И.И.ТЁУЛШН
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ
КОЛЕБА1ЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
И. И. ТЕУМИН
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
МАШГИЗ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1959
В книге в систематизированном виде изложены основы
теории и инженерного расчета ультразвуковых колеба-
тельных систем стержневого типа, являющихся основ-
ными звеньями неэлектрической части ультразвуковой
аппаратуры. Дается классификация ультразвуковых
систем; излагаются основы теории установившегося
режима этих систем; описываются методы расчета про-
стых и сложных колебательных систем, согласующих
устройств и некоторых конструктивных элементов.
Книга может быть использована инженерно-техни-
ческими работниками проектных и производственных
организаций, научно-исследовательских институтов, а
также студентами втузов в качестве дополнительного
пособия при изучении
ими соответствующих курсов.
Рецензент кан
Редактор
техн, наук Д. С< Шрайбер
инж. Ю. В. Ланге
Редакция литературы по машиностроению и приборостроению
Зав. редакцией инж. Н. В. ПОКРОВСКИЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
В различных областях промышленности в настоящее время
широко применяется ультразвук.
Ультразвуковые методы исследования некоторых параметров
различных веществ, контроль качества продукции, использование
ультразвуковых колебаний для обработки разнообразной продукции
и получения качественных изделий (например, качественных спла-
вов) создали новую отрасль техники — технику ультразвука. Весьма
важную роль в этой отрасли играют вопросы теории и проектирования
ультразвуковой аппаратуры различной мощности.
Основным звеном ультразвуковой аппаратуры являются коле-
бательные системы, главным образом стержневого типа, различного
вида, характера и степени сложности. В литературе, освещающей
методы получения и использования ультразвуковых колебаний,
вопросы теории расчета ультразвуковых колебательных систем
рассматриваются лишь в общем плане. Обычно рассматривается
ограниченное количество более или менее простых колебательных
систем вне зависимости от их практического применения в ультра-
звуковых устройствах. Теория и анализ этих систем излагаются
на основе дифференциальных уравнений, вид которых и граничные
условия могут быть различными, а решение представляет относитель-
но сложную задачу для каждого отдельного случая, отвечающего
рассматриваемой колебательной системе.
Так как в практических условиях колебательные системы могут
быть весьма разнообразными, то подобный подход затрудняет их
расчет и не может быть применен на практике. Между тем, колеба*
тельные системы работают в установившемся режиме, а разнообразие
граничных условий может быть систематизировано и обобщено
в основных уравнениях, составленных для установившегося процесса.
Следовательно, более или менее сложные ультразвуковые коле-
бательные системы могут быть сведены к простым системам с соответ-
ствующими граничными условиями. Это дает возможность изложить
теорию таких систем в форме, удобной для их инженерного анализа
и расчета, и, кроме основных формул, дать общий метод расчета.
Такое изложение и принято в настоящей книге.
ВВЕДЕНИЕ
Колебания, возникающие в какой-либо среде и характеризую-
щиеся упругими деформациями этой среды, называются упругими.
Форма упругих колебаний может быть различна. Наиболее распро-
страненная форма — гармоническая, т. е. описываемая выражением
А = Amsin (<ot + ©),
где А — смещение или деформация в данном элементе среды в момент
времени t;
Ат — максимальное (амплитудное) значение смещения или дефор-
мации;
to — круговая частота колебаний;
ср — начальный угол сдвига.
Частота упругих колебаний также может быть различна и опре-
деляется источником этих колебаний. Упругие колебания, частота
которых превышает некоторую границу, принято называть ультра-
звуковыми, причем эта граница определяется физиологическими
особенностями человеческого слуха.
Обычно считают, что нормальный человеческий слух не воспри-
нимает в виде слышимого звука гармонические упругие колебания
выше 20 000 гц. Однако эта граница частот весьма условная и,
вчастности, зависит от уровня громкости. Первые исследования в обла-
сти применения ультразвуковых колебаний проводились в диапазоне
неслышимых частот. Последующее развитие техники и областей
применения ультразвука расширили этот диапазон в сторону более
низких частот. Поэтому термин «ультразвуковые» колебания в настоя-
щее время применяется лишь по традиции.
Таким образом, под ультразвуковыми колебаниями следует
понимать упругие колебания, частота которых выше 20 000 гц\
однако она может быть несколько ниже этого значеция.
Современная физика дает возможность получать упругие коле-
бания частотой до 108 гц. Практически упругие колебания наиболее
широко используются в диапазоне частот от 8000 гц до нескольких
мегагерц.
При изучении физико-химических свойств различных веществ,
а также при исследовании качества различных изделий (дефекто-
скопия) применяют частоты более высокие, чем те, которые исполь-
зуются при технологических применениях ультразвука (обработка
4
материалов, очистка, получение эмульсии, воздействие на кристал-
лизующиеся сплавы и т. п.), а также выше частот, применяемых
в гидроакустике.
Установить какие-либо определенные границы частот, харак-
теризующие области применения ультразвуковых колебаний, прак-
тически невозможно. Упомянутая выше нижняя граница частот
8000 гц не является окончательной, так как в ряде случаев рациональ-
нее использовать более низкие частоты.
Ультразвуковая аппаратура, независимо от ее назначения, со-
стоит из двух основных частей: электрической и собственно ультра-
звуковой.
К электрической части относятся источники электрических коле-
баний, модуляторы, синхронизаторы, усилители и другие устрой-
ства, т. е. оборудование, предназначенное для создания электрических
колебаний и управления ими. Теория и расчет электрического обо-
рудования освещены в соответствующей литературе.
Собственно ультразвуковая часть содержит следующие основные
узлы:
преобразователь электрических колебаний в упругие;
преобразователь упругих колебаний в электрические;
система, служащая для передачи и трансформации упругих
колебаний;
излучатель или рабочая часть.
В отдельных случаях эти узлы могут быть совмещены. Так напри-
мер, рабочая часть и система, служащая для передачи и трансформа-
ции упругих колебаний, могут быть представлены одним звеном.
В наиболее простых системах, преобразователь одновременно может
выполнять функции излучателя и т. д. В ряде случаев система, слу-
жащая для передачи и трансформации упругих колебаний, может
состоять из нескольких звеньев.
Все перечисленные узлы обычно представляют собой колеба-
тельную систему с распределенными постоянными. В отдельных
случаях они связаны также с сосредоточенными механическими
элементами: массой, упругостью.
Ультразвуковая аппаратура конструируется таким образом,
чтобы в ней были использованы колебания одного вида (продольные,
поперечные1, реже изгибные или крутильные). Наиболее широко
используются в технологической аппаратуре продольные колебания.
Такие колебания обычно возбуждаются в так называемых стержне-
вых системах, являющихся основным звеном ультразвуковой аппа-
ратуры.
Геометрия стержневых систем и соотношения их размеров, а также
соотношения этих размеров с длиной волны находятся в определен-
ных границах. Поэтому в стержневых системах распространяются
практически только плоские волны при продольных колебаниях
(т. е. пренебрежимо малых интенсивностях колебаний других типов)
или чисто поперечные или изгибные волны. Подобные системы по
1 Поперечные колебания в литературе часто также называются сдвиговыми.
5
существу являются стержнями той или иной формы. Любая ультра-
звуковая аппаратура технологического применения состоит из раз-
личных сочетаний стержневых звеньев, к которым в общем случае
могут присоединяться сосредоточенные массы и упругости. Соот-
ветственно колебательный режим таких систем зависит главным
образом от сочетания и характера составляющих их элементов.
Анализ, расчет и построение ультразвуковых систем по существу
сводятся к определению колебательного режима (колебательных
величин), характеризующего состояние всех точек данной системы.
На основе такого анализа должно осуществляться проектирование
конкретной ультразвуковой аппаратуры.
В настоящее время нет установившихся типов такой аппаратуры,
однако можно указать на имеющие широкое применение в практике
стержневые системы, ультразвуковые сверлильные станки различной
мощности, станки для шлифования и штамповки поверхностей
различных изделий, установки для очистки изделий, аппаратуру,
предназначенную для улучшения технологических свойств металлов
и сплавов и т. д.
Дальнейшее развитие этой аппаратуры потребует разработки
разнообразных усложненных вариантов сочетаний стержневых си-
стем. Сложность осуществления этих вариантов и необходимость
разработки методики их расчета диктуются особыми условиями
работы этой аппаратуры при больших мощностях.
В излагаемом далее материале рассматриваются работы различных
стержневых систем при установившемся режиме. В основу анализа
положено составление и использование выражений для входного
сопротивления системы. Такой прием дает возможность обобщить
и упростить без ущерба для точности исследования и расчеты разно-
образных сочетаний звеньев, входящих в стержневую систему.
Мы не пользуемся электрическими аналогиями не потому, что не
считаем их использование нерациональным, а лишь потому, что при
рассмотрении упругих колебаний, происходящих в механических
системах, не следует отрываться от ощущения действительной
физики процесса. Умение оперировать с реальными механическими
элементами и составлять соответствующие уравнения, не прибегая
к обходному (хотя иногда и удобному) приему — «переходу» на язык
электрических схем, является основным и обязательным условием
при анализе и расчете механических систем. Кроме того, нет основа-
ния считать, что для всех читателей язык электрических схем является
наиболее привычным. В то же время мы учитываем определенные
удобства электрических аналогий, а также то, что в ряде случаев
аналогии могут действительно облегчить решения (или дать возмож-
ность использовать готовые).
ГЛАВА I
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
1.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Под механической системой понимают систему, состоящую
из связанных между собой твердых тел. В качестве твердых тел могут
быть элементы системы, обладающие:
а)	массой и практически не имеющие упругих свойств;
б)	упругостью и практически не обладающие массой;
в)	одновременной массой и упругостью.
Кроме того, в механической системе могут быть элементы, харак-
теризующие необратимые потери при колебаниях, происходящих
п этой системе.
В дальнейшем подробно рассмотрим указанные элементы меха-
нических систем. Наибольший интерес представляют определенные
состояния механических систем, характеризующиеся распределе-
нием между отдельными элементами (или участками) системы меха-
нических величин: сил (давлений), смещений, скоростей и дефор-
маций, изменяющихся во времени, и законы, по которым происхо-
дят такие изменения.
Если эти изменения происходят по периодическому закону, то
процессы в данной системе являются колебательными. Во всех
рассматриваемых случаях предполагается (и обеспечивается) усло-
вие, при котором механическая система является неподвижной
(хотя бы одним своим элементом или в одной точке) по отношению
к внешней (не входящей в механическую систему) конструкции.
Таким образом, величины смещений, скоростей и ускорений харак-
теризуются относительными величинами по отношению к непо-
движной точке.
Обычно колебательные процессы в механических системах происхо-
дят по гармоническому закону, поэтому, если нет особого указания
<• характере периодического изменения механических величин,
под колебательным процессом будем понимать гармонические изме-
нения указанных величин.
Если в механической системе происходят колебания под дей-
ствием внешних гармонических сил, то такие колебания являются
ныпуждеппыми. Они могут быть в любой механической системе,
если только она удовлетворяет условию линейности. Если системе
7
сообщен некоторый запас энергии (в форме кинетической или потен-
циальной) и затем система изолируется от внешних сил или если
этот запас энергии изменяется, то, как известно, в этой системе
возникают устанавливающиеся процессы, которые могут возник-
нуть лишь в том случае, если система обладает элементом, способ-
ным запасать энергию. Таким элементом может быть движущаяся
масса или упругий элемент.
Масса, находящаяся в покое, но поднятая выше положения равно-
весия, также запасает энергию относительно уровня положения
равновесия, но носителем энергии в этом случае является сила
тяжести. Таким образом, при любом изменении запаса энергии
в механической системе возникает устанавливающийся процесс,
характеризующийся некоторым переходным состоянием между исход-
ным и новым энергетическим уровнями. Принципиально устанавли-
вающийся (или переходной) процесс длится бесконечно долго,
дольше, чем интервал времени между изменением внешних сил,
вызывающих изменение запаса энергии в системе.
Переходный процесс может иметь разнообразный характер.
Так, например, если он имеет характер гармонических затухающих
колебаний, то система, в которой он наблюдается, является механи-
ческой колебательной или кратко колебательной системой. Хотя
выше было указано, что переходный процесс происходит бесконечно
долго, однако практически через конечный промежуток времени
всегда можно считать его закончившимся. Эти колебания называются
«свободными» или «собственными».
Если переходный процесс не имеет колебательного характера,
то он является апериодическим, а система, в которой этот процесс
наблюдается, соответственно носит название апериодической. Сле-
довательно, достаточным физическим признаком механической коле-
бательной системы является наличие Свободных гармонических
колебаний.
Указанные виды переходных процессов и поведение колебатель-
ных и апериодических систем будут приведены далее.
Причиной, определяющей различие между колебательной и апе-
риодической системами, является возможность перехода одного
вида механической энергии в другой (потенциальной в кинетическую,
и наоборот). В свою очередь, такая возможность реальна, если
имеются два условия: а) наличие двух разнородных накопителей
энергии (потенциальной и кинетической); б) величина запасаемой
энергии в любом из накопителей должна быть более величины энер-
гии, необратимо рассеиваемой за половину периода в данной системе.
При этом имеется в виду, что в любой реальной механической
системе существуют элементы, вызывающие необратимые потери.
Таким образом, апериодическая система также может обладать
свойством накапливать энергию в том и другом виде; однако свобод-
ных гармонических колебаний в такой системе не будет, так как при
переходе энергии из одного вида в другой (например, из потенциаль-
ной в кинетическую) эта энергия будет поглощена в элементах,
вызывающих необратимые потери.
8
В дальнейшем будем рассматривать колебательные системы,
хотя апериодические механические системы также могут явиться
частью ультразвуковой аппаратуры. В зависимости от числа и вида
сочетаний отдельных масс и элементов, обладающих упругостью,
могут быть колебательные системы различной сложности.
Элементарная механическая колебательная система состоит из
одного элемента массы и одного элемента упругости. При этом
точка приложения внешней силы к данной системе может быть
совмещена с массой или со свободным концом элемента упругости
(т. е. концом, который не связан с массой).
- Если механическая система состоит из нескольких элементов,
массы или упругости, которые связаны друг с другом так, что все
массы могут быть заменены одной эквивалентной массой, а все
элементы упругости — одной эквивалентной упругостью, то такая
механическая система называется простой колебательной системой
и в результате указанной замены приводится к элементарной. Частота
свободных колебаний элементарной системы, как известно, называется
собственной или резонансной частотой. Если система сложная, то
в зависимости от ее сложности она может иметь несколько резонанс-
ных частот.
При дальнейшем, более подробном рассмотрении резонансных
свойств колебательных систем вопрос о резонансных частотах будет
обсужден особо. Сложность механической системы связана с числом
степеней свободы этой системы. В элементарной системе колебатель-
ный процесс может быть охарактеризован одной переменной величи-
ной, которая определяет геометрическое положение любой точки
этой системы в любой момент времени, поэтому эта система обладает
одной степенью свободы. При сложной системе для полного описания
происходящих в ней процессов необходимо пользоваться несколькими
независимыми переменными, число которых определяет число сте-
пеней свободы. Как это следует из анализа сложных колебательных
систем, всякая система имеет столько же собственных частот, сколько
опа имеет степеней свободы.
Если механическая система состойт из конечного числа элементов,
представляющих собой массу и упругость, причем каждый из этих
элементов практически обладает только одним из этих свойств (мас-
сой или упругостью), то такая система состоит из сосредоточенных
постоянных. Механическая колебательная система, состоящая из
указанных элементов, называется колебательной системой с сосредо-
точенными постоянными. Если механические свойства (масса и упру-
гость) распределены по всей системе так, что в каждом ее сколь
угодно малом участке совместно существуют элементы массы, упруго-
сти и элементы, вызывающие необратимые потери, то такая система
является системой с распределенными постоянными.
В качестве примера системы с распределенными постоянными
можно привести твердую, жидкую или газообразную среду, взятую
в некотором ограниченном объеме. Если колебательная система
г распределенными постоянными представляет собой твердое тело,
л» она относится к механическим системам. Системы с распределен-
9
ными постоянными, состоящими из жидкой или газообразной среды,
принято называть акустическими системами. Таким образом, меха-
нические колебательные системы могут быть с сосредоточенными
или распределенными постоянными, а акустические системы всегда
являются системами с распределенными постоянными.
В дальнейшем будем рассматривать только механические системы,
причем главным образом системы стержневого типа, определение
и характеристика которых будут даны в следующей главе.
Механические колебательные системы могут быть классифици-
рованы различным способом, например по признаку того диапазона
частот колебаний, для которых они предназначаются. Для ультра-
звуковых колебаний технологического диапазона, охватывающих
частоты от нескольких тысяч до десятков и сотен тысяч герц, могут
быть применены системы как с сосредоточенными, так и с распределен-
ными постоянными.
Кроме того, возможно (и практически реально) сочетание рас-
пределенных и сосредоточенных постоянных. Однако «чистые» системы
с сосредоточенными постоянными применяются сравнительно редко.
Независимо от этого для изучения свойств механических колебатель-
ных систем, и, в частности, систем с распределенными постоянными,
необходимо рассмотреть предварительно системы с сосредоточенными
постоянными.
Величины масс, элементов упругости и элементов, вызывающих
необратимые потери, называются первичными параметрами. К пер-
вичным параметрам систем с распределенными постоянными отно-
сятся также их геометрические размеры.
Колебательный процесс в рассматриваемых системах характери-
зуют следующие механические величины:
1.	Сила F, измеряемая в абсолютной системе единиц в динах
и имеющая размерность в той же системе: см.г.секг2. В технической
системе единиц (системе MKS) за единицу силы принят ньютон.
I ньютон = 105 дн.
2.	Давлениер. Единица измерения: 1 бар = 1 дн1см2(см~1-г-сек~г).
В технической системе единиц измеряется в ньютонах/л*2 = 10 бар.
3.	Колебательная скорость i = (см-секГ1), где $—смещение
рассматриваемой точки в процессе колебаний. Таким образом коле-
бательная скорость представляет собой скорость движения данной
точки системы при колебаниях. Если колебательный процесс гар-
монический, т. е.
t = Smsin о>/,
где — амплитуда смещения;
со — круговая частота колебаний, то, очевидно,
£ = <0$mCOS(l)Z.
Следовательно, амплитуда колебательной скорости
= <о?_.
т т
10
Кроме того, для упругих элементов колебательной системы', под-
вергающихся деформации, значение последней
здесь dx — расстояние вдоль пути распространения колебаний в рас-
сматриваемом элементе, равное первоначальной длине недеформи-
рованного участка.
В данном случае за первоначальную длину-взята не вся длина,
а элементарный участок; при этом соответствующее элементарное
•смещение также рассматривается на этом участке. Определение е
в дифференЦиальной форме имеет наиболее общий характер и оказы-
вается существенным, если величина деформации неодинакова на
всем протяжении (длине) упругого элемента.
При дальнейшем рассмотрении процессов следует иметь в виду,
что колебательное смещение элемента массы определяется отно-
сительно неподвижной части механической системы или выбранной
неподвижной точки, находящейся вне системы. Таким образом,
для элемента массы относительное смещение равно ее абсолютному
смещению. Под смещением элемента упругости надо понимать сме-
щение одного его конца относительно другого.
То же относится к элементам трения (в которых выделяются
необратимые потери).
Таким образом, когда речь идет о колебательной скорости эле-
ментов упругости или трения, то имеется в виду относительная
скорость в указанном выше смысле.
Элементы механической системы (или механические элементы)
подробно будут рассмотрены в следующем разделе.
2.	ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Механический элемент представляет собой участок механической
системы, обладающий лишь одним определенным свойством, которое
•определяется характером реакции этого элемента на приложенную
к нему силу.
Механические элементы бывают трех видов: элемент упругости,
элемент массы, элемент трения. В дальнейшем эти элементы будут
кратко называться соответственно: упругостью, массой, трением.
Упругость — элемент механической цепи, в котором при закреп-
лении какой-либо из точек (или ряда точек) этого элемента и при
приложении к другой его точке силы F относительному перемещению
указанных точек противодействует только упругая сила. При этом
величина силы пропорциональна относительному перемещению $
и коэффициенту упругости D.
Таким образом, уравнение движения элемента упругости будет
F = D5.	(1.1)
Очевидно, Dk представляет собой реакцию упругой силы, уравно-
1»е1пивающую приложенную силу.
В реальных условиях упругий элемент как устройство, обладаю-
щее лишь одним свойством (упругостью), не существует и всегда
связан с массой и трением, т. е. с двумя другими механическими
элементами. Однако элемент, которому приписываются практически
только упругие свойства, может существовать в том смысле, что его
упругие свойства существенно преобладают над остальными так,
что последними можно практически пренебречь. Если этого сделать-
нельзя, то следует отдельно рассматривать в данном элементе его
упругость, массу и трение. Однако такое устройство уже не будет
являться элементом упругости, т. е. обладающим только одним свой-
ством.
Таким образом, элемент упругости является по существу неко-
торым идеализированным, абстрактным устройством, в котором все
остальные свойства бесконечно малы; но это не означает, что упру-
гость — понятие нереальное и не может быть выделена как параметр
(и количественно оценена) в любой механической системе. Например,
винтовая пружина, закрепленная одним концом, упругая пластина
или же закрепленная по окружности мембрана обладают упругостью
и одновременно массой, так как эти устройства имеют конечные
размеры во всех направлениях и состоят из какого-либо вещества.
Преобладающим свойством во всех этих устройствах является упру-
гость. Масса каждого из этих устройств существует и может быть
(если это практически необходимо) оценена и учтена как второе
свойство системы, т. е. как элемент массы.
Так как при деформации указанных устройств в них возникают
необратимые потери на внутреннее трение (а также трение при
взаимодействии с окружающей средой, например, воздухом), то
имеется третий вид механического элемента, т. е. трение.
Можно себе представить каждое из этих устройств в идеализи-
рованном виде, т. е. лишенным массы, без потерь на внутреннее
трение, помещенное в вакууме; в этом, случае соотношение (I. 1)
оказывается точным.
Элемент массы (масса) представляет собой материальную точку,
в которой сосредоточена конечная масса т. Очевидно, что уравнение
движения элемента массы
F = та,	(1.2)
где а — ускорение.
В действительности элемент массы не является материальной
точкой, но представляет собой тело конечных размеров. Поскольку
такое устройство материально, т. е. состоит из вещества, которое
в общем случае обладает упругостью, то приложенная сила не только
перемещает элемент массы, но и деформирует его, следовательно,
здесь проявляется и другое свойство — упругость. В свою очередь,
деформация сопровождается потерями на внутреннее трение, сле-
довательно, имеет место и элемент трения. Сказанное выше о преобла-
дающем влиянии только одного свойства перед, другими целиком
относится и к понятию элемента массы. Чем меньше относительные
размеры массы и потери на внутреннее трение. в.ней, тем справедливее
будет принятие только одного основного свойства — массы.
12
Поэтому когда определяют элемент массы, то рассматривают его
как некоторое идеализированное устройство или только как одно
определенное свойство этого устройства.
Элемент трения (трение) представляет собой устройство, в котором
любому относительному перемещению его концов противодействует
только сила трения. Эта сила пропорциональна относительной ско-
рости перемещения концов устройства и коэффициенту трения. Таким
образом, уравнение движения такого элемента будет
F = Ri.	(1.3)
Очевидно, в данном случае имеем линейное трение, т. е. пропор-
циональное скорости.
Примером такого трения является вязкое трение и наиболее
важное для ультразвуковых систем, внутреннее трение. Последнее
может описываться более сложным образом, т. е.
F=R(k)l,
где R (6) — некоторая функция скорости 5.
О внутреннем трении подробно изложено в главе X.
Трение типа скольжения твердых тел друг по другу является
нелинейными, т. е. не подчиняется линейной зависимости от скорости.
Примером линейного трения может служить трение смазанного
вязким маслом поршня в цилиндре. Трение вызывает необратимые
потери энергии.
Аналогично сказанному выше о реальных элементах (о массе
и упругости) при рассмотрении элемента трения исключаем массу
и упругость, с которой органически связан элемент трения.
Из определений механических элементов следует, что в любой
механической системе все эти элементы связаны друг с другом, но
в то же время в ряде случаев можно в такой системе указать на
элементы, где преимущественно сосредоточены отдельные свойства.
Простейшим примером такой системы является подвешенный на
пружине груз, погруженный в вязкую среду. Очевидно, пружина
представляет собой упругость, груз — массу, а сопротивление
движения груза в вязкой среде — элемент трения. При определении
упругости было указано, что одна или ряд точек элемента упругости
закреплен неподвижно. Если же элемент упругости связан с другим
элементом, например с массой, то точка соединения этих двух эле-
ментов не может быть неподвижной, так как при приложении силы
к другому концу элемента упругости конец, присоединенный к массе,
будет перемещаться; однако действие упругих сил (реакция упругого
элемента) будет определяться относительным перемещением указан-
ных двух концов. Аналогичным образом при определении элемента
трения мы пользовались понятием относительного перемещения
концов элемента трения; так, например, при проявлении внутреннего
трения, связанного с деформацией какого-либо элемента, в самом
общем случае следует иметь в виду, что оба его конца могут пере-
мещаться.
13
Все рассматриваемые механические системы (как с сосредоточен-
ными, так и с распределенными постоянными) при воздействии на
них действующих сил создают реакцию на некоторую систему (или
элемент системы), являющуюся источником этих сил. Следовательно,,
надо всегда оперировать понятиями относительных перемещений,
или. скоростей, связывая их с взаимодействующими системами.
В дальнейшем, при переходе к системам с распределенными
постоянными, являющимися главными звеньями ультразвуковых
колебательных систем, будут подробно рассмотрены их механические
элементы; однако уместно отметить, что в системах с распределенными
постоянными упругость, масса и трение неразрывно связаны между
собой и не могут быть разделены, как это можно сделать для меха-
нических систем с сосредоточенными постоянными; в этих системах
все механические величины (скорость, смещение, напряжение) рас-
сматриваются не относительно какой-либо внешней системы отсчета,
а по отношению к любой выбранной точке, находящейся в рассматри-
ваемой колебательной системе.
Из сказанного следует, что механическая колебательная система
с сосредоточенными постоянными характеризуется тем, что она
состоит из механических элементов, каждый из которых практически
обладает только одним каким-либо, механическим свойством и может
быть отделен от других элементов без нарушения свойств по-
следних.
Однако элемент трения не всегда может быть отделен от других
элементов, так как даже при явно выраженных сосредоточенных
постоянных массе и упругости трение распределено по всем (или
частично по всем) элементам системы. В этих случаях можно пред-
ставить элемент трения также сосредоточенным в одном месте системы
в виде некоторого эквивалентного значения сосредоточенного эле-
мента трения. При такой замене распределенного трения сосредо-
точенным следует правильно выбрать способ (вид) соединения экви-
валентного элемента трения с остальнымй механическими элементами
системы. Этот вопрос о виде соединения рассматривается в следую-
щих разделах. Величины механических элементов выражаются
в определенных единицах измерения. Упругость D, в соответствии
с выражением (I. 1) является отношением
т. е. упругость представляет собой отношение приложенной к данному
упругому элементу (телу) силы, в некоторой точке (или в некотором
сечении) к величине перемещения этой точки (или сечения). Сле-
довательно, в абсолютной системе единиц упругость измеряется
в дин/см, а в технической системе в кГ/м. Вместо упругости иногда
применяется термин «жесткость». Обычно этот термин относится
к свойствам некоторого упругого элемента, представленного опре-
деленной конструкцией (например, спиральная пружина, рессора,
мембрана и т. д.), а понятие упругости относят к оценке упругих
свойств какой-либо среды. Однако для удобства будем оперировать
14
термином «упругость» во всех случаях, когда речь идет об упругих
элементах или свойствах среды.
В ряде случаев удобно пользоваться величиной, обратной упруго-
сти и называемой гибкостью. Очевидно, гибкость
С = —
С D
и измеряется в см!дин.
Величина массы т измеряется в граммах или килограммах.
3.	МЕХАНИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Любой механический элемент (т, D или R) оказывает реакцию
действующей на этот элемент механической силе, следовательно,
величина скорости перемещения той или другой точки механической
системы под влиянием приложенной силы будет зависить не только
от величины этой силы, но и от величины указанной реакции.
Для установившегося процесса колебаний при приложении
к системе гармонической силы с постоянной амплитудой любой
механический элемент оказывает некоторое постоянное по величине
сопротивление колебательной скорости L Следовательно, исходя
из общих соображений, можно принять
где — амплитуда колебательной скорости;
Fm — амплитуда гармонической силы;
Z* — механическое сопротивление.
Физический смысл выражения (I. 4) очевиден; колебательная
скорость рассматриваемой точки, принадлежащей данному элементу,
пропорциональна амплитуде действующей силы и обратно пропор-
циональна величине’ механического сопротивления. Общему соот-
ношению (I. 4) полностью соответствует выражение (I. 3); действи-
тельно,
(1.5)
В соответствии с выражением (I. 5) и на основании того, что на
элементе R выделяются необратимые потери, величина R называется
активным механическим сопротивлением.
Так как
? -- (|)Ё
ТО
05»)
В отличие от случая, когда сопротивление представлено активным
элементом /?, будем обозначать сопротивления, создаваемые элемен-
том массы и упругости, через Хт или Хс соответственно.
15
I li.ip ижсн и я дли этих сопротивлений можно, в частности, получить,
Ногпользошиппнсь символическим методом, который будет широко
применяться в дальнейших наших выводах и расчетах. Основанием
для его применения является то, что мы будем рассматривать уста-
новившийся режим колебаний, характеризующийся изменением
мгновенных значений действующих сил, смещений, скоростей и дефор-
маций по гармоническому закону.
При этом режиме, очень удобным для анализа и расчетов, является
символический метод, основанный на применении комплексных
чисел.
Символический метод дает возможность исследовать и решать
ряд задач не прибегая к дифференциальным уравнениям, а в ряде
вопросов облегчает применение дифференциальных уравнений. На-
помним основные положения символического метода.
Графическим представлением комплексного числа z = а + ib,
где »=|/—1, как известно, является отрезок на числовой плоскости,
имеющий определенную величину и направление. Числовая плоскость
определяется осями координат: вещественной (горизонтальной)
и мнимой (вертикальной). Комплексное число может быть представ-
лено также в тригонометрической и показательной формах:
z = A cos <р + 1А sin <s — Aet9,	(1.6)
где А—длина вектора (модуль комплекса);
ср — угол поворота вектора относительно оси вещественных зна-
чений.
Если вектор повернут относительно положительной полуоси
вещественных значений против часовой стрелки — угол считается
положительным.
Далее из формулы (1.6) следует:
/Л	_Z2E.
е 2 =	е 2 — —/;
屫« = —1;	е2 =_/;
g±Z2rc —	]•	gf(a±2rc) — g/a
Умножение комплекса на множитель равносильно повороту
соответствующего этому комплексу вектора на угол ® против часо-
вой стрелки, а умножение на е~‘ч равнозначно повороту этого век-
тора на угол ср по часовой стрелке. Мгновенные значения, изме-
няющиеся во времени по синусоидальному закону, например скорость
I = £msin mt
или сила
F = rmsin mt,
могут быть определены через проекции на какую-нибудь ось соот-
ветствующего вектора, вращающегося с равномерной угловой ско-
ростью со, составляющего в каждый данный момент с этой осью
угол a — mt.
16
Такой вектор может быть описан выраженем (для скорости)
5 — imelu,t — (т cos (at -f- i im sin (at.
Если за линию начала отсчета времени выбрать ось веществен-
ных значений, то в комплексной форме
ё =
выражение
i = sin (at
определяется через проекцию на ось мнимых значений. Действия
над комплексными выражениями (в любой их форме) про-
изводятся на основании правил, которые предполагаются извест-
ными читателю.
В общем случае
г = Ael (at+v} = Ае1Чш = Аем ,
где	—• начальный (постоянный) угол сдвига.
Величина Ле'* = А называется комплексной амплитудой. Она
характеризует длину вектора (амплитуду) и его начальное положение
на Плоскости. Множитель eiwt, как уже было показано, характе-
ризует гармонический закон изменения мгновенных величин.
Возьмем производную
= 1(аИем — i(az.
ot
Из сказанного видим, что операция дифференцирования по
времени выражения, описывающего в комплексной форме гармони-
ческое изменение величины z, заменилась умножением на /<о.
Аналогично можно получить
Операция интегрирования заменилась делением на йо. Таким
образом, операция дифференцирования вектора по времени сводится
к повороту на угол против часовой стрелки и увеличению ком-
плексной амплитуды в <о раз, между тем как в результате инте-
грирования амплитуда уменьшается в <о раз с одновременным
гс	„	/	z . г \
поворотом вектора на по часовой стрелке (так как — —1 — \.
Обратимся теперь к элементам колебательной системы и рас-
смотрим их поведение при воздействии на систему гармонической
силы
F=Fm^.
2
Теумин 261
581387
17
При воздействии силы F на массу т имеем
F = т£ = т^п-,
at
где 5 — ускорение.
Следовательно, переходя к амплитудным значениям, получим
т. е.	Fm = = iwn.	(1.7) Em
Для элемента упругости имеем			
но	' di ’		
следовательно,			
поэтому		F =$ — т	fa	
и		t	х<0 5m	(1-8)
Для элемента	трения	F = /?E,	
т. е.		Fm 	 n	(1.9)
Выражения (I. 7), (I. 8) и (I. 9) можно объединить в форме
^ = ZM
im
(см. формулу I. 4).
Величина ZM характеризует количественную зависимость след-
ствия (£т) от причины (Fm). Так как с увеличением ZM при по-
стоянном значении Fm следствие (jm) уменьшается, то, учитывая,
что Fm— сила, а Ьт — скорость, легко понять, что величина ZM
является механическим сопротивлением, как это было ранее при-
нято из общих соображений. В частности,
Хт = i<om	(I. 10)
18
Называется инерционным, &
х - D 1
с	iu>	iu>C
(Ml)
упругим сопротивлением.
Последние два сопротивления не поглощают необратимо энер-
гию, а создают реакцию действующей силе за счет обратимого
запасания энергии. Поэтому эти два сопротивления называются
реактивными. Как уже указывалось, сопротивление трения R
вызывает необратимое преобразование энергии и поэтому назы-
В общем случае сопротивление может быть комплексным, т. е.
состоять из активного и реактивного сопротивлений:
= R + IX
(так называемый механический импеданц).
Тогда на основании известных соотношений связь между моду-
лями (амплитудами) действующей силы, скорости и сопротивления
описывается выражением
ё _____________________ Рт________Fm
т ~ Vr* + x* ~ I ZMI ’
где \ZM\ —модуль комплексного сопротивления ZM.
Фазовый угол сдвига <р между скоростью и силой, создаваемый
сопротивлением ZM, определяется соотношением
tg?=4	(L,3)
и может быть любого знака, в зависимости от величины X.
2*	19
Из предыдущего (формулы (I. 7) и (1. 8)1 следуёт, ЧТо ййёрцйои-
нре сопротивление создает запаздывание скорости относительно
силы на 90°, а упругое сопротивление.— опережение на 90°. Иногда
удобно оперировать не сопротивлением, а обратной ему величиной,
называемой податливостью.
Податливость
Y = ^~.	(1.14)
За единицу измерения механических сопротивлений принят
«механический ом» (мехом). Размерность мехома в абсолютной системе
единиц будет г/сек.
На фиг. I. 1 представлены графики, показывающие характер
изменения во времени колебательной скорости элементов инерцион-
ного (фиг. I. 1, б) и упругого (фиг. I. 1, в) сопротивлений при изме-
нении действующей силы F (фиг. I. 1, а) по гармоническому закону.
Из кривых видны запаздывание и опережение колебательной ско-
рости относительно силы F.
4.	СОЕДИНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Элементы механической колебательной системы принято обо-
значать так, как это показано в табл. I. 1 на фиг. в, г, д.
Эти элементы могут соединяться друг с другом различными
способами (см. табл. I. 1). Если точка приложения действующей
силы совпадает с общей точкой соединения нескольких элементов,
то такое соединение называется соединением узлом. При этом соеди-
нении перемещение (и скорость) всех элементов будет одинаково
(фиг. а, табл. I. 1). Если же элементы соединены так, что действую-
щая сила приложена только к одному из них, то такое соединение
называется соединением цепочкой (фиг. б, табл. I. 1). Цепь, в которой
элементы соединены узлами и цепочками, является цепью со смешан-
ным (или комбинированным) соединением.
Под приложенной действующей силой по отношению к рассма-
триваемому участку системы понимаем силу, приложенную к началу
этого участка, причем за начало принимаем точку, лежащую ближе
(по пути действия силы) к внешней приложенной силе. Условимся
схему цепи изображать так, чтобы внешняя сила была с левой сто-
роны схемы; тогда, очевидно, за начало рассматриваемого участка
будем принимать его левую границу. Если цепь состоит из нескольких
(более двух) элементов, то действующая сила при переходе от участка
к участку будет различная.
На фиг. I. 2 показана в общем виде система, состоящая из трех
участков. По отношению к участку I действующая сила совпадает
с.внешнёй приложенной силой F, а для участков II и III действующие
силы соответственно будут Fx и Ft. Очевидно, участки, на которые
разбита данная система, соединены друг с другом цепочкой,
20

Таблица 1.1
«о
Трение
9)
а элементы внутри каждого участка могут быть соединены любым
способом.
Выделение таким образом действующих сил F{ и следует из
приведенных выше определений соединений узлом и цепочкой.
Различные способы соединений удобно рассматривать на двух
элементах (см. фиг. табл. I. 1), составляющих простые соеди-
нения. Схемы фиг. 1, 3, 5, 8 соответствуют соединениям цепочкой,
а схемы фиг. 2, 4, 6, 7, 10 — соединениям узлом. Действующая
сила обозначена на этих схемах буквой F. «Цепочечное» и «узловое»
построение соответствующих схем (отвечающие обобщенным схемам
на фиг. а и б табл. I. 1) ясно видно из фигур. Однако для схемы,
приведенной на фиг. 2 (табл. I. 1), ее топография с первого взгляда
не отвечает соединению узлом, хотя
в действительности является таким
соединением.
Рассмотрим схему на фиг. 2. Дей-
ствующая сила приложена к элемен-
ту массы т, который соединен с эле-
ментом упругости. Так как элемент
Фиг.-1.2.	массы не обладает упругостью, то
перемещение массы под действием
силы F совпадает с перемещением связанного с этой массой кон-
цом элемента упругости. Иначе говоря, точка приложения силы F
совпадает с точкой соединения данных элементов. Следовательно,
эта схема отвечает соединению узлом. Колебательное смещение
элемента массы отсчитывается относительно неподвижной части
всей системы; это условно показано на схемах пунктиром, сое-
диняющим элемент массы с неподвижной частью. Если пунктир
принять за линию, соединяющую элемент массы с другим концом
элемента упругости, то схема приобретает структуру, отвечающую
соединению узлом. Таким образом, формальное использование
пунктирной линии, приведенной на чертеже, облегчает определение
вида соединения. Соединение, показанное на фиг. 1 (табл. I. 1), не
тождественно разобранной выше схеме на фиг. 2. Действительно,
действующая сила F приложена к одному концу элемента упругости,
но другой ее конец связан со вторым элементом схемы. Очевидно,
перемещение точки приложения силы F и точки присоединения
элемента массы неодинаково, так как элемент упругости при воздей-
ствии силы деформируется. Таким образом, эта схема явно представ-
ляет собой цепочное соединение. Если на фиг. 1, соответствующей
этой схеме, пунктирную линию заменить сплошной, то струк-
тура схемы будет полностью соответствовать обобщенной схеме на
фиг. 1, б.
При рассмотрении схем, содержащих элемент; трения, следует
принять, что в этом элементе при воздействии силы имеет место
перемещение (без упругой деформации). Таким образом, соединение
цепочкой, показанное на фиг. 3, не тождественно схеме на фиг. 4.
На фиг. 11—19 приведены примеры сложных соединений и в том
числе смешанные соединения*
22
При рассмотрении систем с различными видами соединений
элементов, входящих в эти системы, удобно пользоваться обобщен-
ными обозначениями элементов ’ (не раскрывающими их свойств)
и соответственно перечерчивать эти схемы. Такие схемы с обобщен-
ными обозначениями в виде прямоугольников приведены также
в табл. 1. 1. В общем случае каждый из обобщенных элементов может,
в свою очередь, состоять из отдельных элементов, соединенных тем
или другим способом.
Для обобщенных элементов будем применять обозначения Zx....
Zk, имея в виду, что в общем случае, каждый из этих элементов
обладает комплексным сопротивлением, т. е. что
= Rk ± iXk-
В частных случаях Zk = Rk или Zk= ± iXk.
На фиг. I. 3 приведена в обобщенном виде схема системы,
составленной из элементов, соединенных цепочкой.
о *,
Фиг. I. 3.
ох — ось, вдоль которой под действием приложенной силы пере-
мещаются концы элементов. Обозначим через хх, х2....хя+х рас-
стояния от точки О концов элементов для случая, когда система
находится в покое (нулевое положение). При воздействии на систему
силы возникают перемещения и положения концов элементов будут
определяться новыми расстояниями (на фиг. 1.3 эти новые значе-
ния х не показаны). Тогда абсолютные перемещения будут
Дхх = х{ —Xi,
^xn-t-i — Хп-±1 Хп-Ы'
Следовательно, относительные перемещения
= Дх2 — Дхх;
= Дх3 — Дх2;
6Я4-1 = Дхя+х=-Дх1

Складывая левые и правые части этих равенств, получим
п+1
= A*n+i = ^о*
Л=1
Таким образом, относительное перемещение концов всей системы
равно сумме 'относительных перемещений отдельных элементов.
При этом следует помнить, что относительное перемещение массы
равно ее абсолютному перемещению.
Так как скорость каждого элемента
то скорость всей системы, состоящей из п
элементов, соединенных цепочкой, будет равна
сумме относительных скоростей концов каждо-
го из элементов:
п+1.
= ^0-
k=\
Рассмотрим соотношение между приложенной ко всей цепочке
силой F и силами, действующими на каждый элемент (F1( Г2,...).
Если внешняя сила F приложена к началу первого элемента системы,
то в начале второго элемента, к которому никакой другой внешней
силы, кроме действующей со стороны первого элемента, не прила-
гается, должна действовать сила F\ = F (так как в противном случае
было бы нарушено условие равенства силы и реакции).
Переходя последовательно, таким образом, к каждому из последую-
щих элементов получаем
F1 = F2= ...=Fk = F,
где Fk — сила, приложенная к каждому элементу.
Следовательно, в системе, составленной из соединенных цепочкой
элементов, сила, действующая на каждый элемент, равна силе,
приложенной ко всей системе.
Перейдем к системе, составленной из элементов, соединенных
узлом (фиг. I. 4).
Будем исходить из установленного ранее положения (вытекаю-
щего из определения соединения элементов узлом), что при таком
соединении относительное перемещение каждого элемента одинаково
для всех элементов. Тогда, имея в виду равенство приложенных сил
и сил реакции для каждого элемента, т. е. соотношения
F'i = F»
F2 = F2;
F'k = Fk,
24
(где Fk — сила реакции k-vo элемента), получим
п	п
^F'k = ^Fk.
a=i	k=i
Но так как при соединении узлом приложенная сила распределена
по отдельным элементам, то
п
^Рк = р>
Л=1
следовательно,
п
^P'k = F,	(1.15)
Л=1
т. е. при соединении элементов системы узлом сумма реакций всех
элементов равна приложенной внешней силе.
Сравнивая между собою оба рассмотренных, типа соединений
механических элементов, мы видим, что при соединении цепочкой
сумма относительных скоростей элементов равна относительной
скорости концов системы, а сила, действующая на всю систему, —
силе, действующей на каждый элемент, при соединении узлом отно-
сительное перемещение (а следовательно, относительная скорость)
всей системы равна относительным перемещениям или скоростям
каждого из элементов, но действующая сила равна сумме реакций
всех элементов (т. е. сумме сил, действующих на каждый элемент).
Механическое сопротивление системы, состоящей из отдельных
элементов, определяется величинами механических сопротивлений
этих элементов и способом их соединений в данной системе. В случае
соединений узлом, как было показано,
п
^Fk = F
Л=1
и
• • • 5Я»	(!• 1®)
где £0 — относительная скорость всей системы.
Однако
поэтому механическое сопротивление состемы, состоящей из эле-
ментов, соединенных в узлы, будет равно
Z^Z.+Z^ ... +Zn,	(1.17)
г. е. сумме сопротивлений отдельных элементов.
Если элементы соединены цепочкой, то
Fk = F	(I. 18)
I)
п
Ч = £о,
25
следовательно,
1	1
z0	zt
(1.19)
т. e. в этом случае, податливость системы равна сумме податливостей
отдельных элементов:
Yo = Л + У2 + • • • + У„	(1.20)
и механическое сопротивление системы
(1-21)
Фиг. I. 5.
го элемента соединяется
Если соединение элементов смешаное, то для определения полного
сопротивления системы надо выделить отдельные группы элементов,
имеющие однородный характер соедине-
,/ ния (т е цепочкой или узлом), опреде-
1 ——	лить общие сопротивления указанных
групп, а затем, учитывая характер сое-
динения этих групп друг с другом, найти
общее сопротивление всей системы.
Для определения сопротивлений раз-
личных механических систем удобно поль-
зоваться обобщенными схемами. При сое-
динении элементов цепочкой начало одно-
с концом другого, при соединении узлом
их начальные точки соединяются вместе; аналогично соединяются
концы этих элементов.
Из предыдущего следует, что структура обобщенных схем не
всегда совпадает со структурой реальных схем, т. е. с графическим
изображением (в условных обозначениях) реальных элементов
системы, соединенных друг с другом так, как они действительно
связаны физически.
Структуру реальных схем, отвечающую истинным связям между
элементами, уместно назвать «топографической» структурой, а
структуру обобщенных схем — «приведенной».
Замена топографической структуры приведенной облегчает рас-
четы механических колебательных систем. Примеры перехода к обоб-
щенным схемам даны в табл. 1.1 и не требуют пояснений. Приведем
несколько примеров определения входных (полных) сопротивлений
системы в случаях смешанного соединения элементов. В схеме,
приведенной на фиг. I. 5, предварительно выделяем группы эле-
ментов, имеющих однородный характер соединений I, II, и находим
сопротивления каждой группы:
7	,	1	__ Z2Z2
1-_2_ , _i_~z2 + z3 ’
z2 z3
7 __	1	__ Z4Z5
Z4 z6
26
Эти две группы соединены узлом, поэтому
7	_ *7 I 7 _ Z2Z8 । Z4Z8
zbп - Z, + zn -	+ zT+z;•
Общее сопротивление всей системы, составленное из сопротив-
лений Zt и Zb п, соединенных цепочкой,
Для схемы, приведенной на фиг. I. 6, поступаем аналогичным
способом:
7 ___ Z8Z4
z" z8 + z4-
Сопротивлёние, образованное Zu и элементом Z8, соединенных
узлом, будет равно
Z\\. 6 =	2ц.
Сопротивление группы I
Zj = Zj + Z2.
Так как Zj и Zn>6 соединены цепочкой, то
2 _____________!_________
z,0 - •	1	J
Zx + Z3 + Z8Z4
Zfi+Z8 + Z4
Сопротивление системы, показанной на фиг. I. 7, определяем,
предварительно выделив группы I и II:
Zjj = Z2 4* Z8,
Z —	1
11,1 ~ 1 1 ’
Zi Z2 4- z8
z4 + z5
27
и окончательно
7 ___ Z4Z5 , Z, (Z2 + Zs)
z'0“Z14-Z6‘t'Z1 + Z2 + Z3-
Заметим, что в приведенных примерах мы пользовались для
сопротивлений обозначениями Z, а не Хт, Хс или R, так как в общем
случае прямоугольники, обозначающие элементы системы, могут
представлять собой массу, упругость, элемент трения или сочетание
каких-либо из этих элементов, т. е. Z может быть реактивным, актив-
ным или комплексным. Очевидно, это обстоятельство не влияет на
метод и результат решения. Для конкретного содержания каждого
из элементов, следует, конечно, пользоваться конкретными обо-
значениями (с учетом реальной величины заданных сопротивлений).
Как уже было показано, для установившегося колебательного
режима удобно оперировать символическим методом, используя
выражения
Хт = itorn;
. D	. 1 .
1 со	z <оСр
а для активных сопротивлений — обозначением /?. Покажем на
нескольких примерах определение величины общего механического
сопротивления системы.
Для схемы (фиг. 1, табл. 1.1) имеем
v	«сот ( — i —
7 __ ХтХс ____	\ ш /
0 “ Хт + Хс ~	. D ’
1шт — i —
ш
откуда
Для схемы (фиг. 3, табл. I. 1) находим
Z 1	-	1
° ~~ J_ 4- —	1 4- 1 ’
Хт Ri	Ri
После несложных преобразований и освобождения знаменателя
от комплексных выражений, получаем
7 _ J?jco2m2 , . ^шт
° “ Я? + cu2m2 + 1	+ со2т2 ’
В данном примере полное сопротивление состоит из активной
и реактивной составляющих, каждая из которых зависит от частоты
и параметров системы.
Для более сложных соединений предварительно находится вход-
ное сопротивление в обобщенных обозначениях (см, примеры
28
Таблица 1*2
Формулы расчета сопротивлений схем табл. 1-1
№
схемы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Активная составляющая 7?0
Реактивная составляющая Хо
. шМ
1 "1
1 — -----
D
/?!<> W2
R* г о’М8
Ri
i (<»Л1-А)
. R?<oM-
R\ -I-
i(oM
о
^-D
I .
+ D2
. D
i —
о
1
и (D1 t D2)
• Г
n1 + D2
— i
R
Ri + Rz
Rw2M2
Ri
Ri
R2,^
1 + D2
R1
R^M*
R^+eMP
/и (Afx + Af2)
— (О2
Af \ 2
-f <j)2Af2
(nn
м R
0)M--------J—
(I)"
oAf
j-“2-d
. [	R?<»M	D
1 I £a + “2Af2	w
29
Продолжение табл. 1-2
№
схемы
Активная составляющая Ro
Реактивная составляющая Хо
16
R% + 1 <оМ—— I
Ri(wM— — '\
\	<0 /
1	/ D \2
/^2 _|_
17
18
19
Ri
f, , м\* , flW
U~“ ~D ) +~DT
/?»№+(<»л1)*]+/?8'/?*-(£ 2]
(Хг+ЪУ+^М—£-)’
о>М—^-(/?J + «»2Af2)
4[7?2 + (“УИ)2]+ШУИкш *+*?]
(Ri+W + ^M—£-)’
к схемам на фиг. I. 5, I. 6 и I. 7), а затем вместо и Z2 подста-
вляются их 'конкретные обозначения, учитывающие характер реак-
R тивности этих сопротивлений.
H2ZZ3-I В табл. I. 2 приведены выражения для полных
-*4 I* сопротивлений схем, данных в табл. I. 1. Номера
4ZZZH формул соответствуют номерам схем. Как видно из
табл. I. 2, в общем случае полное сопротивление
Фиг. I. 8. схемы
^0 — ^0 4"
(1.22)
где ₽0 и Хо — полные активные и реактивные составляющие схемы.
Так как выражение (I. 22) отвечает соединению узлом двух
элементов (7?0 и Хо), то, очевидно, любую сложную схему по отно-
шению к ее входу (т. е. точке приложения действующей силы) можно
заменить эквивалентной (см. фиг. I. 8), состоящей из соединенных
узлом двух эквивалентных сопротивлений активного 7?0 и реактив-
ного Хо, значения которых зависят от параметров элементов схемы,
способа их соединения и от частоты.
5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
постоянными
Рассмотрим элементарную механическую систему, состоящую
из /и, D и 7? (по одному элементу каждого рода).
Из всех возможных систем выберем лишь те, в которых в процессе
колебаний перемещения точек» имеют поступательный характер.
30
При свободных колебаниях, возникающих в случае, когда меха-
ническая система, имеющая запас энергии, изолируется от внешних
источников силы, закон движения описывается дифференциальным
уравнением. При соединении элементов узлом это уравнение имеет
вид
d2x * х । г-* dx	z у оо\
т + + = <L23)
Каждый член уравнения (I. 23) выражает реакцию силы соот-
ветствующего элемента системы: первый член — силу инерции (эле-
мента массы), второй член — силу упругости — упругого элемента,
и третий член — силу трения элемента трения. Очевидно, алгебраи-
ческая сумма всех сил реакции должна равняться нулю.
Решение уравнения (I. 23) известно, причем вид этого решения
определяется соотношением входящих в уравнение параметров.
Приняв обозначения
2	1 Шо ~ Ст ’	(I- 24)
о А “ ~ 2т ’	(I. 25)
	(I. 26)
получим следующие физически возможные случаи:
а)	₽ < ®о или Ж 2	;
б)	Р > ®0 или # > 2	;
в)	р = <оо или /? = 2уГ^-.
Таким случаям соответствуют решения:
а) j = е~Р sin	(I. 27)
Графически это решение представлено на фиг. I. 9.
Здесь и далее Fm0 — начальная амплитуда приложенной силы F,
<о — собственная круговая частота системы.
r-g-^shl/p2 — ®2.
—“О
б) «
(I. 28)
График этой функции показан на фиг. I. 10.
в) Этот случай представляет собой только теоретический инте-
рес, так как никакая реальная система не может в точности удов-
летворить условию р = <о0. При этом
Лто. te-?f
т
31
Кривая изменения 5 имеет в данном случае тот же характер,
что и указанный на фиг. I. 10.
Случай «а» соответствует колебательному процессу; «б» — апе-
риодическому, а «в» носит название критического. Период собствен-
ных колебаний систем (в случае колебательного режима)
где f =-<г--частота колебаний.
z На основании формулы (1.24) имеем
Фиг. 1. 9.	Фиг. I. 10
Вернемся к фиг. 1. 9. Допустим, что в некоторый момент вре-
мени Zj колебательная скорость имела значение im , а через один
период (при = Т) стала равной im2 при этом
и
следовательно,
М = &т.	(I. 30)
бтг
Отсюда видно, что отношение значений колебательных скоростей,
отстоящих друг от друга во времени на один период (при свобод-
ных колебаниях) является величиной постоянной, не зависящей от
времени. Величина 0 носит название коэффициента затухания.
Коэффициент затухания характеризует механическую систему.
В зависимости от условия «а» или «б» система может быть коле-
бательной или апериодической. Иногда пользуются величиной т0:
1
т0 — р »
которая носит название «постоянной времени» системы. Из выра-
жения (1.27) видно, что через время t = т0 величина амплитуды
32
колебательной скорости уменьшится в е (е = 2,71828...) раз.
Из формулы (I. 30) легко получить
рТ = In kml	In = 6.
Величина G называется логарифмическим декрементом затухания.
Очевидно	
Обозначая	V^ = Rf>	(1-32)
находим	Л	R 0 = *^.	(1.33)
Величина носит название характеристического сопротивления
механической системы.
На практике для оценки колебательных систем иногда приме-
няют коэффициент 8, в к раз меньший логарифмического декре-
мента:
8=4-	(1.34)
Так как в = рТ и Т =
100
то
Обычно в колебательных системах р <£ ш0, поэтому
"““"“тЬ-	(L36>
Свободные колебания в механической системе являются затухаю-
щими. Теоретически затухание колебаний продолжается бесконечно
долго, однако практически они довольно быстро уменьшаются до
пренебрежимо малой величины, для которой mojkho считать коле-
бания закончившимися. Чем больше затухание системы, тем быстрее
прекращаются (в указанном выше понимании)^' колебания. Если,
например, принять, что колебания заканчиваются тогда, когда они
достигают значения d от начальной амплитуды (d < 1) то время
существования колебаний можно определить из формулы
t
У~ ₽
3 Теумин 261
33
Так, например, если принять d = 0,01, то
t =
‘у р
В процессе свободных (собственных) колебаний механическая
энергия переходит из одного вида в другой — из кинетической
в потенциальную и обратно. Если бы система не обладала потерями,
то кинетическая энергия Екин полностью переходила в потенциаль-
ную Е„от и обратно. Величина кинетической энергии определяется
как
Екан = -^~.	(1.37)
Этот вид энергии запасается в движущейся массе и меняется во
времени в процессе колебаний.
Потенциальная энергия определяется выражением
Е
*-'аот— 2 ’
НО
F = Dt,
следовательно,
спот— 2D ~ 2D ~	2 '
Потенциальная энергия запасается в упругом элементе и также
меняется во времени (в зависимости от величины относительного сме-
щения $, которое меняется во времени). Когда колебательная ско-
рость равна нулю, то
F2 С
Екин — 0» а Епот = Епот тах =	2 .	(I. 38)
В момент, когда Епот = 0 (смещение равно нулю),
£2
ЕКин ~ Екин тах = —у- ,	(1.39)
но так как при отсутствии потерь приращение энергии одного вида
обязательно равно убыли энергии другого вида, то для любого
момента времени при учете формул (I. 37) и (I. 37а) оказывается
справедливым равенство
1	• F* С
ЕКин 4" 1-йот ~ ~2 т^т ~ ~2— ’	0 • 40)
Если система обладает потерями, то при переходе энергии из
одного вида в другой часть этой энергии необратимо рассеивается
и соотношение выражения (I. 40) нарушается. Очевидно, интервал
времени, разделяющий моменты, когда
р _ р	и р	_. р
'-'кин ^кин max п '-‘пот '-‘пот max
Т
равен -j- .
34
При малых потерях можно считать, что энергия в системе в тече-
ние одного периода практически остается постоянной.
Если R 0, то энергия, поглощаемая в элементе трения может
быть определена исходя из следующего.
Пусть сила, приложенная к элементу трения, будет
F = Fm sin <ot.
При перемещении элемента на отрезок Дх будет произведена ра-
бота
ДД = ГДх.
Переходя к пределу, получим
dA = Fdx — F-^-dt,
at
следовательно,
dA = Fidt
или на основании формулы (1.5)
/г2
dA = -^-sin2arfdf;
К
отсюда энергия, поглощенная в сопротивлении /?, за период Т будет
г
С F2	1 F^
ER =	"sin* at dt=±T-£
J A	A
0
(1.41)
или
£»=4’U
следовательно, активная мощность, т. е. мощность необратимых по-
терь, поглощаемая активным сопротивлением, будет равна
1	1
^4—<L42>
Возьмем отношение величины энергии, расходуемой за половину
периода, к полному запасу энергии. Учитывая соотношение (1.40),
можно написать:
	4-^	1	RT
	ЕКин + Епот	1	-2	2 2	m
или	~2ER		 -	_ r-P 1,	ГЁ_
	Екин + Enom		 ТС		 TCZ\ 1/	
		шт	г	ш *
з*
35
На основании формулы (1.31) можно написать:
1 Р
Т £/?
р ,F -О
пкин I 121 пот
(логарифмический декремент затухания).
Таким образом, показан энергетический смысл величины декре-
мента затухания, как отношения необратимо рассеянной энергии
за половину периода колебаний к полному запасу энергии в коле-
бательной системе.
Чем меньше декремент затухания, тем лучше колебательные
свойства данной механической системы.
На основании решения уравнения (I. 23) выше было приведено
выражение для собственной частоты <о колебательной системы
формул (I. 24) и (I. 26), причем если R ж 0, то
1
О) = (О = ———.
0 VCm
Покажем, что этот результат (при R = 0) можно получить из
непосредственного рассмотрения энергетического баланса колеба-
тельной системы.
Напишем еще раз выражение (I. 40):
М&т = О'mt
НО
t _____________________________ Р т
т ~~ шт ’
следовательно,
_ гт
tYl * п о ----------------------- С/л т,
ш2т2
откуда
= тС
или
1
<0 =- г____________________________ .
VCm
Таким образом, получено уже известное нам выражение для
собственной частоты колебательной системы без потерь.
Определение собственной частоты колебательной системы из
равенства потенциальной и кинетической энергии может быть
распространено и на более сложные (не элементарные) системы,
однако, при этом осложняется получение выражений для Екин
и Епопг
36
6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
Приведем основные данные, относящиеся к процессам, происхо-
дящим в элементарной колебательной системе при вынужденных
колебаниях.
Ввиду того что исходные положения освещены в соответствующих
разделах механики и физики и предполагаются известными читателю,-
мы не будем останавливаться на всех выводах соответствующих
выражений, но проведем и обсудим те из них, которые будут необхо-
димы для дальнейшего.
Кроме того, отдельные вопросы, как например, определение
собственных частот в сложных системах, рассмотрим особо.
Предварительно заметим, что в обычных
условиях практического применения колеба-
тельных систем последние используются
в режиме вынужденных колебаний.
Поведение систем в режиме вынужден-
ных колебаний связано с рядом свойств,
которые могут быть выявлены в режиме сво-
бодных колебаний. Будем рассматривать
установившийся процесс колебаний, т. е.
колебания, происходящие в системе под
действием гармонической силы постоянной амплитуды, спустя та-
кой промежуток времени после начала действия этой силы, что при
принятой точности измерения можно пренебречь затухающей частью
процесса.
Рассмотрим два случая соединения массы и упругости: соеди-
нения узлом и соединения цепочкой.
Соединение узлом (фиг. I. И). Если приложенная сила
то
F == Fmsinw/,
(1-43)
Так как
Хт = /ш/и
и
хс = — i .
мгновенное значение колебательной скорости
5 = sin (<s>t 4- ф) ,
где
tg®
ют~ 0>С
R
37
В дальнейшем будем пользоваться амплитудными значениями ме-
ханических величин.
Из выражения (1.43) следует, что
чем = immax при ® = =	. Но
зависит от частоты, при-
, как мы знаем, это соотно-
шение определяет приближенное (при р < ш0) значение собственной
частоты свободных колебаний в механической системе, следова-
тельно, о>р = о)о. <Ор называется резонансной частотой, т. е. частотой,
равной собственной частоте колебательной системы без потерь.
Физический смысл резонанса читателю известен и на обсуждении
его останавливаться не будем.
Так как
Fmi —
р  ё 1
1 m2	4т шС >
где Fml и Fm2— амплитудные значения сил, действующих на массу
и упругость, то при <о = <о0 имеем
р ___ р __ Fm У f т _ К
гт1 — гт2— р у С ~ R Г
ИЛИ
Fmi =	= Fm • -у.
Величина у = Q носит название «добротности» колебательной си-
стемы
На основании изложенного имеем
— FmQ.
(1.44)
Таким образом, при резонансе в механической системе, образо-
ванной узловым соединением массы и упругости, амплитуды сил,
действующих на элементы системы, максимальны, равны друг другу
и больше амплитуды, приложенной к системе силы Fm , в Q раз.
Следовательно, физический смысл коэффициента добротности заклю-
чается в том, что он показывает, во сколько раз при резонансе воз-
растают силы Fmi и Fm2. Соответственно рассмотренный нами случай
называется резонансом сил.
Входное механическое сопротивление колебательной системы,
т. е. механическое сопротивление, оказываемое системой внешней
приложенной силе будет
Z»* = R + i (ып —	= Я + ix.
При (0 = (Do
ZBX = R = min
и реактивное сопротивление равно нулю
38
Легко видеть, что при <о < ю0 X < 0, следовательно, реактив-
ность системы имеет упругий характер (—/X), т. е. система ведет
себя как элемент упругости. Такая система называется системой
управляемой упругостью. Если, кроме того7?<^Х, то, очевидно,
в таких системах колебательная скорость опережает на прило-
женную силу.
В том случае, если о> > ю0, то X > 0. Поэтому реактивность
системы имеет инерционный характер (+/Х), а система ведет
себя как элемент массы и при 7? < X колебательная скорость отстает
по фазе на от приложен-
ной силы. Такая система
является системой, управляе-
мой массой.
Очевидно, для случая
со ==- ф0 система может назы-
ваться системой, управляе-
мой активным сопротивле-
нием.
Вернемся к выражению
(1.43).
Обозначив резонансное
значение амплитуды коле-
бательной скорости через
найдем отношение
Cmm
для этого преобразуем выражение (I. 43), введя безразмерные вели-
чины:
и	(от	хч
— = х; -k- = Q.
(Dq	К
После соответствующих преобразований получим

