/
Text
УДК 530.145.538.3
Биленький С. М. Введение в диаrраммы ФеЙН
мана и физику электрослабоrо взаимодействия.
М.: Энерrоатомиздат, 1990. 327 с. ISBN
5 283 03930 7.
Изложены основы квантования полей и метод диаrрамм
Фейнмана. Детально рассмотрен целый ряд процессов с уча-
стием лептонов и адронов. Изложена техника вычисления
вероятностей распадов, сечений процессов н дрyrих нзмеряе
мых на опыте величнн
Для иаучных работников в области ядериой физики н фи
зики элементарных частиц. Полезна аспирантам и студентам
вузов соответствующих специальностей.
Ил 45 Библиоrр.' 32 назв
Рецензент чл -КОРР АН СССР С С. rерштейн
Б 1604070000 363
4-89
051 (01)-90
ISBN 5-283 03930 7
@ Автор, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние два десятилетия в физике элементарных ча
стиц произошел удивите.1ЬНЫЙ проrресс. Были открыты и де-
та.1ЬНО исследованы слабые процессы HOBoro типа (нейтраль
ные токи), открыт новый .1ептон ., открыты новые семейства
частиц ('Ф, очарованные, в и др), открыты заряженные W::!: и
нейтра,/lЬНЫЙ zo промежуточные бозоны переносчики слабоrо
взаимодействия, открыто новое квантовое чис.l0, которым об
.1адают кварки и r.1ЮОНЫ (цвет), и !\(HOrOe друrое.
Все, что мы знае\1 сеrо;щя о взаимодействии Э,/lементарных
частиц (нейтрино, .1ептонов, кварков, фотонов, промежуточных
60ЗОНОВ и т. д.), описывается так называемой стандартной Teo
рией. которая включает единую теорию электромаrнитноrо и
с.1абоrо (Э.1еКТрОС.1абоrо) взаимодействия r.1ЭШОУ Вайнбер-
[а Салама и квантовую ромодинамику
Теория элеКТРОС.1абоrо взаимодействия основана на спон-
танно нарушенной ка.1Ибровочной rруппе S U (2) Х U (1). Она
описывает взаимодействие фундаментальных фермионов (леп-
тонов и кварков) и ка.1ибровочных векторных бозонов (W::!:,
zo, у). Эта теория описывает также взаимодействие кварков,
.1ептонов и промежуточных 60ЗОНОВ с rипотетическими скаляр
ными частицами Хиrrса и взаимодействие между промежуточ
ными бозонами. Поиск частицы Хиrrса и изучение взаимодей-
ствия между промежуточными бозона fИ важнейшие задачи
будуrцих экспериментов. Квантовая хромодинамика основана
на калибровочной rруппе sи (3). Она описывает взаимодейст
вие кварков и r.1ЮОНОВ и ЯВ.lяется теорией СИ.lьноrо взаимодей-
ствия. Аппаратом стандартной теории ЯВЛяются теория rрупп и
квантовая теория поля.
В этой книrе излаrаются элементы квантовой теории поля,
метод диаrрамм Фейнмана, теория элеКТРОС.lабоrо взаимодей
ствия rJ1ЭШОУ Вайнберrа Са.lама. Рассмотрен ряд класси-
ческнх С.1абых и электрослабых процессов.
Метод диаrрамм ФеЙНl\1ана представляет собоЙ основной ме-
тод ВЫЧИс.lения (по теории возмущений) матричных элементов
процессов. Значение этоrо метода, однако, далеко выходит за
рамки теории возмущений. Простота и наrлядность диаrрамм
Фейнмана сделали их основным языком современноЙ физики.
ПОС.1е весьма подробноrо изложения теории r.1ЭШОУ Вайн-
6epra Са.lама в книrе рассматривается це.1ЫЙ ряд сла6ых
процессов. Рассмотрены классические с.lабые распады (pac
пад Л !J.V, распад пиона и др ), некоторые процессы на
встречных е е пучках (e +e IJ. +IJ. с учетом Вк.lада ней-
тральных токов и др ), нейтринные процессы (r.lубоконеупруrое
рассеяние неЙтрино на нук.lОнах и др ). КажJ,ЫЙ из процессов
рассмотрен весьма подробно. Вначале по ;щаrраммам Фейнма-
на (там, rJ,e работает теория возмущениЙ) и из соображениЙ
инвариантности (там, [де она не работает) строится матрич
ный элемент процесса. Затем ВЫЧИС.lяется сечение (вероятность
распада). Наконец, приводятся некоторые пос.lедние экспери-
ментальные данные. Все выкладки де.lаются настолько подроб-
но, что они леrко vюrут быть воспроизведены читате.lем. В oc
новном тексте книrи и в при.l0жениях ИЗ.1аrаются широко ис
пользуемые ВЫЧИС.1ите.lьные прие\1Ы, аппарат спиновой VfaT-
рицы П.l0ТНОСТИ и др
06ъем и характер книrи не ПОЗВОЛИ.1И paccVfoTpeTb \fноrие
важные вопросы физики С.1абоrо взаИVfодействия (проблему
нарушения СР-инвариантности, распады очарованных частиц,
процессы упруrоrо рассеяния нейтрино на нуклонах и MHoroe
друrое). Книrа в основном предназначена Д.1Я тех, кто присту
пает к изучению современноЙ физики Она основана на [oдo
вом курсе .1екций. читающихся студента\1 )1ТУ в Дубне. В за-
дачу курса входит ИЗ.10жение основ квантования полей, калиб
ровочноrо принципа построения .1аrранжианов взаимодействия,
Vfетода диаrрамм Фейнмана Я пытаюсь научить студентов ис
пользовать принципы инвариантности. считать сечения про-
стейших физических процессов I! доводить ВЫЧИС.lения до та-
кой стадии. на которой бы.l0 бы возможно сравнение с экспе-
риментом. Курс rотовит студентов к чтению ориrинальных
статей.
Эта книrа тесно связана с Vfоими предыдущими книrами
«Введение В диаrраммную технику Фейнмана» (1970 r.) и
«Лекции по физике нейтринных и леПТОН НУК.l0ННЫХ процессов»
(1981 [.). Однако вошедшиЙ в настоящую книrу материа.l этих
книr ПО,/lНОСТЬЮ перера60тан. Сохранены общие принципы:
я стараюсь находить экономные способы изложения; все BЫ
кладки проделываются подробно и до коНца. В отличие от
предыдущих книr здесь используется метрика ФеЙнмана (Ta
кое пожелание бы.l0 высказано мноrими физиками). Хочу толь-
ко подчеркнуть, что матрица ys оставлена такоЙ же, как и
в метрике Паули (отличается знакоVf от ys, используемой, на-
пример, в книrе Бьеркена и Дре.lла)
В заключение я хоте.l бы сде.lать с.lедующее замечание.
В этой книrе излаrается стандартная теория элеКТРОС.1абоrо
4
взаимодеЙствия. В настоящее время нет ни одноrо эксперимен
Ta.lbHoro факта, которыЙ не Mor бы быть объяснен этой теори
еЙ Тем не VfeHee стандартную теорию не.1ЬЗЯ считать завершен-
ноЙ. К этому заК.1ючению приводят, в частности, следующие
соображения.
1. В стандартной теории с.1ИШКОМ MHoro фундаментальных
параметров. Параметрами теории ЯВ.1ЯЮТСЯ \1ассы кварков и
.1ептонов, константы связи, vr.1bI смешивания Bcero свыше
20 параметров. .
2. В настоящее время VfbI знаем, что существует три поко
.1ения кварков и .1ептонов ((V e , е, и, d), (VJ.L, f.t, с: s), (V T ,., t, Ь))
и имеет место универсальность взаимодействий частиц разных
поколений. СтаНJ,артная теория не отвечает на вопрос о том,
почему существует три (может быть больше?) поколения фун
даментальных фермионов, отличающихся только массами (так
называемая '<заrадка поко.lениi!»).
3. Стандартная теория не яв яется единой теорией всех из
вестных нам взаимодействиЙ (слабоrо, электромаrнитноrо,
C!l.lbHoro и rравитационноrо)
4. Стандартная теория основана на преJ,положении о суще-
ствовании скалярноrо хиrrсовскоrо бозоНа. Квантовые поправ
ка к Vfacce :шrrсовскоrо бозона в стандартной теории оказыва
ются VfHoro большими возможной массы этой частицы, что
является трудностью теории (проблема иерархии)
Все это неизбежно приводит к необходимости обобщения
стаНJ,артной Vfоде.1И. В настоящее время активно развивается
VfHoro путеЙ выхода за стандартную моде.1Ь (теории великих
объединениЙ, супеРСИМVfетрия, суперструны и т. J,.). Рассмотре-
ние VfО.J:е.lей, обобщающих стандартную \fодель, не входит
в заJ,ачу этоЙ К!lиrи. В настоящее время существуют \fноrочис
.1енные Vfоноrрафии, посвященные этим вопросам.
Я rлубоко блаrодарен Б М Понтекорво за исключите.1ЬНО
ПО.lезные обсуждения самых разных аспектов физики электро-
с.lабоrо взаимодеЙствия.
Автор
rлава 1
S-МАТРИЦА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Вычисление сечений, вероятностей распада, поляризаций и
руrих измеряемых на опыте величин требует знания матрич-
ных элементов S-матрицы. ,\1ы начнем с Toro, что определим
зтот фУНJ,аментальный оператор квантовой теории.
Удобным формализмом квантовой теории ЯВ.lяется бра- и
нет-формализм Дирака (от анr.lиЙскоrо bracket). Напомним,
что вектор состояния (KeT BeKTOp) обозначается в этом: форма
.1Изме la). Эрмитово сопряженный вектор (бра вектор) обозна-
чается (а 1. Имеем
(al==ia)
( 1.1 )
Скалярное произведение (Ь[а) удовлетворяет соотношению
(bla)==(alb)*. (1.2)
Пусть I а) ортонормированные собственные векторы полноrо
][а60ра операторов а. Имеем
ala)==ala),
(а' I а)==6 (a' a). (1.3)
,Векторы I а) образуют ПО.1НУЮ систему. Раз.lОжение вектора
la) по I а) имеет вид
I а> == Ia><a l а>.
I ,
(1.4)
Величина (ala) (проекция вектора la) на орт la») представ-
.{яет собой амплитуду вероятности обнаружения системы, опи
сываемой вектором I а), в состоянии I а). Величина (а I а) (при
всех возможных а) ПО.1НОСТЬЮ характеризует состояние систе-
иы и ЯВ.lяется волновой функцией систеVfЫ в а пре;J,ставлении.
Из (1.4) следует, что векторы I а) УДов.lетворяют условию пол
ноты
1(;t><al==1.
( 1.5)
а;
Если на вектор !а) подействоваТh оператором А, то ПО.1у-
чим друrой вектор состояния:
Ala)===!b). (16)
У\fНОЖИМ это соотношение слева на бра-вектор < 1, принаД.1е
жащий к полной системе. Используя ус,'!овие полноты (1.5),
получим
< I А I а><а I а>== <Р I Ь>.
( 1.7)
"
Оператор А+, эрмитово сопряженный оператору А, определя
ется слеJ,УЮЩИМ образом:
(аIА !Ю===( IАlа)*. (1.8)
Очевидно, что*
(АВ) "1-=== В+ A .
Из (1 7) путем КОМП.1ексноrо сопряжения получаем
}:(аl а)(а IA+\ )==<b I ).
(1 9)
( 1.10)
в матричном виде это соотношение записывается следуюLЦИМ
образом:
(aIA+==(bl. (1.11)
Очевидно, что (1.11) Vfожет быть ПО,lучено из (1.6) путем эр-
митова сопряжения.
Теперь МЫ определим S матрицу. Уравнение движения лю
бой квантовой системы имеет вид
i дIW(t» ==Н I Ч!(t». (1.12)
дt
Здесь I ЧJ' и) > вектор состояния системы в момент времени t,
а Н полный rаМИ.'Iьтониан.
Уравнение (1.12) ЯВ.lяется уравнением движения в Пред
ставлении Шрединrера. Мы введем S-матрицу в представлении
взаимодействия (представ.lении Дирака). Напомним, как ocy
ществляется переход от одноrо представления к друrому. Pac
смотрим среднее значение HeKoToporo оператора О. Имеем
о и) ===(ЧJ' (t) 10 IЧJ' и).
Пусть v и) любой унитарный оператор
V+ и) V и) == V и) V+ (t) == 1.
(1.13)
(1.14)
* Действите.1ЬНО,
(а [ (АВ)+ I )== ( [ АВ I а)*== L ( I А: '()* Х
1
Х (у [ в I а)* == (а [ B I '() ('( [ A , ) == (а [ B А+ I )
1
Выражение (1 13) может быть переписано
разом:
следуюLЦИМ об.
i5 и) === (чr/ и) 10/ и) I чr/ и) ),
( 1.15)
[де
! чr' (t» =-= v (t) I qr (t», }
О' ([) == v (t) OV (t).
Таким образом, средНие значения операторов (а также их .1Ю
6ые матричные элементы) инвариантны относительно унитар
ных пре06разованиЙ (1.16). Друrими С.10вами, физические
следствия теории останутся неизменными, если вместо векто-
ров Iчr(t) использовать векторы Iчr/(t», а вместо операто-
ров О операторы 0/.
Этой унитарной свободой в выборе векторов состояния и
операторов можно воспользоваться таким образом, чтобы пе
рейти к представ.lению, в котором зависимость от времени век-
торов состояния определял ась бы rамильтонианом взаимодей
ствия. Действительно, полныЙ rамильтониан системы имеет вид
(1.16)
Н===Но+Нт, (1.17)
[де Н о свободныЙ rамильтониан, а Н т rаМи.1ьтониан взаи
модействия. Перепишем (1.16) в ВИJ,е
IФ(t)===Vт(t) iчr(t),
О и) === V т и) OV/+ и).
Умножая (118) С.lева на V/+ ((), получаем
Iчr(t)===V! (t) IФ(t».
Подставим да.lее это выражение 13 уравнение движения (1.12).
Получаем
дV+(t) ! д'Ф () I
i......1........ ф(t»+Vt(t)i I t> ==(Ho+H/)vt (t)l l ф(t». (1.20)
д! д!
Потребуем теперь, чтобы унитарный оператор V/ (t) удов.пе
творял уравнению*
( 1.18)
(1.19)
д\!+ (t)
i == Н vt(t). (1.21 )
д! о
Умножая (1.20) с.lева на V! и) и используя унитарность матри
цЫ V/ (t), для вектора I ф и) > получаем в этом случае уравнение
i д I Фд;t» == Н/ и) I ф (t», (1.22)
* Такой оператор заведомо существует. Действите.1ЬНО, оператор
У / + ( t ) == e i Hot ! ' / (О ' ) [ ' , . / + (О) не .
зависЯlЦИИ от вре\lени произвольный
унитарный оператор] удовлетворяет (1.21) и является унитаРИЫ I.
8
[де
Hi(t) == V r (t)HrVr+(t)
(1 23)
rамильтониан взаимодействия в новом представлении.
Представление, в котором векторы состояния удовлетворя-
ют уравнению движения (1 22), носит название представления
взаимодействия или представления Дирака. Как видно из
(1.22), зависиМость от времени векторов состояния в этом пред
ставлении определяется только rамильтонианом взаимодейст
вия. Операторы в представлении взаимодействия зависят от
времени. Эта зависимость определяется CB060.ll.HbIM rамильто-
нианом. Действительно, из (1 21) путем эрмитова сопряжения
получаем
. дVi(t)
1 дt == V i (t) НО'
( 1.24)
Предположим, что оператор О в исходном представлении Шре-
динrера не зависит от времени Используя (1.21) и (1.24), Ha
ходим
i дО и) == V[ (t) ОН ovt (t) V[ (t) н oovt (t) == [О (t), Н о и)]. (1.25)
дt
Теперь приступим к решению уравнения (1.22). Интеrраль-
ное уравнение
1
I Ф(t» == I Ф(t о » + ( i) 5 dt 1 H[ (1) I Ф(t1»
1.
( 1.26)
эквивалентно (1.22) и включает начальное условие при t==t o .
Будем решать уравнение (1.26) методом итераций. Под знак
интеrра.'Iа в (1.26) подставим
1,
I ф (t 1 » == I ф ио» + ( i) 5 dty.H [ ([2) I ф (tz».
1 .
Получаем
t
I ф (t» == I ф (t o » + ( i) dt 1 H [(t 1 ) 1 Ф ио» +
. t.
1 1,
+ ( i)Z 5 dt15 dt/l[ (1) Н[ (t 2 ) 1 Ф (2»'
1. t.
(1.27)
Затем под знак двойноrо интеrрала в (1.27). подставим правую
часть (1.26). Последовательно продолжая эту процедуру, Ha
9
ходим
[ t t t,
\Ф(t»== 1 + ( i) dtlHl(tl) + ( iy Sdt 1 Sdt a H r (t 1 ) H r (t 2 ) +...
1 о 1 о 1 о
1 t, tn l ]
+( i)n5dtljdt2'" 5 dtr,нr(tl)Нr(tt)...Н[(t,,)+... Х
to t о t о
х I Ф (t o ».
(1.28)
Итак, мы получили оБLЦее решение уравнения движения
(1.22) в виде ряда теории возмущений по степеням rамильто
ниана взаимодействия. Отметим, что в случае, если взаимо
действие характеризуется малой константой, уже первый не-
исчезающий член ряда (1.28) дает решение с точностью, доста-
точной для широкоrо Kpyra задач. Это имеет место в случае
электромаrнитноrо и слабоrо взаимодействий.
Полученное нами общее решение уравнения J,вижения
(1.22) имеет вид
IФ(t)==U( t, t o ) IФ(tо).
( 1.29)
Таким образом, мы показа.'1И, что вектор состояния в любой
момент времени t можно получить, если подействовать на Ha
ча"lЬНЫЙ вектор состояния оператором U (t, t o ), зависящим от
rамильтониана взаимодействия. Для оператора и и, t o ) мы по
лучили следующее выражение в виде ряда теории возмущений:
х>
u (t, t o ) == и(n) и, t o ),
n=О
( 1.30)
[де
t t, In l
и(n) (t, t o ) == ( i)n S dt1S dt 2 ... dt n H r (t 1 ) Н[ (t 2 )... Н! (t,,). (1.31)
10 t o 10
Нетрудно убедиться в том, что U и, t o ) унитарный опера
тор. Действительнс, подставляя (1.29) в (1.22), д.1Я оператора
и (t, t o ) получаем уравнение
i дU(t. ' о ) == Н! (t) U (t, t o )'
дt
( 1.32)
Отсюда, учитывая, что Н[ и) эрмитов оператор, находим
i дU+(t. ' о } == и+ ( t t ) Н ( t )
д! ' о r .
( 1.33)
10
Вернемся теперь к найденному
нами решению уравнения J,виже
ния (1.22). При п;:::2 верхние пределы интеrралов в (131)
являются переменными последующеrо интеrрирования. При
рассмотрении процессов с участием релятивистских ча
стиц использование таких выражений оказывается весьма не-
удобным. Мы покажем теперь, что члены ряда (1.31) MorYT
быть записаны таким образом, чтобы верхние пределы соот-
ветствующих интеrрирований р аВНЯ.1ИСЬ t.
Рассмотрим внача"lе третий член ряда (1 30). Имеем
t t 1
и(2) ([, t o ) == ( i)2 5 dt 1 .\ dt 2 H[ (1) Н[ (t 2 ).
t о t о
Область интеrрирования в (1.36) изображена на рис. 1.1. Опе-
ратор Н[ (tl) H 1 (2) интеrрируется вначале по t 2 (от t o до t 1 ),
а затем по t 1 (от t o до t). Проинтеrрируем H[(tl)H 1 (tz) по той
же области, но внача.lе по t! (от t 2 до t), а затем по t 2 (от t o
до t). Пре.дполаrая, что значение интеrра.lа не зависит от по
рядка интеrрирования, получаем
t t
и(2) (t, t o ) == ( i)2 5 dt25 dt 1 H[ (t 1 ) Н[ (t 2 ) ==
to t.
t t
== ( i)2 5 dt 1 S dtJi[ (t 2 ) Н[ (t 1 ).
t o t 1
ПОС.'Iеднее равенство получено путем переобозначения пере
менных иl:: t 2 ). с помощью (1.37) находим
U(2)(t, t o ) == ( 2 i ')2 5 dt 1 [r dt 2 H[(t 1 ) H[(t 2 ) + 5 dt 2 H[(t2)H[(tl)1. (1.38)
t о t о t 1
* ИЗ (129) и (135) сдедует. что <Ф(t) IФ(t» <ф(tо) iф(t о » Таким
образом, в си.'lУ унитарноС'1'И матрицы и (t, to) норма вектора состояния со-
храняется.
Умножим (1.32) слева на U+(t; t o ),
а (1.30) справа на U и, t o ). Вычи-
тая из первоrо соотношения BTO
рое, получ аем
:t (и (t, t n ) U (t, t o )) == О. (1.34)
Отсюда следует, что и+ и, t o ) Х
хи и, t o ) ==const. Далее из (1.29)
очевидно. что U (t o , t o ) === 1. Таким
образом*,
и и, to)U(t, t o ) === 1.
(1.35 )
t 1
t
t o
CI
t"o
t
tt
Рис. 1.1. Область HHTerpHpoBa-
ния в и (t, t o ) [выражение
(1.36)]
(1.36)
( 1.37)
11
Далее интеrралы по t 2 можно объединить в o.......!J интеrрал, ec.
ли следующим образом ввести оператор хронолоrическоrо ynо
рядочивания Дайео а Р:
{ H{(t])H{(tt), t1>t.,
Р(Н{ (t]) Н{ (t.)) '== Н{ (t 2 )H{ (t 1 ), t.>t 1 . (1.39)
Оператор Р определен такИМ образом, что при деЙствии на про-
изведение двух зависящих от времени операторов он расставля
ет их так, чтобы временной apryMeHT первоrо сомножителя был
больше BpeMeHHoro aprYMeHTa BToporo. Отметим, что при t 1
-=== t 2 операторы коммутируют. Имеем
/ /,
dt.P(H,(t]) Н{ (tJ) == I dt 2 H{ (t 1 ) Н{ (t.) +
/. / .
/
+ S dt.H, (tJ Н{ (t]), t O <,t 1 <,t. (1.40)
1,
С помощью (1.38) и (1.40) получаем следующее выражение
для и(2) и, t o ):
/ 1
и. (t, t o ) == ( n ,i). S dt]S dt.P(H, (t]) Н, (t.)). (l... l)
/. 1.
Покаже 1 тепе;:>ь, что при ПРОИЗВОЛЬНО'.1 п
/ / /
U (n) t t ( i)2 S j S
( , о) dt] dt.... dt"P (Н, (t]) Н { (t.) '" (Н, (t ,,)), (1.42)
t о : о t r)
rДе
P(H { (t]) H { (t2)'" Н , (t,,))==H , (t.) H { (t l ) ... Н { (t , . ) , t.;;4. ...;4; .
'1! п '1 '1 l"
(и з)
Таким образом, хронолоrический оператор Дайсона Р при дей
ствии на произведение п зависящих от времени операторов pac
стаВЛяет их так, чтобы временной aprYMeHT убыва.l (не возра
стал) при движении слева направо.
Доказательство соотношения (1.42) мы прове..1ем по индук-
ции. Рассмотрим выражение
/ /, /п
I (t) == S dt] J dt 2 ... S dt,, /l{(t,) Н {(tJ ... Н{ (t,, ])
10 /. 1 о
/ / /
(n: 1) , S dt] S dt 2 ... .} dtпчР (Н{ (t]) Н( (t 2 ) ... H,(tn l)). ([44)
10 /0 /0
12
Продифференцируем / (п по t. Находим
[ t t 1 t" l
d1d;t) =" Н,и) S dt 1 \ dt 2 ... S dt"H,(tl)H,(t ) оН Н, (t,,)
t о t o t о
-;- f dt 1 J' dt 2 ... S dt"P (Н, (t 1 ) Н, (t 2 ) ... Н, ип)' ] ' (1.45)
t о t о t о
Отметим, что при получении (145) было использqвано соотно-
шение
Р (Н 1 иl) ..о Н 1 ин) Н 1 и) Н 1 (t i + 1 ) ..о Н 1 иn,.1)) ===
===H 1 (t)P(H 1 (tl) ...H1(th)H1(ti-Ч) о. H 1 (tn+l)),
спр аведливость KOToporo очеВИJ,на (ti t).
ПреJ,ПОЛОЖИМ теперь, что (1 42) имеет \1есто. Из (1.45)
следует, что в этом случае d/ и) jdt== о, и, с.lедовательно, / не
зависит от времени. Очевидно, что / ио) ==00 Таким образом,
/ и) ===0 при любом t. ЕС.1И соотношение (1.42) справедливо для
случая попер аторов, то оно спр авеJ,.lИВО, С.lедовательно, и для
случая n+ 1 опер аторов "V1.bI показа.1И, что (1.42) имеет место
при n===2. Таким образом, соотношение (1.42) справедливо при
ПРОИЗВОJIЬНОМ ПО
Определим теперь S-\fатрицу. При рассмотрении процессов
с участием частиц (распады, рассеяние, неупруrие процессы)
начальное состояние задается при to oo. Нас интересует век-
тор состояния при t oo. Из (1.29) следует, что
IФ(оо)===U(оо, оо)IФ( оо)о (1.46)
Оператор
s==U(oo, oo)
(1.4 7)
является S-матрицеЙ в представлении взаимодействия. Из
(1.30), (1.42) и (1.47) получаем следующее выражение для
S-матрицы в виде ряда теории возмущений:
OQ OQ OQ :х>
( i)<") S S S
s== п' dt 1 dt 2 ... dt"P(H,(t 1 )H,(t 2 )...H,(t,,).(1.48)
"==0 .....00.....00 ---<х)
в заключение обсудим вопрос о том, какой физический
смысл имеют матричные ЭJIементы S матрицы. Пусть I п)
полная система векторов состояния, описывающих частицы
(в принципе все существующие) с определенными импульсами
и проекц ями спинов. В начальный момент времени иo oo)
имеем
IФ( оо)=== Ino).
(1.49)
13
Для конечноrо вектора состояния (t--+oo) из (1.46) и (1.49)
получаем
I Ф(оо»==S I по) == In><n I S I по>.
( 1.50)
Таким образом, матричный элемент (пISlno) представляет со-
бой амплитуду вероятности перехода из состояния, описывае
Moro вектором I по), в состояние, описываемое вектором I п).
Одна из важных задач теории состоит в вычислении мат-
ричных элементов S-матрицы. Очевидно, что для этоrо нужно,
Fо-первых, уметь строить векторы состояния частиц с опреде-
.1енными ИМПУ.lьсами и проекциями спинов. Во-вторых, нужно
знать rаМИ.lьтониан взаимодействия. Наконец, в третьих, нуж-
но уметь вычислять матричные элементы S матрицы.
Мы перейдем теперь к изложению Э.lементов теории поля
Аппарат теории поля позволяет без TpYJ,a строить векторы co
стояния свободных частиц с опреде.lенными импульсами и про-
екциями спинов.
В настоящее время можно считать установленным, что [a
МИЛЬтонианы с.lабоrо, электромаrнитноrо и сильноrо взаимо
действий ЯВ.1ЯЮТСЯ минимальными, совместимыми с принципом
лока.1ЬНОЙ ка.lибровочной инвариантности rамильтонианами.
Мы подробно обсудим принцип лока.1ЬНОЙ калибровочной ин-
вариантности. Затем будет подробно изложен основанный на
разложении (1.48) метод вычисления матричных элементов
S-матрицы (метод диаrрамм Фейнмана).
J'пa8a 2
ЛАrРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ
2.1. Принцип наименьwеrо действия.
Уравнения движения полей
Начнем с KpaTKoro изложения .larранжева формализма.
Лаrранжев формализм позволяет на основе нескольких общих
принципов получить уравнения движения рассматриваемой си
стемы и сохраняющиеся величины (энерrию, импульс, момент
количества движения, электрический заряд и др.).
Уравнения движения классическоrо поля следуют из прин-
ципа наименьшеrо действия rамильтона. Напомним, как фор
мулируется этот принцип В классическоЙ механике. Рассмотрим
систему N точек. Такая система описывается Х р ' и) функциями
времени координатами частиц (i==:1, 2,3; p==:l,...,N) и яв
ляется, с.lедовате.1ЬНО, системоЙ с 3 N степенями свободы. Лаr-
14
ранжева функция системы представляет собой разность кине-
тической и потенциальной энерrий:
N 3 ..
L (х, х) == Е тP( 'p)2I V (х) (2.1)
р=:1 i 1
(m р масса р частицы). Определим действие:
t.
/ == S L (х, x)di.
t,
Значение этоrо интеrрала определяется значениями функций
Х р ! и) во всем интервале tl t t2. Действие является, следо-
вательно, функционалом X p i . Найдем изменение (вариацию)
действия при бесконечно малом изменении функций X p i (t).
Имеем
(2.2)
1.
o/==/' /== S(L(X', x') L(x, x)]di==
t,
1,
S [!J .!.!:...o i + о . i ] dt
. Ар" Х р .
дх' дх t
1, р. i Р р. i Р
(2.3)
Здесь
x ' (t) == x (t) + ox (t), (2.4)
[де 6x p i (t) бесконечно малые произвольные функции t
(в разложении по 6х р ! удерживаются только линейные члены).
Очевидно, что
. , d l' d i d ,
ОХ == Х Р Х == ox .
р dt dt P dt р
(2.5)
Далее имеем
aL ох ' == ( aL ох' ,, ..:!.... JL оХ i (2.6)
дх i Р dt дх. i Р ) dt дх i Р'
Р Р Р
Подставляя (2.6) в (2.4), для вариации действия находим
t. t.
о/ == S ( aL. ..:!.... д . ) ох 'di + д . ОХ i 1 . (2.7)
дх' dt дх t Р t.J дх. I Р
t, р. i Р Р р. i Р t,
Теперь сформулируем принцип наименьшеrо действия [а-
мильтона. Потребуем, чтобы
6/==0 (2.8)
при условии, что
6х р ! иl) ==6X p i (2) ==0.
(2.9)
15
Вследствие (2.9) второЙ член выражения (2.7) исчезает. По
скольку функции {)Х р ' произвольны, из (2.7) и (2.8) получаем
JL. ...:!.... JL == о. (2.1И)
дхр' dt дх р '
Эти уравнения представ.1ЯЮТ собой уравнения J,вижения систе-
мы. Действите.1ЬНО, подставляя (1.1) в (1.10), ПО.lучаем урав-
нение Ньютона
тpY. p i == aV/aXpi. (2.11)
Итак, уравнения движения являются необходимым услови-
ем минимума действия. При этом минимум ищется при усло
вии равенства нулю вариаций функциЙ Х р ; на rранице областа
IIнтеrрирования. Отметим, что уравнения движения в форме
(2.10) НОСЯт название уравнениЙ ЭЙлера Лаrранжа.
Перейдем теперь к рассмотрению классических полей. Наи
БО"lее известным примером является электромаrнитное поле.
Электромаrнитное поле описывается векторным А (х) и скаляр-
ным <р (х) потенциалами, которые зависят от пространственных
координат х и времени х · и образуют 4 BeKTOp Nt (х) == (<р (х),
А (х)). Электромаrнитное поле описывается, с.lедовательно,
бесконечным числом функций времени (значениями потенциа-
лов во всех точках пространства) и ЯВ.1яется системой с бес
конечно большим числом степеней свободы. В конце этоrо па-
раrрафа мы покажем, что уравнения электромаrнитноrо поля
(уравнения Максве.lла) MorYT быть получены из вариационно-
ro принципа rамильтона, который ЯВ.lяется общим принципом,
применимым к .1юбым физическим системам, ВК.lючая такие
системы с бесконечно большим ЧИС.l0М степенеЙ свободы, ка-
кими являются поля.
В квантовой теории каждой частице отвечает свое поле.
Мы будем рассматривать поля, отвечающие частицам со спи-
нами О, 1/2 и 1. ОбознаЧИ\i некоторое поле 'Ф (х). Функция
Ф (х) может иметь спиновыЙ индекс, принимающий дискретные
значения.
Лаrранжева функция (2.1) завPIСИТ от х и) и i и). Поля,
которые мы рассматриваем, являются реЛЯТИВFlСТСКИМИ систе-
мами. Ясно, что инвариантность уравнений поля относительно
преобразований Лоренца может быть обеспечена только в слу
ча ес.1И пространственные и временная пере енные входят
в уравнения симметрично. .'v\bI будем предполаrать, что лаrран-
жева функция поля зависит от Ф (х) и даф (х), а==О, 1, 2, 3
(да =:. д/дх а ). Запишем
L== SX(<f, ay)d'x, (2.12)
rдoe .Р ('Ф, д'Ф) .1аrранжева плотность (эту величину принято
называть лаrранжианом). Интеrрирование в (2.12) проводит-
16
ея по всему пространству. Аналоrично случаю системы точек
действие определяется следующим образом:
t.
/:=: S Ld>.O== 5 2(ф, d )d4y,
t 1. $J
(2.1.з)
rде Q объем четырехмерноrо пространства, заключенный
между rиперплоскостями t===t 2 и t===t 1 .
Найдем вариацию действия. Имеем
0/ с::: S[2('f',a'f') 2('f' д'f)jd'л == J[ J 0<i'+ ,. '5d",f]d4X. (2.14)
2
Здесь
'Ф/(Х)==1Р(х)+6'Ф(Х), (2.15)
rде 'Ф (х) произвольная бесконечно малая функция х (в раз-
ложении по 'Ф удерживаются .1инейные члены). Далее, ис
пользуя (2.15), получаем
од"у == d",'f' д",у == d",0'f. (2.16)
Очевидно, что
дХ од ,1, d / д2 о I ) ,J::l, I
дд ф ",'1":=: '" I дд ,1. 0/ а", дд ,jJ о\(.
cr. \ (J.'t' IJ.
Подставляя (2.17) в (2.14), для вариации деЙствия находим
. ( J!lJ д2 ) S ' дХ '
о/ == j дФ д", Ja",,jJ 0'fd 4 x + д", ( дд",с} оф) da",.
Q
(2.17)
(2.18)
При этом мы учли, что в силу теоремы [аусса OCTporpaJ,
cKoro
S д" ( :д Ф оу) d 4 x == S :д Ф o.pda""
(2.19)
rде поверхность, заключающая объем Q, а d(Ja элемент
поверхности (4 BeKTOp, направленный по нормали к поверхно
сти) .
Положим теперь
6l === о
(2.20)
(2.21 )
при условии
'Ф k== о.
Второй член выражения (2.18) обращается в нуль и из условия
(2.20) получаем следующее уравнение Эйлера Лаrранжа.
д2 д a[t О (2.22)
дф '" дд",Ф .
2 1O
17
Уравнение (2.22) является необходимым условием миниму
ма действия и в силу принципа rамильтона представляет co
бой уравнение поля.
Если поле 'Ф помимо х зависит также от переменной а, при
нимающей дискретные зна чения, то очевидно, что в этом слу
чае из вариационноrо принципа получаем
J:J: д2
дф до. дд 1. О. (2.23)
'З CI,'ra
Как правило, нас будет интересовать случай нескольких
взаимодействующих полей: 'Ф (х), <р (х) 00. Лаrранжиан такой си
стемы зависит от функций 'Ф, <р, ... и их первых производных
да'Ф, да<р .0 Приравнивая нулю вариацию J,ействия при условии,
что
д I == О, дер I == о, '.'
(вариации О'Ф, о<р,... независимы), получаем в этом случае си-
стему уравнений Эйлера Лаrранжа
дР д J::t == О дР д J;;t == О (2.24)
д о. дд", ' a'f " дд",'? '
В заК.lючение в качестве примера рассмотрим электромаr-
нитное ПО.lе. Уравнением поля является уравнение Максвелла
д а Faf"===j[3. (2.25)
Здесь ja=== (р, j) 4 BeKTOp тока, а Fа[3===даА[3 д[3Аа тензор
напряженности. HeTpYJ,Ho проверить, что
FOi=== FiO=== Ei,
Fik=== eiklHl,
rде Е и Н напряженности электрическоrо и маrнитноrо по
лей. В соответствии с (2.23) уравнением поля является
J'ZJ д2
----т а дд А О.
д,-;з ""
(2.26)
Если лаrранжиан электромаrнитноrо ПО.1Я выбрать в виде
х == J......Fa. F ' A
4 ,, J;I'
то нетрудно проверить, что уравнение (2.26)
нением Максве.lла. ДеЙствительно, имеем
д2 . д2 Fo. f3
д A == !, дд А :::::J .
''';! " ;1
ПодстаВ.1ЯЯ (2.28) в (2.26), получаем (2.25).
18
(2.27)
совпадает с урав-
(2.28)
2.2. Трансляционная инвармантность.
Сохранение импульса и энерrии
Если внешние поля отсутствуют, то все точки пространства
эквивалентны. Это означает, что лаrранжева функция .1юбой
системы не изменится, еС.1И систему как целое перенести из
одной области пространства в друrую. Инвариантность относи
тельно таких переносов (трансляций) приводит к сохранению
полноrо импульса. Рассмотрим вначале систему N точек. При
трансляциях координаты точек преобразуются следующим об-
разом:
X p i ' ==xpi+a i , (2.29)
rде a i постоянный вектор (i== 1, 2, 3; р== 1, ..., N). Ус.l0вие
инвариантности относительно трансляций имеет вид
L(x, х) ==L(x', х')
Предположим, что a i бесконечно малый вектор.
вая в разложении по а ; линейные члены, получаем
L . . aL
(.\', x')::=:L(x, х) + a' (x, ох).
дхр'
1. Р
(2.30)
Удержи
(2.31 )
Из (2.30) и (2.31) находим
t1 aL. ::=: О.
дxp'
р
Испо.1ЬЗУЯ уравнения движения, отсюда получаем
.!!... t1 а L == О
dt JJ axip .
р
Таким образом, в силу трансляционной инвариантности сум-
марный импульс частиц сохраняется:
pi == t1 a . == t1 mрх / ::=: const. (2.34)
дх р '
р
(2.32)
t 2 .3З)
Из инвариантности относительно трансляций во времени
аналоrично (2.32) имеем
aL/at==o. (2.35)
Используя уравнение движения (2.10), из (2.35) получаем
dL '{' х i + aL х i::=:..:!.. ( t1 х i ) (2.36)
dt I..J ax i р Ц ах i р dt 1.J ах i р .
.р р i,p Р i,p Р
2.
19
Таким образом, имеем
( х i L ) ==0.
dt дх L Р
. Р
'. Р
Отсюда следует, что
Н == a.L _\ ' L == m(x i p )2 + V == const.
дх р ' р 2
'. р '. р
Итак, закон сохранения полной энерrии является следствием
инвариантности относительно трансляций во времени.
Перейдем теперь к рассмотрению поля, описываемоrо HeKO
торой функцией Ф (Х). Если предположить, что лаrранжиан по-
ля зависит от Ф (х) и даф (х) и не зависит явно от х, то очевид-
но, что .1аrранжиан инвариантен относительно преобразований
(2.37)
(2.38)
ф' (х') =='1' (х),
ха' ==ха+а а (2.39)
(аа постоянный 4 BeKTOp), представляющих собой преобра-
зования трансляции. Имеем
2 ('Ф (х), д'Ф (х)) ===2 ('Ф' (х'), д''1'' (х')). (2.40)
Будем считать, что а бесконечно малый вектор Удерживая
линейные по а члены, ПО.lучаем
ф' (х) =='1' (x a) ==1jJ (х) +б'Ф (х), (2.41)
6.2'===.2' ('Ф' (х), д'Ф' (х) ) .2' (1jJ(x), д'Ф (х)).
Далее, поскольку a==const, имеем
6.2' === дa (аа..2').
Используя уравнения поля (2.22), из (2.41) и (2.45) находим
0:1 == дХ о'" + д'}; од <lJ == д ( д'}; о", )
. дф l' дд",Ф "" '" дд",Ф 1"
С помощью (2.46), (2.47) и (2.42) получаем уравнение непре
рывности
rде
0'1' === аадаф.
Далее имеем
2 (ф' (х'), д''1'' (х')) ===.2' ('Ф' (х), д'Ф' (х)) +
+а ct да;.2'('Ф(Х), д'Ф(Х)).
Из (2.40) и (2.43) ПО.'Iучаем
o.2'=== aaдa.2',
rде
да;Тf',а===о,
20
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
.,
rде тензор Tr>'" ается выражением
т; == : ф дr>Ф о;::е.
(2.19)
Из уравнения непрерывности (2.48) следует, что вектор
Р r> == S Tgd 3 Х (2.50)
сохраняется [интеrрирование в (2.50) проводится по всему
пр остр анству]. Действительно, проинтеrр ируем (2.48) по He
которому объему V трехмернorо пространства. Используя Teo
рему [аусса Остроrрадскоrо, получаем '
д:О ,] Tgd 3 ). + ,) T?da l == (\ (2.51)
v s
[де S поверхность, заК.lючающая объем V, а da i элемент
поверхности. У стремим теперь объем V к бесконечности. По-
.1аrая, что на бесконечности поле отсутствует и .1аrранжиан
поля равен нулю (естественные rраничные условия), из (2.51)
получаем
Отсюда следует, что
(2.50), сохраняется"'.
Сохраняющийся в силу трансляционной инвариантности BeK
тор Pr> является вектором энерrии импу.'lЬса. Тензор Tr>a. [вы-
ражение (2.49)] носит название каноническоrо тензора энер-
rИИ-И\1пульса. Из (2.49) и (2.50) для энерrии поля получаем
следующее выражение'
ро == S ( :; доф х) d 3 Х.
Импульс поля J,ается выражением
Р' == S a'l3 aJI,d 3 х.
ддo zj
д " о 3
\ т d х == О.
дх О J
вектор рр, которыЙ
(2.52)
дается выражением
(2.53)
(2.54)
Отметим в
<р (х) ... для
заключение, что в случае нескольких полей 'Ф (х),
тензора энерrии-импульса получаем выражение
a'l3 I a'l3 "
т; == дд .1. ar>7 + aaar>CP+'" Xoe.
,,'1' ,,7
(2.55)
," Подчеркнем, что тензор T a. определен неоднозначно. Действительно,
пусть тензор f;P антисимметричен по нидексам а и р.а;р T "). ИЗ (246)
н (2.47) очевидно, что к правой части (2.49) всеrда может быть добавден
член др f;P Нетру дно убеднться в том, что этот член не дает вклада в энер-
rию и импульс поля.
21
2.3. Инвариантность относителыlO вращений.
Сохранение момента количества движения
При преобразовании Лоренца физические поля преобразу
ются как скаляр, спинор, вектор и т. д. В квантовой теории
трансформационные свойства полей определяют спины и внут-
ренние четности частиц квантов полей.
Преобразование Лоренца имеет вид
x'J.' == л в л 13 , (2.56)
[де х и х' координаты одной и той же точки в двух инерци-
альных системах отсчета. Из условия инвариантности интерва-
ла (Xa.'X a '==X 13 xl3) С.1едует, что коэффициенты A 13 a. удовлетво
ряют соотношениям
ЛВЛ === O . (2.57)
Мы будем рассматривать скалярное, псевдоскалярное, спи-
HOptlOe и векторное поля. Скалярное (x) и псевдоскалярное
p (х) поля с.lедующим образом преобразуются при преобра
зовании Лоренца'
ер' (х') == ер (х), }
? (х') === det Лер р (.\).
Напомним, что detA== + l; dеtЛ== l при инверсии системы
отсчета (более подробно см. приложение В.З).
Векторное поле Аа.(х) преобразуется как координата
Ac ' (х') ==A 13 aAI3 (х).
Наконец, спинорное поле 1j:!a (х) следуюLЦИМ
зуется при преобразовании Лоренца:
(2.58)
(2.59)
образом преобра-
q;: (х') == Laal<f)1 ( \),
(2.60)
[де 4Х4-матрица L УJ,овлетворяет соОтношениям
L I (J, L Л '" 13
У == 13'(
(2.61)
(см. приложение В.3).
Отметим, что квантами скалярноrо (псевдоскалярноrо),
СПИНорноrо и BeKTopHoro полей являются соответственно части
цы со спинами О, 1/2 и 1.
Инвариантность относительно преобразований Лоренца
означает, что лаrранжиан имеет один и тот же вид в исходной
и штрихованной системах отсчета:
.P(1j:!(x), д'l'(х))==.2'('Ф'(Х'), д''Ф'(Х')) (2.62)
д '
( ш(Х) ЛЮбое поле; д: =::: ..........,). из (2.62) следует, что уравие
1 дхо. J
ния поля инвариантны относительно преобразований Лоренца.
22
Действителы.v;' из (2.62) ДЛЯ действия получаем
1== SX(<)I(-\), д<)l (х)) d'x == SX(<)I'(x'), д"У (x'))d 4 -\'. (2.63)
S2 91
п ОJlаrая, что
01 == о, o<)l'! 1:' == о,
(2.64)
получаем уравнения Эйлера Лаrранжа в штрихованной си
стеме.
д'}} (ф', д' '). д 'д'lJ(ф', a'-I/)
==0.
дф' (1 дд",'Ф'
(2.65)
Итак, еС.1И имеет место условие (2.62), то уравнения пол
в штрихованной системе MorYT быть получены из уравнении
в исходной системе заменой 'Р (х)--+'ф' (х'), aa. ar/ (т. е. ypaB
нения поля инвариантны относительно преобразований Ло-
ренца) .
Собственное преобразование Лоренца с det А== 1 представ
ляет собой вращение в четырехмерном пространстве. Инвари
антность относительно таких преобразованиЙ является следст
вием Toro, что все направления в пространстве эквивалентны.
Мы покажем теперь, что инвариантность относительно четырех
мерНЫХ враLЦений приводит к сохранению четырехмерноrо мо-
мента количества движения.
Инфинитезимальное преобразование Лоренца имеет вид
. ' ==ха.+оха. (2.66)
Здесь
оха. == Ю f3 а.х f3 ,
(2.67)
[де Юf3а. бесконечно ма.lые величины. Из ус.l0ВИЯ инвариант-
ности интервала с.lедует, что ха.Хf3Юа.f3==о. Отсюда находим
юf3а. == юа.f3.
(2.68)
Рассмотрим простейший случаЙ скалярноrо .1ибо псевдоска
лярноrо поля <р (х). Имеем
<{/ (х) == <р (x ox) ==<р (х) +о<р (х),
(2.69)
rде
б<р (:с) == oxa.дa.<P (х). (2.70)
Далее аналоrично (2.44) из условия инвариантности (2.62) Ha
ходим
о.2'+бхCl.да..2' ==0,
(2.71)
rде
о.2'==.2'(<р'(х), д<p'(x)) .2'(<p(x), д<р(х)).
23
Используя уравнения поля, получаем
оХ == д" ( :а!В о,!, ) . (2.72)
, ,,'1'
С помощью (2.67) и (2.68) находим
охад а 5е ===д а (6ха2). (2.73)
Из (2.71), (2.72) и (2.73) следует, что
да (Т fЗ а6х fЗ ) ===0, (2.74)
rде т fЗа тензор энерrии импульса. Отсюда, используя (2.67),
получаем
да (Тf3 а х о )ю'Р ===0.
Наконец, учитывая (2.68), находим
д"М;tI == О,
(2.75)
rде
M: tI == хрт; ХfЗт;
(2.76)
тензор момента количества ;J.вижения.
Ес.1И проинтеrрировать (2.75) по объеl\1У V---+oo и учесть ec
тественные rраничные условия на бесконечности, то получаем
при этом, что тензор
Mptl == S M tlcfx
(2.77)
не зависит от времени. Ясно, что пространственные компоненты
этоrо тензора ЯВ.1ЯЮТСЯ КОМlIонентами момента количества ;J.ви
жения. В заключение отметим, что в с.lучае спинорноrо, BeKTOp
Horo и ;J.руrих полеЙ в выражении для м рfЗ а возникает дополни
тельный спиновыЙ член.
2.4. Инвариантность относитепьно rпобапьных
капибровочных преобразованим" CoxpaHetote заряда
Сохранение заряда (электрическоrо, барионноrо, лептонно
ro...) является С.lедствием инвариантности лаrранжиана OTHO
сительно калибровочных преобразований [умножения функции
'Ф (х) на фазовыЙ множитель]. Очевидно, что такие преобразо
вания возможны только в случае комплексных 'Ф (х). Если
'Ф (х) комплексная функция, то соответствующее поле опи
сывается, С.lедовательно, двумя вещественными функциями х
[вещественноЙ и мнимоЙ частями 'Ф (х)]. В качестве независи-
мых динамических переменных MorYT быть выбраны 'Ф (х) и
'Ф* (х). В этом случае лаrранжиан зависит от 'Ф, да'Ф, 'Ф*, да.'Ф*
Очевидно, что из принципа наименьшеrо действия наряду
24
с (2.21) пол.' ';ем при этом 'l'акже следующее уравнение поля
a'lJ д д2 === О (2.78)
дф* <&дд"Ф. .
Рассмотрим rлобальное калибровочное преобразование*
'А
'Ф/(х)==е' 'Ф(х), (279)
rде Л произвольная вещественная константа. Предположим,
что лаrранжиан инвариантен относительно преобразования
(2.79) :
.2'("" д'Ф, 'Ф*, д'Ф*)==.2'('Ф/, д'Ф/, 'Ф/*, д'Ф/*). (2.80)
Отметим, что инвариантность относительно калибровочных пре
образований означает, что фаза функции 'Ф (х) определена
с точностью до произвольной аддитивной константы.
Покажем теперь, что инвариантность относительно rлобаль
ных калибровочных преобразованиЙ приводит к уравнению He
прерывности д.'IЯ тока и, следовательно, к сохранению заряда.
Для этоrо рассмотрим инфинитезимальные калибровочные пре-
образования (т. е. будем считать, что А бесконечно малая
величина) Оrраничиваясь в разложении экспоненты в (2.79)
линейными по 1\ членами, получаем
"'/=='Фт&Ф; 'Ф/*=='Ф*+Ь'Ф*, (2.81)
о",==iА'Ф, о",*== iА'Ф*. (2.82)
Далее УС.l0вие инвариантности (2.80) может быть переписано
в виде
о..Р==О. (2.83)
Используя уравнения поля (2.22) и (2.78), из (2.83) находим
да ( :a J, 0<)1 + д * 00/*) == о. (2.84)
Наконец, подстаВ.1ЯЯ (2.82) в (2.84), получаем уравнение не-
прерывности
rде
acx.ja==O,
rде ток jcx. J,ается выражением
." . ( a'lJ, a[fJ ,';'" ' )
J 1 дд"Ф 1> дд"Ф* i .
Из (2.85) следует, что
(2.85)
(2.86)
aQ == О
д о '
х
* в да.lьнейшем мы рассмотрим также локальные калибровочные преоб
разования 'Р'(х) еit(х)ф(х), rде .\(х) произвольная вещественная функ-
ция х.
25
rде
Q ==' J jO d 3 Х
(2.87)
заряд [интеrрирование в (2.87) проводится по всему прост
ранетву].
2.5. Связь законов сохране...я с симметриями. Теорема Нётер
Мы показали в 2.2 2.4, что из инвариантности лаrран
жиана относительно трансляций, вращений и rлобальных Ka
либровочных преобразованиЙ вытекают соответственно законы
сохранения 4 импульса, момента количества движения и заря
да. Существует общая теорема Нётер, устанавливаюrцая связь
между инвариантностью лаrранжиана относительно непрерыв
ных преобразований и законами сохранения. Во всех трех pac
смотренных нами случаях условие инвариантности лаrранжиа
на относительно инфинитезимальных преобразований имеет вид
09: == да.Ва.,
[де Ва. некоторый вектор. В случае трансляций
Ba.== aa.2
(2.88)
в случае вращений
Br1.== (J)fJa.xfJ9:.
Наконец, в случае калибровочных преобразованиЙ
Ва.==О.
Условие инвариантности лаrранжиана относительно непрерыв
ных преобразованиЙ всеrда сводится к (2.88) (причем вектор
Ва. определяется видом преобразования) С J.руrой стороны,
используя уравнения поля, получаем
( д':е )
02 ==' Оа. дда.Ф o</J .
Из (2.88) и (2.89) находим, что
да. ( :д 0</J ва. ) ==: О.
\ а.
(2.89)
(2.90)
Уравнение непрерывности (2.90) представляет собой теорему
Нётер.
26
rлава з
КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
3.1. ЭрМНТО80 скаnярное (псевдоскапярное) попе
В этой rлаве будут рассмотрены простейшие поля скаляр
ное, спинорное, векторное. При этом мы будем основываться на
.1аrранжевой формулировке теории поля.
В предыдущей [.lаве было показано, что уравнения поля,
вектор энерrии импу.lьса и друrие сохраняющиеся< величины
.1erKo \fOrYT быть получены, если нзвестен лаrранжиан Лаr
ранжиан поля должен быть постулирован. Обычно, однако,
ПОСТУ"lИРУЮТСЯ уравнения По.1Я, а затем строится такой лаrран
жиан, который дает уравнения движения и удовлетворяет об
щим требованиям инвариантности.
Мы начнем с рассмотрения вещественноrо скалярноrо
(псевдоскалярноrо) поля Такое ПОJlе описйшается функцией
ер (х), которая удовлетворяет УС.lОвию
ер (х) ===ер* (х)
(3.1 )
и является ска.1ЯРОМ либо преобразуется как псевдоскаляр
[см. (2.58)].
Уравнение ПО.1Я ДОЛА<НО быть инвариантно относительно
преобразований ,,10ренца. ПростеЙшим таким уравнением яв-
ляется уравнение К.lейна [ордона *
(О + т%)? (х) """ О,
(3.2)
" д !
[де 0== ajj == \72, а т% положительныЙ па ра метр.
дх о !
Лаrранжиан поля ер (х) должен быть построен таким обра-
зом, чтобы уравнение (3 2) совпадало с
д9', д д'Е О (3.3)
J'f '" aa'j.'f .
д'Е
Очевидно, что Ч.lен = в уравнении (3.2) щхшсходит от д" да'
,,'1'
В лаrранwиан должен, CJ1eJ,oBaтe.lbHo, ВХОДить скаляр + a'1.'fa"tf.
Ясно также, что Ч.lен т2ер происходит от д2/дер, Таким обра-
зом, в .1аrранжиан должен также входить член (1/2)т2ер2. Лаr
ранжиан скалярноrо (псевдоска.lярноrо) поля ер (х) может
'" Скалярами (псевдоска.lярами) являются q>, a"J"'q>, q>3
Если предпо.l0ЖИТЬ, что УР:Jвнеюrе свободноrо поля линейно, то мы при
ходим к vравнению вида (32).
27
6ыть вы6ран следующим образом:
:i == +fGa.'faa.'f т 2 (/].
Действительно, в этом случае
a::t _ д а. (!) ах 2
r == m 71.
aaa. 'a
Из (3.3) и (35) получаем уравнение К.lейна [ордона (3.2).
Очевидно также, что .1аrранжиан (3.4) удовлетворяет требо
ваниям инвариантности относительно преобразований Лоренца.
Для тензора энерrии импульса поля ер (х) из общеrо Bыpa
жения (2.49) находим
T == aa. 9 GI\'I' Xo . (3.6)
Вектор энерrии импульса поля равен
PI\== I T d3.C (3.7)
Используя (3.4) и (3.6), для энерrии и ИМПу.lьса ПО.1Я получаем
соответственно с.lедующие выражения:
(3.4)
(3.5)
РО == н == + s [(д о 'l')2 + (V'cp)2 т2ср2] d З х. (3.8)
р == I Go?V'? d'.\. (3.9)
Как видно из (3.8), мы получили положите.1ЬНО
выражение для энерrии поля.
Разложим теперь функцию ер (х) в интеrра.l
1 S О i qx 3
l' (..\) == (2п)3/2 ер (q, .\ ) е d q.
Подставляя ер (х) в уравнение КлеЙна [ордона, для фурье-
компоненты ер (q, хО) получаем следующее уравнение (при фик
сированном q):
определенное
Ф} рье. Имеем
(3.10)
( а2 \
дх о 2 + (q2 + т 2 )) '1' (q, х О ) == О.
06щее решение уравнения (3.11) может быть записано
дующем виде:
(3.11 )
в сле
'I'(q,.\O)== v ! a(q,qO)e iqoXO+ ,1 a(q, qO)e i( (qO)XO, (3.12)
2rf k 2qO
rде
qO == + }/ q2 + т' ,
а а (q, qO) и а (q, qO) комплексные функции q.
28
(3.13)
ПОДСТа';ЛЯЯ (3.12) в (3.10), ДЛЯ поля <р(х) получаем следую-
щее разложение:
ер (х) ==- S N'I (а (q) е i qx + а ( . q) ei'lX) d 3 q. (3.14)
a(q)==a(q, qO); a( q)==a( q, ------<10),
а: N q == V 1 ,qx == q"'x"" q'" == (qO, q). Отметим, что втора;!
(2 ) 2qO
член в (3.14) получен заменой q q.
Нетрудно получить соотношения, обратные ( .14). Имеем
i i q'кo.....,.
a(q) == i J Nqe . аоЧJ (x)d 3 x,
а ( q) == i S .Vqe i qх"' д : ер (х) d 3 x.
В (3 16) и (3 17) ИСПО.lьзовано с.lедующее обозначение:
... a'l' (х ) a f ( 'Ко )
f(.\)до?(х)==t(А)а;о дx rp(л).
Мы рассматриваем здесь СJIучай вещественноrо поля <р (х)
Из (3.16) и (3.17) очевидно, что
a( q)==a*(q). (3 19)
Таким образом. вещественное ска.1ярное (псевдоска.1ярное) по
.1е описывается одноЙ КОМП.1ексной функцией трехмерной пере
мен ной q.
Выразим теперь энерrию и импульс поля через а (q) Под-
стаВ.1ЯЯ (3.14) в (3.8) и учитывая, что q02:==m2+q2, для энерr!fИ
поля получаем с.lедующее выражение:
Н == + S[a(q) a( q) + a( q) a(q)!qOd'x.
Отсюда, учитывая (3.19), находим
Н == I а" (q) а (q) cfd'q.
АНа.lОrично, подставляя (3.14) в (3.9) и учитывая, что
2' ОхО
ja(q, qO)a( q, qO) qke lq d 3 q==O,
5 а ( q, qO) а (q, qO) qk e21 qOX.°cf q <:= О,
Д.1Я импульса поля по.lучаем следующее выражение:
pi::::..l.. \fa(q) a( q)+a( q)a(q)]qid'q.
2 j
Используя (3.19), отсюда находим
р; == j' а'" (q) а (q) qid'q.
Здесь
(3.15)
(3. 16)
(3.17)
(3.18)
(3.20)
(3.21 )
(3.22)
(3.23)
(3.24)
29
Итак, непосредственными вычислениями мы убедились в том,
что энерrия и импульс поля сохраняющиеся величины (не за
висят от времени). Отметим, что величины a*(q)a(q)q и
a*(q)a(q)qO являются соответственно плотностями импульса и
энерrии в трехмерном импульсном пространстве.
На этом VfbI закончим рассмотрение классической теории
свободноrо скалярноrо (псевдоскалярноrо) поля и перейдем к
квантовой теории. Мы изложим здесь кратко метод канониче-
cKoro квантования полей Напомним, что Д.1Я перехода от клас-
сической механики к квантовой необходимо сопряженные KOOp
дL
динату q и импульс р=== д'q заменить эрмитовыми операторами
q и р, t\:OTopble удовлеторяют каноническим перестановочным
соотношениям
1
[р, q] == , [р, р] === О, [q, q] == О.
1
(3.25)
Всем физичеСКI!М ве.lичинам (энерrии, импульсу. \10менту KO
личества J,вижения и J,p.) в квантовой теории отвечают эрмито-
вы операторы. Состояния физической системы описываются
векторами состояниЙ (волновыми функциями). Возможные зна
чения физических величин являются собственными значениями
соответствующих операторов.
В теории поля сопряженными координатой и импульсом яв
ляются qJ (х) И
дХ
';'; (_\) == == до? (х). (3.26)
ддоf (х)
В квантовой теории qJ (х) и Jt (х) эрмитовы операторы. По
аналоrии с (325) ПОСТУ.lируется, что эти операторы удовлетво
ряют с.lедующим перестановочным соотношениям'
[т. (х'), (х ) ] , == i а (х' Х ) ,
I I o XO
[т. р::'), т. (х ) ] , == О, ( 3.27 )
Ха XO
[ О (х' ) ( х )] == О.
I , I Ха J ==Х О
Оператор ер (х) удовлетворяет уравнению Клейна [op
дона *
(О + т 2 ) ер (х) == О. (3.28)
Из (328) следует, что Д.1Я оператора ер(х) имеет место разло
жение Фурье (3.14) [в котором a(q) и a( q) являются опера
торами]. Запишем это раз.l0жение в следующем виде:
ер (х) ==ер(+) (х) +ep( ) (х), (3.29)
* Отметим, ЧТО Д,1Я операторов квантовой теории и соответствующих ве-
дичин классической теории принято использовать одни н те же обозначения.
30
rде
СР/Т}(-Х) == s Nqa(q)e iq)Ccfq; }
(3.30)
( ) (х) == S Nqa ( q) е ! q"d'q.
Операторы <р(+) (х) и <p( ) (х) называются соответственно поло
жительно-частотной и отрицательно частотной частями опера
тора <р(х) [в выражении для <р(+}(х) и <рН(х) под знак инте
; '10хо I ( O) х о ] Д
rрала входят соответственно е и е . алее
нз условия эрмитовости оператора <р (х) следует, что
a( q)==a+(q). (3.31)
С помощью (3 16), (3.17) и (3.27) нетрудно получить пере
становочные соотношения между операторами а (q) и a+(q/).
Имеем
[а (q), аТ (q')] == S N q N q1 [(e i "х 009 (х) 'Р (х) ai "х),
(е i q'х' дo (х:') ер (х') rJoe i '1"")1 d. -х d. х' ==
== i J N r;Vq,e i qx+-a:e iq"d3x === а (q q'), (3.32)
'L ( О а.' ( О ' '\
rде .\. === Х , х), х == х , х ). .n.налоrично получаем
[a(q), a(q')]==O. (3.33)
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
[a+(q), a+(q')] ==0.
Следующая наша задача получение выражений для опе
раторов энерrии и импульса KBaHToBaHHoro поля. Для этоrо (в
соответствии с общим правилом квантовой теории) необходимо
в классических выражениях для энерrии и импульса заменИть
классические величины соответствующими операl'орами. В К.lас.
сическоЙ теории первый и второй члены выражения (3.20) COB
падают. Соответственно в классическоЙ теории энерrия поля
дается выражением (3.21). Операторы a(q) и a( q) :::::::a+(q),
однако, не коммутируют. Возникает вопрос, в каком порядке
следует располаrать операторы в квантовой теории. Мы обсу
дим этот вопрос позднее. Вначале примем для энерrии и им
пульса выражения, которые MorYT быть получены нз (3.8) и
(3.9) заменоЙ функции <р (х) оператором <р (х). Получаем при
этом
н == + s [а (q) а+ (q) + а+ (q) а (q)] qOd.q, I
р; == + s [а (q) а+ (q) + а+ (q) а (q)] qid.q.
Очевидно, что Н и р; эрмитовы операторы.
(3.3 t ,)
31
с помощью перестановочных соотношеJий (3.32) и (3.33)
нетрудно найти собственные векторы и собственные значения
операторов энерrии и импульса. Для этоrо вычислим прежде
Bcero коммутатор [a(q), Н). Используя перестановочные cooт
ношения (332) и (333). находим
[а (q), Н] == + s (а (q') [а (q), а+ (q')] +
+[a(q), a+(q')]a(q')}qO'd 3 q==qOa(q). (3.35)
Отметим, что при получении (3.35) использовалось соотноше
ние *
[а, Ьс]==[а, Ь)с+Ь[а, с], (3.36)
[де а, Ь и с .1юбые операторы. Из (3.35) путем эрмитова со-
пряжения получаем
[a+(q), H]== qOa+(q). (3.37)
Итак, коммутатор оператора a(q) (a+(q)) с rамильтонианом
пропорциона.lен a(q) (a+(q) )**. Пусть IЕ) собственный век-
тор rамильтониана Н, принадлежащий собственному значе
нию Е:
Н I Е)==Е / Е).
Умножим это уравнение С.lева на a(q). Имеем
a(q)H/E)==Ea(q) IE).
(338)
(3.39)
Очевидно, что
a(q)H==[a (q), Н] +Ha(q).
Используя (3.35), из (3.39) и (3.40) получаем
Ha(q) /E)===(E qO)a(q) /Е).
Далее умножим (3.38) С.lева на a+(q). Используя
получаем
а+ (q) Н / Е) === ( [ а+ (q), Н) + Н а+ (q) ) I Е) ==
==( qOa (q) +Ha+(q)) I E)==Ea+(q) I Е).
Отсюда находим
Ha+(q) IE)==(E+qO)a+(q) /Е). (3.43)
Итак, еС.1И векторы a(q) /Е) и a+(q) IE) ОТ.'IИчны от нудя,
(3.40)
( 3.41 )
(3.37) ,
(3.42)
.. 8 справед.lПВОСТИ этоrо соотношения леrко убедиться. Действите.1ЬНО,
ИМСС\l [а, Ьс] == (abc bac) ---;-- (bac bca) ==[а, bJc+b [а, с].
.. ОТVlетим, что при решеиии задачи нахождения собствениых векторов
и собственных значеиий rаМИ.lьтониана (3.34) используются те же а.lrебраи-
ческие методы, что и в задаче об ОСЦИ.'IЛяторе.
32
то они явлЯ'ются собственными векторами rамильтониана Н,
отвечающими соответственно собствеНlIЫМ значениям E qO
и E+qO. Операторы a+(q) и a(q) называют операторами рож
дения и уничтожения.
Далее нетрудно убедиться в том, что все собственные 3Ha
чения rамильтониана Н положительны. Действительно, из
(3.34) и (3.38) получаем
Е == 1 S (Е i (а (q) a-r (q) + аТ (q)a (q» I E)d 3 q. (3А4)
2 (Е I Е)
Очевидно, что
(Е I a(q) а+ (q) : Е) --== L (Е I a(q) I ct) (а: I а+ (q) I Е)
'"
== I (Е I а (q) I ct) 12;;;'0,
'"
(Е I a+(q)a(q) I Е) == I (ct/a(q) I Е) 12;;;'0.
'"
Чис.lите.'IЬ выражения (3.44), следовательно, положителен. Зиа-
менате.1Ь также положите.'lен. Таким образом,
. (3.45)
Неравенство (3.45) означает, что существует минимальное
собственное зиачение rаМИ"lьтониана Н. Обозначим ero Emln.
Очевидио, что при всех q
a(q) I Етln)===О (3.46)
(в противном случае вектор a(q) /Е mш > отвечал бы собствен
ному значению Н, равному Emln qO). Попытаемся с помощью
(3.46) определить Emln' Из (3.44) получаем
E min == 2' Е . 11 Е . ) 5 (Emin I а (q) а+ (q) I E min ) d 3 q ==
'mlП mln
== 2(Е . 1 I Е . , (' (E min I а (q) а+ (q') I E min ) о (q' q) d 3 q'd S q. (3.47)
ш.п mln/J
Да.lее очевидно, что
а (q) а+ (,q') ===[ а (q), а+( q')] +а+ (q') a(q) ===
===6 (q q') +а+ (q') а (q). (3.48)
С помощью (3.46), (3.47) и (3.48) находим
E min == + J о (q' q) о (q' q) d S qd 3 q'...... 00.
Итак, мы получи.1И бессмыс.lенныи реЗУ.1ьтат: МИJIимальное соб
ственное значение rамильтониана (3.34) бесконечно.
3 691O
33
Вернемся теперь к процедуре получения операторов KBaHTO
вой теории из соответствующих классических величин. Ясцо,
что помимо замены классических величин операторами необхо-
димо еще указать порядок. в котором следует располаrать не-
коммутирующие операторы. Д.1Я Toro чтобы доопределить про
цедуру перехода от классических величин к операторам теории
поля, введем следующим образом оператор нормальноrо произ
ведения N:
N(a(q)a" (q')) == а" (q') а (q), l
N(a T (q')а (q)) == а т (q')a(q). J
(3.49)
Как видно из (3.49), оператор нормальноrо произведения при
действии на произведение операторов рождения и уничтожения
расставляет их так, чтобы оператор уничтожения стоял справа
от оператора рождения
Трудность с минимальной энерrией Е ш1п связана с первым
членом выражения (334), в котором операторы рождения и
уничтожения не располаrаются в норма.1ЬНОМ порядке (опера
тор рождения справа от оператора уничтожения) Чтобы TaKOro
типа трудностей в квантовой теории ПО.1Я не возникало, прини-
мается с.lедующая rипотеза. Д.1Я Toro чтобы по.1УЧИТЬ операто
ры энерrии, ИVfПУ.lьса. заряда и J,руrих физических величин,
необходимо в соответствующих К.lассических выражениях заме-
нить величины операторами и подействовать на произведение
операторов ПО.1Я оператором .У. Д.1Я операторов энерrии и
ИМПУ.lьса из (334) получаем
ро == Н == \' а т (q) а (q) qОdЗq,
pk == \' a (q) а (q) qkdЗq.
(3.50)
(3.51)
Очевидно, что (335), (337) н все ПОС.lедующие соотношения
остаются при этом в С!1.1е Из (3.46) и (3.50) получаем
Н I Emin)===O (3.52)
ТакиVf обраЗО.\1, \1ннима.lьное собственное значение rами.'lЬТО-
ниана (350) равняется ну.1Ю. Да.lее очевидно, что
р I Еmш)===О
( 3 .53 )
Вектор I E min ) описывает, следовате.1ЬНО, состояние с равными
ну.1Ю энерrией и ИМПУ.1ЬСОМ (вакуумное состояние) Будем обо
значать вектор состояния вакуума I О). Действуя на вектор
I О) операторами рождения a , можно построить по.1Ную си-
стему векторов. описывающих возможные состояния KBaHTOBaH
Horo поля. ДеЙствительно, с помощью перестановочных COOT
.34
ношений (u:-32), (3.33) и соотношения (3.36) нетрудно убе-
диться в ТОМ. что
[a(q), pa]==qaa(q).
(3.54)
Отсюда путем эрмитова сопряжения получаем
[ра, ат( q) ] ==qaa+.(q).
Подействуем на вектор 10) оператором a+(q\).
а+ (ql) I О) является собственным вектором оператора
са, отвечающим собственному значению qt a .
paa+(qt) 10)==( [ра, a+(q\)] +
+a+(qt)pa) jO) ==tJ laa+(qt) 10).
Рассмотрим теперь вектор a+(qt)a1"'(qt) !О). Имеем
P a a+(ql)a1"'(qt) 'О)==([ра, a+(qt)]+
+a+(ql)pa)a+(q\) 10)==
==2qa,a (ql)a+(q\) 10). (3.57)
Вектор а+ (ql) а+ (ql) 10) яв.lяется, с.lеДовательно, собственным
вектором оператора энерrии-импу.lьса, отвечающим собственно
му значению 2ql. Да.lее имеем
paa (q2) а+ (q\) а+ (ql) 10)== ([ ра, а т (q2) ] +
+a-'--(q2)pa)a+(ql)a1"'(ql) 10)== (q2 a +
+2qla)a (q2)a+(ql)a+(q\) 10). (3.58)
Итак, вектор a+(ql) I О) описывает свободную частицу (квант
поля <р (х)) с импульсом qt И массой m==-Y q\2. Вектор a+(q\) Х
Xa+(ql) I О) описывает две тождественные частицы с массой т
и импульсом ql. Вектор a+(q2)a+(q\)a+(ql) 10) описывает три
тождественные частицы с Vfассой т; две частицы с импульсом
q\ И одну с импульсом q2 И т. д. Оператор a+(q) яв.'lяется,
С.lедовательно, операторо:.t рождения частицы (кванта поля
<р (х)) с ИМПу.1ЬСОМ q Н 1ассой m== 1( q 2. Соответственно опера
тор a(q) ЯВ.lяется оператором уничтожения частицы с ИМПУ.1Ь-
сом q И массой m.
В общем с.lучае вектор
(3.55)
Вектор
4-импуль-
(3.56)
I п (qp) ... п (ql)) == а+ (qp) ... а'Т' (qp) ... а+ (ql) ... a (ql) I О) (3.59)
n ( <1 .,)
описЫвает п(ql)+.. .+п(qp) тождественных частиц с массой
т Квантов ска.lярноrо (псевдоскалярноrо) поля; n(ql) частиц
с импульсом q! ..; п (qp) частиц с импульсом qp. Спин частиц
квантов ска.lярноrо (псевдоскалярноrо) поля равен ну.1Ю. Век-
тор I п (qp). п (q\) однозначно задается ЧИС.1ами заполнения
n(ql) '. . n(qp) числами частиц с импульсаМИ ql,. ., qp. Оче
3* 35
11 (q,)
видно, что вектор 'п (qp) . . . п (ql) является .бственным век-
тором оператора 4-импу.lьса ра и отвечает t ' CTBeHHOMY зна
чению
р
п (qt) == п (qk) q'k.
k==l
Во второй rлаве мы показа.1И, что законы сохранения заря-
дов являются следствием инвариантности лаrранжиана отио-
сительно калибровочных преобразований. Условие веществен
ности поля <р (х) ИСК.lючает ero ка.lибровочные преобразования.
Вследствие этоrо кванты эрмитова поля <р (х) истинно нейт
ральные частицы (частицы. все заряды которых равны нулю).
Такими частицами яв.'Iяются, например, лО-мезоны.
p (q)
(3.60)
3.2. Квантование попей и инвариантность
относитепьно непрерывных прео6разований
Во второй rлаве было показано, что инвариантность лаrран
жиана относите.'IЬНОЙ транс.lяцией, вращений и калибровочных
преобразований приводит к сохранению соответственно 4-им-
пульса, момента КОJlичества движения и заряда. Квантование
полей должио ПРОВО.J.иться в соответствии с принципами инва
риантности. Рассмотрим внача.lе трансляции. Для К.lассическо
[о поля 'ф (х) имеем
'1" (х') ===ф (х),
(3.61 )
[де х'===х+а, а постоянный вектор. Инвариантность относи
тельно трансляций означает, Ч10 исходная и штрихованная си-
стеМа эквива.1ентны. Операторы поля в этих двух системах
должны быть связаны. с.lедовате.1ЬНО, унитарным преобразова-
нием. Соотношению (3.61) в квантовой теории отвечает
и ' (а) 'ф (х') U (а) ==='" (х) .
(3.62)
rде U (а) унитарный оператор.
Из (3.62) получаем
'<а/ф(Х') I )'===<al'l'(x) ' ),
( 3.63)
rде I а) и I > некоторые векторы состояиия, а
/а)'===и(а) 'а), , )'===и(a) ' )
(3.64)
соответствующие векторы в штрихованной системе. Таким
образом, оператор и(а) при J,ействии на вектор состояния в
исходной системе J,aeT вектор состояния в штрихованной систе
36
ме. Для инитезимальных преобразований оператор U (а)
может быть представлен в виде
U (а) ==1 +i Ра.аа., (3.65)
[де Ра. эрмитов оператор. Оператор Ра. следует отождествить
с оператором импульса *. Учитывая, что аа. произвольныЙ
вектор, из (3.62) и (3.65) получаем следующее соотношение:
['Ф(Х), Ра.]===iда.'Ф(Х). (3.66)
Рассмотрим теперь калиБРQвочные преобразования. Для
классическоrо поля 'Ф(Х) имеем
'Ф 1 (х) ==е' Л'Ф (х), (3.67)
[де А не зависящий от Х вещественный параметр. Если име
ет место инвариантность относительно калибровочных преобра
зований, то (3.67) в квантовой теории поля отвечает
U I(А)'Ф(х)U(А)===еiЛф(Х), (3.68)
[де U (А) унитарный оператор. В случае инфинитезимальных
преобразованиЙ имеем
U(A)==1+iAQ, (369)
[де Q эрмитов оператор. Оператор Q следует отождествить с
оператором зарЯда (э.'Iектриqескоrо .1ибо барионноrо и т. д.).
Из (3.68) и (3.69) получаем
['Ф(Х), Q] ==='Ф (х). (3.70)
Наконец, рассмотрим собственные преобразования Лоренца
а.' ':1. а.
Х == Х + иХ ,
(3.71 )
rде
'" ." В
иХ == (J)B). ,
(3.72)
(J)a.tI=== (J)tla. бесконечно ма.lые параметры. Мы оrраниqимся
простейшим случаем скалярноrо (либо псевдоскалярноrо) поля
<р(х). Имеем
<p'(X/) ===<р (х).
Преобразованию (373) в квантовой теории отвечает
и ' ((J)) <р (х) U ((J)) ===<р (x 6x),
(3.73)
(3.74)
* Напоминм, что в обычиой кваитовой механике ",/(x) (I i а р) ф(х),
1
rде p v' оператор импудьса. Действитедьио, при траисляциях волно-
i
вая функция преобразуется с.1едующим образом' ",1 (x / ) '" (х), х/ x+a.
Для бесконечио малоrо а имеем ",/(x) 1p(x a) (I aV')",(x) (I
i а р) 1р(х).
37
rде U (ro) унитарный оператор. Оператор и (ro) имеет вид
и (ro ) == 1 .2..... М"Р(й "
2 "...'
(3.75)
[де эрмитов оператор J1 ct f:l является оператором момента коли-
чества движения поля. Из (3.72), (374) и (3.75) получаем
i [Mctf:l, ер (х)] ===xctCIf:lep (x) xf:laa.q,(x). (3.76)
Операторы импульса, заряда и момента количества движе-
ния, а Т lКже перестановочные соотношения для оператОров по
лей должны быть ПОСТУ.lированы таким образом, чтобы ВЫПОk
нялись соотношения (3.66), (3.70) и (3.76). Отметим, что в pac
смотренном в 3.1 случае эрмитова скалярноrо поля fj) (х) co
отношение (3.66) деЙствительно выполняется. В этом нетрудно
убедиться с помощью (3.29) (3.31), (3.54) и (3.55). Имеем
frp (.\), Р..1 == j .У<] (e iqx [a(q), Р..] + e iqx [а+ (q), PJ) tfq ==
== J .V q (е iqХq,,-а(q) еiqХq..а+ (q))d 3 q== i a..'f (_\).
3.3. Неэрмнтово скапярное (псевдоскапярноеl попе
ПерейдеVf теперь к рассмотрению КОМП.lексноrо (неэрмитова
в квантовом С.1учае) ска.1ярноrо либо псевдоскалярноrо поля
ер (х). Начнем с К.lассической теории. Комплексная функция
<р (х) имеет вид
1.\ ) == -rl (х) + i ':'2(Х)
. \ V2'
rде ер1 (х) И ер2 (х) вещественные функции. Таким образом,
рассматриваемое нами поле описывается ДВУМЯ вещественными
функциями х. Очевидно. что в качестве независимых динамиче
ских переменных \fOrYT быть выбраны также ер (х) и <р* (х).
Как и в с.lучае вещественноrо ска.lярноrо поля, будем пред
полаrать, что функция <р (х) удов.lетворяет уравнению Клейна
[ордона
(О+т 2 )?(_\) ==0,
(3.77)
[де т 2 вещественный положите.1ЬНЫЙ параметр (в квантовой
теории масса частиц квантов по.1Я). Из (3.77) С.lедует, что
функция <р* (х) также УДОВ.lетворяет уравнению Клейна
[ордона
(О + т 2 ) /'(_\) == О.
(3.78)
38
)
Уравнения (3.77) и (3.78) должны совпадать с уравнениями
Эилера Лаrранжа
д7' д'Е дХ д2
д == о д == о (3.79)
д", " дд,,'Т ' д,!,'" "дд",!,* ,
вытекающимИ из принципа наименьшеrо деиствия.
Буде 1 пr;едполаrать, что .1аrраНА<иан зависит 01' '{i, ? , д",? и
д,,'/". Очевидно, что члены :=J 9 и О 9* в уrавнениях (3.77) и
д2 д2
(3.78) пrоисходят от д" дд,,'Т и д" дд,,'f* ' а члены т29 и т29 o1'
дР ;дср и дР;дср* Имея в виду требования лореlIц инвариант
ности, мы приходим К заК.lючению, что в лаrранжиан MorYT
входить qJ*qJ, СР*ЧJ*. срср. даср* , даср дасрд<хср, даср*д<хср*. Только пер.-
вьН! и четвертыЙ члены инвариантны относительно калибровоч
ных преобразованиЙ В результате ДЛЯ лаrранжиана КОМП.lекс
Horo поля qJ (х) ПрИ\1ем выражение
.P==Jacp'JaqJ m2qJ*qJ. (380)
Нетрудно убедиться в том, что при таком выборе .1аrранжиа-
на уравнения (379) совпадают с (3.77) и (378). Действите.1Ь-
но. нз (380) нахоJ,ИМ
T == т29 , :дrz: == д"9 , i \
'f ". (3.81)
дР ,дХ '" '
== m (:I == д (:1
д'Т' ., дд,,'f* . .
Подстав.1ЯЯ (381) в (3.79), по.lучаем соответственно уравнения
(3.77) и (378) Очевидно также, что лаrранжиан ,(3.80) инва-
риантен относите.1ЬНО преобразований Лоренца и rлоба.1ЬНЫХ
ка.lибровочных преобразованиЙ.
Д.1Я тензора энерrии импульса заряженноrо поля qJ (х) из
общеrо выра.tКения (255) находим
д'В д д'Z д CP " д " " д д '" д т (j)3'" (3 8 " )
i3 == дд " 139 дд ",' B'{i "'-'ив == ер ВСР + СР B'{i oIJ 13' ....
T аl
С помощью (3.80) и (382) Д.1Я энерrии и импульса ПО.1Я попу
чаем соответственно спедующие выражения:
ро == Н == J' [дo'? дo9 + 'Уср....у<р + т29"ср] d 3 Х, (3.83)
р == \ ' [ д (:I+-""Ф д (:I r,'ф* ] dЗ Х.
01 V I I О I У I
(3.84)
Ток ;а. сохраняющиЙся в силу rлобальноЙ ка.1ИбровочноЙ
инвариантности, дается общим выражением (2.86). С помощью
(3.81) попучаеVf
." . ( д2 дХ ) . ( * -" д "
] ==: 1 ::; ф.... == 1 ер (j Ф с; Ф....).
дд",'t' дд,,'Т*' .. .
(3.85)
39
Наконец, сохраняющийся заряд Q дается выражением
q== i \' (qJ*ao'P <рд о 9*) d' х. (3.86)
"
Разложим теперь комплексное поле <р(х) в интеrрал Фурье.
Учитывая (3.77), имеем
'Р (.х) == J N q ( а (q) e i qx + а ( q) e i qx) d 3 q. (3.87)
Здесь q === (qO, q); qO === V т 2 + q2; N q == V 1 стандартный
(21") / 2qo
НОрМЩ:ОВОЧНЪ/d \1НО>!< итель.
Разложение (3.71) имеет то же вид, что и фурье разложение
(3.14) вещественноrо скалярноrо поля. Существенное отличие
(3.87) от (3.14) состоИт в том, что в (3.87) a(q) и а( q)
независимые комплексные функции переменной q [в (3.14) в
силу вещественности поля функции a( q) и a(q) связаны co
отношением a( q)==a* (q) J.
ИЗ (387) для фурье-компонент a(q) и a( q) получаем сле
Дующие выражения.
а (q) == j J Ni qха:<р(л) d' х, )
(3.88)
а ( q) == i S N q е ! qxa:<p (л) d' х ,
[де
.......
f (_\) до ер (л) == f (х) д 0 9 (x) <p ().) до! ().).
Подставим теперь разложение (3.87) в (3.83) и (3.84). Для
энерrии и импульса комплексно о поля <р(х) получаем COOTBeT
ственно С.lедующие выражения:
ро == Н:=: S [а.... (q) а (q) + а.... ( q) а ( q)] qOdJq, (3.89)
Р == S [а* (q) а (q) + а* ( q) а ( q)] q d'q. (3.90)
Из этих выражений очевидно, что величина
a*(q)a(q)+a*( q)a( q)
является плотностью 4 импульса поля в трехмерном импульс
ном простраистве q. Первый (второй) член этоrо выражения
представляет собой ВК.1ад в плотность положительно частотной
(отрицательно qастотной) компоненты поля (j).
Подставим теперь разложение (3.87) в выражение (3.86).
Д"lЯ заряда поля Q находим
Q== \ [a*(q) a(q) a*( q)a( q)ld'q. (3.91)
"
Как видно из (3.89) и (3.91), энерrия поля может принимать
только ПО.l0жите.lьные значения; заряд поля может быть как
положите.1ЬНЫМ, так и отрицательным.
40
На этом мы закончим рассмотрение классической теории
комплексноrо поля СР (х). Перейдем теперь к квантовОЙ теории.
В квантовой теории СР (х) неэрмитов оператор, удовлетворяю-
щий уравнению КлеЙна [ордона
CJ+m 2 )rp(-\)=-=0. (3.92)
Для <р(х) имеет место, С.lедовательно, разложение
'р(:;) == JNq[a(q)e .iqx+ a( q)eiqXld:q, (3.93)
!'де a(q) и a( q) операторы.
Оператор СР (х) обязан удовлетворять обrцему соотношению
(3.66). Имеем
[qJ(X), PaJ===iJacp(x).
Подставляя (3.93) в (394). получаем
[a(q), P,.]==:q"a(q); }
[a( q), PJ== q"a( q)..
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
(3.94)
(3.95)
[a (q), PJ == q"a-'- (q), } (3.96)
[а+ ( q), Р,,]== q"a+ ( q).
Обозначим I Е> собственный вектор rаМИ.1ьтониана, прннад-
.1ежащий собственному значению Е. Имеем
Н I Е)===Е I Е). (3.97)
Умножая (3.97) на a(q) и a( q) и используя (3.95), получаем
Ha(q)IE)==(E qo)a(q)IE), } (3.98)
Ha( q) I Е) == (E+qo)a( q) I Е).
Отсюда следует, что а (q) и а ( q) ЯВЛЯЮТСЯ соответственно
операторами уничтожения и рождения. Аналоrично с помощью
(3.96) находим. что a (q) и a+( q) являются операторами
рождения и уничтожения. Обозначим
а ( q ) ===Ь+ ( q) .
(3.99)
Итак. в С.lучае неэрмитова поля ср (х) имеются два оператора
рождения (а+ и Ь-'-) и два оператора уничтожения (а и Ь). Из
(3.93) для операторов а (q) и b+(q) получаем
a(q) == i.\ . ViqХд;r.p . (л 3х, j
- (3.100)
b-'-(q) == i S Nqe lqxaorp(:;)d3x.
41
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
a (q) == i J . ' .V i qxiJ; cp (х) d Э х, ]
(3.101)
Ь (q) == i I N/qx до 'y (х) d Э х.
Введем теперь перестановочные соотношения. Будем предпо-
д ':е
лаrать, что операторы qJ (х) и :t (х) == ==доЧJ у довлетворя-
дд о ,!,
ют каноническим одновременным перестановочным соотноше
ниям
[7: ().), ? (.\ ')] o' o == i 13 (х х'):
[ 7:(x),o:(x' ) J x , ==0,
о XO
[ер (х), ер (x')Jxo' xo =: о.
Перестановочные соотношения для операторов ЧJ' (х) и
д ':е
л+(х)== ==доЧJ(Х) VforYT быть получены из (3.102) пу
дд о ? r (х)
тем эрмитова сопряжения. Имеем
[ т: ( .\), (.\' )J , == i -3 ( Х х' ) ,
I t'o :::ХО
[ o: (.\ ) , O: (х' ) ] , == О,
ХО Ха
[ (.\), :;; (.\')lv , , == О.
I . "о -"O
Далее предположим, что имеют место перестановочные соотно-
шения *
(3. 102)
1
f
(3.103)
[ О: (.\), O (.\') ] , == о; )
I ХО (о
['1': (.\), ,,+ (х')) , == О,
ХА ХО
[9 (.\), ep (.\ '))Хо'=:-'о == О.
с помощью (3.100) (3.104) получаем следующие перестано
вочные соотношения ДЛЯ операторов рождения и уничтожения:
[a(q), a (q')) "",i j'.Vq,V(I,eiqXiJ:e jq'Xd3x==13(q q'), ) /
[a(q), а (q')]== о,
. 5 н Лl i q-'..... a !q'х ,З ( I I ( 3105 )
[Ь (q), b (q')] == 1 :VqiV q,e о е а.\ == () q. q), I .
[Ь (q), Ь (q')) == о, I
[а (q), Ь (q')) == о, [а (q), Ь+ (q')] == О. J
(3.104)
... Эти перестановочиые соотношеиия соответствуют тому, что в К.1асси
ческой теории ер и rp* независимые функции.
