/
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ
ISBN: 5-9221-0160-9
Text
УДК 517@75.8)
ББК 22.161
Н64
Никольский СМ. Курс математического анализа: Учебник
для вузов. — 6-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 592 с. —
ISBN 5-9221-0160-9.
Учебник для студентов физических и механико-математических спе-
специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в
Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учеб-
учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функ-
функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье,
начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математи-
математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.
Рецензент член-корреспондент Академии педагогических наук РФ
доктор физико-математичских наук профессор Г.Н. Яковлев.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001
© СМ. Никольский, 1975, 1983, 1990;
ISBN 5-9221-0160-9 с изменениями 2000, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие q
Глава 1. Введение 11
§1.1. Вступление 11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок 11
§ 1.3. Функция 14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции 24
§ 1.5. Производная 27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл 33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной
фигуры 36
Глава 2. Действительное число 41
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа 41
§ 2.2. Определение неравенства 46
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий 46
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел 49
§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
Физические величины 52
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин 54
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества 55
§ 2.8. Символика математической логики 56
Глава 3. Предел последовательности 58
§ 3.1. Понятие предела последовательности 58
§ 3.2. Арифметические действия с пределами 62
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 64
§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последо-
последовательности 66
§ 3.5. Число е 68
§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней
множества и сечения во множестве действительных чисел .... 69
§3.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы 71
§ 3.8. Критерий Коши существования предела 76
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чи-
чисел. Несчетность множества действительных чисел 77
Глава 4. Предел функции 80
§4.1. Понятие предела функции 80
§ 4.2. Непрерывность функции в точке 88
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция 94
Оглавление
4.4. Функции, непрерывные на отрезке 98
4.5. Обратная функция 101
4.6. Показательная и логарифмическая функции 104
4.7. Степенная функция х 109
4.8. Еще о числе е ПО
4.9. lim ^ 111
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 112
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной
переменной 117
§ 5.1. Производная 117
§ 5.2. Дифференциал функции 121
§ 5.3. Производная функции от функции 124
§ 5.4. Производная обратной функции 125
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .... 128
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка 129
§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Ло-
Локальный экстремум 133
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убыва-
убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных
экстремумов 135
§ 5.9. Формула Тейлора 139
§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .... 146
§ 5.11. Ряд Тейлора 151
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба 155
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке 157
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей 159
§ 5.15. Асимптота 163
§ 5.16. Схема построения графика функции 166
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции 170
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой 172
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество 172
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скаляр-
скалярным произведением 173
§ 6.3. Линейное нормированное пространство 176
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве 177
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая 179
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции 183
§ 6.7. Длина дуги кривой 184
§ 6.8. Касательная 187
§ 6.9. Основной триэдр кривой 188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость 191
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой 192
Оглавление
§ 6.12. Эволюта 194
§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты 196
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих пе-
переменных 200
§ 7.1. Открытое множество 200
§ 7.2. Предел функции 202
§ 7.3. Непрерывная функция 206
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению 210
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость 211
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению.
Градиент 215
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования 220
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка .... 222
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса 226
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества 227
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
на замкнутом ограниченном множестве 229
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля 233
§7.13. Формула Тейлора 234
§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции 237
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции 241
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений 247
§ 7.17. Отображения 251
§7.18. Гладкая поверхность 255
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация 257
§ 7.20. Локальный относительный экстремум 259
§ 7.21. Замена переменных в частных производных 267
§ 7.22. Система зависимых функций 270
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272
§8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по
частям 272
§ 8.2. Комплексные числа 278
§ 8.3. Комплексные функции 283
§ 8.4. Многочлены 285
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .... 288
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей 293
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей 294
§ 8.8. Подстановки Эйлера 295
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева 297
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений 298
§ 8.11. Тригонометрические подстановки 301
§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных
функциях 302
Оглавление
Глава 9. Определенный интеграл Римана 303
§ 9.1. Вступление 303
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции 304
§ 9.3. Суммы Дарбу 305
§ 9.4. Основная теорема 306
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и моно-
монотонной функции на [а, Ь] 309
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла 310
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем 312
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-
Лейбница 314
§ 9.9. Вторая теорема о среднем 318
§ 9.10. Видоизменение функции 318
§ 9.11. Несобственные интегралы 319
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 323
§ 9.13. Интегрирование по частям 325
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд 327
§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330
§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме 331
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга 332
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближен-
Приближенные методы 333
§ 10.1. Площадь в полярных координатах 333
§ 10.2. Объем тела вращения 334
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой 335
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения 337
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа 339
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников 340
§ 10.7. Формула Симпсона 341
Глава 11. Ряды 343
§ 11.1. Понятие ряда 343
§ 11.2. Действия с рядами 345
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами 346
§ 11.4. Ряд Лейбница 350
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды 350
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными
членами 354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся
рядов на отрезке 362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов .. 368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних
арифметических 371
Оглавление
§ 11.11. Степенные ряды 372
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 377
§ 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, sinz комплексной пере-
переменной 380
Глава 12. Кратные интегралы 383
§ 12.1. Введение 383
§ 12.2. Мера Жордана 385
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 390
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные коорди-
координаты 392
§ 12.5. Другие случаи измеримости 393
§ 12.6. Понятие кратного интеграла 394
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ... 397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измери-
измеримом множестве. Другие критерии 403
§ 12.9. Свойства кратных интегралов 404
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным
переменным 406
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру 412
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя 414
§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле 417
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14 420
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости 424
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве 426
§ 12.18. Гладкая поверхность 428
§ 12.19. Площадь поверхности 431
Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирова-
интегрирование по параметру. Несобственные интегралы 438
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода 438
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода 439
§ 13.3. Поле потенциала 442
§ 13.4. Ориентация плоской области 450
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный
интеграл 451
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода 454
§ 13.7. Ориентация поверхностей 457
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области 461
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность 463
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 466
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса 472
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру 476
§ 13.13. Несобственный интеграл 478
Оглавление
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла 485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортого-
Ортогональные системы 498
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций 498
§ 14.2. Пространства L1 (L) 500
§ 14.3. Пространство Ь2 (L2) 504
§ 14.4. Пространство Ь'р(П) (ЬР(П)) 507
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве 507
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произве-
произведением 507
§ 14.7. Ортогонализация системы 515
§ 14.8. Полнота системы функций в С, L2 (Ь2) и l/ (L) 517
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519
§ 15.1. Предварительные сведения 519
§ 15.2. Сумма Дирихле 525
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье 527
§ 15.4. Теоремы об осцилляции 530
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометричес-
тригонометрической системы функций 534
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье 541
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье 544
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье 546
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева 548
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса 549
§ 15.11. Многочлены Лежандра 550
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции 553
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье 553
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его
функции 556
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-
и синус-преобразования Фурье 558
§ 16.4. Производная преобразования Фурье 562
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D 563
§ 16.6. Пространство S 570
§ 16.7. Пространство Sf обобщенных функций 574
Предметный указатель 583
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга представляет собой улучшенное сокращение четверто-
четвертого издания книги "Курс математического анализа", вышедшей в 1990г.
в издательстве "Наука" в двух томах.
Изменению подверглись главы 2 и б, а также § 7.22 о локальном от-
относительном экстремуме. Добавлено рассмотрение вопросов линеариза-
линеаризации решений нелинейных уравнений и нелинейных систем уравнений.
Этот учебник соответствует, если не считать некоторых добавлений,
программе курса математического анализа, читанного мною на протяже-
протяжении 50 лет в Московском физико-техническом институте (МФТИ).
Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что основ-
основные факты математического анализа сначала должны быть изложены
для функций одной переменной, а затем уже для функций многих пере-
переменных. Здесь неизбежны повторения, но они незначительны. С дру-
другой стороны, для такой аудитории, какой являются студенты мехматов,
физматов и физтехов, вполне можно переходить от одной переменной не
к двум и не к трем, а сразу же к п переменным. Весь вопрос тут только
в удачных обозначениях. Но они уже выработаны в журнальной и моно-
монографической литературе, целесообразность их уже проверена, и теперь
они должны стать достоянием наших учебников. Такой подход обеспечи-
обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй половине курса (в таких
разделах, как ряды Фурье, интеграл Фурье) читателю придется овла-
овладевать представлением о бесконечномерности функциональных прост-
пространств.
В своем изложении я достаточно рано ввожу понятия п-мерного
евклидова пространства, пространства со скалярным произведением,
банахова пространства и широко пользуюсь этими понятиями, однако в
меру необходимости выполнения программы.
Как и требуется программой, изложение курса ведется на основе ин-
интеграла Римана. Я старался аналогичные проблемы в одномерном и
многомерных случаях доказывать аналогично, чтобы сэкономить силы
читателя для других вопросов.
Очень деликатный вопрос: как быть с полнотой пространств L и L^l
Чтобы решить этот вопрос, я не строю абстрактные элементы, заменяю-
заменяющие функции, интегрируемые по Лебегу, и в основном тексте ограничива-
ограничиваюсь только разъяснениями о том, как соответствующий факт выглядел
бы в терминах интеграла Лебега.
Я хочу отметить книги, оказавшие на меня большое влияние.
Во-первых, это "Курс анализа бесконечно малых" Ш. Ж. де ла Бал-
Балле Пуссена. Двухтомник Балле Пуссена, память которого я хочу здесь
почтить, я старательно изучал, будучи студентом, а теперь он служит
мне настольной книгой.
10
Во-вторых, это книга "Введение в теорию функций действительного
переменного" П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, которую я тоже в
свое время старательно изучил и, следуя ей, читал свои курсы в Днепро-
Днепропетровском университете. Но я, кроме того, неоднократно слушал лек-
лекции этих двух выдающихся авторов, один из них — А. Н. Колмогоров —
мой научный учитель.
Конечно, в улучшении этой книги участвовали коллеги по кафедре
высшей математики МФТИ и вообще многие читатели. К моим благо-
благодарностям за это, выраженным в предисловиях предыдущих четырех из-
изданиях этой книги, я хочу выразить благодарность моим коллегам по
МФТИ профессору М.И. Шабунину и профессору Г. Н. Яковлеву, ока-
оказавшим мне организационную помощь в создании настоящего, пятого из-
издания, и сотруднику кафедры высшей математики МФТИ Т. А. Петровой
за самоотверженный труд по технической подготовке рукописи данного
издания.
Я благодарю также Н.И. Воронину за высококвалифицированную
работу по редакционной подготовке к печати этой книги.
Данная книга переведена на английский язык и выдержала уже не-
несколько изданий в издательстве "Мир" (Москва), на испанский язык —
в издательстве URMO и издательстве университета г. Бильбао, а также
на латышский язык - в издательстве "Зинатне" (г. Рига).
В данный, сокращенный курс не вошли главы 17-20 предыдущих из-
изданий как выходящие за пределы программы, хотя эти главы, безуслов-
безусловно, существенны для общего математического образования.
2000 г. С. М. Никольский
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§1.1. Вступление
Название "Математический анализ" представляет собой сокращен-
сокращенное видоизменение старого названия "Анализ бесконечно малых". По-
Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное. Название "Анализ по-
посредством бесконечно малых" характеризовало бы предмет более точно.
Было бы лучше, если бы название отражало те объекты, которые
подвергаются анализу (изучению). В классическом математическом ана-
анализе такими объектами являются прежде всего функции, т.е. переменные
величины, зависящие от других переменных величин.
Мы говорим "прежде всего", потому что дальнейшее развитие ма-
математического анализа привело к возможности изучения его методами
более сложных образований, чем функции (функционалов, операторов
и т.д.). Но об этом говорить пока рано. Ближайшей нашей задачей явля-
является изучение достаточно общих, встречающихся на практике функций
методами бесконечно малых, или, что все равно, методами пределов. В
чем заключаются эти методы — это постепенно будет разворачиваться
перед читателем в дальнейшем. Скажем пока, что эти методы, в частнос-
частности, приводят к очень важным операциям над функциями — дифференци-
дифференцирования и интегрирования.
Параграфы 1.2, 1.3 посвящены понятиям множества и функции.
Следующие три параграфа, 1.4-1.6, носят чисто вводный характер.
Из них читатель получит представление об основных понятиях матема-
математического анализа, которые будут подробно в развернутом виде изучать-
изучаться в этой книге, — непрерывности, производной, неопределенного и опре-
определенного интегралов. Понятием предела мы, конечно, здесь пользуемся,
но вовсе его пока не определяем и не разъясняем, всецело полагаясь на ин-
интуицию читателя. Возможен и такой способ чтения книги, при котором
параграфы 1.4-1.6 выпускаются, с тем чтобы впоследствии возвратиться
к ним по мере ссылок на них.
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок
Любое собрание или совокупность каких-либо предметов называют
в математике множеством. Например, можно говорить о множестве
всех деревьев, находящихся на данной поляне, или о множестве гусей,
пасущихся на ней, или о множестве всех целых чисел. Если А обозначает
некоторое заданное множество предметов, а ж — один из этих предметов,
то говорят, что х есть элемент множества А, и записывают этот факт
так: х G А.
Если х не есть элемент А, то это записывают так: xGi или х 0 А.
12 Гл. 1. Введение
Если одно и то же множество оказалось обозначенным двумя бук-
буквами, Аи В, пишут А = В, подчеркивая в случае необходимости, что
здесь идет речь о теоретико-множественном равенстве, которое не надо
смешивать с равенством между числами.
Если из того, что ж Е А, всякий раз следует, что ж Е В, то пишут
А С В и говорят,что А входит в В или А есть подмножество или
часть В. Отдадим себе отчет в том, что при таком определении случай
А = В есть частный случай А С В. Ведь если не только А С В, но и
В С А, то А = В, и наоборот.
Если множество состоит только из одного элемента ж, то лучше его
обозначить другой буквой, например А, потому что надо отличать логи-
логически множество, состоящее из одного элемента, от самого этого элемен-
элемента. Необходимо еще формально ввести пустое множество, не содержа-
содержащее в себе никаких элементов, которое обозначают так: 0 (или О). По
определению О С А, каково бы ни было множество А.
Из школьного курса математики мы знаем, что между действитель-
действительными числами и точками прямой можно ввести взаимно однозначное со-
соответствие *) при помощи следующего правила. Числу 0 приводится
во взаимно однозначное соответствие произвольно выбранная на прямой
точка О — нулевая точка. Длина некоторого определенного отрезка при-
принимается за единицу. Каждому действительному числу ±а (а > 0) при-
приводится в соответствие точка прямой, отстоящая от нулевой точки на
расстоянии, равном а, и лежащая правее или левее О, в зависимости от
того, стоит ли перед а знак "+" или "—". Наоборот, если А есть ка-
какая-либо точка нашей прямой, отстоящая от О на расстоянии а, то ей
приводится в соответствие число +а или —а, в зависимости от того, ле-
лежит ли А правее или левее О.
Прямая, все точки которой описанным выше образом приведены в
соответствие со всеми действительными числами, называется числовой
прямой или действительной осью. Точки ее называются числами,
которые они представляют. Таким образом, можно говорить о точке
0, 1, 1,2, л/2 и т.д. Мы будем позволять себе числа называть точками
(числовой прямой) и, наоборот, точки числами.
Пусть числа (точки) а и Ъ удовлетворяют неравенству а <Ъ.
Множество чисел ж, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ 6,
называется отрезком (с концами а, Ъ) или сегментом и обозначается
так: [а, Ь].
Множество чисел ж, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ъ,
называется интервалом ( с концами а, Ъ) или открытым отрезком и
обозначается так: (а, Ъ).
Множества чисел ж, удовлетворяющих неравенствам а ^ ж < Ъ или
а < х ^ Ъ, обозначаются соответственно [а, 6), (а, Ь] и называются по-
полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например,
закрыт слева и открыт справа.
Часто рассматривают еще множества, называемые бесконечными
интервалами или. полуинтервалами: 1) (—оо,оо); 2) (—оо,а];
3) (-оо, а); 4) (а, ос); 5) [а, ос).
*) По этому поводу см. дальше § 2.5.
§1.2. Множество. Интервал, отрезок 13
Первое из них есть множество всех действительных чисел (действи-
(действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответ-
соответственно: 2) х ^ а, 3) х < а, 4) а < ж, 5) а ^ х.
В связи с этой терминологией удобно употреблять слова конечное
или бесконечное число. Конечное число — это просто число. Бесконеч-
Бесконечное же число на самом деле не есть число — это символ +оо или — оо.
Отметим, что у отрезка [а, Ь] концы всегда конечны. У интервала же
(а, Ь) "концы" могут быть конечными и бесконечными числами.
Пишут еще
[а, Ь] = {х : а ^ х ^ Ь}, (а, Ь) = {х : а < х < Ь}.
Например, правая часть первого из этих множественных равенств чи-
читается так: множество всех чисел (точек) ж, для которых выполняются
неравенства а ^ х ^ Ь.
Пусть А и В — два множества любой природы. Суммой или объ-
объединением Аи В называется множество, обозначаемое через А + В или
A U В, представляющее собой совокупность всех элементов Аи В.
Разностью Аи В называется множество, обозначаемое через А \ В
или А — В, представляющее собой совокупность всех элементов А, не
принадлежащих В.
Пересечением Аи В называется множество, обозначаемое через АВ
или А П В, представляющее собой совокупность всех элементов, каждый
из которых принадлежит как А, так и В.
Справедливо теоретико-множественное равенство
(А±В)С = АС±ВС, A)
где А, В, С — произвольные множества. Например, в случае "+" оно
доказывается так. Если элемент х принадлежит левой части A), то он
принадлежит одновременно как А + В, так и С. Но тогда х обязательно
принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Пусть для опреде-
определенности х G А; тогда х Е АС, а следовательно, и правой части A).
Наоборот, пусть х принадлежит правой части равенства; тогда х при-
принадлежит одному из множеств АС или ВС. Пусть для определенности
х Е АС; тогда х принадлежит как А, так и С, следовательно, х принад-
принадлежит как А + В, так и С, т.е. левой части A).
Понятие суммы множеств естественно распространяется на любое
конечное и даже бесконечное число слагаемых (множеств).
Выражения
N оо
U Ak = Аг + ... + AN, (J Ak = Аг + А2 + ...
к=1 к=1
обозначают объединения всех элементов множеств А\,... , An , соответ-
соответственно А\, A<i,..., и называются суммами или объединениями указан-
указанных множеств.
14 Гл. 1. Введение
Справедливы равенства
N N
С U Ак = U CA^ C{jAk={JCAk B)
к = 1 к = 1 к = 1 к = 1
(аналогичные A) в случае "+"), где С — произвольное множество.
Примеры.
1) [0, 2] + [1, 3] = [0,3]; 2) [0, 2] - [1, 3] = [0,1);
СЮ СЮ
3) (J [к, к + 1] = (J [к, к + 1) = IR, где Ш — множество всех действи-
к = — сю к = — сю
тельных чисел.
§ 1.3. Функция
Пусть Е — множество чисел, и пусть в силу некоторого вполне опре-
определенного закона каждому числу хнз Е приведено в соответствие (одно)
число у; тогда говорят, что на Е задана функция (однозначная), которую
записывают так:
у = /(ж), хеЕ. A)
Это определение функции предложено Н.И. Лобачевским и Л. Дирих-
Дирихле *). Множество Е называют областью задания или определения функ-
функции f(x). Говорят также, что задана независимая переменная ж, кото-
которая может принимать частные значения ж из множества Е, и каждому
х Е Е в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное
значение (число) другой переменной у, называемой функцией или зави-
зависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом.
Для выражения понятия функции употребляют геометрический
язык. Говорят, что заданы множество Е точек х действительной
прямой — область определения или задания функции, и закон, в силу
которого каждой точке ж Е Е приводится в соответствие число у = f(x).
Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе, приводя-
приводящем в соответствие каждому числу х Е Е некоторое число у, то доста-
достаточно ее обозначить одной буквой /. Символ /(ж) обозначает число у,
которое в силу закона / соответствует значению х Е Е. Если, например,
число 1 принадлежит области Е задания функции /, то /A) есть значе-
значение функции / в точке х = 1. Если 1 не принадлежит Е A Ё i?), то
говорят, что функция / не определена в точке х = 1.
Множество Ei всех значений у = /(ж), где ж Е Е, называется обра-
образом множества Е при помощи функции /. Иногда пишут в таком случае
Ei = f(E). Но это обозначение надо употреблять с осторожностью, по
*) Н. И. Лобачевский A792-1856) — великий русский математик, создатель
неевклидовой геометрии. Л. Дирихле A805—1859) —немецкий математик.
В сущности это определение функции дано в трудах великого математика
Л. Эйлера A707-1783) — академика Российской академии наук.
§1.3. Функция 15
возможности разъясняя его всякий раз, когда оно употребляется, что-
чтобы не было путаницы с обозначением у = /(ж), где ж есть произвольная
точка (число), принадлежащая множеству Е,ъ,у — соответствующая ей
при помощи функции (закона /) точка множества Е\. Говорят еще, что
функция / отображает множество Е па множество Е\.
Если образ Е\ — f(E) С А, где А — множество чисел, вообще, не
совпадающее с Ei, то говорят, что функция / отображает Е в А.
Для функций / и ip, заданных на одном и том же множестве Е, опре-
определяются сумма / + <р, разность f — ip, произведение ftp, частное f/ip.
Это новые функции, значения которых выражаются соответственно фор-
формулами
f(x)+<p(x), f(x)-<p(x), f(x)<p(x), ^|, xeE, B)
где в случае частного предполагается, что (р(х) ф 0 на Е.
Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы, F, Ф,
Ф, ..., так же как вместо ж, у можно писать z, u,v,w,...
Если функция / отображает множество Е в Е\, а функция F отобра-
отображает множество Ei во множество Е2, то функцию z = F(f(x)) называют
функцией от функции, или сложной функцией, или суперпозицией f
и F. Она определена на множестве Е и отображает ЕъЕ<1.
Возможна сложная функция, в образовании которой участвует п
функций: z = F1(F2(F3 ... (Fn(x)) ...))•
Практика доставляет нам много примеров функций. Например, пло-
площадь S круга есть функция его радиуса г, выражаемая формулой S =
= тгг2. Эта функция определена, очевидно, на множестве всех поло-
положительных чисел г.
Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о зависимос-
зависимости между переменными S и г, выраженной формулой S = тгг2. Функция
S = ip(r), заданная этой формулой, определена на всей действительной
оси, т.е. для всех действительных чисел г — не обязательно только поло-
положительных.
Ниже приводятся примеры функций, заданных формулами: 1) у =
= VI -х2; 2) у = lg(l + ж); 3) у = х - 1; 4) у = ^f^; 5) у = arcsinx.
Мы имеем в виду действительные функции, принимающие действитель-
действительные значения у для действительных значений аргумента х. Нетрудно ви-
видеть, что областями определения приведенных функций являются соот-
соответственно: 1) отрезок [—1,1] = { — 1 ^ х ^ 1}; 2) множество х > — 1;
3) вся действительная ось; 4) вся действительная ось, из которой исклю-
ченаточкаж = 1; 5) отрезок [—1, +1].
Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рассматривать
как функции от функции: 1) у = д/п, и = 1 — v, v = ж2; 2) у = \gu,
и = 1 + ж.
Важным средством задания функции является график. Зададим пря-
прямоугольную систему координат ж, у (рис. 1.1), на оси ж отметим отрезок
16 Гл. 1. Введение
[а, Ь] и изобразим любую кривую Г, обладающую следующим свойст-
свойством: какова бы ни была точка ж Е [а, Ь], прямая, проходящая через нее
параллельно оси у, пересекает кривую Г в одной точке А. Такую за-
заданную в прямоугольной (декартовой) системе координат кривую Г мы
будем называть графиком. График опре-
определяет функцию у = /(ж) на отрез-
отрезке [а, Ь] следующим образом. Если ж
есть произвольная точка отрезка [а, 6],
то соответствующее значение у = f(x)
определяется как ордината точки А (см.
_^ рис. 1.1). Следовательно, при помощи
х графика дается вполне определенный за-
закон соответствия между хну = f(x).
Рис. 1.1 Мы задали функцию при помощи
графика на множестве Е, являющем-
являющемся отрезком [а, Ь]. В других случаях Е может быть интервалом, полуин-
полуинтервалом, всей действительной осью, множеством рациональных точек,
принадлежащих данному интервалу, и т. д.
Зададим на некотором интервале (а, Ъ) функцию /(ж) и произвольное
(постоянное) число а ф 0. С помощью аи/ можно сконструировать ряд
других функций: 1) а/(ж); 2) f(x) + а; 3) f(x — a); 4) f(ax). Функции
1) и 2) определены на том же интервале (а, Ь). Ординаты графика функ-
функции 1) увеличены в а раз сравнительно с соответствующими ординатами
f(x). График функции 2) получается из графика / поднятием последнего
на величину а *); график же функции 3) получается из графика / путем
сдвига последнего вправо на величину а. Наконец, функция 4) при а > 0
определена, очевидно, на интервале (а/а, b/а); график ее получается из
графика / путем равномерного его сжатия в а раз.
Функцию / называют четной или нечетной, если она определена
на множестве, симметричном относительно нулевой точки, и обладает
на нем свойством f(—x) = f(x) или свойством f(—x) = —f(x).
График четной функции, очевидно, симметричен относительно оси у,
а график нечетной функции симметричен относительно начала коорди-
координат. Например, х2k (k натуральное), cos ж, 1п|ж|, у/1 + ж2, /(|ж|) —
четные функции, а ж2/с+1 (к ^ 0 целое), sin ж, жл/1 + х2, xf(\kx\) — не-
нечетные функции.
Нетрудно видеть, что произведение двух четных или двух нечетных
функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечет-
нечетную есть нечетная функция.
Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.
Функция на различных частях области ее определения может быть
задана различными формулами. Например, пусть поезд, вышедший из
пункта А в момент t = 0, шел в течение двух часов со скоростью 100 км
в час и, прибыв в пункт В, стоял там один час, а затем шел дальше в
*) Конечно, при а < 0 поднятие или сдвиг вправо на величину а надо пони-
понимать как соответственно опускание или сдвиг влево на величину \а\.
§1.3. Функция
17
течение трех часов со скоростью 80 км в час. Тогда функция s = /(?),
выражающая расстояние (в километрах) от поезда до А в момент време-
времени ?, очевидно, будет определяться следующими тремя формулами:
{lOOt, 0 ^ t ^ 2,
200, 2 ^ t ^ 3,
200 + 80(?-3), 3^t^6.
Функция может быть задана в виде таблицы. Например, мы могли
бы измерять температуру Т воздуха через каждый час. Тогда каждому
моменту времени t = 0,1,2,...,24 соответствовало бы определенное
число Т в виде таблицы:
t
т
0
То
1
Тг
2
т2
3
Т3
Таким образом, мы получили бы функцию Т = /(?), определенную
на множестве Е целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.
Если функция у = /(ж) задана на некотором множестве Е формулой,
то всегда можно считать, что ей соответствует вполне определенный
график, определяющий геометрически эту функцию. Обратное совсем
не ясно: если функция задана произвольным графиком, то может ли она
быть выраженной некоторой формулой? Это очень сложный вопрос.
Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой смысл мы
вкладываем в слово "формула". Выше, когда мы говорили, что данная
функция у = f(x) выражается формулой, мы молчаливо считали, что
при этом у получается из х при помощи конечного числа таких операций,
как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той
или иной степени, логарифмирование, взятие операций sin, cos, arcsin и
других алгебраических и тригонометрических операций.
Математический анализ дает средства для значительного расшире-
расширения понятия формулы. Весьма важным таким средством является разло-
разложение функции в бесконечный ряд по элементарным функциям.
Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике функции
могут быть изображены формулой, представляющей собой некоторый
бесконечный ряд, членами которого являются элементарные функции,
которые будут определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время.
Мы еще не готовы к этому.
Так или иначе, задана ли функция /(ж) формулой или же она задана
другим каким-либо способом, например при помощи графика, она уже
может служить объектом изучения средствами математического анали-
анализа, если она удовлетворяет некоторым дополнительным общим свойст-
свойствам, таким как непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференци-
руемость и др. Но об этом будет идти речь дальше.
18 Гл. 1. Введение
Важнейшим средством изучения функции является понятие предела,
являющееся основным понятием математического анализа. Следующая
глава посвящена этому понятию.
Если каждому числу ж, принадлежащему данному множеству Е чи-
чисел, в силу некоторого закона соответствует определенное множество ех
чисел у, то говорят, что этим законом определена многозначная функ-
функция у = /(ж). Если окажется, что ех для каждого ж Е Е состоит только
из одного числа у, то мы получим однозначную функцию.
Однозначную функцию называют просто "функцией" без добавле-
добавления прилагательного "однозначная", если только это не приводит к не-
недоразумениям.
Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры многозначных
функций; такими являются функции: д/ж, Arcsinx, Arctgx, ...
Функция л/х определена для х ^ 0. Она двузначна *) для х > 0:
каждому положительному х соответствуют два действительных числа,
отличающихся между собой знаками, квадраты которых равны х. Что
же касается функции Arcsin ж, то она бесконечнозначна. Она приводит в
соответствие каждому значению х из отрезка [—1, +1] бесконечное мно-
множество значений у, которые могут быть записаны по формуле
у = (-1)* arcsin х + Ьг, к = 0,±1,±2,...
Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно гово-
говорить также о функциях двух, трех и, вообще, п переменных.
Функция от двух переменных определяется следующим образом.
Рассматривается множество Е пар чисел (х,у). При этом имеются в ви-
виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары (х\, у\) и (#2,2/2) счи~
таются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когда х\ = Х2 и
2/1 =2/2- Если в силу некоторого закона каждой паре (ж, у) Е ^приведено
в соответствие число z, то говорят, что этим определена на множестве Е
функция z = /(ж, у) от двух переменных, хну.
Так как каждой паре чисел (ж, у) соответствует на плоскости, где
введена декартова система координат, точка с абсциссой ж и ординатой у
и, наоборот, каждой точке таким образом соответствует пара (ж, у), то
можно говорить, что наша функция /(ж, у) задана на множестве Е точек
плоскости.
Функции z = /(ж, у) от двух переменных изображают в трехмерном
пространстве, где задана прямоугольная система координат ж, у, z, в ви-
виде геометрического места точек (ж, у, /(ж, у)), проекции которых на плос-
плоскость ж, у принадлежат множеству Е определения /.
Например, таким геометрическим местом для функции
z ¦
*) Символ -у/ж, к = 2,3,..., мы будем понимать всюду, если это не ого-
оговорено особо, как арифметическое значение корня к-й степени из ж ^ 0, т.е. как
неотрицательное число, к-я степень которого равна х.
§1.3. Функция 19
является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в
нулевой точке.
В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Об-
Областью ее определения может теперь служить некоторое множество Е
упорядоченных троек чисел (ж, у, z), или, что все равно, им соответству-
соответствующих точек трехмерного пространства, где введена декартова система
координат.
Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства)
(x,y,z) G Е в силу некоторого закона соответствует число и, то
говорят, что этим определена на Е функция и = F(x, у, z).
Аналогично можно рассматривать множество Е упорядоченных сис-
систем {х\,... , хп) из п чисел, где п — заданное натуральное число. Опять,
если каждой такой системе, принадлежащей Е, соответствует в силу не-
некоторого закона число z, то говорят, что z есть функция от переменных
xi,... , хп, определенная на множестве Е, и записывают эту функцию в
виде;? = F(xi,... ,хп).
В случае п > 3 в нашем распоряжении уже нет реального п-мерного
пространства, чтобы использовать его для изображения систем (xi,...
... ,хп) в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдума-
выдумали n-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом
не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, п-мерным
пространством называется множество всевозможных систем п чисел
(жь... ,хп) (см. §6.1).
Если две функции, / и ср, от п переменных заданы на одном и том
же множестве Е систем (xi,... , хп) — точек n-мерного пространства,
то можно определить сумму / + ср, разность / — ср, произведение fcp
и частное f/ip как функции, определенные на Е при помощи равенств,
аналогичных равенствам B), где надо только числа х заменить систе-
системами (xi,... ,жп). Естественным образом определяются также слож-
сложные функции, такие как f((p(x, у), ф(х, у, z)) = F(x, у, z), где (ж, у, z) —
тройки чисел, принадлежащие некоторому множеству троек.
Ниже приводится несколько примеров функций многих переменных,
заданных посредством элементарных формул.
Пример 1. и = Ах + By + Cz + D, где А, В, С', D — заданные посто-
постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных x,y,z.
Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линейная функ-
функция от п переменных (#i,... ,хп) задается формулой и = 5^?=1 aixi + ^
где ai,... ,ап,Ь — заданные постоянные числа. Эта формула определена в
любой точке (#1,... ,хп) n-мерного пространства, или, как еще говорят, на
всем n-мерном пространстве.
Пример 2. z = lg у 1 — х^1 — у^1. Эта действительная функция задана на
области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в @, 0), из которого
удалены все граничные точки, т.е. точки окружности радиуса 1 с центром @, 0).
Для этих точек наша функция не определена, потому что lg 0 не имеет смысла.
Пример 3. Функция
Г 0 для у ^ 0,
z = f(x,y) = <
I 1 для у < 0
20 Гл. 1. Введение
геометрически изображается двумя параллельными плоскостями, не связанными
между собой. Расположение их по отношению к системе координат x,y,z оче-
очевидно.
Функция от одной переменной может быть задана неявным образом
при помощи равенства
F(x,y)=0, C)
где F есть функция от двух переменных хну.
Пусть на некотором множестве G точек (х,у) задана функция F. Ра-
Равенство C) определяет некоторое подмножество п множества G, на кото-
котором функция F равна нулю. Конечно, в частности, П может быть пустым
множеством. Пусть П — непустое множество, и пусть Е есть множество
(очевидно, непустое) таких значений ж (чисел), которым соответствует
хотя бы один у так, что пара (х,у) принадлежит П. Таким образом, Е
есть множество всех чисел ж, каждому из которых соответствует непус-
непустое множество ех чисел у так, что (ж, у) Е П, или, что все равно, так, что
для указанной пары (ж, у) выполняется равенство C). Этим определена
на множестве Е некоторая функция у = ip(x) от ж, вообще говоря, много-
многозначная. В этом случае говорят, что функция ср определена неявно при
помощи равенства C). Для нее, очевидно, выполняется тождество
F(x,(p(x)) = 0 для всех ж Е Е.
По аналогии можно также определить функцию ж = ф(у) от пере-
переменной у, определяемую неявно при помощи равенства C). Для нее вы-
выполняется тождество
F(\jj(y),y) = 0 для всех у Е Е\,
где Е\ есть некоторое множество чисел. Говорят еще, что функция у —
— (р(х) (или ж = ip(y)) удовлетворяет уравнению C).
Функцию ж = ф(у) называют обратной по отношению к функции
У = 4>{х).
Пример 4. Уравнение
х2 + у2 = г2, D)
где г > 0, неявно определяет двузначную функцию от одной переменной
у = ±
впрочем, при х = ±г она однозначна.
Естественно считать, что эта двузначная функция распределяется на две
непрерывные однозначные функции у = +л/г2 — ж2 и у = — л/г2 — ж2,
—г^х^г. Графики их (полуокружности) в совокупности дают окружность
радиуса г с центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое
место точек, координаты (ж, у) которых удовлетворяют уравнению D).
§1.3. Функция 21
Перейдем к более общему n-мерному случаю. Пусть на некотором
множестве G точек {х\,... , жп) n-мерного пространства задана функция
F(xi,... , жп). Равенство
F(xb... ,жп) =0 E)
определяет некоторое подмножество п множества G, на котором функ-
функция F равна нулю. Пусть П — непустое множество, и пусть Е — множест-
множество (непустое!) таких систем (ж1,... , xn_i), которым соответствует хотя
бы одно значение хп такое, что точка (х\,... , жп) принадлежит П.Таким
образом, Е есть множество всех систем (ж]_,... , xn_i), каждой из кото-
которых соответствует непустое множество еЖь... ,Жг1_1 чисел хп таких, что
(xi,... , хп) G П, или, что все равно, таких, что для (ж]_,... , хп) вы-
выполняется равенство E). Этим определена на множестве Е некоторая
функция хп = (f(xi,... , xn—i) от xi,... , жп_1, вообще говоря, много-
многозначная. Говорят, что функция ер определена неявно при помощи равен-
равенства E). Для нее, очевидно, выполняется тождество
FOi,... ,жп_Ь(р(ж1,... ,xn_i)) = 0, (жь... ,xn_i) g Я.
Элементарные функции.
1. Постоянная функция С. Каждому действительному числу х со-
соответствует у, равный одному и тому же числу С. График этой функции
(в прямоугольной системе координат) есть прямая, параллельная оси ж,
находящаяся на расстоянии \С\ от оси х и расположенная выше оси ж,
если С > 0, и ниже оси ж, если С < 0.
2. Степенная функция хп (п = 0, ±1, ±2,...). При положитель-
положительном целом п функция хп определена на всей действительной оси. При
отрицательных целых п она определена на всей действительной оси, за
исключением точки х = 0. Неудобно во всех случаях считать 0° вполне
определенным числом (см. далее § 5.14). Конечно, например, при рас-
рассмотрении функции у = ж0 может оказаться удобным формально счи-
считать, что 0° = 1. Ведь тогда эта функция будет иметь непрерывный гра-
график (прямую, параллельную оси ж) для всех значений ж.
На рис. 1.2 приведены графики функций у = ж, ж2, ж3, ж4.
3. Многочленом степени п называется функция вида
Р{х) = ао + а\х + ... + апжп,
где ao,ai,... , an — постоянные коэффициенты и п есть заданное
натуральное число. Многочлен степени п получается из постоянных а&,
к = 0,... , п, и функций ж, ж2,... , хп при помощи конечного числа
арифметических действий: сложения, вычитания и умножения.
Многочлен называют также целой рациональной функцией {степе-
{степени п). Областью его определения является вся действительная ось.
4. Рациональной функцией называется функция вида
Щх) - S
22
Гл. 1. Введение
где Р(х) = ао + aix + ... + anxn и Q(x) = bo + bix + ... + 6тжт —
некоторые многочлены (Ъш ф 0).
Рациональная функция определена для всех х действительной оси,
кроме нулей многочлена Q, т.е. точек ж, для которых Q(x) = 0. Коли-
Количество таких точек не превышает т.
Рациональная функция получается из некоторых постоянных и функ-
функций вида хк (к натуральное) путем применения к ним арифметических
действий (в конечном числе): сложения, вычитания, умножения и деле-
деления.
5. Степенная функция ха (а — постоянное число) изучается в
школьном курсе алгебры. Однако не все, связанное с этой функцией, пол-
полностью обосновывается в обычном школьном курсе. Например, опреде-
определение жа, когда а есть иррациональное число, основано на достаточно
Рис. 1.2
Рис. 1.3
тонких понятиях из теории пределов. После того как будет изложена
теория пределов, мы вернемся к функции жа, дадим ее исчерпывающее
определение и докажем ее свойства.
6. Показательная функция ах (а > 0). Эта функция также из-
известна из школьного курса алгебры. Однако про нее, так же как и про
степенную функцию, можно сказать, что связанные с нею определения и
свойства обычно не полностью получают обоснование в школьном кур-
курсе. Поэтому к функции ах мы еще вернемся. Обратная функция к ах есть
функция loga х.
7. Функция sin х известна читателю из курса тригонометрии. Она
определяется там из геометрических соображений. Напомним опреде-
определение sin ж. Зададим число х. Отложим на окружности радиуса 1 от
начальной точки А (рис. 1.3) дугу длины |ж| в направлении, противопо-
противоположном движению часовой стрелки, если х > 0, или в направлении дви-
движения часовой стрелки, если ж < 0. Длина дуги исчисляется в радианах.
Пусть В есть конец дуги. Тогда ордината точки В есть sin x.
В этом же известном читателю духе определяются функции cos ж,
tgx, ctgx, совесж, sec ж и устанавливаются их свойства.
§1.3. Функция
23
Затем определяются обратные тригонометрические функции
Arcsinx, Arccosx, ...
Все перечисленные в пп. 1—7 функции могут быть названы простей-
простейшими элементарными функциями. Всякая функция, составленная из
Рис. 1.4
Рис. 1.5
простейших элементарных функций с помощью операций сложения, вы-
вычитания, умножения, деления и функции от функции, если количество
примененных при этом указанных операций конечно, называется элемен-
элементарной функцией. Такую функцию мы и называем функцией, заданной
формулой.
Примеры элементарных функций: sin ж2, (sin жJ, tg lg л/1 — ж2,
cosnarccosx, xx = axlogaX (a > 0).
Полярная система координат. В плоскости зададим
луч OL (полярную ось), выходящий из точки О — полюса полярной
системы координат (рис. 1.4).
Произвольная точка А плоскости определяется парой чисел (р, в) —
ее полярными координатами, где р — расстояние А до О, а в —
выраженный в радианах угол между OL и О А. Точка О исключитель-
исключительная. Она определяется парой @, в), где в — произвольное число. Угол в
У
Рис. 1.6
Рис. 1.7
отсчитывается против часовой стрелки. Функцию р = /@), заданную
на интервале (отрезке или произвольном множестве Е значений в), мож-
можно интерпретировать как множество точек (р, в) плоскости, где в Е Е,
р = /(#). Многие кривые на плоскости могут быть описаны в поляр-
полярных координатах соответствующими функциями р = fF) (многознач-
(многозначными или однозначными). Например, 1) функция р = а°, а > 0,
24
Гл. 1. Введение
— оо < в < оо, описывает в полярных координатах спираль Архимеда
(рис. 1.5); 2) функция
Р =
Ро
cos(i9 - во)'
описывает такую прямую, что опущенный на нее из полюса О перпен-
перпендикуляр имеет длину ро и образует с полярной осью угол во (рис. 1.6);
3) функция/я = 2cos#, —тг/2 ^ в ^ тг/2, описывает окружность радиу-
радиуса 1 с центром в точке АA, 0) (рис. 1.7).
§ 1.4. Понятие непрерывности функции
На рис. 1.8 изображен график функции у = /(ж), а ^ ж ^ Ъ. Его ес-
естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть
нарисован одним непрерывным движением карандаша без отрыва от бу-
бумаги. Зададим произвольную точку (число) ж Е [а, Ь]. Близкая к ней
У '
0
А ^
Г
1
1
1
1
1
1
а х
С
,-—
"В
х+Ах
1
1
1
1
1
1
1
1
Ъ х
Рис. 1.S
х0 хо+Ахо Ъ х
Рис. 1.9
другая точка х' Е [а, Ь] может быть записана в виде х' = х + Дж, где Дж
есть число, положительное или отрицательное, называемое приращени-
приращением х. Разность
Af = Ay = f(x + Ах) - f(x)
называется приращением функции f в точке ж, соответствующим при-
приращению Дж. На рис. 1.8 Ау равно длине отрезка ВС.
Будем стремить Дж непрерывно к нулю; тогда для рассматриваемой
функции, очевидно, и Ау будет стремиться к нулю:
Ау -+ 0 (Дж^О).
A)
Рассмотрим теперь график, изображенный на рис. 1.9. Он состоит
из двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не соединены
непрерывно, и потому график естественно назвать разрывным. Чтобы
график изображал однозначную функцию у = F(x) в точке жо, условим-
условимся, что F(xo) равно длине отрезка, соединяющего А и жо; в знак этого
точка А изображена на графике жирно, в то время как у точки Q на-
нарисована стрелка, указывающая, что Q не принадлежит графику. Если
§1.4- Понятие непрерывности функции 25
бы точка Q принадлежала графику, то функция / была бы двузначной в
точке ж о.
Придадим теперь хо приращение Ажо и определим соответствующее
приращение функции:
AF = F(xo + Axo)-F(xo).
Если мы будем Ажо стремить непрерывно к нулю, то уже нельзя будет
сказать, что AF стремится к нулю. Для отрицательных Ажо, стремя-
стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка
видно, что если Ажо, оставаясь положительным, стремится к нулю, то
соответствующее приращение AF при этом стремится к положительно-
положительному числу, равному длине отрезка AQ.
После этих рассмотрений естественно ввести следующее определе-
определение (принадлежащее Коши). Функция /, заданная на отрезке [а, 6], назы-
называется непрерывной в точке х этого отрезка, если приращение ее в этой
точке, соответствующее приращению Ах *), стремится к нулю при лю-
любом способе стремления Ах к нулю. Это свойство (непрерывности в х)
записывается в виде соотношения A), или еще так:
lim Ay = 0. B)
Запись B) читается так: предел Ау равен нулю, когда Ах стремится
к нулю по любому закону. Впрочем, выражение "по любому закону"
обычно опускают, подразумевая его.
Если определенная на [а, Ь] функция / не является непрерывной в точ-
точке ж Е [а, Ь], т.е. если для нее не выполняется свойство B) хотя бы при
одном способе стремления Ах к нулю, то она называется разрывной в
точке х.
Функция, изображенная на рис. 1.8, непрерывна в любой точке х Е
Е [а,Ь], функция же, изображенная на рис. 1.9, очевидно, непрерывна в
любой точке х Е [а, Ь], за исключением точки хо, потому что для послед-
последней соотношение B) не выполняется, когда Ажо —> 0, оставаясь положи-
положительным.
Данное определение непрерывности функции в точке, само по себе со-
совершенно корректное, базируется пока на интуитивном понимании поня-
понятия предела. После того как будет изложена теория пределов, это опре-
определение, которое может быть расширено и на случай функций многих пе-
переменных, получит полное обоснование.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называ-
называется непрерывной на нем.
Непрерывная функция математически выражает свойство, с кото-
которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся
в том, что малому приращению независимой переменной соответствует
малое приращение зависимой от нее переменной (функции).
Здесь имеется в виду Ах такое, что х + Ах Е [а, Ь].
26
Гл. 1. Введение
Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить раз-
различные законы движения тел s = / (?), выражающие зависимости пути s,
пройденного телом, от времени t. Время и пространство непрерывны,
при этом тот или иной закон движения s = /(?) устанавливает между
ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что
малому приращению времени соответствует малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружа-
окружающие его так называемые сплошные среды: твердые, жидкие или газо-
газообразные, например металлы, воду, воздух.
На самом деле, всякая физическая среда пред-
представляет собой скопление большого числа от-
отделенных друг от друга движущихся частиц.
Однако эти частицы и расстояния между ни-
ними настолько малы по сравнению с объемами
сред, с которыми приходится иметь дело в
макроскопических физических явлениях, что
многие такие явления можно достаточно хоро-
хорошо изучать, если считать приближенно массу
изучаемой среды непрерывно распределенной
без всяких просветов в занятом ею простран-
пространстве. На таком допущении базируются многие
физические дисциплины, например гидродина-
гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Ма-
Математическое понятие непрерывности, естест-
естественно, играет в этих дисциплинах, как и во
многих других, большую роль.
-10
30 t
Рис. 1.10
Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которым
оперирует математический анализ.
Примерами непрерывных функций могут служить элементарные
функции, определенные в § 1.3. Они непрерывны на интервалах измене-
изменения ж, где они определены.
Разрывные функции в математике отражают скачкообразные про-
процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина ско-
скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы со-
сопровождаются скачками. Например, зависимость Q = /(?) между тем-
температурой t одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий находя-
находящегося в ней тепла, когда t изменяется между —10° и +10°, если принять
условно, что при —10° величина Q равна нулю, выражается следующи-
следующими формулами:
Г 0,5* + 5, -HKK0,
It+ 85, 0<?<30.
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При t = 0 эта функ-
функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства
условиться, что при t = 0 она принимает вполне определенное значение,
например /@) = 45. Функция Q = /(?), разрывная при t = 0, изображе-
изображена на рис. 1.10.
§1.5. Производная 27
§ 1.5. Производная
Понятие производной возникло как результат многовековых усилий,
направленных на решение таких задач, как задача о проведении каса-
касательной к кривой или о вычислении скорости неравномерного движения.
Подобные задачи и задача о вычислении площади криволинейной фигу-
фигуры интересовали математиков с древних времен. В XVII веке в работах
Ньютона и Лейбница эта деятельность получила определенное теорети-
теоретическое завершение. Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифферен-
дифференцирования и интегрирования функций и доказали важную теорему, нося-
носящую их имя, устанавливающую тесную связь между операциями диффе-
дифференцирования и интегрирования. Надо, однако, иметь в виду, что совре-
современное изложение этих вопросов существенно отличается от того, как
они излагались во времена Ньютона и Лейбница. В рассуждениях и по-
понятиях, которыми оперировали в то время, с нашей точки зрения можно
найти много неясного; да и сами математики того времени это сознавали,
о чем свидетельствуют ожесточенные дискуссии, которые происходили
по этим вопросам между ними.
Современный математический анализ базируется на понятии преде-
предела, которое выкристаллизовалось в четкую формулировку не так уж
давно — в первой половине девятнадцатого столетия. Большая заслу-
заслуга в этом принадлежит французскому математику Коши.
Понятие предела существенно используется в определениях понятий
непрерывности функции, производной, интеграла.
Мгновенная скорость. Пусть точка движется по прямой
и функция s = /(?) выражает зависимость от времени t Е (а, Ь) ее рас-
расстояния (с учетом знака*)) s до некоторой начальной точки О прямой.
В момент времени t E (а, Ъ) точка находится на расстоянии s = /(t) от О.
В момент же времени t + At Е (а, 6), At ф 0, она находится на расстоя-
расстоянии s + As = f(t + At) от О. Средняя скорость ее на промежутке времени
(t, t + At) равна
_ As _ f(t + At) - /(*)
Vcp ~ At ~ At
Мгновенную или истинную скорость v точки в момент времени t естес-
естественно определить как предел, к которому стремится vcp при At —>• О,
т.е. А
г As
v = lim ——.
A At
Касательная к кривой. Рассмотрим какую-нибудь
непрерывную кривую**) Г в плоскости или пространстве (рис. 1.11).
*) Точнее, s есть координата точки прямой, где заданы начальная точка О,
единичный отрезок и положительное направление.
**) Строгое определение непрерывной кривой будет дано в § 6.5. Согласно
этому определению произвольная точка А Е Г непрерывно зависит от параметра
(числа) t, пробегающего интервал или отрезок. Если точки A, A G Г определя-
определяются соответственно значениями t, t' параметра и если t' стремится к t, то говорят,
что А! стремится (неограниченно приближается) к А, двигаясь по Г.
28
Гл. 1. Введение
Пусть А — лежащая на ней точка и А' — другая лежащая на Г точка.
Прямую S, проходящую через Аи А'', будем называть секущей (кри-
(кривую Г). Будем теперь точку А! двигать непрерывно по Г, неограничен-
неограниченно приближая к А. Тогда секущая S будет вращаться относительно А.
Может случиться, что при этом S будет стремиться занять в пределе по-
положение вполне определенной (проходящей, очевидно, через А) прямой,
которую мы обозначили через Т. Если это будет иметь место, то говорят,
что кривая Г имеет в точке А касательную. Именно прямую Т называют
касательной к Г в точке А.
Рис. 1.12
Не всякая непрерывная кривая в любой ее точке имеет касательную.
Тривиальным примером этого может служить кривая, изображенная на
рис. 1.12. Она состоит из двух гладких *) кусков Гх и Г2, соединенных
в точке А "под углом". На рисунке на кривой отмечены две другие точ-
точки, А', А", соответственно лежащие на Fi, Г2; через S' и S" обозначены
проходящие через А!, А!' и А секущие.
Очевидно, что если А\ А", двигаясь соответственно по Fi, Г2, будут
приближаться к А, то секущие Sf, S/f будут стремиться занять в преде-
пределе положение двух разных прямых Т' и Т". Поэтому рассматриваемая
кривая не имеет касательной в точке А. Впрочем, можно было бы, раз-
развивая введенное определение, сказать, что наша кривая имеет в точке А
две односторонние касательные, но об этом речь сейчас не идет.
Пусть теперь кривая Г есть график непрерывной на (а, Ъ) функции
(рис. 1.13) 2/ =/(ж).
Зададим на Г точку А, имеющую абсциссу ж, и другую точку С, име-
имеющую абсциссу х+Ах (Ах ф 0). Через эти точки проведем прямую S—
секущую. На ней отметим стрелкой положительное направление (соот-
(соответствующее возрастанию х). Угол между этим направлением и поло-
положительной осью х обозначим через C. В данном случае 0 < C < -|.
Очевидно,
t Я=АУ = f(x + Аж) ~ /И
8Р Ах Ах
Будем Ах стремить к нулю; тогда вследствие непрерывности / будет
также и Ау стремиться к нулю, и точка С, двигаясь по Г, будет стре-
стремиться к точке А. Если окажется (этого может и не быть), что при этом
*) Строгое описание гладкого куска кривой дано в § 6.5.
§1.5. Производная
29
отношение д^ стремится при любом способе стремления Ах к нулю к
одному и тому же конечному пределу (числу) к:
то тогда и угол C будет стремиться к некоторому отличному от тг/2
углу а. Вместе с E и секущая 5, вращаясь около точки А, будет стре-
стремиться занять в пределе положение направленной прямой Т, проходящей
В
х+Ах х
Рис. 1.14
через А под углом а с положительным направлением оси х. Но тогда Т
есть касательная к кривой Г в точке А и
Ау
lim -—= lim
Аж^О Ах Аж^
В данном случае ^ > 0, /3 > 0, а > 0, tga > 0. Но может быть
случай, как на рис. 1.14, когда ^f < 0, E < 0, a < 0, tga < 0.
Мы установили, что если отношение д^ при Аж —>• 0 стремится к
конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А касательную, тангенс
угла которой с положительным направлением оси х равен этому пределу.
Сила тока. Допустим, что известна функция Q = /(?), выража-
выражающая количество электричества, прошедшее через фиксированное сече-
сечение провода за время t. За период от t до t + At через сечение протекает
количество электричества AQ = f(t + At) — /(t). Средняя сила тока
при этом равна
т _AQ _ f(t + At) - f{t)
cp " At " At
Предел этого отношения при At —>- 0 дает силу тока в момент t:
т г
/ = lim
At
30 Гл. 1. Введение
Производная. Все три рассмотренные задачи, несмотря на то,
что они относятся к различным областям человеческого знания: меха-
механике, геометрии, теории электричества, — привели к одной и той же ма-
математической операции, которую нужно произвести над некоторой функ-
функцией. Надо найти предел отношения приращения функции к соответству-
соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Мы
могли бы как угодно увеличить число задач, решение которых приводит-
приводится к подобной операции. К ней приводит задача о скорости химической
реакции, о плотности неравномерно распределенной массы и др.
Естественно, что эта операция получила в математике специальное
название. Она называется операцией дифференцирования функции. Ре-
Результат ее называется производной.
Итак, производной от функции /, заданной на некотором интервале
(а, Ъ), в точке х этого интервала, называется предел, к которому стремит-
стремится отношение приращения функции / в этой точке к соответствующему
приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производ-
Производную принято обозначать так *):
= lim ^ = lim
А
df(x)
Но широко употребляются и другие обозначения: у', ^ ^
ство того или иного из них читатель впоследствии оценит сам.
Результаты рассмотренных примеров теперь можно сформулировать
так:
Скорость в момент t движущейся по числовой прямой точки,
координата которой s есть функция s = f(t) от времени t, равна
производной от этой функции sf = f'(t).
Тангенс угла а между касательной к кривой, описываемой функ-
функцией у = /(ж), в точке, имеющей абсциссу х, и положительным
направлением оси х равен производной f (х).
Сила тока I в проводе в момент t, если функция Q = /(?)
выражает количество электричества, прошедшее за время t через
сечение провода, равна производной I — Q1 — /'(?).
Некоторые формулы. При натуральном п = 1,2,...
(хпУ = пхп~1. A)
*) Предел Нп1дж^о ~?xi где рассматриваются только Ах > 0 или только
Ах < 0, называется соответственно правой или левой производной от / в точке ж.
Про функцию /, заданную на отрезке [а, Ь], принято говорить, что она имеет на
этом отрезке производную, если она имеет производную в любой точке интервала
(а, Ь) и, кроме того, правую производную в точке а и левую — в точке Ь.
§1.5. Производная 31
В самом деле, считая Ах = /г, будем иметь
АУ
/ п\> v АУ у
(х ) = hm = hm
v J h^o h h^o
= Hm
= hm =
h h^o h
hUx + hO1'1 + (x + h)n~2x + ... + Xй-1]
=
h
= Hm (x + hO1'1 + Hm (x + h)n-2x + ... + Hm x71'1 = nxn~\
где мы снова пользуемся элементарными свойствами пределов, которые
будут обоснованы в дальнейшем (см. ниже замечание).
Справедливы также формулы:
(sin ax)' =acosax, B)
(cosax) = —asinax, C)
где а — константа. Докажем первое равенство, доказательство второго
предоставляем читателю. При а ф О
sin a(x + h) — sin ax
hm = Hm
h h^O
h
= a Hm t^- Hm cos [ax + — = a • 1 • cos ax = a cos ax.
Мы воспользовались свойством lima^o S1^a = 1 и тем фактом, что
функция cos х непрерывна. Оба эти утверждения будут обоснованы да-
далее (см. § 4.2 и § 4.9). При а = 0 равенства B) и C) выражают, что
производная от постоянной равна нулю (см. ниже D)).
Производная от функции /(ж) есть в свою очередь функция /' (ж). Ес-
Если производная от ff(x) существует, то она называется второй произ-
производной от f(x) и обозначается так: f"(x).
Подобным же образом определяются высшие производные f^n\x)
от /(ж) порядка п, где п — любое натуральное число.
Вторая производная от функции s = f(t), выражающей закон движе-
движения точки на прямой, равна, очевидно, ускорению этой точки в момент
времени t.
Уже из сказанного видно, что понятие производной имеет громадное
значение в прикладных вопросах, но оно является фундаментальным и в
самой математике. Это будет видно из дальнейшего.
Отметим, что постоянное число С, рассматриваемое как функция
от х (см. § 1.3), имеет производную, равную нулю тождественно (т.е.
равную нулю для всех х). В самом деле,
f(x) = С, f(x + Ах) = С, С = Hm ^—- = Hm 0 = 0. D)
32 Гл. 1. Введение
Обратное утверждение также верно: если о функции известно,
что ее производная равна нулю тождественно, f'(x) = 0, то она
есть постоянная. Это простое утверждение, чтобы его доказать строго
математически, требует уже достаточно серьезного аппарата, с которым
мы познакомимся позднее (см. § 5.8). С другой стороны, из механических
соображений оно совершенно очевидно. В самом деле, пусть функция
s = /(?) выражает закон движения точки по прямой, причем ее скорость
тождественно равна нулю: v = ff(t) = 0. Тогда точка стоит на месте
и расстояние s ее до начальной точки О равно постоянной при любом t.
Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на t, не имеет значе-
значения — время тоже можно обозначать через х.
Отметим еще, что если функции и{х) и г?(ж) имеют в некоторой точ-
точке х производную wA,B — постоянные числа, то функция
/(ж) = Аи(х) + Bv(x) E)
также имеет производную, равную
f'(x) =Аи'(х)+Ву'(х). F)
В самом деле,
lim
h
Аи(х + ft) + Bv(x + ft) - [Au(x) + Bv(x)
= lim
ft
v(x + h)-v(x)
ft
=
ft
= Au'(x)+Bv'(x). G)
Во втором равенстве в этой цепочке равенств мы воспользовались тем
фактом, что предел суммы равен сумме пределов, и в третьем, — что
постоянную законно вынести за знак предела.
По индукции можно доказать более общее утверждение *):
j=i
*) Надо иметь в виду обозначение
п п
(ХЛ + OLO + • • • + OLn = / OLA = > OLA
/ J J / J J
j = l 1
§1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл 33
где ctj — постоянные числа, а о функциях иj (х) предполагается, что они
имеют производные.
В частности, получим производную от многочлена:
I Z^ k J Z^ k
\k=0 / k = l
{ak — постоянные).
Замечание. Формулу (жп) = пхп~1, п = 1,2,..., можно
доказать по индукции. При п = 1 имеем
/ г x+h-x 0
х = lim = 1 = х .
Если теперь допустить, что формула (ж71) = (п — 1)жп~2, п =
= 2,3,..., верна, то получим (см. § 5.1, E))
(хп)' = {ххп-г)' = х'хп-г + х{хп-г)' = пхп-\
Отметим формулы D)-(9) § 5.1 и таблицу § 5.5, которые могут ока-
оказаться полезными читателю еще до того, как он дойдет до них, изучая
предмет систематически.
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл
Пусть на интервале (а, Ь) задана непрерывная функция /. По опреде-
определению функция F называется первообразной функцией для / на интер-
интервале (а, Ь) *), если на нем производная от F равна /:
F'(x)=f(x), xe(a,b).
Очевидно, что если функция F есть первообразная для / на (а, 6), a
С — постоянная, то функция F(x) + С есть также первообразная для /,
потому что
(F(x) + С)' = F'(x) + С" = F'(x) = f(x).
Обратно, если F и F\ — первообразные для f(x) на (а, 6), то они необ-
необходимо отличаются друг от друга на всем интервале (а, Ь) на некоторую
постоянную С:
F1(x)=F(x)+C. A)
*) Аналогично определяется первообразная для / на отрезке [а, Ь]. Надо при-
принять во внимание только сноску на с. 30.
2 С.М.Никольский
34 Гл. 1. Введение
В самом деле, (F1(x) - F(x))' = F[(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.
Но тогда, как отмечалось в предыдущем параграфе, существует такое
(постоянное) число С, что F\ [x)—F{x) = С на (а, Ъ). Отсюда следует A).
Итак, мы установли, правда, пользуясь механическими соображени-
соображениями, важный факт: если F есть какая-либо первообразная от f па
интервале (а,Ь), то всевозможные первообразные от / на этом
интервале выражаются формулой F(x) + С, где вместо С можно
подставить любое число.
Дадим теперь следующее определение. Неопределенным интегра-
интегралом от непрерывной на интервале (а, Ь) функции / называется некоторая
ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:
(x) dx.
Из сказанного следует, что если F есть любая первообразная функ-
функция для f на интервале (а, Ь), то неопределенный интеграл от f на
этом интервале равен
г
(х) dx = Fix) + С B)
где С — соответствующим образом подобранная постоянная.
Если /i, /2 — непрерывные на интервале (а, Ь) функции и А\, А2 —
постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основ-
основное свойство неопределенного интеграла:
г г
A2f2(x)) dx = Ах / /if» dx + А2 J f2(x) dx + G, C)
где С есть некоторая постоянная.
В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева в C)
стоит какая-то одна из первообразных функций от A\j\[x) + A2j2[x).
С другой стороны, имеет место равенство
А1 j h(x) dx + A2 j /2(x) dx) =
= A1(Jf1(x)dx) +A2(j f2(x)dx\ =A1f1(x)+A2f2(x), D)
потому что интегралы J /i dx, J f2 dx обозначают соответственно неко-
некоторые первообразные функции от /i и /2. Поэтому правая часть C) без
последнего члена С есть также первообразная для А\ /i (x) + A2f2 (x), но
тогда она отличается от левой части C) на некоторую постоянную.
§1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл 35
Свойство C) по индукции распространяется на любое конечное чис-
число непрерывных на (а, Ь) функций /i,..., fn и постоянных А\,..., Ап:
V^ А О / Ч \ 7 V^ А //./47 ^V /*,\
\ Л • т • ( 'У* I I Wa' — \ Л • I г • i т* 1 Wa' —I— i I S I
Z^ ^^v M Z^ з / «/jv у -г v у
Как следствие при Ai = l, A2 = =Ы, п = 2 вытекает равенство
J(h±f2)dx = j hdx±J frdx + C,
а при Ai = 4 и A2 = 0, /i = / — равенство
f Afdx = A ffdx + C.
Примеры.
/
F)
sinax _, . _ /r,4
cos аж с/ж = h С, a^O, G)
a
/, cos ax _, . _ /n.
smaxdx = h C, a/0. (8)
a
В самом деле (см. § 1.5, A)-C)),
n / n
/
/smax\ 1 , . л/ 1
= — (sin ax) = — a cos ax = cos ax,
\ a J a a
i
cos ax
I = (cos ax) = sin ax.
a J a
Из E) и F) следует, что неопределенный интеграл от многочлена Рп(х) =
с степени п (а^ — постоянные) равен
n xfc+1
/с=0 +
36
Гл. 1. Введение
§ 1.7. Понятие определенного интеграла.
Площадь криволинейной фигуры
Зададим на отрезке [а, Ъ] (anb — конечные числа, а <Ъ) неотрица-
неотрицательную непрерывную функцию f(x). График ее изобразим на рис. 1.15.
Поставим задачу: требуется разумно определить понятие площади фи-
фигуры, ограниченной кривой у = /(ж), осью ж, прямыми х = а и х = 6,
и вычислить эту площадь. Постав-
Поставленную задачу естественно решить
так. Произведем разбиение отрез-
отрезка [а, Ь] на п частей точками
а = хо < х\ < ... < хп = Ъ, A)
выберем на каждом из полученных
частичных отрезков
Рис. 1.15
j = 0,1,...,п- 1,
B)
по произвольной точке ?j E [xj, #j+i], определим значения /(?j) функ-
функции / в этих точках и составим сумму
п-1
AxJ =
C)
которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна
сумме площадей затушеванных прямоугольников (см. рис. 1.15).
Будем теперь стремить все Axj к нулю и притом так, чтобы макси-
максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремился к
нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному преде-
пределу 5, не зависящему от способов разбиения A) и выбора точек ?j на час-
частичных отрезках, то естественно величину S называть площадью нашей
криволинейной фигуры. Таким образом,
S =
lim
п-1
3=0
D)
Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры.
Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе го-
говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная
сумма 5П, когда max Axj —>• О? В дальнейшем будет доказано, что этот
вопрос решается положительно: каждая определенная выше криволи-
криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции /(ж),
§1.7. Понятие определенного интеграла 37
действительно имеет площадь в смысле сделанного определения, выра-
выражаемую, таким образом, зависящим от этой фигуры числом S.
Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно данное
определение площади, как всегда в таких случаях, решается практикой.
Мы скажем только, что практика полностью оправдала это определение.
У нас будет много случаев убедиться в правильности сделанного опреде-
определения.
Но обратим внимание на выражение D). Отвлекаясь от задачи на-
нахождения площади, мы можем на него смотреть как на некоторую опера-
операцию, при помощи которой по данной функции /, заданной на [а, 6], опре-
определяется число S. Она называется операцией интегрирования функции
/ на (конечном) отрезке [а, 6], а результат ее, если он существует, назы-
называется определенным интегралом от / на [а, Ь] и записывается так:
71-1 -&
S = m х АШ 5Z f(& АЖ? = / f^ dX' E)
max Xj^ .=q Ja
Итак, по определению определенным интегралом от функции f
на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы D), когда мак-
максимальный частичный отрезок разбиения A) стремится к нулю.
В этом определении, которое теперь уже не связано с задачей о на-
нахождении площади, функция / не обязательно непрерывна и неотрица-
неотрицательна на [а, Ь]. Надо отметить, что это определение не утверждает су-
существования определенного интеграла для всякой функции /, заданной
на [а, Ь], т.е. существования предела E). Оно только говорит, что если
этот предел существует для заданной на [а, Ь] функции /, то он называ-
называется определенным интегралом от / на [а, Ь].
Следует иметь в виду также, что когда говорят, что указанный пре-
предел S существует, то подразумевают, что он не зависит от способов раз-
разбиения отрезка [а, Ь] на части и выбора на полученных частичных от-
отрезках точек ?j. Например, если известно, что определенный интеграл
S = /0 f(x) dx от некоторой функции / на отрезке [0,1] существует,
то он может быть получен, например, при помощи отыскания предела
S= lim — JZl-d f(—) интегральных сумм, соответствующих разби-
ению [0,1] на п равных частей точками Xj = j/n, j = 0,1,..., п, и
выбору в качестве ?j левых концов частичных отрезков разбиения.
Но число S может быть получено также как предел
S = hm 2_^ J ill' i i
интегральных сумм, соответствующих разбиению [0,1] точками Xj =
= (j/nJ, j = 0,l,...,n — 1, и выбору в качестве ?j правых концов
38
Гл. 1. Введение
частичных отрезков разбиения. В этом случае длина j-ro частичного
отрезка удовлетворяет соотношениям
2(п -
2п -
= 2 ^ ^, П^ОО,
показывающим, что максимальный из них (самый правый) имеет длину,
стремящуюся к нулю вместе с неограниченным возрастанием п.
В теории определенного интеграла доказывается, что всякая непре-
непрерывная на отрезке [а, Ь] функция интегрируема на нем, т.е. для нее пре-
предел E) существует. Отсюда и следует упомянутый факт, что всякая фи-
фигура рассмотренного выше типа имеет площадь.
Пример 1. Площадь S (рис. 1.16), ограниченная параболой у = х ,
осью х и прямой х = 1, равна
v 1
lim —
1 —>-OO 77,
M v 1
— = lim —
/с =
= lim —5-
2п3 - Зп2
2n 6n2
у U
о
соответствующая
Мы показали, что интегральная сумма функции у = х
разбиению [0,1] на равные части, стремится к числу 1/3.
Тот факт, что сумма
соответствующая произвольному разбиению
[0,1], стремится к 1/3, когда maxAxj —»• 0,
доказать непосредственно элементарными ме-
методами не так уж просто. Это, однако, следует
из упомянутого утверждения, что определен-
определенный интеграл от непрерывной на (конечном)
отрезке функции всегда существует.
i
1
Рис. 1.16
Приведем другие примеры практичес-
практических задач, решение которых сводится к
вычислению определенных интегралов.
Работа. Пусть к движущейся по прямой точке приложена на-
направленная вдоль этой прямой переменная сила F = /(ж), где /(ж) есть
непрерывная функция от ж — абсциссы движущейся точки. Работа силы
F при передвижении точки от а до Ъ равна
n-i
W = lim
тахАжо-^О
j=o
= /
Ja
= / f{x)dx,
J
где а = xo < x\ < ... < xn = 6, Axj = Xj+i — Xj. В самом деле, в
силу непрерывности / произведение /(xj)Axj близко к истинной работе
§1.7. Понятие определенного интеграла 39
на [xj,xj+i], а сумма этих произведений близка к истинной работе на
[а, Ь] и притом тем ближе, чем меньше max Axj .
Масса стержня переменной плотности. Бу-
Будем считать, что отрезок [а, Ь] оси х имеет массу с переменной линейной
плотностью р(х) ^ 0, где р(х) — непрерывная на [а, Ь] функция. Общая
масса этого отрезка равна интегралу
71-1 -&
М= lim y^p(xj)Axj= / p(x)dx, F)
шахД^-Ю^ Ja
а = хо < х\ < ... < хп = Ъ, Axj =
Непосредственное вычисление определенного интеграла по фор-
формуле E) связано с трудностями — интегральные суммы сколько-нибудь
сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую не легко преобразо-
преобразовывать их к виду, удобному для вычисления пределов. Во всяком случае,
на этом пути не удалось создать общих методов. Интересно отметить,
что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуж-
рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он
вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении ве-
веков многие математики решали задачи на вычисление площадей фигур и
объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и методы их
решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом
вопросе сделали Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения
таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от
функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.
Пусть задана непрерывная на [а, Ь] функция /(ж), и пусть F(x) есть
ее первообразная. Теорема Ньютона и Лейбница утверждает справед-
справедливость равенства
' f(x)dx = F(b)-F(a), G)
показывающего, что если для функции / известна ее первообразная F,
то вычисление определенного интеграла от / на [а, Ь] сводится к простой
подстановке чисел а и Ъ в F.
Эта теорема будет доказана в § 9.9, а сейчас мы дадим ее простое
механическое толкование. Будем считать, что х есть время, а функция
у = F(x) выражает закон движения по прямой точки, т.е. у есть рас-
расстояние с соответствующим знаком в момент х движущейся точки до за-
закрепленной нулевой точки.
Путь, пройденный точкой за промежуток времени а ^ х ^ 6, очевид-
очевидно, равен *)
Л = F(b) - F(a). (8)
*) Впрочем, термин "путь, пройденный точкой", не совсем точно выражает
данное явление. Если, например, закон движения таков, что точка сначала про-
продвинулась вправо, пройдя путь Ai, а затем влево, пройдя путь А2, то А = Ai — А2.
40
Гл. 1. Введение
С другой стороны, он может быть вычислен интегрированием скорости
f(x) = F'(x) точки:
п-1 ь
Л = lim V f(xj) Axj = / f(x) dx.
тахАж^О^ Ja
(9)
Ведь произведение f(xj) Axj приближенно выражает путь, пройденный
точкой на отрезке времени [xj,xj+i], где Xj определены, как в A). Но
тогда из (8) и (9) следует G).
Примеры.
гЬ
/
—
n
=-(bn-an),
n
f
J a
cos ax dx =
= — (sin. ab — sinaa), a/0.
b
При этом мы считаем, что F(x) = F(b) — F(a).
a
Количество подобных примеров можно значительно увеличить пос-
после того, как читатель познакомится с § 5.1-5.5, где изложены основы тех-
техники дифференцирования элементарных функций.
Глава 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа
В этой главе мы даем обзор основных свойств (аксиом) действитель-
действительных чисел. Это уместно, потому что среди этих свойств имеются такие, с
которыми мы не имели дела в арифметике и школьном курсе алгебры, где
рассматриваются операции над постоянными числами. Между тем эти
свойства обнаруживаются при рассмотрении переменных чисел, или,
как говорят по традиции, переменных величин.
При изучении функций приходится привлекать свойства чисел во
всей их полноте, помимо тех свойств, с которыми мы хорошо знакомы из
школьной математики.
Целые числа
...,-2,-1,0,1,2,... A)
можно складывать, вычитать и умножать друг на друга, получая снова
целые числа.
Рациональные числа будем записывать в виде p/q, где рн q целые,
<z#o.
В практических вычислениях вполне достаточно оперировать толь-
только рациональными числами. Однако числа нужны еще для целей изме-
измерения геометрических и физических величин (длин отрезков, площадей,
объемов, температур и т.д.). Мы здесь имеем в виду не практическое
приближенное измерение этих величин, а точное (теоретическое) выра-
выражение их числами. Для этих целей рациональных чисел уже недостаточ-
недостаточно. Рассмотрим, например, отрезок, представляющий собой гипотенузу
прямоугольного треугольника с равными катетами длины единица. Если
допустить, что длина этого отрезка выражается положительной рацио-
рациональной дробью p/q, которую будем считать несократимой, то площадь
построенного на нем квадрата равна р2 /q2, а площадь каждого из квад-
квадратов, построенных на катетах, равна 1. Тогда в силу теоремы Пифагора
получим равенство р2 = 2q2. Правая его часть есть целое число, деляще-
делящееся на 2, но тогда левая должна быть четной, а вместе с ней и р. Отсюда
следует, что левая часть делится на 4, но тогда q2 делится на 2, откуда
также q делится на 2. Итак, р и q имеют общий множитель 2, что про-
противоречит предположению, что дробь p/q взята несократимой. Таким
образом, имеются отрезки, длины которых не выражаются рациональ-
рациональными числами. Их называют несоизмеримыми с единицей. Чтобы вы-
42 Гл. 2. Действительное число
разить их длины*), появилась необходимость в новых числах, называ-
называемых иррациональными. Так возникло число V% выражающее длину
гипотенузы рассмотренного треугольника.
Существуют различные способы введения иррациональных чисел.
Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных десятичных
дробей.
Зададим произвольное положительное рациональное число p/q.
Превратим его по известным правилам арифметики в десятичную дробь.
В результате получим
р
д
ж
где ао — целое неотрицательное число, а а^, к = 1, 2,... , — цифры.
Будем писать
- = од, «1«2 • • • = +«о, ol\oli ... C)
и называть десятичную дробь в правой части C) десятичным разло-
разложением числа p/q.
Легко показать, что десятичное разложение положительного рацио-
рационального числа не зависит от способа задания последнего, иначе говоря,
при замене в B) р и q соответственно нар\ и q\, где pq\ = piq, получается
в точности то же десятичное разложение «о, «i«2 • • •
Будем считать, что дробь p/q несократимая.
Хорошо известно, что если знаменатель дроби - имеет вид q = 2s5 ,
где s и I — неотрицательные целые числа, то ее десятичное разложение
есть конечная десятичная дробь:
р
- = ао,«1 ...ат, D)
которая, в частности, может оказаться натуральным числом (p/q = ао).
Если формально приписать справа к этой десятичной дроби бесконечно
много нулей, то она превращается в бесконечную десятичную дробь:
- = «о, OLi... аш = «о, OLi... am000 ... = aOj «i • • • am@). E)
Мы называем ее периодической десятичной дробью с периодом 0, по-
потому что в ней цифра 0 периодически повторяется.
*) A priori длина и положительное число — разные понятия, но между ними
имеется тесная связь, называемая изоморфизмом (см. далее § 2.5).
§2.1. Рациональные и иррациональные числа 43
Пользуются также и другим представлением конечной десятичной
дроби D) в виде периодической десятичной дроби с периодом 9:
ao,ai ... am = ao,ai .. .arn-i(arn — 1)99... =
= ao,a1...am-i(am-l)(9), аш > О, F)
хотя оно и не возникает в процессе B).
Пусть теперь знаменатель положительной дроби p/q не имеет вид
2s Б1. Тогда процесс B) бесконечный — на любом его шаге возникает по-
положительный остаток. Каждый остаток меньше q, и потому после того,
как цифры числа р снесены, среди первых q остатков окажется по край-
крайней мере два равных между собой. Но как только возникает остаток,
который уже был прежде, процесс становится повторяющимся — перио-
периодическим. Поэтому десятичное разложение произвольного положитель-
положительного рационального числа p/q имеет вид
р
- = aOjai ...am7i---7s7i • • -Is • • • = «о, «l ...a™ G1 ---Ts)- (?)
Разложения E) или F) можно рассматривать как частные слу-
случаи G). Разложение вида G) называется положительной десятичной
периодической дробью с периодом, представляющим собой группу цифр
7172-.. 7в-
Ниже приводятся частные примеры положительных бесконечных де-
десятичных периодических дробей:
|= 0,166... = 0,1F), 1 = 0,A42857),
о 7
| =0,22... = 0,B), 1 = 0,0707... = 0,@7).
В первом примере периодом является цифра б, во втором — группа цифр
142857, в четвертом — группа цифр 07.
У положительной десятичной дроби хотя бы одно из чисел «о, ai,
«2, • • • не равно нулю.
Итак, каждому положительному рациональному числу p/q при
помощи процесса B) ставится в соответствие положительная
десятичная периодическая дробь с периодом, отличным от 9*).
При других вычислениях могут получаться десятичные дроби с пе-
периодом 9, но при желании их затем можно записать через соответству-
соответствующие им конечные десятичные дроби, или, что все равно, десятичные
дроби с периодом 0.
*) Если допустить, что процесс B) привел к десятичной дроби с периодом 9,
то, начиная с некоторого этапа процесса, остатки j^, 7/c+l равны между собой, а
в частном получаются цифры 9. Но тогда 107/с = 9д + 7/с+Ьитаккак7/с = 7/с+Ь
то 7/с = Q- Но этого не может быть, так как 7/с < Q-
44 Гл. 2. Действительное число
Верно и обратное утверждение: каждая положительная десятич-
десятичная периодическая дробь, если она не имеет периода 9; может быть
получена при помощи процесса B) из некоторой обыкновенной по-
положительной дроби p/q (единственной).
Например, если дробь ^§§ подвергнуть процессу B), то получим де-
десятичную периодическую дробь ^§§ = 0, 3A2). Обратно, эта последняя
превращается в исходную дробь:
х = 0,3A2), Юж = 3, A2), ЮООж = 312, A2),
103
ЮООж - Юж = 312-3, х = —.
Отрицательному рациональному числу —p/q приводят в соответ-
соответствие бесконечное десятичное разложение положительного числа p/q,
взятое со знаком —.
Итак, имеется взаимно однозначное соответствие *) ±р/д =
= ±ао? «i«2^3 • • • между не равными нулю рациональными числа-
числами и бесконечными десятичными не равными нулю периодическими
дробями. Каждому не равному нулю рациональному числу соответ-
соответствует при помощи указанного выше процесса одно и только одно его
десятичное бесконечное периодическое разложение, не имеющее пери-
периода 9. Обратно, любое такое разложение соответствует при помощи
указанного процесса некоторому не равному нулю рациональному числу
(единственному).
Числу нуль (оно тоже рациональное) естественно привести в соот-
соответствие разложение 0 = ±0,00 ... = 0,00 ...
Кроме периодических десятичных дробей существуют непериоди-
непериодические, например 0,1010010001... ; 0,121122111222 ...
Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по извест-
известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую
десятичную дробь л/2 = 1,41... Она определена в том смысле, что лю-
любому натуральному числу к соответствует определенная цифра а^ к-го
разряда числа V% однозначно вычисляемая согласно правилу извлече-
извлечения квадратного корня.
Математический анализ дает много путей вычисления числа тг с лю-
любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному
бесконечному десятичному разложению тг, которое, как оказывается, не
является периодическим.
Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто фор-
формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконеч-
бесконечная непериодическая дробь
а = ±ао,а!а2аз ... , (8)
*) Если каждому элементу х множества А соответствует определенный эле-
элемент у множества В так, что любой элемент у ? В соответствует одному и только
одному х ? А, то говорят, что этим установлено одно-однозначное или взаимно
однозначное соответствие (х ^ у) элементов Аи В.
§2.1. Рациональные и иррациональные числа 45
где ао — целое неотрицательное число, а а^, к = 1,2,..., — цифры,
знак же равенства = выражает, что мы обозначили правую часть (8)
через а. Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное
разложение числа а.
Рациональные и иррациональные числа называются действитель-
действительными (или вещественными) числами.
Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное
число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8).
Если оно рационально, то его десятичное разложение есть бесконечная
десятичная периодическая дробь. В противном случае согласно нашему
определению выражение (8) само определяет иррациональное число.
Число а, где не все а^ равны нулю, называется положительным
или отрицательным в зависимости от того, будет лив (8) фигурировать
+ или —; при этом, как обычно, + будем позволять себе опускать.
Действительные числа определены пока формально, надо еще опре-
определить арифметические операции над ними, ввести для них понятие >
и проверить, что эти операции и понятие > согласуются с уже имеющи-
имеющимися соответствующими операциями и понятием > для рациональных
чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к
числам.
Определение понятия > дается в § 2.2, а определения арифметичес-
арифметических операций в §2.3. В §2.4 формулируются и доказываются основ-
основные свойства действительных чисел, распределенные на пять групп I-V.
Первые три группы содержат известные свойства, которыми мы руко-
руководствуемся при арифметических вычислениях и решениях неравенств.
Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V так-
также состоит из одного свойства: существования предела у неубывающей
ограниченной последовательности. В сущности, для дальнейшего нам
будет важно только знать, что действительные числа (десятичные дро-
дроби) суть объекты, для которых определены понятие > и арифметические
операции, удовлетворяющие свойствам I-V. Поэтому может быть и та-
такой способ чтения книги, когда читатель систематически читает круп-
крупный шрифт, только более или менее ознакомившись с мелким шрифтом,
где даются доказательства свойств I—V.
Из свойств I-V можно получить логически все остальные свойства
числа.
Существует аксиоматический подход к определению действительно-
действительного числа, заключающийся в том, что числами называются некоторые
объекты (вещи) а, 6, с,..., удовлетворяющие свойствам I—V. При таком
подходе свойства I-V называются аксиомами числа.
Аксиоматическое построение понятия числа на первый взгляд может
показаться более простым. Однако здесь возникает вопрос, совместны
ли аксиомы I-V? Чтобы доказать их совместность, появляется необходи-
необходимость построить формальные символы, для которых можно определить
арифметические операции и понятие >, и проверить, что они удовлетво-
удовлетворяют аксиомам I—V. Такими символами как раз и могут служить беско-
бесконечные десятичные дроби.
46 Гл. 2. Действительное число
§ 2.2. Определение неравенства
Зададим два числа а = ±ао, ol\oli ..., Ь = ±/?о? /?i/?2 • • • ? опреде-
определяемых бесконечными десятичными дробями, не имеющими периода 9.
Будем считать, что они равны между собой тогда и только тогда, когда
их знаки одинаковы и
oik = Ас, & = 0,1,2,...
Для положительных а и 6 по определеннию а < Ъ, или, что все равно,
b > а, если «о < /Зо или если найдется такой индекс (целое неотрица-
неотрицательное число) I, что аь = flk, к = 0,1, 2,... , /, и a/+i < /3/+i.
Однако верно утверждение, независимо от того, будут ли дроби а и Ъ
иметь период 9 или нет: если ао < /Зо или, общее, если otk = Рк,
k = 0,... , s — 1, as < /3S, то выполняется неравенство а ^ Ъ.
В самом деле,
а = ao, ai ... as_iasas+i ... ^ а0, ai ... (as + 1) ^
По определению а > 0 или а < 0 в зависимости от того, будет ли а
положительным или отрицательным; далее, по определению а < Ь, если
а < 0, 6^0 или если а, 6 < 0 и |а| > |Ь|.
Если число а = ±ao,«i«2---, то по определению —а = Т^о,
и абсолютная величина |a| = +«o, aia2 • • • — <^о5 «i«2 • • • Та-
Таким образом,
—a, a ^ 0.
Приведенные определения согласованы с соответствующими опреде-
определениями для рациональных чисел.
§ 2.3. Основная лемма. Определение
арифметических действий
Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) п в силу
некоторого закона приведено в соответствие число хп. Совокупность
жо,жьж2,... A)
называется последовательностью (чисел). Отдельные числа хп после-
последовательности A) называются ее элементами. Элементы хп и хш при
п ф т считаются отличными как элементы данной последовательнос-
последовательности, хотя как числа они могут быть равны между собой, т.е. может быть
хп = хш. Последовательность называется неубывающей (невозраста-
ющей), если Хк ^ %к+1 (хк ^ %k+i) для всех к = 0,1, 2,...
Будем говорить, что последовательность A) ограничена сверху (чис-
(числом М), если существует целое число М такое, что Хк ^ М для всех
А; = 0,1,2,...
§2.3. Основная лемма 47
Если числа х\~ последовательности A) целые, то будем говорить, что
она стабилизируется к числу ?, если найдется такое &о, что х^ = ? для
всех к > ко.
Очевидно, что если последовательность целых чисел не убывает и
ограничена сверху числом М, то она стабилизируется к некоторому це-
целому числу ? ^ М.
Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных десятич-
десятичных дробей
сц =
= «20,
Правые части в B) образуют таблицу (бесконечную матрицу).
Будем говорить, что последовательность B) стабилизируется к
числу а = 7о •> 717273 • • •, и писать
ап =4 а, C)
если к-й столбец таблицы B) стабилизируется к 7ь каково бы ни было
к = 0,1, 2,... При этом, очевидно, автоматически оказывается, что 7о
целое неотрицательное, а 7ь к = 1, 2,..., — цифры.
Замечание. Последовательность чисел а\, а<2, аз,..., где
fe = 0,1, 2,... ,
не стабилизируется. Из § 3.1, где вводится понятие предела, будет ясно,
что данная последовательность имеет предел, равный 1 (ап —> 1). Итак,
последовательность десятичных дробей может иметь предел и в то же
время не стабилизироваться. Однако из того, что ап =4 а, следует, что
ап -^ а (см. § 3.1).
Для произвольного числа а = «o,«i«2 • • • введем его п-ю срезку
a(n) = ao,ai...an, представляющую собой конечную десятичную
дробь. Мы считаем, что операции с конечными десятичными дробями
читателю известны из курса арифметики.
Очевидно,
а(п) ^ а(„+1)
и еще
fl(n)
потому что
а{п+1)
48 Гл. 2. Действительное число
Лемма 1. Если неубывающая последовательность B) деся-
десятичных дробей, не имеющих периода 9, ограничена сверху числом М,
то она стабилизируется к некоторому числу а, удовлетворяющему
неравенствам
ап^а^М, п = 0,1,2,... D)
Доказательство. Считаем, что исходные дроби ап и М =
= mo,mini2 ... не имеют периода 9, но все же может оказаться, что
дробь а = 70, 7i72 • • • имеет период 9. Столбцы матрицы B) с номерами,
не большими &, стабилизируются соответственно к
7о,7172..-7/с ^AfW ^M. E)
В самом деле, в условиях леммы целые числа апо не убывают и огра-
ограничены сверху числом то (апо ^ то ^ М), поэтому они стабилизиру-
стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числу 70 ^ М(°\ Пусть
теперь для любого к установлено, что столбцы матрицы B) с номера-
номерами, не большими к, стабилизируются соответственно к 70, 7ъ • • • , Ik и
верны неравенства E). Тогда это утверждение верно для к + 1.
В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап для п > п\ при
достаточно большом п\ имеют вид
= 7о, 71 • • • 7/c«n fc+ian /с+2 • •
и ап не убывает, то цифры ап k+i(^ 9) не убывают и, следовательно,
стабилизируются при п ^ П2 > ni, где П2 достаточно велико, к некото-
некоторой цифре 7/с+1- При этом 7о, 71 • • -7/c+i ^ ctn ^ M^+1)(n ^ п2),и
мы доказали E) для любого к и тот факт, что ап =4 а, где а = 70, 7i72 • • •
Отметим, что ап ' ^ а^ ^ М^ для любого к, поэтому ап ^ а ^ М,
т.е. выполняется D). В самом деле, если, например, а^ = М^^ для
любого к, то цифры одинаковых разрядов равны между собой и а = М.
Если же а^^ < М^ для некоторого &, то а ^ a(fc) + 10"^ ^ М^ ^ М,
т.е. а ^ М. Аналогично доказывается, что ап ^ а.
Лемма 1 имеет фундаментальный характер. Она служит основой для
доказательства свойства V действительных чисел (см. ниже). На ее ос-
основе также даются теоретические определения арифметических дейст-
действий над бесконечными десятичными дробями.
Сумма, произведение, разность и частное чисел а и Ъ определяем сле-
следующим образом:
а(п) + Ь(п) ^а + Ъ, F)
(a(n?n))(n) ^аЪ, G)
2.4- Основные свойства действительных чисел 49
а(п) _ (Ь(п) + 10-п) _j а _ 6j а > 6 > 0, (8)
<п) () а
^ ь • ( j
Выражения слева в F)-(9) не убывают при возрастании п: благодаря
этому и ограниченности их сверху они на основании доказанной леммы
стабилизируются к определенным числам, которые обозначаются соот-
соответственно через а + 6, ab, a — 6, а/Ь. Надо иметь в виду, что а^ не
убывает при возрастании п, а Ь^ + 10~п не возрастает; кроме того,
верны неравенства
1(ГП)
(где s такое, что ES > 0), показывающие, что левые их части ограничены.
Положим еще (пока для а ^ 0, Ъ > 0)
0 + а = а±0 = а, а • 0 = 0 • а = а - а = - = 0. A0)
Мы определили для неотрицательных чисел а, 6 их сумму, разность,
произведение и частное, предполагая в случае разности, что а ^ 6, и в
случае частного, что Ъ > 0. Эти определения распространяются обыч-
обычными способами на числа а и Ъ произвольных знаков. Например, если
а, Ъ ^ 0, то полагаем
а + 6 = 6 + а = -(\а\ + |Ь|).
Если же a vi Ъ — числа разных знаков и \а\ ^ |Ь|, то полагаем
а + Ь = Ь + а = ±\\а\ - \Ь\\,
где выбирается знак, одинаковый со знаком а. В частности, а+(—а) = 0.
Подобные правила можно было бы привести для остальных арифме-
арифметических действий — они хорошо известны.
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел
Эти свойства могут быть доказаны на основании определений дей-
действительных чисел, понятий =, >, < 0 и арифметических операций над
ними. С другой стороны, эти свойства можно рассматривать как аксио-
аксиомы действительного числа, непротиворечивые (совместные), потому что
они верны для бесконечных десятичных дробей.
50 Гл. 2. Действительное число
I. Свойства порядка.
Ii. Для каждой пары действительных чисел а и Ъ имеет место одно и
только одно соотношение:
а = 6, а > 6, а < Ъ.
12- Из а < b vl b < с следует а < с (транзитивное свойство знака <).
13- Если а < 6, то найдется такое число с, что а < с < Ь.
П. Свойства действий сложения и вычитания*).
III. a + b = b + а (переместительное или коммутативное свойство).
112- (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательное или ассоциативное
свойство).
Ц3. а + 0 = а.
П4. а + (-а) = 0.
Пб- Из а < Ъ следует, что а + с < Ь + с для любого с.
III. Свойства действий умножения и деления**).
IIIi. ab = ba (переместительное или коммутативное свойство).
III2- ab(c) = a(bc) (сочетательное или ассоциативное свойство).
*) При аксиоматическом подходе надо еще добавить: каждой паре чисел a, b
в силу некоторого закона соответствует число а + 6, называемое их суммой; при
этом выполняются П1-П5. Тогда Из и Щ надо видоизменить: существует число 0
(нуль) такое, что а + 0 = а для всех а, так же как существует для каждого а
число —а такое, что а -\- (—а) = 0. Единственность нуля может быть выведена
логически из рассматриваемых аксиом: допущение существования другого нуля 0'
влечет, что 0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0. Выводится также из аксиом существование
разности а — 6, т.е. числа, которое надо добавить к 6, чтобы получить а. Это число
есть а + (—6), потому что а + (—b)-\-b = a-\-0 = a. Оно единственно, потому что
если b + c = b + с, то с = (-b) + b + c= (-b) + b + c =с.
**) При аксиоматическом подходе надо добавить: каждой паре а, Ъ в силу
определенного закона соответствует число аб, называемое произведением ажЬ.