km
imm
________1________
+-§-(x2-l)2
(I. 45)
Эта функция представляет собой резонансную кривую для ампли-
туд колебательной скорости. Кривые, удовлетворяющие форму-
ле (I. 45), показаны на фиг. I. 12. С увеличением значения Q кривые
становятся острее и симметричнее. Если выбрать определенный
у|ювень (например, = 0,5), то расстояние на выбранном уровне
между левой и правой ветвями кривой будем называть относительной
шириной резонансной кривой на выбранном уровне.
Из формулы (I. 45) и кривых (фиг. I. 12) следует, что чем больше Q,
гем меньше ширина резонансной кривой, Если значения хг и х2
соответствуют границам относительной ширины резонансной кривой,
39
то, выбрав уровень, на котором определяется эта ширина, равным
,5 = 0,707, получим
Х2—Xi
или, переходя к абсолютным значениям частот,
Q =—-— = тА-.	(1.46)
(О2— О)! f2 — f/	'
где
Ш2 — <0х = Д(о
или
/г-А = Д/
представляют собой значения ширины резонансной кривой, выражен-
ные через круговые частоты или частоты колебаний.
Если выбрать уровень определения Да> равным 0,5, то
*'-46а»
Добротность системы, непосредственно связанная с шириной
резонансной кривой, характеризует качество системы, потери в ней
и ее избирательность, т. е. способность выделять энергию колебаний
желательной (резонансной) частоты.
Рассмотрим, как изменяется амплитуда смещения при изме-
нении частоты колебаний приложенной силы. Так как
=
то в соответствии с формулой (I. 43) получим
g _______________________________Fm_________
j/"-------gr) -f- /?2ю2
умножив на С и приняв введенные выше обозначения, получим
= ТГ Г'С *	(L 47>
Полученное выражение представим в безразмерном виде:
= /- 1 <L48>
у (1-^)+-^г
Эта формула описывает резонансную кривую для амплитуд
смещения в безразмерном виде.
На фиг. I. 13 представлено семейство таких резонансных кривых
при различном значении параметра Q. Из фигуры видно, что с уве-
личением добротности Q кривые становятся более острыми, причем
40
максимальные значения yUm также растут с увеличением Q. Послед-
нее обстоятельство отличает характер этих кривых от резонансных
кривых для амплитуд смещений.
Другой особенностью рассматриваемых резонансных кривых
является то, что максимумы этих кривых не соответствуют х = 1 ,
а получаются при х < 1, причем с уменьшением значения Q поло-
жение максимума смещается влево.
Все кривые уп несимметричны, но с увеличением Q становятся
более симметричными. Таким
смещений и для скоростей не
совпадают по своему харак-
теру, а максимальные значе-
ния смещений не отвечают
резонансному состоянию ко-
лебательной системы с со-
средоточенными постоян-
ными.
Это обстоятельство весь-
ма существенно. Из него,
в частности, следует, что по
максимуму резонансной кри-
вой смещений нельзя непо-
средственно. определить соб-
ственную (резонансную) час-
тоту колебательной системы.
образом, резонансные кривые для
Так как амплитуда силы Fmc, действующей на элемент упругости,
пропорциональна смещению и величине упругости, то при переходе
к безразмерному выражению кривые (фиг. I. 13) также будут яв-
ляться резонансными кривыми и для амплитуд силы, действующей
на элемент упругости.
Из выражения (I. 48) видно, что для х- 1, т. е. при резонансе,
= На этом основании можно легко определить величину
добротности путем измерения величины уи при о = ф0. Максималь-
ное значение уПт выражения (I. 48) будет при
(I- 49)
в чем легко убедиться, исследуя экстремальные свойства выражения
(I. 49). Подставив формулу (I. 49) в выражение (I. 48), получим
Уит —
Q
(I. 50)
На основании выражений (I. 49) и (I. 50) можно сделать вывод,
что при больших значениях Q максимальное значение уц близко
к Q, a xQ близко к 1.
Таким образом, при больших значениях добротности (Q>10)
практически можно считать, что резонансное значение амплитуды
смещения совпадает с максимальным.
41
Пользуясь резонансной кривой амплитуды смещения возможно
определить величину добротности <2 = */по. (при резонансе). Для
отсчета величину z/II0 необходимо измерить соответствующее зна-
чение $от0 (при х = 1) и определить величину FC [см. формулу
(I. 48)], т. е, измерить еще две величины. Можно, однако, вели-
чину i/no определить непосредственно по кривой на фиг. I. 14. Для
этого необходимо измерить амплитуду смещения в любых едини-
цах для двух значений х = 0 и х — 1. Так как при х— 0 и любых
значениях Q t/n=l, то при х — 1 может быть легко определена
величина
^110 — ~аГ—
“О
где ар — отсчет по индикатору (измерителю) смещения X = 1,
а а0 — соответствующий отсчет при X = 0.
Уравнение резонансной кривой для амплитуды силы Fm, дей-
ствующей на элемент массы, может быть легко получено из выраже-
ния (I. 45) и на основании соотношения
х mtn	>
тогда
y,n Fm /х2 +Q2(x2—"Ip*	* 
Не приводя кривых, соответствующих формуле (I. 51), заметим,
что они имеют несимметричный характер, причем несимметрия
растет с уменьшением Q; с ростом величины Q кривые становятся
более острыми, а максимальные значения этих кривых увеличиваются.
В отличие от предыдущего случая (резонансные кривые амплитуд
•смещения) максимумы значения уП) лежат правее значений х=\
и тем более смещены направо (т. е. при 1), чем меньше вели-
чина Q.
В заключение рассмотрения колебательной системы, образован-
ной узловым соединением массы и упругости, приведем выражение
для угла сдвига фазы между смещением и силой Fm:
? = arctg^r^.	(1.52)
Из формулы (I. 52) видно, что при отсутствии потерь (Q->oo)
и при X = 1 фаза меняется скачкообразно на величину тс. При X = 1,
т. е. при резонансе, независимо от величины Q, ф =-~, следо-
вательно, смещение отстает от приложенной силы на указанный
угол.
Сдвиг фазы колебательной скорости , относительно приложенной
силы определяется выражением
^l-arctgp^.	(1.53)
42
Соединение цепочкой (фиг. I. 14). Входное сопротивление Z8X)
оказываемое системой действующей на нее силе, может быть опре-
делено на основании формул (I. 20) и (I. 21) из выражения
7 ____	^1^2	_ р i : у
— Z1 + Z2
где
1
шС ’
Zt = 7?г — i
Z2 = /?2 i(om.
После соответствующих преобразований и разделения мнимой и
вещественной части получим
7 —
^в.х —
*	JJ)2] +1 [-2- (^)_ют (j^)]
-	/	1 \2	• (!• 54)
(Я1 + Яа)а+ “'"--Тп )
Здесь, как и раньше, ЯР = 1/	. Так как мы рассматриваем
случай колебательной системы, т. е. системы с малыми активными
потерями, то
Я2 «Я2
и
Я1«Я?.
Тогда реактивная составляющая вход-
ного сопротивления, т. е. слагаемое, на
которое умножается оператор I, будет
(I. 55)
Фиг. I. 14
иметь вид
-7?2+(‘“т-^с)2
(I. 56)
где R. = Ri + Rz.
При резонансе система не имеет реактивных составляющих и
ведет себя как активное сопротивление, иначе говоря, реактивные
сопротивления, входящие в состав колебательной системы, взаимно
компенсируются.
Таким образом, Х9 = 0. Очевидно, это равенство возможно,
когда
1
(О С
= (0/И,
(I- 57)
т. е. при равенстве реактивных сопротивлений (упругого и инерцион-
ного). Следовательно, при малых потерях [формула (I. 55)] в случае
43
соединения цепочкой резонанс наступает при соблюдении тех же
условий, как и в случае соединения узлом. Отсюда получаем
7' __ р __	+ (<°/и)2
^вх —
Но в соответствии с выражением (I. 55)	< (о>/и)2, следова-
тельно,
р2
ZeX--^ = -^-	(L58>
На основании формулы (I. 57) можно написать:
(—V R2
Zgx R ~ 1№R ~ ~R~	f1, 58а^
Выражения (I. 58) и (I. 58а) можно также написать в виде
= -&=Q /-?=W	о •59)
Если учесть, что <о0 = у=" и положить х =	, то модуль
комплексного сопротивления Zex может быть записан в форме
IZtx| = R 1/ 1+x8Q- -r-.	(I. 60)
V (1-Х2)3 + —
Это выражение удобно представить в безразмерном виде:
|2вх|	/	1 + *2Qa
R 1/	х2
V (1-^)2 + ^2
При Х= 1 и при Q^> 1 Zex^/?Q2, т. е. соответствует выраже-
нию (I. 59).
Таким образом, в тех случаях, когда элементы механического
колебательного контура соединяются цепочкой, значение Ztx при
резонансе будет максимальным, а когда элементы соединяются
узлом — минимальным. Следовательно, для рассматриваемого случая
соединения при резонансе, амплитуда колебательной скорости Ьт
в точке приложения внешней силы становится минимальной. На
7
кривых фиг. I. 15 показано изменение отношения для раз-
А
личных значений Q. Из фигуры видно, что с ростом добротности кривая
становится более острой и симметричной, а максимальное зна-
чение этого отношения увеличивается.
Так как при Fm.= const величина колебательной скорости im
обратно пропорциональна сопротивлению, то характер изменения
модуля в зависимости от частоты приложенной к системе гармо-
нической силы будет иметь вид, показанный на фиг. I. 16.
44
В механической системе, элементы которой соединены цепочкой,
величина амплитуды внешней приложенной силы равна амплитудам
сил, действующих на элементы упругости и массы. Поэтому, если
пренебречь величиной активных потерь, можно написать:
ё _ F т
тт ’
<оС
где ^тт и ^тс — колебательные скорости элементов массы и упру-
гости.
Но так как при резонансе
1
(0/и =	,
то ^тт — ^тс’ поэтому можно оперировать с любым из выражений
для Smm или imc. Очевидно,
- ё __
mm шлг
или
Чтт _ %вх __ q
\т от
Таким образом, амплитуды колебательных скоростей элементов
механической системы (массы и упругости) более (амплитуды колеба-
тельной скорости в точке приложения внешней силы в Q раз. Такое
соотношение в рассматриваемой системе соответствует резонансу ко-
лебательных скоростей.
На фиг. I. 16 показано изменение модуля амплитуды в
зависимости от частоты приложенной силы. Эта кривая называется
45
резонансной кривой колебательных скоростей. Если вместо = f (%)•
построить кривую
imm
I £тт Imax
= f(x),
где |6mm|max г-значение амплиту
ветствующее X = 1, будем иметь
Фи. I. 17
управляется упругостью. Характер
системы, соединенной цепочкой, у,
1ы колебательной скорости, соот-
безраЗмерную резонансную кривую-
колебательной скорости.
Легко видеть, что при
> О Zgx -> оо, a и
стремятся к бесконечно боль-
шим значениям.
Как это следует из пре-
дыдущего, при резонансе
колебательная система, обра-
зованная цепочечным соеди-
нением, является чисто актив-
ным сопротивлением, т. е.
сдвиг фазы между прило-
женной силой Fm и колеба-
тельной скоростью равен
Г нулю.
Из рассмотрения формулы
(1.4) следует, что при <о <
< <о0 X > 0, следовательно,
реактивность имеет инер-
, ционный характер (4-/Х),
'~ыС а соответствующая система
является системой управляе-
мой массой.
При <о > о>о X < 0, по-
этому реактивность имеет
упругий характер (—IX), т. е.
рассматриваемая система
изменения свойств колебательной
обно рассмотреть графически, пу-
тем несложного построения кривой изменения Ztx при пренебреже-
нии активными потерями (7? = 0) (фиг. I. 17). Строим функции, со-
ответствующие податливости элемента массы:
т
1 _ 1
Кт
и элемента упругости:
У, —^ = -о>С,
учитывая знаки.
Так как при соединении цепочкой общая податливость
Y0 = Ym+Yc,
46
то, произведя суммирование соответствующих ординат, получаем кри-
вую Уо, проходящую через точку <оо (значение резонансной частоты).
Далее находим ординаты для кривой Zex = (воспользовавшись
данными кривой Уо). На фигуре нанесена полученная описанным спо-
собом кривая Ztx, состоящая из двух ветвей. В точке <оо кривая Zex
имеет разрыв и значение этой кривой изменяется от +<ю до —со.
В этом случае Ztx не имеет конечного значения, так как по условию
R = 0. Из кривой видно, что при <о < <оо система ведет себя как масса
(так как в этой области кривая Ztx представлена положительной
ветвью), а при а> > <оо система эквивалентна упругости (отрицатель-
ная ветвь кривой Zex). Очевидно, что при <о = ш0 ± Д<о знак фазы
меняется на обратный; в точке = <оо сдвиг фазы равен нулю. При
R #= 0 кривая Ztx будет иметь вид, показанный на фиг. 1.17.
7.	СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ постоянными
Если механическая система состоит из нескольких элементов т
и D, связанных друг с другом более или менее сложным образом,
причем структура системы такова, что простой заменой элементов т
и D одним (для каждого ряда элементов) эквивалентным тв или D3
привести данную систему к элементарной нельзя, то такая система
имеет несколько степеней свободы, число которых равно числу соб-
ственных резонансных) частот: <оо, ш01, <оо2.
Определение значений собственных частот любой и в том числе
(•ложной колебательной системы представляет существенный интерес.
Для определения а>01, ш02>... можно применять ряд методов на
основании рассмотрения колеблющейся системы в режиме соб-
ственных колебаний. В данном случае применим метод, основанный
па рассмотрении входного сопротивления системы, т. е. параметра,
определяющего поведение механической системы в режиме выну-
жденных колебаний. Этот метод в одинаковой степени пригоден также
для определения собственных частот систем с распределенными
постоянными.
Допустим, что механическая колебательная система состоит
из нескольких сосредоточенных элементов, соединенных произволь-
ным образом, При помощи известных правил можем найти сопротив-
ление данной системы в точке приложения внешней силы.
В общем случае получаем некоторое комплексное выражение:
%вх = “Ь ^о>
где
Ro = fi (ttii • • • Cj... Ср', Ri.... Rq', (o);
= f2 (wii; C2... Cpi Ri i. i Rq‘, <o).
Выражение для Zsx получается в виде приведенной выше комплекс-
ной суммы активной и реактивной составляющих, потому что в резуль-
тате определенных математических действий разделяем в окончатель-
47
ном выражении отдельно вещественную и мнимую части. Однако
сумме активной и реактивной составляющих соответствует структура
системы, составленной из двух элементов, соединенных узлом,
поэтому можно заменить реальную систему эквивалентной, состоящей
из двух составляющих (7?0 и Хо), соединенных указанным способом.
Очевидно, такое соединение имеет условный смысл. Однако интерес
представляет не эквивалентная схема, а выражение для Zex с выде-
ленной мнимой частью. При резонансе потребляемая системой от
источника реактивная энергия равна нулю, следовательно,
Хо = О.	(1.61)
Условие (I. 61), т. е. равенство реактивной составляющей вход-
ного сопротивления нулю, является условием резонанса. Решение
уравнения (I. 61), т. е. определение значений q)Oi, (d02,--- обра-
щающих реактивную составляющую в нуль, дает значения резо-
нансных частот.
Очевидно, полученные таким образом значения резонансных
частот совпадают со значениями, соответствующими свободным
колебаниям системы. Различие между поведением сложной системы
при свободных и вынужденных колебаниях заключается в том, что
в режиме свободных колебаний система колеблется одновременно
с несколькими частотами, в результате чего имеется сложное (негар-
моническое) колебание типа биений при вынужденных колебаниях,
система колеблется лишь с частотой приложенной гармонической
силы, а явления резонанса возникают в одном из случаев, если <о =
= (DOi> <0 = ом,---» (о = (Оол» гДе — частота внешней силы.
Таким образом, для определения резонансных частот необходимо
составить выражение для входного сопротивления данной механи-
ческой колебательной системы, выделить мнимую часть этого выра-
жения, приравнять ее нулю и решить полученное уравнение отно-
сительно (о.
Для сложных систем, составленных из сосредоточенных по-
стоянных, обычно приходится решать рациональное уравнение,
степень которого соответствует числу резонансных частот. Следо-
вательно, сложность определения искомых частот определяется
исключительно сложностью решения рассмотренных уравнений.
Уравнения, соответствующие системам с распределенными по-
стоянными, обычно являются трансцендентными и имеют периоди-
ческие решения. Так как ультразвуковые колебательные системы,
как правило, не представляются сложными системами с сосредо-
точенными постоянными, то ограничимся приведенными замечаниями,
относящимися к определению резонансных частот для таких систем.
Важно, однако, учесть, что изложенный метод определения резо-
нансных частот по реактивной составляющей входного сопротивле-
ния является общим для любых и в том числе ультразвуковых
систем, содержащих системы с распределенными постоянными
любой сложности и в любом сочетании с сосредоточенными элемен-
тами.
48
8.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ И «ПРЕДЕЛЬНАЯ» ЧАСТОТА
Под энергетической прочностью Еяр колебательной системы
будем понимать предельное значение энергии, которое может быть
запасено при колебаниях на собственной частоте в данной системе
без нарушения ее механической прочности.
Рассмотрим, чем определяется энергетическая прочность. Мак-
симальная энергия, которая может быть запасена в механической
колебательной системе с сосредоточенными постоянными:
CfL
р	_____m
^пот т 2
В данном, случае выбрано выражение для максимальной потен-
циальной энергии, так как выражение для Еки„ т не содержит .вели-
чин, характеризующих ограничение запасаемой энергии. Очевидно,
значение Fm ограничивается прочностью элемента упругости. С дру-
гой стороны, деформация любого элемента упругости не может быть
более того значения, выше которого линейный закон деформации
нарушается
Полагая, что величина разрушающей силы Fm b не превышает
значения, выше которого линейная зависимость между силой и дефор-
мацией нарушается, можно написать:
Е»р = -^^-	(1-62)
Таким образом, энергетическая прочность целиком определяется
свойствами упругого элемента, т. е. значениями D = -g- и Fm ь.
Для повышения Еяр необходимо увеличить геометрические раз-
меры элемента упругости, так как при этом возрастают его гибкость
и прочность. Однако увеличение размеров рассматриваемого эле-
мента неизбежно вызовет увеличение его массы, а следовательно,
приведет к снижению собственной частоты системы. Поэтому для
того, чтобы заданное значение частоты оставалось неизменным,
необходимо ограничить размеры упругого элемента, а следовательно,
и энергетическую прочность. Единственным путем повышения энер-
гетической прочности на заданной частоте является выбор материала,
из которого изготовляется элемент упругости, и его конструкции,
обеспечивающие максимально возможное значение Fmb. Увеличение
гибкости С также не может повысить Еяр. Действительно, при задан-
ном значении частоты всякое увеличение С требует уменьшения
массы т; однако с ростом С, получаемым за счет увеличения гео-
метрических размеров элемента упругости, растет масса этого эле-
мента.
1 В этом случае мы имели бы нелинейную колебательную, систему, рассмотре-
ние которой выходит за рамки данной книги. Некоторые замечания о влиянии нели-
нейности приведены в § 6 главы X.
4 теумин 261	' 49
Возможный путь уменьшения величины сосредоточенной массы
в пределе приводит к замене системы с сосредоточенными постоянными
системой с распределенными постоянными.
Из изложенного следует, что чем выше собственная частота
механической колебательной системы с $осредоточенными постоян-
ными, тем меньше значение Елр, поэтому с ростом резонансной
частоты получение большой колебательной мощности становится
затруднительным или невозможным.
Из этих рассуждений следует, что всякие попытки повысить
энергетическую прочность системы путем увеличения С и Fm bt
при заданном значении резонансной частоты приводит к снижению
добротности механической системы, так как при этом падает отно-
шение Уменьшение добротности механической колебательной
системы снижает ее энергетическую эффективность, так как воз-
растает относительная величина потерь.
В связи с этим, отметим, что увеличение геометрических раз-
меров элемента упругости для повышения Епр неизбежно сопро-
вождается увеличением потерь на внутреннее трение в этом эле-
менте. Если колебательная система предназначается для передачи
энергии в некоторую поглощающую среду, представляющую собой
полезную нагрузку и обладающую активным сопротивлением
то на основании формулы (I. 42) получим
Ро = Рп + Рн =	’	<L 63>
где Ро — полная активная мощность, расходуемая на сопротивлении
потерь (R) и полезной нагрузке, Р„ и Рн — значения активной мощ-
ности, расходуемой на внутренние потери в системе и в нагрузке
соответственно. Величина R'H представляет собой перечисленное
в колебательную систему сопротивление нагрузки (RH). Физический
смысл и математическое перечисление действительного сопротивле-
ния RH нагрузки заключается в учете реальных условий связи
механической колебательной системы с поглощающей средой (нагруз-
кой). Перечисление в дальнейшем будем производить только для
стержневых систем. Здесь лишь воспользуемся указанным понятием
для анализа энергетического баланса в нагруженной колебательной
системе.
Из выражения (I. 63) видно, что при Ро = const распределение
энергии между сопротивлениями R и R'H зависит от соотношений
между этими сопротивлениями.
Коэффициент полезного действия системы будет
следовательно, изменяя условия перехода энергии в нагрузку, т. е.
условия связи колебательной системы с объектом, которому энергия
50
передается, можно изменить к. п. д. В данном случае с увеличением
размеров колебательной системы с сосредоточенными постоянными
растут потери в ней, а следовательно, падает к. п. д. этой системы
(при постоянном запасе мощности). Для уменьшения потерь можно
уменьшить im, однако это приведет к уменьшению запаса энергий.
Таким образом, из изложенного вытекает, что для механической
колебательной системы с сосредоточенными постоянными увеличе-
ние энергетической прочности, добротности и к. п. д. (повышение
колебательной мощности) возможно лишь при увеличении геометри-
ческих размеров этой системы, что неизбежно понижает резонансную
частоту.
В связи с изложенным, можно ввести понятие о некотором «пре-
дельном» значении частоты, т. е. такое максимальное ее зна-
чение, при котором для данной системы и заданной колебательной
мощности возможна реализация этой системы. Таким образом, f
связана с энергетической прочностью системы, уменьшаясь с уве-
личением последней. С увеличением частоты, т. е. с уменьшением
размеров системы, возникают конструктивные трудности, препят-
ствующие реализации системы.
Устройства, работающие на достаточно большой частоте и в ультра-
звуковом диапазоне, не могут быть построены из колебательных
систем с сосредоточенными постоянными. Для практических условий
это относится к частотам от нескольких тысяч герц и выше, а в ряде
случаев — к частотам выше нескольких сотен герц.
Кроме того, следует учитывать, что нагрузка может содержать
реактивные составляющие, понижающие собственную частоту меха-
нической колебательной системы.
Однако знание свойств систем с сосредоточенными постоянными
и процессов, происходящих в них, является весьма существенным,
так как стержневые системы являются развитием систем с сосредо-
точенными постоянными и на практике могут быть сочетания стерж-
невых систем с сосредоточенными элементами; кроме того, основные
понятия, процессы и некоторые методы исследования являются
общими для всех систем. Системы с сосредоточенными постоянными
могут представлять также самостоятельный практический интерес
(например, при рассмотрении эквивалентных систем).
9.	РАСЧЕТ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Значения величин элементов упругости и массы, входящих
и системы с сосредоточенными постоянными или связанных с систе-
мами с распределенными постоянными, могут быть рассчитаны по
соответствующим формулам.
Как уже было указано, любой элемент массы или упругости
обладает одновременно свойствами обеих реактивностей (инерцион-
ностью и упругостью), однако при преобладании одного из этих
свойств и малом значении другого свойства практически принимаем
данный элемент обладающим только одним видом реактивности.
•1*	51
Преобладание одной из реактивностей зависит от параметров
и конструкции устройства, образующего данный элемент колебатель-
ной системы, и от рабочей частоты. Если мы пренебрежем активными
потерями в элементе, т. е. величиной /?, которая практически не
влияет на величину массы или упругости данного элемента, то одно-
временное наличие двух видов реактивностей удобно записать в виде
Х0 = Хм — Хс = ып — — .	(1.65)
При этом условие
О-66)
соответствует преобладанию инерционных свойств, а условие
(1.67)
преобладанию упругих свойств. Поэтому, если элемент обладает
практически только массой, то
Х0~Хт,
а если преобладает упругость, то
Х^-Хс.
Формула (I. 65) соответствует соединению узлом. При таком
соединении, если ш < ц)0» система ведет себя как упругость, а если
(о > (о0 — как масса. Ввиду того, что	условие ф2
совпадает с условием (I. 67), а условие ю2 -----с условием (I. 66).
Поэтому, выбирая D > /иш2 или т , имеем соответственно
элемент упругости или элемент массы. Заметим, что для рассмотрен-
ного случая одновременного существования упругих и инерцион-
ных свойств значения упругости и массы являются динамическими
и, в отличие от статических, зависят от частоты. Если бы устройство
обладало только одним каким-нибудь свойством, то статические
значения совпадали бы с динамическими. При малых потерях можно
считать, что, если
D> 10W	(1.68)
или
(1.69)
то элемент является «чисто» упругим или «чисто» инерционным
и расчет величины массы или упругости может производиться без
учета рабочей частоты по формулам, применяемым для расчета ста-
тических параметров. Очевидно, расчет сосредоточенной массы не
представляет сложности. Приведем формулы для расчета величины
52
статической. упругости для некоторых конструкций упругих эле-
ментов. Для некоторых случаев, в которых приходится учитывать
влияние распределенных постоянных, будет приведен также расчет
массы, отличающийся от тривиального расчета для сосредоточенной
конструкции.
На фиг. I. 18 изображена конструкция элемента упругости в виде
пластинки, закрепленной одной стороной. Если внешняя сила
(или место связи с системой, куда входит рассматриваемый элемент)
сосредоточена на конце элемента, как это показано на фигуре, то
такое устройство представляется эквивалентной системой, элементы
которой соединены узлом, причем
упругость	-----I--------Т н
D = “4Р" >	(I- 70)	TJ
где Е — модуль упругости ма-	Фиг. I. 18.
териала пластины;
b, h и I — соответственно ширина, толщина и длина пластины.
Масса	/и = 0,24р£>Л,	(1.71)
где р — плотность материала пластины.
Если такая система применяется как сосредоточенный элемент,
то обычно используются только ее упругие свойства. При этом
необходимо обеспечить условие (I. 68). На основании формул (I. 70)
и (I. 71) находим условие для рассматриваемой конструкции, при-
меняемой в качестве упругого элемента:
^->9,6ш2.	(1.72)
Для случая круглой мембраны, т. е. тонкой натянутой перепонки,
у которой собственная упругость является результатом натяжения
(внешней силой), имеем
D = 2kF’,	(1.74)
где d — диаметр мембраны;
h — толщина;
р — плотность вещества, из которого сделана мембрана;
F' — натяжение, т. е. сила, приходящаяся на единицу длины
разреза, взятого в любом напряжении на поверхности
мембраны.
При этом предполагается, что внешняя (приложенная) сила
(не смешивать с силой натяжения) распределена равномерно по
одной стороне мембраны, создавая давление р. Сила, эквивалентная
внешней силе и приведенная к центру мембраны,
с S
где S — площадь одной стороны мембраны.
53
Мембрана обычно используется как упругий элемент, для чего
необходимо, чтобы
F'>0,415d2Ap<o2.	(1.75)
Для круглой тонкой закрепленной по краям ненатянутой пла-
стинки, возбуждаемой силой F, сосредоточенной в центре, или силой
F' =	, распределенной равномерно по всей поверхности и соз-
дающей давление р, масса и упругость определяются как
nd2 ph
т 20“ ’
п 16,76£Л’
U ~ (1—
(1.76)
(1-77)
где d — диаметр пластинки;
h — ее толщина;
р — плотность;
v — коэффициент Пуассона.
Фиг. I. 19.
Фиг. I. 20.
Если такая пластина используется как элемент упругости, то
на основании формулы (I. 68) необходимо, чтобы.
ЙГ^5>	0-78)
Если по одну сторону пластинки или мембраны А имеется зам-
кнутый воздушный объем (фиг. I. 19), то упругость такой системы
будет
d = °'Vd^S1.	(L79>
где D' — упругость, определенная по формуле (I. 74) или (I. 77)
(в зависимости от того, что представляет собой элемент А);
S — площадь мембраны (или пластинки), соприкасающаяся
с замкнутым воздушным объемом;
р0 — исходное давление в замкнутом объеме Уо (до деформации
элемента А);
ф — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давле-
нии и при постоянном объеме (для воздуха ф = 1,41).
Для конструкции, изображенной на фиг. 1.20, составленной
из жесткой центральной части А, рассматриваемой как
54
элемент массы, и гибкого «воротника» (кольцевой диафрагмы) имеем
т = тА, где тА — масса центральной части,
D = ^{2a+^h3	(1.80)
(1  V2) О3	'	7
(h— толщина диафрагмы).
Если элемент представлен круглой, опертой по периметру и на-
груженной в центре пластинкой, то
Для того чтобы устройство представляло собой упругий элемент,
необходимо, чтобы
£ (1 +v) >01 — (d2	fl 831
(1_V2)(3+^) >0,! Л2 © .	(1.8d)
Другие конструкции упругих элементов не рассматриваются.
Такие конструкции, как спиральные пружины, не применяются
в звуковом и ультразвуковом диапазоне. В случае необходимости
расчет их может быть произведен по известным формулам, приводи-
мым в соответствующих разделах прикладной механики.
В заключение заметим, что в качестве упругих элементов могут
быть использованы системы с распределенными постоянными при
определенных соотношениях между их параметрами и рабочей
частотой возбуждающих их колебаний. Этот вопрос подробно будет
нами рассмотрен в последующих главах при изучении стержневых
колебательных систем.
ГЛАВА II
СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
1.	УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Если в механической колебательной системе каждая ее часть
(любой малости) обладает свойствами массы, упругости и активным
сопротивлением (причем физически разделить эти элементы невоз-
можно), то такая система является системой с распределенными
постоянными.
Механическая колебательная система с распределенными постоян-
ными может быть представлена в виде тела ограниченного объема
любой формы. Таким образом, первым признаком рассматриваемой
системы является сплошность среды, образующей эту систему;
вторым обязательным признаком является ограниченность объема
системы, а третьим — упругие свойства среды, образующей коле-
бательную систему с распределенными постоянными.
Если система обладает упругостью, то при деформации она спо-
собна накапливать потенциальную энергию, затем ее отдавать, пре-
образовывая ее в кинетическую энергию движения элементов массы.
Следовательно, свойством колебательной системы является возмож-
ность перехода одного вида энергии в другой. Так как любая среда
обладает массой (но не обязательно упругими свойствами), то наличие
последних достаточно для существования третьего признака коле-
бательной системы с распределенными постоянными.
Очевидно, что колебательные процессы в рассматриваемых систе-
мах относятся к состоянию среды (деформации, смещения, напряже-
ния), но отнюдь не к механическим колебаниям всей системы как
единого целого.
При значительной величине активных потерь, превышающих
запас накапливаемой в упругом элементе энергии, система с равно-
мерно распределенными постоянными становится апериодической,
подобно системам с сосредоточенными постоянными с аналогичным
соотношением энергий потерь и запасаемой энергии в упругом эле-
менте.
Условие (признак) ограничения объема механической колеба-
тельной системы с распределенными постоянными является очевид-
ным. Действительно, резонансные и энергетические показатели
любой колебательной системы, которой можно управлять, будут
56
иметь определенные и реальные значения лишь в том случае, если
эта система имеет границы. Если в каком-либо направлении система
неограничена, то такое устройство не является колебательной систе-
мой, а представляет собой некоторую ограниченную (в двух изме-
рениях) среду, в которой могут распространяться упругие колебания.
Таким образом, прежде всего необходимо рассмотреть некоторые
свойства упругих сред, являющихся исходным материалом построе-
ния этих систем. Это относится к тем свойствам, которые связаны
с упругими колебаниями.
В качестве сред, служащих материалом для создания систем,
с распределенными постоянными, будем рассматривать только
твердые среды, обладающие упругими свойствами и относительно
малыми потерями.
Кроме того, будем считать, что зависимость деформации от силы,
действующей в любой точке (или плоскости) среды, линейная, т. е.
что деформация имеет чисто упругий характер (при этом линейная
зависимость относится к статическим деформациям и силам). Оче-
видно, рассматриваемый линейный закон идеально не может быть
соблюден ни при каких (малых) значениях деформаций, однако
практически можно его принять в диапазоне деформации до предела
упругости. Примем также, что среда является однородной и изотроп-
ной.
Если в упругой среде в какой-либо ее точке существуют перемен-
ные силы, то в результате должны возникнуть переменные деформа-
ции, смещения и напряжения, распространяющиеся в среде с
определенной скоростью от источника (т. е. точки, где приложена
внешняя сила).
Такие процессы, происходящие в упругой среде, называются
упругими колебаниями. Так как периодические изменения состояния
среды в результате упругих колебаний происходят не только во
времени, но и в пространстве, заполненном данной средой, то опи-
сание колебательного процесса требует двух систем координат:
временной (/) и пространственной (х, у, г). Распределение в простран-
стве той или другой механической величины (деформации, смещения
или силы) называется упругой волной, форма которой может быть
различной. Рассмотрим только гармонические (синусоидальные)
волны.
Если распределение в пространстве механической величины
перемещается, то имеет место бегущая волна; неподвижность этого
распределения соответствует стоячей волне. Скорость распростране-
ния в данной среде упругой волны, т. е. скорость, с которой распро-
страняется в этой среде механическая энергия в форме упругой
волны, называется скоростью распространения (о). Скорость, с кото-
рой колеблется частица среды, под влиянием упругих колебаний,
называется колебательной скоростью £ = где 5 — смещение
Очевидно, амплитуда колебательной скорости
Как известно из общей теории колебаний, расстояние между
двумя одинаковыми фазовыми состояниями упругой волны называется
57
длиной волны (к). Обычно является удобным для таких фазовых
состояний принимать максимальные значения упругой волны одного
и того же знака.
X = -L = VT.
Скорость распространения гармонической волны также носит
название фазовой скорости (о^), поэтому длину волны (при гармо-
нических колебаниях) можно определить как расстояние, которое
проходит бегущая волна (или распространяется энергия упругих
колебаний) за время одного периода.
Для упругой волны под колебательным смещением (аналогично
колебаниям в системах с распределенными постоянными) понимается
отклонение материальной точки среды от положения равновесия
под воздействием периодической возмущающей силы, действующей
в рассматриваемой точке. Если упругая волна распространяется
в неограниченной среде (наиболее общий случай), то она описывается
тремя пространственными координатами. Этот общий случай может
быть приведен к трем вырожденным, которые обычно и являются
предметом рассмотрения при изучении упругих колебаний. Эти
три случая следующие:
а)	плоская волна;
б)	шаровая (сферическая) волна;
в)	цилиндрическая волна (с осевой симметрией).
Плоская волна характеризуется распространением вдоль одной
координаты, и ее пространственное состояние определяется этой
координатой. Для каждого момента времени поверхности, проведен-
ные через точки-, в которых механическая величина, определяющая
упругую волну, находится в одинаковых фазах, являются плоско-
стями, которые параллельны друг другу и перпендикулярны направ-
лению распространения.
Шаровая волна также описывается при помощи одной коорди-
наты, но в отличие от случая плоской волны этой координатой яв-
ляется расстояние, отсчитываемое от одной точки (центра волны)
в любом направлении. Поверхности, проведенные через точки равных
фаз, представляют собой концентрические сферы. Энергия упругих
колебаний распространяется через каждую точку в направлении
радиуса-вектора, проведенного из центра через данную точку.
Для цилиндрической волны при описании пространственного
состояния также необходима одна координата — расстояние, отсчи-
тываемое не от центра, а от некоторой оси, причем это расстояние
отсчитывается в плоскости, перпендикулярной к указанной оси.
Поверхности равных фаз представляют собой коаксиальные цилиндры.
Более сложные пространственные формы упругих волн могут
«быть построены путем наложения простейших волн. В частности,
йаложение плоских волн в большинстве случаев может удовлетво-
рительно описывать реальные волновые картины.
Механические колебательные системы с распределенными постоян-
ными, как указано, представлены твердой средой. Размеры и кон-
58
фигурация этих систем таковы и способ возбуждения упругих волн
в них выбираются таким образом, что практически в этих системах
имеются плоские волны. При таком виде волн колебательные системы
с распределенными постоянными используются наиболее эффектив-
но. Поэтому в дальнейшем упругие колебания будем рассматривать
только для плоских волн. В среде, куда передается энергия упругих
колебаний (рабочая среда), могут возникать волны и более сложной
формы, фронт которых в общем случае не является плоским, однако
рассмотрение упругих колебаний в рабочей среде и связанные с ними
физические и технологические процессы не входят в задачу настоя-
щей книги.
При рассмотрении упругих колебаний без связи их с колебатель-
ными системами будем полагать, что среда не ограничена в направ-
лениях, не совпадающих с направлением распространения волн.
Что же касается граничных условий, относящихся к направлению
распространения упругих волн, то они могут быть различными.
2.	ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Типы упругих колебаний, распространяющихся в какой-либо
среде, могут различаться по виду и положению траекторий движения
частиц среды или положению векторов деформации. Если упру-
гая среда не ограничена (в направлениях, не совпадающих с направ-
лением распространения упругих волн), то могут быть два основных
типа колебаний: продольные и поперечные.
При продольных колебаниях элемент среды удлиняется или
укорачивается, но нет никаких поперечных перемещений или дефор-
маций. Направление колебаний частиц среды совпадает с направле-
нием распространения волн. Плоскости смещения остаются парал-
лельными друг другу.
На фиг. II. 1 показано перемещение материальной точки с коор-
динатами (х, у, z); х0, уй, z0 — координаты исходного положения
точки (положение равновесия). Координаты Xi, у0, z0 и х2, #0> го —
положения смещений точки по обе стороны от равновесия. Таким
образом, плоскости смещения, проходящие через прямые Xi, ai, х0,
а0, хг> а2 — параллельно плоскости Уо Z остаются параллельными
друг другу. За направление распространения волны принято направ-
ление ОХ.
При поперечных колебаниях смещения и деформации происходят
перпендикулярно направлению распространения волны. Таким
образом, в этом случае плоскости смещения в поперечном сечении
остаются параллельными друг другу, размеры поперечных сечений
не изменяются, но эти сечения смещаются одно относительно дру-
гого.
Материальная точка (частица) с координатами х, у, z (фиг. II. 2)
смещается от положения равновесия х0, у0, z0 в положении х0, у0, zi
или х0, уй, z2. Таким образом, для любых других точек с положениями
равновесия Xi, уй, z0, х2, у0, г0 плоскости, в которых происходят
колебания остаются параллельными друг другу. Так же как и в слу-
59
чае, приведенном на фиг. II. 1, направление распространения волны
совпадает с направлением ОХ.
Как видно из фиг. II. 2, частицы колеблятся в плоскостях, парал-
лельных оси OZ, однако поперечные колебания могут быть и при
колебаниях в любом другом направлении, перпендикулярном
к оси ОХ.
Продольные колебания называются колебаниями «типа L»,
а поперечные или сдвиговые — колебаниями «типа S». Скорости
распространения волн L и S колебаний в одной и той же среде раз-
личны.
В твердых средах могут существовать колебания обоих типов;
в жидкостях и газах поперечные колебания не распространяются
(за исключением очень вязких жидкостей), так как такие среды
не обладают модулем сдвига.
Если упругая среда ограничена, как например, в любых меха-
нических колебательных системах с распределенными постоянными,
то возможные типы упругих колебаний оказываются более разно-
образными.
Наибольший практический интерес представляют системы стерж-
невого типа, т. е. системы с распределенными постоянными, харак-
теризующиеся следующими признаками:
а)	размеры системы в направлении распространения колебаний
по крайней мере в несколько раз больше поперечных размеров
и составляют заметную долю длины волны или больше этой величины;
б)	поперечные размеры меньше длины волны;
в)	форма и размеры поперечных сечений системы на всей ее длине
постоянны или меняются равномерно по определенному закону
(исключением из этого признака являются составные стержневые
системы, собранные из отдельных простых систем, каждая из которых
удовлетворяет признаку- «в»).
Уточнение этих положений, а также рассмотрение и классифи-
кация стержневых систем нами будет проведено далее; здесь же
рассмотрим возможные типы колебаний в этих системах, тем более,
60
что эти типы наиболее четко могут быть выявлены именно в указан-
ных системах.
В стержневых системах возможны следующие основные типы
колебаний:
продольные;
поперечные (сдвиговые);
продольно-поперечные;
изгибные;
крутильные;
поверхностные.
На фиг. II. 3 — II. 6 показаны на продольных разрезах стерж-
ней круглого сечения распределения деформаций при различных
типах колебаний. Соответствующие линии показывают распреде-
ление смещений элементов сечения.
Фиг. II. 3.
Фиг. II. 4.
В дальнейших пояснениях обозначим через X — длину волны
nd — диаметр стержня. Заметим, что характер колебаний не изме-
нится для стержней прямоугольного сечения,.
На фиг. II. 3 показаны продольные колебания. Чисто продоль-
ными и не сопровождающимися поперечными деформациями могут
колебания быть лишь в том случае, если X < d. Если же X > d,
то возникают продольно-поперечные колебания, изображенные на
фиг. II. 4 Колебание этого типа характеризуется одновременными
деформациями вдоль направления распространения волны и пер-
пендикулярно этому направлению. Дополнительная деформация
в перпендикулярном направлении является следствием влияния
модуля поперечного сжатия (коэффициента Пуассона). В местах
продольного растяжения стержень подвергается поперечному сжа-
тию, а в местах сжатия происходит растяжение в поперечном направ-
лении.
На фиг. И. 5 приведены поперечные (сдвиговые) колебания для
стержневых систем. Такие колебания в чистом виде могут быть
лишь при X d. При этом плоскости поперечного сечения остаются
параллельными друг другу, но смещаются одна относительно
Другой.
Если X d, то могут появиться волны изгиба (фиг. II. 6), воз-
никающие также при поперечных колебаниях, но отличающиеся
от волн сдвига. При таких колебаниях плоскости поперечного сече-
ния не остаются параллельными и меняют свое направление отно-
сительно центральной продольной оси. Возникновение тех или
иных волн зависит не только от соотношения -4-, но и от способа
а
61
возбуждения колебаний, физических постоянных среды (плотности,
упругих свойств), формы поперечного сечения и способа закрепле-
ния стержневой системы. В принципе в любом стержне можно воз-
будить изгибные или чисто поперечные колебания, однако для
каждого из этих типов существуют наиболее благоприятные условия,
определяемые перечисленными факторами.
На фиг. II. 7 показаны крутильные колебания. При этом каж-
дое поперечное сечение стержня, оставаясь в своей плоскости,
Фиг. II. 5.
Фиг. II. 6.
поворачивается относительно своего центра, а ось стержня остается
невозмущенной. Крутильные колебания аналогичны поперечным
и возникают при деформации закручивания с помощью пары сил.
Поверхностные волны возникают на свободной поверхности
упругого твердого тела или на поверхности раздела двух сред.
На фиг. II. 8 показан разрез упругого тела, перпендикулярный
к его свободной границе, на кото-
рой видна деформация, соответ-
ствующая поверхностным волнам
(волны Рэлея). Эти волны быстро
затухают вглубь от границы тела.
Траектории, по которым колеблется
Фиг. II. 8.
Фиг. II. 7.
частица среды, представляют собой замкнутые кривые, лежащие
в плоскости, перпендикулярной к поверхности и направленной
вдоль оси распространения волны. Волны, возникающие на поверх-
ности раздела двух сред (волны Лява), характеризуются попереч-
ными смещениями частиц в верхнем слое. Эти волны могут возник-
нуть в ограниченной среде и поэтому в общем случае могут наблю-
даться и в стержневых системах.
Наибольший практический интерес в ультразвуковой технике
в «неограниченной» среде представляют продольные и поперечные
колебания, а в стержневых системах — продольные и изгибные,
которые мы и будем рассматривать в дальнейшем.
62
3.	ПАРАМЕТРЫ УПРУГОЙ СРЕДЫ
Условия распространения упругих колебаний и механические
величины, характеризующие упругие волны, непосредственно свя-
заны с параметрами среды. Колебательные свойства упругой одно-
родной и изотропной среды, полностью определяются следующими
параметрами:
плотностью р в (г/сл43);
модулем продольной упругости Е (модуль Юнга) в дн/см2
(в абсолютной системе) или в кГ/мм*-,
модулем сдвига р. (в дн1см2 или кГ/мм2)-,
коэффициентом Пуассона v;
скоростью распространения упругой волны v в см/сек;
удельным волновым сопротивлением w в г/смРсек.-,
затуханием р.
Модуль Юнга, как известно, представляет собой отношение
где а — напряжение, т. е. сила, действующая на единицу попе"
F /с,
речного сечения; а= — площадь поперечного сече-
ния);
е = ~i--относительное удлинение (или укорочение) элемента объема
в направлении приложенной силы.
Модуль сдвига аналогично является отношением
где и еу — напряжение и деформация сдвига соответственно. Как
известно, величины Е, v и связаны друг с другом соотношением
!‘“-27TVj-	(П-2)
Напомним, что величина деформации
где $ — величина смещения при деформации рассматриваемого уча-
стка, вдоль направления х (в дальнейшем, если не будет особой ого-
ворки, то, зто означает, что мы оперируем понятиями, относящимися
к продольной деформации).
Очевидно смещение и деформация понятия неоднозначные. Напри-
мер, могут быть условия, когда $ 0, но -^ = 0, следовательно,
соответствующий участок среды смещен, но не деформирован.
Величина напряжения а = Ее может быть а > 0 или а < 0.
В первом случае наблюдается растяжение (е > 0), во втором —
63
сжатие (е < 0). При этом следует иметь в виду, что между прило-
женным внешним давлением р и возникающим в среде напряжением а
существует связь р = — а.
Коэффициент Пуассона v = связывает между собой дефор-
мации продольную и сдвига.
Скорость распространения упругой волны v является важным
параметром упругой среды. Величина v непосредственно связана
с остальными параметрами. Оперируя величиной скорости, имеем
в виду фазовую скорость распространения, т. е. скорость гармони-
ческой волны постоянной амплитуды. Иначе говоря, фазовая ско-
рость волны характеризует скорость распространения данной фазы
волны в установившемся волновом процессе. Если бы рассматрива-
лась негармоническая волна, то, как известно, волну любой (негар-
монической) формы можно представить в виде суммы различных
гармонических составляющих, сдвинутых одна относительно дру-
гой на определенные фазовые углы.
Таким образом, для каждой из этих составляющих существует
понятие фазовой скорости. Если среда не обладает дисперсией,
т. е. фазовая скорость не зависит от частоты, то все составляющие
негармонической волны распространяются с одинаковой скоростью
и форма волны в любом участке среды в процессе ее распростране-
ния остается постоянной, следовательно, волна не искажается.
Скорость распространения такой негармонической волны называется
групповой скоростью, причем при отсутствии дисперсии групповая
•скорость равна фазовой. Если среда обладает дисперсией, то раз-
личные частотные составляющие распространяются с различными
•фазовыми скоростями, поэтому в любом участке среды сумма состав-
ляющих даст некоторую форму волны, отличную от исходной, сле-
довательно, волна искажается. Для такой волны понятие группо-
вой скорости ее распространения связано с принятием некоторого
•определенного признака, относительно которого можно говорить
•о скорости распространения. Таким признаком может быть, например,
максимальное значение волны. В частности, если негармоническая
волна представлена упругим импульсом любой формы, то можно
говорить о скорости распространения этого импульса, например
скорости распространения его максимального значения. Для импуль-
сной волны удобно также отмечать скорость распространения глав-
ной части сигнала, имея в виду под главной частью ту часть, в кото-
рой заключена основная доля (например, 90%) всей энергии.
Если дисперсия не вносит существенных искажений в ограни-
ченную негармоническую волну в том смысле, что размытие границ
этой волны (импульса) незаметно, то за групповую скорость прини-
мают скорость распространения указанного импульса (пакета соста-
вляющих гармонических волн), отмечая эту скорость по перемещению
любого значения импульса (по его границе или максимуму). Чем боль-
ше необратимые потери в'среде, тем больше будет искажаться негармо-
ническая волна, так как поглощение энергии упругих колебаний
зависит от частоты. Поэтому влияние затухания осложняет возмож-
64
ность использования понятия групповой скорости. Практически
в металлах дисперсия скорости отсутствует, и в ультразвуковой аппа-
ратуре обычно применяют установившиеся гармонические колебания,
поэтому понятие фазовой скорости является практически достаточ-
ным.
В некоторых жидкостях и газах приходится считаться с диспер-
сией скорости. В дальнейшем рассмотрим случай, когда и в твердых
телах, например в металлах, скорость зависит от частоты. Это явле-
ние связано с распространением упругих волн в ограниченных сре-
дах (стержнях) и поэтому нехарактерно для свойств самой среды.
Скорость распространения продольных волн в неограниченной
сплошной среде определяется формулой
= у £(!-,)
ПР г р (1 + v) (1 — 2ч)
(II. 3)
В приложении I даны значения скорости для ряда веществ
(в дальнейшем скорость продольных волн будем обозначать через v
без добавочного индекса). Для большинства твердых тел, коэффи-
циент v яг (0,25 -т- 0,33). Поэтому
о^(1,1-1,2)]/А.
Скорость распространения поперечных волн
V попер
(II. 4)
Имея в виду формулы (II. 2) и (II. 3), а также некоторое среднее
значение ч, можно считать, что ояоперж0,48о.
Скорость распространения упругих колебаний в невязких и в не-
органических жидкостях 
(И. 4а)
где Ро — исходное (статическое) давление;
ф — отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении
к удельной теплоемкости при постоянном объеме;
р0 — статическая плотность.
Скорость распространения в газах (не обладающих дисперсией)
= Vw.'	(1L 4б>
где k — коэффициент адиабатической сжимаемости.
В общем случае иж и vt зависят от частоты, однако рассмотрение
этой зависимости не входит в нашу задачу. Затухание упругой
волны характеризует необратимые потери в среде при распростра-
нении в ней колебаний.
5 Теумин 261
65
В дальнейшем учитываем только затухание в твердых средах,
из которых сделаны стержневые колебательные системы. Если пло-
ская волна распространяется в направлении оси ОХ, то
Ах = Аое~?х,	(II. 5)
где Ло и А* амплитудные значения механической величины, харак-
теризующей данную волну соответственно в начале и на расстоянии х.
В качестве величины А могут быть взяты: смещение деформа-
ция еот, скорость £т или напряжение <зт. Таким образом,
₽	= ё е~ 9х
чтх — ^тос »
следовательно,
₽ = _±1П^;	(П.б)
Л Z10
здесь р — коэффициент затухания.
Коэффициент затухания сложным образом связан с структурой
среды, ее физическими параметрами и частотой колебаний. Коэффи-
циент р определяет величину внутреннего трения. Более подробно
связь величины р с потерями и свойствами среды будет рассмотрена
в дальнейшем.
Удельное волновое сопротивление w является важным пара-
метром, характеризующим колебательные свойства упругой среды.
Эта величина связана с плотностью среды и скоростью распростра-
нения упругой волны следующим образом:
w = ри г!см2-сек.	(II. 7)
Физический смысл w заключается в том, что оно связывает
амплитуду давления бегущей волны рт с амплитудой колебатель-
ной скорости в любой точке на пути распространения волны, т. е.
W = 4^-	(II. 8)
1тх
или, если перейти к амплитудным значениям силы,
t   F тх
— wS
(так как Fmx = pmxS), где wS = wQ — называется волновым сопро-
тивлением нагрузки. В табл. 1 (приложение I) даны значения w
для некоторых веществ. Величина w и ш0 имеет активный характер,
иначе говоря, волновое сопротивление не может запасать энергию
подобно инерционному или упругому сопротивлению; однако оно
не может также преобразовывать энергию упругих колебаний
в тепловые потери, так как не содержит элементов активного сопро-
тивления т. е. внутреннего трения. Последнее следует также из
выражения (II. 7).
Смысл активного характера волнового сопротивления заклю-
чается в том, что если среда не имеет активных потерь, то при нали-
чии бегущей волны (т. е. при перемещении энергии от источника
66
колебаний) в каждом поперечном сечении среда поглощает энер-
гию за счет дальнейшей передачи этой же энергии следующему
сечению, обладающему тем же сопротивлением. При этом энергия
переходит без потерь и отражений от сечения к сечению. На основании
формулы (II. 7) видно, что волновое сопротивление не зависит от
частоты. Таким образом, волновое сопротивление представляет
собой то механическое сопротивление, которое оказывает среда
распространению волны колебательной скорости в любо* точке.
4.	СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
В ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
Ультразвуковые колебательные системы стержневого типа пред-
ставляют собой ограниченные упругие среды, в которых колебания
распространяются со скоростью, отличной от скорости их распро-
странения в неограниченных средах.
Изгибные волны, которые могут наблюдаться только в относи-
тельно тонких стержнях (X > d), распространяются со скоростью,
зависящей от длины волны, формы и размеров поперечного сечения
стержня, упругих свойств материала (среды), из которого сделан
стержень, и от плотности этого материала. Изгибные колебания, не
имеющие широкого применения в ультразвуковых колебательных
системах, подробно нами не рассматриваются. Скорость распро-
странения изгибных волн непосредственно не входит в соотношения,
необходимые для расчета стержневых систем, работающих в усло-
виях изгибных колебаний.
Скорости распространения поперечных колебаний в ограничен-
ной и неограниченной средах одинаковы и определяются по формуле
(II. 4).
Скорость распространения поверхностных волн Рэля
Наибольший практический интерес представляет скорость про-
дольных волн в ограниченной среде. Если сравнивать скорости
распространения таких волн в стержне при X > d ив неограни-
ченной среде при X < d, то окажется, что во втором случае ско-
рость будет несколько больше, так как упругость неограниченной
среды больше упругости тонкого стержня. Это различие связано
с тем, что боковые поверхности узкого стержня свободны и не свя-
заны с соседними элементами среды, препятствующими их попереч-
ным деформациям. В неограниченной среде любой мысленно выре-
занный (в направлении распространения волны) стержень сопри-
касается своими боковыми поверхностями с остальной частью
среды, которая препятствует деформации, а следовательно, увели-
чивает упругость. В промежуточных случаях, когда отношение -у
больше или меньше 1, значение скорости может быть больше или
меньше скорости в узком стержне, но всегда меньше, чем в неогра-
5*	67
ниченной среде. Приведем далее учет влияния конечных размеров
поперечного сечения стержня на величину скорости. Напомним, что
в тонком стержне при продольных колебаниях каждый элемент
стержня изменяет свою длину и при этом поперечные перемещения
оси стержня отсутствуют.
В ограниченной среде, для которой соблюдается условие
достаточно большого отношения-^-, скорость распространения упру-
гой волны	___
(П-9)
При этом предполагается, что поперечные сечения стержня
остаются плоскими при распространении упругих волн, а напря-
жение распределено равномерно по каждому сечению. В этом слу-
чае не обязательно указанное предположение относить только
к цилиндрической форме стержня; оно также справедливо и для пря-
моугольной его формы при соблюдении условия
где dm — наибольший размер поперечного сечения.
В действительности продольные удлинения и сокращения отрез-
ков стержня сопровождаются поперечными сокращениями и расши-
рениями.
Отношение поперечных и продольных деформаций связано коэф-
фициентом Пуассона v.
Возникающие таким образом поперечные колебания вызывают
неоднородное распределение напряжений по поперечным сечениям
стержня, а это, в свою очередь, приводит к искажениям плоских
поперечных сечений и к изменению величины скорости v.
Приведем соответствующие результаты анализа, проведенного
для цилиндрического стержня при учете поперечных деформаций.
Если v= у- — скорость распространения упругих колебаний
в стержне, для которого возможно пренебречь влиянием поперечных
деформаций (при достаточно большом значении отношения ,
то при учете возникновения поперечных деформаций действитель-
ная скорость v' будет отличаться от скорости v.
Как показал Похгаммер [27],
V = о[1 - Л? .	(11.10).
Это приближенное' соотношение, однако, справедливо лишь
для случаев, когда X достаточно велико по сравнению с величиной d.
Следовательно, выражение (II. 10) учитывает влияние конечных
размеров поперечного сечения лишь только для относительно малых
68
значений последнего. Для больших значений d математические выра-
жения связывающие v' и v, оказываются весьма сложными и
в явном виде не могут быть представлены, так как соответствующие со-
отношения связаны с необходимостью определения корней уравнения
Бесселя. В том случае, если < 0,15, формула (II. 10) дает очень
малое отклонение от результатов, вычисленных по точным соотно-
шениям (с помощью выражений, куда входят корни уравнения
Бесселя).
В пределах 0,15 < ^-<0,7 эта же формула дает удовлетвори-
тельные результаты, причем максимальная ошибка для обычных
материалов (у которых v = 0,25 -г- 0,35) не превосходит 15%
(в сторону завышения действительного отношения . При 0,7
формулой (II. 10) пользоваться нельзя.
Заметим, что в области 0,15 <	< 0,2 и 0,5 <	< 0,7 ошибка
не превышает 3—4%. Поэтому в случае необходимости определения
скорости распространения упругих колебаний в круглом стержне
с учетом размеров его поперечного сечения можно пользоваться
выражением (II. 10).
Так как в неограниченных твердых телах скорость распростра-
нения продольных волн
vnp = О У (1 +	(1 _ 2s,) ’
т. е. больше, чем в стержнях с малыми (по отношению к длине волны)
поперечными размерами, то, очевидно, v' < vnp.
На фиг. II. 9 приведены кривые 132] (теоретическая 1 и экспери-
ментальная 2), дающие зависимость
для стержней из материалов, у которых v ж 0,33; однако эти кри-
вые могут быть применены и для случаев, когда v = 0,25 -г- 0,35.
Теоретическая кривая, рассчитанная по точным выражениям Бенк-
рофтом, и экспериментальная, построенная Бреннаном, показывают
вполне удовлетворительное совпадение теоретических результатов
с экспериментом.
Следует отметить, что в области 0,8 <	< 1,1 практически не
наблюдалось распространения упругих колебаний, т. е. продольных
волн не существовало, так как энергия не может переноситься вдоль
стержня волнами этого типа при такой скорости.
На фиг. (II. 10) приведена рассчитанная Дэвисом [35] теорети-
ческая кривая
69
для стержней из материалов, у которых v = 0,29. Однако пользо-
ваться этой кривой для значений Л > 0,8 не следует, так как при
этом возможны существенные отклонения опытных данных от тео-
Если стержень имеет прямоугольное поперечное сечение, то,
согласно анализу, проведенному Кри [28], [29] для случая, когда
d	*
«г достаточно мало, имеем приближенное выражение для скорости v :

где Jt — момент инерции поперечного
сечения относительно оси стерж-
ня. Для прямоугольного стержня
(7> + Л)2 .
3
—
Фиг. II. 10. здесь b и h — стороны прямоугольного
сечения.
Выражение (II. 11) дает надежные результаты, если наибольший
поперечный размер h стержня достаточно мал по сравнению с X.
Точное рассмотрение данного вопроса связано с решением уравнений,
аналогичных для цилиндрических стержней. Согласно Морзу [36],
для квадратного стержня (А = Ь) возможно использовать данные,
70
полученные (теоретически или экспериментально) для стержня круг-
лого сечения, если
4=1,28.	(II. 12)
Эта величина представляет собой отношение площадей попе-
речных сечений квадрата со стороной, равной d и круга диаметром d.
Пределы применимости выражения (II. 11) и соответствующая
погрешность будут такими же, как и для выражения (II. 10) для
цилиндрического стержня, если учитывать условие (II. 12).
Соотношение (II. 12) получено Морзом экспериментально. Если
исходить из условия равенства моментов инерции для круга и квад-
рата, то, согласно выражению (II. 11), 4 = 1,15, поэтому истинное
значение этого отношения может оказаться в пределах 1,28 —
1,15.
Из изложенного следует, что соотношения между поперечными
геометрическими размерами стержней и длиной волны в некоторых
границах определяют нормальные условия распространения в этих
стержнях плоских волн. Кроме приведенных условий, нарушаю-
щих постоянство фазовой скорости, необходимо учитывать и другие.
Так, для стержней, у которых наибольший размер поперечного сече-
ния более X, сказывается увеличение инерции вследствие влияния
радиальных колебаний.
Согласно Релею [ 1 ], указанное влияние выражается в изме-
нении скорости распространения упругой волны в цилиндрических
стержнях:
, 1
V = V---—	,
V >+0w4)
где k — порядковый номер гармоники;
г — радиус стержня;
I — его длина.
Наличие одновременно с колебаниями вдоль оси стержней и коле-
баний в поперечных направлениях приводит к тому, что в общем
случае стержень представляет собой многосвязную систему, имеющую
сложный спектр колебаний в осевом направлении. Чем больше соот-
ношения размеров (поперечных и продольных) и длины волны будут
отклоняться от определенных границ, тем сильнее будут сказываться
дополнительные компоненты этого спектра, т. е. тем в большей сте-
пени будет уменьшаться интенсивность главных колебаний и тем
больше данная колебательная система будет отличаться от «чистой»
стержневой системы.
В нашу задачу не входит детальное рассмотрение этого вопроса,
поэтому ограничимся лишь указанием на то, что, согласно теории
Гибе и Блехшмидта [30], проверенной экспериментально, каждой
гармонике k-vo порядка для колебаний вдоль оси стержня соответ-
ствует не одна, а две резонансные частоты (практически начиная
71
с 3-й и 4-й гармоник). Таким образом, могут быть две серии резонанс-
ных колебаний (гармоник). Эти серии разделены зоной, определяю-
щейся радиусом поперечного сечения, внутри которой невозможно
возникновение осевых колебаний. Собственные частоты могут наблю-
даться по обе стороны этой зоны, т. е. до частоты Д та первой зоны
и от минимальной частоты fn mln второй зоны. Следовательно,
в области от Д тах до /п т1п имеется аномальная дисперсия, харак-
теризующаяся скачкообразным изменением скорости распростра-
нения упругих колебаний. Интенсивности гармоник второй серии
колебаний быстро уменьшаются с увеличением порядка гармоник
(быстрее, чем для первой серии), причем с уменьшением попереч-
ных размеров интенсивность падает еще быстрее. Из сказанного
следует, что категория стержневых систем ограничивается также
отношением поперечных размеров к осевому и отношением у,
связанным с числом волн, укладывающихся на длине системы, т. е.
с предельным номером гармоники.
Можно указать еще на одну причину, нарушающую нормальное
распространение плоских волн в стержневых системах, — на гео-
метрическое расхождение пучка, начиная от плоскости, где колебания
вводятся в стержень (т. е. возбуждают его). Эта причина, в частности,
связана с условиями ввода упругих колебаний в стержень. Влияние
этого фактора будет тем меньше, чем больше отношения у и
так как при этом влияние стенок стержня для колебаний, падающих
на них под углом (за счет расхождения), будет меньше, а следова-
тельно, плоская волна будет меньше деформирована.
Система удовлетворяет определению «стержневой», если соблю-
даются следующие условия:
у < а — (требование, устраняющее геометрическую дисперсию);
у > а — (требование, уменьшающее влияние геометрического
расхождения);
при этом а = 0,5, а' = 0,05 (здесь и ниже d — максимальный
или минимальный размер поперечного сечения при знаке неравен-
ства: «больше» или «меньше» соответственно);
-у < b — (условие, уменьшающее влияние геометрического рас-
хождения, т. е. деформации плоской волны);
b = 2 -н 3; последнее требование относится только к одному
звену стержневой системы (для составной системы это соотношение
может быть больше);
у- > с, где с = 0,125; это условие является относительным,
так как невыполнение его не нарушает свойств стержневой системы
как таковой, но лишь определяет границу, где для приближенного
расчета возможна замена стержня длиной I < сК сосредоточенным
механическим элементом. Механический элемент, длина которого
больше указанного значения во всяком случае, должен рассматри-
72
ваться как стержневое звено. Совмещение всех вышеприведенных
условий приводит к следующим выражениям: 0,125 < у-<2,
0,05 < -у- < 0,5, определяющим элементарную стержневую систему
(звено).
5. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. ОПИСЫВАЮЩИЕ УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
И ВОЛНЫ
Приведем основные выражения, описывающие волны в упругой
среде. Эти выражения дадим без выводов и проведем их формаль-
ное рассмотрение, т. е. не связывая с исходными дифференциальными
уравнениями. Такое ограниченное рассмотрение на данном этапе
изложения является вполне достаточным, а в дальнейшем, при
исследовании волновых процессов в стержневых системах, все необ-
ходимые выводы и связь их с исходными физическими процессами
будут даны.
В идеальной среде, лишенной активных потерь (или если ими
можно пренебречь), бегущие волны описываются следующими выра-
жениями
Волна смещения
5 = $mcos(o)/ ±kx),	(II. 13>-
где k — волновой коэффициент;
* =	=	(П. 14>
— амплитуда смещения.
Физический смысл выражения (II. 13) очевиден. Значение вели-
чины смещения $ — в любой момент времени /ив любой точке х
в направлении распространения волны определяется однозначно,
причем с течением времени в любой фиксированной точке — 5 при-
нимают все возможные значения от -Нт до —Если для фик-
сированного момента времени t рассматривать распределение сме-
щения вдоль распространения волны (т. е. изменять величину х),
можно видеть, что величина 5 также принимает все возможные
значения в указанных пределах. Таким образом, уравнение (II. 13)
описывает перемещающуюся со скоростью v волну смещения (т. е.
перемещение любой из ее зафиксированных фаз). Гармонический
характер рассматриваемой волны является естественным следствием
гармонического возбуждения колебаний в некоторой плоскости упру-
гой среды. Математическая структура выражения (II. 13) полностью
отражает физическую сущность гармонической бегущей волны.
На фиг. II. 11 дано распределение во времени волны смещения
для некоторого фиксированного значения х.
Волна колебательной скорости описывается уравнением, кото-
рое легко получить из выражения
73
откуда
I = — <o6m sin (<о/ + kx).	(II. 15>
Очевидно,	является амплитудой колебательной ско-
рости. Характер полученных выражений (II. 15) и (II. 13) анало-
гичен, т. е. оба выражения описывают бегущую волну. Бегущая
волна колебательной скорости оказывается сдвинутой во времени
на 90° относительно бегущей волны сме-
щения (см. фиг. II. II).
Выражение для волны деформации
можно получить, произведя дифферен-
цирование:

Фиг. II. 11.
откуда
е = + kim sin (tot + kx); (II. 16)
здесь em = kim — амплитудное значение
деформации.
Очевидно, выражение (II. 16) также
описывает бегущую волну. Эта волна
сдвинута во времени на 180° относи-
тельно волны колебательной скорости
(см. фиг. II. 11).
Выражение для бегущей волны на-
пряжения получим, исходя из того, что
а = Ее, следовательно,
о = + Ekkm sin (tot + kx), (II. 17)
где Ekkm = kHm—амплитуда напряжения.
Волна давления
р —— а — ± Ek^msin(tot+ kx). (II. 17а)
На фиг. II. 11 приведено распределение во времени величины на-
пряжения. Все приведенные выражения могут быть записаны в сим-
волической форме, например:
e = $meZ(<“/±M	(II. 13а)
Если упругая среда обладает потерями, то выражения, описываю-
щие бегущие волны будут отличаться от вышеприведенных дополни-
тельным множителем, учитывающим затухание где р — коэффи-
циент затухания.
Таким образом, при учете потерь волна смещения будет описы-
ваться выражением
« = cos (tot ± kx)	(11.18)
или в символической форме
е =	.	(II. 18а)
74
Для остальных упругих волн соответствующие выражения при
учете потерь могут быть получены такими же способами, какие при-
менялись в предыдущих случаях. Соответственно получим
5 = - ёте~₽х sin (<oi ± kx).	(11.19)
Для волны деформации
е = -Ц- = е~?х [ + kbm sin (wt ± kx) — cos (a>t ± kx)]
или, преобразуя,
e = у (65m)2 + (₽5m)2e“₽xcos (vt + kx — ©),	(11.20)
где
ф = arctg-^- .
5m
Величина
*m = VWP
представляет собой амплитудное значение деформации при учете
потерь.
Таким образом, наличие потерь изменяет величину амплитуды ет,
вносит дополнительный угол сдвига <р и вызывает дополнительное
уменьшение деформации вдоль пути распространения волны, в соот-
ветствии с множителем затухания е~$х.
При р -> 0 выражение (II. 20) приводится к выражению (II. 16).
Ввиду очевидности получения выражений для волн напряжения
и давления при учете затухания указанные выражения не приводим.
Для упругих стоячих волн, не рассматривая в этом разделе причин
их возникновения, приведем соответствующие выражения, описы-
вающие эти волны.
Стоячая волна смещения определяется уравнением
5 = %mcoskx-cos<st.	(II. 21)
Как следует из формулы (II. 21), стоячая волна соответствует
гармоническому закону изменения действующей в среде внешней
силы. Это обстоятельство не требует пояснения (так же как
и в случае бегущей волны). Если мы зафиксируем некоторое рас-
стояние х, то в рассматриваемой точке 5 меняется также по гармо-
ническому закону. Если же выбрать и зафиксировать некоторый
момент времени t, то для этого момента, при перемещении вдоль
оси X величина imcoskx будет зависить только от х, т. е. в любой
точке значение 6 меняется от нуля до некоторого определенного
максимума, зависящего от и от х. Следовательно, фаза волны не
перемещается вдоль оси X и в определенных (фиксированных) местах
имеются значения 5 = 0 и 5 = Ьт. Первые соответствуют положениям
узлов, а вторые — пучностям рассматриваемой волны.
75
Далее легко получить выражения:
для волны колебательной скорости
5 = — (o^cos^xsin <s>t,	(11.22)
где a>Sm =	— амплитуда колебательной скорости;
волны деформации
е = — kkm sin kx cos co/;	(11.23)
здесь kHm = em — амплитуда деформации;
и для волны напряжения получим
а == — Ek£msinkx-cos wt;	(11.24)
(	— ат)-
Физические условия образования стоячих волн и учет затуха-
ния будут подробно рассмотрены в последующих главах.
Сравнивая выражения (II. 21), (11.22) и (11.23), мы видим, что
они, в частности, различаются сдвигом фазы (во времени или в про-
странстве). Для случая бегущей волны между давлением и коле-
бательной скоростью существует простое соотношение
i =	(И. 25)
которое является следствием ранее приведенного определения
понятия удельного водного сопротивления w. Это выражение спра-
ведливо для любого момента времени и для любой точки упругой
среды. Очевидно, для стоячей волны соотношение (II. 25) непри-
годно.
Остановимся еще на одной величине, характеризующей упругие
волны и называемой интенсивностью упругой волны. Интенсивность
представляет собой количество колебательной энергии, переноси-
мой упругой волной через площадку в 1 см2, расположенную пер-
пендикулярно направлению движения волны, в единицу времени
(1 сек.). Таким образом, понятие интенсивности связано с существо-
ванием бегущей волны; в стоячей волне переноса энергии нет. Однако
если среда имеет потери (хотя бы небольшие), то часть энергии неиз-
бежно будет теряться в среде, поэтому в этом случае чисто стоячей
волны не будет, но часть энергии будет заключена в некоторой состав-
ляющей пространственного колебательного процесса — в виде бегу-
щей волны.
С другой стороны, интенсивность упругих колебаний может
быть связана с непоглощающей упругой средой. Если упругие коле-
бания возникают и распространяются в упругой среде без потерь
в виде бегущей волны, например в неограниченной в направлении
распространения среде, то энергия целиком будет уходить от источ-
ника в сторону распространения. Следовательно, свойством погло-
щения (абсолютного) будет обладать указанная неограниченность
среды, которая не отражает (т. е. не возвращает) энергии к источ-
76
нику. Это подтверждает активный характер волнового сопротивле-
ния о>0, хотя последнее не содержит физических элементов внутрен-
него трения.
На основании изложенного можно написать выражение для
интенсивности упругой волны. В общем случае, при наличии чисто
активного сопротивления, мощность, выделяемая на этом сопротив-
лении, будет
Р ~ 2	2R >
а для упругой среды, в которой эти колебания распространяются,
F2
Р = -^	(11.26)
2ву0	v
или для единицы поперечного сечения
р Р2
г__ Jr _ гт
1 ~ S ~ 2w '
Учитывая известные соотношения, можно также написать:
I = -i- w^m .	(11.27)
Интенсивность измеряется в эрг!сек.см2 (если входящие в опреде-
ляющие ее выражения величины взяты в абсолютной системе единиц).
Если среда обладает активными потерями, т. е. вносит затухание, то
интенсивность будет уменьшаться по пути распространения. На осно-
вании выражений (11.19) и (11.27) напишем:
/x = 70e-2fU.	(11.28)
где /0 — интенсивность в начале пути распространения;
1Х — интенсивность на расстоянии х от начала.
6. ВИДЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
В диапазоне частот технологического применения упругих коле-
баний в качестве колебательных систем с распределенными постоян-
ными применяют стержневые системы.
Эти устройства характеризуются тем, что форма и размеры
их поперечного сечения являются постоянными или изменяются
по определенному закону, причем поперечные размеры меньше
длины волны, а продольные соизмеримы или несколько больше этой
величины.
В ультразвуковой аппаратуре основное применение имеют про-
дольные колебания, поэтому стержневые системы также исполь-
зуются в этом режиме. Не исключено использование и изгибных
колебаний стержневых систем, однако такой режим встречается
77
реже. Обычно в этом режиме работают элементы опор и креплений
колебательных систем.
Основное внимание мы уделим продольным колебаниям в стерж-
невых системах. Отдельно рассмотрим некоторые вопросы, относя-
щиеся к работе и расчету систем, используемых в режиме изгибных
колебаний. Так как поперечные колебания в стержневых системах
практически не имеют места, то они из рассмотрения исключаются.
Ультразвуковая аппаратура (ее механическая часть) может
состоять из различного сочетания любых стержневых систем и сосре-
доточенных механических элементов. В связи с многообразием
вариантов построения аппаратуры и особенностями колебатель-
ного режима более или менее сложных стержневых систем, в зави-
симости от видов их нагрузок, необходимо разбить возможные
системы на различные виды и соответствующим образом их класси-
фицировать.
1. Простые системы представляют собой стержневые системы
без сосредоточенных нагрузок на конце или с сосредоточенными
нагрузками. Под «концом» системы подразумевается конец проти-
воположный тому, к которому приложена внешняя (возбуждающая)
сила (начало системы). Примеры простых систем приведены
в табл. II. 1 на фиг. 1—5.
2. Сложные системы. Эти системы, в свою очередь, делятся на
комбинированные, т. е. простые с сосредоточенной нагрузкой в начале
(фиг. 6—14, табл. II. 1), составные, состоящие из нескольких про-
стых систем (фиг. 15—20, табл. II. 1) и составные комбинированные
(наиболее общий и сложный вид), состоящие из составных систем
с сосредоточенными нагрузками в начале (фиг. 21, 22, табл. II. 1).
Помещенные в табл. II. 1 фигуры не исчерпывают всех вариан-
тов и являются лишь примерами построения систем, однако приве-
денная классификация детально описывает все возможные варианты
и облегчает теоретическое рассмотрение и расчет любых систем.
Все системы, имеющие нагрузки (в конце или в начале), могут
различаться по характеру сосредоточенных нагрузок: инерционная,
упругая, активная, комплексная.
На фиг. 21 табл. II. 1 изображен вариант составной комбиниро-
ванной системы, причем в качестве сосредоточенных нагрузок
в начале и в конце показаны (в принятых обозначениях) комплекс-
ные нагрузки. Эта фигура описывает составную комбинированную
систему при любом характере нагрузки, т. е. является наиболее
общей иллюстрацией стержневой системы такого вида.
Для удобства описания введем следующую индексную класси-
фикацию: системы с распределенными постоянными будем обозна-
чать буквой w; сосредоточенной массе и упругости будем приписы-
вать соответственно обозначения М и D; чисто активный элемент
обозначим через R.
Индексное обозначение (описание) системы составляется так,
что место приложения внешней действующей силы Fm предпола-
гается перед первым индексом (элементом) системы, считая эти
индексы слева. Соединение, т. е. контакт между элементами системы
78
(индексами) обозначается знаком тире (—). Если элемент с распре-
деленными постоянными свободен на конце, то после соответствую-
щего индекса, обозначающего этот элемент, ставится тире и нуль —О
(нулевая нагрузка). Если элемент с распределенными постоянными
на конце закреплен, то после тире ставится знак бесконечности со
(нагрузка максимальная). В случае, когда элемент с распределен-
ными постоянными имеет большую протяженность (теоретически
бесконечно большую) и не имеет нагрузки на конце, то после индекса,
соответствующего этому элементу, знак тире не ставится, т. е. запись
обрывается на этом индексе (см. например, запись для фиг. 17,
табл. II. 1). На фигурах табл. II. 1 даны индексные записи различ-
ных стержневых систем. В случае, если
один из элементов системы работает
в режиме изгибных колебаний, перед
индексом, соответствующим данному
элементу ставится знак _1_. Например,
для фиг. II. 12 индексная запись бу-
дет I w2.
Рассмотрим некоторые варианты
стержневых систем.
Скрепления отдельных простых
стержневых систем могут рассматри-
ваться как сосредоточенные массы. Если в местах скреплений
имеются опорные или поддерживающие конструкции, связы-
вающие стержневую систему с неподвижными (не входящими в коле-
бательную систему) элементами конструкции, то в этих местах может
быть упругая нагрузка, например в виде диафграмы. В общем слу-
чае нагрузка также будет комплексной, т. е. состоящей из реактив-
ных и активных элементов.
Источниками активных потерь в местах скреплений обычно
являются резьбовые или замковые соединения, особенно в случаях
их некачественного выполнения.
Сложные составные системы могут применяться в конструкциях,
где рабочий инструмент, т. е. звено, через которое упругие колеба-
ния непосредственно воздействуют на объект, является сменным
или по тем или иным причинам не должен быть непосредственно свя-
зан с преобразователем, т. е. с источником колебаний.
Составные системы могут быть применены в том случае, если
необходимо согласовать сопротивление нагрузки с внутренним
сопротивлением источника упругих колебаний. При этом с помощью
одного или нескольких стержневых звеньев, являющихся промежу-
точными, можно при определенных условиях обеспечить необхо-
димое согласование.
Разнообразие характера сосредоточенных нагрузок в начале
стержневой системы может быть вызвано необходимостью настройки
в резонанс этой системы при помощи указанных нагрузок. Такой
прием может явиться результатом конструктивных ограничений, не
дающих возможности выбрать длину отдельных стержневых звеньев,
удовлетворяющих условиям резонанса.
79
(zM)-(‘M)	> Wf	lA^		zz
		L	<7				
MWW	Wz<f			У/
	L— г-)—J	L	о—-J		
				