-12
Получим теперь выражения для операторов энерrии-импуль
са и заряда. Д.1Я этоrо в (3.89) (3.91) заменим классические
величины a(q), a*(q), a( q) и a*( q) соответственно операто
рами a(q), a"i'(q), b+(q) и b(q) и подействуем на полученные
произведения операторов поля оператором нормальноrо произ
ведения N, расставляющим операторы в нормальном порядке
(оператор уничтожения справа от оператора рождения). Из
(3.89) и (3.90) для оператора энерrии импульса получаем при
этом
рi10 == [a (q) а (q) + ь+ (q) Ь (q)] qa.d 3 qf
Д.1Я оператора заряда из (3.91) находим
(3.106t
Q== Х[а+(q)а(q) Ь (q)Ь(q)]dЗq. (3.107)
Нетрудно проверить, что постулированные нами канониче
скне перестановочные соотношения и полученные из классиче
ских выражениЙ д.1Я энерrии. импульса и заряда операторы
ра И Q соrласуются с общими соотношениями (3.66) и (3.70),
вытекающими из требований трансляционной инвариантности
и r.10бальноЙ калибровочной инвариантности. Действительно,
используя (336), из (3.105) и (3.106) получаем
[а (q), Р"] == r [а (q), a (q')] а (q') q'''d 3 q' == q"a (q), ]
(3.108)
[ь (q), Р"] == S [ь (q), ь+ (q')] Ь (q') q'''d 3 q' == q"b (q).
Перестановочные соотношения (3.108) совпадают с соотноше-
ниями (395) Это означает. что оператор ер (х) удовлетворяет
(3.94).
Далее из
(3.105) и (3.107) с помощью
[ а ( q ), Q] ==а ( q) .
[b(q). Q]== b(q).
(3.36) получаем
(3.109)
(3.110)
ИЗ (3.110) путем эрмитова сопряжения находим
[a (q), Q] == a (q), [ь+ (q), Q]== ь+ (q). (3.111)
С помощью (3.93), (3.109) и (3.111) получаем перестановочное
соотношение
[9 (.\), Q] == 5 N a (e i qx [а (q), Q] + e i qx [b (q), Q]) tf q 9 (-'), (3.112)
совпадающее с (3.70).
Покажем теперь, что векторы состояния свободных частиц
с определенными импульсами и массой m описывают возмож-
ные состояния KBaHToBaHHoro неэрмитова поля ер (х). Из выра-
жения (3.106) очевидно, что все собственные значения rаМИ.1Ь
43
тониана РО:==Н положительны. Это означает, что сущестgyет
минимальное собственное значение. Дa..Iее операторы уничто
жения a(q) и b(q) при действии на вектор 10). описывающий
состояние с минимальной энерrией, дают нуль:
a(q) 10)===0, b(q) 10)==0. (3.113)
Из (3.106), (3.107) и (3.113) сдедует, что
paIO)==O, QIO)===O. (3.114)
Таким образом. вектор I О) описывает состояние с равными
нулю 4 импульсом и зарядом (вакуумное состояние).
Рассмотрим вектор состояния
a+(qI) 10).
Нетру дно видеть. что этот вектор является собственным векто-
ром оператора ра., принадлежаrцим соБС'ТВенному значению q1a..
Действительно, из (3.108) путем эрмитовз сопряжения получаем
[ра., a+(qI)]==qI IX a+{tfl). (3.115)
Далее, используя (3.114) и (3.115), ПОЛY"'Iаем
pa.a (qI) 10)== ([ра., a (tq1) ] +
+a+(ql)pa) 10)==q1a.a (qt) 10). (3.116)
Вектор
a1"'(q2)a (q!) 10)
также является собственным вектором оператора энерrии-им-
пульса ра.. Этоr вектор принадлежит собственному значению
q2 Ct +q I IX. Действите.'IЬНО, используя (3.115) и (3.116), получаем
paa (q2)a (q1) 10)===( [ра., r(q2)] +
+a+(q2)pa.)a+(q1) 10)===
==(q 2 a.+q I IX)a+(q2)a+(q1) rO). (3.117)
Итак, если действовать операторами рождения а+ на вакуум-
ный вектор I О), то мы получим при это]( систему собственных
векторов оператора энерrии импульса рIX. Вектор a+(qI) 10)
описывает частицу [квант поля qJ (х)] с :импульсом ql и массой
т===-Y q1 2 , вектор a+(q2)a+(q1) 10) описывает две частицы с им-
пульсами qI и q2 И одной И той же массQIJЙ т===-Y q1 2 Y q2 2 и т. Д.
Далее, вектор
Ь+ ( q'!) I О)
также является собственным вектором ОШIератора ра.. Этот BeK
тор принадлежит собственному значенИJIO q'1. Действительно,
из (3.108) получаем
[ра., b1"'(q)]===qa.b+(q).
(3.118)
44
с помощью (3.114) и (3.118) находим
Pa.b (qt') jO)==qI'a.b+(qt') 10).
Аналоrично получаем
Pa.b (q2')b+(qt') I 0)== (qI'Ct+
+q2'Ct) b"i'(q2') b+(qj ) 10)
(3.119)
(3.120)
и т. д.
Итак, вектор Ь+ (qt') i О) описывает частицу с импульсом qt'
И массой т==1 (q/)2 , вектор b+(q2')b+(qt') 10) "ДBe частицы с
импульсами qj' и Q2' И массой т и т. д.
Нетрудно убедиться в том, что построенные нами векторы
состояния являются собственными векторами оператора заря-
да. Действите.'IЬНО, из (3.109) и (3.110) получаем
[Q, а+ (q)] == а+ (q), } (3.121)
[Q, Ь+ (q)] == b (q).
Да.нее, исподьзуя (3.114) н (3.121), находим
Qa+(qt) 1 O)==HQ, a"i'(qI)] +
+a+(qI) Q) I O)==a+(QI) 1 О). (3.122)
Аналоrично получаем
Qb+ (ql') I О) == ( 1) Ь+ (ql') I О), } (3.123)
Qb+ (q/) Ь+ (ql') I О) ( 2) Ь+ (q/) Ь+ (Ql') I О)
и т. д.
Итак, a+(q) и b+(q) являются операторами рождения частиц
с ОДНОЙ и ТОЙ же массой т и противоположными зарядами. Две
частицы, у которых ОДна и та же масса, один и тот же спин, но
все заряды противоположны, носят название частицы и анти-
частицы. Оператор a+(q) является, следовательно, оператором
рождения частицы (античастицы) с 4 импульсом q, b+(q) явля
ется оператором рождения античастицы (частицы) с 4-импуль
сом q.
В обrцем С.1учае вектор состояния KBaHToBaHHoro скалярно
ro (псевдоскалярноrо) Поля qJ (х) имеет вид
, ......., + J +'
!п(qm) ... rt (ql) rt (qn) '" rt (ql) == Ь (qm) .., Ь (Qm ) .,.
...... I ..",
n (9 m )
... Ь-+ (ql') '" Ь+ (q/ ) а+ (qn) . ., а+ (qn) ... а+ (ql) '" а+ (ql ) I О). (3.124)
n(91') n ( "'" n (<11)
Вектор I ii(q' т) '" ii(qI')п(qn) ... п(ql» является собственным
вектором операторов ра и Q, принадлежаrцим собствениым зна-
45
чениям
т
п
1
!
(3.125)
т п
р'1. == п (q ) ч;'" + п (qk) q'k.
1=1 k=l
Q == п (q;') + п (qk)'
,=1 k=l
Вектор ln(q'm) .., n(ql,)п(qn)... п(q1) описывает п(ql) ча-
стиц с импульсом ql, n(q2) частиц с импульсом q2 И т. д., n(qI')
ilнтнчастиц с ИМПУ.1ЬСОМ ql', fi (q2') античастиц с импульсом q2'
И т. Д.
Итак, мы показа.1И, что квантами неэрмитова поля ер(х} яв-
ляются частицы и античастицы. Отметим, что в соответствии с
теорией ПО"lЯ каждой частице, заряды которой отличны ОТ нуля,
должна отвечать античастица, Vfacca которой совпадает с Mac
сой частицы, а все заряды противоположны зарядам частицы *.
Этот общий вывод квантовой теории поля подтверждается все-
ми имеющимися в настоящее время данными.
В заК.lючение отметим, что рассмотренное нами здесь неэр-
митово поле ер (х) может быть полем л:::!: м:езонов. В этом случае
е Q оператор э.lектрическоrо заряда. Поле ер (х) может быть
полем КО. КО мезонов. В этом С.'Iучае Q. оператор странности.
Поле ер (х) может быть также полем К=-м:езонов. В этом случае
следует ввести два сохраняющихся заряда электрический за-
ряд и странность, и т. Д
3.4. Cn;fHopHoe попе
До сих пор мы рассматрива.1И поля частиц со спином О.
В этом параrрафе будет рассмотрено спинорное поле (поле
Дирака), квантами KOToporo являются частицы со спином 1/2.
Квантование спинорных полей принципиальио отличается от
квантования полей со спином О. Это связано с тем, что состоя-
ния частиц со спином 1/2 обязаны удовлетворять принципу
Паули.
Начнем с К.lассической теории. Предположим, что уравне-
нием свободноrо спинорноrо поля является уравнение )1ирака
(i уCtдCt m)'Ф(Х):;::::О.
(3.126)
Здесь 1jJ (1:) КОl\1П.lексная спинорная функция; т положи
тельный параметр (в квантовоЙ теории масса квантов поля).
* Заряжениые частицы являются квантами неэрмитовых полей. Поло
жительио-частотные и отрнцате.1ьно-частотные компоиенты неэрмитовых по-
.1ей независи>,{ы I! в сОответствии с общими прииципами кваитоваиия полей
"вляются операторами уничтожеиия частиц и рождения аитичастиц.
46
Напомню..,, что матрицы уа. удовлеrворяют соотношениям
'r" y f3 + y/J..(' :=: 2g , ./'''(''+''(0 == ,(о (3.127)
В качестве независимых динамических переменных удобно
выбрать 'Ф(х) и Ф(Х)=='Ф+(х)уО. Для функции 'i'(x) из (3.126)
получаем уравнение
i aJ (л) у" + т (л) :=: О.
Нетрудно убедиться в том, ч J'O уравнения (3.126) и
падают с уравнениями ЭЙJlера Лаrранжа
д2 д д2 :=: О
дф " дд"Ф ,
aZ дР
---= д == о
дф "ддо. Ф ,
(3.128)
(3.128) сов-
(3.129)
(3.130)
если с.lедующим образом выбрать .ыrранжиан поля Дирака".
2 == (i у"а" т) <);.
(3.131)
Действительно, имеем
J'l? . о. а д2 О
---= == 1 ' ( t!i тФ --------==- ==
дф 0.' .' ддо.+ '
(3.133)
д дР . "
дф == m'f, дд,,+ == 1'fY . (3.134)
Подстав.пяя (3.133) в (3.130), получаем уравнение Дирака
(3.126). С помощью (3.129) и (3.134) получаем уравнение
(3.128) для сопряженной функции ,р.
Лаrранжиан (3.131) инвариантен относительно преобразова,
ний Лоренца. Действительно, при преобразовании
х'" == Л;л f3 (3.135)
спиноры ф(х) И 'Ф(х) преобразуются следуюrцим образом:
!' (л') == (х), }
(3.136)
(x') == o/(X)L l,
.. Из сравнения (3 129) и (3 130) с (3.126) и (3,128) ясно, что в aarpaH-
жиаи MorYT входить
ТФ, 1'''д"Ф и д3'у"Ф. (3.132)
Очевидио. что до.Т 1'''<1:=: aJ yo.+) ф у"д"Ф. Добавление к лоrраижиаиу дивер-
rеиции д", (фу'" » ие \lеняет уравнений движения. При построении ,1аrранжиана
достаточио поэтому использовать только первые два члеиа (3.132).
47
rде
L lya.L == A y/3
(3.137)
(см. приложение В)
Используя (3.135) (3.137), получаем
р ('Ф' (х,), . ) ==,pt (х') (i уад а ' т)1jJ' (х') ==
:==1jJ (x) (i L lуаLда' т)1jJ(Х)==
=='Ф(Х) (iу(3д(3 т)1jJ==Р(1jJ(Х), ...).
Наконец, очевидно, что Jlаrранжиан (3.131) инвариантен OTHO
сительно r"10ба.1ЬНЫХ калибровочных преобразований
<jJ' (..\) == e i A.<f (х), }
(3.138)
' (х) == (х) e i А.,
[де А вещественная константа.
Получим теперь выражения для тензора энерrии импудьса
и тока дираковскоrо поля. Используя (3.133) и (3.134), из об-
щих выражений (2.55) и (2.86) находим
та. д'!} д ,/ д ';! д'!} сР а " ., а. д ,1,
/3 дд 1. 1311 I iI 'f "'-' 13 1 о/'[ 3"
a. дда. CJ;
(3.139)
.а. . / д'!} д2 \ а.
J == \ дда. Ф <f <f дда.1 ) == <f'( '-».
l(дя вектора энерrии-импудьса и заряда дираковскоrо поля
из (3.139) и (3.140) подучаем сдедующие выражения*:
(3. 14:0)
P iI == i S ;VyOJil<fd3X, (3.141)
Q == S '(°<fd3 Х. (3.142)
Разложим теперь 'Ф (х) в интеrрал Фурье. При данном зна
чении импудьса р уравнение Дирака (3.126) имеет четыре He
зависимых решения (см. приложение В): два решения с поло
житедьной энерrией
r ( ) I pOxO+i рх
и+ р е
* Отметим, что 4 BeKTOp импульса ,J.ираковскоrо поля имеет вид
Р/3 == S Ф+ Р/3ФР 3 .х:,
д
rде Р,. == i оператор импульса.
l' дх
48
и два реШt;. Я с отрицательной энерrией
, ( ) i p.xo+ipx
и р е
(Т спиральность, рО==+ Ут 2 +р2). Общее решение уравнения
Дирака имеет, следовате.1ЬНО, вид
'f (х) == j N p [и' (р) С, (р) e ipx + и' ( p) С, ( p) e i рх] d 3 p.
3 V 11, " ,
десь 1 р / ' u (р) == и+ (р), u ( p) == и ( р), С , (р)
(2;;) I 2рО
I
И С, ( p) КОМП.'Iексные функции импульса р. Напомним, что
спиноры и" (р) И и" ( p) удовлетворяют с.'Хедующим УС.l0ВИЯМ
ортоrона.1ЬНОСТИ и нормнровки (подробно см. при.l0жение В):
/1" (р) уОи' (р) == '2р О о""
" ( ) о r ( 2 о,
u р '( u р) == р О""
r' О r
и+ (р) у и (р) === О.
(З.1-+3)
(3.144}
Подставим теперь раз.l0жение (3.143) в выражения (3.141)
и (3.142). Используя (3.144), для энерrии, импу.lьса и заряда
дираковскоrо ПО.1Я 'ф (х) получаем С.lедующие выражения:
,.
н == [c, (p)cr(P) c, ( p)cr( p)]pOd3p,
р == 5 [c, (р) С, (р) Cr ( P) C r ( p)] pd 3 p,
Q == J [Cr (р) C r (р) + Cr ( p) С , ( p)] d 3 p.
(3. 145}
(3.146)
(3.147)
Первый (второй) член выражения (3.145) представ.lяет собой
вк.lад в энерrию поля положительно-частотных (отрицательно
частотных) компонент функции Ф (х). Как видно из (3.145),
вклад отрицате.'Iьно-частотных компонент функции 'Ф (х)
в энерrию поля отрицателен. Энерrия поля может, следова-
тедьно, принимать как положительные, так и отрицательные
(сколь уrодно большие по моду.1Ю) значения. С друrой CTOpO
ны, как видно из (3.146), заряд К.lассическоrо дираКОБскоrо
поля может принимать только ПО.l0жительные значения, Ha
помним, что в случае кдассическоrо комплексноrо скалярноrо
поля энерrия поля может принимать только положительные
значения, а заряд поля как положительные, так и отрица-
тельные значения, Это соответствует тому, что в случае кван-
TOBaHHoro неэрмитова скалярноrо поля может быть определе-
но состояние с равными нулю энерrией, ИМДУ.1ЬСОМ и зарядом
(вакуумное состояние). Квантами этоrо поля являются части-
цы и античастицы (в соответствии с данными опыта).
4 69IO 49
Хотя энерrия классическоrо дираковско. Iполя может быть
как положительнои, так и отрицательноЙ, а заряд поля только
положительным, VfbI покажем теперь, что последовате"lьная
(соrласующаяся с опытом) квантовая теория дираковскоrо по
ЛЯ может быть построена.
В квантовой теории 1/1 (х) неэрмитов оператор, удовлетво
ряющиЙ уравнению Дирака. Д.1Я оператора Ф (х) имеет Me
сто, следовательно. раЗ.lО1Кение (3.143), в котором СТ(Р) И
CT( P) неэрмитовы операторы. Да..1ее в соответствни с об
щими принципами квантования полей оператор 'Ф (х) должен
УДОВ"lетворять соотношению (см. 3.2)
[ф(х), Ра]==iдаф(х),
[де Ра, оператор энерrии импульса. Подставляя
в (3.148), получаем
(3.148)
(3.143)
[С т (р), Р,,] => P(J.c r (Р),
[С т ( p), P(J.] == P(J.c r ( p).
}
(3.149)
Эти соотношения означают, что СТ(Р) И CT( P) являются COOT
ветственно операторами уничтожения и рождения кванта с им
ПУ.1ЬСОМ Ра. Обозначим
CT( P) ===dr (p).
Для оператора 'Ф (х) ИYfеем разложение
ф (х) == фН (х) +1/1Н (х),
( 3. 150)
[де
I ( J-) 1 ) j ' V r (р) i рх ( ) d З )
\.\ == . ри е С т Р Р,
<j/ ) (.\):=. J Npu r ( Р) e i pXd; (р) dЗр.
В с.lучаях ПО.lей частиц со спином О (см. 3.1 и 3.3) до-
пустимы состояния, в которых имеется несколько (в принципе
сколь уrодно MHoro) частиц с данным импульсом. Квантами
дираковскоrо ПОЛЯ ЯВ.1ЯЮТСЯ частицы со спином 1/2. Состояния
частиц со спином 1/2 ДО.1ЖНЫ удовлетворять принципу Паулн.
В соответствии с ПрШlЦипом Паули в состоянии с данным им
пудьсом не может находиться более одноЙ частицы со спи
ном 1/2.
Квантование дираковскоrо поля должно проводиться таким
образом, чтобы векторы, описывающие возможные состояния
поля, удовлеТВОРЯ.1И принципу Пау.1И. Предположим, что опе
раторы Ст(Р) И dr(p) ПОДЧИНЯЮТСЯ с.lеJ,УЮЩИYf перестановоч-
50
(3.151)
ным соотношениям:
[С, (р), CC (p/)] == 0сс/ О (р р'), [C r (р), C r , (p')] == О,
[d r (р), d;; (p')] == осс,О (р р'), [d, (р), d r , (p')]J- === О,
[C r (р), d r , (p/)J == о, [С, (р), d;; (р')] == О,
(3.1.52}
[де
[а, Ь] === аЬ iba.
Нз (3.152) с.lедует, что
[Cc (р), С;; (p')] == о,
[С; (р), d/, (P')] '":: О,
[ '+ ()d +." ] О
а с р, с' (р ) == ,
[С; (р), d r , (p')] == О.
.уlы покажеVf при этом, что, во первых, MOrp быть построе
ны такие операторы энерrии импу.lьса и заряда, которые Y.lO
ВJIетворяют (3.66) и (3.70); во-вторых, что существует состояние
с энерrией, импу.1ЬСОМ и зарядом равными нулю (BaKYY\f
ное состояние); в-третьих, что векторы, описывающие состоя
ния дираковскоrо поля, удов.lетворяют принципу ПаУ,lИ; в-чет-
вертых, что квантами дираковскоrо поля ЯВ.1ЯЮТСЯ частицы и
античастицы.
Обсудим внача.lе вопрос о том. KaK!!\f должен быть [а \fИ.1Ь
тониан квантовой теории. Ес.lИ в выражении (3.145) для энер
rии поля заменить К.lассические ве.1ИЧИНЫ соответствvюшиVfИ
операторами И записать операторы в нормальном порядке (опе-
l?aTOp рождения справа от оператора уничтожения), то VfbI по
.1УЧИМ при этом
Н' == j [c (р) с (p): d (р) d (р)] рОdЗр.
(3.1.53)
rамильтониан Н' может обладать отрицательными (СКО.1Ь
уrодно большими по МО,J,у.1Ю) собственными значениями. Kpo
Vfe Toro, ес.1И с помощью перестановочных соотношений (3.152)'
вычислить коммутатор [d(p), Н'], то мы найдем, что
[d(p), H']== pOd(p) [вместо [d(p), H]==pOd(p) в соответствии
с (3.149)].
Обе эти ФУНJ,амента.lьные ТРУJ,ности связаны с тем, что
второй член выражения ,J,.lЯ Н' ВХОДИТ со знаком МННУС. По.l0
жим, что rаМИ.lьтониан квантованноrо дираковскоrо поля дaeT
ся выражениеVf
Н == r [С: (р) C r (р) ...L d; (р) d, (р)] рОdЗр.
и
(3.154)
Очевидно, что все собственные значения этоrо оператора поло
жительны. ВЫЧИС.1ИМ коммутатор [dr(p), Н]. Используя
4
;1
(3.152), получаем
fd r (р), С;' Iр) Cr' (р)] == о, I
[d r (р), dt (р') d r , (р')] == [d r (р), d;' (р')] + d r , (р') == (3.155)
== а (Р р') d r (р).
С помощью (3.154) и (3.155) находим
[d,(p), H]===podr(p).
(3.156)
Аналоrично получаем
[с,(р), Н] ===рОс,(р).
(3.157)
Таким образом, rамильтониан (3.154) и перестановочные COOT
ношения (3.152) соrласуются с соотношениями (3.149), BЫTe
кающими из общих посту.1атов теории поля.
Сформулируем теперь правило получения rамильтониана
(3.154) из классическоrо выражения для энерrии (3.145). Для
этоrо обобщим определение оператора нормальноrо произведе
ния, введенноrо в 3.1. Положим, что оператор N следуюrцим
образом действует на произведение двух операторов дираков
cKoro поля:
N (d r (р) d1, (р')) == d,-t; (р') d r (р),
N(d/ (р) d" (р'») == d; (р) d" (р'),
N (d r (р) d" (р')) == d, (р) d" (р') == d" (р') d r (р),
,У (С , (р) c,-t; (р')) == С;' ({I) С , (р),
N (С; (р) с" (р')) == С; (р) С,, (р'),
N (С; (р) с:; (р')) == Ci (р) С;' (р') == с;, (р') с: (р). )
Итак, оператор N при действии на произведение двух опе
раторов спинорноrо поля расставляет их в нормальном поряд
ке, т. е. так, ч!обы оператор уиичтожения располаrался справа
от оператораl'Ъждения. Если при этом про изводится переста
новка операторов поля, то произведение операторов, записан
ных в нормальном порядке, умножается на l. В дальнейшем
мы дадим определение оператора нормальноrо про изведения N
в общем случае произведения любоrо числа операторов поля.
Как и в рассмотренных выше случаях скалярных полей, бу-
дем предполarать, что для получения операторов энерrии, им
пульса, заряда и .1руrих физических величин необходимо в со-
ответствующих К.lассических выражениях заменить функции
операторами поля и подействовать на произведение операторов
поля оператором HOpMa.1bHOrO произведения N. Из (3.145)
(3.158)
52
(3.147) для операторов энерrии импульса и заряда получаем
при этом с.lедующие выражения:
> + + 3 3 59
Ра. j [Ст (Р) С , (Р) +d r (P)d r (Р)] pa.d Р, (.1)
Q ,;= S [С , (Р) с , (Р) d r -+- (р) d r (р)] d'p. (3.160)
ИЗ (3.155), (3.160) и (3.161) с.lедует, что
[ст(р), Pct]==PctCr(P), [dr(p), Pct]==pctdr(p); (3.161)
[ст(р), Q]==cr(p), [dr(p), Q]== dr(P)' (3.162)
Далее с помощью (3.151), (3.161) и (3.162) нетрудно убедить
ся в том, что оператор '/J (х) удовлетворяет соотношениям
['/J(X), Pct]==iact'/J(X),
['/J(X), Q]==qJ(x),
(3.163)
(3.164 )
которые должны выполняться в .1юбой квантовой теории.
Построим теперь систему векторов, описывающих возмож-
ные состояния KBaHToBaHHoro дираковскоrо поля. Из выраже-
ния (3.154) очевидно, что собственные значения rамилыониана
Н положительны. Обозначим I О) вектор, отвечающий мини-
ма..1ЬНОМУ собственному значению rамилыониана. Из (3.156) и
(3.157) следует, что
СТ(Р) 10)==0, dr(p) 10)==0.
с помощью (3.159), (3.160) и (3.165) находим
PctIO)==::O, Q I 0)==0. (3.166)
Таким образом, вектор I О) описывает состояние с равными HY
лю энерrией, ИМПУJ1ЬСОМ и зарядом (вакуумное состояние).
Нетрудно показать, что
PctCr (p) /O)==PctCr+(P) 10),
Pctdr (p) 10)==pctd/-(p) 10).
(3.165)
(3.167)
(3.168)
Действительно, из (3.161) путем эрмитова сопряжения по
.1учаем
(Ра.' C r + (р)] == Pa,C r + (р), }
(3.169)
[Ра" d r + (р)] pa,d r + (р).
Используя (3.166) и (3.169), находим
PctCr (P) 10)== ([P ct , СТ+(Р)]+
+c/'(p)Pct) 10)==::PctCr+(P) 10).
Ана.l0rично получаем (3.168).
53
Далее с помощью (3.163) нетрудно убеДt,;-ЬСЯ в том, что
QCr+(p) IO)=-=cr-'-(p) 10), } (3.170)
Qdr (р) I О) == dr (р) I О).
Таким образом, векторы Cr (P) 10) и dr (p) 10> описывают со-
стояния с противоположными зарядами.
Наконец, можно показать, что векторы С Т т (р) I О) и
d r (р) 10) описывают состояние со сп ир адьностью т.
Итак, векторы С/.. (р) I О и dr (р) I О> описывают частицу и
uнтичастицу с массой то;:=1/р2*.
Рассмотрим теперь вектор
с;' (р,) c (Pl) I О).
(3.171)
Используя (3167) и (3.169), получаем
P"Cc (р,) Cc (PI) i О) == ([Р"с;' (р,)] + с;'(р,) Р,,) с;' (PI) I О) ==
== (р!" + P2rt.) ct, (Р,) с:, (PI) : О).
Аналоrично находим
Qc:' (Р,) с:; (PI) I О) == '2c r : (Р,) c (PI) ! О).
Векто? Cc (Р,) с;; (Рl) I О) описывает,' С.lедовате.1ЬНО, две части-
цы с И\fпу.lьсами Рl и Р2, единичным зарядом и одноЙ и той же
массоЙ тO;:=Y P1 2 == 1/ P2 2. Л10ЖНО также показать, что вектор
(3.171) описывает частицы со спиральностями Т] и Т2.
Да.lее нетрудно показать, что векто? с;' (Р,) с:; (Pl) 10) анти
симметричен относительно перестановки plrl и Р2Т2. Денстви-
тельно, используя перестановочные соотношения (3.152), по-
.1учаем
с;' (Р,) cc (PI) I О) == с:. (PI) ct, (Р,) I О).
Итак, вектор (3.171) удовдетворяет принципу Паули.
Леr"о убедиться в ТО:'1, что векто? d;; (р') с; (Р) I О) описывает
частицу с ИМПУ.'1Ьсом р И античастицу с импульсом р' и т. д.
И так, J,ействуя на вектор состояния вакуума I О) операторами
рождения C и dJ.., получаем векторы, описывающие возможные
,. Оператор d,(p) ==c, ( p) можно интеРIIретировать как ОПЕ;ратор рож.
дення электрона с отрицательиой энерrией pO н Импульсом p. Ус.1Овие
c, ( p) : о) ==0 означает. что BaKYY\l пре;J.став.1яет собоЙ состоянне, в кото-
ром все уровни Эо1ектронов с отрнцательными энерrиями заполнены (Дирак).
С этой точки зрения <!:дырка» ;J.Оо1жна интерпретироваться как античастица.
Действительно. вектор d, (р) 10) ==с, ( p) 10\ описывает состояиие с неза-
полиениым уровнем электроиа с эиерrией pO и импульсом p.
54
состояния K TOBaHHOro дираковскоrо поля. В обrцем случае
вектор
d T ' + ' d -'- ' ) + ( ) + (р + (р ! О) 3 1 ')
',' (Pl)d'2' (Р2) ... "т(Рт С" Pl С'2 2) ... C'k k) ( . , )
описывает k частиц с импу.lьсами и спиральностями PITl,
Р2Т2, ., PkTk И т античастиц с импульсами и спиральностями
Pl'Tl', P2'Tz',. ., Рт'т т '. Вектор (3.172) меняет знак при Переста-
новке импульсов и спиральностей любой пары частиц либо ан-
тичастиц. Таким образом, в состоянии с данным импульсом и
спиральностью не может находиться более О.J.НОЙ частицы (ан-
тичастицы) .
В заключение отметим, что Ф (х) может быть полем элект-
ронов, кварков и т. д. Ес.1И Ф (х) поле электронов, то следу-
ет ввести электрический и .1ептонный заряды (напомним, что
каждому сохраняющемуся заряду отвечает инвариантность от-
носительно r,,10ба.lьноrо калибровочноrо преобразования).
в случае кварков c.leJ,yeT ввести э.lектрический и бар ионный
заряды, странность и т. .1.
3.5. Электромаrннтное лоле
В этом параrрафе мы рассмотрим свободное Э.lектромаrнит-
ное поле. Как обычно, начнем с К.13ссической теории. Уравне-
ние " аксвелла Д.1я свободноrо электромаrнитноrо поля имеет
вид
G-zFаfJ == о.
( 3.173)
Тензор напряженности Fa.fJ связан с вектор-потенциалом Э.lект-
ромаrнитноrо ПО.1Я Аа== (ер, А) (ер скалярный, А векторный
потенциалы) соотношением
Fa.iI==aa.AfJ afJAa..
(3.174)
Из (3.174) следует, что
PO'== E', Fik== eiklH/,
rде Е' и Н/ напряженности электрическоrо и маrнитноrо по-
леЙ.
Напомним, что потенциал электромаrнитноrо поля не MO
жет быть определен однозначно. Из (3.174) очевидно, что тен-
зор напряженности поля не меняется при rрадиентном (ка.1И-
бровочном) преобразовании
,4/" == ,4" + д"'А, (3.175)
rде А произвольная функция. Подставляя (3.174) в (3.173),
получаем
::J ,4.3 at3 (д"А"') == о.
(3.176)
55
В силу калибровочной инвариантности на l!отенциал можно
наложить условие Лоренца
a-хkL=== О. (3.177)
в этом случае
о л == о.
Ес.1И потенциал УJ,овлетворяет Ус.l0ВИЮ Лоренца, то уравнение
Максвелла имеет вид
DA == о.
(3.178)
Для лаrранжиана классическоrо электромаrнитноrо поля
может быть принято выражение
:l == J.... F F'J. . (3.179)
4 '"
HeTpYJ,HO убедиться в том, что лаrранжиан (3.179) J,aeT ypaB
нение Максвелла (3.173). Действительно, имеем
a'Z: =-=0 ag. == p1. . (3.180)
дA ' дд"А з
Подставляя (3 180) в уравнение Эй.lера Лаrранжа
a!lJ a!lJ
д ==o
дА з " дд"А з '
(3.181)
получаем (3.173) Ясно также, что лаrранжиан (3.179) инва-
риантен относительно калибровочных преобразований (3.175)
Если для лаrранжиана электромаrнитноrо поля принять
выражение (3.179), то при квантовании поля возникают, OДHa
ко, серьезные трудности.
Канонические перестановочные соотношения Д.1Я Э"lектро-
маrнитноrо поля имеют вид
[1t" (х), A (,,\,')]Хо'=Х о == i g" о (х х'), \
[1t" (х), 1t (X')JXO/=XO == О,
[А" (х), АI! (X')JXO/=XO == о,
rде л ===д9!/ддоАf'> импульс, сопряженный Af'>. Из
лучаем
(3.182)
(3.180) по
:r === F°f'>.
(3.183)
выражением (3.179),
каноническим пере
Таким образом, если лаrранжиан дается
то в этом случае ло===о, что противоречит
становочным соотношениям (3.182).
56
Очевидно, что выражение (3.179) может быть записано
в виде
;{ == .J...p p a l3 ....!.... д А д"A +
4 2 а i!
+.J... д ( А д13 А а ) А д ( д Аа).
2 "13 2 11 "
(3.184)
Второй член этоrо выражения не дает вклада в вариацию
действия и может быть опущен. Последний член выражения
(3.184) равен нулю, ес.1И потенциал удовлетворяет условию
Лоренца. В результате Д.1Я лаrранжиана свободноrо электро
маrнитноrо поля может быть принято выражение
:J: == ...!.... д А да. AI3. (3.185)
2 "11
Из (3.185) следует, что
д'Е a!lJ
д"A дA == о.
ддa.A ,
Подставляя (3.186) в (3.181), получаем уравнение Даламбера
О АII == о. (3. 186)
Далее из общеrо выражения (2.49) для тензора энерrии.им
пульса электромаrнитноrо поля получаем следующее BЫpa
жение:
['1. == a!lJ д -1 :t 8" == д"АРд 4 +....!.... дРАад А a.
дд"А р "p 3 " Р 2 р :011.
(3.187)
Отсюда для вектора энерrии импульса находим
p == s Тld3x == S [ дO APд Ap + + дР AaдpA.8 ] d 3 х. (3.188)
Раз.l0ЖИМ теперь потенциа.l Аа. в интеrрал Фурье. Учиты-
вая, что потенциал Аа. удовлетворяет уравнению Максвелла
(3.187), получаем
А"(А) == J NkAa.(+) (k)e i kx i k O X o d 3 k+
+ NkA"( ) (k) e i kx+i koxod3k, (3.189)
I I
r де k;O == I k I ; N k == --------З;Z V .
(211:) 2k o
Первый член разложения (3.189) представляет сооои поло-
жительно частотную, а второй член отрицательно-частотную
части потенциала Аа.(х). Делая во втором члене (3.189) заме
57
ну k---+ k, перепишем следующим образом фурье разложение
потенциала:
А" (.\) == \' N i [.4" (k) e i kx + А" ( ! ) e i и] d 3 k, (3.190)
и
rде
Aa(k) == AaH(k), N.t( k) ==Ar.tH( k).
Учитывая, что Аа* (х) ===Аа (х), получаем
Ar.t ( k) ===Аа* (k).
(3.191)
(3.192)
Далее раз.l0ЖИМ Аа (k) по полной системе векторов e;..(k}
(;\===0, 1, 2, 3). Имеем
Aa(k) == ал(k)е (k). (3.193)
;.
Выберем С.1е.':(ующим образом векторы e'l.(k) По.l0ЖИМ, что
ео===п, (3.194)
rде п еJ,ИНИЧНЫЙ. временнподобныЙ вектор (п 2 === 1). Да.lее
ПО,,10ЖИМ, что ез (k) еJ:ИНИЧНЫЙ, пространственноподобный
вектор, построенный из k и п и ортоrона.1ЬНЫЙ п. Имеем
(k k п (kn)
е з ) == .
(kn)
Наконец, векторы е! (k) и е2 (k) выберем таким образом, чтобы
они УJ:овлетворя.1И УС,10ВИЯМ
е, (k) е), ik) == 6,;"
(3.195)
e (k ) п =:о О
( ,
е; (k) k == о, l
А-, ').' == 1, :2 J
(3.196)
(е, (k) и е2 (k) единичные, пространственноподобные векторы,
0pToroHa.lbHbIe J,pyr J:pyry и opToroHa.lbHbIe ео и ез (k))
Итак, векторы е'l. ( ) УJ,ОВ.lетворяют с.lеJ:УЮЩИМ ус.l0ВИЯМ
ортоrона.1ЬНОСТИ и нормировки.
е). (k) е)., (k) == g) )." (3.197)
Рассмотрим систему, в котороЙ
п а === (1, О).
В этоЙ системе
e (k) (о k ' ) , ef.2(k) == (О, e 1 2 (k)),
, k
\ I I
(3.198)
[де
е] 2 (k) . k===O.
Из (3.193) и (3.198) с.lедует, что аз(k) и al.2(k) представ.1ЯЮТ
собой соответственно прОДО.1ЬНУЮ и поперечные компоненты
58
A(k), а ао (k) ';Iвляется фурье компонеI!ТОЙ скалярноrо потен
циала.
Мы будем предполаrать, что е1,2 (k) BerцecTBeHHыe BeKTO
ры. Из (3.190), (3.192) и (3.193) получаем
3
А"(х)== SN k 2: е (k)[ал(k)е ikХ+а).( k)еikxltfk, (3.199)
)==0
rде
(3.200)
a'A.( k) a'A. * (k).
Из (3.199) нахоJ,ИМ, что
а.... (k) == i g........ \ ,Vke (k) е ! kx a ; А" (х) 1fx. (3.201)
.-
Подставим да.lее разложение (3.199) в условие Лоренца
(3.177). Получаем
(е\ (k) k) ал (k) == О.
л
Учитывая, что
езk kn, eok kn, e1,2k О,
находим отсюда
аз(k) ао(k).
( 3.202)
Получим теперь выражения J,ЛЯ энерrии и импульса элект-
ромаrнитноrо поля. Подставляя (3.199) в (3.188), дЛЯ энерrии
ПОЛЯ находим
3
ро == s а/ (k) а.... (k) g........k o d 3 k. (3.203)
;==0
В силу ус.l0ВИЯ Лоренца (3.202) вк.lады в энерrию поля про
ДОЛЬНЫХ и ска.1ЯРНЫХ КОVfпонент потенциала (аз.(k)аз(k) и
ao*(k)ao(k)) сокращаются. Д.1Я энерrии электромаrнитноrо
поля с учетом УС.l0ВИЯ Лоренца получаем
ро == J а;' (k) а) (k) kOd'k.
;:,1.2
(3.204)
Очевидно, что величина ро может принимать тодъко положи-
те.lьные значения.
Далее с помощью (3.188), (3.199) и (3.201) ДЛЯ импульса
электромаrнитноrо ПО.1Я нахоJ,ИМ следующее выражение:
pi == J а;'" (k) а.... (k) kidЗk.
л 1.2
(3.205)
Итак, в энерrию и ю.шу.1ЬС э.lектромаrнитноrо ПОЛЯ дают ВК.lад
TOJlbKO поперечные компоненты потенциала.
59
Перейдем теперь к теории КEaHTOBaHHoro электромаrнитно
ro поля. В квантовой теории Аа(х) оператор, удовлетворяю-
щих уравнению
положительно частотная и отрицате.'Iьно частотная части
оператора Аа соответственно.
Далее из траНС.1ЯЦИОННОЙ инвариантности сдедует, что опе
ратор Аа (х) УДОв.lетворяет соотношению
[Аа(х), Pj\]==iaj\Aa(x),
rде PI\ оператор энерrии импульса. Подставляя
в (3.208), получаем
[a k), PsI a).. (k); + }
[а).. (k), Ps] ksa).. (k).
Перестановочные соотношения для операторов a (k) и
a (k) MorYT быть получены из канонических перестановочных
соотношений (3.182). Используя (3.201) и учитывая, что Ла==
== дoAa, находим
[а).. (k), at, (k')] == - i gH' 5 NkN k,e [и а ; e [ k'xcJ:X.
Отсюда получаем
[а).. (k), а:' (k')] == gH'O (k k').
Аналоrично имеем
[ал (k), ал, (k')] == о.
Далее из классИческоrо выражения (3.203) для
энерrии-импульса Э.1ектромаrнитноrо ОО.1Я получаем
з
р == s а)..... (k) ал (k) gH k / 3k .
)..==0
OA == о.
Из (3.206) следует, что оператор Аа имеет вид
Аа(х) ==Аа(+)(х)+Аан(х),
rде
3
Аj(+)(л) =:о SNk a)..(k)e (k)e ikXd3k,
)..==0
3
Aa.( )(.\)== 5 Nk at(k)e (k)eikXd3k
)..==0
(3.206)
1
}
I
J
(3.207)
(3.208)
(3.207)
(3.209)
(3.210)
(3.211)
оператора
(3.212)
Нетрудно проверить, что перестановочные соотношения (3.210)
и (3.211) соrласуются с полученными из трансляционной инва-
риантности соотношениями (3.209), ес.1И для оператора энер-
rии импу.lьса принять выражение (3.212).
60
Отметим, что в правую часть перестановочных соотношений
(3.210) входит тензор g'}..'}... Таким образом, коммутатор
[ao(k), ao+(k')] отличается знаком от коммутаторов
[a'}..(k), a'}.. (k)], л==l, 2, 3.
Оператор Аа(х) удовлетворяет уравиению Даламбера
(3.186). Для Toro чтобы имели место уравнения Максвелла, мы
должны, следовательно, потребовать, чтобы выполнялось yc
.10вие Лоренца. Очевидно, однако, что нельзя потребовать об
ращения в нуль оператора даАа*.
Условие Лоренца в квантовой теории было сфоgмулировано
Ферми, а также rупта и Блейлером. Потребуем, чтобы для .1ю
боrо вектора I ь>, описывающеrо состояние KBaHTOBaHHoro элек-
rромаrнитноrо поля, имело место условие
aaAa<+)lb>==O. (3.213)
Из (3.213) путем эрмитова сопряжения находим
(b'laaAa( )==O. (3.214}
С помощью (3.213) и (3.214) получаем
(Ь'I даАаl ь>==о. (3.215)
Таким образом, если условие (3.213) выполняется для любых
векторов, описывающих состояние KBaHToBaHHoro электромаr
нитноrо поля, то все матричные элементы оператора даАа об
ращаются в ну.1Ь. Из (3.187) и (3.215) следует, что для матрич
ных элементов оператора Faf'> имеет место уравнение MaKC
велла
да(Ь'1 Faf'> I ь >==0.
Построим теперь систему векторов, описывающих СОСТОЯНЮf
KBaHToBaHHoro электромаrнитноrо поля. Из (3.207) и (3.213)
получаем
з
(k)(e}.(k)k) I Ь) ==0.
1-::0
(3.216)
Используя (3.203), отсюда находим, что для любоrо вектора
состояния имеет место
(ао (k) аз (k)) I ь)==о.
(3.217)
Далее нетрудно показать, что не существует TaKoro BeKTO
ра, ДЛЯ KOToporo ао (k) I ь>==о. Действительно, используЯ пере
становочное соотношение
[ao(k), ao (k')]== 6(k k'),
'" Из условия д"A" O следует, что ао(k)==аз(k). Это соотношеиие проти
ВGречит перестановочным соотношениям (3.21 О).
61
получаем
(S а о -'- (k) t(k)d 3k l Ь»)+ (S а о + (k) t(k) d 3 k I Ь»)
(Sao(k)r*(k)d3klb»)+(J a o (k)t*(k)d 3 k I Ь») ==
== (Ь I Ь) S I f (k) 1 2 d З k, (3.218)
rде f(k) произвольная функция k. Если ao(k) Ib)==O, то вто-
рой член в левой части соотношения (3.218) исчезает и мы
приходим К противоречию [в левоЙ части соотношения
(3.218) положительная величина, а в правой отрицатель-
ная]. Таким образом, в принятоЙ нами схеме квантования для
любоrо вектора состояния
ао (k) I b)=I=O.
Из (3217) следует также, что
аз (k) I b)=I=O.
Найдем теперь среднее значение оператора энерrии импуль-
<са ра. Имеем
(Ь I ра. I Ь) == (Ь ! C '2 а:;: (k) ал (k)+а з (k) аз (k)
ao"'(k)ao(k)\ka.cfklb). (3.219)
) I I
Далее из (3.217) находим, что
(ыз-'-(k)аз(k)) Ib)==<blao+(k)ao(k) 'Ь). (3.220)
С помощью (3.219) и (3.220) для среднеrо значения оператора
энерrии-импульса ра. получаем выражение
(bIPa.lb)==/bIS. ал+(k)ал(k)k'?-З k / Ь ) . (3.221)
\ I '=1.2
Итак, в силу Ус.l0ВИЯ Лоренца в энерrию и импульс элект-
ромаrнитноrо поля J:ают вк.паJ: только фотоны с поперечными
поляризациями el(k) и e2(k). Вклады в (bIPa.lb) фотонов
с продольной ез(k) и скалярноЙ eo(k) поляризациями взаимио
сокращаются.
Обозначим I О) вектор состояния, в котором отсутствуют фо-
тоны с поперечными ПО.lяризациями. Имеем
аl. (k) 10)==0, л== 1, 2. (3.222)
Очевидно, что
(OIPa.IO)==O.
Вектор I О) описывает, С.lедовательно, состояние с равными
ну.1Ю энерrиеЙ н И\iпу.1ЬСОМ (вакуумное состояние).
62
rамильтони ан электромаrнитноrо взаимодействия имеет вид.
dCr(x) ==eja(x)Aa(x),
rде ja (х) электромаrнитныЙ ток. Рассмотрим оператор'
Аа(+)(х). Имеем
3
e (k) а) (k) == e (k) а) (k) + e (k) (а о (k) аз (k))
) o i l. 2
+ (e (k) + e (k)) аз (k).
Далее с помошью (3.194) И (3.195) получаем
еза(k) +eo,a(k) ===ka/kn.
Используя (3.207), (3.223) и (3.224), находим, что
АН (х) ==AtrH (х) +дЛ Н (х) +L (х).
Здесь
Atr( )(.\) == j'N д e),(k)a). (k)e--: i kXd3k,
/ ==1.2
1\(+) (.\) == i J " Nk .J....аз(k) e i kx d 3 k,
kn
L (.\) == S .Yke O (k) (ао (k) аз (k)) e i krd3k.
Ана.l0rIiЧНО по.lучаем
АН (х) ===NrH (х) +дЛ Н (х) +L (x),
[де
,4tr ( ) (.\) == \ ,\i:z е) (k) a (k) e i kXd3k,
v ) 1.2
лr ) (.\) == i S ,Y,< J..... а: (k) e i kXd3k.
kl1
(3.223 ),
(3.224)
(2.225)
]
}
I
I
(3. 26
( 3.227)
(3.228)
Мы покажем в да.lьнеЙше , что S-матрица представ.lяет
собой сумму норма.1ЬНЫХ произведений операторов поля, т. е.
сумму таких произведений, в которых все операторы уничто
жения располаrаются справа от операторов рождения Прк
вычислении матричных элементов (Ь' I S I Ь) операторами уничто-
жения естественно действовать направо на вектор I Ь), а опе
раторами рождения на.lево на вектор (Ь' 1. В силу УС.l0ВИ5f
Лоренца
L(x) 'Ь)==О,
(b'IL-'--(х) ===0.
63.
Таким образом, члены L (х) и L \X) в выражениях (3.225) и
(3.227) MorYT быть опуrцены. В силу каJlибровочной инвариант
ности MorYT быть опущены также производные дА(+) (х) и
.дA( ) (х). Итак, в S-матрице следует учесть только поперечную
часть оператора электромаrнитноrо поля (т. е. ту часть, в ко-
торую входят операторы рождения и уничтожения фотонов
ос поперечными поляризациями).
Перейдем теперь окончательно к построению системы век-
торов, описывающих возможные состояния KBaHToBaHHoro элек
тромаrнитноrо поля. На вектор состояния вакуума, удовлетво
ряющий ус.l0ВИЯМ (3.222), будем деЙствовать операторами
a +(k) (л.===I, 2, 3, 4). Нетрудно видеть, что операторы аз+(k)
я ao+(k) MorYT входить при этом только в комбинации аз+(k)
ао"'" (k). Действительно, пусть I а) некоторый вектор состоя
ния, удовлетворяюrциЙ условию Лоренца (3.217). Рассмотрим
вектор
'а')== (аао+(k')+ аз"(k')) la),
rде а и параметры. Потребуем, чтобы вектор I а') удовле
творял УС.l0ВИЮ Лоренца. Имеем
(ао(k) аз(k)) (аао""'(k')+ аз+(k')) Ib)===
=== [ (ао (k) аз (k) ), ( аао (k') +
+ аз"(k'))] I b)=== (a+ H>(k k') I ь).
Итак, вектор j а') удовлетворяет условию Лоренца, если ==
== a. Рассмотрим теперь матричный элемент
(bISja'),
тде jа')==(ао+(k) аз (k))lа), la) и IЬ) любые векторы, yдo
влетворяющие (3.217). Как мы видели, в S-матрицу входят
операторы Atr, коммутируюrцие с ao+(k) и аз+(k). Имеем
(bjSla')==(bl (ao-t (k) аз+(k))Slа)==О.
Аналоrичным образом получаем
(a'ISjb)==(al (ао(k) аз(k))SjЬ)==
==<аIS(ао(k) аз(k)) ,ь)==о.
Итак, матричные элементы S \fатрицы обращаются в нуль,
если нача.1ЬНЫЙ и (или) конечный векторы состояния содержат
операторы ао аз""'. Это означает, что в силу калибровочной
Jlнвариантности и условия Лоренца фотоиы MorYT обладать
только поперечными поляризациями. Векторы, описываюrцие
64
состояния KbdHToBaHHoro электромаrнитноrо поля, имеют в об
щем случае вид
I п (k m , 1т) .,. п (kl' 4) ==
== at (k m )... at (k m ) ... at, (k 1 ) '" at,(k 1 ) I О),
m m
п (I т -:т;,. --'
п (k;' А,)
(3.229)
[де индексы л'1, .., л-т MorYT принимать значения 1, 2. Вектор
ln(k m , л'm) ...n(k 1 , л'l) описывает n(k 1 , л'l) квантов с импульсом
k 1 И поперечной поляризацией л'1, .., п (k m , л'm) квантов с им
пульсом km и поперечноЙ поляризацией л-т.
3.6. Квантованное векторное попе
В этом параrрафе БУJ:ет рассмотрено ПОJlе \fассивных неЙ-
тральных векторных частиц. Как обычно, начнем с классиче-
cKoro случая. Рассмотрим классическое поле, описываемое ве-
щественноЙ функциеЙ ва. (х) Будем предполаrать, что все ком-
поненты поля ва. удов.lетворяют уравнению Клейна [ордона
(О + т 2 ) в" == о. (3.230)
Предположим также, что поле ва. удовлетворяет условию
да.Ва.==О.
(3.231)
В си.'IУ (3231) только три компоненты поля ва. являются не-
зависимыми. Это отвечает тому, что в квантовой теории KBaH
тами поля ва. являются частицы со спином 1.
Уравнение (3.230) и УС.l0вие (3.231) MorYT быть получены
из .1аrранжиана
2 == J.... F F" , J.... т 2 В в'"
4 а.9 т 2 ,,'
13.212)
rде
F,, == дa.B дзВс;,.
(3.233)
ДеЙствительно, имеем
== Fa.1'>
ддc;,B '
д2 == т2вр.
дB
(3.234)
Отсюда ураваение поля имеет вид
дJа. з + т 2 вр == О.
(3.235)
Это уравнение носит название уравнения Прока. Дифференци-
руя (3.235) по x 13 , получаем (3.231). ИЗ (3.231), (3.233) и
(3.235) следует уравнение К.'Iейна [ордона (3.230).
5 б910 65
Из общеrо выражения (2.49) для тензора hерrии импульса
BeKTopHoro поля Ба получаем
т ?::L== FЩjдf3Вр Рб'Ра (3.236)
Вектор энерrии импульса равен
p s T d3X. (3.237)
Далее из (3.230) следует, что разложение Фурье поля Ва (х)
имеет вид
В", (х) S N q (B "")( q) е i (qoxo Qx) + B ) (q) e i (qOxo+qX») d 3 q, (3.238)
r де qO:=: V q' т т', N q ==' З72 V 1 .
(2п) 2qO
Заменяя во втором члене этоrо выражения q q, полу-
чаем
В", (.\) j ,VI{ (В" (q) e i qx + В" ( q) e i qx) d 3 q.
(3.239)
Здесь
В", (q) ==' B",( ) (q), В", ( q) == Ba.( ) ( q)
комплексные функции переменной q. Учитывая, что Ва. (х)
веrцественная функция, имеем
Ba( q) ==Ba.*(q). (3.240)
Подставим теперь разложение (3.239) в условие (3231). По-
лучаем
qaBa(q) ==0.
(3.241)
Да.lее введе:,! три вещественных ортоrональных вектора
ел (q), УJ,ОВ.lетворяющих ус.l0ВИЮ
eri(q) qa==o, л== 1, 2, 3. (3.242)
Из (3.242) следует, чтu eJ'(q) пространственноподобные век-
торы. Таким образом, можно положить, что
)., ).
е (q) е (q):=: Он,. (3.243)
Д.пя вектора B(q), удовлетворяюrцеrо условию (3.241), имеем
з
Brr. (q) == Ь). (q) е; (q). (3.244)
).:=1
Подставляя (3.24-1) в (3.239), получаем с.'Iедующее фурье-раз
ложение ФУНКЦИИ Ва. (х) .
з
В", (.\) == S .V q e (q) (Ьл(q) e i qx + b (q) e i Х)dЗq. (3.245)
).=1
бб
Из (3.236), .237) и (3.245) для вектора энерrии импульса
BeKTopHoro поля получаем следующее выражение:
3
Ps == S Ь),""' (q) Ь), (q) q d3q. (3.246)
),==1
На этом мы закончим рассмотрение К.пассическоrо BeKTOp
Horo поля. Перейдем теперь к квантовой теории BeKTopHoro по-
ля. В квантовоЙ теории Ва (х) оператор. Для оператора
Ва (х) имеем
В", (л) === Ва,(+) (х) + Ba.( ) (х),
(3.247)
[Де
3 )
Ва.(+) (х)== j'N ; le",'i..(q)b),(q)eiqXd3q, I
} (3.248)
3
Ba.I ) (л) == j' .V q е; (q) Ь): (q) e i qXcfq, I
),== 1 ,
b,,(q) и b,,+(q) операторы. Из (3.242) и (3.247) очевидно, что
оператор Бcr. (х) УДОВ.lетворяет уравнению К.lеЙна [ордона
(О + т 2 ) Ва. (х) == О (3.249)
и условию
даВа(Х) ==0 (3.250)
(.lибо уравнению Прока) .
Для операторов b'l.(q) и b'l.+(q) посту.'Iируются следующие
перестановочные соотношения:
[Ь). (q), bl' (q'!]== ),)., (q q'), } (3.251)
[Ь). (q), Ь)" (q )] == о.
Оператор энерrии-импу.lьса BeKTopHoro поля может быть полу
чен из классическоrо выражения (3.246) заменой К.1ассических
величин операторами, расположенными в нормальном поряд-
ке. Имеем
3
P == S bt (q) Ь-л (q) i"dЗq.
).==1
Далее из трансляционной инвариантности следует, что опе-
ратор Ва (х) удовлетворяет уравнению
iafJBcr.(X) == [Ва(Х), PfJ]. (3.253)
Подставляя в (3.253) разложение (3.248), получаем
[Ьл(q), ps] == qSb) (q), } (3.254)
[bt (q), pt3] == qSbt (q).
(3.252)
5"
67
Соотношения (3.254) нетрудно получить также с помоrцью
(3.251) и (3.252). Таким образом, перестановочные соотноше
ния (3.251) и выражение (3.252) ДЛЯ оператора энерrии им
пульса соrласуются с требованиями трансляционной инвари-
антности.
С помощью перестановочных соотношений (3.254) (анало-
rично рассмотренным ранее случаям квантованных полей) He
трудно убедиться в том, что b')..(q) и b')..+(q) являются соответ-
ственно операторами уничтожения и рождения частицы с 4-им
пульсом q. Далее из (3.252) и (3254) следует, что существует
вакуумное состояние с равными нулю энерrией и импульсом.
Вектор состояния вакуума I О) удовлетворяет условию
b')..(q) 10)==0. (3.255)
Вектор
&').. (q) 10)
(3 256)
описывает частицу с импульсом q и массой m==-y q 2 Индекс л
в (3.256) принимает три значения Это отвечает тому, что про-
екция спина векторноЙ частицы принимает три значения. Рас-
смотрим систему, в котороЙ q==O (систему покоя). Из (3.242)
следует, что в этой системе ео')..==О. Выберем в системе покоя
векторы еЛ таким образом, что е З ==х, e 1 ,2 x ==0, rде х единич
ный вектор, направленныЙ по q. В системе, [де qr:1.== (qO, q),
имеем
e(I,2) -== (О, e(I.2»), е(З) == ( l...U, .......'l...... \.
,т I Q I т J
(3.257)
1
Можно показать, что при таКО\1 выборе осей операторы I >(
I 2
Х (Ь 1 + (q) + i &2 (q)), v 12 (&1+ (q) i &2 (q)) И &3 -т- (q) являются
соответственно операто?ами рождения частиц со спира.1ЬНОСТЯМИ
1, 1 и О.
Ясно, что, как и во всех рассмотренных выше случаях, воз
можные состояния KBaHToBaHHoro BeKTopHoro поля можно полу-
чить путем действия операторами рождения на вектор состоя
ния вакуума 10).
В заключение покажем, что
t e (q) e (q) == ()t3 q:q: ) .
}.=1
ДеЙствительно, имеем в общем случае
3
e (q) e (q) == aga.fJ + &qa. q t3,
}.=!
(3.258 )
(3.259)
68
[де а и Ь константы. Умножим это выражение на grz. И про
суммируем по а и . Учитывая (3.243), получаем
3===4a+bт2 (3.260)
Далее, умножая (3.259) на qf3 и учитывая (3.242), находим
О===а+Ьт 2 . (3.261)
Из (3.259) (3.261) без тру да получаем (3.258).
rлава 4
ЛАrРАНЖИАНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
4.1. Локапьная капибровочная инвариантность.
Эпектромаrнитное взаимодействие
Как БЫJ10 показано в [.1. 1, S \1атрица опреде.'Iяется rаМИ.1Ь
тонианом взаимодеЙствия. В этоЙ rлаве мы рассмотрим раз-
личные взаимодействия элементарных частиц. Начнем с про-
стеЙшеrо электромаrнитноrо взаимодействия. Рассмотрим в Ka
честве примера поле электронов е (х). Мы видели в 3.4, что
лаrранжиан свободноrо поля электронов имеет вид
рое===ё(х) (i yrz.Ja; m)e(x). (4.1)
Очевидно, что лаrранжиан рое инвариантен относительно rло-
ба.1ЬНЫХ ка.1ибровочных преобразований
(.\)==:iAe(x! ' } (4.2)
е' (л) == е (л) e l ,
[де А произвольная веrцественная константа.
В 2.4 было показано, что из инвариантности относительно
преобразований (4.2) вытекает, что ток
... . ( д2 о е д2 0 е ) с<
J == 1 е е == еу е
\ дд",е дд..е
УДОВ.1етворяет уравнению непрерывност?
Ja;ёyrz.e===O. (4.3)
Из (4.3) следует, что заряд
Q == S e.(oed 3 х (4.4)
сохраняется.
Рассмотрим теперь локальные калибровочные преобразова-
ния поля е (х) .
e'(x)==eiA(X)e(x), }
ё' (л) == е (х) e iA (Х),
(4.5)
69
rде А (х) произвольная веrцественная функци>l: Очевидно, что
да;е(х)==е lЛ(х)(да; iдaJ\ (х»)е'(х). (4.6)
Заменим теперь в свободном лаrранжиане рое поле е (х)
штрихованным полем е' (х). Используя (4.5) и (4.6), получаем
р ое==ё' (х) [i уа (aa; i aa;l\ (х) ) m] е' (х).
Итак, свободный .1аrранжиан рое инвариантен относительно
rлобальных калибровочных преобразований (42) и не инвари
антен относительно .10кальных калибровочных преобразований
(4.5). Как видно из сравнения (4.2) и (4.6), это связано с тем,
что при rлобальных и локальных калибровочных преобразова
ниях производная да;е (х) преобразуется по разному.
Инвариантность относительно локальных калнбровочных
преобразований можно обеспечить, если ввести взаимодействие
поля электронов с электромаrнитным полем Аа (х). Действитель-
но, рассмотрим выражение
(aa;+ieAa;(x))e(x), (4.7)
rде е константа Имеем
(д" + i еА" (.\)) е (.\) == e i: (х) (д" + i еА,,' (х)) е' (.\), (4.8)
rде
1
. ,,' (.\)== А" (.\) --;- д",Л (.\).
(4.9)
Таким образом, ковариантная (<<удлиненная») производная
(aa+i е Аа;) е при .10кальных калибровочных преобразованиях,
ВК.1ючающих как преобразования (45) поля е (х), так и преоб.
разования (4.9) ПОJ1Я Аа(Х) *, преобразуется так же, как поле
е(х) (штрихованная величина получается из нештрихованноЙ
умножением на е i (Х))
Сделаем в свободном .1arp анжиане рое замену-
aa;e (aa;+i е Аа)е. (4.10)
В результате приходим к лаrранжиану
2'1===ё[i уа (aa;+i е Aa) m]e,
(4.11 )
инвариантному относительно локальных калибровочных преоб-
разований (4.5) и (4.9)
Лаrранжиан 2'1 представ.lяет собой сумму свободноrо лаr
ранжиана поля электронов и лаrранжиана взаимодеЙствия по
лей е (х) и Аа (х). Д.1Я Toro чтобы построить полныЙ лаrран-
жиан рассматриваемой нами системы. к выражению (4.11) нуж
* По.lе.4", носит название калибровочноrо поля
70
но добавить свободный лаrранжиан электромаrнитноrо поля
2 == ..l... F pa. lI , (4.12)
4 "11
[де
F"f!==a"AfI aflAa; (4.13)
тензор напряженности электромаrнитноrо поля. Очевидно,
что тензор F Ctf3 инвариантен относите.1ЬНО преобразований (4.9).
ИнвариантныЙ относительно лока.'lЬНЫХ калибровочных пре
образований полныЙ лаrранжиан рассматриваем.оЙ нами систе-
мы имеет следующий вид'
2'==2'0+2'[. (4.14)
Здесь 2'о==2' о е+2'оА свободныЙ .larранжиан, а
2'[== ej<:1.Aa; (4.15)
.1аrранжиан взаимодействия. В (4.15)
ja==ёyae (4.16)
электромаrнитный ток.
Выражение (4.15) представ.1яет собой К.1ассическиЙ .1arpaH-
жиан электромаrнитноrо взаимодеЙствия. Константа е является,
С.1едовательно. зарядом э.1ектрона "
При получении выражения (4.15) .зля лаrранжиана взаимо
деЙствия мы основыва.1ИСЬ на требованиях .10кальной ка.lибро-
вочной инвариантности теории. ОТ\iетим, однако, что принцип
лока.1ЬНОЙ калибровочноЙ инвариантности не фиксирует одно-
значно вид .larранжиана взаимодеЙствия. Например, ес.'IИ к
.1аrранжиану (4.15) добавить пау.1иевскиЙ член
2'Р=== lJ.ё('Jаf3еРаf3
(Jl анома.1ЬНЫЙ момент). то при этом лаrранжиан останется
ка.lибровочно инвариантным. Поскольку в свободныЙ .1arpaH-
жнан поля Э.1ектронов входит производная дае, замена (4.10)
это минимум Toro. что необходимо сделать, чтобы лаrранжиан
был инвариантен относите.1ЬНО локальных калибровочных пре
образованиЙ. Лаrранжиан (4.15) носит название лаrранжиана
миним альноrо электромаrнитноrо взаимодеЙствия.
Вся имеющаяся оrромная совокупность экспериментальных
данных, ВК.1ючая данные по прецизионному измеренню анома.ПЬ-
ных маrнитных моментов МЮона и электрона и лзмбовскоrо
сдвиrа уровней в атомах. а также данные, полученные при вы-
соких энерrиях (до 60 [эВ) на е+ и е коллайдерах, соrласует-
ся с (4.15). Принцип .10кальноЙ калибровочной инвариантности
Всюду в книrе ИСПО.1ЬЗУЮТСЯ хивисайдовы единицы. В этих единицах
е2/4л I/IЗ7
71
ь
и мииимальности лежит в основе построения LUBpeMeHHblX лаr
ранжианов электромаrнитноrо, слабоrо (электрослабоrо) и
сильноrо взаимодействий.
Лаrранжианы взаимодействия мюонов, таунов и кварков с
электромаrнитным ПО.lем MorYT быть получены аналоrично
(4.15). Для полноrо лаrранжиана электромаrнитноrо взаимо-
действия .1ептонов и кварков с фотонами имеем с.lедующее BЫ
ражение:
2 I=== eja.emA а.,
(4.17)
[де
.ет
J",
'v
( 1) ly",l + k.J
l==е.).1, ' q==u, с, t, d, S, Ь
eqqy",q
(4.18)
электромаrнитный ток .1ептонов и кварков В (4.17) и (4.18)
е заряд протона, e q заряд кварка в единицах заряда про
тона.
4.2. Лаrранжиан единой теории слабоrо
н электромаrннтноrо взаимодействий
4.2.1. ФеноменолоrичеСl<ая V А теория
слабоrо взаимодействия
В ЭТОМ вводном параrрафе VfbI кратко рассмотрим основные
этапы построения феноменолоrической V А теории с.1абоrо
взаимодействия. Первый rамильтониан распада был построен
Э. Ферми в 1934 [. Ферми основыва.1СЯ на rипотезе Паули о
существовании нейтрино и предположил, что при распаде
нейтрона образуется пара электрон нейтрино* (аналоrично
тому, как при переходе протона с одноrо уровня на друrой об
разуется у-квант) rамильтониан распаJ,а нейтрона
n p+e+v (4.19)
был построен ФерМИ по аналоrии с rамильтонианом процесса
{J--+p+y.
Если не учитывать сильных взаимодействий, то rамильтониан
электромаrнитноrо взаимодействия протонов имеет вид
"w em '" А
O J == е ру Р "'"
(4.20)
Построим вектор из полеЙ р и п. Имеем руа.п. Далее по
аналоrии с (4.20) предположим, что rамильтониан распада
является скаляром. Вектор р у а.п должен быть, С.1едовательно,
· Пау.lИ, как известно, пре;щолаrал, что нейтриио, так же как и элеКТрО
вы, входят в состав ядер.
72
t)
свернут с вектором, построенным из полей е и v. Предполаrая,
что в rамильтониан процесса (4 19) не входят производные по-
лей, J,ЛЯ rамильтониана -распада получаем следующее Bыpa
жение'
'iPtJ G а. + h ( 4 . 1)
.:Jv! == ру ney,,-v .с.,
[де G константа, которая носит название константы Ферми.
Подчеркнем существенное различие между rамильтонианами
(4.20) и (4.21). rамильтониан (4.20) описывает взаимодействие
фермионов и векторных бозонов, rамильтониан, (4.21) взаи-
модействие четырех фер\fИОНОВ. Это различие приводит к тому,
что константы е и G Иl\1еют разные размерности. Именно,
в используемой нами системе единиц п==с == 1 заряд е безраз
мерен, а константа G имеет размерность M 2*.
Отметим. что вскоре ПОС.1е работы Ферми была выдвинута
rипотеза (О К.1ейн, 1938 [.) о том, что ответственный за -pac-
пад rамильтониан преJ,ставляет собоЙ rамильтониан взаимо-
действия фермионов и векторных бозонов и имеет вид
d&I==g(Pya.n+'Vya.e) Wa.+h.c. (4.22)
Четырехфермионное взаимодействие Ферми эффективно возни
кает при этом во втором порядке теории возмущений по g,
а константы G и g связаны соотношением
G==g2/т2 V,
rJ,e т y i\1acca W бозона.
Продолжим обсуждение теории распада. В 1956 r было
показано (Ву и др.), что в процессе распада не сохраняется
четность. Это открытие означало, что rамильтониан -распада
представляет собой CyMl\1y скаляра и псевдоскаляра. При этом
из данных Ву и др. С.1едовало, что скаляр и псевдоска..'IЯР xa
рактеризуются константами, имеюrцими один и тот же порядок.
Первый важный шаr в построении HOBoro rамильтониана
распада был сделан в 1957 [. Ландау, Ли, Янrом и Саламом,
ВЫJ,винувшими rипотезу двухкомпоиентноrо нейтрино. Если
масса нейтрино равна ну.1Ю, то в операторы поля
1 '1..
V == = , r s v
L.R 2
входят соответственно операторы уиичтожения нейтрино с отри
цательной (положительной) спира.1ЬНОСТЬЮ и операторы рож-
дения антинейтрино с положительной (отрицательной) спираль-
ностью (см. приложение В). Ландау, Ли, Янr и Салам пред
ПО..lОжили, что в rамильтониан -распада входит оператор VL
.. Очевидио [например, из (34) и (3.131)J, что поля бозонов И фермиоиов
имеют соответствеино размернocrн М и МЗ/2. Из (4.20) и (4.21) получаем
М4==[е]М3М, М4==[0}МЗМ3. Отсюда С.1едует, что [е] ==1, [О] ==M 2.
73
(либо VR)' Ясно, что в этом случае в -распаде четность не со-
храняется *.
Уже в 1957 [. rипотеза двухкомпонентноrо нейтрино была
подтверждена опытом (rольдхабер и др.). При этом было по
казано, что нейтрино частица с отрицательной спиральностью
(это означает, что в rамильтониан входит оператор VL).
Следующий решающий шаr в построении rамильтониана
слабоrо взаимодействия был сделан Фейнманом и rел.l Маном,
Маршаком и Сударшаном в 1958 r Эти авторы предположи.1И,
что в rамильтониан слабоrо взаимодействия входят только ле-
вые компоненты всех полей фермионов**.
Рассмотрим выражение
ёLОiVL, (4.23)
[де Оi .lибо 1 (ска.1ЯР), либо уа. (вектор), .1ибо (JCttl (тензор),
либо yays (псевдовектор), либо ys (псевдоскаляр). Имеем
eLO'v L == е 1 1'5 О' 1+1'5 V.
2 2
Далее очевидно, что
1 1'5 Oi 1 + 1'5 О
'
еС"lИ
Oi == 1; 0"/3, '(5;
1 1'5 '" 1 +У5 1 + (5,!Х 1 + 1'5
I'(5 == ( .
Таким образом, единственной ВОЗМОЖНОй величиной
(4.23) ЯВдяется ток
" " 1 (1 I )
е L '( V L == еу 2" т '(5 V.
Если принять rипотезу Фейнмана и rеЛkМана, Маршака и Cy
даршана, то для rамильтониана четырехфермионноrо взаимо
действия фермиевскоrо типа получаем следующее выражение***:
вида
13 G ,!Х
JtJ== V2 4 (PL( пL)(eL1"vL)+h. с.
( 4.24)
* Из инвариаитности относительио инверсии следует, что вероятиости
испускаиия иейтриио с отрицательиой и положительиой спнральиостью долж
ны быть одинаковыми (при инверсии спиральиость 'dеияет зиак). Следовате.1Ь
ио, нейтрино южет обладать только одной спиральиостью в С..1учае сто про-
цеитиоrо наРУUlения четности.
** Отметим. что при построеинн теории слабоrо взаимодействия Фейиман
и rелл-Маи выдвниули также rипотезу сохраияющеrося векториоrо тока, ко-
торая бы.lа впервые сформулирована Зельдовичем и rерштейном уже
в 1955 r.
*** МиожитеJ1Ь 1/1'2 вводится для Toro, чтобы числеииое зиачеиие кон-
стаиты Фер и не измеиилось.
74
Наряду с -распадом нейтрона слабыми процессами явля-
ются также такие процессы, как !J. захват
1J. +Р п+vl-U (4.25)
распад пиона
:tТ IJ.;-+VJ.1 (426)
и друrие ана.10rичные процессы. По аналоrии с (4.24) для ra
мильтониана этих процессов пр им ем выражение
;;ef == v G 2 4(PLy"'п L ) (-;;:Lу"VJ.1L) + h. с., (4.27)
rамильтонианы de 13 и deJ.1 удовлетворяют rипотезе !J. е уни
lзерсальности, выдвинутой впервые в общей форме Понтекорво.
Именно, выражение (4.27) получено из (4.24) путем замены
e 1J. и Ve VJ.1' Одна и та же константа Ферми G входит в оба
выражения. Отметим, что с rипотезой IJ. е универсальности
соr.1асуются все имеющиеся в настоящее время данные.
ПО"lЮ нейтрино, которое входит в rамильтониан (4.24) BMe
сте с полем электронов. и полю нейтрино, которое входит в ra-
мильтониан (4.27) вместе с полем мюонов, мы приписали соот-
ветственно индексы е и f.t. Ответ на вопрос о том, различаются
ли электронное V e И мюонное VJ.1 неЙтрино, был даН в 1962 [.
В первом эксперименте с нейтрино высоких энерrий, выполнен-
ном по пред.10жению Понтекорво и Маркова на брукхэвенском
ускорителе [Ледерман, Стейнберrер и др.], было показано, что
электронное и мюонное нейтрино разные частицы.
Наряду с такими процессами, как (4.19), (4.25) и (4.26),
с.1а6ым процессом является также распад мюона
1J.;- е;-+Vе+VJ.1' (4.28)
Если предположить, что в rамильтониан lJ. распада входят .1e
вые поля мюонов, электронов и нейтрино, то rамильтониан
процесса (4.28) принимает вид
. G'
;1t'r== V 2 4(V"Ly!Xe L )(J.LrY,Yj.1L)+h. с. (4.29)
Все имеющиеся данные по изучению процесс а (4.28) соr.'1асуют-
ся с (4.29). При этом из данных опыта следует, что константа
О' совпадает с константой Ферми О. Эта универсальность взаи-
модействий, обусловливающих различные слабые процессы, по-
зволила объединить (4.24), (4.27) и (4.29) в единый «токх тою>-
rамильтониан
;;е G .".
r == V 2 ] J".
(4.30)
Здесь
j"==2(;;'L1"e L +V'fJ-LI"iJ. L +PL-r"п L )
75
заряженный слабый ток. Очевиднu, что недиаrональные чле-
ны выражения (4.30) совпадают соответственно с (4.24),
(4.27) и (4.29).
До сих пор обсуждались только такие слабые процессы, в
которых странность адронов не изменяется. Изучение распадов
странных частиц
K.... I.C+VJ.1,
K o+e++Ve,
A- +р+е +Vе,
2: щ+е +Vе, З --+А+е +Vе
и др позволило уже в 50-е [оды сформулировать следующие
основные правила, которым подчиняются слабые процессы та-
Koro типа:
1. IдSI::::;;1,
[де :1S ===Sj Si' S; И Sf полные странности начальных и конеч
ных адронов. Это правило запрещает такие процессы, как
З п+е +Vе, (4.31)
3 --+p+:rc+e +ve (4.32)
и др. Отметим, что из данных последних опытов по поиску рас-
падов (4.31) и (4.32) следует, что верхние rраницы отношения
вероятностей распаJ,ОВ (4.31) и (4.32) к полной вероятности
распада З частицы соответственно равны 3,2.10 3 и 4.10 4.
2. дQ дS,
[де дQ===Qf Qi, Qf и Qi суммарные заряды конечных и на.
чальных адронов (в единицах заряда протона). Это правило
запрещает такие распаJ,Ы, как
2:+-->-п+е++Vе, (4.33)
К+ л++л++е +Vе (4.34)
и др. Из данных ОПЫТа
следует, что относи
тельные вероятности
этих распадов соответ-
ственно меньше 5. 1 O
и 1,2. 1 0 8.
Слабый адронный
ток, в который входит
как член, не изменяю-
щий странность адро.
нов, так и член, изме
няющий странность aд
ронов на единицу,
был построен Кабиббо
т а б д и ц а 1. I(вантовые числа кварков.
[В бариоиный заряд, S,...... страииость,
1
т 3 прОекция изоспина, Q == т 3 + (В +
2
+ S) электрический заряд]
I(BapK I В т. S
I I
и 1;3 1,2 О I 2/3
i
d 1/3 I 1 2 О 1/3
,
i
S I 1/3 I О 1 1/3
76
Q
[1963 [.]. Кабиббо основывался на соображениях SU(3) симме
трии. Построим ток Кабиббо из полей и , d и s-квэ.рков. KBaH
товые числа кварков приведены в табл. 1. Принимая rипотезу
Феймана и rел.1 Мана, будем предполаrать, что ток строится
из левых компонент полей кварков. Построим ток с дQ== 1 (за
ряженный слабый ток). Из полей и , d и s-кварков MorYT быть
построены только следующие два члена с дQ== 1:
2ULy a d L И 2ULy a S L . (4.35)
Очевидно, что первый член не меняет CTpaHHOCTЬ (дS==О); вто-
рой меняет странность на единицу (,дi$== 1) *. Кабиббо предпо
.10ЖИЛ, что слабый адронный ток представляет собой линейную
комбинацию токов (4.35) с коэффициентами, сумма квадратов
которых равна 1. Ток Кабиббо имеет, следовательно, вид
ject==2[cos g e uLy ct d L +sin eeuLYctSL]. (436)
Параметр 9е носит название уrла Кабиббо.
Ес.1И предпо.10ЖИТЬ, что ток je ct в сумме с .1ептонным током
входит в токХток rамильтониан (4.30), то при этом MorYT быть
описаны имеющиеся экспериментадьные данные. Из данных co
временных опытов с.1едует, что
sin 9 с ==0,231 ::t 0,003.
С учетом тока Кабиббо токХток rамильтониан может быть за-
писан сдедующим образом:
df6I Ind+df6/d, (4.37)
[де df6/ d и df6 /nd представляют собой соответственно сумму не-
диаrольных и диаrональных членов rамильтониана:
.Je?d == V G 2 4 (v eL 1" е L) (d L '( "U L ) cos б е +
G a. G a. .
+ v 2 4 (v eL "( e L ) (J.L L '("YJ.1L) + v 2 4 (v eL "( e L ) (SL"("U L ) SlП c + ''',
(4.38)
,d G a. G a. 2
:JeI == V 2 4 (V eL "( e L ) (eLI"v eL ) + V 2 (U L1 d L ) (dL1rPL) COS б е + ...
(4.39)
rамильтониан df6пd ответствен за -распад, /J,-распад, распа
ды обычных и странных частиц, нейтринные процессы и др.
· Из полей кварков MoryT быть построеиы только такие токи, которые
изменяют страииость адроиов не больше чем на едииицу (правило 1). Оче-
вндио также, что ток ULy"SL автоматически удовлетворяет второму феиоме-
иолоrическому правилу ( Q==I == S).
77
Если имеет место взаимодействие de {d, то становятся возмож-
ными такие упруrие процессы, как
ve+e--+'Ve+e. (4.40)
Отметим, что в то время, коrда создавалась токХток теория,
экспериментальной информации о процессах, за которые OTBeT
ствен rамильтониан de d , практически не было. Впоследствии
выяснилось, что с.1абые процессы типа (4.40) J:ействительно
имеют место. Однако, как оказалось, в матричные элементы та-
ких процессов помимо заряженных токов дают вклад еще и
нейтральные токи, предстаВ"lяющие собой новый тип слабоrо
взаимодействия (см. п. 4.2.4).
Наряду с теорией четырехформионноrо токХток слабоrо
взаимодействия в .1итературе 50 60-x [одов широко обсужда-
лась теория заряженноrо промежуточноrо BeKTopHoro бозона.
В соответствии с этой теорией Фундамента.1ЬНЫМ с.1абым взаи-
модействием является взаимодействие фермионов и заряжен
ных векторных бозонов. Лаrранжиан с.1абоrо взаимодействия
имеет при этом вид
X { == gr ja.W +h.c., ( 4.41)
2V 2 а.
[де W а; поле заряженных векторных частиц Ес.1И справедли
ва теория промежуточноrо бозона, то tokXtok-rамильтониан
(4.30) описывает СJIабые процессы с виртуальным W-бозоном
(W является переносчиком слабоrо взаимодействия). rамиль-
тониан (4.30) эффективно возникает из (4.41) во втором по
рядке по g при ус.10ВИИ, что квадрат массы W бозона MHoro
больше квадрата ero виртуальноrо импу.1ьса. Константа Ферми
связана при этом с константой g соотношением
G g2
V 2 = 8тt- '
[де mw масса W-бозона.
На этом мы закончим весьма конспективное изложение фе-
номенолоrической V А теории. В заК.1ючение сделаем не-
сколько замечаниЙ о дальнейшем развитии теории. Запишем за
ряженный с.нбый ток в с.'Iедующем виде'
.'" ') ( а. + а. I "' d ' )
J :: V eL '( е L v I-1L '( f-LL Т U L У L,
(4.42)
rДе
d == COS 6cdL + sin 6 c s L .
(4А3)
Как видно из (4.42), поля лептонов и кварков симметрично
входят в заряженный ток [только левые компоиенты, одни и
те же коэффициенты переJ, .1ептонными и кварковым членами,
78
если ввести кабиббовскую комбинацию. (4.43) полей кварков].
Имеется, однако, существенное различие между лептонными и
кварковым токами. Именно, в (4.43) входят два лептонных Ч"lе-
на и только один кварковый. Это связано с тем, что при по
строении (4.43) предполаrа юсь, что R природе существуют че
тыре .1ептона и три кварка.
Уже в 1964 [. предлаrа.10СЬ устранить асимметрию между
,1ептонным и кварковым членами [Бьеркен и r.1ЭШОУ]. Д.1Я
этоrо необходимо было предположить. что существует четвер
тый кварк с зарядом 2/3 (он был назван очарованным и обо-
значен с) и что в слабый ток поле CL входит вместе с комби
нацией
S == sin бсd L + cos бсs L ,
ортоrональной кабиббовской комбинации (4.43). Ток
(4.44)
.(1. ., '
]GIM == CL'{ SL
(4А-5)
носит название тока r.1ЭШОУ, Иллиопулоса и Майани. Если за-
ряженный кварковый ток имел вид (4.36), то это приводило бы,
как бы.lО показано С1Эшоу и J,p., К изменяющему странность
нейтральному току [вида (dLy<:XSL+SLyadL)sin eeCOS ее]. С J,py
rой стороны, из J,aHHbIx опыта следов о, что TaKoro тока не
существует (запрет распада K+ ;r+vv и друrих аналоrичных
процессов). Если к току J добавить ток {а 1М, то изменяющеrо
странность нейтральноrо то:ка не возникает.
Как хорошо известно, в 1965 [. оча рованные частицы
бы.1И открыты. Их J,етальное изучение показало, что ток j'GIM
позволяет описать данные опыта. Итак, для случая четырех
.1ептонов и четырех кварков заряженный ток имеет следующий
вид:
.а: . (l. IX (l.' а:'
] ==:2 [VeL'{ eL+ VJ.1L у I.tL + ис( dL + CL'( 'L]'
(4.46)
4.2.2. Калибровочная инвариантность Янrа Миллса
"\1ы переходим теперь к изложению единой теории с.1абоrо
и электромаrнитноrо взаимодействий rлэшоу Вайнберrа
Салама (в дальнейшем стандартной теории). Для Toro чтобы
объединить слабое и электромаrнитное взаимодействия, необхо
димо предположить, что с.'Iабое взаимодействие (так же как и
электромаrнитное взаимодействие) представляет собой взаимо
действие фермионов и векторных бозонов и что В основе теории
лежит локальная калибровочная инвариантность. Как мы виде-
ли в предыдущем параrрафе, промежуточные бозоны, OTBeTCT
венные за обычные слабые процессы (такие как распад нейтро
на, распад пиона н др.), J,олжны быть заряженными частицами.
79
Теория электрослабоrо взаимодействия может быть построена,
следовательно, на основе калибровочной теории, векторные ка-
либровочные поля которой включают поля заряженных частиц.
Такая калибровочная теория была создана Янrом и Миллсом
в 1954 r. Мы начнем с ее ИЗ.'Iожения.
Предположим, что спинор
( 7(1) '\
7 7( I))
является дублетом rруппы S U (2). Свободный лаrранжиан по-
ля дается выражением
:t o == ф(iуС<дс< МН,
[де М общая масса частиц квантов полей ЧJ(1) и 1jJ( I) Оче-
видно, что лаrранжиан Ро инвариантен относительно rлобаль
ных S и (2) -преобразований
i 'tA
7' (.\) == е 2 7 (л). (4. 7)
Здесь
3
тА == l: kJ\k'
k l
.k матрицы Паули; Л.k вещественные параметры.
Построим теперь .1аrранжиан, инвариантный относительно
локальных калибровочных S и (2) -преобразований:
ЧJ' (х) ==и (x)1jJ (х), (4.48)
[де
. !
U (х) == е 1 2' 'tA (Х), (4.49)
Ak (х) произвольные вещественные функции переменной х.
Для Toro чтобы упростить выкладки, будем, как обычно, рас-
сматривать инфинитезимальные преобразования [т. е. будем
предполаrать, что Ak (х) бесконечно ма"lые, и во всех разло-
жениях по 1\.k (х) будем удерживать линейные члены]. Имеем
U (х) == 1 + i ...!..... тА (х),
2
)
и 1 (х) == 1 i1 тА (х). J
Далее получаем
дс<7 (х) == U I (х) и (х) дp 1 (х) 7' (.\) ==
== U I (х) ( дс< i + тдс<А (х) ) 7' (х).
(4.50)
(4.51)
80
Из (4.48) и (4.51) очевидно, что свободный лаrранжиан Ро
не инвариантен относительно локальных калибровочных преоб
разований. Для Toro чтобы построить теорию, инвариантную
относительно калибровочных преобразований (4.48), по ана-
.10rии с электродинамикой рассмотрим
, 1 )
\ дс< + i g2'" тАс< (х) 0/ (х),
rде Acz'«x) (k==1, 2, 3) векторные поля; g безразмерная
уонстанта. Имеем
( дс< + i g + тАс< (х) \ 0/ (х) ==
I
== и 1 (.\) u (х) (дс< + i g+ тАс< (х) j и 1 (А) ' ' (х).
Далее находим
и ( х)....!....тА ( x)и l ( X)== TA (X)+i..J.... [ TA(X), ....!....тА (0\.) ] ==
2 с< 2" 2 2 7.
1 1
==2'" тА" (х) 2 т (А (Х}Х Ас< (.\»). 4.53)
с помощью (4.52) и (4.53) получаем
(дс< -+ i g + тАс< (х)) 0/ (х) == и 1 (>.) (дс< + i g+ тАс<' (х)) у' (х),
(4.54 )
(4.52)
[де
1
А: (х) == Ас< (х) дс<А (.\) А (х) Х А,,(Х).
g
(4.55)
Итак, величина (да. + i g + тАс<) преобразуется так же,
как поле Ф. ЭТО означает, что замена д ,I, ( д +....!.... g ..J....TA ' ) ,1,
I С<У с< 2 2 7. У
В свободном лаrранжиане приводит к лаrранжиану, инвариант-
ному относительно калибровочных преобразований (4.48) и
(4.55). Поле А(М преобразование KOToporo дается (4.55), носит
название калибровочноrо. Из (4.55) следует, что при rлобаль-
ных калибровочных преобразованиях (А==СQпst) поле Аа. пре
образуется как изовектор.
Построим теперь свободный лаrранжиан поля Аа.. По aHa
лоrии с электродинамикой рассмотрим тензор
GC<II === дс<А II aIlA".
(4.56)
81
6 910
Используя (4.55), получаем
G I\ == Ga А Х Gal\ даЛ Х AI\ + дl\Л Х Аа' (4.57)
Из (4.57) очевидно, что G:f:\Gal\' =i= Gal\Gal\.
Ддя TOrO чтобы построить калибровочно-инвариантныЙ ла
rранжиан поля Аа, к G a (\ необходимо добавить такоЙ тензор,
при преобразовании KOToporo возникали бы (с противополож-
ными знаками) J,Ba пос.1еднИх члена в (4.57), из-за которых
.10ренц ска.1ЯР Ga Ga(\ не инвариантен относительно преобразо-
ваний (4.57). Рассмотрим тензор
j\1al3 == gAa Х AI\'
С помощью (4.55) получаем
М"13 == ,\1"1\ д"А Х А13 А" Х Gl\ Л g (Л Х Ас.) Х AI\
gA"X (Л Х AI\)' (4.58)
Далее, используя ТОЖJ,ество Якоби
аХ (ЬХс) +сХ (аХЬ) +ЬХ (сХа) ==0
(а, Ь и с произвольные векторы), находим
А" Х. (ЛХ А 13 ) + Ав Х (А"Х А) == Л Х (А"Х Ав).
Из (4.58) и (4.59) следует, что
( 4.59)
M:I\ == м"в даЛ Х AI\ А. Х дl\Л Л Х 1\1"1\'
(4.60)
Второй и третий Ч.1ены в правой части соотношения (4.60) сов-
падают с пос.1едними J,вумя Ч';lенами в правой части соотноше
ния (4.57) Таким образом, тензор
р"в == д"А в G 13 A" gA" Х AfI
преобразуется как изотопический вектор:
(4.61)
Р: 13 == Р,,13 Л Х F"fI'
Из (4.62) очевидно, что
(4.62)
'''1\' "1\
р"I3Р == р"I3 Р .
Таким образом, .10ренц-скаляр F a13 F a tl не меняется при локаль
ных калибровочных S и (2) -преобразованиях. СвободныЙ ла
rранжиан калибровочноrо BeKTopHoro поля Аа дается выраже-
нием
1 "1\
20 == F"I\F .
-l
( 4.63)
82
Окончательно полный .1аrранжиан рассматриваемой нами
системы имеет вид
:1 == q; [i у" ( д" + i g + t А,,) т] 'f + F "11 F"II .
