/
Author: Петраков А.А. Ганджунцев М.И.
Tags: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства строительство строительная механика механика деформируемых тел учебное пособие инженерные расчеты
ISBN: 978-5-7264-1513-0
Year: 2017
Text
МГСУ
M.H. Ганджунцев. А.А. Петраков
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Москва 2017
УДК 624.04
ББК 38.12
Г19
Рецензенты:
кандидат технических наук В.Е. Кондратенко,
доцент кафедры инжиниринга технологического оборудования НИТУ «МИСиС»;
кандидат технических наук М.Г. Ваиюшепков,
профессор кафедры строительной механики НИУ МГСУ
Гянджу нцев, Михаил Иоакимович.
Г19 Нелинейные задачи строитепьной механики [Электронный ресурс]:
учебное пособие / М.11. Ганджунцев. А.А. Петраков ; М-во образования и
науки Foe. Федерации, Нац. исследоваг. Моск. гос. строит, ун т. —Электрон,
дан. и прогр. (5 Мб). — Москва : Изд-во Моск. гос. строит, ун-та, 2017. —
Режим доступа: http:// www.ipibooksbop.ru/. — Загп. с титул, экрана.
ISBN 978-5-7264-1513-0 (сетевое)
ISBN 978-5-7264-1512-3 (локальное)
Изложены теоретические освовы курса дисциплины «Нелинейные задачи
строительной механики», предусмотренные рабочей программой этой дисциплины,
касающиеся расчета систем из нелинейно-упругого материала и определения в них
перемещений от различных видов воздействия, а также основ теории ползучести.
Рассмотрены наиболее характерные задачи расчета стержневых систем с использо-
ванием математического программирования, приведены их подробные решения.
Для обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 Строительство и уни-
кальных зданий и сооружений.
© Национальный исследовательски
Московский государственный
строительный университет, 2017
© Оформление.
ООО «Ай Пи Эр Медиа», 2017
Редактор Е.А. Копытова
Технический редактор Е.В. Кузнецова
Корректор А.С. Позева
Компьютерная верстка С.С. Сизиумовой
Дизайн первого титульного экрана Д.Л. Разумного
Для создания эвеюпронного издания искочъзовано-
Microsoft Word 2007, приложение pdQswf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,
разработанное на основе Adobe Air
Подписано к использованию 29.03.2017. Объем данных 5 Мб
Имагепьсгво МИСИ-МГСУ
Тея. (495) 287-49-14, вн. 13-71.(499) 188-29-75,(499) 183-97-95.
E-mail, ric@tngsu.ru, riu@mgsu.ru
ООО «Ай Пи Эр Медиа».
Тел 8-800-555-22-35, (8452) 24-77-97. вн. 208.
E-mail. izdai@iprmediaJn, mail@iprtxxAihop.ru.
www. iprtxxAihop .ru
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ...............5
2. ТЕОРЕМА А.А. ИЛЬЮШИНА О ПРОСТОМ НАГРУЖЕНИИ.
ТЕОРЕМА О РАЗГРУЗКЕ............................9
3. НЕЛИНЕГШО-УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ. ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ.............12
4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ.....17
5. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ БАЛКИ____________________24
6. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ........................33
7. ТЕОРЕМЫ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ.............37
8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ СПОСОБОМ
КОМБИНИРОВАННЫХ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ.........43
9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
РАМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................ 66
10. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ...............................83
И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ...................94
12. Библиографический список.................101
4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При изложении классических методов расчета предполагалось, что
материал конструкции работает в упругой стадии, то есть между на-
пряжениями и деформациями соблюдается закон Гука о прямой про-
порциональности. При этом методы «упругого расчета» не дают ответа
на вопрос об истинном запасе прочности сооружения и о поведении
конструкции за пределом упругости материала.
Рис. 1. Экспериментальные диаграммы растяжения
с площадкой текучести (а) и без площадки текучести (б)
Большинство строительных материалов или совсем не подчиняют-
ся закону Гука, или подчиняются ему при относительно небольших на-
пряжениях, значительно меньших предела прочности. На рис 1 изо-
бражены типичные экспериментальные диаграммы растяжения для
различных марок стали, алюминиевых сплавов и пластмасс. На этих
диаграммах оир — предел прочности материала, а £пр — соответст-
вующее ему значение деформации. Диаграмма (рис. I, а) имеет сле-
дующие участки. Участок линейной упругости от нуля до напряжения,
равного которое определяет предел пропорциональности. На этом
участке справедлив закон Гука. Следующий участок небольшой до
предела упругости оу и часто оу считают равным <т„. Это участок нели-
нейной упругости и на нем еще непластических деформаций. Выше
предела упругости появляются остаточные деформации и удлинения
быстро увеличиваются, а напряжения практически не изменяются. Это
так называемая площадка текучести—зона идеальной пластичности.
Здесь надо отметить предел текучести ст,, определяющий наибольшее
значение напряжения, при котором еще существуют упругие деформа-
ции и начинаются чисто пластические. Затем возникает участок сме-
шанных упругих и пластических деформаций, называемый зоной уп-
рочнения. После этой зоны диаграмма имеет нисходящую ветвь до на-
пряжения Ср, которое соответствует разрыву образца.
Для некоторых металлов (алюминиевые сплавы, высоколегирован-
ные стали и др.) кривая растяжения лишена площадки текучести и ино-
гда практически не имеет прямолинейного участка (рис. 1, б). В этом
случае участок нелинейной упругости незаметно переходит в участок
упрочнения.
При переходе от нагружения к разгрузке зависимость между на-
пряжениями и деформациями может приобретать совсем иной вид. До
предела упругости разгрузка будет совпадать с линией нагружения.
При напряжениях больше предела упругости кривая разгрузки АВС
(рис. 2, а) в общем близка к прямой линии, которая имеет такой же на-
клон, как и линия упругого участка. Величина остаточной деформации
измеряется отрезком ОС. Если повторно нагрузить образец, то кривая
нагружения CDE будет мало отличаться от линии АВС. Таким образом,
металл вследствие первоначальной вытяжки как бы приобретает упругие
свойства и повышает предел упругости, теряя в значительной мере спо-
собность к пластической деформации. Это явление называется упрочне-
нием. С течением времени наблюдается частичное снятие упрочнения,
которое с увеличением температуры становится все более заметным.
При нагружении продольная сила совершает положительную рабо-
ту, пропорциональную площади OAF. При разгрузке работа будет от-
рицательная и может быть выражена площадью AFC, ограниченной
осью абсцисс и кривой разгрузки. Таким образом, возвращенная при
разгрузке работа меньше, чем работа, произведенная во время нагру-
жения. Разность затраченной и возвращенной работы представляет со-
бой поглощенную механическую энергию, перешедшую в теплоту или
затраченную на структурные преобразования материала. Эта разность
соответствует площади OADC
При повторных нагружениях кривые нагружений и разгрузок при-
ближаются все ближе друг к другу, но полного совпадения не достига-
ют, образуя так называемые петли гистерезиса (рис. 2, б).
6
Рис. 2. Кривая разгрузки АВС при напряжениях больше
предела упругости (а) и петля Гистерезиса (б)
Зависимость между напряжениями и деформациями при нагруже-
нии и разгрузке имеют разный вид. Значит при одной и той же величи-
не деформации могут быть разные напряжения в образце. Таким обра-
зом, между напряжениями и деформациями за пределом упругости нет
функциональной связи. Следовательно, при неупругой работе материа-
ла отсутствует потенциал внутренних сил. Это обусловлено частичным
рассеиванием механической энергии, которая переходит в другие виды
энергии и полностью не возвращается обратно при разгрузке конструк-
ции. Вышесказанное справедливо не только при одноосном напряжен-
ном состоянии, но еще в большей степени для двухосного и трехосного
напряженных состояний.
Таким образом, нельзя говорить о потенциальной энергии внут-
ренних сил как функции компонентов деформаций за пределом упруго-
сти. Это обстоятельство можно обойти при определенных ограничени-
ях в режиме работы конструкции.
Прежде чем рассмотреть эти обстоятельства, введем понятия про-
стого и сложного нагружений, активной и пассивной деформации
Нагрузки на конструкцию могут быть сколь угодно сложные, но
нагружение будет считаться простым, если все компоненты нагру-
зок, начав с нуля, возрастают одновременно пропорционально обще-
му параметру.
Когда компоненты нагрузок меняются во времени непропорцио-
нально друг другу, то такое нагружение называется сложным.
При одноосном напряженном состоянии в точке в случае простого
нагружения единственное главное напряжение будет непрерывно рас-
ти, и поэтому в каждый последующий момент времени деформация в
окрестности этой точки будет отличаться в сторону увеличения по мо-
дулю от значения ее в предыдущий момент времени. Такая деформа-
ция называется активной. В этом частном случае одноосного напря-
женного состояния понятия простого нагружения и активной деформа-
ции будут тождественны.
При сложном напряженном состоянии в точке, то есть когда все
три главных напряжения для рассматриваемой точки отличны от нуля,
деформации будут активны в том случае, если интенсивность напряже-
ний для этой точки в данный момент нагружения имеет значение, пре-
вышающее все предшествующие его значения. Если интенсивность на-
пряжений будет меньше предшествующего его значения, деформация
в этом случае называется пассивной.
Инженерная практика ставит перед теорией пластичности в основ-
ном две задачи. В первой необходимо обстоятельно исследовать весь
ход развития упруго пластических деформаций и поля напряжений в
изучаемой конструкции при заданных нагрузках. Вторая задача отно-
сится к конструкциям из идеально пластического материала или близ-
кого к этим свойствам материала. В этом случае достаточно исследо-
вать заключительную стадию развития пластических деформаций, точ-
нее — выяснить параметры внешней нагрузки, так называемую несу-
щую способность, при малейшем превышении которой сооружение
теряет равновесие или возникают чрезвычайно большие и совершенно
недопустимые перемещения.
Надо заметить, что для вычисления несущей способности конст-
рукции разделение нагружения на простое и сложное, разделение де-
формаций на активную и пассивную не имеют существенного значе-
ния, в то время как для первой задачи (нахождения поля напряжений и
деформаций в теле) четкое разграничение указанных понятий является
абсолютно необходимым.
8
2. ТЕОРЕМА А.А. ИЛЬЮШИНА О ПРОСТОМ НАГРУЖЕНИИ.
ТЕОРЕМА О РАЗГРУЗКЕ
Гилотетически можно представить себе материал с нелинейной за-
висимостью напряжений от деформаций, который при разгрузке полно-
стью возвращает накопленную механическую энергию. Диаграмма раз-
грузки для такого материала совпадает с диаграммой нагружения и по-
глощения энергии не происходит. Если известно, что напряжения в кон-
струкции в процессе нагружения нигде не будут уменьшаться, то можно
условно считать, что конструкция выполнена из нелинейно-упругого
материала с функциональной зависимостью о ~ Де), совпадающей с
диаграммой работы материала при нагружении. При этом становится
возможным использование понятия потенциальной энергии системы
Понятия нелинейно-упругого материала и нелинейно-упругой сис-
темы очень удобны для расчета неупругих конструкций при первичном
их нагружении. Необходимо только следить, чтобы нигде не возникало
уменьшения напряжений (об этом можно судить на основании расче-
тов). При появлении уменьшения напряжений схема нелинейно-
упругой системы будет неприменима.
Возникает вопрос о том, как должны изменяться во времени на-
грузки, действующие на неоднородно напряженное тело любой формы,
чтобы каждый элемент такого тела оказался в состоянии именно актив-
ной деформации. Не может ли непрерывный рост нагрузок, вызывая в
одной, хотя бы и значительной части тела, возрастание напряжения,
вызвать в другой части его уменьшение. Или, иначе говоря, существует
ли в общем случае неоднородно напряженного тела любой формы та-
кая нагрузка, при которой все элементы тела оказываются в состоянии
активной деформации
Теория малых упругопластических деформаций дает правиль-
ные (совпадающие с опытом) результаты, по крайней мере, в том
случае, когда процесс нагружения тела будет простым. Этот посту-
лат носит название теоремы А.А. Ильюшина о простом нагружении.