MWln) 1	гА'Ч	‘A!*		91
г1------J-----------*7
(а)-(п)
(zHni-Ct)		A‘<f	"в
				7 	*	
(z)-(n)-(u)			A’<f	luj л
					7 			
(о)-(п)
(u)-(n)-(a) "w	/IV	~<SJLr&-. л °d J
	L	7	J	
Мп)
Ы-(п)-(ы)
(Z)-(M)
М-(п)
I -Ц vhnvgnj.
08
(D)-^)-(O) It	1
6 Теумин 261
81
Предложенная классификация и соответствующая ей методика
анализа и расчета систем позволяют их применять в различных
случаях, возникающих при конструировании ультразвуковой аппа-
ратуры.
Укажем также на классификацию стержневых систем, осно-
ванную на признаке их назначения. Если стержневая система одно-
временно является преобразовательной, т. е. преобразует, например,
энергию электрических колебаний в энергию упругих колебаний,
то такая система называется генераторной. Если система связывает
источник (генератор) колебаний с рабочим звеном, то она называется
промежуточной. Если же стержневая система передает колебания
объекту, она является рабочей. Системы, относящиеся к двум послед-
ним видам, называются пассивными.
7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
И «ПРЕДЕЛЬНАЯ» ЧАСТОТА
Напомним, что энергетической прочностью колебательной
системы называется предельное значение энергии, которое может
быть в ней запасено при колебаниях на собственной частоте, без
нарушения ее механической прочности (или не переходя границы
ее упругих свойств). При рассмотрении данного вопроса следует
различать два режима: режим стоячей волны и режим бегущей волны.
В режиме стоячей волны колебательная энергия находится
в объеме стержневой системы и никуда не уходит (за исключением
потерь, вызываемых собственным активным сопротивлением). Для
определенности будем рассматривать элементарную стержневую
систему, т. е. систему с однородным поперечным сечением без нагру-
зок в начале и на конце, настроенную на основную частоту.
В этом случае между длиной I и основной частотой системы суще-
ствует зависимость
f - —
Io — 21 '
Это известное соотношение является частным значением для
резонансной частоты, общее определение которой для различных
случаев будет подробно рассмотрено в последующих главах.
Как известно, потенциальная энергия, запасенная в упругом
деформированном стержне при статической деформации, т. е. при
воздействии постоянной силы Ео , равна
Eaomcm = ±ES
При колебаниях, вызванных переменной внешней силой, распре-
деление деформации вдоль стержня не будет постоянным и изме-
няется вдоль стержня по гармоническому закону. Учет такого рас-
пределения приводит к тому, что общая деформация всего стержня
будет меньше, чем при постоянной силе, равной амплитуде перемен-
92
ной силы. Тогда максимальное значение полной деформации при
колебаниях будет
ед ~
где — динамическое значение деформации;
kd — коэффициент, учитывающий распределение деформации вдоль
стержня при колебаниях (ka < 1).
При этом s = ет, где ет — амплитудное значение деформации при
колебаниях в пучности колебаний. Для рассматриваемого случая пуч-
ность деформации находится в плоскости, проходящей через середину
стержня. Таким образом,
еП0Я1=4^£5ч-	(п-29)
2
При отсутствии потерь kd = —; учитывая, что V = SI предста-
вляет собой объем стержневой системы, получим
E„om = 4£Ve.	(II. 30).
Таким образом, потенциальная энергия, запасаемая в элементарной
стержневой системе, пропорциональна ее объему. Переходя к прило-
женной силе, получим
1 F^ 1	F"2
Ея<ип = — ЕУ = — V•	(11.31)
Если Fmb представляет собой значение разрушающей силы;
т. е. атЬ — напряжение, при котором возникает разрушение,
то
(11.32)
Следовательно, предельная энергетическая прочность стержне-
вой системы в режиме стоячей волны пропорциональна квадрату
значения предела прочности материала стержня и его объему.
Кроме того, Епр обратно пропорциональна величине модуля Юнга Е.
Поэтому в отличие от случая системы с сосредоточенными постоян-
ными энергетическую прочность можно повысить, увеличивая гео-
метрические размеры стержневой системы. Однако при увеличении
длины I уменьшается резонансная частота колебаний, поэтому при
заданном значении /0 следует увеличивать S. Значит, повышение
энергетической прочности рассматриваемой стержневой системы
возможно лишь путем выбора материала с большими прочностными
показателями, меньшим Е, и увеличения значения S. Последнее
можно осуществить в пределах, выше которых рассматриваемая
система уже не будет удовлетворять признакам стержневой.
6*	83
Учитывая, что I = и что v =	выражение (II. 32) можно
написать в виде
g ____ 1 ^2
П«Р	m6° 2f vE ° mb 2f
или после несложных преобразований
Е = lS°”ld = S°"tb
пР 2nfw <&w
(11-33)
где w = op = ]/£p — удельное волновое сопротивление. С умень-
шением частоты Е„р увеличивается. Максимальное значение частоты
при заданной величине Еяр называется предельно максимальным
значением резонансной частоты стержневой системы (/^ах).
Если сравнить между собой системы с сосредоточенными постоян-
ными и стержневую, то можно сделать вывод, что при одинаковых
габаритных размерах стержневая система обладает большей энерге-
тической прочностью и большей предельной частотой. Наиболее
простое объяснение физической сущности такого положения заклю-
чается в том, что в одних и тех же габаритах в системе с распреде-
ленными постоянными количество упругого вещества, заполняю-
щего объем в границах указанных габаритов, будет больше, а следо-
вательно, больше запасается энергии. Кроме того, механическая
прочность сплошной конструкции всегда больше (при тех же габа-
ритах).
Так как в системе с распределенными постоянными возникают
упругие волны, то энергия распространяется с конечной скоростью,
следовательно, значение частоты, обратно пропорциональное ско-
рости распространения, всегда будет больше, чем в системе с сосре-
доточенными постоянными (при тех же габаритах).
В режиме чисто бегущей волны через каждое поперечное
сечение стержневой системы количество приходящей энергии равно
количеству уходящей (к нагрузке) за вычетом потерь в самой
системе.
Если пренебречь внутренними потерями, то можно говорить
о предельном значении мощности, проходящей через поперечное
сечение данной стержневой системы. Для этого случая имеем фор-
мулу (II. 26):
2и>0
или, переходя к предельному напряжению а2тЬ,
Р _____ °т6'^2 ___
пР ~ 2ш0 ~ 2W '
(11.34)
84
Мы видим, что в режиме бегущей волны предельная мощность
стержневой системы не зависит от частоты, а следовательно, и от
продольных размеров системы. Так же как в режиме стоячей волны,
энергетическая прочность (в данном случае определяемая по вели-
чине мощности Рпр) обратно пропорциональна волновому сопроти-
влению.
Из формулы (II. 34) следует, что для повышения Рпр необходимо
увеличивать сечение стержня и уменьшать удельное волновое со-
противление материала, из которого он изготовлен. Кроме того,
необходимо выбирать материал с большей механической проч-
ностью
Таким образом, в режиме бегущей волны предельные энергетиче-
ские данные стержневой системы не связаны с предельной частотой.
Указанное обстоятельство, а также более высокие значения Епр
и f'mi* для стеожневой системы по сравнению с системой с сосредо-
точенными постоянными и возможности получения высокого значения
Рпр обусловливают возможности применения стержневых колеба-
тельных систем в ультразвуковом диапазоне упругих колебаний
(и в диапазоне несколько более низких частот).
Сказанное, однако, не исчерпывает всех преимуществ применения
стержневых систем (а в общем случае и других систем с распреде-
ленными постоянными) в указанном диапазоне частот.
Весьма существенным обстоятельством является также значи-
тельно более высокая добротность этих систем по сравнению с тако-
вой в системах с сосредоточенными постоянными.
Как будет показано в дальнейшем, добротность нестроенной и не
нагруженной стержневой системы определяется выражением
О — А — — — 1/^
Чет — л R — R	,
где Р — сопротивление активных потерь внутри системы, приходя-
щееся на единицу поперечного сечения;
А — коэффициент, зависящий от резонансной частоты (гармо-
ники), на которую настроена система.
Величина отношения для стержневых систем значительно выше
А
величины
o = J_l/Z
4 R Г С
для систем с сосредоточенными постоянными.
Это объясняется тем, что поскольку в стержневых системах любой
элемент среды обладает обоими свойствами (инерционными и упру-
гими), то при увеличении частоты, т. е. при сокращении длины
стержня, отношение (где т, и С; — значения массы и гибкости,
приходящиеся на единицу длины) не изменяется, в то время как отно-
85
шение -g-, как мы уже ранее указывали, при увеличении частоты
уменьшается.
Кроме того, удельные потери (определяющие величину 2?) в стер-
жневых системах обычно меньше, чем в сосредоточенных. Наконец,
следует указать на то, что конструктивные размеры стержневых
систем могут быть сделаны большими по сравнению с системами
с сосредоточенными постоянными. В частности, возможность работы
на гармониках обеспечивает выбор достаточно большой длины стер-
жневой системы. Большие конструктивные размеры являются ценным
обстоятельством, облегчающим осуществление ультразвуковой
аппаратуры.
ГЛАВА III
ПРОСТЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ПРОСТОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Волновое уравнение описывает законы изменения напряжений,
смещений, скоростей и деформаций в простой стержневой системе,
в функции времени и расстояния рассматриваемой точки от начала
или конца системы.
Оно представляет собой дифференциальное уравнение в част-
ных производных относительно переменных t (время) и х (рас-
стояние).
Решая это уравнение, получим конкретные функции f (х; t),
вид которых зависит от формы колебаний, создаваемых источником
воздействующим на данную систему, и от граничных условий.
В частности, таким условием является характер нагрузки, присоеди-
ненной к стержневой системе.
Волновое уравнение является общим исходным соотношением,
содержащим в себе (при определенных заданных условиях) все
особенности колебательного режима стержневой системы, выражен-
ные в аналитическом виде. Заданные условия (форма действую-
щей силы, нагрузка определенного вида, начальные условия) могут
быть весьма разнообразными и представляют собой условия инже-
нерной задачи. В практических условиях требуется определить:
входное сопротивление системы;
места расположения пучностей, узлов и значения колебательных
величин на определенном расстоянии от начала системы;
собственные частоты системы.
Решение волнового уравнения для определения перечисленных
значений при различных заданных условиях является громоздкой
и неудобной операцией.
Это решение еще более затрудняется в том случае, если система
составная или комбинированная; кроме того, задача усложняется
разнообразием возможных форм приложенных к системе сил. Нако-
нец, количество и сложность возможных задач увеличиваются вариан-
тами установившихся или переходных режимов.
Как было указано ранее, мы ограничиваемся рассмотрением
установившегося режима и только гармонической формой прило-
87
б(х*Дх)
Фиг. III. 1.
женной силы. Эти ограничения являются естественными, так как
в большинстве технологических применений ультразвуковые сйстемы
работают именно в этих условиях.
В случае импульсного режима работы (с несущей частотой)
выводы, сделанные для установившегося режима остаются справед-
ливыми, а учет переходных процессов при необходимости может быть
сделан на основе результатов, попученных при решении соответ-
ствующей задачи для установившегося режима.
Дальнейший анализ и выводы будут основываться на волновом
уравнении, однако методы решений с учетом различных практических
условий отличаются от непосредственных приемов решений диффе-
ренциальных уравнений для каждого частного случая.
Этот вывод можно сделать непосредственно, исходя из рассмот-
рения движения элемента массы системы и упругой деформации
этого элемента. Те же резуль-
*	--------------тэты можно получить, рассма-
I тривая стержневую систему
_______________________________3 в виде совокупности элемен-
тарных систем, состоящих из
сосредоточенных постоянных.
Последний способ рассмотре-
ния представляет для нас особый интерес, так как, во-первых,
при этом вскрывается связь между первичными и вторичными
постоянными системами и, во-вторых, такой метод решения оказы-
вается органически связанным со всем дальнейшим методом анализа
стержневых систем принятым нами. Для общности и подтверждения
справедливости замены системы с распределенными постоянными
системой, состоящей из многих элементарных систем с сосредото-
ченными постоянными, предварительно воспользуемая первым спо-
собом.
На фиг. III. 1 представлена стержневая система. Выделим неко-
торый элемент стержня, заключенный между плоскостями: х и х +
+ Ах. Если плотность вещества, образующего систему, равна р,
а поперечное сечение S, то выделенный элемент имеет массу
т = pSAx.
Пусть 6 смещение центра тяжести рассматриваемого элемента.
Тогда, согласно второму закону Ньютона,
F = mi,
где F — результирующая сила, действующая на рассматриваемый
элемент стержня.
Так как
ТО
с dt* ’
pSAx = Sa (х + Ax) — So (x),
где a (x) — напряжение в точке x.
88
Представим полученное уравнение в виде
Р dt2	_ ° (* + А*) — g (*) Дх
Переходя к пределу при	Дх->0, получим
	д2! __ да Р д/2 дх
Имея в виду, что	а = fe,
где е — деформация, причем	е=>, дх
получим	д2£ = Е д2£ dt2 ? дх2 *
Так как	
скорость распространения упругой волны в ограниченной (стержневой)
системе, то
ЯП П
dt2~ V дх2 '	I111,
Полученное уравнение, описывающее распространение продольных
колебаний в непоглощающей однородной среде, называется волновым.
Полное решение этого уравнения имеет вид
{=Лхф(/-^)+.4,ф (/+-£.) ,
где Л1 и А2 — постоянные интегрирования.
Вид функции Ф + -у) определяется формой колебаний, созда-
ваемых источником (генератором), возбуждающим рассматриваемую
упругую стержневую систему.
Примем теперь, что внешняя действующая сила является гармони-
ческой, т. е.
« = Ите“>',
где — амплитуда смещения.
Тогда
рШ
dt2 ш
ИЛИ
да
89
Поэтому выражение (III. 1) может быть записано так

Заменив $ его значением в комплексной форме и разделив обе
части этого равенства на eiwi, получим
4¥=—4-^-	(ш. 2)
ах*	у* т	'	'
Выведем теперь волновое уравнение, исходя из представления
стержневой системы в виде совокупности элементарных систем с сосре-
т .	доточенными постоянными.
__________________ ] ।	___ На фиг. III. 2 преставле-
jl __1 L на стержневая система с на-
________________________________1—1_____________________________ —* грузкой на конце, а на
_________________________________ _II-фиг. III. 3 — ее эквивалент.
‘	'	*•	Очевидно, количество эле-
Фиг. ш. 2.	ментарных систем, заменяю-
щих реальную систему с рас-
пределенными постоянными должно быть бесконечно большим.
Каждая элементарная система (ячейка) содержит элементы массы,
упругости и трения. Соответственно эти элементы имеют беско-
нечно малые значения.
Величины dm, dC, dR представляют собой значения параметров
на элементе длины dx (элементарные параметры):
dm = ^-dx = mrdx,
dC = ~dx — Cidx,
dR = -j-dx — Rjdx;
здесь m — масса всей системы;
С = — продольная гибкость всей системы;
/пх— масса на единицу длины;
Сх— гибкость на единицу длины;
D — упругость.
90
Если Е — модуль упругости, то
d = ¥
где /? — сопротивление трения всей системы;
7?х— сопротивление трения на единицу длины (далее для краткости
/? и будем называть активными сопротивлениями).
Очевидно,
С — — ’
G1~ ES ’
отсюда получаем
1/А =	1
’ ?	"jE ШхСх
(III.3)
Выделим на расстоянии х от конца системы элемент dx. Пусть
колебательная скорость в этом элементе будет 5, а действующая
сила F. Так как мы рассматриваем установившийся процесс для дей-
ствующей в начале системы гармонической силы, то будем опериро-
вать значениями комплексных амплитуд силы и скорости. Изменение
силы на участке dx
dFm = $ (/?х + Z<i>m1) dx,
изменение скорости на этом участке
dkm = FaiitoCidx.
Отсюда имеем
=	(HI-4)
(III. 4а)
Из формулы (III. 4) находим
r-r	di
Подставив в это равенство значение , получим
= Fm (Ri + fomj t(i>Cx.
Обозначив
(7?х	imCi = Ч2,
получим
-^=Л-	(III-5)
Можно получить аналогичное выражение и для смещения;
__~2t
dx2 — 1
(III. 5а)
91
Вернемся к выражению (III. 2). На основании формулы (III. 3)
можно написать:
“3^- = — °>
Но при отсутствии потерь, т. е. при = О,
72 = —
следовательно,
d2km _____________________________ „2
rfx2 1 т’
т. е. совпадает с выражением (III. 5а), следовательно, оба метода
получения волнового уравнения равноценны и для установившегося
режима и гармонической действующей силы приводятся к одинаковой
форме, а замена системы с равномерно распределенными постоянными,
совокупностью элементарных систем с сосредоточенными постоян-
ными, является вполне законной.
Переходим к решению волновых уравнений:
= Л	(Ш.6)
И
=	(III. 6а)
Последнее выражение получено из формулы (III. 4а), учитывая, что
^ = ^(^4-^)
и
72 = (/?! + гш/п,)
Дифференциальные уравнения (III. 6) и (III. 6а) имеют следующие
решения:
Fm = А^ + В^,
ёт = Д^ + В2в-^,	(III. 7)
где А„ А2, Вг и В2— постоянные интегрирования.
1 = У (/?i + toffii) i<oCi	(III. 8)
называется постоянной распространения. Очевидно, ч является ком-
плексной величиной и может быть представлена как
Ч = р -|- ia,	(III. 8а)
гдз ₽ — постоянная затухания,
а—постоянная сдвига фазы.
92
Для определения зависимостей между постоянными Alt Вх и Аг, В2,
подставим найденные решения в уравнение (III. 4). После преобра-
зований получим
"[А^ — 'iBjer-vi =	(А^ + B^e-tx).
Полученное равенство должно оставаться справедливым при любом
зничении х. Такое положение возможно лишь в том случае, если
существуют равенства членов правой и левой частей выражения со
множителями е'х и со множителями e~tx соответственно. Приняв это
очевидное положение, получим
д _________41______—
1 /”	-I- Zw/Wj Wq
V
г	i /"jRi ~о
где о>0 = у	—- — волновое сопротивление простои стержневой
системы с потерями;
в2 = -4
и>0
Подставляя в формулу (III. 7) вместо Л2 и Вг их значения, полу-
чаем
Fm = А^ + В^-,
im = -^(Aletx-B1e--<x-,
wo
(III.9)
Для определения постоянных интегрирования Ах и Вг воспользуемся
условиями на конце системы, т. е. при х = 0. Обозначим силу и ско-
рость на конце системы через Fml и iml. Подставляя в уравнения
(III. 9) х = 0 и решая относительно Аг и получаем
^1: ~2~ (Вml 4“
Bj = ~2~ (Fml
Подставляя полученные значения Лх и Вг в уравнения (III. 9),
после преобразований получим
Fm = Fmi ch ix 4- imfli>oshix; '
= Li ch lx 4- sh ix.
(III. 10)
Выражения (III. 10) являются общими для простой стержневой
системы (т. е. однородной колебательной системы с равномерно
распределенными постоянными), описывающими распределение сил
и скоростей в различных точках этой системы. Так как при выводе
мы интересовались только установившимся процессом, причем дей-
93
ствующая сила предполагалась гармонической, то в приведенных
выражениях фигурируют только комплексные амплитуды, а не
мгновенные значения сил или скоростей. В каждой точке системы
силы и колебательные скорости, кроме того, меняются во времени
по гармоническому закону с частотой колебания приложенной силы.
Особенностью дальнейшего рассмотрения и выводов является
то, что мы будем оперировать только амплитудными значениями
колебательных величин. Это существенно упрощает все выражения
и, с другой стороны, нисколько не ограничивает наши сведения об
исследуемых процессах.
Выражения (III. 10) являются общими потому, что, во-первых,
они описывают колебательный процесс при любых граничных усло-
виях и, во-вторых, колебания в сложных и комбинированных систе-
мах описываются выражениями, которые могут быть сведены к фор-
муле (III. 10).
Все наши дальнейшие выводы, пригодные для различных возмож-
ных вариантов построения стержневых систем, будут исходить из
полученных выражений, причем прибегать к составлению и решению
новых дифференциальных уравнений нет необходимости.
Здесь и в дальнейшем будем оперировать главным образом двумя
колебательными величинами—силой и скоростью. Другие три вели-
чины — деформация е, смещение 5 и напряжение (давление) о
могут быть найдены из соотношений
*=£,
ах
5 = j Idt-,
р = —<3 = £е =-^-,
О
где t, е — мгновенные значения соответствующих величин
в рассматриваемой точке системы.
Как было указано выше, нас будут интересовать амплитудные
значения этих величин.
Амплитудное значение давления получаем непосредственно:
рт
а = ——
т S
Для получения напишем в общем виде выражение для £т:
L = f(x).
Для перехода к мгновенным значениям умножим обе части урав-
нения на тогда
5 = f (х) е/ш/,
следовательно
$ = J f (х) dt =	е1**.
94
Произвольную постоянную опускаем, так как нас не интересует
начальная фаза колебаний. По этой же причине далее опускаем опе-
ратор i, указывающий в данном случае на сдвиг фазы на 90°.
Таким образом,
£ _
ш ’
НО
следовательно,
5
t ____ Sm
— <о
Поэтому для получения выражения достаточно выражение
для разделить на круговую частоту.
Выражение, описывающее распределение при колебаниях ампли-
туды деформации ет, находим следующим образом. Если в общем
случае
то
— f (х)>
5 = f (х) e‘w,
следовательно,
поэтому
е = f' (х) е/ш/,
гт = f (*)•
2.	ИДЕАЛЬНАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА
Стержневая колебательная система обладает в общем случае
потерями, величина которых характеризуется активным сопротив-
лением ^1- Обычно материал, из которого сделана стержневая
система, выбирается таким, чтобы потери были малы. Однако практи-
чески не исключены случаи, когда величиной пренебречь нельзя.
Вопрос о возможности пренебрежения величиной /?х решается
при сопоставлении величин сот! и Действительно, в том слу-
чае, если
(III. 11)
можно пренебречь активным сопротивлением, так как последнее
складывается с величиной iwm^. Отсюда, однако, нельзя делать
общий вывод о том, что при высоких частотах можно пренебречь
величиной . Необходимо учитывать, что активные потери,
определяемые значением также растут с увеличением частоты.
При этом характер и степень роста /?х в зависимости от частоты
могут быть весьма разнообразными и зависят от свойств материала
стержневой системы и диапазона рабочих частот. Поэтому оценку
условия (III. 11) следует производить, учитывая значение при
соответствующей частоте.
95
В часто встречающихся случаях, отвечающих колебательным
системам с малыми потерями, когда это условие выполняется,
волновое сопротивление приближенно можно считать равным
(III. 12)
Учитывая, что
Сг =	= Sp,
получим
w0 = SVpE;
но	__
= Р ]/у- = W,
где w является удельным волновым сопротивлением среды, соста-
вляющей стержневую систему. Таким образом w0 представляет
собой волновое сопротивление стержневой колебательной системы,
имеющей поперечное сечение S. Волновое сопротивление w0, опре-
деленное без учета является вещественной величиной. Заменяя
в выражениях (III. 10) w'o через w0, получим
Fm = Fmt ch ix + sh ix;
L = ^chix+ ^-sh "(x.
Выражение для постоянной распространения
7 = р + ta = У (/?! + iwCt
в этом случае будет иметь вид
Ч = t<o Уm1Cl = ia.
или на основании формулы (III. 3)
(III. 13)
Так как
ch iax = cos ax,
sh tax = t sin ax,
TO
Fm = Fml cos ax + sin ax;
L = Li cos ax + i sin ax.
(III. 14)
При анализе и расчете стержневых колебательных систем для
упрощения выводов и расчетов иногда можно пользоваться при-
ближенными формулами, полагая т. е. выражениями (III. 12)
и (III. 14), соответствующими идеальной системе.
96
3.	ПОСТОЯННАЯ ЗАТУХАНИЯ И ПОСТОЯННАЯ СДВИГА ФАЗЫ
Величина 7 называется постоянной распространения волны,
так как она характеризует величину и фазу вектора колебатель-
ной скорости или силы в любой точке стержневой системы (по
отношению к соответствующим векторам в начале системы).
Преобразуем выражение для 7. Приравнивая правые части фор-
мул (III. 8) и (III. 8а), получаем
(2?! -|- zw/nj tcoCj = (₽ + za)2 = Р2 + 2z ₽a — a2
и
(p2 — a2) -|- 2z’Pa = —	+ iR^C^
Приравнивая вещественные части, получаем
р2 — a2 = —
а из равенства мнимых частей следует
2ap = RitoCi.
Решая эти уравнения совместно, находим значения аир:
Р = |Л-4	+ 4 К(^1 + ®2^)	• (П1. 15)
а = ]/4	+ 4К(*1 + <*>М)	- (III- 16)
Для практического использования формул (III. 15) и (III. 16)
можно несколько упростить без существенного снижения их точ-
ности.
Разлагая выражение
_________________________ ,	^2
у Ri + (ш/пО2 = I 1 	у I
по биному Ньютона и ограничиваясь первыми двумя членами раз-
ложения, получим
__________ / 1 /?2 \
У R2l + (to/nj)2 =S= (О/П! I 1 + у-L ;
тогда
о 11/ ^‘C1 — Rl
p~ 2 У тг ~ 2 ' ™i
где	_
1/^- =—;
г тТ tt>0
отсюда
₽=Д-
97
7 Теумин 261
Упрощенное выражение постоянной сдвига фазы получается
из выражения (III. 16) при пренебрежении активным сопротивле-
нием:
а = <о ]/ т1С1 =
или, переходя к длине волны К,
Х = —2к,
ш
получаем
«=%-.	(III. 18)
Л
Величины т1г Clt Dlt v называются первичными параметрами
стержневой системы, а величины 7, р, а и w0 — ее вторичными
параметрами. Значения первичных параметров в большей или мень-
шей степени зависят от частоты, но в ряде практических случаев
их можно считать постоянными.
Величины вторичных параметров зависят от частоты даже при
неизменных значениях первичных параметров. Это видно из выра-
жений, связывающих вторичные параметры с первичными. Однако
параметры р и w0 при шт1 практически не зависят от частоты
в значительном диапазоне частот, в котором обеспечивается указан-
ное неравенство.
Первичные параметры, непосредственно связанные с параметрами
среды, составляющей стержневую систему, следующие: Е — модуль
Юнга, р — плотность, тд — коэффициент внутреннего трения.
Для уяснения физического смысла полученных выражений,
описывающих колебательные процессы, а также постоянных зату-
хания и сдвига фазы, подставим в выражение (III. 9) вместо 7
7 = Р-Н®,	]
Fm =	-f- В1е-^х+1лх\ I
L =	[Л^+'М — B1e-(?x+i^]. ]
Как видно из формул (III. 19), амплитуды силы и колебательной
скорости в любой точке являются результатом двух слагающих.
Первая из них — с коэффициентом — уменьшается по мере
приближения к концу системы, а вторая — с коэффициентом Bt —
увеличивается по мере приближения к этому концу. Уменьшение
или увеличение соответствующей слагаемой определяется показа-
телем р% и знаком, стоящим перед этим показателем, минус или
плюс. Отсюда ясно, что р является постоянной затухания.
Кроме этого, первая составляющая имеет опережение по фазе
(по отношению к фазе у конца системы), увеличивающееся по мере
приближения к началу, а вторая составляющая имеет отставание,
растущее по мере приближения к началу системы. Эти сдвиги по фазе
98
определяются показателем /ах, который благодаря множителю i
дает поворот вектора, на у. Знак минус соответствует, как обычно,
отставанию, а знак плюс опережению.
Из сказанного ясно, что первая составляющая представляет
собой волну силы и скорости, движущуюся от начала к концу стерж-
невой колебательной системы. Эта волна является падающей.
Вторая составляющая представляет собой волну силы и коле-
бательной скорости, распространяющуюся в обратном направлении
(отраженная волна).
Аналогично распространяются волны деформации и смещения.
4.	КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ
В общем случае падающая волна у конца стержневой системы
частично поглощается нагрузкой, включенной в конце системы,
а частично отражается. Соответственно отношение амплитуд отра-
женной и падающей волны в точке отражения может иметь разную
величину. Это отношение определяет коэффициент отражения
is   Ротр
ИЛИ
__ komp
knad
Из выражения (III. 9) имеем
д' —
F	Р ml + imZ^o
НО
Fml ~ ^н^ггф
где ZH — нагрузка на конце, поэтому
Аналогично можно показать, что коэффициент отражения коле-
бательной скорости равен
- -Й2- = -KF.
Ъпад
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть стержневая си-
стема на конце закреплена, т. е. связана с нагрузкой Z„ = oo.
Иначе говоря, смещение конца равно нулю. Тогда
К — °° —^0 _ 1
7*
99
Если система на конце свободна, т. е. ZH — 0, то
- __ 0 —
F ~ 0+и>0
В случае, если о>0 чисто активное, но система нагружена на
реактивное сопротивление ZH = iXH,
IS __	-- tt’o
F + “’о ’
следовательно, коэффициент отражения имеет комплексный харак-
тер. Это значит, что между отраженной и падающей волной имеется
сдвиг фаз ^отличный в общем случае от -у) . Модуль коэффи-
циента отражения 
4+^о ,
^« + “-0 ’
т. е. амплитуда отраженной волны в точке отражения равна ампли-
туде падающей волны в той же точке независимо от величины
реактивной нагрузки.
Если волновые сопротивления системы и присоединенной к ней
нагрузки равны, ZH = w0, то
= w0-w<) = 0
F w0 + w0
Физический смысл полученных результатов состоит в том, что
энергия колебаний, поступающая в стержневую систему в виде
падающей волны, рассеивается (поглощается) в активной нагрузке
на конце системы или же возвращается в виде отраженной волны
к генератору (источнику колебаний). Если система на конце сво-
бодна (ZH = 0) или, наоборот, закреплена (ZH = оо), волна полностью
отражается. Это объясняется тем, что в обоих случах энергия в на-
грузке не поглощается. Действительно, мощность, поглощаемая
в нагрузке,
п __
2	’
но при ZH = оо kmt = 0, а при ZH = 0 £mz 0, поэтому в обоих
случаях Р = 0.
Если на конце системы установлена реактивная нагрузка, то
волна также полностью отражается, так как энергия не погло-
щается реактивным сопротивлением, а запасается им (в упругом
элементе или в колеблющемся элементе массы).
Соответственно всем этим случаям модуль коэффициента отра-
жения равняется единице. При этом, если в самой системе потери
отсутствуют, энергия передается от начала к концу системы и обратно
без потерь.
100
Если оконечная нагрузка является активной или комплексной,
то энергия падающей волны может рассеиваться у конца стержневой
системы. Полное поглощение энергии падающей волны возможно
только в том случае, если на конце системы имеется нагрузка (актив-
ная), для которой возможно сохранение того же соотношения между
силой и колебательной скоростью для распространяющейся по
стержневой системе волны.
Очевидно, этому условию отвечает соотношение
и>о = -Й- = 4^-,
Em Em/
т. е. w0 = ZH (так как ZH =	. В этом случае энергия полностью
\	kml /
переходит в нагрузку и KF = 0.
Если на конце системы имеется нагрузка ZH #= w0, то отношение
следовательно, полное поглощение энергии нагрузкой невозможно
и часть энергии отражается.
5.	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ПОТЕРЬ
Хотя система без потерь является частным случаем системы
с потерями, начнем рассмотрение колебательного режима для более
простого случая, соответствующего системе без потерь.
Такой подход объясняется, во-первых, тем, что в большинстве
практических случаев выводы для системы при отсутствии потерь
достаточно точны, а выражения, описывающие те или иные про-
цессы и соотношения, оказываются относительно несложными.
Во-вторых, рассмотрение физической стороны процессов, описы-
ваемых соответствующими аналитическими выражениями, является
более удобным при пренебрежении потерями. В дальнейшем рас-
смотрим процессы в стержневой системе при учете потерь
а)	Стержневая система с закрепленным конце
Если конец системы закреплен, то, очевидно, kml — 0
ляя в уравнение (III. 14) tm[ = 0, получим
Fm = Fmicos ах;	|
sin ах, J
или, учитывая выражение (III. 18),
E* Z? 2*rc
Fm = FmtCos — x;
. Подстав-
ки. 20)
;	. Fmi . 2n
= t——Sin T-X.
m w0 A
101
На фиг. 111.4 приведены кривые распределения силы и колеба-
тельной скорости стержневой системы с зажатым (неподвижным)
концом. Из фиг. III. 4 и формул (III. 20) видно, что кривые ^ и
сдвинуты одна относительно другой на 90°. Множитель I определяет
характер реактивности системы по отношению к колебательной ско-
рости. Роль этого множителя будет вскрыта при рассмотрении вход-
ных сопротивлений стержневых систем.
Как видно, на конце системы получается максимум силы и мини-
мум колебательной скорости. Напомним, что в системах с распре-
деленными постоянными максимальные значения амплитуд колеба-
тельных величин называются пучностями, а минимальные их зна-
чения — узлами.
Пучности и узлы как силы, так и скорости повторяются через
отрезки длиной у. Очевидно, значения амплитуд силы и скорости
в узлах равны нулю. Фазы кривых силы и скорости вдоль стержне-
вой системы при переходах через узлы меняются скачкообразно
на 180°.
Как следует из полученных формул и фигур, положения узлов
и пучностей не зависят от времени, т. е. существующие в системе
упругие волны неподвижны. Изменяются лишь мгновенные значе-
ния колебательных величин во времени, и, таким образом, в точках,
где расположены пучности, мгновенные значения за период коле-
бания проходят весь цикл значений от нуля до амплитудного макси-
мального значения. В любых других точках мгновенные значения
с той же частотой изменяются от нуля до максимального значе-
ния, определяемого положением рассматриваемой точки по длине
системы.
Упругие волны в системе с равномерно распределенными постоян-
ными, характеризующиеся таким распределением колебательных
величин, при котором фазы изменяются скачкообразно при переходе
через нулевое значение, оставаясь неизменными в интервале между
двумя соседними узлами, называются стоячими волнами. Стоячая
волна является результатом сложения двух волн: падающей и отра-
женной от конца стержневой системы. Такой процесс соответствует
физической сущности образования стоячих волн.
Рассмотрим этот процесс. Из .двух способов графического и ана-
литического выберем последний. Ограничимся волной силы.
102
Значение падающей волны на конце системы
Ft = Fmocos<at
(здесь оперируем мгновенными значениями колебательной вели-
чины Fi), где Fm0 — амплитуда силы, создаваемой источником.
Очевидно, мгновенное значение действующей силы в момент времени t
в точке х будет создаваться волной, вышедшей из генератора позже
на время
М = — ,
V ’
где v — скорость распространения упругой волны.
Следовательно, в точке х падающая волна создает мгновенное зна-
чение силы
Л пад = Fm0 COS «> (< 4- у) •
Одновременно в ту же точку приходит волна, отраженная от конца
ранее момента t на время, необходимое для прохождения пути х.
Эта волна создает в данной точке силу
F* отр ~ Fmo cos <0 [t .
Результирующая сила в рассматриваемой точке, находящейся
на расстоянии х от конца системы, равна сумме падающей и отра-
женной волны:
F* = Fm[ [cos <0	+ cos <0 (t —J-)] .
Воспользовавшись известной формулой преобразования:
। о n а + Р	»— P
cos a + cos p = 2 cos —x-1- cos—,
получим
= 2Fm0 cos	x cos (0/
ш 2it
или, учитывая, что — = —%-, имеем
Fx — 2Fm0 cos 2F^-x cos
т. e. получили выражения вида (III. 20), отличающиеся от послед-
него множителем cos <0/, описывающим мгновенные значения волны.
Очевидно,
Fx = %Fm0 cos -у х.
Амплитуда силы Fm0 при этом удваивается, Fml = 2Fm0, т. е. ста-
новится вдвое больше амплитуды, создаваемой источником коле-
баний.
103
б)	Стержневая система со свободным концом
Если конец системы свободен и не испытывает никаких реакций,
то, очевидно, Fml = 0. В этом случае уравнения (III. 14) будут
иметь вид
Fm = /Центах; ]
.	.	(III. 21)
— 5mzcos ах. J
На фиг. III. 5 показаны кривые распределения силы и колеба-
тельной' скорости в системе с свободным концом. Как видно, форма
кривых подобна тем, которые получаются, когда конец системы
Фиг. Ш. 5.
закреплен неподвижно. Разница заключается в том, что в данном
случае на конце системы имеются узел силы и пучность скорости.
Таким образом, в результате сложения падающей и отраженной
волн возникает стоячая волна.
в)	Система, нагруженная на реактивное сопротивление
Если стержневая система нагружена на реактивное сопротивле-
ние, то в этом сопротивлении нет необратимой потери энергии,
так как реактивное сопротивление накапливает энергию за часть
периода и затем целиком отдает эту энергию. Такой процесс при-
водит к появлению стоячих упругих волн. Рассмотрим общий слу-
чай = iXH, не разделяя вариантов, когда Хн имеет инерционный
или упругий характер. Аналитически разница между этими случаями
будет заключаться в содержании Хн, т. е. знаке, который будем ему
приписывать, и в его аналитическом выражении, т. е. при инер-
ционной реактивности:
ZH = IX н =
при упругой реактивности
ZH = — iXH = —i
H	H	(&CH	W
где М„ — масса, присоединенная к концу системы (при инерцион-
ной нагрузкр);
DH — упругость, присоединенная к концу системы (при упругой
нагрузке);
Сн — гибкость нагрузки.
104
Реактивная нагрузка может быть представлена не только сосре-
доточенными массой Мн или упругостью DH, но также системой
с распределенными постоянными, на которую нагружается рассмат-
риваемая система.
Подставляя в формулу (III. 14) ZH = iXH, получаем после пре-
образований
=	(Ш.22)
£ = i Fml.sin (ах ~~ у)
т Wq cos <f>	’
где
<p = arctg^2-.	(III. 23)
Из полученных выражений видно, что в системе действительно
существует стоячая волна. При этом фазовый сдвиг между волнами
силы и скорости зависит от отношения волнового сопротивления
к реактивному сопроти-
влению нагрузки. На
конце стержневой си-
стемы в данном случае
не имеется ни узла, ни
пучности силы или ско-
рости. Первая пучность
силы оказывается на
расстоянии
Х0~ а -Л2%
от конца стержневой
системы.
Когда Хи = щ0, т. е. <р =	, распределение упругих волн
имеет вид, показанный на фиг. III. 6. Так как в общем случае на
конце стержневой системы, на которую действует реактивная на-
грузка, нет ни пучности, ни узла, то включение реактивной нагрузки
эквивалентно удлинению или укорочению стержневой системы, так
как добавление или, наоборот, укорочение системы на величину х0
приведет к тому, что на конце такой удлиненной (или укороченной)
системы окажется узел или пучность, соответствующие ненагружен-
ной системе.
Следовательно, реактивная нагрузка на конце стержневой си-
стемы заменяет отрезок системы, отбрасываемый или прибавляе-
мый к основной системе.
Из формулы (III. 22) и (III. 23) следует, что включение инер-
ционной нагрузки (iXH = i ш М„) эквивалентно укорочению нена-
груженной стержневой системы, а включение упругой нагрузки
(—iXK = —г—') равносильно удлинению системы.
105
К тому же выводу можно прийти, если рассматривать резонанс-
ные частоты системы. Зная распределение колебательной скорости
и силы вдоль стержневой системы, а также ее волновое сопротивле-
ние, можно определить величину и характер нагрузки, присоеди-
ненной к ее концу.
г)	Система, нагруженная на активное сопротивление
В этом случае нагрузка на конце является поглощающей. Уело-
D
вия поглощения энергии зависят от соотношения , где Rh —
сопротивление, на которое нагружена стержневая система.
Fmi
iml
Очевидно,
Подставив это значение в уравнение (III. 14), получим
Fm = Fml (cos ах + i -g- sin ах) ;
(cosax 4-sin ах) .
(III. 24)
Кривые распределения амплитуды колебательной силы в системе
при различных отношениях (фиг. III. 7) имеют тот же характер,
что и кривые распределения силы, но сдвинуты по длине на интервал,
равный . Кривые даны в относительных величинах р^т •
Таким образом, при RH > w0 пучности и узлы силы и скорости
располагаются в тех же точках стержневой системы, что и в случае,
когда последняя закреплена на своем конце. Наоборот, при RH <да0
106
пучности и узлы рассматриваемых упругих волн получаются в тех же
точках, что и в системе со свободным (ненагруженным) концом.
Значения амплитуды скорости в пучности равны нулю только для
п	р
= 0 и — со, во всех остальных случаях значения амплитуд
колебательных величин в пучностях минимальны, но не равны
нулю.
Наличие активной нагрузки на конце системы приводит к тому,
что некоторая доля энергии поглощается в этой нагрузке, поэтому
вдоль стержневой системы происходит перенос энергии (от источ-
ника силы к нагрузке). Однако в общем случае RH Ф w0, поэтому
часть энергии падающей волны отражается и возвращается к источ-
нику. При этом в системе одновременно с бегущей возникает стоячая
волна, что подтверждается структурой формул (III. 24). Энергия,
поглощаемая нагрузкой, переносится бегущей волной. Процесс
частичного отражения от места присоединения активной нагрузки
определяется нарушением в указанном месте однородности си-
стемы, приводящей к появлению иных условий распространения
упругих волн.
д)	Система с нагрузкой, равной волновому сопротивлению
Если RH = w0, то, подставляя соответствующее отношение в фор-
мулу (III. 24), получаем
~’	(III. 25)
С __ g plax (
?Я1 — 'тГ1 1
или, переходя к мгновенным значениям,
F = Fmei<at = Рт1е1^х+^;
5 = imeM = kmtel
Как видно, в системе имеется только падающая волна.
Переходя к тригонометрической форме, получим
F = FmZcos(®/ + ax); 1	(Ш.26)
j —	+ ax). J
Колебательный режим стержневой системы, при котором отсут-
ствует отраженная волна, называется режимом бегущей волны.
Учитывая, что a =, представим выражение (III. 26) в виде
i = iwz cos © +
(III. 26а)
Физический смысл полученных выражений состоит в том, что
упругая волна, распространяясь от источника колебаний к нагрузке,
107
приходит в точку, расположенную на расстоянии х от конца с неко-
торым запаздыванием, величина которого определяется отрезком
системы / — х, где / — длина стержневой системы. В рассматри-
ваемой точке изменение данной колебательной величины будет про-
исходить по тому же закону, что и на конце системы, но с опере-
жением на промежуток времени Д/ = (v — скорость распро-
странения упругой волны). Следовательно, мгновенное значение
колебательной величины (например, скорости) будет изменяться
по закону
^ = UzC0S®(^4-v)
(см. формулу .III. 26а).
Остановимся на физической стороне режима бегущей волны.
Как видно из предыдущего, такой режим может быть осуществлен
лишь в том случае, когда вся энергия упругой волны поглощается
на конце системы, вследствие чего возникновение отраженных волн
оказывается невозможным. Отсюда следует, что в режиме бегущей
волны стержневая система поглощает всю отбираемую от источника
энергию и ничего не возвращает обратно, т. е. система в этом случае
представляет для источника колебаний чисто активную нагрузку.
Последнее обстоятельство исключает появление сдвига фаз между
силой и скоростью. Действительно, как это следует из формул (III. 25)
и (III. 26), обе упругие волны находятся в фазе.
В режиме бегущей волны, очевидно, энергия, запасаемая в упру-
гом элементе (в элементарной системе, см. фиг. III. 3) должна быть
равна кинетической энергии, запасаемой элементарной массой,
т. е. Ет' = ED'.
В противном случае стержневая система представляла бы
собой некоторую реактивную нагрузку для источника колебаний
(инерционную или упругую).
Следовательно,
midxtfn _ CjdxF^
2	—	2
откуда
т. е. мы получили уже определенное нами раньше другим способом
волновое сопротивление стержневой системы, которое, как уже было
указано, в случае пренебрежения потерями в системе является
чисто активным. Таким образом, в случае бегущей волны стержневая
система представляет для источника колебаний активное сопротив-
ление, равное волновому сопротивлению этой системы.
В дальнейшем будут специально рассмотрены значения и харак-
тер входных сопротивлений стержневых систем при различных
нагрузках и длинах этих систем. Сделанные нами теперь выводы
108
о характере сопротивления систем в режиме бегущей волны должны
помочь уяснить физический смысл понятия волнового сопротивле-
ния, а также режима бегущей волны.
е) Система, нагруженная на комплексное сопротивление
В наиболее общем случае нагрузка представляется совокупностью
активного и реактивного сопротивлений. При этом физическая
структура такого комплексного сопротивления может иметь различ-
ные степени сложности и характер, т. е. может содержать не одно,
а несколько активных и реактивных сопротивлений, соединенных
цепочкой, узлом или комбинированным образом. Однако незави-
симо от реальной структуры и ее сложности комплексную нагрузку
всегда можно заменить эквивалентной, состоящей из активной
и реактивной составляющей
При этом следует иметь в виду, что в случае такой замены, RH
и Хи могут представлять собой функции, зависящие от частоты
и от реальных элементов, составляющих нагрузку.
В практических условиях весьма часто встречаются варианты
комплексной нагрузки, состоящие реально только из двух элементов:
активного и реактивного. Очевидно, при этом приведенное выше
выражение для ZH будет отвечать действительной структуре только
в том случае, если эти элементы соединены узлом. Если же они
соединены цепочкой, то значения активной и реактивной составляю-
щей, из которых составлено ZH, будут иными, т. е. не будут отве-
чать реальным значениям составляющих комплексную нагрузку
сопротивлений.
Воспользуемся формулами (III. 14), подставив = Z„; после
1ml
преобразований получим
= Fml (cos ах Ч- i sin ах
L = Li (cosax4- sin ах^
(III. 27)
Сравнивая полученные выражения с выражением (III. 24), видим,
что в отличие от случая, когда нагрузка на конце имеет чисто актив-
ный характер, в рассматриваемом случае коэффициенты при sin ax
являются комплексными величинами.
Следовательно, при х = 0 (т. е. на конце системы) не полу-
чается ни пучности, ни узла силы.
Для подтверждения этого найдем точку, соответствующую пуч-
ности силы. Введем подстановку
или
ах = ахг + <р
ах = а (хх 4-
(III. 28)
109
т. е. будем вести отсчет не от конца стержневой системы, а от
точки, смещенной от конца к началу на расстояние х0 =	. При
этом ® определяется из соотношения
tg2?=	(III.29)
Так как ® смещается (по условию) от конца системы в сторону
источника энергии, то угол 2® выбирается в таком квадранте,
чтобы знак числителя выражения (III. 29) совпадал со знаком sin 2®,
а знак знаменателя—со знаком cos 2®. Подставив формулу (III. 28)
в формулу (III. 27), получим
Рт = Рml (cos ах1 +	sin ах1 )
(cos ах1 + i sin ах,) Ве‘\
(III. 29а)
где
К (Л«+4+/?л)2 + (хл)2 - Ж+*2н-*лГь(*л)2 ’
(III. 30)
Л = ау0---------------- 2/?нЦ,°	- ;
+Х2 + «,§) -/(/?2 + Х> + ^-(2RHw0y
(III.31)

(III. 32)
Угол 2<р берется в таком квадранте, чтобы знак sin 2<|> совпадал
со знаком числителя, а знак cos 2<р— со знаком знаменателя фор-
мулы (III. 32). Очевидно, + X2 + о»2)2 > (2RHw^, поэтому А
является вещественной величиной. Легко видеть, что А имеет
размерность механического сопротивления и является сопротивле-
нием стержневой системы в точке х = 0. При любых нагрузках
на конце системы А всегда больше w0 (как это следует из выражения
для А), поэтому распределение силы и скорости, начиная от точки,
смещенной относительно конца системы на х0 =	(т. е. от точки
х = 0), оказывается точно таким же, как и в системе, нагруженной
на активное сопротивление при > wQ. При этом в точке х0 имеет
место пучность силы. Поэтому на конце системы не может быть ни
пучности, ни узла.
Характер распределения упругих волн для рассматриваемого
вида нагрузки определяется условиями отражения на конце системы,,
зависящими от модуля и фазового угла комплексного сопротивле-
110
ния. Для частного случая, когда R„ = XH = w0 на фиг. (III. 8)
показано распределение упругих волн силы и скорости. Так как ZH
содержит в себе активную составляющую, то часть энергии необра-
тимо поглощается на конце линии; этому соответствует некоторая
составляющая колебаний в виде бегущей волны, несущая активную
часть энергии. Другая составляющая представляет собой стоячую
волну.
6. КОЭФФИЦИЕНТ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ СИСТЕМЫ БЕЗ ПОТЕРЬ
Мы рассмотрели все возможные виды нагрузок на конце стерж-
невой системы.
В зависимости от характера и величины нагрузки меняются соот-
ношения (по амплитуде и фазе) между падающей и отраженной
волнами, а это дает тот или иной характер результирующей волны.
Таким образом, условия отражения в значительной степени харак-
теризуют колебательный режим системы с распределенными постоян-
ными.
Помимо коэффициента отражения, режим системы может быть
характеризован коэффициентом бегущей волны, который, в свою
очередь, связан с коэффициентом отражения. Коэффициентом бегущей
волны называется отношение
ь- _mln __ Emln
лб — р ~ J >
Гтах Етах
где Fm)n, Fmax — амплитуды силы в узле и пучности силы;
Effl)n, ^тах — амплитуды скорости в узле и пучности скорости.
Обозначив через KF коэффициент отражения, найдем связь
между К,б и КР. Амплитуда силы в стержневой системе будет мини-
мальной в точке, где Fnag и Fomp противоположны по фазе
^mln = I ^пад I I ^отр I ’
111
(в данном случае оперируем абсолютными значениями амплитуд,
т. е. их модулями). Амплитуда силы получается максимальной
в точке, где Fnad и Fomp совпадают по фазе:
Ртах ~ I Pnad I Н" I Pomp Ь
Подставив в выражение для значения Fmin и Fmax, получаем
। । IFотр|
if __Fnia __ I Fnad I I FomP | _	| Fnad I	HIT
~Fmta “ IFnadl + IFompI “ , , I fomp I ’ U '
+ Ifnadl
t. e.
=	(П1.34)
здесь, очевидно, |Kf|—модуль коэффициента отражения.
В общем случае, если система нагружена на комплексное сопро-
тивление, то
^ = ГТ?;	<ш-35)
I «>0
\К ।	1/(^-а)о)2+4
F У (^+“-о)2 + ^‘
(III. 36)
Коэффициент бегущей волны характеризует степень согласова-
ния стержневой системы с нагрузкой. Физический смысл согласо-
вания заключается в оптимальных условиях передачи энергии из
системы в поглощающую нагрузку.
Далее, подставив в выражение (III. 33) отношение
Fотр  ZH — Wo
Fnad ~ ZH+ Wo'
получим
is
следовательно, коэффициент бегущей волны показывает, во сколько
раз сопротивление нагрузки больше или меньше волнового сопро-
тивления стержневой колебательной системы.
Иногда в практических условиях пользуются коэффициентом
стоячей волны

т. е. величиной, обратной коэффициенту бегущей волны.
7. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ПОТЕРЬ
Если стержневая колебательная система связана с источником
колебаний, то она является для этого источника некоторым механи-
ческим сопротивлением. Это сопротивление называемое входным,
112
в общем случае является комплексным. Величина Ztx входного
сопротивления (его вещественная и мнимая части) зависит от пара-
метров стержневой системы, ее длины, нагрузки ZH на конце и от
частоты. Из определения входного сопротивления следует, что
=	(Ш.37)
5 то
где Fm0 и im0 амплитуды силы и скорости в начале системы, т. е.
в точке соединения с источником колебаний. Определение вели-
чины Zax является важным звеном расчета стержневых систем.
Знание этой величины дает возможность определения всех колеба-
тельных величин (при известной колебательной силе, развиваемой
источником колебаний). Пользуясь мнимой частью Zax, можно
найти резонансные частоты данной системы или определить необ-
ходимые условия, обеспечивающие настройку системы в резонанс.
а) Система с закрепленным концом
(III. 37), подставив вместо Fm0 и fm0
(III. 20). При этом полагаем х = I;
Воспользуемся формулой
их выражения из формулы
тогда
7	_ Fmi COS al _
^вх F^i
sin al
= — iw0 ctg al. (III. 38)
Мы видим, что в системе
без потерь входное сопроти-
вление имеет чисто реактив-
ный характер, т. е.
^вх = 1Х»х>
где Хах — в общем случае
реактивная составляющая
входного сопротивления.
Это обстоятельство легко
понять, учитывая, что систе-	Фиг. ш. 9.
ма без потерь и при отсут-
ствии активной нагрузки на конце не может поглотить энергию.
На фиг. III. 9 приведена кривая изменения входного сопротивле-
ния в зависимости от длины системы /. На горизонтальной оси отме-
чены точки, расположенные на стержневой системе вдоль ее оси,
через у X. (Напомним, что X связана с аргументом а простым соот-
ношением X = — j . Из графика видно, что знак входного сопротив-
ления меняется через равные отрезки длиной , а величина этого
сопротивления может иметь любое значение от + со до —со. Таким
8 Теумин 261
113
образом, в зависимости от длины стержневая система может быть
эквивалентна любой массе или упругости, так как значения соот-
ветствующих реактивных сопротивлений
iXm = i<oM,
• v	. 1
--1ЛС =  l —yr .
c	шС
В тех точках, в которых входное сопротивление системы (равное
ее реактивному сопротивлению Хвх) становится равным нулю,
эта система по своим свойствам является подобной элементарной
колебательной цепи, составленной из элементов массы и упругости,
соединенных узлом, при резонансе сил, а в тех точках, где Хвх = ± оо,
система ведет себя так, как элементарная колебательная цепь, эле-
менты которой соединены цепочкой — при резонансе скоростей.
В интервалах между экстремальными значениями Хах стержневая
система имеет инерционную или упругую реактивность.
Сказанное выше об эквивалентных элементах и цепях стержне-
вой системы представлено на фиг III. 9 в виде условных обозна-
чений этих элементов и цепей на соответствующих участках системы.
Так же как и во всех предыдущих графиках, начало коорди-
нат (точка О) соответствует концу системы, т. е. источник ко-
лебаний лежит влево от
этой точки, на расстоя-
нии I в той точке, в ко-
торой определяется Zex.
б)	Система со свободным
концом
Аналогично предыду-
щему случаю, воспользо-
вавшись выражениями
(III. 21) и на основании
формулы (III. 37), по-
лучаем
=	(П1. 39)
т. е.
Сравнивая выражения (III. 38) и (III. 39), видим, что в рассмат-
риваемом случае характер изменения входного сопротивления та-
кой же, как и в системе с неподвижным (закрепленным) концом.
Различие заключается только в том, что в системе со свободным
„	А
концом кривая Zax смещена по оси абсцисс на расстояние
(см. фиг. III. 10). На этой же фигуре указаны области, в которых
система эквивалентна элементарным колебательным контурам (соеди-
ненных узлом или цепочкой), упругости или массе.
114
Таким образом, системы с неподвижным и свободным концами
взаимозаменяемы. Их свойства совпадают если длина одной из них
больше или меньше другой на •
в)	Стержневая система, нагруженная на реактивное сопротивление
Значение входного сопротивления в данном случае может быть
получено из выражений (III. 22). Хн представляет собой реактив-
ную нагрузку любого характера (инерционную или упругую).
Очевидно,
Zex = — iw0 ctg (al — ®) =— iXex,	(III. 40)
где
tg?=	(III. 41)
Из выражения (III. 40) видно, что характер изменения входного
сопротивления оказывается таким же, как и в предыдущих двух
случаях. Однако кривая несколько смещена. По сравнению со слу-
чаем, соответствующим системе с зажатым концом, кривая сдвинута
на величину — . Направление сдвига зависит от угла <р (от того,
в какой четверти он находится). Сдвиг указывает на то, что вклю-
чение на конце стержневой системы реактивности того или иного
знака равносильно удлинению или укорочению данной стержневой
системы. Указанное обстоятельство уже было нами рассмотрено при
выводе выражений, описывающих колебательный режим стержневой
системы с реактивной нагрузкой на конце.
Найдем эквивалентный отрезок стержневой системы, который
надо прибавить или отнять от системы с зажатым концом для того,
чтобы получить то же входное сопротивление, что и для системы,
нагруженной на реактивность. Иначе говоря, найдем отрезок стерж-
невой системы, эквивалентный данной реактивности, включаемой
на конце.
Формула, определяющая входное сопротивление системы с зажа-
тым концом, как мы уже знаем, имеет вид
= — iwoctgal.
Сравнивая эту формулу с формулой (III. 40), легко видеть, что
если волновые сопротивления обеих рассматриваемых систем оди-
наковы, то входное сопротивление системы длиной I с реактивной
нагрузкой на конце можно сделать равным входному сопротивле-
нию системы, с зажатым концом, взяв ее длину I —13, чтобы
удовлетворить равенству
ctg (al — <р) = ctg а/9.
Последнее может быть, если
al — ф = al9,
8*
115
или
или, учитывая выражение (III. 41)
т. е. искомый отрезок
arctg-^2-
Д/ =------
(III. 42)
Из формулы (III. 42) следует, что в случае инерционной на-
грузки /э</, так как ®>0, а в случае, если реактивная нагрузка
представлена упругостью, 1а>1, так как ср<0 и, следовательно,
ls равно I плюс добавочный отрезок, равный по абсолютной
величине -^-U.
г)	Стержневая система, нагруженная на активное сопротивление
Воспользовавшись формулами (III. 24), после освобождения
от мнимости в знаменателе и несложных преобразований получаем
f 2 [!	(/?")] sin 2aZ
д° cos® al 4- sin® al
(III. 43)
Rh )
здесь Rtx и Xtx— активная и реактивная составляющие входного
сопротивления.
О	v
На фиг. III. 11 и III. 12 показаны отношения —— и ——
wo	“’о
в функции от Так как Rtx и Хвх имеют конечные значения,
то применение указанных относительных величин придает приве-
денным кривым обобщенный характер.
Появление активной составляющей входного сопротивления в
рассматриваемом случае объясняется активной нагрузкой RH.
Однако Rtx Ф RH, так как нагрузка RH перечисляется на вход
системы сложным образом, через ее параметры.
Из фиг. III. И и III. 12 видно, что активная и реактивная со-
ставляющие входного сопротивления во всех случаях, когда RH > 0.
116
имеют конечные значения, причем Rex всегда больше нуля, Точки
максимальных значений повторяющиеся через интервалы — ,
не совпадают с точка-
ми максимальных зна-
чений Хвх. Кривые на
фиг. III. 12 показывают,
что в зависимости от дли-
ны системы реактивная
составляющая входного
сопротивления может
иметь любой знак, т. е.
реактивное сопротивление
может быть инерционным
или упругим.
Следует отметить, что
Хвх = 0 в одних и тех же
точках системы независи-
мо от величины отноше-
Хн
ния —— •
Частным (но имеющим
Фиг. ш. п.
большое практическое значение) случаем нагрузки стержневой
системы на активное сопротивление является случай, когда
RH = w„ (III. 44)
т. е. когда система на-
гружена на активное
сопротивление, равное
волновому. При этом из
формул (III. 24) полу-
чаем
Z„x^w0. (III. 45)
Из предыдущего
известно, что при усло-
вии (Ш. 44) в системе
имеется режим бегущей
волны и коэффициент
отражения Кр = 0, а
коэффициент бегущей
волны Кб = 1, т. е. вся
энергия, передаваемая
по стержневой системе,
поглощается в нагрузке
без отражения. Таким
образом, входное сопро-
тивление системы, на-
груженной на R„—wa, т. е. согласованной со своей нагрузкой (К.б= 1),
не зависит от длины системы, а следовательно, будет таким же и при
117
бесконечно длинной системе. Последнее обстоятельство дает осно-
вание определить волновое сопротивление системы как ее входное
сопротивление при бесконечной длине. Заметим, что требование «бес-
конечно длинной» системы практически не означает геометрически
бесконечную систему. Действительно, если система имеет потери
(такие системы рассматриваем ниже), то при достаточно большой
длине стержневой системы бегущая волна затухнет, т. е. энергия
ее поглотится в активном сопротивлении, равномерно распреде-
ленном вдоль системы. В результате этого отражения также не будет,
т. е. режим бегущей волны будет обеспечен. В другом случае, если
стержневая система возбуждается не непрерывно, а импульсно,
т. е. если действующая гармоническая сила существует некоторый
конечный интервал времени ДТ, то в системе существует бегущая
волна даже при конечном значении длины I при условии, что I > оДТ,
Т; е. если импульс колебаний не успеет достигнуть конца системы
прежде чем закончится излучение этого импульса. При этом отра-
женные волны, которые должны возникнуть вследствие конечной
длины не согласованной на конце системы, будут лишь после при-
хода к концу системы импульса колебаний и режим колебаний в тече-
ние времени Т = -убудет режимом бегущей волны. Следовательно, Zex
для импульсных колебаний будет равно волновому сопротивлению.
Стержневые системы конечной длины, обеспечивающие в опре-
деленных условиях режим бегущей волны, при отсутствии согласо-
вания на конце называются акустически-длинными системами.
Следовательно, две стержневые системы можно соединять вместе,
не создавая в месте соединения отражений энергии, если их волно-
вые сопротивления равны один другому. Обеспечение указанного
условия называется согласованием. В дальнейшем будет показано,
что возможно обеспечить полное согласование между двумя системами
и в тех случаях, когда имеются различные волновые сопротивления,
однако при этом следует применять специальные промежуточные
согласующие устройства (системы), трансформирующие волновое
(или входное) сопротивление второй системы (подключаемой к концу
первой) в нужную величину этого сопротивления.
д)	Система, нагруженная на комплексное сопротивление
Из формул (III. 27) после соответствующих преобразований полу-
чаем
COS al -I- l	sin al
» (ln- 46)
—COS al + i sin al
где
== i
комплексная нагрузка на конце системы.
Так как входящее в формулу (III. 46) ZH — комплексное, то для
того, чтобы разделить вещественную и мнимую части этого
118
выражения, необходимо произвести ряд преобразований, связанных
с подстановкой выражения для и с освобождением знаменателя
от комплексности.
Можно, однако, получить выражение для Zgx в другом, виде,
дающем возможность достаточно просто разделить вещественную и
мнимую части. Для указанной цели воспользуемся выражениями
для Fm и из формул (III. 29а); тогда, учитывая (на
выражений (III. 31), (III. 33) и (III. 35), что = Кб,
образований получим
С то
где
О __ WQ^6 .
Kq COS2 а --+ sin2 а ------
(l-K®)Sin2a(/—J-)
tX~ ‘“S |4cos*a	а (/--Г)]
здесь <р определяется
из формулы (III. 29):
основании
после пре-
(III. 47)
tg2® =

8. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ПОТЕРЬ
а) Общее условие резонанса, максимальные и минимальные значения
входного сопротивления
Понятие о входном сопротивлении стержневой системы по суще-
ству дает возможность заменить систему с распределенными постоян-
ными эквивалентной колебательной цепью, в которой активное и реак-
тивное сопротивления Rgx и 1Хвх соединены узлом. Из предшествую-
щего рассмотрения различных случаев нагрузки стержневой системы
следует, что величины RgjC и Хвх зависят от частоты. Это обстоя-
тельство объясняется тем, что Rgx и Хвх не являются реальными
физическими элементами, но представляют собою соответствующие
эквивалентные сопротивления простой системы, заменяющей слож-
ную реальную систему с распределенными постоянными и с некоторой
нагрузкой ZH на конце. Такая замена не может полностью отразить
все особенности реальной системы. Действительно, эквивалентная
колебательная цепь с сосредоточенными постоянными не может опи-
сать законы распределения колебательных величин вдоль реальной
системы. Эта неполнота замены не является для нас существенной,
так как для описания характера распределения колебательных
величин вдоль стержневой системы нет необходимости заменять ее
эквивалентной с сосредоточенными постоянными. В то же время
119
для определения резонансных частот системы замена ее эквивалентной
является чрезвычайно удобной и сохраняет полностью интересующие
нас резонансные свойства. Так как резонансные свойства любой
колебательной системы определяются условиями, при которых ее
входное сопротивление не имеет реактивной составляющей, то, оче-
видно, если для стержневой системы
Xex = 0,	(III. 48)
то частоты, обращающие в нуль это уравнение, будут резонансными.
При резонансе амплитудные значения всех колебательных вели-
чин в соответствующих пучностях будут максимально возможными
для данной системы, нагруженной на определенное сопротивление.
Условие равенства реактивной составляющей нулю при резонансе
является очевидным и вытекает из общей теории колебаний и рас-
смотрения систем с сосредоточенными постоянными (см. главу I).
Таким образом, общий метод определения резонансных частот стерж-
невой системы состоит в следующем:
а)	составляется выражение для входного сопротивления рассмат-
риваемой системы;
б)	выделяется реактивная (мнимая) составляющая;
в)	выражение для реактивной составляющей приравнивается
нулю и решается уравнение относительно й>0 (©о — резонансная
частота).
Так как система с распределенными постояными имеет много
степеней свободы, то ей соответствует не одна, а бесконечно боль-
шое число дискретных резонансных частот. Это также следует из
того, что Ztx изменяется периодически в зависимости от длины
системы I, т. е. от отношения •
Минимальная резонансная частота является основной собствен-
ной частотой системы. Очевидно, ее значение определяется первым
корнем уравнения (III. 48). Упругие волны, возникающие в системе
и соответствующие резонансным частотам, называются резонансными
волнами.
Резонансная волна максимальной длины называется основной
собственной волной системы.
В непосредственной связи с резонансными частотами находятся
понятия о максимальных и минимальных значениях эквивалент-
ного сопротивления стержневой системы. Знание этих величин пред-
ставляет практический интерес.
Если стержневая система зажата на конце, свободна или нагру-
жена на реактивное сопротивление, то, как следует из рассмотрен-
ных выше случаев, максимальное эквивалентное сопротивление
получается бесконечно большим, а минимальное равно нулю. Если
система нагружена на комплексное сопротивление, то максимальное
и минимальное эквивалентное сопротивление имеет конечную ве-
личину.
Значение входного сопротивления минимально в узле силы (пуч-
ности колебательной скорости) и максимально в пучности силы
120
(узле скорости). Максимальное и минимальное сопротивления
в рассматриваемом случае имеют активный характер, так как при
этом реактивная составляющая обращается в нуль. Воспользовав-
шись формулой (III. 47), найдем выражения максимального и ми-
нимального сопротивления. Пучности силы получаются в точках,
а -----= тс,
где n = 0, 1, 2, 3. . . .
Подставив в уравнение (III. 47) одно из этих значений
a,(l---, находим
7	__р ______
max ^бх max	•
Узлы силы получаются в точках, где
«('--!-)-2(«+1)1,
где n = 0, 1, 2. 3, . . .
Подставив одно из этих значений a (l--------в формулу
(III. 47), получаем
Zex mln ~ Ъх mln = WQK6.
Минимальное значение реактивной составляющей (Хвх) входного-
сопротивления равно нулю. Найдем максимальное значение Хвх~
Для этого необходимо решить уравнение
^Хвх  Q
dx
Определив из уравнения (III. 47) Хвх и подставив его в уравне-
ние (III. 49), после дифференцирования и решения относительно х,
получим
arc tg Кб,
где хх— расстояние от пучности силы до точки, где имеет макси-
мальное значение
У -4.
ex max JL 2Кб *
Если Кб<^ 1, ТО
V ______ шо____L * р
ZYexmax— 2%б	2 ^вх тах*
Найдем резонансные частоты стержневых систем без потерь для
различных случаев нагрузок.
121
б)	Система с закрепленным концом
Из условия
Хвх = wo ctg = °>
учитывая, что
(III. 49)
(III. 50)
обладает бес-
находим
тде n = 0, 1, 2, 3, . . . , откуда
в>0 = (2п+1)-2-.-^,
т. е.
(2п+1)^-
или, переходя к длине волны,
1 _ 2я/ _ 41
Как видно из полученных равенств, система
конечным числом резонансных частот. При п = 0 получаем основ-
ную частоту.
Частоты выше основной (п>0) называются гармониками си-
стемы.
в)	Система со свободным концом
На основании формулы (Ш. 39) имеем
О)	л
wotg — t = 0.
Этому соответствует условие
где п = 1, 2, 3......откуда
ai0 — -^-n	(III. 51)
ИЛИ
£ V
fo — 21 П'
Собственная длина волны
<ш-52)
122
Таким образом, в отличие от предыдущего случая, где длина
стержневой системы кратна нечетному числу резонансных волн,
в данном случае длина системы кратна целому числу резонансных
полуволн.
г)	Стержневые системы с нагрузкой на конце
Реактивная нагрузка (+/Х„).
Резонансные частоты определяются из решения уравнения
ctg (2L/-<?)== О,
где
tg <? = -£>-,
^-Z-? = (2n-bl)^ = -^-/-arctg-^. (III. 53)
и	£	и	Лц
Но так как Хн зависит от частоты, то уравнение относительно
искомого ио является трансцендентным. Решить его можно графи-
чески. Для этого представим уравнение (III. 53) в виде системы
уравнений
У = — arctg-^;
(III. 54)
у-(2п+1)^—^1.
Построив графически функции, удовлетворяющие этим урав-
нениям (при переменном значении ©), получим точку пересечения
кривых, которой, очевидно, соответствует значение ш0.
Из полученных выражений видно, что при наличии реактивной
нагрузки на конце стержневой системы, резонансные значения
частот не находятся в кратных отношениях, как это было в преды-
дущих случаях, поэтому резонансные частоты высших порядков
не являются гармониками. Если <оо задана, а определению подлежит I
или Хн, то задача решается просто при помощи выражения (III. 53).
Активная нагрузка (RH).
Из выражения (III. 43) выделяем реактивную составляющую
и полагаем ее равной нулю. Опуская постоянные множители, получим
/ ^\2]
1 —	Sin 2а/
—--------------=у = О,
COS2 а/ + sin2 а/

Значение резонансной частоты <о0, а следовательно, соответ-
ствующей величины а, определяемой из этого уравнения, зависит
от отношения Рассмотрим два крайних случая.
123
а)	Пусть RH—+ co; это соответствует приближению к режиму
„зажатого конца". Тогда у будет стремиться к выражению вида
Очевидно, это выражение может равняться нулю лишь при
условии, что 2aZ = тсп, откуда
a>0=-§-n.	(III. 55)
б)	Пусть теперь RH —>-0, т. е. система приближается к режиму
„свободного конца". Преобразуем выражение для у следующим
образом:
[vOq — sin al COS al
У cos2 al + R? sin2 al *
тогда
«/|nK->o = tga/;
накладывая условие tg al = 0, получаем
a>0 = -y-n.	(HI. 56)
Все возможные значения RH определяются условиями:
а) 1-	“'о Rh '	>0;	(w0<RH)
б) 1-	^0	.	^0;	(“’о >
в) 1-	__ Rh	:0;	(“’о = ЯЛ
Последнее условие отвечает режиму бегущей волны. Так как при
переходе через режим, определяемый условием «в», пучности и узлы
меняются местами, т. е. упругие волны сдвигаются на , то во всех
случаях, соответствующих условию «а», следует пользоваться фор-
мулой (III. 55), а в случаях, соответствующих «б»,—формулой
(III. 56).
Комплексная нагрузка (ZH — RH + iXH).
Воспользовавшись выражением (III. 47), выделим мнимую часть
и опустив постоянные множители, не равные нулю, приравняем
ее нулю:
(l-K26)sin2«(/-4-)	=()
/с| cos2 a(l —	+ sin2 a(l-
Сравнивая полученное выражение с выражением для у в случае
активной нагрузки на конце, видим, что они подобны одно другому.
124
Различие заключается лишь в аргументе тригонометрических функ-
ций и в замене отношения коэффициентом К.б. Следовательно,
можно для рассматриваемого случая повторить анализ этого выра-
жения, подобно тому, который был сделан для предыдущего случая.
Соответственно получим:
а) при Кб < 1
2а (l----= тсга;
б) при Кб>1
а0—г)=™;
отсюда условия резонанса будут [учитывая формулу (III. 29)] для
случая „а“
^-f-arclg	<ш'57>
и для случая „б“
^'~агс1е	(ПГ58)
где п = 1, 2, 3, . . .
Очевидно, и в данном случае резонансные частоты не находятся
в кратных отношениях к основной частоте.
Если <оо задана и определению подлежит величина / или Хи, то
эта задача решается непосредственно при помощи выражения (III. 57)
или (III. 58). В том случае, если определению подлежит резонансная
частота, то вследствие трансцендентности уравнений относительно <оо
решение может быть графическим. Представляя, например, уравнение
(III. 57) в виде системы двух уравнений:
У = — arctg
____________________________________.
’
ТС	(D	<
	1,
2	v '
(III. 59)
У
находим точку пересечения функций, построенных по этим уравне-
ниям.
В рассматриваемых выше случаях (реактивной или смешанной
нагрузок), когда реактивная составляющая представлена сосредоточен-
ной массой, принимаем
Хя = шМн,
а при нагрузке в виде сосредоточенной упругости
y _________________________ *	_
лн— шС ~ ш •
При комплексной нагрузке дополнительно учитывается активное
«сопротивление RH.
ГЛАВА IV
ПРОСТЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
1. ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА СИСТЕМ С ПОТЕРЯМИ
И ПРЕДЕЛЫ ЗАМЕНИМОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
В предыдущих разделах мы рассматривали системы без потерь,
т. е. идеальные системы. Мы полагали, что активные потери в этих
системах отсутствуют. Такая идеализация близка к истине и в прак-
тических условиях, наиболее часто можно пользоваться формулами,
выведенными для системы без потерь. Такое допущение, дающее
возможность пользоваться более простыми соотношениями, выве-
денными для идеальных систем, по существу является приближением
к реальным процессам, происходящим в системе с потерями.
Это приближение тем более справедливо, чем короче стержневая
система и чем меньше внутреннее трение. Однако в ряде случаев
пренебрежение потерями в стержневой колебательной системе при-
водит к существенным отклонениям от реальных процессов.
Если система находится в режиме бегущей волны, то активные
потери вызывают постепенное уменьшение амплитуд силы и колеба-
тельной скорости вдоль системы. Однако обычно потери бывают
небольшими, а их влияние на величину волнового сопротивления,
определенного по формуле для идеальной системы, невелико. Таким
образом, для этого случая волновое сопротивление с достаточной
точностью может быть рассчитано по формуле для идеальной
линии.
Если стержневая система находится в режиме стоячих волн, то
потери оказывают большее влияние, чем в режиме бегущей волны.
Иначе говоря, ошибка при использовании формул для идеальной
системы применительно к реальной системе с потерями может быть
существенной. Физика такого влияния потерь при стоячих волнах
объясняется тем, что в этом режиме амплитуды силы и колебатель-
ной скорости на отдельных участках системы сильно возрастают,
а это приводит к увеличению необратимых потерь в системе. В резуль-
тате к. п. д. стержневой системы значительно снижается по сравне-
нию с к. п. д. в режиме бегущей волны.
Если стержневая система (достаточно большой длины) исполь-
зуется для передачи колебательной энергии, то в этой системе
желательно создать режим бегущей волны.
126
Благодаря активным потерям входное сопротивление системы,
ненагруженной на активное (или комплексное) сопротивление,
помимо реактивной, имеет также и активную составляющую. Поэтому
входное сопротивление в точках, где оно должно быть равно нулю
или бесконечности (для идеальной системы), будет соответственно'
иметь малые и относительно большие (конечные) значения.
В области резонансных значений частот для их определения
(или длин системы, соответствующих заданной резонансной частоте)
можно применять формулы идеальной системы с достаточной точ-
ностью. Однако применение в этой же области формул идеальной
системы для определения входных сопротивлений или амплитудных
значений колебательных величин (в пучности и узле) исключается,
так как эти формулы дают нулевые и бесконечные значения искомых
величин, что, как было уже указано, не соответствует действитель-
ности для систем с потерями.
В то же время применение этих формул в остальной области
частот не внесет существенной ошибки. Если реальная система
нагружена, то в области резонансных частот применение формул
идеальной системы (для аналогичного случая нагрузки) возможно
и внесет меньшую ошибку, чем в случае их применения для нена-
груженной системы с потерями.
Правильный выбор условий применимости формул для идеаль-
ных систем для расчета систем с потерями существенно облегчает
вычисления.
В дальнейшем для систем с потерями волновое сопротивление
будет обозначать w'o
2. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
а) Система с закрепленным концом (ZH = оо)
Здесь и в дальнейшем будем пользоваться выражениями (III. 13).
Подставляя в эти выражения — 0, получаем
Fm = Fml^ 1Х>
k^^sh-fx;
w0
(IV. 1)
напомним, что	________________
I = ]/(2?! + iam,) iwCi = р + ia,
где ₽ и а определяются из формул (III. 15) и (III. 16) или прибли-
женно из формул (III. 17) и (III. 18).
Выражения (IV. 1) можно привести к виду
Fm — Fmt (ch cos ax 4“ 1 sh ₽xsin ax);
(sh ₽ x cos ax + i ch ₽xsin ax).
“»o
(IV. 2)
127
Последние выражения показывают, что в системах с потерями
сила и скорость состоят из двух составляющих, сдвинутых друг
относительно друга на 90°.
Выражения (IV. 2) можно также представить в виде
Fm = Fml vsh2 ₽х + cos2 axe,<f>; ’
= Д* ]/ sh2 ₽х -I- sin2 ах e/<p <,
wo
где
<fF — ar ctg (th fix tg ax); 1
<p । = arc tg (cth ₽x tg ax). j
(IV. 4)
Из анализа выражения (IV. 3) видно, что в стержневых системах
с потерями пучности, узлы силы и колебательной скорости сме-
щены относительно пучностей и узлов в системе без потерь.
Положения плоскостей поперечного сечения стержневых систем
с потерями, где имеются пучности и узлы силы и скорости, пред-
ставляют практический интерес. В частности, укажем на то, что
в плоскости узла скорости можно осуществить закрепление стержне-
вой системы без нарушения ее колебательного режима.
Определение положения указанных выше плоскостей в идеальных
системах с закрепленным концом, не представляет ничего сложного.
В системах с потерями при закрепленном конце расстояния от конца
системы до пучностей и узлов могут быть определены с помощью
формул, полученных из определения экстремальных значений вараже-
ний (IV. 3) Для силы
ХГпучн	р \2 * 2 ’	(IV. 5)
\ » 7
2м *4“ 1 Л	/ 1\т с\
хРузл~ 7 в \2 '-4-*	(IV. 6)
Для колебательной скорости
2п + 1 Л *	/TV
ХЬпучн = ~\	(	)2 ” *	'1V Z
^-1ч.р.у4-	<IV-8>
где п = 0, 1, 2, 3, ... ;
При выводе этих формул было принято, что 1. Таким обра-
зом, формулы (IV. 5), (IV. 6), (IV. 7) и (IV. 8) являются прибли-
женными.
128
о
Так как у 1, легко видеть, что поправка на учет потерь,
положений узлов и пучностей также небольшая и практически
в большинстве случаев может не учитываться. После подстановки
выражений (IV. 5), (IV. 6), (IV. 7), (IV. 8) в выражения (IV. 3)
и соответствующих преобразований можно получить значения силы
и колебательной скорости в пучностях и узлах:
Рт пучн = Fml ch рх У I —	sh* ₽х;
Рт узл = Fml Sh ₽х ]/ 1 +	ch* ₽х;
*т пуЧ„ = AMch Рх /1 - (4У sh2
1тузл= -^Sh рХ УI + (Л Ch2
’ ом г \ а /
(IV. 9)
здесь х — расстояние от конца системы до той плоскости, где опре-
деляется Fmny4H, FmyM, imny4M, tmyM\ координата x определяется
по формулам (IV. 5); (IV. 6); (IV. 7) и (IV. 8).
Приведем еще две формы выражений, описывающих распре-
деление амплитуд силы и колебательной скорости, для рассматри-
ваемого случая.
На основании выражения (IV. 1) имеем
Fm0=Pmi<hxil-,
em0=^sh'rZ,
wo
(IV. 10)
где Fm0 и 5m0 — амплитуды силы и скорости в начале системы.
Тогда из формул (IV. 1) и (IV. 10) получаем
г» __р ch fx e
Гт~ т0 chi/ ’
;	sh lx
m «т 0 sh •
(IV. Il)
Полученные выражения устанавливают непосредственную связь
между амплитудами колебательных величин в данной точке системы
и соответствующими амплитудами ее начала при данной длине /
стержневой системы.
б) Система со свободным концом
Подставив в уравнение (III. 13) Fml = 0 (так как конец системы
не испытывает никаких реакций), получим после преобразований
Fm — ZmlWo sh тх;
1	}	(IV. 12)
~ ^ml ch "[*’
9 Теумин 261
129
Эти выражения могут быть представлены в виде
Fm — imi wo "Ksh2 рх -+- sin2 ах ei<f>F;
— imlV sh2 рх cos2 axe“f>6,
где	<pF = arctg (cth px tg ax); 1
©j — arc tg (th Px tg ax). /
(IV. 13)
(IV. 14)
Поступая аналогично предьщущему, находим выражения, опреде-
ляющие расстояние плоскостей пучностей и узлов силы и скорости
от конца стержневой системы:
2п + 1	_А_.
Хрпучн j _ / ₽ \2	4
A.I	<IV15>
хрузл	/ р \ 2 ‘ 2 ’
_______«_______А_ .
л1пучи — J + р у * 2 ’
2п + 1	А
ХКузл ~ 1 _|_ у 4 *
При этом -6-^1.
Выражения для Fm ПуЧН, Fm уЗЛ,	пу««> узл
(IV. 15)
остаются такие же,
как и для системы с закрепленным концом. Полагая в формулах
(IV. 12) х — I, находим значения амплитуд в начале системы:
^то = ch J
(IV. 16)
Комбинируя выражения (IV. 16) и (IV. 12), получим уравнения,
связывающие значения амплитуд силы и скорости в данной точке
системы с соответствующими значениями в начале системы и ее длиной:
р ___р chtx #
т~ "то chlZ .
ё _ ё chlx
"*	««о chlZ •
(IV. 17)
в) Стержневая система, нагруженная на комплексное
сопротивление
Предварительно преобразуем выражение (III. 13) путем подстановки
7   Рml
£‘п~ ё I
th8 = —
Z„
130
Тогда
р __р ch (lx — 6) ,
гт~ rml ch0 »
t _ Fml Sh (lx - 0)
m~ W’ ‘ Ch0 '
Очевидно, в общем случае 0 = b + ia, так как ZH — по
комплексное.
После подстановки в уравнение (IV. 18) выражений
fx = [Зх Ч- iax
и
0 = Р4-/а,
получим
F”‘= ~h(b + ia) [ch <₽* — cos (ах — а) +
Ч- i sh (₽х — b) sin (ах — а)],
=	м Ish — cos (ах “ а) +
Ч- i ch (₽х — b) sin (ах — а)].
Полученные выражения приведены в виде
"= ch^'+ta) /sh2 (₽х — &) Ч- cos2 (ах — а) е*'7;
. /sh2 (₽х — 6) Ч- sin2 (ах — а)
oi0ch (b -+- ia)
здесь
®F = arctg[th([3x —6)tg(ax — а)]; |
= arctg[cth(Px —6)tg(ax —a)]. J
Величины b и а находятся из уравнения
th0 ==th(6 4-«a) = —-у
Л*
откуда
th 26 = 1 + Д2 + В2 ;
tg 2а = j _	_ В2»
(IV. 18)
условию
(IV. 19)
(IV. 20)
(IV. 21)
(IV. 22)
где А и В представляют собой мнимую и вещественную части отно-
шо
тения —
"	В + М = —	(IV. 23)
131
Для дальнейшего выведем приближенное выражение для волно-
вого сопротивления Wq:
= 1/> ]Л
г itoCi	г Ci г
= w0 1 — i
0 г	m,<o
Учитывая, что обычно < т^, получим
На основании уравнения (III. 3) имеем
С __ 1
°* »
(IV. 24)
(IV. 25)
кроме того,
Подставив вместо Сх его выражение из формулы (IV. 25), получим
o/0 = /n1u.	(IV. 26)
Подставляя ш — av в формулу (IV. 24) и используя соотношение
(IV. 26), получаем
Но так как на основании выражения (III. 17)
то окончательно
(1(IV. 27)
Подставляя формулу
в (IV. 22), получаем
th 26 = -
(IV. 27) в (IV. 23), а формулу
О	,
Если -£-<^ 1, то и
<*
th 26
(IV. 23)
(IV. 28)
(IV. 29)
(IV. 30)