При этом выполняются свойства Illi-IIIg. Надо еще видоизменить Шз и 1Щ:
существует число 1 (единица), отличное от 0 и такое, что а • 1 = а для всех а;
существует для любого а / 0 число 1/а такое, что а • A/а) = 1. Единственность
единицы выводится логически из рассматриваемых аксиом так же, как существо-
существование и единственность частного а/b (Ь^О), т.е. числа, которое надо умножить
на 6, чтобы получить а. Вывод вполне аналогичен выводу в сноске к II, где 0 надо
заменить на 1 и действие сложения на умножение. При этом автоматически 1 > 0;
ведь если допустить, что 1 < 0, то (см. Щ, II5) 0 = 1 + (—1) < —1 и (см. Шб)
1(—1) < 0(—1),т.е. (см. Шз) —1 < 0, и мы получим противоречие: —1 < 0 < —1.
Надо учесть, что
0 • (-1) = 0 • (-1) + 0 • 1 + 0 • 1 = 0(-1 + 1 + 1) =
= 0-@ + 1) = 0-1 = 0.
§2.4- Основные свойства действительных чисел 51
Шз- а • 1 = а.
Ш4. а • — = 1 (а т= U).
Шб- (а + Ь)с = ас + be (распределительный или дистрибутивный
закон).
Шб. Из а < Ь, с > 0 следует ас < be.
IV. А р х и м е д о в о свойство.
Каково бы ни было число с > 0, существует натуральное п > с. В
самом деле, если с = «о, а\а<2 ..., то можно взять п = «о + 2.
Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует,
что, каково бы ни было положительное число е, всегда можно указать
такое натуральное п, что выполняется неравенство 1/п < г.
В самом деле, согласно IV для числа 1/е можно указать натураль-
натуральное п такое, что 1/е < п, что в силу Шб влечет нужное неравенство.
Заметим, что для данного числа с ^ Ов ряду 0,1, 2,... целых не-
неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное т, для которого
выполняются неравенства т ^ с < т + 1.
V. Свойство существования предела у неубываю-
неубывающей ограниченной последовательности положитель-
положительных чисел (см. замечание 1 ниже).
Если последовательность положительных чисел
ai,a2,a3,... A)
не убывает и ограничена сверху числом М, то существует дейст-
действительное число а, не превышающее М, к которому эта последова-
последовательность стремится как к своему пределу:
lim ап = а ^ М. B)
Это значит, что для всякого г > 0 найдется натуральное число по
такое, что \а — ап\ — а — ап < г для всех п > щ.
Доказательство. Каждый элемент ап последовательности A)
разложим в бесконечную десятичную дробь, не имеющую периода 9:
ап = «пО, «п1«п2«пЗ • • • C)
Последовательность чисел C) ограничена сверху числом М (ап ^ М) и
не убывает, поэтому на основании леммы 1 из § 2.3 последовательность
десятичных дробей C) стабилизируется к некоторому числу а ^ М:
ап^ а = 7о, 7172 • • •
Но тогда ап стремится к а как к своему пределу:
lim an = а.
п—уоо
52 Гл. 2. Действительное число
В самом деле, для любого е > 0 найдется натуральное т такое, что
10~т < е. Так как ап стабилизируется к а, то найдется tiq такое, что
при п > по первые т компонент чисел ап уже стабилизированы:
«п = 70, 71 • • • 7m«n m+l«n m+2 • • • ,
т.е. равны соответственно первым т компонентам числа а. Но тогда
а-ап\ = а-ап = 0,0...07m+i - an m+i... ^ 10~т < г,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из I-V следует более общее чем V свойство,
утверждающее, что всякая монотонная, т.е. неубывающая или невоз-
растающая, ограниченная последовательность не обязательно положи-
положительных чисел имеет предел (конечный; см. далее § 3.4).
Пусть Q есть множество всех рациональных чисел. В Q свойства
I-IV выполняются, однако свойство V не всегда выполняется, как пока-
показывает следующий пример.
Пример 1. Пусть а = ао, ol\oli • • • есть произвольное положительное
иррациональное число, а
oSn> = ao, ol\ ... ап, п = 1, 2, 3,... ,
— его n-е срезки. Числа а^п' рациональные и образуют ограниченную сверху
числом а последовательность. При этом их десятичные разложения стабилизиру-
стабилизируются к десятичному разложению числа а. Но тогда, как мы знаем,
lim a(n) = а.
Таким образом, числа а^п' принадлежат Q, но предел их последовательности
не принадлежит Q, а если учесть, что предел у последовательности может быть
только один (см. далее § 3.1), то получим: для Q свойство V, вообще говоря, не
выполняется.
§ 2.5. Изоморфизм различных представлений
действительных чисел. Физические величины
В предыдущих параграфах были определены действительные числа
а, 6, с,... в виде бесконечных десятичных разложений и было отмечено,
что они удовлетворяют свойствам, составляющим указанные выше груп-
группы I—V (коротко, свойствам I—V).
Но мы могли бы, рассуждая аналогично, определить бесконечные
двоичные или троичные (вообще, n-ичные) разложения а', У, с',... и
ввести для них понятия > и операции сложения + и умножения •. При
проверке оказалось бы, что эти новые объекты тоже удовлетворяют
свойствам I-V.
§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел 53
Важно отметить, что все указанные определения действительных
чисел с формальной точки зрения не отличаются друг от друга. Это сле-
следует из формулируемой ниже теоремы, которую можно назвать теоремой
об изоморфизме множеств, удовлетворяющих условиям I-V.
Понятие изоморфизма, точнее, изоморфизма относительно свойств
>, +, •, lim (предел) будет разъяснено ниже попутно.
Теорема 1. Пусть Е есть множество десятичных дробей
а,Ъ,с... и Е' есть множество элементов а', V, с',..., для которых
определены понятия больше (>) и операции сложения (+) и умно-
умножения (•) так, что выполняются свойства I-V.
Тогда между элементами а Е Е и а' Е Е' можно указать
взаимно однозначное соответствие
a rsj о! ?
являющееся изоморфизмом по отношению к понятию >, арифмети-
арифметическим действиям и понятию предела.
Это значит, что если
а ^ а'', Ь ^ Ь'',
то
L/. 7/7/ L /
a±6^a±6, ab ^ a b , — ~ —, 6 7= 0, A)
г/ если при этом а < b, mo a' <br.
Наконец, для ограниченной сверху неубывающей последователь-
последовательности элементов ап Е Е, п = 1, 2,... , имеет место
lim an ~ lim a!n. B)
Таким образом, будем ли мы оперировать десятичными разложени-
разложениями а, Ъ, с,... или им соответствующими элементами о!, У, с',..., если
это оперирование сводится к арифметическим действиям, взятым в ко-
конечном числе, или к нахождению предела неубывающей последователь-
последовательности, мы каждый раз будем приходить к элементам d и d!, находящимся
в указанном выше соответствии d ^ dr.
Это указывает на возможность корректно определить понятие дейст-
действительного числа аксиоматически в том смысле, как это уже было опре-
определено в конце §2.1.
Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, ис-
исходим ли мы при определении действительных чисел из бесконечных де-
десятичных дробей или из аксиоматического подхода к понятию числа. Ко-
Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем: числа
суть абстракции, выражающие количественные отношения в природе, а
десятичные дроби — их представляющие формальные символы.
54
Гл. 2. Действительное число
Имеются еще очень важные для геометрии и физических наук пред-
представления действительных чисел. Это — величины: длина отрезка, мас-
масса, скорость и др. Между их значениями и действительными числами,
иногда только положительными, как в случае массы, устанавливается
соответствие, носящее характер изоморфизма. В 4-м издании книги ав-
автора "Курс математического анализа" (§ 2.5) прослежено такое соответ-
соответствие подробно.
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин
Неравенство
а\ < г
эквивалентно двум неравенствам
-г < а < г.
Отсюда неравенство
a- b\
эквивалентно неравенствам
Ь- г < а <Ь + е.
Аналогично, неравенство
эквивалентно неравенствам Ъ — s ^ a ^ b + е.
Справедливы также неравенства
a + b\
а-Ь\
A)
(i')
B)
B0
C)
D)
\а\ -
Неравенство D) можно получить, рассмотрев отдельно четыре слу-
случая: 1) а, Ъ ^ 0; 2) а, Ъ ^ 0; 3) а ^ 0 ^ Ь; 4) Ъ ^ 0 ^ а.
Например, в случае 2)
а + Ъ ^ Ъ ^ 0,
а в случае 3), если допустить, что \b\
\а + Ь\ = Ь + а
а + Ь\ = -(а + Ь) = -а - Ъ = \а\ +
|а|,
Случай 3) при допущении \b\ ^ \а\ читатель разберет сам так же, как
случай 1). Случай 4) сводится к 3).
Далее, в силу D)
|Ь| + |а-Ь|, \Ъ\ ^\а\ + \а-Ъ\,
т.е. \а\ —
а — Ь\ ^ \Ь\ ^ \а\ + \а — Ь\, но тогда верно E).
§2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества 55
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества
Множество Е действительных чисел х называется ограниченным,
если существует положительное число М такое, что выполняется нера-
неравенство \х\ < М для всех х Е Е, или, что все равно, —М<х<М.
Если Е не удовлетворяет указанному свойству, т.е., каково бы ни
было положительное число М (как бы оно ни было велико), найдется
такое хо Е Е, что |жо| > М, то Е называется неограниченным.
Множество Е называется ограниченным сверху (соответственно
снизу), если существует число К (соответственно к) такое, что х ^ К
(соответственно к ^ х) для всех х Е Е. Число К (соответственно к)
называется верхней (нижней) гранью Е.
Очевидно, что ограниченное множество является одновременно огра-
ограниченным сверху и снизу. Множество R всех действительных чисел, оче-
очевидно, не ограничено как снизу, так и сверху; множество R+ положи-
положительных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху; отрезок [а, Ь]
и интервал (а, Ь) при конечных а и Ъ являются примерами ограниченных
множеств.
Число М (соответственно т) называется точной верхней (соответ-
(соответственно нижней) гранью множества чисел А, если выполняются сле-
следующие свойства:
1) х ^ М (соответственно х ^ т) для всех xGi;
2) как бы ни было мало е > 0, найдется такое число жо G i, что
М — г < хо (хо < т + г).
Точная верхняя грань А обозначается так:
М = sup A = sup ж,
а точная нижняя грань так:
т = inf A = inf x
х<ЕА
(sup, inf — сокращения латинских слов supremum — наивысший, infi-
mum — наинизший). В следующем параграфе будет доказано существо-
существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества, так же
как точной нижней грани у ограниченного снизу множества. Единствен-
Единственность их очевидна.
Для неограниченного сверху множества А будем писать:
sup A = sup х = +оо,
х<ЕА
а для неограниченного снизу:
inf A = inf х = —оо;
еА
будем называть в этом случае +оо, — оо соответственно точной верхней
и точной нижней гранью А.
56 Гл. 2. Действительное число
Отрезок [а, Ъ] и интервал (а, Ь), очевидно, имеют в качестве своей
точной верхней грани точку (число) Ъ. В случае отрезка точная верхняя
грань (число Ъ) принадлежит ему, а в случае интервала — не принад-
принадлежит. Множество (—оо,0), очевидно, имеет в качестве своей точной
верхней грани число 0 и в качестве нижней грани символ — оо.
Отметим очевидное равенство
inf х — — sup (—x).
Выше мы определили понятие точной верхней грани отдельно для
ограниченного и для неограниченного сверху множества. Ниже дается
общее определение, годное для обоих случаев.
Число М (конечное или +оо) называется точной верхней гранью
множества действительных чисел А, если выполняются следующие
свойства:
1) х ^ М для всех х Е А;
2) каково бы ни было конечное число М' < М, найдется такое число
хо Е А, что М' < хо ^ М.
Подобное определение можно дать и для точной нижней грани не-
неограниченного снизу множества чисел. Теперь т может быть либо ко-
конечным числом, либо — оо.
Возникает вопрос, имеет ли произвольное множество действитель-
действительных чисел точную верхнюю (нижнюю) грань? Для неограниченного
сверху (снизу) множества, как мы видели, имеет — по определению. Она
равна Н-оо (соответственно — оо). Для ограниченного множества тоже
имеет. Это будет доказано далее, в § 3.6.
§ 2.8. Символика математической логики
Для сокращения записи в дальнейшем мы иногда будем употреблять
некоторые простейшие логические символы. Если нас интересует не сущ-
сущность какого-либо предложения, а его связь с другими, то это предложе-
предложение будем обозначать одной из букв а, /3,... Запись а => C означает, что
из предложения а следует предложение /3. Запись а <^> /3 будет обозна-
обозначать тот факт, что предложения аи C эквивалентны, т.е. из а следует C
и из C следует а.
Запись Ух Е А: а означает, что для всякого элемента х Е А имеет
место предложение а. Символ V называется квантором всеобщности.
Запись Зу Е В: C означает, что существует элемент у Е В, для
которого имеет место предложение C. Символ 3 называется квантором
существования.
Запись а будем понимать как отрицание предложения а, или, ко-
коротко, не а.
Построим отрицание утверждения Ух Е А : а.
Если данное утверждение не имеет места, то предложение а имеет
место не для всех х Е А, т.е. существует элемент xGi, для которого а
не имеет места:
Ух Е А : а <^> Зх Е А : а.
§2.8. Символика математической логики 57
Совершенно аналогично
Зу еВ : Р^Уу еВ : р.
Таким образом, чтобы построить отрицание данной логической фор-
формулы, содержащей знаки V и 3, необходимо знак V заменить на 3, а знак
3 на V и отрицание (черту) перенести на свойство, стоящее после двоето-
двоеточия. Например, отрицание предложения
хе A:f(x)
имеет вид
ЗМ, Ухе А: /(ж) ^ М <& VM, Зх е А : f(x) ^ М <&
M, Зхе A: f(x) > М.
Глава 3
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 3.1. Понятие предела последовательности
Метод пределов есть основной метод, на котором базируется матема-
математический анализ.
Пусть каждому натуральному числу п = 1,2,... приведено в соот-
соответствие в силу некоторого закона число *) хп. Тогда говорят, что этим
определена последовательность чисел xi, Ж2, жз,..., или, короче, по-
последовательность {хп}.
Отдельные снабженные номерами п {индексами) числа хп называ-
называют элементами последовательности {хп}. Они могут быть дейст-
действительными или комплексными. Мы здесь рассматриваем случай, когда
они действительны.
Для разных ni, П2 отдельные элементы хП1, хП2 последовательнос-
последовательности могут оказаться равными как числа (хП1 = хП2). Однако хП1 и хП2
рассматриваются как разные элементы последовательности.
Ниже приводятся примеры последовательностей:
1){п} = {1,2,3,...};
5)|1 + —| = |1,1;1,01;1,001;...|;
7) {1; 2;...; 10; 0,1; 0,01; 0,001;...}.
В случае 7) не видно, как написать общую формулу для произволь-
произвольного элемента хп, однако закон образования чисел хп ясен:
п, п = 1,..., 10,
10^-" = 11'12'-
*) То есть хп — функция на множестве натуральных чисел.
§3.1. Понятие предела последовательности 59
Мы еще будем употреблять следующую терминологию: перемен-
переменная хп пробегает последовательность {хп}, или последователь-
последовательность значений хп.
Переменную жп, все значения которой равны одному и тому же чис-
числу а, называют постоянной и обычно обозначают просто через а.
По определению число а называется пределом последовательнос-
последовательности {жп}, если для любого положительного числа г найдется (зависящее
от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных п > N
выполняется неравенство
хп — а\ < s, п > N.
При этом мы будем писать
Нтжп = lim хп = а
ИЛИ
и говорить, что переменная хп стремится к а, или что последова-
последовательность {хп} стремится (сходится) к числу а.
Покажем, что переменная 2) имеет предел, равный нулю. В самом
деле, зададим е и составим неравенство
, , 1
\Хп\ = - < ?.
п
Оно верно для всех п > 1/е или для всех п > JV, где N есть какое-либо
натуральное число, большее 1/е. Таким образом, для любого е > О
найдется такое натуральное N, что \хп\ < г для всех п > N.
В точности так же доказывается, что и последовательность 3) имеет
предел 0. Переменная 4) стремится к 1, потому что в этом случае
1-
п- 1
1
= - < г
п
для всех п > N, где N — натуральное число, большее 1/е.
Нетрудно показать, что и переменная 5) стремится к 1. Перемен-
Переменная 7), очевидно, стремится к нулю. Не имеет значения тот факт, что
она сначала имеет тенденцию возрастать: в этом вопросе важно, какие
значения она имеет для достаточно больших п.
Если хп удовлетворяет неравенству \а — хп \ < г, то это то же, что хп
удовлетворяет неравенствам
а — г < хп <а + г,
или, употребляя геометрический язык, что точка (число) хп принадле-
принадлежит интервалу (а — г, а + г). Поэтому, употребляя геометрический язык,
можно дать такое определение предела: переменная хп имеет преде-
пределом число (точку) а, если для любого ? > 0 найдется такое нату-
натуральное N, что для всех п > N точки хп Е (а — г, а + е).
60 Гл. 3. Предел последовательности
Произвольный интервал (с, d), содержащий в себе точку а, т.е. такой,
что с < а < d, называется окрестностью точки а. Очевидно, какова бы
ни была окрестность (с, d) точки а, найдется такое г > 0, что интервал
(а — е, а + е) содержится в (с, d), т.е. (а — г, а + е) С (с, d).
Поэтому тот факт, что хп —> а, можно выразить еще и так: какова бы
ни была окрестность (с, d) точки а, все точки жп, начиная с некоторого
номера п, должны попадать в эту окрестность, т.е. должно существо-
существовать натуральное N такое, что хп Е (c,d), n > N. Что касается точек
xi,..., xn с индексами п ^ N, то они могут принадлежать или не при-
принадлежать (с, d). Таким образом, если вне (с, d) имеются точки хп, то их
конечное число.
С другой стороны, если известно, что вне (c,d) имеется только конеч-
конечное число точек хП1, хП2,..., хПз, то, положив
N = max{ni, n<i,..., ns },
мы можем сказать, что для всех п > N точки хп Е (с, d). Поэтому мож-
можно дать еще такое определение предела: переменная хп имеет своим
пределом а, если вне любой окрестности точки а имеется конечное
или пустое множество точек хп.
Переменная 6) ни к какому пределу не стремится, потому что если
предположить, что эта переменная имеет предел, равный а, то любая как
угодно малая по длине окрестность точки а должна была бы содержать
все элементы хп, за исключением конечного числа их. Но вне интервала
длины 1/2, как бы он ни был расположен на действительной оси, имеется,
очевидно, бесконечное число элементов хп нашей последовательности.
Нетрудно видеть, что и последовательность 1) не стремится ни к ка-
какому пределу. Впрочем, в дальнейшем мы будем говорить, что она стре-
стремится к бесконечности, вкладывая в это понятие несколько иной смысл.
Легко видеть, что если переменная хп имеет предел, то он единствен-
единственный. Ведь если бы она имела два предела, а и 6, где а < 6, то интервалы
(а — г,а + г) и (Ь — г, Ъ + г), где г = (Ь — а)/3, должны были бы содержать
каждый все точки последовательности {хп}, за исключением конечного
их числа. Но это, очевидно, невозможно, потому что эти интервалы не
имеют общих точек (не пересекаются).
Пример 6) показывает, что для разных ni, n<i отдельные значения
последовательности {хп} могут быть равными: хП1 = хП2. Однако хП1
и хП2 рассматриваются как разные элементы последовательности.
Легко видеть, то если две последовательности {жп}, {х'п} име-
имеют только конечное число различных соответствующих элемен-
элементов (имеющих одинаковый индекс п), то они одновременно либо не
имеют пределов, либо имеют пределы, и притом равные.
Докажем несколько теорем, выражающих свойства переменных,
стремящихся к пределам.
Теорема 1. Если переменная хп имеет предел, то она огра-
ограничена.
Доказательство. Пусть хп —>• а. Тогда для г = 1 должно
найтись натуральное число N такое, что
1 > хп — а\ для п > N.
§3.1. Понятие предела последовательности
61
Отсюда 1 >
хп — а\
— \а
или \хп\ < \а\ + 1 для п > N.
\||} Т
Положим М = тах{|а + 1, \х\\,..., |ждг|}. Тогда очевидно, что
\хп ^ м, п = 1,2,...,
т.е. переменная хп ограничена.
Теорема 2. .Еслг/ переменная хп имеет не равный нулю
предел а, то найдется такое N,
кп| > Щ~ для п> N.
Больше того, для указанных п если а > 0, то хп > а/2, если
же а < 0, то жп < а/2. Таким образом, начиная с некоторого
номера, хп сохраняет знак а.
Доказательство. Пусть хп —>- а. Тогда для ? = |а|/2 должно
найтись натуральное N такое, что
у > \а-хп
- Хг,
п > N,
откуда \хп\ > \а\ — |а|/2 = |а|/2, и первое утверждение теоремы до-
доказано. С другой стороны, неравенство |а|/2 > \а — хп\ эквивалентно
следующим двум:
а- —- <хп <а+ ^ , п> N.
Тогда если а > 0, то
а если а < 0, то
а
-
п> N,
а\ а а
— =а-- = -, п> N,
и этим доказано второе утверждение теоремы.
Теорема 3. Если хп —>• а, уп -^ Ъ и хп ^ уп для всех
п — 1, 2,..., то а ^ Ъ.
Доказательство. Допустим, что Ъ < а. Зададим е < (а — Ь)/2
и подберем натуральные JVi и 7V2 так, чтобы
а-?<жп (n>N1), yn<b + s (n>N2),
что возможно, потому что хп ^ а, дь уп ^ Ъ.
Если 7V = max{7Vi,7V2}, то, очевидно, ^/п<6 + г<а — г < хп,
п > 7V, и мы пришли к противоречию с тем, что по условию хп ^ уп для
всех п.
62 Гл. 3. Предел последовательности
Если бы в условии теоремы 3 было бы хп < уп (вместо хп ^ уп),
то все равно можно лишь утверждать, что а ^ Ъ (пример: хп = 1 — 2~п,
уп = 1-3-п).
Теорема 4. Если переменные хп и уп стремятся к одному и
тому же пределу а и хп ^ zn ^ уп, п = 1, 2,..., то переменная zn
также стремится к а.
Доказательство. Задав г > О, можно найти JVi и 7V2 такие,
что
а-?<жп (п > Ni), yn<a + s (n>N2),
откуда для п > N = max{7Vi, N2}
а - г < хп ^ zn ^ уп < а + г,
Ьп — а| < г, п > N,
что и требовалось доказать.
а.
Теорема 5. Если хп —> а, то \хп\
Доказательство теоремы следует из неравенства
\Хп,\ - а
Упражнение.
Vs 3N; Vn > N:\xn-а\<?О 3s, \/N Зп > N: \хп -а\^е.
Под чертой записано определение хп —>• а. Вместе с чертой эта запись от-
отрицает это определение, т.е. говорит, что хп -/+ а. Справа это отрицание выра-
выражается в положительной форме: существует е такое, что для любого N найдется
п > ЛГ, для которого \хп — а\ ^ ?.
§ 3.2. Арифметические действия с пределами
Пусть хп и уп обозначают переменные, пробегающие соответствен-
соответственно последовательности {хп} и {уп}- По определению сумма хп + уп,
разность хп — Уп, произведение хпуп и частное хп/уп суть переменные,
пробегающие соответственно последовательности {хп + уп}, {хп — Уп},
{хпуп}, {хп/уп}. В случае частного предполагается, что уп ф 0 для
всех п = 1, 2,...
Если хп — с для п = 1, 2,..., то в этом случае пишут с ± уп, суп,
с/уп вместо хп ±уп, хпуп, хп/уп.
Справедливы следующие утверждения:
n ±уп) =Нтжп ±1ш12/те, A)
Y\m{xnyn) = YimxnY\myn, B)
хп \\тхп
lim — = , если hmyn Ф 0, C)
уп lim 2/те
§3.2. Арифметические действия с пределами
63
Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если существу-
существуют конечные пределы хп и уп, то существуют также и пределы
их суммы, разности, произведения и частного (с указанной оговор-
оговоркой) и выполняются равенства A)—C).
Доказательство. Пусть хп —> а и уп —> Ъ. Зададим е > 0 и
подберем N так, чтобы
-, \Уп-Ь\<-, n>N.
Тогда
\(xn±yn)-(a±b)\
\хп - а
\уп - Ъ\ < - + - =
s
2 ' 2
п > N,
и мы доказали A).
Чтобы доказать B), заметим, что
ХпУп ~ аЬ\ = \хпуп - ауп + ауп - ab\ ^
^ \хпуп - ауп\ + \ауп - аЬ\ ^ \уп\ \хп - а\ + \а\ \уп - Ь\. D)
Так как уп имеет предел, то (по теореме 1 предыдущего параграфа)
существует положительное число М такое, что
\yn\ <M, n = l,2,...
При этом можно считать, что М выбрано так, чтобы выполнялось также
неравенство
а\ <М.
Подберем натуральное N так, чтобы
Тогда из D)-G) следует, что
n>N.
n>N.
E)
кже
F)
G)
Этим доказано равенство B).
Пусть теперь к условию, что х
что Ъ ф 0. Тогда
ХП
Уп
xnb-yna
УпЬ
а и уп —> Ъ, добавляется условие,
хп -a)b+ (b-yn)a\ <
I \h-ii\n\
(8)
\Уп\ Щ
хп-а\
\Ь~Уп\
\Уг.
64 Гл. 3. Предел последовательности
Теперь удобно использовать терему 2 предыдущего параграфа, в силу
которой
Ы>у, n>JVi, (9)
для достаточно большого N\. Зададим г > 0 и подберем N2 и N3
такие, чтобы
\Хп, - а
^, n>N2, A0)
fn-b\<—, n>N3. A1)
Тогда, положив N = max{7Vi, N2, N3}, будем в силу (8)—A1) иметь
Уп
что доказывает равенство C).
Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств
A)-C), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пре-
пределы хп и уп. Например, если хп — уп — п, то хп и уп не имеют
(конечных) пределов, в то время как Нт(жп — уп) = 0, \im(xn/yn) = 1.
Равенства A)-C) дают возможность узнать, имеет ли переменная
предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа ариф-
арифметических действий над несколькими другими переменными, существо-
существование и величина пределов которых известны.
Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы примени-
применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле для инициати-
инициативы математика.
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
Переменная ап, имеющая предел, равный нулю, называется беско-
бесконечно малой величиной, или, короче, бесконечно малой.
Таким образом, переменная ап есть бесконечно малая, если для лю-
любого г > 0 найдется N такое, что \ап\ < г, п > N.
Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная хп имела пре-
предел а, необходимо и достаточно, чтобы хп = а + ап, где ап есть
бесконечно малая.
Переменная /Зп называется бесконечно большой величиной, или
просто бесконечно большой, если для любого М > 0 найдется такое N,
что \/Зп\ > М, п > N. При этом пишут
Ит/Зп = оо или /Зп —>• оо A)
и говорят, что /Зп стремится к бесконечности. Такая терминология
считается удобной, несмотря на то, что знак оо не обозначает никакого
§3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 65
числа и бесконечно большая заведомо ни к какому конечному пределу
(числу) не стремится.
Если бесконечно большая Eп, начиная с некоторого п, принимает
только положительные значения или только отрицательные значения, то
пишут
lim/3n = +00 или /Зп -4- +оо, B)
соответственно
lim/3n = —00 или /Зп —>• —оо. C)
Таким образом, из B), так же как и из C), следует A). Пример
переменной {(—1)пп} показывает, что может иметь место соотношение
A), в то время как не имеет места ни B) ни C).
Отметим следующие очевидные свойства:
1) если переменная хп ограничена, а уп — бесконечно большая,
то хп/уп -+ 0;
2) если абсолютная величина хп ограничена снизу положи-
положительным числом, а уп — не равная нулю бесконечно малая, то
Докажем только второе свойство.
Дано, что для некоторого числа а > 0 имеет место неравенство
> а, п = 1,2,...,и для всякого г > 0 существует N такое, что
\уп\<е, n>N.
Тогда
Уп
> - = М, п > N. D)
Зададим произвольное положительное число М и подберем по нему г
так, чтобы М = а/е, а по е подберем такое N, чтобы имело место свой-
свойство D). Тогда
— > М, п> N,
Уп
что и требовалось доказать.
Из высказанных двух утверждений получаются следующие следст-
следствия:
с с
lim — =0, lim — = оо, с ф 0.
уп^оо уп уп^0 уп
Множества (М, +оо), (—оо,М), {х: \х\ > М},где М — произволь-
произвольное число, называются соответственно окрестностями "точек" +оо,
—оо, оо.
Пусть а ^ 0 и А; — натуральное число. Под выражением tya мы будем по-
понимать, если это не будет оговорено особо *), арифметическое значение корня k-R
*) При к ^ 2 есть и комплексные корни к-R степени из а.
3 С.М.Никольский
66 Гл. 3. Предел последовательности
степени из а, т.е. неотрицательное число, к-я степень которого равна а. Оно су-
существует и единственно. Это нам будет удобно доказать позже (в конце § 4.5). Но
уже сейчас мы будем этим фактом пользоваться. Так поступают в элементарной
математике — не обосновывают логически существование корней, но доказывают
их свойства.
Пример 1. limn^oo \рп = оо (к = 1, 2, 3,...), потому что неравенства
у/п > N и п > N , где N > 0, вытекают одно из другого, и поэтому для
любого N можно указать такое по (именно по > N ), что для всех п > по будет
fyn~> N.
Пример 2. limn^oo \/п = 1. Действительно, у/п = 1 + еп, где еп > 0.
Поэтому*) п = A + еп)п > 1 + п 1.2 ?п5 откуда sn < — и (см. пример 1)
еп < л/2/л/™ "^ 0? п ^ оо.
Пример 3. При а > 1 и натуральном A; limn^oo(^ /an) = 0, потому
что если положить а = 1 + е, то ? > 0 и при п > к
пк _ пк пк (к + 1)! nfc
n(n - 1)... (n - A;)
(* + !)! 1
1^
§ 3.4. Существование предела у монотонной
ограниченной последовательности
Не всякая переменная имеет предел. Часто бывает важно знать,
существует ли у данной переменной предел. Следующая теорема дает
очень простой признак существования предела переменной.
Теорема 1. Пусть переменная хп, п = 1, 2,..., не убыва-
убывает {не возрастает), т.е. удовлетворяет условию хп ^ xn+i {со-
{соответственно хп ^ Жп+i) для любого п = 1,2,... Если она огра-
ограничена сверху {снизу) числом В {соответственно А), то сущест-
существует предел Нтжп, равный некоторому числу М {соответствен-
{соответственно т), удовлетворяющему неравенству М ^ В {соответственно
А^т). Если же она не ограничена сверху {снизу), то Нтжп = +оо
(Нтжп = —оо).
Доказательство. Пусть переменная хп ограничена сверху
числом В и не убывает.
Если х\ > 0, то и хп > 0 для п = 1, 2,... В этом случае теорема уже
была доказана (см. § 2.4, свойство V). Ее утверждение было выбрано в
качестве одного из основных свойств действительных чисел. При аксио-
аксиоматическом подходе это утверждение может быть принято как аксиома V
действительного числа наряду с аксиомами I-IV (см. конец § 2.1).
*) Мы здесь воспользовались формулой Ньютона. Она не всегда входит в
наши школьные программы, но во многих учебниках она приводится. Этот вывод,
основанный на понятии производной от хп, см. в § 5.9, пример 1.
§3.4- Существование предела у последовательности 67
Пусть теперь х\ ^ 0 и с > \х\\. Переменная уп — хп + с,
п = 1,2,..., очевидно, принимает положительные значения (уп > 0),
не убывает (уп ^ 2/n+i) и ограничена сверху числом В + с (?/n ^ ?? + с).
Поэтому на основании уже доказанного существует предел
lim уп=Уо ^ В + с.
Но тогда существует также предел
М = limxn = lim(yn — с) = уо — с ^ В.
Пусть теперь неубывающая переменная хп не ограничена сверху.
Тогда, как бы ни было велико положительное число N, найдется та-
такое по, что N < хпо. Но в силу того, что хп не убывает,
Хп0 ^ Хп ДЛЯ П > По-
Таким образом, каково бы ни было положительное число N, найдет-
найдется такое по, что
N < хп для п > по,
а это и значит, что lim xn = +оо.
Для невозрастающей переменной хп теорема доказывается анало-
аналогично. Но можно свести вопрос к уже доказанному. Так как хп не воз-
возрастает и ограничена снизу числом А, то — хп не убывает и ограничена
сверху числом —А, поэтому существует lim(—xn) ^ —А, а с ним и предел
lim xn, равный
т = limxn = — lim(—xn) ^ А.
Пример 1. Переменная gn, п = 1,2,..., где 0 < q < 1, удовлетворяет
условию gn < qn, т.е. она монотонно убывает, кроме того, она ограничена
снизу, потому что 0 < qn для любого п. Поэтому согласно теореме 1 существует
предел limn^oo qn = A.
Очевидно, что gn~*~ должна иметь тот же предел А, но
lim qn+1 = glim qn = qA и А = qA.
Так как g 7^ l, то это может быть, лишь если А = 0. Итак,
lim qn = 0, 0 < q < 1.
Отсюда следует, что для а > 1
68 Гл. 3. Предел последовательности
Пример 2. limn^oo ^т = О- В силу равенства |ап/п!| = \а\п/п\ до-
достаточно рассмотреть случай а > 0. Пусть т — натуральное число такое, что
т + 1 > а. Тогда (см. пример 1)
ть — т
_>„, „-со. B)
Пример 3. limn^oo y/nl = оо. Зададим любое число а > 0. В силу
примера 2 из § 3.3 найдется N такое, что ап/п\ < 1 для п > N, т.е. ап < п\ или
а < у/гй для п > N.
§ 3.5. Число е
Рассмотрим переменную
а(п)= (l + ^) , n = l,2,... A)
Имеем
/ ч -, 1 п(п-1) 1
а(п) = 1 + п- + ^ + =
а(п + 1) = 1 + 1 + ^ (l —^ + ^ Г1 —^ Г1 —^ + ...
v ; 2!V n + iy 3!V n + iyV n + iy
Члены a(n) меньше соответствующих членов а(п +1), и, кроме того,
а(п + 1) имеет на один (последний) положительный член больше, чем
а(п). Поэтому а(п) < а(п + 1), п = 1, 2,... Далее,
Таким образом, переменная а(п) монотонно возрастает и ограниче-
ограничена сверху числом 3. По теореме 1 она имеет предел, который не превы-
превышает 3. Этот предел — вполне определенное число, которое называют
числом е. Таким образом,
( 1\п
lim 1 + - =е. B)
п^оо у п)
Число е имеет большое значение в математическом анализе. Мы убе-
убедимся в этом скоро. В известном смысле оно является естественным ос-
основанием для логарифмов. Число е называется еще неперовым числом
§3.6. Леммы о вложенных отрезках 69
по имени шотландского математика Д. Непера A550-1617). Это — ир-
иррациональное число. Ниже приводится его значение с первыми шестью
точными десятичными знаками:
е = 2,718281...
В § 5.10 показано, как вычислить число е с наперед заданной точ-
точностью.
В дальнейшем, когда будет введено понятие предела функции, мы
увидим, что указанный предел существует и равен е, когда п стремится
к бесконечности любого знака, изменяясь непрерывно.
§ 3.6. Леммы о вложенных отрезках,
существовании точных граней множества
и сечения во множестве действительных чисел
Лемма 1. Пусть задана последовательность отрезков (мно-
(множеств чисел х, для которых ап ^ х ^ Ъп)
On = [a>n,bn], n = 1,2,...,
вложенных друг в друга, т.е. таких, что crn+i с стп, п — 1,2,...,
с длинами, стремящимися к нулю:
dn = Ъп - ап -> 0, п -> оо.
Тогда существует и притом единственная точка (число), од-
одновременно принадлежащая всем отрезкам оп.
Доказательство. Очевидно, что а\ ^ а<2 ^ ... ^ Ъш при лю-
любом заданном т. Это показывает, что числа ап не убывают и ограничены
сверху числом Ъш при любом т, и согласно теореме 1 § 3.4 существует
число с, к которому стремится последовательность ап, при этом ап ^
^ с ^ Ъш. Так как в этих неравенствах пит произвольны, то, в част-
частности,
an^c^bn, n = 1,2,...,
следовательно, с Е <тп, каково бы ни было п.
Найденная точка с — единственная, удовлетворяющая сформули-
сформулированному свойству. Ведь если допустить существование другой такой
точки с\, то выполнялись бы неравенства ап ^ с ^ Ъп, ап ^ с\ ^ Ъп,
откуда Ъп — ап ^ \с\ — с\ = г > 0 для любого п. Но это противоречило
бы тому, что Ъп — ап —> 0.
Лемма 2. У ограниченного сверху (снизу) числом М (чис-
(числом т) множества действительных чисел существует точная
верхняя (нижняя) грань, не превышающая (не меньшая) М (т).
Доказательство. Пусть Е есть произвольное ограниченное
сверху числом М множество действительных чисел (точек), и пусть xq —
какая-либо точка Е.
70 Гл. 3. Предел последовательности
Зададим отрезок [а, М], где а < жо, который обозначим через сто-
Заметим, что отрезок сто содержит точки Е, такой точкой является точ-
точка жо- С другой стороны, правее сто нет точек Е. Поэтому точную верх-
верхнюю грань Е надо искать в сто. Разделим сто на два равных отрезка и
обозначим через g\ правый из них, если он содержит в себе точки Е, в
противном случае обозначим через о\ левый отрезок. Далее, через о2
обозначим самую правую половину отрезка о\, содержащую точки Е, и
т.д. Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность
отрезков сто D CTi D сг2 D ... таких, что их длины стремятся к нулю
и при любом п отрезок ап содержит в себе точки Е, но правее ап нет
точек Е. Согласно лемме 1 существует и притом единственная точка с,
принадлежащая всем ап. Очевидно, что с ^ М. Докажем, что
sup E = с.
Для этого покажем, что выполняются два условия:
1) ж ^ с для всех ж Е Е;
2) для любого е > 0 существует х\ Е Е такое, что
с — г < х\ ^ с. A)
Если бы утверждение 1) не было верно, то существовала бы точка
у Е Е такая, что с < у. Так как отрезки оп содержат в себе с и длины их
стремятся к нулю, то найдется п такое, что точка у будет правее ап. Но
этого не может быть, потому что по построению правее ап нет точек Е.
Этим доказано условие 1).
Зададим теперь г > 0. Очевидно, найдется п такое, что оп окажется
правее точки с — е. При этом в оп имеется по крайней мере одна точка,
которую обозначим через xi, принадлежащая Е. Для нее выполняются
неравенства A).
Если теперь Е есть ограниченное снизу числом т множество точек ж,
то соответствующее множество точек —ж ограничено сверху числом — т,
и так как последнее имеет точную верхнюю грань, которая не превышает
—т, то существует
inf ж = — sup (—ж) ^ т.
Лемма 3. Если множество R всех действительных чисел
разбито на два непересекающихся непустых множества:
R = A + B,
так, что всякое а Е А меньше всякого Ъ Е В, то либо существует
число с, наибольшее в А, и тогда в В нет наименьшего числа, либо
существует число с, наименьшее в В, и тогда в А нет наибольшего
числа.
Доказательство. Пусть множество R всех действительных
чисел разбито на два класса А и В, как это сказано в формулировке
леммы. Пусть Ъ — число, принадлежащее В. Тогда а < Ъ для всех а Е А,
и в силу леммы 2 существует точная верхняя грань
sup а = с ^ Ъ. B)
аеА
Число с по условию принадлежит одному из классов А или В.
§3.7. Теорема Болъцано-Вейерштрасса 71
Если с Е А, то очевидно, что с есть наибольшее число в классе А.
Допустим, что наряду с этим в В есть наименьшее число, которое обо-
обозначим через bo. Тогда среднее арифметическое
с + bo
d<b
и потому d ? А (ведь bo — наименьшее число в классе В). С другой
стороны, с < d и вследствие B) б? не может принадлежать А, и мы
пришли к противоречию.
Если теперь допустить, что с Е 5, то аналогичными рассуждениями
легко устанавливается, что с есть наименьшее число в классе В, и тогда
в А нет наибольшего числа. Этим лемма 3 доказана.
Замечание. В нашем распоряжении имеются четыре внешне
отличных, но по существу весьма близких утверждения:
1) лемма 1 — о вложенных отрезках;
2) лемма 2 — о существовании точной верхней грани у ограниченного
множества;
3) лемма 3 — о сечении во множестве действительных чисел;
4) теорема 1 из § 3.4 — о существовании предела монотонной ограни-
ограниченной последовательности.
В нашем изложении утверждение 4) представляет собой одно из ос-
основных свойств действительных чисел — свойство V. С помощью этого
свойства (и свойств I-IV) мы доказали утверждения 1)-3).
На самом деле утверждения 1)— 4) (при наличии I—IV) эквивалент-
эквивалентны. Любое из них влечет за собой, как нетрудно проверить, верность
остальных.
Докажите это, т.е. докажите, что из 3) следует 4).
§ 3.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса.
Верхний и нижний пределы
Пусть задана произвольная последовательность действительных
чисел {хп} = {ж1,Ж2,жз,... }. Из нее можно выделить бесконечным
числом способов новую последовательность
где индекс п^ пробегает возрастающую последовательность (беско-
(бесконечную) натуральных чисел п\ < n<i < пз < ... Последователь-
Последовательность {хПк} называется подпоследовательностью последователь-
последовательности {хп}.
Нас здесь будут интересовать только подпоследовательности, кото-
которые сходятся либо к конечному числу, либо к +оо, либо к — оо (т.е. имеют
предел конечный, +оо или — оо). Их мы будем называть сходящимися,
а их пределы— числами (конечными или бесконечными), распростра-
распространяя, таким образом, название "число" и на символы — оо и +оо. Мы
считаем, что — оо < а < +оо, где а — любое действительное (конечное)
72 Гл. 3. Предел последовательности
число. В силу этого соглашения +оо есть наибольшее число, а — оо наи-
наименьшее. Для расширенного таким образом множества чисел, очевидно,
выполняются аксиомы числа группы I (см. § 2.4).
Предупредим читателя, что в наших рассуждениях весьма сущест-
существенно, что элементы хп (не числа хп) последовательности {хп} счита-
считаются различными, если они соответствуют различным индексам п. Надо
различать числа (точки), которые пробегаются последовательностью,
от ее элементов.
Например, последовательность
1,2,3,1,2,3,1,... A)
(как и всякая последовательность) состоит из бесконечного числа эле-
элементов xi,Ж2,жз,..., но она пробегает весьма бедное множество чисел
{1,2,3}, состоящее только из трех чисел (точек).
Легко видеть, что если последовательность сходится, то любая ее
подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конеч-
(конечному, +оо, —оо). Но из того, что последовательность {хп} имеет схо-
сходящуюся подпоследовательность, не следует, что сама она сходится. Но
справедлива теорема, имеющая большое применение. Ее часто называ-
называют теоремой Больцано-Вейерштрасса *).
Теорема 1. Из всякой ограниченной последовательности
{хп} можно выделить подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к
некоторому числу (конечному).
Доказательство. Пусть значения хп нашей последователь-
последовательности принадлежат отрезку До = [c,d]. Разделим его на две замкнутые
половинки и обозначим через Д i правую из них, содержащую в себе бес-
бесконечное число элементов хп, т.е. если обе указанные половинки содер-
содержат в себе бесконечное число элементов, то Д i есть правая из них, а если
только одна из них содержит бесконечное число элементов хп, то именно
она и обозначается через Д i.
Пусть хП1 — один из элементов отрезка Д i. Обозначим далее через
Д2 самую правую половину отрезка Ai, содержащую в себе бесконеч-
бесконечное число элементов хп. Очевидно, что среди последних найдется эле-
элемент хП2 с П2 > п\. Вообще, если отрезки Дх D Д2 D ... D Д&-1 и
принадлежащие соответственно им элементы хП1,... , хПк_1 уже опре-
определены, то обозначим через Д& самую правую половину отрезка Д/с_х,
содержащую в себе бесконечное множество элементов хп. Очевидно, что
среди последних найдется элемент хПк с п^ > Tik—i- Обозначим через а
точку, принадлежащую всем Д&, к = 1,2,... Очевидно, определенная
нами подпоследовательность {хПк } стремится к а. Теорема доказана.
Теорема 2. Из любой последовательности действительных
чисел (ограниченной или неограниченной) можно выделить подпо-
подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу, +оо или — оо.
*) Б. Больцано A781-1848) — чешский математик. К. Вейерштрасс
A815-1897) —немецкий математик.
§3.7. Теорема Болъцано-Вейерштрасса 73
В самом деле, это утверждение для ограниченной последователь-
последовательности уже доказано в теореме 1, и тогда соответствующая подпоследо-
подпоследовательность сходится к конечному числу. Если же последовательность
{хп} не ограничена сверху (снизу), то для любого натурального к най-
найдется, очевидно, натуральное п^ такое, что к < хПк (хПк < —к) и под-
подпоследовательность {хПк } стремится к +оо (—оо).
Докажем часто употребляемую в анализе теорему.
Теорема 3. Если последовательность {хп} такова, что ее
любая подпоследовательность содержит в свою очередь подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу А (конеч-
(конечному, +оо или — оо), то существует предел limxn = А.
В самом деле, если бы последовательность {хп} не стремилась к А,
то существовала бы окрестность А, вне которой имелось бы бесконечное
число элементов хп. Перенумеровав эти элементы в порядке возраста-
возрастания п, получаем некоторую подпоследовательность {хПк}. Из послед-
последней на основании предыдущей теоремы можно выделить ее подпоследова-
подпоследовательность {хПу}, стремящуюся к некоторому числу В (конечному, +оо
или — оо), очевидно, заведомо не равному А. Это противоречит условию
теоремы, потому что из сходящейся к В подпоследовательности {хПк,}
нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к А.
3.7.1*). Введем теперь определение: число а (конечное, +оо
или —оо) называется верхним (нижним) пределом последовательнос-
последовательности действительных чисел {хп} (или переменной хп), если существует
подпоследовательность {хПк}, сходящаяся к нему, и при этом всякая
другая сходящаяся подпоследовательность последовательности {хп}
сходится к числу, не большему (не меньшему) а.
Например, последовательность A), очевидно, имеет верхний пре-
предел, равный 3, и нижний предел, равный 1, а последовательность 1,-2,
3, —4,... имеет верхний предел +оо и нижний, равный — оо.
Верхний и нижний пределы последовательности обозначаются соот-
соответственно через lim xn, lim хп или еще так: lim sup xn, lim inf xn.
Отметим, что метод вложенных друг в друга отрезков, который мы
применили при доказательстве теоремы 1, привел нас к подпоследова-
подпоследовательности {хПк }, сходящейся к числу а, которое равно верхнему пределу
последовательности {хп}:
а = limxn.
В самом деле, пусть а' > а. Подберем п настолько большим, что а'
оказывается правее Ап. Но правее Ап может быть только конечное чис-
число элементов хп и, следовательно, не существует подпоследовательности
{хп}, которая бы сходилась к числу а'.
Таким образом, указанный процесс доказывает существование верх-
верхнего предела у ограниченной последовательности.
*) Пункт 3.7.1 посвящен верхним и нижним пределам, которые в этой книге
используются только в теории рядов (§ 11.3, теоремы 2, 3, § 11.11, теоремы 1-3).
74 Гл. 3. Предел последовательности
Если бы мы процесс, изложенный при доказательстве теоремы 1, ви-
видоизменили, обозначая через Ап для каждого п не самую правую, а
самую левую половину Дп-ъ содержащую бесконечное число элемен-
элементов хп, то в результате получили бы число а (точку), равное нижнему
пределу последовательности {хп}.
Покажем, что верхний (нижний) предел ограниченной последова-
последовательности {хп} обладает следующим свойством: для любого г > 0 ин-
интервал (а — е, а + г) содержит в себе бесконечное число элемен-
элементов хп, при этом справа (слева) от этого интервала имеется не
более чем конечное число элементов хп.
В самом деле, можно указать такое п, что А п С (а — е,а+е). Нов Ап
имеется бесконечное число элементов хп — тем более в (а — г, а + г); пра-
правее (левее) же Ап имеется не более чем конечное число элементов хп —
тем более правее (левее) интервала (а — г, а + е).
Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то, очевид-
очевидно, можно из нее выделить подпоследовательность, сходящуюся к +оо
(—схэ), и так как +оо (—оо) больше (меньше) любого числа, то
Нтжп = +оо (lim хп = —оо).
Теорема 4. Для того чтобы существовал предел
Нтжп = а B)
(где а — конечное число, +оо или — оо), необходимо и достаточно,
чтобы
Нтжп = limxn = а. C)
Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна.
Докажем достаточность.
Пусть верно C) и а — конечное число. Тогда неравенство
а — е < хп < а + е,
где е > 0 — произвольное число, верно для всех п, кроме, быть может,
конечного их числа. Но тогда верно B).
Пусть теперь, например, а = +оо, в частности,
limxn = +оо.
Это показывает, что при любом М > 0 неравенство М < хп не выпол-
выполняется разве что для конечного числа значений п. Но тогда
жп = +оо,
т.е. верно B).
§3.7. Теорема Болъцано-Вейерштрасса 75
Пример 1. Последовательность Е = {sinпа}, п = 1,2,..., в случае,
если а = Лтг, где Л = p/q рационально (р, g > 0), носит периодический
характер:
sin a, sin 2а, ... , sin2ga, sin a, sin 2a,... D)
Пределы различных сходящихся ее подпоследовательностей могут быть
равны только одному из первых 2q чисел D). Наибольшее из них, очевидно, есть
lim sin па, а наименьшее есть lim sin па.
Пусть теперь Л > 0 иррационально. Будем отмечать числа па на единичной
окружности 7, как это принято в тригонометрии. Тогда, каковы бы ни были раз-
различные натуральные числа п\ и П2, точки п\а и п^а геометрически различны,
так как в противном случае имело бы место равенство
n<za = п\а + 2/стг, a = Лтг,
где к целое, т.е. (ri2 — п\)\ = 2к и Л было бы рациональным. Следовательно,
точки па (п = 1,2,...) образуют бесконечное множество, которое мы обозначим
через Ш. Но тогда для любого е > 0 найдется пара точек nia, п^а, геометри-
геометрически отстоящих друг от друга (вдоль 7) н& расстоянии, меньшем е. Это значит,
что
(ri2 — п\)а = 2&7Г + uj = /3, п\ < П2,
где |а;| < е, а А; целое.
Точки 0, /3, 2/3, 3/3,... принадлежат, очевидно, Ш. Кроме того, любые
рядом стоящие точки этой последовательности находятся на равном расстоянии,
меньшем е. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка t ? 7? на 7 существует
на расстоянии (вдоль 7), меньшем е, точка множества Ш. Это показывает, что
любая точка t ? 7 есть предельная точка множества Ш.
Из сказанного следует, что, каково бы ни было ?, всегда можно подобрать
последовательность натуральных чисел п\ < n<z < П3 < ... такую, что
lim sinn&a = sint.
к—>-оо
Но sint пробегает все значения отрезка [—1, +1]; отсюда следует, что
lim sin па = — 1, lim sin na = 1.
Упражнение. Доказать, что для любой переменной хп
lim ж п = lim sup ж д., Птжп = lim inf ж д..
п—>-оо /с>п п—>-оо /с>п
Указание. Для неограниченной сверху (снизу) переменной
sup жд. = +оо ( inf жд. = —сю),
к>п \к>п /
и тогда надо считать, что limn—юо(+оо) = +оо f limn^-cx)(—оо) = —ooj.
Гл. 3. Предел последовательности
§ 3.8. Критерий Коши *) существования предела
Пусть переменная хп, п = 1,2,..., стремится к конечному пре-
пределу а. Тогда для произвольного положительного числа е найдется
такое N, что
\хп ~ а\ < |, п > N.
Пусть пит будут любыми натуральными числами, большими N.
Тогда
- и
Отсюда
\Xfi %т | — Xfi Qj ~\~ Qj Xj
< -, п,т > N.
хп - а\ + \а - хт\ < - + - = г,
z z
и мы получим утверждение:
Если переменная жп, п = 1,2,..., имеет конечный предел, то
она удовлетворяет следующему условию, называемому условием
Коши: для любого г > 0 найдется такое N, что для всех п,т > N
выполняется неравенство
Верно и обратное утверждение:
Если переменная хп, п = 1,2,..., удовлетворяет условию
Коши, то она стремится к конечному пределу, т. е. существует
число а такое, что
Нтжп = а.
Докажем это утверждение. Пусть задана переменная хп, п —
= 1,2,..., удовлетворяющая условию Коши. Положим г = 1 и под-
подберем N такое, чтобы
- х
п,т> N.
Зафиксируем какое-либо т > N. Из написанного неравенства следует
Хп
\%п\
ИЛИ
< 1 + \хт\, п> N,
и переменная хп ограничена.
*) О. Л. Коши A789-1857) — французский математик. В его трудах впервые
определены основные понятия математического анализа (предел, непрерывность,
интеграл, ...) так, как это принято в современной математике.
§3.9. Счетное множество 77
Но из ограниченной последовательности {хп} можно выделить под-
подпоследовательность {хПк }, сходящуюся к некоторому числу:
lim хПк = а.
Покажем, что тогда последовательность {хп} имеет предел, равный
lim xn = а.
В самом деле, зададим г > 0 и подберем N такое, чтобы выполнялись
неравенства
\хп- хш\ < -, n,m>N. A)
Подберем также к настолько большим, чтобы одновременно выполня-
выполнялись неравенства
\хПк ~ а\ < |, пк> N. B)
z
Но тогда в неравенстве A) можно положить т — пк, и будем иметь
г
хп - а\
хп- хПк | + \хПк - а\ < - + - = е, п> N.
Пк | + \хПк
2 2
Это доказывает, что последовательность {хп} имеет предел, рав-
равный а.
Если соединить вместе доказанные прямое и обратное утверждения,
то получим следующую теорему, о которой говорят, что она дает крите-
критерий Коши существования (конечного) предела.
Теорема. Для того чтобы переменная хп, п = 1,2,..., стре-
стремилась к (конечному) пределу, необходимо и достаточно, чтобы
она удовлетворяла условию Коши.
Отметим, что условие Коши можно сформулировать и в следующей
форме: для всякого г > 0 найдется такое N > 0, что
для всех п > N и любых натуральных р.
§ 3.9. Счетное множество.
Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел
Множество Е элементов х любой природы называется бесконечным,
если, каково бы ни было натуральное число п, в нем имеется больше
чем п элементов.
Е называется счетным, если оно бесконечно и его элементы можно
перенумеровать. Это значит, что между (всеми) элементами х Е Е и
числами натурального ряда
{1,2,3,...} A)
Гл. 3. Предел последовательности
можно установить взаимно однозначное соответствие. Если при этом
элементу х Е Е соответствует натуральное число п, то естественно обо-
обозначить его через хп. В результате множество Е можно записать в виде
последовательности элементов:
Я = {т,ж2,а;з,...}. B)
Надо учесть, что в данном случае все элементы, входящие в последо-
последовательность, различны. Так что если это числа, то х^ ф х\ при к ф I.
В частности, множество A) натуральных чисел тривиальным обра-
образом счетно. Очевидно также, что множество четных натуральных чисел
счетно, потому что оно бесконечно и его элементы х можно занумеровать,
положив хп = 2п (п = 1, 2,...).
Пусть Е есть счетное множество, перенумерованное в виде
последовательности B), и А — непустая его часть. Тогда в А
имеется элемент с наименьшим номером. В самом деле, в B) имеет-
имеется элемент А с некоторым номером п\. Элементов в А с номерами п < п\
имеется только конечное число; среди них можно выбрать элемент хпо
с наименьшим номером — это и будет, очевидно, элемент А, имеющий
самый малый номер в А.
Если Е — счетное множество и А — его бесконечная часть,
то А — счетное множество, которое можно занумеровать сле-
следующим образом: обозначим через z\ элемент А с наименьшим номером
в Е] выкидываем из А этот элемент и в оставшемся бесконечном множес-
множестве А\ выбираем элемент с наименьшим номером в Е, который обозна-
обозначаем через Z2\ выкидываем Z2 из А\ и т.д.
Счетная {теоретико-множественная) сумма
Е= [j Ek = Е1 + Е2 + ...
k=i
счетных множеств Ек есть счетное множество. В самом деле,
запишем элементы хк Е Ек, j = 1, 2,..., в виде таблицы:
,3 3 3
Ж Х
Перенумеруем их в следующем порядке:
выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые
уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь может случиться,
§3.9. Счетное множество 79
что Ек и Е1 имеют общие элементы. В результате получим бесконеч-
бесконечную последовательность элементов {у\,У2-,Уъ-> • • • }5 очевидно, исчерпы-
исчерпывающую множество Е. Это доказывает, что Е — счетное множество.
Аналогично доказывается, что конечная сумма Е = Е1 + ... + EN
счетных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы
одно счетное, счетна.
Докажем, что множество положительных [отрицательных) ра-
рациональных чисел, а следовательно, множество всех рациональных
чисел счетны.
Чисел p/q (р > 0, q > 0 целые) с р + q = 1 нет, среди же чисел p/q
с р + q = 2 имеется одно: 1 = 1/1; обозначим его через у\. Среди (не
занумерованных еще) чисел p/q с p + q = 3 имеются два: 1/2 и 2 = 2/1;
обозначим их соответственно через у2 и уз; этот процесс продолжаем по
индукции. В результате все положительные рациональные числа будут,
очевидно, перенумерованы.
С другой стороны, множество всех действительных чисел не
счетно {несчетно).
Докажем, что уже единичный интервал @,1) есть несчетное множес-
множество, откуда и будет следовать высказанное утверждение, потому что мы
знаем, что часть счетного множества может быть только конечной или
счетной. Точки х (числа) интервала @,1) будем записывать в виде бес-
бесконечных дробей, не имеющих периода 9. Допустим, что интервал @,1)
есть счетное множество, тогда все его точки можно было бы перенумеро-
перенумеровать:
х1 =Q,a\a\a\... ,
х2 = 0, а\ а2* а2 .
х3 = 0, а\ а% «1.
C)
Однако это заключение, как мы сейчас увидим, противоречиво. Для
каждого натурального п определим цифру ап так, чтобы выполнялись
неравенства0 < ап < 9, ап ф а™, что, очевидно, возможно. Сконструи-
Сконструируем число а = 0, ai«2«3 • • • Оно принадлежит интервалу @,1) и долж-
должно, таким образом, значиться под некоторым номером tiq в таблице C):
а = хп°. Но тогда должно было бы быть апо = а™®, что невозможно.
Упражнения.
1. Доказать, что множество точек плоскости с рациональными координатами
(х, у) счетно.
2. То же доказать для множества точек (х\,... , хп) n-мерного пространства
с рациональными координатами xj .
Глава 4
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 4.1. Понятие предела функции
Число А называется пределом функции f в точке а, если функ-
функция / определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интер-
интервале (с, сГ), где с < а < <i, за исключением, быть может, самой точки а, и
если для всякого е > 0 можно указать зависящее от него S > 0 такое, что
для всех ж, для которых 0 < \х — а\ < ?, имеет место
\f(x)-A\<e.
Тот факт, что А есть предел / в точке а, принято записывать следу-
следующим образом:
lim f(x) = А или f(x) -^ А, х —>• а.
Другое определение предела функции в точке может быть высказано
в терминах пределов последовательностей.
Число А называется пределом функции f в точке а, если она опре-
определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может,
самой точки а, и если предел последовательности {f(xn)} существует и
равен А, какова бы ни была последовательность {жп}, сходящаяся к а и
такая, что хп ф а для всех п. Таким образом,
lim f(xn) = A.
хпфа
Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разу-
разумеющимся, что сходящаяся к а переменная хп пробегает значения, для
которых /(ж) определена.
Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функ-
функция / имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана пере-
переменная хп, не равная ни при каком п числу а и стремящаяся к а. Зада-
Зададим г и подберем S так, как это сказано в первом определении. Затем
подберем натуральное N так, чтобы \хп — а\ < 5 для п > N. Но тогда
\f(xn) - А\<е для п> N,
§4-1- Понятие предела функции 81
а это значит, что последовательность чисел {f(xn)} стремится к А, и
так как это свойство верно для любой сходящейся к а последователь-
последовательности {жп}, лишь бы хп ф а и все хп принадлежали к области определе-
определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует
второе.
Обратно, пусть функция /(ж) имеет предел в смысле второго опреде-
определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого
определения. Это значит, что существует хотя бы одно s, которое мы обо-
обозначим через so, для которого нельзя подобрать нужное 5, т.е. для любо-
любого S среди ж, удовлетворяющих соотношениям 0 < |ж — а\ < ?, должен
найтись хотя бы один ж = ж^ такой, что для него \f(x^) — А\ ^ ?о-
В качестве 5 мы берем все числа вида 5 = 1/к (& = 1, 2,...) и для
каждого из них найдем точку хк — ж^, для которой
О < \хк -а\ < - , хк ф а,
\f(xk)-A\ ^?0, & = 1,2,...
Из этих соотношений видно, что хк —>• а (хк ф а), в то время как f(xk)
заведомо не стремится к числу А. Таким образом, допущение, что из вто-
второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.
Эквивалентность двух определений доказана.
Выражение "предел функции в точке а" часто заменяют выражением
"предел функции при ж, стремящемся к а", или, короче, "предел функции
при х —> а". Если угодно, это выражение больше соответствует духу
понятия предела потому, что число А = Нтж^а /(ж) ничего не говорит
о значении / в самой точке х — а. Функция может не быть определенной
в ж = а. Число А говорит о поведении функции в малой окрестности
точки а, из которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что
если ж приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то
соответствующее значение /(ж) в свою очередь приближается к А, т.е.
делается как угодно близким к А.
Пример 1. Рассмотрим функцию f(x) = (х —4) /(х — 2). Она определена
для всех х ф 2. Попробуем найти ее предел при х —>• 2. Для любого х ф 2
(х — 4)/(ж — 2) = ж + 2,а так как при определении предела при х —>• 2 совсем не
принимаются во внимание значения / в точке х = 2, то
ж2-4
lim = lim (x + 2).
х^2 X -2 х^2
Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует,
то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того, чтобы вычислять
предел функции (х — 4)/(х — 2), достаточно вычислить предел более простой
функции ж+2. Этот последний при ж —>• 2, очевидно, равен 4. Ведь если подставить
в х + 2 вместо х произвольную переменную жп, стремящуюся к 2, то независимо
от способа стремления ее к 2
lim (хп + 2) = 2 + 2 = 4.
х^2
82
Гл. 4- Предел функции
Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают
следующим образом:
ж2
lim
-4
X — 2
= lim (ж + 2) = lim ж + 2 = 4.
х^2 х^2
Подчеркнем, что функции /(ж) = (х — 4)/(ж — 2) и <р(х) = х + 2 являются
разными функциями. Первая из них определена для х ф 2, в то время как вторая
определена для всех х. Однако при вычислении предела функций при х —»• 2 нас
совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой
точке х = 2, и так как f(x) = (f(x) для ж/2, то
lim fix) = lim ф(х) = (fB).
^2 х^2
Пример 2. Очевидно, что ]im.x^.\x = 1, потому что если хп —>• 1,
жп т^ 1? т0 lim ж2 = ПшжпНшжп = 1-1 = 1. С другой стороны, этот факт
можно доказать на языке е и 6.
Определим какой-либо интервал, содержащий точку 1, например A/2, 3/2).
Для любого ж, принадлежащего ему, очевидно, выполняются неравенства
Зададим теперь произвольное е > 0 и положим ? = min< 2' 5 s Г • Тогда для
всех ж, удовлетворяющих неравенству |ж — 11 < 6, будет иметь место соотношение
Пример 3. Функция sin(l/#) (график ее изображен на рис. 4.1) определе-
определена для всех значений ж/0. Она определена, таким образом, в окрестности точки
х
Рис. 4.1
ж = 0, за исключением самой точки ж = 0. Эта функция не имеет предела при
х —>• 0, потому что последовательность отличных от нуля значений ж^ = —(<2k+-\\ •>
к = 0,1, 2,..., стремится к нулю и в то же время f(x^) = (—1) не стремится
при к —>• оо ни к какому пределу.
§4-1- Понятие предела функции 83
Введем еще следующее определение. Будем писать
А = lim /(ж)
и говорить, что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящем-
стремящемся к бесконечности, если / определена для всех ж, удовлетворяющих
неравенству \х\ > К при некотором К > О, и для любого г > 0 можно
найти число М > К такое, что \f(x) — А\ < е для всех ж, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству |ж| > М.
Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.
Число А есть предел функции f(x) при х —>• оо, если функция/(ж)
определена для всех ж с \х\ > М при некотором М и
lim f(xn) = A
х^оо
для любой сходящейся к оо последовательности {жп}.
Доказательство эквивалентности этих двух определений проводит-
проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела / в конечной
точке а.
Вообще, многие свойства пределов /(ж) при ж —>• а, где а — конеч-
конечное число, и при ж —> оо являются аналогичными. Можно изложить
эти свойства единым образом так, что изложение будет одновременно
относиться как к случаю, когда ж —>• а, где а — конечное число, так и
к случаю ж —>- оо. Для этого под буквой а надо понимать либо число
(конечное *)), либо символ оо. Если а есть число, то под окрестностью
точки а понимается любой интервал (с, б?), содержащий в себе точку а.
Таким образом, окрестность (конечной) точки а есть множество всех
точек ж, удовлетворяющих неравенствам с < ж < d. Если же а = оо (или
+оо, или — оо), то под окрестностью а мы условимся понимать множество
всех ж, удовлетворяющих неравенству
|ж| > М (или ж > М, или ж < -М, М > 0).
Мы будем писать
lim /(ж) = А,
где а может быть конечным числом или оо (или +оо, или — оо), если функ-
функция /(ж) определена на некоторой окрестности а, за исключением**),
быть может, самой точки а, и если для любого е > 0 найдется такая
окрестность точки а, что для всех ж, принадлежащих к ней и отличных
от а, имеет место неравенство
\f(x)-A\<e.
*) Символы оо, +оо, —оо называют бесконечными числами] в таких слу-
случаях обычные числа называют конечными числами.
**) Эта оговорка нужна только в случае конечной точки (числа) а.
84 Гл. 4- Предел функции
Это определение объединяет в себе, очевидно, разобранные выше
случаи предела /: когда х стремится к конечному числу а и когда х стре-
стремится К 00, +0О, — 00.
Приступим к изложению свойств функции /(ж), имеющей пределы
при х —> а, где а есть число или оо, +оо, — оо. Условимся произвольную
окрестность а обозначать символом U(a). Легко проверить, что пере-
пересечение двух окрестностей, U\(a) и С/г (а), есть снова некоторая
окрестность U(a).
Теорема 1. Если \imx^a f(x) = А, где А—конечное число,
то на некоторой окрестности U(a) функция f{x) ограничена, т. е.
существует положительное число М такое, что
\f(x)\^M для всех xeU(a), x ф а.
Доказательство. Из условия теоремы следует существование
окрестности U(a) такой, что
l>\f(x)-A\>\f(x)\-\A\, х&Ща), х ф а.
Отсюда для указанных х
Теорема доказана.
Теорема 2. Если Нтж^а /(ж) = А и А ф 0 — конечное
число, то существует окрестность U(a) такая, что
\А\
|/(ж)|>у, хе U (а), хфа.
Больше того, для указанных х
f(x) > тг> если А > О,
А
f(x) < —, если А < 0.
Доказательство. Из условия теоремы следует существование
для е — \A\j2 окрестности U (а) такой, что
^>\A-f(x)\^\A\-\f(x)\, xeU(a), хфа,
откуда \f(x)\ > \A\/2 для указанных х. Первое из этих неравенств
можно заменить следующими:
§4-1- Понятие предела функции 85
При А > 0 отсюда следует
2 2 <Л j'
а при А < 0 следует
I JI Л
/(ж)< А+у = -,
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если
lim ДО) = j4i, lim /2О) = ^2
^ /lO) ^ /2 (ж) wfl некоторой окрестности U(a), x ф a, mo
Доказательство. Пусть жп -^ а, жп т^ а; тогда для достаточно
большого по имеет место неравенство
/lOn) ^ /2Оп), П > П0,
и после перехода к пределу — неравенство А\ ^ А2.
Теорема 4. .Еслг/
lim /iO) = A, lim /2 (ж) = А A)
г/ wa некоторой окрестности U(a), xn ф а,
то
Нт (р(х) = А. C)
ж—>а
Доказательство. Пусть жп -^ а, хп ф а; тогда при достаточно
большом по для п > по
/lOn) ^ ^Оп) ^ /2On), lim/1 (жп) = lim/2On) = A
и, следовательно, существует предел ip(xn), равный А, а так как {хп}
есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет мес-
то C).
Теорема 5 (критерий Коши существования предела). Для того
чтобы существовал предел (конечный) Нтж^а/(ж), необходимо и
достаточно, чтобы функция /О) была определена в окрестности а,
за исключением, быть может, самой точки а, и для всякого е > О
86 Гл. 4- Предел функции
существовала такая окрестность U(a), что, каковы бы ни были
точки х'\х" Е U(а), х'\х" ф а, выполнялось неравенство
\f(x')-f(x")\<e.
Доказательство. Пусть Нтж^а f(x) = А, где А — конечное
число; тогда существует окрестность а, где /(ж) определена, за исключе-
исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для любого е > 0 найдется
такая окрестность U(a), что если х Е U(a), х ф а, то |/(ж) — А\ < г/2.
Пусть х'\х" Е U(а) и х'\х" ф а; тогда
\f(x') - f(x")\ < \f(x') -A\ + \A- f(x")\ < | + | = s,
и мы получили, что условие теоремы необходимо.
Докажем достаточность этого условия. Пусть функция f(x) опре-
определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой
точки а, и пусть для любого е > 0 можно указать окрестность U(a) тдь-
кую,что |/(V) — f(x")\ < е для всех ж', ж" Е U(a), ж', ж" ф а. Зададим
произвольную последовательность {жп}, жп 7^ a? n — 1,2,..., стре-
стремящуюся к а. Тогда найдется натуральное N такое, что для n,m > N
будет жп, хш Е С/(а). Но тогда
и последовательность {/(жп)} удовлетворяет критерию Коши и, следо-
следовательно, имеет предел.
Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции /: для
любой сходящейся к а последовательности чисел хп ф а существу-
существует Нт/(жп). Из этого свойства автоматически следует, что пределы
lim/(xn), соответствующие разным сходящимся к а последовательнос-
последовательностям, равны между собой. Но тогда существует Нтж^а f(x). В самом
деле, пусть хп —>• а, х'п -Л а, жп, х'п фа, п = 1, 2,... Тогда по доказан-
доказанному существуют числа А и А! такие, что f(xn) —>• А и /(ж^) -4- А'.
Составим новую последовательность: |жх, ж^, Ж2, ж^, жз,.••}• Она схо-
сходится к а. По доказанному выше должна сходиться к некоторому чис-
числу и соответствующая последовательность {/(х\), /(ж]_), /(жг), /(ж^),
/(жз),... }. Но это возможно, только если А — А!. Таким образом,
А — А!. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть
lim /(ж) = A, lim ф(ж) = В,
х^-а х^-а
где А и В — конечные числа. Тогда
lim (/(ж) ± (р(ж)) = А ± Б, lim (/(ж) • ф(х)) = АВ
§4-1- Понятие предела функции 87
и при условии, что В ф О,
f(x) A
lim
ф) В'
Докажем для примера второе равенство. Пусть хп —> а, хп ф а,
п = 1, 2,...; тогда
Нт/(жп) = A, lim<p(xn) = В,
но так как предел произведения двух переменных, пробегающих после-
последовательности, равен произведению их пределов, то
lim(f(xn)ip(xn)) =limf(xn) linup(xn) = АВ.
Это равенство доказано для любой переменной хп —> а, хп ф а,
поэтому \imx^a(f(x)ip(x)) =AB.
По определению Нтж^а /(ж) = оо, если функция /(ж) определена на
некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и
если для всякого положительного числа М найдется такая окрестность
U(а) точки а, что
|/(ж)| >М, х е U(a), хфа.
Если Нтж^а /(ж) = оо и в некоторой окрестности точки а функция
f(x) > 0 (соответственно /(ж) < 0), то еще пишут
lim /(ж) = +оо
х>а
х—>а
(соответственно Ншж^а /(ж) = —оо).
Легко доказать следующие теоремы.
Теорема 7. Если функция /(ж) удовлетворяет на некоторой
окрестности а неравенству
\f(x)\ >M>0,
а для функции (р(х) имеет место
lim ip(x) = 0, ф(х) Ф 0 для хфа,
то
lim Щ = оо.
х^а (р(х)
Теорема 8. Если |/(ж)| < М в некоторой окрестности точ-
точки а и если Нтж^а ip(x) = оо, то
lim Щ = 0.
Гл. 4- Предел функции
Следствие. Если ip(x) —> О, х —> а, <р(х) ф О, то
lim -—- = оо, D)
еслг/ ip(x) -^ оо, ж -^ а, <р(ж) ^ 0, ^0
lim -i- = 0. E)
х^а (р(х)
Теорема 9. Пусть для функции /, определенной в окрестнос-
окрестности точки а (конечной или бесконечной), выполняется условие: из
всякой сходящейся к а последовательности {хп} можно выделить
подпоследовательность {хПк}, для которой Ит^^оо f(xnk) = A.
Тогда Нтж^а f(x) = A.
Доказательство. Пусть хп —>• а. Согласно условию любая под-
подпоследовательность последовательности {f(xn)} содержит в себе под-
подпоследовательность, сходящуюся к А. Но тогда по теореме 3 из § 3.7
/0п) ->> А.
§ 4.2. Непрерывность функции в точке
По определению функция / называется непрерывной в точке (ко-
(конечной) а, если она определена в некоторой окрестности точки а (в том
числе и в самой точке а) и если
limaf(x) = f(a). A)
Ha основании сказанного в § 4.1 о пределе функции в точке можно
дать следующую развернутую формулировку непрерывности функции в
точке.
Функция / называется непрерывной в точке а, если она опре-
определена на некотором интервале (c,d), содержащем точку а, и для
любого г > 0 можно найти такое 8 > 0, что для всехх, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству \х — а\ < 8, выполняется неравенство
\f(x)-f(a)\<e.
В силу сказанного в § 4.1 приведенной формулировке полностью эк-
эквивалентна следующая формулировка.
Функция / непрерывна в точке а, если она определена на неко-
некотором интервале (c,d), содержащем а, и если для любой последо-
последовательности {хп}, сходящейся к а, имеет место
lim f(xn) = f(a).
2. Непрерывность функции в точке
89
Если функция /(ж), заданная в окрестности точки а, не является не-
непрерывной в точке а, т.е. если для нее не выполняется высказанное выше
свойство, то говорят, что она разрывна в точке а.
Можно дать и прямое определение разрывности / в точке а.
Пусть функция / определена в окрестности точки а, и пусть
существует такое положительное число го > 0, что для любого
S > 0 найдется точка х§ такая, что
а-х8\ < 5,
-f(xs)\
тогда /(ж) разрывна в точке а.
Рассмотрим непрерывную кривую Г — график непрерывной функ-
функции у = /(ж), ж Е [а, Ь] (рис. 4.2). Термин "непрерывная кривая" здесь
употреблен в житейском (интуитивном) смысле — ее можно начертить
всю, не отрывая карандаша от бумаги.
Зададим произвольное значение хо Е (а, Ь). Ему соответствует зна-
значение /(жо) нашей функции. Зададим г > 0 и проведем три прямые
параллельно оси х соответственно на расстояниях /(жо) — е, /(жо) и
У ,
/(х0)
хо)-е
0
т
I
т_^
I
I
1
I
хо-8 х
--
п
Г
_1
__!
1
xQ+8 х
У,
/(с)
Рис. 4.2
с-8 с с+8
Рис. 4.3
Ъ х
/(жо) + е от оси ж. Легко видеть, что для нашей (непрерывной) кривой
всегда можно подобрать такое S > 0 (зависящее от г), что для всех ж,
принадлежащих интервалу (жо — S, жо + S), соответствующие ординаты
/(ж) нашей кривой будут удовлетворять неравенствам
f(xo)-e< /(ж) < f(xo)+e.
Другими словами, для любого е > 0 можно указать такое S > О,
что для всех ж, удовлетворяющих неравенству |ж — жо| < S, выполняется
неравенство |/(ж) — /(жо)| < е.
Таким образом, математическое определение непрерывности функ-
функции отвечает интуитивному понятию непрерывной кривой.
Обратимся еще к графику, изображенному на рис. 4.3.
Этот график представляет собой разрывную кривую L, состоящую
из двух непрерывных кусков L\ и Z/2. Кусок L\ взаимно однозначно
90 Гл. 4- Предел функции
проектируется (в направлении оси у) на отрезок [а, с]. Кусок же Z/2 пред-
предполагается лишенным левой концевой точки, он взаимно однозначно про-
проектируется на полуинтервал (с, Ь]. Каждому значению ж Е [а, Ь] соответ-
соответствует единственное значение у = /(ж), равное ординате точки кривой L,
имеющей абсциссу х. Кривая L разрывна, она состоит из двух не скле-
склеенных друг с другом кусков L\ и Z/2. Разрыв имеет место при переходе
аргумента х через значение с. Убедимся в том, что функция f(x) также
не является непрерывной в точке с. Очевидно, что /(с) = Ас.
Возьмем положительное число го < АВ. Внимательное рассмотре-
рассмотрение чертежа показывает, что, как бы ни было мало 5 > 0, среди зна-
значений ж, удовлетворяющих неравенству \с — х\ < 5, имеются такие, а
именно большие с, что для них
\f(x)-f(c)\>e0.
Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная функция.
В данном случае функция /(ж) разрывна в точке с (ср. с § 1.4).
Величина Ау = А/(ж) = f(x + h) — f(x) называется приращением
функции f в точке ж, соответствующим приращению h независимой
переменной.
Мы можем понятие непрерывности функции / в точке а выразить еще
следующим образом (на языке К): функция /(ж) непрерывна в точке а,
если функция f(a + h) от h определена в некоторой окрестности
h = 0 и если для всякого ? > 0 найдется 5 > 0 такое, что для
\h\ < S выполняется
\f(a + h)-f(a)\<e.
Иначе говоря, функция / непрерывна в точке а, если ее приращение
в этой точке, соответствующее приращению h аргумента, стремится к
нулю вместе с h.
Из свойств предела функции (см. § 4.1) и определения непрерывности
в точке немедленно следует
Теорема 1. Если функции /(ж) и (р(х) непрерывны в точке а,
то непрерывны также в точке а и их сумма /(ж) + ^(ж), разность
/(ж) — ip(x) и произведение /(ж)(р(ж), а также и частное f(x)/ip(x)
при добавочном условии, что ip(a) ф 0.
Докажем еще теорему о непрерывности функции от функции.
Теорема 2. Если функция (р(х) непрерывна в точке а и функ-
функция f(y) непрерывна в точке Ъ = ip(a), то функция от функции
F(x) = f{if{x)) непрерывна в точке а.
Доказательство. Зададим г > 0. Вследствие непрерывности
функции / в точке Ъ найдется такое а > 0, что функция f(y) определена
на интервале (Ь — а, Ъ + а) и выполняется неравенство
|/Ы-/(Ь)|<е для \у-Ь\<а. B)
§4-2. Непрерывность функции в точке 91
А вследствие непрерывности функции ip в точке а найдется такое
S > О, что функция ip(x) определена на интервале (а — 5, а + S) и
\ip(x) — ip(a)\ < а для
\х-а\< S. C)
Из полученных соотношений следует, что для всех ж, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству C), функция f(cp(x)) определена и имеет место неравен-
неравенство
\f(<p(x)) - f(<p(a))\ < е или \F(x) - F(a)\ < e, D)
что и требовалось доказать.
Чтобы доказать непрерывность F в точке х = а, рассуждают еще
так. Так как функция ср непрерывна в точке а, функция / непрерывна в
точке Ъ = (р(а) и, кроме того, F(a) = f((p(a)), то для любой стремящейся
к а последовательности {хп} имеет место
lim F(xn)= Hm f(<p(xn)) = f(<p(a))=F(a).
Если функция Ф (х) получена из нескольких функций с помощью толь-
только арифметических действий и операций функции от функции, то уста-
установление факта непрерывности Ф в данной точке может быть сведено к
последовательному применению предыдущих двух теорем, если эти тео-
теоремы применяются конечное число раз.
Отметим следующие теоремы, непосредственно вытекающие из опре-
определения непрерывности функций в точке и из теорем § 4.1 о пределе функ-
функции.
Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна в точке а, то су-
существует окрестность U(a) точки а, на которой f(x) ограничена.
Теорема 4. Если функция f{x) непрерывна в точке а и если
/(а) ф 0, то существует окрестность U(a) точки а, на которой
Больше того, если /(а) > 0, то
^ < f(x), х е U(а),
а если /(а) < О, то
f(r\ <- -*^а) Т fz TJ(n\
Пример 1. Постоянная функция /(ж) = С определена и непрерывна для
любого значения ж, потому что приращение ее, соответствующее любому прира-
приращению /г, равно
АС = С - С = О
и, следовательно, тривиальным образом АС —>• 0 (/&—»• 0).
92
Гл. 4- Предел функции
Пример 2. Функция /(ж) = жп, п = 1,2,..., определена на всей дейст-
действительной оси и непрерывна на ней.
В самом деле, функция у = ж, очевидно, непрерывна для любого ж. Поэтому
этот же факт имеет место для функции ж = жж, но тогда и для ж = ж ж. По
индукции приходим к непрерывности хп.
Пример 3. Алгебраический многочлен
Р(х) = аохп+а1хп 1+а2х
ап
(ао,... , ап —заданные числа и п — натуральное число) есть, очевидно, функция,
непрерывная для любого ж, потому что хп~ ,/с = 0,1,...,п, есть, как показано
выше, непрерывная на действительной оси функция, а^хп~ есть непрерывная на
оси функция как произведение двух непрерывных на оси функций а^ и хп~ и,
наконец, Р(х) непрерывна на оси как сумма конечного числа непрерывных на оси
функций.
Пример 4. Рациональная функция
*(„\ - Р(ж) _ а0жП + • • • + an , , n
У
Q(x) box171 + . . . + Ъш
(n, m — натуральные числа na^,b^ — заданные числа) есть непрерывная функ-
функция для всех значений ж, для которых Q(x) ф 0. Это следует из того, что /(ж)
получается как частное многочленов Р(х) и
Q{x), являющихся непрерывными на действи-
действительной оси функциями.
Пример 5. Функция /(ж) = sin ж непре-
непрерывна для всех значений ж. Это вытекает из сле-
следующих рассуждений.
Имеет место неравенство | sin Л| ^ |Л|. Что-
Чтобы доказать его при |Л| ^ тг/2, помножим его
(обе его части) на 2, и тогда левая его часть бу-
будет равна длине хорды (рис. 4.4), стягивающей
дугу длины 2|Л|. Если теперь |Л| ^ тг/2, то
|Л| ^ тг/2 > 1 ^ | sin А|. Поэтому
Рис. 4.4
h) — sin ж =
h ,
2 sm — cos ( ж ¦
z
1 =
n(x + h) — sin ж —>• 0 при h —>• 0, а это значит, что функция sin ж в точке ж
(любой) непрерывна.
Пример 6. Функция cos ж непрерывна для всех значений ж, потому что
сов(ж + h) — cos ж
. h . / h
2sin- smi+-
Из полученного неравенства видно, что для всякого е можно найти S (в данном
случае 6 = е) такое, что если \h\ < ^, то | сов(ж + h) — совж| < е.
§4-2. Непрерывность функции в точке 93
Замечание. В этой книге мы исходим из обычного геометрического опре-
определения тригонометрических функций (см. § 1.3, п. 7). Но возможны другие их
определения, носящие чисто аналитический характер.
Пример 7. Функция |ж| непрерывна для всех значений ж, потому что
||ж + h\ — \х\\ ^ \х + h — х\ = \h\ —>• 0, h —»• 0.
Если функция / не является непрерывной в точке х = а и в то же вре-
время существует конечный предел Нтж^а /(ж), то говорят, что она имеет
устранимый разрыв в этой точке. Этим хотят сказать, что / можно ви-
видоизменить в точке а (если она определена в а) или доопределить ее в
этой точке (если она в а не определена), положив /(а) = Нтж^а /(ж), и
после этого / станет непрерывной функцией в этой точке.
Пример 8. Функция
{ з,
*#1,
очевидно, разрывна в точке х = 1. Но этот разрыв устраняется, если положить
Если функция / непрерывна для всех х в достаточно малой окрест-
окрестности точки а, за исключением х = а, и не ограничена в этой окрестнос-
окрестности, то говорят, что / имеет бесконечный разрыв в а.
Пример 9. Функция sin(l/x) может служить примером ограниченной
функции с неустранимым разрывом в х = 0, а функция tg x — примером функции,
имеющей бесконечные разрывы (в точках х^ = тг/2 + /стг, /с = 0,=Ы,±2,...).
Пример 10. Функции cos(sinx ) и (sin ж) являются непрерывными на
всей действительной оси функциями. Это следует из того, что функции х , sin ж,
cos х непрерывны на действительной оси и из теоремы о непрерывности функции
от функции.
Замечание. Формально функция / называется разрывной в
точке а, если она определена в окрестности а, в том числе в а, и не
является непрерывной в а. Именно при таком определении отрицание
непрерывности записывается при помощи кванторов:
\/е 36, Ух \х - а\ < 5: \f(x) - f(a)\ < s <&
<^> Зе, У5 Зх, \х — а\ < 5: \f(x) — f(a)\ ^ г,
т.е. существует е такое, что для всякого 8 найдется ж, удовлетворяющий
неравенству \х — а\ < 8, для которого \f(x) — f(a)\ ^ г.
Однако часто говорят, что функции ^, ^р- разрывны в точке х = 0,
что с формальной точки зрения недопустимо, потому что эти функции не
определены для х = 0.
94 Гл. 4- Предел функции
§ 4.3. Пределы функции справа и слева.
Монотонная функция
По определению левой окрестностью точки (числа) а называется
произвольный полуинтервал (с, а], а правой окрестностью а называ-
называется произвольный полуинтервал [a, d). Окрестностью ("точки") +оо
естественно считать (полубесконечный) интервал (JV, +оо), а окрест-
окрестностью — оо интервал (—оо, N), где N— в обоих случаях произвольное
(конечное) число. Можно еще говорить, что окрестности +оо, — оо суть
соответственно левая и правая окрестности ("точки") оо.
На основе этих определений вводится понятие правого и левого пре-
предела функции / в точке а (конечной и бесконечной). Например, гово-
говорят, что А есть правый предел / в точке а (конечнойили бесконечной),
если / определена в некоторой правой окрестности а, за исключением,
быть может, самой точки а, и если для любого г > 0 можно указать та-
такую правую окрестность а, что для всех принадлежащих к ней х ф а
выполняется неравенство \f(x) — А\ < е.
Впрочем, правый (левый) предел / в оо обычно называют пределом /
при х —>• —оо (х —>• +оо).
Можно еще дать другое определение правого предела функции в точ-
точке. Говорят, что функция / имеет правый предел в точке а (конечной
или бесконечной), равный числу А, если она определена на некоторой
правой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и
если НтЖг1^а f(xn) = А для любой сходящейся к а последовательности
{хп }, значения которой хп не равны а и принадлежат к указанной правой
окрестности.
Тот факт, что оба сформулированные определения правого предела
эквивалентны, доказывается совершенно аналогично тому, как это дела-
делается в случае предела (см. § 4.1).
Сказанное понятным образом переносится на понятие левого преде-
предела. Вообще, теоремы § 4.1 о пределах по аналогии переносятся на правые
и левые пределы.
Если а — конечная точка, то правый и левый пределы / в ней запи-
записываются соответственно так:
Да + 0) = lim f(x), Да - 0) = lim f(x).
Пользуясь определением пределов на "языке г и S", легко доказать,
что для того, чтобы / имела предел в конечной точке а, необходимо и
достаточно, чтобы существовали правый и левый пределы / в этой точке
и были равны между собой, и тогда /(а + 0) = /(а — 0) = Нтж^а f(x).
Пределы / при х —>• — оо, +оо, оо часто записывают соответственно
так:
lim /(ж) = /(-оо), lim f(x) = Д+оо), lim f(x) = /(оо).
X^ ОО Ж^ + ОО Ж^ОО
f — ОО
Здесь, как в случае конечной точки, имеет место очевидное утвержде-
утверждение: для того чтобы существовал предел / при х —> оо, необходимо и
§4-3. Пределы функции справа и слева 95
достаточно, чтобы существовали и были равны между собой пределы /
при ж —>• +оо и ж —>• — оо, и тогда /(—оо) = /(+оо) = /(оо).
До сих пор мы говорили о конечных пределах функции (А было ко-
конечно) , но можно по аналогии ввести пределы:
lim f(x) = +оо, lim f(x) = —оо,
^ + оо ж^ + оо
lim f(x) = +оо, lim /(ж) = —оо.
Например, последнее из этих четырех соотношений выражает, что
функция / определена для всех ж, меньших некоторого числа (т. е. на неко-
некоторой окрестности — оо), и, каково бы ни было положительное число N,
найдется такое число L, что для всех х < L имеет место f(x) < —N.
Односторонние пределы, т.е. пределы справа и слева, имеют боль-
большое значение при рассмотрении монотонных функций.
Пусть Е — множество действительных чисел (точек прямой). Функ-
Функция /, определенная на Е, называется неубывающей (певвзрастающей)
на Е, если из того, что ж', х" Е Е и х1 < хп', следует, что /(ж') ^ f(x")
(соответственно /(ж') ^ /(ж")).
Неубывающие и невозрастающие на Е функции носят общее назва-
название монотонных функций на Е.
Теорема 1. Пусть функция / не убывает на интервале
(а, Ъ), где, в частности, может быть а = —оо, Ъ = +оо. Если
она ограничена сверху числом М, то существует предел {конеч-
{конечный) \\тх^ь f(x) ^ М. Если же она не ограничена сверху, то
Хх<Ъ
х<Ъ
Доказательство. Из ограниченности / следует существова-
существование конечной точной верхней грани supxG^a ^ f(x) = А ^ М. Таким
образом, f(x) ^ А для всех х Е (а, Ъ), и для всякого г > 0 существует
х\ Е (а, 6) такое, что А — е < f{x\) ^ А. Но в силу того, что/не убывает,
f(xi) ^ /(ж), х\ ^ ж < Ъ. Таким образом, для любого е > 0 можно ука-
указать х\ < Ъ такое, что А — г > /(ж) < А + е для всех ж, удовлетворяющих
неравенствам х\ < ж < Ъ. Это и значит, что
А= lim /(ж).
Пусть теперь неубывающая функция / не ограничена сверху. Тогда
для любого М существует х\ Е (а, Ь) такое, что М < f(x\), и вследствие
того, что / не убывает на (а, Ъ),
М < /(ж!) ^ /(ж), Ж1 <ж < Ь,
96 Гл. 4- Предел функции
а это и говорит о том, что
lim f(x) = +00.
x<b
По образцу доказанной теоремы легко доказывается и
Теорема 2. Если функция / не убывает на (а, Ъ), где может
быть а = — оо, Ъ = +оо, и f(x) ограничена снизу числом т, то
существует (конечный) предел функции / в точке а справа:
lim f(x) = А^ т.
х>а
Если oice функция / не ограничена снизу, то
lim f(x) = —оо.
х—>а
х>а
Читатель может самостоятельно видоизменить формулировки и до-
доказательства подобных теорем для невозрастающей на (а, Ь) функции.
Пример 1. На отрезке [0, 2] задана функция
: для 0 ^ х < 1,
; + 1 для 1 ^ х < 2.
Ясно, что она однозначна и монотонна на [0, 2]. Легко видеть, что /A — 0) = 1,
/A + 0) = /A) = 2.
Теорема 3. Если функция / не убывает на отрезке [а, Ь], то
в каждой точке х Е (а, Ь) существуют пределы f(x — 0) и f(x + 0)
и выполняются неравенства
Существуют также пределы /(а + 0), /F — 0), удовлетворяющие
неравенствам
Эта теорема немедленно следует из предыдущих теорем, если учесть,
что из ее условий вытекает, что функция / не убывает на каждом из
отрезков [а, ж], [ж, Ъ].
Можно ввести понятие непрерывности функции в точке справа и
слева.
Функция / называется непрерывной в точке а (конечной) справа
(слева), если существует /(а + 0) и /(а + 0) = /(а) (соответственно
если существует /(а — 0) и /(а — 0) = /(а)).
§4-3. Пределы функции справа и слева
97
Если для функции / в точке а (конечной) имеют смысл оба числа
/ (а — 0) и / (а + 0) (конечные) и если она все же разрывна в а, то говорят,
что эта функция имеет разрыв первого рода в точке а.
Отметим, что если функция f непрерывна как справа, так и сле-
слева в точке а, то она, очевидно, непрерывна в точке а. Можно еще
сказать, что для того, чтобы функция f(x) была непрерывной в точ-
точке а, необходимо и достаточно, чтобы три числа f(a — 0), /(а),
/(а + 0) имели смысл и чтобы они были равны между собой.
Мы приводим для примера шесть графиков функций, имеющих раз-
разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку А = (а, /(а))
плоскости. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точ-
точка, где находится стрелка, выброшена. На рисунках 4.5-4.8 изображены
У
У
0 ах
Рис. 4.5
а х
Рис. 4.6
а
Рис. 4.7
X
У
а
Рис. 4.1
X
а
Рис. 4.9
X
а
Рис. 4.10
X
графики функций /, для которых все три числа /(а), /(а — 0), /(а + 0)
имеют смысл. На рис. 4.5 числа/(а), /(а —0), /(а+ 0) различны между
собой; функция не только разрывна в а, но и разрывна справа и слева в а.
