Введение в диаграммную технику Фейнмана - Биленький С.М.

Author: Биленький С.М.
Tags: физика
Year: 1971
Similar
Термодинамика и статистическая физика. Т.4
Полевые методы теории многих частиц
Теоретический практикум по ядерной и атомной физике
Физика элементарных частиц
Text
                    С. М. БИЛЕНЬКИЙ
Введение
в диаграммную
технику
Фейнмана
МОСКВА-АТОМИЗДАТ- 1971
УДК 530.145:538.3
С. М. Биленький. Введение в диаграм-
мную технику Фейнмана. М., Атом изд ат, 1971.
Цель книги 'состоит в том, чтобы по воз-
можности наиболее, экономным способом изло-
жить: 1) основные принципы квантования по-
лей; 2) методы построения матричных элементов
процессов (диаграммы Фейнмана); 3) методы вы-
числения сечений процессов и вероятностей
распадов.
Все приведенные примеры относятся к фи-
зике элементарных частиц. Подробно рассмот-
рены некоторые процессы со слабым, электро-
магнитным и сильным взаимодействиями.
Книга рассчитана на экспериментаторов,
занимающихся физикой высоких энергий,' и
студентов-физиков старших курсов.
Рисунков 25, библиография из 27 названий.
2-3-2
5—71
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе лекций, прочитанных физикам-
экспериментаторам Объединенного института ядерных исследований
и студентам филиала МГУ в Дубне. Стиль лекций по возможности
сохранен, и с этим связаны встречающиеся в тексте повторения.
В книге излагаются диаграммная техника Фейнмана и методы
вычисления измеряемых на опыте величин (сечений, поляризаций).
Она предназначается в основном для физиков-экспериментаторов.
Автор надеется, что книга будет также полезна студентам старших
курсов, специализирующимся в области физики элементарных
частиц.
Графический метод представления ряда теории возмущений (диа-
граммы Фейнмана), возникший в начале пятидесятых годов, ока-
зался чрезвычайно плодотворным и прочно вошел во все области фи-
зики. Значение этого метода выходит далеко за рамки теории возму-
щений.
В настоящее время диаграммы Фейнмана стали широко распро-
страненным языком, который необходимо понимать не только физи-
кам-теоретикам, но и физикам-экспериментаторам. Диаграммы Фейн-
мана весьма наглядны и правила их построения просты. Однако дл’я
сознательного использования метода диаграмм Фейнмана представ-
ляется необходимым пройти путь введения квантованных полей,
5-матрицы, хронологических и нормальных произведений.
Основная цель, которую ставил перед собой автор, состояла в том,
чтобы по возможности наиболее экономным способом изложить все
эти вопросы. При этом доказательства упрощались и соблюдался
лишь необходимый для понимания минимум строгости.
На примере самых различных процессов с участием как частиц,
так и античастиц, тождественных частиц и т. д. автор стремился из-
ложить методы вычисления (по теории возмущений) матричных элеме-
ментов процессов и основные правила построения диаграмм Фейн-
мана.
Наконец, автор стремился подробно изложить методы вычисле-
ния измеряемых на опыте величин. Техника вычисления сечений
и поляризаций иллюстрируется на целом ряде процессов, каждый
из которых рассмотрен с достаточной полнотой. Детали вычислений
легко могут быть прослежены читателем.
3
Рассмотренные здесь примеры относятся к физике элементар-
ных частиц и охватывают широкий круг процессов со слабым, элек-
тромагнитным и сильным взаимодействиями.
Наиболее подробно рассмотрены процессы с участием лептонов
и адронов (vu -|- п р.-+ р, е + р-^-е + р и др.). Весьма детально
обсуждаются электромагнитные и слабые форм-факторы нуклонов.
Автор, однако, не претендует на сколько-нибудь последовательное
изложение современной теории слабых и электромагнитных взаи-
модействий.
Целый ряд важных для физики элементарных частиц проблем в
этой книге не рассматривается. Здесь не обсуждаются аналитичес-
кие свойства матричных элементов (дисперсионные соотношения),
высшие порядки теории возмущений и теория перенормировок и
многое другое. Изложение всех этих вопросов можно найти в кни-
гах по квантовой теории поля и физике элементарных частиц, спи-
сок которых приведен в конце книги. В этих книгах можно найти
также ссылки на оригинальную литературу.
В заключение считаю своим приятным долгом поблагодарить
Я. А. Смородинского за полезные обсуждения рассмотренных в
книге вопросов, а также Д. Факирова, Н. М. Шумейко и особен-
но Л. Л. Неменова, прочитавших рукопись и сделавших ряд суще-
ственных замечаний.
ВВЕДЕНИЕ
Прежде чем перейти к изложению вопросов теории поля, введем
общепринятую в релятивистской квантовой теории систему единиц-,
в которой постоянная Планка Й и скорость света с равны единице.
Рассмотрим связь этой системы с системой СГС. В системе СГС Й
и с равны соответственно
сек
, . см
с=--(с) —
сек
где (Й) ~ 1,05-10—27 и (с)»3-1010—значения постоянной Планка
и скорости света в системе СГС. Выберем единицы времени и массы
так, чтобы в новой системе единиц численные значения постоянной
Планка Й и скорости света с равнялись единице. Если в качестве
единицы времени и единицы массы выбрать
, сек	(Л)
t0 — —. та = — - г,
° (с) .	° (с)
то очевидно, что в этих единицах
, т0-см2 , см
1 —------, с = 1 — .
to	to
Легко получить соотношения, связывающие значения физичес-
ких величин в системе СГС и рассматриваемой системе единиц. Обоз-
начим т — массу, Е — энергию, ар — импульс. Тогда
т = (т) г = (т)	т0 = (m)'m0,
О)
Р (г-см2	(Е") то-см2
сек2 (й) (с)
, хг-см . . 1 то-см
Р = (р)----= (Р)Т^
сек (й)
__ /Г\1 т0-СМ2
‘0
to

to
Здесь (m), (Е) и (р)— значения т,Е и р в системе СГС, а (/и)', (Е)' и
(р)' — значения соответствующих величин в системе Й = с = 1. Та-
5
ким образом, находим
от'-от^--
Аналогично нетрудно получить соотношения, связывающие значе-
ния любых физических величин в системе СГС и в системе, в которой
П = с = 1.
Во все соотношения между физическими величинами в рассмат-
риваемых единицах не входят размерные постоянные Й и с (напри-
мер, релятивистское соотношение между энергией и импульсом при-
нимает в этих единицах вид Е2 = т2 + р2). Это эквивалентно тому,
что в системе, где Й = с= 1, TL~[ = 1 и ML2T~l = 1 и, следователь-
но, размерности всех величин выражаются через L. Очевидно, что
масса имеет размерность М = L~2T = L~l, энергия — размерность
L-1, момент количества движения — безразмерная величина, им-
пульс имеет размерность MLT-1 = L~l и т. д.
Отметим, что 4-векторы мы будем всегда записывать в виде
А = (A, i’A0). Квадрат 4-вектора (скаляр) равен А2 = А2 +	=
= А2 — Al
ГЛАВА |
5-матрица
§ 1. Представление взаимодействия. S-матрица
Квантовая теория поля описывает такие процессы взаимодейст-
вия частиц, в которых число частиц может не сохраняться. Мы нач-
нем с введения S-матрицы, матричные элементы которой дают ам-
плитуды вероятности соответствующих переходов.
Основной постулат квантовой теории поля состоит в том, что
уравнением движения является уравнение Шредингера
= (1.1)
Здесь Y(/) — волновая функция, описывающая систему в момент
времени t, а Н — полный гамильтониан системы.. Если система зам-
кнута, гамильтониан Н не зависит от времени. Далее постулируется,
что физическим величинам в квантовой теории поля, как и в обыч-
ной квантовой механике, отвечают операторы, а средние значения
операторов
<0> = (Т+0¥)	(1.2)
являются наблюдаемыми величинами. В (1.2) О — оператор, отве-
чающий некоторой физической величине, а Ч'' — волновая функция,
описывающая состояние.
Пусть V — произвольный унитарный оператор:
У+К=1.	(1.3)
Тогда очевидно, что
<О> = (ЧГ'+О'Т'),	(1.4)
где* * T' = VT, T'+ = W+V+, O' = VOV+. (1.5)
* Мы пользуемся матричной формой записи операторов и функций. В
компонентах уравнение (1.1) записывается следующим образом:
а'
Среднее значение оператора О, по определению, равно <О> =
* ^<х*<х
а'.а
В матричном виде это выражение может быть записано в форме (1.2). Оче-
видно, что V = S т;,=	(V+)a.a = (4T+v+)a.
a'	a'
7
Соотношения (1.4) и (1.5) означают, что среднее значение оператора
не изменится, если вместо волновой функции Т для описания систе-
мы используется волновая функция Т' = VT, а физической вели-
чине вместо оператора О отвечает оператор О' = VOV+- Иначе го-
воря, средние значения операторов (величины, измеряемые на опы-
те) инвариантны относительно унитарных преобразований (1.5).
Унитарный оператор V можно выбрать так, чтобы новые волно-
вые функции менялись со временем только в случае, когда есть взаи-
модействие. Действительно, V — произвольный унитарный опера-
тор. Он может зависеть и от времени. Обозначим такой оператор
7(/), а новые функции и операторы — следующим образом:
Ф (0 = V(04r(0. O(t) = V(t)OV+(t).	(1.6)
Запишем полный гамильтониан Н в виде
H = H0+Hh	(1.7)
где Но—свободный гамильтониан, а Н[—гамильтониан взаимодей-
ствия. Подставляя ¥ (t)=V+ (f) Ф (t) в уравнение движения (1.1),
получаем
°(O+iv+(O^o = (яо+я,)у+(ОФ(О>	(1 8)
Ot	ot
Выберем теперь унитарный оператор V (f) так, чтобы
i^^=/70V+(/).	(1.9)
Умножая (1.8) на V (f) и учитывая (1.9), получаем уравнение
1-^1==Я/(Оф(О>	(1>10)
где	=	(1.11)
Переход от описания системы волновыми функциями Ч^/), ко-
торые подчиняются уравнению Шредингера (1.1), к описанию функ-
циями Ф(/) = 7(/)Чг(/), где 7(/) — унитарный оператор, удовлет-
воряющий уравнению (1.9), называется переходом от представления
Шрёдингера к представлению Дирака (представление взаимодейст-
вия). Волновая функция системы в представлении взаимодействия,
как видно из уравнения (1.10), зависит от времени только в том слу-
чае, когда есть взаимодействие. Представление взаимодействия ши-
роко используется в квантовой теории поля, и в дальнейшем мы, как
правило, будем работать в этом представлении. Отметим, что общим
решением уравнения (1.9) является
=	(1.12)
где V+ (tj) V (tj) = 1. Если предположить, что в момент времени tr
оба представления совпадают, то V (£ г) = 1 и
У+(/) = е~‘н°	(1.13)
8
Как видно из (1.6), операторы в представлении взаимодействия
зависят в общем случае от времени. Дифференцируя 0(f) по t и ис-
пользуя уравнение
-i'-^=V(№,	(1.14)
ot
получающееся из (1.9) эрмитовым сопряжением, находим
id-^=~V^H0OV+(t)+V(t)OH0V+(t)^[O(i), H0(t)]. (1.15)
ot
Мы предполагали при этом, что оператор О в исходном представ-
лении Шредингера не зависит от времени. Соотношение (1.15) опре-
деляет зависимость от времени операторов в представлении взаимо-
действия. Из (1.15) очевидно, что свободный гамильтониан в этом
представлении не зависит от времени, т. е. H0(f) = Но.
Найдем теперь общее решение уравнения движения (1.10). Для
этого рассмотрим эквивалентное ему интегральное уравнение
t
Ф(0=Ф(и + (-0 $ ^Я/^Ф^),	(1.16)
где Ф(/о) — волновая функция системы в начальный момент вре-
мени t0. Начальная волновая функция должна быть задана. Наша
задача состоит в том, чтобы найти волновую функцию системы в лю-
бой последующий момент времени t. Подставляя под знак интегра-
ла в правой части (1.16) вместо Ф(^) сумму
Ф^о) + (-0$^аЯ/(/2)Ф(^),
ta
получаем
t
Ф(0=Ф(и+(-0 $ dt1HI(t^(t0)+
/о
t	G
+ (-02 $ dt^Hiih) $ dt.H^t^^).	(1.17)
^0	t0
Последовательно продолжая эту процедуру, находим
ti
t	t
Ф(0 = l + (-i) $	+	dt2H1(ti)+ ... +
_	io	io	io
i	I,	‘n-l	T
+ (-i)n\dt1HI(t1)^dt2Hl(ti)... $ dinHI(tn)+ ... Ф(/о). (1.18)
t, ,	t.	.	.
t.
9
Таким образом, общее решение уравнения движения (1-Ю) полу-
чено в виде ряда по степеням гамильтониана взаимодействия. Мы
ие будем обсуждать вопросы сходимости этого ряда и возможность
его суммирования. Отметим только, что в случае, когда взаимодей-
ствие характеризуется малой константой, уже первые несколько
членов ряда (1.18) могут давать решение с достаточно хорошей точ-
ностью. Это имеет место в случае электромагнитного взаимодействия
вследствие малости постоянной тонкой структурна =е2/4л « 1/137.
Запишем найденное решение (1.18) в виде
ф (/) = {/(/,/0)Ф(/0),	(1.19)
где оператор U (/, Q равен
U (Мо) = 2	dt2H/(t2)... $ dtnHitfn). (1.20)
n=0	t„	t„	t.
Итак, решение уравнения движения в момент времени t может быть
получено, если на волновую функцию, заданную в начальный момент
времени /0, подействовать оператором U(t, t0), определяемым га-
мильтонианом взаимодействия.
Нетрудно видеть, что U(t, t0) является унитарным оператором.
Действительно, из (1.10) н (1.19) следует, что оператор {/(/, /0) удов-
летворяет уравнению
0-21)
Отсюда с помощью эрмитова сопряжения имеем (Hi — эрмитов
оператор)
-i	=	(1.22)
Умножим (1.21) слева на U+(t, t0), а (1.22) справа на U(t,t0)
и вычтем из первого соотношения второе. Получим
U) = 0.	(1.23)
Таким образом, оператор U+(t,	t0) не зависит от t. Оче-
видно, что
U(t0, Q-1.	(1.24)
Из (1.23) и (1.24) заключаем, что
U+(t,t0)U(t, U-1.	(1.25)
Запишем члены ряда (1.20) в более удобном виде. Рассмотрим
вначале третий член ряда. Интегрирование выражения Я/(/1)Я/(/2)
ведется по области, заштрихованной на рис. 1. Вначале интегри-
ю
рование производится по /2 от t0 до £х, а затем по fx от /0 до t.
Проинтегрируем	по той же области, но вначале по
(от t2 до 0» а затем по t2 (от t0 до t). Предполагая, что зна-
чение интеграла не зависит от порядка интегрирования, находим
i /,	t t
$ dtt $ dttHdtJHdtJ = $ dt2 $ Л1Я/(^1)Я/(/1) =
^0	^9	t i
t t
^dt^d^HitQHittJ.	(1.26)
t, ti
Последнее равенство получено путем переобозначения переменных
интегрирования	Таким образом, имеем
t t,
$ dtx $
t	ti	t
=4- S dti Sdt* w H> w + Sdt* Hi w Ht (^)
1 t.	Lt,	tt
(1.27)
Это выражение может быть записано более компактно. Для этого
введем хронологический оператор Дайсона Р:
.	ч f HittJHiiQ, tr>t2,
(1.28)
Оператор Р, действуя на произведение зависящих от времени
операторов, расставляет их так, чтобы временной аргумент убывал
11
слева направо. Из (1.27) и (1.28) получаем
и ti	t t
dit $	=4- $ dtt $ di^Hi^H^)). (1.29)
to te	2 t, to
Докажем, что в общем случае
t	ti	6l-l
$ dtr $ dt2 ... $ dtnHi(ti)Hi(t2) ... Hi(tn) =
to	to	tО
t	t	t
= — $ dtt $ dt2 $ din P (Я/ (tJHi (t2) ... Hi (tn)),	(1.30)
rtl to	to	to
где хронологический оператор Дайсона Р в случае п множителей
определен так, что
P^t^HikQ ... Hi(tn)) =
=	... Hj(in) при tt>t2> ... >tn. (1.31)
Доказательство проведем по индукции. Пусть соотношение
(1.30) справедливо для п множителей. Рассмотрим выражение
t г G	1
/(0=4 df dt^ dt2 ... dtnHi(t'}Hi(tJ)Hi(t^ ...
to	to	to	to
t	t	t	t
-TT-^ S dt' S dti S dt*	... H,(tn)).
<rt+1>1 to	to	to	to	(1.32)
Дифференцируя I (/) no t, находим
dl(t)
dt
= Hi(t) J dtr $ dt2 ... $ dtnHdtJHittJ ... Hj(tn)-
_ to to	to
tit
—!- $ dti $ dt2 ..A d/nP(/O(0)#/(4) ... ///(Q)
nl у У У
*0	*0	*0
(1.33)
При получении (1.33) было использовано соотношение
Р (Н, (0) Hi (/2)... Я, (6) И, (/) Ht (h +1)... Hi (/„)) =
= И, (0 P (Hi (0) Hi (Q ...Hi (tn)},	(1.34)
справедливость которого при произвольном п очевидна (4 t,
t2 /,...). Если верно соотношение (1.30), то правая часть (1.33)
равна нулю, т. е. / не зависит от времени. Поскольку /(/0) = 0, это
означает, что 1(1) = 0 при любом t. Таким образом, из справедли-
вости соотношения (1.30) для случая п множителей следует его спра-
ведливость для п + 1 множителя. Поскольку мы показали, что соот-
ношение (1.30) верно при п = 2, оно доказано тем самым в общем
случае. Следовательно, оператор U(t, /0) может быть записан в виде
12
oo	t	i	t
U(t,t0) = 2	- Ш. (1.35)
n = 0	t„	t0	to
Теперь сформулируем постановку основной задачи — задачи о
столкновении частиц. Предположим, что начальная функция задана
при /0 -»--оо и нас интересует состояние, в котором окажется
система при /-> оо. Из (1.19) получаем
’ Ф (оо) = U (оо, —оо) Ф (—оо).	(1.36)
Обозначим
[/(оо, — oo) = S.	(1.37)
Этот оператор носит название S-матрицы.
Итак, оператор S, действуя на начальную волновую функцию
системы, заданную в бесконечно удаленном прошлом (/ —>—оо),
дает функцию системы в бесконечно удаленном будущем (^-> оо).
Имеем
ОО	ОО	ОО	00
5 = 2 (-=Г f dtr	f dt2... f	... Я,(/п)).	(1.38)
fll
n = 0	—oo	—oo	—oo
Из (1.25) и (1.37) следует, что S-матрица унитарна, т. е.
S+S=l.	(1.39)
Пусть Фт—некоторая полная ортонормированная система
функций. Разлагая Ф(оо) по функциям Фт, получаем
ф (оо) = 2 Фт(Фт5Ф (-00)).	(1.40)
т
Предположим, что в начальный момент времени система находи-
лась в состоянии Фп, т. е. Ф(—оо)--=Фп. Тогда
Фп(оо) = 2Фт(ф+5Ф„).	(1.41)
т
Матричный элемент (Ф„ 5Ф„) = Sm- п представляет собой, та-
ким образом, амплитуду вероятности перехода из состояния Фп'
в состояние Фт. В задачах о столкновении частиц в качестве
полной системы функций Фт выбирается система функций,
описывающих свободные частицы с определенными импульсами.
При этом в общем случае частицы в начальном и конечном со-
стояниях могут быть разными. Кроме того, в процессе столкновения
могут образовываться новые частицы. Такого рода процессы опи-
сываются квантовой теорией поля. В дальнейшем мы кратко изло-
жим математический аппарат квантовой теории поля и: 1) по-
строим функции, описывающие свободные частицы с определенны-
ми импульсами; 2) научимся вычислять (по теории возмущений)
матричные элементы перехода между такими состояниями; 3) под-
робно рассмотрим технику вычисления вероятностей переходов.
13
ГЛАВА II
Классические поля
§ 2. Уравнения движения
Классическая система N точек описывается 3N функциями вре-
мени q{ (/) (i = 1, .... N), которые подчиняются уравнениям Нью-
тона:
= —(2.1)
Здесь mi — масса i-й частицы, а V — потенциальная энергия.
Как известно, уравнения движения (2.1) могут быть получены
из вариационного принципа. Напомним его формулировку. Для
простоты ограничимся случаем одномерного движения. Определим,
действие
&=^L(q, q)dt,	(2.2)
*0
где функция Лагранжа L (q, q) равна
L(q,q)=^—V(q).	(2.3>
Очевидно, что значение действия д> определяется функцией <?(/) на
отрезке от /0ДО t-SSP является функционалом q{f\). Рассмотрим наря-
ду с q(f) функцию
<7'(0 = <7(0+М),	(2.4>
где 8q(t)—бесконечно малая. Будем считать, что
6g(Q = 6<7a1) = O.	(2.5)
Приращение действия при переходе от q(t) к q' (/) (вариация
действия) с точностью до бесконечно малых первого порядка
равно
di
t. G — f J \ dq dt dq ;	\6qdt.	(2.6)
14
При получений (2.6) мы воспользовались тем, что 8q = q' — q —
произвели интегрирование по частям и учли (2.5). Потребуем
обращения в нуль вариации действия (2.6). Так как 8q(t) произволь-
на, то из (2.6) находим
dL
dq dt dq
(2.7}
Дифференцируя функцию Лагранжа (2.3) no q и q, получаем из (2.7)
tnq
dV
dq ’
т. е. (2.7) представляет собой уравнение движения. Таким образом»
функция q(f), являющаяся решением уравнения движения, отве-
чает экстремуму действия [при условии (2.5)]. Отметим, что с по-
мощью функции Лагранжа могут быть получены также энергия и
импульс частицы:
„ mq* . ,, dL •	.	• dL
H = ~ -I- V = -.q—L,	p = mq=r. (2.8}
2	dq	dq
Перейдем теперь к рассмотрению классических полей. Хорошо
известный пример — электромагнитное поле, которое описывается
потенциалом А^(х, t) (А — векторный, Ао = —г'Л4 — скалярный
потенциалы). Это означает, что электромагнитное поле описывается
бесконечным числом функций времени (значения потенциала во
всех точках пространства), т. е. электромагнитное поле является
системой с бесконечным числом степеней свободы. Уравнения поля
(уравнения Максвелла) могут быть получены из вариационного
принципа, который является общим принципом, применимым к лю-
бым физическим системам.
Наряду с электромагнитным мы будем рассматривать и другие
поля. Обозначим функции, описывающие некоторое поле, фа(х), где
индекс а принимает целочисленные значения, а х = (х, ixo),xo = t~
Запишем лагранжиан поля в следующем виде:
L=	dx.	(2.9}
J \ dx )
Здесь Z ^ф,	— лагранжиан единицы объема (плотность лагран-
жиана) *. Мы предположили, что эта величина зависит лишь.
от функций фа(х) и их первых производных -------- [ср. с (2.3)].
dXVL
Определим действие
5?(ф, dx,	(2.10)
J \ dx J
* В дальнейшем эту величину будем называть лагранжианом.
15.
где dx = dxdx0, a Q—некоторый объем пространства—времени.
Вариация действия равна
Ьу = С Ж (Ф',	) dx— f ( Ф, — ) dx ~
J \ дх J J \ дх J
2	2
д
дхц
JL\^A±(JL
д —— /	I д -—
дхц/	S \ дхи
8qa\dx. (2.11)
Здесь фа(х) = фа(х) + 8фа(х), где 8фа(х)— бесконечно малая *.
Уравнения поля вытекают из вариационного принципа, согласно
которому
8.^ = 0
(2.12)
при условии, что функции 8фа обращаются в нуль на границе
области интегрирования. Используя теорему Гаусса—Остроград-
ского, находим
(2J3)
где S — поверхность рассматриваемого объема S2, a d<Jfl—4-век-
тор, направленный по внешней нормали к поверхности S. При-
равнивая нулю вариацию действия при условии, что 8фа = 0 на
поверхности 5, получаем уравнения поля
д'£____д dse
дхц д дфа
(2.14)
Отметим, что в том случае, когда имеется несколько полей,
описываемых функциями фа(х), ф^(х), ..., лагранжиан зависит
от функций фа, ф ... и их первых производных. Из вариацион-
ного принципа наряду с (2.14) получим
dse______д / д'£
дх^ / дф
I д--------
\ дхц
= 0 и т. д.
(2.15)
* В (2.11) и во всех дальнейших соотношениях по дважды повторяю-
щимся индексам подразумевается суммирование.
16
Уравнения поля должны быть инвариантны относительно
преобразований Лоренца. Это требование накладывает ограниче-
ния на возможный вид лагранжиана X. Рассмотрим однородное
преобразование Лоренца
Хц==:	Ху*	(2.16)
Здесь и х'^ — координаты одной и той же точки в двух си-
стемах отсчета, а коэффициенты удовлетворяют условиям
flgv О-цу’ ~ 6vv'>	(2.17)
вытекающим из требования
хрхр=хрхр-	(2.18)
Умножая (2.16) на agv» суммируя по ц и используя (2.17), по-
лучаем
W?	(2Л9)
Из (2.18) и (2.19) следует, что коэффициенты agv удовлетворяют
также условиям
(2-20)
В матричном виде эти соотношения могут быть записаны сле-
дующим образом:
х’=ах,	(2.16а)
aa = l,	(2.17а)
х = ах',	(2.19а)
аа~1,	(2.20а)
где значок ~ означает транспонирование. Из (2.17) нетрудно ви-
деть, что
deta = ±l.	(2.21)
Преобразование инверсии пространственных осей
х' =—х, х'=х4	(2.22)
представляет собой пример преобразования с det a = — 1.
Будем рассматривать такие функции поля, которые преобразуют-
ся при преобразовании координат (2.16) либо как тензоры, либо
как спиноры. В квантовой теории квантами таких полей являются
частицы с определенным спином и внутренней четностью. Приведем
примеры преобразования наиболее простых функций. Скалярная
ф(х), псевдоскалярная фр(х) и векторная Лц(х) функции преобра-
зуются следующим образом:
ф'(х')=ф(х),	(2.23)
фр(х') = йе1афр(х),	(2.24)
Л»(*') = %А(Х)-	(2-25)
2 Зак. 1410
В левых частях этих соотношений стоят функции, описывающие поле
в штрихованной системе отсчета. Спинорная функция преобразуется
следующим образом:
(х') = Laa' V (*)>	(*') = %’ (х) La’a (2-26)
или в матричном виде
ф'(х') = Аф (х), ф' (х') = ф (х) L~l.	(2.26а)
Здесь индексы о и о' пробегают четыре значения, ф = ф+у4, а
матрица L удовлетворяет соотношениям
=	(2-27)
(ум—эрмитовы 4 х 4-матрицы, подчиняющиеся соотношениям
антикоммутации TMTv + vvTM = 26MV).
Посмотрим теперь, каким условиям должен удовлетворять
лагранжиан поля, для того чтобы была обеспечена инвариант-
ность уравнений поля относительно преобразования Лоренца.
В интеграле (2.10) от переменной х перейдем к х' и от фа(х)
к ФЙ (х'). Получаем
.^=_р£Цф(х), *t^dx=j£'[y(x'),	(2.28)
Потребуем, чтобы
ш<х),	2*гт = <Иф,(П W)
\	дх )	\	дх’ J \	дх' I
(2.29)
Это условие означает, что лагранжианы в исходной и штрихованной
системах являются одной и той же функцией соответствующих по-
лей. Если (2.29) выполняется, то из вариационного принципа на-
ряду с уравнениями (2.14) в исходной системе получим следующие
уравнения поля в штрихованной системе отсчета:
(2.30)
Ч Ч д Ч
о--------------------—
Ч
Очевидно, что уравнения поля в штрихованной системе получаются
из-уравнений в исходной системе путем замены нештрихованных ве-
личин штрихованными, т. е. уравнения поля инвариантны относи-
тельно преобразований Лоренца.
18
Рассмотрим в качестве примера электромагнитное поле. Уравне-
ниями поля являются уравнения Максвелла
dF
-5^-^	<2'31>
где	—ток (в единицах Хевисайда), а тензор напряженности
электромагнитного поля равен
п	дАц
“ iiv — ~,
dxv
Из (2.31) с учетом дополнительного условия Лоренца
йЛ,.
—О- = О
дхи
получаем уравнение для потенциала
О Ац = — /ц ,
г-1
где □ = — .
дх$
С другой стороны, уравнениями поля являются
dSS д dSS _ п
dxv ддА^
dxv
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
Построим лагранжиан Ж так, чтобы уравнения (2.35) совпадали
с уравнениями поля (2^31). Очевидно, что производные потенциала
должны входить в лагранжиан квадратично и что ток в (2.31)
происходит от дифференцирования лагранжиана по Лд. Нетрудно
убедиться, что лагранжиан
Ж------(2.36)
4
удовлетворяет всем необходимым требованиям. Действительно,
=	=	(2.37)
dxv
и из (2.35) получаем уравнения Максвелла (2.31). Очевидно, что лаг-
ранжиан (2.36) удовлетворяет также требованиям инвариантности
относительно преобразований Лоренца.
§ 3. Сохраняющиеся величины
Мы
Фа (X),
предположили, что лагранжиан поля является функцией
<hj>„ (х)
------- и не зависит явно от х. Чтобы понять, что
2*
19
означает это предположение, рассмотрим преобразование
Хц = Хц + Пц ,
Фа(*') = Фа(Х)>
(3-1)
где — произвольный 4-вектор. Если лагранжиан не зависит явно
от х, то очевидно, что он инвариантен относительно преобразований
(3.1), т. е.
2(ф(х), ^) = ^ф'(*').	) •	<3-2)
Инвариантность лагранжиана относительно преобразований
(3.1) (трансляций) носит название трансляционной инвариантности.
Из трансляционной инвариантности следует, что 4-вектор
где
Т |XV
Рц =i jjT’judx,
dse
Я дФа дх».
3xv
55«^
(3.3)
(3.4)
не зависит от времени [интегрирование в (3.3) производится по всему
пространству]. Вектор Рц является вектором энергии — импульса.
Чтобы убедиться в том, что сохраняется, рассмотрим преоб-
разование (3.1) с бесконечно малым а. С точностью до членов пер-
вого порядка по а из (3.1) получаем
Фа(Х) = Фа(Х — а) = Фа(*) —	,	(3-5)
Запишем (3.1) и (3.5) в виде
Ф^ОО^ФаОО + б’М*)- 1
, х	(3-6)
^ = ^ + 4’	)
где	^«=-0,—,	,(з7)
бхр, —— а^
бесконечно малые] величины. Из условия трансляционной
инвариантности (3.2) с точностью до членов первого порядка
по а находим
S5?+-f|-4 = 0-	(3-8)
«55-55 ^'(х),	— % (Ф(ХМ^^-)-	(3.9)
20
Используя уравнения (2.14), получаем
<ЗЛ0>
\* Э-®Г	/
Таким образом, из инвариантности лагранжиана относительно
преобразований (3.6) находим, что
(ЗЛ1)
)
С помощью (3.11) и (3.7) получаем
dSS 3% \
(ЗЛ2)
dxv J
Отсюда следует, что
дт.,„
—^ = 0,	(3.13)
oxv
где величины определяются соотношением (3.4).
Величины Тцу преобразуются как тензор второго ранга. Этот
тензор носит название тензора энергии — импульса поля. Из (3.13)
следует, что 4-вектор Рц, определяемый соотношением (3.3), сохра-
няется. Чтобы это показать, проинтегрируем (3.13) по некоторому
объему V. Используя теорему Гаусса — Остроградского, получаем
—-Mr^dx+^-ds—O.	(3.14)
i дха	/
Здесь S — поверхность, заключающая объем V, а суммирование
по i производится от 1 до 3*. Переходя к пределу V оо и налагая
естественные граничные условия (отсутствие полей на бесконечнос-
ти), находим, что
СТц4 dx = 0,	(3.15)
Таким образом, вектор энергии — импульса Рц, определенный
соотношением (3.3), не зависит от времени. Четвертая компонента
* Греческие индексы р,м, ... пробегают, как] правило, значения 1, 2,
3, 4, а латинские i, k, ... — значения 1, 2, 3.
21
вектора энергии — импульса равна
Pt = iC( ........—x\dx = iH,	(3.16)
И j d^a dxt I
J \ dxt	/
где Н — энергия поля [ср. с выражением (2.8)1. Для плотности энер-
гии поля Ж находим
дфа dXi	(3.17)
д dxt
Покажем, что вследствие инвариантности лагранжиана относи-
тельно преобразований Лоренца сохраняется тензор момента коли-
чества движения поля. Будем рассматривать такие преобразования
Лоренца, которые отличаются от тождественного преобразования на
бесконечно малую величину. Коэффициенты преобразования арр
в (2.16) могут быть представлены в этом случае в виде
йцр = 6gpSp.p,	(3.18)
где параметры ew—бесконечно малые величины. Из условий
(2.20) с точностью до величин первого порядка по е получаем
ерр ~ ерц-	(3.19)
Преобразование Лоренца (2.16) может быть записано в виде
= +	(3-2°)
где
6-Хр, == бцр Хр .	(3.21)
Функции, описывающие поле, преобразуются при преобразо-
вании Лоренца (3.20) следующим образом:
ч>; м - («.в + у 4S % «,	(3.22)
где вследствие (3.19)
25 = ~25-	<3-23>
Матрицы-^- 2рр представляют собой коэффициенты разложения мат-
риц a, L и т. д. [ см. (2.25) и (2.26)1 по ецр. Ясно, что для скалярного
и псевдоскалярного полей матрицу 2>р следует положить равной
нулю. Из (3.22) с точностью до величин первого порядка по 8 находим
'fa W = % W + б% М’	(3‘24)
где
<3-25)
22
Очевидно, что из (2.29) — условия инвариантности лагранжиа-
на относительно преобразований Лоренца — вытекает соотношение
(3.8), в котором 8х и Sip даются соотношениями (3.21) и (3.25).
Имеем
х„+Т„ +
д dxv	\
+  д^Т	еио-	(3.26)
dx|>a ар ТР I 2	4	'
а &xv	/
Здесь	—тензор энергии—импульса. Тензор момента количест-
ва движения определяется следующим образом:
mpp; v = Хц Тpv—-----------------(3.27)
_ ^та
Отметим, что этот тензор антисимметричен относительно пере-
становки индексов р и р:
^рр; v = Щрц; v •	(3.28)
д^х /
Из (3.8), (3.10) и (3.26), учитывая, что ----— = 0, получаем
dxv
дт,,„. ,,
—!^- = 0.	(3.29)
Отсюда, аналогично (3.14) и (3.15), находим, что тензор
Мрр = I 5 fflpp; 4 d X	(3.30)
не зависит от времени. Пространственные компоненты этого тензора
представляют собой компоненты момента количества движения поля
(М12 — проекция момента на ось Зит. д.). Отметим, что
ЬЦр = 1^(ХрТр4 — ХрТр4)(1х	(3.31)
является орбитальным моментом количества движения, а член
s"=1' X"v'x	<3-32»
J dXt
связан с наличием дискретных индексов у функций, описывающих
поле, и в квантовой теории поля отвечает вкладу спинов частиц в пол-
ный момент.
23
В заключение рассмотрим калибровочные преобразования и со-
храняющиеся величины, связанные с инвариантностью лагранжиа-
на относительно этих преобразований. Функции, описывающие по-
ля, могут быть как действительными, так и комплексными. Если
функции фа(х), где а = 1, ...,«, — комплексные, то поле описывает-
ся 2п действительными функциями — действительными и мнимыми
частями функций фа(х). Очевидно, что действительные и мнимые час-
ти функции фа(х) выражаются через фо(х) и фа(-г)- Функции фо(х)
и фа(х) мы выберем в качестве независимых динамических перемен-
ных, т. е. будем предполагать, что лагранжиан зависит от фа(х),
фа(х) и их первых производных по хц. В этом случае из вариацион-
ного принципа наряду с уравнениями поля (2.14) получим уравне-
ния
дХ д дХ
(3.33)
Очевидно, также, что для тензора энергии — импульса получим сле-
дующее выражение:
_	<Эфа
2 UV —	' -----
3 3xv
35? Зф„
—-т-------26^.	(3.34)
Отметим, что лагранжиан поля обязан быть вещественным. При
этом будут вещественными энергия, импульс и другие физические
величины, характеризующие поле.
Рассмотрим преобразования
Фа (х) = фа (х) е‘еХ,
U)e"iex.
(3.35)
Здесь е — вещественное число, которое может быть различным для
разных полей, а х — произвольный вещественный параметр, оди-
наковый для всех полей, входящих в рассматриваемую систему.
Преобразования (3.35) носят название калибровочных преобразо-
ваний. Будем предполагать, что лагранжиан поля инвариантен от-
носительно калибровочных преобразований (3.35), т. е.
я(ф,	=	<3-36)
Рассмотрим калибровочные преобразования (3.35), считая пара-
метр х бесконечно малым. С точностью до членов первого порядка
по х получаем
фа=фа +6фа,
’I’a' ^^а+^а’
(3.37)
24
где
6% =	,
6%= — iQ%-
(3.38)
Из инвариантности лагранжиана относительно преобразований
(3.37), используя уравнения поля (2.14) и (3.33), находим
62 = -^-/—61К + —(3.39)
“ I д	а /
\	дх^ /
С помощью (3.38) и (3.39) находим, (% не зависит от х), что
4-вектор
/и = — te
dSe
Sib*
д____1“
дхц
(3.40
удовлетворяет уравнению непрерывности
-A-«0.
дхи
(3-41)
Вектор /м, удовлетворяющий вследствие калибровочной инвариант-
ности уравнению (3.41), является 4-вектором тока. Его четвертая
компонента равна
k = ip,	(3.42)
где р—плотность заряда. Из (3.41) следует, что заряд поля
Q = —iiiidx	(3.43)
(интегрирование производится по всему пространству) — сохраняю-
щаяся величина. Квантами комплексного поля, как мы увидим ниже,
являются частицы с зарядом е либо —е. Отметим, что в случае по-
лей, описываемых действительными функциями, калибровочные
преобразования (3.35) недопустимы. Это означает, что для действи-
тельных полей е = 0. Кванты такого поля — нейтральные частицы.
Чтобы показать, что 4-вектор /ц, определяемый соотношением
(3.40), является электрическим током, рассмотрим систему, описы-
ваемую комплексными функциями фв(х) и электромагнитным потен-
циалом А и,. Лагранжиан системы запишем в виде
Ж = Жо+^'.	(3.44)
где
Жо =----— F F jxv	(3.45)
2В. Зак. 1410
25
представляет собой лагранжиан свободного электромагнитного по-
ля. Предположим, что Ж' зависит от функций if а, фа, их первых про-
изводных и Лц ине зависит от производных электромагнитного по-
тенциала. Вместо потенциала Ац можно использовать электромаг-
нитный потенциал
4 = ЛЦ + ^-,	(3.46)
дхц
где Л(х)—произвольная функция, удовлетворяющая уравнению
□ Л = 0.
(3.47)
При этом, как хорошо известно, тензор напряженности поля
не изменится и новый потенциал Лц будет удовлетворять
дополнительному условию Лоренца (2.33). Если в Ж' заменить
.	.' ЗА	ЗА	.
Лц на Ли.-------, то величина — , не имеющая физического
Зхц	ЗХц
смысла, должна компенсироваться соответствующим изменением
фазы функций фа и фа. Последнее может быть только в случае,
если потенциал Ли входит в Ж' в виде следующих комбинаций:
f -----мА» 'J фа и (+ геЛц ) фа. (3.48)
\ Зхц	)	\ дхц	J
Действительно,
/' 3	• л \ .	( д . .' . . ЗА \ .
-------teAu, Фа=--------ieAn+ie —— фа =
\ дхц	J \ Зхц	Зхц /
=	(3-49)
\ ОХц	/
Здесь
ф;(х) = е'еА<х)фа(х).	(3.50)
Аналогично
+1еЛц W = ez<Af-^+ ieA^ W, . (3.51)
\ ихр,	j	\ дхц,	/
где
фа (х) = е-"А(х)ф«М-	(3.52)
Пусть при Лц = 0 лагранжиан системы инвариантен относи-
тельно калибровочных преобразований (3.35) с фазой %, не завися-
щей от х. Если потенциал Лц входит в лагранжиан £' в виде (3.48),
то из соотношений (3.49) и (3.51) очевидно, что лагранжиан рассмат-
риваемой системы инвариантен относительно преобразований (3.46),
(3.50) и (3.52) (эти преобразования называются калибровочными преоб-
разованиями второго рода). Отметим, что требование инвариантности
лагранжиана относительно калибровочных преобразований второго
рода однозначно определяет лагранжиан взаимодействия электро-
магнитного поля и поля фа лишь в случае, если в лагранжиан SL' не
26
входят производные потенциала Лц. Это взаимодействие носит на-
звание минимального электромагнитного взаимодействия, а е яв-
ляется константой, характеризующей взаимодействие.
Из общих уравнений (2.14) получаем следующие уравнения для
электромагнитного поля:
= — .	(3.53)
дху дАц
Сравнивая (3.53) и уравнения Максвелла (2.31), заключаем, что
электрический ток
'»=< <3-54>
Если учесть, что потенциал Лц входит в лагранжиан 55' в комбина-
ции с производными полей [см. (3.48)1, то нетрудно видеть, что
------Ipa----\.	(3.55)
,Э	л
\ дХц	дхц /
Таким образом, ток /ц совпадает с током, определенным соотноше-
нием (3.40).
2В*
ГЛАВА ll|
Квантование полей
§. 4. Действительное скалярное (псевдоскалярное) поле
В предыдущей главе было показано, что уравнения поля и сох-
раняющиеся величины легко могут быть получены, если известен
лагранжиан поля. Теперь рассмотрим различные типы полей. Урав-
нения поля будут постулироваться. Затем построим такой лагран-
жиан, который удовлетворяет требованиям лоренц-инвариантнос-
ти и инвариантности относительно калибровочных преобразований
и дает постулированные уравнения поля. После этого из общих фор-
мул предыдущего параграфа получим выражения для сохраняю-
щихся величин.
Начнем с наиболее простого случая — действительных скаляр-
ного и псевдоскалярного полей. Обозначим действительную функ-
цию, преобразующуюся как скаляр или как псевдоскаляр [см. (2.23)
и (2.24)], через ф(х). Будем предполагать, что функция ф(х) удов-
летворяет линейному лоренц-инвариантному уравнению второго
порядка. Единственным таким уравнением является уравнение
Клейна — Гордона:
(□-*аШ*) = 0.	(4.1)
Здесь х — вещественный положительный параметр. В квантовой
теории, как мы увидим ниже, х — масса покоя кванта поля. Отме-
тим, что уравнение для электромагнитного потенциала Лм в случае
= 0 является частным случаем уравнения (4.1) (х = 0). Соот-
ветственно кванты электромагнитного поля (фотоны) — частицы
с массой покоя, равной нулю.
Лагранжиан поля должен быть таким, чтобы уравнение (4.1)
совпадало с
д	_п	/42х
дф дхц дф
дхц
Очевидно, что член □ ф в (4.1) может происходить только
д / dSB \	, ,	д56 v
от --- /------I, а член х2 ф — от ---. Если учесть эти заме7
дхц I дф I	дф
' дхц '
чания, а также потребовать, чтобы лагранжиан был скаляром, то
28
легко получить выражение для 5? с точностью до общего мно-
жителя. Нетрудно убедиться, что лагранжиан
(4.3)
удовлетворяет всем требованиям. Действительно,
—^- = —— , — = — и2ф,	(4.4)
дф	дхц дф	т
д~—
ОХ у.
и из (4.2) получаем уравнение Клейна — Гордона (4.1). Далее, лег-
ко видеть, что лагранжиан (4.3) является скаляром. В самом деле,
с помощью (2.23) [или (2.24) для псевдоскалярного поля] получаем
X ( ф (х),	=
\	дх )
-Ф /  avp д-Цф1 аар + х2 ф' (х') ф' (х')
dxv дха
______1_
~	2
1 г/аф' (х') \ 2
2 I д jc _ )
(4.5)
дх' J
Используя (3.4), находим следующее выражение для тензора
энергии — импульса скалярного (псевдоскалярного) поля:
(46)
дху дхц
Из (3.3), (4.3) и (4.6) получаем, что энергия и импульс скалярного
(псевдоскалярного) поля равны
Н =

X2 ф2 с?х,
ph=-
дФ дф ,
дх0 дхк
(4.7)
(4.8)
Рассматриваемое нами поле полностью характеризуется действи-
тельной функцией ф (х), удовлетворяющей уравнению Клейна—
Гордона. Очевидно, что поле может быть также описано фурье-ком-
понентами функции ф(х). Для перехода к квантовой теории удоб-
нее использовать этот способ задания поля. Разложение Фурье
функции ф(х) имеет вид
Ф (х) = J Ф (Ч> x0)e^dq.	(4.9)
Очевидно, что коэффициенты разложения зависят от времени. Под-
ставляя (4.9) в уравнение Клейна—Гордона, находим, что коэффи-
циенты ф (q, х0) удовлетворяют уравнению
+(Ч2 + х2) ф (Ч,хо) = О.	(4.10)
29
Общее решение этого уравнения может быть записано в виде
где	Ф (q, хо) = Ф(+) (q) е-^’*’ + ф (q) ez’«*«, Яо= +/q2+x2.	(4.U)
Подставляя (4.11) в (4.9), находим		
Здесь	ф(х)=фШ(х)+ф<-Цх). <+) =Тй®721 &‘чх (+> (ч) dq’	(4.12) (4.12а)
		(4.126)
	'	(2л)3/2 j е ™	1 41 aq,	
где		
q=(q,	q*=q» ч = qx—q0 х0.
Отметим, что выражение (4.126) получено путем замены пере-
менных интегрирования (q->-—q).
Функция ф^Цх) носит название положительно-частотной
части функции ф (х) (под знак интеграла входит e_,v«*’),
а функция ф <-> (х) — отрицательно-частотной части ф (х) (под знак
интеграла входит e-z(-l7»)z»).
Посмотрим теперь, что означает вещественность функции ф(х).
Очевидно, что
Ф * W = -^372- J (Ф(+) (q))* dq+
+ -^372 J (Ф (-’(-q))*	(4-13)
Приравнивая (4.12) и (4.13), получаем
?!><-) (-q)-(s6(+)(q))*.
(4-14)
Таким образом, действительное скалярное (псевдоскалярное) по-
ле характеризуется комплексной функцией ф <+> (q) — компонен-
тами Фурье положительно-частотной части функции ф (х).
Выразим энергию и импульс поля через ф (+> (q). Подставляя
разложение (4.12) в (4.7) и интегрируя по х, получаем для энер-
гии поля
н=j J [ Ф(+) (q) Ф(+) (-q) е"2'^0 (q2+х2 -?2)+
+ Ф (+)(q) Ф (-)(-:q)(q2 + X2 + яо)+ ф (-)(-q) ф (+)(q)(q2 + х2 + 4).+
+ Ф(~Ч~Я) 95>(~)(q)e2Z?’?(q2 + x2-^)]dq.	(4.15)
Если учесть, что q2 — Ц2 + и2, то из (4.15) находим
H=J [<£(+)(q) ^<->(-q)+ ф(-Ч-ч)ф(+Чч)]д1<1ч. (4.16)
30
Непосредственно видно, что этот интеграл не зависит от време-
ни (члены, содержащие е*2*’0**, обратились в нуль).
Аналогично, для импульса поля получаем
Pk= + j [^><+>(Q) ^(+)(-q)"2Z”"* q.qk+ ф™ (ч) ф{~} (- Ч) +
+ Ф (-)(—Ч) Ф(+) (ч) qo qh + Ф(-) (—ч) Ф(-) (ч) e2Zg"^] q0 qh dq. (4.17)
Очевидно, что
J £(±)(ч) ^(ъ)(-ч)ет2г^?о?^Ч = О. (4.18)
Окончательно находим следующее выражение для импульса поля:
Рк = J [Ф™ (Ч) ^<_).(—Ч)+ ф‘-Ч-$ £(+,(ч)] qoqhdq. (4.19)
Отметим, что первый и второй члены в квадратных скобках
(4.16), а также (4.19) в классической теории совпадают. Имея в
виду, однако, переход в дальнейшем к квантовой теории, мы ос-
тавим выражения для энергии и импульса в форме (4.16) и (4.19).
Далее, вместо функций <^>(+)(ч) и </>(-)(—ч) введем функции a(q)
и а(—q), определенные соотношениями
0(+)(ч)= —=a(q),
/2^
0(_)(—4) = —Lr «(—?).
/2?0
(4.20)
Разложение Фурье функции ф(х) запишется тогда следующим
образом:
0(х)= ГЪг e^dq 4--------------W ^==^—(№~lqX (4-21>
(2л)3/2 J У2д0	(2 л)3/2 J /2^
Подставляя (4.20) в (4.16) и (4.19), находим для энергии и им-
пульса поля следующие выражения:
[a(q)a(—q) + a(—q)a(q)]qodq, (4.16а)
Рк = -у j la (q) а (—q) + а (—q) а (<?)] qk dq,	(4.19a)
где, вследствие (4.14)
a(—q) = a*(q).	(4.22)
Итак, классическое скалярное (псевдоскалярное) поле задается
комплексной функцией a(q) — функцией переменной q, которая
может принимать любые значения. Энергия поля [выражение (4.16а)]
может, следовательно, принимать в классическом случае любые по-
ложительные значения.
31
Перейдем теперь к квантовой теории поля. Примем в качестве
постулата, что квантованное поле представляет собой набор свобод-
ных частиц — квантов поля, находящихся в некоторых состояниях.