Доказательство теоремы предполагает степенную зависимость ме-
жду интенсивностями напряжений и деформаций о, = Ле™. В этом слу-
чае зависимость внутренних сил от деформации будет являться од-
нородной функцией, то есть такой функцией, которая при умноже-
9
нии всех аргументов на один и тот же множитель а увеличивается в
ат раз, где т — показатель, называемый коэффициентом однород-
ности. В этом случае, очевидно, что при увеличении деформации в к
раз все внутренние силы изменятся в к’л раз. С таким же коэффициен-
том пропорциональности должны изменяться и внешние силы, выра-
жающиеся линейно через внутренние силы. Следовательно, напряжен-
но-деформированное состояние системы не изменятся по форме при
простом нагружении, а лишь умножается на некоторый коэффициент
пропорциональности, сохраняя качественную картину распределения
усилий и деформаций в системе. Следует подчеркнуть, что коэффици-
енты пропорциональности для внешней нагрузки и для деформаций
будут разными
В общем случае, при других зависимостях между интенсивностями
напряжений и деформаций, пропорциональное увеличение всех внеш-
них сил не ведет за собой пропорциональное изменение внутренних
сил, перемещений и деформаций, и качественная картина напряженно-
деформированного состояния постепенно меняется. Другими словами,
при пропорциональном увеличении внешней нагрузки в нелинейно-
упругой системе происходит перераспределение внутренних сил. Но на
основании анализа экспериментов А.А. Ильюшин обосновал возмож-
ность применения теоремы о простом нагружении в любом случае за-
висимости О,-£,
Рассмотрим теперь более подробно процессы, происходящие при
разгрузке. Растянем стержень на величину деформации Е| и, соответст-
венно, напряжение в нем будет О| причем оно будет больше предела
упругости (рис. 3, а). Если частично разгрузить стержень до напряже-
ния о2, то остаточная деформация щ будет равна:
ей = е|-Е2, (1)
где е2 — упругая часть деформации, которая вычисляется по формуле:
Е2 = щ/Е- Г2)
В этой формуле оР = ст, — о2 и Е — тангенс угла наклона упругого
участка диаграммы напряжения. Таким образом, для вычисления оста-
точной деформации стержня необходимо из приобретенной им ранее
деформации вычесть упругую деформацию, соответствующую значе-
нию напряжения оР, возникающему при разгрузке.
10
Рис. 3. Процесс разгрузки при напряжении большем предела
упругости (п), эффект Баушингера (б)
В общем случае вышесказанное остается справедливым при неод-
нородном напряженном состоянии, лишь при простом разгружении, то
есть когда все внешние силы в стадии пассивной деформации умень-
шаются пропорционально их общему параметру.
Особый случай возникает при разгрузке с последующим переходом
напряжения через ноль, когда напряжение (уже другого знака, чем при
первом нагружении) достигнет или превысит значение предела пропор-
циональности. Предел пропорциональности при сжатии предварительно
деформированного растяжением материала меньше, чем переформиро-
ванного. Таким образом, первичное пластическое деформирование мате-
риала снижает его сопротивление пластическому деформированию при
повторной нагрузке, имеющей направление, противоположное первич-
ному (рис. 3, б). Это явление называется эффектом Баушингера.
Эффект Баушингера объясняется тем, что при малой пластической
деформации растяжения одни зерна материала деформируются пласти-
чески, а другие упруго. В результате этого после разгрузки возникают
остаточные силы взаимодействия между зернами. Некоторые из зерен
оказываются в растянутом состоянии, а другие — в сжатом. При после-
дующем сжатии пластические деформации возникают в первую очередь в
ранее сжатых зернах. Этим и объясняется понижение предела текучести.
11
3. НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ.
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
Потенциальная энергия деформации U может быть записана как
функция шести компонентов тензора деформаций:
U = Г/(е„, е^ еи, е^ е„, еД (3)
или как функцию трех инвариантов тензора деформаций:
U=
(4)
где
h =Ех1+Е¥Т+Егг;
к = ЕхААг - Д (WKZ + Еп««2 + - Exi««€>z)-
Рассмотрим бесконечно малые приращения деформаций, которым
будет соответствовать бесконечно малое приращение потенциальной
энергии деформации dU Из формулы (3) следует, что:
Jrr dU J dU л
dU =-------dZn +-------da.
dU J dU J
-----dE~ +----dz,r
de de
dU dU
----df.,+----
‘ 0EK
(5)
При бесконечно малых изменениях деформации справедлив прин-
цип независимости действия сил. В этом случае потенциальную энер-
гию можно определить через напряжения по следующей формуле:
dU = Gerfen + Оп<&гг + f^d^zz + + Oj/fec + (6)
Сравнивая формулы (5) и (6), получим:
12
dU dU ди
Схх — ----i О.,, — ---- i O™ — --
dU du du
°xi- =----; cJ; —-----<v =----------
5e4, cc,, ‘ 5e„
(7)
Частная производная потенциальной энергии U по деформации е^
будет равна-
dU _dU_ _ дЦ dU dl2 dU 513
^Ехг ^2 ^Ех> ^3 ^Ехг
(8)
Для остальных деформации получаются аналогичные формулы. Ис-
пользуя зги формулы, получаем зависимости между напряжениями и де-
формациями для нелинейно-упругого материала в наиболее общем виде:
dU
дЦ
dU , „ dU ,
— (е>т + »<,.)+— (е,^ -
аг2 аг9
dU
дЦ
ди
---(El
а/2
dU
di3
dU
ВЦ
ди
(е«+М (е^ - £.у2);
дЦ 4
2
dU +£
6/2 2
dU 1
Ц . В1Ц £
2 д12Ехг ^ 2
dU Л
(2 Ех>ЕУ‘' е>тЕ«)>
1 ди 1
— ‘ —
2 д12 2
dU 1
дЦ 2
(9)
13
Для использования этих выражений необходимо знать три функ-
dU dU dU
ции: -----; ---; ----. определяющие механические характеристики
ЙГ, д12 <Я2
материала.
В некоторых практически важных случаях можно принять:
8',
(10)
В этом случае существенно упрощаются зависимости между на-
пряжениями и деформациями (9), которые принимают вид:
Если ввести обозначения:
(13)
будем иметь:
ди „ди
Оср“ di, д12^-
(14)
14
Далее вычислим квадрат интенсивности напряжений по формуле:
°? = | «л.. - + (о„ - л:,)’ + (о„ - oj’ + «С,/ + о=2 + <,,? )]. (15)
Подставив сюда значения напряжений по формуле (11), получим.
= 2 ’ )2 ’ [<Е“ " + tE“ " fe>2 + tE" " fe>2 +
+ |(b,2 + fc’+e>,2)]-
(16)
Сравнивая полученное выражение с формулой для квадрата интен-
сивности деформаций:
е? = 2(l+t-)* ’ Ке« - Е»)2 + fe* - 8=г>2 + - 8л)2 +
+|(^2 + €л?2+еУ72)1. (17)
Определим соотношения между интенсивностями напряжений и
деформаций в следующем виде:
о,’ = (®'/)’(l+v)W. (18)
Из этого следует:
0(/ = , * . (19)
ЙГ2 (l+v)e.
Чтобы знак касательных напряжении в формуле (11) был положи-
тельный, необходимо взять правую часть со знаком «минус»:
— =--------S. (20)
SI2 (1+v) е,
Из (14), учитывая (20), получим:
15
8U _ , о о,
— °ср + + Ес
dlx (1+v) «j
(21)
Найденные значения производных потенциальной энергии дефор-
мации подставляем в выражения для напряжений (11):
°хг Оср---------------- (fixv — Ep)i
(1 + vX
- С-' ( V
О>т °ср — кЕтт Еср),
(l + v)e,-
Огг-°ср = ------—----- (Егг—Вер);
(l+vtej
°” 2(l + v)et^
о*- =------—£«;
2(l+v)e. '
CT,
Оуг — --------Eyj-
2(1+vk.
(22)
Коэффициент поперечной деформации v является переменной ве-
личиной. При нагружении коэффициент Пуассона увеличивается и дос-
тигает предельного значения 0,5. Если принять v = 0,5, то мы получим
уравнения малых пластических деформаций .
Охх ОСр — ' (Схх —Еср);
Зе.
_ 2а- <
OJ7 <ТСр — (Е,т Ecp)i
Зе,
2а,
°zz °ср — (Ejz Е,-.),
' (23)
Для практического использования полученных формул необходимо
установить зависимость между интенсивностями напряжений о, и дефор-
мации е,. Эти величины являются обобщенными характеристиками на-
пряженно-деформированного состояния, поэтому безразлично, какой вид
напряженного состояния будет выбран при экспериментах. Интенсивно-
сти напряжений и деформаций построены таким образом, что при одноос-
ном напряженном состоянии (когда = о; ojy = = о,, = = О;
= е; е,? = е^ = -ve; е,5, = е^, = е,7 = 0) получается а, = а; е, = е. Поэтому
удобнее всего рассматривать диаграммы растяжения или сжатия материа-
ла, которые без всяких пересчетов изображают зависимость между о; и
16
4. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Изображение экспериментальных кривых напряжений и деформа-
ций с помощью аналитических формул имеет большое значение. Для
аппроксимации экспериментальных кривых было предложено много
различных выражений. При этом необходимо заметить, что обычно
рассматривают экспериментальные зависимости между условными на-
пряжениями ст к условными деформациями е, которые равны:
где Р — нагрузка, приложенная к образцу, размеры которого до дефор-
мации будут: F — площадь сечения, I — длина, А/ — абсолютное уд-
линение.
Рассмотрим наиболее важные законы.
Степенной закон Бюльфингера
Г.Б. Бюльфингер (1693—1750) был членом Петербургской Ака-
демии наук и ее первым профессором физики. В 1729 г. он предло-
жил форму связи между напряжениями и деформациями в виде сте-
пенного закона:
ст ~А>К
(25)
Чтобы закон был бы справедлив и при сжатии необходимо считать
показатель степени к нечетным числом при любых его значениях. Это
означает, что при отрицательных деформациях в формуле (25) появля-
ется знак «минус».
Если показатель степени к = 1, то закон Бюльфингера переходит в
закон Гука. При к = 0 и А = о., получаем закон для жестко пластическо-
го материала.
Зависимость (25) несложная и хорошо описывает опытные кривые
при больших деформациях. Однако при малых деформациях закон пло-
хо аппроксимирует экспериментальные кривые, так как для большин-
ства материалов показатель степени к положительный и меньше едини-
цы. Следовательно, начальный модуль Е (производная (—о) равняет-
cfs
ся бесконечности.
17
Недостатком закона Бюльфингера также является дробный показа-
тель степени к. Решение в этом случае получается в виде системы не-
линейных алгебраических уравнений с нецелыми показателями, кото-
рые могут быть решены лишь численными методами. Кроме этого,
кривая (25) не имеет максимума.
Закон Бюльфингера чаше применяется при решении задач устой-
чивости и ползучести при больших деформациях, когда проявляются
достоинства зависимости, а недостатки становятся несущественными.
Постоянные А и к определяют из двух условий: пределы прочно-
сти, определяемые по экспериментальной диаграмме и по аппроксими-
рующей ее зависимости, должны быть равны:
°..Р=ЛЕпр.
(26)
где о1фи £цр — предел прочности материала и соответствующая ему де-
формация; потенциальная энергия деформации материала (©2, рис. 4, «)
должна быть равна потенциальной энергии деформапии материала, оп-
ределенной по аппроксимирующей гривой:
а>2~А
(27)
Разделив первое равенство (26) на второе получим:
^(Спрбпр-югЖг-
Введем обозначение ©i = <т„р епр — ©2, которое назовем дополни-
тельной потенциальной энергией (рис. 4, а). Отсюда следует:
Zr = ©i/©2; Л=оиР/е‘р.
(28)
На рис. 4, б изображена экспериментальная диаграмма и аппрокси-
мирующая ее кривая (пунктирная линия). Из рисунка видно хорошее
совпадение кривых при деформациях, близких к предельным, и менее
удовлетворительное совпадение при малых деформациях.
18
Рис. 4. Понятие дополнительной потенциальной энергии (о) и кривая,
аппроксимирующая экспериментальную кривую (б)
Параболическая зависимость Ф.И. Герстнера
В 1831 г. Ф.И. Герстнер (1756—1832) предложил параболическую
зависимость в виде:
О = Л|£-Л282.
(29)
Первую константу можно приравнять к модулю упругости At ~ Е.
Таким образом, при малых деформациях получится закон Гука. Вторую
константу можно определить, приравняв пределы прочности экспери-
ментальной и аппроксимирующей кривых. Тогда:
(30)
При этом получается, что производная в точке, соответствующей
пределу прочности:
ds
(31)
не всегда равна нулю и в большинстве случаев даже получается отри-
цательной. Чтобы избавиться от этого недостатка, приравняем нулю
производную в точке, соответствующей пределу прочности:
19
отсюда:
= 2— Е=0,
епр
Еп = 7Р|т
лр е
Подставляя это выражение в (30), получим:
(32)
Это условие обеспечивает сразу два требования: равенства преде-
лов прочности и равенства производной нулю в этой точке, но при этом
предельная деформация Елр не будет равна деформации, соответствую-
щей максимуму аппроксимирующей кривой.
Существенным недостатком параболической зависимости является
то, что она несимметрична. Поэтому если при деформациях конструк-
ции возникают напряжения разных знаков, то формальное применение
закона может привести к ошибкам. Тем не менее эта зависимость при-
меняется при расчете бетонных конструкций и в других случаях, где
возникают напряжения только одного знака.
Зависимость Сен-Венана (1864 г.)
Сен-Венан (1797—1886) предложил зависимость напряжений де-
формаций в следующей форме:
о = Д1-(1
£«р
(33)
Приравняв напряжения при е — епр пределу прочности <т1ф, найдем
постоянную А - о„р.
Константу п найдем из условия равенства потенциальных энергий
экспериментальной и аппроксимирующей кривых:
п = coVcoi.