Як+^ + ^о ’
132
Расстояния от конца стержневой системы до мест, где располо-
жены пучности и узлы, определяются по формулам
/ а \______р sh26
х ______\	/	° 2гс А .	(IV 321
пучн—	/ В \2	2 ’	\1v.04)
1-(А)еьа,
пучн
_____ \ те ) а 2те Л
* ’_1 + (4)%Ь2»
(IV. 33)
(IV. 34)
(IV. 35)
где n = 0, 1, 2, 3,.. .
Значения амплитуд силы и колебательной скорости
пучностях равны	_________________
1/1 —(-|-)%Ь2(₽х-б)
Рщ пучн = Pmi ch (₽х Ь) Г ch4 b + cos» а	’
в
узлах и
(IV. 36)
Все выражения, выведенные для комплексной нагрузки могут
быть распространены и на случаи, когда нагрузка представлена
чисто реактивным или чисто активным сопротивлением. Для этого
в соответствующих выражениях должно быть /?„ = 0 при реактивной
нагрузке и Хя — 0 при активной нагрузке.
Выражение (IV. 18) можно еще подставить в другом виде.
Учитывая, что
133
имеем
р _F ch(iz-e) .
r«o — г ml Ch0 ’
l _ ; sh (fZ — в)
cmo~«mZ sh0
На основании формулы (IV. 18) можно получить
р ___________________р ch (ух 6) ш
т~ т0 ch(lZ — 0) ’
; _ ; sh(fx —0)
«т—«то sh(lZ —0) ’
(IV. 37)
Последние выражения дают непосредственную связь между ампли-
тудами силы и скорости в данной точке системы и соответствующими
амплитудами в ее начале.
3.	КОЭФФИЦИЕНТ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ С ПОТЕРЯМИ
а)	Система с закрепленным или свободным концом
Так как коэффициент Кб бегущей волны по смыслу и опреде-
лению является скалярной величиной и значения максимальных
и минимальных амплитуд (в пучностях и узлах) не зависят от того,
свободен или неподвижен конец данной системы, то значение коэф-
фициента Кв Для обоих случаев будет одинаковым.
Как следует из выражений (IV. 9), коэффициент бегущей волны
при — < 1 равен
К	' +	(IV. 38)
ch ₽xniw у j _ f _₽_\ sha p	ch ₽xniW<
r	\ a /
здесь хуал — расстояние от конца системы до данного узла силы или
колебательной скорости;
хпучн — расстояние от конца системы до данной пучности силы
или колебательной скорости.
В случае, если
Хузл I хузл Хпучн |
ИЛИ
Хпучн » I ХузЛ Хпучн |,
ТО
= th $хпучн.
При достаточно малом в Кб^ ₽хПуЧя.
б)	Система, нагруженная на комплексное сопротивление
Из формул (IV. 36) получаем
к	shlpx^-d) -| Л 1 +	ch2(^~6)
6 ch(₽xw„-&) у	! _	sh»(?xw„-6)
(IV. 39)
134
или
• sh ($хум — b) .
ch ($хПуЧН — 6) ’
здесь b определяется из формулы (IV. 22).
Если	то
$хузл РХПу«Н
И
/С(у	th (ftX/цпн — b).
(IV. 40)
4. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
Входное сопротивление стержневой системы с потерями при раз-
личных нагрузках на ее конце может быть найдено теми же прие-
мами, которыми мы пользовались при выводе выражений для Zex
системы без потерь. Для этого будем пользоваться исходными фор-
мулами, соответствующими каждому случая нагрузки.
а) Система с закрепленным концом
Воспользовавшись формулой (IV. 1), получим
^вх cth '[Z = R,x “f”
где
p _ ' sh2₽Z	.
^ex — w0 cha _ cos 2aZ ’
v _	Sln 2aZ
л„х— w0 ch2₽/-cos2aZ’
<
Заменяя
а»о=а,0(1—[см. (IV. 24)],
получаем и Хвх в виде
sh 2р/-— sin 2а/
р ___	a	;
А,х — а»о ch 2р/ _ cos 2а/
sh 2р/ + sin 2а/
X»* —~w« ch 2pZ - cos 2а/ ’
(IV. 41)
(IV. 42)
(IV. 43)
На фиг. IV. 1 приведена зависимость активной и реактивной
составляющих входного сопротивления стержневой системы с поте-
рями при закрепленном конце от длины этой системы. Из сравнения
кривых на фиг. IV. 1 с кривыми, соответствующими идеальной си-
стеме (фиг. III. 9), видно, что наличие потерь приводит к тому, что
реактивная составляющая при подходе к своему максимальному зна-
чению, не успев возрасти до бесконечности, резко падает до нуля.
При этом быстро возрастает активная составляющая. Положения
135
максимальных значений Rgx и Хвх не совпадают, но расположены
относительно близко друг к другу.
Следует заметить, что закон изменения реактивной части вход-
ного сопротивления мало отличается от изменения реактивной части
входного сопротивления для идеальной стержневой системы, за исклю-
чением узкой области вблизи резонансных значений частот. В этом
месте Хвх вместо того, чтобы стать бесконечно большой величиной,
резко падает до нуля, далее быстро возрастает, меняя свой знак.
Таким образом, для определения величины Хвх можно пользо-
ваться формулами для идеальной системы (за исключением ука-
занной области частот).
б) Система со свободным концом
На основании формулы (IV. 12) имеем
где	Zev — Rex “1“ ^ех — th It d	'	sh2?/	. ]	(IV. 44)	
	— awo ch 2p/ + cos 2а/ ’ x	sln 2ttf	(IV. 45)	
	Л — 0 ch 2₽Z + cos 2а/		
или	sh 2₽Z + -1 sin 2а/ p		70J		®.		
	Ъвх —	ch 2pz + cos 2а/ ’ — sh 2{M — sin 2а/ v	T0j а			(IV. 46)
	лех~ wo Ch2₽/-i-cos2a/ 1 J		
На фиг. IV. 2 приведены кривые зависимости Хвх и Rsx для
стержневой системы со свободным концом. Влияние потерь на эти
136
зависимости аналогично предыдущему случаю. Реактивная и актив-
ная составляющие сопротивления Ztx имеют конечное значение.
Максимумы Xtx для системы с потерями не совпадают с резонанс-
ными значениями длин идеальной системы. Из сравнения фиг. IV. 2
и IV. 1 видно, что кривые составляющих входных сопротивлений
систем с закрепленным и свободным концом сдвинуты друг относи-
тельно друга на К.
в) Система, нагруженная на комплексное сопротивление
Воспользовавшись формулой (IV. 18), получаем
Ztx =	+ iX»x = cth ('[I — 6),
где
R -w	sh2(pZ-6)
— “'0 Ch2 (pZ - b) — cos 2 (aZ - a) ’
V ___	sin 2 («/ — a)
W° ch2 (pZ - b) - cos 2 (aZ - a)
ИЛИ
sh 2 (PZ — b)------1- sin 2 (aZ — a)
— wo ch 2 (pZ — 6) — cos 2 (aZ — a) ’
sh 2 (PZ - b) + sin 2 (aZ - a)
= — wo ch 2 (pZ — 6) — cos 2 (aZ — a) ’
(IV. 47>
(IV. 48)
(IV. 49)
где а и b определяются по формулам (IV. 28) и (IV. 29).
В наиболее общем случае нагрузкой системы является комплекс-
ное сопротивление. В практических условиях обычно стержневая
система нагружается на реактивное сопротивление или на чисто
активную нагрузку.
137
Важным случаем является нагрузка на сопротивление, равное
волновому сопротивлению стержневой системы ZH — ш0.
Так как wq в системе с потерями является комплексной величиной,
то, очевидно, ZH также должно быть комплексным. Тогда уравнения
(Ш. 13) примут вид (при х — 1)
Frn<> = ch 1/ -ь tmlw'o sh 7/ = imlw'o (ch% Z + sh-(Z)
И
^O = Lz(ch iZ + shiZ).
При этом Zex = wo. Коэффициент отражения в этом случае
т. е. в системе имеется только бегущая волна.
5. МАКСИМАЛЬНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВХОДНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ
а)	Система с закрепленным или свободным концом или нагруженная
на реактивное сопротивление
Рассмотрим стержневую систему с закрепленным концом. Пола-
гая < 1, будем иметь w'Q ж wQ. Следовательно, пучности силы
находятся на расстояниях х = хпучн = п (п = 0, 1, 2, 3,. . .)
от конца системы. Подставив указанные значения w'Q и хпучн в выра-
жение (IV. 42), находим величину максимальной активной состав-
ляющей входного сопротивления:
Rex max ~ c^h $ХПуЧн»
Если $xnytiH мало, можно положить
cth ~	,
z г*пучн
следовательно,
п —
^вх max йу-
г*пучн
Так как
(IV. 50)
ТО
г»	2^0
^Xmax= R1Xny4H'	(IV. 51)
13&
Минимальное активное сопротивление получается при х — хуЗЛ =
— (2п + 1) -j-. Подставляя это значение х в выражение (IV. 42),
получаем
Ъх mln th РХуЭ4 Wo	RiXy3jt", (IV. 52)
здесь хуЗЛ — расстояние данного узла силы от конца системы.
Поскольку мы рассматриваем входное сопротивление системы,
то, очевидно, приведенные выражения справедливы при I = хяУчм
и Z = хузл.
Полученные формулы справедливы также для системы со свобод-
ным концом или нагруженной на реактивное сопротивление.
б)	Система, нагруженная на комплексное сопротивление
Для этого случая воспользуемся выражениями (IV. 49). Для
упрощения искомых соотношении положим, что — очень мало
(для поставленной нами задачи такое допущение не окажет суще-
ственного влияния на точность результатов). При указанном допу-
щении максимальные значения R3X будут в точках, где
ах — а — ахпум — а = птс.
Минимальные значения активной составляющей будут в точках,
гДе	,о I 1 \ 15
ах — а=ахузл — а=(2« + 1)
причем
Rex тЯг = «'n cth (Рхя„и„ — 6); )
ол max и \г пучп г* I	/ТЛТ KQ\
^xmIn=^oth(?XyS,-6). /
Очевидно, активная составляющая имеет максимальное или мини-
мальное значение на входе системы, если ее длина равна указан-
ным значениям хЯуч или хузл.
6. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Если система служит для передачи колебательной мощности от
источника колебаний (или от другой колебательной системы) к на-
грузке, то, очевидно, часть мощности теряется в этой системе.
Отношение активной мощности, передающейся из системы в на-
грузку к полной активной мощности, подведенной к началу системы
называется к. п. д. стержневой системы.
Выведем формулу к. п. д. очевидно,
^1 = 4,	(IV. 54)
где Ро — колебательная мощность, отдаваемая в систему;
Pt — мощность в нагрузке.
139
Мощность, вводимая в систему, равна разности мощностей па-
дающей и отраженной волн в точке приложения силы (т. е. в начале
системы):
р __р ______р
* о— * 0 пад г0отр'
Если пад и отр — амплитуды колебательной скорости падаю-
щей и отраженной волн в точке, где приложена действующая сила,
то
Р0 = ( ^пО пад — ^тО отр) ^0*
Мощность, отдаваемая в нагрузку
Pl = ( ^ml пад — % ml отр ) ^о»
где tminad и mi отр — амплитуды колебательной скорости падающей
и отраженной волн в конце системы.
Подставляя в формулу (IV. 54) вместо PQ и их выражения,
находим
Учитывая, что
^ml пад отр
*1	;2	__А2
*m0 пад	qm0 отр
t	 fc
srnO пад 4ml пад^ ’
t	—k.	ё~*
*/n0 отр 'ml отр*'
(IV. 55)
(IV. 56)
й подставляя формулу (IV. 56) в (IV. 55), получим
/ imlотр |
___%ml пад ^ml отр	\ iml пад /
~ t fi2₽Z _ £2	—2₽Z ~ е / ; \Я
'•ml пад	Smlomp*	j _ I 4ml отр j
\ EmZ пад /
ИЛИ
n -2P<	1 - IKfP
1 — |Kk|2 e—4₽z *
(IV. 57)
Подставляя в полученную формулу вместо его выражение
через коэффициент бегущей волны:
получим	u
И =--------т-г------Гч-----	<IV'58>
ch2₽Z + -1- (Кб-I-sh2pz
Для коротких систем и систем с малыми потерями 2р/ < 1, тогда,
заменяя sh 2р/ через 2£/ и сЬ2£/ через 1, получим
--	1	.	(IV.59)
1 + (кб+^>
140
Полученное выражение показывает, что к. п. д. будет тем больше,
чем ближе Кб к единице и чем меньше р/. Поэтому чем лучше согла-
сована стержневая система с нагрузкой, тем выше к. п. д. этой
системы, и мощность, переходящая в нагрузку, увеличивается.
Следовательно, требование наилучшего согласования существенно
определяет энергетический режим работы нагруженной стержневой
системы.
На основании формулы (IV. 58) на фиг. IV. 3 приведены кривые
зависимости -q от ₽/ при различных значениях К.б. Если стержневая
система находится в ре-
жиме бегущей волны, то
т)=е-2₽', (IV. 60)
причем, если 2₽ Z < 1, то
2pZ.
7. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ
^СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
С ПОТЕРЯМИ]
Как и в случае идеаль-
ных систем, резонансные
частоты (и волны) могут
быть определены из урав-
нения
Хвх = 0,
где — реактивная составляющая входного сопротивления рас-
сматриваемой системы с потерями.
Полученные из решения этого уравнения величины <оо и Хо
являются точными значениями, так же как найденная из этого же
уравнения величина I длины системы при заданной ©0 является
точным значением указанной длины. Однако для систем с потерями
выражения для Хвх относительно сложны и приводят к необходи-
мости решения трансцендентных уравнений. Поэтому, не исключая
(при необходимости решения этих уравнений и получения точных
значений искомых величин), следует указать на то, что с достаточной
для практических целей точностью резонансные частоты систем с поте-
рями могут быть определены при использовании выражений для Хвх,
взятых для идеальной системы, т. е. для рассматриваемой реальной
системы, но при пренебрежении потерями. Указанное объясняется
тем, что для реальных систем вблизи резонанса активное сопротив-
ление в очень малой степени влияет на резонансные частоты. Таким
образом, заменяя систему идеальной, можно известным способом
определить искомые величины (<оо Хо/). Помимо определения ука-
занных величин, может оказаться необходимым определение вели-
чины и вида оконечной реактивной нагрузки М„ или DH, при ко-
141
торой для заданной частоты <о0 и длины Z системы имеется ре-
зонанс.
Очевидно и эта задача решается с помощью основного уравнения
Хвх = 0.
В заключение укажем на то, что в случаях, когда относительная
величина активного сопротивления достаточно велика (т. е.
не на много меньше единицы) и резонансные частоты, определенные
для идеальной системы, заметно отличаются от точных значений,
нет особой необходимости определения этих точных значений. Это
объясняется тем, что при наличии существенных потерь в области
резонансного значения частоты Ztx меняется относительно медленно,
т. е. настройка в резонанс некритична и небольшое отклонение частоты
от резонансного значения не вызывает заметного изменения коле-
бательных величин в пучности.
При прецизионных измерениях и расчетах резонансные величины
следует определять из точного значения Xtx. В системе с потерями
при резонансе (так же как и в идеальной системе) в точке питания
получаются пучность силы или скорости (с достаточной для практики
точностью).
8.	КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ СТЕРЖНЕВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Для облегчения расчетов процессов, происходящих в стержне-
вых системах, удобно пользоваться диаграммой (приложение II),
которая дает графическое изображение зависимости, определяемой
выражением для входного сопротивления стержневой колебательной
системы. Эта диаграмма позволяет решать все задачи, связанные
с определением входного сопротивления (его активной и реактивной
составляющей), настройкой и нахождением необходимой длины
системы при заданных нагрузке и частоте. Кроме того, при извест-
ной (например, полученной опытным путем) картине распределе-
ния сил в системе и при данном ее волновом сопротивлении диа-
грамма позволяет определить сопротивление нагрузки.
Приводимая диаграмма для расчета стержневых систем тожде-
ственна круговым диаграммам длинных линий, широко используемых
в радиотехнике. Применение круговых диаграмм существенно упро-
щает расчеты, выполнение которых обычным способом, несмотря
на их простоту, весьма громоздко и трудоемко. Не останавливаясь
на теории [71; [19] этой диаграммы, ограничимся объяснением
ее структуры и способа пользования.
Диаграмма (приложение II) состоит из следующих кривых.
а)	Семейства окружностей, проходящих через нижнюю точку
диаграммы. Вдоль каждой окружности сохраняется неизменной
активная составляющая сопротивления, т. е. каждой окружности
соответствует R' = const. Здесь /?' взято в относительных вели-
D
чинах R' = — , т. е. R нормируется по w0 (R'—нормированное
значение активной составляющей). Соответствующие значения R'
142
отложены на диаметре большой окружности (вертикальный диа-
метр).
б)	Семейство дуг X' = const, расходящихся веером из нижней
точки диаграммы. Здесь X' = —, т. е. нормируется по а»0. Соот-
ветствующие этим дугам значения X' отложены в точках пересечения
кривых с большой окружностью. Символ +i, как обычно, указывает
на то, что реактивное сопротивление имеет инерционный, а — i —
упругий характер.
На внешней окружности нанесены в относительном масштабе -4-
длины стержневой системы. Длина всей окружности -4- = 0,5,
т. е. соответствует полуволновой стержневой системе (независимо
от величины и характера нагрузочного сопротивления). Выбранное
значение длины окружности является достаточным, так как картина
распределения амплитуд колебательных величин (Fm, и т. д.)
повторяется через каждые полволны. Если надо определить расстоя-
ние больше чем 0,5Х, то необходимо пройти по этому кругу столько
раз, сколько на этом расстоянии укладывается полуволн плюс
излишек расстояния.
в)	Семейство концентрических окружностей, нанесенных пункти-
ром; каждая из этих окружностей соответствует постоянному зна-
чению коэффициента бегущей волны Эти окружности касательны
по вертикальной линии в нижней своей половине к окружностям
/?' = const. Отсчет значений коэффициентов Кб производится по
шкале активных сопротивлений /?' от центра и выше. При отсчете
расстояний вдоль стержневой системы (по внешней окружности)
следует учесть, что если определение входного сопротивления про-
изводится со стороны нагрузки на конце системы к источнику коле-
баний (называемому на диаграмме генератором), то отсчет произ-
водится от нуля по часовой стрелке (наружная шкала на диаграмме).
Если входное сопротивление определяется со стороны генератора
к нагрузке, отсчет делается против часовой стрелки (внутренняя
шкала). Рассматриваемая диаграмма построена для стержневых систем
без потерь (или с весьма малыми потерями), имеющих наибольшее
практическое применение. Однако можно пользоваться этой же
диаграммой для систем с потерями, учитывая их соответствующим
образом.
В приводимых ниже примерах пользования диаграммой будет
разобран и способ учета потерь. Во всех случаях имеется в виду,
что длина волны X определена для материала стержневой системы
при заданной частоте и скорости упругой волны в ограниченной среде.
Примеры пользования круговой диаграммой
Пример 1. Нагрузочное сопротивление ZH = (98+(70) Ю®ел.ол< связано
с концом стержневой системы, для которой о>0 =	Определить входное сопро-
тивление Zex и коэффициент Кб бегущей волны, если длина системы 1 = 3.55А.
143
1)	Находим по диаграмме положение нагрузки. Предварительно определяем
=	=	= 0,98 (кРивая r'h = const)
х«==пг^-6=07 (кРивая х«=const)-
Пересечение этих двух кривых дает некоторую точку Р, определяющую поло-
жение нагрузки (эта точка и все последующие на диаграмму не нанесены и введены
для удобства объяснения).
2)	Из центра диаграммы через найденную точку Р проводим радиус до пересе-
чения в точке А внешнего круга (для данного примера точке А соответствует 0,15 Л).
3)	Определяем коэффициент Кб- Для этого находим точку, в которой окружность
с центром, совпадающим с центром диаграммы, и проходящая через точку Р пересе-
кает ось (шкалу) RK. В нашем случае точки пересечения будут 0,5 и 2. Так как мы
интересуемся коэффициентом бегущей волны (Кб < О, то, очевидно, Кб = 0,5
4)	Откладываем на внешней окружности расстояние до точки искомого входного
сопротивления. Для этого проходим по этой окружности от точки А по часовой
стрелке, расстояние, равное относительной длине системы минус содержащееся
в ней целое число полуволны: 3,55Л — 3,5Л = 0,05Л.
Найдем относительную длину системы, нагруженной на ZH* 0,15Л + 0,05 Л =
= 0,2Л (точка В).
5)	Проведем отрезок прямой, соединяющий центр диаграммы с точкой В. Точка
пересечения этого отрезка с окружностью коэффициента бегущей волны (Кб = 0,5)
определит искомое входное сопротивление системы. Так как эта точка лежит на пере-
сечении: окружности Rex— 1,58 и дуги Хвх = 0,7,
а
Zex s и*о (Rex +	)»
то Rex = 158-0б мехом, Хвх — 70«10б мехом.
Пример 2. На конце стержневой системы (до0 = 50-10е мехом) имеется
некоторая нагрузка. При этой нагрузке коэффициент бегущей волны Кб = 0,5.
Узел силы оказался сдвинутым в сторону от источника колебаний на 0,08 Л относи-
тельно узла силы для этой же системы, но без нагрузки на конце (со свободным кон-
цом). Определить сопротивление 7Н нагрузки.
1)	Проводим из центра диаграммы окружность коэффициента бегущей волны
с радиусом Кб = 0,5 и находим точку Р пересечения этой окружности со шкалой
(вертикальной осью) R'.
2)	Соединяя прямой центр диаграммы с точкой Р и продолжая эту прямую (по
шкале R') до пересечения с внешней окружностью получим точку А, совпадающую
в данном случае с точкой О на внешней окружности.
3)	Пройдя от точки А по внешней окружности в сторону от генератора (против
часовой стрелки) расстояние АЛ = 0,08Л, отмечаем точку В.
4)	Соединяем точку В с центром диаграммы прямой, которая пересечет окруж-
ность коэффициента бегущей волны в некоторой точке Q, лежащей на пересечении
Rh	Хн
окружности: — = 0,6 и дуги —i — == — i 0,38.
Следовательно, искомая величина нагрузки на конце стержневой системы будет
2« = w„ (Л'н —iX'H) - 50 (0.6 — i0,38) 10е = (30 - i 19) 10е мехом.
Пример 3. Найти, коэффициент бегущей волны и входное сопротивление
стержневой системы длиной 12,32 см, имеющей волновое сопротивление =
= 6« 10е мехом, если на конце системы имеется нагрузка ZH = (30 — Л8)10* мехом.
Длина волны Л = 30 см. Задачу решить для двух вариантов: а) при отсутствии
потерь и б) при учете их.
144
a; 1) Определяем нормированные значения:
,	30 10е	СА
= "бЛо* =	5,0 жвлгол:
v'	18-10»	оп
Х«=	" бЛО? =	“ 310	мехом-
2)	Находим длину системы в долях волны:
,, I 12,32	.
1 =т=^б-=4'106-
Л
3)	Находим дополнение к /' меньше -g- ;
АГ = Г —4,0 = 0,106.
4)	Находим на диаграмме по кривым /?' = const и X' = const точку на пересе-
чении кривых Д'= 5,0 и X' = - 3 и определяем радиус концентрической окруж-
ности, проходящей через найденную точку. В нашем примере этот радиус Кб =
= 0,136.
5)	Через центр диаграммы и найденную точку (/?' =5; X' =— 3) проводим
радиус и на внешней окружности определяем точку -у- = 0,264. Прибавляем вели-
чину А/':
М' 4—7 = 0,106 + 0,264=0,370
Л
и отмечаем (двигаясь по часовой стрелке по дуге внешней окружности) точку на
окружности 0,370.
6)	Соединяем прямой точку 0,370 с центром диаграммы. Точка пересечения этой
прямой с окружностью постоянного коэффициента бегущей волны (Ха =0,136)
будет соответствовать искомому входному сопротивлению. Эта точка, в свою очередь,
лежит на пересечении окружности Rex = 0,3 и дуги Хвх = — 1,021, следовательно,
Zex = w0 (J^ex—^ex) = (180 - i 612)-10* мехом.
б)	Решим теперь ту же задачу при наличии активных потерь в стержневой
системе. Пусть значение эквивалентного сопротивления потерь 7?i = 62200 мехом!см.
Тогда постоянная затухания будет
о	62 200	~ ппко
₽“2ЙГо“ТбИО^ -°’0052-
Показатель затухания на всей длине системы
₽/ = 0,0052-12,32 = 0,064.
Все вычисления ведутся в том же порядке, что и при отсутствии потерь (случай
«а» этого примера до пункта 6). Так как исходные величины в случаях «а» и «б» те
же, мы этих вычислений не повторяем.
После определения Кб (Кб — 0,136) находим постоянную концентрической
окружности:
К'б « Кб + ₽/ = 0,136 + 0,064 = 0,20.
Находим Zex по Кб = 0,20 и точке на внешней окружности Д/' + -^-=0,370
(см. данные случая «а»). Определение^ = К'вх^1Хвк проводим обычным способом,
разобранным нами в предыдущих примерах. Получаем 7?дХ=0,41, Х'вх=—0,98,
следовательно,
Zex — wQ (#'вх — rXex) = (2,46 — i 5,88) 10е мехом.
10 Теумин 261	145
Пример 4. У стержневой системы, волновое сопротивление которой
6* 10е мехом; коэффициент бегущей волны Кб — 0,343; расстояние от нагрузки до
первого узла силы 1узл = 10 см; длина волны Л = 25 см. Определить сопротивление
нагрузки ZH.
1)	Определяем относительное расстояние до первого минимума (узла) силы:
2)	Проводим пунктирную окружность для коэффициента бегущей волны Кб =
= 0,343.
3)	На дуге внешней окружности находим точку, соответствующую относитель-
ному расстоянию от нагрузки до первого узла силы. Это расстояние отсчитываем
от нуля в направлении против часовой стрелки (0,40). Точка пересечения радиуса,
проведенного из центра диаграммы в точку 0,4 на большой окружности, с окруж-
ностью постоянного коэффициента бегущей волны даст нормированную величину
сопротивления нагрузки. Эта точка лежит на пересечении окружности: = 0,490
и дуги = 0,605. Так какХк лежит справа от вертикального диаметра, то реактив-
ность положительна.
4)	Находим величину сопротивления нагрузки:
ZH = 6-10’ (0,49 + i 0,605) = (2,94 + Л3,63) 10е мехом.
При помощи круговых диаграмм можно найти необходимую длину
стержневой системы, нагруженной на сопротивление ZH, которая
соответствовала бы заданному значению резонансной частоты. Иначе
говоря, при помощи круговой диаграммы можно решить задачу
настройки стержневой системы на заданную частоту. Для решения
указанной задачи поступаем следующим образом. Пусть заданы
tt>0, ZH =	+ КХ* и <оо (т. е. Хо). По диаграмме находим известным
способом /?„, Х« К6- Далее проводим из центра диаграммы радиус
через точку (/?«, X») до пересечения с внешней окружностью
в точке -у- (назовем эту точку условно Я).
Для того чтобы система была настроена в резонанс, необходимо,
чтобы Хвзе = 0. Последнее условие может быть выполнено, если
точка А переместится в точку О или 0,25 (на внешней окружности),
так как при этом радиус, проведенный из центра диаграммы в любую
из этих точек, будет пересекать кривые постоянной реактивности
Хн = 0 (дуги вырождаются в прямую, вертикальный диаметр для
которой Х'ц = 0). Перемещение по часовой стрелке по дуге внешней
окружности от точки А к точке О или 0,25 (до совпадения с первой
из них) соответствует относительной длине стержневой системы,
настроенной на основную частоту (при данной нагрузке ZJ, следо-
вательно, искомая величина будет
или
(отношение -у- дается в долях волны и отсчитывается на внешней
окружности).
146
При пользовании круговыми диаграммами для прокладки соот-
ветствующих радиусов и определения искомых точек следует при-
менять прозрачные линейки.
9.	СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
Как известно из предыдущего, колебательные режимы стержне-
вых систем и систем с сосредоточенными постоянными, в частности,
отличаются друг от друга тем, что поведение этих систем при изме-
нении частоты происходит по различным законам. Входные сопро-
тивления имеют разный характер для обеих систем. Кроме того,
в стержневых системах значение колебательных величин в любой
момент времени зависит от рассматриваемого сечения этой системы.
В ряде практических случаев для облегчения анализа целесооб-
разно заменить систему с распределенными постоянными эквива-
лентной колебательной системой с сосредоточенными постоянными.
Соответственно можно говорить о сосредоточенных эквивалентных
постоянных стержневой системы. Очевидно, что такая замена яв-
ляется приближенной, причем это приближение достаточно прием-
лемо для анализа лишь определенных параметров системы в огра-
ниченной области частот.
Для принятия эквивалентности систем прежде всего необходимо
установить критерий эквивалентности, определяемый условиями
постановки задачи. Условность выбранного критерия и возможность
лишь приближенного соответствия системы с сосредоточенными по-
стоянными системе с распределенными постоянными определяет
сложность эквивалентной схемы. В частности, чем сложнее эквива-
лентная схема, тем с большей точностью она удовлетворяет условию
эквивалентности на данном диапазоне частот.
Ограничим задачу, приняв условие, чтобы искомая эквивалент-
ная система содержала только два элемента: упругость и массу.
Соответственно критерий эквивалентности должен содержать не более
двух условий.
Одно из этих условий является очевидным и заключается в том,
что основные резонансные частоты обеих систем должны быть равны.
Второе условие может относиться к поведению систем при изменении
частоты, т. е. к величине входного сопротивления.
Из сказанного выше следует, что приближенные выражения для
входного сопротивления обеих систем в определенной области частот
должны совпадать. Возможны два варианта выбора указанной об-
ласти частот, каждый из которых имеет практическое значение.
По первому из этих вариантов приближенное совпадение вход-
ных сопротивлений реальной и эквивалентной систем должно быть
при со, стремящейся к нулю.
Для стержня, закрепленного на конце и возбуждаемого в начале,
имеем
£« = — »«>octg-^- I.
10*
147
Представляя
ctg-^-Z — ecth ,
разложим cth i 1 ) в ряд и ограничимся первым членом ряда для
тогда
7 ,	1 PtAS
Ze}e\m^0=S WQ е — м ,
4(0---------------
V
но, так как
то
7 I	^ES — D
^вх м —	•
ES
где D — — статистическая упругость стержня, определяемая при по-
стоянном значении действующей на стержень силы.
Очевидно, элемент эквивалентной схемы, представляющий собой
сосредоточенную упругость, должен иметь упругость, равную этой же
величине.
Перейдем к рассмотрению разонансного условия. Для стержня,
закрепленного на конце, имеем
те V
но, согласно предыдущему, эквивалентная гибкость
С, = ^;	(IV. 61)
с другой стороны, для эквивалентной системы с сосредоточенными
постоянными имеем
1 л v
а Yc3M3 2 I
следовательно, эквивалентная масса равна
(IV. 61а)
3 п2и2С3 л2	'	'
но статическая масса стержня
М = pZS,
поэтому
М, = ±М,	(IV. 62)
тел
Эквивалентная цепь для этого случая представлена на фиг. IV. 4.
Так как эквивалентные массы и гибкость соединены узлом, то в этом
случае имеем резонанс колебательной скорости (входное сопротивле-
ние равно нулю).
148
Рассмотрим стержень со свободным концом. В этом случае
Zex = wotg-£-Z.
При <1>->0 получим
_L| ~=
Z«rl“->0 w. — (<0	“°М
° V
Для эквивалентной схемы при <о->0 нагрузка будет чисто
инерционная, т. е.
J______1
Zex
следовательно, М9= М, т. е. эквивалентная масса в системе с сосре-
доточенными постоянными равна всей массе стержня.
Фиг. IV. 4.
с3
чп
Фиг. IV. 5.
Фиг. IV. 6.
Рассмотрим условие равенства резонансных частот. Для сво-
бодной на конце стержневой системы длиной I = входное сопро-
тивление приобретает бесконечно большое значение, и система ведет
себя как резонансная цепь, соединенная цепочкой. Для случая
I = -4- имеем
4
следовательно
с — 41 - 4
3 т^Ми -гс2
И
(IV. 63)
ма = м.
На фиг. IV. 5 представлена эквивалентная схема для этого случая.
Для основной резонансной частоты свободного на конце стержня
получим значение эквивалентной массы (не зависящее в нашем
выводе от резонансной частоты):
М, = М,
но
А
2 ’
149
поэтому

следовательно,
г _ 1
(IV. 64)
Так как в этом случае входное сопротивление равно нулю, то
эквивалентная схема имеет вид, изображенный на фиг. IV. 6.
Второй вариант условия для входного сопротивления заклю-
чается в том, что приближенное совпадение величины этого сопро-
тивления должно быть в области резонансных значений частот,
т. е. в области практического использования стержневой системы.
Условие равенства резонансных частот стержневой системы и экви-
валентной цепи остается как в предыдущем варианте. Не выводя
соответствующих выражений для сосредоточенных эквивалентных
постоянных, приведем их в готовом виде.
Если стержень длиной I = -j- закреплен на одном конце, имеем
г — 8
~ it2 ' £S ~ те2 G’
(IV. 65)
Если второй конец стержневой системы свободен, причем / = 4.
то
с _ 2 1_ _ 2 г.
в ~ «а  £3 — тс2 ’
М = —= —Л4
а 2	2
(IV. 66)
В первом и во втором случаях элементы эквивалентной схемы
соединены узлом.
ГЛАВА V
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ С ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ
постоянными
I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЕ
Если стержневая система не сохраняет вдоль своей длины по-
стоянства волнового сопротивления (например, вследствие наруше-
ния сечения или физических постоянных Е или р), то в местах,
где изменяется постоянство а»0, т. е. нарушается однородность, воз-
никают отражения, изменяющие режим работы системы. В общем
случае, если таких неоднородностей много и они распределены
по случайному закону вдоль системы, возникает много отраженных
волн, сложным образом накладывающихся друг на друга и нару-
шающих колебательный режим стержневой системы. В результате
влияния неоднородностей к. п. д. системы падает, условия перехода
энергии в нагрузку ухудшаются.
Всякую неоднородность можно рассматривать как место на конце
некоторой стержневой системы, в котором эта система нагружена
на сопротивление, отличное от волнового.
В практических системах неоднородность может наблюдаться
в тех случаях, когда меняется сечение стержня за счет выточек или
приливов или вследствие конструктивных изменений размеров.
Неоднородности также могут возникнуть при креплении стержневой
системы в точках, не совпадающих с узлами смещений (или коле-
бательных скоростей).
Всякие накладки, хомуты и т. д., присоединенные к стержневой
системе (не на ее конце), также нарушают однородность.
В общем случае нарушение однородности системы ухудшает
ее работу и является отрицательным фактором. Можно, однако,
представить себе систему неоднородную, но в которой суммарное дей-
ствие всех отражений не приводит к отрицательным результатам,
или в которой отдельные участки с различными волновыми сопро-
тивлениями согласованы друг с другом. В частности, несколько
стержневых систем с различными волновыми сопротивлениями, соеди-
ненные друг с другом, представляют собою сложную неоднородную
систему. Если отдельные составляющие этой системы согласованы
между собой, то суммарный режим не будет нарушен.
151
Если в стержневой системе волновое сопротивление меняется
непрерывно, по определенному закону, но так, что о>0 только возра-
стает или только убывает, то такие устройства называются стержне-
выми системами с плавно изменяющимися постоянными. Эти системы
применяются в качестве трансформаторов нагрузочных сопротив-
лений и колебательных величин. Применения трансформаторов (или
согласующих устройств) будут рассмотрены в главе VIII.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С ВОЛНОВЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ, МЕНЯЮЩИМСЯ
ПО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
В реальных условиях изменение волнового сопротивления вдоль
длины стержневой системы может быть вследствие плавного измене-
ния площади поперечного сечения.
Если система имеет переменное волновое сопротивление, то урав-
нения (III. 4) и (III.4а)
=	+	(V.I)
^ = Л>С1	(V. 2)
остаются для нее справедливыми, так как в любом сечении системы
указанные соотношения отвечают законам механики.
В системах с изменяющимся параметрами /?j + iwrii и i<oCl
являются функциями х.
Продифференцируем формулу (V. 2) по х:
dx3
d (iwC]) e
dx *
(V.3)

тогда на основании выражений (V. 1) и (V. 2) получим
1 /(*“Ci)_ $я,(/?1 + шт1)1(оС1 = 0.	(V.4)
dx3 dx tvCi dx m' 1 1 i/i	x /
Так как
i #d(i<>c± = d (1п iwCу
luCl dx dx x 17
то уравнение (V.4) можно записать в виде
ф - # • 4 <In +=0 • (V-5)
Аналогично получаем
• 4 [1п	+ ^1)1 - Fm (Ъ +	= 0. (V. 6)
152
Обозначим
1 = ₽ + /<* =	-t- «w/nj шОп
r	I <o(7j
Тогда выражения (V. 5) и (V. 6) можно написать в виде
/	-\	(V.7)
। d.’im jL(ln —]__£ ~2 _ Q
dx2 ф dx dx V 1 /	- u-
Как и следовало ожидать, распределение упругих волн вдоль
стержневой системы с изменяющимися параметрами описывается ли-
нейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффи-
циентами.
Если ч постоянна для любого сечения системы, a w'^ меняется
по экспоненциальному закону
a'o = “'oie6*’	(V-8)
где w'ol — волновое сопротивление у узкого конца стержневой си-
стемы, то коэффициенты [in (wqT)] и-^-(	-у-) оказываются посто-
янными и равными Ь. Очевидно, такой стержневой системе
при однородных свойствах среды, ее составляющей (т. е. при р =const
и Е = const), соответствует закон изменения сечения
S = St = e6«	(V. 9)
(см. фиг. V. 1).
Как и в формуле (V. 8), х отсчитывается от конца системы, т. е.
для принятого соотношения (V. 9) источник колебаний связан с широ-
ким концом системы. Такие системы называются экспоненциальными.
Постоянство величины 7 объясняется однородностью физических
свойств среды стержневой системы. Действительно (при ч>т1 $> /?1),
«=1|/ 4[1+/1+Ш1 ?=Д;
т. е. не зависят от площади поперечного сечения, так как /пх и о>0
пропорциональны площади поперечного сечения.
Уравнения (V. 7) после подстановки уравнения (V. 8) и неслож-
ных преобразований могут быть приведены к виду
cPF'n ydFm	„2р =q.
dx*	° dx	Т — ",
м- л	(V. 10)
_ ~2t	—0
dx* + 0 dx ~
153
Полученные уравнения имеют решение
•	„ ktx	k^X
Аге + В2е\
(V. 11)
где коэффициенты, стоящие в показателях, определяются из харак-
теристических уравнений:
k*-bk — f = 0;
k'* ±bk' -72 = 0.
Найдя из этих уравнений коэффициенты и подставив их выра-
жения в уравнение (V. 11), получим
Подставляя найденные решения в уравнение (V. 1), получаем
уравнения, из которых находим зависимости между Д и Аг и
между Вх и В2.

(V. 13)
Постоянные Аг и Вх определяем из граничных условий на конце
системы (при х — 0):
Рт = Р тй
 —i ___
т Чт1 7	»
(V. 14)
где Z„ — нагрузка.
Тогда на основании выражений (V. 13), (V. 14) и (V. 12) находим
Из уравнений (V. 12) видно, что в стержневой системе с плавно
изменяющимся волновым сопротивлением, так же как и в однород-
154
ной системе, имеется два вида упругих волн: падающая и отраженная,
характеризуемые коэффициентами Лх и Л2 и и В2 соответственно.
В экспоненциальной стержневой системе амплитуды силы па-
дающей и отраженной волн изменяются пропорционально множи-
±6*
телю е , но
1 а	/—“
~о~Ьх	»— -- /
е2 = ]/^ = 1/ -°-,	(V. 16)
' «’oz
т. е. пропорционально корню квадратному из отношения волнового
сопротивления в данном сечении к волновому сопротивлению в конце
системы. Амплитуды колебательных скоростей падающей и отра-
женной волн изменяются обратно пропорционально корню из ука-
занного отношения. Следовательно, экспоненциальная стержневая
система трансформирует амплитуды сил и колебательных скоростей,
причем если бегущие волны распространяются из области высоких
волновых сопротивлений в область низких их значений, то амплитуда
силы уменьшается, а амплитуда колебательной скорости увеличи-
вается. При обратном направлении распространения происходит
увеличение амплитуды силы и уменьшение колебательной скорости.
Поэтому экспоненциальная стержневая система может рассматри-
ваться как трансформатор сил и скоростей.
Вернемся к волновому уравнению (V. 4) стержневой системы
с плавно изменяющимся волновым сопротивлением.
Имея в виду, что гибкость изменяется обратно пропорционально
площади поперечного сечения, можно написать:
1 1	dCr = 1___dS_
iwCj	dx Ci dx S dx *
следовательно, второе слагаемое в уравнении (V. 4) может быть
выражено
dkm . 1 _ d _ 1 . dS . d%m
dx iwCi ’ dx ~ S dx dx
Последнее слагаемое того же уравнения (при ю/nj > А\)
(Л +
Но так как
1
v = /-...>
VCimi
ТО
— L^Citni = —
поэтому волновое уравнение (V. 4) может быть записано в форме
^2- + — .— d^m I <|>а  5 —О	(V 17)
dx2 ‘ S dx dx ф о2 u	^v- 11 >
Все дальнейшие выводы будем делать в предположении, что
потери в экспоненциальной стержневой системе малы, т. е. р а.
155
3.	ПОСТОЯННАЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ
В ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ
Сравнивая уравнения (V. 12) с аналогичными выражениями для
однородной стержневой системы, мы видим, что в данном случае
распространение падающей и отраженной волн характеризуется
не постоянной 7, а постоянной
Подставляя
получим
1'=]/i2+(4)8=^+*“'•
вместо 7 его выражение
(V. 18)
и принимая, что р<^а,
(V. 19)
Заменим а = и р =	. При этом в выражении для р
можно взять w0 и для любого сечения (например, для широкого
или узкого конца экспоненциальной системы), так как обе эти вели-
чины пропорциональны площади сечения S. В частности, следует
пользоваться параметрами: — активным сопротивлением на еди-
ницу объема и w — удельным волновым сопротивлением. Подставив
выражения для а и р в формулы (V. 19), получим
2а>0
(V.19a)
__	W	/ ии
Так как а = — , то, очевидно, а =	, следовательно,
(V. 20)
здесь р' и а' —эквивалентная постоянная затухания и эквива-
лентная постоянная фазового сдвига;
v — скорость- распространения упругой волны в огра-
ниченной среде (системы);
v' — фазовая скорость распространения волн вдоль экс-
поненциальной стержневой системы.
156
Из полученных выражений видно, что чем больше коэффициент Ь,
т. е. чем резче изменение волнового сопротивления вдоль системы,
тем меньше эквивалентная постоянная сдвига фазы и, следовательно,
тем больше фазовая скорость распространения волн. С увеличением b
растет постоянная затухания Р'.
На основании формулы (V. 20) можно написать выражение,
связывающее собственную частоту экспоненциальной стержневой
системы со свободным концом с ее длиной I. Так как для однород-
ной системы со свободным концом
f- —
'	21 ’
то для экспоненциальной будем иметь
На основании полученных соотношений решение уравнения
(V. 17) при условии (V. 9), выраженное формулой (V. 12), может
быть записано
1т = е 2 Х [А^' + '“’>* + В2е- <₽' + '«'> *].
Так как, согласно принятому допущению, р'<^ а',
то
_ь_
U-e ,‘{А2^ + Вге- '•’) =
__6	/	. <о	. <о \
= е 2 Х[Аге v'X + B2e °)	(V.22)
или в тригонометрической форме
_ь_
km = e 2 ^Д2созх-f-B2sin-р-х).	(V.22a)
4.	УСЛОВИЕ СОГЛАСОВАНИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ
СИСТЕМЫ
Как уже было указано, при изменении однородности неизбежно
возникают отражения. Если сечение стержневой системы непрерывно
изменяется (независимо от закона этого изменения), то вектор отра-
женной волны также непрерывно изменяется, т. е. меняется ее
амплитуда и фаза. Задача согласования системы с плавно изме-
няющимися параметрами состоит в том, чтобы все отраженные волны
друг друга компенсировали и в результате была бы только бегущая
волна. При этом на конце системы также не будет отражений.
157
Для устранения отражений необходимо нагрузить данную си-
стему на определенное сопротивление. Опуская вывод, приведем
выражение, определяющее необходимое сопротивление:
(V. 23)
Мы видим, что в общем случае для устранения отражения необ-
ходимо связать конец экспоненциальной стержневой системы с ком-
плексным сопротивлением. Если
С 1 (т. е. при относительно
медленном изменении сечения
или достаточно большой часто-
те), то
ZH^wol = R„,	(V.23a)
т. е. для получения бегущей вол-
ны необходимо связать конец си-
стемы с активным сопротивле-
нием, равным волновому сопротивлению этой системы у ее конца.
Если источник колебаний связан с другим концом (например,
для принятых нами обозначениях на фиг. V. 1 — с узким концом),
то условие согласования будет
ZH^aw0 — RH,
где w0 — волновое сопротивление у широкого конца.
5.	ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.
РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ
Входное сопротивление рассматриваемой системы определяется
общим соотношением, справедливым для любой системы:
7 _ F то
^вх---1	»
Кто
где Fm0 и Ьт0 — амплитуды силы и колебательной скорости в начале
системы, т. е. там, где источник колебаний соединен с системой.
Рассмотрим экспоненциальную систему без потерь. Воспользо-
вавшись уравнением (V. 12), получим
Если на конце системы включено согласующее сопротивление
(формулу V. 23), то отражение отсутствует, следовательно,
Bi = В2 — 0;
158
соответственно имеем
7 — pbt Al.
~е Аа •
Но при b С а
A,	ebl
zi j	е
^'-4+]/4£r'
следовательно,
Zex = ZHe?t,
значит, при отсутствии отражения входное сопротивление оказы-
вается комплексным и зависит от частоты.
Если волновое сопротивление (а следовательно, и сечение)
системы изменяется достаточно медленно, причем < 1, то
Zsx = wQl^t	“	(V. 25)
т. е. при этих условиях экспоненциальная система может являться
устройством, трансформирующим включенное на его конце активное
сопротивление, равное wQl, в активное сопротивление, равное wQlebl.
Значение b может быть положительным и отрицательным; при
Ь > 0 система повышает сопротивление, а при b < 0 понижает. Если
нагрузка ZH произвольная (в общем случае комплексная), то при
— 1
2“	cos al + i sin al
-------------	(v.26)
cos al + i sin al
Сравнивая выражение (V. 26) с соответствующим выражением
для однородной системы, нагруженной на комплексное сопротивле-
ние (III. 46), мы видим, что оно отличается дополнительным мно-
жителем е$1 (при условии, что волновое сопротивление а>0 одно-
родной системы wa — wol). Зная входное сопротивление, можно
найти собственную частоту нагруженной экспоненциальной системы,
для чего необходимо приравнять Хвч = 0.
Как следует из уравнения (V. 26), для этой цели, можно восполь-
зоваться выражениями для реактивного сопротивления однородных
систем с соответствующей нагрузкой на конце, например, выраже-
ниями (III. 40) и (III. 46). В этих выражениях вместо а>0 следует
подставить wol для данной экспоненциальной системы и при опре-
делении резонансной частоты нужно произвести замену а = -у.
па а = где о' определяется по формуле (V. 20).
Все выведенные соотношения для рассматриваемых систем
остаются в силе, если вместо а»Ол = wol (f>x (где х отсчитывается от
конца системы) будем пользоваться выражением
ауох -- wQe~bx,	(V. 27)
159
причем х будем отсчитывать от начала системы; при этом знак коэф-
фициента b в соответствующих выражениях должен быть изменен.
Обычно при рассмотрении экспоненциальной системы начало
координат совмещают с широким ее концом. В этом случае w0
в формуле (V. 27) представляет собой волновое сопротивление
в плоскости широкого конца. Соответственно
S — SJ~bx.	(V. 28)
В заключение этого раздела свяжем выражение для фазовой
скорости v' распространения упругой волны в экспоненциальной
системе с размерами последней при резонансе. Рассмотрим наиболее
часто применяющуюся форму поперечного сечения — круглую. Тогда
на основании выражения (V. 28) имеем
_ ь_
dt = doe 2 ;
Отсюда
& = -2-lnA-;	(V. 29)
здесь d0 и dt — диаметры широкого и узкого концов системы. Подста-
вив формулу (V. 29) и формулу (V. 20) и учитывая, что для основной
, v'
частоты I = 2f~, получим
(V. 30)
т. е. собственная частота экспоненциальной стержневой системы
будет
(V. 31)
6. КОНИЧЕСКАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА
Изменение волнового сопротивления может происходить по лю-
бому закону. Кроме экспоненциальных систем, практическое при-
менение имеют системы с квадратичным изменением площади, т. е.
wo = woi (1 + 4Z )2’
чему соответствует
d0=dz(i+4/),
(V. 32)
т. е. линейное изменение диаметра поперечного сечения системы.
При таком изменении диаметра неоднородная система представляет
собой усеченный конус. Коническую систему можно приближенно
160
рассматривать как вырожденнную экспоненциальную систему. Дей-
ствительно,
d0 = dle2 «dz(l + |z).	(V. 33)
Эго выражение совпадает с выражением (V. 32) и является урав-
нением прямой линии (образующая конуса) с угловым коэффи-
циентом dj-^. Следовательно, в этом случае
Подставив приближенное значение In-^- в выражение (V. 30),
после нескольких преобразований получим
<v-34>
(v-35)
Очевидно, выражение (V. 33) справедливо для малых значений
для идеального конуса выражения (V. 34) и (V. 35) являются
неточными, точное выражение приводится в дальнейшем. Переход
к конической системе целесообразен при малых значениях .
Об особенностях каждой из этих систем будет сказано при рас-
смотрении вопросов согласования.
7.	ПОЛОЖЕНИЕ УЗЛА КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ
При практическом использовании экспоненциальных стержневых
систем важно определить место положения узла колебательной ско-
рости. Именно в этом сечении можно осуществить при необходимости
крепление системы к внешним, не входящим в колебательную
систему элементам конструкции без нарушения колебательного
режима. Для определенности рассмотрим случай, когда отсчет рас-
стояния ведется от начала системы, причем источник колебаний
присоединен к широкому концу экспоненциальной системы, т. е.,
Sx = Soe~bx. Тогда выражение (V. 22а) для колебательной скорости
будет иметь вид
ь
•	Х I A	(О	ГЧ •	<0	\
km = e (AiCos-^x + BtSin-^x).
Рассмотрим наиболее важный случай, когда экспоненциальная
стержневая система настроена в резонанс и открыта на конце.
Определим постоянные Л2 и В2. При х = 0
= ^2 = ^т0>
где 5т0 — амплитуда колебательной скорости в точке х = 0.
Н Теумин 261	161
Для определения постоянной В2 исходим из того, что
ф-1 =о,
dx |x=z ’
так как на конце имеется пучность колебательной скорости.
Находим производную:
dim Ь д сох . D • WX 1 ,
= тг в2 LAnCos—г +B2sin—- 4-
dx 2	| 2 и' 1	2 v' J 1
ь г
I ’о‘х Г Л ш •	<°Х I п ш <ОХ I
4-е2	—Д2 — sin—- 4-В,— cos—— .
Полагая х = I и учитывая, что при резонансе I = тс , находим
-Ф2- = —А24е^ + е“^'в2Л =
dx x=i	2 2	1	2 v'
= е^(в2^-Д24)=0,
откуда
в2 = 4- = л2|,
4 у'	L 2 ’
т. е.
о A2v'b
Так как Аг — то
Подставляя резонансное значение <о, выраженное через /, получим
	D 	 	 t		 t	• n2 —	v' — с/л0 2u ’ 27C -у—
следовательно,	решение волнового уравнения запишется в виде ь г L	t *9Х Г	ШХ	Ы . (OX 1 cos —	тт— sin —r . т mQ 1	v' 2п	v' J
Для определения положения узла примем km = 0.
Тогда	cos2^= *Lsin^2£ v'	2u	v
или	ctff U>XV3A _ bl Clg v'	2те
162
Заменяя со =	, получим
. и	Ы
CtgTXy®-* — 2те ’
т. е.
ХУзл = у arc cts 2^ •
(V. 3.6)
(V. 36а)
Если экспоненциальная система вырождается в однородный стер-
ь *
жень, т. е. е2 = 1, то 6 = 0, следовательно, ctg-j-xyS4.= 0, откуда
~Г хузл ~ -у или хузл т- е- полУчаем обычное условие для по-
ложения узла — на середине стержня. Очевидно, выражение (V. 36)
можно представить в виде
etB^-x,„ = -LlnA.	(V. 37)
В приведенном выводе предполагалось, что нагрузка на конце
стержня равна нулю или является чисто активной. Во всех осталь-
ных случаях положение узла не будет совпадать с положением,
определяемым выражением (V. 37).
8.	УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
Экспоненциальные стержневые системы широко применяются
в ультразвуковой аппаратуре. Эффективность использования рас-
сматриваемых систем в значительной степени зависит от условий,
определяющих возможность их применимости.
Первым из этих условий является предельное или критическое
значение частоты, при которой данная система может нормально
работать. Обратимся к выражению (V. 20). Очевидно, фазовая ско-
рость v' может быть только вещественной величиной. Следовательно,
реальность наличия упругих волн, распространяющихся со ско-
ростью и , будет лишь в том случае, если < 1.
Отсюда нетрудно получить условие
т. е.
или
b<^L,
V ’
1п4-</—f
di v 1
'	4т: ‘
(V. 38)
(V. 38а)
(V. 39)
11*
163
Значение частоты t — называется критическим (fKp), где V —
скорость распространения упругих волн в ограниченной среде.
Физический смысл условия (V. 39) заключается в следующем.
Как уже было указано, в любой неоднородной системе при пере-
ходе от сечения к сечению имеет место отражение упругих волн,
причем при определенных условиях изменения волнового сопротив-
ления и определенной нагрузке суммарный коэффициент KF отра-
жения на конце системы может быть равен нулю (чисто бегущая
волна) или единице (стоячая волна).
Для обеспечения указанного условия необходимо, чтобы отра-
женные от различных участков волны взаимно компенсировались.
Такая компенсация происходит благодаря интерференции волн.
В свою очередь, в точке, где происходит суммирование, фаза зависит
от скорости распространения упругих волн. Фазовая скорость рас-
пространения v' в экспоненциальной системе зависит от изменения
сечения. Поэтому могут возникнуть такие условия, при которых
в данной области системы фазы и скорость распространения отдель-
ных волн, отраженных от каждого нового поперечного сечения,
будут таковы, что компенсация становится невозможной. При этом
энергия не может распространяться далее определенного сечения,
так как скорость становится равной нулю. В результате при неко-
тором достаточно малом сечении в области узкого конца энергия
далее не распространяется. В этой области она частично или пол-
ностью поглощается, вызывая нагрев конца системы. Для предотвра-
щения этого необходимо, чтобы минимальный (dz) диаметр экспо-
ненциальной системы был не менее некоторой величины, определяемой
условием (V. 38а).
Вторым ограничением применимости рассматриваемых систем
является предельное значение максимального диаметра (d0). Эта
величина должна быть не больше половины длины волны, опреде-
ленной при данной частоте для материала, из которого сделана
экспоненциальная система:
d0<4-	(v-4°)
При нарушении этого условия эффективность работы стержневой
системы падает. Последнее объясняется тем, что при таких значе-
ниях (d0 > 4) наблюдается нарушение плоской волны и дисперсия
скорости, аналогичная таковой для однородных стержневых систем
при достаточно больших размерах их поперечных сечений. Эффек-
тивность передачи энергии при этом падает. Это явление связано
с заметным проявлением сложных видов колебаний.
Третьим ограничением является зависимость необходимой длины
экспоненциальной стержневой системы от заданного значения коэф-
фициента бегущей волны Кв- Пусть экспоненциальная система
является промежуточным звеном между двумя стержневыми систе-
мами: I и II (фиг. V. 2); о»01 и а»о2 — волновые сопротивления этих
164
двух систем. Допустим, что система II является согласованной
и в ней имеется только бегущая волна. Нагрузкой на экспоненциаль-
ную систему Э является система II. Очевидно, необходимо обеспечить
условие woi = да02. В то же.время экспоненциальная система вместе
с нагрузкой (система II) является, в свою очередь, нагрузкой для
системы /. Для того чтобы система I была также согласована, необ-
ходимо обеспечить условие w0l=w0l^>1, т. е. в рассматриваемом слу-
чае система Э является промежуточным согласующим устройством
между / и //.
Очевидно, для согласования необходимо, чтобы на конце
системы I был возможно меньший коэффициент отражения, а это
может быть в том случае, если входное сопротивление ZSJl
экспоненциальной системы будет близким к волновому сопротивле-
Фиг. V. 2.
нию ш01. Так как модули коэффициентов отражения на конце си-
стемы /ив начале экспоненциальной системы равны, а вдоль длины
последней КР остается постоянным, то условия, обеспечивающие
получение заданного коэффициента отражения на конце системы /,
могут быть найдены исходя из выражения для |/CF| экспоненциаль-
ной системы. Если пренебречь активными потерями в системе и вели-
„ { ь \2	ь I ь „ ,1
чинои , по сравнению с-j^-, -^-<^1 , то, исходя из опреде-
о
ления коэффициента отражения K.F = -у- и выражений (V. 15), можно
получить следующу > формулу для KF на конце экспоненциальной
системы:
Z/4 -Ha(Zz — Woi)
— Z/ у +ta(Zz + tt>oZ)
Но в данном случае нагрузка на конце
Zz = w02 = Wot,
следовательно,
откуда модуль
(V. 41)
165
Такое же значение можно получить и для На основании
условия
«*01 = woiebl = wwebl
имеем
Подставив в выражения (V. 41) значение Ь, получаем
1 = —5—I 1п-^|.
4а | Л>| I “’os I
Имея в виду, что а = -г-, окончательно имеем
Л
/ = 0,04 — lln-^l.	(V. 42)
|KF|I «tel	v ’
Полученная формула дает возможность определить длину экспо-
ненциальной системы по заданной величине коэффициента отраже-
ния. Таким образом, это соотношение устанавливает минимальную
длину Z экспоненциальной системы при допустимом значении |^F|
в режиме, предназначенном для получения бегущей волны.
Соотношения (V. 38а), (V. 40) и (V. 42) определяют пределы
применимости экспоненциальных стержневых систем. Заметим, что
в режиме стоячей волны соотношение (V. 42) неприменимо.
9.	СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Значения сосредоточенных эквивалентных постоянных экспо-
ненциальной стержневой системы со свободным концом длиной
/ = -у- вблизи резонанса могут быть определены по формулам
Мезона [34].
Эквивалентная масса
(V. 43)
эквивалентная гибкость
С — 21
s it2S0E'
(V. 44)
При этом в эквивалентной схеме сосредоточенные постоянные соеди-
нены узлом.
Использование выр'ажений для сосредоточенных эквивалентных
постоянных существенно упрощает расчеты экспоненциальных кон-
центраторов, несущих на своем конце рабочий инструмент — насадку.
Расчет таких концентраторов будет рассмотрен нами в главе VIII.
166
10.	НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИМПУЛЬСНОМ РЕЖИМЕ
В подавляющем большинстве случаев ультразвуковая аппара-
тура; предназначенная для технологических целей, работает в непре-
рывном режиме, характеризующемся установившимся колебатель-
ным процессом.
Анализ и расчеты ультразвуковых колебательных систем про-
водятся при рассмотрении установившегося процесса. Однако в неко-
торых случаях возможен импульсный режим, например в аппара-
туре, предназначенной для ультразвуковой дефектоскопии.
Рассмотрение этого режима не входит в задачу настоящей книги,
поэтому ограничимся лишь некоторыми общими замечаниями об
особенностях импульсного режима и методики его расчета.
Импульс упругой волны представляет собой некоторое ограни-
ченное во времени гармоническое колебание с периодом Тис про-
должительностью существования та (продолжительность импульса).
При этом т0 >. Т, т. е. в импульсе укладывается несколько (обычно
до десятков) периодов упругих колебаний, а интервал между смеж-
ными импульсами больше продолжительности этих импульсов.
Как известно, всякий колебательный импульс характеризуется
огибающей, т. е. формой импульса, в которую вписываются упругие
колебания. Форма огибающей может быть различной; чаще всего она
приближается к одной из следующих: а) прямоугольной, б) тра-
пецеидальной, в) треугольной, г) колокольной и д) экспонен-
циальной.
В зависимости от формы импульса, его продолжительности и ча-
стоты образующих этот импульс колебаний (несущей частоты) такой
импульс содержит сложную совокупность гармонических состав-
ляющих частот (спектр), амплитуды и фазы которых могут быть опре-
делены известным способом спектрального разложения Фурье.
Таким образом, в импульсном режиме колебательная система
подвергается одновременно воздействию не одной гармонической
частоты (несущей), а совокупности различных частот. Следовательно,
для расчета импульсного режима ультразвуковой колебательной
системы необходимо определить ее входное сопротивление для каждой
из этих частот. Чем больше отношение — , тем меньше сказывается
влияние частот, отличных от несущей частоты, и тем больше импульс-
ный режим приближается к непрерывному, т. е. установившемуся.
Так как в общем случае в реальной стержневой системе возможна
дисперсия скорости распространения упругих волн и, кроме того,
потери зависят от частоты, то спектральные составляющие импульса
будут распространяться вдоль стержневой системы с разной ско-
ростью и с различным затуханием. В результате к концу системы
импульс придет искаженным. Для определения формы искаженного,
импульса существуют различные методы, один из которых заклк>
чается в том, что все спектральные составляющие суммируются
с учетом их фаз и амплитуд (метод интеграла Фурье), что и дает выра-
жение, определяющее форму искаженного импульса.
167
Сказанное относится к случаю согласованной с нагрузкой «аку-
стически длинной» стержневой системы, т. е. такой, для которой
время пробега импульса от начала к концу (к нагрузке) больше
чем та. При этом, если достаточно велико, то практически можно
не считаться с искажениями и импульсный режим рассматривать
как непрерывный. Чем меньше крутизна переднего и заднего фронтов
импульса, тем в большей степени справедливо такое допущение.
Если стержневая система не является «акустически длинной» и согла-
сованной, то процессы существенно осложняются многократными
отражениями на конце системы не только для несущей частоты,
но и для всех спектральных составляющих, в результате чего иска-
жение импульса значительно возрастет. Расчет для таких случаев
более сложен и требует применения операторного метода или метода
учета и суммирования падающих и отраженных волн.
ГЛАВА VI
КОМБИНИРОВАННЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Комбинированные системы относятся к категории сложных стер-
жневых систем и, как было указано в классификации, приведенной
в главе II, представляют собой простую стержневую систему, свя-
занную с источником колебаний через промежуточную сосредоточен-
ную нагрузку.
Нагрузка на конце комбинированной системы может быть любой
(инерционной или упругой, активной или комплексной) и, в част-
ности, равной нулю (свободный конец) или бесконечности (закреп-
ленный конец). Промежуточная нагрузка (т. е. нагрузка в начале
стержневой системы) может быть любой по своему характеру, но обя-
зательно конечной. В практических условиях нагрузка в начале
представляется обычно каким-либо элементом конструкции, кото-
рый можно рассматривать как сосредоточенное механическое сопро-
тивление. Таким элементом может, например, являться арматура
крепления стержневой колебательной системы (в начале последней),
к которой приложена действующая колебательная сила.
Чаще всего нагрузка в начале системы представляет собой сосре-
доточенную массу, но в общем случае может иметь упругий или сме-
шанный характер. Не исключая возможности такой комплексной
нагрузки в начале системы, следует иметь в виду, что в практических
условиях потерями в рассматриваемой сосредоточенной нагрузке
можно пренебречь и считать ее чисто реактивной. Основанием для
этого является то, что обычно учитываемые масса и упругость имеют
такие значения, которые в основном определяют поведение нагрузки
в колебательном режиме. Кроме того, ввиду малого отношения
(где Хн — длина волны в материале сосредоточенной нагрузки,
а 1И — геометрические размеры вдоль волны) градиенты давлений
(сил) и колебательной скорости вдоль нагрузки малы, поэтому вну-
треннее трение практически не сказывается. Условие малости отно-
шения вытекает из возможности принятия нагрузки в виде сосре-
доточенного механического сопротивления. При этом имеется в виду,
что способ связи нагрузки с началом стержневой системы практи-
169
чески исключает потери из-за плохого акустического контакта,
излучения в окружающую среду и т. д. Невыполнение этого условия
нарушает справедливость приводимых далее выводов. Таким образом,
нагрузка в начале системы, обозначаемая нами Zo, определяется
выражением
Zo — iXfn — ZcoTHq
или
Zo = — i Xc == — i .
Если не существует особых условий, то обычно система (Zo) — (а>0)
должна быть настроена в резонанс. Поэтому расчет комбинированной
системы сводится к расчету ее резонансной частоты или при заданном
значении резонансной частоты — к определению либо величины
массы (или упругости) нагрузки в начале системы, либо параметров
стержневой системы, если данные нагрузки вначале нам заданы.
Кроме того, необходимо определить амплитуды колебательных
величин на конце системы и в плоскости соединения нагрузки со стерж-
невой системой. Это представляет интерес для учета усилий, стре-
мящихся оторвать звенья одно от другого.
Следует учесть, что в общем случае сосредоточенные масса или
упругость в начале комбинированной системы должны по условиям
конструкции закрепляться в узле давлений.
Существует принципиальная разница в поведении стержневой
системы с нагрузкой на конце или в начале. Действительно, в первом
случае входное сопротивление, определяющее колебательный режим
системы, представляет собой нагрузку, включенную на конце, но
соответствующим образом, перечисленную вначале, причем пере-
числение (преобразование по величине и характеру нагрузки) зави-
сит, в частности, от параметров и длины стержневой системы. Если же
сосредоточенная нагрузка находится вначале, между источником коле-
баний и входом стержневой системы, то входное сопротивление
последней не изменяется ( оно зависит только от данных стержневой
системы и нагрузки на конце, если таковая имеется).
Входное сопротивление ZK комбинированной системы опреде-
ляется принципиально иным способом, так как представляет собою
результирующее сопротивление системы, составленной из двух эле-
ментов: сосредоточенного сопротивления ZQ и сосредоточенного
сопротивления Zex, соединенных узлом или цепочкой.
Основанием для принятия в данном случае входного сопротивле-
ния Ztx простой системы сосредоточенным является определение
этого сопротивления для конкретной («сосредоточенной») плоскости
в начале системы.
Следовательно, одна и та же стержневая система с нагрузкой
на одном ее конце, обладает различными характеристиками в коле-
бательном режиме и различными резонансными частотами в зависи-
мости от того, на каком конце по отношению к источнику колебаний
находится эта нагрузка.
170
2. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОМБИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Определение входного сопротивления ZK комбинированной си-
стемы является основной расчетной задачей для этих систем. Вели-
чина ZK может быть определена одним из следующих выражений:
ZK = Z^Zex	(VI. 1)
или
7 __ ZqZjx
Zo+Zax
(VI. 2)
Первое из этих выражений относится к случаю соединения эле-
ментов узлом, а второе — к соединению цепочкой. Таким образом,
в каждом конкретном случае следует прежде всего определить харак-
тер соединения элементов Zo и ZK. Обычно в практических условиях
нагрузка в начале стержневой системы представлена реактивностью,
т. е.
«Хо = 1<оЛ4о
или
— iX0 = — i^ = — i-^.
U	(О	wCq
Zax = -p /хвл;
Zex — Rax iXt3c‘,
Zex = Rex + ^вх>
Ztx = Rex iXgx't
Что касается Z„x, то это сопротивление может быть чисто реак-
тивным (при пренебрежении активными потерями и отсутствии конеч-
ной активной составляющей нагрузки на конце) или комплексным
(при учете потерь или при наличии активной составляющей в оконеч-
ной Нагрузке). Таким образом, возможны следующие варианты соста-
вляющих сопротивлений:
при Ztx комплексном
Хо = 4~ г^о>
= 4-*-Х0;
Zo = -iX0-,
Zq = 1Хй-
при Ztx чисто реактивном
Zo = 4~iX0;
Zo = + iX0;
Zq — iXg,
Zq = —iXg‘,
Zex = + iXex'’
Z8x ~
Z8x ~ 4"
Z8x = ^ex'
Так как положительная реактивность соответствует инерционному
(элемент массы), а отрицательная — упругому сопротивлению (элемент
упругости), то всем вариантам при Zex комплексном соответствуют
эквивалентные схемы, приведенные на фиг. VI. 1, а при Zex реак-
тивном— схемы на фиг. VI. 2. Из этих схем ясно, в каких случаях
соединение представлено цепочкой, а в каких — узлом. Заметим, что
на всех схемах (фиг. VI. 1) ХдХ и Rgx соединены узлом.
171
Так для схемы а (фиг. VI. 1) получим: Хо и Zex соединены узлом
(Х„х и Rtx также соединены узлом), следовательно,
Zk = Rex + iX0	iXtx = Rtx 4- i (Xo— Xex).
Фиг. VI. 1.
Таким образом,
=	(VI. 3)
Хк = i (Хй —Xsx}.	(VI. 4)
Для схемы б Хо и Zex соединены цепочкой:
7	— iXp (Rex 4~ iXgx)
к~ -iX9 + (Rex + iXtx)
После освобождения знаме-
нателя от мнимой составляющей
и ряда преобразований получим
Фиг. VI. 2.
-2—; (VI. 5)
^вх+(Хвх-Х^' '
Хк<=
Х^ +xgxax-x^x0
1 R2xe + (X8x-x0y
Для схемы в Хо и Ztx соединены узлом:
%к =	+ i' (*0 4- ^9х);
Хх/=/(Х0 + ХвЛ.),.
(VI. 6)
(VI. 7)
(VI. 8)
172
Для схемы г Хо и Ztx соединены цепочкой:
7  — tX0 (Rex — 1Хвх)
к~ Rex-ЦХе + Х^)’
После преобразований получим
п ________________________XpRex____
к~ ^ + (Х0 + Хвх)» ;
х .Хр^+Х^ + ХрХ^
*	1 R2ex + (*о + Хех)*
(VI. 9)
(VI. 10)
Значение резонансной частоты (о0 комбинированной системы можно
получить из условия Хк = 0.
Соответственно получим уравнения, из которых можно опреде-
лить (о0:
для схемы а
Хо-Хвх = о-,	(VI. 11)
для схемы б
V„+XJX„-XtX„ = 0.	(VI. 12)
Для схемы виг, так как Хо и Хвх однородные реактивности, то
условие резонанса не выполняется.
Величина Хвх для каждого конкретного случая определяется
соответствующим выражением, куда входит частота <о = <оо. После
подстановки выражений (VI. 11) и (VI. 12) для Хо и Xtx получим
определенный вид соответствующего уравнения относительно иско-
мой величины <оо. Очевидно, для схем а и в Хо = iwM, а для схем
бигХ0 = -i-L.
Значение модуля амплитуды колебательной скорости |^0| в на-
чале комбинированной стержневой системы, а следовательно, в пло-
скости крепления сосредоточенной нагрузки с началом стержневой
системы может быть определено из выражения
В свою очередь, модуль |ZJ определяется, как обычно,
|z,|=V^+^.
Ввиду очевидности этого расчета, мы не приводим выражений
для [ZKI для соответствующих схем.
В случае; если по причинам, указанным ранее, активное сопро-
тивление отсутствует, т. е. Rex = 0, получим эквивалентные схемы,
приведенные на фиг. VI. 2; можно также легко получить такие выра-
жения для ZK = Хк (см. фиг. VI. 2, а, б, в, г).
Для схемы а
Хк = i(X0 —Хвх).	(VI.13)
173
Уравнение для определения резонансных частот
Хо —ХвЛ = 0.	(VI. 14)
Для схемы б
Хк = i 	.	(VI. 15)
лвХ — Л0
Уравнение для определения резонансных частот получим, пола-
гая в выражении (VI. 12) Rex = Q:
ХоХвх(Хо-Хвх) = О:
так как Хо и Xtx не равны нулю, то
Хй — Хвх—Ъ.	(VI. 16)
Для схемы в
XK = i(X, + Xtx).
Так как Хо и Хвх имеют реактивность одинакового характера, то
условие резонанса не будет выполнено.
Для схемы г
XK=-i^^-.	(VI-17)
Л0 I лвх
В этой схеме, так же как и в предыдущей, условие резонанса
не выполняется.
Выбор той или другой эквивалентной схемы легко сделать, если
известен, характер реактивностей Хо или Хвх. Если заданы
данные стержневой системы и резонансная частота ©0, то для этой
частоты из выражения для Хвх (соответствующего нашей стержневой
системе) можно определить характер реактивности Хвх, а следо-
вательно, принять соответствующий характер реактивности Хо
(противоположный Хвх). В случае, если при заданных значениях
Хо и <о0 следует определить параметры стержневой системы, можно
легко найти эквивалентную схему, выбирая характер реактив-
ности Хвх (противоположный Хо). Таким образом, методика расчета
комбинированных систем сводится к определению выражения для
Хвх и Rsx, выбору соответствующей эквивалентной схемы и состав-
лению выражения для ZK при помощи выведенных выше формул,
соответствующих выбранной эквивалентной схеме. Имея выражение
для ZK, можно решить все вопросы, связанные с определением коле-
бательного режима комбинированной системы (определение резо-
нансной частоты, величины Хо или параметров стержневой системы
и т. д.).
Ниже будут приведены выводы выражений для ZK и резонансные
условия для различных вариантов построения комбинированных
систем. Эти выводы являются иллюстрацией практического исполь-
зования методики расчета таких систем и наряду с этим представ-
ляют самостоятельный интерес, так как дают готовые расчетные
формулы для наиболее часто встречающихся практических случаев.
174
Мы будем рассматривать варианты, в которых стержневая система
не имеет потерь, а нагрузка в ее начале имеет чисто реактивный
характер (представлена массой или упругостью). Для всех других
возможных вариантов в случае необходимости, пользуясь этой мето-
дикой, можно получить соответствующие выражения.
3. КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЗАКРЕПЛЕННЫМ КОНЦОМ
Такие системы показаны в табл. II. 1, фиг. 6 и 7.
Нагрузка в начале системы инерционная; следовательно,
«Хо = 1<о 7И0. Если мы рассматриваем комбинированную систему
при резонансе, то, очевидно, Ztx = Хвх должно иметь реактивное
сопротивление упругого характера. Из выражения (III. 38) для
системы с закрепленным концом
Zex =	i Хвх = - ctg otZ
(а = причем, как известно, в зависимости от аргумента а/
может иметь различный знак, а следовательно, различный характер
реактивности. Если резонансная частота <оо задана и надо опреде-
лить длину I стержневой системы, то, поскольку Хо имеет поло-
жительную реактивность, Хвх должно быть отрицательным. По-
этому применяем эквивалентную схему (фиг. VI. 2, а). По формуле
(VI. 14) имеем
а>А40 — а»0 ctg а/ — О
или
а>А10 — JK>octg 1 = О,
откуда
(О /	J (оТИп
— I — arc ctg----
V	Б КУо
ИЛИ
I = — arcctg	(VI. 18)
В общем случае входное сопротивление данной комбинированной
системы
ZK- z(<oAfo-^octg^-/).	(VI. 19)
Если задана длина I и необходимо определить Л40, то, очевидно,
Мо= -^octg^- I.	(VI. 20)
В случае, если известны масса Л40 и длина стержневой системы I
И требуется определить резонансную частоту, необходимо решить
175
трансцендентное уравнение относительно ш0. Такое решение можно
осуществить графоаналитическим способом, решая два уравнения:
У =
t/ = te>octg-^-Z
(так как правые части этих выражений равны между собой). Точка
пересечения прямой и кривой, построенных по этим формулам, будут
соответствовать искомому значению частоты.
Нагрузка вначале упругая. Так как
— <Х0= —
то для резонансного режима должна быть выбрана эквивалентная
схема (фиг. VI. 2, б).
На основании уравнения (VI. 15) имеем
* Xex-Xo	“ ,	1	1	,	<0
-rcoctg—-^-+woctg— I
Условие резонанса определяется выражением
^ + «.^-0,
откуда
;=iarctg(-^L_y,	(VI. 21)
С.=-------L_.	(VI. 22)
— <oa>0ctg— I
Собственную частоту комбинированной системы можно определить
путем графического решения системы уравнений
У= -ayoctg-^-Z.
4. КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА СО СВОБОДНЫМ КОНЦОМ
(табл. II. 1, фиг. 8, 9)
Нагрузка в начале системы инерционная. Согласно уравнению
(III. 39), для рассматриваемого случая
Zex = iwotg^l,
т. е.
X.x = ^otg — I-
и О у
176
Условие резонанса (эквивалентная схема, фиг. VI. 2, а)
©Мо + w0 tg 1 =0,
откуда
Z=JUarctg(-^
ш &\ шо
Мо=-----^-tg—I.
° (oM0 ь v
(VI. 23)
(VI. 24)
Определение резонансной частоты можно произвести способом, ана-
логичным указанному для предыдущих случаев.
Нагрузка в начале системы упругая. Воспользовавшись эквива-
лентной схемой (VI. 2,б) и выражением (VI. 15), получим
V __ -• Х0Хвх
к хвх- х0
1	(О
(О t 1
(VI. 25)
Условие резонанса
WQ tg — I----— 0,
0 ь v шС0 ’
откуда
I = — arc tg-1—;	(VI. 26)
<о 6а>Со«’о	'
Сй =-----Ц-.	(VI. 27)
I
Для рассматриваемых в дальнейшем вариантов ограничимся вы-
ражением для Хк (или ZK — в случае активной составляющей) и для
условияtрезонанса. Эти выражения полностью определяют поведение
колебательных систем.
5. КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ИНЕРЦИОННОЙ НАГРУЗКОЙ
НА КОНЦЕ
(табл. II. 1, фиг. 10, 12)
Нагрузка в начале системы инерционная. На основании выраже-
ния (III. 40) имеем
Zex= — iw0 etg (-£-1 — <р) ,
где
tg?=
о)Мк
12 Теумин 261
177
Так как X0=u>A40, то должно быть упругим, т. е.
Zex = /Хвх,
где
Xex=— o>0ctg(4-—?)•
Условие резонанса
<оЛ40— ayoctg	— ®) = 0.
Нагрузка в начале системы упругая. Так как
— »Х0 = -1-^,
°	<*>Cq
то
к~ ( “ , \ 1 —
1	(О	*
-щг +«№—1
Условие резонанса
-ir + “’Octg(v/-<?) = 0’
откуда
^ = -dg
(VI. 28)
(VI. 29)
(VI. 30)
(VI. 31)
6. КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА С УПРУГОЙ НАГРУЗКОЙ НА КОНЦЕ
(табл. 11.1, фиг.11)
Нагрузка в начале системы инерционная. Очевидно, выражения
(VI. 28) и (VI. 29) и для этого случая остаются справедливыми, так
как при этом следует исходить из формулы (III. 40), a Ztx должно
иметь характер упругости. Разница будет лишь в значениях <р, ш и /,
причем при ZH= — i -^г-
tg® ------у- = — te>owCo.
Нагрузка в начале системы упругая. По ранее указанным причи-
нам и в этом случае выражения (VI. 30) и (VI. 31) остаются в силе.
178
7. КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА С АКТИВНОЙ НАГРУЗКОЙ
НА КОНЦЕ
Нагрузка в начале системы инерционная. Согласно формуле
(III. 43), входное сопротивление стержневой системы является
комплексным. Условие резонанса
«»Ме