На рис. 4.6 / непрерывна слева в а. На рис. 4.7 / непрерывна справа в а.
На рис. 4.8 / имеет устранимый разрыв в а. На рис. 4.9 / не определена
в а. На рис. 4.10 / не определена в а, но / можно доопределить в а так,
что она будет непрерывной в а.
Заметим следующий важный факт. Если заданная на отрезке [а,Ъ]
функция f монотонна на нем (не убывает или не возрастает), то,
какова бы ни была точка х Е [а,Ь], в ней функция f либо непрерыв-
непрерывна, либо имеет разрыв первого рода. Это утверждение есть непосред-
4 С.М.Никольский
98 Гл. 4- Предел функции
ственное следствие из теорем 1, 2 и определения понятия точки разрыва
первого рода*).
Если функция / определена в окрестности точки а и имеет разрыв
в а, не являющийся разрывом первого рода, то говорят, что она имеет в а
разрыв второго рода. Например, функция, равная sin(l/x) и нулю для
х = 0, имеет в точке х = 0 разрыв второго рода. Функция
ГО, х <: О,
ф(х) = \ . 1
sin—, х > О,
V X
также имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, потому что хотя для нее
и имеет смысл число
но не имеет смысла число ф@ + 0).
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке
Функция / называется непрерывной на отрезке [а, Ь] (на множестве
точек ж, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ Ь), если она непре-
непрерывна во всех точках интервала (а, Ь) (множества точек ж, для которых
а < х < Ь), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ **).
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных
свойств, к изложению которых мы сейчас приступим. Впрочем, мы не
останавливаемся пока на важном понятии — равномерной непрерывнос-
непрерывности функции; оно будет изучено позднее (§ 7.10, теорема 4) сразу для функ-
функции п переменных. Из полученных там результатов выводятся соответ-
соответствующие результаты для непрерывной на отрезке [а, Ъ] функции от од-
одной переменной.
Начнем со следующей леммы.
Лемма 1. Если все значения хп последовательности {жп},
стремящейся к числу а, принадлежат [а,Ь], то и а Е [а, Ь].
Доказательство. Эта лемма следует из теоремы 3 § 3.1.
Теорема 1. Если функция / непрерывна на отрезке [а, 6], то
она ограничена на нем.
Доказательство. Допустим, что / не ограничена на [а, Ь]. Тогда
для каждого натурального числа п найдется точка хп Е [а, Ь] такая, что
|/(а:„)|>п, п=1,2,--- A)
Последовательность {хп} ограничена (а и Ъ — числа) и из нее можно
выделить подпоследовательность {жП/г}, сходящуюся к некоторой точке
*) О числе точек разрыва монотонной функции см. конец § 9.5.
**) Подчеркнем, что у отрезка [а, Ь] всегда его концы — конечные числа
(точки).
§4-4- Функции, непрерывные на отрезке 99
a Е [а, Ь] (см. предыдущую лемму и теорему 1 из § 3.7). Но в точке а
функция / непрерывна и потому *)
lim f(xnk)=f(a). B)
Но свойство B) противоречит свойству A). Поэтому / может быть толь-
только ограниченной на [а, Ь].
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (а, Ь) или на
полуинтервале [а, Ь) или (а, Ь], то она не обязательно ограничена на нем.
Например, функция 1/х непрерывна на полуинтервале @,1], но не огра-
ограничена на нем. Если эту функцию доопределить, положив /@) = 0, то
она будет конечной в любой точке отрезка [0,1], однако не ограни-
ограниченной на нем.
Теорема 2. Непрерывная на [а, Ь] функция / достигает в
некоторых точках отрезка [а, Ь] своих максимума и минимума, т.е.
существуют точки а и /3, принадлежащие [а, Ь], для которых имеет
место
min f(x)=f (a), max f(x) =
?[b] ?[b]
Таким образом, /(а) ^ f(x) ^ /(/?) для всех х Е [а, Ь].
Доказательство. По предыдущей теореме непрерывная на [а, Ь]
функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым
числом К:
f(x)^K, хе[а,Ъ].
Но тогда существует точная верхняя грань / на [а, Ь]:
sup /О) = М. C)
Число М обладает следующим свойством: для любого натурального
числа п найдется на [а, Ъ] точка хп такая, что
М - - < f(xn) < М, п = 1,2,...
п
Последовательность {хп} как принадлежащая к [а, Ь] ограничена, и по-
потому из нее можно выделить подпоследовательность {хПк }, сходящуюся
к некоторому числу /3, которое заведомо принадлежит [а, Ь] (учесть лем-
лемму 1). Но функция / непрерывна в точке Д и потому lim^^oo f(xnk) =
= f(C). С другой стороны, М - ±- < f(xnk) ^ М, к = 1, 2,..., и
lim f(xn) = М.
*) Если а = Ъ (соответственно а = а), то в этой точке / непрерывна слева
(справа).
100 Гл. 4- Предел функции
Но так как f(xnk) может стремиться только к одному пределу, то
м = /(/?).
Верхняя грань C), таким образом, достигается в точке /3, т.е., как го-
говорят, функция f достигает в точке E своего максимума па отрезке
[а, Ь]. Мы доказали, что существует точка E Е [а, Ь], для которой
max /(ж) = /(/3).
Е[Ь]
Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но
его можно свести к доказательству первой части теоремы, учитывая, что
/(ж) = - max (-/(ж)).
] е[Ъ]
Замечание. Функция у = х непрерывна на интервале @,1) и
ограничена на нем; верхняя ее грань йир^^^д) х = 1 яе достигается,
т.е. нет такого хо Е @,1), для которого эта функция равна 1. Таким
образом, в доказанной теореме условие непрерывности / на замкнутом
(содержащем в себе оба конца а и Ь) отрезке существенно.
Очевидно, что sup^g arctgx = тг/2. Однако нет такого х на луче
х ^ 0, для которого функция arctgx принимает значение тг/2, и она не
достигает максимума на ж ^ 0. В данном случае условия теоремы не
выполняются: область задания непрерывной функции arctg x не огра-
ограничена.
Теорема 3. Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь]
и числа /(а) и f(b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на
интервале (а, Ь) имеется по крайней мере одна точка с такая, что
/(с) = 0.
Доказательство. Обозначим отрезок [а, Ь] через До- Разде-
Разделим До на две равные части. Если в середине До функция равна нулю,
то теорема доказана; если этого нет, то одна из половинок До такова, что
на концах ее наша функция принимает значения разных знаков. Обозна-
Обозначим именно эту половинку через Ai и разделим ее на две равные час-
части. Может случиться, что в середине Ai наша функция равна нулю, и
тогда теорема доказана. Если нет, то обозначим через Д2 ту из полови-
половинок, на концах которой / принимает значения разных знаков. Рассуждая
так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рассуждений на
точку с Е (а, 6), для которой /(с) = 0, и тогда теорема доказана, либо
получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга от-
отрезков Д]. D Д2 13 ..., на каждом из которых / имеет значения разных
знаков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем Дп, следова-
следовательно, и [а, Ь]. Очевидно, /(с) = 0, потому что, если допустить, на-
например, что /(с) > 0, то нашлась бы окрестность Uc точки с такая, что
для всех ж из [а, 6], принадлежащих Uc, функция f(x) была бы положи-
положительной, но этого не может быть, потому что при достаточно большом п
отрезок Дп С Uс, а / не сохраняет знак на Дп. Теорема доказана.
J..5. Обратная функция 101
Следствие. Если функция f непрерывна на [а, Ь], /(а) = А,
f(b) = В и С — произвольное число, находящееся между числа-
числами А и В (А ф В), то на интервале (а, Ъ) найдется по крайней
мере одна точка с, для которой /(с) = С.
Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на от-
отрезке [а, Ъ] функция принимает все промежуточные значения меж-
между ее значениями на концах отрезка [а,Ъ].
Доказательство. Определяем новую функцию F (х) = f(x) — С,
где С — константа — число, находящееся между А = f(a) и В = f(b).
Так как / — непрерывная на [а, Ь] функция, то и F — непрерывная на
[а, Ь] функция. При этом, очевидно, F принимает на концах отрезка [а, Ь]
значения, имеющие разные знаки. Тогда по доказанной теореме должна
найтись внутри [а, Ь] такая точка с, что F(c) = 0 или /(с) — С = 0, т.е.
f(c) = С. Это требовалось доказать.
Пример 1. Уравнение cos х — х = 0 имеет корень на интервале @, тг).
В самом деле, функция /(ж) = cos ж — х непрерывна на отрезке [0, тг] и на
концах его принимает значения разных знаков: /@) = 1, /(тг) = — A + тг).
Замечание. Для разрывной на [а, Ъ] функции доказанная теорема
вообще не имеет места, как легко видеть на примере функции
§ 4.5. Обратная функция
Зададим какую-либо функцию у = /(ж) на произвольном множес-
множестве чисел (точек на прямой) Е и обозначим через Е\ — f(E) образ Е
(см. § 1.3).
Каждому у G Ei приведем в соответствие множество всех х Е Е, для
которых у = f(x). Это не пустое множество, обозначим его через еу.
Таким образом, на Е\ определена функция х — (р(у), вообще говоря,
многозначная. Функция ср(у) называется обратной функцией по отно-
отношению к f(x).
Важно выделить тот случай, когда обратная функция однозначна.
Это всегда имеет место, если функция / строго монотонна, т.е. строго
возрастает или строго убывает на области Е своего определения.
Функция / называется строго возрастающей (убывающей) на Е,
если из того, что х'\х" Е Е и х' < х", следует, что f(xf) < f(x")
(соответственно f(xf) > f(xff)).
Если f(x) есть строго возрастающая (убывающая) функция на Е,
то обратная ей функция х = ц>(у), очевидно, также однозначная,
строго возрастающая (убывающая) на образе Е\ = f(E) функция.
В этом случае, очевидно, имеют место тождества:
<p(f(x))=x, хвЕ; f(<p(y))=y, уеЕг.
102 Гл. 4- Предел функции
При этом удобно обозначать обратную к / функцию символом f~1:
f-1f(x)=x, xeE; ff-\y)=y, ye El
Теорема 1. Пусть у = f{x) есть непрерывная строго возрас-
возрастающая на отрезке [а, Ь] функция и А = /(а), В = f(b).
Тогда образ [а, Ь] есть отрезок [А, В] и обратная к f функция
х = (р(у) однозначна, строго возрастает и непрерывна на [А, В].
В этой теореме можно заменить "возрастающая" на "убывающая",
и тогда в ее заключении надо заменить [А, В] на [В, А].
Доказательство. Пусть Е\ — /([а, Ь]). По условию А, В е Е\,
и так как функция / непрерывна на Е = [а, Ь], то и любая точка [А, В]
принадлежит Е\ (см. следствие теоремы 3 § 4.4 о промежуточных значе-
значениях непрерывной функции).
Если точка у не принадлежит [А, В], то вследствие строгой монотон-
монотонности / она не может быть образом какой-либо точки х Е [а, Ь]. Этим до-
доказано, что образ отрезка [а, Ь] при помощи / есть отрезок [/!,#]. То, что
обратная определенная на [А, В] функция х = (р(у) однозначна и строго
монотонна, следует непосредственно из строгой монотонности у = f(x)
на [а, Ь]. Остается доказать непрерывность х = (р(у) в любой точке
У о е [А, В].
Пусть уо есть внутренняя точка [А, В], т.е. уо Е (А, В). Ей, мы уже
знаем, соответствует единственная точка хо Е (а, Ь) такая, что уо =
= /(ж0) или хо = <рB/о).
Зададим положительное число е > 0, которое будем считать на-
настолько малым, что [хо — ?,жо + е] С [а, Ь], и пусть ?д = /(жо — ?)?
У2 = /(жо + в). Из строгой монотонности / следует, что для любого
У ? B/1,2/2) соответствующее значение ж = <рB/) принадлежит интерва-
интервалу (ж0 - ?,ж0 +е).
Таким образом, доказано, что для всякого достаточно малого г > 0,
именно такого, что [жо — ?, жо + е] С [а, 6], можно подобрать окрестность
B/1,2/2) точки 2/о такую, что |ж — жо| = \р(у) — <р(уо)\ < ? Для всех
2/ € B/1,2/2).
Сформулированное здесь свойство функции (р(?/) доказано для до-
достаточно малых г > 0. Но тогда оно, очевидно, верно и для любых
е > 0. Это свойство выражает тот факт, что функция (р(у) непрерыв-
непрерывна в точке у о.
Для концевой точки у0 = В соответствующая точка жо = Ъ = (р(уо)-
Полагаем х\ — Ъ — г > а, у\ — /(xi) и тогда, очевидно, будем иметь
|<рB/о) ~4>{у)\ <е длявсех ye B/i,2/o].
В этом же духе рассматривается случай уо = А.
Пример 1. Функция у = sin x непрерывна и строго возрастает на отрезке
[—тг/2, тг/2]. Образом этого отрезка посредством функции sin x является отрезок
[—1, +1]. На основании доказанной теоремы существует определенная на отрезке
[—1, +1] обратная к sin x однозначная непрерывная строго возрастающая функ-
функция х = i A^^1)
J..5. Обратная функция 103
Для функции у = sin ж, рассматриваемой на всей действительной оси, обрат-
обратная функция, как известно, уже многозначна:
х = Arcsin?/ = (— 1) arcsin у + &тг, к = 0, ±1, ±2,..., A)
т.е. каждому г/ ? [—1, +1] соответствует множество еу значений ж, определяемых
формулой A).
Теорема 2. Пусть у = /(ж) есть непрерывная строго возрас-
возрастающая на интервале (а, 6) функция, и пусть
A = inff(x), В = sup /(ж), же (а, 6), B)
где, в частности, может быть а,А = — оо, Ь,В = +оо.
Тогда образ (а, 6) есть интервал (А, В) и обратная к f функция
х = <рB/) однозначна, строго возрастает и непрерывна на (А, В).
Замечание. В этой теореме можно слова "возрастающая", "воз-
"возрастает" заменить на "убывающая", "убывает", но тогда образ (а, Ь)
будет (В, А).
Из определения числа В непосредственно следует, что если оно ко-
конечно, то точка у > В не может принадлежать образу /((а, Ь)). Но и
число В тоже не может принадлежать /((а, 6)), иначе существовала бы
точка х\ G (а, Ь) такая, что В = /(xi), и так как на интервале (а, Ь)
можно определить точку ж 2 > х\, то в силу строгой монотонности / мы
получили бы f(x2) > В = /(xi), что противоречит определению В.
Подобным образом доказывается, что и число А не принадлежит
/((а, &)), если оно конечно. Итак, образ f((a,b)) принадлежит (А, В).
Но на самом деле эти два множества совпадают. Действительно, пусть
у G (А, В). Тогда в силу определений B) должны найтись такие
Ж1,Ж2 G (а, 6), что
и вследствие строгого возрастания / должно быть х\ < Х2- Но функ-
функция / непрерывна на (а, 6), тем более на [х\, жг], и когда х пробегает от-
отрезок [xi, жг], сама она должна пробегать все значения между ^д и у2,
следовательно, и значение 2/.
Это значит, что существует значение х = ср(у) (единственное в силу
строгой монотонности/) такое, что у = f(x). Этим доказано, что образ
интервала (а, Ь) есть интервал (А, В) и что определенная выше функция
х = ip(y) есть обратная к / функция.
Функция if непрерывна в точке у, потому что ср можно также рассмат-
рассматривать как обратную функцию к функции /, определенной на указанном
отрезке [xi, #2], а к этой последней можно применить предыдущую тео-
теорему. Тот факт, что ср строго возрастает, очевиден. Теорема доказана.
Примечание. В теореме 2 интервалы (а, 6), (А, В) можно
соответственно заменить на полуинтервалы, например на [а, Ь), [А, В),
и тогда а и А — конечные числа.
104 Гл. 4- Предел функции
Пример 2. Пусть а > 0 и п — натуральное число. Арифметичес-
Арифметическим значением корня п-й степени из а называется положительное число, п-я
степень которого равна а. Это число обозначается так:
ЦЪ = а1/п. C)
Существование и единственность этого числа вытекает из следующих соображе-
соображений. Функция
У = хп D)
непрерывна и строго возрастает на полуинтервале [0, оо), образом ее является
точка полуинтервала [0, оо). На основании теоремы 2 и примечания к ней функ-
функция у = хп имеет обратную однозначную и непрерывную функцию х = (р(у),
0 ^ у < оо, строго возрастающую, равную нулю при у = 0 и стремящуюся
к +оо вместе с у.
Таким образом, каково бы ни было у ? [0, оо), существует единственное поло-
положительное число х = <р(у) такое,что ((р(у))п = у. Нотогда <р(у) = у ' п = yfy,
0 ^у < оо.
В частности, если считать у = а, то мы доказали существование и единствен-
единственность арифметического значения корня n-й степени из а (а ^ 0).
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции
Функция ах. Зададим положительное число а > 0. Если п —
натуральное число, то число ап определяется как произведение ап =
= а.. .а из п сомножителей, каждый из которых равен а, а число
а1/п — как арифметическое значение корня n-й степени из а.
Если теперь p/q (q > 0, р, q целые) есть рациональная дробь, то по
определению полагают
aP/q = (flp)i/g = (a1/^, а0 = 1. A)
Доказательство второго равенства в этой цепи и того факта, что это
определение приводит к тому же числу, если дробь p/q будет записана в
форме np/nq = p/q, где п — произвольное натуральное число, известно
читателю из элементарной алгебры.
Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Функ-
Функция ах определена пока на этом множестве. В курсе элементарной ма-
математики доказывается на основании только аксиом числа I-IV групп,
что имеет место свойство:
каковы бы ни были ж, у Е Q . Там доказывается также неравенство
ах < ау (х < у; x,yeQ, a > 1).
Но функцию ах можно доопределить на всех иррациональных
точках так, что определенная таким образом на всей действи-
действительной оси R продолженная функция, которую естественно обо-
обозначить снова через ах, будет непрерывной всюду на R. Больше
§4-6. Показательная и логарифмическая функции 105
того, для продолженной функции свойство B) выполняется уже
для всех j,|/gM.
Начнем с того, что докажем вспомогательное неравенство (Бернулли *)).
Если а > 1 и N — натуральное число, то а ' = 1 + А, где А > 0. Поэтому,
учитывая формулу бинома Ньютона, получим
а = A + А)^ > 1 + 7VA и a1/N - К (а - 1)/N.
Если теперь h есть произвольное положительное рациональное число, удов-
удовлетворяющее неравенствам 0 < h ^ 1, то можно подобрать такое натуральное
число N, что 1/(N + 1) < h ^ 1/N. Поэтому при а > 1
На основании этого неравенства, называемого неравенством Бер-
Бернулли, получим
аУ-ах = ах(ау~х-1) ^ 2ах(а-1)(у-х), x,yeQ, 0 < у-х ^ 1. C)
Зададим произвольное положительное рациональное число с и вве-
введем новое множество Q с, состоящее из всех х Е Q , которые удовлетво-
удовлетворяют неравенству х ^ с. Из C) следует:
ау-ах ^М(у-х), x,yeQc, 0<у-х^1, М = 2(a-l)ac, D)
где, таким образом, М есть константа, не зависящая от рассматривае-
рассматриваемых ж, у, но зависящая от с.
Следовательно,
|аж-а^| ^М|ж-2/|, x,i/GQc, \х - у\ ^ 1. E)
Пусть ж Е Qc, xn E Qc, xn ^ x; тогда
и, следовательно, имеет место
lim аХп = ах. F)
Так как с может быть любым числом, то мы доказали F) для любых
хп е Q, х е Q.
Я. Бернулли A654-1705) —швейцарский математик.
106
Гл. 4- Предел функции
Пусть теперь х ^ с — любое иррациональное число и хп Е Qc,
хп -4- х. На основании критерия Коши существования предела для лю-
любого г > 0 найдется такое JV, что
— , п,т> N.
Это показывает в силу E), что имеет место неравенство
М • —: = е, п,т> N,
ж
т.е. условие Коши для последовательности чисел аХп. Но тогда сущест-
существует предел этой последовательности, который обозначим через ах:
lim aXn = ах.
G)
Найденный предел не зависит от выбранной нами последователь-
последовательности хп —>• х. Ведь если хП1 — другая последовательность, для
которой хп — хП1 -4- 0, то
аХп — aXfli | ^ М\хп — хП11 -^ 0.
Итак, функция ах определена для любых х. Для рациональных х
посредством формулы A) и для иррациональных х формулой G).
Пусть теперь хну — любые действительные числа, \х — у\ ^ 1,
х ^ с, у ^ с, хп -> ж, уп ^ у, хп Е Qc, Уп ^ Qc- Тогда
_ а2/п| ^ М|жп — 2/п|, п = 1,2,... (8)
Перейдем в полученном неравенстве к пределу при п -4- оо. Так как
ау и функция |ж| непрерывна, то получим
аж, аУп
(9)
при 0 < \х — у\ < 1. Из неравенства (9) непосредственно следует,
что функция ах непрерывна для любого х < с, следовательно, и для
любого ж, потому что с можно считать произвольным.
Имеют место свойства:
ах < ау, если х < у, а > 1,
lim аж = 0, lim аж = +оо,
^г — ОО +
A0)
(И)
A2)
A3)
§4-6. Показательная и логарифмическая функции 107
Чтобы доказать эти свойства, будем исходить из того, что для рацио-
рациональных ж, у они известны из школьного курса элементарной алгебры.
Пусть Аи/i — постоянные рациональные числа такие, что ж < А <
< \i < у, и пусть хп,уп G Q — переменные такие, что хп —> ж, возрас-
возрастая, иуп -^ у, убывая. Тогда аХп < ах < а^ < аУп, а после перехода
к пределу ах ^ а < а^ ^ ау, и мы получили A1) и A0), потому что
0 < ам ^ ау. Свойства A2) следуют из того, что это верно в случае,
когда х —>• — оо или х —>• +оо, пробегая рациональные значения, и из
доказанной уже монотонности (см. A1)). Наконец, A3) следует из равен-
равенства аХп+Уп = аХпаУп после перехода в нем к пределу.
До сих пор мы считали а > 1. Если 0 < а < 1, то полагаем
— оо < х < +оо.
В этом случае свойство A3) функции ах и ее непрерывность сохраняют-
сохраняются, но теперь уже функция будет строго убывать. Наконец, полагаем
Iх = 1 A4)
для всех х.
Отметим еще, что при натуральном т
ахш = аха{ш-1)х = (ахJ а(
ax/rn =
поэтому для рационального числа p/q
= (ax/q)p = ax
Далее, если у — произвольное число и уп —>• у, где ^/п рациональные,
то
аху = lim аж?/- = lim (ах)Уп = (аж)^,
П^СХЭ П^СХЭ
и мы доказали, что аху = (ах)у.
Функция loga ж (а > 0, а/ 1). Пусть для определенности а > 1.
Тогда у — ах есть функция, непрерывная и строго возрастающая на всей
действительной оси. При этом
inf ax = 0, sup ax = +оо.
?( + )
Таким образом, функция ах отображает действительную ось (—оо, +оо)
на открытую полуось @, +оо), и обратная к ней функция по теореме 2 §4.5
108 Гл. 4- Предел функции
однозначна, строго возрастает и непрерывна на @, +оо). Эта функция
называется логарифмом у при основании а и обозначается так:
Из сказанного следует, что (мы заменяем у на х)
lira log x = +оо, lira log x = — oo.
x>0
При a < 1 рассуждения аналогичны. Функция ах также отображает
действительную ось (—оо, +оо) на полуось @, +оо), но строго убывая.
Обратная функция loga ж, определенная на @, +оо), также будет строго
убывать, и теперь
lim loga x = —оо, lim loga x = +оо.
х>0
Имеют место тождества (а / 1, а > 0)
aioga х _ х (^о < х < +оо), loga ах = х (—оо < х < +оо).
Отсюда на основании свойств функции ах при х,у > 0 имеем
a\oga(xy) _ Ху _ aloga х aloga у _ aloga
Если в этом равенстве заменить х на х/у, то получим
'7*
loga х - loga ?/ = loga - ,
Далее,
aloga хУ = ху = (aloga ху = ау\оёа х^ х>{)^
поэтому
loga ху = у loga ж, а т^ 1, а > 0, ж > 0.
Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел а и Ъ
имеет место
aloga ЪЛо%ъ а _ (aloga byogb a
§4-7- Степенная функция х
109
и, следовательно,
Логарифм числа а при основании е называется натуральным лога-
логарифмом числа а и обозначается так: loge a = In a.
§ 4.7. Степенная функция хъ
Здесь Ъ — постоянная, а ж — переменная. При любом Ъ эта функция
во всяком случае определена на положительной полуоси х > 0 (ведь
в § 4.6 мы обосновали определение числа ах, где а > 0 и х произвольно).
Имеет место формула (см. § 4.6)
хь =
х > 0,
A)
с помощью которой свойства степенной функции можно вывести из из-
известных уже нам свойств показательной и логарифмической функций.
У1
1
0
.4.2
// у
\ /
\ /
>уу7/|
/////1
f У / / i
/ У У / I
1У У У 1
л^У^У i
1
/b=l
1
^* 2
J_
4
У'
1
0
^-^ -1 -3
/1
1
Ъ=1
щ J,
X
Рис. 4.11
Рис. 4.12
Очевидно, хъ есть непрерывная функция. При Ъ > 0 она строго возрас-
возрастает и обладает свойствами
lim хъ = 0, lim хъ = +оо.
При Ь > 0 естественно считать, что 0ь = 0; тогда функция хъ делает-
делается непрерывной справа в точке х = 0.
При Ь < 0 функция жь непрерывна и строго убывает на положитель-
положительной полуоси и обладает свойствами
lim хъ = +оо, lim хъ = 0.
110 Гл. 4- Предел функции
Формула A) влечет характеристическое свойство степенной функ-
функции:
(xy)b = xby\ х,у>0.
На рис. 1.2 и рис. 4.11, 4.12 приведены графики функции у = хь,
х > 0, для нескольких положительных и отрицательных значений Ъ.
Степенная функция х имеет смысл как действительная функция и
для отрицательных ж, если Ъ — целое или рациональное p/q, где q нечет-
нечетное.
§ 4.8. Еще о числе е
В § 3.5 рассматривалась функция
от целого аргумента п и было показано, что если п —> оо, пробегая нату-
натуральные числа, то а(п) стремится к пределу, который был назван чис-
числом е. Но функция а(п) определена на самом деле для произвольных
действительных значений п, исключая п Е (—1,0]. Мы покажем, и это
важно для приложений, что
lim a(n) = е, A)
п—>-оо
где предел понимается как предел функции а(п), определенной для ука-
указанных п.
Чтобы доказать A), достаточно убедиться в том, что A) верно в двух
случаях: когда п —>- +оо и когда п —>- — оо, пробегая не обязательно
целые значения.
Если п — положительное действительное число и [п] — его целая
часть, топ < [п] + 1 ^ п + 1 и очевидно, что
<е 1 +
При п -^ +оо, очевидно, [п], [п] + 1 -4- +оо, откуда первый и последний
члены цепи стремятся к е. Поэтому
Ц— I -^ е, п -^ +оо,
ч п J
и так как при этом l + 1/n —> 1, то мы доказали A). Пока для п —> +оо.
§4-9. 111
111
Если теперь п —>• — оо, то m = — п —>• Н-оо и
l\n
lim ( 1 + - I = Hm ( 1 - —
> — oo V Til m^ + oo \ 777/
т— 1
1+
771—1
т.е. доказано A) и при п -4- — оо. Но тогда верно A).
Полагая h = 1/п, получим еще
= lim
-} =е.
4.9. lim
Целью этого параграфа является доказательство того, что
lim = 1. A)
x^O X
Функция ф{х) = (sin ж)/ж определена для всех значений х^О.
Пусть 0 < ж < тг/2; тогда (рис. 4.13) sin ж < ж < tgx, потому что
половина хорды, стягивающей дугу
окружности, меньше половины дуги,
которая в свою очередь меньше поло-
половины длины, объемлющей дугу лома-
ломаной. Тогда 1 < ж/(sin ж) < l/(cosx),
или
sin ж
У
cos ж <
< 1.
B)
Рис. 4.13
Эти неравенства, очевидно, верны не
только для положительных, но и для
отрицательных ж, удовлетворяющих
неравенствам 0 < |ж| < тг/2, в силу четности входящих в B) функций.
Функция cos ж непрерывна (см. § 4.2, пример 6), поэтому
lim cos ж = cos 0 = 1.
Перейдем в соотношениях B) к пределу при ж —>• 0. Пределы левой и
правой частей B) равны 1, поэтому существует и притом равный 1 предел
средней части B).
112 Гл. 4- Предел функции
§ 4.10. Порядок переменной,
эквивалентность (асимптотика)
Говорят, что / на множестве точек Е имеет порядок ср или что /
есть О большое от ср на Е,н пишут при этом
f{x) = О(ф)) на Е, A)
если
\f{x)\ < С\ф)\ на Е, B)
где С — не зависящая от х положительная константа.
В частности, равенство f(x) = 0A) на Е обозначает тот факт,
что / на Е ограничена.
Очевидно, если /(ж) = O(cpi(x)) на Е и y>i(x) = 0(ср2(х)) на Е, то
/()О(())Е
Пример 1. sinx = О(х) на (—оо, +оо).
Пример 2. х = О(х ) на [1,оо] (но не на [0,1]); при этом х и ж здесь
переставить местами, очевидно, нельзя. С другой стороны, х = О(х) = ОA)
на [0,1].
Мы будем писать
f(x) = o((p(x)), х -+ а, C)
и говорить, что функция / есть о малое от ip при х —> а, если
/М=Ф)*), (з')
где функция г (ж) ^0 (х -^ а).
Мы также будем писать
f(x)=O(<p(x)), x^a, D)
если существует окрестность U(a) точки а (конечной или бесконечной)
такая, что
xeU(a), хфа. D;)
Само собой разумеется, что определение C) так же, как и D), предпо-
предполагает, что обе функции / и ср определены на некоторой окрестности
точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Если на некото-
некоторой такой окрестности (исключая точку а) (р(х) ф 0, то определения C)
и D), очевидно, эквивалентны следующим: говорят, что / есть о малое
от ср при х —>• а, если
lim ^4 = 0, E)
§4-10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 113
и/ есть О большое от ср при ж —>• а, если существует окрестность U (а),
на которой, за исключением точки а, отношение f(x)/cp(x) ограничено.
Можно считать, что стремление х к а происходит только слева (х < а)
или справа (ж > а), и тогда для бесконечной точки в первом случае
надо считать, что х —>• +оо, и во втором, что х —>• — оо. Конечно, под
окрестностью а понимается тогда левая или соответственно правая ее
окрестность.
Наконец, можно считать в C), D), что х стремится к конечному или
бесконечному пределу а, пробегая определенную последовательность
ЖЬЖ2,. . .
Очевидно, что если /(ж) = о(ср(х)) (х —> a), a ip(x) = о(гр(х))
(х —>• а), то f(x) = о(ф(х)) (х —>• а), потому что
/(ж) = г(ж) <р(ж) = г(ж) si(x) ^(ж) = г2(х) ф{х),
где ^2 (х) = е(ж) ei (ж) ^0 (х —> а), так как е(ж) -4- 0 и si (ж) -4- 0.
Пример 3.
1) хп = о(ех) (х -+ +оо), п = 1, 2, 3,...;
2) ж2 = о(ж) (ж ->> 0);
3)ж = о(х2) (х -> оо);
4) In ж = о(х) (х -^ +оо);
5)x = O(sinx) (ж->()).
Говорят, что функции/i (ж) и /2(ж) эквивалентны (равны асимп-
асимптотически) при ж -4- а, и пишут
если обе они определены и не равны нулю на некоторой окрестности точ-
точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если
= 1. F)
Здесь относительно стремления ж к а можно согласиться так же, как и
выше.
Теорема 1. Для того чтобы две функции fi(x) и /2(ж) были
эквивалентными (равными асимптотически) при ж —> а, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись свойства
h(x) = /2(ж) + о(/2(ж)) (ж -> а),
/()^0 (^)
114 Гл. 4- Предел функции
Доказательство. Из F) следует, что
= 1 + s(x), s(x) -^ 0, х —> а,
откуда
т.е. справедливо G).
Обратно, пусть имеет место G). Тогда
h(x) =f2(x)+e(x)f2(x),
где е(х) —> 0, х —> а. Отсюда
и после перехода к пределу при х —>• а получим F).
Заметим, что если /i(x) « /2(ж), ж ^ а, то, очевидно, и обратно
/г(ж) ~ /i(x), ж ->> а.
Теорема 2. Пусть в окрестности точки а, за исключением,
быть может, ее самой, заданы три функции fi(x), /2(х) и А(х).
Если fi(x) « /2(ж) прг/ х —>• а, то
Ит (/!(Ж) Л(Ж)) = Ит (/2(Ж) Л(аО) - (8)
ж^^а ч 7 ж^^а
Это равенство надо понимать в том смысле, что если существует
предел правой его части, то существует также, и притом ему
равный, предел левой части, и обратно.
Отсюда следует, что если один из пределов не существует, то не су-
существует и второй.
Доказательство. Пусть существует предел, стоящий в правой
части (8), равный А. Тогда, очевидно,
lim (Д(Ж) Л(оО) = lim ^\ lim (f2(x) A(x)) = 1 • А = А.
Аналогично доказывается существование предела правой части (8) и ра-
равенство (8), если известно, что существует предел левой части (8).
Доказанная теорема очень проста, и в то же время она весьма важна.
Для применения ее на практике надо знать побольше случаев эквива-
эквивалентных пар функций.
Ниже мы приводим ряд таких случаев.
§4-10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 115
1) sin ж « ж (ж —> 0), потому что lim ^-^ = 1.
ж^О х
2) 1 — cos х « | х2 (х —> 0), потому что
, 1-cosx , 2sin2§ i 2(§J 1
lim ъ = lim тг^- = lim 9 = - .
^ 2 X2 2
Второе равенство в этой цепи верно на основании теоремы 2 в силу
того, что sin(x/2) « ж/2 (ж -4- 0).
3) eh — 1 « ft, (ft —> 0), потому что если положить е'1 — 1 = z, то
е'1 = 1 + 2, ft = 1пA + г)и
е^ _ 1 г 1 1
lim — = lim -—- = lim — ——г- = -— = 1.
fi->o ft z^o ln(l + z) z^o ln(l + zI/^ In e
При этом предпоследнее равенство верно, потому что In и есть функ-
функция, непрерывная для и > 0 и, в частности, в точке и = е.
4) 1пA + г&) « IX (п —> 0), потому что
и^О и
5) \/1 + и — 1 « ^ (и -^ 0), п = 1, 2,..., потому что
к-2)/™+.. .+i]
Учесть, что функция A + и)а непрерывна в точке и = 0.
6) tg х « ж (ж -4- 0), потому что
tga: /sin ж 1 \
lim -2— = lim • = 1,
^О X х^0\ X СОвЖ/
1,
так как cos ж — непрерывная функция.
Например, в силу 2) и 5) и теоремы 2
(9)
Полезно следующее определение. Если для функции ip(x) можно по-
подобрать числа ант, где а / 0, такие, что ip(x) « ажт, ж -4- 0, то го-
говорят, что функция ах171 есть главный степенной член функции ц>(х).
Очевидно, что числа а, т однозначно зависят от функции ip(x).
116 Гл. 4- Предел функции
Правые части асимптотических равенств 1)-6) суть, очевидно, глав-
главные степенные члены левых частей. Общие методы нахождения главных
степенных членов в более сложных случаях основаны на применении фор-
формулы Тейлора (см. далее § 5.11, примеры 3, 4, и § 5.14).
Если ах171, (Зхп (а,/3^0) суть главные степенные члены соответ-
соответственно функций ip и ф, то на основании теоремы 2
{а
—, т = п,
Г) т > п
и, т > n,
оо, т < п.
Это рассуждение в частном случае было проведено при вычислении пре-
предела (9).
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 5.1. Производная
Перед чтением этой главы мы рекомендуем читателю прочесть еще
раз § 1.5, где говорилось о том, как возникает понятие производной.
А сейчас мы начинаем сразу с формального определения производной.
Производной от функции f в точке ж называется предел, к которо-
которому стремится отношение ее приращения Ау в этой точке к соответству-
соответствующему приращению Ах аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Hm ; . A)
х Аж^О Ах
Заметим, что при фиксированном х величина д^ есть вполне опреде-
определенная функция от Ах:
Если функция / определена в некоторой окрестности точки ж, то функция
ф(Ах) определена для достаточно малых, не равных нулю Ах, т.е. для
Ах, удовлетворяющих неравенству 0 < |Аж| < 5, где S — достаточно
малое положительное число. При Ах = 0 она заведомо не определена.
Вопрос о существовании производной функции / в точке х эквивалентен
вопросу о существовании предела функции гр(Ах) в точке Ах = 0.
Теорема 1. Если функция / имеет производную в точке х,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из существования конечного предела A)
следует, что
где г (Ах) —>• 0 при Ах -4- 0. Отсюда
Ay = f'(x)Ax + г(Аж)Аж = f'(x)Ax + о(Аж), Аж -^ О,
и
lim A?/ = О.
118 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
А это последнее равенство выражает то, что функция / в точке ж непре-
непрерывна.
Утверждение, обратное теореме 1, не верно: если функция / непре-
непрерывна в точке ж, то отсюда не следует, что она имеет производную в этой
точке (см. ниже).
Говорят, что функция / имеет в точке ж бесконечную производ-
производную, равную +оо или — оо (случай оо исключается), если в этой
точке /'(ж) = Нтдж^о д^ = +оо или соответственно /'(ж) =
Наконец, введем понятия правой vi левой производной от функции /
в точке ж:
f'+(x)= Hm ^=^@
дж^о Дж
Аж>0
= Hm
дж^о
Аж<0
Для того чтобы существовала производная /'(ж), очевидно, не-
необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f в
точке х справа и слева и были равны между собой, тогда автома-
автоматически они равны /'(ж).
Это утверждение верно также, если в нем термин "производная" за-
заменить на "бесконечная производная".
Функция, изображенная на рис. 5.1, а, имеет производную в точ-
точке жо — график в этой точке имеет (см. § 1.5) касательную (единствен-
(единственную). Функция, изображенная на рис. 5.1, б, не имеет производной, но
существуют /+(жо) и ff_(xo), не равные друг другу. Функции, изобра-
изображенные на рис. 5.1, в, г, имеют бесконечные производные /'(жо) = +оо
и /'(жо) = —оо соответственно, а функции на рис. 5.1, д, е, не имеют про-
производных в точке жо. В случае рис. 5.1, д, f'_(xo) = +оо, /^(жо) = — оо,
а в случае рис. 5.1, е, f'_(xo) = —оо, /^(жо) = +оо.
У
у
х0
а
х 0
х0
б
у
У
х0
в
Рис. 5.1
У |
1
У
х0
г
х0
д
х 0
х0
е
Надо иметь в виду, что производная от функции в точке ж есть функ-
функция от ж. С этой точки зрения обозначение /'(ж) является весьма удоб-
удобным, f'(a) обозначает число — производную от функции / в точке а.
§5.1. Производная
119
В § 1.5 были выведены формулы A)-C) производной от жп, п —
= 0,1,..., от sin ж и cos ж. Ниже выводится производная от показа-
показательной функции аж, а > 0:
(ахУ = Hm
ax+h _ax
п. xah-l
= hm a = a hm
ft
1
->ologa(l
logae
= ax\na. B)
Здесь мы воспользовались подстановкой ah — 1 = z -4- 0 (ft- -4- 0)
и тем фактом, что функция loga и для и > 0, в частности при и = е,
непрерывна.
Если в последнем равенстве положить a = е, то получим
C)
Рассмотрим функцию (рис. 5.2)
у= х\ =
гр гр > Г)
Оу , Оу -^ У),
-ж, ж < 0.
При ж = 0
Ау
Ах
|0
h
_ \h\ Г
ft \
1,
-1,
ft
ft
ft^O,
ft^O.
Производная от |ж| в точке ж = 0 не существует, потому что правая про-
производная в этой точке отлична от левой;
в остальных точках производная от |ж| су-
существует и равна
У
= sign ж =
ж>0,
ж < 0.
Из рассмотрения графика видно, что
функция |ж| непрерывна для любого ж, в том
числе и в точке ж = 0. Это видно также из
следующих выкладок:
ж + ft| —
ж + ft — ж| = |ft| —>• 0, ft —>• 0.
Функция |ж| интересна тем, что она непрерывна для любого ж, но име-
имеется такое значение ж, именно ж = 0, для которого она не имеет производ-
производной. В точке ж = 0 графика этой функции не существует касательной.
120 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Пример функции |ж| показывает, что обратное теореме 1 утвержде-
утверждение не верно.
В математике известны примеры функций /, непрерывных на отрезке
[а, Ь] и не имеющих производной ни в одной точке этого отрезка (функция
Вейерштрасса). Их графики невозможно нарисовать, но они могут быть
заданы с помощью некоторых формул. Эти примеры мы не приводим
здесь.
Пример 1. Функция
„, ч ГО для рациональных х,
f(x) = i 2
^ х для иррациональных х
разрывна во всех точках ж^О, но в точке х = 0 имеет производную /'@) = О,
потому что для h рациональных ^ ' -^ ^ ' = —^— = 0 и для h иррациональных
Пример 2. Функция
уг(ж) = J ^sin" ПРИ ж^0,
(^ 0 при х = О
непрерывна на (—оо, +оо); для всех х ф 0 она имеет производную, но в точ-
точке х = 0 она не имеет даже правой производной и левой, потому что величина
•^ ' h ^ ' = sin -^ не имеет предела, когда h —>• 0, оставаясь положительным
или отрицательным.
Если функции и(х) и v(x) имеют производные в точке ж, то их сумма,
разность, произведение и частное (при условии, что v(x) ф 0) имеют
производные и справедливы равенства
(u±v)' = u'±v', D)
{uv)r = uvf + u'v, E)
u\' vu'-uv'
*° F)
Доказательство D) приведено в § 1.5. Докажем E), F). Придадим
независимой переменной х приращение Ах. Пусть соответствующие
приращения и и v будут Аи и Av. Тогда
, ч/ л A(uv) л (и + Au)(v + Av) — uv
(uv) = lim —^—- = lim -±- =
Аж^О Ах Аж^О Ах
Av .. Аи .. Аи Л , ,
= lim и — h nm v — h lim —— Av = uv + vu ,
АО Ах Аж^О Ах Аж^О Аж
потому что из того, что v имеет производную, следует, что она непрерыв-
непрерывна, т.е. что Av —> 0 при Ах —> 0.
§5.2. Дифференциал функции 121
В частности, если С — постоянная, то (Си)' = Си' + Си = Си',
потому что С = 0.
Докажем F):
Аи Av
u\f I fu + Au u\ ^^
- = lim —— : = lim
vj Аж^о Ах уг' + Аг' vj Аж^о v(v-\-Av) v2
Несколько основных формул дифференцирования.
/IV x-l'-l-x' -1
1. - = 2 = -2"' Ж^°'
2 2
22'
\жу ж2 ж2
Более общая формула:
1 У _ жп • V - 1 • (ж71/ _ -пж71-1
Таким образом, справедлива формула
(х71)' =пхп~1, п = 0,±1,±2,..., G)
обобщающая формулу A) из § 1.5 на любые целые п.
Дальше мы увидим, что она остается верной и для нецелых п.
п f ч/ /sinxV cos ж (sin ж)' — sin ж (cos x)'
2. (tga;) = = 5 =
\ cos ж у cosz ж
cos ж у
cos ж — sin ж (—sin ж) 1 9
X' 8
cos ж cos ж — sin ж (—sin ж) 1 9
" " = ~ = SeC
2
COS^5 Ж
ч/ /совжЛ' sin ж (cos ж)'— cos ж (sin ж)'
3. (ctgrr)' = = ^ }—2 ^ L =
\ sin ж у smz ж
— sin2 ж — cos2 ж
sin2 ж
= — cosec2 ж. (9)
§ 5.2. Дифференциал функции
Если функция / имеет в точке ж производную, то существует предел
lim J?L=f'(x), Ay = f(x + Ax)-f(x).
^О Аж
Отсюда следует, что ^ = /'(ж) + г(Аж), где г(Аж) -^ 0 при Аж —>• 0.
Таким образом,
Д^/ = f'(x)Ax + г(Аж)Аж, г(Аж) -^ 0 при Аж ->> 0, A)
122 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
или
Ay = f'{x)Ax + o(Ax), Аж^О. A')
Если ввести обозначение А = /'(ж), то равенство A') можно запи-
записать следующим образом:
Ау = ААж + о(Аж), Ах -+ 0. B)
Говорят, что функция / дифференцируема в точке ж, если ее при-
приращение Ау в этой точке можно записать в виде B), где А — некоторая
константа, не зависящая от Ах (но вообще зависящая от х).
Из сказанного следует, что если функция f имеет в точке х про-
производную, то она дифференцируема в этой точке {А = ff{x)).
Верно и обратное утверждение: если функция f дифференцируема
в точке ж, т. е. ее приращение в точке ж представимо в виде B),
то она имеет производную в точке ж, равную числу А.
В самом деле, пусть приращение Ау в точке ж представимо в виде B).
Разделим обе части B) на Аж и перейдем к пределу. Тогда
lim -^- = А + lim o(l)=A.
Таким образом, для того чтобы функция f имела производную в
точке ж, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференциру-
дифференцируемой в этой точке.
Равенство B) показывает, что если А = /'(ж) ф 0, то приращение
функции эквивалентно при Аж —>• 0 первому слагаемому правой час-
части B):
Ау « ААж, Аж ->> 0.
В этом случае (когда А ф 0) член ААж называется главным линейным
членом приращения. Главный член линейно (точнее, пропорционально)
зависит от Аж. Приближенно, пренебрегая бесконечно малой о(Аж)
высшего порядка, при малых Ах можно считать Ау равным глав-
главному члену.
Главный линейный член приращения называют дифференциалом
функции / в точке ж (соответствующим приращению Аж независимой
переменной ж) и обозначают так:
dy = df = f'(x)Ax.
В целях симметрии приращение Аж независимой переменной обозна-
обозначают еще через dx, полагая, таким образом, Аж = dx. Это соглашение не
противоречит выражению dx = ж'Аж = Аж для дифференциала функ-
функции у — х от ж.
Таким образом, дифференциал функции / в точке ж запишется так:
dy = f(x)dx. C)
§5.2. Дифференциал функции
123
Из этого равенства следует, что производная от / в точке ж равна
/'(ж) = ^, т. е. она равна отношению дифференциала функции f
в точке х к соответствующему дифференциалу независимой пере-
переменной х.
Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной
не зависит от ж, он равен Ах — произвольному приращению аргу-
аргумента х. Что же касается дифферен-
дифференциала dy функции у (отличной от ж),
то он зависит от х и dx (см. C)).
Можно дать геометрическое пред-
представление указанных понятий.
Рассмотрим (рис. 5.3) график функ-
функции у = /(ж); А и В суть точки
графика, соответствующие значениям х
и х + Аж независимой переменной. Орди-
Ординаты точек Аи В соответственно равны
/(ж) и /(ж + Аж). Приращение функции
Ау = /(ж + Аж) — /(ж) в точке ж равно
длине отрезка BD и представляется в виде суммы Ay = BD = DC+CB,
где DC = tg a Ax = /'(ж) Ах и а есть угол между касательной в точ-
точке А к графику и положительным направлением оси ж.
Мы видим, что отрезок DC есть дифференциал функции / в точке ж:
0
А
-У/
А/
1
/
Ах
У .
с/
D
х ' х х+Ах х
Рис. 5.3
DC = dy = f(x)Ax.
D)
Таким образом, на долю второго члена G5 приращения Ау приходит-
приходится величина о(Аж). Эта величина при больших Аж может быть даже
больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем Аж, когда Аж —> 0. При /'(ж) ф 0 для всякого е > 0 мож-
можно указать такое S > 0, что при всех Аж, удовлетворяющих неравенству
| Аж| < S, имеет место неравенство CB/DC < г.
Отметим очевидные формулы:
d(u ±v) = (u± v)r dx = и1dx ± v'dx — du ± dv,
d(uv) = (uv)' dx = (m/ + u'v) dx = udv + v du,
, г; / V г;
v du — udv
V*
E)
F)
G)
Пример 1. Нужно прикинуть, сколько материала истрачено на изготов-
изготовление коробки кубической формы, если известно, что внутренний размер ребра
коробки равен 10 см, а толщина стенок равна 0,1 см.
Объем куба есть функция V(a) = а от длины его ребра а. Объем стенок
коробки определяется как приращение функции
AV = 1/A0 + 0,1) - 1/A0)
1/'A0)
• 0,1 = 0,1[За2]а=ю = 300 • 0,1 = 30(см3)
124 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
§ 5.3. Производная функции от функции
Теорема. Пусть задана функция от функции z = F(x) =
= f(ip(x)), где у = ip(x), z = f(y). При этом функция ip имеет
производную в точке ж, а функция f имеет производную в точке у.
Тогда существует производная от F в точке ж, равная
F'(x) = f'(y)<p'(x). A)
Доказательство. Так как функция / имеет производную в точ-
точке у, то она дифференцируема в этой точке (см. предыдущий параграф),
т.е.
Az = f'(y)Ay + e(Ay)Ay, г(Ау) -+ 0 при Ау -+ 0. B)
Будем считать, что е@) = 0. Равенство B) при таком соглашении
останется верным @ = ff(y)O + 0-0).
Зададим приращение Ах независимой переменной х. Оно влечет за
собой определенное приращение Ау функции у = (р(х), которое, в свою
очередь, влечет за собой приращение Az функции z = f(y), выраженное
через Ау по формуле B).
Но полученное число Az есть в то же время приращение функции
z = F(x), соответствующее взятому нами приращению Ах в точке х.
Разделив обе части равенства B) на Аж, получим
Перейдя теперь к пределу при Ах —> 0, получим производную
F'(x) = Hm ^ = f'(y) lim ^ + lim e(Ay) lim ^ =
Дж->о Ах Дж->о Ах Ду->о Дж->о Ах
Заметим, что соглашение е@) = 0 было сделано на тот случай, когда
при некоторых Ах ф 0 будет Ау = 0.
Формула A) может быть усложнена. Например, если z = f(y),
у = (f(x), x = ip(?) и все три функции имеют производные в соответ-
соответф
ствующих точках, то z't = z'yy'xx't.
Пример 1. Чтобы вычислить производную по переменной х от функции
z = cos (sin x ), вводим цепочку вспомогательных функций:
и = v3, v = sinw, w = x2.
Тогда
— = (cos uY(v У (sin w)f(x У =
ax
= — sin.uCv ) cosw • 2x = — 6xcosx sin x sin(sin x ).
§5.4- Производная обратной функции 125
Функции
ех - е~х
sh x = , ch x =
shx . chx
= —— , стж = ——
ch ж sh ж
называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом, танген-
тангенсом, котангенсом. Очевидно,
l D)
\) E)
, ./ chx (sh#)' — shx (chxY (chx) — (shx) 1
( j = = =
thxj (thxJ (chxJ (shxJ (shxJ '
§ 5.4. Производная обратной функции
Пусть на интервале (а, Ь) задана непрерывная строго монотонная,
т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция у = f(x).
Пусть образ (а, Ь) есть интервал (А, В). Тогда обратная к / функция
х = (р(у) есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (А, В)
функция (см. § 4.5).
Зафиксируем х Е (а, Ь) и дадим ему приращение (х + Ах Е (а, 6)).
Тогда / получит соответствующее приращение Ау (у,у + Ay E (А, 5))
такое, что у + Ay = f(x + Ах).
Наоборот, ip(y + А2/) = х + Дж.
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указан-
указанных Ах и Ау имеет место утверждение: из Ах —>• 0 следует А2/ —>• 0, и
обратно.
Пусть теперь функция <р в точке у имеет неравную нулю производ-
производную (р'(у). Покажем, что в таком случае функция / также имеет в соот-
соответствующей точке х производную. В самом деле,
Аж ~ "Ад7'
Ау
Так как из того, что Ах —>- 0, следует, что Ау —>• 0, то
lim -— = т— = .. ч ,
дж^.о /\х ,. L±% Ф (У)
и мы получили
f 1
; {х) = V?Y A)
126 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
или
dx dx' [ }
dy
Этим доказано, что если у = f(x) есть строго монотонная непре-
непрерывная функция их — ip(y) — обратная к ней функция, имеющая
в точке у производную (р'(у) ф 0, то функция f имеет в соответ-
соответствующей точке х производную, определяемую формулой A).
Может случиться, что в точке у Нтд^^о ^^ = оо. В этом случае,
очевидно, функция / имеет в точке х производную ff(x) = 0.
Если же 1ш1ду_>.о д^" = 0? т0 Для строго возрастающей функции
при этом ^ > 0, а для строго убывающей ^ < 0. В первом случае
f'{x) = +оо, а во втором f {х) = —оо.
Производная loga x. На основании доказанной теоремы, если
у = loga х, имеем
В случае натурального логарифма производная имеет особенно простой
вид
4
Этим объясняется, что в математическом анализе, по крайней мере в те-
теоретических рассуждениях, предпочитают рассматривать логарифми-
логарифмические функции по основанию е.
Функция In х как действительная функция определена только для
положительных значений х *).
Но можно рассматривать функцию In |ж|, которая определена как
для положительных, так и для отрицательных х. Ее график симметри-
симметричен относительно оси у, а для положительных х совпадает с графиком
In ж (рис. 5.4).
Функция In |ж| будет играть большую роль в интегральном исчисле-
исчислении. Ее производная при х ф 0 равна
(In \х\У = — signx = - , х/0,
X
X
где
Г 1 для х > 0,
sign ж = <
1—1 для х < 0
*) Для отрицательных х функция In x также может быть естественно опреде-
определена как комплексная функция. Но эти вопросы нас здесь не интересуют.
§5.4- Производная обратной функции
127
(см. далее § 8.1, второй пример таблицы неопределенных интегралов).
Для производной от степенной функции хп (х > 0), где п — любое
действительное число, имеет место формула
B)
обобщающая формулу A) из § 1.5.
Производные обратных тригонометрических
функций. Функция у = arcsin х строго возрастает на отрезке [— 1, +1]
У
Рис. 5.4
и отображает этот отрезок на [—тг/2, тг/2]. Обратная к ней функция х =
= sin у имеет производную (sin y)r = cos у, положительную на интервале
(—7г/2,тг/2). Поэтому
(arcsin ж)' =
(sin 2/)' cos у л/1 - sin2 у л/1-х2'
-1 < х < 1.
Здесь берется арифметическое значение корня (со знаком +). Следова-
Следовательно,
(arccosx) = arcsin ж =
-1 < х < 1.
Функция 2/ = arctg ж строго возрастает на действительной оси (—оо, +оо)
и отображает ее на интервал (—тг/2,тг/2). Обратная к ней функция
х = tgy имеет производную (tgy)' = sec2 у, не равную нулю на этом
интервале. Поэтому
(arctgx/ =
1
1
(tg y)f sec2 у l + tg2y
Упражнение. Доказать равенство
\
^, а) =
— оо < х < +оо.
128 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
§ 5.5. Таблица производных
простейших элементарных функций
(С)' = О (С — постоянная);
(хпУ = пжп-\ п = 0,±1,±2
(ах)г = \па • ах, а > 0;
(жа)' = ажа-\ ж>0;
aXy = 1^^, ж>0, а>0;
ж
' = -, ж>0;
х
)' фО
ж
(\х\У =signж =
(sin ж)' = cos ж;
(cos ж)' = — sin ж;
Упражнения.
Показать, что *):
1, х > 0,
-1, х < 0;
d
1. — v аж2 + Ъх + с = -
^ 2
2ax
с2 + Ьх + с
2. — In ж + у а2 +х2 ) = , .
dx \ J ^Ja2 + х2
3. ( arcsin - ) =
а
4. (arcsin-) = =р—. n
xj xVx2 - 1
= sec ж;
(^ж/ = — С08ес2ж;
(arcsin ж)' =
a-.
(агссовж)' = — -
a-ж
^'
1 + ж2'
)' = спж;
(chxY = вЬж;
, , w 1
1Ж) =
(сЬжJ '
(cthxY = - г
(shx)
2 '
(верхний знак соответствует х > — 1, а
НИЖНИЙ X <
5. (жж)
6.
7.
8.
(ln|t
*(
(|х|Р
-1)
arcs
)' =
( X \TlX\f _ Х(
ус j — х \
У г
sin ж cos ж
. ж ж /-Z
1П 1 о V «
a az
[р\хР-2х,
1 + 1дх!
,откуда
ж = 0
, ж
(¦»
(р
>о.
>1).
V :
)
/ 81ПЖ
*) Формулы 1-7 полезно иметь в виду при вычислении неопределенных
интегралов.
§5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка 129
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка
Производная от функции / есть снова функция. Поэтому можно по-
попытаться взять от нее производную. Полученная функция (если она су-
существует) называется второй производной от f(x) и обозначается че-
через f"(x). Таким образом,
По индукции производная f^n\x) порядка п определяется как первая
производная от производной f(n~1\x) порядка (п — 1):
f{n){x) = (/(-!)(?))'.
Конечно, производная n-го порядка от данной функции / в данной
точке х может существовать и не существовать.
Если говорят, что функция / имеет производную n-го порядка в точ-
точке ж, то этим самым утверждают, что она имеет в достаточно малой
окрестности точки х производную f(n~1\x) порядка (п — 1), которая
имеет производную в точке х. Эта последняя обозначается через /(п) (х)
и называется производной порядка пот/в точке х.
Функция жт, где т — целое положительное число, имеет на всей
действительной оси производную любого порядка
(хш)<п) = т(т - 1)... (т - п + l)xm~n.
Прип > т (жт)(п) = 0.
Степенная функция ха, где а — произвольное действительное чис-
число, имеет для х > 0 производную любого порядка п, определяемую по
аналогичной формуле
(ха)(") = а(а - 1)... (а - п + 1)ха-п. A)
Очевидно,
(ах)^ = Aпа)паж, -ос < х < +ос, а > 0, B)
и, в частности,
(еж)(п)=еж, -ос<ж<+ос. C)
Нетрудно проверить формулы
n) =sinhr + n| j, n = 1,2,..., D)
(n) = cos (ж + n- ), n = l,2,... E)
5 С.М.Никольский
130 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Если s = /(?) есть функция, выражающая зависимость прямоли-
прямолинейного пути, пройденного точкой, от времени ?, то вторая производная
s" = fff(t) есть ускорение точки в момент t. В дальнейшем мы увидим,
что знание второй производной от функции имеет большое значение при
изучении поведения графика этой функции.
Формула Лейбница. Если функция / = uv, где и, v —
в свою очередь функции, имеющие в некоторой точке производные
порядка п, то f имеет производную п-го порядка в этой точке,
выражаемую по формуле Лейбница:
/(«) = uv(n) + С-l^Cn-l) + С2м,уп-2) + _ _ _ + u(n)v =
= Y,Clnu^v^~l\ F)
1=0
где С1п — биномиальные коэффициенты, и^ = и (см. § 5.9, F) и G)).
Доказательство этой формулы проводится по индукции.
При п = 1 она очевидна. Если предположить, что она верна при п, то
ее верность при п + 1 получается из следующих выкладок:
dx i=o i=o
1=0 s=l 1=0
J1] + cln) M(ov(n+i-o
n+l
=0
таккакС°+1 = C°n = C% = C^l = 1 и Cln+1 = Cln+Cl-\ l = l,...,n.
Во втором равенстве переменный индекс I заменен на s = I + 1, а в
третьем — переменный индекс s формально заменен на I.
Пример 1.
(xsinx)
A00) =xsin(x + 100| j +100- 1-sinf ж + 99^ j = x sin ж- 100 cos ж.
Рассмотрим функцию у = /(ж), заданную на некотором интервале
(а, Ъ). Ее можно бесконечным числом способов записать в виде
y = <p(ip(x))=f(x), хе(а,Ъ). G)
§5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка 131
Ниже будем употреблять следующую терминологию: переменная у
есть функция (у = f(x)) от независимой переменной ж; эта же са-
самая переменная у есть функция от зависимой переменной и (у =
= (р(и), и ф х). Последняя зависит от независимой переменной х
(и = ф{х)). Таким образом, роль переменной х здесь носит исключи-
исключительный характер — она в этих рассуждениях будет фигурировать
только как независимая переменная.
Дифференциал функции будем называть дифференциалом первого
порядка, в отличие от дифференциалов второго, третьего и вообще выс-
высшего порядка, которые мы собираемся ввести ниже.
Как мы знаем, первый дифференциал от / определяется по формуле
dy = f(x)dx, (8)
где х — независимый аргумент.
С другой стороны,
dy = f'(x) dx = ip'(u) ф'(х) dx = ip'(u) du, (9)
и мы выразили первый дифференциал dy через и.
Равенство (9) замечательно вот с какой точки зрения. Мы опреде-
определили дифференциал dy функции у как произведение производной от у по
независимой переменной х на дифференциал dx. Оказывается, что dy
можно определить так же, как произведение производной от у по зависи-
зависимой переменной и на дифференциал du. При этом имеют место равенства
dy = y'xdx = y'u du, A0)
если, конечно, дифференциал du, стоящий в третьем члене A0), соответ-
соответствует именно тому dx, которое стоит во втором члене A0).
В этом смысле говорят, что форма dy = ip' (и) du записи первого диф-
дифференциала инвариантна относительно любой переменной и. Для
дифференциалов второго и более высокого порядка инвариантность уже
не имеет места.
Дифференциалом функции второго порядка называется дифферен-
дифференциал от дифференциала первого порядка:
d2y = d(dy).
Вообще, по индукции дифференциалом п-го порядка называется
дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка:
dny = d(dn-1y).
132 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
При этом при вычислении этих дифференциалов считают, что дифферен-
дифференциал от дифференциала независимой переменной равен нулю:
сРх = d{dx) = О,
т. е. dx рассматривается как постоянная.
В терминах переменной х дифференциалы высшего порядка вычис-
вычисляются очень просто:
dy = ff(x)dx,
d2y = d(f'(x)) dx = f"(x) dxdx = f"(x) dx2,
y = d{f^n-1\x) dx71-1) = f^n\x)dxn-1 • dx = f(n\x)dx
Таким образом, дифференциал n-го порядка от функции / равен произ-
произведению производной n-го порядка по независимой переменной х на п-ю
степень дифференциала dx:
Отсюда следует, что
т.е. п-я производная от / равна отношению n-го дифференциала от / к
степени (dx)n.
Выражением ^—| широко пользуются для обозначения n-ой произ-
производной /(п) (х) по независимой переменной х.
Формальная замена в формуле A1) независимой переменной х на за-
зависимую и, вообще говоря, неверна, как это будет видно ниже.
Пусть теперь первый дифференциал от у выражен через зависимую
переменную и:
dy = f(u)du.
Тогда
d2y = df'(u) • du + f'(u) d(du) = f"(u) du2 + f(u)d2u. A2)
Здесь d2u равно нулю только в случае, когда и есть линейная функ-
функция (и = ах + 6, а, Ъ — константы).
Таким образом, вообще говоря, d2u ф 0.
Третий дифференциал от у в терминах переменной и имеет, очевидно,
вид
d3y = f'"(u) du3 + f"{u) d(du2) + f"{u) dud2u + f'(u) d3u =
= f'"{u) du3 + 2f"(u) dud2и + f"{u) dud2и + f'(u) d3u =
= f'"(u) du3 + 3f"(u) dud2и + f'(u) d3u.
Мы видим, что выражения для дифференциалов с повышением их
порядка сильно усложняются.
§5.7. Возрастание и убывание функции 133
§ 5.7. Возрастание и убывание функции
на интервале и в точке. Локальный экстремум
Функция / называется строго возрастающей па интервале (а, Ь)
(или отрезке [а, Ь]), если для любых точек Ж]_,Ж2 из (а, Ь) (или [а, Ь]),
удовлетворяющих неравенству ж 1 < Ж2, имеет место неравенство/ (ж i) <
< /ы.
Функция / называется неубывающей на (а, Ь) (или [а, Ь]), если из
того, чтоxi, X2 Е (а, Ь) (или [а, 6]) и Ж1 < ж 2 следует, что f{x\) ^ /(#2)-
Аналогично, функция / называется строго убывающей, соответ-
соответственно невозрастающей на (а, 6) (или [а, 6]), если из того, что х\ < Х2
и xi, X2 Е (а, Ь) (или [а, 6]), следует, что f{x\) > /(#2)? соответственно
f(xi) > f(x2).
Пусть функция / определена в некоторой окрестности точки х. Тогда
для достаточно малых Ах имеет смысл ее приращение в точке х:
Ay = f(x + Ax)-f{x).
По определению функция /:
1) возрастает в точке х, если существует S > 0 такое, что
^ > 0, 0 < |Аж| < 6; A)
/\х
2) убывает в точке ж, если существует 5 > 0 такое, что
^ < 0, 0 < |Дж| < 6; B)
3) достигает локального максимума в точке ж, если существу-
существует S > 0 такое, что
Ау ^ 0, \Ах\ < 5; C)
4) достигает локального минимума в точке ж, если существу-
существует 5 > 0 такое, что
Ау ^ 0, |Аж| < S. D)
Подчеркнем, что все неравенства A)—D) должны соблюдаться для
достаточно малых Аж, положительных и отрицательных.
Указанные четыре свойства можно еще выразить так: для всех точек
х' G (ж — 5, ж) и для всех точек х" Е (ж, ж + 8) имеет место:
1) f(x') < f(x) < fix");
2) fix') > fix) > fix");
и для всех точек х' Е (ж — 5, ж + 5):
3) fix') ^ fix);
4) fix') > fix),
134 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
т.е. в случае 3) значение / в точке ж является максимальным в до-
достаточно малой окрестности жив случае 4) значение / в точке ж
является минимальным в достаточно малой окрестности х.
Локальные максимум или минимум называют локальным экстрему-
экстремумом.
В дальнейшем нас будет интересовать вопрос, как узнать, что име-
имеет место тот или иной из приведенных четырех случаев, если известны
производные от / первого или более высокого порядка в точке х или по
соседству с ней.
Допустим, что функция / в точке х имеет положительную производ-
производную: Нтдж^о д^ = f (х) > 0- Таким образом, величина д^, являю-
являющаяся при фиксированном х функцией от Ах, стремится к положительно-
положительному числу. Но тогда (см. теорему 2 § 4.1) и сама эта величина должна быть
положительной для всех Ах, удовлетворяющих неравенству | Ах\ < 5,
при достаточно малом 5, т.е. согласно определению 1) функция / в точ-
точке х должна возрастать.
Аналогично доказывается, что если ff{x) < 0, то / убывает в точ-
точке х. Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Если функция f в точке х имеет положитель-
положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает)
в этой точке.
Из этой теоремы немедленно следует
Теорема Ферма. Если функция f достигает в точке х ло-
локального экстремума (максимума или минимума) и в ней сущест-
существует производная ff(x), то последняя равна нулю (ff(x) = 0).
В самом деле, если бы ff (х) ф 0, то в силу предыдущей теоремы
функция должна была быть возрастающей или убывающей в точке ж,
что исключает возможность существования экстремума функции в этой
точке.
Эту теорему можно сформулировать и так:
Для того чтобы функция /, имеющая в точке х производную,
достигала в ней локального экстремума, необходимо, чтобы произ-
производная от f в этой точке была равна нулю.
Конечно, условия f (х) = 0 недостаточно, чтобы функция имела в х
локальный экстремум. Если /'(ж) = 0, то функция / может не иметь
локального экстремума в точке х. Она может в этой точке возрастать,
как это имеет место, например, для функции х3 при х = 0, убывать
(например, f(x) = —ж3 при х = 0), а может точка ж и не быть ни точкой
возрастания, ни убывания, ни точкой экстремума функции. Например,
функция
J ж2 sin-, ж ф 0,
/(ж) = I х E)
[О, ж = 0,
имеет производную /'@) = 0, потому что
v /0*0-/@) /(ж) ж28тA/ж) . 1
lim :!-^—L —^- = lim :L^—L = lim ——- = lim ж sin - =0
Ж — 0 ж^О Ж ж^О Ж ж^О Ж
§5.8. Теоремы о среднем значении 135
(ведь |sinl/x| ^ 1). С другой стороны, в любой как угодно малой
окрестности |ж| < S точки 0 как справа, так и слева от нее / принима-
принимает положительные и отрицательные значения. Поэтому точка 0 не явля-
является ни точкой возрастания, ни точкой убывания, ни точкой экстремума
функции /.
В следующем параграфе мы переходим к очень важным теоремам, на-
называемым теоремами о среднем. С их помощью будет весьма удобно по-
получить дальнейшие заключения, относящиеся к теории локальных эк-
экстремумов.
§ 5.8. Теоремы о среднем значении.
Критерии возрастания и убывания функции на интервале.
Достаточные критерии локальных экстремумов
Теорема Ролля*). Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6], имеет производную на интервале (а, Ь) и принимает равные
значения на концах его (/(а) = f(b)).
Тогда на интервале (а, Ь) есть хотя бы одна точка с, где произ-
производная от / равна нулю (/'(с) = 0).
Доказательство. Пусть Мит — соответственно максимум
и минимум / на отрезке [а, Ь]. Они существуют в силу непрерывности /
на [а, Ь]. Если выполняются равенства М — т — /(а), то f(x) = М для
всех х Е [а, Ь] и /'(с) = 0 в любой точке с Е (а, Ъ). Если же указанные
равенства одновременно не выполняются, то по крайней мере одно из чи-
чисел М или т отлично от числа / (а) = / (Ь), пусть для определенности М.
Но тогда максимум функции / на отрезке [а, Ь] достигается в некоторой
точке с интервала (а, Ь) и, следовательно, в этой точке / имеет также ло-
локальный максимум. Так как в точке с производная /'(с) существует, то
по теореме Ферма она равна нулю. Случай т ф /(а) разбирается анало-
аналогично. Теорема доказана.
Теорема Коши о среднем. Пусть функции (р(х) и ф(х)
непрерывны на отрезке [а, Ь] и имеют производные на интер-
интервале (а, Ь), одновременно не обращающиеся в нуль. При этом
<р(Ь)-<р(а)фО**).
Тогда на интервале (а, Ь) найдется точка с, для которой выпол-
выполняется равенство
ip(a) tp'(с)
Доказательство. Вводим функцию
F(x) = (ф(Ъ) - ф(а)) ф) - ЫЪ) - <р{а)) ф(х).
*) М. Рол ль A652-1719) — французский математик, доказавший эту теоре-
теорему для многочленов.
**) Заметим, что, например, условие (ff (х) Ф 0 на (а, Ь) влечет за собой
<р{Ъ) - <р(а) ф 0.
136 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Она, очевидно, непрерывна на [а, Ъ] и имеет производную на интервале
(а,Ь). Кроме того, F(a) = F(b). Поэтому по теореме Ролля найдется
такая точка с Е (а, 6), что F'(с) = 0, т.е.
(ф) - <р(а)) ф'(с) = (ф(Ь) - ф{а)) ip'(c). B)
Число (р'(с) ф 0, потому что в противном случае в силу того, что
ip(b) — (р(а) ф 0, было бы ф' (с) = 0, но (р'(с) и ф' (с) по условию одно-
одновременно не равны нулю. Поэтому произведение ((f(b) — (р(а))(р'(с) ф 0.
Разделив на него левую и правую части равенства B), получим A).
Как следствие из теоремы Коши при (р(х) = х и ф = / получим
теорему Лагранжа.
Теорема Лагранжа о ере днем*). Пусть функция f{x) не-
непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет производную на интервале (а, Ь).
Тогда на (а, Ь) существует точка с, для которой выполняется ра-
равенство
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c), a<c<b. C)
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если за-
записать ее в таком виде:
-f{a}f(c), а<с<Ъ.
о — а
Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хор-
хорды, стягивающей точки (а, /(а)) и F, f(b)) графика функции у = /(ж),
а правая часть есть тангенс угла наклона каса-
У [ тельной к графику в некоторой промежуточной
точке с Е (а, Ь). Теорема Лагранжа утвержда-
утверждает, что если кривая (рис. 5.5) есть график непре-
непрерывной на [а, Ь] функции, имеющей производную
на (а, 6), то на этой кривой существует точка, со-
соответствующая некоторой абсциссе с, а < с < Ь,
> такая, что касательная к кривой в этой точке
0 а с Ъ х параллельна хорде, стягивающей концы кривой
Рис. 5.5 (а,/(о)) и (Ь,/(Ь)).
Равенство C) называется формулой (Лагран-
(Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записы-
записывать в виде
с = а + 6(Ь- а),
где в есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < в < 1.
Тогда формула Лагранжа примет вид
f(a) = (b-a)f'(a + e(b-a)), 0 < в < 1. D)
Она верна, очевидно, не только для а < 6, но и для а ^ Ь.
*) Ж. Лагранж A736-1813) — французский математик.
§5.8. Теоремы о среднем значении
137
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь] и имею-
имеющая неотрицательную (положительную) производную на интерва-
интервале (а, Ъ), не убывает (строго возрастает) на [а, Ь].
Действительно, пусть а ^ х\ < ж 2 ^ Ъ] тогда на отрезке [х\, х2] вы-
выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале
(х\, x<z) точка с, для которой
/02) - /Ol) = (Х2 - Xi)f'(c), Xi < С < Х2-
Если по условию /' ^ 0 на (а, Ъ), то ff(c) ^0 и
/Ы - f{xi) > 0; E)
если же /' > 0 на (а, Ь), то /'(с) > 0 и
f(x2) - f(xi) > 0. F)
Так как неравенства E) и F) имеют место, каковы бы ни были xi,X2, где
а^Ж1<Ж2^&, то в первом случае / не убывает, а во втором / строго
возрастает на отрезке [а, Ь].
Теорема 2. Если функция имеет на интервале (а, Ь) произ-
производную, равную нулю, то она постоянна на (а,Ъ).
В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место
где х\ — фиксированная точка интервала (а, Ъ), х — произвольная его
точка (она может находиться справа и слева от х\) и с — некоторая, за-
зависящая от х\ и ж, точка, находящаяся между x\vix. Так как по условию
ff (х) = 0 на (а, Ъ), то ff(c) = 0 и f(x) = f(x\) = С для всех х Е (а, Ъ).
Заметим, что в приведенных теоре-
теоремах ослабление налагаемых в них уело-
вий может привести к неверности утвер-
утверждений.
Например, функция /(ж), определяе-
определяемая равенствами
У
/(*) =
ж,
0
1-х, 1/2 ^х < 1
2
Рис. 5.6
1 х
(рис. 5.6), очевидно, непрерывна на отрезке [0,1], равна нулю на его кон-
концах и имеет производную во всех точках @,1), за исключением только
одной точки х = 1/2, и для нее уже, очевидно, не выполняется теорема
Лагранжа.
Докажем теорему, которая дает достаточный критерий существова-
существования локального экстремума функции.
138 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Теорема 3. Если функция / непрерывна в окрестности точ-
точки хо и имеет производную /'(ж) ^ О (^ 0) справа от жо, f (х) ^ 0
(^ 0) слева ошжо, то xq есть точка локального минимума {макси-
{максимума) /.
Выражение "справа (слева) от жо" означает "на достаточно малом
интервале с левым (правым) концом жо".
На основании теоремы 1 функция / справа от жо не убывает (не воз-
возрастает) , а слева не возрастает (не убывает), и так как / непрерывна в
окрестности точки жо, то она имеет в этой точке локальный минимум
(максимум).
Заметим, что в этой теореме существование производной в самой
точке жо не предполагалось.
Следующая теорема дает достаточный критерий существования ло-
локального экстремума функции по знаку второй производной.
Теорема 4. Если функция f удовлетворяет условиям
ff(xo) = 0 и /"(жо) > 0 (/"(жо) < 0), то жо есть точка локального
минимума (максимума) функции /.
Доказательство. Существование второй производной в точке /
влечет за собой существование первой производной /'(ж) в окрестности
точки жо и, тем более, непрерывность / в этой окрестности. Из того, что
/"(жо) > 0 (< 0), следует, что /'(ж) возрастает (убывает) в точке жо, и
так как /'(жо) = 0, то справа от жо /' > 0 (< 0), а слева от жо /' < 0
(> 0). Теперь утверждение теоремы следует из предыдущей теоремы.
Мы знаем, что непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, имеющая всю-
всюду на интервале (а, Ь) положительную производную, строго возрастает
на отрезке [а, Ь]. С другой стороны, пример, который приводится ниже,
показывает, что если непрерывная в окрестности точки ж = 0 функция /
имеет положительную производную в этой точке, то отсюда не следует,
что / возрастает в некоторой достаточно малой окрестности ж = 0.
Таким образом, возрастание функции в точке не влечет, вообще го-
говоря, ее возрастание в некоторой окрестности этой точки.
Пример 1. Функция F(x) = ^ + /(ж), где / определяется равенством E)
предыдущего параграфа, имеет производную Ff @) = ^ + /'@) = ^ > 0 в точке
х = 0 и, следовательно, возрастает в этой точке. В то же время она не возрастает
на любом интервале, содержащем эту точку. Действительно, для ж / 0
F (х) = cos —\- 2х sin — .
2 х х
Приж/, = 1/ктг (к = 1,2,...)
F(xk) = (l),
откуда видно, что в любом интервале, содержащем в себе нулевую точку, произ-
производная F принимает значения разных знаков и, следовательно, F не изменяется
на нем монотонно.
§5.9. Формула Тейлора 139
Пример 2. На отрезке [— 1, е] дана функция
Г ж1п|ж|, ж^О,
[О, ж = 0.
Она непрерывна, имеет конечную производную всюду на [—1, е], за исключением
х = 0, где
*hM -оо. G)
Из G) следует, что ф в точке х = 0 убывает. Уравнение ф'(х) = 1 + In |ж| = О
имеет два корня: х\ = —1/е, Х2 = 1/е. Кроме того, ф"(х) = 1/х (х ф 0)
и ф"(— 1/е) < 0, фпA/е) > 0, следовательно, —1/е есть точка локального
максимума, а 1/е — точка локального минимума.
Пример 3. График функции
t2 — a
х= , , п± п, &2-4ас<0, О 0,
распадается на две непрерывные ветви, соответствующие изменению t на (—оо,
—6/2у/с), (—6/2у/с, +оо). На каждом из этих интервалов функция монотонно
возрастает от — оо до +оо. Это легко видеть, если учесть, что в силу условия
Ь — 4ас < 0 производная х1 > 0 и при t = —b/2^/c выражение (t — а) =
= Ъ /Dс) — а меньше нуля.
§ 5.9. Формула Тейлора
При помощи формулы Тейлора *) можно по данным значениям /(а),
/'(а),... , Z^71)(а) функции / и ее производных в точке а и некоторым
сведениям о производной /(п) в окрестности этой точки узнать прибли-
приближенно, часто с большой точностью, значение / в точках этой окрест-
окрестности.
Средством приближения являются специально строящиеся по ука-
указанным значениям многочлены, называемые многочленами Тейлора
данной функции.
Мы начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена
Р(х) = Ьо + hx + ... + bnxn. A)
Зададим произвольное число айв правой части равенства A) про-
произведем замену х на (х — а) + а:
Р(х) = Ь0 + h[(x - а) + а] + ... + bn[(x - а) + а]п.
Затем раскроем квадратные скобки и приведем подобные при одинаковых
степенях х — а. В результате получим равенство
71
Р(х) = (Зо + Pi(x - а) + ... + pn(x -a)n = ^2 Pk(x - а)к, B)
к=0
где Pk — постоянные, зависящие от исходных коэффициентов Ьд..
Б. Тейлор A685-1731) —английский математик.
140 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Равенство B) называется разложением многочлена Р(х) по сте-
степеням ж — а, а числа /Зд. называются коэффициентами данного разло-
разложения.
С этой точки зрения исходное равенство A) можно трактовать как
разложение Р(х) по степеням ж, т. е. по степеням х — а, где а = 0.
Будем последовательно дифференцировать равенство B):
Р'(х) = /Зг + 2/32(х - а) + 3/33(х - аJ + ... ,
Р"(х) = 2C2 + 3 • 2/33(х - а) + 4 • 3/?4(ж - аJ + ... ,
х) = fe! & + (k + l)fe ... 2/^+i (ж - а) + ...
В последнем равенстве, определяющем k-ю производную, положим
х = а. Тогда в правой части все члены, начиная со второго, обратятся в
нуль, и мы получим p(fc) (a) = k\ Ck, к = 0,1, 2,... При этом, как обыч-
обычно, мы считаем, что Р(°\а) = Р(а), 0! = 1. Итак, коэффициенты/^
разложения B) многочлена Р{х) по степеням х — а необходимо выража-
выражаются по формуле
P* = —fi-L> * = 0,l,2,... C)
Отсюда, в частности, следует, что один и тот же многочлен Р{х)
степени п можно разложить по степеням х — а единственным образом,
т. е. если для всех значений х
Р(х) =
к=0 к=0
где Pk •> P'k — постоянные, то
/Зк=0'к, к = 0,1,...,п.
Ведь как числа fik •> так и Pk вычисляются по одной и той же формуле C).
Итак,
Р{п){а) . ,„ ^ P(a) . .к ,Л.
fe=o
Формула D) называется формулой Тейлора по степеням х — а для
многочлена Р{х) степени п.
§5.9. Формула Тейлора 141
Формулу Тейлора по степеням ж, т. е. выражение
?^. E)
к=о К'
называют также формулой Маклорена.
Пример 1 (бином Ньютона). Рассмотрим многочлен n-й степени
Р(х) = (а + х)п,
где а — произвольное число, an — натуральное число. Его k-я производная равна
Р^к\х) = п(п - 1)... (п - к + 1)(а + жO1-^,
откуда р(к'@) = п(п — 1)... (п — к + l)an~fc и, следовательно, на основании
формулы Маклорена для многочлена n-й степени будем иметь
(а + х)п = ап + nan-lx + Ф^И ап-2х2 +
{П ~ У - 2) а-3х3 + ... + П{П( -1I;; • Х ах-1 + х". F)
Это равенство называется формулой бинома Ньютона.
Если ввести обычное обозначение
rrfc _ n(n- l)...(n- k + 1) n _ о _
^п — Г]5 ^п — ^n — J-j
то формула бинома Ньютона может быть записана в более компактной форме:
Числа Сп называются биномиальными коэффициентами.
Отметим, что если числитель и знаменатель дроби в G) помножить на (п—к)!,
то получим
Случай к = 0 тоже включается в эту формулу. Ведь 0! = 1.
Другое важное свойство биномиальных коэффициентов выражается равенст-
= С% + I
Доказательство его предоставляем читателю. Если учесть, что Сп = Сп = 1,
то с помощью последнего равенства можно легко получить последовательно числа
Сп для любых п и к, всякий раз пользуясь только одним действием сложения.
142 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Выше мы вывели формулу Тейлора для многочлена. Пусть теперь
в окрестности точки а задана функция /, не являющаяся многочленом
степени п — 1, но имеющая там производные до n-го порядка включи-
включительно *).
Вычислим числа /(ft), /'(ft), • • • , / (ft) и составим при их помо-
помощи функцию
Q(x) = /(о) + Ш (Ж - о) + ... + ^iff (Ж " а)П~1 =
Очевидно, Q есть многочлен степени п — 1. Он называется многочле-
многочленом Тейлора, именно (п — 1)-л« многочленом Тейлора, функции / по
степеням ж — а.
Положим
/(rr) = Qn_i(rr)+i?n(rr), (9)
где Qn—i есть (п — 1)-й многочлен Тейлора функции / по степеням х — а.
Равенство (9) называется формулой Тейлора функции / в окрест-
окрестности точки ft, a Rn(x) называется остаточным членом или п-м
остатком рассматриваемой формулы Тейлора.
Замечательно, что для остаточного члена можно дать нетривиаль-
нетривиальные выражения через п-ю производную от /. Ниже мы выведем два та-
таких выражения: остаточный член в форме Лагранжа достаточный
член в форме Коши.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа выглядит
следующим образом:
Rn(x)= (а?~,о)П/(га)@, ^е (а,х),
где ? есть некоторая (зависящая от х и п) точка интервала (ft, x). Здесь
и далее х можно считать не только большим, но и меньшим, чем а **).
Обычно точное значение ? неизвестно, утверждается лишь, что ? нахо-
находится где-то на интервале (ft, x).
Бывает удобно число ? записать в виде ? = а + в(х — ft), где в есть
некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < в < 1. При таком
обозначении остаточный член в форме Лагранжа имеет следующий вид:
Rn(x) = (ж~а)П /(*)(а + 0(ж - а)), 0 < в < 1.
п!
*) На самом деле все выводы в этом параграфе проходят при менее ограничи-
ограничительных условиях, налагаемых на / (см. ниже формулировку теоремы 1).
**) Если х < а, то (а, ж), [а, ж] обозначают множества точек ?, удовлетворя-
удовлетворяющих соответственно неравенствам х < t < a, x ^ t ^ а.
§5.9. Формула Тейлора 143
Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши выглядит так:
Rn(x) ={Х~ а)^ -^^ /(")(О + в(х - а)), О<0<1,
где в — число, зависящее от ж и п.
Отметим, что при п = 1 формула Тейлора функции с остаточным
членом в форме Лагранжа (или Коши) есть уже известная нам формула
Лагранжа о среднем значении:
f(x) - f(a) = (ж - a)f'(a + 0(х - а)), 0 < в < 1.
Соответствующая теорема гласит:
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а,ж]
вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно
и имеет производную порядка п на интервале (а,ж).
Тогда ее п-й остаточный член формулы Тейлора может быть
записан в форме Лагранжа или в форме Коши.
Доказательство. Зададим произвольное натуральное чис-
число р и указанное в теореме значение ж. Предупредим, что на протяжении
доказательства х будет оставаться неизменным. Нам будет удобно ввес-
ввести новую вспомогательную переменную и. По отношению к ней х будет
рассматриваться как постоянная.
Мы ставим своей задачей найти удобное выражение для остатка
Rn(x). Для этого представим Rn(x) в виде произведения: Rn(x) =
= (х — а)рН, сведя таким образом вопрос к отысканию величины Н.
Величина Н зависит от ж и в силу сделанного соглашения будет рассмат-
рассматриваться как постоянная.
Итак, мы имеем равенство
/(ж) = J^ ^—^ /«(а) + (х- ауН.
Заменим чисто формально в правой его части постоянную а на перемен-
переменную и. Тогда получим функцию
ф(«) = Е ^г/(fe)(u) + {x~u)PH = f{u) + ^~r//(u) + • • •
¦ ¦ ¦ + (Ж(~ "У f{n-1]{u) + (x- ufH, A0)
которая во всяком случае определена и непрерывна для всех значений и,
принадлежащих отрезку [а, ж], потому что на этом отрезке непрерывна
144 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
исходная функция / (и) вместе со своими производными до (п — 1)-й вклю-
включительно. Кроме того, из определения функции Ф(и) следует, что при
и = а она принимает значение /(ж) (Ф(а) = /(ж)). Больше того, при
и = ж она также обращается в /(ж) (Ф(ж) = /(ж)), что непосредственно
видно из правой части A0): если положить в ней и = ж, все члены об-
обращаются в нуль, кроме первого, равного /(ж). Наконец, наша функция
Ф(и) имеет на интервале (а, ж) производную, потому что на нем имеет
производную п-го порядка исходная функция /.
Мы видим, что наша вспомогательная функция Ф(и) удовлетворяет
условиям теоремы Рол ля: она непрерывна на отрезке [а, ж], имеет произ-
производную на интервале (а, ж) и принимает равные значения на его концах.
Но тогда согласно теореме Ролля существует между а и ж промежуточ-
промежуточная точка и = а + в(х — а) такая, что производная Ф' в ней равна нулю.
Найдем фактически эту производную:
ф'(и) = f(u) - f(u) + (ж - u)f"(u) - (ж - u)f"(u) + ...
В этом выражении все члены сокращаются, за исключением послед-
последних двух. Если в оставшееся выражение подставить указанное значение
и = а + в{х — а), то, как было сказано, оно обратится в нуль.
Решая полученное уравнение относительно Н и умножая найден-
найденное Н на (ж — а)р, получим искомое выражение для остаточного члена:
Это выражение зависит от р, где р может быть любым натуральным
числом. Если в нем положить р = п, то получим остаточный член в
форме Лагранжа, а если положить р— 1, то в форме Коши.
Отметим, что при а = 0 формулу Тейлора называют также форму-
формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид
п~1 f(k)@)
хп
Rn(x) = —т f (Ox) — форма Лагранжа,
Rn(x) = , Х ,, A - вO1-1 f(n) (Ох) — форма Коши.
(п - 1)!
Предположим теперь, что функция / имеет в точке а непрерывную
производную /(п) порядка п. Отсюда следует, что существует некото-
некоторая окрестность точки а, на которой функция / имеет производную /(п)
§5.9. Формула Тейлора 145
и тем более непрерывную производную f(n г\ Таким образом, условия
для разложения / по формуле A1) с остатком в форме Лагранжа соблю-
соблюдены, и можно написать, учитывая предположенную непрерывность /(п)
при х = а, что
n! n!
(x-a)n ( {n
. q((or* Qi) I x У а
A2)
Следовательно,
Разложение A3) называют формулой Тейлора разложения функ-
функции / по степеням (х — а) с остаточным членом в форме Пеано *).
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Если функция f имеет непрерывную производную
порядка п в точке а, то она разлагается по формуле A3) Тейлора
по степеням х — а с остаточным членом в форме Пеано.
Докажем лемму.
Лемма. Из равенства
а0 + ai(x - а) + ... + ап(х - а)п + о((х - а)п) =
= а'о + а[(х - а) + ... + а'п(х - а)п + о((х - a)n), х -> а, A4)
где QLk, a'k — числа, не зависящие от ж, следует, что
ак = а'к, к = 0,1,..., п. A5)
Действительно, возьмем предел левой и правой частей A4) при
х —> а. Тогда получим равенство ао = af0. Таким образом, можно счи-
считать, что в A4) слагаемых «о, «о нет, и можно A4) сократить на х — а и
получить равенство
ai + «2(ж - а) + ... + ап(ж - аO1 + о((х - аO1) =
= а[ + 4(х - а) + ... + а'п{х - аO1'1 + о((ж - аO1),
откуда после перехода к пределу при х —>• а получим еще, что ai = a^.
Продолжая этот процесс последовательно, мы получим A5). Лемма до-
доказана.
Д. Пеано A852-1932) —итальянский математик.
146 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Из доказанной леммы и сказанного выше следует единственность
разложения функции f no формуле Тейлора с остатком в форме
Пеано. Эти слова надо понимать в следующем смысле. Если функция /,
имеющая в точке х = а непрерывную производную n-го порядка, пред-
представлена в виде
/О) = а0 + щ(ж-а) + ... + ап(ж-а)п + о((ж-а)п), х -+ а, A6)
где otk — постоянные числа, то эти числа равны
к\ '
т. е. A6) есть тейлорово разложение / с остатком в форме Пеано.
Формула Тейлора в окрестности х = 0 четной {нечетной) функ-
функции / содержит в себе члены только четной {нечетной) степени х:
f{x) = ао + CL2X + а^х -\- ... \f{x) —
Это следует из того, что нечетные производные от четной функции, так
же как четные производные от нечетных функций, суть нечетные функ-
функции (см. конец § 5.6). Но последние к тому же предполагаются непрерыв-
непрерывными в точке х = 0, но тогда они необходимо равны нулю в этой точке.
В частности, с помощью этого утверждения легко следует, что для
того, чтобы многочлен
был четным {нечетным), т. е. четной {нечетной) функцией, не-
необходимо и достаточно, чтобы все его члены имели х в четной
{нечетной) степени.
Пример 2. Из равенства 1 + х2 + ... + х2ш = A - ж2т+2)/A - х2) и
того факта, что ж2т+2/A — х2) = о{х2ш), х —>> 0, следует, что
1 + ж2 + ...+ж2т+о(Ж2т), х^О. A7)
1 — х*
Но тогда A7) есть формула Тейлора функции A — ж2) по степеням х с остаточ-
остаточным членом в форме Пеано.
§5.10. Формулы Тейлора
для важнейших элементарных функций
Функция f{x) = ex. Для этой функции
f(n)rx\_ex^ j(n)(o) = 1, f(n\0x)=e0x, n = 0,1,
Поэтому формула Тейлора по степеням х функции ех с остатком в форме
§5.10. Формулы Тейлора для элементарных функций 147
Лагранжа имеет вид
хх2
Rn(x) = —гевх, 0<в < 1.
Если положить в ней х = 1, то получим приближенное выражение
для е:
с ошибкой |ДПA)| ^ Ше < Ш- При любом ж ^ О
хп
\Rn(x)\ ^ —г ех -^ 0, п -^ ею,
п!
и при х < О
^L ^ 0, п -^ оо.
га!
Функция f(x) = sin ж. Для этой функции
Формула Тейлора по степеням х с остаточным членом Лагранжа име-
имеет вид
Остаток стремится к нулю при v —> оо для любого ж:
Bi/+ 1)!
148 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Функция /(ж) = cos ж. Для этой функции
/<">(*)= cos
/(*) (<9ж) = cos (вх + —\ п = 1, 2,...