(34)
20
Для большинства материалов дополнительная энергия coi меньше,
чем потенциальная энергия деформации <£>2, поэтому п > 1
Определим начальный модуль:
(35)
Таким образом, начальный модуль равен конечному числу, а не
бесконечности, как в степенном законе Бюльфингера. Поэтому зависи-
мость Сен-Венана лучше описывает поведение материала при малых
деформациях. Но в общем случае начальный модуль Е, вычисленный
по формуле (35), не будет равняться действительному значению. Если
вместо второго условия поставить требование начального модуля Е
экспериментальному значению Е*, то из выражения (35) получим по-
стоянную п:
(36)
Кубическая парабола
Чтобы исправить основной недостаток зависимости Герстнера, не-
обходимо во втором члене этой зависимости квадрат деформации за-
менить кубом:
(37)
Приравняем нулю производную при деформации равной предель-
ной е = €пр:
Ф“~ = 'Е-ЗЛ^=0; '"'ЧА'
Если полученное значение деформации епр подставить в (37), то
получим предельное напряжение:
21
Из этого выражения находим постоянную Аз-
Кубическая парабола обеспечивает симметричность диаграммы от-
носительно растяжения-сжатия, а при деформациях, стремящихся к ну-
лю, она переходит в закон Гука. Однако не очень точно аппроксимиру-
ет экспериментальные деформации при больших деформациях.
Кубическая парабола для материалов, по-разному
сопротивляющихся на растяжение и сжатие
Многие материалы в большей или меньшей степени по-разному
сопротивляются растяжению и сжатию. Например: алюминиевые спла-
вы, пластмассы, бетон и т.д. Для таких материалов зависимость напря-
жений и деформаций можно представить в виде кубической параболы:
о-Ля* Л*?-Л*?. (39)
Рис. 5. Равенство пределов прочности на экспериментальной
и аппроксимирующей диаграммах
Для определения коэффициентов можно использовать следую-
щие условия: равенство пределов прочности экспериментальной и
аппроксимирующей диаграмм в сжатой (с„рс) и растянутой (овр) зо-
нах (рис. 5); равенство At =Е.
22
Диаграмма Прандтля
Рис. 6. Диаграмма Прандтля для упругопластичного (а)
и жесткопластичного тела (б)
Для материалов, имеющих ярко выраженную площадку текучести,
Прандтль (1875—1953) в 1924 г. предложил диаграмму идеального уп-
ругопластического тела (рис. 6, а). Она имеет два участка: упругий уча-
сток ОБ до предела текучести и участок ВС — площадку текучести
бесконечно большой величины. Диаграмма Прандтля с достаточной
степенью точности аппроксимирует действительную диаграмму растя-
жения. При больших деформациях величиной упругой деформации
можно пренебречь или, что равносильно, принять модуль упругости
равным бесконечности. Тогда получим диаграмму растяжения, приве-
денную на рис. 6, б. При отсутствии упрочнения она называется диа-
граммой жесткопластического тела. Согласно этой диаграмме работы
материала в конструкции не возникает никаких деформаций при на-
пряжениях, меньших предела текучести, а они появляются и безгра-
нично возрастают при напряжениях, равных пределу текучести. Данная
диаграмма имеет простое математическое описание, и ею широко поль-
зуются при практических расчетах.
23
5. НЕЛИНЕЙНО упругие балки
Если длина балки значительно превышает ее высоту и моменты
меняются по длине балки достаточно медленно, то независимо от фи-
зико-механических свойств материала справедлива гипотеза плоских
сечений.
Согласно гипотезе плоских сечений удлинение волокна, отстояще-
го на расстоянии z от нейтрального слоя, равно:
е = z/p-
Здесь р — радиус кривизны изогнутой оси балки. Составим фор-
мулы для определения напряжений и прогибов при различных законах
физической нелинейности.
Используя степенной закон Бюльфингера (25), получим:
Рис. 7. Определение положения нейтрального слоя
для симметричного (о) и несимметричного сечении (б)
Для определения положения нейтральной оси спроектируем все
внутренние силы на ось х (рис. 7, а):
24
Величина:
& =fz‘</F (43)
F
называется статическим моментом fc-ro порядка. Так как А и р не равны
нулю, то статический момент должен быть равен нулю:
St=jz*dF = O. (44)
т
Это условие для определения нейтрального слоя при к = 1 перехо-
дит в аналогичное условие для линейно-упругой балки, у которой ней-
тральный слой проходит через центр тяжести сечения. Для симметрич-
ного сечения относительно оси х (рис. 7, а) из условия (44) также будет
следовать, что нейтральный слой проходит через центр тяжести сече-
ния. Для несимметричных сечений, например, для треугольного сече-
ния (рис. 7, б), условие (44) будет:
(Л - г<У ’ - г “ [Л (к + 2) - z0] = 0. (45;
Решая это уравнение при к = 1 (линейно-упругий материал) и к — 0
(жесткопластическое тело), получим:
Ы(л=\ (zb)feo= Д^* = 0,293й. (46)
3 72
Таким образом, нейтральный слой для нелинейного материала уже
не проходит через центр тяжести несимметричного сечения.
Найдем зависимость для изгибающего момента М, при этом огра-
ничимся случаем симметричного сечения балок:
М=\<szdF= ^\zk*'dF= (47)
, р , Р
Величина:
= (48)
называется моментом инерции (fc+l)-ro порядка. Сопоставляя (41) и
(47), получим формулу для определения напряжений:
25
Рис. 8. Изменение эпюры напряжений по степенному закону
Отсюда следует, что эпюра напряжений в отличие от эпюры де-
формаций изменяется также по степенному закону (рис. 8). При увели-
чении изгибающего момента эпюра напряжении по высоте сечения со-
храняет свой вид. Например, при увеличении момента вдвое радиус
кривизны увеличивается в 2“ раза, деформации тоже в 2" раза, а крае-
вые напряжения — в два раза, то есть пропорционально изгибающему
моменту. Наибольшее напряжение для закона Бюльфингера будет все-
гда в крайнем волокне и определяется по формуле:
Здесь величина:
(Л/2)’
(51)
называется моментом сопротивления (&+1)-го порядка.
Для прямоугольного поперечного сечения балки момент инерции и
момент сопротивления равны:
26
bhM . r bh2
4+i - 2trt(*+2)’ W*+l “ 2 (Д'+ 2)
(52)
Для определения перемещений подставим в формулу (47) вместо
кривизны вторую производную прогиба (1/р = w"). После преобразова-
ний получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
(53)
При заданном Л/(х) уравнение интегрируется обычными методами.
Определим форму изогнутой оси и опорные изгибающие моменты в
балке, защемленной по концам и нагруженной в середине сосредото-
ченной силой (рис. 9, а).
Рис. 9. Загружение балки («) и соответствующая эпюра моментов (б)
Эпюра моментов будет в этом случае симметричной (рис. 9, б).
Поэтому рассмотрим только половину балки. В этом случае момент
будет равен:
и дифференциальное уравнение (53) принимает вид:
(54)
27
Последовательно интегрируя это уравнение, находим:
4А2/*2,
Р"(1/*+1)(1М + 2)
+ С,х + Cj-
(55)
Составим граничные условия и получим значения постоянных
С,, С2.
При х = 0. w' ~ 0:
_________2Л/‘/Л+|
С| ” (Л/„,)''*Р(1« + 1)
При х = 0, w = 0:
_________4М'е,к+2___________
С|= <ЛУ,,1)|"/'’(1/А-н-[Х1/Л+2)
При х = 1/2, w'=0.
Таким образом, опорные моменты Мо прямо пропорциональны
внешней нагрузке.
Рассмотрим особенности изгиба балок при зависимости между на-
пряжениями и деформациями в виде кубической параболы (37). На-
пряжения в этом случае будут равны:
о. = Е- -A
Р Р
(57)
28
Составим уравнение моментов:
М = fa.^F = — fz2dF- 4 fz*dF. (58)
7 P F P F
Введем обозначение:
h = Jz*dF; I4 = J z dF (59)
и назовем эти величины моментами инерции соответственно второго и
четвертого порядков. Учитывая (59), изгибающие моменты будут равны:
м= (60)
р р
Определим предельный изгибающий момент. При этом могут быть
два случая.
В первом диаграмма растяжения не имеет нисходящей ветви, и по-
этому наибольший момент будет определяться из условия, что напря-
жение в крайнем волокне должно равняться предельному значению
ст1ф. Рассмотрим случай симметричного сечения балки высотой равной
h. В этом случае расстояние от нейтрального слоя до крайнего волокна
равняется й/2. Дифференцируя (57) по z и приравнивая производную к
нулю, получим уравнение для определения ординаты zm, соответст-
вующей максимальному значению опр:
= ~-ЗАА =0; Zm = pJ^ (61)
dz р р
Полагая Zm = h/2, получим значение кривизны, соответствующее
наибольшему значению изгибающего момента:
1 = */Z. (62)
Р h \ ЗА
29
Подставляя найденную кривизну в (60), определим наибольшее
значение момента М\ (рис. 10. а):
Для прямоугольного поперечного сечения моменты инерции будут
равны:
Подставляя (64) в (63), получим:
Mt=—bh2E I—
15
Рис. 10. Балка с симметричным поперечным сечением и эпюра напряжений
без нисходящей ветви (а) и снисходящей ветвью (б)
Если диаграмма растяжения имеет нисходящую ветвь, то наиболь-
ший момент можно определить как максимум функции (60). В этом
случае эпюра напряжений будет иметь максимум напряжений внутри
30
сечения, а не в крайнем волокне (рис. 10, б). Дифференцируя (60) по
кривизне 1/р и приравнивая производную нулю, получим выражение
для максимального значения кривизны:
р'Г
V2 V/
= Eh - 3/,^ = О; <Vp)™. =
<2(1/р) р
(66)
После подстановки этого значения в формулу (60) найдем макси-
мальный момент:
(67)
Для грямоугопьного сечения, подставив моменты инерции, получим:
(68)
Если выразить Л г через Е и о1ф (38). то максимальный момент будет
равен:
(69)
Максимальный момент больше наибольшего момента М\. Отноше-
ние этих моментов равно:
Мт11= 1.076М1-
(70)
Определим максимальную кривизну, соответствующую макси-
мальному моменту. Для этого в формулу (66) подставим значения мо-
ментов инерции для прямоугольного сечения балки и значение посто-
янной Л3 (38):
-ЛЕ =3,86
Eh Eh
(71)
31
Подставив в формулу (61) значение максимальной кривизны (71),
после преобразований получим ординату z,„, соответствующую точке с
максимальным напряжением (рис. 10, б):
z,„ = —^= h = 0,348, h = Q,T16-.
2^15 2
(72)
Определим напряжение в крайнем волокне, подставив в формулу
для напряжений (57) значения максимальной кривизны (71) и расстоя-
ние до крайнего волокна z = h/2:
Момент сопротивления W, соответствующий максимальному мо-
менту, будет равен:
Л/ , «<’
Ц/ = ---= -------
Полученное значение момента сопротивления подтверждает вывод
А.Р. Ржанзщына, что при любом законе физической нелинейности мо-
мент сопротивления будет одинаков, если на балку действует макси-
мальный момент.
32
6. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Для расчета стержневых систем воспользуемся жесткопластиче-
ской диаграммой работы материала. Теория расчета, основанная на
идеализированной диаграмме работы материала с неограниченной
площадкой текучести, называется теорией предельного равновесия
Рассмотрим изгиб балки поперечного сечения с двумя осями сим-
метрии (рис. 11, о). Для упрощения задачи зависимость о-е примем в
виде диаграммы работы упруго пластического материала (рис. 6, а), а
также будем считать, что при изгибе балки, как в пределах упругой ра-
боты материала, так и при напряжениях, равных а,, поперечные сече-
ния остаются плоскими и только поворачиваются около нейтральной
оси. На основании принятых допущений пластические деформации
вначале возникают в крайних волокнах поперечного сечения при дос-
тижении в них нормальных напряжений, равных ога. Соответствующая
эпюра показана на рис 11,6.
При дальнейшем увеличении внешней нагрузки нормальные на-
пряжения, равные ога, будут возникать и во внутренних волокнах. Рас-
пределение нормальных напряжений по высоте поперечного сечения
примет вид, изображенный на рис. 11, в, то есть появятся две зоны:
пластическая у крайних волокон и упругая — около нейтральной оси
Дальнейшее увеличение внешней нагрузки вызовет перемещение
поверхности у = hy, разделяющей упругую и пластическую зоны, к ней-
тральной оси, до тех пор, пока hy не станет равным нулю. При hy = 0 все
поперечное сечение, как в сжатой, так и в растянутой зонах, будет на-
ходиться в состоянии текучести и эпюра нормальных напряжений при-
мет вид двух прямоугольников (рис. 11, г).
Внутренний изгибающий момент, соответствующий возникновению
нормальных напряжений во всех волокнах поперечного сечения, равных
ст, называется предельным моментом, или моментом текучести.
Предельный момент равен:
bh2
М,.р = сТ — =оЖ„ (75)
где — пластический момент сопротивления поперечного сечения.