В качестве таких состояний будем выбирать состояния с определен-
ными значениями импульса. В соответствии с общими постулатами
квантовой теории состояния квантованного поля следует описывать
волновыми функциями, удовлетворяющими уравнению Шрединге-
ра, а энергии, импульсу и другим физическим величинам следует
ставить в соответствие операторы, собственные значения которых —
возможные значения соответствующих величин. Оператор энергии
должен быть выбран таким образом, чтобы функции, описывающие
свободные частицы с определенными значениями импульса, были бы
его собственными функциями. Как и в случае обычной квантовой
механики, оператор энергии строится путем замены величин, вхо-
дящих в классический гамильтониан, операторами. Таким образом,
классические величины a(q) и а(—q) следует заменить операторами.
Если в выражении (4.21) заменить величины a(q) и а(—q) опе-
раторами, то получим* оператор поля ф(х). Ясно, что оператор ф(х)
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона.
Гамильтониан должен быть эрмитовым оператором. Чтобы обес-
печить эрмитовость гамильтониана, необходимо условие действи-
тельности классического поля заменить условием эрмитовости опе-
ратора ф(х), т. е. потребовать, чтобы
ф+(х)=ф(х).	(4.23)
Тогда вместо (4.22) получаем
a(—q) — a+(q).	(4.24)
Из (4.16) и (4.24) находим для оператора энергии следующее вы-
ражение:
[a+(q)a(q) + a(q) a+(qy]qodq.	(4.25)
Очевидно, что этот оператор эрмитов.
Далее, необходимо постулировать перестановочные соотношения
между операторами поля. Предположим, что имеют место следую-
щие перестановочные соотношения:
[а(<?), а(9')] =a(g)a(q')—a(q')a(q) = О,
[a(q), а+ (<?')] = а((?)а+(^) — а+(q') a(q) = 8(q— q').
Отсюда следует также, что
[«+(?), а+(<?')] = 0.	(4.26а)
Основываясь на этих перестановочных соотношениях, найдем
собственные функции гамильтониана (4.25). Убедимся в том, что
(4.26)
* Для операторов в квантовой теории и для соответствующих величин
в классической теории приняты одни и те же обозначения.
32
собственные функции гамильтониана (4.25) описывают свободные
частицы с определенными значениями импульсов. Вычислим ком-
мутатор Н]. С помощью перестановочных соотношений (4.26)
находим
[a(q), Н] = у J ([а(7), а+(<?')] a(q') + a{q') [a(q), а+ (<?')]) q‘o dq’ =
= <h>a(q).	(4.27)
При получении (4.27) использовалось соотношение
[а, Ру ] = ар у—Руа = (ар — Ра) у + р (ау—уа) =
. = [а, Р1 у + Р [а, у],	(4.28)
где а, р и у — любые операторы. Из (4.27) путем эрмитова сопря-
жения получаем также
. [a+(q),H] = -qoa+(q).	(4.29)
В связи с соотношениями (4.27) и (4.29) заметим следующее.
Если вычислить коммутатор [ф, Н], то с помощью (4.27) и
(4.29), можно найти
[ ф (х), Н] =--- f е‘чх —<70 а (<?) dq +
(2л)3/2 J /2<7о
+ —f	(-<7o)a+(<7)dq.	(4.30)
(2 л)3/2 J /2^
С другой стороны, правая часть соотношения (4.30) равна Та-
ким образом,
1д-^=[ф(х),Н].	(4.30а)
ОХ©
Мы рассматриваем в этом параграфе свободное скалярное (псевдо-
скалярное) поле. В общем случае нескольких взаимодействующих
полей соотношения (4.27) и (4.29) и, следовательно, (4.30а) оста-
нутся справедливыми, еслщпод Н понимать свободный гамильто-
ниан. Сравнивая (4.30а) и (1.15), заключаем, что ф(х)— оператор
в представлении взаимодействия.
Найдем теперь решения уравнения*
яф£=еф£,	(431)
где Н — гамильтониан свободного скалярного (псевдоскалярного)
поля, определенный выражением (4.25). Для этого умножим (4.31)
слева на a+(q):
а+ (q) НФЕ= Еа+ (q) Ф£.	(4.32)
* Мы нигде не будем использовать конкретное представление для функ-
ций Ф£1 описывающих состояния квантованного поля, и будем называть их
в дальнейшем векторами состояния.
33
Очевидно, что
а+ (?) Н = [а+ (?), Н] + На+ (?).
Используя (4.29), находим
Яа+(?)Ф£= (£ + ?0)а+(?)ф£.	(4.33)
Таким образом, если Фе — собственный вектор гамильтониана
Я, отвечающий собственному значению Е, то вектор состояния
гг+ (?) ФЕ также является собственным вектором Я и отвечает соб-
ственному значению Е + ?о-
Умножая (4.31) на а(?), получаем
а (?) НФЕ = ([а (?), Я] + На (?)) Ф Е = Еа (?) Ф£.	(4.34)
Используя (4.27), находим
Яа(?)Ф£ = (Я—?0)а(?)ФБ.	(4.35)
Отсюда следует, что вектор состояния я(?)Фе является собственным
вектором гамильтониана Я, отвечающим собственному значению
Я—?0.
Далее, нетрудно видеть, что все собственные значения га-
мильтониана (4.25) положительны. Действительно, умножая (4.31)
слева на Фе, получаем
-А-Я---— = Е.	(4.36)
(Ф|Ф£)
Очевидно, что знаменатель этого выражения положителен. Чис-
литель также положителен, так как
(ф£ а+ (?) а (?) Фе) = ((а (?) Фв)+ а (?) Фв) > 0.	(4.37)
Отсюда следует, что спектр собственных значений гамильтониана
(4.25) ограничен снизу, т. е. существует минимальное собственное
значение. Обозначим минимальное собственное значение гамильто-
ниана Я через Ео, а вектор состояния, отвечающий значению Ео, —
через Фо. Тогда очевидно, что
а (?) Фо = 0	(4.38)
при всех значениях ? (в противном случае вектор а(?)Ф0 отвечал бы
собственному значению Ео — ?0).
Из (4.25) и (4.36) находим для минимального собственного зна-
чения
= f Кф^а+(?)а <?)ф«) +
2 (ф0 Фо)
+ (Ф(Г а (?) а+ (?) Фо)] ?0 dq.	(4.39)
34
Вследствие (4.38) первый член в квадратных скобках равен нулю.
Далее очевидно, что выражение (4.39) может быть записано следую-
щим образом:
Ео= - -j,—- f a(q)a+(q')<b0)8(q' — q)qodq'dq. (4.40)
2(Ф£ФО) J
Заменяя здесь оператор a(q)a+(q') на [a(q), a+(q')] + a+(q')a(q)
и используя (4.26) и (4.38), получаем
£°=“г fs (qZ ~q)6 (qZ “q) q°dq'dq' (4-41)
Этот интеграл расходится. Мы получили, таким образом, бессмыс-
ленный результат: минимальное собственное значение гамильто-
ниана бесконечно. В связи с этим рассмотрим вопрос о выборе га-
мильтониана. Мы предположили, что гамильтониан квантовой тео-
рии может быть получен из классического гамильтониана путем за-
мены классических величин a(q) и a*(q) операторами a(q) и а+(д).
Очевидно, что эта процедура не однозначна.
Чтобы доопределить процедуру перехода от классической тео-
рии к квантовой, введем понятие нормального произведения опера-
торов. Определим следующим образом оператор нормального про-
изведения М:
М (a (q) а+ (q)) = а+ (q) a (q\ 1
M(a+(g)a(g)) = a+(g)a(g). j
Если оператор a(q) расположен справа от оператора a+(q), то такой
порядок операторов называется нормальным. Таким образом, опе-
ратор N, действуя на произведение двух операторов поля, расстав-
ляет их в нормальном порядке. В дальнейшем оператор N будет оп-
ределен в общем случае п множителей.
Вернемся к гамильтониану квантовой теории. Ясно, что обра-
щение в бесконечность минимального собственного значения гамиль-
тониана (4.25) связано с членом a(q)a+(q). Будем предполагать, что
при получении гамильтониана квантовой теории из классического
гамильтониана необходимо кроме замены функций операторами
подействовать на произведение операторов поля оператором М.
Мы приходим к следующему гамильтониану квантовой теории:
H = ^a+(q)a(q)qodq.	(4.43)
Из (4.38) и (4.43) получаем, что
НФ0 = 0.	(4.44)
Таким образом, минимальное собственное значение гамильтониана
(4.43) равно нулю.
35
Будем предполагать, что операторы, отвечающие всем другим
физическим величинам, также получаются из соответствующих клас-
сических величин заменой функций операторами, расположенными
в нормальном порядке. Из (4,19а) получаем для оператора импульса
pk = ja+(<7)a(<7)<7fedq.	(4.45)
Очевидно, что
/\Фо = О.	(4.46)
Таким образом, вектор Фо описывает состояние с энергией и импуль-
сом, равными нулю. Такое состояние называется вакуумным.
Нетрудно видеть, что гамильтониан (4.43) удовлетворяет соот-
ношениям (4.27) и (4.29). Следовательно, из уравнения (4.33) полу-
чаем, что вектор а+(<71)Ф0 является собственным вектором гамиль-
тониана, отвечающим собственному значению qw. Покажем, что этот
вектор является также собственным вектором оператора импульса
Р. С помощью (4.26) и (4.45) находим
[Р, a+(q)] = а+ (<?') 1а (<?'), а+ (<?)] q' dq' = qa+ (q). (4.47)
Далее получаем
Ра+ (71) Фо = ([ Р, а+ (71)] + а+ (71) Р) Фо - Ч1 а+ (91) Фо. (4.48)
Таким образом, вектор состояния а+(</1)Ф0 описывает бесспи-
новую частицу (квант поля) с энергией q10 и импульсом qv Мас-
са этой частицы равна l^fo —q? = x.
Если на вектор состояния а+(<71)Ф0 подействовать оператором
а+(Яг)> то получим собственный вектор гамильтониана (4.43), отве-
чающий собственному значению (/ю+дго- Вектор a+(q2)a+ (д^Фо
является также собственным вектором оператора импульса, от-
вечающим собственному значению q1 + q2. Действительно, исполь-
зуя (4.47) и (4.48), получаем
Ра+ (q2) а+ (<h) Фо = ([Р , а+ (qjj + а+ (q2) Р) а+ (qj Фо =
= (41 + Чг) а+ (<?2) а+ ((/J Фо.	(4.49)
Вектор состояния a+(q2)a+(q^0 описывает, следовательно, две не-
взаимодействующие частицы с 4-импульсами qt и <?2 и одной и той
же массой х. Если на вектор а+(<72)а+(<71)Фо подействовать оператором
а+(<73), т0 получим вектор состояния, описывающий три невзаимо-
действующие частицы с импульсами qlt q2 и qs и т. д.
Таким образом, действуя на вектор вакуумного состояния Фо опе-
раторами а+, получим систему собственных векторов гамильтониа-
на, которая представляет собой систему векторов состояния тож-
дественных невзаимодействующих частиц с массой х, нулевым спи-
ном и определенными значениями 4-импульса. Операторы а+(д)
и а(д) называются соответственно операторами рождения и уничто-
36
(4.51)
жения частицы с 4-импульсом q. В общем случае собственный век-
тор гамильтониана (4.43) может быть записан в виде
фп (<?п)...п (<?.). = а+(Яп) -Д+ (<7п). - а+(?1)- а+(<?1) Фр •	(4.50)
Здесь п^) — число операторов a+(q1)-, n(q2) — число операторов
а~ (q2) и т. д. Вектор (4.50) описывает состояние, в котором п^),
n(q2) и т. д. одинаковых частиц обладают соответственно 4-импуль-
сами qlt q2 и т. д. Числа nfq^, n(q2) называют числами заполнения.
Очевидно, что вектор состояния однозначно задается числами запол-
нения. Вектор состояния (4.50) отвечает следующим значениям пол-
ной энергии и полного импульса:
п
Еп (?п) ••• п S П (4i) QiO>
1=1
P"(?n) ..."<?«) = 2«(^)Чр
i=l
Все изложенное выше справедливо как для скалярного, так и для
псевдоскалярного поля. Рассмотрим теперь различие между этими
полями и соответствующими частицами в квантовой теории.
Произведем инверсию системы отсчета. Пусть ф'(х') —функция,
описывающая поле в новой системе отсчета. Тогда
Ф'^') = х\р ф (х),	(4.52)
где
х'=—х, хо = хо,	(4.53)
а — фазовый множитель. Если еще раз произвести инверсию си-
стемы отсчета, то мы возвратимся в исходную систему. При этом
получим
Ф <х) = х\р ф'(х').	(4.54)
Из (4.52) и (4.54) заключаем, что
Пр = 1,	(4.55)
т. е. цр = ±1. Величина цр называется внутренней четностью. Для
скалярного поля цр = 1, для псевдоскалярного цр = —1.
Рассмотрим теперь преобразование операторов квантовой тео-
рии поля при инверсии системы отсчета. Оператор поля в штрихо-
ванной системе в точке х' равен
ф'(х') = ир ф	(4.56)
где Up — унитарный оператор (U+Uр=\}, действующий на опе-
раторы поля. В соответствии у с (4.52) получаем преобразование
операторов поля при инверсии системы отсчета
Up ф (х') Up 1 = т]р ф (х).	(4.57)
37
Подставляя в (4.57) разложение (4.21), находим
' Upa(q)Up' =т]/>а(<?').
UPa+ (?) Up' = Т]р а+ (<?'),	(4-58)
где
q'= — q, q'o = qo.	(4.59)
Подействуем на вектор состояния Фд = а+ ф0) описываю-
щий частицу с импульсом q, оператором Up. Получаем
Up ф, = иРа+ (?) Up 1 Uр Фо.	(4.60)
Естественно потребовать, чтобы
UP Фо = Фо.	(4.61)
Тогда находим
£/рФ9 = т]рФ?'.	(4.62)
Таким образом, если на’вектор состояния, описывающий части-
цу с 4-импульсом q, подействовать оператором Up, то при этом по-
лучим вектор состояния той же частицы с 4-импульсом q', умножен-
ный на внутреннюю четность т]р- Если т]р = 1, то частица называет-
ся скалярной. При т]р = —1 частица называется псевдоскалярной.
Величина т]р характеризует внутренние свойства частиц и опреде-
ляется из опыта. Очевидно, что
=(Пр)П(7‘)+-+П(9п)Фл(-?;)-п(«'1)> (4-63)
где Ч/= —qf; ?/о=?го-
§ 5. Комплексное скалярное (псевдоскалярное) поле
В этом параграфе будет рассмотрено комплексное скалярное
(псевдоскалярное) поле. Начнем с классического случая. Предпо-
ложим, что комплексная функция поля ф (х) удовлетворяет уравне-
нию Клейна — Гордона:
(□-х2)</>(х) = 0.	(5.1)
Вначале построим такой лагранжиан, который давал бы постулиро-
ванное уравнение поля (5.1) и удовлетворял бы требованиям реля-
тивистской инвариантности и инвариантности относительно калиб-
ровочных преобразований. Затем, используя общие формулы § 3,
найдем сохраняющиеся величины. Наконец, перейдем к квантовой
теории и покажем, что квантами комплексного поля являются за-
ряженные частицы с зарядами е и —е.
38
Очевидно, что комплексную функцию ф(х) всегда можно пред-
ставить в виде
Ф W= Ф1(х) + 1ф2(х),
где
ф 4. ф*	ф —ф*
=	(5.2>
реальная и мнимая части функции ф(х).
Итак, рассматриваемое поле описывается двумя независимыми
функциями. Будем описывать поле функциями ф(х) и ф*(х). Из (5.1)
следует, что
(□—х2) 0*(х) = О.	(5.1а)
С другой стороны, уравнениями комплексного поля являются
[см. (2.14) и (2.15)]
дЗВ д дЗВ _ а дЗВ___________д дЗВ п
дф дх„ д,Ф ’ дф* дх., дф* ~ ' '	' ' '
ц ds~	да—
дхр	дхц
Лагранжиан зависит от функций ф, ф* и их первых произ-
водных. Ясно, что члены □ ф и □ ф* в (5.1) происходят от
д дЗВ д дЗВ	, ,	2 . * дЭВ
дГ~дф- и дГ- ~дфГ вУравнениях (5.3), а х2ф и х2 ф*-оти
да------'	14 дз--
дХ»	дхЦ
дф*- . Учитывая требования лоренц-инвариантности, заключаем,
что лагранжиан должен быть линейной комбинацией величин
a—	Ф Ф’ Ф* Ф*> Ф* Ф-	(5-4)
дхрдхр ’ ,дхр дхр ’ дхр дхр’ ' т< т т’т т	\ г
Требованиям калибровочной инвариантности удовлетворяют лишь
третий и шестой члены в (5.4). Имея в виду эти замечания, нетрудно
получить выражение для SS с точностью до общего множителя. При-
мем для лагранжиана комплексного скалярного (псевдоскалярного)
поля следующее выражение:
_дф^дф х2 ,	(5.5)
дхрдхр r r	v
Этот лагранжиан удовлетворяет всем требованиям инвариантности.
Из (5.5) следует также, что функции ф и ф * подчиняются
уравнению Клейна — Гордона. Действительно,
дЗВ
дф
= —х2 ф*,^- = — х2 ф,
г дф*	г
д£	дф *	дЗВ	дф
дф ддГ	дхр. ’	дф* дхр	
(5.6)
Подставляя (5.6) в (5.3), получаем уравнения (5.1).
39
Вычислим тензор энергии—импульса [см. (3.4)]. Имеем
д% дф , dSS дф*
dxv	dxv
= _	(5.7)
dxv дх^ dxv дх^ |xv
Из (5.7) находим для энергии и импульса поля
Н=[(ъФ*УФ + *2 ф* Ф+^-^-} dx>
J \	дх0 дх,,)	।	,5gx
р И д^дЛ + дЛ^.\ах.
J \дх0 дхь дх0 dxh J
Далее, из (3.40) получаем для 4-вектора тока
. ( dS£ ,	dSS >*\	. (дф* , дф ,*\ /спч
/н = ~te ~дф~Ф-----дф^Ф	= 1е Ьг ^-ЭГЦ $	• <5-9>
\ ддх^ д дх^ J
Заряд поля дается выражением
Q=—i^ji(x)dx.	(5.10)
Разложим теперь функцию ф (х) в интеграл Фурье. Используя
уравнение поля (5.1), получим
ф(х)=ф{+}(х)+ф^х),	(5.11)
где
(512)
* м <*’ -	J Йг “(
<?о = Й*2 + я2-
Существенное отличие от рассмотренного ранее случая действи-
тельного поля состоит в том, что функции a(q) и а(—q) в данном слу-
чае являются независимыми. Следовательно, комплексное скаляр-
ное (псевдоскалярное) поле может быть описано двумя комплекс-
ными функциями переменной q.
Подставляя (5.11) и (5.12) в (5.8) и (5.10), получаем следующие
выражения для 4-вектора энергии — импульса и заряда поля:
Ру. = $ [ a* (q) a (q) + а* (— q) а (—q)]	dq, (5.13)
Q = e^[a*(q)a(q) —a*(—q)a(—q)]dq.	(5.14)
Из (5.13) следует, что энергия поля может принимать только поло-
жительные значения. Заряд поля Q может быть как положительным,
так и отрицательным.
40
Перейдем теперь к квантовой теории. Величины a(q) и а(—q} в
классической теории следует, как и в рассмотренном нами случае
действительного (эрмитова) поля, заменить операторами. Операцию
комплексного сопряжения функций следует заменить эрмитовым
сопряжением операторов. Очевидно, что полученные таким способом
операторы энергии, импульса и заряда будут эрмитовыми.
Оператор поля ф (х), удовлетворяющий уравнению Клейна —
Гордона, является оператором в представлении взаимодействия.
Операторы в представлении взаимодействия подчиняются соотно-
шению (1.15). Таким образом, для ф(х) получаем
(5.15)
ОХц
(Но в соотношении (1.15) совпадает в рассматриваемом нами слу-
чае свободного поля с Н). Подставляя в (5.15) разложение (5.12)
(a(q) и а(—q) — операторы), получаем
^372-J[(9oa(9)—[a(g).^])e/«x+
+ (- qQa (- q) - [а(- q), И])	] $= = 0.	(5.16)
Отсюда следует, что
[a(q),H] = qoa(q),[a( — q),H] = — qoa(— q).	(5.17)
Операцией эрмитова сопряжения из этих соотношений получаем
[a+(q),H] = ~qoa+(q), [a+(-q),H] = qoa+(-q).	(5.17a
С помощью (5.17) нетрудно убедиться (см. предыдущий параграф),
что операторы а+(?) и а (—q) (a (q) и а+(—q)) при действии на собст-
венный вектор гамильтониана Н, отвечающий энергии Е, дают соб-
ственный вектор оператора Н с энергией Е + q0 (Е — q0). Таким
образом, в случае неэрмитова поля ф(х) имеется два оператора рож-
дения [а+(?) и а (—?)1 и два оператора уничтожения la(q) и а+(—?)].
Обозначим
a(—q) = b+(q).	(5.18)
Отсюда следует, что
а+(— q) = b(q).
Используя выражения (5.13) и (5.14) и записывая в нормальном'
порядке операторы поля (оператор уничтожения справа от операто-
ра рождения), получаем следующие выражения для операторов энер-
гии, импульса и заряда:
H = ^[a+(q)a(q) + b+(q)b(q)] qodq,	(5.19)
Рк = $ [а+ (q) а (?) + Ь+ (?) & (?) ] ?ft dq, (5.20)
Q = e^[a+(q)a(q)—b+(q)b(q)]dq.	(5.21)
41
Очевидно, что все собственные значения гамильтониана (5.19)
положительны. Если собственный вектор гамильтониана Н, отве-
чающий минимальному собственному значению, обозначим Фо, то
ясно, что
а(д)Фо = 0, 6(д)Фо = 0.	(5.22)
Из (5.19) — (5.22) находим
ДФо = 0, РФо = 0, <ЭФо = 0.	(5.23)
Таким образом, вектор Фо описывает состояние с энергией, импуль-
сом и зарядом, равными нулю (вакуумное состояние).
Для операторов рассматриваемого поля постулируются переста-
новочные соотношения:
[a(Q>, а(д')] = 0,
[b(q), &(g')] = 0,
[a (q), а+ (q')] = S (q—q'),	(5 24)
[&(<?),	(д')] = 6 (q—q'),
[a(q), b(q')] = O,
[a(q), b+(q')] = O.
Из этих соотношений следует, что
[a+(Q), а+ (g')] = О,
[(,+(,). (5.24а)
[а+(<7)> 6+(7')]=0,
И(д). &(g')] = 0. .
Используя (5.24) и (5.19), нетрудно убедиться в справедливости
соотношений (5.17). Действительно, с помощью соотношения (4.28)
получаем
[a (q), Н] = $ [a (q), а+ (д')] a (q) q'odq =qoa (g),
[ft (q), H] = $ [b (q), b+ (g')] b (q) q'o dq = qob (q).
Аналогично находим
[a (q), P] = qa (g), [b (g), P] - qb (g).	(5.25)
Отсюда следует (P—эрмитов оператор), что
[Р, a+(g)] = qa+(g), [Р, b+ (g)] = qfe+ (g).
(5.25а)
-42
Перейдем теперь к построению системы собственных векторов
гамильтониана (5.19). Рассмотрим вектор состояния a+(q) Фо.
Используя (5.17) и (5.23), получим
На+ (q) Фо = ([Н, а+ (q)] + а+ (q) Н) Фо = q0 а+ (q) Фо, (5.26)
Ра+ (q) Фо = ([Р, а+ (q)] + а+ (q) Р) Фо = qa+ (q) Фо.	(5.27)
Вектор a+(q) Фо описывает, следовательно, частицу с 4-импуль-
сом q и массой "jAq2—q2 = x.
Аналогично находим
//6+(9)Ф0=9оЬ+(?)Ф0, I
Р6+(7)фо = ч&+(9)фо. }
(5.28)
Отсюда следует, что Ь+(с/)Ф—вектор состояния частицы с 4-им-
пульсом q и массой ]/q2—q2 = x.
Таким образом, a+(q) и b+(q)—операторы рождения частиц
с одной и той же массой х. Посмотрим, чем различаются эти
частицы. Вычислим коммутаторы [Q, a+(q)] и [Q, b+ (q)]. Исполь-
зуя перестановочные соотношения (5.24) и выражение (5.21), по-
лучаем
[Q, а+ (q)] = еа+ (q), [(?, b+ (q)] = -eb+ (q).	(5.29)
Далее имеем
Qa+(q)®0 = ([Q,a+(q)]+a+(q)Q)®0 = m+(q)®0,	1
(?&+(9)Ф0= ([Q, 6+(q)] + b+(q)Q) Фо = -еЬ+(Ч)Ф0. (
Вектор состояния а+^)Ф0 описывает, следовательно, заряжен-
ную частицу с зарядом е, а вектор 6+^)Ф0 — частицу с зарядом —е.
Итак, если заряд частиц — квантов поля — отличен от нуля, то на-
ряду с частицами с зарядом е и массой х должны существовать час-
тицы с той же массой х и зарядом —е (античастицы). Этот важ-
ный общий вывод квантовой теории поля подтверждается опытом.
Подействуем на вектор a+(q)®0 оператором 6+(q'). Очевидно, что
PM6+(q')a+(q)®0 = ([PM, &+(q')] +&+(q')^) а+ (q) Фо = '
= (qg+ <7д) b+(q')a+(д)Ф0,	(5.31)
Qb+(q')a+(q) Фо = [(-е) + (е)] 6+(q')a+(q)®0.
Вектор состояния 6+(q')a+(q^o описывает, следовательно, частицу
с 4-импульсом qM и античастицу с 4-импульсом q^.
Таким образом, если на вектор состояния вакуума Фо действо-
вать операторами рождения а+ и Ь+, то при этом получим- систему
43
собственных векторов гамильтониана (5.19), описывающих частицы
и античастицы с определенными импульсами. В общем случае имеем
Ф" (4) ••• «) п	" К)=	-
п (qm}
... b+ (q’l)...b+ (д[) а+ (?„)... a+(Q - ст+(?,),.. ст+(?,) Фо.
----——-------------------•-------' -----------------•	(5.32)
"«)	л(?п)	п(«1)
Числа заполнения частиц «(ft), ..., n(<?n) и числа заполнения анти-
частиц п(д'\).п(4)	полностью задают состояние системы. Очевид-
но, что вектор (5.32) описывает состояние со следующими значения-
ми вектора энергии — импульса и заряда:
n	т	__
? V- — 2 (?i)g n (<7i) + 2 (<7*)цп(?*)>
i = 1	k — 1
л	т _
Q = e 2 n(qt)+(—е) 2 «(?*)•
i=i	k=i
(5.33)
§ 6. Комплексное спинорное поле
Рассмотрим поле, описываемое комплексной спинорной функцией
ф0(х) (индекс ст пробегает четыре значения), подчиняющейся урав-
нению Дирака:
дф in
Тц a£+M> = 0,
4^ у—/иф^О.
дхц 'и т
(6.1)
(6.1а)
Здесь уц — эрмитовы 4 X 4-матрицы (уц yv + yv yg = 26^);
ф = ф+у4, а т—положительный параметр (в квантовой тео-
рии—масса кванта поля).
Выберем в качестве независимых динамических переменных
функции фиф. Уравнениями поля являются [см. (2.14)]
dSB___д	_р д%_______д дх
дхц	’ дФа	<4®
д дх*	д
Покажем, что лагранжиан
---L	+тфф^ — Урф—тфф)
(6-2)
(6.3)
удовлетворяет требованиям лоренц-инвариантности и инвариант-
ности относительно калибровочных преобразований и дает при
44
подстановке в (6.2) уравнения поля (6.1). Используя (2.26) и (2.27),
получаем
Ф(х)у-^$-С^ = Ф'С0М’о£ lflvo3^ (х- =
т' ' *Р дх„ т X / гр vp =
<3xv	I
Ф (х) ф (х) = ф' (х') LL~1ф' (х')=ф' (х') ф (х')>
?рФ СО = -ду*-’ ЬЪ>l~ 1 avpФ' (%') =
дф' (х')	,, ,.
(х)-
Из (6.3) и (6.4) следует, что
(6.4)
£ (Ф С0> Ф (О. •••) = # (ф' СО. Ф' СО. •••)»	(6-5)
т. е. лагранжиан (6.3) является скаляром. Далее очевидно, что
лагранжиан (6.3) инвариантен относительно калибровочных пре-
образований
Ф'(х)= Ф(х)егЧ 1
ф'(х) = ф(х)е_/ех /
(X не зависит от х). Наконец, из (6.3) находим
дзе _	1
2
/ дф \
I —тФ«.
I И дхч I
\	<* / о
-^ = -(7 Фк
дф0 2
(6-7)
Подставляя (6.7) в (6.2), получаем уравнение Дирака для функ-
ции ф(х)
(Тц-ЙЧ +«Ф<т = О.
Далее,
дЗё _
дф<т
ass
dxg
— . 1 / дф \
т^+т ’
—(ф?Л>
(6-8)
45
и из (6.2) получаем уравнение Дирака для сопряженного спи-
нора 4>(х):
= °-
Из общего выражения (3.4) следует, что тензор энергии—
импульса спинорного поля равен
д£ д%
3 дхц д^а дхц
dxv	д dxv
(6.9)
Подставляя сюда (6.7) и (6.8) и учитывая, что значение лагран-
жиана (6.3) при if и ip, удовлетворяющих уравнениям (6.1) и
(6.1а), равно нулю, получаем
	
dip
1 dip
(6.10)
В соответствии с (3.40) вектор тока комплексного спинорного
поля дается следующим выражением:
/и = —---------------=	(6.11)
I Q---	Q -- I
\ Ли	J
Отсюда находим для заряда поля
Q = е § if у4 if dx.	(6.12)
Используя (6.10), получаем, что 4-вектор энергии—импульса
поля равен
Ри = « ГТц4^х = —f ify4-^-dx+-^- С у4 ifdx =
J	2 J	дхц 2 J дхи
= ~ i f f?4^-dx + -^- Г-^-(ih>4if)dx. (6.13)
J дхц	2 J дхц
Нетрудно видеть, что второй член в правой части (6.13) равен
нулю. Действительно, вследствие сохранения полного заряда
f W4 'Их = 0.	(6.14)
Далее очевидно, что ~ (ify4 if) dx = 0 (отсутствие полей на бес-
J OXfc
конечности). Таким образом, вектор энергии—импульса комплекс-
ного спинорного поля равен
Рц= — i (* ^4 -й" dx-	(6Д5>
46
Разложим теперь функцию ф(х) по состояниям с определенным
импульсом. При фиксированном значении импульса уравнение Ди-
рака имеет, как известно, четыре независимых решения — два ре-
шения с положительной энергией и два с отрицательной. Эти реше-
ния подробно рассмотрены в Приложении. Решения с положитель-
ной энергией запишем в виде
(6.16)
где р0=+ V р2-[- /п2, а спинор «+(р) удовлетворяет уравнению
(ap + mp)u+(p) = р0*Ч(р)	(6.17)
и является собственной функцией оператора проекции спина на
направление импульса, отвечающей собственному значению
г (г = ± 1). Имеем
(«+(р))+ 4(р)=бг»г.	(6.18)
Два других решения уравнения Дирака
UL(p)e'”+"-,	(6.19)
отвечают отрицательной энергии (—р0). Функции U—(р) удовлет-
воряют уравнению
(ap + m0)uL (р)= — pouL (р).	(6.20)
Очевидно, что
«(p))+UL(p)=0.	(6.21)
Кроме того,
(ur_l(p))+uL(p) = 6r,r.	(6.22)
Общее решение уравнения Дирака можно всегда представить
в виде суперпозиции решений (6.16) и (6.19). Имеем
Ф(Х) = (2^ J“ + (р) е1рХ~‘Р° Х°Ф+ (Р) Ф +
+ -^372 J и- (Р) е‘РХ+ ‘Р° Х° (Р) dP- (6.23)
Заменяя во втором интеграле р->—р и вводя обозначения
Ф + (Р) = Ст (Р), Ф- (— Р) = Сг (— р),
получаем
Ф W = j “ + (Р) е‘РХ Ст (Р) dP. +
+ (-^з7Г j «- (-Р) e~iPX сг (~Р) dp,
47
где	_____
px = puxu = px—рохо; Ро = + l/p2+m2 •	(6.24)
Таким образом, комплексное спинорное поле характеризуется
четырьмя комплексными функциями переменной р [(сг(р) и
^г( —Р)1-
Рассмотрим случай m=f=0. Введем вместо и+(р) и и- (— р)
спиноры
ur(p).’ = (—V/2“+(P)> “Г( —Р)= f—Г/2	Р)- (6.25)
\ т }	\ т /
Используя соотношение (см. Приложение)
«± (Р) «± (Р) = ± — («± (Р))+ иг± (р),	(6.26)
Ро
получаем
иг’ (р) иг (р) = 8Г- г, иг'(—р)иг (—р)=-8Г-г. (6.27)
Далее имеем
иг (—р)иг (р) = 0.	(6.27а)
Будем использовать в случае т=/=0 спиноры иг(р) и иг(—р),
нормированные условиями (6.27) (инвариантная нормировка). Из
(6.24) и (6.25) получим следующее разложение для ф(х):
ф (х) = ф<+) (х) + ф( 1 (х),
где
Ф<+) = J ( р?)' &1РХ Сг dp’
’,,w w f
(6.28)
(6.28а)
Подставляя это разложение в выражение (6.15) для 4-вектора
энергии — импульса и интегрируя по х, получаем
Р* = J [Сг(р)Сг’(р') ЙГ(р)у4иГ'(р')6(р' —р) —
— Сг (р) Сг' (— р') Ur (р) у4 иг' (—р') e2ip° х> 8 (р' + р) +
+ £ (—р) се (р') иг (—р) у4 ur’ (p')e~2lPt 6 (р' +р) —
—Cr(—р)Се{— р') Ur(—p)y4i/'(—р')6(р'—р)] Pji/-^y/2dpdp'.
\PoPo)
48
Интегрируя далее по р' и учитывая, что
ur (р) “г' (р)= (^) (“+ (Р))+ и+ (Р) =	8гг'’
ur(—p)’Yi“r'(—p)= (—) (“-(—р))+“-(—Р) = — бгг',
иг{р)у^г’ {—р')|р'=_р= (—) («+(p))+u-(p)=o,
\ т /
находим для энергии и импульса поля
Н = j кг(р)сг(р) — с*(—p)cr(— р)] podp,
Pk= J [с‘(р)с;(р) — с‘(—р)сг(—p)]pkdp.
(6.29)
(6.30)
(6.31)
Аналогично получаем, что заряд комплексного спинорного поля
равен
Q = e J [cr*(p)cr(p) + c* (—p)cr(—р)] dp.	(6.32)
Второй член под знаком интеграла (6.30) отрицателен (вклад
состояний с отрицательной энергией). Таким образом, энергия клас-
сического спинорного поля не является положительно определен-
ной величиной. С другой стороны, из (6.32) следует, что заряд клас-
сического комплексного спинорного поля может принимать значе-
ния только одного знака.
Перейдем теперь к рассмотрению квантованного спинорного
поля. Заменим в выражениях (6.28), (6.30), (6.31) и (6.32) функции
сг(р) и сг(—р) операторами, а операцию комплексного сопряжения
классических величин — операцией эрмитова сопряжения опера-
торов. Очевидно, что операторы энергии, импульса и заряда будут
йосле такой замены эрмитовыми операторами.
Оператор поля ф(х) удовлетворяет свободному уравнению Дира-
ка и является оператором в представлении взаимодействия. Имеет
место, следовательно, соотношение
.лрм =М,(Х)> Н].	(6.33)
Подставим в (6.33) разложение (6.28):
f( eipx( — y/2“r(p)(PoMp)~К(р). Н]) +
(2л)3/2 J I \ Ро /
+ е~,р*( -5-У/2ыг(—р)(—росг(—р)—[сг(—р), H])\dp = 0.
\ Ра J	J
(6.34)
Отсюда следует, что
k"r(p)> Д]= Ро (р)>	1	(6 35)
[сг(—р),Н] = — росг( — р). )
3 Зак. 1410
49
С помощью эрмитова сопряжения из (6.35) получаем также
[с+ (р), Н] = — р0 с+ (р); |	(6.35а)
[с+ (—р), Я] =р0 с+(—р)-j
Обозначим Ф£ собственный вектор гамильтониана, отвечаю-
щий собственному значению Е. Имеем
НФе = ЕФе.	(6.36)
Умножая (6.36) на сг(—р), получаем
сД —р)ЯФ£ = ([сД—р), Н] + Нст(—р))Ф£ = Есг( —р)Ф£.
Отсюда, используя (6.35), находим
Ясг(—р)Ф£ = (£ + р0) сД—р)Ф£.
Таким образом, оператор сД— р) является оператором рождения
кванта с энергией р0. Из (6.35) ясно также, что с? (р) — опера-
тор рождения, а сДр) и с? (—р) — операторы уничтожения. Обо-
значим
сД—p) = d^(p).
Для оператора т]Дх) получаем
ф(х) = 'ф<+)(х) + 'ф<’_>(х),	(6.37)
где
,	’ ,	\'	(6.37а)
Отсюда следует, что
1|Дх) = t|/+)(x)-]-i|/~>(x),	(6.38)
где
^(+)(х)=	1	С f —?/2 йг(—p)eipx dr(p)dp,
' Я j /°	(6.38а)
ыГ(р)е
(2л) 3/2 J \ р0 J
Пусть Ф — собственный вектор гамильтониана, описывающий
некоторое состояние квантованного спинорного поля. Из соотноше-
ний (6.35) следует, что вектор с+(р)Ф описывает состояние, в котором
имеется дополнительная частица с 4-импульсом р. Далее, если век-
тор
с? (Р)с+(Р)Ф
(6.39)
50
не равен нулю, то он является собственным вектором гамильтониа-
на и описывает состояние, в котором имеется две частицы в одном
и том же квантовом состоянии. Для частиц со спином 1/2 это, однако,
невозможно. В силу принципа Паули в данном квантовом состоя-
нии может находиться не более одной частицы со спином 1/2.
Перестановочные соотношения для операторов спинорного поля
должны быть постулированы, следовательно, так, чтобы такие со-
стояния, как (6.39), были запрещены. Будем предполагать, что опе-
раторы спинорного неэрмитова поля подчиняются следующим пере-
становочным соотношениям:
К(р), егДр')]+ = °>
к (р), <?' (Р') ]+=' 6 (р—р')-
[dr (р), dr' (р )]_|. = 0,	(g 4Q)
[dr (р), d+’ (р')]+= бгг' 6 (Р — Р'),
lcr(p), (р‘)]+= О,
k(p),t#(p')]+=o.
Здесь [Л, В]+ = АВ^-ВА—антикоммутатор. Из (6.40) следует, что
[с+ (р), с+. (р')]+ = о, [d+ (р), d+> (р')]+ = о, (6 40а)
[с+(р), d+. (Р')]+ = 0, [с+(р), de (р')]+ = 0.
Покажем при этом, что собственные функции гамильтониана
удовлетворяют принципу Паули. Обратимся сначала к вопросу о том,
каким должен быть гамильтониан квантованного спинорного поля.
Если в классическом выражении для энергии (6.30) заменить вели-
чины сг(р), Сг(р),... соответствующими операторами и по аналогии
с предыдущими параграфами записать операторы поля в нормаль-
ном порядке (оставить знак минус перед вторым членом), то, оче-
видно, что полученный таким способом гамильтониан может обла-
дать отрицательными (сколь угодно большими по модулю) собст-
венными значениями. Кроме того, если с помощью перестановочных
соотношений (6.40) вычислить коммутатор \d(p), Н], то мы не по-
лучим соотношений (6.35). Определим гамильтониан квантованного
спинорного поля следующим образом:
Н= f (с+(р) cr(p)-F-d+ (p)dr (Р)) Ро^Р- (6.41)
Очевидно, что собственные значения этого гамильтониана положи-
тельны. Вычислим коммутатор Ыт(р), Н\. С помощью (6.40) полу-
чаем
к (р). с^(Р') сг’ (р')] = к (р).с+ (р')]+Се (Р') = О,
к (Р), dt> (р') dr’ (p')J = [dr (р), d?(p')]+dr’ (р') = 6 (р—р'И(р')-
' (6.42)
3*	51
Из (6.41) и (6.42) находим, что Иг(р), Н] = р,Дг(р). Аналогичным
образом нетрудно проверить, что гамильтониан (6.41) удовлетворяет
и остальным соотношениям (6.35).
Чтобы сформулировать рецепт, который позволил бы получить
гамильтониан (6.41) из классического выражения для энергии поля
(6.30), положим, что
2V(dr(p)drt(p')) = -^(p')dr(p), |	(6 43)
N № (р') ст (р)) = с+> (р') сг (р). (
Оператор N определен следующим образом. При действии на
произведение двух операторов скалярного (псевдоскалярного) поля
оператор N расставляет их в нормальном порядке (оператор унич-
тожения справа от оператора рождения); при действии на произве-
дение двух операторов спинорного поля оператор N расставляет их
в нормальном порядке, и, если при этом производится перестановка
операторов поля, произведение операторов, записанных в нормаль-
ном порядке, умножается на (—1). Определение оператора, N в об-
щем случае п множителей будет дано впоследствии.
Предположим, что для получения оператора энергии, а также опе-
раторов всех других физических величин необходимо заменить функ-
ции в соответствующих классических выражениях операторами по-
ля и подействовать на произведение операторов поля оператором N.
Из классического выражения (6.30) получим при этом оператор(6.41),
а из (6.31) и (6.32) находим следующие выражения для операторов
импульса и заряда:
Рк = J (с* (р) (р) + d+ (р) dr (р)) ph dp,	(6.44)
Q = е $ (с+(р) ст (p)-d+(p) dT (р)) dp.	(6.45)
Пусть Фо—вектор состояния, отвечающий минимальной энер-
гии. Тогда
MP) фо = О-
(6.46)
сЦр)Фо=-О.
Из (6.41), (6.44), (6.45) и (6.46) получаем, что
ЯФо = 0, РФо = 0, (?Фо = 0.
Таким образом, Фо—вектор состояния вакуума. Ясно, что
векторы ct (р) Фо и dt (р)Ф0 описывают состояния с энергией р0.
Покажем, что эти векторы состояния являются также собственны-
ми векторами оператора импульса (6.44) и оператора заряда (6.45).
С помощью перестановочных соотношений (6.40) получаем
[Р, ct (р)] = р с+ (р), [Q, с+ (р)] = ес+ (р), |	(6 47)
[Р, d+(p)] = pd+ (р), [Q, d+ (p)j = -ed+(p). J
52
Далее, используя стандартный прием (замена произведения опера-
торов коммутатором плюс произведение операторов, записанных в
обратном порядке), легко находим
Рс+(р)фо=рс+(р)фо,
р#(р)фв=р^+(р)ф0,	(б48)
Qct (р)фо=ес^(р)фо,
<?б/+(р)Ф0=-еа+(р)Ф0.
Таким образом, вектор состояния ct (р)Ф0 описывает частицу
с 4-импульсом р, массой т = ]Zpo— р2 и зарядом е, а вектор состоя-
ния dt (р)Ф0 — античастицу (та же масса, противоположный заряд)
с 4-импульсом р.
Покажем, что эти векторы являются также собственными век-
торами оператора проекции спина на направление р. Получим сна-
чала выражение для спина поля в классической теории. В качестве
независимых динамических переменных мы выбрали ф(х) иф(х). При
преобразованиях Лоренца
Хр, = Лцр Хр
эти спиноры преобразуются следующим образом:
(649)
ф'(х') = ф(х)£-1,
где матрица L удовлетворяет условию
L~l Тц£ = ацРТр.	(6.50)
В случае, когда коэффициенты agp равны
Црр — бррвр.р,	(6.51)
где £цр=—Ерц — бесконечно малая величина [см. (3.18) и далее],
с точностью до линейных по е членов имеем
L=l+4-
L~l=\-----i-S^egp-	(6-52)
Подставляя (6.51) и (6.52) в (6.50), находим, что матрица
должна подчиняться соотношению
[Tv, S^p] = 6vji Yp—6vpyn.	(6.53)
53
Используя перестановочные соотношения для матриц уц, нетруд-
но убедиться, что (6.53) удовлетворяется при
S',P=:”-(VhYp—= Стцр-	(6.54)
Здесь
°рр —~(ТцТр ТрТц)-	(6.55)
Из (6.49) и (6.52) находим, что
ф'(х') = (1+у 2Р%р)ф(х),
Г (*') = ( 1-------------------------i- S|ipeM,p'|^(x).
(6.56)
Повторяя рассуждения третьего параграфа и учитывая (6.56), по-
лучаем в случае комплексного спинорного поля следующее вы-
ражение для тензора Sp.p:
р	дЗЗ _
1 \ ^7 Sa'a dx~ Ч 4^7 dx- (6-57)
I д ”7—	I д —~
J oxi	(J dxt
Из (6.7), (6.8) и (6.57) находим, что
5цР = Ч- +	(6.58)
Отсюда следует, что
Sife = -yJip+ojiipdx, SZ4 = S4Z = 0	(6.59)
(i, k принимают значения 1, 2, 3).
Определим следующим образом вектор спина поля:
S^-^-eiuSki.	(6.60)
Используя (6.59)	и	(6.55), получаем
Sf =-^-|ф+2гфс/х,	(6.61)
где матрицы 2г равны
2« = 4-	eikiohl=~ еш yk 7i= -^eiMakai.	(6.62)
Очевидно, что Sz — эрмитовы матрицы. Из перестановочных со-
отношений для матриц уг нетрудно видеть, что матрицы— 2г
54
удовлетворяют перестановочным соотношениям оператора момен-
та количества движения
[Si,Sfe] = 2ieiAZSz.	(6.63)
Отметим, что в представлении Дирака—Паули 4 х 4-матрицы Sz
равны
(6-64)
\0 oj
где Ст; — 2 х 2-матрицы Паули.
Заменяя в выражении (6.61) ф(х) и ф+(х) операторами и действуя
на произведение операторов поля оператором N, получаем оператор
спина квантованного спинорного поля. Вычислим коммутаторы*
[ (cr (р), Sn], [dr(p), Sn].	(6.65)
Здесь n — р/| р ] — единичный вектор в направлении импульса р.
Подставляя в выражение для оператора спина разложения (6.37) и
(6.38), вычисляя коммутаторы операторов поля и выполняя соот-
ветствующие интегрирования, получаем
[cr(p), Sn] = -у (Н (р))+ 2пн+ (р))сг. (р) +
+	е2'₽Л ((«+ (Р))+ 2 n«L'(P))	(р') |₽'= -р-	(6.66)
Спиноры «+(р) и м!(р) являются собственными функциями опера-
тора (Sn):
S пнц. (р) = г «+(р),
(6.67)
Sn«L (р) = r«L(p).
Из (6.66) и (6.67), учитывая условия нормировки (6.18) и ортого-
нальности (6.21), получаем
[сг (р), Sn] == -i- rcT (р).	(6.68)
Аналогичным образом находим, что
{dr (р), Sn] = - _L е2/₽Л	(- р))+ S nuL (-р)р^ (р'> р-
—(—p))+S пн1(—р)} d^ (р).	(6.69)
Отсюда с помощью (6.67), (6.21) и (6.22) получаем
[dr(p),Sn] = ±rdr(p).	(6.70)
55
Из (6.68) и (6;70) находим
[Sn,c+(p)J =-^-гс+(р),
[Sn,d+(p)]=-^-rd+(p).
Действуя оператором Sn на векторы состояния ct (р) Фо и
с(+(р)ф0, используя обычный метод и учитывая, что 8пФо = О,
получаем
Snc+ (р) Фо = ([Sn, ct (р)] + ct (р) Sn) Фо = у- гс+ (р) Фо, )
,	j ,	(6.72)
Snd+(p)®0 = -i-rd + (p)®0.	J
Таким образом, вектор состояния ct (р) Фо описывает части-
цу с зарядом е, 4-импульсом р и проекцией спина на направле-
ние импульса, равной г/2, а вектор dt(р)Ф0 — античастицу с заря-
дом —е, 4-импульсом р и проекцией спина на направление импульса
/72.
Продолжим теперь рассмотрение собственных векторов гамиль-
тониана. Очевидно, что вектор состояния с^(р2)с+ (Р1)Ф0 является
собственным вектором гамильтониана (6.41), а также собственным
вектором операторов импульса и заряда. Этот вектор описывает две
частицы с 4-импульсами рх и р2. Вектор состояния dt (р')с+(р)Фо
описывает частицу с 4-импульсом р и античастицу с 4-импульсом р'-
Таким образом, если на вектор вакуумного состояния Фо действо-
вать операторами рождения с+ и d+, то мы будем получать собст-
венные векторы гамильтониана (6.41), описывающие свободные час-
тицы и античастицы в состояниях с определенными импульсами.
Рассмотрим, например, вектор состояния
dtkp'^ct^ct^c+kp^	. (6.73)
описывающий три частицы и одну античастицу. Используя переста-
новочные соотношения (6.40), получаем
dt (р') < (Pi) ct (р2) ct3 (р3) Фо = — dt (р') с+ (р3) с+ (р2) с+ (рг) Фо.
Если положить Pi = Рз и /1 = г3, то вектор (6.73) обращается в нуль.
Ясно, что и в общем случае вектор состояния обращается в нуль,
если по крайней мере два оператора рождения частицы (либо два
оператора рождения античастицы) обладают одинаковыми риг.
Следовательно, перестановочные соотношения для операторов спи-
норного поля постулированы в соответствии с принципом Паули
(в состоянии с данным импульсом и проекцией спина не может на-
ходиться более одной частицы).