V 2 у
Формула Тейлора по степеням ж с остаточным членом в форме Ла-
гранжа имеет вид
х2 х4 Л ж2^-1)
! + + AГ-1+д()
+ ... + AГ
COS
^2^(ж) = у COS( 0Ж + 21/
Остаток ведет себя, как и в случае sin ж:
Особенно хорошо стремятся к нулю остатки функций sin ж и cos ж при
|ж| ^ 1. Заметим, что численные значения этих функций как раз доста-
достаточно знать для дуг ж в пределах между числом 0 и числом тг/4 < 1.
Функция /(ж) = 1пA + ж) определена и сколько угодно раз
дифференцируема для ж > — 1. Ее формулу Тейлора по степеням ж можно
написать для п = 1, 2,... при ж > — 1. Так как
то формула Тейлора имеет вид
Rn{x).
у 2 v y п-1
При этом для остатка запишем две формы — форму Лагранжа:
г)(Л А- йт)п ' '
и форму Коши:
§5.10. Формулы Тейлора для элементарных функций 149
Пусть 0 ^ ж ^ 1; тогда, обращаясь к форме Лагранжа, получим
\Rn(x)\ ^ ^хп -^ О, п -^ оо. Мы видим, что при 0 < х < 1 остаток
стремится к нулю быстро, при х = 1 стремление к нулю происходит
очень медленно.
В случае — 1 < х < 0 форма Лагранжа не дает возможности сделать
определенное заключение о стремлении Rn(x) к нулю, потому что мы
знаем только, что в удовлетворяет неравенствам 0 < в < 1. При этом
не надо забывать, что в зависит от ж и п. Но, применяя форму Коши,
получим, считая, что 0 < |ж| < 1, оценку
п
>0, п->оо,
потому что Лг^ < jEf = 1-
При ж = — 1 функция 1пA + ж) не имеет смысла. При ж > 1 формула
при любом п имеет смысл, однако ее остаточный член Rn(x) теперь уже
не стремится к нулю при п —>• оо.
Итак, остаточный член формулы Тейлора функции 1пA + ж) по сте-
степеням ж стремится при п —>- оо к нулю только при ж, удовлетворяющих
неравенствам — 1 < ж ^ 1.
Функция /(ж) = A + ж)т. Для этой функции
/(п)(ж) = т(т - 1)... (т - п + 1)A + ж)
/(™)@) = т(т - 1)... (т - п + 1).
Формула Тейлора по степеням ж имеет вид
При этом остаток в форме Лагранжа записывается так:
= т(т-1)...(т-п + 1)
а в форме Коши
R(x) = т(т-1) (пг-п + 1) ^ + fe)m_
При натуральном т и любом ж все члены формулы, начиная с
(т + 1)-го, исчезают и формула Тейлора превращается в элементарную
формулу Ньютона (см. § 5.9, F)).
150 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Для остальных т формула имеет смысл, во всяком случае при
х > -1.
Пусть 0 ^ х < 1. Тогда, если воспользоваться формулой Лагранжа,
получим для п > т:
\Rn(X)
п\
0, п
оо
(см. ниже замечание).
Если же — 1 < х < 0, то, воспользовавшись формулой Коши, полу-
получим (см. ниже замечание)
\т(т — 1)... (т — п + 1)
0, п
ОО,
где С — число, вообще, зависящее от ж, но не зависящее от п, потому что
(A - 0)/A + Ох)O1'1 ^ (A - 0)/A - в)O1'1 = 1 ипри т - 1 > О
а при т — 1 < О
A + Ох)
т—1
\l-rn '
Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции A + х)ш
при — 1 < х < 1 стремится к нулю при п —>• оо. При х > 1 остаточный
член уже не стремится к нулю *).
Случаи х = ±1 мы не рассматриваем. Скажем только, что в этих
случаях остаточный член Rn (х) зависит от т. При т<0 и х — — 1
функция A + х)ш вообще не имеет смысла.
Замечание. Для
т(т — 1)... (т — п + 1) п
Un = : X ,
п\
где т — произвольное действительное число, имеет место
т — п
иг,
х
га
X
п -^ оо.
Но тогда, как докажет это читатель, при п —>• оо
^п -^ О, если |ж| < 1, ип ^ оо, если |ж| > 1
(впрочем, см. § 11.3, теорема 2).
*) Это следует также из расходимости ряда при х > 1 с общим членом
§5.11. Ряд Тейлора 151
Ниже приводятся часто встречающиеся примеры приложения фор-
формулы Пеано:
ж2
ех = 1 + ж + О(ж2) = 1 + ж + —- + о(ж), ж ->> 0;
ж3
sin ж = ж + О(ж3) = ж — —- + о(х2), х -^ 0;
cos ж = 1 + О(ж2) = 1 — ж2 + о(ж), ж -^ 0;
ж2
1пA + ж) = ж + О(ж2) = ж - —- + о(ж), -1 < ж < 1, ж -^ 0;
A + х)ш = 1 + тх + О(ж2) = 1 + шж + о(ж), -1 < ж < 1, ж ->> 0.
§5.11. Ряд Тейлора
Выражение
^0 + и1 + и2 + ^3 + • • • 5 A)
где Uk — числа, зависящие в силу некоторого закона от натурального
индекса к (к = 0,1,...), называется рядом.
Обозначим через Sn = ^2q~ uj~ сумму его первых п членов. Числа
Sn составляют последовательность {Sn} = {Si, S2, S3,... }. Если она
сходится, т.е. существует конечный предел lirr^^oo Sn = S, то говорят,
что ряд A) сходится и имеет сумму, равную S. При этом пишут
S = ixo + и\ + U2 + ...
Если функция / имеет в некоторой окрестности точки а производные
сколь угодно высокого порядка, то для нее чисто формально можно на-
написать ряд
который носит название ряда Тейлора функции / по степеням ж — а.
Для данных значений а и ж он может сходиться или расходиться. Осо-
Особенно важен тот случай, когда ряд Тейлора функции / сходится к самой
функции, т.е. имеет суммой /(ж).
Это имеет место тогда и только тогда, когда остаточный член в фор-
формуле Тейлора
fix) = J2 L^1 (x - a)k + Rn№ = Sn(x) + Rn{x) C)
k=o
стремится к нулю при п —> оо. Действительно, если lirr^^oo Rn(x) = 0,
то из C) следует, что
lim Sn(x) = f(x),
152 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
и так как Sn (ж) есть сумма первых п членов ряда B), то ряд B) сходится
и имеет своей суммой /(ж):
f(x)=f(a) + l^(x-a) + ^(x-af + ... D)
Обратно, если известно, что для некоторого значения ж имеет место ра-
равенство D), т. е. если известно, что ряд B) при этом значении х сходится
и имеет своей суммой число /(ж), то это значит, что для указанного зна-
значения
lim Sn(x) = /(ж).
п—уоо
Но тогда из C) следует, что Rn{x) —>• 0, п —>• оо.
На основании результатов, которые были получены в предыдущем
параграфе, мы можем теперь сказать, что имеют место следующие раз-
разложения в ряды Тейлора:
х2 ж^
еж = 1 + ж + —- + — + ..., -оо < х < +оо,
sinх = х — -— + —- — ..., — оо < ж < +оо,
х2 х4
cos ж = 1 — -— + —- — ... , —оо < х < +оо,
< ' 1\' (^)
/-. \гп -л тут — 1) о
A + х)ш = 1 + тх + —Цг: х2 +
т(т — 1)(т — 2) о
+ ^ ^ J-x3 + ..., -1<ж<1,
2 3
) 1 + 1<<1
В приведенных примерах множества .Е точек ж, где ряды Тейлора по
степеням ж сходятся, представляют собой интервал или полуинтервал с
центром в 0. Это не случайные факты. В дальнейшем будет выяснено,
что ряд вида (см. § 11.11)
по + а\Х + CL2X2 + . . . , F)
где ak — заданные постоянные числа, обладает тем свойством, что если
он сходится в точке х\, то он заведомо сходится для всех ж, удовлетворя-
удовлетворяющих неравенству |ж| < \х\\. Ряды вида F) называются степенными
рядами.
Бывают и такие случаи, что для функции / можно формально напи-
написать ее ряд Тейлора по степеням ж — а:
§5.11. Ряд Тейлора 153
иначе говоря, для этой функции имеют смысл производные f^k\a) для
любого к = 0,1,2,... и ряд G) сходится для некоторых значений ж,
однако сумма ряда для этих ж не равна /(ж).
Пример 1. Вот пример такой функции:
ф(х) =
е '
О,
(8)
Если |ж| < 1, и = 1 — х , то
2е-^и -> 0,
По индукции доказывается, что для к = 0,1, 2,...
( ) 0 = 0,
ж < 1, ж -» 1,
где Р(х) — некоторый многочлен, а число / > 0 зависит от к. Если учесть, что
ф(х) = 0 при |ж| ^ 1, то мы доказали, что lim^^i ф(к' (х) = 0. Далее, фA) = 0,
и если уже установлено, что ф^ ' A) = 0 при некотором к, то
4 ' ж->1 х-1
= lim ^(/с+1)A + 9{х - 1)) = 0, 0 < в < 1.
ж-)-1
Итак, для функции ^ имеют смысл равные нулю числа фA), ф*A), фпA),...
и можно написать ее ряд Тейлора по степеням х — 1. Все его члены при любом х
равны нулю. Он, таким образом, сходится, и его сумма для любого х равна нулю,
но отлична от ф(х) для |ж| < 1. Аналогичные факты имеют место при х = — 1.
Функция ф есть пример бесконечно дифференцируемой на действительной оси
функции, равной нулю вне некоторого отрезка.
Функции /(ж), разлагающиеся в ряд Тейлора по степеням ж — а, схо-
сходящийся к /(ж) в некоторой окрестности точки а, называются анали-
аналитическими во всех точках указанной окрестности (открытой). В
частности, они аналитические в точке а.
Из сказанного выше следует, что функции еж, sin ж, cos ж анали-
аналитические на всей действительной оси, а функции 1пA + ж) и A + ж)т
аналитические на интервале (—1, +1).
Можно показать (см. ниже пример 2), что, каково бы ни было а > О,
функции 1пA + ж) и A + х)ш разлагаются в сходящийся к ним ряд
Тейлора по степеням ж — а для достаточно малых ж — а, откуда следует,
что функции 1пA + ж) и A + х)ш на самом деле аналитические при
любом ж > 0. Аналитические функции изучаются в специальной мате-
математической дисциплине — теории функций комплексного переменного,
называемой также теорией аналитических функций.
154 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Возможна следующая классификация функций, заданных на интер-
интервале. Функции:
1) произвольные, вообще, разрывные;
2) непрерывные;
3) имеющие производную /(п) для некоторого п = 1, 2, 3,...;
4) имеющие непрерывную производную /(п) для некоторого п =
= 1,2,...;
5) бесконечно дифференцируемые, т.е. имеющие производную /^
любого порядка, таким образом, имеющие непрерывную производную
/(п) любого порядка;
6) аналитические.
Каждый следующий класс в этом ряду содержится в предыдущем и
состоит из более "хороших" функций.
Функция, определенная равенствами (8), бесконечно дифференциру-
дифференцируема на (—оо, +оо), но не является аналитической на нем. Впрочем, она
аналитическая на A, +оо), (—оо, 1) и на (—1,1).
Пример 2. Пусть /(ж) = In x. Тогда
f(k\x) = (-l)k-1(k-l)\x-k, ж>0, /с =1,2,...,
1пж = lna + ^ — 1Г ~ а) + Я™(ж)> а > О,
k=l Ы
где Rn(x) = ^l (а+6(ха-а))п ' 1Ж ~ а1 < а- Если \х ~ а\ < а/2> т0 TOr^a
а + в(х - а)\ > а - \х - а\ > а - (а/2) = а/2, \(х - а)/(а + в(х - а))| < 1 и
\Rn(x)\ < 1/п^О.
Таким образом, имеет место разложение в сходящийся ряд
, , х — а (х — а) (х — а)
Ых = lna + V 2J + V Q 3; + • • •
1 • а 2а^ За6
для любого а > 0 и \х — а\ < а/2. Это показывает, что функция In ж аналитичес-
аналитическая для любого а > 0.
Пример 3. Найдем главный степенной член функции 1пA + х + х ):
1пA + х + х2) = (х + х2) + о(х + ж2) = х + о(ж) + о(ж) = ж + о(ж), ж -^ 0.
Ведь 1пA + и) = и + о(гб), гб —>> 0; гб = ж + ж2 —>> 0, ж —>> 0; ж2 = о(ж), ж —>> 0, и
о(ж + ж ) = о(ж), ж —>• 0, потому что
о(х
X
о(х
X
+
+
1
0
ж2
ж + ж2
ж
1
1
§5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба
155
Пример 4. Найдем теперь главный степенной член функции
1пA + х + х2) - х.
Если воспользоваться предыдущим результатом, то это не даст главного
члена. Ведь тогда
1пA + х + х ) — х = х + о(х) — х = о(ж), х —»• 0.
Но мы получили некоторую информацию. Главный член, если существует, имеет
степень п > 1. Попробуем воспользоваться формулой Тейлора с остатком о(и ),
и —»• 0, в смысле Пеано. Имеем 1пA + гг) = и — и /2 + о(гб ), гб —»• 0, поэтому
1пA + х + х2) - х = х + х2 -
+ о((х + ж2J) - х =
2 2
= ж2 - у + о(х2) + о(ж2) = у
0.
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба
Говорят, что кривая у = f(x) обращена в точке хо выпуклостью
кверху (книзу), если существует окрестность хо такая, что для всех ее
точек х касательная к кривой в точке хо (т. е. в точке, имеющей абсцис-
абсциссу хо) расположена выше (ниже) самой кривой (рис. 5.7; здесь в точке х\
кривая обращена выпуклостью книзу, в точке Х2 — кверху).
Л/А Л/П %Xs<ry Л/
Рис. 5.7
Говорят, что точка хо есть точка перегиба кривой у = /(ж), если
при переходе х через хо точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит
с одной стороны касательной на другую (на рис. 5.7 точка жз — точка
перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое 5 > 0 такое, что
для всех х G (хо — S,xo) кривая находится с одной стороны касательной
в жо, а для всех х Е (жо, хо + S) — с другой.
Указанные определения выделяют возможные расположения кривой
относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки
касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все воз-
возможные случаи такого расположения. Вспомним о кривой, являющейся
156 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
графиком функции
ГО, ж = 0,
№ =2-1 ^ п
^ ж sm —, ж ф 0.
Ось ж пересекает и касается этой кривой в точке ж = 0, и х = 0 не
есть точка перегиба.
Теорема 1. Если функция / имеет в точке хо вторую не-
непрерывную производную и fff(xo) > 0 (< 0), то кривая у = f(x)
обращена в хо выпуклостью книзу (кверху).
Доказательство. Разлагаем / в окрестности х = хо по формуле
Тейлора:
/(ж) = /(хо) + f'(xo)(x - х0) + R(x),
R(x) = (Ж ~2Жо) /"(а* + 0(х - хо)), 0 < в < 1.
Заметим, что графиком функции
у(х) = /(ж0) + f'(xo)(x - хо)
является касательная к кривой f(x) в точке хо- Поэтому остаток R{x)
равен величине превышения кривой / над касательной к ней в точке хо.
В силу непрерывности /", если fff(xo) > 0, то и fff(xo + 0(х — хо)) > 0
для ж, принадлежащих достаточно малой окрестности точки жо, а пото-
потому, очевидно, и R (ж) > 0 для любого отличного от ж о значения ж, при-
принадлежащего указанной окрестности.
Аналогично рассматривается случай f"(xo) < 0.
Теорема 2. Если функция / такова, что производная f"
непрерывна в жо, a f"[xo) = 0 и ffff(xo) ф 0, то кривая у = /(ж)
имеет в хо точку перегиба.
Доказательство. В этом случае по формуле Пеано
/(ж) =
^—^+ф) (ж-ж0K,
В силу того факта, что f" (хо) ф 0, следует, что функция в квадратных
скобках сохраняет знак в некоторой окрестности точки жо; он один и тот
же справа и слева от точки жо. С другой стороны, множитель (ж — жоK
меняет знак при переходе ж через жо, а вместе с ним и величина R(x)
(равная превышению точки кривой над касательной в жо) меняет знак
при переходе ж через жо. Это доказывает теорему.
Сформулируем более общую теорему.
Теорема 3. Пусть функция / обладает следующими свойст-
свойствами:
непрерывна в хо и f(k\xo) ф 0.
§5.13. Выпуклость кривой на отрезке
157
Тогда если к — четное число, то кривая у = f(x) обращена
выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли
f(k\xo) < 0 или f(k\xo) > О, а если к — нечетное число, то хо
есть точка перегиба кривой.
Если дополнительно к приведенным уже условиям еще
/'Ы = о,
A)
то, если к — четное число, функция / достигает в точке хо ло-
локального максимума или минимума в зависимости от того, будет
а х-.
Ъ х
А
а х-.
х~ Ъ х
Рис. 5.S
Рис. 5.9
ли f(k\xo) < О или f(k\xo) > О, а если к — нечетное число, то в
точке хо нет экстремума.
Доказательство основано на том, что при указанных условиях
имеет место разложение по формуле Тейлора:
f(x) =
(х -
к\
¦Ф)),
е(х) -> О,
а при дополнительном условии A) это разложение превращается в сле-
следующее:
f(x) = /(so)
е(х)),
В заключение заметим, что говорят также, что кривая у = /(ж)
имеет точку перегиба в точке х, где производная f(x) равна +оо или — оо
(см. рис. 5.1, в, г и замечания к ним).
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке
По определению кривая у = /(ж) называется выпуклой кверху
(книзу) на отрезке [а, Ь], если любая дуга этой кривой с концами в точках
х\, Х2 (а ^ х\ < Х2 ^ Ь) расположена не ниже (не выше) стягивающей
ее хорды (рис. 5.8, 5.9).
158 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Теорема 1. Пусть функция / непрерывна на [а, Ъ] и имеет
вторую производную на (а,Ь).
Для того чтобы кривая у = f(x) была выпуклой кверху (книзу)
на [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенст-
неравенство f"(x) ^ 0 (f"(x) ^ 0) для всех х е (а, Ь).
Доказательство. Пусть наша кривая выпуклая кверху на
[а, Ь]. Тогда для любых х и ft > 0 таких, что ж, х + 2ft Е [а, Ь], имеет
место неравенство f(x + h) ^ (f(x) + f(x + 2ft))/2, откуда f(x + h) —
Если теперь xi и ж2 — произвольные точки интервала (а, Ъ), то, по-
положив ft = (ж2 — х\)/п, будем иметь
/(xi + ft) - /(xi) ^ /(xi + 2ft) - /On + ft) ^ ... ^ f(x2) - f(x2 - ft).
Таким образом, (f(xi + ft) - f(xi))/h ^ (/(ж2 - ft) - /(x2))/(-ft), и,
переходя к пределу при ft -4- 0, получим не-
^Л равенство
* /'ы,
показывающее, что производная /' на ин-
интервале (а, Ь) не возрастает. Но тогда
f"(x) ^ 0 на (а, Ъ).
Обратно, пусть f" (х) ^ 0 и а < х\ <
< Х2 < Ъ. Нам нужно доказать, что функ-
функция F(x) = f(x) — f(xi) — т(х — xi), где
т = (f(x2) - f(xi))/(x2 - xi), удовлетво-
удовлетворяет неравенству F(x) ^ 0 на [xi, ж2]. Допустим, что это не так. Тогда
ттЖ1^^2 F(x) = F(xo) < 0 и х\ < х0 < ж2. Поэтому F'(xo) = 0.
Применив формулу Тейлора, получим
0 = F(x2) = F(x0) + {Х2 ~2]Х0J F"(x0 + в(х2 - х0)) =
{Х2 ~,Ж°J f"(xo + в(х2 -
Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположе-
предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть
меньше нуля, и мы пришли к противоречию.
Доказательство в случае f"(x) ^ 0 аналогично.
Пример 1. Функция у = sin имеет непрерывную первую производную и
вторую производную
(sin ж) = — sin ж ^ 0
на [0, тг/2]. Поэтому хорда О А, стягивающая дугу кривой у = sin ж на [0, тг/2],
ниже синусоиды (рис. 5.10). Так как уравнение хорды у = B/тг)ж, то мы получим
неравенство
2
— ж s
7Г
S sin ж,
0 ^
S ж $
2
часто употребляемое в математическом анализе.
§5.14- Раскрытие неопределенностей 159
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей
В нашем распоряжении теперь имеются очень сильные методы диф-
дифференциального исчисления: теоремы о среднем и формула Тейлора.
С их помощью можно автоматизировать вычисление многих пределов,
приводящих при грубом применении обычных правил к неопределеннос-
неопределенностям вида g, Ц, оо-оо, 0-оо, 0°, оо°, 1°°.
Случай 0/0. Требуется вычислить Нтж^а Д^-Ч в предположе-
предположении, что \imx^a f(x) = 0, \imx^aip(x) = 0, ip(x) ф 0 в окрестности а.
Пусть а — конечное число и для функций / и ср найдены главные
степенные члены (относительно х — а):
f{x) = ар(х — а)р + о((х — а)р), х -^ а, ар ф 0,
ф(х) = Pq(x - a)q + о((ж - a)q), x -+ а, f3q ф 0.
Тогда (см. §4.10, A0))
-^ при р = ^,
0 при р > gf,
оо при р < q.
Пример 1.
,. -tg, ,. (Ь) .. 4 2
lim °— = lim = lim -^ = —2.
O О / \ 0 1
Пример 2.
.. 1-cosx ..
lim : = lim
sin ж х^О х + о(ж)
— lim
ж + o(x)
Пример 3.
ex -1-х
ж2 9
" x + — + o[xz) - 1 - ж
у х2/2 + о(х2) х2/2
= lim — \ = lim —^— = 0.
О + () О
= lim ^ = -3.
160 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Но функции / и ip могут не иметь производных в точке а или почему-либо
может быть затруднительно или нежелательно вычисление их в этой
точке. Тогда может быть полезна следующая общая теорема, доказа-
доказательство которой основано на применении теоремы Коши о среднем.
Теорема 1. Пусть функции f и ср непрерывны и имеют произ-
производные в окрестности точки а (а — число или оо), за исключением,
быть может, точки а; при этом ср и cpf не равны нулю в ука-
указанной окрестности и
lim f(x) = lim (p(x) = 0.
х—>а х—>а
Тогда если существует предел
Нт 4т4 = А (!)
{конечный или бесконечный), то существует также равный ему
предел
ЩШЩ = А. B)
В частности, здесь речь может идти о правом или левом пределе, и
тогда под окрестностью а понимается правая или левая ее окрестность.
Доказательство. Пусть а — число (конечное). Тогда, полагая
/(а) = 0 = Нтж^а/(ж), ср(а) = 0 = Нтж^а ср(ж), мы получим, что
функции / и ср непрерывны в точке а. Это свойство вместе со сформули-
сформулированными в теореме свойствами позволяет применить к функциям / и ср
теорему Коши. Таким образом, какова бы ни была точка х из указанной
окрестности, найдется между аи х точка {; = а + 6(х — а), 0 < в < 1,
такая, что
f(x) = f(x) - f(a) = f{0 (ъ
Если существует предел A), то, очевидно, также существует предел
а следовательно, и предел B).
Итак, существование второго предела в B) влечет существование
равного ему первого предела в B). Обратное утверждение неверно.
Пример 4. В силу того, что sin ж ~ х (х —>• 0),
.. Xsin(l/x) .. . 1 п
lim : = lim ж sin — = 0.
ж^О smx ж^-0 х
§5.14- Раскрытие неопределенностей 161
С другой стороны, соответствующее отношение производных равно
— cos(l/x) _ 1 .1 cos(l/x) , .
cos ж cos ж ж cos ж
Оно, очевидно, не стремится ни к какому пределу при ж —»• 0. Это видно из того,
что первый член правой части стремится к нулю, а второй не стремится к како-
какому-либо пределу. Это не мешает тому, что после подстановки в D) вместо ж функ-
функции ? = ?(ж), которая возникает в формуле Коши C), получается такая функция
от ж, которая имеет предел при ж —»• 0.
Нам надо рассмотреть еще случай а = оо (или а = Н-ооилиа = — оо).
Сделаем подстановку ж = 1/и. Тогда получим функции F(u) = f(l/u),
Ф(и) = ip(I/и) от и. Они непрерывны в окрестности точки 0 (при а =
= +оо или а = — оо в правой или левой окрестностях точки 0), имеют
производные (по и) в этой окрестности и Ф, так же как Ф' не равны нулю
в ней.
При этом
lim F(u) = lim f(x) = 0 и lim Ф(и) = lim ip(x) = 0. E)
Далее, если существует lim^^oo *i?J\ •> то, очевидно, существует равный
ему предел:
F'{u) f(l/u)(-l/u2) f'{x)
lim ; : = lim ;/ ') ' ' = lim ; ; . F)
Поэтому на основании уже доказанного выше (для конечного а)
r fix) .. F(u) Ff(u) f'{x) _
lim ; : = lim т, . = lim ' ч = lim ,) . . G)
ж^оо ip[x) u^O Ф{и) и^О Ф'(и) ж^оо (р'(х)
Этим теорема доказана.
Случай оо/оо. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и (р(х) непрерывны и име-
имеют производные f и ip' в окрестности (в частности, в правой
или в левой окрестности) точки а (конечной или бесконечной), за
исключением самой точки а. При этом ср' ф 0 в указанной окрест-
окрестности и
lim f(x) = lim ip(x) = оо (+оо или — оо). (8)
Тогда если существует
lim tjp- = A, (9)
то существует равный ему предел
Yim^ ^ = Шпа 4Йу = А- A0)
б С.М.Никольский
162 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Доказательство. Зададим произвольную последовательность
точек Xk {xk ф а), стремящуюся к а (жд. —>• а).
Так как по условию f(xд.) -4- оо, (f(xk) —>- оо, то каждому натураль-
натуральному к можно привести в соответствие натуральное п& > к (n& > n^—i)
такое, что
k\f(xk)\ < \f(znk)\, к\<р(хк)\ < \ф(хПк)\, к = 1,2,...
Следовательно,
f(xk) = o(f(xnk)), (p(xk) = о((р(хПк)), к -+ оо.
Поэтому (см. теоремы 1 и 2 § 4.10) для некоторых ?& G {хк,хПк)
lim 4Ц = 1- ^^l^^ = Km Щ = А, A1)
Л = 1,2,...,
потому что при /с —>- схэ ж/2 —>- а, следовательно, жП/г —>- а (к < п^) и
?& -4- а. Мы доказали, что из всякой последовательности < /^fc\ r можно
выделить подпоследовательность < , к^ >, для которой
hm —7—^- = А.
Но тогда (см. теорему 9 § 4.1) существует предел
lim Щ=А
и выполняется равенство A0).
В равенстве A0) существование второго предела влечет существо-
существование ему равного первого, но не наоборот, как показывает следующий
пример: предел
х — s'mx ,. Л sinx\
lim = lim 1 = 1
X )
существует, между тем как предел при х -Л оо отношения производных
A — cosx)/l не существует.
Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление
предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела
§5.15. Асимптота 163
отношения их производных, называют правилом Лопиталя, по имени
математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма
простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до
Лопиталя*).
Другие неопределенности. Нам остается еще рассмотреть
другие виды неопределенностей. Их можно свести к предыдущим.
Если / -4- оо и ер —>• оо, то пишем / — ср = (— — 4) : -р- и получаем
неопределенность вида 0/0.
Если же /—т-0 и (^ —)> оо, то пишем ftp = w—, что приводит к
неопределенности вида 0/0.
Выражения uv, приводящие к неопределенностям 0°, оо°, 1°°, удоб-
удобно логарифмировать, что приводит к неопределенностям вида 0 • оо.
Например, Нтж^а uv = ehirix^a vlnu^ если предел показателя сте-
степени в правой части конечный. Если же последний равен +оо, — оо, то
предел левой части равен соответственно +оо, 0.
Пример 5.
у In ж 1/х
lim = lim -r— = 0.
х
Пример 6.
lim ж In ж = lim —г- = — lim 2 = 0.
ж>0 ж>0 ж>0
Пример 7.
lim х е~х = lim — = lim — = ... = lim —^ = 0,
jfe = 1,2,...
§ 5.15. Асимптота
Пусть задана кривая (или ветвь кривой) Г, определяемая уравне-
уравнением
у = /(ж), х > N, A)
где f(x) — непрерывная для любого х > N функция. Можно считать
точку А = (ж, /(ж)) кривой Г зависящей от х.
Пусть, кроме того, задана прямая L:
у = ах + Ь B)
*) Г. Ф. Лопиталь A661-1704) — французский математик. И. Бернулли
A667-1748) — швейцарский математик.
164 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
(а, Ъ — постоянные числа). Если расстояние от точки А кривой до пря-
прямой L стремится к нулю при неограниченном возрастании ж, то пря-
прямая L называется асимптотой кривой Г, соответствующей стремле-
стремлению Ж К +00.
Итак, пусть L есть асимптота Г при ж —> +оо. Уравнение L в нор-
нормальном виде записывается так:
Поэтому расстояние точки А = (ж, f(x)) кривой Г до L равно р(х) =
= \f(x) — ах — Ь|/у1 + о^. Так как L — по условию асимптота Г при
х —> +оо, то lim^^+oo р(х) = 0. Отсюда
lim (/(ж) - ах - Ъ) = 0. C)
^ + оо
Поэтому lim (&& - а - ±) = lim (&& - а) = 0, т.е.
^ + \ х х) ^ + \ х )
Из сказанного понятно, как надо поступать, чтобы найти асимпто-
асимптоту Г при х —>• +оо. Надо взять предел D). Если он не существует, то
кривая Г не имеет асимптоты. Если же предел D) существует и равен а,
надо вычислить предел
lim (/(ж) - ах) = Ъ. E)
Если на самом деле предел E) не существует, то кривая Г не имеет асимп-
асимптоты при ж —>- +оо. Если же он существует, то полученные константы а
и Ъ определяют прямую, которая и есть асимптота Г при ж —> +оо. Так
как пределы D) и E) если существуют, то единственны, то непрерывная
кривая Г (или ветвь кривой), определяемая равенством A), либо не име-
имеет вовсе, либо имеет единственную асимптоту при ж —>- +оо.
Аналогично определяется асимптота при ж —> — оо непрерывной кри-
кривой (ветви кривой)
y = f(x), x<-N, F)
а также асимптота при ж —>• оо кривой
у = f(x), N < \х\ G)
(состоящей из двух ветвей, соответствующих ж > N и ж < —N).
В проведенных выше рассуждениях надо считать в случае F), что
ж —>- —оо, а в случае G), что ж —>- +оо.
Если кривая Г (или ветвь кривой) определяется уравнением у =
= /(ж), а < х < 6, где/(ж)—непрерывная функция на интервале
(а, 6), обладающая свойством Нтж^а /(ж) = +оо, то в этом случае
ж>а
естественно называть прямую х — а асимптотой Г. Во всяком случае,
§5.15. Асимптота 165
прямую х = а принято называть асимптотой Г, если непрерывная
функция /(ж) стремится к оо при х ^ аи строго монотонна в правой или
левой окрестности точки х = а. Ведь тогда кривую Г можно записать
в виде х = (р(у), где у, положительное или отрицательное, достаточно
велико по абсолютной величине и прямая х = а, очевидно, является
асимптотой Г в указанном в начале параграфа смысле.
Замечание. Задачу о нахождении асимптоты кривой у = f(x)
при х —> оо можно рассматривать как задачу о линеаризации функции
f(x) на бесконечности.
Ставится вопрос о нахождении линейной функции Ах + В такой,
чтобы
f(x) = Ах + В + оA), х -^ оо.
Эта задача и была решена выше. Оказалось, что в одних случаях имеется
решение, а в других нет.
Пример 1. Отдадим себе отчет, какой вид имеет график Г функции /(ж) =
Предел Шпж^+оо ^р- = Птж^+оо(^ + 1 + ^-) = 1. Но уже предел
этого отношения при ж —»• — оо равен +оо.
Далее, Птж^+оо(/(ж) — ж) = 0. Таким образом, у = х есть асимптота Г
при ж —>• +оо. Прямая х = 0 тоже есть асимптота Г при стремлении ж к 0 справа
и слева:
lim /(ж) = +оо, lim /(ж) = —оо.
х>0 х<0
Найти корни уравнения /'(ж) = 0 не удается. Но очевидно, что
^ 0, х>0,
X
lim f (ж) = —оо, lim f (ж) = 1.
Таким образом, /'(ж) на @, оо) строго возрастает и существует только одно зна-
значение жо > 0, где /'(жо) = 0. Функция /(ж), очевидно, убывает на @, жо) от +оо
до /(жо), затем возрастает, и при этом ее график имеет при ж —>• +оо асимптоту
I/ = ж и весь находится над последней.
На интервале (—оо, 0)
потому что — 1/ж < 0 и 1 — е~ж < 0. Учитывая это, легко видеть, что /(ж) на
(—оо, 0) строго убывает от +оо до — оо. Далее,
ell / \ 2 _ж
/ (ж) = __+е ,
f"\x) = -JL-e-x <0 на (-оо,0),
ж4
lim / (ж) = +оо, lim / (ж) = —оо.
у оо 0
х—у — оо
166 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Поэтому на (—оо, 0) имеется и притом единственная точка х\ перегиба графика
/(ж). На (—оо, х\) график / обращен выпуклостью вниз, а на (#i, 0) —выпуклос-
—выпуклостью вверх (см. схематический график, рис. 5.11).
Пример 2. Кривая у = \/х (х ^ 0) не имеет асимптоты, потому что хотя
предел
lim —— = 0
и существует, все же предел Птж^._|_о
— 0) = оо не конечный.
§ 5.16. Схема построения графика функции
Если нужно в общих чертах представить себе график функции у =
= /(ж), могут помочь следующие указания.
1. Найти область п значений ж, где функция / определена.
2. Найти точки Ж]_,Ж2,..., где /'(ж) = 0 или производная не су-
существует, в частности равна оо. Вычислить значения / в этих точках:
f(xi)j f(x2)j • • • ? если они существуют, и
У * определить, не являются ли они точками
максимума, минимума. Если / не опреде-
определена в какой-либо из точек ж&, то важно
знать пределы /(ж& — 0), /(ж&+0), важно
также определить пределы
/(-оо) = ^2пп^/(ж),
/(+оо) = lim /(ж),
если они имеют смысл.
3. Область П разделяется точками ж&
Рис. 5.11 на интервалы (а, Ь), на каждом из которых
f'{x) ф 0. Среди них могут быть бесконеч-
бесконечные интервалы (вида (—оо,с) или (d,+оо)). Будем считать, что
производная /'(ж) непрерывна на каждом таком интервале (а, Ь). Тогда
/'(ж) на (а, Ь) сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда станет
известно, будет ли / возрастать или убывать на (а, Ь).
4. Важно отметить на каждом интервале (а, о) точки
т, Л г*. _ h — п 1 9
где /"(ж) = 0, и определить соответствующие значения функции
В этих точках могут быть точки перегиба кривой у = /(ж). Эти точки в
свою очередь делят (а, Ь) на интервалы, на которых вторая производная,
если она существует, сохраняет знак.
§5.16. Схема построения графика функции
167
Выяснение знака /"(ж) дает возможность узнать направление вы-
выпуклости кривой (вверх или вниз).
5. Если возможно, надо решить уравнение /(ж) = 0 и выяснить ин-
интервалы, на которых / сохраняет знак (/(ж) > 0 или /(ж) < 0).
6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е. найти пределы
lim
Ь
lim (f(x) — кх) = 6,
^Ьоо
если они существуют.
На основе этих сведений желательно составить таблицу примерно
следующего вида:
X
у'
У
у"
У
(-оо,0)
>0
возрастает
асимптот
нет
<0
выпукла
вверх
0
0
0
<0
max
(о,*)
<0
убывает
<0
выпукла
вверх
1
2
3
~2
1
~2
0
перегиб
<0
убывает
>0
выпукла
вниз
1
0
-1
>0
min
A,оо)
>0
возрастает
асимптота
у = х-3
>0
выпукла
вниз
На основании данных этой таблицы график функции у = f(x) имеет
вид, как на рис. 5.12.
Конечно, этот график передает нам точные значения / только в трех
точках (х = 0, |, 1), остальные значения / взяты на глаз, но он дает
представление об общем поведении у
функции. Если бы мы захотели про-
табулировать ее более детально, на- О
пример вычислить ее на некотором
интервале для значений ж, отстоя-
отстоящих друг от друга на 0,001, то при-
пришлось бы воспользоваться теми или
иными вычислительными устройст-
устройствами (калькулятором и др.), но и в
этом случае для ориентации пред-
предварительно полезно узнать схемати-
схематический график функции, подобный ' Рис. 5.12
рис. 5.12.
а
2
-1
Пример. Построить кривую, заданную параметрически:
х =
у = te
— оо < t < +оо.
A)
168 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
Решение. Построим сначала график функции ж = tet. Эта функ-
функция задана на всей оси, неограниченная, непрерывная и дифференцируе-
дифференцируемая на (—ею, ею); ж > 0 при ? > 0; х < 0 при ? < 0; х = 0 при ? = 0.
Далее, ж' = A + t)e*. Уравнение ж'(?) = 0 имеет единственный корень
? = — 1. При этом, очевидно, ж' > 0 при ? > — 1, ж' < 0 при ? < — 1. Та-
Таким образом, функция ж(?) возрастает при ? > — 1 и убывает при ? < — 1.
В точке ? = — 1 функция ж(?) имеет локальный минимум, ж(—1) = —е~1.
На самом деле, это, очевидно, минимум на (—сю, сю).
Исследуем функцию на выпуклость: х" = B + ?)е*; ж" > 0 при
? > -2; х" < 0 при ? < -2; ж"(-2) = 0. Значит, на (-со, -2) график
выпуклый вверх, а на (—2, сю) выпуклый вниз, t = — 2 — точка перегиба.
Далее,
lim — = 0,
t—>• — сю ?
lim [te* - 0] = 0,
t—t — oo
т. е. ж = 0 — горизонтальная асимптота.
На основании этого график функции имеет вид, как на рис. 5.13. Об-
Область значений функции есть X = [—е, сю).
-2
2 t
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Аналогично можно построить график функции у = te l (рис. 5.14).
Область значений этой функции есть Y = (—сю, е~1). На (—сю, 1) функ-
функция у = te~l строго возрастает от — сю до у — е, в точке t = 1 до-
достигает максимума (локального и на (—сю, сю)). На интервале A, сю) она
строго убывает к нулю при t —>• +со и имеет, таким образом, асимптоту
у = 0 при t —>- +со. Отмечена еще точка ? = 2, в которой кривая имеет
перегиб. На (—сю, 2) кривая обращена выпуклостью вверх и на B, сю) —
вниз.
Теперь мы переходим к более трудной задаче — начертить схемати-
схематический график кривой A). Обозначим ее через Г. Функции, определяю-
определяющие Г, непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз. Мы использу-
используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференциру-
дифференцируемы. Отметим, что Г — гладкая кривая, потому что производные (по ?)
от функций х = ip(t) — te1 и у = ip(t) — te~l одновременно не равны
нулю.
Обозначим через Гх и Г2 ветви Г, на которых соответственно x't < 0
и x't > 0. Таким образом (см. рис. 5.13 и 5.14),
A) Г
соответствует
A )
t р ( р ),
изменению ? Е (—сю, — 1), Г2 соответствует изменению ? Е (—1, сю).
§5.16. Схема построения графика функции
169
в
Рис. 5.15
На Гх функция х = cp(t) строго убывает от ср(—оо) = 0, до
(р(—1) = -е, и ее можно обратить, а функция у = ?/>(?) строго воз-
возрастает от ф(—оо) = —оо до ^(—1) = —е. Отсюда следует, что ветвь Fi
описывается явной функцией
Она изображена на рис.5.15 — ниже точки А. Когда t возрастает от — оо
до — 1, абсцисса х точки Fi убывает от 0 до — е~ г, а ордината у возрастает
от—оодо—е. Так как ж'(—1) =0 и^(-1) / 0, то касательная в точке А
параллельна оси у. К тому же Г расположена правее касательной — ведь
на рис. 5.13 видно, что все точки Г имеют абсциссу х ^ —е~1.
В любой точке t кривой Г, отличной от А, т. е. при t ф — 1 производ-
производная х' (t) не равна нулю и
v' = y± = - ie-2t
у': =
V-t o-2t
dx
Отсюда
A +
У'х
t2-2
= 2- гте"
=o.
B)
C)
D)
Нас сейчас интересует значение t = —л/2, которому соответствует
точка В= (-V2e-^,-V2e^) e Гь
Из C) видно, что если t < —л/2 (т. е. на части Fi ниже точки В), то
у'1 < 0 и Fi обращена выпуклостью вверх. Если же —л/2 < t ^ — 1
170 Гл. 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
(т.е. на дуге АВ), то ух > 0 и Гх обращена выпуклостью вниз. Таким
образом, В есть точка перегиба Гь
Переходим теперь к Г2 (—1 < t < 00). Как видно из рис. 5.13
и 5.14, на интервале — 1 < t < 1 функции ж = cp(t) w у = ip(t) строго
возрастают, но тогда и функция от х
у = гр((р~1(х)), -е < х < е,
строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен
выпуклостью вверх (см. C)). Это изображено дугой АС С Гг. Что
же касается точки С, то в ней ух = 0 (^(е) = f/щ = рш — 0), и
так как в ней к тому же график обращен выпуклостью вверх, то С есть
точка локального максимума функции у (х). При ж > е (т. е. t > 1) x(t)
возрастает, a y(t) убывает к нулю. Это показывает, что при х —> +оо
функция у(х) стремится к нулю, убывая. При этом ж(л/2) = л/2е^2
есть точка перегиба графика у{х). Слева от этой точки график обращен
выпуклостью вверх, а справа — вниз (см. C)).
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции
Функцию / мы называем гладкой на отрезке [а, Ь], если она имеет
непрерывную производную на этом отрезке.
В этом определении под производной в точках а, Ъ понимается соот-
соответственно правая и левая производная в этих точках. Гладкая на [а, Ъ]
функция автоматически непрерывна на [а, 6], ведь она имеет всюду на
[а, Ъ] производную.
Другое эквивалентное определение гласит: функция / гладкая па
[а, Ь], если она непрерывна на отрезке [а, Ъ] и имеет на интервале (а, Ъ)
непрерывную производную ff(x) такую, что существуют пределы
f'(a + 0)=A, f'(b-O) = B. A)
Ясно, что первое определение влечет второе. Допустим теперь, что /
гладкая в смысле второго определения. Тогда
f(a + h)-f(a)=fl{a + eh)^A h>Q^ ft^0; Q<e<^ B)
п
и, следовательно, / имеет производную (правую) в точке а, равную
f'{a) = А. В силу первого равенства A) она непрерывна (справа) в
этой точке. Аналогично доказывается существование и непрерывность
производной / в точке Ъ и равенство ff(b) = В. Следовательно, /
гладкая также и в смысле первого определения.
§5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции 171
Функция / называется кусочно непрерывной на отрезке [а, Ь], если
он может быть разделен точками:
а = хо < х\ < ... < хп = Ъ,
так, что / окажется непрерывной на каждом интервале (ж^яч+i)- Но
при этом существуют пределы f(xi + 0), f(xi+i — 0).
Функцию / назовем кусочно гладкой на отрезке [а, Ь], если он может
быть разделен точками:
а = хо < х\ < Х2 < ... < хп = Ъ, C)
в конечном числе так, что / окажется непрерывной вместе с производ-
производной /' на каждом частичном интервале (xj , xj+i), j = 0,..., п — 1, и при
этом существуют пределы
Таким образом, функция / делается гладкой на отрезке [xj,xj+i],
если положить
f{xj) = f{Xj + 0), f(xj+1) = f(xj+1 - 0).
1 2
На рис. 5.16 изображен график функции у = [х] — целая часть ж, очевид-
очевидно, кусочно гладкой.
Важным частным случаем кусочно гладкой
функции является непрерывная кусочно гладкая
на отрезке [а, Ь] функция /. Для нее имеют место
следующие характерные свойства:
1) / непрерывна на [а, Ь]; 2) существует разби-
разбиение C) отрезка [а, Ь] такое, что / является глад-
кой функцией на каждом из частичных отрезков
[xj,Xj+i]. Рис. 5.16
Упражнения.
1. Показать, что функция, изображенная на рис. 5.16, кусочно гладкая. По-
Показать еще, что функции, изображенные на рис. 5.1, e-е, не являются таковыми.
Пояснение. Учесть, что эти функции в точке ж о имеют бесконечные про-
производные, во всяком случае, правые и левые.
(О, х = 0,
2. Показать, что функция f (х) = < о -. . не является
(^ х sin^, 0 < х\ ^ 1,
гладкой на отрезке [—1, +1], несмотря на то, что она имеет производную во всех
точках этого отрезка.
3. Показать, что если функция / непрерывная, но не гладкая на отрезке [а, Ь], и
в то же время гладкая на каждом из отрезков [а, с], [с, Ь], то / не имеет производной
в точке с, хотя и имеет в этой точке правую и левую производные.
4. Показать, что если / непрерывна и имеет производную /' во всех точках
[а, Ь], то последняя не может иметь разрывы первого рода (производная от / в
примере 2 хотя и существует всюду на [—1, +1], но имеет в х = 0 разрыв второго
рода).
Глава 6
n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество
Произвольную упорядоченную систему х = (х\,..., хп) из п дей-
действительных (комплексных) чисел Xj называют вектором или точ-
точкой п-мерного действительного (комплексного) пространства Rn
(Сп). Таким образом, Rn есть множество всех указанных х.
Векторы (точки) х, у Е W1 мы будем складывать, вычитать и умно-
умножать на них действительные (комплексные) числа, руководствуясь сле-
следующим правилом: если х = (х\,..., жп), у = (у\,..., уп) и а, E —
действительные (комплексные) числа, то
ах ± (Зу = (ах! ± /fyi,..., ахп ± (Зуп).
Вектор (точку) 0 = @,... ,0) называют нулевым вектором (точ-
(точкой) Rn. Очевидно х + 0 = х для любого х Е Мп. Полагают еще
(—1)х = —х, и тогда, очевидно, х — у = х + (—у).
В приложениях (в геометрии, в механике) говорят, что х =
= (ж1,...,жп) есть вектор, начало которого есть нулевая точка, а
конец — точка х = (х\,..., хп). В двумерном и трехмерном случаях
(п = 2,3) такая терминология имеет наглядный смысл.
Непосредственно проверяется выполнение следующих свойств
(х, у, z Е Мп, а, Р — действительные (комплексные*)) числа):
1) х + у = у + х; 5) ах + /?х = (а + /?)х;
2) (x + y)+z = x + (y + z); 6) а(/3х) = (а/3)х;
3) из x + y = x + z следует у = z; 7) 1 • х = х;
4) ах + ау = а(х + у); 8) 0 • х = 0.
Множество i? элементов х, у, z,... любой природы называется ли-
линейным действительным (комплексным) множеством с нулевым
элементом 0, если для любых двух элементов х, у Е Е в силу некото-
некоторого закона определен элемент х + у Е i?, называемый их суммой, и если
для любого действительного (комплексного) числа а и любого элемента
х G ^ определен также элемент ах Е i? (произведение а на х) и при
этом выполняются перечисленные выше свойства (аксиомы) 1)-8).
*) О комплексных числах см. §8.2.
§6.2. Евклидово п-мерное пространство 173
Из сказанного следует, что Rn можно рассматривать как пример
линейного множества. Но существуют и многие другие такие при-
примеры. Множество всех последовательностей действительных или комп-
комплексных чисел х = (х\, Ж2,...), если считать, что
ах + /3у = (axi +Cyi,ax2 + /^2,...)> У = B/1? 2/2, • • •),
есть линейное множество. Его подмножество, состоящее из сходящихся к
конечным числам последовательностей, с тем же определением сложения
и умножения на число, очевидно, также есть линейное множество. Мно-
Множество С всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций / (действительных
или комплексных), если считать, как обычно, что
af + /3(p = af(x) + /Эф), f,<peC,
есть тоже, очевидно, линейное множество.
Наконец, множество многочленов Рп(х) = ^о akxk степени не вы-
выше п есть также линейное множество, если понимать их сложение и ум-
умножение на число в обычном смысле.
В списке аксиом 1)-8) ничего не говорится явно о вычитании элементов. На
самом деле это понятие возникает на основе этих аксиом.
В самом деле,
х + О = 1-х + 0-х=A + 0)х=1-х = х.
Полагая — х = (—1)х, получим
х + (-х) = 1 • х + (-1)х = A - 1)х = 0.
Теперь определяем разность х — у как такой элемент z, что
у+ z = х.
Очевидно, z = х + (—у), потому что
у + х+(-у) = х + 0 = х.
Другого такого элемента нет, потому что если бы
у+ z = у+ zi,
то
(-У) + У + z = (-у) + у + zi,
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство.
Пространство со скалярным произведением
Пусть Rn есть действительное n-мерное пространство. Произволь-
Произвольным его точкам (векторам)
х = (жь...,жп), у = B/1,...,2/те)
приведем в соответствие число
п
(х,у) = ^ж^-, A)
174 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
называемое скалярным произведением векторов х и у.
Скалярное произведение, очевидно, обладает следующими свойст-
свойствами:
1)(х,у) = (у,х);
2) (х, у) есть линейная форма по х, т. е. для любых векторов х, у, z
и чисел а, C
(ах + /?у, z) = а(х, z) + /?(у, z);
таким образом, в силу 1)
(х, ау + /3z) = а(х, у) + /3(х, z); B)
3) (х, х) ^ 0 для любого вектора х, а из равенства (х, х) = О
следует, что х = 0, так как тогда Xj = 0, j = 1,..., п.
Введем следующее определение: если Е есть линейное действитель-
действительное множество и любым его двум элементам х, у приведено в соответ-
соответствие число (х,у), подчиняющееся условиям 1)-3), то будем говорить,
что Е есть линейное пространство со скалярным произведением (где
введено скалярное произведение).
Теперь можно сказать, что пространство Rn, в котором введено
понятие A), есть пространство со скалярным произведением.
Известны и другие линейные пространства со скалярным произведе-
произведением. Некоторые из них мы будем изучать (см. гл. 14).
Пусть х и у — два элемента какого-либо линейного множества Е,
где введено скалярное произведение, и Л — произвольное действительное
число. Тогда в силу свойств 1)-3)
О ^ (х + Лу,х + Лу) = (х,х) + 2Л(х,у) + Л2(у,у). C)
Полагая
Л= (*,У)
(у» у)'
получим
Поэтому из C) следует:
и мы получили важное неравенство (неравенство Буняковского *)).
|(x,y)K(x,xI/2(y,yI/2. E)
При (у, у) = 0, т.е. если у = 0 есть нулевой элемент, оно тоже верно,
потому что (х, 0) = (х, 0 • 0) = 0(х, 0) = 0.
*) В. И. Буняковский A804-1889) —русский математик, академик.
§6.2. Евклидово п-мерное пространство
175
Далее, для любых двух элементов х, у Е Е имеем
(х + у, х + у) = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) ^
+ 2^/(х^У у/&у) + (У, У) = (>/М + \/
и мы получили другое важное неравенство
(х + у,х + уI'2 < (х,хI/2 + (у, уI/2.
F)
G)
Арифметическое значение корня квадратного из (х, х) называется
нормой х и обозначается так: ||х|| = (xjxI/2 (см. следующий пара-
параграф).
n-мерное пространство Rn, где введено скалярное произведение A),
называется евклидовым п-мерным пространством.
Неравенства E), G) для элементов евклидова n-мерного про-
пространства превращаются в следующие неравенства для систем чисел
() ()
1/2
1
1
1/2
Из (8) следует неравенство
?<
l x l
а из (9) следует неравенство
1/2
1/2
l
1/2
1/2
те ч
1 у
1/2
'2
1/2
(8)
(9)
A0)
(И)
потому что можно считать, что эти неравенства применены к неотрица-
неотрицательным числам
1 \Уз
Отметим еще неравенства
Рх2
2X3
1/2 п
Е
Xj\.
A2)
176 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Первое из них вытекает из A0), если считать yj = 1, j = 1,..., п, а вто-
второе проверяется непосредственно после возведения его частей в квадрат.
Соотношение (8) называется неравенством Коши, а (9) есть част-
частный случай неравенства Минковского.
§ 6.3. Линейное нормированное пространство
Если Е есть линейное множество элементов х, у,... и каждому его
элементу х приведено в соответствие число ||х||, удовлетворяющее ниже
формулируемым трем свойствам 1)-3), то говорят, что Е есть линейное
нормированное пространство, а число ||х|| называют нормой элемен-
элемента х.
1) ||х|| ^ 0 для любого х Е Е] из равенства ||х|| = 0 следует, что
х = 0, т. е. есть нулевой элемент линейного множества Е.
2) ||ах|| = |а|||х|| для любого х Е Е и любого числа а (комплексного
или действительного, в зависимости от того, будет ли Е комплексным
или действительным).
3) ||х + у || ^ ||х|| + ||у ||, каковы бы ни были х, у Е Е.
Евклидово пространство Rn есть нормированное пространство, если
в качестве нормы х Е W1 взять
11x11 = |х
1/2
2 * • A)
Чтобы доказать, что величина A) есть норма, надо проверить, что
для нее выполняются свойства 1)-3) нормы. В самом деле,
1) ||х|| ^ 0 (если же 0 = ||х|| = (J2ixl) , то все координаты
Xi = 0,т.е. х= @,... ,0) = 0);
о\ М^М _ (\^п(П/Т.\2\/ _ \п,\(\^п т?]/ — \rv\ . llvll-
z) цахц — ^2^i \axi) ) — \a\\Z^i xi) — \a\ llxlb
3) ||x + y|| ^ ||x|| + ||y|| (это есть неравенство A0) предыдущего
параграфа).
Обычно в случае евклидова пространства Rn (но только в этом слу-
случае) норму в точке х записывают так:
и мы будем именно так поступать.
Отметим, что в двух- и трехмерном евклидовых пространствах нор-
норма х есть длина вектора х.
Возможны и другие (не евклидовы) нормировки пространства Rn.
Например, для точек (векторов) х = (xi,... ,жп) Е Мп можно ввести
норму
||х|| = max{|xi|, |ж2|,... , |жп|} B)
или
1/р
§6.4- Вектор-функция в п-мерном евклидовом пространстве 177
Тот факт, что B) есть норма, так же как то, что C) при р = 1 есть норма,
читатель легко может проверить.
Неравенство 3) называется неравенством треугольника. В дву-
двумерном или трехмерном случае евклидова пространства оно как раз и
выражает известный геометрический факт, что длина стороны треуголь-
треугольника не превышает суммы длин остальных его двух сторон, и кстати до-
доказывает этот факт аналитическим путем.
Из неравенства 3) следует (если заменить в нем х на х — у или у
на у — х), что
поэтому
||х-у||>|||х||-||у|||- D)
В нормированном пространстве Е можно определить понятие пре-
предела. Будем говорить, что последовательность элементов хп Е Е схо-
сходится (стремится) к элементу х Е Е, и писать xn —> x или
limxn = х, п -4- оо, если ||хп — х|| —> 0, п —> оо.
Если последовательность элементов хп Е Е имеет предел
х Е Е, то этот предел единственный, потому что из того, что
хп ->> х, хп ->> у, следует
||х - у|| = ||(х - хп) + (хп - у)|| ^ ||х - хп|| + ||хп - у|| ->> О,
откуда ||х — у|| =0, т.е. х = у.
Так как | ||хп|| — ||х|| | ^ ||хп — х|| —> 0, то из того, что хп сходится
к х, следует, что ||хп|| стремится к ||х||:
||хп|| ->> ||х||, n ^ оо.
Если хп,уп,х,у е Е, а ап,а — числа и если хп ->> х, уп ->> у,
ап -> а, то
lim (xn ± уп) = х ± у, lim (anxn) = ax.
В самом деле,
||(х±у) - (хп±уп)|| ^ ||х-хп|| + ||у-Уп|| -^0, п^ оо,
||ах-апхп|| = ||(а-аГ1)х + аГ1(х-хГ1)|| ^ ||(а - ате)х|| +
+ ||ап(х — хп)|| ^ \а — ап\ ||х|| + \ап\ ||х — хп|| -^ 0, п -^ оо.
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве
Пусть Е есть множество действительных чисел t. Если каждому
t Е Е в силу определенного закона приведен в соответствие вектор *)
n-мерного пространства
x = x(t) = (xi(t),x2(t),... ,xn(t)), A)
то будем говорить, что этим определена вектор-функция х(?) на Е.
*) Мы будем иметь в виду векторы х, принадлежащие действительному про-
пространству Шп, но ничего в наших рассуждениях не изменится, если считать их при-
принадлежащими комплексныму пространству С п.
178 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Обычные функции a(t) (приводящие в соответствие каждому t Е Е
число a(t)) называют также скалярными функциями.
Будем говорить, что вектор-функция x(t) имеет предел в точке to,
равный вектору у = (?д,..., уп), и писать
limx(t)=y или x(t)^y, t -+ t0, B)
если
lim |y-x(i)|=0, C)
или, что все равно (пояснения ниже), если
lim xj(t) =yj, j = l,...,n. D)
t—>Tq
Равенство C) утверждает, что скалярная функция |у — x(t) | от t име-
имеет предел при t —>• to, равный нулю, но это, как мы знаем, предполагает,
что она определена на некоторой окрестности точки to, за исключением,
быть может, самой точки to, но тогда и все компоненты Xj (t) определены
на этой окрестности.
Имеют место неравенства (см. § 6.2, A0))
I п , п х 1/2
^ — Y, \Уз - ХМ ^ "Е(Уз - хз(*)J = |У - х(*)|,
из которых следует, что если выполняется C), то выполняется и D) для
всех j = 1,..., п, и наоборот.
По определению вектор-функция x(t) непрерывна в точке to, если
существует предел limt^tox(^M равный x(to).
Это определение, очевидно, эквивалентно утверждению, что компо-
компоненты Xj(t), j = 1,..., п, в точке to непрерывны.
Производная от вектор-функции x(t) в точке t определяется как пре-
предел:
dx x(t + /i)-x(t) Ax
x(t) = — = hm — j — = lim —— ,
dt h^o h h^o h
если, конечно, он существует. Производная порядка т от x(t) определя-
определяется по индукции:
dmx d d™-1*
23
При этом, очевидно, существование ее влечет за собой существование
производных ттг-го порядка от компонент и наоборот, т.е. имеет место
равенство
§6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая 179
Производные первого и второго порядков обозначают и так:
х = х(?), х = х(?).
Если х(?), у(?) — вектор-функции, a a{t) — скалярная функция, то
имеют место равенства
lim (x(?) ±y(t)) = lim x(t) dh lim у(?),
lim (a(t)x(t)) = lim a(?) lim x(t),
d dx dy d dx da
— (x ±y) = — ± —— , —(ax) = a——h — x,
(JLV (JLV (JLV (JLb (JLb CLL
где, конечно, предполагается, что пределы или производные, фигуриру-
фигурирующие в правых частях равенств, существуют. Эти равенства тривиаль-
тривиальным образом доказываются переходом от векторов к соответствующим
координатам; например,
lim (x(t) ± y(t)) =
= (lim xi(t)± lim зд (?),... lim xn(t) ± lim
= (lim xi(t),... lim xn(t)) ± (lim yi(t),... , lim
= lim x(t) ± lim y(t).
Но можно рассуждения проводить чисто векторным путем, например,
полагая limt^t0 a(t) — /^5 limt^t0 XW = У? получим
|a(t)x(t) - /Зу| < |(a(t) - /3)x(t)| + |/3(x(i) - у)| <
< \a(t) - 0\ |x(i)| + \0\ |x(i) - у| ->• 0 ¦ |у| + |/3| ¦ 0 = 0, t -> «о-
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая
Пусть задана непрерывная вектор-функция
х(?) = (т(*),... ,жп(*)), a^t^6. A)
Множество всех точек x(t) E Mn, t E [а, Ь], упорядоченное при помощи
данного параметра ?, называется непрерывной кривой. Мы ее будем
обозначать, например, буквой Г.
Когда t возрастает от а до 6, точка х(?) выходит из некоторой точки
А = х(а) Е Мп и приходит в некоторую точку В = х(Ь) Е Мп.
180 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Говорят, что параметр t ориентирует данную кривую Г. При п =
= 2, 3 кривая Г приобретает реальный смысл (рис. 6.1). На ней можно
отметить стрелку, указывающую общее направление движения точки
х(?) по Г при возрастании t.
Если сделать замену t на г при помощи строго возрастающей непре-
непрерывной функции t = А(т), т Е [с, d], то получим новую вектор-функцию
х(А(т)) = (Ж1(А(т)),...,Жп(А(т))), геМ, B)
определяющую ту же кривую Г, но уже при помощи параметра т. В
данном случае, когда г возрастает от с до d, возрастает также t от а до Ъ.
Говорят, что в этом случае замена t на т не
изменяет ориентацию Г.
Другое дело, если функция t = Л (г) строго
убывает. Тогда А(сГ) = а, Л (с) = Ъ и теперь
d < с, и когда г возрастает от d до с, пара-
параметр ? убывает от Ъ до а и направление
*~ движения подвижной точки х Е Г изменяется на
х противоположное. В этом случае говорят, что
вектор-функция B) определяет ту же кривую,
Рис. 6.1 но ориентированную противоположно.
Подчеркнем, что вектор-функция A) опреде-
определяет не только кривую Г (множество точек), но и ее ориентацию (ха-
(характер упорядочения точек х(?) при помощи t). В знак того, что Г уже
мыслится как упорядоченное (посредством t или т) множество, пишут,
например, Г+.
Ту же кривую Г, ориентированную противоположно, можно обозна-
обозначить теперь через Г_.
Вместо того, чтобы говорить "кривая, определяемая вектор-функ-
вектор-функцией х(?)", будем часто говорить "кривая х(?)".
Кривая Г называется гладкой па [а, Ь] (на (а, 6)), если ее можно *)
задать при помощи гладкой вектор-функции х(?), т.е. непрерывной и
имеющей непрерывную не равную нулю производную на [а, Ь] (на (а, 6)),
или, что, очевидно, все равно, если компоненты Xj(t) вектор-функции
х(?) есть гладкие скалярные функции на [а, Ь] (на (а, 6)), имеющие произ-
производные, одновременно не равные нулю:
(а, Ъ)). C)
Мы будем называть параметр г допустимым параметром гладкой
кривой Г, если он связан с t при помощи равенства t = А(т), т Е [с, d]
*) Здесь слово "можно" существенно, так как гладкую вектор-функцию мож-
можно "испортить", введя новый параметр т при помощи подстановки t = А(т), где
Л (г) — строго монотонная непрерывная функция, имеющая производную, равную
нулю в отдельных точках или вовсе не имеющая производной в некоторых т.
§6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая 181
(е (с, бГ)), где Л (г) не только непрерывна и строго монотонна, но имеет
непрерывную производную, не равную нулю на [с, d] (на (с, б?)). Таким
образом, производная Л'(г) на самом деле имеет один и тот же знак на
[с, б?] (на (с, б?)): + или —. Если т — допустимый параметр, то сфор-
сформулированное выше на языке t определяющее свойство гладкой кривой,
очевидно, сохранится, если его формулировать на языке т, потому что
вектор-функция х(А(т)) = х*(т) имеет непрерывную производную на
[с, d] (на (с, б?)), к тому же не равную нулю:
п п
^2(г) = Л/2(г) ^^-2(?) > 0.
3=1 3=1
В двумерном случае гладкая кривая определяется двумя уравнени-
уравнениями:
где ср и ф имеют непрерывные, одновременно не равные нулю произ-
производные. Если, например, tp'(to) ф 0, то существует интервал (to —
— S,to + S), на котором ср имеет обратную функцию t = (р~1(х), и тог-
тогда у = f(x) = гр((р~1(х)). Обычно в этом случае говорят, что функция
у = f(x) задана параметрически равенствами D). Ее производная вы-
вычисляется по формуле
dy_
dx dt dx dx
~dt
Говорят, что формула E) выражает производную от функции f(x) в па-
параметрическом виде. Очевидно также, что
dx2 dx\xfj dt\x'Jdx xt3 ' l ]
если допустить, что существуют вторые производные х", у".
Непрерывная кривая A) называется также кривой Жордана
(жордановой кривой) по имени французского математика Жордана
A838-1922). Если при этом х(а) = х(Ь), то кривую называют замк-
замкнутой (замкнутой кривой Жордана). Если, кроме того, из того
факта, что x(ti) = х(^2), следует только, что либо t\ = ?2, либо одно
из чисел ti, ?2, равно а, а другое 6, то кривая Г называется замкнутой
самонепересекающейся кривой Жордана.
Если из равенства x(ti) = х(^) (ti,t2 Е [а, Ь] или ti, ?2 Е (а, Ь))
следует t\ = ?2, то говорят, что Г есть незамкнутая самонепересекаю-
самонепересекающаяся кривая.
При п = 2 мы получим плоскую непрерывную кривую
xi = xi(t), X2 = X2(t), tE[a,b] или t E (a,b). G)
182 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Например, уравнения
х = cos#, у = sin#, —оо < 0 < +оо, (8)
определяют гладкую плоскую кривую. Когда в непрерывно изменяет-
изменяется от — оо до +оо, соответствующая точка (х,у) описывает бесконечное
число раз окружность
х2+у2 = 1. (9)
В связи с этим говорят, что уравнения (8) суть параметрические уравне-
уравнения окружности (9). В данном случае параметр в имеет геометрический
смысл; это есть угол, образованный радиус-вектором точки (х,у) с по-
положительным направлением оси х.
Нужно сказать, что определение непрерывной кривой является на-
настолько общим, что имеются примеры удовлетворяющих этому опреде-
определению математических объектов, которые весьма сильно отклоняются
от нашего обычного представления о кривой, в особенности, если разре-
разрешить ей самопересекаться.
Доказано, например, что можно определить такие непрерывные на
отрезке [0,1] функции
x = ip(t), y = *l>(t), (Kt^i, (Ю)
что при непрерывном возрастании ?от? = 0до?=1 переменная точка
((/?(?), ip(t)), отправляясь при t = 0 от положения @, 0), пробежит бук-
буквально все точки квадрата 0 ^ ж, 2/^1 и при t = 1 окажется в верхнем
правом его углу A,1). Таким образом, эта кривая (кривая Пеано) заме-
заметает буквально все точки квадрата 0 ^ ж, 2/^1, и при этом отдельные
его точки заметаются кривой не один раз.
Пример 1. Эллипс Г
^2+j^ = l, а,Ъ>0, A1)
есть ограниченная гладкая замкнутая самопересекающаяся кривая, потому что Г
также описывается параметрически уравнениями
х = a cos (9, у = Ъ sin (9, 0 ^ 6> ^ 2тг, A2)
определяющая ограниченную гладкую замкнутую кривую в том понимании тер-
терминов "гладкость", "замкнутость", как это определено выше в этом параграфе.
Пример 2. Астроида Г
\ах\2/3 + \Ьу\2/3 = (а2 - Ь2J/3, 0 < Ъ < а, A3)
есть ограниченная непрерывная кусочно гладкая замкнутая кривая, потому что
уравнение A3) эквивалентно следующим двум:
х = п ~Ъ cos3 (9, у = п ~Ъ sin3 (9, 0 ^ в ^ 2тг, A4)
§6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции 183
причем имеется только одна пара значений в (в = 0, в = 2тг), которым соответ-
соответствует одна и та же точка Г. Из A3) видно, что кривая Г симметрична относитель-
относительно осей координат, а из A4) видно, что она непрерывна; производные от х и у по в
тоже непрерывны и одновременно не равны нулю всюду, за исключением точек О,
тг/2, тг, Зтг/2. Поэтому куски Г, соответствующие интервалам @, тг/2), (тг/2, тг),
(тг, Зтг/2), (Зтг/2, 2тг), гладкие (см. § 6.12, рис. 6.14).
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции
Пусть в пространстве, где определена прямоугольная система
координат ж, у, z, задана гладкая вектор-функция (см. § 5.17)
te(a,b).
A)
На рис. 6.2 изображен годограф вектора г = r(t) и отмечены две
точки А и В годографа — концы векторов r(t) и r(t + At) с началом
в нулевой точке.
Очевидно, что вектор АВ
равен Ar = r(t + At) - r(t).
При At —> 0 точка В, двига-
двигаясь по годографу, стремится к
точке А, а секущая, проходя-
проходящая через Aw В, стремится за-
занять положение определенной
прямой, которую называют ка-
касательной к годографу в точ-
точке А. Поэтому преде льный век-
вектор
г = lim ——
Рис. 6.2
(он не равен нулю) лежит на касательной к годографу в точке А. Длина
г| вектора f есть предел длины вектора ^| при At —>- 0, потому что
г —
Ar
At
At^O.
Если t есть время и конец вектора г (t) описывает движение некоторой
точки, то r(t) есть вектор, выражающий скорость этой точки в момент
времени t. Длина его |г| есть скалярная величина скорости. Кроме того,
вектор f определяет направление движения точки в момент t. Вектор г
есть ускорение точки в момент t.
184 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
В § 6.4 мы уже останавливались на некоторых свойствах производной
от вектор-функции. Отметим еще следующие очевидные свойства:
\AJ Pk-^ I I КЛ^^Л.
X ~dt\ + [dt X
где (a, b) = axbx + ayby + azbz — скалярное произведение, а [а х b] =
— {aybz — azbyjCLzbx — axbZjaxby — aybx) — векторное произведение
векторов аиЬ.
Отметим еще следующий факт. Пусть гладкая вектор-функция b =
= b(t) имеет постоянную норму (длину): |Ь(?)| = с = const > 0. Тогда
(Ъ,Ъ) =Ь2 = с2 и
Таким образом, для любого t векторы b и ^ ортогональны (по усло-
условию Ь, ^ /0), т.е. перпендикулярны.
Вектор а = а(?), имеющий положительную длину (|а| > 0), можно
записать в виде а = аи, где о; — единичный вектор, направленный в
сторону а:
а (ал it) d2(t) аз(?) \
u>(t) = — =
V
a(t) =
Очевидно, что если вектор а имеет производную для рассматриваемых ?,
то функции и; на имеют производные для этих t. Производная от вектора
а = аи раскладывается на два вектора:
da. da du ..
Из них первый направлен в ту же сторону, что и а (или о;), и длина его
равна скорости изменения длины а, а второй ортогонален и. Эта фор-
формула применяется в механике для разложения вектора ускорения на две
составляющие, из которых одна имеет направление движения, а другая
направлена перпендикулярно к ней.
§ 6.7. Длина дуги кривой
Пусть Г есть непрерывная кривая:
г(?) = (<р(?),^(?),х(*))> t e [а,Ь]. A)
Разобьем отрезок [а, Ь] на части точками:
а = t0 < h < ... < tn = b. B)
§6.7. Длина дуги кривой
185
Им соответствуют точки кривой Г: А = Ао, Ai,... , Ап = В. Если со-
соединить их последовательно отрезками (рис. 6.3), то получим ломаную,
вписанную в Г.
Длиной кривой Г называется предел, к которому стремится сумма
длин звеньев этой ломаной:
АВ\ = lim Y^ \Ак-!Ак\, max(tk - *fc_i) -> 0, C)
k=i
когда максимальный частичный отрезок разбиения B) стремится к ну-
нулю. Если предел C) существует, то говорят, что кривая спрямляема на
отрезке [а, Ь] изменения параметра t.
ВЛ
У
0
Ах
С
«- ^-
Аг
/
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Будем считать теперь, что наша кривая Г гладкая. Таким образом,
функции ер, ф, х предполагаются непрерывными и имеющими непрерыв-
непрерывные производные на [а, 6], подчиняющиеся неравенству
= v/2(*) + '
+ x'2(t)>o,
te [a,b].
D)
В § 10.3 будет доказано, что гладкая кривая спрямляема на любом
отрезке изменения параметра t и что длина дуги гладкой кривой Г об-
обладает свойством аддитивности. Это значит, что если Pi, P2, Р3 — три
точки Г, соответствующие значениям ^i, ^2? ^з параметра (t\ < ?2 < ^зM
то имеет место равенство
\РгР3\ = \РгР2\ + \Р2Р3\.
На рис. 6.4 изображена гладкая ориентированная кривая Г. Счита-
Считаем, что она определена вектор-функцией A). При этом А — начальная
точка Г, соответствующая значению параметра t = а, а В — теку-
текущая точка Г, соответствующая значению t ^ а. Значению t придано
приращение At > 0. На рисунке отмечена точка G, соответствующая
значению параметра t + At.
186 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Длина дуги АВ обозначается через
\АВ\ = s = s(t), a^t^b,
и, соответственно,
\ВС\ = As > О, \ВС\ = \/Ах2 + Ay2 + Az2 > 0.
В § 10.3 будет доказано, что для гладкой дуги ее малая длина As при
At -4- 0 эквивалентна соответствующей ее хорде, т. е.
\ВС\ =
As = V'Ах2 + Ay2 + Az2 + o(At), At -> 0.
Откуда
^_1(Ах\2 , /Ay-2
После перехода к пределу при At —> 0 получим формулу
2(t) + ф'2{t) + x'2(t) > 0. E)
Кроме того, s(a) = 0. Но тогда s есть строго возрастающая функция,
отображающая отрезок [а, Ь] изменения t на некоторый отрезок [0,1]
изменения s, и существует обратная к ней функция
t = A(s), O^s^l,
непрерывная и имеющая непрерывную производную Af(s) > 0.
Следовательно, s можно рассматривать как один из допустимых па-
параметров нашей гладкой кривой Г:
х = cp(A(s)), у = /0(A(s)), z = %(A(s)), 0 ^ s ^ I.
Заметим, что мы считали, что s возрастает вместе с t, поэтому перед
корнем в E) стоит знак +.
Отметим формулу
dxY fd/y\ fdz\ _ds__x
ds J \ds J \ds J ds
F)
вытекающую из E).
Примечание. Если пользуются записью r(t) = (x(t
то при переходе от t к s просто пишут r(s) = (x(s),y(s),z(s)).
§6.8. Касательная
187
§ 6.8. Касательная
В пространстве, где определена прямоугольная система координат
x,y,z, пусть задана гладкая кривая, определяемая вектором г(?) =
= (ж(?), y{t), z{t)), t G (a, b) (рис. 6.5). Будем считать, что отсчет дуги
выбран так, что с возраста-
возрастанием параметра t ее длина s
возрастает (как в § 6.7).
Положим го = г (to) =
= (xo,yo,zo) и г0 = г(?0) =
= (х'о,у'о,г'о). Вектор г0 имеет
направление касательной к на-
нашей кривой в точке to, поэтому
произвольная точка касатель-
касательной р = (x,y,z) определяется
вектором
О
х
A)
У
Рис. 6.5
где и — произвольное число (текущий параметр касательной), ведь век-
векторы го и р — го коллинеарны.
Равенство A) есть уравнение касательной к кривой в точке to в
векторной форме.
Из A) следует, что уравнения касательной в декартовых координа-
координатах имеют вид
X — Хс\ ——
У
х —
~Уо = иу0,
У-Уо = I
У'о
z - zo = uz0,
B)
Обозначим через a, /3, 7 УГЛЬ15 которые образует положительное на-
направление касательной (направление f о) соответственно с положитель-
положительными направлениями осей координат х,у, z. Очевидно,
cos a =
cos/3 =
cos 7 =
х'о
\lx'o2-
\/х'о ¦
+ Уо2
У'о
+ Уо2
zo
, J2
-h z0
+ *о2
dsjo
Z0
где (^fH обозначает, что в jjj надо подставить значение s = so,
соответствующее t = to- Перед корнями стоит знак +, потому что мы
согласились, что длина дуги возрастает вместе с t.
188 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Кривую, заданную в плоскости ж, у, можно рассматривать как част-
частный случай кривой в пространстве, у которой z(t) = 0. Поэтому соотно-
соотношениям B) в плоском случае соответствует одно уравнение
х - хр _ у -ур
хо Уо
Положительное направление касательной образует в этом случае с
осью х угол а, для которого
х'о fdx\ . yf0 (dy
cos a = —, = I — I , sin a = - — '
V /o \lx+v \иоУо
Итак, f (t) — вектор касательной к ориентированной кривой Г. Нача-
Начало его берут в точке касания к Г. Направлен он по касательной в сторону
возрастания t (или s).
Единичный вектор касательной:
а = Ш\=Кз)-
§ 6.9. Основной триэдр кривой
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве x,y,z задана гладкая
кривая Г, определяемая вектор-функцией
гО) = (x(s),y(s),z(s)), a < s <Ъ,
от s — длины Г. Предполагается, что r(s) в точке s имеет вторую произ-
производную
отличную от нуля:
r(s)| =K >0.
На рис. 6.6 изображена кривая Г. В точке А Е Г, соответствующей
значению s, проведена касательная Т к Г, направленная в сторону воз-
возрастания s. На Т отмечен единичный вектор касательной
a = r(s). A)
Надо помнить, что для гладкой кривой
|r(S)|2 = (f(s),f(S))=l, B)
поэтому, дифференцируя это равенство (по s), получим
2(r(S),r(S))=0,
что показывает, что векторы f(s) и r(s) ортогональны (перпендику-
(перпендикулярны) .
§6.9. Основной триэдр кривой
189
Вектор r(s) (выпущенный из точки А) называется вектором глав-
главной нормали к Г в ее точке А (или s).
Любая прямая, проходящая через точку А Е Г перпендикулярно к
касательной Т, называется нормалью к кривой Г (в ее точке). Сово-
Совокупность этих нормалей заполняет плоскость, называемую нормальной
плоскостью (к Г в ее точке А). Но среди этих нормалей выделяется спе-
специальная нормаль N — главная нормаль к Г, на которой лежит вектор
r(s). При этом N направлена в ту же сторону, что и вектор r(s) (см.
рис. 6.6).
А
N
о
Рис. 6.6
Введем вектор
Рис. 6.7
г(а)
К
C)
— единичный вектор главной нормали, и еще третий единичный век-
вектор
j = а х /3 D)
— единичный вектор бинормали.
Согласно свойствам векторного произведения вектор 'у перпендику-
перпендикулярен к векторам ос и /3 и направлен так, чтобы тройка векторов а, /3,7
была ориентирована так же, как рассматриваемая прямоугольная сис-
система координат x,y,z. В данном случае взята левая система x,y,z, со-
соответственно система о:, /3,7 тоже левая.
Таким образом, выходящие из точки А Е Г векторы
f(s),
f(s) х r(s)
являются соответственно векторами касательной, главной нормали и
бинормали в точке А Е Г.
Нормируя эти векторы, получим
) х r(s) f(s) х r(s)
F)
7 =
190 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
— единичные векторы соответственно касательной, главной норма-
нормали, бинормали.
Плоскость а,/3 называют соприкасающейся плоскостью, /3,7—
нормальной плоскостью, ^,ol — спрямляющей плоскостью (к Г в ее
точке А).
Векторы а,/3,7 образуют подвижный триэдр кривой Г. Когда
точка А движется по кривой Г, связанный с А триэдр тоже движется
поступательно и вращаясь.
Однако, зафиксировав точку А$ Е Г, соответствующую определен-
определенному значению s = so параметра, с помощью соответствующего Aq три-
триэдра ао,/3о,7о можно изучать достаточно малый кусочек а С Г, содер-
содержащий в себе точку А$, или, как говорят, изучать Г для значений s из
малой окрестности точки s$.
Вектор r(s) — r(so) разложим по ортам а,/3,7:
Будем предполагать, что гладкий вектор r(s) имеет непрерывную
вторую производную nosB окрестности точки so, и по-прежнему счи-
считать, что
|r(so)| = A->0.
Тогда автоматически координаты вектора r(s) — г(so), т.е. функции
t;(s), r](s) w ((s), будут иметь вторую непрерывную производную в этой
окрестности. Вектор r(s) — r(so) обращается в нуль при s = so, соответ-
соответственно
Фо) = Фо) = С(*о) = 0. (8)
Пример 1. Будем писать ^(so) = ^ ^"(so) = €о ИТ-Д-
Имеем
?о = (го,а) = 1, по = (го,/3) = 0, ^ = (го,7) = 0,
Й7 = (г0, а) = 0, rfi = (го,/3) = К > 0, Со = (го, 7) = 0.
Так как ?q = ^(so) = 1, то в окрестности so производная ?'(s) > 0 и
^(s) — строго возрастающая непрерывная функция в некоторой окрестности so, и
равенство ? = ?(s) обратимо: s = Л(?). Но тогда в этой окрестности ?/ и ( —
функции от ?:
Обе функции можно дифференцировать с помощью параметра s:
?=с
?=с
= 0. A2)
§6.10. Соприкасающаяся плоскость
191
Функция 7] = А(?) описывает проекцию Г на соприкасающуюся плоскость.
Равенства A1) (и еще т/@) = 0) показывают, что эта проекция касается касатель-
касательной Г в точке so и обращена своей вогнутостью в сторону главной нормали (см.
рис. 6.8). Малый кусок а С Г, содержащий А, находится полностью с одной
стороны спрямляющей плоскости, именно со стороны /3. Кривая ? = /х(?) есть
проекция малого куска а С Г, содержащего А, на спрямляющую плоскость 7>а-
Оказалось, что две производные от этой функции в точке А равны нулю — первая
и вторая.
A Bk
А
Рис. 6.9
А
N
Рис. 6.10
Если допустить, что вектор-функция r(s) имеет три непрерывные производ-
производные, то можно было бы вычислить и третью производную
Л =
Если Л ф 0, что часто бывает, то наша проекция будет касаться Т в точке А,
но с перегибом (см. рис. 6.9). Сама кривая Г, таким образом, плавно пересечет
соприкасающуюся плоскость, касаясь ее.
Проекция Г на спрямляющую плоскость обычно имеет вид, как на рис. 6.10
(доказательство см. в 4-ом издании книги автора "Курс математического анали-
анализа", §6.10).
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость
Соприкасающуюся плоскость к гладкой кривой Г в ее точке А мы
уже определили в § 6.9 как плоскость, проходящую через (выпущенные
из A G Г) векторы f(s) и r(s) при условии, что |r(s)| > 0.
Но если гладкая кривая Г задана вектором т(?) при помощи любого
допустимого параметра t, то, как мы увидим ниже, соприкасающуюся
плоскость к Г можно определить так же, как плоскость, проходящую че-
через векторы f (?) и г(?) при условии, что \r(t) х г(?)| > 0.
В самом деле, учитывая, что f(?) = s'tr(s) (см. § 6.8), получим
= jt (s'tr(s)) = s't'r(
/2../
A)
ведь ^f(t) = r(s) • s't.
Равенство A) показывает, что r(t) есть линейная комбинация перпен-
перпендикулярных векторов f(s) и r(s). При этом заметим, что коэффициент
192
Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
при r(s) в правой части A) положителен (s't > 0), что показывает, что
в соприкасающейся плоскости векторы r(s) и г(?) расположены по одну
сторону от касательной (см. рис. 6.11).
Имеем далее
Г/ 4- \ \у -у* I 4- \ q' Т* i С? 1 N/ ( C?TMC?i I Q -у* ( О 1 \ С? I *»[ п | V/ T*iC?il 1O1
потому что f(s) x f(s) = 0.
Равенство B) показывает, что векторы, перпендикулярные к f(t),
r(t) и к r(s), i*(s), отличаются только положительным множителем
(s{. > 0). Это лишний раз показывает, что плоскость векторов f(t), r(t)
совпадает с плоскостью векторов r(s),
r(s), ведь обе они проходят через точку
АеТ.
Таким образом, вектор f (?) х г(?) так
же, как вектор f(s) x r(s), определяет со-
соприкасающуюся плоскость к Г (в точке А).
Зададим теперь фиксированную точку
Ао, определяемую вектором г (to) = го.
Будем также писать
Рис. 6.11
fo=r(to), ro=r(to).
Пусть далее р есть текущий вектор соприкасающейся плоскости к Г
в Aq . Тогда векторное уравнение ее запишется в виде
(р-го)(гохго) = 0. C)
Оно выражает, что вектор р — го, лежащий в плоскости,
перпендикулярен к вектору fo хго, перпендикулярному этой плоскости.
В декартовых координатах уравнение C) записывается в виде
х — хо у — уо z — zo
хо Уо zo
= 0,
C')
где (x,y,z)
точке,
ГО =
текущие координаты соприкасающейся плоскости в ее
XQ,yo,Zo), Г0 = (x'o,y'o,z'o), Г0 = (Xq^q^Zq).
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой
Кривизной окружности радиуса R называется число 1/R. Это
число можно получить как отношение угла между касательными в концах
какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Это определение дает
идею определения кривизны, пригодного для произвольных гладких
кривых.
Рассмотрим гладкую кривую Г (рис. 6.12). Она спрямляема, и
имеет смысл говорить о длине любой ее дуги АВ. Угол \i @ ^ \i ^ тг)
§6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой
193
между (положительными) направлениями касательных к дуге в ее точ-
точках А и В называется углом смежности дуги АВ. Отношение угла
смежности дуги АВ к ее длине называется средней кривизной дуги АВ
(см. рис. 6.12). Наконец, кривизной кривой Г в ее точке А называется
предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности \± дуги
АВ кривой к ее длине As (As > 0), когда последняя стремится к нулю:
К=
lim -?-.
As
A)
Таким образом, 0 ^ К ^ оо. По определению величина R =
= 1/К (где считается, что 0 = 1/оо, оо = 1/0) называется радиусом
кривизны Г в точке А.
Из векторной алгебры известно, что
Sllltt =
|г х (f + Дг)| |г х Дг
+ Дг| |г
Af = r(t + At) - f (
Дг
B)
так как f x f = 0. Знаменатель здесь не равен нулю, потому что у
гладкой кривой f ф 0. При At —> 0 знаменатель стремится к |г|2 > 0, а
числитель стремится к нулю. Введем длину дуги
s = s(t) нашей кривой. Длина куска АВ равна
As = s(t + At) - s(t), At > 0. Из As -+ 0 следует
At —>- 0, потому что t и s — допустимые параметры
гладкой кривой (см. § 6.7).
Будем теперь предполагать, что радиус-вектор
r(t) нашей гладкой кривой Г имеет вторую производ-
производную r(t), и при этом условии докажем существование
конечной кривизны Г в точке А (определяемой пара-
параметром t).
В силу A), B) кривизна Г в точке t равна (пояснения ниже)
Рис. 6.12
К — lim -?— = lim
A
? = lim
As As^O As
= lim
Г X
At
As
C)
т.е.
k=1 =
R
'y'z" -z'y") + {z'x" -x'<
(x'y" -y'x
"f
D)
7 СМ. НИКОЛЬСКИЙ
194 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
В третьем члене C) мы заменили \i на sin/i под знаком предела.
Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последовательности
значений As соответствующие значения \± больше нуля, то sin/i « \±
(/i —>• 0) и применима теорема 2 из § 4.10, если же значения \± равны
нулю, начиная с некоторого, то для них sin/i = \i — 0 и снова верно
второе равенство C).
Если параметр t = s есть длина дуги Г, то, как мы знаем, \r(s)\ = 1
и вектор r(s) перпендикулярен к f (s), поэтому (см. третий член D))
K = \r(s)\, R=^-Tr. E)
В плоском случае (г = 0) выражение кривизны через координаты
выглядит так:
Мы уже пользовались обозначением К = |r(s)| (см. § 6.9).
Если плоская кривая задана уравнением у = /(ж), где функция / в
окрестности точки х имеет непрерывную производную и в самой точке
вторую производную, то, полагая в последней формуле t = ж, получим
К =
dx2
G)
§ 6.12. Эволюта
Пусть А — точка кривой Г, определяемая радиус-вектором r(t).
Точка О, лежащая на главной нормали к Г (в точке А) на расстоянии
R = 1/К в сторону /3, называется центром кривизны Г (в точке А).
Радиус-вектор р центра кривизны О, таким образом, равен
р = г + RC. A)
Геометрическое место центров кривизны кривой Г называется
эволютой Г. Ее векторное уравнение имеет вид
p(t)=r(t)+R(t)/3(t)- B)
В частности, если t = s — длина дуги, то
^-=r + R2r(s). B')
Для R у нас было выражение через t (см. § 6.11, D)). Чтобы
выразить
f(S) = <'i + ^j + 4'k C)
§6.12. Эволюта 195
через ?, можно непосредственно произвести замену s на t (см. 4-е издание
этой книги, § 6.9). Но возможен и другой путь, излагаемый ниже.
Вектор r(t) х r(t) направлен в сторону 7> а вектор f(t)—в сто-
сторону а.. Но тогда вектор f (?) x r(?) x f (?) —в сторону /3. Ведь
Поэтому
= _r(t) х г(?) х f (?)
f(t) x r(t) x r(t)\ '
Знаменатель в этом выражении можно упростить (пояснения ниже):
R
Для первого равенства нужно учесть, что векторы г х г и f
перпендикулярны, для второго — формулу B) из § 6.10 , |r(t)| = s't, для
третьего — что f(s)_Lr(s), |r(s)| = 1 и |r(s)| = 1/R (см. § 6.11, E)).
Таким образом,
и радиус-вектор эволюты имеет вид
Пример 1. Написать уравнение эволюты к плоской кривой Г:
Решение. Вводим третий орт к:
rxr = (xi + yj)x(xi + yj) = (xy - у х )к
(учесть, что i х j = к, jxi = —к),
/ I II I ff\j / /• , /.Ч
г х г х г = (ж j/ —ух )к х (ж 1 + г/ j) =
i( i и i ii\. i( i и i ii\.
=-y (x у -ух )i-\-x(xy -ух )j,
R2=
/6
S
(х'у" - у'х"J
(см. §6.11, F)).
7
196
Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
Теперь в силу B) для эволюты р = (?,77) получаем уравнения
" У +
х'2+у'2
_ у,х„
_ _ , + у
Ь-х У х,уп _ у,хп >
Пример 2. Эволюта циклоиды
x = t — sint, у = 1 —cost E)
есть кривая
? = t + sin?, r] = — 1 + cost.
Полагая t = г + тг, получим уравнения
? — тг = г — sin г, т/ + 2 = 1 — cos г,
определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть
циклоида, конгруэнтная исходной; рис. 6.13).
У
У
V V *
Рис. 6.13
Рис. 6.14
Пример 3. Эволюта эллипса х = a cost, у = frsint (а ^ 6 > 0) есть
астроида (рис. 6.14),
а2-Ъ2
cos t, 41 = —-
а2-Ь2 .
. з
sm
(см. § 6.5, пример 2).
§6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты
Формулы Френе имеют вид:
da _ /3
~dJ~ 1'
ds T'
di" = ~Д ~ Г'
A)
B)
C)
§6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты 197
В плоском случае
da _ /3
~ds ~ Д
d/3 a
ds-R' A'}
А," Г" C'}
Формула A) — это формула (§ 6.9, C)):
da d /3
- = -г(в)=г(в) =*/*=-.
Так как G>ск) =0и G,7) = 1, то
dj da _ч 1 б?7
__ а = _7 __ = -GР) ~б = 0, ^-7 = 0,
as as ii as
т.е. проекции -^ на а и 7 равны нулю, поэтому вектор -^j направлен
по /3 и имеет вид с/3, где скаляр с считают удобным обозначить через
1/Т. Это приводит к формуле B).
Величину Т называют кручением (кривой в точке s). Она может
быть положительной и отрицательной.
Докажем формулу C). Из тождеств
/За = 7/3 = 0, /3/3 = 1
следует
dC da I d/3
-J_a = _jg__ = _р/з = о
as as it as
~^s~7~ ~^"^s ~ ~T '
Отсюда
^ М^Л_. , (dPo\a , (dp\_. a 7
Формулы B), C) требуют, чтобы определяющая Г вектор-функция r(s)
имела третью производную. Ведь для вычисления /3 и 7 требовалось
существование г(s), но теперь приходится /3 и 7 дифференцировать.
Пусть плоская гладкая кривая 7 задана вектор-функцией
r(s) = (x(s),y(s))
198 Гл. 6. п-мерное пространство. Геометрия кривой
от дуги s, имеющей на некотором интервале изменения s непрерывную
производную 'r(s) третьего порядка и, кроме обычных условий |f(s) | > О,
|r(s)| > 0, удовлетворяющей условию
\R'(s)\ > 0. D)
Уравнение эволюты 7 кривой Г
p(s)=r(s)+R(s)C(s)
можно тогда продифференцировать и, учитывая формулу Френе,
получить
^ = г + R ^ + R'f3 = а - R % + R'f3 = R'f3,
as as n
1
Из E) немедленно следует первое свойство эволюты.
1) Касательная к эволюте 7 в ее точке s есть нормаль к резольвенте Г
в соответствующей точке s.
В самом деле, указанные нормаль N к Г и касательная Т к 7 проходят
через центр О кривизны Г в точке s. Но нормаль ко л линеарна вектору /3
так же, как касательная к 7 (в силу E)).
Из E) следует
^ F)
Но тогда эволюта есть гладкая кривая — производная -? не только
существует и непрерывна, но и отлична от нуля. В таком случае эволюта
p(s) имеет естественный параметр — длину дуги а. Будем отсчитывать
ее так, чтобы она возрастала вместе с s.
Тогда
dp
ds
da
ds
(в известной формуле \r(t)\ = ^ надо заменить г, s, t соответственно на
р, a, s). Тогда из F) следует
da . ,, ч. da dR
- = №)|или-=±-.
В случае R'(s) < 0 имеем
-— L = о, a(s) + R(s) = с = const.
ds
§6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты
199
Отсюда
Аа = -ДД,
и мы получили второе свойство эволюты (в случае R'(s) < 0).
2) Увеличение длины а эволюты влечет уменьшение на такую же
величину радиуса кривизны.
Отсюда получаем следующий способ получения
резольвенты по ее эволюте.