33
Рис. 11. Балка с двумя осями симметрии (а), эпюра нормальных
напряжений при упругой работе (б), движение пластической зоны работы
внутрь сечения (в) и возникновение пластического шарнира (г)
Соответствующий этой эпюре нормальных напряжений внутрен-
ний изгибающий момент равен:
M=2b[j dy + J GTydy } = ст— (Зй2 - 4йД (76)
* 12
Таким образом, при достижении изгибающим моментом предельно-
го значения А^,р в опасном сечении возникает пластический шарнир и
происходит исчерпание несущей способности сечения, то есть одна
часть балки в этом шарнире может повернуться относительно другой.
Пластический шарнир отличается от идеального шарнира тем, что в нем
возникает предельный изгибающий момент, и он является односторонним,
то есть раскрывается только в одном направлении. Пластический шарнир
исчезает при разгрузке конструкции или при перемене знака внешнего
воздействия. При этом конструкция начинает работать как упругая.
Для различных форм поперечного сечения с двумя осями симмет-
рии пластический момент сопротивления можно выразить через упру-
гий момент сопротивления по формуле: W,,,, = XW,„ (где А — коэффи-
циент, зависящий от формы поперечного сечения; для прямоугольни-
ка X — 1,5; для двутавра к- 1,17; для круга X = 1,7).
34
Проанализируем развитие деформации в балке, нагруженной воз-
растающей силой Р, и определим зависимость между 1фивизной балки
и изгибающим моментом в опасном сечении.
На первом этапе нагружения, пока о < от в упругой стадии работы
материала зависимость между кривизной оси балки и изгибающим мо-
ментом линейная (участок ОВ на рис. 12, а).
Рис. 12. Первый этап загружения балки сосредоточенной силой (а),
диаграмма зависимости величины момента от кривизны (б)
С дальнейшим ростом нагрузки Р и достижением напряжениями в
крайних и некоторых внутренних волокнах предела текучести зависи-
мость между кривизной и моментом становится криволинейной. При
этом увеличение изгибающего момента отстает от роста кривизны
(участок ВС на рис. 12, б). При достижении внешней нагрузки предель-
ного значения Ряр кривизна оси балки в опасном сечении стремится к
бесконечности. Упругие деформации отдельных участков балки EKi и
К\Тнастолько малы по сравнению с общей пластической деформацией,
что ими можно пренебречь. Тогда можно принять, что в состоянии пре-
дельного равновесия происходит даижение кинематического механизма,
состоящего из даух бесконечно жестких дисков ЕК\ и К\Т, соединенных
шарниром в точке К\у в которой по концам этих дисков возникает пре-
дельный изгибающий момент постоянной величины, равный M,v.
Таким образом, предельная нагрузка, которую может восприни-
мать заданная конструкция, почти не зависит от диаграммы работы ма-
териала, от поперечных, продольных сил и крутящих моментов.
35
При практических расчетах пользуются следующими допущениями:
1. Конструкция выполнена из жесткопластического материала, бла-
годаря чему кривизна будет равна нулю до тех пор, пока изгибающий
момент в сечении меньше Мпр, и кривизна будет иметь любое положи-
тельное значение при М = М„р или любое отрицательное значение при
М=-М„р.
2. Форма поперечного сечения мало сказывается на величине Р„р, а
определяющей будет несущая способность заданного сечения, равная
Мр=отЖР.
3. Влиянием поперечных, продольных сил и крутящих моментов
будем пренебрегать.
4. Рассматривается случай простого нагружения, при котором все
действующие на конструкцию нагрузки связаны между собой и одно-
временно возрастают до предельного состояния прямо пропорциональ-
но одному параметру.
36
7. ТЕОРЕМЫ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Введем понятие статически допустимого распределения внут-
ренних изгибающих моментов. В этом случае внутренние усилия во
всей конструкции должны удовлетворять двум условиям:
1) условиям равновесия, то есть внутренние изгибающие моменты
уравновешены внешними нагрузками;
2) условиям прочности, то есть внутренние изгибающие моменты
ни в одном сечении не превышают по величине предельный момент.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы конструкция
могла воспринять заданную нагрузку, является существование, по
крайней мере, одного статически допустимого распределения моментов
с данной нагрузкой.
Статическая теорема. Для заданной статически неопределимой
системы из всех возможных статически допустимых распределений
внутренних изгибающих моментов истинным будет то, которое соот-
ветствует максимальной величине нагрузки.
Рис. 13. Статически допустимое поле при загружении балки
равномернораспределенной нагрузкой (а), область допустимых решений (б)
37
Применение статической теоремы проиллюстрируем на примере
балки, изображенной на рис. 13. а. Балка имеет постоянное сечение,
предельный момент для всех сечений равен: М„р = o,W„p. Статически
допустимым полем распределения изгибающих моментов является эпю-
ра моментов от распределенной нагрузки q, показанная на рис. 13, а. Так
как заданная система один раз статически неопределима, то внутренние
изгибающие моменты в предельном состоянии должны хотя бы в двух
сечениях достичь предельной величины. Такими сечениями, согласно
эпюре М, будут опорное сечение в точке В и сечение в пролете на рас-
стоянии Z-
Выразим изгибающие моменты в этих сечениях через опорную ре-
акцию Вл. Изгибающий момент в пролете балки равен:
177)
Наибольшее значение момента достигается при Q =-----= 0, откуда:
dz
jR,-gz = O
или
z = — -
ч
Наибольший момент в пролете равен:
Из условия, что величина наибольшего момента не превышает пре-
дельного:
38
получим:
Отрицательный наибольший момент будет в опоре В. Он не дол-
жен превышать предельного момента и равен:
м„ = -вд+ <Мф,
откуда:
2ЛТ11р 2J?,
По полученным неравенствам построим область допустимых ре-
шений Q (рис. 13, б). На основании статической теоремы предельная
нагрузка qnp должна быть больше всех возможных нагрузок, опреде-
ляемых областью £1 Наибольшего значения qnp достигает на границе
области в точке D, на пересечении линий уравнений
2М11р + 2Д7
Из решения этих уравнений находим:
Из любого равенства определяем величину предельной интенсив-
ности распределенной нагрузки:
39
Кинематическая теорема основана на рассмотрении условий об-
разования механизмов разрушения. Механизм разрушения соответст-
вует двум условиям:
1) в заданной системе или ее части образуется достаточное число
пластических шарниров, при которых система или ее часть превраща-
ются в геометрически изменяемую;
2) в предельном состоянии перед образованием последнего пласти-
ческого шарнира для данного механизма разрушения система еще
удовлетворяет условию равновесия, которое записывается в виде работ
внешних сил и внутренних изгибающих моментов. При этом работа
внешних сил считается положительной, а работа предельных изгибающих
моментов, возникающих в пластических шарнирах—отрицшяеяьной.
Кинематическая теорема формулируется следующим образом. Для
заданной статически неопределимой системы при действии заданного
вида нагрузки истинным механизмом разрушения является тот, кото-
рый соответствует наименьшей нагрузке.
Таким образом, кинематическая теорема позволяет находить из
рассмотренных различных механизмов разрушения внешние нагрузки
больше предельной Наименьшая из всех найденных нагрузок будет
ближе всего к предельной.
Статическая и кинематическая теоремы позволяют снизу и сверху
приблизиться к действительной предельной нагрузке. Для стержневых
систем удается определить точное значение предельней нагрузки. В этом
случае нагрузки, найденные на основе статической и кинематической
теорем, будут равны. Следовательно, если найден действительный меха-
низм разрушения, то подтверждением этому является возможность суще-
ствования статически допустимого распределения внутренних изгибаю-
щих моментов. Это утверждение называется теоремой единственности.
Для стержневых систем предельную нагрузку обычно находят на
основе кинематической теоремы. Статическая теорема служит для про-
верки правильности найденной предельной нагрузки. Иными словами,
если можно построить хотя бы одну эпюру моментов, соответствую-
щую статически допустимому полю распределения внутренних изги-
бающих моментов, то предельная нагрузка определена верна.
Кинематическую теорему проиллюстрируем на примере расчета бал-
ки, рассмотренной статическим способом. Данная система превратится в
механизм с одной степенью свободы, если в ней образуются два пластиче-
ских шарнира. Один шарнир возникает в жесткой опоре (сечение В), а
второй где-то в пролете в сечении С на расстоянии z ст опоры А (рис. 14).
Обозначим угол поворота диска21С—в и угол поворота диска СВ — ip.
40
Q
Рис. 14. Схема возникновения пластических шарниров
Будем считать, что в момент разрушения балки угол поворота 6
мал, тогда получим tgf) = 0 — ё/z, откуда 8 = 0? и аналогично <р = 0z/(l — z).
На основании принципа возможных перемещений запишем выражение
работы внешних и внутренних сил на возможных перемещениях меха-
низма разрушения:
или
д^8/2 - М.р0 - МФ<Р - М,рФ = О
9np/ze/2-jMlipe-2Aflip6z/G-z) =0,
откуда получим:
?пр = 2M„PU + zWz(l-z)}-
Согласно кинематической теореме предельной нагрузкой является
наименьшая из всех возможных нагрузок, определяемых этим выраже-
нием. Найдем первую производную по z и приравняем ее нулю. Полу-
чим следующее выражение:
41
z+2li-f = 0.
Из решения этого уравнения определим:
Z = 0,414/
Знак второй производной показывает, что при этом значении z
функция q„p достигнет минимума. Предельное значение интенсивности
распределенной нагрузки равно:
Результаты расчетов, проведенные по статической и кинематиче-
ской теоремам, совпали, следовательно, получено действительное зна-
чение интенсивности предельной нагрузки.
42
8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ СПОСОБОМ
КОМБИНИРОВАННЫХ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ
При расчете рам пользуются кинематической теоремой, то есть ис-
следуют возможные механизмы разрушения и для каждого из них оп-
ределяют внешнюю нагрузку. За расчетную нагрузку принимают наи-
меньшую.
Для нахождения истинного механизма разрушения используется
способ комбинированных механизмов, основанный на том, что все
возможные механизмы могут быть получены путем составления раз-
личных комбинаций из простых механизмов.
Число возможных простых механизмов разрушения, равное числу
независимых уравнений равновесия, для рамы с вертикальными стой-
ками и горизонтальными ригелями определяется по формуле:
т = п — Л,
где т — число простых механизмов разрушения;
п — число сечений рамы, в которых возможно образование пластиче-
ских шарниров. Эти сечения совпадают с точками приложения сосре-
доточенных сил, с точками перелома оси рамы, с точками резкого из-
менения поперечного сечения, в пределах действия распределенной
нагрузки;
Л—степень статической неопределимости заданной рамы
В зависимости от числа образовавшихся в истинном механизме
разрушения пластических шарниров различают три вида разрушения
заданной системы:
1) частичное разрушение при образовании в истинном механизме
разрушения пластических шарниров III < Л + 1;
2) полное разрушение при образовании в истинном механизме раз-
рушения пластических шарниров III— Л + 1;
3) избыточное разрушение при образовании пластических шарни-
ров Ш>Л+1.
При расчете статически неопределимых рам способом
комбинированных механизмов разрушения сначала рассматриваются
все простые независимые механизмы разрушения, а затем их
комбинации.
43
ПРИМЕР 1. Для рамы, показанной на рис. 15, число простых
механизмов разрушения равно:
т = п- Л = 9- 5 = 4.
В данной раме могут образовываться два балочных механизма раз-
рушения Bi и Бг, механизм бокового смещения С и механизм поворота
среднего жесткого узла У. Рассмотрим эти механизмы.
Рис. 16. Балочные механизмы разрушения Б| («) и Б? (б)
44
Балочный механизм разрушения Б/. Этот механизм разрушения
возникает от нагрузки, приложенной в пролете. При этом образуются
три пластических шарнира: два по краям пролета и третий в пролете в
месте максимального момента. Пластические шарниры в отличие от
обычных показаны жирными точками. В образовавшихся пластических
шарнирах возникают внутренние предельные моменты М„р, которые
стремятся закрыть образовавшийся шарнир (рис. 16, а). Для определе-
ния нагрузки записываем уравнение работ внешних и внутренних сил.
Работа внешней силы положительна и равна произведению силы Р на
перемещение Д. Работа внутренних моментов всегда отрицательна, так
как предельные моменты стремятся закрыть образовавшийся шарнир. Она
равна произведению момента на угол поворота. Согласно принципу воз-
можных перемещений работа внешних и внутренних сил равна нулю:
РД - М₽«Р - Мрф - М>р9 - М>р9=О-
Перемещение Д вследствие малости угла <р равно 3<р, поэтому:
ЗРф-4М1ф=0
или
Р=1,ЗЗМ11р.
Балочный механизм разрушения Б& Число пластических шарни-
ров может быть меньше трех, если на месте их образования уже есть
обычный шарнир (рис. 16, б), как у механизма Б2. Во втором сечении
пластический шарнир возникает на ригеле, так как он меньше, чем на
стойке. Пластический момент в этом сечении будет равен М„р. В пер-
вом сечении в точке приложения внешней силы пластический момент
будет 2Мпр. Уравнение работ для этого сечения будет:
2РД — МПр<р - 2Л£ ,рЧ> -2Мир<р = 0.