(VI. 32)
= 0 .
Нагрузка в начале системы упругая:
(О
sin 2—/
^7 + w°
/ Wn \ 2	(О	(О
cos*—/ + sin2—/
\ Кн J	V	V
= 0.
(VI. 33)
Определение величин Л40или Сопри заданных длине I стержневой
системы и резонансной частоте <оо при помощи формул (VI. 32)
и (VI. 33) производится просто. Если же требуется определить
значения I или <о0, задача осложняется, так как уравнение относи-
тельно искомых величин становится трансцендентным. Наиболее
целесообразным является графическое решение системы уравнений
y=fi (<•>);
У = Ъ(Ш)>
где Л(ю) и f,M— соответственно первое и второе слагаемое выра-
жения (VI. 32) или (VI. 33).
Если стержневая система нагружена на активное сопротивление,
равное ее волновому сопротивлению, то комбинированная система,
состоящая из такой стержневой системы и сосредоточенной нагрузки,
в ее начале является по существу апериодической, реактивной, при-
чем знак реактивности целиком определяется характером Хо. Поэтому
резонансными частотами такая система не обладает.
Входное сопротивление такой комбинированной системы будет
равно:
а)	в случае инерционной нагрузки вначале
Zh = RH + i<oM0-,
б)	в случае упругой нагрузки вначале
Zk =...R* = Rk + iXk,
Rh~1 шСо
12*
179
где
RH
= ю2С° R“
RH * ( шС0 ) шСо/?н + <оСо
Для случая, когда на конце стержневой системы имеется комплекс-
ная нагрузка, соответствующие выражения получаются весьма слож-
ными. На практике такой случай встречается редко, так как при
этом система работает неэффективно.
Возможны и иные варианты построения комбинированных систем
(например, система с комплексным характером нагрузки или соче-
тание двух типов реактивностей: —iXo и +iXo вначале). Для этих
вариантов можно легко получить, пользуясь приведенной методикой,
соответствующие выражения для ZK и резонансного условия.
ГЛАВА VII
СОСТАВНЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
Составные системы представляют собой две или более связанные
друг с другом стержневые системы. При этом предполагается, что
между системами не существует никаких сосредоточенных нагрузок.
На конце последней (от источника колебаний) системы может быть
сосредоточенная нагрузка любого вида. Составные системы являются
наиболее общим видом систем, входящих в конструкцию ультра-
звуковой аппаратуры. Усложненную разновидность составных си-
стем — комбинированные составные (системы с сосредоточенной
нагрузкой в начале первого стержневого звена)— мы рассмотрим
далее.
Составные системы можно рассматривать как неоднородные. Они
в целом могут работать в режимах стоячей или бегущей волны и во
всех случаях должны быть настроены в резонанс. Резонансный
режим составной системы при заданном значении резонансной
частоты о)о может быть получен различным сочетанием параметров
и длин, входящих в систему отдельных стержневых звеньев. Обычно
число и размеры этих звеньев определяются конструктивными сооб-
ражениями, но с учетом требований наиболее рациональных условий
работы отдельных звеньев.. В частности, например, важно, чтобы
звенья соединялись друг с другом в местах с минимальной деформа-
цией, так как при этом облегчается применение соединительных
устройств. Важно также обеспечить места положений узлов сме-
щения (или колебательной скорости) там, где предполагается осу-
ществить крепление системы к внешним (не участвующим в коле-
бательном режиме) элементам конструкции (арматуре крепления).
Очевидно, составная система может быть рассчитана исходя из вход-
ного сопротивления последнего стержневого звена как оконечной на-
грузки на предпоследнее звено и далее таким же образом до первого
звена. Такой подход является наиболее удобным, и им следует пользо-
ваться в дальнейших расчетах. Однако целесообразно также рассмо-
треть составную систему, с точки зрения обобщенного анализа. Вос-
пользуемся для этой цели общим выражением (I II. 13), справедливым,
181
как известно, для стержневой системы при любой оконечной
нагрузке и при учете потерь:
Рт = Рщ ch ух + imlw'o sh ух;
= ух+ -^¥-sh ух,	(VII. 1)
wo
где 7 — постоянная распространения.
Пусть цепь составлена из п однородных участков, имеющих
параметры
“'or	; w'On;
У1> У2> • • •; тя-
Далее обозначим Fm0, Fml.........Fm„ и im0, iml.......ima зна-
чения амплитуд силы и колебательных скоростей в начале каждого
участка (см. фиг. VII. 1); Zn .... /„ — длина каждого из звеньев.
Тогда выражения для Fm и \т в начале каждого участка можно
записать, исходя из основных уравнений однородной стержневой си-
стемы, следующим образом:
Рщо == Рmi ch 7*1 Ч-	sh 7 j/jJ
Sflio = ch 71Л ~! sh У111,
w0l
pmi = Fm2 ch 72*2 + ^2^01 Sh 72/2;
^mi — ^m2 ch 72*2 H -Ash7!*2;	’	Л7П
W02	(V11.2)
Pmn—i = Pmn ch 7n*n+ ^тп^Ол sh 7n*n>
n—1 ~ ^flinch7„/BH ?2-sh 7д*л-
w0n
Решая систему уравнений (VII. 2), находим общее уравнение
составной стержневой системы:
Рт. = А^тп + А1г1;тп;	(VII.3)
A2lFmn -f- A^imn,
здесь и далее первая цифра подстрочного индекса указывает порядок
строки [т. е. порядковый номер уравнения в группе (VII. 3)],
а вторая цифра — порядковый номер слагаемого или коэффициента А
в строке. Значения коэффициентов А1к зависят от параметров а«>
где верхний индекс т определяет номер участка.
182
Для каждого участка
аП = ®22 == Ch
ai2 = W0mSh
„т __ sh "tnlm
*91 - •
коэффициенты Aik = / (а', а2..........а") вычисляются методами
матричного исчисления, широко применяемого при расчете пара-
метров сложных четырехполюсников в электрических цепях. По
существу рассматриваемые составные системы являются механи-
ческим аналогом таких четырехполюсников. Для системы, составлен-
ной из двух однородных стержневых звеньев, имеем
^11 =апа11 “Ь а12а21’
^12 = аца12 ”1“ а12а1Р
^21:= ®Ц®21 ”1” ®21а1Р
^22 =	a21°12‘
Для большего числа звеньев выражения для [коэффициента А1Й
усложняются.
В нашу задачу не входит расчет составных систем с указанной
точки зрения обобщенного анализа, и потому мы не будем приво-
дить расчетов А1к. Важно отметить, что, как это следует из уравне-
ния (VII. 3), составная система может быть заменена эквивалентной,
для которой связь между амплитудами силы и колебательной ско-
рости в начале и в конце системы описывается уравнением такого же
типа, как и для однородной системы. Следовательно, характер изме-
нения колебательных величин на конце системы остается таким же,
как и для однородной системы. Так как выражение (VII. 3) остается
справедливым для любого числа звеньев и любой нагрузки на конце
(изменяются лишь абсолютные значения коэффициентов и амплитуд),
то на любом стыке каких-либо звеньев, составляющих данную си-
стему, характер изменения колебательных величин будет таким же.
Они различаются лишь по амплитуде и фазе.
Воспользуемся обобщенным рассмотрением составной системы
для замены ее некоторой (фиктивной) эквивалентной однородной
системой, которая должна иметь входное сопротивление, равное
входному сопротивлению реальной составной системы, но длина ее /9
будет отличаться от длины составной системы.
На основании формулы (VII. 3) можно утверждать, что если
входные сопротивления будут равны, то это равенство станет спра-
ведливым при всех частотах.
Рассмотрим конкретный случай. Пусть стержневая система (без
потерь), закрепленная на конце, состоит из «-однородных уча-
стков длиной 11г.. с волновыми сопротивлениями щ01,..., а>оя.
183
Заменим данную неоднородную систему однородной с волновым сопро-
тивлением, равным волновому сопротивлению первого участка а>01.
Сначала заменим n-й участок, имеющий волновое сопротивление ww
и длину /Я, эквивалентным участком с волновым сопротивлением
предыдущего участка а»оя_, и некоторой длиной 1ап, которую и сле-
дует определить. Для стержневой системы без потерь с закреплен-
ным концом входное сопротивление реального n-го участка будет
2вх.я = — iwon ctgaZ„.
С другой стороны, входное сопротивление фиктивного участка,
обладающего волновым сопротивлением шОя_1 и имеющего некоторую
длину /9Я, будет равно
24л. п~ ^оя-1 ctg
Приравняв (из условия эквивалентности) входные сопротивления
фактического и заменяющего его фиктивного участков, получим
ctga/eB = ictgm/n.	(VII. 4)
won—1
Так как величины /я, a, won и ^Оп_1 должны быть известны,
то нетрудно определить ctg т 19П и, следовательно, 19п. Таким об-
разом, составная система из п звеньев заменена системой из (п — 1)
звеньев. Далее, рассуждая аналогичным образом, звено длиной
1п_х + 19п с волновым сопротивлением можно заменить экви-
валентным участком с волновым сопротивлением а>Оя_2 и длиной /эя_х>
определяемой из равенства
ctgа/9Я_1= -J^ctga (/„_, + /9Я).	(VII. 5)
шол—2
Таким образом, система заменена новой, имеющей (п — 2) звена.
На основании подобных рассуждений можно довести пересчет
до первого участка (звена) с волновым сопротивлением и>01, определяя
длину стержневой системы /9Я эквивалентной всем участкам, начи-
ная от второго и кончая n-м по формуле
ctga/92 = -^-a(/24-/93),	(VII. 6)
где /93 — длина звена эквивалентного всем звеньям, начиная от
третьего по n-й. В этом случае эквивалентной реальной составной
системой будет однородная стержневая система с волновым сопро-
тивлением а»01 и длиной /9, определяемой равенством
Очевидно, что входное сопротивление составной стержневой
системы не изменяется При указанной замене эквивалентной одно-
родной системой и определяется по формуле
Zex = — iwQ1 ctg mla.	(VII. 7)
184
Отметим, что длина эквивалентной системы зависит от частоты,
так как в формулы для пересчета входит величина а = — . При
пересчете отдельных участков эквивалентные им участки могут быть
длиннее или короче реальных, в зависимости от их волновых сопро-
тивлений.
Несмотря на удобство и наглядность такого пересчета, целесооб-
разно, особенно при различных нагрузках на конце составной си-
стемы, пользоваться методом оконечных нагрузок.
2.	МЕТОД ОКОНЕЧНЫХ НАГРУЗОК
Предварительно заметим, что если однородная система имеет
на конце нагрузку, характер и величина которой могут быть любыми

2	3
Фиг. VII. 1.
(включая 0 и со), то выражение для входного сопротивления такой
системы в общем виде может быть представлено
Ztx = wof	(VII. 8}
или
Z,x = ^(a>;/;0;₽;Z„).	(VII. 9)
Первое из этих выражений относится к системам без потерь,
а второе — к системам с потерями. Запишем эти выражения в крат-
кой форме:
Ztx = w^	(VII. 8а)
или
Zex = w^,	(VII.9а)
где Ф и Фр — соответствующие функции нагрузки.
Во всех этих выражениях входное сопротивление равно волно-
вому, умноженному на некоторую функцию, вид которой зависит от
типа нагрузки. В этом можно легко убедиться, сравнивая между
собой выражения для всех случаев нагрузки однородной стержневой
системы.
Обратимся к фиг. VII. 1. Для определения входного сопротивле-
ния Ztx всей составной системы, очевидно, необходимо знать на-
грузку на конце первого звена и в этом случае: Zex = Zexl (где
подстрочный индекс обозначает номер звена). Но, в свою очередь,
нагрузка ZHl на конце первого звена является входным сопро-
185
тивлением второго звена, т. е. ZH1 = Zbx2. Продолжая рассуждать
подобным образом, можно получить
%Н1 = ^вх2>
ZHk — Zs*
7 — 7
где ZH — нагрузка на конце последнего звена.
Следовательно, определение Zgx сводится к последовательному
определению входных сопротивлений ZgXn, . . ., Zgx2 и, наконец,
^8X1 ~ Zex.
Для сокращения записи будем пользоваться формой выражения
(VII. 8а). Обозначая через Фп Ф2, . . . , Фя функции нагрузки соот-
ветствующих звеньев, получим
Ъх п =	;
^вХП—1 = ^0 Л—1Фп—1 •
^8X1	^01^1 •
Очевидно, в выражение для Фй входят значения ZexA+1 после-
дующего звена.
Зная Zgx, можно получить известным нам способом условие
резонанса составной системы, а следовательно, определить <о0 или
при заданном <оо длину какого-либо из звеньев при известных длинах
остальных.
Для того чтобы определить характер распределения колебатель-
ных величин в каждом звене составной системы, необходимо знать
значенияFm и на входе интересующего нас звена, а также нагрузку
на его конце. Амплитуды колебательных' величин на входе звена
могут быть найдены последовательным определением значений Fm
и Ьт на конце первого звена, затем на конце второго и т. д., пока
мы не придем к звену, являющемуся предыдущим по отношению
к рассматриваемому. Очевидно, значения колебательных величин
на входе какого-либо звена являются значениями этих же величин
на выходе предшествующего звена. При этом имеется в виду, что
значения Fm или на входе первого звена являются заданными.
Зная распределение колебательных величин вдоль рассматри-
ваемого звена составной системы, а также характер нагрузки дан-
ного звена можно, пользуясь известными нам формулами для соот-
ветствующих случаев нагрузки, определить места узлов и пучностей.
Таким образом, расчет составной стержневой колебательной
системы сводится к расчетам, которые даны для однородных (простых)
стержневых систем. В тех случаях, когда каждое звено настроено
в резонанс и система работает в режиме стоячей волны (или со
слабо выраженной бегущей волной), расчет составной системы
существенно упрощается.
186
В дальнейшем будем рассматривать конкретные составные си-
стемы, пренебрегая активными потерями. В случае необходимости
учета этих потерь пользуясь той же методикой, можно получить
соответствующие выражения.
3.	СИСТЕМА С ЗАКРЕПЛЕННЫМ КОНЦОМ
Согласно формуле (III. 38), входное сопротивление последнего
звена будет
я = Й^ол Ctg Ла1п,
где индексы относятся к порядковому номеру звена. Так как для
звена порядка (п— 1) нагрузка на конце = Zexn является
в данном случае реактивной, то, воспользовавшись формулой (III. 40),
будем иметь
^вХ П—1~	^0 Л—1 Ctg (®П—lAl—1	?Л—1)»
где
t	Wo п-1 =	а>0„-1
— «»onCtgan/„ *
Для звена порядка (n — 2) аналогичным образом получим
%вхп—2 = }W0n-2 Ctg (®n—2^n—2	?n—2)»
где
+дф =_________________________________ ^on—a_____________
Б . л-2	_ Шоп1 ctg (a.tl_1ln_1<fn-l)
И
Zex к= — iwok Ctg (a.klk — <pft),
где
tg	-----ctg(?\ -y Г	<VI1-10)
“Wi Cls vfe+ilfe+i Tft+1)
Формула (VII. 10) является расчетной для определения выраже-
ния для Zex, следовательно,
Zex = Zexl= й&01 ctg(a1/1 ©j);	(VII .11)
S Yi — _ Ш(В ctg (a2/2 - ?2)
Условие резонанса
ctg {aj — <?i) = ctg	= 0,
следовательно,
-^-arctg--------------------r =(2n+l)^. (VII. 12)
-«'oactg^—
Допустим, что <» является заданной и определению подлежит /2;
тогда, определяя из выражения (VII. 12) величину ctg — Фг ) »
187
легко находим 1г (эту операцию не приводим ввиду ее очевидности).
Если необходимо определить длину другого какого-нибудь звена,
например Z3, то из выражения (VII. 12) также находим ctg^-^-Z2—
— <р2), а из значения этой величины находим <р2.
Далее, из соотношения
tg®2= ---------------------------------------г
вычисляем Z3.
Несколько сложнее найти резонансную частоту при известных
остальных величинах. Покажем для случая п = 3 определение зна-
чения и>0. Имеем
~	^03 Ctg ®э^3»
2вХ2 = — ®02 ctg (a2/2 — <р2),
где
tgcp, =_______________________________________
ё Г2 - U»OT ctg a8/8
Далее
^exi= Z,* =	^oi Ctg (flCjZj <Pi);
ф, =_____________________•
T1 -aWo2Ctg(a2/2-f2) ’
условие резонанса
-^-arctg--------- Д .----------? = (2n+l)^-. (VII. 13)
- и>02 ctg Z2 - <f>2 J
Уравнение (VII. 13) относительно <oo является трансцендентным.
В развернутом виде это уравнение запишется:
—- — аге tg------------------------------------г =
"1	, / “о ,	.	«to	\
-	ctg / —— /2 - аге tg---------)
I	-“’osetg— la /
= (2n +l)-f;	(VII. 13а)
тогда <oo может быть найдено путем графического решения системы
уравнений
у = — аге tg-------;
-«>02 ctg | -^-Is-arctg
— wMctg-^/s
Wos
(VII. 14)
и

Решение, даваемое уравнениями (VII. 14), пригодно для общего
случая. Практический интерес представляет такое построение со-
188
ставной системы, при котором каждое звено является настроенным
в резонанс. При этом на стыках соединений отдельных звеньев будут
узлы деформаций.
Для рассматриваемого случая закрепленной на конце системы
это приводит к тривиальному решению, при котором резонансная
частота последнего звена будет
<o0 = (2n+l)-J-.-^-	(VII. 15)
(здесь п = 0, 1, 2, 3, . . .), а для любого из остальных звеньев
<o0 = -^i-n.	(VII. 16)
Отсюда легко выбрать при заданном <о0 значения длин отдельных
участков. В случае, если составная система нагружена на конце,
условие резонанса при настроенных отдельно звеньях будет не-
сколько отличаться от выражений (VII. 15) и (VII. 16). Соответствую-
щие выражения рассмотрим далее.
4.	СИСТЕМА СО СВОБОДНЫМ КОНЦОМ
Входное сопротивление последнего звена [см. выражение (Ш.39)[
п ~	anfn •
Подобно рассмотренному выше случаю, получим [на основании
формулы (111.40)1
Zsx Я_1 = — «Чп-1 ctg (ая_Л_1 — ®„_1);
45 тп-1 Хн WMtganl„ ’
zexk= —iw<>k ctg («Л—<p*);
t£r _ _______________4*______________ .
™	- Wok+1 ctS (“Л+Л+1 - n+1) ’
Z,x -= — iwa ctg (аЛ — <pi);
a>oi
tg?i =
(VII. 17)
(VII. 18)
(VIII. 19)
- и»02 ctg (а2/2 - <f>2)
Полученное выражение (VII. 19) совпадает с соответствующим выра-
жением (VII. 12) для системы с закрепленным концом; различие
имеется лишь в промежуточных выражениях для Z^n^ и <g<pn_x.
Следовательно, условие резонанса будет иметь тот же вид, что и
уравнение (VII. 12).
Развернутое выражение для определения резонансных значений
частоты при л = 3 будет
—------arctg--------------————---------------------
V1	Ь	,	/ “в .	.	Ю02
- «’ад ctg	arc t«--------—
\	a’o»tg'VZ3
= (2n+l)-f-;	(VII.20)
189
уравнения для определения резонансной частоты
a»oi
у = — arc tg----—
-«^ctgM^-arctg
Г2 [«Mg-^ h
\	V3
Ш02
(VII. 21)
у=(2п+1)^
Если каждое звено составной системы настроено в резонанс, то
резонансная частота каждого звена может быть найдена из выра-
жения
“о
Ik
П.
5.	СИСТЕМА С РЕАКТИВНОЙ НАГРУЗКОЙ НА КОНЦЕ
Входное сопротивление последнего звена на основании формулы
(III. 40) будет
Zexn=— iwon ctg (аЛ — <?„);
Входное сопротивление (п— 1) звена
п-1 = —««’о п-i ctg	— <?„_г),
где
Wpn-i
?п-1	_ Ww ctg (a/l/n _ Тп)
Продолжая таким же образом переход к предыдущим звеньям,
получим
Z'X = — »«’oictg («Л — ?1).	(VII. 22)
Полученное выражение подобно тем, которые относились к рас-
смотренным выше случаям составной стержневой системы с закре-
пленным и свободным концами. Отличие имеем лишь для послед-
него звена в выражениях для Ztxn.
Для п = 3 выражение для условия резонанса будет
arctg X
V1
^01
— ^02 Ctg
/2- arc tg-------------------------
V*	—Won etgo ( ^-ls — arc tg \
X ^8	/
; (VII. 23)
Как уже упоминалось, практический интерес представляет по-
звенная настройка в резонанс стержневой системы.
Рассмотрим этот случай применительно к варианту реактивной
нагрузки на конце составной системы.
190
Для последнего звена на основании соотношения (III. 53) имеем
arctg-^=(2n+l)^->	(VII.24)
°п	лн	*
для всех остальных звеньев
<оо = ™*-п.	(VII.25}
Ik
Так как при настройке в резонанс последнего звена нагруженного
на реактивное сопротивление Z43in = 0, то, очевидно, Zexk для
любого из остальных звеньев, также настроенных в резонанс, должно
быть равно нулю. Указанные равенства справедливы, поскольку
можно считать, что звенья данной составной системы не имеют актив-
ных потерь.
6.	СИСТЕМА С АКТИВНОЙ НАГРУЗКОЙ НА КОНЦЕ
Составная система с активной нагрузкой на конце является
довольно распространенной, так как активная нагрузка представ-
ляется потерями, возникающими в обрабатываемой ультразвуковыми
колебаниями в рабочей среде.
Если составная система согласована, т. е. находится в режиме
бегущей волны, то входное сопротивление ZejC = RH.
Рассмотрим наиболее общий случай отсутствия согласования.
Входное сопротивление однородной стержневой системы, нагру-
женной на активное сопротивление, является комплексным, т. е.
содержит активную и, реактивную составляющие. Следовательно,
все входные сопротивления (на стыках звеньев и на входе всей
системы) будут комплексными. Очевидно, такой режим является
недопустимым для составной колебательной системы, так как, если
даже вся она настроена в резонанс, то в местах соединения возни-
кают отражения и потери на активной составляющей входного
сопротивления данного звена. Кроме того, в плоскостях креплений
звеньев возникают нежелательные усилия, нарушающие крепления.
Поэтому составная система с активной нагрузкой на конце должна
быть настроена позвенно. Тогда условие резонанса для последнего
звена определится выражением (III. 55):
<“о =•£«»	(VII.26)
при а>Ол>-₽„ или выражением (III. 56):
ю0 = ^п	(VII. 27)
при ^оя<^. Оконечная нагрузка на предшествующее (п—1) звено
будет = ZBX л, но так как последнее звено настраивается в резо-
нанс, то ZHn-x = Rexn> где п0 выражению (III. 43), будет
™0П
р ____	__________
^вхп ^Qn /окп\2	ш	ton . •
Vr) cosV
\ KhJ	vn	Vn
191
Уравнение резонанса для (п—1) звена будет
“о - 2^	»
(при а>Ол-1 или
ш0 =
1
^П—1
(при о>0л-1 < Явхп)-
Аналогичным образом можно написать уравнение резонанса для
остальных звеньев, учитывая условия	илии>ой_1</?оЛ.
При этом
Rex k— wok
Rex k
Rex k
\ cos2 — Ik + sin2 -^2- Ik
) t>k	vk *
(VI 1.28)
Очевидно, все звенья настраиваются на одинаковую частоту а>0
и расчет сводится к определению /х, /2.....1п-
Так как при таких расчетах величина ш0 обычно является задан-
ной, а значение /я находится просто из выражения (VII. 26) или
(VII. 27), то определение Rexk ие представляет никакого труда.
Таким образом, при наличии активной нагрузки на конце состав-
ной системы при расчете резонансных размеров отдельных звеньев
следует учитывать отношение W„k . Кроме того, если составная
Хвх k
система настроена позвенно для некоторого значения RH, то при
достаточном изменении величины отдельные звенья могут оказаться
ненастроенными, так как выражение (III. 55) переходит в выражение
(III. 56), или наоборот. Чем больше изменяется величина RH (напри-
мер, при изменении физических свойств рабочей среды или ее объема)
и чем больше отличаются друг от друга волновые сопротивления
отдельных звеньев, тем больше возможность нарушения настройки.
7.	СИСТЕМА С КОМПЛЕКСНОЙ НАГРУЗКОЙ
В этом случае входное сопротивление Zejt „ последнего звена опре-
деляется по формуле (III. 47):
Z>X П ~	я 4“ ^,х п>
где
р _	Кб
tg2« =
+ К® +	’
192
здесь Кб — коэффициент бегущей волны;
к 1 —|Л>|
1 + IKfI ’
где, в свою очередь,
1^1- |/ (^ + К,о)2+Х* •
Так же как и в предыдущих случаях, наиболее рациональным
режимом настроенной составной системы является такой режим, при
котором каждое звено настроено в резонанс. При настройке послед-
него (n-го) звена Хвх „ = 0. При этом расчет настройки производится
по формулам (III. 57) или (III. 58). Таким образом, входное сопро-
тивление последнего звена будет чисто активным: Zexn = /?вхя;
следовательно, нагрузка на звено (п— 1)-го порядка будет также
активной, поэтому входное сопротивление этого звена Z„x я_х будет
состоять из активной Rexn_x и реактивной Хвхп_х составляющих.
Но по условию настройки в резонанс каждого из звеньев Xtx п_г = 0.
При этом расчет резонансных параметров может быть произведен
по формулам (VII. 26) или (VII. 27) как для случая чисто активной
нагрузки. Далее, Rtxn_i= Rtxn-i> т- е- активная составляющая
учитывается как активная нагрузка на выходе (п — 2)-го звена.
Также рассчитываются и остальные звенья. Таким образом, для
всех звеньев, кроме последнего, можно пользоваться для определе-
ния Rsxk выражением (VII. 28), а для расчетов резонансных частот
или длин — выражениями (VII. 26) или (VII. 27).
Если составная стержневая система имеет комплексную нагрузку,
то расчет всех звеньев, кроме последнего, производится так же, как
и в случае чисто активной оконечной нагрузки.
8.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РЕЗОНАНСНОМ РЕЖИМЕ СОСТАВНЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Резонансный режим стержневых систем любого типа приме-
няется в подавляющем большинстве случаев.
Наиболее рациональным является резонансный режим, при кото-
ром каждое из звеньев настраивается в резонанс. В этом случае
должно быть учтено влияние последующего звена, т. е. оконечной
нагрузки, создаваемой этим звеном. Однако в общем случае в состав-
ной стержневой системе может быть осуществлен резонансный режим
при различных вариантах настройки. Изучая резонансные условия
для различных случаев оконечной нагрузки на составную систему,
мы уже рассматривали варианты получения резонанса, для которых
обеспечивается условие Хвх— 0, где Хвх — реактивная составляю-
щая входного сопротивления всей составной системы. При этом
отдельные звенья, входящие в составную систему, нагруженные
каждое на последующее звено, настроены в резонанс. Могут быть
и другие варианты настройки. Пусть например, составная система
13 Теумин 261	193
содержит п звеньев. Очевидно, можно разбить эту систему на раз-
личные составляющие: п однородных звеньев, tn < п — неоднород-
ных звеньев, (k + т) < п звеньев, из которых т — неоднородных
и k — однородных.
Так, например, систему из четырех однородных звеньев (1, 2, 3-
и 4) можно разделить на четыре однородных звена (1, 2, 3, 4), или
неоднородных звена (1,2) и (3, 4), или одно неоднородное (1,2, 3)
и (4) звено, или на три звена, из которых два однородных (1, 2)
и одно неоднородное (3, 4). Можно настроить систему путем выбора
параметров, удовлетворяющих заданному значению Хвх каждого
из вновь образованных звеньев. Так, например, для случая, когда
система делится на неоднородные звенья, Хвх3 4 = 0, ХвЛ.12 = 0,
а для случая, когда система делится и на неоднородные и на одно-
родные звенья, Хвх12, з = 0, Xexi = 0, или Хвх1 =0, Хвх2 = 0,
Хвх з, 4 = 0 и т. д.'
Иначе говоря, данную составную стержневую систему можно
в местах соединений составляющих звеньев расчленить на различ-
ное число k однородных или т неоднородных звеньев (k + т) < п
и осуществить настройку каждой из полученных таким расчлене-
нием составляющих (при непременном учете реакции входного сопро-
тивления последующей части системы на рассматриваемую). Отсюда
видим, что количество вариантов настройки может быть достаточно
велико. Однако наиболее эффективным режимом резонанса является
такой, когда каждое из реальных звеньев настраивается в отдель-
ности (при учете реакции со стороны последующей части системы).-
Такое резонансное состояние составной стержневой системы назовем
«полным резонансом».
В отдельных случаях может оказаться необходимость в «непол-
ном» резонансном режиме. Чем больше будет количество составляю-
щих, на которые мы разбиваем составную систему, т. е. чем ближе
приближается при таком расчленении к, числу реальных звеньев,
тем эффективнее будет работать система. Очевидно, величина вход-
ного сопротивления Zex всей составной системы будет иметь различ-
ное значение в зависимости от способа осуществления резонансного
режима, а следовательно, и от способа «расчленения» для настройки
системы. Минимальное значение входного сопротивления Z3X=Rtxmia
будет только при полном резонансе.
9.	СОСТАВНЫЕ КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Разновидностью составных систем являются составные комби-
нированные системы. Эти системы отличаются от обычных состав-
ных систем тем, что структура последних осложнена наличием сосре-
доточенной нагрузки между источником колебаний и входом состав-
ной системы.
В табл. II. I на фиг; 21 представлен пример такой системы.
На приведенной схеме нагрузкой Zo в общем случае может являться
любая сосредоточенная нагрузка (инерционная, упругая или сме-
шанная). Количество стержневых звеньев может, быть любым.
194
Расчет составной комбинированной системы состоит из расчетов:
а) составной системы, состоящей из звеньев, расположенных правее
нагрузки Zo, нагруженных на оконечное сопротивление ZH (если
таковое имеется) (фиг. VII.2); б) комбинированной системы, состоящей
из Zgx составной системы, где Zex — сопротивление, определяемое
при расчете составной системы’ (см. п. «а»), и нагрузки Zo — нахо*
дящейся между источником колебаний и составной стержневой
системой. В результате определяется входное сопротивление состав-
ной комбинированной системы [см. выражения (VI. 1), (VI. 2)]:
ZCK — Z0-\-Zex	(VII. 29)
или
(VII.30)
Первое из этих выражений применяется в случае, если Zo и Zex
соединены узлом, а второе — при соединении элементов цепочкой;
В главе VI подробно
рассматривались воз-
можные сочетания на-
грузок, приводящие
к тому или другому
виду соединений (см.
фиг. VI. 1 и VI. 2).
Таким образом, расчет
Фиг. VII. 2.
составных комбинированных систем сводится к расчету комбини-
рованной системы. Если Zo представлено (как обычно) реактив-
ной нагрузкой, то, очевидно, для обеспечения резонансных усло-
вий ZBX должно быть также реактивным, но иметь обратный Zo
характер. Поэтому расчет и режим составной системы (звеньев,
лежащих правее Zo) следует осуществлять так, чтобы Хвх 0.
В этом существенное различие режима работы составной комби-
нированной системы от обычной составной системы. Однако
режим работы каждого из звеньев системы II (лежащей правее Zo)
должен быть выбран наиболее эффективным. Очевидно, рационально
для каждого из звеньев (начиная с конца) обеспечить резонансный
режим (при учете реакции со стороны последующего звена или
нагрузки), но для первого звена (т. е. последнего от конца) выбрать
такой режим, при котором
Хо + Х,х1 = 0,
причем
8Х
8X1’
(VII.31)
где Хвх1 — реактивная составляющая первого звена, нагруженного
на все остальные, а Хвх — входное сопротивление системы II.
Таким образом, вся основная часть системы II настраивается (и рас-
считывается) позвенно, за исключением первого звена, которое
настраивается в резонанс совместно с реактивной составляющей Хо
сосредоточенной нагрузки Zo. Следовательно, первое звено рассчи-
13*	195
тывается так же, как обычная комбинированная система, в которую
входит лишь одно стержневое звено.
Усложненный вариант составной комбинированной системы заклю-
чается в таком построении, при котором сосредоточенная нагрузка
находится не перед первым звеном.,а между какими-либо из зве.ньев
составной, стержневой системы. Расчет такой системы можно произ-
водить следующим образом. Если Хо находится между (т — 1)-м
m-м звеньями, то расчет системы от последнего звена до нагрузки Хо
включительно следует осуществлять так, как это указывалось для
обычного варианта составной комбинированной системы.
Далее, начиная с (т — 1)-го звена расчет производится как
для обычной составной системы, нагруженной на активное сопро-
тивление RHm. В данном случае, активная нагрузка RHtn является
составляющей ZCK на входе комбинированной составной системы,
составленной из сосредоточенной нагрузки Хо, и всеми звеньями,
лежащими правее этой нагрузки.
В данном случае учитывается только активная составляющая,
потому что из условия резонанса
Из предыдущего видно, что расчет всевозможных сложных стер-
жневых систем можно осуществить, сводя задачу к расчету простых
и комбинированных систем.
ГЛАВА VIII
СОГЛАСУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
1.	ЗАДАЧИ СОГЛАСОВАНИЯ
В практике построения ультразвуковой аппаратуры часто встре-
чаются сложные колебательные системы, свойства которых скачко-
образно изменяются при переходе от одного звена к другому. Это
различие в свойствах приводит к отражениям энергии упругих
колебаний в местах соединений отдельных звеньев.
В ряде случаев необходимо обеспечить следующие определен-
ные условия передачи энергии от одного звена к другому:
а)	устранение эффектов отражения энергии при передаче ее от
звена к звену в режиме бегущей волны;
б)	устранение тех же эффектов при колебаниях «в режиме
стоячей волны»;
в)	получение максимально возможной амплитуды колебатель-
ной скорости на входе последующего звена, т. е. максимального
отражения в указанном месте системы.
Рассмотрим, в каких случаях требуется выполнение указанных
условий. Предположим, что объект технологического воздействия
ультразвуковыми колебаниями представляет собой некоторую среду,
обладающую преимущественно одним параметром — значитель-
ным вязким трением или одновременно и другими (упругостью, мас-
сой): При этом реактивные составляющие нагрузки могут быть
скомпенсированы настройкой системы. Допустим также, что по физи-
ческим условиям обработки среды требуется ввести в нее максималь-
ную мощность колебаний. Тогда, очевидно, эта мощность будет чисто
активная, следовательно, нагрузка на последнее звено (на конце его)
сложной колебательной системы будет также чисто активная RH.
В этом случае вся энергия, отдаваемая источником колебаний в си-
стему (при пренебрежении активными потерями в ней), должна пе-
рейти в среду (объект). Такой режим может быть получен только
при наличии чисто бегущей волны, которая, в свою очередь, может
быть лишь при отсутствии отраженной энергии на протяжении всего
пути ее движения от источника к нагрузке. Следовательно, здесь
имеем условие «а».
Может быть, однако, некоторая разновидность режима сложной
колебательной стержневой системы, требующая обеспечения усло-
вия «б».
197
Предположим, что система, составленная из нескольких звеньев,
воздействует на объект, требующий для получения определенного
технологического эффекта максимального значения амплитуды коле-
бательной скорости. Так как реальный объект (среда) имеет потери,
то, очевидно, он будет потреблять от колебательной системы опре-
деленную мощность, расходуемую на покрытие этих потерь. Требо-
вание получения максимального значения Ьт может быть обеспе-
чено в режиме стоячей волны, когда на конце последнего звена си-
стемы получается пучность скорости. Амплитуда колебательной
скорости будет тем больше, чем больше коэффициент отражения на
конце. Вследствие потерь в объекте, наряду со стоячей, в системе
будет и бегущая волна; однако преобладающая характеристика ре-
жима должна соответствовать практически стоячей волне. Условно
процессы в такой системе можно определить как передачу энергии
«в режиме стоячей волны». В местах соединения отдельных звеньев,
составляющих сложную стержневую систему, не должно происхо-
дить отражения энергии. Обеспечение этого условия вовсе не озна-
чает, что в системе преобладает бегущая волна, так как вся система
в целом имеет максимальный коэффициент отражения на конце.
Смысл устранения частичных отражений на стыках промежуточ-
ных звеньев заключается в следующем. Если в местах соединений
звеньев возникают отражения, то в общем случае коэффициенты
отражений 0 < |/CF| < 1 или 0 < | /Q| < 1, причем |/СР11 #= | KFt\ +
=h I I и т. д. (соответственно для /(j).
Векторные значения этих коэффициентов, дополнительно опре-
деляемые их фазами, также не равны друг другу. Поэтому в каждом
звене будем иметь падающую (проходящую в следующее звено)
и отраженную упругую волну. В результате сложения этих волн
на выходе системы в общем случае не получится максимальное зна-
чение амплитуды, а в отдельных звеньях могут возникнуть повышен-
ные значения соответствующих колебательных величин в пучностях,
что. вызовет дополнительные потери в среде, составляющей эти
участки. Поэтому необходимо устранить местные отражения.
Можно, однако, ту же задачу (получения максимальной пучности
на конце системы) решить другим способом при обеспечении усло-
вия «в». При этом добиваемся максимального отражения на стыке
звеньев, т. е. максимальной пучности при условии настройки в резо-
нанс каждого звена. Смысл такого решения следующий. Если на
конце каждого звена коэффициент отражения будет +1 (при пренеб-
режении потерями), то, очевидно, «проходящей» в следующее звено
волны не будет и, следовательно, в каждом звене будет чисто стоячая
волна. При таких условиях последнее (рабочее) звено будет нахо-
диться в режиме, не зависящем от предыдущих звеньев (при условии
пренебрежения потерями), т. е. в начале его будет максимально
возможная пучность. Таким образом, «передачу энергии в режиме
стоячей волны» можно Осуществить при одном из следующих усло-
вий на стыках звеньев K.F = 1 или К,Р = 0. Следовательно, для
получения условий «а», «б» или «в» необходимо изменить входное
198
сопротивление того или иного звена так, чтобы оно было равно
волновому сопротивлению предшествующего звена или было бы
минимально возможным и практически чисто активным.
Исключаем случай К.Р = —1, чему соответствует условие макси-
мально возможного значения Ztx последующего звена, так как нор-
мальные условия настроенной стержневой системы требуют мини-
мального входного ее сопротивления.
Обеспечение этих условий называется согласованием соответст-
вующих сопротивлений. При согласовании сопротивлений сущест-
вующие (реальные) свойства второго звена (или, в общем случае,
среды, куда вводятся колебания) остаются неизменными, но благо-
даря специальным согласующим устройствам, дополнительно вво-
димым в систему, или соответствующему выбору длин отдельных
стержневых звеньев, действительное входное сопротивление транс-
формируется в необходимую для согласования величину. Следова-
тельно, под согласованием следует понимать не только осуществление
условий получения бегущей волны (равенство волновых сопротив-
лений звеньев или входного сопротивления нагрузки и волнового
сопротивления предшествующего звена), но в общем случае и такие
связи отдельных звеньев между собой и последнего звена с нагрузкой,
которые обеспечивают заданный колебательный режим при пере-
даче мощности нагрузке. Количественно условия согласования
определяют необходимую величину трансформации входного сопро-
тивления (звена или оконечной нагрузки). В частном, но наиболее
важном случае, входные сопротивления предыдущего и последующего
звеньев являются волновыми сопротивлениям и “’ол-
Условие согласования для получения бегущей волны можно запи-
сать так: o>0i = w'v где w'2 — трансформированное значение волно-
вого сопротивления второго звена. В технике ультразвука возможны
следующие способы согласования сопротивлений:
1)	с помощью промежуточного согласующего звена (одного или
нескольких) акустические свойства которого (или которых) посто-
янны по длине звена; иначе говоря, согласующее звено представляет
собой однородную стержневую систему; акустические свойства
и длина согласующего звена должны иметь определенные зна-
чения;
2)	при помощи промежуточного согласующего звена определен-
ной длины с плавно, по определенному закону, меняющимися по-
стоянными.
Рассмотрим несколько подробнее вопрос согласования в связи
с задачей передачи максимума энергии от источника колебаний
к объекту. Очевидно, этому отвечает режим бегущей волны. Для того
чтобы через данную стержневую систему передать максимум колеба-
тельной энергии, необходимо прежде всего, чтобы в данной системе
были минимальные потери. Это условие, очевидно, не нуждается
в пояснении.
Практические ультразвуковые колебательные системы в доста-
точной мере удовлетворяют указанному условию. Однако суще-
ствует и другое важное условие, невыполнение которого даже при
199
малых потерях уменьшает передачу энергии от генератора в на-
грузку. Исследуем этот вопрос.
Если источник упругих колебаний, имеющий внутреннее сопро-
тивление Zx, развивает колебательную силу амплитудой Fm, то при
нагрузке этого генератора некоторой системой с входным сопротив-
лением ZH амплитуда колебательной скорости в нагрузке (на ее входе)
будет
j __ Fm
^~Zh + Z1'
Мощность, выделяемая на нагрузке,
Р = — Ё2 7
гн 2
Так как мы будем интересоваться только активной составляю-
щей мощности Р, то, принимая во внимание, что в общем случае Zx
и Z„ — комплексные
сопротивления,
Zx =	-f- iXlt
Zh = Rh + IX н,
1	F*RH
можем получить
‘	2" (Pj + PkP-HXj-I-Xk)2 *	v ...'
Выберем активную и реактивную составляющие нагрузочного
сопротивления и Хн так, чтобы получить максимум энергии
в нагрузке. Предварительно определим Хн. Из условия
находим
Хя = -Хх.	(VIII .2)
Таким образом, если источник имеет реактивность инерционного
характера, то нагрузка должна иметь реактивность упругого харак-
тера, и наоборот.
Используя это условие и дифференцируя уравнение (VIII. 1)
по R„, находим
dP ____________________ л _ 1 то — Rh
dRH—y— 2 (Рх -t- Р„)2 •
Полученное условие удовлетворяется при
/?„ = Ях,	(VIII.3)
следовательно, активные сопротивления источника колебаний
и нагрузки должны быть равны.
Условия (VIII. 2) и (VIII. 3) являются общими условиями согла-
сования сопротивлений для максимальной передачи мощности коле-
баний от их источника к объекту (нагрузке).
200
В выводе мы не учитывали того обстоятельства, что нагрузка
присоединена через стержневую систему и оперировали с величи-
ной ZH как с входным сопротивлением, которое может относиться
и к входу нагруженной системы с распределенными постоянными.
Учтем это обстоятельство. Пусть источник колебаний связан
с нагрузкой Z* через стержневую систему 1 (фиг. VIII. I). Система 1
может быть сколь угодно сложна. Мысленно разорвем стержневую
систему в плоскости 00'. Очевидно, часть всей системы вместе с на-
грузкой ZH, расположенную вправо от плоскости раздела, можно
рассматривать как нагрузку, а часть системы вместе с источником,
расположенную влево от той же плоскости, — как источник колеба-
ний. При этом, очевидно, внутреннее сопротивление источника бу-
дет определяться не только ве-
личиной Zi, но и левым участ-
ком стержневой системы, а со-
противление нагрузки будет
определяться ZH и правым
участком той же системы.
Обозначим сопротивления
эквивалентных генератора и на-	фиг VIII j
грузки Z\ и Z^. Заменяя, та-
ким образом, рассматриваемую
систему генератором и нагрузкой, можем получить те же резуль-
таты, что и в предыдущем случае.
Можно показать, что в этом случае для передачи максимума мощ-
ности сопротивления систем, расположенных справа и слева от
любой произвольно выбранной плоскости поперечного сеченияг
должны быть комплексно сопряженными величинами, т. е. если
Zj =	+ IX v
то
z;
/?; + iX\=R'H — iX'H\
(VIII.4)
здесь и XJ определяются от плоскости раздела в сторону источ-
ника, причем нагрузкой на конце левой части является сопротивле-
ние Zi, заменяющее источник колебаний. «Выход» эквивалентного
генератора колебаний будет в плоскости раздела 001.
Полученное выражение (VIII. 4) является аналогом следствия
известной теоремы теории электрических цепей «об эквивалентном
генераторе».
Важным следствием соотношения (VIII. 4) является следующее
положение. Пусть стержневая система, связывающая источник
упругих колебаний и нагрузку, не имеет потерь. Тогда, если усло-
вия согласования сопротивлений выполнены в одном месте этой си-
стемы, то они выполняются и во всех других местах.
Объясним это положение, исходя из физических представлений
и опуская его математическое доказательство.
201
При наличии стержневой системы без потерь последние могут
быть только в источнике колебаний и в нагрузке. Полная мощность,
вырабатываемая источником, частью поглощается на его собствен-
ном (внутреннем) сопротивлении, а частью переходит в нагрузку.
Поток энергии, протекающий через любое поперечное сечение
стержневой системы, очевидно, должен равняться потоку энергии,
поступающему в нагрузку. Если в некоторой плоскости, перпенди-
кулярной к движению упругой энергии, мы согласуем сопротивле-
ния, то этим самым будет обеспечен максимум передаваемой энергии,
перемещающейся через эту плоскость, и, следовательно, максимум
отдачи в нагрузку. Однако согласования в любых других плоскостях
(также расположенных перпендикулярно движению энергии) должны
привести к тем же самым условиям, т. ё. должны удовлетворить сот
гласованию в одной плоскости.
Следовательно, при согласовании сопротивлений в одном месте
однородной стержневой системы без потерь условия согласования
выполняются и в конце системы. Однако конец этой системы является
началом другой однородной системы, и если в начале другой системы
условия согласования выполнены, то они выполняются в любой точке
системы. Таким образом, условия согласования будут выполнены
в любой точке сложной системы, если только каждое однородное
звено системы не обладает активным сопротивлением (по-
терями).
Заметим далее, что условие согласования сопротивлений может
быть непосредственно применено к источнику упругих колебаний.
Нетрудно видеть, что для передачи максимума мощности входное
сопротивление цепи, составленной из стержневой системы и оконеч-
ной нагрузки, должно быть сопряженным внутреннему сопротивле-
нию источника колебаний. Если эти условия выполнены и стержне-
вая система не имеет потерь, то условие согласования сопротивле-
ний автоматически выполняется в любой точке системы.
Если участки стержневой системы имеют потери, то при учете
последних надо принять во внимание некоторые новые обстоятельства,
связанные с условиями согласования. До сих пор при рассмотрении
условий максимальной отдачи энергии в нагрузку мы не учитывали
•отражения на границах системы. Поскольку рассматривалось согла-
сование сопротивлений источника и нагрузки, это было несущест-
венно, при наличии же потерь, с отражениями следует считаться.
Действительно, при наличии отражений энергия, движущаяся от
источника к нагрузке, является разностью энергий прямой и отра-
женной волн. Чем больше отражения, тем больше должна быть ин-
тенсивность прямой и отраженной волн для того, чтобы их разность
могла создать необходимый поток энергии в нагрузку. Но благодаря
потерям обе волны будут затухать пропорционально их интенсив-
ности. Следовательно, при определенной величине мощности, выде-
ляемой в нагрузке, чем сильнее отражения в стержневой системе,
тем больше потери на затухание. Поэтому наличие потерь в системе
приводит к дополнительному требованию при согласовании сопро-
тивлений, заключающемуся в том, что необходимо не только передать
202
максимальную мощность от источника к нагрузке, но и принять
меры по устранению отражений в. системе.
Последнее выполняется, если источник колебаний и нагрузка
согласованы со стержневой системой так, чтобы их сопротивления
были равны волновому сопротивлению системы. Такое согласование
возможно осуществить, при помощи устройств, рассматриваемых
в следующих разделах. Итак, в системе с потерями присутствие
стоячих волн увеличивает потери, следовательно, если бы в системе
не было потерь, то такой тип согласования, который устранял бы
отражения, не был бы необходим.
Подводя итоги, можно отметить, что волновое сопротивление си-
стемы необходимо согласовывать с обеих сторон как с источником
колебаний, так и с нагрузкой, с помощью соответствующих устройств.
При этом обеспечивается максимум передаваемой мощности от
источника в стержневую систему и из этой системы в нагрузку.
Устраняя стоячие волйы в стержневой системе, мы обеспечиваем
в ней минимум возможных потерь. Сказанное не относится к режиму
•стоячей волны, когда на стыках отдельных настроенных звеньев
имеет место максимальное отражение.
2.	СОГЛАСУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО В ЧЕТВЕРТЬ ДЛИНЫ ВОЛНЫ
Однородная стержневая колебательная система без потерь дли-
ной обладает свойством трансформировать сопротивление, вклю-
ченное на ее конце. Воспользуемся выражением (III. 46) для вели-
чины входного сопротивления такой системы, нагруженной на ком-
плексное сопротивление ZB:
cos al + i sin al
-----------—•
-7— cos al -I- i sin al
m	2-ГС	1 X
Так как a = -5-, а по условию I = то в данном случае
Л	4
«а/ = следовательно,
(VIII.5)
Это соотношение и определяет действие согласующего устройства
рассматриваемого типа. Таким образом, -если необходимо согласо-
вать два звена системы, из которых первое имеет волновое сопро-
тивление о>01 и второе — te>02, то между ними можно вставить третье,
промежуточное, звено длиной -|- с волновым сопротивлением
Величина последнего, очевидно, должна быть
ww=V аУоЛ;	(VII 1.6)
203
при этом первое звено окажется нагруженным на сопротивление,
равное своему волновому, т. е.
[Иа'оЛ]2
W°1=	«>02	=Wo1'
В случае, если второе звено, в свою очередь, нагружено на неко-
торое сопротивление и имеет сопротивление Zgx, то для согласо-
вания необходимо обеспечить равенство
wol = Zex,	(VIII.7)
поэтому волновое сопротивление согласующей четвертиволновой
стержневой системы должно быть
и>ос = V woiZex-	(VIII. 8)
Следует, однако, иметь в виду, что если в общем случае Zeoc ком-
плексное, то хотя данное согласующее устройство и трансформирует
Фиг. VIII. 2.
сопротивление нагрузки (независимо от его характера), но если
активное, отражения при таком согласовании не устраняются. На
фиг. VIII. 2 показана система с четвертиволновым стержневым
согласователем. Для качественной работы согласователя необходимо,
чтобы потери в нем были бы минимальные. Если до02 < ш01, то вол-
новое сопротивление согласующего отрезка стержневой системы
меньше, чем о>01. Если же wQ2 > о>01, то wQC > te>01.
Согласующее действие такого несложного устройства можно объяс-
нить тем, что отраженные волны от границ: первое звено — согла-
сователь и второе звено — конец согласователя, складываясь в соот-
ветствующих фазах на первой из указанных выше границ, взаимно
компенсируются, и в результате имеется только прямая (т. е. бегущая)
волна.
Практически для осуществления такого согласователя необхо-
димо выбрать материал, обладающий определенной величиной удель-
ного волнового сопротивления
О’ос= УрЁ-
Однако далеко не всегда можно подобрать произведение р£ так,
чтобы оно удовлетворяло необходимому значению. Поэтому возможно
такое решение, когда вместо одного согласователя следует взять
несколько. Очевидно, для двух согласователей (фиг. VIII. 3) будем
иметь:
204
сопротивление на входе второго согласователя
7	— Ю0й
в*2-	«,02
сопротивление на входе первого согласователя (т. е. на выходе
согласуемой стержневой системы)
“41	«41
^8X1 — 7	—	^02 >
^6X2	“'02
но по условию согласования необходимо, чтобы Zgxi = до01, следо-
вательно,
ш0с,
w0c2
ИЛИ
т. е.
Р1^1 _ ^01
Р2^2	О>02 ’
(VIII. 9)
(VIII. 9а)
Из этого видно, что применение двух четвертиволновых соглаша-
телей дает большую гибкость в подборе материала согласователей,
Фиг. VIII. 3.
так как существенным является не абсолютное значение и wQC2,
а их отношение. Так как в указанное отношение входят четыре вели-
чины: рп р2, Е19 Е2, то возможности выбора материала увеличиваются.
Рассуждая аналогичным образом, в случае применения трех согласо-
вателей можно получить соотношение
=	(VIII. 10)
при этом возможности практического осуществления согласователя
еще больше, чем в предыдущем случае. Заметим, что здесь, кроме
отношения волновых сопротивлений, необходимо учитывать еще и
205
абсолютное значение wQcS. В общем случае при наличии п четверти-
волновых согласователей справедливы следующие соотношения:
7 «in
вхп ~ W02 ’
_ <„_i;
^вх п—1 — 7	>
^ех п
_ «in-2.
7	_ >
^8X1
01 zex2
отсюда
при
легко получить:
п четном
, ^0С8 . WQC П—1
W0C2 ’ ^0С4
при
п нечетном
Wacn-2
W0C п—1
01^02
(VIII. 11>
(VIII. 12>
^OCl t о>осз
^0С2
Wocn
Таким образом, с увеличением числа согласующих отрезков,
стержневой системы значительно растут возможности ее практи-
ческого осуществления, так как обеспечить требуемую величину,,
определяемую значением правой части выражения (VIII. 11) или
(VIII. 12), можно при различных значениях wOcl...........®>осп-
Однако с увеличением числа согласующих элементов возрастают
общие потери в согласователях, поэтому степень согласования падает
(напомним, что рассматриваемое согласующее устройство практи-
чески не должно иметь потерь).
Для обеспечения более или менее удовлетворительного согла-
сования (при некотором допустимом значении коэффициента отраже-
ния) в ряде случаев можно использовать несколько четвертиволно-
вых согласователей. Так как р и Е различных материалов, пригод-
ных для изготовления стержневых колебательных систем, представ-
лены сравнительно ограниченным количеством значений, то рацио-
нальное число четвертиволновых согласователей не может быть боль-
шим. Можно несколько расширить возможности согласования, если
изменять площадь поперечного сечения отдельных согласователей.
Действительно, так как w0 = wS, то, изменяя величину S, можно
подобрать необходимое значение wocr, при этом изменение wOc может
быть не дискретным. Однако при изменении площади поперечного
сечения стержневой системы нарушается режим продольных колеба-
ний в месте, где меняется сечение. Это вызывает появление других
типов колебаний и деформацию плоской волны. В свою очередь,
указанные нарушения могут заметно изменить режим согласования.
206
Поэтому изменение величины площади поперечного сечения согла-
сователя, по сравнению с согласуемыми элементами нашей стержне-
вой системы можно допустить только в небольших пределах (по-
рядка + 10%). Изменение площади S совместно с выбором материала
согласователей в ряде случаев может обеспечить требуемое согласо-
вание.
В заключение рассмотрения согласователей этого типа отметим,
что для качественной их работы необходимо обеспечить хороший
и прочный акустический контакт в местах соединения согласовате-
лей друг с другом или с согласуемыми элементами колебательной
системы. Невыполнение этого условия существенно нарушает усло-
вия согласования и, кроме того, приводит к возникновению в местах
соединения значительных механических усилий, стремящихся ото-
рвать звенья друг от друга.
3.	СОГЛАСУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА В ОДНУ ВОСЬМУЮ длины волны
В качестве согласующего устройства можно использовать отре-
зок стержневой системы без потерь длиной -g-, нагруженный на чисто
активное сопротивление.
Полагая I = мы получим
«'= +
Подставив в выражение для входного сопротивления системы
без потерь выражение (III. 46) найденное значение al и полагая
ZH = %н> получим
=	(Vin. 13>
Модули числителя и знаменателя выражения (VIII. 13) равныг
следовательно, модуль входного сопротивления рассматриваемой
системы с активной нагрузкой на конце равен волновому сопро-
тивлению системы:
-|Zex| = te>„	(VIII. 14).
при любом значении сопротивления активной нагрузки. Однако-
чисто активным входное сопротивление будет лишь в том случае,,
если согласователь нагружен на активное сопротивление, равное
Тогда, как легко видеть из уравнения (VIII. 13), Zex = w0. Это
равенство является частным подтверждением уже известного нам;
положения о том, что если однородную стержневую систему любой
длины нагрузить на сопротивление, равное ее волновому, то входное
сопротивление будет чисто активным и также равным волновому..
Поэтому данный согласователь целесообразно применять только
в том случае, если нас интересует лишь модуль входного сопротивле-
ния, величина которого при указанных выше условиях равна волно-
вому сопротивлению. Однако входное сопротивление Zex при этом.
207
остается комплексным (VIII. 13) и, следовательно, на входе согла-
сователя возникнет фазовый сдвиг волны упругих колебаний при
сохранении величины максимальной амплитуды этих колебаний.
Поэтому бегущей волны не будет, и такого рода согласование имеет
смысл тогда, когда необходимо получить на входе промежуточного
(или первого) звена заданное значение амплитуды колебательной ско-
рости.
4.	СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА ДЛИНОЙ ПОЛВОЛНЫ
На основании формулы (III. 46) можно получить при I — -%
(т. е. при а / = it) Zev — 2ц. Следовательно, если стержневая си-
стема не имеет потерь, то сопротивление на входе равно сопротивле-
нию на ее конце. К этому выводу можно легко прийти из рассмот-
рения физики процесса колебаний. Действительно, в системе без по-
терь форма стоячей волны повторяется на каждом участке длиной
Р
полволны, а также повторяется отношение следовательно,
Ы
в соответствующих сечениях системы сопротивление не меняется.
Таким образом, для рассматриваемой системы отсутствует трансфор-
мация величины сопротивления; однако в любой точке (вдоль си-
стемы) колебательная скорость и колебательная сила отстают на 180°
соответственно от тех же величин в точке, расположенной на ближе
к источнику колебаний. Благодаря этому свойству создавать сдвиг
колебаний на 180° без изменения колебательных величин (при любом
нагрузочном сопротивлении) полуволновая стержневая система мо-
жет быть использована при устройстве питания сложных излучате-
лей. Кроме того, полуволновые отрезки можно применять в тех слу-
чаях, когда по тем или иным причинам требуется удлинить конструк-
цию сложной колебательной системы без нарушения ее резонанс-
ных свойств и характера распределения уйругих волн на ее участках.
Очевидно, такие полуволновые устройства применяются там, где
используется режим стоячей волны, так как только в этом случае
есть смысл сравнивать точки, расположенные на расстоянии друг
от друга; однако, поскольку ZH может иметь любое значение (не
только реактивное), то часть энергии будет поглощаться в этом со-
противлении, следовательно, кроме стоячей волны при этом будет
составляющая в виде бегущей волны. Равенство ZBX = Z„ остается
в силе (если только величины потерь в полуволновом звене отсут-
ствуют или пренебрежимо малы).
5.	НЕОДНОРОДНАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА В КАЧЕСТВЕ СОГЛАСУЮЩЕГО
УСТРОЙСТВА
Неоднородная стержневая система с плавно меняющимся волно-
вым сопротивлением может служить для согласования, т. е. преобра-
зования сопротивления нагрузки на конце этой системы в необхо-
димую величину ее входного сопротивления. При рассмотрении со-
208
„ к
гласующих устройств длиной j и, в частности, варианта ступен-
чатого использования нескольких таких систем, мы по существу
также имели неоднородную согласующую систему. Однако переход
от одного звена (ступени) согласования к другой был скачкообраз-
ный и преобразование сопротивления без отражения происходило
только на входе первой ступени, на границах остальных согласующих
звеньев имелись отраженные волны.
Первичные параметры разных ступеней (р, Е) были различными
и выбирались так, чтобы было обеспечено результирующее условие
выражения (VIII. 11) или (VIII. 12).
В согласующих системах с плавно изменяющимся волновым
сопротивлением процесс преобразования сопротивления несколько
отличается от ступенчатого преобразования четвертиволновыми от-
резками.
В качестве согласующих устройств с плавно изменяющимся вол-
новым сопротивлением применяются отрезки стержневых систем
с переменным сечением.
Обычно применяются системы, у которых сечение меняется по
экспоненциальному или квадратичному закону (т. е. в случае, если
поперечное сечение имеет форму круга, образующие изменяются
по экспоненциальному или линейному законам).
В рассматриваемых ниже согласователях переменной величиной
является сечение, а материал, из которого сделан согласователь,
однороден. Соответственно закону изменения образующей согла-
сователи называются экспоненциальными или коническими.
Рассмотрим экспоненциальный согласователь. Если отсчиты-
вать расстояние х до рассматриваемого сечения от конца согласо-
вателя, то закон изменения сечения
где Se — поперечное сечение узкого конца (от которого идет отсчет
расстояния).
При отсчете расстояния от широкого конца
Sx = Soe~dx.	(VIII. 15)
На основании теории экспоненциальных систем (см. главу V)
можно установить основные соотношения для различных видов
экспоненциальных согласователей. При использовании соответствую-
щих соотношений будем считать, что потери относительно малы,
а изменение сечения происходит достаточно медленно, так, что усло-
вие 1 удовлетворяется.
Для удобства рассуждений будем исходить из формулы (V. 26).
Эта формула, как указано в главе V, отличается от соответствую-
щей при Zex для однородной системы тем, что в качестве волнового
сопротивления в ней фигурирует не ai0, a w0[, т. е. волновое сопро-
тивление, соответствующее тому сечению, с которым связана
14 Теумнн 261	.209
нагрузка Z„. Кроме того, дополнительно имеется множитель ebl.
Учитывая сказанное, выражение (V. 26) запишем
Zejl=ewZ^,	(VIII. 16)
где Z’ex — входное сопротивление однородной системы без потерь,
волновое сопротивление которой wQl, а скорость распространения
упругой волны определяется по формуле (V. 20). Рассмотрим возмож-
ные варианты экспоненциального согласователя.
а) Ненастроенный согласователь
Если активное сопротивление нагрузки RH должно быть транс-
формировано в начале согласователя в сопротивление щ01, т. е. в со-
противление, равное волновому согласуемого звена, то, очевидно,
необходимо, чтобы
и	[см. формулу (V.23a)]
__ gbl
т. е.	~ ’
W = ln-^-.	(VIII. 17)
При этом в согласованной этим способом системе возникает бегу-
щая волна. Очевидность полученного результата вытекает из выра-
жения (VIII. 16), если учесть, что для однородной системы при ус-
ловии (V. 23 a) Z'ex = RH. Ясно, что под Rh можно подразумевать
волновое сопротивление а>о2 звена на выходе согласователя, с кото-
рым согласуется первое звено. Полученное расчетное выраже-
ние (VIII. 17) показывает, что при чисто активной нагрузке
(или що2) и точном соблюдении условия (V. 23а) величина транс-
формации сопротивления зависит только от произведения Ы, причем
на величину / не накладывается никаких ограничивающих условий.
Единственное условие (V. 38) Ь < является общим для любых
экспоненциальных систем.
Возможен, однако, практический случай, когда Zex нагруженного
экспоненциального согласователя не точно равно волновому сопро-
тивлению первого из согласуемых звеньев (u>oi). Тогда, если волно-
вое сопротивление второго звена будет о>02, а заданный коэффициент
отражения |KF|, то предельное значение длины экспоненциального
согласователя будет (V. 42)
/ = 0,04-гА- |1п^-|;
I Kf I I а»02 Г
следовательно, на основании выражения (VIII. 17) предельно ми-
нимальное значение Ь будет
In-^-lKFl
£ __ ______^02____
0.04А I ln-J-
I ^02
(VIII. 18)
210
б) Согласователь длиной четверть волны
Будем исходить из того же выражения (VIII. 16). Из предыду-
щего рассмотрения однородных согласователей известно, что, если
волновое сопротивление такого преобразователя wQl и / ==-А, то
г _ ^о/
вх Woa 9
где — волновое сопротивление второго из согласуемых звеньев.
Следовательно, для четвертиволнового экспоненциального согласо-
вателя будем иметь
z ~^Lebi
«te е •
Для согласования необходимо, чтобы Zex = w^, где tpoi — вол-
новое сопротивление первого звена, откуда
А, ____________
“V2 = V “’oi°yo2-	(VIII. 19)
Существенным отличием четвертиволнового экспоненциального
согласователя от ненастроенного заключается в том, что в первом
из них величина а>01 может не равняться о>02 (так же, как w0 не рав-
няется o>0i), в то время как в ненастроенном согласователе эти ра-
венства являются обязательными. Сравнивая выражение (VIII. 19)
с выражением (VIII. 8), мы видим, что четвертиволновый экспонен-
циальный согласователь дает большие возможности согласования,
чем однородный согласователь I =
в) Согласователь длиной половину волны
Так как для однородного полуволнового согласователя входное
сопротивление равно сопротивлению на выходе согласователя (при
сдвиге фаз колебательных величин на 180°), то, очевидно, для экспо-
ненциального полуволнового согласователя на основании уравне-
ния (VIII. 16) имеем
Zex =
Таким образом, в случае необходимости согласования звеньев
с волновыми сопротивлениями щ01 и получим
— Al
«te
или
&/ = 1п-^-.	(VIII.20)
Сравнивая с случаем ненастроенного экспоненциального согла-
сователя выражения (VIII. 17), мы видим совпадение расчетных
формул. Различие заключается в том, что для рассматриваемого
14*	211
полуволнового согласователя не существует условия (V. 23а), т. ё.
волновые сопротивления wQ и wQl широкого и узкого конца связаны
не со значениями согласуемых волновых сопротивлений, а лишь
с их отношением. Это обстоятельство весьма важно и широко исполь-
зуется в так называемых концентраторах, которые мы далее рас-
смотрим.
В заключение укажем на то, что все выводы, относящиеся к экспо-
ненциальным согласователям, остаются справедливыми и для кони-
ческих.
6. КОНЦЕНТРАТОРЫ
Устройства для согласования сопротивлений по существу яв-
ляются такими элементами стержневых систем, которые трансфор-
мируют сопротивление нагрузки в определенную величину этого
сопротивления, на входе согласователя. Поэтому согласователя
часто называют «трансформаторами». Если согласователь не имеет
собственных потерь, то, очевидно, мощность (активная) на его входе
должна равняться мощности на выходе согласователя. Рассмотрим
экспоненциальный согласователь длиной В дальнейшем будем
приписывать величинам, относящимся к началу концентратора,
индекс 1, а к его концу — индекс 2.
Если сопротивления Rex и RH различны, то для сохранения
равенства указанных мощностей необходимо, чтобы амплитуды коле-
бательной скорости на концах согласователя были различны.
Рассматривая экспоненциальные согласователя и учитывая, что
Ъх __ 31
S2
где и $2 — площади поперечных сечений в начале и в конце
согласователя, а также на основании соотношения
р _ р
Г 8Х — * вызе
ИЛИ
__
2	“	2	*
мы приходим к выводу, что для этих типов согласователей справед-
ливы следующие соотношения:
=	1/ф;	(VIII. 21)
«mi 5mi '
=	(VIII. 22)
Если интенсивность колебаний, т. е. значение мощности, прихо-
дящейся на 1 см2 поперечного сечения, будет /2 и /п то интенсив-
ность колебаний на узком конце будет
/2 = ^Л.	(VIII. 23)
212
Если поперечные сечения имеют форму круга с диаметрами широ-
кого и узкого концов dr и d2, то
S/H2 	 dj .	
imi	’	
Pmi __ di.	
F mz	d^, ’	(VIII. 24)
£	
'г—?1'- “2	1	I
Величина сопротивления нагрузки на конце концентратора
будет трансформирована в его начало как
*;=*.(<)’•	(Vuk25)
Таким образом, при передаче энергии от широкого конца данного
устройства к узкому мы трансформируем колебательную скорость,
смещение, а также интенсивность колебаний так, что на выходе (т. е.
в среде, куда вводятся колебания) эти колебательные величины имеют
большее значение, чем на входе согласователя. Такой полуволновый
экспоненциальный согласователь, узкий конец которого связан с объек-
том, называется концентратором или трансформатором колебательной
скорости х.
Важным свойством концентратора является, в частности, то, что
величина сопротивления нагрузки не связана никаким условием
с волновыми сопротивлениями о>01 или о>02. Расчет концентратора
(выбор Ь, определение длины /) производится на основании выведен-
ных формул в главе V для экспоненциальной стержневой си-
стемы:
Условие критической частоты
1п$</ — f,
02	V ”
(VIII. 26)
(VIII. 27)
(VIII. 28)
где v = "|Лу (скорость распространения упругой волны в материале
концентратора в ограниченной среде).
1 Применение описанного устройства для концентрации ультразвуковой энер-
гии впервые было предложено Л. Д. Розенбергом и М. Г. Лозинским (авторское
свидетельство № 85193 от 31/V 1950 г. и приложение от 4/VIII 1949 г.).
213
Кроме того, необходимо обеспечить условие
. А
<4<-2 •
(VIII. 29)
Положение узла смещения на концентраторе определяется из
выражения
х„ -4 arcctg (± In А)	(VIII. 30)
(х0 отсчитывается от широкого конца).
При малых значениях -|г- экспоненциальный концентратор
может быть заменен коническим. Для этого формулы (VIII. 26)
и (VIII. 30) могут быть использованы с достаточной для практики
точностью. Если конический концентратор осуществляется при зна-
чениях -^- > 2,0, то необходимо пользоваться другими соотно-
шениями, которые приводятся далее.
В общем случае, когда на экспоненциальном концентраторе укла-
дывается п полуволн, где п = 1, 2, 3, . . ., резонансная длина может
быть определена из выражения
, »1/ <“>
1 ~ 2f Г	п»
(VIII. 31)
Положение узлов в этом случае может быть найдено из формулы
, У (т)’-*
х"=|/(4р/гс,с	> -	<VI“-32>
Если диаметр <4 относительно велик, т. е. приближается к (0,Зч-
-г-0,4)Х, то необходимо ввести поправку, при учете которой формула
для резонансной длины будет иметь вид [37]
1 / (пя)а + (1н 41)2
/ = ^(!-8) И ------->	(VIII. 31а)
где
(-^У-1
nMa«/dj\2 \<1г)
8=	8	• /^\2.
\dj *” <4
а — коэффициент Пуассона.
Задавшись величинами d2 и d2, можно определить размеры кон-
центратора. Необходимо помнить, что концентратор одновременно
является согласователей. Если активное сопротивление среды (объекта),
на который воздействуют упругие колебания, меньше того сопротив-
ления, которое требуется условиями согласования источника колеба-
214
ний с объектом, то такой концентратор трансформирует сопротивле-
ние нагрузки в требуемую сторону (т. е. увеличивает входное сопротив-
ление). Если это требуется' условиями конструирования ультразву-
ковой аппаратуры, то концентратор может быть выполнен удлинен-
ным, т. е. равным не , а X. Расчет такого концентратора сводится
к расчету двух полуволновых концентраторов, для которых SI>2 = Su>1,
где индексы I и II относятся соответственно к первому и’второму
концентраторам.
Так как концентратор соединяется с источником колебаний в пло-
скости, где входное сопротивление минимально (пучность £от), то уси-
лия, возникающие в плоскости крепления, будут минимальными и по-
этому указанное к5репление находится в благоприятных условиях
работы.
Мы подробно рассмотрели экспоненциальный концентратор, имею-
щий весьма широкое практическое применение. Одной из положи-
тельных особенностей такого концентратора является то, что при
небольшом отклонении от резонансного значения рабочей частоты
вибратора входное сопротивление концентратора меняется относи-
тельно мало, следовательно, колебательный режим системы вибра-
тор — концентратор — нагрузка при этом практически не нару-
шается.
Кроме экспоненциального концентратора, имеются еще и другие
типы, отличающиеся различным законом изменения диаметра. Не
останавливаясь на выводах, приведем основные соотношения, харак-
теризующие колебательный режим этих концентраторов [37].
Если закон изменения диаметра концентратора подчиняется урав-
нению
т. е. концентратор представляет собой усеченный конус (конический
концентратор), то уравнение, из которого можно найти его собствен-
ные частоты, будет
tga/ =----------aZ . .—
1 + аъп___zlz*__
(VIII. 33)
(здесь и далее a = у J .
Тогда резонансная длина конического концентратора может быть
найдена из формулы
l =	(VIII. 34)
где (а/) — корни уравнения (VIII. 33), найденные численным методом
для заданных или выбранныхs значений dlt d2.
Коэффициент усиления концентратора
(cos al
imi	\
Z*2 sin a/')
a/a2 /
(VIII. 35)
215
Положение узла скорости
x0 = larctga/^-A_
(VIII. 36)
Выражение (VIII. 35) свидетельствует о том, что конический кон-
центратор менее эффективен, чем экспоненциальный, в отношении
трансформации амплитуды смещения иди колебательной скорости.
Другим видом концентратора является катеноидальный.
Закон изменения диаметра такого концентратора описывается вы-
ражением
ch 7 (/— х).	(VIII. 36а)
Уравнение частот	__________
а7tg а 7 = — У I — (^)2 Arch А, (VII1. 37)
где
а' = ]^а2— 72;
1=4Агс1Чт
* I dj
Тогда резонансная длина концентратора будет
(VIII. 38)
здесь (а'/) — корни уравнения (VIII. 37), найденные численным мето-
dt
дом для данного
Коэффициент усиления
£т2
5/И1

