(ж, 2/) = (ж, у). Условие (7) позволяет также определить неотрицательную функцию \\х\\ = у/&х). (5.1) Если F = R, то комплексное сопряжение в (а), (/3) тривиально, так что / есть симметричная билинейная форма в пространстве X. Унитарное пространство над полем R называется также евклидовым пространством. 5.2. Предложение. Функция (5.1) есть норма в пространстве X {так что X есть нормированное пространство над полем F). Помимо этого, имеем: (а) Для каждой пары векторов х,уеХ выполняется следующее «неравенство Шварца» |(*у)|*;М|.|М|. (5.2) (/3) Неравенство (5.2) превращается в равенство лишь в том случае, когда векторы ж, у коллинеарны. Более того, для каждого хеХ ||х|| = max Щ^ = max |(я, z)\. (5.3) 11 " 3,^0 IMI N-1 Доказательство. Неотрицательная функция || х — А у ||2 совпадает при у Ф О с квадратным трехчленом ^(A) = ||x||2-2Re(X-(x,j/)) + |A|2||i/||2, где А 6 С. Подстановка А = teia при (ж, у) = ре™ (полярная запись числа (ж, у)) превращает <р(А) в неотрицательный трехчлен *,„(*) = INI2-2tp + t2||y||2, где t e E, дискриминант которого А должен быть неположителен, что совпадает с (5.2). Отсюда следует (а). Более того, равенство Д = 0 влечет <р(А) = 0 в некоторой точке А, т. е. х = А у, откуда следует (/?). В свою очередь, из (5.3) легко выводится «неравенство треугольника» (/?) п. 4.6 для функции (5.1). Ясно также, что выполнено (а) п. 4.6. Следовательно, (5.1) есть норма в пространстве X. Примеры. 1. Пространство Fn унитарно относительно скалярного произведения п (я, у) = Е xi¥v (5.4) 2. Пространство ^ (п. 4.7) унитарно относительно скалярного произведения (5.4) при п = оо. В данном случае (5.4) есть абсолютно сходящийся ряд, что ясно из оценки аЬ<±(а2 + Ь2), (5.5) где a=|xj, Ь = Ы- 3. Пространство L2(T,p,) унитарно относительно скалярного произведения г (/,<?)= №g(t)dp(t), (5.6)
38 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ существование которого также следует из оценки (5.5) при а= |/(*)|, b = = \9(t)\. Заметим, что неравенство Шварца в пространствах 1^, L2(% \i) совпадает с известным неравенством Коши — Буняковского. Упражнения. 1. Проверьте (используя неравенство Шварца), что скалярное произведение в унитарном пространстве X непрерывно (по совокупности переменных ж, у € X). 2. Норма (5.1) удовлетворяет равенству параллелограмма ||* + у||2ЧЧ1*-У||2 = 2(И2 + 1М12) (5-7) (для всех ж, у е X). Помимо этого, выполняется правило поляризации Re(x,y) = i(||x + 2/||2-||x-y||2) (5.8) (для всех ж, у el). 3. Нормированное пространство X унитаризуемо (т. е. норма в нем имеет вид (5.1)) лишь в том случае, когда выполняется (5.7). 4. Пространство С(а, Ь) не унитаризуемо. 5. Пространство 1р (аналогично, Lp(T, /x)) унитаризуемо только при р=2. 5.3. Пространство ^(а;). Еще один пример унитарного пространства можно получить, если заменить счетные ряды (в определении 4) обобщенными рядами вида а=Евц (5-9) i€l где а{е F, I — произвольное множество индексов. А именно, частичной суммой ряда (5.9) называется каждое число aF, получаемое из (5.9) заменой I на произвольное конечное подмножество F С С/. Если а{ ^0 (для всех г el), то суммой ряда (5.9) называется a=sup aF. F Соответственно, ряд (5.9) называется сходящимся, если а < оо. В общем случае аналогично определяется абсолютная сходимость ряда (5.9). Положим и = card I, и пусть 1р(ш) (1 ^ р < оо) — множество всех наборов я = (я.).е/, где ж. е F и ряд, составленный из чисел |ж{|р, сходится. В этом случае легко проверить (по аналогии с 1р), что lp(w) есть банахово пространство относительно нормы И, = {£кГ}*- (5.Ю) В частности, £j(a>) унитарно относительно скалярного произведения (5.4), где конечная сумма заменяется абсолютно сходящимся рядом из элементов *«У< (* € /). Упражнение. Если ряд (5.9) абсолютно сходится, то не более счетного числа его элементов отлично от нуля. В частности, для каждого ж е 1р(и>) не более счетного числа координат х. (г е I) отлично от нуля.
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 5.4. Ортогональные системы. Пусть X — унитарное пространство. Элементы х, у е X называются ортогональными (х ± у), если (ж, у) = 0. Система е = (е<)<€/ в пространстве X называется ортогональной (соответственно, ортонормированной), если е£ J_ey при i^j (соответственно, (е.,еу)=6^). Фиксируем ортонормированную систему е в пространстве X. Для каждого х е X числа a* = (*,e4) (5.11) называются координатами (или коэффициентами Фурье) вектора х (относительно системы е). Нетрудно видеть, что для каждого хеХ выполняется следующее неравенство Бесселя: Ekl2<N!2. (5.12) Действительно, из общего определения суммы ряда (5.9) следует, что достаточно проверить (5.12) в случае card J <oo. Положим в этом случае / = {1,...,п} и рассмотрим вспомогательный вектор п для которого у,- = xi (i = 1,..., п). Соответственно, вектор z = x - у ортогонален к системе е (z{ = 0 для всех i = 1,..., п). Отсюда ж = у + z, где у ±2. Очевидно, в этом случае ||х||2 = ||у||2 + ||г||2 (правило Пифагора). Помимо этого, || у||2 совпадает с левой частью (5.12). Отсюда следует (5.12) (поскольку ||у||2<||ж||2). Используя (5.12), находим, что для каждого х е X не более счетного числа координат х{ del) отлично от нуля. Ортонормированная система е в пространстве X называется полной (соответственно, замкнутой), если ее линейная оболочка всюду плотна в пространстве X (соответственно, если условие zi = 0 для всех г е I влечет 2=0). Система е называется (ортонормированным) базисом пространства X, если каждый хеХ представляется в виде ряда = Е М, (5.13) X iel где не более счетного числа коэффициентов с.е F отлично от нуля. Используя непрерывность скалярного произведения в пространстве X, находим с{ = х{ для всех iel (т. е. коэффициенты в (5.13) определяются однозначно). Аналогично проверяется, что Nl2 = £kf. (5.14) Примеры. 1. Пусть е( е ^(ш) — вектор с координатами 6{j (j e I). Тогда система e = (e.)i€l есть ортонормированный базис в ^(и). 2. Функции еп(0 = ^е-, (5.15) где п е Z, образуют ортонормированную систему в £2(0, 2п).
40 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Покажем, что система (5.15) полна. Действительно, линейная оболочка Т(0, 2п) системы (5.15) есть алгебра тригонометрических полиномов в пространстве L2(0, 27г). Согласно теореме Вейерштрасса, Г(0, 2п) всюду плотно в С(0, 27г) относительно равномерной метрики, но тогда и относительно метрики в L2(0, 27г). С другой стороны, С(0, 2п) всюду плотно в £2(0, 2п) (п. 4.6). Отсюда заключаем, что Т(0,2п) всюду плотно в £2(0,27г). 5.6. Гильбертовы пространства. Унитарное пространство Я называется гильбертовым, если оно полно (относительно нормы (5.1)). В частности, все унитарные пространства, рассмотренные в пп. 5.1, 5.2, суть гильбертовы пространства. Унитарные пространства X, Y над полем F называются изоморфными, если существует линейный изоморфизм и: X —> Y, сохраняющий скалярное произведение, т. е. (их, иу) = (ж, у) (5.16) для всех х,у€Х. Упражнения. 1. Соотношение (5.16) равносильно тому, что и есть изометрия, т. е. ||ш;|| = ||ж|| для всех хеХ. [Указание: воспользуйтесь правилом поляризации.] 2. Если унитарное пространство X изоморфно гильбертову пространству Y, то X есть гильбертово пространство. 6.6. Лемма. Пусть Я — гильбертово пространство. Тогда для каждой ортонормированной системы е = (е.)£€/ в пространстве Я и каждого набора чисел х. (г el) со сходящимся рядом (5.12) существует вектор х=^х(е{ (5.17) в пространстве Я, для которого xi (i e /) суть координаты вектора х (относительно системы е). Соответственно, в этом случае неравенство Бесселя (5.12) превращается в равенство (5.14). Доказательство. Напомним (п. 5.3), что не более счетного количества чисел xt (г е I) отлично от нуля. Поэтому достаточно рассматривать счетные ряды вида ж *=Е*«е<. (5.18) г = 1 Пусть sn (neN) — частичная сумма ряда (5.18). Используя правило Пифагора, находим, что ||sn — sm||2 совпадает с соответствующим остатком ряда (5.12). Отсюда следует (ввиду полноты пространства Я) сходимость ряда (5.18). Остается напомнить, что остальные утверждения этой леммы доказаны в п. 5.4. Теперь мы можем сформулировать и доказать основную теорему теории гильбертовых пространств. 5.7. Теорема. В каждом гильбертовом пространстве Я существует ортонормированный базис. Более того, для ортонормированной системы е в пространстве Я следующие свойства эквивалентны: (i) система е полна;
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41 (ii) система е замкнута; (Ш) система е есть базис пространства Я. Доказательство. Соотношение ортогональности z J_ е (т. е. z{ = О для всех % е I) равносильно z J_ Я(е), где Я(е) — замыкание линейной оболочки системы е. Если (i) выполняется, то z±H. В частности, 2_1_2, т. е. 2 = 0. Отсюда получаем импликацию (i)=»(ii). Импликация (ii)=>(iii) вытекает из леммы 5.6. Действительно, для каждого х е Я пусть у е Я — вектор, определяемый равенством (5.17), где х{—коэффициенты Фурье вектора х. Тогда для вектора z = х — у имеем z J_ е, т. е. z = 0. В результате х = ув (5.17). Импликация (iii)=>(i) вытекает непосредственно из равенства ж = Итзп, где sn — частичные суммы ряда (5.18). Таким образом, утверж- п дения (i), (ii), (iii) эквивалентны. Используя принцип максимума, находим, что в Я существует максимальная (по включению) ортонормированная система е. Если 0^ z _L е, то нормированный вектор 2ь = £/||г|| расширяет систему е, что невозможно. Но это означает, что система е замкнута. Следовательно, е есть базис пространства Я. Пример. Система (5.15) есть ортонормированный базис в £2(0,27г). Иначе говоря, каждая функция / е L2(Q, 2я-) разлагается в ряд Фурье /(*)= £ с.е", (5.19) П = —00 сходящийся в метрике £2(0,27г), с коэффициентами cn = ^^f(t)e-^dt (5.20) Более того, соотношение (5.14) превращается в формулу Планшереля \f(t)\4t= £ |cj2. (5.21) п = — оо 5.8. Следствие. Каждое гильбертово пространство Я изоморфно ^(а;) (при некотором ш). Действительно, фиксируем ортонормированный базис е пространства Я. Используя лемму 5.6, находим, что отображение ux = (x{)ieI (относительно е) определяет изометрию Я с ^(cj). Используя упражнение (1) п. 5.5 (либо непосредственную проверку), получаем Я«У4 Нетрудно проверить (по аналогии с п. 2.2), что каждые два ортонор- мированных базиса в пространстве Я равномощны. Поэтому изоморфизм Я w ^(cj) однозначно определяет кардинальное число и> = dim Я, называемое гильбертовой размерностью пространства Я. В общем случае алгебраическая размерность пространства Я (п. 2.2) отличается от гильбертовой размерности dim Я. Однако, если хотя бы одна из этих размерностей конечна, то они совпадают. Примеры. 1. Гильбертово пространство L2(a, b) (a^ b) счетномерно. Например, это ясно из рассмотрения рядов Фурье (5.20). 2*1 3 Зак. 184
42 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2. Пространство Я называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество. Соответственно, в Я существует конечная или счетная линейно независимая система f{ (i e I). Применяя к этой системе известный процесс ортогонализации (Грама — Шмидта), находим, что Я обладает конечным или счетным ортонормированным базисом. Отсюда заключаем, что каждое сепараоельное гильбертово пространство изоморфно либо Fn (n 6N), либо ^ (над полем F). Упражнения. 1. Проверьте, что пространства L2(a, Ь), Ь2(Ш) сепа- рабельны. 2. Фиксируем в пространстве Я ортонормированный базис е{ (г € I) и поставим в соответствие каждому оператору а € В(Я) числовую матрицу %=(аеяе<). (5.22) Проверьте, что действие у — ахъ пространстве Я выражается в коэффициентах Фурье по стандартному правилу й=Е^, (5-23) 3 где ряд в правой части (5.23) абсолютно сходится. 5.9. Ортогональные суммы. Пусть Щ (г el)— произвольное семейство гильбертовых пространств над полем F. Пусть Н=@Н{ (5.24) — множество всех наборов х = (ж,),€/, где х{ € Н{ и ряд, составленный из чисел ||ж. ||2, сходится. Легко проверяется (по аналогии с ^(о;)), что Я есть гильбертово пространство относительно скалярного произведения (*, у) =£(*,,%) (5.25) (абсолютно сходящийся ряд). Не следует путать обозначение (5.24) с прямой алгебраической суммой пространств Я; (п. 2.9). Каждое пространство Н{ естественно вкладывается в Я, так что Н{ ± Яу при г\ф j. Пространство Я называется прямой ортогональной суммой гильбертовых пространств Н. (г е I). Заметим, что ш = dim Я есть сумма кардинальных чисел ш. = dim Ht (г G J). Отсюда вытекает общий способ представления произвольного гильбертова пространства Я в виде суммы (5.24). Достаточно фиксировать ортонормированный базис е пространства Я и рассмотреть его разложение в дизъюнктную сумму подмножеств е. (г € /). В этом случае Н{ определяется как замыкание линейной оболочки подсистемы е. (г el). Пример. Для каждого замкнутого подпространства Я0 С Я пусть Я, = = Я0-*- — его ортогональное дополнение (т. е. множество всех у е Я, для которых у ± Я0). Тогда имеем Н = Щ®НХ. (5.26)
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43 Проекционный оператор р в пространстве Я называется ортопроекто- ром, если (рж, у) = (ж, ру) для всех ж, у е Я, так что (рж, р'у) = 0 для всех ж, у € Я, где р' = 1 — р (дополнительный ортопроектор). Соответственно, в этом случае имеем ортогональное разложение (5.26), где Н0=рН, Нх =р'Н. Семейство ортопроекторов (р{){€1 в пространстве Я называется ортогональным, если pipj = 0 при г jkj. Легко проверяется, что в этом случае формальный ряд % сходится на каждом векторе ж б Я. Более того, р проецирует Я на прямую ортогональную сумму подпространств Н{ =р{Н. В частности, р = 1 (единичный оператор) в (5.24). Упражнения. 1. ЕслирФ0 — ортопроектор, то \р|| = 1 (вчастности, реЩЩ). 2. Каждая неубывающая последовательность ортопроекторов рп е В(Я) сходится на элементах ж € Я к ортопроектору р € В(Я). [Указание: семейство Арп = рп - рп _ j (^ = 0) ортогонально.] 6.10. Теорема. Общий вид линейного непрерывного функционала f e Е Я' есть /(ж) = (ж, у), где уеН. Более того, ||/|| = ||у||. Соответственно, отображение у«-+ / определяет антилинейный изоморфизм Н &Н'. Доказательство. Положим Я0 = ker/ и заметим, что codimЯ0 = 1 при /ф0. Отсюда следует (5.26) при одномерном дополнении Н{ = Fe^, где Офво±Я0. Полагая ж = а^ + Ае^, где ^бЯ0, А 6 F, получаем /(ж) = А/(во), (ж, ео) = А (во, е^), откуда следует (5.26) при у = /(ео)е^, ||еь|| = 1. Вычисляя норму функционала (5.26), воспользуемся равенством (5.3) (с заменой ж на у). Отсюда И/И = 1М1. Упражнение. Проверьте, что антилинейный изоморфизм Н & Н' определяется по правилу <*У) = (Х,У). (5.27) где in ж — комплексное сопряжение в Я (относительно ортонормирован- ного базиса в пространстве Я). 6.11. Теорема. Для каждого аеВ(Н) (п. 4.7) существует единственный (сопряженный) оператор а* е В(Я), определяемый по правилу (аж,у) = (ж,^у) (5.28) для всех ж, у G Я. Отображение а*->а* антилинейно и удовлетворяет соотношениям (ab)* = Ь*а*, а** = а. Более того, \\а\\ = ||а*||. Доказательство. Достаточно заметить, что /(ж) = (аж, у) есть непрерывный линейный функционал в пространстве Я, откуда /(ж) = (ж, z) з*
44 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ при некотором (однозначно определенном) zeH. Ясно, что z есть линейная функция от у. Полагая z = а*у, получаем (5.28). Напомним также, что ||а|| =sup ||аж||, где sup берется по единичной сфере ||ж|| = 1. Отсюда ||а|| =sup |(аж, у)\ = sup |(ж, а*у)\ = ||а*||, где sup берется при ||ж|| = ||у|| = 1. Остальные свойства отображения а*-+а* очевидны из (5.28). Упражнение. Функция /: Я х Я -+F называется условно билинейной (или полуторалинейной), если /(ж, у) линейно по ж и антилинейно по у. Докажите, что каждая непрерывная условно билинейная функция /: Я х Я -> F имеет вид (5.28) (при некотором ае В(Я)). 5.12. Определение. Оператор аеВ(Я) называется (соответственно) эрмитовым, антиэрмитовым, унитарным, если а* = а, а* = —а, а* = а"1 (в последнем случае предполагается, что оператор а обратим в В(Я)). Легко проверить (упражнение), что равенство а* = а равносильно эрмито- вости формы /(ж, у) = (аж, у) и также вещественности квадратичной формы <р(ж) = (аж, х). Помимо этого, равенство а* = а равносильно эрмитовости матрицы (5.22) (для каждого ортонормированного базиса в пространстве Я). Подстановка а\-* га (при F =С) осуществляет биекцию между вещественными подпространствами эрмитовых и антиэрмитовых операторов в В(Я). Для каждого a е В(Я) операторы ах = ^(а+а% о^^а-а*) эрмитовы, так что a=al + ia2 (единственное разложение). Унитарность оператора ае В(Я) означает, что а определяет автоморфизм гильбертова пространства Я. Упражнения. 1. Если а= а*, то каждое собственное значение а оператора А вещественно и каждые два его собственных вектора с различными собственными значениями а ф /3 взаимно ортогональны. 2. Если аН0 с Щ (Я0 — подпространство в Я), то а*Н^ С Я^. В частности, разложение (э.25) инвариантно при а=а*. 3. Если Я — конечномерное унитарное пространство над полем С, то каждый эрмитов оператор а е ЫЮ диагонализуем. [Указание: доказательство основано на упражнениях 1, 2.] 4. Каждый эрмитов оператор а е В(Я) однозначно определяется своей квадратичной формой <рЛх) = (аж, ж). Иначе говоря, а= Ъ <Ф ipa = ipb. [Указание: форма /а(ж, у) = (ах, у) выражается через у?в по правилу (5.8).] Пример. Оператор аеВ(Я) называется положительным (а^О), если (аж, ж) ^ О для всех ж е Я. В частности, а=а*, т. е. оператор а эрмитов. Если штЯ<оо, то a = diag(an..., ап), где а. ^0 (г = 1,..., п). 5.13. Компактные операторы. Линейный оператор aeL(H) называется компактным, если он переводит каждое ограниченное множество А с Я в предкомпактное множество аМ С Я. Эквивалентное определение: пусть S{ — единичный шар в пространстве Я (т. е. множество всех хеН, для которых ||ж|| ^ 1). Тогда множество aS{ предкомпактно.
§ 5. УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45 Здесь мы используем определение предкомпактности в метрическом пространстве Я (JVC Я предкомпактно, если его замыкание N компактно). В частности, каждое предкомпактное множество N с Я ограничено (по норме в Я). Отсюда заключаем, что каждый компактный оператор а е L(H) ограничен, т. е. аеВ(Н). Пример. Пусть Я = L2(T, /4), где м(Т) < оо. Интегральный оператор (af)(t)= [ K(t, s)x(s)dp,(s), (5.29) где К €L2(T2, /x2), называется оператором Фредгольма в пространстве Я. Легко проверяется (см., например, [Ш1]), что оператор Фредгольма (5.29) компактен. Более того, из теоремы Фубини следует, что а обладает сопряженным оператором Фредгольма а*, порожденным функцией K*(t, s) = K(s, t). Непосредственно из (5.29) вытекает оценка NK 11*11, (5-30) где ||if||— норма функции К в L2(T2,p,2). Наконец, из теоремы Фубини следует, что для каждого ортонормированного базиса еп (n e N) в пространстве Я матричные элементы атп = (аеп, ет) оператора а вычисляются по правилу атп = Ктп = (К,етп), (5.31) где emn(t, s) = em(t)en(s). Здесь скобка в правой части (5.31) означает скалярное произведение в L2(T2, р2). В дальнейшем полагаем F =С. Базис е = (e,)i€/ в пространстве Я называется собственным относительно ае В(Я), если ае{ = а£е{ для всех iel. 5.14. Теорема (Д. Гильберт). Каждый компактный эрмитов оператор a G В(Я) обладает собственным ортонормированным базисом в пространстве Я. Иначе говоря, Н = ®НХ (5.32) (прямая ортогональная сумма), где ЯА=кег(а—А). Помимо этого, имеем: (i) Если А =^0, то (ИтЯА <оо (т. е. собственное значение А имеет конечную кратность). (ii) Число различных собственных значений оператора а конечно или счетно. (Ш) Если число собственных значений оператора а счетно, то они образуют последовательность Хп —> 0. Доказательство можно найти в добавлении D (п. D. 4). См. также [КФ;Ш1]. 5.15. Следствие. Оператор Фредгольма (5.29) при К* = К обладает собственным ортонормированным базисом еп (п е N). Помимо этого, имеем:
46 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (а) Собственные значения ап (п eN) вещественны и удовлетворяют оценке «, £<*п2<оо. (5.33) п=1 (/3) Если интегралы J(t) — J |if(*, s)\2dfi(s) равномерно ограничены, то каждая функция у = ах (у е im а) разлагается в (обобщенный) ряд Фурье У(0=Е«п^п(0, (5.34) сходящийся абсолютно и равномерно. Действительно, если en (n e N) — собственный базис оператора (5.29), то имеем из (5.31): ^ *(М)=Е"«е»(*К00. (5.35) В частности, левая часть (5.33) совпадает с ||iif ||2, откуда следует (а). Для доказательства (/?) достаточно заметить, что числа anen(t) суть коэффициенты Фурье функции (5.35) при фиксированном t. Применяя неравенство Бесселя, получаем £|anen(t)|4J(*)^C Остается применить неравенство Коши — Буняковского для оценки сходимости ряда (5.34). В результате получаем (/?), т. е. ряд (5.34) сходится абсолютно и равномерно. Утверждение (/3) называется обычно теоремой Гильберта —Шмидта. § 6. Тензорные произведения 6.1. Теорема-определение. Для каждой пары векторных пространств Х, Y над полем F существует единственное, с точностью до изоморфизма, векторное пространство X ® Y, называемое тензорным произведением пространств X,Y и определяемое следующими условиями: (а) Существует билинейное отображение 7г: X х Y —>X® Y, (ж, у)ь-> ь-» х <8> у, образ которого порождает X ® Y. (/3) Для каждой пары линейно независимых систем е, / (соответственно) в X, Y система е ®/, составленная из векторов х®у, где хее, yEf, линейно независима в X ® Y. Помимо этого, из(а),(/3) следует, что пространство X®Y обладает следующим свойством универсальности в категории VECTF: (7) Каждое билинейное отображение а: X xY->Z (в категории VECTp.) однозначно поднимается до линейного отображения /3: X®Y—> -> Z по правилу а(х,у) = Р(х®у), (6.1)
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 47 гдехеХ, yeY. Наконец, пространствоX&Y определяется однозначно (с точностью до изоморфизма) по условиям (а), (7). Доказательство. Пусть F[X xY] — векторное пространство над полем F с базисом X х Y (п. 2.1). Определим X ® У как факторпростран- ство F[X xY] по подпространству N, порожденному элементами (Аж + р,х\ у) - Л(ж, у) - р,(х\ у), (6.2) (ж, Ху + р,у') - Л(ж, у) - д(ж, у')» (6.3) где A, fi e F, ж, х1 е X, у, у7 е У. Согласно этому определению, каноническая проекция 7г: F[X xY]-> X ®Y билинейна и накрывает X ® Y. Полагая тг(ж, у) = ж ® у, получаем (а). Покажем, что при этом определении выполняется также условие (7). Действительно, (6.1) определяет линейный оператор (3 на базисе X х У, но тогда и во всем пространстве F[X x Y] (п. 2.3). Используя билинейность а, находим, что /3 аннулирует векторы (6.2), (6.3), т. е. /3(7\Г) = 0. Но тогда оператор (3 определен на классах смежности (mod N), т. е. может рассматриваться как линейный оператор X ® У -* Z. Отсюда следует (7). В частности, для каждой пары линейных операторов а€ Hom(X, X')t Ь е €Нот(1^ Y') (в категории VECTF) отображение а (ж, у) = ах<8>Ьу билинейно и потому определяет линейный оператор /3 = а® Ь е Hom(X ® Y, X' ® Y9) по правилу (а® Ь)(х ® у) = аж ® Ъу, (6.4) где ж G -X*, у € У. Ниже мы отметим связь символа а® Ь с тензорным символом в (а). Аналогично, для каждой пары линейных функционалов / £ X*, gEY* равенство (/®<7)(ж®у) = /(ж)<Кж) (6.5) определяет линейный функционал / ® g € (X ® У)*. Здесь мы отождествляем F®F с полем F, так что (6.5) можно рассматривать как частный случай (6.4). Фиксируем два базиса е, / (соответственно) в X, Y и пусть е, у? — их дуальные системы (соответственно) в -X**, У*. Применяя (6.5), находим, что система е®/ обладает дуальной системой е® у?. Следовательно, система е®/ линейно независима и потому (согласно (а)) образует базис вХ®У. Отсюда следует (/3). Таким образом, мы построили пространство X ® У, удовлетворяющее условиям (а), (/3), (7). Помимо этого, если Z (вместо Х®У) удовлетворяет условиям (а), (/3), то отображение /?(ж®у) = ж®у определяет (в силу равенства размерностей) изоморфизм X® y«Z. Аналогично, если Z удовлетворяет условиям (а), (7), то Z&X&Y. 6.2. Следствие, (i) dim(X ® У) = dim X • dim У. (ii) Для каждой пары базисов е, / элементы z е X ® У однозначно записываются в виде * = ЕМ*®/Д <6-6> с коэффициентами z^eF. h3
48 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Действительно, каждая из систем е, / может быть расширена до базиса (соответственно, в Х% Y). Поэтому (i) есть частный случай (/3) п. 6.1. Утверждение (ii) очевидно. Заметим, что векторы z = х® у выделяются в (6.6) условием ztj = ж.уу. Упражнения. 1. Отождествляя 1 ®х (соответственно, х® 1) с элементом х е X, получаем (с точностью до изоморфизма) соотношение F®X = X®F = X (6.7) в категории VECTF. 2. Для каждой линейно независимой системы е в пространстве X соотношение £е,.®у<=0 (6.8) * в пространстве X ® Y возможно только при у{ = 0 (для всех г е /). 3. Элементы х ® у заполняют X ® Y только в случаях dim X = 1 либо dimF=l. Замечание. Практически можно определить X®Y как формальную линейную оболочку базисной системы е ®/. Значение теоремы 6.1 в этой ситуации сводится к тому, что данное определение не зависит от выбора базисов е, / (соответственно) в X, Y. 6.3. Определение. Пусть Х{ (i = 1,..., п) — конечное семейство векторных пространств над полем F. Повторяя аргументы п. 6.1, получаем единственное (с точностью до изоморфизма) тензорное произведение Х= eX^JT,®...®^, (6.9) i = l определяемое (а) n-линейным отображением 7г(ж,,..., хп) = х{ <8>... ® хп, образ которого порождает Х> и условием (/3) dimX=n dimX,. i = l В этом случае условие (7) означает, что каждое n-линейное отображение а: Хх х .. .Хп —> Z однозначно поднимается до линейного отображения /3: X^Z. В частности, пусть п = 3. Применяя правило (7) к трилинейным отображениям а (ж, у, z) = x <g> (у <g> г), а'(ж, у, г) = (ж ® у) ® 2, находим, что тензорное произведение X <8>Y<8>Z в категории VECTF совпадает (с точностью до изоморфизма) с пространством X ® (У ® Z) = (X ® Г) ® Z (6.10) Соотношение (6.10) интерпретируется как свойство ассоциативности тензорного умножения. Ясно также, что это умножение дистрибутивно по отношению к операции прямой суммы в категории VECT^. Согласно (6.7), одномерное пространство F играет роль единицы в тензорном умножении (6.9). Определение (6.9) можно также перенести на произвольные семейства векторных пространств Х{ (г El). В этом случае пространство X натянуто
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 49 на элементы вида х, ®... ® ж^, где г,,..., гп — произвольный (конечный) набор индексов г е I. 6.4. Операторы а®Ь. Отображение (а, Ь)н-*а®Ь, определенное в (6.4), билинейно и потому продолжается до линейного отображения Нош(Х, X1) ® Hom(i; У) -> Hom(X ® Y, X1 ® У), (6.11) по правилу а® Ь i-+ а® Ь (где в левой части имеется в виду тензорный символ, определенный в (а) п. 6.1). Ясно также, что операторы (6.4) удовлетворяют правилу умножения (d ® V)(a® Ь) = da®Vb, (6.12) в том случае, когда каждая из комбинаций da, Ь'Ъ определена. Отметим следующие частные случаи (6.11): End X ®End Y ->End(X ® У), (6.13) X*®Y*->(X®Y)*. (6.14) 6.5. Предложение. Отображение (6.11) (в частности, (6.13), (6.14)) инъективно. Если dimX, dim Y < оо, mo каждое из отображений (6.13), (6.14) есть изоморфизм. Доказательство. Фиксируем базис е{ (г е I) в пространстве Hom(l^ Y') и запишем каждый элемент в левой части (6.11) в виде /i = £/i,®e0 с коэффициентами Л. € Нот(Х, X'). Предположим, что Л =0 как оператор в X®Y. Применяя преобразование (/®1)Л, где /б(-Х"')*, к элементу ж®у, получаем £/(МКу = о % для всех х б X, yeY, откуда f(h{x) = 0 (в силу линейной независимости операторов е<) для всех / е (X')*. Поэтому Л,ж = 0 (п. 2.3), т. е. ^ =0 для всех г е I. Отсюда заключаем, что отображение (6.11) инъективно. Сюръективность отображений (6.13), (6.14) в конечномерном случае очевидна из соображений размерности. А именно, если т = dim X, п = dim Y, то размерность обеих частей в (6.13), (соответственно, (6.14)) есть (тп)2 (соответственно, тп). 6.6. Пространство Hom(X, Y). Для каждой пары элементов y€Y,fe € X* определим оператор у ® / в пространстве X по правилу (у®/)(х) = /(*)у, (6.15) так что у ® / € Нот(Х, У). Если / =^ 0, то найдется жбХ, для которого /(ж)=^0. Отсюда заключаем, что пространство im(y®/) одномерно: im(t/®/) = Fy. (6.16)
50 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Операторы у ® / при / ф 0 называются одномерными операторами в пространстве X. Их линейные комбинации (т. е. все линейные операторы с конечномерными образами в Y) называются конечномерными операторами в Hom(Jf, Y). Покажем, что символы у®/ можно отождествить со стандартными символами тензорных произведений (п. 6.1). Действительно, отображение (6.15): (У» /)•-* У ®/ билинейно и потому поднимается (по теореме 6.1) до линейного отображения ш\ Y®X*->Hom(X,Y). Нетрудно видеть (по аналогии с п. 6.5), что отображение w инъективно. Действительно, фиксируем базис f{ (г el) в X* и запишем элементы Y&X* в виде с коэффициентами у{ е Y (г е I). Положим Л =0 в Hom(-X, F), и пусть 10 — подмножество индексов i e J, для которых у. Ф 0. Поскольку 10 конечно, существуют векторы xj € X (упражнение), для которых /Дху)= S{j (г, j e 10). Применяя к этим векторам оператор h, получаем у,. =0 для всех iel (т. е. Jo = 0), что равносильно инъективности отображения ш. Таким образом, Y ® X* вкладывается в Hom(-X', Y) как множество всех конечномерных операторов X —► Y. Если dim X < оо либо dim Y < оо, то все операторы в Нот(Х, У) конечномерны. В этом случае ш есть изоморфизм векторных пространств, т. е. Нот(Х,Г)«У®Х\ (6.17) В частности, условие dim X < оо влечет изоморфизм векторных пространств EndX«X®X*. (6.18) 6.7. Алгебра Т(Х). С каждым векторным пространством X над полем F связаны его тензорные степени Т0(Х) = F, Тп(Х) = Х®п при n ^ 1, где Хвп = X ®... ® X (п сомножителей). (6.19) Операция тензорного умножения Tn(X) x Tm(X)->Tn+m(X) превращает векторное пространство Т(Х)= 0 ТП(Х) (6.20) п = 0 в ассоциативную алгебру над полем F. Алгебра Т(Х) называется (ковари- антной) тензорной алгеброй векторного пространства X. Для каждого базиса е. (г е /) одночлены ^..Л = ^®.--®Ч, (6.21) где ik е I (к = 1,..., п), образуют базис в ТП(Х) при п ^ 1. Элементы £ е еТп(Х)} называемые тензорами ранга п, однозначно записываются в виде *=EV..<A...t,, <622> (О
§ 6. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 51 где t^ in€F (финитный набор) и суммирование ведется по всем наборам (г) = (г\,..., гп) 61п. Элемент е^ = 1 есть базисный элемент в Т0(Х). Заменяя в (6.21) элементы е{ дуальными элементами е{ (г е /), получаем одночлены ^...»п» дуальные к системе (6.21). Элементы вида / = E/v..<ne (6.23) (О где /*>•*»» gF (финитный набор), можно отождествить с функционалами в Тп(Х) по правилу (О Элементы (6.23) составляют лишь часть сопряженного пространства ТП(Х)*. Общий вид функционала / еТп(Х)* есть (6.24) с произвольными наборами /*> ~*п (т. е. функциями /: In -> F). Ситуация упрощается, если dim X < оо. В этом случае (6.23) есть общий вид функционала в Тп(Х), так что Т„(ХГ«Т„(Х'). (6.25) 6.8. Полилинейные формы. Пусть Fn(X) — векторное пространство всех п-линейных F-значных форм в пространстве X. Общий вид элемента /€Fn(X)ecTb /(я, у,..., «г) = £ Л ~{пЪУи • • • *V (6.26) (О где /*»••*« е F (произвольный набор), ж. — координаты вектора х е X относительно фиксированного базиса е{ (г е I) в пространстве X. Используя независимость векторов ж, у,..., го, находим (упражнение), что равенство /=0 равносильно /*'»••*'* =0 для всех наборов (») = (tlf..., гп). Соответствие между коэффициентами в (6.24), (6.26) определяет изоморфизм векторных пространств Tn(XY^Fn(X). (6.27) Заметим, что (6.26) есть значение функционала (6.24) на элементе t = ж® ®у®.. .®гу. Поэтому изоморфизм (6.27) соответствует правилу (/?) п. 6.23, согласно которому каждый функционал / еТп(Х)* однозначно определяется своими значениями в декартовой степени Хп. Упражнение. Пусть (•, •) — билинейная форма в X х X1 (соответственно, Y ® У). Покажите, что равенство (х ® у, х1 ® у') = (ж, ж')(у, у') (6.28) однозначно определяет билинейную форму в (X ® Y) х (X' ® У). 6.9. Расширение поля коэффициентов. Пусть X — векторное пространство над полем F, К — расширение поля F (т. е. F вкладывается в К в качестве цодполя). Полагая Х' = К®Х (6.29)
52 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и используя правило А(/х ® х) = Хр, ® ж, будем рассматривать X' как векторное пространство над полем К. Элемент 1 <8>ж отождествляется с х (для всякого жб1), так что X вкладывается в X'. Согласно упражнению 2 п. 6.2, каждый базис е{ (г е I) векторного пространства X есть также базис пространства X1 (над полем К). Элементы хеХ* однозначно записываются в виде x = Ylxieii (6.30) » с коэффициентами х. е К. Подпространство X выделяется в X' по правилу xi е F для всех i el. В этом смысле операция 1иХ' называется расширением поля коэффициентов (F н-» К). Таким образом, (6.29) определяет инвариантное (не зависящее от выбора базиса в X) расширение поля коэффициентов (F ь-> К). Согласно (6.30), имеем также dimF-X" =dimicX'. Пример. Для каждого вещественного X пространство X' = С <8> X = = Х ®гХ называется комплексификацией пространства X. Соответственно, X называется вещественной формой пространства X'. § 7. 5-модули 7.1. Представления, модули. Наша цель в этом параграфе — исследование связи между «основными» алгебраическими структурами § 1 и их линейными представлениями в алгебре End-X", где X — векторное пространство (над полем F). Для того, чтобы более четко обозначить эту задачу, нам понадобится ряд формальных определений. Пусть 5, X —два множества. Каждое бинарное отображение S х X —> X, (s, х)ь-+зх называется левым действием множества S в множестве X. Полагая 7r(s)x = sx, (7.1) получаем семейство операторов tt(s): X —► X, определяющих действие (7.1). Действие (7.1) называется линейным, если X—векторное пространство (над полем F) и операторы (7.1) линейны, т. е. 7r(s)EEndX для всех s e S. Предположим теперь, что S наделено одной из алгебраических структур, определенных в § 1. В этом случае в понятие левого действия включается условие гомоморфности отображения 7г: S —► End X в соответствующую (под)структуру алгебры End-X". Пространство X (соответственно, отображение 7г) называется в этом случае левым S-модулем (соответственно, представлением структуры S в векторном пространстве X). Аналогично рассматриваются правые действия S х X —> X, (s, х) »-* xs. В этом случае условие гомоморфности заменяется некоторым условием «ан- тигомоморфности». Соответственно, вместо термина «представление» используется термин «антипредставление».
§ 7. S-МОДУЛИ 53 Поясним эти термины на примерах отдельных алгебраических структур. (а) Если 5 — полугруппа, то условие гомоморфности действия (7.1) означает, что (st)x = s(tx) (7.2) для всех s,t € S, хе X. Если S — полугруппа с единицей е, то обычно требуется дополнительно, чтобы ех — х для всех х 6 X. (7.3) На языке операторов (7.1) соотношения (7.2), (7.3) означают, что 7r(st) = 7г(5)тг(*), тг(е) = 1, (7.4) для всех s,teS. ((3) Если G — группа, то из (7.4) следует обратимость операторов ir(g) (д е G). А именно, тЫ-1^*-1). (7.5) Таким образом, 7г: G->AutX — гомоморфизм группы G в группу AutX. Обратно, для каждого такого гомоморфизма выполняются условия (7.4) (п. 1.6). (7) Если А — ассоциативная алгебра над полем F, то действие А х х!->1, (а, х)*-*ах (в пространстве X над полем F) предполагается билинейным. В частности, к условию (7.2) добавляется условие линейности функции 7г, т. е. (Ха + уЪ)х = Хах + уЬх (7.6) для всех X,fieFt а, Ь € А, х е X. А-модуль X называется унитальным, если алгебра А унитальна (1 € А) и 1 • х = х для всех х е X. Аналогично рассматриваются правые действия 7r(s)x = xs. Однако, в этом случае условие (7.2) заменяется соотношением x(st) = (xs)t, т. е. 7Г(5*) = 7Г(*)7Г(5) (7.7) для всех 5, t € S. В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под терминами «действие», «5-модуль» понимаются «левое действие», «левый 5-модуль». В том случае, когда структура S фиксирована, мы будем использовать символ (X, 7г) (соответственно, (эт, -X")) для 5-модуля X с представлением 7г (соответственно, для представления 7г в пространстве X). Использование одного из этих символов отличается лишь акцентом (на пространство X или представление 7г). Примеры. 1. Каждый оператор деEndX, удовлетворяющий соотношению д2 = 1, определяет представление 7г циклической группы Z2 == {е, s} по правилу 7г(з) = д. 2. Экспонента п(х) = ех есть представление аддитивной группы R в пространстве R.
54 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3. Группа G=AutX действует в пространстве Тп(Х) (п. 6.7) операторами пп(д) = д®п = д®. ..®д (псомножителей). 4. Операция свертки, определенная в классе суммируемых функций на прямой, превращает L{(R) в коммутативную алгебру (над полем F = R, С) и каждое пространство Lp(R) (1 <р < оо) в LX(R) — модуль. Здесь Lp(R) = = Lp(R, д), где /х —стандартная мера Лебега, определенная в R. 7.2. S-пространства. Если действие (7.1) не предполагается линейным, то вместо термина « 5-модуль» используется термин «5-пространство». В известной степени исследование ^-пространств можно свести к теории 5-модулей. А именно, для каждого левого 5-пространства X векторное пространство F(X) (п. 1.3) снабжается структурой правого 5-модуля по правилу (/*)(*) = /(*х), (7.8) где s € 5, х е X. Аналогично, для каждого правого 5-пространства Х пространство F(X) снабжается структурой левого 5-модуля по правилу (sf)(x) = f{xs), (7.9) где з е 5, х е X. Поскольку X С F[X] С F(X) (п. 2.1), структура S-пространства X однозначно восстанавливается по структуре 5-модуля F(X). Если 5 — группа, то инверсия s н-* s~l (s e 5) превращает каждый левый 5-модуль в правый 5-модуль (и обратно). Например, в условиях (7.8) операция (sf){x) = f(s-lx) (7.10) превращает F(X) в левый 5-модуль. В дальнейшем мы будем использовать «типичные» термины «А-модуль», «G-модуль» для случаев, когда G — группа, А —ассоциативная алгебра над полем F. Если G — группа, то для каждого левого G-пространства Х отношение х ~ у при у — дх (geG) есть отношение эквивалентности в множестве X. Соответствующие классы эквивалентности Gx (xeX) называются орбитами группы G в пространстве X. Пространство X называется однородным (а действие в нем транзитивным), если X состоит из единственной орбиты, т. е. X = Gx (при некотором х е X). Заметим, что левые G-пространства образуют категорию G-SPACE, мор- физмы которой суть отображения ip: X —> У, сохраняющие действие группы G, т. е. ip(gx) = g<p(x) для всех g€G, xeX. Соответственно определяется изоморфизм левых G-пространств Х « Y. Примеры. 1. Пусть Я — подгруппа группы G. Пусть GJH — множество классов смежности gH (geG) группы G по подгруппе Я, снабженное левым действием 9о(9Щ = (%д)Н, где </, Д)€ G. Множество G/H называется (левым) факторпространством группы G по подгруппе Я. Очевидно, G/H = G(eH), т. е. G/H однородно.
§ 7. 5-МОДУЛИ 55 2. Обратно, пусть X — однородное (левое) G-пространство. Для каждой точки х^ е X подмножество GxQ^lgeG: gxQ = x0} есть подгруппа группы G, называемая стационарной подгруппой точки а^. Полагая Я = Gqcq, находим, что отображение эд н+ дН корректно определено и определяет изоморфизм G-пространств Х « G/H. Таким образом, все однородные (левые) G-пространства исчерпываются, с точностью до изоморфизма, факторпространствами G/H. Аналогично рассматриваются правые G-пространства. Подгруппа Я называется нормальной (или нормальным делителем группы G), если дН = Яд, т. е. дНд~х = Я для всех geG.B этом случае G/H наследует умножение группы G: (9lH)(g2H) = (gl92)H для всех gl} g2 е G. Ясно также, что G/H есть группа (с единичным элементом Я = еЯ). В этом случае G/H называется факторгруппой группы G (по нормальному делителю Я). Упражнение. Изоморфизм G-пространств X « Y равносилен изоморфизму G-модулей F(X)«F(Y)t относительно каждого из действии (7.8)—(7.10). [Указание: рассмотрите X С ^[Х].] 7.3. Алгебра F[S]. Пусть S — полугруппа. Условимся записывать элементы / € F[S] в виде /=£/<*)* (7Л1) seS (относительно базиса S С ^[5]). Умножение базисных элементов s,teS однозначно продолжается (по билинейности) на элементы (7.11), так что F[S] становится алгеброй (над полем F). Алгебра А = F[S] называется линейной оболочкой полугруппы S. Ясно, что алгебра А ассоциативна (ввиду ассоциативности полугруппы S). Если S —полугруппа с единицей е, то е есть также единица алгебры А. Умножение / = д * h в алгебре А выражается в терминах коэффициентов (7.11) следующим образом: /(*>= Е 9(s)h(t) (7.12) (свертка функций р, h на полугруппе 5). Если 5 — группа, то (7.12) может быть переписано в виде /(*) = Е 9(xt~l)h(t) = £ 9(*Щв-1х). t 8 Более того, для каждого (левого) S-модуля X равенство (7.11) можно интерпретировать как определение линейного оператора / в пространстве X. В этом смысле X снабжается структурой (левого) А-модуля. Обратно, каждый левый А -модуль при сужении А [ S становится левым S-модулем.
56 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Очевидно, каждый морфизм левых 5-модулей (р: X —► Y однозначно продолжается до морфизма левых А-модулей у>: X —► У, и обратное соответствие также определено (посредством сужения А I 5). В этом смысле категория 5-модулей эквивалентна категории А-модулей, где A=F[SJ. 7.4. Операции над модулями. Пусть 5 — произвольное множество. Для каждой пары 5-модулей X, Y их прямая сумма X ®Y снабжается структурой 5-модуля по правилу з(х ф у) = sx ф sy, (7.13) где символ ж фу используется вместо пары (ж, у). Аналогично определяется прямая сумма произвольного семейства 5-модулей Х{ (i e I). Для каждого левого 5-модуля X его сопряженное пространство X* снабжается структурой правого 5-модуля по правилу (7.8), т. е. (sxj) = (xjs) (7.14) для всех х е X, f € X*. Если G — группа, то тензорное произведение G-модулей Х <8> Y снабжается структурой G-модуля по правилу д(х <8>у) = дх® ду, (7.15) где д € G, х € Xt yeY. Сопряженное пространство X* снабжается структурой G-модуля по правилу (7.10), т. е. (№/) = <*г7>, (7.16) где^еС, хех, fex*. Заметим, что аналогичная конструкция для алгебр не всегда определена. См. по этому поводу п. 59.3. Подмодулем 5-модуля X называется каждое подпространство Х0сХ, инвариантное относительно действия 5: SX0 С Х0, т. е. зХ0 с Х0 для всех seS. Фактормодулем 5-модуля X по его подмодулю Х0 называется фактор- пространство Х/Х0, снабженное структурой 5-модуля по правилу 5(ж + Х0) = 5х + Х0, (7.17) где з е 5, х€Х. Примеры. 1. Для каждой пары G-модулей Х, Y пространство Hom(X, Y) снабжается структурой G-модуля по правилу g.h = ghg~\ (7.18) где geG, heHom(X,Y). Согласно (7.15), (7.16), вложение У®Х*-> -+ Hom(X, Y) (п. 6.6) есть гомоморфизм G-модулей. 2. В частности, при dim X < оо либо dim Y < оо соотношение Нот(Х,Г)«У®Х* (7.19) (п. 6.6) есть изоморфизм G-модулей.
§ 7. S-МОДУЛИ 57 3. Для каждого G-модуля Х подпространство его инвариантов XG = {х € X: дх = ж, V^ е G} (7.20) есть подмодуль модуля X. 7.5. Решетка V(X). Для каждого 5-модуля X пусть V(X) = VS(X)— множество всех подмодулей 5-модуля X. Полезно помнить, что для каждой пары подмодулей Х{, Х2 модуля X их сумма Хх +Х2 и пересечение Х1пХ2 также суть подмодули модуля X. Соответственно, V(X) есть решетка (по включению), в смысле теории упорядоченных множеств. Последнее означает, что каждое двухэлементное подмножество {Хх, Х2} в V(X) обладает точной нижней гранью (Хх Г\Х2) и точной верхней гранью (Х,+Х2). 5-модуль 1^0 называется простым, если его решетка V(X) тривиальна, т. е. V(X) = {0, X}. 5-модуль X называется полупростым, если его можно представить в виде прямой суммы простых подмодулей (в этом случае не исключается возможность X = 0). 5-модуль Х называется ре- дуктивным, если V(X) есть решетка с дополнениями, т. е. для каждого Х{ G V(X) имеем X = Х{®Х2 при некотором Х2 € V(X). Если X — простой (соответственно, полупростой) 5-модуль, то соответствующее представление (тс, X) называется неприводимым (соответственно, вполне приводимым). Примеры. 1. 5-модуль (X, 7г) называется симметричным, если X — гильбертово пространство и семейство 7г(5) симметрично относительно эрмитова сопряжения: 7г(5)* = 7г(5). Если также dimX < оо, то модуль X редуктивен (п. 5.12). 2. G-модуль (Х, 7г) называется унитарным, если представление 7г унитарно, т. е. п(д)* = тг(^)"1 для всех д е G. Поскольку тг(д)~1 = 7г(^"1), мы находим, что модуль -X* симметричен. Если dim X < оо, то модуль X редуктивен. Упражнения. 1. Пусть 5 С End X. Решетка V(X) не изменится, если заменить семейство 5 подалгеброй A cEndX, порожденной семейством 5 (т. е. А —линейная оболочка элементов ах... sn, где s. e 5): VS(X) = VA(X). (7.21) 2. Простота 5-модуля X* влечет простоту 5-модуля X. Если dim X < оо, то простота 5-модуля X равносильна простоте 5-модуля X*. 3. Если X — редуктивный 5-модуль, то все его подмодули и фактормо- дули редуктивны. Если X — конечномерный 5-модуль, то его полупростота равносильна его редуктивности (упражнение). Сейчас мы докажем, что это утверждение справедливо для всех 5-модулей. 7.6. Теорема. Для каждого 5-модуля X следующие условия эквивалентны: (а) Модуль X есть сумма (линейная оболочка) своих простых подмодулей. (/3) Модуль X полупрост. (7) Модуль X редуктивен.