56
(6-71)
§ 7. Электромагнитное поле
Свободное электромагнитное поле описывается потенциалом
Лц(х), удовлетворяющим уравнению
□ Л = 0	(7.1)
и условию Лоренца
^=0.	(7.2)
дх»
Уравнение (7.1) при условии, что потенциал удовлетворяет (7.2),
эквивалентно свободному уравнению Максвелла
dF
^ = 0,	(7.3)
dxv
с dAv	с
где г uv =----------——тензор напряженности поля. Если потен-
dxv
циал Лр, заменить
ЛЦ=ЛЦ + ^-,	(7.4)
ахи
где А—произвольная функция, удовлетворяющая уравнению
□ А = 0,	(7.5)
то
ал'
□Лц = 0, —Н-=0.	(7.6)
дх»
Таким образом, потенциал электромагнитного поля определяет-
ся уравнениями (7.1) и (7.2) неоднозначно. Потенциалы Л ц и Л^
дают, однако, один и тот же тензор напряженности поля (гради-
ентная инвариантность).
В § 2 было показано, что лагранжиан свободного электромаг-
нитного поля может быть выбран следующим образом:
2—	~ Fnv Fp,v	(7.7)
Нетрудно видеть, что
1 р	е* 1 dAv dAv	, 1 д (	л дАц \	1	я д (дА,1\
4	2 dx.. dx.. 2 dx.. \ dxv /	2 дхД dx.. I
(7-8)
Последний член в этом выражении равен нулю в силу условия
д I , ЗЛ \
Лоренца. Член —	£ 1 не дает вклада в вариацию действия.
\ dxv )
ЗВ. Зак. 1410	57
Следовательно, лагранжианы (7.7) и
1 дАц дАц
2 dxv dxv
(7.9)
приводят к одним и тем же уравнениям поля. Примем для лаг-
ранжиана свободного электромагнитного поля выражение (7.9).
Используя общие формулы § 3, из (7.9) находим, что тензор
энергии — импульса электромагнитного поля равен
д£ дАп о ЗДП дА 1 дА дА„ „
Т ___	Р	__ Р Pl1 Р Р Л
1 |iv — "“7; т---—---------т--------г ~ т---"— °|1V'
ддЛр dXfl	dxv дХц 2 дхо дхо
dxv
(7.Ю)
Для вектора энергии—импульса получаем
Рц — i I 7"с/х — i
мр элр . 1 мр элР б
dxt дх^ 2 дхо дхо
Разложим потенциал (х)
уравнение поля (7.1), получаем
dx.
(7.П)
по плоским волнам. Учитывая
Ац(х) =----— f _1 e<kl£-^. 4<+>(k)dk+
’	(2л)з/2 J /2fe0	ц v
Н----?— f	д<-> (k)dk, (7.12)
(2л)3/2 J /2fe0	и v /	>	к /
где k0 = | к |. Первый член представляет собой положительно-час-
тотную часть потенциала, а второй—отрицательно-частотную
часть. Делая во втором интеграле замену к—)—к, перепишем
разложение (7.12) следующим образом:
л-« = J Й5 К’«е'“+к> Л
(7.12а)
Определим 4-векторы
е*(£) = (ех(к),0),е4(/г) = (0,»), ^=1,2,3.	(7.13)
Здесь е3 (к) = к//г0 = z—единичный вектор, направленный по
к, a e^Jk) и е2(к) — единичные векторы, ортогональные друг дру-
гу и вектору к. Имеем
ex(k)ev(k) = 6U' X,V = 1,2,3.	(7.14)
Очевидно, что 4-векторы eK(k) удовлетворяют условиям
(^(fe)^' (A)) = 6XVT]X, (Х= 1,2, 3,4)	(7.15)
(e^(fe)fe) = 0, (Х= 1,2), (е3(/г)^) = ^0,(е4(/г)^)=— k0.	(7.16)
58
Множитель г]х определен следующим образом:
(	1,	1,2,3,
Ж = 1—1, А, = 4.
(7.17)
Отметим, что в (7.15) по повторяющимся индексам А, суммиро-
вание производить не следует.
Коэффициенты Лц+) (к) и Лц-)(—к) в выражении (7.12) мо-
гут быть разложены по полной системе векторов ек (k)
4+) (Ю = Зм*)4(*)>
ЛГ’(-к) = 2 aK(~k)e^k).
Х=1
Из (7.13) и (7.18) следует, что
ак (k) = (е* (/г) Л(+) (к)) = (ez (к) А(+)(к)), X = 1,2,
а3(£) = (%А<+>(к)),
М*) = — «Л^+)(к) = ЛЕ+)(к).
(7.18)
(7.19)
Таким образом, a3(k)—проекция вектора А(+)(к) на направление
вектора к (продольная компонента вектора А(+)(к); аг (k) и а2 (k) —
проекции вектора А(+)(к) на векторы, перпендикулярные к (по-
перечные компоненты A(+)(k), а а4 (k)—фурье-компонента скалярного
потенциала Ло+) (х). Аналогичным образом находим, что аг( — k),
а2 (—к) и а3(—k) — поперечные и продольная компоненты век-
тора А<-) (— к), а а4( — k) — Л(о“’ (—к).
Подставляя разложения (7.18) в (7.12а), получаем
Лд(х) = Л<+> (х) + Л<Г>(х) =
= 7772 J 7=7 js 4 (k) [ах (k)	+ aK(-k) е-‘*Ч dk.(7.20)
Пространственная часть 4-вектора Лц действительна, а вре-
менная— мнима. Таким образом,
Л^ = Лц 1]ц	(7.21)
(по ц суммирование не производится). Подставляя в (7.21) раз-
ложение (7.20) и учитывая, что
получаем
k)^ax(k).
(7.22)
59
зв*
Окончательно находим следующее разложение для потенциала:
А», (*) = ZVT372- f	(*) е‘Ах + °* (*) е~1Ах ] dk-
(2u)i/z J у 2k0 k=l
(7.23)
Посмотрим теперь, какие соотношения между а-,, (/г) вытека-
ют из условия Лоренца. Имеем
дА	i С 1
о~ = 0 = ^72“ 7^2	(k) k)yax(k) elkx—aK(k) е-!кх] dk.
и	(2я) J V 2fe0 х=1
(7-24)
Из (7.24) следует, что
4
2 (е*(£)£)ах (&) = (),	(7.25)
Х=1
откуда с учетом (7.16) получаем]
a3(k)==ai(k).	(7.26)
Таким образом, электромагнитное поле может быть описано ком-
плексными функциями a^(k) — функциями переменной к (фурье-
компонентами потенциала), удовлетворяющими вследствие (7.2)
соотношению (7.26). Подставим в выражение для эйергии поля раз-,
ложение (7.23). Выполняя соответствующие интегрирования и ис-
пользуя (7.15), получаем
4
Н = \ 2 а*к{к.)ак' (k) (eK(k)eK' (&)) kodk =
Л, Z/ — 1
=Л 2 aK(k aK(k)i}Kkodk.	(7.27)
d Л=1
Члены аз(&)а3(&) и а4 (&)а4 (k) (вклады продольных и скалярных ком-
понент), входящие в (7.27) с разными знаками, вследствие (7.26)
сокращаются, и получаем окончательно следующее выражение для
энергии свободного электромагнитного поля:
Н=\ 2 aK(k)aK(k)kodk.	(7.28)
d Л=1,2
Очевидно, что Н может принимать только положительные значения.
Отметим, что энергия поля становится положительно определенной
величиной лишь после того, как на потенциал наложено дополни-
тельное условие Лоренца.
Для импульса свободного электромагнитного поля получаем
следующее выражение:
2 a^a^kidk.	(7.29)
*4=1,2
60
Таким образом, в энергию и импульс поля вносят вклад только
поперечные компоненты потенциала. На этом мы закончим рассмот-
рение классического электромагнитного поля и перейдем к кванто-
вой теории.
Будем считать ах (fe) и аЦ—б) операторами. Тогда Лц(х)— так-
же оператор. Оператор Ли (х) равен
1 г 1	4
w = 77ТЗТ2 2 4 (*) [ах (k)	+ ак (- fe) e~ikx] dk.
(2л) ' J у 2й0 Ci
	(7.30)
Из (7.30) очевидно, что оператор Лц (х) удовлетворяет уравнению
□ Лм(х) = 0.	(7.31)
В классическом случае потенциал удовлетворяет условиям
(7.21). В соответствии с этим потребуем, чтобы оператор А(х)
был эрмитовым [А+(х) = А(х)], а оператор Л4(х)—антиэрмито-
вым [At(x) = —Л4(х)]. Эти условия на оператор Лц (х) могут быть
записаны следующим образом:
Л^ (х) = Лц (х)	(7.32)
(по р суммирование не пре изводится). Подставляя в (7.32) раз-
ложение (7.30), находим, что
aK(-k) = at(k).	(7.33)
Таким образом,
Лц(х) = Л^>(х) + Л<Г)(х), где	1 Г' 1	» (х) = —37Г	2	4 (k)eikx dk, 1 Г	1	4 z=j- 2	л. (/Л)	J у /Яо ^=1	(7.34) (7.34а)
Далее, Ли (х) является оператором в представлении взаимо-
действия и удовлетворяет, следовательно, уравнению
дА (
1-^2=[Лц(х),Д],	(7.35)
где Н—гамильтониан свободного электромагнитного поля. Под-
ставляя разложения (7.34) в (7.35), получаем
Ао а% (А) = [ах(А),Д], -koa+(k)=[at(k),H].	(7.36) (7.37) 61
Используя выражения (7.11) и (7.34), находим для операторов
энергии и импульса квантованного электромагнитного поля
Н = 2 at (k) ак (k) лл k0 dk,	(7.38)
Pi = \ 5 ati^a^k^kidk.	(7.39)
x=i
Обсудим теперь перестановочные соотношения для операторов
поля. Будем предполагать, что операторы a-,.(k) и a^(k') комму-
тируют, т. е.	ч
[^(*), «г 0=0.	(7.40а)
Из (7.40а) получаем
H(£),at'(£')]=O.	(7.406)
Используя (7.38), (7.40), из (7.36) находим
4
koax(k) = \ S [aK(k), at (k’)]av (k')x\K'ko dk’. (7.41)
иГ=1
Отсюда следует, что
[ах (&),	(k')] = 6 (k—k') П x-	(7.40b)
Итак, для операторов электромагнитного поля будем постули-
ровать перестановочные соотношения (7.40). Отметим существенное
отличие перестановочных соотношений для ax(k) и at(k') при X и X',
принимающих значения 1, 2 и 3, и перестановочных соотношений
для a4(k) и at(k’) [знак минус в правой части (7.40в) при X = X' =
= 4]. Это отличие связано с тем, что член at(^)at(k) входит в га-
мильтониан со знаком минус.
Используя перестановочные соотношения (7.40), получаем
[щ(£),Рг] = Мх(*)-	(7.41а)
Отсюда находим также
[а£(йг),	= -ktat(kY	(7.416)
Перейдем теперь к формулировке условия Лоренца в квантовой
теории. Для классических величин из условия Лоренца вытекает
соотношение (7.26). При квантовании все операторы ax(k) считались
независимыми. ЧтобьГобеспечить выполнение условия Лоренца для
матричных элементов, потребуем
ад(+)
^Гф = °> •	(7-42а)
где Ф—любой вектор, описывающий состояние квантованного
электромагнитного поля.
62
Отсюда следует, что
/ дЛ(+) \+	d4(~’
ф+ Z2e_) =ф+^_ = 0.	(7.426)
1 \ дхц J 1 дхц.	v ’
Складывая (7.42а) и (7.426), получаем
(дА \
ф+^ф)=°.	(7.43)
Таким образом, если условие (7.42а) выполняется для любых
векторов состояния электромагнитного поля, то матричные эле-
дА
менты оператора ~~ обращаются в нуль. Из (7.43) н (7.31) еле-
дует, что
^-(ф+Е^(х)ф) = 0.	(7.44)
Подставляя в (7.42) разложение (7.35), заключаем, что векторы Ф,
описывающие состояния квантованного электромагнитного поля,
обязаны удовлетворять условиям
2 (ек k) ак (k)ф = kQ (а3 (k)—at (А))ф = 0	(7.45а)
Х=1
(к—произвольный вектор). Отсюда следует, что
ф+ (4 (k)—at (А)) = 0.	(7.456)
Построим теперь систему векторов, описывающих возможные
состояния квантованного электромагнитного поля. Из постулиро-
ванных перестановочных соотношений (7.40) следует, что не сущест-
вует такого вектора состояния Ф, для которого а4(/г)Ф = 0. Дейст-
вительно, рассмотрим перестановочное соотношение
[a4(fc), 4 (£')] = - 6 (k —к').
Умножим его слева на ф+/г* (к), а справа на h (к')ф и проин-
тегрируем по к и к'(Л (к)—произвольная функция к, ф—неко-
торый вектор состояния). Тогда
Ц h (k) at (k) Лф)+ h (к) at (k) dk ф) —
— (J h* (к) at (k) с?кф)+ h* (к) a4 (6) с?кф) = — (ф+ ф) $ | h (к) |2 dk.
(7.46)
Если существует такой вектор состояния Ф, что а4(й)Ф = 0, то для
такого состояния второй член в левой части (7.46) исчезает, и мы
приходим к противоречию [слева в (7.46) — положительная величи-
на, а справа — отрицательная]. Таким образом, в принятой нами
схеме квантования для любого вектора Ф
а4(й)ф=/=0.	(7.47)
63
Из условия Лоренца (7.45) следует также, что для всех допустимых
векторов состояния
а3 (k) ф 0.	(7.48)
Найдем среднее значение операторов энергии и импульса в со-
стоянии, описываемом некоторым вектором Ф. Используя выраже-
ния (7.38) и (7.39) и выделяя члены сХ = ЗиХ = 4, имеем
<Рц> = (Ф+ Рц ф) = (ф+ $ 2 at (k) ак (k) k» dk Ф) +
+ (Ф+ $ [at (k) a3(k)— at (k) a4 (k) ] dk Ф).	(7.49)
Используя условия Лоренца (7.45), получаем
(ф+at (k) at (k) Ф) = (Ф+ at (k) а3 (k) Ф).
Второй, член в правой части (7.49) равен, следовательно, нулю; в
результате имеем для среднего значения оператора энергии — им-
пульса
<Р(1)=(ф+( 2 at(6)a%(Z0Ml^L (7.50)
Таким образом, только фотоны с поперечной поляризацией [е1^)
и е2^)] вносят вклад в энергию и импульс электромагнитного поля.
Очевидно, что состояние, в котором отсутствуют фотоны с поперечной
поляризацией, отвечает минимальной энергии. Пусть Фо — вектор
состояния, удовлетворяющий условиям
aK(k)$o = O, %= 1,2.	(7.51)
Из (7.50) заключаем, что энергия и импульс поля в состоянии Фо
равны нулю (Фо — вакуумное состояние). Условие (7.51) означает,
что в состоянии, описываемом Фо, отсутствуют фотоны с поперечной
поляризацией.
Действуя на вектор Фо операторами рождения dt(k), можно по-
строить систему векторов состояния, описывающих свободные фото-
ны с определенными 4-импульсами.
Наша цель состоит в вычислении матричных элементов перехода
между состояниями свободных частиц — матричных элементов
S-матрицы, которая [см. (1.38)1 определяется гамильтонианом взаимо-
действия. В гамильтониан взаимодействия электромагнитного поля
с другими полями могут входить операторы ЛДх) и При на-
хождении соответствующих матричных элементов S-матрицы будут,
следовательно, вычисляться матричные элементы произведения опе-
раторов поля А(х) и их производных. В следующей главе будет по-
казано, что вычисление матричных элементов S-матрицы может
быть сведено к вычислению матричных элементов нормальных про-
изведений операторов поля (все операторы уничтожения справа от
операторов рождения).При вычислении матричных элементов (Ф]Ь5Ф)
64
условимся операторами уничтожения действовать направо, на функ-
цию Ф, а операторами рождения — налево, на функцию Ф^.
Рассмотрим вначале результат действия оператора Лц+> (х) на
4
некоторый вектор состояния Ф. Представим оператор Т,
Х=|
в следующем виде:
4
^e^k)aK(k)'= 2 4(k a^(k) + e^(k)(a4(k)-^a3(k)) +
Л=1	Л=1,2
+ (^(fe) + ^(6))a3(fc).	(7.52}
Из (7.13) нетрудно видеть, что
вц(*) + <?ц(*) = М*о.	(7.53).
С помощью (7.52) и (7.53) находим, что оператор (х) равен
Л<+> (х) = Л‘г (+) (х) +	(х).	(7.54}
Здесь
4'<+’«- (2я)3/! j
Л'+‘«= - '^372 J
Т'ц (х) = (2я)3/2 -J y~2k	аз(кУ) e‘ix
Из (7.45) следует, что
Ац(х)Ф = 0.	(7.56)
дд("Н
Вследствие градиентной инвариантности член —3— может быть
ахи
опущен [из (7.55) ясно, что □ Л<+)(х)=0].
Рассмотрим теперь результат действия оператора Лц-) (х) на
вектор состояния Фф. Аналогично (7.54) получаем
4Ч(х) = 4Г <-> W + d-^^-L+ (х),	(7.57)
65
где
4r(-) (*) = ,t4v2- f ~7^= 2 4 (k) at (k) e~‘** dk,
11	(2л)3/2 J /2й0 ^,2	(7.58)
A(~> (x) = —f —L= — at (k) e~ikx dk.
v ’ (2л)3/2 J k0 v ’
Используя (7.456), находим
ф+л+(х) = 0.	(7.59)
D	“	ЗЛ(—)
Вследствие градиентной инвариантности производная -д----- мо-
жет быть опущена.
Из изложенного ясно, что при вычислении матричных элементов
перехода между физическими состояниями, удовлетворяющими усло-
виям Лоренца (7.45), следует учесть только Лц, т. е. ту часть опе-
ратора электромагнитного поля, которая отвечает рождению и унич-
тожению квантов с поперечной поляризацией.
Перейдем теперь к построению системы векторов, описываю-
щих состояния квантованного поля. На вектор Фо будем дейст-
вовать операторами at (k). Из условия Лоренца (7.45) следует,
что операторы at (k) и at (k) могут входить при этом только в
комбинации at (k)—at (k). Действительно, подействуем на вектор
состояния
Фх = (aa+ (/>) + pat (k) )Ф,	(7.60)
где Ф — вектор, удовлетворяющий (7.45), оператором a3(k')—a4(£').
Получаем
(a3(£')—a4(£')) Ф1={[(а3(й')—а4 (й'))(аа|(&) + М" (£))] +
+ (аа|(й) + раТ(й)) (а3(6')-а4(6'))) Ф.	(7.61)
Второй член в фигурных скобках при действии на Ф дает нуль. Из
перестановочных соотношений (7.40) нетрудно видеть, что первый
член равен нулю, и, следовательно, выполняется условие (7.45),
если Р = —а.
Рассмотрим теперь матричный элемент (ф+ЗФх), где
Ф1== (at (Й)->Т(Й))Ф
;[Ф и Ф2—любые векторы состояния, удовлетворяющие (7.45)].
Как мы видели, вследствие градиентной инвариантности и усло-
вия Лоренца в S-матрицу могут входить операторы ax(k) и a^+(k)
только с А = 1 и А = 2. Таким образом, используя (7.456), получаем
^t 5ФХ) = (ф+ (а+ (*) — at (£))ЗФ) = 0.
(7.62)
«6
Аналогично нетрудно показать, что
(ф+ 5Ф) = 0,	(7.63)
где
Ф2 = И (&)-at (&))<&!
[Фх и Ф—любые векторы состояния, удовлетворяющие условиям
(7.45)]. Действительно, имеем
(Ф+5Ф) = (ф+(а3(6)-а4(*)) ХФ) =
= (ф+Х(а3(*)-а4(&))ф)=0.	(7.64)
Таким образом, вследствие градиентной инвариантности и усло-
вий Лоренца матричный элемент S-матрицы обращается в нуль, если
либо начальный, либо конечный вектор состояния содержит опера-
торы (at (k) —
Векторы, описывающие состояния квантованного электромаг-
нитного поля и дающие отличные от нуля матричные элементы пере-
хода, имеют, следовательно, вид
= atm(^)...<(^)...<(^)... <(^1)Ф0.	(7.65)
Здесь индексы ..... могут принимать значения 1 и 2. Век-
тор (7.65) описывает состояние с (n(fem,%m) квантами с 4-им-
пульсом km и поляризацией eKm(km),	Ъп-\) квантами с
4-импульсом km~\ и поляризацией eKm~l и т. д.
ГЛАВА IV
Разложение хронологических
произведений по нормальным
§ 8. Гамильтонианы взаимодействия.
Нормальные и хронологические произведения
операторов поля
Наша следующая задача — вычисление матричных элементов
перехода между состояниями, описывающими свободные частицы с
определенными импульсами. Прежде чем приступать к ее решению,
докажем теорему, которая позволит представить хронологические
произведения операторов поля, входящие в S-матрицу, в чрезвычай-
но удобной для вычисления матричных элементов форме (теорема
Вика).
S-матрица определяется гамильтонианом взаимодействия
[см. (1.38)1. Рассмотрим простейшие гамильтонианы взаимодействия..
Начнем с рассмотрения взаимодействия электромагнитного поля
Л(х) и комплексного спинорного поля ф(х). Электромагнитный по-
тенциал Л(х) должен входить в лагранжиан системы таким образом,
чтобы выполнялась градиентная инвариантность. Градиентная ин-
вариантность будет обеспечена, если электромагнитный потенциал
вводится путем следующей замены в лагранжиане свободного спи-
норного поля [см. (3.48)]:
(8-1)
Из (6.3) получаем для лагранжиана рассматриваемой системы

I д ip
(8.2)
где Хйе—лагранжиан - свободного электромагнитного поля [вы-
ражение (7.7)]. Запишем лагранжиан (8.2) в виде
£ = +	(8.3)
Здесь 5%—сумма лагранжианов свободных спинорного и электро-
магнитного полей, а — лагранжиан взаимодействия. Из (8.2)
68
и (8.3) получаем
=	(8.4)
С помощью общего выражения для тока (3.40), используя (8.2), на-
ходим 4-вектор тока:
/(1(х)=1'еф(х)у(1ф(х).	(8.5)
Таким образом, лагранжиан взаимодействия спинорного и электро-
магнитного полей имеет вид
£Дх) = ]^х)А11(х).	(8.6)
Мы получили хорошо известное из классической физики выражение.
Найдем теперь гамильтониан рассматриваемой системы. Из об-
щего выражения (3.4) получаем, что плотность энергии равна
ж=т =-«-5fc+-«S-(8.7)
дфа <Эх4 дфа dxt	<Эх4
д—	д~—	д~Г~
<Эх4	<Эх4
Лагранжиан взаимодействия (8.4) не содержит производных полей
и не дает вклада в первые три члена выражения (8.7). Получаем
Ж = ЖО—£Г.	(8.8)
Здесь Жо—сумма плотностей гамильтонианов свободных полей:
d%Q	dSS0	д5?0 Мц %
0 5фа <Эх4	<Эх4 54 <Эх4 °
д ~—	д——	д ——
дх^	дх&	дх±
Из (8.8) следует, что гамильтониан взаимодействия комплексного
спинорного и электромагнитного полей
W = — £, (х) = — ie ф (х) уц ф (х)	(х).	(8.9)
Заменяя в этом выражении функции ф(х),ф(х) и ЛДх) оператора-
ми [формулы (6.38) и (7.35)1 и действуя на произведение операторов
поля оператором N, получаем гамильтониан взаимодействия в кван-
товой теории поля (гамильтониан взаимодействия у-квантов и элект-
ронов-позитронов). Отметим, что в выбранных нами единицах е2/4я~
~ 1/137.
В качестве следующего примера рассмотрим взаимодействие ком-
плексного спинорного поля ф(х) и действительного псевдоскалярного
поля ф(х) (например, взаимодействие нейтральных л-мезонов и ну-
клонов). Построим лагранжиан взаимодействия по аналогии с лаг-
ранжианом (8.4). Будем предполагать, что в лагранжиан взаимодей-
ствия не входят производные полей. Далее, лагранжиан взаимодей-
69
ствия должен быть скаляром. Это означает, что псевдоскаляр ф (х)
должен умножаться на псевдоскаляр, построенный из ф(х) и ф(х).
Получаем
5S/(x)= — г^ф(х)у5ф(х)^(х).	(8.10)
Очевидно, что этот лагранжиан удовлетворяет также требованиям
инвариантности относительно калибровочных преобразований. Тре-
буя, чтобы Sb] = Ж/, получаем, что константа g вещественна. Кон-
станта g характеризует взаимодействие между полями (аналог элек-
трического заряда). Для случая взаимодействия нуклонов и л-мезо-
нов g2/4n — 15. Нетрудно видеть, что гамильтониан взаимодейст-
вия мезонного и нуклонного полей равен
(х) = ig ф (х) у5 ф (х) ф (х).	(8.11)
В качестве последнего примера рассмотрим гамильтониан, от-
ветственный за 0-распад нейтрона:
n-> р+е~ + V.
Предположим, что в лагранжиан взаимодействия не входят про-
изводные полей. Если строить лагранжиан слабого взаимодействия,
ответственного за 0-распад нейтрона, по аналогии с лагранжианом
взаимодействия спинорного и электромагнитного полей, то 4-век-
тор (ФрУоФп) (в квантовой теории фр и фп — операторы протонного
и нейтронного полей) следовало бы умножить на 4-вектор, построен-
ный из операторов электронного и нейтринного полей (ф^Уафу)-
Такой лагранжиан был бы инвариантен относительно пространст-
венной инверсии. Из опытов следует, что слабые взаимодействия не
сохраняют четность. Согласующийся с данными опыта эффективный
лагранжиан, описывающий 0-распад нейтрона, имеет вид
= ~~ [(Фе Та (1 + Т5) %) (% Та U + хт5) ”Ф„) +
+ (% Та (! + т5)Фг) (Фп Та (1 + *Т5)%)] •	(8.12)
Добавление второго члена делает лагранжиан эрмитовым. Лагран-
жиан (8.12) представляет собой сумму скаляра и псевдоскаляра и,
следовательно, не инвариантен относительно пространственной ин-
версии. Отметим, что константы G и % равны
G«10-5-^y, %~1,2	(8.13)
(Мр— масса протона).
Обратимся теперь к выражению для S-матрицы [см. (1.38)]. Га-
мильтониан взаимодействия, входящий в это выражение, может быть
записан в виде
Д/(х0) = jj^/(x)dx,	(8.14>
70
где 3Ci(x) — плотность гамильтониана взаимодействия (х0 = f). Под-
ставляя (8.14) в (1.38), получаем для S-матрицы
S = 2	f dx2 ... f dxn P {3t! (x,)... Ж, (xn)), (8.15)
л = 0 nl J J J
где dx — dxdxa.
Гамильтониан взаимодействия должен быть задан. Наша задача
состоит в вычислении матричных элементов перехода (матричных
элементов S-матрицы) между состояниями, описывающими свобод-
ные частицы с определенными импульсами. Оператор S представ-
ляет собой сумму интегралов от хронологических произведений опе-
раторов поля. Покажем, что хронологическое произведение опера-
торов поля может быть представлено в виде суммы нормальных про-
изведений (все операторы уничтожения справа от операторов рож-
дения). Разложение хронологических произведений операторов поля
по нормальным произведениям позволит значительно упростить вы-
числение матричных элементов S-матрицы.
Начнем с рассмотрения произведений двух операторов поля. В
качестве примера будем рассматривать операторы неэрмитова спи-
норного поля ф(х) иф(х). и оператор скалярного (псевдоскалярного)
эрмитова поля ф(х). В предыдущих параграфах мы видели, что опе-
раторы ф(х), ф(х) и ф (х) могут быть представлены в виде
ф(х) = ф(+)(х) + ф(-)(х),
ф(х) =ф(+’(х) + ф(-)(х),
ф (х) = ф (+) (х) + ф(х).
Здесь
ф(+) (х) =
ф(+) (х) =~
ф (+)(%)=
(2^J (*) 7 “Г(-Р)^(Р)егр^Р,
dq
(8.16)
(8.16а)
положительно-частотные части операторов 'ф(х), ф(х) и ф(х)
(операторы уничтожения), а
ф(_) (х) =	1 (2л)3/2	J (~ V /2 “Г (~Р)	е~‘РХ dP’
(*)=	1 (2л)3/2	J '/2 е~‘РХ dp’
ф (-)(х)=	1 (2л)3/2	[	a+(q)e t<,x dq J V	j
(8.166)
71
отрицательно частотные части соответствующих операторов (опе-
раторы рождения). Определим оператор нормального произведения
N. При действии на произведение операторов скалярного поля
оператор N расставляет их так, чтобы все операторы уничтожения
стояли справа от операторов рождения (нормальный порядок). Для
случая двух операторов имеем
N (ф <+> (х)ф <+> («/)) = ф <+>(х) ф <+>(«/),
N (ф (-> (х) ф <-) (у)) = ф <->(х) ф <~>(у),
N (ф{~их)Ф(+ЧУ))= Ф{~Чх)Фш(У),	' 
(х) ф <-> (у)) = ф (->(//) ф <+)(х).
Рассмотрим произведение ф(х) ф(у). Используя (8.16) и (8.17),
получаем
#(*) Ф (У) = (Ф (+> СО + ф (-) (х)) (ф (+> (у) + ф <-> (у)) =
= 1Цф™ (х) ф (+> (у)) + ф <+) (х) ф <-> (у) +
+ ф (х) ф (+> («/)) + N( ф (х) ф <-) (у)).	(8.18)
Далее имеем
Ф £2 СО Ф(-> (У) = N (Ф(+) (О Ф(-> (1/)) + 1<Р(+> С0> <Р(-> Ш (8.19)
Из (8.18) и (8.19) находим
Ф (О Ф (У) = N (Ф (О Ф (У)) + IФ(+> (х), ф(—> (г/)].	(8.20)
Итак, произведение операторов скалярного (псевдоскалярного) по-
ля равняется нормальному произведению этих операторов плюс ком-
мутатор положительно-частотной части первого множителя и отри-
цательно-частотной части второго множителя (входит коммутатор
тех операторов, которые в исходном произведении не расположены
в нормальном порядке).
При действии на операторы спинорного поля оператор N рас-
ставляет их в нормальном порядке (все операторы уничтожения
справа от операторов рождения). Если при этом производится пере-
становка операторов поля, то произведение операторов, расположен-
ных в нормальном порядке, умножается на (—I)9, где q — число
перестановок операторов спинорного поля, которые делаются при
переходе от исходного произведения операторов к нормальному про-
изведению. Для случая двух спинорных операторов
N (^а+> (х) Й+> (У)) = 'Фа+> (х) ^+> (l/),
N (Ч>а-> (X) ^+) (l/)) = Я?а-> (X) ^+) («/),
(У))=^а-) (x)^p-) (!/), I
N (^a+)W Чу)) = —ф₽")(^Нк+) (x), )
где а и 0 — спинорные индексы.
72
Заметим, что знаковый множитель в определении оператора N
обусловлен перестановочными соотношениями для операторов спи-
норного поля. Рассмотрим, например, первое из равенств (8.21).
Действуя оператором N на произведение Ч’а+)(х)Ч>₽+>(1/), переставим
операторыifa+)(x) и i|>0+)(i/). В соответствии с определением опера-
тора N имеем
N W+) (%) Ф₽+) (*/)) = - ФГ (У) ^+) (%).	(8.22)
Из соотношений (6.40) и (8.16) следует, что
Ф J+> (У) lPa+) W = — ^а+) (*) Ф₽+>
и (8.22) совпадает с (8.21). Для операторов скалярного поля
N (ф <+) (х) ф <+’ (у)) = ф <+’ (у) ф <+) (х),
что совпадает с (8.17), так как операторы <£<+>(х) и ф'+Цу)
коммутируют.
Рассмотрим теперь произведение -фа (х) if>p (у):
% W % (^) = (^а+) (*) + ^а-> W) №₽+) (У) + Фр”’ =
= W(i^+) (х)^ (1/)) +1р^+> (х)ф<-> 0/) + ^(^-) (х)(*/)) +
+ Л/ (xH<-> (у)).	(8.23)
^а+) (*) Фр”’ = N ^а+> Фр"’ + W+) W’ Фр"’ ^1+’ (8‘24>
Подставляя (8.24) в (8.23), находим
% (*)Фр (l/) = jV(1Pa (*)% (#)) + [^а+) (Х)> Фр”’ И+’ <8’25
Из изложенного ясно, что в общем случае
U (х) V (у) = N (U (х) V (у)) + [f/<+) (х) !/<-> (г/)] ±.	(8.26)
В этом выражении минус (коммутатор) относится к случаю, когда
U (х) и V (у) — операторы скалярного (псевдоскалярного) поля, а
плюс (антикоммутатор) — к случаю, когда U (х) и V (у)—опера-
торы спинорного поля. Так как
[i^+> (х), 1р<-) (£/)]+ = 0,
[Фа+> (х), ^-) (#)]+ = 0,
то
(*) % (#) = N	W % (i/)) ’
Фа W Фр = N	W Ф₽ •
73
Рассмотрим коммутатор, входящий в правую часть соотношения
<8.20). Используя перестановочные соотношения (4.26) и разложе-
ния (8.16), получаем
{^(+)(х), 95(->(г/)]=-1-{ eZgx~'Vy [a(q), а+(<?')] dqdq' =
(2Я) J У 49о9-
= — С — е‘ч {х~у} dq.	(8.27)
(2я)« J 2?0	4
Коммутатор в выражении (8.20) является, следовательно, функцией
(х — у), а не оператором поля.
Далее с помощью (6.40) и (8.16) находим
[фа+) (X),	’ (у)]+ = ^	ига (р) 4 (р) dp. (8.28)
J pQ
Таким образом, оператор нормального произведения N опреде-
лен так, что произведение операторов как для спинорного, так и для
скалярного поля равняется нормальному произведению операторов
плюс известная функция (либо нуль).
Определим следующим образом хронологический оператор Вика:
Т(ф(х)ф (р)) =
Ф (х) Ф (у)
Ф (у) Ф (х)
(8.29)

[%(*Нр (У)
( —%(«/)%(*)
х0>У0,
Уо>х0.
Оператор Т при действии на произведение операторов скалярного
поля расставляет их в хронологическом порядке (временной аргу-
мент первого множителя больше временного аргумента второго) и
совпадает, следовательно, с хронологическим оператором Дайсона
Р [см. (1.28)]. Действуя на произведение операторов спинорного по-
ля, оператор Т расставляет их в хронологическом порядке. Если при
этом производится перестановка множителей, то хронологическое
произведение операторов умножается на —1. В общем случае п
множителей действие оператора Т сводится к тому, что операторы
поля расставляются в хронологическом порядке (временные аргу-
менты сомножителей уменьшаются слева направо) и полученное про-
изведение операторов, расположенных в хронологическом порядке,
умножается на (—1)’, где q — число перестановок спинорных опе-
раторов, которые делаются при переходе от исходного произведения
к хронологическому. Именно Т-произведения, как мы увидим ни-
же, могут быть представлены в виде суммы нормальных произведе-
ний .
74
Покажем, что в, выражении (8.15) для S-матрицы Р-произведе-
ния могут быть заменены Т-произведениями. Рассмотрим в качест-
ве примера взаимодействие электромагнитного и спинорного полей
Имеем
mw»,w)=j «'ft1!}=
( о1ф (Х2)	(Х1),	-^20 ^*^'10» )
(8.30)
где (х) = — ieN (ij> (х)	(х)) Дц (х).
При перестановке 3ti (xj и Ж (х2) (случай х20 > х10) произво-
дится четное число перестановок спинорных операторов. Это свя-
зано с тем, что в гамильтониан взаимодействия входят два спинор-
ных оператора. Очевидно, что и в общем случае п операторов
Т-произведение и P-произведение совпадают. Во всех рассмотрен-
ных примерах взаимодействия полей спинорные операторы входят
в гамильтониан взаимодействия четное число раз. Из соображений
лоренц-инвариантности ясно, что это имеет место для любого взаимо-
действия. Таким образом, S-матрица может быть записана в сле-
дующем виде:
со
5= 2 \dx.dx, ... dxnT	dx^Ж!(х2) ..,3fi(xnS). (8.31)
п = 0 п‘ J
Рассмотрим Т-произведение двух операторов скалярного поля.
Из (8.29) и (8.20) получаем
т/ ,, ...	х0>у0-
У \^(Ф(У)Ф (х)]+[ф(+\у),ф(~'>(х)], уй>хй.
Очевидно, что операторы скалярного поля под знаком оператора
N можно представлять. Имеем
N (ф(х) ф (y)) = N (ф(у)ф(х)).	(8.33)
Из (8.33) и (8.32) получаем
Т (ф (х) ф (у)) = N (ф (х) ф (у)) + ф(х)ф (у).	(8.34)
Здесь
ч I IФ<+) (%)’ Ф<-) (^)Ь	хо>1/о;
ф (х) ф (у) - J ((+)	,	t/0 > х0.
(8.35)
75
r-1 —I
Величина ф(х)ф(у) называется хронологическим спариванием опе-
раторов ф(х) и ф(у). Из (8.35) и (8.27) получаем
'ф(х)'ф(у)=
1 С 1	<х—у)
(2л)» J 2<70
—	dq,
(2л)» J 2?0
хо > Уо’>
Уо > хо-
(8.36)
Таким образом, хронологическое спаривание операторов скаляр-
ного (псевдоскалярного) поля ф (х) ф(у) — функция переменной
х—у. Обозначим
Р и с. 2
Учитывая, что q0 = )/rq2 + x2, запишем — Af (х; х) в виде
1л/ ч
х) =
1 f 1	Zqx-г ^q2 + x2x0
----I —Г	— e	dq
(2л)» J 2/q»+x2
_J_ f------1-----e-iqx + !- V^ + ^Xa d
(2л)3 J 2/q» + x2
x0>0;
(8.38)
x0<0.
Рассмотрим четырехкратный интеграл
/(x; x)
-----lim
(2л)4 e-+0
^xdq
q2 + x2—iB
(8.39)
где q = (q, iq0), dq = dq dq0 (q0 — переменная интегрирования;
интегрирование no q0 ведется от —оо до оо). Покажем, что
-^-Af(x; х) = 7(х; х). Произведем в (8.39) интегрирование по пере-
менной <70. Знаменатель подынтегрального выражения обращается
в нуль в точках
(<7о)1 = Уч2 + х2—*е'> (<7о)2= — /q2 + x2 + ie',	(8.40)
76
где е'= е/2уу2-|-х2 (е—положительная, сколь угодно малая вели-
чина; мы произвели разложение по е и удержали линейные по е чле-
ны). При х0 > 0 интегрирование в (8.39) по qa от — оо до оо можно
заменить интегрированием по контуру, изображенному на рис. 2, а
при R -> оо. Подынтегральное выражение в (8.39) имеет в нижней
полуплоскости полюс в точке (у0)х. Следовательно, интеграл (8.39)
при х0 > О равен вычету подынтегрального выражения в точке (y0)i,
умноженному на —2т (контур интегрирования обходится по часо-
вой стрелке). Полагая далее е = 0, получаем
Z(x;x)=—f----------!-----хо>0. (8.41а)
1	7 (2л)3 J 2/^+^"
При х0 < О интеграл (8.39) равен интегралу по контуру, изобра-
женному на рис. 2, б при 7? -> оо. Вычисляя вычет в точке (<70)2»
получаем
/ (х; х) = —f —	efqx+*	dq, хо<0.	(8.416)
(2л)3 J 2/q3 + x2
Легко видеть, что это выражение совпадает с соответствующим вы-
ражением в (8.38). Таким образом, хронологическое спаривание опе-
раторов эрмитова скалярного (псевдоскалярного) поля равно
х)=	^-4.	(8.42)
Рассмотрим теперь Т-произведения двух операторов спинорного
поля. Из (8.29) и (8.25) получаем
Т (% (х) % (У)) =
=	(х) % (У)) + [^а+) (х),	(у)] +, х0 > у0;
WGi’pG/Ha (х))— Щ+)(у),	(х)]+, у0>х0.
Нетрудно видеть, что N {у) 4>а (х)) =—Лг (тра (х)(г/)).(8.44)
Действительно,
Я (^а+) (х) ^+) (у)) = i|4+) (х) ^<+) (у) = — N (^+) (у) 1|/+) (х)),
м (^+>О) Фр-’ («/)) = — фр~’ (у) ^а+) (х)= —N (^-’(М+Ш
Я W Фр+> (^)) ’I’e'"’ W ^р+> (У) = — N р+> (У)	’
Я (х)	(у)) = 1^-’ (х)	(у) =	(у) ч4-) (х)).
Из этих соотношений следует (8.44). Подставляя (8.44) в
(8.43), получаем
Т (% (х)	(у)) = ЛГ(^а (х) I’pp (у)) + ipa (х)	(у),	(8.46)
77
где
।----л.
Фа(*)ФР (#) =
l'l’a+)W. Ф₽ ’(У)]+> x0>y0;
— №₽+) (У) W] + > J/o > *0-
(8.47)
Из (8.28) очевидно, что фа(-к)фр(у) — хронологическое спаривание
операторов i]’aW и фр(г/) — является a, р элементом матрицы, за-
висящей от х — у. Заметим, что в силу соотношения (8.44) именно
хронологическое произведение Вика равно при всех значениях пе-
ременных х и у нормальному произведению плюс функция [знак
минус в (8.44) компенсируется соответствующим знаком минус в оп-
ределении 7-произведения].
В общем случае двух операторов U(x) и V(y) получаем
T(U(x)V(y))=N(U(x)V(y)) + U(x)V(y),	(8.48)
где
!----1	[б7<+> (х), V(->(z/)]T, х0>у0;
U(x)V(y) = \	1	(8.49)
1±[И+)(У);	Уо>хо.
В этом выражении верхние знаки относятся к случаю, когда U(x)
и V(y) — операторы скалярного (псевдоскалярного) поля, а ниж-
ние знаки относятся к случаю спинорных полей.
Из перестановочных соотношений (6.40) и разложений (8.16)
очевидно, что
ФаМФ₽(У) = 0, фа(х)фр(у) = 0.	(8.50)
Таким образом,
Т (^a W % (У)) = N (’I’a W % (УУ),
T^a(x')%(y)) = N('i>a(.x)^(y)).	(8.51)
Рассмотрим хронологическое спаривание i[’a (х)	(у), опреде-
ленное соотношением (8.47). Имеем [см. (8.28)]
!^+> (х),	to)]+ - ~ Се» '-«>(р) 4 (р) S- d р =
J	Ро
= 7SF Jе"	^7(т»₽»+	d р “
=-*(-% 4г+,8-ш
Мы воспользовались соотношением (см. Приложение)
«а(р)«р(р) =
2г/п	/ар
78
Для антикоммутатора, определяющего Фа (*) % (*/) ПРИ Уо>хо>
из (6.40) и (8.16) получаем
ВД+)(У). Ф'~М+ = -^Г	dp =
=w f e‘"*’ ~£r (~v-+im^d ри
(8-53>
получении этого выражения было использовано соотноше-
При
ние
v г/ g \ г/	2im /а0
Приложение). С помощью (8.47), (8.52) и (8.53) для хроно-
(см.
логического спаривания операторов фа(х) и получаем сле-
дующее выражение:
(д \	1
——'rim\ ~^р(х—у;т), (8-54)
/ сф *
где

1 С е' Р (х—у)—< fm‘+p’ (х„ — у„)
(2л3) J	2/т2 + р2
I Г е— ip (х—у№/т2 + р2 (,г„ — у,)
(2л)3 J	2 т2 + р2
Эта функция совпадает с (8.38), если в (8.38) сделать замену
х-э-zn, и равна, следовательно, четырехкратному интегралу
I (х—у, т). Получаем
* _ / (} \
Фо(х)Фр(1/)=— i — iy-^~-+im\ Цх—у,т) =
\	охр.	/ар
1 ..	[ егр (ур + im)afi
=---------lim 1------------------2S- dp.
(2л)4 e->o J	p2 + «2 — ie
(8.55)
В дальнейшем в выражениях для хронологических спариваний
мы будем опускать —ie [всегда будет подразумеваться, что квадрат
массы следует заменить на квадрат массы плюс (—te)]. Выражение
(8.55) может быть записано более компактно. Исцользуя переста-
новочные соотношения для матриц уи, имеем
откуда
(yp—im)(yp + im) = !
р2 + «2
ур + im _	1
р2 4- т2. ур — im
(8.56)
(8.57)
79
Хронологическое спаривание ф (х) ф (г/) может быть записано в сле-
дующем виде:
1 J.	1 Г е'Р
<868’
§ 9. Теорема Вика
Мы рассмотрели произведения операторов полей, квантами ко-
торых являются частицы со спинами 0 и 1/2. Основываясь на общих
постулатах теории поля, Паули показал, что операторы полей, от-
вечающих частицам с любым целым спином, обязаны удовлетворять
перестановочным соотношениям типа (4.26) (квантование с помощью
коммутаторов), а операторы полей, квантами которых являются
частицы с полуцелым спином, удовлетворяют перестановочным соот-
ношениям типа (6.40) (квантование с помощью антикоммутаторов).
Частицы с целым спином удовлетворяют статистике Бозе—Эйнш-
тейна и называются бозонами, а частицы с полуцелым спином удов-
летворяют статистике Ферми—Дирака и называются фермионами.
Операторы соответствующих полей будем называть соответственно
бозонными и фермионными операторами.
Определим оператор нормального произведения N в общем слу-
чае полей с произвольным спином. Оператор N при действии на про-
изведение операторов рождения и уничтожения располагает их в
нормальном порядке (все операторы уничтожения справа от опера-
торов рождения). Если при этом производится перестановка фер-
мионных операторов, то произведение операторов, расположенных
в нормальном порядке, умножается на S = (—1)’, где q — число
соответствующих перестановок фермионных операторов. Из опреде-
ления оператора N следует, что
N (UVW... XYZ) = 6 N (UXW... ZVY).	(9.1)
Здесь	6 —(—1)?,
где q — число перестановок фермионных операторов, которые не-
обходимо произвести, чтобы от UVW...XyZ перейти к UXW...ZVY.
Отметим, что справедливо правило: под знаком N операторы поля
можно переставлять так, как в случае, если бы все бозонные опера-
торы коммутировали, а все фермионные антикоммутировали.
Определим теперь в общем случае полей, отвечающих частицам
с произвольным спином, хронологический оператор Вика Т. При
действии на произведение операторов поля оператор Т располагает
их в хронологическом порядке (временной аргумент убывает сле-
ва направо). Если при этом производится перестановка фермионных
операторов, то произведение операторов, расположенных в хроно-
логическом порядке, умножается на 6 = (—1)’, где q — число соот-
ветствующих перестановок фермионных операторов. Очевидно, что
80
(8.48)	и (8.49) имеют место для операторов любых полей [верхний
знак в (8.49) относится к случаю бозонных полей, а нижний — к слу-
чаю фермионных]. Далее из определения оператора Т следует, что
T(UVW... XYZ)=дТ (UXW...ZVY).	(9.2)
Здесь 6Х = (—1)’, где q — число перестановок фермионных опе-
раторов, которые необходимо проделать, чтобы от UVW ...XYZ пе-
рейти к UXW ...ZVY (правило перестановки операторов под знаком
Т то же, что и под знаком JV).
Теперь перейдем к обобщению (8.48) на случай Т-произведения
произвольного числа операторов поля. Определим следующим обра-
зом нормальное произведение операторов поля с хронологическими
спариваниями операторов под знаком N".
N (UVW ... R... XYZ) = SUR VX...N(W ...YZ).	(9.3)
|----------1
Здесь 6 = (—l)*7, где q—число перестановок фермионных опе-
раторов, которые необходимо произвести при переходе от
UVW... R... XYZ к URVX...W ...YZ. Например,
N (UVWR) = — UWN (VR),
если U, V, W, R —фермионные операторы.
Докажем вначале следующую лемму. Если временной аргу-
мент оператора Z меньше временных аргументов операторов U,
V, W, ... X, У, то
N (UVW ... XY)Z — N(UVW ... XYZ)-YN (UVW... XYZ) +
-f-2V (UVW... XYZ) +... + N (UVW... XYZ).	(9.4)
Достаточно доказать соотношение (9.4) в случае, когда U, V.Z—
операторы рождения и уничтожения.
Пусть Z — оператор уничтожения. Очевидно, что хронологичес-
кое спаривание двух операторов уничтожения равно нулю. Покажем,
что при х0 > г/0
7?t~)(x)Z(+)(z/) = 0.	(9.5)
Действительно,
(х) Zw (у) = Т (R(~} (х) Z(+) (у)) —
— N (R(~> (х) Z(+) (у)) =	(х) Z(+) (y)—R(~} (х) Z(+) (у) = 0.
Таким образом, в рассматриваемом случае все спаривания в пра-
вой части соотношений (9.4) равны нулю и (9.4) сводится к ра-
венству
N(UVW...XY)Z = N(UVW...XYZ),
которое очевидно (Z — оператор уничтожения).
4 Зак. 1410	81
Будем считать теперь, что Z — оператор рождения. Достаточно
при этом доказать лемму для случая, когда все операторы под зна-
ком N в левой части (9.4) являются операторами уничтожения. Дей-
ствительно, если соотношение (9.4) доказано для этого случая, то,
умножая его слева на оператор рождения D, временной аргумент
которого больше временного аргумента Z, получаем
DN(UVW...XY)Z~-N(DUVW ...XY)Z = N(DUVW...XYZ) +
+ ...+ N(DUVW ...XYZ)+N (DUVW ... XYZ). (9.6)
Мы внесли оператор D под знак N, что всегда можно сделать, так
как D — оператор рождения. Поскольку спаривание двух опера-
торов рождения равно нулю, равняется нулю последний добавлен-
ный член. Если (9.6) умножить слева на оператор рождения, вре-
менной аргумент которого больше временного аргумента Z, то полу-
чим соотношение (9.4) для случая, когда под знак N в левой его ча-
сти входят два оператора рождения и т. д. Переставляя операторы
под знаком N в обеих частях найденных таким путем соотношений,
получим (9.4) в общем случае.