( 4 . 64)
Отсюда для лаrранжиана взаимодействия
чаем с.1едующее выражение:
aJ " 1
d.J[ == g<)iy 2't'<fA".
полей и Аа полу
(4.65)
Итак, замена в свободном лаrранжиане поля производной
дa коварнантной производноЙ ( д --;-. i g J.... .А '1 однозначно
2 )
фиксирует ВИJ, лаrранжиана взаимодействия поля и калиб
ровочноrо ПО.1Я Аа. Мы приходим В результате такой замены
к минимальному совместимому с калибровочной инвариантно
стью .1аrранжиану взаимодействия (4.65). Безразмерная KOH
станта g представляет собой при этом константу взаимодейст
вия. Отметим, что в ОТ.lичие от электродинамики в лаrранжиан
(4.64) входят члены, описывающие самодействие поля Аа.. Эти
члены обусловлены не.lинейным Ч.1еном g Да Х AI3 в выр ажении
(4.61) для fal3'
Мы закончим этот параrраф с.lедующим замечанием. Рас-
смотрим п спинорных полей k(X) (k l, 2, .. , п), взаимо
действующих с калибровочным полем Аа(х). Калибровочные
преобразования полей k (х) запишем в виде
, i А (х)
o/k(x)==e k <)ik('<),
пе Ak (х) вещественные функции :с. Имеем
. r iAk (х) . '
(д" + 1 ekA (х)) 'fk (х) == е (д" + 1 ekA" (.<) <fk (.<).
Здесь
, 1
А" (х) == А (х) Ak (х)
'" ek
(k== 1, 2,.. ,п). ОТСЮJ,а СJIедует, что
\k (х) ekA(x),
[де .\(х) произвольная функция х.
Таким, образом, лаrранжиан
п
:1 == Е Фk [i у" (до. + i ee.. I J т] 'fk +F"IIF"S,(Fo.tj== iJ"AII iJtjA)
k==l
б*
83
инвариантен относительно .1Окальных калибровочных U (1) -пре-
образований
, i ekA (х)
'fk (.\) -== е 'fk (А),
...1: (х) == А (х) д A (.\).
Никаких оrраничений на константы ek калибровочная U (1) ин-
вариантность не HaK.1aJ,bIBaeT. Совершенно друrая ситуация
в случае теории Янrа JV\иллса Константа взаимодействия g
входит в выражение для тензора напряженности fal3 [см.
(4.61)]. Это означает, что в случае нескольких дублетов спи-
норных полей константы взаимодействия этих полей с вектор-
ным калибровочным полем Янrа Миллса J,олжны быть оди
наковыми.
4.2.3. Хиrrсовск:ий механизм rенерации масс частиц
Локальная ка.'lибровочная инвариантность требует, чтобы
массы ка.1ибровочных векторных бозонов равня.1ИСЬ ну.1Ю. Дей
ствительно, нетрудно видеть, что массовый Ч.lен фотонов
1 2 1 1" б "
m r l"1"J1 не инвариантен относительно прео разовании
2
(4.9) . Массовый член
1 ' А "
тА "А янr-МИ.1,ТIсовскоrо поля Аа.
2
не инвариантен относительно преобразований (4.55).
Масса фотона равна нулю. Это отвечает точной .10кальной
калибровочной теории. С J,руrой стороны, промежуточный бозон
должен быть массиВНой частицей. Единая теория с.1абоrо и
электромаrнитноrо взаимодействия может быть построена, сле-
довательно, только на основе нарушенной калибровочной инва
риантности.
В этом параrрафе мы рассмотрим хиrrсовский механизм
спонтанноrо нарушения калибровочной симметрии. Этот Mexa
низм .1ежит в основе современной теории электрос.1абоrо взаи
модействия и преJ,ставляет собой механизм rенерации масс
всех частиц (как бозонов, так и фермионов) .
Рассмотрим внача.lе комплексное поле ер (х), лаrранжиан
KOToporo дается выражением
Р:::::::::даrp"'даqJ V (ср*ср).
( 4.66)
ЗJ,есь
V(rp*rp) ::::::::: fJ.2rp*rp+л.(rp*rp)2, (4.67)
!J.2 И Л. положите.1ьные констаты. Используя общую формулу
(2.55), J,.lЯ rамильтониана поля rp из (4.66) получаем следую
щее выражение:
d&:::::::::доqJ*доrp+ V rp -;: v ср+ V (ср"ср). (4.68)
Посмотрим теперь, при каких значениях qJ энерrия paCCMaT
риваемой нами системы минимальна. Очевидно, чro rамильто
ниан (4.68) достиrает минимума при <р=== const. Для Toro чтобы
найти минимум :1&, необходимо, с.1едовательно, найти минимум
V. Запишем выражение (4.67) в виде
( u. 2 " 2 f.L4
V (<p <p) == л. <р""ср ) .
2"- 4"-
(4.69)
Из (4 69) очеви,'J,НО, что «потенциал» V имеет минимум только
при ,.>О и что 'VIинимум достиrается при
\ ероI 2===и 2 /2, (4.70)
[де
v 2 ===1J. 2 /л.
(4.71 )
Энерrия рассматриваемой нами системы минимальна, сле-
J:овательно, при ОТ.'Iичном от ну.1Я значении поля qJ из (4.70)
по.1учаем
90 == V е' ", (1.72)
2
rJ,e а произвольный вещественный параметр.
Итак, как видно из (4.72), энерrия поля достиrает миниму-
ма при бесконечно большом числе значений поля чJ. Очевидно,
что это связано с инвариантностью лаrранжиана системы отно-
сите.1ЬНО r.'Iобальных калибровочных преобразований
qJ'===eiAqJ. (4.73)
Минимуму энерrии физической системы отвечает, однако, опре
деленное значение ер Имея в виду (4.73), всеrда можно поло-
жить, что *
"?о == v/V 2 .
(4.74)
Выбирая определенное значение <ро, мы тем самым нарушаем
калибровочную инвариантность теории. Такое нарушение носит
название спонтанноrо *"'.
* в квантовой теорнн (470) отвечает
I (01ч>1 О) \2==и 2 /2,
rде 10) вектор состояния вакуума. Таким образом,
и ,,,
(О I 'Р I О) == V 2 е .
Это соотношение означает, что вакуум рассматриваемой нами системы вы-
рожден. Если положить (О I q> I О ) ==и /12, то тем самым из всех возможных
вакуу ,шых состояний системы выбирается определенное состояние.
** Споитанное нарушенне снмметрии явленне, хорошо нзвестное в фи-
зике твердоrо тела. Типичный пример ферромаrнетик. rамильтониан систе-
мы спинов электронов инвариантен относительно вращений. Эта инвариант-
ность означает эквивалентность всех направлений в пространстве В основном
состояиии спнны электрочо!! в ферромаrиетике выстроены, однако, в опреде-
.1енном направлении.
85
Вместо комплексноrо поля ер (х) введеl\1 вещественные поля
Хl(Х) И ;(2(Х)'
:.? (х) == v + Х1(Х) + X2(X) (4.75)
, V 2 V2
Поля ;(1 и Х2 определены таким образом, что их «вакуумные»
значения равны нулю. Подставим теперь (4.75) в (4.66) и
(4.67). Для лаrранжиана рассматриваемоЙ нами системы по
лучаем следующее выражение *:
:i == + д,,%10"Х1 + + д,,% 2a"Z2 -+ [(и + 1.1)2 + 1./ и 2 ]2. (4.76)
Выражение (4.76) "lаrранжиан J,BYX взаимодействующих
вещественных скалярных полей Х1 и Х2. Выделим из этоrо вы-
ражения квадратичные по л1 и Х2 члены. Получаем
:Е'И (Z1) -== 2A.v 2 %12.
2
(4.77)
Член, квадратичный по Х2, в .1аrранжиан (4.76) не входит.
ОчевиJ,НО, что (4.77) массовый член поля Хl. В квантовом
случае (4.76) ЯВ.lяется .1аrранжианом поля Х1, масса квантов
KOToporo равна
т х , === У 2Ад 2 == Y 2 f1,
и поля Х2, кванты KOToporo безмассовые частицы
Подчеркнем, что в исходном лаrранжиане член !-t 2 ep*ep не
является (при !-t 2 >0) массовым членом и должен быть отнесен
к лаrранжиану взаимодействия**. Если Л>О, то основное COCTO
яние систе\1Ы при этом ВЫРОЖJ,ено (вс.1едствие симметрии ис
ходноrо .1аrранжиана), что приводит К явлению спонтанноrо
нарушения СИМ\fетрии. Физическая система описывается в этом
случае вещественными (эрмитовыми) полями Х1 И ;(2, основное
состояние которых не ВЫРОЖJ,ено. Кванты поля Хl массивные
скалярные частицы, а поля х2 безмассовые частицы. отме-
тим, что безмассовые частицы, возникающие в случае спонтан
Horo нарушения непрерывноЙ симметрии, носят название rольд
стоунских частиц.
ПреJ,ПОЛОЖИМ теперь, что комплексное поле ер (х) взаимо-
действует с векторным калибровочным полем A'l.(X) (пример
Хиrrса). Мы покажем, что в результате спонтанноrо наруше-
ния калибровочной симметрии кванты скалярноrо и BeKTopHoro
полей приобретают массы. Скалярные rольдстоунские безмас-
совые частицы при этом не возникают.
* Отметим. что при это>,! оПVш<ена несушественная константа f.L4/4л..
** EC.1H f.L2<O, то (466) представляет собой обычный .1аrраижиан ко>'!-
П,lексноrо скалярноrо ПО.1Я с са \lодействием '}... (<р*<р) 2 Из (4.69) очевидно,
что энерrпя ПQ,lЯ ,J:оочrает в этом С.1учае MHHH\lYMa при <ро==О.
86
Полный лаrранжиан рассматриваемой нами системы имеет
вид
::t == (о" i gA,,) 9 (д + i gA") ep V (ер "ер) + F"IIF"II. (4.78)
Здесь g безразмерная константа, Fa;I3=-=Gа;АI3 G А;t;, потенциал
V J,ается выражением (4.67). Очевидно, что лаrранжиан (478)
инвариантен относительно локальных калибровочных преобра-
зований
ер' (х) == e i А (Х)ер (х), )
, 1
А.(А) == A,,(x) o Л(х),
g "
(4.79)
rJ,e \(x) произвольная вещественная функция х.
Как и в предыдущем примере, энерrия рассматриваемой Ha
Vfи системы Vfинимальна при
I <ро 12=== f.t2 /2л=== и 2 / 2.
В силу калибровочной инвариантности лаrранжиана (478)
Bcer да можно положить, что
90 == v/V2.
( 4.80)
Далее запишем поле qJ (х) в виде
, ( ) и + % (Х) i е (х)
9 J. V 2 е ,
rJ,e Х (х) и е (х) вещественные функции х. Функции Х (х) и
е (х) определены таким образом, что минимуму энерrии рас-
сматриваемой нами системы отвечают ;(===0 и е===о.
Вследствие локальной калибровочной инвариантности ла-
rранжиана (4.78) фаза функции ср(х) не имеет физическоrо
смысла. Ее всеrда можно убрать соответствующим выбором
калибровки. Это означает, что можно положить
( 4.8 1)
( ) и + Х (х)
9 х ==
v2
Подставим теперь (4.82) в (4.78). Для лаrранжиа на
х(х) и Аа;(Х) получаем
::t == ..J.... о Zif"x +....!.... g2 (и + 1.)2 А ,..1" ...l.1 (2иZ + ;еу ..J....F pll.
2" 2 "4 4 0:11
(4.83)
87
( 4.82)
полеЙ
Как видно из (4.83), лаrранжиан системы вк. 'Jчает массовые
члены полей Х и Аа:
:i == 2Ап 2 Х 2
2 '
(р\1 1 221 ,1
"'-'А == 2 g v .-; .'Ci .
Таким образом, в КВаНТОВОМ случае (4.83) является лаrран
iКианом массивных скалярноrо и BeKTopHoro' полей N\.accbI
квантов скалярноrо и BeKTopHoro полей соответственно равны
т х ===-У 2лv 2 )i 2!J. и mл===gv.
Обсудим теперь полученные результаты. До спонтанноrо
нарушения симметрии рассматриваемая нами система описы
валась комплексным скалярным полем ер (х) (две веществен
ные функции) и безмассовым векторным полем Ar.t (х) (две Be
щественные функции) Итоrо рассматривае\fая нами система
описыва.1ась четырьмя вещественными функциями. После спон-
TaHHoro нарушения симметрии мы пришли к вещественному
скалярному массивному полю х(х) (одна фУНКЦИЯ) и массив
ному векторному полю Аа (х) (три функции). Степень свободы,
которая отвеча.1а бы безмассовому rольдстоунскому полю
(в случае, еС.1И бы не бы.lО калибровочноrо поля Ar.t (х)), при
спонтанно нарушении симметрии трансформируется в J,опол
нительную степень свободы BeKTopHoro поля.
Рассмотренный в этом ПОС.1еднем примере механизм [eHe
рации Vfacc носит название хиrrсовскоrо механизма. Скалярную
частицу квант поля Х (х) называют хиrrсовской частицей.
Хиrrсовский Vfеханизм rенерации масс .1ежит в основе станда рт-
ноЙ теории электрослабоrо взаимодействия, к изложению KOTO
рой мы теперь переходим.
4.2.4. Теория rлэwоу Вайнберrа Салама
Феноменолоrическая t' А теория слабоrо взаимодействия
позволяет описать оrромНую совокупность данных опыта, OTHO
сящихся к об.lасти малых энерrий. Любая новая теория слабо-
[о взаИVfодействия J,олжна, следовательно, строиться таким об
разом, чтобы воспроизводить результаты этой теории.
Теория rлэшоу Вайнберrа Салама основана на предпо.
.10жении о том, что существуют промежуточные векторные бо
зоны (в настояrцее время в этом нет сомнений промежуточ-
ные бозоны открыты). По крайней мере часть лаrранжиана
слабоrо взаимодействия J,олжна, С.1едовательно, иметь вид
(см. п. 4.2.1)
(j) g . o: w ' Ь
"'-'r== 2V2 J I . С.
(4.84)
88
Здесь W CG r Jtie заряженных векторов бозонов; ja заряжен
ный слабый ток [см. (4.46)], а g безразмерная константа,
связанная с константой Ферми G соотношением
V2 8mtv
Теория r.1ЭШОУ Вайнберrа Салама строится вначале
для полей безмассовых фермионов и векторных бозонов. При
этом предполаrается, что имеет место точная локальная калиб
уовочная инвариантность Затем вводятся скаляgные хиrrсов-
ские поля. Калибровочная инвариантность спонтанно наруша-
ется. В лаrранжиане возникают \1ассовые члены векторных
бозонов, фермионов и хиrrсовских частиц. Мы покажем, что
теория может быть построена таким образом, что калибровоч-
ная инвариантность электродинамики при этом не нарушается
(фотон остается безмассовой частицей).
В выражение (4.46) J,ля заряжеНIIоrо тока входят только
.1евые компоненты полей фундаментальных фермионов (лепто-
нов и кварков) Д.1Я Toro чтобы в .13rранжиане слабоrо взаи
Vfодеиствия содержался Ч.1ен (4.84), необходимо предположить,
что столбцы
, == ( L " ( , ) )
CeL) ,L
<.!J r";;
'eL e ' '!J.L \fi } ' .,L ' '1
(:" I (4.85)
lL == ( и ) , ( "
C L \ '.!! == t L ) I
.rJ
2L ,з ). .3L ' J
, d L b L ,1
являются J,уб.1етами rруппы S и (2), а правые компоненты
полей фермионов (V'eR, e'R, ..., U'R, d'R ...) являются синrлетами
этой rруппы i<. Действите.1ЬНО, свободный лаrранжиан полей
.1ептонов и кварков имеет вид **
3
Х == IL i ya.Oa.' п q;-iL i y"0a.'fп + i,(a.o(J +
I e. 11.' i=l i e. 11, ,
+ 21 v;Ri y"'Oa.V;R +
[=е, 11. , q d, и, .
, GI '
qRi У Oa.qR'
, Ь
(4.86)
* Мы рассматриваем с.1УЧ3Н трех заряжеиных леПТОRQВ, трех нейтрино и
шести KBaDKoB (трех кварков с зарядом 1/3 и трех кварков с зарядом 2/3).
Отметим, что в настоящее вре\lЯ нет прямых доказательств rипотезы сущест-
вования TpeTbero типа нейтрино ('\',). Имеющиеся данные соr,1асуются, одна-
ко, с этой rнпотезоif. Отметнм также, что t-кварк пока не открыт
** Смысл штрихов в (485) и (486) будет ясен из дальнейшеrо
89
Локальная калибровочная S и (2) -инвариантность будет обес
печена, если в свободном лаrранжиане (486) сделать замену
( 1'
д,, п........... д(/. + i g "'2 . А(/. ) YIL, 1
(4.87)
д '.!J ........... ( д + i g ....!.....A ' ) Ф
(/..kL (/. 2 (/., ,kL,
[де Л а триплет векторных полей. Для лаrранжиана взаимо
действия получаем при этом следующее выражение:
.р ,== gjaAa, (4.88)
[де ток ja дается выражением
3
.(/. 1', (/. 1 I + '{"Iт ,(/. 1 r
J flL ( "'2 .flL Уи( """2.fkL'
l e. .' k l
Вьцелим из (4.88) .1аrранжиан взаИVfодействия
с заряж<'нными векторными бозонами. Имеем
2 ( 2V2 j(/.W(/.+h. с.) gj;A .
( 4.89)
фер мионов
(4.90)
Здесь
.(/. ') ( '(/. + ..,., ') l' (/. I ,') .. (/. ,
] == ]1 1]2J== ""'flL'( 't 'rlLT .:::J'fkL\ "; '7' L ==
[ k
=0= 2 ;L{l +:2 (u y(/.d + c y(/.) + t y"'b )
[
(4.91)
заряженный с.1абый ток, а W == / 1 (.4 + i .4;) поле за;:;я,
(/. I 2
женных векторных бозонов. Из сравнения (4.90) и (484) за-
ключаем,'tТо в .rarранжиане (4.88), полученном путем мини
мальной калибр ово чНой замены (4.87), содержится член, опи
сывающиЙ взаимодействие фундаментальных фермионов и заря-
женных векторных бозонов и приводящий К эффективному
ток Х ток rамильтониану слабоrо взаимодействия. Второй член
лаrранжиана (4.90) описывает взаимодействие фермионов
с нейтра.1ЬНЫМИ векторными частицами квантами поля АЗа.
Очевидно, что этот член не может быть отождествлен с лаrран-
жианом электромаrнитноrо взаимодействия*. Для Toro чтобы
объединить слабое и электромаrнитное взаимодействия в еди
ное электрос.1абое взаимодеЙствие, необходимо, следовательно,
расширить rруппу калибровочной инвариантности лаrранжи
ана.
* Из выражения (489) ясно, что jз'Z не является электромаrнитным
током.
90
в основе lt:ОРИИ r лэшоу Вайнберrа Салама лежит ло-
кальная калибровочная rруппа S U (2) Х U (1). Для Toro чтобы
построить теорию, инвариантную относительно этой rруппы.
в свободном лаrранжиане полей кварков и лептонов следует
сделать замену
J""fIL.......... (д", + i g + 1'А", + i g' + y ep Ва.) IL,
Ja. kL.......... (д", + i g + .Аа. + i g' + Y'l.B",) kL.'
д V;R.......... (д + i g' Yk )Bo. ) V R, д [
о. '" 2 о.
(4.92)
( д ' . , 1 ( I) В ) [ '
.......... ..Tlg ""2YR '" R,
. ( " I 1 (2/3) ) ' , , , .
J"'qR.......... д", 1 g ---YR В.. qR, qR == UR, Сп, t R ,
\ 2
, ( . I 1 ( I/з) ) , .
J"'qR.......... (д", + 1 g YR В.. qR, q == d , s , b R '
\ 2 )
Здесь Ва ка.1ибровочное векторное поле rруппы U (1); без-
размерные константы взаимодействия полей ферм:ионов с век-
1 1
торным полем Ва записаны в виде g'""2 yl ep , g' 2'" y'l., ..,
Используя (4.86) и (4.92) J,ля полноrо лаrранжиана полей
кварков, лептонов и векторных бозонов, получаем следующее
выражение:
::t -== ILi ,'" ( да, i g J.... . А", + i g' J.... yle p в.. ) п +
i.J \ 2 2
l e, /-1."
з
+ kL i ,'" ( д", J. i g + тАа. + i g' + ytBa. ) 'f kL +
k l
+ -V;R i ,а.(да.+ i g' + YkO)Ba.) V;R +
l==е. /-1.
}.J 7 i,a.(aa.+
l=е. /-1,
+ i g' -+ Yk l) в..) [ + q i ,а. (да.+ i g' +Уk 2 / З ) Ва.) q +
q и. с. t
+ q ' i ' ( '" ( д + i g ' Y ( 1/3)B \ q ' p Fa.f3 J....P р"'8
i.J k а. 2 R а.) R 4 а.!} 4 "'f3 '
q d. s. Ь
(4.93)
91
rде
Fo/3 == o...A 13 0I3 A ... gAa. Х A , }
Ра./3== 0a. B I3 о13а.'
(4.94)
Лаrранжиан (4.93) инвариантен относительно .10кальных ка-
либровочных S U (2) Х U (1) -преобразований:
. 1 , . 1 lep ( )
1 2't'A (Х)...,...I z YL .\. Х
'f L("\') == С 'flL (х),
, , i+'k 1)л.(х),
(lR(X)) =: е lR (х), ...,
, 1
Аа. (х) == Аа. (.\) о а. А (Х) л (х) Х Аа. (.\ ),
g
(4.95)
, 1
Ва. (.\) == Во. (х) Оа.Л (Х).
g
Из (4.93) для "lаrранжиана взаимодействия фундаментальных
фермионов и векторных бозонов получаем с.'Iедующее выраже-
ние:
а; . А а. , 1 .Ц В а.
0/./[ == g Ja. g "'2]ёr. ,
(4.96)
[де изовекторный ток ja. J:ается выражением
3
j == 1: yl.ep IL'(a.cjJlL + YL kL'(a. kL 1:
l=е, fJ..' k=l
( 4.89), а
(O) ' ,
YR VIR'(a.VIR +
l=е. fJ..'
+
Yk l)l '(a.l +
l==е, fJ.. ,
(2/3) ' , ( 1/3) ' ,
YR QR'(a.QR + YR QR'( a.qR'
Q=U. С, t q=d, s, Ь
(4.97)
Требования инвариантности относительно локальной rруп
пы U (1) не накладывают никаких оrраничений на константы
взаимодействия калибровочноrо поля Ва. с фермионными левы
ми дуб.1етами и правыми синrлетами (см. Э 4.2). Воспользо.
вавшись этой свободой, можно выбрать эти константы взаимо
действия таким образом, чтобы объединить слабое и
электромаrнитное взаимодействия в единое электрослабое
взаимодействие. Действительно, выберем коистанты y 1eP L,
yQL, . .. так, чтобы ВЫПОЛНЯJТось соотношение re:IJT-Мана Ни
шиджимы
1
Q == 1! Т У. (4.98)
2
Здесь Q электрический заряД (в единицах зарЯДа протона);
13 проекция слабоrо изоспина на третью ось; У rиперза-
92
ряд*. Из (4." очевидно, что, rиперзаряд дублета равен сумме
заРЯАОВ верхней и нижней компонент, а rиперзаряд синrлета
равен удвоенному заряду Имеем
y ep == 1, YL == ...!...., YkO) == о, Yk 1) == 2,
3
У (2/З) == ....:!... ( l/З) 2
R з' YR == з'
с помощью (4.97) и (4.98) получаем, что
l.у .еm .3
2"" J" == ]" ] О"
(4.99)
[де
.ет
]" ::; i.J
l==е, J.L, "с
( 1) Py"l' + }.J
q=u, с. t
(+) {(y"q' + ( +) q'y"q'
q==d, s. Ь
электромаrнитный ток .1ептонов и кварков, а jЗа. третья
компонента изовекторноrо тока [см. (4.89)].
Выделим из выражения (4.96) лаrранжиан взаимодействия
.1ептонов и кварков с заряженныlVfИ векторными бозонами. По-
.1учаем
2[ == ( 2 vт j" W" + Ь. с.) + 2 , (4.100)
rJ:e ро[ лаrранжиан взаимодействия фермионов с нейтраль-
ными векторными бозонами. Используя (4.99), получаем
27 == g] .-1З" g' (j:m j )B". (4.101)
Покажем теперь, что в (4.101) содержится лаrранжиан элек-
тромаrнитноrо взаимодействия. Перепишем следующим обра
зом выраж ение (4. 101):
20 / 2...L ,2.З ( g
[ v g I g ]" V 2 2
\ g +g'
А З" g' В " \ , . еm в "
) g ]" .
v g2 + ,,2
(4.102)
Далее вместо полей АЗа и Ва введем поля za. И Аа, связанные
с АЗа и Ва линейн ым ортоrо нал ьным преобр азованием
Z" == g АЗа. g 8'''' ]
V g' + ",' V g' <" (4.103)
А" == g' АЗ" + g в".
-v rl+ g,2 V i+ g,2
· При таком выборе у[.lер, y[.Q, ... rруппу U (1) естественно назвать rруп-
пой С.1абоrо rиперзаряда.
93
Из (4.102) и (4.103) Д"lЯ лаrранжиана ро[ п _чаем следую
щее выражение:
О gg'
;t[ ==
v g2 + g,2
.ет А'" 1, I '..L ,2 .Oz"
] ""2 v g I g ]'" ,
(4.104)
rде
j == 2 ( j g,2 j:m ').
g2 + g,2 /
(4.105)
Наконец, потребуем, чтобы константы g и g' бы.1И связаны
с зарядом протона е соотношением
gg'
== е.
(4.106)
}I g2 +gf2
Если выполняется (4.106), то первый Ч.1ен выражения (4 104)
представ.1яет собой .1аrранжнан э.1ектромаrнитноrо взаимодей-
ствия .1ептонов и кварков. Поле Аа ЯВ.1яется электромаrнитным
полем.
Второй Ч.1ен выражения (4.104) описывает взаИ'v!Одеиствне
.1ептонов и кварков с нейтра.1ЬНЫМИ векторными оозонами ZO.
Ток j0'], принято называть неЙтра:IЬНЫМ.
Итак, основанныЙ на ка.1ибровочной rруппе S и (2) Х и (1)
полный .1аrранжиан минимальноrо взаимодеЙствия лептонов
и кварков с ка.lибровочными векторными бозона'v!И представля
ет собой сумму трех членов [см. (4.100), (4.104) и (4106)]
Первый Ч.1ен описывает взаимодействие Фундамента.1ЬНЫХ фер.
\1ИОНОВ и заряженных векторных бозонов. В этот член лаrран
жиана входит стаНJ:артный заряженный ток, построенный из
левых компонент полей лептонов и кварков. Второй член пред-
ставляет собой стандартный .1аrранжиан электромаrнитноrо
взаимодействия .1ептонов И кварков. Новым членом .1аrранжиа-
на яв.1яется третий член. Он представляет собой .1аrранжиан
взаимодействия .1ептонов и кварков с неЙтральными векторны-
ми ZО бозонами. Объединение слабоrо и электромаrнитноrо
взаимодействий привело, следовательно, к предсказанию суще-
ствования ZО бозона и HOBoro класса слабых процессов про
цессов, обусловленных обменом виртуальным ZО бозоном и
описываемых эффективным rамильтонианом, представляюrцим
собой произвеJ,ение нейтральных токов.
Нейтра.1ьные токи были открыты в ЦЕРН в 1973 [. Через
10 .1ет, в 1983 [, на р ,б коллайдере в ЦЕРН БЫ.1И открыты
W:!:: И ZО.бозоны. В r.1. 10 мы J:етально рассмотрим целый ряд
обус.10вленных нейтральныыи токами процессов.
94
Продолжим рассмотрение теории rлэшоу Вайнберrа
Салама. Введем следующим образом уrол 6w *:
L==tgб (4.107)
g w'
Для величин, входящих в выр ажения (4.104) (4.106), по-
лучаем
v · ' g' 2 .....!L.......
g т cos в '
w
I
== sin' б w . t
(4.108)
== g sin б w .
J
Окончате.1ЬНО из (4.100), (4.104) (4.106) и (4.108) следует.
что .1аrранжиан взаимодействия фундаментальных фермионов
и ка.1ибровочных векторных бозонов имеет следующий вид.
а; ( g . W "'..j.... h ) g . 0 Z '" .еm,,,, (41()9)
dJI 2V2 J", I .с. 2cos 9 '''' eJ'" L'1, .'
"
g
Vg +gI2
gg'
V g 2 + g,2
r де нейтра.'IЬНЫЙ ток J,ается выр ажением
j0a.===2j3a. 2sin2 ewjema., (4 110)
а константа g связана с заряJ,ОМ е и параметром sin e w COOT
ношением
е
(4.111)
sin Э\V.
ДО сих пор мы предполаrали, что имеет место точная ка.lиб
ровочная S и (2) х И (I) инвариантность. Требования калибро
вочнои инвариантности не допускают введения массовых Ч.1е
нов полей калибровочных векторных бозонов и фермионов**
Стандартная теория электрослабоrо взаимодействия основана
на предположении о том, Что массовые члены .1аrранжиана
возникают в результате хиrrсовскоrо спонтанноrо нарушения
симметрии (paccMoTpeHHoro нами в п. 4.2.3).
Введем поля Хиrrса. Стандартная теория строится таким
. образом, чтобы до спонтанноrо нарушения симметрии полный
лаrранжиан, включая ту ero часть, в которую входят хиrrсов
ские поля, был бы инвариантен относительно локальной калибро-
вочной rруппы S И (2) Х И (1). В результате спонтанноrо Hapy
шения симметрии три векторных бозона (заряженные W::!: и
* Yro.1 8w часто называют уrлом Вайнберrа. .
** Очевидно, что \faCCOBble члены фермионов не инвариантны относительно
rpуппы SU(2) XU(l) (левые компоненты полей фермионов входят в дублеты,
а правые компоненты ЯВ.1ЯЮТСЯ синr.1етами)
95
нейтральный ZO) должны приобрести м "ы. Это означает, Что
три rольдстоунские степени свободы полей Хиrrса при спонтан
ном нарушении симметрии должны перейти в дополнительные
три степени свободы W::!: и ZO. Поскольку исходные ПОЛя Хиrrса
обязаны преобразовываться по определенному представлению
rруппы S U (2) Х и (1) (для Toro чтобы можно было обеспе
чить инвар иантность), мы должны, следовательно, предполо
жить, что комплексные поля Хиrrса образуют по крайней мере
дублет Именно это минимальное предположение делается
в стандартной теории.
Итак. пусть поля Хиrrса образуют дублет rруппы S U (2)-).(
хИ(1)
ф 0== (Ро. J.
' \ со? /
.0
[де <Р+ и <ро поля заряженных и нейтральных скалярных бо
зонов (tp.\..+> оператор уничтожения частиц с положите,'lЬНЫМ
зарядом). В соответствии с (498) rиперзаряд J,ублета qJ равен
YfjJ== 1.
.1аrранжиан хиrrсовскоrо поля <р имеет вид (см. п. 4.2.3)
.р == дa<p+дa<p V (<p <p) , (4.112)
[де
V (qJ+<p) == f.l.2<р+(j)+Л( <р+<р) 2,
(4.113)
1J.2 И . положительные константы. Для Toro чтобы построить
лаrранжиан, инвариантный относите.1ЬНО ка.1ибровочной rруп-
пы S U (2) Х U (1), в (4.112) с.1едует сделать замену
д" <р....... (д" + i g + "А" + ig' + в,,) <р (4.114)
(при этом мы учли, что YfjJ== 1). Имеем
::t "'" (д"<p <р+ (i g + l' А" + i g' + в" ) ) '<
х (д" <р + (i g +1'А-. + j g' +B ) <р) V (<р+ <р). (4.115)
Перейдем теперь к рассмотреиию хиrrсовскоrо механизма
споитанноrо нарушения симметрии. Из (4.113) следует, что по
тенциал V (и, следовательно, rамильтониан системы) минима
лен пр и
2
(<р+ <р)о == 2):'
(4.116)
96
Из (4.116) с. yeT, что в качестве BaKYYMHoro может быть BЫ
брано состояние
. (;2 }
(4.117)
[де
v 2 ==/k2/ л .
Далее дублет <р представим в виде *
(4.118)
1 +1"6(:<:) ( о )
ер (.\) ::= е v + 2:.(:<:) ,
\ V2
[де ek (х) и Х (х) вещественные функции х (обращающиеся
в нуль пр и <р === <рван)
В СИ.1У калибровочной инвариантности лаrранжиана
(4.115) функции е,,(х) и х(х) не имеют физическоrо смысла и
всеrда MorYT быть устранены выбором калибровки **
В унитарной калибровке имеем
( 4 . 11 9)
.(А) ( ':X(XI ) '
\ V2
Подставляя (4.120) в (4.115), J,.lЯ .1аrранжиана получаем c.1e
дующее выражение:
( 4.120)
1 " 1 [ 1 "*
:l ::= 2' д х д" х + 2' (и +- хУ '"4 g2 2W W" +
+ ....!... (g2 l' g'2) z:- z,, ] .J... 1х 2 (2и + х)\
4 4
(4.121)
[де W" ==: (A j .4;) поле :?аряженных векторных бозонов,
gA g'B"
а Z" ==: ПОJ1е нейтра"lЬНЫХ векто?ных бозонов. OTMe
Vg + g'2
* Такое представ.lенне всеrда ВОЗ!dОЖНО Произвольный епинор всеrда
\l:ОЖНО представить в виде произведения оператора поворота на спинор, опи-
сывающий состояние с опреде.lенной проекцией спина.
** Такая ка.lибровка называется унитариой. Отметим, что функции 6k (х)
,были бы полями без массовых rольдстоунских бозоиов, если бы не было
взаимодействия поля ер с по.1Я.!dИ А", В" н .1Окальиои калибровочной инва-
риантности.
7 691O 97
тим, что при получении (4.121) мы ИСПОJlьзова..
l' А'" т А... == 2W"'* W а. + А3а. A ,
а. 1 За.
<р+ тА Ва. <Р == А Ва. (и + ху.
2
Как видно из (4.121), в результате спонтанноrо нарушения
симметрии в лаrранжиане возникает следующий массовый член
полей w , z и хиrrсовских бозонов:
а.* 1 '1. 1
:Е М == т 2 W W ...:.... т 2 Z Za. т 2 Х 2
w а., 2 z 2 х'
(4.122)
Здесь
)
I
т == + (g2 + g'2) vz, f
т == 2;W2 == 2fJo2 J
соответственно квадраты масс w-, z и хиrrсовскоrо бозонов.
Массовый член фотона в лаrранжиане (4.121) не возник. Таким
образом, калибровочная S и (2) х U (1) инвариантность была
нарушена таким образом, что электродинамика осталась калиб-
ровочно инвариантной теорией "'.
Из (4.123) с.lедует, что массы w и Z бозонов связаиы COOT
ношением
т2 ==....!... g 2'1v2
w 4 .,
( 4.123)
т
тl
g2
== cos 2 9 w .
g2 + g' 2
(4.124)
Подчеркнем, что это соотношение основано на предположении
о том, что хиrrсовские поля образуют дублет. Соотиошение
(4.124) может быть проверено на опыте. Отметим, что имею
щиеся данные cor.1 асуются с (4.124).
Итак, мы рассмотрели механизм rенерации масс W::!:_, ZO и
хиrrсовскоrо бозонов. Д.1Я Toro чтобы в результате спонтанно
ro нарушения симметрии в .'Iаrранжиане возникли лептонный
* Это связано с Te\l. что в качестве вакуумноrо было выбрано Значение
,,,. ( v 2 )- В резу",,,, · ,"'р>еж'" (4. 121) .ход'т (gA; " В.)
== v g2+ g' Z Za. Н не входит ортоrональная комбинация полей A и Ва.'
98
и кварковый массовые члены, необходимо ввести взаимодейст-
вие лептоиов и кварков с хиrrсовскими бозоиами. Лаrранжиан
этоrо взаимодействия (до спонтанноrо нарушения симметрии)
должен быть инвариантен относительно преобразований rруп-
пы SU (2) хи (1).
Напомним, что, например, лептонный массовый член имеет
вид
:i == 2: т! ПL ZR + lR ZL)
l e.fJ."
(4.125)
(те масса э.'Iектрона и т. J,.). Нетрудно убеJ,иiься в том, что
лептонный массовый член (4.125) rенерируется (в результате
спонтанноrо нарушения симметрии) юкавским взаимодействи
ем .1ептонов и хиrrсовских бозонов
I V'2 нI { ' h
:l == 1.J'fl,LiY1I,I. zR<P;-- .С.
[1,1,
(4.126)
(M;,z. комплексные константы), инвариаНТНЫ i Относительно ПI:е
образований rруппы S и (2) х и (1) *. Действительно, подставляя
(4.120) в (4126), получаем
"{1 ' 1 ' I 1 )
:ll == IIL MI,I. IZR : 1 + v х + h. с.
[1' l,
(4.12i)
Далее, для Toro чтобы привести первый Ч.'Iен этоrо выражения
к виду (4.125), необходимо диаrонализировать матр ицу М'.
Комп.аексную матрицу м всеrда можно привести к диаrональ-
ному виду с помощью биунитарноrо преобразования**.
Имеем
* ПОСКО.1ьку 'ФIL И <р .lуб.1еты, а /' R синr.1ет, то 'Ф L /' S и (2) инва.
риаит Очевидно также, что сумма rиперзарядов /' R И <р равна rиперзаряду
дублета ФIL.
** РаСС!dОТрим матрицу ММ+ Очевидно, что эта \Iатрица эрмитова и ее
собственные значения положнтельиы. Эрмитова матрица может быть приведе-
на к диаrональному виду с помощью унитарноrо преобразоваиия. Имеем
MM+==V+т 2 V,
rде V+ V 1, а (т 2 ) ik т?l5 i .. Далее !dатрицу М всеrда можио представить
в виде
M==V+тU
Здесь и т l VM; тik == т yтi2() ik (мы предположили, что матрица т l су-
ществует, т е что все собственные значения \lатрицы ММ+ ОТо1ИЧИЫ ОТ нуля).
Наконец, нетрудно показать, чтО \lатрица U-унитарна. Действительно, имеем
ии"'==т 1 VMM+V"'т I==I.
7*
99
Ml== V+Lm1V R , (4.128»
[де V L и V R унитарные матрицы, а m 1 диаrоаальная мат-
рица, все элементы которой положительны. Подставим теперь
(4.128) в (4.127). Получаем
:1/ == тl (1 fzl [х.
1=e.!J,., . l,=e.!J,.
(4.129)
Здесь
IL == (VL)и I;L; IR == (VR)11 Z;R,
1 1
1,
(4.130)
а
1 == [l.. + lR,
. 1
{l == ml'
и
(4.131)
Первый член .нrранжиана (4;129) представляет собой стан-
дартный .1ептонныЙ массовый Ч"lен. Величины ml (l===e, 1-1, т)
являются, следовате.1ЬНО, массами .1ептонов.
Как видно из (4.130), .1евые и пр авые компоненты физиче-
ских ПО.lей лептонов lL и [п (полей .1ептонов с определенными
массами) связаны со штрихованными компонентами [' L И [' Н,
входящими В S U (2) мультип.lеты, унитарными преобразова-
ниями. Таким образом, компоненты l' L И l' R представляют со-
бой линейные ортоrональные комбинации соответственно ле-
вых и правых компонент полей лептонов с определенными
массами. Такое «смешивание» представ.1яет собой характерную
черту современных каJIИбровочных теорий.
Второй член .1аrранжиана (4.129) описывает взаимодействие
лептонов и ска.1ЯРНЫХ хиrrсовских бозонов. Как видно из
(4.131), конст анты этоrо взаимодействия пропорционалъны
массам .1ептонов.
Итак, юкавское взаимодействие лептонов и хиrrсовских 60-
зонов rенерирует \1ассовый ЧJ1ен заряжеиных лептонов, штри-
хованные .1евые поля которых являются нижними компонента-
ми дублетов 1jJlL. Ес.1И массы нейтрино отличны от нуля, то
в лаrранжиан до.1жен входить также нейтринный массовый
член. Для Toro чтобы в результате спонтанноrо нарушения
симметрии возник массовый ч.1ен нейтрино, штрихованные поля
которых ЯВ.1ЯЮТСЯ верхними компонентами дублетов 'ФlL, необ-
ходимо учесть, что наряду с <р дублетом rруппы SU (2) явля-
ется также
<р == iT2qJ*.
(4.132)
100
rиперзаряд дублета <р равен 1 *. ИНВ l?иантный относитель
но преобразований SU (2) хи (1) rруппыл ранжиан юкав
cKoro взаимодействия полей лептонов и поля <р имеет следу
щий общий вид:
С1)" Vi {1:/. М , , h
dJ == lJ 1' z , L /1/' V/,R<P + . с.,
11.1,
(4.133}
j'де M;, Z , комплексные константы. Из (4.120) и (4.132) следует.
что
( и+х\
. 2 )
(4.134)
Подставляя (4.134) в (4.133) (и тем самым спонтанно Hapy
шая симметрию), получаем
" {1 , " I ( Х ) h
2 == lJ V/,uИ 1,Z , VZ,R 1..L v + . с.
1" 1,
( 4.135)
Первый члеи этоrо выражения представляет собой нейтрин
ныЙ массовый член. Для Toro чтобы аписать ero в CTaHдapT
ном виде, приведем комплексную матрицу Mv к диаrональному
виду. Имеем (см. примечание на с. 99)
М " V '+ V '
== L т" R,
(4. 136)
[де V' L и V'R унитарные матрицы, а т" Диаrональная MaT
рица (с положительными диаrональными элементами). Под
ставляя (4.136) в (4.135), получаем
3 3
2' == mk-;kVk fk;kVkX,
k:ol k 1
( 4.137)
i 'tA
* Действител ьио, учитывая. что "21'* А1: 2 == 1'А, из '1" == е 2 'f' по-
1
iT1'A
лучаем 'f" == е 'f'. Отсюда следует, что 'f' является дублетом rруппы
i..!. 1>.
SU (2). При и (1) прео браЗОЕаниях rруппы rиперзаряда имеем '1" == е 2 . ,'.
i ( I)A
Отсюда '1" == е 2 . Таким образом, rиперзаряды 'f' и 'f' противополож-
ны.
101
Здесь
V kL == (V ) kL V;u V kR =:. (VR)kl V;R'
i
(4.138)
а
fk==тk!V. (4.139)
Первый член выражения (4.137) представляет собой стандарт-
ный нейтринный массовый Ч.1ен. Поле Vk является, следова
тельно, ПО.lем нейтрино с \1ассой тk. Отметим, что нейтрино
Vk дираковская частица'" Полученный нами нейтринный
массовый член носит соответственно название дираковскоrо
MaccoBoro Ч.1ена.
Второй Ч.1ен выражения (4.137) описывает взаимодействие
массивных нейтрино со скалярными хиrrсовскими бозонами. Как
видно из (4.139), константы этоrо взаимодействия пропорцио
нальны массам нейтрино. На этом мы закончим рассмотрение
юкавскоrо взаимодействия .1ептонов и хиrrсовских бозонов. Пе
рейде м теперь к с.1учаю кварков.
Наибо.1ее общий лаrранжиан юкавскоrо взаимодействия
кварков и хиrrсовских бозонов [инвариантный относительно пре
образований rруппы S И (2) Х И (1)] имеет следующий вид:
CJq ,C2 .., M( 113) п ' V2' ,1, м (2/3) Р ' , h С ( 4.140 )
.1... J YL. R <:Р ё' iL R<:P Т . .
Здесь .И( 1I3) и М(2/ 3 ) комплексные 3 Х 3 матрицы,
( ' d 'R )
, s'
п L ..'( ,R ,
bL,R /
( ' J
UL.R
, с'
PL,R === .R ,
tL,R /
( 9 1L )
O/L == ?2L .
.1
,зL
(4.141)
Полаrая, что <р и <р даются соответственно выражениями
(4.120) и (4.134) (и тем самым спонтанно нарушая симмет
рию), получаем
ff,q:=: п .и( 1/3) 'lR (1 + ) p M(2/3)p ( 1 + ) Ь. с. (4.142)
Далее приведем матрицы M( 1/3) и М(2/3) К диаrональному ви
ду. Имеем
M 1/3=== U+Lт( l/З)UR, М2/3=== U'+Lт(2/3)И' R,
( 4.143)
* с ПОМОЩЬЮ (491), (4137) и (4138) можно убедиться в том. что рас-
сматриваемый на'о!И .1аrpанжиан инвариаитен относительно r.l0бальиых ка.1И-
бровочиых преобразований, отвечающих сохраиению лептоииоrо числа L,
одинаков о для всех лептонов и всех типов нейтрино. Нейтрино V и аити-
нейтрино Vk раз.lичаются значением L. ОТ'I!:етим, что данные опыта не ИСК.1Ю-
чают также возможностн Toro, что \lассивные нейтрнио ИС7инно иейтра.1Ь-
ные 'о!айорановские частиuы
102
[де U L . R И И' L.R унитарные матрицы; а т{ l/З) и т(2/З) диа-
rональные матрицы, все элементы которых положительны. Под-
ставляя (4.143) в (4.142), для лаrранжиана 2 q получаем C.1e
дующее выражение'
x q == пт( 113) п ( 1 -+- .J.... х \ рт(21 3 ) р ( 1 + .J.... Х ) . (4:.144)
о J о
Здесь
пL,R == UL,Rп .R'
PL,R == U .RP .R'
}
(4.145)
Запишем
п (:) p (п
Окончательно рассматриваемый нами лаrранжиан прини-
мает вид
x q == тqqq fqQqx.
q==u ,d .....Ь q==u.d.. .,Ь
(4.146)
Константа fq взаимодействия q-кварка с хиrrсовским бозоном
дается выражением
fq==тqfV.
(4.147)
Очевидно, что первый член выражения (4.146) представ.1яет
собой стандартныЙ кварковый массовый член. При этом q (х)
является полем кварка массой т q (Q==u, d,. . ., Ь). Второй член
выражения (4.146) представляет собой лаrранжиан взаимодей-
ствия кварков и хиrrсовских бозонов. Для стандартной теории
характерно, что этот лаrранжиан возникает вместе с KBapKO
вым массовым членом. В результате константы взаимодейст-
вия fq пропорциональны массам кв ар ков (чем тяжелее кварк,
тем сильнее он взаимодействует с хиrrсовским бозоном).
Итак, мы рассмотрели хиrrсовский механизм rенерации масс
W::!:. и ZО-бозонов, лептонов, нейтрино и кварков. Как видно из
(4.130), (4.138) и (4.145), штрихов нные поля фундаменталь-
ных фермионов (поля, имеющие определенные трансформаци-
онНЫе свойства) связаны унитарными преобразованиями с фи
зическими полями фермионов (полями фермионов с опреде.1ен-
ными массами) Наша следующая задача состоит в том, чтобы
в выражениях для токов (электромаrнитноrо, нейтральноrо и
заряженноrо) выразить штрихованные поля фермионов через
нештрихованные поля. Начнем со случая кварков. Электромаr
103
. нитный ток кварков может быть записан в виде
( l'
] 'em;q == ) ( п У п' п' ' ( п' ) -+--
'" 3 '" [' R '" R
+ (-+) CP y",p 7 p y",p ). (4.148)
Используя (4.145) и учитывая унитарность матриц UL,R и U'L'R,
для электромаrнитноrо тока кварков получаем следующее BЫ
ражение:
.ет. q I 1, ( 2 4 149
]а == \ ! пУо.п, ) РУ",Р==- eqqy",q. (. )
, 3, , 3 ,
q==и ,d ..... Ь
Нейтральный ток кварков [см. выражение (4.110)] может
быть записан следующим образом:
] 'O;q == Р ' "' Р ' п' " п' :2 sin' 6 W jem, q ( 4.150 )
'" L la L L 1", L '" .
Учитывая унитарность матриц U L и U'L, С помощью (4.145) и
(4.150) получаем
j ;q == PL Уа PL п L "(",n L :2 sin 2 e W j:m;q ==
== qLYaqL qLу",qL 2SiП2бwj:m.q. (4.151)
q==и,c,t q==d,s,b
Наконеи, заряженный ток кварков может быть записан
B вид.е
j Q a.===2fY L 'Уа. п ' L. (4.152)
-Отсюда, используя (4.145), получаем
'q () p ' ( и п ') q ' ( U q
I '" L '" L lL а q,q. 2L,
q,==и ,с.1
q,==d ,s.b
(4.153)
"rде
U===U'LU+ L . (4.154)
Поскольку U L И и' L унитарные матрицы, матрица U также
унитарна.
Итак, в силу унитарности матриц U L,R и и' L,R нейтраль
НЫЙ ток стандартной теории диаrона,,1ен по полям кварков. В за
ряженный ток кварков входит унитарная (недиаrональная)
матрица U (это связано с тем, что в обrцем случае U L и и' L
разные матрицы).
Матрица и носит название матрицы смешивания. В pac
сматриваемом нами случае трех поколений матрица U xapaK
теризуется тре\fЯ уr.1ами и одной фазой. Отметим, что в насто-
ящее время получена весьма детальная информация Q значе-
нии этих пар аметров (см. при.l0жение Е).
104
Запишем теперь лептонные токи через поля физических леп
тонов и нейтрино (поля частиц с определенными массами).
Используя (4.130) и учитывая унитарность матриц V L и V R ,
J,.lЯ электромаrнитноrо тока заряженных лептонов получаем
с.1еJ,уюrцее стандартное выражение:
j m.1 == ( I) l"(,J
1==" .j.1.
Далее с помощью (4.91) и (4.130) для заряженноrо тока Haxo
J,ИМ
(4.155)
.[ ') '! l
l",==- L.i V1L1a. L'
[==e.j.1.
( 4.156)
Здесь
3
V,L == Vli "Н,
[==1
(4.157)
r де V унитарная матрица смешивания лептонов (V ==
== V L VfT L ).
ЕС.1И массы нейтрино достаточно \1а.1Ы, то, как слеJ,ует из
(4.157), BeKT pы сос,:::ояния обычных нейтрино ("е, 'Vj.1, ",) И aH
тинейтрино (Ve, \'j.1, \',) представляют собой KorepeHTHbIe супер
позиции векторов состояния нейтрино (антинейтрино) с разны
ми массами. В этом случае в пучках нейтрино будут иметь Mec
то осцилляции (переходы между нейтрино раз.1ИЧНЫХ типов).
rипотеза ОСЦИJI.1ЯЦИЙ нейтрино была впервые выдвинута
Б. М. Понтекорво. В настоящее время ставятся J,есятки опытов
по поиску ОСЦИ,,1Ляций нейтрино.
Д.1Я лептонноrо нейтrальноrо тока из (4.110) по.1учаем сле
J,ующее выражение:
J 'O;[ == "\:' -;;, '! у' [, У [' 2sin 2 б \ " J 'em; 1 ( 4.158 )
а. L.J IL 1", [L L.i L а. L "а.'
[==e.j.1.t [==e.I1'
Используя (4.130), (4.138) и (4.157), имеем
j ;[== lLУа.VLL kу",lL 2siп2бwj m;[. (4.159).
[==e.j.1.t [==е.I1.'
На этом мы закончим рассмотрение минимальной теории
э.1ектрослабоrо взаимодействия. В дальнейшем нас будет HHTe
ресовать взаимодействие кварков и лептонов с калибровочными
векторными бозонами. Мы показа.'IИ, что в станJ, РТНОЙ теории.
.1аrранжиан этоrо взаимодействия имеет ВИJ,
:t/ == ( j", W'" + Ь. с. ) 2 ge 1'OZ'" e1'em.4"'.
. 2V 2 ,cos w '" '"
(4.160)-
105
3,десь
ja. =-' 2 ;п Уа IL + 2 qlL Ya.Uq.q,q2L (4.161)
l==e,j.1,t q,==U.C,t q.==d,s.b
зарЯJ!o.енный слабы"! ток,
j ==
l==e,j.1,t
V IL Уа. V IL IL У а. IL +
l==е,I1. '
т qL '(aQL qL "(a.QL 2sin 2 e w j:m
q==u,c,t q==d ,s,b
нейтра.1ЬНЫЙ ток, а
(1.162)
j m == ( 1) 1 У а. 1 + е q Q у а. Q
l==e.j.1.t q==u.....b
(4.163)
электромаrнитныЙ ток. Константа g связана с зарядом про
тона е и параметром sin 8w соотношением
g===ejsin8w. (4.164)
Отметим, что с помощью этоrо соотношения может быть
предсказана масса W БОЗОllа. Действительно, из (4.160) сле..JУ
ет, что константа Ферми G связана с константой g и массой
W-бозона т,у соотношением
..!!......
1/ 2' 8т
С помощью (4.164) и (4.165) находим
rnw == ( ' / 7': 2 O ' ) 1/2 1
V sin 9w '
( 4.165)
(4.166)
е 2 1
rДе а -== '" постоянная то'-шо"! структуры. ПодстаВ.1ЯЯ
47': 137
в (4.166) ЧИС.'lенные
значения G и а, полуqаем
37,3 rэв
mU," . Q
s1П 0w
Далее мы показа.1И, что в стандартной теории с дублетом хиrr-
совских полей массы W::!: и ZО-бозонов связаны соотношением
(4.167)
mw
m ==
z cos 9\у
(4.168)
ПодстаВ.1ЯЯ (4.166) в (4.168), J,ля массы ZО бозона получаем
слеJ,ующее выражение:
( ::a' ) 1/2 1 37,3 [В ( 4169 )
m z == , 1/2" G sin 9w cos 9w sin 5w cos 8\у Э. .
rОб
Параметр sin 8w определяется из данных опытов по изуче
нию обусловленных нейтральными токамн эффектов tCM.
[.1. 10). Таким образом, стандартная теория позволяет предска
зать массы W::!:- и ZО бозонов. Отметим, что данные опытов Ha
ХО.Jятся в соr.1асии с преJ,сказанием теории.
Н аконец, с помощью (4.165) может быть вычислен па р а-
метр v (среднее по вакууму от хиrrсовскоrо поля) Действитель-
но, из (4.123) и (4.165) получаем
1 G
2v 2 1/2"
(4.170)
Отсюда следует, что
v == 0/2 G) 1/2 250 rэв.
(4.171 )
rлаsа 5
РАЗЛОЖЕНИЕ хРонолоrИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ ПО НОРМАЛЬНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЯМ.
ТЕОРЕМА ВИКА
5.1. Теорема Вика для произведения двух операторов поля
В этой [.1аве БУJ,ет изложен математический аппарат, по
зволяющий .1erKo ВЫЧИС.1ЯТЬ (по теории возмущений) матрич-
ные элементы S \1атрицы. Как бы.1О показано в [.1. 1, S-матрица
преJ,ставляет собой сумму хронолоrических произведений [а-
мильтонианов взаИМОJ,еЙствия, т. е. сумму хронолоrнческих
произведений операторов поля. Здесь будет показано, что хро-
нолоrическое произведение операторов поля может быть пред
стаВ.1ено в виде суммы нормальных произведениЙ, т. е. суммы
таких произвеJ,ений, в которых все операторы уничтожения pac
полаrаются справа от операторов рождения. В следующей rла-
ве на конкретных примерах мы убедимся в том, насколько
простоЙ и естественной является процедура вычисления MaT
ричных элементов нормальных произведений операторов поля
В конечном итоrе развитая здесь техника позволит нам ввести
диаrраммы Фейнмана, представляющие собой чрезвычайно Ha
r.1ЯДНЫЙ способ построения матричных элементов S матриuы.
Начнем со случая двух операторов поля. Рассмотрим вна-
чале произведение двух операторов эрмитова скалярноrо (псев
J,оскалярноrо) поля
<р (Xl)qJ (Х2).
Имеем
<р (х) ==<р<+) (х) +qJH (х),
(5.1 )
107
"де <р(+) (х) и <рН (х) ПО.10жительно и отрицателъно частот
ные части оператора <р (х) (соответственно, оператор уничтоже
ния и рождения). Далее напомним, что оператор нормальноrо
Произведения N следующим образом действует на произведе
ние двух бозе операторов:
N (qP) (..\1) q;('I-) (Х,)) == q;(+) (.\1) q;(+) (x 2 )==N(<p(+)(X 2 ) <р(+)(х 1 )). )
N (<рН (х 1 ) <р(+) (..\ ,)) == q;H (.\1) q;(+) (x 2 )==N(<p(+)(X 2) <P( )(X1))'
N (<р(+) (..\1) <рН (.>. 2)) == q;H (.\ 2) <р(+) (x1) N(<p( )(X2) <р(+)(Х 1 )), (5.2)
N (<p( ) (..\1) <рН (х 2 ) == <p( ) (Х 1 ) <рН (.\2)==N(q>H(x 2 ) <рН(х 1 )).
С помощью (5.1) и (5.2) находим
<р (Xl) <р (Х2) ===.У (<р(Т) (Xl){j)H (Х2») +
+N (<рН (х() <р(+) (Х2) ) +N (<рН (хl) <p( ) (Х2) ) +
+<р(+) (xl)(j)H (Х2), (5.3)
':Далее очевиJ,НО, что
<рН (Хl) <рН (Х2) ===.У (<рН (Xl) ф ) (Х2)) +
+(j)(+) (Xl) <p( ) (Х2) N (<р(+) (Xl)qJH (Х2) ===
===N(<P(+)(Xl)<p( )(X2))+[<p(+)(Xl), <pH(x )j. (5.4)
'Используя (5.3) и (5.4), получаем
<p(Xl)<P(X2) ==N(<P(Xl)<P(X2)) +[<p(+)(Xl), <РН(Х2)]' (5.5)
-Итак, произвеJ,ение J,BYX операторов скадярноrо поля может
быть представлено в ВИJ,е суммы нормадьных произведении
этих операторов и коммутатора положительно частотной части
. первоrо оператора и отрицательно частотной части BToporo
(т. е. коммутатора тех операторов, которые в исходном произ
ведении не быди расположены в HopMa.'IbHOM порядке).
Перейдем теперь к произведению двух ферми-операторов.
. В качестве примера раСОfОТрИМ произвеJ,ение
1jJ (х 1) 1jJ (Xz) ,
. rде 1jJ (х) оператор спинорноrо поля. Имеем
(.\) == 1(+) (..\) + J( ) (.\), }
'f (х) == 'f(+) (х) + 'f( ) (х),
rде ф( )(х) ( H(.'C)) и ф( )(х) ('ФН(х) операторы уннчтоже-
ния и РОЖJ,ения частицы (античастицы).
108
(5.6)
Оператор нормальноrо произведения N следующим образом
действует на произведение двух ферми операторов:
N (ф(+) (х 1 ) (+) (х 2 )) === <j;(+) (х 1 ) ф(+) (х 2 ) ===
== N ( (+) (Х 2 ) <j;(+)(x 1 )),
N (<jJH (Х 1 ) (+) (х 2 ))=== ф( ) (х 1 ) (+) (х 2 ) ==
== N ( (+) (Х 2 ) 7( ) (х 1 )),
N (<jJ(+) (Х 1 ) ( ) (Х 2 )) == , H (Х 2 ) ф(+) (х 1 ) == I (5.7)
== N (фН (Х 2 ) 7("') (xJ),
N (7 Н (Х 1 ) -ф( ) (Х 2 )) == <j;H (Х 1 ) Н (х 2 ) ==
== N ( H (Х 2 ) 7 Н (х 1 )). J
Итак, оператор .У при действии на произведение двух ферми
операторов расставляет их в нормальном порядке (оператор
уничтожения справа от оператора рождения). Если при этом
происходит перестановка операторов, то полученное нормаль
ное произведение умножается на 1. Очевидно, что
7 (Х 1 ) (Х 2 ) == N (7(+) (Х 1 ) -ф(+) (Х 2 )) + N (7 Н (Х 1 ) (+) (Х 2 )) +
+ N (7 Н (t'1) ф( ) (Х 2 )) + 7(+) (х]) Н (Х 2 ). (5.8)
Далее имеем
0/(+) (Х 1 ) q;H (х 2 ) == N (7(+) (х 1 ) Н (Х 2 )) + 0/(+) (Х 1 ) Н (Х 2 )
N (<jJ(+) (Х 1 ) H (х 2 )) == N (0/(+) (Х 1 ) Н (Х 2 )) +
+ [<.)1(+) (х 1 ), ф( ) (Х 2 )]+. (5.9)
С помощью (5.8) и (5.9) получаем
I (+) ( )
'f (Х 1 ) 0/ (х 2 ) == N (7 (х 1 ) 0/(Х 2 )) I [7 (Х 1 ), Ф (х 2 Н+. (5.10)
Итак, произвеJ,ение Ф (Xl) ф (Х2) равно нормальному произве;:J.е
нию этих операторов плюс антиком мутатор [ф(+) (Xl), ;рн (Х2)] +.
Из изложенноrо очевидно, что в общем случае произведение
BYX операторов поля равно сумме нормальноrо произведения
этих операторов и коммутатора в случае бозе операторов либо
антикоммутатора в случае ферми операторов положительно
частотноЙ части первоrо сомножителя и отрицательно частот
ной части BToporo. Ясно, что это общее утверждение основано
только на определении оператора N.
S-матрица представляет собой сумму дайсоновских хроно-
доrических произведений операторов поля (см. rл. 1). Напом-
ним, что оператор Р хронолоrическоrо произведе'ния Дайсона
109
при действии на произведение операторов поля расставляет их
так, чтобы временной aprYMeHT убывал при движении слева
направо (в хронолоrическом порядке). Введем оператор Т xpo
нолоrическоrо произведення Вика. Для произведения двух
бозе- и ферми операторов поля оператор Т определяется cooт
ветственно следующим образом:
J <р (х 1 ) <р (х 2 ),
Т (<р (х 1 ) <р (х 2 )) == l ( )
<р Х 2 ) <р (Х 1 ,
Х 1О > Х 2О ;
X2 > Х 1О ,
(5.11)
{ '.!i ( x ) U ( \: )
Т ' ( ) ( )) ,1 , ."
( '-.1 Х ':'; Х ==
, 1 I 2 I (
11 Х 2 ) cj> Xl)'
Х 1О > Х 2О '
Х 2О > Х 10 ,
(5. 12)
Итак, на произвеJ,ение бозе-полей операторы Р и Т действуют
одинаково. При деЙствии на произведение ферми полей опера
тор Т расставляет их в хронолоrическом порядке и (в отличне
от Р) умножает на 1, если при этом происходит перестанов
ка полей. В общем случае оператор хронолоrическоrо произведе
ния Вика Т при J,ействии на произвеJ,ение операторов поля
расстаВ.1яет их так, чтобы временные aprYMeHTbl операторов
убывали при движении с.1ева направо, и умножает хронолоrи-
чески упорядоченное произведение на 1 в степени, равноЙ
числу перестановок ферми операторов, которые J,е.lаются при
переходе от исходноrо произведения операторов к хронолоrиче
ски упорядоченному пронзведению.
Нетрудно видеть, что в выражении для S-матрицы оператор
Р хронолоrическоrо ПРОИЗRедения Дайсона можно заменить
оператором Т хронолоrическоrо произведения Вика. Действи
тельно, S матрица представляет собой сумму хронолоrических
произведениЙ rамильтонианов взаимодействия. В любой [а-
мильтониан взаимодействия входит четное ЧИ 10 операторов
ферми полей *. Любая перестановка rамильтонианов взаимо
действия представляет собой, следовательно, четную переста
новку ферми операторов. Таким образом, S-матрица может
быть представ.1ена в ВИ;J,е
S == ( n !i)1I S d 4 x 1 ... d4XlIT (:JtI (Х 1 ) .., ЖЕ (Х II )).
n==о
Именно хронолоrическое произведение Вика операторов поля
может быть представлено в виде суммы нормальных произве-
дений. Рассмотрим вначале Т,произведение двух бозе операто
(5.13)
.. См., например. выражени (4.160) для rамнльтоииана слабоrо и электро-
маrнитноrо взаНМО.lеЙствня. Ясно, что построение ;10ренц-скаляра требует
четноrо числа ферми-полей.
110
ров. Используя (5.5), получаем
] (<р (Х 1 ) <р (Х 2 )) == { N (<p(xJ <р(Х 2 )) + [<р(+) (xJ, :<рН (х.)], Х 1О >Х 2О ;
N (<р (х.) <р (х 1 )) + [<р(+) (х.), rpH (х 1 )], Х.О> "10'
(5.Н)
Далее из (5.2) очевидно, Ч10 под знаком HopMaJ1bHoro произве
дения бозе операторы можно переставлять. Имеем
N (qJ (Х2) qJ (Х\) ) === N (qJ (Хl) qJ (Х2) ) .
Таким образом, соотношение (5.14) может быть записано
в виде
1"""""""
т (<р (x l ) <р (х.)) == N (<р (х 1 ) <р ("2)) + <р (х 1 ) <р (х.), (5.15)
[де
..;) t' ([9(+)("1), <рН(х 2 )];
<р ( 1) . (. 2). \ [ (.J..) ( ) . ( ) ( )]
l 9 х 2 , 9 Х 1 ,
"10 > Х 2О ;
Х 2О > X 10 .
(5.16)
1"""""""
Величина 'f (х 1 ) rp (х 2 ) имеет несколько названий. Эту величину на-
зывают сверткой, либо хронолоrическим спариванием опера
торов qJ (Хl) и qJ (Х2), .1ибо функцией распространения, либо про
паrатором.
Рассмотрим теперь оператор T('P(Xl),p(XZ)). Испо.1ЬЗУЯ
(5.10) и (5.12), получаем
I { N (<{; (X 1 ) (Х 2 )) + [ф(+) (Х 1 ), ( ) (Х 2 )}+; "10> Х 2О ;
т (';! (х 1 ) <f (X2)) (+) Н .
N (ф (Х 2 )У (X1)) [rfi (х 2 ), <f (X 1 )]+, Х 20 > Х 1О .
(5.17)
Да.1ее из определения оператора нормальноrо произведения JV
[см. (5.7)] С.1едует, что
N (;Р (Х2) 'Р (хl) ) === N ('Ф (Хl) 1P (X2)). (5.18)
Таким образом, имеем
1"""""""
Т (ф (xJ <f (х 2 )) == .v (у (х 1 ) у (х 2 )) + у (х 1 ) t (х 2 ), (5.19)
...............
rде свертка cj> (х) f (х 2 ) Даеrся выражением
1""""""" { [ ",(+) ( ) ( ) ( )]
'f (х 1 )1 (х.) == Х 1 , <f Х 2 +,
[<.jJ(+) (х 2 ), уН (х 1 )]+,
Х 1О > Х 2О ,
Х 2О > Х 10 ,
(5.20)
111
Итак, из изложенноrо ясно, что для любых двух операторов
имеет место следующее соотношение"':
т (и (х 1 ) V (Х 2 )) =:: N (и (Х 1 ) V (Х 2 )) + V (х 2 ),
(5.21)
[це
I \ { [и("') (Х 1 ), V( ) (Х 2 )]:р
U (Х 1 ) V (х.)) ==
::t: [V( +) (х 2 ), U( ) (х,)]:+:, Х 2О > Х 1О '
Х 1О > Х 2О ,
(5.22)
Верхние знаки относятся к случаю бозе-операторов, а ниж
ние к случаю ферми операторов. В следующем параrрафе мы
вычислим свертки различных операторов. Будет показано, что
I I
свертка U (Хl) V (Х2) является функцией Xl X2 (не оператором
поля) либо равна нулю.
5.2. Пропаrаторы скалярноrо, сnинорноrо
н BeKTopHoro полей
В этом параrрафе будут ВЫЧИС.lены функции распростране-
иия ска.lярноrо, спинорноrо и BeKTopHoro полей. Рассмотрим
вначале эрмитово скалярное (псевдоскалярное) ПО.lе (j) (х). На-
помним, что
9 ( \) == ( +) (.\) + ep( ) (х),
9(+)(Х)== SNqa(q)e iqXd3q, (5.23)
9( ) (.\) == S ,Vqa(+) (q) е ! qz:cfq,
[де операторы a(q) и a+(q) удовлетворяют перестановочным
соотношениям
[а (q), a (q')] == о (q q'), } (5.24)
[а (q), а (q)] == О.
Используя (5.23) и (5.24), без труда находим
[ф(+) ( х ) (,?( ) ( x\ ] == S e iq(X' X')cf q .
L. 1,. 21 (21t)З 2qO
(5.25)
,. Знак >'\ииус в определении хронолоrическоrо произведения Вика вво-
дится для Toro, чтобы скомпенсировать минус, возннкающий при перестанов-
ке фермн-операторов под знаком N. ЭТо позволяет представить Т,пронзведе--
иие в виде (521)
112
' I
Таким обраЗО\f, свертка <р (Х 1 ) ер (.\2) даеТСп выражение!\!
I
ер (X 1 ) ? (Х 2 ) ==
S e jq(Xl X') d.3 q
(21t 3 ) 2qO ,
X 10 > X O'
(5.26 )
\ со 1
j i q (x, ",) d 3 >
(21t)З 2 q o е q, Х 2О ).10,
[де qo == V т. +q2.
Покажем теперь, что трехмерные интеrралы в (5.26) можно
объединить в один четырехмерный интеrра.l. Рассмотрим ин
Terpa.1
i S e i qx
l(.\)== lim d'q
(21t)4 ......0 q2 т 2 + i 8
(5.27)
(qO переменная интеrрирования). Проведем интеrрирование
по переменной qu. Подынтеrральное выражение в (5.27) имеет
полюсы в точках
о (V 2 2. 8
q\.2==::t т ,q 1 '.
\ 2 V т l + q2 /
Рассмотрим вначале случай ХО>О. Очевидно, что в этом с.lучае
интеrрал по qO от oo до 00 равен интеrралу по контуру, изо
браженному на рис. 5.1 при R--+oo *.
Вычисляя вычет в полюсе q0===:qo\ И полаrая после ВЫЧИС.lе
ния полюса е===О, получаем
i V т 2 + q 2 XO+ i qx
\ S е
6(.\)==
(21t)3 2 V т2 q2
d 3 q, ХО>О,
(5.28)
Рассмотрим теперь С.'Iучай хО<О. Очевидно, что в этом c.1Y
чае интеrрал по qO можно заменить интеrралом по контуру,
изображенному на рис. 5.2 при R--+oo. Вычисляя вычет в по
люсе qO==q02' подучаем при хО<О
i V т 2 + q 2 X O + i qx
6 (>.) == S е d 3 q, л о < О.
(21t)З 2V т 2 + q2
(5.29)
,. Значение qO на полукруrе "ОЖНО записать в ВИДе Qo==R соз а: + i R sin а:.
Им i qO%O ' R cos " %O+R sin ах.
M е ==е .
8......-69\0
\13
IrnqO
ImqO
Rp. ЧО
ReqO
Рис. 5.1. Контур интеrрирования при Рис. 5.2. Контур интеrрирования при
хО>О хО<О
Интеrрал (5.29) можно записать в J,pyroM виде. Заменим
в (5.29) q--+ q и трижды переставим пределы интеrрирования.
Получим при . <O
,., i V т а + q J O i qx
(х) == j е d'q, л 0< о.
(2..)3 2 V та + q2
(5.30)
с равнивая теперь (5.28) и (5.30) с (5.26), приходим к
'
нию, что свертку ?(X 1 ) ер (х 2 )
I I i S
<р (X 1 ) <р (Х 2 ) == (27t)4
можно записать в следуюдем
e i q (Xl X,) 4
, J d q== д (Xl х 2 ).
q- т
заключе
виде"*
(5.31 )
До сих пор мы рассматривали эрмитово скалярное (псевдо-
скалярное) поле. Напомним, что в случае неэрмитова скаляр-
Horo (псевдоскалярноrо) поля q>(x) имеем
<р (х) == 'P( ) (х) + <p( ) (.\), \
q>("") (Х) == S Nча (q) е ! qx crq,
<p( ) (х) == J Nqb"" (q) e i qx tf q ,
(5.32)
rJ,e a(q) (b4.(q)) оператор уничтожения (РОЖJ,ения) частицы
(античастицы) с импульсом q. Очевидно, что в этом случае
I I
qJ (X 1 ) qJ (х 2 ) == о. (5.33)
Из (5.22) и (5.32) с.1едует, что
I I , i j " e iq( l X,)
qJ(X 1 ) 'Р+ (:<2) -== <p (X 1 ) qJ (х 2 ) == (21t)4 qJ т 2 d 4 q. (5.34)
* Подразумевается ie в знаменателе и пере.:ш;J, к пределу 10-+0 пос.1е
интеrрировання по qO.
114
Перейдем теперь к вычислению сверток спинорноrо поля
Напомним, что
tjJ(x) == 'fi( +) (х) + 'f( )X, 'V(x) == f+ (х) + ;p ) (х), )
(...) (-') == Npc r (р) u r (р) e i PXd3p,
'fH (х) == S Npd r + (p)u r ( p)eiPXd3p, (5.35)
(+) (х)== SNpdr(P)ur( p)p. iPxd3p,
H (х) == S Npc:: (р) 1/ (р) e ipx d 3 p,
[де c(+)r(P) (d+r(p)) И cr(p) (dr(p)) операторы рождения и:
уничтожения частицы (античастицы) с импульсом р и спираль
I I
ностью r. Вычислим вначале '1 (x 1 ) Ф (х 2 ) (0'1 и а2 спино р -
т 0'1 j 0'2
ные ин дексы ). Имеем
l. \ [Y ;)(Xl), t :--) (Х 2 )]Т; X 10 > Х 20 ,
,]) (х) 'f (х) ==
'", 1, 0-, 2 W; :) (х 2 ), 'f -:) (x 1 )]+; Х 2О > x 10 '
Испо.1JЬзуя (5.35) и перестановочные соотношения (3.152), по-
лучаем
(0.36)
[ ,1,("") ( x J H ( Х )] == j N N e i px, i Р'.' Х
jal , ,0'2 2 Р р'
Х [C r (р), С-;' (р')]+и;, (р) и : (р') rfpd 3 p' ==
r. ('
j i [1(X, x,) r (р) r ( ) d3 p
е и а , и а . р ,
(21t)3 2рО
r
(5.37)
[ -;f,(+) ( х ) ф( ) ( Х )] == S .J.... e iP (x, x,) х
'1'", 2', ", 1 + (2п)3 2JfJ
Х Е и , ( p) и:. ( p). d'p.
Далее имеем (см. приложение Д)
r r А.
..:::::J и а , (р) и", (р) == (р + т)а,""
Е и:, ( p) и:. ( p) ( ;; + т)",,, )
(5.38)
'"
rде Р == '( Ра,.
8* 1 15
с помощью (5.37) и (5.38) без труда получаем
('f ;) (xJ, :--) (Х 2 )]"" == ) 1
1. д" ) 1 S 1 i Р (Xl X2) ..з
==!1 '( -т-т e ар,
\ aX 1 '1" (2:t)3 2JfJ
[ :) (Х 2 ), f; ) (X 1 )] + == J
== (i y" + т '1 S ...!.... е! P(Xl X2) dЗр.
\ aXl" / '1" (2;t)3 2рО
Из (5,36) и (5.39) следует, что
I I
q; (X1) (X2)== ( i1tS +m ) (X1 X2)' (5.40)
аl I а!; aXt а. а 1 а,
rде ФУНКЦИЯ (Х 1 Х 2 ) дается выра)! ение ! (5.27). Действуя оп -
paTo o:v! (iy" + т ) на функцию (X 1 х 2 ), ддя свертки
\ aXl
\ J.
0/ (Х 1 ) \j; (Х 2 ) получаем окончате.1ЬНО сле.дующее выражение:
I J... i "e ip(Xl X2)(p+m)
\!;(X)\!;(X)== lim \ d4p. (5.41)
I 1 I 2 (2:t)4 v р2 т 2 + i "
I ':"
Обы'-tно свертку 'f (-"1) 'f (Х 2 ) записывают в ,;J;oyroM виде. Очевидно,
что
(5.39)
/'. /'.
(р т) (р т) == p2 т 2 ,
Отсюда следует, что
/'.
р+т
р2 т2
p т
(5.42)
Таким образо:v!, свертку 7 (x 1 ) Ф (Х 2 )
. S
1
q; (Х 1 ) у (х 2 ) == (2n)4
Vfожно записать в виде*
! P(Xl X2)
е d 4
р.
p т
(5.43)
,..............
Вычислени сверток 7 (Х 1 ) \j; (xJ и q; (xJ Ф (Х 2 ) не представляет
труда. Поскольку операторы уничтожения частиц (аитl'
частиц) антикоммутируют с операторами рождения античастиц
(частиц), имеем
i"""""""
у (х 1 Н) (х 2 ) == q; (x 1 ) <j; (х 2 ) == о. (5.44)
* При реальных ВЫЧНС.1енRЯХ с.1едует, разумеется, перейти к выраже
нию (5.4!).
!16
В за ключени е вычислим свертку
r I { [B +) (х 1 ), B ) (Х 2 )]; Х 1 1) > Х 2О ;
Ва. (X 1 ) В!'> (xJ == [B +) (х 2 ), B ) (xJ]; Х 2О > X 10 , (5.45)
rде Ва.(Х) оператор поля нейтральных векторных частиц
с массой т. Используя (3.248) и перестановочные соотношения
(3.251) ДЛЯ коммутатора [B(+)a(XI)B( )f'>(X2)], леrко находим
3
B +) (x 1 ) B ) (х 2 )] == ( )3 S 2 e (q) e (q) e i q(Xl X.J d 3 q, (5.16)
л==1
[де векторы ел(q) УJ,овлетворяют соотношениям
еЛ (q) q == О, еЛ (q) /' (q) == Он' (1 == 1, 2, 3).
Нетрудно показать, что (см. 3.5)
3 I '
'"' еЛ (q) еЛ (q) == ,a qa. ql3 \ . (5.47)
i.J а. f'> \ ьа.!'> т2 )
<==1
Из (5.46) и (5.47) c.'Ie;:I.yeT
[ В(+) ( х ) B( ) ( Х )] == 1 S (g q"qf'» e iq(XI X.) d 3 q ==
'" 1 13 2 (21))3 2 q O а.!'> т 2 I
( + д д \ 1 S 1 i q(x. x.) d 3 (5.48)
== Ig e q.
\ а.13 дx axr (21))3 2qO
С помощью (5.27), (5.28), (5.30), (5.47) и (5.48) для сверт-
,..............
ки В", (x 1 ) В!'> (х;) получаем следующее выражение *:
( д д )
В", (x 1 ) BI3 (х 2 ) == 1, ga.13 + 6 (Х 1 х 2 ) ==
дХ1 дХ1'
( q",ql3 )
i 1 . S \ga.j3 I iq(x. x,) d ..
== 1т е q.
(21))4 ......0 q2 т 2 + i "
(5.49)
.. Отметим, что такой вид пропаrатор векториоrо поля имеет при опред.е-
.1енном выборе калибровки. В обшем случае
[ q",ql3 qa. q l3 ]
i S ga.I3 q 2 q 2
В ( ) В ( ) --L i q (XI x') d 4
",x 1 IЗХ 2 == (2;.)4 q2 m2 Iq2(l+Л) т2 е q.
(5.49а)
При Л== 1 из (549а) получае'd (5.48) Пропаrатор (5.49а) возникает в слу-
чае, ес.'lи к выражению (3.232) J:.1Я .'lаrраижиана BeKTopHoro поля добавить
1
член (1+1..) (д.,.в") 2. Физические резу.1ьтаты от выбора л не зависят.
2
117
5.3. Теорема Вика
Рассмотрим теперь хронолоrическое произведение Вика
произвольноrо числа операторов поля
T(UVWR... XYZ),
[де И, V, W,. . операторы бозе- .1ибо ферми полей Напом
ним, что оператор хронолоrическоrо произведения Т при дей-
ствии на произведение операторов поля расставляет их Ta
чтобы временноЙ aprYMeHT убывал при движении с:тева напра-
во Ес.'IИ при этом происходит перестановка фермионных опе
раторов, то произведение операторов. расположенных в XpOHO
JIOrическом порядке, умножается на 1 в степени, равной чис-
о!У перестановок фермионных операторов, которые совершаются
при переХОJ,е от ИСХОJ,ноrо произвецени операторов к хроноло-
rически упорядоченному произведению. В этом параrрафе мы
J,окажем с.lедующую теорему (теорема Вика)'
т (UVtVR ... XYZ) 0== .У (CVWR о.. XYZ)
11) + ,у (UVtVR .., XYZ) + ,У (CVWR о.. XYZ) + ...
(2) ... V ( CV WR '" XYZ) N ( CV tVR... X YZ) +
(5.50)
Напомним, что оператор нормальноrо произведения N при J,ей-
ствии на произведение операторов поля расставляет их Ta
чтобы все операторы уничтожения располаrа.1ИСЬ справа от
операторов рО1Кдения. Если при этом происходит перестановка
операторов ферми-по.1ей. то норма:тьно упорядоченное произве-
дение умножается на 1 в степени. равной числу перестановок
ферм ионных операторов, которые совершаются при переходе
от исходноrо произведения операторов к нормально-упоря-
доченному произвеJ,ению. Нормальное произведение со сверт-
ками операторов под знаком N определяется следующим обра
30М *:
N (UVW R '" XYZ) == а йW RX ... N (V о" YZ), (5.51)
[де 6 равно 1 в степени, равной числу перестановок операто
ров ферми-полей, которые делаются при переходе от UVWR о . .
.. . XYZ к UW РХ .. . V о . . YZ.
* Очевидно. что под знаками операторов \jJОНО.10rнческоrо произведе-
ния Т и HopMa.1bHoro произведения N операторы поля можно перестаВJIЯТЬ.
При этом определения операторов Т и .У таковы, что справедливо следующее
прав>и.1О' под зиаком Т и N операторы поля можио переставлять та", как
если бы все операторы фер и полеЙ аитико\!мутировали, а все операторы
бозе-ПО.1ей коммутировали. От\!етим. что зто правило относится также н
к норма.1ЬНОМУ произведению са свертками операторов ПОЛЯ под знаком N.
118
"
Теорема Bl..,a позволяет выразить хроиолоrическое произве
J:ение операторов поля через сумму нормальных произведений
операторов со всеми возможными хронолоrическими спарива-
ниями операторов под знаком N. В первой строке (5.50) нор-
мальное произведение операторов без сверток под знаком N,
во второй сумма всех возможных нормальиых произведений
с одной сверткой под знаком N, в третьей сумма всех воз-
Vfожных нормальных произведениЙ с двумя свертками под зна
ком N и т. д.
Приступим теперь к доказательству (5.50). Доказательство
теоремы Вика основано на следующей лемме. Пуст.ь временной
aprYMeHT оператора Z меньше временных aprYMeHToB операторов
и, V, W, R, ..., Х, У. Тоrда имеет место следующее соотношение:
N (UVWR ... ХУ) Z == N (UVWR ." XYZ) + N (UVWR '" X YZ) +
I I
+ N (UVWR ..' XYZ) + ... + N (UVWR .., XYZ).
(5.52)
Очевидно, что достаточно J:оказать соотношение (5.52) Д.1Я
с.1учая, коrда и, V, W,..., Х, У, Z являются операторами рож
J:ения и уничтожения. Пусть Z оператор уничтожения. Имеем
иZ == О, VZ == О,..., YZ == О.
Действительно, свертки двух операторов уничтожения равны
нуЛю. Если хО>уО, то
\ ,
R H (х) Z(+) (у) == т (R( ) (х) Z(+) (у» N (R( ) (x)Z<+) (у»)==
== R( ) (х) z(.J.-) (у) R H (х) Z(+) (у) == О. (5.53)
Итак, в случае, если Z оператор уничтожеиия, (5.52) сводит
ся к соотношению
N (UVW R ... XY)Z ===N (UVWR .. XYZ),
которое очевидно. Предположим теперь, что Z оператор рож
J:ения. Достаточно при этом доказать (5.52) для случая, KorJ,a
и, V, W,..., Х, У являются операторами уничтожения. Действи
тельно, если соотношение (5.52) доказано в этом случае, то,
умножая ero слева на оператор рождения S, временной apry-
мент KOToporo больше BpeMeHHoro aprYMeHTa Z, получаем
SN (UVWR ... ХУ) Z :-== N (SUVW R ... ХУ) Z ==
L--: I
== N (SUVWR о.' XYZ) + ... + N (SUVWR ... XYZ) +
I I
-т N (SUVWR ... XYZ)
(5.54)
119
[поскольку свертка двух операторов рождеН'hН равна нулю,
равняется нулю последний Ч"lен в соотношении (5.54)]. Далее,
если (554) умножить слева на оператор рождения, то анало-
rично получим соотношение (5.52) для случая, Kor да под знак
.У входят два оператора рождения, и т. J: Наконец, перестав
.1ЯЯ операторы поля под знаком N в обеих частях найденных
таким путем соотношений, получим (5.52) в общем случае (при
ус.'IOвии, что Z оператор рождения).
Итак, приступим к J,оказательству соотношения (5.52)
в случае, коrда Z оператор рождения, а и, V, W, . . ., Х, У
операторы уничтожения. Имеем
N(UVWR ..XY)Z==UVWR...XYZ.
(5.55)
Рассмотрим произведение YZ. Поско.1ЬКУ временной aprYMeНY
оператора У больше BpeMeHHoro apryMeHTa оператора Z, то
YZ ==Т( YZ).
Да.1ее, ИСПО.1ЬЗУЯ (5.21), ПО"lучаем
т (YZ) == N (YZ) + YZ == ovz ZY + п,
(5.06)
rJ,e множите.1Ь 6yz равен 1 ( 1), еС.1И У и Z операторы бозе.
(ферми) -поля. ПОДС1:авляя (5.56) в (5.55) и учитывая, что
UVWR ... X YZ == N (UVWR... X YZ ),
находим
N (UVWR ... ХУ) Z == oyzUVWR ... XZY N (UVWR... X YZ ). (.5.57)
Заменим теперь в правой части этоrо соотношения произвеJ:е.
ние XZ хронолоrическим произвеJ:ением Т (XZ) Используя
(5.21), получаем
XZ ==Т (XZ) == N (XZ) ..L.. XZ == oxzZX + XZ .
Подставляя (5.58) в (5.57) и учитывая, что
oyzUVWR .., XZY == N (CVWR ... XYZ),
(5.58)
имеем
N (UVWR... ХУ) Z == OYZoxzUVWR ... ZXY +
...!... N (UVWR ." X YZ) +.У (UVWR '" XYZ).
(5.59)
Продолжая эту процедуру, мы прнходим к соотношению
N (UVWR... ХУ) Z == OyzOxz... ouz ZUVWR ... ХУ +
I I
+ N (UVWR н. XYZ) 7 н' + N (UVWR... XYZ). (5.60)
120
Далее из определения оператора нормальноrо произведения N
очевидно, что
Oyzoxz ..ouzZUVWR...XY..=.=N(UVWR...XYZ). (5.61)
ИЗ (560) и (5.61) с.1едует, что соотношение (5.52) справед.1ИВО
также и в с.1учае, коrда Z оператор рождения, а и, V, W,
R, ., Х, У операторы уничтожения. Этим завершается J,oKa
зательство соотношения (5.52) в общем случае.
Соотношение (5.52) можно обобщить. Умножим (5.52) на
свертку PQ . Очевидно, что полученное при этом. соотношение
может быть запи сано в ВИ J,е
I I 1
N (UVPWR ... XQY) Z == N ([; V P WR .,. XQYZ) +
, ) I II
N (UVPWR ... XQYZ) ... + ,У (UVPWR '" XQYZ). (5.62)
Ана.10rичные соотношения VforYT быть получены умножением
(552) на две, три и т. Д. свертки. Таким образом, соотношение
(5.52) справеJ,.lИВО также и в случае, еС.1И под знаком N в .1e
вой и правой частях этоrо соотношения свернуто любое ЧИС.10
пар операторов.
Приступим теперь к доказате.1ЬСТВУ теоремы Вика. МЫ J,O
кажем эту теорему по ИНJ,укции. Пусть соотношение (5.50)
имеет место Д.1Я произведения поператоров и, V, W, R, ., , Х,
У, Z. Умножим (5.50) справа на оператор Q, временной apry
мент KOToporo \fеньше временных aprYMeHToB И, V, W, R,..., Х,
У, Z. Используя J,оказанную выше .1емму и учитывая, что
T(UVWR... XYZ)Q=:=T(UVWR... XYZQ),
получаем
т (UVWR... XYZQ) == N (CVW R н. XYZQ) +
I
+ N (CViVR ... XYZQ) .., +.У (L VW'R... XYZQ) +
+ N ( UVWR ... XYZQ) '" (5.63)
Да.1ее очевидно, что оператор Q может быть поставлен в (5.63)
на .1юбое место (праВИ.1а перестановки операторов поля под
знаками Т и .У одни и те же). Таким образом, если теорема
Вика верна Д.1Я произведения п операторов поля, она верна
также ДЛЯ произведения п+ 1 операторов.
В 5.1 мы доказали теорему Вика для произведения двух
операторов [см. (5.21)]. С.1едовате.1ЬНО, она справедлива в об
щем случае.
121
Теорему Вика мы будем использовать ПРI:'"'Jычислении мат-
ричных элементов S-матрицы, которая представляет собой CYM
му Т произведений rамильтонианов взаимодействия [см.