58 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Доказательство. Используя принцип максимума, находим, что каждый 5-модуль X содержит максимальный полупростой подмодуль Х0. Для каждого простого YeV(X) имеем 10ПУ^0 (в противном случае X0@Y мажорирует Х0), откуда Х0 П Y = У, т. е. У с Х0. Следовательно, Х0 есть сумма (линейная оболочка) всех простых подмодулей YeV(X). Отсюда вытекает импликация (а) => (/3). Ясно также, что (/3) => (а). Применяя то же рассуждение, находим, что для каждого Хх 6 V(X) существует полупростой подмодуль Х2 Е V(X), содержащий все простые подмодули У, не входящие в Х{. Очевидно, Хх П Х2 = 0 и сумма X, © Х2 содержит все простые подмодули YeV(X). Если X — полупростой 5-модуль, тоХ = Хг®Х29 т. е. (/3)=^(7). Обратно, пусть X — редуктивный 5-модуль. Заменяя множество 5 на подалгебру с единицей А, порожденную действием 7г(5) в пространстве (X, 7г), можем считать, не ограничивая общности, что 5 = А. Покажем, что решетка V(X) при X фО содержит хотя бы один простой подмодуль Ye V(X). А именно, пусть ОфхеХ. Используя принцип максимума, построим максимальный подмодуль N, не содержащий ж, и пусть M = N+Ax. Ясно, что М фИ (ибо х е М) и в цепочке N СМ нет промежуточных подмодулей, что равносильно простоте M/N. Используя упражнение 2 п. 7.5, получаем М = N © У, где У « M/N. Применяя этот результат к разложению X = Х0 ф Xv где Х0 — максимальный полупростой подмодуль модуля X, Хх —дополнительный подмодуль, получаем Хх — О (в противном случае существует простой подмодуль УСХ{, что невозможно). Следовательно, Х = Х0 — полупростой 5-модуль, (7) => (/3). В результате (а) & (/?) <& (j). 7.7. Гомоморфизмы. Оператор <р е Hom(X, Y) называется морфизмом (гомоморфизмом) 5-модулей X, У, если он перестановочен с действием 5, т. е. ip(sx) = sy?(z) (7.22) для всех s е 5, жбХ. Множество Нот5(Х, У) всех таких гомоморфизмов есть подпространство векторного пространства Нот(Х, У). Соответственно, левые 5-модули (над полем F) образуют категорию 5-Mod с морфизмами (7.22). Изоморфизм 5-модулей X « У определяет также эквивалентность соответствующих представлений т ~ а. Подпространство #5(Х) = End5X (= Hom5(X, X)) есть подалгебра в EndX, называемая коммутантом 5-модуля X. Ясно, что KS(X) есть алгебра с единицей (1 £ EndX). Примеры. 1. Мы уже отмечали, что (7.19) есть изоморфизм G-mo- дулей. 2. Для каждой пары G-модулей Х, У имеем HomG(X, У) = [Нот(Х, У)]°, (7.23) в обозначениях (7.18), (7.20). Упражнение. Для каждого 5-модуля X пусть А — подалгебра с единицей в EndX, порожденная семейством 7г(5) (п.7.5). Тогда имеем: К8(Х) = КЛ(Х). (7.24)
§ 7. 5-МОДУЛИ 59 7.8. Предложение (лемма Шура). Если X — простой S-модуль, то каждый ненулевой гомоморфизм <р е Hom5(X, Y) (соответственно, Ф eHoms(Y, X)) есть вложение (соответственно, накрытие). В частности, если X, Y — простые S-модули, то каждый ненулевой гомоморфизм (р е Нот5(Х, Y) есть изоморфизм. Доказательство. Если <р е Нот5(Х, У), то ker <p e V(X), im ip e eV(Y). Если <р фО, то ker ip фX, im (p фО. Поэтому из простоты S-модуля X следует ker (р=0 (т. е. (р есть вложение). Аналогично, из простоты 5-мо- дуля Y следует im (р = Y (т. е. (р есть накрытие). 7.9. Следствие, (i) Если X — простой S-модуль, то его коммутант KS(X) есть тело. (ii) Если поле F алгебраически замкнуто, dim X <oo, то в условиях (i) K8(X) = F-l. (iii) Если действие S коммутативно, то в условиях (ii) dim X = 1. Действительно, (i) есть частный случай леммы Шура при X = У. Если А — собственное значение оператора <р Е KS(X), то оператор ip — А • 1 необратим, откуда <р - А • 1 = 0, т. е. (р = А • 1. Отсюда получаем (ii). Если действие 5 коммутативно, то n(s)eKs(X) для всех s€S, откуда 7r(s) = A(s)-l, где X(s) G F, что возможно (для простого модуля X) только при dim X = 1. Отсюда получаем (iii). Упражнения. 1. Для каждой пары простых G-модулей Х, Y в условиях (ii) положим N(X, У) = (Y <g> X*)fe. Тогда имеем: N(X, У) = 0 при X?6Y; JV(X,X) = Fe, (7.25) где е ^ 0 — единственный (с точностью до скалярного множителя) G-инва- риант в X <8>Х*. 2. Положим также (в условиях (ii)) I(X, Y) = F(X, Y*)G, где F(X, У) — векторное пространство всех билинейных (F-значных) форм в X х У, с естественным (поточечным) действием в X х У*. Тогда имеем: /(X, У) = 0 при Х?£У; I(X,X) = Ffi где / — каноническая билинейная форма в X х X *. 3. Если матрица aeMat(n, F) перестановочна со всеми матрицами хе GMat(n, F), то а=А • 1. Последний результат можно также вывести из (ii), если заметить, что каждое векторное пространство X есть простой EndX-модуль (п. 8.3). Замечание. Лемма Шура в форме (ii) обобщается также на счетно- мерные А-модули. Соответствующий аналог (ii) называется леммой Квил- лена. См, например, [Д; Кир]. 7.10. Коммутанты. Для каждого 5-модуля X положим S' = KS(X), S" = = (Sf)' (бикоммутант модуля X) и т. д. В частности, пусть S с EndX, так что 5 С 5". Аналогично, S" с S" и т. д. С другой стороны, если S С Т, то Т" с 5'. В частности, S'" С S', откуда S' = S'". Аналогично, S" = SIV и т. д. Отсюда заключаем, что цепочка кратных коммутантов модуля X сводится к паре S', S".
60 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пример. В условиях (и) предложения 7.9 имеем 5' = F • 1, откуда S" = EndX. Комментарии к главе 1 На протяжении этой главы мы опирались лишь на общие сведения из линейной алгебры (теория определителей), топологии (теория метрических пространств), теории интеграла (интеграл и мера Лебега). Мы приводим с доказательствами основные результаты линейной алгебры (§§ 3, 4, 5, 6), поскольку эти результаты играют существенную роль в дальнейшем изложении. Дальнейшие детали этой теории можно найти в ряде учебников по алгебре (см., например, [Вин1; КМ]). Элементы теории гильбертовых пространств, изложенные в § 5, представляют собой лишь часть содержательной теории алгебры В(#). Продолжение этой тематики можно найти, например, в учебниках по функциональному анализу [КФ; Ш 1], в монографиях [Р; М]. См. также добавление D в конце этой книги. Для любителей активного метода обучения может быть рекомендована теория гильбертовых пространств в задачах [Х2]. Вопросы спектральной теории в гильбертовых пространствах мы будем рассматривать также в главе 8. Исследование произвольных семейств операторов S С End X представляет собой необозримую задачу. Методика теории представлений сводится, по существу, к выделению таких алгебраических структур S с EndX, для которых эта задача в известном смысле разрешима. Содержательные примеры такого рода мы будем рассматривать во всех последующих главах.
Часть II ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Глава 2 АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Как мы видели в § 7, изучение произвольных 5-модулей сводится, по существу, к теории А -модулей, где А —ассоциативная алгебра над полем F. Поэтому ассоциативные алгебры занимают особое место в теории представлений. Содержание этой главы можно рассматривать как программу-минимум по теории ассоциативных алгебр. Основное внимание уделяется полупростым А-модулям. Среди результатов следует упомянуть структурную теорему Веддерберна и теорему плотности Джекобсона (§ 9). Для наших целей особое значение имеет также частный случай теоремы Веддерберна, относящийся к теории конечных групп (§ 10). Остальная часть главы связана с описанием ассоциативных алгебр в терминах их генетики (т. е. образующих и соотношений между ними). Мы стремимся не столько к общности результатов, сколько к изложению содержательных примеров: алгебры полиномов, алгебры формальных рядов, тензорные алгебры, алгебры Вейля и т. д. В конце главы показано (§ 15), как теория ассоциативных алгебр погружается в общую теорию колец. § 8. Алгебры, модули 8.1. Алгебры. Пусть А —ассоциативная алгебра над полем F. Умножение в алгебре А мы будем иногда записывать в виде /х(ж, у) = ху. Операция /х'(ж, у) = ух, называемая противоположным умножением, превращает векторное пространство А в противоположную алгебру Аор. Для каждой пары ассоциативных алгебр А, В над полем F векторные пространства А®В, А®В снабжаются структурами ассоциативных алгебр по правилу (a® b)(x®y) = ax® by, (a® b)(x® у) = ах® by, (8.1) где а, ж е А, Ь,у€В. Здесь имеется в виду, что вторая часть (8.1) продолжается по билинейности до умножения в пространстве А® В.
62 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Зачастую вместо А® В используется также символ Ах В для обозначения прямой суммы алгебр А, В. Аналогично (покомпонентно) определяются прямые суммы и тензорные произведения произвольного семейства алгебр Ai (г € I), с использованием символов © (либо П)> ® и т. д. г i i Категория ассоциативных алгебр над полем F обозначается ASSALGF. Для каждой пары подпространств X, Y с А символ X + Y (соответственно, XY) обозначает векторную сумму подпространств Ху Y (соответственно, линейную оболочку элементов ху, где х е X, у е Y). Произведение XY называется свободным, если отображение х <8> у ■-♦ ху определяет изоморфизм векторных пространств X ® Y « XY. Семейство элементов et (г el) алгебры А называется системой образующих алгебры А, если А есть линейная оболочка ассоциативных слов где *!,...,*„€ /. Если А —унитальная алгебра (с единицей 1), то к семейству одночленов (8.2) добавляется также единичное слово ^=1. В этом случае также говорят, что элементы ei (i € /) порождают алгебру А. Для каждой пары элементов а, Ь еА элемент [a,b] = ab-ba называется коммутатором элементов а, Ь. Примеры. 1. Алгебра F[x] (п. 4.1) есть алгебра с единственной образующей х. 2. Пусть D(x) — подалгебра в End-Ffx], порожденная операторами ж, д, где х рассматривается как оператор умножения в F[x], df = /' (производная, определенная в п. 4.1). Заметим, что операторы ж, д связаны перестановочным соотношением [е>, ж] = 1, т. е. дх = хд + 1. (8.3) Упражнение. Проверьте (используя (8.3)), что D(x) есть алгебра всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве F[x]9 т. е. операторов вида с коэффициентами fk(x) e F[x]. 8.2. Модули. Категория левых (соответственно, правых) А-модулей над полем F обозначается A-Mod (соответственно, Mod-А). Как правило, термин «А-модуль» означает «левый А-модуль». Заметим, что каждый правый А-модуль можно рассматривать как левый Аор-модуль. В этом смысле категория Mod-А совпадает с Aop-Mod. Для каждой пары ассоциативных алгебр над полем F и каждой пары объектов X, Y (соответственно) категории A-Mod, Б-Mod определение (8.1) при х е X, у е Y позволяет рассматривать X ®Y (соответственно, X ® Y) как объект категории (А 0 5)-Mod (соответственно, (A ®B)-Mod). Векторное пространство X над полем F называется А х В-бимодулем, если X наделено перестановочными операциями левого А-модуля и правого
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 63 В-модуля. Здесь перестановочность означает, что (ах)Ъ = а(хЪ) (8.4) для всех ае А, х е X, b е В. Категория А х JS-бимодулей обозначается A-Mod-В. Вместо термина «А х А-бимодуль» используется «А-бимодуль». В частности, пусть А — унитальная алгебра. В этом случае обычно рассматриваются унитальные А-модули X (1 • х = х для всех х е X). В определение А-бимодуля X обычно включается условие согласованности Ьж = ж-1 для всех х е X. А -бимодуль X называется унитальным, если 1 • х = х • 1 = х для всех хеХ. Решетка подмодулей А-модуля X обозначается V(X) = VA(X). Модуль X ^0 называется простым, если V(X) = {О, X}. Модуль X называется полупростым (или редуктивным), если X есть прямая сумма простых А-модулей. Категория К, составленная из А-модулей (т. е. подкатегория A-Mod) называется полу простой, если все ее объекты полупросты. Категория К называется мономиальной, если она полупроста и обладает единственным (с точностью до изоморфизма) простым объектом Y. Иначе говоря, в этом случае каждый модуль X категории К есть сумма простых А-модулей Х{« «У (iel). Семейство элементов е = (е{)<€/ называется системой образующих А-модуля X, если X есть векторная сумма циклических подмодулей Ае£ (i € I). В этом случае также говорят, что элементы е{ (г е I) порождают А-модуль X. Отметим простой, но важный критерий простоты А-модуля X в терминах его циклических подмодулей. 8.3. Предложение. Пусть А —унитальная алгебра, X —унитальный А -модуль. Простота А -модуля X равносильна выполнению следующего условия: Axq — X для всех O^Gl (8.5) Доказательство. Поскольку Xq = 1 • Xq E Axq, мы имеем Axq Ф0. Если X — простой А-модуль, то отсюда следует (8.5). Обратно, если (8.5) выполняется, то для каждого О^УС V(X) и каждого О^еУ имеем X с Y, откуда X = Y. Следовательно, X есть простой А-модуль. Примеры. 1. Каждое векторное пространство X есть простой End X-модуль. Действительно, каждый вектор Офх^еХ можно включить в базис пространства X. Поэтому значения ах^ (ае End X) можно выбрать произвольно, откуда следует (8.5). 2. Если char F =0, то F[x] есть простой 1?(ж)-модуль (в обозначениях п. 8.1). Действительно, если /^0, то dnf при некотором п есть ненулевая константа, откуда 1 € D(x)f. Применяя операторы хп, получаем D(x)f = = F[x]. Упражнение. Положим А = Mat(n, F), где п <оо. Докажите, что категория А-модулей мономиальна (с простым объектом V = Fn). [Указание: для каждого А-модуля X проекционные операторы р{ = еи (ei;. —
64 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ стандартный базис алгебры А) определяют матричное действие алгебры А в прямой сумме подпространств Х{ =р-Х (г = 1,..., п). Соответственно, X есть прямая сумма подмодулей Vv = Ахи « У, где (ж„) — некоторый базис векторного пространства Х^ (при фиксированном %).] 8.4. Коммутаторы. Рассмотрим алгебру А как А-бимодуль. Мы будем использовать следующие обозначения для операторов умножения в алгебре А: А (а)х = аж, /о(а)х = жа, (8.6) где а, ж е А. Положим также (ad a)x = [а, ж], (8.7) так что ada= Л (a) — p(a). Из взаимной перестановочности операторов А (а), р(а) получаем (г6а)пх = "£(-1)кС£ап-кхак (8.8) для всех п G N (C,f — биномиальные коэффициенты), где суммирование ведется от 0 до п. Аналогично, из взаимной перестановочности операторов А (а), р(а) с ad а получаем апж = £Сп*ж<*>ап-*, жап = £(-1)*С>п-*ж<*>, (8.9) * к где ж(Л) = (ad а)* ж. Здесь символ ad используется как сокращение слова adjoint (присоединенный). Пусть А — произвольная (не обязательно ассоциативная) алгебра. Линейный оператор жь^ж'в алгебре А называется дифференцированием алгебры А, если (жг/)' = ж'г/ + жу' (8.10) для всех ж, у е А. Отсюда (индукцией по п) получаем формулу Лейбница (a?y)(-> = ECL*x^V-*>f (8.11) где ж(0) = ж, ж(п) = (ж(п" *>)' при п ^ 1. В частности, пусть А — ассоциативная алгебра. Легко проверяется (упражнение), что для каждого а € А преобразование ж' = [а, ж] есть дифференцирование алгебры А. Соответственно, для каждого оператора ad a (аеА) выполняется формула Лейбница (8.11). Элемент z е А называется центральным, если [a, z] = 0 для всех а е € А, т. е. z' = 0 для всех операторов ad а. Применяя (8.10), находим, что Z(A) есть подалгебра алгебры А. Подалгебра Z(A) называется центром алгебры А. Упражнения. 1. Пусть А — ассоциативная алгебра, жн+ ж; — дифференцирование алгебры А. Если [ж, ж']=0, то (жп)' = пжп~1 для всех п еN. 2. Проверьте следующее тождество Якоби для коммутатора в алгебре А: [а,[Ь,с]] + [6,[с,а]] + [с,[а,Ь]] = 0 для всех а,Ь,сеА. [Указание: это тождество сводится к (8.10) при замене ху коммутатором [ж, у].]
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 65 3. Для каждой (не обязательно ассоциативной) алгебры А векторное пространство D(A) всех дифференцирований алгебры А есть алгебра (подалгебра в End А) относительно умножения //(а, Ь) = [а, Ь]. Нетрудно видеть, что D(А) не есть подалгебра в End А относительно умножения (а, Ь)|-+аЬ. В частности, алгебра D(A) не ассоциативна. 8.5. Идеалы. Подмодули левого (соответственно, правого) Л-модуля А называются левыми (соответственно, правыми) идеалами алгебры А. Подмодули А-бимодуля А называются идеалами (двусторонними идеалами) алгебры А. Для каждого левого (правого) идеала / алгебры А пространство А/1 наследует структуру левого (правого) А-модуля. Если /—двусторонний идеал алгебры А, то А/1 наследует все алгебраические операции, определенные в А. В этом случае А/1 называется факторалгеброй алгебры А по идеалу /. Решетка левых (соответственно, правых) идеалов алгебры А обозначается VA(A) (соответственно, Vp(A)). Решетка идеалов алгебры А обозначается V(A). Алгебра А ^0 называется простой, если V(A) = {0, А}. Алгебра А называется полу простой t если А есть прямая сумма простых идеалов А{ (»€/). В дальнейшем мы будем рассматривать также иные определения простоты и полупростоты (в терминах решеток VA(A), Vp(A)). См. по этому поводу пп. 9.4, 15.1. Примеры. 1. Аннулятором подмножества Y С X, где X — левый (соответственно, правый) А-модуль, называется множество Ann Y, составленное из элементов аеА, для которых aY = 0 (соответственно, Уа = 0). Очевидно, Ann Y есть левый (соответственно, правый) идеал алгебры А. 2. Для каждого морфизма ip: A -»В (в категории ASSALG) его ядро ker <p есть идеал алгебры А. Более того, канонический изоморфизм A/ker (pttimtp (8.12) есть изоморфизм в категории ASSALG. Упражнения. 1. Предположим, что алгебра А полупроста, т. е. А=®А{, (8.13) где At. (г е I) — идеалы алгебры А. Тогда имеем А<Ау=0 при гфз. (8.14) 2. Если алгебра А унитальна, то разложение (8.13) конечно. Более того, оно соответствует ортогональному разложению единицы 1 = 0е, г в сумму идемпотентов (проекционных элементов) е{ е А{. Помимо этого, et. e Z(A) для всех % el. [Указание: см. аналогичное утверждение в п. 9.6.] 6 Зак. 184
66 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 8.6. Свободные модули. Левый А-модуль X называется свободным, если он обладает системой образующих е, (г е /), линейно независимой над А. Последнее означает, что каждый элемент х е X однозначно записывается в виде линейной комбинации i с коэффициентами а{еА. Иначе говоря, X есть прямая сумма циклических подмодулей Ае{ (г el). В этом смысле Х = А®Е, (8.15) где Е — векторное пространство над полем F с базисом е{ (г el). Соотношение (8.16) можно рассматривать как равенство (изоморфизм) А-модулей, где правая часть наделяется структурой А-модуля по правилу а0(а® ж) = а0а(8>ж, для элементов а^ае А, хеЕ. Система е = (е^),е/ в этом случае называется базисом свободного модуля X. Число а = card I называется рангом модуля X (относительно системы е). Заметим, что (в отличие от векторных пространств) различные базисы А-модуля X не обязательно равномощны. Поэтому ранг модуля X зависит от системы е. Свободные А-модули обладают следующим свойством универсальности в категории A-Mod. 8.7. Предложение. Пусть X —свободный А-модуль с базисом е( (г е el). Тогда (i) Каждый гомоморфизм <р е Нотл(Х, Y) однозначно определяется своими значениями f{ = <р(е{) (г е I). (и) Элементы f{ (г е I) можно выбрать произвольно (т. е. для каждого набора f{eY существует гомоморфизм <р: X -> У, для которого /£ = = ¥>(*,)). (Ш) Каждый модуль У категории A-Mod изоморфен одному из модулей X/N, где X —свободный А-модуль, N е V(X). Доказательство. Утверждения (i), (ii) можно считать очевидными (значение <р(х) на элементе (8.15) однозначно определяется элементами /t. = ^(ej). Для доказательства (Ш) достаточно выбрать произвольную систему образующих е{ (г е I) модуля Y. Согласно (ii), отображение е. >-> е{ (г е I) определяет гомоморфизм <р е Нотл(Х, У), накрывающий У. Применяя (8.12), находим YkX/N, где N = kev<p. (8.16) Упражнение. Пусть А есть алгебра с делением (т. е. каждый ненулевой элемент алгебры А обратим). Докажите, что в этом случае каждый А-модуль X свободен (аналог теоремы Хаммеля).
§ 8. АЛГЕБРЫ, МОДУЛИ 67 8.8. Примитивные модули. Левый А-модуль X называется примитивным, если он полупрост и все его простые подмодули изоморфны между собой. Примитивный модуль X называется модулем типа Y, если все его простые подмодули изоморфны простому модулю Y. Разлагая модуль X в прямую сумму подмодулей Х{ « Y (i € I), заметим, что Y = Аец при некотором е^ так что X. =Ае{, где е{ — образ вектора ^ при изоморфизме Y &Х{. Отсюда (по аналогии с п. 8.6) получаем X = Y®E, (8.17) где Е —векторное пространство с базисом е{ (i e I). Соотношение (8.17) есть равенство (изоморфизм) А -модулей, где правая часть наделяется структурой А-модуля по правилу %(а® х) = а^а® х. Соотношение (8.17) позволяет записывать модуль X в инвариантной форме (безотносительно к базису е{ € Е). Ниже будет показано, что подпространство Е в данном случае определяется однозначно с точностью до изоморфизма. 8.9. Предложение. Пусть X —примитивный А-модуль (8.17). Тогда имеем: (а) Каждый подмодуль модуля X имеет вид Y®Е0, где Е0 —подпространство в Е. (/3) Каждое разложение модуля X в прямую сумму простых подмодулей Х{ (г е I) определяется равенством Х{ = Y <8> Feif где е{ (г € /) — некоторый базис пространства Е. Доказательство. Достаточно проверить (а) для простых подмодулей XQ e V(X). Для каждого подмодуля Хе = Y ® Fe, где О Ф е е Е, имеем Х0пХе = 0 либо Х0Г\Хе = Х0 = Хе, причем последнее равенство определяет вектор е с точностью до гомотетии. Отсюда также получаем (/3). 8.10. Следствие. Векторное пространство Е в (8.17) определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Соответственно, кардинальное число a =dim E определяется однозначно (по данному X). Действительно, каждый изоморфизм <р: Y®E —> Y<&E' переводит прямое разложение Y® Fei (г el) в прямое разложение Y<8> Fji (г € /), где f{ = = <р(е{). Отсюда dim Е = dim Е', так что Е « Е'. Обозначение. Число dimE в (8.17) обозначается [X: Y]n называется кратностью простого модуля Y в модуле X. Соответственно, модуль X записывается в виде аУ, где а =[Х: Y]. Упражнения. 1. Каждый гомоморфизм А-модулей Y —► X (соответственно, X —> Y) в обозначениях (8.17) имеет вид у»-> у®е (соответственно, у ® е н-* у/(е)), где е е Е, f € Е*. В этом смысле HomA(Y,X)*E, НотА(Х, Y)&E*. 2. Если dim£?<oo, то каждый эндоморфизм аеКА(Х) имеет вид a^Y^i ® cit где b{ € KA(Y), c{ € End E. В этом смысле КА(Х) = KA(Y)® End E. (8.18) 6*
68 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ [Указание: Действие алгебры А в (8.17) имеет вид п(а) = 7г0(а) ® 1, где а е А, 7Гр — действие алгебры А в модуле F. Отсюда для каждого базиса ei (i e I) пространства Е имеем: i^(X)«Mat(n,iO, (8.19) где n = cardl, К = KA(Y), что равносильно (8.18).] В частности, пусть поле F алгебраически замкнуто, dim X < оо. В этом случае равенство (8.19) означает, что КА (X) = F <8> End E w End E. (8.20) 8.11. Характеры. Характером алгебры А называется каждый ненулевой гомоморфизм х- -А —> F алгебры А в поле F. Если А —унитальная алгебра, то х(1)^0 (в противном случае х(а) = х(а#1) = 0 Для всех а€ А). Отсюда и из равенства хО)2 = хО) получаем х(1) = 1. Докажем следующую теорему Артина: если алгебра А унитальна, то ее характеры линейно независимы. Действительно, условие линейной зависимости для попарно различных характеров х, (г = 1,..., п) может быть записано в виде £с,Х<=0, (8.21) *=1 где с{ ф0 (г = 1,..., п) и число п минимально среди всех соотношений (8.21) для характеров х» (» = 1,..., п). В частности, n ^ 2. Применяя (8.21) к элементу ах (ае А), получаем также £c,X,.(a)Xi=0. (8.22) t = l Заметим, что система (8.21), (8.22) имеет дискриминант Д = Xi(a) - Х2(а) относительно переменных Xi> Х2- Поскольку Х\ ФХ2> мы можем выбрать ае е А с условием Xi(a)^%2(a)- В этом случае систему уравнений (8.21), (8.22) можно разрешить относительно Хи Хг» чт0 невозможно, ввиду определения числа п. В результате заключаем, что (8.21) влечет с. =0 (г = 1,..., п). Ниже мы получим (п. 9.12) обобщение теоремы Артина на неприводимые представления алгебры А. 8.12. Диагональные модули. А-модуль X называется диагональным, если он полупрост и его простые компоненты одномерны (т. е. определяются характерами алгебры А). Иначе говоря, модуль X обладает «весовой градуировкой» Х=®ХХ, (8.23) где Л —характер алгебры А, ХхсХ — подпространство, состоящее из векторов х е X, удовлетворяющих соотношению ах = Х(а)х для всех аеА. Характер Л называется весом модуля X, если Хх ф0. Элементы 0фхеХх называются весовыми векторами (веса А) модуля X. Покажем, что каждый подмодуль Y сХ градуирован разложением (8.23), т. е. Y есть прямая сумма своих весовых компонент Yx = Yr\Xx.
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 69 Действительно, пусть у е Y есть сумма весовых компонент ухеХх. Применяя к вектору у преобразование /о а, где / € X*, аеА, / |у = О, получаем J2А(а)/(г/А) = 0 для всех абЛ, А откуда /(уА)=0 для всех А (по теореме Артина). Заметим, что условие f\Y = =0 позволяет отождествить функционалы / с элементами (X/Y)*. Поэтому f(yx) = 0 для всех / € (X/Y)*, т. е. уА 6 У для всех характеров А. В дальнейшем мы получим (п. 9.2) обобщение этого результата на все полупростые А-модули. § 9. Полупростые модули 9.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе А — ассоциативная алгебра над полем F. Начиная с п. 9.4, мы предполагаем, что алгебра А унитальна. Напомним, что S' = EndsX означает коммутант подмножества S с End X (п. 7.10). Для каждого А-модуля (X, 7г) положим К(Х) = End^X, К'(Х) = End^X, (9.1) где символ А заменяет 7г(А), А' = 7г(А)' (так что К(Х) = КА(Х) — коммутант, К'(Х) — бикоммутант модуля X). Пример. Для каждой алгебры А имеем А (А) с р(А)', р(А) с А (А)' (в обозначениях 8.4). Если А — унитальная алгебра, то имеем: А(А) = р(А)', р(А) = \(А)'. (9.2) Действительно, если <рер(А)', то <р(а) = <р(Ьа) = <р( 1 )а для всех а€ А, т. е. <р € А (А). Аналогично проверяется второе равенство (9.2). Отсюда также А(А) = А(А)", р(А) = р(А)\ (9.3) т. е. каждое из множеств А (А), р(А) совпадает со своим бикоммутантом. Дальнейший план изложения сводится к следующему. Вначале мы собираем общую информацию о полупростых А-модулях (п. 9.2). Использование этой информации позволяет полностью описать структуру (классически) полупростых унитальных алгебр (п. 9.8). В конце параграфа рассматриваются более тонкие вопросы теории А-модулей, связанные с теоремой плотности Джекобсона (п. 9.9). 9.2. Теорема. Пусть X — полупростой А-модуль. Тогда имеем: (а) Модуль X однозначно представляется в виде прямой суммы своих изотипических компонент Х{ (г € I): Х=®Х» (9.4) i где Х{ = п{У{ (п. -—кардинальное число), У{—простой А-модуль, Yi^Yj при i^j.
70 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ ((3) Разложение (9.4) индуцирует разложение коммутанта К(Х) в прямую сумму идеалов K(Xi): К(Х) = ЦК(Х<). (9.5) (7) Если щ < оо, то коммутант К(Х{) определяется по правилу (8.19), т. е. К(Х<)*МяА(ъ,К€), (9.6) где К{=К(У{) (тело над полем F). Доказательство. Утверждение (а) вытекает непосредственно из теоремы 7.6. А именно, Xi есть сумма (линейная оболочка) всех простых подмодулей модуля Хл изоморфных Yt. Иначе говоря, Х{ есть наибольший подмодуль модуля X, кратный модулю Y{. Для доказательства (/?) представим aeEndX в виде блочной матрицы (2.21) с элементами atj Е Hom(X,, Xt). Легко проверить, что включение ае К(Х) равносильно a{j е Нотл(ля Х{). Отсюда (по лемме Шура) a{j = 0 при гфз. Отсюда следует (/3). Утверждение (7) вытекает непосредственно из (8.19). Упражнение. Докажите, что каждый подмодуль V модуля (9.4) имеет вид i где Vi = kiYi (подмодуль в Х{), 0 ^ к{ < п.. 9.3. Следствие. Если X = nY — примитивный А-модуль (8.17) конечной кратности га, то имеем K(X) = K®EndE, К'(Х) = К'®1, (9.7) где К = K(Y)t К' = K'(Y). Если поле F алгебраически замкнуто, dim Y < 00, то (9.7) означает, что К(Х) = 1 ® End В, К'(Х) = End Y <8> 1 (9.8) (в обозначениях (8.17)). Действительно, первая часть (9.7) сводится к (9.6) (случай card/ = 1), вторая часть доказывается по аналогии с п. 9.2. А именно, для каждого Ь е К'(Х) имеем [Ь, е{Л = 0, где е^ — стандартные матричные единицы в EndKE. В частности, [Ь, ei{] = 0 для всех г, откуда btj = 0 при г ф j. Помимо этого, из равенств [Ь, ei3] = 0 при г ф j следует Ьи = Ь^ для всех г, j. В результате Ь = diag(A,..., А), где Ае К\ что соответствует второй части (9.7). Остается напомнить, что в условиях (9.8) (по лемме Шура) К = F, К' = = End У. Отсюда следует (9.8). Замечание. Ниже будет показано (п. 9.9), что К' = EndKY. Поэтому формулы (9.7) также имеют симметричный вид и определяют двойственность между алгебрами К(Х), К'(Х).
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 71 9.4. Унитальные алгебры. Пусть А — унитальная алгебра над полем F. Алгебра А называется полупростой слева (соответственно, справа), если А полупроста как левый (соответственно, правый) А -модуль. Алгебра А называется примитивной слева (соответственно, справа), если А примитивна как левый (соответственно, правый) А-модуль. Иногда в этих случаях вместо термина «полупростота» используется термин «редуктивность». Таким образом, каждая редуктивная слева (справа) алгебра А есть прямая сумма примитивных слева (справа) алгебр А{ (г El). Ниже мы увидим, что левые и правые варианты в этих определениях в действительности совпадают. Более того, каждая примитивная слева (справа) алгебра А проста (п. 9.7). Соответственно, каждая редуктивная слева (справа) алгебра А полупроста (в смысле п. 8.5). Существенно, что обратные импликации справедливы не всегда. Например, не каждая простая алгебра А примитивна (п. 14.3). Полупростые слева (справа) унитальные алгебры А обычно называют классически полупростыми. В § 15 мы отметим также связь определенных здесь понятий с терминологией теории колец. Примеры. 1. Для каждого конечномерного векторного пространства X алгебра A = EndX как А-бимодуль обладает каноническим разложением (6.18), т. е. А=Х®Х*. (9.9) В частности, А — пХ (соответственно, А = пХ*) как левый (соответственно, правый) А-модуль. Отсюда следует, что алгебра А примитивна (слева или справа). 2. То же верно для алгебры A =EndA-X, где К — тело над полем F. Действительно, в этом случае равенство (9.9) по-прежнему имеет место, с компонентами где a^dim^F, X* — пространство, сопряженное к пространству X над телом К. В частности, А = паХ (соответственно, А = паХ*) как левый (правый) А-модуль. 9.5. Лемма. Пусть L —простой левый идеал алгебры А. Тогда для каждого А -модуля X и каждого XqEX либо Lxq = 0, либо Lxq^L (в категории A-Mod). В частности, пусть X —простой А-модуль. Тогда имеем: либо LX = 0, либо X « L. Доказательство. Ясно, что LXqeV(X). Отображение <р: L —► Lа^, (р(а) = ах0 есть гомоморфное накрытие (в категории A-Mod). Если Lxq^O, то кег<р = 0 (в силу простоты А-модуля L), откуда Lxq&L. Если X — простой А-модуль и LX ^0, то ЬхцфО при некотором qcqEX, откуда Lxq=:X (в силу простоты А-модуля X), т. е. L « X. 9.6. Теорема. Пусть алгебра А редуктивна слева, и пусть L{ (г el) — семейство ее попарно неизоморфных простых левых А -модулей. Тогда имеем:
72 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ (а) Алгебра А есть конечная сумма примитивных (слева) идеалов А{ = niLi, где п{ < оо, п = card I < оо: А = еА,. (9.10) Более того, А{ = е{А=Ае{, где 1 = et +... + еп —разложение единицы в сумму центральных идемпотентов ei е Z(A). (13) Категория A-Mod полупроста, с простыми объектами L{ (i = = 1,..., п). А именно, каждый (унитальный) А-модуль X записывается в виде Х=Ф4 (9.11) где Х{ = е£Х = mtLt. (изотипическая компонента типа Lt). (7) £сли алгебра А примитивна (слева), то категория A-Mod моно- миальна и каждая пара простых левых идеалов L, М алгебры А связана соотношением M = La при некотором аеА. (9-12) Доказательство. Пусть А{ (i el) — изотипические компоненты левого А-модуля А. Поскольку правое действие алгебры А перестановочно с левым, оно сохраняет А., т. е. каждая компонента Ai есть идеал алгебры А. Применяя (8.14), получаем AiAj = 0при гф]. Иначе говоря, аД =0при г Фз для каждой пары а, Ь е А, где а{ — проекция элемента а на компоненту А{ (г е I). В частности, eiaj = а^е. = 0 при г ф j, где е{ (i el) — проекция единичного элемента е = 1. Отсюда a< = eia=aei для всех аеА. (9.13) Следовательно, е£ е Z(A) и множество I конечно (поскольку а. = 0 при е. = 0). Применяя аналогичное рассуждение к отдельной компоненте Af (либо используя упражнение 2 п. 8.5), получаем п{ < оо для всех iel. Полагая / = {1,...,п}, получаем (9.10). Помимо этого, из разложения единицы 1 = ех + ... + еп (где eiej = 8^) следует (9.11), с компонентами Х{ — е{Х. Имеем также А{Х, = Ае<Х,=0 при гф3\ (9.14) откуда следует, что Х{ есть унитальный А^-модуль (е{ — единица алгебры А.). Применяя лемму 9.5 к циклическим подмодулям А{х (хеХ{), получаем, что Xi есть сумма простых А-модулей Ь{х&Ь{. Следовательно, Х{ есть примитивный А-модуль типа L{. Если алгебра А примитивна (слева), то каждый А-модуль X имеет вид mL, где L — единственный простой левый идеал алгебры А. Более того, для каждого простого левого идеала М алгебры А имеем А = М ф N, при некотором JV = VA(A). Пусть р— оператор проектирования на М в этом разложении, так что р € #(А). Отображение (р(х) = <р0(рж), где (р0: М —> —► £ —изоморфизм А-модулей, содержится в А(А)' = р(А) (п. 9.1), откуда следует (9.12).
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 73 9.7. Следствие, (i) Если алгебра А примитивна (слева или справа), то она проста. (ii) Обратно, если алгебра А проста и редуктивна слева (справа), то она примитивна слева (справа). Действительно, если алгебра А примитивна слева, то из равенства (9.12) получаем А = LA. Тем более для каждого идеала I фО алгебры А имеем А = 1А с/, т. е. 1 = А. Следовательно, алгебра А проста. Обратно, если алгебра А проста и редуктивна слева, то п = 1 в (9.10), т. е. алгебра А примитивна слева. Остается заметить, что аналог теоремы 9.6 выполняется также для алгебр, редуктивных справа (в терминах правых идеалов алгебры А). Поэтому утверждения (i), (ii) справедливы также в терминах правой редуктивности. Отсюда ясно, что левая редуктивность (соответственно, примитивность) алгебры А совпадает с ее правой редуктивностью (соответственно, примитивностью). Более того, это свойство влечет полупростоту (соответственно, простоту) алгебры А. Упражнения. 1. Конечномерная алгебра А редуктивна слева (справа) тогда и только тогда, когда она полупроста. [Указание: если dim A < оо, то алгебра А содержит хотя бы один простой левый (правый) идеал.] 2. Если алгебра А редуктивна (слева, справа), то она не содержит идеалов N, для которых N ф 0, N2 = 0. Пример. Алгебра End X (аналогично, End^-X") проста при dim X < оо (аналогично, dim^ X < оо). Заметим, что этот результат можно вывести также из мономиальности категории A -Mod (п. 8.3). Следующий результат известен под названием структурной теоремы Веддерберна. 9.8. Теорема. Каждая редуктивная алгебра А изоморфна конечной прямой сумме матричных алгебр А« 0 Mat(nt.,*Q, (9.15) » = i где К( —некоторое тело над F, п{ < оо (г = 1,..., п). Если алгебра А примитивна (слева или справа), то п = 1 в (9.15), т. е. А есть матричная алгебра над некоторым телом К. Доказательство. Согласно теореме 9.6, достаточно рассматривать случай, когда алгебра А примитивна (слева или справа). Используя уни- тальность алгебры А, находим кег А = кегр =0 (в обозначениях п. 9.1). В частности, Аъ\(А)ыр(А)'. Если алгебра А примитивна справа, то p(A) = nY в категории Mod-А, где Y — простой правый А-модуль, п < оо. Вычисляя р(А)' по правилу (9.6), (случай card 1 = 1), получаем A«Mat(n,iO, (9.16) 5 Зак. 184
74 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ где К = K(Y) — тело над полем F. Аналогично, если алгебра А примитивна слева, то имеем Аор« А(А)', откуда по-прежнему следует (9.16), где А(А) = пУ, K = K(Y). Пример. Если поле F алгебраически замкнуто, dim Y < оо, то (9.16) записывается в виде A a* Mat (n, F). Согласно теореме 9.8, условия редуктивности алгебры А слева или справа эквивалентны между собой (так что алгебра А классически полупроста). Займемся теперь более детальным изучением А-модулей, где А —уни- тальная ассоциативная алгебра над полем F. 9.9. Теорема. Пусть X --полупростой А-модуль. Тогда для каждого Ь е К'(Х) и каждого набора элементов х{еХ (i = 1,..., п) существует а€А, для которого axi^bxi (г = 1,..., п). (9.17) Доказательство. Для каждого хеХ имеем X = Ax®N, где N — дополнительный подмодуль. Пусть р— оператор проектирования на Ах в этом разложении. Тогда имеем р £ К(Х), откуда Ьх = Ърх = pbx е Ах, т. е. Ьх = ах при некотором ае А, что совпадает с (9.17) при п = 1. В общем случае достаточно положить ж = (ж1,..., хп)епХ, где пХ = Х ©.. .®Х (п слагаемых), так что равенство аж = Ьх совпадает с (9.17). Замечание. Соотношение (9.17) означает, что для каждого конечномерного подпространства Е с X имеем А\в=А"\в С9-18) где А" = К'(Х) (бикоммутант А-модуля X). Иначе говоря, в условиях (9.17) имеем ае Ue(oq) при Ь = Oq, где 4i(4o) = {a€EndX:(a-4o)U=0}. (9.19) Выбирая семейство (9.19) в качестве базисной системы окрестностей точки OoEEndX, получаем топологию в End-X*, относительно которой каждая точка Oq e А" есть предельная точка множества 7г(А). Иначе говоря, множество п(А) всюду плотно в А". В этом смысле теорема 9.9 называется теоремой плотности (или теоремой Джекобсона). 9.10. Следствие (теорема Бернсайда). Если X —простой конечномерный А-модуль над алгебраически замкнутым полем F, то 7r(A) = EndX (9.20) Действительно, в этом случае A' = F, A" = EndX и в равенстве (9.18) можно положить Е = X. Упражнение. Если X — простой конечномерный G-модуль над алгебраически замкнутым полем F, то линейная оболочка множества n(G) совпадает с EndX. Замечание. Теорема Бернсайда обобщается также на счетномерные А-модули, с использованием леммы Квиллена (п. 7.9). В частности, если
§ 9. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ 75 алгебра А счетномерна, то все ее простые модули имеют либо конечную, либо счетную размерность. Упражнения. 1. А-модуль X называется абсолютно простым, если он остается простым при каждом расширении поля F. Докажите, что (9.18) в этом случае имеет вид A\E = (EndX)E. 2. Абсолютная простота А-модуля X равносильна КА(Х) = F. 3. Если (X, 7г) — абсолютно простой конечномерный G-модуль, то линейная оболочка множества n(G) совпадает с End-X". 9.11. Матричные элементы. Пусть S — произвольное множество, X — произвольный 5-модуль (§ 7). Числовые функции s н-» (s£, 77), где £ е Хл г] е X*, называются матричными элементами модуля X. В частности, пусть А — ассоциативная алгебра над полем F, А — множество классов эквивалентности простых А-модулей. Для каждого Л е А фиксируем простой А -модуль (УА, тА) класса Л, и пусть Vx = (VA)*. Положим т/ч(а) = <а^), (9.21) где ае А, £ е Vх, rj £ Vx. Заметим, что для каждого базиса е. (г е I) пространства Vх элементы (9.21) суть линейные комбинации матричных элементов 7i)(a) = <ae,,e<), (9.22) где е{ (г е /) — дуальная система к базису е{ (i G I). Элементы (9.22) связаны с операторами тх(а) соотношениями гА(а)еу=Е^(«К. (9.23) г Условимся считать (для простоты изложения), что поле F алгебраически замкнуто. Отметим следующее обобщение теоремы Артина (п. 8.11) на матричные элементы (9.22). 9.12. Теорема. Система матричных элементов (9.22), где АеЛ, i, j G /Л f линейно независима. В частности, функции (9.22) при фиксированном А линейно независимы. Доказательство. Фиксируем линейное соотношение между матричными элементами (9.22): £Ф£=0, (9.24) где с,А. е F, и пусть Л (соответственно, J) — множество тех А (соответственно, У), для которых хотя бы одно из чисел с£ отлично от нуля. Положим V= © Vх, (9.25) АбЛ так что (9.24) есть линейное соотношение в End У для операторов тх(а) (аеА). Согласно теореме плотности (п. 9.10), каждое такое соотношение наследуется операторами Ь е А" (в силу конечности множеств Л, J). С другой стороны, пусть e{j = е. <8> ei — система одномерных операторов в Vх (при фиксированном А). Используя первую часть (9.7) при X = Vх, 5*
76 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ находим e{j € К'(Vх). Положим также е£ = e{j в компоненте УА, е£ =0 в компонентах Vм при р,ф\. Тогда имеем е^еА" (=K'(V)). Подставляя в (9.24) оператор е£ (вместо т£(а)), получаем с* =0 для всех А, г, j. Упражнения. 1. Пусть А — унитальная алгебра. Если два простых конечномерных А -модуля X, Y имеют хотя бы один общий нетривиальный (Ф 0) матричный элемент, т. е. <<wb, f о> = (аУо> Vo) (9.26) для всех а е А, где Xq € Хл щ е Y, £0е X*, г)0 е F*, то!«У. [Указание: соотношение (9.26) влечет {ааъ, Ъ£0) = (а%, Ц)} для всех а,ЬеА.] 2. Утверждение (1) остается справедливым для бесконечномерных А-модулей, при условии, что X*, У* суть простые А-модули. § 10. Групповые алгебры 10.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе G — конечная группа, А — = F[G]— линейная оболочка группы G над полем F (п. 7.3). Напомним, что элементы / £ А записываются в виде /= 12/(9)9, (ЮЛ) geG с коэффициентами f(g) е F. Алгебра А = F[G] называется обычно групповой алгеброй группы G (над полем F). Если характеристика р поля F не делит порядок п = card G (в частности, если р = 0), то в алгебре А определен элемент ft = i£<7, (Ю.2) называемый средним значением (или оператором усреднения) по группе G. Заметим, что для каждого G-модуля Х вектор р^х можно интерпретировать как «центр тяжести» орбиты Gx (xeX). 10.2. Предложение. Оператор р$ проецирует каждый G-модуль X на подпространство его инвариантов XG = {xeX: gx = x, VgeG}. Доказательство. Умножая (10.2) слева на g0g, заметим, что подстановка g н* gQg не изменяет суммы (10.2), поскольку g >-> %g — автоморфизм множества G. Отсюда 9оРо = Ро для всех g0eG. (10.3) Суммируя (10.3) по gQe G, получаем ^ = д>, т. е. Pq есть проекционный
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 77 элемент алгебры А. Соответственно, р0 е End X есть проекционный оператор в пространстве X. Согласно (10.3) \mp0eXG. Обратно, если xeXG, то р0х = х, откуда х е imPq. В результате im p^ = Xе. Пример. Пусть G = Z2 = {е, а}, где сг2 = е. В этом случае оператор р0 = ^(е + а) проецирует X на подпространство четных элементов хеХ (для которых ах = ж}. Начиная с этого момента, мы положим, для простоты изложения, F=C. Переход к общему случаю будет отмечен в п. 10.14. 10.3. Предложение. Каждый конечномерный G-модуль X унитарен (относительно некоторого скалярного произведения) и потому полупрост. Доказательство. Исходя из произвольного скалярного произведения (•, -)0 в пространстве X и применяя к нему оператор усреднения (10.2), относительно действия группы G в X х X, получаем новое скалярное произведение (я, у) = Е (9Х> 9У)о, geG удовлетворяющее условию G-инвариантности (ДО ду) = (ж, у) для всех g€G, хеХ, у Е У. Полученное равенство в терминах представления (7г, X) означает, что это представление унитарно, т. е. *(gY = *(g)-l = *(g-1) (Ю.4) для всех geG. Остается напомнить (п. 7.5), что в этом случае модуль X полупрост. Замечание. В п. 10.14 будет изложено другое доказательство полупростоты, пригодное для произвольного поля F (при условии, что р не делит п). Пример. Рассмотрим F[G] как G-бимодуль. Операции этого бимодуля можно выразить в терминах представлений («(?)/)(*) = /ОТ1*), i/3(9)f)(x) = f(xg), где у, х е G. Легко проверяется, что каждое из этих представлений унитарно относительно скалярного произведения (/.,/2)=ЕШШ (Ю.5) geG в пространстве F[G]. Представление а (соответственно, /3) называется левым (соответственно, правым) регулярным представлением группы G. Заметим также, что оператор (jf)(x) = f(x~{) определяет эквивалентность представлений а, /3.