Итак, приступим к доказательству (9.4) в единственном нетри-
виальном случае, когда Z — оператор рождения, a U,V,W, ...,
X,Y, — операторы уничтожения. Имеем
N (UVW ... ХУ) Z = UVW ... XYZ.	,	(9.7)
Рассмотрим произведение YZ. Так как временной аргумент опера-
тора У больше временного аргумента оператора Z, то YZ = T(YZ).
Используя (8.48), получаем
YZ = T(yZ) = N(YZ') + YZ = 8yzZY + YZ,	(9.8)
где множитель 6yz равен +1 (—1), если У и Z — бозонные (фер-
мионные) операторы. Подставляя (9.8) в (9.7) и учитывая, что
UVW... XYZ = N (UVW ...XYZ),
получаем
N (UVW ...XY)Z = 6Yz UVW.• • XZY + N (UVW... XYZ). (9.9)
Далее, заменяя произведение XZ Т-произведением, имеем
XZ = T(XZ) = W(XZ) + XZ = 6xzZX+XZ. (9.10)
Очевидно, что
6yztnziF...XZy = ^(t/VlF...XyZ).	(9.11)
Из (9.9)—(9.11) получаем
N (UVW... ХУ) Z = 6Xz 8yz UVW... ZXY +
+ N(UVW... XYZ) +N (UVW ...XYZ).	(9.12)
82
При каждом применении этой процедуры оператор Z продвигает-
ся влево и возникает дополнительный член, представляющий собой
нормальное произведение, внутри которого имеется хронологическое
спаривание оператора Z с тем оператором, через который Z перестав-
ляется. В результате получаем
N (UVW ... ХУ)Z = 6uz 6Vz... Ъхг §yzZUVW ...XY +
+ N(UVW ...XYZ)+ ... + N (UVW ...XYZ).	(9.13)
Из определения оператора N следует, что
8uz 8VZ ... 8XZ 8yz ZUVW ...XY = N (UVW...XYZ).	(9.14)
Таким образом, доказательство соотношения (9.4) завершено.
Соотношение (9.4) можно обобщить. Если умножить (9.4) на хроно-
логическое спаривание SQ, то очевидно, что полученное соотноше-
ние может быть записано в виде
N(UVSW...XQY)Z = N(UVSW ...XQYZ) +
+ 2V(i/V^...XQrZ)+ ... +N (UVSW...XQYZ).	(9.15)
I-----1
Можно умножить (9.4) на несколько хронологических спариваний.
Таким образом, соотношение (9.4) имеет место и в случае, если под
знаком операторов N в левой и правой частях равенства имеется
любое число спаренных операторов.
Приступим теперь к доказательству основной теоремы — теоре-
мы Вика. Покажем, что
Т (UVWR ...XYZ) = N(UVWR... XYZ) +
+ N (UVWR... XYZ) + N (UVWR... XYZ) + ... +
+ N(UVWR ... XYZ) +... + N(UVWR... XYZ) +...	(9.16)
В правой части этого соотношения — сумма нормальных произведе-
ний со всеми возможными хронологическими спариваниями (во вто-
рой строке (9.16) — сумма всех возможных нормальных произведе-
ний с одним хронологическим спариванием, в третьей — с двумя
и т. д.) Докажем (9.16) по индукции. Пусть теорема верна для про-
изведения п операторов UVWR...XYZ. Умножив (9.16) справа на
оператор й, временной аргумент которого меньше временных аргу-
ментов U,V,W, ... X,y,Z, получим
Т (UVWR... XYZ) Й = N (UVWR... XYZ) Й +
+ N(UVWR...XYZ)& + N(UVWR...XYZ)Q+ ... +
+ N(UVWR...XYZ)Q+...	(9.17)
4*	83
Применяя к каждому слагаемому в правой части этого равенства
доказанную ранее лемму и учитывая, что
Т (UVWR... XYZ) Q = T (UVWR ... XYZQ),
убеждаемся в справедливости (9.16) для произведения операторов
UVWR...XYZQ в случае, если временной аргумент Q меньше вре-
менных аргументов всех остальных операторов. Если в обеих час-
тях полученного соотношения переставить операторы (правила пе-
рестановки операторов поля под знаками Т и N операторов одни и
те же), то получим (9.16) в общем случае п + 1 множителя. Итак,
если теорема верйа для п множителей, то она верна для п + 1 мно-
жителя. При п = 2 соотношение (9.16) совпадает с (8.48). Таким
образом, соотношение (9.16) доказано для общего случая.
Обратимся к выражению для S-матрицы [см. (8.31)]. В это вы-
ражение входит гамильтониан взаимодействия, который, по предпо-
ложению, является нормальным произведением операторов поля,
взятых в одной и той же точке х.
Таким образом, S-матрица представляет собой сумму интегралов
от
Т (N (UVW)... N (XYZ)),	(9.18)
где операторы поля под знаком каждого N обладают одним и тем же
временным аргументом. Такие Т’-произведения носят название сме-
шанных.
Чтобы применить разложение (9.16) к смешанным Т-произведе-
ниям, поступим следующим образом. К временным аргументам всех
операторов рождения, входящих в смешанное Т-произведение, до-
бавим положительную сколь угодно малую величину е. После этого
операторы N в (9.18)^могут быть опущены. Действительно, рассмот-
рим в качестве примера Л^(17(+)(х0)У(+)(х0)1^<-)(х0)) (переменная х, от
которой зависят эти операторы, нас здесь не интересует). Получим
N (4/,+) (х0) Vt+) (х0)	(х0) =	(х0) t/(+> (х0) И+) (х0)„	(9.19)
где 6 = ±1 в зависимости от четности числа перестановок фермион-
ных операторов. С другой стороны:
Т (t/(+) (х0) Vt+) (х0) №<-> (х0 + 8)) =	(х0 + 8)	(х0) 0+) (х0)
(9.20)
[операторы в правой части (9.20) расположены в том же порядке,
что и в (9.19); множитель 8 один и тот же].
Таким образом, если во всех операторах рождения в смешанном
Т-произведении добавить к временному аргументу 8, то смешанное
Т-произведение может быть заменено обычным 7'-произведением и
представлено в соответствии с (9.16) в виде суммы нормальных про-
изведений со всеми возможными спариваниями. Затем 8 следует по-
ложить равным нулю.
84
Очевидно, что хронологические спаривания операторов, которые
в смешанное Т-произведение входят под знак одного и того же опе-
ратора N, равны нулю. Действительно, если временной аргумент
оператора рождения больше временного аргумента оператора унич-
тожения, то хронологическое спаривание этих операторов равно нулю
[см. (9.5)]. Хронологические спаривания операторов рождения и
хронологические спаривания операторов уничтожения также рав-
ны нулю. Итак, для смешанного Т-произведения справедливо разло-
жение (9.16), в котором следует опустить спаривания операторов,
входящих под знак одного и того же оператора N и обладающих од-
ним и тем же пространственно-временным аргументом.
В следующих параграфах мы убедимся в том, насколько теорема
Вика упрощает вычисление элементов S-матрицы. Прежде чем пе-
рейти к рассмотрению конкретных процессов, обсудим различные
члены разложения (9.16). Мы убедимся в том, что многие из них
эквивалентны. В качестве примера рассмотрим' взаимодействие
электромагнитного поля Л(х) и электрон-позитронного поля ф(х).
Гамильтониан взаимодействия дается выражением
W = —ieN (ф W Ф W)А ц W •
Рассмотрим первый член ряда (8.31). Используя теорему Вика
для смешанных Т-произведений, получаем
Т (М (ф (х) уц ф (х))	(х)) = N (ф (х) уд ф (х)) Лц(х). (9.21)
Рассмотрим теперь второй член разложения (8.31). Так как
оп ераторы ф и А коммутируют (разные поля), то
Т (N (ф (хх) ум ф(хх)) А» (х,) N (ф (х2) yv ф (х2)) Av (х2)) =
= T(W (ф(х!) умф(х1))М (ф(х2)ул,ф(х2)))Т(Лц(х1)Лл,(х2)).
Используя теорему Вика для смешанных Т-произведений и
г—1	I-----1
учитывая, что ф(хх)ф(х2) = 0 и ф(хх) ф(ха) = 0, получаем
Т(М (ф(х1)умф(х,))М (ф(х2)ууф(х2))) =
= М (ф (х,) уц ф (х,) ф (х2) yv ф (х2)) +
.г------------Z-------1	.
+ ^(ф(х1)уцф(х1)ф(х2)ул,ф(х2)] +
/- I----------1	X
+ N (ф (*1) Ф (*1) Ф (*2) Туф Ы) +
+ N (ф (*1) Тц Ф (*1) Ф (*2) yv Ф (х2)).	(9.23)
85
Второй член в правой части разложения (9.23) дает следую-
щий вклад в S-матрицу:
(^(x1)TMip(A?1)\p(x2)Tvi(x2)) T(All(xi)Av(x2^dxldx2. 9.24)
Переставляя под знаком N операторы
^(*2)тЛ(*2)- и Ф(*,) M(^)
и переобозначая переменные интегрирования (х^х^, находим
(*i) ф (х2) Tv !|) (x2)J Т (Дд (X!) Av (х2) dxt dx2 =
= J N (t (x,) Yv ip (x,) ip (x2) V(i ip (x2)) T (Лц (x2) Av (x,)] dx2 dxt =
= (ip (x,) T(i ip (x,) ip (x2) Yv ip (x2)J т (Дй (Xi) Av (x2)) dxx dx2.
(9.25)
При получении последнего равенства мы воспользовались тем, что
Т (Дц (х2) Av (хх)) = Т (Дг (хх) Ду, (х2)),
и переобозначили индексы ц и v, по которым производится сум-
мирование (ц, ±z; v).
Из (9.25) очевидно, что второй и третий члены в разложении
(9.23) дают одинаковые вклады в S-матрицу. Таким образом, эти
члены эквивалентны. Следует учесть лишь один из них и опустить
21 в знаменателе соответствующего члена в разложении (8.31).
Рассмотрим Т-произведение
Т (N (ip (Xj) Ym ip (xj)) N (ip (x2) yv ip (x2))JV (ip (x3) yp ip (x3))), (9.26)
входящее в следующий член ряда (8.31). Нетрудно видеть, что в
разложении (9.26) по нормальным произведениям имеется 3! нор-
мальных произведения с одним хронологическим спариванием. Пу-
тем соответствующей перестановки операторов поля и переобозна-
чения переменных интегрирования и суммирования легко убедить-
ся в эквивалентности этих членов. Далее нетрудно видеть, что в раз-
ложении Т-произведения (9.26) имеется 3! эквивалентных нормаль-
ных произведения с двумя хронологическими спариваниями, в ко-
торых неспаренные операторы обладают разными аргументами, на-
пример,
I-----□	।----J_
N (t (xi) M (xi) (хг) (*2) 'Ф (*3) ТрФ (*з)) и т- Д”
86
и три эквивалентных нормальных произведения с двумя спарива-
ниями, в которых неспаренные операторы обладают одним и тем же
аргументом, например,
/I	1—.1	* - ч
^(ф (*i)	(*,) (*2)	(*2) Ч’ (*,) М (Хз))
и т. д. Наконец, в разложении содержится два эквивалентных нор-
мальных произведения с тремя хронологическими спариваниями.
В общем случае из некоторого нормального произведения путем
перестановки пар операторов фуф под знаком N и соответствующе-
го переобозначения переменных могут быть получены все нормаль-
ные произведения, эквивалентные данному. Число таких эквива-
лентных нормальных произведений, которые дают одинаковый вклад
в S-матрицу, равно nVg, где п — число пар фуф под знаком опе-
ратора N, a g — число перестановок, не меняющих вид нормального
произведения (после соответствующего переобозначения перемен-
ных).
ГЛАВА V
Правила построения диаграмм Фейнмана
§ 10. Рассеяние элентронов
внешним электромагнитным полем.
Диаграммы Фейнмана
Используем теперь развитый аппарат для рассмотрения про-
цессов столкновения частиц. Начнем с задачи о рассеянии электро-
нов неквантованным внешним электромагнитным полем (например,
рассеяние электронов кулоновским полем ядра).
Гамильтониан взаимодействия имеет вид
(х) - — ieN (ф (х) уц ф (х)) Лц (х),	(10.1)
где ф(х) и ф(х) — операторы электрон-позитронного поля, а потен-
циал Лц(х) —заданная функция (не оператор поля).
Пусть в начальный момент времени (t -э— оо) электрон обладает
4-импульсом р, а проекция спина электрона на направление им-
пульса равна г. Найдем амплитуду вероятности обнаружения в ко-
нечный момент времени (t -> оо) электрона с 4-импульсом р' и про-
екцией спина на направление импульса г'.
Начальный и конечный векторы состояния равны соответственно
Ф„ = ^(Р)Ф0. Фр.г, = С+(/)Ф0-	(Ю-2)
Мы должны вычислить матричный элемент перехода между со-
стояниями Фрг и ФР'г', т. е.
(Ф?г'5Фрг) = (Ф^ (р')5С+(р)Ф0).	. (Ю.З)
Запишем S-матрицу следующим образом:
S = 2 S(n),	(10.4)
п=0
где
= гdXi dXnт(Х1)_Ж1 (Хл))
Оператор $<"> пропорционален еп. Так как константа е мала (еЧ4л ~
~ 1/137), то применима теория возмущений, и достаточно учесть
вклад в матричный элемент перехода членов низшего порядка
по е.
88
Вычислим матричные элементы нескольких первых операторов
в разложении (10.4) и сформулируем правила (правила Фейнмана),
которые позволят без труда получить матричный элемент любого
оператора S(n).
При вычислении матричных элементов хронологические произве-
дения будут представлены по теореме Вика в виде суммы нормаль-
ных произведений со всеми возможными хронологическими спари-
ваниями.
Оператор N расставляет операторы поля так, что операторы
уничтожения располагаются справа от операторов рождения. Ус-
ловимся при вычислении матричных элементов перехода оператора-
ми ф<+> и ф(+> действовать на начальный вектор состояния, а опе-
раторами и ф(_> — на конечный вектор состояния.
Рассмотрим член первого порядка:
Т (ф (*) Тв Ф (*)) = ^(ф W Тв Ф W) = Ф<+> W Тв Ф+ (*) +
+Л/(ф(+> (х) уц ф(->(х))+ф(-)(х) Тц ф<+>(х)+ф(-> (х) уц ф<-> (х). (10.5)
Далее,
JV (ф(+> (х) Уц ф(_> (X)) = N (ф^+> (х) (Уц)а₽ Ф₽-> (х)) =
= — фр"’ (х) (Тв)аР Фа+) (*) = — Ф<-) W Тв Ф(+) (*)•	(1 °’6)
Подействуем оператором (х) на начальный вектор состояния
Ф^+> (*)с+(Р)фо = ([Ф₽+> (Д < (Р)]+-сг+ (Р) Фр+> W) ф0- (10-7)
Используя перестановочные соотношения (6.40) и разложение
(8.16), находим
[ф^+)(х), с+ (р)]+ =
= ----2	i-Cr4p'), с+(р)] + е,₽'ха!р' =
(2л)3/2 J \ Ро /
= —дтИ-Г2 иГ^Р^1рх-	(Ю.8)
Очевидно, что фр+) (х) Фо = 0. Окончательно получаем
Фр+) (*) с? (р)фо =	( V У/2	(Р) е‘’РХ фо-	(10.9)
р	(2 л)3 2 \ Ро J
Таким образом, действуя оператором ф<+)(х) на вектор состояния,
описывающий электрон с 4-импульсом р и проекцией спина г, полу-
чаем вектор Фо, который умножается на функцию, являющуюся
соответствующим решением свободного уравнения Дирака (опера-
4В. Зав. 1410	89
тор 1|Я+>(х) уничтожает электрон). Отметим, что в общем случае, если 
Ф — вектор, описывающий любое состояние, в котором нет электро-
нов, то
ф₽+> (х) с+ (р) Ф = ( [l|^+) (х), с+ (р)] + ~с^ (р) 1|^+> W) Ф =
= тЛтГ (т 'Г «ИР)е'₽ХФ-	(10.10)
(2л)3/2 \ Ро '
При получении этого соотношения мы использовали соотношение
(10.8) и условие
фр+>(х)Ф = 0.	(10.11)
Чтобы вычислить матричный элемент оператора тр(+)(х)у(/ф<“г>(х),
подействуем оператором (х)	(*) на начальный вектор со-
стояния. Так как (х) Фо — 0, то из (10.9) находим
^а+> W ^+> (*) с+ (р) Фо = 0
(оператор t|/+>(x) уничтожает электрон; второй оператор уничтоже-
ния при действии на вектор вакуума дает нуль).
В этом можно убедиться и иначе. Используя перестановочные
соотношения (6.40), получаем
4„+> W '1‘р' ’ (х) (р) Фо = Ч+>	^а+> W Ф0 °’
Очевидно, что в общем случае, если в начальном состоянии толь-
ко частицы и нет античастиц, то оператор ф<+> при действии на век-
тор начального состояния дает нуль. Итак, оператор 4<+>(х)Ти4(+)(х)
не дает вклада в вычисляемый нами матричный элемент. Ясно так-
же, что равен нулю вклад в этот матричный элемент оператора —
i|><-)(x)yMi|><+>(x).
Рассмотрим два оставшихся оператора в правой части разло-
жения (10.5). Подействуем оператором	налево на вектор
ф+,г„ Имеем
Ф^ сг, (р')^’ (х) = ф+ ([сг. (р'),	(х)]+—(х) сг. (р')). (10.12)
С помощью перестановочных соотношений (6.40) находим
[ сг. (р')	(х)]+ = —“ f (~ Г/2< (р) е~/₽*[ с r,(p'), с+ (p)]+dp=
=—ЫЛ)1/2	(10.13)
(2я)3/2 \ Ро )
Из условия (6.46) путем эрмитова сопряжения получаем
ф+с+(р) = 0,	ф+<(р) = 0.
£0
Отсюда находим, что
<^’W = 0. Ф^«-’(х) = °.	(10.14)
Из (10.12)—(10.14) получаем
(X) =ф+—(Я‘/2 <(Р')е"гр'х.	(10.15)
(2n)0/z \Р о /
Де йствуя оператором ф(_)(х) налево на конечный вектор ФоСГ’(р'),
получаем вектор Фо", который умножается на функцию, являющуюся
решением свободного уравнения Дирака для сопряженного спино-
ра. В общем случае, если вектор Фх удовлетворяет условию
ф^_)(*)=о
(Фх—вектор, описывающий состояние, в котором нет электронов),
Ф^ сг' (Р') i’L"’ (*) =ф+([сг- (Р')>	(*)] + —Я>а-) (Х)СГ, (р') ) =
(2 л)3'2 \р0/
Таким, образом, при действии налево оператор ф(_)(х) уничтожа-
ет электрон. Это можно показать и другим способом. Из (8.16) не-
трудно видеть, что
Я’а~)М=(^+)(^)+(?4)ра-
Отсюда находим
%% ^Г’ W = «’ W фр-г-)+ (?4)ра-	(10.17)
Из (10.17) и (10.9) получаем (10.15).
Рассмотрим теперь р езультат действия оператора i]/-) (х)	(х)
налево на конечный вектор. С помощью (10.15) и (10.14) полу-
чаем
ф^ сг, (р')	(х) t|£-’ (х) = 0
I
(оператор ф(-) при действии налево на Ф^ сг, (р') уничтожает
электрон, а второй оператор (х) при действии налево на ф+
Дает нуль). Это легко показать и другим способом. Переставляя
операторы, находим
ф^ cr- (Р') Я’а-’ (х) W = фо" сг’ <Р'>	<х) = °- (10-18)
Получаем нуль, так как в состоянии Фр-,- нет позитронов. Оче-
видно, что и в общем случае оператор при действии налево
будет давать нуль, если в конечном состоянии нет позитронов.
4В*	91
Итак, оператор ф( > (х) ф( * (х) также не дает вклада в рас-
сматриваемый матричный элемент.
Отличный от нуля вклад дает оператор ф<-> (х) ?цф<+> (*)• Ис-
пользуя (10.9) и (10.15), получаем
(ф+г,5(1>фрг) =
= (Фо+ сг. (р'Уф^ (х) (уц)а₽( — ie)	(х) ф(₽+)(х)сг(р)Ф0)</х =
Х«р (Р)егрх
/21 \1/2 ы^'(р')е гр'х(—1е)(уц)аЭ (х) х
\Ро)
1
(2 л)3/2
( т у/2 , '
— ах
\ Ро
Фо.
(10.19)
Очевидно, что интеграл, который входит в это выражение, не
является оператором поля. Считая, что вектор Фо нормирован,
(ф+ Фо = 1) получаем
(ф+г,5(1>Фрг) =
-^у/2 «”(р')(—(р)
Ро/
1
(2 л)3/2
х( —?/2 А^р’-р).	(10.20)
\ Ро /
Здесь
А»(р'-Р) = j e-Z(p'-p)x A(l(x)dx.	(10.21)
. Вычислим теперь матричный элемент оператора S(2). В предыду-
щем параграфе смешанное Т-произведение, входящее в S<2\ было
разложено по нормальным произведениям [см. (9.23)]. Рассмотрим
вначале оператор
(ф (*i) Ти Ф (*i) Ф W Tv Ф (х2)).
Очевидно, что он не дает вклада в интересующий нас матричный эле-
мент. Действительно, представим операторы ф и ф в виде суммы по-
ложительно-частотной и отрицательно-частотной частей. Получим
сумму произведений, в каждое из которых входят четыре операто-
ра поля. Ясно, что в каждое произведение входит не меньше двух
положительно-частотных либо отрицательно-частотных операторов.
Два положительно-частотных оператора при действии на началь-
ный вектор, описывающий один электрон, дают нуль. Два отрица-
тельно-частотных оператора при действии налево на конечный вектор
состояния, описывающий один электрон, также дают нуль.
Рассмотрим нормальные произведения с одним хронологическим
спариванием. В разложении (9.23) имеется два таких члена, даю-
щих, как мы показали, одинаковый вклад в S(2). Поэтому доста-
точно рассмотреть один из них, например,
I----1
N (ф (*i) Тн Ф (*i) Ф (*2) Tv Ф(*2)) •	(10.22)
92
Если t|?(x2) и 4(zi) разложить на положительно-частотную и отрица-
тельно-частотную компоненты, то получим четыре члена. Из изло-
женного выше ясно, что при вычислении рассматриваемого матрич-
ного элемента следует учесть только один из них, а именно
(*1) (Тц)а₽ Ч’Р (Х1) Фр W (ь)ра ^а+) (Х2).	(10.23)
Используя (10.9), (10.15) и (8.58), получаем
(Ф?^(2)фР>
= (-о2ф+ С —1—- /—'j1/2 е_/р ** й;' (р')(-ie)ыарх
J (2л)3'2 \р0 )
X Г f dP1 f(-ie)(b)poe^^ (р)Х
(2л)4 LJ \ypi — imJpp	J
xf—--------——- Ац (Xj) Лт (х2) dx± dx2 Фо =
\ Ро /	(2л)3/2
= (_j)2 С--!— (	1/2 иг' (р') (—ie) i------!---X
J (2 л)3/2 \ Ро /	(2п)4 VPi—im
X(—ie)yvur(p)----V/2 Ац,(р' — рх)A(pi—p)dP1. (10.24)
(2л)3/2 \ Ро J
Рассмотрим теперь матричный элемент оператора S(3). Отличный
от нуля вклад в матричный элемент процесса рассеяния электронов
внешним полем даст оператор
_	1----L 1--------------2.
Ч1'-’ (*1) Ъ Т (*1) Т (х2) yv 1|> (х2) (х3) уР 1|>(+) (Х3).	(10.25)
В разложении хронологического произведения, входящего в S(3),
по нормальным имеется 3! членов, эквивалентных (10.25). Исполь-
зуя (10.8), (10.15) и (8.58), получаем
(Ф4Г (р')5(3)с+(р)Фо) =
,	..„Г	1	/ т \ 1/2 -г> .	.	(—1)
= (—г)3 -------/ — 1 и (р)( —ге)Ти^--------X
J(2n)3/2\pJ	'гр(2л)4
X----(— ie) Tv -----------Ц-, (—ie) Тр иг (р)-5—- X
yp-L—im	(2л)4 ург—тц	(2л)3/2
X ( -^-V/2 Лц(р'— Р1)Ау(Р1 — р2)Лр(р2—p)dP1, dp2. (10.26)
Теперь легко может быть записан вклад любого оператора S(n)
в матричный элемент рассматриваемого процесса. Члены любого
порядка в разложении матричного элемента по е строятся из одних
и тех же величин, расположенных в определенном порядке и вхо-
93
дящих всюду с одними и теми же множителями: начального спинора
иг(р), матриц у, фурье-компонент электромагнитного потенциала,
операторов 1/(ур — im) и конечного спинора иг’(р')- Это опреде-
ляется тем, что в рассматриваемый матричный элемент дают вклад
только такие операторы, которые строятся из оператора ф(+), унич-
тожающего начальный электрон, матриц у, потенциала Л, хроноло-
гических спариваний и оператора ф<_>, уничтожающего конечный
электрон.
Если величинам, входящим в матричный элемент, поставить в
соответствие линии и вершины диаграммы, то диаграммы, отвечаю-
щие членам любого порядка в разложении матричного элемента по
е, будут строиться из одних и тех же элементов. Матричному эле-
менту первого порядка [см. (10.20)] поставим в соответствие диа-
грамму, изображенную на рис. 3.
Пусть прямой линии, выходящей из диаграммы, которой припи-
сан импульс р', отвечает в матричном элементе спинор
1	/ т \ 1/2 -Г't
» —°
(2л)3/2 \ р0 I
„	1	/т\1/2 г. .
входящей линии с импульсом р отвечает спинор--------/ — | иг (р),
(2л)3/2 \Ро)
вершине — матрица (—ie)yu, а волнистой линии с крестиком
на конце — фурье-компонента электромагнитного потенциала
Лр,(р' — р) (аргумент—разность выходящего и входящего 4-им-
пульсов).
Для получения матричного элемента (10.20) необходимо,, дви-
гаясь в направлении, противоположном стрелкам на прямых ли-
ниях, выписать величины, отвечающие прямым линиям и вершине
на диаграмме рис. 3, а затем умножить полученное выражение
на фурье-компоненту потенциала, отвечающую волнистой линии.
Найденное выражение следует умножить также на —t.
Матричному элементу (10.24) (член следующего порядка) по-
ставим в соответствие диаграмму рис. 4. По сравнению с диаграм-
мой, изображенной на рис. 3, на этой диаграмме имеется один но-
94
вый элемент — внутренняя линия. Припишем этой линии импульс
Pi и условимся, что ей отвечает оператор
1______1
(2л)4 ypt — im
Примем для внешних линий и вершин диаграммы рис. 4 те же
правила соответствия, что и для диаграммы рис. 3. Очевидно, что
для получения матричного элемента (10.24) необходимо, двигаясь
против стрелок на сплошных линиях, последовательно выписать
те величины, которые отвечают линиям и вершинам, умножить по-
лученное выражение на фурье-компоненты потенциала, отвечаю-
щие волнистым линиям, а затем проинтегрировать полученное вы-
ражение по импульсу Найденное таким способом выражение сле-
дует умножить на (—г)2.
Если принять сформулированные выше правила, то нетрудно
видеть, что матричному элементу третьего порядка (10.26) соответ-
ствует диаграмма рис. 5.
Диаграмма, отвечающая члену n-го порядка, очевидно, состоит
из п вершин и п волнистых линий (число гамильтонианов взаимо-
действия), п — 1 внутренней линии (число хронологических спари-
ваний) и двух сплошных внешних линий (неспаренные операторы).
Таким образом, диаграммы позволяют представить графически
члены ряда теории возмущений. Они носят название диаграмм Фейн-
мана. С помощью диаграмм Фейнмана легко учесть (по теории воз-
мущений) все определяемые гамильтонианом взаимодействия воз-
можности перехода системы из начального состояния в конечное.
На рис. 3 электрон взаимодействует с внешним полем и из состоя-
ния с импульсом р переходит в состояние с импульсом р'. На рис. 4
электрон взаимодействует с внешним полем и переходит из состоя-
ния с импульсом р в промежуточное (виртуальное) состояние с им-
пульсом	т2, р± — переменная интегрирования), распро-
страняется в этом состоянии, затем еще раз взаимодействует с внеш-
ним полем и переходит в конечное состояние с импульсом р. Опе-
(—1) 1 ,
ратор р _im , отвечающий внутренней линии диаграммы (рас-
пространению электрона в виртуальном состоянии), называется
электронным пропагатором. На рис. 5 электрон переходит из на-
чального состояния в промежуточное с импульсом рг, затем в про-
95
межуточное с импульсом р1? наконец, из промежуточного с импуль-
сом Pi в конечное состояние.
Диаграммы более высоких порядков отличаются от этих диаг-
рамм дополнительными переходами в промежуточные состояния,
вызываемыми взаимодействием с внешним полем. Электрон, взаимо-
действуя с внешним полем, может переходить либо из реального со-
стояния в реальное, либо из реального в виртуальное (из виртуаль-
ного в реальное), либо из виртуального в виртуальное. Эти возмож-
ности и реализуются диаграммами Фейнмана.
В следующих параграфах мы рассмотрим взаимодействие кван-
тованного электромагнитного и электрон-позитронного полей и на-
учимся строить диаграммы Фейнмана для различных процессов с
участием электронов, позитронов и у-квантов.
В заключение вернемся к рассмотрению оператора Х(3). В раз-
ложении входящего в Х(3> смешанного Т-произведения по нормаль-
ным, кроме учтенного нормального произведения с двумя хроноло-
гическими спариваниями, имеется также следующий член:
.L i=Z i _
N (фС^уцф (xj ф(х2)ууф(х2)ф (x3) уРФ(х3)).	(10.27)
Этот оператор представляет собой произведение оператора
Г	।—1	~1
N (ф (хз) Тр Ф (*з)) на функцию ф (xj уц ф (xj ф (х2) yv ф (х2), не
имеющую общих переменных с оператором. Матричный элемент
оператора (10.27) пропорционален, следовательно, матричному
элементу оператора X*1).
Нормальные произведения, распадающиеся на произведение двух
множителей, не имеющих общих переменных (оператор поля и про-
изведение хронологических спариваний), при вычислении матрич-
ного элемента перехода учитывать не следует. Действительно, сгруп-
пируем члены Х-матрицы, пропорциональные А'(ФУцФ)- С учетом
эквивалентности членов, отличающихся перестановкой переменных,
получаем
(—0 j (—»>) N (ф W Тц Ф W) Ац (х) dx Г1 + Ь^-2(— i X
XJ N (ф (xj уц ф (Xi) ф (х2) УуФ(х2)Дц(х1) Лу(х2) dx2dx2 + ... .
(10.28)
Нетрудно видеть, что ряд в квадратных скобках представляет собой
матричный элемент
(Ф+ХФО).	(10.29)
Очевидно, что вклад в матричный элемент (10.29) дают только те
члены Х-матрицы, в которых спарены все операторы поля. Имеем
(ф+х(0)ф0) = 1, (ф+х(1)ф0) = о,
96
(ф+ S(2) Фо) ==	j (—ie)a ф (xj Тц ф (xx) ф (x2) yv ф (x2) x
x	(Xj) Av (x2) dxr dx2 и т. д.
Аналогично можно убедиться, что матричный элемент любого
члена S-матрицы, который не распадается на произведение мно-
жителей (оператор поля и хронологические спаривания), не имею-
щих общих переменных, умножается на (Ф0н5Ф0).
Матричный элемент рассмотренного процесса рассеяния элект-
рона внешним полем может быть, следовательно, записан в следую-
щем виде:
(♦?Г »„) - (•?<10-30>
где матричному элементу RP'r'lPr отвечают диаграммы рис. 3 — 5
и т. д.
Векторы состояния (10.2) описывают электрон и вакуум. Нас
интересует амплитуда вероятности перехода электрона из состояния
с импульсом р в состояние с импульсом р' при условии, что вакуум
останется вакуумом (условная вероятность). Чтобы получить эту
величину, полную амплитуду перехода (Ф^г- 5Фрг) нужно разде-
лить на амплитуду вероятности того, что вакуум останется вакуу-
мом, т. е. на(Фо’ЗФо). Таким образом, матричный элемент рассеяния
электрона дается отношением
W''	.	(10.31)
Отметим, что это замечание относится не только к процессу рас-
сеяния электрона внешним полем, но и ко всем физическим процес-
сам.
§ 11. Процессы с участием электронов, позитронов
и т-нвантов.
Рассеяние у-кванта электроном
В этом параграфе будет рассмотрено взаимодействие квантован-
ного электромагнитного и электрон-позитронного полей и сформу-
лированы правила построения диаграмм Фейнмана для процессов
с участием электронов, позитронов и у-квантов.
Начнем с рассмотрения процесса рассеяния у-кванта электро-
ном (эффект Комптона):
Т + е->у + е.	(11.1)
11усть k и р (k' и р') — соответственно 4-импульсы начальных (ко-
нечных) фотона и электрона; г и г' — проекции спина начального
и конечного электронов, а X и X' — индексы векторов поляризации
97
начального и конечного фотонов (начальный и конечный фотоны мо-
гут обладать только поперечной поляризацией, т. е. X и X' прини-
мают значения 1 и 2). Начальный и конечный векторы состояния
равны:
ФР^,г^=с<(Р')^(й')фо-
Рассмотрим матричный элемент процесса
^г'.^'5ФРг.Л
(11.3)
Оператор S дается выражением (10.4), а гамильтониан взаимо-
действия равен
%i(x) = — ieN (ф (х) ф (х)) Лц(х),	(11.4)
где ф(х), ф(х) и Лц(х) —операторы поля.
На начальный и конечный векторы состояния будем действовать
вначале операторами электрон-позитронного поля, а затем опера-
торами электромагнитного поля. Покажем, что оператор S(1) не дает
вклада в матричный элемент процесса (11.1). Очевидно, что из четы-
рех членов, возникающих при разложении ф(х) и ф(х) на положи-
тельно-частотные и отрицательно-частотные части, только оператор
ф(_,(х)ТцФ(+,(х) дает отличный от нуля вклад в матричный элемент.
Из (10.10) и (10.16) получаем
Ф₽+) W ct (р) а+ (k) фо = —р У/2	(Р)	4 (k) фо,
(2л)л/^ \ Ро /
<	(*') cr' (Р') ФГ' (*) = ф^ (*') -^з7г(—1/2 ur' (p')e~ipx.
(2Л) \pQl а }
(Н-5)
Чтобы найти матричный элемент S*1), необходимо, следовательно,
вычислить*
(Фр4*')<(х)а+(*)Ф0):	(П-6)
Оператор Л4ЦГ (х) равен
л‘;(х)=л‘;(+)(х)+лф-)(х),	(и.?)
* Как показано в § 7, вследствие условия Лоренца и градиентной инва-
риантности при вычислении матричных элементов необходимо учитывать
только поперечную часть неспаренных операторов электромагнитного поля.
9S
где
Л‘г(+) (х) = —!— [ —— V ? (6) a. (k) eikx dk,
11	(2л)3/2 J /2^ ХД2	>
4"<’’М = ^1'7ЙГ 2 <(*)a+me-M'A. (11.8)
(2Л) V у ZRq х=1,2
Подействуем оператором Л^г<+) (х) направо на вектор а+ (fe) Фо :
Л‘г(+)(х)а+(й)Ф0=([Л^+)(х), а+(й)]+а+(Л)Л‘;<+)(х))Ф0. (11.9)
Используя перестановочные соотношения (7.40), из (11.8) полу-
чаем
[Л^+)(х), <(£)] =
=—- С-Д= У ек' (k')elkx[a.,(k'), a+(fe)] dk' =
(2л)3/2 J y2k-o K^ 2 H	I И ' О В
Так как
Лц (+)(х)Фо = О,	(11.11)
то из (11.9) и (11.10) находим
Л^г<+)(х)at(*)Фо = -^з7Г -7=^^(^)^фо-	(П-12)
(^Л.) У Zkq
Отметим, что если Ф—любой вектор, удовлетворяющий условию
Лд <+) (х)Ф = 0,	(11.13)
(Ф описывает состояние, в котором нет фотонов с поперечной
поляризацией), то аналогичным образом
Л^(+)(х)а^(^)Ф = (1^ у^-емх(й)е«^Ф. (11.14)
Оператором Л^г <-) (х) подействуем налево на вектор Фо~ av (£')•
Находим
Ф^ ах- (k') Л‘цг <-> (х) = ФТ ([ах- (^'), 4Г (_’ (*)] н-
+ ЛцГ<-> (х) av (fe')) =	(-^з7Г y=^'(fe')e-Zft'<	(11.15)
При получении этого соотношения были использованы переста-
новочные соотношения (7.40), разложение (11.8) и условие
Ф^ ЛГ"’ (х) = 0,	(11.16)
99
которое следует из
Ф^(/0 = (М^)Фо)+ = О, 2с =1,2.
Отметим, что соотношение (11.15) можно получить иначе. Из
(11.8) очевидно, что
И	Л,;(-)(х) = (Л^г(+)(х))+.	(11-17)
ф£аг(6')4г(-)(х)= (ЛцГ(+)(х) at' (£')Ф0)+-	(П-18)
Используя (11.12), получаем отсюда (11.15).
Если вектор Фх описывает любое состояние, в котором нет
поперечных фотонов (Ф^ ЛцГ(-) (х) = 0), то, очевидно, что
ФГаИ^Л‘г(->(х) = Ф^-^	(П.19)
Рассмотрим теперь матричный элемент (11.6). Используя (11.7),
(11.12) и (11.15), получаем
(Ф^аг(й') Лц(х)а^(&)Ф0] =
= Га^'	+
(2л) ' [ у 2k0
4'(^')е”/А'"(ФфйГ(^)Ф0) .	
/2*0	J
(11.20)
Очевидно, что
(Ф^аг(^')Фо) = О, (Ф^(£)Фо)=О.	(11.21)
Таким образом, (ФР'Г-,	5(1)Фрг, ал) = О.
Перейдем теперь к рассмотрению матричного элемента опера-
тора S(2). Ясно, что в разложении Т-произведения операторов
электрон-позитронного поля по нормальным произведениям от-
личный от нуля вклад дает член
I	I
ф(~ ’ (*i) Ф (*1)Ф (*2) Ф(+) (*2)
(11.22)
(оператор ф(+)(х2) уничтожает начальный электрон, а ф(->(х1)
уничтожает конечный электрон). Напомним, что таких членов в вы-
ражении для S-матрицы 2!. Используя (11.5), получаем:
(Ф?г-,^-5(2)Фрг,
xZ(p')e-'»'-(-ie)T -t-11 е'о.х
pi—im
100
X (Ф^ ^(^)Т(Лц(х1)Лу(х2))4(й)Ф0)],	(11.23)
где р1 ~ р1 у = р1(1 Этим обозначением мы будем широко поль-
зоваться в дальнейшем.
В соответствии с теоремой Вика имеем
Т (Л1х(х1) Лг(х2)) = N (Лц(х1)Лг(х2)) + Лц^) Лу(х2). 01-24)
Далее получаем*
N (Лц (xj Л v (х2)) = Л‘+) (xj Л<+) (ха) + А{Г} (xj Л ‘+> (х2) +
+ Л<Г > М Л{1+)(х1) + Лц~ > (Xj) Л<- > (х2).	(11.25)
Очевидно, что оператор Лц+) (xj Х+) (х2) не дает вклада в мат-
ричный элемент (11.23) (оператор Л(,+) (х2) уничтожает началь-
ный фотон, затем оператор Лц^^), действуя на вектор Фо,
дает нуль). Вклад оператора Л\-) (xj Л(,-) (х2) также равен
нулю. Отличный от нуля вклад в матричный элемент (11.23) дают
только второй и третий члены разложения (11.25). С помощью
(11.14) и (11.19) находим
(ф+	(k') N (Лй (хх) Av (х2)) at (k) Фо) =
= (Ф^ Фо)
1
(2л)3/2
-7^= ev(k')e~li'x‘
1
(2л)3/2
(2я)3/2 /2fe'
1 i
(2л)3/2
—U e^(k)eikX1 +
j/2fe0
4 (6)е/ъЧ. (11.26)

Подставим (11.26) в (11.23). Интегрируя по переменным хх и х2
используя условие нормировки (Ф^Ф0) = 1, получаем**
(ФР'Г', W'S(2) Фрг,М.) =
( Г! 1	/ т \ 1 /2 — г,
= ( —О2 Ц - 3/2 ~
и[(2л)3/2 \ Ро /	и
X б(р'+ k’ — рг)	—Ц- ( — ie)yv(2n)46(p! — р— k)ur(p)X
(2л)4 pi—im	v
* При вычислении матричных элементов S-матрицы следует учитывать
только поперечную часть оператора А, т. е. 4tr (см. § 7). В дальнейшем индекс
tr у неспарениых операторов электромагнитного поля будет опускаться.
** Чтобы установить правила соответствия матричных элементов и диа-
грамм, мы выписываем все функции н операторы вместе с теми множителями,
с которыми они возникают.
101
т=т 4(6)] dpi +
—— (>41/2 —-±= 4' (6')—^ —!— e^k)]dP1 +
(2л)3/2 \ Ро /	(2л)3/2 /2-й0	7 (2л)3/2 y2k0
+ f [/о !з/2 (Y/2 “г" (р') (—ie^n (2л)4 6 <р'—k—Х
J [(2л)	\ Ро /
X зг—--------(— ie) v (2л)4 6 (рх 4- k'—р) иг (р) —^72- X
(2л)4 P1-iin ’ 14	'	Г V /(2n)3/2
/ т \ 1/2	1	1	Х/<.\	1	1	Х'/л/\1 >	)
(^ 71^ u	J Р1\ (11‘27)
Поставим в соответствие первому члену в (11.27) диаграмму Фейн-
мана рис. 6. Условимся, что прямым выходящей и входящей лини-
ям отвечают конечный и начальный спиноры
Внутренней линии, помеченной импульсом р1г отвечает матрица
(—1) 1
(2л)4 р—im
Первой вершине отвечает (—ie) yv (2л)4 6(рх— р — k) волнистой ли-
нии, входящей в эту вершину — вектор поляризации начального
фотона 4(6), умноженный на г/* у==- Аргументом 6-функции яв-
ляется разность между выходящим из вершины 4-импульсом и сум-
мой входящих 4-импульсов. Таким образом, 6-функция обеспечи-
вает сохранение полного 4-импульса в вершине.
Пусть второй вершине на диаграмме отвечает матрица
(— ie) (2л)4 6 (р' + 6'—рх),
а волнистой линии, выходящей из этой вершины, — множитель
—----------------------------7= 4' (К)
(2л)3/2 V 2k0
(аргументом 6-функции является разность между полным выходя-
щим и полным входящим 4-импульсами).
Если принять эти правила, то как видно из рис. 6 и выражения
(11.27), для получения матричного элемента нужно, двигаясь вдоль
сплошной линии против стрелки (начиная с конца), выписать все
102
элементы, . которые отвечают прямым линиям и вершинам. Затем
полученное выражение следует умножить на величины, отвечающие
волнистым линиям, произвести суммирование по индексам р, и v
и интегрирование по импульсу внутренней линии рг.
Диаграмма рис. 6 описывает следующую последовательность ак-
тов взаимодействия. Начальный электрон поглощает начальный
фотон и переходит в промежуточное (виртуальное) состояние с им-
пульсом pv Затем электрон движется в промежуточном состоянии.
Наконец, виртуальный электрон с импульсом рг испускает конеч-
ный фотон и переходит в конечное состояние. По всем импульсам
виртуального электрона следует произвести интегрирование.
к' Г" '
/ Pi X
/р '
1	Р и с. 7
Вершины диаграммы определяются гамильтонианом взаимодейст-
вия. В каждую вершину входит и из каждой вершины выходит сплош-
ная линия (ф и ф в гамильтониане); кроме того, в вершину входит
или из вершины выходит волнистая линия (оператор Л). Сохранение
полного 4-импульса в каждой вершине обеспечивает сохранение
полного 4-импульса в процессе рассеяния. Отметим, что чисдо вер-
шин совпадает с порядком теории возмущений по е.
Очевидно, что кроме той возможности перехода из начального
состояния в конечное, которая описывается диаграммой рис. 6, име-
ется еще и другая возможность, а именно: начальный электрон мо-
жет вначале испустить конечный фотон, перейти в промежуточное
состояние, а затем поглотить начальный фотон и перейти в конечное
состояние. Этой возможности отвечает диаграмма рис. 7.
В соответствии со сформулированными правилами первой верши-
не следует поставить в соответствие
(— ie)yv (2л)4 6 (pj + k' — р),
второй
(— ie) Уц (2л)4 6 (р'—k—Pi)
(аргументом как первой, так и второй 6-функции является разность
суммарных выходящих и входящих 4-импульсов). Волнистой ли-
нии, выходящей из первой вершины, следует поставить в соответ-
ствие
—-------е*' (k’),
W3/2 V 2k'o
103
а волнистой линии, входящей во вторую вершину,—

Двигаясь против стрелок на сплошной линии и выписывая чле-
ны, отвечающие элементам диаграммы, получаем второе слагаемое
матричного элемента (11.27).
Таким образом, во втором порядке теории возмущений процесс
рассеяния у-кванта электроном описывается двумя диаграммами.
Очевидно, что по импульсу промежуточного электрона можно
проинтегрировать. В результате получаем следующее выражение для
матричного элемента комптон-эффекта во втором порядке теории
возмущений:
(2л)6	4p0p0k0k0 J
X (—ie)2(2n)86(p' + fe'—p—k)X
X [и" (p')e(£')у —---------- ev(fe)yvи (p) +
|_	p-^-k—im
+ W" (/) Сц (fe) уц -------
p — k' — im
еУ(Н?Х(р) •	(и-27а)
Рассмотрим теперь оператор S(3> — следующий член в разло-
жении S-матрицы. Этот оператор содержит Т-произведение
Т (Ац (хх) Av (х2) Ар (х3)).
Если это Т-произведение разложить по нормальным произведениям,
то получим член А(ЛДхх)Л Дх2)Лр(х3)) и сумму всех возможных
нормальных произведений с одним хронологическим спариванием.
Очевидно, что нормальные произведения с одним хронологическим
спариванием не дадут вклада в матричный элемент процесса (рас-
смотренный ранее случай одного оператора Л). Рассмотрим нор-
мальные произведения трех операторов электромагнитного поля.
Если все три оператора — операторы рождения, то, действуя на-
лево на конечный вектор состояния, получим нуль. Если один опе-
ратор является оператором уничтожения, то два других — опе-
раторы рождения, и получим также нуль. Если два или три опера-
тора — операторы уничтожения, то получим нуль при действии на
начальный вектор состояния. Таким образом,
(Фр-г'. А'г5(3)Фрг,^) = 0.	(11.28)
Аналогичным образом нетрудно показать, что операторы S<2"1+1*
(m — любое целое число) не дают вклада в матричный элемент про-
цесса (11.1).
104
Рассмотрим оператор S(4). Отличный от нуля вклад в матричный
элемент процесса дает, в частности, следующее произведение опе-
раторов электрон-позитронного поля:
_	'---1------------□	1----2.
ф(-) (*i) Уц (*i) ’I’ (*2) yv Ip (х2) (х3) ур 1|> (х3) -ф (х4) ус Ф<+) (х4). (11.29)
В разложении исходного Т-произведения имеется 4! членов, экви-
валентных (11.29).
Перейдем теперь к рассмотрению нормальных произведений
операторов электромагнитного поля. Очевидно, что отличный от
нуля вклад в матричный элемент процесса (11.1) могут дать следую-
щие нормальные произведения с одним хронологическим спарива-
нием:
N (Л ц (х4) Av(x2) Ар (х3) Ар (х4)),
1----------,
N (Лр^)(ха) Лр(х3) Ла(x4)j и т. д.
;(и.зо)
Далее, отличный от нуля вклад в матричный элемент могут дать
только произведения отрицательно-частотных и положительно-ча-
стотных компонент операторов, т. е.
Лц (хх) Ла (х4) [Л <-> (х2) Лр+) (х3) + Лр-) (х3) Лv+) (х2)],
Лр (хг) Лр (х3) [Л(х2) Л<г+) (х4) + Ла-) (х4) Л$+) (х2)] .
(11.31)
И т. д.
Для вычисления матричного элемента оператора S(4) необходимо
знать хронологическое спаривание операторов электромагнитного
поля. Используя перестановочные соотношения (7.40) и разложе-
ния (7.35), из общего выражения (8.49) получаем
।------1
Лр (#1) А а (х4) =
J 2	х10>х40;
= ! Д*	,	(11.32)
(2л)з J ^2]	(^) (^)'Пх 2fe0 е lk('X1 Xi^ dk, х402>х10.
Векторы eK(k) образуют полную систему. Из (7.15)
4
2 ^(Л)^(Л)т)х = бра.
Х= 1
Сравнивая (11.32) и (8.41), заключаем, что
।---------------------------I
Лр (^1)	(-Г4) = бра I (Х4	Х4, 0) =
=-------бра lim I —------------dk.
(2л)« e-o J kl~^
очевидно, что
(11.33)
(11.34)
105
Вычислим теперь вклад в матричный элемент комптон-эффек-
та оператора:
г - _	1------ 1----------------
(—i)4 J Ф(-> (xj (—ie)	ф (х2) ф (х2) (—ie) yv ф (х2) ф (х3) х
I----Li	I-----1
х (—ie)Урф(х3)ф(х4)(—ie)уоф(+) (х4)Др(хх) До(х4) X
X 4v-> (х2) Др+) (х3) dxt dx2 dx3 dx4.	(11.35)
P и с. 8
Используя (11.5), (11.12), (11.15), (11.34) и (8.58) и выполняя
интегрирование по переменным хп х2, ..., получаем
1/2
X
(-1)
(2л)4
5(4)ФрГ, ftX) =
)4 f [/-^7372- (‘	(р') (—“0 Ур (2л)4 6 (р'—Р1 — kJ X
X —1 . (— ie) Ур (2л)4 6 (р2 — k—р3) X
р2 t/и
~ 1 . (—ie) Уо (2л)4 6 (р3—р + kJ и' (р) (—
Рз— гт	\ Ро
-4т- -М- бра 4 —-7= & (*=') X
fef (гл)3/2 У2УО
ep(k)dp1dp2dp3dk1 +-..