(5.13) 1. Далее rамильтонианы взаимодействия локальной Teo
рии являются нормальными произведениями операторов поля,
взятых в одной и той же точке х (см. rл. 3) Таким образом,
S матрица предстаВ.1яет собой сумму интеrралов от так назы-
ваемых смешанных произведений операторов по.1Я вида
T(N(UV\\7) ...N(XYZ)).
(5.64 )
Операторы поля, входящие в каждое из нормальных произве
дений в (5.64), обладают одним и тем же пространственно вре-
менным aprYMeHToM.
Для Toro чтобы обобщить теорему Вика на случай смешан
Horo Т произведения, воспользуемся следующим приемом. Дo
бавим к временным aprYMeHTaM всех операторов рождения
сколь уrодно малое положительное е. ОчевиJ,НО, что после это
[о все операторы N в (5.64) MorYT быть опущены (оператор Т
после такой модификации aprYMeHToB J,ействует на произведе
иие операторов поля UVW,..., XYZ так же, как и оператор N *)
и в соответствии с (5.50) хронолоrическое произведение может
быть представлено в виде суммы норма.1ЬНЫХ про изведений со
всеми возможными свертками операторов ПОJ, знаком N.
Все ХРОНО.10rнческие спаривания операторов, входящих
в смешанное Т произведение под знак одноrо нормальноrо про-
изведения, равны ну.1Ю. Действительно, поскольку у таких опе-
раторов поля временной aprYMeHT оператора рождения больше
BpeMeHHoro apryMeHTa опеР2тора уничтожения, соответствую-
щие свертки операторов рождения и olIepaTopoB уничтожения
р авны нулю [см. (5.53)]. Свертки операторов рОЖдения либо
операторов уничтожения равны нулю по определению. Итак,
для смешанноrо Т произвеJ,ения имеет место разложение (5.50),
в котором следует опустить свертки операторов с одним и тем
же пространственно временным aprYMeHToM (входящих под
знак оператора N).
Нетрудно убедиться в том, что мноrие члены в разложении
ВИКа дают одинаковые вклады в S-матрицу. В качестве при-
мера рассмотрим Э.1ектромаrнитное взаимо ействие электро
нов. rамильтониаи эrоrо взаимодействия имеет ВИJ,
dб[(х) ===её(х)уCtе(х)Аz(Х). (5.65)
Рассмотрим вначале второй член ряда (5 13) д.1Я S матрицы.
* Расс\IOТРИМ в качестве примера V(U( I(X)V("')(x)W( \:x()) (х'==(х О +
+е, х)) Имеем .v(иН(Х)VН(Х'JWН(хJ)J==БW( I(хJ)и("')(х)v(+)(х)==
T(U(.L\(x) V(-;-) (х) W( )(xJ))
122
Используя теирему Вика Д.1Я СМЕ>шанноrо Т-произведения, по-
лучаем
Т(N(ё(х)уае(х) )Аа(Х)) ==
== N (ё (х) уае (х) ) Аа (Х) .
Перейдем теперь к рассмотрению ЧJ1ена BToporo порядка Teo
рии возмущений [TpeTbero члена ряда (5.13) J. Так как опера
торы е (х) и Аа (х) коммутируют, то
Т (N (ё (Х 1 ) у% е (\:1») ...1'% (Х 1 ) N (ё- (Х 2 ) '(1} е (Х 2 )) .1/3 (Х 2 )) ===
== Т (N (ё (Х 1 ) '('% е (Х 1 »)Н (е (Х 2 ) '(1} е (Х 2 ») Т (А'% (Х 1 ) :41} (Х 2 )). (5.66)
Используя теорему Вика для смешанноrо Т произведения и
учитывая, что е (Х 1 ) е (Х 2 ) --= о и е (Х 1 ) е (Х 2 ) == О, получае:'vl
т (N (е (Х 1 ) у" е (Х 1 )) N (е ( Х 2 ) / е (Х 2 ))) ==
I I
'% 1} I '% 1} ,
== .У (е (Х 1 ) '( е (Х 1 ) е (Х 2 ) '( е (Х 2 )) l' N (е ( Х 1 ) '(. е (Х 1 ) е (Х 2 ) '( е (Х 2 )) т
I
{""""""""'
+.У (ё (Х 1 ) '('% е (Х 1 ) е (Х 2 ) yl3e (Х 2 )) N (е (х 1 )у'% е (Х 1 ) ё (Х 2 ) уl} е (Х 2 )).
(5.67)
Нетрудно убеJ,ИТЬСЯ в том, что второй и третий члены в правой
части (5.67) J,ают одинаковые BKJIaJ,bI в S-матрицу. Действи
тельно, перестаВJIЯЯ под знаком HopMa.lbHoro произведения опе-
раторы ё(ХI)уае(ХI) и ё(Х2)уllе(Х2) и переобозначая переменные
интеrриро вания (ХI X2) и с уммирования ('a. ), получаем
. I i
J N (ё (Х 1 ) '('% е (Х 1 ) е (Х 2 ) '(1} е (Х 2 )) т (..1'% (Х 1 ) АI} (\: 2)) d'x 1 d'X 2 ==
. ...............
== j N (е (Х 1 ) у'" е ( 1)ё (Х 2 ) '(1} е (Х 2 )) Т (.-1,% (Х 1 ) АI} (Х 2 )) d 4 x 1 d'x 2 . (5.68)
ОТ\1етим, что при получении (5.68) мы учли, что
Т (Af\ (Х2) Аа (Xl)) == Т (Аа. (XI) AII (Х2) ).
Итак, при вычислении матричных элементов S-матрицы в раз
ложении (5.67) следует учесть только один член с одной сверт-
кой под знаком N. Этот член следует умножить на 2 (в ре-
I .
зу.lьтате сокращается множите.1Ь , входяrции в выражение
2!
(5.13) для S матрицы).
Рассмотрим теперь Т произведение
Т (N (ё (XI) уае (XI) ) N (ё (Х2)1' В е (Х2) ) N (ё (ХЗ) уРе (Хз) ) ),
(5.69)
123
входящее в член TpeTbero порядка теории во ц'J),щений. Нетруд-
но видеть, что в разложении Вика этоrо Т произведения имеет
ся 3! нормальных произведений с одной сверткоЙ. Перестанов-
кой операторов ёуе под знаком N, а также переобозначением
переменных интеrрирования и суммироваиием можно показать,
что нормальные произведения с одной сверткоЙ дают одинако-
вые вклады в S матрицу. Далее в разложении Т-произведения
(569) имеется два типа нормальных произведений с двумя
свертками. Именно, имеются нормальные произведения, в ко-
торых несвернутые операторы обладают разными арrументами:
N (ё (Х 1 ) lа. е (x1) e (х 2 ) 1 е (X2) e (хз) l Р е (х з )) и т. д., (5.70)
и нормальные произведения, в которых несвернутые операторы
обладают одинаковыми арrументами:
I
N(ё(х 1 ) lа.е(х 1 ) ё(Х 2 )1f!е(хJё (Лз)lРе (Х з )) и т. д.
(5.71)
HeTpYJ,Ho убедиться в том, что имеется 31 нормальных про из-
ведения типа (5.70), J,ающих одинаковый вклад в S матрицу,
и три Ч"lена типа (5.71), также дающих одинаковый вклад
в S матрицу. Наконец, в разложении Т произведения (5.69)
имеется два нормальных ПРОИ5ведения с тремя свертками (дa
ющих одинаковый Вк.1аД в S-матрицу).
rлаsа 6
ДИАrРАММЫ ФЕЙНМАНА
6.1. Процесс y+e y+e (эффект Комптона)
в этой rлаве будут ВЫЧИС.lены матричные элементы самых
разных процессов. Мы убеJ,ИМСЯ в том, что развитыЙ в r.'I. 5
аппарат ПОЗВО.1ИТ сформулировать простые и весьма наrлядные
правила построения матричных элементов процессов так Ha
зываемые прави.1а ФеЙнмана. Начнем с рассмотрения простеЙ
шеrо электромаrнитноrо процесса комптон-эффекта на элект
роне
y+e +e . (6.1)
Обозначим импульс и спиральность начальноrо (конечноrо)
электрона р, r (р', r'), а ИМПУ.1ЬС и индекс вектора поляриза-
ции нача.1ьноrо (конечноrо) фотона kл (k', л'). Как было по
казано в 3.5, свободныЙ фотон может обладать только попе
речной поляризациеЙ (л, л' === 1,2). Нача.1ЬНЫЙ и конечный BeK
124
торы состоя ( I i) и I f») даются соответственно выражениями
li)==c+ r (p)a+l,(k) 10); I f) ==c:;(Ji) at(k') 10),
[де I О) вектор состояния вакуума. Наша задача состоит
в вычислении (в НИ.1шем порядке теории возмущений) матрич
Horo элемента
<f I s 1 i).
Запишем 5 матрицу в виде
со
s == S<n),
п=О
(6.2}
[Де
s(n) ==....J....... С т (ЖЕ (х 1 ):;еЕ (Х 2 ).н ЖЕ (х п )) d 4 x 1 d 4 x 2 ... d 4 X n (6.З}
N' J
член n-ro порядка теории возмущений.
Напомним, что rаМИ.1ьтониан электромаrнитноrо взаимодеЙ
ствия электронов имеет вид
eтE (х) == её (х) уае (х) Аа (х). (6.4)
Рассмотрим вначале <f I 5(l) I i). Используя теорему Вика. име
ем"
т (ё (х) уа.е (х) ) == N (ё (х)уае (х)) == ё(J..) (х)уае<+) (х) +
+ёH(x)ya.eH(x)+ёH(x)ya.eH(x) e( )T(x) (уа) Тё(+)Т(х) (65}
Оператор нормальноrо про изведения N расставляет опера-
торы поля так, чтобы все операторы уничтожения распо.1аrа
.1Ись справа от операторов рождения. Естественно поэтому
операторами уничтожения J,ействовать направо на нача.1ЬНЫЙ
вектор I i), а операторами рождения налево на конечныЙ BeK
тор I f). Рассмотрим вначале первый член разложения (65)
Подействуем оператором е(+) (х) на вектор I i). Очевидно, что
e(J..) (х) C T(p) a+,.(k) 10)== ([ е<+) (х), C T(P) lJ..
c+.(p)e (x))a+l,(k) 10). (6.6)
Второй член в правой части этоrо соотношения равен нулю
е(+) (х) aJ..l,(k) 1 O)==a+i.(k) е(+) (х) 10)==0. (6.7)
Используя (3.151) и (3.152), д.'Iя первоrо члена получаем
[e(J..) (х), С+т(р) ]+==
== S N р' и Т ' (р') [С т , (р'), с; (p)] е i р' х dЗр' == N р и ' (р) е i рх. (6.8
* При ЭТОМ \IЬ/ УU.1И, ЧТО V (ё<+) (х) y"e( ) (х) == V се;;) (х) у:,зе; )(х»)
== e ) (х) (у");:',е;;+-) (х) == е Н т (х) (у") Т-ё(+) Т (х).
12'>
В результате находим
е(т)(х)с+,(р)а л(k) 10)==Npur(p)e ipXa+},,(k) 10). (6.9)
Итак, оператор е(т) (х) при действии на вектор состояния
(;+, (р) а т л (k) 10), описываюrций электрон и фотон, уничтожает
электрон. В резу.1ьтате получаем вектор состояния фотона
а л (k) I О), которыЙ умножается на волновую функцию электро
на с импульсом р (.V ри' (р) e iPX).
ПОJ,еЙствуем теперь оператором ё(т) (х) на вектор а+ л (k) 10).
Имеем
ё(+) (х) а л(k) I О)==атл(k)ё(+)(х) 10)==0. (6.10)
Таким образом, первыЙ член разложения (6.5) не дает вклада
в матричный элемент комптон-эффекта. Рассмотрим последний
член этоrо разложения. Поскольку операторы рождения части
цы и античастицы антикоммутируют, то
ёНТ (х) с+, (р) а т}" (k) I 0)== c+, (р) аJ.. л (k) ёi+)Т (х) 10)==0.
Последний член (6.5), следовательно, также не дает вклада
в матричныЙ элемент працесса (6.1).
РаССl\10ТРИМ теперь третий член разложения (6.5). Опера-
тором ё Н (х) ПОJ,ействуем надево на вектор (О I ал, (k') C r ' (р').
Иl\1еем
(О I ал, (k') С" (Р') Н (х) ==
== (О I ал, (k') (fc r , (р') e( ) (л)]+ е Н (х) С" (р')).
(6.11 )
Далее очевидно, что
(О I ё( ) (х) ==0.
Таким образом, второй член (6.11) равен нулю.
(3151) и (3.152), получаем
[С" (P')-ё Н (х)]+ == Np'u" (p')eiP'x.
С помощью (6.11) и (6.13) находим
...... , i р'х
(О I ал, (k') С" (р') е Н (х) ==- (О I ал, (k') N р'и' (Р') е .
( 6.12)
Используя
(6.13)
(6.14)
Итак, оператор ё( ) (х) при действии налево на вектор састоя
ния электрона и фотона (О i ал (k') с,,(р') уничтожает электрон.
По.lученный при этом вектор состояния фотона (О I a},,(k) YMHO
жается на волновую функцию N p,'L/' (р') E,'i P'r:. Нетру дно те-
перь показать, что третиЙ Ч.1ен разложения (6.5) не J,aeT вклада
в матричный элемент комптон эффекта. ДеЙствительно, учиты-
вая (6.14), получаем
(О I ал, (k') е Н (х) == (О I е Н (х) ал, (k') == О.
126
Итак, толькб член ё Н (х)уае(+) (х) может дать отличный от нуля
вклад в матричный элемент рассматриваемоrо процесса. Сле
дует, однако, учесть, что в S матрице оператор Т(ё(х)у'Ч(Х))
умножается на оператор электромаrнитноrо поля Асх (х). Ис
пользуя (6.9) и (6.14), получаем
(О I ал, (k') C r ' (р') Т (е (х) 1'" е (х)) А. (х) С/ (р) at (k) I О) ==
r' !(p' p)x
== N 1" N p u (р') 1'" u r (р) е (О I ал, (k') А. (х) tЧ (k) I О).
Вычислим теперь матричный элемент:
(О I ал, (k') А. (х) at (k) I О) ==
== (О I ал, (k') (A +) (х) + A ) (х)) at (k) , О). (6.15)
Подействуем оператором уничтожения Аа.(+) (х) направо на BeK
тор a1,+(k) I О). Очевидно, что
A +) (х) at (k) I О) == ([A "') (х), at (k)] + at (k) A +). (х)) I О). (6.16)
Далее, используя (3.207) и (3.210), получаем
[А (+) ( ) + k)] N л k ikx
'" х, ал ( == k е", ( ) е .
(6. 17}
Подставляя (6.17) в (6.16) и учитывая, что
Аа.(+) (х) 10)===0,
t аходим
Аа;(+) (х) а+ л (k) 10)=== N kела. (k) e ikx 10). (6.18)
Итак, если оператором Аа;(+) (х) подействовать на вектор co
стояния фотона a+1,(k) 10), то мы получим при этом вектор co
СТОяния вакуума (фотон уничтожается), который умножается
на функцию Nke1,a;(k)e ikX.
Подействуем теперь оператором A( )a; (х) налево на вектор
(Оlал.(k'). Имеем
(С I ал, (k') A",( ) (х) == (О I ([ал, (k'), A",( ) (х)] + A",( ) (х) ал, (k')).
(6. 19}
Далее с помоrцью (3.207) и (3.210) находим
[ал, (k'), A ) (х)] == Nk,e ' (k') е ! k'x.
(6.20}
Учитывая, что
(О I Аа. Н (х) ===0,
из (6.19) и (6.20) получаем
(О I а'л' (k') A ) (х) == (О I N k,e ' (k') е ! k'x . (6.21
127
Итак, ес.1И оператором A( )a:(X) подейство';"dть налево на BeK
тор состояния фотона (О I ал,(k'), то при этом мы получим BeK
тор состояния вакуума (О 1, который умножается на функцию
Nk,e " (k')e i k' . (Оператор A( )r.t при действии налево является:
оператором уничтожения фотона.) С помощью (6.18) и (6.21)
получаем
(О 1 а,,(k)(А,,\ )(х)+.4,,\ )(х))ал+(k) 10)==
== N ke (k) e i k.x (О 1 ал, (k') I О) V k,e ' (k') e i k' (О I at (k) 1 О).
Да.1ее очевиJ,НО, что
(О I ал, (k') I О) == О, (О I ал (k) I О) == О.
Таким образом, оператор 5Р) не дает вк.lада в матричный эле
мент комптон эффекта ....
Рассмотрим теперь \fатричный Э.lемент (1 15(2) I [). На Ha
ча.1ЬНЫЙ I i) и конечный 11) векторы состояния будем действо-
вать внача.1е операторами электронноrо поля, а затем опера-
торами фотонноrо поля. В разложение Вика интересующеrо
нас Т произведения По.1ей электронов входят один чЛен без
сверток, J,Ba члена с одной сверткой и ОJ,ин член с двумя
свертками [C\f. (567)]. Очевидно, что оператор
N(ё(ХI)уCl.е(ХI)ё(Х2)у 13 е(Х2)) (6.22)
не дает ВК.1ада в- интересующиЙ нас матричный элемент. Дей
ствительно, представим все поля в (6.22) в виде суммы поло
жите.1ьно-частотной и отрицате.1ьно-частотной частеЙ. В каж
дый из операторов, на которые разбивается при этом (6.22),
входит по крайней мере J,Ba ПО.10жительно частотных операто
ра .1Ибо два отрицате.lьно частотных оператора. При действии
направо на начальный вектор Ава положнтельно частотных
оператора дадут ну.1Ь. Аналоrично J,Ba отрицательно-частот
ных оператора при ;:I.ействии налево также J,ают нуль.
Далее в раЗ"lОжении (5.67) имеется J,Ba J,ающих одинако
вый ВК.1ад в 5 \fатрицу члена с одной сверткой. Рассмотрим
один из них. Имеем
I : 1 1
N (е (Х 1 ) уО;е (х 1 ) ё (Х 2 ) 1fЗе (х 2 )) == e (Х 1 ) у"е (х 1 ) е (Х 2 ) .(fз е (+> (Х 2 ) +
I I I
+ Н (Х 1 ) уО; е (х 1 ) е (xJ 'r В е (+) (Х 2 ) т ёi. )(x1)/'e (Х 1 ) е (Х 2 ) yf3e( >(xJ
I t
е Н т (Х 2 ) ('("'е (Х 1 ) е (:ч .(I3{ё(+> т (Х 1 ).
(6.23)
* ХОТЯ ПО.1учен ну.1евоЙ реЗУ.1ьтат, однако 'dbl научи.1ИСЬ действовать по-
.10Аштельно-частотными (отрицате.1ьио частотными) операторами направо
(иа.1ево) По.1ученные форуу.1Ы будут ИСПО.1ьзоваться в да.1ьнейшеу.
128
Из изложеЮ1U-rо выше ясно, что только второй член в разло
жении (6.23) дает отличный от нуля вклад в матричный эле
мент комптон-эффекта. Используя (5.43), (6.9) и (6.14), по-
лучаем
(О I а)"(k') с"' (р')е Н (х 1 )уа. е (x 1 )e(x t ) х
Х '(13 е(+) (Х 2 ) т (Аа. (Х 1 ) А13 (Xt)) с; (р) a (k) I О) ==
. ip,(", X,)
== N , 7{' (р') eip'x, у'" 5 е d 4 p yl3N 'и ' (р) Х
р (21t)4 Pl т 1 р
Xe iPX'(O I а)"(k') Т (Аа.(х 1 )А 13 (х 2 )) at(k) I О),
(6.24)
[де Р1 ===у'" P1a.'
Вычислим теперь \fатричный элемент (Ola(k')T(Aa.(Xi)X
ХА13 (Х2)) а+ (k) 10). ИСПО.'Iьзуя теорему Вика, получаем
I I
Т (А(х 1 ) ,--113 (х 2 )) ==.У (А",(х 1 ) ,.113 (x t )) + А", (Х 1 ) A (х 2 ). (6.25)
Да.1ее имеем
N (Аа. (Х 1 ) .413 (Х 2 )) === A +) (-'1) A +) (Х 2 ) + A ) (Х 1 ) А-'-) (Х 2 ) +
7 A ) (Х 2 ) Ai+) (-'1) + A ) (Х 1 ) A ) (xJ. (6.26)
Рассмотрим вначале ВК.1ад BToporo члена разложения (6.26)
в матричный элемент рассматриваемоrо нами процесса. Ис
ПО.1ЬЗУЯ (6.18) и (6.21), по.lучаем
(О 1 а)" (k') A ) (-'1) A +) (-'2) at (k) I О) ===
== Nk,e ' (k') eik'x'Nke (k) e ikx.(O 1 О).
(6.27)
Аналоrично имеем
(О I , (k') .4 ) (х 2 ) Ai+) (Х 1 ) at (k) I О) ===
=== N k , e ' (k')eik'x'Nke (k) e ikx, (О I О).
(6.28)
Далее очевидно, что первый и последний члены разложения
(6.26) не дают вклада в матричный элемент процесса (6.1)
(Оператор AfI("') (Х2) при J,ействии на вектор a T(k) I О) дает
I О); оператор Аа.(+) (Xl) при действии на вектор I О) дает нуль.)
С помощью (6.24), (6.27) и (6.28) для матричноrо элемента
9-41910 129
комптон эффекта (после интеrрирования по т J и Х2) получаем
(f I S(21 I i) == ( i)2 [S N p' " (р') ey (270)4 о (р' +- k' Pl) Х
х 1 e'[l3 (270)4 о (Pl Р k) и' (р) N р e ' (k') e (k) d 4 Pl +
(21t)4 Р1 т
S , i 1
+ Нр,и' (p')ey (:27o/O(P' k P1) еуР(2т:)4Х
(21t)4 Р1 т
Х о (Pl ..;... k' Р) и' (Р) Hpe k) e ' (k') d 4p 1 1
При получении (6.29) мы предположим, что вектор состояния
вакуума нормирован условием
(010)===1 (6.30)
Как видно из (6.29), матричный элемент <f I S(2) I i) построен
c'
из небольшоrо ЧИс.1а величин: спиноров и' (Р) U U (р') [воз-
никающих от неспаренных операторов е\т-) (Х2) и ё( ) (Xl)
в (6.23)], матриц у (возникающих от rаМИ"lьтониана взаимо
деЙствия), б-функциЙ (от интеrр ирования по Xi) пропаrатора
1
[от свертки е (X 1 ) е ( 2) в (623)] и векторов поляри
P1 т
зации eJ..(k) и е'л.t (k') (возникающих от неспаренных операто-
ров в (6.26). Ес.1Н ве.1ичинам, из которых строится матрич-
ный элемент <! I S(2) I i), поставить в соответствие .1ИНИИ и вер-
шины диаrрамм, то диаrраммы, отвечающие (6.29), должны
строиться, следовате.1ЬНО, из небольшоrо числа Э.1ементов По-
ставим в соответствие первому члену в (629) диаrрамму,
представ.1енную на рис. 6.1.
Пусть выходящей и ВХО.1ящеЙ сплошным .1ИНИЯМ на рис.6.1
отвечают соответственно ,У Р' и (р') и NpU (Р), вершинам
(2л)4еуб (Р' P) (Р и Р' входящий и выходящий суммарные
4 импульсы), внутренней сплошной линии оператор
i 1 u .
а входящеп и ВЫХОДящеи волнистым линиям
(6.29)
(21t)4 ;;1 т
векторы поляр изации .У ke (k) и N k' е (k'). Для Toro чтобы
получить первыЙ член матричноrо элемента (6.29), нуЖно,
двиrаясь против стрелок на сплошных .1ИНИЯХ, выписать вели
чины, которым отвечают линии и вершины. Полученное Bыpa
жение С.'Iедует у fНожить на ве.'IИЧИНЫ, которым отвечают вол-
нистые линии (по ИНJ,ексу у-матрицы и векторному индексу
соответствующеrо вектора по.1яризации проводится суммиро
вание). Наконец. найденное таким способом выражение следу-
ет умножить на ( i) 2
Диаrрамма рис. 6.1 отвечает следующей возможности пере-
хода начальных электрона и V KBaHTa в конечные электрон и
J30
р,
Р,
Рис. 6.1. J:иаrрамма
v+e 4+e
процесса
Рис
62. Диаrрамма процесс а
v+e 4+e
'Y KBaHT: начальный электрон с импульсом р поr,10щает Ha
чаJ1ЬНЫИ фотон с импульсом k и переходит в промежуточное
(виртуальное) состояние с импульсом Pl; затем электрон pac
пространяется в промежуточном состоянии; наконец, вирту-
альныЙ электрон испускает конечныЙ фотон с импульсом k' и
переходит в конечное состояние с импульсом р'. Подчеркнем,
что поскольку нача,lЬНЫЙ н конечный электроны свободные
частицы, р2== р'2== т 2 . Квадрат импульса виртуальноrо элект
рона не равен m Z (РI переменная интеrрирования).
Диаrрамма рис. 6.1 описывает одну из возможностей пере
хода из начальноrо состояния в конечное (во втором порядке
теории возмущениЙ). Друrая возможность состоит в следую
ще\f нача.1ЬНЫЙ электрон с импульсом Р внача.1е испускает
конечный фотон с ИМПУ.'Iьсом k' и переходит в промежуточное
состояние с импу.1ЬСОМ Рl; затем электрон распространяется
в промежуточном состоянии; наконец, виртуальный электрон
поr.10щает нача.1ЬНЫЙ фотон с импульсом k и переходит в KO
нечное состояние с ИМПу.1ЬСОМ р'. ЭтоЙ возможности отвечает
диаrрамма рис. 6.2. Если принять правила, которые были
сформулированы при построении J,иаrраммы рис. 6.1, то оче
видно, что по J.иаrрамме рис. 6.2 мы получим второЙ член мат-
ричноrо элемента (6.29). Диаrраммы, преJ,ставленные на
рис. 6.1 и 6.2, носят название J,иаrрамм Фейнмана. Сплошные
линии диаrрамм Фейнмана происходят от оператора
,..............
H (xl)"( e(Xl) ё (x:J уllе(+) (x:J.
Диаrраммы рис. 6.1 и 6.2 отвечают соответственно
Аа Н (XI) А(3<+) (XZ) и A(3( ) (Xz) А а (+) (Xl) (двум членам в разложе-
нии T(Aa.(Xl)A(3(X2»)' дающим отличныЙ от нуля вклад в MaT
ричный элемент рассматриваемоrо процесса) *. Далее в каж
'" Две диаrра>.lМЫ возникают вследствие Toro, что фотон истинно ией
тральная частица В резу ьтате при переходе электрона из одноrо состояния
в друrое фотои может как поr.10щаться, так и испускаться.
9* 131
дую из вершин диаrрамм Фейнмана входит ' (P' P). Таким
образом, в каждой из вершин сохраняется полный 4 импульс
(что, разумеется, приводит к сохранению полноrо 4-импульса
процесса). Интеrрируя (6.29) по PI, дЛЯ матричноrо элемента
комптон эффекта получаем окончательно следуюrцее Bыpa
жение:
<t I S(2) I i) == i e 2 N p ' NpN k , N k Х
Х. [ 1.{' (р') 't/' (k') 't/ (k) u r (р) +
p+k т
+ (/' (р');Л (k) :, -;;)' (k') u r (р) ] (27t)4 <3 (р' k' Р k).
p k т
(6.31)
В заключение несколько слов о вкладе в матричный эле
мент комптон эффекта членов высшеrо порядка теории возму-
rцений. Из изложенноrо выше ясно, что отличный от нуля
вклад в матричный элемент процесса MorYT дать ТО.1ько такие
члены в разложении Т произведений, в которые входят неспа-
ренные операторы A( )A(+) (все остальные операторы фотонно
ro поля должны быть спарены). Таким образом, только опера
торы S(2n) (п== 1, 2 ..) дают ОТ"lИЧНЫЙ от ну.1Я ВК.13д В матрич-
ный элемеНт комптон эффекта.
6.2. Процесс e +e+ y+y
В качестве следующеrо примера мы рассмотрим процесс
анниrИ.1ЯЦИИ пары электрон позитрон в два фотона:
e +e+ +y. (6.32)
Очевидно, что в матричный элемент этоrо процесса дают вклад
только такие члены в раз.10жении Вика, в которые входят два
отрицательно частотных оператора электромаrнитноrо поля.
Это означает, что только операторы S(2n) (1, 2...) дают отлич
ный от нуля вклад в матричный элемент процесса (6.32).
В этом параrрафе мы вычислим матричный элемент этоrо
процесса во втором (низшем) порядке теории возмуrцений.
S-матрица и rамильтониан электромаrнитноrо взаимодействия
даются выражениями (6.2) (6.4). Наша задача состоит в BЫ
числении
<fISli),
rде начальный I i) и конечный I f) векторы состояния даются
выражениями
I i) == с -: (р) d r , (р') I О). }
I f) == a (k) at, (k') I О).
(6.33)
132
Здесь р, r ир', r' импульсы и спира,льности начальных элект
рона и позитрона, а k, ')." и k', ').,,' импульсы и индексы BeKTO
ров поляризации конечных фотонов*.
Подействуем вначале операторами электронноrо поля на
вектор I i). Очевидно, что ОТЛИЧНЫй от нуля вклад дает ТОЛько
следуюrций оператор в разложении Вика (6.23):
;(+) (х 1 ) у'" е (х 1 ) ё (х 2 ) yfJe(+) (х 2 ).
Имеем
ё(+) (Xl) е(+) (Х2) с+ (р) d+ (р') 10)==
==ё(+) (Xl) ([е(т) (Х2), с.,. (p)]+ c-r(p)e(+)(x2))d+(p') 10). (6.34)
Очевидно, что
е(т) (Х2) d+ (р') 1 O)== d+ (р') е(+) (Х2) 10)==0.
ИСПОJ1ЬЗУЯ (3.154) И (3.155), получаем
е(+) (.\1) е("') (х 2 ) с+ (р) d+ (р') 1 О) ==
== 1V p U (р) e ipx'e(+) (х 1 ) d+ (р') 10).
(6.35)
Далее имеем
ё(т) (Xl) d-r (р') 10) == ( [ё(т) (х!) d+ (р') ]
d (р')ё( )(х!)) 10). (6.36)
Второй член в (6.36) равен нулю. Используя (3.154) и (3.155),
получаем
[ё(+) (х 1 ) d (р')]"- == N 1" u. ( p') e ip'Xl. (6.37)
Окончательно с помощью (6 35) (637) находим
(+) (.\1) е(+) (.\2) с'" (р) d+ (р') I О) ==
== NplU ( p') e iplxl Npu(p) e ipx. ! О). (6.38)
Итак, оператор ёН (Xl) е(+) (Х2) при действии на вектор
c (р) d+ (р') 10), описываюrций электрон и позитрон, уничтожа
ет электрон и позитрон. В результате мы получаем вектор
состояния вакуума I О), который умножается на функцию
N p ' u ( р') e ip'Xl N ри (р) e ipx..
Подействуем теперь на конечный вектор состояния (fI опе
раторами электромаrнитноrо поля. Очевидно, что отличный ОТ
нуля результат дает только оператор Аа Н (Xl)Af!H (Х2) в раз
* в дальнейщем индексы r, r', tЛ. и ";..' будут опускаться.
133
ложении Вика (б.2б) Используя (3.207) и (3 . » , получаем
(О I а (k') а (k) A ) (х 1 ) AJ ) (х 2 ) ==
== (О I а (k') ([ а (k) A ) (х 1 )] + A ) (х 1 ) а (k)) A ) (х 2 ) ==
(OI(V (k) i kx' N (k ' ) ik'x, + V (k ' ) i k'x' N (k) i kX. )
== i ",еа. е "-' etl е ' ""' еа. е ketl е .
(6.39)
Итак, при действии на.1ево на вектор состояния двух фото
нов (Ola(k')a(k) оператор Aa( )(Xl)A[:I( )(X2) дает вектор со-
стояния вакуума (О 1, который умножается на функцию
11/ (k) ikx, N (k ' ) ik'x, k ..... k '
. ",еа. е ,,"' etl е ..... ,
симметричную относительно перестановки k k'. Очевидно, что
симметрия этой последнеЙ функции является С.1едствием тож-
дественности фотонов.
ВЫчис.1ение матричноrо э.lемента (! I S(2) I i) не представ.1Я
ет теперь труда. Используя (б.38) и (б.39) и интеrрируя по Хl
и Х2, получаем
(f I S(2) I i) == ( i)2 S.Vp' ( p') eya.C )4 о ( p' + k
Pl) 1 ey (2'1t)' о (Рl + k' р) u (р) ,VrтV k Х
(2п) 4 Рl т
Х еа. (k) N "-' etl (k') dpl + (k ;:: k'). (6.40)-
Матричному э.1ементу (6.40) поставим в соответствие диаrрам
мы, изображенные на рис. б.3. Сравним J,иаrраммы на рис. б.3
с диаrраммами рис. б.1 и б 2. Единственным новым элементом
на рис. б.3 является СП,,10шная выходящая линия, которой при
/('
k
/71
p'
k
/('
а)
,,)
Рис. 63. ДиаrраМ\fа процесса e +e+--+'Y+Y
134
писан не4-'ti3 ический импульс р' == ( po', p') (ро' ==
==+Ут 2 +р'2). Поставим в соответствие этой линии
N р,Й ( p'). Для всех остальных элементов диаrрамм
рис. 6.3 примем правила соответствия, которые были сформу-
лированы при рассмотрении комптон-эффекта. Двиrаясь про
тив СП.10ШНЫХ .1ИНИЙ на рис, 6.3 и выписывая величины, KOTO
рым соответствуют линии и вершины, а также умножая полу-
ченное выражение на векторы поляризации, которым отвечают
волнистые линии, по диаrраммам рис. 6.3 мы получим при этом
матричный элемент (6.40). Диаrраммы рис. 6.3. являются ди-
аrраммами процесса e +e +y. Таким образом, выходящей
СП.10ШНОЙ электронной линии с нефизическим импульсом р' от"
вечает поrлощение позитрона с импульсом р'.
Диаrрамма на рис. 6.3,а описывает (во втором порядке Teo
рии возмущений) следующую возможность перехода электро-
на и позитрона в два y KBaHTa: э.1ектрон с импу.1ЬСОМ р испу-
скает фотон с импу.1ЬСО 1 k' и переходит в промеЖУТQчное co
стояние с импульсом Рl, э.lектрон распространяется в промежу
точном состоянии; виртуа.1ЬНЫЙ электрон с импульсом р, и
позитрон с ИМПУ.1ЬСОМ р' анниrилируют с образованием фотона
с i!VfПУ.1ЬСОМ k. Диаrрамма на рис. 6.3,6 отвечает друrой воз
можной последовательности испускания фотонов. Матричный
Э.lемент рассматриваемоrо нами процесса дается суммой BK.1a
дов диаrрамм рис. 63. Это связано с reM, что фотоны тож-
дественные частицы, УJ,ОВ.1етворяющие статистике Бозе.
Выражение (6.40) может быть проинтеrрировано по им-
ПУ.1ЬСУ промежуточноrо э.lектрона р,. Окончате.1ЬНО для MaT
ричноrо элемента процесса e +e +y получаем
(f 1 S(2) I i) == iNр,N"VkINkе2r-;;( р');(k) : е (k')u(p) +
l' l p k' m
/'- 1 /'- ]
+ u ( p') е (k') е (k) u (р) (27':)4 О (k + k' Р р'). (6.41)
p k m
6.3. Процесс y+ e +e
в этом параrрафе будет рассмотрен процесс
Y+l' e +e , (6.42)
обратный процессу (6.32). Импульсы конечных электрона и
позитрона обозначим р' и р, а импульсы нача.1ЬНЫХ фотонов
k и k'. Нача.1ЬНЫЙ и конечный векторы состояния даются соот.
ветствеНIЮ выражениями
I i) == a (k') а+ (k) I О), }
I () == с+ (р') d (f)) I О). (6.43)
135
Наша задача состоит в вычислении матричноiЫ'элемента
(f/5(2) I i),
rде оператор 5(2) дается (6.3), а rамильтониан электромаrнит-
Horo взаимодействия (6.4).
Очевидно, что в матричный элемент рассматриваемоrо нами
процесса отличный от нуля вклад дает только с.1едующий опе-
ратор в соответствующем разложении Вика:
Н (Х 1 ) у'" е (Х 1 ) ё (Х 2 ) y е Н (X t ) A +) (Х 1 ) A +) (Х 2 ).
(6.4L:)
Имеем
(О I d (р) с (р') Н (Х 1 ) е Н (Х 2 ) ;: (О I d (р) ([с (р') -ё- Н (Х 1 Н+
ё Н (Х 1 ) с (р')) е Н (Х 2 ) == (О I Нр' U (р') e ip '<, N ри ( p) e ipx ,. (6А5)
Далее По.1учаем .
A +) (х 1 ) A +) (-'2) а+ (k') а-т- (k) I О) ==-
=== .--J +) (Х 1 ) [(A -'-) (Х 2 ), а'Т' (k')J +- a (k') АЬ+) (Х 2 )) а'Т' (k) I О)
== (Nkеа.(k)е ikxlNk,ез(k')е ik'Х, (k;=k')) 10). (6.46)
ВЫЧИС,lение \fатричНоrо элемента рассматриваемоrо нами
процесс а не представ.1яет теперь труда. С помощью (6.44),
(6.45) и (6.46) получаем
и I S(2) I i) === ( i)2 i N р' (р') еу'" (21t)' о (р'
Р1 k) 1 eyS (21t)4 о (Pl k'
(21t)4 Р1 т
( p)) U (р) NpN k е", (k) N k , e (k') d 4 Pl + (k;:: k'). (6А7)
Матричному элементу (6.47) поставим в соответствие диаr
раммы, преДстав.1енные на рис. 6.4. Ес.1И входящеЙ сплошноЙ
линии с импу.1ЬСОМ Р (р=== (рО, р) импульс позитрона) поста-
вить в соответствие Np===и ( p), а для остальных элемеНтов
диаrрамм рис. 6.4 принять сформулированные в 6.1 правила
соответствия, то очевидно, что по диаrраммам рис. 6.4 может
быть получен матричный элемент (6.47). Рассмотрение процес-
са y+ e +eт- позволяет нам сформу.1ировать с.1едуюrцее пра-
вило: входящей СП.10ШНОЙ электронной внешнеЙ линии с им-
пульсом p отвечает испускание позитрона с Иl\1ПУЛЬСОМ р.
Диаrраммы рис. 6.4 описывают с.1едующие возможности
перехода (во втором порядке теории возмущений) двух фото-
нов в э.lектрон-поэитронную парт фотон рождает конечный
136
k k'
Р1 р,
k'
k
а) о)
Рис. 64. Диаrраммы процесса y+y-+e +e+
позитрон и виртуа.1ЬНЫЙ электрон; затем распространяется вир
туа.1ЬНЫЙ электрон; наконец виртуальныЙ электрон поr.10щает
фотон и переходит в конечный электрон.
Выражение (6.47) может быть проинтеrрировано по им
пу.1ЬСУ виртуа.1ьноrо электрона Pl. Д.1Я \fатричноrо элемента
процесса y y e e получаем окончательно
< f I S (2) I i) ==
== iNр,Nр.vkINkе2 [ -;;(р');(k) 1 e(k')u( p)+
р' k т
+ (k ;: k')] (27t)4 О (р' р k k'). (6.48)
6.4. Процесс y e+--+'Y e+
В разложении Вика (6.23) имеется четыре члена. Первые
три члена дают вклады соответственно в матричные элементы
процессов, рассмотренных в 6.1 6.3. ПоследниЙ член дает
вк.1аД в матричный элемент комптон-эффекта на позитроне
y e+--+y e+.
( 6.49)
Обозначим импульсы начальных и конечных фотона и по-
зитрона k, Р и k', р'. Начальный и конечный векторы состояния
t>aBHbI
I i) == d+ (р) а+ (k) I О), }
I f) == d+ (р') а+ (k') I О).
(6.50)
Вычислим матричный элемент
<t I S(2) I i),
rде оператор 5(2) дается (6.3).
137
Рнс. 6.5. Днаrраммы процесса у+е+........у+е+
Очевидно, что в матричныЙ элемент <f I S(2) I i) дает ВК"lад
оператор
ё< )T (Х 2 ) (у";Wё (Х 2 ) yJ3{;<+)T (Х 1 ) х
Х ( ,(....) ( ) ,(т) ( ) , ,( ) ( . ) 4 (....) ( , ))
"1" ) 1 f1f! Х 2 т f1f! J( 2 ." .\ 1 .
(6.51)
Имеем
ё(+)Т (X 1 ) Аь+) (х 2 ) I i) == .v p ,17 ( p) ei( P)Xl,Vke (k) e i kx, 1 О), 1
(f I A "') (Х 1 ) е НТ (х 2 ) == I (6.52)
== (О !.Vk,ers.(k') elk'X1NpuT( p')e i< P')X2.
С помощью (6.51) и (6.52) ДЛЯ матричноrо элемента процесса
(6.49) без труда получаем с.1едующее выражение:
(t I S(2) I i) == ( i)2 [S N p ;' ( Р) еу" (2'1t)4 о ( Р Pl
. 1
k)....2....... eyll (2'1t)4 о (Р1 + k'
(2..)4 Pl т
( p')) u ( p') N p ' Nke'J, (k) N k , eJ3 (k') d 4 pl +
+ (' N р;' ( Р) eyrs. (27:)4 а ( Р + k' Рl)....!....... 1 Х
J (2..)4 Pl т
X'e"(lI (2'11:)4 о (Р1 k ( р')) u ( p') N р' N k' е" (k') N k ell (k) d 4p 1 ] .
(6.53)
Матричному элементу (6.53) отвечают диаrраммы, I1редстав-
ленные на рис. 6.5. Нетрудно убедиться в том, что с помоrцью
правил соответствия, сформулированных в предыдуrцих пара-
rрафах, по диаrраммам рис. 6.5 может быть получен матрич-
ный элемент (6.53).
138
Диаrр .#'da рис. 6.5,а (рис. 6.5,6) описывает следуюrцую воз
можность перехода из начальноrо Состояния в конечное: по
зитрон с импульсом Р поrлощает фотон с импульсом k (испу
екает фотон с импульсом k') и переходит в промежуточное
состояние с импульсом PI; затем позитрон распространяется
в промежуточном состоянии*; наконец, виртуальный ПОзитрон
испускает фотон с импульсом k' (поrлощает фотон с импуль
сом k) и переходит в конечное состояние с импульсом р'.
После интеrрирования по Рl для матричноrо элемента про
цесса ПО.1учаем окончательно следуюrцее выражение:
(f I S(2) I i) == i N р' N р N k N k' е 2 Х
х [ ( р) -; (k) 1 ;- (k') U ( р') +
p k т
+ U ( p) -; (k') 1 ;- (k) u ( P') ] (27:)4 о (Р' + k' Р k).
p+k' т
(6.54)
Итак, в послеJ,НИХ четырех параrрафах \fbI рассмотрели
с.1едующие электромаrнитные проц ссы:
y+e +e , (6.55)
е +ет--+j'+У, (6.56)
y+y..-+e +e , (6.57)
у+ et---ry + е""'. (6.58)
Все эти процессы MorYT быть получены, например, из KOМТITOH-
эффекта на электроне путем переноса частиц из одноЙ CTOpO
ны равенства в друrую с заменой при этом частиц COOTBeTCT
вуюrцими античастицами. Диаrраммы процессов (6.56)
(6.58) MorYT быть по.1учены из диаrрамм процесса (6.55)
(рис. 6.1 и 6.2), если допустить, что импу.1ЬСЫ внешни х линий
MorYT принимать как физические (p (pO, р), pO +1т2+p2),
так и нефизические ( P=== ( pO, p)) значения. При этом
выходяrцеи (входяrцей) сплошНОй электронной линии с им-
пу.1ЬСОМ Р отвечает поrлощение (испускание) позитрона
с импульсом р. ВыходяrцеЙ (входящеЙ) волнистоЙ фОТОIll,ой
линии С импульсом k отвечает поrлощение (испускание) <po
тона с импульсом k (фотон истинно нейтральная частица).
Отметим, что входящей либо выходящей фотонной линии с не-
физическим Импу.1ЬСОМ k следует поставить в соответствие
Nke(k).
* Электронная внутренняя сплошная линия {; нмпульсом Pl описывает
распространение позитрона (В направлении, противоположном стрелке) в им-
пульсном Р1.
139
6.5. Процесс e +e e +e
В этом параrрафе будет рассмотрено упруrое рассеяние
электронов на электронах (мёллеровское рассеяние)
e +e e +e . (6.59)
Ясно, что отЛИЧНЫй от ну.1Я ВК.1ад в матричный элемент этоrо
процесса дадут ТО.1ЬКО такие Ч.1ены в разложении S матрицы,
в которые входят два неспаренных оператора ё( ) и два опера
тора е(+). Все друrие операторы должны быть спарены. Это
означает, что ОТ.'IичнЫй от нуля вклад в матричныЙ элемент
процесса (6.59) MorYT дать только операторы четноrо поряд-
ка теории возмущений. Во втором (низшем) порядке теории
возмущений имеем*
'" ( )
т (е (Х 1 ) '( е (х 1) А", (Х 1 ) е (х 2) '(13 е (Xt) A (х 2) ) е ,l (х 1 ) Х
Х ёJ-;) (Х 2 ) е;"') (х 1) e "') (х 2) ('("'),1, (''( )p'p А (х 1 ) A ' f3 (х 2). (6.60)
Обозначим импульсы нача.1ЬНЫХ и конечных электронов
pI, Р2 И Pl', Р2'. НачальныЙ и конечный векторы состояния со-
ответственно равны
J i) == с'" (Р2) c (Рl) I О); }
I () == с'" (Р2') с+ (Р1') 10).
(6.61 )
В соответствии с нашим общим прави.10М будем действовать
на начальный вектор состояния положительно-частотными опе
раторами. Используя (6.8), получаем
e; ) (Х 1 ) e +) (х 2 ) с"'" (Р2) с'" (Рl) I О) == е;+) (х 1 ) ([eJ+) (х 2 ) с+ (Р2)]+
С + (Р2) e +) (х.)) с+ (Р1) I О) == (N р. и р (Р2) e ip,x, N р, и, (Рl) e iPIXl
Np,up(pl)e iPlX'Np,u,(p2)e iP.Xl) I О). (6.62)
Итак, если на вектор состояния двух электронов с импуль-
сами Р! и Р2 подеЙствовать произведением двух операторов
уничтожения электронов, то в результате мы по..1УЧИМ вектор
состояния вакуума, который умножается на волновую функ-
ЦИЮ, описываюrцую два электрона с импульсами Р! и Р2. Вслед
ствие тождественности электронов эта функция антисимметрич
на относительно перестановки Рl и Р2**.
* Здесь и в да.lьнейшем пос..lе знак'!. => будут удерживаться только та-
кие члены в разложении Вика, которые MorYT дать отличный от нуля вклад
в матричный элемент paccMaTpFBae oro процесс а
** Поскольку операторы с+ (Р2) и с+ (Pl) антикоммутируют, то очевидно,
что результат действня оператора с+ (Р2) с+ (PI) на любой вектор состояния
должен быть антиснмметричен относительно перестановки рl ир..
140
Подейс.... ем теперь на конечный вектор состояния <fI опе-
ратором ё ;-) (х 1 ) eJ-;) (х 2 ). Используя (6.13), получаем
(О I с (Р1') С (р,') ё -;) (х 1 ) ё ;-) (х.) === (О I с (Р1') ([с (р.') ё!;-) (х 1 )] +
e -;) (х 1 ) с (р/)) eJ;-) (х.) == (О I (N р.' 'И а , (Р/) Х
Х e iP " Xt.V р,' Ир' (Р1') e iPt ' х. (Р1' р.т)).
(6.63)
Таким образом, оператор ё ;-) (х 1 ) eJ;-) (х.) при действии налево
на конечный вектор состояния двух электронов с импульсами
Pl' и Р2' уничтожает электроны. В результате Mьr получаем BeK
тор состояния вакуума (01, который умножается на функцию
двух конечных электронов, антисимметричную (вследствие
тождественности электронов) относительно перестановки Pl'
и Р2'.
Приведем теперь выражение J,.1я свертки операторов элек-
тромаrнитно rо поля . Имеем
I , 1 S e ik(Xt ')
А", (х 1 ) AtI (х.) === (21')'4 g"'tI k 2 d 4 k.
(6.64)
ОТ\I':ТИМ, что вид свертки А", (х 1 ) AtI (х.) зависит от выбора ка-
либровки. Мы используе\f калибровку Фейнмана.
Вычисление матричноrо элемента процесса (6.59) не пред-
стаВ.lяет теперь никакоrо труда. Используя (6.62) (6.64) и
интеrрируя по :(, и :(2, ПО.1учаем*
(f I S(2) I i) ===
-== ( i)2 S [ .У р.' -;; (р.') е! (27t)4 о (р.' + k Р.) u (Р2') N р.' ( i) Х
(21')4
"- "'! N Pt' -Z; (Р1') ey (2'1t)45 (Р/ Р1 k) u (Р1) N Р1 (Р/ ;:= р.')] d 4 k.
(6.65)
Матричному элементу (6.65) следует поставить в соответствие
диаrраммы Фейнмана рис. 6.6.
По сравнению с диаrраммами ранее рассмотренных процес-
сов на диаrраммах рис. 6.6 имеется один новый элемент вну-
тренняя фотонная линия. Как ВИДНо из (t>.65), этой линии от-
вечает фотонный пропаrатор
i 1
(21')4 g"'tI!;2
(6.66)
'" в результате умножения (6.62) на (6.63) ВОЗIO!кает сумма четырех чле.
нов. Нетрудно убедиться в попарном равенстве этих ч.lенов. В результате
множнтель 1/2!, входящий в S \lатрицу, сокращается.
141
Рис. 6.6. Диаrраммы процесса e +e+-+e +e в низшем порядке по е
(а и индексы у матриц в соответствующих вершинах).
Очевидно, что д.1Я внешних э.'1ектронных .1ИНИИ и вершин сле
дует принять те же праВИ"lа соответствия, что и во всех pac
смотренных ранее примерах.
Диаrрамма рис. 6.6,а отвечает с.1едующей возможности пе-
рехода из нача.1ьноrо состояния в конечное: электрон с импуль
сом Р2 испускает'" фотон с импульсом k** и переходит в конеч-
ное состояние с импульсом Р2'; фотон распространяется в про-
межуточном состоянии с импульсом k; Э"lектрон с импульсом
р! поrлощает фотон и переходит в конечное состояние с им-
пульсом р/.
Диаrрамма рис. 6.6,6 отвечает друrой возможности перехо-
да из начальноrо состояния в конечное. элект-рон с импульсом
Р2 испускает виртуальный фотон с импульсом k и переходит
в состояние с импульсом р!'; фотон распространяется в вирту-
альном состоянии; ЭJlектрон с ИМПУ.1ЬСОМ р! поrлощает вирту-
альный фотон с импульсом k и переходит в состояние с им-
пульсом Р2' Эта вторая возможность перехода из начальноrо
состояния в конечное обусловлена тем, что электроны тож-
дественные частицы. Знак минус в (6.65) возникает из-за Toro,
что электроны удовлетворяют статистике Ферми Дирака.
По ИМПУ,'Iьсу виртуальноrо фотона в выражении (6.65) мож-
но провести интеrрирование. Окончательно ;ЩЯ матричноrо
элемента процесса e +e e '+e получаем следующее BЫpa
* Отметим, что напраВ.1е1iие стрелки на внvтренней фотонной лннин мо-
жет быть изменено на противоположное [Изменение направления стрелки
отвечало бы за\fене k k, которая не меняет зиачения интеrpала (6.65)1.
** Напомним, что квадрат импульса свободноrо фотона равен нулю.
В выражении (6 65) k 2 ,*0 (k переменная интеrрировання) Такой фотон
иазывают вирт} альным (ПрО\fежуточным)
142
жение:
(f I S(2) I i) == i N Р,' N р',.У Р, .У Р. е 2 [ (р/) 1"" u (Рl') (Pl' Pl)2 Х
Х (Рl') Ycr. u (Рl) (Рl') "("'и (Р2) ( , 1 )2 -;; (Р/) Ycr. U (Pl) l х
РЗ Pl
Х (2Тс)4 О (РI' + Рl' Р. Рl). (6.67)
6.6. Процесс e++e e++e
В этом параrрафе мы получим (в низшем порядке теории
возмущений по е) матричный элемент процесса упруrоrо pac
сеяния позитрона на электроне*
e +e ---+e +e . (668)
Очевидно, что ОТ.'IичныЙ от ну.1Я ВК.1ад в :>v1атричный элемент
процесса (6.68) дают четные порядки теории возмущений по
е (операторы электромаrнитноrо поля должны быть спарены).
Во втором (низшем) ПОРЯJ,ке ОТ.1ичный от нуля вклад дa T
операторы
Т(ё(Хl)уCtе(Хl)ё(Х2)у е(Х2)) =>
=>ё Н (Xl) у"е Н (Xl) ё(+) (X2)y e(+) (Х2) +
+ё Н (Х2) y eH (Х2) ё Н (Xl) уае(т) (Xl) +
+N (ё С ':") (Xl) У"е С +) (Xl) ё(т) (X2)y eH (Х2) ) +
+N (ё С +) (Хl )у"е Н (Xl) ё Н (Х2) y e(+) (Х2) )
( 6.69)
ПерестановкоЙ операторов под знаком нормальноrо произведе
ния, а также переобозначением переменных суммирования и
интеrрирования нетрудно убедиться в том, что вклад в S-мат-
рицу BToporo (четвертоrо) члена в правой части (6.69) совпа
дает со вкладом первorо (TpeTbero) члена. Далее отличный от
нуля вклад в матричный элемент дает только свертка опера-
торов электромаrнитно rо поля
т (А. (х 1 ) AIJ (Х 2 )) А. (х 1 ) A ' IJ (Х 2 ) == (21t )i 4 gcr.IJS e ik ; X') d 4 k.
(6.70)
Перейдем теперь к вычислению матричноrо элемента
<fI 5(2) I i),
rде начальный и конечный векторы состояния равны
I i)==c+(Pl)d (Pl') 10), I f)==c+ (P2')d+(P2) 10).
(6.71 )
* Этот процесс бы.'! впервые рассмотрен Баба. Ero часто называют про.
цессом Баба.
1-+3
)
Здесь Рl и Pl' (Р2' И Р2) импульсы начальных (конечных)
электрона и позитрона. Как обычно, на начальный I i) и конеч-
ный <f I векторы состояния будем действовать соответственно
положительно-частотными и отрицательно частотными операто
рами. Получаем*
(f I ;:;Н (X 1 ) У"'е Н (Х 1 ) ё(+) (х 2 ) ylJe(+) (Х 2 ) I i) ;=:
== N р..' е 1 р..' Х, 11 (Р2') 'С'" U ( р!) N р. /<
'< e Ц p')XI N p ,' e Ц P")X'и( Pl') ylJu (Pl) N p , e !P'X'; (6.72)
(f I N (е Н (x 1 ) У"'е(') (х 1 ) -ё(+) (х 2 ) уае Н (Х 2 )) I i) ==
== N р.' e i 1'1' х, U (р.т) у'" и (Р1) N р, Х
х e ip,. , N p ,' ei( PI')x, 11 ( P1') ylJ и ( pz') N p .' e i( P")x.. (6.73)
Вычисление матричноrо элемента рассматриваемоrо нами
процесса не представляет теперь никакоrо труда. Используя
(6.70), (6.72) и (6.73) и интеrрируя по Хl И Х2, имеем
(Т \ S(2) I i) == ( i)2 5 [N р.' u (Р2') е'с'" {2Тс)4 о (Р.т
k ( Р2)) u ( P2) N р. ( i) g ,, .Y р,' и ( Р1') еуВ (27:)4 Х
(2:.)4 "'... k 2
Х О (( Р1') + k Pl) u (Рl) N р, N р,' U ( Рl') еу'" (270)' Х
Х )) (( Р1') k ( Р2) u ( Р2) N Р. \2:' ; g"'lJ Х
Х ...J..... N р..'-;; (pz') е,с а (2Тс)4 о (Р2' Pl + k) u (Pl) N р, 1 d'k. (6.74)
k 3
Диаrраммы процесса eT+e --+e++e представлены на рис. 6.7.
Диаrрамма рис. 6.7,а отвечает следующей возможности пе
рехода из начальноrо состояния в конечное: электрон с им
пульсом Рl И позитрон С импульсом Pl' превраrцаются в вир-
туальный фотон с ИМПУ.1ЬСОМ k; фотон распространяется в про
межуточном состоянии; наконец, виртуальный фотон с импуль
сом k образует пару электрон с импульсом Р2' И позитрон
С импульсом Р2.
Друrая возможность перехода из начальноrо состояния
в конечное состоит в следующем (см. рис. 6.7,6): электрон
с импульсом Рl испускает виртуальный фотон с импульсом k
и переходит в конечное состояние с импульсом Р2/; фотон рас-
пространяется 8 промежуточном состоянии; начальный пози
* Отметим, что зиак минус в правой части (6.73) возникает в результате
действия оператора .У.
144
а)
Рис. 6.7. Диаrраммы процесса e++e -+e++e в низшем порядке по е
трон с импульсом Pl' поr.10щает виртуальный фотон и перехо
дит в состояние с импульсом Р2.
Диаrраммы рис. 6.7 имеют тот же вид, что и диаrраммы на
рис 6.6. Двум .1ИНИЯМ на рис. 67 (выходящей и входящей) при-
писаны, однако, нефизические импульсы (соответственно Pl'
и P2)' В соответствии с общим правилам, сформулирован
ным в 6.2 и 6 3, выходящая электронная линия с импульсом
Pl' является линией начальноrо позитрона с импульсом Pl',
а входящая электронная линия с импульсом P2 .1инией KO
нечноrо позитрона с импульсом Р2
Из выражения (6.74) очевидно, что по импульсу k вирту-
альноrо фотона можно провести интеrрирование. Окончатель
но для матричноrо ЭJ1емента процесса e +e --+-e++e получа.
ем следующее выражение'
(f I S(2) I i) == iN p , N p ,' N p ,Np., e2 X
х [ и (Р2') уа. U ( P2) ( ,1 ')2 и ( Рl') '(а. и (Pl) ;; ( Рl') Х
Pl Т Pl
1 ]
Х уа.и ( P2) (' )2 U (Р/) Iа. и (Рl) (21t)4 а (Р2' + P2 Рl Рl')'
Р2 Pl
(6.75)
6.7. Процесс e++e --+-!t++!l
В предыдущих параrрафах мы рассмотрели процессы рас-
сеяния электрона на электроне и электрона на позитроне (во
втором порядке по электромаrнитному взаимодействию). Здесь
будет получен матричный элемент процесса
е++е --+-!t++!J. (6.76)
во втором (низшем) порядке по электрослабому взаимодейст
вию.
1 6910
145
z
Рис. 6.8. Диаrра'd\fЫ процесса e+ e f!++f1 (обмен y KBaHTOM и Z-бозоиом)
5)
в соответствии со стандартной теорией электрослабоrо
взаимодействия пара eJ.. e может превратиться в фотон (элек
тромаrнитное взаимодействие) .1ибо в Z бозон (нейтральный
ток). Фотон и Z бозон MorYT превратиться в пару !J. !l . Ta
ким образом, во втором порядке теории возмущений по элект-
рос.1абому взаимодействию диаrраммы процесса (6.76) имеют
вид* рис. 68.
Интересующая нас здесь часть .1аrранжиана электрослабо
ro взаимодействия дается выр ажением [см. (4.160)]
:i f == е lya.lAa. 2со; 8w Е Т"(а. (gv +- gA "(5) lZa., (6.77)
! e.!J. l e.!J.
rде
1 , " . 2 l!
gv == :";SIП 'J\V;
2
1
gл ==
2
(6.78)
(8w уrол Вайнберrа).
Рассмотрим вначале первыЙ Ч.1ен выражения (6.77) (лаr-
ранжиан электромаrнитноrо взаимодействия). Очевидно, что
отл'ичный от нуля вклад в \fатричный Э.1емент процесса (6.76)
дает оператор**
т ( (X1) .(a.f.L (х 1 ) Аа. (х 1 ) ё (х 2 ) y l1 e (х 2 ) Af3 (х 2 )) ::;>
::;> H (х 1 ) ya.fJ.H (х 1 ) ё(+) (х 2 ) y f3 e(+) ( 2) Аа. (Х 1 ) A (X2)' (6.79)
* Поскольку стандартная теория не допускает п€'рехода электрона в мюон
С испусканием у-кванта .1ибо Z бозона, друrих диаrрамм процесса во втором
порядке нет
** Отметим, что в S матрицу входит два тождественных чдена вида (6.79).
Такнм образом, \tиожите.1Ь 1/2! в S->,fатрице сокращается.
146
Рис. 6.9. Диаrра\!ма процесса
e++e -+!c+ (О;J.нофотонный об-
мен)
.
КА
Рис. 6.10. Диаrрамма процесс а
e"'+e -+ ++ (о?мен Z.б030НОМ)
Да.lее начальный и конечный векторы состояния равны*
I i) === с+ (Рl) d (p ) I О),
I т) == с'" (р/) d+ (р/) i о),
}
(6.80)
rде Рl И Р2 импульсы начальных e и е+, а Pl' и Р2' ИМ-
пульсы конечных !С и !.с.
Действуя стандартным способом на начальный (конечный)
вектор состояния положительно частотными (отрицательно
частотными) операторами, получаем
(f I H (х 1 ) '("f.LH (х 1 ) е(+) (х 2 ) yl3 e (+) (х 2 ) I i) ==
N N V N e iPl/Xl u (p / )Y " u( p ' )e i( P2')tl x
........... Рl' р'}.' 1 Р! р" 1 2
х е l ( P2)X' u ( Р2) yl3 u (Рl) е i Р 1Х ж..
(6.81 )
Да.lее, используя (6.70) и (6.81), для вклада rамильтониана
электромаrнитноrо взаимодействия в матричный элемент про
цесса (6.76) находим следующее выражение:
(f I S(2)em I i) == ( i)2 S N p, ' (Рl') еу" (2Тс)4 1) (Рl' ( Р2')
q) и ( P2') N p ./ ( i) g Q. N 1'> ( P2) e'(t1 (2Тс)4 о (q +
(2п)4 ".. q2
+ ( Р2) Рl) и (Рl) N P1 d 4 q. (6.82)
Матричному элементу (6.82) отвечает диаrрамма рис. 6.9.
* Мы не вводим специальных нндексов, которые отличали бы операторы
рождения электронов от операторов рождения мюонов. По существу роль
таких индексов иrрают импульсы частнц.
10. 147
Свертка операторов поля Z-б030НОВ дается выражением
[см. (5.48)]
. s
l
Z" (х 1 ) Zf3 (х.) ==
- (21t)4
/ q" qf3 \
:g"f3 1 1
\ m z /
q J т
!q(x, ,) d 4
е q.
(6.83)
Из (6.70), (6.77) и (6.83) очевидно, что вклад нейтральноrо
тока в матричный элемент процесса (6.76) может быть полу
чен из (6.82) следующей заменой:
e 2СО;Э w ' Y" Y"'(gV+gAY5),
Имее r
g.f3
qJ
q"qf3
g..I3
m z
q2 m
(r ! S(2)0 I i) == ( i)2 S N р,' и (рп 2СО; 8w '('" (gy +
q.. qf3
I . g"'f3 7
+ gA 15) (2Тс)4 о (Рl' ( Р2') q) u ( Р2') N p " ' (2 ) 1; 2 Х
1t q mz
Х.Ур,и ( p;) 2co;8 w уВ (gy + gAIS) (2Тс)4 о (q + ( P2)
Рl) u (Рl) N p , d 4 q.
(6.84)
Матричному э.1ементу [155] отвечает J,иаrрамма рис. 6.10.
Вершинам на рис. 6.1 О С.1едует поставить в соответствие
g ' ( '" (g + g ' ( ) ( 2Тс)4 О ( р' р)
2cos 8w у А 5
(6.85)
(Р и Р' суммарные входящий и выходящий импульсы), BHYT
ренней штрихованной линии пропаrатор Z б030на
i
q.. qf3
g",f3
m z
q2 т
(6.86)
(21t )4
а сплошным линиям соответствующие спиноры со стандарт-
ными нормировочными множителями.
По импульсам промежуточиых фотона и Z-б030на в Bыpa
жении (6.84) может быть проведено интеrрирование. В pe
148
зультате для матричноrо элемента рассматриваемоrо процесса
получаем следующее выражение:
(f I 5(2) I i) == i N р, N Р. N р,' N р.' Х
х [e2 (Рl') уа. U ( Р.') 7 ( P2) у а. U (Рl) +
2
+ 4cO: 9w и (Рl') '(а. (gv + gA '(5) U ( P2') х
х
qa. qB
ga.B
mz
q2 т
( P2) У rJgv + gA '(5) и (Рl) }21t)4(J(Pl' +P2' Pl P2)'
(6.87)
[де
q==Pl+P2==Pl' +Р2'.
Нетрудно ВИJ,еть, что второй член в ЧИСJIителе пропаrатора
Z-бозона может быть опущен. Действите.1ЬНО, ИСПОJ1ЬЗУЯ ypaB
нение Дирака, по.1учаем
п (Рl') уа. (gv + gA '(5) U ( р/) qa. == 2тJj.U (Рl') gA '(5 и ( p.'), }
(6.88)
U ( P2) ,(а. (gv + gA 15) U (Рl) qa. == 2т е и ( Р2) gA IБ и (Рl)'
[де тJj. и те массы МЮона и электрона. Таким образом, BTO
рой член числителя пропаrатора Z-бозона равен
4т те
«1. Да.1ее, в стандартной теории с хиrrсовским дубле-
m Z
том между массами w и Z-бозонов имеет место соотношение
(см. 2.4)
т cos 2 б w == т .
Получаеы
g2 == 2 т 2
4cos 2 9w V 2 Z ,
(6.89)
rде
G g2
v c 2' 8т
констаита Ферми. Матричный элемент (6.87) может быть,
следовательно, записан в виде
(f I 5(2) I i) == i N р, N р> N р,' N р.' [ е 2 ; (Р;) уа. u ( Р 2 ') 1. ;( P2)I U (Рl) +
q2 а.
149
G т
+ 2 V и (р;) ya.(gv + gAY5) и ( p;) 2 и ( P2) '(a.(gv +
2 q2 m z
+ gA у 5) и (Рl)] (2Тс)4 О (р; + Р; Р1 Р2)' (6.90)
Сr30значим Е энеrrию е+ (e ) в с. ц. и. Если выполняется нера
венство Е'« т ,5.103 rэв", то очевидно, что множитель
4
т
!3 (6.Ю) ;v:ожно заменить на 1.
q2 m
"\ D
6.8. Процессы v (vu}+e vjJ.(v )+e
В этом параrрафе мы по.1УЧИМ матричные элементы процес
сов упруrоrо рассеяния мюонных неЙтрино и антинейтрино на
электроне:
v +e --+-v +e , (6.91)
v +e --+-v +e . (6.92)
Рассмотрим вначале процесс (6.91). в низшем (втором) роряд-
ке теории возмущений по электрос.1абому взаимодеиствию
процесс v е рассеяния обусловливается обменом Z бозоном
между нейтрино и электроном*. Диаrрамма процесса представ
лена на рис. 6.11.
Перейдем теперь к вычислению матричноrо элемента про-
цесса (6.91). Лаrранжиан, описывающий взаимодействие мю-
онных нейтрино и электронов с Z бозонами, имеет вид [см.
(4.160)]
21 == 2со: 8w [+ (-; уа. (1 + У5) \' ) + (i уа. (gv...!.... gA У 5) е)] Za.,
(6.93)
[де
gv=== 1/2+2sin2ew; gA == 1/2.
Во втором порядке по g вклад в матричный элемент процесса
(6.91) дает оператор
т (v (х 1 ) уа. (l + У5) v!J. (х 1 ) Za. (х 1 ) е (х 2 ) '(f3 (gv + gA у 5) е (Х 2 ) Zf3 (х)) :::}
:::} N (V )(Xl)"(a.( 1 +Y5)V +) (x 1 )e H (x 2 )yf3(gV+gA'{ 5)e<+)(x 2 ))Z,,(x 1 )Zf3(X 2 ).
(6.94)
* ОТ'dетим, что в четвертом порядке теорИН возмущений в \fатричный эле-
мент процесса (691) дает вк.1ад также обмен W.б030нами
150
Начальный и конечный векторы coc
тояния равны
li>==c+(p)CT(k) 10),
If>==c+(p')c+(k') 10). (6.95)
Вычисление матричноrо элемента
оператора (6.94) ничем не отличает.
ся от вычислений, которые мы уже
неоднократно проделывали. Для мат-
ричноrо элемеНта процесса v'" e
рассеяния получаем с.lедующее BЫ
ражение:
(r I 5(2) I i) === i g2 Х
8cos 2 9w
Х .Y k , N k N p ' Npu (k') '('" (l 7 '(5) U (k) Х
Рис 6.11. Диаrрамма про-
цесса У\-, +e -+"}.' +e
х 1 и (р') '(", (gv + gA '(5) u (р) ( 7t)4 О (I ' + р' k р), (6.96)
q 2 т
[де
q==k k' ===р' p.
,\ilатричный Э.lемент (6.96) можно получить с помощью ди-
arpaMMbl рис. 6.11. При этом нейтринной вершине с.lедует по-
ставить в соответствие
2-':0;9 w +'{'"(1 + '(5) (21t)4 о (k' + q k),
а J,.lЯ всех остадьных эдемен1'ОВ диаrраммы принять уже сфор.
МУ.1ированные правила соответствия.
Отметим, что при всех доступных нам энерrиях q2 m2z*.
Таким образом, q2 в пропаrаторе Z-б030на можно пренебречь
по сравнению с m 2 z. Д.1Я эффективной константы взаимодей
ствия получаем
[52 G
8т cos 2 9w == 1/2 р,
rде
(6.97)
mir
р == (6.98)
т cos 2 9w
Напомним, что в стандартной теории электрос.1абоrо взаимо.
действия с J,ублетом хиrrсовских б030НОВ р== 1.
* Действите.1ЬИО, q2 (s (k+p) 2 2тeE; f1'Iе масса электрона. Е
энерrllЯ нейтрино В.1 с) Из данных опыта следует, что тz 0,9.105 МэВ
И\fеем q2/тz2 10 IO Е/МэВ.
151
Диаrрамма процесса V!-L+e !-L+e может быть получена из
рис. 6.11, если выходящей нейтринной линии приписать им-
пульс k, а входящей импульс k' (k и k' импульсы Ha
чальноrо и конечноrо антинейтрино). Матричный элемент это
[о процесса дается, следовательно, выражением
(f 15(2) I i) == i р N k , NkN p ' N p --;;, ( k) ,(о (l '(,) и ( k') Х
V 2 '
Х и (р') '( а. (gv gA '( 5) и (р) (27:)4 О (k' + р' k р). (6.99)
6.9 Процессы 'Ve(Ve)+e Ve(Ve)+e , e++e ve+Ve
В этом параrрафе VfbI получим матричные
цессов
элементы про-
Vp+t' Ve+e ,
Ve+e Ve+e ,
e++e e+Ve
(6.100)
(6.101 )
(6.102)
во втором (низшем) порядке теории возмущений по электро
с.1абому взаимодеЙствию. Начнем с Первоrо процесса. Нача.пь-
ное нейтрино может испустить виртуальный Z бозон и перейти
в конечное нейтрино Виртуальный Z-бозон поrлощается да-
лее электроном. При этом электрон переходит из начальноrо
состояния в конечное Эта возможность перехода обусловлена
нейтра"lЬНЫМИ токами [.1аrранжиан взаимодействия (4.160)].
Соответствующая ;J.иаrрамма представлена на рис. 6.12.
Друrая возможность перехода из нача.'IьноrО состояния
в конечное состоит в с.1едующем. Начальное электронное ней-
трино испускает виртуа.1ЬНЫЙ W -бозон и превращается в KO
Рис. 6.12. Диаrрамма процесса
Vee --+Vee (обмен Z-бозоном)
152
Рис. 6 13. J:иаrрамма процесс а
Vee --+Vee (обмен W бозоном)
нечный эле он. Виртуальный W бозон поrлощается электро-
ном. При этом образуется конечное электронное нейтрино (си.
J,иаrрамму рис. 6.13). Эта возможность обусловлена заряжен-
ными токами*.
Перейдем теперь к вычислению матричноrо Э.пемента про-
цесса (6.100). В :\1:атричный элемент этоrо процесса дает вклад
лаrранжиан взаимодействия
Х[ == V g e '(" (1 , '(5) eW" :rn ;'(" (1 + '(5) VeW;;
2 2 2у2
2CO 8w [+ ( e '(" (1 15) V e ) Za. (е'(а. (gv +'gA '(5) е) Z+
(6. 103)
представляющий собой часть общеrо .1аrранжиана электросла-
боrо взаимодействия [см. выражение (4 160)]. Константы gv и
gA В (6.103) даются выражениями (6.78).
Очевидно, что вк.1ад, который дает в матричный элемент
рассматриваемоrо процесса диаrрамма рис. 6.12, может быть
наЙJ,ен по правилам соответствия, сформулированным при рас-
смотрении VI1 е-рассеяния. Из (6 103) ясно, что вершинам ди-
arpaMMbl рис. 6.13 следует поставить в соответствие
2 '(" (1 + 15) (27:)4 /) (р' р),
[де р' и Р СООтветственно суммарный выходящий и входя
щиЙ 4-импу.'IЬСЫ. Внутренней линии на диаrрамме рис. 6.13 от-
вечает пропаrатор W-60зона:
qa. qf3
ga.f3 m 2
i w
(27:)4 q2 т
По диаrраммам рис 6.12 и 6.13 получаем следующее BЫ
ражение Д.1Я Vfатричноrо элемента процесса V!-L е-рассеяния**.
(6.104)
(Т I 5(2) I i) == i v G 2 .V k , ,V k N p ' N p [ (k') '(а. (1 + "(5) и (k) (р') )<
х '(a.(gv т gA15) u (р) и (р') '(а. (1 + '(5) u (k) и (k') '(а.Х
Х (1 + 15) и (р) I C 7t)4 /) (k' + р' k р). (6.105)
Очевидно, что в случае v.... е.рассеяния во втором порядке теории
возмущений такой возможност'f нет' VfJo не \(ожет ПDевратиться в e с испус.
канием W-".бозоиа.
** ОТl\!етим, что мы пренебреrали q2 в пропаrа-торах z и W.бозоиов по
сравнеиию с mz 2 11 mw 2 соответственно (см примечание на с 151). Мы УЧ.1И
также, что в соответствии со стандартиой моделью mz2coszew mw2
153
Матричный элемент (6.105) может Бы1аписанH в более
компактном виде. Для этоrо следует воспользоваться преобра
ЗОванием Фирца (см. приложение П. Получаем
(f 15(2) 'i) == i :3. Nk,NkNp,Np (k') '(а. (1 + '(5) u (k) Х
Х u (р') Уа. (g'tr .L gA у 5) u (р) (21t)4 /) (k' + р' k р). (6.106)
Здесь
g :::-: gv + 1 == + + 2sin 2 6w, ]
gA == gA + 1 == 1/2.
(6.107)
Д.1Я матричноrо элемента процесса V:+e e+e во втором
порядке теории возмуrцений по g с помощью (6.103) без TpYJ,a
находим
(f I 5(2) I i) == j Nk,NkNp,Np[ ( k)'(1X (l .L '(5) и ( k') Х
Х и (р') '(а. (gv + gA '(5) и (р) и (р') уа. (l + '(5) и ( k') и ( k) Х
Х '(а.(1 ---r '(5) и (р)] (21t)4 /) (k' + р' k p), (6.108)
r де k и k' И\fПУЛЬСЫ начальноrо и конечноrо антинейтрино.
Первый (второй) член выражения (6.108) преJ,ставляет собой
BKJ1a;!, в матричныЙ элемент процесса (6.101) нейтральноrо
(заряженноrо) тока. Диаrраммы процесса (6.102) представ.1е-
ны на рис. 6.14.
Очевидно, что матричный элемент (6.108) может быть по-
лучен из диаrрамм рис. 6.14, если воспользоваться правилами
соответствия, сформулированными ранее. Наконец, с помощью
тождества Фирца выражение (6.108) может быть записано сле-
дующим образом:
(f I 5(2) I i) == i I Nk' N k N p ' N p [ ( k) '(а. (1 +- '(5) u (k') Х
2
Х (р') '(а. (g + gA у 5) u (р)] (21t)4 /) (k' + р' k р), (6.109)
[де константы gv e И g4 e даются (6.107).
В заключение получим матричный элемент процесса
e++e Ve+Ve,
(6.110)
в соответствии с общим правилом, которое бы.'IО СфОрМУJIИрО
вано в 6.2 и 63, диаrраммы процесса (6.110) MorYT быть по-
.1учены из J,иаrрамм рис. 6 12 и 6.13, если выходящей элект
154
w
о)
Рис 6.14. Диаrраммы процесса е-r-е --.:vе+ё. Обмен w. и L.-бозонами
;JOнной линии приписать ИМПУ.'Iьс p', а входящей нейтринной
.1ИНИИ импульс k (р' и k импульсы начальноrо позитро
ча и конечноrо антинейтрино). Диаrраммы процесса (6.110)
ПDедстаВ.1ены на рис. 6.15. С ПОМОЩЬЮ диаrрамм рис. 6.15 д.1Я
\lатричНоrо Э"lемента процесса (6.110) получаем следуюrцее
вы:р ажение: '
t J 5(2) I i) == j a ,Vk,' .У р ' Nk,N p [-;; (k') у'" (l '(5) и ( k) Х
V2
/ и ( p') '(", (gv +- g." '(5) и (р) u (k') '('" (1 + '(,) и (р) и ( p') Х
Х '(",(1 + "(5) и ( k)] (21t)4 /) (k' + k Р - р') ==
G
== V'2 ,Vk,' N p ' NkN p [и (k')"('" (1 + '(s) и ( k) и ( р') х
х '(a.( +gA'(5)и(P)](21t)4/)(k' +k p p'). (6.111)
Здесь р и р' импульсы начальных e и е+, а k' и k ИМПУ.'1ь-
сы конечных V e И Ve.
а)
Рис. 615. Диаrраммы процесса е++е --...v.+Vе (обмен z- и W-бозонами)
155
6.10. Заключение (правила Фейнмана)
В этой rлаве были получены матричные элементы целоrо
ряда электромаrнитных и с.'Iабых процессов (во втором поряд-
ке теории возмущений). Мы убедились, что матричным эле
ментам процессов можно поставить в соответствие диаrраммы
Фейнмана, и сформулировали правИла соответствия между эле-
ментами диаrрамм (внешними и внутренними линиями и вер-
шинами) и величинами, из которых строятся матричные элемен-
ты процессов (спинорами, матрицами, пропаrаторами и т. д.).
Эти правила имеют универсальный характер (они отражают
структуру операторов в разложении Вика).
Процессы, которые мы рассмотрели в этой rлаве, обуслов-
лены взаимодействием .1ептонов и нейтрино с калибровочными
векторными бозонами (у, W, Z). Лаrранжиан этОrо взаимодей-
ствия имеет следуюrций общий вид:
.р I=:;= fФlr!Х'Ф2ХCt+h с.,
(6.112)
[де f константа взаимодеЙствия; 'Ч'l, 'Ч'2 и Ха. соответствен-
но поля фермионов и BeKTopHoro бозона, [а. матрицы Дира-
ка. В разложении Вика .1юбой из операторов в (6112) может
быть оператором уничтожения (рождения) .1ибо может вхо-
дить в свертку с соответствующим опер атором (из J,pyroro
лаrранжиана взаимодействия). В соответствии с (6.112) на-
Ча.1ЬНЫЙ фермион может испустить (поr.10ТИТЬ) векторный бо-
зон и превратиться в конечный фермион (рис. 6.16).
Диаrраммы Фейнмана позволяют перечис.1ИТЬ (весьма ::er-
ко И наrдядно) Все основаННые на лаrранжиане взаимодейст-
вия (в рассматриваемом нами с.lучае на рис. 6 16) способы
перехода из нача.1ьНоrо состояния в конечное.
В качестве ПОС.1еJ,неrо примера рассмотрим процесс
e++e v +v .
(6.113)
Нача.1ьные e и e MorYT превратиться в виртуа.1ЬНЫЙ Z-бозон
(нейтра.1ЬНЫЙ 'Т:9к). Виртуа.1ЬНЫЙ Z-бозон может затем превра-
титься в пару v:.L v (неЙтральныЙ ток) Соответствующая ди-
arpaMMa изоБЕажена на рис. 6.17. Может ли пара e+ e пре-
вратиться в v v путем обмена W бозонами? Очевидно, что
во втором порядке теории возмущении это невозможно (при
испускании W -бозона э.1ектроном образуется электронное
неЙтрино). В четвертом порядке теории возмущений по элект-
РОС.'Iабому взаимодействию e+ e MorYT превратиться в v: v
путем обмена парой W-бозонов (см. J,иаrрамму рис. 6.18).
В заК.1ючение привеJ,ем сводку правил Фейнмана, получен-
ных в этой rлаве.
156
Рис. 6.16. Вершина, отвечающая
превращеин;ю одноrо фермиоиа в
друrой с испусканием (поr.l0ще
иием) BeKTopHoro бозоиа
Рис. 6.17. Диаrpамма процесса е++
+e --+ + -:;
1'0, }J.
Рис. 6 18 Диаrрамма процесса e++e 'JjJo ...L
+ V}J. В четвертом порядке по g
1. Выходящей (входяrцей) .1ИНИИ
с физическим импульсом Р (р 2 ===т 2 ,
NpU(p) (Npu(p)).
2. Внутренней линии спинорноЙ частицы с ИМпу.1ЬСОМ р
(р2=1=т 2 ) отвечает пропаrатор
1
(27t)4 p т (р==уа.Ра.).
3. ВыходящеЙ либо входящей линии
с импульсом q (q=== (qO, q), qO===f q 2+ т 2,
отвечает N qea. (q).
4. Внутренней фотонной .1ИНИИ с импульсом k (k 2 =1=O) отве-
чает пропаrатор
частиц ы со с пином 1/2
ро===.+ -У р 2+ т 2) отвечае1
векторной частицЫ
т масса частицы)
! ga.fI
( )4 li2'
5. ВнутреннеЙ линии ассивной векторной частицЫ с им-
пу.1ЬСОМ q (q2=1=m2, m Масса свободной частицы) отвечает
пропаrатор
qa. qfl
i glXfI ---тт--
(27t)4 q2 т 2
6 Электромаrнитной вершине отвечает
e'VCl. (2л) 46 (р' p)
{р и р' суммарный входяrций и выходящий 4-импульсы).
7. W бозонной вершине отвечает
V g '('" (1 + 15) (21t)4 о (р' Р).
2 2
8. Вершинам, соответствуюrцим испусканию Z бозона ней
трино и Z бозона лептонами, отвечают
g
2cos 6,v
J....'(", (1 15) (21t)4 о (р' Р) и
2
2Со; 6,v '('" (gv + gA 15) (21t)4 о (р' р).
В стаНJ,артной теории электрослабоrо взаимодействия
gv==: 1/2+2sin2ew, g4==: 1/2.
9. ВыходящеЙ tвходящей) внешней .1ИНИИ спинорной части-
цы с нефизическим импульсом p== ( pO, p) (рО==: +"ур2+ т 2)
отвечает NрЙ( р) (Npu( p)). Эта линия является .1инией BXO
дящей (выходящей) античастицы с импульсом р. (Последнее
правило относится к частицам с любым спином.)
10. Выходящей (входящеЙ) внешней линии скалярной (.lИ-
бо псевдоскалярной) частицы с импульсом q отвечает множи
тель N q ; внутренней линии частицы со спином, равным ну.1Ю,
отвечает пропаrатор
(2r.)4 q т 2
Подчеркнем, что нами была принята такая нормировка, при
которой как для частиц с целым спином, так и для частиц
1 1
с полуце.лым спином N p == 3/2 V .
(2r.) 2рО
В заК.lючение отметим, что в случае лаrранжианов взаимо
действия, отличных от тех, которые были рассмотрены в этой
rлаве, возникают, разумеется, вершины друrоrо типа. Техника
Дайсона Вика .1erKO ПОЗВО.lяет найти вершины, отвечаюrцие
любым .1аrранжианам взаимодеЙствия.
rлава 7
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ JotЗМЕРЯЕМЫХ НА ОПЫТЕ
ВЕЛИЧИН
7.1. Сечение процесса. Вероятность распада
В этой rлаве будут изложены некоторые общие Методы вы-
числения сечений, поляризаций, вероятностей распада и дpy
rих измеряемых на опыте величин. Начнем с определения ce
чения процесса. Рассмотрим процесс
аj+ат+ а j'+а2'+ ... (7.1)
Обозначим импульсы конечных частиц Pl', Р2" ..., а импульсы
начальных частиц Pj, Р2. j\1атричный элемент процесса имеет
вид
<f I 5 11 i) == <f I R I i) (2п) 46 (р' р),
[де р' ==Р2' +Р2' + '" (P==Pl+P2) полный конечный (началь-
ный) 4 импу.1ЬС. Отметим, что матричный элемент <f 1 R I i) 9б
ращается в ну.1Ь, если взаимодействие отсутствует.
Для дифференциальной вероятности обус.10вленноrо взаи-
модействием перехода из начальноrо состояния в конечное по
лучаем следующее выражение.
dW li == I (f I R I i) 12 (27.)' 5 (Р' P)...J...... S eЦP' P)x d 4 ). d' р;d З р;...
(2r.)4
(7.3)
Величина dW fi является вероятностью перехода из состоя-
ния I i) в СОСТОЯНие 11> за время от oo до 00 [см. определение
5 матрицы (1.47)] и во всем пространстве (начальные и KO
нечные частицы описываются плоскими ВО.1нами). Д.1Я вероят-
ности перехода в единицу времени и в единице объема из (7.3)
находим
dW f .
dWfi == 1im == [ (f I R I i) 12 (27.)48 (р' р) dЗр; dЗр ... (7.4)
т OO VT
V OO
Рассмотрим теперь в лабораторной
системе (системе, в которой частицы а2
покоятся) изображенный на рис. 7.1
элемент объема. Заштрихованная еди-
ничная площадка расположена перпен-
J,икулярно импульсу частицы а!. В изо-
бр аженном на рис. 7.1 э.1ементе объема
находится Р2" ( X. 1) частиц мишени
(Р2 Л плотность частиц а2 в л. с.)
Обозначим dcrf; дифференциа"lьное сече
(7.2)
л
РI
Рис. 7.1. ЭлемеИТ объема
в .1абораторной системе
139
ние процесса. Число переходов за еДИНИ!J,/' времени в объеме
( x'1) равно
dati (ilx. 1) Р2.1а 1"'Р1"\
[де Рl"V j Л поток частиц а! в л. С. (V1 Л скорость, а Р1 Л
плотность). Имеем
dаti( х.l)Рl.1Р2ЛV1"'===dWfi( х.l). (75)
Из (7.4) и (7.5) следует, что дифференциальное сечение про-
цесса дается
dafi == ....!....(21t)4 I (! I R I i) 12 /) (р' р) d 3 p; d 3 p;..., (7.6)
1
[де
j === Pl.1 p2 "Vj.l
нача.1ЬНЫЙ поток. Эту последнюю величину нетрудно запи
сать в инвариантном виде. Имеем
Р .l 1/ ( . 9'
V .1 1 PIP 2 ) . т 1 -т 2 -
1 Е1Л PIP 2 '
[де m! и m2 массы а! и а2 частиц. Далее
pj.l p2 .1=== jlj2,
(7.7)
(7.8)
(7.9)
[де
ji'7.=== (pi, piVi)
....., 4-вектор потока i й частицы (i === 1, 2). Очевидно, что
. . PIP 2 (7 10)
1112 == PIP2 .
Рl Р 2
Окончательно с помощью (7.7), (7.9) и (7.1 О) дЛЯ инвариант-
Horo (мёллеровскоrо) потока получаем сл едующее выражение:
. Р V (PIP2)2 m12m2 (7.11)
1 Рl 2 PI O Р20
ДО сих пор мы раСС\fатривали случай бесспиновых частиЦ.
Предположим теперь, что спины начальной частицы с импуль
сом Р! И конечной частицы с импу.1ЬСОМ Pl' равны 1/2, а спины
всех остальных частиц равны нулю. В этом случае матричный
элемент <f I R I i) имеет сдедующий общий вид:
(f I R I i) == N pt Np.N pt ' N p .' ...i?' (р/) Ми' (Рl), (7.12)
[де " и , спиральности
N pt , N p , ,.., CTaHдapTHыe
, 1 1 )
( N р == 3/2 ' а М матрица, действующая на спино-
, (27':) V 2 р О
вые переменные (и зависящая от импульсов начальных и ко-
нечных частиц).