78 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 10.4. Матричные элементы. Пусть G — множество классов эквивалентности всех неприводимых конечномерных представлений группы G. Для каждого A G С? фиксируем простой G-модуль (Vх, тА) класса А. Функции где £ G Vх, г} G Vx, называются матричными элементами модуля Vх. Легко проверяется, что °(8К-Чт> МК-Ъг (10-6> Например, для каждого базиса ei (i = 1,..., пА) в пространстве Vх оператор тх(д) определяется матрицей ^Ы = (тА(5)еяе<), (10.7) где ei G Vx —дуальная система к элементам е,.. В том случае, когда ei (г = 1,..., пх) — ортонормированный базис пространства Vх, эта матрица записывается в виде т$(д) = {т*(д)е„е<). (10.8) Фиксируем скалярное произведение (10.8), относительно которого операторы тх(д) унитарны. Заметим, что условие унитарности (10.4) для оператора п(д) = тх(д) означает, что ^Ы = ^у-1=тгЫ, (10.9) где 7г = тА —сопряженное представление в пространстве Vx. Здесь 1т(д) — оператор, комплексно сопряженный к 7г(д) относительно базиса е. (г = 1,... ...,пА). Иначе говоря, представление тА отождествляется с комплексно сопряженным представлением ТА, относительно антилинейного изоморфизма Vх« Vx (п. 5.10). 10.5. Лемма. Каждое вложение Vx —► (А, а) (соответственно, Vх -> —► (А, /3)) совпадает с одним из вложений Ч»-+тД (соответственно, f ь-*тД), (10.10) при фиксированном 0ф f G VA (соответственно, 0ф r\ e Vx). Доказательство. Согласно (10.6), каждое из отображений (10.10) есть гомоморфизм. Ясно также (из простоты Vх), что равенство тД =0 при фиксированных f, 77 возможно только при £ =0 либо 77 = 0. Поэтому каждое из отображений (10.10), где £ ^0 (соответственно, rj^O), есть вложение. Обратно, пусть X — простой подмодуль типа А в (А,/3). Для каждого фиксированного базиса е. (i = 1,..., пх) в пространстве X имеем еДэя) = Е *£(»)*(*)• i где элементы r^(g) определяются по правилу (10.7). Полагая х = е, получаем
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 79 где r] = Ylci£i> с коэффициентами с£ = е.(е). Таким образом, вложение i Vх —>(А, /3) определяется по правилу (10.10). Случай Vx —> (А, а) рассматривается аналогично. 10.6. Теорема. Алгебра A = F[G] полупроста, с простыми компонентами Ах (А е G): А=©А\ (10.11) где Ах = FX[G]—линейная оболочка элементов (10.7) при фиксированном А. Отображение f ®rj»-* тД определяет (относительно /3 <8> а) азо- морфизм G-бимодулей АА«УА®УА. (10.12) Доказательство. Согласно (10.6), пространство АА есть G-бимо- дуль. Ясно также, что Ах есть А-бимодуль, т. е. идеал алгебры А. Соответственно, векторная сумма В всех Ах (X е G) есть G-бимодуль. Используя унитарность представлений а, /3 (п. 10.3), находим, что ортогональное дополнение В1 в пространстве А также есть G-бимодуль. Согласно лемме 10.5, каждый простой подмодуль левого (правого) G-модуля А содержится в В. Следовательно, В± = 0, А = В. Более того, Ах есть изотипическая компонента типа А G-модуля (А,/3). Отсюда следует, что А = В есть прямая сумма компонент Ах, что совпадает с (10.11). Утверждение (10.12) можно вывести, например, из теоремы Бернсайда (п. 9.10), согласно которой dim Ax = пх. Отсюда следует, что отображение £ <8>т?»-»тД инъективно и потому определяет изоморфизм (10.12). Ниже будет изложено также другое доказательство (10.12), основанное на соотношениях ортогональности для элементов (10.8). 10.7. Следствие. Порядок n = card G связан с размерностями пх (А е е G) соотношением п = 1>а2 (10.13) А (первое тождество Бернсайда). 10.8. Теорема. Система матричных элементов (10.8) ортогональна в F[G]. Элементы (10.8) обладают нормировкой ll^ll2 = V (Ю.14) для всех А е G. Здесь ||/||2 = (/, /) в пространстве F[G]. Доказательство. Положим HXfM = Нот(Ум, УА). Согласно (6.17), имеет место изоморфизм G-модулей tfA/i«yA<g>v;. Применяя лемму Шура в виде (7.25), получаем йЯД||=0 при А^м, PoHxx=Fe, (10.15)
80 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ где Pq — оператор усреднения (10.2) в HXfM, е = 1л — единичный оператор в алгебре ЯАА. Напомним (п. 10.4), что тА = Тх. Соотношение (10.15) означает, что £ £ rx(g)x^r(M(g)y=SX(Me(x,y)lx, (10.16) дев где е — билинейная G-инвариантная форма в Vх ® Vx. Продолжая форму е до элемента сопряженного пространства (VX<8>VX)* = = Vx ® Vх и снова применяя лемму Шура, находим е(ж, у) = с (ж, у), где с — ненулевая константа. В частности, е(е., еу) = с5.у, где е. (г = 1,..., пх) — ортонормированный базис в пространстве Vх. Полагая в (10.16) x = eit у = е; и применяя к полученному равенству функционал ек ® е1, получаем соотношение ортогональности между матричными элементами (10.8): №,т$) = с6х,8«6н. (10.17) Для вычисления константы с положим А =д, г = j, fc = /. Заметим, что сумма чисел |т.^(^)|2 при фиксированных А, к совпадает с 1 (ввиду унитарности матрицы (10.8)). Отсюда спх = 1, что совпадает с (10.14). 10.9. Следствие. Разложение (10.11) ортогонально относительно скалярного произведения (10.5). Впрочем, этот факт можно было бы доказать и непосредственно (по аналогии с п. 10.6). Используя соотношения ортогональности системы (10.8) при фиксированном А, находим dim Ax = пх, что равносильно теореме Бернсайда для модулей Vх. Отсюда следует другой вариант завершения доказательства в п. 10.6. Согласно (10.12), каждое представление тА группы G содержится в левом (правом) регулярном представлении группы G с кратностью пх = dim Vх. Заметим также, что теорему 10.8 можно рассматривать как уточнение теоремы 9.12. Упражнения. 1. Проверьте, что функции е^ — ^(пд)"1^ образуют стандартный базис матричной алгебры (10.12), т. е. e%jeki = °jkeu- 2. Положим Ах —FX(G) = FX(G) (в соответствии с (10.9)). Проверьте, что ААУ=0 при А^/х. [Указание: воспользуйтесь вложением Vм С (А, а) (п. 10.5), т. е. VcA^.] 10.10. Алгебра Z(A). Центральность элемента (10.1) в алгебре А равносильна его перестановочности с базисными элементами heG, что сводится к равенству f(gh) = f(hg) для всех g.heG (10.18) Соотношение (10.18) означает также, что функция / постоянна на классах сопряженности в группе G, т. е. J(9x9~l) = 1(х) для всех g>xeG. (10.19)
§ 10. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 81 Таким образом, алгебра Z(A) совпадает с алгеброй функций (10.19). Поскольку значения этих функций на классах сопряженности можно выбрать произвольно, мы находим dimZ(A) = x(G), (10.20) где x(G)— число классов сопряженности в группе G. С другой стороны, размерность (10.20) можно выразить в терминах G-mo- дулей Vх (A G G). Заметим вначале, что для каждого конечномерного G-mo- дуля (V; 7г) его характер x(5f)==tr ж(д) есть центральная функция на группе G, т. е. xeZ(A). В частности, каждая функция %А =trrA содержится в Z(A). Характеры Xх (A G G) называются примитивными характерами группы G. 10.11. Теорема. Характеры хх (А € G) образуют ортонормированный базис в алгебре Z(A). Отсюда также card G = x(G) (10.21) (второе тождество Бернсайда). Доказательство. Ортонормированность системы % (А € G) легко проверяется с использованием соотношений ортогональности (10.17). С другой стороны, из теоремы 9.6 следует, что каждая функция / е А разлагается в «ряд Фурье» с компонентами /A(5) = tr(cArA(5)), (Ю.22) где сА GEnd Vх. Очевидно, центральность функции / равносильна центральности ее компонент (10.22). В свою очередь, центральность (10.22) равносильна перестановочности сА со всеми операторами rx(h) (h e G). Иначе говоря, сА е К(Vх), откуда следует (по лемме Шура) скалярность всех матриц сА (А 6 G). Отсюда заключаем, что характеры %А (А Е G) образуют полную систему, т. е. ортонормированный базис в Z(A). Пример. Пусть G = Sn — симметрическая группа, определяемая как группа подстановок множества {1,..., п}. Легко проверяется, что card Sn = = n!, x(5n) = 2,3,5 (соответственно) при п = 2,3,4. Первое тождество Бернсайда (10.13) принимает в этих случаях следующий вид: 2 = 1 + 1, 6=1+4+1, 24=1+9 + 4 + 9+1. (10.23) Упражнения. 1. Проверьте, что каждая группа Sn обладает двумя одномерными представлениями: 6(g) — 1 (тривиальное представление), e(g) = sign g (четность подстановки д). 2. Каждая группа 5П обладает неприводимым представлением т размерности п — 1 (в гиперплоскости хх +... + хп = 0 пространства Сп). 3. Отсюда следует также, что группа Sn обладает неприводимым представлением г' — е®т (размерности п — 1). Заметим, что все эти факты отражаются в тождествах Бернсайда (10.23). Описание неприводимых представлений группы Sn в общем случае связано
82 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ со специальной комбинаторикой (диаграммы Юнга). См. по этому поводу, например, [Ж1; Ж4; Кир]. 10.12. Теорема. Элементы рх = (п>х)~1Хх> г&е Хх ==^гта (^ € ^)» образуют ортогональное разложение единицы в Z(A), т. е. РхР^Р^Рх = *amAi ЕРа = 1> (10.24) для всех X.fieG. Более того, для каждого (не обязательно конечномерного) G-модуля X равенство Х = ®ХХ, (10.25) где Хх=рхХ, определяет разложение модуля X на его изотипические компоненты Хх = тх Vх. Доказательство. Соотношения (10.24) проверяются непосредственно из соотношений ортогональности (10.17). Отсюда также следует (10.25), где Хх =рхХ. Помимо этого, из включения рх е Ах и упражнения 2 п. 10.9 следует рхХ^ =0 при А фр,, откуда заключаем, что Хх есть примитивный А-модуль типа А. 10.13. Следствие. Категория G-модулей полупроста, с простыми объектами Vх (А е G). В частности, каждый простой G-модуль X конечномерен и изоморфен одному из модулей Vх (А £ G). В заключение отметим правило перехода от поля С к произвольному полю F. 10.14. Теорема (Машке). Групповая алгебра A = F[G] полупроста тогда и только тогда, когда характеристика р = char F не делит порядок п = card G. Доказательство. Если р не делит п, то каждый конечномерный G-модуль X полупрост. Действительно, пусть У е V(X) и пусть <р € Hom(X, Y) — произвольный оператор, равный 1 при сужении на Г. Очевидно (из соображений размерности), что X = У фкег <р. Применяя к оператору <р оператор усреднения р^ (п. 10.1), относительно действия (7.18) группы G, получаем новый оператор <peHomG(X, Y), для которого ker (p eV(X). Следовательно, модуль X полупрост. В частности, алгебра F[G] полупроста. Обратно, пусть р делит п, и пусть е — сумма, определенная в (10.2). Тогда имеем е2 = пе=0. Более того, Офе € Z(A), откуда следует, что идеал N = Ае = еА удовлетворяет соотношениям N ф 0, N2 = 0. Согласно упражнению 2 п. 9.7, отсюда следует, что алгебра А не полупроста. Остается заметить, что все результаты этого параграфа переносятся без существенных изменений на поле F (при условии, что р не делит п). Например, соотношения ортогональности (10.17) заменяются соотношениями биортогональности для представлений тА, г .
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 83 § 11. Системы образующих 11.1. Определение. Пусть S — одна из алгебраических структур, определенных в § 1. Для каждого семейства e = (e.)i€/, составленного из элементов структуры 5, пусть 5е — наименьшая «подструктура» структуры 5, содержащая семейство е. Если S = Se, то семейство е называется системой образующих структуры 5. В этом случае также говорят, что элементы е{ (г е I) порождают структуру 5. Для того, чтобы сделать это определение более конкретным, рассмотрим следующие частные случаи: (1) S — полугруппа, (2) G— группа, (3) А — ассоциативная алгебра над полем F. (1) Se состоит из одночленов (8.2), где ix,..., гп е I. Если S — полугруппа с единицей, то в число этих одночленов обычно включается также единичный элемент % = 1. (2) Ge состоит из одночленов (8.2), порожденных семейством eUe"1, где е"1 =(ег1)|.€/. Ясно, что Ge есть наименьшая подгруппа группы G, содержащая семейство е. (3) Ае есть линейная оболочка одночленов (8.2). Если А — алгебра с единицей, то в число этих одночленов обычно добавляется единичный элемент ео=1- Примеры. 1. Симметрическая группа 5П (п. 10.11) порождается транспозициями г. = (г, г + 1), где г = 1,..., п — 1. 2. Каждая система образующих полугруппы S есть также система образующих алгебры А = F[S]. Заметим, что каждый гомоморфизм ip e Hom(5, T) в категориях (1), (2), (3) однозначно определяется своими значениями на образующих et (г € el). Однако, значения <р(е{) не всегда можно выбрать произвольно. Для того, чтобы избавиться от этого ограничения, в каждой из этих категорий вводится понятие «свободной» структуры 5. 11.2. Свободные структуры. Для каждого абстрактного семейства е = = (ei)iei ПУСТЬ (е) — множество всех слов (8.2), включая единичное слово во = 1. Здесь имеется в виду, что слово (8.2) есть лишь иное обозначение конечного подмножества {г\,..., гп} с / (так что слово ео соответствует пустому подмножеству). Операция превращает (е) в полугруппу с единицей, называемую свободной полугруппой с системой образующих е. Аналогично, пусть [е] — множество всех слов (8.2), порожденных семейством eUe""1 и следующим правилом отождествления: ае{е71Ь = аЬ для всех одночленов а, Ь и всех г е /. Ясно, что [е] есть группа, порожденная элементами et. (г el). Группа G называется свободной группой, порожденной элементами е{ (i el). Аналогично, пусть (е) — формальная линейная оболочка множества (е) надполем F (т. е. (e) = F[(e)] в обозначениях 2.1). Операция (11.1) продолжается по билинейности до операции умножения в алгебре (е). Полученная
84 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ алгебра (е) называется свободной ассоциативной алгеброй над полем F с системой образующих е. Для каждой свободной структуры 5 = (е),[е],(е) гомоморфизмы ip e eHom(5, T) (в соответствующей категории) определяются произвольно на элементах е{ (г € /). Действительно, для каждого набора элементов f{e T (г € /) отображение <p(et) = /. (г € /) однозначно поднимается (по правилу гомоморфизма) на одночлены (8.2) и их линейные комбинации (в случае алгебр над полем F). Полученное правило называется свойством универсальности свободных структур в категориях (1), (2), (3) п. 11.1. 11.3. Фундаментальные соотношения. Пусть G — группа. Фиксируем в G некоторую систему образующих е, и пусть G = [е] — свободная группа, порожденная семейством е. Согласно свойству универсальности (п^11.2), отображение е4 »-► е{ однозначно поднимается до гомоморфизма <р: G —> G, накрывающего G. Отсюда G&G/N, (11.2) где N = ker ip — нормальный делитель группы^ G (N есть множество всех geG, для которых <р(д) = е). Операция G*->G сводится к отождествлению точек ж, у е G, для которых <р(х) = </?(у). Таким образом, каждая группа G может быть записана (с точностью до изоморфизма) в виде (11.2), где G — свободная группа. Аналогично, пусть А — ассоциативная алгебра над полем F с фиксированной системой образующих е. Полагая А = (е), получаем гомоморфное накрытие <р: А -+ А, относительно которого A&A/N, (11.3) где N = ker <р — идеал алгебры A (N есть множество всех а€ А, для которых <р(а) = 0). Таким образом, соотношение (11.3) определяет общий вид (с точностью до изоморфизма) произвольной ассоциативной алгебры над полем F. Семейство f = (fj)jeJl состоящее из элементов fjEN, называется системой образующих нормального делителя N, если N есть наименьший нормальный делитель группы G, содержащий семейство^. Аналогично определяется система образующих идеала N в алгебре А. Согласно (11.2) (соответственно, (11.3)), группа G (соответственно, алгебра А) однозначно определяется парой (е, /). Пара (е, /) называется генетикой группы G (алгебры А). Элементы /. (j е J) обычно записываются в виде «некоммутативных многочленов» /Де) от образующих е. (г G I). Соотношения /у(е) = 1 в группе G (соответственно, /Де) = 0 в алгебре А) называются фундаментальными (или определяющими) соотношениями группы G (алгебры А). Весь этот педантизм имеет существенное значение в конструктивной теории групп или алгебр над полем F.
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 85 Примеры. 1. Как известно (см., например, [Кац]), симметрическая группа Sn определяется соотношениями nn + ir< = *i + ir<r< + i О1-4) для образующих г{, определенных в п. 11.1. 2. Для каждого гомоморфизма tp: G —> Н (или tp\ А -+ В) и каждого «некоммутативного многочлена» /(e) имеет место равенство W/(e)) = /(v(e)), (11.5) где <р(е) = (<р(е£))г€1 и элемент в правой части (11.5) понимается как результат подстановки ei к-> <р(е.) в многочлен /(e). Заметим также, что каждый гомоморфизм <р: G -+ Н (аналогично, ц>\ А—>В) однозначно определяется своими значениями на образующих е{ (iel). 11.4. Предложение. Пусть G (соответственно, А) — группа (соответственно, алгебра) с генетикой (е, /). Отображение е{ н+ h{ (г е I) поднимается до гомоморфизма G —> Н (соответственно, А —> В) тогда и только тогда, когда оно сохраняет фундаментальные соотношения, т. е. f.(h) = 1 (соответственно, /ДЛ) = 0), (11.6) для всех j e J, в группе Н (алгебре В). Доказательство. Согласно свойству универсальности свободных структур (п. 11.2), отображение е{ н-> h{ поднимается до гомоморфизма е: G-> Н (соответственно, А —> В), в обозначениях (11.2) (соответственно, (11.3)). Для того, чтобы гомоморфизм е был однозначно определен на классах эквивалентности в (11.2) (соответственно, (11.3)), необходимо и достаточно, чтобы e(N) = {e} (соответственно, e(N) = 0), что равносильно (11.6). Пример. Пусть W — ассоциативная алгебра с единицей над полем F, порожденная элементами а, Ь и фундаментальным соотношением [а, Ь] = 1. Согласно (8.3), отображение а\-*д, Ъ\-*х сохраняет фундаментальные соотношения алгебры W. Следовательно, это отображение определяет действие алгебры W в пространстве V = F[x]. Иначе говоря, пространство V наделяется структурой W-модуля. 11.5. Предложение. Пусть А —ассоциативная алгебра с генетикой (е, /). Отображение ei i-> h. (iel) поднимается (однозначно) до дифференцирования a\-*d алгебры А тогда и только тогда, когда оно сохраняет фундаментальные соотношения, т. е. f;(h) = 0 даявсех j e J. (11.7) Доказательство. Если А — свободная алгебра, то отображение е» ■-► К однозначно поднимается на алгебру А по правилу (8.10). В частности, из (8.10) при ж = у= 1 следует Г = 0. В общем случае достаточно воспользоваться соотношением (11.3) и заметить, что дифференцирование
86 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ a\->d алгебры А определяется на классах смежности в (11.3) тогда и только тогда, когда N' = 0, что равносильно (11.7). Ясно также, что каждое дифференцирование алгебры А однозначно определяется своими значениями е[ = h{ (поскольку равенство е[ = 0 для всех г е I влечет d = 0 для всех аеА). 11.6. Градуированные алгебры. Векторное пространство X над полем F называется градуированным (Г-градуированным), если в нем фиксировано разложение x=el, (11.8) тег где Г — произвольное множество. Элементы х е Х1 называются в этом случае однородными, степени deg ж = 7 (так что функция deg однозначно определена для однородных элементов х ф 0). Подпространство Х1 называется однородной компонентой (степени 7) пространства X. Подпространство Y с X называется градуированным, если оно совпадает с суммой своих однородных компонент Y^ = YnX (7 £ Г). В этом случае факторпространство X/Y наследует градуировку (11.8), с компонентами (X/Y)y = Xy/Yr (11.9) Ассоциативная алгебра А называется градуированной (Г-градуирован- ной), если А как векторное пространство обладает градуировкой Ат (7 €Г), где Г — аддитивная полугруппа, причем AaAficAa+fi (11.10) для всех а, /3 е Г. В этом случае для каждого градуированного идеала N алгебры А факторалгебра A/N градуирована компонентами Ay/Ny. В частности, пусть А —свободная алгебра с образующими е. (г е /). В этом случае для каждой аддитивной полугруппы Г и каждого набора элементов 7^ € Г (г G I) соотношение deg е. =7» (i € I) однозначно определяет Г-градуировку алгебры А, по правилу degv.^^ + '-' + 'V (1M1) в обозначениях (8.2). Градуировка (11.11) наследуется каждой факторалгеб- рой (11.3), при условии, что N есть градуированный идеал алгебры А. Ясно также, что образующие /. (j e J) идеала N можно выбрать однородными, так что фундаментальные соотношения /. = 0 однородны. Примеры. 1. Алгебра F[x] обладает стандартной Z+-градуировкой (определяемой по правилу deg хп = п). 2. Алгебра W (п. 11.4) обладает Z-градуировкой, определяемой на образующих по правилу dega = — 1, degb = 1. Действительно, фундаментальное соотношение [а, Ь]= 1 однородно относительно этой градуировки (т. е. определяющий идеал N алгебры W градуирован). 11.7. Полиномы. Пусть х = (х{,..., хп) — система независимых переменных. Алгебра А = F[xu ..., хп] определяется как ассоциативная алгебра с
§11. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ 87 единицей над полем F, порожденная элементами х{ (i = 1,..., п) и фундаментальными соотношениями х.жу = х^ (г, j = 1,..., п). (11.12) Очевидно, алгебра А коммутативна и натянута (как векторное пространство) на одночлены х« = х? ...а£», (11.13) где а = («!,..., otn) G Z+. Покажем, что эти одночлены линейно независимы, откуда следует, что отображение аижв определяет изоморфизм ассоциативных алгебр F[Zl}*A = F[Xl,...,xn]. (11.14) Действительно, пусть ei = (0,..., 0,1,0,..., 0) с единицей на г'-м месте (базис решетки Z"). Отображение х{ н-> е{ (г = 1,..., п) сохраняет фундаментальные соотношения (11.12) и потому продолжается (п. 11.4) до гомоморфизма ассоциативных алгебр A ->jF[Z"]. Поскольку образы одночленов (11.13) при этом отображении линейно независимы, сами эти одночлены линейно независимы и потому образуют базис векторного пространства А. Остается заметить, что отображение х{ i-+ e{ обратно отображению ei *""* xi (т- е-аи ха). Таким образом, каждый элемент алгебры А однозначно записывается в виде полинома от переменных х = (ж,,..., хп): /(*) = £./>а, (П.15) а с коэффициентами fa€F. Умножение в алгебре А определяется по правилу хахР = ха+Р (a,/3eZ;). Полагая degx. = 1 (г = 1,..., п), получаем г+-градуировку алгебры А, относительно которой degxa = |a|, где \а\ = ах + ... + ап. Условимся использовать сокращенное обозначение А = F[x]9 где х = = (&!,..., хп). Аналогично определяется алгебра A = F[x] для произвольного семейства независимых переменных х = (х{).€1. В этом случае базисные одночлены алгебры А записываются в виде :*-=*««...*£>, (11.16) где (*) = (*if •••»*»)- Очевидно, алгебра A — F[x] обладает следующим свойством универсальности в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над полем F: каждое отображение xi\-^yieB (г el) однозначно поднимается до гомоморфизма алгебр А —> В. Примеры. 1. Положим ж = (хи ..., хп). Для каждой точки А = (А1э... ..., Лп) е Fn отображение х, »-* А. (г = 1,..., п) определяет характер А: F[x\-^F, так что А(/) = /(А), где /(А) = Е/„А« (11.17) a (в обозначениях (11.15)). Число /(А) называется значением полинома / е eF[x] в точке XeFn.
88 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 2. Числовая функция /: X —► F в векторном пространстве X (над полем F) называется полиномом в векторном пространстве X, если / есть полином от координат х{ = еДя) (х € X), относительно некоторого базиса е пространства X. Очевидно, это определение не зависит от выбора базиса е пространства X. Пусть Р(Х) — множество всех полиномов в векторном пространстве X. Очевидно, Р(Х) есть алгебра (над полем F). Упражнения. 1. Алгебра А = F[x] есть тензорное произведение алгебр A. = F[xA: F[x]= ®F[x{]. (11.18) 2. Если поле F бесконечно, то отображение fix) i-+/(A) (определенное в примере 1), определяет изоморфизм алгебры F[x] с алгеброй P(Fn). 11.8. Алгебра Diff F\ Пусть Diff Fn — подалгебра в End P(Fn), порожденная операторами х{1 di = d/dxi (г = 1,...,п), где xi рассматривается как оператор умножения в алгебре Vn = P(Fn). Заметим, что операторы di (г = 1,..., п) взаимно перестановочны и связаны с операторами xj (j = 1,..., п) соотношениями коммутации [*„<*] = *« (Н.19) (по аналогии с (8.3)). Ясно также, что операторы di (г = 1,...,п) суть дифференцирования алгебры Vn, определяемые по правилу 0Д*,) = ^, (11.20) где г, j = 1,..., п. Используя соотношения (11.19) (или (11.20)), легко проверить, что алгебра Diff Fn есть алгебра всех дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве Vn. Упражнения. 1. Пусть char F = 0. Проверьте, что одночлены да = ф...д?1 (11.21) где а = (а,,..., an)t линейно независимы. 2. Проверьте, что где а! = а{\... ап! при а € Z" (а! = оо, если а. < 0 хотя бы при одном значении i = 1,..., п). 3. Проверьте следующее тождество Лейбница в алгебре Vn: д*Ш= £ с'д,(/)д,(д), (И.23) 0 + 7 = « где Cf — произведение биномиальных коэффициентов С$ (г = 1,..., п). 4. Пусть ха (а eZ") —дуальная система к базису (11.13) в F[x]. Проверьте, что *а(Л)= Е ^(/К(^)- (1124) 0 + 7 = а
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 89 [Указание: достаточно проверить (11.23), (11.24) на одночленах / = ж*, д = = же.] Замечание. Если char F = 0, то элементы ха связаны с операторами (11.21) соотношениями *«(/) = («!)-'(0«/)(О). (11.25) § 12. Тензорные алгебры 12.1. Алгебра Т(Х). Пусть X — векторное пространство над полем F, Т(Х) — тензорная алгебра пространства X (п. 6.7). Для каждого базиса ei (i GI) пространства X одночлены (8.2) совпадают с тензорными одночленами (6.21). Из линейной независимости этих одночленов в алгебре Т(Х) следует, что Т(Х) есть свободная алгебра с образующими ei (г е I). Разложение (6.20) определяет Z+'Градуировку алгебры Т(Х), определяемую на образующих по правилу degei — 1 (i el). Известное свойство универсальности свободных алгебр (п. 11.2) перефразируется в терминах алгебры Т(Х) следующим образом: каждое линейное отображение X -> А, где А —ассоциативная алгебра над полем F, однозначно поднимается до гомоморфизма ассоциативных алгебр Т(Х)^ А. Упражнение. Каждое n-линейное отображение Хп —► Y I в категории VECTF) однозначно поднимается до линейного отображения Тп(Х) —* Y. 12.2. Симметрия. Пусть Sn — симметрическая группа (п. 10.11). Операция f*-> fa, определяемая на базисных одночленах / еТп(Х) по правилу (%..<> = е,,,...,^ (12.1) где а е Sn, определяет в Тп(Х) структуру правого 5П-модуля. Полагая af = = fa~l, получаем в Тп(Х) структуру левого 5П-модуля. Заметим, что действие f *-> erf сводится к замене Д...»п на /^t..M<rtn в разложениях /-EA..w.-t.. <122> (О где f. in e F. Применяя это правило к элементам g eTn(X)* (п. 6.7), получаем (°f,crg) = (fg) (12.3) для всех a G Sn, т. е. & -=-а~х, где а\-*а*— операция транспонирования относительно формы (12.3). Тензор / еТп(Х) называется симметрическим (соответственно, антисимметрическим), если af = / (соответственно, af = e(a)f) для всех а е Sn, где е(а) — sign a — характер группы Sn, определяемый на образующих т{ (п. 11.1) по правилу е(г<) = —1. Предположим, что char F = 0. Согласно общей теории конечных групп (п. 10.1), оператор а
90 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ проецирует Тп(Х) на подпространство STn(X) всех симметрических тензоров ранга п. Аналогично, оператор проецирует Тп(Х) на подпространство ЛТП(Х) всех антисимметрических тензоров ранга п. Условимся считать (не ограничивая общности), что множество индексов I линейно упорядочено. 12.3. Предложение. Если char F = О, то элементы ^V...Ve,n=p(V.<n), (12.4) где г{ <... ^ гп, образуют базис пространства STn(X). Аналогично, элементы e^A...Aein=g(V.in), (12.5) где г, < ... < гп, образуют базис пространства КТп(Х). Доказательство. Ясно, что STn(X) натянуто на элементы (12.4). С другой стороны, пусть е. е X* —дуальная система к элементам е{ (г е I). Из равенства (12.3) имеем {pf,9) = ttpg) (12.6) для всех /еТп(Х), деТп(Х)*. Используя (12.6), легко проверить, что элементы е. V... V е^ (*'i < ... < О образуют дуальную систему к элементам (12.4). Отсюда следует, что элементы (12.4) линейно независимы и потому образуют базис в STn(X). Аналогично, АТп(Х) натянуто на элементы (12.5). Здесь мы имеем в виду правило антисимметричности aq = e(a)q (a G 5n), согласно которому элемент (12.5) обращается в нуль, если хотя бы одна пара его индексов совпадает. Имеем также (qf,9) = (f,Q9) (12.7) для всех feTn(X), деТп(Х)*. Повторяя предыдущие рассуждения (с заменой (12.4) на (12.5)), находим, что одночлены (12.5) линейно независимы и потому образуют базис в ЛТП(Х). Пример. Пусть dim X = га < оо. Тогда имеем UmATn(X) = C?> (12.8) так что ЛТП(Х) ^0 только при 0 ^ п ^ т. Более того, пусть ЛТ(Х) — сумма подпространств ЛТП(Х). Тогда имеем dimAT(X) = 2m. (12.9) 12.4. Алгебра S(X). Пусть / — идеал алгебры Т(Х), порожденный элементами ху — ух, где х,уеХ. Факторалгебра S(X) = T(X)/I
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 91 называется симметрической алгеброй пространства X. Поскольку / — градуированный идеал, имеем S(X)= ®Sn(X), n = 0 где Sn(X) — компонента однородности степени п в алгебре S(X). Пространство Sn(X) называется n-й симметрической степенью пространства X. Заметим, что для каждого базиса е = (е{)>€/ пространства X идеал I порождается элементами eiej — е-е{. Отсюда ясно, что отображение е{ н-+ »-► х{ (г е I) определяет изоморфизм алгебры S(X) с алгеброй F[x], где ж = (ж.).е/. В частности, алгебра S(X) коммутативна, и одночлены (8.2), где ij ^ ... ^ гп, образуют базис векторного пространства S(X). Согласно предложению 12.3, отсюда получаем (при char F =0) изоморфизм векторных пространств Sn(X)*STn(X). А именно, этот изоморфизм определяется по правилу е, л ие, V...Vei при ц < ... < гп. Умножение в алгебре S(X) иногда обозначается символом / V д. В этом смысле одночлен (8.2) отождествляется с (12.4). Заметим, что алгебра S(X) обладает свойством универсальности в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над полем F. А именно, каждое линейное отображение X —> А однозначно продолжается до гомоморфизма коммутативных алгебр S(X) —> А. Примеры. 1. Каноническое отображение X —> X** (п. 2.7) определяет изоморфизм коммутативных алгебр S(X)«P(X*). (12.10) 2. Пусть (•, •) — невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве X. В этом случае пространство X отождествляется с X* (с канонической формой (•, •)) и (12.10) переписывается в виде S(X)«P(X). (12.11) Упражнения. 1. Полилинейное отображение у>\ Xn-+Y называется симметрическим, если оно инвариантно относительно подстановок аргументов (ж.,..., хп) Е Хп. Проверьте, что каждое такое отображение однозначно продолжается до линейного отображения Sn(X) —► Y. 2. В частности, равенство flV...Vfu=p(fl9...9fn) определяет вложение Sn(X*) в Sn(X)*. Если dimX <oo, то это вложение есть изоморфизм, т. е. sn(*r«sn(x-).
92 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 12.5. Алгебра А(Х). Пусть J — идеал алгебры Т(Х), порожденный элементами ху + ух, где ж, у е X. Факторалгебра A(X) = T{X)/J называется внешней алгеброй (или алгеброй Грассмана) пространства X. В этом случае (по аналогии с п. 12.4) имеем также А(Х)= @Ап(Х). 71=0 Умножение в алгебре А(Х) обычно обозначается символом (/, g)*-+f A А д (и называется внешним умножением в А(Х)). Элементы feAp(X) называются р-векторами (поливекторами ранга р) над пространством X. Компонента Ар(Х) называется р-й внешней степенью пространства X. Для каждого базиса ei (i e I) пространства X алгебра А(Х) порождается элементами et и соотношениями е-еу + e;et. =0. В частности, 2е. Л е( = = 0, откуда е( А е{ = 0 при char F ф 2. Если char F = О, то соответствие е.\...г *■* ег. Л • • • л ev Где *i < • • • < *п» определяет изоморфизм векторных пространств ЛП(Х)«ЛТП(Х). В частности, из (12.9) при га = dim X < оо следует dimA(X) = 2m. Упражнения. 1. Пусть char F = 0. Векторы х{е X (г = 1,..., п) линейно независимы тогда и только тогда, когда ж,Л,..Лз;п^0. (12.12) [Указание: если векторы х{ линейно независимы, то они включаются в некоторый базис пространства X, так что (12.12) есть один из базисных одночленов в Ап(Х).] 2. Фиксируем базис е{ (г € I) пространства X, и пусть где г = 1,..., п. Проверьте, что координаты вектора хх А ... Л хп в базисе (12.5) суть миноры порядка п матрицы х = (ж{>), где j € J. 3. Проверьте (по аналогии с п. 12.5), что равенство /^...ЛД^^®...®/») определяет вложение Ап(Х*) —> ЛП(Х)*. Если dim X < оо, то это вложение превращается в изоморфизм ЛП(Х)*«ЛП(Х*). 12.6. Супералгебры. Алгебра А над полем F называется супералгеброй, если она обладает г2-градуировкой А{ (г = 0,1), так что А0А<сА{, А{А0сА„ Аг?сА0, (12.13) где г = 0,1 (элементы циклической группы Z2 = Z(mod 2)).
§ 12. ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ 93 В частности, А0 есть подалгебра алгебры А, А{ есть А0-бимодуль. Элементы х е AQ (соответственно, хеАх) называются четными (соответственно, нечетными) элементами алгебры А. Функция p(x) = degx (определенная для однородных элементов хфО) называется функцией четности в алгебре А. В частности, пусть А —ассоциативная супералгебра над полем F. Для каждой пары однородных элементов а, Ь е А элемент [а, Ь] = аЪ- (-l)*Wrt*>ba (12.14) называется суперкоммутатором элементов а, Ь. Операция (12.14) продолжается однозначно (по билинейности) до умножения в пространстве А. Элемент (12.14) совпадает с обычным коммутатором в алгебре А в том случае, когда либо а, либо Ь есть четный элемент. Если же оба элемента а, Ь нечетны, то [a, b] = ab + Ъа (антикоммутатор в алгебре А). Супералгебра А называется коммутативной (или суперкоммутативной), если [a, b] = О для всех а, Ь еА. Примеры. 1. Алгебра Грассмана А(Х) есть коммутативная супералгебра относительно градуировки deg е{ = 1 (т. е. все элементы е{ считаются нечетными). 2. Пусть F[x, f ] — ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами х = (жп ..., хп), £ = (f J,..., f m) и соотношениями xixi = а^, ж.£а = £аж., £а^ + £fi£a = 0, (12.15) где г = 1,..., п, а = 1,..., га. Ясно, что F[x, £1 есть коммутативная супе- ралгебра относительно градуировки deg х{ = 0, deg £Q = 1. 3. Для каждого векторного пространства X = Х0@ХХ пусть S(X) — ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами хеХ и соотношениями [ж, у] = 0, где degz = e при хеХе (е=0,1). (12.16) Здесь имеется в виду суперкоммутатор (12.14) в тензорной алгебре Т(Х). Согласно этому определению, S(X) есть коммутативная супералгебра (называемая симметрической алгеброй суперпространства X). Упражнение. Проверьте, что F[x, f ] есть тензорное произведение F[x] <8> F[£]. Аналогично, S(X) = S(X0)®A(X{), (12.17) в обозначениях примера 2. 12.7. Алгебра Клиффорда. Пусть <р — квадратичная (F-значная) форма в векторном пространстве X. Алгебра Клиффорда К(Х, <р) определяется как факторалгебра Т(Х) по идеалу N^, порожденному элементами х2 - (р(х) • 1 (х € X). Иначе говоря, К(Х, ip) есть ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами х £ X и соотношением (р(х) = х2 для всех х е X. (12.18)
94 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ В этом смысле К(Х^<р) есть расширение поля F (в категории ассоциативных алгебр над полем F), в котором допустимо «извлечение квадратного корня» (12.18) из формы <р(х). В частности, пусть X — конечномерное векторное пространство с базисом е{ (i = 1,..., га) и квадратичной формой <р(х) = x? + ... + xl В этом случае алгебра К(Х, <р) обозначается Кп. Соотношение (12.18) переписывается в виде (ххех + ... + хтет)2 = х? + ... + х2т для всех х{ е F, что равносильно е<е, + е,е<=0 при гф], е? = 1. (12.19) Если char F ф 2, то эти соотношения записываются в виде е<е. + е^=2^, (12.20) для всех г, j = 1,..., га. Отсюда ясно, что Кп есть ассоциативная алгебра с генетикой (12.19) (или (12.20)). Соотношения degeo = 0 (% = 1), deget. = 1 (г = 1,..., т) определяют Z2-гpaдyиpoвкy алгебры Кт. Легко проверяется (см., например, [Ше]), что одночлены (8.2) при ix < ... < in (n ^ га), включая ^ = 1, образуют базис векторного пространства Кт. В частности, dimii:m = 2m. Если v? = 0, то алгебра К(Х, р) превращается в алгебру Грассмана Л(Х). 12.8. Предложение. Если га четно, то алгебра Кт проста, Z(Km) = = Feo. Если т нечетно, то Z(JRTm) = Fe0©Fe0, где e0 = ei n. Более того, в этом случае имеем при п = ^т(т + 1): (а) Если (-1)" не есть квадрат в поле F, то алгебра Кт проста. (Р) Если (-1)" = j2, то алгебра Кт есть прямая сумма идеалов рКт, QKm, где Р = 2 (% + 3%), Ч = 5 (^ - ^о)- Несложное доказательство этого утверждения можно найти в [Ше]. Упражнение. Для каждого подмножества А = {»п ..., гп} в {1,... ..., га}, где »!<...<*„, положим еА = е^ ^. Проверьте, что умножение в алгебре Кт определяется по правилу еАев=Р(А>в)еАьв> где А Л В — симметрическая разность множеств А, В, р(А, В) — функция четности, принимающая значения ±1. Найдите явный вид функции р(А, В).
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 95 § 13. Формальные ряды 13.1. Определение. Формальным степенным рядом (над полем F) от набора независимых переменных х = (жи ..., хп) называется бесконечный ряд /(*) = Е/«*в. (13.1) а определяемый произвольным набором коэффициентов faeF (т. е. функцией Z+—> F). Здесь ха означает одночлен (11.13) и суммирование ведется по индексам а е Z+. Таким образом, (13.1) есть лишь иная форма записи для функции а ь-* *-+ /a(Z+ —► F). Множество -Р[[ж]] всех рядов (13.1) рассматривается как векторное пространство (с покомпонентными операциями), так что F[x] отождествляется с подпространством в F[[z]], состоящим из конечных рядов (13.1). Существенно, что операция умножения, определенная в F[x], естественно продолжается до умножения в F[[z]], так что jP[[x]] становится алгеброй над полем F. Действительно, умножение f = gh в алгебре F[x] определяется в терминах коэффициентов (13.1) как частный случай свертки (7.12), т. е. /а= £ 9„К (13-2) 0 + 7 = а Произведение (13.2) имеет локальный характер, т. е. сумма (13.2) конечна для каждой пары рядов #, h e F[[x]]. Поэтому (13.2) определяет умножение в F[[x]]. Очевидно, алгебра F[[x]] ассоциативна, коммутативна и содержит единицу х° = 1. Соответствующий коэффициент /0 называется свободным членом ряда (13.1). Группируя в (13.1) одночлены фиксированной степени \а\ = т, получаем интерпретацию ряда (13.1) как формальной суммы /(*)=£/„(*). (13.3) ш = 0 где fm(x) € Fm[x] — однородный полином степени т. Здесь семейство однородных полиномов fm (m e Z+) можно выбрать произвольно. В этом смысле F[[x])= f[ Fm[x] (13.4) го = 0 (декартово произведение подпространств -Рт[ж]). Аналогично определяется алгебра -Р[[ж]] для произвольного семейства независимых переменных х = (х{){е1. В этом случае базисные одночлены в ^[[ж]] записываются в виде (11.16). 13.2. Топология в ^[[ж]]. Положим для краткости XQ = F[x], X = = F[[x]]. Для каждого O^feX определим число u>(f) как наименьшее из чисел р, для которых / ^0 в (13.3). Положим также ш(0) = оо, и пусть Np = {feX:u>(f)>P}> (13.5) так что N^ = 0. Семейство (13.5) выбирается в качестве базы окрестностей нуля в пространстве X. Соответственно, каждая точка feX
96 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ наделяется окрестностями f+Np. Сходимость fi -+/ в этой топологии означает, что ш(/{ — /) —> оо. В частности, пусть sp (peZ+)— частичная сумма ряда (13.3), определяемая как сумма элементов (13.1) при 0< |а| ^р. Тогда имеем f — sp€Np+l, т. е. sp—>/. Следовательно, каждый ряд (13.1) сходится в топологии пространства X. В этом смысле Х0 всюду плотно в X. Здесь мы используем «наивный» подход к топологическим терминам. Для читателя, не знакомого с элементами общей топологии, описание этих терминов приводится в § 23. Отметим также (в качестве упражнений) следующие утверждения относительно алгебры X. (а) Пространство X полно, т. е. в нем всякая фундаментальная последовательность (или даже направленность) сходится. Последовательность fneX называется фундаментальной, если w(fn-fm)^P при п,т^ ^Ор). (/3) Np есть идеал алгебры X. (7) Умножение в алгебре X непрерывно (по совокупности перемен- ных). Иначе говоря, если fn -> /, gn^> g, то fngn -* fg. Заметим также, что формула Лейбница (11.23) продолжается (по непрерывности) с алгебры Х0 на алгебру X. 13.3. Двойственность. Для каждого полинома / е Х0 определим дифференциальный оператор / как результат подстановки х{ *->д{в полином /(ж), / = £/.«", (13.6) а где да определяется равенством (11.21). Полагая (/,0) = (М>, (13.7) получаем билинейную форму в алгебре Х0. Используя (11.22), находим (х«,х*) = а\6а0 (13.8) для всех а, /3 eZ". Отсюда следует, что форма (13.8) симметрична (в общем случае) и невырождена при char F = 0. Согласно (13.8), однородные компоненты алгебры Х0 ортогональны относительно формы (13.7). Отсюда ясно, что форма (13.7) продолжается на декартово произведение XQx X (либо на X х Х0). Действительно, если / е Х0, g € X, то форма (13.7) отлична от нуля лишь на конечном числе однородных компонент gm (га e Z+), так что (/, д) определено. Аналогично, если /еХ,деХ0,то действие / сводится к конечной сумме, т. е. число (/, д) также определено. Упражнения. 1. Если char F = 0, то равенство (13.7) при / е Х0, деХ определяет общий вид линейного функционала в Х0, т. е. Х£ = X. Билинейные формы (13.7) в пространствах XQ = F[x], Y0 = F[y], ZQ = F[x, у], где х = (ж,,..., хп), » = (»!,..., ут) связаны соотношением (f®g)(h®k) = Uh)(g,k), (13.9) относительно интерпретации Z0 = Х0 <g> Y0.
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 97 2. В частности, пусть п = га. Оператор А: Х0 —> ZQt (Д/)(х, у) = f(x + у) сопряжен к операции умножения в алгебре Х0, т. е. (аЬ,/) = (а®Ь,А/) (13.10) для всех а, be XQ, f G ZQ. 3. Соотношение (13.10) продолжается (по непрерывности) на элементы а,ЬеХ (/€ Х0) либо на элементы f е X (a,b€ Х0). 13.4. Правило подстановки. Пусть X = F[[x]], 5^=[[у]], где ж = (ж15... • • •» #«)» У = (Ун • • •! Ут) — независимые переменные. Фиксируем / е F, и пусть £ = (flfj,..., дт) е Хт — некоторый набор формальных рядов. Естественно попытаться определить формальный ряд f(g) как результат подстановки у{ н-* gi (iI = 1,..., га) в формальный ряд /(у). Если / — полином, то эта задача разрешима. А именно, f(g) есть линейная комбинация одночленов 5а = 5Г •..<£". (13.11) Однако, если / — бесконечный ряд и хотя бы один из рядов д. имеет ненулевой свободный член, то существует бесконечное число одночленов да с ненулевым свободным членом. В этом случае вычисление свободного члена ряда f(g) сводится к суммированию счетных (не обязательно сходящихся) рядов. С другой стороны, если и>(д{) ^ 1 для всех г = 1,..., га, то ряд f(g) корректно определен. Действительно, в этом случае f(g)Q = /0, линейные члены ряда f(g) суть линейные комбинации элементов да при \а\ — 1, квадратичные члены ряда f(g) суть линейные комбинации элементов да при |а| = 1,2 и т. д. Соответственно, все члены ряда f(g) корректно определены, f(g)eX. Таким образом, подстановка у. н+ д. (г = 1,..., га) в произвольный ряд f eY корректно определена лишь в том случае, когда ш(д{) ^ 1 для всех г (т. е. gi — ряды без свободного члена). Примеры. 1. Положим char F = 0 и рассмотрим следующие ряды от одного независимого переменного х: (1-х)-1=£х«, ехрж=£^, 1п(1-х)=££. (13.12) п=0 п=0 ' п=1 Здесь в последнем случае имеется в виду подстановка ряда д = 1 — ехр х (без свободного члена) в ряд f(y) = ln(l — у). 13.5. Критерий обратимости. Покажем, что формальный ряд (13.1) обратим в алгебре X тогда и только тогда, когда его свободный член отличен от нуля. Действительно, из равенства fg = 1 в алгебре X следует /0gQ = 1, откуда /о» 9о Ф 0- Обратно, если /0 ф 0, то / = /0(1 - h) в алгебре X, откуда /-w0-4i-fc)-Wo-lf>n. п = 0 8 Зак. 184
98 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 13.6. Тензорные произведения. Для каждой пары декартовых произведений векторных пространств х = П*„ г = пъ (13.13) * 3 (в категории VECTF) определим их полное тензорное произведение по правилу X®Y = l\Xi®Yr О314) Применяя это правило к декартовым произведениям (13.4) в случае X = = ^[[ж]], Y = ^[[у]], заметим, что однородные компоненты алгебры Z = = F[[x, у]] определяются по правилу Fm[x,y}= П F,[x]®Ft[y]. Суммируя эти равенства по т е Z+f получаем полное произведение вида (13.14). Отсюда заключаем, что Z = X®Y (13.15) Полученное равенство можно интерпретировать следующим образом. Для каждого кольца R пусть R[x] (соответственно, #[[ж]]) — кольцо полиномов (соответственно, формальных рядов) (13.1) с коэффициентами fa€R. Тогда соотношение (13.15) означает, что X[[y)] = Z = Y[[x]). (13.16) Упражнение. Для каждой пары независимых переменных х, у имеем ехр(х + у) = ехр х • ехр у в алгебре F[[x, у]]. 13.7. Дифференцирования. Напомним (п. 13.3), что каждый оператор д{ (г = 1,..., п) однозначно поднимается на формальные ряды (13.1), т. е. на алгебру X. Заметим также, что u)(dj) ^ u{(f) - 1 для всех / е X. Отсюда следует, что правило дифференцирования (8.10) продолжается (по непрерывности) на элементы fcgeX, т. е. каждый оператор д{ есть дифференцирование алгебры X. 13.8. Теорема. Положим char F = 0. Тогда для каждого формального ряда f e X выполняется следующий аналог формулы Тейлора (в алгеб- реХ[[у)]): fix + y) = Е(<х<)-1Ш)(х)у°. (13.17) а В частности, линейная часть (дифференциал) формального ряда f записывается в виде п #<* у) =£№/)(*)%- (13.18) 1 = 1 Доказательство. Заметим, что билинейная форма (13.7) обладает следующим свойством «контравариантности»: mg) = (f,xi9) (13.19)
§ 13. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 99 для всех г = 1,..., п. Запишем f(x + у) в виде суммы ряда с элементами fa(x)ya. Используя (13.10), (13.19), находим (в./, Я) = (/, *а9) = (А/, 9 в Г) = £(/„ *)(У, 2/0- Применяя к правой части соотношения ортогональности (13.8), получаем Ш,д) = а\(/а,д) для всех д е Х0. Из невырожденности формы (•, •) получаем daf = a\fa, (13.20) что равносильно (13.17). Упражнение. Докажите, что формула Тейлора в виде (13.20) выполняется над произвольным полем F. [Указание: вместо формы (13.19) используется каноническая билинейная форма в X х X* и операторы да заменяются элементами ха €Х*, дуальными к системе ха (п. 11.8).] Замечание. Применяя формулу Тейлора (13.17) при п = 1, получаем функциональное исчисление класса -F[[z]] в алгебре End V при dim V < оо (п. 4.5). 13.9. Системы уравнений. Мы будем рассматривать следующие системы уравнений в алгебре Z = F[[x, у]]: /,tey(*)) = Of (13.21) где /. G Z (г = 1,..., га) — система рядов без свободного члена, у(х) еХт — система неизвестных рядов без свободного члена. Элемент J(/) = det(a,/,)6Z (13.22) называется якобианом системы (13.21). Система (13.21) называется невырожденной, если ее якобиан обратим, что равносильно (п. 13.5) условию («7/)0^0. 13.10. Теорема. Каждая невырожденная система (13.21) имеет единственное решение у(х) = (у{(х),..., ут(х)). Доказательство. Из условий на свободные члены получаем следующий вид рядов f.: Мъу) = /Ах) + 12Мх)ул + я(х,у), (13.23) 3 где /Дж) — ряды без свободного члена, &(ж, у) разлагается по одночленам уа при |а| ^2. Из условия (J/)0 = det(/iJ(0))^0 следует, что матрица f — ifij) обратима. Умножение на /_1 приводит (13.21) к эквивалентной системе, в которой fi;j(x) = 6{j. В этом случае (13.21) переписывается в виде fi(x) + yi(x)^hi(x9y(x))t (13.24) где 1г{(х,у) разлагается по одночленам уа при |а|^2. Соответственно, и(к((х, у(х))^2. Разлагая (13.24) по степеням однородности, находим, что 8*
100 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ компонента однородности степени р ряда у{(х) есть полином от компонент однородности степени ^ р - 1 рядов у3(х). В частности, yi0(x) = -fi0(x) (г = 1,..., n). Таким образом, (13.24) сводится к системе рекуррентных соотношений для однородных компонент ряда у(х). Отсюда следует, что решение у(х) системы (13.21) существует и единственно. 13.11. Сходящиеся ряды. Положим F = R или С. Ряд f(x) e X называется сходящимся в точке А Е Fn, если ряд /(А), получаемый из f(x) подстановкой х{ н-* А^ (г = 1,..., п), сходится. В этом случае /(А) называется значением ряда f(x) в точке А. Формальный ряд f(x) называется сходящимся, если он сходится в некоторой окрестности точки 0е Fn. В этом случае ряд f(x) сходится в некотором полицилиндре Р(г), выделяемом соотношениями |AJ ^ г (г = 1,..., п). Отсюда следует, что коэффициенты (13.1) ряда f(x) удовлетворяют оценке |Д|г'в><М, (13.25) с некоторой константой М (М^О). Обратно, если условие (13.25) выполняется, то ряд (13.1) сходится в открытом полицилиндре Р0(г)сР(г), выделяемом соотношениями |Ai|<r(i = l,...,n). Более того (по лемме Абеля), ряд / сходится равномерно в каждом полицилиндре Р(г') при г' < г. В этом случае функция A i-+/(A) аналитична (над F) в полицилиндре Р0(г). Рассмотрим в качестве иллюстрации следующую задачу Коши в алгебре X = F[[x]], где х = (х{,..., хп): x'(t) = f(x(t)), *(0) = 0, (13.26) где f(x)eXn, x(t)eF[[t]]n — система неизвестных рядов с нулевыми свободными членами. 13.12. Теорема. Если char F =0, то система (13.26) имеет единственное решение. Если F=R,Cu ряд f e Хп сходится, то ряд x(t) также сходится (в некоторой окрестности точки t =0). Доказательство. Положим k a где хкУ fa e Fn (xq = 0). Система (13.26) принимает следующий вид: что сводится (приведением коэффициентов) к системе рекуррентных соотношений kxk=Pk{fa,*r), (13-27) гДе Рк — однозначно определенные полиномы с коэффициентами из Z+ от переменных /eJ хг при г, |а| < к -1. Отсюда заключаем, что решение системы (13.26) существует и единственно.
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 101 Допустим, что ряд /(ж) сходится, так что его коэффициенты удовлетворяют оценке (13.25). Изменяя, если надо, масштаб параметра t, можем считать, что М= 1. В этом случае ряд f(x) мажорируется (почленно) рядом 5(я) = Е(9*Г=П(1-<№)-', а » = 1 где g = l/r. Пусть ук —аналог хк при замене f(x) на д(х). Используя указанные свойства полиномов (13.27), получаем фк\^РЛяИ,Уг) = кук, откуда следует, что ряд x(t) мажорируется аналогичным рядом y(t) с коэффициентами ук. Легко проверяется, что решение y(t) системы (13.26), где / заменяется на д, имеет вид (£(£)> • • •» f (0)> гДе £(*)— решение задачи Коши £'(*) = (!-tf(t)r, £(0) = о. Полагая r](t) = (l — q£(t))n+lt получаем 7]'(t) — —(n + l)g, r/(0)= 1, т. е. rj(t)=l —(n + l)t. Соответственно, функция y(t) аналитична при малых £, скажем, при \t\ ^ 6. Но тогда и функция x(t) аналитична при \t\ ^ 6. § 14. Алгебры Вейля 14.1. Определение. Алгеброй Вейля (ранга п) над полем F называется ассоциативная алгебра W с единицей, порожденная элементами а,., Ь{ (г = = 1,..., п) и соотношениями коммутации К,«у] = [ь.У=о, fc, *,] = *«,, (ИЛ) где г, j = 1,..., п. Используя эти соотношения, легко проверить, что каждое слово от образующих алгебры W содержится в АВ (аналогично, В А), где А (соответственно, В) — подалгебра с единицей, порожденная элементами а{ (соответственно, Ь{). Отсюда W = AB=BA. (14.2) Соотношения (14.1) однородны относительно каждой градуировки, удовлетворяющей условию dega. +degfo. =0 (случай i = j в (14.1)). В частности, алгебра W обладает Z-градуировкой, определяемой на образующих по правилу dega, = -l, degb. = l. (14.3) Подстановка a. = bit Ь. = —а{ сохраняет соотношения (14.1) и потому однозначно продолжается до автоморфизма жи х алгебры W. Подстановка d{ = Ь{, Ь[ = а{ изменяет порядок сомножителей в (14.1) и потому однозначно продолжается до антиавтоморфизма алгебры W.