Представим себе нить, накрученную на эволюту.
Она сматывается с последней будучи все время натя-
натянутой. Отделяясь от эволюты, она, очевидно, будет
все время касаться эволюты. Свободный же ее конец
будет описывать эвольвенту (рис. 6.15). Так как длина
нити может быть произвольной, то данная эволюта
порождает бесчисленное множество эвольвент.
Изменение ориентации Г (изменение s на —s) влечет изменение
ориентации 7, и тогда при возрастании s (или а) будет возрастать R(s)
(Rf(s) > 0). Для нового параметра s
Рис. 6.15
G)
и теперь увеличение длины дуги а влечет такое же увеличение радиу-
радиуса R.
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 7.1. Открытое множество
В n-мерном пространстве Rn зададим произвольную точку х° =
= (#5, • • • ? ^п) • Шаром (или замкнутым шаром) радиуса г > 0 с цент-
центром в этой точке называют множество точек х = (х\,..., хп) Е Мп, для
которых выполняется неравенство
Открытым шаром радиуса г с центром в х° мы будем называть
множество точек х, для которых выполняется строгое неравенство
|х — х°| < г.
Определим прямоугольник в Rn (замкнутый прямоугольник или пря-
прямоугольный параллелепипед в Rn) как множество точек х Е Мп, коор-
координаты которых удовлетворяют неравенствам clj ^ Xj ^ bj (clj < bj,
j = 1, 2,..., n). В случае п = 3 это реальный прямоугольный парал-
параллелепипед с гранями, параллельными осям прямоугольных координат
Можно еще определить открытый прямоугольник в Rn как мно-
множество точек, удовлетворяющих строгим неравенствам clj < Xj < bj,
j l2
,,,
Множество точек х, координаты которых удовлетворяют неравенст-
неравенствам
xj — х®
а , j = 1, 2,..., п, где а > 0 — заданное число, естест-
естественно назвать кубом (или замкнутым кубом) в Rn с центром в точке х°
и стороной длины 2а. Конечно, при п = 3 это будет куб с гранями, па-
параллельными осям (прямоугольной) системы координат.
Наконец, открытый куб (вЖп) определяется при помощи неравенств
\xj -ж°| < a, j = 1,2,...,п.
Неравенства |xj — ж^| ^ (XTf^j ~~ xj) ) < г говорят (если их
читать справа налево), что если точка х принадлежит шару радиуса г с
центром в х°, то она принадлежит и кубу со стороной длины 2г с тем же
центром. Таким образом, куб со стороной длины 2г с центром в х°
содержит в себе шар радиуса г с тем же центром. С другой сто-
стороны, если точка х принадлежит кубу \xj — х® | < a, j = 1, 2,..., п, то
§7.1. Открытое множество 201
для нее выполняется неравенство (J2i {xj ~ xj) ) < ал/п, показыва-
показыва(J2i {xj xj) )
ющее, что шар с центром в х° радиуса ал/п содержит в себе куб со
стороной длины 2а с тем же центром (см. § 6.2, A2)).
Мы рассматривали открытые шары и кубы, но это же верно и для
замкнутых шаров и кубов.
Зададим произвольное множество Е точек х Е W1. По определе-
определению х° называется внутренней точкой множества Е, если существует
открытый шар с центром в этой точке, полностью принадлежащий Е.
Слово шар здесь можно заменить на куб, потому что всякий шар содер-
содержит некоторый куб с тем же центром, и наоборот.
Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
Это определение можно еще сформулировать так: множество Е от-
открытое, если из того, что какая-нибудь точка принадлежит ему,
следует, что она внутренняя точка.
Отсюда видно, что пустое множество есть открытое множес-
множество.
Открытый шар
|х-х°|<г A)
есть открытое множество. В самом деле, пусть у есть принадлежащая
ему точка, т.е. |у — х°| =р<г,их — произвольная точка, принадле-
принадлежащая шару
Х-у|<?, 8<Г-р. B)
Для нее |х — х°| = |х — у + у — х°| ^ |х — у| + |у — х°| < г + р < г. Это
показывает, что шар B) принадлежит шару A).
Предоставляем читателю доказать, что открытый прямоугольник,
в частности открытый куб, есть открытое множество.
Пересечение G\ П G<i двух открытых множеств G\ и G<i есть
открытое множество. В самом деле, пусть точка х° принадлежит
G\ П (?2- Так как х° есть внутренняя точка как G\, так и G2, то сущест-
существуют два открытых шара с центром в х°, из которых первый принадле-
принадлежит G\, а второй — (?2- Пересечение их есть, очевидно, открытый шар
(наименьший из них), принадлежащий G\ П G<2-
Легко видеть, что сумма конечного или счетного числа откры-
открытых множеств есть открытое множество. Однако пересечение
счетного числа открытых множеств может и не быть открытым; напри-
например, пересечение открытых шаров |х| < 1/fc (k = 1,2,...) есть точка
(нулевая точка).
Окрестностью точки х° Е W1 называют произвольное открытое
множество, содержащее в себе эту точку. Очевидно, что пересечение
двух окрестностей х° есть в свою очередь окрестность х°.
В дальнейшем нашем распоряжении будет много примеров открытых
множеств, определенных строго математически, а сейчас мы призовем
читателя к геометрической интуиции, сказав, что если с произвольного
геометрического тела содрать его границу, то получим открытое мно-
множество.
202 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
В ближайших параграфах мы будем рассматривать функции
/(х) = f(x\,..., хп) от п переменных х\,..., хп, или, что все равно,
от точки х = (х\,... ,хп), определенные на открытых множествах
n-мерного пространства.
Множество Е называется связным, если любые две его точки х', х"
можно соединить принадлежащей ему непрерывной кривой, т. е. если су-
существует непрерывная вектор-функция х = х(?), 0 ^ t ^ 1, такая, что
х@) = х', хA) = х", x(t) G Е (см. § 6.5).
Связное открытое множество называется областью.
Отрезком [х',х"] называется кривая x(t) = tx.' + A — t)x//, t G
G [0,1], очевидно, непрерывная и соединяющая точки х', хп'.
Множество называется выпуклым, если вместе с точками х', х" ему
принадлежит соединяющий их отрезок (примеры см. в конеце § 7.3).
§ 7.2. Предел функции
Доопределению функция /(х) = f(x\,... ,хп) имеет предел в
точке х° = (х\,..., х®п), равный числу А, обозначаемый так:
lim /(х) = lim f(xi,...,xn)=A A)
•? з
(пишут еще /(х) —> А, х —> х°), если она определена на некоторой
окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее самой, и если
существует предел
lim f(xk) = A, B)
какова бы ни была стремящаяся к х° последовательность точек xfc из
указанной окрестности (к = 1, 2,...), отличных от х° (см. § 6.3).
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функ-
функция / имеет в точке х° предел, равный А, если она определена в не-
некоторой окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее самой, и
для любого г > 0 найдется такое S > 0, что
|/(х) -А\<е C)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0<|х-х°|<E. D)
В этом определении можно заменить неравенства D) на следующие:
§7.2. Предел функции 203
или сказать, что для любого е > 0 найдется окрестность С/(х°) такая,
что для всех принадлежащих к ней х/х° выполняется C).
Эквивалентность первого и второго определений предела и его един-
единственность в n-мерном случае доказывается аналогично тому, как это
делалось в одномерном случае (см. § 4.1).
Сформулируем критерий Коши существования предела (доказывае-
(доказываемый, как в одномерном случае; см. § 4.1, теорема 5).
Для того чтобы функция / имела в точке х° предел (конечный),
необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 нашлась окрест-
окрестность С/(х°) (в частности, куб или шар с центром в х°) такая, чтобы
для всех х, х7 G С/(х°), отличных от х°, имело место неравенство
Очевидно, что если число А есть предел /(х) в х°, то А есть предел
функции /(х° + h) от h в нулевой точке:
lim /(x° + h)=A,
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию /, заданную во всех точках окрест-
окрестности точки х°, кроме, быть может, точки х°; пусть и) = (и\,... , ип) —
произвольный вектор длины единица (|о; | = 1) и t ^ 0 — скаляр. Точки
вида х° + tu) @ ^ t) образуют выходящий из х° луч в направлении
вектора и). Для каждого о; можно рассматривать функцию
Дх° + tw) = f{xl + *ол,... ,ж° + tun), 0<г<6ш,
от скалярной переменной ?, где 8Ш есть число, зависящее от о;. Предел
этой функции (от одной переменной t)
lim /(x°+?u;) = lim f(x\ + &л,... ,x°n
f(x\ + &л,... ,x°
t>0 t>0
если он существует, естественно назвать пределом f в точке х° по
направлению вектора о;.
В частности, если ш — единичный орт eJ = @,..., 1, 0,..., 0), на-
направленный по оси Xj, то можно говорить о пределе / в точке х° по на-
направлению положительной полуоси Xj:
lim f(x +teJ) = lim fix x- x ¦ + t x- x )
t>o t>o
или отрицательной полуоси хj:
- lim f(r° r° r°-t r° t°)
t>0 t>0
204 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Из того что функция / имеет в точке х° предел, равный А, следует, оче-
очевидно, что она имеет в этой точке предел, равный А, и по любому направ-
направлению. Но обратное утверждение неверно — функция / может иметь
предел в х°, равный А, по любому направлению и в то же время не иметь
предела в х°.
Пример 1. Пусть
ж3 + у3 ж2 - у2
1) /(ж, у) = 2 \ ; 2) ф, у) = 2 \ .
х -\- у х -\- у
Функции / и if определены на плоскости (ж,|/), за исключением точки @,0).
Имеем
откуда
(для? > 0 полагаем ? = г/2, и тогда \f(x,y)\ < е, если только (ж2 -\-у2I'2 < 5).
Далее, считая, что к постоянная, имеем
'+2Г
lim
<р(х, кх) =
Х-к1
откуда видно, что пределы в @, 0) по разным направлениям вообще различны.
Поэтому ip не имеет предела в @, 0).
Пример 2. В плоскости ж, у определим спираль р = в @ < в ^ 2тг), где
р — радиус-вектор, а 0 — полярный угол. Пусть гр(х,у) определяется следующим
образом (рис. 7.1): ^(С^О) = 1, ф(х,у) = 0 для
р = \Jх2 + у2 ^ в > 0, ф линейна на любом от-
отрезке, соединяющем точку @,0) с точкой спирали.
Легко видеть, что Пт^^о Ф(^х^у) = 1? какова бы
ни была точка (ж, г/) Ф @,0), т.е. существует рав-
равный 1 предел ф в @, 0) по любому направлению, меж-
между тем как предел ф в @, 0) не существует. Ведь если
приближаться к точке @, 0) по кривой, находящейся
между спиралью и осью х в первой четверти плос-
плоскости ж, у, то вдоль этой кривой ф(х,у) = 0.
Будем писать limx^xo /(x) = оо, если
р - . функция / определена в некоторой окрестнос-
окрестности х°, за исключением, быть может, х°, и
для всякого N > 0 найдется S > 0 такое, что |/(х)| > JV, коль скоро
0< |х-х°| <5.
Можно говорить о пределе /, когда х —> оо:
lim /(x) = А.
E)
§7.2. Предел функции 205
Например, в случае конечного числа А равенство E) надо понимать в
том смысле, что для всякого г > 0 можно указать такое N > 0, что
для точек х, для которых |х| > N, функция / определена и имеет место
неравенство |/(х) — А\ < г.
Справедливы равенства
lim (Дх) ± <^(х)) = lim Дх) ± lim <p(x), F)
lim (Дх) v(x)) = lim Дх) lim ф(х), G)
х^хи х^хи х^хи
f (x) limY ,Yo f (x) / / ч , \
lim ^-4 = х^х J ) ; lim у?(х) ^ 0 , (8)
х^х° у?(х) limx^xoy?(x) Vx^x° /
где, может быть, х° = оо. При этом, как обычно, пределы (конечные) в
их левых частях существуют, если существуют пределы / и ср. Докажем
для примера G).
Пусть xfc -^ х° (xfc ф х°); тогда
lim (/(xfc) (p(xk)) = lim /(xfc) lim (p(xk) =
= lim Дх) lim <p(x). (9)
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой час-
части (9), а так как последовательность {х } произвольна, то он равен пре-
пределу функции Дх) <^(х) в точке х°.
Теорема 1. Если функция f имеет предел, не равный нулю в
точке х°,
lim Дх) = А ф О,
х—>х1
то существует 8 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенствам
0< |х-х°| <6, A0)
удовлетворяет неравенству
A1)
Больше того, она сохраняет там знак А.
В самом деле, положив г = |-4|/2, найдем 5 > 0 такое, чтобы для х,
удовлетворяющих неравенствам A0), выполнялось
|/(х)-Л|<|А|/2. A2)
Поэтому для таких х \А\/2 > \А — /(х)| ^ \А\ — |/(х)|, т.е. имеет
место A1).
206 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Из A2) для указанных х следует:
Л - |А|/2 < /(х) < А + |А|/2,
откуда А/2 < /(х) при А > 0 и /(х) < А/2 при А < 0 (сохранение
знака).
Замечание. В § 7.11 будет дано более общее определение предела
функции, заданной на произвольном множестве.
§ 7.3. Непрерывная функция
По определению функция /(х) = f(xi,..., хп) непрерывна в точке
х° = (х\,... ,х^), если она определена в некоторой ее окрестности, в том
числе и в самой точке х°, и если предел ее в точке х° равен ее значению
в ней:
lim /(х) =/(х°). A)
Условие непрерывности / в точке х° можно написать в эквивалент-
эквивалентной форме:
lim /(х° + h) = /(х°), A')
т.е. функция /(х) непрерывна в точке х°, если непрерывна функция
/(х° + h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение / в точке х°, соответствующее прираще-
приращению h = (hi,..., hn), Аь/(х°) = /(x° + h) — /(x°), и на его языке
определить непрерывность / в х°: функция / непрерывна в х°, если
ШпДь/(х0) =
= lim [f(xo1+hi,...,x°n + hn)-f(xo1,...,x°n)] =0. A")
hi,...,hn—>0
Из формул F)-(8) § 7.2 непосредственно следует
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное не-
непрерывных в точке х° функций /(х) и <^(х) есть непрерывная
функция в этой точке, если, конечно, в случае частного (р(х0) ф 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию /(х) = с от х =
= (xi,..., хп). Она непрерывна для любого х, потому что
/(х + h) - /(х) =c-c = 0^0, h^O.
Следующей по сложности является функция /j(x) = Xj, j =
= 1,2,... ,п. Она также непрерывна (как функция от х = (xi,..., хп)).
Действительно, пусть h = (hi,..., hn); тогда
|^(х + Ь)-^(х)| = \(xj+hj)-xj\ = \hj\ <: |h| ^0, h^O.
§7.3. Непрерывная функция 207
Если производить над функциями Xj и постоянными действия сложе-
сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функ-
функции, называемые многочленами от х, или (xi,..., хп). На основании
сформулированных выше свойств многочлены суть непрерывные функ-
функции на Rn (для всех х Е Rn). Отношение P/Q двух многочленов есть
рациональная функция, очевидно, непрерывная всюду на Rn, за исклю-
исключением точек х, где Q(x) = 0.
Функция
Р(х) = х\ - х\ + х\хъ + 2х\х2 - Ъх\ + 4
может служить примером многочлена от х\, ж 2, жз третьей степени.
Вообще, имеет место очевидная
Теорема 2. Пусть /(xi,..., хш) — непрерывная функция в
точке (#5,..., ^т) пространства Rm и т < п.
Если ее рассматривать как функцию
от х = (xi,... ,жп), то F непрерывна относительно х = (xi,... ,жп)
(в пространстве Rn) в любой точке вида (ж^,... ,ж^,ж^+1,..., ж^),
гEе числа ж^+1,... ,ж^ произвольны.
В самом деле, если h = (/ii,..., /in), to
AhF(x°) = F(x? + Ль ..., x°n + hn) - F(x?,..., x°n) =
= /(x? + /ii,..., x°m + hm) - /(ж?,..., О -^ 0, h ^ 0.
Пусть k = (fci,..., kn) есть целый неотрицательный вектор, т.е. име-
имеющий неотрицательные целые компоненты kj, j = 1, 2,..., п. Если
х = {х\,..., хп) — точка Rn, то условимся о следующем обозначении:
хк=х^х^2...х^. B)
Эта функция непрерывна для всех х Е Rn, потому что она есть про-
произведение конечного числа множителей вида Xj, каждый из которых есть
непрерывная функция от х. Введем еще новое обозначение:
|k| = f>, C)
которое употребляют для целых неотрицательных векторов к и которое
/ \1/2
не надо путать с |к| = ( X^?=i Щ ) • Составим сумму
' / Lt/l^-Л. 7 ^/vi /v «^ 1 • • • «лу/jo ч
|k|^iV |k|^iV
208 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
распространенную на всевозможные векторы к с |к| ^ JV, где а к =
— а/сь... ,кп — постоянные коэффициенты, снабженные целочисленными
векторными индексами к. Эта функция (очевидно, непрерывная) назы-
называется многочленом от х степени N.
Справедлива
Теорема 3. Пусть функция /(х) = /(xi,..., хш) непрерыв-
непрерывна в точке х° = (ж§,... , ж^) пространства Rm {точек х), а функ-
функции (fj(u) = (fj(ui,... ,ип), j = 1,2,..., m, непрерывны в точке
и0 = (и\,... ,и^) пространства Rn (точек и). Пусть, кроме того,
ipj(u°) = х®, j = 1,2,... , m. Тогда функция
F(u) = /(<pi (u), y?2(u),... ,^m(u))
непрерывна (no u) в точке u°.
Доказательство. Так как / непрерывна в х°, то для любого
? > 0 можно указать 5 > 0 такое, что / будет определена для всех х,
для которых \xj — х®Л < й, j = 1, 2,..., m, и для них будет выполняться
неравенство | /(х) — /(х°) | < г, и так как функции (/?j непрерывны в точке
и0 пространства Rn, то можно определить такое г\ > 0, что для точек
u G Мп шара | и — и01 < 77 выполняются неравенства
Тогда выполняется также неравенство
|F(u) - F(u°)| = |/(^i(u),... ,^m(u)) - /(^i(u°),... ,^m(u°))| < e,
и теорема доказана.
Функцию мы будем называть элементарной функцией от перемен-
переменных х\,..., хп, если она может быть получена из этих переменных и кон-
констант с при помощи конечного числа операций сложения, вычитания,
умножения, деления и операций ср, где ip — элементарные функции от
одной переменной (см. § 1.3). Функции
1) sin In л/1 + х2 + у2 = ipi,
2) sin2 ж + cos3(x + y) = (^2,
могут служить примерами элементарных функций.
Легко проверить, пользуясь теоремами 1-3, что функции cpi и ср2
непрерывны на плоскости ж, у, функция же срз, очевидно, определена и
непрерывна в тех точках (ж, у), для которых дробь (х — у)/(х + 2/) поло-
положительна и конечна.
Замечание. Систему функций A ^ т ^ п)
Уг = (^г(х) = <?г(ж1,... ,Жп), г = 1,...,Ш, X G П С МП,
§7.3. Непрерывная функция 209
можно рассматривать как отображение
точек х G П С Мп в точки у е Мт.
Приращению Ах = (Ах\,..., Ажп) в точке х при помощи отображе-
отображения А соответствует приращение Ау = (А?д,..., Ауш).
Отображение А непрерывно в точке х, если
/ т х 1/2 , п х 1/2
|Ау| = Y, 1А^|2 ^ 0 при |Ах| = Y 2
Это свойство, очевидно, эквивалентно непрерывности функций <^г(х) •>
г = 1,..., т, в рассматриваемой точке х.
Из теоремы 1 § 7.2 и определения непрерывности функции в точке
непосредственно следует
Теорема 4. Функция /(х) = /(xi,... ,жп), непрерывная в
точке х° и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак /(х°)
в некоторой окрестности этой точки.
Следствие. Пусть функция /(х) определена и непрерывна
на Жп (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х; где она
удовлетворяет неравенству /(х) > с (или /(х) < с), какова бы ни
была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F(x.) = /(х) — с непрерывна на Rn, и G есть
множество всех точек х, где F(x) > 0. Пусть х° Е G; тогда существует
шар
на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит G и точка х° Е G внутренняя
для G.
Случай /(х) < с доказывается аналогично.
Пример 1.
п 2 п
1) /i(x) = \j —, a/j, > 0; 2) /г(х) = Tj |ж^. ; 3) /з(х) = max |ж^. .
Эти три функции определены и непрерывны на IRn. Непрерывность /з вытекает
из следующих выкладок:
к к
^ т&х\хк +hk - хк\ =тах|/г/с| ->> 0, |h| -> 0.
/с к
В таком случае множества значений х, для которых выполняются равенства
/г(х) < с, г = 1,2,3, — открытые множества. Первое из них есть внутренность
эллипсоида в n-мерном пространстве; второе и третье при п = 2 суть внутреннос-
внутренности квадратов, изображенных соответственно на рис. 7.2 и 7.3.
210 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Эти три множества выпуклые, потому что из неравенств /г(х) < с и
/г (у) < с следует /ДЬс + A - *)у) < с, 0 ^ t ^ 1.
Неравенства /г(х) > с > 0 определяют внешности указанных фигур.
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению
В этом параграфе мы будем рассматривать функции /, определенные
на произвольном открытом множестве G С Жп.
Назовем приращением f в точке х = (ж]_,..., хп) (е G) по пере-
переменной Xj с шагом h величину
AXjhf(x.) =
,жп) -
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина
имела смысл.
Частной производной по Xj в точке х называется предел
df
_
"" 11ГП
h
j = l,...,n,
если он существует. Частная производная ^д. есть обычная производ-
производная функции /(xi,..., жп), рассматриваемой как функция только от пе-
переменной Xj при фиксированных х\,..., Xj-1, жj+i,..., жп.
Функция z = /(ж, ^/) от двух переменных изображается в техмерном
пространстве, где задана прямоугольная система координат x,y,z, по-
поверхностью— геометрическим местом точек (ж, у, /(ж, 2/)), где (ж, у) Е G.
Очевидно, что величина /^(жо,?/о) (если она существует) равна тан-
тангенсу угла наклона к прямой, параллельной оси ж, касательной к
сечению этой поверхности плоскостью у = уо в точке, имеющей
абсциссу жо-
Производные -^-, г = 1,..., п, называют также частными произ-
производными первого порядка от /.
Выражения
-, г, j = 1,..., п, называют частны-
ми производными второго порядка. При г = j их принято обозначать
так:
= —-*-, г = 1,...,п.
§7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость 211
Pi Pi Pi ЯЗ f
Выражения -w~^~^~j ~ Ъ—д д называют частными произ-
к ъ j к ъ 2
водными третьего порядками т.д. Широко пользуются обозначениями
такими, как приведенные ниже:
д д дш
дхк ''' dxkj дх1^ '
т раз
д д д д д д _ д6
dz ду ду dz dz дх dz ду2 dz2 дх
Мы увидим в дальнейшем, что во многих важных случаях эти опера-
операции частного дифференцирования законно менять местами без изменения
результата.
Можно еще ввести понятие производной по направлению. В случае
функций от одной переменной оно не употребляется.
Пусть и) = (cji, ... , ujfi) есть произвольный единичный вектор. Про-
Производной функции / в точке х по направлению и) называется предел
t
t>o
(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела
предполагается, что t стремится к нулю, принимая положительные зна-
значения, поэтому можно еще сказать, что q* есть правая производная
в точке t = 0 функции /(х + u)t) no t.
Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить о пра-
правой и левой частной производной по Xj. Надо учесть, что производная
по направлению положительной оси Xj совпадает с правой частной
производной по Xj, однако производная по направлению отрицатель-
отрицательной оси Xj имеет знак, противоположный знаку левой производной
ПО Xj.
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость
Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в п-мерном
случае рассуждения аналогичны. Случай п = 1 был специально рас-
рассмотрен в §5.2.
Пусть на открытом множестве GcM3 задана функция
и = f(x,y,z),
имеющая в точке (x,y,z) E G непрерывные частные производные перво-
первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производ-
производные существуют в некоторой окрестности (x,y,z), хотя, быть может, они
в точках, отличных от (ж, у, z), не являются непрерывными. Рассмотрим
приращение / в (x,y,z), соответствующее приращению (Ах, Ay, Az),
212 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
где |Дж|, \Ау\, \Az\ < S и S достаточно мало, чтобы точка (ж + Дж,
у + Д?/, z + Az) не выходила из указанной окрестности. Имеют место
равенства (пояснения ниже):
Аи = /(ж + Дж, ?/ + Дз/, 2: + Az) - /(ж, ?/, z) = A)
= /(ж + Ах, у + Д?/, 2: + Д^) - /(ж, y + Ay,z + Az)+ B)
+ /(ж, y + Ay,z + Az) - /(ж, з/, г + Az)+ C)
+ /(ж, з/, г + Az) - /(ж, ?/, г) = D)
= f'x (ж + 0i Дж, ?/ + Ay, z + Дг) Дж+
+ f'y(x, у + 6>2Д2/, z + Дгг)Л?/ + /^(ж, у, z + |93Д2:)Д2: = E)
y f/z(x,y,z)Az + o(p), p -+ 0, G)
О < 01,02,03 < 1, /?= \/Аж2+Д?/2+Д^2, ?Ь?2,?3^0, р->0. (8)
Отметим, что соотношение р —>- 0 эквивалентно трем соотношениям:
Дж ->> О, Д?/ -^ О, Д^ -^ 0.
Переход от B) к первому члену E) обосновывается так: функция
f(€iV + ^l/j z + ^z) от ^ (при фиксированных 2/ + Ay, z + Д2:) имеет
по условию производную (по ?) на отрезке [ж, ж + Дж] и к ней примени-
применима теорема Лагранжа о среднем. Аналогичное пояснение ко второму и
третьему членам E). Переход от E) к F) чисто формальный: мы поло-
положили, например,
f'x(x + ОгАхтУ + Ay, z + Az) = /'х(х,у, z) + гг.
Но не формален здесь тот факт, что е\ —> 0 при р —> 0. Он следует из
предположенной непрерывности fx в (x,y,z). Наконец, переход от F)
к G) сводится к утверждению, что имеет место равенство
- s<zAy + s^Az — o(p), p -^ 0.
В самом деле (см. § 6.2, (9)), при р —> 0
\siAx + г2Ау + ssAz\ ^Je\ +s\+s\
Мы доказали следующую важную теорему.
Теорема 1. Если функция и = / имеет непрерывные частные
производные (первого порядка) в точке (x,y,z), то ее приращение
§7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость 213
в этой точке, соответствующее достаточно малому приращению
(Ax,Ay,Az), можно записать по формуле
р=
где частные производные взяты в точке (x,y,z).
Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят
от Ах, Ay, Az, то из теоремы 1 следует, что приращение / в (x,y,z),
соответствующее приращению (Ax,Ay,Az), может быть записано по
формуле
Аи = AAx + BAy + CAz + o(p), р -+ О, A0)
где числа А, В, С не зависят от Ах, Ay, Az.
Сделаем следующее определение: если приращение функции / в точ-
точке (x,y,z) для достаточно малых Ах, Ay, Az может быть записано в ви-
виде суммы A0), где А, В, С — числа, не зависящие от Ах, Ay, Az, то
говорят, что функция / дифференцируема в точке (х, у, z). Таким обра-
образом, дифференцируемость функции /в (x,y,z) заключается в том, что ее
приращение А/ в этой точке можно записать в виде суммы двух слагае-
слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция ААх + ВАу + С Az от
Ах, Ay, Az — она называется главной линейной частью приращения
А/, второе же слагаемое, вообще, сложно зависит от приращений Ах,
Ay, Az, но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться к нулю
быстрее, чем р = л/'Ах2 + Ay2 + Az2.
Легко видеть, что если функция / дифференцируема в точке (х, у, z),
т.е. представляется равенством A0), то она имеет в этой точке производ-
производные, равные:
df-A я/ af _
ТГ~ — А-> IT- — &•> IT- — <->•
ох оу oz
Например, первое равенство A1) доказывается так. Пусть прираще-
приращение / в (х, у, z) записывается по формуле A0). Если считать в последней
Ах = h, Ay = Az = 0, то получим равенство AxhU = Ah + o(h), h —>• 0.
После деления его на h и перехода к пределу, получим
Axhu df
hm —-— = — = А.
h OX
Из сказанного следует
Теорема 2. Для того чтобы функция / была дифференцируе-
дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные
производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непре-
непрерывные частные производные.
Из A0) следует, что если функция дифференцируема в точке, то
она непрерывна в этой точке.
214 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пример 1. Функция f(x,y,z), равная нулю на координатных плоскостях
ж = О, I/ = 0, ^ = Ои единице в остальных точках Ш , имеет, очевидно, част-
частные производные, равные нулю в точке @, 0, 0), но она, очевидно, разрывна в этой
точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом, одного
существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируе-
мости и даже непрерывности в этой точке.
Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При п = 1 свойство
дифференцируемое™ / в х записывается в виде равенства А/ = А Ах + о(Аж),
следовательно, если А ф 0, то остаток стремится к нулю при Ах —»• 0 быст-
быстрее главной части. При п > 1 это уже не так; например, при п = 3, каковы
бы ни были числа А, 5, С, одновременно не равные нулю, всегда можно стре-
стремить Аж, Ay, Az к нулю так, чтобы при этом постоянно выполнялось равенство
А Ах + ВАу + CAz = 0, но тогда в A0) остаточный член о(р) вообще больше
главного. Впрочем, если мы заставим Ах, Ay, Az стремиться к нулю так, чтобы
выполнялась пропорциональность Ах : Ay : Az = А : В : С, то тогда главная
часть приращения будет величиной, имеющей строго порядок р, и остаток будет
стремиться к нулю быстрее главной части. Здесь предполагается, что одно из чи-
чисел А, В, С отлично от нуля.
Если функция / дифференцируема в точке (x,y,z), то главная линей-
линейная часть ее приращения в этой точке называется еще дифференциалом f
в этой точке, соответствующим приращениям Ах, Ay, Az незави-
независимых переменных.
Он записывается так: df = §J- Ax + ^^У + §1^- О других обо-
обозначениях мы будем еще говорить.
Рассмотрим поверхность 5, описываемую функцией z = f(x,y), за-
заданной в окрестности точки (жо, г/о)? и плоскость Lq:
z-zo = A(x- xo) + В(у - 2/о), A2)
проходящую через точку Со = (жо,2/о,^о) € S, z^ — /(жо?2/о)-
Расстояние г (ж, у) от произвольной точки С = (x,y,f(x,y)) E S
до Lo вдоль z равно
г(х, у) = [/(ж, у) - f(xo,yo) - А(х - х0) - В(у - у0)] • A3)
Если окажется, что
г(х,у) = о(г) (г ->> 0), г = л/(ж-жоJ + B/-2/оJ, A4)
то это значит, что функция / дифференцируема в (жо, у о) и
dxjo \dyjo
Обратно, если функция / дифференцируема в (жо, у о) и числа Аи В
определяются равенствами A5), то, как мы знаем, выполняется равен-
равенство A4).
§7.6. Производная сложной функции 215
Введем определение.
Плоскость Lo вида A2) называется касательной плоскостью в точ-
точке Со = (xo,yo,zo) поверхности 5, заданной уравнением z = f(x,y),
если расстояние г(х,у) от произвольной точки С = (x,y,z) Е 5 до Lo
вдоль г стремится к нулю быстрее, чем г = л/(ж — жоJ + (у — УоJ, т- е.
еслиг(ж,2/) = o(r), r -4- 0.
Мы доказали, что для того, чтобы у поверхности z = /(ж, 2/) сущест-
существовала в ее точке Со = (жо,^/о5^о) касательная плоскость, необходимо
и достаточно, чтобы функция f(x,y) была дифференцируема в (жо, У о) •> и
тогда уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке Со име-
имеет вид
Пример 2. Функция (а > 0)
I (x +y p ~^а'' в рациональных точках,
0 в остальных точках,
очевидно, разрывна в любой точке, отличной от нулевой, в нулевой же точке она
дифференцируема:
/(ж, у) - /@, 0) = /(ж, у) = Ох + Оу + р
где р1+а = о(р), р —>> 0. Таким образом, / есть пример функции, дифференциру-
дифференцируемой в точке, но не имеющей непрерывных частных производных в этой точке.
Примеры 1 и 2 показывают, что свойство функции быть дифференци-
дифференцируемой в точке слабее свойства иметь непрерывные частные производ-
производные в точке, но сильнее свойства иметь частные производные в точке.
§ 7.6. Производная сложной функции.
Производная по направлению. Градиент
Ограничимся рассмотрением функции трех переменных, определен-
определенной на открытом множестве G С М3. Распространение излагаемых здесь
фактов на n-мерный случай производится аналогично.
Теорема 1. Пусть функция
u = f(x,y,z) A)
дифференцируема в точке (x,y,z) E G, а функции
x = <p(t), y = №, z = X(t), B)
зависящие от скалярного параметра ?, имеют производную в t. Тог-
Тогда производная по t сложной функции (производная функции / вдоль
216 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
кривой B)) и = F(t) = f(ip(t),^(t),x(t)) вычисляется по формуле
t), x(t))x'(t),
или, короче,
du df dx df dy dfdz
~dt = ~d^~dt+~d^~dt+~d^~dt' ( '
В самом деле, вследствие дифференцируемое™ / в (x,y,z), каково
бы ни было достаточно малое приращение (Ах, A?/, Az),
Аи = f(x + Ах, у + Ay, z + Az)- /(ж, у, z) =
= |^Аж + У-Ay + ^-Az + о(р), D)
дх ду dz
р = V'Ах2 + Ay2 + Az2 -^ 0.
Значению ?, которому при помощи равенств B) соответствует точка
(ж, у, z), придадим приращение At. Оно вызовет приращения Ах, Ау,
Az функций B). Если именно их подставить в D), то получим прираще-
приращение F(t + At) — F(t) = Аи функции F в точке t. После деления D) на At
и перехода к пределу получим
f Ax df Ay df Az o(p
9x dt dy dt dz dt
т.е. C), потому что функции B) имеют производные, а
AxY (AyY (AzY
-^ 0 • у x't2 + 2/J2 + ^2 =0, At -> 0
(At -^ 0 влечет ^ ^ 0).
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке (х, у, z),
то для нее имеет смысл производная по направлению любого еди-
единичного вектора n = (cos a, cos /3, cos 7), выражаемая формулой
^- = ¦?- cosa + -— cos/3+ ¦— COS7. E)
§7.6. Производная сложной функции 217
Доказательство. Согласно определению производной по
направлению (см. § 7.4) и в силу предыдущей теоремы
<Э/ 1. f (x-\-1 cosa,у-\-1 cos C,z-\-tcosj) — f(x,у, z)
дп t^o t
t>o
— \-r f(x + tcosa,y + tcos[3,z + tcos'y)\ =
ldt Jt=o
9/ df df
= -7— cos a + -7— cos /3 + t— cos 7,
аж a?/ az
где частные производные взяты в (x,y,z).
Если ж = ip(s), у = ip(s), z = x(s) —уравнение гладкой кривой Г,
где параметр s — длина дуги, то величины
dx t/. dy ,,, ч dz .,.
суть направляющие косинусы вектора касательной к Г. Поэтому вели-
величина
где / — дифференцируемая функция, есть производная по направлению
указанного касательного вектора. Говорят еще, что -^ есть производная
функции / вдоль Г.
Введем вектор
называемый градиентом функции / в точке (ж, у, z).
Плоскость, проходящая через точку (жо, уо, ^о) и перпендикулярная
к градиенту / в этой точке, если он не равен нулю, имеет уравнение
Эта плоскость замечательна тем, что ее можно (в силу E)) рассматри-
рассматривать как геометрическое место выходящих из (жо, у о, zq) лучей, вдоль ко-
которых производная от / равна нулю. В § 7.19 будет доказано, что эта
плоскость есть касательная плоскость в (жо, уо, ^о) к поверхности, опре-
определяемой уравнением
/(ж, y,z)=A (A = /(ж0, ?/о, го)). (8)
218 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Из формулы E) понятно, что производная / в точке (x,y,z) по
направлению единичного вектора п равна проекции градиента / в этой
точке на направление п:
|^ = (grad/,n)=gradn/. (9)
Имеет место очевидное неравенство
|^ < |grad/| A0)
для любого вектора п. Если grad/ = 0, что обычно бывает только в
исключительных точках, то -^ = 0 для любого вектора п. Если же
grad / ф 0 (одна из частных производных функции / не равна нулю),
то A0) есть строгое неравенство для всех единичных векторов п, за ис-
исключением единственного вектора no = (cos ао, cos (Зо •> cos 70) •> направ-
направленного в сторону grad /. Таким образом,
j_
дх
cos 7o =
2LX + {2L\ + f2L\
dx) + \dy) + \dz)
9y
df\2 (df\2 (df\2
dx) \dy) \dz)
dj_
dz
d?\2 , (dp2
ду
A1)
Из сказанного следует, что градиент функции / в точке (x,y,z)
можно определить как вектор, обладающий следующими двумя
свойствами:
1) длина его равна максимальной величине производной по на-
направлению -^ в (x,y,z) (для дифференцируемой в (ж, у, z) функции
этот максимум существует и есть число неотрицательное);
2) если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сто-
сторону, что и вектор п, вдоль которого производная -^ максимальна.
Это новое определение градиента полностью эквивалентно его фор-
формальному определению при помощи формулы F). Оно показывает, что
grad / есть инвариант, т.е. он может быть определен независимо от систе-
системы координат, в которой рассматривается функция / от точки (см. A)).
§7.6. Производная сложной функции 219
Чтобы пояснить эти слова, рассмотрим физический пример. Будем счи-
считать, что G есть физическое тело, а и = и(Р) есть температура пе-
переменной его точки Р, вообще меняющаяся от точки к точке. Если в
пространстве ввести прямоугольную систему координат x,y,z, то фи-
физическая функция и = и(Р) может быть заменена на математическую
и = /(ж, у, z), где (ж, у, z) — прямоугольные координаты точек Р Е G. В
другой прямоугольной системе ж', yf, я/ наша физическая функция будет
описываться, вообще говоря, другой математической функцией
= f{alXf + a2y' + a3z', fox' + f32y' + foz1, 71^'+722/'
A2)
где
ж = / + r + '
z' = 71 ж' + 722/' + ¦
— формулы преобразования координат.
Градиент нашей физической функции и — и(Р) естественно опреде-
определить в духе второго приведенного выше определения. Это есть вектор, по
направлению которого температура в данной точке Р возрастает быст-
быстрее всего, длина же его равна максимальной скорости возрастания тем-
температуры среди скоростей, соответствующих разным направлениям.
Мы знаем, что если функция /, описывающая нашу физическую
функцию, в системе ж, у, z дифференцируема в точке Р = (ж, у, z), для
нее имеет смысл градиент в этой точке, определяемый тройкой чисел
f_d?dl
ч<9ж ' ду ' dz
Во второй системе координат ж', у', z' он задается другой тройкой:
дх' ' ду' ' dz' )' A5)
Таким образом, мы из чисто физических соображений доказали, что
если некоторый вектор в прямоугольной системе координат x,y,z задан
тройкой чисел A4), то при условии дифференцируемое™ / в (ж, у, z) он
в новой системе xf ,yf, z1 задается тройкой A5), где /i определяется фор-
формулами A2), A3). Этот факт можно доказать и формально (см. 4-е изда-
издание книги автора "Курс математического анализа", § 7.6), рассматривая
grad / как символическое произведение вектора V на скаляр /.
Пример 1. Пусть /(г) = F(Q) есть функция от расстояния г = r(P, Q)
между фиксированной точкой Р(жо, 2/СЬ ^о) и переменной точкой Q(x,y,z)\
gradF=
220 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
есть вектор, имеющий направление вектора PQ и длину | grad F\ = \f (r) |. Поэ-
Поэтому
В частности, если F(Q) = /(г) = 1пA/г), то
dF _ cos(PQ,n)
дп г
Пример 2. Функции
\2 fd\2 fd\2
^ + ^ A7)
суть инварианты относительно преобразований прямоугольных систем координат,
потому что Vu = grad 16 — вектор (инвариант), левая часть A6) есть квадрат
его длины (скалярное произведение вектора на самого себя), a VV есть символи-
символический инвариант (скалярное произведение символического вектора V на самого
себя), умноженный на скаляр и.
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования
Теорема 1. Пусть на открытом плоском множестве G
задана функция /(ж,у). Если она имеет в точке (х,у) непрерывные
смешанные производные дх^ , загс' то опи Равпы между собой в
этой точке:
=. A)
дхду дудх
В самом деле,
&xh{f(x,y + h)- f(x,у)) =f(x + h,y + h)-
- f(x + Л, 2/) - f(x, y + h) + f(x, y) = AyhAxhf. B)
Далее (пояснения ниже),
AyhAxhf = Ayh(f(x + h,y)- f(x,y)) =h(f'y(x + h,y + 0h)-
- f'y(x,у + 0h)) = h2f'x'y(x + 01h,y + Oh) =
= h2{fx'y(x,y)+?), ?^0 при Л->0. (З)
Так как производная дх^ непрерывна в точке (х,у), то тем самым она
существует в достаточно малой окрестности этой точки и автомати-
автоматически в этой окрестности существует -^- = /' При достаточно ма-
малом h мы не выходим из этой окрестности, и законно, как это сделано
§7.7. Независимость от порядка дифференцирования 221
во втором равенстве C), применить теорему о среднем по у к функции
(/(ж + h,y) — /(ж, 2/)). Предпоследнее равенство есть применение этой
же теоремы по ж к /' что законно, потому что в указанной окрестности
существует частная производная -^ = f"y. Последнее равенство, где
отмечается, что г —> 0 при h —> 0, выражает, что производная j'x'y в точке
(ж, у) непрерывна. Из C) следует, что
Аналогично, пользуясь непрерывностью fyx, доказывается равенство
AxhAyhf _
h2 -hx^,y),
и так как AxhAyhf = AyhAxhf при любых h, то верно и A).
Заметим, что непрерывность обеих входящих в A) частных произ-
производных есть только достаточное условие для выполнения равенства A).
В литературе известны и менее ограничительные накладываемые на /
условия, влекущие за собой это равенство. Но очень редко приходится
их применять.
Пусть дан целочисленный неотрицательный вектор k = (fci,..., fcn),
kj ^ 0. Будем говорить, что частная производная подчинена векто-
вектору к, если, каково бы ни было j = 1,..., п, при ее вычислении приме-
применяется операция -^- не больше чем kj раз. Если, в частности, kj = 0,
то операция -^- не применяется. Теперь мы можем сформулировать тео-
теорему.
Теорема 2. Если все подчиненные вектору к частные произ-
производные от функции /(х) = /(xi,... ,жп) непрерывны (в Rn) в точ-
точке х, то в любой из них можно переставить порядок дифференци-
дифференцирования как угодно, не изменяя результата.
Доказательство этой теоремы во всей ее общности потребовало бы
хотя и простой, но громоздкой индукции. Мы ограничимся только при-
примером. Производная qzqxqzq подчинена, очевидно, вектору A,1,2). В
предположении, что не только она, но и все частные производные от /,
подчиненные этому вектору, непрерывны по (x,y,z), мы можем, поль-
пользуясь всякий раз либо определением частной производной, либо теоре-
теоремой 1, получить равенства
dzdxdzdy ~ dzdx dzdy ~ dzdx \dydz) ~ dxdz \dydz) ~
д д2 (df\ д д2 (df\ d4f
дх dzdy \dz) dx dydz \dz) dxdydz2
222 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Например, во втором равенстве мы рассуждаем так: частные производ-
производные dzQ и д ^z по условию непрерывны относительно (x,y,z), тем бо-
более они непрерывны при фиксированном х относительно (y,z), поэтому
они равны. В пятом равенстве это же рассуждение проводится для -^.
Упражнение. Показать, что функция
' - хоJ + (у - уоJ + {z - z0J,
называемая фундаментальным решением уравнения теплопроводности,
удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных:
-f?L ^1 ^1
дх2 + ду2 + QZ2 >
§ 7.8. Дифференциал функции.
Дифференциал высшего порядка
Рассмотрим функцию
...,xn), A)
заданную на некотором открытом множестве G С Мп. Ее можно беско-
бесконечным числом способов записать в виде
W = (р(и) = (^0i,...,^m), B)
где
Uj=ipj(x.), j = l,...,m, x g G. C)
Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: перемен-
переменная W есть функция от независимой векторной переменной х; эта же
переменная W есть функция от зависимой векторной переменной и.
Последняя зависит от независимой переменной х: каждому вектору х
из G соответствует вектор
U= 0/>l(x),... ,^m(x)).
Таким образом, роль векторной переменной х здесь носит исключи-
исключительный характер — она в проводимых ниже рассуждениях будет фигу-
фигурировать только как независимая переменная.
§7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 223
Пусть функция / имеет непрерывные частные производные первого
порядка в точке х Е G. Тогда, как мы знаем из § 7.5, она дифференциру-
дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может быть записано в виде
1/2
Сумма
3 = 1
называется главной линейной частью приращения W в точке х или еще
дифференциалом W в этой точке, соответствующим приращениям
Axi,... , Ахп независимых переменных.
Для независимых х\,..., хп полагают
Axj = dxj, j = l,...,n, F)
и называют эти величины не только приращениями независимых пере-
переменных Xi, но и их дифференциалами. Мы будем их называть неза-
независимыми дифференциалами в знак того, что они не зависят от х =
= (xi,... ,хп). Формально "независимость" величин dxj будет прояв-
проявляться в том, что при дифференцировании (по х\,..., хп) они будут рас-
рассматриваться как постоянные (d(dxj) = 0).
В силу соглашения F) дифференциал W может быть записан в форме
Ясно, что dW есть величина, зависящая, вообще говоря, от xi,..., хп
и dx\,..., dxn.
Для любых двух функций, и и v, имеющих непрерывные частные
производные в точке х, справедливы свойства
d(u ±v) =du± dv, (8)
d(uv) = udv + v du, (9)
u\ v du — udv , , ч
- = -2 , v^O, 10
v J vz
и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непре-
непрерывны в точке х.
224 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Докажем, например, третье из этих равенств:
п о / ч п v _ди dv
v^ д (U\j V^ дхз дхз j
v J ^—{ oxi \ v . =i
v du — udv
= —z [v У -— dxj -
3 = 1
Непрерывность -^- (--j) видна из третьего члена цепи.
j
Дифференциал от функции W называют еще дифференциалом пер-
первого порядка, потому что приходится еще рассматривать дифференциа-
дифференциалы высших порядков.
Пусть теперь функция W имеет вторые непрерывные частные про-
производные. По определению второй дифференциал от нее, соответству-
соответствующий независимым приращениям (дифференциалам) dx\,..., dxn, опре-
определяется равенством
d2W = d(dW), A1)
где считается, что обе операции d в правой части A1) берутся для ука-
указанных независимых приращений dxi,... jdxnj которые должны рас-
рассматриваться как постоянные (не зависящие от xi,..., хп). Таким об-
образом,
d2W = d^_^ tj— dxi = 2_^ dl —— d:
OXi . \ OXi
г=1 i=l x
Так как я^ У, = я^ У , то второй дифференциал представляет со-
бой квадратическую форму относительно независимых дифференциалов
dxi,... ,dxn.
Вообще, дифференциал порядка I от W для независимых диффе-
дифференциалов dx\,..., dxn определяется по индукции при помощи рекур-
рекуррентного соотношения
dlW = d(dl-1W), / = 2,3,... , A3)
где dl, d, dl~x берутся для указанных независимых дифференциалов dxi,
которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные
(не зависящие от х\,..., хп).
Рассуждая, как в A2), легко получим, что
§7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка 225
Подобным образом вычисляются дифференциалы любых порядков.
Мы определили понятие дифференциала функции W в терминах не-
независимых переменных х\,..., хп (или независимой векторной перемен-
переменной х). Но пусть, как это было объяснено в начале этого параграфа, W
рассматривается теперь как функция от зависимой векторной перемен-
переменной u = (i&i,..., иш). Возникает вопрос, как выражаются дифференци-
дифференциалы первого и высших порядков в терминах этой переменной и? Начнем
изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.
Будем предполагать, что функции ip(u) и ^j(x), j = l,...,m,
о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные
производные. Тогда
3 = 1
dxj
и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифферен-
дифференциал от W выражается через зависимые переменные так же, как через
независимые. В этом проявляется инвариантность формы первого
дифференциала.
Чтобы исследовать поставленный вопрос, в случае второго диффе-
дифференциала будем предполагать, что функции if и г/jj имеют непрерывные
частные производные второго порядка.
Дифференцируя обе части A4), приняв во внимание свойства (8)
и (9), получим (пояснения ниже)
d2W = d(dW) =
J^ JdW 7 \ ^/^ d2W 7 7 dW
= > d
1=1 x 3 = 1 J
171 m d2w ^ow 2
1=13=1 l 3 i=l
Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойствами (8) и (9)
и, кроме того, тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняет-
сохраняется и для зависимых переменных и j.
Мы видим, что второй дифференциал от функции VF, выраженный
в терминах зависимых переменных и j, существенно распадается на два
слагаемых. Первое слагаемое представляет собой квадратическую фор-
форму, аналогичную форме A2), где d2W выражалось через независимые
8 С.М.Никольский
226 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый доба-
добавок, с которым надо считаться: если Ui ф ж^, то этот добавок, вообще
говоря, не равен нулю. Впрочем, если Ui, г = 1,..., т, — линейные
функции от х\,..., хп, то свойство инвариантности сохраняется и для
дифференциалов высшего порядка.
Выраженные через зависимые переменные Ui дифференциалы d3W,
d^W,... вычисляются подобным образом последовательно. Приходится
считаться с тем фактом, что выражения для них становятся все более
громоздкими.
§ 7.9. Теорема Больцано—Вейерштрасса
Множество Е называется ограниченным, если оно содержится в не-
некотором шаре (кубе). В противном случае Е называется неограничен-
неограниченным. В этом определении можно считать, что шар (куб), о котором идет
речь, имеет центр в нулевой точке, потому что если все точки х Е Е удов-
удовлетворяют неравенству |х — х°| < pi, то и неравенству |х| ^ |х — х°| +
+ |х°| < /02, где р2 = pi + |х°|.
Следующая теорема обобщает соответствующую одномерную тео-
теорему и базируется на ней.
Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной
последовательности точек xfc = (х\,..., ж^), к = 1,2,..., можно
выделить подпоследовательность {х^}, I = 1,2,..., сходящуюся к
некоторой точке х°:
\\jrki — х°|| ^п 1 ^ по
Доказательство. Так как последовательность {xfc} ограни-
ограничена, то существует число М такое, что
М> * ^
Это показывает, что координаты точек xfc также ограничены. Первая
координата пробегает ограниченную последовательность {ж^}, к =
= 1, 2,..., и на основании одномерной теоремы найдутся подпоследо-
подпоследовательность |fc/1} натуральных чисел и некоторое число х\ такие, что
х11 —>• ж§, h —>• оо. Вторую координату х\ рассмотрим только для най-
найденных натуральных к\х. Подпоследовательность < х2 х \ ограничена, и
по одномерной теореме можно выбрать подпоследовательность \х22 \ и
число х\ такие, что х2 2 -^ х2- Так как {&/2} есть подпоследователь-
ность |fc/1}, то имеет место одновременно ж1 2 -^ х\, х22 —> х2. В силу
§7.10. Замкнутые и открытые множества 227
ограниченности третьей координаты можно, рассуждая, как выше, по-
получить подпоследовательность |fc/3 } подпоследовательности \к\2}, для
которой одновременно
kh 0 kh 0 kh О
Х-\ г %^у Хъ г X<2i Хо г Х^,
где х® — некоторое число. Продолжая этот процесс, на п-м его этапе
получим подпоследовательность натуральных чисел к\п — к\ и систему
чисел х\,х\,...,х^п такие, что одновременно х^1 -^ х®, I -^ oo, j =
= 1,..., п. Полагая х° = (ж?,..., ж^), получим утверждение теоремы.
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества
Пусть задано множество Е С Мп.
Точка х G Мп называется предельной точкой множества Е, если
из того, что xfe e E и xfe^ х, следует, что х^Е.
Предельная точка Е может принадлежать и не принадлежать Е, но
если все предельные точки Е принадлежат Е, то множество Е называет-
называется замкнутым.
Таким образом, множество Е замкнуто, если из того, что xfc Е Е и
xfc -4- х, следует, что х^Е.
Пустое множество считается замкнутым.
Пример 1. Пусть /(х) = /(жь ..., хп) есть функция, определенная и
непрерывная на Шп, и с — любое число.
Множества 1) Ег = {х: /(х) ^ с}, 2) ^2 = {х: /(х) ^ с}, 3) ?3 =
= {х: /(х) = с} замкнуты.
Доказательство в случае 1). Пусть xfc E Е\ и xfc —>> х°; тогда /(xfc) ^ с и
/(xfe) -^ /(х°). Нотогдаи /(х°) ^ с, т.е. х° е Ег.
Пример 2. Шар V = {х: |х| ^ г} есть замкнутое множество в силу
примера 1, потому что функция /(х) = |х| = \/^2i х? определена и непрерывна
Отметим, что если Е С Жп — замкнутое множество, то СЕ =
= Rn \E — открытое множество.
В самом деле, если бы это было не так, то в СЕ существовала бы
точка х°, которая не есть внутренняя точка СЕ. Выходит, что, каково
бы ни было натуральное число к, должна найтись точка х Е Е, для
которой
х^-х0! < \, к = 1,2,3,...
к
Мы получили бы последовательность точек xfc E E, xfc —> х°. Но Е по
условию замкнуто, и потому х° G Е. Мы получили противоречие с тем,
что предполагалось, что х° Е СЕ.
228 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Обратно, если Е С W1 — открытое множество, то СЕ — замкнутое
множество.
В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова-
последовательность точек xfc G СЕ, xfc —>> х° и х° е Е. Но Е — открытое
множество, и х° можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при-
принадлежащим Е. Получилось противоречие с тем, что любой такой шар
содержит точки xfc Е СЕ.
Пример 3. Пусть /(х), х Е Мп, — непрерывная функция. 1) Множество
Е = {х: /(х) ^ с} замкнуто, а СЕ = {х: /(х) < с} открыто. 2) Множество
?J = {х: /(х) = с} замкнуто, а С ?7 = {х: /(х) ^ с} открыто.
Если задано произвольное непустое множество Е С W1, отличное
от Rn, то Rn можно представить в виде суммы трех непересекающихся
попарно множеств:
Жп = Е1+Е2 + Еъ, A)
где Е\ — совокупность внутренних точек Е — это открытое ядро Е,
Е2 — совокупность внутренних точек СЕ — это открытое ядро СЕ,
Ез — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для Е,
но и не есть внутренняя для СЕ. Такие точки называются граничными
точками Е, а Ез называется границей Е; Е\ открыто, Е2 открыто,
Е\ + Е2 тоже открыто, Ез = Мп \ (Е\ + Е2) замкнуто.
Таким образом, граница есть замкнутое множество.
Любую граничную точку х° множества Е можно определить как
такую точку х° Е Мп, что любой шар с центром в ней содержит как
точки Е, так и точки СЕ. Сама точка х° может принадлежать и не
принадлежать Е.
Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.
Любое из множеств Е1,Е2,Ез, входящих в теоретико-множественную
сумму A), может оказаться пустым.
Пример 4. Пусть Е = {х: х\ + х\ < 1}; тогда Е\ + Е2 + Е3 = М2,
Ei = {х: х\ + х\ < 1} — открытое ядро Е,
E<i = {х: х\ + х\ > 1} — открытое ядро СЕ,
Ез = {х: Xi + ж2 = 1} — граница Е (не принадлежит Е).
Пример 5. Е — множество точек xGMc рациональными координатами.
Ei = 0 — открытое ядро Е — пустое множество,
Е2 = 0 — открытое ядро СЕ — пустое множество,
Ез = R — граница Е.
Пусть Е С W1. Если к множеству Е С W1 добавить все его предель-
предельные точки, то получим множество, называемое замыканием Е и обозна-
обозначаемое так: Е.
У замкнутого множества А предельных точек, не принадлежащих
ему, нет. В самом деле, любая точка х Е С А есть внутренняя точка мно-
множества С А. Таким образом, если А — замкнутое множество, то А = А.
§7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций 229
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных
функций на замкнутом ограниченном множестве
Пусть функция / задана на множестве Е С Жп. Говорят, что она не-
непрерывна в точке х° Е Е на множестве Е, если /(xfc) —>• /(х°) для
любой последовательности точек xfc Е i?, сходящейся к х°, xfc -4- х°.
Заметим, что согласно данному определению любая функция, опре-
определенная на Е С Мп, непрерывна в изолированных точках Е.
Точка х° Е Е называется изолированной, если существует шарик с
центром в х°, не содержащий в себе других точек Е, кроме х°. Поэтому
если задано, что xfc Е Е и xfc -4- х°, то это может быть, лишь если для
некоторого N будет xfc = х° для всех k > N, но тогда
lim /(xfe) = lim /(x°) = /(х°). A)
^ к^
Если функция /, определенная на А Е Мп, непрерывна в любой точ-
точке А, то говорят, что / непрерывна на А.
Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функ-
функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобща-
обобщают соответствующие свойства непрерывных функций от одной перемен-
переменной, заданных на отрезке.
Теорема 1. Функция /, непрерывная на замкнутом ограни-
ограниченном множестве А, ограничена на нем.
Доказательство. Допустим, что она не ограничена на А; тогда
для любого натурального к найдется такая точка хк Е А, что
|/(xfe)|>fc, к = 1,2,... B)
Полученная последовательность {х } ограничена. Из нее можно
выделить подпоследовательность {х }, сходящуюся к некоторой точке
х° Е W1. Вследствие замкнутости А точка х° принадлежит А, а в силу
непрерывности / в х° на A limxA,/^x0 /(xfc ) = /(х°), и мы получили
противоречие с неравенствами B).
Теорема 2. Функция /, непрерывная на замкнутом огра-
ограниченном множестве А, достигает на нем своего максимума и
минимума.
Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что /
ограничена на А. Поэтому она имеет на А конечные точные нижнюю и
верхнюю грани:
т = inf /(х), М = sup /(x).
Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального к най-
найдется точка xfcGi такая, что
М - 1 < /(xfc) < М, к = 1,2,... C)
230 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Полученная последовательность {xfc} ограничена, и потому из нее мож-
можно выделить подпоследовательность {х^}, сходящуюся к некоторой
точке х°. В силу замкнутости А точка х° принадлежит А, ив си-
силу непрерывности / на A lim /^ 0 /(х^) = /(х°). С другой стороны,
из C) следует, что этот предел должен равняться числу М. Но тогда
/(х°) = М = тах/(х).
Аналогично доказывается существование точки у0 Е А, в которой /
достигает минимума на А:
/(y°)=m = min/(x).
х?А
Рассмотрим снова пока произвольное множество А С Жп и опреде-
определенную на нем не обязательно непрерывную функцию /, но ограничен-
ограниченную на А. Зададим число S > 0 и введем величину
u(S)=u(SJ)= sup |/(x')-/(x")|, D)
называемую модулем непрерывности / на множестве А. В правой
части D) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей
значений /, соответствующих всевозможным парам точек х',х" Е А,
отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем S.
Модуль непрерывности есть функция от ?, очевидно, неотрицатель-
неотрицательная. Она не убывает, потому что если 0 < 5 < #i, то
иF)= sup |/(x')-/(x")K sup |/(x')-/(x")|=^i).
Ix'-x"!^ Ix'-x"!^!
x',x"EA x',x"EA
Поэтому существует предел
oo@ + 0) = lim u(S) = Л ^ 0. E)
<5>0
Введем определение.
1) Функция / называется равномерно непрерывной на множестве А,
если ее модуль непрерывности со E) на А стремится к нулю при 5 —>- 0,
т.е.
cj(O + O) = limu(S) = 0. F)
50
Приведем другое эквивалентное определение.
§7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций 231
2) Функция / называется равномерно непрерывной на А, если
для любого г > 0 найдется такое S > О, что для любых х',х" Е А с
х' - х"| < S имеет место |/(х') - /(х")| < г.
Определение 1) влечет за собой 2).
Потому что из 1) следует, что для любого е > 0 найдется такое #, что
e>wF)= sup
х',х"еД
Обратно, если имеет место 2), то, задав г > 0 и подобрав S > 0 так, как
это сказано в 2), получим
иF)= sup |/(х')-/(х")|^г,
и так как cj монотонно не убывает, то отсюда следует F), т. е. 1).
Докажем теперь важную теорему.
Теорема 4. Функция /, непрерывная на ограниченном замк-
замкнутом множестве А, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда
существует го > 0 такое, что для любого натурального к найдется пара
точек
4,4'€ A, |x'fc-x'fc'|<l/fc, G)
для которых
|/(x'fc)-/(xJ0|^o. (8)
В силу ограниченности последовательности {х^,} и замкнутости А су-
существует подпоследовательность {х^. }, сходящаяся к некоторой точке
х° е A:x'fc. ч- х°. В силу G) тогда и х^. —>• х°, и потому вследствие
непрерывности / в х°
^.
lim |/(x'fc.) - Д4.)| = |/(х°) - /(х°)| = О,
что противоречит (8).
Пример 1. Функция (Дирихле), равная нулю на рациональных точках
отрезка [0,1] и единице на иррациональных, разрывна во всех точках [0,1] относи-
относительно [0,1], но это не мешает ей быть непрерывной на множестве А рациональных
точек (относительно А) так же, как на множестве иррациональных точек.
232 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Упражнения.
1. Показать, что модули непрерывности и(t) функций
1) у/х, 0 ^ х ^ 1 (см. начало § 15.5);
2) ж2, 0^ х ^ 1;
3) sin ж, 0 ^ х ^ тг/2;
определяются равенствами:
Vi, О ^ t ^
1, l^t;
1,
4) sin-, 0 < |ж| ^ 1;
5) sin ж, —оо < х < оо
Г sint, 0 ^ t ^ тг/2,
3) u(t) = < '
11, тг/2 < t;
4) o;(t) = 2, 0 ^ t\
2sin(t/2), 0 ^ t ^
5)
Г 2 sir
12,
t.
2. Показать, что если функция u(t), t ^ 0, непрерывна при t = 0и удовле-
удовлетворяет условиям
0 ^ uj(S2) -
uj(S2 -
0
то она есть модуль непрерывности самой себя.
3. Расстоянием от точки х ? Шп до множества Е С Шп называется
число
= inf
-х = inf
\
Здесь и далее ?7, ?7i, ?^2? F — непустые множества.
Доказать, что если Е — замкнутое множество (ограниченное или неогра-
неограниченное), то расстояние г(х ,Е) достигается в некоторой точке у ? Е, т.е.
г(х°, Е) = mi
) G | | | |
4. Доказать, что расстояние г(х , Е) есть непрерывная функция от х .
5. Расстоянием между двумя множествами Е\ и Е2 называют
число
r(E1,E2)= inf |x'-x".
Доказать, что если Е\ и ?2 — замкнутые множества и одно из них ограни-
ограничено, то существуют две точки у ? Е\ ж z, ^ Е2, для которых эта нижняя грань
достигается, т.е. r(Ei,E2) = min , |х' — х/;| = |у — z|. Таким образом,
"
если ?^i и Е2 не пересекаются, то r(Ei, E2) > 0.
6. Доказать, что если F замкнутое, а П — открытое ограниченное множество
и F С П, то найдется s > 0 такое, что множество F? точек х, расстояние которых
до F не превышает е, принадлежит П.
§7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля 233
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках
и лемма Бореля
Лемма. Пусть задана последовательность прямоугольников
Ак = D ^Xj^tf, j = l,...,n}, k = 1,2,...,
вложенных друг в друга (Дд. D Д^+i), с диаметром dk —
— \/Yli{^ ~ aj) 5 стремящимся к нулю (d& -4- 0). Тогда сущест-
существует единственная точка х° = (ж5,...,ж^) Е Мп, принадлежащая
всем Д&.
Доказательство. Из условия леммы следует, что при каждом
j = 1,..., п отрезки [af-, Щ], fc = 1, 2,..., вложены друг в друга и длина
их стремится к нулю при к —> оо, поэтому в силу аксиомы о вложенных
отрезках для каждого / существует единственное число ж^, принадле-
принадлежащее всем отрезкам [af-, b^], к = 1,2,..., одновременно. Точка х°,
имеющая своими координатами числа х®, очевидно, и есть та точка, о
которой говорится в лемме.
Лемма Бореля*). Пусть некоторая бесконечная система
открытых множеств V {например, открытых кубов или шаров)
покрывает замкнутое ограниченное множество Е С W1. Тогда в
этой системе существует конечное число указанных множеств V',
все же покрывающих Е.
Доказательство. Будем доказательство вести в трехмер-
трехмерном случае R3. В n-мерном случае рассуждения те же — только кубы
пришлось бы делить не на 8, а на 2П частей.
Так как множество Е ограничено, то существует куб A CR3, кото-
которому принадлежит Е. Допустим, что лемма неверна. Разделим Д на 8
равных частичных кубов. Тогда среди последних, очевидно, обязатель-
обязательно найдется такой (обозначим его через Дх), что теорема для множества
ЕП Д х также неверна (любая конечная система множеств V не покрывает
EnAi). Разделим Дх на 8 равных кубов; среди них найдется снова такой
(обозначим его через Дг), что для множества Е П Д2 теорема неверна.
Продолжив этот процесс неограниченно, получим систему включенных
друг в друга кубов Дх D Д2 D ..., диаметры которых стремятся к нулю,
таких, что для множества ЕпА^, к = 1, 2,..., теорема неверна. Сущест-
Существует (в силу предыдущей леммы) точка х° Е М3, принадлежащая всем
Д&. В силу замкнутости Е она принадлежит Е и потому покрыта неко-
некоторым множеством Vo нашей системы. Так как Vo — открытое множес-
множество, то Д/е С Vo ПРИ некотором достаточно большом к. Следовательно,
EnAkcV0.
Мы пришли к противоречию, потому что, с одной стороны, Е П Д&
покрывается одним множеством Vb, с другой, — не существует никакой
конечной системы множеств У, покрывающих Е П Д&.
Э. Борель A871-1956) —французский математик.
234 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 7.13. Формула Тейлора
Ограничимся трехмерным случаем. Рассуждения в n-мерном случае
будут совершенно аналогичными и не сложнее.
Пусть на области П С М3 задана функция
/(х) =/ОьЖ2,Ж3).
Те частные производные, которые мы будем записывать для нее, предпо-
предполагаем непрерывными на п.
Пусть х° = (ж5,Ж2,Жз) G П и S > 0 настолько мало, что шар
У(х°) = {х: |х — х°| < 6} принадлежит П.
Для точки х G V(x°), которая некоторое время будет считаться
фиксированной, вводим вспомогательную функцию
Разлагая ее по формуле Тейлора по одной переменной ?, получим
F(t) = F@) + F\0)t+^^t2,
F(l) = F@) + F'@) + ?—fl, 0 < в < 1.
2
Но
г=1
3
3 3 ^2^
2-^2-^ дхдх-
33
i)\x3
i=lj=l l 3
И мы получаем формулу Тейлора функции / по степеням х — х° вто-
второй степени в форме Лагранжа:
i=1\°xiJo
1 3 3 fpf ( '
§7.13. Формула Тейлора
235
Эта формула выведена в предположении того, что функция / непре-
непрерывна вместе со своими частными производными второго порядка на П,
при этом х G V(x°).
Но
Я2 ? / Я2 ? \
+ ец, B)
iOXjJ0
где Sij —> 0 при х —> х°, т. е. при р —
З
Заметим еще, что
з з
х — х°
0.
C)
где г
/0= feLi(^
• Ведь
3 3
v—л х—^
Х3)
г=1j=l
3 3
0
3 3
ЕЕ
г=1j=l
На основании A)-C) величина Гг(х) может быть записана следую-
следующим образом:
3 3
i)\X3
Но тогда функцию /(ж) можно записать в следующей форме (Пеано):
о
г=1
3 3
Мы получили формулу Тейлора функции / по степеням х — х° сте-
степени 2 в форме Пеано. Здесь предполагалось, что функция / имеет на П
непрерывные частные производные порядка 2.
236 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Запишем в общем виде формулу Тейлора функции / к-ой степени по
степеням х — х° только в форме Пеано:
l-h
+ o(/), p-X). E)
В этой формуле уже предполагается, что функция / имеет на П непре-
непрерывные частные производные порядка к.
Заметим, однако, что приведенные выше формулы записаны без учета
того факта, что непрерывные смешанные частные производные не изме-
изменяются при изменении порядка дифференцирования по разным перемен-
переменным. Ведь, например, два числа
могут быть объединены.
При таком объединении возникают новые формы записи формулы
Тейлора, выражаемые через биномиальные коэффициенты (см. 4-е изда-
издание книги автора "Курс математического анализа", § 7.13, 7.14, там же
доказывается единственность разложения по формуле с остатком Пеано).
Выпишем все же соответствующую формулу для функций от двух
переменных:
Предпоследний член справа представляет собой символическую запись:
выражение в квадратных скобках возводится формально в к-ю степень по
биному Ньютона, полученную дифференциальную операцию применяют
к / и, наконец, подставляют в частные производные xq.
§7.14- Локальный (абсолютный) экстремум функции 237
Примечание. Формула Тейлора с остатком первой степени в
форме Лагранжа выглядит так:
|^(х + ^(х-х°))(хг-х?). G)
г=1 °Xi
Мы записали ее в n-мерном случае.
Пример 1.
Ф(х, у) = A _ ^A _ у) = [1 + х + х2 + о(ж2)] [1 + 2/ + у2 + oQ/2)] =
= 1 + (ж + у) + (ж2 + ж?/ + ?/2) + о(ж2) + х2у + ж?/2 + ж2?/2 + о(у2) =
= 1 + (х + 2/) + [х2 + Ж2/ + |/2) + о(р2), р -^ 0;
мы получили разложение функции ф в окрестности точки @,0) по формуле Тей-
Тейлора с остаточным членом о(р ), р —>• 0, в форме Пеано.
Это следует из факта единственности разложения функции по формуле Тей-
Тейлора в форме Пеано. Доказательство этого факта, впрочем, мы здесь не привели.
Предоставляем это читателю.
§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции
Пусть на открытом множестве П С Жп задана функция /(х) =
Оь,)
Говорят, что / достигает своего (абсолютного) локального мак-
максимума в точке х° G О, если существует положительное число S такое,
что для всех точек х, для которых
|х-х°
\
функция/(х) определена и подчиняется неравенству/(х) ^ /(х°). Ана-
Аналогично, по определению / достигает в х° своего (абсолютного) ло-
локального минимума, если существует ее окрестность A), на которой
функция / определена и удовлетворяет неравенству /(х) ^ /(х°).
Локальный минимум или максимум называют локальным экстре-
экстремумом.
Если функция / достигает в х° локального экстремума и имеет в
ней частные производные первого порядка, то последние должны в этой
точке равняться нулю:
f\ _ df (r0 Т0\-П л -л
238 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
потому что тогда для каждого j функция
от одной переменной Xj имеет локальный экстремум в х® и ее производ-
производная по Xj при Xj = х®, равная (^f-H, должна равняться нулю.
Из сказанного следует, что если мы хотим отыскать точки х° G И,
где / достигает локального экстремума, мы должны их искать среди то-
точек х G П, где / либо не имеет какой-либо частной производной, либо
имеет их, но они равны нулю. Нас будет интересовать второй случай.
Покажем, как можно, разлагая функцию / по формуле Тейлора, узнать,
имеет ли на самом деле / в указанной точке х° экстремум и какой (мак-
(максимум или минимум).
Пусть функция / имеет в окрестности |х — х°| < S непрерывные
производные второго порядка и ее первые производные все обращаются
в нуль в точке х°. Тогда ее разложение по формуле Тейлора (при 1 = 2)
может быть записано так:
z2z2
k = l 1 = 1
1 /
2 \д
0 при
CLkl?
p =
\
+ ep2,
0
n
k=l
Квадратическая форма А(?) = Yyk=i SzLi akl?,k?,l может обладать
одним из следующих четырех свойств:
1) форма А(?) строго положительно определенная, т. е. А(?) > 0 для
любых | = (?ь&2,... ,^п) с р > 0;
2) форма А(?) строго отрицательно определенная, т.е. А(?) < 0 для
любых ^ с р > 0;
3) форма А(?) определенная, но не строго, т.е. А(?) ^ 0 для всех |
или А(?) ^ 0 для всех ^, и при этом существует точка ?' = (?[,... , ?'п)
с р' = V ELi й2 > 0 такая, что А(?) = 0;
4) форма А(?) неопределенная, т.е. существуют такие ?' и ^/;, что
А(?) > 0, А(?") < 0.
Докажем, что в случае 1) функция / достигает в х° локального
минимума, в случае 2) — локального максимума, в случае же 4) в
точке х° заведомо нет экстремума. Наконец, в случае 3) вопрос
остается открытым — при данной информации функция может
иметь экстремум, но может и не иметь его.
§7.14- Локальный (абсолютный) экстремум функции 239
Положим г] = ?/р = (гI,...,г)п) для ? с р > 0, т.е. rjj = ?j/p,
j = 1,..., п. Тогда равенство B) можно записать в виде
/(х)-/(хО)=^(Ф(г/)+?), C)
где Ф() J2 ЕГ
3=1 r 3=1
Таким образом, функцию Ф(г/) мы должны рассматривать на шаровой
поверхности D), представляющей собой ограниченное замкнутое мно-
множество а. Очевидно, что Ф(г/) непрерывна на а.
В случае 1) Ф(г/) > 0 на а. В силу того, что а — замкнутое огра-
ограниченное множество и ФG/) непрерывна на нем, существует минимум
min Ф(т/) = т > 0, г] <Е а.
Далее, так как е —> 0 при р —> 0, то существует достаточно малое
8 > 0 такое, что для всех р < S имеем \е\ < т/2. На основании C) тогда
для указанных р > О
т. е. в точке х° функция / достигает локального минимума.
Утверждение 2) доказывается аналогично. Если форма строго отри-
отрицательно определенная, то функция Ф(г/) < 0 на а, следовательно, она
достигает своего (отрицательного) максимума на а, который мы обозна-
обозначим через — М (М > 0). Но для достаточно малого S > 0, если р < S,
имеем \е\ < М/2, поэтому для 0 < р < 5
т.е. f имеет в х° локальный максимум.
В случае 3) наша форма для некоторой точки ?' ф 0 обращается в
нуль, но тогда в силу однородных свойств формы для любой точки вида
х' = а?', где а — любое число, она также должна равняться нулю. Это
показывает, что для всех указанных точек х' наша форма равна нулю и,
следовательно,
/(х° + х')-/(х°)=?/02.
Но знак е неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет / в х° экстре-
экстремум или не имеет.
240 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Единственное, что можно сказать при этих условиях, что если форма
тождественно не равна нулю и является положительно (не строго) опре-
определенной, то в х° не может быть максимума, или если она тождественно
не равна нулю и является отрицательно (не строго) определенной, то в х°
не может быть минимума.
В случае 4) опять удобно обратиться к равенству C). В этом слу-
случае по условию существуют точка ?', для которой форма положитель-
положительна, и точка ?", для которой форма отрицательна, но тогда для соответ-
соответствующих им точек г]', г]" будут выполняться неравенства Ф(т/') > 0,
Ф(т/") < 0 и при малых р окажется, что Ф(т/') + е > 0, ФG/") + е < 0,
т. е. в любой малой окрестности х° имеются точки х' и х", для которых
/(х') > /(х°) и /(х") < /(х°), а это означает, что в х° заведомо нет
экстремума.
Составим ряд главных миноров квадратической формы А
Ai =
А2 =
А. =
Согласно теореме Сильвестра из теории квадратических форм:
1)еслиА1 > 0, А2 > 0,... , Ап > 0, то форма строго положительно
определенная (случай 1));
2)еслиА1 < 0, А2 > 0, А3 < 0,... , (-1)ПАП > 0, то форма
строго отрицательно определенная (случай 2));
3) если Ai ^ 0, А2 ^ 0,... , Ап ^ 0 или А1 ^ 0, А2 ^
^ 0,... , (—1)ПАП ^ Ои имеется j, при котором Aj = 0, то форма
заведомо не строго определенная (случай 3));
4) во всех остальных случаях форма неопределенная (случай 4)).
В двумерном случае равенство B) выглядит следующим образом:
f(x!,x2) - f(xlx°2) = 1 {Ag + 2ВЫ2 +
+ ер2,
= ffiV *=(-*l
c-
= (дЛ\
и соответствующий Сильвестров ряд состоит из двух членов:
А2 =
А В
В С
= АС-В2.
Следовательно,
a) если А > 0 и АС — В2 > 0, то / имеет в х° минимум;
b) если А < 0 и АС — В2 > 0, то — максимум;
c) если АС — В2 < 0, то нет экстремума;
d) если АС — В2 = 0, то не известно, есть ли экстремум.
§7.15. Теоремы существования неявной функции 241
Впрочем, эти факты легко получить непосредственно из представле-
ния (С = (?,Ч) Ф 0)
А(С) = Ае + 2В&
А
В случае а) если \rj\ > 0, то Л (?) > 0, а если ц — 0, то должно быть
? т^ 0 и тогда снова Л(?) > 0.
В случае Ь) если \ц\ > 0, то Л(?) < 0, а если г\ = 0, то должно быть
?^0итогдаЛ(С) < 0.
В случае с) и i / 0 можно, с одной стороны, подобрать (?, 77) так,
что Т] ф 0 и (А? +1???) = 0, а с другой, положить ?? = 0 и ? > 0. В обоих
случаях будет Л(?) ф 0, но разных знаков. Если же А — 0, но С ф 0, то
приходим к тем же фактам, заменяя А на С.
В случае d) при А ф 0 имеем Л(?) = (А? + Вт]J/А, и можно
указать ненулевую точку ^ = (?, 77) такую, что -4(С) — 0- Тот же факт
получим при С ф 0, заменяя А на С. Наконец, если А = С = 0, то форма
) 5??7, очевидно, неопределенная.
Пример 1. /(ж, 2/) = х3 + г/3 - 9ху + 1. Уравнения || = 0, Ц = 0
дают два решения: ж = у = 3 (минимум), ж = у = 0 (нет экстремума).
Пример 2. f(x,y)=x -\-у — 2х + 4ху — 2у + 1. Три решения: х =
= +л/25 У = ~~Л/2 (минимум); ж = — v25 2/ = +л/2 (минимум); ж = г/ = 0
(случай d), но на самом деле нет экстремума).
Пример 3. /(ж, у) = ж2 — 2ж?/2 + ?/4 — ^Д Решение х = у = 0 (сомни-
(сомнительный случай). С другой стороны, очевидно, f(x,y) = (x — y) —у,н так как
при любом е > 0 f(e , е) = — е < 0, /(?, 0) = е > 0, то экстремума в точке
@, 0) нет. Однако при любых /г, A; (h2 + &2 > 0) функция г/(?) = /(М, A;t) имеет
минимум при t = 0.
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции
Зададим произвольную функцию f(x,y) от двух переменных х,у.
Приравняем ее нулю:
Множество всех точек (х,у), для которых выполняется это равенство,
обозначим через 9Я. Пусть (хо,уо) ^ 9Я, т.е. f(xo,yo) = 0.
Если не накладывать никаких условий на /, то множество 9Я мо-
может иметь самую различную природу. Например, в случае f(x,y) =
= (х — хоJ -\- (у — уоJ множество 9Я состоит из одной-единственной
точки (жо, 2/о); в слУчае
/(ж, ^/) = (ж-ж0J - (у -уоJ = (х + у -х0 - уо)(х - у - х0 +2/о)
9Я есть пара прямых, проходящих через (хо,уо)- Однако часто имеют
место случаи, когда ШТ, по крайней мере в достаточно малой окрестности
242 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
(жо, 2/о)? пРеДставляет собой кривую, описываемую непрерывной (одно-
(однозначной) функцией
у = ф(х), х е (хо - S, хо + 5).
Возникает вопрос: как по свойствам функции / узнать, что имеет
место именно этот случай?
Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставлен-
поставленный вопрос.
Теорема 1. Пусть задано уравнение
f(x,y)=0, A)
удовлетворяющее следующим свойствам.
Функция f определена на некоторой двумерной окрестности п
точки (х°,у°) плоскости х,у и непрерывна там вместе со своими
частными производными (первого порядка); при этом *)
uf(x°,y°) =0.
Пусть, далее, ffl есть множество всех точек (х,у), удовлетво-
удовлетворяющих уравнению A) (в частности, (х°,у°) Е 9Я).
Тогда, каков бы ни был прямоугольник
А = {\х-хо\<а,\у-у°\<Ъ}, ДсA, C)
число а можно уменьшить так, что множество ffl П А описыва-
описывается непрерывно дифференцируемой функцией
у = ф(х), хеА°, D)
А° = {|х-х°| <а}. E)
Другими словами, прямоугольник А обладает тем свойством, что на
его проекции А0 на ось х можно определить непрерывно дифференциру-
дифференцируемую функцию D), удовлетворяющую уравнению A):
/(х,ф(х)) =0, хе А0.
График ее полностью принадлежит А. Эта функция единственна в том
смысле, что любая точка (х, у) Е 9Я П А имеет координаты, связанные
уравнением D). В частности, у0 = ф(х°), потому что (ж0, у0) Е 9Я П Д.
*) Достаточно предполагать, что (т^H = fy{x ->У ) Ф О- Отсюда в си-
силу непрерывности -Д- следует выполнение условия B) на некоторой окрестности
точки (х , у ).
§7.15. Теоремы существования неявной функции 243
Теорема ]/. Пусть задано уравнение
f(x,y) = f(x1,...,xn,y)=0, A')
удовлетворяющее следующим условиям.
Функция / определена на некоторой окрестности П точки
(х°,2/°) = [х\, • • •, ж^,2/°) пространства Rn+1 точек (х,?/) =
= (xi,... ,хп,у) и непрерывна там вместе со своими частными
производными (первого порядка); при этом
^#0, /(x°,j,°)=0. B')
Пусть, далее, ffl есть множество всех точек (х,у), удовлетво-
удовлетворяющих уравнению (]/) (в частности, (х0,?/0) Е 9Я).
Тогда, каков бы ни был прямоугольник
А={\хз-х°\<а, j = l,...,n, \у-у°\<Ъ}, ДсA, C')
число а можно уменьшить так, что множество 9Я П А описыва-
описывается непрерывно дифференцируемой функцией (т. е. имеющей непре-
непрерывные частные производные)
..,хп), хеД°, D0
А0 = {\Х:;-х°\ <а, j = l,...,n}. E0
Доказательство теоремы 1. Так как -^- непрерывна на
области п, то из B) следует, что -^- имеет один и тот же знак всюду на п.
Для определенности пусть -g- > 0 на П.
Введем замкнутый прямоугольник
А = {\х-х°\^а, \у-у°\^Ъ}, F)
принадлежащий П (Д с A). Так как -^ и -g- непрерывны на А и
¦jf- > 0, то для некоторых положительных констант TTii и m<i
df
7Г > ггы > 0,
ду
_1
дх
т2. G)
Функция f(x°,y) от переменной у строго возрастает на отрезке [у0 — Ь,
у0 + Ъ], потому что ^- > 0 на А, и так как f(x°,y°) = 0, то
f(x°,y° — b) < 0, f(x°,y° + b) > 0. Вследствие непрерывности / на А
можно число а в E) максимально уменьшить так, что f(x, у0 — b) < 0,
f(x,y° + b)>0, х е А0 (см. E)).
244 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Рассмотрим теперь для произвольной фиксированной точки х Е А0
функцию /(ж, у) от у на отрезке [у0 — b,y° + b]. В силу свойств / она не-
непрерывна, строго возрастает (^ > 0) и имеет противоположные знаки
на его концах. Но тогда существует, и притом единственное, у Е (у® — Ь,
у0 + Ь), мы его обозначим через ф(х), для которого /(х,ф(х)) = 0.
Этим доказано существование определенной на А0 функции ф(х),
удовлетворяющей требованиям теоремы, если не считать, что пока не
доказана ее непрерывная дифференцируемость.
Пусть ж, ж + Ах Е А0, у = ф{х) и
Ау = ф(х + Ах) — ф(х).
Тогда, применяя формулу конечных приращений Л агранжа для функ-
функции двух переменных (см. § 7.13, G)), получим
0 = f(x + Ах, у + Ау)- /(ж, у) =
= f'x (х + 0 Ах, у + 0Ау)Ах + f'y(x + <9Аж, j/ + 6> Ау)Ау
/^(х + ОАх.р + ОАр)
У /^(аг + вДж^ + вДг/) [)
Учитывая, что А С А (см. G)), получим
\f'Jf'y\ < m2/mi на А, (9)
следовательно,
lim Ay = 0, A0)
что показывает, что функция у = ф(х) непрерывна на А0.
Но теперь, деля (8) на Ах, мы можем перейти к пределу при Ах —>- 0
и получить, что для любого х Е А0 существует производная
Здесь надо учесть, что f'x и /^ непрерывны и /^ > 0 на А.
Мы доказали не только существование производной ф' (х), но и важ-
важную формулу A1), с помощью которой можно вычислять ф'(х). Непре-
Непрерывность ф' [х] непосредственно видна из этой формулы, потому что fx
и /' непрерывны на прямоугольнике, а кривая у = ф(х), непрерывность
которой уже установлена, не выходит за его пределы.
§7.15. Теоремы существования неявной функции 245
Доказательство теоремы 1' аналогично. Вместо
х надо рассматривать х и считать, что 9Я, А, А0 определяются, как в
формулировке теоремы 1', и
А = [\xj -x°j\ ^ а, \у -у°\ < Ь} С п.
Теперь уже имеют место неравенства
\fxjl ^^2, f'y>m1 на А, G0
и по аналогии доказывается существование и единственность функции
У = ф(х) = ф(х1,...,хп), хеА°,
(х,^(х)) = (жь...,жп,^(х)) Е А,
удовлетворяющей уравнению A'). Единственность понимается в том
смысле, что любая точка (х, у) Е А, удовлетворяющая уравнению A'),
имеет координаты, связанные между собой равенством A2).
Пусть теперь
Ау = ф(х + Ах) - ^(х), х, х + Ах е А0,
где х = (xi,... ,жп), Ах = (Axi,... , Ахп). Тогда согласно фор-
формуле конечных приращений Лагранжа для функции многих переменных
(см. § 7.13, G))
71
О = /(х + Дх,г/ + Ау) - /(х,г/) = V /' г(х + вДх,г/ + |9А^)Ах^- +
и, следовательно,
1
и в силу G0
lim Ay = Q. A00
Ахч-0
Далее, считая, что Axj ф 0, Аж^ = 0 при j ф г, из (80 получаем
Ay _ fXj{x1,...,Xj-1,Xj
246 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
и после перехода к пределу при Аж^- —> 0, учитывая A0') и то, что fx., fy
непрерывны и fy > 0, имеем
дф дхп дхп , /ч
j_ — L — I 7 = 1 п П1М
Я~> /)f Я//^ nUw^ ' J -L,...,/6. V-L-L у
\J Jb n ^ J
ду ду
При этом di непрерывны по х, потому что правая часть A1')
непрерывна по х.
Теорема 2. Если функция /(ж,у) (соответственно /(х,у))
удовлетворяет условиям теоремы 1 (соответственно теоремы V)
г/, кроме того, имеет на П непрерывные частные производные по-
порядка I, то и функция ф(х) (соответственно ф{х)), о которой идет
речь в теореме 1 (соответственно теореме 1'), имеет на А0 не-
непрерывные частные производные порядка I.
Доказательство. Дифференцируя A1) по ж, получим
fl(f" +ij;'f")-f'(f" _L?//f'M
,/// ч _ Jy\Jxx ~ У7 JxyJ Jx\Jyx ~ V7 ^ууу
Г7 \Ж/ — г/о '
где, конечно, всюду в частные производные надо вместо (х,у) подставить
(ж, ф(х)). Правая часть этого равенства — непрерывная функция от ж,
следовательно, и ф" (х) непрерывна.
Продолжая дифференцирование, наконец получим, что производная
ф^ (ж) есть рациональная функция частных производных от / до поряд-
порядка I включительно и производных ф',... ,фA-1\ непрерывность кото-
которых установлена на предыдущем этапе дифференцирования. При этом
знаменатель дроби, равной этой рациональной функции (в силу условия
fy ф 0), не равен нулю.
В случае теоремы 1' равенству A3) будут соответствовать следую-
следующие (см. A1')) равенства:
Пример 1. Левая часть уравнения (у — х) =0 имеет непрерывные
частные производные, но производная по у при х = у = 0 равна нулю. Это не
мешает тому, что данное уравнение имеет единственное решение (у = ж), равное
нулю при х = 0. Таким образом, теорема 1 дает только достаточные условия для
существования единственной неявной функции, график которой проходит через
заданную точку (х , у ), но не необходимые.
§7.16. Теорема существования решения системы уравнений 247
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений
Теорема 1. Пусть задана система уравнений
fj{x1,...,xn,y1,...,ym) = /^-(х,у) = 0, j = l,...,m, A)
удовлетворяющая следующим свойствам.
Функции fj определены на некоторой {{п + т)-мерной) окрест-
окрестности п точки (х°,у°) = {х\, • • •, x^,2/i,... , 2/^) пространства
Rn+m точек (х, у) = (xi,..., хп, у\,..., ?/т) г/ непрерывны там вмес-
вместе со своими частными производными {первого порядка) с якобиа-
якобианом {определителем Якоби *))
i
дУз
ф 0. B)
Кроме того, точка (х°,у°) удовлетворяет системе A).
Пусть ЭДТ есть множество всех точек (х,у), удовлетворяющих
системе A) (в частности, (х°,у°) Е Ш).
Тогда, каково бы ни было bo > 0, найдется прямоугольник
A = {\xi-x°i\ <а, г = 1,...,п, \yj-yj\<b, j = l,...,m}, b<b0 C)
(А С П), такой, что множество 9Я П Д описывается непрерывно
дифференцируемыми функциями
yj=ipj{x.), j = l,...,m, x E До, D)
До = {\хг-х°\ <а, г = 1,...,п}. E)
Другими словами, прямоугольник Д обладает тем свойством, что на
его проекции До на координатное подпространство {х\,..., хп) можно
определить непрерывно дифференцируемые функции D), удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям A):
/j(x,^i(x),...,^m(x)) = 0, х е До, j = l,...,m, F)
и неравенствам |^(х) — у^\ < Ь. Эти функции единственны в том смысле,
что любая точка (х, у) Е 9Я П Д имеет координаты, связанные уравнени-
уравнениями D).
В частности, у® = ^(х°), j = 1,..., m, потому что (х°, у0) Е ШТпД.
Замечание 1. Нетрудно видеть, что в формулировке теоремы
неравенства xi — х®\ < а можно заменить на неравенства \xi — х®\ < а'
К. Г. Якоби A804-1851) —немецкий математик.
248 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
(af < а), потому что если теорема верна при выполнении первого нера-
неравенства, то она верна и при выполнении второго при а' < а. В ее форму-
формулировке также можно было бы написать Xi — х®\ < а^, i = 1,..., m, и
тогда она будет верной при \xi — х® | < а, где а = пищ а^.
Заметим, однако, что невозможно добиться того, чтобы а и Ъ в C)
были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения:
F{x, у) = у - 2х = 0, хо = у0 = 0.
Доказательство. При т = 1 теорема уже доказана (см. § 7.15,
теорема 1'). Ведь для любого bo можно подобрать а > 0 и Ъ < &о, чтобы
А С П. Пусть она верна при т — 1 (т > 1); докажем ее верность при т.
Так как якобиан B) не равен нулю в точке (х°, у0), один из его мино-
миноров порядка т — 1 тоже не равен нулю в этой точке, а вследствие его не-
непрерывности — ив некоторой достаточно малой окрестности этой точки,
которую мы будем считать совпадающей с П, уменьшив в случае необхо-
необходимости прежнюю окрестность П. Не нарушая общности, будем считать,
что это есть минор
( )
Но по предположению теорема верна для т — 1, поэтому, учитывая G),
ее можно применить к первым т — 1 уравнениям A) и заключить, что
существует в Mn+m принадлежащий П прямоугольник
А' = {\xi -ж°| < а, г = 1,...,п, \ут - уош\ < /3,
такой, что множество точек (х, у) = (х\,..., хп, у\,..., уш) из А', удов-
удовлетворяющих первым m — 1 уравнениям A), описывается непрерывно
дифференцируемыми функциями
yj = <pj(x,ym), j = l,...,m- 1, (x,2/m) G До,
Таким образом, в частности,
О / 0 0 \ " ~| ~1 (с\\
У А ^Р q I X , У ryyi ] ") J 5 * * * 5 ^^ V /
Замечание 2. Мы могли бы на этом первом этапе рассужде-
рассуждений взять а = /3, но на втором этапе, возможно, придется числа а, E
непропорционально уменьшать. В силу замечания 1 это уменьшение не
нарушит уже доказанное.
§7.16. Теорема существования решения системы уравнений 249
Итак, множество точек (х, у) G Д', удовлетворяющих первым т — 1
уравнениям A), описывается равенствами (8). Ниже мы доказываем, что
среди этих точек есть точки, удовлетворяющие ттг-у уравнению систе-
системы A). Для них выполняется равенство
F(x,2/m) = /m(x,<pi(x,2/m),... ,<рт-1(х,Ут),Ут) = О, (Ю)
(x,2/m) GAJ.
Здесь введено для краткости обозначение функции F(x, ?/m), (х, уш) G
G Aq. Обратно, если какая-либо точка (х,у) удовлетворяет (8) и A0),
то она принадлежит А' и удовлетворяет всем т уравнениям системы A).