160
начальной и конечной частиц;
нормировочные множители
При измер\ ,))и сечения реrистрируются только импульсы
конечных частиц. Это означает, что в соответствующем BЫpa
жении по r' следует провести суммирование. Кроме Toro. мы
должны учесть, что спиновое состояние начальных частиц опи
сывается в общем случае матрицей плотности (см. приложе
ние Д). Учитывая, что
(i?' (р;) Ми' (Рl))* == и'+ (Рl) М+ '(о[ (р;) == 1/ (Pl) Ми" (р;). (7.13)
rде
J;J =='У О М+'У О , (7.14)
для сечения процесса получаем в рассматрива ом случае
следующее выражение:
dafi == J.... N;,N;' (({' (р;) Ми" (Рl)) P ", (7J." (Рl) М и" (p )) Х
J , I.J
r . r l' r 2.
х (27t)4 О (р' Р) N ,. N ,', ... dЗр; d'p;...
(7 . 15)
Здесь p , элемент матрицы плотности нача.ПЬНЫХ частиц.
PaCCMOTp M сумму по r', rl и r2 в выражении (7.15). Имеем
r', r T'.1 О " ,
S и (Pl) м и '(Рl)и (Рl) Р""Ми (Pj) ==
" r 1.r
(Мр О (Рl) j1);o' Л"., (р;) == Sp МрО (Pl) мл (р;). (7.16)
"1.':1'
Здесь
О (р) " (P) " ( ) 0
р 1 == и 1 и Рl Р'l"
r l' '1
(7.17)
матрица плотности начальных частиц с импульсом Pl, а
л (р;) ='= S и" (р;)-и" (р;) == р; + т
"
(7.18)
проецирующий оператор. Матрица П,,10ТНОСТИ частиц со спи-
ном 1/2 подробно рассмотрена в приложении Д.
При той нормировке, которая была нами принята, плотнО
ети Рl и Р2 В выражении (7.11) равны:
1
Pl == Р2 == (21))3 . (7.19)
Используя (7.11), (7.15), (7.16) и (7.19), для сечения процесса
получаем слеJ,ующее выражение:
dafi == 1 Sp Мр О (Рl) м л (p ) (27t)4 а (Р'
4 V (РIР2)2 т12m22
1 d 3 pl' 1 d 3 p2'
Р) (2::)3 2Рl'О (2'1t)3 2рз'О ... (7.20)
161
11 691O
Предположим теперь, что в начальном аrtтоянии имеJQТСЯ
античастица и частица с импульсами соответственно Рl и Р2 И
спином 1/2. Спины конечных частиц равны нулю. Матричный
элемент процесса имеет в этом случае следуюrций общий вид:
(! I R I i) ==Np,N p , N р,' N р,' ". -и" ( Рl) Ми" (Р2),
rде М матрица, J,ействующая на спи новые переменные. Оче-
видно, что
, r ,. r
(и '( Рl) Ми' (Р2))'" == и' (Р2) м и '( Рl)'
Далее воспользуемся соотношениями
и( p)==eйT(p); й( p)== иT(p)e l,
(7.21 )
[де е матрица зарядовоrо сопряжения, удовлетворяющая co
отношениям (см. приложение В.8)
e'Ya.TC l== a., eT== e.
L{ля сечения процесса получаем
d 1 2 2 t"
Он ==jNp,N p ,
"'1' '1' "2,r./
(и" (Рl)) т e 'Mи" (Р2) P ,r"l{" (Р2) Ме Х
х ( и'" (р ))Т p , ,/211: ) 4 О (р' Р) сРР1' сРР2' .. (7.22)
1 , , \ (2:.)3 2P't 0 (2:.)3 2.02,0
Здесь p " и p , , элементы матриц П.10ТНОСТИ соответственно
':! 11
частицы и античастицы. Спи новые матрицы плотности части
цы и античастицы даются в виде
о ( J " ( ) '.' ( ) О
Р Р ::::J "-'" и Р2 и Р2 Р",."
.....0 '1 rl' .....0
Р (Р1) == "-'" и (PJ и (PJ Р",,' .
r 1,'2;
r l' r l'
(7.23)
Из (7.22) и (7.23) J,ля сечения процесса получаем в рассмат-
риваемом случае следующее выражение:
1
dO fi == V Sp МрО (PJ М р О ( pJ Х
4 (.01.02) 2 т 1 2т2 2
Х ( "'7t ) 4 О ( р' Р ) d 3 p1' d3Pt' ( 7.24 )
(27;)3 2.01,0 (2п)3 2.02,0.'"
[де
рО ( Pl) ==""'=-е (рО (Рl)) TC l.
(7.25)
Предположим теперь, что спины двух начальных и двух KO
нечных частиц (частиц с импульсами Рl, Р2 И Pl', Р2') равны
1/2 и что матричныЙ элемент процесса имеет вид
162
(f I R I i) == iv р, N р. N р,' N р.'... i?" (Рl'),\1" и" (Рl) и'" (Р2') N" и" (Pt),
(7.26)
[де матрицы Ма и Ма являются суммами вектора и псевдовек-
тора. HeTpYJ,Ho показать, что сечение процесса имеет в этом
с.пучае вид
dO fi == V 1 Sp .\1" рО (Рl) 1\1'11 f\. (Рп Sp V" рО (Р2) N f3 Х
4 (PIP2)2 т12т22
Х Л ( Р ') (27:)4 О (р' P)...J....... d З Рl' .......!....... d З Р2' ..., (7.27)
2 (2 )З 2Pl'O (2 )З 2е2'О
[де рО (PI) и рО (Р2) матрицы пдотности начальных частиц
с ИМПУ.1ьсами РI и Р2.
В заключение получим выражение для вероятности pac
пада
a--+b l +b 2 + ...
(728)
Обозначим импульс начадьной частицы Р, а импульсы конеч-
ных частиц Pl', Р2'... Матричный эдемент S матрицы имеет
ВИД
<flS I i)==<f I R I i) (2л) {) (P' P). (7.29)
Вероятность переХОJ,а в единицу вреМени и в единице объема
дается выражением (7.3). Обозначим р пДотность начадьных
частиц. Очевидно, что
dr iip==dwii, (7.30)
[Де drTi отнесенная к одной частице дифференциадьная Bepo
ятность распада (7.28) за единицу времени. С помощью (7.3),
(7.29) и (7.30) подучаем
dr 'i== (2л) 31 <fI R I i) 12 (2л) 4{) (р' P) d 3 pI' d 3 Р2'... (7.31)
При этом мы положиди, что р== 1/ (2л)3.
Предподожим теперь, что спины частиц а и ы равны 1/2,
а спины Ь 2 равны нудю. В этом случае
(т I R I i) == N p N p1 ' N p ., ...и (р/) Ми (Рl)'
[де .\1 \fатрица, действующая на спи новые переменные (и за-
висяrцая от импудьсов частиц). Для вероятности распада по
лучаем
dr ft == .......!....... Sp МрО (Рl) Li1Л (р/) (2'1t)4a (Р' Р) Х
2[fJ
1 dЗРl' 1 d З Р2 1
Х (2 )З 2Рl'О (2 )it 2Р 2 'О '"
7.2. Сечение рождения нестабильной частицы
Нестабильные частицы реrистрируются по иаблюдению про-
J,YKTOB их распада. В этом параrрафе будет получено общее
выражение Д.1Я сечения процесса, в котором рождается неста-
11* 163
(7.32)
бильная частица, полная ве-
роятность (ширина) распада
которой MHoro меньше ее мас-
сы.
Предположим, что в про
\ цессе столкновения двух час-
\ тиц а\ и а2 с импульсами р\ и
\ р;' Р2 рождаются нестабильная
\ частица Х с импульсом р и
стабильные частицы а'\, а'2... с импульсами р'\, р'2...:
a\+a2 X+a\' +а2' +... (7.33)
Пусть нестабильная частица Х реrистрируется по наблюдению
распада
Ь 1
Oz
Рис 7.2 Д,иаr ' a процесса аl+
+a2 X+al +а2 т .
1...... Ь 1 +Ь 2 +.
Х---+-Ь\ +Ь 2 + .,.
(7.34 )
Импульсы частиц Ь\, Ь 2 ... обозначим q\, Q2'"
В качестве примера мы рассмотрим случай нестабильнои
частицы со спином 1/2. Диаrрамма процесса представлена на
рис. 7.2.
Пропаrатор нестабильной частицы может быть получен из
выражения р+ т ДЛЯ пропаrатора стабильной части-
(2 )4 р2 та
цы, если в этом выражении сделать замену
т2 (т ir/2)2,
[де т масса нестабильной частицы, а r ее ПО.,1ная ширина.
При этом предполаrается, что ширина MHoro меньше массы.
Из диаrраммы рис. 7.2 для матричноrо элемента процесса
а 1 + а 2 ......... Х + а 1 ' + а 2 ' + '"
I
bl + Ь 2 + ...
(7.35)
получаем следующее выражение:
(f I S ! i) S N q Nq ... iИ 1 (27t)4 13 (Ql + q2 +... р) х
1 2 (2 )4
Х Р +т . :И 2 N p . N р,' ... N P1 N p , (27:)413 (р + Pl' + pz' +...
pa т2+\mr 1
.., Рl pJ d 4 p,
(7.36)
164
[де маТРИ4Ы М \ и М 2 определяются следующим образом:
< qt q2'" I 5 I р) == NqlNq2...N/Jl и (р) (21t)4 а (ql + q2+ ... р),
(РРl' Р2' ... I 5 ! РIР2) =.: N p N р,' N р.' ... N р, N ps и (р) М 2 (2'1t)')X
ХА (р + Рl' + Р2' +... Рl Р2)'
Здесь р2==т 2 . Из (7.36) после интеrрирования по р находим
(f I 5 I i) == i N q1 N q2 ... N p ,' N p ,' '" N p , N P2 (Мl (q + т) М 2 )Х
х 1. (2'1t)4 а (q + Рl' + р/ + ... Рl Р2), (7.37)
q2 т2+ \ mr
[де q==q\+q2+ ... суммарный импульс частиц al', а2', ." Из
(7.37) для сечения процесса (7.35) получаем
2 21 " "
da == N p ,N p2 ----:-- (М 1 (q + т)М 2 ) (М2 (q + т) М 1 Х
J
1 ( ') ) 4 <;> ( , '1' ) N 2 "12
Х .... т. u q,Pl TP2... Pl P2 q,' q,,,'
(q2 m-)- + m-r-
d ' d ' N 2 N 2 d ' ' d ' ,
.., ql q2 ... р,'. р,.'... Рl Р2'"
(7.38)
Здесь j мёллеровский поток [см. выражение (7 11) ].
Нас интересует случай r« т. В этом случае имеет место
следующее приближенное соотношение*:
1 ( 2 2 )
== uq m.
(q2 m )2+m2r2 mr
(7.39)
со
.. Расс'dОТРИМ иитеrрал [(а) == r dz, rде фуикция f (z) не имеет по-
J z2+a 2
.....<XJ
люсов в верхией (нижней) полуплоскости и ведет себя так, что интеrрал по
полуокружности радиуса R стремится к нулю при R ---+ 00. Заменяя интеrрал
от со до 00 интеrралом по соответствующему контуру и вычисляя вычет в
полюсе, получаем [(а) == f (! а). При а 1 имеем [(а) f (О) ==
а а
== : S f (z) а (z) dz. Таким образом.
Z2 +- а 2
-::,. o(z), a 1.
а
165
Далее имеем
i3 (q + ,01' + ,02' +- ... ,01 ,02) i3 (q2 т 2 ) ==
== i3 (,о + ,01' т ,02' :--- ... ,01 ,о,) о (,о q) 13 (,02 т 2 ) d',o ==
== s о (,о + ,0 1' 7,0/ + ... ,01 ,02) : i3 (q ,о), (7.40)
rде рО == V р" + т'.
Отметим, что при получении (7.40) было использовано co
отношение
5 0 (,02 т 2 ) d,oO == c
2Vpa+ m 2
(7.41 )
(интеrрирование в (7.41) проводится по области рО>О].
С помощью (738), (7.39) и (7.40) Д.1Я сечения процесса
(7.35) получаем
221 1t
d == N p , N p , --:-- ("-111\ (,о) ,Н,) (М 2 Л (,о) :у1 1 ) r х
J т
( '> 4' ( , , ...L ) , ( ) d3 Р ,,2 N 2
Х 7t) О ,о '""" ,01 Т ,02 I ... ,o1 ,o2 О q ,o 2рО lV p ,' р. ...
d ' , d 3 , N 2 У 2 d 3 d 3 (7 1 'J )
... ,01 ,02'" q, j q, ... ql' q2 ... .;-
Здесь
:\ (,о) == u r (,о) r (р) (7.43)
r
проецирующиЙ оператор.
Рассмотрим квадрат модуля матричноrо элемента в Bыpa
жении (7.42). Используя (7.43), ПО.1учаем
(M 1 .\ (р)М 2 ) (М2А(р) M 1 ) ==Sp 1\1/21\12'\ (Р)МIР (р) M 1 . (7.44)
Здесь
Р (р) == L; u r (,о) ' (р) Prs, (7.45)
r ,s
rде
(u r (р),И 2 .\1 2 W(р) )
Prs ==
Sp .И 2 Л 2'\.(Р)
(7.46)
Из (7.46) с.lедует, что
Prr == 1, Prr о.
r
166
Очевидно, что величина р" представляет собой вероятность то-
[о, что спиральность частицы Х равна r. Матрица р (р) являет-
ся, следовательно, матрицей плотности образующейся в процес-
се (733) частицы Х (см. приложение Д).
Вернемся теперь к выражению (7.42) д.'lЯ сечения процесса
(7.35). Используя (7.44), ПО,,1учаем
рО
do == doxdrx . (7.47)
mr
Здесь
,
do x == N ,N , Sp М 2 М 2 Л (р) (27t)4 а (р + Рl' +
J
+ Р2' + ... Рl Р2) N " N ,' ... d 3 Pl' d 3 p/ .'.
сечение процесса (7.33), а
dr x == Ml Р (р) М 1 (27t)4 а (ql + q2+"' р) N ,N ,..,d3ql d 3 q2'..
2рО
(7 .. 9)
вероятность распада (7.34).
Напомним, что r является ПО"lНОЙ шириной распада Х-час-
тицы. По определению
r== 1/.,
[де . время жизни Х-частицы в ее системе покоя. Очевидно,
что время жизни в системе, [де импульс частицы равен р, да-
ется выражением
'т' ==1/r' ==po/m,r. (7.50)
Итак, еС.1И ширина нестабильной частицы MHoro меньше ее
массы, то сечение двухступенчатоrо процесса (7.35) равно про-
изведению сечения процесса (7.33), в котором рождается He
стаБИ"lьная частица Х, на относительную вероятность распада
(7.34) частицы Х с поляризацией, возникающей в процессе
(7.33). Очевидно, что это является С.'lедствием Toro, что при
r т аМп.1итуда процесса (7.35) пропорциональна
L М 2 и' (р) и' (р) М 1 .
(7.48 )
7.3. Шпуры пронзведеннй матриц у
Из выражений (7.20), (7.25), (7.27) очевидно, что вычисле
ние сечений процессов, в которых участвуют частицы со спином
1/2, требует знания шпуров произведений матриц Дирака. Здесь
мы изложим основные методы вычисления этих последних ве-
.'Iичин.
167
,
Для TOrO чтобы вычислить шпур произведе'hия любоrо чис
.па матриц у, достаточно использовать перестановочные COOTHO
шения
yayl3+yl3ya == 2g a13 ,
yays+ysya==o, ys2==1.
Следует учесть также, что под знаком шпура
переставлять *.
(7.51)
(7.52)
матрицы можно
Sp AB===Sp ВА. (7.53)
Докажем следующие утверждения.
1. Шпур произведения нечетноrо числа матриц у равен ну-
лю. Действительно, используя (7.51) (7.53), имеем
Sp '(<Х уlЗ ... y S р у<Х уlЗ ... '( У 5 У 5 ==
нечетное ЧН< по
== Sp '(5 у<хуlЗ... y У5 Spy<X уlЗ .., y У5 '(5 Sру<хуlЗ... y == О.
Х I I I I А
в
в
2. Sp '(<X"( == gоlЗ. (7.54)
Действите.1ЬНО, с помощью (7.51) и (7.53), находим
Sp '(<хуlЗ Sp (2gа.1З '(lЗу<Х) 8 1З Sp у'" уlЗ.
Отсюда По.1учаем (754). Умножая (7.54) на тензор aabl3 (а и
Ь любые 4-векторы), находим также
" " "
Sp аЬ 4аЬ, а уа.аа..
3. Sp"(<X уlЗ"(Р y 4 (g<Х1З gP' ga.P gIЗ 1 + g'И glЗр). (7.55)
Действительно, испо.1ЬЗуя (7.51) и (7.53), получаем
Sp у<Х "( IЗ '(Р '( S р (2ga.1З уlЗ уа.) "(Р '('
Sga.1З gP Sp уlЗ (2ga.p уР '(<Х) y
== 8g'IЗ gpa 8 p g + Sp уlЗ уР (2ga., y '(<Х) ==
== 8 1З gP 8 g a.o g -+- 8 g a.a g3P Sp уlЗуРу у".
Отсюда находим (7.55).
Пусть а и С произвольные 4-векторы. Сворачивая (7.55)
с тензором ааСр, ПО.1учаем
" "
S')ауlЗсуа == 4(а са асgIЗ1+ d'c3).
(7.56)
* Доказатедьство :JToro соотношения очевидио.
Sp АВ == 2: А",В", == B,l,Aaal == Sp ВА.
", \],
,
,
168
Если это ПОС.1еднее соотношение умножить на bfJd(J, то при этом
находим
sp b;'i === 4 ((аЬ) (cd) (ас) (bd) + (ad) (Ьс)). (7.57)
4. SPYs==O. (7.58)
Это соотношение следует из (7.55). В справедливости (7.58)
ожно убедиться и непосредственно. Действительно, имеем
Sp У5 == Sp '(5УО уО == Sp уО '(5 уО == Sp y уО '(О .= Sp '(5 == о.
А: I I I"'""В'I А '
5. Sp ysyayfJ==O (7.59)
Действительно, получаем
1 1
SPY5Y"YI3== SPY52"(y"YI3 + Y Y") т SpY52"(Y"YI3 y y<x).
Воспользуемся далее соотношением
у 5 (уа. У13 ур у") === i ea./3p у рУ,.
Находим *
Sp '(5 уа. у8 == ga.зSРУ5 + e"f3p SpyP y --=: 2i e" P gp == о.
6. SpY"'( yPY'Y5 === 4ie<X/3P . (7.60)
ДеЙствительно, исходный шпур антисимметричен относите.1ЬНО
.1юбой нечетной перестановки индексов а, , р, а:
Sp у" y уР y у 5 == Sp (2g"З '( у") ур i' у 5 ==
== Sp '( '("уР y Y5 == Sp y уР ya.y У5 == ...
Да.lее очевидно, что
Sp yOyly2y3yS==4i== 4ie0123.
7. Sp yayl3 " yP==Sp уР ., y 13 y a (7.61)
Для Toro чтобы убедиться в справедливости (7.61), восполь
зуемся соотношением
(уа) т == e lyae,
[де е матрица зарядовоrо сопряжения (см. при.10жение В.8).
Далее очевидно, что
Sp А == A == (AT), == Sp А Т .
';
*Sp'Y5Y"Y является псевдотензором BToporo paHra. Такой псевдотензор
"Ior бы возиикнуть только от свертки е a.8p И g p ' Эта свертка равна. OДHa
ко, иулю. Ана.'lоrичио ие существует псевдоска.1яра SPY5
169
Получаем
Sp уау!\ ... уР== Sp (уР) т ... (у!\) т (уа) Т==
===Sp C lyPC. . C ly!\CC lyaC == Sp уР . . . yi\ya.
8. Sp .{а, '{О;' ,{аз ... '(п == go;,a Sp уо;' .., уО;",
S О; О; О; S
gЦ1.з ;-; ,(., '" '( п + .. g 'п ;J уо;' уО;з ..,
(7.62)
Это соотношение позволяет свести ВЫЧИС.lение шпура произведе-
ния матриц п к вычислению шпура произведения (n 2) матриц.
Для Toro чтобы получить соотношение (7.62), нужно матрицу
уо;' rc помощью перестановочных соотношений (7.51)] по
с.1еJ,овательно переставлять через матрицы уа" уа.,... (таким
способом были вычислены шпуры произведений двух и четырех
матрицу).
7.4. Полезные соотношения между прямыми
произведениями матриц у
В этом параrрафе "lbI по.1УЧИМ целый ряд соотношений меж-
JY произведениями \fатриц у, позволяющих значительно упрос
тить ВЫЧИС.1ения измеряемых на опыте ве.1ИЧИН (сечений, по.1я-
ризациЙ, вероятностей р аспаJ,а и т. J,.). Все они основываются
на замечате.1ЬНОМ соотношении
у'1. '(О у13 ==- g'1.P y ga.o уР + gP13 '{'r.,.. i еО;РjЗ' '( у 5'
(7.63)
связывающем произвеJ,ение трех матриц,? с суммой матриц у и
yys. Д.1Я Toro чтобы получить (7.63), раз.l0ЖИМ матрицу yaypy
по По.1НОЙ системе 16 матриц Дирака. Имеем
.(О; уР у13 == аасjЗ (5) + а'1. РЗ ' (V) у т 1: aO;P ').. (Т) a ).. +
't.\.
1: аО\Ф (А) y '{5 I a"O (Р) '(5'
(7.64)
Для Toro чтобы наЙти коэффициенты ааР6 (5), ааРjЗ"t (V), ..., раз
.10жение (764) c.1eJ,yeT умножить на соответствующую матрицу
и вычислить шпур обеих частей ПО.1ученноrо равенства. По
СКО.1ьку шпур произведения нечетноrо числа матриц у равен
ну.1Ю, то
а'1.03(5)'== а'1. РО " (Т) == a'1.0 (Р) == О. (7.65)
ДЛЯ ОТ.1ИЧНЫ'\. ОТ ну.1Я коэффициентов с помощью (7.55) и
(7.60) получаем
аО;СI3' (V) == g"" g3- go;3g P ' 1" ga., g?l3; ао;оjЗ'(А)== iеО;РЗ .
(7.66)
:1'
Из (7 64) (7.66) следует, что
уа уР '( ==- dз.Р[J У + i e"'P8 у у 5'
(7.67 )
[де
crP == g"'P g g"'3 gP Т g"' gP .
(7.68)
Очевидно, что (7.67) совпадает с (7.63). Отметим, что тензор
dC1.pf) удовлетворяет с.1едующим ус.10ВИЯМ симметрии:
dЦ == d3P'J, == dз. р.
(7.69)
Умножим теперь (7.67) справа на матрицу (1 + ys). Учитывая,
что ys (1 + ys) == + (1 + ys), получаем
'("''{Р '{f3 (1 ::!: '(5) == (dЧ ::!: i e"'p[J') '( (1 i: '(5)' (7.70)
Соотношение (7.70) позволяет существенно сократить ЧИС.10 !a
триц, которые входят под знаки шпуров. Действительно, исполь-
зуя (7.70), имеем
. ( "'уР' ( 3 (1 + ., ) ',.," (1 't" У ) ==
I 1;) о.. ''1. 10- 13 '5
== (d"'P i: ie"'p[J ) (d..з."зА:t iе'1.О3Л) '( (1 I У5) ..0 уЛ(1j '(5), (7.71)
[де разделенные мноrоточием матрицы MorYT дей'ствовать на
разные переменные (входить в разные шпуры)./ ВЫПО.1НИМ в
(7 71) суммирование по а и . Имеем I
"'p[:3 ') P. I ').Р
е e",al3 A == Ucr r)л 7 Uл U cr .
i
(7.72)
Да.1ее, испо.1ЬЗУЯ (Б.7), нетрудно убедиться в том, что
d"'p[J du.аЗЛ == 2a aI + 20\ O .
(7.73)
Из (7.69) с.1едует также, что
d"'P d "P О
e<:r.v A == "'аЗА е ==.
(7.74)
С помощью (7.72) (7.74) из (7.71) получаем следующие соот-
ношения:
"('" уР '([J (1 i: у 5) . о о '(",У а '( 13 (l ::!: У 5) == 40 у, (1 i: у 5) '" y (1 i: у 5)'
(7.75)
Очевидно, что соотношения (7.75) справедливы также и в
с.1учае, если каждая из матриц до и после мноrоточия умножа-
ется слева и справа (в обеих стороиах равенства) на .'Iюбые
iатрицы. Эти соотношения ПОЗВО.1ЯЮТ уменьшить число у-мат-
риц в каждом из шпуров на 2. В ряде случаев это cyrцecTBeHHo
упрощает вычисления.
171
Наряду с (7.75) часто оказываются полез: .ми также сле
дующие соотношения:
У"'(РуР(1 i: 1(5)'" '(" y y (1 =+ '(5) == 4у а О :!: 1(5) ...]'Р(l =+ 1(5)' (7.76)
Соотношения (7.76) доказываются аналоrично тому, как были
доказаны (7.75). Используя (7.70), (7.72) (7.74), получаем
]''' УР '(Р (1 :!: 1(5) . . У", у а у р (l =+ 1(5) == (d....p ' i: i e rtpp 1:) (dа.арл +=
+-iе,, рл)у,(l:t '(5) ... у Л (1 =+ '(5) == 40 a;Y1:(1 :t У5) '" уЛ(l += 1(5)'
С помощью (7.70), (7.72) (7.74) можно получить MHoro друrих
соотношений, аналоrичных (7.75) и (7.76). Используя (7.69),
без труда находим
'('" уР уа (1 :::!: 1(5) .., '(р Уа 1'0.(1 i: 1(5) == 4У а (1 :::!: 1(5) ... I Р (1 :t '(5),
У""(РуР(1 i: 1(5) '" '( '(a '(",и =+ '(5) ==4o Y1:(1 i: 1(5) ... 'С' (1 +- 1(5)'
(7.77)
Да.1ее с помощью (7.70) и (7.75) получаем
У'" уР 1'13 (1 i: 1(5) ... '(" уа у), "(1: У (1 :::!: 1(5) ==
== 4 (d'iч.L :r: i e a '1: I1 ) У'" '(Р '(13 (1 :::!: 1(5) ... у", '( 11 1'13(1 :t 1(5) '==
== 4 (d';1: P += ie a ).1: p ) '(11(1 :!: ](5) .., '(11(1 :!: 1(5)' (7.78)
Аналоrично с помощью (7.70) и (7.76) находим
'('" '(Р '( 3 (l :!: 1(5) ... у" '(а У). У' У (1 =+ ]' 5) ==
== 4 (g'). А(' ga1: '[). g).' '( :::!: i e a ).1: 11 1(11) (1 .t '(5) '" '(Р (1 += 1(5)'
(7.79)
Наконец, приведем еще одно соотношение, которое леrко может
быть получено с помощью (7.70), (7.72) (7.75):
У"'У Р Уа 1',1/1(1 :t У5)'" 1" 1).yay"( (1 :t 1(5) ==
== 16S;o YI1(1 :!: '(5) .., 1'11(1 :t 1(5)' (7.80)
Полученные соотношения позволяют существенно упростить
ВЫЧИс.1ення.
172
7.5. Методы вычнсле.... ннтеrралО8 по фазовому
пространству
В этом параrрафе мы изложим методы ковариантноrо ин
теrрирования по импульсам конечных частиц. Рассмотрим ин
теrрал
J == S dЗ Pl d З Р2 О (р + Р Р) (7.81)
2 2PI O 2fl22 1 2 ,
rде PiO=== V Pi 2 + т i 2 и=== 1, 2); Р времениподобный вектор.
ДJ1Я Toro чтобы вычислить этот интеrрал, воспользуемся COOT
ношением *
S о (р 2 т 2 ) d!::::: d З Pl
1 1 Pl ') V 2 + '
и Pl ml
rде Р10 переменная. принимающая положительные значения.
Подставляя (7.82) в (7.81) и интеrрируя по РI, получаем
f == j " о ( Р2 2 Р Р , т 2 т2 ) dЗР2
2 2 I 2 ""1 2 о'
Р2
(7.82)
(7.83)
roдe
d З Р 2 I I d 0-1А
Р2 Р2 ш.'2'
Р2 0
Окончате.lьное интеrрирование удобно провести в системе, в
которой р===о (система покоя). Интеrрируя по уrлам, имеем
/2 == 27t J О (Р2 2Р2 0 ро + т22 т12) I Р2 I dp20,
rде рО и Р2 0 энерrии в системе покоя. Очевидно, что модуль
производной aprYMeHTa б-функции равен 2РО . Получаем
/ == 7t == 7t V (Р2 0 )2 т22 .
2 ро ро
Далее из (7.81) и (7.82) следует, что /2 инвариант. Для Toro
чтобы записать (7.85) в инвариантном виде, умножим числи-
те.1Ь и знаменате.1Ь (7.85) на ро. Имеем
(РО) 2=== р2, Р2 0 рО=== Р2 Р '
(7.84)
(7.85)
* Напомним, что
а (х XI)
а (f (х» == !.J I f' (xi)1 '
i
rде Х; корень уравнения f (Xi) == О. Имеем
1 r
a{p2 т2)== V [a{pO V p2+m2)+a(pO+/lp2+m2)].
2 р2 + т 2
Ес.1И это ПОС.lе;J,Иее соотношеиие проиитеrрировать по рО>О, то получаем
(7 82).
173
Очевидно, что
Р2 Р == + (р2 + т 2 2 т 1 2 ).
Окончательно из (7.85) и (7.86) получаем
1 ! 1t ' ) A(s, т! 2, т 2 !)
2 == I
2 s
Здесь S p2, а функция Л(х, у, z) определяется
разом:
(7.86)
(7.87)
с.1едующим об-
А. (х, у, z ) -== V х 2 + у2 + Z2 2лу 2.xz 2 yz ===
== V(x l УУ' + VZ)2) (х (VY VZ)2). (7.88)
Вычислим теперь тройной интеrрал:
I з == S dЗРl d З Р2 dЗрз О (Pl Р2 Рз Р).
2P 1 o 2Р20 2рзо
Определим 4 BeKTOp:
q2 Р Рз
ИМe€М
S2 s+тз2 2Ррз s+mз2 2РОрзО,
rде S p2; S2 q22, а ро И Рз О энерrии в системе покоя
Очевидно, что
(7.89)
(P O).
d з Рз 1. / 02 2 d О-/А
== r Рз тз Рз ш..<:з"
2рз О 2
dЗр
ИСПОol1ЬЗУЯ (7.89) и учитывая, что ..............1 инвариант,
2Рз О
после интеrрирования по уrлам получаем
dЗрз == ( ) Л(s. 52' m з 2 ) ds 2 ,
2рз О \ 2 s
rде функция л (s, S2, тз 2 ) дается выражением (7.88).
Выполним интеrрирование по РI И Р2. Используя (7.87), Ha
ходим
(7.90)
из (7.90)
(7.91 )
S dЗРl d З Р2 ( + ) ( 1t ' ) Л(S2' т1 2 , т 2 2 )
и Рl P2 q2 ,
2PIO 2Р20 2 $:
Остается теперь выяснить, в каких пределах изменяется
менная S2. ИЗ (7.89) очевидно, что
S2';;;; (V-S m з )2.
(7.92)
пере
(7.93)
Далее, учитывая, что
q2==PI+P2,
находим
S2 (тl+т2)2.
(7.94)
174
Отметим, что нижнее значение переменной 82 отвечает случаю
покояrцИХСЯ частиц 1 и 2 в их системе центра инерции, а верх-
нее значение случаю покояrцейся частицы 3 в общей системе
центра инерции.
Окончательно с помощью (7.91) (7.94) получаем
9 (Ys т,Р
/3 == ( ...::.. \ ) . S d52 Л( S 2' m 1 2 , т 2 2 ) Л(s, S2' m з 2 ) .
2 s
(т, + т.)"
(7.95)
Перейдем теперь к ВЫЧИС.1ению четырехкратноrо интеrрала
/ == S dЗРl d З Р2 dЗрз d З Р4 О (р + Р ...j.... Р + Р Р).
· 2P 1 o 2Р2 0 2рз О 2Р4 0 1 2 I 3 ·
Определим вектор
qЗ Р Р4.
(7.96)'
Имеем
(
8з == 8 + т. 2 2 ' 8 р. О ,
(7.97)
[де S p2; sз qз2, а Р4 0 энерrия частицы 4 в системе покоя
I P o 1. с помоrцью (7.97) после интеrрирования по уrлам по
лучаем
d З Р4 == ("'::"' )
2Р40 \ 2
л (s, sз, т. 2 ) ds
3.
s
(7.98)
Да.lее определим
q2 qз рз== Р РЗ Р4'
(7.99)
Отсюда находим
82 == 8з + т 2 з 2 VSзрз О (7.100)
(рзО энерrия частицы 3 в системе qз==О). С помощью (7.100)
имеем
dЗрз == ( ) Л("з. "2' m з 2 ) d
82'
2Рз О 2 5з
(7. 1 01)
Наконец, получаем [см. (7.87) J
S dЗРl d З Р2 О ( ...:... ) == ( ...::.. ) Л(S2' m 1 2 ,
2 о 2 о Рl I Р2 q 2
Pl Р2 S2
Найдем теперь rраницы, в которых изменяются
5з и 52. Из (7.97) очевидно, что
5з (VS mJ 2 .
т 2 2 )
(7.102)
переменные
(7.103)
175
Далее из (7.99) находим, что при фиксированном 52
5з;;' (VS2 + m з )2.
(7.104)
Наконец, имеем
(т 1 7 т 2 )2';;;; 52 ';;;;(Vs mз т.)2.
rраницы (7.105) леrко получить, если учесть, что
Q2==Pl+P2.
Окончательно с помоrцью (7.98), (7.101), (7.102) (7.105) по-
лучаем
(7. 105)
3 CVs---т, m,) 2
1 === (.!:.... \ J " d 1..("2' т 1 2 . 2)
\ 2 I 52 Х
/
(т,+т)'
(Vs---т.) 3
S
(J's.+m,)2
d л(sз, S2' т з 2 ) л(s, 5з, т,2)
5з
S3
5
(7.106)
Нетрудно теперь обобrцить полученные результаты на п-крат-
ный интеrрал. Имеем
In=== S d3pl d 3 p2 ." d 3 pn 13(pl+P2+"'+Pn P)==
2РI 0 2Р2 0 2рn О
(Vs m. ... тn) 3
=== ( ; ) n 1 S
(т, .,.mt) 3
d Л(s.. т 1 2 , т2 2 )
52 - Х
52
(Vs 't!. .. тn)2
Х S
( +т.)2
л (SЗ' S2' тз 2 )
d5 з ". х
"з
(Ys mn)2
j
(}" st1 2 + тn 1)2
Вычислим теперь ИНтеrрал
1""== r d З Рl d З Р2 13 (Рl + Р2 Р) f (PtPJ pi.
2 J 2РI0 2Р20 '
rде f (РIР2) функция инварианта РIР2. Очевидно, что 1 2 a. зави-
сит от ра И ЯВ.1яется 4-вектором. Имеем
х
/..(Sn l' 5n 2' m l)
d5n 1
sn l
/..(s. sn l' т n 2 )
s
(7. 107)
1 2 a==apa.
(7.108)
176
rде а скаляр. Для Toro чтобы определить а, умножим (7.108)
на Ра.. Получаем
а == J... /а.р".
5
(7.109)
Далее, используя закон сохранения 4 импульса, находим
p1P == + (5 + m 1 2 т 2 2 ), J
(7. 11 О)
1 ( " 2 )
PIP2 === 2'" 5 m 1 - т. .
С помощью (7.87), (7.108) (7.110) получаем
а. [Р' I " ) л( 5, m 1 2 , 2) ( 1 \
/2==""2S"(5+m12 m22) (2 s f 2(s m12 m/))'
(7.111)
Интеrрал
/a.fj == S dЗРl d З Р2 /) (Р р Р) pa.pi3
2 2Pl О 2Р2 0 1 2 1 2
является тензором BToporo paHra. Очевидно, что тензор /2a.f,
имеет следующий общий вид:
/ i3 == G 1 ga.fj + й 2 Ра. pi3, (7.112)
[де а! и а2 ска.1ЯРЫ. Д.'Iя Toro чтобы определить а} и а2, CBep
нем /2a.fj С тензорами ga.f3 И Pa.Pf3. Получаем
Gl == l/a.fj g "-s /a.fj Pa.PfjJ, ]
Зs а....
(7. 113)
а 2 == 2 l4rfj Ра. Pfj rfj ga.fj 5].
Используя (7.87) и (7.110), а также учитывая, что
Р2Р == ....!.... (s + т 2 2 m 1 2 ),
2
из (7.113) находим
a 1 -== ...l...... [(PIP2) 5 (PIP) (Р2 Р )] /2 ==
3$
'2 ( 2 2 ) ( ..2. ) л ($, т 1 2 , т 2 2 )
'" 5, m 1 , т 2 .
12$ 2 $
1
G 2 == [S2 + 5 (m 1 2 + т/)
2 (m 1 2 т22)2] (f) 1..(5, 2, т 2 2 )
(7.114)
12-4;910
177
Перейдем теперь к вычислению TpeXKpaTHoro интеrрала
[а. == S dЗР1 dЗР2 dЗрз О (Р + + P ) а.
з " Р о 2 о 2 о 1 Р2 Р3 Р З ,
- 1 Р2 Рз
Очевидно, что /за. зависит от ра И ЯВ.J1яется 4-вектором. Имеем
/зrL.:=:ЬРа., (7.115)
rде Ь скаляр. Из (7 115) следует, что
Ь == J.... / Pa..
s
Далее из закона сохранения 4 импульса получаем, что
Р3 Р == J.... (s + mз 2 S2)'
2
S2=== (Рl+Р2) 2 Используя (7.116), аналоrично
(7.116)
(7.95)
rде S===P2;
находим
р (Vs т.P
/ а. ( ..:. ) ) . d 2.. ( 2 ) Л( 2' т 1 2 . т 2 2 )
З 2 S2 S I т з S2
s . 2 2
(т,+т,р
Л(S. З2' тs2)
s
(7.117)
Нетрудно ВЫЧИС.1ИТЬ также интеrра.1
а. j " аЗv dЗр dSp
/; == 2 2 : о (Рl + Р2 + Р3 Р) P .
Pl Р2 РЗ
Д.1Я этоrо в (7.117) с.1едует сде.1ать замену ml ::0= тз. Получаем
(VS '71,)
/ ,а. [р' ( :': ) S d ' 1 ( + ' ) A.(s', т2 ' тз!) Чs, з' , тl )
З 2 S S m 1 S .
"j 2 з' s
(т,..,.т.)'
(7.118)
Перейдем теперь l{ вычислению интеrрала
/ "а. == S dЗ Рl ,'i З Р2 d З Рз о (р ....j... Р -+- Р Р ) i (р Р ) Р а..
3 <)0<)0')01'2'3 /121
-Рl P2 Рз
Имеем
а.
/ /' == Ь' ра.,
[де Ь' ска.'IЯР. Отсюда ПО.1учаеl\1
Ь ' J... / "а. Р
3 :)о.
S
(7.119)
(7.120)
ВЫЧИс.1ИМ внача.1е двукратный интеrра.1
/ I j ' dЗРl d J P2 ( 1 \ r (р ) (р Р )
2 == --;о- 2 о о Рl Т Р: q21 IfJ2 1 ,
- Рl Р2
(7.121)
178
rде q2==Р РЗ. Используя (7.82) и интеrрируя [10 Рl, получаем
/2' == SO(S2 2P2q2+m22 т12)i(+(S2
2 2 ) \ ( I ) rP Р!
тl т2 J Рl Q2' Рз 2 в
/ Р2
(7.122)
(S2== Q2 2). Интеrрирование по Р2 удобно выполнить в с. Ц. и. ча
('ТИl 1 И 2. Получаем
/ ' ( 1'1: \ л. (52. т 12. т 2 2 ) { ,;, 1 ( 2 2 ) \ I О ро
2 == ) I s 2 т 1 т 2 ) Pl .
2 52 \ 2 I
Да.1ее имеем
РI 0 == Pl(Pl + Р2) -== (s --'-- т 2 т 2 ) ' 1
У;'; 21/;'; 2""]. 2,
f
РО== P(Pl-+-РS) 1 (' ')
V'S:; == 2V'S2 S S2 тз .
с помощью (7.91), (7.120), (7.123) и (7.124) получаем
СVs 'пз)2
/з',а. == !!:..... ( ' ....::J 2 S dS2 Л. ( . т) 2. т 2 2 )
5 2 ) 52
(т, +т.)'
, л. (5, З2' т з 2) f ( ( 2 2 ) ) ,
,< S2 т 1 т 2 А
s 2
1 ( + 2 2 ) ( , 2 )
x $2 т 1 т2 SI':'2 тз..
4З 2
в заключение вычислим интеrра.1
/ r. == S d3Pl
2P 1 o
Имеем
d 3 Р2 d 3 Р3 О ( ..1.L Р ) { " ( ) а; 13
2 о 2 о Рl," Р2 Рз РIР2 Рl Р з .
Р2 Р3
/за;13==Сlgcr.13+С2 Р cr.Р13.
rJ,e СI И С2 ска.1ЯрЫ. Из (7.126) получаем
C 1 == (rз13 ga.13 s / Pp",p ,
С 2 == 3 2 (4/ 13Pa.P13 ,Т"'fjga.j3S)"
12*
(7 . 12 З}
(7 .1 4)
(7.125)
(7. 126 r
(7.127)
17g.
в свертках l з аР gа.Р и lзаРРаРр выполним вначале интеrрирова
ние по РI И Р2. Удобно это интеrрирование провести в с. ц. и.
частиц 1 и 2. Имеем
S dЗРr d З Р2 О ( ' ) . (р )
2Pr o 2Р2 0 Р! т Р2 q2 t JJ2 РIРЗ ==
==41t S 0(52 2V S 2P2 0 + т/ т12) dP20t (+ (5
т12 т22))PI0 Рз О == ( ; ) /..(S2' ms\2, т 2 2 ) f (+(5
т 1 2 т 2 2 ) ) (52 + т 1 2 т 2 2 ) (S 52 т з 2 ), (7.128)
4s 2
S dЗРr d З Р2 O ( ...L ) i (P ) (Р Р )( Р )
2 о 2 о Рl I P2 q2 I IfJ2 r Рз =:о
Р! Р2
( . 1t ) Л (S2' т } 2, т 2 2 ) { " ( 1 ( 2 2 ) ) ' I ( +
== 5 т т 5
2 52 2 1 2 2
+ т з 2 52) + (s. + т 1 2 т 2 2 ) (5 + 52 т з 2 ). (7.129)
-ТЗ2
с помощью (7.91), (7.127) (7.129) без труда находим
(У s:....т.) 2
1 ( 1t ) 2 j
С 1 == d5 2
24s 2.
(rn, т,) ·
Л(S2' m r 2 , т 2 2 ) Л{s, 5., m з 2 )
Х
S2 S
{ " ( . 1 ( 2 2 ) ) 1 ( 2 2 ) 12 ( 2 )
Х 52 т} т2 52 + m 1 т2 '" S, 52. тз ;
2 S2
(у s:.....т.P I
с == ( ...:... ) 2 \ d5 л (S2, mJ2, т 2 2 ) Л(S, 52, mз 2 )
2 12s 2 2 2 Х
S
(т,тт.) ,
Х f ( + (52 т 1 2 т 2 2 )) *" (S2 + т 1 2 т22) [2 (S2 (S2 I
11lз)2) 5 (s 52 т з 2 )]. J
(7.130)
На этом lЫ закончим изложение ковариантных методов интеr'.
рирования по фазовому пространству. Приведенные примеры
демонстрируют эффективность и простоту этих методов.
180
rлава 8
РАСПАДЫ ЧАСТИЦ
8.1. Введение. Представление rензен6ерrа
в этой [.1аве будут рассмотрены .1ептонные распады aдpo
нов типа
hi hf+l++vl.
(8.1 )
Здесь h i и h f начальный и конечный адроны, [==е, либо
!J.. Распады (8.1) обусловлены слабым взаимодооствием (за
ряженные токи). Поскольку h/ И hf адроны, при рассмотре-
нии этих процессов необходимо учитывать также сильное взаи
модействие.
Эффективный rаМИ.1ьтониан слабоrо взаимодействия имеет
вид
Jf'f == ; ( ! '(" (1 + '(5) [) j" + h. с.,
/
rJ,e ja заряженный кварковый ток; G константа
Полный rаМИ.1ьтониан взаимодействия запишем в виде
(8.2)
Ферми.
J== WJ+ hI,
(8.3)
[де hJ rаМИ.1ьтониан сильноrо взаимодействия. Конкретный
вид rамильтониана hI нам здесь не потребуется.
Мы будем вычисдять вероятности ряда распадов типа (8.1)
в первом порядке теории возмущений по константе Ферми а.
Д.1Я 5 матрицы в первом порядке по G получаем
5 == Т (е i J' J't' 1 (X)dX) ==
( i S J't'7 (x')dx' \
==Т PJ...( i)SJe'f(x)dx+...)e ).
(8.4)
Найдем матричный элемент процесса (8.1). Начальный и
конечный векторы состояния MorYT быть записаны в виде
li>==lp>, }
I f> == с+ (k') d+ (k) I р' >.
(8.5)
Здесь р и р' импульсы начальноrо и конечноrо адронов; k и
k' импульсы .lептона и неЙтрино. Из (8.4) и (8.5) получаем
(! ! (5 1) I i) == i :'2 S (р' I d (k) с (k') Т ((-;/ (х) "(" (1 + у 5) х
Х l(x)j,,(-\)е iJ.Jff7(х')dХ') I p>dx. (8.6)
181
Далее, используя теорему Вика, б з труда находим
(f I (5 1) I i) == i N k' N k--;;' (k') ,(а. (1 + 15) /l ( k) Х
У2
5 i(k k')x < i \ Л7(Х')dх' )
Хер' i T\ja.(,\)e' ) I р dx.
(8.7)
Подчеркнем, что в (8.7) сильное взаимодействие учитывается
точно
До сих пор мы использова.1И предстаВ"lение взаимодействия.
Адронную часть матричноrо э.lемента (8.7) можно записать
бо.lее компактно, еС.1И от представления взаимодействия пе
рейти к представ.пению rейзенберrа.
Векторы состояния адронов удов.lетворяют в представ.тте
нии взаимодействия уравнению
i д ' ;и» == н1 (t) : ф (t) ).
(8.8)
Как бы.10 показано в r.1. 1, общее решение этоrо уравнения пр!!
t?;:t o И\fеет вИJ:
Здесь
IФ(t)===U(t, tо)\Ф(tо).
(8.9)
':IJ i t t
U (t, t o ) == ( ni!) j' dt 1 S dt 2 ... S df"T (н7 (tt) Н7 (t 2 )... н1 (t n )) ==
п=О
t o t o t o
t
( i I HJ(t)dt
== Т е t o ) ,
(8.10)
а I ф ((о) вектор состояния в нача.1ЬНЫЙ момент времени t o .
Подставляя (8.9) в (8.8), Д.1Я оператора и ([, t o ) ПО.lучаем
уравнение
дии, t o ) == H7(t)u(t, [ о )'
дt
(8. 11)
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
i ди+и, t o ) == ит (t, t o ) H (t)
дt
[Hzh(t) эрмитов оператор].
С помощью (8.11) и (8.12) нетрудно показать, что U(t,to)
унитарный оператор (см. r.тт. 1). Выясним др тие общие свой
ства оператора [!. Перепишем следующим образом соотноше
ние (8 9) :
(8.12)
IФ(t2)===U(t2, t 1 ) IФ(tl».
(8.13 )
182
Умножим (8.13) слева на и+и2, t 11 . Используя унитарность
матрицы U и2, t l ), получаем
IФ(tI) Uт(t2' t l ) \Ф(t 2 ). (8.14)
Определим слеJ,УЮЩИМ образом оператор U (tl, t 2 ) при t l :::;;;,t 2 :
U(t l , t 2 ) и+и2, t 1 ). (8.15)
Из (8.14) и (8.15) находим
IФ(tl)==U(tl, t 2 ) IФ(t2) (tl:::;;;,t 2 ). , (8.16)
Далее имеем
IФ(t2) U(t2, t) IФ(t) U(t2, t)U(t, t l ) IФ(tI)==
==U(t 2 , t 1 ) IФ(t!). (8.17)
Отсюда следует, что
ии2, tl) U(t2, t)U(t, t 1 ).
(8.18 )
Отметим, что ,в си.'Iу (8.16) соотношение (8.18) справедливо
при .1юбом t.
Введем теперь вместо векторов IФ(t) и операторов ои)
в предстаВJ1ении взаимодействия векторы
и операторы
IФи)н U (t, О)IФ(t)
OHи) и и, O)O(t)U(t, О).
(8.19 )
(8 20)
ПО.,1учим уравнение движения для вектора I ф (t) )Н. Используя
(8.8) и (8 12), имеем
i дIФд t)н == U (t, O)H (t) I ф(t)+U+(t, О) нJ(t)IФ(t)==О.
(8.21 )
Таким образом, векторы I ф и)Н не зависят от времени. ДаJ1ее
с помощью (8.11), (8.12) и (8.20) получаем
дО и)
i Н дt == и+ (t, О) H (t) О (t) U (t, О) J..
1 и+ (t, О) О (t) HJ (t) U (t, О) + и (t, О) i д t(t) U (t, О). (8.22)
Операторы О и) в представлении взаимодействия удовлетво-
ряют ур авнению [см. (1.25) r
i /t) == [О (t), Н о (t)], (8.23)
rAe Н о свободный rамильтониан. Подставляя (8.23) в (8.22),
По.1учаем
дОн (t)
== [ОН (t), НН (t)].
д:
(8.24)
183
Здесь
HHи)==и и, O)H(t)U(t, О),
rде Н (t) ==НО ({) +Hr h ({) полный rамильтониан (в представ
лении взаимодействия). .
Представление, в котором векторы состояния не зависят от
времени, а операторы удовлетворяют уравнению (8.24), носит
название представления rейзенберrа. Как видно из (8.19) и
(8.20), векторы состояния jФ(t)н и операторы они) опреде
лены таким образом, что при t==O они совпадают с COOTBeTCT
вующими векторами состояния и операторами в представлении
взаимодействия.
Рассмотрим теперь адронную часть матричноrо элемента
(87). Используя (8.10), (8.15) и (8.18), получаем
(Р' I т (/" (х) e i! Н[ ( )d ) [ Р) ===
== (Р' I U (00, хоН!1. (х) U (xo, oo) I Р) ==
== (Р' [и(оо, o)и (xo, O)j'''(x)U(x o , О)И(О, _ X)) I Р) ==
== оис (Р' I J!1. (х) I P)in. (8.25)
Здесь
J(1, (х) == и+ (хо, О) 1'(1, (х) и (х о , О); \
I P)in == и ( oo, О) I р);
I р')оис == и+ (00, О) ! р')
(8.26)
соответственно ток и векторы состояния нача.1ьноrо и конеч-
Horo адронов в представлении rейзенберrа. Далее в силу транс-
ляционной инвариантности [см. (3.66)]
iar.Ja. (:с) == ра. (х), Pr.],
rде Pr. оператор полных энерп' и импульса [при
(8.27) совпадает с (8.24)]. Из (8.26) получаем
i out(p'\ar.Ja.(x) \P)in==out<p'l [Ja.(x), Pr.] \P)in==
== (p p') r. out(p'\ Ja. (х) I P)in,
( 8.27)
==4
(8.28)
rде Р и р' импульсы начальноrо и конечноrо адронов. Отсюда
находим, что
out(p' I J(1, (х) I P)in == eЦp' p)% out(p' I J(1, (О) I P)in. (8.29)
Подставим теперь (8.29) в (8.7). Д.1Я матричноrо элемента
процесса (8.1) получаем с.1е,J,ующее выражение*:
(f I (S 1) I i) == i N k' N k U (k') ,( (1 + i' 5) и ( k) Х
Х out(p' I J (1, (О) ! P)in (2т:)4 О (k' + k + р' I')..!!,. (8.30)
· Индексы in н out в дальненшем будуr опускаться.
184
Итак, м ',оказали, что в первом порядке теории возм.уще
ний по G матричные элементы процессов типа (8.1) прс>порцио-
нальны произведению матричноrо элемента лептонноrо тока
на матричный элемент адронноrо тока в представлении rей-
зенберr а. Сильное взаимодействие учитывается при этом точно.
8.2. Распад :t .........l-J..+Vl
Изучение распаJ,ОВ пиона, нейтрона, странных, очарованных
и друrих частиц является важным источником информации
о с.13бом взаимодействии. В этой r.1aBe мы ПОДР9бно paCCMOT
рим некоторые К.1ассические распады частиц. Начнем с распада
ЛТ- IJ.++V!,.
(8.31 )
в стандартноЙ теории э.аектрослабоrо взаимодействия эффек-
тивный rаМИoi1ьтониан, ответственный за распад (8.31), имеет
вид
G '"
Л/ == v2 (v lL '(",(1 + Y5)JJ.) j + h. с.,
(8.32)
[де ja заряженный кварковый слабый ток; G константа
Ферми. Из (8.32) в первом порядке теории возмущений по G
для матричноrо элемента процесса (8.31) получаем сле-
дующее выражение.
(t I (5 1) [i) == i :2 Nk,Nk (k')y",(1 +Ys)u( k)X
Х (О [ J'" (О) I q) (27t)4 О (k' + k q), (8.33)
[де k' и k им:пу.1ЬСЫ нейтрино и мюона; q импульс пиона;
N 1 1 u .
k (21))3/2 V' 2kO стандартныи нормировочныи множитель;
Ja заряженный адронный С.1абый ток в представлении rей
зенберrа [си.1ьное взаимодействие учтено в (8.33) точно]. Ди-
arpaMMa процесса (8.31) представлена на рис. 8.1.
Рассмотрим адронный матричный элемент (OIJa(o) !q). Ток
Ja представляет собой сумму BeKTopHoro Va И аксиальноrо
Аа токов:
Ja==: Va+Aa.
(8.34)
Матричные Э.1ементы (01 Va(o) Iq) и (OIAa(o) Iq) MorYT зави
сеть ТОoi1ько от вектора qa. Из соображений лоренц-инвариант-
ности очевидно, что
(О I V-(O) I q) == Nqfv(q cf', }
(О [ А- (О) I q) == N q [А (q cf'.
(8.35)
185
q
..
+
>
>
-<
"j.I
Jt'
Jl+
Рнс. 81. Диаrрамма процесса Рис. 8.2. Распад :1:+......./1++ >".
:t+.......l vl Импульсы и спины !J.+ И У" В систе-
ме покоя пиона при т" .......0. НапраВ4
ления спинов указаны двойными
стрелками
Так как q2==m",2 (т" масс,: пиона), fv И [А константы. По
смотрим теперь, как преооразуются матричные элементы
<Olva(O)lq) и <OIAa(O)lq) при инверсии. Поскольку сильное
взаимодействие сохраняет четность,
U р V" (О) ир l == '7)" V" (О), }
ИрА" (О) И р l == '7)" А" (О), .
rде Uр оператор инверсии; 1]0==1; lli== 1 Имеем
Ир i О) == I О), }
Ир I q) ==!" I q').
(8.36)
(8.37)
Здесь q'a===. (qO, q); 1,,===. 1 внутренняя четность пиона.
Используя (8.36) и (8.37), получаем
<О I Va (О) I q )===<0 I и p l И р Va (J) U p l и р I q)==
=== 1]a(OI Va(o) I q').
( 8.38)
Аналоrично находим
(OIAa(o) Iq)==ll a <OIAa(o) Iq'). (8.39)
Подставим теперь (8.35) в (8.38) и (8.39). Учитывая, что
q'a1]a==qa, получаем
fV,A== + fv,A. (8.40)
Отсюда ледует, что [ .==o. TaK M образом, в матричный эле.
мент <OIJa(o) Iq) дает вк.lад только аксиальныЙ ток*.
ИнтересующиЙ нас ток стандартной теории имеет вид
ja===.i1y a (1 +Ys) ии иd,
* Это можно покззать н .:rpyrHM способом. Именно. матричный элемеит
Nq I<OlV"(O)lq> преобразуется как псевдовектор (пион псевдоскалярная
частица). Так как из одноrо вектора постронть псевдовектор нельзя. то
<01 V"(O) Iq> O ,\1атричный Э.'Jемент Nq I<OIA"(O) Iq> преобразуется как
вектор и имеет BIIJ: f (q')q".
186
[де Uud элемент матрицы Кобаяши Маскава. Запишем
f А == if "и ud,
[де f" вещественная константа. Окончате.1ЬНО имеем
(OIJa(o) jq)==iNqf"Uudqa. (8.41)
С помощью (8.33) и (8.41) д.1Я матричноrо Э.lемента процес-
са находим
(f I (5 1): i) 0:= :2 j"UUdNk,NkNi:(k')q(l + y:)u( k) х
х (27':)4 О (k +- k' q). (8А2)
Это выражение можно упростить, если, воспользовавшись за-
коном сохранения 4 импу.1ьса, заменить q на I€+I€'. Используя
уравнение Дирака, по.1учаем*
(f j (5 1) I i) 0:=
== [" Uud т N е ,V k У! -;; (k') (l Y5) u ( k) ('1:::)4 о (k,k' q). (8.43)
V2 I.L
Как видно из (8.43), матричный элемент рассматриваемоrо на-
ми процесса пропорциона.1ен массе \fюона тl.L и обращается,
следовательно, в нуль при тl.L O. Это связано с тем, что в за-
ряженный ток входят ТО.1ЬКО .1евые компоненты полей. При
тl.L O спиральность IJ. равна 1 (аналоrично спира.1ЬНОСТИ ан-
тинейтрино). РаССl\10ТРИМ: распаJ, JC IJ. +VI.L в системе покоя
пиона. В этой системе ИМПу.1ЬСЫ IJ. и VI.L равны по величине и
противоположны по знаку. Очевидно, что проекция полноrо
\fOMeHTa IJ.L и VI.L на направление импульса нейтрино при тl.L O
равна 1 (рис. 8.2) Поскольку спин пиона равен нулю, pac
пад L IJ.TVI.L в пределе тl.L O запрещен законом сохранения
\fOMeHTa. Итак, в стандартноЙ теории процесс (8.31) разрешен
ТО.1ЬКО в силу Toro, что !J. (из за конечности ero массы) MO
жет находиться в состоянии с отрицательной спиральностью.
Перейдем теперь к ВЫЧИС.lению вероятности распада л+
IJ.++VI.L' Используя общие форму.1Ы rл. 7 [см. (7.32)], для
дифференциальной вероятности распада лL IJ. VI.L в системе
покоя пиона ПО"lучаем следующее выражение:
dw,, I.LVI.L 02 1 1 ?? 2
dr ...l.Lv о=:: == т U d /" Х
I.L Р 2 (2тс)2 2т"
XSp(l Y5)(k т )(l+Y5)kro(k'+k q) dSk' dЗk . (8.44)
I.L . 2ko' 2ko
* Если уравнеиие 'дноа1{а позволяет уменьшить ЧИС,10 матриц у в матрич-
ном Э.1е).!енте, то ЭТl!\! следует воспользоваться' пос.lедующее вычислеиие шпу-
ра упростится
187
Вычисление входящеrо в это выражение шпура не представля
ет труда. Имеем
Sp (1 Y5)(k m l1 )(1 + У5) k' == 8kk'.
Далее из закона сохранения 4 импульса следует, что
2kk'==m,,2 mI12
(8.45)
(8.46 )
Проведем теперь интеrрирование по импульсам конечных ча
стиц. Используя (7.82), получаем
S O(k'+k q) dЗk' dЗk = S O(k'+k q)O(k,2)d4k' dЗk- =
2ko' 2ko 2ko
S 1 т 2 т 2
= О (т; + т 2m",k o ) I k I TdkodQ. == "8т 11 dQ.. (8.47)
с помощью (8.44) (8.47) д.1Я дифференциа.1ЬНОЙ вероятности
распада Jt+ IJ. +VI1 находим
/ 1) \ .,
G2 2,2 2 ( т ) dQ
&".....11. == J'ltLudm... т" 1
11 8" т 2 4"
, "
(8.48)
Как видно из этоrо выражения, вероятность распада Л+ IJ..J...VI1
не зависит от vr.1a вылета мюона. Это связано с тем, что спин
пиона равен нулю. Интеrрируя (8.48) по е и <р, для полной Be
роятности распада Jt.J... IJ. VI1 получаем следующее выражение:
, ? о
G2 .2.2 2 I т \.
f".....v..v. в;--{",Uudтv.т" \ 1 2 J
т"
Рассмотрим теперь распад
Jt e++Ve,
(8.4 9)
(8.50)
В основе стандартной теории лежит rипотеза J.I. е универсаль
ности. Если имеет место !J. е-универса.1ЬНОСТЬ, то rамильтони-
ан, ответственный за распад (8.50), может быть получен из
выражения (8.49) заменой lJ. e, VI1 e. Имеем
G '"
Ж[ == "2 (V e у", (l + У5) е) j + h. с.
Очевидно, что д.1Я вероятности распада л+ е Vе из
лучаем при этом
( 2 \ З
G2 -2 2 2 те )
r " e == &-: {" U ud тет", 1 2 '
\ т" I
188
(8.51 )
(8.49) по-
(8.52)
rде те l\. "'!ca электрона. Из (8.49) и (8.52) следует, что OT
ношение вероятностей распадов л+---+е+V е и Л;+--+f.L+VI1 дается:
выражением
т 2
11
(l т \2
\ т" )
( 1 т ) 2
\ т"
(8 .53}
R",:::::;
r"...""
е
r".....I1.
11
т 2
е
:::::;
Таким образом, ес.1И имеет место lJ. е универ<;альность сла
боrо взаимодействия, отношение вероятностеЙ распадов Л
e Ve и Л+--+IJ. VIL зависит только от масс электрона, мюона и:
пиона. Из данных опыта следует, что
R:r;== (1,228 + 0,022) .10 4.
(8.54)
Вычисленное на основе стандартной теории значение отноше
ния R'!Т. (с учетом радиационных поправок) равно
R:r;Teo p === 1,233.10 4. (8.55)
Соrласие (8.54) и (8.55) одно из важных доказательств
)..t е-универсальности слабоrо взаимодействия. Следует, OДHa
ко, подчеркнуть, что сравнение вероятностей распадов л е Vе
и --+IJ.+VIL ПОЗВО.1яет проверить универсальность взаимодейст
вия Ve e И VIL f.L .1ептонных пар не с полным адронным током,.
а только с ero аксиа.1ЬНОЙ частью. Константа f:r; имеет размер
ность массы*. Из данных опыта следует, что
{'!Т.==0,932т n . (8.56)
в заключение рассмотрим распады
К+ --+ р.'" + V I1 ;
K --+e++ve.
(8.57}
(8.58 )
Очевидно, что матричный элемент распада (8.57), (8.58) имеет
вид (8.33). При этом в аJ,РОННЫЙ матричный элемент входит
изменяюrций странность кварковый ток jа(дS== l)==S'Уа(l+
+Ys) uИ иs (и иs элемент матрицы Кобаяши Маскава) .
Имеем
<0IJа(дS== 1) Iq)==iNqfkИиsqа.,
( 8.59)
rде q импульс каона; {к константа. Вероятности распадов
(8.57) и (8.58) даются соответственно выражениями (8.49) и
(8.52), в которых следует сделать замену f пИ иrJ--+f КИ и <, m:t---+
** Действнтельно, напрнмер 1!3 (8.49) получаем М M 1f ,,]2МЗ Отсюдао
следует, ЧТО и,,] M.
189
тK. Для отношения R K вероятностей раСJ1Jдов K+--+e+v e и
K+--+f.L+vlIo получаем
"
т
Rl( ==
"
т
110
( 1 :t ) 2
(8.60)
I 1) \ 2
(1 :t )
Это отношение равно
R OP == 2,57. 1O 5.
(8.61 )
Из данных опыта следует, что
RK (2,42::1::0,11) .10 5.
Таким образом, данные экспериментов по изучению распадов
(8.57) и (8.58) также соrласуются с rипотезой lJ. е универсаль
RОСТИ. Наконец, отметим, что
fK/f:t 1,22 + 0,01.
(8.62 )
8.3. Распад К лО+I +VI
Изучение распадов
К лО+I++Vl, I e, !J.
(8.63)
ПОЗВО.1яет ПО.1УЧИТЬ информацию о той части адронноrо тока,
которая изменяет странность. В стандартноЙ теории электро
лабоrо взаимодеЙствия эффективный rаМИ,,1ьтониан процессов
(8.63) имеет вид
G t"1 "
.JtI == v2 I.J (V 1 '(" (l + '(5) 1) j + h. с.
I ==е,11
(8.64)
3J,eCb ja. заряженный кварковыЙ ток. Из (8.64) для матрич
Horo элемента процесса (8.63) по.1учаем следующее выра-
жение:
(f I (s 1)! i) == i NkJNk (k')'( (1 +i'5)u( k)X
2 "
Х (р' I J" (О) I р) {27:)4 О (р' -+- k + k' р). (8.65)
Здесь k и k' импульсы .'Iептона и нейтрино; р и р' импудь
сы каона и пиона; Ja. заряженныЙ адронный ток в представ
.1ении rеЙзенберrа; N k и N k , стандартные нормировочные
множители (N k == 1 3/" V 1 ) . Диаrрамма процесса (8.63)
\ (21t) 2ko
190
Рис. 83. Диа,,,'!мма процесса K+.......пo+l++vl
Ja.== Va.+Aa.,
(8.66)
р
1(+
K
представлена на рис. 8.3 Ток Ja. имеет
вид
l.'
[де Va. И Аа. соответственно вектор-
ный и аксиальный токи. Имеем
(р' 11'" (О) , р) == N p ' N p [V'" (р', р) + А'" (р',. рН,
.....
....." р'
JC"O .........
(8.67)
[де Va.(p', р) И Аа.(р', р) представляют собой матричные эле
менты BeKTopHoro и аксиальноrо токов Поскольку внутренние
четности пиона и каона одинаковы, Va.(p', р) И Аа.(р', р) пре
образуются соответственно как вектор и псевдовектор. Из двух
векторов (р ир') псевдовектор построить нельзя. Следователь
но, имеем
Аа.(р', р) ==0.
(8.68)
Итак, в матричный элемент рассматриваемоrо нами процесса
аксиальный ток вклада не J,aeT. Матричный элемент BeKTopHO
1'0 тока имеет следующий общий вид:
(р' I V"'(O) I р) ==Np,NpUus(f (q2)(p+p')"'+C(q2)(P p')"'),
(8.69)
rде U иs элемент матрицы Кобаяши Маскава*, а f+(q2) и
f (q2) функции квадрата передачи импульса q2== (p' p) 2==
== (k+k') 2 (формфакторы) . Из инвариантности относительно
обращения времени и унитарности 5-матрицьr следует, что
формфакторы f+(q2) и f (q2) вещественны. Действительно, за
пишем 5 матрицу в виде
5==1+R.
(8.70}
Из условия 5""'5== 1 получаем
R+R+== R+R.
( 8. 71
Отсюда находим
(f I R I i) + (i I R I п* == (f I R+ I п) (п I R I i) (8.72)
"
[суммирование в правой части (8.72) ведется по полной систе
ме состояний lп)J. в рассматриваемом нами случае li)==
== I К+), I f) == lL+Vzл О ). Очевидно, что I п) равняется I ;[+л о ) >
* Введение множнтедя U"S связано с тем, что И3!dеияющий странность
кваРК08ЫЙ ток имеет внд jCL==UusUy"'(l+ys)S.
191
'л+л л+), IлОлОл т ),... Таким образом, вая часть соотноше
ния (8.72) порядка О2. В первом порядке по G имеем, сле
довательно,
(flR I i) <iIRI {)*.
(8.73)
Далее из инвариантности относительно обращения времени
<:ледует, что
(i I R I f) == <frl R I i r ),
(8.74 )
rде векторы li) и li r ) (If) и Ifr») описывают одни и те же ча
тицы с противоположными значениями импульсов и проекций
спинов. С помощью (8.73) и (8.74) получаем
(flR I i) <frIRI i r )*.
(8.75)
Подставим в это соотношение выражение (8.65). Получаем
Й(k')Уа(l+уs)u( k)(р'IJа(О) 'р)==
== (Й (kт')l'а (1 +Ys) u ( kr) ) *(рт' I Ja (О) I Рт )*.
Здесь рт а == (р О , p), а
й (kт') == и Т (k') T l, u ( kr) == тй т ( k) ,
(8.76)
т (Уа) TT l==YjaYa
(8.77)
(8.78)
rJ,e
(см. приложение В.9; напомним, что Yji== 1, Yjo==l). Исподь-
зуя (877) и (8.78), находим
(й (kт') Уа (1 +ys) u ( kT) ) * ==
==1'\аЙ(k')Уа(1+У5)t..;( k). (8.79)
Из (8.76) и (8.79) с.1едует, что
(р'l Va(O) Ip)==Yjtz<pr'l Va(o) Ipr)*. (8.80)
Подставляя теперь в это соотношение выражение (8.69), по-
.1учаем
f:I: (q == {: (q2). (8.81)
Перейдем теперь к ВЫЧИС.1ению вероятности распада (8.63).
С помоrцью (7.31), (8.65), (8.67) (8.69) для дифференциаль-
ной вероятности распада получаем с.1едующее выражение:
1 G2 1
df'K......1. 1 == Sp Iа. (1 + "(5) ( 1) А ( k) 1" (1 + 15) Х
(2,,)5 2 2fIJ ...
Х л (k') V" (р', о) V (р', p)o(k+ k' р' р) : :; :; , (8.82)
тде A(k) ==R+тc проецирующий оператор.
192
Рассмотрим вначале входящий в (8.82) шпур. Очевидно,
что
Sp'Ya (1 +1'S) ( l)A ( k)1'1\ (1 +1's)A (k') ==
==2Sp1'a(1+Ys)RYI\R'. (883)
Далее, матрицу ys в (8.83) можно опустить*. Для вероятности
распада К лОl v[ в системе покоя каона получаем
df K ....,,[,[:= o2 2 1 S?y,)iy"k'V'" (р', р) Vr> (р', р) х
(27t) 5 т!( ...
'Х: 8 ( k' I k J... , ) d3k' d 3 k d 3 p r
./ т I Р Р 2k'U 2kO 2рО'
(8.84)
[де тк масса каона.
Вычислим вначале спектр пионов. Для этоrо проинтеrриру
ем (8.84) по И\1пульсам .1ептона и нейтрино. Получаем
G 2 1 ра а., tJ, d 3 р'
dI'K...."['1 == (27t)5 2т к S?y", У р '{tJ Уа К (q)V (р, p)V (р, р) 2р'О '
(8.85)
rде
к ра ( ) == 5 kPk,a 8 ( k J... k' ) d3k d 3 k'
q I q 2kO 2k'o
(8.86)
Очевидно, что тензор Кра (q) имеет следующий общий вид.
Кра (q) ==а\ (q2) gpa+a2 (q2) qP qa,
( 8.87)
[де а\ и а2 функции скаляра q2. Функции а! (q2) и а2 (q2) вы-
числены в 7.5 [см. (7.112) (7.114) ]. Учитывая, что
л (q2, т[2, О) ==q2 m[2,
из (7.114) ПО,,1учаем
(8.88)
7t ( 2 23
а 1 == 24(q2)2 q т! ) ,
а, -::: 7t (q 2 т,2)2 (q 2 -+- 2т ) .
12 (q2)3 ' , ,
Далее, используя (8.87), находим
SP1'a1'pYI\YaKP<1 (q) == alSPYa1'a1'l\Ya +
+a 2 SpYaQYI\Q.
(8.89)
(8.90)
(8.91 )
* Действительно, имеем Sp 'Y"'Y51i,\, Ii' 4ie", pa kPk,a. В (8.82) этот псев,
дотензор сворачивается t: тензором V'" (р', р) V1I (р', р). Поскольку p p'+k+
+k', такая свертка равна ну.1Ю (из трех векторов не.1ЪЗЯ построить псевдо-
скаляр) .
13-----6910 193
с помощью перестановочных соотношений для матриц УI\ по
лучаем
'(a'( '(a== 2'(1\' }
qy fj q ==: 2qa q q2'( .
Из (8.91) и (8.92) находим
SPYa.ypYt\YcrKpa (q) === 4 (2а! +q2 a2 ) ga.I\+8a2qa.qt\.
(8.92)
(8.93)
Матричный элемент <р'l Vcr; I р> может быть записан в виде
(р' I V" I р) == N р' N р и иБ f + (q2)[2p" + (Ц q 2) 1) ql&], (8.94)
rде
(q2) =" f (q2)
f + (q2)
Из (8.87), (8.93) и (8.94) для вероятности распада К+ лОl+Vl
получаем следующее выражение*:
(8.95)
dr к....." [У [ == [ и a .....i... { (2а 1 а 2 q2) т'k + 2а 2 (pq)2 +
(27t) 5 т к \
+ ( 2al + а 2 q2) [pq ( 1) + + q2 ( 1)2]} :O' . (8.96)
Интеrрируя (8.96) по уrлу вылета по и используя (8.90), для
спектра пионов получаем следующее выr,.:;жение:
dr 2
К....."[У[ 02 J 2 2 /q2 m[2 )
dE," == (2;;)3 т к {""- U иs Р" q2 Х
f[ ] ( т[2 ) ' тЗ[
Х l 31,2 +- '(i2 ( т'kq2 + (pq)2) + (j2(Pq)2 +
+ тz 2 [pq ( 1) + + q2 ( 1)2]}. (8.97)
Здесь рте И Е те импульс и энерrия пиона (в системе покоя
каона). Очевидно, что
q2 ==: mk + т: 2m ", }
pq == m тKE..
(8.98)
Имеем также
тK2q2+ (pq) 2===тK 2 Pтr. 2 . (8.99)
* мы преДПО.10ЖИДИ, что формфакторы f""-(q2) и f (q2) вещественны
(имеет место инварнантность относнтельно обращения времени).
194
Найдем предеды, в которых изменяется переменная q . Из
(8.98) следует, что
q2 (тK тп)2
(Eп тп). Да.1ее имеем*
q2== (k+k/) 2 ml2.
С помощью (8.98) и (8.101) нетрудно наЙти
рых изменяется энерrия пиона Еп. Подучаем
(8.100)
(8.101)
пределы, в кото-
тп Eп EпO,
(8.102)
r;r.e
2 2 2
Е!. mK+m,, ml
"< 2т к
Из (8.98) и (8 103) получаем
q2 mI2==2mK(E;cO E;c). (8.104)
С помощью (8.98), (8.99) и (8 104) выражение (8.97) для
спектра пионов может быть записано следующим образом:
(8 . 103)
drK..."lVt ..E..:. J 2 и2 з ( E E" ) \ 2 [ !....! 1 + 2 т7 \ Р 2 +
dE 3 + us тк Р" I 2 3 I 2 ) ..
"п \ q \ q
ry
J mi
+ 8 т 2 (mk + т -t- 2т ,,) +
к
1 m l I 1 ml 2 2 ]
+ (т2 т2) q .
4 2 К " 8 2
т к т к
Отметим, что множитель рп (EпO E;c) 2 обеспечивает обраrцение
в нуль спектра пионов на нижней и верхней rраницах.
ПOJIучим выражение для спектра пионов 01' распада K+ Oe+ve'
т 2 т 2
Поскольку lO б, члены в (8.105), пропорционаJIьные ,
к к
MorYT быть опущены. Далее очевидно, что в широкой области
энерrий пионов
(8.105)
2т 2
.........!... <{ 1.
q2
(8.106)
.. Дей-:твительно, q == k + k ' времени подобный вектор. В системе k+
+k' == О имеем q2 == (k' + V "'l + (k,O)2)2, rде k'o энерrия нейтрино. Так
как k'O;;;;;' О, то q';:;з. ml 2 .
.. С пО'dощью (8.104) неравенство (8.106) МОЖНQ переписать следующим
т,2 ]
образом: Е О " Е <{ 2 кэВ.
. т!( 4
1 195
Из (8.105) для спектра пионов в области _106) получаем
dr
K..."ev e 02 2 2 3
d'" == I.. UusтKP",
L.." 12п3
(8.107)
в выражение (8.107) входит только формфактор f+(q2). Это
связано с тем, что формфактор f (q2) входит в матричный эле
мент распада в виде тef (q2)*.
Д.1Я Toro чтобы получить полную вероятность рассматри
drK"'''lv
BaeMoro нами распаJ,а, величину 1 неооходимо проинте-
dE"
rрировать по энерrии пиона. Такое интеrрирование можно вы-
полнить, еС.1И сделать определенные предположения о q2_ за -
висимости формфакторов f::t(q2) Обычно формфакторы f::t(q2)
разлаrают по q2 и оrраничиваются членами, линеЙными по
q2**. Имеем в этом с.1учае
f:t (q2) == {:!: {О) ( 1 + 1 ),
(8.108)
rде Лot: безразмерные кОнстанты.
С помощью (8.97), (8 107) и (8 108) J,ля отношения полных
вероятностеЙ распадов K"' O t VJ.L и К --+:r,°е.J..Vе получаем сле-
дующее выражение:
R==
r к.,.. "'''°11 v l1
== 0,6457 + 1,41151+ +O,1264 (O) +
rK+...."OgTv
е
+O,0192 2(0) +0,00801, ЦО). (8.109)
* ,]енствите.1ЬРО, из (8 77) н (8 8]) следует, что формфактор f (q2) BXO
дит В 'dатрн'IНЫЙ элемент распада K+ noe+V. в виде
f u(k')Ya(1+Y5)U( k) (p p')"' f u(k') (R+R') (l+Y5)u( k)
f т.u(k') (l Y5)u( k).
** Б пользу справедливости (8108) свидетельствует модель векториой до-
минантности. Б соответствии с ЭТОЙ моделью ОСНОВНОЙ вклад в матри'lНЫЙ эле
мент распада К""' ..... .,.o[""'v 1 дает диаrрамма с обменом векторным К.'мезоном. Для
2
т к .
формфактора f+(q2) получаем при этом f+ (q2) == f+(O) 2 ..2' rде т!(.
тк, ч
q2
масса К..мезона (тк. 982 МэБ). Поскольку ""2 < 0,16, в разложении
тк.
т;
F r (q2) по q2 достаточно оrраничнться первым членом. При этом Л+ == ==
тк.
== 0,024. Отметим, что данные опыта соrласуются с этим зна'lением Л+.
196
При получении (8.109) предполаrалось (в соответствии с дaH
НЫМИ опытов), что л ==о Как видно из (8.109), измерение OT
иошения R позволяет получить одно соотношение между па
раметрами Л... и ; (О) Из данных опыта следует, что R==0,663 +
+ 0,018.
Вероятность распаJ,а K.J..--+лО[.J.. vz зависит от двух перемен
ных. В качестве независи:v1ЫХ переменных выберем энерrию
пиона Еп, и энерrию .1ептона El в системе покоя каона. Полу
dr ко...; 1 у
чим 1 Д"lЯ этоrо вернемся к выражению (8.86). Вычис
dEldE ,
лим вначале шпур, который входит в это выражение. Полу
чаем
'" .-...
Sp У,," k '{ 13 k' == 4L,,13 (k, k'),
(8.110)
(8.111)
[де
L 13 (k, k') == k" k g,, kk' + k kl3.
Да.1ее имеем
V" (р', р) V (р', р) == i U s [4ppl3..l..:2 ( 1) (P""ql'> + q"" pl'» +
+ ( 1)2q"qI'>J. (8.112)
Подставляя (8.110) и (8.112) в (8.86), для дифференциальной
вероятности рассматриваемоrо нами распада получаем
df' K-Hl'l == ..J.....I U;s L"I'> (k, k') [ Р р13 +
(2",)5 т к
+ + ( 1) (р"" ql3 +- q"" pl'» + + ( 1)2q"ql'> 1 13 (k +
d 3 k' d 3 k d 3 p'
+ k'+ p ' p)
, k'O kO р'О'
Вычислим теперь входящие в это выражение свертки тензоров.
Учитывая, что q==k+k', получаем
La.fjqa == m z 2 k fj '
С помощью (8.114) находим
L,,"13 р"" p == 2 (pk) (Pk') mk kk'; !
L"I'> (р"" ql'> -т q" pl'» == 2ml2 pk';
L"I'> q"" ql'> == т,2 kk'.
Из (8.113) и (8.115) Д.1Я вероятности распада находим
df' K--+1tl. == f и;" [ 2 (Pk) (pk') + т 2 к kk' т7 pk' +
1 (27t) 5 т!(
++тI2kk,+ тI2(pk' kk') +
+ .l... 2 т 2 kk' ] 13 (k + k' + р' р) d 3 k' d 3 k d З ,,' (8.116)
4 I k'o kO р'О
(8.113)
(8. 114)
(8.115)
197
Для TOrO чтобы выполнить в (8.116) интеrрирование по им
пульсу нейтрино, воспользуемся сОотношением [см. (7.82)]
d:,k: ::::: 2 SO(k,2)d 4 k'.
Используя (8.117), получаем
S о (k' + k + р' Р) d: ' d;: :3, ' == 2 S о (тk + т +т1 2т l
2т K E"..L 2E1E" 2Рl Р" cos 6)sin 6d6d<p P1dE/ Р", dE"dQ" ==
== 2 (27t)2 dE 1 dE". (8.118)
(8.117)
Далее имеем
pk-===ткЕ[, pk'===тKE v , kk'==тK(Eno E,!),
(8.119)
rде Ev== тK En El энерrия нейтрино, а Е'!О \fаксимальная
энерrия пиона [см. (8.103)]. С помощью (8.116), (8118) и
(8.119) для дифференциальной вероятности распаJ,а К лlVl
получаем следующее выражение:
dr
К....."/.'/ 02 2 ?
dE dE 1+U s[А+Щ+С 21. (8.120)
/" 4п 3
Здесь
А==т r 2E 1 Ev т (EO E )1 т2 1 ...!.... ( EO E ) E ] ' I )
к l K"t"t ' / 4 " " v ,
B==т1[Ev +(E?, E"t)J; (8.121)
C:::::J...т2(EO EJ. I
4 1" . )
Итак, если в качестВе независимых переменных выбрать
энерrии J,BYX частиц, то при этом, как видно из (8.118), стати
стический вес рассматриваемоrо распада пропорционален
dE1dE:t*. Плотность событий в плоскости Е/, E:t (так называе
мая диаrрамма Далитца) характеризует, следовательно, KBaд
рат матричноrо элемента распада. Найдем rраницу области,
в которой MorYT находиться переменные Е/ и E:t. Имеем в си
стеме покоя каона
P:t 2 == P12+E:t 2 +2P1E"cos 8', (8.122)
rде 8' уrол между импу.1ьсами лептона и неитрино. ОчевиJ,-
но, что при фиксированном Е/ энерrия пиона максимальна (МИ-
,. НетруДно видеть, что это справеД,lИВО и в общем случае трехчастично
ro распада (Далитц).
198
нимальна) при cos8'===1 (cos8'=== 1). Из (8.122) получаем
(тK EI = P/P+т
(Е")mах; min == 2 (mK E/::t Р/)
(8.123)
Энерrия лептона El меняется в пределах
т ! <Еl < EzO ==
mk+ т7 т
2т к
(8.124)
Для Toro чтобы найти Е{О, рассмотрим инвариант (p k)2.
В системе покоя каона имеем
(p k) 2 === тк 2 +т{2 2тKE{.
(8.125)
с J,руrой стороны, в си.1У закона сохранения 4 импульса
(p k) 2 === (р' +k') 2.
(8.126)
Из сравнения (8.125) и (8126) очевидно, что максимуму Е!
отвечает минимум (р' +k') 2. Имеем*
(р' +k') 2;::::т,,2.
( 8.127)
с помощью (8.125) (8.127) без труда находим Е/О.
Как видно из (8 120), в случае распада K+-+лОе+V е изуче
ние распределения Да.1итца позволяет получить информацию
только о параметре Л . Исследование зависимости вероятности
распада К -+лО!-1+VI-1 от переменныx Еl и Eтr. позволяет опреде
лить как значение параметра Л+, так и значение параметра
; (О) (предполаrается, что ", ===O). Из данных опытов следует,
что
",+===0.0285 + 0,0043 (K+-+лОе+v е ),
",+===0,0272 + 0,0072 (К -+лО!-1ТVJ.L)'
; (О) === 0,32 + 0,15.
* в с. Ц. и пиона и нейтрино (Р'+k')2==(Vm;+k/ +k ) rдеkо/ эиер-
rия нейтрино Поскольку ko':?O, то (p'+k') 2;?т , Максимальной энерrии
дептона отвечает ko'.......O. Очевидно, что при этом эиерrия пиона также макси
мальна
mk+m т7
E ==т K E/O== 2
т к
199
8.4. Распад л+ лО+е++Vе' Сохранение BeKTopHoro тока
В этом параrрафе будет рассмотрен распад пиона
л+ пО+е++Vе.
(8.128)
Исследование этоrо распада на опыте позволяет проверить rи
потезу сохранения BeKTopHoro тока, высказанную в конце 50 x
rодов Зе.'Iьдовичем и rерштейном, Фейнманом и rелл Маном.
rипотеза сохранения BeKTopHoro тока леrла в основу феноме
нолоrической V А теории слабоrо взаимодействия. Мы нач-
нем с Toro, что сформулируем эту rипотезу. Рассмотрим ту
часть заряженноrо с.1абоrо тока, которая построена из полей
U и d KBapKoB. Имеем
ja. ='= (v'" + а"') U"d' (8.129)
rде
а. d "
V == '( и;
'" d '"
а == '( '( ои
(8.130)
соответственно векторный и аксиальныЙ токи, а U ud эле
мент матрицы Сl\1ешивания кварков.
Ес.1Н пренебречь разностью масс и и d KBapKOB, то в этом
случае имеет место точная изотопическая 5 U (2) инвариант
насть. При этом .1аrранжиан по.lей кварков инвариантен OT
носительно rлобальных ка.1ибровочных преобразований
. 1
N' е 1 '2 '( N
,
(8.131)
[де
!и\
N='=,d)
изотопический J,ублет Ц.i константы, .i Vfатрицы Пау
ли). Из инвариантности относительно преобразований (8.131)
следует, что изовекторный ток
'" 1
==Ny "2"iN (8.132)
удовлетворяет уравнению непрерывности (см. 2.4)
aCl.ViCl.===O.
(8.133)
Сравнивая (8.130) и (8.132), нетрудно убеJ,ИТЬСЯ в том, что
VCl.==::: Vl Cl. iV2Cl..
(8.134)
Таким образом, построенныЙ из полей и. и d-кварков (не из
меняющий странности, очарования и т. д.) заряженный век-
торный ток vCl. ЯВ.1яется «минус» (1 i2) компонентой сохраня
ющеrося изовекторноrо тока уа.
200
PaccMoTiТrfM теперь электромаrнитный ток кваркоВ'
еmа. 2 '" ( 1 ) '"
j , '=' зUУ u 3'" dy d + ...
(8.135)
(вклад в ток S , c и J,руrих кварков нас здесь не интересует).
Заряды и- и d KBapKoB связаны с проекциями изотопическоrо
спина соотношением re.1.'HV\aHa Нишиджимы
1
e q ,=, l эq + .
6
С помощью (8.135) и (8.136) получаем
(8.136)
jem,,,,== VЗа+VS'\
(8.137)
rJ,e ток
1 а.
' =: Ny N +'Н
6
является изотопическим скаляром.
Итак, слабый векторный ток v'" является «минус» компо
нентой сохраняющеrося изовекторноrо тока Vi a Электромаr
нитный ток кварков представляет собой сумму третьей компо
ненты изовекторноrо тока у а И изоскалярноrо тока Vs a .
Перейдем теперь к рассмотрению распада пиона. В мат-
ричный элемент этоrо процесса дает вклад rамильтониан
G .'"
:Jel == (veY (1 + '(5) е) ] + h. с.,
!/ 2 '"
rJ,e j'" адронный слабый ток. Для матричноrо элемента про
цесса получаем слеДующее выражение:
(f I 51 i) == i NkNk, (k')y",(1 +'(5)u( k) Х
Х (р' I J I р) (27t)4 а (k + k' + р' р). (8.138)
Здесь k и k' импульсы позитрона и нейтрино; р и р' им
пульсы нача.ilьноrо и конечноrо пионов, а Ja адронный сла
бый ток в предстаВ.1ении rейзенберrа.
Напомним, что сильное взаимодей
ствие в (8.138) учтено точно (см.
8.1). Диаrрамма процесса л+
лОе+Vе представлена на рис. 8.4.
Очевидно, что в адронный матрич
ный элемент <p'!Jalp) дает вклад !!. ........
только не изменяющий странности, оча +
,
'"
, р'
Jt:'", ,
Рис. 8.4. ,]иаrрам:ма процесса ;t-'--+л О +
---r--e-+-...L.v e
201
рования и т. д. векторный ток Va. Имеем
<р'\ ja \ P>:=::Uиd<P' \ va\ Р>.
Да.1Jее, поскольку СИ.1ьное взаимодействие инвариантно относи
тельно изотопических преобразований, rейзенберrов ток Via (х)
является изовектором и УJ,ОВ.1етворяет уравнению непрерыв-
ности
aaYia(X) :=::0.
(8.139)
Из (8.134) следует, что rеЙзенберrов слабыЙ заряженный BeK
торный ток Va явля€'тся «минус» компонентой изовектора
Va:=:: Vla iV2a
(8.140)
и, С.1е;щвате.1ЬНО, сохраняется:
да Va:=::O.