102 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Положим V = F[x{,..., жп], и пусть х{, д{ — операторы, определенные в п. 11.8, так что xi рассматривается как оператор умножения в алгебре V. Согласно (11.19), операторы Ъ=д{, Ь{ = х( (14.4) удовлетворяют соотношениям (14.1). Отсюда заключаем, что алгебра W действует в пространстве V операторами (14.4), так что образ W содержится в алгебре Diff Fn (п. 11.8). Мы уже рассматривали частный случай алгебры W при п = 1 (п. 11.4). Повторяя почти дословно рассуждения, приведенные в п. 8.3 (пример 2), находим, что V есть простой И^-модуль. Таким образом, алгебра Вейля W имеет определенную связь с основными операциями алгебры и анализа в Fn. Помимо этого, соотношения (14.1) существенно связаны с основами квантовой механики (операторы координаты и импульса, операторы рождения и уничтожения в теории элементарных частиц). Соотношения (14.1) обычно называют каноническими коммутационными соотношениями квантовой механики. Мы будем рассматривать алгебру W в качестве классического объекта для иллюстрации общих методов теории ассоциативных алгебр. Упражнения. 1. Пространство V с градуировкой deg х{ = 1 (г = 1,... ..., п) есть градуированный ТУ-модуль, т. е. WpVqcVp+q (14.5) для всех p,qeZ(Vp = 0 при р <0). 2. Положим с = ]С Ь,а». Тогда имеем: а<с = (с + 1)а-, 6.с = (с-1)Ь-. (14.6) 3. Подпространство Vp совпадает с ker(c - p). В частности, V0 есть множество всех решений системы уравнений а{х = 0 в пространстве V, где г = 1,..., п. 4. Имеет место равенство W=®W{, (14.7) i — 1 где W{ —алгебра Вейля ранга 1, порожденная элементами ai% b{ при фиксированном г. 5. Алгебра W не имеет конечномерных модулей X Ф 0. Отметим указание к упражнению 5: достаточно вычислить след соотношений (14.1) в конечномерном W-модуле Х. 14.2. Теорема. Пусть W —алгебра Вейля над полем F, где char F = 0. Тогда имеем: (а) Отображение х{ н-* а{ (соответственно, х{ »-* Ь.) определяет изоморфизм ассоциативных алгебр V« А (соответственно, 7«В). (/?) Каждое из разложений (14.2) свободно, т. е. отображение х®у*-+ н-» ху определяет изоморфизм векторных пространств W&A®BttB®A. (14.8)
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 103 (7) Действие алгебры W в пространстве V определяет изоморфизм ассоциативных алгебр WnD№Fn. (14.9) В частности, V есть простой точный W-модуль. Доказательство. Пусть аа (соответственно, Ьа) — образ одночлена ха при отображении х{ ь+ а{ (соответственно, х{ н-> bt). Напомним (п. 11.8), что одночлены аа, Ьа линейно независимы в End V. Тем более эти одночлены линейно независимы в алгебре W. Отсюда следует (а), (7). Мы докажем первую часть (14.8), если проверим, что каждое разложение f = Ef«ba а с коэффициентами fa e А однозначно. Для этого рассмотрим систему дифференцирований 6(х = [а{} х] в алгебре W. Заметим, что 4(A) = 0, «,(ft,) = V Сопоставляя это правило с (11.20), находим, что оператор <5t в алгебре В совпадает с оператором д{ при отождествлении V = В. Отсюда (по аналогии с алгеброй V) получаем *!/« = *./ (14.10) для старшего члена fa полинома /, относительно лексикографической упорядоченности индексов а = (а1э..., ап) (а < (3, если а{ < /3{, либо ах == /Зр но а2< /32 и т. д.). Поэтому равенство / = 0 возможно только при fa = 0 для всех a G Z". Применяя инволюцию ян-* ж (п. 14.1), получаем также второй вариант изоморфизма (14.8). Поскольку в этих рассуждениях использовались только коммутационные соотношения (14.1), мы находим, что аналог (14.8) выполняется в алгебре Diff Fn. В частности, одночлены хад& линейно независимы — и потому образуют базис векторного пространства Diff Fn. Отсюда следует точность действия (р: W—>Diff.Fn, т. е. изоморфизм (14.9). Упражнение. Докажите, что V = В • 1 — свободный В-модуль (с единственной образующей 1), так что алгебра В действует свободно в модуле V. Последнее означает, что равенство Ьж = 0, где Ъ е В, х е V, возможно только при 6=0 либо х = 0. 14.3. Теорема (char F = 0). Алгебра Вейля W проста, Z(W) = F • 1. Доказательство. Пусть J — идеал алгебры W. В частности, 8i (I) С С / (г = 1,..., п). Применяя (14.10) к элементу / Е /, получаем fael (для старшего члена полинома /). Поэтому каждый идеал I фЬ содержит ненулевой элемент аеА. Применяя инволюцию жижк идеалу I ^0, находим, что / содержит также ненулевой элемент be В. Еще раз применяя (14.10) к полиному / = Ь, получаем 1 е /, т. е. / = W. В результате V(W) = {О, W}, т. е. алгебра W проста. Напомним (п. 14.1), что компонента V0 = F -I совпадает с kerc (в обозначениях (14.6)). Отсюда ясно, что V0 инвариантно относительно действия
104 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ центральных элементов z e Z(W). Следовательно, z • 1 = X(z) • 1 (А —характер алгебры Z(W)). Но тогда для каждого x = b-leV(beB) имеем zx = zb • 1 = Ь • z\ = A(z)x, т. е. z = A(z) во всем пространстве V. Поскольку V есть точный W-модуль (п. 14.2), z = А (г) • 1 также и в алгебре W. Замечание. Алгебра Вейля W проста, но не примитивна, т. е. она не примитивна (и даже не редуктивна) как левый или правый W-модуль. Упражнения. 1. Пусть W — подалгебра в End W, порожденная операторами Ъ0 6- (г = 1,..., п). Проверьте, что W есть примитивный W-модуль (относительно разложений (14.8)). 2. Проверьте, что алгебра W изоморфна алгебре W. 14.4. Допустимые модули. Условимся говорить, что W-модуль Х допустим, если семейство а = (а1?..., ап) действует в нем локально нильпо- тентно, т. е. аах — 0 при \а\^Пъ(х), (14.11) для всех х е X. В частности, (14.11) выполняется при X = V (п. 14.1), т. е. модуль V допустим. Для каждого W-модуля X подпространство Хв = кега, т. е. Ха = {хеХ: аж = 0}, (14.12) называется экстремальным (или вакуумным) подпространством модуля X. Если X Ф 0 — допустимый W-модуль, то ХафО (что легко выводится из (14.11)). Упражнения. 1. Если X — допустимый W-модуль, то все его подмодули и фактормодули допустимы. 2. Обратно, если модуль X содержит допустимый подмодуль Х0 с допустимым фактормодулем Х/Х0, то модуль X допустим. 14.5. Теорема. Каждый допустимый W-модуль Х кратен простому модулю V: X = nV (n — кардинальное число). Иначе говоря, категория допустимых W-модулей мономиальна, с единственным простым объектом V. Доказательство. Пусть X — простой допустимый W-модуль. Тогда имеем Ха Ф 0 и для каждого 0фх^еХа имеем Х = Wxq^BAxq^Bxq (поскольку Axq = Fxq). Аналогично, V = В • 1, причем представление х = b• 1 (beВ) в модуле V однозначно (п. 14.2). Поэтому отображение <р(Ь-1) = Ьяо корректно определено. Заметим, что ^(Ьг^) = ^(^Ь1) = Ь,ЬаЪ = Ь1^(х) (14.13)
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 105 для каждого х = Ъ • 1 (be В). Заметим также, что аДЬа^) = ^(Ь)а^. Отсюда <р(а{х) = <р(*<(Ь) -1) = 5ДЬК = а^(я). (14.14) Согласно (14.13), (14.14), отображение <р: V —> X есть гомоморфизм W-модулей, накрывающий X. Имеем также ker tp = 0 (поскольку V — простой модуль). В результате У«Х. В общем случае положим Y = WXa, так что Y есть сумма простых W-mo- дулей Wx « У, где 0 ^ ж е Ха. Соответственно, У = пУ, где п = dim Ха. В частности, У обладает г+-градуировкой К = nV. Остается показать, что X = Y. Если X фУ, то (X/Y)aф0, и это означает, что существует вектор а^, не входящий в У, для которого а.^ЕУ (г = 1,..., п). Полагая у = cxq (в обозначениях (14.6)), находим y€Y. Разлагая вектор у по однородным компонентам ур € Y, напомним (п. 14.1), что сур=рур. Поэтому подпространство оо Z = Fx0®Fy0®j:Fyp (14.15) p = i инвариантно относительно оператора с. Заметим, что оператор с обратим в последней компоненте Zx разложения (14.15) и нильпотентен в фактор- пространстве ZjZx. Поэтому вектор a^(mody) можно выбрать так, чтобы ур=0 при рфО (теорема 3.4). В этом случае са^ = %, откуда аДса^) = 0 (г = 1,..., п). Применяя (14.6), получаем (с + 1)а.а% = 0, т. е. с(а<аъ) = -а,^. Однако, Х_х = 0. Поэтому ata^ = 0 (г = 1,..., п). В результате x^eY, что противоречит определению Xq. Отсюда заключаем, что X = F. Ниже будет отмечено (п. 14.9) другое доказательство этой теоремы. 14.6. Алгебра П. Согласно теореме 14.2, одночлены Ьаа0 образуют базис векторного пространства W, так что каждый элемент / е W однозначно записывается в виде / = £/0„Ь»<Л (14.16) a,/J с коэффициентами faff€F. В этом смысле W= фВат, (14.17) п = 0 где ат—линейная оболочка одночленов аа при фиксированном |a| = m. Аналогично, можно рассматривать формальные ряды (14.16), с коэффициентами foa^F- Пусть П — множество формальных рядов (14.16), удовлетворяющих условию финитности (Ф): для каждого /3 не более конечного числа коэффициентов /а/9 отлично от нуля. Очевидно, П есть векторное пространство над полем F, получаемое из (14.17) заменой з^ака суммы на знак декартова произведения, т. е. оо П= П Ват = В[[а]], (14.18) гдеа = (а„..., ап). 7 Зак. 184
106 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Заметим, что каждый элемент / е П можно рассматривать как оператор в допустимых W-модулях. Действительно, (14.11) означает, что апх0 = 0 при п ^ щ(х). Поэтому равенство fx = fpx при р ^ щ(х), где fp — частичная сумма ряда / в (14.17), однозначно определяет оператор / в пространстве X. 14.7. Теорема. Пространство П есть алгебра относительно умножения формальных рядов (14.16). Более того, действие алгебры П в про- странстве V (л. 14.1) определяет изоморфизм ассоциативных алгебр n«EndK (14.19) Доказательство. Вычисление формального ряда fg, где /, g e П, сводится к разложению одночленов baa?Va6 (14.20) по базисным одночленам ЬАам. Достаточно представить а^Ъ1 в виде линейной комбинации одночленов ЪТаа. Соответственно, (14.20) есть линейная комбинация одночленов ЬАа/1, где А = а + т, /х = а + & В частности, 0^ 6{ < р., так что лишь конечное число индексов 6 вносит ненулевой вклад в компоненту (fg)Xfi. Отсюда (по условию финитности) находим, что это же верно для индексов 7- Более того, заметим, что |/3| — — |<у| = |а| — |т|. Поэтому 0<|/3|<|7l + H<l7l + H (поскольку 0 < а. < р.). Отсюда следует, что не более конечного числа индексов /3 (но тогда и а) вносит ненулевой вклад в компоненту (fg)Xll- Отсюда заключаем, что ряд fg корректно определен. Следовательно, П есть алгебра (расширение алгебры W). Рассмотрим теперь произвольный оператор а е End V и запишем его действие в базисе х1 (7 £ Z+) в виде а^=Х>еТж% (14.21) е с коэффициентами ает е F. С другой стороны, из равенства (11.22) находим для каждого / е П: /*7 = ЕЛ*с**в+7-'. О4-22) с коэффициентами ( Сопоставляя (14.21), (14.22) при a +j - /3 = е, заметим, что (с^) есть верхняя треугольная матрица (с^ ф 0 только при 0 < Д < 7* Д^я всех г = = 1,..., п), с диагональными элементами с^ = 7! ^ 0. Уравнение ах1 = /ж7 разрешимо (относительно /), если матричные уравнения
§ 14. АЛГЕБРЫ ВЕЙЛЯ 107 разрешимы для всех е, 7 (относительно /ет), где 0^ — линейная комбинация элементов /е,7, при е' < е либо 7; < 7 (что означает е[ < е{ либо 7/ < 7» хотя бы при некотором значении г). Поскольку с^фО, мы находим, что система (14.23) однозначно разрешима, т. е. существует единственный элемент / е П, для которого а = / во всем пространстве V. Отсюда получаем (14.19). Пример. Алгебра П при п = 1 состоит из формальных рядов f=£fn(x)dn, (14.24) п = 0 с коэффициентами /n e F[x]. Соответственно, (14.24) есть общий вид оператора / е End У, где V = F[x]. Упражнение. Умножение формальных рядов (14.16) не всегда определено. [Указание: рассмотрите формальные ряды 00 00 /=Е«", д=Т,ьп над алгеброй W при п = 1. Воспользуйтесь тождеством anbn = n\(modWa).] 14.8. Следствие. Пусть Фр — векторное пространство всех рядов f € е П, имеющих степень однородности peZ, т. е. имеющих вид (14.16), где \а\ - \/3\ =р. Положим Ф = фФр (14.25) р (т. е. каждый элемент / е Ф есть конечная сумма компонент f € Фр). Тогда Ф есть алгебра (подалгебра алгебры П), наделенная Z-граоуиров- кой (14.25). Действительно, Ф есть подпространство в П. Используя правило сложения степеней (в W), находим ФрФ,СФр+?. (14.26) Упражнения. 1. Инволюция жиж' алгебры W (п. 14.1) однозначно поднимается на алгебру Ф. 2. Образ алгебры Ф относительно изоморфизма (14.19) есть алгебра р где Ер — множество всех / £ End У, удовлетворяющих соотношениям fE С CEp+q(qeZ+). 14.9. Пример (оператор р). Пусть вначале п = 1. Положим Р=£Ч£ъпа» (14.27) п«0 7*
108 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ (в обозначениях п. 11.4). Легко проверить, что ap = pb = 0, откуда также р2 = р. В общем случае положим Р=ПД. (14-28) t = l где р. —аналог (14.27) для подалгебры W{ (ранга 1) с образующими а{, Ъ{. Тогда имеем а{р = рЪ{=0 (г = 1,...,п). (14.29) Отсюда по-прежнему р2 = р. Заметим, что р' = р, р € Ф0 (т. е. degp = 0). Упражнения. 1. Проверьте (используя теорему 14.7), что р есть единственное решение системы (14.29), удовлетворяющее условию нормировки Дх)=1. 2. Проверьте (непосредственно из (14.27)-(14.29)), что оператор р проектирует каждый допустимый W-модуль Х на его подпространство Ха, параллельно подпространству ЬХ, где Ь—линейная оболочка операторов Ь{ (г = 1,..., п). В частности, Х = Ха®ЪХ. Замечание. Утверждение (2) очевидно, если воспользоваться изоморфизмом (14.19). Однако, напротив, оператор р можно использовать в доказательстве теоремы 14.5. А именно, применяя оператор р к вектору Xq (п. 14.5), получаем вакуумный вектор х{ е Y', для которого Xq = ж,(mod У), что следует из явного вида (14.27). Но тогда з^еУ, что противоречит определению а%. В результате X = F, чем и завершается доказательство теоремы 14.5. Упражнение. Докажите, что оператор (14.27) может быть записан в виде бесконечного произведения Р=П(1-£). (14-30) 11= 1 где с — Ъа (п. 14.1). [Указание: прямое вычисление или действие оператора с в пространстве V.] 14.10. Комментарии. Стандартная модель соотношений (14.1), реализованная в модуле V, интерпретируется в квантовой механике в терминах операторов «рождения» и «уничтожения». А именно, элементы х е V интерпретируется как некоторые состояния микромира, где Офхе V понимается как состояние, «содержащее р частиц». В частности, 0 Ф х е V0 есть вакуум (состояние без частиц). Соотношение Ь{Ур с Vp+{ означает увеличение числа частиц (Ь. —оператор рождения). Соотношение а{У cVp_x означает уменьшение числа частиц (а. —оператор уничтожения). В частности, а. 1^ = 0. Теорема 14.5 означает единственность (с точностью до кратности) реализации алгебры W (в категории допустимых W-модулей). Другая замечательная интерпретация алгебры W связана с соотношениями Гейзенберга [р{, q5] = ебц для операторов импульса (р{) и координаты (q3). Здесь е = ih (г = л/^Г), h — положительная константа (называемая
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 109 постоянной Планка). Теорема единственности 14.5 допускает в этом случае содержательную интерпретацию в терминах самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. См., например, [Кир]. § 15. Элементы теории колец 15.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе А — кольцо с единицей. Аддитивная группа X называется (левым) А-модулем, если задано биадци- тивное действие А хХ —>Х, (а, х)>-+ах, удовлетворяющее условию ассоциативности (7.2) и условию унитальности (7.3). Соответственно, подмодуль Х0сХ есть произвольная А-инвариантная подгруппа Х0сХ. Остальные термины теории А-модулей совпадают, по существу, с их аналогами в теории ассоциативных алгебр. Более того, ряд изложенных выше результатов естественно переносится на кольца. К ним относятся, например, теоремы Ведцерберна, Джекобсона и др. Теорема Хаммеля о базисах приобретает более законченный вид в теории колец. А именно, если А-тело, то каждый А-модуль свободен (п. 8.7). Мы будем использовать также новые определения простоты и полупростоты в категории колец (по Джекобсону): (а) Кольцо А называется простым, если оно обладает точным простым (левым) А-модулем. (/3) Кольцо А называется полу простым, если оно обладает точным полупростым (левым) А-модулем. Эквивалентное определение: если О^ае А, то найдется простой А-модуль X, для которого X ф0. Мы рассмотрим в этом параграфе несколько сюжетов теории колец: ар- тиновы кольца, нетеровы кольца, индуцированные модули и т. д. 15.2. Артиновы кольца. А-модуль X называется артиновым, если каждая убывающая цепочка его подмодулей X^ D X2 D... обрывается, т. е. Хп = Хп+1, начиная с некоторого п. Очевидно, в этом случае каждое непустое семейство подмодулей S С V(X) содержит (хотя бы один) минимальный элемент. Действительно, в противном случае можно было бы построить строго убывающую последовательность подмодулей Хп€ 5. Применяя это замечание к семейству S всех ненулевых подмодулей модуля X, находим, что X ^0 содержит (хотя бы один) простой подмодуль. Как мы видели в § 9, это свойство весьма существенно при исследовании структуры решетки V(X). Кольцо А называется артиновым, если оно артиново как левый А-модуль. В частности, А содержит (хотя бы один) простой левый идеал. Упражнения. 1. Если модуль X артинов, то все его подмодули и фактормодули артиновы. 2. Если X содержит артинов подмодуль Х0 с артиновым фактормодулем Х/Х0, то модуль X артинов. Следующая теорема (представляющая собой обобщение теоремы Ведцерберна) называется обычно теоремой Веддерберна — Артина.
по Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ 15.3. Теорема. Каждое простое артиново кольцо изоморфно одному из матричных колец Mat(n, К), где К — тело, п < оо. Каждое полупростое (по Джекобсону) артиново кольцо изоморфно прямой сумме матричных колец. Доказательство. Пусть А — простое артиново кольцо, L — простой левый идеал алгебры А. Полагая I = Ann L (относительно левого действия алгебры А), получаем идеал алгебры А. Поскольку А —униталь- ное кольцо, мы имеем 1фА, откуда / = 0. Следовательно, L есть точный простой А-модуль. По лемме Шура, его коммутант К = EndAL есть тело. Покажем, что dim^L < оо. Действительно, в противном случае существует последовательность е. £ € L (i = 1,2,...), линейно независимая над К. Полагая Ln = Ann{el9... ..., еп}, получаем убывающую последовательность левых идеалов, откуда Ln = Ln + 1, начиная с некоторого п. С другой стороны, пусть В = End^L (бикоммутант модуля L). Поскольку последовательность е,- можно расширить до базиса if-модуля L, существует be Bf для которого 6^=0 (г = 1,..., n), ben+l ф0. Согласно теореме плотности Джекобсона, существует ае А, для которого ае{ = Ье- (г = 1,..., п + 1). Отсюда aeLn, аеп + 1ф0, что противоречит равенству Ln = Ln + l. В результате dim^L < оо. Применяя теорему плотности к конечному базису if-модуля L, получаем A «End^L, т. е. A «Mat(n, К). Если А — полупростое (по Джекобсону) артиново кольцо, то из тех же рассуждений следует, что А обладает точным полупростым А -модулем X с конечным числом изотипических компонент Х{ (i = 1,..., п). Полагая Х{ = п{У{ (с простыми компонентами Y^), заметим, что Апп^=АппЗ^. Поэтому можем считать, не ограничивая общности, что п{ = 1 (г = 1,..., п). Положим N{ =АппХ;, и пусть А{ = A/Nit с канонической проекцией 7Г^: А —► А{. Отображение тг(а) = (тг1(а),..., тгп(а)) есть вложение алгебры А в прямую сумму алгебр А{ (г = 1,..., п). Рассматривая действие А{ в Xif находим (как и выше) А{ «Ма1;(п0 К{), где К{ = КА(Х{). Выбирая в каждом Х{ конечный базис (над К{) и применяя теорему плотности к объединению этих базисов, получаем А « В, где В =Endir-X'. Ясно также, что В есть прямая сумма идеалов В{ wEnd^X^. В результате А« 0 Mat(nt,i^). t = i 15.4. Следствие. В категории артиновых колец примитивность (соответственно, редуктивностъ) кольца А равносильна его простоте (соответственно, полупростоте), как в классическом смысле (п. 8.5), так и в смысле Джекобсона (п. 15.1). Заметим, что теорема 15.3 сформулирована в ее наиболее сильном варианте. А именно, из ее формулировки следует, что классическая простота алгебры А (п. 8.5) влечет примитивность и потому простоту по Джекобсону. С другой стороны, полупростота по Джекобсону влечет классическую полупростоту (т. е. разложимость алгебры А в прямую сумму простых идеалов).
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 111 Можно также доказать (см., например, [Пи]), что в категории колец условия артиновости (п. 15.2) в терминах левых и правых идеалов равносильны. 15.5. Нетеровы кольца. А-модуль X называется нетеровым, если каждая возрастающая последовательность его подмодулей Хх с Х2 с ... обрывается, т. е. Хп = Хп+1, начиная с некоторого п. Очевидно, в этом случае каждое непустое семейство S С V(X) содержит (хотя бы один) максимальный элемент. Применяя это замечание к циклическим подмодулям Af € V(-X"), где / — конечное подсемейство в системе образующих модуля X, находим Af — X при некотором /, т. е. каждый нетеров модуль конечнопорожден. Обратно, каждый конечнопорожденный модуль X нетеров (упражнение). Кольцо А называется нетеровым (слева), если оно нетерово как левый А -модуль. Кольцо А нетерово тогда и'только тогда, когда каждый его левый идеал конечнопорожден. Упражнения. 1. Если X — нетеров А-модуль, то все его подмодули и фактормодули нетеровы. 2. Обратно, если X содержит нетеров подмодуль Х0, для которого фак- тормодуль Х/Х0 нетеров, то модуль X нетеров. Следующая теорема представляет собой один из классических результатов коммутативной алгебры. 15.6. Теорема (Д. Гильберт). Если А — коммутативное нетерово кольцо, то кольцо многочленов A[t](t —независимая переменная) также нетерово. Доказательство. Пусть I — идеал кольца A[t]. Поставим в соответствие каждому многочлену /(*)=£/»** (степени < п) его коэффициент /п. Отображение / »-* /я переводит идеал / в идеал 1п кольца А. Операция f(t)*->tf(t) определяет вложение 1п с In+,, откуда /n = Jn+1, начиная с некоторого п. Пусть еп — конечная система образующих идеала 1п. Пусть Еп — фиксированное множество представителей системы еп в идеале /. Покажем, что множество Е = EQ U ... U Еп при In = In+l есть система образующих идеала /. Действительно, пусть / е I — многочлен степени < к. Если к ^ п, то найдется д е АЕк, для которого / -£ есть многочлен степени ^ к - 1 (в частности, / = # при к = 0). Отсюда (из соображений индукции по к) получаем feAE. Если к = п +1, где / ^0, то найдется geAtlEn, для которого также / - д есть многочлен меньшей степени. В результате / = АЕ, т. е. идеал / конечнопорожден. Отсюда заключаем, что кольцо A[t] нетерово. 15.7. Следствие. Если А — коммутативное нетерово кольцо, то каждое кольцо Ап = А[хи ..., хп] также нетерово. Более того, для каждого идеала I e V(An) кольцо AJI также нетерово. Действительно, нетеровость Ап проверяется индукцией по п, поскольку An+l=An[t]f где t = xn+1. Остается заметить (упражнение), что гомоморфный образ нетерова кольца нетеров. В частности, кольцо Ап/1 нетерово.
112 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ Замечание. Аналог теоремы Гильберта выполняется также для алгебры формальных степенных рядов Вп = А[[ж1? ..., хп]] (см., например, [Л 1]). Существует интересная связь между артиновыми и нетеровыми модулями. А именно, если кольцо А артиново и А-модуль X артинов, то модуль X нетеров. В частности, каждое артиново кольцо нетерово (см., например, [Пи]). 15.8. Жордановы ряды. Если модуль X артинов и нетеров, то X обладает конечной цепочкой подмодулей 0 = Х0 с Хх с ... С Хп = X, (15.1) с простыми компонентами Хк/Хк_х (к = 1,..., п). Цепочка (15.1) называется композиционным рядом (или рядом Жордана — Гёльдера) модуля X. Разумеется, модуль X может обладать различными композиционными рядами (15.1). Однако, его простые факторы Fk =Xk/Xk_{ определяются однозначно с точностью до изоморфизма и перестановки индексов к (теорема Жордана — Гёльдера). Доказательство можно найти, например, в [Л 1]. Число п (зависящее только от X) называется длиной композиционного ряда (15.1). 15.9. Радикал Джекобсона. Пусть А — кольцо. Левый идеал МсА называется максимальным, если А/М есть простой А-модуль (т. е. М максимален по включению среди левых идеалов L ф А). Пусть R(A) — пересечение всех максимальных левых идеалов кольца А. Поскольку правое действие А-бимодуля А перестановочно с левым, оно переставляет левые идеалы. Следовательно, R(A) есть идеал кольца А. Идеал R(A) называется радикалом Джекобсона кольца А. Используя принцип максимума, находим, что каждый левый идеал L фА содержится в некотором максимальном левом идеале М. Следовательно, R(A) есть также пересечение всех левых идеалов алгебры А. Отсюда R(A)X = 0 для каждого А-модуля X (действительно, R(A)C Ann X). Обратно, если аеАппХ для всех (или хотя бы всех простых) А-модулей X, то а€ Ann(A/L) для всех (или хотя бы всех максимальных) левых идеалов L С А, т. е. аА С L. В частности, a = a(l)eL, т. е. aeR(A). Таким образом R(A) есть пересечение аннуляторов АппХ для всех (или хотя бы всех простых) А-модулей X. Кольцо А называется полупростым (по Джекобсону), если i?(A) = 0. Очевидно, это определение совпадает с данным в п. 15.1. Упражнения. 1. Кольцо A/R(A) полупросто (по Джекобсону). 2. Если кольцо А артиново, то его радикал нильпотентен, т. е. R(A)n =0 при некотором п. Можно также показать (см., например, [Пи]), что R(A) есть пересечение всех (или хотя бы всех максимальных) правых идеалов кольца А. 15.10. Локализация. Пусть А —кольцо. Элемент аеА называется делителем нуля, если существует Оф Ь е А, для которого либо аЬ = 0, либо Ьа = 0. В противном случае элемент а называется регулярным (или неделителем нуля).
§ 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 113 Подмножество S С А, состоящее из регулярных элементов а е А, называется мультипликативным (или мультипликативно замкнутым), если оно образует полугруппу относительно умножения в кольце А. Кольцо В называется кольцом частных алгебры А относительно 5, если А содержится в В в качестве подкольца, элементы s e S обратимы в В и каждый элемент be В записывается в виде Ь — as~l (a€A,s€ S), т. е. В = AS"1. Говорят, что множество S с А удовлетворяет левому условию Оре, если для каждой пары aeA,s€S существуют Ь е A, t € 5, для которых at = sb. В этом случае кольцо частных AS"1 существует (см., например, [Д1]). Аналогично определяются правые условия Оре и кольца частных вида S~lA. В частности, пусть S — множество всех регулярных элементов аеА. Если S удовлетворяет одновременно левому и правому условию Оре, то S~lA = AS~{ есть тело, обозначаемое Fract А и называемое телом частных (или телом отношений) кольца А. Если А — коммутативное кольцо, то Fract А есть поле, называемое полем частных (или полем отношений) кольца А. Примеры. 1. Если А — коммутативное кольцо без делителей нуля, то А обладает полем частных Fract А (в этом случае S = А \ {0}). 2. Если А = F[x], то поле Fract А обозначается F(x). Элементы / е F(x) называются рациональными функциями от независимой переменной х. Упражнения. 1. Докажите (индукцией по п), что алгебра F[z] = = F[x{,..., хп] не имеет делителей нуля. 2. Если А —коммутативное нетерово кольцо, то кольцо S~lA =AS~l также нетерово. 15.11. Индуцированные модули. Пусть А — кольцо, В — его подколь- цо. Для каждого В-модуля V определим аддитивную группу IndV = A<g>B V (15.2) как факторгруппу W/N, где W — свободная аддитивная группа, порожденная множеством А х V, N — ее нормальный делитель, порожденный соотношениями биаддитивности для элементов a® v = 7г(а, v) (п — каноническая проекция W -♦ W/N) и соотношением согласованности В-модулей ab®v = a®bv (15.3) для всех a€A,beB,veV. Аддитивная группа Ind V наделяется структурой А-модуля по правилу ^(а® v) = а^а^у, где а, с^ € A, v e V\ Отображение V н+ Ind V определяет ковариантный функтор из категории J5-Mod в категорию A-Mod. А-модуль Ind V называется индуцированным А-модулем (относительно исходного В -модуля V). С другой стороны, для каждого А-модуля Е определен функтор ограничения (restriction) Е *-+ResE из категории A-Mod в категорию 2?-Mod. Следующая теорема двойственности (Фробениуса) определяет двойственность между функторами Ind, Res. 15.12. Теорема. Для каждого гомоморфизма f G HomB( V, Res E) отображение f(a®v) = af(v) (15.4)
114 Глава 2. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ однозначно поднимается до гомоморфизма f e Homx(Ind V,E) и определяет изоморфизм аддитивных групп HomA(Ind V, Е)« HomB(V, Res E). (15.5) Доказательство. Продолжение (15.4) на аддитивную группу (15.2) определяется по аналогии с тензорными произведениями в категории VECT (п. 6.1). Доказательство основано на тождестве f(ab ® v) = abf(v) = af(bv) = f(a® bv), согласно которому f(N) = 0. Заметим также, что /(%а® v) = OQaf(v) = ^/(а® v), откуда следует / е HomA(Ind V, Е). Остается заметить, что исходный гомоморфизм /€HomB(V;Res£?) восстанавливается по правилу /(г;) = /(1<8>г;). Примеры. 1. Пусть G — конечная группа, Я — ее подгруппа, и пусть V (соответственно, Е) — простой Я-модуль (соответственно, С?-модуль). Полагая A =F[G], В = F[H], получаем следующее правило двои- ственности Фробениуса: [Ind У: E] = [ResE: V]. (15.6) Очевидно, (15.6) определяет «спектр» полупростого модуля Ind У (в категории G-Mod). 2. Пусть G — группа, Я — ее подгруппа. Для каждого Я-модуля V положим Ind V = {/ е V(G): f(hx) = hf(x), V/i e Я}, (15.7) где V(G)& V <8>F(G)— пространство всех F-значных функций на G и символ hf(x) означает действие h е Я на значение f(x) £ V в точке х е G. Пространство Ind V снабжается структурой левого G-модуля по правилу (9f)(x) = f(xg). (15.8) Несмотря на то, что обозначение (15.7) принято в теории G-модуЛей, оно отличается от (15.2) (но в известном смысле двойственно определению (15.2)). Упражнение. Докажите, что для каждого у? е Нотн(Е, V) и каждого £ € Е оператор <р(£)(ж) = <р(х£), где х € G, содержится в HomG(E, Ind V) и определяет изоморфизм векторных пространств Нотс(Е,ШУ)ъНотн{Ъе$Е, V). (15.9) Комментарии к главе 2 Элементы теории ассоциативных алгебр, изложенные в этой главе, содержат лишь вопросы классического характера. Изложение более специальных вопросов читатель может найти в монографиях [Д1; Л1; Пи]. См. также [Бах].
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 2 115 Теория конечных групп (§ 10) включается в нашем контексте в общую теорию унитальных ассоциативных алгебр (§ 9). Однако, ясно, что этот частный случай допускает независимое изложение. Такой «наивный» подход обычно применяется в литературе. См., например, [В1; С2; Ж4]. Тенденция к изучению полупростых А-модулей восходит к линейной алгебре (диагонализация линейных операторов, разложение на корневые подпространства и т. д.) Теория полупростых алгебр и колец изначально связана с теорией представлений конечных групп (§ 10). Известные разногласия в терминологии, связанные с понятиями простоты и полупростоты, возникли в связи с переходом от классической теории конечномерных алгебр (Шур, Фробениус, Веддерберн) к кольцевой терминологии (в смысле Джекобсона). Достаточно заметить, что в каждой из указанных выше монографий регистрируется собственная терминология. Нам тоже приходится подвергнуться этому испытанию, несмотря на бережное отношение к существующим традициям. Как показано в § 15, теория ассоциативных алгебр становится логически более завершенной при ее вложении в общую теорию колец. Тем не менее, мы уделяем особое внимание ассоциативным алгебрам, как ввиду сравнительной легкости их описания, так и ввиду их многочисленных приложений к задачам алгебры, геометрии, анализа, математической физики. Начиная с некоторого момента, в теории групп и алгебр Ли мы вообще ограничимся теорией алгебр над классическими полями R, С.
Глава 3 АЛГЕБРЫ ЛИ Мы переходим к изучению алгебр Ли, которые представляют собой наиболее известный и наиболее изученный класс неассоциативных алгебр. Структурная теория алгебр Ли достаточно развита лишь для алгебр конечной размерности. Известны также замечательные классы бесконечномерных алгебр Ли, возникающие, как правило, в задачах геометрии и математической физики. Среди математиков бытует анекдотическая версия о том, что «все алгебры ассоциативны». Для алгебр Ли эта версия выражается в точной форме теоремой Пуанкаре — Биркгофа — Витта (ПБВ), согласно которой категория алгебр Ли (над полем F) вкладывается в категорию ассоциативных алгебр (над полем F). Этот результат имеет не только философский, но и существенно прикладной характер. А именно, теория представлений алгебр Ли сводится к теории А -модулей для соответствующего класса ассоциативных алгебр А (над полем F). Один из глубоких математических результатов, принадлежащий Софусу Ли, состоит в установлении тесной связи между конечномерными алгебрами Ли (над полными нормированными полями) и аналитическими группами (группами Ли). Описание этой связи (над полями F = R, С) будет изложено в главе 5. § 16. Общие вопросы 16.1. Определение. Алгебра L над полем F называется алгеброй Ли, если в ней выполняются следующие аксиомы: я2 = 0, (16.1) x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0, (16.2) для всех ж,у,2Е£. Заменяя х на х+у в (16.1), получаем ху+ух=0 для всех ж, yEL, т. е. умножение в алгебре L антикоммутативно. Обратно, если это условие выполняется, то 2х2 = 0, откуда х2 = 0 при char F^2. Поэтому аксиома (16.1) иногда записывается в виде ху = —ух (для всех ж, у е L). Аксиома (16.2) называется тождеством Якоби.
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 117 Алгебра L называется коммутативной, если ху = 0 для всех x,yeL. Очевидно, каждое векторное пространство можно рассматривать как алгебру Ли с тривиальным (нулевым) умножением. Примеры. 1. Каждая ассоциативная алгебра А есть алгебра Ли относительно операции коммутирования [а, Ь] = аЪ — Ьа, (16.3) где а, Ь е А (п. 8.4). 2. Для каждой (не обязательно ассоциативной) алгебры А алгебра ее дифференцирований есть алгебра Ли относительно коммутатора (16.3) в End А (п. 8.4). 3. Пространство F3 с базисом г, j, k есть алгебра Ли относительно операции векторного умножения [iJ] = K [**] = *, [М] = У. (16.4) 4. Для каждого векторного пространства V пространство Г( V) = V ф ®A2(V) есть алгебра Ли относительно умножения ху = хЛу, ж£=£77 = 0 (16.5) для всех ж, у G V, f, rj £ Л2(V), где (ж, у) и ж Л у — операция внешнего умножения в алгебре Грассмана A(V) (так что ху е Л2(У)). Обозначения. В теории алгебр Ли существует традиция (связанная с теорией групп Ли) обозначать алгебры Ли малыми готическими буквами д, [),... Мы будем, как правило, придерживаться этой традиции. Помимо этого (в связи с примером 1), умножение в каждой алгебре Ли принято обозначать символом [х, у]. Элемент [ж, у] называется (лиевским) коммутатором элементов х, у. 16.2. Определение. Пусть g — алгебра Ли над полем F. Представлением алгебры g в векторном пространстве X над полем F называется всякий гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли End X (снабженную коммутатором (16.3)). Соответственно, X в этом случае называется (левым) g-модулем. Гомоморфность действия g в терминах представления (эт, X) означает, что тг([а,Ь]) = [тг(а),7г(Ь)] (16.6) для всех а, Ь е д. Здесь коммутатор в левой (соответственно, правой) части (16.6) есть лиевский коммутатор в алгебре g (соответственно, коммутатор (16.3) в End-X"). Аналогично определяются правые g-модули. Категория левых (соответственно, правых) g-модулей обозначается g-Mod (соответственно, Mod-g). Легко проверяется (упражнение), что тождество Якоби в алгебре g равносильно каждому из следующих утверждений: (а) Каждый оператор (ada)x = [a, ж], (16.7) где а, х е д, есть дифференцирование алгебры g (называемое внутренним дифференцированием алгебры д). (/3) Отображение a»-* ad a есть представление алгебры g в векторном пространстве д, называемое присоединенным представлением алгебры д.
118 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Таким образом, каждая алгебра Ли g наделяется структурой д-модуля (ad g-модуля, где adgc D(q)). Подмодули этого модуля называются идеалами алгебры д. Заметим, что в этом определении можно было бы рассматривать правое действие x(ada) = [x, а]. Однако, из условия антикоммутативности (п. 16.1) следует, что в алгебрах Ли нет различия между левыми и правыми идеалами алгебры д. Решетка всех подмодулей g-модуля Х обозначается V(X). Решетка всех идеалов алгебры g обозначается V(g). Примеры. 1. Каждая алгебра Ли g обладает тривиальным (нулевым) представлением размерности 1. 2. Каждая подалгебра Ли g С End X обладает тождественным представлением 7r(a) = a, действующим в пространстве X. 3. Для каждой пары д-модулей X, Y их тензорное произведение X ® Y снабжается структурой g-модуля по правилу дифференцирования, т. е. а(х ® у) = ах ® у + х ® ay, (16.8) где а£д, хеX, ye Y. 4. Аналогично, пусть Ф(Х, Y) — векторное пространство всех билинейных (F-значных) форм в X х Y. Пространство Ф(Х, Y) снабжается структурой д-модуля по правилу дифференцирования, т. е. (а/)(х, у) =/(ах, у) + /(х, ау). (16.9) 5. Полагая в (16.8) X = Y и продолжая правило (16.8) на тензорные степени ТП(Х), находим, что алгебра g действует в Т(Х) дифференцированиями алгебры 7(Х). 6. Для каждого g-модуля Х пространство End X снабжается структурой g-модуля по правилу (16.7), где ае g (в модуле X), х е End X. 7. Для каждого g-модуля Х подпространство Р = {хбХ: дх = 0} (16.10) есть подмодуль модуля X. Его элементы суть «константы» относительно дифференцирований ad а (ае д). Его элементы х^О называются ^-инвариантами модуля X. В частности, форма / € Ф(-Х, Y) называется ^-инвариантной^ если она инвариантна относительно действия (16.9), т. е. /(ах,2/) + /(х,ау) = 0 (16.11) для всех aGg, xeX, yeY. Для каждого g-модуля Х его сопряженное пространство X* наделяется структурой g-модуля так, чтобы каноническая билинейная форма (•, •) была инвариантной, т. е. (ах,у) + (х,ау)=0 (16.12) для всех aGg, xeX, у€ X*.
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 119 Упражнения. 1. Элемент z e q называется центральным, если [a, z] = 0 для всех а е g (т. е. 2 есть инвариант присоединенного действия ad g). Множество j(g) всех центральных элементов z e g есть идеал алгебры д, называемый центром алгебры д. 2. Для каждого g-модуля Х каноническое вложение Х®Х* ->End X есть гомоморфизм д-модулеи. 3. Для каждо'й пары элементов а€А, 6 € D(A), где А —ассоциативная алгебра, имеет место равенство [5,ada] = ad(5a), (16.13) согласно которому множество Dq(A) всех внутренних дифференцирований алгебры А есть идеал алгебры ЩА). 4. Если dim X < оо, то отображение a ■-► tr a есть тривиальное представление алгебры Ли EndX. 5. Билинейная форма /(x,y) = tr(xy), (16.14) где ж, у G End X, инвариантна относительно действия (16.7) алгебры End X. Обозначения. Для того, чтобы отличить умножение Ли от ассоциативного умножения алгебры End V, мы будем использовать обозначение gl(V) вместо End V для алгебры Ли End V. Аналогично используется обозначение gl(n) = g[(n, F) вместо Mat(n, F). Обозначение д[ (ассоциированное с теорией групп Ли) расшифровывается как «general linear» (например, gl(n) — полная линейная алгебра Ли в пространстве Fn). 16.3. Идеалы. Из тождества Якоби легко выводится следующее свойство идеалов алгебры Ли д: для каждой пары идеалов a, b E V(g) их коммутатор [а, Ь] (т. е. линейная оболочка коммутаторов [а, Ь], где а е а, Ь е Ь) также есть идеал алгебры д. Полученное правило позволяет активно «размножать» идеалы алгебры д. Например, д' = [д, д] есть идеал алгебры д, называемый производной подалгеброй (или производным идеалом) алгебры д. Отсюда (индукцией по п) получаем убывающую цепочку кратных производных 0<"+1> = (0<*))<, (16.15) состоящую из идеалов алгебры д. Аналогично определяется следующий центральный ряд идеалов алгебры д: 0n+l=[0,0nL (16.16) гдед0 = д. Для каждого идеала I) С g факторпространство g/fj наследует структуру алгебры Ли д. Полученная алгебра Ли g/Ij называется факторалгеброй алгебры д (по идеалу I)). Для каждого гомоморфизма алгебр Ли (р: g-> f) его ядро ker (p есть идеал алгебры д. Индуцированное действие ц>: g/ker<p-*f) определяет изоморфизм алгебр Ли g/kery? wim ip. (16.17)
120 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Примеры. 1. Факторалгебра g/g' коммутативна. Соответственно, в цепочке (16.15) все факторалгебры fn = д(п)/б(п+1) коммутативны. 2. Пусть dim V < оо. В этом случае кег <р для функции <р(ж) = tr x есть алгебра Ли sl(V) = {aeSl(V): tra = 0}. (16.18) Аналогично, при замене gl(^) на gl(n) используется символ sl(n) (вместо sl(V)). Здесь $1 — сокращение термина «special linear». Например, sl(n) есть специальная линейная алгебра Ли в пространстве Fn. Упражнения. 1. Если gn+1 =0, то gnCj(g). Соответственно, каждая факторалгебра f)„ = gn/g„+i содержится в центре алгебры g/gn+1. 2. Докажите, что (в'). С д.. (16.19) 16.4. Структурные константы. Пусть д — алгебра Ли над полем F. Для каждого базиса е{ (г el) векторного пространства g имеем где с* G F. Очевидно (в силу билинейности умножения), что равенство (16.20) однозначно определяет закон умножения в алгебре д. Константы сг* называются структурными константами алгебры д (относительно базиса е). Упражнения. 1. Стандартные базисные элементы ец алгебры gt(n) удовлетворяют соотношениям К-, еы] = Sjkea - 6uekj, (16.21) где 8^ — символ Кронекера. 2. Проверьте (используя (16.21)), что g((n)' = el(n), sl(n)' = sl(n). 3. Проверьте, что алгебра g = sl(2) определяется базисными элементами е, /, h и соотношениями коммутации [e,/] = /i, [Л,е] = 2е, [Л|/] = -2/ (16,22) [Указание: можно положить е = е12, / = е^.] 16.5. Системы образующих. Для каждого семейства е = (е^{ е1 в алгебре g пусть де — наименьшая подалгебра алгебры д, содержащая семейство е. Используя правило (а) п. 16.2, легко проверить (упражнение), что ge есть линейная оболочка кратных коммутаторов eK,...,in] = [eii,[e^...,hni,eiJ...]]. (16.23) Если д = де, то семейство е называется системой образующих алгебры д. В этом случае также говорят, что элементы е{ (г El) порождают алгебру д. Примеры. 1. Элементы е. = е^£ +, (соответственно, /. = е. + 1 ;) в обозначениях (16.21) порождают подалгебру п+ (соответственно, п_), состоящую из верхних (соответственно, нижних) треугольных матриц в sl(n). 2. Элементы е., £ (г = 1,..., п - 1) порождают sl(n).
§ 16. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ 121 3. Элементы e^f. вместе с единичной матрицей е^= 1 порождают д1(п). Центр g[(n) совпадает с Fe^. 4. Для каждого базиса (е,),^ векторного пространства V элементы ei (iel) порождают Г(У) (п. 16.1). 16.6. Свободные алгебры Ли. Для того, чтобы определить понятие свободной алгебры Ли, нам понадобится общее понятие свободной (неассоциативной) алгебры над полем F. Пусть е = (e{)ieI — произвольное семейство. Положим е(1) = еи определим (индукцией по п) семейство непересекающихся множеств е<»>= (J eWxeW, (16.24) p + q = n где n G N. Согласно этому определению, каждый элемент w e е(п) совпадает с единственной парой (u, v), где и 6 е*р), v E е<9). Положим в этом случае ги = гш. Отображение (u, v)\-> w = uv (16.25) определяет (неассоциативное) умножение в объединении всех множеств е<п). Соответственно, векторное пространство А(е) = 9 4(e), (16.26) п = 0 где AQ(e) = F, -Ап(е) — линейная оболочка множества е(п) над полем F, есть алгебра относительно умножения (16.25) с единичным элементом leF. Алгебра А(е) называется свободной (неассоциативной) алгеброй над полем F с системой образующих е. Элементы (16.25) называются (неассоциативными) словами от образующих е{ (г Е /). Число п = l(w) для элементов w e е(п) называется длиной слова w. Пусть А°(е) — идеал в A(e)f составленный из компонент (16.26) при пфО. Пусть J — идеал алгебры А°(е), порожденный элементами ж2, 7(я> У> я), где 7 —левая часть тождества Якоби (16.2). Факторалгебра L(e) = A°(e)/J (16.27) называется свободной алгеброй Ли (над полем F) с системой образующих е. Покажем, что идеал J градуирован разложением (16.26). Действительно, пусть / — идеал в А°(е), составленный из элементов х е А°(е), однородные компоненты которых содержатся в J (так что / С J). Заметим, что условие х2 е J влечет ху + ух е J для всех ж, у G А°(е). Применяя это правило последовательно к однородным компонентам 0*2)п= Е ЪЪ (хп е Ап(е) — компонента элемента х е А(е))1 получаем х2 е /. Аналогично проверяется, что j(x, у, z)e I для всех ж, у, z е А°(е). В результате / = = J, так что идеал J градуирован. Следовательно, алгебра L(e) наследует градуировку алгебры А°(е), т. е. L(e)= elje). (16.28) n= 1
122 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ 16.7. Предложение (свойство универсальности). Каждое отображение (р: et. »->/< €g, где g — алгебра Ли над полем F, однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр Ли <р: L(e)->g. В частности, каждая алгебра Ли g над полем F изоморфна одной из алгебр Ли a(ip) = L(e)/kev<p. (16.29) Доказательство — по аналогии с п. 11.2. А именно, отображение <р, продолженное на А°(е), обращается в нуль на идеале J (п. 16.6) и потому может рассматриваться как гомоморфизм L(e)->g. В частности, для каждой алгебры g существует сюръективный гомоморфизм ip: L(e) —>g, откуда следует (16.29). 16.8. Предложение. Предположим (не ограничивая общности), что множество индексов I (п. 16.6) линейно упорядочено. Тогда элементы е., [е0 ej при г < j линейно независимы и потому образуют базис в L1(e)0L2(e). Доказательство. Пусть V — линейная оболочка элементов е- (г el). Согласно (16.29) имеем T(V)&L(e)/N, (16.30) в обозначениях п. 16.1, где N — некоторый идеал в L(e). Поскольку элементы eit [et., ej] при г <j линейно независимы в T(V) (п. 16.1), они тем более линейно независимы в L(e). Упражнение. Приведите пример свободной алгебры Ли, для которой коммутаторы [е0 [е^ ек]\ линейно зависимы при г < j < к. Мы продолжим изучение свободных алгебр Ли в § 21. § 17. Разрешимые алгебры Ли 17.1. Определение. Всюду в этом параграфе g — алгебра Ли над полем F. Начиная с п. 17.3, полагаем dim g < оо. Алгебра g называется разрешимой, если ее производный ряд (16.15) обрывается, т. е. g(n) = 0 при некотором п. Наименьшее из таких п называется высотой разрешимости алгебры д. Если п = 1, то алгебра д коммутативна. Алгебра д называется нильпотентной, если ее центральный ряд (16.16) обрывается, т. е. gn=0 при некотором п. Наименьшее из таких п называется высотой нильпотентности алгебры д. Если п = 1, то алгебра д коммутативна. Используя (16.19), находим, что условие gn =0 влечет g(n+l) =0, так что каждая нильпотентная алгебра g разрешима. Из равенства gn+1 = (adg)gn следует, что условие нильпотентности алгебры g записывается в терминах присоединенного действия следующим образом: (ad^)...(adxn) = 0 (17.1) для всех £,,..., zn Eg.
§ 17. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 123 Примеры. 1. Пусть g — векторное пространство с базисом г,а{)Ь{ (г = 1,..., п). Соотношения коммутации [а£,Ь.] = 6.,.г, zeb(g) (17.2) превращают g в разрешимую алгебру Ли высоты 2 (алгебра Ли — Гей- зенберга). 2. Пусть Ь(п) (соответственно, п(п)) — подалгебра Ли в gWn), составленная из верхних треугольных (строго треугольных) матриц, легко проверить, что b(n)' = n(n), п(п)п_1=п(п)<л-1) = 0, откуда b(n)(n)=0. Следовательно, алгебра Ь(п) разрешима (высоты п), алгебра п(п) нильпотентна (высоты п — 1). Упражнения. 1. Если алгебра gфО нильпотентна, то з(д)Ф0. 2. Каждое подпространство, заключенное между g и д;, есть идеал алгебры д. 3. Если алгебра д^О разрешима, то она содержит идеал коразмерности 1. [Указание: воспользуйтесь упражнением 2.] 17.2. Предложение. Пусть g — алгебра Ли над полем F. Тогда имеем: (i) Если алгебра g разрешима (соответственно, нильпотентна), то все ее подалгебры и факторалгебры разрешимы (соответственно, нильпотентны). (и) Если алгебра g содержит разрешимый идеал, факторалгебра по которому разрешима, то алгебра g разрешима. (Ш) Если каждый из идеалов а, Ъ алгебры g разрешим (соответственно, нильпотентен), то идеал а+b также разрешим (соответственно, нильпотентен). Доказательство. Утверждение (i) легко проверяется. Разрешимость g/f) означает, что g(n) С f) при некотором п, откуда g(m) = 0 при некотором т)пв условиях (И). Отсюда следует (И). Для проверки (Ш) положим Ij = a+b, t = аП Ь. Легко проверяются (индукцией по п) следующие сравнения (mod t): b« = a« + b<">, I)„ = an + bn, (17.3) откуда следует (iii). 17.3. Радикалы. Положим dimg<oo. Согласно (iii) п. 17.2, существует наибольший разрешимый (соответственно, нильпотентныи) идеал r(g) (соответственно, n(g)) алгебры д, называемый радикалом (соответственно, нильрадикалом) алгебры д. А именно, г(д) (соответственно, п(д)) есть сумма всех разрешимых (соответственно, нильпотентных) идеалов алгебры д. Положим s(g) = g/r(g). Ясно, что s(g) не имеет разрешимых идеалов, отличных от 0. Алгебра g называется полупростой, если t(g)=0. Ясно, что в этом случае также n(g) = 0. Упражнения. 1. Если f) — идеал алгебры д, то его производные tyn) суть также идеалы алгебры д.