Х(2л)8/2 (2л)4
х _1_______5
(2л)8/2 У 2йв
(11.36)
Вычисленному члену матричного элемента оператора 3«) отвечает
диаграмма рис. 8. По сравнению с рассмотренными ранее диаграм-
мами на этой диаграмме имеется новый элемент — внутренняя вол-
нистая линия. Очевидно, что этот новый элемент диаграммы связан
106
с хронологическим спариванием операторов электромагнитного
поля. Поставим в соответствие внутренней волнистой линии диаграм-
мы
(-0
(2л)*
1 х
If
где — 4-импульс внутренней волнистой линии; р ио —• индексы
матриц, расположенных в вершинах, соединенных этой линией. Для
всех остальных элементов примем те же правила соответствия, что
и для диаграмм рис. 6 и 7. Если, двигаясь против стрелки вдоль
сплошной линии рис. 8, выписывать величины, которые отвечают ли-
ниям и вершинам, а затем умножить полученное выражение на вели-
чины, отвечающие волнистым линиям, и проинтегрировать получен-
ное выражение по импульсам всех внутренних линий, то при этом
получается вычисленный член матричного элемента.
Диаграмма рис. 8 описывает следующую последовательность
актов поглощения и испускания. Начальный электрон испускает
виртуальный фотон с импульсом kr и переходит в промежуточное
состояние с импульсом р3. Затем виртуальный электрон поглощает
начальный фотон и переходит в промежуточное состояние с импуль-
сом р2- Далее виртуальный электрон с импульсом р2 испускает ко-
нечный фотон и переходит в промежуточное состояние с импульсом
pi. Наконец, виртуальный электрон с импульсом поглощает вир-
туальный фотон и переходит в конечное состояние. Величина
(2л)* k* 0,W
описывает распространение виртуального фотона и называется фо-
тонным пропагатором.
Очевидно, что второй член в квадратных скобках (11.31) при-
водит к слагаемому в матричном элементе, которому соответствует
диаграмма рис. 9 (вначале испускается виртуальный фотон, далее
испускается конечный фотон, затем поглощается начальный фотон
и, наконец, поглощается виртуальный фотон).
Из изложенного ясно, что оператор (11.29) отвечает изобра-
женному на рис. 10 остову диаграмм. Различные члены в раз-
ложении Т-произведения операторов электромагнитного поля
107
соответствуют различным возможным способам присоединения на-
чального, конечного н виртуального фотонов к вершинам на рис. 10.
Отметим,' что формальное интегрирование выражений, отвечающих
этим диаграммам, приводит к бесконечностям. Чтобы вычислить
истинный вклад членов четвертого порядка, необходимо произвести
перенормировку массы и заряда электрона. После перенормировки
вклад этих членов окажется конечным. Здесь мы не будем обсуждать
Рис. 10
вопросы, связанные с перенормировками. Мы рассмотрели мат-
ричный элемент оператора Х<4) лишь для того, чтобы показать, как
строятся диаграммы более высокого, чем первый неисчезающий,
порядка.
Рассеяние электрона на электроне
В качестве следующего примера рассмотрим процесс рассеяния
электрона свободным электроном
е-\- е-> е-\- е.	(11.37)
Пусть р1} р2, и pi, р2 обозначают 4-импульсы начальных и ко-
нечных электронов соответственно. Векторы, описывающие началь-
ное и конечное состояния, равны
®Pi, р2 = с+ (Р1)с+ (Рг) ®о>
ф₽;.р' =^кЫФо-	. (lh38>
Здесь опущены спиновые индексы г1г г2,... В дальнейшем там, где
спиновые индексы не будут выписываться явно, они будут подра-
зумеваться.
Наша задача состоит в вычислении матричного элемента
в низшем порядке теории возмущений. Очевидно, что оператор Х(1)
не дает вклада в матричный элемент процесса (11.37).
Рассмотрим оператор Х<2). В разложении Т-произведения по
нормальным произведениям следует учесть лишь член
tV (ф(-) (xj) ум ф(+)(х1) ф(-) (х2) yv ф<+) (х2)) (хх) Av (х,).	(11.40)
108
Действительно, матричный элемент может быть отличен от нуля
только в том случае, если в произведении фермионных операторов
имеется два положительно-частотных оператора (если число поло-
жительно-частотных операторов больше двух, то получается нуль
при действии на начальный вектор; если меньше двух, то получается
нуль при действии налево на конечный вектор состояния). Произ-
ведения двух положительно-частотных операторов входят в комбина-
циях ф(+>ф<+), ф(+)ф(+),ф(+)ф(+\ Так как в начальном состоянии нет
позитронов, то очевидно, что только произведение, содержащее пер-
вый из выписанных членов, дает отличный от нуля вклад. Учитывая
также, что в начальном и конечном состояниях нет фотонов, за-
ключаем, что отличный от нуля вклад в матричный элемент дает
оператор (11.40).
Подействуем на начальный вектор состояния оператором
ф^+> (х^ф^ Используя (10.8) и (10.10), имеем
%+> (*i) ф^’ с+ с+ фо=<хо (Mt’ с (М+~
-с+ (/Л)	(х2)) с+ (р2) Фо = -2- [ -^.у/2 х
(2л)3 к Рю Рао /
X 1иР, (Pl) e‘Pt х‘ (Рг)	— «₽2(р3) е‘Рг Хг «₽>(Р1)е'р,*11ф0. (Н.41)
Таким образом, если на вектор, описывающий два электрона
с импульсами рг и р2, подействовать операторам ф(+) (х1)Ф<+) (х2)>
то получим вектор Фо, который умножается на антисимметризо-
ванное произведение (следствие тождественности электронов)
соответствующих решений свободного уравнения Дирака.
Подействуем теперь оператором фа?) (Xi) Фа?) (х2) налево на
конечный вектор состояния. Используя (10.13) и (10.15), на-
ходим
ф+ с (р^ с (?;) ф^;’ (х,) ф^> Ы =
= Ф^с(Р2) ([с (pi'), Ф(~’ (Х1)]+—ФаУ* (*1) С (р;))	(х2) =
/ь-L 1	\^/2 I— ,	—ip' х —	,	—Ip' xt
(n-«>
Очевидно, что оператор (11.40) равен
— Фа?) (хх) (х2) ф(+> (хх) ф'+’ (х2) (yM)ai pi (Tv)at ₽2 (хД Av (х2).
(11.43)
109
Вычислим матричный элемент этого оператора. Используя (11.41),
(11.42) и (11.34) и выполняя интегрирование по переменным и
х2, получаем*
/ф+ . у (~0а п (~0 я 1 (	Vz\,
( ₽i,₽2 Px.pJ 21 2 (2л)« Suv (2л)«
X (-щ)2(2л)8 J [(« (Pj) V (Р[-Р|-й) и (Р|)] х
X (« (Р2) Tv 6 {Р2-Р2 + k}u (р2 )) -
—(«(Р2) М (р;-р!-л)« (р,))х
х(«(Р1) М (р; — P2+k)u (Рг)}] ±dk. (11.44)
Построим диаграммы Фейнмана, соответствующие матричному
элементу (11.44). Поставим в соответствие первому члену в (11.44)
диаграмму рис. 11.'Будем считать, что правила соответствия линий
и вершин этой диаграммы и частей матричного элемента те же, что
и принятые нами ранее. Чтобы по диаграмме рис. 11 получить
первый член матричного элемента (11.44), нужно, двигаясь против-
стрелок вдоль одной из сплошных линий, выписать все выражения,,
отвечающие встречающимся линиям и вершинам, затем полученный
результат умножить на выражение, которое возникает в результате
движения против стрелок вдоль второй сплошной линии, и, наконец,
умножить все выражение на фотонный пропагатор и проинтегриро-
вать по импульсу виртуального фотона. Диаграмма описывает
следующие акты взаимодействия. Начальный электрон с импуль-
сом Р2 испускает виртуальный фотон с импульсом k и пере-
ходит в конечное состояние с импульсом р'2. Другой начальный
электрон, импульс которого равен Р1, поглощает этот виртуальный
фотон и переходит в конечное состояние с импульсом** р\.
Второй член в матричном элементе (11.44) возникает вследствие
тождественности электронов. Ему, очевидно, отвечает диаграмма
рис. 12. Таким образом, из-за принципа Паули кроме первой воз-
можности, описываемой диаграммой рис. 11, необходимо учесть
также возможность перехода электронов из состояния с импульса-
ми Р2 и Р1 в состояния с импульсами р { и р2 соответственно (см. диа-
грамму рис. 12) и взять разность матричных элементов, отвечаю-
щих диаграммам рис. 11 и 12.
♦ При перемножении (11.42) и (11.41) возникают четыре члена. Нетрудно-
убедиться в том, что они попарно равны. С этим связан множитель 2 в выра-
жении (11.44).
** Если направление стрелки на внутренней фотонной линии на диаграм-
ме рис. 11 изменить на противоположное, то это будет соответствовать замене
k—>—k в первом члене интеграла (11.44). Таким образом, матричный элемент
не изменится, если направление стрелки на внутренней фотонной линии изме-
нить на обратное.
НО
Из соотношений анти коммутации операторов рождения элект-
ронов следует, что матричный элемент (11.39) обязан быть антисим-
метричным относительно перестановки рг и рг или р\ и р2 (имеется
в виду перестановка рггг и р2г2 или р\г\ и ргг'г). Разность матричных
элементов, дающихся диаграммами рис. 11 и 12, обладает, как легко
видеть, требуемым свойствам антисимметрии.
В выражении (11.44) можно выполнить интегрирование по k
и суммирование по v. Окончательно получаем, что во втором поряд-
ке по е матричный элемент процесса рассеяния электрона электро-
ном равен
Л <5(2,ф )-
(2lt>4_ (2lt)’ 1Рю₽20₽10₽20/
„ '(« (pj) (^1))(“ (₽s) Vm.«(P2))
1	«-o.r
амv w)i8	_Рг)- (П45)
(Рг Р\)	J
Ясно, что 6(р' + р2—Pi — Pz) обеспечивает сохранение полной
энергии и полного импульса.
Процессы с участием позитронов
В этом разделе будут рассматриваться такие процессы, в кото-
рых наряду с электронами и у-квантами участвуют также позитро-
ны.
111
Рассмотрим оператор
I-----[
я (ф (ft) Y(l ф (хх) f (х2) кФ(х2)) N (Лц(хх)4,(ха))	(11.46)
и выясним, в матричные элементы каких процессов дает вклад этот
оператор. Разложим спинорные операторы на положительно- и от-
рицательно-частотные части:
1----1!
N (Ф.(*1)	ф (хх) (х2) Tv яр (х2)) =
= Ф<+> (Xi) ф (хх) ф (х2) 7V ф(+) (х2) +
•----1
+ Ф( ’ (*i) Ф (xi) ф (х2) yv ф( “ > (х2) +
1----1
+ Ф( -> (*i) Тц Ф (*i) Ф (х2) tv ф<+> (х2) —
— ф(-) (х2) (уиФ(Х1) ф (ха) yv) ф<+) (хх).	(11.47)
Как мы видели, третий член в правой части (11.47) дает вклад в эф-
фект Комптона. Рассмотрим оператор
Ф<+) (А) ТиФ (*i) Ф (*г) yv ф(+) (х2) N (Лц (хх) А<(х2))•	(11.48)
Чтобы матричный элемент этого оператора был отличен от нуля, в
начальном состоянии должны быть электрон и позитрон. Два опе-
ратора электромагнитного поля могут уничтожить два начальных или
два конечных фотона или один начальный и один конечный фотон.
Этим возможностям отвечают различные процессы. Учитывая, од-
нако, закон сохранения 4-импульса, заключаем, что два у-кванта
должны быть в конечном состоянии, т. е. оператор (11.48) дает вклад
в матричный элемент процесса превращения электрон-позитронной
пары в два у-кванта:
е-[-е->у + у.	(11.49)
Очевидно, что все остальные операторы, входящие в S(2), не дают
вклада в матричный элемент этого процесса. Обозначим 4-импульсы
начальных электрона и позитрона соответственно р и р', а 4-импуль-
сы конечных фотонов k и k’. Начальный и конечный векторы со-
стояния соответственно равны
фр.р, = с+(р)й+(р')фо, Ф^ = а+(6)а+(6')Ф0, (11.50)
Подействуем оператором ф^+) (хх) фр+> (х2) на начальный век-
тор Фр,р-. Используя (10.10), а также разложения (8.16), пере-
112
становочные соотношения (6.40) и условия (6.46), получаем
(*х) Ч+) (Ъ) с+ (р) d+ (р') Фо =
(f У/2“₽(р)е/РХ’	(Х1)>
\ZJl7 \ РО /	1
-^+(р')^+,(Х1))Фо =
=ъЬ- /ЧА1 /2 “р	&ipxt “° <—рэе/р'xt фо- с11 -51>
\ PqPo I
В разложении оператора N (Ац (хх) Av (х2)) отличный от ну-
ля вклад в матричный элемент процесса (11.49) дает член
Ац-)(Х1) Av-> (хг)- Подействуем этим оператором налево на конеч-
ный вектор Фо-- Используя (11.15), находим (см. примечание
на стр. 101).
= Ф^а(&)([а(&'), Ад ’(х^ + А^ * (хх)а(/г')) А^, >(х2) =
= А? leu (&') e~ik'X1 ev (k) e~ikxi +
(2я)3 Y 4k0k0
+ (k) e~ikXl ev (£') e-‘*' *>].	(11.52)
Два члена возникают вследствие тождественности фотонов.
С помощью (11.51) и (11.52) получаем следующее выражение
для матричного элемента процесса (11.49) во втором порядке теории
возмущений по е:
1___ [ т2 \ 1/2
(2я)6 \ р0 р'о )
1
V^ko
1Фо-з(2)фр, р<) = (-о2
хУо	[[«(—Р')Тиб(—P' + k'~рг)Х
X . 1 .  Tv 6 (рх—р—(—£)) и (Р) (k') ev (k) +
Pi— im
+ u(—р')Тцб(—p'—px —(— kj) X
- 1 . Tv 5 (Pl + k' — p) и (p) eM (fe) ev (k ')1 dp-
pL—im
(11.53)
Этот матричный элемент имеет ту же структуру, что и матрич-
ный элемент эффекта Комптона [выражение (11.27)]. Поставим в
соответствие первому члену в (11.53) диаграмму рис. 13 (ср. с диа-
граммой рис. 6). Если для вершин, внутренней линии, входящей
сплошной линии с импульсом р и выходящей волнистой линии с им-
5 Зак. 1410	113
фотонной линии —k(—k0 < 0),
описывают процесс превращения
пульсом k' принять те же правила соответствия, что и ранее, а вы-
ходящей линии с импульсом —р' поставить в соответствие спинор
(2Л)3/2 (ро) “(	Р)’
и входящей волнистой линии с импульсом —k—вектор
_2_____________________________
(2л)3/2 /2й0
то очевидно, что первый член матричного элемента (11.53) может
быть получен из диаграммы рис. 13 обычным способом. Второму
члену матричного элемента (11.53) отвечает диаграмма рис. 14.
Сравнивая диаграммы рис. 6 и 7 с диаграммами рис. 13 и 14, при-
ходим к следующему заключению. Если выходящей электронной
линии на рис. 6 и 7 приписать импульс — р'(—ро < 0), а входящей
~ то соответствующие диаграммы
электрона с импульсом р и по-
зитрона с импульсом р' в два у-кванта с импульсами k и k'. Таким
образом, испускание электрона с нефизическим 4-импульсом
—р'(—ро < 0) описывает поглощение позитрона с физическим 4-им-
пульсом р', а поглощение у-кванта с нефизическим 4-импульсом
—k(—k0 <0) описывает испускание у-кванта с импульсом k. Направ-
ление, в котором развивается процесс, указано на рис. 13 и 14 двой-
ными стрелками (электрон с импульсом р испускает фотон и перехо-
дит в промежуточное состояние с импульсом рх; позитрон с импуль-
сом р' аннигилирует с виртуальным электроном и образует второй
конечный фотон).
Проинтегрируем в (11.53) по рх. Окончательно матричный эле-
мент процесса аннигиляции электрон-позитронной пары в два у-кван-
та равен
—е2
(2л)2
(ot а.5(2)Фр,р0-
---—г\2 [й(—р') e(k')~——— e(£)u(p) +
Ч^оМо/ l	p-k-im
+ u (— р') e(k)——--------e(k') и (р)16	— р—р'), (11.54)
р—k' — im	J
114
где е (ft) = (ft) yu.
Перейдем к рассмотрению следующего члена в разложении
(И.47): 
' (*i) Ь (*i) 'Ф (*2) Tv 1><-) (*2) N ((Лд (xj) Av (х2)). (11.55)
Матричный элемент этого оператора отличен от нуля, если в конеч-
ном состоянии имеются электрон и позитрон. Из закона сохранения
полного 4-импульса следует далее, что два у-кванта должны быть
в начальном состоянии. Таким образом, оператор (11.55) дает вклад
в матричный элемент процесса:
у + у-»-е +е.	(11.56)
Обозначим р и р' 4-импульсы конечных позитрона и электрона,
a k и k' — 4-импульсы начальных у-квантов. Начальный и конеч-
ный векторы состояний равны
ФА.А' = а+(*)а+(*')Фо, |
Ф₽,Р'= с+(р')</+(р)Ф0. i
Имеем
ф+ d (р) с (р') (xj ipj- ’ (х2) =
= Фо’тЛг	Ua(p')e-‘'p'^u₽(—р)е-‘^’,
\ Ро Ро /
4+) (xj А<+> (х2) а+ (ft) а+ (ft') Фо =
= —------_L .. [ev (ft) eikx‘ е„ (ft') eik' Xi 4-
(2л)з y4v;	M
+ ev (ft')e‘4'ец (ft) e'4Xi] Фо.
С помощью (11.58) находим для матричного элемента
(11.56) во втором порядке теории возмущений следующее выра-
жение:
(11.57)
(11.58)
т2
(ф+ , $(2)ф .,) = (—i)2 — f-7- 'l1 /2(—ze)2 (2 л)8 х
р’р 4147	(2л)Ц 4p0p0M(J (2л)^	' k '
х f[«(р')тд6(р'+(—й')—Pi)^—TV6(P!—ft—(—р))«(—р)Х
J	*	Pi—«т
X (ft') ev (ft) + и (р') Уц 6 (р' — pi — ft) тДт- X
Xyv6(Pi+ (—ft') —(—р))м(—p)e11(ft)ev(ft')]dp1.	(11.59)
1	/ т\‘/2 ,	,
-----гг — ы(—Р) поставить в соответствие входя-
(2л)-\ р0/
Если спинору
щую сплошную линию с 4-импульсом—р, вектору ——^=e(ft')—
(2л) /« у 2k’o
выходящую волнистую линию с импульсом —ft', а для всех ос-
тальных величин в матричном элементе (11.59) принять прежние
5*	115
правила соответствия, то очевидно, что этому матричному элементу
отвечают диаграммы Фейнмана, представленные на рис. 15.
Сравнивая диаграммы рис. 15 и диаграммы рис. 6 и 7, приходим
к следующему заключению. Если на диаграммах рис. 6 и 7, 4-им-
пульс входящего электрона положить равным —р(—р0 < 0), а им-
пульс выходящей фотонной линии равным —k' (—k 'o < 0), то
эти диаграммы описывают процесс превращения двух у-квантов с
Импульсами k и k' в электрон с импульсом р' и позитрон с импульсом
р. Таким образом, входящая электронная линия с нефизическим
4-импульсом —р (—р0 < 0) соответствует испусканию позитрона
с физическим 4-импульсом р, а выходящая фотонная линия с не-
физическим 4- импульсом — k' (—ko <Z 0)— поглощению фотона
с 4-импульсом k'. Направление, в котором развивается физический
процесс, на рис. 15 указано двойными стрелками (фотон образует
позитрон с импульсом р и виртуальный электрон с импульсом р^,
виртуальный электрон поглощает второй фотон и переходит в ко-
нечное состояние с импульсом р').
Выполняя в (11.59) интегрирование по рг, получаем окончатель-
но для матричного элемента процесса (11.56)
—е2 / т2
(ф+ 5(2) ф ) =	у/2 6 (р' + p—k—k') X
P.P k.k )	(2я)Ц 4p0p'0k0k0 I	’
(11.60)
Наконец, рассмотрим оператор
—ф(-> (х2) ф (хх)ф (х2) yv)Ф<+’(*!) N (Лм (хх) Av (х2)). (11.61)
Для того чтобы матричный элемент этого оператора был отличен
от нуля, необходимо, чтобы в начальном и конечном состояниях были
позитрон и фотон. Таким образом, оператор (11.61) дает вклад в мат-
ричный элемент процесса рассеяния у-кванта на позитроне:

(11.62)
116
Обозначим 4-импульсы начального и конечного фотонов (по-
зитронов) соответственно k' и k (р' и р). Начальный и конечный век-
торы состояния равны
фр,,А,=<Н-(р')а+(£')фо> ।
Фр^ = а<+>(р)а+(А)Ф0.	/	(	’
Имеем
(х1)^+(р>+(^')фо =	М~Р')е,₽'Л1 а+(А')Ф0,
Ф^а(£)^(р)ф< ’(х2) = ф+ а(&) —	("—) «р (— p)e~ipx>.
Используя (11.15), (11.12) и (11.64), получаем для матричного эле-
мента процесса рассеяния у-кванта на позитроне во втором порядке
теории возмущений
, ,	1	/ т3	\1 /2
ф+ £<2)ф , *,)=( — 1)(— i)2---!-- ----X
p’k Р -k '	> (2я)в 4ророМо J
X ^^-(2л)8( — ie)2J[«(—р')?н^(—р') + (—k')— Pi)	Tv X
x6(p1—( — p) — (—^))«(—p)e|J,(fe')ev(fe) +
+ u( — р')Тц6((—p')—pi—( — k))^-±—- X
X Yv8(pi + ( — k')—(—p))u(—p)ell(k)ev(k')]dp1. (11.65)
Очевидно, что матричному элементу (11.65) отвечают диаграммы
Фейнмана, представленные на рис. 16. Сравнивая диаграммы рис. 6,
7 и 16, приходим к следующему заключению. Если на диаграммах
рис. 6 и 7 считать импульсы входящей и выходящей электронных
линий равными соответственно —р(—р0 < 0) и —р'(—ро < 0), а
импульсы входящей и выходящей фотонных линий равными соот-
ветственно —k и —k'(—k0 < 0, —ko<O), то диаграммы будут соот-
ветствовать процессу рассеяния у-кванта на позитроне (импульсы
начального и конечного позитронов равны р' и р, а импульсы на-
чального и конечного фотонов равны k' и k).
117
Интегрируя в (11.65) по импульсу ръ получаем окончательно
для матричного элемента процесса рассеяния у-кванта на позитро-
не
(ф+ £<2)ф , k,) =	8(p+k-p' — k')x
k p-k p’k ’	(2л)2 ^4PoPoMo /
X [u(—p')e(k')——- e(k)u(—p) +
—p—к—im
+ «(—p')e(^)4--7—U—- e (£')u( — p)].	(11.66)
— P + « —(ffi
Итак, если считать, что импульсы внешних линий на диаграммах
Фейнмана могут принимать как физические, так и ыефизические
значения (с отрицательной нулевой компонентой), то одни и те же
диаграммы рис. 6 иj 7 описывают следующие четыре процесса:
, ?4-е->-у + е, '
е + е^у + у,
Y + v^-e + e,
(11.67)
у + е^-у + е.
Общее правило, которое может быть сформулировано на основе
проведенного здесь рассмотрения, состоит в следующем: выходящая
(входящая) линия частицы с нефизическим 4-импульсом —р(—р0 <
< 0) отвечает поглощению (испусканию) античастицы с 4-импуль-
сом р (фотон — истинно нейтральная частица; выходящая фотонная
линия с 4-импульсом—k(—k0 <Z 0) описывает поглощение фотона
с импульсом k). Это правило справедливо для диаграмм любого
порядка и для любых взаимодействий.
§ 12. Токи. Форм-факторы
В этом параграфе будут рассмотрены процессы с участием леп-
тонов (электроны, р.-мезоны, нейтрино) и адронов (нуклоны, л-ме-
зоны и др.). Лептоны участвуют только в электромагнитном и сла-
бом взаимодействиях; адроны участвуют в слабом, электромагнит-
ном и сильном взаимодействиях. Слабое и электромагнитное взаи-
модействия могут быть рассмотрены по теории возмущений. К силь-
ным взаимодействиям теория возмущений не применима (константа
связи велика). Мы будем учитывать сильные взаимодействия адро-
нов феноменологически путем введения форм-факторов.
Начнем с процесса рассеяния электронов нуклонами:
e+N^e+N.	(12.1)
Полный гамильтониан взаимодействия запишем в следующем
виде:
ж, (х) = Же! (х) + ЖТ (х) + Жа1 (х).	(12.2)
118
Здесь
(х) = — ieN($e (х) Тц.Я?е (х)) Лр. (х)
гамильтониан взаимодействия электромагнитного и электрон-по-
зитронного полей; ЖТ {х)— гамильтониан взаимодействия элект-
ромагнитного поля и полей всех сильновзаимодействующих частиц,
a Ж° (х) — гамильтониан всех сильных взаимодействий.
Гамильтониан Ж]0 (х) имеет следующий вид:
(х) -=	(х)Лд (х)- eN ((х)Лц (х)) -
-е*Щф + (х) ф (х)Лц(х)4(х))+...„	(12.3)
где
/и (х) = Ж (% (х) уц % (х));
/' (х) = — i Гф+ (—геЛц <р') — геЛр. ф+') ф 1.
L w-Kg	)	\	/ J
(12-4)
Первый член в (12.3) является гамильтонианом взаимодействия
электромагнитного и протонного полей (—— протонный ток, е —
заряд электрона); второй и третий члены — гамильтониан взаимо-
действия электромагнитного поля и поля заряженных л-мезонов
(а/" — ток заряженных л-мезонов). Гамильтониан взаимодействия
электромагнитного и мезонного полей получен путем замены в ла-
гранжиане свободного поля (5.5) производных -4^- и 4^- соответ-
ственно выражениями
(-^-—^Ф) и (-?—Н^ЛЦ ф*\.
к дх{1	J к Зхи	/
Конкретный вид гамильтонианов Же° и Ж°1 нам не потребуется.
S-матрица равна
dX1 dx2... dxn Т(Xi (хх) Ж] (х2).„ Ж, (х„)). (12.5)
Гамильтониан взаимодействия Ж](х) дается выражением (12.2). Оче-
видно, что S-матрица может быть записана также следующим об-
разом:
„ I ~l \&t(x}dx
S = T\& J '
(12.6)
Нас интересует матричный элемент процесса рассеяния электро-
на на нуклоне в низшем порядке теории возмущений по электро-
магнитному взаимодействию. В этом приближении вклад в матрич-
119
ный элемент процесса дадут только такие члены S-матрицы, в ко-
торые гамильтониан Ж (х) входит линейно (оператор i[4+)(x) уничто-
жит начальный электрон, a i|4—)(x) при действии налево уничтожит
конечный электрон). В начальном и конечном состояниях нет фото-
нов. Ясно, что вклад в матричный элемент в низшем порядке по е
дадут только такие члены, в которых оператор Л^(х), входящий в
fflei(x), спарен с оператором Ац(у), входящим в гамильтониан 3fia(y).
Это означает, что в рассматриваемом приближении вклад в матрич-
ный элемент процесса дают такие члены S-матрицы, в которые опе-
ратор входит линейно. Подставляя (12.2) в выражение (12.6)
и ограничиваясь линейными по Ж] и Ж™ членами, получаем:
с	-i\^eAx)dx -i\we,a(y)dy -i^Uz)dz\
S = 1 (e 1 e J 1 eJ/ J =
= т([1+(_г-)У,^(х)^+...][1 + (-г-)У^а(1/)^+...]х
X е~‘	(г) dj = 1 + (-02 T (J	(x) ЖГ(y) dxdy	(г)"г) +.. .
(12-7)
Мы выписали только тот член, который дает вклад в порядке
е2 в матричный элемент процесса (12.1).
Запишем гамильтониан 3teia (х) в следующем виде:
Ж? (х)= -	(х) Лц (х) +	(х))'.	(12.8)
Здесь (3teia{x))'—та часть гамильтониана ЖТ (х), в которую квад-
ратично входит еЛ(х) [см. (12.3)], а е/£(х)-—суммарный ток силь-
новзаимодействующих частиц при Л =0. Только первый член
выражения (12.8) дает вклад в матричный элемент рассматри-
ваемого процесса во втором порядке по е.
Обозначим Se‘ ту часть S-матрицы, которая дает вклад в мат-
ричный элемент процесса (12.1) в низшем порядке по электромаг-
нитному взаимодействию. Имеем
S*‘	Шрк (% (х) Tv 41, (х))7 (Л, (х) Л„ to)) X (12.9)
хт(й(9)е-‘^Ю-").
Вычислим теперь матричный элемент процесса. Пусть q и q'
(р и р') — соответственно 4-импульсы начального и конечного элект-
ронов (нуклонов). Начальный и конечный векторы состояния за-
пишем в следующем виде:
ф«,р = ^+(<7)Фр>	]
ф<Г,Р' = с+(<7')ФрЧ )
(12.10)
120
где Фр и Фр—векторы состояния начального и конечного нук-
лонов. Из (12.9) и (12.10), получаем
хр	(й to)e"‘' Ж‘ "J Ф,) dkdy (12.11)
(m — масса электрона).
Теория возмущений к сильным взаимодействиям не применима.
Поэтому мы ограничимся тем, что установим на основе принципов
инвариантности лишь общую структуру матричного элемента:
(ф?7-(й&)е-‘^?<*,Л)фр).
(12.12)
Прежде чем перейти к этому, покажем, что адронный матрич-
ный элемент (12.12) может быть записан в более компактном виде,
если от представления взаимодействия перейти к представлению
Гейзенберга. Рассмотрим оператор
Имеем
7-(йЬ)е-'!Ж?И‘"
(12.13)
I	—I [ dx, — if На. lx,)dx,\
= T\jMe	е	/==
/	°° \ \
I —Haj (хо) dxa ]	I —z j M dx0
= 7\e	/ШПе ~°° J-	(12.14)
Здесь
H?(x0) = J^f(x)dx.	(12.15)
Вспоминая определение оператора U (t, tr) [cm. (1.20) и (1.35)],
получаем
5B. Зак. 1410
X T(Hl(x10)...Hl(xn0)) = Ua(oo, y0),	(12.16)
(^o	\
-i f Hf (xa)dxt
e —	/=^(^0.-00).	(12.17)
121
Подчеркнем, что операторы Ua(<x>, у0) и Ua(y0,—оо) опреде-
ляются гамильтонианом сильных взаимодействий 3£ai. Например,
оператор Ua(y0, —оо), действуя на вектор состояния, заданный при
/ —!—оо, переводит его за счет сильных взаимодействий в вектор
состояния в момент времени у0.
Из (12.14), (12.16) и (12.17) находим
T^(y)^i^‘iMdX') = Ua(oO,y0-)jali(y)Ua(y0, -оо). (12.18)
Рассмотрим систему, в которой имеют место только сильные взаи-
модействия. Вектор состояния Ф(/) такой системы в используемом
нами представлении взаимодействия удовлетворяет уравнению
. дФ(1) = на^ф^	(12.19)
dt
а любой относящийся к системе оператор O(t) подчиняется уравне-
нию
i ^210 = [()(/),(12.20)
(Яд—свободный гамильтониан).
Совершим унитарное преобразование от Ф (/) и О (f) к
Фг(о=^(лмФ(а
 Ог (/) = £/+(/, /0)О(/)£/а(/,/0). J	(	'
Здесь /0 — произвольный фиксированный момент времени, а
Ua 4) — унитарный оператор, определенный выражением (1.35).
Очевидно, что при t = t0
ФГ(/О) = Ф(/О), Ог(/0) = О(/0).	(12.22)
Операторы Ua(t, t0) и	удовлетворяют уравнениям [см.
(1.21) и (1.22)]:
. dUa(t М = на (/) Ua (/j /o)j	(j2.23a)
at
=	(12.236)
Как было показано в первом параграфе, наблюдаемые величины
инвариантны относительно унитарных преобразований (12.21). По-
лучим уравнение движения для вектора состояния Фг(/). Из (12.19),
(12.21) и (12.23) находим, что
гдФр(0=0	(12.24)
1*г. dt
Таким образом, вектор Фг, описывающий то же состояние, что
и вектор в представлении взаимодействия Ф(/), и связанный с Ф(/)
122
соотношением (12.21), не зависит от времени. Представление, в ко-
тором векторы состояния не зависят от времени, называется пред-
ставлением Гейзенберга. Вся зависимость от времени в этом пред-
ставлении переносится на операторы.
С помощью (12.21) и (12.23) находим
. дО^ = jj+ /о) ( (z)j на (0] +	(/)> на} ) Ua (/> to) =
ot
= [Ог(/)Я?(0].	(12.25)
Здесь
Я? (0 = ut {t, t0) (На! (t) + Я?) Ua (t, /о)
оператор полной энергии в гейзенберговском представлении. Для
из (12.25) получаем
dt
(12.26)
Оператор полной энергии в гейзенберговском представлении не за-
висит, следовательно, от времени.
Совершим переход в матричном элементе (12.12) от представле-
ния взаимодействия к представлению Гейзенберга. Положим t0 ->•
—>— оо [это означает, что При t->— оо оба представления совпадают,
см. (12.22)]. В матричном элементе (12.12) Фр — вектор состояния
в представлении взаимодействия при Z-»-—оо, а Фр- —вектор со-
стояния при /-> оо. Из (12.22) следует, что вектор Фр совпадает с
соответствующим вектором в представлении Гейзенберга. Обозна-
чим его Фр; in. Вектор в представлении Гейзенберга, отвечающий
Фр>, равен
Фр'; .out = Ut (оо, — оо) Фр' = s+ ФР'.	(12.27)
Используя унитарность оператора Ua(t, tQ) [см. (1.25)], из
(12.18) получаем
(фр^г(/^)е"'^“(*Мх)фр) =
= (Ф? Uа (°°> Уо)^а (Уо, — °°) U% (Уо, — °°) /м (У) Uа (Уо> ~ °°)Фр) =
= (Фр"; out Jji (у) Фр; in)-	(12.28)
Здесь
Ja^(y) = Ut(y0, -^)it(y)Ua(y0, -оо) (12.29)
является о ператором тока в представлении Гейзенберга. Отметим,
что при получении (12.28) мы использовали следующее очевидное
соотношение:
и а (оо > У о) U а (У о, —°°) = Sa.
5В*	123
Таким образом, матричный элемент (12.12) представляет собой
матричный элемент тока в гейзенберговском представлении. Вектор
Фр- описывает нуклон с 4-импульсом р'. При действии на такой
вектор матрицей Sa мы, очевидно, получим вектор Фр- (нуклон за
счет сильных взаимодействий не может превратиться ни в какие
другие частицы). Таким образом, вектор Фр-;ои1 совпадает с вектором
Фр- в представлении взаимодействия с точностью до фазового мно-
жителя. В дальнейшем индексы in и out будут, как правило, опус-
каться.
Любой оператор в представлении Гейзенберга удовлетворяет со-
отношению
.	(12.30)
дУа
где Ра — оператор полного 4-импульса [мы доказали это соотно-
шение при а = 4; см. (12.25)]. Из (12.30) находим*
i -±- (Ф+-	(у) Фр) = (ф£ [PS,	(//)] Фр) =
.7(Х
= (р'-р)о(ф^7“(у)фр).	(12.31)
Отсюда имеем
(ф£ 7“ (у) Фр) = у (ф+	(0) фр). (12.32)
Подставляя (12.32) в (12.11), получаем следующее выражение
для матричного элемента процесса рассеяния электронов на нукло-
нах:
(ф+-р-5г>Ф9р)= —/Л^_у/2(2л)«й(7') у^и^Х
( \Мо/
X	^(0)Фр)б(?'+р'-д-р).	(12.33)
Если сильные взаимодействия нуклона не учитываются, -то, оче-
видно, что матричный элемент (Ф^/р (0)Фр) для случая рассеяния
электрона на протоне равен**
i / М2 \1/2 -.	. .
-------I--------1 и (Р ) V.. и \Р)
I2’1-’ \РоРо '
(AI — масса нуклона). В этом случае процесс рассеяния описы-
вается диаграммой рис. 17 (двойные линии относятся к нуклону).
* Состояния Фр и Фр' собственные состояния оператора энергии — им-
пульса свободного нуклонного поля. При получении (12.31)нспользуется адиа-
батическая гипотеза, согласно которой взаимодействие прн t + ± оо отсут-
ствует.
** Напомним, что электрический ток равен eJ °, где е — заряд электрона.
124
В общем случае нуклонный матричный элемент может быть за-
писан следующим образом:
(Ф^ 7“(0)Фр) =-------—(р)и(р).	(12.34)
(2л)3 \ Р0Р0 /
Здесь Гц(р', р) — матрица, действующая на спиновые переменные.
Подставляя (12.34) в (12.33), получаем для матричного элемента
процесса
ее2 гТч \	. е2 I т2 М2 \!/2-
(Ф^'.Р'З	=	------“I “(<7)Т1Х“(?)Х
\. ЧоЧоРоРо /
X . , 1 .~ и (р')Гц(р', p)u(p)6(p' + Qz —р —q).	(12.35)
(Ч —чг
Матричному элементу (12.35) поставим в соответствие диаграмму,,
представленную на рис. 18. Заштрихованная часть диаграммы обус-
ловлена сильными взаимодействиями. Этому элементу диаграммы
отвечает матрица Г Др', р).
Выясним, какую общую структуру имеет матрица ГДр', р). При
преобразованиях Лоренца матричный элемент
и(р')Гц(р',р)«(р)
должен преобразовываться так же, как и(р')уци(р), т. е. как вектор.
Разложим 4X4-матрицу Гц(р', р) по полной системе 16 матриц Ди-
рака. Получаем
«(P')ru(p',p)u(p) =
= и (р') [Лц + Buv у, + CUVp ovp + Duv yv у5 + £ц у5] и (р), (12.36)
где
avp — — (Tv Vp Тр Tv)-
Коэффициенты разложения Лц, Buv... зависят от р и р'.
125
Первый член разложения должен быть вектором. Получаем
следующее общее выражение для Лд:
Лц = а1рц + а2р^	(12.37)
Здесь ах и а2 — функции скаляров, которые могут быть построены
из векторов р и р'. Так как р2= —Л12 и (р')2= —2И2, то единствен-
ным скаляром, который может быть построен из р и р', являет-
ся рр'.
Определим следующим образом 4-вектор передачи импульса х:
х = р' — р.	(12.38)
Очевидно, что рр' = — х2/2— Л12. Таким образом, av и а2 являются
функциями квадрата передачи импульса х2.
Перейдем к построению следующих членов в разложении (12.36).
Так как матричный элемент u(p')yvu(p) преобразуется как вектор,
то величины BpV должны преобразовываться как тензор второго
ранга. Получаем следующее общее выражение для тензора Bpv
B!iV = b1pllpv+b2p'llpv+b3p'llpv + bip!ip'v + b8VLV, (12.39)
где b, blt ... —функции х2. Спиноры и(р) и и(р') удовлетворяют
уравнению Дирака (см. Приложение)
(р —Ш)и(р) = 0,	(12.40а)
«(р') (р' —iM) =0.	(12.406)
Нетрудно показать с помощью (12.40) что первые 4 члена (12.39)
после подстановки в (12.36) сводятся к (12.37). Действительно,
й (р') рц р и (р) = й (р') Шрд и (р),
и(р')р’рР' и(р) = и(р')1Мрр и(р) и т. д.
В результате заключаем, что следует учесть только член
Ь8^.	(12.41)
Величины должны преобразовываться как тензор третьего
ранга. Этот тензор должен быть антисимметричен относительно
перестановки индексов v и p(avp=—apv). Общее выражение для
С^ур имеет вид
Срур = Рр (pv Рр Рр Ру) “Ь ^2 Рр (pv Рр Рр Ру} Н"
+ ^3(6gvPp-------SjlpPv) (SfivPp----SppPv).
Нетрудно видеть, что все члены этого тензора после подстанов-
ки в (12.36) сводятся к (12.37) и (12.41). Действител ьно, исполь-
зуя уравнения (12.40), находим
и (.р ) Рр CTvp (Pv рр Рр Ру) и (Р) ’ U (р ) I X2 Рр U (р)>
u(p')avp(6pvPp—6pPpv)u(p)==2u(p')[MYp + tpp]u(p) и т. д.
126
Величины Dgv должны преобразовываться как псевдотензор
второго ранга. Получаем общее выражение
Dp.v — envpa Рр Ро d
(egvpa —антисимметричный относительно перестановки любых ин-
дексов тензор; е^рр = — ev(ipp = — epv(i<J = ...; е1234 = 1). Этот член
после подстановки в (12.36) также сводится к (12.37) и (12.41).
Чтобы это показать, воспользуемся соотношением
8nvpa Yv Ys = YpYh Yp + Yu 6рч~ Yp 6ho'+Yp 6hp- (12.42)
в справедливости которого нетрудно убедиться. Используя (12.40)
и (12.42), получаем
u(p')8nvpaYvY5«(p)ppPa= —« (Р') [(М2 — pp')Yu +
+Ш(рц+рц)] и(р).	(12.43)
Таким образом, член DpV также не следует учитывать. По-
следний член Ер должен быть псевдовектором. Так как из век-
торов рр и рр построить псевдовектор невозможно, то £,(i = 0.
Итак, если потребовать, чтобы матричный элемент
“(Р') Гц(р',р)и(р)
преобразовывался как вектор, то мы приходим к выводу, что
матрица Гр(р',р) может быть представлена в виде суммы
аур+bpp+cp'p.
Запишем эту матрицу в другом виде. Выразим р и р' через
векторы Р и х, которые определяются следующим образом:
Р = р+р', и = р'—р.
(12.44)
Учитывая соотношения
u(pyopVnvu(p) = ^-u(p') [yh(p'—Р)—Хц] u(p)==
= —и (р') [2Л4уц + iPp] и (р),
«(Р') °uv Pv «(р) = ( — 0 «(р')«(Р) Яр,
(12.45)
запишем матрицу Гр(.р',р) в виде
Гц (р', р) = Л (х2) Yu-^?	CTuv Pv- (12.46)
«И	£iYl
127
Посмотрим теперь, какие ограничения на матрицу
накладывает закон сохранения тока
dJ<№. 0
%
С помощью (12.32) получаем
(Ф?	(У) Фр) = (- 0	<р'-р>р (р’-р)* (Ф? Л (0) Фр) = 0.
Таким образом, из закона сохранения тока следует, что
(р'—р)цй(р') Гц (р', р) U (р) = 0.	(12.47)
Учитывая (12.40) и (12.45), находим
(р'—р)и и (р') Г и (р', р) и (р) = ~ F3 v? и (р') и (р).
Отсюда следует, что F3 = 0. Матрица ГДр', р), следовательно,
равна
Гц (Р\ Р) = Л (х2) ?ц-~^*ц* «v.	(12.48)
Итак, мы показали, что матричный элемент (Ф^«/ц(0)Фр) (за-
штрихованная часть диаграммы рис. 18) характеризуется двумя
функциями квадрата передачи 4-импульса. Эти функции называют-
ся электромагнитными форм-факторами нуклона (Fx — дираков-
ским, a F2 — паулиевским).
Покажем, что форм-факторы Fx и F2 вещественны. Для этого ис-
пользуем условие унитарности S-матрицы [см. (1.39)]:
S+S= 1.
Запишем S-матрицу в виде
S =14-7?.	(12.49)
Из условия унитарности следует, что
Я + Я+=— R+R.	(12.50)
Для матричного элемента процесса рассеяния электронов на нук-
лонах получаем
(ф+>р,/?Ф,.р) + (ф+р./?+ф(/1Р) =
=	(Ф^р,/?+Фп)(ф+/?Ф1?,р).	(12.51)
В правую часть этого соотношения входит сумма по всем состояниям,
в которые может переходить система электрон—нуклон. Очевид-
но, что в любом состоянии Фп должен быть по крайней мере один
128
электрон и один барион. Это означает, что правая часть (12.51) по-
рядка е4. Таким образом, в рассматриваемом нами ^-приближении
из соотношения унитарности получаем
(12.52)
Подставляя в (12.52) выражение (12.35), находим
(«(?') Vi* «(?)) Ир') Гц (р', р) и (р)) =
= («(?) Vi*«(?'))* (и(р)Гц(р,р')и(Р'))*-	(12.53)
Нетрудно видеть, что
(и (р) уц и (?'))* = (и+ (<?') у+ у4 «(?)) = (и (?') Ун и (?)),	(12.54)
где
Vi* = ?4 ?+ ?4-
Учитывая, что = Т(Х> с помощью перестановочных соотноше-
ний для матриц уц получаем
Т|х = ТР6|х,	(12.55)
где
( — 1,
[в (12.55) суммирование по р, не
Из (12.53) — (12.55) находим
(и (р') Гц (р', р) и (р)) = 6Ц (й (р) Гц (р, р') и (р’))*.	(12.57)
Подставляя в (12.57) выражение (12.48) и учитывая, что
(и (р) Ogv xv и (р'))* 6ц = (и (р') ?4 O|XV ?4 X* и (р)) 6ц =
==—(« (р') ОцУ«у«(р)),
получаем
^(х2) = Рх(х2), Р;(х2) = Р2(О-	(12.58)
Таким образом, заштрихованная часть диаграммы рис. 18 характе-
ризуется двумя вещественными функциями квадрата передачи 4-им-
пульса.
Вместо форм-факторов F1 и F2 часто вводятся магнитный и заря-
довый форм-факторы Gm и Ge, которые связаны с F1 и F2 соотноше-
ниями
Gm^F. + F., Ge = F1—^-F2.	(12.59)
4М2
р, = 1, 2, 3;
р = 4,
(12.56)
производится].
12&
Выясним физический смысл этих форм-факторов. С помощью (12.45)
матричный элемент тока может быть записан следующим образом:
(Ф+ 7“(0)Фр) =
. 1 / м* V/2
i----- —-
(2л)3 \роро /
X
X и (р') уц (Л + Р2 ) + F2 ] и (р).
(12.60)
Рассмотрим это выражение в системе, в которой р 4- р' = 0 (си-
стема Брейта). Учитывая, что в этой системе ро — ро, получаем
(ф+ Р(0)Фр)= — i	(«(Р') Т «(р)) (^1 +
<Ф? ^(О)ФР)= -(p’^Fr+F.)-*Fe]и(р).
(12.61)
Из уравнений (12.40) нетрудно видеть, что
«(р') (р' + р) «(Р) = и (Р')и (Р)>	(12.62)
откуда в системе Брейта
Ро«(Р')тХР) = Ми(р')и (р).	(12.63)
Используя это соотношение и учитывая, что в системе Брейта
х2 = 4р2, получаем:
(Ф?Л(0)Фр) =	(i) («(₽')V.«(Р>) (f.- £'. ).
>	(12.64)
Спиноры и(р) и и(р’) в представлении Дирака—Паули имеют
вид (см. Приложение)
z ч /Ро+му/2
(р)^ 2М /
/	( Ро~}~1/2
Ц (р') =	---
’	\ 2М J
<Р
а р
<р'
2=2Р_<р'
Ро+М
(12.65)
(система р + р' = 0). С помощью этих выражений нетрудно ви-
деть, что
«(Р')?4«(Р) = <Р'+Ф.
—,	. '-usXx
«(P)Y«(P) = Ф -^гФ
(12.66)
и
130
Из (12.61), (12.64) и (12.66) для матричных элементов операто-
ров J°(0) и J“(0) в системе Брейта получаем следующие выражения:
(ф+д«(0)Ф) = — I— I— W ф'+2*1ф "|GM(x2),
Р р (2я)з'Кр0ЦТ 2Л4 Т	(12б7)
(ф+ У“(0)Фр) = -z-j-^j( ф'+ ф) GE(rf).
Форм-фактор GM(x2) характеризует, таким образом, распреде-
ление магнитного момента нуклона, a GE (х2) — распределение
заряда. При х2 = 0 форм-факторы протона равны*
бм(0)=Л(0)+г2(0)=Ир,
G£(0) = F1(0) = l,
(12.68)
где ру—полный магнитный момент протона в ядерных магнето-
нах. Отсюда следует, что F2(0) = pp— 1, т. е. F2(0) равняется
аномальному магнитному моменту протона (в ядерных магнето-
нах). Для нейтрона
GM(0) = Л(0)+ ^2(0) = рп,
Ge (0) = Л(0) = 0.
(12.69)
* Действительно, в системе Брейта
- ie (ф+ J (х) йхФр) = - ie (2я)з 6 (х) (ф+ J4 (0) Фр) =
I М \
= — е [ — |GC (х2)6(х),
\ Ро J
(е — заряд электрона; мы положили <р'=<р). С другой стороны,
- ie (Ф+ f Ja4 (х) dx Фр) = eN (Ф+ Фр) = eN 6 (х),
где eN — заряд нуклона. Интегрируя по х, получаем GE(0) = eN/(—е). Рас-
смотрим матричный элемент оператора магнитного момента
ЭД = е — J хХ J ° (х) dx.
Получаем
(ф+ ЭД, Фр) =v ieeiht (2л)з < р' | Jf (0) | р >	.