Перемещение Д равно 2<р, поэтому:
или
4Р<р-5М.р = 0
Р = 1,25М.р-
45
Механизм бокового смещения С. В этом случае ригель рамы смеща-
ется в сторону действия нагрузки. Пластические шарниры образуются на
стойках в местах прикрепления к ригелю и к жесткой опоре (рис. 17, а).
Предельная нагрузка для этого механизма будет равна:
2РД—Mip9 — ЗЛ/„р<р — ЗМ,р<р—1И„р<р—Л/„р<р = 0;
Д = 2<р;Р = 2,25Л/1ф.
а б
Рис. 17. Механизм Ci (о) и механизм С + Ej (б)
Механизм поворота узла У. Такой механизм возможен только в
узлах, где жестко соединены три или более стержней. В каждом при-
крепленном стержне на бесконечно малом расстоянии от узла возника-
ет пластический шарнир. При повороте узла по часовой стрелке (или
против нее) в каждом прикрепленном стержне на бесконечно малом
расстоянии от узла возникает пластический шарнир. Поскольку образо-
вавшиеся пластические шарниры находятся непосредственно около по-
ворачивающегося узла, стержни рамы при таком механизме не дефор-
мируются. Отдельно этот механизм разрушения рассматривается толь-
ко при наличии в узле поворота заданного внешнего сосредоточенного
изгибающего момента. Его учитывают в комбинации с другими про-
стыми механизмами разрушения.
При составлении комбинаций простых механизмов надо рассматри-
вать только те случаи, при которых хотя бы один шарнир закрывается.
При сложении простых механизмов общие для этих механизмов
пластические шарниры закрываются, то есть исчезают, если в простых
механизмах они были раскрыты в разные стороны. Поэтому при сло-
жении в пластическом шарнире наступает разгрузка, и благодаря свой-
ству односторонности он исчезает.
46
Рассмотрим все возможные комбинации простых механизмов.
Комбинация балочного механизма Б? и механизма бокового
смещения С (рис. 17, б). В результате сложения пластический шарнир
во втором сечении закрывается, и угол между ригелем и стойкой будет
снова прямым. Работа внешних и внутренних сил будет равна:
2РД — 2А/Нр2ф — ЗЛ£,рф—3jWnp<[>—М.РФ—2И,п<р = 0;
Д = 4ср;Р = 1,5Л£.р.
Рис. 18. Комбинация С + У (в) и комбинация С + Ба + У
Комбинация механизма бокового смещения С и узлового меха-
низма У. В этом случае вместо шарнира в 4 сечении на стойке возни-
кают два шарнира на ригеле в точках 3 и 5 (рис 18, а) Этот механизм
надо рассматривать только в случае если сумма предельных моментов
на ригеле справа и слева от узла меньше предельного момента на стой-
ке. В противоположном случае работа внутренних сил в такой комби-
нации получится больше чем в простом механизме, а значит и предель-
ная нагрузка будет больше, то есть она не будет предельной. Предель-
ная нагрузка в данном случае будет равна:
2РД - М„Р(р - МшФ - МпФ - ЗЛ/„Рф - МпФ - Мрф = 0;
Д = 2<риР = Ж>р.
Комбинация балочного механизма Бт, механизма бокового сме-
щения С и углового механизма У (рис. 18, б). Из уравнения работ
внешних и внутренних сил получим:
47
2РД — 2A/up2tp — Afupcp—Mlip<p—3Af„p«p — A£ ₽<?—Mi₽<p ” 0;
Д=4фиР= 1,375Л£1Р-
Комбинация балочного механизма Б], механизма бокового сме-
щения С и углового механизма У (рис. 19, а). В этом случае пластиче-
ские шарниры на стойке в сечении 4 и на ригеле в сечении 6 закрыва-
ются. Таким образом угол между стойкой и правой частью ригеля ста-
новится прямым. Предельная нагрузка будет равна:
2РА, + Р&2 — Mip<p—Afup<p — 3Mlip<p—Mip<p—
- м,р<р - Mp<j> - Mip<p - Mip<p=°;
Al = 2<p; Д2 = 3<p и P= 1,428M„P.
Комбинация балочного механизма Б], балочного механизма Б%
механизма бокового смещения С и углового механизма У (рис. 19, б).
Это последняя возможная комбинация. В этом работа внешних и внут-
ренних сил будет равна.
2FA1 + РА2 - 2Л£,р2<р - 2И11р<р — 3Mip<P _ -МфФ -
- м.Р<р - М.р<р - М.р<р - -^фЧ»=°;
А, = 4<р; А2 = 3tp и Р = 1,1818М1р.
Рис. 19. Комбинация С + Б, (в) + У и комбинация С + Б, + Б2 (б)
48
Минимальное значение Р„ц„ соответствует последней комбиниро-
ванной форме разрушения. Следовательно, на основании кинематиче-
ской теоремы истинным будет именно эта форма. По этой форме раз-
рушения строится эпюра предельных изгибающих моментов (рис. 20).
Для построения эпюры изгибающих моментов надо отложить в сечени-
ях 3, 6, 7 и 9, соответствующих пластическим шарнирам, предельный
момент Мпр, в сечении I предельный момент 2Л£1р, в сечении 9 пре-
дельный момент ЗЛ4,Р. Изгибающие моменты в остальных сечениях оп-
ределяются из уравнений равновесия. Для левой стойки получим:
2P=2MU^MJ2
М2 = 2(2 • 1,181ШФ - 2А/,Р) = 0,727М„р
Рис. 20. Эпюра предельных изгибающих моментов
Аналогично определяется изгибающий момент в сечении 5:
Рб/4 = Мпр + М/2 + М./2
или
М, = 2(1,5 х 1,1818Л4Р - 1,5М11Р) = 0,545МФ.
Изгибающий момент в сечении 4 определяется из равновесия узла.
49
ПРИМЕР 2. Определить предельную нагрузку и построить эпюру
предельных изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 21.
Предельные моменты равны: для ригеля 0,8А£ф, для левой стойки М.р,
для средней стойки 0,4Л/,,г, для правой стойки 1,21Ипр.
Для данной рамы (иг = 11 — 6 = 5) возможны пять простых меха-
низмов разрушения: Б], Б_>, С, Уь Уг- При этом надо иметь в виду, что
узловых механизмов У] и Уг возможен поворот как по часовой стрелке,
так и против нее.
50
Уравнения работ для каждого из этих пяти механизмов следующие:
1- Для механизма Б| (рис. 22):
2РД-4Мпрф = 0; А-Фр,
поэтому:
4М„РФ
8<р
= 0,5М .
2. Для механизма Б2 (рис. 23):
РА—4 -0,8М прф = О, так как А = 6<р,
3,2Мпр(р
6<р
= 0,533^.
3. Для механизма бокового смещения С (рис. 24):
2РД—ЗЛ/^ф—0,4Мпрф—2-1,2Л£прф=0, а Д=4<р,
отсюда:
51
- - <W4<P - AQp=О.
52
Рис. 27. Комбинация Б1 + У|
5. Для механизма У2 (рис. 26):
- 1.2Л/п;,<р - ОДА/ rj (р - 1,2Л£ п.,<р = О.
На основании кинематической теоремы истинным будет тот меха-
низм, для которого внешняя нагрузка станет минимальной, поэтому при
составлении комбинированных механизмов не будем рассматривать слу-
чаи, когда внешняя нагрузка получается явно больше, чем в исходных
случаях. Например, рассмотрим комбинацию Б| + У1 (рис. 27). При этом
53
работа внешней силы 1Р остается такой же, как и в случае Б|, а работа
внутренних сил увеличивается, так как вместо момента Мпр в сечении 2
работу совершают два момента — один М„р в сечении 1 и один 0,8Л/„р в
сечении 5 (рис. 21), которые в сумме больше, чем предельный момент в
сечении 2 (0,8Мф+А/1ф > Л£,р).
Поскольку работа внутренних сил увеличивается, а работа внеш-
них сил остается постоянной, то предельная сила также увеличивается.
Таким образом, комбинации С + Vj; С + Уг; Бг+ Уц С + У1 +Уг мы
не рассматриваем. Остаются комбинации: С + Вц Бг + С + Уь
При составлении уравнения работ внешних и внутренних сил для
комбинации С + Б, (рис. 28) необходимо учесть, что угол поворота
нижней части левой стойки в два раза больше, чем угол поворота верх-
ней части левой стойки. Этот факт следует из рассмотрения двух тре-
угольников АСВ и DEF. В треугольнике АСВ сторона СВ равна пере-
мещению А, а сторона АС — 8 м. Поэтому угол САВ = <р = Д/8. Анало-
гично из треугольника DEF угол EFD = А/4 или:
ZEFD = 2Z.CAB = 2<р.
Уравнение работ в этом случае будет:
2РА-1Ипр<р-0,4М1ф<р-2.1Ипр-2Ф-2.1,2М1ф<р = 0, а Д = 8<р,
54
отсюда:
7.8».;;<р
Ifxp
= 0,4875^.
Для комбинации Б2+ С + У1 (рис. 29) пластические шарниры на ле-
вой стойке и на ригеле закрываются, поэтому угол между стойкой и
ригелем становится 90°. Таким образом, при разрушении стойка и ри-
гель поворачиваются на одинаковый угол <р.
Рис. 29. Комбинация Бг + С + У1
В данном случае уравнение работ имеет вид:
2РЛ, + РД2 - ЗМгр9 - 0ДМпр<|) - 3 - 0,8/И пр(р - 2 • 1,23^ = О,
перемещения равны:
Л! -4<р, Д2 =Ь<р.
откуда:
14ф
=0,58бЛ/пр.
55
Полученная комбинация С + Б| (рис. 28) имеет пластический шар-
нир в сечении В. В этом же сечении образуется пластический шарнир
для комбинации Б] + С| (рис. 27). Причем внутренние предельные мо-
менты в пластическом шарнире для этих двух случаев направлены в
разные стороны. Поэтому при сложении С + Б1 и Б] + У] шарнир в се-
чении закрывается и появляется новая комбинация (рис. 30), в которой
балочный механизм Б1 прибавляется дважды, то есть С + Б| + Б| + У(.
Рис. 30. Комбинация С + Б] + Б| + У j
Для комбинированного механизма разрушения С + Б| + Б| + У| за-
писываем уравнение работ:
2РД-Мпр<р-2М^З<р-0.8Мор<р-0.4М^<р-2-1.2МП11<р =0. А = 12Ф.
откуда:
24<р
= 0.4417Мор.
Наименьшая предельная нагрузка Рир = 0,441747,ф соответствует по-
следняя комбинация механизмов разрушения, то есть С + Б, + Б, + У,.
56
Для построения эпюры предельных изгибающих моментов будем
исходить из того, что они во всех пластических шарнирах равны пре-
дельным значениям.
Следовательно, в сечениях 3 и 4 (рис. 21) необходимо отложить
момент Мпр1 в сечении 5 — момент 0,8Л£ц>5 в сечении 9 — момент
0,4Л/„р, а в сечениях 11 и 12 — момент 1,2Мир (рис. 31). В остальных
сечениях изгибающие моменты, не достигшие предельной величины,
находим из уравнений статического равновесия.
Рис. 31. Эпюра предельных изгибающих моментов
Допустим, что положительные изгибающие моменты показаны на
рис. 32. Тогда уравнение работ внешних и внутренних сил для Б] будет:
TPt±—М 2ф — 2Л/Зф — М 4ф = О,
подставляя Д=4ф, получим уравнение статического равновесия:
8Р-М2-2ЛД-М4=0.
Сила равна Р = 0,4417 1И11р, а изгибающие моменты и Мд равны
Л/11р, поэтому:
8Р 0,441771/, ц, - М2 - 2Л4Р -М№ = 0,
отсюда:
Л/2 = 0,533М11Р.
57
Рис. 32. Анализ работы механизма Б|
Полученный изгибающий момент меньше, чем предельный в этом
сечении. Если изгибающий момент получается больше предельного
момента, то это означает, что выбранный механизм разрушения не яв-
ляется истинным и имеется другой возможный механизм разрушения,
для которого предельная нагрузка будет меньше, чем в данном случае.
Рис. 33. Определение момента в сечении 1 (о) и в сечении 9 (б)
Из равновесия изгибающих моментов крайнего левого узла рамы
находим момент в сечении 1 (рис. 33, с):
58
= О; - М, + О,8М - О,533Л-/1;р - О,
откуда:
М, = 0,267Л/ир.
Из равновесия крайнего правого узла находим Му = О.
Остается определить изгибающие моменты в сечениях 6 и 7 Записы-
ваем уравнения работ внешних и внутренних сил на возможных переме-
щениях (рис. 34) для Б2 (положительные моменты показаны на рис. 34):
РА—М5<р—2М6ф—М7ф = О, А = 6ф,
поэтому:
6Р-М5-2М6-М7=О.
Рис. 34. Анализ работы механизма Б2
Подставляя Р = 0,4417М„р и изгибающий момент Ms = 0,8Л7„р,
получим:
-2М6-М, =-1,85М„р.