(VIII. 39)
^2 COS а7
Положение узла скорости находим из соотношения
х0 = i arctg [у cth 7/] .
(VIII. 40)
Из выражения (VIII. 39) следует, что коэффициент усиления пре-
восходит величину отношения у, т. е. такой концентратор эффек-
тивнее экспоненциального концентратора в отношении трансформации
колебательной скорости и смещения.
Кроме приведенных типов концентраторов, находит применение
так называемый ступенчатый концентратор (фиг. VIII. 4), состав-
ленный из двух цилиндрических стержней различных диаметров.
Для такого ступенчатого концентратора можно получить урав-
нение резонансных частот в виде
tg а4 —
lg а/2 Sj ’
(VIII. 41)
216
где Sx и S2 —значения площадей поперечных сечений стержней,
образующих ступенчатый концентратор.
Если известна частота ш и заданы Зх и 32, то, выбрав величину Zx
или Z2, можно легко определить соответственно /2 или Zx. Так, напри-
мер, если выбрана, то
= VZx.
следовательно,
Z2 = -^-arctg(^-tg-^-Z1).	(VIII.42)
Отношение амплитуд смещения (коэффициент усиления)
Sma ___ Sin
5ml ~ S«
При Zx = 1ч — I получается
максимальное усиление:
6»12  ^1
imi S«
(VIII. 43)
При этом Z = (для ОСНОВНОЙ	Фиг. VIII. 4.
резонансной частоты). Таким об-
разом, ступенчатый концентратор может дать очень большое уси-
ление (по амплитуде смещения или колебательной скорости), равное
( di\2
’ т‘ е- превосходящее усиление катеноидального концентра-
тора. Узел смещения в этом случае находится в плоскости соедине-
ния стержней.
Следует заметить, что рост коэффициента усиления за счет уве-
личения отношения -т- не может происходить неограниченно. Это
“2
объясняется тем, что при выводе выражений (VIII. 41) и (VIII. 43)
предполагалось, что вся плоскость поперечного сечения стержня
с большим сечением в месте его соединения со стержнем малого
сечения колеблется с одинаковой фазой и амплитудой. Однако это
предположение справедливо лишь для случая, когда Zx = Z2 = I
и при условии, что потери на внутреннее трение в концентраторе
пренебрежимо малы. Чем больше эти потери, тем в большей степени
сказывается увеличение отношения на нарушение плоской волны
в сечении соединения стержней и тем больше отлонения действитель-
ных значений от тех, которые получаются из выражений (VIII. 41)
и (VIII. 43).
Хотя различные типы концентраторов имеют разные значения
коэффициентов усиления, однако мощность, передаваемая по этим
концентраторам (при пренебрежении потерями на внутреннее тре-
ние), во всех случаях остается одинаковой (при одинаковом значе-
217
218
нииподводимой мощности). Таким образом, для всех типов концентра-
торов остается справедливым соотношение
В тех случаях, когда основной задачей передачи упругих колеба-
ний через концентратор является передача мощности этих колебаний,
следует применять концентратор с небольшим усилением (предпоч-
тительно экспоненциальный). Тогда же, когда основной целью
является получение больших колебательных скоростей или смеще-
ний при небольшой активной нагрузке на конце концентратора,
следует использовать концентраторы ступенчатого или катеноидаль-
ного типов.
Заметим также, что если учитывать собственные потери в кон-
центраторе, то можно сделать вывод, что наименьшими потерями
на внутреннее трение обладает такой концентратор, который при
заданных dlt d2 и ш будет иметь наименьший объем.
Для быстрого расчета концентраторов на фиг. VIII. 5 и VIII. 6
приведены графики [37], дающие возможность определить резо-
нансную длину концентратора и его коэффициент усиления. На
фиг. VIII. 5 на оси ординат отложено отношение где Х= gjr,
а I — длина концентратора. На горизонтальной оси отложена вели-
чина отношений диаметров. В функции от этого же отношения на
фиг. VIII. 6 даны кривые отношений амплитуд смещений на концах
концентратора.
На фиг. VIII. 5 кривые 1, 2, 3 соответственно относятся к кони-
ческому, экспоненциальному, катеноидальному концентратору.
Группа кривых, объединенных цифрой 1, относится к колебаниям
на второй гармонике.
На фиг, VIII. 6 группа кривых, обозначенных цифрой 1, отно-
сится к коническому концентратору. Цифрой 2 обозначена кривая,
относящаяся к экспоненциальному концентратору. Цифрой 3 обо-
значена группа кривых, относящихся к катеноидальному концентра-
тору; буквы а, б и в относятся соответственно к колебаниям на основ-
ной частоте, второй и третьей гармониках.
ГЛАВА IX
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ В УЛЬТРАЗВУКОВЫХ
СИСТЕМАХ
Ультразвуковые колебательные системы стержневого типа в ре*
жиме изгибных колебаний, как было указано, используются сравни-
тельно редко. При одинаковых резонансных частотах размеры стерж-
ней, в которых возбуждены изгибные колебания, получаются меньше,
чем размеры стержней, колеблющихся в режиме продольных колеба-
ний, поэтому конструктивное использование стержневых систем
в режиме изгибных колебаний оказывается ограниченным.
Вследствие этого энергетическая прочность стержневой системы
при изгибных колебаниях ниже, чем при продольных. Из-за более
сложных перемещений элементов стержневой системы при изгибных
колебаниях (смещение и поворот) потери на внутреннее трение,
а также потери в виде излучения в окружающую среду (например,
в воздух) выше, чем при продольных. Существенным неудобством
применения стержневых систем при рассматриваемом режиме коле-
баний являются особенности возбуждения этих колебаний и условий
связи таких систем с системами, работающими в режиме продольных
колебаний. Очевидно, изгибные колебания могут быть возбуждены
только при наличии силы F, приложенной перпендикулярно боковой
поверхности стержня. Однако, если изгибные колебания элемента
системы возбуждаются другим ее элементом, работающим в режиме
продольных колебаний, то торец возбуждающего элемента должен
иметь контакт всей своей плоскостью с соответствующим участком
боковой поверхности возбуждаемого элемента. Но при таком кон-
такте режим изгибных колебаний неизбежно нарушается, а следо-
вательно, нарушаются нормальные условия работы возбуждающего'
элемента.
Аналогичное положение наблюдается при возбуждении про-
дольных колебаний изгибными колебаниями. Поэтому, как пра-
вило, воздействие возбуждающей силы F на боковую поверхность
стержневой системы должно производиться на минимально возмож-
ном контактном участке. Однако реализация этого условия не всегда
может быть достаточно удовлетворительной. Наконец, следует упо-
мянуть о том, что введение энергии упругих колебаний в рабочую
среду обычно при изгибных колебаниях является затруднительным.
220
Все же, несмотря на перечисленные недостатки, стержневые системы,
работающие при изгибных колебаниях, находят некоторое приме-
нение. Можно указать на два основных вида их применения:
а)	в качестве активных устройств опор и креплений ультразву-
ковых колебательных систем и в качестве элементов этих опор и креп-
лений;
б)	в качестве элементов настройки, присоединенных к основной
стержневой системе, работающей в режиме продольных колебаний.
Такое использование эквивалентно присоединению в начале или
в конце стержневой системы сосредоточенной нагрузки (реактивной
или комплексной).
Как в первом, так и во втором случае присоединение элементов
системы, работающих в режиме изгибных колебаний, к элементам,
колеблющимся продольно, производится по всему периметру послед-
них, но на минимально возможной длине (по направлению О — X).
Пример первого из указанных видов использования рассматриваемого
режима будет разобран в разделе, относящемся к опорам и крепле-
ниям ультразвуковых систем. Ограниченность применения опреде-
ляет небольшое количество вариантов режимов работы стержневых
систем при изгибных колебаниях. Соответственно рассмотрим следую-
щие варианты, имеющие практическое значение:
1)	один конец закреплен, другой свободен;
2)	оба конца закреплены;
3)	оба конца свободны;
4)	оба конца оперты;
5)	один конец закреплен, другой оперт;
6)	один конец оперт, другой свободен.
Для сохранения единства терминологии крепление конца, обеспе-
чивающее его неподвижность (t = 0), при рассмотрении изгибных
колебаний называем закреплением. При этом, в отличие от продоль-
ных колебаний, имеется в виду, что в закрепленном сечении стержень
не может не только смещаться, но и изгибаться.
В противоположность этому, условие «опертый» означает возмож-
ность вращения в данной точке, при отсутствии смещения.
Термин «Оба конца свободны» также нуждается в пояснении.
Можно представить себе совершенно свободный, т. е. нигде не за-
крепленный и ничем не поддерживаемый стержень, способный совер-
шать изгибные колебания, и все выводы для такого стержня будут
справедливы. Однако легко понять, что в реальных условиях стер-
жень должен на чем-то держаться. В соответствии с этим имеется
в виду, что стержень «со свободными концами» оперт в своих узло-
вых точках (при данной резонансной частоте) так, что система за-
крепления не нарушает режим колебаний.
При определении входного сопротивления стержневой системы
действующая сила предполагается приложенной к свободному концу,
т. е. именно на этом конце определяется величина Ztx. Случаи,
когда сила приложена к другим точкам стержней, так же как и слу-
чаи дополнительных сосредоточенных масс, связанных со стержне-
вой системой, мы не рассматриваем.
221
Гак как характер колебаний элементов стержневой системы при
изгибных волнах сложнее, чем при продольных, то соответствующее
волновое уравнение оказывается также более сложным, а решение
его приводит к относительно громоздким выражениям. Поэтому
всестороннее рассмотрение всех возможных случаев работы и нагру-
зок стержневых систем оказывается весьма затруднительным. Имея
в виду это обстоятельство, а также ограниченность практических
вариантов использования изгибных колебаний, рассмотрим только
указанные выше случаи.
2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Под действием боковой силы F происходит деформация стержня.
Если на длине элемента dx стержень изогнут на угол <р (фиг. IX. 1),
то элементы стержня, находящиеся ниже центральной поверхности,
будут сжаты, а находящиеся выше этой поверхности растянуты.
Так как крутизна линии изгиба в плоскости, где образован угол <р„
Фиг. IX. 1.
Фиг. IX. 2.
то величина момента сил, изгибающего стержень на указанный угол,
будет
M=-EJ-^-=EJ^.
дх . дх2
При этом внешняя действующая сила
(1Х1
дх	дхя	'	'
здесь Е — модуль Юнга,
J — момент инерции, относительно центральной оси ( в дан-
ном случае, относительно оси Z).
Напомним, что если стержень изгибается так, что сечение, лежа-
щее выше и ниже оси Z (фиг. IX. 2), испытывает деформации разного
знака, то ось Z называется центральной осью.
Для получения уравнения движения необходимо приравнять
dF 1
действующую на элемент результирующую силу — dF = -^ dx,
направленную перпендикулярно оси стержня, произведению массы
элемента pSdx на его’ ускорение
IT dx = дх (~д^У
222
Подставляя значение F из выражения (IX. 1), получим
д*у ! Р &у
дх* "* £х« ‘ dt*
(IX. 2)
Полученное уравнение движения изгибно колеблющегося стержня
является волновым уравнением этого вида колебаний. Мы видим,
что это уравнение отличается от волнового уравнения для случая
продольных колебаний (III. 1) тем, что в него входит четвертая про-
изводная по х вместо второй производной. Величина х, входящая
в полученное выражение, называется радиусом инерции поперечного
сечения:
где Jz — момент инерции относительно оси Z;
S — площадь сечения.
В соответствии с этим определением:
для прямоугольного сечения
Л
X —	,_ •
V12
для квадратного сечения
Л
х = -7=
V12
(см. фиг. IX. 2),
для круга диаметром d
d
х_ 4 ;
для кольца с внешним диаметром и внутренним диаметром d2
х =	|/^i + ^2;
для квадратного сечения ориентированного
так, как это показано на фиг. IX. 3,
h
X = —7=.
У12
Фиг. IX. 3.
•г
Уравнение (IX. 2) достаточно точно описывает колебательный
процесс, если толщина стержня существенно меньше его длины.
В случае же, если эта толщина сравнима с его длиной, необходимо
ввести соответствующую поправку в уравнение движения, учиты-
вающую влияние инерции вращения элемента стержня при его из-
гибе, в результате чего уравнение (IX. 2) приводится к следующему
д*У , Р &*у Р д*у _ „
дх* "Г £х2 ‘ Е 'dx*dt* ~
(IX. 3>
виду:
223
В случае простого гармонического колебания (например, при
воздействии на стержень внешней гармонической силы) решение
уравнения (IX. 2) имеет вид
у — A ch пх + В ch пх -f- С cos пх -f- D sin пх;	(IX. 4)
здесь
"=/-£•	(1Х.5)
Постоянные А, В, С, D определяются исходя из граничных усло-
вий. Решение уравнения (IX. 3) имеет вид
у = Л cos ах + В sin ах + С ch рх + D sh fix; (IX. За)
здесь А, В, С, D — постоянные;
»-/75^+5
/??+'"*-»•	<1х-зб>
Если ха достаточно мало, а п‘ значительно больше можно
принять a =fi = n.
Решение (IX. 4) получено исходя из этих допущений.
3. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Для определения произвольных постоянных А, В, С, D поль-
зуются граничными условиями.
Для различных случаев крепления конца стержневой системы гра-
ничные условия будут следующие:
а)	опертый конец
у — 0;	— 0 для х = 0 или х = I;
б)	закрепленный конец
у = 0;	— 0 для х — 0 или х = I;
в)	свободный конец
^| = 0;	= 0 для х = 0 или х = /.
дхг ’ дх3
Очевидно, если концы стержня находятся в различных условиях
крепления, то для каждого конца могут быть использованы соответ-
ствующие условия. Рассмотрим несколько частных случаев. Для удоб-
ства расчетов введем безразмерную координату 8 =
224
а)	Система с опертыми концами
Согласно условиям «а» для левого конца имеем
1/(0) = 0; g =0 (при 9 =0).
Исходя из уравнения (IX. 4), получим: Л = С = 0, следовательно,
у (9) — В sh n9 + D sin п9
Учитывая условия для правого конца,
1/(1) = 0; g = 0 (при 9 = 1),
имеем
Bshnl + DsinnZ =0;
В sh nl —D sin nl = 0.
Эти уравнения совместны, если
sinnZshnZ = 0,	(IX. 6)
что возможно, когда nl — kn.
Но, согласно выражению (IX. 5),
следовательно, резонансные частоты, удовлетворяющие условию (IX. 6),
могут быть получены из формулы
где k -- 1, 2, 3,...
или
42°х=1>57^?-
Уравнение (IX. 6) называется характеристическим уравнением ре-
зонансных частот. Значение k= 1 соответствует основной частоте коле-
баний, k=2 — второй гармонике и т. д.
Для второй гармоники имеем по длине одну точку узла колеба-
ний, а для k-и гармоники (k—1) узловых точек. Очевидно, что ча-
стоты не находятся в простом кратном отношении между собой и
поэтому не могут называться гармониками. Имея это в виду, здесь
и в дальнейшем мы будем называть резонансные частоты «основной»,
«второй» и т. д.
б)	Закрепленные концы
Опуская соответствующие выводы, приведем для этого случая
характеристическое уравнение в окончательном виде:
ch nl cos nl=l.	(IX. 7)
Такое трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество
корней. Решение уравнения (IX. 7) производится графоаналити-
15 Тсумип 261	225
ческим путем. Значения корней здесь и в дальнейшем приводятся
с точностью до третьего знака.
Для первых пяти корней имеем
(п/)х = тх = 4,730;
(п/)2 = т2 — 7,853;
(nZ)3 = /n8 = 10,996;
(nZ)4 = m4 = 14,137;
(n/)6 = m8= 17,278.
Дальнейшие значения т с точностью до седьмого знака представ-
лены выражением
2k + 1
(*>5).
Очевидно, значения резонансных частот могут быть получены из
соотношения
тк
откуда
•к~ 2пР ‘
Для основной частоты имеем
/. = 3,58 5.
(IX. 8)
(IX. 8а)
в)	Свободные концы
Для этого случая характеристическое уравнение аналогично урав-
нению для предыдущего случая, т. е.
ch л/cos п/ = 1.
Следовательно, значения тк также равны найденным выше для
случая «б». Отсюда
А = 3,595.
г)	Один конец закреплен, другой оперт
Этот случай дает те же резонансные частоты, как и случай,
в котором один конец свободен, а другой оперт. Характеристиче-
ское уравнение для этих случаев имеет вид
thn/ —tgnZ = O.	(IX. 9)
Значения первых .двух корней этого уравнения: mx = 3,927,
тг = 7,068. Для k > 2
4k + 1
4
тл
it.
226
Для основной частоты имеем
А = 2,46-^.	(IX. 10)
Высшие частоты могут быть найдены из формулы (IX. 8) при
значениях тк, полученных из выражения (IX. 9).
д)	Один конец закреплен, другой свободен
Характеристическое уравнение
chw/cosnZ = — 1;	(IX. 11)
значение первых двух корней: т1 = 1,875, т2 = 4,694. Для k > 2
=	(IX. 12)
Для определения резонансной частоты, как и в предыдущих
случаях, применяем формулы (IX. 8). Значение основной частоты
Л = 0,56-^.	(IX. 13)
Остановимся несколько лодробнее на этом варианте, имеющем
практическое распространение. В случае, если толщина стержня
соизмерима с его длиной, то	0Z->O (уравнение IX. За),
резонансная частота может быть определена из условия
COS---= 0,
V *
откуда
h =
V
4Г’
т. е. резонансная частота стержня имеет то же значение, что и при
продольных колебаниях при условии, что один конец его закреп-
лен неподвижно. Если стержень, один конец которого закреплен,
15*	227
имеет на другом (свободном) конце груз, то характеристическое
уравнение частот для этого случая будет
1 -J- cos tnlchnl — vnl (sin nl ch nl — cos nl sh nl) = 0;
здесь
q
* = ii>
где q — величина груза на конце стержня;
Ч—вес единицы объема стержня;
S — площадь поперечного сечения;
I — длина стержня.
На фиг. IX. 4 и IX. 5 приведены значения т = nl для основной
и второй резонансной частоты. Значение fk может быть найдено из
выражения (IX. 8) после подстановки в него соответствующей вели-
чины тк.
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЗЛОВ СМЕЩЕНИЯ
Знание мест расположения узлов смещения представляет важный
практический интерес, так как именно в узловых точках возможно
осуществить крепление стержневой системы.
Опуская выводы, приведем вы-
..__	ражения для амплитуды смещения
__	imx в рассматриваемой точке стержня,
—————*"	совершающего изгибные колебания.
/	Будем пользоваться безразмерной
/	\ величиной амплитуды смещения
Фиг. IX. 6.	Ь'т= , где А —постоянный мно-
житель, зависящий от материала стержня, формы и размеров его
поперечного сечения. Как и ранее, применяем относительную длину
9 = у (х отсчитывается от начала стержневой системы).
а)	Стержень, свободный на обоих концах
Для этого случая имеем
k'mx = (cos tn — ch tri) (cos m9 -f- ch m9) -j-
+ (sin tn -t- sh m) (sin m9 -|- sh m9);	(IX. 14)
здесь m — nl.
Если мы рассматриваем резонансные условия, то в приведенном
выражении (и в дальнейших) т = tnk, причем tnk определяется из
соответствующего рассматриваемому варианту закрепления характе-
ристического уравнения.
Из анализа выражения (IX. 14) можно найти, что при k = 1
(основная частота) имеем два узла (фиг. IX. 6), расстояние каждого из
которых от ближайшего конца стержня, выраженное в относитель-
228
ных единицах, будет 0, = 0,224, т. е. расстояние от левого конца
до первого узла равно расстоянию от правого конца до второго узла
и составляет Д/х = Д/2 = 0,224/.
Максимальное значение величины будет на концах стержня
где ~	— 1 >645. Значение ЁЛ в пучности в середине стержня
Равно ?то,5 = 1 -000.
Если стержень колеблется на второй резонансной частоте (k = 2),
то имеем три узла (фиг. IX. 7). Расстояние от ближайшего конца
до первого и второго узлов будет 91У = 0,132, 92у = 0,500. Очевидно,
92у, определенное со стороны первого и второго конца, соответствует
одному и тому же узлу. Максимальное значение Ь' имеет место при
9да = 0,308, причем Ь'тт = 0,664; однако этот максимум меньше
смещения на концах (t'm0=	= 1,000).
Фиг. IX. 7.	Фиг. IX. 8.
В случае колебания на третьей резонансной частоте (k = 3) имеем
четыре узла (фиг. IX. 8). При этом 91У = 0,094, 92у = 0,356; осталь-
ные два узла определяются этими же величинами, но со стороны вто-
рого конца стержня.
Пучность лежит на расстояниях 9Ш = 0,220 и 92п1 = 0,500
от ближайшего конца. Следует заметить, что значение пучности
в середине стержня (Ет0 5 = 0,935) меньше значений в двух других
пучностях.
б)	Стержень, закрепленный на обоих концах
Для этого случая имеем
Е^ = (sin tn — sh m) (cos zn9 — ch m9) —
— (cosm — ch m) (sin m9 — shm9).	(IX. 15)
Для всех резонансных- частот положение двух узлов, а именно
на концах стержней, является очевидным. При этом для основной
частоты, т. е. для k = 1, других узлов нет. Для k = 2, кроме узлов
на концах стержня, имеем еще узел на середине: 0У = 0,500.
Для k = 3 9у = 0,359 (от ближайшего конца), т. е. два узла
(не считая точек закрепления).
На фиг. IX. 9 приведено распределение узлов для рассматри-
ваемого случая.
в)	Стержень, закрепленный на одном конце и свободный на другом
Распределение амплитуд смещения описывается выражением
Е^ = (cos т -f- ch tri) (cos m9 — ch m9) -}-
-f- (>ir tn — sh m) (sin mb — sh /п9).	(IX. 16)
229
При колебаниях на основной частоте узел имеется только в точке
закрепления. При колебаниях на высших резонансных частотах
расстояния остальных узлов от свободного конца определяются
относительными величинами: при k = 2 9У = 0,226; при k = 3
91у = 0,132, 92у = 0,500; при k = 4 91у = 0,944, 92у = 0,356,
93у = 0,644 (см. фиг. IX. 10).
г)	Один конец стержня свободен, другой оперт
Этот случай может быть сведен к случаю стержня с двумя свобод-
ными концами, совершающего колебания четного порядка (k = 2,
4, . . .), т. е. с узлом в середине. Очевидно, порядок резонансной
частоты (1,2,...) будет соответствовать только четным порядкам
колебаний стержня со свободными концами.
д)	Один конец закреплен, другой оперт
Этот случай равносилен случаю колебаний половины стержня
с обоими закрепленными концами, с узлом в середине, т. е. соответ-
ствует четным порядкам колебаний такого стержня.
е)	Оба конца стержня оперты
В этом случае мгновенное значение смещения вдоль стержня вы-
ражается формулой
.	k3it3x —
► <	, knx	р .
= sin —j— cos----р----г
или
k3nx-£-
- sin &ir9 cos-t,
X	p
где k, как и раньше, — целое число.
В рассматриваемом случае приведено выражение для мгновен-
ного значения смещения, для того чтобы указать на существенную
особенность изгибных колебаний стержня с опертыми концами,
230
Как видно из полученных выражений, последовательность резопппс»
ных частот не соответствует последовательности изменения числа
узлов при изменении порядка k. Очевидно,
= sin
тх
следовательно, при k = 1 узлы имеются только на концах, а при
k > 1, кроме того, на расстояниях: при k = 2 6у = 0,500; при k = 3
Оу = 0,333 (от ближайшего конца). При этом пучности располагаются
на половине расстояний между узлами.
5. СПОСОБЫ КРЕПЛЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Если стержень закреплен на концах, то конструкция этого за-
крепления должна обеспечить максимально возможную жесткость.
Охват поверхности закрепляемого конца должен быть полным, т. е.
без люфта и просветов. Очевидно, указанные требования могут быть
удовлетворены в случае, если внутренняя поверхность охватывающей
конструкции хорошо пригнана к поверхности закрепляемых концов
и обеспечено достаточное усилие стяжки. В противном случае режим
работы закрепленного на концах стержня нарушается и, кроме того,
возникают дополнительные потери на трение в местах закрепления.
Эти потери на трение могут значительно превзойти потери на внутрен-
нее трение в самом стержне. Конструкция закрепления должна быть
выполнена из материала с достаточной твердостью (не меньше твер-
дости материала стержня).
Если условия допускают, закрепление можно осуществить в виде
продолжения стержня, увеличив его сечение приливом-опорой.
При этом концевые опоры и стержень составляют единое целое и изго-
товляются из одного материала. Может быть также применена за-
прессовка концов стержня или их горячая насадка в опорных эле-
ментах. Во всех случаях масса опор должна быть существенно больше
массы стержня.
Промежуточные крепления (в узлах колебаний) применяются
в двух случаях: если по условиям режима работы стержневой системы
ее концы должны быть свободны или если этого требуют конструк-
тивные соображения.
Промежуточные (узловые) крепления могут быть двух типов:
а) опорные, б) охватные.
Опорные узловые крепления представляют собой призматические
опоры, на ребра которых опускается стержень в своих узловых ли-
ниях. Очевидно, надо стремиться к тому, чтобы протяженность
контактирующей поверхности ребра вдоль стержня была возможно
меньшей. Предельную толщину Д ребра следует выбирать так, чтобы
было соблюдено условие
Д<0,05/Ол,	(IX. 17)
где 10т — расстояние между узлом и пучностью при данной частоте
колебаний.
231
При наличии нескольких узлов крепление следует производить
в узле, находящемся на наибольшем удалении от свободного конца,
если таковой имеется. Опорные узловые крепления можно применять
как для тонких, так и для толстых (широких) стержней, т. е. таких,
для которых максимальный размер поперечного сечения соизмерим
с длиной.
Если толщина ребра выбрана правильно (т. е. достаточно мала),
то опорное крепление может быть сделано из любого материала,
удовлетворяющего обычным конструктивным требованиям.
Для удобства на поверхности стержня можно сделать неглубокие
риски (вдоль узловых линий), куда могут входить ребра опорных
креплений.
Охватные крепления представляют собой рамку, форма которой
соответствует форме периметра поперечного сечения стержня,
охватывающую в узловых сечениях стержень. Обязательными усло-
виями для охватной конструкции являются минимальное значение
величины плоскости соприкосновения рамки с поверхностью стержня
и перпендикулярность плоскости рамки к боковой поверхности
стержня.
Охватное крепление более устойчиво, чем опорное, однако его
можно применять лишь для тонких стержней или в случае очень
малых амплитуд колебаний. В противном случае значение угла пово-
рота плоскостей оказывается достаточно существенным, чтобы ох-
ватное крепление могло вызвать торможение колебаний.
Особым видом узлового крепления является осевое. При таком
креплении, при достаточно широком стержне, вдоль плоскости узла
(в центре осевой линии) стержень насаживается на крепящий валик,
который, в свою очередь, связан с некоторой неподвижной конструк-
цией.
Диаметр валика должен быть возможно меньше. Если стержень,
совершающий изгибные колебания, является частью рабочей колеба-
тельной системы, то осевое крепление не может быть рекомендовано, но
если этот стержень, в свою очередь, является частью опорного кре-
пления другой колебательной стержневой системы, совершающей про-
дольные колебания и работает в колебательном режиме, то осевое
крепление допустимо.
Подробнее использование таких стержней в качестве опорного
устройства рассмотрим в дальнейшем.
Общим требованием, предъявляемым ко всем крепящим кон-
струкциям, является отсутствие у последних резонансных частот,
совпадающих с какой-либо из резонансных частот стержневой
системы.
В заключение заметим, что в случае, если опорные конструкции
используются в качестве опор для концов стержня (случай опертого
по концам стержня), поддерживающие торцы поверхности могут
иметь значительные размеры (призмы необязательны). Если же эти
опоры должны перемещаться (в целях регулировки резонансной
частоты), то необходимо применить призматическую конструк-
цию.
232
6. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ИЗГИБ11ЫХ КОЛЕБАНИЯХ
Стержневые системы, работающие в режиме изгибпых колебаний,
могут являться нагрузкой для стержневых систем, работающих
в режиме продольных колебаний. В связи с этим представляет
интерес величина входного сопротивления рассматриваемой системы.
Рассмотрим стержень, один конец которого закреплен, а другой
свободен.
Входное сопротивление в общем случае
7 ___ F ___ F т
— L — L •
Исходя ИЗ того, что
дх3
и учитывая, что при установившемся режиме = /<оЕт, а также
выражение для = А£'т (см. выражение IX. 16), можно получить
7 .  . EJn9 [	1 + ch nl <•»<= nl ~]	,ту । о\
вх <» [ sin nl ch nl ~ sh nl cos nl J ’	' ’ '
Напомним, что п определяется из соотношения (IX. 11). Для
„	1,875
основной частоты п =	, поэтому
7	. 1,8753JE г	1 — 1	-|_
вх	I8» L sin l,875ch 1,875 —sh 1,875-cos 1,875 J -
Этот результат очевидей, так как при пренебрежении потерями
при резонансе
2,л = Х,х = 0.
При учете потерь
^вХ = Ъх 0.
Легко видеть, что при резонансе ZBX имеет минимальное значе-
ние. Величину Ztx в этом случае удобнее и правильнее определить
опытным путем.
Представляют интерес некоторые предельные условия. Если
о» —> 0, разлагая выражение для Ztx в степенной ряд, получим
=	(IX. 18а)
Таким образом, для низких частот стержень ведет себя как
упругость:
3_££
и О)/3	•
Для частот вблизи резонансной величина входного сопротивле-
ния мала, но не равна нулю, причем Zex будет довольно близким
к значению, которое мы получили бы, если бы учли активные
потери. Поэтому эта область частот представляет собой практи-
ческий интерес.
233
Для получения соответствующего выражения воспользуемся
соотношением (IX. 5); тогда
_/ 1 , Дю
= tn 1/ 1 н--------;
У	’	(0	’
+ До)
KV
здесь (оо — резонансная частота;
Дю — величина расстройки;
т — корень уравнения (IX. 11), соответствующий резонанс-
ному значению <оо.
Переходя к приближенному выражению, получим
+4^-).	(IX. 19)
После соответствующих тригонометрических подстановок и пре-
образований выражения (IX. 18) и учитывая, что при Д<о < <оо
можно принять
/72Д(О	, /пДсо .
COS -и--- = СП -у— = 1,
2ш0	2ю0
. тДю 1 /пАю тДю
Sin 75---= sh -s-----о--------,
2<0q	2<0q	2w0
окончательно получим
7 _	. EJn3
----»—7"
X
1 + ch т cos т + — (sh т cos т — ch т sin т)
__________________________________________________
sin т ch т — sh т cos т + (sh т sin т)
Вблизи резонанса ch mcos т = —1, поэтому
7	. EJrflmtfn _ . EJn4b<x>
t'ex —1	2	— 1
2о>о	2о»0
(IX. 20)
(IX.21)
(IX. 22)
Таким образом, выше резонансной частоты, входное сопротивле-
ние имеет характер положительной реактивности, т. е. стержень
ведет себя как инерционное сопротивление (масса), а ниже этой
частоты входное сопротивление имеет отрицательную реактивность
(упругость). Следовательно, вблизи резонансной частоты входное
сопротивление можно представить составленным из массы и упру-
гости:
+	=		(1Х.23)
234
При резонансе
(IX. 24)
о» = (оо -]- До»
Тогда из выражения (IX. 23) получим
Сравнивая это выражение с уравнением (IX. 22), видим, что
эквивалентная упругость и масса закрепленного на одном конце
стержня и определяемые на его свободном конце, будут
-г—; т = —= —я- =	.
4	4«>q	4
(IX. 26)
Из изложенного следует, что значение Zax определяется для
свободного конца, куда приложена сила F. Так как динамическая
масса рассматриваемого стержня представляет собой х/< его общей
массы, то, очевидно, эквивалентная (динамическая) гибкость стержня
вблизи резонанса будет
О, = ^ = 0,971С0,
где Со — гибкость, измеренная в статических условиях.
Если стержень закреплен на обоих концах, а внешняя сила при-
ложена в середине, то, рассматривая левую и правую половинки
стержня, как соединенные узлом два-стержня, каждый из которых
имеет один закрепленный и один свободный конец, можно написать:
ZgVQ -- Н” ----------- 2ZgvJ
здесь Ze}(0 — входное сопротивление стержня с двумя закрепленными
концами, a Zax — входное сопротивление, определенное по формуле
(IX. 18).
Мы рассмотрели определение Zax для наиболее существенных
случаев (закрепление на одном и на обоих концах). Обычно система
работает на резонансной частоте, когда, как уже было указано, Zax =
= Rax. В случаях работы системы при частотах, значительно мень-
ших резонансных, она создает упругую реакцию, причем величина
эквивалентной реактивности, определяемая по формуле
235
достаточно точно соответствует действительному значению даже
без учета активных потерь. Для других условий закрепления стерж-
ней йе будем приводить значения Zex, потому что эти условия встре-
чаются реже в конструкциях ультразвуковой аппаратуры и, кроме
того, эти системы обычно работают при резонансе, т. е. при Zex =
= Rtx. При этом изгибные колебания возбуждаются внешней силой,
приложенной в пучности.
Если внешняя сила приложена в одном из узлов колебаний, то
стержневая система в этой точке представляет очень большое входное
сопротивление — теоретически при пренебрежении активным сопро-
тивлением Zgx = со. Следовательно, в этом случае соответствующий
элемент системы может рассматриваться как «изолятор» для упругих
колебаний.
ГЛАВА X
ПОТЕРИ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
1.	ПОТЕРИ В ТВЕРДОЙ СРЕДЕ
Качество работы всякой колебательной системы зависит от вели-
чины внутренних потерь, которые имеют место при колебаниях;
Необратимые потери, возникающие в стержневой системе, опреде-
ляются значениями колебательной скорости и активного сопротив-
ления. В свою очередь, активное сопротивление характеризуется
внутренним трением в материале, из которого сделана данная си-
стема. Так как величина колебательной скорости зависит от вводи-
мой в систему энергии упругих колебаний, то единственным парамет-
ром, характеризующим данный материал с точки зрения его способ-
ности поглощать энергию, является активное сопротивление, экви-
валентное потерям в этом материале.
Применяя термин «активное сопротивление потерь» и оперируя
соответствующей его величиной, мы не вскрываем сущности и меха-
низма внутренних потерь, а пользуемся удобной величиной, ха-
рактеризующей потери в данной среде и входящей в расчетные
формулы.
В связи с этим следует отметить, что понятие «внутреннее трение»
не отвечает в общем случае всем видам потерь в данной среде. Харак-
тер внутренних потерь и их составляющие обязаны разнообразным
механизмам, которые могут быть объединены понятием «внутреннее
трение» только условно.
В настоящей главе мы не ставим себе целью детально разобрать
механизм поглощения упругих колебаний в твердых телах. Подобное
рассмотрение не входит в задачу этой книги; кроме того, много
положений, относящихся к этому вопросу, являются пока еще недо-
статочно изученными. Мы ограничимся лишь основными данными,
достаточными для теоретической и практической оценки потерь
в стержневых системах, выбора необходимого материала и элемен-
тов конструкции.
Существенным является опытное определение величины активного
сопротивления R, входящей в расчетные выражения.
В общем случае величина потерь определяется из уравнения энер-’
гетического баланса:
Р = Р — Р
1 п 1 вх г вых>
237
где Рп — величина мощности активных потерь в данной среде;
Рвх — входная активная мощность;
РвыХ — выходная активная мощность, т. е. мощность, отдаваемая
в нагрузку при выходе энергии упругих колебаний из
рассматриваемой среды.
Мы здесь оперируем понятиями активных мощностей, так как
они связаны с активными потерями. Таким образом, мощность,
отраженная от границы среда — нагрузка, т. е. не введенная в на-
грузку, не является мощностью потерь, так как не характеризует
активные потери.
Если упругая волна не является плоской, а например, сфери-
ческой и мы фиксируем некоторое поперечное сечение потока энергии
на выходе из данной среды, то величина Рвых относится именно
к этому сечению:
Рвых ~ 1$вых»
где 1 — интенсивность энергии на выходе;
SBttx — поперечное сечение потока энергии на выходе;
В этом случае величина Рп состоит из двух частей:
Рп == Рщ Р2П.
Первое слагаемое представляет собой необратимые потери энергии
в среде на пути распространения, а второе соответствует энергии,
не прошедшей через сечение SttlX, благодаря расхождению потока,
и связано с увеличением площади фронта волны.
Для сферической волны уменьшение интенсивности за счет рас-
хождения происходит обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния от источника колебаний, а для цилиндрической волны — обратно
пропорционально расстоянию от источника. Такое уменьшение плот-
ности энергии называется, как известно, прямолинейным рассея-
нием. Так как уменьшение интенсивности за счет потерь Р1а связано
с поглощением энергии, то потери этого типа называются поглоще-
нием. Ввиду того что в ультразвуковых колебательных системах
рассматриваемых нами типов имеют место лишь плоские волны, то
прямолинейное рассеяние отсутствует. Поэтому мы будем в дальней-
шем рассматривать только поглощение, полагая Рг„ = 0.
Благодаря поглощению энергии амплитуда смещения на рас-
стоянии х от источника колебаний будет
Переходя к мгновенным значениям для бегущей волны и выра-
жая 5 в показательной форме, можно написать:
=	(х. 1)
здесь 5то — амплитудное значение смещения в точке, где распо-
ложен источник;
₽ — показатель затухания.
238
Свяжем показатель затухания с коэффициентом внутреннего
трения т;. Предварительно заметим, что независимо от рассмотрения
физической сущности ц мы можем принять определенную зависимость,
связывающую процесс деформации с этим коэффициентом. Так, если
приписать внутреннему трению свойства линейного трения, то связь
между напряжением и деформацией среды, не обладающей вследст-
вие трения идеальными упругими свойствами, будет описываться
выражением
(X. 2)
где е — деформация.
Мы видим, что в отличие от идеально упругой среды, для которой
справедливо обычное соотношение а = Еъ, наличие линейного тре-
ния приводит к зависимости модуля упругости от скорости изменения
деформации.
Разделим обе части выражения (X. 2) на е:
Если деформация вызвана гармонической силой, то она также
имеет гармонический характер. Оперируя амплитудными значениями
деформации, нетрудно получить
f = Ё = е(1-Н^),	(X. 3)
где Е — комплексный модуль Юнга.
Очевидно, при ц -> О Е = Е. Таким образом, наличие внутрен-
него трения приводит к тому, что модуль упругости становится ком-
плексной величиной, т. е. между деформацией и вызывающей ее си-
лой возникает сдвиг фаз.
Обратимся к выражению (X. 1) и представим его в форме
После несложных преобразований показатель этого выражения
будет
i>i>t — ух,
где 7 — комплексная постоянная распространения;
I = i₽ = |7|e-*;	(Х.4)
здесь
следовательно,
=	(Х.5)
239
Рассматривая показатель степени выражения (X. 5), можно сде-
лать вывод, что имеет размерность скорости, поэтому можно
принять понятие комплексной скорости v = -=-.
Физический смысл такого понятия заключается в том, что ско-
рость представляется вектором, определяемым не только амплиту-
дой, но и фазой в каждый данный момент времени.
Очевидно, в данном выводе понятие комплексной скорости
является формальным.
Учитывая, что р << —, можно получить
’ =	+	(Х.6)
(О
С другой стороны, комплексный модуль Юнга можно опреде-
лить Е = ро* (по аналогии ,с обычным модулем Юнга Е = ро2), от-
куда на основании формулы (X. 6) легко получить
(1-|-Z2-^) .	(Х.7)
Сопоставляя выражения (Х.З) и (Х.7), находим
Е со
ИЛИ
1 = 1®-	<Х-8>
Аналитическая связь между величиной активного сопротивле-
ния R и коэффициентом внутреннего трения, а также связь между
величинами £ и R будет приведена в дальнейшем, при рассмо-
трении методов экспериментального определения активного сопро-
тивления.
2.	КОНСТРУКЦИОННЫЕ ПОТЕРИ
Потери в ультразвуковых колебательных системах зависят прежде
всего от материала, из которого они сделаны. Однако материал не
является единственным фактором, определяющим потери. Существен-
ными являются также особенности и качество конструкции колеба-
тельной системы и отдельных ее элементов. Нерациональное осу-
ществление тех или иных элементов системы или некачественное ее
выполнение может значительно увеличить потери даже при приме-
нении материала с малым затуханием.
Потери, обязанные дефектам или качеству выполнения конструк-
ции, назовем кратко «конструкционными потерями».
Рассмотрим сущность и причины этого вида потерь.
240
Шихтованная конструкция. Такая конструкция стержневой си-
стемы применяется, например; в случае, когда система находится
в переменном магнитном поле и необходимо уменьшить величину
вихревых токов. Примером может служить магнитострикционный или
электромагнитный вибратор. Если отдельные листы, из которых со-
брана система; недостаточно хорошо выравнены, то возникают со-
ставляющие переменных усилий, не совпадающие с главным (про-
дольным) направлением. В результате создаются колебания изгиба,
вызывающие дополнительный расход энергии, т. е. возникают до-
полнительные потери.
Если для скрепления листов с целью их выравнивания (что мо-
жет оказаться необходимым при наличии остаточной деформации
после прокатки) применена связывающая среда (клей) или если
листы покрыты изолирующим от вихревых токов слоем, то вещество,
находящееся между листами (клей или изоляционное покрытие),
как правило, обладает большими удельными потерями, чем сами
листы. В результате потери в такой конструкции значительно воз-
растают. Для уменьшения этих потерь толщина промежуточного
слоя должна быть минимальной. Кроме того, необходимо разумно
выбирать материал клея или изоляционного покрытия соединения.
Соединения. Под соединениями (или скреплениями) имеются
в виду конструкции, обеспечивающие механическую связь отдельных
звеньев стержневых систем друг с другом.
Конструкции соединений должны обеспечивать: а) прочную связь
между звеньями; б) минимальное нарушение собственной частоты
стержневой системы; в) минимальные отражения и минимальные
потери. Соединения подробно будут рассмотрены в главе XII.
Обратимся к механизму потерь в соединениях. Если два звена
стержневой системы соединяются с помощью резьбы, то вследствие
того, что не все точки поверхностей резьбы гаечной и болтовой части
соприкасаются друг с другом, неизбежно возникают нарушения
сплошности, т. е. зазоры между соединяемыми звеньями. Даже те
элементы поверхностей, которые соприкасаются друг с другом, не
являются идеальным акустическим контактом. В результате на гра-
нице перехода упругих колебаний из одного звена в другое возникают
отражения энергии.
Вследствие нарушения однородности, на стыках соединений дей-
ствуют переменные усилия (напряжения). Эти усилия вызывают смя-
тие резьбы. Очевидно, деформация резьбы сопровождается поглоще-
нием энергии, т. е. потерями.
В результате смятия резьбового соединения акустический кон-
такт еще более ухудшается, т. е. отражение увеличивается, растут
усилия, стремящиеся оторвать звенья друг от друга. Присоединённое
звено, являющееся нагрузкой для предыдущего звена, становится
тормозящим, энергия теряется, главным образом в контактном сб-
единении (в скреплении), и частично отражается. Доля энергии,
передаваемой в присоединенное звено, уменьшается, а потери резко
возрастают. Таким образом, процесс нарушения контакта является
нарастающим и может привести к полному разрушению соединения.
16 Теумин 26i	241
Некачественное резьбовое скрепление может вызвать значитель-
ные потери. Кроме того, может измениться собственная частота всей
системы, так как величина входного сопротивления присоединяе-
мого звена при нарушении контакта изменяет свое значение.
Чем больше входное сопротивление присоединяемого звена, тем
качественней должна быть конструкция скрепления, так как усилия,
действующие в плоскости контакта, тем больше, чем больше Zex.
Поэтому, как уже указывалось, соединения надо делать в тех ме-
стах стержневой системы, где Ztx минимально.
Для уменьшения потерь в резьбовом скреплении необходимо
прежде всего улучшить качество и конструкцию последнего. При-
гонка резьбы должна быть возможно более точной, а поверхность
резьбы — как можно большей. Однако поверхность соприкоснове-
ния резьбы лимитируется длиной гаечной и болтовой частей и числом
витков. Увеличение же размеров резьбового скрепления ограничи-
вается условием возможного укорочения (по направлению распро-
странения упругой волны) конструкции скрепления. Стяжка резьбо-
вого крепления должна быть качественной, причем можно рекомен-
довать предварительно напряженное состояние такого крепления
с небольшой его деформацией. Все плоскости скрепляемых звеньев
(кроме резьбовых поверхностей), например торцы стержней, должны
быть хорошо прошлифованы и пригнаны друг к другу. Степень при-
шлифовки указанных плоскостей должна быть такова, чтобы зазоры
между ними были по крайней мере меньше четверти амплитуды сме-
щения в плоскости скрепления.
При малых мощностях рационально выполненное резьбовое со-
единение не вносйт больших потерь. Однако при увеличении мощно-
сти упругих колебаний потери в таком креплении увеличиваются,
а качество его с течением времени неизбежно ухудшается (что, в свою
очередь, приводит к росту потерь).
Чем тверже материал резьбового скрепления, тем меньше оно
вносит потерь. Необходимо учитывать, что элементы резьбового
соединения обычно являются органической частью скрепляемых
звеньев и, следовательно, изготовляются из тех же материалов.
Выбор материалов для звеньев системы может определиться и дру-
гими соображениями.
Если скрепления не резьбовые, а иного типа (например, стяжные,
замковые и т. д.), то и в них неизбежно возникает смятие на границах
соприкосновения скрепляемых звеньев. Так же, как и в разобранном
выше случае, смятие будет тем сильнее, чем хуже качество скрепле-
ния и меньше площадь соприкосновения. Кроме того, в этих кон-
струкциях возможны потери на трение между боковыми поверхно-
стями соединительных элементов и концами скрепляемых стержне-
вых систем. Это трение неизбежно возникает вследствие различия
колебательных скоростей по обе стороны контактной границы (ввиду
частичного отражения энергии).
Для уменьшения потерь на трение необходимо обеспечить качест-
ственное выполнение соединения, хорошую пришлифовку и пригонку
контактных поверхностей.
242
Опоры. Эта деталь конструкции, подробно рассматриваемая
нами в главе XII, также может быть причиной увеличения активных
потерь. Назначением опор является поддержание стержневой си-
стемы в определенном положении и соединение этой системы с осталь-
ной конструкцией ультразвуковой установки. Любая опора, незави-
симо от ее типа и конструкции, механически связывается с колеба-
тельной системой.
Если опоры активные, т. е. входят в колебательную систему в ка-
честве ее элементов, то потери, обязанные затуханию колебаний
в этих опорах, увеличивают общий баланс потерь. Поэтому умень-
шать потери, возникающие вследствие влияния активных опор,
возможно путем улучшения качества этих опор и, в частности, умень-
шая их собственные потери.
Следует заметить, что активные опоры должны быть связаны со
стержневой колебательной системой хорошим акустическим контак-
том. Всякое нарушение этого контакта вносит дополнительные по-
тери в месте скрепления опоры с колебательной системой.
Если скрепление осуществлено в виде спайки или приварки
(по всей плоскости соприкосновения), то потери в скреплении отсут-
ствуют.
В случае применения пассивных опор, т. е. конструкций, не вхо-
дящих в колебательную систему, причинами возможных потерь,
вносимых такими опорами, являются неточный выбор места присоеди-
нения опоры к колебательной системе и неправильный выбор разме-
ров этих опор.
Первое обстоятельство нарушает нормальный режим колебатель-
ной системы и приводит к потерям за счет перехода части энергии
в опору.
Неправильный выбор размеров опоры может создать условия,
при которых эта опора превращается в колебательную систему,
вносящую заметную реакцию в работу основной колебатель-
ной системы. Примером может служить поперечная часть рас-
сматриваемой далее четвертиволновой опоры. Эта часть должна обес-
печить малую величину смещения на конце продольной части опоры.
В случае неправильно выбранный размеров некоторая доля энергии
в ней теряется.
Источником конструкционных потерь может явиться несовер-
шенство арматуры. Примерами арматуры являются стяжки, при
помощи которых сжимаются листы шихтованной конструкции,
или различные крепящие стержневую систему оправки.
Причиной потерь в этих случаях является трение, возникающее
между стержнем и арматурой, вследствие того что арматура пред-
ставляет собой сосредоточенную массу, т. е. является инерционной
нагрузкой. Различие в колебательных скоростях частиц арматуры
и прилегающих к ней частиц стержня вызывает указанное трение.
Для уменьшения этого вида потерь необходимо максимально умень-
шить массу и размеры арматуры и обеспечить качественное соприкос-
новение плоскостей арматуры со стержневой колебательной системой
при достаточной величине усилия стяжки.
16*	243
К числу других источников конструкционных потерь следует
отнести потери в охлаждающей среде. Этот вид потерь встречается
главным образом в вибраторах. Так, например, магнитострикцион-
ный вибратор обычно охлаждается водой или маслом. При этом не-
избежно возникают потери за счет перехода части колебательной
энергии в охлаждающую среду. Следует отметить, что полезная
случае уменьшается не только вслед-
энергия в рассматриваемом
ствие потерь в среде, но и потому,
что отражающее действие противо-
положного рабочему торца вибра-
тора уменьшается, вследствие чего
падает и амплитуда колебаний его
рабочего конца. Это объясняется
тем, что нижний торец вибратора
погружен в охлаждающую жид-
кую среду, а не свободен от на-
грузки (точнее, не нагружен на
воздух). Избежать потерь, связан-
ных с излучением боковых по-
верхностей вибратора в охлаждаю-
щую жидкость, нельзя, но исклю-
чить потери, вызванные излуче-
нием нерабочего торца и умень-
шением его отражающего дей-
ствия, можно. Для этого есть два
пути.
В первом случае вибратор ста-
вят на губчатую резину, служа-
щую одновременно опорой вибра-
тора. Так как волновое сопротивление такой резины меньше,
чем жидкости, то отражение от нижнего торца увеличивается,
а потери от излучения в окружающую жидкую среду умень-
шаются. Однако это решение приемлемо лишь для небольших
вибраторов, имеющих малую мощность и небольшой вес. Для более
тяжелых и мощных вибраторов (начиная от 1000 вт и более) целе-
сообразнее применить другое решение. На фиг. X. 1 схематически
показано охлаждение вибратора со свободным отражающим торцом.
Бак, в котором находится вибратор 3, состоит из двух частей. Верх-
няя (главная) часть 2 заполняется проточной охлаждающей жид-
костью, поступающей через трубу 1 и вытекающей через трубу 7.
Нижняя часть бака отделена от верхней поддоном 6 с вырезом по
форме вибратора, габариты которого несколько больше габаритов
торца вибратора; таким образом, между торцом и поддоном имеется
небольшой зазор.
Верхний торец вибратора является рабочим и связан, например
с концентратором 4, а нижний торец свободен (не погружен в жид-
кость). Благодаря зазору между нижним торцом и поддоном 6 коле-
бания этого торца поддоном не тормозятся. Небольшая часть жидко-
сти, которая протекает через зазор в нижнюю (сливную) часть бака,
244
успевает уйти в трубу 7. Таким образом, сливная часть бака всегда
остается незаполненной и нижний торец вибратора освобождается
от нежелательной нагрузки.
3.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТЕРЖНЕВОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
С величиной потерь в стержневых системах связано понятие энер-
гетического использования этих систем.
В главе II мы рассматривали вопрос об энергетической прочности
систем с распределенными постоянными. При этом величина потерь
не играла никакой роли, так как по существу речь шла о предельной
реактивной мощности, запасаемой в системе. Кроме того, рассмотре-
нию подлежал ненагруженный стержень (при работе в резонансном
режиме).
В этом разделе рассмотрим применительно к общему случаю во-
прос об энергетическом использовании стержневой системы, т. е.
о ее возможностях эффективно передавать энергию в зависимости
от величины потерь и прочностных характеристик.
Пассивная колебательная система предназначается для передачи
ультразвуковых колебаний. В случае, если эта система связывает
источник колебаний с рабочим звеном, она является промежуточной.
Если же данная система передает колебания непосредственно объ-
екту, она является рабочей.
В обоих случаях пассивная колебательная система характери-
зуется предельной колебательной мощностью, которую она способна
передать или запасти.
Эти значения мощности не связаны с мощностью источника
ультразвуковых колебаний и являются одной из характеристик
пассивной колебательной системы.
Предварительно дадим следующие определения.
Предельной колебательной мощностью, сообщаемой пассивной
системе, называется наибольшая мощность, которая может быть
введена в данную систему при работе ее без активной нагрузки без
разрушения или возникновения остаточных деформаций в данной
системе. При этом имеется в виду установившийся гармонический
колебательный процесс.
Эту предельную мощность будем обозначать Р<^.
Предельной передаваемой колебательной мощностью будем
называть наибольшую мощность, которая может передаваться через
данную колебательную систему при работе ее на определенную на-
грузку ZH и без разрушения этой системы или возникновения в ней
остаточных деформаций.
Как и в предыдущем случае, имеется в виду, что колебательный
процесс гармонический и установившийся.
Величина Р^ зависит от физических параметров материала
колебательной системы и от частоты. Значение кроме того,
зависит от величины нагрузки ZH.
245
Таким образом, хотя Р^о является достаточно общей характе-
ристикой, однако она полностью не определяет энергетических воз-
можностей системы при работе на реальную нагрузку. Рассмотрим
подробнее введенные выше характеристики Рсоо и Р«>.
а)	Предельная сообщаемая колебательная мощность Р^о
Пусть к колебательной системе приложена возбуждающая сила,
амплитудное значение которой Fm. Если входное сопротивление не-
нагруженной системы будет Zfx, то мощность, передаваемая этой
системе, будет
Р = 4-
где $т— амплитуда смещения в начале системы.
Переходя к колебательной скорости jm, можем написать:
Р = 4- 52 Ztx,
2 т м
с другой стороны,
е _________________________________ Fm .
7	>
таким образом,
1 F^-
р___	1 т
2 zex •
Для системы стержневого типа при статическом нагружении
максимально допустимая сила будет, согласно принятому условию,
определяться границей, при которой возникают остаточные дефор-
мации. Эта граница соответствует, как .известно, пределу теку-
чести, определяемому значением напряжения а4, т. е.
max — $°s'>
следовательно,
> л 1 ______
~° ~ 2 *|Zex|’
(X. 9)
где K(ZSX) — функция распределения амплитуды колебательной
силы вдоль стержневой системы. Эта функция легко определяется
для любого вида стержневой системы из рассмотрения соответствую-
щих выражений для волны силы. Функция /((Zex) учитывает, что
в каком-то поперечном сечении стержневой системы амплитуда силы
Fmx может быть больше, чем на входе. Поэтому разрушения (или
пойвления остаточных деформаций) надо ожидать именно в этом се-
чении, а предельное значение силы Sa4 необходимо уменьшить
в раз.
Если F(Zgx) невозможно (вследствие трансцендентной структуры
формулы для Fxm) выделить в виде множителя, то ее значение можно
246
вычислить из соответствующего выражения, описывающего распре-
деление амплитуды силы, как отношение
K(Zex) = -^ (при х = хт),
г т
где ^тт — максимальное значение амплитуды силы в стержневой
системе;
хт — координата этого значения.
В выражении (X. 9) нами взят модуль входного сопротивления,
так как действующая сила, величина которой определяет деформа-
цию, не зависит от угла сдвига между напряжением и колебательной
скоростью.
Имея в виду, что
as = esE,
где es — величина деформации, соответствующая пределу текучести,
удобно выражение для предельной мощности представить в виде
_ ! 1
м0 ~ 2 ' \Ztx\'№(ад •
Если система настроена в резонанс, то
Р Л —	1	'S8e!£a	1	/V |QX
Г~° “ 2 Rg К2 (Zex)'	(Л. 1U)
где Rg— активная составляющая входного сопротивления.
Как мы уже знаем, Рд является функцией параметров системы
и в том числе эквивалентного сопротивления цотерь, приходяще-
гося на единицу длины стержневой системы (^J.
6)	Предельная передаваемая мощность
Если полезная нагрузка на конце системы ZH, то колебатель-
ная скорость в начале системы
е   Г т
'т	7> >
^вх
где Z'ex— входное сопротивление нагруженной системы.
Следовательно,
n _ 1
2‘|4|^(4)
или
_ 1 S2E^s\ZH\
2‘КМ4) '
(X. Н)
247
Отношение
(X. 12)
где
т3 =
K2(ZM)
У =
О
характеризует степень энергетического использования пассивной
стержневой колебательной системы. Очевидно, у не зависит от
площади поперечного сечения и предела текучести. Величина
модуля упругости Е, входящая в общем случае в выражения для
Z'ex и Zex, влияет на величину у. Для любых вариантов стержне-
вой системы можно получить конкретные значения mlt т2 и т3,
т. е. определить у. Произведение т2, т2 и т3 в зависимости от ZH
и параметров стержневой системы может быть больше или меньше
единицы, поэтому степень энергетического использования может
изменяться в широких пределах.
Отношение у не следует смешивать с к. п. д. стержневой системы.
Величина у показывает, в какой мере используются предельные проч-
ностные (и энергетические) возможности нагруженной системы. То
обстоятельство, что у может быть больше единицы, не находится
в противоречии с энергетическим балансом системы источник коле-
баний — пассивная стержневая система — нагрузка, так как у ха-
рактеризует не потери энергии в промежуточной системе, а способ
ее использования как связующего звена. В то же время с увеличением
эквивалентного активного сопротивления промежуточной системы
степень ее энергетического использования уменьшается, так как
Z'gx увеличивается. Поэтому у косвенно связано с потерями.
Приведенные рассуждения имеют смысл лишь в том случае, если
амплитуда приложенной силы Fm = Fmax, т. е. равна постоянному
значению, не зависящему от нагрузки и определяемому лишь преде-
лом упругости материала системы.
Одним из способов увеличения у является применение уже изве-
стных нам трансформаторных устройств.
Понятия предельных колебательных мощностей (сообщаемой
пассивной системе и передаваемой ею нагрузке), а также степени
энергетического использования приобретают существенное значение
при проектировании стержневых устройств, предназначенных для
мощных ультразвуковых колебаний. В этих случаях энергетическая
прочность системы должна быть обеспечена путем такого ее по-
строения, чтобы коэффициент у был возможно большим.
4. ДОБРОТНОСТЬ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Понятие добротности, относящейся к колебательным системам
с сосредоточенными постоянными, приведенное в главе I, может быть
также распространено на стержневые системы.
248
Как следует из физического смысла и определения коэффициента
добротности Q, последний характеризует увеличение амплитуды
колебательной силы или колебательной скорости при резонансе.
С другой стороны, коэффициент добротности представляет собой
отношение полной реактивной мощности колебательной системы
к мощности, расходуемой на ее эквивалентном активном сопротив-
лении (т. е. на сопротивлении собственных потерь). Таким образом,
добротность неразрывно связана с величиной потерь в системе
и с ее способностью запасать энергию.
Так как Q=-g-, где 8 — коэффициент затухания колебатель-
ной системы, то согласно формуле (I. 34),
Q = T =	(х. 1з>
Мы видим, что если исходить из физической сущности коэффи-
циента добротности, то это понятие может быть применено к любым
системам и в том числе к стержневым.
Формально величина Q может быть определена из выражения
(X. 13); однако в случае систем с распределенными постоянными
значения т, R и С следует заменить эквивалентными, причем R
будет являться полным эквивалентным сопротивлением потерь.
В главе IV мы приводили значения эквивалентных постоянных
для некоторых простейших систем.
Если исходить из приближенного совпадения входных сопро-
тивлений реальной и эквивалентной системы в области резонансных
значений частот (условие, необходимое для определения величины Q),
то в случаях, когда стержень закреплен на одном конце и воз-
буждается на другом	или когда второй конец свободен
(l =	, согласно выражениям (IV. 65) и (IV. 66), имеем
М
1 ‘а 2
Но в первом случае	)
о V	V
®о = ^-^ =	;
следовательно,
п _ UqMq _ V IpS _ 7С t/pS
Ч R~ ~ * I ‘ 2R ~ 2 ‘ R •
Так как
ypS = wS —
то
О — — “*0	(Х- 14)
4 — 2 ’ R •
249
Таким образом, коэффициент добротности определяется отношением
волнового сопротивления стержневой системы к ее эквивалентному
активному сопротивлению.
Во втором случае (j = подобным же образом получаем
(X. 15)
Возможно, однако, связать добротность непосредственно с со-
противлением на единицу длины стержневой системы. Напомним,
что простые стержневые системы при соответствующем выборе
длины, частоты и нагрузки могут являться инерционной или упругой
нагрузкой с малыми потерями. Так, стержневая система со свобод-
ным концом представляет собой инерционное сопротивление при
I < и упругое сопротивление при ~ < I < Для системы
с закрепленным концом условия получения инерционной или упру-
гой нагрузки обратные. При этом, как было показано в главе III,
входное сопротивление системы со свободным концом определяется
как
Хвх =tg-y-/,
«а для системы с закрепленным концом
~	1 2-ге , •
tgTz
В приведенные выражения не входит величина так как в об-
ласти < I < (но не близкой к указанным границам) реак-
тивное сопротивление обычно значительно превосходит величину
эквивалентного сопротивления потерь. Если-учесть влияние актив-
ного сопротивления величиной добротности, то можно показать, что
добротность реактивного сопротивления, образованного стержневой
системой, будет
sin 4п -г-
QP = Q-----г-,	(X. 16)
2яТ
где Q — добротность четвертиволновой системы.
Так как Qp уменьшается с увеличением отношения -у-, то для
получения больших значений Qp стержневая система должна быть
короче четверти длины волны.
Для того чтобы выразить добротность Q через параметры стерж-
невой системы, в частности .через величину рассмотрим входное
сопротивление свободной на конце системы при длинных, близких
к Z = —•
250
Входное сопротивление при этом будет наибольшим, т. е. система
ведет себя как резонансная цепь, соединенная цепочкой. Очевидно,
аналогичное положение будет и в случае закрепленной на конце си-
стемы длиной I = -g-, поэтому ограничимся рассмотрением одного
(первого) случая. При этом
л* _ i-tt
Zex = w0 th 7/ = w0	•	(X- 17)
Для системы длиной имеем
Здесь и далее нижний индекс относится к резонансным усло-
виям (l =	. При небольшом изменении длины волны (или длины
стержневой системы)
а/ = (а0 + Да) /;
следовательно,
7/ = р/ 4" /а/ = р/ 4~ /а0/ 4“ /Да/
или
7/ = р/ + /	4- /Да/.
Обозначим
Р 4- /Да = Д*{.
Полагая расстройку малой и учитывая, что величина Д7/ также
мала, имеем
1 4- Д'! Л
следовательно,
т. е.
Z«x = —(X. 18)
1 +» -Б-
A
Да = —,
v ’
251
поэтому
Да _Д<о 2о»0 __ Д<о 2а>0
Р — ~Ri ~ оЛ0 ’"ЙГ’
2л
При Да = О (т. е. при резонансе)
7 — — — Z
в*— р/ — р’
Очевидно,
7 _ 2sy0 _	_ 8a#
^1 —
(X. 19)
(X. 20)
(Х.21)
(X. 22)
(X. 23)
Это выражение определяет величину входного сопротивления
стержневой системы с потерями, если эта система свободна на конце,
а ее длина составляет нечетное число четвертей длины волны. Фор-
мула (X. 20) справедлива и для закрепленной на конце системы дли-
ной в четное число четвертей волны.
Вернемся к выражению (X. 19). Если его представить в виде
Да _ 2 Дю
Р <оо8э *
где
g  /?1А0  RiP
9 2яи>0	2itfwQ 9
то выражение (X. 18) может быть записано так:
7	______
2Дш *
1 + * -sr
<1>оОэ
Из структуры этого выражения, описывающего по существу
резонансную кривую (в области небольших значений + Дю) колеба-
тельной системы, виднр, что 8, является коэффициентом затухания
этой системы. Иначе говоря, формула (X. 23), описывая изменение
входного сопротивления рассматриваемой стержневой системы вблизи
резонанса соответствует некоторой эквивалентной системе с сосре-
доточенными постоянными. Поэтому под 8, следует понимать эквива-
лентное значение коэффициента затухания. Таким образом, доброт-
ность
= = <х-24>
Од
Чем сложнее стержневая система и вид ее оконечной нагрузки,
тем в большей степени отклоняется характер изменения ее входного
сопротивления в области резонанса от соответствующего изменения
для цепи с сосредоточенными постоянными. Поэтому в этих сложных
случаях затруднительно (и нерационально) для определения Q обра-
щаться к «эквивалентной» цепи. Использование величины Q для
252.’
стержневых систем важно при оценке величины потерь, которые рас-
пределены в этой системе, поэтому практически достаточно исполь-
зовать приведенные выражения для простых случаев.
Если на конце стержневой системы имеется нагрузка (например,
масса), то эту нагрузку следует соответствующим образом учесть
как эквивалентное удлинение стержня и затем расчет производить
по формуле (X. 13), преобразованной для соответствующих случаев,
или по формуле (X. 24). Однако величина /?х будет при этом относиться
только к действительной длине стержневой системы (без учета экви-
валентного удлинения или укорочения). Заметим, что для сложных
и нагруженных стержневых систем можно ввести понятие «условной
добротности», определяя ее как отношение
=	(X. 25)
где Р3— входное сопротивление системы при резонансе;
R — ее эквивалентное активное сопротивление потерь.
При этом имеется в виду, что
Ze г	+ iX3.
При резонансе Хэ= 0.
Такой критерий качества сложных стержневых систем является
удобным, так как по существу определяет соотношение между полез-
ной частью входного сопротивления и той его частью, которая обя-
зана потерям.
С другой стороны, выражение (X. 25) всегда может быть получено
относительно просто (при условии, что величина /? известна).
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОТЕРЬ
При расчете колебательных систем в большинстве случаев знание
величины активных потерь является обязательным.
Как видно из предыдущего, во все выражения, учитывающие
активные потери, входят величины эквивалентного активного сопро-
тивления (полного R или приходящегося на единицу длины R^.
В нашу задачу не входит подробное изложение различных методов
измерения активных потерь и, в частности, коэффициента затухания
в механических колебательных системах. Эти вопросы освещены
в соответствующей литературе. В дальнейшем будем исходить из того,
что мощность потерь Р„ или коэффициент затухания р могут быть
определены одним из известных методов. Нашей задачей является
определение величин R или на основании экспериментально
найденных Р„ или р (или других величин). Предварительно все же
напомним в общих чертах сущность измерений Р„ и р.
Наиболее прямой метод определения Рп — калориметрический.
При этом в образце из исследуемого материала возбуждаются упру-
гие колебания Соответствующей частоты и после установления тепло-
вого режима измеряется количество выделившегося в образце тепла.
Очевидно, это количество тепла является эквивалентом энергии
253
потерь. Наиболее сложной частью этого метода является максималь-
ное уменьшение и учет тепловых потоков, протекающих от образца
к источнику колебаний.
Все способы измерения ₽ можно разделить на две группы. К пер-
вой относятся измерения, связанные с возбуждением свободных ко-
лебаний в системе, в которой определяется коэффициент затухания,
а ко второй — измерения при вынужденных колебаниях системы.
Для системы с распределенными постоянными удобнее изме-
рять р при вынужденных колебаниях, хотя не исключены методы
первой группы. В качестве примера измерения р в режиме вынужден-
ных колебаний укажем на классический способ, основанный на воз-
буждении в образце (стержне) продольных бегущих волн (для этого,
как мы знаем, необходимо стержневую системы нагрузить на со-
противление, равное ее волновому).
В этом случае амплитуда смещения меняется вдоль пути распро-
странения волны по закону
t — t о—?Х
'•тх	>
где $т0 — амплитуда в начале системы.
Если взять х ~ Х,то
1пН=
Сто
т. е.
Таким образом, измерение отношения амплитуд смещения в точках
х = X и х = 0 дает возможность определить коэффициент затухания.
Очевидно, вместо 5т0 и можно выбрать амплитуды в любых двух
точках Xj и х2, находящихся на расстоянии X. Вместо того чтобы вы-
бирать х = X, можно выбрать х = хр, где хр — расстояние, на ко-
тором интенсивность колебаний уменьшается в 2 раза (т. е. ампли-
туда смещения уменьшается в ]/2 раз). Тогда
0,345
хэ = -г,
откуда
0	0,345
Для систем с сосредоточенными постоянными, а также для стерж-
невых систем, характер резонансных кривых которых в области
близкой к резонансу, подобен соответствующим кривым для системы
с сосредоточенными постоянными, измерение р, так же как и изме-
рение добротности Q, удобно производить по резонансной кривой
амплитуды колебательной скорости, вернее, по трем ее точкам. Если
выбрать уровень, на котором определяется относительная ширина
резонансной кривой, равным }Л),5—0,707 от максимального (резо-
254
нансного) значения амплитуды колебательной скорости ?т, то,
согласно уравнению (I. 46),
где f0 — резонансное значение частоты, a f2 и fi — границы резо-
нансной кривой на заданном уровне.
Так как & = [см. формулу (1.35)], то
поэтому	г
р Q ’
следовательно,
В рассматриваемом способе измеряются амплитуды колебатель-
ной скорости и частота. Если выбирать уровень определения f2
и fi равным 0,5, то, согласно выражению (1.46 а), будем иметь
Мы ограничимся приведенными общими указаниями о методах
определения коэффициента затухания и напомним лишь о том, что
существуют и другие способы (например, импульсные) для измере-
ния затухания упругих колебаний. Перейдем к определению экви-
валентного сопротивления потерь в стержневых системах.
а)	Использование величины активных потерь
Пусть измерена мощность Р„ активных потерь. Если это измере-
ние проведено для полуволнового образца на резонансной частоте,
то входное сопротивление образца Zex = R3 = /?, где R — искомое
значение эквивалентного сопротивления потерь.
Измерив величину амплитуды смещения в начале системы (об-
разца), т. е. в плоскости возбуждения внешней силой, мы легко опре-
делим амплитуду колебательной скорости:
Тогда эквивалентное сопротивление потерь будет
R = ^2-.	(X. 26)
Заметим, что полученное значение R не равно Rr I, (где/ — длина
образца), но является полным эквивалентным сопротивлением, пере-
численным в плоскость возбуждения колебаний (в данном случае
в начале системы).
255
б)	Использование коэффициента затухания
Пользуясь экспериментально найденным значением коэффи-
циента затухания, можно определить величину эквивалентного со-
противления потерь, приходящегося на единицу длины стержневой
системы. Для этого может быть использовано точное выражение
для р [формула (III. 15) J. Однако практически для материалов с от-
носительно малыми потерями (пригодных для изготовления стержне-
вых колебательных систем) можно использовать выражение (III. 17),
•откуда
р = ? = Р
1	2к»0	2ру£‘
Таким образом, измерив р, р, v и5, легко найти
Полное эквивалентное сопротивление R можно определить по
измеренному значению Q или 8. На основании выражений (X. 14)
или (X. 15) соответственно получим
* =	(X. 27)
Я =	(Х.28)
или в общем случае
* = = (Х‘29)
где М9 и С9 — эквивалентные значения сосредоточенных массы'
и гибкости.
Величину Rt можно определить также на основании выражения
(X. 22):
в) Определение коэффициента внутреннего трения
Как было указано, показатель затухания связан с коэффициентом
внутреннего трения соотношением (X. 8):
Р ~ 2Ev
Таким образом, измерив величину ц, можно определить р, а сле-
довательно, величину Rt. Заметим, что коэффициент внутреннего
трения представляет еще особый интерес как параметр, отражающий
ряд свойств твердого тела (в частности, состояние на границах зерен
в металле или сплаве).
Ниже описывается метод определения коэффициента внутреннего
трения с помощью продольных колебаний [391. Метод основан на
измерении резонансной кривой образца из исследуемого материала.
Схема измерительной установки (фиг. X. 2) аналогична известной
схеме, применяемой для определения модуля Юнга методом продоль-
ных колебаний. Стержень / из исследуемого материала, имеющий,
256
длину I, зажат неподвижно в середине О. Если материал стержня
ферромагнитный, то колебания возбуждаются поляризованным
электромагнитом II, питаемым переменным током от звукового ге-
нератора ЗГ. Частота возникающих в
стержне упругих колебаний равна час-
тоте питающего тока, В непосредственной
близости к противоположному концу
стержня находится второй поляризован-
ный электромагнит, являющийся датчи-
ком III. Обмотка датчика включена на
вход катодного вольтметра КВ. Очевидно,
величина напряжения на зажимах вольт-
метра будет определяться значением коле-
бательной скорости конца стержня, а при
<о да const — величиной амплитуды сме- _
щения.	0
Если материал стержня не ферромаг-
нитный, то на торцы наклеиваются тонкие
(толщиной около 0,1 мм) ферромагнитные
пластинки. Величина коэффициента вну-
треннего трения зависит от значения
частоты, при которой он определяется,
поэтому длина стержня должна соответ-
ствовать желаемой частоте.
Величина I может быть найдена из
выражения
Фиг. X. 2.
где <о„ — резонансная частота.
Измеряя амплитуды колебаний при резонансе и в области,
близкой к нему (для чего изменяется частота генератора ЗГ),
получаем резонансную кривую, по которой может быть рассчитан
коэффициент т].
Приведем вывод выражения для расчета т]. Исходя из выраже-
ния (X. 2), получаем уравнение продольных колебаний в виде
здесь т]* — -у-.
Если на одном
F — Faetusi, а второй
ваются следующим образом:
= +li*
dt* дх» 1 dx2dt ’
(Х.31)
конце стержня действует гармоническая сила
конец свободен, то граничные условия записы-
(X. 32)
(X. 33)
где S — площадь поперечного сечения.
17 Теумин 261
257
Так как мы рассматриваем установившийся режим, то решение
имеет вид
S(x,/)	(X. 34)
Подстановка выражений (X. 34) в (X. 31) дает
Г(х) + ^(*)=-о,
где
= <Х-35)
Отсюда получаем
f (х) = A sin ух + В cos ух.	(Х.36)
Постоянные А и В определяются из граничных условий (X. 32)
и (Х.ЗЗ):
Д = F• В =
<02pS *	co2ps sin fZ
После подстановки значений Л и В в формулу (Х.36) выраже-
ние (Х.34) запишется в виде
t(x A—	cosi(/-x)
5Ч —	Sln e •
следовательно, величина амплитуды смещения стержня на его конце
(х = /) будет
5 =—^—1—^—1
0	<оа,>3 | sin 7/ I'
Обозначив 7 = 8 4- iy., получим
g	У<>2 + н2
0	<02pS ’ fsin26/+sh|i/’
(X.37)
При •/] = О условие резонанса определяется выражением
Так как i] мало, то пренебрежем ее влиянием на значение резо-
нансной частоты. Тогда при резонансе имеем
Р	V 02 , 2
е _ г0	Г prty
Ор~ <p2pS shnp/ ‘
Уравнение резонансной кривой будет
z = А - i	_ sh(Jp/	(X 38)
Sop ~ “2 ‘ )/ 62 + Кsin’ez+sh2 р/
Из выражений (X. 35) и (Х.37) находим
fl = <0 V р (Е 4- V £2 4-7)а<02)
V 2 (Е2 + т]2ш2)
258
Учитывая, что в реальных твердых телах	будем прене-
брегать величиной 7)(о по сравнению с £. Тогда выражения для 0
и р- упростятся:
_ (О
0 = — ;
V
02£ •
(X. 39)
(X. 40)
Так как при резонансе Ър1 — х, то, введя обозначение <|» = £-
получим вместо уравнения (X. 38)
п 2 Е
sin2x<|> +sh2
1
Z — -г-
(Х.41)
Ввиду того, что I,
7С	7](0р w
~2	"2	/Г
7Сф	7С(|)	7]С0
Учитывая это, получим из
выражения (Х.41)
2Е_. гфапхф (X. 42)
х<ор J/ i _ 2афв
Фиг. X. 3.
Представим
Если — < I, то выражение (X. 42) с достаточной для практиче-
(Ор
ских измерений точностью может быть записано в виде
'П 
<»₽ V I - г2
(X. 43)
На фиг. X. 3 приведена типичная резонансная кривая z —<р(ш).
Для некоторой расстройки Д© имеем соответствующее значе-
ние z. Построив резонансную кривую и определив по ней ©р, Д© при
выбранном значении z, зная величину модуля Юнга, по формуле
(X. 43) находим величину т). Учитывая, что модуль Юнга связан
с основной резонансной частотой выражением
Е = ---2^’
7С2
17*
259
можно выражение (X. 43) представить в виде
2pZzAco
7]	----г ......
л2 /1 — га
(X. 44)
Таким образом, для определения т), если неизвестна величина Е,
необходимо еще измерить длину стержня I и плотность р материала.
Выведенные выражения могут быть применены в том случае,
если поперечные размеры стержня меньше его длины по крайней
i^epe в 8—10 раз.
Погрешность определения т) зависит главным образом от погреш-
ности 8(Дш) при измерении До>.
Относительная погрешность
8т|________________________8 (Д<о)
7] Д(О
6. ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
При рассмотрении всех вопросов, связанных с учетом или опре-
делением активных потерь, мы предполагали, что наша механическая
колебательная система — линейная, т. е. что значения параметров т,
С и 7? не зависят от величины действующей (приложенной) силы1.1
Такое допущение с той или иной степенью точности справедливо для
так называемых «малых» амплитуд колебательных механических
величин, т. е. для значений этих величин, не превышающих заметную,
границу линейности. При этом зависимость колебательной скорости
от величины силы оказывается линейной, а значение эквивалентного
активного сопротивления, экспериментально определенное при ка-
ком-нибудь значении £т, остается неизменным и при других значе-
ниях этой величины.
При переходе к «большим» амплитудам, т. е. к области, где по-
стоянство параметров нарушается (величина параметров становится
зависимой от амплитуды) зависимость величины потерь от приложен-
ной действующей силы становится отличной от той зависимости,
которая характерна для «малых» амплитуд.
В нелинейной области в общем случае параметры С и R не
остаются постоянными (постоянство т практически не нарушается,
так как можно всегда считать, что р = const). Непостоянство упру-
гости (гибкости) определяется двумя обстоятельствами: нарушением
чисто упругих свойств при достаточно больших усилиях и, кроме
того, появлением неупругой составляющей. Хотя неупругая со-
ставляющая по существу определяет в той или иной степени механизм
активных потерь, т. е. относится к параметру R, однако эта состав-
ляющая непосредственно влияет на эффективную величину мо-
дуля Е, уменьшая его значение с ростом приложенной силы.
Из изложенного следует, что если в области «больших» амплитуд
измерить величину активного сопротивления, то в действительных
условиях, соответствующих малым значениям амплитуд, эта вели-
чина будет другой, так как при одном и том же значении Fm вели-
260
чина входного сопротивления Zax может быть различной. Если коле-
бательная система представлена сосредоточенными постоянными, то
эту неопределенность можно было бы обойти, измеряя при рабочем
значении \м (а не ЕЛ). Тогда знание и учет Zax было бы излишним.
Однако в системах с распределенными постоянными такое определе-
ние не может являться достаточным.
Следует также указать на то, что в результате нелинейности
в стержневой колебательной системе при возбуждении ее гармониче-
ской сил(й неизбежно возникают негармонические колебания. Это
обстоятельство, характерное для любых нелинейных систем, очевидно,
и не нуждается в особом доказательстве. Помимо того, что появление
высших гармонических составляющих такого несинусоидального
колебания может оказаться в некоторых случаях нежелательным,
следует учесть, что это вызывает дополнительные потери за счет
уменьшения полезной мощности основной частоты. Степень искаже-
ния формы колебаний, т. е. отклонения от ее гармонической, зависит
от характера и величины нелинейности главным образом упругого па-
раметра. Очевидно, считаться с этим фактом приходится лишь при
очень значительных амплитудах колебаний.
ГЛАВА XI
МАГНИТОСТРИКЦИОННЫЙ ВИБРАТОР
1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Одним из важнейших узлов ультразвуковой аппаратуры является
преобразователь электрических колебаний в упругие (вибратор).
Среди различных типов преобразователей большое распространение
получил магнитострикционный, являющийся по существу стержне-
вой колебательной системой, в которой заключен источник колеба-
тельной энергии.
Следует отметить, что опубликованные материалы по расчету
таких вибраторов касаются главным образом устройств, используе-
мых в гидроакустике; однако назначение этих вибраторов и особен-
ности их использования отличаются от вибраторов, предназначаемых
для технологических целей. Кроме того, при некоторых видах техно-
логического применения вибраторов необходима значительная мощ-
ность последних в особых условиях передачи этой мощности обраба-
тываемому объекту.
Эти обстоятельства сказываются на особенностях расчета магнито-
стрикционных вибраторов, предназначаемых для технологических
целей.
Предполагая, что читатель знаком с сущностью работы магнито-
стрикционного вибратора и с физическим процессом магнитострикции,
будем в дальнейшем рассматривать работу и расчет магнитострик-
ционного вибратора как особого вида стержневой системы, являю-
щейся преобразователем электрических колебаний в упругие.
В отличие от обычного метода анализа преобразователей мы не
прибегаем к составлению и рассмотрению полной эквивалентной
электромеханической схемы, связывающей механические и электри-
ческие параметры при помощи так называемого коэффициента преоб-
разования. Такой метод в значительной мере отвлек бы нас от не-
посредственного рассмотрения стержневой системы (вибратора) как
таковой и, кроме того, он не дает возможности учесть то, что со сто-
роны электрической цепи вибратор является нелинейной системой.
Поэтому понятие и выбор величины коэффициента преобразования
оказываются в известной степени неопределенными и неточными. При
использовании реальных кривых магнитострикции и намагничива-
ния указанная нелинейность может быть приближенно учтена, и
262
при этом введение коэффициента преобразования является излишним.
Наконец, следует иметь в виду, что в реальных условиях магнито-
стрикционный вибратор работает при резонансе, поэтому полная
эквивалентная схема значительно упрощается и теряет главную
свою ценность — общность, определяющую поведение входного со-
противления (электрического) в достаточно широком диапазоне
частот.
2. ПРЕДЕЛЬНАЯ УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ, ИЗЛУЧАЕМАЯ
МАГНИТОСТРИКЦИОННЫМ ВИБРАТОРОМ
Особенностью магнитострикционного вибратора (преобразова-
теля) является то, что колебательная система, представляемая самим
вибратором, одновременно является областью, где возникают упру-
гие колебания.
Таким образом, конструкция и габариты вибратора одновременно
и однозначно определяют его резонансные и энергетические свой-
ства.
Для оценки энергетических показателей вибратора удобно исхо-
дить из величины удельной излучаемой мощности, т. е. мощности,
которую при наиболее благоприятных условиях можно снять с еди-
ницы площади излучающей поверхности вибратора. Максимально
возможное значение этой мощности (при указанных условиях)
будем называть «предельной удельной мощностью», отдаваемой в на-
грузку Р'н (интенсивность).
Переходим к выводу выражения для «предельной удельной мощ-
ности» одностержневого вибратора.
В результате магнитострикционного эффекта в стержне возникают
напряжения, создающие деформации. Если при статической маг-
нитострикции возникает сила F, то соответствующее ей напряже-
ние будет
где S — площадь поперечного сечения стержня.
Относительное статическое смещение
где Д/— максимальное удлинение.
Если 8т — максимальное относительное удлинение, возникающее
благодаря магнитострикции при оптимальном режиме намагничива-
ния, то — Ьст тах и максимальное напряжение в стержне за счет
магнитострикции при отсутствии внешней нагрузки будет ат = ЕЪт.
В общем случае мощность упругих колебаний, выделяемая на
механическом сопротивлении ZM, определяемом внутренними свойствами
стержня и его внешней-нагрузкой будет
Р =	(XL 1)
263
где km — 2rft— амплитуда колебательной скорости;
f — частота;
но
где Fm — амплитуда действующей силы;
Rn — сопротивление, эквивалентное потерям на внутреннее тре-
ние;
RH — сопротивление нагрузки.
При этом принимаем, что стержень колеблется в резонансе и инер-
ционные и упругие силы сопротивления вибратора взаимно скомпен-
сированы. Ри принимаем активным.
На основании выражений (XI. 1) и (XI. 2) получим для мощности,
выделяемой в нагрузке,
1	'1^
Так как
(где х — текущая координата вдоль оси стержня), то в колебательном
режиме
Fm = ES^-M = ES^-lbm.
Учитывая, что при резонансе X = 21, получим
Fn = ESnbm.
Заметим, что величина 8ОТ в данном случае взята для статической
деформации. В дальнейшем мы будем учитывать,  что при колебаниях,
т. е. в динамическом режиме, распределение усилий отличается от
статических.
Найдем условие, при котором Рн будет максимальной. Из урав-
нения
^ = 0
дКн
находим RH = Rn и Рп = Ртах.
Механический к. п. д. вибратора
__ RH _ х
Rn + Rn ~ 1 + х ’
где х =	.
При х - 1 т|Л — 0,5.
Найдем отношение мощности Рн при любом значении х к макси*
мальной мощности (при х = 1)
__ 4х
У~ (1+х)’
264
Отношение у медленно изменяется при изменении RH, когда по-
следнее близко к Rn.
На фиг. XI. 1 представлены графики зависимостей ц — (х) и
У = /(х).
Как видно из кривых, при изменении х в пределах 0,5—2 полез-
ная мощность составляет около 90% от максимальной, поэтому нет
необходимости в точном согласовании сопротивлений R„ и RH.
Целесообразно принимать значение х несколько более 1, так как
при этом увеличивается к. п. д. (ця), а следовательно, уменьшаются
потери в вибраторе и облегчаются условия его охлаждения. Заметим,
что слишком большой нагрев вибратора (при малом т]ж) требует
снижения величины подаваемой к вибратору электрической мощно-
сти, что приводит к снижению полезной мощности, отдаваемой вибра-
тором. Выбирая х = 2, получим = 0,7.
Однако при выбранном значении х будет иметь место частичное
отражение энергии от нагрузки и величина мощности, вводимой
в нагрузку, будет
В нашем случае: х — 2 и Ря1«аО,9Ря.
Учтем гармоническое распределение смещения по длине вибра-
тора (фиг. XI. 2). Если — амплитуда относительного удлинения
стержня, то
8х =	х,
где — относительное удлинение на отрезке х.
Очевидно, полное удлинение (в динамическом режиме) будет
х
4
0
265
но к = 4Z0, поэтому
где I — 210 — полная длина стержня.
Так как при статическом удлинении
й __________________________|олп_.
°m- i >
ТО
8 , = ^"-
тдин ~ •
Таким образом, выражение (XI. 3) с учетом гармонического рас-
пределения смещения будет иметь вид
_ j E28^Sa Еа6>
~ «а Rn ~U>1 Rn
(XI. 4)
Величина Rn определяется всем сечением стержня, причем
= *'ns,
где R'n — эквивалентное сопротивление потерь в стержне, приходя-
щееся на 1 см2 его поперечного сечения, следовательно
=	=	(XI. 5)
Перейдем к величине R„.
Если в среде совершаются колебания, часть упругой энергии пе-
реходит в тепловую вследствие внутреннего трения. В настоящее
время нет удовлетворительной теории внутреннего трения в твердых
телах, дающей возможность рассчитать его величину, однако вели-
чина эквивалентного сопротивления Rn, связанная с внутренним
трением, может быть легко найдена экспериментально, независимо
от каких-либо предположений о действительной природе внутреннего
трения. Рассматривая линейную область упругой деформации, т. е.
принимая, что восстанавливающая упругая сила пропорциональна
смещению, а силы, определяющие рассеяние энергии, пропорцио-
нальны скорости, можно заменить колебательную систему с распре-
деленными постоянными эквивалентной системой с сосредоточенными
постоянными. При этом добротность такой системы выражается соот-
ношением
где Са—эквивалентная гибкость.
Эквивалентная гибкость может быть определена из выражения
г- __
^а~ n2ES '
266
Рассматривая колебания стержня на основной частоте, имеем
Учитывая, что ро = о>, (удельное волновое сопротивление мате-
риала вибратора), окончательно находим	—---------г
Q == 1,57-^ ;
следовательно,
R'n = 1,57
(XI. 6)
। I I
I । ।
Л f. ft
Величина Q находится эксперимен-
Фиг. XI. 3.
тально из резонансной кривой, получае-
мой при возбуждении вынужденных продольных колебаний образца,
сделанного из того же материала, что и вибратор.
На фиг. (XL 3) изображена частотная зависимость колебательной
скорости j торца стержня, полученная одним из известных методов.
Если Ёт соответствует резонансной частоте /0, a — значе-
ниям частот Д и f2, то
При малых потерях, т. е. при достаточно острой кривой резо-
нанса, можно измерять не величину скорости 5, а смещение Е.
Подставляя в формулу (XI. 5) R'n, выраженное через Q, после не-
сложных преобразований получим
Р'= 0,063^,82(2.
HI ’	о ПГ*'
(XI. 7)
Если размерности входящих в это выражение величин взяты в аб-
солютной системе единиц, то значение мощности получим в эргах
в секунду (эрг/сек.). Очевидно, мощность, выраженная в ваттах,
будет
Р'. = 0,063о2ш,82 Q. Ю-J вт.
Hi	° т^- вт
Величина R'n зависит от физических свойств материала вибра-
тора (в частности, от технологии изготовления и обработки листов).
При прочих равных условиях сопротивление потерь будет тем больше,
чем больше частота и чем длиннее стержень. Так как с увеличением
частоты длина стержня уменьшается, то увеличение потерь за счет
перехода к большим значениям частоты несколько компенсируется
267
уменьшением длины стержня. Большое значение имеет способ скреп-
ления листов в пакете, в частности, склейка неизбежно увеличивает
потери. Заметим, что для сплошного стержня добротность выше, чем
для шихтованного.
Для магнитострикционного сплава типа железо-кобальт 49КФ
(с содержанием 49% кобальта и 2% ванадия) имеем для величины 8
значение порядка (80-5-130)- 10“®. Для этого же сплава we =
= 4,35-10® г/сек-см2-, v = 5,3-10® см/сек.
Принимая для величины & значение & = 100-10“® и имея в виду,
что амплитудное значение
*«^4 = 5-10“®,
получим для одностержневого вибратора, выполненного из этого
сплава, величину предельной удельной мощности Р' 19- Q вт/см2.
Таким образом, если, например, величина Q находится в преде-
лах от 1 до 20,0, то = (19-4-380) вт/см2.
Большие значения Р' практические получить трудно, так как
при этом в вибраторе выделяется значительное количество тепла
(за счет внутренних потерь), а отвод этого тепла с ростом удельной
мощности становится затруднительным, так как отношение величины
поверхности охлаждения к полной мощности потерь при повышении
значения Р' уменьшается. Связь между Q и R'n для многостержне-
вого вибратора благодаря наличию ярма не может быть определена
выражением (XI. 6) и дается другим соотношением, приводимым
в дальнейшем.
3. МОЩНОСТЬ МНОГОСТЕРЖНЕВОГО ВИБРАТОРА
Из всех возможных типов многостержневых вибраторов рассмот-
рим лишь шихтованные, поскольку применение вибраторов, состав-
ленных из трубчатых или сплошных стержней для получения боль-
ших мощностей, не является рациональным вследствие малой актив-
ной излучающей поверхности или значительных электрических
потерь.
Вибраторы с замкнутым магнитопрово-
дом (фиг. XI. 4). Излучающая поверхность в общем случае может
иметь прямоугольное сечение, однако обычно применяют квадратное
сечение, так как при этом поверхность может быть рационально ис-
пользована при применении в качестве рабочего или промежуточ-
ного звена цилиндрического стержня или концентратора. Поэтому
в дальнейшем будем считать, что толщина пакета также равна Ь.
Количество стержней может быть различным. На фиг. (XI. 4) в ка-
честве примеров приведен^! магнитопроводы двух- и трехстержневых
вибраторов. При п > 3 толщина крайних стержней составляет поло-
вину толщины каждого из остальных стержней. Величина b не
должна превышать половины длины волны. Активная длина 1а
стержней лежит в пределах I — 2d <. la.< I- При этом под активной
268
Длиной имеется в виду часть полной длины I, в которой в основном
возникают полезные усилия, направленные вдоль стержней. Усилия,
возникающие вдоль ярма, являются вредными, так как при этом за-
трачивается энергия на деформацию верхнего и нижнего ярма и,
кроме того, могут возникнуть сложные виды колебаний всей системы,
нарушающие режим ее
работы. Таким образом,
необходимо стремиться
к уменьшению величины d.
При рационально выбран-
ной величине d за актив-
ную длину стержней
можно принять 1а = А,
где А = I — 2d — высота
окна.
Минимально допусти-
мое значение d должно
удовлетворять условию
d = a Ba^Bm , (XI. 8)
Bs
Фиг. XI. 4.
где Bs — индукция насыщения материала магнитопровода;
Во и Вт — оптимальные значения индукций подмагничивания
и амплитуды переменной составляющей индукции
соответственно.
Очевидно, при этом условии ярмо не будет доведено до насыще-
ния. В отдельных случаях для уменьшения величины d приходится
уменьшать толщину стержней. При выбранном d высота окна h опре-
деляется из условия резонанса (см. далее). Ширина окна опреде-
ляется условиями размещения обмоток, охлаждения вибратора и,
кроме того, зависит от числа стержней.
Как это следует из дальнейшего, надо стремиться к возможному
уменьшению ширины окна.
Выбор числа стержней и габаритов вибратора является первым
этапом его проектирования. В вибраторах с замкнутой магнитной
системой направление магнитных потоков в соседних стержнях про-
тивоположное.
При наличии ярма предельная мощность, отдаваемая многостерж-
невым вибратором, будет равна
Р„, = Р'НАВ,	(XI. 9)
где величины А и В зависят от числа стержней и основных размеров
вибратора (А, с, b, a, d). А нВ назовем конструктивными постоянными
вибратора.
Найдем выражение постоянной А, учитывающей величину излу-
чающей поверхности. Полная мощность, отдаваемая всеми стерж-
нями (без учета ярма), составляет P'HS0, где So — сумма попереч-
ных сечений всех стержней.
Учитывая, что толщина пакета равна его ширине, находим
So = 2(и— 1)а6.
269
Вследствие того, что излучающая поверхность связанная с на-
грузкой, является поверхностью ярма, причем Su > So, механическое
сопротивление плоскости излучения трансформируется в отношении у*-.
Следовательно, амплитуда смещения уменьшается в обратном отноше-
нии. Поэтому необходимо умножить рабочую поверхность So на вели-
чину, обратную указанному отношению.
Таким образом,
или
А — 4(п—1)2а2.	(XI. 10)
Фиг. XI. 5.
Постоянная В связана с толщиной ярма, влияние которого на
величину В сказывается в двух обстоятельствах:
а)	Уменьшается активная длина стержня бла-
годаря прибавлению массы ярма. Действительно,
вследствие влияния указанной массы резонанс-
ная частота вибратора уменьшается и для ком-
пенсации этого изменения необходимо умень-
шить высоту А, соответственно снизится ампли-
туда смещения.
б)	Амплитуда смещения на верхней плоскости
ярма (т. е. на расстоянии d от конца активной
части — стержня) будет меньше, чем на этом конце, убывая по
гармоническому закону.
Учтем первое из указанных влияний. При отсутствии ярма резо-
нансная длина стержня будет равна
< v
(XI. 11)
Рассмотрим фиг. XI. 5, на которой представлена одна симметрич-
ная секция вибратора, т. е. стержень с примыкающими к нему ниж-
ней и верхней частями ярма.
Как будет показано далее, резонансная частота такой колеба-
тельной системы может быть рассчитана по формуле (XI. 26).
Соответственно, при заданных значениях f и d величина h вполне
определенна; тогда
,h
h _ й , Т
hl ~ + d
2f 2 +
(XI. 12)
Соответственно этому отношению уменьшается амплитуда смеще-
ния на конце вибратора. Следовательно, коэффициент, учитывающий
это уменьшение, будет
2fh
(XI. 13)
270
Учтем второй вид влияния ярма. Так как амплитуда смещения
убывает по косинусоидальному закону вдоль толщины ярма, то ам-
плитуда смещения на верхней его плоскости будет меньше амплитуды
смещения на конце стержня в раз, где
Z>E = cos^d.	(XI. 14)
Л
Имея в виду, что мощность пропорциональна квадрату амплитуды
смещения, получим
B = 4^-cos2yd,	(XI. 15)
Обратимся к выражению (XI. 9). Входящая в него величина Р'н1
является предельной удельной мощностью для одностержневого
вибратора и находится из формулы (XI. 5). Применительно к слу-
чаю многостержневого вибратора формула (XI. 5) также остается
справедливой.
Величина R'n определяется через коэффициент добротности Q;
однако соответствующая формула (XI. 6) не может быть применена
к случаю многостержневого вибратора, так как значения эквивалент-
ных постоянных для многостержневого и одностержневого вибрато-
ров различны.
Найдем соответствующее выражение. Эквивалентные постоянные
определяются параметрами одной секции (фиг. XI. 5) и не зависят от
числа секций.
Для такой системы значение эквивалентной массы равно
Л4, = ф4>	(XI. 16)
где М— общая масса секции;
ф — коэффициент, учитывающий наличие ярма;
здесь
_ 2а
9 . 2а + с ’
4d о 2h
а = Т";
Ло	Ло
(XI. 17)
из материала
Хо — длина волны для данной частоты в стержне
магнитопровода.
На фиг. XI. 6 даны кривые зависимости ф от q-, параметром
является отношение -у-. Добротность секции (а следовательно, до-
бротность всего вибратора) выразится следующим образом:
Л ___ шЛ1э __ шЛ1ф
где Rno — сопротивление, соответствующее потерям в одной секции.
271
Отсюда
шЛ4<|>
2Q^’
где S — поперечное сечение стержня секции.
Следовательно, для многостержневого вибратора
,	Е282 E282QnS
PHi - 0,1 —= 0,2
Rn	<оЛ1ф
или, учитывая, что Е2 = Лг>2, получим
P;, = o.22i^.
п ’ (о/Иф
Значение Q„ экспериментально определяется по резонансной кри-
вой, снятой на образце, выполненном в виде двухстержневого вибра-
(XI. 18)
тора, собранного из листов исследуемого материала, т. е. из мате-
риала, предназначаемого для изготовления проектируемого вибратора.
Такой образец эквивалентен одной секции, поэтому все размеры
(a, d, с) должны быть взяты такими же, как и для проектируемого
вибратора, а величина b берется равной 2а -|- с.
Величину P'Hi для многостержневого вибратора можно также опре-
делить приближенно. В этом случае Q находится по резонансной кривой
для одного стержня (образца); найденное значение Q пересчитывается:
>
где К = 1 +^-
Поэтому для многостержневого вибратора приближенную фор-
мулу для предельной удельной мощности одного стержня можно
написать следующим образом:
(xi. 19)
1 + А-
Qh
272
где (J — значение добротности, определяемое для одностержневого
образца.
Приближенное значение предельной мощности многостержневого
вибратора может быть также получено из выражения
PM^0,063v*we&ABQ„,
где Q„ — величина добротности данного многостержневого вибра-
тора.
На фиг. XI. 7 показана конструктивная схема многостержневого
вибратора с разомкнутой магнитной системой.
Излучающая поверхность образована накладками, заменяющими
в этой конструкции ярмо. Накладка в отличие от ярма не является
частью магнитопровода, и поэтому толщина d не связана с условиями
обмотка
Фиг. XI. 8.
прохождения магнитного потока [выражение (XI. 8)]. В таком
вибраторе направления магнитных потоков во всех стержнях одина-
ковые и сечения стержней равны друг другу. Из сказанного следует,
что материал накладки не должен быть ферромагнитным, так как
в противном случае будет взаимное ослабление магнитных потоков.
Все выводы, относящиеся к многостержневым вибраторам с замк-
нутой магнитной цепью, остаются в силе и для данного типа вибра-
торов. Так как величина d в этих вибраторах может быть взята ма-
лой, то коэффициент В больше, чем для вибраторов с замкнутой
магнитной системой. В рассматриваемом типе вибраторов вследствие
большого сопротивления магнитному потоку количество ампер-
витков, необходимых для создания нужной величины индукции
больше, чем у вибраторов с замкнутой цепью. Поэтому оказывается
необходимым увеличить ширину окна. Если в качестве накладки при-
менить тонкое ярмо из ферромагнитного материала, последнее рабо-
тает в режиме значительного насыщения и магнитная проницаемость
его близка к единице. Поэтому вибратор с разомкнутой магнитной
цепью может быть изготовлен с тонким ярмом, выполняющим роль
накладки. Возбуждение вибраторов с накладкой возможно также
осуществить, применяя внешнюю обмотку (фиг. XI. 8). Преимущество
такой системы заключается в том, что окна не заполняются обмоткой,
и поэтому ширина окон может быть достаточно малой, следовательно,
18 Теумин 261	273
постоянная А близка к So. В то же время габариты обмотки могут
быть достаточно велики в радиальном направлении.
В такой системе условия охлаждения свободных от обмоток стерж-
ней существенно улучшаются. Очевидно для обеспечения эффектив-
ного охлаждения ширина окна не должна быть все же очень малой.
Недостатком этой системы является более низкое использование
магнитного потока, чем в системе, приведенной на фиг. XI. 4.
Однако, так как габариты обмотки могут быть увеличены в радиаль-
ном направлении, необходимое значение ампер-витков может быть
достигнуто.
Другим недостатком такой системы является некоторая неравно-
мерность использования магнитного потока различными стержнями.
С увеличением отношения у эта неравномерность уменьшается.
В рассматриваемом типе вибратора накладки должны быть сде-
ланы из немагнитного материала с возможно большим сопротивле-
нием для уменьшения в них потерь за счет токов, наводимых полями
рассеяния.
4. РАСЧЕТ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ ВИБРАТОРА
Для определения резонансной частоты многостержневого вибра-
тора выведем соответствующее выражение.
Будем исходить из рассмотрения одной секции (см. фиг. XI. 5).
Пусть S — поперечное сечение стержня; — площадь поперечного
сечения ярма, взятая перпендикулярно оси стержня; h — высота
стержня. В общем случае, стержень нагружен на своих концах меха-
ническими сопротивлениями Z* и£2, которые, например, могут быть
представлены накладками или элементами ярма, находящимися на
концах стержня.
Рассмотрим наиболее важный для практики случай симметрич-
ного вибратора, т. е. когда ZY — Z2 = ZH. Если механическое сопро-
тивление представлено ярмом или накладкой высотой d, то на осно-
вании формулы (III. 14) можно написать:
Fm = Fmk cos • 4 + iUSp sin • A;	(XI. 20)
= Ucos-4.4 4 i ^sin-4 • 4 ,	(XI. 21)
где Fm, — амплитудные значения силы и колебательной скорости
в середине стержня; Fmh и imh— соответственно значе-
ния этих величин на конце стержня, нагруженного
ярмом.
Так как	t _ Fmh
W— zH ’
где ZH — входное сопротивление ярма, то
f. = Mc”sT4 + ;£sl”T-4):	(XI.22)
274
^=^(isi'44+^™s?4).	да-23»
Z, = iSlftg^d,
следовательно, входное сопротивление рассматриваемой системы в пло-
скости, проходящей через половину стержня (т. е. через узловую
плоскость смещения), будет
2тс h
cos Л “2
7  г то 
^ВХ--- L -----
С/ПО
_ . 2% h
Ssln~-F
Sitg-^-d
(2тс h
. 2it h S C0ST"T\
Sln A * 2 Sx * 2л . I
tg-d /
(XI. 24)
При резонансе (при пренебрежении активными потерями) Zex = co,
поэтому
откуда получим
. 2тс , 2тс h S п
т—зг=о-
(XI. 25)
Преобразуем выражение (XI. 25), полагая
J  аА0 . h  	S .
а “ 4 ’ 2 ““ 4 ’ Ч~ St'
получим