Интегрируя по х с помощью (12.67), находим
j’(®+9Jl/®p)dx=-^- 0^(0) <р'+а,<р.
Отсюда следует, что GM(0)— магнитный момент нуклона в ядерных маг-
нетонах.
131
Здесь pn — магнитный момент нейтрона в ядерных магнетонах.
На этом мы закончим рассмотрение процесса рассеяния элект-
ронов на нуклонах. Сечение этого процесса будет вычислено
в § 14.
Рассмотрим теперь рассеяние электрона на частице со спином
нуль (например, л — е-рассеяние). Обозначим q и q' 4-импульсы
начального и конечного электронов соответственно, а р и р' — на-
чальный и конечный 4-импульсы частицы со спином нуль. Очевид-
но, что во втором порядке теории возмущений по е матричный эле-
мент процесса дается выражением (12.33), в котором Фр и Фр- яв-
ляются начальным и конечным векторами состояния частицы со спи-
ном нуль. Если не учитывать сильных взаимодействий, то матрич-
ный элемент тока равен
(—О (ф+ Л/(	---<*>) '”<) =
(12-70)
В общем случае матричный элемент тока может быть записан
в виде
о*-?»
где величина Лм (р', р) зависит от импульсов р и р' и преобра-
зуется как 4-вектор. Очевидно, что ЛДр', р) имеет следующий
общий вид:
Лц (р', р) = F (х2) Р» + F' (х2) хц,	(12.72)
где
Р = р+р'; х = р'—р. Из закона сохранения тока получаем, что
ХцЛи(р',р) = 0.	(12.73)
Подставляя в (12.73) выражение (12.72), находим
х2 F' (к2) — 0.
Отсюда Е'(х2) = 0 и
Ag(p',p) = PgF(x2).	(12.74)
Наконец, из унитарности S-матрицы во втором порядке теории
возмущений по е получаем
Лц(р',р)=-бдЛ;(р,р').	(12.75)
132
Из (12.74) и (12.75) имеем
F* («2) = F (х2).	(12.76)
Окончательно
(Ф+(0) Ф„) = (аЬ-у= (₽ + /)» F («’)	(12.77)
Итак, матричный элемент тока в случае частицы со спином нуль
характеризуется одним вещественным форм-фактором. Отметим, что
матричный элемент процесса рассеяния электрона на частице со спи-
ном нуль во втором порядке теории возмущений по электромагнит-
ному взаимодействию может быть представлен диаграммой рис 18.
Заштрихованной части диаграммы, обусловленной сильными взаи-
модействиями, следует при этом поставить в соответствие
eF (х2) (pu + р^) (2л)< 8(p'~p + k),
а внешним линиям с импульсами р и р' соответственно
1 1 1 1
, (2л)3/2 /2^ И (2л)3/2 у’
Перейдем к рассмотрению следующих процессов со слабым взаи-
модействием:
Vu+n->p“+p, (12.78а) vM, + p->p.+ 4-n.	(12.786)
К слабым взаимодействиям применима теория возмущений. Сильные
взаимодействия будем учитывать феноменологически путем введения
форм-факторов.
В настоящее время считается установленным, что гамильтониан,
описывающий слабое взаимодействие нуклонов, р.-мезонов и нейт-
рино, имеет вид
Mi =yf Уа	W + а“ +
+ (tv(X) Ya (1 + т5)	(х)) (4 (X) + а+)(х)} 6а. (12.79)
Здесь G—константа слабого взаимодействия (G ~ 10-5/Л42, М —
масса нуклона); фц и tv—операторы р-мезонного и нейтринного
нолей;
va (х) = фр (х) уа фп (х)—i у2 (ф (х)	Фо (х)	+ •••.
«a(x) = tp(x)TaT5^n(x) + -	(12.80)
представляют собой векторный и аксиальный токи. В (12.80) ф —
оператор заряженного л-мезонного поля, а ф0 — оператор поля
нейтральных л-мезонов. Векторный ток va(x) записан в соответст-
вии с гипотезой сохраняющегося векторного тока.
133
При рассмотрении процессов (12.78) будут учитываться слабые
и сильные взаимодействия. Соответственно гамильтониан взаимо-
действия равен
^i(x) =^(x)+^?(х).	(12.81)
Начнем с рассмотрения процесса (12.78а). Обозначим q и q'
4-импульсы нейтрино и ц-мезона, а р и р'—4-импульсы нейтрона и
протона. Начальный и конечный векторы состояния запишем в виде
ф9,Р = <(?)фР> ф9',Р'=<(<7')фР<>	(12.82)
где Фр и ФР' — векторы, описывающие начальный нейтрон и ко-
нечный протон. Выделим ту часть S-матрицы, которая дает от-
личный от нуля вклад в матричный элемент процесса (12.78а) в пер-
вом порядке по константе слабого взаимодействия G. Обозначим ее
SG. Рассуждая так же, как и при рассмотрении рассеяния электро-
на нуклоном, получаем
(-») ^$ (трц (х) уо (1 + у5) i|)v (х)) [Т (уо (х) +
+ aa(x))e~ZI^(J/)dJ/]dx.	(12.83)
Масса нейтрино считается равной нулю. Спинор u(q), описывающий
нейтрино с 4-импульсом q, будем нормировать условием u+(q)u(q) —
= 1 (см. Приложение). При такой нормировке оператор ifv(x) ра-
вен
tfv (X) =	*3/2 ((цг (?) сг (?) e^+w (—?)	(?) е-г>) dq. (12.84)
С помощью (12.83) и (12.84) получаем следующее выражение для
матричного элемента процесса (12.78а):
(ф+ .р,	YT“(^)Va(l +y5)u(q) X
х jje-z («'-'?)х (ф+ T((yo(x) + ao(x))e“z^'(j/)dj/ )Фр)</х, (12.85)
где m — масса р.-мезона. Переходя от представления взаимодейст-
вия к представлению Гейзенберга, получаем
( Ф+ т(О«(х)е-'ГЖ'"“>*')фр) = (ф+;ои1Уа(х)ф,.
(12.00/
(ф+ Т(а. We-' 1^' “ *) Ф,) = (Ф+ ;оц1 Ло(х)Ф„1п). .
Здесь Va(x) и Ло(х)—операторы векторного и аксиального токов
в представлении Гейзенберга [см. (12.29)], а Фр; in и Фр-;ощ—
векторы состояния начального и конечного нуклонов в этом пред-
134
ставлении. Аналогично (12.32) имеем
= е-г<₽'-₽)-(ф+;ои1(Уо(0) + Аа(0))ФрНп). (12.87)
Подставляя (12.87) в (12.85), получаем для матричного .элемента
процесса (индексы in и out в дальнейшем будем опускать)
(Ф?.г	+ X
X (<FW')r.(l + V,) р («)) (Ф+ (V, (0) + 4 (0)) Ф„).	(12.88)
Если сильные взаимодействия не учитываются, то из (12.79)
и (12.80) получаем, что матричные элементы
(Ф^а(О)Фр) И (ф+Л(0)Фр)
равны соответственно
1	/ Л42 X1/2 —	1	/ Д42 \1/2 _
—- -------- «(р')Та«(р) И —- ---------- «(р')?а?8«(р).
(2л)3 \ Ро р0 )	(2л)3 \ ро Р0 /
В общем случае матричные элементы векторного н аксиального
токов могут быть записаны в виде
.	,	\	1	/ Л42 \ */2 —
(ф?V.(0)Фр)"V- «(р'1 v.W,
\ Ро НО /
Z +	'	1 / № V/2_	(12.89)
(Ф^ 4 (0) Фр) =	) и {р') Аа V, р) и (р),
где матричные элементы
й(р')Уа(р',р)и(р) и й(р')Аа(р',р)и(р)
преобразуются соответственно как вектор и псевдовектор.
Рассуждая так же, как в случае рассеяния электрона на ну-
клоне, заключаем, что матрицы Уа(р',р) и Аа(р', р) имеют сле-
дующий общий вид:
Va (Р , Р) = Та G v (х2) + lPa - 	- + 1Ха - ,
f 2	2	(12.90)
(р'> р) = Та Ts Ga (х2) + г*а Ta + iP^ Та 
Здесь Gv, Fv, Ga, Fа, ...—функции квадрата передачи 4-импуль-
са х2 (х = р' — р; Р = р' + р).
Из унитарности S-матрицы и инвариантности относительно
обращения времени следует, что эти функции вещественны.
135
Действительно, из условия унитарности S-матрицы получаем
[см. (12.50)]
(ф^.р-^,р) + «рЖ'.р-)* = -2(ф+,„^+фп) (Ф+/?Ф9,Р).
(12.91)
В правую часть этого соотношения дают вклад только состояния,
в которые могут переходить р и vg, п. Нетрудно видеть, что
наибольший вклад дает вектор, описывающий р--мезон и протон.
В этом случае матричный элемент (Ф^,Р'7?+ФП) порядка а (рассея-
ние (х~-мезона на протоне), а (Ф^/?ФР, р) порядка G [процесс (12.78а)1.
Опуская величины порядка Ga по сравнению с величинами поряд-
ка G, из (12.91) получаем
(Ф?, р- ЯФ9.р) = -(Ф9+р *Ф9-, рЭ*.	(12.92)
Это соотношение связывает матричные элементы прямого и обрат-
ного процессов.
Предположим, что имеет место инвариантность относительно
обращения времени (Т-инвариантность). Из Т-инвариантности, как
известно, следует, что
(«£ Л-.»-)=(ф^, "г г-’' т )	(12-93)
Здесь Ф?7-)Р7-—вектор состояния, описывающий нейтрон сим-
пульсом рт = ( — р, ipo) и нейтрино с импульсом qT~ (— q, iq0).
Проекции спина нейтрона (нейтрино) н состояниях Ф?1Р и Ф97. Рт
противоположны (при обращении времени меняются направления
импульсов и спинов).
Чтобы охарактеризовать спиновые состояния частиц, описы-
ваемых векторами Ф?7. Рт и Ф -	, рассмотрим уравнения для
_	’	ЧТ> рт
спиноров и(р) и и(р). Имеем
(ур—iM)u(p) = 0,	(12.94а)
й(р)(ур—Ш) = 0.	(12.946)
Из второго уравнения, используя эрмитовость матриц у , находим
(у*р—г/И)и(р) = 0.	(12.95)
Умножим это уравнение на унитарную матрицу V/, удовлет-
воряющую условиям
(12.96)
(бр.= — 1 при (х = 1,2, 3 и 64 = 1; в правой части этого соотно-
шения суммирование по р не производится). Получаем
(ург—Ш)Угй(р) = 0,	(12.97)
136
где
Рт = (—Р, Фо)-
Положим
«r(pr) = Vru(p).	(12.98)
Из (12.97) и (12.98) следует, что спинор ит(рт) удовлетворяет
уравнению Дирака:	/
(УРТ~ iM) ит(рт) = 0.
С помощью (12.96) легко убедиться в том, что
' uT(pT) = u(p)V^.	(12.99)
Вычислим среднее значение оператора спина
= -у (—0 «Чы “л «г =	(—0 ^iki Yh Yz
в состоянии ит(рт). С помощью (12.96) находим
(12.100)
Используя (12.98)—(12.100), получаем
У
(«т (Рт) St ит (Рт)) = _ (“+(p)Sz ы(р))	(12 101)
(и^(рт) ит(рт))	(u+(p)u(p))
т. е. средние значения оператора спина 2г в состояниях ы(р) и
ыг(рг) равны по величине и противоположны по знаку. Очевид-
но, что все это относится и к спинору ит (qT) — VTu(q).
Мы приходим к заключению, что спиновые состояния нукло-
на и нейтрино, описываемых вектором Фр?1, , характеризуются
спинорами ит(рт) и uT(qT). Аналогично протон и р.-мезон в-
состоянии	обладают импульсами рт= (—р , ipo) и qT —
= (—q , iqo) и описываются спинорами
«7,(pp = Vr« (р') и ит(рт) = VTu(q’).
Из (12.92) и (12.93) находим
(ф+,,р,ЯФ?>р)= -(ф9+',р'/?Ф9гР7.у.	(12.102)
137
Подставляя (12.88) в (12.102), получаем
(й (q') Та (1 + ?8) «(</)) («(Р') [^а (Р ’ Р) + Аа> ₽)] и (Р)) =
= (йт (q'r) Та(1 +?s) ит (qT))*(itT(p'T) [Vo(p’т, рт) +Аа(р^, рт)]и^рт)У.
(12.103)
•С помощью (12.96), (12.98) и (12.99) находим
(«г Ьн) Та О + Vs) ит (<7т))* = (“ (р ) Та (1 — Тб) «(<7))‘ба =
= («(?') Та (1 +Тб) «(^)).	(12.104)
При получении (12.104) мы использовали соотношение
Тб Vr=— Тб>
в справедливости которого легко убедиться из (12.96). Далее из
(12.90), (12.96), (12.98) и (12.99) находим
—	» — Г	F* Н* 1
<Ur(Pr)Va(PrPr)Ur(Pr)) =«(Р')	+	U(P)>
**	** At iVl	Al iVl
_	F * Ц*Л
{ит{р'т)Аа(р’т,рт)ит(рт)У=и(р’) ?a?8G;+i%oy5-^+iPaTs-^ u(p).
At iVl	AtlVk	•
(12.105)
•С помощью (12.103), (12.104) и (12.105) получаем:
Gy = Gy,Fv = Fy, Hv = Ну,
Ga = Ga,Fa = Fa,Ha = Ha.
(12.106)
Таким образом, если имеет место Т-инвариантность, то все форм-
факторы в выражениях.(12.90) вещественны. Далее, используя изо-
топическую инвариантность сильных взаимодействий, покажем,
что форм-факторы Ну и На обращаются в нуль. Обозначим сумму
векторного и аксиального токов Ja(x):
Ja(x) = Va(x) + Aa(x).
Будем называть этот оператор оператором тока.
Рассмотрим оператор
ia W = (% W Ta (1 + Vs) фп W) •	(12.107)
В соответствии с гипотезой изотопической инвариантности протон
и нейтрон являются двумя состояниями одной частицы — нуклона.
Оператор нуклонного поля обозначим ф|(х). Положим, что фх(х) =
= фр(х) и ф-1(х) =фп(х). Оператор (12.107) может быть записан:
/а = (% Va (1 + Vs) Фп) = (^EVa (1 + Vs) (Н)ЕЕ'ФЕ') =
= (Ф?в(1 + Т8Д+Ф).	(12.108)
438
Здесь
т+ = (о J)=y(T1+ZT2)’	(12.109)
где тг и т2—матрицы Паули.
Оператор нуклонного поля г|^+) (х) может быть записан в виде
^+) (Х) = У (-^-)'/2«г(Р)%Е^.?.(р)е^р.	(12.110)
Здесь индекс X принимает значения р и п; сГгР(р) и сг,п(р)—со-
ответственно операторы уничтожения протона и нейтрона, а
Г = (J) >%" = (?) •	(12.111)
Рассмотрим преобразование
I
(x) = U'ty(x)lJ'-i—е2 ts71 4 (х) = гт24(х)	(12.112)
(поворот на угол л вокруг второй оси в изотопическом пространстве;
U — унитарный оператор, действующий на операторы поля). Из
12.110) и (12.112) находим (спиновый индекс опущен)
(/Сх =S((xx)+iT2xVK (р).	(12.113)
*
Далее, с помощью (12.111) получаем
Ucp(p)U~l =сп(р), Ucn(p)U~x =—ср(р).	(12.114)
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
^+(р)£/-‘ = с+(р); i/C+(p)(/-‘ = -с+(р).	(12.115)
Учитывая, что ^Ф0 = Ф0, из (12.115) получаем
(Р) Фо = с+ (р) Фо, £7с+ (р) Фо = — с+ (р) Фо. (12.116)
Таким образом, если на вектор, описывающий протон с импуль-
сом р, подействовать оператором U, то получим вектор, описываю-
щий нейтрон с тем же импульсом. Если на вектор, описывающий
нейтрон, подействовать оператором U, то получим (со знаком ми-
нус) вектор, описывающий протон. Из (12.108) и (12.112) находим
f/jo (х) U~l = 4 (х) уа (1 + у6) т2-j- (Tj + iT2) т24 (х) =
= — t W Та (1 +?8) Y (т1— **2) 4 (х) = — (/а W)+6a- (^Л 17)
В правой части по а суммирование не производится.
139
Предположим, что полный ток ja(x) — va(x) + аа(х), входящий
в гамильтониан слабых взаимодействий (12.79), удовлетворяет соот-
ношению*
^a(x)i/-1 = -/+(x)6a	(12.118)
[в случае оператора <р(х), отвечающего частицам с изотопическим
спином /, U(p(x)U~l =ем^х’>].
Для интересующего нас матричного элемента получаем
(<#' (Р) Т (/а (0) е"1J W “х) ФрМ} =
= (ф+- (р) С7-1 UT (ja (0) е"' И'<х) dx]u~>(/Фр („J =
= (ф+, (n) Т (/+(0) ба е-’ И/<х) dx) фр (р)).	(12.119)
Здесь ФР'(р) — вектор состояния, описывающий протоне импуль-
сом р', Фр(П) — вектор состояния нейтрона с импульсом р и т. д.
При получении (12.119) мы использовали соотношение
UXa!U-{=&tai,	' (12.120)
вытекающее из изотопической инвариантности гамильтониана силь-
ных взаимодействий. Переходя к представлению Гейзенберга,
получаем из (12.119)
(Фр~'(р) Ja (0) Фр (п)) = (Фр' (п) Ja (0) Фр (р)) ба =
= (Фр^(р) 7а (0) Фр' (п)) ба.	(12.121)
Подставляя в это соотношение выражения (12.89), находим
(й(р') (Уа(р',р)+Аа (р', р)) и (р)) =
= (« (р) (^a (Р’ Р') + Аа (Р’ Р')) U (Р'))’ба =
= (й (р') (Vo (р, р') + Аа (р, р')) и (р)) ба.	(12.122)
Далее, используя (12.90) и (12.106), получаем из (12.122), что
tfv = 0 и НА = 0.	(12.123)
* В общем случае ток /а может быть записан в виде
Ах = Лх + Лх ’
где
Ja=T (	£ =~ ( /о+ ба U~').
Очевидно, что
= -6„ ( /;)+. Ui" U-1 =Sa ( Ja)+-
Предположение (12.118) означает, что ток j”—так называемый ток вто-
рого рода—не входит в гамильтониан слабых взаимодействий.
140
Таким образом, если верны сделанные нами предположения
(Т-инвариантность, отсутствие токов второго рода), то матричный
элемент (Ф^-7а(0)Фр) характеризуется четырьмя вещественными
форм-факторами.
Нетрудно видеть, что обращение в нуль форм-фактора Hv яв-
ляется также следствием гипотезы сохранения векторного тока.
Рис. 19
Действительно, из условия сохранения векторного тока
— =°	(12.124)
для матричного элемента получаем
(р'-р)а(Ф^Уо(0)Ф,) = 0.	(12.125)
•Отсюда, используя (12.89) и (12.90), находим
Hv = 0.
Матричному элементу рассмотренного процесса (12.78а) может
быть поставлена в соответствие диаграмма, представленная на
рис. 19. Внешним линиям этой диаграммы отвечают спиноры с соот-
ветствующими нормировочными множителями, лептонной верши-
не — матрица	уа(1 + Те), а заштрихованной части диаграм-
мы, учитывающей сильные взаимодействия, отвечает матрица
G
1/2 Г	F	F л
ya(Gv + ^GA)+iPa^ +1иаЪ— .
В заключение получим матричный элемент процесса (12.786). Оче-
видно, что вклад в матричный элемент этого процесса дает второй
член гамильтониана (12.79). Обозначим q и q' 4-импульсы антиней-
трино и р+-мезона, а р и р' —4-импульсы протона и нейтрона. В
141
первом порядке по G матричный элемент процесса равен
(Ф^,р-5°Ф9,р) = 1^(4-^ 7 («(—<7)?а(1+ ?5)и(—<?)) х
X (2яГ 8(p’ + q'-p-q) (Фр^ (я) Т ( /+ (0) 6а е"‘ У W “*) Фр (р)) .
(12.126)
Используя соотношение (12.119), находим, что
(ф£(«) Т (it (0) 6а e-Z I W "j Фр (р)) =
(12.127)
Таким образом, матричные элементы процессов (12.78а) и
(12.786) характеризуются одними и теми же форм-факторами.
ГЛАВА VI
Вычисление сечений
процессов и вероятностей распадов
§ 13.	Сечения. Следы
В этом параграфе мы дадим определение эффективного сечения-
Рассмотрим некоторый процесс превращения двух частиц в две час-
тицы. Обозначим 4-импульсы начальных (конечных) частиц рг и
p2(pi и р2). Матричный элемент перехода из начального состояния
Ф; в конечное состояние Фу запишем в виде
(Ф^Фг) = (Ф^Фг) + (ФЛ5-1)Фг).	(13.1)
Второй член в правой части (13.1) обусловлен взаимодействием;
он обращается в нуль, если взаимодействие отсутствует, и всегда
может быть записан следующим образом:
(Ф/- (S—1) Ф4) = S (Ру-Рг) Rfi.	(13.2)
Здесь Pf = pi '+ р2 — суммарный 4-импульс конечных частиц,
а Рг = рг + р2 — суммарный 4-импульс начальных частиц.
Нас интересует вероятность перехода из начального состояния
в конечное за счет взаимодействия. Эта вероятность дается квадра-
том модуля второго члена в выражении (13.1). Пусть dWfi обозна-
чает вероятность того, что конечные частицы обладают импульсами
в интервалах от pi до pi + dpi и от pi до pi + dpi. Тогда
dWfi=\Rfi \*8(Pf-Pt)x
Т/2
f dxA dxel(pf-p^x
(2л)* J
X lira [
V-+oo \
dpi dpi. (13.3)
Вторая 6-функция записана в виде
Т/2
8(Р —Р)=—!— lim f dxAdxei{Prpi)x.
V	(2л)4 г-»» J °.)
y~>oo—T/2 V
Так как интеграл в выражении (13.3) умножается на 6 (Ру—Pt)
то е‘ (Pf~pi} хпод знаком интеграла можно заменить на 1. Тогда
dWfi = \Rft\^P/-Pi)dp'idp'2-±- lira VT. (13.4)
У ->oo
T ->oo
143
Таким образом, dWfi -> оо. Это связано с тем, что dWfi пред-
ставляет собой вероятность перехода за время от —оо до оо (опре-
деление S-матрицы) и во всем пространстве (начальные и конечные
функции — плоские волны). Если V и Т достаточно велики, то ве-
роятность перехода за время Т в объеме V равна
(dWrfr.v = I Rfl |2 S (.Pj-Pi) dpi dp'2 VT. (13.5)
Отсюда отнесенная к единице времени и единице объема вероятность
перехода при условии, что переходы происходят в достаточно боль-
шом объеме и в течение достаточно большого времени, равна
dwfi = ^-\Rft\4 (Pf-Pt) dpi dpi	(13.6)
Эта величина конечна и не зависит от V и Т.
Определим теперь дифференциальное сечение процесса. В системе
отсчета, где частицы с импульсом р2 (частицы мишени) покоятся
(лабораторная система — л. с.), рассмотрим элемент объема
(рис. 20). Пусть площадь заштрихованной площадки, ортогональ-
ной импульсу падающей частицы вл. с., р1‘, равна единице.
Вероятность обнаружения частиц мишени в этом элементе
объема равна ргАх-1,гдер2—плотность вероятности. Умножим
эту величину на вероятность того, что падающая частица за единицу
времени пройдет заштрихованную единичную площадку. Получим
v“ р? р2 Ах,	(13.7)
где щ — скорость падающих частиц в л. с., а р? — соответствующая
плотность вероятности. Величину (13.7), отнесенную к единичному
объему, назовем потоком и обозначим /. Имеем
/ = Р1Р2Ць	(13.8)
144
(13.9)
Запишем эту величину в произвольной системе отсчета. Нетруд-
но видеть, что скорость падающей частицы в л. с. может быть за-
писана следующим образом:
У _ lpl I  К(Р1 Pa)2~ ОТ1
Рщ	— (Р1Р2)
Здесь pj и р2—4-импульсы падающей частицы и частицы-мишени
в произвольной системе отсчета, а т1 и т2—массы частиц. Обоз-
начим /ip. и /2р. 4-векторы потока (jk = phvh, (jk)i = iph, где рй и
vft—соответственно плотность и скорость, &=1,2). Имеем
P?P2 = -(/i/2).'	(13.10)
С помощью (13.8) — (13.10) получаем
.	К(Р1Р2)2—«1 ml ....
/ =----------:-----(/1 /г)-
(Pi Рг)
Очевидно, что эта величина — инвариант. Нетрудно видеть, что
/; ; \	_ _ Z P1P2 ________ Р1Ра(Р1Рг)
ш h) — Pi Рг---------1--------------
\ Pio Рго / Рю Рго
Окончательно находим
. У (Pi Рг)2 —ml
1 —	Pi Ргф
Рю Рго
Дифференциальное сечение определяется как отношение вероят-
ности перехода в единице объема за единицу времени dwfi к пото-
ку /
(13.11)
(13.12)
(13.13)
dwfi
dafi = -f-.	(13.14)
Поскольку четырехмерный объем — инвариант, вероятность dwfi
также инвариант. Таким образом, сечение daft> определенное соот-
ношением (13.14), является скаляром.
Матричный элемент Rfi [см. (13.2)] запишем в следующем виде
1 1
(2л)4
(13.15)
fl (2л)в у рюРгоРщРго
Мы выделили множители 1 ,/г у=> связанные с каждой внешней ли-
нией, а также множитель (2л)4. Матричный элемент Mfi являет-
ся скаляром (см. найденные в предыдущих параграфах выражения
для матричных элементов). При принятой нормировке плотности
Рх и р2, входящие в (13.13), равны
Pi —Рг — (2я)8
(13.16)
6 Зак. 1410
145
С помощью (13.13) — (13.16) получаем для дифференциального
сечения процесса
1
dafi = -- —- 1	— |	|2 б (Pf— Pt)
<2я)2 V (pi p2)3—m2 m22	p’lQ p’2O
(13.17)
Все величины, входящие в правую часть (13.17), являются ска-
лярами*. Отметим, что
(Р1Р2)2 —=Piop20Hvi—v2)2—(viX v2)2 , (13.18)
где Vi = pi/рю и v2 = p2/p20 — скорости частиц.
До сих пор мы предполагали, что начальные и конечные частицы
находятся в определенных спиновых состояниях. На опыте при из-
мерении сечений регистрируются конечные частицы с определен-
ными импульсами и всеми возможными значениями проекций спи-
на. Кроме того,, начальные частицы могут быть произвольно поля-
ризованы, и, следовательно, их спиновое состояние должно описы-
ваться матрицей плотности.
В качестве примера рассмотрим процесс, в котором участвуют
две частицы со спином 1/2 и две бесспиновые частицы. Будем пред-
полагать, что частицы с 4-импульсами рх и р[ обладают спином 1/2,
а спины частиц с импульсами р2 и р2 равны нулю. Матричный эле-
мент может быть записан в виде
Mfi = «''!(?;) ® (pi, Рг, Р1,рг) Ur (Pi),	(13.19)
где спиноры ur’ (pj и ur (рг) отвечают выходящей и входящей
внешним линиям, a ®(pi, р2; pi,p2)—матрица, действующая на
спиновые переменные. Найдем М*р.
* Нетрудно видеть, что dpjp0—скаляр. Действительно, рассмотрим пре-
образование Лоренца
Рх—РРо '		< Ро—РРх
Рх .------—— ’ Ру Ру * Рг Рг’ Р 0	’
]/1 — ра	u у	У1— Ра
Учитывая, что р0 = ]Апа + р2, получаем
d. Ч1-’;;)
dPy=dPy, dPz=dPz’
т. е.
dp' dp
Ро Ро
146
Имеем
Mfi = (йг< (p'l) SR ur (Pl))’ = ((и (Pi))+ ®+ ?-* “r (pi)) =
= (ur(p1)SRur' (p0),	(13.20).
где
® = T1SR+T1.	(13.21)
Если спиновое состояние начальных частиц описывается мат-
рицей плотности *
Раа- (Р1)=^иа (Р1) (Pi)a,	(13-22)
(величины аг задают спиновое состояние в базисе «’’(Pi)), то се-
чение рассматриваемого процесса равно
dafi = _L_ i------------------
(2Я) У (РхРа)2-»1!й»!
2 («г'(р;)®?«г(Р1))х
dP] dp2
(^(P1)®ur'(p;))a. б(Р/-рг)-р-
'	' J	Рю Р20
(13.23)
X
Учитывая соотношение
_	/ л, -4- imt \
3 «;(₽;) »;(₽;)=лот.(Р;)=р^	аз-го
г	\ ап^ / а0>
(см. Приложение), получаем, что величина в квадратных скобках
в выражении (13.23) равна
2	1®ОО' (2 «^(Р1) Ч-(Р1) °,) ®<r<f" (S (pj) < (Pi)) =
а, а', о*, а'" 'г	/	\ г'	>
= 2 (®Р (Р.) ®Л (р;))00 = Sp [Зйр (Р1) ® Л (PJ)]. (13.25)
Окончательно для сечения процесса в случае поляризованных на-
чальных частиц находим следующее выражение:
Sp f3"1 ® Л (₽i»lх
У —т1 т2
(13.26)
Р10 Р20
Для вычисления сечений необходимо, следовательно, уметь
вычислять следы произведений матриц у. Способы вычисления сле-
дов произведений матриц у основываются на соотношениях
Yv+?v ?ц = 2б^>
.	П 2	1	(13-27)
Тц ?б+?5 Т(Л = °.	?5 = 1’
* Спиновая матрица плотности для частиц со спином 1/2 рассматриваем-
ой в Приложении.
6*	147
а также на соотношении
Sp (АВ) = Sp (ВА),	(13.28)
в справедливости которого для любых матриц А и В нетрудно
убедиться. Действительно,
5р(ЛВ)= ^Ааа'Ва'а= S Ва'а Ааа- = Sp (ВА).
о, о'	о, а'
С помощью (13.27) и (13.28) докажем следующие утверждения:
1. След произведения нечетного числа матриц у равен нулю.
Действительно,
SP (УцУу-Ур) = SP (Уб Уб Ур Уу - Ур) =
нечетное число
= — Sp (y5 ур yv ... Yp т5) = -Sp (Тц ?V ... Yp) = 0. (13.29)
Первое равенство в (13.29) получено заменой 1 на	второе—
путем перестановки матрицы у5 с матрицами Yv и т- Д- Третье
равенство получено с помощью соотношения (13.28).
2-	Sp(YuYv)-46,iV.	[(13.30)
Действительно, используя (13.27) и (13.28), находим
SP(Уц Уу) = Sp [26pv— Vv Тц] = 86pv-SpYp Yv-
Пусть а и b — произвольные 4-векторы. Умножив (13.30) на
и Ьч и просуммировав по ц и v, получаем
Sp (ab) = 4(ab).	(13.31)
3-	SP(YuYvypya) = 4(6uv6pa-6iip6va + 6iia6vp). (13.32)
Имеем
SP (Ур Уу Ур Ур) = Sp [(26uv- Yv Уц) Ур У„] =
= Чу 6ра- SP [Уу (26цр- Yp Уц) У„] =
= 8Spy 6ра-86рр 6уа+ Sp [Yv Тр (26ца- Va Yp)] =
= 8Spy 6ра-86цр 6уа+8бца бур~ SP (Ур Уу Ур Ур)-
Перенося последний член налево, получаем (13.32). Способ вычисле-
ния состоял в следующем. С помощью перестановочных соотноше-
ний (13.27) матрица «протаскивалась» через все остальные мат-
рицы, затем использовалось соотношение (13.28), чтобы вернуть
матрицу Yp в исходное положение. Очевидно, что таким способом
можно вычислить след произведения шести, восьми и т. д. мат-
риц у.
148
Пусть а, b, с и d—любые 4-векторы. Умножая (13.32) на ац
6V, ср и и суммируя по р, v, р и о, получаем
Sp (а Ь с d) = 4[(ad) (cd)—(ас)(bd) + (ad)(bc)].	(13.33)
4.	Spy5 —0.	(13.34)
Действительно,
Sp y5 = Sp (ft Y1 ys) = — Sp (Y1 ys Yj) = — Sp y5 = 0.
5-	SP (Y5 Yh Tv)=°-	(13.35)
Запишем Sp (y5 уц yv) в виде
SP (VsYv) = ySp [MVgTv-YvTg)] +
+ ySP [т5(ти Vv+YvVg)]-	(13-36)
Второй член вследствие (13.27) равен 6gvSpY5 = 0. Нетрудно убе-
диться в справедливости соотношения
?5 (?Ц Yv-Yv Yg)= -Spvpa Yp Ya-	(13-37)
С помощью (13.37) и (13.30) получаем
SP (Ys Yp Yv) = ~ 8pvpaSP (Yp Ya) = -2%vpa 6pa = °-
6-	Sp (Ys Yp Yv Yp Ya) = 4vPa-	(13-38)
Действительно, нетрудно видеть, что след в левой части этого
равенства антисимметричен относительно перестановки любых
двух индексов:
SP [Y5 Yp Yv Yp Yj = Sp [Y5 Yp (26vp- Yp Yv) Yo] =
= — Sp(Y5 Yp Yp Yv Ya) и т- Д-
Далее
Sp (Y5 Yi Y2 Y3 Y4) = Sp?| = 4.
§ 14. Рассеяние электрона на нуклоне
Из опытов по рассеянию электронов нуклонами определяются
электромагнитные форм-факторы нуклонов. В этом параграфе будет
вычислено сечение этого процесса. Обозначим q и q'(p и р')4-импуль-
сы начального и конечного электронов (нуклонов). Диаграмма про-
цесса во втором порядке теории возмущений по е изображена на
рис. 18. Все сильные взаимодействия нуклона (заштрихованная
часть диаграммы) учитываются феноменологически, путем введения
форм-факторов.
149
Матричный элемент процесса рассеяния электрона нуклоном
дается следующим выражением (см. § 12):
4 Р' (2л)« \popoqoqo) (2л)*
X (2л)8 е2 (й (д') у и (д)) (й (р') Гц (р', р) и (р)) -у 6 (р' + д'—р — д).
4	(14.1)
В этом выражении пг и М—соответственно массы электрона и
нуклона; х = р'—р, а
ГЦ(Р'. Р) = Тц^1(и2)—^-^vXvF2(x2),	(14.2)
где Fx и Г2 — дираковский и паулиевский форм-факторы нуклона.
С помощью уравнения Дирака для спиноров и(р) и и(р') нетруд-
но видеть, что
й (р') оцу xv и (р) = —й(р') [i (р' + р)ц + 2MyJ и (р).	(14.3)
Используя это соотношение, получаем
«(Р')Гц(Р', р)и (р) =
= «(Р') [(Л +	~ Fz (Р' + Р) J «(Р)-	(14.4)
Как было показано в предыдущем параграфе, вычисление сече-
ния сводится к вычислению следов. Прежде чем вычислять следы,
естественно с помощью уравнения Дирака, которому удовлетво-
ряют спиноры начальных и конечных частиц, уменьшить, насколь-
ко это возможно, число матриц у в матричном элементе. Восполь-
зуемся соотношением (14.4). Из (14.1), (13.15) и (14.4) получаем сле-
дующее выражение для NI  чр.
яр = (и (д') уц и (д)) (й(р') R ц и (р)) ~ .	(14.5)
Здесь
<14.6)
где
Р = р + р',
a	GM = Fx + F2—магнитный форм-фактор.	(14.7)
Рассмотрим рассеяние неполяризованных частиц. В этом слу-
чае начальные матрицы плотности электронов и нуклонов равны
р(д) = АЛ(д), р(р) = Ал(р),	(14.8)
где Л(д) = -^—, Л(р) =	----проецирующие операторы
(см. Приложение).
150
Из (14.7), (13.19) и (13.26) получаем следующее выражение
для дифференциального сечения процесса:
da = J..........\ а е</п2Л12 Т SP [Л (?) Yv л (?')] X
(2я)« /(w)»_дрт»	4 (х«)« и
X Sp [R, Л (p)Rv Л (р')] ^(p' + Q'-p-q')^-	(14.9)
Ро ?о
Здесь
Yv=y4YvY4 = \Yv;
,	,	F.\	(14.10)
^v=V4^V4=(VvGm + ^v^)6vJ
(напомним, что 6V = — 1 при v = 1, 2, 3 и 64 = 1; суммирование
по v в правой части (14.10) не производится).
С помощью (14.10) имеем
Sp [тиЛ(<7) VvA(<7')] Sp [₽иЛ(р) RvA(p')] =
= Sp [ V(l Л (q) Yv Л (9')] Sp [ Rи A (p) Rv Л (p')].	(14.11)
Перейдем теперь к вычислению следов. Используя (13.29),
(13.30) и (13.22), легко находим
sp [R^A(p)RvA(p')] = — 2-{о^[рйр;+р;ру—
~6^(РР' + Л4^)] + P(1Pv[-2MGa< - (g-)2 (рр'—ЛР)]}.
(14.12)
Запишем выражение (14.12) в другом виде. Выразим р' и р через
Р и х. Получаем
р' = ±(Р + х), р = ±(Р-х).	(14.13)
Отсюда находим
РиРу+РуРц= y(pnpv—хцху).	(14.14)
Далее очевидно, что
рр' + М*= — ух2, рр'—М2= — у(х2 + 4Л42). (14.15)
Выразим F2 через магнитный и зарядовый форм-факторы. Имеем
Gm = Pi + F2, Ge — F1—
откуда
2M 2 х2 + 4Л12
(14.16)
151
Используя (14.14)—(14.16), получаем
Sp [7?ц Л (р) Pv Л (p')J =
= “ilG" l^vX*-x^xv]+ [G2m Х2 + 4Л42 Ge] ). (14.17)
2М2 [	х2+4Л4а	J
Таким образом, если ввести магнитный и зарядовый форм-фак-
торы, то в выражение для сечения не войдет интерференционный
член GmGe- Последнее легко понять с помощью соотношений (12.67)
(в выражение для сечения рассеяния неполяризованных частиц не
может входить произведение величин, одна из которых умножается
в матричном элементе на единичную матрицу, а другая на ог). Да-
лее, в выражении (14.17) магнитный форм-фактор умножается на
величины, квадратично зависящие от х, что также легко понять
с помощью (12.67).
Электронный след может быть получен из (14.12). Для этого в
выражении (14.12) следует положить F2 ~ 0, Gm = 1 и произвести
замену p-+q, р'-+q’, М -> т. Получаем
Sp [Л (g) yv Л (д')] = —	<?; + <7v < + у Suv *2 .(14.18)
При получении (14.18) использовалось также соотношение
дд' + т2=—2-х2,	(14.19)
которое следует из равенства
q—q'=p'—р = к.	(14.20)
Следующий шаг — умножение (14.18) на (14.17) и суммирова-
ние по р и v. Прежде чем производить эти свертки покажем, что
Sp [ Уц Л (g) yv Л (д') xj = 0.	(14.21)
Легко видеть, что
9Л (д) =	(q2 + imq) = i/пЛ (д),
2tm	(14.22)
Л (д') д' = imA (д'),
откуда
Sp [?ц Л (д) yv Л (д') xj = Sp [Л(д') хЛ (д) yv] =
= Sp [Л (д') (д—д') Л (д) yv] = 0.
Аналогичным образом находим
Sp [УцЛ(д)У„Л(д')х„]=0.	(14.23)
Из этих соотношений следует, что член x^Xv в (14.17) не дает
вклада в сечение. Кроме того, если представить 4-вектор Р в виде
152
Р = 2р + х, то из (14.21) и (14.23) заключаем, что при свертыва-
нии тензоров (14.17) и (14.18) можно заменить на ip^Pv В ре-
зультате получаем
Л = Sp [ Y(X Л (q) Vv Л ft')] Sp [/?ц Л (р) Pv Л (р')] =
1
2Л12т2
Gm х2(ха—2m2) +
4(G2fx2+4M2G2)
х2 + 4Л42
2(w)(w')—уЛ12 х2]
(14.24)
Вычислим сечение рассеяния электронов нуклонами в системе
отсчета, в которой начальный нуклон покоится (л. с.). Выполним
сначала интегрирование по р' (учтем закон сохранения импульса).
Получаем
, ei	М2т2 .	1 о , , .	.
°	4 (2л)2 V(р9)2 — М2™2	(х2)2 (Ро + ^о — Ро Яо)
X
?о ] q' I dQ'
Ро ?0
(14.25)
Здесь p'=q — q', а величина А дается выражением (14.24). Эле-
мент объема dq' записан в сферических координатах
dq' = | q' |2 d | q' | dQ' = | q' | q'o dq'o dQ'.
(14.26)
Проинтегрируем no q’o (учтем закон сохранения энергии). При
этом необходимо иметь в виду, что под знак 6-функции q'Q вхо-
дит также через р' = ]Л/И2 + (q—q')2. Воспользуемся соотноше-
нием
в (/(*)) =	,	(14.27)
где Л'о — корень функции /(л). Вычислим производную аргумента
6-функции по q'Q
Л- (/M2 + (q-q')2 + ?;) = l+4f^-^^cosOY (14.28)
dq0	Ро V IЧ I '
где 0 — угол между импульсами падающего и рассеянного элект-
ронов (между q и q')-
Будем рассматривать рассеяние электронов больших энергий
на нуклонах. Предположим, что q0 > т. Опуская члены порядка
6В Зак. 1410	153
тг1Чъ и т^/д'о2, получаем
«2 = 4<70^sin2-|,
]/(pg)2—M2/n2 = M<7o,
2 (Р<7) (PQ')—v M2x2=2M2g0<?; cos2 ~,
z	z
(14.29)
(производная вычислена при таком значении qo, которое следует из
закона сохранения энергии). Используя (14.29), из (14.24) и (14.25)
получаем окончательно для дифференциального сечения рассеяния
электронов большой энергии нуклонами в л. с. (формула Розен-
блюта):
g2+— G2
da ( da \ Е 4М2 м . х2 г2 . _2 0
---= ----------------------Gm tg2 —
dQ \ dQ Jo } х2 2М2	2
+ 4М2
(14.30)
где
е
a2 cos2 —
2______
2оп 0
1+4sin2T
е2 _ 1
4л 137 ‘
(14.31)
О . о . 4 0
Мsln у
на нук-
Сравнивая (14.30) с данными по рассеянию электронов
лонах, можно определить магнитный и зарядовый форм-факторы
нуклона при различных значениях х2.
Отметим, что при q0 > т
2 . , 0
4?osin V
.
1+2l-sin2T
Это выражение легко получить из законов сохранения энергии и
импульса.
В заключение покажем, что (^)о [формула (14.31)] представляет
собой сечение рассеяния электронов с q0 т на бесспиновой то-
чечной частице.
Диаграмма этого процесса представлена на рис. 21. Матричный
элемент, отвечающий диаграмме рис. 21, может быть получен из
(14.1) заменой
(ДД2 \ 1 / 2—
«(р')Гц(р',р)«(р)
РоРо /
154
на	Рц 1см. выражение (12.77); для точечной частицы форм-
't/ 4р0 Ро
фактор равен единице]. Это означает, что свертку А в (14.25) сле-
дует считать равной
—— Г2 (pq) (pq')—- М.г х2’.
Л1»т» L	2 J
В л. с. при <?о х» т получаем для сечения выражение (14.31).
§ 15. Процесс + п Ji + р
Вычислим	дифференциальные сечения	следующих	процессов!
+	+	(15.1а)
vg4-p-»-p+4-n.	(15.16)
Эти	процессы представляют большой интерес	для	физики	слабых
взаимодействий и в настоящее время изучаются на опыте. Начнем
с рассмотрения процесса (15.1а). Обозначим q и q' 4-импульсы на-
чального нейтрино и конечного р-мезона, а р и р' — 4-импульсы
нейтрона и протона. Диаграмма процесса представлена на рис. 19.
Эффективный гамильтониан слабых взаимодействий обсуж-
дался в § 12. Матричный элемент процесса (15.1а) равен [см. (12.88)—
(12.90), (12.123)1
Ш 5Ф._ р) = (-/) -L- (/2 (2л)4-А 6(р' + q'-p-q)X
\ РоРоЧо /
'x(u(q')ya(l + y5)u(q))(u(p')[Va(p', р) + Л(р', р)]и(р)). (15.2)
6В*	155
Здесь M и т—соответственно массы нуклона и р.-мезона; G —
= 10-5Л4~2— константа слабого взаимодействия, а
F (х2)
^РМа^2)М~’
F л (х2)
4 (Р'. Р) = Ya Y5Ga(X2) + Ма Y5
Р = р+р', н — р'—р.
Сильные взаимодействия нуклонов (заштрихованная часть диа-
граммы рис. 19) учитываются форм-факторами Gy, Fy, Ga и Fa.
Если справедлива Т-инвариантность, то все форм-факторы вещест-
венны (см. § 12). Форм-факторы Gv и Fv(Ga и Fa) характеризуют
матричный элемент векторной части (аксиальной части) слабого
тока. Отметим, что спинор и(д), описывающий нейтрино, нормиро-
ван условием u+(q)u(q) = 1 (см. Приложение).
Из (15.2) получаем, что матричный элемент Mq-p--qp,
определенный соотношением (13.15), равен*
Mq>, р’; q,p = (—i) YM2mq0-^= (u(q') у0 (1 + ?5) и (qj) x
V
X («(p')(Va+4)«(p)).	(15.4)
В соответствии с современной теорией слабых взаимодействий
нейтрино—частица с определенной (отрицательной) спиральностью.
Матрица плотности нейтрино равна (см. Приложение)
P(?) = 4(1 + Ys)-9t-‘
Начальные нейтроны будем считать неполяризованными, т. е. по-
ложим, что
(15.3)
’>«’>=? Aw=iisr
* Заметим, что вклад второго члена выражения для Аа (р', р) в мат-
ричный элемент процесса равен
fa
(«(?') Ya С1 + Те) “ (4>) (“ и =
А	_	fa
= (« (?') (?—?')(!+ Та) «(<?)) (и(р') ?5«(р)) «
= (“ (<?')(! + Та) “(<?))(“ (Р') Vs “ (Р))	.
При получении этого выражения мы использовали закон сохранения 4-импуль.
са (х = р'~p—q—q') н уравнение Дирака для спиноров u(q') и u(q). Та-
ким образом, форм-фактор mFaI^-M. характеризует индуцированное псевдо-
скалярное взаимодействие (индуцированный псевдоскаляр).
156
С помощью (13.26) находим следующее выражение для дифферен-
циального сечения процесса:
X Sp [(У0+Л)Л(р) (УрЧ-Лр)Л(р')] 6(p' + q'-p-q)^-
Чо Ро
(15.5)
Отметим, что при получении этого выражения мы использовали
соотношение
|(i+vs)2=(i + V5)-
Имеем
v3 (! +т5) = т4 (т₽U + т6))+т4 = т₽U + Тб) б₽> '
Г,=Т.^Г.-(гА+'₽.2Й^)’»’
_	v	’	(15.6)
Ае=^At V4 = (v₽ v5 ga - *т5	Р а ) бз
(6р = — 1 при (3= 1, 2, 3 и 64= 1).
Перейдем к вычислению следов. Используя формулы (13.29)—
(13.38), без труда находим
SP [та (1 + Т6)-^-Тр(1 + Т6)Л (<?')] =
=	2Sp[Ta(1+T6)?Tp(?' + M =
= —^[qa ^~8°*{qq,)+q«qf>+s* qp q,°\ 	(15,7)
Последний член в этом выражении возникает от интерференции
вектора и псевдовектора. Сравнивая (15.3) и (14.6), приходим к
заключению, что Sp [УаЛ(р)Ур А(р')] совпадает с вычисленным
в предыдущем параграфе Sp [7?аЛ(р)7?рЛ(р')1 [выражение
(14.17)], если в последнем произвести замену GM-^GV и F^Fy.
• Как и в случае рассеяния электронов на нуклонах, вместо
форм-фактора Fv введем форм-фактор
Hr-Gr-(1+	(15.8)
Тогда
Sp [Va Л (р)	Л (p')J = —(O2V (6a3 х2—xa хр)+
+ (G2v«2 + 4Л42^)}.	(15.9)
ха + 4Л42	J
157
Рассмотрим след Sp [АаЛ(р)АрЛ(р')6р] (суммирование по 0 в
этом выражении не производится).
Используя перестановочные соотношения для матриц у, полу-
чаем
Sp [Ло Л (р) Д Л (р') 6Э] = — Sp [( уа Ga + bca -^0 Л (— р) х
х(уэбл + 1х₽-^-) Л(р')],	(15.10)
где
Л(-р)=	.
V	2iM
Сравнивая этот след со следом (15.9), заключаем, что след (15.10)
также нет необходимости вычислять. Этот след может быть получен
из (15.9) заменой р—>—р, Gv-^-Ga, Fv /^(очевидно, что заме-
ну р -ч—р в аргументах форм-факторов производить не следует).
Получаем
Sp [До Л (Р) Л₽ Л (Р') 6р] = —1 jGi (- бар Р* + Ра Р£ -
----ХаХр (G2 р2 + 4Л12//2П	(15.11)
Здесь
HA = GA-(l +^}Fa.	(15.12)
\ 4MZ J
Таким образом, если вместо форм-факторов Ga и Fa ввести
форм-факторы Ga и На, то в выражение для сечения не входит
интерференционный член GaHA-
Вычисление остальных следов не представляет труда:
Sp[VaA(p)XpA(p')6p] = —-^Sp [?aPVpV5p'G/?4] =
ea₽pa Рр Рр
(15.13)
Sp [Дх A (p)Vp Л (p') 6p] = ea3pa Pp p; Gv Ga.