59
В истинном механизме разрушения С + Б] + Б, + У, образуется
шесть пластических шарниров (Ш = 6). Степень статической неопреде-
лимости заданной рамы равняется шести (Л = 6). Поэтому разрушение
будет частичным (Ш < Л + 1) и для точного определения изгибающих
моментов нужно произвести упругий расчет рамы. Но поскольку пре-
дельная нагрузка уже найдена, такой расчет излишен и безразлично,
какие значения примут изгибающие моменты Mf, и ЛД, важно лишь,
чтобы они были меньше или равны предельным моментам и удовле-
творяли уравнениям равновесия.
Например, пусть:
^ = 0,8^,
тогда:
М1 = -1.85.^+2 - = 0.25^ <
Статическая проверка полученной эпюры изгибающих моментов
показана на рис. 35.
Рис. 35. Статическая проверка
ПРИМЕР 3. Для рамы, показанной на рис. 36, имеющей одинако-
вые сечения стержней, построить эпюру предельных изгибающих мо-
ментов при заданной расчетной предельной нагрузке.
Число простых возможных механизмов разрушения рамы равно:
т = 7—4 = 3.
Запишем уравнения работ для каждого из механизмов разрушения.
60
Рис. 37. Механизм бокового смещения Ct
Для механизма бокового смещения С| (рис. 37):
^„рА-3^9 = 0,
перемещение равно:
л=з<р.
61
отсюда:
Л/пр=/’1пр=50 кН-м.
Для механизма бокового смещения С2 (рис. 38):
Р А + Р, А-ЗМ <р = (Х
Irf 2лр прт '•'З
перемещение равно:
А = 4(р,
отсюда:
^щ,=^«,+Лт) = ^(50+ 20) = 93.3 кН-м.
Дня механизма У (рис. 39):
-3W,r<f-0; М11р -О.
Для комбинированного механизма разрушения С| + С? + У (рис. 40)
уравнение работ будет иметь следующее выражение:
^фД. + ^.фД2-5Чф<р = о.
62
Перемещения равны:
Д, — 7ф, Д2 = 4<р,
отсюда:
Рис. 40. Комбинированный механизм разрушения Cj + С,- + У
63
Наибольший предельный изгибающий момент =93,3 кН-м со-
ответствует механизму бокового смещения Q. Следовательно, моменты
в сечениях 1,2,7 достигают своего предельного значения 93,3 кН м.
Уравнения статического равновесия для стоек второго этажа из ме-
ханизма бокового смещения С| (моменты положительны, если растяну-
ты левые волокна стоек) будет иметь следующим вид:
- (М <<р-М S(p-M6q>)+Р111р3ф = О
или
-Af4+Af3+Л/6 = —150.
Условие равновесия моментов в узле (положительный момент на
ригеле растягивает нижние волокна):
М4-1И3-(-93.3)=0.
64
В результате получим систему двух уравнений с четырьмя неиз-
вестными:
- М4 +М5 +М6 = -150;
Мл-М3 =-93,3.
К этой системе добавляем четыре условия прочности.
-93,3<М3 <93,3; -93,3<МЛ <93,3;
- 93,3 < Ms < 93,3; - 93,3 < Мь < 93,3.
Допустим, что Мц = 0, тогда = 93,3 кН-м и М$ + Л/6 = —150 кН-м.
Предположив, что = Afg, получим Ms = Afg = -75 кН-м< 93,3 кН-м.
Эпюра предельных моментов показана на рис. 41.
65
9. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Определения предельного состояния сложной конструкции с раз-
личными внешними нагрузками требует очень большого объема вы-
числений, которые вручную реализовать невозможно. Для решения та-
ких задач используют ЭВМ с предварительной разработкой математи-
ческих методов, позволяющих путем соответствующих расчетов нахо-
дить наилучший вариант из большого множества возможных решений.
Раздел прикладной математики, занимающийся изучением и решением
этого вида задач, называется математическим программированием.
Для решения конкретной задачи необходимо, прежде всего, сформу-
лировать ее математически (иными словами, конкретную задачу заме-
нить математической). Такая формулировка раскладывается на два этапа.
1. Преследуемая цель представляется в виде зависимости от исход-
ных величин (вес, несущая способность и т.д.). Полученное выражение
называется целевой функцией, функцией цели или функционалом дан-
ной задачи.
2. Затем формулируются условия, которые должны быть наложены
на искомые величины. Они вытекают из конкретных условий задачи:
равновесия, неразрывности деформаций, включения в работу тех или
иных связей и т.д. Обычно эти условия представляют собой некоторые
неравенства или уравнения.
Совокупность математически сформулированных условий, нала-
гаемых на неизвестные, образует так называемую систему ограничений
данной задачи.
Если целевая функция выражает положительный фактор, то ее надо
максимизировать, в противном случае — ъшнимизировать. Поэтому
задача математически формулируется так: найти такие значения неиз-
вестных, которые удовлетворяли бы условиям системы ограничений и
доставляли функционалу максимум или минимум.
Совокупность численных значений неизвестных именуется планом.
Любой план, удовлетворяющий условиям системы ограничений, явля-
ется допустимым.
Допустимый план, максимизирующий (или минимизирующий) це-
левую функцию, называется оптимальным, и его отыскание среди мно-
жества допустимых планов является решением поставленной задачи.
66
Если целевая функция и система ограничений линейна относитель-
но входящих в задачу неизвестных, то программирование считается
линейным. Есле же целевая функция или система ограничений содер-
жит нелинейные выражения для неизвестных, то программирование
называется нелинейным.
Основная задача линейного программирования формулируется так-
Задана линейная форма (целевая функция):
z = /rt+/A+"+/A.
где/i — известные коэффициенты.
Задана система tn > п линейных неравенств (ограничений):
Я1Л +/712Л2 *------^а1пХп -fy’
ад + +—+<%* ь>;
amiXi +йм2Х2Ч----Н<2»иЛи
На неизвестные также наложены ограничения неотрицательности:
х. > О.
Требуется найти вектор (набор неизвестных) X(xit Х2,—ХГ)Т, ко-
торый доставляет максимум или минимум Z при одновременном вы-
полнении всех ограничении. Система ограничений в евклидовом п-
мерном пространстве определяет выпуклый многогранник Q.
Если этот многогранник пустой, то есть не содержит ни одной точ-
ки, то задача не имеет решений (плохо сформулирована) Если это
множество не пустое и не сводится к одной точке, тогда существует
бесчисленное множество точек, каждая из которых удовлетворяет сис-
теме ограничений и доставляет функционалу Z какое-то конкретное
значение.
Надо найти такую точку, в которой функпия Z достигает макси-
мального (минимального) значения.
Максимум (минимум) функционала Z достигается в крайней точке
многогранника Q, определяемого системой ограничений.
67
Если функционал Z достигает максимального (минимального) зна-
чения в нескольких крайних точках, тогда Z достигает этого значения в
каждой точке выпуклой оболочки указанных точек.
Основную задачу линейного программирования можно легко ин-
терпретировать геометрически. Каждое неравенство:
У. = -«.Л “ЧА---* 0
системы ограничений определяет в евклидовом n-мерном пространстве
полупространство, состоящее из точек х(х1,х2,—Хп), расположенных
«по одну сторону» от плоскости:
У. =-<И "НА-------------",.Л„ + Ь, = 0
и на самой этой плоскости. Точки же. принадлежащие всем полупро-
странствам (то есть множество всех решений системы ограничений)
как пересечение выпуклых множеств, образуют некоторый выпуклый
многогранник £2.
Значение функции:
z=fA+f&+--+fA
в точке jc(j^,jc2,—х„) можно рассматривать как уклонение точки
Х(Х^ г,,...хи) от плоскости
/л+/л+—+/л=°
Таким образом, геометрический смысл задачи линейного програм-
мирования заключается в отыскании в многограннике точки, которая
наиболее (наименее) уклонена от плоскости:
/а+1л+—+/л=°-
В случае двухмерного пространства имеем картину, изображенную
на рис. 42.
68
Здесь многогранником Q является многоугольник, плоскостями
у, =-— ai2x2 +£>, =0 — прямые, полупространствами у, >0—
полуплоскости (на рисунках они отмечены штриховкой).
Ясно, что решением задачи линейного программирования будет
какая-то вершина многогранника Q. На рис. 42 решение задачи макси-
мизации целевой функции дает вершина В, а задачи минимизации этой
формы — вершина С, причем эти решения единственны.
Графическим способом можно решать задачу линейного програм-
мирования только с двумя неизвестными. При большом числе неиз-
вестных задачу линейного программирования решают аналитическим
сиплекс-методом.
Рис. 42. Решение задачи максимизации целевой функции
В основу симплекс-метода решения задачи линейного программи-
рования положена следующая последовательность операций.
Вначале находят какую-нибудь вершину многогранника Q (опор-
ное решение), а затем, переходя от одной вершины к другой, приходят,
наконец, к нужной вершине, в которой функционал Z достигает макси-
мального (минимального) значения. Умножим все неравенства в систе-
ме ограничений на (1) и полученные неравенства обозначим:
69
у, “-“.л -ад----ад, +ь,
У1 =-°2А -«2Л---а>Л +b2 >0;
У.., =-".Л “"..Л------+Ь„ >0.
Из этих неравенств и целевой функции составим исходную сим-
плекс табл. 1.
Табчица 1
Исходная симплекс-таблица
Нахождение опорного плана
Если среди свободных членов в исходной симплекс-таблице есть
отрицательные, то данный план является недопустимым. Следователь-
но, нужно перейти к другой симплекс-таблице. Переход осуществляет-
ся при помощи одного шага модифицированного жорданова исключе-
ния (МЖИ),
Один шаг жорданова исключения с разрешающим элементом агз
переводит заданную таблицу в новую таблицу по схеме, состоящей из
следующих пяти правил:
1) разрешающий элемент заменяется единицей;
2) остальные элементы разрешающего столбца (у-го) меняют лишь
свои знаки;
3) остальные элементы разрешающей строки (r-й) остаются без из-
менения;
4) «обыкновенные» элементы bv (j i~ r,j s) (то есть элементы, не
принадлежащие разрешающей строке или столбцу) вычисляются по
формуле:
70
b..=a. ,ars —a^a.;
5) все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент а„.
Правило выбора разрешающего элемента заключается в следующем:
1. Выбираем строку с отрицательным свободным членом (напри-
мер, Ьг < 0). Обычно берут строку с наибольшим по абсолютной вели-
чине отрицательным свободным членом. Если среди коэффициентов
этой строки нет отрицательных, то система несовместна.
2. Если же среди коэффициентов рассматриваемой строки есть от-
рицательные, то берем какой-нибудь из них (пусть агз < 0 и столбец,
содержащий этот коэффициент, берем в качестве разрешающего.
3. Выбор разрешающей строки производится так: вычисляем все
неотрицательные отношения — >0 свободных членов к соответст-
Ц'г
вующим отличным от нуля коэффициентам разрешающего столбца,
находим среди них наименьшее. Тогда эту строку берем в качестве раз-
решающей.
После проведения шага МЖИ просматривается столбец свободных
членов. Если они неотрицательны, то опорный план найден. Если же
среди свободных членов есть отрицательные, то выполняют второй шаг
МЖИ. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все свободные члены
не будут неотрицательными. Опорный план будет найден.
Нахождение оптимального плана
После получения опорного плана просматриваются коэффициенты
целевой функции. Если все они неотрицательные, то оптимальное ре-
шение найдено. Это решение получается, приравнивая нулю в сим-
плекс-таблице переменные, расположенные вверху, а боковые в этом
случае будут равны свободным членам.
Если в строке целевой функции имеется отрицательный элемент, то
симплекс-метод для отыскания оптимального решения предлагает спе-
циальное правило перехода от полученной точки к той соседней верши-
не этого многогранника, в которой значение целевой функции больше
(не меньшее) предыдущего значения. Этот процесс продолжается, пока
не будет найдена вершина, в которой значение Z максимально, то есть
для которой все коэффициенты Z-строки будут неотрицательны.
Чтобы осуществить переход от данной вершины к упомянутой со-
седней вершине, делаем один шаг МЖИ со следующим правилом вы-
бора разрешающего элемента.
71
Правило выбора разрешающего элемента:
1. В качестве разрешающего берем столбец, содержащий отрица-
тельный элемент Z-строки (обычно разрешающим берут столбец, содер-
жащий наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффи-
циент Z-строки).
2. Отбираем все положительные коэффициенты этого столбца (если
такие имеются), делим соответствующие свободные члены на них —,
%
сравниваем полученные отношения и берем среди них наименьшее, дос-
тигаемое пусть при i = s. Тогда эту строку берем разрешающей, так что
элемент asr разрешающий.
После шага МЖИ с разрешающим элементом, выбранным по толь-
ко что сформулированному правилу, знак у/*- изменится на противопо-
ложный, так что новый коэффициент/,, окажется уже положительным.
Если все остальные новые коэффициенты Z-строки неотрицательны, то
задача решена (неотрицательность новых свободных членов обеспечена
правилом выбора разрешающего элемента).