Итак, верно утверждение:
А. Множество точек (х,у) G А', удовлетворяющих систе-
системе A), описывается уравнениями (8), A0). Очевидно, выполняются
тождества
/j(x,<pi(x,2/m),... ,<рт_1(х,2/т),2/т) = 0,
j = 1,...,т- 1, (х,2/т) G А'о.
Замечание 3. Равенства A1) суть тождества, верные для лю-
любых (х, 2/m) G Aq, а равенство A0) есть уравнение, которое предстоит
еще решить относительно уш среди точек (x,?/m) G Aq. Ниже будет
установлено, что это уравнение имеет решения. Они будут описаны, и
тем самым будут описаны все решения (х, у) G А' системы A).
Введенная функция F(x, уш) удовлетворяет следующим свойствам:
1) она определена на прямоугольнике Aq и имеет там непрерыв-
непрерывные частные производные, потому что этим свойством обладают функ-
функции (8), которые к тому же не выходят за пределы прямоугольника А'
точек (х, у), и /т(х, у) непрерывно дифференцируема;
2) F(x°, y°m) = /т(х°, ^(х°, у°т), ..., <pm-i(x°> У°т)> Уш) =
= /т(х°, у°)=0;
3) частная производная
яр
фО, (к,ут)еА'о. A2)
ду.
Свойство 3) вытекает из следующих рассуждений.
Дифференцируя (на Aq) функции A1) и A0) по уш, получим
^М, dfj d<pm-i dfj _
^2/1 душ ОУт-1 ОУгп Оуш
9F _ dfm dipi dfm dipm-i dfm
дут dyi дут '" дУт-i дут дут'
250 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Поэтому, если прибавить к т-у столбцу определителя B) его г-ые СТОлб-
цы, умноженные на -^-, получим
dfi
dyi
dfm
dyi
dfi
dym-i
dfm
dym-i
dfi
dym
dfm
dym
dfi
dyi
dfm-l
dyi
dfm
dfi
dym-1
dfm-l
dym-1
dfm
n
и
OF
dyi
дут-1
0.
откуда, учитывая G), J^
Наша теорема при т — 1 есть теорема 1' § 7.15. Применим ее к
функции F(x, Ут)-> заданной на области
А'о = {\xi-x4l <а, г = 1,...,п, \ут-уш\<Р}-
Условиями теоремы 1' являются уже проверенные нами условия 1)-3).
В силу этой теоремы число а можно уменьшить и снова обозначить через
а так, что для полученного уменьшенного прямоугольника (мы его снова
обозначаем через Aq) будет выполняться следующее утверждение.
В. Существует на Ао = {\xi — х®\ < а, г = 1,... ,п} непрерыв-
непрерывно дифференцируемая функция
f/m = A(x), xgA0,
A3)
описывающая все решения (х,^/т) G Aq уравнения A0).
Важно отметить, что, уменьшая число а, чтобы получить утвержде-
утверждение В, мы оставляем верным утверждение А (см. замечание 2).
Теперь утверждение А можно сформулировать следующим образом.
А. Множество точек (х,у) Е А', удовлетворяющих систе-
системе A), описывается уравнениями
xgA0.
Или если положить
xgA0,
то получим следующее утверждение.
С. Множество точек (х,у) из А', удовлетворяющих систе-
системе A), описывается непрерывно дифференцируемыми функциями
xgA0,
A4)
§7.17. Отображения 251
Отметим, что утверждение С сохраняется, если найденное а умень-
уменьшить.
Зададим &о, положим Ъ = min(b',/3, Ьо) и, пользуясь непрерывнос-
непрерывностью функций ^j(x), определим число а (годное и для утверждения С)
такое, что
х
е До = {\xi - х°\ < a, i = l,...,n}. A5)
Числа а и Ъ определяют в пространстве точек (х, у) прямоугольник
(Д с Д')
А = {\xi - хЧ\ < a, i = l,...,n, \yj-y^\<b, j = l,...,m}. A6)
Таким образом, А и А' имеют одну и ту же проекцию Ао на подпро-
подпространство х.
Покажем наконец, что
ЯЯП А = ЯЯП А' = {yi = ^г(х), г = 1,... ,ш, xg Ао},
откуда окончательно будет следовать утверждение теоремы:
Ш1ПА = {Vi = ^г(х), г = 1,...,ш, xgA0}.
В самом деле, так как А с А', то 9ЛП А С Ш1П А'. С другой
стороны, если (х, у) = ЭДТ П А', то (х, у) Е 9Я и на основании A5), A6)
(х, у) е А, т. е. 9# П А' с Ш П А. Теорема доказана.
Теорема 2. .Еслг/ к условиям теоремы 1 добавить, что функ-
функции fj непрерывно дифференцируемы I раз на П, то функции ^j(x),
х Е До, j = l,...,m, решающие системы, непрерывно дифференци-
дифференцируемы I раз на А.
Теорема доказывается аналогично теореме 2 § 7.15.
§ 7.17. Отображения
Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций
yj =(pj(x) =<Pj(xi,...,xm), хеП, j = l,...,m, A)
где п — открытое множество точек х = {х\,..., хш).
Будем говорить, что система A) определяет непрерывно дифферен-
дифференцируемое отображение:
у = ?>(х), хбИ, A')
252 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
множества П на некоторое множество Q' точек у = (?д,..., уш). Будем
еще писать flf = ip(Q) и называть Q' образом П, а П — прообразом П'
(посредством отображения ср).
Наряду с ср рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое ото-
отображение ф:
открытого множества Л точек у на некоторое множество точек z =
= (zi,..., Zm). Таким образом, z = ф(у), у Е Л.
Если*) Qf С Л, то имеет смысл сложное непрерывно дифференци-
дифференцируемое отображение z = ^(^(х)), х Е П, определяемое равенствами
Zj = ^j(^i(x),... ,(^m(x)), хе(], j = 1,...,ш.
Якобианы отображений ср,гр,грср связаны замечательными равенст-
равенствами:
dys
^ dys
^ dys
B)
доказательство которых, как мы видим, основано на применении форму-
формулы производной от сложной функции и правила умножения определите-
определителей.
В частности, если ф обращает ср на множестве точек х Е П, т.е.
х = т/>(<р(х)), х G О, есть тождественное отображение, то в силу того,
что его якобиан равен 1, получим формулу
1 =
х Е
C)
Будем теперь считать, что определяемое равенствами A) непрерывно
дифференцируемое отображение у = <^(х) имеет якобиан **)
не равный нулю всюду на открытом множестве
*) Отметим, что если х G П и у = <^(х ) Е Л, то в силу непрерывности (р
найдется окрестность Ухо точки х , образ которой посредством (р принадлежит Л.
Уменьшая П, положив П = V^o, получим, что П С Л.
**) Случай, когда якобиан отображения A) равен нулю, изучается в 4-ом
издании книги автора "Курс математического анализа", § 7.27 .
§7.17. Отображения 253
Имеют место следующие свойства:
1) п' = ср(О,) — открытое множество (вместе с П);
2) если п — область, тоиО' — область;
3) отображение ср локально взаимно однозначно, т.е., какова бы ни
была точка х° G И, найдется шар V Е П с центром в ней такой, что
отображение ср, рассматриваемое только на У, однозначно обратимо.
Пусть у0 Е Q'. Существует точка х° Е Q такая, что у0 = ^(х°).
Введем пространство R2m точек (х,у) = (xi,... , xm,?/i,... ,ут) и в нем
рассмотрим уравнения
/г(х,у) =(pi(x1,...,Xm) ~ Уг = 0, % = 1,...,Ш.
Точка (х°, у0) удовлетворяет этим уравнениям, и в ее некоторой окрест-
окрестности (в R2m, х Е П, у любое) функции /^ непрерывно дифференцируе-
дифференцируемы и имеют якобиан
Поэтому в силу теоремы 1 предыдущего параграфа для любого ао > О
найдутся положительные Ъ и а < ао такие, что множество ЭДТ П А всех
точек (х, у), принадлежащих прямоугольнику
А = Ai х А2,
Ai = {\хз ~x°j\ < a' i = 1>--->ш}>
и удовлетворяющих уравнениям A), описывается непрерывно дифферен-
дифференцируемыми функциями
^г=^г(у), уеА2, г = 1,...,ш. D)
Коротко х = гр(у), у Е А2.
Таким образом, точки (х, у) удовлетворяют одному из выписанных
ниже вытекающих друг из друга свойств:
У G A2
Пусть uj = {х: х = гр(у), у Е А2} —образ А 2 при помощи^. Тогда
вместо E) можно написать
xgcjc Аьу g А2
254 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
т.е. каждая точка у открытого куба А2 посредством ф переходит
в точку х G и;, которая в свою очередь посредством ср переходит в
исходную точку у.
Таким образом,
#())У, У^А2, F)
и обратно
ф(()) = х, х G и. G)
Мы задали произвольную точку х° G П, определили соответству-
соответствующую точку у0 = (р(~х°) образа Q' отображения у = <р(х), х G П, и
обнаружили в (У куб А2 с центром в у0. Это показывает, что ip(fi,) = ГУ
есть открытое множество, и если П есть область, тоиО' — область (см.
ниже замечание).
Этим доказаны утверждения 1), 2).
Из F) следует, что якобианы преобразований ср, ф удовлетворяют
равенству
ЭДШ уед2
Л(х) ?>(у)
и так как первый множитель по условию отличен от нуля, то и второй
также не равен нулю.
Мы получили, что отображение х = ф (у) на открытом множестве А2
не только непрерывно дифференцируемо, но и имеет отличный от нуля
якобиан. Но в таком случае отображение ф имеет в качестве образа А2
область. Это уже было доказано на примере ср.
Итак, ио — область, отображающаяся (на основании F), G)) при по-
помощи ср на открытый куб А2 непрерывно дифференцируемо и взаимно од-
однозначно. Но тогда любой открытый шар У, принадлежащий и, с цент-
центром в х° отображается при помощи ip на некоторую область V непре-
непрерывно дифференцируемо и взаимно однозначно. Этим доказано утверж-
утверждение 3).
Замечание. Свойства F) и G) выражают, что операции ср иф
взаимно обратны.
Пусть fl есть область; тогда по уже доказанному свойству 1) ГУ вмес-
вместе с П открыто. Если теперь у', у" G ГУ — произвольные точки, то
им соответствуют некоторые точки х',х" G Q такие, что <^(х') = у',
ip(x.") = у". Но П — связное множество, и найдется непрерывная кри-
кривая х(?) G (], 0 ^ t ^ 1, такая, что х@) = х', хA) = х", принадле-
принадлежащая П и соединяющая точки х', x./f. Но тогда кривая у(?) = (^(х(?)),
О ^ t ^ 1, тоже непрерывна, принадлежит (У и соединяет уг с у;/. Сле-
Следовательно, Q' связно, т. е. область, и мы доказали свойство 2).
Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однознач-
однозначность, глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например,
преобразование х = р cos в, у = р sin в полярных координат точек плос-
плоскости в декартовы при р > 0 и произвольном в непрерывно дифференци-
дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный р. Оно отображает точ-
точки (р, в), р > 0, — оо < в < оо, плоскости (/я, 0) в точки (х,у), отличные
§7.18. Гладкая поверхность 255
от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой
точке (ж, у) соответствует хотя и одно р, но бесконечное число различных
значений #, отличающихся между собой на 2&тг, & = ±1, ±2,...
§ 7.18. Гладкая поверхность
Пусть R3 есть трехмерное пространство, где определена прямоуголь-
прямоугольная система координат x,y,z.
Если G — открытое множество в плоскости ж, у и
z = f(x,y), (x,y)eG, A)
есть функция, имеющая на G непрерывные частные производные (перво-
(первого порядка), то множество S С М3, описываемое этой функцией, называ-
называется гладкой поверхностью.
Про эту поверхность мы будем говорить, что она проектируется на
плоскость z = 0. Равенство A) устанавливает взаимно однозначное со-
соответствие S ^ G между точками (ж, ?/, z) E S и точками (х,у) Е G.
Можно, конечно, рассматривать гладкие поверхности, описываемые
уравнениями вида ж = 4?(y,z) или у = Ф(г, ж), т.е. когда они (взаимно
однозначно) проектируются соответственно на плоскости ж = 0, у = 0.
Мы еще будем говорить, что эти поверхности заданы в явном виде.
Распространим теперь эти понятия на поверхности, которые в целом
вообще не проектируются ни на одну из координатных плоскостей.
Пусть на открытом трехмерном множестве п задана произвольная
функция F(x,y,z), непрерывная вместе со своими частными производ-
производными первого порядка. Уравнение
F(x,y,z) = 0 B)
определяет некоторое множество S точек (x,y,z) Е П. Если S — непус-
непустое множество и
> U на о, (о)
то S будем называть гладкой поверхностью, заданной неявно.
Пусть Aq = (жо, уо, zo) E S. В силу C) одна из частных производных
otFb точке Aq не равна нулю; будем считать, что (^-H Ф 0. Тогда в
силу непрерывности частных производных от F на основании теоремы о
неявной функции (см. § 7.15, теорема 1') существует трехмерный прямо-
прямоугольник
Д = {|ж — жо|, \у — 2/о| ^ ^5 \z — #о| ^ ^}? й, Л > 0, D)
вырезающий из 5 часть а, описываемую явно непрерывно дифференци-
дифференцируемой функцией
z = i/>(x,y), (ж,^/)еД/, А'= {\х-хо\, \у-уо\^5}, E)
т. е. а — кусок поверхности 5, определяемый явно.
256 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Кусок а (или поверхность S) имеет в точке А$ касательную плос-
плоскость, определяемую уравнением (см. § 7.5, A6))
или в силу равенств (см. § 7.15, A1'))
дхH (дф\ \дуH
дхH (д?\ ' \дуH (
) \dz)Q
уравнением
Мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности 5 в ее
точке (жо, уо, ^оM когда S в точке задана неявно уравнением B).
Пример 1. Шаровая поверхность Л
x2 + y2 + z2 = R2, Я>0, G)
есть гладкая поверхность, потому что функция F = х + у + z имеет непрерыв-
непрерывные частные производные F'x = 2ж, Fy = 2у, F'z = 2z, одновременно не равные
нулю на (непустом множестве) Л. Касательная плоскость к Л в точке (жо, 2/СЬ ^о)
имеет, очевидно, вид
2/о) + ^о(^ - го) = 0.
Пример 2. Уравнение х2 — у2 — z2 = 0 определяет круговой конус с
вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью х.
Частные производные от функции Ф(ж,г/,;г) = х —у —z , равные Ф^ = 2ж,
Ф^ = — 2г/, Ф^ = —2^, обращаются одновременно в нуль только в начале коорди-
координат. Из геометрических соображений видно, что в начале координат конус не име-
имеет касательной плоскости, во всех же остальных точках касательная плоскость к
рассматриваемому конусу существует и непрерывно изменяется вместе с точкой,
в которой она касается конуса.
С точки зрения введенной терминологии, можно сказать, что круговой конус,
если из него выбросить его вершину, есть гладкая поверхность.
§7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация 257
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация
Мы знаем, что для уравнений
/j(x,y) =0, j = l,...,m,
Л-(х°,у°) = 0, A)
х = (жь...,жп), у = B/1,...,2/ш),
подчиняющихся условиям теоремы существования неявных функций (тео-
(теорема 1 § 7.15) существуют непрерывно дифференцируемые функции
2/s=-0s(x), х G До, s = l,...,m,
До = {х: |жг - ж°| < а, г = 1,... ,п}, B)
обращающие эти уравнения в тождества
/,-(х,^(х),... ,^m(x)) = 0, xg До. C)
Таким образом, в уравнениях A) переменную х Е До можно считать
независимой, а у — от нее зависимой.
Из B) следует
^А дгр3(х.)
аУз=2-^—^ dxi, s = l,...,m. D)
г=1 °Xi
Мы получили систему дифференциалов
(ctei,... ,dxn,dyi,...,dym). E)
Дифференциалы б?ж^ независимые (произвольные числа), а дифференци-
дифференциалы dys — зависящие от них.
Зависимость линейная, но с коэффициентами, зависящими от х Е До-
Левая часть C) есть функция W от х, тождественно равная нулю
на До. Ее дифференциал в любой точке х Е До равен нулю:
i = 0, F)
каковы бы ни были независимые дифференциалы б?ж^. Но W записывает-
записывается еще как функция
W = fj(x,yi,...,ym),
9 С.М.Никольский
258 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
где yj — функции от х. Согласно инвариантного свойства дифференциа-
дифференциала равенство F) можно записать также в виде:
г=1 s = l
где, если считать числа dxi прежними, числа dys определяются (че-
(через dxi) по формулам D). В частные производные надо подставить рас-
рассматриваемую точку х и точку у, вычисленную через х по формулам B).
В самом деле, исходным произвольным числам dx\,... , dxn уже со-
соответствуют числа dyi,... , dym при помощи равенств D). Они удовле-
удовлетворяют также системе G). Но других чисел dy^ удовлетворяющих G)
при данных dxi, нет, потому что определитель
не равен нулю.
Мы получили важный факт.
Если уравнения A), подчиняющиеся теореме существования, фор-
формально продифференцировать и приравнять нулю:
(подставив в частные производные yj = ^(х)), то, если определитель
dfi ,
-Q-1- отличен от нуля, числа dxi можно считать независимыми, а
числа dys вычисляются однозначно по ним из системы (8). При этом
окажется, что числа dys являются дифференциалами решений т/>5(х)
системы уравнений A), соответствующими дифференциалам dx^.
Пример. Функции (см. B))
определяют непрерывно дифференцируемое отображение куба До С Мп с цент-
центром в х в ?тг-мерное пространство IRm Э у = (г/i,..., ут)-
Покажем, как его можно в окрестности точки х линеаризовать, т. е. записать
приближенно при помощи линейных функций от х.
Положим
dxi =Xi-x®, i = 1,... ,n; Ays = ^s(x) - ips(*°).
Имеет место
1/2
Ays = dys+o(p), p^O, p= l^A
§7.20. Локальный относительный экстремум 259
Поэтому можно для малых р считать приближенно:
xi-Xi), s = 1,..., га,
2Л
0
или, полагая ( ~ ) = asii получить приближение приращения функции ф3
посредством линейной функции:
п
LAys ~ / J Usl уХг — Хг J , й — 1, . . . , /АА.
г=1
Однако числа as^ у нас получились вычисленными через функции ф3 , которые
для любого х нам не известны. Но с другой стороны, мы знаем, что имеет место
эквивалентность системы
п
dys = \j asi dxi, s = 1,..., m, (9)
i=l
системе
~~ ~~ Z?/a, j = l,...,т. A0)
Положим в A0) с/ж/ = 1 и dxi = 0, г ф I, подставим эти числа в A0) и
решим A0) относительно чисел dys.
Найденные dys и исходные дифференциалы dx^ подставим в (9). Получим
т. е. получим /-й столбец матрицы \\aji \\.
Эту процедуру придется совершать п раз — для любого /.
§ 7.20. Локальный относительный экстремум
Лемма 1. Пусть в Rn задан вектор а и линейно независи-
независимые векторы Ь1,...,!O71 (т < п). Для того чтобы имело место
представление
т
а = ^А,Ы, A)
где Xj — некоторые числа, необходимо и достаточно, чтобы всякий
вектор с, ортогональный ко всем Ы:
(с,Ы) = 0, j = l,...,m, B)
автоматически был ортогонален к а:
(с,а)=0. C)
260 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Доказательство. Если имеет место A), то B) влечет
(с, а) = (с,?А,-Ы ) = $>,(с,Ы) =0,
и мы доказали необходимость условия леммы.
Перейдем к доказательству достаточности. Ортогонализируя сис-
систему Ь1,... , bm, получим ортонормированную систему а1,... , ат, об-
обладающую тем же свойством: из равенств (c,aJ) = 0, j = 1,... , m,
следует, что (с, а) = 0.
Разложим вектор а по векторам aJ:
Вектор г ортогонален ко всем aJ, но тогда (г, а) = 0 и, следовательно,
/ т х
0 = (г,а)= г,^А^+г =(г,г).
V j=i /
Но тогда
т
г = 0 и а = У^ А о а-7'.
Пусть П есть открытое множество n-мерного пространства и /,
<?ъ • • • 5 ^m5 1 ^ т < п, — определенные на П функции.
Обозначим через Е множество точек х, для которых выполняются
одновременно равенства (связи):
(?j(x) = 0, j = l,...,m; m < п. D)
По определению точка х° Е П есть точка локального относитель-
относительного максимума (минимума) функции / при наличии связей D), если
х° G Ей существует S > 0 такое, что для всех xG^, удовлетворяющих
неравенству |х — х°| = yYli{xk ~ XV) ^ ^> имеет место /(х) ^ /(х°)
в случае максимума и /(х) ^ /(х°) в случае минимума.
Точка локального относительного максимума или минимума назы-
называется точкой локального относительного экстремума.
Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых условиях, что-
чтобы х° была точкой локального относительного экстремума.
Будем предполагать, что на П функции /, (^i,..., фт имеют непре-
непрерывные частные производные. Больше того, будем предполагать, что
в точке х° ранг матрицы | (^^-H| , j — 1,..., m, k = 1,..., n, pa-
§7.20. Локальный относительный экстремум
261
вен т. Таким образом, среди определителей порядка т, порождаемых
этой матрицей, имеется не равный нулю. Для определенности будем счи-
считать, что это есть определитель
.,... ,<Pm)
D(X!,...,X
m)o
\дх1
\dx
дх
m /o
E)
Мы считаем, что символ ( )о обозначает тот факт, что в функцию, стоя-
стоящую в скобках, вместо х подставлено х°. На основании теоремы о неяв-
неявных функциях существуют прямоугольник
Д = Д' х А",
F)
д' =
Д" = A
X п X А
< 5, j = l,...,m},
< а, г = т + 1,... ,п},
и (единственные) непрерывно дифференцируемые функции
xj = Vj(xm+i,...,xn), j = 1,... ,т, (xm+i,...,xn) e A
описывающие точки хе^п
Имеют место тождества
j =
..,xn) = 0,
(xm+i,...,xn) e А"'.
G)
(8)
Можно, таким образом, считать, что у каждой точки х = (xi,...
• • • ? %,%+ь • • •, хп) G Е П А координаты (жт+ь ..., хп) независи-
независимые, a (xi,..., хш) зависимые от них (см. G)). Иногда мы будем назы-
называть всю систему (xi,..., хп) состоящей из зависимых переменных. Со-
Соответственно дифференциалы dxm+i,..., dxn независимые (произволь-
(произвольные числа), a dx\,..., Aхш — зависимые от них при помощи равенств
k=m+l
дхк
(9)
Если продифференцировать уравнения связи D), то получим диффе-
дифференциальные уравнения связи
к
- dxk = 0,
A0)
262 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Если задать произвольные числа dxm+i,..., dxn, то можно полу-
получить dxi,..., dxm или по формулам (9), или решая систему A0) — это
все равно (см. § 7.19).
Рассматривая уравнения D), мы будем говорить, что переменные
xi,..., хп удовлетворяют им, а дифференциалы этих переменных удов-
удовлетворяют дифференциальным уравнениям связи A0).
В задаче на относительный экстремум мы рассматриваем функцию
W = Дх),
где х подчиняется связям (х Е Е). Таким образом, / есть функция от,
вообще говоря, зависимых переменных: W = /(жь ..., жп), удовлетво-
удовлетворяющих условиям связи. Но в окрестности точки х° ее можно рассмат-
рассматривать как функцию от независимых переменных (xm+i,..., хп):
W = Ф(жт+Ь...,жп) =/(/ib...,/im,xm+i,...,xn), A1)
(жт+ь...,жп) е Д".
Очевидно, точка х° = (ж^,..., ж^,^+1,..., ж^) есть точка от-
относительного максимума (минимума) функции / тогда и только тогда,
когда (ж^1+1,...,ж^) есть точка абсолютного максимума (минимума)
функции Ф(жт+1,..., хп). Но тогда (ж^+1> • • • > жп) есть стационарная
точка функции Ф, т.е. точка, в которой частные производные первого
порядка от Ф равны нулю.
Точка х° = (ж5,...,ж^) называется стационарной точкой
функции / на множестве Е (определенном связями D)), если
(при условии E)) (i^+1,...,^) есть стационарная точка функции
(т+Ь^,п)
Ближайшая наша задача — изложить метод Лагранжа отыскания
стационарных точек / (на Е). В этом изложении свойства функции Ф
будут для нас руководящими. Однако в окончательных результатах
функция Ф не будет участвовать. В этом, собственно, и заключается ме-
метод — выразить окончательные результаты в терминах функций /, cpj и
их частных производных.
Заметим, что из A1) следует на основании инвариантного свойства
первого дифференциала:
dW= Y, T^dxi=Y.lT-dxi> (xm+i,...,xn)eA", A2)
f 9х fri dx
где dxm+i,..., dxn — независимые дифференциалы, a dxi,..., dxm за-
зависимые, такие, что система dxi,..., dxn удовлетворяет A0).
§7.20. Локальный относительный экстремум 263
Итак, пусть х° = (ж^,..., ж^,ж^+1,..., ж^) есть стационарная точ-
точка / на Е. Тогда (при условии E)) (ж^+1,..., ж^) есть стационарная
точка Ф, т. е. выполняются равенства
-—) =0, г = m + l,...,n. A3)
dxiJ
Равенства A3) эквивалентны одному равенству
ШФ)о = У
j=m+l V J
которое должно быть верным для произвольных (независимых между
собой) dxm+i,..., dxn. В самом деле, из A3) следует A3') при любых
dxm+i,..., dxn. Обратно, если верно A3') для любых дифференциалов
dxm+i,..., dxnj то, в частности, оно верно, когда один из этих диффе-
дифференциалов равен 1, а остальные равны нулю, а это приводит к равенст-
равенствам A3).
Теперь из A2) и A3') следует
для любых dxi, удовлетворяющих системе A0).
Мы доказали, что точка х° является стационарной для нашей задачи
тогда и только тогда, когда выполняется равенство
г=1 \ '/U
для любых dxi, удовлетворяющих системе
%хг — и, j — 1,..., т. {10)
Равенства A4), A5) записываются коротко в виде
((grad/)o,?k)=0, A4')
((grad^H,rfx) =0, j = l,...,m, A5')
где dx = (dxi,..., dxn),
264 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
При этом векторы (grad(^j)o образуют линейно независимую систему,
потому что матрица | -^-1 имеет ранг т (см. E)).
Теперь можно сказать, что точка х° есть стационарная точка / при
наличии связей D) тогда и только тогда, когда для этой точки всякий
вектор б?х, ортогональный градиентам (grad(^j)o, j = 1,..., m, ортого-
ортогонален к (grad/)o.
Тогда согласно лемме 1 для точки х° существует единственная сис-
система чисел Ai,... , Am, для которой
т
(grad/H = ^Aj(grad<^H. A6)
Мы получили векторное равенство A6), которое вместе с равенства-
равенствами (см. D))
(^•(х) = 0, j = l,...,m,
дает возможность найти точки х° вместе с соответствующими им систе-
системами чисел Ai,... , Am.
На языке проекций векторному уравнению A6) соответствует п ска-
скалярных уравнений. Вместе с D) они составляют п + т уравнений отно-
относительно п + т неизвестных
Xi,..., жп, Ai,... ,Am.
Итак, стационарные точки нашей экстремальной задачи являются
решениями (вместе с системами Ai,... , Am) уравнений D) и A6).
Изложенный метод называется методом Лагранжа, предложивше-
предложившего этот метод.
На практике, решая эту задачу, рассуждают так.
Вводим функцию Лагранжа
где числа А& — множители Лагранжа — пока неизвестны.
Приравниваем частные производные от F\ нулю:
|Х>т!г0, г = 1,...,п, A7)
dXi ^ dXi
и решаем эти уравнения вместе с уравнениями связи D) относительно
Xi,..., жп, Ai,... ,Am.
Переходим к обоснованию достаточного признака экстремума. Счи-
Считаем, что функции /, cpj дважды непрерывно дифференцируемы на п.
Тогда описывающие множество Е функции G) автоматически дважды
непрерывно дифференцируемы так же, как функция
Ф(жт+Ь...,жп), (жт+ь...,жп) g А".
§7.20. Локальный относительный экстремум 265
Пусть х° — стационарная точка задачи и Ai,... , Am — ее лагран-
жевы числа. Для точек xG^nA
Ф(хт+1,... ,хп) = /(х) = /(х) - J^ \k<pk(x) = FA(x), A8)
k=i
где F\(x) — лагранжева функция (точки х°), а координаты х =
= (xi,...,хп) — функции (от (xm+i,...,хп) е Д") с дифференциала-
дифференциалами dxi, удовлетворяющими условиям связи
A9)
Независимым переменным xm+i,..., хп придаем (независимые) диф-
дифференциалы dxm+i,..., dxn и вычисляем соответствующие дифферен-
дифференциалы функций A8):
Надо учесть, что числа dxi,..., dxn удовлетворяют системе A9).
Дифференцируя еще раз B0), получим
V V дЧ dx
j=m-\-l k=m+l 3
= 2_^ 2_^ ~Я Я UXjdXk + 2_^ —о " жг-
Полагаем теперь в этом равенстве х = х°. Так как х° — стационар-
стационарная точка и F\ — ее лагранжевая функция, то
= 0, г = 1,...,п.
dXi V дхг /о
Поэтому окончательно получаем равенство
п п
j=m-\-l k=m-\-l
266 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
где в левой части дифференциалы dxm+i,..., dxn независимы, а в пра-
правой — дифференциалы dx\,..., dxn подчиняются связям
B2)
Теперь можно сделать заключение.
Пусть для нетривиальных (не равных нулю одновременно) векто-
векторов (dxi,..., dxn), удовлетворяющих связям A9), квадратическая фор-
форма справа в B1):
а) строго положительна;
б) строго отрицательна;
в) не строго положительна;
г) не строго отрицательна;
д) неопределённая (положительна для одного вектора и отрицатель-
отрицательна для другого).
Тогда эти же свойства соответственно имеют место для квадрати-
ческой формы слева в B1) для независимых векторов (dxm+i,..., dxn).
Следовательно, на основании теории локального абсолютного эк-
экстремума в указанных случаях имеет место:
а) локальный относительный минимум;
б) локальный относительный максимум;
в), г) не известно;
д) нет локального экстремума.
Надо учесть, что всевозможные нетривиальные системы (dxi,...
...,dxn), удовлетворяющие связям, порождают в качестве своих
проекций всевозможные системы нетривиальных независимых векторов
(dxm+i,... ,dxn).
Схема решения задачи на относительный экстремум на области Qi
сводится к следующему.
Выделяется на ui подмножество п точек х, в которых функции /,
II dlPi II
<?ъ • • • ? Рт имеют непрерывные частные производные, а матрица || ^г-1|
имеет ранг т. На П описанным выше способом находятся стационарные
точки. Каждая из них затем исследуется на экстремум. Если в ней су-
существуют непрерывные частные производные второго порядка, то мо-
может оказаться эффективным метод исследования второго дифференциа-
дифференциала функции Лагранжа F\. Точки Qi \ П исследуются особо.
Пример 1. Найдем локальные экстремумы функции /(ж, г/) = ху на
окружности (Г):
<р(х, у) = х2 + у2 - 1 = 0. B3)
Функции / и ср дважды непрерывно дифференцируемы на всей плоскости. Кроме
того, ранг матрицы
§7.21. Замена переменных в частных производных 267
равен 1 (т.е. количеству связей) на всей плоскости ж,2/, за исключением точки
(О, 0). Но последняя не находится на Г. Следовательно, точки, где возможен ло-
локальный экстремум, находятся только среди стационарных точек.
Приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа задачи
F(x,y) = ху — \(х + у — 1), получим уравнения
BF BF
^_=у-2\х = 0, ^=х-2Ху = 0. B4)
ох оу
Решая их вместе с уравнением B3), получим четыре пары стационарных точек
х = ±1/л/2, У = ±1/л/2, соответствующих всевозможным распределениям
+ и —. Паре х\ = у\ = 1/л/2 соответствуют Ai = 1/2 и лагранжева функция
F(x,y) = ху-(х2 + у2 -1)/2.
Второй дифференциал от F в точке (х\,у\) имеет вид d F = —dx +
+ 2dx dy - dy2 = -(dx- dyJ. В силу B3)
2xdx + 2ydy = 0,
откуда dy = —dx, и окончательно получаем
d2F = -BdxJ = -Ых2,
где dx — независимый дифференциал. Следовательно, в точке (х\, у\) имеет место
локальный относительный максимум задачи, равный /A/<\/2,1/л/2 ) = 1/2. Лег-
Легко заключить, используя симметрические свойства /, что в точке (— 1/л/2, — 1/л/2 )
имеет место другой локальный относительный максимум, равный 1/2.
Так как окружность Г есть ограниченное замкнутое множество и непрерыв-
непрерывная на Г функция / должна достигать на Г своего максимума и так как максимум
на Г необходимо есть локальный максимум на Г, то maxp F = /A/л/2,1/л/2 ) =
= /(—1/д/2, — 1/л/2) = V2 и> аналогично,
min/ = /A/V2, -1/V2) = /(-1/л/2,1/л/2) = -1/2.
§ 7.21. Замена переменных в частных производных
Ограничимся рассмотрением двумерного случая. В n-мерном слу-
случае выкладки аналогичны.
Рассмотрим функцию
z = f(x,y), A)
где
х = if {и, и), у = т/>(га, г>). B)
Покажем, как производные Р = ff, (Z — тр выражаются через произ-
производные от z по IX и v. Для этого продифференцируем A) по и и г;:
9z 9z dx dz dy dz dz dx dz dy
ди дх ди ду ди' dv dx dv dy dv'
268 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Решая эти уравнения относительно р и q, получим
D(z,y) D(x,z)
_ Р(щу) _ Р(щу)
Р Q
D(x,y) ' Q D(x,y) ' W
D(u,v) D(u,v)
Конечно, в этих рассуждениях предполагается, что ср и ф имеют не-
непрерывные частные производные по и, v с неравным нулю якобианом.
В дальнейшем подобные условия, обеспечивающие разрешимость соот-
соответствующих уравнений, мы будем предполагать выполненными, не ого-
оговаривая это особо.
Равенства D) можно записать следующим образом:
Ъх~~ Ъи~^ (h' ~ду~ ~ди\"" ~d~v' [ }
где важно отметить, что коэффициенты А,В,С ,D зависят только от и, г>,
но не от z. Но тогда
_ 8Pz_ _ д_ fdz_\ _ д_ fdz_\ д_ fdz_\ _
дх2 дх \дх) ди\дх) dv \дх)
-А—(а— В—\ В—(а— В—\-
ди \ ди dv J dv \ ди dv)
+
+ В
ouov
( дА dA\dz ( дВ dB\dz
\ ди dv) ди \ ди dv J dv '
- d2z
и мы получили выражение для частной производной ^—| через частные
производные от z по и и v.
Чтобы вычислить s = qxq , t = -|-f, поступаем подобным об-
образом. Производные более высокого порядка вычисляются последова-
последовательно этим же методом. Так, для вычисления ^f надо подставить в
правую часть F) А§^ + В §^ вместо z и произвести нужные дифферен-
дифференцирования.
Пример 1. Выразить оператор Лапласа *) (двумерный)
*) П. С. Лаплас A749-1827) — французский астроном, математик и физик.
§7.21. Замена переменных в частных производных 269
в полярных координатах. Решим эту задачу методом дифференциалов (хотя ее
можно решить и изложенным выше методом).
Имеем
у = psm6. (8)
Дифференцируем (8):
dx = cos в dp — р sin в d6, dy = sin в dp + p cos в d6.
Отсюда dp = sin в dy + cos в dx, d6 = (— sin в dx + cos в dy) —.
P
Далее,
d2p = (— sin в dx + cos в dy) d6 = pd62,
d # = — (— cos в dx — sin в dy) d6 о (— sin 6 dx + cos # cfa/) =
P P
d/9 d6 dp d6 dp d6
Подставляя эти выражения в равенство
,2 02и д2и д2и 2 , ди 2 , 0и ,2Д
d гг = -тг-о + 2 ^ ад + тг^о- «^ + —d p+ -—d в
др2 дрдв дв2 др дв
и приводя подобные при dx , dx dy и с?г/ , получим, в частности, выражения для
р$ и &и чтодает
а2^ 1 а2^ 1 <9^
А1г = ^ + ^Z2 + " 7Г * 9
^р^ р^ дв2 р др
Пример 2. Выразить оператор Лапласа (трехмерный)
. д2и д2и д2и
^ж^ ду2 dz2
в полярных координатах.
Имеем ж = pcosO cos 9?, |/ = pcosO sin 9?, 2; = /9sin#. Введем вспомогатель-
вспомогательную переменную г = pcosO. Тогда ж = г cos (р, у = г simp, z = z, и в силу
формулы (9)
_ д2^ 1 а2^ 1ди д2и
W*Jr7*~dyiJr~r~frJr~dz^'
Остается в этом выражении сделать подстановку г = р cos 6, z = p sin в, ip = ip,
в силу которой на основании той же формулы (9)
д2и д\д\ Jd\ ldu
270 Гл. 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
и на основании формулы D)
ди D(p,e) 1 . пди пди
дг D(r,z) р дв др
D(p,9)
Поэтому
Л _
1 д2и 2 ди
cos2 в
¦ + - ^
Мы считали, что 0 (широта) отсчитывается от экватора сферы (—тг/2 < 0 <
< тг/2). Подстановка 0' = (тг/2) —0 (в < в' < тг) приводит к отсчету от северного
полюса сферы. Тогда
д и д и i i ди ди
772=7^, cos0 =sin0, sin0 =cos0, 7}д=~яд7'
Ои од Ои Ои
_
1 д2и
Р2 sin2 0'
Упражнения.
1. Показать, что формула кривизны плоской кривой у = /(ж) в полярных
координатах (ж = г cos 0,2/ = г sin 0) преобразуется следующим образом:
2-, 3/2
2-, 3/2
в2
2. Показать, что дифференциальное уравнение ^ $„ = 0 подстановками
= х + at, г] = х — at сводится к уравнению -^-^ = а -~-%.
§ 7.22. Система зависимых функций
Пусть задана система т (т ^ п) функций
Уз = /j(x) =fj(zi,...,xn), x
j = 1,
, m,
(i)
непрерывно дифференцируемых на области G n-мерного пространства.
Доопределению система A) зависима на G, если по крайней мере
одна из функций, например уш, выражается через остальные на G при
помощи равенства
Угп = ФB/1,... ,2/m-l), B)
§7.22. Система зависимых функций
271
где Ф — некоторая непрерывно диффенцируемая функция от у\,..., уш-\,
т.е. B) есть тождество относительно х = (xi,..., хп) на G, если в нем
положить г/j = /j(x), j = 1,..., т. В случае B) будем еще говорить,
что функция ут зависима от функций ?д,..., уш-1 на G.
Теорема 1. Если система A) зависима naG, то все опреде-
определители т-го порядка, порождаемые матрицей
dfi
дхп
dfrn
дхп
C)
тождественно равны нулю на G.
Действительно, пусть, например, уш зависит от 2/ъ ... ?2/m-i ПРИ
помощи равенства B). Тогда
-———, j = l,...,n, на G.
Поэтому определитель
дх\
дхл
дхп
= 0 на G,
потому что если помножить его первые (т — 1) строки соответственно
на -j^-, & = l,...,m — 1, и вычесть полученные строки из т-й строки,
то последняя будет состоять из нулей. Аналогично рассуждая, получим,
что и любой другой определитель m-го порядка, порождаемай матри-
матрицей C), тождественно равен нулю на G.
Конечно, из доказанной теоремы следует, что если хотя бы один опре-
определитель порядка т ^ п отличен от нуля в некоторой точке х° Е П, то
система A) независима на П.
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной
и интегрирования по частям
В § 1.6 были введены понятия первообразной функции и неопреде-
неопределенного интеграла. Мы рекомендуем читателю возобновить в памяти
все, что говорилось там, перед тем как изучать эту главу. Цель этой
главы — дать практические навыки вычисления неопределенных интег-
интегралов от некоторых элементарных функций.
В теории определенных интегралов будет доказана теорема, утверж-
утверждающая, что непрерывная на интервале (а, Ъ) (или на отрезке [а, Ь]) функ-
функция f(x) имеет на нем первообразную F(x), которая, конечно, в свою
очередь непрерывна. Так как неопределенным интегралом от /на (а, Ь)
называется произвольная первообразная для / функция и любые две
первообразные для / отличаются лишь на некоторую постоянную, то
неопределенный интеграл от / на (а, Ь) равен J f(x)dx = F(x) + С,
где F(x) — какая-либо первообразная для / функция, а С — соответ-
соответствующим образом подобранная постоянная. Таким образом, на осно-
основании указанной выше теоремы можно сказать, что всякая непрерывная
на интервале функция / имеет на нем неопределенный интеграл. Однако
если / есть элементарная функция (см. § 1.3), то оказывается, что далеко
не всегда ее первообразная F, а следовательно, и неопределенный ин-
интеграл от нее, есть в свою очередь элементарная функция. Это может
быть, а может и не быть, и в этом различие между дифференциальным
и интегральным исчислением. В то время как производная от элемен-
элементарной функции есть элементарная функция, обратное утверждение, во-
вообще говоря, не верно. Имеются такие элементарные функции, которые,
как говорят, не интегрируются в элементарных функциях; их неопреде-
неопределенные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными
функциями.
Но все же к нашему счастью имеются классы интересных в мате-
математической практике элементарных функций, которые интегрируются в
элементарных же функциях, т.е. их первообразные суть элементарные
функции.
Эта глава посвящена изучению методов интегрирования функций по-
подобных классов.
Начнем с того, что приведем таблицу неопределенных интегралов,
вытекающую из основной таблицы производных от простейших элемен-
§8.1. Введение. Методы замены переменной 273
тарных функций:
хп dx = + С, п + 1 ф 0;
п + 1
/* 1 Z4
/ - dx = In ж| + С; ех dx = ех + С;
аж б?ж = h С, а > 0, а/1;
In а
/ cos xdx — sin ж + С; / sin xdx — — cos ж + С;
/ sec2 жб?ж = tgж + С; / cosec2 xdx = — ctgж + С;
С = — агссовж + С', С' = —Ь
2
chxdx = shx + С; shxdx = chx + С.
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная)
первообразная функция для соответствующей подынтегральной функ-
функции, справа же — одна определенная первообразная, к которой еще при-
прибавляется константа С такая, чтобы выполнялось равенство между эти-
этими функциями.
Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны
на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствую-
соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как
отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем
непрерывную первообразную.
В § 1.6 была выведена формула
/ (Aiu(x) + A2v(x)) dx = А\ I u{x) dx + А2 / v(x) dx + С, A)
выражающая линейное свойство неопределенного интеграла.
Основную роль в интегральном исчислении играет также формула
замены переменной (или подстановки):
J f(x)dx = J f(<p(tW (t)dt + C = J f{ip{t)) cbp(t) + С B)
В этой формуле предполагается, что ж = ip(t) есть непрерывно диф-
дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на неко-
некотором интервале изменения ?, а /(ж) — непрерывная функция на соответ-
соответствующем интервале или отрезке оси ж. Первое равенство B) утвержда-
утверждает, что левая его часть тождественно равна правой, если в ней (после
274 Гл. 8. Неопределенные интегралы
интегрирования!) сделать подстановку х = ip(t) и подобрать соответ-
соответствующую константу С. Докажем это утверждение. Слева в B) стоит
функция, которая является первообразной от /(ж). Ее производная по t
равна
jtjf(x)dx=±(jf(x)cb)<p'(t)=f(<p(t))<p'(t).
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку х = cp(t), то
получится первообразная от функции f(<p(t))ip'(t). Интеграл же справа
есть по определению некоторая первообразная от f(ip(t))ip'(t). Но две
первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую
постоянную С. Это и записано в виде первого равенства B). Что каса-
касается второго, то оно носит формальный характер — мы просто уславли-
уславливаемся писать
JF(t)<p'(t)dt = JF(t)dip(t). C)
Например,
(ex\dx = ^ f ex22xdx + C= ^ f e*2 d{x2) + С =
udu + C1 = ^eu + C2 = ^ex2+C2, u = x2. D)
Первое равенство написано в силу A), второе — в силу C), третье — в
силу B) (постоянная изменилась) и четвертое — в силу формулы из таб-
таблицы (постоянная изменилась). Однако в практике вычислений в членах,
содержащих неопределенный интеграл, константы С не пишут, и тогда
цепочка D) упрощается:
[ ex\dx = - I ex22xdx = - f ex
, 2 1 ,2 _,
dx2 = -ех + G,
2
к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.
Вот еще примеры:
fe3xdx = ^f e3x d(Sx) = 1 е3х + С,
/ sin kxdx = - / sin /еж d(fcx) = — - cos kx + G, fc ф 0.
Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории
интегрирования рациональных дробей:
ах I ayx aj ±
т ч— = / т^ г^ = т ч^ п г + С:
уХ Llj J уХ Llj ух Llj ул. lib)
8.1. Введение. Методы замены переменной
275
d(x — a)
х — а
I—'I
J x - a J
f dx =1 f
J a2 + x2 a J 1
= 1п
х — а
d(xla) 1 х _.
+ (х/а2) а а
x — a
1
1
= —(In \x - a\ -ln\x + a\) + С = — In
2a
/ _ = / _
J x2 +px + q J (x + (p/2)J
_ fd(x + (p/2)) _
2a
1
— a
x + a
(x + (p/2)J x + (p/2)
' - ^— = a > 0, a>
x2 + px + q
aj
dx
-I
d(x
1 +
(p/2)
(x + (p/2)J + a2
= - arctg —
a J
'-^- = -a2, a>0
4
dx
+ px +
¦/
d(x
(x + (p/2)J - a2 2a
x + (p/2) - a
x + (p/2) + a
E)
F)
+ C; G)
Г Bx + p) dx _ Г
J x2 +px + q J
x2 +px + q
j
x2 + px + q
= ln|x2 +px + q
Ax + B , A [2x + BB/A) ,
dx = — / —^— —i dx =
x2 + px + q 2 } x2 -\- px -\- q
_ А Г Bx + p) dx А Г BВ/А) - p
2 J x2 + px + q 2 J x2 + px + q
dx =
А л о . ^
= — \n\xz +px + q\+ D / =
2 ^ 4l J x2
(далее см. F) или G)).
f
/
J
dx
276 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вы-
вычисление интегралов типа E)-(8), где а, А, В, р, q — константы, приво-
приводит к элементарным функциям (рациональным, In и arctg).
Перейдем к формуле интегрирования по частям:
/ uv' dx = uv — / vu' dx + С, (9)
или, что все равно, J udv = uv — J v du + С.
В этой формуле и vl v — непрерывно дифференцируемые функции.
Производная от ее левой части равна uv', а производная от правой части
также равна uv' = (uv)' — vu', поэтому они отличаются лишь на некото-
некоторую постоянную, что и записано в (9).
Например,
/ In ж dx = ж In ж — / dx = жAп ж — 1) + С;
[ xexdx= I xdex =exx- f ex dx = ex(x - 1) + С;
/ ж sin xdx — х d(— cos ж) =
= —ж cos ж + / cos xdx = —ж cos ж + sin ж + С;
j
j eax cos xdx = еаж sin ж - а / еаж sin x dx =
\ ax fa
sins-a|e (-cosx)+aje
откуда
ea;c(smx + acosx) _.
еаж cos ж б?ж = tz + С.
Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегриро-
интегрирования рациональных дробей.
Пусть к > 1 — натуральное число и а > 0; тогда
/dx 2 f dx If x2x dx
(ж2 + a2) ./ (ж2 + a2) ^ ./ (ж2 + a2)
2 f dx 1 ( x 1 f dx }
откуда
2 f dx x 3 — 2k P dx
a J (x2 + a2)k ~ 2(k-l)(x2+a2)k-1 + 1(l-k) J (X2 + a2)k-1 '
8.1. Введение. Методы замены переменной
277
Теперь (если к > 2) к интегралу в правой части можно применить тот
же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в
знаменателе подынтегральной дроби. В конце концов придем к интегралу
от [х2 + а2) (приводящему к arctg).
Таким образом, при q — (р2/4) = а2 > 0 и натуральном к интеграл
dx
(ж2 + рх + q)
*¦/¦
du
С, и = х + |,
A0)
берется в элементарных функциях.
Примеры.
Замена переменной (подстановка):
/с/ж ж dh 1
Ту = (arctg х dh arctg 1) + С = arctg -—¦ \- С, а >
I + xz 1± х
f dx f d(xla) . x _,
2. / 7 = / , — = arcsm - + С, а > 0.
У Va2 - x2 J ^1 - (x/aJ a
3.
smx cos ж
tgaj
1 с/(а2 - ж2
f xdx r\d{a*-x*) j—
. / ^^^^ = - / v y = -Va2 -x2 + C.
J у a2 — x2 J 2 у a2 _ Ж2
/\ л / ^(cos^) 1 1 , ^
tgxdx = — = — In cos ж + 6.
У У
cos ж
/" с/ж f dx f 2 x if x\ x ^
6. / = / T = / sec - d - = tg - + C.
J 1 + cosx У 2cos2- У 2 \2У 2
z
7 f dx _ Г dx _ Г d(tgx)
J 1 + cos2 ж У 2 cos2 ж + sin2 ж У 2 + tg2 ж
Интегрирование по частям:
8. / arcsin ж с/ж = ж arcsin ж — / ¦ с/ж = ж arcsin ж + у 1 — ж2 + С.
J J у 1 — ж2
ж с/ж
9. / arcsin ж ^^=
= — у 1 — ж2 arcsin ж +
= ж — у 1 — ж2 arcsin ж + С.
/ж с/ж /*
— = ж tg ж — / tg ж с/ж = ж tg ж — In I cos ж I + С.
cosz ж J
278 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Комбинированные способы:
11. / tg х dx = / (sec x — l) dx = tg x — x + C.
f /l + x . f,. ч dx t. ч
12. / \ dx = / A + x) - = A + x) arcsin ж—
J \ 1 — x J VI — x2
— / arcsin x dx = arcsin ж — у 1 — ж2 + С.
§ 8.2. Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения вида а + Ы, где а
нЬ — действительные числа, а г — символ (буква).
При этом над этими выражениями производятся арифметические
действия по правилам, установленным в алгебре для рациональных бук-
буквенных выражений. Но к этим правилам добавляется соотношение
e = -i. а)
Таким образом,
а + 0-г = а, B)
О + Ы = Ы, C)
(а + Ы) ± (с + di) = (а ± с) + (Ь ± d)i, D)
(а + Ьг)(с + dz) = (ас - bd) + (ad + bc)i, E)
а + 6г _ (а + Ы)(с — di) _ (ас + bd) + Fс — ad)i
c + di ~ (c + di)(c-di) ~ с2 + d2 '
т.е. при с2 + d2 > О
а + Ы ас + bd be — ad
+ ()
Можно еще сказать, что комплексными числами называются выра-
выражения а + bi, где a, b — действительные числа, а г — символ, и при этом
выполняются правила B)-F) арифметических действий над ними.
Правило B) говорит, что действительное число есть частный случай
комплексного числа а + Ы при b = 0. Число Ы называется мнимым
числом, согласно C) оно получается из a + 6г, при a = 0.
В данном втором определении комплексных чисел равенства D)—F)
являются определениями арифметических операций над комплексными
числами. При этом видно, что сумма, разность, произведение и частное
комплексных чисел (с естественным исключением с2 -\- d2 > 0 для част-
частного) есть в свою очередь комплексное число.
Разные комплексные числа считаются не равными между собой, и
потому равенство а -\-Ы = с-\- di, где a, b,c,d — действительные числа,
верно тогда и только тогда, когда a = с и b = d.
S.2. Комплексные числа 279
Можно еще сказать, что равенство а + Ы = 0 верно тогда и только
тогда, когда а = Ъ = 0.
При втором определении свойство г2 = — 1 вытекает из E) при а =
= с=1, b = d = 1.
Делается еще один шаг: комплексные числа а + /Зг, где а, /3 дейст-
действительные, обозначаются буквами, например, пишут а = а + /3г;а назы-
называется действительной частью (компонентой) чис-
числа а, а C — мнимой его частью (но C действитель-
действительное).
Обычно, когда говорят, что задано комплексное
число а = а + Ci, не делая дополнительных оговорок,
то автоматически считают а и C действительными
числами.
Комплексные числа изображаются в виде
а
(рис. 8.1) точек (комплексной) плоскости, каждо- рис g ^
му числу а = а + $i приводится в соответствие точка
(точка а) с прямоугольными координатами (а,/3). Обозначим через р
длину радиус-вектора точки а и через в (при а ф 0) — угол (в радианах),
образованный им с положительным направлением оси х. Ясно, что
а = р cos в, C = р sin в, р = л/а2 + /З2 ^ 0, поэтому
а = а + /3i = y^(cos # + г sin 6>). G)
Если а = 0, то/) = 0и равенство G) сохраняется при любом 0.
Итак, мы доказали, что всякое комплексное число а можно предста-
представить в форме G), где р — неотрицательное число. При этом р в этом
(тригонометрическом) представлении есть единственное (неотрицатель-
(неотрицательное) число; в при а ф 0 — также единственное число, если потребовать,
чтобы оно удовлетворяло неравенствам
0 ^ в < 2тг. (8)
Если изменить в G) одно из чисел р, в или оба (при условии (8)), то
получим уже другую комплексную точку.
Число р называется модулем а и обозначается так: \а\ = р =
= л/а2 + (З2. Если а действительное, то модуль и абсолютная величи-
величина а совпадают.
Число же в, удовлетворяющее неравенствам 0 ^ в < 2тг, называется
аргументом а в приведенной форме и обозначается так: arga*). Но
уравнению G) удовлетворяет также любое значение в, отличающееся
от arg а на величину 2&тг, & = 0,±1,... Поэтому еще вводится понятие
аргумента а:
0 = Arga = arga + 2Ьг, к = 0, ±1, ±2,..., (9)
*) Впрочем, иногда удобно аргументом а в приведенной форме называть
число 9, определяемое равенством G), для которого ао ^ 9 < ао + 2тг или
«о < 0 ^ а0 + 2тг, где ао — произвольно выбранное число.
280 Гл. 8. Неопределенные интегралы
это — бесконечнозначная функция от а. Любое решение уравнения G)
относительно 0 может быть записано в форме (9).
Положим
егв = cos 0 + г sin 0, — сю < в < сю.
Мы, таким образом, впервые определяем функцию ez для чисто мнимого
аргумента z = гв. Для произвольной комплексной переменной z = x + iy
функция ez определяется затем при помощи равенства
ez = ех егу = ех (cos у + г sin у); A0)
ег0 есть комплексная функция (принимающая комплексные значения) от
действительного аргумента 0. Когда 0 изменяется непрерывно на полу-
полуинтервале 0 ^ в < 2тг, точка еъв описывает непрерывно окружность
радиуса 1 с центром в 0. Таким образом, \еъв\ = у cos2 в + sin2 0 = 1.
Ясно, что еъв — периодическая функция периода 2тг: ег^+27Г^ = еъв. Она
подчиняется свойствам
"" "*> e~ie = ^e> (n)
каковы бы ни были 0 и 0i, потому что
eieei01 = (cos 0 + г sin 0)(cos 0i +isin0i) =
= (cos 0 cos 0i — sin 0 sin 0i) + г (cos 0 sin 0i + cos 0i sin 0) =
= cos@ + 0i) + г sin@ + 0i) =
= cos0 — isin0 = e~lB'.
Из A1) следует еще, что ег(°~в1^ = егве~гв1 = -^д-. Из сказанного выше
в 1
следует, что всякое комплексное число а представимо в (тригонометри
ческой) форме: а = регв, где р ^ 0 — единственное число, равное |а|, a
в = Arg а определено с точностью до слагаемого 2&тг, & = 0,±1,...
Имеет место неравенство
|а + Ь| ^ |а| + |Ь| A2)
и вытекающее из него другое неравенство
||а|-|Ь||<|а-Ь|, A3)
каковы бы ни были комплексные а и Ъ. Геометрически они выражают
(рис. 8.2), что сторона треугольника не больше суммы его остальных
S.2. Комплексные числа
281
сторон и не меньше их разности. На языке компонент чисел а = а + /Зг,
fr = а\ + /3].г неравенство A2) сводится к неравенству (см. § 6.2, (9))
у/(а + агJ + (/3 +
Справедливы также равенства
Arg(afr) = Arg a + Arg b + 2kir, k = 0, ±1,... ,
"it- ""••
Arg - = Arg a - Arg b + 2Ьг, к = 0, ±1,...
о
A4)
A5)
A6)
A7)
2/.
Равенство A5) надо понимать в том смысле, что в качестве аргумен-
аргументов а, 6, аЪ можно взять любые допустимые числа #i, #2,0, и тогда ока-
окажется, что в отличается от в\ + Q<i на величину 2/стг,
где & — некоторое целое.
Докажем A4) и A5). Пусть а = pie1®1, Ь =
= р2ег°2, ab = /яег<9, где #i,#2,# — какие-то опре-
определенные (но произвольные) допустимые аргументы
а, 6, аб. Тогда
0
Рис. 8.2
и на основании единственности представления комп-
комплексного числа в показательной форме р = р\р2, 0 = в\ + #2 + 2&тг,
где & — некоторое целое.
Если а = а+/3г — комплексное число, то число a = a—/3i называется
сопряженным к а. Таким образом, если a = а — действительное число,
то а = а.
Имеем
a ± b = a± o, ab = с
потому что если
a = a1+ip1=p1ei01,
то
A8)
а ± 6 = (ai ± а2) + (Д ± /32)г = (аг ± а2) - (Pi ± у92)г =
= (ai - гД) ± (a2 - ^2) = a ± Ь,
282 Гл. 8. Неопределенные интегралы
аЪ = pPle*('i+'2) = р1Р2е-^+в^ = Р1е~^ р2е~^ = аЪ.
Рассмотрим задачу о вычислении корня n-й степени из числа а =
= реъв (р > 0). Требуется, таким образом, найти все числа Ъ = relLp
такие, что Ьп = а. Но тогда гпегп1р = реъв (г, р > 0) и вследствие един-
единственности представления комплексного числа в показательной форме,
р = тп, п(^ = # + 2&7Г, /с = 0, ±1,... Из первого равенства следует
г = ^j/jo > 0 (г — арифметическое значение корня n-й степени из поло-
положительного числа р). Из второго же, что ip = 6/п+2ктг/п, к = 0, ±1,...
Значения ср, дающие различные корни n-й степени из а, соответству-
соответствуют только п значениям к:
0 + 2Ьг * = 0I,...,„-1. A9)
п п
Остальным целым к соответствуют значения ip, отличающиеся от одного
из значений A9) на величину, кратную 2тг.
Мы доказали, что у комплексного числа а ф 0 существует п (и толь-
только п) корней степени п, записываемых по формуле
где ifk определяются равенствами A9).
Пример 1.
. 2п
sin
1 sin —-— х
—h cos x + cos 2x + ... + cos nx = =-^— = Dn (x), B0)
2 2 sin -
cos — — cos I n + - ) ж
sin ж + ... + sinnx = д; . B1)
2sin-
Если в равенстве
?V** =
_ eix/2
e
ix/2 _ e — ix/2
sin(n + A/2))ж 1 . cos(x/2) - cos(n
2sin(x/2) 2 +Z 2sin(x/2)
приравнять действительные и мнимые части, то получим B0) и B1). Обе сум-
суммы, B0) и B1), имеют большое значение в теории рядов Фурье; функция B0) на-
называется суммой или ядром Дирихле.
8.3. Комплексные функции
283
У\
§ 8.3. Комплексные функции
Пусть П есть некоторая область комплексной плоскости (см. рис. 8.3).
Если каждому комплексному числу z G П в силу некоторого закона со-
соответствует комплексное число w, то говорят, что
этим определена на П функция от аргумента z и
пишут w = f(z), z G П. Примером такой функции
является многочлен TV-ой степени
A)
Рис. 8.3
заданный, очевидно, на всей комплексной плоскости значений (точек) z.
Здесь dk — заданные комплексные (в частности, действительные)
числа — коэффициенты многочлена.
Функция / непрерывна в точке z G П, если модуль ее приращения в
этой точке стремится к нулю, когда стремится к нулю модуль соответ-
соответствующего (комплексного) приращения аргумента:
- f(z)\ -+ 0, \Az\ -+ 0.
z) = f(z).
Соответственно пишут
lim
Сумма, разность, произведение и частное (с известной оговоркой)
двух непрерывных в точке z функций комплексного переменного есть не-
непрерывная функция в этой точке. Доказываются эти свойства, как в дей-
действительном случае.
Функция w = с — постоянная, т.е. равная одному и тому же комп-
комплексному числу с для любых комплексных z, очевидно, непрерывна. Не-
Непрерывна также для любого комплексного z функция w = z. Но тогда и
многочлен Pjy(z) есть непрерывная функция от любого комплексного z.
По определению производной от f в точке z G ?1 называется
предел
lim —
Az
т.е. число ff(z) (если оно существует), для которого выполняется свой-
свойство
¦Д*)-/(*) *,,
Az
|Дг| -4-0.
Производные от суммы, разности, произведения и частного от функ-
функций комплексного z вычисляются по формулам, аналогичным тем, кото-
которые мы знаем из действительного анализа.
284 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Аналогично, также получаются формулы
(с)' = 0, B)
Gп\г — ri7n~1 п — 1 9 Ч CV\
1/6 I — ll/J , II — J., Zi, О, . . . V'-V
При выводе формулы C) так же, как в действительном анализе, мож-
можно применять формулу Ньютона, верную и для комплексных чисел. Но
тогда производная по z от многочлена Pn(z) имеет обычный вид, как в
действительном анализе:
( i i 2 | | п\1 | о i о 2 | | 71—1
yUQ -\- CL\Z ~\- CL2Z ~\- . . . ~\- CLnZ j — CL\ -\- LOL2Z -\- 6CL3Z -\- . . . -\- TlCLnZ
В сущности мы считаем, что в нашем распоряжении имеется как ис-
исходная одна функция комплексного переменного — многочлен. В даль-
дальнейшем мы увидим, что методы теории пределов дадут нам возможность
конструировать при помощи многочленов важные для анализа более
сложные функции комплексного переменного. Среди них элементарные
функции комплексного переменного sin z, cos z, In z, ez,...
Нам понадобится еще оперировать с комплексными функциями от
действительной переменной.
Если каждому действительному числу ж, принадлежащему, напри-
например, интервалу (а, 6), в силу некоторого закона соответствует комплекс-
комплексное число w, то говорят, что этим определена комплексная функция от
действительной переменной х на интервале (а, Ь), и записывают ее так:
w = f(x) = (р(х) + ъф(х), х G (а, Ь).
Здесь f(x) — комплексное число, т.е. значения / в точке х G (а, Ь),
a ip(x) и ф(х) — соответственно действительная и мнимая части этого
числа. Функции ср(х) и ф{х) — обычные действительные функции от
х е (а,Ь).
Комплексная функция / от действительной переменной непрерывна
в точке ж, если непрерывны в этой точке функции ср и ф.
Функция / имеет производную в точке ж G (а, 6), если действитель-
действительные функции ер и ф имеют производную в этой точке. Пишут при этом:
f{x)=ip\x)+iil>'{x).
Мы знаем одну такую функцию
w = егв = cos 0 + г sin (9, -оо < в < +оо.
Это есть комплексная функция от действительной переменной в G
G (—оо,+оо). Ее производная равна
(егвУ = (cosO + ismO)' = —sin 6> + icos# = i(cos6 + isin#) = геъв.
8.4- Многочлены 285
В дальнейшем мы будем владеть теорией (теорией степенных рядов), с
точки зрения которой эту функцию, а с ней и эту формулу, можно будет
определить и для комплексных в.
§ 8.4. Многочлены
В § 5.9 было уделено внимание многочленам степени п:
Q(x) = а0 + а\х + а2х2 + ... + апхп, ап ф О,
где коэффициенты ак и переменная х считались действительными.
В этом параграфе мы будем рассматривать более общие многочлены
степени п:
Q(z) = а0 + агг + a2z2 + ... + anzn, an ф 0, A)
где а&, вообще говоря, комплексные коэффициенты, a z = х -\- iy —
переменная, пробегающая любые комплексные значения.
Если z в правой части A) заменить на (z — zo) + zo, возвести в тре-
требуемые степени и привести подобные члены с одинаковыми степенями
(z — zo), то Q(z) представится в виде суммы по степеням z — z$:
Q(z) = bo + bi(z -zo) + ... + bn(z - zo)n. B)
Производная от Q(z) порядка к (в комплексном смысле; см. § 8.3)
равна
Q&Xz) = к\ Ък + (к + 1)... 2(z - z0) + ...
Поэтому
C)
D)
к=о
Мы получили формулу Тейлора для многочлена по степеням (z — zq) . Из
нее следует, что Q(z) имеет единственное разложение вида B): если два
многочлена тождественно (т.е. для всех z) равны, то коэффициенты их
при одинаковых степенях [z — z$) равны, потому что они определяются
одними и теми же формулами C). В частности, многочлен степени п,
тождественно равный нулю, имеет все коэффициенты, равные нулю.
Если точка zo такова, что
)#0, E)
286 Гл. 8. Неопределенные интегралы
то Q можно представить в виде
Q(z) = (z-zo)kR(z), R(zo)^O, F)
где R — многочлен степени п — /с, и наоборот. Действительно, из E)
следует F) на основании формулы Тейлора D); с другой стороны, если
верно F), то помножим все члены разложения R(z) по степеням (z — zq)
на (z — zq) и сложим; тогда в силу единственности получим тейлорово
разложение Q по степеням (z — zo), удовлетворяющее свойствам E).
В случае E), или, что все равно, F), говорят, что zq есть корень
многочлена Q кратности к. Можно еще сказать, что z$ есть корень Q
кратности к, если Q(z) делится на (z — zo)k, но не делится на (z — zo)k+1.
Имеет место основная теорема алгебры, заключающаяся в следую-
следующем: многочлен Q степени п > 0 имеет по меньшей мере один комп-
комплексный корень.
Из этой теоремы легко заключить, что на самом деле Q имеет п и
только п корней, если учесть их кратность. В самом деле, пусть z\ есть
корень Q степени п. Кратность его обозначим через к\. Тогда
где Qi — степени п — к\. Если п — к\ > 0, то по той же основной теореме
у многочлена Q\ найдется корень z<i некоторой кратности &2, и тогда
Qi(z) = (z-z1)kHz-z2)k^Q2(z), Q2(Z1), Q2(z2)^0.
Если Qi все еще будет иметь положительную степень, то продолжим эти
рассуждения. После конечного числа этапов подобных рассуждений мы
придем к тому, что Q(z) имеет (разные) корни z\,..., zm соответственно
кратностей к\,..., кш, где п = к\ + ... + кш, и представляется в виде
произведения:
(ajyz) — an\z — z\) ...yz — Zm) , {()
апф®, п = ki + ... + кш.
Других корней Q не имеет, потому что в силу G) для всякого zq ф Zj,
j = 1,... ,m, очевидно, Q(zo) ф 0. Это показывает, что представление Q
в виде произведения G) единственно.
Остановимся еще на интересной связи между рассматриваемым мно-
многочленом Q(z) и его производной Qf(z). Она заключается в том, что об-
общий наибольший делитель Q(z) и Q'(z) есть многочлен, равный
с точностью до постоянного не равного нулю множителя много-
многочлену
-^\г) — \z ~ Z4 . . .\Z — Zjn) . \р)
8.4- Многочлены 287
Многочлен L(z) всегда можно найти эффективно методом алгорит-
алгоритма Евклида, хотя его корни, быть может, так и останутся неизвестными
(см. 4-е издание этой книги, § 8).
Отметим, что основная теорема алгебры доказывает только сущест-
существование корня (вообще, комплексного) у многочлена n-й степени, не
давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем,
доказательство этой теоремы проводится методами математического
анализа, а не алгебры, и если мы не доказываем здесь эту теоре-
теорему, то потому, что она связана более органически с теорией функций
комплексного переменного.
Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и
четвертой степеней. Для уравнений степени п > 4 таких формул нет.
Абель *) доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в
том смысле, что при п > 4 корни уравнения а^х71 + ... + an-\x + ап = О
(ао ф 0) не выражаются через коэффициенты а& посредством функций от
этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа
операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения,
деления и извлечения корня.
Многочлен Q(z) (см. A)) называется действительным, если все
его коэффициенты действительны. Действительный многочлен, если его
рассматривать для действительных z = ж, есть действительная функция
Q(x), т.е. принимающая действительные значения.
Важное свойство действительного многочлена выражается в равен-
равенстве
Q(z) = Q(z), (9)
верном для любого комплексного z. Оно устанавливается на основании
формул § 8.2, A4) при помощи следующих выкладок, где надо учесть,
что а& = а& (в силу действительности а&):
к=0 к=0 к=0 к=0
Докажем теорему.
Теорема. Если действительный многочлен Q(z) имеет комп-
комплексный корень zo = ol + i/З кратности к, то он имеет также
корень zo = а — i/З, ему сопряженный, той же кратности.
Доказательство. По условию имеем Q(zo) = Q'(zo) = • • •
... = Q^k~1\zo) = 0, Q(k\zo) ф 0. Легко видеть, что если Q(z) есть
действительный многочлен, то и его производная Q^ '(z) порядка I есть
действительный многочлен. Поэтому в силу (9) Q^(zo) = Q^1\zq) для
любого I = 0,1, 2,... и, следовательно,
Q(zo) = Q'(So) = ¦¦¦ = Q(fe-%o) = 0, Q(%0) ф 0.
Н.Г. Абель A802-1829) —выдающийся норвежский математик.
288 Гл. 8. Неопределенные интегралы
На основании этой теоремы, принимая во внимание доказанное раз-
разложение (см. G)) многочлена n-й степени Q(z) на множители, действи-
действительный многочлен степени п (ап ф 0) можно представить в виде произ-
произведения:
A0)
где а\,... , аг, р\,..., ps, q\,..., qs — действительные числа, многочле-
многочлены z2 +pjZ + qj имеют комплексные (попарно сопряженные) корни и п =
= 1\ + ... + lr + 2(mi + ... + ms). Отметим, что числа г, s, ai,... , ar,
pi,..., ps, gi,..., qs, /i,... , /r, mi,..., ms определяются многочленом
Q(z) однозначно.
В самом деле, обратимся к разложению G). Если среди входящих в
него корней zj* имеются действительные, то мы их заново пронумеруем,
обозначив через ai,..., аг. Соответствующие степени биномов обозна-
обозначим через /i,..., lr.
Наряду с каждым множителем (z — Zj)kv с комплексным корнем Zj в
произведении G) на основании доказанной теоремы обязательно имеется
также множитель вида (z — Zj)ku, где к^ —kv — к. Полагая Zj = а + г/3
(zj = а — iE), получим
(z - Zj)k(z - Zj)k = (z-a- iC)k{z - a + iC)k = ((z - aJ + C2)k =
= (z2+pz + q)k, p=-2a, q = a2 + [I2, A1)
где р и q — действительные числа.
Теперь остается только перенумеровать множители, соответствую-
соответствующие разным попарно сопряженным корням Q и заменить ими соответ-
соответствующие множители G). В результате получим A0).
§ 8.5. Разложение рациональной функции
на простейшие дроби
В этом параграфе мы будем рассматривать произвольную действи-
действительную рациональную функцию
fix) A)
ПХ) - Q(x) ' U)
представляющую собой правильную дробь. Это значит, что Р и Q —
действительные многочлены, причем степень Р меньше степени Q. Будем
считать, что Р имеет степень т, а Q — степень п, следовательно, т < п.
При этом мы будем считать, что х — действительная переменная, таким
образом, f(x) есть действительная функция. Для краткости будем обо-
обозначать через sp,sq, ... соответственно степени многочленов Р, Q,...
Лемма 1. Пусть а — действительный корень кратности к
знаменателя Q{x) дроби A):
Q{x) = {x- a)kN{x), N{a) ф 0. B)
§8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 289
Тогда существует и притом единственное разложение дро-
дроби A) в виде
Р{*) = А М(х)
(х a)k-1N(x) ' l }
=
Q(x) (х - а)к (х- a)k-1N(x) '
где А — постоянная, а второй член C) — правильная дробь.
При этом А — действительное число, а М(х) — действитель-
действительный многочлен.
Единственность разложения C) заключается в том, что существуют
единственные число А и многочлен М(ж), для которых имеет место C).
Доказательство. Допустим, что разложение C) имеет место,
где А — некоторое постоянное число, а М(х) — непрерывная функция.
Приведя правую часть C) к общему знаменателю и приравнивая полу-
полученный числитель к числителю левой части C), получим равенство
Р(х) = AN(x) + (х - а)М(х) D)
(верное не только для значений ж, для которых Q(x) ф 0, но вследствие
непрерывности левой и правой частей D) и для всех действительных х).
Положив в нем х = а и учитывая, что N(a) ф 0, получим
число А действительное, потому что Р и N — действительные много-
многочлены и а действительное. Подставив найденное значение А в D), нахо-
находим (единственным образом)
х — а
Так как числитель F) есть многочлен, где А подобрано так, чтобы он
обращался в нуль при х = а, то он делится на х — а и М(х) есть мно-
многочлен (действительный). По условию sp, sn ^ п — 1. Тогда в силу F)
sm ^ п — 2, т.е. sm меньше (п — 1) — степени знаменателя второй дроби
правой части C), следовательно, эта дробь правильная.
Обратно, если число А и многочлен М{х) определяются по форму-
формулам E), F), то, очевидно, выполняется равенство C).
Замечание. Для произвольной не обязательно действитель-
действительной правильной дроби A) и комплексного а лемма 1 полностью верна, за
исключением последнего ее утверждения — теперь уже число А, вооб-
вообще, комплексное, так же, как М(ж), есть не обязательно действительная
функция.
10 С.М.Никольский
290 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Лемма 2. Пусть Q(x) представляется в виде
Q(x) = (x2+px + q)kN{x), G)
где р, q действительные, q — p2/4 > 0, к натуральное и N(x) —
многочлен (действительный), не имеющий своими корнями корни
х2 + рх + q.
Тогда существует единственное разложение дроби A) в виде
Р(х) = Ах + В + М(х)
Q(x) B )k B )k~1N() '
где А, В — постоянные, а вторая дробь в правой части (8) пра-
правильная. Числа А, В и многочлен М(х) действительные.
Доказательство. Обозначим через а = а + г/3, а = а — i/3
корни многочлена х2 -\-рх -\-q (/3^0). Из условия леммы следует, что они
еще являются корнями кратности к нашего действительного многочлена
Q(x). Допустим, что разложение (8) имеет место. Приведем правую
часть (8) к общему знаменателю и приравняем числитель полученной
дроби числителю левой части (8). В результате получим тождество
Р(х) = (Ах + B)N(x) + (х2 + рх + q)M(x). (9)
Подставив в него числа ana, получим
Р(а) = (Аа + B)N(a), Р(а) = (Аа + B)N(a)
или
(по условию N(a), N(a) ф 0). Определитель полученной системы, кото-
которую надо решить относительно А и В, не равен нулю:
Поэтому система разрешима; при этом А и В — действительные числа.
В последнем можно убедиться, не решая системы A0). Возьмем сопря-
сопряженные величины от обеих частей уравнений A0):
Аа + Б = Л, Аа + Б = Л. A00
Системы A0) и A0') равносильны, поэтому их (единственные) реше-
решения также должны совпадать: А = А, В = В. Но тогда А и В дейст-
действительные.
§8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби 291
Подставляем теперь в (9) полученные числа А и В и находим, что
Р(х) - (Ах + B)N(x)
М(х) =
х2 + рх + q
Так как числитель полученной дроби обращается в нуль в корнях х2 +
+ рх + q (так были подобраны А и 5), то он делится на знаменатель
без остатка и М(х) есть многочлен, очевидно, действительный. Не пред-
представляет труда выяснить, что вторая дробь в правой части (8) правиль-
правильная. Лемма доказана.
С помощью лемм 1 и 2 нам удастся разложить нашу действитель-
действительную дробь в конечную сумму так называемых простейших рациональ-
рациональных дробей. Напомним, что так как Q(x) есть действительный много-
многочлен степени п, то для него, как было доказано в предыдущем параграфе,
справедливо разложение на множители вида § 8.4, A0). Пользуясь лем-
леммой 1 и леммой 2, на основании этого разложения можно утверждать,
что наша правильная дробь может быть записана последовательно в ви-
виде (пояснения ниже)
Мг{х)
{xa)li~1N{x) K '
Q{x)
l\ . l\ — 1 .
+
(х - ai)'i (х- ai)*! (х- ai)'i-27Vi(a;)
(х-ах) (х - а2У2 N2(x) v ;
(x — cliY1 (x — a\) (x — ar)lr
...+ j г + -j— ч mi +.. .H 2 1"- • •
где константы А, 5, С с соответствующими индексами единственные и
действительные.
Соотношение A1) получено на основании леммы 1; при этом много-
многочлен N\ (x) (действительный) определен из равенства
Q(x) = (x-a1)hN1(x), JVi(ai)#0. A5)
10*
292 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Переход от A1) к A2) снова осуществляется при помощи леммы 1, что
законно, потому что вторая дробь в правой части A1) действительная и
правильная и TVi (ai) ф 0. В A3) процесс выделения простейших дробей,
соответствующих действительному корню ai, закончился, дальше точ-
точками отмечается продолжение этого процесса для других действитель-
действительных корней, а затем для комплексных корней Q, где уже последовательно
применяется лемма 2.
Конечно, этот процесс мы изобразили в общем случае, так как могло,
например, случиться, что у Q простых корней вовсе нет, тогда наш про-
процесс сразу же начался бы с применения леммы 2.
Единственность чисел А, В, С в разложении A4) пока полностью не
доказана, потому что нахождение их было связано с определенным про-
процессом. Быть может, при другом способе определения А, В, С эти чис-
числа будут другими? Мы изложим ниже метод нахождения А, В, С путем
сравнения коэффициентов. При обосновании его выяснится, что эти чис-
числа образуют единственную систему.
Мы уже доказали, применяя леммы 1 и 2, что при данном многочлене
Q (х), каков бы ни был многочлен Р(х), где sp < sq , существует система
чисел А, В, С,..., для которой имеет место тождество A4) (для всех дей-
действительных ж, отличных от корней Q). Приведем A4) к общему знаме-
знаменателю, соберем коэффициенты при одинаковых степенях и полученные
линейные комбинации из А, В, С,... приравняем коэффициентам много-
многочлена Р(х), имеющим соответственно одинаковые степени. В результате
получим систему из п линейных уравнений относительно неизвестных
А, 5, G,... Количество уравнений и неизвестных здесь совпадает. Уже
известно, что эта система имеет решение для любого многочлена Р(х)
(т.е. для любой правой части системы!) — мы это доказали при помощи
лемм 1 и 2. Поэтому определитель системы заведомо не равен нулю и,
следовательно, числа А, 5, G,... образуют единственную систему.
Пример 1. На основании сказанного выше имеет место равенство
axs + bx2 + cx + d Ax-\-B С D
+ +
(х - 2J х - 2 '
Точнее, для любого многочлена третьей степени ах +Ъх -\-cx-\-d существу-
существуют постоянные А, В, С, D такие, что для всех х ф 2 выполняется равенство A6).
Чтобы найти эти постоянные, приведем правую часть A6) к общему наименьше-
наименьшему знаменателю. Числители обеих частей полученного равенства должны быть
равны:
аж3+ Ъх2+ сх + d= (Ах + В)(х - 2J+ С(х2+ х + 1)+ D(x2 + х + 1)(х - 2)
для х ф 2, но вследствие непрерывности функций, входящих в это равенство, и
для х = 2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, получим
линейную систему из четырех уравнений с четырьма неизвестными А, В,С, D:
а = A + D, c = 4A-4B + C -D,
b = B-4:A + C-D, d = 4В + С - 2D.
§8.6. Интегрирование рациональных дробей 293
Мы уже знаем, что для любых а, Ь, с, d эта система имеет решение, но тогда,
как известно из теории линейных уравнений, числа А, В,С, D, решающие систе-
систему, единственны.
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей
Пусть нужно найти неопределенный интеграл
от рациональной действительной дроби.
Если степень sp многочлена Р не меньше степени sq (sp ^ sq), to
прежде всего разделим Р на Q по известным правилам:
Р R+Pl
Многочлен R интегрируется без труда, a Pi/Q — правильная действи-
действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной
дроби, которую мы снова обозначим через P/Q.
Будем считать, что Q представляется в виде произведения (см.
§ 8.4, A0)). Тогда P/Q можно разложить на простейшие дроби по
формуле § 8.5, A4), каждая из которых, как мы знаем, может быть
проинтегрирована в элементарных функциях.
Мы доказали, что принципиально всякая рациональная функция ин-
интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегриро-
интегрирование A) можно довести до конца в случае, если известны все корни Q
и их кратности. Но мы уже говорили в § 8.4, что это не всегда удается
узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла A) являются
очень ценными.
Пример 1. Требуется найти интеграл J ж . Знаменатель в нем име-
ет кратные корни, и потому удобно применить метод Остроградского. Представ-
Представляем интеграл в виде
2 f bp + Ь\х + b2x2
~x^l '
f dx _ ар -\-aix + а2х2 f
J (ж3 - IJ " ~x^l + J
где сц, bj — искомые постоянные. Дифференцируем это равенство и после приве-
дения к общему знаменателю, равному (х — 1) , приравниваем числители:
1 / an + а\х + а2х \ on + oix + о2х
— +
(ж3 - IJ V х3 - 1 J х3-1
- 1)Bа2ж + ai) - Зж2(а0 + агх + а2х2) + (ж3 - 1)(Ь2х2 + Ьгх + Ьо).
294 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему урав-
уравнений
&2 = 0, Ь\ — <32 = 0, Ьо — 2а\ =0, &2 + Зао = 0,
Ъ\ + 2а2 = 0, Ьо + &\ = —1,
откуда
Г dx _ 1 ж 2 [ _d^_
J (ж3 - IJ " 3 ж3 - 1 3 У ж3 - Г
Разлагаем теперь подынтегральную функцию справа на простейшие дроби:
~~3 = л + ^~ ' B)
После приведения к общему знаменателю получим тождество (верное для лю-
любого х)
1 = А(х2 + х + 1) + (Вх + С)(ж - 1).
Подставляя в него ж = 1, получим А = 1/3. Сравнивая коэффициенты при высшей
степени х и члены, не содержащие ж, получим еще 0 = А + 5, 1 = А — С,
откуда 5 = —1/3, С = —2/3. Остается подставить найденные А, 5, С в A1)
и проинтегрировать.
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей
Рациональную функцию otx,u,i;,... , w (букв конечное число) бу-
будем обозначать символом R(x, u,v,... ,w). Она является результатом
применения k1,x,u,v, ... ,w арифметических операций (сложения, вы-
вычитания, умножения и деления), взятых в конечном числе.
Интеграл
г (
R\ ж,
сх + d
где Л,... , v — рациональные числа, имеющие общий наименьший знаме-
знаменатель т, при помощи подстановки (ad — be ф 0)
t B)
cx + d w
сводится к интегралу от рациональной функции. В самом деле, х = fi(t)
есть рациональная функция, а вместе с ней рациональна и ее производная
// (?). Поэтому, обозначая через р,... , g числители (целые числа) соот-
соответственно дробей Л,... , г/, приведенных к общему знаменателю (т), по-
получим, что интеграл A) после подстановки B) сводится к следующему:
f R(p(t),tp,... ,tq)/i'(t)dt= IiJi(t)dt,
где R\ (t) — рациональная функция от t.
S.8. Подстановки Эйлера 295
Примеры.
.3
. Г х dx =2 f(l + t2fdt, t = y/x~=T, ж = 1 + *2, dx = 2tdt.
J у/х-1 J
2
_6 I r^~, x =
= 6t5dt.
§ 8.8. Подстановки Эйлера
С помощью этих подстановок интеграл
\(x,y)dx, y = ya + bx + cx2, сфО, A)
где R(x,y) — рациональная функция от ж, у, приводится к интегралу от
рациональной функции.
Первая подстановка соответствует случаю, когда корни
а, /3 (а ф /3) трехчлена а + Ьх + сх2 действительны. Она имеет вид
у/а + Ъх + сх2 \/с(х — а) (х — E)
t = = , \2)
х — а х — а
и тогда t2 = ?%e?L.
Функция х = ip(t) так же, как ее производная (//, рациональная функ-
функция, поэтому
JR(x,y)dx = J R(<p(t),t[<p(t) - a])ipf(t)dt = J
где R\ — рациональная функция.
Обратный переход от t к х осуществляется по формуле B).
Вторая подстановка. Корни трехчлена а + Ъх + сх2
комплексные. Тогда надо считать, что с > 0, иначе трехчлен был бы
отрицательным для всех х. Полагаем
y = tTXy/c. C)
Возводя это равенство в квадрат и заменяя у2 его выражением, получим
а + Ьх = t2 =p Ыхл/с;
отсюда
х = * "в = у>(*), dx = у/(*) <Й, D)
о ± zt^c
296
Гл. 8. Неопределенные интегралы
поэтому
f R(x,y)dx= [ R(<p(t),tT<p(t)y/c)<p'(t)dt=
где R\{i) — рациональная функция от t.
Обратная подстановка:
t = \Jа + Ъх + сх2 ±
E)
Отметим, что рассматриваемая подстановка годится и тогда, когда кор-
корни трехчлена а + Ъх + сх2 действительны, лишь бы было с > 0.
Пример 1. Трехчлен имеет комплексные корни:
/dx Г dx f
Va + bx + x2 Jt-x J
Делаем вторую подстановку:
dt
(Ь/2) + *
= ln
— + х + у а + 6ж +
С.
bdx = 2tdt- 2t dx - 2x dt,
= t — х, a + bx = t — 2tx,
dx 2dt
t-x b + 2t
/dx /
= lnlx + v x2 + a I + G, a/0;
v x2 + a
/" dx f
J Va + bx- J ~ J v/(a + b
Г dt
"J VT^t2'
dx
arcsm ¦
62/4) - (x - b/2)
2x-b ^2
f adt
2 ~ J ^fa2 - (atJ ~
+ C, a+-=az>0, x--=at;
bz + 4a 4 *
3) трехчлен имеет комплексные корни (верхний знак здесь и далее соответству-
соответствует положительным х или z)\ трехчлен может иметь и действительные корни, лишь
бы они были различны:
У хл/ах2 + Ъх + I J л/а-
dz
4)
- + z + V a + ^ + z2
L
J xVax2 + bx — I J Va
2
Vax2 + bx
dz
-\-bz - z2
2z — b _, , . Ъх — 2 _. 72,
= =p arcsm : + С = ± arcsm —-^=^= + C, b + 4a > 0;
жу 62 — 4a
§8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева 297
r dx . 1 _,
в частности, / —. = =р arcsm —\- С;
J хл/х2 - 1 х
гЛ f dx f dx
5) интегралы / , / приводятся
J Va + bx + еж2 J (x — m)va + Ъх + ex2
к предыдущим, если ввести новые переменные, соответственно z =
i 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева *)
Рассмотрим интеграл
A)
где a, b — произвольные, отличные от нуля числа, a m, n, p — рацио-
рациональные числа. Подынтегральное выражение в A) называется биноми-
биномиальным дифференциалом.
Подстановка хп = ?, х = t1/71, dx = ^ t^1/71) dt приводит A) к
виду
1 С
77/
Если положить (т + 1)/п — 1 = q, то вопрос сводится к интегралу вида
/¦
C)
где р и q рациональные.
Интеграл C) всегда берется в элементарных функциях, если
одно из чисел p,q,p + q целое (положительное, нуль или отрица-
отрицательное).
В самом деле, если р целое, то наш интеграл имеет вид J R(t,tq) dt,
где q рациональное. Если же q целое, то он имеет вид J R(t,(a + ht)p) dt,
где р рациональное. Наконец, если р + q целое, то его можно записать в
Все эти три выражения, как мы знаем, приводятся соответствующи-
соответствующими подстановками к интегралам от рациональных функций.
П. Л. Чебышев доказал замечательную теорему, утверждающую,
что если рациональные р и q не удовлетворяют одному из перечис-
перечисленных трех условий, то интеграл C) не интегрируется в элемен-
элементарных функциях.
Упражнения. Вычислить интегралы:
. [ x3dx [ dx [ 1 + ж1/3 А [ dx
1. / ; 2. / ; 3. / -j-dx; 4. /
J \/x-l J x\/a + bx J 1 + ж1/4 J
*) П.Л. Чебышев A821-1894) — великий русский математик и механик,
академик.
298
Гл. 8. Неопределенные интегралы
5.
i 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интеграл
где
/ i?(cosx,sinx) dx,
A)
— рациональная функция от и, v (Р и Q — многочлены от и, v).
1. Если один из многочленов Р, Q четный по г?, а другой — нечетный
по и, то R можно представить, умножив, если это необходимо, числитель
и знаменатель A) на г?, в виде R(u,v) = -д^^^ , где M(/i, г/), 7V(/i, г/) —
многочлены от /i, г/. Поэтому подстановка t = cos ж приводит интег-
интеграл A) к виду
= [R(t)dt,
J
R(cosx,sinx)dx = -
где R(t) — рациональная функция от t.
2. Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой — нечет-
нечетный по и, то подстановка t = sin x рационализирует наш интеграл. Это
доказывается, как выше.
3. Если Р и Q: 1) оба не изменяются при замене ?/, г> соответственно
на —и, —V или 2) оба меняют знак, — то интеграл A) рационализируется
подстановкой
t = tgx C)
(или? = ctgx).
4. Для любой рациональной функции R(u, v) подстановка t = tg ^
рационализирует интеграл A). В самом деле, тогда
cos х =
i+tg2r
smx =
n±_
dt = - sec2 - dx = - A + t2) i
1 _l_ +2
§8.10. Интегрирование тригонометрических выражений 299
5. Функция
п
Тп (ж) = Ь 2_j (ak cos kx + bk sin kx), E)
где ak^bk — постоянные коэффициенты, называется тригонометричес-
тригонометрическим полиномом порядка (или степени) п. Интегрирование ее не пред-
представляет никакого труда:
п i
Тп(х) dx — — ж + 2_. т (ak sin кх — bk cos кх) + С. F)
Часто встречаются выражения
cosm ж cos' ж, cosm ж sin' ж, sinm ж sin' ж, G)
где ттг, I — целые неотрицательные числа. Это есть тригонометрические
полиномы порядка ттг + /, т.е. их можно преобразовать к виду E), где а&
и bk — постоянные числа. Этот факт можно доказать, применяя метод
индукции.
В самом деле (пояснения ниже)
/ рЪХ _|_ р ЪХ \ ''*' 1
cos ж - ^ 2 ^ _ 2m le + ome + ... + e ) -
— —- (cos mx + C^ cos(m — 2)ж + ... + cos(—ттгж)). (8)
Надо учесть, что cosm ж — действительная функция, и потому по-
последний член в этой цепи равенств получается из предпоследнего выде-
выделением его действительной части. Мнимая часть автоматически равна
нулю. После замены в (8) ж на (ж + (тг/2)) получим, в зависимости от
того, будет ли m четным или нечетным,
(_1)W2
sinm ж = — (cos ттгж — Сш cos(m — 2)ж+
2т cos(m - 4)ж + ... + (-1)т/2 cos(-ma;)), (9)
_+/
sinm ж = ^—^ (sin mx - С^ sin(m - 2)ж + ...). A0)
Тот факт, что выражения G) суть тригонометрические полиномы
указанной четности, следует из (8)—A0) и равенств
sin Лж cos \ix — - (sin(A + \±)х + sin(A — \±)х),
\ (и)
cos Лж cos \ix — - (cos(A + ц)х + cos(A — ц)х).
300 Гл. 8. Неопределенные интегралы
Примеры.
л [ dx
J sin ж cos ж
(подстановка 3).
о f dx 1 f
J sinx 2 У
(подстановка 4).
o f dx
J a + bcosx
f
J a(cos2 (ж
_ f
J (ft(l ¦
f dx f d\X>o. x)
J tgж cos2 ж J tgж
dx P c/(t
dx
/2)+8т2(ж/2))+б(со82(ж/
с/ж
f 1§2(ж/2))+6A-1§2(ж/2)
— In tg ж + С
5(ж/2))
(ж/2) П tg^^! '
2)-sin2(ж/2))
)) сой2(ж/2)
f 2dt
(подстановка 4).
Ц
4.
a + ocosx + csmx J a + rcos{x — (p)
где (постоянные) ги^ подобраны так, чтобы Ъ = г cos (р, с = г sin у?. Таким
образом, этот интеграл свелся к предыдущему.
5. / sin х dx = — / (l — cos ж) с/(совж) = — / (l — t ) c/t.
= - f(l + ctg2xJd(ctgx) = - f(l + t2Jdt.
j J
6.
sin x
7 f dx = [ (l + t \ 2dt = l f A + t ) ^
У sin5 ж У V 2t у 1 +12 16 У t5
Z4 sin3 ж f 1-t2
8. / —3— с/ж = — / —j—dt, t = cosx.
J cos4 ж J №
9. /sin4 xdx = ( C^S J dx = - / ( 1- 2cos 2ж + C°S J с/ж.
._ Г 4 2 , Г/1-со82ж\2 /1 + со82ж\
10. / sm ж cos xdx = /I I I I dx =
J J \ * J \ * J
= - / A - cos2 2x) A - cos 2x) dx =
(\ + сов4ж\ W1 o . ,
1 — I A — cos 2x) dx
8.11. Тригонометрические подстановки
301
(дальше воспользоваться формулами A1)).