Теперь мы должны умножить (15.7) на сумму .выражений (15.9),
(15.11) и (15.13) и произвести суммирование по а и 0. Обозначим
выражение в квадратных скобках в правой части (15.7) следующим
образом:
ЛаР = яа + Ча	6а3 (W') + 6а₽ра Чр Ч'а- (15.14)
Вычислим вначале свертки Ааа с тензорами, входящими в (15.9),
(15.11) и (15.13).
158
Находим
Аар РаРр — 2 (Pq) (Pq') - Р2 (qq')t
Л₽6ар=—2(w').	-
Aap^a^-m^qq'),
Aafi еарраРрРа = 2 «W) (PV)-(PV') (P' fl)l-
При получении последней свертки мы использовали соотношение
eapp'«J' eafiPa — 2(6р'р Sar'ar — бР'Р 6a'P).	(15.16)
Отметим также, что
(P<D = (Р (q + q'—q)) = (Pq) + (P (p-p')) = (Pq).	(15.17)
Из 4-импульсов p, q, p' и q', связанных законом сохранения энер-
гии—импульса, можно построить два независимых скаляра. Выбе-
рем в качестве независимых переменных
s=-(p + ^)2=-(p' + /)2.	1
< = —(р—р')2=—(<?'—ха. J	’
Очевидно, что вс. ц. и. скаляр s равен квадрату полной энергии.
Выразим скалярные произведения, входящие в правую часть (15.15),
через з и t. Получаем
АарРаРр = 2[(s--М2)2 + (/--т2) (s—±m2^
Аар8ар = — (/—т2),
Аар %а «р = — у /п® (/ — т2),
’овР. Рр ₽; = -1'12 (s - mi+(< - ««и.
(15.19)
С помощью этих соотношений из (15.9), (15:11) и (15.13) нетрудно
найти произведение следов, входящее в выражение (15.5).
Дифференциальное сечение процесса запишем в виде
da = B6(p’ + q'-p-q)'^	(15.20)
Ро 4о
где В — функция скаляров $ и t, которая легко может быть найдена
из (15.5), (15.7), (15.9), (15.11), (15.13) и (15.19).
Чтобы получить окончательное выражение для дифференциаль-
ного сечения, мы должны проинтегрировать (15.20) по четырем пе-
ременным (учет законов сохранения энергии — импульса). Выпол-
ним интегрирование в с. ц. и. Сначала проинтегрируем по р'. По-
лучим
da =В8 (р'о + q’0 — p0 — q0) 1Ч	° •	(15.21)
Ро
159
Аргумент 6-функции равен
F (Qo) = clo+V M2 + q’*—m2—p0—q0.	(15.22)
Чтобы проинтегрировать по q'o, воспользуемся формулой (14.27).
Производная в точке, где F(q'o) обращается в нуль, равна
Ро+?о
^Чо Ро
В результате получаем
do = B .
(Ро + Чо)
(15.23)
(15.24)
Скаляры s и t выражаются через величины в с. ц. и. сле-
дующим образом: '
s = (Po + <7o)2>
f = m2 —270<7' + 2<70|q'|cos9
(15.25)
(6—угол между q и q'). Элемент телесного угла равен
dQ' = sin 0d0d<p,
где <р—азимут вектора q'. Из (15.25) находим, что
dt =—2q01 q' | sin QdQ.	(15.26)
Интегрируя по <p (В — функция s и t, т. е. В не зависит от <р),
получаем следующее выражение для сечения:
ч do = лВ------------------.	(15.27)
(Ро + <7о) Чо
Сечение do является скаляром. Мы должны, следовательно, по-
строить такой скаляр, который в с. ц. и. равняется (р0 + ро)9о- Оче-
видно, что
(Ро + <7о) <7о = — (Р + <7) <7 = — (Р<7)-
Итак, находим
dt —(pq)
(15.28)
Подставляя сюда выражение для В и учитывая, что —(pq) =
= — (s—Л42), получаем окончательно
		Я®-— G2	
do __ G2	1 dt	2л (s—Л42)2	[(s—Л42)2-|-(£—m2)s]	v 4Л42 v , Г2 t +Ga 1 —	 4M2	+
160
+ у т2(/—m2)
' G2-4 G2-Я2
1—-L-
I 4М2	4Л42
— t[2 (S —М2) +
+ ((—m2)]GvGA + j-(t — m2)[G'vl + G'A^—4M2)] .. (15.29)
Если [принять гипотезу сохраняющегося векторного тока, то
Gv = Gm—Gm, Hv = GpE-GnE,	(15.30)
где Gm и Gm (Ge и Ge)—магнитные (зарядовые) форм-факторы про-
тона и нейтрона. Эти величины могут быть найдены из опытов по
рассеянию электронов на нуклонах. Изучение процессов (15.1) по-
зволит, следовательно, определить аксиальные форм-факторы нук-
лона.
Рассмотрим теперь процесс
Vjx + p->« + p+.
Обозначим q и (/'4-импульсы антинейтрино и р,+-мезона, а р и р' —
4-импульсы протона и нейтрона. Матричный элемент процесса ра-
вен [см. (12.126) и (12.127)]
(ф£. ₽' р) = i	V/2	(2л)4 х
(	\ Ро Ро Чо / и 2
X (и (—q)ya(l + y5)u(—q')) (и (p')[Va(p', р) + Аа(р', р)]и(р))х
X6(p' + q'-p-q),	(15.31)
где матрицы Va(p', р) и Аа(р', р) даются выражениями (15.3) с те-
ми же форм-факторами, что для процесса (15.1а).
Очевидно, что сечение рассматриваемого процесса может быть
получено из выражения (15.5), если лептонный,след заменить на
SP [та(1+Т5)Л(-^')(Тз(1 + Т5)) ('EM =
=	^-ба₽9'<?+^<?₽-еа₽ра<?р9;].	(15.32)
Выражение (15.32) отличается от (15.7) только знаком последнего
члена. В сечение этот член дает вклад лишь при умножении на псев-
дотензор, возникающий от интерференции вектора и псевдовектора
[выражения (15.13)]. Таким образом, сечение процесса
Vjx + P->P++«
дается выражением (15.29), в котором следует изменить знак члена
пропорционального Gy Ga-
161
§ 16. Рассеяние л-мезона на нуклоне
Здесь будет рассмотрен процесс рассеяния л-мезонов нуклонами:
л + р->л + р.	(16.1)
Этот процесс обусловлен сильными взаимодействиями, к которым
не применима теория возмущений.
Обсудим вначале гамильтониан взаимодействия нуклонного и
л-мезонного полей. Обозначим ф0(х) оператор поля нейтральных
л-мезонов(<$oXx)= <£0(х))> ф(х)—оператор поля заряженных л-ме-
зонов; tl’pW и фп(х) — операторы протон-антипротонного и нейт-
рон-антинейтронного полей. Простейший гамильтониан взаимодей-
ствия мезонного и нуклонного полей, построенный по аналогии с
гамильтонианом электромагнитного взаимодействия, имеет вид
^1W = igp N (фр (*) ?5 ФР (*)) Ф о W +ten W (Фп (х) Ть фп W) ф о (х) + .
+ igiN (Фп (х) у5(х)) ф (х)+ig! N (фр (х) у5 i|)n (х)) ф +(х), (16.2)
гДе gp> gn и gi— константы взаимодействия. Нетрудно проверить,
что Ж](х) является эрмитовым оператором.
Гамильтониан (16.2) инвариантен относительно калибровочных
преобразований
Фп = Фп> Фр = е"“гхФр, ф' = е1е* ф, ф'0= ф0-	(16.3)
Это означает, что гамильтониан (16.2) построен так, что сохраняется
заряд, причем ф <+> — оператор уничтожения частицы с зарядом е,
t)>p+) — оператор уничтожения частицы с зарядом —е (е — заряд
электрона).
Из опыта известно, что гамильтониан сильных взаимодействий
инвариантен относительно изотопических преобразований. Выяс-
ним, какой вид принимает гамильтониан (16.2) в случае изотопичес-
кой инвариантности. В этом случае протон и нейтрон представляют
•собой два состояния одной частицы — нуклона, изотопический спин
которого равен 1/2. Пусть ipg, где £ принимает два значения (±1),
обозначает оператор нуклонного поля. Условимся, что Ф1 = фр и
il?-! = i])n. Очевидно, что
' ФпТ5Фр = ФгК(т-)5чФб= ФЪТ-Ф. (16.4)
где (т_)_1>1 = 1, а все остальные элементы матрицы т_ равны
нулю, т. е.
т-=(°	О6-5)
162
Аналогичным образом имеем
% Т8% = 'ФТ5'г+ i|>,
Фр % = tY5-y (И"Ч>) 'Ф»
фп?5Ф« = ФТз -у (1 — ъ)Я5,
где
т+ = — (Т1 + гг2).
(16.6)
(16.7)
В соотношениях (16.5) — (16.7) тх, т2 и т3 — матрицы Паули.
С помощью (16.4) и (16.6) гамильтониан взаимодействия (16.2)
может быть записан в виде
^з+-? ^УУ(яр?5т31|>) ф3 +
А	л
+	М(^Т5Т1Ф)<£1 +-^М'ФЪЬ'Ф) 02-	(16.8)
/2	УЧ
Здесь
^1=Ф±±*.	 («+«).
УЧ	УЧ
Отметим, что операторы ф1г ф2 и ф3 эрмитовы. Из (16.9) по-
лучаем
ФН2Ф 2 , + =	(1610)
уч	У~Ч
В рамках гипотезы об изотопической инвариантности л+-, л-- и
лЛмезоны являются тремя состояниями одной частицы, изотопичес-
кий спин которой равен единице. При изотопических преобразова-
ниях фУй'г/ф и <рг преобразуются как векторы, а'ФТз'Ф — как скаляр.
Чтобы гамильтониан взаимодействия (16.8) был инвариантен отно-
сительно изотопических преобразований, константы связи должны
удовлетворять соотношению
gp=-gn==-^=g.	(16.Н)
Действительно, в этом случае первый член в (16.8) (произведение
скаляра на третью компоненту вектора) исчезает, а три следующих
члена равны
^/ =	тг-ф) ф^	(16.12)
Хотя теория возмущений в данном случае и не применима, тем
не менее полезно выяснить, как выглядят диаграммы низшего по-
рядка теории возмущений по g. Начнем с рассмотрения процесса
л+ + р -> л+ + р.	(16.13)
163
Обозначим q и q' 4-импульсы начального и конечного л+-мезонов,
а р и р' — 4-импульсы начального и конечного протонов. Очевид-
но, что вклад в матричный элемент процесса дает следующий опе-
ратор :
Фр~ } (*i) ?5 ’Фп (*i) Фп (*г) Фр+) (*2) М (Ф + <+) (*i) Ф<-)(*г)). (16.14)
Вычисляя матричный элемент, получаем
(ф + , S<2) Ф ) = (—i)2—!—/----—----\1/2±zJl х
Ч'Р Ч-Р (2лЦ4МоРо^ )	(2л)4
X (2л)8 (i^)2 ( и (д') у6 -—;-у5 и (р) У (р' + q'—p—q). (16.15)
\	р—я'—im	у
Этот матричный элемент описывается диаграммой рис. 22. Внешней
1 1
мезонной линии с импульсом q поставим в соответствие -	’
а вершине fei)^ (2л)4 6(Р'—Р), где Р' и Р — суммарные 4-импульсы
выходящих и входящих частиц. Для внешних и внутренней сплош-
ных линий примем те же правила соответствия, что и для электро-
на. Диаграмма рис. 22 описывает следующую последовательность
актов поглощения и испускания: начальный протон испускает ко-
нечный л+-мезон и превращается в виртуальный нейтрон; затем
виртуальный нейтрон поглощает начальный л+-мезон и переходит
в протон конечного состояния. Диаграмма, изображенная на рис. 22,
эквивалентна одной из диаграмм комптон-эффекта (см. рис. 7). Оче-
видно, что вторая диаграмма (поглощение начального л+-мезона
и т. д.) запрещена законом сохранения заряда (в' рассматриваемой
системе нет частиц с зарядом 2е). Рассеяние л~-мезонов протонами
во втором порядке по g описывается диаграммой рис. 23.
Таким образом, правила построения диаграмм, описывающих
процессы взаимодействия мезонов с нуклонами, те же, что и в кван-
товой электродинамике. Закон сохранения заряда в случае заря-
женных частиц приводит, однако, к уменьшению общего числа диа-
грамм в данном порядке теории возмущений.
Теперь мы построим общее выражение для матричного элемента
процесса рассеяния л-мезона на нуклоне на основе принципов ин-
164
вариантности. Затем вычислим сечение рассеяния л-мезонов поля-
ризованными нуклонами.
Матричный элемент процесса (16.1) запишем в виде
= —	.—7 " .	,.„a(p' + i;'—р— <f).	(16.16)
(2л)2 V р0 р0 q0 q0
Здесь р и q(p', q’)—4-импульсы начальных (конечных) нуклона
и мезона. Матричный элемент МЧ’,Р'-д,Р имеет следующий вид:
МЧ’,Р’-, g,P = u(p')<%l(q', р'; р, р) и (р)	(16.17)
и является скаляром (взаимодействие сохраняет четность). Сечение
процесса дается выражением (13.26).
Построим общее выражение для матрицы ^(q', р’; q, р). Матри-
ца является 4 X 4-матрицей и всегда может быть разложена по
шестнадцати матрицам Дирака:
р'; <7,p) = X + B|iyfJ. + CfJ,vafJ,v + DliYliy5-l-£Y5, (16.18)
где коэффициенты разложения зависят от 4-векторов р, р’... Так
как векторы р, q, р’ и q' связаны законом сохранения энергии —
импульса
p + q=--p' + q’,	(16.19)
только три из них независимы. Выберем в качестве независимых век-
торы
Р=р + р',
n = p'—p = q — q',
Q = q + q'.
(16.20)
Первый член в разложении (16.18) является скаляром. Из четы-
рех векторов р, р', q и q', удовлетворяющих закону сохранения
(16.19) и соотношениям р2 = р'2 = —Л42, р2 = р'2 = —(Л1 —
масса нуклона, тп— масса л-мезона), можно образовать два неза-
165
(16.21)
(16.23)
(16.24)
висимых скаляра. Выберем в качестве независимых переменных
скаляры
s=—(p + P)2>
/=-(р-р')2=-х*.
Итак, А является функцией s и t. Величина ы(р')Тц«(р) преобра-
зуется как вектор. Так как и{р'}^р,и(р}Вр, — скаляр, коэффициент
должен быть вектором. Имеем следующее общее выражение для
Вц = В1Рц + В2 «u + BQu,	(16.22)
где Вг и В — функции скаляров s и t. Учитывая уравнения
Дирака
(р—iM)u(p)= О,
и{р') (p'—iM) = 0,
нетрудно показать, что второй член в (16.22) не дает вклада в мат-
ричный элемент (16.17), а первый член в (16.22) сводится к члену
А. Действительно,
«(р') (р' + р) и (р) = 21Ми(р') и (р),
“(Р')(Р'—р)«(р) = 0.
Таким образом, в (16.22) следует учесть только последний член BQp,.
Очевидно, что Cgv — антисимметричный тензор второго ранга.
Тензор Cgv имеет следующий общий вид:
Op,v = C1(Ptl Qv—PvQu) +
4- О2 (Рц xv—Pv Хц) -|- Cs (Qu xv Qv Xg), (16.25)
где Clt C2 и C3 —функции скаляров s и t. Используя уравнения
(16.23), легко показать, что в матричном элементе все члены (16.25)
сводятся к А и BQg. Действительно,
П (р ) °gv (Qu Xv— Qv Xu) u (p) =
= Y 2u (p') Q%u(p) = 4yu (P) [(p' Q) — FWQ] и (p) и t. д.
Ясно, что коэффициент Dp, должен преобразовываться как псев-
довектор. Получаем следующее общее выражение для Dp,:
pv ppQa.	(16.26)
Используя соотношение (12.42), нетрудно показать, что и этот член
в матричном элементе также сводится к Л и BQg. Наконец, послед-
ний коэффициент в разложении (16.18) должен быть псевдоскаля-
ром. Из трех 4-векторов не может быть построен псевдоскаляр.
Следовательно, Е = 0.
Окончательно мы приходим к выводу, что матрица <3)1(/, р'; q, р)
имеет следующий общий вид:
<m(q',p'; q, p) = a+bQ,	(16.27)
166
где а и Ь — функции скаляров s и t. Эти функции определяются
динамикой процесса.
С помощью (13.26) получаем для сечения рассеяния л-мезо-
нов нуклонами
da = —-----1	--- X
<2")а
xSp [эдр(р)эдЛ(р')] + Р—(16.28)
Ро УО
Будем считать, что начальные нуклоны поляризованы. Спино-
вая матрица плотности начального состояния равна (см. Прило-
жение)
p(p) = A(p)-^(H-iy8|),	(16.29)
где 4-вектор поляризации, а Л (р) =	~ проецирующий
оператор. Вектор удовлетворяет условию
?р=0.	(16.30)
Вычислим след, входящий в (16.28). Учитывая, что
£=y4Q+74=-Q,
получаем
Sp [ЭД Р (р) ЭД Л (р')] =
= Sp [(а + 6Q) (р + iM) (1 + iy6 t) (а* - b*Q) (р' + Ш)] =
в__1_ [|а|2(рр'— M2) + 2lmab* M(PQ) —
-I Ъ |2 (2(Qp) (Qp') - Q2 (рр'+ М2)) +
+ 2i Re ab* ^pvPpQa]«	(16.31)
Выразим входящие в это выражение скалярные произведения
через переменные s, t и переменную
«=—(р—р')2.	(16.32)
Переменные s, t и и связаны соотношением
s+Z + « = 2M2+2/n„,	(16.33)
которое легко может быть получено из закона сохранения энер-
гии— импульса.
Имеем
Sp [эдрэд Л (р')] =~^ [|а|2(4Л12— 0+4Л4 Imab*(s— «) +
+ |6|2((s—«)2— Hi—’4/n«)) + 4Rea6*Ar|lg|l]. . (16.34)
167
Здесь
Аи — — i8p,vpo Pv Рр Qo‘	(16.35а)
Очевидно, что псевдовектор Ny, может быть записан также сле-
дующим образом:
#и = — 218ц vpa pv р'р (р+ q)a.	(16.356)
Вычислим сечение процесса рассеяния л-мезона нуклоном
в с. ц. и. Проинтегрируем (16.28) сначала по р', а затем по до-
Из (14.27) находим
6 (ро + qo -Ро- Ро) =	•	(16.36)
Ро
Далее, с помощью (13.18) получаем, что в с. ц. и.
V (pq)2—M2m„ =|q|(Po+go)-
Для дифференциального сечения процесса имеем следующее выра-
жение:
da
dQ
1 1
(2л)2 (ро+<7о)2
8р[эдр(р)эдЛ(р')],
(16.37)
где след дается выражением (16.34). Переменные s и t выража-
ются следующим образом через величины в с. ц. и.:
s = (Po + go)2>	]	(16.38)
t=—(q — q')2 = —21 q |2(1 — cos 0). J
Из (16.356) очевидно, что в с. ц. и.
#4 = 0, #fe = 2(p0 + g0)(qxq')fe.	(16.39)
Нетрудно видеть, что сечение рассеяния л-мезонов нуклонами
в с. ц. и. может быть записано следующим образом:
Здесь’
(1 + |А°).
иЬй \ ДЬй / Q
(16.40)
= —-------— [|а|2(4Л1г—0 + 4М Ima&*(s— «) +
4 (2л)2 sM2 II V '	V '
+ |&|2((s— uy—t(t—4mi))]	(16.41)
представляет собой сечение рассеяния мезонов неполяризованными
нуклонами, а
2 (q X q') Re ab*
I da \
(2л)2(ро + 9о)Л42 —
\ dQ / о
(16.42)
168
Псевдовектор А0 совпадает с поляризацией конечного нуклона,
возникающей при рассеянии л-мезонов на неполяризованных нук-
лонах. Действительно, 4-вектор поляризации конечных нуклонов
в случае, когда начальные нуклоны неполяризованы, равен
4” S₽ [ZY5 Yp, A (pz) ЭД A (p) ЭД A (p')l
& = —-----i----------—-------------(16.43)
ySp[®A(p)fflA(p')]
Используя перестановочные соотношения для матриц ун, по-
лучаем
»Y5 y11a(p') = ^?5+л	(16-44>
Очевидно, что член у8 не дает вклада в (16.43)
(Sp [?5 ЭД Л (р) эд Л (р')] —псевдоскаляр; так как из трех незави-
симых векторов псевдоскаляр построить невозможно, этот след
равен нулю). Учитывая, что Л(р')Л(р') =Л(р'), получаем
n vSp Р75?м^Л(р)ЭДЛ(р')]
Й!---Ц—------------ --------(1б.45>
— Sp {ЭД Л (р) ЭД Л (р'И
Вычисляя след, входящий в числитель этого выражения, находим
Re ab* N
~ Sp [ЭД Л (Р) ЭД Л (Р')]
(16.46)
След в знаменателе дается выражением (16.34) при = 0.
В с. ц. и. |$=0 и
£° = А°.	(16.47)
Вектор А0 называется вектором асимметрии. Мы убедились в том,
что имеет место равенство векторов поляризации и асимметрии в слу-
чае упругого рассеяния частиц со спином нуль на частицах со спи-
ном 1/2. Отметим, что это равенство является следствием общих прин-
ципов инвариантности и справедливо для упругого рассеяния ча-
стиц с произвольными спинами.
Наконец, последнее замечание в связи с выражением (16.40).
Вектор поляризации частицы в системе, где ее импульс равен р, свя-
зан с вектором поляризации в системе покоя |п соотношением
(см. Приложение)
(?п Р) Р
(Ро-ЬЛ4)Л4
(16.48)
169
Так как вектор V направлен по нормали к плоскости рассеяния,
то из (16.48) очевидно, что

(16.49)
Из (16.48) также следует, что £° = In-
Таким образом,
Й° = 6п6п-	(16.50)
§ 17. Распад Л ->р +1 +>
В этом параграфе мы рассмотрим распад
A->p + /~+v,	(17.1)
где I — заряженный лептон (электрон или р.-мезон).
Гамильтониан имеет вид (12.79). В первом порядке по константе
слабого взаимодействия матричный элемент распада равен
(Ф?.?'.₽'5Фр) =— I — —— (-И	(«(<7)Та(1 + у6)и( —<7))Х
/2 (2л)8 \ q„ /
X (Ф? /а(О)Фр)(2л)*6(р' + <7' + <7-р).	(17.2)
Здесь q и q' — 4-импульсы лептона и антинейтрино; р и р' — 4-им-
пульсы начального и конечного фермионов; — масса лептона,
a Jа = Vа + А а — сумма векторного и аксиального токов в пред-
ставлении Гейзенберга (с учетом сильных взаимодействий).
Матричный элемент (Ф^ Ja (0) Фр) может быть записан в виде
(ф?Жо)фр) =
1 /М А М \ */2 _
= 77^(	«(Р')[^а(р', Р) + Д«(Р',Р)1«(Р),	(17.3)
(2л)3 \ РОРО }
где УИл и Мр—соответственно массы Л-гипёрона и протона.
Из соображений лоренц-инвариантности следует, что матрицы
Va(p'>p) и Ла(р',р) характеризуются тремя форм-факторами и
имеют вид (12.90). Используя соотношение
iii (р')и(р)Ра= — и (р') *р и (р) —
— (Мл + Мр)«(р')?аи(р).	(17.4)
(Р = р + р', х = р' —р)
запишем матричный элемент u (p')Va(p'> р)«(р) следующим об-
разом:
« (р') Va (р', р) и (р) =
170
= u(p') ?a(Gv
ma + Mp p \ Pv , . Hv
~й<ГР'Гй^*’'»+'х’гй;
U(p). (17.5)
Второйji третий члены этого выражения пропорциональны пере-
даче 4-импульса. Если все форм-факторы одного порядка, то вклад
этих членов меньше или порядка (Л4Л — Мр)/МА от вклада пер-
вого члена. Таким образом, естественно ожидать, что основной вклад
в матричный элемент распада дает первый член в правой части (17.5).
Учитывая соотношение
ш (р') у5 и (р) = ——L—— w(p') ху6 и (р),	(17.6)
v А"Г р)
заключаем также, что вклады второго и третьего членов выражения
для Аа(р', р) [см. (12.90)1 малы по сравнению с вкладом первого
члена.
Мы учтем только члены, дающие основной вклад в матричный
элемент процесса. Пренебрегая в этом приближении зависимостью
форм-факторов от х2, получаем следующее выражение для матрич-
ного элемента распада Л -> р + l~ + v:
(Ф<7, <?'. р' 5Фр) = —- г , = Mq, q’. р'; рд(р’ + q' + q — p),
(2П) V PoPoMo
(17.7)
где
Mq, q'. p’;p=—i -y=- VMA Mp q'o (Й (q) ya (1 + ?5) и (— <?')) x
x(u(p')Ye(^ + gAY5)u(p))	(17.8)
(gy и gA — константы).
Вероятность распада за единицу времени равна
dr=y = ^7;SI^..'.₽':p^(p'+g'+g-P)x
^р' ^4 dq'
Ро ?о ?о
(17.9)
Здесь dw — вероятность распада, отнесенная к единице объема и
единице времени; р = 1/(2л)3 — начальная плотность, а S озна-
чает суммирование по спиновым состояниям конечных частиц и ус-
реднение по спиновым состояниям начальной частицы. Из (17.8) и
(17.9) получаем для вероятности распада
^Г = (ЙГ 77 Sp + Vs) + Vs) (<7 + to/)] X
171
X SP [?a (gy + gA v5) (p + iMA) -Ц-5- Vp (g*v + gA V5) x
X Cp' + iMp)]6(p' + q' + q-p)^-	(17.10)
Ро ?o Ял
Здесь —4-вектор поляризации начальных частиц.
Рассмотрим распад неполяризованных Л-гиперонов. Вычисле-
ние следов не представляет труда. Получаем
SP [Та (£у+£лТ8) (р+ *‘Мл) V3 (g*v + gA V5) (p' + *Mp)] =
= 4 [(|gv j2 +1 gA |2) (Pa P'&- SaP PP' + Pa P&)~
- (| gv |2 -1 gA |2) Sa3 Мл Mp + 2Re gv g*A ea&pa PpP'a], (17.11)
Второй след может быть получен из (17.11), если положить
£у = £л=1 и сделать замену Л4Л~>0, Мр-+тр p^>-q', p'-+q.
Находим
Sp [va (1 + v5) q' t3 (i + Ts) (<7+*4) ; =
= 8 [9a </р-вар‘?,‘? + <7одз + еорро	.	(17.12)
Перемножая эти выражения и суммируя по а и 0, получаем
dr = ph 77 °’1(1 ®v |!+1 вл |!) ((w’’(₽’ ”+(₽”</>' ’')J+
+ (I gy |2 — I gA |2) Мр (qq’) + 2Re gv g*A ((pq') (pr q)—
-(pq)(p'q'))]8(p’+q' + q-p)^-	(17.13)
Ро Чо Ял
Вычислим спектр нуклонов распада. Для этого проинтегри-
руем (17.13) по q' и q. Введем 4-вектор
k = p—p' = q + q'	(17-14)
и в квадратных скобках выражения (17.13) сделаем замену
q->k—q’. Получим
dr =	77 °2 [(Ы2 +1 I2) ((W') (Р' k) + (pk) (р' д')-
- 2 (рд') (р' д')) + (| gv |2-1 gA |2) МА Мр (feg') +
+ 2Regvg*A ((pq')(p' k)-(pk)(p' д'))] 6 (g + g'-fe)^^q. (17.15)
Из (17.14) следует, что g2 = (^—g')2=—m2.
Отсюда получаем
kq'^^+rf).	(17.16)
Учитывая это соотношение для вероятности распада, проин-
тегрированной по импульсам лептона и нейтрино, находим
172
dr (р,)=Tib т;6’ Id «и2+1 «л I2) ((/>. '.) (₽' ^+w	'.) -
PQ
-Ъ>. Pi '„) + (I Sr|2-IP. I2) «л Mr ± (»+m?) I+
+2fesv«; ((₽./.)(₽ 4-(17.17)
Pq
Здесь
/ =	^6(<7 + g'—k),	(17.18)
J 4o 4 о
Ia=	y-^ + Q' — k),	(17.19)
Л13= JOp^- ^-S(<7 + ?' —*)•	(17.20)
Рассмотрим вначале интеграл (17.18). Очевидно, что он является
скаляром. Вычислим этот интеграл в системе, где к = 0 (с. ц. и. леп-
тона и нейтрино). Интегрируя по импульсу лептона, получаем
где
/= (* — qodqodQ ^(q^-j-qo — k^),
J 4o
?o= K^ + ^o2-
Далее, используя (14.27) и учитывая, что
d(4o + <?o)__ feo
dq'Q 4«
находим
г .	4 о
I = 4л-----
(17.21)
(17.22)
(17.23)
(17.24)
Умножим числитель и знаменатель этого выражения на k0. Очевид-
но, что kfflo и ko — значения инвариантов —kq' и —k2 в рассматри-
ваемой системе отсчета. Используя (17.16), получаем окончатель-
но
/ = 2л
fe2+/nf
(17.25)
Рассмотрим теперь интеграл 1а. Из соображений инвариант-
ности ясно, что
/а —
(17.26)
173
где А—скаляр. Умножая это соотношение на /га и используя
(17.16), получаем
А/г2 = С (q'k)	6 (<? + q'— k) =-- ——~ l I. (17.27)
J 9o 40	2
Таким образом,
/а —
k2-j-m2
2k2
Ika.
(17.28)
Наконец, рассмотрим интеграл /ар, определенный выраже-
нием (17.20). Очевидно, что /ар является тензором второго ранга
и имеет следующий общий вид:
Iap = B6a& + Ckak&,	(17.29)
где В и С—скаляры. Умножая (17.29) на 6ар, суммируя по а и £
и учитывая, что <?'2 = 0, получаем
0 = 4B + Ck2.	(17.30)
Умножим (17.29) на kak$. С помощью (17.16) находим
-у (k2 + m2iyi=Bk2 + C(k2y.	(17.31)
Из (17.30) и (17.31) получаем
в =1 (k2 + m2iy с _ 1 (fe2+>n:
12 k2	3	(k2)2
Подставляя эти выражения в (17.29), находим
Г — 1 Л  fe°fep V (fe2+OT?)2
“3 V 4	k2 / 3 k2
Из (17.26) ясно, что
(Ра /а) (p'k) — (pk) (p’aIa) = 0.
,2 \ 2
(17.32)
(17.33)
(17.34)
С помощью (17.25), (17.28) и (17.33) получаем следующее выраже-
ние для вероятности распада, проинтегрированной по импульсам
лептона и нейтрино:
dT(p')
k2 — 2т2
k2
+ |£л|2) ^(PP')(k2 + m2i) + (pk)(p'k)
2	J Ро
(17.35)
174
Найдем область изменения k2. Очевидно, что
= — (Кт? + <7оа +
(17.36)
где qo—энергия нейтрино в с. ц. и. лептона и нейтрино.
Так как q'0^Q, то из (17.36) находим

(17.37)
Чтобы получить нижнее значение переменной k2, запишем k2 в
системе покоя начальной частицы:
k2 = —M2J—M2—2pp' = —M2A—M2 + 2MAE,	(17.38)
где Е—полная энергия протона в системе покоя
Отсюда получаем (Е>Л4р)
k2^-(MA-Mp)2.
Л-гиперона.
(17.39)
Таким 'образом,
-(Мл|-Л1р)2<Л2<-т2.
(17.40)
Найдем спектр протонов отдачи в системе покоя Л-гиперона.
Из (17.37) и (17.38) получаем, что максимальная энергия прото-
нов в этой системе равна
_ МА +М2р-т2
0	2Л4Л
(17.41)
Из (17.38) и (17.41) находим
k2+m^=—2MA(E0—Е).	(17.42)
Приведем выражение для той части спектра протонов,
где — k2^>m2r Из (17.35), опуская члены порядка т2/k2 и ис-
пользуя (17.42), получаем
S- - W	'«'Ж №|’)х
X [е(Е0- Е) + -у (Е2 -^)]-(l Sv М SA |2) Мр (Ео-Е)}.
(17.43)
§ 18. Распад К -> я0 + I + v
Следующий пример также относится к физике слабых взаимо-
действий. Рассмотрим распад заряженного К_-мезона на л°-мезон,
заряженный лептон (электрон, либо р~-мезои) и антинейтрино:
K--^n° + l~ + v.	(18.1)
175
Исследование этого процесса на опыте позволяет получить инфор-
мацию о структуре той части гамильтониана лептон-адронных
слабых взаимодействий, которая не сохраняет странность. Получим
выражения для спектра л°-мезонов и лептонов, а также для поля-
ризации лептонов.
Гамильтониан лептон-адронных взаимодействий современной
V— Л-теории дается следующим выражением [см. (12.79)1:
W =	[(%W?a(1+ 7б)ФуцМ) +
+ (фе (X) Уа (1 + ?5) ^ve W)] /а (*) + Э. С.	(18.2)
Здесь фц.(х) (фе(х))—оператор мюонного (электронного) поля;
(х) (фуе(л))—оператор поля мюонного (электронного) нейтри-
но, a ja (х) = va (х) + аа (х)—адронный ток. Обозначим 4-импульс
начального /(--мезона q, а 4-импульсы л°-мезона, заряженного
лептона и антинейтрино—соответственно q', р и р'. Конечный век-
тор состояния может быть записан в виде
Фр, р',	== c~i~ (р) (р j Фр',	(18.3)
где Фр- — вектор состояния л “-мезона. Вектор состояния началь-
ного К~-мезона обозначим Фд. В первом порядке теории возмуще-
ний по константе слабых взаимодействий G для матричного эле-
мента процесса имеем
(Фр.р-.р'ЗФр)	(-^-)1/2“(Р)Та(1+?5)“(—р')х
X (ФрЬ Л(0)Фд)(2л)‘«(р' + 7' + р-р).	(18.4)
Здесь mt—масса заряженного лептона, a Ja = Va + Aa—сумма
адронных векторного и аксиального токов в представлении Гей-
зенберга.
Выясним общую структуру адронного матричного элемента
(ф+ /„(О)©^). Запишем этот матричный элемент в виде
(Фр^ Л(0) Фр) = (ФХ (0) фр) + (фр4: Аа (0) ф?) =
= 1  -X (Л^(р\ q) + AA(q', q)).	(18.5)
(2п)“ у4?0?0
Величины Аа {q’, q) и (q', q) преобразуются как вектор и
псевдовектор соответственно. Так как из двух 4-векторо.в псев-
довектор не может быть построен, то
AAa(q',q) = 0.	(18.6)
Таким образом, только векторный ток Va дает вклад в матрич-
ный элемент процесса (18.1). Очевидно, что 4-вектор Aa(q’, q)
имеет следующий общий вид:
Aa(g', q) = f+(q + q’)a+f-(q—q')a,	(18.7)
176
где f+ и функции квадрата передачи 4-импульса z2 = (^—q'J2.
Итак,
(ф+/а(О)Ф?) =
= -±-	j==- [f+^(q + q')a +/_(х2)(?-7')а]. .	(18.8)
(2л) з /49о9о
Диаграмма процесса (18.1) с учетом всех сильных взаимодей-
ствий адронов изображена на рис. 24.
Перейдем теперь к вычислению вероятности распада. Из
(18.4) и (18.8) получаем
d г = dw = 2п / Sp [	(1 +	) Av (_р') ?₽(1 + ?6) Л (р)] х.
Р 2	\ ро /
X (Ф+ Ja (0) Ф?) (Ф+ J₽ (0) Ф J 6(р' + р + q'—q) d р d р'd q'. (18.9)
Здесь
л (p)=2 “s (p) (p) = -£v^L -	(-p')=2 ur(-P') (-P')-
S	2imt	Г	(18.10)
Используя полученное в Приложении выражение для матрицы
плотности антинейтрино, находим
Av(-p') = -^(i + ?6)_£1 + Х(1_?б)_Р1_ = _£_. (18.11)
2	2Фо	2гРо 2'Ро
Получим вначале спектр л°-мезонов. Для этого выполним ин-
тегрирование по импульсам электрона и антинейтрино. Учиты-
вая, что
Тз (1 +?6) = ТЗ (1 + Те)
(6р = — 1 при р= 1, 2, 3 и 64=1), получаем
б/Г (q') = — G2 Sp [уа (1 4- ys) vP у₽ ] Дра X
X (Ф+4(0) Ф,) (Ф+7₽(0)Ф/ 6pdq', (18.12)
7 Зак. 1410	177
где
Kp^fPpMCo'+p-*)-——.	08-13)
'J	Ро Ро
x = q—q'.	(18.14)
Интеграл (18.13) легко может быть вычислен с помощью ме-
тодов, изложенных в § 17. Очевидно, что Кра—тензор второго
ранга, зависящий от 4-вектора х. Тензор Кра имеет общий вид
Кра = Н- Ьир ,	(18.15)
где а и b—функции х2. Умножая (18.15) на 8ра и суммируя по
р и а, находим
\(р' р)8(р' + р — х)-^--^- = 4а+&х2.	Г(18.16)
J	Ро Ро
Используя закон сохранения 4-импульса, имеем
Из (18.16) и (18.17) получаем
х2 + /и?
4а + &х2 = —‘-I,	(18.18)
где
/ = $6(р' + р-х)^-^-.	(18.19)
Ро Ро
Этот интеграл был вычислен в § 17 [см. (17.25)]:
х2+ /и?
/ = 2л-—-(18.20)
х*
Чтобы получить второе уравнение для а и Ь, умножим (18.15)
на хрха и просуммируем по р и ст. Используя закон сохране-
ния 4-импульса, находим, что
9.9	92 , х + mi	к —mi	/.о г> 1 х	
р	2	’ Р	2	
Таким образом, получаем	
..2	~,2 „2 । ж2 X — fflt УС + /71/ ах2 + 6(х2)2 =	2	2 I.	(18.22)
178
Из уравнений (18.18) и (18.22) находим, что
..2 । *__2
* +mZ ~
а =---------К,
6х*
х2-2т2
3 (х*)*
(18.23)
Здесь
*2 + m2l т (х2+/п?)2
—Г-1-*
(18.24)
Вычислим теперь след, входящий в выражение для вероят-
ности распада. Используя (18.15), имеем
Sp [у0 (1 + у5) Ур УЗ У<т = а Sp [уа (1 + у5) Ур УзУр1 +
+ &Sp [уа(1 + у5)ху₽х].	(18.25)
Далее, с помощью перестановочных, соотношений для матриц у
получаем
Ур Уз Ур = Ур (2«зр —Ур Уз) = 2ур—4у₽ = —2ур , 1
хурх=х(2хр—хур) = 2хрх — х2ур. J
Используя эти соотношения, находим
Sp [у0 (1 + у6) Ур Уз у0]/Сра = 4[—(2а+Ьх2)6ар + 2&хохр]. (18.27)
Запишем матричный элемент (18.8) в следующем виде:
(«£Л (0) ф.) -  ~	f+ [2,. + (ч-1) х.1,	(18.28)
где
П=~.	(18.29)
'+
Учитывая, что
^з^^-^з	(18.30)
(суммирование по 0 здесь не производится), из (18.12) и (18.27)
получаем
dr (<?') »	| f+12 {4 (2а + Ьх2) т\ +
(2л)5 49о9о	1
+ 8&(<рс)2 + (—2а + Ьх2) [4qxRe(r]— 1) + х2| т]— 112]} dq'. (18.31)
Окончательное выражение для спектра л°-мезонов запишем в
системе покоя начальных К-мезонов. Интегрируя по углам выле-
7*	179
та л°-мезонов, из (18.31), (18.23) и (18.24) получаем
dr G2 1 |£ „/г,9
dEn~ (2л)» • тк 1^+1 (Ея тл) 7 (	~Г~ )
J v	' '	[\	\	/V	/
х|т^х2------Lm2 ^2_|_т2)_|_ -1^1-	(?х)2-
—т2 Re (т) — 1) х2 1 г] — 1 |2
(18.32)
где Е„—полная энергия л-мезонов в системе покоя /(-мезонов.
Очевидно, что
=4" (- тя+*2)=- тк (тк - £я),
х2 = —/и2—m22т„ Е„
Л л 1 Л. л
(18.33)
(тл и тк —массы л и /(-мезонов).
Найдем пределы, в которых изменяются величины х2 и Ея.
Так как Еп тп, то
х2 >— (пгк — тя)2.	(18.34)
Чтобы найти верхний предел переменной х2, заметим, что
х2 = (р' + р)2 = — (Ро + Кт/ + (Ро)2)2>
где p'Q — энергия нейтрино в с. ц. и. лептона и нейтрино. Так
как р'о 0, отсюда получаем
	х2< — И2 .	(18.35)
Из (18.33)	и (18.35) находим Р	т2к+т^-т^	(18.36)
	2тк	
Заметим,	что	
где	х2 + т?=-2^(^-£я), mt 4- т2 — т2.	(18.37)
	ро	1 л	< я	2т^	(18.38)
есть максимальная энергия л-мезонов, образующихся в распаде
К-*л + Z-]-v. Множитель (Е2—m2)1/2 (x2-|-/7i2)2, входящий в
выражение (18.32), обращается, следовательно, в нуль на грани-
цах л-мезонного спектра.
В заключение сделаем следующее замечание. Если в соответствии
с законом сохранения 4-импульса х заменить вектором р + р’ и
воспользоваться уравнением Дирака для спиноров и(р) и и(—р'),
то легко видеть, что
f-й (р) Та (1 + у5)и(— р') ха = itrii	+ т5) и (—р').
180
Таким образом, форм-фактор f- входит в матричный элемент рас-
сматриваемого нами процесса в виде mJ— В выражении для спек-
тра л-мезонов форм-фактор как видно из (18.32), умножается
на квадрат массы .лептона. Приведем выражение для той части
спектра л° -мезонов от распада /С— л° + е~ + ve, для которой
|х2| > zn2. Опуская члены порядка (znz/mj<)a и пц/и\ из (18.32)
находим
/ dr
\ ^я / К.-+яеч
— И, |2^(£2-m2)3/2.
12л» 1+1 К\ я я;
(18.39)
Изучение на опыте спектров л°-мезонов от распадов /<-»-л +
+ ц + и K->n + e4-ve позволяет исследовать зависимость
форм-факторов /+ и /_ от квадрата передачи импульса х2. Обычно
эти форм-факторы представляют в виде
f±(x2) = f±(0)/14-^±-4V	(18.40)
\	тя/
где %± — безразмерные параметры, характеризующие зависимость
форм-факторов от х2. Из данных различных опытов следует, что
Х+ < 0,04.
Получим теперь выражения для спектра и поляризации лепто-
нов, образующихся в распадах (18.1). При этом будем пренебрегать
зависимостью форм-факторов /ц. и Д_ от квадрата передачи 4-импуль-
са. Используя уравнение Дирака для спиноров и(р) и и(—р'), за-
пишем матричный элемент процесса в следующем виде:
(ф? р-	~—^^У/2«(Р)ЭД«(—p')6(p'+q'—k).
'д	(2л)2 \ 4р0 ?0 ?0 J	(18.
Здесь
эд=_^/=+(2б-Н/Мп+ 1))(1+?8).	(18.42)
k = q—р.	(18.43)
Среднее значение оператора спина заряженного лептона при ус-
ловии, что л°-мезон и нейтрино не регистрируются, равно
=	(18-44)
где
= Г ~ 2 («Г (р) т Yu “s (р)) («' (р) ЭД «Ч—Р')) X
J ?0 s-s'.r
X (i?(—p')°Sius' (p))8(p’ + q' — k)dp' dq', (18.45)
R = f (p)эд p')) (й'(— p') эдue(p)) x
J ?o s’r
x6(p'+q'—tydp’dq’.	(18.46)
7B. Зак. 1410	181
Спектр лептонов дается выражением, пропорциональным
Получим этот спектр. Используя (18.10) находим, что вероятность
испускания лептона с импульсом в интервале от р до р + dp равна
dV(p) = —--------— Rdp = —1---------— х
И (2я)‘ 49oPo k (2л)* 4?0
—7-SpAv(—р')ЭДЛ(Р)]6(р' + Я' — k)dp'dq' -^-V-
4o	J ₽0
(18.47)
Проинтегрируем по импульсам антинейтрино и л°-мезона. Учиты-
вая, что матрица 9JR не зависит от переменных интегрирования, имеем
7? = -^-8р[=пивуаЭДЛ(р)].	(18.48)
Здесь
/«=ГрЗ(Р' + ?'-^)-1^£^.	(18.49)
J	Ро Чо
Этот интеграл был вычислен нами в предыдущем параграфе
[см. (17.28)]. Имеем
Ia = Iokat	(18.50)
где
/ fe2 + гаг2 \2
70 = л^-----(18-51)
Далее легко видеть, что
эд= —« /;(1-7в)	1)]-	(18.52)
V *
С помощью (18.42), (18.50) и (18.52) находим
/? =-L G21/+12 70 х
4
X Sp{(2fe4-	(л 4-l))(l4-Vs) [2fe2+imz^(r]* + l)] (p + i/nj- (18.53)
Вычисление этого следа не представляет никакого труда.
Получаем
R = G2\f+\40 [4k2 (kp)—4Jfe2m2 Re(T) + 1)—m2 |n+ 112*P]. (18.54)
Из (18.47), (18.48), (18.51) и (18.54) находим следующее выраже-
ние для энергетического спектра лептонов в системе покоя
К-мезонов:
яг 1	1	(ft2 + гаг2)2
— = —!-------G2 f+|2(g2—m2W2 v	X
dE (2л)3 тк	V , О (—fe«)
„	„ „	/п? |г]+1|2 (/пк£ —/га?)
х mK£+m Reii-	“
/\	I	4£3
(18.55)
182
Здесь Е—полная энергия лептона в системе покоя /(-мезона, а
№ = — т2к—т2-\-2ткЕ.	(18.56)
Найдем пределы, в которых изменяется переменная №. Ис-
пользуя законы сохранения 4-импульса в с. ц. и. нейтрино и
л-мезона, получаем
k2 = (q'+p')2= -(Ро+ / ^+(Ро)2)-	(18.57)
Отсюда следует, что
/г2< — т\.	(18.58)
С другой стороны, так как Е[> mlt из (18.56) находим
&2> —(тк—/п,)2.	(18.59)
С помощью (18.56) и (18.58) получаем, что максимальная энергия
лептона в системе покоя /(-мезона равна
2 . 2	2
+ mi — mt
Е0=	*	(18-60)
Отметим, что
№+т* = —2тк(Е0—Е).	(18.61)
В случае распада Z(— эт0 + е—-J-в квадратных скобках выра-
жения (18.55) можно пренебречь членами, пропорциональными
т2е. Спектр электронов от распада К-->л0 + е- +ve не зависит,
следовательно, от параметра т] и дается выражением
dr \
dE J K-+|nev
- — G21 f, \2т'Е (Ег — /и2)1Л2
4ns	К v
____(£«-£)2
тЯ 1
[(18.62)
Вычислим теперь вектор поляризации р-мезонов (электронов).
Используя (18.10) и (18.50), легко находим, что числитель вы-
ражения (18.44) равен
Мц=\ “sP[mVuA(p)>Av(—р')=шЛ(р)] X
J ’о
X б (р' + д'—k)d р'd q' = -1- гщ /0 Sp [iy6 уцЛ (р)	k (р)].
[(18.63)
Очевидно, что
А(1р(1=0.	(18.64)
Вычисление следа, входящего в (18.63), упростится, если
воспользоваться соотношением
Тб Ти Л (р) = Л (р) уБ уц +	у6,	.(18.65)
7В*	1,83
которое легко может быть получено из перестановочных соотно-
шений для матриц у. Учитывая, что
Л(р)Л(р) = Л(р),
находим
Л/ц =4? mih (SP UYs Yu ЧМ ЭДЛ(р)] +
+ A_Sp [у5эк^Л(р)]|.	(18.66)
Первый след равен
jr mt Sp [i?5 Yu Ж k эд A (p)] =
= -1 f+12 G2 mt [(4£a +	|n +112) ^-4^2 Im npj.	(18.67)
В вычислении второго следа нет никакой необходимости.
Используя (18.64), получаем
Sp [у5дк^эдЛ(р)] = — puSp [iy5 гШГ<ЭЙ Л (р)]. (18.68)
С помощью (18.66) и (18.68) находим
Л^и= - | f+|2GV0 (4fe2 + /n2 | n+ 112) mz + рц .	(18.69)
Для 4-вектора поляризации лептона из (18.68) и (18.54) по-
лучаем следующее выражение:
(4fe2 + т2 (т) + 1 |2)m7feu+pu^r)
§u =--------------------------------—------.	(18.70)
[(4fe2 — m2 | t] + 1| 2) kp — 4k2 m2 Re (t)-|-1)]
Вычислим вектор поляризации в системе покоя лептона. На-
правляя ось х по импульсу лептона р, имеем
=	=	£ = l-z.	(18.71)
Здесь — вектор поляризации в системе покоя лептона, а
Р = | р |/р0. Из условия £р — 0 очевидно, что go — 0. Из этого усло-
вия следует также, что
1о = Р£х.	(18.72)
С помощью (18.71) и (18.72) получаем, что вектор поляризации
в системе покоя лептона выражается через вектор поляризации час-
тицы в системе, где импульс лептона равен р, следующим образом:
= £-------^/|р)р.	(18.73)
Ро (po + mt)
184
Далее нетрудно видеть, что
kfx + Pix —у = Qg+ Pg	•	(18.74)
mt	mt
В системе покоя начального /(-мезона пространственная часть это-
го вектора равна
1 п
-----ткЕр.
т1
Учитывая эти последние замечания из (18.70) и (18.73), без тру-
да находим, что вектор поляризации лептонов в системе покоя, по-
лученной преобразованием Лоренца вдоль импульса из системы
покоя начальных /(-мезонов, равен
0+—w—г*”	_____
------—----mf)l
Здесь p и E — импульс и энергия лептона в системе покоя /(-мезо«
на, a k2 дается выражением (18.56).