Если же среди остальных коэффициентов новой Z-строки есть от-
рицательные, то процесс МЖИ продолжается до тех пор. пока все ко-
эффициенты целевой функции не станут неотрицательными.
ПРИМЕР 1. Используя линейное программирование, найти пре-
дельную нагрузку и построить эпюру предельных изгибающих момен-
тов для рамы, показанной на рис. 43 и имеющей одинаковые несущие
способности стержней (М„Р — 1 кН-м).
Рис. 43. Заданная для расчета рама
72
Примем следующее правило для моментов: изгибающий момент
считается положительным, если эпюра, построенная на растянутом во-
локне, лежит внутри рамы (рис. 44)
Рис. 44. Правило знаков
Составим уравнения равновесия, связывающие моменты в сечени-
ях 1, 2, 3, 4 с внешними силами. Это можно сделать путем приравнива-
ния к нулю суммы моментов всех сил относительно нескольких точек
рамы, однако этот путь нерационален, так как при этом в уравнения
равновесия войдут поперечные и продольные силы, которые потом
придется исключать. Более эффективный кинематический способ со-
ставления уравнений, основанный на принципе возможных перемеще-
ний. При этом способе возможно применение простых механизмов раз-
рушения, так как их число соответствует числу независимых уравнений
равновесия статики. Для данной рамы (in = 4 — 2 = 2) возможны два
простых механизма разрушения: балочный и бокового смешения.
При принятом правиле знаков для изгибающих моментов работ
внешних и внутренних сил на возможных перемещениях для балочного
механизма (рис. 45) запишутся в следующем виде:
- (—Af,<p+Af2<p— Л14ф) + 0.5РД = О, где Д=<р.
Сокращая на <р, получим:
М1-М2+Мл+Р=0-
73
Рис. 45. Балочный механизм
Для механизма бокового смещения (рис. 46) запишем уравнение
работ:
-(-Л/|(р+Л/2ф-А?4<р)+0.5/’А=0.здесь Д=2<р
Мх-М2 + М4 +Р = 0.
Полученные уравнения статического равновесия образуют систему:
М2-2М3+М4 + Р=0;
Mt-M2 + M4+P=0.
Исходя из условии прочности, изгибающие моменты не должны пре-
восходить предельного момента М1Ч,= 1 кН-м. Запишем эти ограничения:
-i<Af,<1; -1<м3<р.
-1<М2 <1: 1<Л/„<1
Вводим новые неизвестные:
= Л7( + 1 или М. -x—l;i = 1, ...4.
Тогда неравенства перепишутся в виде:
0<х<2щ=1. ...4
Левые части этих неравенств в дальнейшем не участвуют — они
лишь свидетельствуют о неотрицательности переменных х,.
Правые части полученной системы неравенств (вводя новые пере-
менные у,) перепишем в виде:
у =—xt +2>0: i = 1. ...4.
Подставим в уравнения равновесия новые неизвестные
х2-2х3+х4+Р=0;
х,-л!+х4 + Р-1 = 0.
Изменим знаки во втором уравнении на обратные, чтобы получить
положительный свободный член:
75
—л, +л^ -х4 — Fi 1=0
В соответствии со статической теоремой истинным будет то рас-
пределение усилий, которое соответствует наибольшей нагрузке, сле-
довательно. целевая функция равна:
Запишем полученную задачу в форме таблицы (табл. 2.1
Табчица 2
Вначале необходимо исключить все 0-уравнения. Просматриваем
первую 0-строку. Положительный коэффициент 2 стоит в третьем
столбце. Его берем разрешающим. Для выбора разрешающей строки
приравниваем все неотрицательные отношения свободных членов к
соответствующим коэффициентам третьего столбца: р. Меньший
О
из них — и его знаменатель 2 будет разрешающим элементом.
Сделав шаг МЖИ и вычеркнув столбец коэффициентов под пере-
несенным наверх нулем, придем к табл. 3.
Аналогично освобождаемся от второй 0-строки. Получим табл. 4.
76
Таблица 3
Преобразование целевой функции
-Х1 -Х2 -х» -у 1
*3 = 0 -0,5 -0,5 -0,5 0
|)= 1 -1 1 1 1
3’1 = 1 D 0 0 2
Уг = 0 1 0 0 2
Уз = 0 0,5 0,5 0,5 2
Уа = 0 0 1 0 2
г= 0 0 0 -1 0
Таблица 4
Таблица значений опорного решения
-Хг —Ха -Р 1
*3 = 0,5 -0,5 -0,5 0
х.= -1 1 1 1
Я = 1 -1 -1 1
У1 = 1 0 0 2
Уз = 0,5 0,5 0,5 2
У» = 0 1 0 2
z= 0 0 -1 0
Эта таблица содержит уже опорное, но не оптимальное решение.
В Z-строке имеется только один отрицательный член —1. Так как
ТО РазРешаю11*ей строкой будет вторая Сделав шаг
МЖИ, придем к табл. 5
Для исключения отрицательного коэффициента примем разре-
шающий элемент, равный 1, расположенный в пятой строке первого
столбца. После шага МЖИ получим табл. 6.
77
Табчица 5
Таблица промежуточных значений функции Z
-»2 -Х1 1
*3 = -1 0 0,5 0,5
р= -1 1 1 1
Л = 0 0 1 2
-»’2 = 1 0 0 2
Уз = 1 0 -0,5 1,5
Ув = 0 1 0 2
Z = -1 1 1 1
Табчмца 6
Таблица значений оптимального решения
-Уз = -ха X, 1
Х3 = 1 0 0 2
р= 1 1 0,5 2.5
3’1 = 0 0 1 2
3’2 = -1 0 0,5 0,5
х2 = 1 0 -0,5 1,5
Л = 0 1 0 2
z= 1 1 0,5 2.5
В табл. 6 все свободные члены и коэффициенты целевой функции
неотрицательны. Следовательно, получено оптимальное решение:
У3 = 0;Л4=0; Ai=0,PmK=2,5;
х2=1,5; х3 = 2; у|=2;у2=о,5;у4=2-
Переходя к старым переменным, получим:
78
Mt = -1 кН-м; Mi = 0,5 кН-м;
— 1 кН-м; М4 = 1 кН-м.
По полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру М
(рис. 47).
С помощью компьтерной программы «MS Excel» можно упросппъ
нахождение предельной нагрузки.
Для решения этой задачи с помощью средства «Поиск решения»
надо ввести данные в рабочий лист Excel (табл. 7). В ячейки А2...Е2
надо ввести начальные значения Х|, хг, хз, хд, Р (например, единица).
В ячейку А5 вводим «=В2—2*C2+D2+E2», то есть первое уравнение
равновесия:
х2-2х,+х4+Р=0.
В ячейку А6 вводим «=В2—А2-D2-Е2+1» — второе уравнение рав-
новесия:
-х1+хг-х4-Р+1=0
После этого выбирается команда «Поиск решения» (в группе
«Анализ» на вкладке «Данные»). На экране отобразится диалоговое
окно «Поиск решения» (рис. 48).
79
Таблица 7
| Поиск решения |
| Оптими’яззовать целевую флнкщю | | $Е$2
»^2уЗ|~Максимум | | Минимум |
| Изменяя ячейки переменных | | $А$2.$Е$2 |
Рис. 48. Диалоговое окно «Поиск решения»
80
Окно «Поиск решения» имеет элементы, перечисленные в табл. 8.
Элементы окна «Поиск решения»
Таблица 8
Поле
Оптимизировать целевую функцию $Е$2
Максимум Установите флажок
Изменяя ячейкп переменных $А$2:$Е$2
В соответствии с ограничениями Уравнения равновесия: $А$5=0 (х;- 2х, 4-х, + Р - 0); $А$6=0(— х, + х2-х,-Р+1 =0) Неравенства: $А$2<=2(л; <2); $В$2<=2 {а2 < 2); $C$2<=2(Aj<2); $D$2<=2 (х4 <2)
Сделать переменные без ограниче- ний неотрицательными Установите флажок
Выберите метод решения Поиск решения линейных задач симплекс методом
После нажатия кнопки «Найти решение» результат будет получен в
новом листе «Отчет по результатам»:
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результат ам
Рабочий лист: [Симплекс метод.х1з1Лист2
Отчет создан: 24.09.2015 8:38:07
Целевая ячейка (Максимум;
Ячейка Имя Исходное значение Результат
$Е$2 Р 2,5 2,5
Изменяемые ячейки
Ячейка Имя Исходное значение Результат
$А$2 0
$В$2 1,5
81
Окончание «Отчет по результатам»
$С$2 хЗ 2
$D$2 х4 1 0
$Е$2 Р 1 2,5
Ограничения
Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница
$А$5 Х1 0 $А$5=0 не связан. 0
$А$6 Х1 D $А$6=0 не связан. 0
$А$2 Х1 0 $А$2<=2 не связан. 2
$В$2 1-2 1,5 $В$2<=2 не связан. 0,5
$С$2 хЗ 2 $С$2<=2 связанное 0
$D$2 х4 0 $D$2<=2 не связан. 2
$А$2 х1 0 $А$2>=0 связанное 0
$В$2 Х2 1,5 $В$2>=0 не связан. 1,5
$С$2 хЗ 2 SC$2>-0 не связан. 2
SDS2 х4 0 Ш$2>-0 связанное 0
82
10. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ
Рассмотрим прямоугольные железобетонные плиты, натруженные
вертикальной распределенной нагрузкой q или сосредоточенными си-
лами Р. Предельное равновесие пластинок при их изгибе подчиняется
теоремам предельного равновесия и может рассматриватся со статиче-
ских или кинематических позиций. Использование кинематического
метода основывается на анализе различных схем излома пластинки,
превращающих систему в пространственный кинематический механизм
из дисков, соединенных линейными пластическими шарнирами.
Как показали эксперименты в железобетонных изгибаемых плитах
в предельной стадии возникают почти прямые линии сосредоточенного
пластического излома — линии шарниров. Линейные пластические
шарниры в плитах — это аналог пластического шарнира в стержневых
системах. Они могут образовываться как на прямых, так и на кривых
линиях. Вдоль этих линий действуют пластические моменты.
Рис. 49. Условия равенства усилия в арматуре и равнодействующей
сжимающих усилий в бетоне
Определим эти пластические моменты. Деформирование и харак-
тер разрушения при изгибе железобетонной плиты существенно отли-
чаются от поведения под нагрузкой плит из других материалов. Бетон
83
имеет небольшой предел прочности при растяжении. При превышении
этого предела образуется трещина, и растягивающие усилия восприни-
маются арматурой. В шарнирно-опертой плите нижние волокна растя-
нуты. Рассмотрим ортотропное армирование, когда арматура располо-
жена параллельно сторонам прямоугольной плиты. Погонные площади
арматуры вдоль осей X и У обозначим А„ и А„.. Отношение площади
сечения растянутой арматуры к площади растянутой зоны бетона назы-
вается коэффициентом армирования:
А, .
Г
А,
р> =------,
(78)
где zx, Zy—высота сжатой зоны бетона по оси х и у;
h — толщина плиты. Высота сжатой зоны определяется из условия ра-
венства усилия в арматуре и равнодействующей сжимающих усилий в
бетоне (рис. 49). В предельном состоянии в сжатой зоне напряжения
будут равны расчетному сопротивлению одноосно сжатого бетона R^,.
Тогда погонное сжимающее усилие будет равно:
Nh = Rbz.
Растягивающее предельное усилие в арматуре равняется:
М = «А-
Здесь Rs расчетное сопротивление растянутой арматуры. Из равен-
ства Nb = получим высоту сжатой зоны:
zx = A„RJRh’, zx = AjiJRh. (79)
Пара сил Nb и N.- создают погонный предельный момент Мц равный:
Мох = Na(h - г,); Мох = N„(h - г,). (80)
Если коэффициенты армирования равны друг другу, то такое ар-
мирование называется изотропным. В этом случае предельные момен-
ты по осихиу равны.
84
Рис. 50. Определение предельного момента
Определим предельный момент для любой площадки под углом а к
оси х (рис. 50). В каждом стержне арматуры по направлению х и у дей-
ствуют соответственно усилия и Равнодействующие этих уси-
лий равны NJ^, N^Lv Погонное нормальное усилие, действующее по
нормали к площадке под углом п будет равно (рис. 50):
Wsa = lV„cos2a + WXIsin2a. (81)
Сдвигающее погонное усилие равно:
7"xa = (N„—lVu)sinacosa.
Переходя от предельных усилий в растянутой арматуре к предель-
ным моментам, получим изгибающий и крутящий предельные моменты
на площадке под углом а:
Моа = Mo>cos2a + MujSin2»; ЛГру,„в = - lWOT)sinacosa. (83)
85
При изотропном армировании М„х = М11у = М,„ поэтому предельный
изгибающий момент на любой площадке будет постоянным и равным
Мт а крутящий момент будет равен нулю.
Рис. 51. Механизм Гвоздева-Ржанипына типа «конверт»
Рассмотрим прямоугольную плиту, шарнирно опертую по контуру
и загруженную равномерно распределенной нагрузкой. Армирование
примем изотропным. Механизмом разрушения плиты является меха-
низм Гвоздева-Ржаницына типа «конверт» (рис. 51). Этот механизм
достаточно точно описывает механизм разрушения железобетонных
плит и только в окрестности углов отличается от истинного.