124 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ 2. Алгебра g полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит коммутативных идеалов, отличных от нуля. [Указание: воспользуйтесь упражнением 1.] Ниже будут получены другие критерии разрешимости, нильпотентности, полупростоты алгебры д. Предварительно отметим общие свойства д-моду- лей X, где dim X < оо. 17.4. Теорема (С. Ли). Пусть g —разрешимая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F. Тогда имеем: (а) Каждый g-модуль Х (dim X <oo) обладает инвариантным флагом (т. е. действие алгебры g в некотором базисе модуля X треугольно). (/3) Каждый простой g-модуль Х (dim X < оо) одномерен. Доказательство. Положим g ф О, и пусть fj — идеал алгебры g коразмерности 1 (п. 17.1), так что g = |)®Fe при некотором е. Исходя из соображений индукции (по dim g), можно считать доказанным, что X содержит вектор а^^О, собственный относительно fy, т. е. /ia^ = A(/i)o^ для всех h G f), где А G fj*. Положим хп = епх^ (n G N). Используя (8.9) для операторов Л, е в алгебре EndX, получаем hxn = X(h)xn+± CZ\(hk)xn_k, (ПА) k = \ где fiQ = h, hk = [hk_^ e] при k ^ 1, так что hk G t) для всех k G Z+. Согласно (17.4), линейная оболочка Х0 векторов хп (n GZ+) есть подмодуль g-модуля X. Если X — простой g-модуль, то Х0 = X. Очевидно, dim Х0 = п+1, где п — максимальная длина линейно независимой цепочки 2q, ..., хп. Используя действие (17.4) в этом базисе, находим trfc = (n + l)A(fc). Заметим, что след коммутатора равен нулю. Поэтому \(hk) = 0 при k ^ 1, и формула (17.4) означает, что hxn = \(h)xn для всех п, т. е. hx = X(h)x для всех ж G -Xq. Используя алгебраическую замкнутость поля F, находим, что в Х0 существует собственный вектор щ оператора е, так что Fy^ есть подмодуль g-модуля Х0. Если X —простой g-модуль, то отсюда следует X = Fy)9 т. е. dimX = l. Таким образом, (/3) доказано. Остается применить индукцию по dimX. Отсюда следует (а). Упражнение. Если отбросить условие алгебраической замкнутости поля F, то утверждение (/3) заменяется следующим: для каждого простого g-модуля (X, 7г) алгебра jr(g) коммутативна. [Указание: пусть д, X — расширение пары д, X над F, где_^ — алгебраическое замыкание поля F. Если X — простой g-модуль, то X — полупростой g-модуль.] 17.5. Следствие, (i) Если алгебра g (над алгебраически замкнутым полем F) разрешима, то ее присоединенное действие треугольно, т. е. g обладает флагом идеалов 0 = f,0cf,1C...C^ = g, (17.5) где dim ^/^„, = 1.
§ 17. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 125 (п) Если алгебра g нильпотентна, то ее присоединенное действие строго треугольно, т. е. g обладает флагом (17.5), где [fl,Wcb*_, (17.6) для всех к = 1,..., п. Действительно, (i) вытекает непосредственно из теоремы С. Ли. Если алгебра g нильпотентна, то из (17.1) следует, что все операторы ad ж (хе € д) нильпотентны и потому строго треугольны относительно флага (17.5). Отсюда следует (И). Упражнения. 1. Алгебра g разрешима тогда и только тогда, когда ее производная подалгебра д; нильпотентна. [Указание: действие д; относительно флага (17.5) строго треугольно.] 2. Утвержде2ше (ii) справедливо для произвольного поля F. [Указание: если g-модуль Х (в обозначениях п. 17.4) обладает ненулевым инвариантом, то этим же свойством обладает g-модуль Х.] Доказательство следующей теоремы независимо от теоремы С. Ли. 17.6. Теорема (Р. Энгель). Пусть gcEndX —линейная алгебра Ли, состоящая из нильпотентных операторов (ап = 0 для всех а е д, где п зависит от а). Тогда алгебра д нильпотентна и ее действие в пространстве X строго треугольно. Доказательство. Пусть f) фд — подалгебра алгебры д. Применяя допущение индукции (по dimg) к присоединенному действию adF) в g/F), находим, что это действие аннулирует некоторый ненулевой вектор в g/f). Иначе говоря, существует е £ д, для которого е ^ f), [f), е] С f). В этом случае J) ф Fe есть подалгебра алгебры д, содержащая f) в качестве идеала. Применяя это правило последовательно, начиная с одномерной подалгебры f)0, получаем после конечного числа шагов, что алгебра g обладает идеалом коразмерности 1, так что g = f)©Fe. Согласно допущению индукции, теорема верна для подалгебры J). Поэтому для каждого g-модуля ХфО подпространство Х0 = {хеХ: 1)х = 0} отлично от 0. Заметим, что еХ0 С Х0. Действительно, для каждой пары h e \), х € XQ имеем h(ex) = e(hx) + [h, e]x = 0, поскольку [/i, e] € f). Ввиду нильпотентности оператора е, существует ненулевой вектор Xq e XQt для которого exQ = 0. Но тогда имеем да^ = 0, т. е. Fxq есть одномерный (тривиальный) д-подмодуль. Остается применить индукцию по dim X для построения инвариантного флага в пространстве X, относительно которого действие алгебры g строго треугольно. Отсюда также следует, что алгебра g нильпотентна. 17.7. Следствие. Условие нильпотентности (17.1) алгебры g равносильно (adx)n=0 (17.7) для всех хед, где п—высота нильпотентности алгебры д. Действительно, (17.1) влечет (17.7). Обратно, если (adx)m=0 для всех х б д, где т зависит от ж, то действие ad g строго треугольно (по теореме
126 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Энгеля), алгебра g нильпотентна и в ней выполняется (17.1), где п — высота нильпотентности алгебры д. Соответственно, т^п для всех х е д. 17.8. Корневые подпространства. Пусть X — произвольный д-модуль. Для каждого А € д* пусть Хх — подпространство в X, состоящее из векторов х G X, удовлетворяющих соотношениям (а-\(а))пх = 0 для всех аЕ g (где п зависит от х). Вектор А е д* называется корнем модуля X, если Хх фО. Элементы ОфхеХх называются корневыми векторами модуля X. Подпространство Хх называется корневым подпространством модуля X (отвечающим корню А). Заметим, что Хх содержит собственное (или весовое) подпространство Хх модуля Хл состоящее из векторов х е X, для которых ах = А (а)ж (для всех a eg). Более того, Хх фО только при Х^фО. Если алгебра g коммутативна, то каждое подпространство Хх есть подмодуль g-модуля Х (п. 4.5). Более того, из рассуждений п. 4.5 следует, что X есть прямая сумма своих подмодулей Хх. Покажем, что эти результаты остаются справедливыми для нильпотентных алгебр Ли. 17.9. Теорема (Фиттинг). Пусть g (dim g < оо) — нильпотентная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F. Тогда каждый конечномерный Q-модуль X есть прямая сумма корневых подмодулей Хх (А €д*): Х = ®ХХ. (17.8) Доказательство. Покажем вначале, что Хх есть подмодуль модуля X. Применяя первую часть (8.9) к операторам а, Ь модуля X и заменяя в этом тождестве а на а— А (а), получаем (а-\(а))пЪх = 0 (17.9) для элементов х € Хх (где п зависит от Ь, ж). Действительно, если п достаточно велико, то либо Ь<*>=0 в (8.9), либо (а- \(а))п~кх = 0, откуда следует (17.9). В результате ЪХХ с Хх для всех Ь е д, т. е. дХх с Хх. Положим д = J)® Fe (п. 17.6), где t) — идеал алгебры д. Применяя допущение индукции (по dimg) к подалгебре I), находим, что X есть прямая сумма корневых подмодулей Х^ где p,el)*. Согласно (17.9), дХ^ с Х1^ Разлагая X на корневые подпространства Хи(е) оператора е (п. 3.7), находим, что X есть прямая сумма д-подмодулей Хц„ = Х'ц П Хи(е), где /х G f)*, veF. Применяя в этой ситуации теорему С. Ли, получаем треугольное действие алгебры g в Х^ с одинаковыми собственными значениями \(а) = X(a0 + te) = p(oq) + Щ где а= Оо+te е g, a^ G1), t е F. В результате X = Хх, откуда следует (17.8).
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 127 Упражнение. Для каждого базиса е{ (г = 1,..., п) алгебры g имеем хд=Пхд<<*), гдеА. = А(е{). '-1 17.10. Следствие. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над алгебра- ически замкнутым полем F. Тогда для каждой нилъпотентной подалгебры f) с g алгебра g обладает разложением Фиттинга относительно adf): g = egA, (17.10) где gA —корневое подпространство \j-модуля g (A e I)*). Упражнения. 1. Докажите (индукцией по п) следующий аналог тождества Лейбница (8.11): (ada-a)n[x,y] = X;^[(ada-A)^(ada-/x)"-fc2/], (17.11) к для всех а е f), ж, у е д, а = А + /х. 2. Проверьте (используя (17.11)), что разложение Фиттинга (17.10) есть градуировка алгебры д, т. е. [0л,0,]СдА + , (17.12) для всех А, р, Е 1)*. Пример. Пусть I) = J)(n) — диагональная подалгебра алгебры g = gt(n). Положим h = diag(tj,..., tn) e J), и пусть et(h) = t. (г = 1,..., n). Тогда имеем: [М*] = <М>*кл О7-13) где е^. (г, j = 1,..., п) — стандартный базис в gl(n) (п. 16.4), сац = е{ — еу. Отсюда получаем, что равенство 0 = 0о® Ев* (17-14) с компонентами д0 = f), д.у = Fe.y есть разложение Фиттинга алгебры д (относительно ()). Заметим, что в данном случае действие ad f) диагонально, так что корневые подпространства д0, д^- суть весовые подпространства, отвечающие (соответственно) весам А =0, А = aijt В дальнейшем мы увидим, что разложения Фиттинга (17.10) представляют собой эффективный аппарат в структурной теории конечномерных алгебр Ли. § 18. Билинейные формы 18.1. Билинейные формы. Билинейная форма / над алгеброй Ли g называется инвариантной, если fi[x,v),z) = f(x,[y,z)) (18.1)
128 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ для всех ж, у, z е д. Условие (18.1) может быть переписано в виде /((ad а)ж, у) + /(ж, (ad а)у) = 0 (18.2) для всех а, ж, г/ е g, что соответствует общему правилу (16.11) для присоединенного действия алгебры д. В частности, для каждого конечномерного g-модуля (Х, 7г) билинейная форма /(х,у) = 1гтг(ж)7г(2/), (18.3) где ж, у е д, симметрична и инвариантна в алгебре д. Если dim д < оо, то в этом определении можно рассматривать модуль (g, ad). Инвариантная форма (ж, у) = tr(ad ж • ad у) (18.4) называется формой Киллинга алгебры д. Мы будем использовать символ ортогональности ж J_ у относительно формы Киллинга (18.4) (т. е. (ж, у) = 0). Соответственно, для каждого подмножества f) С g символ [)х означает ортогональное дополнение к подмножеству I) (т. е. множество всех ж е д, ортогональных ко всем у € f)). Используя свойство инвариантности (18.2), находим, что для каждого идеала fj с g его ортогональное дополнение f)1 также есть идеал алгебры д. Условие дх=0 означает невырожденность формы Киллинга (18.4). Отметим также следующие свойства формы Киллинга алгебры д. (i) Сужение формы Киллинга на каждый идеал f) С д совпадает с формой Киллинга идеала f). (И) Если алгебра д разрешима, то д JL д;, где д; = [д, д] — производная подалгебра алгебры д. (Ш) Если алгебра д нильпотентна, то ее форма Киллинга тривиальна, т. е. (ж, у) = 0 для всех ж, у б д. Действительно, из включения (ad f))g С f) следует, что операторы ad ж (х el)) имеют в соответствующем базисе бл очно-треугольный вид с диагональными компонентами ас^ ж, 0, где ас^ ж — сужение оператора ad ж на подпространство J). Поэтому (ж, у) = tr(ad0 ж • ado у) = (ж, у)0 для всех ж, у е J), где (•, -)о — форма Киллинга алгебры fj. Отсюда следует (i). Для доказательства (и) достаточно считать, что поле F алгебраически замкнуто_(поскольку разрешимость алгебры g сохраняется при расширении FhF). В этом случае (11) очевидно из треугольности операторов ad ж (ж е д) и строгой треугольности операторов ad у (у е д'). Если алгебра д нильпотентна, то отсюда также следует (ш). Замечание. Условие (ж, у)=0 для всех ж, у е g равносильно (ж, ж) = 0 для всех ж G д. Действительно, заменяя в последнем случае ж на ж ± у и используя симметричность формы Киллинга, получаем (ж, у) = 0. Упражнения. 1. Если форма Киллинга алгебры g невырождена, то алгебра g полупроста. [Указание: алгебра g не содержит коммутативных идеалов, отличных от нуля. См. также упражнение 2 п. 17.3.]
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 129 2. Если F = R, (ж, ж) = 0 для всех х е д, то алгебра g нильпотентна. [Указание: воспользуйтесь теоремой Энгеля.] 18.2. Корневые системы. Пусть g — конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F. Фиксируем нильпотентную подалгебру f)Cg и покажем, что разложение Фиттинга (17.10) обладает следующим свойством ортогональности относительно формы Киллинга: gx±Sfl при \+рфО. (18.5) Действительно, из (17.12) следует (adgA)(adgAI)gl/CgA+/i + l, (18.6) для всех А, /х, v б fy*. Иначе говоря, для каждого оператора w = (ad z)(ad у), где жедА, уЕдм, имеем где е = А + /х. Предположим, что е^Ои упорядочим корни а е \f (для которых да т^О) таким образом, чтобы а < а + е (для всех корней а). Используя (18.7), находим, что оператор w нильпотентен, откуда tr w = 0, т. е. (ж, 2/) = 0. Отсюда следует (18.5). Обозначения. Пусть Л(д, ()) — множество всех корней алгебры д относительно I) (т. е. множество тех А е \j*t для которых дЛ ^0). Положим Д(Я.Ь) = А(в,Ь)\{0>. (18.8) Корни А € Д(д, I)) называются собственными. Семейство (18.8) называется (собственной) системой корней алгебры д относительно I). Мы займемся более детальным изучением разложений Фиттинга (17.10). Предварительно отметим (в соответствии с (17.12)), что д0 есть подалгебра алгебры д, дА есть gQ-модуль (относительно действия adg) для всех А е eA(g,f)). 18.3. Определение. Для каждой подалгебры f) с g множество n(fj) = {aeg: (ada)t)Cl)} (18.9) называется нормализатором подалгебры fj в алгебре д. Ясно, что n(f)) есть наибольшая подалгебра алгебры д, содержащая f) в качестве своего идеала. В частности, n(f)) содержит подалгебру c«)) = {a€g:(ada)f, = 0}, называемую централизатором подалгебры I) в алгебре д. Если подалгебра I) коммутативна, то I) с c(f)), так что в этом случае ЪСс(Ъ)Сп(Ъ). (18.10) Подалгебра f) с g называется картановской подалгеброй алгебры д, если она нильпотентна и совпадает со своим нормализатором (18.9), т. е. f)=n(J)). Если также I) коммутативна, то из (18.11) следует, что в этом случае f) = c(f)). Последнее равенство означает, что подалгебра fy максимальна ЮЗак. 184
130 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ в классе коммутативных подалгебр алгебры д. В этом случае также говорят (для краткости), что I) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры д. 18.4. Предложение. Для каждого разложения Фиттинга (17.10) подалгебра 0О совпадает с нормализатором подалгебры I) в алгебре q: 0о = п«,). (18.11) Доказательство. Поскольку подалгебра f) нильпотентна, ее действие в f) строго треугольно (п. 17.5), откуда J)C0o. Согласно (18.9), имеем также (ad f))n(f)) С f). Отсюда ясно, что некоторая степень оператора ad x (х е I)) аннулирует п(()). Следовательно, u(f)) С Qq. Обратно, из рассмотрения 0-инвариантных флагов O = J)oCf)iC...C()n = 0o, гДе ft? Ыcbi-v находим (индукцией по г), что fjt Сn(f)) для всех г = 1,... ..., п. Следовательно, 0О С n(f)). В результате получаем (18.11). 18.5. Следствие. Если I) — картановская подалгебра алгебры 0, то разложение (17.10) принимает вид 0 = *)® Ед0*> (18.12) где Д = Д(0, ()). Иногда картановские подалгебры называют также регулярными подалгебрами алгебры 0. Соответственно, разложение Фиттинга (18.12) называется регулярным. Вопрос существования картановских подалгебр решается положительно над произвольным полем F. Мы рассмотрим, для простоты изложения, случай F = С. Общий случай намечен в п. 18.7. Фиксируем х е 0, и пусть дх(х)— корневое подпространство оператора ad ж, отвечающее корню XeF. Элемент хед называется регулярным, если его нильпространство д0(х) имеет минимальную размерность среди размерностей 0о(у), где у е 0. 18.6. Теорема. Каждая комплексная (конечномерная) алгебра Ли g обладает картановской подалгеброй. А именно, для каждого регулярного х е 0 его нильпространство gQ(x) есть картановская подалгебра алгебры д. Доказательство. Запишем корневое разложение алгебры д относительно ad ж в виде 0 = 0о(*)©0+(*)> (18.13) где д+(х) — сумма корневых подпространств дх(х) при Л ^0. Согласно следствию 17.10 (для алгебры 1> = Сж), 0о(ж) есть подалгебра алгебры 0, д+(х) есть 0о(ж)-модуль, т. е. [0о(*),0Л*)]С0+(*)- О8-14) Заметим, что х е д0(х) и оператор ad x невырожден в 0+(ж), т. е. det(ad х) ф 0 в подпространстве д+(х). Поскольку det(ad у) есть полином
§ 18. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 131 от у е д0(я), мы имеем det(ad y)^0 в некоторой окрестности точки х е Ед0(ж). Поэтому в+(х) не содержит нулей оператора ad у, т. е. д0(у)Сд0(ж). Поскольку х — регулярный элемент, отсюда следует д0(у) = д0(х)- Таким образом, оператор ad у нильпотентен в д0(я), т. е. его характеристический полином /(A) = det(A -adу) в подпространстве д0(х) имеет вид Ап. Иначе говоря, /(А) имеет нулевые коэффициенты, за исключением старшего коэффициента 1. Напомним, что у пробегает окрестность точки x€gQ(x). Поскольку коэффициенты /(А) суть полиномы от у (п. 3.1), мы имеем /(А) = Ап для всех у£д0(ж), т. е. оператор ad у нильпотентен в д0(ж). Применяя теорему Энгеля, находим, что алгебра д0(ж) нильпотентна. Поскольку х G д0(х), алгебра д0(х) не имеет нулей в д+(х), т. е. ее ниль- пространство совпадает с д0(х). Но это означает (п. 18.5), что д0(х) есть картановская подалгебра алгебры д. Упражнение. Если х — регулярный элемент, то д0(х) есть наибольшая нильпотентная подалгебра алгебры д, содержащая х. 18.7. Следствие. Теорема 18.6 справедлива для всех (конечномерных) вещественных алгебр Ли. Действительно, пусть g — вещественная алгебра Ли, g = g © ig — ее комплексная оболочка. Легко проверяется (упражнение), что Во(х) = 0П5о(х) для всех х G д, откуда следует, что алгебра g обладает разложением (18.13), где _ д+(я) = дПд+(ж). Если х — регулярный элемент алгебры д, то х есть также регулярный элемент алгебры д, так что д0(х) есть картановская подалгебра алгебры д. В частности, д0(х) не имеет нулей в д+(ж), откуда следует, как и выше, что д0(х) есть картановская подалгебра алгебры д. Замечания. 1. Читатель, знакомый с топологией Зарисского, может проверить (по аналогии с п. 18.6), что теорема 18.6 справедлива над каждым алгебраически замкнутым (но тогда и над каждым) полем F. 2. Читатель, не знакомый с топологией Зарисского, может познакомиться с ней в п. 30.6. 18.8. Лемма (char F = 0). Пусть g — алгебра Ли с разложением Фит- тинга (18Л2). Положим z = [x, у], где хеда, у€д_а, так что ze\). Тогда имеем: tr(ad2)m = cma(2)m (18.15) для всех т е Z+, где ст —-рациональное число, положительное при четном га. В частности, (z,z) = c2a(z)2. (18.16) Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда a (z) ф 0 (откуда g±a т^О и множество Д непусто). Для каждого А е fy* подпространство g(A) = egA+jfctt, к 10*
132 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ где fc e Z, инвариантно относительно тройки ж, у, z (где сумма конечна, ввиду конечности Д). Поскольку ad z = [ad ж, ad у] и след коммутатора равен нулю, мы имеем Е%(А(2) + Ь(^)) = 0, (18.17) * где пк =dim gA + fea. Если А е Д, то сумма п = ]Г) nfc отлична от нуля и урав- нение (18.17) можно разрешить относительно X(z): \(z) = rxa(z), где гА — рациональное число. Возводя это равенство в степень га и суммируя по А € Д, получаем (18.15), где ст — сумма чисел гАш. В частности, ст ^ О при четном га. Заметим, что подстановка А' = А+а: сводится к замене пк на пк + 1. Отсюда гА, — гА = 1. В частности, гх фО при некотором А е Д. Отсюда заключаем, что ст ^ 0 при четном га. 18.9. Теорема (Э. Кдртан). Пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем С (либо над полем F характеристики 0). Тогда имеем: (а) Если (ж, ж) = 0 (Эля всех ж е д, то алгебра д разрешима. (/3) Алгебра д разрешима тогда и только тогда, когда д ± д' (относительно формы Киллинга алгебры д). (7) Алгебра д полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невырождена. Доказательство. Заметим вначале, что справедливость теоремы над полем F влечет ее справедливость для каждого подполя F0 с F. Поэтому можно считать, что поле F алгебраически замкнуто (в частности, F=C). (а) Если g = g', то подалгебра f) в (18.12) порождается компонентами [ga, g_a], где a G Д. Применяя (18.16) к элементам z = [ж, у], где ж G gQ, У € fl-a» и используя условие (г, z) = 0, получаем a(z) = 0 для всех a e Д, откуда a(/i) = 0 для всех /i 6 f), что противоречит определению Д. Следовательно, g ф д\ Аналогично, д' ^ д,; и т. д., откуда g(n) = 0 при некотором п, т. е. алгебра g разрешима. (/?) Если g ± д', то (ж, ж) = 0 для всех ж е д; и алгебра д' разрешима. Но тогда и алгебра g разрешима (поскольку факторалгебра g/g; коммутативна). Обратно, если алгебра g разрешима, то g J_g' (п. 18.1). (7) Если ж G g1, то (ж, ж) = 0, так что д1 есть разрешимый идеал алгебры д. Если алгебра д полупроста, то отсюда следует д1 = 0, т. е. форма Киллинга невырождена. Обратная импликация уже отмечена в п. 18.1 (упражнение 1). Упражнение. В общем случае (char F = 0) ядро формы Киллинга совпадает с радикалом r(g) алгебры д, т. е. gx = t(o). (18.18) [Указание: рассмотрите (по аналогии с п. 18.2) оператор w = (ad ж)^ у), где ж € д, у € а, а — коммутативный идеал алгебры д. Отсюда r(g) С д. Обратное включение следует из (а) (при char F =0).]
§ 19. АЛГЕБРА U(fl) 133 18.10. Редуктивные алгебры Ли. Алгебра g называется редуктивной, если она редуктивна как g-модуль, т. е. 0= eg,, (18.19) i = 1 где дг (г = 1,..., п) — простые ad д-модули. В частности, все д{ суть идеалы алгебры д, откуда [Я.-»ЯЛ = 0 при гфз, [g*,fli] = 0 или д... (18.20) Заметим, что подалгебра д' есть сумма подпространств [gt, gj. Согласно (18.20), д' есть сумма компонент gt., для которых [gt, gj = gt.. Легко проверяется также, что з(д) есть сумма компонент gt«, для которых [gt, gt] = 0. В результате 0 = 0,в3(д). (18.21) Поскольку подалгебра д; не содержит коммутативных идеалов, она полупроста. Отсюда ясно, что радикал алгебры (18.21) совпадает с центром з(д) алгебры д. 18.11. Определение. Алгебра д^О называется простой, если она некоммутативна и V(g) = {0, д}, т. е. д не содержит идеалов, отличных от 0 и д. Исключение коммутативных идеалов из числа простых есть традиция теории алгебр Ли, связанная с альтернативой (18.20). В частности, д; в (18.21) есть сумма всех простых идеалов алгебры д. Упражнение. Проверьте (используя (16.21)), что алгебра sl(n) проста при п Ф 1. Соответственно, алгебра gl(n) = F • 1 @sl(n) редуктивна. 18.12. Теорема (char F = 0). Алгебра g полупроста тогда и только тогда, когда она представила в виде прямой суммы своих простых идеалов (т. е. алгебра g редуктивна и з(д) = 0). Доказательство. Пусть Ц — идеал алгебры д. Тогда f)0 = fjПf)1 есть также идеал алгебры д, для которого (I)0, f)0) = 0. Используя свойство инвариантности формы Киллинга, находим Если алгебра g полупроста, то отсюда следует [fj0, f)0]=0, т. е. ()0 — коммутативный идеал алгебры д. Следовательно, 1)0=0 (п. 18.1). Отсюда заключаем, что g = f) © I)1 для каждого идеала fj С д, т. е. алгебра д редуктивна. Более того, j(g) = t(g) = 0, т. е. д = д; — сумма простых идеалов алгебры д. Обратно, если д есть сумма своих простых идеалов, то г(д)=з(д) = 0, т. е. алгебра g полупроста. Для дальнейшего исследования алгебр Ли нам понадобится новый аппарат, связанный с ассоциативными оболочками алгебр Ли. § 19. Алгебра U(g) 19.1. Определение. Пусть g — произвольная (не обязательно конечномерная) алгебра Ли над полем F. Пусть J — идеал тензорной алгебры Т(д), порожденный элементами [ж, у] - (ху - ух), (19.1)
134 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ где ж, у G д, [ж, у] — коммутатор в алгебре д. Факторалгебра U(fl) = T(8)/J (19.2) называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры д. Пусть 7г — каноническая проекция Т(д) на U(g), e — сужение проекции 7г на подпространство Tt(g) = g. Поскольку 7г = 0 на элементах (19.1), мы имеем е([х,у]) = [Ф),еШ (19.3) для всех ж, у е д, т. е. 6 есть гомоморфизм алгебры д в алгебру Ли U(g) (относительно коммутатора [а, Ь] — аЪ — Ьа в алгебре U(g)). Значение термина «универсальный» в определении U(g) определяется следующим свойством универсальности алгебры U(g) в категории ассоциативных алгебр над полем F. 19.2. Предложение. Для каждого гомоморфизма алгебр Ли <pQ: д—> А, где А — унитальная алгебра над полем F, существует единственный гомоморфизм унитальных алгебр (р: U(g)-> А, продолжающий </?0, т. е. р(1)=1, <рое = (р0. Доказательство. Отображение <р0 однозначно продолжается (п. 12.1) до гомоморфизма унитальных алгебр <р: Т(д)—► А. В частности, для каждой пары ж, у е g имеем <р(жу - ух) = |>0(я), vb(y)] = ц>0([х, у]) = <р([ж, у]), откуда заключаем, что <р=0 на элементах (19.1), т. е. </?(J) = 0. Следовательно, <р есть функция классов, т. е. (р можно рассматривать как гомоморфизм U(g)—► А. В частности, ipoe = ip0 и равенство уь = ^Ь влечет (^-^)ое=0. Поскольку р(1) = ^(1) и е(д) — система образующих алгебры U(g), мы имеем <р = = ф всюду на U(g). Иначе говоря, гомоморфизм </?: U(g)—► А определяется единственным образом. Упражнение. Пусть А{ (г = 1,2) — унитальные алгебры над полем F, снабженные гомоморфизмами е{: g—> Ait где еДд) порождает А^ и удовлетворяющие условию универсальности (вместо U(g)) относительно гомоморфизмов <р0: g —> А (в категории унитальных алгебр). Тогда имеем А\ ^ А2. Отсюда следует, что алгебра U(g) определяется указанным свойством универсальности с точностью до изоморфизма. Исходя из этого, можем считать, что универсальная обертывающая алгебра U(g) алгебры g определяется с точностью до изоморфизма. Примеры. 1. Если алгебра g коммутативна, то U(g) = S(g). 2. Для каждого базиса е. (г е I) пространства g идеал J порождается элементами (19.1), где x = eit y = ev Отсюда следует (ввиду свободности Т(д)), что U(g) есть унитальная алгебра с генетикой К>е,] = 1Хе4, (19.4) к где с£ —структурные константы (16.20) и коммутатор в левой части (19.4) есть [a,b] = ab — ba.
§ 19. АЛГЕБРА U(g) 135 Таким образом, при отображении g»-+U(g) лиевский коммутатор (16.20) заменяется на коммутатор Га, b] = ab - Ьа. Поскольку соотношения (19.4) имеют квадратичный характер, естественно предположить, что gfl J = 0, т. е. е: g —>U(g) есть вложение. Действительно, это будет доказано в п. 19.7. 19.3. Следствие. Каждое представление 7г0: g -+ End X однозначно продолжается до представления 7г: U(g)->EndX, /п. е. каждый &-мо- дуль X можно рассматривать как Щ$)-модуль. Обратно, каждое представление 7г: U(g) —► End X порождается соответствующим представлением 7г0 = 7г о е алгебры д. В этом смысле можно не делать различия между терминами *д-модуль» и «и(д)-лю- дуль*. Упражнения. 1. Для каждого g-модуля Х имеем Ve(X) = VU(e)(X). 2. Для каждой пары g-модулей Х, Y имеем Hom,(X, Y) = HomU(fl)(X, Г). (19.5) Соотношение (19.5) означает, что отображение U: g—► U(g) определяет ковариантный функтор из категории g-Mod в категорию U(g)-Mod. Соответственно, теория представлений алгебры g сводится к теории представлений алгебры U(g). 19.4. Фильтрация Un(g). Согласно (19.4), генетика алгебры U(g) не однородна (относительно Z+'градуировки в Т(д)). Однако, алгебра U(g) наследует фильтрацию алгебры Т(д) по ее степеням однородности. А именно, для каждого базиса е{ (г е I) пространства g пусть Un(g) — линейная оболочка одночленов е. ... е, (п. 8.1), где 0^ к < п. Тогда имеем U(e)=UU„(fl). (19.6) п = 0 Очевидно, определение Un(g) не зависит от выбора базиса е. (г е /), семейство Un(g) не убывает, и также Un(0)Um(g)cUn+m(g) (19.7) для всех п, т е %+. Семейство ил(д) (n € Z+) называется канонической фильтрацией алгебры U(g). Согласно (19.4), операция коммутирования ad е,- (г е I) понижает длину одночленов х е Un(g) на единицу, т. е. [g, Un(g)] С Un_ ,(g). Отсюда (индукцией пот) получаем [UJfl^U^lC^^.^fl). (19.8) Условимся считать (не ограничивая общности), что множество индексов / линейно упорядочено. Используя (19.4), находим, что Un(g) есть линейная оболочка одночленов где г, < ... < гк (О < к < п).
136 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Если алгебра g коммутативна, то все коммутаторы в (19.8) тривиальны, и одночлены (19.9) образуют базис векторного пространства U(g) = S(g). В общем случае (19.8) позволяет установить определенную связь между векторными пространствами U(g), S(g). А именно, пусть RJg) = Un(g)/ Un_ j(g), где U0(g) = F • 1. Векторное пространство R(0)= ®KW (19.10) n = 0 естественно снабжается структурой градуированной алгебры (факторизация Un(g)Um(g) no Un+m_1(g)). Алгебра (19.10) называется градуированной алгеброй, ассоциированной с фильтрацией (19.6). Применяя (19.8), находим, что для каждой пары х е Un(g), ye\Jm(g) коммутатор [ж, у] имеет нулевой образ в R„+m(g). Иначе говоря, [х, у] — 0 для каждой пары х е R«(g), у е Rm(g) — но тогда и для всех ж, у е R(g). Следовательно, алгебра R(g) коммутативна. Используя свойство универсальности алгебры S(g) (п. 12.4), находим, что отображение ei i-+ е- (г el) определяет гомоморфное накрытие w:S(g)^R(g). (19.11) Следующая теорема называется теоремой Пуанкаре — Биркгофа — Витта (сокращенно ПБВ). 19.5. Теорема (ПБВ). Для каждого базиса е{ (г el) векторного пространства g одночлены (19.9) при гх ^ ... ^ ik образуют базис векторного пространства U(g). Помимо этого имеем: (i) Отображение е. -п н-» е. in определяет изоморфизм векторных пространств S(g)«U(g). (ii) Отображение е. н-» е{ (i e I) определяет изоморфизм градуированных алгебр (19.11). Доказательство. Пусть F[x] — алгебра полиномов от системы независимых переменных я = (ж,)<€/. Покажем, что F[x] можно наделить структурой g-модуля таким образом, чтобы va0>-v.*. <1912> для всех гх < ... ^ гп. Здесь х^ in — аналог (19.9) при подстановке е. н+ х{ (г el). Поскольку одночлены (19.12) линейно независимы в F[x]9 отсюда будет следовать линейная независимость (т. е. базисность) одночленов (19.9). Ясно, что отсюда также вытекают утверждения (i), (ii). Таким образом, для завершения доказательства достаточно построить искомый g-модуль F[x]. 19.6. Модуль F[x]. Условие (19.12) будет выполнено при п= 1, если положить е£(1) = ж. (г el). Предположим, что условие (19.12) выполнено при данном п и определим индуктивный шаг п н-> п + 1. Положим Х(Р) = ХР1...РП ПРИ P = (ft»---iA)i и пусть 1(р) = п — длина слова х(р).
§ 19. АЛГЕБРА U(fl) 137 Условимся считать (не ограничивая общности), что множество / вполне упорядочено, и пусть операторы ej уже определены при j < г с выполнением условия (*): ejx(p) есть линейная комбинация одночленов x(q) при /(g)^i(p) + 1. Оператор ei на одночленах х(р) определяется теперь следующим образом: е{х(р) = х{х(р) при »<Ри (19.13) еЛе3х(я)) = е3(егх(я)) + К, ej]x(q) при г > д (19.14) где имеется в виду подстановка х(р) = ejx(q) в (19.14), т. е. j = р{. Помимо этого, имеется в виду, что операторы е{ и их линейные комбинации (в том числе [е0е ]) уже определены на одночленах l(q), где l(q) = n (при 1(р)=п+1). Ясно также, что условие (*) сохраняется при индуктивном переходе пнп + 1. Таким образом, соотношения (19.13), (19.14) однозначно определяют операторы ei {% е I) во всем пространстве F[x], Используя свойство универсальности алгебры Т(д), продолжим отображение е( i-+ е{ до действия <р алгебры Т(д) в пространстве F[x]. Остается проверить, что <p(J) = 0, т. е. действие ip согласовано с генетикой алгебры U(g). Иначе говоря, мы должны проверить, что е<еуж(р) = е3е(х(р) + [е0 е^х(р) (19.15) для всех г, j e I и всех значений р. Достаточно (ввиду антисимметрии) проверить (19.15) при i>j. Если 3 ^Pi$ то ejx(p) = xjx(p) (по правилу (19.13)) и равенство (19.15) вытекает из (19.14) (с подстановкой q »-+р). Остается рассмотреть случай г > j > к, где к = р{. В этом случае (19.15) сводится к тождеству (еда): (е;е, - еуе.)е,ж(д) = [е„ еу]е4ж(д), где ж(р) = ekx(q), т. е. g = (р2,..., рп). Определим лексикографическую упорядоченность в I2, полагая (г, j) > > (к, /), если г > к либо г = kf j > I, так что множество Р вполне упорядочено. Предположим, что (eijk) уже доказано при замене пары (г, j) произвольной парой (г', f) < (г, j). Тогда соотношения (£;ы) = (г*Д (^) = (^у) уже доказаны. Прибавляя к этим соотношениям (еще не доказанное) тождество (eijk), получаем 7**(g) = 7**(9), (19.16) где 7yjb = 7(e*> еу» ek) есть левая часть тождества Якоби (16.2). Здесь ~fijk в левой (соответственно, правой) части (19.16) определяется коммутатором в EndF[x] (соответственно, коммутатором алгебры д). Поэтому левая часть равна нулю (во всем пространстве F[x]) и правая часть равна нулю по допущению индукции (19.15) (с подстановкой р>-+ q). В результате получаем, что исходное тождество (eijk) также выполняется, т. е. F[x] есть g-модуль. Поэтому теорема ПБВ также доказана. 9 Зак. 184
138 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ 19.7. Следствие. Отображение е: g —> U(g) есть гомоморфное вложение алгебры g в алгебру Ли U(g) (с коммутатором аЬ — Ьа). Действительно, образы базисных элементов е. (г el) линейно независимы в U(g). Таким образом, алгебра g канонически вкладывается в ассоциативную алгебру U(g), так что лиевский коммутатор [а, Ь] в алгебре g превращается в U(g) в коммутатор аЬ — Ьа. Упражнения. 1. Для каждой подалгебры д{ с g и каждого векторного разложения g = д{ ф д2 отображение х ® у н-+ ху определяет изоморфизм векторных пространств U(fl)« U(01) ® S(02)« S(02) ® U(fll). (19.17) 2. В условиях (19.17) имеем U(fl)« Щ01) e U(fl)02« U(01) ф 02 U(fl). (19.18) 3. Если g=g!©g2 — прямая сумма идеалов, то (19.17) записывается в виде U(g)«U(fll)®U(fc). (19.19) 4. Докажите (используя изоморфизм U(g) « S(g)), что алгебра U(g) не имеет делителей нуля. [Указание: алгебра F[x] не имеет делителей нуля (п. 15.10).] Согласно общему правилу (п. 16.2), присоединенное представление (ad, g) продолжается до действия алгебры g дифференцированиями алгебры Т(д). Легко проверить, что это действие аннулирует идеал J (п. 19.1), так что g действует дифференцированиями алгебры U(g) (аналогично, S(g)). Для исследования связи между этими действиями рассмотрим отображение а\ S(g) -* U(g), определяемое на базисных одночленах по правилу *(*(*)) = i £ еИ0> (19-2°) где e(k)=ek k при fc=(fcn..., kn). Отображение (19.20), определяемое симметрическими группами Sn, называется симметризацией а: S(g)-U(g). 19.8. Предложение. Пусть a: S(g)-^U(g)—• отображение симметризации (19.20). Тогда имеем: (i) сх(хп) = хп для всех х Е g, n G Z+ (где правая часть означает хп е €U(g)). (ii) Отображение а однозначно определяется соотношениями (i) (для всех же д, neZ+). (iii) Отображение о определяет изоморфизм ^-модулей S(g), U(g). Доказательство. Утверждение (i) очевидно при х = 0. Если хф0, то можно считать, что х = е{ — один из базисных элементов пространства д. В этом случае (i) есть следствие общего правила (19.20). Заметим
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 139 также, что S(g) обладает базисом, составленным из элементов хп (х е д, п G Z+). Отсюда следует (ii). Применяя общее правило дифференцирования х' = (ad а)х к элементам а, ж е д, получаем а((хп)') = (хп)' для всех п е Z+. Отсюда следует (Ш). 19.9. Оператор Д. Мы будем рассматривать U2(g) = U(g) <g> U(g) как алгебру с покомпонентным умножением (п. 8.1). Используя свойство универсальности алгебры U(g), находим, что соотношение Дж = ж® 1 + 1 ®ж, (19.21) где х е д, продолжается до гомоморфизма алгебр A: U(g) -+ U2(g). Отображение А называется диагональным гомоморфизмом в алгебре U(g). Пример. Если алгебра g коммутативна, то отображение е{ н-> х{ (п. 19.5) определяет изоморфизм U(g) « S(g) « F[x]. Нетрудно видеть, что соответствующее диагональное отображение в этом случае имеет вид Af(x,y) = f(x + y)(n. 13.3). Элемент х е U(g) называется примитивным, если он удовлетворяет соотношению (19.21). 19.10. Теорема. Если char F = 0, то множество П(д) всех примитивных элементов х е U(g) совпадает с подпространством д С U(g). Доказательство. В коммутативном случае (п. 19.9) примитивность элемента / е F[x] сводится к его аддитивности, т. е. /<* +у) = /(*) + /(»)• (19.22) Очевидно, (19.22) сводится к тому, что все однородные компоненты fm полинома / аддитивны. Полагая / = /т, получаем 2f(x) = f(2x) = 2mf(x), (19.23) что возможно (при / ф 0) только при т = 1. Отсюда deg / = 1 для всех 0^/<ЕП(д), т. е. /€д. В общем случае достаточно заметить, что А индуцирует диагональный гомоморфизм коммутативных алгебр R(g)«S(g). Следовательно, Ri(g) = g есть множество всех примитивных элементов алгебры R(g). Поднимаясь в U(g), получаем П(д) С F • 1 ф д. Легко проверяется, что элемент А • 1 + х (х е д) примитивен только при А = 0. В результате П(д) = д. § 20. Полупростые алгебры Ли 20.1. Элементы Казимира. Пусть д — конечномерная алгебра Ли, наделенная невырожденной инвариантной симметрической билинейной формой /. Из невырожденности / следует существование канонического изоморфизма g«g* (п. 2.7). Инвариантность формы / в данном случае означает, что этот изоморфизм есть также изоморфизм д-модулей. Здесь имеется в виду присоединенное действие (ad, g) и его сопряженное действие (coad, g*), где coada=-(ada); (п. 16.2). Представление coad называется коприсоединенным представлением алгебры д. 9*
140 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Напомним (п. 16.2), что канонический изоморфизм Endg«g®g* есть также изоморфизм g-модулей. Рассмотрим следующую цепочку изоморфных д-модулей: Endg«g®g*«g®g = T2(g). (20.1) Заметим, что единичный оператор 1 G End g записывается в g ® g в виде суммы элементов е£ ® eit где eiiei (г = 1,..., п) — два дуальных базиса в g (т. е. /(е{, е^ = 6{А, n = dimg. Применяя к этому элементу каноническую проекцию Т(д) —► и(д), получаем квадратичный элемент z=±ei£i (20.2) г = 1 в алгебре U(g). Из этой конструкции следует, что элемент (20.2) не зависит от выбора базисов в алгебре g и централен, т. е. z e Z(g), где Z(g) — центр алгебры U(g). Полученный элемент (20.2) называется элементом Казимира алгебры g (ассоциированным с билинейной формой /). Примеры. 1. Пусть g — полупростая алгебра Ли над полем F характеристики 0. Для каждого точного конечномерного g-модуля (Х, 7г) билинейная форма /^y) = trir(*)ir(y) (20.3) инвариантна (п. 16.2) и невырождена в д. Действительно, ее ядро дх есть разрешимый идеал алгебры g (по теореме Картана), откуда дх = 0. Заметим, что в этом случае tr ф) = ± tr ф,)Фд = ± Д(е0 е{) = dim g, (20.4) t=i t=i где z — элемент Казимира, ассоциированный с формой Д. 2. Элемент Казимира, ассоциированный с формой Киллинга алгебры д, называется кратко элементом Казимира алгебры д. Примеры. 1. Если д — простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем F, то все инвариантные билинейные формы в алгебре g коллинеарны между собой (по лемме Шура) и потому коллинеарны форме Киллинга алгебры д. 2. Элемент Казимира алгебры g=sl(2) имеет (с точностью до нормировки) следующий вид z = \h(h + 2) + fe, (20.5) в обозначениях п. 16.4. Если поле F алгебраически замкнуто, то элемент (20.2) (как и всякий элемент z € Z(g)) скалярен в каждом простом конечномерном g-модуле Х. Этот факт будет использован при доказательстве следующей теоремы. 20.2. Теорема (Г. Вейль). Пусть char F = 0 и g — полупростая (конечномерная) алгебра Ли над полем F. Тогда каждый конечномерный g-модуль Х полу прост. Доказательство. Исходя из соображений индукции (по dimX), можем считать доказанным, что максимальный подмодуль Y фХ полупрост.
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 141 Остается доказать, что X — Y ® Z, где Z e V(X) (Z « X/Y — простой g-модуль). Повторяя стандартные рассуждения линейной алгебры (см. замечание в конце п. 3.10), находим, что решение этой задачи сводится к ее частному случаю, когда Y есть простой g-модуль. Можно также считать (переходя к алгебраическому замыканию поля F), что поле F алгебраически замкнуто. 1. Случай codim Y = 1. В этом случае q(X/Y) = 0 (п. 16.2). Исключая тривиальный случай д(Х) = 0 и заменяя, если надо, g на g/AnnX, можем считать, что X есть точный g-модуль. Применяя (20.4) к элементу Казимира z, ассоциированному с формой (20.3), получаем z = А • 1 в Y, где A dim Y = dim g, откуда А т^О. С другой стороны, z(X/Y) = 0. Отсюда следует, что Y дополняется нильпространством Z = ker z, т. е. X = Y @ Z. Используя центральность элемента z, получаем Z E V(X). 2. Общий случай. Используем известный прием для сведения общего случая к случаю 1. А именно, рассмотрим End X как g-модуль (п. 16.2), и пусть М (соответственно, N) — множество всех операторов aeEndX, переводящих X в Y и скалярных (соответственно, равных нулю) в подпространстве Y. Ясно, что М, N суть подмодули в EndX, dim(M/JV) = 1. Применяя к этой паре результат (1), получаем М = N ф Fw, где weM — инвариантный элемент, w\Y ф0. Отсюда X = Y ф Z (по аналогии со случаем 1), где Z = ker ги. Остается заметить, что инвариантность элемента w означает [g, w] = 0. Поэтому Z e V(X). Замечание. Первоначальное доказательство Г. Вейля имело топологический характер и основывалось на связи между алгебрами Ли и группами Ли. Мы отметим это оригинальное доказательство в п. 47.5. 20.3. Следствие (сЬаг^=0). Пусть g — конечномерная алгебра Ли, \)—ее полупростой идеал. Тогда имеем: fl = b®cfo), (20.6) где c(t)) — централизатор подалгебры J) (п. 18.3). Доказательство. Согласно теореме Вейля, имеем д = I)ф8, где t — идеал алгебры д. Отсюда [fj,£] = 0, т. е. tCc(f)). С другой стороны, из равенства a(fj) = 0 имеем I) П c(f)) = 0, откуда следует (20.6). 20.4. Следствие (char F =0). Если алгебра g полупроста, то каждое ее дифференцирование 6eD(g) внутреннее, т. е. S = ad x при некотором (единственном) х е д. Доказательство. Пусть Ц,(д) С D(g) — идеал, составленный из внутренних дифференцирований алгебры g (п. 16.2). Поскольку 3(f)) = О, отображение х »-* ad х инъективно, откуда заключаем, что g « Д>(в) (И30" морфизм алгебр Ли). Применяя в этой ситуации (20.6), получаем Я(0) = А>(0)©С(0),
142 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ где С(д)— централизатор DQ(g) в D(g). Напомним (п. 16.2), что [<5,adx] = ad 6(х) для каждого S e D(g). Полагая в этом равенстве 8 е С(д), получаем ad 5(ж) = 0, откуда 6(х) = 0. В результате С(д) = 0, т. е. £>(д) = Д>(д). 20.5. Теорема (Леви). Пусть д — конечномерная алгебра Ли над полем F характеристики О, г(д) — радикал алгебры д (п. 17.3). Тогда имеем g = s©t(g) (20.7) (прямая сумма векторных пространств), где s — полупростая подалгебра алгебры д. Доказательство. Задача состоит в отщеплении полупростой фак- торалгебры flo = flA(fl) от радикала r(g). Доказательство сводится к следующим этапам. 1. Случай г(д) = з(д). В этом случае присоединенное действие t(g) в алгебре g тривиально, т. е. алгебра д0 действует в д. Применяя к этому действию теорему Вейля, получаем (20.7), где s « g0 — полупростая алгебра Ли. 2. Случай [r(g), r(g)] = 0, з(д) = 0. Применяя конструкцию (2) п. 20.2 к д-модулю X = g с подмодулем Y = r(g), получаем цепочку подмодулей iVcMcEndg, (20.8) где dim(M/iV) = 1. Напомним, что для каждого теМ выполняются соотношения mjct(j), (m-A(m))t(g) = 0 (20.9) при некотором А е М\ A(JV) = 0. Отличие данной ситуации от п. 20.2 состоит лишь в том, что алгебра g не полупроста. Однако, можно свести рассмотрение к полупростой факторалгебре д0. А именно, для каждого х е r(g) оператор m = ad x удовлетворяет соотношениям (20.9) при А(т) = 0 (ввиду коммутативности радикала t(g)). Отсюда следует, что N0 = ad r(g) есть подмодуль g-модуля End g, содержащийся в N. Помимо этого, для каждой пары пе NQf m e M находим из (20.9) пт = 0. Ясно также, что тп = A(m)n. Отсюда in, ml = — A(m)n. (20.10) В частности, [N0, M] С NQ. Факторизуя цепочку (20.8) по NQ и применяя результаты (2) п. 20.2 к факторалгебре д0, получаем М = N © Fm, где [adg,m]cJV0, A(m)^0. (20.11) Полагая A(m) = -1 и используя (20.10), (20.11), получаем для каждого хед [ad х, m] = ad у (ye r(g)), [ad у, m] = ad y, (20.12)
§ 20. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 143 откуда [ad(z—у), т]=0, т. е. х—yeAnn(m) (относительно присоединенного действия в алгебре д). Следовательно, х = у + z, где z € Ann(m). Согласно (20.12), включение уеАпп(га) влечет ady = 0, т. е. у = 0 (поскольку j(g) = 0). Иначе говоря, г(д) П Апп(га) = 0 и разложение х = у + z однозначно. В результате получаем (20.7), где s = Ann(m). 3. Случай [t(g),t(g)] = 0. Применяя теорему Вейля к действию д0 в г(д), находим, что r(g) есть полупростой д0-модуль. Задача отщепления д0 от г(д) сводится теперь (стандартным способом) к случаю, когда r(g) есть простой д0-модуль. Если [д0, г(д)] = 0, то г(д) ==з(в)- Если [g0, t(g)] = t(g), то 3(д) = 0. Согласно (1), (2), во всех этих случаях имеем (20.7). 4. Общий случай. Полагая fj = [r(g), t(g)] и применяя (20.7) к факторалгебре g/f) (с коммутативным радикалом), получаем 0/f) = so©t(fl)/fb где s0 — полупростая подалгебра в g/fj. Полагая g = 7r_I(so) (к— каноническая проекция g —► g/f)), получаем t(g) = f). Рассуждая индуктивно (по высоте разрешимости r(g)), получаем g = s®^, где алгебра s полупроста. Отсюда g = s + r(g). Остается заметить, что s П r(g) = 0 (поскольку s не содержит разрешимых идеалов). В результате получаем (20.7). 20.6* Комментарии. Согласно (20.7), подалгебра s есть максимальная полупростая подалгебра алгебры g (т. е. в максимальна в классе полупростых подалгебр алгебры д). Существенное уточнение теоремы 20.5 (принадлежащее А. Мальцеву) состоит в том, что алгебра s в разложении Леви (20.7) определяется однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры д. Теорема 20.5 в этой форме называется теоремой Леей —Мальцева, Еще одно уточнение теоремы 20.5 состоит в учете действия [5, r(g)] С t(g). А именно, будем говорить, что алгебра Ли g есть полупрямое произведение своих подалгебр s, t, если g = s0t, [s,t]Ct. (20.13) Согласно этому определению, равенство (20.7) определяет разложение алгебры g в полупрямое произведение подалгебр s, r(g). Заметим, что действие (20.13) алгебры s в алгебре t записывается в виде [а,у]=*(а)й (20.14) где 8 (х) G D(i) — сужение оператора ad x на подпространство t. Отсюда ясно, что определение полупрямого произведения можно перенести на каждую пару алгебр Ли s, t, если алгебра s действует дифференцированиями 6(х)е D(t). А именно, равенство (20.14) определяет структуру алгебры Ли в прямой сумме векторных пространств g = s Ф t.