В случае распадов /(“ л° + е_ + ve членами, пропорциональ-
ными т2е, можно пренебречь, и тогда для поляризации электронов
получаем
(18.76)
Таким образом, поляризация электронов в распаде К~ -> я® +
+ е~ + ve не зависит от параметра т) и равна —v. Измерение по-
ляризации и спектра р-мезонов дает возможность получить инфор-
мацию о величине параметра т).
В заключение сделаем следующее замечание. До сих пор счи-
талось, что форм-факторы /+ и /_ комплексны. Нетрудно показать,
что в случае, если имеет место инвариантность относительно обра
щения времени, форм-факторы и f- вещественны. Действительно,
из условия унитарности S-матрицы (в низшем порядке по констан-
те слабого взаимодействия G) и из Т-инвариантности, аналогично
(12.105), получаем
(ф/ /а(0)Ф У = (ф^/а(0)Ф9).	(18.77)
Здесь <7т =(—q, й/о); Qr=(—4,iq’o}.
Используя (18.5), (18.7) и (18.77), получаем, что
4 = /+,	=	(18.78)
185
§ 19. Распад «° -* 2?
В заключение рассмотрим распад нейтрального л-мезона на два
у-кванта:
л°—>y-j-y.	(19.1)
Обозначим начальный и конечный векторы состояния
и Ф? (kt и k2 — импульсы, a Xj и — индексы векторо в поля-
8изации конечных фотонов; q — импульс начального л°-мезона).
чевидно, что
Фл.М.М. =	(*i) (kz) Фо-	(19.2)
За распад (19.1) ответственны как электромагнитные, так и силь-
ные взаимодействия. Сильные взаимодействия не могут быть рас-
смотрены по теории возмущений. Мы построим общее выражение
для матричного элемента процесса и затем вычислим йероятность
распада.
Диаграмма процесса распада (19.1) с учетом всех взаимодейст-
вий, ответственных за распад, представлена на рис. 25. Матричный
элемент, отвечающий этой диаграмме, может быть записан следую-
щим образом:
(ф^.мЛФ,)^2—.................. 4*(^)х
(2л)9/2 i' 8kla k20 q о
X ev*(62) Wv(&i> k2; q)(2n,')i8(k1 + k2 — qy), (19.3)
где и eK*(k2) —4-векторы поляризации конечных фотонов.
В выражении (19.3) выделены стандартные множители, отвечаю-
щие внешним фотонным и мезонной линиям; величина «JRnv(^i, k2; q)
отвечает заштрихованной части диаграммы рис. 25 и обусловлена
сильными взаимодействиями. В (19.3) выделен также множитель е2.
Построим общее выражение для k2; q). Для этого выяс-
ним, каким условиям обязана удовлетворять эта величина. Прежде
всего вследствие коммутации операторов ax/fei) и a%Jk2) имеем
(Ф1к,М.5ФдМФ&..М1<$Фд).	(19.4)
186
Из (19.3) и (19.4) заключаем, что тождественность фотонов приводит
к соотношению
W* (klt k2; q) = gjjvu (k2, ky, q).	(19.5)
Далее, из требований лоренц-инвариантности и инвариантнос-
ти относительно инверсии следует, что величина k2; q) долж-
на преобразовываться как псевдотензор второго ранга (л° — псев-
доскалярная частица).
Построим из векторов импульса задачи величину, удовлетво-
ряющую этим условиям. Очевидно, что вследствие законов сохране-
ния энергии — импульса
q = k1 + k2	(19.6)
только два 4-вектора импульса независимы. Выберем в качестве
независимых векторы kr и k2. Из двух 4-векторов4может быть по-
строен только один псевдотензор второго ранга. Таким образом, в
самом общем случае
(^х> Я) ~ ^8|xvpa ^1р ^2а,	(19.7)
где величина а зависит от скаляров, которые могут быть построены
из kx и k2. Так как
ftf = ft2 = 0, &i&2 = y<7a =—(19.8)
(тл — масса л-мезона), а — константа. Очевидно, что (19.7) удов-
летворяет соотношению (19.5).
Перейдем теперь к рассмотрению условий, накладываемых на
матричный элемент процесса, законом сохранения тока. Обсудим
вначале общий случай. Рассмотрим некоторый процесс, в котором
образуется у-квант. Обозначим Фг вектор состояния начальных
частиц. Конечный вектор состояния запишем следующим образом:
at (МФ/,	(19.9)
где k и А — 4-импульс и индекс вектора поляризации фотона (А —
= 1, 2); Фу — вектор состояния остальных конечных частиц. Мат-
ричный элемент процесса имеет вид
/?^Л;» = (ф/-аг(^)(5-1)Ф£).	(19.10)
Очевидно, что
(М (S—1) = [ал (ft), S] + (S— 1) ах (k).	(19.11)
Допустим, что в начальном состоянии нет фотонов с импульсом ft.
Второй член в (19.11) не дает вклада в матричный элемент процесса.
Рассмотрим первый член. Используя выражение (8.31) для S-мат-
187
рицы, имеем
fax (k), S] = У f [ак (k), Т (Mt (хг)... Ж, (хл))]^ ...Дхп.
, п‘ J
(19.12)
С помощью (4.28) нетрудно показать, что для любых операторов
а, р, у, ..., 6 имеет место соотношение
[а, Ру...6] = [а, Р] у...6 + ₽[а, у] ...6+ ... + Р?... [а, 6]. (19.13)
Используя это соотношение, переставляя операторы под знаком
Т-произведения и переобозначая переменные интегрирования, по-
лучаем
[aK(k), S] = — г jT([ax(fe), Mi(x)]S)dx. (19.14)
Очевидно, что только гамильтониан электромагнитного взаимодей-
ствия дает отличный от нуля вклад в коммутатор la^(k), Mi(x)].
Рассмотрим в качестве примера взаимодействие электромагнит-
ного поля с протонным и л-мезонным полями. Гамильтониан взаи-
модействия дается выражением (12.3). Получаем
IM*). ^/WI = -[((-е)/£(х) + е/Л(х))] [ах(^), Ли(х)].	(19.15)
Токи /ц(х) и /д(х) даются выражениями (12.4); е—заряд элек-
трона. В общем случае
[М*), ^/Wl = -e/g(x)[ax(^), Ли(х)],	(19.16)
где /ц (х) — ток всех заряженных частиц. С помощью (7.35) и
(7.40) без труда находим
IM*), ЛДх)]= *	1_ e^(k)e~iix, (19.17)
(2л)3/2 /2^
Из (19.11), (19.14), (19.16) и (19.17) получаем, что матричный
элемент процесса равен
RkW = ie —--k ^(fe) С е-^(ф/-Т(/ц(л-)5)Ф;)^. (19.18)
(2л)3/2 /26О J
Переходя к представлению Гейзенберга (см. § 12), имеем
(ф/'Т(/|1(х)3)Фг)= (Ф^ощ/цМФ/яп), (19.19)
где Ju(x) —ток в представлении. Гейзенберга.
Далее, аналогично (12.32), находим
(ф£ош h (X) Ф/;1„) =	(ф£01П (0) Ф,;1п), (19.20)
где Pf и Pt — полные 4-импульсы частиц, описываемых соответ-
ственно векторами Фу и Ф;. Подставляя (19.19) и (19.20) в выра-
188
жение (19.18) и интегрируя по х, получаем для матричного эле-
мента процесса
RkK.f.i = ie —~- —L е*(fe) (Otout	(0)Ф/:1п) (2л)*б(Ру + k-Pt).
(2л)3/2
(19.21)
С помощью (19.20) нетрудно видеть, что из закона сохранения
тока
(х)
g - =0	(19.22)
дхи
следует
(Ф/Ut h (0) Ф/:1п) = о.	(19.23)
Запишем матричный элемент процесса в виде
Rkx. fii = e^ (ft) Л4Ц (k, f- i) 8 (Pj + k-Pt). (19.24)
Из (19.21), (19.23) и (19.24) заключаем, что величина Mp,(k,f;i)
обязана удовлетворять следующему условию:
=	(19.25)
В рассматриваемом случае распада л° -> 2у должны, следова-
тельно, выполняться соотношения
&1ц ЭДцу (&i> q) = 0, |	(19 26)
ЭДцу (^i> k^’i q)= 0. J
Легко видеть, что построенное из требований лоренц-инвариант-
ности и инвариантности относительно инверсии выражение (19.7)
автоматически удовлетворяет (19.26).
Найдем теперь вероятность распада нейтрального л-мезона на
два у-кванта. Для вычисления полной вероятности распада необ-
ходимо просуммировать по индексам и Л2. Из (19.3) в системе
покоя л°-мезона находим следующее выражение для вероятности
распада:
dr = ? х
(2л)а 8т л	**
• Ag — 1 > 4
X ( (kJ (k2) эдр0)’8 (^ + k2-q)	. (19.27)
«10	«20
Произведем суммирование по состояниям поляризации фотонов.
Реальные фотоны, испускаемые в процессе (19.1), могут обладать
только поперечной поляризацией. Вследствие этого в выражении
(19.27) производится суммирование только по и %2> равным 1 и 2.
Покажем, что вытекающее из закона сохранения тока условие
189
Х19.25) позволяет распространить суммирование по 1 на все значе-
ния Л.
Обсудим вначале общий случай. Рассмотрим некоторый процесс
с образованием у-кванта. Матричный элемент процесса имеет вид
(19.24). Чтобы получить просуммированную по состояниям поля-
ризации фотона вероятность процесса, необходимо вычислить
сумму
2 (е% (/?) М) (е* (/?) М)*.	(19.28)
%=1,2
Векторы е1^) и е2(&), описывающие состояния поперечной
поляризации фотона, определяются следующим образом [см. (7.13)]:
е% (&) = (ех (к), 0) (1=1,2),	(19.29)
где
ек (к) к = 0.
Векторы продольной и скалярной поляризаций равны
ез(/г)=/Л., (й, е4(£) = (0, 0.	(19.30)
Очевидно, что
e*(k) + e*(k) = ^.	(19.31)
Из (19.31) и (19.25) получаем
(e3(k) М) = — (е4 (Аг) М).	(19.32)
Отсюда следует, что
(е3 (k) М) (е3 (&) М)* = (е4 (k) М) (el (k) М)*.	(19.33)
Таким образом, условие (19.25) приводит к равенству веро-
ятностей испускания продольных и скалярных фотонов. .С по-
мощью (19.33) получаем
4
2 (е% (k) М) (е* (k) М)* = 2 (ех (&) М) (/г) М)* Пх- (19.34)
%=1,2	Х=1
^Множитель т]а, равен 4-1 при 1=1,2,3, и —1 при 1 = 4.)
Теперь можно воспользоваться условием полноты системы век-
торов е^Цгу.
4
4(6)^(Чп% = 6^.	(19-35)
Замечая, что
(бу (А))‘ = бу(А) r]v,
190
из (19.34) и (19.35) без труда находим
5 (ег (k) М) (е* (fe) М)* = 2 Мц т^.	(19.36)
Х-=1,2	ц
Этот окончательный результат может быть представлен в дру-
гом виде. Входящую в (19.36) сумму по X запишем следующим
образом:
2 e^(k)e^(k).	(19.37)
U,v	X=l,2
Очевидно, что соотношение (19.36) может быть получено, если
положить
2	=	(19.38)
7.= 1,2
(это условное равенство; его надлежит понимать следующим об-
разом: если сумму 2	свернуть с тензором Afp.Mv'Hv.
Х=1,2
то вследствие (19.25) указанную сумму можно заменить на 6UV)-
В связи с изложенным сделаем следующее замечание. Векторы
(19.29) и (19.30) определены в фиксированной системе отсчета. Не-
трудно ввести ковариантно определенные 4-векторы, описывающие
состояния поляризации фотона. Обозначим п времениподобный еди-
ничный 4-вектор:
n2=—1.	(19.39)
Положим
е4 = п.	(19.40)
Векторы, описывающие поперечную поляризацию, определим
следующим образом:
е*(£)п = 0,	(19.41)
e'-(k)k = Q (Х=1,2).	(19.42)
(Условие (19.41) означает, что ех(&), где % = 1,2 — пространственно-
подобные векторы; = 0 в системе, где п = (0, i)l из условия
(19.42) следует, что в этой системе ех(Л)к = 0.) Вектор продольной
поляризации £(k) должен быть ортогонален всем остальным по-
строенным векторам. Положим
ец(й) = сЛц4-4пц.	(19.43)
Из (19.41) и (19.42) следует, что этот вектор ортогонален векторам
er(k) и e\k). Далее, требуя ортогональности е3^) и п, получаем
d = c(kn).	(19.44)
191
Наконец, из условия е3е3 = 1 находим
Положим, что
(И* ’
e3(k)=—(n+	.
(19.45)
(19.46)
Очевидно, что построенные 4-векторы в системе отсчета,, где п =
= (0, i), совпадают с векторами (19.29) и (19.30). Из (19.40) и (19.46)
находим, что
е3(й) +а* (&) = — •
(19.47)
Очевидно, что с’помощью (19.25) и (19.47) получаем равенства (19.32)
и (19.33) и далее, используя полноту построенной системы векто-
ров, приходим к (19.36).
Вернемся теперь к вычислению вероятности распада нейтраль-
ного л-мезона на два у-кванта. Из (19.27) с помощью (19.36) нахо-
дим
Wv	+	<7)Х
О/Ил Ji.v
ХЛ1.Л1,	(19.48)
£io £оо
где xKnv дается выражением (19.7). Нетрудно видеть, что
Sgvpa ^1р ^га'Пр T]v---Spvpo &1р &2ct-	(19.49)
Используя далее соотношение
epvpG ep,vp'G'= 2 (брр' бра' — брр- брр<),
а также (19.8), находим
2	r]v = тя | a j2.	(19.50)
U.v	2
Получим полную вероятность распада. В силу тождественности
фотонов величины dT (klt k2) и dr (k2, kJ = dr (klt k2) представ-
ляют собой вероятность одного и того же события. Это означает,
что для получения полной вероятности распада нужно результат
192
интегрирования по всем kt и k2 разделить на 2. Полагая в (17.25)
mt = 0, имеем

£10
-^- = 2л.
(19.51)
Окончательно из (19.48), (19.50) и (19.51) находим следующее
выражение для полной вероятности распада нейтрального л-мезо-
на на два у-кванта:
Г = -у- ла2 т„ | а |2,
(19.52)
где
а = е2/4л~ 1/137.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Решение свободного уравнения Дирана.
Ковариантная матрица плотности
для частиц со спином 1/2
Спиновое состояние частиц описывается в общем случае матри-
цей плотности. В Приложении мы подробно рассмотрим ковариант-
ную матрицу плотности для частиц со спином 1/2. Будет рассмотрен
также случай двухкомпонентного нейтрино.
Начнем с решения свободного уравнения Дирака
afe —=	•	0>
i дхк	дхл
Здесь aft (А = 1, 2, 3) и 0 — эрмитовы 4 х 4-матрицы, удовлетво-
ряющие перестановочным соотношениям
агай + аьа4 = 2бгй, |
аь₽ + ₽аь = 0.	J
р2 = 1
а 1|з(х)—четырехкомпонентный спинор. Нас интересуют решения
ура!внения (1), описывающие состояния с определенным импульсом.
Такие решения имеют вид
♦W'-TT’W	(3)
(2 л)3'2
Подставляя (3) в (1), находим, что спинор и(р) удовлетворяет урав-
нению
(ар + тр) и (р) = Ей (р).	(4)
Из перестановочных соотношений (2) следует, что это уравнение
имеет решения при
£ = ±Ро.	(5)
где	______
Ро = + Vm* + р2 .	(6>
Найдем эти решения. Будем использовать такое представление мат-
риц aft и Р, в котором матрица Р диагональна (представление Дира-
ка — Паули). В этом представлении матрицы а* и р равны
194
(8>
Здесь oft— матрицы Паули, I — единичная 2 X 2-матрица. Запи-
шем спинор и в следующем виде:
\Х/
где ф и х — двухкомпонентные спиноры; N — нормировочная кон-
станта. Из (4), (7) и (8) получаем систему уравнений для <р и %:
<ФХ = (£~ те)ф,	(9а)
арф = (f + m) X-	(96)
Найдем вначале решение, отвечающее положительной энергии
(Е = р0). Из (96) получаем
Х =—^Ф-
Подставляя (10) в (9а), находим
^ = (р0-т)Ф.
Po+<W
(Ю>
Это соотношение удовлетворяется при любом <р ((о р)2=р2=р2—те2).
Таким образом, решение уравнения (4), отвечающее положитель-
ной энергии (£ = р0)), имеет вид
/ <Р \
и+(р) = Л^+(р) I 3Р <р ).
\ Ро~Гт J
(11)
Будем нормировать спинор «+(р) следующим условием:
(«+(р))+«+(р)=1-
Из (11) получаем, что
^(р)(ф+ф)-^- = 1.
Положим
(ф+ф) = 1.
(13)
Итак, нормированное решение уравнения Дирака, отвечающее
положительной энергии, в представлении Дирака — Паули имеет
вид
»+(р)=(Л±г)1/!(
\ zPo /	\
ф
3 р
—~— ф
Ро + <П
(14)
где <р — спинор, удовлетворяющий условию нормировки (13)..
195
Найдем теперь решения, отвечающие отрицательной энергии
(Е = —р0). Из (9а) получаем
Ф
----- X-
Ро+ т
(15)
Если подставить (15) в (96), то нетрудно убедиться в том, что ника-
ких ограничений на спинор % при этом не возникает. Требуя, что-
бы описывающий состояние с отрицательной энергией спинор и_(р)
удовлетворял условию нормировки
и полагая, что
получаем
и±(р)и_(р)= 1,	(16)
х+х = 1»	(17)
_ (Ро+«У /2 /—«Р	\ 1 Л	1	1	( Л 1 *	(18)
\ 2р0 / I po-j-m
( X
Очевидно, что спиноры «+(р) и и_(р) ортогональны, т. е.
<(Р)«_(Р) = О.	(19)
2г, который в представлении
Рассмотрим эрмитов оператор
Дирака—Паули равен
(20)
Оператор -у 2; удовлетворяет коммутационным соотношениям
момента количества движения
iSiki
(21)
и является оператором спина.
Вычислим коммутатор оператора 2г с оператором
Я(р) = ар+лгр.	(22)
Из (7) и (20) очевидно, что оператор 2г может быть записан сле-
дующим образом:
ак О|’	(25)
Используя перестановочные соотношения (2), получаем
“й«г₽—₽«йаг = ай(аг₽ + ₽аг) = 0, )
«т«йаг = 2айбгт—2агбйт. )
Таким образом,
[2г, Я(р)] = — 2t(ax р)г.
196
(24)
(25)
Отсюда следует, что оператор проекции спина на импульс ком-
мутирует с оператором Н(р) (остальные компоненты оператора
спина не сохраняются).
Обозначим п единичный вектор в направлении импульса
(п = р/|р|). Оператор
2 и	(26)
носит название оператора спиральности. Потребуем, чтобы спйно-
ры и+(р) и и_(р), являющиеся решениями уравнения Дирака (4),
были также собственными функциями оператора спиральности.
Имеем
2 nu+ (р) = гиг+ (р),	2 nul (р) = ruL (р).	(27)
Очевидно, что г = ±1. Спиноры «+(р) и uL(p) описывают спиновое
состояние дираковской частицы с энергией р0 и —р0 и спиральностью
г. Из (12), (16), (19) и (27) имеем
(«+ (р))+ u+(p) = 6rr,,
(«- (Р))+«- (Р) = 6гг',
(4(p))+^(p)=o.’te
(28)
Функции
1
(2 л)3/2
ur+ (p)ez₽x-Zp°
'	(г=±1)
образуют полную систему решений уравнения Дирака с опреде-
ленным импульсом р. Запишем спиноры и± (р) в виде
/ <рг
г / \	/ Ро + т \ 1 /2 I	г
«+ (Р) =	-7- т
\ 2р0	) \Ро+ т
^(р)=Д_ро±£И,/2
\ 2р0 J Ро~г'п
\ Хг
Из (27) получаем
<ТПфг = г<рг, )
оп%г = гу/. /
(29)
(30)
Таким образом, уравнения (27) означают определенный выбор
двух компонентного спинора ф для состояний с положительной энер-
гией и спинора % для состояний с отрицательной энергией. Из (29)
197
и (30) имеем
4(p) = (V2-)'K(-1¥-'I’'
\ 2Ро /	\ Р» + ^
ы1(р) = f Po + m V/2 /—|p|qr\
\ 2р, ) I р0 + т I
\ Хг '
Отсюда для /п = 0 (нейтрино) находим
4(P)=-zr( Фг ). «-(Р)
/2 \Г(рг /
1 / - аг\.
/2 \ %' /
(31)
Нетрудно видеть, что спиноры (31) являются собственными со-
стояниями матрицы у5. Действительно, в представлении Дирака-
Паули матрица у5 имеет вид
/ о —
75 = 1^02 03 = 1
(32)
Из (31) и (32) получаем
Ъ«+° (Р) = «+'1)(Р).
?5«->(Р) = »-)(Р).
7з «+>(Р)= — «+*(?).
75 м-1)(р)= —	°(р)-
(33)
Таким образом, в случае нейтрино состояния и<+ °(р) и
м2>(р), (ы!|?(р) и и(~]) (р)) — собственные состояния матрицы 7Б,
отвечающие собственному значению + 1 (—1).
Спиноры «+(р) и »_(р) нормированы условиями (12) и (16).
Величина
«+(Р)И(Р) = « (Р)7«“(Р)
является четвертой компонентой вектора »(р)7ц»(р), и, следова-
тельно, эта нормировка не является инвариантной. Введем инва-
риантно нормированные спиноры. Будем рассматривать частицы
с отличной от нуля массой. Из уравнения (4) операцией эрмитова со-
пряжения получаем
ы+ (Р) (ар + /пр) = м+ (р)Е.	(34)
Умножим (4) слева на м+(р)₽, а (34) — справа на ₽»(р). Складывая
полученные уравнения и используя перестановочные соотношения
(2), находим
м(р)«(р) = -^-и+(р)и(р).	(35)
Е
198
Так как м+(р) м (р) 0, то из соотношения (35) очевидно, что
м+(р)и+(р)>0 и м_ (р) м_ (р) < 0.
Отметим также, что для частиц с массой, равной нулю, u(p)u(p) = 0.
Рассмотрим сначала состояния с положительной энергией. Вве-
дем спинор м(р), связанный с «+(р) соотношением
«(Р)=	У/2“+(Р)-	(36)
\ т!
Из (35) и (28) получаем
«(Р)«(Р) = —«+(Р)«+(Р)= 1-	(37)
т
Таким образом, спинор
/ Ф \
„(р)=(й±2.у'!р£_ф	(38)
\ 2т )	\ Po-j-m )
нормирован инвариантным условием (37).
Теперь рассмотрим состояния с отрицательной энергией. Опре-
делим следующим образом спинор и(—р):
«(—Р)=(—У/2«-(—Р)-	(39)
\ tn J
Из (35) и (28) получаем
«(— Р)«(-“Р)= — “-(—₽)«-(—Р)= — 1-	(40)
т
Спинор
„(_р)= (Л,	(41)
\ 2т ) I ро+от I
' %	7
описывающий спиновое состояние частицы с энергией —р9 и им-
пульсом —р, также нормирован инвариантно.
Спиноры и(р) и и(—р) удовлетворяют уравнениям
(ap + mp)u(p) = pou(p),	(42а)
( —ap + m₽)u( —р) = —рои( —р).	(426)
Умножим эти уравнения слева на матрицу—ф. Получим
где
(р — im) u(p) = 0,
(43а)
(р + im) и (—р) = 0,	(436)
ТА=—i₽a4 = jaftP, k—\, 2, 3,
=
(44)
199
Из перестановочных соотношений (2) очевидно, что матрицы у
удовлетворяют соотношениям
= (45)
Ясно также, что у+=уц. Операцией эрмитова сопряжения из
(43) находим
“+(р)(Р*	+ 1т) = 0.
Умножая это уравнение справа на у4 и учитывая, что
Рц VW ?4=-Т!л/’!л>
получаем
и (р) (р—Im) =	(46а)
Аналогично находим
и(—р) (р + itn) = 0.	(466)
Умножая уравнение (466) справа на и(р), а уравнение (43а) —
слева на и(—р) и складывая полученные соотношения, находим
й(-р)«(р) = 0,	(47)
т. е.
«_(—Р) «+(₽) = °-
Отметим, что
й_(р)и+(р)#=0.
Если спиноры и^(р) и иг_ (— р)—собственные функции опера-
тора спиральности (26), т. е.
S пиг+ (р) = ги+(р),
S (—n)ul(— p) = rul (—р)
(48)
(п=р/|р|), то очевидно, что спиноры
«чр)=(—Y/2w+(p) и «г(—р)=(—Y/2«-(—Р)
\ т /	\ т /
также описывают состояния с определенной спиральностью. Такие
спиноры удовлетворяют следующим условиям нормировки и орто-
гональности:
иг’ (p)Ur(p) = t)rr-,
иг' (—р) иг (—р) = — 6Г,Г,
г?'(—р) иг(р) = 0.
(49)
200
Из (38) в системе покоя (т=#0) для состояния с положительной
энергией получаем
u(t7n) = (o)‘	(5°)
Произведем преобразование Лоренца из системы покоя в си-
стему, где импульс частицы равен р. Направим первую ось по
импульсу р. 'Цмеем
и (р) = L (р) и (im),
и (р) = и (im) L71 (р).	(51)
Матрица L(p) удовлетворяет соотношениям
£_1(P)YU£(P) = %, К-	(52)
где
а	а - t |р|
mm
II	(53)
=	а44 = —, 022=1, а33 = 1.
т	m
Остальные компоненты равны нулю. Отметим, что
Ogv Hp,v' — $vv' > Hgv Hg'v =	.
Найдем матрицу L(p). Для этого введем величину а, опреде-
ленную следующим образом:
th« = J-El.	(54)
Ро
Очевидно, что
-^- = cha, -L^- = sha.
т	т
Используя (52) — (54), получаем
(Р) ТцL (Р) = ( ch у + i?! ?4 sh у )	(ch у—iT1 ?4 sh у \ (55)
Откуда
L(p)=chy-z?174 shy,
(56)
r„i /Ч1а,. i a	v '
ь (p)= Chy+ zy174shy.
Нетрудно видеть, что
ch^=l/^, sh—.= r |p-'- = .	(57)
2 V 2m	2	p^2m(po + m)
8 Зак. 1410
201
Из (56) и (57) находим, что матрицы L (р) и L 1 (р) равны
г / ч / ро + tn / 1	• I Р I \
Мр)=|/ ~~ 1— *V1V4 -тН’
F	2т	\	ро + т	J	(
v	2т	\	ро + т	)
Так как первая ось направлена по р, то
Vi |р| = YP-
Окончательно матрицу Л(р) запишем следующим образом:
L(p)_(a±iy'2(i_j_iL.v;j.	(59)
\ 2т }	\ Ро + т !	'	'
Из (50), (51) и (59) в представлении Дирака — Паули получаем
( ф \
и(р) = L(p)u(im) — ( Р° + 'п )’/2 ——ф I, (6Q)
\ 2т /	\ ро + т J
что совпадает с (38). Из этого рассмотрения очевиден физический
смысл спинора <р. Спинор <р описывает спиновое состояние частицы
в системе покоя, оси которой совпадают с осями системы, где им-
пульс частицы равен р.
Состояние с определенной спиральностью задается уравнением
(30). Спинор <р(г>, удовлетворяющий этому уравнению, описывает
в системе покоя состояние с равной г проекцией спина на нап-
равление импульса (в системе покоя — направление, противопо-
ложное скорости системы, в которой импульс частицы равен р). Ясно,
что спиновое состояние частицы может быть задано, если потребо-
вать, чтобы спинор <р был собственной функцией оператора проекции
спина на любое фиксированное направление в системе покоя.
Пусть спинор <ps удовлетворяет уравнению
ffn0(ps = $(ps,	(61)
где п° — единичный вектор в системе покоя. Очевидно, что
s = ±l. Из (61) эрмитовым сопряжением получаем
<ps+ an0 = <ps+ s.	(62)
Умножая (61) слева на q;s+ а, а (62) справа на <r(<ps, складывая
полученные равенства и используя перестановочные соотношения
для матриц получаем
<ps+(T(ps—. sn°.	(63)
Таким образом sn°—среднее значение оператора о в состоя-
нии tps. Уравнение (61) можно записать следующим образом:
Sn° us (ini) — sus [ini).
(64)
202
Нетрудно видеть, что
S = i?5 уу4.	(65)
Из (64) и (65), учитывая, что yius(im) — us(im), получаем
iy5 yn° u.s(im) = sus(im).	(66)
Это уравнение можно записать следующим образом:
iy8 yn° и* (im) = sus (im),	(67)
где
n° = (n°, 0).	(68)
Умножим (67) на матрицу L(p). Используя (51), получаем
L (р)«у5 Vvb~’ (Р) “s (Р)= su’ (Р)-	(69)
С помощью (52) и (53) находим (для рассматриваемого нами
преобразования det а = 1)
L (Р) У5 L~ * (Р) = anv Y5-Vu-	* (70)
Из (69) и (70) получаем
iy8ynus(p) = sus(p),	(71)
где
% = auv"v-	(72)
Величины Пц, равные в системе покоя п£, образуют 4-вектор. Оче-
видно, что Пц—пространственноподобный 4-вектор (в системе по-
коя его четвертая компонента равна нулю). Так как (п°)а = 1, то
ясно, что п2 — 1. Далее
np = n°irn = 0.	(73)
Итак, спинор us(p), являющийся собственной функцией оператора
р, отвечающей собственному значению im, является также собст-
венной функцией оператора iy-jt, отвечающей собственному зна-
чению s (s = ± 1). Нетрудно проверить, что операторы р и у8п ком-
мутируют. Действительно,
РУ5« — Ув«Р = — V6 (p« + np)= — 2y5pn = 0.
Из (71) путем эрмитова сопряжения и умножения справа на
у4 получаем
us(p)«y8n = s«s(p).	(74)
Умножим (74) справа на iy8yp.us(p), а (71) слева на us(p)iy5Vu-
Складывая полученные соотношения, получаем
й* (р) (п Уц + n) и*(р) = 2sus (р) iy8 yg us (р).
8*
203
Отсюда, используя перестановочные соотношения для матриц у и
условия нормировки (37), находим
“s(p)iTsTix«s(p) = s«ix-	(75)
Таким образом, среднее значение оператора гу8У|л в состоянии, опи-
сываемом спинором us(p), равно sn^.
До сих пор мы предполагали, что спиновое состояние описывает-
ся волновой функцией. В общем случае, однако, спиновое состояние
частиц описывается матрицей плотности. Ковариантная матрица
плотности для релятивистской частицы со спином 1/2 дается сле-
дующим выражением:
РаО'(р)=2Х(Р)«а'(Р)“з-	(76)
Здесь us(p) — нормированные собственные функции оператора
iybn (пр = 0, п2 — 1); as — вещественные положительные величи-
ны (as представляет собой вес, с которым функция us(p) входит в
смешанное состояние, описываемое матрицей плотности (76)). Сред-
нее значение оператора О равно
2 ua’ (Р) ®a'a иа (Р) as сп ГОл ГпН
/Q\__ s-a - а_________________ bP 1°Р WJ	/77ч
Sp [р (p)J '
Выясним, каким условиям удовлетворяет матрица плотности
р(р). Если состояние описывается волновой функцией (чистое
состояние), матрица плотности равна
Paa-(p)=«a(p)«a'(р)-	(78)
Такая матрица плотности удовлетворяет условию
Sp [р° (Р)]2 = 2 «а (р) м0' (р)	(Р) Ua (р) = {Sp [р° (р)]}2.	(79)
а, а'
В общем случае из (76) получаем
Sp [р (р)] 2 = 2 «а (р)«а' (р) «О' (р) «О .(P)ae “s' = 2	(80)
s, s', о, a*	s
Так как as > 0, то очевидно, что
2“s2^(2“sr-	(81)
Учитывая, что Spp = 2as> из (80) и (81) заключаем, что в общем
S
случае матрица плотности р(р) удовлетворяет условию
Sp[p(p)]2<{Sp[p(p)]}2.	(82)
Можно показать, что в случае, когда Sp р2 = (Sp р)2, матрица
плотности имеет вид (78), т. е. спиновое состояние описывается
одной волновой функцией.
204
Далее, из вещественности коэффициентов as следует, что
где	Р (Р) = Р (Р)» (83) Р(Р) = ?4 Р+(Р)?4-
Введем операторы	Л(р) = -^,'	(84) 2im Л(-р) = ^±^.	(85) 2i т
Используя уравнения (43) и (46), получаем
Л (р) и (р) = и (р),
и (р) Л (р) = и (р),
Л(р)и(—р) = 0,
й(—р)Л(р) = 0
и
Л(—p)u( —р) = и (—р),
и(—р)Л(—р) = и(—р),
Л (—р) и (р) = О,
«(р)Л(—р) = 0.
Из (86) и (87) следует, что Л(р) и Л(—р) —проецирующие опе-
раторы. Легко видеть, что
Л(р) + Л(-р)=1,
Л(р)Л(—р) = Л(—р)Л(р) = 0,
Л (р) Л (р) = Л (р),
Л(-р)Л(-р) = Л(-р).
Матрица плотности (76) описывает спиновое состояние частицы
с положительной энергией р0 и импульсом р. Из (76) и (87) очевидно,
что матрица р(р) удовлетворяет условиям
Л(~Р)р(р) = О, Р(Р)Л( —р) = 0.	(89)
С помощью первого из соотношений (88) эти условия могут быть за-
писаны также в виде
Л(р)р(р)= р(р), р(р)Л(р) = р(р).	(90)
Отметим, наконец, что условие нормировки матрицы плотности имеет
вид
Sp[p(p)] = l.	(91)
205
(86)
(87)
Построим теперь общее выражение для нормированной матрицы
плотности релятивистской частицы со спином 1/2. Матрица р(р)
всегда может быть разложена по шестнадцати матрицам Дирака.
Получаем
р (р) = а + bv yv+сраора+idv у5 yv + еу5
= <92>
Из условия нормировки (91) находим
Sp р = 1 — 4а, а = — .	(93)
4
Умножая (92) на и вычисляя следы от обеих частей по-
лученного равенства, получаем
4bfl = Sp[yflp].	(94)
Далее с помощью (90) находим
= у Sp [ум р Л (р)] = A Sp [Yfl Л (р) рЛ (р)].	(95)
Используя перестановочные соотношения для матриц легко
видеть, что
ТдЛ(р) = Л(—р)ти + -^-	(96)
itn
Подставляя это соотношение в (95) и учитывая (88) и (91), на-
ходим
= —•	(97)
4i/n	'
Умножим (92) на у5. Вычисляя след, получаем
4е = Sp [ру6] = Sp [Л (р) рЛ (р) у5] = Sp [Л (р) ру5 Л (—р)] = 0.	(98)
Определим величину
^ = Sp(‘V5Tp.P)-	(")
Нетрудно видеть, что преобразуется как псевдовектор. Далее,
учитывая, что
р Л (р) = t/n Л (р),
получаем
5р = Sp [zy6рЛ (р) р] = —mSp(y5 р) = 0.	(100)
Из (92) находим, что
4=4^-	(101)
4
206
Нетрудно убедиться в справедливости соотношения
°ро —	~ ЕрсГ1-< OvvTb-	(102)
С помощью (102) запишем третий член разложения (92) в виде
СРа%а = СЛ?5-	(103)
Очевидно, что
(Ю4)
Чтобы найти c|LV, умножим (92) на o|iv у8. Вычисляя след от обе -
их частей полученного равенства и учитывая, что
Sp (tFjiv Та O'ix'v' Tg)= 4 (бщх' 6VV' 6p.v' 6Vp/),	(105)
получаем
cpv =YSP(P°i*vYs)-	(106)
Далее
Sp (pOjxv Ta) = -J- Sp [p (Th Tv—M Tai =
= -|-Sp[A(p)pA(p)?|X?v?6].	(107)
Нетрудно видеть, что
A(P)TixTvTa=—TvTa — — Tu Ta + Tu Tv Ta Л (— P)-	(Ю8)
im	im
Подставляя это соотношение в (107) и учитывая (88) и (99),
получаем
cPv = V (PP£v Pv£p)-	(109)
01ГП
Окончательно, подставляя (93), (97), (101), (103) и (109) в
разложение (92), находим для матрицы плотности
Р (Р) = + +	+ ?iy^ Pt1™ V (1 + iy^‘
4 4tm 4	4tm	2tm 2
(ПО)
Отметим, что это выражение может быть записано также сле-
дующим образом:
PW-vO + 'bO '4^
2	2tm
(операторы р и тД коммутируют).
Вектор удовлетворяющий условию Ер = 0, характеризует
спиновое состояние релятивистских частиц со спином 1/2. Он назы-
207
вается 4-вектором поляризации. Из (83) следует, что пространст-
венные компоненты вектора поляризации вещественны, а четвертая
компонента мнима. Запишем 4-вектор в виде
^ = Рпц,	(111)
где «у.— единичный пространственноподобный вектор. Очевидно,
что
Р2 = £2.	(112)
Инвариант У Р2 называется поляризацией. Из (82) и (110) получаем
Spp2-~|-(1 + 12)< 1,
откуда
Р2<1.	(113)
С помощью (75), (76) и (99) находим, что 4-вектор поляризации
равен
= £ г? (р) t Тб Yu «s (р) as = «н 2 asS-
’ S	S
Сравнивая это выражение с (111), заключаем, что
S
Из этого соотношения и условия нормировки (91) находим
Если Р = 1, то a_i=0, а!=1 и состояние описывается спино-
ром и1(р). При Р =— 1 состояние описывается спинором и-1(р).
В случае неполяризованного состояния (Р = 0)ai =a_i =.
Матрица плотности такого состояния равна
Po(p)=4~2ms(p)«s(p) =4-л(р)-	(И4)
2 s
Из условия ср — 0 следует, что
=	(115)
Ро
Таким образом, матрица плотности релятивистской частицы со спи-
ном 1/2 характеризуется вектором |.
В системе покоя £4 = 0 и (|0)2 = Р2. Вектор поляризации
в системе, в которой импульс частицы равен р, связан с вектором
поляризации в системе покоя преобразованием Лоренца
»о
£i = — Л2 = & Вз = Вз°	(116а)
т
208
(первая ось направлена по импульсу). Это преобразование может
быть записано также в виде
£ = £О+(£°Р) —•
т(ро+т)
Обсудим теперь случай античастиц со спином 1/2. Рассмотрим
в качестве примера процесс с частицей и античастицей в начальном
состоянии. Обозначим р' и р 4-импульсы частицы и античастицы.
В соответствии с общим правилом, подробно обсуждавшимся в §*11,
матричный элемент процесса может быть записан в виде
Mfi = us(-—p)$Slus’(p').	(117)
Квадрат матричного элемента, усредненный по спинов ым со-
стояниям начальных частиц, равен
21 Mfi I2 = 21 us (-р) Ж us' (p') I2 as- ps =
s,s'
= Sp[®p(p')^p(-p)].	(118)
Здесь
. Paa'( —P) = 2“a( —P)“a'(—P)Ps>	(H9)
s
а p(p')—матрица плотности частицы с импульсом р'. Матрица р(—р)
характеризует спиновое состояние начальной античастицы с им-
пульсом p(ps — вероятность того, что начальная античастица на-
ходится в состоянии, описываемом спинором us(—р)). Условие нор-
мировки имеет вид
2Х=1.	(120)
S
Учитывая, что us(—p)us(—р) = —1, получаем из (119) и (120) усло-
вие нормировки для матрицы р(—р)
Spp(—р)= —1.	(121)
С помощью (119) аналогично (90) получаем, что матрица р(—р) под-
чиняется следующим условиям:
Л(-р)р(-р) = р(-р),	1
р( —Р)Л(—р) = р(—р). /	(	'
Чтобы найти общее выражение для матрицы р(—р), разложим
ее по 16 базисным матрицам. Получаем
р (-р) = А +	+ Cgv agv у5 +	+ Ву5. (123)
Из (121) находим
Л=—Ь	(124)
2С9
Далее аналогично (97) и (98) получаем
= TSp	[р (- Р)1 =	,
E = -^-Sp [р(—р)т51 = 0.
4
Вектор поляризации античастиц (среднее значение
ра 1у5уц) дается следующим выражением:
Sp[»YsYgp(—р)] _
Sp[p(-р)]	g
Аналогично (109) получаем
Сцу = —г~ (Рц	Pv)-
8im
Окончательно из (123) — (127) находим
р(-р) = -Л(-р)-Ь^1.

Для неполяризованных античастиц
Ро (— Р) =7 2«S(-P)«’(-P) = —7Л(—Р)-
(125)
операто-
(126)
(127)
(128)
. (129)
В заключение получим выражение для матрицы плотности
нейтрино. Обозначим спиноры, описывающие нейтрино с опреде-
ленной
спиральностью, следующим образом:
U+ (р) = иг (р),
«-(—Р) =иг( —р).
нормировать спиноры иг(р) и иг(—р) условиями (для
й(р)«(р) = 0)
(tt''(P))+«' (p) = 6rrs
(ur'(—p))+u'( —р) = 6г<
Отметим, что при такой нормировке оператор нейтринного
поля равен
(х) = —!
v 7	(2«:
, 1
(130)
Будем
• т = 0
(131)
J«r(p)cr (p)eiwtfp +
-v ,9 ,3/2 СцГ( — p)dt^erlpxdp.
w J
В соответствии с современной V—Л-теорией слабых взаимо-
действий спиноры, описывающие нейтрино, входят в матричные
элементы процессов в виде (1 + у5) иг (р) (поглощение нейтрино) либо
210
(132)
((1 + у5)иг(р))+(испускание нейтрино). Так как у5и(1)(р) = —м(1)(р)
(см. (33)], это означает, что нейтрино может находиться только
в состоянии со спиральностью, равной—1. Аналогичным образом
легко видеть, что спиральность антинейтрино равна+1.
Матрица плотности нейтрино дается, следовательно, выражением
Раа'(р) = ««“1)(р)4“1)(р).	(133)
Разложим эту матрицу по полной системе. Получаем
р(р) = а+^Тм + ^%у + 1^у5Ти + еу5.	(134)
Коэффициент а равен
а = J- Sp р = 4- й(-‘ > (р) Ы<-‘ > (р) = 0.	(135)
4	4
Для Ьц находим
Ь» = Sp р	‘ ’ (Р) и<- ‘ ’ (р)-	(1 зб)
Этот матричный элемент нетрудно вычислить. Спиноры и (р) и и+(р)
удовлетворяют уравнениям
ар и (р) = Ро и (р), и+(р)ар = и+(р)р0.	(137)
Умножая первое уравнение слева на и+(р)а;, а второе спра-
ва— на а;и(р) и складывая полученные соотношения, находим
«+(Р) “ (р) Pi = «Ро« (Р) Т i “ (р)-	(138)
Отсюда получаем
»й (р) Тц «(р) = — ы+(р) и (р).	(139)
При выбранной нами нормировке [см. (131)] коэффициент Ьц, сле-
довательно, равен
(140)
41Ро
Далее для получаем
=-^ SP [р(р)г'т5Tj*l = -^-и(~1Чр)1У6У„^~1\р\	(141)
Учитывая, что у5«(“1>(р) = и(-1)(р)) с помощью (139) находим .
^=-4-Рм-	(142)
4ро
Легко видеть, что коэффициенты cMV и е равны нулю.
Действительно,
е = 4 SP (pTs) = 4	’ (Р) Ь «(-1) (Р) = 4" “С-1 ’ “С-1 ’ = °’
4	4	4
211
^ = 4-5р(ра^) = -^и( 1)(p)a|Xv«( I)(p) =
О	о
=----«(-1) (Р) ?5 Guv ?5 «<-1) (р) =-~ “<-1) (р) Puv«<-1) (Р) = °-
(143)
Окончательно для матрицы плотности нейтрино получаем
Р(Р) = 4(1 + Ь)^~-	(144)
2	41 Pq
Матрица плотности антинейтрино определяется следующим
образом:
рас' ( — р) = и(а} ( — р)и^} ( — р),	(145)
где
S(—n)«(1)(—p) = u(1)(—Р)-	(146)
С помощью (29) легко показать, что
?5«(1)( —Р) = «(1)( —Р)- Используя это соотношение, из (145) находим	(147)
p(-p) = Y(1+Ts) W	(148)
ЛИТЕРАТУРА
Квантовая теория поля
1.	АхиезерА. И., БерестецкийВ. Б. Квантовая электродинамика
М., «Наука», 1969.
2.	Берестецкий В. Б., ЛифшицЕ. М., Питаевский Л. П.
Релятивистская квантовая теория. Часть I. М., «Наука», 1968.
3.	Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В. Введение в теорию квантован-
ных полей. М., Гостехиздат, 1957.
4.	Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В..Поливанов М., К.
Вопросы теории дисперсионных соотношений. М., Фйзматгиз, 1958.
5.	ГайтлерВ. Квантовая теория излучения. Перев. с англ. М., Изд-во
иностр, лит., 1956.
6.	П а у л и В. Релятивистская теория элементарных частиц. Перев. с англ.,
М„ Изд-во иностр, лит., 1947.
7.	С о к о л о в А. А. Введение в квантовую электродинамику. М.—Л.,
Изд-во АН СССР, 1958.
8.	ТиррингВ. Принципы квантовой электродинамики. Перев с нем. М.,
«Высшая школа», 1964.
9.	Фейнман Р. Квантовая электродинамика. Перев. с англ. М., «Мир»,
1964.
10.	Ш в е б е р С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. Перев.
с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1963.
11.	УмэдзаваХ. Квантовая теория поля. Перев. с англ. М., Изд-во ино-
стр. лит., 1963.
12.	Хенли Э. М., Тирринг В. Элементарная квантовая теория поля.
Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1963.
Физика элементарных частиц
1.	ГазиоровичС. Физика элементарных частиц. Перев с англ. М., «Нау-
ка», 1969.
2.	Дрелл С. Д., ЗахариазенФ. Электромагнитная структура нук-
лонов. Перев. с аигл. М., Изд-во иностр, лит., 1962.
3.	Л и Ц., В у Ц. Слабые взаимодействия. Перев. с англ. М., «Мир», 1968.
4.	М э т ь ю с П. Релятивистская квантовая теория взаимодействий элемен-
тарных частиц. Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1959.
5.	НишиджимаК- Фундаментальные частицы. Перев. с англ. М., «Мир»,
1965.
6.	Окунь Л. В. Слабое взаимодействие элементарных частиц. М., Физмат-
гиз, 1963.
7.	Ш и р к о в Д. В., С е р е б р я к о в В. В., М е щ е р я к о в В. А. Дис-
персионная теория сильных взаимодействий при низких энергиях. М.,
«Наука», 1967.
213
8.	Ч е л л е н Г. Физика элементарных частиц. Перев. с англ. М., «Наука»,
1966.
9.	Б а р т о н Г. Дисперсионные методы в теории поля. Перев. с англ.
М., Атомиздат, 1968.
10.	Иде н Р. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях.
Перев. с англ. М., «Наука», 1970.
И.	В j о г k е n J. D,, D г е 1 1 S. D. Relativistic Quantum Fields. N. Y.,
Mc-Graw-Hill, 1965.
12.	Marshak R. E., R i a z u d d i n, Ryan С. P. Theory of Weak
Interactions in Particle Physics. J. Wiley, N. Y., 1969.
13.	S а к u r a i J. J. Invariance Principles and Elementary Particles. Prin-
ceton, Univ. Press, 1964.
14.	А д л e p С., Да ше н P. Алгебра токов. Перев. с англ. М., «Мир»,
1970.
15.	Бернштейн Дж. Элементарные частицы и их токи. Перев. с англ.
М., «Мир», 1970.
Оглавление
Предисловие..................................................... 3
Введение....................................................... 5
Глава I. S-матрица............................................. 7
§ 1.	Представление взаимодействия.	S-матрица................ 7
Глава II. Классические поля....................................14
§ 2.	Уравнения движения.....................................14
§ 3.	Сохраняющиеся величины.................................19
Глава III. Квантование полей...................................  28
§ 4.	Действительное скалярное (псевдоскалярное) поле........28
§ 5.	Комплексное скалярное	(псевдоскалярное) поле............38
§ 6.	Комплексное спинорное псле..............................44
§ 7.	Электромагнитное поле .................................57
Глава IV. Разложение хронологических произведений по нормаль-
ным ...........................................................68
§8.	Гамильтонианы взаимодействия. Нормальные и хронологи-
ческие произведения операторов поля ....................... 68
§ 9.	Теорема Вика...........................................89
Глава V. Правила построения диаграмм Фейнмана...................88
§ 10.	Рассеяние электрона внешним электромагнитным полем. Диа-
граммы Фейнмана.............................................88
§ 11.	Процессы с участием электронов, позитронов и у-квантов . . 97
Рассеяние у-кванта электроном..........................97
Рассеяние электрона на электроне.......................108
Процессы с участием позитронов.........................111
§12.	Токи. Форм-факторы....................................118
Глава VI. Вычисление сечений процессов н вероятностей распадов
§ 13.	Сечения. Следы........................................143
§ 14.	Рассеяние электрона на нуклоне.......................149
§ 15.	Процесс ч + п -» р— + р...............................155
§ 16.	Рассеяние л-мезона на нуклоне.........................162	-
§ 17.	Распад	Л -> р +	Г~ + v..............................170
§ 18.	Распад	№ -* л°	+ Г~ +	м............................175
§ 19.	Распад	л0-* 2 у..................................... 186
Приложение. Решение свободного уравнения Дирака. Ковариант-
ная матрица плотности для частиц со спином 1/2	.194
Литература....................................................213