(8.141)
Итак, соотношения (8.140) и (8141) являются следствием
современной теории электрос.1абоrо взаимодействия. В конце
50-х [одов эти соотношения были ПОСТУ.1ированы. Соответству-
ющиЙ посту.1аТ носит название rипотезы сохранения BeKTopHO
[о тока.
Д.1Я Toro чтобы ИЗВ.1ечь физические с.1едствия из rипотезы
сохранения BeKTopHoro тока, учтем, что изовектор Via удовле
творяет следующим перестановочным соотношениям'
(Ti, V a]==ieiklV{x.,
(8.142)
[де Тi оператор изотопическоrо спина. ИЗ (8.142) для «ми
нус» компоненты получаем
[Т 1 i2, Y l == Vr i 2,
(8.143)
rДе
Tl i2 == Tl i Т 2 ;
V i2 == y i y .
с помощью (8.140) и (8.143) матричные элементы заряженно
ro BeKTopHoro тока .worYT быть связаны с соответствующими
матричными элементами оператора V з а .
Далее учтем, что в силу (8.137) rейзенберrов электромаrнит
ный ток jem.a представляет собой сумму третьей компоненты изо
BeKTopHoro тока v a И изоска.lярноrо тока V sa:
jem,a== V з а + V sa.
( 8. 1 44 )
Если изоскалярный ток V sa не J,aeT вклада в интересующий
нас матричный элемент, то с помощью (8.143) и (8.144) может
быть получено соотношение, связывающее матричный элемент
202
заряженноi5 BeKTopHoro тока v с соответствующим матрНЧ'
ным элементом электромаrнитноrо тока. Именно такая ситуа
ция имеет место в случае распада лТ---+лОе+v е .
Действительно, умножим соотношение (8.143) справа на
вектор состояния л мезона I р >,. , а слева на вектор co
стояния лО мезона ."о(р' I . Используя (8.140), а также учиты
вая, что
Tl i21 Р).,,+==У 2 1 р),.о, ."о(р' I Tl i2==Y2,.".(p'l,
получаем*
."о(р' I V" I Р),.+ == У 2 ,.:(р' I V; J р),.+ У2 "о(р' I V; I Р)"о.
(8.145)
Второй Ч.lен в правой части соотношения (8.145) равен ну-
ЛЮ. ЭТО следует из инвариантности сильноrо взаимодействия
относительно зарядовorо сопряжения. Обозначим U с оператор
зарядовоrо сопряжения. Имеем
и с I Р),.о== I р)"о, UCV UCI== V .
с помощью (8.146) получаем
(8.146)
."о(Р'
I V" 1 ) ( , I и c 1 и с V" з и c 1 и с 1 1
з Р,.о == "О Р
== у;о(р' I I Р)"о == О.
Р),.о ==
Итак,
,.о(р' I V" I р),,-,- == У2:+(р' I V з I р),,+,
(8.147)
Рассмотрим теперь однопионный матричный элемент опера
тора Э.lектромаrнитноrо тока. Из (8.144) следует, что
,,-,-(р' I jeт;rs , p),. . == ,, (p' I ! P/"t+ + ,.+(р' I V s I p)", . (8.148)
Нетрудно показать, что
y;.J.(p' I V s I Р),.+ == О.
(8.149)
Действите.1ЬНО, rаМИ.1ьтониан сильноrо взаимодействия инва
риантен относительно G сопряжения, представляюrцеrо собой
произведение зарядовоrо сопряжения на поворот на уrол л
.. ПО.lчеркнем, что при ПО.'Iучеиии (8.145) м'ы предпо.'IОЖИЛИ, что имеет
место точная изотопическая иивариантность сильноrо взаимодействия (в част.
ности, ЧТо т."т == т"о) .
203
BOKpyr второй оси в изотопическом пространс'i'n"е. Имеем
U G I p),, . == I Р),,+, U G V'SUC;l == - V s ,
(8.150)
[де UG оператор G сопряжения. Используя (8.150), получаем
,, .(p' I V s I p),, == ,, (p' I иа! U G V'sU(jl U G I p),, ==
== ,,+(Р' I V s I Р)"т == О.
Окончательно с помоrцью (8.147), (8.148) и (8.149) находим
"v.(p' I V" I р),,+ == У2"т(Р' I J em ;" I Р),,+. (8.151)
Итак, из rипотезы сохранения BeKTopHoro тока следует, что
однопионные матричные Э.lементы заряженноrо BeKTopHoro то-
ка и электромаrнитноrо тока связаны соотношением (8.151).
Соотношение (8.151) позволяет вычислить матричный элемент
../р' I V'" I р),,+. Действительно, из траНС.1ЯЦИОННОЙ инвариант-
ности с.1едует, что (см. 8.1)
ет i(p' p)X ет
,, (p' I J (х) I p),, == е ,,+(Р' I J (О) I p),, . (8.152)
Далее электромаrнитный ток удовлетворяет уравнению непре
р ывности
aaJem;a == О
(8.153)
Из (8 152) и (8.153) получаем
q +( р' I Jem;cr. I Р ) == О,
(8.1 54)
rде q==p p'.
Матричный элемент ,, (p' I Jem,cr. I p),, имеет следующий об
щий вид:
,,+(Р' I J em ;" I Р),,+ == Npl NpfF" (Q2) (р + p')r1. + G,,(Q2) (p р')"],
(8.153)
rде Fn(Q2) и G n (Q2) функции скаляра Q2== q2. Подставим
выражение (8.155) в (8.154). Учитывая, что q(p+p') ==0, полу
чаем
Отсюда следует, что
Q2G" (Q2) ==0.
G,,(Q2) ==0.
204
Итак, ОДНОПИОННЫЙ матричный элемент оператора Jem;a. имеет
вид
", (p' I J em .", I Р)",+ === Np,Np(p + Р')'" Р" (Q2).
(8.156)
Функция Fn(Q2) носит название электромаrнитноrо формфак
тора пиона.
Нетрудно видеть, что переменная q2 меняется в следующих
пределах:
m 2 < q 2« m . т ) 2.
е_\:О
Таким образом, в рассматриваемом нами с.1учае q2«m n 2
(т + т"o 4,6 МэВ). При малых Q2 формфактор Fn(Q2)
имеет вид
p (Q2) 1 +r Q2,
(8.157)
[д.е r n электромаrнитный радиус пиона Из J,aHHblx опыта
следует, что
rn 0,8.10 lЗ см.
(8.158)
с помо:цью (8.158) нзходим, что J.... r 2 q2 5.1O .
6 '"
Опуская столь малый член для однопионноrо матричноrо эле
мента заряженноrо BeKTopHoro тока, получаем окончательно
",о(р' I J'" I Р)",+ === U иd .(P' I V'" I Р)..+ N p ' N р V2 (р + р)'" U ud '
(8.159)
Вычислим теперь полную вероятность -распада пиона.
Для этоrо воспользуемся формулой (8.97). В рассматриваемом
нами случае f+==i2---; f ==O. Заменяя также в (8.97) Uus--+Uud
dr1t--l.....-+1toe+v dr 1t .J....-+ 1tое --l..,
и учитывая, что е === 2т + е , получаем
dE . dq2
dq2
02 2
== (2")3 U иd
2 2 2
Л(q , m 0-' m о) ( m 2 ) 2
'" " 1 ........!!..... Х
48т3 + q2
,.
т:о) + 6 n;;з 2 (т:+ т:o)2], (З.16С)
dr 1t ...-+1t0e -'. J
е
х [ 4 ( 1 mе 2 ) .t2 (q 2 т2 +
I 2q2 ' ""
rде функция л (х, у, z) дается (7.88). Отметим, что импульс
nО мезона в системе покоя л+-мезона дается выражением:
Р",о ==
2 2
л(q2, т",+' т",о)
2т",..
205
Определим следующим образом безразмерную перемен
ную х:
q2==X!1 2 ,
rДе А == т",+ т"о. Очевидно, что переменная х меняется в преде-
лах
e x l,
rде e==тe2/!12 1,24. 10 2. После нес.'IОЖНЫХ преобразований
получаем
1.. (q2, m,.,.I.,
2 / 112
m,.,o) == А(т + т o)Vl X, 1 X
"'" \ (т _ + т о) 2
, '" '"
А (т .1. + т о) V 1 х.
'" '"
)1/2
(8.161)
с помощью (8.160) и (8.161) для полной вероятности
да пиона находим слеДуюrцее выражение:
/ 3
G2 115'2 ( , т"о )
r o.,..,== и 1-+-- "
" "e е (21t)3 24 ud 'т +
, "
-распа-
1
S dx ' ( е ) ' 2
Х 7 l' 1 Х [(2х + е) (1 х) + 38] 1 --;- .
(8.162)
Окончательно после интеrрирования по х получаем
r.l. о + ==....!!.:... U d А 5 ( 1 + т.. о ) 3 Х
" -?" е У е 192 т
, ,,+
X[+V 1 e (2 9€+882)T68Jln I+ Т--=; ]. (8.163)
Из (8.163) следует, что отношение R вероятности распада
+ nOe+Ve к полной вероятности распада n+ меЗ0на равно*
RTeop== (1,048 + 0,005) .10 8.
Полученное на основе всех выполненных до сих пор изменений
вероятности распада Jt+--+лОе+V е среднее значение отношения R
равно
Rэксп== (1,025 + 0,034) .10 8.
Таким образом, данные по изучению распада пиона под-
тверждают rипотезу сохранения BeKTopHoro тока.
'" Поrpешность в теоретическом значении отношения R определяется
поrрешностью .
206
8.5. Распад п p+e +Ve.
Частичное сохранение аксиanьнorо тока
В этом параrрафе мы обсудим распад нейтрона
п--+р+е +Vе'
(8.164 )
Этот процесс был впервые рассмотрен Э. Ферми в ero класси
ческой работе «К теории лучей> (1934). В течение долrоrо
времени после работы Ферми изучение распада являлось
единственным источником информации о слабо взаимодейст-
вии. В настоящее время процесс (8.164) является одним из
наиболее изученных слабых процессов.
В матричный ЭJ1емент процесса п--+ре Vе дает вклад сле-
дующий эффективный rамильтониан:
.Х== :2 ;Y,,(1+Y5)V e (+h.c, (8.165)
rJ,e jGt===uyGt(l+ys)dU ud (U"d элемент матрицы смешивания
кварков). Из (8.165) в низшем порядке теории возмуrцений по
G Д.1Я матричноrо элеl\1ента -распада нейтрона получаем
(рис. 8.5)
G
(т I (5 1) I i) == i V2' N k ,N k u(k)y,,(1 +Y5)u( k) Х
Х ';р' I )" (О) I р) (27t)' О (р + k + k' р). (8.166)
Здесь р и р' импульсы нейтрона и протона; k и k' импуль
сы электрона и антинейтрино; JGt не изменяющий странности,
очарования и т. J,. заряженный адронный ток в представлении
rейзенберrа; N", и N k' стандартные нормировочные множи-
тели ( N == )
k (211:;3/2 V kO .
Перейдем теперь к подробному рассмотрению адронной ча
сти матричноrо элемента (8.166). Запишем заряженный сла-
бый ток jGt В виде
k е
,О; ( '" " )и
J == V '1 а "d,
(1',167)
с5 "' d
v == и'С ,
" '" d
а == и'( у 5
р
rде
соответственно векторный и акси- п
а.1ЬНЫЙ кварковые слабые токи. Д.1Я
соответствующих rеЙзенберrовых
токов имеем
JGt===. (Va+AGt) U ud ,
(8.168)
Рис. 8.5. Диаrрамма процесса
n--+р+е +V:
207
[де v и kJ. не изменяющие странность, ование и т. д.
векторный и аксиальный заряженные адронные токи.
Рассмотрим вначале матричный элемент (р'l v I р>. в при
ложении Ж мы показали, что
(р' \ Vcr. I р> == Np,Np-;;'(р') [ycr. F v + 2. оcr. tl qf3 F ,и] и (р), (8.169)
rде q==р' р передача импу.1ьса, а формфакторы Fv и Рм
(функции квадрата передачи импульса) связаны с электромаr
нитными формфакторами протона и нейтрона соотношениями
Fv == F/ Fl'" }
F и == F 20 F 2 п.
(8.170)
в рассматриваем:ом случае распада нейтрона зависимо-
стью формфакторов от квадрата передачи импу.lьса можно
пренебречь. Действительно, нетрудно убедиться в том, что пе-
ременная q2== (p' p)2== (k+k')2 изменяется в пределах
тe2 q2 (Mn Mp) 2,
(8.171)
[де "'1 n и М р VfaccbI нейтрона и протона. Рассмотрим в каче-
стве примера электромаrнитный формфактор FlP(Q2) (Q2==
== (р' p) 2). При малых Q2 имеем
FIP(Q2) == 1 +r/Q2,
[де rp электромаrнитный радиус протона. Из данных опыта
следует, что rр 0,8.10 lЗ см. Используя (8.171), получаем
1
rp2Q2 4.10 6 Соответственно ПО.l0ЖИМ в (8.170) Q2==0.
6
Используя (Ж.36), находим
Р\I (О) == 1, F м (О) ==Xp xn 3,7
(8.172)
Таким образом, если принять rипотезу сохранения BeKTopHoro
тока, то можно вычислить вклад тока v в матричныif элемент
распада нейтрона.
Имеем [см. (Ж.22)]
(р'l A (О) I р> == N p1JV рй (р') [ya.ysF A qa,\,5F Р] U (р), (8.173)
rде F А И F р формфакторы. Можно получить соотношение,
связывающее константу F (О) с константой распада пиона f1l и
208
константой "!Jн нуклонноrо взаимодействия. Это соотношение
основано на rипотезе частичноrо сохранения аксиальноrо тока,
к формулировке которой мы теперь перейдем.
Рассмотрим матричный элемент (OIAa;(o) Iq>, [де Iq)
вектор состояния л мезона. Как было показано в 8.2, этот
матричный элемент имеет следующий общий вид:
(OIAa;(o) Iq>===iNqfnqa;,
(8.174)
rде fn вещественная константа, численное значение которой
может быть опреде.1ено из измерений времени изни заряжен
Horo пиона. ВС.1едствие трансляционной инвариантности
(О I А а; (х) I q) === e iqx<O I А а; (О) q>.
(8.175 )
Используя (8.174) и (8.175), получаем*
<ОlдаАа;(х) Iq)=== iqae !qx(OIAa;(O) Iq>===
=== т 2 f N e iqx
n :t q
(8.176)
(8.177)
Далее имеем*'"
(Oln(x) Iq>===Nqe iqX.
Из (8.176) и (8.177) получаем
(О!даАа(х) Iq)===m n 2 fn(0Iл(х) Iq).
Предположим теперь, что rейзенберrовы операторы даАа (х) и
л (х) связаны соотношением
даАа(х) ===m n 2 fn л (х).
(8.178)
Эта rипотеза носит название rипотезы частичноrо сохранения
аксиальноrо тока (РСАС). Для интересуюrцеrо нас матрично
[о элемента из операторноrо соотношения (8.178) получаем
(р'lдаАа;(х) Ip>===m n 2 fn(p'ln(x) Ip>.
(8.179)
Далее, используя (8.173) и уравнение Дирака для спиноров
и (р) и й (р'), находим
(р' I д" А'" (х) I р) == i q", e iqx (р' I А" (О) I р) ==
== i e!qx Npl N p (2МРА (Q q2F p (Q2)) и (р') "(sU (р). (8.180)
* Из (8.206) очевидио, что аксиальный ток Аа не может сохраняться;
в случае д"A" O констаита '" равнялась бы иулю и пион был бы стабилен.
** Действительио, в предстаВJlении взаимодействия <О I л (х) I q>
'*<Oln(x)a+(q) 10>,=<01[:t(x), a+(q)]IO> Nqe iqx.
1 6910 209
Рассмотрим правую часть соотношения .179). Оператор
п(х) в представлении rейзенберrа удовлетворяет уравнению*
(О + т 7t (х) == j" (х),
(8.181)
[де j,,(x) источник поля пионов. Из (8.180) для интересую
щеrо нас матричноrо элемента получаем
( q2.+т,,2)<р'lл(х) Ip)==(p'lj,,(x) Ip>.
(8.182)
Далее нетрудно убедиться в том, что матричный элемент
(р'l j" (О) р> имеет следующий общий вид:
(р' I j", (О) I р) == i N р' N р V2 g", (Q2) U (р') у 5 и (р), (8.183)
[де g:t(Q2) вещественная функция Q2== q2. Функция g,,(Q2)
представляет собой пионный формфактор нуклона. Значение
формфактора g:t В точке Q2=== т,,2 по определению является
константой пион нуклЬнноrо взаимодействия. Из (8.182) и
(8.183) получаем
\ . iqx V V V 2g"t(Q2) (8 184
'р' I .. (х) I р! == 1 е 1 р,l р и (р') у 5 U (р). . )
( q2 + т;)
Подставим теперь в соотношение (8.179) выражения (8.180) и
(8.184) Получаем
2МР A(Q2) q2Fp (Q2) == f", т; V2g", (Q2) (8.185)
( q2 + т;)
* Лаrранжиан по.1я заряженных пионов имеет вид
!Е да.Jt*да.л m", 2л*л+!Е 1 , (А)
rде !Е 1 .lаrранжиан взаимодействия ПО.1Я пиоиов с полями адронов. Из (А)
полуqае" сдедующее уравиение для поля л (х)'
д2 [
д:;{, д д2 т2 1t 1t + == 0
д1t" " aa,,1t* == "t д2t" .
j аким образом,
(О +т"t 2 ) 1t== i""
д:;{,[
{'де i", == д1t" . Простейший даrранжиан взаЮlOде:1ствик полк 1t (х) С поле.\1
нуклоиов V (х) == ( Р (х) \ ) имеет вид
n (х)
2[== i V2gN"f5 +N1t* +h. с.
в этом с.1учае
i,.== i t f 2'gN'(5't.,..V.
210
Положим в (8.185) Q2===0. Получаем
2МР А (')) -::::: 1/2 f"g" (О).
(8.186)
Будем далее предполаrать, что функции gn (Q2) И F А (Q2) В ин-
тервале mn2 Q2 О слабо зависят от Q2. В этом случае
gд;(О) g,,( т;)==g, (8.187)
[де g константа пион нуклонноrо взаимодействия. ИЗ дан-
ных опыта следует, что
g2/4л 14,6.
С помоrцью (8.186) и (8 187) получаем окончательно COOTHO
шение
У2 мр А (О) == (" g, (8.188)
которое носИт название соотношения rольдберrера Тримена.
Все входяrцие в это соотношенне величины известны из опыта.
Имеем*
У2МР А (О) 11,9т", f"g 12,6т.:
Таким образом, соотношение rольдберrера Тримена соrласу-
ется с экспериментом.
Вытекающее из rипотезы частичноrо сохранения аксиально
ro тока соотношение (8.185) позволяет определить также зна
чение константы F р (О). Действительно, умножим (8.185) на
( q2+тn2), продифференцируем по Q2 и положим Q2===0. Опу
екая производные РА'(О) и g,/(O) [FA(Q2) и gn(Q2) слабо за
висят от Q2], получаем
F р (О) == 2МР А (О) . (8.189)
т;
Формфактор F р характеризует псевдоскалярный член мат-
ричноrо элемента. Действительно, учитывая, что q=== (k+k'),
и используя уравнение Дирака, получаем
й (k) Уа. (1 +ys) и ( k') й (р') ( qa.) УБР р (Q2) и (р) ===
=== й (k) (1 +ys) и ( k') й (p')ysmeF р (Q2) и (р).
Константой эффективноrо псевдоскалярноrо взаимодействия
является, следовательно, теР р(О). Используя (8.189), получаем
тePp(0) 6.10 2. Таким образом, в случае -распада нейтрона
эффективный псевдоскалярный член матричноrо элемента мал
и ero можно не учитывать. Очевидно, что в случае !J. захвата
!J. +P ,,+п
(8.190)
· При получении этих значений мы использовали Р А (О) ..1,25, f" 0,9зт".
14*
2/1
I .,
константа эффективноrо псевдоскалярноrо взаимодеиствия
равна m,J р и, следовательно, приблизительно в 200 раз боль
ше, чем в случае распада. Нетрудно убедиться в том, что
в процессе (8.190) Q2=:::O,88mJA.2. Полаrая, что при таких зна
чениях квадрата переданноrо импульса FA FA (О) и gл g, He
посредственно из (8.185) получаем mJA.Fp(0,88mJA.2) === 8,1.
Из данных опыта следует, что mJA.Fp(0,88mJA.2) === 9,8 + 1,8.
Таким образом, данные по изучению /l-захвата также под-
тверждают rипотезу частичноrо сохранения аксиа.1ьноrо тока.
rлаsа 9
ПРОЦЕССbl НА ВСТРЕЧНblХ е+ е -ПУЧКАХ
9.1. Процесс е++ e --+e+ e
(с учетом вклада нентральноrо тока)
Изучение процессов на встречных е+ е пучках иrрает
важную роль в исследовании физики э.1ектрослабоrо взаимо-
действия. В этой [.1аве мы ВЫЧИС.1ИМ сечения процессов
eJ..+e eJ..+e ;
(9.1 )
(9.2)
(9.3)
е +е /l +I-L ;
e + e ---+-С +.с
в низшем порядке по константе элеКТРОС.1абоrо взаимодейст-
вия. Изучение этих процессов при энерrиях е' и e 4 10 rэв по-
ЗВО.1яет получить информацию о .1ептОННЫХ нейтральных токах.
Начнем с рассмотрения процесса (9.1). в низшем (втором)
порядке по константе электрослабоrо взаимодействия в мат-
ричный элемент процесса дает ВК.1а], следующий rаМИ.1ьтониан
стандартной теории:
'{jJ .ет ,'" + g .0 Z ..
O l == е Ja. r1 2 _ Q Ja. .
cO"'Jw
(9.4)
Здесь
jaem==ёya e
(9.5)
электромаrнитный ток, а
jaO === ёf аОе
(9.6)
нейтральныЙ ток. В выражении (9.6)
f аО =='Уа (gv+gA'\'S),
gv== 1/2+2sin2ew; gA== 1/2.
(9.7)
(9.8)
rJ,e
212
а.)
Рис. 9.1 Диаrраммы проnесса e++e -+e++e (обмеи виртуальным у-квантом)
а.)
Рис 9.2. Диаrраммы процесс а e e -+e++e (обмеи виртуа,lЬНЫМ Z бозоиом)
Диаrраммы процесс а (9.1) представлены на рис. 9.1 и 9.2. Из
диаrрамм на рис. 9.1 и 9.2 для матричноrо элемента процесса
e e --+eTe получаем следующее выражение*:
(! I (5 1) I i) == i Mfi (2...)4 О (p + р'+ q), (9.9)
s
rде
М '1 == U (p ) Уа. и ( p ) и ( р+) уа; U (p ) +
+ Ru (p ) r и ( p ) u ( p+) rOa; U (p ) + [ (p'...) Уа;и (p ) Х
Хи ( p+) уа.и (- p ) + Qи (р'...) r и (p ) u ( p+) rOa; U ( p )1.
(9.10)
* Напомиим, что всдедствие п рестаиовочиых соотношений для операто
ров ферМИ ПО.1ей из вкладов диаrрамм рис. 9] ,а и 92,а сдедует вычесть
вклады диаrрам.'d рис. 9 ],6 н 9.2,6 Отметим такж , что члеи qa.q jmz2, вхо-
ДЯЩИЙ В числите.1Ь пропаrатара Z-бозоиа, дает в матричный элемент преиеб-
режнмо малый вкдад, пропорционалъный m. 2 jmz 2 .
213
Здесь
R==
s m
g2
4cos J 6w е 2 '
Q==
t m
g2
4cos 2 6w е 2 ,
(9.11)
rде s== (p++p ) 2, t== (p ' p ) 2, p И р+ (p ' и р+') ИМПу.1Ь-
сы начальных (конечных) электрона и позитрона; q===p++p .
Выражения для R и Q MorYT быть записаны в J,pyroM виде.
Имеем
8т2 1/2"
w
е 2
==a.
47; ,
(9.12)
rде G===1,166.10 5 rэВ 2 константа Ферми, а a===1/l37,036
постоянная тонкой структуры. С помощью (9.12) получаем
G 1
R ==-. ---------=-- ps
V 2 21"(;(,
т 2
Z
s т
Q == a Dt
V2 21"(;(.'
т
t т
, (9.13)
rде
р==
т
т С05 2 8w
Напомним, что в стандартной теорИИ электрослабоrо взаимо-
деЙствия с дублетом хиrrсовских полей р== 1. Параметр р мо-
жет быть определен из опытов по изучению обусловленных ней-
тральными токами процессов. Отметим, что имеющиеся данные
соrласуются с предсказанием стандартноЙ теории.
Прежде чем вычислять сечение процесса (9.1), преобразуем
матричный элемент Ми. Вместо констант gv и gA введем
gL===gV+gA, gR===gV gA.
Получаем
r o 1 1 1
а; == g L '( а; 2" (1 + у 5) + g R "( а; 2" ( у 5)'
(9.14)
Далее удобно воспользоваться соотношениями (см. при.iIOжение
r)
й (р' )'Ya. (1 + 'У5) u (p ) й ( p..L.)Ya. (1 + 'У5) u ( p' +) ==
=== й (р' ) 'Уа. (1 + 'У5) u ( p' +) iZ( p..L.) 'Уа (1 + 'У5) и( p ). (9.15)
Используя (9.14) и (9.15), для матричноrо элемента M fi ПО.1У-
чаем следующее выражение:
[ s ] , 1
М,. == 1 + Rg'i + t (1 + Qg'i) u (p ) тУ а; (1 -+- 15) u ( p ) х
214
А ;;( p ) + '(" (1 + '(5) u (p ) + [1 + Rg + -7 (1 + Qg )] х
1 1
< u (P'.J"'2 '(" (1 '(5) u ( p'+) U ( P...)"'2 У" (1 '(5) u (p ) +
1 1
(l + Rg L gR) u (P'.J"'2 1" (1 + У5) u (p ) u ( Pt-) Т'(" (1 '(5) х
1
Х u (p ) + (1 + RgR gL) и(p )"'2 '(" (1 Y5) U ( p ) х
-;; ( p+) у" (1 ,У 5) u (p ) + ( +) (1 + Q!?L gR) u (р'....) Х
1 1
Х "'2 У" (1 + '( 5) U (p ) u ( р +) т У<т' (1 У 5) U ( p ) +
I / S ) (1 , Q ) ( ' ) 1 ( '
Т 1, t ,gRgL U p ТУ" 1
1
'{ ;) u (p ) u ( р ) "'2 '(" (1 + '( 5) U ( p ). (9. 16)
"\1ы рассмотрим процесс e P e+e при больших энерrиях
позитрона и электрона в с. ц. и. ( 10 rэв). Опуская .1иней-
ные по те/Е члены, имеем
r , \
'(5 и'(р) === ru r (р), u (р) у 5 == U (р) r,
Y5 { ( p) ru' ( p), иr( p)Y5== i;r( р) r, J
(9.17)
rде r== + 1 спиральность. Из (9.17) С.1едует, что матричные
элементы
, 1 '
ur (p'.J""2 '{" (1 :t '(5) и' +( р' +),
, 1 ,
u . ( p+)""2 У" (1 :t '(5) u (p )
, , 1 1 ( , ,
отличны от ну.1Я при r + == r == , r + == r == .r + == r ==
== 1, r + == r == 1). Аналоrичн) :yrатричныс элементы
r' ' 1 r
u (p ) ту" (1 :t У5) u (p ),
" 1 r + '
U + ( р ) 'v (1 :t '( 5) U ( р + )
2 1"
ОТ.1ИЧНЫ от нуля при r'...==r == 1, r r+== l\r'...== r == J,
< == r == 1). Таки r образоVf, отличны от нуля ампЛИТУДЫ сле
215
дующих переходов (рис. 9.3):
eRT eL eR eL ,
eL eR eL+ eR ,
eR eL CL eR ,
eL eR eR eL ,
eL eL eL+ eL ,
e eR eR eR
(9.18)
(9.19)
(9.20)
(9.21 )
(9.22)
(9.23)
(е L электрон С СПДQаЛhНQС Т ЬЮ НОЙ 1; е R..l.. позитр он
со спиральностью, раНН(Ч4 1,...и т. л.). Очевидно, что в амшIИТУ
ды переходов (9.18) и ( 919) [первыii и второй члены (9.16) J
дают вклад диаrраммы рис. 9.1 и 9.2. В амплитуды переходов
(9.20) и (9.21) [третий и четвертый члены (9.16)] дают вклад
J,иаrраммы рис. 9 1.а и 9.2,а. Наконец, в амплИТУДЫ переходов
(9.22) и (9.23) [пятый и шестой Ч.1ены (9.16)] дают вклад J,иа
[раммы рис. 9.1,6 и 9.2,6
ПереЙдем теперь к ВЫЧИС.lению сечения процесса (9.1).
в случае неПОЛЯРИЗ0ванных начальных частиц имеем
d-:, == ....!....
4
f f
r . r ....
т
dc, ,
r r
+
r r '
+
rде do f , сечение процесса при спиральностях начальных
r+r.......:r.........r
1'+ l'+ (
<
:. J( :.. ... ..
е+{ е е+ 1/ e е+ f e
l'+ '='+
<=== <=== ====>
.. :. . :. .
.+{ e e+t e '+11 e
Рис. 9.3. Процесс e.,.+e -+e++e . Направлеиия спииов начальных и коиечных
частнц в с. Ц. я. указаиы стрелка\lН на двойных .1ИНИЯХ
lб
(конечных) позитрона и электрона, равных r + и r (r: и ( ). Ис
пользуя (9.9), получаем
a 1 1 1
d(J==
52 j (21))6 J6P p
d З ' d З '
2" p p
IMfil о(р+ +p q) ,
р'О р'О
+
(9.24)
[де
. 1 V(p+p p me4
] ==
(21))6 p /:.__
s
"'
(21))6 2p p
нача"lЬНЫИ поток. Вычнс.1ПМ вклады в сечение отдельных пе
реходов, предстаВ.1енных на рис. 9.3. Начнем с eR eL eR eL .
Имеем *
A R L R L == l:u l (p ) '{",[[1 ( p ) [? ( p+) у"'и 1 (p ) 12 ==
, 16
1 1 /'о, 1 /'о, 1
== Spy", (l,Y5)P,..Y13 (l715)p Spy'X (1 +
16 2 2 2
, " ,13 1 /'о
(5) p { 2" (1 + 1.) р+. (9.25)
ВЫЧИС.1ение ARL, RL значите.1ЬНО упроrцается, если вначале с по
ощью соотношения
ya'\'p'\'f\(1 + '\'5) .. yC1.,\,o,\,f\(1 + Y5) ==46 р Оу, (1 + '\'5) ... ,\,1:(1 + )'5)
(9.26)
[см. (7.71)] провести СУМVfирование по а и , а затем ВЫЧИС.1ИТЬ
шпур. Получаем
A RL ; RL == (p p ) (р'.....р+).
(9.27)
Ана.10rично с помощью (9.26) для перехода eL+eR eL+eR на-
ходим
1 l' 1 ' 1 '" 1 1 2
ri L R . L R == I U (p ) '(",и ( p+) u ( p+) 1 u (p ) ==
. 16
== (p p ) (р'.....р+). (9.28)
т
При получении (9.25) \Iы учли, что при Е.... о
1 + 1'5 1 + I'ь /'о
a l(p) U l(p) == аТ(р) иТ(р)== р.
2 2
r
1 +'(5 . 1 +'(5......
al( р) al( р) == a r ( p) a r ( p) == р.
2 2
r
217
Для вклада в сечение перехода e/i e'L.......... et ei находим
А 1 I l ( ' ) l ( ' ) l ( "l ( )[ "
RL; LR == 16 u P '("и Р+ u Р+) '( u p ==
1 1 +у /'.., 1 + " /'.., " 1 /'.. А 1 /'..
== Sp'( Р У13 p Spy Y5 Р "'" Y5 Р .
16 "2 + 2 2 I 2 .J..
Чтобы вычислить A RL LR воспользуемся соотношением [см.
(7.76) ]
Получаем
YaYpYf\ (1 + У5) '" yaY"yf\ (1 + У5) ==4у" (1 + У5) ." ур (1 + )'5) .
(9.29)
A RL ; LR == (p p ) (p p ).
Ана.10rично с помоrцью (9.29) находим
А и ; RL == (p p ) (p p ).
Наконец, используя (9.29), получаем '"
A LL ; LL == A RR ; RR == (p p ) (p p ).
Далее очевидно. что
(9.30)
(9.31 )
(9.32)
, ,S
p p+ == p p == 4'" (l cos е),
" ,\
P-rР == p+p == 2" I
(9.33)
, ,S
P P == p p+ == 4'" (l + cos е),
* ОТ\!еТИМ, что с точностью ;10 \!Iюжите.1Я величины A RL . RL . можно по-
.1УЧИТЬ IIЗ общих соображениЙ инвариантности. Действительно, эти величииы
являются скалярами и имеют вид Р:'Р':'Р'':..р'::''А,,/3 _. Нетрудно убедиться
в том, что Moryт быть построены следующие три скалярных произведения
TaKoro типа' (p-,-p' )(P P'+), (P+P'-'-)(P p' ); (p P )(P'+p' ) Далее из
рис. 93 очевидно, что в силv закона сохранения проекции полноrо момента
A RL : RL И A LR . LR обращаются. в нуль при p+ p' (рассеяиие назад). Эти ве-
личииы пропорционаJIЬНЫ, следовательно, первому инвариаиту. Величины
A RL . LR И A LR . RL обращаются в HYJIb при р-,- р' (рассеяние вперед) и про-
порциоиаю.ны зторому ииварианту Накоиеи, оставшиеся величииы Ан. LL И
A RR : RR аропорциона.1ЬНЫ третьему ииварианту. Нетрудно убедиться в спра-
ведливости соотиошений А Ц. kL ALR. LR, A RL . LR==A LR ; RL, А н : LL==A RR ; RR
Действительно, иапример,
A RL ; RL == 76 I и l (P ) уОуDу" уО'(Оц 1 ( P ) и 1 ( P+) '(O'(O'("'(O'(Dи l(p )12==
1 1 ' 1 ' l "1 2
== 161 и (p ) '("и ( p+) u ( P.J..) у U (p ) I == А ц ; ц.
При получении этоrо соотqошения мы учли, что уОа'(р) и '(p), rде p"
(рО, p)
218
rде е уrол ':' сжду импульсами начальноrо и конечноrо пози-
тронов в с. ц. и. Теперь сделаем ПОС.1едний шаr проинтеrри-
руем по импульсам конечных частиц. Это интеrрирование мы
проведем в с. Ц. и. В этой системе q==p++p (2E, О). Имеем
d З ' d З '
\ " о (p -+- р'... q) p == (' о (2p' 2Е) dp' dQ ==..l... еЮ. (9.34)
и p' р'?"" J 2
Полезно привести сечения процесса e++e e e при опреде-
.1енных значениях спиральностей начальных и конечных частиц.
Используя (9.16), (924), (9.27), (9.28), (9.30) ( 32) и (9.34)
ДЛЯ сечений в с. ц. и., находим следующие выражения:
( ) RL, RL == :: 1(1 + Rgz) + -+ (1 + QgI) 12(1 + cos 6)2; "1
( ; ) == :: 1 (1 + Rg%) + (1 + Qg ) \ 2 (l -т- cos 0)2;
LR. LR t (9.35)
( d 1 \ I d а , Z (
\ dQ ) RL; LR == l,dQ) LR. RL ==""45 11 RgLg я 12 (1- cos )2;
" da ) ' ( da ) 2 ( S
( dQ LL.LL== dQ RR;RR==S ,Т) j1+QgLgR".
К о ( da ) '
ак видно из этих выра)\ ении, сечения i и
,dQ RL; RL
обращаются в ну.1Ь при 6 == 7', а сечения ( ) и
\dQ RL, LЯ
при 6 == О. Из рис. 9.3 очевидно, что это является следствием
закона сохранения ПОЛноrо VfoMeHTa. ОПfетим таю, е. что BC.1eДCT
вие несохранения четности ( ) =1= ( ' )
dQ RLRL dQ LR; LR
С помощью (9.35) Д.1Я сечения процесса e+e e+e в слу
чае неполяризованных начальных е т и e без труда находим
)
I da )
I dQ LR.. LR
( :; )LR; RL
( ) e+e ->e e ==+ ( ; ) r> ; r+r
== [4Вс! В 2 (1 COS 6)2 + В з (1 + cos 6)2!.
(9.36)
Здесь
( S" ? 22
В 1 == т) 11 + Q (gv gл) I ;
B z == 11 +R (gv2 gA212;
В з == +{ 11 +R(gv+gл)2+ 7-(1 +Q(gV+gA)2)12
,11 + R (gv gA)2 + + (l + Q (gv g)2) 12} .
219
'<" h " 'Э
i i :: t , СУ, t. ! , ! , : ,
а 0,2. 0,'<- 0,5 0,8 1
I cosSI
Рис 4. Зависимость от i cos е I отношения сечения процесса e++e --+e++e
при Ys 44 rэв к сечению, ВЫЧИС.1енному в рамках квантовой электродинами
ки Сплошная кривая предсказание стандартной теории при siп2еw О,23
До сих пор мы не учитывали ширину Z-бозона. Д.1Я TOro
чтобы ее учесть, в пропаrаторе Z бозона следует сделать за
мену:
т (тz i/2 r z )2 т i mzr z
(rz«mz). Очевидно, что Д.1Я сечения процесса (91) останется
справедливым выражение (9.36), в котороч
? I
G т
R == V ....!.... ps 1,
2 2па s т3+iтzrz' I
I (9.37)
т 2 (
Q =с= ot L I
V'T 21tct' t т2+ i тzr z ' J
Итак, мы ВЫЧИС.1ИЛИ сечение процесс а e+e e""'e в низшем
ПОРЯJ,ке по константе элеКТРОС.1абоrо взаимодействия (с учетом
диаrрамм с обменом Y KBaHTOM и Z-бозоном). Сравнение полу-
ченноrо выражения с экспериментом в области таких энерrий,
при которых ВК.1ад J,иаrрамм с обмеНО\f Z-бозоном становится
заметным. позволяет в принципе получить информацию о кон-
стантах gv и g.4, характеризующих .1ептонный нейтральный ток.
На рис. 9.4 представлена зависимость от ! cos е I отношения се-
чения процесса (9.1) к сечению процесса, вычисленноrо в рам-
ках квантовой электродинамики (с учетом радиационных по
правок) при '}' S 44 rэв. Как видно из рис. 9.4, в области yr
.10В е, близких к ;r,i2, сечение. вычисленное с учетом вклада ней
1 ральноrо тока, меньше сечения, полученноrо в рамках кван-
10ВОЙ электродинамики. Имеюrциеся данные соr.1асуются с этим
предсказанием стандартной теории. Эти данные не позволяют,
однако, определить константы gv и g 4 С достаточной точностью.
9.2. Процесс е++е I-L++!С'
Асимметрия вперед назад
В эточ параrрафе будет рассмотрен процесс
e""+e !1++!t .
(9.38)
Очевидно, что в низшем порядке по электрослабому взаимодей-
ствию в матричныЙ элемент этоrо процесса дают вклад ДИа-
220
rpaMMbI! ). 9.1,а и 9.2,а. Мы вычислим сечение процесса
в общем случае V, А-взаимодействия, не предполаrая I-L е уни-
версальности взаимодействия заряженных дептонов и Z бозо
нов. rамильтониан взаимодействия имеет вид (9.4). Нейтраль-
ный ток дается выражением
j == Tr : 11.
I=:z, 11
(9.39)
Здесь
r '20, I==Уа (gv l +gA 1 Y5),
(9.40)
[де gi и gA 1 константы. В стандартной теории'
е 11 1 2 . 20
gv == gA== T + Slll !JW,
" 11 1
gA == gл == Т'
Из рис. 9.l,a и 9.2,а для матричноrо элемента процесса получа-
ем следующее выражение:
е 2 I I ct
\/ 15 I i) == i ---s-Iu (p )'(a.и( p+)и( p+)y и(p ) 1
+ Ru (р'.....) r : l1u ( p ) u ( P+) r°a.; е и (p )! (27t)41J (р'..... + p q).
(9.41 )
Здесь q==p+ p , S===q2, а
G 1 2 S
R== pтz ,
t/ 2 21trx s т
(9.42)
[де
т
р==
т cos 2 9 w
В с.1учае стандартной теории
G "а.
VT 2тfv siп 2 9w
(9.43)
Из (9.42) и (9.43) получаем друrое выражение дЛЯ R:
R ==:. S
4 sin 2 9 w cos 2 9 w s т
Далее вместо gv l И gA 1 введем
gL1==gvl+gA 1 , gRI===gv/ gAI.
(9.44)
(9.45 )
Имеем
О. 1 1 1 1 1 (1 )
r,,' == gL'(" т(1 + 15) + gRI" 2 15'
221
Используя (9.45), для матричноrо элемен , )Iроцесса получаем
. е 2 [ 11 е , 1 ,
(1 I 5 11) == i-s (1+RgLgL)и(p )I"2"(1 +15)и( P+) х
,,1 l1e ' 1
Х и( Р7) 1 2" (1 +'(5) и (p ) + (1 + RgRgR) и (p ) 1" 2" (1
, " 1
1.) и ( р +) и ( р ) 1 ""2 (l 15) и (p ) т
l1e ' 1 , ,,1
+ (1 + RgLgR) и (p ) 1" 2" (1 + 15) и ( p+) и ( p ) 1 2(1
е ,l ,
15) и (p ) + (1 +- Rg gL) и (p ) '("""2 (1 '(5) и ( p+) и( p )X
Х '(" (1 + 15) и (p )] (27t)4 О (p + р'..... q). (9.46)
Отметим, что (946) может быть получено из (9.16), если в этом
ПОс.1еднем выражении положить sjt---+-O и заменить gL2 gLlJ.gLe,
gR2 gRlJ.gRe, gLgk--+gLlJ.gRе, gRgL---+-gRlJ.gLе.
Из (9.46) очевидно, что в сечение процесса дают вклад пере
ходы (9.18) (9.21). с помощью (9.35) и (9.46) без труда по-
лучаем
I da ) а;2
I d () -j == 8 [B (1 cos 6)2 + B (l cos 6)2] ==
\ '" е е .....11 11
а;2
==-вs [(B B ) (1 + cos 2 6) + 2 cos 6 (B B )]. (9.47)
Здесь
1 )
B ==""2[ 11+Rgrg 12+ II+Rg gii21,
B ==+rll+Rgrg{J2+ 11+Rg gkI2].
(9.48)
е уrол между позитронами и !-t+-Мезоном. Используя (9.45),
перепишем С.1едуюrцим образом выражение для сечения:
( da ) а;2 ]
== ((1 +cos 2 6)C 1 +cos6c 2 .
dQ е 'e ""'I1"'I1 4s
(9.49)
Здесь
С 1 == (B + B ) == 1 + 2Rg gv + R 2 ((g )2 + )
+ (g ) 2) ((g ) 2 + (gA) 2),
С 2 == B B == 4Rg gA + 8IfgVg VgA'
(9.50)
222
Если учитывается диаrрамма только с обменом фотоном (рис.
9.1,а), то из (9.49) и (9.50) (полаrая gv==O и gA===O) получаем
( d1 ) еm а2
== (1 + cos' 6).
dQ е+ e ......... +11 4s
(9.51)
Сравнивая (9.49) и (9.51), мы заключаем, что вклад в сечение
нейтра.1ьноrо тока, во-первых, изменяет коэффициент перед
членом (1 +cos 2 8) и, во-вторых, приводит К появлению пропор-
циональноrо cos е члена.
Информацию о коэффициенте С! в выражении для сечения
(9.49) можно получить из измерений полноrо сечения процесса.
Из (9.49) и (9.50) находим
R
11....
а 4.-
е е .....11 \Jo
еm
а .......
е е .....11 ....
== 1 + 2Rg g + ((g )2 '1
+ (g )2) ((g )2 + (gA) ) == с 1 ,
(9.52)
[де
еm
О е + e .....'" +....
47tCl; 2
3s
полное сечение процесса е+е !-t+fL в однофотонном при-
ближении.
Сечение рассматриваемоrо процесса в однофотонном при
ближении не меняется при замене 8 л е:
d"em d"em
(jQ"' (6) == dQ (11: 6).
ЕС.1И учесть ВК.1ад нейтра.1ьноrо тока, то, как видно из (9.49),
такая симметрия не имеет места *. Определим асимметрию впе-
ред назад:
А === N (9 <900) N (9) 900)
1111 N (9 <900) + N (9) 900)'
* Появление в сечении пропорциональноrо cos е члена связано с тем, что
векторный и аксиальный токи по-разному преобразуются при зарядовом со-
пряжении
Uс llу'ЧUс I"('Ч, U G 1Iya."(5lUr.==+lya. "(51,
rде и с оператор зарядовоrо сопряжения. Если. иапример, g o, то. как
нетру,:що видеть,
<j.L (р' +) f.L (P' ) I S I е+ (р+) e (p ) >==<f.L+ (p' ) f.L (P' +) I S I е+ (р+) e (p ) >
da d"
и сечение удовлетворяет соотношению (9) == (7t 9). Если g i= о и
dQ dQ
gA ::j:: о, это соотношение не lIJdеет места.
223
rде N(8<900) (.V(8>900)) число событий с J..L , вылетающими
в переднюю (заднюю) полусферу. С помощью (9.49) и (9.52)
получаем
.4 ==
1111 8RILIL
Таким образом, измерение асимметрии AILIL позволяет опреде-
.1Ить коэффициент С2
Приведем теперь экспериментальные данные Процесс
е+е !-t J..L дета.1ЬНО ИСС.lедовался на е е -кол.lайдерах в CTaH
форде (РЕР) и rамбурrе (PETRA) при 1"5:::;;:44 rэв. Во всем изу-
ченном интервале энерrий полное сечение процесса е+е !-t+J..L
практически не отличается от сеченияа е1 :: , вычисленноrо
е е ....11 11
В рамках квантовой электродинамики. Это соrласуется с пред-
сказание\1 станда ртной теор ии. Именно, еС.1И в соответствии
с имеющимися данными ПО.l0ЖИТЬ sin 2 8w==0,23 и тz-==92 rэв,
то из (9.52) с.1едует, что при Vs 40 rэв RILIL < 1,03.
Измеренная на опыте асимметрия AILIL в об.1асти высоких
энерrий оказалась весьма БО"lЬШОЙ:
(9.53)
AILIL == ( 10,4 :t 1,3 I 0,5) о/о при V s == 34,8 rэв, }
(9..34)
А == ( 15,8 ::t '2,7 :t 0,5) о/о при V s == 44 rэв
ILI1
(первая ошибка статистическая, вторая систематическая)
В соответствии со стандартной теориеЙ (с учетом радиационных
поправок)
A OP == 8,,0/0 при Vs == 34,8 I'эВ,
A OP == 15,20/0 при Ys == 44 rэв.
Ес.1И пара).1етр р в выражении (9.42) положить равным 1, то
из данных по измерению AIL!.L может быть опреде.1ена константа
g 4 IL g 4 е . Из И lеющихся данных следует
gA ,..яле::=;: 0,270 O,O 17,
что соrласуется со значением
g 4 IL gA e ==0,25,
предсказывае).1ЫМ стандартноЙ теорией. С друrой стороны, если
положить g.4 IL g.4 e ==:0,25, то из данных по измерению AILI1 следует,
что
p==1,08 0.07.
Да.1ее, еС.1И использовать (9.43), то из данных опытов по изме-
рению аСИМ).1етрии AILIL может быть определено значение пара-
224
метра sin 2 ь<,l. Для массы Z бозона следует при этом принять
измеренное в опытах на р p-КОЛ.1айдере значение mz== (93::f:
+ 2) rэв. Наоборот, испо.1ЬЗУЯ значение параметра sin 2 8w, по
,'1ученное. например, в нейтринных экспериментах (sin 2 8w==
==0.232 + 0,005), из измеренной на опыте асимметрии AJ.lI-L' можно
опреде.1ИТЬ Vfaccy Z-бозона. Таким путем бы.l0 найдено, что
sin \v == 0,192 IO,02; mz == 88,7::::И rэв.
Итак, данные по изучению процесса e e fL c подтверждают
справед.1ИВОСТЬ стандартной теории.
rлава 10
НЕЙТРИННЫЕ ПРОЦЕССЫ
10.1. rлубоконеупруrне процессы VI-L(VI-L)+.v..-+!-t (!-t+)+Х
( феноменолоrНJI )
В этой [.lаве будет рассмотрен ряд к"lассических нейтринных
процессов при БО.1ЬШИХ (;б 1 rэв) энерrиях нейтрино. В экс-
периментах с нейтрино высоких энерrий были открыты ией
тра.lьные токи. Опыты по изучению r.1убоконеупруrоrо рассея
ния нейтрино НУК.10нами н Э.1ектронов нук.l0нами сыrрали ре-
шающую ро.1Ь в развитии преJ,ставлений о кварках как о фун
дамента.1ЬНЫХ составляющих адронов. В этих опытах была по-
лучена детальная информация о распределении кварков и анти
кварков в нук.lОне. Наконец, из нейтринных экспериментов
в области высоких энерrий было найдено наиболее точное зна-
чение одноrо из фундамента.'IЬНЫХ параметров стандартной
теории sin 2 8w.
-"\ы начнем с рассмотрения процессов
vl-L+N--+!-t +Х, 10.1)
vl-L+N--+!-t +Х, ()0.2)
{'де Х J1юбые конечные адроны. Процессы (10.1) и (1 0.2) обу
словлены обменом W-бозоном (заряженными токами). rамиль-
тониан взаю!Одействия W-бозонов и фундаментальных фермио-
нов (.lептонов и кварков) имеет вид
df 1 == g_ j"'\V", ...L Ь. с.
2 t/ 2
(10.3)
Здесь
. ') , .
;'" == V L'(",f1L J ,
(10.4)
225
15 6910
[де jаh кварковый заряженный сла ':'\ ток. Из (10.3) и (10.4)
во втором порядке по g для матричноrо элемента процесса
(10.1) получаем следующее выражение:
UI5/i)==i у Nk,Nkи(k')y (1+Y5)U(k)X
v 2
т 2
Х w (р'! J 'z (О) I р) (21t)40 (р' p q).
q'2 т,&
(10.5)
Здесь k и k' импульсы нейтрино и мюона; р импульс Ha
чальноrо нуклона; р' суммарный импульс конечных адронов;
q==k k' ===р' p; J а " слабый адронный заряженный ток
в представлении rеЙзенберrа [сильное взаимодействие учиты
вается в (10.5) точно]. Диаrрамма процесса (10.1) представ
.1ена на рис. 10.1. Используя общие форму.1Ы r.'I. 7, для сечения
рассматриваемоrо процесса из (10.5) находим следующее вы-
ражение:
da ==...!.... ......!...... '{1 7/ (k') y (1 + 15) и l (k) и l (k) y13 (1 +
v j 2 (2,,)6 4k k' i.J
,
+ Y s)U'(k / ) ( ' т ) 2 S (pl I J h I р) (р I J"h+lp') о;(р'
Q2 + т2 1.J 1"
w,
p q)df'(2ro)'d3k'. (10.6)
Здесь
. pk 1
1 == pOko (2 1t )6
начальный поток; dr произведенне дифференциалов им-
пульсов конечных адронов; Q2== q2. В выражении (10.6) под-
v разумевается усреднение по спино
)J. вым состояниям начальноrо нукло-
на, интеrрирование по импульсным
и суммирование по проекциям спи-
нов конечных адронов, суммирова-
ние по всем возможным (при дан-
ном импульсе мюона) конечным ak
ронным состояниям.
ВЫПОJ1НИМ В (10.6) вначале сум-
мирование по (. Учитывая, что
и 1 (k) и 1 (k) ==
== 1 : Уб и' (k) и' (k) == 1: У5 k,
r
Рис. 10.1. Диаrрамма процесса
y..+N--+fJ. +Х
226
и ВЫЧИС.1яя шпуры, получаем
L/ (k') ,(" (1 + "(5) и l (k)и l (k)'(I!(l + Y5)и r (k') ==
r
(1 j у,) " "
== Sp'('" (l т '(5) k"( (1 '(5) (k' + т) ==
== 8 (L "I! (k, k') т L I! (k, k')). (10.7)
Здесь
L "I! (k, k') == k"k,1! g"3kk' + k'" kt'J, }
ЦВ (k, k') == i e" ?'kok,'.
J,a.lt:e опrеде.тrим С.1едуюшим образом W: (р, q):
( 10.8)
j' (,о' I J"h 1,0\ (,о I Jl!h+\,o') 0(,0' ,o q)dI'
1 .И
== (2..)6 1ft W I!(p, q), (10.9)
{'де М масса нуклона. С помощью (10.6), (10.7) и (10.9) для
сечения получаем
da == .2!.. ( L"I! ( k k' ) L I! ( k k' ») ( т} \ ) 2W: (,о ) d3k' .
v ( 2п ) 2 k ' ;), 2 2 , q о
Р \ Q + т w / k'
( 10.10)
Очевидно, что величины La.1! (k, k') и L 5 a.1! (k, k') преобразуются
соответственно как тензор и псевдотензор. Поскольку dcr ин-
вариант, из (10.10) следует, что W:jJ(p, q) представляет собой
сумму тензора и псевдотеизора. Псевдотензор происходит or
интерференции вектора и аксиала (VXA). Тензор обусловлен
вкладом в сечение вектора (VX V) и аксиа.па (АХА). Отметим
также, что W I! имеет размерность M l *.
До сих пор мы рассматрива.1И процесс (10.1). Для матрич-
Horo элемента процесса (10.2) из (10,3) и (10.4) получаем
(f I 5 I i) == i V G Nk"V/J;'( k)'{" (1 +'(5)u( k')X
2
( т2 \
Х 2 W 2 ) <,0' I J"h+ I p)(1:it)4o(,or p q),
\q mw
(10.11)
* Действите.1ЬНО. 113 (10 10) с.1едует, что
.H 2 M 4M lM2[W]M2
Отсюда находим [W] M l.
15*
227
[де k и k' ИМПУ.1ЬСЫ И f..L +. Сп) "ры СЦ k) и u ( k') свя
заны со спинорами uc(k) и iic(k'), о исывающими -V и f..L.J..., со-
отношениями
T }
и с (k) == си ( k),
и с (k') == и Т ( k') c /,
(10.12)
rде матрица зарядовоrо сопряжения С удовлетворяет соотно-
шениям
C(ya)TC l== ya (10.13)
(см. приложение В 8). Испо.'Iьзуя (10.12) и (10.13), находим
и ( k) уа (1 +v5) u ( k') == и Т ( k') (уа (1 +У5) ) тх
ХиТ ( k) ==ис (k') уа (1 Y5) ис (k).
(10.14)
Далее имеем
Y5Uc'(k) == ruc'(k).
Отсюда следует, что матричный элемент
ис" (k') уа (1 Y5) ис' (k)
отличен от нуля ТО.1ько при (==1 (спира ьность антинейтрино
равна + 1). С помощью (10.11) и (10.14) д.1Я сечения процесса
v N f..L X получаем
/ 2 \ 2
do;- == O . .:!!...(La (k, k') L (k, k')) ( mw ) Х
(2 J' pk Q2 +mfu,. I
;- d 3 k'
XWa (р, q) k'O ' (10.15)
rде
W (p, q) == (27:)6.!!.... \1 J (1 (р/ I J a h + I р) (plJ p h I р') о (р' p q)df'.
M
(10.16)
Сравнивая (10.10) и (10.15), мы заключаем, что выражения Д.'IЯ
сечений процессов (10.1) и (10.2) ОТ.lичаются, во первых, зна-
ком перед псевдотензором L 5 rr.f) (это связано с тем, что спираль
ности нейтрино и антинейтрино противополо ны). BO BTOpЫX,
В общем с.'Iучае тензор W: s от.1ичается от W;s.
Получим теперь общие выражения для W:t)(p, q). Очевид-
но, что из двух векторов р и q может быть построено четыре
тензора
PaP ' Paq , qaP , qrz.q
228
)
и один псевдотензор
err.f>PGPPqG.
В нашем распоряжении имеется также тензор ga. f3 . В резуль
таlе w:f) (р, q) имеют следующий общий вид:
, (") " qa. q f3 \ ) , (:') 1 ( ! pq ) (
Wa.f3 (р, q) == \g 71 w! + М2 /a. 7j2qa. Pf3
!!!!.... ) W ' (7) ? '\V' (:') + 1 , W' ( . -j--
q2 qf3 2 2М2 ea.f3?1P q 3 М2 qa. q f3 4
.J... ( ...L \ W W ...L ..2.. ( \ W' (-;) ( 1 О 17 )
Л12 РЛf3 I qa.PfY а 'М2 Pa.q qa.PfY 6, .
rAe wi (,) функции ска.1Я ОВ, кото')ые MoryT быть постrоены из
векторов р и q. Из р и q MorYT быть построены две ска.'Iярные
переменные: pq и q2 (р2 == М2) .
Фvнкции w: (7) имеют разме ность M l. Нетрудно видеть, что
эти функции вещественны. ДеЙствите.1ЬНО, из (10.9) и (10.16)
с.1едует, что
W ' (7)00 W (:')
a.f3 a. .
Подставляя (10.17) в это сооотношение, получаем
W . ). W ' (-;)
L L .
Сечения рассматриваемых нами процессов зависят в общем
случае от трех кинематических переменны.. В качестве незави
симых обычно выбирают энерrию нейтрино в л. с.
E==pk/M
и безразмерные переменные
rде
x==Q2/(2Mv), y==v/E.
v==pq/M.
Очевидно, что в .1. с. v==qO==E E' передаваемая адронам
энерrия.
Найдем пределы, в которых изменяются переменные х и у.
Из закона сохранения 4 импульса получаем
p/2 1"f2,
(10.18)
(10.19)
229
(p+q) 2== р'2
Очевидно, что
[де М масса нук.10на (знак равенств С; имеет место в случае
квазиупруrих процессов v п !-t Р и ; P !-t п). С помощью
(10.18) и (10.19) получаем *
0<:c 1.
Переменная у меняется в пределах
(10.20)
O<y
.Их
l+
2Е
(10.21)
Нижняя rраница очевидна. Верхнюю rраницу можно найти С.1е-
дующим образом Построим псевдовектор
Na eaf>P<Jkr,qpP<J'
( 10.22)
в .1. С Na (О, М (kХч)). Таким образом, Na пространствен
но подобныЙ вектор
N2 0.
Подставляя (10.22) в (10.23), получаем
Q 2 И 2 pa 1 o.
4 (pk) l pk
Из этоrо неравенства С.1едует (10.21).
Перейдем теперь к ВЫЧИслению сверток в (10.1 О) и (10.15).
Пренебреrая массой мюона, получаем
(10.23 )
L"'/3g",s == 2kk' q2 == 2ME..\y,
L"'/3pa.p/3== 2 (pk) (pk') /vJ2kk' == 2pk (pk pq) +
1 Н2' ') " 1 2 Е 2 ( 1 .Иху \
Lvl q == ,y у ) '
2 \ 2Е ,
е",/3раkрk:еа./3lирlJ.q' == 2 (pk) (qk') (pk') (qk) :=::
== 4.уРЕ'..\у ( 1 J..... У ) .
\ 2
(10.24)
Далее имеем
La./3q/3 == m ka., L"'tq/3 == о.
Отсюда следует, что в выражении ,J,.lЯ сечения ФУНКЦИИ w 4 Н
W 5 умножаются на mjJ.2. В интересующей нас области высоких
энерrий вк.1адом функциЙ W 4 и W 5 В сечение можно, следова-
* .\'1.ы буде'll раСС)dатривать ПI.юцессы (101) и (10.2) в области высоЮ!х
эиерrий (Е, v, У Q2> 1 [эВ). Массой мюона можно при этом пренебречь.
230
те.1ЬНО, пренебречь. Наконец, нетрудно убедиться в том, что
функция W 6 В сечение не входит (соответствующая свертка рав-
на нулю).
Рассмотрим теперь инвариантный элемент объема dЗk'/k'').
Пренебреrая массой мюона, в л. с. имеем
d 3 k
o == Е' dБ' sin О dO dlp.
k'
Далее получаем
d)..dy == I д {х. у) I dOdE' == ....!.... sin в dБЕ',dЕ'.
д (6, Е) М'!
Интеrрируя по <р, находим
d 3 k'
j k'O == 2'1tMEyd>.dy.
Окончательно с помощью (10.10), (10.15), (10.17),
(10.25) для сечений процессов vI1N !-t Х и ;I-LN !-t+Х
соответственно следующие выражения *:
d v ) [ 2 p '(v) + ( 1 Мху ) Р ' (:"') .,...
==ao .ху 1 y 2
dxdy 2Е
+ ( 1 1 ' ) Р ' (;") 1
ху (\ ""2 уз.
(10.25)
(10.24) и
получаем
(10.26)
Здесь
Р ' l W MW Y ! (.') , Р ' (;") W V (:') Р У W W Y (
2 ==v 2 , 3 ==v 3 ,
(10.27)
а
а'
а о === МЕ.
п
Подставляя численное значение константы Ферми G, получаем
1 1 1"1----10 ( 1i ) 2 Е. 1 10 38 Е 2
ao!:::! v ,0' CM.
;t \МС Мс 2 rэв
Функции Р, безразмерны. Из данных опыта следует, что эти
функции порядка единнцы. Таким образом, порядок сечений
процессов (10.1) и (10.2) определяется величиной (Jo.
Итак, мы ПОЛУЧИ.1И общие выражения для сечений процессов
v!.LN !-t Х и I1N....+!-t+Х. С помощью этих выражениЙ непосред
'" Мы предположиди, что Q2«m2w. Это условие имеет место, если энер-
rия нейтриио Е в д. с удовлетворяет неравеиству
т 2
Е 2; !:::! 5'103 rэв.
231
,
ственно из данных опытов может быть получена информация
о функциях, характеризующих структуру нуклона (эти функции
называют структурными). Функции F i зависят в общем случае
от двух переменных, которые MorYT быть построены из скаляров
pq и q2 Обычно в качестве независимых выбирают х и Q2.
В с.1едующем парarрафе мы рассмотрим процессы (10.1) и
(102) при больших Е, VQ2 И V ( l rэв) в партонном при
ближении. В этом приближении структурные функции F i зави
сят только от безразмерной переменной х (имеет место так Ha
зываемыЙ бьеркеновскиЙ скэйлинr). Как мы увидим в следую
щем параrрафе, партонное приближение (с учетом поправок,
приводящих к с.1абой Q2 зависимости структурных функций)
хорошо описывает все имеющиеся экспериментальные данные.
В зак.1ючение получим соотношения, связывающие CTPYKTYP
ные функции проuессов
v>'J....p !J. +X, ( 10.28)
и
r.;>'----;--п !J. +Х, (10.29)
а также процессов
v>' п !J. +X, (10.30)
н
>,+P L X. (10.31)
КварковыЙ заряженныЙ ток стандартноЙ теории дается вы-
ражением
jah==Uudilya (1 5) d UСdёУа (1"';--У5) d+
"':""'Uusuya (1 +У5) s+UсsёУа (1 +У5) s+ (10.32)
rде U ud , U Cd ..' Э.1ементы матрицы Кобаяши Маскава. Из
имеющихся данных следует. что
I Ucdl «: I UUdl 1, I Uusl «: I Ucsl 1, '"
Из J,aHHblx опыта с.1едует также, что вклад четвертоrо члена
(10.32) в сечения процессов (10.1) и (10.2) мал по сравнению
с ВК.1адом первоrо Ч.1ена. Приближенно имеем (с точностью до
нескольких процентов)
jah UYa (1 +У5) d.
(10.33)
Это выражение может быть записано в виде
ja h SiYa (1 +У5) . N,
rде N == ( ) дуб.1ет изотопичеСК01 rРjППЫ
232
, !
SU (2) ( 't+ ==
=+ ('t 1 -+- i 't 2 ) ). Имее'\1 так)!<е
ja ,, == SIYa (1...l....Y5). .v
['t == ('t 1 i 't 2 )]. Очевидно, что то'\.
.i
Ja.
!
V'(a. (1 у.) 't;N
2
преобразуется как изотопический вектор. Имеем
.п .1,' .2 .1+i 2 .п .1 i 2
]а. == ]а. 1 ]а. ==]'" , }а. ==]а. .
(10.34)
Таким образом, заряженный ток ja h является плюс компонен
той изотопическоrо вектора ja. Оператор И===: ei:tT является опе-
ратором поворота BOKpyr второй оси в изотопическом простран
стве (T i оператор изотопическоrо спина). Имеем
тт.2 u 1 .2 U .l'3 u 1 .1.3
v ]а. 1..,]а. ]a. .
( 10.35)
Из (10.34) и (1 О 35) следует, что
UjahU I== ja.h+.
Поскольку сильное взаимодействие сохраняет изотопический
спин, для соответствующих rейзенберrовых токов из (10.34) и
(10.35) получаем
J h J I+j2 J h+ J l 12 }
!X......... , ,
UJ:U 1 == J:T.
с помощью (10.36) нетрудно получить соотношения между
структурными функциями проце сов (10.28) и (10.29) [(10.30)
и (10.31)]. ОбозиачимW и w ; адронные тензоры, которые
входят в сечения процессов (10.28) и (10.29). Используя (10.36),
rюлучаем
W: ==(2'1t)6 1JS (р' I Ja. h I Р)р/Р I J h+ I p)o(p' p q)dr==
== (2'1t)' : Е S (р' I U IUJa.hU lU I Р)р р(Р I U IUJ h+U IU I р')Х
XO(P' p q)dr==(2'1t)' S(P' I Ja. h + I Р)nn(Р I J: I Р')Х
Х о (р' р q) dr == w; . (10.37)
(10.36)
Здесь I р)р (1 р)n) вектор состояния протона (нейтрона) с им
пульсом р. При получении (10.37) мы учли, что
Ulp)p== lp)n, Ulp)n== 'Р)р.
233
Аналоrично (10.37) находим
w: == W .
(10.38)
Из (10.37) и (10.38) получаем следующие соотношения зарядо
вой симметрии:
Fi/ F ,/; F"k n == F k Р .
(10.39)
Во мноrих экспериментах, выполненных на пучках нейтрино
высоких энерrий, в качестве мишени ИСПО.1ЬЗУЮТСЯ вещества
с приблизите.'1ЬНО одинаковым числом протонов и нейтронов
(такие, как Fe). Из данных, полученных в таких опытах, можно
найти сечения, усредненные по р и n:
da,N 1 [ da,p da. n ] da v [ r da-;p da--;-n ] .
dxdy 2 dxdy dxdy ' dxdy =="2 dxdy dxdy
da, v da-;,v
Сечения и даются выраJl<еНИЯl\lИ (10.26), в которые
dxdy dxdy
ВХОДЯТ CTPYKTY HЫ функции
F'N 1 ( F'P I F\n ) F--::'v 1 ( F-;P + F-; N )
k ==2 k, k. k ==2 k k.
Если имеют место соотношения зарядовой симметрии (10.38),
то
F ,N F 7",v F
k k k'
Для усредненных сечений получаем в этом случае
da ZN) == (10 [Xy2Fl + ( 1 У " y ) F 2 :t J-Y ( 1 + У) Fз1.
(1ОАО)
Из (10.40) следует, что
da,N \ da--::.v I \ :
== (10 F 2 dx.
dy y....o dy g ....0. .'
о
(10.41)
Имеющиеся данные соr.1асуются с (10.41). Например, в опытах,
выполненных в ЦЕРН, получено, что
da v \ da v I
(1,01 :t 0,07) + .
dy I У....О У у.... О
234
,
_О.2. Процессы \'!l{V )1 \t' I-t (I-t+)+Х [партонное прибпижение)
Современная интерпретация опытов по изучению rлубоконе-
пруrих процессов
\'fl V u x,
(1 О 42)
( 1 О 43)
V!l+'V IJ. X
основана на кварк партонной VfОJ,е.1И. В этом параrрафе Vfb!
р ссмотрим эту VfOlIe.1b и ВЫЧИС.1им в ее paMK X сечения про-
иессов (10.42) и (10.43).
Представ.1ение опартонах бы.10 выдвинуто Фейнманом
в коние 60-х rOlIoB ПОС.lе открытия скэЙ.1инrа в первых стан-
фордских опытах по !IЗучению r.1убоконеупруrоrо рассеяния
Э.lектронов НУК.10нами
e N e X
( 1 О 44 )
В OCHCJBe партонно([ Vfоде.1И .'Iежит преJ,положение о том. что
НУК.10Н составная система и что в об.lасrn r.lубоконеупруrоrо
рассеяния (большие Q2 и \') виртуа.1ЬНЫЙ фотон [в случае про-
цесса (1 О 44) 1 .1Ибо внртуа.1ЬНЫЙ W' -бозон [в с.1учае проuессов
(10.42) и (10.43) 1 взаИМОJ,еЙствует с точечны \:И состаВ.1ЯЮЩИ-
ми нук.l0на (партон от aHr.l part) В первонача.1ЬНОЙ форму.1И-
ровке партонной моде.1И эти состаВ.1яющие не конкретизирова
.1Ись. Опыты по r.1убоконеупруrому рассеянию э.1ектронов НУ-
К.10нами и нейтрино НУК.10нами ПОЗВОЛИ.1И J,оказать, что парто-
нами являются кварки частицы с дробными Э.1ектрическими
зарядами, барионным зарядом, равным 1/3, и т. д. Таким обра-
зом, эти эксперименты сыrрали исключите.1ЬНО важную ро.1Ь в
развитии наших представлении об адронах как связанных си-
стемах кварков.
Мы начнем ИЗ.10жение партонной моде.1И с кинематики. Бу-
дем использовать обозначения предыдущеrо параrрафа 4-век-
тор передачи ИМПУ.1ьса q==k k' ЯВJlяется пространственнопо-
добным вектором. Таким образом, существует система, в кото-
роЙ Qo==O. Выберем эту систему с.1едующим образом. PaCCMOT
рим систему отсчета. скорость котороЙ в .1. с. направлена по
вектору qл. Д.1Я Ну.1евой компоненты вектора передачи импуль-
са имеем в этой систеl\1е
о qл О ' qл !
q 1 V 1 2 '
r де /3 скорость
рость В равной
==:qлО\qл\
раССVfатриваемоЙ системы в .1. с. Выберем ско-
( 1 О 45)
235
(это возможно, поскольку q2<O). ТоrдЬ. ===O. Очевидно,
в системе qO==O векторы р и q кол.1инеарны. Далее имеем
pq == pq== ' р I : q 1, х '== s::..... I q I 2
2pq 2 I Р I I q I 2 I Р I .
что
Таким образом,
q=== 2xp.
Импу.1ЬС НУК.10на в системе qO===O равен
" .И
i Р i == V 1 2
Испо.1ЬЗУЯ (10А5) и учитывая, что qлО===v, получаем
I I ==
, р VQi'
(Q2=== q2). Отсюда с.1е.дует, что
р2 == ==
JP Q2 2Мх
В об.1асти r.1убоконеупруrоrо рассеяния v» ЛJ. Таким образом,
при значениях кинематических переменных, отвечающих r.1убо
конеупруrому рассеянию,
р2»М2
Сформул!руем теперь основные предположения, .1ежащие
в основе простейшеЙ (наивной) кварк партонной модели.
1. Предположим, что нук.10Н представляет собой систему, co
стоящую из кварков, и что в области r.1убоконеупруrоrо рассея-
ния (Q2»Af2. v»M) взаимодействием меж;J.У кварками можно
пренебречь.
2. Предположим, что в системе qo==O (в которой импульс
нук.10на \шоrо БО.1ьше ero массы) ИМПУ.1ЬСЫ кварков направ.1е-
ны по ИМПУ.1ЬСУ нук.10на и что массами кварков можно пр ене-
бречь по сравнению с их импу.1ьсами"'.
rаМИ.1ьтониан взаимодеЙствия лептонов и кварков с заря
женными промежуточными бозонами имеет в стандартной тео-
рии э.1ектрос.1абоrо взаимодействия вид
.1t[ == 2 V2 ja.Wa... Ь. с., (10.46)
rде заряженный ток ja. дается выражением
ja. == ;П'1. (1 + '(5) l + q'y'1. (l + '(5) Uq'qq
I==e. ... q==d....
q'== , ...
( lOA 7)
* в систе е покоя нуклона средиеквадратичный продольный (в направле-
нии р) !I поперечный !I П ЛЬСЫ кварка равиы Ясно, что в системе, скорость
которой б,1Изка к С, прОДОЛЬНЫl1 ичпульс кварка \(HorO бо.1ьше ero попереч-
Horo !lЧПV.1ЬС3
236
q= 2px
W
. ',
Рис. 10.2 ,.]иаrрамма Рис. 10.3. Поr.10щеИllе W -бозона кварком в системе
процесса '/ '" d-+ qo==O
J.I. +и
(Uq'q элемент матрицы Кобаяши Маскава). Из (10.46) и
(10.47) с.1едует, что во втором ПОРЯJ,ке теории возмущений по
g возможны с.1еJ,ующие процессы квазиупруrоrо рассеяния ней-
трино на кварке и антикварке (рис. 10.2):
V +qi !J. +qf (10.48)
(qi==d, s, Ь; qf==u, с, t),
v +q.---+!J. +qj (10.49)
(qi==Й, ё, [; qf ==d , s, Б).
Рассмотрим процесс (10.48) [( 10.49) j. Начнем с кинемати
КВ. Поскольку (п.l) начальный и конечный кварки свободные
частицы, имеем
Pi+ q== Pf,
(10.50)
rде Pi И Pf импульсы начальноrо и конечноrо кварков. Отсю
да в системе qo==O ПО"lучаем
Pi+q==PF,
PiO== pfO.
(10.51)
(10.52)
Мы предпо.пожили (п. 2), что I Pi I т;, I Pf I тf, [де тi и mf
accы начальноrо и конечноrо кварков. Из (10.52) следует при
этом, что
Ipil==lpfl.
(10.53)
Далее, поскольку вектор Р; направлен по р (см. п. 2), векторы
Р; и q, а следовате.пьно, и Р! коллинеарны.. Из (10.53) следует,
что имеется две воз ожности
Pf== + Pi'
237
Очевидно, что закон сохранения импульса запрещает первую
возможность. Таким образом,
Pf== P;.
Окончательно из (10.46), (10.51) и (10.54) получаем
( 1 О 54)
1
Pi ==. q == Ар.
2
( 10.55)
Таким образом, в партонном приближении в силу закона сохра-
нения энерrии и ИМПУ.,1ьса виртуальный W-бозон взаимодейст-
вует только с таким кварком (антикварком) , импульс KOToporo
составляет Х Ю часть импул а нук.10на р. Рисунок 10.3 иллю-
стрирует процесс поr.10щения виртуа.1ьноrо W бозона с ИМПУ.,1ь
сом q свободным кварком (антикварком) нуклона.
Этот результат ПО.1езно получить друrим способом. Запишем
Pi==XiP,
(1 о 56)
Поскольку Ipil mi, jp/ J1. из (10.56) получаем
piO==XiPO
Таким образом,
P;==XiP.
(10.57)
В силу закона сохранения 4 ИМПУ.1ьса
Pi+q==Pf.
Возведем это равенство в квадрат. Пренебреrая массами квар-
ков. получаем
2PiQ+q2==0.
С помощью (10.57) и (10.58) находим
( 10.58)
q2 .
Xi X,
2pq
Таким образом,
р,==хр.
Перейдем теперь к вычи лению сечения процесса (10.42).
Метод вычи-сления будет состоять в с.1едующем. Вначале вычис-
лим а;J.ронный теНЗ0Р W Cttl (в партонном приближении). Тем ca
MbIl\1 будут найдены структурные функции F i . Затем ВОСПО.1Ь-
зуемся общей формулой (10.40) и получим сечение.
238
Найдем вначале вклад процесса (10.48) в W /I' ДЛЯ Ma
тричиоrо элемента KBapKoBoro тока rюлучаем
q/Pf I j" (0)1 Pi\ == NpiNpfu(Pf) '(" (1 + 15) и (Pi)' (10.59)
Отсюда для вкладэ. процесса (10.48) в W /I находим
РО п 1 "" ""
(W;/I\: q, == ---;;- \ 8 .0 Sp 1" (l + 1.) (Р. + тi) 1/1 (1 + 1.) (Р! +
.У' и Р,
d З Pf. , 2
+т f) o (p . p . q) f q (xi)dXtI U . 1. (10.60)
r , Pfo i qf' q,
Здесь t (х 1) П.10ТНОСТЬ вероятности обнаружения в нуклоне
'1
кварка qi с импульсом, составляющим хi ю часть импульса HY
клона. ВЫЧИС.1ЯЯ шпур и пренебреrая массами кварков, нахо-
дим
(W /I)qf; qi -== S (Pi"Pf g,,/lPiPf + Pf"Pi/l
.У' Р,
ie"lIP,p/Pf')(;(Pf p, q) d;;: fqi(X;)dXt I Uqf;qi 12. (10.61)
Для Toro чтобы записать это выражение в виде (10.17), введем
вектор
п===Pt+Pi'
Учитывая, что q== Pf Pi' из (10.1) получаем
(W /I)qf: q, == s 2;,0 [п"п/l + q2 (g"/I q /I ) 2 i /lp,p q'] Х
dЗРf 2
Х О (Р! Pi q) PfO f lfi (х д dXi I U qf ; qi 1. (10.62)
Выполним далее интеrрирование по Pf. Используя (7.82) и пре-
небреrая массами кварков, получаеl\1
s о (Р! Р! q) ;O! == 2 j1 (; (Р! Р, q) о (Р( т,) d4. Pf ==
1
== 20 (2ptq + q2) == О (х, х). (10.63)
Му
При этом мы учли, что Pi===XiP. Наконец, проведем иитеrриро-
nание по Xi. Учитывая, что (после интеrрирования по Xi)
п == 2р, + q == 2х (Р q),
ea.!'>paPiPqa== xea./lpaPPqa, рР==хр О ,
239
из (10.62) и (10.63) находим
( W' [ ...:.. ( q",qfj ) "::' ( pq ) ( ) \
o.[3)qr; qi - Л1 "ga.fj qЗ '1М2 ,Ро. qЗ qa. Pfj q2 qr,
.2.. е о _р? q' ] i (х) I L' q /2. (10.6'1-)
2J\;[2 'J ""? qi qt' ,
Сравним теперь (10.64) с общим выражением (10.17). Для
вклада процесса (10.48) в структурные функции Fkv получаем
(F'k (X)\,qi-== 1Lkfqi(x) I Uqf,qi I \ (10.65)
rде
!J.I == 1, fl2==2x, !J.з==2
(q.==d, 5, Ь; qf==и, с, t).
Вычислим теперь ВК.1ад в структурные функции F k V процессов
рождения fl мезонов при взаимодействии V с антикварками:
V +qi fl +qr (10.67)
(qi==Й, ё, [; qr==i1, s, Б). Из (10.47) для соответствуюrцеrо Ma
тричноrо элемента получаем
iif(Pr I jo. [ Pi)Q; =-= Nq(Vqiu ( Pi) Iа. (l + 15) и ( Pt) U qi; qf,
( 10.68)
rДе Р, и Р, импульсы начальноrо и конечноrо аптикварков.
Очевидно, что (W;r,) q . --:- отличаетСЯ от (W )q r ; ,. [выражение
f' q, ,
(10.61) 1 знаком перед псевдотеНЗОРО\f ea.r,?aP Pf, а также замено:r
t , . (Xi) t (x i ),
, qi
распределения антикварков qi в нуклоне
(10.66)
rде t (х) плотность
q,
Без труда находим
(F'k (x))q-,:-q. -== ;ktq: (х) I U qi ; q , ' I 2,
, ,
(10.69)
rде
fll == 1, f..L2==2x, !J.3 == 2.
Рассмотрим теперь процессы
:11+ !'- + . }
V'" + qi !'-+ + qf'
Соответствуюrцие матричные элементы тока ja. даются
ниями (10.59) и (10 68). Для вклада процессов (10.71)
турные функции F'k без труда находим
(Fk (Х))., == !'-kf (х) I U I 2
qr.qi qi Qf,qi
(qi == и, С, t; qf == d, 5, Ь),
(lO.70X
(10.71)
выраже
в CTPYK
(10.72)
240
(F'k (x)) == f (л) I u q q I t (10.73)
qf,qi qi " f
(qi == d, Ь; qf == И, ё, п.
Получим теперь выражения Д.1Я структурных функций F k V И
F k V В партонной моде.1И. Очевидно, что для этоrо необходимо
просуммировать вклады в структурные функции процессов
(10.48), (10.67) и (10.71) по нача.1ЬНЫМ и конечным кваркам
(антикваркам) . Получаем
F'k(л) == fJok / I Uqf;q. 12\) f q . (х) +
qi==d...\qf=u.... '/'
+ ,. .. (q, ,.. I U qi ; qf I 2) f (X).
Далее, учитывая, что в силу унитарности матрицы смешива
ния
I U q . q . 11 == 1, I U q ., q i 2 == 1,
f' , " f
qf qf
находим
Fk (х) ==!J.k f q . (х) +;,.
qi==d.. '
f (х),
qi
qi== и. ..'
(10.74)
[де коэффициенты flk и ,. даются выражениями (10.66) и
(10.70). Аналоrично получаем
P (x) ==!J.k f q . (х) + ,. f (х). (10.75)
qi==и.... ' q d qi
' , ...
с помощью (10.66), (10.70), (10.74) и (10.75) находим
p (х) == f q . (х) + f (х). )
qi""d....' q.""u.... q,
, ,
Р2 (х) == 2х (qi '''' f qi (х) + q. и.... f qi (х)),
,
F з (.\) == 2 ( q , . .... f qi (x) q и fqi (Х)\ / )' I
i . .., (10.76)
Рl (х) =-= qi '" f q / x ) + "" . '" fq; (х), I
Р; (.\) == 2х ( qi '''' f qi (х) + qi '''' f (X))-
, \
F з (л) == 2' f q . (х) f (х) 1.
\ qi""и....' q.=d... qi )
,
1 91O
24!
Еще до первых опытов по rJlубоконеупруrому рассеянию
электронов НУК.lОнами (Станфорд, 1968 r.) Бьёркен предполо-
жил, что при больших Q2 И V структурные функции F k зависят
только от безразмерной переменной х (напомним, что в общем
случае функции F k зависят от х и Q2). Эта rипотеза получи.lа
название rипотезы скэйлинrа. Как видно из (10.76), в партон-
ном приближении имеет место точный СКЭЙ.lинr структурных
функций. Далее из (10.76) следует, что в партонном приближе
нии функции Рl И Р 2 связаны соотношением
Р'2 (.х) == 2хР! (.х), Р'2 (х) 2хР! (х).
(10.77)
Это соотношение носит название соотношения Коллана [рос-
са. Оно основано на предположении о том, что спин кварков
равен 1/2.
Подставим теперь (10.76) в общие выражения д.':IЯ сечений
[см. (10.40)J. ПОJ1Зrая, что Е»М, и опуская Ч.1ен Мху/2Е Д.1Я
сечений процессов (10.42) и (10.43) подучаем в партонном при
ближении
:: y ".\ao(,, . ..' f q , (х) +. (1 y)' ', . .i,y) J
" -',у) + q, ....lii(X) J
da [
== 2ха о (1 у)2
11.."- dy
(10.78)
(10.79)
Полезно ПО.1УЧИТЬ также ВК.1ады в сечения рассматриваемых
r.1убоконеупруrих реакций элементарных процессов (10.48),
(10.67) и (10.71). Подставляя (10.65), (10.69), (10.72) и (10.73)
в общие выражения (10.40), без труда находим
'da '
( ) == 2.ха f (.х) I U 12.
,dx dy qf; qi О ч, qf: q, '
( ) == 2.ха о (1 y)J f (.х) I U q /2;
d:r;dy Ч/; qi qi qi' f
( da--;- \ ') ( 1 ) 2' ( ) j U I 2.
' xao у 1.. х ,; а '
d.."-dуJqf;q, ' f i
" da;- ) == 2xa o f q;(.x) I V q ,; qf 12,
\dx.dy qf;qi
r;з.е ( ) вкла ТУ в сечение п оцесса v.V......... J,I. х реакции
,dx.dy qf; iJ i r J1
(10.4-8) и т. д.
242
( 10.80)
(10.81)
(10.82)
(10.83)
< : >
.tII( . d :Jo
V i1 p
1%) о)
Рис. 10.4. Процесс YjJ.-;--Й fJ. +d Направ.lения импульсов и спинов иачаль
ных (а) и конечных (6) частиц в с.lучае вылета мюона назад Направ.lения
спинов указаны стрелками на двойных .1ИНИЯХ
>
<:
..
4:
ос
J>-
V}L
ct
A'
1.1.
а)
<'!, ,
Рис 1 О 4 Процесс '.... +d 1-l и Направления импульсов и спинов нача.1Ь
ных (а) и конечных (6) частиц в с.lучае вьиета \Iюона назад Направления-
Как ВИДНО из (10.89) (10.83), в партонном приближении се-
, dcr dcr
чения r i и не зависят от у, а сечения
dxdy ql' qi d'( dy / От' '/i
( dcr \ / dcr \
d . d " I и П[:ОПОРll ональ!ш (1 У у.
, х у / °f' Чi \dxdy ;qf; qi
Зависимость от у сечения взаимодействия нейтрино (анти-
нейтрино) с ква рком либо антикварком определяется спираль
настями начальных частиц. В качестве примера рассмотрим
VIJ. Й f-L а
(10.84)
в с. Ц. и. Спира.1ЬНОСТЬ неЙтрино равна 1; спиральность анти-
кварка равна 1 '" (напомним, что массами кварков мы прене
бреrаем). Таким образом, проекция полноrо момента нача.1Ь-
ных частиц на направление импульса нейтрино равна 1 (рис.
10.4,а). Рассмотрим вылет !-I. ,мезона назад. АдронноЙ системе
передается при этом максимальная энерrия: y 1. Так как спи
ральность f-L мезона отрицательна, проекция полноrо момента
конечных частиц на направление импульса нейтрино равна l
(см. рис. 10.4,6). Таким образом, вылет f-L назад в процессе
(10.84) запрещен законом сохранения ПО"lноrо момента. Этому
отвечает множитель (1 y)2 в выражении (10.81) для COOTBeT
ствуюrцеrо сечения.
В случае процесса
VfJ.+d j.c+u
проекции полноrо момента начальных и конечных частиц рав-
ны НУ.1Ю (рис. 105) и. следовательно, вылет мюона назад за-
" Подчеркне\f. что это с:rравеДЛllВО лишь в rтандартной теории, R заря-
женныЙ ток которой входят .1евые компоненты полей кварков
16* 243
коном сохранения \10мента разрешен. этоt отвечает отсутст-
вие у зависимости в выражении (10.80).
Нетрудно теперь СФОРМУ.1ировать общее правило для вы-
ЧИС.1ения вкладов в сечения реакциЙ (10.42) и (10.43) процессов
взаимодеЙствия неЙтрино (антинеЙтрино) с кварками и анти
кварками в партонном приближении. Имеем
[ 1 (спиральности начальных чаСТИЦ J
( ' \ 1 С) одинаковы) . ( )
== ::JoX Т i Х а , .
\dxdYJf. i (l yY (спиральности нача.1ЬНЫХ ; ,.
частиц п отивоположны)
(10.85)
Здесь fi (х) функция распределения нача.1ЬНЫХ кварков (ан-
тикварков) ; aj, i квадрат коэффиuиента, с которым входит
в заряженныЙ ток оператор q' Уа (1 +У5) q, оБУСЛОВJ1ивающий пе
реход i f. Отметим, что это прави.10 применимо также и в слу-
чае, еС.1И в rаМИ.1ьтониан наряду с .1евыми входят и правые
токи.
Если справеД.1ива кварк-партонная картина, то, как видно
из выражениЙ (10.78) и (10.79), изучение r.1убоконеупруrих
процессов vfJ.N I.cX и vfJ.N !J.""'X позволяет получить информа
цию о фуикциях распределения кварков и антикварков в HYK.lO
Не. Введем общепринятые обозначения. Д"lЯ функций распреде-
.1ения кварков и антиквар ков в проТоНе f t/ (х) и fqP (х) исполь
зуются следующие обозначения:
fuP(x)==u(x), f,p(x)==d(x), fsp(x)==s(x), [са(х)==с(х), о..,
р Р Р Р
Т;; (х) == U (х), T(i (х) == d (х), Т, (х) == s (х), fё(Х) == с (х),...
Из зарядовоЙ симметрии .JЛЯ функuиЙ распреде.1ения кварков
в нейтроне получаем
fun(x)==d(x), fdn(X)==U(x), fsn(X)==s(x), fcn(x)==c(x).
(10.86)
Аналоrично для функциЙ распределения антиквар ков в неЙтро
не имеем
ппп
(и (х) ==:d (х), fii (х) == U (х), Тз (х) == s (х), t;; (х) == с (х). (10.87)
При анализе данных опыта ма.1ЫМИ вкладами в сечения pac
сматриваемых процессов самых тяжелых Ь и t кварков пр ене-
бреrают. Из (10.78), (10.79), (10.86) и (10.87) для сечений про-
цессов
v (v ) + p fIo (fIo+) +Х,
fJ. fJ.