11. f dx I-
J a2 cos2 ж + b2 sin2 ж J (a
dx
12.
2 — si
2 + cos x
-'/:
2 + b2 tg2 ж) cos2 ж
-G, t = tgж, a > 0, b > 0.
с/ж
= 2
J 2(cos2(ж
+ cos2(ж/2) -sin2(ж/2)
с/ж
/2) + sin2(ж/2)) + (cos2(ж/2) - sin2(ж/2))
J Зсо82(ж/2)+8т2(ж/2)
+ In 12 + cos ж
§ 8.11. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида:
1) / Д(ж, у а2 — ж2) б?ж, 2) / Д(ж, у а2 + ж2) б?ж,
3) / Д(ж, уж2 — а2) б?ж, а > 0,
превращаются в рациональные выражения от sin t и cos t при помощи
следующих подстановок:
1) ж = asint, откуда dx = a cost (it, л/a2 — ж2 = a cost;
2) ж = atgt, откуда б?ж = acos~2 tdt, л/а2 + ж2 = a cos1;
3) ж = a sect, откуда dx = atgt sec tdt, л/ж2 — a2 = atgt.
Пример.
+ cos 2t
/ л/«2 — ж2 dx = /
2 — ж2 dx = a cost a cos tdt = az
2
-dt =
a / sin 2t \
= — t + —-—
2 \ 2 J
+ С = — (t + smt V 1 - sm2 t)+C =
2
2 V"
a / . ж ж / ж^ .
= — ( arcsin - + - W 1 о +С =
= — ( arcsin — H—^ у az — xz ] -\- C, x = asmt.
302 Гл. 8. Неопределенные интегралы
§ 8.12. Несколько важных интегралов,
не выражаемых в элементарных функциях
2
Доказано, что неопределенный интеграл от функции е~х , играющей
большую роль в теории вероятностей, не выражается в элементарных
функциях. Это же имеет место для функции (sin x)/ж, часто встречаю-
встречающейся в математическом анализе.
Большое значение в приложениях играют так называемые эллипти-
эллиптические интегралы (соответственно первого, второго и третьего рода):
/dx f x2 dx
J(l-X2)h-k2X2)' J J(\-xA(\
I
-x2)(l-k2x2) ^{){)
dx o<fc<i
hx2)^(l-x2)(l-k2x2)
Первые два из них зависят от параметра к, а третий — от /с и еще от
другого параметра ft.
Доказано, что все три эти интеграла не берутся в элементарных
функциях.
Подстановка х = sin ср, 0^(^^тг/2, сводит первый из них к виду
B)
y/l — k2 sin2 ip '
второй — к виду
а третий — к виду
dip
1
D)
ft- sin2 if) л/l — к2 sin2 ip
В выражении C) возникает интеграл
/ ^1- к2 sin2 ip dip, E)
отличный от B). Интегралы B), E), D) называются эллиптическими
интегралами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра *).
Эллиптическим интегралам посвящена обширная литература. Име-
Имеются подробные таблицы значений соответствующих им некоторых важ-
важных определенных интегралов, в частности таблицы интеграла E), взя-
взятого на интервале @, тг/2).
*) А. М. Лежандр A752-1833) — французский математик.
Глава 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМ АН А *)
§ 9.1. Вступление
Понятие определенного интеграла было введено в § 1.7. Читателю,
возможно, следует возобновить в памяти то, что говорилось там. Эта
глава начинается с формального определения определенного интегра-
интеграла по Риману, изучаются его свойства и выясняются условия, которым
должна удовлетворять функция, чтобы она была интегрируемой; дают-
даются также дальнейшие приложения определенного интеграла, излагается
теория несобственных интегралов. Уже сейчас подчеркнем, что опре-
определенный интеграл в узком (собственном) смысле, требующий для сво-
своего определения одного предельного перехода, имеет смысл, как будет
видно ниже, только для конечного отрезка и притом для ограниченных
функций, непрерывных и некоторых разрывных. Для неограниченных
функций риманов интеграл заведомо не существует. Однако можно ввес-
ввести понятие несобственного интеграла по Риману, требующее для своего
определения двойного предельнего перехода. С его помощью корректно
определяется площадь фигуры с границей, не слишком быстро растущей
в бесконечность.
Другой несобственный интеграл определяется для функций, задан-
заданных на всей действительной оси. С его помощью можно вычислить рабо-
работу силы, действующей на неограниченном интервале.
Зададим на конечном отрезке [а, Ь] функцию /. Отрезок [а, Ь] разо-
разобьем на п частей точками
а = хо < х\ < ... < хп = Ъ
и будем говорить, что произведено разбиение R (отрезка [а, Ъ]). На каж-
каждом частичном отрезке [ж^яч+i] разбиения выберем по произвольной
точке ?i (& G [xi, яч+i]) и составим сумму
п-1
г=0
Ее называют интегральной суммой (Римана) функции / на отрезке
[а, Ь], соответствующей разбиению R. Интегральная сумма определена
неоднозначно, потому что зависит от выбора & Е [х
*) Б. Ф. Риман A826-1866) —выдающийся немецкий математик.
304 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Определенным интегралом (Римана) от / на [а, Ь] называется
предел
71-1 Ь
/ dx = /, A)
71-1 -Ь
lim V №)Axi = / f(x)
понимаемый в том смысле, что / есть такое число, что для всякого е > О
можно указать такое S > 0, что для всех разбиений Л, у которых Axi < ?,
имеет место \Sr — 1\ < ?, независимо от выбора точек & ? [#г? a^+i].
Другое эквивалентное определение предела A) следующее: какова
бы ни была последовательность разбиений Rk = {а = х$ < х\ < ...
• • • < хпк = ^} такая5 чт0 niax^ Axk -4-0, fc -4- оо, при любом выборе
для каждого /с произвольных, но определенных точек ^к Е [ж^,ж^_|_]_],
соответствующая интегральная сумма имеет предел
lim SRk = Hm Y^ f(?k)Axk = /
(не зависящий от выбора указанных R и ^).
Эквивалентность этих двух пониманий предела A) доказывается ана-
аналогично тому, как устанавливается эквивалентность пониманий предела
функции на языке s, 5 и на языке последовательностей.
Факт существования интеграла можно еще выразить на языке кри-
критерия Коши: для любого г > 0 найдется S > 0 такое, что для разбие-
разбиений R и R' с частичными отрезками длины, не большей S, имеет место
\SR-SR,\<e.
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции
Теорема 1. Если функция f интегрируема на [а, Ь], то она
ограничена на [а, Ь].
В самом деле, пусть / неограничена на [а, Ь] и
п-1
— ее интегральная сумма, соответствующая произвольному разбие-
разбиению R. Так как / неограничена на [а, Ь], то она неограничена по край-
крайней мере на одном из отрезков [xj , Xj+i] разбиения, пусть на [xj0 , ]
Имеем
7
где сумма ^' распространена на все j ф jo. Мы считаем, что все входя-
входящие в нее ?j произвольны, но фиксированы. Отсюда
|5
Я
9.3. Суммы Дарбу 305
Зададим как угодно большее число N и составим неравенство
\A\+N
\f(?jo)\Axjo-\A\>N, \№jo)\>
Ахзо
В силу неограниченности / на [xj0 , Xjo+i] имеется такая точка ?j0 G
G [xj0 , жjo+i], для которой оно выполняется.
Мы получили, что если / неограничена на [а, Ь], то, каковы бы ни
были число N > 0 и разбиение Л, соответствующая R интегральная
сумма может быть получена путем надлежащего выбора точек ?j боль-
большей по абсолютной величине, чем N. Следовательно, / не интегрируема
на [а, Ь].
В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные функ-
функции.
§ 9.3. Суммы Дарбу *)
Пусть на [а, Ь] задана ограниченная функция / (вообще, разрывная),
и пусть R = {а = ж о < х\ < ... < хп = Ь} — произвольное разбиение
[а, Ъ]. Положим rrij = infxe[Xj:Xj+l] /(ж), Mj = $wpxe[xjiXj+l]f{x). По
определению числа
71—1 71—1
3=0 3=0
называются соответственно нижней и верхней интегральными сум-
суммами Дарбу /, соответствующими разбиению R. Это вполне опреде-
определенные числа, зависящие от / и R.
Очевидно, что S_R ^ Sr.
Пусть Д]_, i?2, R3 — разбиения [а, Ь]. Если все точки R\ при-
принадлежат i?2, то будем писать R\ С R<i и говорить, что R<i есть
продолжение R\. Если множество точек, из которых состоит Дз, есть
теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят R\
и R.2, то будем писать Rs = R\ + Л2 •
Если Л с Д',то
^Я ^ §-R' ^ ^Яг ^ ^Я- A)
В самом деле, если Rf получается из R добавлением только одной
точки с в частичном отрезке [xj,xj+i], то слагаемое М^Аж^ заменится
на сумму М[Ах\ + Мг"Аж'/, где Ах\ = с - ж^, Аж'/ = ж^+i - с, Мг' =
= sup f Mrr = sup f
Но Мг' ^ M^ M[' ^ M^ Ажг = Ах'г + Да;-', поэтому
М[Ах\ + М"Ах" ^ М^(Аж^ + Аж'/) =
Г. Дарбу A842-1917) —французский математик.
306 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
и, следовательно, Sr' ^ Sr. Аналогично получим S_R ^S_R/. Эти не-
неравенства только усугубляются при дальнейшем добавлении к R точек с.
Каковы бы ни были разбиения Дх, i?2, имеет место S_Rl ^ Sr2,
потому что S_Rl ^ S_Rl+R2 ^ ~Sr1+r2 ^ ~Sr2-
Зафиксируем i?x, и пусть R произвольно; тогда
Число / = inf я Sr называется верхним интегралом функции f на
[а, Ь]. Мы доказали его существование и тот факт, что для любого R
(теперь мы заменяем R\ на R) имеет место
Но тогда существует точная верхняя грань
/ = supS^ ^ /,
R
называемая нижним интегралом функции / на [а, Ь]. Итак, доказаны
существование нижнего (/) и верхнего (/) интегралов /на [а, Ь] и нера-
неравенство / ^ /.
Лемма 1. Если Ei, E2 —множества чисел, то
sup (ж + у) = sup х + sup у.
Доказательство предоставляем читателю.
§ 9.4. Основная теорема
В § 9.3 доказано, что для ограниченной на [а, Ь] функции /
SR ^ I ^ 1 < SR. A)
Мы знаем также, что для любого разбиения R
Sr^Sr^ Sr, B)
где
sR = ^2m)Axi (з)
R
— интегральная сумма / на [а, Ь], соответствующая разбиению R.
Положим 5r = max^ | Аж^ |, т. е. 5r есть максимум среди длин частиц
разбиения R.
§9.4- Основная теорема 307
Теорема 1. Для существования интеграла от ограниченной
функции f на [а, Ь] необходимо и достаточно условие
lim(SR-SR)=0. D)
5R^0
Доказательство. Из A) и D) следует, что
0 ^ 7 - I ^ ~SR - 5Я -> 0, SR -> 0,
и так как числа / и / не зависят от Л, то
1 = 1 = 1, E)
и мы получили (см. A), B)) две системы неравенств
sR < / < sR, sr^sr^ sr.
Из них следует:
и мы доказали
lim 2_^ f(^i)^xi = nm Sr = I, F)
т. е. существование интеграла от /на [а, Ь].
Обратно, пусть существует интеграл от / на [а, 6], т.е. существует
предел F), поэтому для любого г > 0 найдется такое 5 > 0, что
/ - е/2 < SR < I + е/2 G)
(для всех Л с 5r < 5).
Отметим, что нижняя и верхняя грани Sr по всем точкам ^ €=
G [жг, a^+i], * = 0' 1> • • •'п' Равны соответственно (см. лемму 1 из §9.3)
inf SR = 5Я, sup SR = 5я,
поэтому из G) следует / — г/2 ^ S_R ^ 5я ^ I + е/2, откуда
Этим доказано, что условие D) является необходимым для сущест-
существования интеграла Ja f dx.
Однако условие D) можно заменить более простым условием, как
показывает следующая теорема.
308 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Теорема 2. Условие D) эквивалентно следующему: для вся-
всякого г > 0 найдется разбиение R* такое, что
SRt-SRt<e. (8)
Доказательство. Из D) следует (8) непосредственно: если
верно D), то в качестве R* можно взять любое разбиение с 5r^ < 5.
Докажем теперь, что из (8) следует D). Это самая нетривиальная
часть теории, утверждающая, что если для любого г > 0 найдется за-
зависящее от него разбиение R* = {а = Xq < xj < ... < ж* = b}, для
которого 5я* — S_r^ < в, то также найдется 6 > 0 такое, что для всех
разбиений R с Ах^ < S выполняется неравенство Sr — S_R < г.
Именно, в качестве 6 возьмем число, удовлетворяющее неравенствам
25 < ж*+1 —х\, i = 0,1,... ,п — 1, 4п5К < г, где К = s\ipxe^a^ \f(x)\.
Тогда имеем (пишем Mi, mi, Axi без индексов)
S r — S_R = 2_, {М ~ тп)А.х + У (М — т) Ах,
где сумма ^' распространена на все (замкнутые) отрезки разбиения R,
каждый из которых содержит в себе одну из точек R*, a J^" — на все
остальные отрезки R.
В сумму ^2 входит не более чем 2п слагаемых — один отрезок по-
покрывает точку а, другой — точку Ь, и каждая из точек х\,..., х*п_1 по-
покрывается одним или двумя отрезками. Имеем (ведь М, т ^ К)
У^ (М - т)Ах ^ 2К52п < г.
Сумму J2" запишем в виде кратной суммы: J^" = J2i J2* -> где XT
обозначает сумму слагаемых ^2,", соответствующих отрезкам R, каж-
каждый из которых попал в один и тот же интервал (ж*, #*_j_i) старого раз-
разбиения R*.
Имеем
У^ (М - т)Ах = \^ V^ (М - т)Ах ^
Поэтому Sr — S_R < 2г для всех разбиений R, для которых Ах < S,
т. е. имеет место D).
Из теорем 1 и 2 следует
Теорема 3 (основная). Для того чтобы существовал опреде-
определенный интеграл от ограниченной функции на отрезке [а, Ь], необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 нашлось разбиение R*
отрезка [а,Ь] такое, чтобы
SR.-Sj.Ke. (9)
§9.5. Теоремы о существовании интеграла 309
Замечание 1. Неравенство (9) дает сравнительно простой кри-
критерий существования интеграла для ограниченной на отрезке функции.
Мы им будем пользоваться при обосновании свойств определенных
интегралов.
Теорема 4. Для существования определенного интеграла от
ограниченной на [а,Ь] функции необходимо и достаточно, чтобы
1 = 1. (ю)
В самом деле, из D) и A) следует A0), а из A0) для любого е > 0
следует существование разбиений Ri,R2,R* = R\ + R2, для которых
/ - е/2 < SRl < SRt < 5л, < SR2 < I + е/2,
откуда получим (9) и, следовательно, D).
Пример 1. Для функции (Дирихле) /, равной 1 в рациональных точках
отрезка [0,1] и 0 в иррациональных, при любом разбиении R отрезка [0,1]
верхняя интегральная сумма Sr = 1, а нижняя S_R = 0. Таким образом, / =
= 0 < 1 = /, и функция Дирихле ограничена, но не интегрируема.
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла
от непрерывной и монотонной функции на [а, Ь]
Теорема 1. Если функция / непрерывна на [а,Ь], то она
интегрируема на [а,Ь].
Доказательство. Пусть / непрерывна на [а, Ь]; тогда для раз-
разбиения Л, у которого частичные отрезки Axj < S, имеет место (?j,r)j E
Е [Xj,j ])
71—1 71—1
Е № - fW) AxJ < Е "(*)Д^ = "(*№ - а),
3=0 j=0
где u(S) = sup |/(ж0 —/(ж//I есть модуль непрерывности /
ж ,ж Е[а,Ь]
на [а, Ь].
Поэтому
71-1
Sr-Sr= sup ^ (/@) - /Ы) Ах, ^ иF)(Ъ - а).
Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке [а, Ь]
функции uj(S) ^ 0 (S —> 0), поэтому для любого е > 0 можно указать
такое S > 0, что Sr — 5Я < г.
В силу основной теоремы интеграл / на [а, Ь] существует.
310 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Теорема 2. Функция, определенная на отрезке [а, Ь] и моно-
монотонная на нем, интегрируема на нем.
Пусть для определенности / не убывает; тогда для произвольного
разбиения R имеем Mj = /(xj+i), rrij = f(xj). Поэтому при Axj ^ S
71—1 71—1
X Л / 1\ /Г \ А X Л ( ? ( \ ? ( \\ Л
7 j V J J/ 3 / j \J У J + l/ «/у J/y J ^^
j=o j=o
71-1
j=o
если й достаточно мало, и на основании теоремы 3 получим, что / интег-
интегрируема на [а, Ь].
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла
Теорема 1. Если / интегрируема на [а,Ь] и а < с < Ъ, то она
также интегрируема на [а, с] и [с, 6], и наоборот. При этом
f f(x)dx= fCf(x)dx+ f f(x)dx. A)
J a J a J с
Доказательство. В силу основной теоремы существование
интеграла от /на [а, Ь] влечет для любого е существование разбиения R
отрезка [а, 6], для которого выполняется неравенство Sr — S_R < s.
Будем считать, что R содержит в себе точку с, ведь добавление с к
R сохраняет указанное неравенство. Разбиение R индуцирует на [а, с] и
[с, Ь] разбиения R' и R" (R = R' + R"), для которых очевидно
е > SR -$_r = {SR, - SR,)^- EЯ// - 5Я„), ^
s > S Rf — S_Rf i s > S R" — S_Rff •
Отсюда в силу основной теоремы функция / интегрируема на [а, с] и
на [с, Ь].
Взяв теперь произвольные последовательности {R^} и {R^} раз-
разбиений соответственно отрезков [а, с] и [с, Ь] со стремящимися к нулю
максимальными частичными отрезками и полагая Rfk + Rk = R^, по-
получим
/ f(x)dx+ f(x)dx= lim SRrr + lim RRrr =
Ja Jc *^°° k *^°° fc
= hm SRk = / f(x)dx.
k^oo J a
§9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла 311
Мы определили интеграл от / на [а, Ь], где а <Ъ. Но полезно расши-
расширить это определение, считая в случае а > 6, что
rb га га
/ f(x) dx — — \ f(x) dx и / f(x) dx = 0.
J a Jb Ja
При таком расширенном понимании символа J равенство A), как не-
нетрудно проверить, сохраняется для любых а, 6, с, если только существу-
существует интеграл на наибольшем среди отрезков [а, Ь], [а, с], [с, Ь].
Мы считаем здесь, что [а, Ь] — отрезок, соединяющий точки а и Ь, и
даже называем отрезком [а, а] точку а.
Теорема 2. Пусть f(x), ц>(х) — интегрируемые па [а, Ь]
функции и С — постоянная; тогда функции: 1) f(x)±ip(x), 2) Cf(x),
3) |/(х)|, 4) f(x)<p(x), 5) -^у, где \f(x)\ >d>0 на [а,Ъ],-сутъ
интегрируемые функции. При этом
f (f(x)±v(x))dx= I f(x)dx± f <p(x)dx, C)
Ja J a J a
I Cf{x) dx = C f f{x) dx. C')
J a Ja
Берем произвольное разбиение а = xo < x\ < ... < xn = b. Тогда
v^ fb fb
dh lim > (p(?n) Ax* = / f(x)dx± / (p(x)dx.
J a J a
потому что по условию интегралы от f(x) и (р(х) существуют. Таким
образом, предел в левой части этих соотношений существует и равен
правой части. Но это значит, что имеет место C).
Подобным образом
ь
Cf(x) dx = lim
max A.Xj —»-u *¦
rb
= С lim У^ f(?j)Axj = С / f(x)dx.
maxAccj^^O^—4 J
3
Мы доказали 1), 2), C) и C').
Будем обозначать:
Mf = sup /, rrif = inf /.
312 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Будем считать, что Kf = sup^g^ щ |/|. Имеем для произвольных ?, ц ?
G [x
№<р@ - /faVfa) < 1/@1 МО - <рШ+
1/@ " /fa)l < ^/(^ " "ЧО + Kv(Mf - m/),
i /fa) - /@ ^
Взяв верхние грани левых частей полученных неравенств по ?, 77 G
G [xj , Xj+i], умножив их на Axj и просуммировав по j, получим
m/JAa;, D)
т/)Дж, E)
Да; F)
(мы опустили j у Ажj). Но вследствие интегрируемости / и ср правые
части D)—F) при Ах < #, где J достаточно мало, можно сделать как
угодно малыми, но тогда и левые. В случае E) найдем для данного е
разбиения R\, R2, для которых
SRl (/) - SRl (/) < е, SR2 (^ - SR2 M < e.
Эти неравенства останутся верными, если заменить Д]_, Й2 на
Заметим, что из интегрируемости \f(x) \ не следует интегрируемость
/(ж), как это легко видеть на примере функции, равной 1 в рациональных
точках [а, Ь] и —1 в иррациональных.
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем
Теорема 1. Если f и if интегрируемы и удовлетворяют
неравенству f(x) ^ Ц>(х) на [а, 6], то
[ fdx^ [ ipdx. A)
J a J a
§9.7. Неравенства и теорема о среднем 313
Существование этих интегралов уже предположено и надо доказать
только само неравенство. Имеем, очевидно, для любого разбиения R
Переходя к пределу при max Axj —>• 0, получим A).
Теорема 2. Если / интегрируема на [а, Ь], то
f fdx ^ f \f\dx^K(b-a), B)
«^ a «/ а
oUc- ±\- — irn<^irr<^ih \J \ / *
Имеем — |/(ж)| ^ f{x) ^ |/(ж)|. Поэтому по предыдущей теореме
— Ja \f\dx = /а (—1/|) dx ^ fa f dx ^ Ja |/| dx, откуда следует первое
неравенство B). Далее, |/| ^ К, поэтому/^ |/| dx ^ /^ К dx = K(b—a),
и мы получили второе неравенство B).
Теорема 3 (о среднем). Если f и ср интегрируемы на [а,Ь] и
[Ь - Г*
I j tp dx ^ J\ I tp dx, \^/
J a J a
где т ^ Л ^ М, ттг = т1а^ж^ /(ж), М = supa^x^b /(ж).
Действительно, в силу того, что (р(х) ^ О,
пкр(х) ^ /(х)(^(х) ^ М(^(х). D)
Интегрируя эти неравенства, получим
/»Ь nb nb
mlifdx^lfifdx^Mlifdx. E)
«/ a J о, J о,
Если Ja cp dx = 0, то второй интеграл в этих соотношениях также равен
нулю и равенство C) очевидно; если же Ja (pdx > 0, то из E) следует
171 ^ fa f^dx/ fa cpdx ^ M, т. е. второй член в этих соотношениях
равен числу Л, удовлетворяющему неравенствам т ^ Л ^ М, что и
требовалось доказать.
Следствие 1. Если в этой теореме / непрерывна на [a, b], то
найдутся точки xi,X2 Е [а, Ь] такие, что /(хг) = М, /(xi) = ттг,
г/ точка ? Е [xi,X2] такая, что /(^) = Л, поэтому в случае непре-
непрерывной на [а,Ь] функции / равенство C) можно записать в виде
= /@ / ?><&, а<?<Ь. F)
314 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Теорема 4. Если / — интегрируемая неотрицательная на
[а, Ъ] функция такая, что в некоторой точке хо Е [а, Ь] ее непрерыв-
непрерывности f(xo) > 0, то
fdx>0.
В самом деле, из условия теоремы следует, что существуют число
Л > 0 и отрезок а С [а, Ь], содержащий в себе жо, такие, что /(ж) ^ Л
на а. Пусть S = [а,Ь] — а — множество (состоящее из одного или двух
отрезков). Тогда
f fdx= [ fdx+ [fdx> I fd.
J a J (j J 8 J (j
Ix ^ Л|сг| > О,
где \<j — длина а.
Следствие 2. Если в теореме 3 / и ip непрерывны на
[а,Ь] и ip(x) > 0 на [а,Ь], то в равенстве F) а < ? < Ъ.
В самом деле, пусть ( = !) и для любых ? < Ъ равенство F) не вы-
выполняется; тогда функция f(b) — f(x) сохраняет знак на [а, Ь], для опреде-
определенности положительный. Тогда было бы Ja (/(Ь) — f(x))cp(x) dx > 0,
что противоречило бы теореме 4, ведь здесь под интегралом стоит поло-
положительная на [а, Ь] функция.
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела.
Теорема Ньютона—Лейбница
Пусть на отрезке [а, Ь] задана интегрируемая функция /. Начнем с
того, что отметим, что
/ f(x)dx= f f(u)du,
J a J a
т. е. не имеет никакого значения, какая буква (х или и) стоит под знаком /
в определенном интеграле по отрезку [а, Ь].
Зададим произвольное значение х Е [а, Ь] и определим новую функ-
функцию F(x) = /^ /(?) dt. Она определена для всех значений х Е [а, Ь],
потому что мы знаем, что если существует интеграл от / на [а, Ь], то су-
существует также интеграл от / на [а, ж], где а ^ х ^ Ъ. Напомним, что мы
считаем по определению
F(a)= Г f(t)dt = O. A)
J a
Заметим, что
F(b)= I f(t)dt.
J a
§9.8. Интеграл как функция верхнего предела
315
Покажем, что F непрерывна на отрезке [а, Ь]. В самом деле, пусть
ж, ж + ft G [а, Ь]; тогда
+ Л) - F(x) = Г /(?) dt - Г /(?) dt = Г
/(?) dt,
и если К = sup |/(?)|, a ^ t ^ 6, то
\F(x + h) - F(x)\
px
Jx
f(t)dt
ft^O.
Таким образом, F непрерывна на [a, b] независимо от того, имеет или
не имеет / разрывы; важно, что / интегрируема на [а, Ь].
На рис. 9.1 изображен график /. Площадь переменной фигуры аАВх
равна F(x). Ее приращение F(x + h) — F(x) равно площади фигуры
хВС{х + h), которая в силу ограниченности /, очевидно, стремится к
нулю при h —>• 0 независимо от того, будет
ли х точкой непрерывности или разрыва /, У
например точкой х — d.
Пусть теперь функция f не только ин-
интегрируема на [а, Ь], но непрерывна в точ-
точке х G [а, Ь]. Докажем, что тогда F имеет
в этой точке производную, равную
F'(x) = f(x).
B)
В самом деле, для указанной точки х (пояс-
(пояснения ниже)
В
а х x+h d Ъ х
Рис. 9.1
F(x + ft) - F(x)
ft
-i px + h i px + h
= hj f{t)dt=hj (
i px+h I px+h
= т f(x)dt+ т I rj(t)
h Jx h Jx
C)
Мы положили f(t) = f (ж) + r\ (t), а так как / (ж) постоянная относительно
^
t,TO J^ /(ж) (it = /(ж)ft. Далее, в силу непрерывности / в точке ж для
всякого е > 0 можно указать такое ?, что |?7(^)| < ? Для |ж — t| < ?.
Поэтому
x + h
r)(t) dt
—- |ft| г = г для |ft| < 5,
что доказывает, что левая часть этого неравенства есть оA) при ft —>• 0.
Переход к пределу в C) при ft —>• 0 показывает существование произ-
производной от .F в точке ж и справедливость равенства B). При ж = а, 6 речь
здесь идет соответственно о правой и левой производной.
316 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Если функция / непрерывна на [а, 6], то на основании доказанного
выше соответствующая ей функция
F[x) = / /(*) dt D)
имеет производную, равную /(ж): Ff(x) = /(ж), а ^ х ^ Ъ. Следова-
Следовательно, функция F(x) есть первообразная для / на [а, Ь].
Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке [а, Ь]
функция f имеет на этом отрезке первообразную, определенную
равенством D). Этим доказано существование первообразной для
всякой непрерывной на отрезке функции (см. § 8.1).
Пусть теперь Ф(ж) есть произвольная первообразная функции f(x)
на [а, Ь]. Мы знаем, что Ф (х) = F(x) + С, где С — некоторая постоянная.
Полагая в этом равенстве х = а и учитывая, что F(a) = 0, получим
Ф(а) = С.
Таким образом, F(x) = Ф(х) — Ф(а). Но
гЬ
/ f(x)dx = F(b).
J а
Поэтому
rb
/(ж) dx = Ф(Ь) - Ф(а) =
E)
Мы доказали важную теорему:
Теорема 1 (Ньютона-Лейбница). Если f непрерывна на от-
отрезке [а,Ь] и Ф — ее любая первообразная на этом отрезке, то
имеет место равенство E).
Из E) по теореме Лагранжа следует:
гЬ
/
J a
x = f(?)(b-a),
где ? G (а, 6) — некоторая точка (см. также § 9.7, F) и следствие 2).
Теорему 1 можно обобщить.
Теорема 2. Для непрерывной кусочно гладкой на [а, Ъ] функ-
функции F имеет место
F{b)-F(a) = / Ff(x)dx. F)
(а) = / F'
J a
§9.8. Интеграл как функция верхнего предела 317
Доказательство. Пусть (см. § 5.15) а = хо < х\ < ...
... < хп = Ь, где xi,... ,жп_1 — точки разрыва F' (первого рода).
Тогда (пояснения ниже)
п-1
F(b) - F{a) = Y^ {F(xj+i) ~ F(xj)) =
3=0
= ^2 fXj+1 Ff(x)dx= I F'(x)dx. G)
Второе равенство в G) верно, потому что для любого j
-F(xj) = / 3+1 Ff(x)dx. (8)
xj
Ведь производная Ff(x) существует и непрерывна на интервале
(xj,xj+i). Кроме того, существуют пределы F'(xj +0), F'(xj+i —0),
которые равны соответственно правой и левой производной от F в точках
х = а, Ъ.
Из интегрируемости F' на каждом из отрезков [xj, ?j+i] следует ее
интегрируемость на [а, Ь] и последнее равенство G).
Замечание. Функция F' не определена в точках х\,..., хп- \ Е
Е [а, Ь], но это не мешает ей быть интегрируемой на [а, Ь] (см. подробнее
по этому поводу § 9.10).
Теорема 3. Для непрерывных кусочно гладких на [а, Ь] функ-
функций и(х), v{x) имеет место формула интегрирования по частям:
pb Ь рЪ
I u'(x)v(x) dx = u(x)v(x) — / u(x)v'(x) dx. (9)
J CL (X J CL
Ведь произведение u{x)v{x) есть также непрерывная кусочно глад-
гладкая на [а, Ь] функция, имеющая, таким образом, всюду на [а, Ь], за исклю-
исключением конечного числа точек, производную, вычисляемую по формуле
(u{x)v{x)) = u{x)vr {х) + uf(x)v(x).
Если учесть еще, что функции uf(x)v(x), u(x)vf(x) интегрируемы
на [а, Ь], то в силу предыдущей теоремы
Ь рЪ рЪ
u{x)v{x) = / uf(x)v(x) dx + / u(x)v'(x) dx
a J a J a
откуда следует (9).
318 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Теорема 4 (о замене переменной). Справедливо равенство
f{x)dx= [ f(v(t))<p'{t)dt, A0)
где функциях = ip(t) непрерывно дифференцируема на [c,d], а = <р(с),
Ъ = ip(d) и значения tp(t), с ^ t ^ d, принадлежат отрезку [А, В],
на котором f{x) непрерывна. {Таким образом, [а, Ъ] С [А, В].)
В самом деле, пусть F(x) и Ф(?) — соответственно первообразные
функции /(ж) и f{if{t))iff{t). Тогда (см. § 8.1, B)) имеет место тождест-
тождество Ф(?) = F(cp(t)) + С, с ^ t ^ d, где С — некоторая постоянная. Те-
Теперь A0) следует из очевидного равенства
F(b) - F(a) = F(<p(d)) - F{V{c)) = Ф(<*) - Ф(с)
на основании теоремы Ньютона-Лейбница.
г*
Jo
Пример 1. / sin х dx = — cos x
О
= 2 в силу теоремы Ньютона—Лейб-
Ньютона—Лейбница: sin х непрерывна на [0, тг], — cos x — ее первообразная.
Пример 2.
гЪ
гь Ъ гх
/ sigatdt = \t\ = \b\ - \а\, / sigatdt = \x\ A1)
J a a Jo
в силу теоремы 2, потому что |ж| есть непрерывная кусочно гладкая (или гладкая,
если аЪ ^ 0) функция на отрезке [а, Ъ], a signx — ее производная, существующая
всюду на [а,Ь], за исключением точки х = 0.
§ 9.9. Вторая теорема о среднем
Теорема. Если ср — неотрицательная неубывающая на от-
отрезке [а, Ь] функция, а / — интегрируемая на [а, Ь] функция, то
существует точка ? Е [а, Ь] такая, что
/ cp(x)f(x) dx = <p(b) / f(x) dx.
Доказательство см. в 4-м издании этой книги, § 9.10.
§ 9.10. Видоизменение функции
Теорема. Если функция / интегрируема на [а, Ъ], то после
видоизменения ее в конечном числе точек отрезка [а, Ь] она оста-
останется интегрируемой без изменения величины интеграла.
Доказательство. Ясно, что видоизмененная функция
§9.11. Несобственные интегралы 319
где ip равна нулю всюду на [а, 6], за исключением указанных в условии
теоремы точек. Ясно также, что интеграл от ср на [а, Ь] равен нулю. По-
Поэтому /i интегрируема и
рЪ рЪ рЪ рЪ
/ Д dx = / f dx + (pdx= f dx.
J a J a Ja Ja
До сих пор при исследовании функции / на интегрируемость мы пред-
предполагали, что / задана во всех точках [а, Ь]. Из доказанной теоремы мы
видим, что интегрируемость / не зависит от того, какие значения прини-
принимает / на конечной системе точек отрезка [а, Ь]. Но раз так, то можно и
не предполагать, что / задана на этих точках. В этом смысле мы будем
говорить об интегрируемости ограниченной функции на [а, 6], заданной
на самом деле на множестве, полученном выбрасыванием из [а, Ь] конеч-
конечного числа точек, например об интегрируемости sin(l/x) или (sin ж)/ж
на [0,1]. Обе эти функции непрерывны и ограничены только на @,1], но
говорят, что они интегрируемы на [0,1].
§ 9.11. Несобственные интегралы
Зададим на конечном полуинтервале [а, Ь) функцию /. Допустим,
что она интегрируема на любом отрезке [а, У], где Ьг < 6, инеограниче-
на в окрестности точки Ъ. Тогда ее интеграл на [а, Ъ), или, что все равно,
на [а, Ъ] в обычном смысле (Римана), не может существовать, потому что
интегрируемая на [а, Ъ] по Риману функция необходимо ограничена. Од-
нако может случиться, что существует предел Нт^/^ь/а f(x) dx. Если
это так, то этот предел называют несобственным интегралом от / на
отрезке [а, Ь] и записывают в виде
/ f(x)dx= lim / f(x)dx. A)
Ja b'^bJa
В таком случае говорят, что интеграл Ja f dx сходится. В про-
противном случае говорят, что он расходится или не существует как не-
несобственный риманов интеграл.
Допустим теперь, что функция / задана на луче [а, оо) и интегриру-
интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь'], где а < Ъ' < оо. Если существует
предел
lim
Ь'-юо
(ъ>
/ f(x)dx,
Ja
то он называется несобственным интегралом от / на [а, оо) и обозна-
обознарос рЬ
I f(x) dx = lim / f(x) dx.
Ja b'^°°Ja
чается так:
рЬ1
320 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Условимся о следующей терминологии. Выражение
I
J а
f(x)dx B)
будем называть интегралом (от /) с особенностью в точке Ь, если
выполняются следующие условия: если Ъ — конечная точка, то функ-
функция / интегрируема на [a, bf] при любом Ъ1', удовлетворяющем неравен-
неравенствам а < V < 6, и, кроме того, неограничена в окрестности точки 6;
если же Ъ = +оо, то про функцию / предполагается лишь то, что она
интегрируема на [a,bf] при любом конечном Ь' > а.
Подобным образом определяется интеграл Ja f(x) dx с единствен-
единственной особенностью в точке а. Теперь b — конечная точка. Если точка
а < b тоже конечна, то / в окрестности а неограничена и интегрируема
на любом отрезке [а', Ь], где а < а' < Ь. Если же а = —оо, то функция /
предполагается интегрируемой на [а', Ь] для любого а' < Ь.
В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интег-
интеграл B) с единственной особенностью в точке 6, конечной или бесконеч-
бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интегра-
интеграла с единственной особенностью в точке а.
Теорема 1. Пусть задан интеграл B) с единственной осо-
особенностью в точке Ь. Для его существования необходимо и доста-
достаточно выполнение условия (Коши): для всякого е > 0 существует
bo < b такое, что
сЬ"
I
fit) dt
< е, C)
каковы бы ни были Ь', Ь", удовлетворяющие неравенствам bo < br <
< b" < b.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) = / f(t)dt, a<
J a
Существование интеграла B) эквивалентно существованию преде-
предеli^^k F(x)? чт0 в свою очередь эквивалентно выполнению условия
Хх<Ъ
Коши: для любого г > 0 существует bo, где а < bo < b, так что выполня-
выполняется неравенство \F(b") — F(b')\ < г для всех Ь' и Ь", удовлетворяющих
неравенствам bo < br < b" < b. Но
F(b")-F(b')= f f(t)dt,
и теорема доказана.
§9.11. Несобственные интегралы 321
Пример 1. Интеграл
Г1 rlr
D)
f1 dx_
lim / — = lim
где а > 0 — постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность в
точке х = 0. Чтобы выяснить, сходится ли он, надо вычислить предел
Г 1
dx 1 1 1 1 i_a I , а<1,
= lim A — е ) = < 1 —а
е^ [ оо, а> 1.
Таким образом, интеграл D) сходится при а < 1 и равен A — а) и
расходится при а > 1.
Если же а = 1, то он расходится:
^0j? X
lim / — = — lim Ins = +оо.
О \ О
/
Пример 2. Интеграл
00 <fc r fN dx 1 i_a
— = lim / — = lim x
1
при а > 1 (сходится),
a — 1
+oo при а < 1 (расходится),
— = lim / — = lim ln7V = +oo (расходится).
X N^ocJi X N^oo
Пусть снова задан интеграл
f(x)dx, E)
f
J с
i a
имеющий единственную особенность в точке Ъ. Тогда интеграл
сь
f(x)dx, F)
/ с
где а < с < 6, также имеет единственную особенность в точке Ъ. Усло-
Условие Коши существования интегралов E) и F) формулируется, очевидно,
совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся
или одновременно расходятся. Кроме того, при а < с < Ь, очевидно,
имеет место
гЪ гЪ' / гс гЪ' \
/ f dx — Hm / f dx — Hm / f dx + f dx =
Ja b^bja b^b\Ja Jc J
re rb' re rb
= / fdx+ Hm / fdx= fdx+ fdx, G)
Ja b'^bjc Ja Jc
11 СМ. Никольский
322
Гл. 9. Определенный интеграл Римана
где f^ — обычный риманов собственный интеграл, а интегралы Ja и Jc
несобственные.
Отметим равенство
гЪ'
(8)
pb pb
/ (Af + Bif) dx = lim / (Af + Вф) dx =
Ja b'^bja
pb pb pb pb
= A lim / / dx + В lim / ipdx = A f dx + В cpda
b'^bJa b'^bJa Ja Ja
где А и В — постоянные. Его надо понимать в том смысле, что если
существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл
в левой и имеет место равенство (8).
Говорят, что интеграл E) (имеющий особенность в точке Ъ) сходит-
сходится абсолютно, если сходится интеграл
|/(ж)| dx < ею (9)
от абсолютного значения \f(x) \.
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из схо-
сходимости интеграла (9) следует, что для любого е > 0 на интервале (а,Ъ),
найдется точка bo такая, что если bo < Ъ' < Ъ" < Ъ, то
г >
,ь"
/ \f(
Jbf
x)\dx>
т. е. для интеграла A) выполняется условие Коши. Так как
\[Ь f(x)dx < f
I «/а ^а
то после перехода к пределу при Ъ' —>• 6 для абсолютно сходящегося ин-
интеграла E) получим
I/ /(a;) da; < /" \f{x)\dx.
\Ja J a
A0)
Несобственный интеграл может сходиться и неабсолютно (см. далее
примеры § 9.13, 9.14). Конечно, несобственный интеграл от неотрица-
неотрицательной функции если сходится, то абсолютно.
Отметим еще следующую очевидную теорему.
Теорема 2. Если F непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет
непрерывную на [а,Ь) производную F'(x), то
F(b)
pb' рЪ
- F{a) = lim (F(b') - F(a)) = lim / F'(x) dx = Ff
b'^b b'^b J a J a
(x) dx,
b'<b
b'<b
§9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 323
где интеграл справа может быть собственным и несобственным.
Например,
1 Г1 dx
где особенность интеграла имеет место в левом конце отрезка [0,1].
§ 9.12. Несобственные интегралы
от неотрицательных функций
Пусть задан интеграл
rb
f(z)dx, A)
i a
имеющий единственную особенность в точке 6, и на промежутке [а, Ь)
интегрирования f(x) ^ 0.
Тогда, очевидно, функция
F(b') = / f{x)dx, a<b' <b,
J a
от Ъ' монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена, F(bf) ^ М,
а <Ъ' <Ъ, существует интеграл A):
rb rb'
/ f(x)dx= lim / f(x)dx^M.
Ja b'^bja
Если же F неограничена, то интеграл A) расходится:
rb rb'
I f{x) dx = lim / f{x) dx = +oo.
Ja b>^bja
Если f(x) ^ 0 на [а, 6), то пишут
rb rb
I f{x) dx < ею или / f(x) dx = oo,
J a J a
в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или расходиться.
Теорема 1. Пусть интегралы
[ f(x)dx, f
имеют единственную особенность в точке Ъ и на промежутке [a, b)
выполняются неравенства
0 < /(ж) < ф). C)
11*
324 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Тогда из сходимости интеграла B) следует сходимость интег-
интеграла A) и имеет место неравенство
гЬ гЬ
I f(x)dx ^ / (p(x)dx,
J a Jа
а из расходимости интеграла A) следует расходимость интегра-
интеграла B).
Доказательство. Из C) следует, что для а <ЪГ <Ъ
J a
f(x)dx^ I <p(x)dx. D)
Если теперь интеграл B) сходится, то правая часть D) ограничена чис-
числом, равным интегралу B), но тогда ограничена и левая. И так как левая
часть при возрастании Ъг монотонно не убывает, то она стремится к пре-
пределу (интегралу):
pb pb pb
/ f(x) dx = lim / f(x)dx^l (f(x) dx.
Ja b'^bja Ja
Обратно, из расходимости интеграла A) следует, что предел левой
части D) при Ъ' —>• оо равен оо, а следовательно, и предел правой ра-
равен (X).
Теорема 2. Пусть интегралы A) и B) имеют единственную
особенность в точке 6, подынтегральные функции положительны и
существует предел
1Щ = А > 0. E)
lim Щ
х^Ъ (р(х)
Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
Доказательство. Из E) следует, что для положительного
г < А можно указать такое с Е [а, 6), что
f(x)
А - г < ^4 < А + е, с < х <Ъ,
<р(х)
и так как ср(х) > 0, то
(А - e)ip(x) < f(x) < (А + e)ip(x), с < х < Ь. F)
Из сходимости интеграла Ja cp dx следует сходимость интеграла
fc cpdx и сходимость интеграла /с (А + e)(pdx. Но тогда по предыду-
предыдущей теореме сходится также интеграл fcfdx, а вместе с ним интеграл
§9.13. Интегрирование по частям 325
Ja f dx. Наоборот, из сходимости Ja f dx следует сходимость Jc cpdx
потому, что наряду с E) имеет место равенство
Пример 1. Значок <~ между двумя интегралами означает,что эти интег-
интегралы в силу теоремы 2 одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Г1 dx Г1 dx Г1 dx
/ rsu I rsu /
Уо Ч1 + л/ж) Л V^ + o(V^) Уо V^
1 1 ^Ж Г1 dx
ж2/2 + о(ж2) Уо ж2
< ОО X —>• О
х^О.
Интегралы 1), 2) имеют единственную особенность в точке х = 0 (это отмече-
отмечено выше символом х —»• 0). В знаменателях под этими интегралами мы выделили
главные степенные члены (см. § 4.10и5.11) и применили теорему 2. Интеграл 1)
сходится, а интеграл 2) расходится.
3) / хае~х^ dx = / (х е~х^ ) —~ dx ^ К —о < оо, /3 > 0.
Функция в скобках непрерывна на [1, оо] и стремится к нулю при х —>• оо,
поэтому она ограничена на [1, оо) некоторой константой К. Таким образом, этот
интеграл, имеющий единственную особенность в х = оо, сходится.
§ 9.13. Интегрирование по частям
Пусть на луче [а, оо) заданы непрерывные функции ср(х) и ф(х), а
ф к тому же имеет непрерывную производную. Тогда, если обозначить
через Ф(х) какую-либо первообразную от (р(х), получим
N
(р(х)ф(х) dx = 7/>(JV)<I>(iV) — ф(а)Ф(а) —
pN
- ф/(x)Ф(x)dx, а < N < оо. A)
J a
Если существует несобственный интеграл
роо
/ ф\х)Ф(х)йх = А B)
и существует предел
lim ^(ж)Ф(ж) = В, C)
ж^ + оо
326 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
то существует несобственный интеграл
)
(р(х)ф(х) dx = В- ф(а)Ф(а) - А. D)
f
Отметим некоторые частные достаточные признаки существования
интеграла B) и предела C), а следовательно, и существования интег-
интеграла D).
1) Если функция
|Ф(аО|<М E)
ограничена,
ф(х) —>• О, х -^ оо, F)
f
Jа
\ф'(х)\<1х<оо, G)
то интеграл B) и предел C) существуют.
Действительно, тогда интеграл B) сходится, даже абсолютно:
/ \гР'(х)Ф(х)\ dx^M \ф'(х)\
J a Ja
< оо,
\<ф(х)Ф(х)\ ^ М\ф(х)\ -^ 0, х -+ оо.
Таким образом, в данном случае интеграл D) сходится и В = 0.
2) Признак Дирихле. Этот признак заключается в том, что для
функции Ф выполняется неравенство E), что же касается функции т/>,
то она предполагается убывающей на [а, оо), стремящейся к нулю при
х —> оо и, таким образом, имеющей неположительную производную.
Тогда условие F) выполняется. Выполняется также и признак G), пото-
потому что существует предел
nN
lim / \ф'(х)\ dx = — lim
N^ooJa N^ooJa
= lim Ша) - i/>(N)) =i/>(a).
Таким образом, признак Дирихле есть частный случай признака 1).
Пример 1. Интеграл
- dx (8)
Г
Jo
/о х
имеет единственную особенность (в "точке" оо). Надо иметь в виду, что функция
(sin х)/х имеет устранимый разрыв в точке х = 0. Если ее положить равной 1 в
этой точке, то она станет непрерывной. Интеграл (8) сходится потому, что интег-
интеграл
г;
- dx
§9.14- Несобственный интеграл и ряд 327
сходится на основании признака Дирихле (функция 1/х монотонно убывает, стре-
стремится при ж ч оок нулю и имеет непрерывную производную, а функция sin х не-
непрерывна и имеет ограниченную первообразную (— cos x)). Однако интеграл (8)
сходится не абсолютно:
f°° \siax\ J ^ /4OOsin2xJ f°°l
I dx ^ / dx = /
Jo x Л x Л
J 1 f dx
dx ^ - — = oo.
2 Л
dx
2x 2 Л ж
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд
Рассмотрим интеграл с единственной особенностью в точке Ъ
' f(x)dx. A)
Пусть а = bo < Ь\ < Ъ<2 < ... < 6, Ъ^ —>- Ъ. Тогда можно определить ряд
pb
fdx+ _
k=OJbk
k-Vi член которого равен и^ = Jb k+1 f dx.
Теорема 1. Если интеграл A) сходится, то сходится также
ряд B) и имеет место равенство
fdx. C)
Действительно,
,А [Ък + ^ [Ьп+1 fb
lim > / / dx = lim / f dx = f dx.
—J /, n—>-OO Ju I
p. J Ou J Oq J Ob
Если / неотрицательна, то сходимость ряда B) влечет сходимость
интеграла A). В самом деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, рав-
равную S. Для любого Ь', где а < Ъ' < Ъ, можно указать такое по, что
Ъп > Ъг для п > по- Поэтому, учитывая, что f(x) ^ О,
Гь' fbn ^ fbk
/ fdx^j fdx =^2
J a J а и n J bu
т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный
интеграл A) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо
равенство C).
328 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Если же функция / не сохраняет знак на [а, Ь), то из сходимости ря-
ряда B) вообще не следует сходимость интеграла. Например, ряд
sin xdx — у. 0 = 0
_^ r'2{k + LOT
L y2fc7r sir
сходится, интеграл же Jo°° sin t dt расходится, потому что функция от х
sin t dt = 1 — cos x
г
Jo
не стремится к пределу при х —>- оо.
Теорема 2. .Еслг/ функция / непрерывна и не возрастает на
[0, оо), то интеграл
roc
/ f(x)dx
Jo
и ряд
оо
E Л2)
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Доказательство. Имеют место неравенства
k+1
f(x)dx^f(k), A: = 0,1,...
Суммируя их по /с, получим
п+1 п
rn+1 n
I f(x)dx^2_\f(k)- D)
Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании
п монотонно не убывают, следует утверждение теоремы.
Из доказанной теоремы следует, что ряд
сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1, потому что функция
1/A + х)а при а > 0 непрерывна и монотонно убывает на [0, оо), а
dx { < оо, а > 1,
= оо, а ^ 1.
§9.14- Несобственный интеграл и ряд 329
В случае а ^ 0 непосредственно видно, что ряд E) расходится. При
а = 1 ряд E) (расходящийся) называется гармоническим рядом.
Пример 1.
/;
¦ dx = оо,
потому что
2 Л*
sin ж| dx = 2, F)
а гармонический ряд (с членами 1/к) расходится.
Пример 2. Рассмотрим интеграл
- dx, a> 0. G)
xa + sin ж
Он имеет единственную особенность в оо. При а > 1 он абсолютно сходится:
I sin ж
J2
dx ^ _, , . < оо,
2 |жа + sin ж
потому что жа ^ жа — 1, ж —>• оо, а /2°° ф? ^ °°-
При а ^ 1 интеграл G) абсолютно не сходится потому, что
\smx
!
smx
, [ \smx\ ,
dx ^ J аж = 00.
Последнее соотношение доказывается рассуждениями, подобными F).
Но интеграл G) все же для 1/2 < а ^ 1 сходится (не абсолютно). Действи-
Действительно, применяя интегрирование по частям, получим
sinz , 1 N fN cosxiax™-1 +cosx)
d / 1
dx = — cos ж
N f
— /
1 Ji
dx.
Первый член правой части при а > 0 имеет при N —>• оо конечный предел, второй
член есть сумма интегралов
N
, fN COS2 Д /; /^ COSI-!»-1 л
yv = ~~ / т Го dx, Ipj = —a / гтт аж.
Л (жа+втжJ ' iV Л (zHsinxJ
_ f еДУ - ^~ # (JLJL
dx ^ -= dx <С -,, п < оо,
Но
поэтому /д/- стремится к конечному пределу при 7V —>• оо для любого а > 0, и
вопрос свелся к исследованию IfN.
330 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
Интеграл f?° aC°S. Х Л2 ^х при а > ® сходится одновременно с интегра-
лом
/
•/7Г
00 cos2 x
(8)
(см. замечание 1 в конце § 9.13) в силу того, что ха + sin ж ^ жа, ж —»• оо. А
интеграл (8) одновременно сходится с интегралом
Г00 dx f <
L ^ i =
+оо, 1/2 < а,
+оо, 1/2 ^ а
(см. предыдущую теорему).
Итак, предел Ijy при N —>• оо существует только при а > 1/2, поэтому и
интеграл G) сходится только при а > 1/2.
§ 9.15. Несобственные интегралы
с особенностями в нескольких точках
Пусть задан, пока формально, интеграл
f(x) dx, A)
1
Jа
где интервал (а, Ь) может быть конечными бесконечным. Предположим,
что интервал (а, о) можно разбить точками а = со < с\ < с<2 <
... < cn_i < сп = Ъ на конечное число частичных интервалов (c
таких, что каждый из интегралов
ck+i
f(x)dx, й = 0,1,...,п-1, B)
имеет только одну особенность на одном из концов (с&
Тогда если все несобственные интегралы B) существуют (сходятся),
то по определению считают существующим (сходящимся) и интеграл A).
При этом полагают
/
f(x)dx.
Если хотя бы один из интегралов B) не сходится, то и интеграл A)
считается расходящимся (не существующим).
Аналогично, интеграл A) называется абсолютно сходящимся тогда
и только тогда, если все интегралы B) абсолютно сходятся.
Интеграл /_х ^f имеет единственную особенность в точке 0. Он не
существует, потому что не существуют отдельно интегралы J_1 ^ и
§9.16. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме 331
Jo ^-, т.е. не существуют отдельно пределы от /J^, J? при г —> О,
г>0.
Итак, несобственный интеграл по Риману от функции 1/х на отрезке
[—1,1] не существует. Однако существует одно важное обобщение несоб-
несобственного интеграла (в смысле главного значения — по Коши), в силу
которого указанный интеграл понимается как предел
ПЛ. Г1 dx Л. Г Г~? dx Г1 dx\ n
P.V. / -=hm — + / — } = 0.
J-i х е^о U-i х J? х )
0
Здесь P.V.— сокращенная запись выражения Principal Value (анг.) —
главное значение (см. § 16.7, E)).
§ 9.16. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме
Пусть функция / имеет на некотором интервале, содержащем в се-
себе точку а, непрерывную кусочно гладкую производную порядка г — 1
включительно. Тогда на указанном интервале существует, за исключе-
исключением конечного числа точек, производная f(r\x), представляющая со-
собой кусочно непрерывную функцию (см. § 5.15). Для любого значения х
из этого интервала имеет место формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме:
dt
Действительно, последовательное интегрирование R{x) по частям
дает
ад = -^^ (х - а)-1 +
_ )Р_! _ /()(«) {х _ а),-2
а> B)! {Х а>
332 Гл. 9. Определенный интеграл Римана
§ 9.17. Формулы Вал лиса и Стирлинга *)
Формула Валлиса имеет вид
(ш!J
= lim —— . A)
m^oo Bm)\y/m У J
Формула Стрилинга представляет собой равенство
lim _ П! 7 = 1, B)
™^ж ^2п+1/2п
или, что все равно, асимптотическое равенство
n!«v^rnn+1/2e-n, n^oo. C)
Доказательство формул A), B) см. в 4-м издании этой книги, § 9.18.
*) Д. Валлис A616-1703) — английский математик. Д. Стирлинг A692-
1700) — шотландский математик.
Глава 10
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 10.1. Площадь в полярных координатах
Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящими из полярного
полюса О лучами в = #сь в = 6* и кривой Г, заданной в полярных
координатах непрерывной функцией р = /@), может быть определена
следующим образом (рис. 10.1).
Производим разбиение отрезка [во, 0*] изменения 0:
Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лучами в = вк,
О = 0fc+i? приближенно выражаем площадью кругового сектора, огра-
Рис. 10.1
Рис. 10.2
ничейного теми же лучами и окружностью радиуса pk = f(Ok), равной
р2кА0к/2, Авк=вк+1-вк.
Естественно считать по определению
S =
lim
n-1
fc=O
2 - X Г*
rC 'С О /
)dff. A)
Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах.
Для непрерывной функции f@) интеграл A), как мы знаем, существует.
Конечно, возникает вопрос, будет ли определенная таким образом
величина S равна тому же числу, как если бы мы вычислили площадь
нашей фигуры в декартовых координатах. Этот вопрос положительно
решается на основании общей теории меры по Жордану (см. § 12.4).
334
Гл. 10. Некоторые приложения интегралов
Пример 1. Изображенная на рис. 10.2 окружность в полярных координа-
координатах определяется уравнением р = 2i2cos в. В силу A) ее площадь равна
7"
J — 7Г
Г^/2 1 +cos 2(9
-тг/2
cos2^ = 4i*2 r'-±±^de = 7VR2.
Jo
§ 10.2. Объем тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе коорди-
координат ж, у непрерывной положительной функцией у = /(ж), а ^ ж ^ Ъ.
Вычислим объем V тела вращения, ограниченного плоскостями ж = а,
х = Ъ и поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х.
Производим разбиение отрезка [а, Ь] на части а = хо < х\ < ...
... < хп = b и считаем, что элемент AV объема тела, ограниченный
плоскостями х = Xk, х — ж/c+i, приближенно равен объему цилиндра
высоты Axk = %k+i — xk и радиуса у\~ —
Величина
= тг
k = тг/2(хк)Ахк.
=о f2(xk)Axk приближенно выражает У и
71-1
= lim
\X),
A)
У
Мы получили формулу объема тела вращения. Приведем еще другой вы-
вывод этой формулы, основанный на введении дифференциала объема. Обо-
Обозначим через V(x) объем части
тела, заключенный между плос-
плоскостями, проходящими через точ-
точки а и ж оси ж, перпендикулярно
к последней (рис. 10.3). Прира-
Приращение AV(x), соответствующее
приращению Ах > 0, есть объ-
объем части тела, заключенной меж-
между плоскостями, перпендикуляр-
перпендикулярными к оси ж, проходящими через
точки х и х + Ах.
Докажем, что имеет место ра-
равенство
Рис. 10.3
AV = тг/2О) Ах + о(Аж), Ах -+ 0.
В самом деле, пусть
B)
М=
max
§10.3. Длина дуги гладкой кривой 335
Тогда, очевидно,
7гт2Ах ^ AV(x) ^ тгМ2Аж,
тгт2Ах ^ тг/2(ж)Аж ^ тгМ2Аж,
и так как функция непрерывна, то М — т -4- 0, Аж -4- 0. Это показывает,
что
тг(М2 - гп2)Ах = о(Аж), Аж ->> 0 D)
Из C) и D) следует B).
Равенство B) говорит, что первое слагаемое его правой части есть
дифференциал V:
dV = 7rf(x)Ax = тг/2(ж) dx.
На основании формулы Ньютона—Лейбница искомый объем равен
V = V(b) = V(b) - V{a) = тг / f(x) dx.
Ja
Пример 1. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)
х2 у2 + z2
a2 bz
есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой
вокруг оси ж, поэтому на основании формулы A) его объем равен
Г
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой
Пусть Г есть гладкая кривая, определенная функциями (см. § 6.5)
a^t^b, A)
имеющими на [а, Ь] непрерывные производные. Введем разбиение а =
= ^о < ti < ... < tn = b и составим сумму (см. § 6.8)
п-1
k=0
Ахк = ip(tk+i) - <p(tk), Ayk = i/j(tk+1) - ip(tk),
^к = x(tk+i) ~ x(tk), & = max Atfc, Atk = tk+1 - tk,
к
336 Гл. 10. Некоторые приложения интегралов
представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с вершинами в
точках, соответствующих значениям tk.
Имеем тогда (tk < /ik,uk,Xk < tk+1) при S -> О
п-1
k=0
n—1 n — 1
= У у iff (tk) + фГ (tk) + Xf {tk) ^tk + / ?fcAtfc
fc=O fc=O
Ja
В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем.
Чтобы обосновать, что ^Z^Zo ?k^tk —>• 0 при 6^0, введем
вспомогательную функцию
а(щ v, w) =
очевидно, непрерывную на кубе А = {а ^ u,v,w ^ b}. Модуль ее
непрерывности на А обозначим через шF). Так как расстояние между
точками (tk,tk,tk) и (iik ,Vk,\k) нашего куба не превышает Йл/З, то
и потому
п-1 п-1
: u(SVs) V Atfc = (b - a) u(SVs) ->> 0, й^О.
Мы доказали, что длина гладкой кривой A) существует и выража-
выражается формулой
S= I ^'2{t)+^2{t)+X'2{t)dt. B)
При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой
функции t = А(т) (А'(г) > 0, с ^ г ^ d) получим, очевидно,
= Г
•/с
S = Г vVi2(T)+^V)+xiV)^, C)
§10.4- Площадь поверхности тела вращения 337
где ipi(r) = (^(А(т)),..., что показывает инвариантность формулы A)
длины дуги.
Если кривая (плоская) задана уравнением
y = f(x), a^x^b,
где / имеет непрерывную производную на [а, 6], то, очевидно, ее длина
дуги выражается формулой
=/7
J а
1 + f'z{x)dx
(надо положить в B) t = ж, у = /(ж), z = 0).
Пример 1. Длина дуги винтовой линии
x = acos6, у = a sin #, z = b6, 0 ^ в ^ #о5
в силу B) равна
5 = / ° Va2 + Ъ2 dO = в0 Va2 + Ъ2 .
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе коорди-
координат ж, у положительной функцией у = /(ж), а ^ ж ^ Ь, имеющей на
[а, Ь] непрерывную производную.
Вычислим площадь S поверхности вращения Г вокруг оси ж. Для
этого произведем разбиение [а, Ь]:
а = жо < х\ < ... < хп = Ъ, A)
впишем в кривую Г ломаную Гп с вершинами (ж&, f(xk)) и вычислим
площадь поверхности вращения последней вокруг оси ж:
п-1
= тг ]Г (f(xk) + f(xk+1))
к=0
и перейдем к пределу при тах^ Дж& —> 0.
В результате получим
= 2тг / /(
S = 2ir f(x)Jl + f'2(x)dx = 2ir yJl + y'2dx. B)
338 Гл. 10. Некоторые приложения интегралов
В самом деле, вынося из-под корня Axj~ (Axj~ > 0) и применяя к
теорему о среднем, получим (пояснения ниже)
п-1
k=0
71-1 / 12—
k=0
rb
rb
/
Ja
2тг / /(ж)л/1 + //2(ж)бгж, тахАх^чО, xfc < ^ < xk+i,
где
n-l
= тг
Доказательство того, что а -4- 0 при Ах^ -^ 0, следует из соотношений
n-l
\a\ ^ тгМ ^2 \f(xk) + f(xk+i) -
k=0
n-l
; s у. ^хк — z(b — a), max Axj~ < 8,
k=o k
где
M= max Jl + f'2(x),
a^x^b v
и число E > 0, зависящее от г > 0, настолько мало, что
Такое 5 существует в силу равномерной непрерывности функции /
на [а, Ь].
Общее определение площади произвольной гладкой поверхности см.
в§ 12.19.
Пример 1. Площадь поверхности вращения куска параболы у = х @ ^
^ х ^ 1) вокруг оси х равна
rl
Jo
§10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа 339
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция / и система точек
жо,жь...,жп. A)
Поставим задачу: требуется найти многочлен *) Р{х) = ао + а\х + ...
... + апхп степени п, совпадающий с /(ж) в указанных точках, т. е. чтобы
выполнялись равенства
f(xk) = P(xk), /с = 0,1,...,п. B)
Чтобы решить эту задачу, введем многочлены
(x-xo)...(x-Xk-i)(x-xk+i)...(x-xn)
Qk(x) = -f г г -, C)
(хк - хо)... [хк - хк-1){хк - хк+1) ...(хк- хп)
к = 0,1,... ,п.
Очевидно, что Qk для каждого к = 0,1,..., п есть многочлен степени п,
равный 1 в точке хк и 0 в остальных точках системы A): Qk(xj) = ^/cj?
kj = 0,1,... ,n.
Символ Skj (Кронекера) определяется равенством:
1' fc = i'
Положим
п
к=0
Р{х) есть многочлен степени п, обладающий свойствами
п
P(Xj) = ^2Qk(Xj)f(xk) =Qj(Xj)f(Xj) = /Oj), j =0, 1,...,П,
k=0
т.е. он решает поставленную задачу, и притом единственным образом,
потому что если допустить, что существует еще другой многочлен Pi (x)
степени п, решающий эту задачу, то разность Р(х) — Р\ (х) была бы мно-
многочленом степени п, имеющим п + 1 корней. Но тогда Р(х) — Pi (ж) = 0.
Отметим, что если исходная функция / сама есть многочлен степе-
степени п, то /(ж) = Р(ж), потому что два многочлена, совпадающие в п + 1
различных точках, тождественно равны.
*) Коэффициенты многочлена могут быть любыми числами, в частности мо-
может быть а п = 0.
340
Гл. 10. Некоторые приложения интегралов
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников
Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на от-
отрезке [а, Ь] функции /. Если известна ее первообразная, то для этого ес-
естественно применить формулу Ньютона-Лейбница. Но далеко не всегда
первообразная известна, и возникает задача о приближенном вычисле-
вычислении интеграла.
Простейший способ приближенного вычисления определенного ин-
интеграла вытекает из определения последнего. Делим отрезок [а, Ь] на
равные части точками
= а + к
Ъ — а
N
и полагаем
, N-l t
(x) dx « -^- > /
N
k=o
2
A)
B)
У
где знак ?з выражает приближенное равенство.
Выражение B) называется квадратурной формулой прямоугольни-
прямоугольников. В случае рис. 10.4 искомая площадь фигуры, ограниченной кривой
у = /(ж), осью х и прямыми
х = а, х = 6, приближенно
равна сумме площадей изобра-
изображенных там прямоугольников.
Мы знаем, что для непре-
непрерывной на [а, Ь] функции пре-
предел при N —>• оо правой час-
части приближенной формулы B)
точно равен левой, что дает ос-
основание считать, что при боль-
большом N ошибка квадратурной
формулы B), т.е. абсолютная
величина разности правой и ле-
Рис. 10.4 вой ее частей, мала.
Однако возникает вопрос
об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если по-
потребовать, чтобы функция /, кроме непрерывности, удовлетворяла не-
некоторым условиям гладкости.
Неравенство (см. 4-е издание этой книги, § 10.9)
0
xN=b
1 (b-a)
|i?JvK24^V^
¦M, |/"(aO|<M,
C)
дает оценку приближения квадрата B) квадратурной формулы прямо-
прямоугольников для функций /, имеющих на [а, Ь] непрерывную вторую про-
производную. Здесь Rn — погрешность приближения — разность между
левой и правой частью в B).
§10.7. Формула Симпсона 341
Замечание. Нетрудно проверить, что для линейных функций
у = Ах + ??, т.е. функций степени т = 1, формула B) точна, т.е.
для них Rjy — 0. Оказалось, что если функция / имеет производную
порядка 2 = т + 1, то приближение квадратурной формулы A) тоже
имеет порядок N~2.
Этот факт носит общий характер (см. замечание в § 10.8).
§ 10.7. Формула Симпсона *)
В этом параграфе мы вводим важную в прикладном анализе квадра-
квадратурную формулу Симпсона. Она очень проста и в то же время обладает
замечательным свойством: она точна для всех многочленов третьей сте-
степени.
Начнем с того, что решим задачу: требуется найти числа А, В, С
такие, чтобы квадратурная формула
Г /(ж) dx « Af(-l) + Bf@) + G/A) A)
J-i
была точна для функций 1, ж, ж2. Подставляя эти функции в A) вместо /,
получим систему уравнений
2 = А + ? + С, 0 = -А + С, ^ = А + С,
о
откуда А = С = 1/3, В = 4/3. Но так как А = С, то легко проверяется,
что полученная формула A) точна и для функции х3. Но тогда она точна
для всех многочленов не выше третьей степени.
Более общая квадратурная формула имеет вид
/(а) + 4/(?±*) + /F)) . B)
Это — простейшая квадратурная формула Симпсона, соответству-
соответствующая отрезку [а, Ь]. Она точна для функций 1, ж, ж2, ж3, но тогда, как
легко видеть, и для любого многочлена ао + а\х + п2Х2 + а$х3 степени
т = 3.
Если разделить отрезок [а, Ь] на 2N равных частей точками
хк=а+ -^ к, к = 0,1,..., 27V, C)
*) Т. Симпсон A710-1761) — английский математик.
342 Гл. 10. Некоторые приложения интегралов
и к отрезкам [хо, х^, [х2, х±], • • • применить формулу B), то в результате
получим (усложненную) квадратурную формулу Симпсона
. D)
Оказывается, ошибка приближения по квадратурной формуле D)
оценивается так:
Замечание. Подтвердилось правило, высказанное в замеча-
замечании в § 10.6: если т — степень многочленов, для которых квадратур-
квадратурная формула точна, то для функций /, имеющих на [а, Ь] непрерывную
производную порядка (т + 1), порядок приближения формулой равен
О(ДГ-(™+1)). В данном случае т = 3.
Обоснование этой теории см. в 4-м издании этой книги, § 10.6-10.9.
С точки зрения практических вычислений, сложность вычислений
по формуле Симпсона и по формуле прямоугольников одинакова. Но ес-
если функция / достаточно гладкая, то ошибка приближения по формуле
Симпсона при больших N значительно меньше соответствующей ошибки
при приближении методом прямоугольников.
Глава 11
РЯДЫ
§ 11.1. Понятие ряда
Выражение
^0 + Ui + U2 + • • • , A)
где числа Uk (члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов
к = 0,1,2,..., называется рядом. Этому выражению мы не приписали
никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не
имеет смысла. Ряд A) еще записывают так:
к=0 О
Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем запись A).
Числа
Sn — и0 + и1 + • • • + ит П = 0, 1, . . . ,
называются п-ми частичными суммами ряда A).
По определению ряд A) сходится, если существует предел
lim Sn = S.
В этом случае пишут
оо
v—л
S = Uo + U! + U2 + • • • = 2_^ Uk C)
к=0
и называют S суммой ряда, т.е. выражениям A) или B) приписывают
число S. Говорят еще, что ряд C) сходится к S.
В силу условия Коши (верного и для комплексных чисел) для того
чтобы ряд A) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для вся-
всякого ? > 0 нашлось такое N, чтобы для всех натуральных п > N и
любого натурального р выполнялось неравенство
l^n+i + • • • + ип+р\ = \Sn+p — Sn\ < e.
Отсюда, в частности (полагая р =1), следует, что если ряд A) схо-
сходится, то его общий член стремится к нулю:
lim un = 0. D)
п^оо
344 Гл. 11. Ряды
Но условие D), будучи необходимым, не является достаточным для схо-
сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров.
Рассмотрим еще ряд
Un+i + ип+2 + • • • = 5Z Un+k- E)
к = 1
Так как условие Коши сходимости рядов A) и E) формулируется со-
совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходят-
расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда E) равна
lim У^ип+к= lim En+m - Sn) = S - Sn.
k
Если члены ряда A) неотрицательны (таким образом, действитель-
действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последователь-
последовательность Si ^ $2 ^ 5з ^ ..., поэтому, если эта последовательность огра-
ограничена,
ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству
Hm Sn = S ^ M.
Если же она неограничена, то ряд расходится:
lim Sn = оо.
В этом случае пишут
оо
у ик = оо.
к=0
Пример 1. Ряд
1 + z + z2 + ... F)
имеет (при z Ф 1) частичную сумму Sn{z) = A — znJr )/(l — z). Если \z\ < 1, то
\zn+1\ = \z\n+1 ->0, т.е. zn+1 ^0, п^оо; если \z\ > 1,то|^п+1| ^ оо, и,
наконец, если \z\ = 1, то ряд F) расходится, потому что в этом случае его общий
/I П-\-1 I л \
член, имеющий модуль, равный единице [\z | = lj, не стремится к нулю при
п —>• оо.
Таким образом, ряд F) сходится и имеет сумму, равную (\ — z)~ на открытом
круге \z\ < 1, а для остальных точек z комплексной плоскости он расходится.
§11.2. Действия с рядами 345
§ 11.2. Действия с рядами
Если ряды ^2^=оик и ^2^=оук сходятся и а — число, то
ряды J2<kLoauk^ ^2^Lo(Uk ^vk) такоюе сходятся и
A)
I
Действительно,
оо
k=0
оо
2_^(uk =Ь vk) — lim
fc=o n^°
оо
?(«
lim
n
у i
k=0
к ±vi
n
fc=0
lim
fc=0
oo
fc=0
uk = a lim
oo
fc=0
n
,?"* =
fc=0
n n
/ Ufc ± lim N г?&
) ^ ^ П—>-OO ' J
k=0 k=0
oo
fc=0
oo oo
k=o k=o
Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в B), вообще не
следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа в B). Например,
ряд
A-1) +A-1) + ... C)
сходится (все его члены равны 0), но выражение X^fcLo 1 ~~ X^fcLo 1 не
имеет смысла, так как ряды, входящие в него, расходятся.
Если ряд
^0 + V>1 + U2 + • • • D)
сходится и имеет сумму 5, то члены его можно любым образом сгруппи-
сгруппировать скобками (однако не переставляя их), например так:
^0 + (V>1 + U2) + (из + U4 + Us) + • • • ,
образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоящих в скоб-
скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к 5, потому что его частич-
частичные суммы образуют подпоследовательность сходящейся последователь-
последовательности частичных сумм ряда D).
Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, на-
например после раскрытия скобок в сходящемся ряду C) получается рас-
расходящийся ряд 1 — 1 + 1 — ... Впрочем, если внутри скобок всюду стоят
только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в
таком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины его суммы.
346 Гл. 11. Ряды
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами
Теорема 1 (признаки сравнения рядов). Пусть даны два ряда:
ь 2)
к=0 к=0
с неотрицательными членами.
а) Если ик ^ Vk, к = 0,1,2,..., то из сходимости ряда 2)
следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует
расходимость ряда 2).
б) Если
цт !^ = Л>0, A)
то ржЫ 1) и 2) одновременно сходятся или расходятся.
Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и 5 — его сумма.
Тогда
п п
^Uk^^Vk^S, 71 = 0,1,...,
k=0 к=0
т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма S'
удовлетворяет неравенству S' ^ S.
Пусть теперь ряд 1) расходится; тогда (см. § 11.1) его частичная сум-
сумма неограниченно возрастает вместе с п, что в силу неравенства
k^2^vk, га = 0,1,...,
k=o k=o
влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е.
расходимость последнего.
Пусть теперь имеет место равенство A). Тогда на самом деле vk > 0,
и для положительного г < А найдется N такое, что А — г < uk/vk <
< А + е, к > N, откуда
-г) <ик < (A + e)vk. B)
Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд X^jv+i(^ + z)vk- В
силу второго неравенства B) сходится также ряд X^iv+i uki a вместе
с ним и ряд 1). Если же ряд 2) расходится, то расходится также ряд
Sjv+i vk(A — г), а вместе с ним ряд X^jv+i^fc- Но тогда расходится
также ряд A). Теорема доказана.
Теорема 2 (признаки Даламбера). Пусть дан ряд
к=о
с положительными членами.
§11.3. Ряды с неотрицательными членами 347
а) Если
^±!^4<1, * = 0,1,2,..., D)
и к
то ряд C) сходится; если же
l, & = 0,1,2,..., E)
и к
то ряд расходится.
б) Если
iii ,-1
= Q, F)
то ряд C) npn g < 1 сходится, а при 1 < q ^ оо расходится, и его
общий член Uk —>- оо.
Доказательство. Имеем
ип = и0 ... , п = 0,1, 2,...
Поэтому из D) следует, что
^п ^о<7п, ?<1, п = 0,1,2,...,
и так как ряд X^^Li ^o^71 сходится, то вместе с ним и ряд C). Из E)
следует, что
ип^ uOj n = 0,1,2,...,
следовательно, ряд C) расходится.
Если теперь выполняется свойство F) и q < 1, то для положитель-
положительного е такого, что q + е < 1, Uk+i/uk < q + s < 1, к ^ N, где TV
достаточно велико. В силу признака D) в таком случае ряд ^2^ ик схо-
сходится, а вместе с ним и ряд C).
Если же q > 1, то возьмем г > 0 такое, что q — г > 1. Но
Uk+i/v>k > q — ?, к ^ N при достаточно большом JV, поэтому для
N ^ по < п получим
гАте = ... —-— ипо > (q - е)п п° ипо -+ оо, п -+ оо.
^1 ^2 ^
Это показывает, что ип —> оо и ряд C) расходится.
Теорема 3 (признаки Коши). Пусть дан ряд C) с положи-
положительными членами.
а) .Еслг/
tyHj-<q<l, A: = 1,2,..., G)
348 Гл. 11. Ряды
то он сходится; если же
1, к = 1,2,..., (8)
то он расходится.
б) Если
lim MZ/T = g, 0 ^ q ^ ею, (9)
mo npn g < 1 рж) C) сходится, а при q > 1 расходится, и при этом
Uk —>• 00.
в) Eta/ш верхний предел
Шп" fyu^ = q, O^q^oo, (90
то рж) C) прг/ g < 1 сходится, а при q > 1 расходится, и при этом
общий член Uk ряда не ограничен.
Доказательство. Из неравенства G) следует, что Uk < qk, fc =
= 0,1,2,..., и так как в случае q < 1 ряд X^fcLo ^ сходится5 т° сходится
и ряд C). Из неравенства же (8) следует, что г^^1, & = 1,2,...,и так
как ряд 1 + 1 + ... расходится, то расходится и ряд C). Утверждение а)
доказано.
Пусть q < 1. Тогда найдется г > 0 такое, что q < q + s < 1. Из
свойства (9) при q < 1 следует, что
9 + ?<1, &^7V A0)
при достаточно большом N, откуда
и так как ряд ^^ (q + е)к сходится, то сходится и ряд ^^ г^, а вместе
с ним ряд C). Если же q > 1, то можно указать q' такое, что q > q' > 1.
Тогда из свойства (9) при q > 1 вытекает, что ик > {я.г)к, к ^ N при
достаточно большом 7V. Следовательно, г^ -4- оо и ряд C) расходится.
Мы доказали б).
Из свойства (9') так же, как из свойства (9) при q < 1, вытекает A0).
Далее рассуждения ведутся как при доказательстве б) при q < 1. Если
же q > 1, то берем qr такое, что q > qr > 1 и из (9') заключаем, что
Qf Для некоторой подпоследовательности последовательности
. Но тогда
Uks>(q')ks, s = 0,l,2,..., ^s ->> оо, s^oo.
Это показывает, что ряд C) расходится и его общий член не ограничен.
Этим утверждение в) доказано.
§11.3. Ряды с неотрицательными членами 349
Замечание 1. Ряд с общим членом ип = п~а, а > 0, сходится
при а > 1 и расходится при а ^ 1 (см. § 9.15, E) *)). При этом в обоих
случаях
lim
n-юо ип
так же, как
lim ч/п^=1. A2)
Таким образом, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с
признаками A1) или A2).
Ряд 1 + ^ + ^ + ... называется гармоническим рядом.
Примеры.
ОО fc ОО fc ОО
/ / ~п~5 ^) / 1—5 о: > (J; о) у [е ' — 1J;
к=0 ' к=1 к=1
оо
5) J2
Ряды 1), 2), очевидно, сходятся при х = 0. Но ряд 1) также сходится для
любого х > 0, потому что тогда и^^\/и^ = х/(к + 1) —»• 0, к —>• оо. Ряд
же 2) сходится при 0 < х < 1 и расходится для х > 1, потому что для него
Uk+i/uk = х(к/(к + 1))а —>• ж, А; —>• оо; при ж = 1 см. выше замечание 1. Ряды
3) и 4) расходятся, потому что е^'к — 1 « 1/А;, А; —>> оо, и 1пA + A/к)) ~ 1/А;,
А; —>• оо (~ — знак асимптотического равенства, см. § 4.10), а ряд X^bLi "?
расходится. Ряд 5) сходится при 0 ^ q < 1 и расходится при g > 1, потому
что для него ^/п^ — q —>• ^, А; —>• оо. При g = 1 он тоже расходится —
общий его член в этом случае равен 1.
Теорема 4. Пусть ряд
^0+^1+^2 + -.. A3)
с неотрицательными членами сходится и имеет сумму S. Тогда
полученный в результате произвольной перестановки его членов
новый (заново перенумерованный) ряд
и'ъ + и[ + и'2 + и'3 + ... A4)
также сходится и имеет ту же сумму S.
Доказательство. Пусть
S' = и'п + и'Л + ... + и'
*) В § 9.15 мы воспользовались понятием ряда только в пределах сведений,
изложенных в В 11.1.
350 Гл. 11. Ряды
— частичная сумма ряда A4). Члены ее находятся в ряде A3) под не-
некоторыми номерами ко,..., кп Пусть N — наибольшее число среди них
и Sn есть N-я частичная сумма ряда. Очевидно, Sfn ^ Sn ^ 5, и так
как п произвольно, то ряд A4) сходится и имеет сумму S' ^ 5. Но теперь
приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды A3)
и A4) местами, и получить, что 5 ^ S''. Поэтому S = Sf.
§11.4. Ряд Лейбница
Ряд вида
&о — а1 + а2 — «з + • • • , A)
где числа а& > 0, монотонно убывая, стремятся к нулю (а& ^ a/fe+i;
dk —> 0, к —> оо), называется рядом Лейбница.
Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма S ^ а$.
В самом деле, частичная его сумма 52П+1 с нечетным номером 2п + 1
может быть записана в виде
52п+1 = Cio — [CL\ — (I2) — (<23 — CLA) — ... — [cL2n—l ~ а2п) ~ ^2n+l5
откуда очевидно следует, что она ограничена сверху числом uq :
С другой стороны, она может быть записана в виде
52n+i = (ао - ai) + (а2 - а3) + ... + (а2п - a2n+i),
откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком случае сущест-
существует предел
lim 52n+i = S ^ а0.
Очевидно также, что
lim S2n = lim E2n+i - «2n+i) =5-0 = 5.
71—>-OO 71—>-OO
Теорема доказана.
Пример 1. Ряд 1 — 2 + з ~~ • • • есть? очевидно, ряд Лейбница. Таким
образом, он сходится и его сумма S не превышает 1 (на самом деле, S = In 2, см.
§5.11,E)).
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд с комплексными членами
^0 + Ul + U2 + • • • A)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
|uo| + |^i| + H + ... B)
модулей его членов.
§11.5. Абсолютно сходящиеся ряды 351
Абсолютно сходящийся ряд сходится. В самом деле, пусть ряд A)
абсолютно сходится; тогда сходится ряд B) и в силу признака Коши для
любого г > 0 найдется такое JV, что г > \un+i\ + ... + |^п+р| Длявсех
значенийр и п > N. Тем более, тогда г > |г&п+1 + .. . + ип+р\. Поэтому
в силу критерия Коши ряд A) сходится.
Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным обра-
образом сходятся абсолютно. Ряд 1 — «^г + ^ — ..., а > 0, сходится,
потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только
при а > 1.
Теорема 1. Если ряд абсолютно сходится, то при любой пе-
перестановке его членов абсолютная сходимость полученного нового
ряда не нарушается и его сумма остается прежней.
Доказательство. Сначала докажем теорему в случае, когда
члены ряда ик — действительные числа.
Положим (для действительных i^)
+ _ ( ик, если ик ^ 0, _ ( -ик, если ик ^ О,
ut = < uk = Л C)
1 0, если uk < 0, I 0, если ик > 0;
числа и^ и ик , очевидно, неотрицательные и
uk=v%-uk. D)
Наряду с рядом A) будем рассматривать два ряда,
/c=0 k=0
(с неотрицательными членами).
Пусть ряд A) абсолютно сходится и члены его — действительные
числа г^. Тогда ряды E) сходятся, потому что, очевидно, и^ ^ |гА^|,
^^ ^ |^/с|.
Пусть ряд, по лученный после перестановки исходного ряда A), имеет
вид V1+V2 + V3 + ... Для его членов введем, как выше, числа i?jj" и^.
Тогда (пояснения ниже)
к=0 к=0 к=0 к=0
СЮ СЮ
к=0 к=0 к=0 к=0
Первое равенство в этой цепи следует из D), второе — из§ 11.2, B), если
учесть, что ряды E) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ря-
ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 11.2, B)
и, наконец, пятое — потому, что Vk = vk — v^. Теорема для действитель-
действительных ик доказана.
352
Гл. 11. Ряды
Пусть теперь ик = oik +*/?& —комплексные числа, а числа vk имеют
прежний смысл. Так как \ак\ ^ \ик\, \fik\ ^ l^fcl? то ряды с (действи-
(действительными членами) X^fcLo а& и SfcLo ^ абсолютно сходятся и чле-
члены их, как было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что
у к = 1к + гй/с, получим
к=0
к=0
к=0
/с=0
к=0
оо
/с=0
k=0
Теорема доказана полностью.
Теорема 2. Пусть ряды X^fcLo ^fc u Х^/^о ^г абсолютно
сходятся и произведения UkVi, k,l = 0,1,... , перенумерованы
каким-либо способом (при помощи одного индекса) и обозначены
wo,wi,W2, • • • Тогда справедливо равенство
k=0 1=0 k=0
где ряд справа абсолютно сходится.
Доказательство. Положим
к=0 к=0
Имеем (пояснения ниже)
1=0
1=0
k=0
1=0
\w2\ + ... F)
Ряды с членами \ик\, \vi\ по условию сходятся, и потому первое
равенство F) имеет смысл. Так как пределы 7п и ап (при п —>• оо)
существуют, то существует предел ?П5П и равен их произведению —
это выражено вторым равенством. В третьем предел ?пап заменен на
§11.5. Абсолютно сходящиеся ряды
353
сумму соответствующего ряда, членами которого являются выражения
в скобках. В четвертом равенстве скобки формально раскрываются.
При составлении этих сумм может помочь
рис. 11.1 (в скобки попадают слагаемые
\ukVi\, соответствующие целочисленным
точкам (к,1), лежащим на непрерывных
жирных линиях вида ABC). В силу
того, что внутри скобок стоят суммы
неотрицательных слагаемых, после их
раскрытия полученный ряд продолжает
сходиться к той же сумме. В последнем,
шестом, равенстве в ряду с неотрицатель-
неотрицательными членами переставлены члены, что
законно.
Подобные преобразования сделаем О С к
для исходных рядов:
Рис. 11.1
1 <
А
В
2^х 2^
vi = lim sn • lim an = lim (snan) =
n—>-oo n—>-oo n—>-oo
k=0 1=0
= Sodo + (si<7i - Sodo) + . . . = UOVo + (uoVi + UiVi + UiVo) + . . . =
= UoVo + UoVi + UiVi + UiVo + U0V2 + . . . =
= Wo + Wi + W2 + . . . F')
В предпоследнем равенстве формальное раскрытие скобок законно, по-
потому что получился сходящийся, даже абсолютно сходящийся, ряд, как
это выяснено при рассмотрении F). В последнем равенстве переставле-
переставлены члены в абсолютно сходящемся ряде, что тоже законно.
Важный пример (поясненияниже):
v2 z3
V —
k=0
z2v
00
\ л
/ J
1=0
zv2
Vl _
г;3
к=0
к\
Перемножаемые ряды абсолютно сходятся для любых комплексных z
и v, поэтому их можно (на основании теоремы 2) перемножить, как если
бы это были многочлены. При этом произведения ^jy можно располо-
расположить в любом порядке, составленный из них ряд абсолютно сходится.
12 С.М.Никольский
354 Гл. 11. Ряды
к I
В данном случае выгодно члены ^- jj сгруппировать так, чтобы в п-ю
группу попали произведения, соответствующие целочисленным парам
(к, I), где к + I = п, n = 0,1, 2,...
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды
с действительными членами
Пусть задан ряд
^0 + Ul + U2 + • • • A)
с действительными членами. Определим для него, как в предыдущем
параграфе, два ряда
оо оо
?«* и ?"* B)
к=0 к=0
(с неотрицательными членами).
Если ряд A) абсолютно сходится, то, как мы знаем, сходятся также
ряды B). Очевидно, и наоборот, — из сходимости двух рядов B) следует
абсолютная сходимость ряда A), потому что
\ик\ =и+ +и~.
Таким образом, для того чтобы ряд A) абсолютно сходился, необходимо
и достаточно, чтобы порождаемые им ряды B) сходились.
Пусть теперь ряд A) сходится, но не абсолютно. Тогда один
из рядов B), пусть для определенности первый, расходится, т.е.
+>0). Но
п п п
?«*=?«*-?«*• (з)
k=0 к=0 к=0
Первая сумма в правой части C) неограниченно возрастает вместе с n, a
вторая стремится к конечному пределу, потому что ряд A) сходится, по-
поэтому левая часть C) неограничена при возрастании п. Таким образом,
оба ряда B) расходятся.
Заметим еще, что из сходимости ряда A) следует, что п^ —^ 0, а
тогда, очевидно, и и^, и^ —>• 0.
Мы показали, что если ряд A) сходится, но не абсолютно, то порож-
порождаемые им ряды B) оба расходятся, но при этом и^, и~^ —>• 0.
Это утверждение можно еще переформулировать так:
1) Для того чтобы ряд был абсолютно сходящимся, необходимо
и достаточно, чтобы ряды, составленные только из положитель-
положительных и только из отрицательных его членов, были сходящимися.
Впрочем, может оказаться, что один из этих рядов на самом деле
есть конечная сумма или вообще отсутствует.
§11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды 355
2) Если ряд сходится не абсолютно, то ряды, составленные
только из положительных и только из отрицательных его членов,
расходятся, а их общие члены стремятся к нулю.
Существует следующая терминология. Говорят, что ряд сходится
безусловно, если он сходится и любая перестановка его членов не нару-
нарушает его сходимости, и ряд сходится условно, если он сходится, но су-
существует перестановка его членов, нарушающая его сходимость, т. е. де-
делающая переставленный ряд расходящимся.
Из доказанной в предыдущем параграфе теоремы о перестановочнос-
перестановочности абсолютно сходящегося ряда следует, что а) абсолютно сходящийся
ряд сходится безусловно.
Из утверждения же 2) и теоремы, которую мы доказываем ниже,
следует, что б) сходящийся не абсолютно ряд сходится условно.
Из утверждений а) и б) тогда следует, что для того, чтобы ряд
сходился безусловно, необходимо и достаточно, чтобы он был абсо-
абсолютно сходящимся.
После сказанного самому понятию безусловной сходимости можно
дать другую, эквивалентную, формулировку: сходящийся ряд называ-
называется безусловно сходящимся, если ряд, полученный после любой пере-
перестановки его членов, продолжает сходиться и имеет прежнюю сумму.
Но перейдем к теореме, о которой шла речь.
Теорема 1 (Римана). Пусть заданы два расходящихся ряда J^fcLo ak
и '52<fc=Q Pk c положительными членами, стремящимися к нулю при
fc^oo (a/t-Ю, /3*-Ю).
Тогда, каково бы ни было действительное число S, —оо ^ S ^ оо,
можно сконструировать ряд вида
а0 + ai + ... + akl - 0О - ... - /3fc/ + akl+1 + ...
• • • + ak2 ~ Pk[+l ~ • • • - Pk'2 + a/c2+l + • • • , D)
имеющий сумму S.
Таким образом, при S = +оо или S = — оо он будет расходиться. В этот
ряд входят все ак и j3k, и притом по одному разу.
Доказательство. Пусть для определенности S — положительное число,
конечное. Числа к\ <&2 < • • • ? ^i <^2 ^ ••• подбираются как наименьшие
натуральные числа, для которых выполняются последовательно неравенства:
1) М = Ео1 <*j > S, 2) А2 = А!- Е? Pi < S,
3) А3=А2 + YXl+i «i > S, 4) А4 = А3 - ?j|+1 ^ < S.
Возможность подобрать такие числа ki, к[ каждый раз следует из расходимости
рядов 5^?^zO аз и ^21^=0 Pj- Теперь тот факт, что ряд D) сходится к S, следует
из того, что ак, /Зк —>• 0 (к —>• оо).
Чтобы получить теорему при S = оо, можно в правых частях неравенств 1),
2), ... поставить вместо S соответственно числа 2,1,4,3,6,5,...
12*
356 Гл. 11. Ряды
§ 11.7. Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость
Рассмотрим последовательность функций {/п(х)}, определенных на
некотором множестве Е точек х = (xi,..., хп) n-мерного пространства.
Они могут принимать комплексные значения (/п(х) = ап(х) + 2/Зп(х)).
Можно считать также, что х — комплексные точки (х = ? + irj), про-
пробегающие множество Е точек комплексной плоскости, и тогда /п(х) —
функции комплексной переменной х.
Пусть для каждого х Е Е последовательность {/п(х)} стремится к
числу /(х) (функции от х). Обозначим через
Рп = sup |/(x) -/п(х)| A)
верхнюю грань модулей уклонений /п(х) от /(х), распространенную
на множество Е. Будем предполагать, что рп для каждого п конечно
(рп < ОО).
Говорят, что последовательность {/п(х)} равномерно сходится
наЕ тс/(х), если рп —>• 0, п —> оо.
Дадим второе эквивалентное определение: последовательность
{/п(х)} равномерно сходится к /(х) на Е, если для любого г > О
найдется такое JV, что для п > N выполняется неравенство
|/(х) - /п(х)| < г длявсех х е Я. B)
Если выполняется первое определение, то для любого г > 0 можно
найти такое JV, что рп < ? для всех п > N. Но тогда
|/(х)-/„(х)|<р„<е C)
длявсех х G Е и п > Ж, т.е. выполняется второе определение. Если же
выполняется второе определение, то для любого е > 0 найдется такое JV,
что для п > N выполняется неравенство B). Взяв верхнюю грань его
левой части по х Е Е, получим рп ^ г, п > 7V, откуда рп -^ 0, т.е.
выполняется первое определение.
Верно также третье (эквивалентное) определение: последователь-
последовательность {/п(х)} равномерно сходится на Е к /(х), если существует по-
последовательность {ап} положительных чисел (не зависящих от х) такая,
чтоап -^Ои |/п(х) - /(х)| ^ ап для всех х е Е, п = 0,1,2,...