144 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Пример. Если t — коммутативная алгебра Ли, то алгебра (20.13) может быть реализована как алгебра формальных матриц 1=(о 5)" с элементами s e s, t e t и действием 6(s)t = st. Упражнение. Если алгебра g не проста как ad g-модуль, то ее можно представить в виде полупрямого произведения g = s © t, где s, t Ф 0. 20.7. Теорема (критерий редуктивности). Положим char F=0, и пусть g — конечномерная алгебра Ли над полем F. Конечномерный д-модуль X полупрост тогда и только тогда, когда t(g) -модуль X полупрост. Более того, в этом случае [g>t(g)] = 0 в модуле X (20.15) Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда поле F алгебраически замкнуто. Применяя теорему С* Ли к g-модулю Х фО, находим, что X содержит хотя бы одно ненулевое подпространство Хх={хеХ: аж = А(а)х, Vaet(g)}. (20.16) Легко проверяется (по аналогии с п. 17.4), что Хх есть подмодуль д-моду- ля X. Если X —полупростой g-модуль, то отсюда следует (индукцией по dimX), что Х=®ХХ, (20.17) где A G r(g)*. Заметим, что действие алгебры g в (20.17) перестановочно со скалярным действием t(g) в Хх. Отсюда следует (20.15). Обратно, если X —полупростой g-модуль, то мы имеем (20.17) с компонентами (20.16). Заменяя алгебру g ее образом g0 = g/AnnX в EndX и используя (20.15), получаем г(д0) = з(д0). Согласно теореме Леви, имеем до = *о©з(0о). (20.18) Применяя теорему Г. Вейля к действию полупростой алгебры Ли s0 в 1А, находим, что Хх есть полупростой д0-модуль для каждого A Gj(g0)*. Отсюда заключаем, что g-модуль Х полупрост. 20.8. Следствие. Если алгебра g обладает точным полупростым д-модулем X (dim X < оо), то r(g) = j(g). Действительно, это следует (при g = g0) из (20.18). 20.9. Следствие. Для каждой пары полупростых g-модулей Х, У (dim X, dim Y < оо) их тензорное произведение X ® Y есть полупростой g-модуль. Действительно, можем считать, что поле F алгебраически замкнуто. Согласно теореме 20.7, действие r(g) в модулях X, Y диагонально. Но тогда и действие r(g) bX0F диагонально. Применяя снова теорему 20.7, заключаем отсюда, что X ® Y есть полупростой g-модуль.
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 145 20.10. Следствие. Если X (dimX <oo) есть полупростой д-модуль, то его тензорная алгебра Т(Х) есть также полупростой д-модуль. Действительно, из следствия 20.9 получаем (индукцией по п), что каждая компонента Тп(Х) есть полупростой g-модуль, но тогда это верно и для алгебры Т(Х). Упражнения. 1. Положим char F = 0. Если X — полупростой д-модуль, то каждый из g-модулей X*t EndX, S(X), A(X) полупрост. 2. Аналогично, если X, Y — два полупростых (конечномерных) д-модуля, то g-модуль Hom(X, Y) полупрост. § 21. Свободные алгебры Ли 21.1. Ряды Пуанкаре. Пусть V — векторное пространство, градуированное конечномерными подпространствами Vn, где п eZ+. Формальный ряд DimV= ®(dimVn)tn, (21.1) n = 0 где Dim V е F[[t]]t называется рядом Пуанкаре пространства У. Очевидно, отображение V н+ Dim V аддитивно по отношению к прямой сумме, т. е. Dim( V е W) = Dim V + Dim W. (21.2) Помимо этого, отображение V»-»Dim V мультипликативно по отношению к тензорному произведению, т. е. Dim( V ® W) = Dim V • Dim W. (21.3) Действительно, однородная компонента (V®W)n есть прямая сумма слагаемых V ® Wq при р + q = п, что совпадает с правилом умножения формальных рядов Dim Vt Dim W. Пример. Пусть F[x] = F[x{,..., хп] — градуированная алгебра с градуировкой deg х- = 1 (г = 1,..., п). Тогда имеем Dim F[z] = (!-*)-". Действительно, это верно при п = 1 (в этом случае dim Fk[x] = 1 для всех k e Z+). Остается применить (21.3). Аналогично, если degcc£ = ei (i = 1,... 711 TO DimF[z]=nO-£iO-1. (21.4) » = i Использование рядов Пуанкаре удобно также при изучении свободных алгебр Ли L(e) (п. 16.6). 21.2. Теорема. Пусть А(е) — свободная ассоциативная алгебра, порожденная семейством e = (et)i6/. Тогда имеем: (a) U(L(e)) = A(e).
146 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ (/?) Если а = card I < оо, то размерности lp = dim Lp(e) связаны соотношениями Е^ = «", (21-5) р\п где п е N и сумма берется по всем делителям числа п (т. е. р\п). В частности, *, = <*, h = ^f^, h = 2i2TJ1- (21-6) Доказательство, (а) Согласно предложению 16.7, отображение ei ■-* ei (г € I) поднимается до гомоморфизма алгебр Ли (р: L(e) -> А(е). В свою очередь, этот гомоморфизм поднимается (п. 19.2) до гомоморфизма ассоциативных алгебр <р: U(L(e))—► А(е). В частности, <р определяет изоморфизм векторных пространств L{(e)« Ах(е). Обратное отображение е% *~* ei (г € /) поднимается (в силу универсальности А(е)) до гомоморфизма ассоциативных алгебр ф\ А(е) —> U(L(e)), так что (рф = г1хр = \ (поскольку это верно на образующих et). Следовательно, ц> есть изоморфизм. (/?) Напомним, что dege^ = 1 в алгебре А(е) и одночлены е{ ... ein образуют базис в Ап(е) при фиксированном п. Поэтому dim Ап(е) = ап" и ряд Пуанкаре алгебры А(е) записывается в виде DlmA(e) = (l-at)-1. (21-7) С другой стороны, для каждого базиса /. (j e J) векторного пространства L(e) одночлены /Ль...,0 = (ДГ'..(/.тГ'". (21-8) где v = (их,..., vn) е Z+, г, <... < гт (относительно линейной упорядоченности в J), образуют базис в U(L(e)) = A(e). Можно, в частности, считать, что элементы fi (j G J) однородны, откуда m deg/^i,...,0=£^fc, (21.9) где dj = deg/i (j G J). Отсюда Jb = l DimA(e)= ПО-tV- (2U0) Действительно, коэффициент этого ряда при tn есть число разбиений (21.9) числа п, т. е. совпадает с dimAn(e). Группируя в (21.10) сомножители с одним и тем же dj=p1 получаем DimA(e)= ПО-*')"^ (21П) где lp = dimLp(e). Таким образом, ряды (21.7), (21.11) совпадают. Применяя к этим рядам операцию логарифмирования (определенную в F [[£]]), получаем «, ж , .кр оо „,п ЕЕЧ—Е^. (21-12) что равносильно (21.5).
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 147 Упражнения. 1. Пусть р — функция Мебиуса, определяемая по правилу оо П(1-Г)=Ем(Ф"с5 (21.13) р п = 1 где р пробегает множество простых чисел (так что (21.13) есть С(5)~1> гДе С —функция Римана). Тогда имеем nln = J2v(k)<*n/k. (21.14) k\n 2. Алгебра п = п+(3) обладает генетикой [ж, [ж, у]] = О, где х = еи у = е^ (либо х = е2,у = е{). [Указание: используйте (21.6) при а =2.] Заметим также, что алгебра U(n) имеет генетику 0(ж, у) = 0(у, х) = 0, где в(х, у) = х2у - 2хух + ух2. (21.15) 21.3. Следствие. Если char F = 0, mo £(e) совпадает с множеством примитивных элементов алгебры А(е), /п. е. L (е) = {хе А(е): Ах = х <8> 1 + 1 <8> х}, (21.16) где Д: А (е) -> А2 (е) — диагональное отображение (19.21), определенное при g = L(e). 21.4. Алгебра А(е). Пусть А(е), L(e) — пополнение (соответственно) A(e),L(e), определяемое по правилу A(e)=f[An(e), L(e)= ft Ln(e). (21.17) n=0 n=l Согласно (21.17), элементы хеА(е) (соответственно, xeL(e)) можно рассматривать как формальные ряды с компонентами хпеАп(е) (соответственно, хп е Ln(e)). Положим также А2(е)= П An(e)®Am(e), (21.18) тц т= 1 так что А2(е) есть пополнение алгебры А2(е) = А(е) <8> А(е). _ Повторяя £ассуждения пп. 13.2, 13.3, находим, что операции р: А2(е)—► —>А(е), Д:А(е)—>А2(е) непрерывны относительно стандартных топологий в (21.17), (21.18). Отсюда заключаем, в частности, что равенство (21.16) сохраняется при замене А(е), LJ^e) (соответственно) на А(е), L(e). Пусть М (соответственно, М) — идеал алгебры А(е) (соответственно, А(е)), составленный из рядов с нулевым свободным членом в (21.17). Заметим (по аналогии с п. 13.4), что операция подстановки у = /(ж) корректно определена для элементов х е М и формальных рядов f(t)e F[[t]] от одной независимой переменной t. Здесь существенно, что степени хп (п € Z+) взаимно перестановочны. В частности, мы будем рассматривать (взаимно обратные) отображения exp: M-+1+M, In: 1+М-^М. (21.19)
148 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Элемент у е А(е) называется групповым (или группоидным), если Ду=у <g> у. 21.5. Лемма (char F=0). Отображения (21.19) определяют^биекцию между множеством Р(М) всех примитивных элементов хеМ и множеством G(M) всех группоидных элементов у Е 1 Ф М. Доказательство. Полагая у = ехр ж, где х Е Р(М), и используя непрерывность оператора А, находим Ау = ехр Ах = ехр(ж ® 1) ехр(1 <8> ж) = у ® у, т. е. уЕ G(M). Обратно, полагая ж = 1пу, где уЕ G(M), получаем Дж = In Ду = 1п(у ® у) = ж ® 1 + 1 ® ж, т. е. ж Е Р(М). 21.6. Теорема (Кемпбелл — Хаусдорф). Положим char F=0. Тогда для каждой пары ж, у Е Р(М) существует единственный элемент z = = г(ж, у) Е Р(М), для которого ехр ж • ехр у = ехр z. (21.20) Доказательство. Достаточно проверить (в силу леммы 21.5), что множество G(M) замкнуто относительно умножения. Действительно, пусть а = be, где b,c€ G(M). Тогда имеем Да = ДЬ • Дс = (b <8> b)(c ® с) = Ьс <8> Ьс = а ® а, т.е. aG G(M). В частности, при Ъ = ехр ж, с = ехр у получаем (21.20), где г(ж, у) = 1п(ехрж -ехр у). (21.21) 21.7. Определение. Формальный ряд (21.21) называется рядом Кемп- белла — Хаусдорфа в алгебре А(е). Непосредственное вычисление показывает, что однородные компоненты 2п(ж, у) при п = 1, 2 имеют следующий вид: ^(ж, у) = ж + у, ^(ж, у) = ±[ж, у]. (21.22) Ниже будет изложено описание компонент zn(x, у) для всех п Е N. 21.8. Лемма. Пусть ш: M-*L(e) —линейное отображение, определяемое на базисных одночленах по правилу "(*) = *, ci;(e^..J = I(ade^)...(adVX (21.23) при п > 2 (char F =0). Тогда сужение и наЬ (е) тождественно в L (е): а;(ж) = ж для всех жЕХ(е). (21.24)
§21. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 149 Доказательство. Пусть (эт, А(е)) — представление алгебры А(е), продолжающее представление (ad, А(е)) алгебры £(е). Согласно определению (21.23), имеем ш(ах) = 7г(а)ш(х) (21.25) длявсехаеА(е), жеМ. Имеем также (21.24) при degж=l (т. е. xeL{(e)). Дальнейшее доказательство сводится к индукции по n e N. Пусть xeLn(e), где п> 1. Напомним, что ж есть линейная комбинация элементов [у, z\ где у е Lp(e), z e Lq(e)t p + q = n, р, q е N. Поэтому достаточно рассматривать случай ж = [у, z]. Положим Щх) = пш(х) при ж е Ап(е) и напомним, что 7г(а) = ad а для элементов aeL(e). Имеем Щ[У, z\) = n{y№(z) " n(z)n(y) = qn(y)z - pn(z)y = = (P + Q)[y,z] = n[y,z], т. e. Q(x) = nx для всех xeLn(e). Отсюда следует (21.24) для всех xeL(e). 21.9. Теорема (Дынкин). Для каждого х е L(e) положим хк = = (fc!)_1(ad ж)*, где к е Z+. Для каждой пары элементов ж, у € L(e) положим { aM = E^-SPiyqi...xpJy), (21.26) (m) где p,q€Z+ и сумма берется по всем разбиениям р = р{ +... + рт, q = = qx +... + qm, где р{ + О 1 (t = 1,..., m - 1), pm ^ 1, qm = 1. Положим также { ^-E^^W-S^W. (21.27) (m) где сумма берется по всем разбиениям р = pL +... + рт, q = q{ + . .. + qm, Pi + О * (г = 1,..., га - 1), рт = 1, qm = 0. Тогда 1шее;к М*»)=4 £ («* + *«>• (21.28) Доказательство. Имеем «px-expy- (е$) (е §) = 1 +£,«»*. (2L29> где ж* = (fc!)"^* (аналогично для у). Отсюда \m+l «.<* У) = Е 1=ЧЬ—»k»k • • • «т, (21-30) где сумма берется по всем р + q = п и всем разбиениям р = р{ + ... + рт, q = qx + ... + qm, p{ + q{ ^ 1 (г = 1,..., га). Напомним, что г = г(ж, у) е Ь(е), откуда uj(z) = z. С другой стороны, применение оператора и к правой части (21.29) сводится к замене операторов левого умножения соответствующими операторами ж = ad ж, у = ad у.
150 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Заметим, что (adz)z = (ady)y = 0. Поэтому действие и аннулирует элементы (21.30), для которых qm^2 либо рт ^ 2, qm = 0. Оставшиеся члены совпадают с одним из членов (21.26), (21.27). Отсюда следует (21.28). 21.10. Следствие. Формула Дынкина выполняется для каждой алгебры Ли g и для каждой пары элементов ж, у е д, если рассматривать z = z(x, у) как формальный ряд от переменных х1 у. Действительно, пусть д(ж, у) — подалгебра алгебры д, порожденная элементами ж, у. Тогда имеем g(z, y)&L(x, y)/N, где L (ж, у) — свободная алгебра Ли с образующими ж, у. Соответственно, z = z(x, у) можно рассматривать как элемент пополненной алгебры L(x, y)/N, где N — замыкание идеала N в L(z, у). Примеры. 1. Если алгебра g нильпотентна, то ее ряд Кемпбелла — Хаусдорфа конечен, т. е. обрывается после конечного числа шагов. 2. Если идеал N градуирован, то ряд z = z(x, у) также градуирован в алгебре д. В общем случае возникает вопрос о сходимости ряда Кемпбелла — Хаусдорфа в алгебре g (над нормированными полями). Если F = R, С, то ряд (21.28) обладает быстро убывающими коэффициентами, и это позволяет предположить, что он сходится (в случае dim g < оо). 21.11. Оценка сходимости. Положим F = R, С и введем в подпространство j«Fn какую-нибудь норму. Из ограниченности билинейной функции /(я, у) = (ad х)у при ||х|| = ||у|| = 1 следует, что ||(adx)y||<a||x||||y|| для всех ж, у е g (с некоторой константой а ^ 0). Условимся считать, что а ф 0. Заменяя норму в g гомотетичной нормой, будем также считать, что а = 1. Соответственно, ряд z(x, у) мажорируется (по норме) сходящимся рядом (m) УЧ где р\=р{\ -.. рт\ (аналогично для q). Здесь имеется в виду добавление слагаемых (21.30), отброшенных при действии оператора и) (п. 21.9). Из сравнения этого ряда с (21.29), (21.30) получаем w(x, у) = 1п(1 - и), и = еМ + М - 1, где 1п(1 - и) интерпретируется как формальный ряд в -F[[w]], сходящийся при |гг| < 1. Заметим, что в нашем случае и ^0. Поэтому соотношение и < 1, ||х|| + |М|<1п2 достаточно для сходимости ряда z(x, у). Отсюда заключаем, что ряд Кемпбелла — Хаусдорфа сходится (в окрестности нуля) для каждой конечномерной алгебры Ли над полем F = R, С.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 151 § 22. Примеры алгебр Ли 22.1. Линейные алгебры Ли. По классической традиции алгебру Ли g принято называть линейной, если она изоморфна подалгебре в gl(n) (при некотором п). Согласно теореме Адо (см., например, [ГГ]), этим свойством обладает каждая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Мы уже рассматривали некоторые подалгебры в gl(n), а именно подалгебру sl(n), диагональную подалгебру 1)(п), треугольные подалгебры Ь±(п), нильпотентные подалгебры п±(п). Другие замечательные классы линейных алгебр Ли связаны с рассмотрением билинейных (или квадратичных) форм в пространстве Fn. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F. Фиксируем билинейную (F-значную) форму / в пространстве V, и пусть д(/) — множество всех операторов аЕ End V, аннулирующих /, т. е. f(ax,y) + f(x,ay) = 0 (22.1) для всех ж, у е V. Записывая это равенство в виде а/ = 0 (п. 16.2), находим, что д(/) есть алгебра Ли над полем F. Если форма / фиксирована, то иногда вместо д(/) используется обозначение t>(V). Фиксируем базис в пространстве V и рассмотрим стандартную билинейную форму (ж, у) = ж,у{ + ... 4- жлуп, (22.2) где п = dim V. Заметим, что каждая билинейная форма в пространстве V однозначно записывается в виде /(ж, у) = (<тж, у), (22.3) где а — матрица коэффициентов формы / = /, в координатах (22.2). Согласно определению (22.1), имеем 0(/) = {а е дГ(п): аа+с£сг = 0}, (22.4) где av-*d — транспонирование в gl(n). Применяя транспонирование к определяющему условию в (22.4), находим, что д(/) аннулирует также сопряженную форму f' = ffft. Более того, д(/) = д(/'). Заменяя пару /, /' компонентами /±/;, приходим к рассмотрению частных случаев, когда форма / симметрична или антисимметрична в пространстве V. Интересно также рассматривать случай, когда форма / невырождена (deta ^0). В этом случае определяющее условие в (22.4) сводится к условию косой симметрии а=—а, относительно автоморфизма a = a~lda. Если поле F алгебраически замкнуто, то каждая невырожденная симметрическая форма / в пространстве V приводится в некотором базисе к каноническому виду (22.2). Соответствующая алгебра Ли д(/) обозначается t)(n) и называется ортогональной алгеброй Ли в пространстве V = Fn. Иногда в этом случае вместо формы (22.2) выбирается сопряженная форма /,(ж, у) = х{уп +... + хпУ{, (22.5)
152 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ отвечающая матрице а^ = 8Vi% где V = п — г + 1. Условие принадлежности ае t)(n) имеет вид d — —a относительно формы (22.2) и вид а = -а относительно формы (22.5), где а,у-+а — транспонирование в $1(п) относительно второй (побочной) диагонали. Рассмотрим в gl(n) стандартный матричный базис eijt где г, j = 1,..., п. Элементы /iy = e{j - e^ в реализации (22.2) (либо e{j - ejV в реализации (22.5)) образуют оазис алгебры Ли и(п). Отсюда dimt)(n) = ^=-^. (22.6) Если форма / антисимметрична, то она может быть невырожденной только в случае четной размерности n = 2fc. В этом случае алгебра д(/) обозначается sp(n) и называется симплектической алгеброй Ли в пространстве Fn. Если поле F алгебраически замкнуто, то / приводится в некотором базисе к виду /2(х, у) = ххуп +... + xkyk, - xk,yk — ... —я^У1, (22.7) где &' = п — & + 1. Элементы где г, j = 1,..., к, образуют базис в sp(n). Отсюда dimsp(n) = ^Ii. (22.8) Примеры. 1. Запишем каждую матрицу а е gl(n) при п = 2fc в виде блочной матрицы -(; ?)■ с компонентами из gl(fc)- Условие принадлежности аеъ(п) в реализации (22.5) имеет вид а = -$ 0 = -Д т = -7, (22.9) где xi-+ ж — транспонирование относительно побочной диагонали. Условие принадлежности aesp(n) имеет вид а = -$ 0 = Д 7 = Т (22.10) 2. Если n = 2fc + 1, то условие принадлежности a£t)(n) записывается в виде a £ /3 v о е, 7 »7i 5 где матрицы а,(3,%6 связаны соотношениями (22.9), ^ = -^, Vi — ~1- Здесь £ е F* — вектор-столбец, v) € F* — вектор-строка.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 153 Упражнения. 1. Пусть g — одна из алгебр Ли &(га), sp(n), ассоциированных с формами (22.5), (22.7). Проверьте, что g обладает образующими е,=Д, + „ /,=/4 + м, (22.11) где г = 1,..., к, к = [п/2]. 2. Проверьте, что g обладает «треугольным разложением» g = n_el)en+, (22.12) где fj (соответственно, п±) — пересечение алгебры g с fj(n) (соответственно, с п±(п)). Замечание. Термины «ортогональный», «симплектический» в приложении к алгебрам Ли связаны с соответствующими терминами для групп Ли (см. § 37). 22.2. Векторные поля. Пусть V — векторное пространство конечной размерности над полем F = R, С. Каждая вектор-функция £: V—> V называется векторным полем в пространстве V. Поле £ называется k-гладким, где к = 0,1,..., оо, cj, если этим свойством обладает функция f (о>-глад- кость = аналитичность). Фиксируем базис в пространстве V с координатами ж. (г = 1,..., п). Сопоставим векторному полю f дифференциальный оператор £ = ЕЫ*Ж, (22.13) где £i(x) — координаты вектора f (ж), д{ = д/дх{. Условие fc-гладкости поля £ равносильно £{ € Ck(V) для всех г = 1,..., п, где Ск(V) — алгебра fc-гладких (F-значных) функций в пространстве V. Если к ^ 1, то оператор (22.13) определен в пространстве Ck(V). Более того, (22.13) есть общий вид дифференцирования алгебры Ck(V). Соответственно, Lk(V) = D(Ck(V)) есть алгебра Ли (подалгебра в EndCk(V)). Легко проверяется, что коммутатор векторных полей f, rj есть векторное поле С, где С, = Ш^-Щ%). (22.14) Полученное равенство означает, что алгебра Ли Lk(V) фактически не зависит от параметра к. Соответственно, алгебра Ли Lk(V) обозначается Vect V (алгебра векторных полей в пространстве V). Аналогично определяется алгебра векторных полей Vect M на произвольном (fc-гладком) многообразии М над полем F (п. 31.4). Известные подалгебры алгебры Vect M возникают (по аналогии с д(/)) как аннуляторы некоторых дифференциальных форм, определяемых на многообразии М. К числу таких подалгебр относятся алгебры Ли гамильтоновых и контакт- них векторных полей на многообразии М (см., например, [Кир]). Если М — симплектическое многообразие (наделенное невырожденной кососимметрической билинейной формой), то алгебра Ck(V) при к ^2 есть также алгебра Ли относительно скобки Пуассона, определенной в Ck(V) (см., например, [Кир]).
154 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Примеры. 1. Векторные поля е = х,д2, f = x2dv h = xldl-x2d2 (22.15) образуют алгебру Ли, изоморфную sl(2), с каноническим базисом (16.22). 2. Алгебра Витта V(S) = VectS, где S—единичная окружность (алгебраическое многообразие), обладает базисом en = zn+{d/dz, с соотношениями коммутации [en,ej = (m-n)en+m, (22.16) где m, n € Z. Упражнение. Проверьте, что операторы Д=£0?, x*=±xf, e=±xA (22.17) * = 1 » =s 1 t « 1 образуют алгебру Ли, изоморфную sl(2). Здесь ж; (г = 1,..., п) рассматриваются как операторы умножения в алгебре Ск(V) при к ^ 2. 22.3. Алгебра «1(2). Положим g = sl(2) над полем F = С (для простоты изложения). Фиксируем канонический базис е, /, Л алгебры g с соотношениями (16.22) и заметим, что /ie = e(/i + 2), hf = f(h-2) (22.18) в алгебре 17(g). Заметим также, что [eJn] = nfn~l(h-n + \) (22.19) для всех n EZ+. Пусть X — конечномерный g-модуль. Пусть а^еХ — собственный вектор оператора h с собственным значением А. Согласно (22.18), вектор ех^ есть либо 0, либо собственный вектор оператора h с собственным значением А +2. Применяя это рассуждение последовательно (и используя конечность числа собственных значений оператора Л), находим О^а^бХ, для которого е^ = 0, hx0 = Xx0. (22.20) Полагая xk=fkx^ (к еZ+) и используя (22.19), получаем ехк = &(А - к + 1К_,, (22.21) где к eN. Согласно (22.21), линейная оболочка Х0 элементов хк (к €Z+) инвариантна относительно операторов е, / (но тогда и относительно h). Иначе говоря, Х0 есть подмодуль модуля X. Если X —простой д-модуль, тоХ0 = Х. Положим 10 = Хи заметим, что X натянуто на базис Xq,..., хп, где п — наибольшее из чисел keZ+, для которых эти векторы линейно независимы. Заметим, что векторы хк имеют попарно различные собственные значения относительно h. Отсюда хк + 1 = 0. Полагая в (22.21) к = п + 1, получаем А = п (так что А е Z+). Явный вид операторов е, /, /i в пространстве X удобно записывать в базисе £т = (I + га)!же_т, где / = п/2, так что m = -/, -J + 1,..., Z.
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 155 Используя (22.21) и определение векторов хк, получаем ee» = ('-"0em+I, tf„ = (* + "»)£»_„ htm = 2mtn. (22.22) Отсюда заключаем, что каждый простой конечномерный д-модуль X = Vn определяется однозначно, с точностью до изоморфизма, числом п е Z+ и записывается в виде (22.22). Пример. Рассмотрим векторные поля (22.15) в пространстве полиномов Е =С[х1} а^], и пусть Еп — подпространство в Е, состоящее из однородных полиномов степени п. Легко проверяется, что операторы (22.15) имеют вид (22.22) в базисе С — ~ш1 + т~»1 — т Sm — х{ ^2 векторного пространства Е. Отсюда Vn&En. Таким образом, алгебра Е есть полупростой g-модуль, содержащий однократно все простые конечномерные модули Vn&En. Заметим также, что ЕпЕт = Еп+т (22.23) для всех п, т € Z+. Ниже будет построен (см. § 48) аналог алгебры Е для всех полупростых комплексных алгебр Ли. 22.4. Алгебра д(а). Фиксируем комплексную матрицу a=(ai:j), нумерованную индексами г, j e I, где card/ = n < oo. По аналогии с матрицами Картана (п. А. 14), мы будем рассматривать «реализацию» матрицы а, определяемую по правилу ау = </*;,",>> <22-24) где h. (соответственно, а^)— линейно независимая система в векторном пространстве fj (соответственно, \)*) над полем С. Если матрица а невырождена, то реализация (22.4) существует и единственна (с точностью до изоморфизма дуальной пары f),f)*) при dimf) = n. В общем случае имеет место аналогичный результат при dim fj = 2п - Z, где I = rank а [Кац]. Пусть д(а) — алгебра Ли над полем С, порожденная элементами h et), е,., f. (i el) и фундаментальными соотношениями следующего вида: [М'] = 0, [е,,/у] = ^Л, (22.25) [Л,^] = а,(Л)*, [Л,/J = -*,(*)*, (22.26) где Л, h' e f), г, j e I. Значение этой конструкции проявится в должной мере при исследовании полупростых комплексных алгебр Ли (п. 39.2). Отметим пока некоторые общие свойства алгебр Ли jj(a). Согласно данному определению, подмножество fj вложено в 5(a) как коммутативная подалгебра алгебры g(a). Присоединенное действие ad f) диагонально на образующих, но тогда и во всей алгебре д(а). Иначе говоря, д(а) есть прямая сумма весовых подпространств Ва = {* € я(а): [К х] = a(h)x> V/i e ()}, (22.27) где a G Q, Q =J2Za. —решетка в f)*, порожденная векторами а. (г Е I).
156 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ Заметим, что весовая градуировка (22.27) определяется на образующих по правилу deg е, = - deg /. = а{, deg h = 0, (22.28) где h е f), г el. Ясно также, что [*«,%] Сда+, (22.29) для всех а, /3 е Q. Положим Q± = ± ^2 %+ai> и пусть п± — прямая сумма компонент да при ^ * ~ aeQ±. Ясно, что п± есть подалгебра алгебры g(a). Ясно также, что f) нормализует п±, т. е. [f),n±]Cn±. (22.30) 22.5. Теорема. Подалгебра I) совпадает с нулевой компонентой Q-градуировки (22.27). Соответственно, в алгебре д(а) выполняется «треугольное разложение» fl(a) = n.ef)®n+. (22.31) Более того, подалгебрап+ (соответственно, п_) есть свободная алгебра Ли с образующими ei {соответственно, f{), где г е I. Доказательство. Пусть X — свободная ассоциативная алгебра с образующими х( (г el). Фиксируем Л еI)* и рассмотрим в пространстве X следующие линейные операторы: &х = х(х, Ь(1) = А(Л)1, e(l) = 0, (22.32) Л(»ух) = -ау(Л)я:уя + /ДЛя), где h e 1), (22.33) «<Ц*) = Syhtx + xfax), (22.34) где имеется в виду индуктивное определение операторов Л, et. по длине одночленов х е X. Легко проверяется (упражнение), что эти соотношения согласованы с генетикой алгебры д(а) и потому определяют в пространстве X структуру д(а)-модуля Хх (зависящего от А е I)*). Мы используем этот 5(а)-модуль для доказательства данной теоремы. Пусть е (соответственно, f) — подалгебра в J(a), порожденная элементами е{ (соответственно, £). Используя соотношения (22.25), (22.6), легко проверить, что 5(a) есть векторная сумма подпространств е, f, l). Покажем, что эти подпространства линейно независимы. Действительно, пусть e+f+h =0, где е € е, / Gf, h e f). Применяя это равенство к элементу 1 е Хх, заметим, что е • 1 =0, откуда /• 1 + \(h)\ = 0. Поскольку эти слагаемые линейно независимы в алгебре X, мы находим /• 1 = А(Л) = 0 для всех A e \f, т. е. / = h = 0, откуда также е = 0. В результате 5(a) есть прямая сумма подпространств f, f), е. Остается заметить, что эта сумма совпадает с (22.31). Положим Х± = U(ti±). Согласно (22.32), отображение Х_ -»X, f »-* / • 1 накрывает алгебру X. Поскольку X —свободная алгебра, отсюда следует,
§ 22. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ 157 что отображение f{ ь-> х{ определяет изоморфизм Х_&Х. Заметим также, что 5(a) обладает автоморфизмом х «-> х, определяемым на образующих по правилу 5Г=— х', где *<=/«, Я = е„ fc' = fc, (22.35) где hel),i el. Поскольку этот автоморфизм переставляет подалгебры Х±, мы находим также 1+«1. Отсюда заключаем (п. 16.6), что п± есть свободная алгебра Ли, порожденная (соответственно) элементами е0/г.. 22.6. Следствие. Среди идеалов алгебры 5(a), имеющих нулевое пересечение с подалгеброй J), имеется максимальный (наибольший) идеал г(а). Более того, r(a) = r_(a) ф г+(а), (22.36) где г±(а) = г(а) П п±. Действительно, каждый идеал г алгебры 5(a) наследует весовую градуировку алгебры *Q(a) и потому наследует треугольное разложение (22.31). Определяя г(а) как векторную сумму идеалов rCg(o), для которых rfif)=0, получаем (22.36). 22.7. Следствие. Факторалгебра g(a) = g(a)/r(a) (22.37) не содержит ненулевых идеалов г, для которых rnfj = 0 (здесь fj отождествляется со своим образом в g(a)). Более того, g(a) обладает треугольным разложением g(a) = n_®f)en+, (22.38) где n± = n±/r±(a). Упражнения. 1. Алгебра g(a) обладает Q-градуировкой (22.28). 2. Алгебра g(a) обладает Z-градуировкой deg е< = - deg /< = 1, deg h = О, (22.39) где h е J), i е I. 22.8. Предложение, (i) Если хеп±, [ж,/J = 0 для всех г el, то х = 0. (ii) Центр j(a) алгебры д(а) есть множество всех het), удовлетворяющих условию а.(ж) = 0 для всех i el. В частности, dim3(a) = n-/, (22.40) где I = rank а. Доказательство, (i) Пусть дг — однородная компонента степени 1 в д(а), относительно Z-градуировки (22.39). Полагая т(х)= £ (adfll)*(adf))^, получаем подпространство в д(а), инвариантное относительно adf), adef, ad f€ (г е I). Следовательно, m(x) есть идеал алгебры д(а). Ясно также, что т(х) имеет нулевое пересечение с подалгеброй f). Отсюда тп(ж) = 0, ж = 0.
158 Глава 3. АЛГЕБРЫ ЛИ (И) Если х е i(a), то все его компоненты в разложении (22.38) содержатся в з(а). Используя (i), получаем х е f). Используя (22.26), получаем утверждение (И). 22.9. Следствие. Если deta^O, moj(a) = 0. Действительно, в этом случае элементы h{ (г el) образуют базис векторного пространства f). Полагая h = ]CciA> а^(Л) = 0 для всех j E i", получаем г для всех j e J, откуда с. = 0 для всех % € I, h = 0. 22.10. Предложение. Алгебра g(a) проста тогда и только тогда, когда матрица а удовлетворяет условию связности (А.28) и det афО. Доказательство. Согласно следствию 22.28, условие det аф О необходимо. Легко проверить также (упражнение) необходимость условия связности. Обратно, пусть оба эти условия выполнены, и пусть m Ф 0 — идеал алгебры g(a). Тогда имеем m П f) ф 0, т. е. существует ненулевой элемент hemnt). Поскольку j(a) = 0, мы имеем h g j(a), что равносильно [Л, е,] = Хе{ ф0 при некотором г е I. (22.41) Отсюда е,- еш. Применяя к (22.41) автоморфизм (22.35), находим также f{ e m, откуда h{ e m. Используя условие связности, легко проверить, что в этом случае е,., /., ht G m для всех г Е /. В результате m = g(a), т. е. алгебра g(a) проста. Упражнения. 1. Если a — матрица Картана (п. А. 14), то алгебра g(a) конечномерна и полупроста. 2. Если матрица а связна, то каждый идеал алгебры g(a) либо содержит g'(a) = g(a)', либо содержится в j(a). 3. Если det a ф 0, то g'(a) = g(a). 22.11. Алгебры Каца — Муди. Алгебра g(a) называется алгеброй Ка- ца — Муди, если а — обобщенная матрица Картана (п. А.21). В частности, пусть а — обобщенная связная матрица Картана. Алгебра g(a) относится к одному из классов (Fin), (Aff), (Ind), если матрица а принадлежит этому классу. Ниже мы увидим (п. 39.2), что алгебры класса (Fin) исчерпывают, с точностью до изоморфизма, все простые конечномерные алгебры Ли. Алгебры класса (Aff), называемые также аффинными алгебрами Ли, детально изучены в [Кац]. Алгебры класса (Ind) практически не изучены. Комментарии к главе 3 Материал по алгебрам Ли, изложенный в этой главе, имеет классический характер и связан, главным образом, с работами Э. Картана, Г. Вей- ля, Леви — Мальцева по структурной теории конечномерных алгебр Ли. Теорема Леви (п. 20.5) позволяет свести (с использованием полупрямых
КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 3 159 произведений) теорию конечномерных алгебр Ли к теории двух специальных классов: полупростых и разрешимых алгебр Ли. Теорема Г. Вейля (п. 20.2) играет принципиальную роль в теории представлений полупростых алгебр Ли. Теоремы ПБВ (п. 19.5), Кемпбелла — Хаусдорфа (п. 21.6), Дынкина (п. 21.10) представляют собой фундаментальные результаты по общей теории алгебр Ли. Теория полупростых алгебр Ли достаточно детально разработана. Имеется полная классификация полупростых алгебр Ли над полями F = R, С (глава 6). Существует довольно обширная литература, в которой излагаются эти (и более специальные) результаты по теории алгебр Ли. Достаточно отметить монографии [Дже; Д2; Кап; С1]. Частично мы используем методические достижения, изложенные в работах [Кап; С1]. Например, теорема ПБВ доказывается в стиле [С 1]. Теорема 20.7 (критерий полупростоты) излагается обычно в упрощенной форме, для алгебр Ли с центральным радикалом (см., например, [С 1]). Тем не менее, общая формулировка этой теоремы также известна [Ж 5]. В оценке сходимости рядов Кемпбелла — Хаусдорфа мы ограничились полями R, С. Однако, аналогичные оценки справедливы также над всеми полными нормированными полями (см., например, [С1]). С другой стороны, задача классификации разрешимых (даже нильпотент- ных) алгебр Ли приводит к серьезным техническим трудностям. В этой главе мы лишь слегка коснулись теории бесконечномерных алгебр Ли. Более детальную информацию по этим вопросам можно найти в монографиях [Кац; Hep].
Глава 4 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ В этой главе излагаются основы теории топологических групп и топологических G-модулей. Для удобства ссылок в начале главы приводятся краткие обзоры по общей топологии (§ 23), по теории локально выпуклых пространств (§ 23), по теории интегрирования (§ 26). В конце главы излагаются также общие сведения по теории алгебраических многообразий и алгебраических групп. Центральное место в теории топологических групп занимает теорема А. Хаара — Дж. фон Неймана о существовании инвариантных мер на локально компактных группах. Использование этих мер позволяет конструировать «интегральные» групповые алгебры (по аналогии с алгебраической конструкцией гл. 2), играющие важную роль в теории топологических G-mo- дулей. Читатель заметит, что некоторые сюжеты теории G-модулей (§ 29) имеют аналогию с подобными сюжетами теории g-модулей, где g — алгебра Ли. Значение этой связи прояснится в главе 5. § 23. Топологические группы 23.1. Топология. Множество X называется топологическим про- странством, если в нем фиксировано семейство подмножеств, называемых открытыми и удовлетворяющих следующим аксиомам: (а) Каждое объединение открытых множеств открыто. (/3) Каждое конечное пересечение открытых множеств открыто. (7) Пустое множество 0 и все множество X открыты. Соответствующее семейство т, состоящее из открытых множеств пространства X, называется топологией в пространстве X. Таким образом, топологическое пространство — это пара (X, г), где X — множество, г — топология, определенная в X. Окрестностью точки х € X называется всякое открытое множество, содержащее точку х. Последовательность точек хпеХ называется сходящейся к точке х (хп —► х или х = lim жп), если для каждой окрестности U точки х п выполняется xneU при п ^ щ(Щ. Подмножество А С X называется замкнутым, если его дополнение А* = X \ А открыто. Очевидно, топологию в X можно задать в терминах замкнутых подмножеств множества X.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 161 Интерьером (или внутренностью) множества А С X называется наибольшее открытое подмножество А0 с А. Существование такого подмножества следует из (а), а именно, А0 есть объединение всех открытых подмножеств, входящих в А. Замьисанием множества А с X называется наименьшее замкнутое множество А, содержащее А. Подмножество дА = А \ А0 называется границей множества А. Топологическое пространство X называется ^пространством (соответственно, Т2-пространством), если каждая точка хеХ образует замкнутое множество (соответственно, каждые две точки х ф у обладают непересекающимися окрестностями). Очевидно, каждое 2^-пространство есть ^-пространство. Каждое jQ-пространство называется также отделимым (или ха- усдорфовым). Если X отделимо, то в нем все пределы единственны. Иначе говоря, существование предела х = lim xn влечет его единственность. То же верно п для пределов «по направленности», определяемых следующим образом. Упорядоченное множество / называется направленным, если в нем каждая пара элементов г, j обладает мажорантой к, т. е. г < k, j ^ к. Семейство точек х{еХ (г е I) называется направленностью, если множество I направлено. Сходимость xi —► х в пространстве X определяется по аналогии со случаем хп (п е N). Использование направленностеи в топологии определяется следующим фактом: все окрестности точки х Е X образуют направленность относительно инверсного порядка: U ^ V, если U С V. Упражнение. Замыкание А множества А есть множество всех предельных точек х = lim х{ (предел по направленности), где х{ е А. i Подмножество А называется всюду плотным в X, если А — X, т. е. каждая точка х € X есть предельная точка множества А: х = lim ж., х.еА. i Примеры. 1. Стандартная топология в R состоит из интервалов и их объединений (достаточно рассматривать счетные объединения). 2. Поле Q рациональных чисел всюду плотно в R. 3. Пусть /: [а, Ь] —>Ш — вещественная функция на отрезке [а, Ь]. Ее интегральные суммы Римана 57/, отвечающие всевозможным разбиениям j отрезка [а, Ъ], образуют направленность (относительно естественной упо- [)ядоченности разбиений). Интеграл Римана If (если он существует) есть im SJ. 23.2. Непрерывность. Отображение /: X -> У, где X, Y — топологические пространства, называется непрерывным в точке Xq€ X, если для каждой окрестности U точки /(аь) существует окрестность V точки а%, для которой f(V) с U. На языке направленностеи это означает, что каждая сходимость х. —> Xq влечет f(x{)-* /(а^). Непрерывность функции / во всем пространстве X (т. е. в каждой точке х^еХ) означает, что для каждого открытого U с Y его полный прообраз f~l(U) открыт в пространстве X (упражнение). Отображение /: X-+Y называется открытым, если для каждого открытого VсХ его образ /(V) открыт в пространстве Y. Если / — биекция, 12 Зак. 184
162 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ то это свойство равносильно непрерывности обратного отображения /_1: Y—*Х. Непрерывная и открытая биекция X на Y называется гомеоморфизмом пространств X, Y. В этом случае используется обозначение X ~ Y (или X « У). Говорят, что топология т мажорирует топологию а в пространстве X (а ^ г), если сг с т. В этом случае также говорят, что топология т сильнее топологии а (или а слабее топологии г). Очевидно, соотношение а < г равносильно тому, что единичный оператор 1: (X, т) —► (X, ^) непрерывен. Примеры. 1. Каждое множество X обладает тривиальной (наименьшей) топологией rmin = {0, -X"} и дискретной (наибольшей) топологией ттах = 2* (множество всех подмножеств множества X). 2. В дискретной топологии каждое подмножество А с X одновременно открыто и замкнуто (такие множества называются открыто-замкнутыми). Если X наделено дискретной топологией, то все отображения X -»Y непрерывны. 3. Для каждого отношения эквивалентности R в пространстве X фактормножество Y = X/R снабжается фактортопологией по правилу: А с Y открыто, если чгх(А) открыто в Х> где 7г: X —> У — каноническая проекция. Очевидно, фактортопология есть слабейшая топология в Y, относительно которой проекция 7г: X —► Y непрерывна. 23.3. Базы и предбазы. Подсемейство (3 С т называется базой топологии т, если каждое открытое множество J7 6 г есть объединение базисных открытых множеств V е /3. Иначе говоря, для каждой точки а^бХи каждой окрестности U точки а% найдется базисная окрестность V е /3 ТОЧКИ Д^, ДЛЯ КОТОРОЙ Zq Е V С 17. Очевидно, для определения сходимости xi -* Xq достаточно использовать базисные окрестности точки а%. Аналогично, и другие топологические понятия можно выразить в терминах базы топологии т. Подсемейство 7г С т называется предбазой топологии т, если его оболочка /3 = /3(7г), составленная из всех конечных пересечений подмножеств А € 7г, есть база топологии г. Нетрудно видеть (упражнение), что для каждого семейства 7гс2х, покрывающего X (т. е. X совпадает с объединением семейства 7г), существует единственная топология т = т(7г), содержащая 7г в качестве предбазы. А именно, элементы т(7г) суть всевозможные объединения базисных множеств V е /?(тг). Примеры. 1. Метрическое пространство М с метрикой р есть топологическое пространство с предбазой, состоящей из открытых шаров Se(a) = {xeM: р(а, х) < е}, (23.1) где е > 0. 2. Для каждого множества X и каждого семейства функций ft: X —► —► Xit где Xt. (г € /) — топологические пространства, существует слабейшая топология г в пространстве Ху относительно которой все функции f{ (г G I) непрерывны. А именно, т = т(7г), с предбазой 7г, состоящей из множеств At(U) = ft-^U), (23.2) где г € I, U — открытое подмножество в Х{.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 163 3. В частности, пусть X=UX( (23.3) — декартово произведение топологических пространств Х{ (г el). Определим д: X —► Xif р((х) = xit как проекцию точки х = (х{) на компоненту Х^. Слабейшая топология в X, относительно которой все функции д (г € /) непрерывны, называется топологией Тихонова в пространстве X. Упражнение. Сходимость в топологии Тихонова есть поточечная сходимость. Иначе говоря, сходимость ха —► х означает р{(ха) ->р{(х) для всех г G /. 23.4. Аксиомы счетности. Говорят, что X обладает 1-й аксиомой счетности, если каждая точка Xq£ X обладает счетной базой окрестностей. Говорят, что X обладает 2-й аксиомой счетности, если топология т в пространстве X обладает счетной базой. Очевидно, в каждом из этих случаев для описания топологических понятий в пространстве X достаточно использовать последовательности хп-*х (вместо направленностей х{—>ж). Примеры. 1. Метрическое пространство (М, р) обладает 1-й аксиомой счетности (шары (23.1) с рациональным радиусом е). 2. Евклидово пространство Rn обладает 2-й аксиомой счетности (шары (23.1) с рациональными координатами вКпи рациональным радиусом е). 3. Интеграл Римана // (п. 23.1) может быть представлен в виде lim S /, где 7П — последовательность вложенных разбиений отрезка [а, Ь]. Ниже будут рассматриваться также другие топологические понятия (связность, компактность и т. д.) в пространстве X. 23.5. Топологические группы. Группа G называется топологической, если в ней определена топология т, относительно которой групповые операции (ж, у)у-+ху, жк х~{ непрерывны, т. е. функция /:GxG-.G, f(x,y) = xy-> (23.4) непрерывна. Здесь имеется в виду (по умолчанию), что G x G наделяется топологией Тихонова. Если G — топологическая группа, то каждый из сдвигов х н-> дхЛ х »-* хд (д, х е G) есть гомеоморфизм пространства G. Поэтому преобразование х i-> дх (соответственно, х н-> хд) определяет биекцию между окрестностями V точки е и окрестностями gV (соответственно, Vg) точки д € G. В этом смысле топология в G однородна (относительно левых и правых сдвигов в группе G). Ясно также, что инверсия х »-> х~х есть гомеоморфизм группы G на себя. Соответственно, инверсия ху-+ х~х переводит каждую окрестность V точки е в окрестность V"1 точки е. В частности, е обладает симметричной окрестностью V0 = V П У"1 (инвариантной относительно инверсии). Заметим, что условие непрерывности функции (23.4) в точке е сводится к следующему: для каждой окрестности U точки е существует окрестность V точки е, для которой V • У"1 с U (аналогично, V~l • V С U). 12*
164 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Если G как топологическое пространство обладает одним из стандартных топологических свойств (отделимость, связность и т. д.), то говорят, что этим свойством обладает группа G. Примеры. 1. Аддитивная группа Шп есть топологическая группа (относительно стандартной топологии в Rn). 2. Полная линейная группа GL(n) = GL(n, F), состоящая из всех невырожденных матриц в L (n) = Mat(n, F), где F = R, С, есть топологическая группа. 3. Унитарная группа U(V), состоящая из всех унитарных операторов в унитарном пространстве V, есть топологическая группа. Упражнение. Проверьте, что замыкание подмножества А с G есть пересечение всех окрестностей AV (или VA) подмножества А, где V — произвольная окрестность точки ее G. 23.6. Топология в G/H. Пусть G — топологическая группа, Я — ее подгруппа. Топология в левом (соответственно, правом) G-пространстве X = G/H определяется как фактортопология (п. 23.2) относительно эквивалентности х ~ у, определяемой по правилу хН = уН (соответственно, Нх = Ну). При таком определении левое (правое) действие GxI->I непрерывно. Напомним (п. 23.2), что проекция 7г: G —► X непрерывна. Покажем, что эта проекция также открыта. Действительно, для каждого открытого А с G его образ 7г(А) = АН (либо НА) есть объединение открытых множеств Ах (аналогично, хА), где хе Я, так что множество 7г(А) открыто. Если Я есть замкнутая подгруппа группы G, то G/H есть ^-пространство. Действительно, каждая точка 7г(х) = хН (либо 7г(ж) = Нх) есть замкнутое множество в G/H. Пример. Функция /: G -» Y, где Y — произвольное множество, называется функцией классов относительно Я, если f(x) = f(y) при х~у. В этом случае равенство /(жЯ) = /(ж) (аналогично, /(Яж) = f(x)) (23.5) устанавливает биекцию между функциями классов /: G-^Уи функциями /: X —> У, где X = G/Я. Если г—топологическое пространство, то (23.5) устанавливает биекцию между непрерывными функциями классов /: G -> Y и непрерывными функциями f: X -+Y. 23.7. Предложение. Каждая Тггруппа есть также Т2-группа (т. е. G отделима). В частности, для каждого замкнутого нормального делителя Я группы G факторгруппа G/H отделима. Доказательство. Пусть х ф у — две различные точки группы G. Поскольку точка ху~х образует замкнутое множество, его дополнение V есть окрестность точки е, для которой х $ Uy. Полагая V"1 V с U (V — окрестность точки е), получаем VxC\ Vy = 0, т. е. группа G отделима. В частности, G/H есть ^-пространство (п. 23.6). Следовательно, фак- торпространство G/H отделимо. Упражнение. Пусть Я0 — наименьшее замкнутое множество, содержащее точку е. Тогда Я0 есть наименьший замкнутый нормальный делитель группы G.
§ 23. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 165 23.8. Связность. Пространство X называется связным, если его невозможно представить в виде дизъюнктного объединения непустых открыто- замкнутых подмножеств. Подмножество А с X называется связным, если оно связно в индуцированной топологии, состоящей из подмножеств А П U, где U открыто в X. Легко проверяются следующие утверждения: (а) Непрерывный образ связного множества связен. (/3) Каждое топологическое пространство X представляется (единственным образом) в виде дизъюнктного объединения минимальных открыто- замкнутых подмножеств Х{ (г Е /), называемых связными компонентами пространства X. Пусть G — топологическая группа, Ge — компонента связности группы G, содержащая точку е. Ясно, что Ge инвариантно относительно преобразований х «-> gxg~l (g EG). Следовательно, Ge есть (замкнутый) нормальный делитель группы G. Ясно также, что факторгруппа G/Ge вполне несвязна. Последнее означает, что все компоненты связности в G/Ge одноточечны. Если А, В —два связных подмножества группы G, то их групповое произведение АВ (составленное из точек аЬ, где ае А, Ъ е В) также связно. Действительно, каждая компонента связности в А В имеет вид АС (упражнение), где С — компонента связности в В. В нашем случае В = С, т. е. А В связно. Примеры. 1. Мультипликативная группа R+=R\{0} есть объединение двух связных компонент, выделяемых условиями х < 0, х > 0. 2. Для каждой связной окрестности V точки е е G подмножество V°° = U Vп (23.6) п = 1 связно и потому содержится в Ge. Более того, V°° открыто. Замыкание V00 содержится в каждом множестве V°°V0, где V0 — окрестность точки е (п. 23.5). Полагая V0 = V, получаем, что У°° замкнуто. В результате Замечание. Равенство V°° = Ge означает, что Ge порождается каждой связной окрестностью V точки е. Если G связна, то каждая такая окрестность есть система образующих группы G. Упражнения. 1. Пространство X называется линейно связным, если каждые две его точки ж, у можно связать непрерывным путем, т. е. существует непрерывное отображение [0,1]—> X, t н+ x(t), для которого х(0) = х, ж(1) = у. Докажите, что линейная связность пространства X влечет его связность. 2. Пусть Н — связная подгруппа группы G. В этом случае связность группы G равносильна связности левого (правого) факторпространства G/H. 23.9. Компактность. Топологическое пространство X называется компактным (или компактом), если каждое его открытое покрытие 7г (состоящее из открытых множеств) содержит конечное подпокрытие 7г0 с 7г. Подмножество АсХ называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии (п. 23.8).