V fJ. (v J.I) + п fIO (fIO ) J.... Х
244
СООТБетствеh, получаем
dcr
dx V;y == 200 (х) [(d (х) s (х)) т (1 у)2 (и (х) + с (хт, (10.88)
da
== 2:J o x [(1 y)J (и (х) + с (х)) + (d(x) + s (х))], (10.89)
dxdy
dx ;; == 200Х [(и (х) s (х)) + (1 у)2 (d (х) + с (х))], (10.90)
== 200Х [(1 y)J (d (х) + с (х)) + (и (х) + s,(x))J. (10.91)
dxdy
Для усредненных по протону и нейтрону сечеиий из (10.88)
( 10.91) находим
da ( da da '\
== I -т- '== ОоХ [(q(x) + S(X) c (..\.)) +
dx dy 2 \ d;.: dy d.x. dy J
+- (1 у)2 (q (.\) С (.\) S (х))], (10.92)
d,,
:J o (.\) [(1 у)2 (q (.\) + с (х) s (л)) +
dx dy
+(q(x)+s(x) c(x))]. (10.93)
Здесь
q (.\) -== и (х) ..L d (х) + s (.х) + с (х), }
q(л) u(.\)+-iI(х) s(.\)+ё(х). (10.!И)
Очевидно, что q (х) ((1 (х)) представляет собой плотность веро-
ятности обнаружения в протоне кварка (антикварка) с импуль-
сом, составляющим х ю часть импульса протона.
Нетрудно выразить структурные функции F k через фуикции
распределения кварков и аитикварков. Используя (10.76),
(10.86) и (10.87), получаеу
Р? == 2.\ F? == 2..\ (d + s + u + с);
'Р
F3 ==2(d+s u c);
Уn n
Fz == 2xFi == 2 х (и + s + d + с);
.,/1 ,
F3 ==2(uTs d c);
F;,p == 2xF P == 2х (и + с + d + S), (10.95)
Р;/ == 2 (и с d i);
F;n == 2xffп == 2х (d + с +;; +;);
F3 п == :2 (d --т- с :u: ;).
245
Д.1Я усредненных по р и п структурных "'функциЙ из (10.95)
находим
F ,N 1 (F 'p , F m ) , )
2 == 2 Т 2 ==.\ (q S с... q с S ;
2
vл r 1
F з == (q, S c q c... s);
F :;'V , ,
2 ==x(q c s q s C);
:;\Т I t
F з == (q ... с s q s С).
Кварки рождаются (r.lюонами) совместно с антикварками. Ес-
тественно предположить, что в протоне
s(x)==s(x), с(х)==ё(х)
В этом случае из (10.96) получаем
F N == Р/ == х (q q):
v
F з == q q 'J.s 'J.c;
i;V == q q 'J.c :2s;
1 (F ' \' , F '7' \ )
з з == q q.
2
(10.96)
(10.97)
(10.98)
Ес.1И пренебречь ВК.1адом в структурные ФУНКllИИ странных и
очарованных кварков, то. как было показано в 10.1. ФУНКillI11
F k УДОВ.1етворяют соотношениям зарядовой симметрии:
F N == F V, k == 1, :2, 3. (10.99)
Из (1097) и (1098) с.1едует, что Д.1Я ФУНКllИЙ F 2 соотношение
(10.99) имеет место и при более с.1абых предположениях.
Функции, описывающие распределения кварков и антиквар
ков в нуклоне, обязаны удовлетворять ряду интеrральных yc.lO
виii (правил сум.м) ДеЙствительно, поскольку электрические
заряды и- и C KBapKOB (й и ё антикварков) равны 2/3 ( 2/3),
а ЭJ1ектрические заряды d- и S KBapKoB (а- и s-антикварков)
равны 1/3 (1/3), имеем
!
S r ( 2 ) . ( 1 \ ]
I "3 (U..l...с u с) \ з)(d+S d s) dx==1.
о
(10.100)
( 1/3)
Барионные заряды кварков (антикварков) равны 1/3
По.1учаем
!
S[ 1 1 ]
з(U С..l...d..l...s) з(u+с d s) dx== 1.
о
246
(10.101)
Наконец, учитывая, что протон частица с равными нулю
странностью и очарованием, имеем
I 1
J (s -;) dx == О, J (с с) dx == О. (10.102)
о о
Используя (10.94), следующим образом перепишем соотноше
ние (10.101):
I
j' (q q) dx == 3.
о
( 10.103)
Это интеrрадьное условие носит название правил сумм [рос-
са Леве.ыина Смита. Далее, используя (10.100) и (10.102),
получаем
I
S[ 2 1 ]
3"" (и и) 3'" (d d) dx == 1,
о
S I [ I 1 ]
з(u u)+з(d d) dx == 1.
о;
Отсюда следует. Что
1
S (и ;) dx == 2;
о
1
S (d ёi)dx =:: 1.
о
(10.104)
Определим uv==u й и dv==d a. Функции щ. и d v характери-
зуют распредедение валентных и и d-кварков в протоне. Пра-
вила сумм (10.104) являются следствием Toro, что протон со-
стоит из двух валентных и-кварков
и одноrо валентноrо d KBapKa.
Структурные функции ПрОQесса
r лубоконеупруrоrо рассеяния элек-
тронов (мюонов) нуклонами
l+N--+l+Х, l===e, J.L
в кварк-партонном приближении
также выражаются через функции
распределения кварков. Получим
соответствующие выражения. Диа-
rpaMMa процесса представлена на Рис. 10.6. Диаrpамма процесс а
рис. 10.6. Для матричноrо элемента e+N e+X
247
проuесса находим
(f 15 I i) ==ie 2 N",N,,-::(k')'(r1.[l(k).J.....(р' I J:m(O) I р) Х
q2
Х (2'1t)4:) (р' р q),
rде k и k' ИМПУ.1ЬСЫ начальноrо и конечноrо .1ептонов; р
ИМПу.1ЬС нуклона; р' суммарный- ИМПу.1ЬС конечных адронов;
q==k k'; J а. еm электромаrнитныЙ ток адронов в представле
нии rейзенберrа. Сечение процесса IN.......IX J,ается выражением
do z == J.. е 4 \1 и" (k') yr1.[l' {k) и' (k) .tl3u" (k')X
j (211:)6 4k o k'o 2 /.J I
r'. r
< ( ) }J j' (р' I J: m 1 р) (р I J m I р') 1) (р' р q) Х
Xdr (2..)'d 3 k', (10.105)
[де j нача.1ЬНЫЙ поток. Определим следующим образом
1
зор W r1.t\ (р, q):
i (р' I J: m I р) (р I ,;m I р') 1) (р' р q) r/r ==
v
2!... W
(2n)6 рО t\ (р, q).
тен-
(10.106)
Пренебреrая массоЙ лептона, из (10.104) и (10.105) для сече-
ния процесса находим
do == 2a2 Lr1. 13 ( k k' ) ( .....!..... ) 2 W: ( )
1 pk ' Q2 , 13 р, q k'O
Тензор La.I'>(k, k') дается выражением (10.18).
В силу закона сохранения тока
<р I J а. еm I p)qa.==O.
Из (10.106) и (10.108) получаем
W 13 (Р, q) qr1. == о, W fI (р, q) ql3 == О.
(10.107)
( 1 О 108)
( 10.109)
Далее очевидно, что W: 13 l1ензор BToporo paHra (ja. em BeK
тор). Полаrая в (10.17) Wз==О и учитывая (10.109), получаем
W I3(p, q) == ( gr1.t\ q :13 ) wi +
+ _ 2 (Pr1. : qr1.) (PI3 : q )W;,
[де W11 и WZl вещественные функции скаляров pq и qZ.
248
(10.110)
Нетрудно теперь ПЫIУЧИТЬ общее выражение для <..ечения
процесс а lN lX. Учитывая, что
L7. (k, k') qa,==La, (k, k') qll== О,
находим
L".r, (k, k') (g"tI q ;f3 ) == '2kk' === q2 == 4EE' sin 2 +,
L"tI(k k')(p pq q ) \ ( Р pq q I ===2(pk)(Pk')
, \" q2" 13 ,/2 tI / '
A1 2 kk' === 2ЕЕ' cos 2 .i...
2 '
(10.111)
d 3 k' "=' Е' dE' dQ'.
k'O
Здесь Е и Е' энерrии нача.1ьноrо и конечноrо .1ептонов в л. с.,
а 8 yro.'I межJ,У импульсами нача.1ьноrо и конечноrо лептонов.
С помошью (10.107), (10.110) и (10.111) J,,,lЯ сечения процесса
в .1. с. получаем С.lедуюrцее выражение:
dal [w 1 + i) t 2 6 W 1 ]
JЧ 2 g 2 1,
d':;.'dE'
(10.112)
rде
а,2 cos 2 (б 12)
<:1
.\1 4Е2 sin 4 (6/2)
Приведем также друrие используемые в литературе выражения
для сечения rлубоконеупруrоrо рассеяния лептонов нуклонами.
Определим без{:>азмерные структурные функции:
F11===MW1I, F 2 1==VW 2 1 .
Далее, )'ЧР.тывая, что y===Q2/(2MEx), из (10.25) получаем
S d3k' у 2
==7i. d)dQ.
k'O х
(10.113)
с помощью (10.107), (10.110), (10.111) и (10.113) находим
== 4па,2 [( 1 y ) F 1 + ху2р / 1 . (10.114)
dxdQ2 (Q2) З Х 4Е2 2 1
Наконеи, вместо структурноЙ функции Р/ часто вводят функ-
цию R, которая опреде.1яется следующим образом:
( \/2 \
\r l l 1 +- ) W.I
'Q2 .
R === (10.115)
W1I
249
Можно показать, что функция R представляет собой отношение
сечениЙ поr лощения виртуа"lЬНЫХ фотонов с продольной и по-
перечноЙ поляризациями. Из (10.115) находим
FE == (Q2 +Р у2) F Е ( 10.116 )
1 v (1+R)Q2 2'
Подставляя (10.116) в (10.114), для сечения полуЧаем следую
щее выражение:
daz 411:0;2 1( ' Q2 )+ (Q2+E2y2) ] z
dx dQ2 == Q4x 1 у 4Е2 2Р(1 +R) F 2 . (10.117)
С помощью (10.111) [.lибо (10.114), либо (10.117)] из данных
опытов по изучению r.1убоконеупруrоrо рассеяния .'Iептонов ну-
клонами можно определить структурные функции F,/. Получим
теперь выражения для этих функций в партонном приближении.
Электромаrнитный ток кварков дается выражением
em
ja. == eqqYa.q'
q
rде еq заряд кварка (в единицах заряда протона). НаЙдем
вклад процесса
l+q l+q
в тензор W I\ (р, q). Д.1Я матричноrо элемента оператора j m имеем
ет
(Pf I ja. I pz) ==NpfN pi U(Pf)Ya.U(P;),
rде Р! и Р! начальныЙ и конечныЙ импульсы кварков. AHa.10
rично (10.64) получаем
z [ 1 ( ' qa. ql\ \ Х ( pQ )
(Wa.I\)q == 2м ,ga.1\ ) + уМ2 Р", q2 q", Х
Х (Pl\ ql\)] e q 2 fq(.I). (10.118)
Сравнивая (10.118) и (10.110), заключаем, что *
(FkZ(x) )q==/J.'k e q2fq(x),
(10.119) .
rде /J.'j==1/2; /J.'2==X.
'" Из (1066) и (10.119) с.lедует. ЧТО fL"==TfLk. ОТldетим. ЧТО МНОЖ!l'
тель 1/2 в этом соотношении связан с тем, что в Lk дают (одинаковый) вк.lад
как вектор, так !I аксиал.
250
Очевидно, что ВК.1ад в W щ:оцесса
l+ij l+ij
дается выражением (10.118), в котором fq(x).......i q (.х). Сумми
руя теперь ВК.1ады всех кварков и антиквар ков, для CTPYKTYP
НЫХ функциЙ получаем следующие выражения:
Р/ == + (fq (.х) + f q (.\») e q 2 ,
q
Р/ .х (fq (.х) + ! (.\)) е/
q
I
(10.120)
Как видно из этих выражениЙ, структурные фуикции F j ! И Р 2 !
проuесса rлубоконеупруrоrо рассеяния .1ептонов нуклонами за
висят только от СКЭЙ.1инrовоЙ переменноЙ х и удовлетворяют co
отношению Ко.1.пана [росса
F 2 1 (х) ===2xF j l (х).
Для проuесса
1+.o--+I+X
из выражения (10.120) ПО.1учаем
F /;; (.\) == Х [ -+ (и (.\) + с (х) + (.\) + -ё (.\)) +
1
+ (d(.\)+s(.\)+d(x)+s(.\))]. (10.121)
9
в случае процесса
l+п--+I+X
имеем
р/п (.\) == Х [+ (d (.\) + с (_\) + [(х) т с(х)) +
1
+ (и (х) + s (х) + и (х) + s (х)]. (10.122)
9
Из (10.121) и (10.122) для структурной функции Fz!N, ycpeДHeH
ной по р и п, ПО.1учаем
Fi' V ==. (F/:J+F/п)::::::x[ 158 (q(.\)+q(x)) +
l 1 ]
+ (c(x)+c(x)) (s(x)+s(x)) .
б б
(10.123)
251
Если пренебречь малым вкладом s и C KЬ \OB, то из (10.123)
с.1едует, что
IN 5
Р 2 (л) х (q (х) q (л)).
18
( 10.124)
Сравнивая это выражение с (10.95). заключаем, что в KBapK
партонном приближении структурные функции rлубоконеупру
rих процессов v",(';",)N !J. (IJ.+)X и IN IX связаны соотноше-
нием
F eN 5 Р У "
') == ?
. 18
( 10.125)
Итак, мы получили выражения Д.1Я структурных функций
процессов rлубоконеупруrоrо рассеяния нейтрино НУК.10нами и
.1ептонов нук.10нами в рамках так называемой наивной партон-
ной моде.1И. При этом мы не учитыва.1И взаимодействия между
кварками. В действительности кварки взаимодействуют с rлюо
I-iами и, С.1едовательно, путем обмена r.1юонами друr с дpy
[ом. ВзаимодеЙствие кварков и rлюонов описывается квантовой
'{ромодинамикой. изложение котороЙ выходит за рамки этоЙ
книrи. Отметим .1ИШЬ. что константа взаимодеЙствия кварков и
r.1ЮОНОВ .10rарифмически убывает с ростом Q2 И при J,остаточно
больших Q2 ма.1а. ЕС.1И учесть взаимодействие кварков и rлюо-
нов. то в первом порядке теории возмущений (rлавное лоrа-
рифмическое приближение) все соотношения наивной партон-
ной модели остаются в СИ.1е. При этом функции распределения
кварков (и, С.1едовате.1ЬНО. структурные функции) зависят не
1'ОЛЬКО от Х. но и от Q2.
В заключение обсудим кратко эксперимента.1ьные данные.
Из (10.26), (10.77) и (10.98) получаем
da d: .
yN + ,N J 1 1 ) " ] F ,N
dx dy dx dy ==:J o l [ т ( у - 2 +
[1 (1 у)2 ] ...!....(хр;/' xFfv)l (10.126)
2 I
Как видно из (10.98), пос.1едниЙ член этоrо выражения пропор-
циона.1ен вклаJ,У странных кварков. Этот ВК.1аД мал и COCTaB
ляет несколько процентов ВК.1ада и и d-кварков. Ес.1И учесть
d: da
этот малый ВК.1ад, то из CVMMbI сечениЙ + может
. dx dy dx dy
быть определена функция F 2 ,'N ===x(q+(j). Далее из (10.26),
(10.77) и (10.98) д.1Я разности сечений получаем
da yN da;,v о 1 .,V V
== ao[l O y)-] хFз т .\F з ).
dx dy dx dy 2
252
i"
't<Q.2<вrэв%
1,0
АУ ,'F 2 eH (SLAC)
(СЛН »)
о
о
0,7
0,3
0,5
0,7
х
Рис. 10.7. Значения функций Р 2 "У, хF з и xij (даниые rруппы CDHS). Приве
18
дены также значения функции F N (данные SLAC)
5
Отсюда может быть определена структурная функция
1 ,N;-V
хF з == "2 ( XF з -т _\F з ) == х (q q).
На рис. 10.7 представ.1ены полученные из данных опыта F 2 vN,
хFз и xij В интерва.1е 4<Q2<8 rэВ2 "'. Приведены также значе
18
ния функции F 2 eN, полученные (при тех же Q2) в станфорд
5
ских оп.ытхx по изучению процесса ed eX.
Как видно из рис. 10.7, данные опыта соrласуются с (10.125).
Подчеркнем при этом, что множитель 5/18 ЯВ.lяется полусум-
мой квадратов дробных зарядов и- и d-кварков.
Из данных опытов с.1едует, что структурные функции зави-
сят от Q2 (скэй.1Инr нарушается). Эта зависимость является
С.1абой и соrласуется с предсказанием квантовой хромодинами-
КИ. Нарушение СКЭЙ.1инrа иллюстрируется рис. 10.8, на котором
приведены значения структурной функции F 2 VN при фиксиро-
ванных значениях х и различных Q2. Приводятся также значе-
ния функции F 2 IJ. N , полученной из выполненных в ЦЕРН опы
5
тов по rлубоконеупруrому рассеянию мюонов нуклонами. Как
видно из рис. 10.7. в широкой области кинематических перемен
* Как правило, \!ы ПDИВОДИМ иейтринные данные работающей в иЕРН
rруппы CDHS
253
O E
,,О
O,'f
1
2'О !
7,0
0/"1
"О !
o,'r
0,2
1 00 о
о oQ:f>88a
.0 CJJHS[Fe] )(=0,55
о,З 8а EHC='%[Fe]
, .+.
+ ..'"
'''''' I. Х=0,65
0,1
0,05
х =0,08 1
. 1 20
х= О, 15' 1
0,5
..........q....:.. х=0,25 1
",М",,,,,,,,,,,,,",,,",,; Х' О, J 5 f;'
..... ......"+' x=O,'/'S IO,J
1:::
10,1
...... ......:.
00ooo 8 8aodЪ
1
18
Рис. 10.8. Значения структурных фуикций F;N !I ""5' F N при фиксированных
значениях х и различных Q2
ных И при нарушении СКЭИ"lинrа имеет место впечатляющее со-
тласие данных с основанным на кварк-партонной модели соот-
ношением (10.125).
Из (10.92) и (10.93) J,.lЯ у-распределений получаем
d;/ ==cro[(Q+5)+(1 y)2(Q S)I; j
d (10.127)
:y == cr o [(1 у)2 (Q s) + (Q + S)],
dy
rде
1
Q == )..qdx,
о
1
Q == i лqdх,
1)
1
5 == S .\Sdx,
о
1
S == S xsdx.
о
Если вклад в сечения антикварков и странных кварков мал по
сравнению с BКoilaдoM и- и d-кварков, то, как видно из (10.27),
сечение dcrVN/dy с.1або зависит от у, а зависимость от у сечения
dcr7,.v/dy опреде.lяется в основном Ч.1еном (1 y)2. Это отвечает
данным опыта (рис. 10.9).
254
Е=JО 200rз8 0,9
ct.G o,)N 0,8 v
1,0 cLy са ., + .. +
i',7 .
;;;....
t 0,6
..
...
0,5
0,5 ...;
O,
.. .. .. . .. t
ОУ 0,3 /
8У 0,2 I
О 50 100 150
а 0,2 0,1{- 0,6 0,8 У Е, rэв
Р1!С. 10.9. Зависимость от у сечений d a . N
da Рис. 10.10. 3 нацения величин
d tS YN уН
и a
dy dy уН
, И при различных ЭFерrиях ней
трино и антинейтрино
Если величины Q, Q ... являются константами, то полные
сечения процессов v",N !J. X и !J.N !J.+X линейно зависят от
энерrии нейтрино в л. С.:
а2 [ 1
cr yN ==7 М (Q+s)+з(Q S)lЕ,
а2 [ I ]
cr м (Q 5 ) -+- ( Q + S ) Е.
vN 1t 3 J
Данные опыта приведены на рис. 10.10. С точностью до + 4%
3 интервале от 50 до 150 rэв сечения не зависят от энерrии.
а a
Е .Н t у N t
ели предположить, что т=== cons и T===cons ,то из приве
денных на рис. 10.10 данных следует, что
cr == ( О 686 :t О 019 ) .1O З8 Е,см!
.Н " rэв .
C; H === ( О 339 :t О 010 ) . НТ. З8 Е,см 2 .
. " B
Имеющиеся экспериментальные данные позволяют прове
рить праВИ.lЮ сумм [росса Левеллина Смита (10.100). Ис
пользуя (10.98), перепишем это правило следующим образом
I I
S S I
(q q) dx === хF з "'7 dx == 3.
о о
(10.128)
255
:Как ВИДНО из (10.128), при x o функция .., tдолжна стремить-
ся к нулю. Такое поведение соrласуется с данными опыта (см.
рис. 10.7). Из имеющихся данных следует
1
S F d з "+ о
..\ з Х ,-..1 ,0,
х
о
что находится в соrласии с (10.128)
Итак, данные опытов по rлубоконеуп?уrому рассеянию ней
трино (антинейтрино) и лептонов hуклонами соrласуются
с кварк партонной моде.1ЬЮ. Эти опыты позволяют получить ин-
формацию о функциях распределения кварков и антикварков
в нуклоне и по существу в физике частиц иrрают такую же
РОЛБ, как знаменитые опыты РозеРфОРJ,а в атомной физике.
В заК.1ючение приведе I полученные из опыта (при Q2
10 rэв 2) значения Q+Q, ...:
Q + Q == 0,45 :t 0,01, )
Q == 0,32 I 0,01,
2Q == 0,13:t 0,01, I
25 0,02. J
(l0.129)
10.3. Процессы v (v )+N v )+X
В этом параrрафе мы рассмотрим процессы
обусловленные обменом
Рис. 1 О 11. Диаrра \!\!а про-
цесса v... -'----N-+v ,...+Х
256
v N v +X,
( 1 0.130)
(10.131)
v +N----,>v +Х,
!J.
Z бозоном между нейтринной и адрон-
ной вершинами (см. диаrрамму рис.
10.11).
Впервые процессы v!J. (v!J.) +N
--+V ('v ) +Х были наблюдены в 1973 [.
в ЦЕРН в пузырьковой камере «rapra
мель». Наблюдение этих процессов, а
также процесса v!J.+e v!J.+e ознаме-
новадо открытие HOBoro класса слабых
процессов нейтральных токов. В на-
стоящее время (10.130) и (10.131) яв-
.1ЯЮТСЯ наибо.lее изученными из всех
обусловленных нейтральными токами
процессов. Из данных по изучению
v... [У",) N IJ. (vlJ.) Х получено наиболее точное значение фунда
ментальноrо параметра теории sin26w.
Интересуюrцая нас здесь часть rамильтониана взаимодейс
вия фермионов и Z-бозонов имеет в стандартной теории элек-
трослабоrо взаимодействия вид
( 1 ) '"
:Jtf== 2CO &W 2VIJ.[",(1+[5)\lIJ.+J Z. (10.132)
:.?десь
j == 2i q[", (v q + a q [5) q
4f=и.d ,...
(10.133)
нейтральный ток кварков. В выражении (10.133)
u q l зq 2 sin 2 6\у e q , }
a q J зq ,
[де e q заряд кварка, а
1
l зq == , q == и, С, {,
2
1
l зq == , q == d, s, Ь.
2
Из (10.132) Д.1Я матричноrо элемента процесса (10.130) полу-
чаем С.'Iедуюrцее выражение:
(f I 5 , i) == i 8 g: 9 N k,N k u (k') у'" (1 + [5) u (k) Х
cos w
Х 1 (p'IJ",0(0)lp)(27t)40(p' p q).
q2 т
Здесь k и k' ИМПУ.1ЬСЫ нача.1ьноrо и конечноrо нейтрино; р
импульс начальноrо НУК,,10на; р/ суммарный импульс конеч-
ных адронов; q== k k' о==р/ p; J а. О адронный нейтральный ток
в представлении rейзенберrа. Учитывая, что
(10.134)
2 /8 G 2
g == v 2 mw
(О константа Ферми), перепишем следующим образом выра-
жение для матричноrо элемента процесса (10.130):
(f I 5 I i) == i V а 2 pNk,Nku (k') у'" (l + У5) u (k) Х
т 2
Х z (р' I J ",О (О) , р) (21С)4 Ь (р' р q), (10.135)
q2 mz
[де
mVv
р==
т co.i!6 w
17 6910
257
Напомним, что в стандартной теории в c.1) , если поля Хиr
rca образуют дублет, р===1 (см. rл. 4). Для матричноrо элемен-
та процесса (10.131) находим
(f I 5 I i)== i ;2 pNk,.VkU( k)((1T"(S)u( k')X
т 2
Х > z o (p'IJa.0(0)lp)('27t4)O(p' p q), (10.136)
q т?
[де k и k' импульсы нача.1ьноrо и конечноrо антинейтрино.
Вычисление сечений процессов VI1 (-;11) N----+'\111 ( ) х ничем не
отличается от подробно проделанных в предыдущем параrрафе
вычислений сечений процессов v'" (-;11) N--+J.C (!J.+) Х. Ана.аоrично
(10.10) и (10.15) получаем
do: C ;- == р2 (L а.13 (k, k') :t цз (k, k'») ( т ) 2 W 8 (р, q) d 3 k' .
, (2")" pk Q2+ m l k'o
, z
(10.137)
Здесь Q2=== q2. тензор La(3 (k, k') и псевдотензор L 5 a.(3 (k, k')
даются выражениями (10.8), а
iV' tI(P, q) == ( 7t)6 J (р' I J(/o°(O) I р)(р I J I3 O(O) I р')о(р'
p q) df.
ТеНЗО;J W 13(P, q) имеет общий вид (10.17) (с очевидной заменой
W;' w ). В 1=езультате для сечений процессов (10.130) и (10.131)
получаем'
'1С
da [ ( Мх у '
'11, \1 2 О
dxdy 00 у xF 1 + 1 у 2Е )
Р 2 О :t у ( 1 + У) хFзО].
(10.138)
Здесь
F10===MW10; F 2 °==VW 2 0; FзО==vWзО,
а
02
00 == МВ.
"
Подчеркнем, что структур ные функции процессов VI1'V----+'\1',J.X
и vI1N vl1X одинаковы. Это является следствием Toro, что Ha
чальные нейтрино и конечные нейтрино (которые на опыте, ра-
зумеется, не реrистрируются) одинаковые частицы.
Одна из важных задач опытов по изучению процессов
(10.130) и (10.131) определение параметра sin 2 8w. Мы по
* При получении (10.138) мы предположи.111, что р==1 и Q24;:,mZ 2 .
258
лучим тепер J соотношение, с помощью KOToporo из даи-
HЫ по полным сечениям процессов vl&(v )N---+V!1( )Х и
V!1 ('\I!1)N !J. (!J..j..)X можно найти значение параметра sin 2 ew.
Нейтральный ток кварков имеет вид
о 1 1 I 1
ja. == UYa. и dya. d, UYa.Y5 u dYa.Y5 d.
2 2 2 2
2 . 2 е 1 (1 I 2 . 2 е
Sln w L. eqqYa.q "'25'(" ''(5)S+З- Sln wS'(a. s +...
q==fl, d
(10.139)
Определим
i 1 i 1
иа. == Н У а."'2 чV, аа. == ЛfУа.У5 2'"' iN,
s 1
V == Nva. N
а. I 2 '
[де Лf==( ) изотопический дублет. Очевидно, что иа,; и аа,;
с;
являются изотопическими векторами, а Va,S скаляром. Учиты-
вая. что
f I 1
е q == Зq' 6
( f 3и == +, f зd == -+ ) , переПИШб! следующим образом выра.я e
ние (10.139):
j == (l 2 sin 2 e w ) и + a (2/3) sin 2 ewv + j (s)+ .." (10.140)
[де
о 1 2
ja. (5) == 2 sYa. (1 + '(5) s + з- sin 2 e w sYa. s
ВК"lад в нейтральнЫЙ ток странных кварков.
Рассмотрим случай изоскалярной мишени. Нетрудно видеть,
что при этом в сечения рассматриваемых процессов не дает
ВК.1ада интерференция изовекторноrо и изоскалярноrо токов.
Действительно, используя
(Р' I J (х) I р) == e i (p p/) Х (р' ! Jg(O) I р),
запишем следующим образом выражение для W (р, q):
W j3 (р, q) == (21t)6 S (р I Jg (О) I р') (р' I J (О) I р) Х
х е i(Р/ Jr--q)Хd).dI'==(21t)2 S (Р I Jg(x)J (O) I p)e1qxdx.
(2,,)4 М
(10.141 )
Рассмотрим в качестве примера <р I V/l 3 (х) V-а,S (О) I р). Покажем,
что этот матричный элемент равен нулю. Д"lЯ этоrо введем опе
ратор и==е i%T., представляюIll.ИЙ собой оператор поворота на
11* 259
уrол BOKpyr второй оси в изотопичеёКОМ пр транстве (Ti
оператор ИЗ0топическоrо спина). Имеем
<р I VflЗ (х) Vas (О) I р)==<р I и l UV flЗ (х) U l иХ
XVaS(O) U IUlp)== <pl VflЗ(Х) VaS(O) Ip)==O. (10.142)
При получении (10 142) мы учли, что
UVflЗU l== VflЗ, UVaSU I== VaS, Uip)== Ip).
Далее в соответствии с J,анными опытов по изучению обуслов-
ленных заряженными токами r.1убоконf' пруrих нейтринных
процессов вк.1ады в сечения странны'С кьарков составляют не-
СКОЛЬКО процентов вкладов и- и d-кварков. Пренебреrая вкла
дами странных (и друrих более тяже.пых) кварков для полны"Х
сечений рассматриваемых нами процессов, из (10.137) и (10.140)
получаем
a:,C;-== (1 2sin 2 В\У) 2 0o(V)+ao(A) + -+ sin4Bwao (5) ::t
::t (1 2sin 2 Bw) 00 и), (10.143)
[де <Jo(V), ао(А), ао(5) и ао(1) COOTBeTCTBeHHO вк.1ады в се-
чения токов иЗ, аЗ, v S и интерференции токов иЗ и аЗ.
Рассмотрим теперь обус.10вленные заряженными токами
процессы
v",+.V !J. +X; !1+N ,.c+X. (10.144)
В и-, d приближении заряженный кварковый ток имеет вид
. '" .t i 2 U 1+i.2 l+i 2
J" Ja. ==" , cla ,
(10.145)
rде
l i 2 1 . 2
аа. == аа. + 1иа., '"
С помощью (10.145) д.'1Я полных сечений процессов (10.144)
получаем в случае ИЗ0скалярной мишени *
a .\. == а (V) + а (А) :t а (f),
(10.1-16)
* Qqевидно, q-ro в C:I)o qae ию:калярной :-lИшени W:fI == W fI' Действнтель
но, имеем
W fI== (21t)2 S <р I Jb i 2(:<:) J +i'2(0) I p)e i qx dx ==
== (21t) 2 : S (р I U lUJb i 2(:<:) U IUJ +i 2(0) u 1u I Р) е ! qxd..'(,==
== (21t) 2 S (pll T i 2(:<:)J i 2 (О) I р) е ! qxd.x; == W fI.
При получении этоrо соотношения мы использовали
UJ ==i 2u 1 == J :;:i 2.
260
[де a(V), а(А, аи) COOTBeTCTBeHHO вклады в сечения BeK
тора, !ксиала и интерференции вектора и аксиала. Из (10.143)
и J10.146) получаем
Ne '1С 2 2 . 2/1 I }
о, 0:;- == (1 SIn IJ w ) 00 ( ),
a C O C==- 20 (/).
Наконец, используя трансформационные свойства токов, He
трудно убедиться в том, что
аи)==2ао (/). (10.148)
Действительно, в ао (/) и а (1) дают вклад псевдотензоры
]
} (10.149)
I
(W f3) e =-= (27t)2 (' I (р I (A (х) V (О) +
,И J
т V (x)A (O)) I p)]e1Qxdx,
W J 2 00 j " [( 4 1 i 2 V 1 + i 2 О
( аf3)се== (?7t) И рl (, (.\)" () т
+ Vh i'2 (.\) rl +i 2 (О)) I р)]е ! qx dx.
(10.147)
Изовекторы Vl и Ai УJ,ов.lетворяют соотношениям
[Ti' V k ] == i eikZ VI , } (10.150)
[Ti' AkJ == iешА 1 .
Из (10.150) следует, что
[ Т АЗ 1 == AI i'2 , }
l i 2' (10.151)
[Т Н 2' V 1 + i ' 2 ] =-= 2V3.
С помощью (10.151) получаем
[Tl ! 2, A (x) V +i'2(0)]==[TI i 2, A (.\)] V +i 2(с) +
+ A (х) [TI i 2, V +i 2 (0)1 == Ah i 2 (х) V +l-2 (О) 2A (х) V (О).
Отсюда, учитывая, что Д.1Я СОСтояния С равным нулю изоспином
Т Н 2Iр)==0,
находим
<plAflH 2(х) Val+l 2(0) Ip)==2<pIAII3(X) Va?(O) Ip). (10.152)
С помощью (10.149) и (10.152) леrко убедиться в справедливо
сти (10.148). Окончательно из (10.147) и (10.148) получаем
NC NC
" ,,
, .
I . z /1
SIn IJ w .
2
осе "s,e
, .
(10.153)
261
Это соотношение носит название соотношения" )hCKoca Воль-
фенштейна. С помощью (10.153) непосредств 'нно из даниых
опыта может быть определено значение параметра sin 2 8w.
При получении (10.153) мы пренебреrли вкладами в сечения
s , c и друrих кварков. Отметим, что соотношение (10.153)
справедливо при более общих предположениях. Вычислим вкла
ды в сечения рассматриваемых процессов s- и s-кварков в пар
тонном приближении. Ток ja O (s) может быть записан в виде
ja O (s) ===g LSYa (1 +У5) s+g RSya (1 'Y5) s,
[де
1, 1 . 2 а .
gL т slП !)W'
2 3
1 . 2 а
gR === SIП IJ\V'
3
ВОСПО"lьзуемся общим правилом (1085), сформулированным
в предыдущем параrрафе. Получаем
1
o;c(s) === 200 j' х [gz (s + (1 y)2S) +- g'k ((1 уУ s 5>1 dл dy,
О
1
'\С .? 2 , 2
0;- (s) === 200 j .\. fgi. «(1 у) s + s) +- g'R (s+ (1 у) s)} dx dy.
о
ОТСЮJ,а с.1едует, что
1
'С 'С S 2 2 2
о, (s) 0;- (s) == :200 (gL gR) Х [1 (1 у) ] (s s) dx dy.
о
(10.154)
Аналоrично для ВК.1адов s и S в разность ПQ.1НЫХ сечений обу
С.10вленных заряженными токами проuессов получаем
1
O C (s) O C (s) === 200 j .\ (s s) dx dy.
о
(10.155)
Из (10.154) и (10.155) следует, что ВК.1ЦЫ странных кварков
NC NC СС СС
в разности сече!' ии о, 0;- и о, 0;- об?ащаются в HyJ1b,
если s=== s.
Вычислим теперь сечения проuессов V/-L (V/-L) N v", (v ) Х
в партонном приб.1Ижении. Коэффиuиенты Vq и a q в выражении
(10.132) запишем в виде
'U q ==8L (q) +8R (q),
a q ==8L (q) 8R (q).
262
Нейтральный т,", ja,0 принимает ВИД
j == SL(q)qy<x(1 +'(Б)q+ eR(q)q'(<x (1 '(Б)q, (10.156)
q q
[де (в стандартной теории)
L (q) : I зq iП2 бwе q ; }
'о R (q) Slll бwе q .
С помощью (10.85) для сечений рассматриваемых нами rлубо
конеупруrих процессов без труда получаем '
( 10.157)
da'\lC
dx y == 00 [AL (х) + (1 у)2 A R (.х)];
da::: C
dx y == 00 [(1 у)2 A L (х) + A R (х)],
[де AL(x) и AR(x) COOTBeTCTBeHHO ВК.1ады в сечения левых и
правых кварков и антикварков .\:. Имеем
(10.158)
A L (х) == 2х [ еЕ (q) f q (х) + Sk (q) t q (x)J. ]
(10.159)
A R (Х) == 2х [ e (q) f q (>с) еЕ (q) { (х) ] .
q q q
Рассмотрим r.1убоконеупруrое рассеяние нейтрино (антиней
трино) на протонах
V/-L (v-;) +P V/-L ('V ) +х.
Учитывая вклады в сечения и, й, d, а, из (10.159) получаем
Af == 2х [еЕ (и)и + еЕ (d) d + ek (и) и + е% (d)dj, }
(10.160)
A == 2х [e (и) u + е% (d) d + еЕ (и) и + е% (d) d].
в с.lучае процессов
V/-L( )+N /-L( /-L)+X
из (10.160) в u-, d-приближении находим
A == 2х [e (и) d + е! (d) u +:k (и) +: (d).5i, } (10.161)
A R == 2х [eR(u)d+ SR(d)U + el.(u)d + ek(d)u].
* Напомннм, что ток q'Ycr.(I+Y5)q(qYcr.(I 'Y5)q) обладает отличными от
ну.1Я матричными эле>dентами в с.lучае кварков с отрица:rельной (положитель-
иой) спнра.1ЬНОСТЬЮ н антнкварков с положительной (отрнцательной) спн-
ра.1ЬНОСТЬЮ.
263
ДЛЯ функuий ALN И ARN, ВХОДЯЩИХ В усредI'\lц'<Iые по р и n се-
чения, из (10.160) и (10.161) получаем
Af ==+(Af+AZ)== XJaL(U+-d)7аR(U+-d)J, ]
(10.162)
A == ....!... (Ak +- A R ) == х [a R (и + d) +- a L (; т d)].
2
Здесь
a L == с! (и) т сЕ (d), }
a R == E (и) + E (d),
( 10.163)
rде ВЦ(и) И BL,R(d) даются (10.157). Имеем
1 . 2 а 5. 4 LJ
a L == sш IJW + sш IJW,
2 9
5 . 4 а
a R == S1П IJW.
9
(10.164)
Подставим теперь (10.162) в (10.158). Получаем
d"NC d"CC
vN(.N) == (1/2 sin 2 бw + 5/9 sin 4 бw) vN«.N) +-
+ 5 . 4 6
sш W
9
сс
d,,
,N(,N)
d;( dy
(10.165)
Здесь
d"
.............:. == ОоХ [(и + d) + (1 у)2 (и + d)],
d%dy
d,, c
v
== ОоХ [(1 у)2 (и + d) -+- (и +- d)]
d;( dy
сечения процессов V/-L /-L)N !J. (!J.+)X в и-, d-приближении.
Из (10.165) находим
R. == 1/2 sin 2 бw + sin 4 Bw (1 + т),
9
(10.166)
rде
R == o C/oCC r == r::;:c/occ,
J N N' 'JN '1N
264
Измеряя на о. .яте отношения полных сечений Rv и r, можно
определить, С.lIедовательно, значение параметра sin 2 8w. Таким
способом rруппа CDHS (ЦЕРН) с учетом поправок от вкладов
странных и очарованных кварков, а также радиационных попра-
вок получила, что
sin 2 8w==0,225 + 0,0005.
Если для параметра sin 2 8w принять значение siп 2 8w==0,22З +
+ 0,008 (следующее из измерений массы W бозона), то из дaH
ных по измерению отношения Rv rруппой CDHS было наЙдено
p 0,998 + 0,011,
что соrласуется со значением р== 1, следуюшим из стандартной
теории.
10.4. Процессы Vl(vl)+e l(vl)+e
в этом параrрафе мы рассмотрим чисто лептонные процессы
упруrоrо рассеяния мюонных и электронных нейтрино на элек-
тронах. Начнем с процессов
VI-L+ e----Jo-'\ll-L+ e ,
VI-L + e----Jo-'\ll-L + е.
(10.167)
(10.168)
Очевидно, что процессы (10.167) и (10.168) обусловлены обме-
ном Z-60ЗОНОМ между неЙтрино и электроном (см. диаrрамму
рис. 10.11).
Интересующая нас здесь часть взаимодейст-
вия имеет вид
"w g / '{1 1 .. ( 1 I У ) I
.1// == 2cos8 w \ 2'9 z ! т \5 Vl Т
[==е.
+ е 10'0 (gv +gRI 5) e)Z... (10.169)
в стандартной теории
g ==- ...!.......L. 2sin J Ow
v 2 I ,
1
gA== .
2
(10.170)
Рис. 10.12. Днаrрамма
ароцесса У", + y.... +е
265
Для матричноrо элемента процесс а (10.167) получаем
<t1(5 1)li)===i 8 g:e NkNk,NpNp, (k')'("'(l+'(5)U(k)X
cos w
1
Х ql mi и (р') '(а (gv + gA 15) и (Р) (21t)4 О (Р' Р q), (10.171)
[де k и р (k' и р') ИМПУ.1ьсы начальных (конечных) нейтрино
и электрона; q==k k'. Сечение процесса дается выражением *
1 02 1 1 1 ..... /о.
da == p2 Spya(1+y.)k'( (1 Y5)k'X
, e J 2 (2n)12 k0Jl! 4 о,
Х + + Sp '( а (g V g А '( 5) (;; + т) У (gv + gA '(5) (р' + т) Х
d 3 p' d 3 k'
Х (21t)4 О (Р' Р q) (10.172)
р'О k' о
Здесь
. pk 1
J==
рО kO (2n)6
>
miV
нача.1ЬНЫЙ поток; о == т acca элсктронз. BMt:CTO
, т cos 8W
gv И g..{ введем
1 1
gL == 2 (gv g), gR === 2 (gv gA)'
в ст ндартной rеории
1 . "а
gL == SШ"'JW,
2
gR == sin w.
)
(10.173)
;J,а.1ьнейшие ВЫЧИС.lения значитеJIЬНО упрощаются,
ПО.1ьзоваться соотношениями (7.75) и (7.76). Имеем
если BOC
1 ..... /о. !
Sp уа (1 + '(5) k'(fI (1 + '(5) k' S р '(а [g L (l + у 5) + g R (1 "(5)1 Х
4 4
..... .....
Х (р J... т) '( fI [g L (l J... 1.) ,.... g R (: 15)1 (р' + т) ===
1 /о. ..... 1 ..... .....
== ""4 2SP 1 a kl (1 + 15) k' 42 [gI SPI"P '( (1 + '(.) р' +
+ g SPla;YfI (1 15);; + 2g L g R т 2 Sp Уа Ifll ===
== 16[gI(pk)(p'k') g (pk')(p'k) gLgRm2kk'1. (10.174)
q 2тЕ Е
* В .1. С. lO 7 B (Е знерrия нейтрино), Такнм об-
т т rэ
разом, при всех доступных в настояшее время '!нерrиях q2 т .
266
Выполним далее'в (10.172) интеrрирования по импульсам KO
нечных частиц (учтем закон сохранения 4-импульса). Имеем
S d3p' d 3 k'
о(р' p q) ==
р'О k'O
S 2 d 3 k'
'== 2 о (p' p q) о (р' т d 4 p' ==
k'o
r ,О d 3 k'
== 2 J ,) (2pq ,- q-) -,;;о'
Определим перемеННЫt
( 10.175)
!'q
V:::::::: ,
m
Q2 == qЗ, Е '== .
m
Получаем
1 I Q2 )
20 (2 pq qЗ) == ,) I V .
m \ 2т
,]а.lее в .1. с. находим
(10.176)
Q2==-2EE' (1 cos 8),
y==E E/,
rJ,e Е и Е/ энерrии нача.1ьноrо и конечноrо неЙтрино; 8 уrол
рассеяния. Отсюда следует, что
dQ 2 dv == I a(Q2, \1) \ d6dE' == 2ЕЕ' sin f1d6dE'. (10.177)
д(9, Е')
Испо.1ЬЗУЯ (1 О 175) (1 О 177) и интеrрируя по ер, получаем
. 5 d3p' d 3 k' , 1 ( Q2 ,
o(p' p q) == ,) v ) E'dE'sin6d6drp==
f>'O k'O . m 2т
== r ,) l f V I dv dQ2 == dQ . (10.178)
pk J 2т I pk
Итак, в с.'Iучае упруrоrо рассеяния переменные \. и Q2 связаны
соотношением
v===.Q2/2m (x===l).
Независимыми кинематическими переменными являются pk и
Q2. Вычисление сечения процесса VJ.Le--+-VJ.Lе не представляет те-
перь никакоrо труда. Используя (10.172), (10.174), (10.178),
а также учитывая, что в си.1У закона сохранения 4 импульса
р' k' == pk,
1
рр' == kk' == Q2
2 '
p'k == pk' == pk +Q2,
267
получаем
da vJ1e Р 2 [g 2 J. g 2 ( 1 ) 2 g g т2 ]
dQ 1t L R 2r;k L R 2(pk)2
НаЙдем теперь сечение процесса J1е--+VJ1е. Из (10.168) для
матричноrо элемента получаем
(10.179)
<t I (5 1) I i) =" i 8 g226 u( k)y (1 +Y5)u( k')X
cos w ..
1
Х u (Р') у.. (g v + g 4 У 5) U (р) (21')48(р' Р q), (10.180)
q 2 т
[де k и k' импульсы начально о и конечноrо антинейтрино.
Очевидно, что сечение процесса VJ1e--+VlJ.е \fожет быть получено
из (10.172) заменоЙ k k'. Имеем
da
J1 == p2 [g 2 ( 1 Q2 ) \2+ g 2 ggm2 Q2 ] (10.181)
dQ2 1t L 2pk R L R 2(pk) '
Отметим, что
Q2==2mT,
[де Т кинетическая энерrия электронов отдачи в л. с.
Приведем дрyrие выражения для сечений рассматриваемых
нами процессов. Выберем в качестве независимых безразмер-
ную переменную
pq Q2
Y== ==
pk 2pk
и энерrию нейтрино в .1. с. E==pk/m. Из (10.179) и (10.181) по
лучаем
da v е [ ,
== :JOp2 g[ + (1 у)2 g ' gLgRY ; j;
da
:e ==2aoP2l(1 y)2g1 +g gLgRY ; ]'
( 10.182)
Здесь
02
00 == тE.
1t
Имеем
00 1O 10 .J... ( 1 тС 2 ) ( ...!...... ) ( \ 2 8 6. 1O 4:
1t .Ис 2 ,Мс 2 Мс ) ,
Е.См2
rэв
268
O .;;;; 1
У 1 +тj2E
Процессы (10.167) и (10.168) изучаются при высоких энерrиях
(Е;:д1 rэв). Полаrая р== 1, из (10.182) ПрИ E т получаем **
da y е I
== 200 [gi + (1 у)2 gk],
dy
da
у J.L е 2 (( 1 ) 2 2....L 2 1
=== 00 у gL I gR .
Для полных сечениЙ из (10.183) нахоДИМ
=== 20 [g 2 .J.... g 2 1 I
YJ.L е О L I 3 R' I
с--- == ')0 [ .J.... g2 ....L g2 ] (
'J.Le О 3 L' R')
Нетру дно ВИдетЬ, что *
Отсюда получае f
о о (g 2 g 2 ) о (g 2 + g 2 ) I
'!J.e 7 v 'J.l.e 3 о L I R 3 о v А '
а o ....i.. о ( 2 2 ) ....!. а
Yu. e YJ.Le 3 о gL gR 3 ogvgA'
(10.183)
(10.11)4)
( 10.185)
а
Д.1Я отношения сечений R === с помо-цью (10.173) и (10.184)
a
YJ.Le
находим
., I , 16
gI..lзg'R 1 4sin26w+ sin46w
R==3 1 . 26 6 '48 . (10.186)
...2...2 4 sш w + sш w
I5L + 3g R
Из (10.186) следует, что при sin 2 6w 0,25 А sin 2 6w iJ.R. .
8 R
Таким образом, измерение R позволяет с весьма большой ТОЧ
ностью определить значение параметра sin 2 8w.
* Нижиий предел очевидеи. Получим верхиее значеиие перемеииой у
В с. Ц. и. имеем Q2=,(k k/)2 4ko2. S='(p.fk)2 ( yт2+ko2 +ko)2. Из этих со'
отношений Си1едует, что
2pk
У .;;;; 2pk + т 2 т
1 + 2Е
** Эти выражения .1erJ<0 получить из общей формулы (10 85). Действи
тельно, нейтра.1ЬНЫЙ ток имеет вид jcr.°==gLёycr.(I+Y5)elgRёycr.(1 Y5)e Отсюда
Си1едует, что вклады в сечеtlие процеСС<l v\).e-+'V}J.е электронов с левой и пра-
вой спиральиостью соответствеиио равиы 2rJogL 2 и 2rJogR 2 O y) 2 (Х== 1).
269
p
Приведем результаты, полученные rруппоЙ СНАРМ в ЦЕРН.
Из данных по измерению отношения R найдено, что
sin 2 ew 0,215 + 0,032 + 0,012.
Д.1Я ПО.'1ных сечений рассматриваемых процессов получено
:; == ( 1 9 I О I О 4 ) . 1 0 42 Е. см 2
У ""е ' " rэв '
:; == (15 I О 3 I О 4).10 42 E.c
YJ,J.e ' " rэв .
Д.1Я параметра р найдено
p 1,09 + 0,09 + 0,11
(всюду первая поrрешносrь статистическая, вторая система-
1 ическая). Отметим, что в настоящее вре 1Я в ЦЕРН проводит-
ся новый эксперимент по изучеиию процессов (1 О 167) и
(10168). В этом опыте ДО.1жна быть ПО.lучена рекордная CTa
тистика событиЙ (около 2000 событиЙ vuе-рассеяния И около
2000 событий uе-рассеяния). Параметр sin 2 8\v J,олжен быть
измерен с точностью 0,005.
В заК.1ючение рассмотрим процессы
v<? e---+-Ve e,
(10.187)
( 1 О 188)
Ve e e+e.
в Vfатричные эле 1енты этих процессов J,ают ВК.1ад как rаМИ.1Ь-
тониан (10.168) (нейтра.1ьные токи), так и rаМИ.1ьтониан
.Jfr : >r" (1 + '(5) elV.. Ь. с. (10.189)
2V2
(заряженные токи). Диаrраммы процесса (1 0.187) представ.lе
ны на рис. 10.13. Нетрудно получить эrtфективные rами.1ЬТОНИ-
а.)
о)
Рис. 10.13. Диаrpамма процесса ve+e-+ve+e
270
аны процессов (10.187) и (10.188). Из (10.168) и (10.189) соот-
ветственно находим
( параметр р == о т МЫ положили равным единице )
, m:z cos 2 8w
z G
Ж ! == Vz (v e y"'(l4-'(s)v е )(еу",(gv...)....gАУs)е); (10.190)
.7ff'f = ::z ( eY"'(l +'(5)е)(е'(",(1 + '(о)у е ). (10.191)
Воспользуемся теперь преобразованием Фирuа (см. приложе-
ние r) и запишем df5I W в форме (10.190). Для полноrо эффек
rивноrо rаМИ.lьтониана получаем
z w G
JeJ==.:Jt J T.1fJ == V2 (\'е'(",(1 Y5)Ve)(e'(a.(g '(5)e), (10.192)
[де
gve==g\, l, g4 e ==g4+1.
(10.193)
Очевидно, что сечения процессов vee---yvee И Yee Yee даются co
ответственно выражениями
da
==20 0 [ (grJ + (1 у)2 (gR)2 gL у .!!!... l ,
dy Е
da [ 1
d -== 200 (1. у)2 (g1/ + (ltR) g'l у ; l'
(10.194)
[де
е 1 ' 1 ( ...).... ) .
gL ... 2" gv I gA'
1 ( \
gR =="'2 gv gA)'
в стандартной теории
gL. -== J.... + sin 2 6w,
2
g == sin 2 б w .
Процесс vee---yvee исследова.,1СЯ на мезонной фабрике в Лос-
Аламосе. Получено, что
Оу е == ( 89:!: 35).10---42 Е,см 2 ( 10.195 )
е " fэВ
Из (10.194) при sin 2 e w ==0,230 с.1едует
а 9 4. 1O 42 Е .см 2
'ее , rэв '
что соr,,1асуется с (10.195).
271
Итак, приведенные в rл. 10 данные по Нt.1эbiJlальным токам
соrласуются с теорией rлэшоу Вайнберrа Салама. Отметим,
что из всех имеющихся по нейтра.1ЬНЫМ токам данных следует.
что
siп 2 8w==0,230 + 0,005 (р === 1) .
Если считать, что siп 2 8"\v И Р варьируемые параметры, то из
имеющихся данных сдедует
siп 2 8"\v==О,229 + 0,О06,
р === 0,998 + 0,009.
При л о ж е н и е А. С:Жтема eдNнмц, It==c==i
Теория элементарных: частиц квантовая релятивистская теория. Во все
основные соотношения этоЙ теории входят постоянная Планка fI. и скорость
света с. Естественно поэтому использовать такую систему единиц, в которой
Ii и с равны единице. Мы введем здесь эту си тему.
Пусть А некоторая физическая величина, ямеющая в системе crc раз-
мерность
[А] ""Маитс
(A.l)
(М масса, L длина, Т время). Введем
А
A'
11(1, c .
(А.2)
Выберем пара метры а и f} так, чтобы величина А' нмела размерность массы
внекоторой степенн. Имеем
[11] ==A1L2T 1, [с]== LT l.
Из (А.2) и (А 3) получаем
[А']== M/ a Lb 2a. Tc+a.+ .
(А.з)
Положим теперь, что
а==Ь+с, f}== b 2c
(А4)
Тоrда имеем
[А1==МТ.
(Л 5)
rде
y==a b .
Дли постоянных /1, и с из (Л.3) и (АА) находим
== 1, 11 == О; ас == О , c == 1 .
(Л 6)
Отсюда следует, что
11' == /1, //1, == 1,
с
с' == == 1 .
с
Итак чтобы перейти к системе 11. == с == 1. иеобходимо физические величины
в системе crc разделить на /I,"'с б , rде а И даются соотношеииями (А.4).
В системе 11==с== 1 физические величины имеют размерность Mt IУ дается (А.6)].
1 910 273
с помощью (А.4) нетрудно поЛуltи'l'Ь СGvтl!ошеl!ия, с9яэываЮЩI! lJелиttИl!ы
в системе 11. == с == 1 и системе crc. Например, для импульса, энерrии и мас-
сы с помощью (А 4) находим
р'==р/с, Е'==Е/с 2 , т'==т.
(А 7)
Из (А.б) следует, что
[р']==М, [E'] M, [т']===М.
Таким об\Jазом, в системе 11. == с == 1 импульс, эиерrия и \!асса имеют раз.
мерность массы. ДЛЯ\ момента количества движеиия имеем
Lo
Lo' == Ii' [Lo'] == 1.
Момент количества движеиия в системе::1i == с == 1 безразмерен.
В снстеме crc сечение имеет размерность и с помощью (А 4) для се.
чеиия находим
а
(А.8)
a'
h2c 2
Из (А.б) следует, что
[cr']==M 2.
Используя (А 4), леrко перейти от соотиошений 'dежду физическими величи-
нами в системе h == с == 1 к соотношениям между соответствующими веди-
чинамн в системе crc. Например, сечение взаимодействня нейтрино с точеч-
ным нуклоном в системе h == с == 1 дается выражением
а'2.
а' == Л1 р Е',
1>
1
rде Е' энерrия нейтрнно в л с.; М р масса протона; ",'== 1,027 10 5
Мр2
константа Ферми * Используя (А.7) и (А.8), в системе crc получаем
1 ( 11. 2. Е
a lO lO ) .
1> МрС М р С2.
Друrой пример распад мюана Для полной вероятности распада в системе
11. == с == 1 имеем
1 2 5
",'== a' т
192nЗ '
(:\.9)
* в системе crc константа Ферми имеет размерность
[a]==ML5T 2.
Из (А.4) следует, что константа Ферми в системе 11.== с == 1 ]'
с константой G соотношеиием
а
a'
tI.:SC l .
связана
Имеем [a1==M 2 Отметим, что
I tI. ) 2..
а == а'tl.Зс 1== 1,О27 .IO . \ Мре пс == 1,433. 1O 40
эрr.см З .
274
r
rде mJ.l. масса мюона. Учнтывая, что [w]==T I, с помоmью (А.4) получаем
w
w'
Ii l С' .
(А.ю)
Из (А 9) и (А 10) находим, что вероятиость распада МЮQиа в системе <..:rc
равна
1 ( т ) ' ( те )
Ш 192Т lO lO м: + с.
во всех вычислениях будет использоваться система Ii == с == 1> (штрихи, ра-
зумеется. будут опускаться). При числеииых расчетах (в системе CrC) посто-
янную Планка h, как правило. бывает удобно домножать на с. При этом сле-
дует учесть, что
hc == 1 ,973.1O 1l МэБ.см.
Например,
1t liс
.ИрС '=' .И р с 2 ==
1.973. 1O 1l Мэ8. см
== 2, 103'IO 14 ;см.
9,383.(02 ,\1э8
При л о ж е н и е Б. Метрика
Контравариантны КОМП("lненты 4 вектора А прннято обозначать А'"
(ц приннмает значеиия 1), J. 2, 3; АО времеииая компонента; .41, А2, А3
пространственные компоненты) Контравариаитными векторами являются KO
ордината х== и, х). ИМПУ.1ЬС p (Е, р) и друrие ве.1ИЧИНЫ.
Скалярное произведение векторов (лореиц-ннвариант) определяется еле-
.1уюuU!м образом *:
.4B==.4°BO AB==g,, "B .
(Б.l)
,"'\етрический тензор ga6 имеет, с.lедовательио, вид
,., ' ( ;
о
1
О
О
о
о
1
О
j)
(Б.2)
Ковариантные компоненты вектора .4 определяются следующим образом:
.4а. == ga.p.4P.
(Б 3)
Очевидно, что
.40==.40, .4k>= Ak.
Из (Б.l) и (Б 3) с.lедует, что скалярное произведение может быть записаио
в виде
АВ==.4" Ва.""'АсхВ ".
(Б.4)
* По ПОВТОРЯЮШИ'dся индекса\!. как правило. подразумевается CYMMHPO
ваиие ОТ',fетим также, что индексы компонент 4-векторов принято обозиачать
rреческимн буквами, а 3'6eKIOpo13 .1аТИНСКИМИ.
18. т
Далее для< скаЛЯРНf)rо произведения имеет также
AB=:gaMa;B/I'
(65)
Очевидно, что
ga;/I=:ga./I'
(66)
Имеем
g"'6.1",B(3 == g"'S g",P АРВ 6 0.== AtJ В(3.
Отсюда с.1едует, что
g "'6 g 0== otJ
"'Р Р
(Б.7)
(Opt3 символ Кронекера) Умножая (.5 3) на ga.a и используя (Б.7), наряду
с (Б З) получаем
А P=:gpa;A');.
(68)
Таким образом, с помощью \fетрнческоrо тензора \fОЖНО повышать 11 пони.
жать ин '!.ексы.
Далее преобразоваине Лоренца \fожет быть записано в виде
A'a;-=АраАР (6.9)
rде rI р и А/а ",О\fпонеитЬ\ вектора в исходной !I штриховой системах
отсчета Из условня dнвариантности скалярноrо произведечия имеем
А/В' -1'" B'(3 \ '" \/1 ..jp ,уз А Р na
g"з . g"'lI' Р , з' D gpo о.
Отсюда ПО.1учаем
g"lI .\; .\ == gрз,
(6.10)
Для коварнантных компонент вектора преобразоваиие Лоренца имеет вид
' Р I
А" А", '''р'
(5. /1)
Получаем
Отсюда находим
A''''B == ,\: ,\: АР Во == А О Во'
A Л == O .
(5.12)
Очевидно, что (Б 12) совпаДRет с (Б 10) С помощью (Б 12) находим преобра
зование, обратиое (Б.9) .1 (Б.1 1).
АР == A А'''', Ар == л; A . (5.13)
д
На",онец, нетрудно видеть, '!То производная дх'" преобразуется как кова-
рнантный вектор. Действительно,
д p д р д
Л"' .
дх.' а. д:с' '" дхР дх. Р
Очевидно также. что пронзводная о/оха. преобразуется как контрвариантныii
д д
вектор Мы будем обозначать ох" 0== д",. дх", =: iJ"
276
\
При л о ж е н и е В. Уравненне Днрака
6.1. Свободное уравнение Дирака.
Перестановочные соотношения для матриц Дирака
Уравнеиие Днрака является уравнением движения релятивистской части
цы со спином 1/2. Дирак предположил, что, как и в нерелятивистском случае,
состояиие релятивистскоii частицы, во-первых, описывается волновой функ-
цией, имеющей обычиую вероятностную ннтерпретацию; во-вторых, в реляти-
вистскОм С.'Iучае таюке справедлив прннцип супер позиции (уравиение ДВиже-
ння должно быть ,1инеiiным), в третьих, уравнеиие движения, релятивистской
частицы должио бcl.ТЬ построено таким образом, чтобы задание волиовой
фуикции в начальный \fOMeHT времени t O позволяло определить волиовую
функцию В .lю60Й !OMeHT вре'dеии t (в уравнение входит первая производиая
по (). Из этих предположений с.lедует, что уравиення движения релятивист-
ской частицы имеет общий вид уравнения Шрединrера
. дфcr(Х' t)
1 Jt ==Н",Ф,I (х, (),
(В. J)
[де Н rамильтониаи.
Уравиение движения ре.1ЯТ!lВИСТСКОй частнцы должно быть ннвариантно
относительно преобразования Лоренца. Лоренц-инвариантность \fожет быть
06еспечена только в с:.lучае, ес.1И временная If пространствеииые переменные
входят в уравнение движения симметрично. Это означает, что в rамильто-
ниан Н ДО.1ЖНЫ вхо;щть первые прОIlзводиые по х" Имея в виду также, что
в свободиое уравнение входит \facca частицы т, Дирак предположил, что
1 д
Н,,, == (rт.k)",---;--- д k Т m( )""
1 х
(В.2)
r де а" и матрнцы. Уравнение (В.l) принимает вид
дф 1 дф
I == a k -L..mР..I..
at i axk ' I"'!'
(В.З)
Матрицы а" и должны быть выбраны таким 06раЗО>d, чтобы, во-первых,
велнчииа р (х, t) ф+(х, t) Ф (х, t) MOr.13- иитерпретироваться как плотность
вероятности (имело \feCTO уравнеиие непрерывиости), во-вторых, состояние
с импульсом р и эиерrией Е было решением свободиоFO уравнения только
в случае, ес.1И P m2+p2.
Для Toro чтобы удовлетворить первому требованию, достаточио предпо-
ложить, что матрицы а. и эрмитовы. Действительно, из (В.3) путем эрми-
това СОПРЯJКения получаем
. дф"
l ==
Jt
дф
д k ak++mf." +.
" .
(В.4)
Zl7
19 91O
Умиожим (В.3) слева на ЧJ+, а (В 4) справа на ЧJ. Вычитая из первоrо соот-
нош ния '1торое, находи\{
ер ( д<1 J<j, ) .
T (ч+,LТf"а,. +lm<j,"'( + )<j,==O.
дt , дх " дх "
(В.5)
Если предположнть, что
ak+ ak, + ,
(В 6)
то (В 5) превраща,"тся в уравненне непрерывности
др ' d ' . О
lV J ==
Jt '
(В.7)
rде Т'ж j дается выражением
j ф+а\jJ.
(88)
Далее состояние с импульсом р и энерrией Е описывается функцией
1 i rx i Et
fр;з (х. t) == (2;:)312 е а, (r),
rде функция иа(р) описыв ('т спиновое состояние частицы Ес.1И матрицы ak
и УДОВ.lетворяют перестаНО!30ЧНЫ'll: соотношенням
(В.9)
аkаl.аlаk 2бkl, ak + ak==O, 2== 1,
(В 10)
ТО функцня (В 9) ЯВ.lяется решением уравнения ,]ирака (В 3) при ус.l0ВИИ,
ЧТО импудьс Н энерrня связаны соотношением Е2==m27р2 ,]ействительио,
подставляя (В 9) в (В 3), полvчаем
(ap+mf3 E) и(р) ==0
(В.ll)
Умножим это уравнение С.lева на (apтm +E) Имеем
[(ap)2Tm2 2+ (ak T ak) pk P]и(p) o.
Очевндио, что
(В 12)
1
(ар)2 == (а.,. а[ + а! IX,.)Р" pl.
2
(В.13)
Из (В.I0),. (В 12) и (В 13) следует, что
(p2+m2 E2) и (р) ==0.
(В.14)
Отсюда очевидно, что и (р) '*0, если
Р==m2+р2.
(В.15)
Итак, ес.'1И &РМIIТОВЫ матрицы ak и удовлетворяют перестаиовочным со-
отиошениям (В. 1О), то функция 'Фр(Х, t), описывающая состояиие с импуль
СОМ р И эиерrией Е, явдяется решением уравнения ДВRЖеиия то.'1ько в случае,
если энерrня и импульс связаиы ре.1ЯТИВИСТСКИМ соотиошением (В.15). Мы по-
кажем в дальнейшем, что ak и яв.1ЯЮТСЯ 4Х4-матрнцами.
278
Запишем теп, уравиение Дирака в таком виде, чтобы симметрия между
Xk и х О ,=" t была более явной Для этоrо умножим (83) слева на . Учи-
тывая, что 2 1, получаем
iyaa а 1jJ rmjJ === О,
(8.16)
rде
yk f)ak, yO .
(8.17)
Соотношения, которым удовлетворяют матрицы уа, MorYT быть найдены
из (В 10) и (В 17) ПО.lезно ПО.1УЧИТЬ НХ и непосредственио из (8 16)
Состояиие с 4 импу.1ЬСОМ p (рО, р), РОЕ:Е описывается функцией
1
+р (.х:) (27t)3/2 и(p)e i рх,
rде PX Paxa pOxO px. Подставляя (818) в (8.16), для спиновой функции
а(р) получае уравнение
(8.18)
(p т) u (р) o,
(8.19)
rде введено обозначение
p yapa,
У\fНОЖИ!d (8.19) слева на (р+т). Получаем
(p2 т2)a(p) 0.
(820)
Далее имеем
-" 1 "" "
P! 2( '1"'1"+ '1"'1 )p"p .
(8.21)
Ес.1И \fатрицы уа : ;:(ОВ.lетворяют перестановочным соотношенням
yaylLt-уi3уа 2g a i3,
(8.22)
то, как видио из (8.21), p2===ga,fjPaPi3 p2 И из (8.20) следует, что уравнеиие
Днрака (8.19) имеет решения, описывающие состояние с импульсом р, толь
ко при p2 т2
Получим теперь <!3 (8 16) уравнение непрерывности. Путем эрмитова со-
пряжеиия из (В.16) наХОДИ\f
iaa,1jJ+ya+T1jJ+m O.
Умножим это уравнеине справа на '10 и введем сопряжениую функцию
1jJ 1jJ+yO
Получаем
iaa'fryo.ya o +'i)m О.
(8.23)
Умножим далее (8 16) слева Ha , а (8.23) справа на 1j1. Складывая полу-
чеииые соотношеиия, находим
,pytzaa. #д а ,pyOya+Y01jJ o.
(8.24)
Если матрицы уа УДО&lетворяют соотношеиию
yo.ya O === уа,
(825)
279
19*
то из (В 24) получаем уравнение
да (1jJуФф) ==-0,
(В 26)
которое, как нетрудно видеть, представляет собой уравнеине непрерывности.
Из (В.25) СJlедует, что
уа+==уОуфvО.
(В 27)
Отсюда находим
'YOT YO, y:'+== yk (828)
Итак, атрицы уа У,J,ов.1РТВОряют перестановочиым соотиошениям (В.22).
Матрица у" эрмитова, а \fатрицы yk антиэрмитовы. Очевидно, что перестано.
вочиые соотношения (В.22) и соотношеиия (В 25) MorYT быть получены также
из (В 6), (В 10) и (В 16).
Из (В 25) н (В.22) Д.151 сопряженной функцни 1jJ получаем уравнение
Дирака
ia t.L ,? m:ip==o
(В 29)
Подставляя в это уравнение
чаем ура!Jиение
1
.,)
] (2тc)J/2
а (р) е' рх, для функции Zi(p) полу-
й(р) иэ т) o.
8.2. Инвариантность относительно преобразования Лоренца
Потребуем теперь, чтобы уравиение .::I.ирака БЫJIО ннвариантно относи-
тельно преобразования .10ренца Имеем
x'a==,\ f1 a. xfI ,
(В.30)
[де х: и .1: коордниаты одноЙ и той же точки пространства в разных инер-
циальных системах. Из инвар'lантности интервала следует, что
АflаАа.Р бflР'
(В.3 1)
с помощью (В 30) и (В 31) получае также обратное преобразование
xfl '\aflx'a..
Инвариаитность .1инейноrо уравнения ДИр'lка может быть обеспечена
только в С.1учае, еС.1И ;треоБDазование волиовой функции также JlИнейио.
Общее .1ииейиое преобразование ВОJlИОВОЙ функции имеет вид
<1: (х') =:Loo,-I>o' (х),
(В.32)
rде Ф (х) и ф' (х') ВО.1НОВЬ1е функции частицы в нс;<одиой и штриховаииой
системах отсчета, а "атрица L ЗdВИСИТ от '\fla.
Подставнм теперь в уравнение Дирака (В 16) 1jJ(x) L I1jJ' (х') Н перей-
дем к переменной х'. Получаем ·
i l L.."IJ L 1 д '(.x;') тФ' (х') == О
(, д'
\ д )
, " дx'" .
280
Отсюда следует, что уравнение Дирака инвариаитио отиоснтельио преобразо-
ваиия Лоренца, если 'll:а'1рица L удовлетворяет соотиошеиию
A!lctL)'!lL I 'I'a.
(В 33)
Очевидио, что (В 33) может быть переписаио в виде
L lуа.[J Л!lа.'I'!I. (В 34)
Нетрудно найти такую матрицу L, которая удовлетворяет (В 34) В Ka
честве примера рассмотрим ПfJеобразование Лоренца
,О
Х
ха xl
V l :J'
х,1
х1 . О
V 1
х" х', x" ' <,,1
(В.35)
rде скорость штрихованноЙ системы относительио нештрихованной Поло-
жи м, что
Имеем
thx. .
(836)
,1
Х
х,О == ch Х х о sh Х. х 1 ,
(В.37)
Из (В.34) н (837) получаем
sh Х х о + ch Х х 1 . }
L 1yvL ==chXYV shX1'1, )
L 1,\,1[. == sh;.:YV + ch %1'1,
L 1'l'2,з L == ,\,2,з.
(В.38)
Используя далее перестаиовочные соотношения для матриц уа, нетрудно убе-
диться в том, что сооrношения (В.38) MorYT быть записаны в виде
Отсюда находим, что
L jyaL ch(x/2) +1'0)'1 sh (xJ2)ya(ch(x./2) yOyl sh (;.:/2»
(В 39)
L===ch(xJ2) yOyl sh (xJ2)
(В.40)
Рассмотрим преобразование 01' системы, в которой скорость частицы рав-
\ р\
на '"'11 к системе покоя частицы. Имеем в этом случае
р
1 РО
ch;.: == '=
Vl 2 т'
..
Сl1(%/2) == V ,
l
( pO m j
sh(x./ 2 ) == ,
2т
(8.41)
281
[де m масса частицы; рО энерrия. Из (В 40) и (В 41) получаем
V pO..+m l Ipl )
L (р) ( 1 уау! .
2т \ /-") + m
(В.42)
В (В 33) первая ось напр?влена по вектору jJ. Отмети\{, что при произ-
вольнои ориентации осей И'dеем
Цр) v рО i:п m (1 уа /-,0 m ) (В 43)
Сопряженная ФУ.-lкция '1', удов.lетворяет уравнению (В 29) Учитывая,
'1ТО дct д' '\:L ' а также используя (В 33), получаем
iд' ф(х)L lу +mф (х)L t О (В 44)
С друrой стороны, в штрихованной систе'>lе д.1Я сопряженной функции имеем
tU' 'P(x')Y lm (х') o.
(В 45)
ЕС.1И ПО.lОЖИТЬ
ф' (х') t (х) L t,
(В 46)
то очевидно, что уравнение (В 44) совпадает с (В 45) *
Итак, преобразование функции '1' (х), описывающеЙ состояние релятивист
ской частицы со СПИНО\! 1/2, определяется требованием инвариантности урав-
нения Дирака относительно преобразонания Лоренца. От\!ети'd, что такие
функции называют СПllнора 'vIИ.
В'з. Билинейные I<оварианты 'Фа О; фь
Определи\! с.lедуюшим образом \!атрицу 1'5
\'5 iy°yty2'r3
(8.47)
Используя перестановочные соотношения Д.1Я '\Iатриц уа, а также соотноше-
ния (В 28), нетр:дно убедиться в том, что 'dатрица 1'5 УДОВ.lетворяет соотно-
.
шениям
Y5 Y5, (5\'5 1, \'5ya+'laY5 0
(8.48)
Далее О'lевидно, что атрицу \'5 ожно записать в виде
i "
у_ е уа.у"ур уЗ,
· 4! atlp'
(В.49)-
[де ea po аНТИСИМ'dетричный тензор четвертоrо paHra' ea po равняется
( 1), еС.1И a pa образуюr четную (нечетную) перестановку О, 1, 2, 3, и
х ИЗ (В 32) По.lучае'>l ф' (х') ф(х) yOL -'-1'0 Соотношеиие (В 46) имеет место,
если yOL-'-уО L t .J.ей;:твительнп, из (В 40) находим 1'OL yO ch (х/ 2 )+
+1'01'1 sh (х/2) L 1
282
нулю, если значения по крайней мере двух индексов совпадают. Используя
(В 34), из (В.49) получаем
1 "f\ р \ ' ,,' f\' р' "
L l 1'5 L == i е А, '\01 '\ р ' i ,,1' У У У .
4' " pa " "
Нетрv.:шо видеть, что
e"f\pa А:, ,\ , A , Л , == det Л e"'f\'p""
Таким образом, имеем
L tY5L det Ау-
Дале леrко показать, что
(В 50)
det A ::I:::1.
(В 51)
.J:ействительно, запишем в V!!lТРИЧНОМ виде соотношение (Б 10). Имеем
.\Т gA==g.
Отсюда, ВЫЧИС.1ЯЯ детерV!янант, получаем
(det .\) 2==1.
Ес.1И штрихованная систеV!а ОТ:IИчается от нештрихованной только на-
правлением осей, то
X:k Xk, х'О==х О .
Очевидно, что в этом с.lучае det .\ 1 Для преобразования Лоренца (В 35)
det .\== 1. В общеV! слvчае если преобразоваиие сопровождается (не сопро-
вождается) переходоV! от п?авой системы к .1евой, то det.\ 1 (det л. I).
ОтV!етим, что преобра10ваНdЯ с det .\ 1 (det .\ 1) называются собствен
ными (несобственными) преобразовапиями ЛQренца.
Посмотрим теперь, какие независимые матрицы можно построить перемно-
жением матриц уа Имеем прежде Bcero 1 и 1'0: Далее, ИСПО,lЬЗУЯ перестано
вочные соотношеНIiЯ Д,lЯ \lатриц ./а, получаем
у'" уЗ == g"f\ + (у" yf\ yf\ у") .
2
Таким образом, независимы'dИ произведениями двух матриц Дирака ЯВЛЯЮТСя
a"f\ == (у" y y у") .
2
Поскольку (JCLf\ (Jf\CL' то очевидно, что имеется шесть таких матриц. Далее
ясно, что в произведении четырех матриц Дирака все матрицы должны быть
разными (если две матрицы одииаковы, то соответствующее произведение сво-
дится к произведению двух матриц у и т :с) Единствениой такой матрицей
является 1'5. Ясно также, что все независимые произведения трех матриц у
мо.Ж'lо записать в виде уаУ5 (все матрицы должны быть разными; это озиа-
чает, что в каждое из соответствующих произведеиий из возможиоrо набора
четырех матриц не входит одна из матриц: в i,Оу5=,, iуt,\,2уЗ не входит 1'0
и т. д.). ПеремножеииеV! пяти I! большеrо числа матриц у построить независи
283
мые матрицы уже нельзя (в произведении пяти матриц по крайней мере
2 раза встретится одна и та же \lатрица и т .'1).
Итак, мы ПОСТРОИо1и lб независимых матриц
1, уа, O'al!, уау5, '\'5.
(В.52)
Эти матрицы образуют базис в пространстве 4Х4 матриц.
В rамильтонианы взаимодействия полей элементарных частиц входят ве-
личииы
чi:О i 1\1ь.
rде 1\1а и 1\1ь спи норы Дирака, а О; матрицы, принадлежащие к набору
(В 52) Выясним траисформационные свойства этих величин. ИСllо.1ЬЗУЯ (В.32)
и (В.4б), получаем
ф'. (х') Оi'Ф'ь(Х') (х) L tОiL'Фь (х).
Да.1ее с помощью (В.34) и (В.50) находим
Ф; (х') " .; (х') ,':' '" (,'1 у" '1. (х) . j
-:;,' ( ' j} .,.' ( ' ) \. (1 А (3 1. ( ) ",' (3' I ( ) I
"'а х) "(Ь Х ==' 1 ""."'(3' "(а '( с "Ь х, r
1 (х') '\''''1'5 Ь (x') == det AA , Та (Х') '? ''(5 Фь (:С), I
}
Ф (х') (х') == a (х) a (х),
(В.53)
ф (Х')'(5 (х') == det А a (х) 1'5 ФЬ (х).
Таким образом, фа'Фь скаляр ., 'i)ауа'Фь 4 Beктop, 'i)аО'аl!'Фь тензор втора-
ro paHra, 'ФаУ"'\'5'Фь псевдовектор, 'Фа У5'Фь псеВ.'10скаляр.
8.4. Число компонент дираковскоrо спинора.
Представление Дирака Паули для матриц а:,. и
Ответим теперь на вопрос о том, сколько компонент у спииора 'Фа' Число
компонент спинора Ф определяется необходимостью построить четыре эрми
товы матрицы ak и , удовлетворяющие перестаиовочным соотиошениям
(В 10). Из ak pa. lI'deeM
det а. det det ( I) det det а". (В.54)
(I едииичная матрица). Далее из соотношеиий a.2 1 и 2==I с.1едует, что
(det а.)2==I, (det )2==1.
Таким образом, из (В.52) получаем det ( I) == 1. Отсюда следует. что
( I) nc=l,
rде п чис.10 зиачениЙ:, при!!имаемых спииовым индексом 0'.
· Подчеркнем. что .10ренц инвариантом является фф, а не 1j>+1j>. Это свя-
заио с тем, что L *L I (преобразование Лоренца не уиитарно).
284
Итак. число компоиент спииора 19 должно быть четным. Рассмотрим виа
чале п==2. Нетрудно видеть, что не существует четырех 2Х2,матриц, которые
антикоммутировали бы друr с друrом и квадрат каждой из которых равнялся
бы единице. Действительно, в качестве трех таких матрац можно выбрать
матрицы Паули а", \ JОВolетворяющие соотношениям
O'iO'k+-О-"О'i 215/".
Попытаемся построtlть четвертую матриuу 0'0, которая антикоммутироваolа бы
1;0 всеми матриuами ПауolИ. Любую 2Х2,матрицу можио раЗЛО)j:ИТЬ по. полной
системе, в которую входят матрицы а/ и едииичная матрица 1. 'Имеем
o == а 1 + а", k'
k
ВЫЧИс'1ИМ антикоммутатор матрицы 0'0 с матрицей 0';. Получаем
О' /0' o oO' (==2аО'. + 2ai.
Очевидно, что правая часть 3Toro равеиства обращается в ну.1Ь только при
a O, a; 0 (i 1, 2, 3) Итак, не существует четырех 2Х2-матриц, которые
удовлетворяли бы перестановочным СО01ношениям (В 10)
Рассмотрим теперь с.1УЧ1Й п 4. Любую эрмитову матрицу с помощью
унитариоrо преобразования можно привести к диаrоиальному виду. Буде\!
считать, что матрица диаrональна.
( ы1
== О
О
О
о
о
о
f.)
Ь 2
о
о
Ь з
О
Так как 2 1, то b i 2 ==1 (i==l, 2, 3, 4) и
Ь/==:!::I.
(В 55)
4
Далее нетрудно показать, что bi==f) Действительио, из (Б.IО) получаем
, l
al al.
ВЫЧИСо1им шнур от обеих частей этоrо соотиошеи:ия. Учитывая, что для ;uобых
двух матриц А и В
Sp АВ == Ааа' Ва'а == Ва'а Аоа' == Sp ВА,
(В.Е6)
а,З'
С1,а'
получаем
4
Sp == Sp а 1 al == Sp alctl == Sp == :8 b i == О.
285
Таким образом, V!атрица \lожет быть представлена в виде
( 1 О \
c== О I)'
(В.57)
( 1 О'
rде I "'= О 1)'
Построим теперь \lатрицы а; ЭРМИТqj!Ы матрицы а, имеют вид
r . I (li
-'Xt \
b.
,
Ь; ' ) ,
С;
(В.58)
rде а;, Ь; !I с; 2Х2.\lатрицы; а;-'- щ; с; C c;. Потребуем, чтобы матрицы а/
аНТИКОМ\lутирова.1И с '1атрицеii Из (В 57) и (В.58) находим
( 2'li
<Х; T rx.i С== \, о
о )
o
2 С. .
, f
Отсюда с.lедует, что а; С, О .У\атрицы а; ПРИНИ\lают вид
'Xi ==
i О
I
b.
. ,
i )
(В.59)
Наконец, потребуем, чтобы '1атрицы а; удовлетворяли соотношениям a;ak +
таkа; 2б;k. Подставляя (В 59) в эти со()тношения, по.lучаем
b i b k + b k bi С== 2l3 ik , t
Oi' bk+b ' b i 2l3 ik . J
(В.60)
Ес.1И положить b/ т b;-'-, то очевидно, что соотношения (В 60) при этом
удовлетворяются Для \lатриц щ по.1учаем
а; С== (о O i )
\ a'i
(В.61)
Итак. перестаиовочным соотиошениям (В 10) удовлетворяют 4Х4-матрицы
(В 57) и (В 61) ,\1ИИИ\lа.1ьное ЧИс.l0 компонент дираковскоrо спинора Ф рав-
но, С.1едовате.1ЬНО, че1 ырем *. Представ.1ени , в котором '1атрицы и ai дают-
ся (В 57) и (В 61), tJазывается пре.J.стаВ.1ением ,]ирака Пау.1И. В этом преk
ставлении
у ;
,
( о o i ) '.
\ a'i
(5 ( О
\ 1
1)
О f
(В.62)
* При заданноV! импульсе р уравиение Дирака имеет соответственно че-
тыре .1Инейно независимых решения. Как мы увидим в .J.альиейшем, два l e-
шения описывают СОСТОЯ ЧИЯ частицы с положительной по.1НОЙ энерrией ( ==
Y т2 I pl) 11 двумя возможными проекциями спина Два .J.руrих решеиия
являются ;Jешениями с 'нрицате.1ЬНОЙ полной энерrией (E== 1 т2: р2). ОИИ
отвечают СПИНОВЫ\I С()СТОЯНИ>IМ dНТllчастицы.
286
В заключение отметим, что перестановочиыми соотношениями (В 10)
эрмитовы матриuы ai и В определяются только с точностью до унитарноrо
преобразования Действите.1ЬНО, еС.1И некоторые матриuы а/ н В удовлетво-
ряют (В 10), то 'dатриuы CLi' UаЛ+ и B' UBU+ (И произвольная унитар-
ная \!атриuа) также удовлетворяют (В 10). Очевидно, что а;' и В;' эрмито
вы \!атриuы
В.5. Решение сво60дноrо уравнения Дирака.
Нормировка спиноров
Волновая функция, описывающая состояние реЛЯТИВИСТС150Й частиuы с им-
пульсо\! Р И энеrrией Е, имеет вид
J;p(x,I) l21t;312 и(р)еiрХ- iЕt,
[де спинор а(р) удовлетворяет уравнеиию
(ap тB) u (р) Eи (р)
(В 63)
Наиде\! решеНIIЯ этоrо :равнения в представлении Дирака Пау.1И
В это\! представлении
a ( ), B ( )
(В.64)
Запише\! спинор и(р) в внде
U(P) ('f ) ',
'х
rде 'i' == ( '1'1 : 11 '1. i/ '1.1 ) ;щухко\!понентные спиноры.
'i' 1 X l
В. 65) в (В. 63), Д.1Я 'i' И Z 'lо.lучае\! следующие vравнения.
арх+m<р Е <р,
(В.65)
Подстав.1ЯЯ
iJoq: >nX===EX.
(В.66)
(867)
Уравнение (В.63) имеет ОТ.lичные от ну.1Я решеlfИЯ ТО.1ЬКО в с.тучае, ес.ти
энерrия и нмпу:lЬС связаны сОотношением E2 т2+p2 ПреД:10ЛОЖИМ внача.те,
что Е рО, rде
pJ == ро === + V т 2 + р2 .
(В.68)
Из (В 67) получаем
ар
X <р.
Р,т
(В.69)
Подcrавим теперь (В.69) в (В 66). Получаем
I (O'p) , ]
l рО + т i т <р === рО<р.
287
Далее из перестаиовочиых соотношений для матриц Паули очевидно, что
(ар)2==р2. Имеем
(ар)2
+ т == f.-0 .
рО+т
Если спинор Х связан с QJ соотиошением (В 69), то уравнение (В 66) удовлет-
воряется, следовательно, :JрИ .1юбом f{)
Итак, при Е pO решение уравнения Дирака имеет вид
и т (р) == .у.,.. (
'i'
'i').
(В.70)
ар
\рО+т
rде QJ ПРОИЗво.1ЬНЫЙ двухкомпонентный спинор, а N + нормировочный \iHO-
житель Очевидно, что нмеется только два линейно независимых решения,
описывающих состояния с ИМПУ.1ЬСОМ Р И энерrией Е [вида (В 70) J Два
друrих решения отвечают состояниям с ИМПУ.1ЬСОМ Р И отрицательной энер-
rией E 1 т2+p2. Действительно, положим в (В 66) и (В 67) E== po Из
(В 66) получаем
ар
1..
рО+т
Подставляя (В 71) в (В 67), нетрудно убедиться в том, что уравнение (В 67)
удовлетворяется при это\! тождественно при любом Х Итак, решение уравне-
ния Дирака с ИМПУ.1ЬСОм Р И отрицате.1ЬНОЙ ПО.1НОЙ энерrиеir E== pO имеет
с.lедующий вид
'Р == .........
(В.71)
ар
и (р) == v ( рО + т Х ) ,
\ Х
(В.72)
rAe Х произвольный двухкомпонентный спинор, а N нормировочный мио-
житель. Из (В.72) очевидно, что имеется дв::! 1Нейно независимых решения
с E pO. Подчерк'!см, что уравнение J.ирака не накладывает никаких orpa-
ничений на спинор QJ при E pO и спинор Х при E== pO '"
Подставим теперь функцию Фр (х, () в уравнение (Б 16). По.lучаем урав-
неиие
иэ т) и (р) o,
(В.73)
rAe введено обозначение
u.,..(р)==и(р).
Далее обозиачим
и ( p) ==u( p).
LLля спииора u( p) получаем уравнение
(.6+т)и( p) ==0
(В 74)
.. Это связано с Te , что В полный набор операторов входят как опера-
тор !lмпу.lьса, так и :)перат:)р проекции спина па некоторое напраВ.1еиие.
288
..
Из (Б.73) путем эрмитова сопряження П')лучаем
и+ (р) (p+ .т) ==0.
Учитывая. что ,?Oya+yO ya, имеем
уОр+уО==р.
Таким образом, сопряженный спинор й(р) удовлетворяет уравнению
й(р) (p т) o.
(В 75)
Ана.lоrично имеем
й( p) (р,т) ==0.
(В 76)
с ПО>dОЩЬЮ (Б.73) И (Б 74) нетрудио получm'Ь соотношеиие
тй(р), аи(р) рЩi(р) и(р).
(В 77)
ДеиствитеJIЬНО, умножим (В.73) C-lева на й(р)уа, а (В 74) справа на уаи(р)
Складывая полученные сооrношения и учитывая ,?ap pya==2pa, получаем
(В.77) Аналоrичио из (575) и (Б 76) находим
тй( p)yaи( p) paй( p)и( p).
(В.78)
Положим в (В 77) и (В 78) а==О. Учитывая, что йyOи и+и>O, получаем
й(р)и(р»О, й( p)и( p)<O.
,]ираковские спиноры u (р) И U ( p) будем нормировать ковариаитными
УС.lОВИЯМИ
й(р)и(р) 2т, й( p)и( p) == 2т.
(8.79)
Из (В 77) и (В 78) следу.ет, что при этом
й{р)у а и(р)==2ра; Й( РJуаи( р)==2ра.
(8 a)
Найдем теперь НОР\lировочные множители N и .V в (В.70) и (В 72). Будем
предuолаrать, что двухкомпоиентные спиноры qJ И Х нормироваиы стандарт-
ными УС.lОВИЯМИ
<р':" <р== 1 , х.+Х== 1.