(XI. 26)
здесь а, р, q определяются выражениями (XI. 17);
X = Хо — длина волны в материале вибратора при данной частоте
Если материал накладки отличается от материала стержней, то
___ 2awx
У ~ (2а + с) ю2 ’
где и w2 — удельные волновые сопротивления материалов
стержня и накладки соответственно.
На фиг. XI. 9 представлено семейство кривых, соответствующих
уравнению (XI. 26), из которых можно найти h при заданной вели-
чине d и резонансной частоте f.
18*	275
Кривые на фиг. XI. 9 дают также возможность определить общую
электрическую длину секции (а + Р), т. е. ее геометрическую длину,
выраженную в долях от у , в зависимости от величины р. Например,
для q = 0,4 и h = (соответствующей р = 0,38) находим
а + р = 0,72, и общая длина секции будет А + 2d = 0,36Хо.
Штрих-пунктирные прямые служат для определения соответ-
ственных пар значений аир для отношений
А
2 _ 1 . 2 . 3 . 1 . 1
J , h~ 2 ’ 3 ’’ 4 ’ 3’ 4
d+-2
Расчеты по приведенным формулам дают ошибку меньшую, чем
1,3%, если <7 > 0,5 и а^.р~ > 0,6. Диапазоны этих значений пере-
крывают большинство практически важных случаев.
Формула (XI. 26) не учитывает возможных изгибных колебаний
ярма. Соответствующую поправку следует, однако, вводить при
отношении — > 1,5. При этом истинное значение частоты будет
f = <?/>
276
где <р = 0,95 для частот до 25 кгц, 0,90 для частот от 25—50 кгц,
0,87 для частот более 50 кгц.
Следовательно, при решении обратной задачи, т. е. при определе-
нии размеров вибратора для заданной частоты /, надо исходить из
величины f = — •
f
Легко видеть, что выражение (XI. 26) и кривые на фиг. (XI. 9)
дают возможность определения резонансной частоты при заданных
размерах секции.
В заключение отметим, что габариты вибратора и число стержней
выбираются с таким расчетом, чтобы произведение постоянных АВ
удовлетворяло требуемой величине излучаемой мощности, отно-
АВ ~
шение -=- было максимальным, а резонансная частота соответство-
вала бы заданному значению.
5. ВЫБОР РАБОЧЕЙ ТОЧКИ И ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КРИВОЙ
МАГНИТОСТРИКЦИИ
Приводимый далее метод расчета с использованием статических
характеристик намагничивания и магнитострикции является прибли-
женным.
Для максимального
использования магнито
стрикционного эффекта
выбранного для вибра-
тора материала необхо-
димо определить рацио-
нальные значения на-
пряженностей, поля
подмагничивания Но и
переменного поля Нт.
Значение коэффициента
магнитострикции
соответствующее Но,
определяет положение
рабочей точки на кри-
вой магнитострикции:
8 = /(Я) (фиг. XI. 10).
Весь диапазон изме-
соответствующий изменению
нения величины магнитострикции,
магнитного поля от минимального до максимального его значения,
является областью использования кривой магнитострикции.
Для наилучшего использования кривой следует выбирать
Но >	, причем Нт = Нтах — Но, где Нтах — напряжен-
ность поля, соответствующая выбранному максимальному значе-
нию 8шах.
277
Так как функция /(Я) нелинейная, то, если поле изменяется по
закону
И — Но + Нт cos <о/,
то величина магнитострикции изменяется негармонически и харак-
тер ее изменения можно представить рядом Фурье:
8 = 8О + 8ml C0S 4- 8m2 cos 2«rf +
4- 8mS cos 3<o/ -j- . .. -j- bmk cos ktot + ...	(XI. 27)
Синусоидальные составляющие отсутствуют, так как кривые
магнитострикции при гармоническом изменении Н будут всегда
симметричны относительно своего максимума.
Нас будут интересовать только два члена ряда: 80 — постоян-
ная составляющая и 8т1 — амплитуда переменной составляющей
основной частоты <о. Высших гармонических 8т2, 8m3 можно не
учитывать, так как вибратор настраивается только на основную
частоту.
Заметим, что 80 #= 8П. Из сказанного следует, что определение ра-
бочей точки и области использования кривой магнитострикции сво-
дится к такому выбору значений 8тах и 8Я (а следовательно, Но и
Н„„), при которых 8Л1 будет наибольшим, i Приближенно опре-
деление 8Л1 и 80 можно произвести графоаналитическим способом.
Выведем соответствующие выражения. Выберем ряд определен-
ных значений переменной <о/, указанных в табл. XI. 1.
Таблица XI. 1
(0/	0°	45°	60°	90°	120°	135°	180°
н	Н0+Нт		Яо+-^-	Но	й: о 1	ы 	Нт ° V2	Но—Ят
б	^1 = &тах	8а	&8	8*	8в	б6	87
В эту же таблицу внесем соответствующие значения Н, а также
величины 8П ..., 87, взятые из реальной кривой магнитострикции
выбранного материала. Составив для соответствующих значений 8
выражения (XI. 27) вплоть до пятой гармоники (что обеспечивает
достаточную точность расчета) и решив полученную таким образом
систему уравнений относительно искомых амплитуд гармоник магни-
тострикции, получим следующие выражения для интересующих нас
величин:
Ът1	+ -Ь (82 - 8e);	(XI. 28)
лл г X
80 =	6+ + ^1+Л .	(XI. 29)
278
Так как обычно 87«0, то
+ У7у(82-М	(XI. 28а)
(XI. 29а)
На фиг. XI. 10 дан пример применения изложенного способа (кри-
вая В = f (Н) условная в произвольном масштабе) безотносительно
к какому-либо конкретному материалу. Выберем точку а, соответ-
ствующую некоторому 8тах. Пусть Но = —Вычислим значение Н,
соответствующее величинам аргумента <о/ = 45, 60 и 135° в едини-
цах принятого масштаба по оси Н. (Значения для <о/ = 90 и 120°
не вычисляем, так как в выражения (XI. 28) и (XI. 29) величины
и &5 не входят):
Я1 = Ятах = 45;
очевидно,
Яя, = Ятах—-Яо = 22,5;
нг = Но 4- Нт cos 45° = 38,5;
Я3 = Но 4- Нт cos 60° = 33,7;
Нй = Яо + Нт cos 135° = 2,3.
По кривой для этих значений Я находим = 8тах = 60,0;
&2 = 57,0; &з = 54,0, 8в = 2,0, откуда на основании (XI. 28а) и
(XI. 29а) имеем &от1 = 34,5; Во = 24,О.
Нанеся на график значение постоянной составляющей магнито-
стрикции 80 в виде прямой, можно рассматривать последнюю как
ось, относительно которой располагаются амплитуды ± Ът1 основной
гармонической составляющей магнитострикции. Легко видеть, что
благодаря нелинейности кривой 8 = f (Я), 80 < 8П, где — значение
магнитострикции при отсутствии переменной составляющей маг-
нитного поля (в статическом режиме).
Величине 80 соответствует некоторое значение напряженности
поля Н'с.
Выбор точки а (8тах) определяется условием получения
8ml > 0,45 8тах; при этом следует также учитывать степень насы-
щения магнитопровода (т. е. индукцию насыщения по кривой намаг-
ничивания для выбранного материала). Соответствующее максималь-
ное значение индукции должно быть ниже области насыщения.
После выбора рабочей точки, 8тах и определения 8т1 и 80, по
кривой намагничивания для .выбранного материала находим для Яо,
Ятах и Я^ значения индукций В„, Втах, Во (фиг. XI. 11), а также
величину индукции Вт1, соответствующую 8т1; для этого на кри-
вой (фиг. XI. 10) откладываем по вертикальной оси от точки 80
вверх отрезок, равный 8да1, и находим значение Нт1 (на фиг. XI. 10
это построение не приводится ввиду его очевидности). Далее по кри-
вой В = f(H) (фиг. XI. 11) находим значение Вт1 и откладываем его
279
по ординате, проходящей через Нтях (так как фактическая величина
напряженности поля, которой соответствует амплитуда 8т1, равна
Ятах). Эффективное значение р.э магнитной проницаемости (для
первой гармоники, соответствующей 8т1) находим следующим обра-
зом: через точку о1; соответ-
ствующую одновременно Но и
Во, проводим прямую о1а1;
тогда
Напомним, что кривые на
фиг. XI. 10 и XI. 11 имеют
иллюстрационный характер и
не связаны с каким-либо кон-
кретным материалом.
В полученное значение
необходимо ввести поправку на
размагничивающее действие
вихревых токов в толщине
листа. Для этого воспользуемся графиком (фиг. XI. 12), дающим
зависимость k = от
V-з
проницаемость с учетом
токов. В свою очередь,
коэффициента «2, где рэ1 — магнитная
размагничивающего действия вихревых
<р3 = 0,16и2Д2^,
где 2Д — толщина листа в мм;
f — частота в кгц;
р — удельное сопротивление материала листа в ом-ммЧм.
Фиг. XI. 12.
Соответственно коэффициенту k необходимо увеличить найденные
далее значения ампер-витков в у раз. Очевидно,
Нт ^тга Но-
280
6.	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВИБРАТОРА
После того как выбраны и определены размеры вибратора,
а также значения Но и Нт, определяется количество ампер-витков
подмагничивания aw0 и возбуждение ашт:
aw° = 0&1°р'
0Wт =	^СР '
где 1ср — средняя длина пути магнитного потока в отдельной маг-
нитной цепи (независимого магнитного пути).
Если Рнп — мощность, отдаваемая вибратором при механическом
к. п. д. т)л, то подводимая электрическая мощность
будет
Р _ рнп | ур'
0 ъ,+
где V — объем магнитопровода;
Р'пэ — удельные потери на токи Фуко и гистерезис (на единицу
объема), определенные при данной частоте для выбран-
ного материала.
Обычно электрический к. п. д. вибратора лежит в пределах
0,7—0,75, поэтому можно воспользоваться выражением
р°=^
Далее, задавшись величиной переменной составляющей тока, на-
ходим полное активное сопротивление, эквивалентное всем потерям
(в магнитопроводе, на внутреннее трение, в обмотках), и в том числе
перечисленному в электрическую цепь сопротивлению нагрузки
р  Ро
^9 — Jt *
Число витков на каждом стержне
„ <П»т
Ш == --7=— .
2 V2J
Величина постоянного (подмагничивающего) тока
Г — Wq
° 2т '
Эффективное значение полного тока („греющий ток“)
Определяем магнитное сопротивление отдельной магнитной цепи:
р — ^ср
и* 0,5|xs]Sc *
где Sc —площадь поперечного сечения среднего стержня.
281
Далее находим индуктивность вибратора. В случае последователь-
ного соединения всех обмоток, расположенных на каждом стержне,
-К)-7 8 (гн),
Ну.
где N — число независимых магнитных путей.
При параллельном соединении всех обмоток
7
£в
В ft ’
где Li — индуктивность одной обмотки на крайнем стержне;
L, = l2^8 IO"8 гн.
Очевидно, N = п — 1, где п — число стержней.
Эффективное значение напряжения на вибраторе
ue=jV^L,y + ^s.
Реальность выбора величины тока J в смысле возможности ее
получения при данной мощности Ро проверяется условием
Ро > UeJ cos <р,
где
ср = arctg-^Л
Если это условие не выдерживается, необходимо увеличить Ро
или уменьшить значение тока (пересчитав на новое число витков).
Очевидно, в последнем случае возможно, что оптимальное исполь-
зование вибратора не будет осуществлено.
Если величина напряжения оказывается значительной, так что
возможен пробой выбранной изоляции провода, следует уменьшить
число витков или применить параллельное включение обмоток.
При выборе сечения провода исходим из мощности потерь в обмотке
и возможности отвода тепла от вибратора охлаждающей средой.
Затем проверяется укладка обмотки в окнах вибратора. Если
просвет окна оказывается слишком большим, или, наоборот, недо-
статочным в отношении эффективного охлаждения, изменяем число
витков или задаемся другими параметрами магнитопровода.
7. ПРЕДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ РАССЕЯНИЯ, НАГРЕВ И ОХЛАЖДЕНИЕ
ВИБРАТОРА
Если полный к. п. д. вибратора
"Л о =
то мощность потерь, переходящих в тепло, будет
=	(XI. 30)
282
При данных материале вибратора, его габаритах и числе стерж-
ней величина Рнп является определенной, следовательно, поль-
зуясь формулой (XI. 30), можно найти величину Рпот. С другой
стороны, существует условие
Рпот<Рдоп,	(XI. 31)
где РЭоя— предельно допустимая величина потерь, зависящая от кон-
струкции вибратора, его размеров, способа и условий охлаждения
и от допустимой температуры нагрева.
Таким образом, значения Рнп и Рдоп определяют реальные
возможности энергетического использования вибратора. Если
Рпот > Р&оп> то Для обеспечения условия (XI.3) необходимо
уменьшить мощность Ро. При этом вибратор не сможет отдать мощ-
ность Рнп, т. е. не будет полностью использован.
Основным критерием, определяющим требуемые условия охлаж-
дения, а следовательно, величину Рдоп, является допустимая темпе-
ратура вибратора. Повышение температуры в центральных частях
сердечника более 70—80° следует считать недопустимым, так как
при более высокой температуре возможно разрушение изоляции
между пластинами. При температуре, превышающей 100°, сни-
жаются магнитные и магнитострикционные показатели материала
магнитопровода. Температура обмотки, как известно, не должна
превышать 50—60°. Таким образом, следует считать, что темпера-
тура 60—70° является предельной, выше которой не должен быть
нагрет ни один участок вибратора. Для обеспечения указанной
температуры необходимо применить охлаждение. Поверхностью
охлаждения являются ненагруженный торец вибратора и боковые
поверхности обмоток. Верхний торец вибратора, связанный с соот-
ветствующим звеном присоединенной к нему колебательной системы,
охлаждается отдачей тепла этому звену. Тепловой баланс зависит
от мощности, рассеиваемой на единице поверхности охлаждения,
свойств охлаждающей среды, скорости ее потока и характера его
движения. Скорость и характер движения потока в полости окна,
частично заполненного обмоткой, зависят от размеров этой полости.
Точный расчет охлаждения данной конструкции при применении
движущихся охлаждающих сред весьма затруднителен, поэтому
воспользуемся приближенным расчетом, исходя из основных зако-
нов теплопередачи и имеющихся данных, относящихся к тепловым
расчетам электрической аппаратуры.
Если Ф — тепловая мощность в ваттах, отдаваемая поверхностью
нагретого тела; 80ХЛ — поверхность охлаждения; Т и То — темпе-
ратуры тела и окружающей среды в °C; К — коэффициент тепло-
отдачи с поверхности тела, то
рдоп = Ф = KS0Xjl (Т—То) (формула Ньютона).
Для случая охлаждения в трансформаторном масле при естест-
венной циркуляции имеем такие значения для К:
для обмотки с бумажной изоляцией ft = (2,5-5-3,6)-10-8;
для пакета листового железа К= (7,0-н 9,0)-10-3.
283
Если масло имеет принудительную циркуляцию, то при скоро-
стях потока vn = (0,5-н 5) л/сек К — (0,0266 ч- 0,035).
В случае применения в качестве охлаждающей среды воды,
соответствующие коэффициенты могут быть увеличены в 3—4 раза.
8.	СОГЛАСОВАНИЕ ВИБРАТОРА С НАГРУЗКОЙ
Основная часть энергии, передаваемой от вибратора к объекту
(жидкая или твердая среда), поглощается последним, некоторая часть
излучается в воздух, а остальная отражается от объекта. Так как
в общем случае сопротивление нагрузки не
удовлетворяет условию RH = 2Rn (где Rn —
сопротивление, эквивалентное внутрен-
ним механическим потерям в вибраторе), то
необходимо между объектом и вибратором
ввести согласующий элемент. Один конец
этого элемента полностью связывается со
всей излучающей поверхностью вибратора,
а второй конец — с объектом. Следователь-
но, вибратор целиком нагружается на объект
через согласователь.
В качестве согласователя применяют кон-
центратор, являющийся трансформатором
механического сопротивления. Такое устрой-
ство также можно рассматривать как транс-
форматор колебательной скорости или сме-
щения, значения которых на обоих концах трансформатора раз-
личны. Наиболее распространенным видом согласователя является
экспоненциальный концентратор (фиг. XI. 13). В отличие от кони-
ческого концентратора экспоненциальный менее критичен к неболь-
шому отклонению рабочей частоты от резонансной, т. е. при та-
ком отклонении нарушения согласования от сечения к сечению
практически не происходит.
Вследствие того что в концентраторе энергия распространяется
без внутренних отражений, интенсивность колебаний на конце II
будет в раз больше, чем на конце I. Амплитуда перемен-
ного давления также увеличивается. Поэтому если бы нас инте-
ресовали не условия согласования с точки зрения отдачи макси-
мальной предельной мощности, а лишь получение больших давле-
ний, то следовало бы стремиться к максимально возможному отно-
шению [с учетом условия (VIII. 28)]. Однако мощность, отбирае-
“0
мая при этом от вибратора, в общем случае не будет максимальной.
9.	ЭЛЕМЕНТЫ КОНСТРУКЦИИ МАГНИТОСТРИКЦИОННЫХ ВИБРАТОРОВ
а) Магнитопровод вибратора
Приведем некоторые данные, относящиеся к практическому вы-
полнению. магнитострикционных вибраторов. В качестве материала
для магнитопровода чаще всего применяют никель, сплавы-никеля
284:
с алюминием, железа с алюминием, Железа с никелем и железоко*
бальтовые сплавы. Последние наиболее эффективны благодаря вы-
сокому значению величины магнитострикции, большому значению
магнитной проницаемости и относительно малым электрическим
потерям. Кривые намагничивания и магнитострикции зависят от
состава сплавов и технологии изготовления листового материала.
Из железокобальтовых сплавов лучшими показателями обладают
сплавы с содержанием 65—70% кобальта. Вырезанные из ката-
ного листа пластины, из которых собирается пакет магнитопровода
вибратора, могут подвергаться или не подвергаться отжигу.
Отожженный материал обладает лучшими магнитными свой-
ствами: потери на токи Фуко и гистерезис в таком материале меньше,
необходимое количество ампер-витков для достижения индукции
насыщения также малы, а значение индукции насыщения больше,
чем в неотожженном материале. В большинстве случаев значения
статической магнитострикции также больше для отожженного ма-
териала. Однако для некоторых неотожженных материалов вели-
чина магнитострикции оказывается больше. Так, например, вели-
чина & для горячекатаного никеля приблизительно в 2 раза больше,
чем для отожженного, но 8 для отожженного никеля в 1,5 раза
больше, чем для холоднокатаного. В то же время потери на внутрен-
нее треяие в горячекатаном никеле меньше в 1,5 раза, чем в отожжен-
ном. Следовательно, величина добротности Q больше, чем в ото-
жженном. Для некоторых железокобальтовых сплавов с содержанием
кобальта 65—70% в холоднокатаных листах наблюдается величина
магнитострикции в направлении проката больше, чем в отожженном
материале, в 1,3—1,4 раза. Однако такое возрастание 8 требует
также существенного увеличения необходимой напряженности на-
магничивающих полей (постоянного и переменного) и сопровождается
значительным возрастанием электрических и магнитных потерь.
Следует также иметь в виду, что неотожженный материал имеет
значительную магнитную неоднородность, магнитные свойства от
листа к листу и от одного участка листа к другому колеблются и,
следовательно, нельзя с достаточной для практики точностью за-
ранее рассчитывать на определенные и постоянные показатели для
неотожженного материала.
В связи с этим различные листы в набранном пакете могут иметь
различные магнитострикционные свойства, что приводит к необхо-
димости прочной связи между листами (склейка) для выравнивания
(усреднения) магнитострикционных усилий по всему сечению па-
кета.
Величина добротности в общем случае больше у холоднокатаного
материала; однако необходимость склеивания листов, т. е. введение
пассивного материала, в большинстве случаев обладающего боль-
шими вязкими потерями, значительно снижает добротность.
Обычно пластины, вырезанные из неотожженного материала,
оказываются выгнутыми вдоль направления проката, а последующей
рихтовкой не удается их полностью выравнять. Это приводит к тому,
что при наложении магнитного поля на сердечник, собранный из та-
285
ких листов, возникают составляющие усилий, которые не совпадают
с нормалями и поперечным сечением листа. В результате полезные
усилия (вдоль стержня) уменьшаются, нарушается режим продоль-
ных колебаний и эффективность преобразователя резко падает.
Для устранения этого явления оказывается необходимым при-
менять сборку пакета одновременно со склеиванием листов и по-
следующей сушкой пакета, сжатого между пластинами. Таким обра-
зом обеспечивается необходимое выравнивание листов. Следова-
тельно, при применении неотожженного материала склеивание
листов является необходимой операцией, устраняющей влияние не-
однородности свойств различных листов и их кривизны. Склеиваю-
щий материал одновременно является электроизолирующей про-
слойкой между листами, препятствующей возникновению вихревых
токов.
Следует заметить, что неотожженные листы имеют большую
прочность, чем отожженные. С этим приходится считаться в случае,
если при достаточно большой добротности нагруженного вибратора
в нем возникают настолько большие усилия, что пластины разры-
ваются. Чем тоньше пластины, тем больше вероятность таких раз-
рывов. Обычно пластины разрываются в местах перехода стержня
к ярму, т. е. в углах окна. В связи с этим применяют плавный пере-
ход от стержней к ярму с радиусом закругления г = -у, образующим
арку окна, или, для мощных вибраторов, угловые закругления
радиусами г = образующими сглаживание углов.
Пластины выбранной формы штампуются из листов данного маг-
нитострикционного материала или вырезаются путем фрезерования
пакетной заготовки. Независимо от того, будет материал приме-
няться в отожженном или неотожженном виде, штамповка или вы-
резка пластин производится из неотожженного листа так, чтобы на-
правление магнитных силовых линий в стержнях совпадало с на-
правлением проката листов. Такое условие обязательно для всех
железокобальтовых сплавов.
В случае, если пластины перед сборкой вибратора должны быть
подвергнуты отжигу, направление штамповки или вырезки без-
различно.
Толщина пластин обычно выбирается от 0,25 до 0,1 мм
(в диапазоне от 8000 до 35 000). В случае болтовых скреплений
пакета, необходимых при больших габаритах вибратора, отвер-
стия для болтов делаются заранее в неотожженных пластинах.
Диаметр отверстий должен быть возможно меньше. В отдельных слу-
чаях для предотвращения ослабления полезного магнитного потока
следует избегать болтовых соединений, проходящих сквозь пакет.
Требование изоляции болтов от пакета является очевидным.
В качестве склеивающего материала можно, например, приме-
нить клей БФ-2 с соблюдением обычной технологии склеивания,
выдержки и сушки склеенного пакета при требуемой температуре.
Толщина клеевой пленки при этом должна быть возможно меньше.
286
Если вибратор собирается из отожженных пластин, то склеивание
является излишним. Мягкие отожженные пластины легко выравни-
ваются и при сборке пакета и последующей его стяжке крепящей ар-
матурой остаются ровными. Однако листы должны быть изолиро-
ваны один относительно другого. В качестве изолирующего мате-
риала можно использовать обычные лаки, применяющиеся при
сборке трансформаторных пакетов, или другие электротехнические
лаки, например изоляционный лак № 202 или 203. Следует иметь
в виду, что с течением времени работы вибратора лаки разрушаются
и изоляция между листами нарушается. Кроме того, лак уменьшает
добротность вибратора.
При рациональном нанесении лаковой изоляции коэффициент
заполнения сердечника может быть доведен до достаточно высокого
значения, порядка 0,9. Все же лаковая изоляция листов вибратора
не является качественным решением. Значительно более совершен-
ной изоляцией являются оксидные пленки на поверхности пластин.
Если материалом для пластин является никель, то оксидная пленка
легко получается путем введения в конце процесса отжига (ведущего
обычно в водороде или нейтральной атмосфере) некоторого коли-
чества воздуха.
Возможно также получить оксидную пленку на пластинах, если
нагреть их до определенной температуры на воздухе. Например,
для никеля эта температура составляет 550—600° С. Оксидная пленка
при правильном ее нанесении имеет очень малую толщину и прочно
связана с материалом пластины. Однако не на все магнитострикцион-
ные материалы могут быть нанесены оксидные пленки указанным
способом. Например, листы из железокобальтовых сплавов при
нагреве не покрываются оксидной пленкой, обладающей необходи-
мыми прочностью и изоляционными свойствами. В этом случае можно
поступить следующим образом. Поверхность пластин подвергается
покрытию металлом (каким-либо из известных способов), способным
образовать прочную оксидную пленку. Затем металлизированные
пластины подвергаются оксидированию способом, соответствующим
нанесенному на пластину металлу.
В качестве наносимого металла можно применить алюминий,
никель, железо или другие. При сборке пакета пластин вибратора
в качестве крайних (наружных) выбираются пластины из того же
материала, но более толстые. Это делается для того, чтобы стяги-
вающая арматура (верхний, нижний и центральный хомуты) более
равномерно распределяла стягивающие усилия по всей поверхности
листов. Кроме того, если крепление (подвеска) вибратора осуще-
ствляется в его узле центральным хомутом, ножи последнего будут
врезаться не в тонкие пластины, а в более толстые боковые. Тол-
щина крайних пластин выбирается от 0,5 до 1,5 мм, в зависимости
от рабочей частоты вибратора и его размеров.
Меньшие толщины соответствуют более высоким частотам.
Поверхности излучающих торцов (особенно того торца, который
связывается с концентратором) должны быть отшлифованы, а остав-
шиеся при этом заусенцы удалены травлением. Сборка и склейка
287
(если таковая производится) вибратора должны происходить на кон*
дукторе, обеспечивающем ровную укладку пластин.
Стяжка пакета хомутами у излучающего торца вибратора пока-
зана нафиг. XI. 14,а. Здесь 2 и 2' две половинки хомутов, стягиваю-
щих пакет 1. Стрелкой С показано направление плоскостей листов.
Половинки хомута примыкают к крайним пластинам, а между боко-
выми торцами пластин пакета и хомутом, как это видно на фигуре,
имеется небольшой зазор. Стяжка хомутов осуществляется в точках 3
болтовым или винтовым соединением. Материал хомута — латунь
Фиг. XI. 14.
или сталь. Высота хомута 4 обычно берется равной (0,75—1,0) d,
где d — ширина ярма, а толщина /2 выбирается из условия прочно-
сти стяжки и деформируемости хомута. Следует стремиться к воз-
можно малому значению величины 4 для уменьшения пассивной
массы хомута.
На фиг. XI. 14, б показан центральный хомут, стягивающий па-
кет в плоскости узла колебаний, т. е. на половине высоты вибра-
торов.
Так как в узле масса хомута не влияет на режим работы вибратора,
размеры 4 и /2 определяются только условиями стяжки и прочности
хомута. Размер 4 должен быть больше 4 для обеспечения необходи-
мой жесткости в плоскости стяжки. Стяжка половинок 2 осуществ-
ляется в точках 3. На фиг. XI. 14, б показан удобный вариант стяжки
в виде болтового соединения, в котором используется болт с диамет-
ром большим толщины 4. Вдоль тела болта (в центральной его части)
сделана прорезь толщиной 4. В эту прорезь входят две половинки
соединяемых частей хомута.
На участках соприкосновения хомута с пакетом половинки
хомутов выполняются в виде призм (ножей), ребра которых 4 стя-
гивают пакет. Отогнутые части хомута связываются с опорами
крепления вибратора.
288
б) Крепление вибратора
Собранный вибратор прикрепляется к опорной конструкций.
Последняя не входит в колебательную систему и поэтому не влияет
на режим работы вибратора. Вид опорной конструкции определяется
рабочим местом, размерами и назначением вибратора. Обычно опор-
ная конструкция находится внутри бака охлаждения вибратора.
Устройство, связывающее опорную конструкцию с вибратором,
называется креплением вибратора. Конструкция и размеры крепле-
ния определяются условиями колебательного режима и поэтому
должны быть соответствующим образом выбраны. Крепление вибра-
тора должно обеспечить необходимую прочность и в то же время
практически не должно нарушать колебательный режим вибратора.
Крепление вибратора может быть двух типов: а) подвесное,
б) опорное.
На фиг. XI. 15 изображены схематически варианты подвесного
крепления. Как видно из фигур, крепление связывается с сечением
вибратора, в которой имеет место нулевое смещение (узел смещения);
при этом вибратор является «подвешенным» в указанной его части.
Легко видеть, что крепление не входит в колебательную систему, и
поэтому его форма и размеры могут быть выбраны только из сообра-
жений необходимой прочности, удобства сборки и компановки всего
вибратора в целом. Такое крепление наиболее часто применяется
для вибраторов относительно малой мощности, т. е. имеющих неболь-
шой вес (до 5—10 кг вместе с концентратором).
На фиг. XI. 15, а показан, вариант «ножового» крепления.
Призмы Н центрального хомута (см. также фиг. XI. 14, б) упи-
раются в крайние (утолщенные) пластины П. На пластинах П в ме-
стах охвата ребрами призм обычно делается риска глубиной 0,2—
0,5 мм (в зависимости от толщины крайних пластин).
На фиг. XI. 15, б показан вариант ребристого крепления, для ко-
торого пластины вибратора должны иметь соответствующую форму.
В этом варианте хомут 1 охватывает ребра в плоскостях, перпенди-
кулярных сечениям пластин. На фиг. XI. 15, в крепление осуществ-
ляется путем связи центрального хомута соответствующей конструк-
ции с приливами на боковых пластинах П. Так как практически
охват крепления в плоскости узла смещения не может иметь беско-
19 теумин 261	289
нечно малую высоту, то подвесное крепление в известной степени
нарушает режим работы вибратора. Для уменьшения этого явления
высота охвата креплением вибратора должна быть достаточно малой.
Обычно, можно допустить t <
< 0,05 I, где I — полная высота
вибратора.
Важным является достаточная
точность установки крепления
относительно узловой плоскости;
величина отклонения от места пло-
скости узла должна быть не более
0,04 Хо, где Хо — длина волны
в вибраторе.
В то же время необходимо,
чтобы прочность крепления была
достаточной для уверенной под-
вески вибратора с концентрато-
ром и объектом, на который воз-
действует вибратор (если по усло-
виям работы вибратора вес объек-
та присоединяется к весу вибра-
тора).
Очевидно, прочность крепле-
ния определяется площадью кон-
тактной поверхности, размерами
ребра или прилива и силой натя-
жения охватывающего устройства.
Для больших вибраторов под-
весное крепление не может быть
рекомендовано вследствие его не-
достаточной прочности. В этом
случае более целесообразно при-
менение опорного крепления, ко-
торое к тому же является более
удобным с конструктивной сто-
роны.
На фиг. XI. 16 схематически
показана конструкция одного из
вариантов такого крепления, раз-
работанного автором и названного
им «полуволновым опорным изо-
лятором». К нижнему (нерабо-
чему) торцу вибратора М присоединяются полуволновые стержни-
изоляторы И (Xi —длина волны в материале стержня при данной ре-
зонансной частоте вибратора). Стержни должны иметь хороший аку-
стический контакт с торцом' вибратора. Такой контакт может быть
обеспечен припайкой торцов стержней к торцу вибратора (по всей
плоскости соприкосновения). Материал цилиндрических стержней
следует выбирать с малыми акустическими потерями (например,
290
алюминий, дуралюмин или обычную углеродистую сталь). Присое-
динение таких стержней не вызовет нарушения колебательного ре-
жима вибратора, так как стержни и вибратор настроены в резонанс.
На половине высоты стержней, т. е. в плоскости узла смещения,
имеются пояски р, которые опираются на опорные гильзы О. Таким
образом, вибратор опирается через половинки полуволновых стерж-
ней на гильзы О, которые несут на себе вес всей конструкции.
Легко видеть, что такая система крепления может нести боль-
ший вес, чем подвесная. Обозначим количество опорных стержней
через п; тогда (см. фиг. XI. 16), полагая зазор между поясками со-
седних стержней весьма малым, получим
4-АО-
Величина опорной поверхности, образуемой всеми поясками,
So = nnD^.
Величина опорной поверхности при подвесном креплении (т. е.
при отсутствии опорных стержней-изоляторов), определяемая пери-
метром охвата вибратора и шириной пояска Д2, будет
Зд = 4дД2 = 4 ]/5г (D + AJA2.
Следовательно, при применении опорного крепления величина
опорной поверхности будет больше, чем при подвесном креплении
в у раз, где
_ So _ птсР^ _ я у- 1	, _Д1_
У «Д 4 Гп (D 4- Д1)д2 4 ¥	1 _|_А д* *
D
Выберем -^- = 0,1 (что конструктивно возможно); тогда
у = 4- /п------Ц------~ 0,71	•
4	1 , Д1 Д2	Да
+ “D"
При равных значениях А! и Д2 выигрыш _в величине веса под-
держиваемой конструкции будет t/'=0,71|/n. Следовательно, во
столько же раз можно увеличить ширину пояска Aj по сравнению
с шириной Д2 (так как изгибающие усилия будут соответственно
меньше). Поэтому
ф- = 0,71 У~п>
Да г
откуда
у = (0,71 /л)2 = 0,5 п.
Например, при п = 9 возможно увеличить вес поддерживаемой си-
стемы в 4,5 раза.
Крепление концентратора к магнитопроводу вибратора должно
обеспечить надежный акустический контакт. Так как концентратор
19*	291
настраивается в резонанс и длина его равна половине длины волны
или кратна этой величине, то механическое сопротивление в пло-
скости соединения вибратора с концентратором мало и определяется
только эквивалентным сопротивлением потерь в концентраторе.
Поэтому усилие, стремящееся нарушить крепление концентратора,
т. е. оторвать его от вибратора относительно невелико. Однако
это усилие возрастает, если концентратор неточно настроен на рабо-
чую волну или если потери в нем велики.
При нарушении качества акустического контакта между кон-
центраторами и вибратором указанные усилия также увеличиваются,
так как механическое сопротивление в плоскости соединения воз-
растает.
Поэтому на качество указанного соединения следует обра-
щать серьезное внимание. Наиболее рациональным и простым соеди-
нением является припайка всей плоскости (нижней) концентратора
к торцу вибратора. Оловянные или серебряные припои вполне
удовлетворительны для указанной цели. Некачественная припайка,
т. е. неполный охват припоем плоскости контакта,недопустима, таккак,
помимо ослабления пайки, при этом возникают усилия, стремящиеся
оторвать концентратор от вибратора (вследствие ухудшения акусти-
ческого контакта). Возможно также применение контактной сварки.
Всякого рода механические крепления, связанные с введением
у поверхности торца вибратора дополнительных устройств в виде
резьбовых креплений, гаечных насадок и т. д., являются нерацио-
нальными, так как, во-первых, эти устройства обладают дополни-
тельной присоединенной массой, нарушающей режим работы вибра-
тора и вносящей расстройку концентратора и, во-вторых, резьбовое
соединение не обеспечивает хорошего акустического контакта при
больших мощностях.
В результате эффективность работы системы вибратор — кон-
центратор нарушается, в месте соединения возникают дополнитель-
ные усилия и резьбовое соединение под влиянием колебаний быстро
выходит из строя вследствие смятия резьбы. Указанные соединения
можно допустить лишь в случае вибраторов небольшой мощности
(до 1000 вт подводимой мощности) и при рационально осуществлен-
ной конструкции механического крепления, при которой масса
и габариты конструкции малы, резьбовое соединение тщательно
выполнено, а поверхности соприкосновения вибратора с концентра-
тором достаточно велики (при качественном состоянии этих пло-
скостей). Пришлифовка соприкасающихся поверхностей в этих
случаях является обязательной.
Следует заметить, что резьбовое соединение концентраторов
с настроенными стержнями или стержней друг с другом в узлах
смещения возможно и при больших мощностях, но при условии,
что в места соединения не добавляются никакие конструктивные
массы и применяется тщательно изготовленная коническая резьба
достаточно большого диаметра. Во всех случаях следует длину
болтовой части делать возможно меньше, чтобы не удаляться от
плоскости узла колебаний.
292
На фиг. XI. 17, а и б представлены варианты безрезьбового соедиь
нения концентратора 1 с полуволновой стержневой насадкой 2.
Контактные плоскости К хорошо пришлифовываются друг к другу,
и независимо от наличия или отсутствия пайки стержень и концен-
тратор сжимаются стягивающим стаканом 5, который в верхней
своей части (фиг. XI. 14, а) навинчивается на резьбу пояска 4, а в
нижней части прижимается к пояску 3 концентратора. Пояски 4 и 3
находятся в плоскостях узлов смещения стержня и концентратора,
и поэтому присоединение к этим пояскам стакана не нарушает режима
колебаний системы.
На фиг. XI. 17, б стакан связан нижней частью с плоскостью
узла концентратора (поясок 6), а верхней частью (концы вну-
тренних стенок) — с приливом 3. Таким образом, верхняя часть
Фиг. XI. 17.
стакана связана с плоскостью стержня, где имеется пучность
смещения. Чтобы такое присоединение на нарушало работу
системы стержень — концентратор, размер во внутренней части
стакана должен быть равен -j-, где X—длина волны (для рабочей
частоты) в материале стакана.
Как известно, присоединение к месту пучности колебаний системы
длиной в четверть волны не нарушает режима колебаний. Однако
при этом необходимо, что второй конец внутренней стенки стакана
(переходящий в дно а) имел нулевое смещение. Это обеспечивается
тем, что длина участка а невелика, а его толщина достаточна для
того, чтобы жесткость этого участка была большой; тогда на конце 7
внутренней стенки смещение практически будет нулевым. Такое
крепление при наличии припоя в плоскости соединения К увеличи-
вает механическую прочность соединения и может применяться
также и при отсутствии пайки.
Для эффективности рассмотренного соединения необходимо,
чтобы давление, создаваемое натяжным стаканом, было не меньше
293
того, которое возникает в узлах смещения при колебаниях, так как
в противном случае при сжатии концентратора (положительная
фаза деформации) стержень не будет находиться под действием
усилий, развиваемых концентратором, а будет колебаться лишь за
счет энергии, запасенной в период отрицательной фазы (растяжение
концентратора).
При достаточном натяжении, создаваемом стаканом, благодаря
начальной деформации, энергия будет передаваться от концентра-
тора к стержню в течение всего периода колебаний. Если плоскость
контакта имеет пайку, то нет необходимости в указанной величине
натяжения.
Рассмотренное соединение особенно удобно в том случае, если
пайка материала стержня затруднена (например, некоторые виды
керамики, применение которой вызывается конструктивными или
технологическими соображениями). Следует отметить, однако, что
керамика может быть припаяна к концентратору если предварительно
нанести путем вжигания серебро на торец керамического стержня.
10.	ОБМОТКИ ВИБРАТОРОВ И ИХ ПИТАНИЕ
Данные обмотки возбуждения вибратора (число витков, сечение
привода, изоляция) определяются в результате электрического
расчета. При этом, как было указано ранее, учитываются также
условия охлаждения. Во всех случаях следует стремиться к мини-
мально возможному числу витков, так как при этом индуктивность
обмотки, а следовательно, рабочее напряжение на вибраторе будет
меньше.
Последнее обстоятельство определяет выбор изоляции. В свою
очередь, повышение изоляции приводит к ухудшению условий
охлаждения, так как при этом уменьшается свободное сечение окна
и увеличивается теплоизоляция провода и пакета вибратора. Ска-
занное особенно существенно для вибраторов, охлаждаемых водой,
и вибраторов большой мощности.
В отдельных случаях приходится применять провод с пониженной
изоляцией и в качестве охлаждающей среды использовать трансфор-
маторное масло, которое хотя и обеспечивает условия изоляции,
однако, как уже было указано, обладает худшими (по сравнению
с водой) охлаждающими свойствами.
Кроме того, система охлаждения значительно усложняется,
так как масло должно циркулировать по замкнутой системе (с при-
нудительной циркуляцией — насосом) и, в свою очередь, охлаждаться
водой, обтекающей змеевик охлаждения.
Для возбуждения постоянного (подмагничивающего) и перемен-
ного (рабочего) магнитных потоков в магнитопроводе вибратора
принципиально возможно применить две независимые или одну общую
обмотку. Однако применение двух обмоток нерационально. Дей-
ствительно, в этом случае коэффициент заполнения окна магнито-
провода медью уменьшается, а заполнение изоляцией проводов
294
увеличивается. Кроме того, схема питания обмоток возбуждения
не упрощается, ибо необходимость в защите цепи подмагничивания
от переменного тока при способе раздельного питания не отпадает,
поскольку наводимое в обмотке подмагничивания переменное напря-
жение вызывает ток в цепи подмагничивания и последняя оказывает
шунтирующее действие на цепь переменной составляющей тока.
Поэтому следует применять общую обмотку.
На фиг. XI. 18 показаны схемы питания вибратора.
в)
Фиг. XI. 18.
На фиг. XI. 18, а и б представлены схемы со вторичным контуром.
Эти схемы применяются в том случае, если в качестве источника
переменного тока используется ламповый генератор с независимым
возбуждением.
На фиг. XI. 18, а приведена схема с последовательным рабочим
контуром, а на фиг. XI. 18, б— с параллельным контуром. Выбор
той или другой схемы определяется условиями построения и расчета
лампового генератора, а также условиями связи генераторного
контура с рабочим (вторичным). В схемах а и б катушка индуктивно-
сти относится к первичному (генераторному) контуру, L2 — ка-
тушка связи. В схеме а индуктивность L2 входит в общую индуктив-
ность рабочего контура, а в схеме б эта индуктивность не является
частью рабочего контура, представленного индуктивностью вибра-
тора. В и емкостью С. Емкость С в обеих схемах является емкостью
рабочего контура. Дроссель Д служит для защиты цепи подмагни-
чивания от проникновения в нее переменного тока и одновременно
устраняет шунтирующее действие этой цепи на цепь переменного
тока. В схеме а емкость С одновременно является блокирующей,
2Г5
защищающей источник постоянного тока от короткого замыкания
через катушку связи. В схеме б для этой же цели дополнительно
установлен конденсатор Сб, что является недостатком этой схемы.
Величина емкости Сб выбирается из условия
Сб>20
СЛЭ
2к{Ьв ’
где Дэ — полное сопротивление, эквивалентное всем потерям в вибра-
торе и в нагрузке;
Lt — индуктивность вибратора.
Величина индуктивности Ld дросселя Д определяется из соотно-
шения
Ld > 20Le (для схемы а)
и
> 20 -с# (для схемы б).
Если источником переменного тока, питающего вибратор, является
машинный генератор, можно применить схемы питания, аналогичные
схемам а и б. Схема, представленная на фиг. XI. 18, в, применяется
при использовании лампового генератора с самовозбуждением.
Здесь индуктивность L3 — анодный дроссель, емкость С2 и сопротив-
ление Д образуют цепь сеточного смещения лампы, конденсатор Сг —
анодный разделительный. Полная индуктивность контура
LK = ^*1 "1” ^2
где Lj — основная индуктивность;
L2 — вариометр, необходимый для подстройки контура в про-
цессе работы вибратора при некотором изменении частоты
последнего;
С3 — емкость контура.
Величина индуктивности дросселя Допределяется из условия L0 >
> 20 Le.
При расчете дросселя следует учитывать влияние тока подмаг-
ничивания, уменьшающего эффективное значение магнитной про-
ницаемости материала магнитопровода дросселя. Магнитопровод
дросселя выполняется с воздушным зазором, оптимальная величина
которого выбирается из расчета обеспечения максимального значения
индуктивности Ld.
В заключение следует отметить, что при увеличении тока под-
магничивания сверх необходимого значения, помимо уменьшения
величины переменной составляющей магнитострикции, возникают
сложные явления, связанные с нелинейными процессами намагни-
чивания. В результате этих явлений изменяется индуктивность
вибратора, а следовательно, и собственная частота рабочего контура;
при попытке подстройки * частоты для получения электрического
резонанса, ток в контуре существенно возрастает, а интенсивность
упругих колебаний резко падает. Режим настройки при этом ока-
зывается неустойчивым.
296
Такие явления сравнительно легко наступают при использовании
магнитострикционных материалов с малым значением индукции
насыщения (например, никеля). Кроме того, при применении этих
же сплавов в неотожженном виде в результате случайных толчков,
тока (например, при включении или выключении переменного тока
без предварительного снижения его величины) наблюдается зна-
чительное остаточное намагничивание, смещающее рабочую точку
в область, в которой вибратор не может нормально работать. При
этом значительно изменяется индуктивность вибратора. У никелевого
сердечника при достаточно большой интенсивности упругих колеба-
ний и сравнительно длительной работе вибратора магнитострикцион-
ные свойства падают.
ГЛАВА XI/
ОПОРЫ, КРЕПЛЕНИЯ,СОЕДИНЕНИЯ
1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АРМАТУРЫ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Важными элементами конструкции стержневых колебательных
систем являются опоры, крепления и соединения.
В настоящей главе рассмотрим эти элементы ультразвуковых
колебательных систем и основы их выбора и расчета. Эти элементы
будем называть арматурой стержневых систем.
Конструкция, несущая (полностью или частично) вес колебатель-
ной системы, называется опорой. Опоры могут быть двух видов:
пассивные и активные.
Пассивной (или реактивной) опорой является опора, управляе-
мая массой или упругостью. Присоединение пассивной опоры к коле-
бательной системе в том или ином ее месте изменяет резонансные
свойства и колебательный режим данной системы.
Активной (или настроенной) опорой называется опора, присоеди-
нение которой к колебательной системе практически не изменяет
ее резонансных свойств и лишь увеличивает активные потери.
Очевидно, как в пассивной, так и в активной опоре имеют место
упругие колебания, если эти опоры связаны с колебательной системой
не в узловой плоскости.
По характеру установки и закрепления опоры могут быть двух
основных типов:
А. Стоячие опоры, работающие на сжатие. Такая опора устана-
вливается на основании, называемом «нейтральным», или на подвесной
опоре.
Б. Подвесные опоры, работающие на растяжение.
Любая пассивная или активная опора должна таким образом
сочетаться с колебательной системой, чтобы колебательная мощность,
отбираемая нагрузкой от этой системы, была максимальной, т. е.
возможно ближе к величине той мощности, которая отбиралась
бы от колебательной системы при отсутствии опоры.
Креплениями называются конструкции, обеспечивающие при-
соединение опор к колебательной системе.
Аналогично опорам, крепления могут быть пассивными или актив-
ными, однако практическое применение имеют только активные
крепления. В отдельных случаях в активных креплениях, в отличие
298
от активных опор, могут отсутствовать упругие колебания. Такие
конструкции не вносят никаких потерь в колебательную си-
стему.
Возможны такие конструкции креплений, когда последние совпа-
дают по своему назначению с конструкцией опоры. При этом креп-
ление может быть пассивным.
Соединения (или скрепления) колебательных систем являются
конструкциями, предназначенными для контактного соединения
звеньев колебательных систем.
Очевидно, соединения должны обеспечить прочные, не нарушаю-
щиеся при колебаниях связи между звеньями, и, кроме того, созда-
вать качественный акустический контакт.
Наряду с этими требованиями, соединения должны удовлетворять
условиям минимального нарушения собственной частоты стержневой
системы, а также минимального внесения потерь и отражений.
Чем в большей степени удовлетворяются все указанные требования,
тем качественнее крепление.
Жесткие (или твердые) связи обеспечиваются в виде припайки
или приварки соединяемых звеньев, а также разъемными резьбо-
выми, болтовыми, клиновыми соединениями, методом горячей по-
садки и т. д.
Все жесткие соединения являются пассивными. Кроме того,
возможны простые контактные соединения, путем механического
прижатия соединяемых поверхностей при помощи дополнительного
стягивающего оба звена скрепления. При этом места соединения
скреплений к стягиваемым звеньям должны быть выбраны определен-
ным образом.
Жидкостные связи обеспечиваются жидкой прослойкой между
соединяемыми звеньями; при этом жидкость должна смачивать обе
соединяемые поверхности.
Жидкостные соединения могут быть пассивными или активными.
В последнем случае жидкая прослойка должна иметь определенную
толщину.
Как было указано выше, жесткие соединения являются пассив-
ными. Однако можно связать два звена колебательной системы и при
помощи активного соединения, но такое соединение применяют лишь
в случаях согласования этих звеньев друг с другом.
Такие соединения представляют собой промежуточное звено
колебательной системы и являются согласующими или переходными
звеньями. Очевидно, что в местах контакта этого дополнительного
звена с первым и вторым звеньями необходимо обеспечить какие-
либо пассивные соединения. Звенья этого типа были рассмотрены
выше и из категории «соединений» мы их исключаем.
Перейдем к рассмотрению опор.
Элементы конструкций всех типов арматуры можно разбить на
две группы. К первой группе относятся элементы, размеры которых
определяются частотой колебаний и режимом работы данной кон-
струкции. Такие элементы конструкции арматуры назовем главными,
а их размеры — критичными.
299
Ко второй группе относятся элементы, размеры которых не
связаны с частотой и режимом работы арматуры, но определяются
из общих конструктивных соображений. Такие элементы конструк-
ций назовем вспомогательными. Размеры вспомогательных элементов
являются некритичными.
Во всех видах арматуры (опоры, крепления и соединения) могут
одновременно присутствовать как главные, так и вспомогательные
элементы конструкции или только одни из них.
На приводимых, далее фигурах XII. 1 — XII. 9 колебательная
система, с которой связывается опора, условно обозначается бук-
вой /(.
В дальнейшем условимся к обозначениям, относящимся к размерам
вспомогательных элементов конструкции, приписывать нижний
индекс 0, например: l0, d0, а0, Ьо и т. д.
В тех случаях, когда в сечении, к которому присоединяются
арматура, по условиям работы колебательной системы имеется пуч-
ность смещения, это сечение будем условно обозначать буквой т.
Если же в указанном выше месте находится узел смещения, то
соответствующее сечение будем обозначать 0. При рассмотрении
конструктивных типов арматур и анализе их работы следует помнить,
что система К является движущей.
2.	ПОЛУВОЛНОВЫЕ ОПОРЫ
Полуволновые опоры могут быть двух типов: а) симметричная
(с отражающим концом); б) несимметричная (с отражающей массой).
На фиг. XII. 1 изображена симметричная полуволновая опора.
Такая опора является активной и представляет собой полуволновый
стержень 1, прикрепленный одним концом к поддерживаемой кон-
струкции. Поясок 2, проходящий через узловую плоскость этого
стержня, прикрепляется к стоякам. Таким образом, в этой конструк-
ции используется узловое крепление. Очевидно, нижняя половина
опоры является четвертиволновым участком, создающим отражение
и обеспечивающим возникновение узловой плоскости в месте креп-
ления.
Расчет симметричной полуволновой опоры сводится к определению
ее длины:
Толщина Д пояска выбирается из условий прочности, но должна
быть Д < 0,05/.
Необходимые указания о конструкции крепления такой опоры
были даны в главе XI.
Рассмотрим полуволновую несимметричную опору, изображенную
на фиг. XII. 2. Как видно из фигуры, эта конструкция состоит из
стержня длиной I < -у и присоединенной к этому стержню массы М.
Вся эта система настраивается в резонанс, и ее акустическая длина
300
равна половине рабочей длины волны. Благодаря присоединенной
на конце стержня массе М, узловая плоскость ОО смещена к указан-
ному концу. Таким образом, масса М дополняет акустическую длину
стержня до -у.
Такая конструкция удобна тем, что ее длина меньше, чем у сим-
метричной полуволновой опоры, и если габариты массы М могут
быть взяты относительно небольшими (размер /2), то потери в такой
опоре меньше. Часть, представляющая собой присоединенную
Фиг. XII. 1.
массу, нами рассматривается как сосредоточенный элемент. Для
того чтобы такое рассмотрение было практически оправдано, необхо-
димо, чтобы /2 < (0,1 -г- 0,125) X, а отношение-^- < 1,2, где</, d0 —
максимальные размеры поперечного сечения стержня и элемента
массы соответственно.
Очевидно, целесообразно выбирать материал элемента массы
с наибольшим, а материал стержня с наименьшим удельным весом.
Основные потери при указанных выше соотношениях размеров будут
сосредоточены в стержне; поэтому, выбрав для уменьшения потерь
в качестве материала стержня, например алюминий, легко подо-
брать необходимый по удельному весу материал для элемента сосре-
доточенной массы.
Расчет полуволновой несимметричной опоры можно производить на
основании следующих соотношений.
Из уравнения (III. 53) имеем выражение для резонансной частоты:
— / — arete = —
v i arcig х 2 ,
откуда
Z = _Е-( arctg4-;	(XII.1)
301
здесь w0—волновое сопротивление стержня;
Хн — <лМ—инерционное сопротивление присоединенной массы.
Задаваясь величиной М, можно легко определить длину стержня.
Для определения положения узловой плоскости, т. е. места поло-
жения опорного пояска, можно воспользоваться выражениями (III. 22)
и (III. 23), на основании которых получаем
р sin (—х -
| = i Fm‘ .	' v J
m Wo	COS <f>	*
следовательно, амплитуда смещения будет равна нулю на расстоянии
xQ от конца стержня, где
х0 = I — L= — v,
V	О)
откуда
=	(хп. 2)
здесь
<P = arctg^.	(XII. 3)
Очевидно, lt > х0, но всегда следует стремиться к тому, чтобы
расстояние от узловой плоскости до плоскости присоединения
сосредоточенной массы было возможно меньше.
Несимметричная полуволновая опора будет наиболее рациональна
в том случае, если ее общая длина / будет возможно меньше.
3.	ЧЕТВЕРТИ ВОЛНОВЫЕ ОПОРЫ
Четвертиволновая опора является активной и присоединяется
своим рабочим концом к колебательной системе, которую она под-
держивает (фиг. XII. 3). Так как в точке присоединения амплитуда
смещения опоры максимальна (пучность смещения), то такая опора
может быть присоединена к месту, где расположена пучность сме-
щения поддерживаемой колебательной системы. Применение четвер-
тиволновой опоры можно еще трактовать как подсоединение к под-
держиваемой конструкции стержневой системы с очень малым вход-
ным сопротивлением (система длиной в четверть волны с закреплен-
ным концом). Очевидно, такая система не должна вносить реакции,
а следовательно, нарушать колебательный режим поддерживаемой
конструкции.
В главе XI были приведены примеры использования четверти-
волновых опор. Для нормальной работы такой опоры необходимо
обеспечить условия, при которых на основной резонансной частоте
на конце опоры был бы узел смещения. Для этого необходимо,
чтобы конец опоры был нагружен на бесконечно большое сопроти-
вление.
302
Для реализации необходимого колебательного режима нельзя
ограничиться простым закреплением соответствующего конца.
Действительно, если, например, конец закрепить к некоторой массе
(представленной той или иной конструкцией), то эта масса будет
являться реактивной нагрузкой. Если конструкция, представляю-
щая собой массу, будет иметь достаточную протяженность в направ-
лении распространения упругой волны,
то она будет вести себя как система с рас-
пределенными постоянными, присое-
диненная к рассматриваемому стержню.
В результате опора не будет иметь на
своем конце узла смещения, т. е. не
будет закреплена в точке присоединения
массы.
Это свидетельствует о том, что осу-
ществление четвертиволновой опоры
связано с некоторыми трудностями и
требует соблюдения определенных
условий. В связи с этим заметим, что
для полуволновой опоры не существует
«проблемы узла», так как узел смеще-
ния получается в середине опоры и мы
Фиг. XII. 3.
его не создаем крепящим устройством
(например, хомутом), но используем уже существующим.
Можно указать на следующие основные типы четвертиволновых
опор: 1) с «нулевым закреплением», 2) с упругим закреплением.
Рассмотрим эти опоры.
а)	Опора с «нулевым закреплением»
На фиг. XII. 4, а изображена рассматриваемая опора, на
фиг. XII. 4, б показано распределение смещения в этом устройстве
для участков lull.
Как видно из фигуры, опора этого типа состоит из двух частей:
опорной стенки I высотой h, толщиной а и узловой опоры II, рас-
положенной под прямым углом к стенке. Активная длина /2 узловой
опоры представляет собой расстояние от края опоры до оси 00'
отверстия, через которое проходит болт закрепления узловой опоры.
Таким бразом, в рассматриваемой четвертиволновой опоре суще-
ствуют колебания двух видов: продольные в элементе I и изгибные
в элементе II.
В плоскости АА', проходящей через осевую линию узловой
опоры, амплитуда смещения i"m существенно меньше амплитуды Ь'п
на свободном (рабочем) конце и, очевидно, равна амплитуде смеще-
ния конца узловой опоры при изгибных колебаниях. Таким образом,
на длине /х укладывается меньше чем четверть волны продольных
колебаний.
Из этого следует, что в месте соединения конца опорной стенки
с узловой опорой нет точного узла смещения. Узел смещения пере-
303
носится в точку О (фиг. XII. 4, б) закрепления узловой опоры. Так
как элемент II работает в режиме изгибных колебаний, то закрепле-
ние его конца обеспечивает истинный узел смещения.
Фиг. XII. 4.
Таким образом, остальная часть четверти волны, которая не
уложилась на элементе /, должна уложиться на элементе II. В этом
Фиг. XII. 5.
случае вся система будет настроена
в резонанс. Очевидно, Xj =£ Х2, где Хх
и — соответственно длины волн
продольных и изгибных колебаний.
Из изложенного следует, что, хо-
тя на конце опорной стенки нет точ-
ного узла смещения, однако истин-
ный узел смещения совпадает с точ-
кой закрепления горизонтальной
части, поэтому такая четвертиволно-
вая опора является опорой с нуле-
вым закреплением.
Необходимость выбора Ь”т доста-
точно малой объясняется тем, что
потери, возникающие в элементе II
при изгибных колебаниях, должны
быть сведены к минимуму.
Конструктивным развитием опо-
ры с нулевым закреплением являет-
ся четвертиволновый опорный ста-
кан (фиг. XII. 5). В такой конструк-
ции болтовые крепления горизон-
тальной опоры (фланца) могут быть
заменены круговым креплением по
окружности радиуса R, например к массивному кольцу К.
Точный расчет опоры с нулевым закреплением затруднителен.
Поэтому приведем приближенный расчет, дающий достаточно удовле-
творительные исходные данные. Окончательная корректировка необ-
304
ходимых размеров рассматриваемой опоры может быть сделана
экспер иментально.
Изгибные колебания участка II (фиг. XII. 4, б) происходят
по оси АА', поэтому будем рассматривать участок / длиной It и уча-
сток II длиной Z2. Часть сечения 1, 2, 3, 4 (фиг. XII. 4, а)
совершает сложные колебания, которых мы не учитываем, так как
такой учет сильно осложнит расчет (в этом и заключается упомянутое
выше приближение). Принятие активной длины равной 12 (для
участка II) в некоторой степени компенсирует неточность расчета.
Обозначим величину реактивной нагрузки на конце участка I
через Очевидно, под реактивной нагрузкой в этом случае имеется
в виду входное сопротивление отброшенной части участка I (на
фиг. XII. 4, б изображена пунктиром).
Как было указано выше, этот отброшенный участок дополняет
участок I до -у- (при закрепленном конце). Здесь — длина волны
в участке I. Если длина отброшенной части будет Д/, то для стержня
длиной Д/, закрепленного на конце, имеем
Хвх = Хм = - to01 ctg -g Д/„	(XII. 4)
где ш01 — волновое сопротивление участка I.
Участок II, совершающий изгибные колебания, должен иметь
длину Zj < -j- (как это было указано выше), для того чтобы система
I—II была настроена в резонанс.
Очевидно, входное сопротивление этого участка Хвх2 должно
равняться входному сопротивлению отброшенной части участка I,
т. е. ХН1 = Хвл2 или
Xex2 = -iw01ctg~^l.	(XII. 5)
Найдем величину AZ. Пусть Д? = k < 1 (достаточно мало); тогда
с.	t	ш ,
к = COS —т— I — COS-
Ai	V ”
где v — скорость распространения упругой волны в материале уча-
стка /; следовательно,
f	v arc cos k
Но резонансная длина рассматриваемого участка
следовательно
AZ = ZJ — Zx =	[1 _ 2ar<rcC0S*J .	(XII. 6)
20 Теумин 261	305
Задаваясь величиной k и определяя из конструктивных сообра-
жений площадь поперечного сечения опорной стенки, можно из
выражений (XII. 5) и (XII. 6) найти величину входного сопротивле-
ния Хвх2 = Хн\ (напомним, что i0ol = tt>AS, где — удельное вол-
новое сопротивлен ие).
Величину k следует выбирать в пределах k= 0,1 н- 0,2. Меньшие
значения в рассматриваемой конструкции практически трудно реа-
лизовать, а большие значения снижают эффективность работы
опоры.
При принятых значениях величины k имеем
Д/ ж	(0,065 4-0,175)
или
Д/ я» (0,065 4- 0,175) Хх;	(XII. 7)
тогда
Хм = —fa>octg Д/ = — i (4,06 4- 9,78) wQ.
При этом следует помнить, что меньшему значению k соответствует
меньшее значение стоящего в скобках коэффициента в выраже-
нии (XII. 7).
Так как длина 12 значительно меньше длины Z?, которую должен
был иметь участок II, если бы он колебался на резонансной частоте
(т. е. на той частоте, на которую рассчитывается вся опора), то, оче-
видно, собственная частота участка длиной /2 значительно выше ра-
бочей частоты. Имея это в виду, мы можем воспользоваться форму-
лой (IX. 18а). Входное сопротивление горизонтальной опоры будет
3EJ
Хв1ег~ i ’
следовательно
= (4,06 4- 9,78) а»0,	(XII. 8)
<^2
откуда	______________
Z. = 1/„ 3£Да,—.	(XII. 9)
2 Г (4,06 4- 9,78)	'
Напомним, что J —> момент инерции поперечного сечения* горизон-
тальной опоры относительно оси Z (см. фиг. IX. 2).
Величина Zx может быть определена из формулы
= JL ж (0,447 4- 0,436).	(XII. 10)
Здесь меньший коэффициент, стоящий в скобках, соответствует
большему значению выбираемого коэффициента k (и наоборот).
Формулы (Х11.9) и (XII. 10) являются основными расчетными
соотношениями для опоры с «нулевым закреплением». Размеры а
306
и h (см. фиг. ХП. 4) определяются из конструктивных соображений,
при учете выражений (XII. 9) и (XII. 10), а также значений w0 и J.
Последняя величина, как известно, определяется конфигурацией
и размерами поперечного сечения горизонтальной опоры.
б)	Опора «с упругим закреплением»
Этот тип четвертиволновой опоры отличается от предыдущего
тем, что в нем горизонтальная часть II опоры с нулевым закрепле-
нием (являющаяся системой с распределенными постоянными) заменена
сосредоточенной упругостью Д (см.фиг. XII.6).
Таким образом, основная часть рассматривае-
мой опоры, имеющая длину /х, закрепляется
к неподвижным («нулевым») опорам ОО' через
упругий элемент.
Из предыдущего рассмотрения опоры с ну-
левым закреплением ясно, что если Zx =^= I, где
I =	, то для того, чтобы опора была на-
строена в резонанс, необходимо на конце
стержневой части добавить реактивное сопротивление
<Ь'
о%>-----ЧМ—
Фиг. XII. 6.
-^8x2 —	*41 СЧ> v
где
Д/ = 1—/х.
Задаваясь, как и в предыдущем случае, величиной k, находим
значение Д/ (XII. 6), а следовательно* величину Хвх2.Так как реак-
тивное сопротивление упругого элемента
V ____Р.
Лвх2 — ш »
то
D = Хвх2<о
или
D = — a>ol<octg-£ Д/.
(XII. II)
В качестве упругого элемента возможно применить, например,
дифрагму, мембрану или опертую пластину. Однако при расчете
этих элементов следует учитывать вес поддерживаемой конструк-
ции, создающий некоторое постоянное натяжение. Опора с упругим
закреплением может быть применена в области сравнительно низких
частот (от нескольких килогерц и ниже). Толщина мембраны или
диафрагмы получается относительно большой, что является благо-
приятным, так как эти элементы несут на себе вес всей конструкции.
Для еще более низких частот элемент упругости может быть пред-
ставлен конструкцией в виде пружины.
20*	251	307
В отдельных случаях упругий элемент может представлять
собою прослойку из подходящего упругого материала. Легко видеть,
что опора с упругим закреплением является «вырожденной» кон-
струкцией опоры с нулевым закреплением.
Для любой четвертиволновой опоры остается справедливым
общее положение о том, что конструктивное ее выполнение должно
быть таким, чтобы активные потери были минимальными. При этом
нарушение колебательного режима поддерживаемой конструкции
будет также минимальным, а результаты расчета — наиболее точ-
ными. В связи с этим следует выбирать материал опор с наименьшими
потерями. Кроме рассмотренных видов
полуволновых и четвертиволновыхопор,
могут быть так называемые узловые
опоры (фиг. XII. 7). Размеры этих
опор не являются критичными, так
как они связаны с узловой плоскостью
поддерживаемой конструкции. Эле-
менты такого крепления нами были
подробно рассмотрены в главе XI.
4.	СОЕДИНЕНИЯ
На фиг. XII. 8 и XII. 9 приведены
типы жестких соединений звеньев ко-
лебательной системы без применения
резьбы или болтовых креплений. Пер-
вый из этих типов использует стяжку
между узловыми плоскостями соеди-
няемых звеньев, второй — стяжку между узловой плоскостью одно-
го звена и плоскостью пучности смещения другого звена. В по-
следнем типе, как видно на фиг. XII. 9, применено четвертиволно-
вое устройство.
Подробное рассмотрение этих конструкций было нами проведено
в главе XI.
Для обеспечения качественной работы таких соединений целесо-
образно создать предварительно напряженное состояние соединяемых
звеньев и стяжек. В случаях, когда по тем или иным причинам стяж-
ные соединения осуществить неудобно или нерационально, прибе-
гают к соединениям при помощи резьбы, болтов, клиньев или горячей
насадки. Особенности работы таких устройств и требования, которые
к ним предъявляются, были обсуждены в главе X.
Перейдем к рассмотрению этих конструкций и принципов их
построения.
На фиг. XII. 10 и XII. 11 приведены два соединяемых друг
с другом звена I и II. Различие изображенных на фигурах вариантов
заключается в разных соотношениях размеров болтовой и гаечной
частей конструкции (на приведенных фигурах резьба не показана,
но предполагается). Как правило, соединение двух звеньев следует
308
Фиг. XII. 8.
Фиг. XII. 9.
Фиг. XII. 10.
Фиг. XII. 11.
309
проводить в плоскости узла деформации. На фигурах линия сечения
этой плоскости обозначена 00. Таким образом, размеры (по длине)
соединяемых звеньев должны быть такими, чтобы узел деформации
находился в месте соединения. (При этом, очевидно, также учиты-
ваются нагрузки на концах звеньев.) Обозначим через S6 и 8г пло-
щади поперечных сечений болтовой и гаечной частей соединения.
Таким образом,
Обозначим
У 5г	•
Если у > 1, то мы имеем случай, приведенный на фиг. XII. 10.
Акустический контакт между звеньями осуществляется через резьбу
и торцовые поверхности звеньев. В рассматриваемом случае основ?-
ная часть площади торцовой поверхности приходится на торец
болтовой части, поэтому узловая плоскость должна проходить через
указанную поверхность.
Так как масса цилиндра, образующего гаечную часть соединения,
относительно мала, нарушение положения узловой плоскости за
счет присоединенной массы кольца будет невелико. Место резьбового
соединения должно быть выбрано так, чтобы на расстоянии l2 + h
от верхнего конца была узловая плоскость. При этом должно
быть таким, чтобы на расстоянии 12 — А ст нижнего конца был узел
деформации (без учета влияния присоединенной массы кольца).
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае необходимо выполне-
ние условий
/2 + А = у
и
4 h = у,
где kt и Х2 — длина волны в соединяемых звеньях с соответствую-
щими индексами.
При этом прочность контакта будет наибольшей, а условия
работы соединения достаточно благоприятными. Так как d2 отно-
сительно велико, то поверхность резьбового сцепления в рассматри-
ваемом случае будет также велика и обеспечит прочность резьбовой
связи.
Напомним, что эффект нарушения резьбового соединения связан
со смятием резьбы под влиянием упругих колебаний.
Однако увеличивать коэффициент у можно лишь до определенных
пределов. Действительно, если действующее напряжение в средней
части соединения будет рт, то, очевидно,
Рт<
310
здесь ау — максимально допустимое напряжение для данного мате-
риала.
Следовательно, в данном случае использование прочностных
свойств болтовой и гаечной частей соединения оказывается неоди-
наковым. Следует, однако, помнить, что наиболее уязвимой частью
соединения является резьба, которая может нарушиться прежде
чем разорвется тело гайки.
Усилия, возникающие в месте соединения в обоих звеньях,
будут равны в том случае, если S6 = (при одинаковом материале),
т. е. при условии dt = d^2. Однако при этом диаметр резьбы
уменьшается, что снижает ее сопротивление смятию. Применение
y<Z 1, т. е. dt > d<i]/2, нецелесообразно, так как, кроме снижения
диаметра резьбы, нарушаются условия равнопрочности сечений S6
и 8г. Фиг. XII. 11 соответствует у= 1. Такое соотношение может
быть принято, однако при этом узловая плоскость деформации
должна проходить на половине высоты резьбового соединения (-у) .
Таким образом, при соединении полуволновых звеньев
7 I Л   ^2
"Г 2	2
И
1
2 ~ 2 '
Резьбовое соединение должно быть выполнено качественно,
торцовые поверхности необходимо хорошо пришлифовать друг
к другу. Может оказаться рациональным применение предварительно
напряженного соединения.
С повышением мощности колебаний растут трудности осуществле-
ния резьбовой конструкции. В этом случае можно применить транс-
форматорное соединение, принцип которого показан нафиг. XII. 12.
Соединяемые звенья / и II, связываемые резьбовым соединением,
выполняются в виде трансформаторов скорости, соединяемых друг
с другом сечениями больших диаметров в плоскости узла деформации.
Таким образом, напряжения, возникающие в плоскости контакта,
меньше напряжений на плоскостях диаметра d в -у- раз. Соответ-
ственно возрастает прочность соединения. Кроме того, следует
учесть, что качественную резьбу большого диаметра легко осуще-
ствить.
Соединения, показанные на фиг. XII. 10 и XII. 11, можно выпол-
нить также горячей посадкой. Однако при этом способе практически
трудно осуществить плотное присоединение друг к другу торцов.
Поэтому механическая связь, получаемая при горячей посадке в основ-
ном за счет плотного охвата гаечной частью болтовой, оказывается
недостаточной для обеспечения акустического контакта.
Во всех случаях резьбового соединения следует по возможности
избегать конструкций, создающих в местах соединения дополни-
311
тельную присоединенную массу (фиг. XII. 13). В случае необходи-
мости такого соединения узловая плоскость деформации должна
совпадать с плоскостью 00.
Фланцевое (болтовое) соединение, показанное на фиг. XII. 14,
является наименее желательным видом скрепления, так как обла-
дает относительно большой присоединенной массой и имеет ряд
дополнительных элементов — болтов. Однако такое скрепление
иногда бывает единственно возможным, особенно
в случаях больших присоединяемых плоскостей.
Такая конструкция должна быть выполнена осо-
бенно тщательно.