166 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Например, из леммы Гейне — Бореля следует, что отрезок [а, Ь] компактен. Однако, интервалы и полуинтервалы в пространстве Ш не компактны. Все пространство R тоже не компактно. Компакты обладают рядом замечательных свойств. Например, непрерывный образ компакта есть компакт. В частности, каждая непрерывная функция /: X —► R (либо /: X —► (М, р)), где X — компакт, ограничена (теорема Вейерштрасса). Отсюда также нетрудно вывести, что / обладает минимак- сом, т. е. принимает значения min /(ж), max f(x) в некоторых точках х е X. Отметим следующий критерий компактности. Семейство S С 2х называется центрированным, если каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Пространство X компактно тогда и только тогда (упражнение), когда в нем каждое центрированное семейство 5, составленное из замкнутых множеств, имеет непустое пересечение. Упражнения. 1. Групповое произведение компактов А В в группе G есть компакт. 2. Каждое замкнутое подмножество компакта есть компакт. 3. Из каждой направленности х{ е X, где X — компакт, можно выбрать поднаправленность, сходящуюся к некоторой точке хеХ. [Указание: в противном случае семейство (х-) замкнуто в X и все его точки изолированы.] 4. Если X отделимо, то каждое компактное подмножество А с X замкнуто. 5. Непрерывная биекция ц>: X —> F, где X — компакт, Y отделимо, есть гомеоморфизм. [Указание: из упражнений (2), (4) следует открытость отображения <р.] 6. Если X отделимо и компактно, то X обладает следующим свойством нормальности: каждые два непересекающихся замкнутых подмножества А, В с X обладают непересекающимися окрестностями: А с U, В С У, где Uf)V = 0. Помимо этого, в условиях (6) существует непрерывная функция /: X -> -> [0,1], для которой /(ж) = 0 при х е A, f(x) = 1 при хеВ (лемма Уры- сона). Декартова степень компакта есть компакт (теорема Тихонова). Например, декартова степень [0,1]а (а —кардинальное число) есть компакт. Доказательства двух последних утверждений можно найти в стандартных учебниках по топологии. См., например, [Ке; Лю]. 23.10. Лемма. Пусть /: Ix7->Z-непрерывная функция. Если Y0cY компактно и ZQ с Z открыто, то множество Х0 = {хеХ: /(ж, у) е Z0 для всех y€Y0} (23.7) открыто. Доказательство. Достаточно рассматривать случай, когда Х0 непусто. Фиксируем Xqе Х0, и пусть Uх V — окрестность точки (^%)El0x YQi для которой /(Ц V) С Z0. Соответствующие окрестности V покрывают YQi поэтому конечное число окрестностей U{ x V{ (i = 1,..., п) покрывает XqxY0. Отсюда Xq e UQ с Х0, где U0 — пересечение окрестностей С/, (г = 1,..., п). Следовательно, Х0 открыто.
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 167 23.11. Теорема. Если группа G компактна, то каждая непрерывная функция /: G —► F (F = R, С) равномерно непрерывна (относительно левых или правых сдвигов в группе G). Иначе говоря, для каждого е>0 существует окрестность единицы V, относительно которой |/(х)-/(у)|<е (23.8) при условии x~lyeV (аналогично, ух~х е V). Доказательство. Достаточно применить лемму 23.10 к одной из функций f(g, x) = f(x)-f(gx), f(g, x) = f(x)-f(xg). В этом случае роль Х0 играет окрестность V = {geG:\f(g,x)\<e}. 23.12. Локальная компактность. Пространство X называется локально компактным, если каждая точка х е X обладает окрестностью VQ с компактным замыканием (такие множества называются предкомпактными). Очевидно в этом случае точка х обладает базой предкомпактных окрестностей (вида V0 П V, где V — окрестность точки х). Условие локальной компактности группы G сводится к тому, что точка е е G обладает предкомпактной окрестностью. В этом случае подгруппа Ge = V°° а-компактна, т. е. предотавима в виде счетного объединения компактов (в данном случае Кп = Vя). Пространство X называется локально евклидовым, если каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной некоторой ограниченной окрестности в Rn. Упражнения. 1. Группа GL(n) локально евклидова (и потому локально компактна). 2. Если G локально компактна, то каждый компакт К с G обладает предкомпактной окрестностью и G/H локально компактно для каждой подгруппы Я с G. 3. Теорема 23.11 переносится на функции с компактным носителем в локально компактной группе G. Здесь носитель supp/ функции / определяется как замыкание множества точек х е X, для которых f(x) ^0. Ясно также, что лемма Урысона (п. 23.9) справедлива для компактов А, В в отделимом локально выпуклом пространстве X. Замечание. Лемма Урысона справедлива в каждой (не обязательно отделимой) локально компактной группе. Это ясно из отделимости G/Щ, где Н0 — наименьший замкнутый нормальный делитель группы G (п. 23.7). § 24. Топологические векторные пространства 24.1. Определение. Векторное пространство X над полем F = R, С называется топологическим векторным пространством (ТВП), если в нем введена топология, относительно которой векторные операции х + у, Хх непрерывны (соответственно, в X х X, F х X). В частности, функция /(ж, у) = х — у непрерывна, т. е. X есть топологическая группа по сложению.
168 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Здесь выбор основного поля связан с наличием топологии в R, С, определяемой абсолютным значением А н+ |А|. Определение ТВП переносится также и на другие (р-адические) нормированные поля. Стандартный способ введения топологии в векторное пространство X состоит в рассмотрении «открытых шаров» Sp£(a) = {xeX:p(x-a)<e}, (24.1) где а€Х, реР, е > О, Р — некоторое семейство полунорм, фиксированное в пространстве X. А именно, пусть т(Р) — топология в пространстве X с предбазой из открытых шаров (24.1). Нетрудно видеть, что сходимость х. —► х в топологии т(Р) есть сходимость по каждой полунорме р € Р, т. е. р(х( - х) —> 0. Отсюда легко выводится (по аналогии с п. 4.6), что каждое (X, т(Р)) есть ТВП. Ясно также, что т(Р) есть наименьшая топология в пространстве X, относительно которой все полунормы р е Р непрерывны. Упражнение. Пространство (X, т(Р)) отделимо тогда и только тогда, когда для каждой точки х^О найдется полунорма реР, для которой р(х)ф0. Полунормы ре Р называются базисными полунормами в пространстве (Х,т(Р)). Примеры. 1. Нормированное пространство X (с единственной базисной полунормой р(х) = ||х||) отделимо. 2. Пространство С^т)(а, Ь), состоящее из функций /: [a, b]->F с непрерывными производными /(fe), где 0 ^ к < га, снабжается полунормами А(/)= max |/W(x)|, (24.2) а^ х ^ о где 0 < к ^ т. Сходимость /п —► / в этом пространстве есть равномерная сходимость /W z3 /(*\ где 0 ^ к ^ га. 3. Аналогично определяется С°°(а, Ь) с полунормами (24.3), где к е Z+. 4. Пространство С(Т), состоящее из непрерывных функций /: T->Fb топологическом пространстве Т, снабжается полунормами Pjf(/) = max|/(t)|, (24.3) где К С Т — произвольный компакт. Сходимость /,•—>/ в С(Г) означает равномерную сходимость /^ =3 / на каждом компакте К с Т. 5. Если Т — компакт, то топология в С(Т) определяется единственной нормой 11/11 =РАЛ- (24.4) 24.2. Локальная выпуклость. Подмножество V с X называется вы- пуклым, если вместе с каждой парой точек ж, у е V оно содержит отрезок [ж, у], состоящий из точек z = £ж + (1 - t)y, где 0<t<l. Отсюда следует (индукцией по п), что вместе с каждыми точками х{ е V
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 169 (г = 1,..., п) множество V содержит их выпуклую комбинацию П v 71 х=^2оцЪ> ГДе 0<а<<1, Еаг = 1- Ясно также, что пересечение любого числа выпуклых множеств в пространстве X есть выпуклое множество. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым (ЛВП), если оно обладает предбазой (но тогда и базой), состоящей из выпуклых множеств. Например, все шары (24.2) суть выпуклые множества, т. е. каждое («У, т(Р)) есть ЛВП. Обратно, можно показать (см., например, [Р]), что каждое ГГЛВП есть (X, т(Р)). Мы не станем пользоваться этим результатом. Тем не менее, термин ЛВП будет ассоциироваться с конструкцией (X, т(Р)). Согласно общей схеме (п. 23.3), топология т(Р) обладает базой, составленной из конечных пересечений шаров (24.1). Если шар (24.1) содержит точку Oq, то он содержит также шар S^Oq) (при некотором е0 ^ е). Отсюда ясно, что выпуклые множества У-й^Ы (24-5) 1 = 1 образуют базу окрестностей точки Oq. Описание базисных окрестностей можно еще более упростить, если расширить семейство Р до семейства Р0, состоящего из присоединенных полунорм й)(ж)= max р{(х), (24.6) 1 ^ г ^.п где р( е Р (г = 1,..., п). Ясно, что каждая окрестность (24.5) содержит шар ^е0(ао) ПРИ fib = m'n(ei! • • ■> еп)- Таким образом, открытые шары (24.1), где р€Р0, образуют базу окрестностей точки аеХ. 24.3. Предложение. Полунорма р в пространстве (X, т(Р)) непрерывна тогда и только тогда, когда она мажорируется одной из полунорм Срц, где С > 0, р^ е Р0, т. е. р(х) < Cpq(x) для всех х е X. (24.7) Доказательство. Непрерывность полунормы р в точке 0 означает, что для каждого е > О существует базисная окрестность нуля V = 5 (0), для элементов которой х е V имеем р(х) ^ е. Слегка уменьшая £q, можно считать, что условие Pq(x) < е0 влечет р(х) ^ е. Если Ро(х) ф0, то для вектора — £ох *° " ъ(х) имеем #)(zq) = e0, откуда p(xq) ^ е, что совпадает с (24.7) при С = е/е0. Если Ро(х)=0, торь(пж) = 0ддя всех n€N, откуда р(пх) < е, т. е. р(х)^е/п для всех п eN, р(ж) = 0. Соответственно, оценка (24.7) также выполняется. Обратно, если (24.7) выполняется, то полунорма р непрерывна. Действительно, \р(х) - р(у)\ < р(х - у) < Cpq(x - у) 11 Зак. 184
170 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ для всех ж, у е X. Полагая у = х{ -» ж, получаем p(xj —> р(ж), т. е. полунорма р непрерывна. 24.4. Следствие. Непрерывность линейного оператора aeHom(X, Y) в топологиях (X, т(Р)), (Y, r(Q)) сводится к оценкам q(ax) ^ Сръ(х) (24.8) для каждой полунормы q € Q при некоторых С ^ 0, р0 е Р0 (зависящих от q). Действительно, непрерывность оператора а равносильна непрерывности всех полунорм р(х) = q(ax)t где q e Q. Примеры. 1. Непрерывность линейного функционала / Е X* сводится к оценке \f(x)\^Cp0(x). (24.9) 2. Оценка (24.8) для нормированных -X, Y сводится к стандартной оценке ||ax|K||a||||x||(n.4.7). Обозначения. Мы будем использовать (по аналогии с теорией нормированных пространств) обозначение В(Х> Y) для векторного пространства всех непрерывных операторов a E Hom(X, Y). В частности, В(Х) = = В(Х, X) есть подалгебра в End X. Упражнения. 1. Если семейство Р конечно и топология т(Р) отделима, то (X, т(Р)) нормируемо, т. е. топология в X определяется единственной нормой Pq е Р0. 2. Пространство С°°(а, Ь) не нормируемо. [Указание: Если X нормируемо, то норма в X мажорируется одной из норм (в обозначениях п. 24.1). С другой стороны, pk(x) < CJ|x|| для всех к е N, так что ограниченность производных /(fe) при 0 < к ^ m влечет ограниченность /<m+1). Противоречие.] 3. Топология в Х/Х0, где -X" — ЛВП с топологией т(Р), определяется системой полунорм p(x)=inip(y), (24.10) х~у где р € Р и х ~ у означает ж - у е Х0 (Х0 — подпространство в X). Условимся говорить, что функционал f e X* подчинен полунорме р в пространстве X, если |/(ж)| ^ р(х) для всех хеХ. 24.5. Теорема (Хан — Банах). Пусть X —векторное пространство над полем F = R,С, р—полунорма в пространстве X. Если линейный функционал /0 в подпространстве Х0 подчинен полунорме р, то он продолжается до линейного функционала f во всем пространстве X, подчиненного полунорме р. Доказательство можно найти в учебниках по функциональному анализу. См., например, [КФ; Ш 1]. Мы отметим ряд следствий из этой теоремы.
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 171 (а) Для каждой точки XqеX и каждой полунормыреР в пространстве X существует функционал f е X*, для которого f(xo) = P(xo)> 1/1<Р (т. е. \f(x)\ < р(х) для всех х е X). Соответственно, полунорма р записывается в виде р(х) = тах|/(х)|. (24.11) 1/1 о (/3) Если X —ЛВП(с топологией т(Р)), то каждый линейный непрерывный функционал в подпространстве Х0сХ можно продолжить до линейного непрерывного функционала во всем пространстве X. (7) Если X — отделимое ЛВП, XQ — замкнутое подпространство в X, то для каждого Xq, не лежащего в Х0, существует линейный непрерывный функционал f е X*, отделяющий Xq от Х0: /к = 0, /ЫФО. (24.12) Действительно, в условиях (а) равенство /0(Аа^) = Ар(а^) определяет искомый функционал /0 в одномерном подпространстве Fxq. Остается применить теорему Хана — Банаха. Соответственно, полунорма p(x)=sup |/(ж)| 1/1 о переписывается в виде (24.11). Утверждение (/?) следует из критерия непрерывности (24.9). Утверждение (7) следует из (а), (/?) при замене X на Х/Х0. Достаточно даже рассматривать случай X = Xq®Fxq. Согласно (а), для каждой полунормы ре Р существует / е (Х/Х0)*, удовлетворяющий соотношению f(x + \x0) = p(x + \x0), где хеХ0, A eF, ^определяется по правилу (24.10). Здесь /, ^рассматриваются как функции классов (относительно Х0). Согласно предложению 23.7, пространство Х/Х0 отделимо. Поэтому найдется полунорма ре Р, для которой pix^^O. Отсюда следует (24.12). Пример. Пусть X отделимо (так что 0 есть замкнутое подпространство в X). В этом случае критерий (24.12) означает, что равенство ж = 0 в пространстве X равносильно /(ж) = 0 для всех непрерывных / е X*. Утверждение (7) входит в серию «теорем отделимости» для отделимых ЛВП. См. по этому поводу добавление С. 24.6. Двойственность. Два векторных пространства X, Y над полем F называются двойственными друг другу относительно билинейной формы S3: X х Y-> F, если эта форма невырождена в X х Y (п. 2.7). Полагая ру(х) = \Р(х,у)\ = рх(у), (24.13) получаем две системы полунорм (соответственно, в X, Y). Соответствующая топология а(Х, Y) в пространстве X (аналогично, в Y) называется слабой топологией в X (аналогично, в Y). и*
172 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Из невырожденности формы /3 следует, что каждая точка х е X (аналогично, ye Y) однозначно определяется своими «координатами» (3(х,у). Отсюда ясно, что топология <т(Х, Y) (аналогично, a(Y,X)) отделима. Примеры. 1. Билинейная форма ь (f,9)=\f(x)g(x)dx (24.14) а невырождена в пространстве С(а, Ъ). 2. Форма (24.14) невырождена в Lp(a, b) x Lq(a, b) при условии f+H- <24Л5) 24.7. Пространство Х\ Пусть X —ТВП. Сопряженное пространство X1 определяется как подпространство в X*, состоящее из линейных непрерывных функционалов в пространстве X. Если X — отделимое ЛВП, то пара X, X'. находится в двойственности относительно билинейной формы (•, •), определенной в X х X* (п. 2.7). Действительно, равенство х = 0 в пространстве X возможно (по теореме Хана — Банаха) только при f(x) = (ж, /) = 0 для всех / е X'. В то же время / = 0 означает (по определению), что f(x) = 0 для всех я е X. Заметим, что исходная (сильная) топология т = т(Р) мажорирует слабую топологию сг = <т(Х, X'). Действительно, если ж{ —► ж в топологии г, то f(x{ — — х) —* 0 для всех / Е X', т. е. xi —* х в топологии <т. Аналогично, в X1 определяется сильная топология г' с базисной системой полунорм p^(/) = sup|/(x)|, (24.16) х€А где А —ограниченное множество в пространстве X. Поясним, что подмножество А с X называется ограниченным, если оно ограничено по каждой полунорме р е Р (т. е. р(х) ^ С для всех хе А). Очевидно, & < г', где <т' = <7(Х',Х). Соответственно определяется второе сопряженное пространство X" = = (X')9 с топологией г" = (т')\ Пространство X называется полурефлексивным (соответственно, рефлексивным), если X" = X (соответственно, Х" = Х, т" = т). Замечание. Топология т' называется топологией ограниченной сходимости в X'. Очевидно, эта топология мажорирует топологию простой сходимости в X', определяемую одноточечными подмножествами в X'. Примеры. 1. Каждое гильбертово пространство Н рефлексивно (п. 5.10). 2. Пространство, сопряженное к L (а, Ь), изоморфно Lq(a, b) при условии (24.15) (относительно формы (24.14)). Соответственно, Lp(a,b) рефлексивно при р ф 1. Упражнение. Пространство, сопряженное к L{(а, Ь), изоморфно ^оо(а> Ь) (относительно (24.14)).
§ 24. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 173 24.8. Полнота и квазиполнота. Направленность xi € X называется фундаментальной, если она фундаментальна по каждой полунорме р е Р, т. е. р(х{ - Xj) < е при г, j ^ ^(г). Пространство (X, т(Р)) называется полным (соответственно, квазиполным), если в нем каждая фундаментальная направленность сходится (соответственно, каждое ограниченное замкнутое подмножество в X полно). Пространство X называется секвенциально полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится. Известно (см., например, [Б 8; Ше]), что каждое полурефлексивное ЛВП X квазиполно. Если X обладает первой аксиомой счетности, то свойство его полноты выражается в терминах последовательностей, т. е. совпадает со свойством секвенциальной полноты. Пример. Все пространства из примеров 2-5 п. 24.1 суть полные ЛВП. 24.9. Вектор-функции. Пусть X — векторное пространство, Т — произвольное множество. Каждое отображение х: Т -> X называется вектор- функцией, определенной в Т (со значениями в X). Обычно в этом случае функция х: Т —* X отождествляется с множеством ее значений x(t) (t € Г). Если X — ТВП и Г — топологическое пространство (соответственно, область в Шп), то можно говорить о непрерывных (соответственно, дифференцируемых) функциях х: Т —>Х. Если в X рассматривается сильная (слабая) топология, то обычно говорят о сильно (слабо) непрерывных (или дифференцируемых) функциях х: Т-+Х. В дальнейшем мы считаем (без особых оговорок), что X есть отделимое ЛВП с топологией т(Р). Пример. Положим Т = [а, Ь] и покажем, что дифференциальное уравнение x'(t) = 0 в пространстве X имеет только постоянные решения. Действительно, для каждого / е X' имеем (в силу линейности и непрерывности функционала /): для всех (дифференцируемых) x(t)eX. Если ж'(£) = 0, то /(х(£))' = 0 для всех / € X'. Отсюда f(x(t)) = f(x(a)) для всех / е X', т. е. x(t) = х(а) (п. 24.6). В результате x(t) = const. 24.10. Интеграл Римана. Положим Г = [а, Ь], и пусть х: Т -+ X — непрерывная вектор-функция. Если X полно (или хотя бы квазиполно), то интеграл Римана ь xQ= f x(t)dt (24.17) а корректно определен (стандартное рассуждение) как сильный предел интегральных сумм Римана. Использование интегральных сумм и предельных переходов показывает, что ь ь f(xo) = [ f(x(t)) dt, pfo) < ( p(x(t)) dt (24.18)
174 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ для всех / G X' и каждой непрерывной полунормы р в пространстве X. Аналогично рассматриваются и другие области определения интеграла Римана (область в Еп и т. д.). Заметим, что интегральные суммы Римана суть направленности (относительно разбиений отрезка [а, Ь]). Однако, их рассмотрение сводится стандартным образом к рассмотрению последовательностей (2П-разбиения отрезка [а, Ь]). Поэтому условие полноты в определении (24.17) можно заменить условием секвенциальной полноты. Упражнение. Докажите (по аналогии с примером п. 24.9) аналог теоремы Коши об интегралах по замкнутому контуру от голоморфных вектор- функций х: D —>Xt где D —односвязная область в комплексной плоскости С. 24.11. Интеграл Лебега. Пусть Г — пространство с мерой Лебега /х. Вектор-функция х: Г—>Х называется измеримой (соответственно, суммируемой) на Г, если все ее «координаты» f(x(t)) измеримы (соответственно, суммируемы) на Г. Если вектор-функция x(t) суммируема, то равенство /0%)= J/(*(t))d/i(t)f (24.19) где / G Х'у однозначно определяет вектор аь= f x(t)dp(t) (24.20) как элемент пространства (X')*, алгебраически сопряженного к пространству X'. Если X квазиполно, то можно показать (см., например, [БЗ]), что в этом случае интеграл (24.19) непрерывно зависит от feX't т. е. равенство (24.20) определяет элемент Xq e X". В частности, пусть X полурефлексивно. В этом случае X квазиполно (что уже отмечалось в п. 24.8), Х" = Х и равенство (24.20) определяет элемент а^еХ. Таким образом, интеграл Лебега (24.20) определен в пространстве X для каждого полурефлексивного пространства X. В этом случае (24.19) вытекает непосредственно из определения интеграла (24.20). 24.12. Предложение. Если функция x(t) измерима в пространстве X, то для каждой непрерывной полунормы р в пространстве X числовая функция p(x(t)) измерима. Еслих^еХ (в обозначениях п. 24.11), то Р(Ч>К Jp(*(0)<*/i(t). (24.21) Доказательство. Измеримость функции p(x(t)) вытекает из равенства (24.11). Соответственно, интеграл в правой части (24.21) либо существует (как число), либо равен оо. Согласно следствию (а) из теоремы Хана — Банаха, имеем р(а%) = /(а^) для некоторого / G Х\ подчиненного полунорме р. Отсюда рЫ = \П*о)\<* \ |/(x(t))| **(*)< \ P(*(t))d»(t), что совпадает с (24.21).
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 175 Пример. Пусть х( t) — непрерывная функция с компактным носителем в Rn. В этом случае p(x(t)) есть также непрерывная функция с компактным носителем в Rn. Соответственно, интеграл в правой части (24.21) конечен. Более детальное изложение теории интегрирования для вектор-функций можно найти в [БЗ]. Частный случай вектор-функций в банаховом пространстве рассматривается в [Лю; Н2]. § 25. Топологические модули 25.1. Определение. Пусть G — топологическая группа. Представление (я-, X) группы G в ТВП X называется непрерывным, если действие /х: GxX->X, /л(д,х) = тг(д)х (25.1) непрерывно. В этом случае X (с умножением /x(<gr, х) = дх) называется топологическим G-модулем. Представление (7г, X) называется раздельно непрерывным, если действие (25.1) раздельно непрерывно (по переменным д, х). Очевидно, непрерывность по х е X означает тг(д) еВ(Х) для всех g€G, непрерывность по д € G означает непрерывность отображения д н+ 7г(д) относительно топологии простой сходимости в В(Х) (п. 24.7), т. е. на каждом векторе х е X. Если dim X < оо, то топология простой сходимости в В(Х) = End X совпадает с обычной (евклидовой) топологией в End-X". В этом случае непрерывность отображения д н-> ъ(д) равносильна непрерывности матричных элементов оператора 7г(#) на группе G, относительно произвольного базиса векторного пространства X. Если X — топологический G-модуль, то мы приписываем к термину «G-модуль» каждое топологическое свойство пространства X. Например, «квазиполный G-модуль» означает «квазиполное (локально выпуклое) пространство X, наделенное непрерывным представлением группы G». 25.2. Предложение. Пусть X — ЛВП. Непрерывность умножения (25.1) равносильна выполнению двух следующих условий: (а) Умножение /х раздельно непрерывно. (/?) Умножение р равностепенно непрерывно в некоторой окрестности U точки е е G. А именно, для каждой базисной полунормы р выполняется оценка р(дх)^Ро(х) (25.2) для всех g € U, х е X, где р^ — непрерывная полунорма (зависящая от р, U). Доказательство. Если /х непрерывно, то (а) выполняется, и также для каждого е > О выполняется неравенство р(дх) ^ е при (д, х) е U х V, где U х V — некоторая окрестность точки (е, 0) е G х X. Отсюда следует, что функция р0(х) = sup p(gx) geU определена для элементов х е V.
176 Гл^а 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Заметим, что равенство р0(\х) = |А| • Pq(x) определяет однозначное продолжение функции Pq до полунормы в пространстве X. Из оценки \Ро(х) - Рб(У)\ < Ро(х - У К е ПРИ x-yeV следует непрерывность полунормы pq. Отсюда следует (/3). Обратно, из условий (а), (/3) получаем Р(0я - 00^) < £(#* ~ №) + PiSPo - QoXq) ^ p0(x -Xq) + p(hgQx^ - д,^), где h = jgg"1, так что это выражение сколь угодно мало при (Л, ж) € U х х W, где W — достаточно малая окрестность точки Xq. Отсюда следует непрерывность умножения р в G х X. 25.3. Следствие. £слы X —локально выпуклый G-модуль, то умножение (25.1) равностепенно непрерывно на каждом компакте К С G. Если группа G компактна, то умножение (25.1) равностепенно непрерывно на G, т. е. (25.2) выполняется для всех g€ G. Действительно, К покрывается окрестностями Ug, где д € К. Выбирая из этого покрытия конечное подпокрытие, получаем КС [J Ug0 i = i где д. Е К (г = 1,..., п). Полагая g^ugit где и € U, р{(х)=р0(д{х), получаем из (25.2), что функция р(дх) мажорируется непрерывной полунормой р(я)= max Pi(x), для элементов де К. Заменяя в этой оценке обозначение р на р0, получаем (25.2) для всех де К. Примеры. 1. Если X — конечномерное пространство, то условие (а) означает, что матрица оператора тг(д) непрерывна в каждом базисе пространства X, так что (а)=Ф(/3). В этом случае раздельная непрерывность представления тт равносильна его непрерывности. 2. Пусть G — топологическая группа. Пространство C(G) есть раздельно непрерывный G-бимодуль (относительно левых и правых сдвигов в группе G). Если группа G локально компактна, то C(G) есть топологический G-бимодуль. 25.4. Предложение. Пусть G—локально компактная группа, 7г — раздельно непрерывное представление группы G в банаховом пространстве. Тогда представление 7г равномерно ограничено в некоторой окрестности V точки е: \\*{9)НС для всех 9eV. (25.3) Доказательство. Если функция gн+ ||я"(</)|| не ограничена ни на какой предкомпактнои окрестности точки е, то существует направленность 9% —> е (9i € Vit где Vi — направленное семейство окрестностей точки е), для
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 177 которой ||7г(&)|| —юо. Согласно теореме Банаха — Штейнгауза (см., например, добавление В), отсюда следует, что существует хеХ, для которого IKCftMl^00- Но это противоречит раздельной непрерывности представления 7г (в точке е). Отсюда получаем (25.3) для некоторой (предкомпактной) окрестности точки У. 25.5. Следствие. Представление 7г равномерно ограничено на каждом компакте К с G. Если группа G компактна, то представление 7г равномерно ограничено (т. е. (25.3) выполняется для всех g e G). Доказательство — по аналогии с п. 25.3. Пример. Представление 7г называется равномерно непрерывным, если функция g i-> 7г(д) непрерывна в равномерной операторной топологии, т. е. по норме в В(1). В этом случае (25.3) есть следствие непрерывности нормы (в пространстве В(Х)). Нижеследующий пример (п. 25.6) показывает, что оценка (25.3) полезна даже в случае dim X < оо. С другой стороны, предложение 25.4 обобщается также на другие классы полных ЛВП (пространства Фреше, индуктивные пределы и т. д.). См., например, [Р; Шеф]. 25.6. Однопараметрические группы. Пусть X — ТВП. Семейство u(t)e В(Х), где t eR, называется однопараметрической группой операторов в пространстве X, если u(t + a) = u(t)u(s), u(0) = 1 (25.4) для всех £, s е R и функция t *-> u(t)х непрерывна для каждого х € X. Иначе говоря, отображение tv-*u(t) есть раздельно непрерывное представление группы R в пространстве X. Заметим, что условие непрерывности функции u(t)x достаточно накладывать в точке 0, т. е. u(t)x —> х при t —>0. Действительно, в этом случае для каждой точки ^ Е R имеем u(t)x - u(tQ)x = (u(At) - l)u(t0)x -> О при t -»0 (где At = t - to). Аналогично (с заменой R на R+) определяются также однопараметрические полугруппы в пространстве X. Если X — банахово пространство, то функция t «-> ||w(t)|| равномерно ограничена при малых t (предложение 25.4), т. е. ||u(t)|| ^ С при |t| < £. Полагая С = еа, получаем для каждого t = п8 + е, где п е Z+, 0 ^ е ^ <5: ||u(t)|| = \\и(6)пи(е)\\ < Сп + { = Се™ ^ Ceta. Аналогично (при замене t на — t) получаем ||u(t)|| < СеЫь Д™ всех * е к> (25-5) т. е. функция ||ii(£)|| возрастает не быстрее экспоненты. Однопараметрическая группа (или полугруппа) t *-+u(t) называется равномерно непрерывной, если она непрерывна по норме в В(Х), хотя бы в точке 0, т. е. ||ti(t)-l||-»0 при t->0.
178 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Изменяя, если надо, масштаб параметра t, будем считать, что ||u(t) —1|| < 1 при 0^ t < 1. В этом случае функция A(£) = lnu(£) определена, непрерывна и аддитивна, скажем \(t+s) = \(t) + \(s) при 0<t,s<j. Отсюда заключаем, что \(t) = at (0^ t < 5)» гДе <*= А(1). В результате u(t) = eta (25.6) при малых £ (0< t ^ j)- Повторяя рассуждения при выводе (25.5), находим, что равенство (25.6) выполняется для всех t e R. Таким образом, (25.6) дает общий вид равномерно непрерывной однопа- раметрической группы (даже полугруппы) в банаховом пространстве X. Существенно отметить, что исходное условие непрерывности влечет аналитичность функции (25.6). В конечномерном случае непрерывность функции u(t) влечет ее равномерную непрерывность, т. е. (25.6) есть общий вид однопараметрической группы (даже полугруппы) в пространстве X. В теории операторов доказывается, что последний результат остается в силе для банаховых пространств произвольной размерности. Однако, в этом случае оператор а не обязательно ограничен (и даже не всюду определен). Соответственно, экспонента (25.6) требует особого определения. См., например, [Р]. В общем случае (25.6) есть единственное решение задачи Коши u'(t) = au(i), <u(0) = l (25.7) в пространстве В(Х). Отсюда следует (упражнение), что функция x(t) = = u(t)xQ есть единственное решение задачи Коши x'(t) = ax(t), x(0) = Xq (25.8) в пространстве X. Замечание. Однопараметрическая полугруппа (25.6) определяет «закон эволюции физической системы» (25.8), где t €R+ интерпретируется как время. Если а€ В(Х), то функция (25.6) определена также при t <0, что позволяет однозначно определить «прошлое» данной системы. В общем случае это не так, т. е. оператор е~а может оказаться не определенным. В этом случае (25.6) определяет только «будущее» системы (25.8). 25.7. Унитарные представления. Представление 7г группы G в гильбертовом пространстве Н называется унитарным, если все операторы ir(g) (9 € G) унитарны, т. е. *(*Г = *(*)-'= *(*-•). (25.9) Нетрудно видеть, что в этом случае непрерывность функции д »-> ъ(д)х равносильна ее слабой непрерывности. Это следует из тождества \\*(д)х - х\\2 = 2 Re(n(g)x - я, х) (25.10) для всех д е G, х€ Н.
§ 25. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ 179 Пример. Общий вид унитарной однопараметрической группы в гильбертовом пространстве Н есть (25.6), где a=ih, h — самосопряженный (не обязательно ограниченный) оператор в пространстве Н. Доказательство (основанное на спектральной теории операторов) можно найти в [Кир; Р]. Унитарные группы (25.6) играют принципиальную роль в квантовой механике. А именно, они дают общий вид решения уравнения Шрёдинге- ра (25.8), где а=г'Ь, Ъ—оператор Гамильтона, определяющий эволюцию системы (25.8). 25.8. Матричные элементы. Пусть (щ X) — представление группы G в пространстве X. Числовые функции *ху(9) = {*(9)х,у), (25.11) где х е X, у G X*, называются матричными элементами представления (7Г, X). Если 7г раздельно непрерывно (хотя бы в слабой топологии пространства X), то матричные элементы (25.11) непрерывны при у е X'. Если Х = Н — гильбертово пространство, то естественно записывать (25.11) в виде **Ы = (*(*)*, V), (25.12) где х,уеН. Если 7г — унитарное представление, то функции (25.12) при х — у обладают специальным свойством «положительной определенности» на группе G. Числовая функция / на группе G называется положительно определенной, если п _ Е т1Ь)М**0 (25.13) для всех наборов g. е G, f< e F (г = 1,..., п). В этом случае равенство (£,*?)= £ ПяхяКЛ, (25.14) определяет скалярное произведение в пространстве Fn. Полагая п = 2 и применяя к (25.14) неравенство Шварца (п. 5.2), получаем \f(9)\<f(e) для всех geG. (25.15) Заметим, что множество F+(G) всех положительно определенных функций на группе G есть конус. А именно, F+(G) адцитивно и выдерживает все гомотетии / н+ £/, где t e R+. Примеры. 1. Положим / = к в обозначениях (25.12), где 7г — унитарное представление группы G. Тогда левая часть (25.13) совпадает со скалярным квадратом (у, у) в пространстве Я, где п У =12 £i9i*- i = 1 Следовательно, функция / положительно определена.
180 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 2. В частном случае dim Я < оо функция Ш = ь*(д) (25.16) положительно определена. Функция (25.16) называется характером пред- ставления 7г. 25.9. Предложение. Пусть -X, У — два простых конечномерных G-модуля с представлениями (соответственно) т, а. Тогда имеем: (а) Если модули X, У обладают хотя бы одним общим матричным элементом (ffabt£o) = <S8b»4b)> (25.17) с ненулевыми векторами XqEX, у0 Е У, £0e Х*у r/0 e У*, то X &Y. ((3) Если поле F алгебраически замкнуто и модули X, Y обладают одинаковым характером (/т = /Д то X &Y. Доказательство, (а) Полагая в (25.17) g = b~la, получаем («Ч>, Ь£о) = (аУо> И) (25.18) для всех a,beG. Заметим, что линейная оболочка орбиты Ga^ (соответственно, Gq0) совпадает с X (соответственно, с У*), в силу простоты модулей X, У. Отсюда следует, что отображение (р(аз^) = ау0 есть корректно определенный оператор (р €HomG(X, У). Аналогично, v?"1 E е HomG(l^ X), так что X к У. (/3) Если fT = fa, то dim X =dim У. Более того, для каждой пары элементов g,heG имеем tr(T(tf)T(b)) = tr(a(0Mfc)). Согласно теореме Бернсайда (п. 9.10), линейная оболочка операторов r(h), где h € Gy совпадает с EndX. Поэтому tr(r(g)a) = tr(a(g)b) для всех д £ G, где Ъ = 6(a) — однозначная линейная функция End X-+ End У. Ясно также, что отображение ан-» Ь(а) есть гомоморфизм End X -->End У. Напомним (п. 8.3), что каждый EndX-модуль кратен модулю X. Поскольку dim X = dim У, отображение а*->Ъ(а) определяет изоморфизм End X w « End У, т. е. b(a) = и~хаи при некотором и € Нот(Х, У). Отсюда tr(r(£)a) = \.х(иа{д)и~ха) для всех ре G, a€End X. Остается заметить, что билинейная форма (а, Ь) = = tr ab невырождена. В результате т(д) = шт^гГ1 для всех д е G, т. е. X « У.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 181 Замечание. Как видно из доказательства, утверждение (а) переносится также на бесконечномерные G-модули, при условии, что X*, Y* суть простые G-модули. 25.10. 5-модули. Терминология теории G-модулей переносится также на ^-модули, где S — топологическое пространство. В частности, 5-мо- дуль X называется топологическим, если умножение (s, x) н-> sx непрерывно в S х X. Топологические 5-модули образуют категорию TS - Mod, морфизмы которой суть непрерывные гомоморфизмы <р е В(Х, Y). Множество таких гомоморфизмов обозначается BS(X, Y). В теории топологических 5-модулей естественно ограничиться замкнутыми подмодулями Х0 с X. Решетка всех таких подмодулей обозначается V8(X) (или CV8(X)). Представление (тг, X) структуры 5 называется топологически неприводимым, если X фО, CV5(X) = {0, X}. В этом случае модуль X называется топологически простым. Унитарные G-модули образуют категорию, морфизмы которой суть изометрические морфизмы X —► Y. Примеры. 1. Ассоциативная алгебра А над полем F = R, С называется топологической, если А есть ТВП с непрерывным умножением. 2. А -модуль X называется топологическим, если X — ТВП с непрерывным действием А х X —► X. 3. Каждый унитарный G-модуль редуктивен в топологическом смысле относительно разложений Н = Н0®Н^, для каждого замкнутого подмодуля Я0СЯ. Упражнения. 1. Если S всюду плотно в Г (т. е. S = Т), то для каждого Т-модуля X имеем CVS(X) = CVT(X). 2. Если два топологически простых унитарных G-модуля Х, Y имеют общий матричный элемент (flabi аъ) = (ОД» %)> где О Ф Xq е X, О ф t/q e Y, то они изометрически изоморфны, т. е. X « У. Мы займемся более детальным изучением унитарных G-модулей в § 57. § 26. Инвариантные меры 26.1. Интегралы. Пусть X — топологическое пространство, Е = = С0(Х) — векторное пространство всех F-значных (F = R,C) непрерывных функций с компактными носителями в пространстве X. Для того, чтобы X обладало достаточным числом компактных подмножеств, условимся считать, что X локально компактно. Мы будем рассматривать в Е отношение порядка / ^ g при f — g e Е+, где Е+ — подмножество (конус) всех неотрицательных функций в G0(X). Символ |/| для функции / означает функцию |/|(ж) = |/(я)|.
182 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Линейный функционал I в пространстве Е называется интегралом (интегралом Даниеля), если он принимает неотрицательные значения на неотрицательных функциях, т. е. If^O при /^0. (26.1) Заметим, что -|/| ^ / ^ |/| для вещественных /, откуда \Щ<1\Я (26.2) Оценка (26.2) выполняется также для комплексных функций. А именно, если If = peia (полярная запись числа If), то р = 1д для функции д = fe~ia, откуда Ig = /(Re g) ^ 1\д\, что равносильно (26.2) для функции /. Легко проверяется, что интеграл / в пространстве Е обладает следующим свойством монотонной непрерывности: если /п 10, то Ifn -+ 0, (26.3) где fniO означает, что последовательность /п не возрастает (/п ^/п + 1) и fn(x) —> 0 во всех точках ж€Х. Действительно, в этом случае /п —► 0 равномерно (лемма Дини), так что О < /п < еД при п ^ Ло(е), откуда следует (26.3). Упражнения. 1. Если X — компакт, то I есть непрерывный линейный функционал в С(Х). 2. В общем случае I есть непрерывный линейный функционал относительно топологии компактной сходимости (т. е. равномерной сходимости на компактных подмножествах А с X) в С0(Х). 26.2. Борелевские меры. Подмножество А С X называется борелев- ским, если оно может быть получено из открытых множеств пространства X применением счетного числа кольцевых операций, к которым относятся объединения, пересечения и разности (в том числе А' = X \ А). Семейство /3 всех борелевских подмножеств множества X есть наименьшая (7-алгебра, содержащая топологию т пространства X. Борелевской мерой в пространстве X называется всякая счетно аддитивная (неотрицательная) мера /х, принимающая конечные значения на компактных подмножествах АсХ. Интеграл Лебега по мере \i обозначается символом J/= J /(х)ф(х). (26.4) Согласно общим свойствам интеграла Лебега, сужение этого интеграла на Е = С0(Х) есть интеграл Даниеля в пространстве Е. Обратно, (26.4) есть общий вид интеграла Даниеля в пространстве Е (см., например, [Лю; XI]). Иначе говоря, каждый интеграл Даниеля I порождает борелевскую меру /х в пространстве X и продолжается до интеграла Лебега (26.4) в пространстве L(X, /х) всех суммируемых (по Лебегу) функций / относительно меры /х. Мера /х называется конечной (соответственно, а-конечной), если ц(Х)< < оо (соответственно, X есть счетное объединение множеств конечной меры). Мера /х называется локально конечной, если X есть объединение множеств, на каждом из которых мера р, а-конечна.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 183 Мера /х называется регулярной, если: (1) р(А) для каждого открытого А имеет вид р(А) = sup р(К), КсА где К — компакт (входящий в А), (2) р(В) для каждого измеримого В имеет вид »(В)=Ыац(А), где А —открытое множество (содержащее В). Если меры /х, г/ регулярны и их интегралы (26.4) совпадают, то р = и. Например, для метрических компактов все борелевские меры регулярны. Существуют также (патологические) примеры нерегулярных мер. См., например, [XI]. Существенно, что борелевская мера р, порожденная интегралом Дани- еля, всегда может быть выбрана регулярной. Соответственно, представление (26.4) единственно в классе регулярных борелевских мер в пространстве X. 26.3. Инвариантные меры. Пусть G — локально компактная группа. Борелевская мера р на группе G называется левоинвариантной (право- инвариантной), если р(ди) = р(ш) (р(и>д) = р(ш)) (26.5) для всех geG и всех борелевских wcG. Здесь дш (соответственно, шд) есть множество всех дх (соответственно, хд), где хеш. Нам будет удобно в этой главе рассматривать следующие операции в CQ(G): (gf)(x) = f(9~lx), (fg)(x) = f(*9-1), (26.6) где g,xeG. Соответственно, условия инвариантности (26.5) переписываются в виде I(9f) = I(f) (I(fg) = I(f)) (26.7) для интегралов (26.4). Мера р называется двусторонне инвариантной, если она одновременно левоинвариантна и правоинвариантна. Аналогично, интеграл / в данном случае называется двусторонне инвариантным. Заметим, что инверсия х*-> х~х в группе G переводит левоинвариант- ные меры в правоинвариантные меры (и обратно). Если группа G абелева, то в ней нет различия между левоинвариантными и правоинвариантными мерами. Примеры. 1. Евклидова мера на прямой (и также в Еп) инвариантна. 2. Соответствующая мера на торе T = R/27rZ инвариантна. 3. На группе G = GL(n, R) имеется п2 линейно независимых ле- во(право)инвариантных дифференциальных форм 1-го порядка. А именно, эти формы суть матричные элементы соответствующих матриц а (ж, dx) = x_1dx, /3(ж, dx) = dx • ж"1,
184 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ где dx = (dxi:j) — матрица дифференциалов элементов х = (x(j). Соответственно, внешнее произведение этих форм есть дифференциал лево (право)- инвариантной меры /х на группе G. 4. То же верно над полем С, если дополнить формы aijt /3(j их комплексно сопряженными атт, /Э^. Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы о существовании нетривиальных инвариантных мер на локально компактной группе G. 26.4. Теорема (А. Хаар). На каждой локально компактной группе G существует нетривиальная (фО) левоинвариантная (аналогично, правоинвариантная) регулярная борелевская мера. Доказательство (по А. Вейлю). Пусть Е+ — неотрицательный конус в пространстве Е (п. 26.1). Для каждой пары ненулевых функций /, (р £ J3+ из локальных оценок вида f(x) < c(p(gx) (ge G) и компактности supp / вытекают суммарные оценки Я*К £ с^(&я), (26.8) где с. GR+ (г = 1,..., п). Положим в этом случае Ivf = mi±Ci, (26.9) г = 1 где inf берется по всем оценкам (26.8) (при фиксированном у>). Функционал (26.9) в известной степени подобен интегралу. А именно, он однороден в Е+ (относительно гомотетий f^tf, где t GR+), неотрицателен (в смысле (26.1)) и левоинвариантен (в смысле (26.7)). Однако, вместо аддитивности он обладает лишь свойством полуаддитивности ^(f + gXiJ + i^g для всех /, д€Е+. Легко проверяется следующая оценка: IJ^IvOcIJ (26.10) для всех ненулевых <р, а е Е+. Фиксируем ненулевую функцию а е Е+ и нормируем функцию ц> условием I^a = 1. Тогда из (26.10) получаем I^f < Iaf. Применяя транспозицию функций /, а, получаем также оценку снизу для If. В результате из (26.10) вытекает двусторонняя оценка М^уав/. (26.il) Дальнейшее доказательство основано на следующей лемме (и будет закончено в п. 26.6). 26.5. Лемма. Фиксируем две функции0ф/р /2£#+. Для каждого е>0 можно выбрать окрестность V точки е Е G таким образом, чтобы V.+V^Wi + ^ + e, (26.12) при условии supp <р с V.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 185 Доказательство. Применяя лемму Урысона (см. замечание в конце п. 23.12), находим, что существует функция f0eE+, равная единице на компакте supp^ + /2). Положим / = А/0 + /1+/2, (26.13) где Л > 0, и пусть h{ = fjf при / ф О, \ = О при / = О (г = 1, 2). Ясно, что \ E Е+ (г = 1,2). Используя равномерную непрерывность функций h{ (п. 23.11), находим \К(х)-Ыдх)\<6 (26.14) для каждого 6 > О, где х е G, д Е V, V —достаточно малая окрестность точки е (зависящая от 6). Положим supp <р С V, и пусть ц>(д{х)фО в оценке (26.8) для функции /. Тогда имеем д(хеУ, так что (26.14) выполняется при д = д{. Поэтому fp(x) = f(x)hp(x)^J2 сМ&х)[\(9г*) + Я i = 1 где р = 1,2. Складывая эти оценки, заметим, что h{ + h2 ^ 1. Отсюда Vi + V2<(1+25)Eci. i = l Заменяя суммы в правой части их точной нижней гранью J /, получаем U + V2<0+2W- Подставляя в эту оценку (26.13) и используя мажоранту (26.11), получаем (26.12), где е = 251о(/,+/2) + А(1+25)/а/0, так что е сколь угодно мало при малых А, 5. 26.6. Конец доказательства. Для каждой ненулевой функции / еЕ+ пусть Af —числовой отрезок (26.11), в котором содержится I^f. Положим д=Плл (2615) так что I можно отождествить с точкой множества А (с компонентами I^f). Согласно теореме Тихонова (п. 23.9), Д есть компакт. Помимо этого, для каждой окрестности V точки е пусть Iv — множество всех точек 1^ е Д, для которых supp ip С V. Пусть S — семейство всех множеств Iv (замыкание Iv). Заметим, что ^n...nvn = ^ n...nlVn c7Vi n...п7Уп, откуда следует, что семейство S центрировано (п. 23.9) и потому имеет в Д непустое пересечение. Следовательно, существует точка /, принадлежащая всем Iv.
186 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Напомним (п. 23.9), что сходимость в А есть поточечная сходимость. Поэтому для каждой пары функций ^, /2 € J5+ и каждой пары е, V в условиях леммы 23.5 найдется функция у> е Е+, для которой \19 ~ 1у9\ ^ е> где flr = /i,/2, /i +/2. Сопоставляя эту оценку с (26.12) и пользуясь произвольностью числа е, находим, что функционал / аддитивен, т. е. I(fl+f2)=: = Ifx + If2 (для всех /,, /2 G Я+). Легко проверяется, что равенство I(f-g) = If-Ig определяет однозначное продолжение функционала I до линейного функционала в пространстве Е = Е+ — Е+. Ясно также, что I есть левоинвариантный интеграл Дание- ля. Отсюда следует, что J имеет вид (26.4), где /х — левоинвариантная регулярная борелевская мера в группе G. Напомним также, что I^a = 1. Поэтому рфО. 26.7. Определение. Каждая левоинвариантная (соответственно, право- инвариантная) регулярная борелевская мера /х на группе G называется левой (соответственно, правой) мерой Хаара на группе G. Замечания. 1. Если группа G компактна, то /x(G) < оо. 2. В общем случае из сг-компактности подгруппы Ge (п. 23.12) следует, что мера р, на подгруппе Ge <т-конечна. 3. Напомним, что группа G есть дизъюнктное объединение связных компонент Gx = xGe = Gex (по некоторому семейству элементов х е G). Поэтому каждая мера Хаара на группе G локально конечна. 4. В отличие от общего случая, теорема 26.4 для групп Ли доказывается элементарно. См. по этому поводу п. 32.9. См. также п. 26.3 для случая G = GL(n). Упражнение. Если p(G) <оо, то группа G компактна. [Указание: в противном случае G содержит счетное дизъюнктное семейство, составленное из множеств одинаковой ненулевой меры.] Теорема 26.4 о существовании меры Хаара существенно дополняется следующей теоремой единственности этой меры. 26.8. Теорема (А. Вейль). Пусть G —отделимая локально компактная группа. Тогда каждая левая (правая) мера Хаара группы G единственна с точностью до числового множителя (0^ А е Ш+). Доказательство. Пусть I, J — два левоинвариантных интеграла в Е. Фиксируем / €Е+, и пусть U — предкомпактная окрестность множества К = supp /. Пусть /0 е Е+ — функция, равная единице на окрестности U. Можно выбрать симметричную окрестность V точки е, для которой (a) VKuKVcU, (/3) \f(xy) -/(2/*)Ю, где х е С?, у Е V (при фиксированном е > 0). Отсюда (7) \f(xy)-f(yx)\<efQ(x) для всех х € G, yeV.
§ 26. ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ 187 Фиксируем также симметричную функцию heE+ (h(x) = h(x~l) для всех х е G), для которой supp h с V, Ih фО. Применяя интеграл J&I к функциям у?(ж, y)=f(x)h(y), ф(х, y) = f(y)h(x), заметим, что результат не изменится (ввиду инвариантности J, J) при подстановках ¥>(я, y)^f(yx)h(y), Ф(х, у) ь-> f(y)h(y-lx) = f(y)h(x~ly) н-> f(xy)h(y). Соответственно, разность ^(ж, у) — <р(ж, у) преобразуется в функцию [f(xy) — f(yx)]h(y). Применяя (7) и теорему Фубини (о перестановочности повторных интегралов), получаем \If -Jh-Ih- Jf\ ^ elh • J/0. (26.16) Предположим, что If ф0. Тогда (26.16) переписывается в виде \6(f)-6(h)\<e-$, (26.17) где 6(f) = Jf/If (аналогично для h). Напомним, что выбор функции h ограничен условием supp h с V. Однако, можно заменить функцию h произвольной функцией д € Е+, для которой 1д ф0. А именно, используя (26.17) для функций /, д, получаем где д0 — аналог /0 для функции д. Поскольку правая часть сколь угодно мала (при фиксированных /, д), мы находим 6(f) = 6(g), т. е. J/ = А//, где Л не зависит от /. Остается рассмотреть случай // = 0. В этом случае из (26.16) следует J/ = 0. В результате J/ = AI/ для всех /еЕ+ (но тогда и для всех f ЕЕ). 26.9. Модулярная функция. В дальнейшем мы считаем (имея в виду теорему А. Вейля), что группа G отделима. Для каждого левоинвариант- ного интеграла I и каждого g E G интеграл Igf = I(fg) левоинвариантен. Поэтому I(fg) = A(g)If (26.18) где ОфА(д) Е R+. Используя непрерывность отображения / н+ fg в C0(G) (п. 25.3), находим, что Д: G -»R+ есть непрерывный характер группы G. Характер Д называется модулярным характером (или модулярной функцией) группы G. Группа G называется унимодулярной, если Д(<7) = 1 для всех ge G. В этом случае (26.18) означает, что интеграл I двусторонне инвариантен. Например, это верно, если группа G коммутативна. Если группа G компактна, то (26.18) можно применить к функции / = 1, откуда Д= 1, т. е. группа G унимодулярна. Более того, подстановка ол-+ ш~1 переводит меру /х в инвариантную меру /Г=с/4. Полагая ш = G, получаем с = 1. Таким образом, мера Хаара группы G инверсно инвариантна.