Этот механизм имеет четыре наклонных линии пластических шар-
ниров АС, ВС, DC’, ЕС’, которые наклонены под углом а к горизонта-
ли. Кроме того, имеется линейный пластический шарнир СС’, парал-
лельный длинной стороне плиты. Работа внешней нагрузки V будет
равна произведению интенсивности внешней нагрузки q на объем
призмы со скошенными гранями, получающуюся при опускании точек
С и С’ на перемещение uz
V=q—ab{2 + fyu.
6
(84)
86
Работа внутренних усилий W совершается на пяти пластических
линиях.
Подсчитаем сначала работу на линии СС’ (рис. 51):
Wcc = -Мо% = -Мо и.
Здесь Мо — погонный предельный момент, действующий в изо-
тропной плите по любой линии излома.
Работа внутренних сил на четырех пластических шарнирах АС, ВС, DC,
ЕС совершается на угле у, который зависит ст углов а и 0 и определяется по
формуле (рис. 52):
Рис. 52. Работа внутренних сил на четырех пластических шарнирах
Тогда работа внутренних сип будет равна:
Ж = -M)(ctga + ctgp)n.
Суммарная работа внутренних сип для всей плиты определяется по
формуле:
W = -A/0(4ctga + 4ctgP + —)к. (85)
87
Котангенсы углов аир определим из условий:
Ctga=^_; ^=0^-
Введем отношение к = Ыа, тогда работа внутренних сил будет равна:
1 .
W = —4Мо [(1 - fyk + 7f-дт + Щ = -ДМДк + 1 ]. (86)
Работа всех внешних и внутренних сил на возможном перемеще-
нии равна нулю V + W = О. Из этого уравнения определяем интенсив-
ность равномерно распределенной нагрузки:
= 24М(| fe+(l-g№ = 24Mn 1+к2-к2Е,
ab 2+£ ab (1-^2+Qk
Согласно кинематической теореме необходимо определить мини-
мальное значение q(g). Для этого приравняем к нулю производную:
*©=<>.
dl.
После преобразований получим квадратное уравнение:
Из этого уравнения получаем два корня, из которых один не под-
ходит, так как t, меняется в пределах 0 < £ > 1, а второй равен:
6= 4-[1 + »?--Л+3*2 ]. (88)
Для квадратной плиты а = b ик = 1. В этом случае — 0 и предель-
ная нагрузка равна:
q = 24M0fdl.
88
Рис. 53. Кинематический механизм Рис. 54. Механизм типа «конверт»
В этом случае кинематический механизм показан на рис. 53.
Рис. 55. Определение углов поворота
Рассмотрим плиту, защемленную по контуру и нагруженную рав-
номерно распределенной нагрузкой. В изотропно-армированных пли-
тах возникает механизм типа «конверт» (рис. 54). В этом случае возни-
кают дополнительные линейные пластические шарниры параллельно
защемленному контуру плиты. Работа внешних сил в этом случае не
изменяется и будет определяться по формуле (84). Работа внутренних
сил увеличится за счет работы контурных пластических шарниров и
будет равна.
VK<0B = - 2аМ0' щ - 2ЬМо «2,
89
где Mo — погонный предельный момент на контуре, си и сь углы пово-
рота соответственно вокруг стороны а и Ь. Эти углы определяются по
формулам (рис. 55):
2м
ci =-----; «2 = 2ша.
b-ty
Суммарная работа внутренних сил, учитывая найденные углы по-
ворота, будет равна:
(V=-4(iW0 + M)[* +
а-©*1'
(89)
Уравнение для определения интенсивности предельной распреде-
ленной нагрузки:
. к + —!—
= 24(М„+М„) (!-£>* =
ab 2 + 2,
= 24(М1>+М0) 1+к2-к2^
ab (1-0(2 + 0*‘
Если погонные предельные моменты на контуре плиты равны пре-
дельным моментам внутри пластинки (Ма = Л/1;), то предельная нагруз-
ка будет равна:
48Л/О 1+к2-к2^
ab \\-Q(2 + Qk
(91)
Это уравнение отличается от уравнения (87) для шарнирно опертой
плиты только множителем 2. Из этого следует, что положение точек
(рис. 51) С и С’ не зависит от способа опирания плиты и, следователь-
но, 2 можно определить по формуле (88).
90
Рис. 56. Образование линейных пластических шарниров
Рассмотрим шарнирно опертую плиту, загруженную сосредоточен-
ной силой. В этом случае образуются линейные пластические шарни-
ры, идущие от точки приложения сил к опорам (рис. 56). Работа внеш-
ней сосредоточенной силы Р, прниоженной в точке С, будет равна:
V=Pu
Где и перемещение точки приложения сосредоточенной силы из
плоскости плиты. Погонные пластические шарниры совершают работу
на линиях АС, ВС, DC, ЕС. Длины этих пластических линейных шар-
ниров обозначим соответственно Lj, Е%, L^, L4- Взаимный угол поворота
61 жестких дисков АВС и BDC будет равен:
6, = (ctqtii + ctqPi)iz/L|.
Взаимный угол поворота 62 жестких дисков АВС иАЕС будет равен:
62 = (ctqa2 + ctqP>)u/L2-
91
Взаимный угол поворота 03 жестких дисков ЛЕС и EDC будет равен:
03 = (ctqcij + ctqP3)i//L3.
Взаимный угол поворота 64 жестких дисков DEC и BDC будет равен:
64 = (ctqti4 + ctqP^H/jLj-
Тогда работа внутренних сил запишется в следующем виде:
W = A/o«(ctqai + ctqPi + ctqct2 + ctqp2 +
+ ctqa3 + ctqfk + ctqct4 + ctqp4). 692)
Котангенсы углов определяются по формулам:
£а „ fib
С1ЧЩ = —; ctqfi = —;
Т]О с,о
. Ка . R (i-n)b
= 7,--------; ctq₽2 = —t---»
(l-fya (l-n)b
ctqui =----------: ctqth =---------:
(1-T])b (l-£)fl
(1 — £)a _ rib
a<p4 =------: clq|1'= л n
qb (1 - q)c
Подставляя найденные котангенсы углов в формулу (92), получим:
= + (1-ч)д +
rib (1-т])Ь
+ + а-л)ь + (i-fo? + ПЬ
(1 —т])Ь (1-^)с т]Ь
= М^—^ + —^).
Т](1—Т])Ь ^(1-Ой
92
Приравнивая сумму работ внешних и внутренних сил к нулю, по-
лучим предельную силу:
Р=М“Ч(1-Л);,+
Для квадратной плиты с силой, приложенной в центре (<а = Ь, т] =
5 = 0,5):
Р = 8Л/0-
93
11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Напряжения и деформации, возникающие при нагружении конст-
рукций, изменяются во времени. Это явление называется ползучестью
материала. Одна сторона этого явления — изменение во времени де-
формаций — называется собственно ползучестью. Например, случай
возрастающих во времени прогибов сильно напряженного перекрытия
под действием постоянной неизменной во времени нагрузки. С другой
стороны, при постоянстве деформаций со временем напряжения будут
изменяться (случай падения напряжения в натянутом болте или струне,
сохраняющих постоянную деформацию). Это так называемое явление
релаксации. Последствие может быть упругим и пластическим. При
упругом последствии деформации, возникающие во времени, после
разгрузки уменьшаются и с течением времени совсем исчезают, при
пластическом они в основном необратимы и после разгрузки умень-
шаются медленно и в незначительной степени.
Рис. 57. Деформации пружины (я), вязкого (б)
и жестко-пластического (в) элементов
Законы деформации различных материалов можно проиллюстри-
ровать посредством простых механических или, как и называют, реоло-
гических моделей. Рассмотрим основные элементы этих моделей-
94
Деформация чисто упругой среды, подчиняющейся закону Гука,
иллюстрируется деформацией пружины (рис. 57, а). Удлинение 8V ее
пропорционально приложенной силе Р:
где Е—модуль упругости.
Вязкий элемент (рис. 57, б) может быть изображен в ваде цилинд-
ра, заполненного жидкостью, которая может вытекать через зазор меж-
ду цилиндром и поршнем. В этом случае скорость перемещения 8В
поршня пропорциональна приложенной силе Р:
dt т]
где ц—коэффициент вязкости.
На рис. 57, в изображен жесткопластический элемент. В этом эле-
менте за счет Кулонова трения до определенного значения Р взаимное
перемещение стержней будет равно нулю. После превышения внешней
силы этого значения скорость перемещения будет постоянная.
Рис. 58. Модель упругопластической (я) и вязкопластической (б) среды
95
Комбинация упругого и жесткопластического элементов образуют
модель упругопластической среды (рис. 58, а).
Если параллельно соединить вязкий элемент и жесткопластиче-
ский, то получим модель вязкопластической среды (рис. 58, б).
Последовательное соединение упругого и вязкого элементов опи-
сывают так называемое тело Максвелла (рис. 59, а). В этом случае пе-
ремещение 3 будет равно сумме удлинения 6,, пружины и перемещения
б„ поршня:
6 = 8,.+ бв.
695)
дифференцируя соотношение (95) по времени и используя выражения
(93) и (94) получим:
Переходя от перемещения 8 и силы Р к деформации е и напряже-
нию с получим уравнение описывающее тело Максвелла:
de 1 de 1
— = — — + — о.
dt Е dt tj
(97)
с(0)
Рис. 59. Тело Максвелла (я) и график времени релаксации (б)
96
При постоянном во времени напряжении производная — будет
dt
равна нулю, из уравнения (97) следует, что:
dE 1
— = — О.
dt Т]
Это означает, что материал течет подобно вязкой жидкости с по-
стоянной скоростью.
dE
Рассмотрим теперь постоянную деформацию, то есть —= О
dt
В этом случае получим дифференциальное уравнение первого порядка:
1 da I
— - — + —о = 0,
Е dt т]
интегрируя это уравнение при начальном условии t = 0: о = On, получим:
£1
о = 00 е 4 .
Отношение представляет собой время, за которое начальное
напряжение уменьшается в е = 2,718 раз. Эта величина называется
временем релаксации. Напряжение изменяется по экспоненциальному
закону и стремится к нулю (рис. 59, б).
При соединении упругого и вязкого элементов параллельно по-
лучим так называемую модель тела Фойгта (рис. 60, а). Сила Р, дейст-
вующая на упругий и вязкий элементы, очевидно, равна сумме сил Ру и
Рв, действующих на упругий и вязкий элементы. Используя выражения
(93) и (94), получим:
Переходя к напряжению и деформации, получим:
dE
<т = Ре + т]—. (98)
97
Рис. 60. Модель тепа Фойгта (л)
и график изменения деформаций во времени (б)
Интегрируя это уравнение при постоянном напряжении и исполь-
зуя начальное условие при t = 0, е = 0, получим:
£1
е = оЖ(1-е ч). (99)
Согласно полученной зависимости деформация увеличивается во
времени и стремится к величине с/Е (рис. 60, б).
При постоянной деформации мы из уравнения (98) получаем закон
Гука, следовательно, это уравнение не отражает явления релаксации
напряжении и является его недостатком.
Модели Максвелла и Фойгта качественно отражают некоторые
стороны сложных процессов деформирования материалов во времени,
но не дают удовлетворительного совпадения с опытом. Для лучшего
описания происходящих процессов используют более сложные модели
(рис. 61).
Рассмотрим модель, представленную на рис. 61, я. Изменение рас-
стояния между точками приложения сил Р будет равно сумме удлине-
ния первой и второй пружин:
5 = б>|+8й. (100)
98
Рис. 61. Варианты сложных моделей поведения материала (а) и (б)
Удлинения пружин пропорциональны силам, действующим на уп-
ругие элементы:
Et8yl=Py1;
Е2^2 = РГ2-
Подставляя эти выражения в формулу (100), получим:
й = Р>,1/£1 +Рг2/Е2.
(101)
(102)
Очевидно, что сила Р, воспринимаемая соединением элементов,
равна сумме сил, действующих на второй упругий и вязкий элементы, а
также равняется силе, действующей в первом элементе:
+ Р,2-
(103)
99
Сила, приложенная к вязкому элементу, пропорциональна скорости
перемещения поршня относительно цилиндра:
Учитывая (103) и (104) из уравнения (102), получим:
РЕ2 + Е,(Р - и у = &EtE2. (105)
dt
Деформации второго упругого элемента и вязкого элемента
(рис. 61,6) равны:
6а = 6>-2- (106)
Учитывая это и уравнение (103) и (105), а также переходя от пере-
мещений и сил к деформациям и напряжениям, получим:
de du
q(Ei + Ez)— + E1E2 e = ц— + E2o. (107)
100
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.:
Высш, шк., 1968.512 с.
2. Лукаш, П.А. Основы нешшейной строительной механики. М. : Строй-
издат. 1978.208 с.
3. Мазинин. Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М. :
Высш, шк., 1975.400 с.
101