Фиг. XII. 14.
Фиг. XII. 12.	Фиг. XII. 13.
Как было указано в главах X и XI, соединение при помощи при-
пайки соединяемых плоскостей является наиболее качественным.
При этом важно, чтобы все точки этих плоскостей были пропаяны.
В случае больших поверхностей такая пропайка оказывается затруд-
нительной, а в ряде случаев невозможной. Кроме того, не всегда
возможно допустить нагрев соединяемых звеньев до нужной тем-
пературы. В этих случаях приходится прибегать к склеивающим
прослойкам. Склеивающие вещества должны обладать максимальной
прочностью, а толщина прослойки должна быть по возможности малой.
Разновидностью соединений являются соединения звена с рас-
пределенными постоянными со звеном, которое можно рассматри-
вать как сосредоточенную (присоединенную) массу. Таким звеном яв-
ляется, например, рабочий инструмент —насадка на торце стержня.
В большинстве случаев такая насадка напаивается на стержень
или составляет одно целое с ним, но в ряде случаев она может быть
сменной. Сменная насадка может скрепляться со стержнем способами,
аналогичными рассмотренным выше. Соответственно соединение
насадки может быть болтовым (фиг. XII. 15), гаечным (фиг. XII. 16)
или выполненным способом,горячей посадки (фиг. XII. 17). Первые
из указанных конструкций должны осуществляться при условии
у 1 или у < 1, где, как указывалось выше, у = —«---— .
di~
312
Высота h насадки должна быть по возможности минимальной.
Следует помнить, что усилия, стремящиеся оторвать насадку, обычно
больше усилий, действующих на скрепление двух звеньев с распре-
деленными постоянными, так как в первом случае присоединение
к стержню насадки неизбежно смещает узловую плоскость деформа-
ции, т. е. в плоскостях скрепления нет узла деформации.
В случае соединения насадки горячим способом трудно осуще-
ствить качественный контакт между соединяемыми торцами, однако
в таком контакте здесь нет большой необходимости, так как мы рас-
сматриваем насадку как сосредоточенную массу и передача энергии
упругих колебаний этой массе может осуществляться и через стенки
насадки (за счет сжатия насадки при ее охлаждении).
Фиг. XII. 15.
Фиг. XII. 16.
Фиг. XII. 17.
В целях улучшения скрепления можно применить между тор-
цами стержня и насадки прокладку из слюды или материала, упру-
гость которого меньше, чем упругость материалов насадки и стержня.
Такая прокладка должна быть напряжена, а толщина ее невелика.
Резьбовые насадки желательно дополнительно пропаять по
окружности (боковой поверхности), где они соприкасаются со стерж-
нем (см. стрелку на фиг. XII. 15). Мы не будем останавливаться на
других возможных видах скреплений (например, клиновых); укажем
лишь на то, что все эти соединения должны обеспечить плотное
и наиболее полное соприкосновение соединяемых поверхностей.
5.	ЖИДКОСТНЫЕ СВЯЗИ
В некоторых случаях в качестве соединений применяют жидкост-
ные связи. Жидкостная связь представляет собой слой жидкости
той или иной толщины, разделяющий звенья колебательной системы.
Жидкость, образующая такую связь, должна удовлетворять следую-
щим условиям:
а)	должна смачивать материалы, из которых выполнены соеди-
няемые звенья;
б)	при данной интенсивности упругих колебаний в жидкости
не должна возникать кавитация.
При возникновении кавитации значительно возрастает погло-
щение упругих колебаний в зоне, где эта кавитация имеется, а также
возможно кавитационное разрушение соединяемых плоскостей.
313
Поэтому применение жидкостных связей ограничивается той интен-
сивностью, при которой возникает кавитация в данной жидкости.
Очевидно, следует применять жидкости, у которых порог возник-
новения кавитации (т. е. соответствующее значение интенсивности
колебаний) достаточно высок. В качестве примера такой жидкости
можно указать на касторовое масло. Кроме того, можно подвергнуть
жидкость достаточно высокому давлению для повышения порога
кавитации. Жидкость должна быть очищена от посторонних приме-
сей и по возможности дегазирована. Толщина ее слоя (т. е. расстоя-
ние между торцами соединяемых звеньев) в общем случае может
быть любой, однако наиболее рационально применять активные,
т. е. настроенные прослойки.
Если толщину жидкостного соединения выбрать равной половине
длины волны в данной жидкости, то такое соединение будет наиболее
рациональным. При этом, если пренебречь активными потерями
в жидкости, можно считать, что предшествующее соединяемое звено
непосредственно соединено с последующим.
Если звено настроено, но имеет заметные активные потери осо-
бенно при кавитации, то на границе жидкость — второе звено не-
избежно возникнут отражения за счет несогласования активных
сопротивлений потерь жидкости и стержневой системы. Так как
скорости распространения упругих колебаний и величины удельного
поглощения в жидкости и твердом теле различны, то длины про-
слойки и соединяемого звена будут неодинаковы и неизбежно воз-
никнут отражения даже при настроенных прослойках. Поэтому
жидкостные связи в случае необходимости их применения следует
осуществлять при относительно небольших интенсивностях колеба-
ний и возможно более близких значениях эквивалентных сопро-
тивлений потерь в прослойке и соединяемых звеньях (учитывая
полные активные потери на данной длине прослойки и звена).
В заключение заметим, что все изложенное относится к настроен-
ным системам, работающим в режиме непрерывных колебаний
(а не импульсных). Поэтому мы не рассматриваем условия прохожде-
ния колебаний через тонкие слои, разделяющие две среды. Таким
слоем в нашем случае, очевидно, является жидкость, толщина слоя
которой значительно меньше половины длины волны в жидкости.
При этом условия прохождения упругой волны и величина коэф-
фициента отражения определяются из других соображений.
Для указанного режима колебаний коэффициент пропускания А
жидкой прослойки, т. е. отношение интенсивностей прошедшей
и падающей волн определяется известным выражением:
4+(®1 , + ’
\ а>2 Wt / \ w9 w9) \wt Wi J \wa waf Aa
где wlt w-i, a>s — соответственно удельные волновые сопротивления
первого звена, прослойки и второго звена;
d — толщина прослойки;
Л2 — длина волны в прослойке.
314
6.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ СКРЕПЛЕНИЕ
Рассмотрим еще один тип соединительного устройства — элек-
тромагнитное скрепление. На фиг. XII. 18 схематически показана
такая конструкция, впервые примененная автором. Как видно из
фигуры, часть системы, составленной из соединяемых друг с другом
ферромагнитных стержней I и II, находится внутри обмотки /С,
через которую проходит постоянный 
ток. Возникающее при этом магнит-
ное поле создает взаимное притяже-
ние стержней, обеспечивающее не-
обходимый акустический контакт
между ними. Для создания каче-
ственного контакта и устранения
возможного при работе взаимного
смещения стержней торцу стержня /
придается небольшая конусность, а
торцу стержня II — конусная выем-
ка; при этом торцы должны быть
хорсшо пришлифованы друг к дру-
гу. Высота конуса торца должна
быть не более (0,02 ч- 0,03) X, где
А — длина волны в стержне.
Взаимное смещение стержней мо-
жет быть также предотвращено при
помощи небольшого выступа в центре
торца одного из стержней, входяще-
го в соответствующее отверстие на
торце второго стержня. Высота этого
выступа должна быть того же поряд-
ка, что и указанная выше высота
конуса.
Величина силы притяжения стерж-	Фиг. XII. 18.
ней, обусловливающая степень элек-
тромагнитного скрепления, может быть определена по формуле
Fap = 12,76B*r210“* кГ,
здесь В — индукция в стержне (в плоскости скрепления) в кило-
гауссах;
г — радиус стержней в см.
Электромагнитное скрепление является очень удобным в тех
случаях, когда надо часто и быстро сменять звено (например, стер-
жень с рабочим инструментом). Величина силы притяжения, обес-
печивающая достаточную прочность скрепления, должна быть
Fnp > (0,1 ч- 0,2) Fm, где Fm — амплитуда колебательной силы
в узле смещения стержня. При этом имеется в виду, что такое соеди-
нение осуществляется (как и все соединения) в плоскости пучности
смещения. Электромагнитное соединение удобно применять при
передаваемых мощностях до 0,5—1,0 кет. При более высоких зна-
315
чениях мощности электромагнитное устройство может оказаться
несколько громоздким.
Практически удобно (в случае применения магнитострикционного
вибратора) в качестве намагничивающего тока использовать ток
подмагничивания вибратора В, включая обмотку Д’ последовательно
с блокировочным дросселем Ldp (фиг. XII. 18). При выключении
подмагничивания скрепление разъединяется.
7.	НАСАДКИ
Насадка представляет собой закрепленный на конце концентра-
тора рабочий инструмент, т. е. элемент конструкции, вступающий
в непосредственное соприкосновение с обрабатываемым объектом
(или с промежуточной средой). Примером такой насадки может явиться
наконечник ультразвукового «сверла». Размеры и форма насадки
могут быть различными и определяются прежде всего требуемыми
условиями обработки объекта. В то же время насадка не должна
существенно нарушать колебательный режим системы концентратор—
вибратор.
В зависимости от степени и характера влияния насадок на коле-
бательный режим системы, их возможно классифицировать следую-
щим образом: а) пассивные, б) нейтральные и в) активные (резонанс-
ные).
Пассивная насадка имеет такие размеры и форму, что в ней
практически не возникают градиенты давлений или скоростей (в лю-
бом направлении), приводящих к собственным колебаниям этой
насадки. Очевидно, что чем меньше продольные и поперечные раз
меры насадки И чем ниже рабочая частота, тем в большей степени
такая насадка приближается к пассивной. Идеально пассивной на-
садки не существует, так как последняя всегда имеет конечные раз-
меры. Обычно пассивную насадку можно рассматривать как сосредо-
точенную массу, присоединенную к концентратору. Такое рассмот-
рение возможно в том случае, если продольные размеры насадки
таковы, что в ней укладывается не более 0,05Х„, где Х„ — длина
волны в материале насадки при данной (рабочей) частоте, и, если
максимальный поперечный размер насадки, у„„ < (1,1 ч-
ч- 1,2) d2> где dt —диаметр рабочего торца концентратора.
Если масса пассивной насадки настолько мала, что ее влиянием
на колебательный режим концентратора можно пренебречь, то такая
насадка называется нейтральной. Примерами нейтральных насадок
могут быть: плоский диск диаметром dt и толщиной t <Z (0,1 ч-
ч- 0,02) Х„, закрепленный всей плоскостью на торце концентратора
или закрепленный в центре этого торца (перпендикулярно ему),
рабочий стержень, масса которого Ме < (0,01 ч- 0,02) рк$г, а длина
4 < 0,05 Хя, где Х„— длина волны в материале стержня, рк—
плотность материала концентратора, S2—площадь рабочего торца.
Обычно нейтральные насадки не выходят за габариты плоскости
рабочего торца концентратора. Если продольные размеры насадки
таковы, что она ведет себя (при данной частоте), как система с рас-
316
пределенными постоянными и настроена в резонанс с рабочей часто-
той, то такая насадка называется резонансной или (в отличие от
пассивных насадок) активной. Примером активной насадки может
служить насадка в виде дополнительного полуволнового концен-
тратора, скрепляемого с первым (основным) так же полуволновым.
При этом, в свою очередь, на конце дополнительного (сменяемого)
концентратора может находиться постоянно закрепленная головка,
учитываемая как сосредоточенная масса.
Очевидно, активная насадка не вносит расстройки в систему
вибратор — концентратор.
Если концентратор связан с пассивной насадкой, то собственная
частота колебательной системы, составленной из концентратора
и насадки, отличается от собственной частоты концентратора без
насадки. Таким образом, насадка расстраивает концентратор. Если
такой ненастроенный концентратор связать с вибратором, то эффек-
тивность концентратора упадет, так как амплитуда колебательной
скорости его торца будет мала. Кроме того, входное сопротивление
ненастроенного концентратора увеличится вследствие появления
реактивной составляющего этого сопротивления и в плоскости креп-
ления концентратора с вибратором возникнут усилия, стремящиеся
оторвать концентратор. Эти условия могут привести к ослаблению
крепления или полному его нарушению. Чем меньше масса и линей-
ные размеры пассивной насадки, тем меньше будут указанные выше
её влияния. Очевидно, необходимо обеспечить условия, при которых
собственная частота концентратора с насадкой будет равна рабочей
частоте. При заданном значении рабочей частоты f добавление на-
садки приводит к необходимости укорочения концентратора.
Пусть при отсутствии насадки, при заданных частоте f и диамет-
рах концентратора dt и di (где индексы 1 и 2 относятся к широкому
и узкому концу соответственно) необходимая длина концентратора,
соответствующая половине длины волны, укладывающейся в кон-
центраторе, будет /; тогда при наличии насадки необходимая длина
концентратора, обеспечивающая нужное значение его собственной
частоты, будет
/' = I — Д/,
где Д/ — укорочение концентратора, вызванное присоединением
насадки.
Точный расчет концентратора с сосредоточенной нагрузкой на
конце возможен, но представляет известные трудности и приводит
к сложным для практических целей формулам.
Предварительно дадим приближенные формулы, удобные для
быстрых расчетов в том случае, если насадка имеет относительно
небольшую массу.
Заменим насадку частью концентратора так, чтобы эта часть
имела массу, равную массе насадки, а сечение ее на конце равнялось
бы сечению тонкого конца концентратора (фиг. XII. 19). Таким
образом, если концентратор имеет длину Г, а длина насадки h, то
317
система концентратор — насадка заменяется эквивалентным кон-
центратором (без насадки) длиной
где
здесь т — масса насадки;
S2 — площадь узкого конца концентратора;
рх — плотность материала концентратора.
Для случая цилиндрической
Фиг. XII. 19.
садки
А/ =4т-Л,
о2Р1
на-
где S — площадь поперечного се-
чения насадки;
р2 — плотность материала на-
садки.
Следовательно, искомая при
заданном значении частоты вели-
чина Г находится из выражения
/' = / — (XII. 12)
в свою очередь, значение I на-
ходится из соответствующей для данного типа концентратора формулы.
Так, например, для экспоненциального концентратора с насадкой
на конце расчетная формула будет
Приведенный приближенный метод расчета пригоден для любого
типа концентратора. При Л >-у-(где — длина волны в материале
насадки) этот метод дает заметную погрешность.
Другой приближенный метод расчета (для экспоненциального кон-
центратора) заключается в следующем. При относительно небольшой
массе насадки с достаточной для практических целей точностью соб-
ственную частоту концентратора с нагрузкой на конце в виде сосре-
доточенной массы М„ можно определить, исходя из значений эквива-
лентных постоянных, настроенного на половину длины волны экспо-
ненциального концентратора без нагрузки [34].
Эквивалентная масса
1
Л4 = 1^1£.
2
i + (iin4
318
Эквивалентная упругость
п_ ^Е
и~ 21
Учитывая коэффициент трансформации п =	, находим перечи»
“2
сленное в начале концентратора (при х = 0) значение присоединенной
массы нагрузки:
Полагая I — V, находим собственную частоту нагруженного кон-
центратора:

откуда
где
?51/	1	,	I [2 51 ]	21'
SiMH , -. /f St/И» у . р '
25И -Г V \ 2StA ) + АВ ’
PSt	1
’ 2 ‘х ( I . Si V’
к 2« П S2 )
D___	2
— i^StE *
(XII. 14)
(XII. 15)
(XII. 16)
Выражение (XII. 14) можно представить в другом виде. При от-
сутствии на конце концентратора нагрузки его длина
При Мн = 0 1'—1, следовательно, из выражения (XII. 14) по-
лучим
У АВ
тогда
Воспользовавшись соотношениями (XII. 16) и (XII. 17), находим
л ^Е
л— 2/4 .
319
Так как выражения для значений эквивалентных постоянных экс-
поненциального концентратора справедливы для области частот, близ-
ких к резонансному значению, то полученные формулы будут тем
точнее, чем меньше масса и размеры насадки, т. е. чем меньше ве-
личина расстройки, вносимой насадкой.
В тех случаях, когда насадка является рабочим инструментом
ультразвукового «сверла», а нужный диаметр высверливаемого отверстия
значительно больше критического размера d2 диаметра узкого торца
а)	б)
Фиг. XII. 20.
концентратора, применение
обычной настроенной или
пассивной насадки нецелесо-
образно, так как степень
концентрации мощности не-
значительна. Кроме того,
колебательная мощность ис-
пользуется нерационально,
так как весь материал, за-
полняющий область отвер-
стия, не разрушается и до-
статочно обработать лишь
кольцо вокруг указанной
области.
В этих случаях целесообразно применить активную (резо-
нансную) насадку особого вида, которую мы назовем обратным
конусом. Обратный конус дает возможность получить отверстие
достаточно большого диаметра при обеспечении необходимой кон-
центрации мощности в кольцевой области разрушения материала.
Рассмотрим этот тип активной насадки. Так как в обычном кон-
центраторе распространяется плоская волна в направлении его оси
симметрии, то если конус, представляющий собой концентратор,
преобразуем в тело, изображенное на фиг. XII. 20, а, условия рас-
пространения волны в этом теле не нарушатся, так как в любом
вертикальном сечении такой фигуры, проходящем через ее верти-
кальную ось, будем иметь проекции двух половинок конуса (/ и II),
которые, будучи совмещены таким образом, чтобы сторона ab совпала
со стороной агЬх, дадут проекцию (в вертикальной плоскости) исход-
ного конуса (фиг. XII. 20, б). Трансформация колебательной ско-
рости (и интенсивности) определяется отношением
ас) ~ \ ад )
так же как и в обычном концентраторе, но диаметр отверстия опре-
деляется размером aa1 = d1.
Так так требуемые размеры отверстия могут изменяться и в об-
щем случае dome<Zd1, то практически обратный конус следует при-
менять в виде сменной полуволновой насадки (фиг. XII. 21). Длина
насадки Z2 = -y-, где 12— длина волны в насадке, а основной кон-
320
центратор имеет длину /1 = -у-, где — длина волны в этом кон-
центраторе. Размер t определяется из условия
In А
“ 2/
2 у ’
где v
— скорость распространения упругой волны в материале
насадки.
Полная степень концентрации мощности определяется соотношением
4
4t (dt - t) ’
Если форма отверстия отличается от круглой, принцип обратного
конуса также может быть применен, но при этом выбирается соответ-
ствующая форма концентратора. Приведем точные
формулы расчета различных типов концентрато-
ров с цилиндрическими (или призматическими)
насадками. Эти формулы получены на основании
соответствующих выводов М. М. Писаревского
[38] и даны нами в виде, пригодном для практи-
ческого использования.
а)	Экспоненциальный концентратор с насадкой
Уравнение частот, из которого можно полу-
чить необходимые размеры концентратора, имеет
вид
^tg*2/2 =
М tg a/j
где
vr — скорость распространения упругой волны
в материале концентратора» a v2 — в мате-
Фиг. XII. 21.
риале насадки.
Р=т1п<:
здесь Ej, Е2— значения модуля Юнга в материалах концентратора
и насадки; Sn S2, Ss — поперечные сечения широкого конца концен-
тратора, его узкого конца и насадки; dY и d2—соответствующие зна-
чения диаметров; и 12 — длина концентратора и насадки.
Обычно заданными величинами являются dlt d2, d3, 12, следова-
тельно, известны klt k2, M, o„ о2. Определению подлежит вели-
чина
21 Теумин 261	321
Обозначим
следовательно,
tg а/х .
? tg а/j —
(XII, 18)
В этом уравнении единственная неизвестная величина /х (она вхо-
дит также в выражения для а и Р).
Решение уравнения производим графоаналитическим способом. Для
этого представим (XII. 18) в виде системы уравнений:
y=4(₽tga/1-^-);	(XII. 19)
y = tgali.	(XII. 20)
Задавая ряд значений llt строим графически уравнения (XII. 19)
и (XII. 20); точке пересечения кривых соответствует искомое значе-
ние При выборе различных значений 1г следует начинать с
где 1\ определяется для ненагруженного экспоненциального концен
тратора и затем принимать значения li<J\.
б)	Конический концентратор с насадкой
Уравнение частот
+rr h / t	+1	di — di 
0;
здесь klt k2, lu l2, dlt d2 имеют те же физические значения, что и
в предыдущем случае;
Обычно все величины, кроме llt подлежащей определению, явля-
ются заданными.
Обозначим
-^-tg^2Z3 = Л;
тогда
А = dt kj (/t > /г) tg k-di -4-1
k-didi ki (li + /2) — tg kdi
Представим это выражение в виде системы:
(XII. 21)
(XII. 22)
(XII. 23)
_ Д ।	(4 + 4) tg kji + 1
ki(h -l^-tgkih ’
3?2
которая решается графически (определяется значение соответствую-
щее точке пересечения кривых, построенных по этим уравнениям).
Исходное значение I = 1\ определяется для ненагруженного концен-
тратора.
в)	Катеноидальный концентратор с насадкой
Уравнение частот
tgTf/j-I- a tgalfi . ~tgfeiifa
а — tg И/jth l/i + aAf *	(XII. 24)
здесь
£2S
1=ArchA;
значения остальных величин те же, что и в предыдущих
Определению подлежит величина
Положив
-у- tg ^2/2
д -	_______
Л ~ аМ
получим систему уравнений:
У = tg-f/i + a tg ar[l»
У~ A (a — tgaVith iQ,
случаях.
(XII. 25)
(XII. 26)
которая решается графически.
г)	Ступенчатый концентратор с насадкой (фиг. ХП.22)
Далее приняты обозначения:
ъ — _ • ь - —
«1 —	, «г - Va •
где — скорость упругой волны в материале концентратора; о2—то
же в материале насадки. Соответствующие значения Ег и Е2 отно-
сятся также к этим материалам.
Уравнение частот
&W.+	- о. (XII.27)
Обычно 4 = /2 = / подлежит определению.
Обозначив
= ~k^T
получим	1
£
я __SJJ + Si tg kJ_ 1 S2	/утт
A~ St-S^kJ ~ l-Sitg2A2/ ’	(AU.ZO)
21*	-323
откуда
t/ = ^ + -gtg^/;	(XII. 29)
у= 4(1—5, tg2V)-	(XII. 30)
Решение производится графоаналитически. Исходное (максималь-
ное) значение I определяется из выражения I = -£•.
8. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НАГРУЗКИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО
КОНЦЕНТРАТОРА
Наибольший интерес и практическое значение имеют соотноше-
ния, дающие возможность рассчитать резонансные размеры кон-
центраторов, нагруженных на различные виды сопротивлений
(активное, инерционное, упругое). -
Так как различные насадки,
в том числе цилиндрические
или призматические стержни,
могут быть заменены (в зави-
симости от формы и размеров)
инерционной или упругой на-
грузкой, то оказывается воз-
можным произвести расчет кон-
центратора с любой насадкой.
Кроме того, при работе кон-
центратора на некоторую среду,
входное сопротивление которой может быть принятым активным,
нагрузкой на концентратор будет являться соответствующее актив-
Фиг. XII. 22.
ное сопротивление.
Приведем соответствующие формулы, выведенные нами для
экспоненциального концентратора [40].
а) Активная нагрузка (ZH = RH). Положение узло-
вой плоскости колебательной скорости может быть найдено из
уравнения
b w»a J. Lt J. ^“'«2, 6* \
х - 1 arctg	I +т^+4°г)
0 ата S b а»02 ,л(тг	Ьг \
(XII. 31)
здесь и далее
w02 — волновое сопротивление в плоскости торца концентратора,
связанного с нагрузкой
Расстояние х0 отсчитывается от узкого конца концентратора.
324
Резонансные частоты определяются одним из следующих выра-
жений:
при 7?„>йУ02
°>о==^-(2п+1)’	(ХН.32)
при Я„О02

(XII. 32а)
где п = 0, 1,2, ....
б) Инерционная нагрузка (ZH — iXm). Положение узловой
плоскости
‘ .-5а
Хт 4а2 2а Хт
Х° ат агс^б до	b2 b ДО02 *
_т_£+,„2+ — _ —
Уравнение для определения резонансных частот
tg a.ml---------------------7~——— = 0.
b - Wks
Т Хн
в) Упругая нагрузка ZH — — 1ХС
х°“ ® ;
(XII. 33)
(XII. 34)
4а2 "т” 2а Хс
Уравнение резонансных частот
tga/n/__^
т + «
----= 0.
^02
х„
(XII. 35)
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Скорость распространения упругих колебаний и удельное волновое сопротивление
некоторых материалов
Материал	Плотность р в г!см*	Модуль Юнга Е в кг/мм?	Скорость продольных волн	в см/сек.* 106		Скорость попе- речных волн vg в см.!сек* 10е	Удельное волно- вое сопротивле- ние W в г/сек-см2-LQ*
			в стержне	в неогра- ниченной среде		
Алюминий		2,7	7100	5,08	6,32	3,08	13,7
Висмут		9,8	3 200	1,79	2.18	1,10	17,6
Вольфрам			19,1	35000	4,31	5,46	2,62	82,3
Железо, сталь		7,8	21000	5,17	5,85	3,23	40,4
Золото		19,3	8120	2,03	3,24	1,2	39,2
Кадмий 		8,6	5 090	2,40	2,78	1,5	20,1
Кварц		2,65	—	—	5,75	—	15,4*
Константан		8,80	16000	4,36	5,24	2,64	38,4
Латунь		8,10	10050	3,49	4,43	2,123	28,3
Магний		1,74	4 000	4,90	5,77	—	8.55
Манганин		8,4	12600	3,83	4,66	2,35	32,2
Медь		8,9	12500	3,71	4,70	2,26	33,0
Нейзильбер		8,4	11 000	3,58	4,76	2,16	30,0
Никель		8,86	20540	4.78	5,63	2,96	42,5
Олово		7,3	5540	2,73	3,32	1,67	19,8
Платина		21,3	17000	2,80	3,96	1,67	59,6
Плексиглас		1,18	535	—	2,67	1,121	3,14*
Полистирол		1,06	426	—.	2,35	1,121	2,49*
Резина 		0,95	—>	—	0.03	—	0,235 *
Ртуть 		13,59		—	1,46	—.	19,8*
Свинец 		11,4	1600	1,20	2,16	0,70	13,7
Серебро 		10,5	7500	2,64	3,60	1,59	27,7
Сплав перемендюр		8,2	—	5,30	—	—	43,5
Сурьма 			6,8	7 950	3,40	—	—	23,2
Тантал 		16,6	19 000	3,35	—	—-	55,5
Цинк		7,1	1050	3,81	4,17	2,41	27,1
Чугун		7,7	—	3,85	4,50	•—	29.7
Фарфор		2,41	5 860	4,88	5,34	3,12	11,75
Эбонит 		1,2	—	1.57	2,405		1,88
Стекло кронглас 		2,5	7 200	5,30	5,66	3,42	13,26
Стекло тяжелый кронглас.. .	3,6	8180	4,71	5,26	2,96	17,0
Стекло флинтглас легкий . .	3,0	6350	4,55	4,80	2,95	13,62
Стекло флинтглас тяжелый .	4,6	5730	3,49	3,76	2,22	16,3
Ацетон		0,79	—	——	1,19	—.	0,94*
Бензин . 			0,70			1,17		0,82*
Вода пресная		0,999		—	1,43	 '	1,43*
Вода соленая 3,5% ....	1,027		—~	1,50	— 	1,55*
Глицерин 		1,27	—		1,92	— '	2,44*
Масло касторовое		0,97	—	—--	1,48	—	1,45*
Масло трансформаторное . .	0,92	—’		1,39	——	1,28*
* Значения волнового сопротивления даны для значения даны для стержня.			неограниченной среды		Остальные	
326
ПРИЛОЖЕНИЕ II
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА
Тсумин 261
ЛИТЕРАТУРА
1.	Рэлей Д. D., Теория звука, т. 1, П, ГИТТЛ, 1955.
2.	Ф у р д у е в В. В., Электроакустика, Гостехиздат, 1948.
3.	X а р к е в и ч А. А., Теория электроакустических аппаратов, Связь-
издат, 1940,
4.	Гензель Г. С., Заездный А. М., Основы акустики, изд. «Морс-
кой транспорт» М. — Л. 1952.
5.	Красильников В. А., Звуковые волны в воздухе, воде и твердых
телах, Гостехиздат, 1951.
6.	Ф у р д у е в В. В., Теория преобразователей, Госэнергоиздат, М. 1948.
7.	М о р з Ф., Колебания и звук, ГТТЛ, М. — Л. 1949.
8.	С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, ГТТЛ, М. — Л. 1949.
9.	Г о р е л и к Г. С., Колебания и волны, ГТТЛ, М. — Л. 1950.
10.	Ф и л и п п о в А. П., Колебания упругих систем, АН УССР, Киев,
1955.
11.	Т и м о ш е н к о С. П., Теория колебаний в инженерном деле, Гостех-
издат, 1934.
12.	А н а н ь е в И. В., Справочник по расчету собственных колебаний упру-
гих систем, Гостехиздат, 1946.
13.	О л ь с о н Г., Динамические аналогии, ГИИЛ, 1947.
14.	Б е р г м а н Л., Ультразвук и его применение в науке и технике,
ИЛ, 1956.
15.	Д е н Г а р т о г Д. П., Теория колебаний, ГТТИ, 1942.
16.	Кэр л и н Б., Ультразвук, ИЛ, 1950.
17.	Л я в А., Математическая теория упругости, Гостехиздат, 1934.
18.	Mason W. Р., Electromechanical Transducers and Wave Filters, N.Y.
1948.
19.	H u e t e r T. F., Bolt R. H., Sonics Techniques for the use of sound
and ultrasound in Engineering and Science, N. Y. — London 1955.
20.	Ш а п и p о Г. C„ Продольные колебания стержней, «Прикладная мате-
матика и механика, т. 10, № 5/6, 1946, стр. 597—616.
21.	Гу тин Л. Я., К теории магнитострикционного преобразователя,
«Журнал технической физики», 15, 1945, 239.
22.	Гу тин Л. Я*, Магнитострикционные излучатели и приемники, «Журнал
технической физики», 15, 1945, 924.
23.	S k u d г z у к Е., Die allgemeine Theorie der schallsender und Schallemp-
fanger, ihre Anwendung zur Bestimmung der Ersatzshaltbilder eines magnetostriktions-
schwingers und eines ultraschallgarzes, «Nuovo Cimento», 7, Suppl. 2, 1950, 416.
24.	Camp L*, Lamination Design for Magnetostrictive Electromechanical
transducers, «Y. A. S. A.», 20 1948, 616.
25.	С о о p e r J. L. B., Propagation of elastic waves in a rod., «Phil. Mag».,
vol. 38., N 276., 1947, p. 1 — 22.
26.	Hu ter T., Uber die Foftleitung von Ultraschallwellen in festen staben,
«Z. S. Angew. Phys.», Bd. 1, N 1, 1949, S. 274—89.
27.	P о c h a m m e r L. I., Crelles, «Journ. Math.» 81., 1876, 324.
28.	C h r e e C., «Trans. Camb. Phil.» Soc., 14, 1889, 250.
29.	C h r e e C, «Quart. J. «Pure and Appl. Math.». 23, 1899, 335.
327
30.	C i e b е Е., Bechschmidt Е. Experimentalle und theoretische
Untersuchungen uber Dehnungseigenschwingungen von Staben und Rohren, «Ann.
d. Phys». (5) 18, 1933, 417, 457.
31.	Bancroft D., The Velosity of Longitudinal waves in cylindrical Bars.
«Phys; Rev». (2) 59, 1941, 588.
32.	T u L. J., Brennan J. N., Sauer J. A., Dispertion of Ultraconic
Pulse Velocity in cylindrical Rods., «Y. A. S. А.» V. 27, N 3, 1955.
33.	Me. S c i m i n, Propagation of Longitudinal Waves and Schear Waves in
cylindrical Rods at High Frequencies, «Y. A. S. A.,» V. 28, № 3, 1956.
34.	Mason W., Wick R., «Y. A. S. A.,» V. 23., №2, 1951 p. 209—213.
35.	D a v i e s R. M., «Phil. Trans.», A. 240, 1948, 375.
36.	Morse R. W.,«Y. A. S. A. », 22, 1950, 219.
37.	Меркулов Л. Г.. Теория ультразвуковых концентраторов, «Акустиче-
ский журнал», АН СССР, т. III, вып. 3, 1957.
38.	Писаревский М. М., Расчет переходных стержней для магнито-
стрикционных вибраторов, Материалы к Всесозной конференции по использованию
ультразвуковой техники в промышленности, изд. Моск, дома научно-техн, пропя-
ганды им. Ф. Э. Дзержинского, 1957.
39.	Темкин Д. Е., Теумин И. И., Определение коэффициента внутренней
вязкости методом продольных колебаний, «Заводская лаборатория» 12, 1956.
40.	Теумин И. И., Экспоненциальный концентратор с нагрузкой, Тех-
нико-информационный бюллетень № 4; 1958, Изд. О. К. Б. Электротермического
оборудования, Ленинград.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................. 3
Введение ............................................................... 4
Глава I, Механические колебательные системы ............................. 7
1.	Основные определения .............................................. 7
2.	Элементы механической системы........................... 11
3.	Механическое сопротивление............................... 15
4.	Соединения механических сопротивлений................... 20
5.	Свободные колебания в системах с сосредоточенными	постоянными	30
6.	Вынужденные колебания в системах с сосредоточенными	постоянными	37
7.	Собственные частоты колебательных систем с сосредоточенными по-
стоянными ........................................................... 47
8.	Энергетическая прочность колебательной системы с сосредоточенными
постоянными и «предельная» частота................................... 49
9.	Расчет сосредоточенных механических	элементов................... 51
Глава II, Системы с распределенными постоянными........................ 56
1.	Упругие колебания и волны........................................ 56
2.	Основные типы упругих колебаний и волн........................... 59
3.	Параметры упругой среды.......................................... 63
4.	Скорость распространения упругих колебаний и волн в ограниченной
среде ............................................................. 67
5.	Основные соотношения, описывающие упругие колебания и волны 73
6.	Виды и классификация стержневых колебательных систем............. 77
7.	Энергетическая прочность стержневой системы и «предельная» частота	82
Глава III, Простые стержневые колебательные системы.................... 87
.	1. Волновое уравнение простой стержневой системы.................. 87
2.	Идеальная стержневая система..................................... 95
3.	Постоянная затухания и постоянная сдвига фазы.................... 97
4.	Коэффициент отражения ........................................... 99
5.	Колебательный режим стержневой системы без потерь............... 101
6.	Коэффициент бегущей волны системы без потерь.................... 111
7.	Входное сопротивление стержневой системы без потерь............. 112
8.	Резонансные частоты стержневой системы без потерь............... 119
Г лава IV, Простые стержневые системы с потерями...................... 126
1.	Особенности колебательного режима систем с потерями и пределы заме-
нимости идеальной системой....................................... .126
2.	Колебательный режим стержневой системы с потерями.............. 127
3.	Коэффициент бегущей волны в стержневой системе с потерями. ...	134
4.	Входное сопротивление стержневой системы с потерями............ 135
5.	Максимальные и минимальные значения входного сопротивления стер- 138
жневой системы с потерями ........................................ 138
6.	Коэффициент полезного действия стержневой системы.............. 139
7.	Резонансные частоты стержневой системы с потерями............... 141
8.	Круговые диаграммы стержневых колебательных систем.............. 142
9.	Сосредоточенные эквивалентные постоянные ....................... 147
329
Глава V. Стержневые системы с плавно изменяющимися постоянными ....	151
1.	Общие замечания о неоднородной системе......................... 151
2.	Дифференциальные уравнения стержневых систем с волновым сопро-
тивлением, меняющимся по экспоненциальному закону................. 152
3.	Постоянная распространения и фазовая скорость распространения
упругих колебаний в экспоненциальной стержневой системе.........	156
4.	Условие согласования экспоненциальной стержневой системы ....	157
5.	Входное сопротивление экспоненциальной системы. Резонансные час-
тоты ............................................................. 158
6.	Коническая стержневая система................................. 160
7.	Положение узла колебательной скорости......................... 161
8.	Условия применимости экспоненциальных стержневых систем ....	163
9.	Сосредоточенные эквивалентные постоянные экспоненциальной си-
стемы ............................................................ 166
10.	Некоторые замечания об импульсном режиме...................... 167
Глава VI. Комбинированные стержневые системы...................... 169
1.	Общая характеристика комбинированных систем.................. 169
2.	Входное сопротивление комбинированной системы............... 171
3.	Комбинированная система с закрепленным концом............... 175
4.	Комбинированная система со свободным концом................. 176
5.	Комбинированная система с инерционной нагрузкой на конце...	177
6.	Комбинированная система с упругой нагрузкой на конце........ 178
7.	Комбинированная система с активной нагрузкой на конце....... 179
Глава VII. Составные стержневые системы............................... 181
1.	Общая характеристика составных систем.......................... 181
2.	Метод оконечных нагрузок . .................................... 185
3.	Система с закрепленным концом.................................. 187
4.	Система со свободным концом.................................... 189
5.	Система с реактивной нагрузкой на конце........................ 190
6.	Система с активной нагрузкой .на конце......................... 191
7.	Система с комплексной нагрузкой................................ 192
8.	Общие замечания о резонансном режиме составных стержневых систем 193
9.	Составные комбинированные системы.............................. 194
rAaeaVIII. Согласующие устройства.................................... 197
1.	Задачи согласования............................................ 197
2.	Согласующее устройство в четверть длины волны  ............... 203
3.	Согласующие устройства в одну восьмую длины волны............. 207
4.	Стержневая система длиной	полволны............................ 208
5.	Неоднородная стержневая система в качестве согласующего устройства 208
6.	Концентраторы................................................. 212
Глава IX. Изгибные колебания	стержневых систем....................... 220
1.	Использование изгибных колебаний в ультразвуковых системах ...	220
2.	Волновое уравнение изгибных колебаний......................... 222
3.	Собственные частоты при изгибных колебаниях................... 224
4.	Распределение узлов смещения.................................. 228
5.	Способы крепления стержней при изгибных колебаниях....	231
6.	Входное сопротивление стержней при изгибных колебаниях......	233
Глава X. Потери в стержневых системах................................ 237
1.	Потери в твердой среде ....................................... 237
2.	Конструкционные потери ....................................... 240
3.	Энергетическое использование стержневой колебательной системы . .	245
4.	Добротность стержневой системы ............................... 248
5.	Определение эквивалентного сопротивления потерь............... 253
6.	Влияние нелинейности ..."..................................... 260
Глава XI. Магнитострикционный	вибратор............................. 262
1.	Общие замечания ............................................ 262
2.	Предельная удельная мощность, излучаемая магнитострикционным
вибратором ..................................................... 263
330
3.	Мощность многостержневого вибратора.......................... 268
4.	Расчет резонансной частоты вибратора......................... 274
5.	Выбор рабочей точки и области использования кривой магнитострик-
ции ..........................................................   277
6.	Электрический расчет вибратора .............................. 281
7.	Предельная мощность рассеяния, нагрев и охлаждение вибратора . .	282
8.	Согласование вибратора с нагрузкой........................... 284
9.	Элементы конструкции магнитострикционных вибраторов.......... 284
10.	Обмотки вибраторов и их питание.............................. 294
Глава XII. Опоры, крепления, соединения.............................. 298
1.	Общая характеристика арматуры стержневых	систем............... 298
2.	Полуволновые опоры ........................................... 300
3.	Четвертиволновые опоры ....................................... 302
4.	Соединения ................................................... 308
5.	Жидкостные связи ............................................. 313
6.	Электромагнитное скрепление................................... 315
7.	Насадки....................................................... 316
8.	Общий случай нагрузки экспоненциального	концентратора......... 324
Приложения........................................................... 326
Литература .......................................................... 327
В скане исправлены
типографские опечатки
White
Исай Ильич Т е у м и н
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
Редактор издательства А. Л. Таирова
Технический редактор 'В. Д. Элькинд
Корректоры Ф, А. Казачкова и А. М. Усачева
Переплет художника А. Д. Михайлова
Сдано в набор I0/IX 1958 г. Подписано к пе-
чати 24/ХП 1958 г. Т-10994 Формат бумаги 60X92’/,*
Печ. листов 21,0. (1 вкл.)	Бум. л. 10,5
Уч-изд. листов 22,75. Тираж 5000 экз. Заказ 261
Типография № 6 УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, ул. Моисеенко, 10