188 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ В общем случае покажем, что для всех f ЕЕ выполняется следующее тождество: ( f(x-{)A(x-l)dfi(x) = f f(x)dp(x), (26.19) где Д — модулярная функция группы G. Действительно, пусть /'/— левая часть (26.19). Легко проверяется, что интеграл /' левоинвариантен, откуда Г = с1 (ОфсеЕ+). Фиксируем е >О и выберем симметричную окрестность V точки е, в которой |Д(у)- 1| < е. Фиксируем также симметричную функцию feE+, для которой / С V, // = 1. Тогда имеем: |с - 1| = |/'/ - i/| = /(А"1 - 1)/ < е. В результате, с = 1 (ввиду произвольности е). Упражнения. 1. Подгруппа G0 = kerА унимодулярна. 2. Модулярная функция группы G = GL(n, F) есть A(ff) = |detffr, где е = 1 при F = Ш, е = 2 при F — С. Отсюда следует также, что подгруппа GQ = SL(n, F) унимодулярна. 26.10. Квазиинвариантные меры. Пусть G — топологическая группа. Левое G-пространство Х называется топологическим (левым) G-npo- странством, если действие (#, х)*-+ дх непрерывно в G х X. Борелевская мера /х в пространстве X называется квазиинвариантной, если dfi(gx) = 6(g, x)dfx(x), (26.20) где 6 — неотрицательная функция, суммируемая по мере р, для каждого д е G. Мера р, называется инвариантной, если 6 = 1. Аналогично определяются квазиинвариантные меры на правых G-пространствах. В частности, пусть X = G/H — левое однородное G-пространство, где Н — замкнутая подгруппа в G. В этом случае в G существует бо- релевское подмножество В, для которого G = BH&B хЯ, (26.21) так что X « В (гомеоморфизм). Положим 6(h) = A0(h)/A(/i), где heH, А (соответственно, А0) — модулярная функция группы G (соответственно, Н). Легко проверяется, что искомая мера р, связана с левыми мерами Хаара на G, Н соотношением dfi(xy) = 6(y)dp,(x)dp(y), (26.22) где х е В, уеН. См., например, [В; Кир]. Примеры. 1. Пусть В — подгруппа группы G. В этом случае левая мера Хаара группы В определяет инвариантную меру в пространстве Х&В (так что 6 = 1 в (26.22)).
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 189 2. Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп В, Я, если она имеет вид (26.21), где Н — нормальный делитель группы G. В этом случае также dp(yx) = e(x)dp(x)dp,(y), (26.23) где е — характер подгруппы В, определяемый соотношением dp(xyx~l) = = e(x)dp(y). Упражнение. Проверьте, что группа G обладает унимодулярным расширением G{ = G • Ш+ (полупрямое произведение). § 27. Групповые алгебры 27.1. Пространство Lp(X, /x). Напомним основные сведения о пространствах Lp = Lp(X, /х), где X —локально компактное пространство, /х — бо- релевская мера в пространстве X, 1 ^ р < оо. Согласно общей концепции Даниеля (п. 26.2), пространство суммируемых функций L{ возникает непосредственно как пополнение векторного пространства Е = С0(Х) по интегральной норме И/И.=ВД (27.1) где I — интеграл по мере /х. Поэтому Е всюду плотно в L{. Отсюда также выводится (см., например, [Лю; Н2]), что Е всюду плотно в Lp (1 ^р ^ оо). Параметры р, q называются двойственными по Юнгу, если они связаны соотношением (24.15). В этом случае для каждой пары функций / е Lpi g € eLq функция fg суммируема и для нее выполняется неравенство Гёльдера 11/511, < ||/||„ • 1Ы1(. (27.2) Билинейная форма (/, g) = I(fg) определяет двойственность векторных пространств Lp, Lq (и также сопряженность Lp = Lq при р ф оо). Напомним, что Lp есть банахово пространство (относительно нормы || • ||р). Пространство L2 есть гильбертово пространство со скалярным произведением (/, д) = (/,#), где <7»-+0 — комплексное сопряжение (нетривиальное в случае F = С). 27.2. Определение. Пусть G—локально компактная группа. Фиксируем левую меру Хаара р на группе G. Интеграл по мере р будет записываться в виде If = [ f(x) dx (27.3) (т. е. символ dx заменяет dp(x)). Пространство L =L (G, р) обозначает- ся Lp(G). Наличие групповой структуры позволяет определить в пространстве Е = = C0(G) групповую свертку h = f*g по правилу h(x)= [ f(xy)g(y-')dy= f f(y)g(y-lx)dv, (27.4)
190 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ где /, д€Е. Здесь равенство двух интегралов есть следствие левой инвариантности меры Хаара. Определение (27.4) можно записать в симметричной форме *(*)= | f(*M*)dth (27.5) где у = t~x или у = 5 (в соответствии с (27.4)). Если группа G унимодулярна, то в (27.4) можно также заменить у на у1. Интерпретация (27.5) определяет аналогию интегральной свертки (27.4) в C0(G) с алгебраической сверткой в F[G] (п. 7.3). Более того, эти свертки совпадают, если группа G дискретна. 27.3. Предложение. Для каждой пары функций /Gip g€Lp их свертка (27А) определена почти всюду и содержится в Lp. Более того, \\f*g\\P < 11/11, • Mr (27.6) Доказательство. Пусть вначале р = 1, так что функция <р(ж, у) = = f(x)g(y) суммируема в G х G (см., например, [Ш1]) относительно меры fji х ц. Тогда имеем I*V = If-Ig, (27.7) где Р — интеграл в G х G (по мере р х /г). Заменяя в этом интеграле у на ху и используя теорему Фубини, получаем P(p = Ih, где h = f*g. Отсюда следует (по теореме Фубини), что h e L{. Ясно также, что \h\ < |/|*Ы- Применяя эту оценку к правой части (27.7), получаем |Н1, =I\h\< I\f\ .I\g\ = И/И, .|Ы1„ т. е. (27.6) доказано при р = 1. В общем случае для каждой тройки вещественных функций feL{, g€Lpt he Lq1 где параметры р, q двойственны по Юнгу, имеем (f*9,h)= j /Щ 5(г'*)М*)^]^11/11.115№11в (по неравенству Гельдера для функций </, h). Если /, g, h комплексны, то подстановка h^e^h превращает левую часть этого неравенства (при надлежащем а) в !(/*£, h)\, откуда l(/*ft*)KB/HilWIFl|fc||t (27.8) для всех /, & h. В результате f*g€Lq = Lp (при рф 1). Более того, из (27.8) вытекает (27.6). 27.4. Следствие, (i) LX(G) есть ассоциативная алгебра относительно свертки. (И) LP(G) есть Ь{(С)-модуль (относительно свертки в L{ x Lp). Действительно, ассоциативность свертки легко проверяется (с использованием левой инвариантности интеграла в CQ(G)).
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 191 Упражнения. 1. LX(G) (соответственно, LAG)) есть топологическая алгебра (соответственно, топологический ^(бг^модуль). 2. Алгебра LX(G) коммутативна тогда и только тогда, когда группа G коммутативна. 3. Алгебра L{(G) содержит единицу тогда и только тогда, когда группа G дискретна. 4. Если группа G дискретна, то семейство Lp(G) не убывает, т. е. L^G)CL^G) при й<й. 27.5. Предложение. Если группа G компактна, то семейство Lp{G) не возрастает. Более того, Lft(G)*Lft(G)cLft(G) при А<д. (27.9) В частности, каждое Lp(G) (I ^р ^ оо) есть подалгебра в L{(G). Доказательство. Если /еL (G), то функция g = |/|Pl содержится в Lp(G) при p — p^lPv Воспользуемся также включением 1 eLq(G), где р, q двойственны по Юнгу. Отсюда И/И* -Ig = <ftl)<||*||f||l||f, так что feL^(G). В результате L^(G) С L (G). В частности, Lp(G)c С LX(G) для всех значений р (1 ^р < оо). Применяя следствие 27.4 (И) (при p = ft), получаем (27.9). 27.6. Предложение. Для каждой функции f € Lp(G) преобразования 9^9f* 9*~* f9 непрерывны на группе G. Доказательство. Если / Е CQ(G), то непрерывность вектор- функций gf,fg (g G G) в метрике i^G) равносильна равномерной непрерывности функции / (п. 23.12). Отсюда для каждого р (1 ^ р < оо) имеем при if = supp/: hf - /1С = х|я/ - /Г < м(*)11я/ - /IL < ч*<#) при условии д€ V, где V—достаточно малая окрестность точки е. Аналогично рассматривается функция д*-> fg. В общем случае достаточно аппроксимировать функции f eLp(G) функциями h e C0(G) с использованием указанных оценок для функций h e eC0(G). Упражнение. Пространство Lp(G) есть топологический G-бимодуль (относительно действия / »-* afb, где a,b eG). 27.7. Топологические модули. Сохраним обозначения п. 27.2, и пусть (X, 7г) — полурефлексивный G-модуль. В этом случае для каждой функции f eCQ(G) интеграл *(f)=[f(9)*(9)dg (27.10)
192 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ определен как оператор в пространстве X по правилу 7Г(/)Ж= j f(9)n(9)xdg, где хе X. Напомним (п. 24.11), что (тг(/)х, у) = J /Ы<тг(,г)х, у) dg (27.11) для всех t/бГи *>ИЯ*К j \f(g)\p(7r(g)x)dg для каждой непрерывной полунормы р в пространстве X (п. 24.12). Отсюда следует оценка р(тг(/)х)^Ср6(х), (27.12) где С = v(K), K = suppf, Рь(х) — максимум функции р(п(д)х) на компакте К. Заметим, что Pq — непрерывная полунорма в пространстве X (п. 25.2). Отсюда заключаем, что оператор (27.10) непрерывен в пространстве X, т.е. n(f)eB(X). Легко проверяется, что / н-* 7г(/) есть представление сверточной алгебры Е. Таким образом, каждому полурефлексивному С?-модулю X сопоставляется Е -модуль X. Отметим следующие варианты этого определения. (а) Если группа G локально евклидова, то интеграл (27.11) можно рассматривать как интеграл Римана. В этом случае интеграл (27.10) определен для каждого квазиполного G-модуля Х. (/?) Если X — банахово пространство, то интеграл (27.11) определен в LX(G) для каждого ограниченного представления группы G (т. е. ||тг(<7)|| < < С для всех д е G). В этом случае оценка (27.12) заменяется оценкой IM/MKII/IINI, (27.13) где II/H = ll/Цр так что ||7г(/)|| < ||/||. Соответственно, /н* 7г(/) есть представление алгебры LX(G) в пространстве X. (7) Если X — гильбертово пространство и представление 7г группы G унитарно, то ||тг(<7)|| = 1 Д-ля всех 9 € С?, так что X есть Ь1(С)-модуль. В этом случае тг(/*) = тг(/)* для всех feL{(G), (27.14) где f*(x) — f(x~l) (инволюция алгебры L{(G)) и звездочка в правой части (27.14) означает эрмитово сопряжение. Пример. Если группа G компактна, то полунорму р^ в (27.12) можно выбрать не зависящей от / (случай К = G). В этом случае (27.12) означает, что представление / н+ 7г(/) равностепенно непрерывно. Упражнения. 1. Операторы (27.10) связаны со структурой G-бимо- дуля Е = C0(G) соотношениями '(Я/) = *(*)*(/), 1г(/д) = A(g)7r(f)n(g), (27.15) где д е G, f € Е, Д — модулярная функция группы G.
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 193 2. Соотношения (27.15) сохраняются для функций f eLx(G) в случаях (/?), (7). 27.8. Алгебра Mq(G). Пусть M(G) — векторное пространство всех -Р-значных борелевских мер на G. Согласно теореме Рисса (см., например, [Лю; XI]),.пространство M(G) сопряжено к C0(G) относительно билинейной формы </,М>= j/ЫФЫ, (27.16) где / G C0(G)f peM(G). Иначе говоря, (27.16) определяет общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве M(G). Нетрудно видеть, что сильная топология в пространстве M(G) определяется полунормами М/0 = И(Я"), . (27.17) где К с G — произвольный компакт, \р\ — неотрицательная борелевская мера (вариация меры р), определяемая по правилу п |/z|(w) = sup£m(4-)> » = i где супремум берется по всем борелевским разбиениям и = и>{ и ... U шп. Соответственно, для функций / е C0(G) выполняются оценки Itf/01 < 11/11-ftrM, (27.18) где if = supp/, 11/Ц —равномерная норма в C0(G). Если группа G компактна, то M(G) есть банахово пространство с нормой \\р\\ = M(G). Пусть MQ(G) — подпространство в M(G), состоящее из мер с компактным носителем. Если р eM0(G), то интеграл (27.16) определен для всех / е C(G) и равенство (27.16) определяет общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве C(G). В этом смысле C(G)' = Mq(G). Использование групповой структуры позволяет определить свертку мер А =р*и в пространстве Mq(G) по правилу </>Л>=и f(xy)dp(x)dv(y), где р, v e Mq(G). В этом смысле M0(G) есть ассоциативная алгебра над полем F. Алгебра C0(G) вкладывается в Mq(G) в качестве подалгебры, посредством отображения / н-> dp(x) = f(x) eta, где p e M0(G), dx —дифференциал левой меры Хаара на группе G. Отображение /н* 7г(/) (п. 27.7) поднимается на алгебру M0(G) по правилу *(м)= |*ЫФЫ, (27.19) где р е MQ(G). Повторяя рассуждения п. 27.7, находим, что п(р) е еВ(Х) для всех р е M0(G) и отображение р н-> п(р) есть представление 14 Зак. 184
194 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ алгебры M0(G) в пространстве X. Если X — банахово пространство, то Нм)|К|Ы1, где |H| = H(G). (27-20) Заметим, что G естественно вкладывается в M0(G) как множество 5-функций 8а (a EG), где Sa(f) = /(a). Представление (27.19) редуцируется до представления группы G по правилу тг(<7) = 7г(4,). (27.21) 27.9. Алгебра D0(G). Предположим, что G есть гладкое многообразие (класса С00), с гладкими групповыми операциями (ж, у)»-* ху~К Положим C0°°(G) = CQ(G) П C°°(G), (27.22) где C°°(G)— векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на группе G. Легко проверяется, что C0°°(G) есть подалгебра свер- точной алгебры C0(G). Согласно общей схеме теории обобщенных функций (см., например, [Ш2]), пространство, сопряженное к C0°°(G), есть пространство D(G), состоящее из обобщенных функций на группе G, т. е. C~(G)' = D(G). (27.23) Каноническую билинейную форму в этом случае иногда удобно записывать в символическом виде (v,f)=\<P(x)f(x)dx, (27.24) где (р е C0°°(G), / € D(G). Символический интеграл (27.24) превращается в интеграл Лебега в случае, когда функция / локально интегрируема (так что feD(G)). Пусть DQ(G) — подпространство всех финитных обобщенных функций (т. е. функций с компактными носителями) в D(G). В этом случае билинейная форма (27.24) продолжается на все функции <р е C°°(G) и определяет соотношение сопряженности C*(G)' = Db(G). (27.25) Пространство DQ(G) есть алгебра относительно свертки h = f*g, определяемой по правилу <<ft h) = j v(xy)f(x)g(y) dxdy (27.26) (в символической записи (27.24)). Алгебра Mq(G) естественно вкладывается в D0(G) в качестве подалгебры. Представление (эт, X) группы G называется слабо дифференцируемым, если его матричные элементы (25.11) дифференцируемы на группе G. Отсюда можно вывести (см., например, п. 36.9), что все эти элементы бесконечно дифференцируемы. Соотношение (27.11) в этом случае определяет представление /н+ 7г(/) алгебры D0(G) в пространстве X.
§ 27. ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ 195 27.10. Определение. Согласно пп. 27.7-27.9, мы имеем следующую цепочку сверточных алгебр: С0°°(С) С CQ(G) с ЩС) с D0(G), (27.27) называемых (наряду с L{(G)) групповыми алгебрами группы G. Заметим, что каждая из алгебр (27.27) соответствует той или иной категории топологических G-модулей (от общих полурефлексивных до слабо дифференцируемых). Аналогично, алгебра LX(G) соответствует категории ограниченных (в том числе унитарных) G-модулей. Условимся говорить, что X есть допустимый G-модуль, если операторы / ь+ тг(/) еВ(Х) определены в пространстве X по правилам пп. 27.7-27.9. 27.11. Предложение. Пусть X —допустимый G-модуль. Тогда подпространство X0 = C0(G)X всюду плотно в X. Аналогично, в условиях /г. 27.9 подпространство X™ = C£°(G)X всюду плотно в X. Доказательство. Согласно лемме Урысона, существует «5-образ- ная» направленность 8г е CQ(G), для которой 16( = 1 и компакты К{ =supp 6{ стягиваются к точке е G G, т. е. К{ с V при г ^ io(V) для каждой окрестности V точки е. Заметим, что 6{х - х = f 8.(g)(gx - x) dg (27.28) (в модульной записи), для каждого хеХ. Отсюда для каждой базисной полунормы р в пространстве X имеем р(8{х — х) ^ С{ тахр(<7ж — х) = С{р(д{х — ж), где С{ = р(К{) (м — мера Хаара), д{ £ К{ (по теореме о среднем для непрерывной функции р(дх - х)). Отсюда х = lim 8{х, так что Х0 всюду плотно в X. Аналогично, в условиях п. 27.9 можно выбрать 6i € G0°°(G), так что X™ всюду плотно в X. 27.12. Предложение. Пусть X —допустимый G-модуль, наделенный (как выше) структурой А-модуля, где А —одна из алгебр (27.27) (либо A=L{(G)). Тогда CVA(X) = CVG(X). (27.29) Аналогично, для каждой пары допустимых G-модулей Х, Y имеем BA(X,Y) = BG(X,Y). (27.30) Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (с использованием 5-образных направленностей п. 27.11). Соотношение (27.30) означает, что отображение G н* А определяет изоморфизм категории допустимых G-модулей с соответствующей категорией А-модулей. 14*
196 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ § 28. Компактные группы 28.1. Обозначения. Пусть G — отделимая компактная группа. Фиксируем меру Хаара группы G, нормированную условием //(G) = 1. Мы будем рассматривать допустимые (в том числе конечномерные) G-модули. Для каждого такого G-модуля (Х, 7г) положим й>=| *(<?)<& (28.1) Повторяя рассуждения п. 10.2, с заменой суммы (10.2) интегралом (28.1), находим, что р^ проецирует X на подпространство инвариантов XG. Отсюда, как и в п. 10.3, следует, что каждый конечномерный G-модуль Х унитарен и потому полупрост. В дальнейшем полагаем F = С. Пусть G — множество классов эквивалентности неприводимых конечномерных (непрерывных) представлений группы G. Для каждого X е G фиксируем простой G-модуль (УА, тА) и положим (по аналогии с п. 10.4) i$(0) = (*„«), (28.2) где е{ (г = 1,..., пА) — ортонормированный базис пространства Vх, относительно скалярного произведения (•, •), в котором матрицы (28.2) унитарны. Напомним, что матричные элементы (28.2) непрерывны, т. е. содержатся в C(G). Повторяя рассуждения п. 10.8, находим, что система функций (28.2) ортогональна в L2(G). Более того, имеем |К)||2 = пА-' (28.3) в пространстве L2(G) (для всех А, г, j). 28.2. Теорема (Ф. Петер, Г. Вейль). Линейная оболочка Т системы функций (28.2) всюду плотна в C(G). Соответственно, эти функции образуют ортогональный базис в L2(G). Доказательство. Рассмотрим действие алгебры Е = C(G) в пространстве H = L2(G), порожденное левыми сдвигами (26.6). Согласно общей схеме (27.10), это действие определяется операторами (*(/)¥>)(*)= \ /(y)v(y-1*)^y = (/*v)(*), где / е Е, (р€Н. Напомним (п. 26.9), что мера Хаара группы G инверсно инвариантна. Поэтому оператор 7г(/) переписывается в виде <*(/)?)(*) = j f(xy-{)<p(y) dy. (28.4) Следовательно, 7г(/) есть оператор Фредгольма в пространстве Я, определяемый непрерывной функцией /. Если /* = / (в обозначениях (27.14)),
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 197 то я"(/)* = я"(/)» т. е. оператор 7г(/) эрмитов. Применяя к этому оператору теорему Гильберта (п. 5.14), получаем # = ©#«, а где На —собственное подпространство оператора 7г(/), отвечающее собственному значению а. Более того, если а фО, то dimHa < oo и функции 7г(/)<р разлагаются только по компонентам На при о: ^0. Отсюда f*<pe в Яа. (28.5) Поскольку левые сдвиги (26.6) перестановочны с правыми, каждое подпространство На инвариантно относительно правого действия группы G. Повторяя рассуждения п. 10.5, находим ЯасГ при а ф0у где Г — линейная оболочка матричных элементов (28.2). Отсюда (ввиду (28.5)) получаем Е*ЯСТ, (28.6) где Г — замыкание системы Г в пространстве Я. Действительно, каждая функция / G Е записывается в виде f{ + if2, где /ft* = fk (к = 1, 2). Отсюда следует (28.6). Согласно предложению 27JJ, левая часть (28.6) всюду плотна в пространстве Я. Следовательно, Т = Н. Иначе говоря, система (28.2) замкнута и потому образует ортогональный базис в пространстве Я. Помимо этого, к функциям 7г(/)<р можно применить теорему Гильберта— Шмидта (п. 5.15), согласно которой каждая из этих функций есть равномерный предел функций класса Г. Отсюда Е*Е с Т, где Г — замыкание системы Г в пространстве Е. Применяя снова предложение 27.11, получаем Т = Е. Замечание. Если группа G линейна (т. е. G — компактная подгруппа в GL(n)), то в этом доказательстве вместо теоремы Гильберта — Шмидта можно применить известную теорему Стоуна — Вейерштрасса (см., например, [Лю], п. В.9). А именно, Г есть подалгебра в C(G) (относительно поточечного умножения), содержащая единицу, замкнутая относительно комплексного сопряжения и разделяющая точки компакта G (каждая пара точек х ф у разделяется матричными элементами тождественного представления^ группы G). Согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, отсюда следует Т = С(<3). Тем более, Г содержит C(G), откуда Т = L2(G). 28.3. Следствие. Семейство тА (Л £ G) разделяет точки группы G. Иначе говоря, для каждой пары точек хфу существует А е G, для которого тх(х) ф тх(у). Действительно, равенство тх(х) = тх(у) для всех Л е G влечет f(x)=f(y) для всех / G Г, но тогда и для всех / е C(G), откуда х = у. 28.4. Следствие. Каждая функция f e L2(G) разлагается в (обобщенный) ряд Фурье по элементам (28.2), сходящийся в L2(G): /(*)=£ ф£(х), (28.7) A, hj
198 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ с коэффициентами Фурье 4 = nx(f,r>). (28.8) Более того, для каждой функции f eL2(G) выполняется формула План- шереля г |/(*)|2d* = £njc*|2. (28.9) Действительно, все эти утверждения вытекают непосредственно из теории ортогональных базисов в гильбертовом пространстве Я (пп. 5.4, 5.7). Пример. Пусть G — одномерный тор. В этом случае Г есть алгебра тригонометрических полиномов на группе G, всюду плотная в C(G) по теореме Вейерштрасса. Соответственно, (28.7) совпадает с классическим рядом Фурье (5.19). Заменяя матрицу сА = (с*) транспонированной матрицей сА, перепишем (28.7) в виде /<*) = Е*(сдт*(а)). (28.10) А Соответственно, формула Планшереля (28.9) переписывается в виде (|/(x)|2d* = 5>Atr(cAcA*). (28.11) J А Упражнение. Пусть G — компактная группа, Я — ее замкнутая подгруппа. Докажите, что следующие условия эквивалентны: (а) Каждое неприводимое представление группы G остается неприводимым при сужении на Я. (/3) Операция сужения G[Н инъективна в C(G) (т. е. равенство fH = 0 для функции f eC(G) равносильно / = 0). (<у) G = Я. [Указание: воспользуйтесь леммой Урысона для импликации 03) =47).] 28.5. Следствие. Характеры Хх =trrA (X eG) образуют ортонор- мированный базис в центре Z(H) алгебры Я = L2(G). Доказательство — по аналогии с п. 10.11. А именно, центральность функции / б L2(G) равносильна тому, что ряд Фурье (28.7) имеет вид Я*) = £<*аХа(я). (28.12) А с коэффициентами dxeF. Ортонормированность системы %а (^ € G) вытекает непосредственно из ортогональности матричных элементов (28.2). Из равенства (28.3) получаем ||хА|| = 1. 28.6. Алгебра L2(G). Используя следствие 28.5, легко проверить, что элементы рх = пАХд~ образуют ортогональную систему эрмитовых проекторов в алгебре Я = L2(G): ВД = *аА (28ЛЗ> для всех А, /х е G. Разложение в ряд Фурье (28.7) определяет разложение алгебры Я в прямую ортогональную сумму идеалов Н = @НХ, (28.14)
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 199 где Нх = рхН = Нрх —линейная оболочка матричных элементов представления тА = тА (комплексное сопряжение). Повторяя рассуждения п. 10.6, получаем изоморфизм G-бимодулей HX&VX®VX (28.15) (относительно а ® /3). Помимо этого из леммы 10.5 следует, что все конечномерные подмодули левого (правого) G-модуля Н содержатся в одной из компонент (28.15). Соотношение (28.15) означает, что каждое представление тА (А е G) содержится в L2(G) с той же кратностью, какова его размерность. 28.7. Лемма. Каждый замкнутый подмодуль X левого (правого) G-модуля Н градуирован разложением (28.14), т. е. имеет вид ортогональной суммы Х = @ХХ} (28.16) с компонентами ХХ=Х ПНХ. Доказательство. Рассмотрим для определенности левое действие (26.6). Из замкнутости X следует, что X обладает структурой Е-мору- ля, т. е. Е*Х с X для всех А е G. В частности, X содержит компоненты Фурье хх =рхх (А е G) для всех хеХ, откуда следует (28.16). 28.8. Теорема. Каждый топологически простой^ G -модуль X конечномерен и изоморфен одному из модулей Vх (А е G). Действительно, фиксируем 0^fQeX* и заметим (по аналогии с п. 10.5), что модуль X вкладывается в (7(G) посредством отображения *"/.(*) = <№/о)- (28.17) А именно, равенство / (д) = 0 для всех geG при Xq ф0 означало бы, что /0 аннулирует линейную оболочку орбиты Ga^, всюду плотную в X (ввиду простоты модуля X), что возможно только при /0 = 0. Поэтому отображение (28.17) инъективно. Пусть Fx —образ модуля X при вложении (28.17). Ясно, что Fx «X (изоморфизм G-модулей относительно действия g^gg^ в C(G)). Если dimX = оо, то ^ПЯА=0 для всех А е G и также Fx Г) Нх = 0 (Fx — замыкание Fx в C(G)). Согласно (28.16), отсюда следует Fx =0, что возможно только при X = 0. Для дальнейшего изучения G-модулей нам понадобится дополнительная информация о центре Z(H) алгебры Я. 28.9. Предложение. Оператор ортогонального проектирования в Н на Z(H) имеет в подпространстве C(G) следующий вид: (pf)(x)=\f(yxy-l)dy. (28.18) Доказательство. Непосредственно проверяется, что каждая функция (28.18) центральна. Ясно также, что pf = / для центральных функций /. Поэтому р2 = р (в C(G))t р проецирует C(G) на Z0 = Z(H)r\C(G).
200 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Применяя к (28.18) неравенство Коши — Буняковского (для функции / = = / • 1), получаем |(р/)<*)|< и/т- Интегрируя полученное неравенство по группе G, получаем ||р/||2 ^ Ц/Иг» так что оператор р продолжается (по непрерывности) до оператора р е € В(Н). Отсюда ясно, что р проектирует Я на Z(H). Помимо этого, соот- ношение (р/, *) = (/, «>, справедливое для функций f,g€C(G), продолжается по непрерывности на функции /, д G Я. Отсюда р* = р, т. е. р есть оператор ортогонального проектирования в Я на Z(Я). 28.10. Определение. Топологическое векторное пространство X называется прямой топологической суммой своих подпространств Xi (г Е /), если эти подпространства линейно независимы и их линейная оболочка совпадает со всем пространством X. Мы будем в этом случае использовать обозначение Х= ®Х<. (28.19) iel 28.11. Теорема. Пусть G — компактная группа, X — допустимый G-модуль (п. 27.10). Тогда имеем: (а) Каждый вектор хеХ содержится в замыкании линейной оболочки своих «компонент Фурье» хх—рхх (X е G). (/3) Модуль X есть прямая топологическая сумма своих подмодулей Хх=рхХ (A6G): Х=§ХА, (28.20) где Хх —максимальный подмодуль модуля X, кратный простому модулю Vх. Доказательство. Предположим, что функционал / G X' аннулирует ]<0я,/>ХаЫ<*<7 = О для всех А € G. Отсюда следует, что функция f(g) = {gx, f) ортогональна центру Z(H) алгебры Я, так что pf = 0 (р — оператор ортогонального проектирования Я на Z(H)). Заметим, что feC(G). Применяя (28.18) при ж = е, получаем (р/)(е) = /(е) = 0, т. е. (ж,/)=0. Согласно теореме Хана — Банаха (п. 24.5 (7)), отсюда следует (а). Применяя соотношения ортогональности (28.13), находим, что подпространства Хх линейно независимы. Поэтому из (а) следует (28.20). Остается заметить (по аналогии с п. 10.12), что рх = 1 в модуле Vх. Отсюда ясно, что Хх=рхХ есть максимальный (наибольший) подмодуль модуля X, кратный модулю Vх. Пример. Групповая алгебра A = C(G), Lp(G) (1 ^р^оо) есть прямая топологическая сумма своих минимальных идеалов Ах=рхА «Mat(nA, С), где А е G.
§ 28. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 201 Замечания. 1. Если рф2, то мы не можем утверждать, что ряд Фурье функции f еА сходится к / (в топологии алгебры А). 2. Теорема 28.8 сильнее частного случая теоремы 28.11, относящегося к простым G-модулям (поскольку в п. 28.8 не накладывается условие допустимости G-модуля Х). Упражнение. Каждый вектор х е X содержится в замыкании вы- пуклой оболочки своих компонент хх (А е G). [Указание: воспользуйтесь следствием С. 10.] 28.12. Линейные группы. Группа G называется линейной, если она изоморфна подгруппе в GL(n) (при некотором п). Полагая для определенности F =С, будем считать (с точностью до изоморфизма), что G с GL(n). Если G — топологическая группа, то в этом определении полагается, что G наследует топологию группы GL(n). Для того, чтобы это определение не зависело от выбора базиса, можем считать, что G С GL(V) = Aut У, где V — конечномерное векторное пространство над полем С. Если группа G компактна, то G С U(V), где U(V) — подгруппа унитарных операторов (относительно некоторого скалярного произведения) в GL(V). Выбирая в пространстве V ортонормированныи базис, можем также считать, что G с U(n), где U(n) — подгруппа унитарных матриц в GL(n). Используя условие унитарности (ии* = и*и = е) матрицы и е U(n), находим, что группа U(n) замкнута в Mat(n, С). Имеем также п tru*u= J2 Kl2==n> откуда следует, что множество U(n) ограничено. Следовательно, группа U(n) компактна. Отметим следующие свойства группы К = U(n). (а) Пространство V = Сп есть простой К-модуль. ((3) Группа К есть максимальная компактная подгруппа группы G = = GL(n). (7) Каждая максимальная компактная подгруппа Кх группы G сопряжена подгруппе К относительно внутренних автоморфизмов группы G, т. е. K{=gKg-t (28.21) при некотором g е G. Действительно, если О^еУ, то вектор V можно включить, после надлежащей нормировки, в ортонормированныи базис пространства V, откуда следует, что орбита Gxq совпадает со сферой пространства У и ее линейная оболочка совпадает с V. Отсюда следует (а). Согласно лемме Шура, отсюда следует также, что скалярное произведение в пространстве V, относительно которого компактная подгруппа K{cG унитарна, определяется с точностью до скалярного множителя. Поэтому из включения К с Кх следует обратное включение К{с К, откуда следует (/3). Остается заметить, что отмеченное выше вложение К{ с ^(V') означает, что К{ С gKg~l при некотором g е G. Если подгруппа Кх максимальна, то отсюда следует (28.21). 13 Зак. 184
202 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ § 29. Разрешимые группы 29.1. Коммутаторы. Пусть G — произвольная группа. Для каждой пары элементов ж, у € G элемент [х,у] = хух-{у-1 (29.1) называется (групповым) коммутатором элементов ж, у е G. Подгруппа группы G, порожденная элементами (29.1), называется коммутаторной подгруппой группы G. Пусть G — топологическая группа. Для каждой пары подгрупп А, В группы G пусть [А, В]— замыкание подгруппы, порожденной коммутаторами [а, Ь], где ае A, be В. Очевидно, [А, В] есть наименьшая замкнутая подгруппа группы G, содержащая коммутаторы [а, Ь] (ае А, Ь € В). Если А и В —нормальные делители группы G, то [А, В] есть также нормальный делитель группы G. Действительно, для каждого с 6 G преобразование х \-> хс = сже-1 есть автоморфизм группы G. В частности, [я,у]с = [*с,Ус] (29.2) для всех ж, у е G. Подставляя в это тождество элементы х е А, у € В, получаем [ж, у]с е [А, В] для всех с е G. Но это и означает, что [А, В] есть нормальный делитель группы G. Производная подгруппа группы G определяется по правилу G'^IG, G]. Соответственно определяется цепочка кратных производных G" = (G% ..•> G(n+1) = (G(n)y, ... (29.3) Аналогично определяются нормальные делители G1 = G', ..., Gn+I=[G,GJ, ... (29.4) Если группа G дискретна, то ее производная подгруппа G' совпадает с коммутаторной подгруппой группы G. Групповые коммутаторы (29.1) обладают определенной аналогией с коммутаторами в алгебрах Ли. Например, [х,у] = [у,х]-\ [x,yz] = [x,y].[x,Zy (29.5) для всех x,y,2eG. Существует также аналог тождества Якоби, для описания которого удобно заменить [ж, у] коммутатором (ж, у) = х~1у~[ху. Несложное вычисление показывает, что (яу, (У> z)) = (У, «I я)"1(я> у, *), где (ж, у, г^яжг"1^. Отсюда, с использованием циклических подстановок, получаем тождество Холла (*", (У, *))' (У, (*, *))' (**> (*> У)) = * (29.6) для всех ж, у, 2 £ G.
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 203 Упражнения. 1. Подгруппа G' есть наименьшая среди замкнутых подгрупп Я С G с абелевой факторгруппой G/H. 2. Если группа G связна, то подгруппа G' также связна. [Указание: подмножество К, составленное из коммутаторов (29.1), связно (как связный образ множества G x G).] 29.2. Разрешимые группы. Топологическая группа G называется разрешимой, если цепочка ее производных (29.3) обрывается, т. е. G(n) = {е} при некотором п. Наименьшее из таких п называется высотой разрешимости группы G. Если п = 1, то группа G абелева. Топологическая группа G называется нильпотентной, если ее цепочка (29.4) обрывается, т. е. Gn = {e} при некотором п. Наименьшее из таких п называется высотой нильпотентности группы G. Если п= 1, то группа G абелева. Легко проверяется (индукцией по п), что G(n+1) С (G')n. Поэтому каждая нильпотентная группа разрешима. Каждая подгруппа разрешимой группы разрешима. Каждая подгруппа нильпотентной группы нильпотентна. Если Я — нормальный делитель группы G, то нильпотентность группы G влечет нильпотентность G/H. Разрешимость группы G равносильна разрешимости каждой из групп Я, G/H. Классические примеры разрешимых групп возникают как треугольные подгруппы в GL(n), где GL(n) рассматривается как дискретная группа (над произвольным полем F) либо как локально евклидова группа (над полями F = R,C). Примеры. 1. Подгруппа В+(п) С GL(n), составленная из верхних треугольных матриц, разрешима. Действительно, B+(n)' = N+(n), (29.7) где N+(n) — подгруппа унипотентных (с единицами на главной диагонали) матриц в В+(п). Легко проверяется также, что N+(n)(—) = N+(n)n_,={e}, (29.8) откуда В+(п)(п) = {е}. Следовательно, группа N+(n) нильпотентна (высоты п - 1), группа В+(п) разрешима (высоты п). Например, группа N+(2) абелева. В дальнейшем мы часто используем обозначение L(V) (соответственно, GL(V)) вместо End У (соответственно, Aut У), где V — конечномерное векторное пространство над полем F. 29.3. Теорема (Колчин). Пусть V —-конечномерное векторное пространство над полем F, G с GL(V) — линейная группа, каждый элемент которой g e G унипотентен в пространстве V (т. е. g = 1 + а, где ап=0). Тогда пространство V обладает G-инвариантным флагом (так что G с N+(n) при матричной интерпретации группы G). В частности, группа G нильпотентна. Доказательство. Достаточно проверить, что каждый простой G-mo- дуль V одномерен (и тривиален, т.е.^ = 1в End V для всех ge G). Заметим, что для каждого д е G имеем tr д = tr 1 = п, где п = dim V. Поэтому tv((g - l)h) = tvgh - tr h = 0 (29.9) 13*
204 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ для всех g,heG. Если поле F алгебраически замкнуто, то использование теоремы Бернсайда (п. 9.10) позволяет заключить, что (29.9) выполняется для всех h е End V. Отсюда_£=^_(\/0 е G),_dim V = 1. В общем случае положим V = F ® У, где F — алгебраическое замыкание поля^Р, и пусть е{ (г el) — некоторый базис F пространства F. Записывая х е V в виде i с коэффициентами xi е V, находим, что равенство дх = х (д е G) равносильно дх{ = х. для всех i el. Полагая О Ф х е V , получаем О Ф х{ е VG при некотором г. Если V — простой С?-модуль, то отсюда по-прежнему dimV = l. Остается заметить, что существование G -инвариантных флагов вытекает отсюда индукцией по dim V. Таким образом, доказанная теорема есть групповой аналог теоремы Р. Эн- геля (п. 17.6). Соответственно, следующий результат есть групповой аналог теоремы С. Ли (п. 17.4). 29.4. Теорема (С. Ли). Пусть G—связная разрешимая группа. Тогда каждый конечномерный (топологический) G-модуль V над алгебраически замкнутым полем F треуголен (т. е. обладает G-инвариантным флагом). В частности, каждый простой (конечномерный) G-модуль V одномерен. Доказательство. Достаточно проверить последнее утверждение теоремы. Если группа G абелева, этот факт вытекает из леммы Шура (п. 7.9 (Ш)). В общем случае — индукция по высоте разрешимости группы G. Напомним (п. 29.1), что G' есть связная подгруппа группы G. Поскольку высота разрешимости группы G' строго меньше высоты разрешимости группы G, можем считать, что теорема доказана для подгруппы Н = G'. Соответственно, для каждого V ф 0 подпространство Vx={xe V: hx = \(h)x, \fh e Я}, где Л —характер подгруппы Я, отлично от нуля при некотором Л. Поскольку Н — нормальный делитель группы G, мы имеем для каждого х е Vx: hgx = g(g~l hg)x = \g(h)gx, где geG, he Я, Xg(h) = X(g~{hg). Отсюда заключаем, что 9VxcVXg (29.10) для всех geG. Пусть Л — множество всех характеров подгруппы Я, для которых Vx фО. Рассмотрим в Л слабейшую топологию, относительно которой все функции Л н-> Л (ж) (хе Я) непрерывны. Тогда отображение g н-» \g (geG) непрерывно. Из связности группы G следует связность множества Л0 всех Хд (д е G). Из конечности множества Л следует, что Aq сводится к единственной точке Л. Согласно (29.10), отсюда следует GVX с Vx.
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 205 Если V — простой G-модуль, то V = Vx при некотором А. Напомним, что V обладает Я-инвариантным флагом, откуда det h = (X(h))n для всех h е Я, где п = dim V. С другой стороны, det h = 1 для всех коммутаторов (29.1), но тогда и для всех h е Я. Отсюда заключаем, что X(h) = 1 (tfh е Я), т. е. /i = 1 во всем пространстве V. Значит, действие G в пространстве Я коммутативно. Применяя к этому действию лемму Шура (п. 7.9 (Ш)), получаем dim V = 1. 29.5. Следствие, (i) Если отбросить условие алгебраической замкнутости поля F, то действие группы G в простом (конечномерном) модуле V коммутативно. (ii) Если группа G связна, отделима, разрешима и компактна, то группа G абелева. Действительно, (i) уже отмечено при доказательстве теоремы 29.4 (можно также применить расширение F н+ F). Если выполнены условия (ii), то тА(й) = 1 для всех h e G' (A e G). Согласно следствию 28.3, отсюда получаем h = е, т. е. ху = ух для всех x,yeG. 29.6. Группа В+(п). Положим F = С. Использование матричных элементов в N+(n) определяет гомеоморфизм N+(n)«Fm, где m = 2fc^f так что группа N+(n) связна и односвязна. Ясно также, что B+(n)/N+(n)«D(n)«(FJ", где G(n) — подгруппа диагональных матриц в GL(n), F+ = F \ {0}. Напомним (п. 23.8), что связность группы G со связной подгруппой Я равносильна связности факторпространства G/H. Отсюда заключаем (индукция поп), что группа В+(п) связна для всех п. Более того, каждая матрица Ь е В+(п) допускает однозначное разложение ху, где х е D(n), у е N+(n). Поэтому B+(n) = D(n)N+(n) — полупрямое произведение (поскольку D(n) нормализует N+(n)). Отсюда также очевидна связность группы В+(п). Аналогично, В_(п) = В+(п);, где жиж' — транспонирование в GL(n), есть полупрямое произведение D(n) с нильпотентной подгруппой N_(n) = = N+(n)'. 29.7. Разложение Гаусса. Пусть Др = Ар(д) — главный диагональный минор матрицы д е GL(n), составленный из первых р строк и первых р столбцов (1 ^.р < п). Матрица д называется регулярной, если Ар(д)^0 для всех р= 1,..., п. Как известно из линейной алгебры, регулярные матрицы д е GL(n) допускают однозначное разложение g = xyz, (29.11) называемое разложением Гаусса в GL(n), где х £ N_(n), у е D(n), ze N+(n).
206 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Поскольку разложение Гаусса играет существенную роль в дальнейшем изложении, приведем доказательство его существования (и единственности). Условие нижней треугольности матрицы gh при heN+(n) записывается в виде р £ 9ikhkp=0 ПРИ ! < *' <Р ^ И| что сводится к системе матричных уравнений »л-1я> + УР = °| где др — усечение матрицы д индексами 1,..., р, хр (соответственно, ур) — вектор-столбец с координатами hip (соответственно, gip), i = l,...,p. Поскольку Др = det о, Ф О (р = 1,..., п), эта система однозначно разрешима в N+(n), т. е. gheB_(n). Заменяя h на z~{ G N+(n) и записывая gz~l в виде ху (xeN_(n), ye G D(n))t получаем однозначную запись (29.11). Нетрудно выписать явно компоненты (29.11). А именно, воспользовавшись правилом умножения миноров в GL(n), получаем Ар = 6х...6р, Дм = Др*м при р<д, где 6{ —диагональные элементы матрицы у G D(n), Ам — минор матрицы д> составленный из строк с номерами 1,..., р и столбцов с номерами 1,... .. .,р— 1, д. Отсюда ^VVi- ** = *„/*,> <29Л2> где Д0 = 1. Аналогично вычисляются элементы х в (29.11). Отсюда заключаем, что разложение Гаусса (29.11) определяет аналитический (бирациональный) гомеоморфизм Gteg(n) = N_HN+*N_ xHxN+, (29.13) где Gt (п) — множество всех регулярных точек д G GL(n), Н = D(n), N±=N±(n). Отметим приложение гауссовой структуры (29.13) к описанию простых конечномерных G-модулей над группой G = GL(n, С). 29.8. Теорема (Р. Годман). Пусть X —простой (топологический) конечномерный G-модуль над полем С. Тогда имеем: (а) В пространстве X существует единственное одномерное подпространство -X0 = Fe0, инвариантное относительно действия подгруппы В =В+(п), т. е. Ц, = А(Ь)ео для всех be В, (29.14) где А —характер подгруппы В, тривиальный на подгруппе N = N+(n) (так что А однозначно определяется своим сужением на подгруппу H = D(n)). (/?) Характер А однозначно продолжается до непрерывной функции /л на GL(n) no правилу fx(xyz) = X(y) для элементов (29.11). (29.15)
§ 29. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 207 Более того, характер А определяет G -модуль X с точностью до изоморфизма. Доказательство. Согласно теореме С. Ли (п. 29.4), в пространстве X существует вектор е^О, удовлетворяющий (29.14). Аналогично, в X* существует вектор /0^0, удовлетворяющий (29.14) с заменой А некоторым характером /х подгруппы В_(п). Заметим, что А = 1 на производной подгруппе N = N+ (аналогично, р = 1 на iV_). Отсюда следует, что функция /(#) = (fl^j /о) удовлетворяет соотношениям f(xyz) = f(y) (29.16) для всех х е iV_, у е G, z e N+, и также /(Л) = А(Л)/(е) = м(ЛГ7(е) (29.17) для всех h е Я (здесь мы используем правило (де^, /0) = (е^ g~{f0) (п. 7.4)). Согласно (29.16), при у = Л, равенство /(e) = 0 влечет f(g) = 0 для всех д€ GKg(n), откуда /=0 (поскольку GT4(n) всюду плотно в G). Но это означало бы, что GeQ±fQt что невозможно (в силу простоты G-модуля Х). В результате /(e) = (во, /0) ^0. Полагая (е^ /0) = 1, получаем из (29.17) А =/х~!- Поэтому характер А в пространстве X определен однозначно. Более того, если вектор ех еX удовлетворяет (29.14) (с подстановкой во»-» е{), то ех -аво X/0 при некотором а е С, откуда е{ = ае^. В результате dim XQ = 1. Отсюда следует (а). Соотношения (29.16), (29.17) при /(e) = 1 однозначно определяют продолжение (29.15) характера А до непрерывной функции на группе G. Остается напомнить (п. 28.8), что отображение f «-+ (д£, /0) определяет вложение G-модуля Х в правое регулярное представление группы G. Отсюда следует (/?). 29.9. Индуктивные характеры. Характер А группы H = D(n) назовем индуктивным, если он продолжается по правилу (29.15) до непрерывной G-финитной функции на группе G, где G-финитность означает конечномерность орбиты G/ относительно правого регулярного представления группы G. Согласно теореме 29.8, описание (с точностью до изоморфизма) всех простых конечномерных G-модулей сводится к описанию индуктивных характеров подгруппы Я. Упражнение. Пусть G = GL(2), Я = JD(2) (над полем С). Тогда имеем: (i) Характер a(h) = af, где h = diag(а15 а2), индуктивен для всех п е Z+. (ii) Характер a(h) = аГа{т, где п - m € Z+, индуктивен тогда и только тогда, когда n, m Е Z+. (Ш) Все простые голоморфные (соответственно, все простые) G-модули определяются характерами (i) (соответственно, (ii)). Мы вернемся к этому вопросу в п. 47.10. Пока отметим приложение гауссовой структуры (29.13) к унитарной структуре в GL(n). Пусть Р — Р(п)— множество всех положительно определенных матриц в GL(n). Положим также А=РГ)D(n), К = U(n), N = N+(n).
208 Глава 4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 29.10. Предложение. Умножение в группе С? = GL(n) определяет следующие два аналитических гомеоморфизма: (a) G = KAN&KxA xN. (Р) G = КР &К х Р (полярное разложение в GL(n)). Доказательство. Согласно критерию Сильвестра (см., например, [Вин 1; КМ]), все матрицы реР регулярны. Используя единственность разложения Гаусса р = xyz и эрмитовость р€Р, находим х* = z, у е А. Заметим также, что g*g е Р для всех g€ G. (а) Полагая g*g = xyz (разложение Гаусса), и полагая a=y{f2 e А, получаем д*д = /*/i где / = az, откуда следует, что д = kf, где к* = к~{, т. е. кеК. Элементы к, a, z суть вещественно аналитические функции от де G, откуда следует (а). (/3) Полагая д*д = р2, тце ре Р, получаем д = кр, где к еК. Элементы fc, р суть вещественно аналитические функции от де G, откуда следует (/3). Упражнение. Докажите, что каждая точка р е Р содержится в (единственной) однопараметрической подгруппе p(t) = eto, где teR, a* = a, (29.18) например, при t = 1. § 30. Алгебраические группы 30.1. Обозначения. Всюду в этом параграфе V — конечномерное векторное пространство над полем F. В соответствии с традицией теории алгебраических групп, мы используем символы L( V), GL(V) (соответственно) вместо End У, Aut V. В том случае, когда фиксирован изоморфизм V « Fn (т. е. фиксирован базис пространства V), мы будем использовать обозначения L(n), GL(n) (соответственно) вместо L(V), GL(V). Символ P(V) означает алгебру полиномов в векторном пространстве V. Соответственно, Q(V) = FractP(V) — поле рациональных функций в пространстве V. 30.2. Определение. Подмножество McV называется алгебраическим многообразием в пространстве V', если оно выделяется в V системой алгебраических уравнений /(х) = 0 для всех feS, (30.1) где S с P(V) — фиксированное семейство полиномов в пространстве V. Систему (30.1) можно заменить эквивалентной системой, расширяя 5 до идеала I, порожденного семейством 5. С другой стороны, по теореме Гильберта (п. 15.6), идеал I обладает конечной системой образующих. Поэтому можно считать, не ограничивая общности, что семейство S в (30.1) конечно. Примеры. 1. Сфера xf +... + х\ = 1 есть алгебраическое многообразие в Fn.
§ 30. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 209 2. Ортогональная группа 0(V) = {geL(V):g'g = gg' = e}, (30.2) где д*->д' — транспонирование в L(V), есть алгебраическое многообразие в L(V). 3. Группа GL(V) не есть алгебраическое многообразие в L(V). Однако, можно отождествить GL(V) с алгебраическим многообразием GL(V) = {(9)\):\detg=l} (30.3) в пространстве L(V)0F. Упражнение. Если М, N — алгебраические многообразия (соответственно) в VJ W, то М х N есть алгебраическое многообразие в пространстве V © W. 30.3. Алгебра Р(М). Различные идеалы могут определять одно и то же многообразие М. Например, идеалы /и 12 в F[t]9 порожденные (соответственно) одночленами £, t2, порождают одно и то же многообразие {0} С F. Однако, для каждого алгебраического многообразия М существует наибольший идеал 1(М), выделяющий М. А именно, М состоит из всех полиномов / eP(V), равных нулю на многообразии М. Для каждого / е Р(V) его сужение /м на М называется полиномом на многообразии М. Очевидно, равенство }м = дм равносильно / - де 1(М). Поэтому алгебра P(M) = P(V)/I(M) (30.4) называется алгеброй полиномов на многообразии М. Соответственно, алгебра Q(M) = FractP(M) (30.5) называется алгеброй рациональных функций на многообразии М. Рациональная функция feQ(M) называется определенной в точке А € М, если существует представление / = p/q, где jp, q G P(M), q(X)^0. Точка А € М, в которой функция / не определена, называется особой точкой ф