Получаем
N+ == ,y == V jo : т.
Такп31 образом, иормированные ус.lОВИЯМИ (В.79) спииоры и{р) и и( p)
в представлеиии Дирака Пау.1И имеют вид
и(P) vP.+т (
'1'
,}
( .... ар )
и( p) ==V pO : т Pox+тX .
(В.81)
289
ар
pG+ т
.
Рассмотрим теперь случай m==О (нейтриио-). Из (В:, /) и (В.78) следует,
IJTO в этом с.lучае
й(р)и(р) й( p)и( p) o
При m O \!ы будем нормировать дираковские спиноры условиями *
Й(р)уои(р) 2pO; й( P)yoи( p) 2pO
Подстав.1ЯЯ (В 70) и (В 72) в (В 82), при m O получаем
(В 82)
[де k==p/ i Р I
В заК.lючение ОТ\lетим. что часто используются и др] rde ,С.lОВИЯ норми-
ровки ;шраковских спиноров. Именно, дираковскне спиноры нормируют иноr-
да условиями (т=FO)
й' (р) и' (р) 1, й' ( p) и' ( p) == 1. (В 85)
и(р) v " ( '!' ' ) ,
ak,!, ,
( а" Z \
и( р) v РО .') ,
'1. I
(В.84)
Используется также неинваРllантиая нормировка
и" (р)и"(р) 1, и"" ( p)и"( p) 1
(В.86)
Леrко наити соотношения \lежду спинорами, чорvшрованными условиями
!в 85), II спинорами, ЧОР""lоованными УС.l0ВИЯМИ (В 79) ;J:ействите.1ЬНО, за-
пишем
и'(p)==N'u(p), и'( p) y'и( P).
Далее по.н чае\!
;/ (р) и' (р) N'2u(p)u(p) ,y'22m 1,
й' ( p) и' ( p) ==N'2u( p)u( p) N'22m \.
Таким образом,
и'(р)
1
а(р) ,
V 2т
!
и'( p) == v и( P).
2т
(В.87)
'\налоrично, испо.1ЬЗуя (В 80), имеем
1
и"(р)== 2pJ и(P),
1
и"( p) == I / и( р).
21'0
(В.88)
8.6. Оператор спина. Состояния с определенной
проекцией спина
Введе!.!: оператор
, 1 ' kl I " /
L== 21'1 kl == 2i el 1'k"/.
(В. 89)
* Ус.l0ВНЯ (В 82) являются инвариаНТНЫI\IИ ус.lОВИЯМИ нормировки. Дей.
ствите,lЬНО, й (р) у"u (р) ЯВ.lяется 4.вектором и имеет следующий общий вид:
й(р)у"и(р) ap", (В.83)
[де а константа Норvшруя спиноры УС.lОВИЯМИ (В 82), V!bI выбираем, сле-
довательно, а==2 Отметим, что (В 83) СGвпадает с (В.80)
290
Нетрудио видеть, что оператор 1;/ 'Iюжет быть записан в виде
1;i== Y5YOy/.
( 1:390)
Далее ВЫЧИС.1ИМ коммутатор [ /, k] ИСПОЛЬЗУЯ перестаиовочиые СООТноше
ния Д.1Я V!атриц уа, по.lучаем
:Е ':Е k :E k i ==2 ieikl:E 1.
(891)
( 1 \
Таким образом, оператор 2):E i удовлетворяет перестаиовочиым соотноше.
ниям оператора момента количества движения. Из (В 90) слеg.ует также, что
i:Ek :E k '==2o/k.
(892)
Отсюда получаем
I 1 3 l' 1 )
2" ) =="4 2 ( 2 + 1 .
Отметим, что в представ.1ении Дирака Паули
. ( а ; О )
""
.... о а; .
(В 93)
Рассмотрим внача.1е случай частиц с отличными ОТ нуля массами. Опе-
ратор спина релятивистской частицы (в случае спина 1/2) определяется таким
обраЗО!d, чтобы в системе покоя он имел вид \0, + ). 8ве;!.ем псевдо
вектор Паули Любаискоrо
W f\ j.Lv
а; 4 ea;f\j.L',r. а .
(8.94)
Нетрудно показать, что
...!.... е aj.Lv == i i'sa пА.
2 "f\j.Lv ...
Вектор W а может быть записан, C-1еДовательно, в виде
1 1 /'.
W,,== 2ii'stt"f\J-f\== 2Y5(Ya;P P,,).
Далее очевидно, что
(8.95)
Wp==o.
(В.96)
Отсюда следует, что в системе покоя W'o==O с помощью (В 90) и (В 95) Д.1я
1 .
пространственных ю:>.мпонент вектора W' а иаходим W i ' == 2 Т}т' Таким
образом, в системе покоя вектор Паули Любанскоrо имеет вид
W == (о, +т ).
(8.97)
291
Для оператора спина (удвоенноrо спина) имеем, следов ' .JbHO,
2W<I,
s == .
<I, т
(8.98)
В системе покоя sa.' (О, !)
Введем теперь произвольный rrpOCTp анствеННQподобный вектор n, opToro-
нальный вектору р. Имее\\
n'== 1, np O
(В 99)
i3 CHCTe'ole покоя
п а '== (О, п')
rде п'п' 1 Для оператора проекции спина на направление n из (В 95)
и (В.99) получаем
1 "''''
(Sn)== УБnР' (В.100)
т
J:a.lee HeTpY;J,Ho ВИ;J,еть, что операторы sn и р коммутируют J:ействительно,
имее',f
/"-.. 1 .................... 2 ...........
[(sn), р] == (У5п рр РУБ'! р) == 1'5 (пр) Р == О.
т т
В си.1У равнения .Jирака спиноры а(р) и и( p) ЯВ.1ЯЮТСЯ собствениы-
'dИ ФУНКЦИЯ\lИ оператора (р). Потребуем, чтобы эти спиноры ЯВЛЯ.1Ись также
собствеtlны',fИ функция\\!! оператора (sn). Имеем
Ри ' (р) ==ти ' (р),
puS( p) тUS( p);
(sn) U S (р) suS(p);
\sn)uS( p) 5US( p).
(В 101)
(В 102)
(В.103)
(В 104)
1
'',fножим (В.I03) [.1Ибо (В 104)] на (5n). Учитывая, что (5n)2 т 2 п 2 р '==1,
находим S2== 1. Таким образом, собственные значения оператора (5n) рав-
ны i:: 1
Из (В 100) (B 104) очевидно, что уравиеиия (В 103), (В.104) эквива-
.1ентны соответственно уравнениям
Y57!uS(P) ==su s (р), Y5ftUS( p) SUS( p).
(В.105)
Отсюда путем эрмитова сопряжения по.lучаем
Й$ (Р)У5fi, sйs (р), ЙS( Р)У5'ii: s-Й S( p).
Далее иетрудио видеть *, что при s' --;"- 5
'?' (р) U S (р) == О,
US'( p) u! ( p) ==0.
(
(8.107)
(В.! 06)
* Действительно, ИСПОЛЬЗУЯ (В 105) и (В 1(6), находим
S' s' 1.......... I
sи (р)и (р)== и'(p)'(5nиS(p)==s'uS (p)иS(p).
Отсюда при S''*5 получае ! (В 107).
29,2
Из (Б 79) и (Б.l07) следует, 'IТO четыре спинора u:: 1 (р) и и:: 1 ( p). O'lвечаю-
шие состояииям с определенным нмпульсом и ОIJределеииой проеlЩией спина
удовлетворяют следующим условиям ортоrональности и нормировки:
?' (.о) и ' (.о) == 2m д s ,s,
иS'( p)tr ( p)== 2m s's'
(Б.IО8)
(Б. 109)
Имеем также
{f'( p)US (.0)==0,
и S ' (.о) U S ( p) ==0.
(Б.IIО)
(Б.ll1)
Бернемся к уравнению (Б 103) Б системе покоя имеем
п'иs(т) sas(m).
(Б 112)
rде n' едииичныи вектор; aS{m) спи нор в системе покоя. Имеем
п'р
ПО == ,
т
р (п'р)
n == п' +
т (.00 + т)
(Б.113)
Спинор а(р) связан со спинором иСт) соотношением
и(р) ==L I (р) и(т),
(Б.114)
rpe \l.атрица L (р) дается (Б 43). Итак, 'спииовое состояиие дираковскои части
цы с m=;i=O описывается спинором в системе покоя
Полезно рассмотреть ВОПРQС о том, как описывается спиновое состояние
.J:ираковской частицы в пре.J:ставлении Дирака Паули. Б этом представдении
и (.о) == V' pO +т ( а'Рр ) .
рО+т'Р
(Б.115)
с помощью (Б 114) получаем
U(m)==V 2m ('P ) .
\ О
(Б.116)
Таким образом, спинор \jJ в выражеиии (Б.I 15) описывает спиновое состояние
ЧасТИП;Ы в системе покоя, получеииой преобразованием Лореица (Б.35) из си-
стемы, в которой скорость частицы равна jI . Из (Б.93) и (Б 116) сде-
Р .
дует, что в представлении Дирака Паули уравнение (Б.! 12) имеет вид
оп' <р' sljJS
(Б 117)
Действительно, !!СПо.1ЬЗУЯ уравнение Дирака, получаем
, 1 S'( '" ,; r.f
и ' ( p) r.f(p) == ll. .о) pr.f (.о) == ii" ( p) (.о) == О.
т
293
Спииор !Ji' описывает, с.lедовательно, состояине с щюекцией спииа s на на-
правление п' В систе'olе, rде ш.lПульс частицы равеи Р. имеем
. S
U(P)==V fIJ+т ( :p ) .
'i's
рО+т
(В.118)
Рассмотрим теперь С.l\ чай m O Уравнение .Jирака 'oIожет быть записано
в виде
«ри (р) рОи (р).
rде рО== 'Рl HeTpY;J.Ho проверить, что оператор ар коммутирует с оператором
проекции спина на направление пмп) ьса
k YsyOvk Ysak, (В.119)
р
rде k == . у or'epaTopOB ар и k существуют. с.lедовательно, общие соб-
I р 1
ствеиные ФУНКЦИИ Имеем
ари' (р) ==p и' (р),
ku'(p) ==.ru'(p)
(В.120)
(8121)
Собственное значсН!!е оператора пр()скции спина на наПDавлсние ПМпу.1ЬСЗ на-
зывают спиральностью Очевидно, что в раСС''oIатривае'olОМ слvчае спина 1/2
спиральность r ПРИf'и\шет значения -= 1 С ПО lOшью (В 119) (B 121) HeTpyk
но убедаться в том. что 'равнение (В 121) эквива.lентно
,?sиТ(р) ==. ,ит(р).
(В.122)
Таким образом, прti <п O состояние с определениой спиральностью является
собственным COCTO HHe" оператора ,"5. Из (В 122) получаем также
Й'(Р)Уs +ru'(p).
(В 123)
С помощью (В 82), (В 122) 11 (В 123) получаем с.lе;I,ующие ус.l0ВИЯ opToro-
нальности и нормировки'
//' (р) уОи' (Р) 2рОа",.
(В.124)
Да.lее ;I,.lЯ состояний с отрнцательиой эиерrисй имеем
a( p)и'( p) pOи'( p),
( k)u' ( p) ==ru'( p).
(В 125)
(В.126)
Нетрудно видеть, что уравнение (В.126) эквивалеитио
Y5и'( P) == +ru'( p).
(В 127)
Отсюда находим
й' ( p) ys== ru' (р)
Из (В 82), (В 127) 11 (В 12Н) по.lучае",
,/' ( p) уОи' ( Р) == 2pOo"r'
(B.128)
(B.I29)
294
ЗапишеМ теперь уравнеиия (В 122) и (В.127) в пред.ctаВЛении Дирака
В этом представлении
и' (р) VfJi (а:;' ), и' ( р) V рО (a ;' ) . (В.13О)
Подставляя (В 130) в (В 122) и (В [27) и учитывая, что в представлении .LI.и-
рака Паули Y5 ( ),получаем
ak<p' r<p', cr( k»)(==r)(. (В.131)
Таким образом, если четырехкомпонеи-тный спинор является со ствениой фуик
цией оператора спираJlЬНОСТИ, то это означает, что соответствующий ДByXKOM
поиентиый спи нор (<р, .1Ибо х) является собствеииой функцией операто-
ра crk. Из (В 130) 11 (В.131) находим
( , \
и' (р) v рО ' 1,
\ r'f' /
( ? r X' ) .
и' ( p) v РО \ ..
(8.132)
.';1ы закоичим с.1еДУЮЩI!М замечанием Для Toro чтобы при т*О полу-
чить состояния с определенноЙ спиральиостью, вектор п в уравнеииях (В 105)
необ'(одимо направить по !lмпу.1ЬСУ частицы. Из (В 113) получаем при этом
рО , I р I
п== k, ,nO .
т т
Рассмотрим случай p т С точностью До квадратичиых по т 2 / ро 2 членов
получаем
р ( ml )
п I+
т '2Ро '
ро " т 2 '
nO ) 1 )
т \' 2ро2
Используя уравнеиае Дирака, иаходим далее
'" [ ( т2 ) rm ]
'(.nи'(p) 15 1+ Y5YO и'(р).
\ 2рО2 РО
Опуская .1ииейные по т/рО члены, имеем, следовательно,
YsU'(p) ru'(p).
В Зl1ключение раСС\lОТРИМ матрицу
u (р) 1 1 (р) == Acra1 (р).
(8.133)
s
Используя (В.l 08), получаем
А (р) и ' (р) ==2тu ' (р),
A(p)uS( p)==O.
Таким образом, А (р) является оператором проектирования на состояиия
с импульсом р Оператор Л(р) имеет вид
A(p) a+b,6. (В.134)
295
f
Найдем коистанты а и Ь Используя уравнение Дирака, .,0$ (B.l33) получаем
рА(р) ="тА(р).
Подставляя (В 134) в это уравиеиие, находим а==Ьт. Далее, используя
(В 108), имеем
и (р) 1 (P) == 4т == Sp А (р).
S, 'з
Отсюда следует *, что b 1 Окончательно получаем
......
А(р)==р+т.
(В.135)
Далее имеем
и:'( p)и ;( p)и ,(p)==O,
s'. I
и ' ( P) и : ( p) ll .( р) == 2тu;( р).
s'a'
Таким образом, 'Zu'( р)Й8( р) является оператором проектировання на со-
:::тояние с импульсом p. Аналоrично (В.135) находим
aS( P);S( P)== A( p)== ( p+т).
(В.136)
s
Выражения (В.133), (В.135) и (В.136) широко используются на практике
(при вычислении сечений и поляризаций, а также при вычислеиии пропаrато.
ров частиц со спином 1/2).
В.7. Инвариантность уравнения Дирака
относительно инверсии
Рассмотрим две системы отсчета некоторую исходиую систему и си-
стему, все оси которой направлеиы противоположио осям исходной системы,
Координаты одной и той же точки в обеих системах связаны преобразованием
х,О == х О ; х' == Х.
(В. 137)
Общее линейное преобразованне волиовой ФУIJКll.ИИ имеет вид
'iJ'(x') ==f)pP1jl(x},
(8.138)
rде Р матрица, действующая на спииовую переменную; Тjp фазовый мно-
житель.
В исходиой системе уравнеиие Дирака имеет Ви.....
(iyctaa: m)'iJ (х) =" О.
(В.139)
* Правила ВычиC.'iеиия щпуров ПО,1учеиы в 7 3.
296
Перейдем от х и IjJ(X) к х' и ф'(х). Имеем
да.==д' ctl!ct' (В.140)
д
rде 1М> 1; j.l.k== I; k==l, 2, 3, д'а.== дх'а. [1'1 (В 140) по а, разумеется, нет
суммироваиия]. Используя (В 140), получаем
(ipyap If1a.a' а. т)'Ф' (х') ==0
(В 141)
.V\атрица Р может быть выбрана таким образом, что
Pyap 1 == f1a уа
(В.142)
.J.ействительио, положим
Р==уО.
с помощью перестаt!090ЧНЫХ СООТНОlliеиий для \l.атриц уа нетру дно убедиться
в том, что соотношения (В 142) при этом удовлетворяются. Имеем в штрихо-
ванной систе'dе
(i7a.a' a. m)'1" (х') ==0
(В 143)
Нтак, свободное уравнение .Jирака иивариантио относительно инверсии. llри
этом *
'1" (х') == IlPY°'i' (х).
(В 144)
Рассмотрим СОСТОЯНlJе с ИМПV.1ЬСОМ р
1 i рх
+р(х)== и(p)e .
(27t) I
Имеем
" / О I ' ) i p'r;/
"р'(Х: ) == r,py Фр(х) ==",!р 3/2 U (р е ,
(27t)
r.1e ра'==:. (рО, p) импу.1ЬС В 1Uтрихованиой системе отсчета, а
и' (р') ==уОи (р)
(В 145)
спи нор В штрихованной Спстеме Нетрудно убедиться в том, что
р'и'(р') ==ти'(р').
(В 146)
!Lалее расс\l.ОТРИМ состояние с опреД lениой проекцией спина на иаправ-
.1ение п а == (пО, п) (пр == о, п2 I). Имеем
Y5пи' (р) ==su S (р).
(В.147)
У\l.ножим это vравнение С.lевз на 1'0 Получаем
Y5ri'US(P') ==SUS(p') ,
(В 148)
* Фазовый мисжнте.1Ь IlP носит иазвание внvтреиией четиости В случае
частицы со спином 1/2 \l.ножате.1Ь Т]Р может принимать значеиия ::tl, ::ti.
?0 691O
297
rде
nr:z.' ( nO, п),
(8.149)
а и 8 (р') уОиэ (р). СПИНор и , (р') описывает (в штрихованиой системе) состоя
иие с проекuией спина s на направление п' Из (В 149) очевидно, что п
псевдовектор Имеем ,/2 п2 1, п'p' пp O
Таким оСразом, при иt!веDСИИ системы оrсчета проекция спина на иа-
правление пссв:rОIJо.тора не меняется. Если п вектор, то очевидно, что при
ииверСИd проекция спина на п изменит знак Деиствительно, для состояиия
С опреде.lеЮ''1ii (;]ира.1ЬНОСТЬЮ и >.1 е е \1
Y5пи' (р) rUr (р) ,
(В.150)
<х (1 Р !
rдoe п I
\ т '
k.J::!.... '1 . k 2..... . У\lножая это уравнсрие слева
т I р l
на уа,
получае\1
п ' ( l
rде \ '
\ т
Ysп'u r (р') ru r (р'),
O \
k ), а
т,
(В.151 )
u r (р') vOи' (р)
(В 152)
I1 ::'. 11iJ<1 инверс!!и спира.1ЬНОСТЬ ',fеняет знак (импу.1ЬС не >.Iеняется,
а Cr!!H «перевораЧhва тся»)
В,В. Зарядовое сопряжение дираковских спиноров
Уравиеиие Дирака .J:.1Я спинора '1'(х) имеет вид
iда'1'(х)у т'1'(х) o.
Путем транспонироваиия ПОJlучаем отсюда
ivaTd a \рТ (х)+т\рl (х) o.
У',fножи>.l это уравнение на уиитариую спиновую матрицу С. Получаем
iСvаТС lдGtС\РТ (х)+тСфТ (х) o.
(8.153)
Матрица С всеrда ',fожет быть выбрана таким образом, что *
Cya.TC I ya..
(В.154)
Из (8.153) и (В 1Ы) с.lедует, что функция
фС (х) Т]cC'1'T (х)
(В 155)
* Нетрудно \ бе.ыться в том, что такая ',fзтрица уществует Например,
в представдеНИ!1 J:HpaKa Паv.l!i уОТ yO, 1'2Т v2, '11.31 = 1'l.з ОЧевидно, что
матрица C==iy 2 y O удовлетворяет (В 154)
298
(Тjc фазоВЫЙ множитель) удовлетворяет уравнению Дирака
iуада'ФС(Х) rmpс(х) ===0.
(В 156)
фс(х) носит название зарядовосопря)Кениоrо спинора
рядовом сопряженzш замеие частиц аитичастицами
вате.lьное определение этоrо преоGРdзования требует
частичноrо уравнеН\iЯ Дирака.
Матрица е выбирается таким образом, что
ст e
ОН возникает при за
Отметим, что Пос.lедо-
выхода за рамки одно.
(В 157)
Рассмотрим теперь сrrи!!оры и(р! и и( p), отвечающие спиновому со.
стоянию частицы с определенным И'У!пульсом. Из уравнения
й(р) (yapa т) ===0
транспонироваиие'У! йолучае
(таТра. т) й 1' (р)
У\lНОЖИМ это ypaBHeH!ie на е Испо.1ЬЗУЯ (В 154), имеем
(yapa. т)eй1'(p) ""о.
Таки образом, спи нор ей ' (р) удовлетворяет TaKO>.lY же уравнению, что и
спинор u (р) ,V\ожио положить, что
и( p) eй1'(p).
(В 158)
Отсюда с.lедует также. что
и(р) ===ей 1' ( p)
(В 159)
Наконец. раСС\lОТРИМ спннор и" (р), описывающий состС'яние с проекцией
спина s на направ.lение п Имеем
й" (р) '5уапа.===SЙS (р)
(В 160)
Отсюда транспонирование\! находи'.!:
ya.Tпa.Y5TйвT (р) ===sa sT (р)
(В 161)
' ножим ЭТО 1 раВliение С.lева на е с помощью (В.154) нетрудно убедиться
в то'.!:' что
ey{e 1 Y5
(В 162)
в pe::.lbTaTc нахо,:щм
У5itейs1' (р) ===seu s1' (р).
Таким образом, спинор ей'т (р) является собственной функцией оператора
Y5п, прниадлежащей собственному значеиию s. Учитывая (В.158), имеем
us( p) eusT(p). (В.163)
х Из (В 154) и'.!:ееМ У"1' е lу"е. С дрvrой стороны, из (В 154) путем
транспоиирования пол\'чаем 1'''1' (e 1 )l'у"е т . Приравнивая правые части
этих двух соотиошеиий, находнм e(e ')Tya.===ya:e(e l)T Итак. матрица
e(e I)1' коммутирует со все\lИ \lатрицами у" В силу .1eMMbl Шура e1'e l
af, rде а констаита Из унитариостн матрицы е следует, что laI 2 ==1.
В (В.157) коистанта а выбрана равной 1.
20* 299
Очевидио, что U S ( p) является также собственной ФУНJЩией оператора
1
(sn) Y5пp (оператора проекции спииа на иаправлеиие n), отвечающей
т
собствеииому значеиию s [ср. с (В 104) и (B.l06)].
8.9. Инвариантность уравнения Дирака
Относительно обращения времени
Уравиение Дирака инвариантно относительио обращеиия времени. Дей-
ствительно, рассмотрим уравнение .JЛЯ 1jJ (х)
ida1jJ(x)y т1jJ(x)==o
(В.I64)
Совершим в (В 164) транспонирование и сдедае\!. замену xO xO. Получаем
iyaT!Lada.,pт(.\.')7т,pт(x') ""О,
(В 165)
rде х'а"" ( xo, х) (!Lo"" 1, !ti I). Дa. ee У'olиожим (В 165) слева на уннтар-
f'ую матрицу Т, УДов.lетворяющую условиям *
TyaTT l""ya!La'
(В.166)
Из (В 165) и (В 166) С,lедует. что функция
ф' (х) ==\lтТфТ (х')
(В 167)
(ТjT фазовый множитель) удовлетворяет уравнению Дирака
iyada1jJ'(x) т1jJ'(x)==O (B.l68)
Итак, ес.1И функция Ф (х) решение уравнения Дирака, то Фуикция ф' (х) ==
""Т] т ТфТ(х') также ЯВ,lяется решение\!. уравиення Дирака. Функции ф(х) и
ф' (х) опнсывают взаимио обратные движеиия. Иивариантность относительио
преобразования (В 167) [с \!.атрицей Т, удовлетворяющеЙ (В 166)] представ-
ляет собой инвариантность относительно обращения времеии.
Рассмотрим во.'IИовую функцию
r 1 i рх
i' p (x) == 3 ry U (р) е ,
(2r.) I
опи<:ывающую частицу с импульсом р Имеем
,1.' ( . ) T i.T ( ' ) , ( ' ) i р'х
't' p ' Х == l}т i' p Х == l}т 3/2 и ре,
(2 7t )
rде р''''== ([I!, p), а
и' (р') Тй Т (р).
(B.l69)
* Для Toro чтобы убедиться в том, что такая матрица существует, по-
строим ее в представлении Дирака ПаУJlИ. В этом представлении yO yOT,
y2 y2T, ylT == y', уЗТ== уЗ Таки\!. образом, \oIатрица Т должиа коммутиро-
вать с уа, у' и уЗ и антикоммутировать с У' Матрица, удовлетворяющая этим
условиям, имеет вид Т"" уЗуlуО
300
С помощью (В 166) нетрудио убедиться в том, 'IТO спинор и' (р') удовлетво-
ряет уравнению
Cp' т)u'(p') ==0. (В.170)
И1ак, функция ФР' (х) == l} T T1T (х') описывает дираковскую частицу с ИМПУ.1Ь
со \1 р''>. == (РО, р) (при замеие х О ..... х О импульс \lеияет знак).
Пусть спи нор и S (р) описывает состояние с проекцией спииа s на направ-
.1ение па.== (пО, п) Имеем
й' (Р)У5tt==sйS (р)
Отсюда траиспонированием ПО.1учае\l
ftTy/iiST (р) ==suST (р)
(В 171)
У\lНОЖИМ это уравнение С.1ева на матрицу Т. С помощью (В 166) нетрудно
убедиться в том, что
TY5TT 1 ys
Из (В 171) и (В 172) с.1едует, что
'?sп'T й! (р) == oTй' (р),
(В 172)
(В 173)
rдoe n'== ( пO, п)
Таким образом, спинор
ц '(p') ==Тй'Т(Р)
(В 174)
ЯВ.1яется собственнои функциеЙ оператора vs'ft', принадлежащей собствеи-
ному значению s (при замене xO...... xO спин меияет знак). Отметим, что
n'2== 1, п'p'== пp==O
Нак:щец, раСС\10Трим состояние с определенной спиральностью, Имеем
Y5п-;;' (р) ==rи' (р).
/[рl РО р
\ . k ) . k== . С помощью (В.166)
\ т т ! р,
rде п'" ==
и (В. 172) получаем
юда
'5n"u, (р') == rи' (р') ,
rдoe п' == ( 1: I k : ) . а
а ' (р') == Тй'Т (р).
(В 175)
Таким образом, при обращении времеии спиральность ие меияется (при за-
мене хО..............х О меняют знак как импульс, так и спин).
п р 101 Л О Ж е н и е r. Преобразованне Фнрца
В физике э.1еКТРОС.1абоrо взаимодеиствия часто используется преобразо-
ваиие Фирца Здесь \lbl рассмотрим это преобразование. В матричные эле-
\lенты четырехфеР\lИОИНЫХ процессов входят выражения вида
и \р') Ои (k) и(k') О' u (р) ==
и , (р') ар (k)и , (k') и (р) 0P'P:' ,
:.1, р, "t'-;
(r.l)
. . . спииоры. Считая индексы р'
0P'pO:, по поли ой системе мат-
301
rде О и О' 4Х4-матрицы; й(р'), u(k),
и 1: фикснрованиыми, разложим матрицу
риц Дирака r 'p (Р 1, уа, aa , уаУ5, У5). Имеем
ОР'рО", (А/)р" (rl)"p.
/
(r 2)
Далее по полной систе\!е \!атриц [' разкожим А, Получаем
\-, .
(А/)р" "'-' ill' (ri)p'"
(r.з)
Подставляя (r 3) в (r 2), находи\!
Ор,Р:" a (ri)p" (rl)"p.
( [.4)
Для Toro чтобы CJПр<'J:е.1ИТЬ коэффициенты Q1i, умножим (r 4) на
(r"),p' (rl,)p,' и ПРОСУЫ\!I'руем по Т, р', р.,' Учитывая. что
sp rir i ' == oi' Sp rir i ,
(r 5)
пол уч ае \!
1
,lz' == sp orlC [ l
spririSpr1r l
[индексы i и 1 в (r 6) фиксированы]. Окончательно, под.стаВ.1ЯЯ (r 4) u (r 1),
по.lучае\! преобразование Фирца
(r.6)
и (р') Ои (k)u. (k') О' L (р) il[iи (р') riu (р) и (k') rlu (k), (r.7)
.1
rде коэффициенты а, даются (r 6). Соотношение (r 7) ПОЗВО.lяет «поменять
местами» спиноры и('::) '! и(р) При это\{ j) обще\! С.lvчае в правую часть
(r 7) входит сумма 'lроизве.lений соответствующих \!атричных элементов
Расс\!отрим ТИШ!'1НЫЙ ,:ыя физики электрос.lабоrо взаи\!одеi1ствия MaT
ричный элемент
й(р'),?О;(1 v'i) u(k) й (k')yo; (1 Y5)и(P)
и' 8)
Очевидно, что в правую часть преобразования Фирца 'dатричноrо элемента
(r 8) "е ,НОДят С:«l.1яр, тензор u псевдоска.1ЯР Действите.1ЬНО, учитывая,
что (I Y5) (I Y5)==0, И\iее\!
Sp уа(1+У5) (1, аР"; у,) Yo;(1-+r5) f'==oSp l'a(1 Y5)X
XfIVo;(I+Y5) (1, аР"; У5) ==0
..1.1Я веКТора (V, V), псевдовекторз (А, А) вектора и псевдовектора
(V, А и А, V) по.lучаем
a (\'. V) '== a ( , ..4) '== a (V. .-1) == a (..4. V)
== Sp у'З. (1 +- 1'5) 1', у'З. (1 + 1'5) уР == a .
(1'.9)
302
Отметим, что при подучении (r 9) мы использовали
(1+'\'5)2 2(1 '\'5),
уа,\" '?а. == '(" (2g,,, 1'",'\',) == 2,\".
с помощью (r 9) из (r 7) получае'd
u (р') ,\,а (1 Y5) U (k) ii. (k') '\'а (1 J...Y5) U (р) == и (р')уа (1+'\'5) х
Xu\p)u(k')Y a (1+У5)и (k)
(r 10)
В заКЛVJченне сделаем С. еДУ1()щие замечания
1. Для операторов поля имее'd
,\,a( I+Vs)'\JЬФсVа (I+Y5)'\Jd ;Pa,\,a (1+V5)'\J cYa (1+Y5)'\Jb.
(r 11)
Знак «+» в (r 11) ВОЗник ВС-lе;;ствие roro, что опсра,;,:)ры ферми.полей (под
З"1КО\! оператора .У) антикоммутируют
2. Нетрудно пояснить С\!ЫС.l соотношения (r.l0) Запишем матричныи
элемент (r 8) в виде
-tti L (p')yauL (k) UL (k') у a.UL (р)
rде
1 '\'5
UL(p) == U (р)
2
.1евая компонента спинора и(р),
Очевидно, что
L;L (р')( 1; з"'l3; '(5) U L (р) == О,
UL(P') Y"'?5 U L (р) == UL (р') yau L (р).
}
(r.12)
Ясно, что в (r 7) 'dOrYT вХОДить любые спиноры (в частиости, UL) Таким
образо\!, в СИЛУ (r 12) в правую часть раЗ.lОжения Фирuа \Iатричноrо эле
мента (r 8) может входить только
UL (p')-уаuL (р) UL (k')YaUL (k)
[прн этом следует УЧf'сть также, что \lатричиый элемент (r 8) инвариаитен
относительно преобразования Лоренuа].
При л о ж е н и е Д. Спиновая матрица плотности
в этом приложении \!ы 110дробио рассмотрим спииовую матрицу плотио-
сти релятивистских частиц со спином 1/2. Предположим, что пучок частиц
со спином 1/2 ПО.lучен в реЗУ.lьтате взаимодействия с друrой подсистемой.
Волиовая функция всей С'исте\!bl после Toro как подсистемы перестали взаи.
\fоДеиствовать IIмеет вид CY'dMbI произведений волновых функuий свободных
подсистем
<f_' (х, ! i рх !: )
_ ;;, t) == (27)) 3/2 е 'Ра (", t ,
(Д.l)
303
Здесь
, t) и/(р) 1'п ( , t) С т ;
(Д.2)
,.п
и' (р) функции, описывающие состояния с импульсом р и спиральностью r,
Ч'n (s, t) волновые функции второй подсистемы; С,n константы. Будем
предполаrать, что функции и'(Р) и Ч'n нормированы ус. овиями
[/' (р) и' (р) 2тtЗ"" 1
(1';,1'n) tЗп'п. f
Пусть О некоторыи оператор, действующий на спиновые переменные а.
ДЛЯ среднеrо значения оператора О (в случае, если соСтояние второй подси-
стемы нас не интересует) получаем
(д.3)
(O)
J' i ю о l' (О d;
f l' (6) l' ( ) d
L 7/' (р) ou r (р) Prr'
r. r I
r' ,
u (р) u (Р) f'r,'
,.. r'
(Д.4)
Здесь
Prrl == Crпc;,n_
п
(Д.5)
Выражение (Д 4) \lожет быть записано следующим образом'
(o) Sp ОР(Р) ,
Sp Р (Р)
(Д.6)
rде
Р", (р) == 2:, и:(р) и;: (р) P rr ,.
r ('
(Д.7)
Матрица Р (р) носит название спинОвой \!атрицы плотности. Как видно ю
(Д 6), \!атрица р (р) позтзолqет ПО.1НОСТЫО ОПl'сать спииовое состояние пучка
(ВЫЧИС.1ить средние значения .1юбых спиновых операторов)
По.1У И\l соотношения, которым удов, етворяет матрица плотности р(р)
1) Р;" P rr "
( Д.8)
Это соотиошение следует из (Д 5) С ПО\fОЩЬЮ (Д 7) и (Д 8) J;.lЯ \!атрицы
р(р) получаем
р(р) p(p)
(д 9)
(Д.I0)
2) Prr 1.
,
Это соотношение ВЫТекает нз условия нор",ировки Фуикции Ч' (;, t) и (Д.3)
ИЗ (Д.5) очевндно, что р., представляет собой вероятность Toro, что спи-
ра.1ЬИОСТЬ частиц пучка равна r (незавнсимо от Toro, в каком состоянии на.
304
ходится втора>. 'подсистема). С помощью (Д 3), (Д.l0) и (Д.7) получаем
следующее условие IjОРМИРОВКИ матрицы р(р)
Sp р(р)==2т.
Щ.l1)
ИЗ (Д 8) и (Д.1О) следует, что 'dатрица р(р) характеризуется тремя ве-
ществениыми параметрами. Отметим, что матрица плотиости частицы со спи-
ном s характеризуется
(2511)2 1
(д 12)
вещественными параметрами
3) 2:, I P rr ' I а ,;;;;; ( prr \ а == 1.
"r' \ r )
(Д.13)
Действительно, запишем (Д 3) в видё
Prr' == (C;;C r ),
rде С,n компоиента комплексноrо вектора С, Используя неравенство
Коши Буняковскоrо, получаем
I (C;,Cr) i 2 ,;;;;; (C';;c r ,) (C;C r ).
(Д.14)
Отсюда, суммируя по r и ,', находим (Д.13). С помощью (Д.7) и (Д.13)
по.lучаем
Spp 2 (p)==(2m)2 I Prr' 2';;;;; (Spp(p»a.
(Д.15)
(. ('
Знак равенства в (Д.15) имеет место в с"lучае, если спиновое состояиие опи
сывается волновой функцией Действительно, в этом случае
р(р) и (р) и(р)
н
Sp p2(p)==(2m)2==(Sp р(р»2.
(.LI. 16)
Можио показать также, что (Д.16) является достаточиым условием Toro,
что сОСТОЯние описывается ВО.1НОВОй функцией (является «чистым» состоя-
иием). Отметим, что состояиие, которое описывается матрицей плотности,
удовлетворяющей неравеиству Sp р2 (р) < (Sp р (р» 2, называют «смешанным».
4) Л(р)р(р) р(р)Л (р) 2тp (р).
(Д.17)
Здесь
.\ (р) 'А--т
* Число вещественных диаrональных элемеитов эрмитовой матрицы р
равно (25+1) Чис,,10 незаВИС!l'dЫХ комплексных иеднаrона,lЬНЫХ Э.lементов
(25 + lP (25+ 1)
равно 2 . С учетом ус,,10ВИЯ нормировки матрицы плотно-
сти Д.7Я общеrо чис"lа вешественных параметров получаем (Д 12)
305
проецируюший IJператор Соотношеиия (Д.i 7) MorYT быть получены из
(Д.7), если учесть, что
.\(,о)и(р) 2ти(,o), il(,о)А(,о) 2тЙ(fJ).
ИЗ (Д 17) следует
1
p(p) (2т)2 '\ (р)р(р)/1. (р).
5) pf(,of) Lp(,o)L J,
(Д.18)
(д 19)
rде р (,о) и рl (,0/) 'dатрицы плотности в двух инерuиальных системах,
а матрица L Удов.lеТ90ряет (В 34) Соотношение (Д.19) \I0жет сыть по.1У-
чено с помощью (В 32), (В.46) и (Д.7)
Разложим теперь \Iатрицу плотности р (,о) по полной систе\\е 16 матриц
..1ирака Имее\\
О (р) J. О . ," С r:I d "" 1' 5 е "
. :I.I I a.j3a I a.l ! J5'
(Д.20)
Из ус.аовия нор мировки (..1.1 J) нахол! \1
a (1/2)111
(д 21)
Для Toro чтобы опрце.1ИТЬ коэффициент Ь, умножим (..120) на У() н вычис
лим шпур обеих чаСТей по.lу u енноrо равенства. Используя (Д 18), находим
1 1
Ь Р Sp р (р) 1'0 Sp.\ (р) р(р).\ (р) 1'0'
-1 . 4 (2т)2
(Д. 22)
Далее с помошью перестановочных соотиошений д.1Я матриц У получаем
.\(,o)y!! 2,o')+'Y()A( ,o) (Д.23)
Наконец, учитывая, что .\( p).\(,o) o, из (Д.17), (Д 21) 11 (..1.22) находим
1
bp 2Pp.
(Д.24)
Нетрудно убедиться в том, что
e O.
(Д.25)
Действительио, с помощью (Д.18) и (Д.20) получаем
1 1
e Spp(p) 1'5 SpA(p)p(p)A (р) 1'5==
4 4(2т)2
1
== Sp.\ (р)р(р) 1'.'\ ( p) О.
4 (2т)
У!.fиожим далее (,1.20) на Ур (5 Вычисляя шпур обеих частей полученно-
Horo равенства, имеем
1
d p == 7SPP(P)YpY5'
(д.26)
З06
Нетрудно пока;:':ь, что
m
d === ( Д.27 )
р 2 'р,
rде ; средиее Зli<lчсние оператора спииа Действительно, оператор спииа
дается выражением [см (В 98)]
1
sp == 2т '?5 ('?рР Пр) .
(д 28)
Для срсднеrо значения оператора СПИНi1 имеем
Sp р (р) Sp
I;p == Sp р (р)
(Д.29)
Испо.1ЬЗУЯ (Д.17) и (,,] 28), Чi1ХОДИМ
!
"p 2т SPP(P)I'p'(5
Сравнивая (Д.26) и (Д 30). полvчае\! (д 27)
Накоиец. получим Тj)еТИh член раЗ.10жения (..1 20) Используя соотно-
шение
(..1..30)
а (l ==i/ 2ea. p"(crp-r,?s,
запише'l этот член в виде
13 'р'
С "13 === Cp' '?5'
Очевидно, что
I ,
Ср, === C tp '
(Д.31)
с помощью (д 18) и (Д.20) получаем
, 1 i
С р ' === Sp Р (р) p ' '(5 '=' Sp .\ (р) Р (р) А (р) I р '?, '(5'
8 8 (2т)2
(Д.32)
Далее, ИСПО.1ЬЗУЯ перестаиовочные соотношения для матриц у, находим
А (р) '(р '?,У5 == 2p p i''(5 2р,'( р '(5 + IрУ,'\'5 А ( p).
(Д.33)
Подставляя (д 33) н (д 32) и используя (Д.29), получаем
, i
Ср, == 4 ( pp, p, p)'
(Д.34)
Окончательио с помощью (Д.20) , (Д21), (Д.24) , (Д.25) , (Д.27) и (д 34)
для матрицы плотностн ретпивистской частнцы со спином 1/2 находим сле.
дующее выражение:
'" 1 '" 1 '" '"
p(p)=={p-f-m) 2 (1 '?5 )==2(1 16 )(P+т)..
(Д.35)
307
Итак, для TOrO чтобы описать спиновое состояние";"астиц со спииом 1/2,
необходимо задать вектор ;а среднее значение оператора спииа. Вектор a;
носит название вектора поляризации Получим соотиошения, которым удов-
летворяет вектор поляризации. Подставляя (Д 35) в (Д 9), имеем
; *== .
(Д.36)
Такн'м образом, ;а Вещественный вектор Дa. ee оператор спина opToroHa
.1ен вектору D
sp== О
Щ.37)
Из (.::L 29) и (Д.37) получаем, что
;р:=;О.
(.LI..38)
ИЗ (Д.38) следует, что вектор поляризации пространственноподобный.
В системе покоя вектор поляризации имеет вид
;а== (О, SO).
(.LI..39)
.::La.lee нетрудио убедиться в том, что ;а ЯВJlяется псевдовектором. ;:Lействи-
те.1ЬНО, используя (,,].19), (В 34) и (В 30), получаем
a/ == .J.... S P о' (р ' ) v . ( '" == .J.... S P о (р ) L l.{ . ( "'L == detaa"":13
, 2т' ,5 2т' ,5 13"
(Д.40)
Наконец, подставляя (J:.З5) в неравенство (Д.15), находим
P2 1, (Д.41)
rде P== 1 2 по.lяризация. При Р== 1 СПИНОВОе состояние описывается вол-
нОвой фуикцией (яв.lяется чистым).
Рассмотрим выражеиие (Д.35) дЛЯ матрицы плотности Запишем вектор
поляризации ;а В виде
s<Y.==Pn a ,
rде п2== I, пр==О. Нетрудно убедиться в том, что выражение (,,].35) может
быть записано в виде
1-.....Р 1 p
P(p)== p (р) T P (p),
(д. 42)
rде
1 "-
Р.....(р) == (1 :;: 'i5 n ) \ (р).
2
Матрнцы р= (р) удовлетворяют соотношению
Sp р;'(р) == 1.
(Д.43)
Таким образом, Р= (р) ЯВ.1ЯЮТСЯ матрицами плотностн ЧИстых состояний.
Имеем
1
(I = 'f 5 п ) ,\ (р) == и..... ( р) и..... ( р ) .
2
,Д.44)
308
У\iНООКИМ это соотношение справа на и:!:. (р) Получаем
'Y5nи:!> (р) ==:tu:!: (р).
(Д.45)
Таким образом, спиноры и", (р) описывают состояния С проекциями спнна
на напраВ.1ение п, равными соответственно +-1 и 1 [см. (B.I03) (B 105)].
Выражение (Д 42) \lOжет быть переписаио в виде
li'"P l P
р(р) ==2 и (р) и+ (р) + и (P)и (p).
(Д.46)
Итак, спиновОе состояние рассматриваемой системы всеrДа может быть опи-
сано «смесью» HeKorepeHTHblX ВОЛНОВЫХ Фуикций и+ (р) И Jl (р), входящих
в смесь с весами (1 +Р) /2 н (1 P) /2 соответствеино.
Мы показа.1И в rл 7, что в случае, ес.1И в процессе участвует античасти-
ца (которой в \iатричном элемеите отвечает спниор и( p», то в сечеиие
процесса входит спиновая \iатрица
p( p) == CpT(p)C 1
(д 47)
Здесь p импульс античастицы; С \tат-рица
р (р) спиновая \iатрица плотности аНТflчастицы.
удовлетворяет соотношениям
зарядовоrо сопряжеиия;
Напомним, что \lатрица С
CYa.TC I== ya.'
Да.lее "атрнца ПЛОТности античастицы р(р) имеет общий вид (Д 35)'
(Д.48)
1 '" 1 '"
р (р)== (1 '(5 ) А (р) == А (р) (1 Y5 )'
2 2
(Д.49)
rде sa. вектор поляризации антнчастицы Подставляя (Д.49) в (Д.47) и
используя (ДА6) , получаем
1
p( p)== 2(1 Y5S)A( p).
(д. 50)
Для мноrих задач физиI-.'И ВЫСОIП!Х энерrий представляет иитерес спино.
вая матрнца плотности прн ро»т Из общей формулы (Д.35) нетрудно по-
лучить прибли'женное выражение для матрицы плотности в этом случае. Век-
тор поляризации в системе покоя дается (Д 39) Д.1Я вектора поляризации
в системе, rде импульс частицы равен р, имеем
",О Ро k o
S 11 == "11 ' s 1. == S.l '
sp ",О I р I
== == "'II '
Ро т
(Д.51)
rде S I и s3.. продольная (в напра'3лении импульса) и поперечная компоцен-
р
ты вектора sO. k Далее очевндно, что
, I р! '
Ро ! р I (1 + 2 : I 2 ),
(Д.52)
I Р I ро ( 1 т 2 ) .
2р о 2
309
Подставляя (Д.52) в (Д 51) с точностью ;1.0 .1инеиных
т
Ро
вектора поляризации, получаем
'" o р'" "
1; i; 11 r;: + SJ..,
rде
членов для
(Д. 53)
s'j, == (О, SJ..)'
Наконец, учитывая, что рЛ (р) тА (р), находим следующее выражение ;1.ля
матрицы плотности частицы со спином 1/2 пр" ро'2>т
1 о
р(р) 2 (1 II'(Ь У5SJ..) р. (Д.54)
Аиалоrнчно, учитывая, что рЛ( р) тA( p), для случая аитичастицы из
(Д.47) при ро '2> т J13ХО,lJ,ИМ
1 О /'-
p( р) 2 (1 + s il'(5 '(5SJ..)( P)'
(Д.55)
В случае
(Д.56)
Получим теперь 'dатрицы плотности нейтрино и антииейтрино
частицы с равной ну.l!О 'dассой
Y5 Ur (P)== rur(p),
Y5 Ur ( p) == ru r ( p)
[см. (В 122) и (В 127)] В соответствии со стаН;1.артной теорией электросла-
боrо взаимодействия оператор поля нейтрино входит в лаrраНJКиаи в виде
1 +'(5
VL(X) == V (х).
2
(д. 57)
ИЗ (Д.56) и (д 57) следует, что
V L (х) == У р (и 1 (р) С 1 (р) e i рх + и1 ( p) dt (р) e i рх) d 3 p. (Д.58)
Такнм образом, спиральность нейтрино равна 1, а спиральность антиней-
триио равна 1. Матрица плотности нейтрино с нмпульсом р равна
р (р) ==и 1 (p)u l (р).
Из (д.56) и (д.59) получаем
I+ V 5 }J I+Y5
р (р) == u r (р) u r (р) -== р.
2 2
r
Аналоrично в с.lучае антинейтрино с ИМПУ.1ЬСОМ р нмеем
(.LI..59)
(д. 60)
I+Y> 1+15
p( p)==Ul( p)U' ( p)==............... u r ( p)ur( p)== ( p).
2 2
r
310
(Д.61 )
Отметим, что 'ду}Ражения .:!.lЯ матриц плотности иейтрино и антинейтриио
MorYT быть получены из (Д 54) и с.1.55), если в' этнх выражеииях положить
соответственно I 1, s 1. О и 6 I == 1, 1. == О,
В заключение расС'.IOТРИI\I некоторый процесс. Если спнновое состояние
начальных частиц описывается матрицей плотиости, то спиновое состояиие
конечных частиц в обше\! с.1учае также ДО.1ЖНО описываться матрицей П.l0Т
иости. Получим выражеиие .:!.lЯ матрицы плотиости коиечиых частиц. В каче
стве пример а рассмотрим рассеяние частицы со спином О иа частице со спи-
иом 1/2 Матричный элемент процесса имеет внд
<f I S 1 I i) == ,v"l/' (р').\.1 ({Т, q', р. q) и' (р) (2,,)4з (р' -j-<Q' p q)
(Д.62)
Здесь q, р (q', р') импульсы начальных (коиечных) частиц со спинами О и
1/2 соответственно, N про изведение стаидартиых иормировочных \!ножи
те.lей; М матрица, действующая иа спи новые переменные.
ИЗ (Д 62) очевидчо, что !З случае, ес.1И спиральность начальной частицы
равна т, спиновая функция "онечнои частицы пропорциона.lьна
'// (,,') == и r , (р') {i/' (,[:,1) м и Т (р».
т,
(Д.63)
в общем СJIучае нача.lьные частицы описываюТся матрицей плоскости
р (р) и r (р)и Т ' (р) Prr"
(,]:.64)
r. r'
Д.1Я среднеrо значеНИя оператора О', действующеrо на спииовую переменную
конечной частицы, получаеУ. при этом
(О') ==
у, (р') 0'''1/ (р') Prr'
r. r'
L. i r ' (pr) 7/ (р') Prr'
r t "
(Д.65)
Подставляя (д 63) в (Д.65) u используя (д 64), находим
SpO'p(p')
(О') ==
Sp Р(Р')
(Д.66)
rде
р(р') ===Л(Р')МР(Р)l\1А(р')
(д 67)
спиновая матрица П.l0ТНОСТИ конечных частиц.
Нетрудно видеть, что Sp р(р') пропорционален сечению процесса. Цей.
стэительно, с помощью (Д.62) дЛЯ сечения ароцесса получаем следующее вы.
311
ражение [см (720)].
da 0==
1
4 V (pq) 2 т2112 (27;) 2 Sp Мр (р)мл (р') а (р' +
d 3 р' d 3 q'
T q' P q) 2 ' 2 .
Ро qo
(Д. 68)
Далее имее",
Sp p(p') 2т' Sp Мр(р)МЛ(р'),
(д 69)
rде т' yp'2 Отметим, что при получении этоrо соотношения мы учли, что
А(р')А(р') 2тA(p')
в общем случае матрица р (р') имеет вид
1 1 '"
р(р')== S pP(P') 2 ' "\. (p')ry-(1 '(5 ')'
m
(д. 70)
rJIe
,,, Sp р (р') '(51'"
'"
Sp Р (р')
(Д.71)
вектор поляризации конечных частиц. Подстарим (Д 67) в (Д 70). Для
вектора поляризации ;а получаем следующее выражение
,1 р'''р,В\ SрМр(р)j1А(Р')'( 51 З
'" == \ g"B ) Sp Л1р (р) МЛ (р')
(д. 72)
При получении этоrо выражения МЫ использовали
/ 1 )
А (р') Уо'(",\. (р') == 2т'А (р') \ '(51" + 15 Пi' р'" ==
, p'''p' \
== 1т': g "B IA (p ' ) v . (
, 2 ) 15 {3.
\ т'
ИЗ (Д.72) очевидно, что вектор ПО.1яризации s'Ct удовлетворяет условию
s'p'==O.
(Д.73)
Наконец, отметнм, что выражение (Д.67) дЛЯ коиечной матрнцы плотно-
сти может быть записано в в-иде
( ' ) Spp(p') '\l r ( , r' ( ' ) ,
р р 2т' 1..J u р и р Prr"
'. r I
(Д.74)
rде
,
Pr r ' ==
(--:,r' (р') Л1р (р) М u r ' (р'»
Sp Мр (р) МА (р')
(Д.75)
312
Очевидно, что
P;r== 1.
r
(Д.76)
Величииа р'" представляет собой вероятиость Toro, что спиральность конеч-
ной частицы равна r
При л о ж е н 101 е Е. Матрица КобаSlwн Ма.скава
Лаrранжиан взаимодействия кварков и заряжениых промежуточиых 60-
зонов имеет внд [см. (4 160)]
r. g .""" g ( + ( ) W "+
2[ (х) == v 2 PL (х) y"UпL (х) W (х) V 2 пL х) '(а. U PL Х (х)
(Е.l)
( 'U L ) ( ldL \
Здесь PL == c L , пL == SL)' а И матрица смешивания. В этом ПРИ.10-
t L b L /
жении "ы найдем 06!ций вид Vlатрицы смешивания для трех поколений квар-
ков. Покажем прежде Bcero, что в случае СР-иивариантности .1аrранжиана
(Е 1) матрица И вещественна При СР-преобразовании поля кварков и W-60-
зонов преобразуются следующим образом:
ucJ,пL (х) U ср == 1]nyOCfiI (х'),
UC PL ({) U ср == 1]*ppI (Х') C l'(o;
Uc)W"(x) U ср == O"1]wW" (х').
(Е.2)
ЗДесь И еР оператор СР Пре06разовання; С матрица зарядовоrо сопря'же-
ння (см. приложение В8); x' (xo. x). БО I, бk== l (k l, 2, 3) Т]n, Т]р И
fJw СР-четности ПО.1ей Если имеет место СР-нивариантность взаимодействия
кварков и W-60ЗОНОВ, то
U с )2[(Х)U ср ==2[(Х'. (Е.з)
Подставляя (Е.1) в (Е 3) и нспользуя (Е.2), получаем *
u+ uт.
(Е.4)
Отсюда следует
U*==U.
(Е.5)
Таким образом, ес.1И имеет место СР-инвариантность, И вещественная,
ортоrональная матрица Очевидно, что эТо справедливо в общем случае п по-
* При Этом предпо.1зrа.10СЬ, что Y)p*l'jnl'jw=" 1.
21 6910
313
колений кварков. Рассмотрим этот случай Ортоrональн "lzХп матрица ха-
рактеризуется (1/2) п (п l) пара метрами *
Унитарная пХп матрица характеризуется п" вещественными параметра
ми *. Это число складывается из (1/2) п (п l) уrлов (параметры ортоrональ
ной Vlатрицы) и (1/2)п(п+l) фаз Число ответственных за СР нарушеиие
фаз унитарной матрицы смешивания кварков равно, одиако, (1/2) (п I)X
Х (п 2) Действительно, фазы дираковских полей ненаблюдаемы. Перепи
шем следуюшим образоVl выражение для тока кварков'
ia 2fiLYaUпL 2P'LYaU'п'L.
(1::.6)
Здесь **Х
f'J'L 5DPL, п'L 5nпL, U' 5DUSn *,
(J:: 7)
rде
5 ) ;"k' i (3
( р ikCC= е 0ik, (5 n )ik"'" е kOik' (Е.8)
ak и k произвольные вещественные параметры Ненаблюдаемость фаз ди-
раковских полей ознаqает, что физичео<ий смысл имеют ТО.1ЬКО такие фазы
матрицы смешивания, которые не Vlorj r быть из нее устранены выбором про-
нзвольных параметров а. и . Найдем число .ризических фаз, которые MorYT
входить в матр;щу смешиван,\я. Запишем
aA-==a /p, k + /k,
(ё.9)
rде
и --; ak,
k
1J k'
k
Имеем
ak' "'" О, k' О.
k k
ИЗ (Е 8) и (Е 9) следvет, что
(Е.I0)
5p eia5'p, 5n eif\5'n,
(Е 11)
rде
5 , i(J.k' 5 ' ) it3k'
( ,J )ik"'" е (Jik, ( n ik"",e (Jik'
Таким образом, а. и являются общими фазами соответственио матриц 5 р
и 5n. С помощью (Е.7) и (Е 11) получаем
U'==el(a f\)5'DU5" n.
(Е.12)
* Действительио, вешествеиная ортоrоиальиая "атрнца О (OTO 1) мо-
жет быть представлена в виде O eA, rде А веществеииая аитисимметрнч-
ная матрица (АТ A) Очевидно, что Аи==о, Aik A'i, i=l=k Таким образом,
матрица А характеризуется (1 /2) (п2 п) вещественными параметрами.
** Действительно, унитарная Vlатрица и может быть представлеиа в виде
и еilf, rде Н эрмитова матрица. Эрмитова матрица характеризуется
п + 2 ( п 2 2 п) == п 2 вещественными параметрами.
Х** В общем случае п поколений PL (пL) столбец, построенный из левых
компонеит «верхних:> (<<нижних» полей.
314
Из (Е 12) следу ,что общее число фаз, которые MorYT быть устранены из
матрицы смешивания в силу произвольности фа-з днраковскнх полей, равио
2(п I)+1 2п+l
(чнсло фаз в S' р и S' ,,) + (разность общих фаз).
Для общеrо числа ответственных за С Р иарушение физических фаз "ат.
рицы смешивания получаем. с. едовательно,
(lj2)п(п,1 ) (2п l) (п l) (п 2)/2.
(J:: 13)
Отметим, что из ЭТОЙ формулы MorYT быть сделаны важные физические вы-
воды Положим п 2 Из (Е 13) получаем, что в этом случае'Vlатрица смеши-
вания всеrда может быть сде:Iана вещественной. Это означает, QTO в случае
двух поколений кварков СР автоматически сохраняется. Для Toro чтобы
в рамках кварковой модели объяснить наблюдаемое нарушение СР,инва
риантности, нужно, следовательно, преДПОJ10ЖИТЬ, что существует по крайнеЙ
\fepe три поколения кварков (Кобаяши Маскава). Мы рассмотрим теперь
случай п 3. В этом случае матрица смешивания характеризуется тремя;. r.1a.
ми и одной фазой Получим общее выражение для ",атрнцы смешивания
Заряженный слабый ток запишем в виде
ia. == 2 6(( a.d + CL'(a.S + Т(( a.b ),
(Е.14)
rде
d UuqQL' S UcqQL, b == Ut'lQL'
q d, s, Ь q==d, s, Ь q==d. s, Ь
Выберем d' L С.1еДУЮЩI<М обраJО'"
(Е.15)
d' L==СlзdLС+Slзе i6ЬL.
(1: 16)
Здесь
d L C ==CI2 d L+S12 S L
(Е.17)
кабиббовская комбинацня d L и SL полей; C13 COS 813; S12 sin 812 и т д.
Очевидно, что при этом l:jU иq j2==1. Далее функцин
st === S12 d L + C 12 S L ,
Slзdtеi а + с 1з I.J L
}
(Е.18)
ортонормнрованы и 'Jртоrоиальны d' L ". С помощью (E.18) функции s' L И
Ь' L MorYT быть построеиы следующим образом:
s == С2ЗS + Szз ( Slзdt e i 41 + С1ЗЬL) ; }
ь ' ,с + ( d ci )
L === S23"L С 23 S13 [ е + С1ЗЬL .
Нетрудно проверить, что коэффициеиты вразложениях (Е.15) и (Е.19) (эле-
меиты матрнцы смешивания) удовлетворяют условию уннтарности ИЗ (Е 15)
(Е.19)
* В том смыс.1е, что соответствующие коэффицненты удовлетворяют усло-
вию уиитарности. -
21- 315
н (Е.19) получаем следующее общее выражение для
в случае трех поколения:
Jpицы смешивания
и ( / d
С1З С 12
и == .
с C2aSI2 S2aSI3C 12е'
S2ЗS12 С2aS1ЗСI2еi
5
ь )
51зе i
. (Е.20)
5 2 з С 13
С 2ЗС13
Сlз 5 12
i
С 23С 12 52эS13512е
i а
s2ЗС 12 C 2з5 lз 5 12 е
Мы получилн одну из возможных параметризаций матрицы смешивания.
Отметим, что в .1итературе обсуждаются и друrНе возможные параметриза-
ции ЭТОй матрицы (ориrинальная парамстризация Кобаяши ,\1аскава и др.).
Информация о '\арактеризующих матрицу смещивания параметрах мо-
жет быть получена из опыта. ИЗ даиных различных опытов следует, что
siп 8 12 ==0,2197:t0,00 19,
'iin 82з 0,044:t0,010,
0,003<sin 813<0,008.
Таким образом,
sin 8 1з «siп 82з«1.
(Е.21)
Учитывая эти неравенства, можно подучить С.1едующее приближенное выра-
женне д.1Я матрицы смешивания.
( ' С12
и == 512
512523 5 1З С 12 e i ;;
512
С12
5 1з е i )
5 2З .
1
(Е.22)
S23
Таким образом, yro.1 Oih характеризует связь i и k поколеинй. Отметим, что
из данных по изучеиию эффекта СР нарушения с.1едует, что фаза /'j велика
(sin/'j 0,5).
При л о ж е н и е Ж. Квазнупруrнм процесс V!1+п !1 +P
(слабые формфакторы нукпона)
в этОм приложении мы подробно рассмО1'РИМ матричный элемент про-
цесса
v!1+n-+!Ao +p. (Ж.I)
Очевндно, что проut:Cс (Ж.I) обусловлнвается CJIедующим rамильтонианом
взаи модеЙСТВItЯ
G G
.!ft[ == V 2 '(" (1 +'(5) V!1j + v 2 v!1'(" (1 +'(5) j"+,
(Ж.2)
rде заряженный ток ja CJIедующнм образом выражается через по.1я кварков
iа и'Уа(l+уs)dUшt
316
(и и d пОля tr d-квзрков, U"d элемент матрицы смешиваиия кварков).
ИЗ (Ж.2) Д.1Я матричноrо элеМеита прсцесса получаем
G
(f I (S I) I i)=== i V2 .Vk,N (k')Y<1.(1+Y5)U(k)<p'l J<1. (О) I р)Х
X(27t)40 (p'+k' p k), (Ж..'3)
rде k и k' импульсы нейтриио и мюоиа, р и р' импульсы нейтрона и про.
тоиа, JrL заряженный адрониый ток в представлении rейзеиберrа Запи-
шем ток JrL в ВИДе
J<1. (V<1.+A<1.) и иd,
rде VrL и ArL, соответствеино, векторный н аксиальиый токи. В этом ПРИJlO-
жени и ",ы получим общее выражение для однонуклонноrо матрнчноrо эле-
мента <p/l/rL(O) ,р> При этом мы будем основываться на соображениях
лоренц'иивариантности, иивариантности относительно обращения времени,
изотопиqеской инвариантности сильноrо взаимодействия и rипотезы coxpaHe
ния BeKTopHoro тока
Рассмотрим вначале матричный элемент <p'i VrLlp>. ИмР.ем
<р'\ Vаlр>===NрДрЙ(р/) VrL(p', р)u(р).
Дааее разложим матрицу VrL(p/, р) ПО полной системе 16 Vlатриц Дирака'
1, ,,?rL, Q'rLf\, yrLys. уs Получаем
и(р') V<1. (р'. р) u(р) ==и(р') [А<1. + В"'flу + C<1.3P f\P+ D<1.f\Yf\Y5 + еуs] и (р),
(Ж.4)
rде коэффициеиты разложения Аа:, BrLf\, '" зависят от импульсов р ир'.
Учтем теперь, что матричный элемент й(р') VrL(p', р)u(р) преобразуется как
вектор ИЗ (Ж.4) следует, что Аа: является вектором, BrLf\ и CrLf\p тензо,
рами BToporo и TpeTbero paHroB соответственно, Da:f\ псевдотензором, t:rL
псевдовектором.
Вектор Аа: имеет следующий общий вид.
ArL a,pa.+a2P'rL,
(Ж5)
rде а\ н а2 фуикции скаляров, которые MorYT быть построены нз р и р/.
Очевидно, что из р и р' может быть построен только однн скаляр рр' (р2
===р'2==М2, М масса нуклоиа *). Определим 4-вектор передачи импульса
q==p' p. Имеем
q2 2M2 2pp'.
Таким образом, а\ и al являюТся функциями скаляра Q2== q2.
Тензор BrLf\ имеет следуlOЩНЙ общий внд:
В"'f\ === b 1 g<1.f\ + Ь 2 р(1. pf\ + Ь э р<1. plfl + Ь 4 р'(1.Р' + Ь S Р'<1. p,f\,
(Ж.6)
* Разностью масс нейтрона и протона мы здесь пренебреrаем
317
,
rде b t , Ь , ... функции Q2 С помощью уравнеиия Дир .. для спнноров
и(р) и й(р') нетрудно псказать, что все члены в ра3JIожеиии (Ж6), кроме
первоrо, сводятся к ра И р'а Действительно, имеем
й (р') рари (р) ==Мй (р') раи (р),
й (р') ра.р' и(р) ==Мй (р') ра.и(р)
и Т. д.
Дапее нетрудно убедип,ся в том, ЧТО член с а ВР<1вр сводится К )Ct, рС!; И
р'а. Действительно, в свертку c a t\p(J'j3p входят С.lедующие qлены'
'("р, '((1,р', р(1,рр', р"ур' р'''рр', р'''рр,
Имеем
й(р') yCtpи (р) Mii(f1')yCtu(p),
й(р')уCtр'и(р) й(P') [2p'Ct MyCt]и(p)
и т Д.
Очевидно. что
0(1,3" '. == d (Q 2 ) е"(3Р" р ' р '( '.
I f\ 10 Р J 1\' о'
Нетрудно убедиться '3 ТО'\!, ЧТО этот член СВОJ.ится к уже рассмотренным.
Д.1Я этоrо С,lедует воспользоваться соотношением
i ea.p,l\, . ( . == уР, ( ",' g Pa.. ( , g ?a"" g "J,p
!fЗ;) I j ! I )
(см. 7 {) и уравиением J.ирака Д,lЯ спиноров и(р) и -Й(р'). Наконец, по-
скольку из двух BeKToj}oB r:ОСТDОИТЬ псС'вдовектор невозможно,
Еа==О
Итак. матричный элемеит <р'l Valp> имеет следующий общий вид
<р'! VCtlp> .Ур"Урй(р') [yCtfl (Q2)+n Ct f2(Q2)+q Ct fз (Q2)]u(p), (ж.7)
[де
q p' P, n p'+p
lV\атричный элемент <р'l t/Ctlp> >,\ожет быть записан также в друrом
виДе. С помощью уравнения Дпрака получаем
й(р') j<1 a f3qj3U(p) ==й (р') (2Mya. na.)и(p). (ж.в)
ИЗ (Ж.7) и (Ж.В) с.lедует, что
(р' I ""I р) == N p,N/-u(рf) ['("F v (Q2) + 2 аа.(3q(3F,и(Q2) q(1,Fs(Q2)] и (р). (Ж.9)
Рассмотрим теперь матричный элемент <p'!Aa.lp>. Очевидио, что
N;;l,v"'/ (р' I А'" I р) ЯВ.lяется псевдовектором. Аналоrичио (Ж.9) Д,lЯ мат-
ричноrо элемеита <p'IACtlp> по.lучаем с.lедующее общее выражеиие
(р' I А'" I р)== ,Vp"Vpu(P') А" (р', р)и(р)==
== Vp"V;;;'(P') [-(а.У5FА (Q2) + 2 i"l\qf3(5FT (Q2) q"Y5Fp(Q2)]и(p). (Ж.I0)
318
Итак, ОДИО!!) .JlOнный матричный элемент заряжеииоrо слабоrо тока 1а
.<арактеризуется в общем случае шестью формфакторами
Fv(Q2), FI1(Q2), FS(Q2), FA(Q2), Fr(Q2), F p (Q2).
Покажем теперь, QTO в с.1учае, если имеет место инвариантность отно,
еите.1ЬНО обращения вре",ена, формфакторы F\,(Q)2, F,,(Q2), . вещественны.
Д.1Я этоrо воспользуемся общим соотношением (846), которое ЯВ,lяетея
следствием Т-инвариантности и унитарности S матрицы (в иизшем порядке
по О) С помощью (8.50) и (Ж.3) получаем
<р'! Ja.1 p>==lla<p' т I Ja.! рт >*,
(Ж 11)
rде I Рт > BeKTOp состояния HYКJlOHa с импульсом Рта== (рО, p); I'ja.
знаковый Vlножите:fЬ (Т]O I, Т'li== I). Из (Ж.ll) следует, что
u (р') У" (р', р) u (р) == r}" (и (P ) V" (p , рт) u (Рт»'" , }
и (р') А"(р', р) u (р) == r}" (и (р'т) ..4" (P , рт) u (PT» '
(Ж.12)
Здесь
u (рт) ==ТиТ(р) , и(p ) ==и т (р') T l, }
Т (Y ) TT l == r} Y"
(Ж .13)
(см ПРИ,lОжение В 9) С помощью (Ж.13) находим
r}'" (и (р;) '("и (Рт» Х == и (р') у"и (р); )
1]'" (и (p ) i a" (qT) f3u (Рт» * == и (р') i a"f3q u (р),
1]7.lU(P ) У"У5и (Рт»" == и(р') у"У5и (р)
(Ж.14)
и т. ;1;.
ИЗ (Ж.9), (Ж.10), (Ж.12) и (Ж.14) получаем
Fi (Q2) F;" (Q2),
(ЖI5)
rде i V, 1\1, S, А, Т, Р
Итак, ее.аи имеет место инвариантность относительно обращения времени,
формфакторы, характеризующие матричный элемеит <p'IJ a lp>, веществен
ны. Покажем, QTO <IрИ этом
Fs==O, Рт==О.
(ЖI6)
Рассмотрим преобразование заряженных токов отиосительно поворота на
yro.'1 л BOKpyr второй оси в изотопическам пространстве. Кварковые вектор-
ный н аксиальный токи стаИ;:J.артной теории даются выражениями
." " ,,1 .
v == иу d == Ny ('1 + 1'1;2) N,
2
'*
" " ,,[ V
а ==uY' 5d==N'( '(52('1:1+1'1:2)1,
319
rде N == ( ) изотопнчесКий дублет. Таким образом.
v'1.==v 1 "+iv 2 "; a"==al"+ia 2 '\
" ,,1 V
[де vi == N'( 'tii
2
вороте на уrол 1t BOKpyr
1
и ai" == .У'("у" 'tiN изотопические векторы. Прн по-
2
второй осн В изотопическом пространстве
ulJ. 01 а. "'""1 i и 2 (], == иа.+ ,
a':J. ala.+ia2a.:::= aa.+.
Для rейзенберrовых токов в силу изотопической инвариантности сильноrо
взаимодействия имеем *
ИV"и l == v"+. иA"и l == А"+, (Ж.17)
iitT" И (Ж 1
rде U == е " Т i оператор изотопическоrо спина. спользуя . 7), полу
цае\!
о<Р" val р>" == o<p'l и ' Va+Ujp>n
(Ж 18)
Здесь Ip>" (Ip'>p) BfKTOp состояиия нейтрона с импульсом р (протона
с импульсом р'). Да.1ее имеем
Ulp) n== Iр>о, Ulp'>o== lp'>n
(Ж 19)
ИЗ (Ж 18) и (Ж.19) с.1едует, что
o<p'i VaIP>n==o<pl Valp'>,,*
(Ж20)
Аналоrичио находнм
р<р' IAa Ip> n;:=Р<Р jA a lJ7'>n *
Подставляя теперь (Ж.9) и (Ж.I0) соответственно в
труда находим
(Ж21)
(Ж20) и (Ж 21), без
Fs== Fs==O, PT== PT==O.
Итак, в стаидартной теории электрослабоrо взаимодействия матричный эле-
мент о <р' I Ja I р> n ,арактеризуется четырьмя вещественными формфактора-
\!и и имеет вид
р(Р' I J" I Р)n== vp..vpU(p') Uud [Y"F V (Q2) + a" q F},! (Q2) +
+'("'уoF А (Q2) q"'("F (Q2)] и (р). (Ж.22)
* Соотношениям (Ж.17) удовлетворяют не изменяющие странности, очаро-
вания, ... адроиные токи стандартной теории. В общем случае, например, век-
торный ток V" может быть записан в виде V" == V + V I' rде V . II == +Х
х (V"::;: ИV"+и l). И\IееVl UV , I1U l == + V;:-1I' Аналоrнчно аксиальный
ток А" всеrда может быть записан в виде А" == A + Ar!, rде UAr. lIU 1 ==
== =+= А :-lI' Токи \,";, A и V I' ArI носят название соответственио токов
первоrо к. Bтoporo рода (Вайнберr). Отметим, что экспериментальных указаний
в пользу существоваиия токов BToporo рода в настоящее время не имеется.
320
Посмотрим теперь, к каким сдедствиям приводит rипотеза сохранения
BeKTopHoro тока. В силу этой rИПО1'езы не изменяющий странности, очарова-
ния адроииый заряженный векторный ток Уа является «плюс -компонеи
той изовекториоrо тока Vd, сохраняющеrося в силу изотопической иивариаит-
ности СИ,1ьноrо взаимодействия (см 84). Имеем
V" v + i V ""'- V + i 2'
(Ж.23)
Электромаrнитный ток Jem; а представляет собой сумму третьей компоненты
изовектора уа И изоскалярноrо тока \/sa.
Jem; a V:+V S ,
(Ж24)
Изовектор V i" удовлетворяет соотношению (8.142). Из (8.142) сде-
дует, что
V i2==[V;, Tl i2]'
(Ж.25)
С rю'dОЩЬЮ (Ж 23) I! (Ж 25) находи'>!
0<,0'1 Valp>n o<p'l V Ip>l' n<р/\ Vз"\р>..
(Ж26)
Отметим, что при получении эr rо соотношения мы учли, что
TI i2Ip>n \Р>р.
0<,0' i TI 12 (TI i21 ,0/>0) +,,= n<Р/ I
Да.1ее из (Ж 24) следует
0(,0' I Jem. l Р)р n(Р' I J em ; " I Р:n
;;(p' I \/ I p)p п(p' I V 1,0 п [р(Р' I V I Р)р п(p' I V Ip\n]. (Ж.27)
Нетрудно видеть, что после;rний член в правой части (Ж 27) равен ну.1Ю.
Деiiствительно, IIMeeM
;;(,0' I V I Р)1==Р(Р' I VsTl i I p\п р(Р/ i Tl-'-i2V I Р\п n(P' I y I Р\n
(Ж.28)
(оператор изотопичеСri:оrо спина T i коммутирует сизоскаляром V s)' Окон-
чате.1ЬНО из (Ж 26) (Ж 28) ПО,1учаем
р(Р' 1\1" I P:n ({р' j J em ." I p)p п(p' I J em , " j Р\n.
(Ж.29)
Итак, из rипотезы сохранения BeKTopHoro тока следует, что одионуклоиный
матричный элемент заряженноrо BeKTopHoro тока р(р'l Va I ,о> n равен разио.
сти матричных элементов электромаrиитноrо тока р<Р' r Jem. а I p>p
n<p'IJem; а/р>"
Соотношение (Ж 29) позволяет свя:>ать формфакторы FV(Q2) и F м (Q2)
С электромаrНI:IТНЫМИ формфакторами нуклона. Для Toro чтобы ввести эти
ПQC.1еДние велнчины, рассмотрим матричный элемент <p'IJem; а(О) 1,0> Из
из.10женноrо выше очевидно, что этот матричный элемент имеет с.1едующий
321
общий вид:
(р' I J em ; "(О) ! р) == N p,N р -и(р') ['('Р1 (Q2) + 2 qI3F2 (Q2) q"Fз (Q2) ] и (р),
(Ж.ЗО)
rде Р; вещественные функции Q2.
Нетрудно показать. что из закона солранения электромаrнитноrо тока
да,Jеm, а.(х) ==0
(Ж31)
с.1едует
F з (Q2) ==0
(Ж.32)
д'ействите.1ЬНО, ВС.1еДСТRие трансляционной инвариантности
(р' I jem, "(х) I р) === e i (p' p) Х (р' I J em ; "(О) i р).
Из (8195) и (8197) получаем
(Ж.3З)
qa,<p'!Jem, а(О) !р> == О (Ж 34)
Подставляя (Ж 30) в (Ж 34), находим (Ж 32) Окончате.1ЬНО ОДНОнук.10Н.
нЫе матричные эле\iенты оператора электромаrнитноrо тока имеют с.1Е'ДУЮ-
Щий общиЙ вид.
р n(Р' I jem; " I Р)р (1 == V p"v, и r р') ['''Ff' n (Q2) --'.. 21\;1 "f3q BP ' n (Q2) ] и (р).
(Ж.35)
Формфакторы FIP(Q?), F 2 o(Q') (F[n(Q2), F2n(Q2)) носят название COOTBeT
ственно .J.ираковскоrо н паулневскоrо Э.1ектромаrннтных формфакторов про-
тона (нейтрона). При Q2==O И\iеем
Р 1 Р(О) == 1,
Р 2 Р(О) == "Р'
р 1 n(о) == О.
р 2 П(0) == "n,
(Ж.Зб)
rде Х р и %" ан(;мальные маrнитные \iOMeHTbl протона н ней-rрона в ядер'
ных MarHeToHax Бора (%0==1,79. %n== 1(91).
В зак.1ючение раССМОТРИ\i процесс
V;1-т-Р !l тп.
Для матричноrо Эliемента процесса из (Ж 2) получаем
G +
(f I S j 1)== V2 .Vk,:\ikfL ( k) ," (1 +'f5)и( te')n(p' I J" (О)) p)p(21t)4 0 (р'+
+ k' p k),
rДе k и k' Импу.1ЬСЫ \';1 11 1-'+, а Р и р' Импу.1ЬСЫ протона и нейтрона.
Нетрудно видеть, что
,,<p'IJa,"-1 P>p==p<p'IJalp>n.
Действительно. из (Ж 17) находим
U lJa+U == Ja.,
(Ж.37)
(Ж.38)
rде И == е iЛТ , оператор поворота BOKpyr второй оси в изотопическом про-
странстве. С помощью (Ж.19) н (Ж 38) получаем (Ж.З7). Таким образом,
У!атричные Э.1ементы процессов 'V"п---+ t p и V"J}-+!l тп характеризуются одии-
ми и теми же формфакторамн
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕР А. ТУР А.
По кваитовои теории поля
1 Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика 4 e
ИЗJ. перераб .\1\' Наука, 1981
2 Берестецкий В. Б.. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая элек-
rРОJинамика 2.1." юд .\1\ Наука, 1980
3 Боrолюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных по-
.1еi'l -t.e изд. испр. \1\ Нау"п, 1984
-t Боrолюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые ПОЛЯ..\I\ Наука. 1980
S БьерКен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятнвистская кваитовая теорня Пер
с aHr.1 ' Под ред. В Б Берест uкоrо ,Ч. Наука, 1978 Т 1, 2.
6 Биленький С. М. ВвеJение в ;rнаrраммную техннку Фейнмана ,\1\
.-\ТО\lннат. 1971
7 Дирак П. А. М J[екuин по квантовои теории ПО.1Я: Пер с :lНr.1 По;r
ред .-\ ,\ СОКО.lОва "1 \1ир. 1971
8 Ициксон К., Зюбер Ж. Б. I\:вантовая Тf'ория ПО.1Я. Пер с aHr.1 ПОJ
ре.:! Р ."1 \I\ир КаСИVlOва Ч "lир, 1984
9 Мэтьюс П. Ре.lяр'вистс-кая квантовая теория взаИМОJействнi\ э 1е\!ен
тарных частнu Пер с аЛ.1 Ч Из;r-Е:О ШЮСТР лнт. 1959
10 Рамои П. Теория ПО.1Я Пер с аиr.l ,\1' .\1.ир, 1984. Т 1, 2
11 с.lавнов А. А, Фаддеес Л. Д Введение в квантовую теорию ка.1И6ро-
вочнЬ!'( полей .\1\ Наука. 197з
12 Фейнмаи Р. l(вgЕ!Тvвая Э.1еКТРОJннаv!Ика r!ep. С аиr.1/ По;r peJ.
В П СИЛИiJа.\I\ \I\ир, 1964
13 Швебер С. Вве;rеНИе в ре,lЯТИВИСТСКУЮ квантовую теорию ПО.1Я Пер
с 3Hr.1 \1 Из;r-во аностр .1I1Т, 1963
14 У",эдзава Х. Квантовая те,)рия ,10.151 Пер с aHr.l ПОJ peJ.. -\ .-\ Со-
КО.1Ова \1\ Изд во иностr .1111' 1958
15 Lurie О. Particles unct Fie 1 rJ5 '\i У. J W \Vi!lev and Sons. 1968
16 Ryder L. Н. QuапtuП1 iie1d theory Carnbridge Uni"ersitv Press. 1985
По физике электрослабоrо взаимодействия
1 Ахиезер А. И., Рекало М. П. Электродинамика З.lронов Киев: Наукова
;r\'\fK3. 1977
. 2 Бернщтейи Дж. Э.lе\fентарные частнuы и их токи' Пер с 3Hr.1 I ПОJ.
ре;! Я А Сo,r0РОДlIнскоrо .\1\. ."lир. 1970
3 Биленький С. М. Лекции по физике нейтринных н .lеПТОН.НУК.l0НИЫХ
проuессов Ч Энерrоиз;rат. 1981
4 Ву Ц. С., Мощковский С. А. Бета-распад. Пер с aHr.l М Атоvшздат.
1970
5 rазиорович С. ФПЗllка э.lементарных частнц Пер с aHr.l.,' Под ре.:!
А. ,] Суханова. ,\1\ Наука. 1969
323
6. Исаев П. С. Кваtfтовая ЭЛектродинамика в об.lасти высоких энерrий.
М.: Энерrоатомиздат, 1984.
7. I(лоуз Ф. Кварки и партоны. Введение в теорию: Пер. с aHrol.j Под
ред. Н. Н. Николаева: М. Мир. 1982.
8. ЛИ Ц., Ву Ц. С. Слабые взаимодеЙствия: Пер. С aHr.1.j Под ред.
Б. П. Иоффе. М.: Мир, 1968.
9. Окунь Л. Б. Пептоны и кварки. М..: Наука, 1981.
10. Тэйлор Дж, Кадибровочные теории слабых взаимодействий: Пер.
с анrл.j Под ред. [. В. Ефимова. М.: Мнр, 1978.
11. Фейнмаи Р. Взаимодействие фотонов с адронами: Пер. с анrл.j Под
ред. В. М. Шехтера. М.: Мир, 1975.
12. Челлен r. Физика элементарных частиц: Пер. с aHr.l.j Под ред.
Р. М. Рынд ина. М.: Наука. 1966.
13. Marshak R. Е., Riazuddin, Ryan С. Р. ТЬеоту о! weak interactions in
particle Physics. N. У.: John Willey and Sons, 1968.
14. Fifty Years о! Weak InteractioI1 Physicsj Ed. Ьу А. Bertin. R. А. Ric.
Cl, А. Vita!e. Ita1ian Physica! Society, Bologna, Italy, 1984.
15. ВаШп О. Weak Interaction . Sussex Universitv Press, 1977.
16. I(омминс Ю., Буксбаум Ф. с.lабые взаимодеЙствия .1ептонов и квар.
ков: Пер. с анrл. М.: Эl1ерrоатомиздат, 1987.
оrЛАВЛЕНИЕ
Предис.10вие 3
r л а в а 1. S матрица в представлении взаимодействия 6
r л а в а 2. Лаrранжев формализм 14
2.1. Принцип наименьшеrо действия. Уравнения движення полей 14
2.2. Трансляционная инвариантность. Сохранение импульса н энерrин 19
2.3. Инвариантность относите.1ЬНО вращений. Сохранение момента
КО.1ичества движения . 22
2.4. Инвариантность относительно r J10бальных калибровочных пре
образований. Сохранение заряда . 24
2.5. Связь законов сохранения с снмметриямн. Теорема Нётер 26
r .1 а в а 3. Кваитованные поля 27
3.1. Эрмитово скалярное (псев;:rоскалярное) поле 27
3.2. Квантование полей !! инвариантность относительно непрерыв,
ных преобразований 36
3.3. Неэрмитово ска.1ярное (псевдоскалярное) поле 38
3.4. Спинорное поле . 46
3.5. Электромаrннтное поле 55
3.6. Квантованное векторное поле . 65
r .1 а в а 4. Лаrраижиаиы взаимодействия 69
4.1. ЛокаJ1ьная калибровочная инвариантность. Электромаrнитиое
взаимодействие . 69
4.2. Лаrранжиан единой теории слабоrо и электромаrннтиоrо взаи.
модействий . 72
4.2.1. Феноменолоrнческая V А,теория слабоrо взанмодействпя 72
4.2.2. Калибровочиая инвариантность Янrа Миллса 79
4.2.3. Хнrrсовский механизм rенерацин масс частиц 84
4.2.4. Теория r лэшоу Вайнберrа Салама 88
r .1 а в а 5. Разложеиие хроиолоrических произведений операторов по-
ля по иормальиым произведеииям. Теорема Вика 107
5.1. Теорема ВИКа для произведения двух операторов поля. 107
5.2. Пропаrаторы скаляриоrо, спинорноrо н BeKTopHoro полей 112
5.3. Теорема Вика . 118
r J1 а в а 6. Диаrраммы Фейнмаиа 124
6.1. Процесс '(+e ......y+e (эффект Комптона) 124
6.2. Процесс e +e+......y+y 132
6.3. Процесс '(+y.......e +e+ 135
6.4. Процесс '(+е+......у-+-е+ . 137
325
6.5 Процесс e +e --+e +e .
66 Процесс е+ +e --+e++e .
6.7 Процесс e++:.::-.......!l "+!l
68 Процессы \1;1 (\1;1) + e ..... \1;1 (\1;1) + e .
6У. Процессы Ve(V:,)+e """Ve(Ve)+e , eT e """ve+ve
6 10. Зак.1ючение (правила Фейнмана)
r .1 а в а 7 МетодЫ вычислеиия измеряемых на опыте величин
7 1 Сечение процесса. Вероятность распада
72 Сечение рождения нестабильной частицы
7 3 Шпуры произведений Ylатрнц V
7 -l Полезные соотношения между прямыми произве;.tениямн мат.
риц у. .
75 Методы ВЫЧНС.1ения интеrрадов по фазовому пространству
r .1 а в а 8. Распады частиц
8 1. Введение. Представление rейзенберrа
82 Распад ;т,Т......i vс .
83 Распад KT......;-t°...Li++vс
8 -l Распад ;т, .......:tО еТ vе Сохранение BeKTopHoro тока
85. Распад п......p e Tv;,. Частичное сохранение аксиа.1ьноrо тока
r .1 а в а 9 Процессы на встречных ет е пучках .
9 1. Процесс e e ......eT..t..e (с учетом ВК.1ада нейтра.1ьноrо тока)
92 Процесс eT e """l1+T!l ;снмметрия вперед назад
r .1 а в а 10. Нейтриниые процессы
101. r.lубоконеупруrие процессы \1;1 ('1;1) V......!-1 (Lt ) +Х (фено
\!ено.lOrия)
1 02 Процессы \111 ( :) + N ..... !-1 (f.L )...!-Х (партонное приб.lиженне)
1 03 Процессы"'u ( ) + v ..... u ( IJ.1) + .'(
10-" Процессы \'!('\'I)+e......v!('\'I) e
При.10жение А Система еДИНИЦ Ii c 1
ПРИ.10жение Б Метрика.
При.l0жение В Уравнение Дирака.
В 1 Свободное уравненне Дирака. Перестановочные соотношення
Д.1Я ',Iатриц Дирака .
В 2. Инвариантность относите.1ЬНО преобразовання Лоренца
В 3. Би.1Инейные коварианты фа QI Фь .
В -l Чис.lО КОYlпонент дираковскоrо спинора. Представдение Днра-
ка Пау.1И J:.1Я \/атриц ak и В ..
в 5. Решение свободноrо уравнения Дирака. Т i::р:.lИровка спиноров
В 6_ Оператор спина Состояния с опреде.'lенной проекцией спина
В 7 Инварнантность уравнения Дирака относите.1ЬНО ннверсии
В 8 Заря;.tовое сопряжение дираковских спиноров
В 9 Инвариантность уравнения Дирака относительно обращения
вре',lени .. .
При.10жение r Преобразование Фирца .
При.lОжение 11 Спиновая матрица плотности.
При.lОжение Е Матрица Кобаяwи Маскава
При.lОжение Ж Квазиупруrий процесс \1,... +п......!I +p (слабые формфак-
торы нуклона) .
Рекомендуемая .1Нтература .
140
143
145
150
152
156
159
159
163
167
170
173
181
181
185
190
200
207
212
212
220
225
22i:>
235
25'1
265
273
275
277
277
280
282
284
287
290
296
298
300
301
303
313
316
323
Научное I1здаНl1е
БИЛЕНЬКИИ САМО ИЛ МИХЕЛЕВИЧ
ВВЕДЕНИЕ В ДИАrРАММЫ ФЕFlНМАНА И ФИЗИКУ
ЭЛЕКТРОСЛАБоrо В3АИМОДЕFlСТВИЯ
Редактор В. Н. Безрукова
ХУДОЖНI1К переплета В. Ф. rpOM08
Художественнын редактор Б. Н. ТУМНН
ТеХНl1чеСКI1Н редактор r. В. Преображеиска.
Корректор З. Б. Apaн08cKd
ИБ N2 1548
Сдано в набор 27.10.89 Подписано в печать 05.04.90 Т -06538
Формат БОХ88"I. 5YMara офсетная Х. 2 [арнвтура литературная
Печать высокая Уел. печ. л. 20.09 Уел кр.-отт.20.09 Уч. изд. л 20,57
Тнраж 2400 экз Заказ 6910 Цена 4 р. 40 к .
ЭнерrоаТОlIIIЗдат. 113114 Москва, М-Н", Шлюзqвая наб., 10
Ордена Оnябрьской РевOJlюцнн н ордена Трудовоrо Kpacвoro Зна-
мени МПО «Первая Образцовая типоrрафня» rосударственноrо коми-
тета СССР по печатн. 113054, Москва, Валовая, 28.