В самом деле, если верно первое определение, то, положив ап = рп
(п = 0,1, 2,...), получим третье определение. Обратно, из третьего
определения следует
рп = sup |/n(x) - /(х)| ^ ап
vi рп -> 0, п -> оо.
}11.7. Последовательности и ряды функций
357
Например, пусть функции /(ж), fn(x) определены и непрерыв-
непрерывны на отрезке [а, Ь]. График функции у = /(ж) изображен на чертеже
(рис. 11.2). Кроме того, там изображена полоска Пе толщиной 2г:
/(ж) — г < у < /(ж) + е, а ^ ж ^ 6,
состоящая из точек (ж, 2/), удаленных от этого графика в направлении
оси у на величину, меньшую, чем е > 0.
Последовательность функций {fn(x)} равномерно на [а, Ь] стремится
к /(ж), если для любого г > 0 найдется N такое, что все графики Гп
функций fn(x) с п > N попадут полностью в Пе.
2/'
2п
1 X
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Но могут быть такие последовательности {/п (ж)}, сходящиеся к / (ж)
для любого ж G [а, Ь], что для некоторых г > 0 не существует такое N,
чтобы графики /п(ж) с п > N попадали полностью вПе. В этом случае
мы говорим, что последовательность {fn(x)} сходится к /(ж) на [а, Ь]
неравномерно (см. далее пример 2 и рис. 11.3).
Можно еще дать четвертое определение равномерной сходимости в
духе Коши: последовательность {/п(х)} равномерно сходится на Е,
если для любого г > 0 найдется такое JV, что выполняется неравенство
<е
D)
при любых п > N и натуральных р > 0 для всех xG E.
Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле вто-
второго определения, следует, что для всякого г > 0 найдется такое JV, что
для п > N и любых р выполняется неравенство
|/„+р(х) - /п(
2е
для всех
358 Гл. 11. Ряды
т.е. выполняется четвертое определение. С другой стороны, пусть вы-
выполняется четвертое определение; тогда для каждого отдельного значе-
значения х Е Е выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимос-
сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции /(х).
Зададим теперь е > 0 и подберем N так, как указано в четвертом опре-
определении. В неравенстве D), где п > N фиксировано, перейдем к пределу
при р —>• оо; в результате получим
и так как п > N можно взять любым, то выполняется второе определе-
определение.
Нетрудно видеть, что если а — число, а{Д(х)} и {<рд.(х)}— две по-
последовательности функций, равномерно сходящиеся на Е, то последова-
последовательности {afk (х)} и { Д (х) ± (fk (x)} также равномерно сходятся на Е.
Нетрудно также видеть, что если последовательность функций равно-
равномерно сходится на Е, то она равномерно сходится и на Е' С Е. Обратное
утверждение, вообще говоря, не верно.
Заметим еще, что каждой последовательности функций {/п(х)} со-
соответствует ряд
/о(х) + (Д(х) - /о(х)) + (/2(х) - Д(х)) + ... ,
n-е частичные суммы которого соответственно равны fn (x).
Пусть теперь задан ряд
гло(х) + iai(x) + иг (х) + ... , E)
члены которого, вообще говоря, комплексные функции от х Е Е, где Е —
по-прежнему некоторое множество точек n-мерного пространства или
комплексной плоскости.
По определению ряд E) равномерно сходится на множестве Е
к функции 5(х), если последовательность {5/с(х)} его частичных сумм
равномерно сходится на Е к 5(х).
Определение равномерной сходимости ряда, очевидно, можно выска-
высказать и так: ряд E) равномерно сходится на множестве Е, если для лю-
любого е > 0 найдется такое JV, что для п > N, р > 0 и всякого х Е Е
выполняется неравенство |un+i(x) + ... + г&п+р(х)| < г.
Следующая теорема дает важный критерий равномерной сходимос-
сходимости ряда.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если члены ряда E) удовлетво-
удовлетворяют неравенствам
\ик(х.)\ ^ак, к = 0,1,..., F)
где х ? Е, а ак — числа (не зависящие от х), и если ряд с члена-
членами ак сходится, то ряд E) сходится на множестве Е абсолютно
и равномерно.
§11.7. Последовательности и ряды функций 359
В самом деле, из сходимости ряда с членами а^ и из F) следует, что
для любого г > 0 найдется такое N, что при любых n>Nnp>0n
произвольном х Е Е
г > ап+1 + ... + ап+р ^ \ип+1(х.)\ + ... + \ип+р(х.)\ ^
а это и значит, что ряд E) равномерно сходится на Е. Абсолютная его
сходимость очевидна.
Теорема 2. Если последовательность функций {fn} равно-
равномерно сходится на множестве Е к функции / и fn непрерывны в
точке х° {относительно Е), то / также непрерывна в х°.
На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно сходящегося
на Е ряда функций, непрерывных в точке х° G ^, есть непрерывная
функция в этой точке.
Доказательство. Составим разность
+ (Лг(х) - /п(х°)) + (/П(Х°) - Дх°)). G)
Зададим г > 0. В силу равномерной сходимости /п к / на Е найдет-
найдется п такое, что
|/(х)| -/п(х)| <е/3 длявсех х е Е (8)
и, в частности,
|/(х°)-/п(х°)|<е/3. (9)
Для найденного п функция /п непрерывна в точке х°, поэтому найдется
окрестность С/(х°) точки х° такая, что
|/п(х)-/„(х°)|<е/3, хеС/(х°). A0)
Теперь из G)—A0) следует, что для точек х Е С/(х°) выполняются
неравенства
| | |
т. е. имеет место непрерывность / в точке х°. Теорема доказана.
Рассмотрим ряд
ао[3о + агРг + а2C2 + ... , A1)
где а^, Ck — функции от х Е Е (или постоянные числа).
360 Гл. 11. Ряды
Положим Вк =/3n+i+/3n+2 + --- + /$n+/c ик усеченной сумме
ряда (8) применим преобразование {Абеля):
+ ... + ап+р[Зп+р =
B-i) + ... + ап+р(Вр - Вр-г) =
an+pBp. A2)
Легко теперь установить следующие два критерия равномерной схо-
сходимости (в случае постоянных ак, Eк — просто сходимости) ряда A1).
Теорема 3 (признак Дирихле равномерной сходимости ряда).
Если частные суммы ряда
А) + /?1 + #2 + • • • A3)
ограничены в совокупности, а действительная функцияак(х) (с воз-
возрастанием к) равномерно (относительно х) на Е стремится к ну-
нулю, убывая, то ряд A1) сходится равномерно.
В самом деле, пусть константа М превышает модули частных сумм ап
ряда A3). Тогда при любых пик
I т~) I I ^ I I | ^ О Л /Г
\?>к — I^n+Zc — Сп\ ^ |0"n+fc| + &п ^ *М-
Поэтому в силу A2) и того факта, что as равномерно стремится к нулю,
убывая, выполняется неравенство
р-1
ап+к - ап+к+1) + ап+р2М = 2Мап+1 < г
к = 1
к = 1
для любых п > N и р и любых х G Е, если только ^достаточно велико.
Следовательно, ряд A1) равномерно сходится. Последнее неравенство в
этой цепи верно для всех хе^в силу равномерного стремления an+i (x)
к нулю.
Теорема 4 (признак Абеля равномерной сходимости ряда).
Если действительные функции ак монотонно убывают (с возрас-
возрастанием к) и ограничены в совокупности, а ряд A3) равномерно схо-
сходится на Е, то и ряд A1) сходится равномерно на Е.
В самом деле, пусть М ^ \ак |, к = 0,1,... (функции ак могут быть и
отрицательными). В силу равномерной сходимости ряда A3) для любого
§11.7. Последовательности и ряды функций 361
е > 0 можно указать такое JV, что \В^\ < е для любых п > N и к.
Поэтому в силу A2) и монотонности as для любых п > N up
р
р-1
т.е. ряд A1) равномерно сходится.
Пример 1. Ряд
1 + (ж - 1) + (ж2 - ж) + (ж3 - ж2) + ... , 0 ^ ж ^ 1, A4)
сходится на отрезке [0, 1], но неравномерно. В самом деле, n-я его частичная сумма
равна Sn (ж) = хп и
{1, ж = 1,
О, 0 ^ ж < 1.
Поэтому рп = supa.G[Oji]|5(a;) - 5те(ж)| = supa.G[Oji) \xn\ = 1, и рп не
стремится к нулю при п —»• оо.
С другой стороны, ряд A4) равномерно сходится на любом отрезке [0, q], где
О < q < 1, так как в этом случае
рп = sup \S(x) — Sn(x)\ = sup |жп| = qn —>• 0, n —>• оо.
Сумма ряда A4) разрывна в точке ж = 1, хотя члены ряда — непрерывные
функции на [0,1]. Это показывает, что сумма неравномерно сходящегося ряда не-
непрерывных функций не обязательно есть непрерывная функция. Однако существу-
существуют неравномерно сходящиеся ряды (последовательности) непрерывных функций,
сходящиеся к непрерывным же функциям, как показывает следующий пример.
Пример 2. Пусть (рис. 11.3) функция
п при ж =
линейна и непрерывна на [0,1/Bп)] и [1/Bп), 1/п]. Очевидно, limn—юо fn(x) =
= 0, 0^ ж ^ 1.
С другой стороны, сходимость на отрезке [0,1] неравномерна, потому что
рп = suPccg[0,1] \fn(x) — 0| = п —>> оо. На всяком же отрезке [е, 1] сходимость
равномерна, потому что fn(x) = 0 на [s, 1] при 2п > 1/е.
Пример 3. Ряды
к
к=1 к=1
362 Гл. 11. Ряды
при а, > 1 равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси (—оо <
< х < оо), потому что абсолютные величины их к-х членов не превышают к~а,
а при а > 1 ряд J^ &~a сходится. В этом рассуждении мы применили признак
Вейерштрасса. При а ^ 1 он уже не применим, так как в этом случае ряд ^2 к~ a
расходится. Однако при 0 < а ^ 1 наши ряды равномерно сходятся на отрезке
[е, 2тг — е], каково бы ни было положительное е, где 0<?<2тг — s < 2тг. В самом
деле, частные суммы рядов
- + cos х + cos 2ж + cos Зж + ... , sin x + sin 2ж + ...
соответственно равны (см. примеры в конце § 8.2)
in ( п + — 1 х
sin
Dn(x) = ^ J— , п = 1, 2,... ,
2sin-
х ( 1\
cos cos ( п Н— 1 ж
(ж) = ^ ^— , п = 1, 2,...
2sin-
Они ограничены в совокупности на [е, 2тг — е]:
кроме того, п~а ^ (п + 1)~а и п~а —>• 0, поэтому по признаку Дирихле
ряды A3) равномерно сходятся на [е, 2тг — s].
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование
равномерно сходящихся рядов на отрезке
Теорема 1. Пусть на отрезке [а,Ь] задана последователь-
последовательность {fn} (комплекснозначных) непрерывных функции, сходящаяся
к функции /. Если сходимость равномерна на [а,Ь], то
lim / fn(t)dt= / f(t)dt A)
= Г f(t)dt
Ja
равномерно на [а, Ь]. В частности (при х = 6),
rb rb
lim / fn(t)dt= f f{t)dt.
B)
§11.8. Интегрирование и дифференцирование рядов 363
Доказательство. Из условий теоремы следует (см. § 11.7,
теорема 2), что предельная функция / непрерывна на [а, Ь] и
max |/те(?) - f(t)\ = тп -* 0, п -+ оо.
Поэтому
\Г fn(t)dt- Г f(t)dt ^ Г \fn(t)-f(t)\dt^ I rndt=(b-a)rn,
где правая часть не зависит от ж и стремится при п —>• оо к нулю, а это
доказывает теорему.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь] ряд
(комплекснозначных) непрерывных функций
S(x) = ио(х) + ui(x) + и2(х) + ... C)
можно почленно интегрировать (а ^ жо, ж ^ 6) :
/ S(t)dt= uo(t)dt+ U!(t)dt + ... D)
«/ Жо «^ Жо J Xq
Полученный при этом ряд D) равномерно сходится на [а,Ь].
В частности,
rb rb rb
! S(t)dt= uo(t)dt+ U!(t)dt + ... E)
Доказательство. По условию сумма
п
Sn(x) = ^uk(x)
k=0
равномерно сходится к S(x) на [а, Ь]. Поэтому на основании теоремы 1
выполняется равенство
гх гх
S(t)dt= lim / Sn(t)dt= lim V / uk(t) dt
равномерно относительно x G [a, b]. Это показывает, что ряд D) сходится
равномерно относительно ж G [a, 6].
Теорема 3. Пусть на отрезке [а, 6] задана последователь-
последовательность (комплекснозначных) функций {/п}, имеющих непрерывную
364 Гл. 11. Ряды
производную. Если она сходится в точке хо Е [а, Ь] и, кроме того,
соответствующая последовательность производных {/^} равно-
равномерно сходится на отрезке [а, Ь] к функции ср, то последователь-
последовательность {fn} тоже сходится равномерно на этом отрезке к некото-
некоторой функции f и
Г(х)=ф), хе[а,Ъ]. F)
Доказательство. Имеют место равенства
гх
fn(x) = fn(xo) + f'n(t)dt, n = 0,l,2,..., xo,xe[a,b], G)
Jx0
x0
потому что функции fn непрерывно дифференцируемы на [а, Ь].
По условию существует предел
lim fn(xo) = А,
п>оо
который мы обозначаем через А. Так как f'n(t) —> ip(t) при п —> оо
равномерно на [а, Ь] и функции frn(t) непрерывны, то и ip(t) непрерывна
на [а, Ь] (см.§ 11.7, теорему 2) и, кроме того (см. теорему 1),
рх рх
lim / ffn(t)dt= / ip(t)dt
равномерно на [а, Ь]. Но тогда правая часть G) при п —>• оо равномерно
на [a, b] стремится к некотрой функции /(ж), определяемой равенством
гх
f(x)=A+ (p(t)dt, xo,xe[a,b].
Jxo
(8)
Таким образом, fn(x) —>• f(x) при п -^ оо равномерно на [a, b]. Если
учесть, что ip(t) непрерывна на [а, 6], то из равенства (8) следует, что
(см.§ 9.9, B)) /(ж) имеет производную на отрезке [а, Ь], равную ip(x),
т. е. выполняется равенство F). Теорема доказана.
Отметим следствие из теоремы 3.
Следствие. Если функции fn (x) непрерывно дифференцируемы
на [а, 6], п = 1,2,..., и выполняются свойства fn(x) —>• /(ж),
j'n[x) -Л ip(x), n -^ оо, равномерно на [а, 6], то
/(ж) =(^(ж), xG [a, b].
На языке рядов теорема 3 имеет следующий аналог:
Теорема 3'. Пусть на отрезке [a, b] задан ряд
Uo(x) + Ui(x) + U2(х) + . . . (9)
§11.8. Интегрирование и дифференцирование рядов 365
(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную производную.
Если ряд (9) сходится в некоторой точке хо Е [а, Ь] и, кроме
того, формально продифференцированный ряд
и'0(х) + и[(х) + и'2(х) + ... A0)
равномерно сходится на [а, 6], то ряд (9) равномерно сходится на
[а,Ь] ?/ производная от его суммы S(x) есть сумма ряда A0).
Таким образом,
S(x) = ио(х) + ui(ж) + и2(х) + ... , A1)
5' (х) = tig (ж) + ^(ж) + и'2(х) + ... , а ^ х ^ 6. A2)
Доказательство. Пусть и$ (х) + ... + ип (х) = Sn (x); тогда
...+u'n(x)=S'n(x).
На языке сумм 5П и 5^ условие теоремы 3' гласит: существует пре-
предел limn^oo Sn(xo), и последовательность непрерывных производных
{S'n(ж)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь]. Но тогда по теореме 3
последовательность |5п(ж)}, а вместе с ней ряд A1), сходится равно-
равномерно на этом отрезке к некоторой дифференцируемой функции S(х) и
производная S'(x) =\imn^oo S'n(x), т.е. S'(x) есть сумма ряда A2).
Пример 1. Рассмотрим ряд
оо cos I kx + —
При четном а, это — ряд вида
а при нечетном а, — вида
^-\ cos kx
/ j h,CX '
/с — 1
Так как -^ cos ( А;ж + ^-) = —A; cos lkx-\-(a—l)^j, то формально
A4)
Но это равенство верно по существу и при а = 3, 4,... для любого действитель-
действительного ж, а при а = 2 — при любом действительном
]fe = 0,±l,±2,..., A5)
366 Гл. 11. Ряды
что следует из теоремы 3 и разобранных в примере 3 § 11.7 свойств рядов а), б).
При доказательстве равенств A4) при а = 2 для какого-либо фиксированного ж,
удовлетворяющего неравенствам A5), берем отрезок [а, 6], содержащий строго
внутри точку ж, но не содержащий точки вида 2&тг (к = 0, ±1,...). На [а, Ь] оба
ряда в A4) при а = 1, 2 сходятся равномерно, что дает возможность применить
теорему 3.
Пример 2. Пусть функция
Мх)={ л п A6)
О, х = О, - ^ ж ^ 1,
линейная и непрерывная на [0,1/Bп)] и [1/Bп), 1/п], где ап—любая после-
последовательность чисел. Тогда, очевидно, limn^oo fn(x) = 0 для всех ж ? [0,1],
Г1 /-1/Bп) /-1/п /1 \ ап
/ fn(x) dx = / 2папх dx — / 2пап ж с/ж = —— .
Л) Л) Л/Bп) W / 2п
Очевидно, далее, что
ГП = SUp |/n (ж) - 0| = OLn-
Последовательность {fn(x)} равномерно сходится на [0,1] тогда и только тогда,
когда ап —>• 0. Равенство
fn(x)dx^ f f(x)dx, /(ж) = 0, A7)
«/о
выполняется тогда и только тогда, когда ^ —>• 0, п —>• оо.
Мы видим, что из равномерной сходимости /п к / = 0 на [0,1] следует сходи-
сходимость интегралов A7), что согласуется с теоремой 2. Но последовательность {/п}
может сходиться неравномерно, в то время как свойство A7) все же соблюдается,
например при ап = 1. Но уже, например, при ап = п последовательность {/п}
не только сходится к нулю неравномерно, но свойство A7) не соблюдается.
Пример 3. Из равенства A - z)~x = 1 + z + z2 + ..., z = регв, p < 1,
следует, что
2A - ре«) " 2 ' ^ "^
и, отделяя действительную и мнимую части, получим
1 1-Р2 1
Функция Рр@) называется ядром Пуассона, a Qp@) — ему сопряженной
§11.8. Интегрирование и дифференцирование рядов 367
Упражнение. Показать, что Рр{9) и Qp{9) — гармонические функ-
функции (для р < 1), т.е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа
(Аи = 0). Для этого проверить, что рп cos пв при любых пир ^ 0 — гар-
гармоническая функция, и применить теорему о почленном дифференцировании рав-
равномерно сходящихся рядов (то же для рп sin пв).
Пример 4. Будем исходить из равенства
1 -ж + ж3-..., -1<ж<1, A8)
1 + ж
где ряд справа есть сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменате-
знаменателем (—ж).
На основании теоремы Вейерштрасса ряд A8) равномерно сходится на любом
отрезке [—q, q], где 0 < q < 1, потому что на этом отрезке
— 1) ж | ^ q и 2_^ Я. < сю.
k=0
Поэтому в силу теоремы 2 ряд A8) законно проинтегрировать на [0, ж], где
ж е [~q,q\:
ГХ Af r2 3
Т^7=^-^Г + ^---- A9)
Так как положительное число q < 1 произвольно, то равенство A9) справед-
справедливо для всех ж ? (—1,1).
При х = — 1 обе части A9) не имеют смысла. Однако при х = 1 они имеют
смысл: левая часть равна In 2, а правая есть сумма сходящегося ряда 1 — ^ + з ~~ • • •
Возникает вопрос, верно ли равенство
и, таким образом, верно ли равенство A9) не только на интервале (—1,1), но и на
полуинтервале (—1,1]?
Покажем, что это так. Ряд A9) на самом деле равномерно сходится на всем
отрезке [0,1]. Это следует из признака равномерной сходимости Абеля (см. теоре-
теорему 4 §11.7).
Действительно, общий член ряда A9) можно записать в виде
k1^ tR; fik=xk, к = 0,1,...
При этом числовой ряд ^2 а к сходится. Но его можно рассматривать как равно-
равномерно сходящийся ряд постоянных функций. С другой стороны, функции /Зк = х
ограничены (\х \ ^ 1, х ? [0,1]) и образуют при 0 < х < 1 и возрастании А;
монотонную последовательность.
Итак, ряд A9) равномерно сходится на [0, 1]. Его члены — непрерывные функ-
функции, поэтому его сумма есть некоторая непрерывная на [0,1] функция, которую мы
обозначим через ф(х).
368 Гл. 11. Ряды
Возникла следующая ситуация. Функции ф(х) и 1пA + х) непрерывны на
[0,1] и совпадают на [0,1). Тогда, очевидно, они совпадают при х = 1 тоже, т.е.
Другое доказательствоэтих фактов было дано в § 5.10, 5.11.
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение
абсолютно сходящихся рядов
Выражение
оо оо
/ / akli A)
k=0l=0
где dki — числа (действительные или комплексные), зависящие от пар
индексов к, I = 0,1, 2,..., называется двойным или двукратным ря-
рядом. Числа ajzi называются членами, а числа
a**' m,n = 0,l,2,... , B)
k=0l=0
— частичными суммами ряда A).
По определению ряд A) сходится к числу S, называемому суммой
ряда A), если существует
lim Smn = S, C)
т,п—>-оо
т. е. если для любого г > 0 найдется такое N, что
для всех т, п > N. В этом случае пишут
k=0l=0
Остановимся на случае, когда члены ряда A) неотрицательны
(а>ы ^ 0)- Положим
A 5n. D)
Если Л < оо — конечное число, то для любого е > 0 найдется
пара то, по такая, что Л — г < 5mono ^ Л, а вследствие неотрицатель-
неотрицательности aki
Smono ^ Smn, m,n> N = max(mo,no).
Поэтому Л — е < Smn < Л + г, т,п > N, и существует предел
linim,n^oo Ofjin = о = Л.
§11.9. Кратные ряды 369
Если же Л = оо, то, очевидно (при аы ^ 0), limm)n^oo 5mn =
S = оо. В этом случае пишут
ак1 =00.
к=0 1=0
Ряд A) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
X^fcLo SSo \akl\- Как и в случае обычных рядов, доказывается (при-
(прибегая к условию Коши), что абсолютно сходящийся ряд сходится.
Наряду с рядом A) можно рассматривать еще выражение
(
которому естественно приписать число А (если только оно существует),
получаемое следующим образом: если для каждого к = 0,1,... ряд, за-
заключенный в скобки, сходится и имеет сумму Ак и ряд X^fcLo ^к сходится
к числу А, то полагаем
/с=0 /с
Теорема 1. Если ряд A) абсолютно сходится, то имеет
место равенство
Доказательство. Допустим сначала, что а^/ неотрицательны.
Пусть левая часть F) (имеющая смысл!) равна числу S.
Для любых неотрицательных s и п при s ^ m
akl^S, G)
Z=0 k=Ol=O
откуда ряды X^/^oasb 5 = 0,1,2,..., сходятся; поэтому, если во втором
неравенстве зафиксировать т и перейти к пределу при п —> оо, получим,
что
т / оо
к=0У1=
370 Гл. 11. Ряды
для любого m, откуда следует существование числа А (см. E)) и тот
факт, что А ^ S.
С другой стороны, если число А конечно, то при любых m, n
т п т / оо
к=0 1=0
и потому
S = SUp Smn ^ A.
Равенство F) при aki ^ 0 доказано.
Пусть теперь aki действительны. Положим
ОС <^ Г\
_,_ , ,vu, .„„ - э _ ~^kli &Ы ^ U?
О, аы < 0, Ki I 0, afcZ > 0.
Тогда
&к1 — kl kl"> kl kl — ^kl •
Поэтому из сходимости ряда J2J2\akl\ следует сходимость рядов
/ aki •> Z-^/-^akl c неотРиЦательнь1МИ членами, и потому
Наконец, если a^i = <%kl +iftkl —комплексные числа и ряд J2
сходится, то сходятся также ряды Y^Y^\akl\, Y^ Y^ \Ры I > гДе «/с/ и
действительные числа, поэтому
Теорема доказана полностью.
Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть задан двойной ряд A), сходя-
сходящийся и притом абсолютно. Его сумму 5 так же, как сумму S' ряда, со-
составленного из абсолютных величин его членов, можно записать в виде
пределов последовательностей:
п п
5= lim У^У^аы= lim
n
k=0 1=0
S' = lim VV|a/c/|= Hm S'nn,
§11.10. Суммирование рядов и последовательностей 371
обычных, зависящих только от одного индекса п. Последовательностям
{Snn}, {Snn} соответствуют сходящиеся ряды
S = аоо + (аю + flu + floi) +
+ @20 + fl2i + «22 + fli2 + «02) + («зо + ...) + ... •> (8)
аоо| + (|аю| + |fln| + |floi|) +
+ (|fl20| + |fl2l| + |fl22| + |fll2| + |flO2|) + • • • (9)
с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках
второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не
изменится, если в нем скобки вычеркнуть:
|floo| + |flio| + |floi| + |fl2o| + ... (Ю)
Но тогда ряд
<300 + fllO + flOl + «20 + • • • , A1)
полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, сле-
следовательно, сходится, очевидно, к S.
Мы доказали, что если двойной ряд A) сходится к числу S и при-
притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд A1)
сходится тоже к S и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящего-
сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не
изменяя суммы.
Этим доказана следующая теорема.
Теорема 2. Если члены двойного ряда A), сходящегося к
числу S и притом абсолютно, перенумеровать любым способом
(vo,vi,V2,...) при помощи одного индекса и составить ряд vo +
+ I7i+i72 + ... , то последний будет сходиться к тому же числу S
(абсолютно).
В заключение заметим, что можно рассматривать трех-, четырех- и,
вообще, n-кратные ряды
k=0 1=0 m=0 ki=O kn=0
Для них могут быть доказаны теоремы, аналогичные теоремам 1,2.
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей
методом средних арифметических
Пусть
Положим
задан числовой ряд
^0+^1
Ьп = Uo + U\ ¦
So + Si + ... H
+ 1/2 +
"f U2 +
hSn
1
-... + «„,
n- 0,1,2,...
A)
B)
C)
372 Гл. 11. Ряды
По определению ряд A) (или последовательность {Sn}) суммирует-
суммируется методом средних арифметических к числу а, если существует предел
lim an = а. D)
Теорема. Если ряд A) сходится к числу 5, то он суммируется
методом средних арифметических и притом к тому же числу S.
Доказательство. Пусть ряд A) сходится; тогда существует
такое М > О, что
ftia, i = о, 1,..., E)
и такое достаточно большое натуральное п, которое мы будем считать
фиксированным (а к и в дальнейшем р — переменными), что
\Sn+k-S\<e, к = 1,2,... F)
Имеем, далее,
S — СГп+р = ( S 2_^ $п+
^ р k=i
+ (
р n+p+lj f n+p+lf^
к — 1 к — 1
откуда, учитывая, что | - ^^ = р{^р+1), получим
\S-an+p\<s+
п+р+1
еслиро достаточно велико. Следовательно, (Тп+р —> S (р —> оо), или,
что все равно, aj —> S (j* —> оо), т.е. теорема верна.
Пример 1. Ряд 1 — 1 + 1 — ... расходится, но он суммируется к числу 1/2
методом средних арифметических.
§ 11.11. Степенные ряды
Ряд вида
ао + a\z + CL2Z2 + ... , A)
где а&, к = 0,1, 2,..., — постоянные, вообще говоря, комплексные
числа, a z — комплексная переменная, называется степенным рядом
с коэффициентами а&.
В теории степенных рядов центральное место занимает следующая
основная теорема.
§11.11. Степенные ряды
373
Теорема 1 (основная). Для степенного ряда A) существует
неотрицательное число R, конечное или бесконечное @ ^ R ^ оо),
обладающее следующими свойствами:
1) ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге \z\ < R
и расходится в точках z с \z\ > R;
2) число R определяется по формуле
R= =-
limn_
B)
где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 3.7).
Мы позволяем себе при этом считать, что 1/0 = оо, 1/оо = 0. Таким
образом, если указанный верхний предел равен 0, то R = оо, если же он
равен оо, то R = 0.
Открытый круг \z\ < R называется кругом сходимости степенно-
степенного ряда. При R = оо он превращается во всю комплексную плоскость.
При R = 0 степенной ряд имеет только одну точку сходимости, именно
точку z = 0.
Замечание 1. Число Л, удовлетворяющее утверждению 1) тео-
теоремы 1, очевидно, единственно.
Замечание 2. Если для степенного ряда A) существует обычный
предел у\\
Поэтому в этом случае
то он равен верхнему пределу
Д=1/ lim ^/\а
Читатель, не ознакомившийся с понятием верхнего предела, может
проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для
рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В
этом случае всюду в проводимых ниже рассуждениях надо заменить lim
на lim.
Доказательство теоремы 1. Пусть число R определяется
по формуле B). В точке z = 0 степенной ряд сходится, поэтому теорема
при z = 0, \z\ = 0 < R, верна.
Будем далее считать, что \z\ > 0. Наряду с рядом A) введем второй
ряд, составленный из его модулей:
\ао\ + \aiz\ + \cL2z2
Общий член второго ряда обозначим через
ип = anz
A0
C)
Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. § 11.3
теорема 3, в)) если lirr^^oo ц/п^ < 1, то ряд A') сходится, если же
374
Гл. 11. Ряды
Но
> 1, то ряд A') расходится и его общий член не ограничен.
lim
n—yoo
lim y\anzn = lim (\z V' \an\ ) =
n—yoo n—yoo
= \z\ lim
Мы вынесли за знак верхнего предела конечное число \z\ > 0, что оче-
очевидно.
Из сказанного следует:
Если \z\ < Rj т.е. \z\/R < 1, то ряд A') сходится, а вместе с ним
сходится и притом абсолютно ряд A).
Если же \z\ > Л, т.е. \z\/R > 1, то ряд A') расходится и его общий
член \anzn | не ограничен, поэтому общий член ряда A) anzn не стремит-
стремится к нулю при п -4- оо и для него не выполняется необходимый признак
(см. § 11.1, D)). Это показывает, что ряд A) расходится.
Итак, мы доказали, что определяемое из равенства B) число R об-
обладает следующим свойством: если \z\ < R, то ряд A) сходится и при
том абсолютно, если же \z\ > R, то ряд A) расходится.
Основная теорема доказана.
Будем в дальнейшем для краткости обозначать через aq замкнутый
круг \z\ ^ q комплексной плоскости. Заметим, что наш степенной ряд
сходится на открытом круге \z\ < R, вообще говоря, неравномерно. Од-
Однако верна следующая теорема.
Теорема 2. Степенной ряд A) абсолютно и равномерно
сходится на любом круге aq = {z: \z\ ^ q}, где q < R, a R —
радиус сходимости ряда A).
Доказательство. В самом деле, пусть q < R; тогда q есть
действительная, т.е. лежащая на оси ж, точка, принадлежащая откры-
открытому кругу сходимости ряда A). Поэтому в этой точке наш степенной
ряд абсолютно сходится, т.е. J2^=o \anQn\ < оо. С другой стороны,
anz
anqn
n = 0,1,2,...,
Jq.
Так как правые части этих неравенств не зависят от z E <7q и ряд, со-
составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса
(см. § 11.7, теорема 1) степенной ряд A) сходится на aq абсолютно и рав-
равномерно.
Из теоремы 2 как следствие вытекает
Теорема 3. Сумма
S(z) = ао + a\z + a^z1 + ...
степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом круге
сходимости \z\ < R.
В самом деле, члены нашего ряда — непрерывные функции от z, a
сам ряд равномерно сходится на круге aq, q < R. Следовательно, по
§11.11. Степенные ряды
375
известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 11.7,
теорема 2) сумма S(z) ряда есть непрерывная функция на aq, но тогда и
на всем круге \z\ < R, потому что q < R произвольно.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем распо-
распоряжении имеется формула B), но часто на практике при вычислении R
удобно бывает воспользоваться признаком Даламбера.
Пусть существует предел (конечный или бесконечный)
lim
D)
который мы пока обозначим через 1/R\. Тогда (см. C))
hm — = hm
un
\anZr
z\ lim
?1
RiJ
и согласно признаку Даламбера (§ 11.3, теорема 2) если \z\ < R\, то
ряд A'), а вместе с ним и ряд A), сходится, если же \z\ > R\,To\un\ —> сю
и ряд A) расходится.
Но число R с такими свойствами может быть единственным, поэтому
R\ = R (см. теорему 1).
Итак, мы доказали, что если существует предел D), то он равен
1/R:
1
lim
ап
Д'
E)
где R — радиус сходимости степенного ряда A).
Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел D)
(конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу
lirr^^oo д/|ап|. На самом деле имеет место более сильное утверждение
(см. 4-е издание этой книги, § 11.3, замечание 2): существование преде-
предела D) (конечного или бесконечного) влечет за собой существование
равного ему предела Нп^-юо \/\ап .
Замечание 3. В учебной литературе обычно начинают изложе-
изложение степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:
Теорема Абеля. Если степенной ряд A) сходится в точ-
точке zq ф 0 комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и
равномерно в замкнутом круге \z\ ^ q, где q — любое число, удов-
удовлетворяющее неравенствам 0 < q < \z$\.
Доказательство. Эта теорема теперь уже является следствием
из теорем 1 и 2. В самом деле, так как zq есть точка сходимости ряда A),
р ,
то \z$\ не может быть большим, чем R. Поэтому
R R Н
Д,
\$\ , у |о| , д|о|
R и q < R. Но тогда по теореме 2 степенной ряд A) сходится на круге
'z\ ^ q абсолютно и равномерно.
376 Гл. 11. Ряды
Примеры.
1 + z + z2 + ... , F)
2
(8)
С помощью формулы B) заключаем, что радиус сходимости рядов F) и G)
равен 1; для ряда (8) он равен 0 и для ряда (9) равен оо.
Сумма ряда F) (геометрической прогрессии) в открытом круге \z\ < 1 равна
A — ^)~1, а остаток
rn{z) = у 0, п —У оо.
1 — z
Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходи-
сходимости имеет место уже для положительных z = х на интервале 0 < х < 1;
неравенство
е >
1-х
при любом заданном п нельзя удовлетворить для всех указанных х.
Ряд G) при а > 1 равномерно сходится на замкнутом круге \z\ ^ 1 его
сходимости, так как
Если же 0 < а ^ 1, то в точке 2 = 1 ряд G), очевидно, расходится. Осталь-
Остальные точки z с z = 1 запишем следующим образом: 2 = ег , 0 < в < 2тт,
71=1 71=1 7 71=1
Оба полученные ряда (по косинусам и по синусам) для 0 < в < 2тг сходятся
см. § 11.8, пример 3). Таким образом, ряд G) сходится во всех точках окружности
з| = 1, кроме z = 1.
Ряд (8) сходится только в точке 2 = 0, а ряд (9) сходится во всех точках z
комплексной плоскости, притом равномерно на любом круге \z\ ^ q < оо.
§11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 377
§ 11.12. Дифференцирование
и интегрирование степенных рядов
Теорема 1. Радиусы сходимости степенного ряда
ао + a\z + CL2Z2 + ... A)
и ряда, полученного из него формальным дифференцированием,
а\ + 2a2z + 3a3z2 + ... B)
совпадают.
Доказательство. Пусть Д есть радиус сходимости ряда A), а
R\ — радиус сходимости ряда B). Тогда (см. § 3.7, теорема 6)
— = lim \/\(n + l)an\ = Hm
У\( )п\ (
K\) =
= lim \/n + 1 • lim л/|ап| = 1 • — = —
ИЙ = Дь
Теорема 2. Степенной ряд
f(z) = а0+ a1z + a2z2 + ... , \z\ < R, C)
законно формально дифференцировать в пределах его (открытого)
круга сходимости \z\ < Д, т. е. верна формула
/'О) = а,! + 2a2z + 3a3z2 + ... , \z\ < Д. D)
Доказательство. Эту теорему мы докажем только в предпо-
предположении, что z = х есть действительная переменная; это даст нам воз-
возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действи-
действительных рядов. Итак, степенной ряд C) для действительной переменной
z = х имеет вид
/О) = а0 + а\х + а2х2 + ... , -Д < х < Д. C')
Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости (—Д, Д).
Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет
вид
ip(x) = ai + 2а2х + За3ж2 + ... D')
Его сумму мы пока обозначили через (р(х). Он сходится на интервале
(—Д, Д) на основании предыдущей теоремы.
378
Гл. 11. Ряды
Оба ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке [—q, q], где
q < Д. При этом члены второго ряда непрерывны и являются произ-
производными от соответствующих членов первого. Но тогда на основании
известной теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 11.8,
теорема 3) выполняется равенство
Ф) =
E)
на отрезке [—#,#], следовательно, и на интервале (—Д, Д), потому что
q < R произвольно.
Отметим, что в силу теоремы 1 ряд A) законно почленно дифферен-
дифференцировать сколько угодно раз. На к-м этапе мы получим равенство
(k + l)k... 2ak+1z + ..., F)
< Д. Если положить в нем z = 0, то
справедливое для всех z с \z
получим f(k\0) = к\ ctk или
= 0,1,2,...
G)
Отсюда, в частности, следует, что разложение функции f{z) в сте-
степенной ряд (см. A)) в некотором круге Ы < Д {или в интервале
—Д < х < Д, если речь идет о функции f(x) действительного пере-
переменного х) единственно.
Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов по всей его
полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции
комплексной переменной. Мы ограничимся здесь рассмотрением этого
вопроса только для степенных рядов
f{x) =
от действительной переменной х (z = х).
Если по-прежнему Д = /
(8)
Д > 0, то для всех ж,
принадлежащих интервалу (—Д, Д), называемому интервалом сходи-
сходимости степенного ряда (8), этот ряд сходится и притом абсолютно. Для
всех же х с |ж| > Д (при конечном Д) общий член ряда не ограничен, и
ряд расходится. Конечно, если Д = 0, то ряд (8) имеет единственную
точку сходимости х = 0.
Итак, пусть задан степенной ряд (8), сходящийся на интервале — Д <
< х < Д, где 0 < Д ^ оо. Числа а& могут быть действительными и
комплексными. Зададим фиксированную точку xq е (—Д, Д) и перемен-
переменную точку х Е (—R,R) и подберем q > 0 так, чтобы — Д < — q < жо,
х < q < R. Степенной ряд (8) равномерно сходится на отрезке [—q, q],
находящемся строго внутри интервала сходимости ряда. Но тогда его
§11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 379
можно почленно интегрировать (§ 11.8, теорема 2) на отрезке, соединя-
соединяющем хо с х:
Г f(t)dt = ao{x-xo) + ^{x2-xl) + ^- (x*-xl)+...,
Jx0 z 6 (9)
-R <х,х0 < R.
В частности, при хо = 0 получим
/ f(t)dt = аох + ^х2 + ^ж3 + ... , -R<x<R. A0)
Jo 2 6
Пример 1.
х3 х5
., -l^x^l, A1)
х3 1-3 х5 1-3-5 х
о
1-3-5 х7
., _i^^i. A2)
2 • 3 2! 22 • 5 3! 23 • 7
Для х ? (—1,1) эти равенства получаются соответственно почленным интег-
интегрированием на отрезке, соединяющем 0 и ж, известных равенств
1 - 1 _ Ж2 , 4 _
I _|_ Х2 ^ ' ' ' '
1 _ х2 1 • 3 х4 1 • 3 • 5 х6
+ Т + ^~22+ 3! 23
Ряд A1) при х = 1,-1 сходится по признаку Лейбница. Само же равенст-
равенство A1) справедливо на основании доказываемой ниже второй теоремы Абеля.
Ряд A3) при х = 1,-1 не может сходиться, иначе его сумма по второй
теореме Абеля была бы непрерывной функцией на [—1, +1]. Все же ряд A2) при
х = 1,-1 сходится, потому что в этом случае абсолютная величина его общего
члена равна (пояснения ниже)
l^nl = - - ~
Bп)!!Bп + 1) (Bп)!!J Bп + 1) 22п(п!J Bп
l
22n27rn2n+le-2nBn+l)
Мы пользуемся обозначениями, которые уже употреблялись в § 9.17. В четвертом
соотношении (~) применена формула Стирлинга (§ 9.17, C)). Ряд, общий член
которого равен правой части нашей цепи, сходится, но тогда сходится и ряд J^ un
(см. §11.3,A))-
В силу второй теоремы Абеля сходимость ряда A2) при х = ±1 влечет непре-
непрерывность на [—1, +1] его суммы S(x). Но имеет место равенство S(x) = arcsinx
на (—1, +1), a arcsinx непрерывна на [—1, +1], поэтому равенство верно и на
[]
380 Гл. 11. Ряды
Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд
/(ж) = ао + а\х + CL2X + ... A4)
имеет радиус сходимости R < оо и сходится при х = Л, то функция
f(x) непрерывна не только на интервале (—Я, Я), но и на полуинтервале
(-R,R].
В самом деле, общий член ряда A4) можно записать в виде
апхп = anRn(x/R)n,
где (постоянные) числа anRn можно рассматривать как члены сходящегося ряда,
а функции (x/R)n образуют невозрастающую на [0, R] ограниченную последова-
последовательность A ^ (x/R)n ^ (x/R)nJr\ п = 0,1,...). Поэтому согласно призна-
признаку Абеля (см. § 11.7, теорема 4) ряд A4) непрерывных на отрезке [0, R] функций
сходится на нем равномерно и, следовательно, его сумма /(ж) есть непрерывная
функция на [0, Я].
§ 11.13. Степенные ряды функций
ez, cosz, sinz комплексной переменной
Функции ez, cos z, sin z комплексной переменной z определяются как
суммы рядов:
z z2 z3
z z z
exp z = е^ = 1 + - + — + — + ..., A)
., B)
z2 z4
— + —
Эти ряды сходятся для любого комплексного z, потому что радиус
сходимости каждого из них равен оо. Таким образом, функции ez, cos z,
sin z определены на всей комплексной плоскости. Для действительных
z — х это определение приводит к известным действительным функциям
еж, cosx, sinx (см. § 5.11).
Функция ez обладает важным функциональным свойством:
для любых комплексных z, и (см. пример в § 11.9).
Очевидно, что
elz = cosz + is'mz, E)
cos z = \ (eiz + e~iz), sinz = ^ (eiz - e~iz) F)
для любого комплексного z.
§11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, sinz 381
Равенства F) называются формулами Эйлера. Из F) и D) следуют
обобщения известных тригонометрических формул:
sinB: + и) = sin z cos и + cos 2 sin u,
cosB: + и) = cos 2: cos ix — sin 2: sin u,
теперь уже справедливых для комплексных z ни.
Наконец, из D) следует, что при z = х + гу
ez = ехегу = ez(cosy + isiny). G)
Функция 2: = In w от комплексной переменной w определяется как
обратная функция к функции
w = ez. (8)
Если записать w ф 0 в показательной форме:
w = /?ег^, р= \w\ > О,
то равенство (8) запишется в виде
pew = ехегу, z = х + гу.
Поэтому
2: = Inw = In |w;| + г Axgw = In \w\ + г argw; + г 2ктг,
й 0±1±2
где 1п|гу| (|ги| > 0) понимается в обычном смысле. Из (9) видно, что In w
{w ф 0) есть многозначная функция от w вместе с Argw, независимо от
того, будет ли w действительным или комплексным.
Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного пере-
переменного) , In 1 равен одному из чисел
2Ьгг, /с = 0,±1,±2,...
В действительном анализе для выражения In 1 выбирают среди этих чи-
чисел единственное действительное число 0.
Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций комплексного
переменного — это не наша задача. Сделаем только замечание по поводу
формулы
2 3
ж) =х- %- + ^- - ... , -К ж О, (Ю)
382 Гл. 11. Ряды
которая была выведена в § 5.11 для действительных х. Если подставить
в ряд в правой части A0) вместо х комплексное z с \z\ < 1, то ряд
останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна In A + z),
так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных
ветвей многозначной функции ln(l + z).
Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ря-
ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функциями. Они
изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических
функций или теорией функций комплексного переменного.
В заключение отметим, что если в степенном ряде (по степеням и)
ао + а\и + CL2U2 + ... A1)
с кругом сходимости \и\ < R положить и = z — zo, где zo — фиксирован-
фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд
а0 + ai(z - zo) + a2(z - z0J + ... , A2)
называемый степенным рядом по степеням z — z$. Он сходится в
круге (сходимости) \z — zo\ < йи расходится для z, удовлетворяющих
неравенству \z — zq\ > R.
Глава 12
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 12.1. Введение
Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена прямоуголь-
прямоугольная система координат x,y,z, задана непрерывная поверхность
где ft есть некоторое ограниченное (двумерное) множество, для которо-
которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры *)). В
качестве п может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т.д. Будем
считать, что функция /(ж, у) положительна, и поставим задачу: требу-
требуется определить объем тела, ограниченного сверху нашей поверхностью,
снизу плоскостью z = 0 и с боков цилиндрической поверхностью, прохо-
проходящей через границу 7 плоского множества П, с образующей, параллель-
параллельной оси z.
Искомый объем естественно определить следующим образом.
Разделим П на конечное число частей
Пь... ,UN, A)
перекрывающихся между собой разве что по своим границам. Однако
эти части должны быть такими, чтобы можно было определить их пло-
площади (двумерные меры), которые мы обозначим соответственно через
Введем понятие диаметра множества А — это есть точная верх-
верхняя грань
d(A)= sup |P'-P"|.
р',р"еА
В каждой части uj выберем по произвольной точке Qj = (?j,rjj),
j = 1, 2,..., TV, и составим сумму
N
B)
которую естественно считать приближенным выражением объема V. На-
Надо думать, что приближение V « Vn будет тем более точным, чем мень-
*) См. далее § 12.2.
384 Гл. 12. Кратные интегралы
шими будут диаметры d(Qj) частей ftj. Поэтому естественно объем на-
нашего тела определить как предел суммы B):
N
v= ]?\ nE/(g^)m^' C)
maxd(Qj)—^0 ~Z
когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения A) стре-
стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует и равен одному и
тому же числу независимо от способа последовательного разбиения (l.
Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела и смотреть на
выражение C) как на некоторую операцию, которая производится над
функцией /, определенной на П. Эта операция называется операцией
двойного интегрирования по Риману функции f на множестве П,
а ее результат— определенным двойным интегралом (Римана) от f
на П, обозначаемым так:
N
V= lim yf(Qj)muj =
= [[ f(x,y)dxdy= f f(Q)dQ= [ fdu.
J Jn Jn Jn
Пусть теперь в трехмерном пространстве, где определена пря-
прямоугольная система координат x,y,z, задано тело П (множество) с
неравномерно распределенной в нем массой с плотностью распределения
/i(x,y,z) = /i(Q), Q = (x,y,z) G П. Требуется определить общую массу
тела Ct.
Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбиение П на
части П]_,..., Пдг, объемы (трехмерные меры) которых (в предположе-
предположении, что они существуют) пусть будут mfii,..., ттгПдг, выбрать произ-
произвольным образом в каждой части по точке (Qj = (xj,yj,Zj) G Qj) и
считать, что искомая масса равна
N
М= lim V/i(Q7)mn7-. D)
Снова на выражение D) можно смотреть как на определенную опера-
операцию над функцией \±, заданной теперь на трехмерном множестве П. Эта
операция на этот раз называется операцией тройного интегрирования
(по Риману), а результат ее— определенным тройным интегралом
(Римана), обозначаемым так:
N
М— lim y^ VJQj) TTiVlj =
j j=i
= / fi(Q)dQ= /// fi(x,y,z)dxdydz.
Jn J J Jn
В этом же духе определяется понятие п-кратного интеграла Римана.
§12.2. Мера Жордана 385
В связи с этим появляется необходимость в четком определении по-
понятия меры множества и выяснении ее свойств. Поэтому мы начинаем
эту главу с изложения теории меры по Жордану, органически связан-
связанной с теорией интеграла Римана. На основе этой теории затем излагает-
излагается теория кратного интеграла. Важным методом в этой последней тео-
теории является тот факт, что вычисление кратных интегралов может быть
сведено к вычислению однократных по каждой переменной в отдельнос-
отдельности, что дает возможность применять во многих случаях теорему Ньюто-
Ньютона-Лейбница.
§12.2. Мера Жордана
В евклидовом n-мерном пространстве Rn точек х = (xi,... ,жп)
мы будем рассматривать прямоугольники
А = {х: (Ц ^ Xi ^ hi, I = 1, 2, . . . , п} С МП
и называть п-мерной мерой А число
г=1
Таким образом, А при п = 2 обозначает обычный прямоугольник со
сторонами, параллельными осям прямоугольной системы координат, а
| А | — его площадь; при п = 3 это есть обычный прямоугольный паралле-
параллелепипед в пространстве с ребрами, параллельными осям прямоугольной
системы координат, имеющий объем, равный | А|.
Мы будем рассматривать такие множества а С Мп, каждое из ко-
которых есть сумма (теоретико-множественная) конечного числа прямо-
прямоугольников А^:
г=1
пересекающихся между собой разве что по своим границам, и называть
эти множества фигурами. При этом п-мерной мерой а будем называть
число
г=1
Можно еще сказать, что а есть множество в Rn, которое можно раз-
разрезать на конечное число прямоугольников А.
Мы уже не будем доказывать факт, который считаем элементарным,
что величина |сг| не зависит от способа разрезывания а на прямоуголь-
прямоугольники А.
На рис. 12.1 изображена фигура а С М2. Пустое множество 0 по
определению есть фигура меры нуль |0| = 0, принадлежащая к любой
фигуре а. Отметим без доказательства некоторые свойства а С W1.
13 С.М.Никольский
386
Гл. 12. Кратные интегралы
1) |сг| ^ 0 (только пустое множество имеет меру нуль);
2) если сг < cTi, то |сг| ^ |cri| (равенство имеет место, если о = о\)\
3) ф ф
) || || (
3) сумма о\ + &2 — 0"i U сг2 фигур
)
есть фигура сг = а\ + сг2, и
при этом равенство имеет место только тогда, когда фигуры о\, o<i пере-
пересекаются разве что своими границами;
4) замыкание разности и<2 \ и\ —и есть фигура (надо учесть, что
замыкание пустого множества есть пустое множество, 0 = 0, а если а\
и О2 \ <J\ непустые, то о2 \ <J\ будет фигурой без некоторых ее граничных
точек, это множество делается фигурой, если его замкнуть, т. е. добавить
к нему все его граничные точки); если g\ С &2 •> то
а\ =
сг -
Пусть G С Жп есть ограниченное множество. Существует, таким
образом, прямоугольник Ао (фигура), содержащий в себе G (G С До).
Рис. 12.1
Рис. 12.2
Будем рассматривать всевозможные фигуры а, содержащие в себе G
(a D G).
Точная нижняя грань (n-мерных) мер таких фигур есть неотрица-
неотрицательное число
meG = inf
<jDG
называемое внешней п-мерной мерой Жордана *) множества G (корот-
(коротко, внешней мерой G).
С другой стороны, точная верхняя грань
niiG — sup \a
aCG
мер фигур а, принадлежащих G, называется внутренней п-мерной ме-
мерой Жордана G (коротко, внутренней мерой G).
*) Г. Жордан A838-1922) — французский математик.
§12.2. Мера Жордана 387
Для любого ограниченного множества G число miG существует, по-
потому что всегда есть фигура а С G, во всяком случае в качестве такой
фигуры можно взять пустое множество, которое заведомо по определе-
определению принадлежит G; кроме того, так как G С До, то для любой а С G
имеет место а С До, \<т\ ^ |Д0|, и существует miG ^ |До|.
Для любого ограниченного множества G С W1 имеет место неравен-
неравенство
VfliG ^ 771eG,
потому что если а' С G С о", то \о'\ ^ |сг"|, rriiG ^ |сг"|, m^G ^ meG.
По определению множество G С Мп измеримо в n-мерном смысле
по Жордану, если его внутренняя и внешняя меры равны между собой:
niiG — meG = mG.
Число mG называют п-мерной мерой Жордана множества
G С W1 (коротко, мерой G).
Мы видим, что mG ^ 0. Но далеко не всякое ограниченное в Мп мно-
множество G измеримо (по Жордану), и только для измеримых множеств G
существует число mG.
Зададим произвольное ограниченное множество G С Жп. Пусть
(j'cGc a" A)
(см. рис. 12.2 в случае R2). Тогда
а = о" \ а1 B)
есть фигура, содержащая в себе границу Г множества G (a D Г).
С другой стороны, если задана произвольная фигура а, покрываю-
покрывающая Г, то, положив а + G = о", G\o = о', получим фигуры со свой-
свойствами A), B) (см. рис. 12.2).
Напомним, что граничной точкой G называется точка х° Е Мп, в
любой окрестности которой имеются как точка G, так и точки дополни-
дополнительного к G множества Rn \ G. Сама точка х° может принадлежать и
не принадлежать G. Совокупность всех граничных точек G составляет
границу Г множества G; Г замкнуто, G = G + Г.
Фигура
о" \<т' = а
содержит в себе границу Г множества G (a D Г). В самом деле, так
как а" — замкнутое множество, то G С а" и, следовательно, Г С а".
Внутренние точки а' являются внутренними и для G. Только граница а'
может содержать точки Г, при вычитании а" \ а' эти точки выбрасыва-
выбрасываются из а"\ но при замыкании возвращаются в о" \о' = а. Так что а
содержит все точки Г.
13*
388
Гл. 12. Кратные интегралы
Лемма 1. Для того чтобы множество G было измеримым,
необходимо и достаточно, чтобы для любого г > 0 существовали
две фигуры а' и а" (о' С G С а") такие, что \а"\ — \cr'\ < е.
Действительно, если множество измеримо, то найдутся такие о' С G
и a" D G, что
mG--<
< mG + - ,
\(J -
< г.
Наоборот, из того, что а' С G С а", следует,
что \а'
meG
а если
e \\,
произвольности г > О
J ' 4/ J | | — «^ ^
< e, то meG — miG < e, и вследствие
Из леммы 1 следует, что измеримое множество ограничено.
Лемма 2. Для того чтобы множество G было измеримым
по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы его граница Г имела
жорданову п-мерную меру нуль, т. е. для всякого е > 0 должна
найтись покрывающая Г фигура а, имеющая меру \а\ < г.
Доказательство. Пусть множество G измеримо. Тогда для
всякого е > 0 (см. рис. 12.2) найдутся две фигуры а' и а" такие, что
^ч ™ \„п\ i^/j ^ е Но фигура а = а" — а' покрывает Г и
a"
ее мера \о
и \а
= W'\ -
о'\ < г. Наоборот, пусть для любого г > 0 можно
Г ф ( ) \\ Н
указать покрывающую Г фигуру (см. рис. 12.2) а, \о\ < е. Но мы уже
знаем, что и" — G + сто и и' — G — сто суть фигуры (см. рис. 12.2), и
притом а' С G С а" и \а"\ — \а'\ = |сг| < г. Это показывает в силу
леммы 1, что G — измеримое множество.
Пример 1. Фигура а С
жество. Ведь
sup
сг'Ссг
^п есть измеримое (в n-мерном смысле) мно-
I • с Ч I
сг, mi a = \а
Пример 2. Множество Е состоит из точек (г, s), 0 < г, s < 1, плос-
плоскости Ш с рациональными координатами. Пустое множество 0 есть единствен-
единственная фигура, принадлежащая Е. С другой стороны, единичный квадрат сто =
= {(х,у):0 ^ х,у ^ 1} есть фигура наименьшей двумерной меры, содержа-
содержащая в себе Е. Таким образом, т^Е = 0, теЕ = 1, и множество Е в двумерном
смысле неизмеримо.
Можно рассуждать иначе: сто есть граница Е, при этом сто = 1, т. е. меры,
большей нуля. Следовательно, Е неизмеримо.
Конечно, если считать, что Е принадлежит плоскости х,у пространства
М Э (х, у, z), то трехмерная мера тЕ равна нулю. По-прежнему его внутренняя
мера rriiE равна нулю, но внешняя мера тпеЕ тоже равна нулю, ведь Е можно
покрыть фигурой (прямоугольным параллелепипедом) а как угодно малой меры.
Лемма 3. Сумма двух множеств G\ и G2, имеющих жорда-
жорданову меру нуль, в свою очередь имеет жорданову меру нуль.
§12.2. Мера Жордана
389
Действительно, по условию для всякого г > 0 существуют фигуры а'
и а" такие, что a' D Gb a" D G2 и |сг'| < г/2, \а"\ < г/2. Тогда
фигура а — а' + сг" будет обладать свойствами
oGi + G2, И<И + ^ <| + |=?-
Лемма 4. Вместе с G uG\ d G есть множество жордано в ой
меры нуль.
Лемма очевидна.
Теорема 1. Если два множества G\ и G2 измеримы по
Жордану, то измеримы по Жордану также их сумма, разность
и пересечение.
Доказательство. Будем обозначать через Т(Е) границу мно-
множества Е. Имеют место легко проверяемые теоретико-множественные
вложения
r(Gi.G2)cr(Gi)+r(G2),
r(Gi-G2)cr(Gi)+r(G2)
(см. рис. 12.3).
Так как Gi и G2 измеримы, то по лемме 2 mF(Gi) = 0, mF(G2) = 0.
Но тогда по лемме 3 правые части написанных вложений имеют меру
нуль, по лемме 4 и левые части имеют меру
нуль. Отсюда, применяя снова лемму 2, полу-
получим, что множества, указанные в теореме, из-
измеримы.
Лемма 5. Если измеримое по Жорда-
Жордану множество G рассечь на две части G\
и G2 при помощи поверхности L (в частнос-
частности, плоскости), имеющей жорданову меру
нуль, то каждая часть в свою очередь изме-
измерима по Жордану.
Доказательство. Очевидно, что
Рис. 12.3
r(Gi)cr(G)
T(G2)cT(G)+L,
откуда на основании предыдущих лемм следует утверждение.
Таким образом, если G есть измеримое по Жордану множество, то
любая сетка Sn С Жп, делящая Rn на равные n-мерные кубики с ребром
длины 2~N, дробит G на части, каждая из которых измерима по Жор-
Жордану. Диаметр каждой из этих частей не превышает ^/n2~N. Таким
образом, при N —> оо диаметры частей равномерно стремятся к нулю.
Теорема 2. Если множества G\ uG2 измеримы по Жордану
и имеют общие точки, принадлежащие разве что их границам, то
их {измеримая по теореме 1) сумма имеет меру, равную сумме их
мер:
m(Gi + G2) = mGi + mG2. C)
390
Гл. 12. Кратные интегралы
Доказательство. Зададим е > 0 и подберем фигуры а[, а",
02' такие, что
С
С
<Jf2cG2C
— г
171G2 — e <\(jr2
e,
mG2 + s.
Положим af = а[+ a2, cr" = cr^' + a2f. Очевидно, что о7 и ст" — фигуры,
при этом сг' С Gi + G2 С сг" и
D)
Равенство в D) справедливо потому, что а[ и а2 вместе с G\ и G2
пересекаются разве что по своим границам.
Теперь очевидно, что
G2) ^ me(Gi + G2) ^
\af2f\ < (mGi + г) + (mG2
- е) + (mG2 -
откуда в силу произвольности г > 0 следует C).
Теорема 3. Если G\ и G2 измеримы по Жордану и G\ С G2,
mo
m(G2 - Gi) = mG2 - mGi. E)
Доказательство. Измеримость G2 — Gi доказана в теореме 1,
поэтому измеримое множество G2 распадается на два непересекающихся
измеримых множества: G2 = G\ + (G2 — G\). Но тогда равенство E)
следует из предыдущей теоремы.
§ 12.3. Важные примеры
квадрируемых по Жордану множеств
Пусть функция f(x) неотрицательна на отрезке [а, Ь] и интегрируема
(в частности, непрерывна) на нем. Обозначим через Г ее график — мно-
множество всех точек (ж, /(ж)), где а ^ х ^ 6, и через п — множество всех
точек (ж, у) плоскости, для которых выполняются неравенства
а ^ х ^ Ъ, O^y^f(x).
Теорема 1. Множество п измеримо и его мера (двумерная)
равна
Г
тп= f(x)dx = I.
J а
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств 391
В самом деле, в силу интегрируемости / на [а, Ь] для любого г > О
найдется разбиение R отрезка [а, Ь] такое, что
С ^ Т <^ ~Q ~~Q Q ^ r-
Ь-R < i ^ bR, DR — S_R < S,
где S_R и Sr — соответствующие R нижняя и верхняя интегральные сум-
суммы функции /, равные площадям фигур, первая из которых принадле-
принадлежит П, а вторая содержит П.
Это доказывает теорему.
Теорема 2. Непрерывная (плоская) кривая Г на плоскости
х,у, проектируемая взаимно однозначно на отрезок [а,Ь] некоторой
прямой L, есть иножество точек, имеющее двумерную меру нуль.
В самом деле, можно считать, что Г находится по одну сторону от
прямой L, иначе в качестве L можно взять другую ей параллельную
прямую, удовлетворяющую этим свойствам. Построим прямоугольную
систему координат ж, у с осью ж, совпадающей с L. Тогда Г будет графи-
графиком некоторой непрерывной функции /(ж) на отрезке [а, Ь].
Множество П, определенное для /, как в теореме 1, на основании этой
теоремы измеримо, а Г как часть границы П имеет двумерную меру
нуль.
Теорема 3. Плоское ограниченное множество п измеримо
(в двумерном смысле), если его граница состоит из конечного числа
точек и кусков непрерывных кривых, каждый из которых проекти-
проектируется взаимно однозначно на одну из осей прямоугольной системы
координат.
В самом деле, граница множества п есть сумма конечного числа мно-
множеств, имеющих двумерную меру нуль.
Заметим, что гладкий кусок кривой Г, ж = (p(t), у = ф(Ь), а ^ t ^ Ъ
(iff и ф' непрерывны и ср' + ф' > 0), всегда можно разбить на конеч-
конечное число частей, проектирующихся на одну из осей координат. Ведь
(см. § 6.5) каждую точку t Е [а, Ь] можно покрыть интервалом (t',t")
(в случае t = а или t = Ъ — полуинтервалом) таким, что соответствую-
соответствующая ему часть нашей гладкой кривой проектируется на одну из осей, а на
основании леммы Бореля среди этих интервалов можно выбрать конеч-
конечное их число, все же покрывающих отрезок [а,Ь].
В заключение отметим, что произвольная плоская непрерывная кри-
кривая может и не иметь двумерной меры нуль. Вспомним о кривой Пеано,
точки которой заполняют квадрат (см. § 6.5).
Пример 1. Эллипс
х- + У--1
az hz
делится на две части: Г = Fi + Г2 — верхнюю и нижнюю, определенные функци-
функциями
у = ±Ьу 1 2 ' —а^х^а,
непрерывными на отрезке [—а, а].
392 Гл. 12. Кратные интегралы
По теореме 1 куски Fi и Г2, следовательно, и кривая Г, имеют двумерную
меру нуль. Но тогда внутренность данного эллипса, имеющая Г своей границей,
измерима в двумерном смысле (по Жордану).
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множества.
Полярные координаты
Внутреннюю и внешнюю меры ограниченного множества П можно
еще определить так:
rriiu = sup mVtf, теп = inf mVtf, A)
где ГУ обозначает произвольное измеримое множество, в первом случае
принадлежащее П, а во втором — содержащее П. В самом деле, с одной
стороны,
rriiQ = sup |сг| ^ sup mQf = /,
потому что фигуры а измеримы, а с другой стороны, если г > 0 и ГУ —
такое измеримое множество, что ГУ С Г& и / — е < тО,', то найдется
также а С ГУ, так что тП' < |сг|+е. Следовательно, 1 — 2г < \а\ ^ т^П,
и вследствие произвольности г имеет место / ^ rrii^l. Мы доказали
первое равенство A). Подобным образом доказывается и второе.
Из A), очевидно, следует: для того чтобы множество П было
измеримым, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было
г > 0, нашлись два измеримых множества ftf и ft" таких, что
D'cDcl]" и тп" - тп' < г.
Площадь (двумерная жорданова мера) фигуры П, ограниченной по-
полярными лучами в = #i, в = #2 ($1 < $2) и кривой Г, определяемой в
полярных координатах непрерывной функцией ^ = /@), равна (см. § 10.1
и вопрос, поставленный там)
S=l Г f(O)dO. B)
Покажем, что тП = S. В самом деле, произвольный круговой сектор
есть измеримое множество, потому что его граница есть непрерывная ку-
кусочно гладкая кривая. Далее, из существования интеграла B) следу-
следует, что для всякого г > 0 найдется такое разбиение отрезка [в\, #2], что
соответствующая ему верхняя интегральная сумма отличается от ниж-
нижней менее чем на е. Но верхняя сумма есть мера суммы конечного числа
круговых секторов, содержащих П, а нижняя есть мера суммы конечно-
конечного числа круговых секторов, содержащихся в П. Это и доказывает наше
утверждение в силу A).
§12.5. Другие случаи измеримости 393
§ 12.5. Другие случаи измеримости
Теорема 1. Поверхность S С М3 Э (x,y,z), z = f(x,y),
(х,у) G П, где / — непрерывная на замкнутом ограниченном мно-
множестве п С М2 Э (ж, у) функция, имеет трехмерную меру нуль:
mS = 0.
Доказательство. Помещаем П в квадрат А С М2 и делим
последний на равные квадратики и диаметра S.
Пусть ио — такой квадратик, содержащий точки П, и пусть
и = max /, т = min /.
()еПП ()еПП
Очевидно, часть s С S нашей поверхности, расположенную над о;, можно
поместить в прямоугольник Л = и; х [ш, М], имеющий объем |А| ^
^ |о;| uj(S), где cj(J) — модуль непрерывности / на п.
Множественная сумма всех определенных нами кубиков Л образует
фигуру а = UA, a D 5, покрывающую S. Объем а оценивается так:
для достаточно малого S > 0, потому что функция / равномерно непре-
непрерывна на п.
Теорема 2. Поверхность S (т-мерная) в пространстве Rn,
1 ^ т < п, определенная параметрически уравнениями
Xi=<Pi(t) = <pi(ti,...,tm), i = l,2,...,n, t G А, A)
где функции ipi(t) непрерывно дифференцируемы на прямоугольнике
(точек t), имеет п-мерную меру нуль: mS = 0.
Доказательство. Положим
te A.
dtj
Разделим А на равные частичные прямоугольники uj в количестве N171.
Пусть
— один из них. Его точкам t при помощи A) соответствуют точки х G S
кусочка s С S. По теореме о среднем для таких t и х
•=1 V ^Ь / ср.
394 Гл. 12. Кратные интегралы
где (t)cp. есть некоторое (среднее) значение t в и. Поэтому
171 (h \
il n
3 = 1
и кусочек s С S можно поместить в n-мерный кубик Л, имеющий меру
(п-мерную), равную
* ¦(!)"¦
Фигура а = UA, состоящая из этих (перекрывающихся) кубиков, имеет
n-мерную меру
N I J\[n-m v ' Z_^ jyrn ^ ДГп-т
при достаточно большом N. Надо учесть, что сумма J2 дГ^"? состоящая
из N171 слагаемых, равна
Пример 1. Эллипсоид
*2 2/2 z2 1
|_ ^ I — 1
a2 + b2 + C2 "
разрезается на две части: Г = Fi + Г2 — верхнюю и нижнюю, определяемые
непрерывными функциями
4e, 4 S^'
а2 Ъ2 а2 Ъ2
заданными на замкнутом ограниченном множестве в Ш Э (х,у).
На основании теоремы 1 трехмерная мера Fi и Г2, следовательно, и Г равна
2 2 2
нулю. Поэтому объемный эллипсоид ^ + fj + ^2" ^ 1 есть измеримое в
трехмерном смысле множество.
§ 12.6. Понятие кратного интеграла
Определим это понятие в n-мерном случае. Специально в двух- и
трехмерном случаях оно уже вводилось в § 12.1 схематически.
Пусть Rn есть n-мерное евклидово пространство точек х =
= (xi,... ,жп), П С Жп — измеримое (следовательно, ограниченное)
множество и на П задана функция f(P), P G П.
Введем разбиение П на частичные множества, т.е. представим П в
виде суммы:
0 = 0! + ... + ^, A)
конечного числа измеримых в n-мерном смысле по Жордану множеств
п j, которые могут попарно пересекаться только по частям своих границ.
Различные разбиения Ct мы будем обозначать символами р, pi,... Та-
Такое разбиение можно получить, разрезая П поверхностями, имеющими
n-мерную меру нуль.
§12.6. Понятие кратного интеграла 395
В каждом частичном множестве Qj, j = 1,..., N, разбиения р выбе-
выберем произвольную точку Pj E Oj и составим интегральную сумму (по
Риману):
N
~ B)
где mftj — мера Жордана множества Пj.
Надо иметь в виду, что Sp зависит от функции /, способа разбие-
разбиения П на части и выбора точек Pj в каждом из частичных множеств Пj
разбиения.
Обозначим через 6 максимальный диаметр множеств ftj:
S = Sо = max d(uj).
По определению предел
N
=I C)
интегральной суммы / называется определенным (п-кратным) интег-
интегралом в смысле Римана от функции f no множеству п.
Таким образом, определенным интегралом от функции f no мно-
множеству Q называют предел, к которому стремится ее интегральная сум-
сумма, соответствующая переменному разбиению П, когда максимальный
диаметр частичных множеств разбиения стремится к нулю (независимо
от выбора точек Pj Е П j).
Как обычно в анализе, это определение можно понимать в двух (эк-
(эквивалентных) смыслах: на языке г, S и на языке последовательностей.
На языке г, S оно формулируется так:
Интегралом Римана от функции f no множеству ft называют
число /, удовлетворяющее следующему свойству: для всякого е > О
должно найтись такое S > 0, зависящее от г, что, каково бы
ни было разбиение п на части uj с диаметрами, меньшими S, и
каков бы ни был выбор точек Pj E Qj, j = 1, 2,... ,п, выполняется
неравенство
N
D)
На языке последовательностей оно формулируется так:
Интеграл Римана от функции f no множеству п есть предел,
к которому стремится любая последовательность интегральных
сумм SPk функции /, соответствующих разбиениям р^, к = 1, 2,...,
со стремящимся к нулю максимальным диаметром 8^ частичных
множеств:
1= //dx= [ fdU = \imSPk, Sk^0. E)
Jn Jn
396 Гл. 12. Кратные интегралы
Замечание 1. Сейчас уже заметим, что если определенная на
измеримом множестве п функция / ограничена и если для нее при некото-
некоторой вполне определенной последовательности разбиений р^ существует
предел E), равный /, не зависящий от выбора точек Pj Е Clj, то этого,
как будет доказано в дальнейшем, достаточно для того, чтобы сказать,
что существует интеграл от / на П, равный /, т.е. тогда автоматически
выполняется равенство E), какова бы ни была последовательность раз-
разбиений pi, р2,..., для которой <5/с —> 0 (см. §12.7, теорема 2).
Напомним, что в § 12.2 (после леммы 5) было показано, что изме-
измеримое множество всегда можно разбить на части, имеющие диаметры,
меньшие наперед заданного г > 0.
Интеграл Римана от функции / по П, если он существует, обознача-
обозначается так:
= Г
i
В этом случае говорят еще, что / интегрируема по Риману на П.
n-кратный интеграл от / на множестве Ct записывают еще так:
dxn.
/=/•••/ f(xi,...,xn)dxi ...d
Это обозначение удобно потому, что, как мы увидим в дальнейшем, вы-
вычисление кратного интеграла сводится к вычислению соответствующих
однократных интгралов в отдельности по х\, ж 2,..., хп.
Если функция f(P) = А = const на измеримом множестве П, то ее
интегральная сумма равна числу
N
Sp = ^ Amuj = Атп,
не зависящему от способа разбиения п на части. Поэтому
Adu = A du = Атп. G)
Jn Jn
Отметим еще, что если П имеет жорданову меру нуль (mQ = 0), то
N
fdu = lim V f(PA muj = lim 0 = 0
для любой конечной на П функции /, даже если она не ограничена. Таким
образом, из интегрируемости / на п не всегда следует ограниченность /
на П. При исследовании функции /, определенной на произвольном
измеримом множестве П, мы заранее будем предполагать, что она
ограничена на П.
§12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы 397
В будущем, чтобы избежать лишних слов, согласимся, что если про
функцию /(ж) мы будем говорить, что она интегрируема по Риману на
множестве ft С Жп, то под этим будет подразумеваться, что ft есть из-
измеримое в n-мерном смысле по Жордану множество. Это соглашение
вполне естественно, так как определение интеграла по Риману на ft тес-
тесно связано с измеримостью ft по Жордану.
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы.
Основная теорема
Пусть Rn есть n-мерное пространство. При первом чтении читатель
может считать, что п = 2 или п = 3, но рассуждения и формулировки
в этом параграфе вполне аналогичны и при любом натуральном п, в том
числе и при п = 1.
Пусть задано измеримое (следовательно, ограниченное) по Жордану
(в n-мерном смысле) множество ft, на котором определена ограниченная
функция:
|/(Р)| < й-< оо, Реп.
Множество ft может быть разбито на части (измеримые по Жордану
и пересекающиеся разве что по своим границам) различными способами.
Пусть р и р' — два таких разбиения:
ft = fix + . . . + ftjV, ft = ft'x + • • • + ftj
jy
Условимся говорить, что р' есть продолжение р, и писать р С //, если
любое частичное множество ft^ (^ = 1,..., Nf) разбиения р' есть часть
одного из частичных множеств ftj разбиения р. Иначе говоря, разбие-
разбиение р' получается из р, если некоторые множества ft j разбиения р в свою
очередь разбить на конечное число частей:
k=l
Таким образом, разбиение р' состоит из слагаемых кратной суммы
n h
n = ?Efii*- (i)
j=ik=i
Зададим разбиение р. Ему соответствует интегральная сумма функ-
функции /
N
(Pj G ftj). Мы будем пользоваться как первой, так и второй приведен-
приведенными записями Sp.
398 Гл. 12. Кратные интегралы
Таким образом, и есть одно из множеств (]иР Е и. Положим
Мэ = sup /(Р), тэ = inf /(Р),
^^ j = ^"^ М mtj, S_p = ^"^ ?7i
р р р р
Суммы Sp, S_p называются соответственно верхней и нижней интег-
интегральными суммами функции f (соответствующими разбиению р).
Для произвольной точки Pj E Oj справедливы неравенства rrij ^
^ f(Pj) ^ Mj, j = 1,..., N. Поэтому, учитывая, что mftj ^ 0, имеем
^ f(Pj)mQj ^
откуда
Яр < 5Р < Sp. B)
Таким образом, любая (независимо от выбора точек Pj) интег-
интегральная сумма функции /, соответствующая разбиению р, находит-
находится между ее нижней и верхней интегральными суммами, соответ-
соответствующими тому oice разбиению р.
Другое важное свойство верхних и нижних сумм заключается в том,
что если р С р', то имеют место неравенства
sp < sp, ^sp^ sp: < sp. (з)
Второе из них уже доказано.
Чтобы убедиться в справедливости, например, четвертого неравен-
неравенства, запишем Sp/ в виде
j=ik=i
где
Mjk= sup f(P).
pen
Для сравнения сумму Sp можно записать подобным образом:
N N h N lj
^P = Y1 мзтпз = ^2mj
3 = 1 j = l k = l 3 = 1 k = l
Теперь ясно, что Sp/ ^ Sp, потому что из вложения ujk С Vtj следует,
что Mjk ^ Mj.
§12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы 399
Пусть теперь pi и р2 — разбиения 1)ир = р1+р2 есть новое разби-
разбиение, полученное наложением р\ на р2- Тогда р есть продолжение р\ и
Р2 и
Таким образом,
SP1^SP2, D)
каковы бы ни были разбиения pi р
Если зафиксировать /?2 и менять произвольно /?i (которое мы желаем
обозначить через р), то получим
А теперь, варьируя разбиения р2 (обозначаемые через р), получим
Ш) <7(/)=inf 5Р.
Числа /(/)=/ и /(/) = / называются соответственно верхним и
нижним интегралами функции f на П. Из приведенных рассуждений
следует, что для произвольной ограниченной на П функции нижний и
верхний интегралы на п существуют.
Докажем важную теорему.
Теорема 1 (основная). Пусть П С Мп есть измеримое мно-
множество (т. е. измеримое в п-мерном смысле по Жордану), на ко-
котором определена ограниченная функция f (|/(x)| ^ К).
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1I = /;
2) для всякого г > 0 найдется такое разбиение р, что
Sp-Sp<e; E)
3) для всякого е > 0 найдется S > 0 такое, что для всех разбие-
разбиений р с диаметрами d(uj) < S имеет место неравенство E);
4) существует интеграл
/
F)
При этом I = / = I.
Здесь, конечно, подразумевается, что / и / — нижний и верхний ин-
интегралы от / на G, a S , Sр — нижняя и верхняя интегральные суммы /,
соответствующие разбиению р.
Эту теорему можно перефразировать так: для того чтобы сущест-
существовал интеграл от f на П, необходимо и достаточно выполне-
выполнения одного из условий 1)—3). При этом величина интеграла равна
400 Гл. 12. Кратные интегралы
Доказательство. 1) —>• 2). Для любого г найдутся разбиения pi
и р2 такие, что
Тогда для р = р\ +
откуда из 1) следует E), т.е. 2).
2) —> 3). Это самая нетривиальная часть теоремы, утверждающая,
что если для любого г > 0 найдется зависящее от него разбиение р*:
N
для которого 5^ — S_p^ < г, то также найдется S > 0 такое, что для всех
разбиений р с d(Qj) < S выполняется неравенство E).
Обозначим через Г* объединение всех граничных точек ГП, каково
бы ни было j = 1,... ,7V. Оно имеет меру нуль (П^ измеримы), и
потому можно определить фигуру а', покрывающую Г*, такую, что
\а'\ < е/BК). Введем еще новую фигуру а, содержащую строго внутри
себя а1', но такую, что |сг| < е/BК).
Пусть S > 0 есть настолько малое положительное число, что рассто-
расстояние между любыми двумя точками границ о via' больше, чем S. Тем
более расстояние любой точки Г* до границы а больше, чем 5.
Зададим какое-нибудь разбиение р, на которое наложено единствен-
единственное условие, что все его частичные множества и имеют диаметр d(uS) < 5
(нам удобно будет их писать без индексов так же, как соответствующие
им т и М). Имеем
Sp — S_p = 2_^ (M — m) muj + ^^"(M — m) moo,
где сумма J^ распространена на все частичные множества и разбие-
разбиения р, каждое из которых содержит в себе одну из точек Г*. Так как
d(uS) < й, то все такие ио С о и их общая мера не превышает та < е/BК).
Поэтому
Сумму Yj" запишем в виде кратной суммы ^7' = J^ ^г, где ^г обозна-
г
чает сумму слагаемых ^", соответствующих частичным множествам uj
§12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы 401
разбиения р, попавшим полностью в частичное множество Q* старого
разбиения р*. Имеем
2_^ (М — т) muj = 2_^ 2^1 ^ ~ ш) mL0
г
Г* - т*)тп* < г.
Поэтому Sp — S_p < 2е для всех разбиений р с d(uj) < 5, т.е. имеет
место 3).
3) —>• 4). Пусть имеет место 3). Зададим г > 0 и подберем S > 0 так,
как указано в 3). Тогда для разбиений р, о которых говорится в 3),
р E 5р < I < 7 < Sp, G)
и так как выполняется E), где е > 0 любое, то / = / = /, и
?<е> (8)
т. е. / есть интеграл от / на п. Мы доказали 4).
Из 4) следует, что для любого г > 0 найдутся ? > 0 и разбиение р с
Jp <C E (для нашей цели достаточно одного р) такие, что
(9)
при любом выборе ? Е о;.
Таким образом, I — s<Sp<I + s для любых ? Е о;. Но
inf 5Р = inf X)/(ОМ = ^ш|о>| = 5р, A0)
sup5p = sup^/(?)|^|=^M|^| = 5p. A1)
??" ^" р р
Поэтому
откуда
Так как г > 0 любое, то
1 = 1 = 7. A2)
Мы доказали, что из 4) следует 1).
402 Гл. 12. Кратные интегралы
Теорема 2. Пусть задана последовательность разбиении pk,
к = 1,2,..., измеримого множества п с 8Рк —>• 0 и ограниченная
функция f на п.
Существование предела
lirn^ SPk (/) = \ш^
Pk
при любом выборе Pj G Oj влечет существование интеграла от f
по П, равного числу I.
Доказательство. Из A3) следует, что для любого г > 0 и не-
некоторого pk = Р имеет место (9). Но из (9), как мы видели, следует A2),
т.е. свойство 1) основной теоремы, следовательно, существование интег-
интеграла от / по П.
Замечание. Теорема 2 упрощает понимание кратного интеграла
от ограниченной на измеримом множестве П функции /.
Мы можем, например, ввести сетку, разрезающую Rn на кубики А с
ребром длины 2~N, и использовать только целые кубики, попавшие в П
(см. ниже теорему 3), и интеграл от / по П определить как предел
Е /(^)|А,|=/. A4)
Если этот предел существует при любом выборе Pj G Aj, то он и
равен интегралу от / по П, т. е. не надо проверять существование подоб-
подобного предела для любой другой последовательности разбиений S& с SPk,
он автоматически существует и равен /.
Теорема 3. Имеет место равенство
lim V f(P)mu= lim V''f(P)mu,
где в сумме Y^f оставлены члены с частными множествами uj, не
прилегающими к границе Г множества П.
Мы называем множество и; прилегающим к Г, если множество и; П Г
непусто.
Доказательство. Так как |Г| = 0, то Г можно покрыть
фигурой g\ [g\ D Г), имеющей меру |cri| < e/K (\f(x)\<K,xeQ).
Раздав *) фигуру cti, получим новую фигуру a D o\ D Г такую,
чтобы \а\ < г/К.
Пусть S > 0 — толщина зазора между о\ и границей а. Тогда если
SPk < S, то все прилегающие к Г множества и; попадут в а и сумма ^"
слагаемых в A3), соответствующих таким а;, оценивается так:
\?"f(P)H | < * ?"М < К\а ^
*) То есть раздвинув (стороны) фигуры (примеч. ред.).
§12.8. Интегрируемость функции на замкнутом множестве 403
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции
на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии
Теорема 1. Функция /(Р), непрерывная на замкнутом изме-
измеримом по Жордану множестве П, интегрируема по Риману на п.
Доказательство. Так как множество П измеримо, то оно
ограничено. Кроме того, оно замкнуто, поэтому непрерывная на П функ-
функция / равномерно непрерывна на П. Это значит, что для любого е > 0
существует такое S > 0, что если Р',Р" е П и \Pff — Pf\ < ?, то
\f(P")-f(P')\<e.
Пусть р есть произвольное разбиение п = J2j=i ^j на измеримые
части с диаметром d(Q,j) < ?, и пусть, как всегда, Mj = supxG^. /(x),
mj = infxefy /(x). Тогда
Mj - т3 = sup (/(P") - f(P')) ^ иF),
pfpffci
потому что расстояние между любыми точками Р', Р" G 1) не превы-
превышает по условию S. Следовательно,
^.
р ^2 ^ иE) ^ mVtj = иE) тп < г,
где г > 0 задано, a S > 0 достаточно мало, оиE) есть модуль непрерывнос-
непрерывности функции /, заданной на ограниченном замкнутом множестве П. Поэ-
Поэтому uj(S) —>• 0, й^О.
Теорема 2. Функция /, ограниченная на измеримом замк-
замкнутом множестве ft и непрерывная на П, за исключением точек,
образующих множество Л меры нуль, интегрируема на п.
На рис. 12.4 множество Л состоит из точ-
точки 0 и куска гладкой кривой (см. 4-е издание
этой книги, § 12.6, теорема 2).
Пример 1. Рассмотрим функцию ф(х,у) =
= sin -1- на полуоткрытом прямоугольнике А' =
= {0 < ж, у ^ тг/2}. Чтобы применить к ней те-
теорему 2, будем рассуждать так. Доопределим ф на
отрезке 0 ^ х ^ тг/2 оси х и отрезке 0 ^ у ^ тг/2 р -. 2 д
оси у какими-нибудь значениями, однако ограничен-
ограниченными в совокупности. Продолженная таким образом на замкнутый прямоугольник
А = А' функция ф ограничена на А и непрерывна всюду на А, за исключением
множества (состоящего из указанных двух отрезков) жордановой двумерной меры
нуль. Но тогда по теореме 2 существует интеграл
// ф(х,у)а!ха!у = // ф(х,у)а1ха1у.
404 Гл. 12. Кратные интегралы
§ 12.9. Свойства кратных интегралов
Теорема 1. Если функция f ограничена и интегрируема на
ft = ГУ + ГУ', где ГУ и ГУ' измеримы и пересекаются разве что
по своим границам, то она также интегрируема на ГУ и W', и
обратно.
При этом
f /dx= / /dx+ /
Jn Jn' Jn"
/dx. A)
Берем произвольную последовательность разбиений pj~, k = 1, 2,...,
множества П, содержащих в себе границы (У и П". Они индуцируют на
(У, П" разбиения ^ и ^'. Дальше надо рассуждать в точности так же,
как при доказательстве одномерной теоремы 1 из § 9.7, только теперь
роль отрезков [а, с], [с, Ь] играют множества ГУ и ГУ'.
Следствие. Если ограниченную и интегрируемую на ft функ-
функцию f видоизменить на любом множестве Е С П, имеющем жор-
данову меру нуль, так, что видоизмененная функция /i останется
ограниченной на П, то /i будет интегрируемой на п и
[ fdu= [
Jn Jn
В самом деле, П — Е измеримо вместе с П, поэтому / интегрируема
на п — Е, кроме того,
[ fdu= [
J E J E
[
E
Но тогда /i интегрируема наОи
f f1du= f /i dfi + / /i dfi = / fdu+ [ fdu= [ fdu.
Jn Jn-E JE Jfi-E JE Jn
В силу этого утверждения, если функция / ограничена на незамк-
незамкнутом измеримом множестве П и интегрируема на нем, пишут
f fdx= f
fdx,
хотя функция / могла не быть определенной на П — П. Ведь все равно,
если бы / была определена на П — П так, что совокупность ее значений
на п — п была ограничена, то тогда интегралы от / на п и п совпадут.
Теорема 2. Если /(х) и <^(х) — ограниченные интегрируе-
интегрируемые на Q функции и с — постоянная, то функции 1) /(х) ± ^(х),
2)с/(х), 3)|/(х)|, 4)/(х)^(х), 5) 1//(х), где |/(х)| > d > 0, интег-
рируемы на Г2. При этом
[ (f±<p)dx= I /dx± /
Jn Jn Jn
B)
§12.9. Свойства кратных интегралов 405
C)
Доказательство такое же, как в случае одномерной теоремы — § 9.6.
Теорема 3. Если функции /i, /2 и ip ограничены и интегри-
интегрируемы на П и
h(P) <: f2(P), <p(P) > 0, Реп, D)
то
f fupdP^ f f2<pdP. E)
Jn Jn
В частности, если
А < /(Р) < В, <р(Р) > 0, F)
где А и В — постоянные, то
A cpdP ^ fcpdP ^ В (pdP, G)
Jn Jn Jn
и при некотором С
f f
/ ftpdP = С / cpdP, А ^ С ^ В. (8)
Jri Jn
Доказательство. Из D) следует, что
/i(PMP) < f2(PMP), Реп,
откуда для любого разбиения /? множества П
Переходя к пределу при 6^0, где S — максимальный диаметр частич-
частичных множеств разбиения р, получим E).
Равенство (8) называют теоремой о среднем для кратного интег-
интеграла.
Примечание. Если п — связное измеримое замкнутое множес-
множество и функция / непрерывна на П, то
f f<pdP = f(Q) [ <pdP,
Jn Jn
где Q — некоторая точка П.
406 Гл. 12. Кратные интегралы
В самом деле, из непрерывности / на замкнутом измеримом множес-
множестве п следует, что / интегрируема на П, кроме того, существуют на п
точки Qi и Q2, в которых / достигает соответственно минимума и мак-
максимума (на Q):
nun /(P) = f{Qx) = A, max f(P) = /(Q2) = В.
В силу связности п существует находящаяся в п непрерывная кривая
Р = P(t) = {(fi(t),... ,(^n(t)}, t\ ^ t ^ ?2, соединяющая точки
Q P() и Q2 = Pfe)- Непрерывная на отрезке [ti, ^2] функция
z = f(P(t)) = f(vi(t),..., ?>„(«)) = VW, h < t < t2,
принимает для некоторого to G [^1,^2] значение ^(to) = /(Q) = С, где
Q = P(t0).
Теорема 4. Для ограниченной интегрируемой на ft функции f
выполняются неравенства
/dx
#= sup|/(x)|.
В самом деле, интегрируемость |/| доказана в теореме 2. Кроме того,
откуда
Отметим, что в неравенстве (9) недостаточно предполагать интегри-
интегрируемость |/(х)| (см. замечание в конце § 9.7).
§ 12.10. Сведение кратного интеграла
к интегрированию по отдельным переменным
Пусть на прямоугольнике
А = {(ж, у): а ^ х ^ Ь, с ^ у ^ d} A)
задана ограниченная функция f(x,y).
Теорема 1. Имеет место равенство
ff fb fd
// f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy,
J J Д J CL J С
B)
верное при условии, что f(x,y) интегрируема на А (т.е. интег-
интеграл слева в B) существует), а для любого х G [а, Ь] существует
одномерный интеграл Jc f(x,y)dy.
§12.10. Сведение к интегрированию по отдельным переменным 407
В частности, эти условия выполняются для функции /, непрерывной
на А (см. § 12.8).
Если ввести обозначения
Ai = [а, Ь], А2 = [с,d], A = Ai х А2,
то формула B) запишется в виде
// f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy.
Jja1xA2 JAX Ja2
B0
В таком виде эта формула обобщается. Можно считать, что рас-
рассматривается (к + т)-мерное пространство
(х, У) = (Xi, . . . , Xfc, ?/1, . . . , ?/m),
и в нем задан прямоугольник А = Ai x Д2,
А = {(x,y):ai ^ Xi ^ Ь», г = l,...,fc; Cj ^ ад ^ dj, j = 1,...,ш},
Ai = {x: ai ^ Xi ^ Ь^э г = 1,..., к},
А2 = {у: Cj ^ yj ^ dj, j = 1,... ,ш}.
Ha А задана ограниченная интегрируемая функция /(х, у). При
этом предполагается, что интеграл /д /(х,у) dy существует для лю-
любого х G Аь Тогда имеет место равенство B'), где уже теперь dx =
= dx\ ... dxn, dy = dyi ... dym.
Доказательство в обоих случаях B) и B') аналогично. В случае B)
может помочь рис. 12.5.
Доказательство. Положим
Ф(х) = / f(x,y)dy, xe Аь
Ja2
Теорема будет доказана, если будет установлено, что функция Ф(х) ин-
интегрируема на Д1 и интеграл от нее по A i существует и равен левой час-
части B'):
/ f(x,y)dxdy = / ^{x)dx. C)
Составим интегральную сумму для Ф(ж) на Ai. Для этого Ai раз-
разрежем на равные прямоугольники и': Ai = Uo;', и в каждом из них
408
Гл. 12. Кратные интегралы
выберем точку ? (? G а/). Соответствующая интегральная сумма имеет
вид
Разрежем теперь Д2 тоже на равные прямоугольники и": Д2 = Uu/'.
Соответственно весь прямоугольник Д разрежется на (к + т)-мерные
частичные прямоугольники u/ x uj" \
А = и (о/ х ш"), E)
а равенство D) можно записать и так:
'l- F)
Теперь под интегралом в правой час-
части F) стоит функция /(?,2/) от ? G а/
и yG а/'.
d
со»
1
1
1
1
1
1
1
Ъ х
Рис. 12.5
Положим
m= inf /(ж, 2/), М=
(jGC'")
sup
Очевидно, наша функция /(?,?/), ? G а/, 2/
летворять неравенствам
j будет удов-
удовСоответственно
/ /(?,
Juj"
из
< М
из'
из"
т
Е М\из'\\из"\. G)
Если обозначить через р разбиение E) прямоугольника Д на частич-
частичные прямоугольники о/ х а/', то неравенства G) можно записать так:
(8)
§12.10. Сведение к интегрированию по отдельным переменным 409
где S_ , Sp суть нижняя и верхняя интегральные суммы / на А. По усло-
условию /интегрируема на А, и потому Sp(f) — S_p(f) —>• Опри |u/|, |u/'| —>• 0,
и если / есть соответствующий интеграл, то S_p(/) ^ / ^ Sp(f). Но тог-
тогда HmSp(/) = Iim5p(/) = /, и из (8) следует, что функция Ф интегри-
интегрируема на Ai и выполняется равенство C), которое мы хотели доказать.
В общем случае сведение вычисления кратных интегралов к после-
последовательному интегрированию по каждой переменной в отдельности ос-
основывается на лемме, доказываемой ниже.
Пусть П — ограниченное множество. Обозначим через е\ его про-
проекцию на ось х\. В частности, если п — область, то е\ — интервал, а
если П — замыкание области, то е\ — отрезок [а, Ь], где а = minx^^ х\,
b = maxX?^ xi, x = (xi,..., xn). Обозначим еще через пхо сечение П
плоскостью х\ — х\, т. е. множество точек вида [х\, Х2,..., хп) G П.
Теорема 2. Справедливо равенство
f(xi,...,xn)dxi ...dxn =
= / dx\ I f(xi,X2,...,xn)dx2...dxn, (9)
j gi j ?ix 1
всегда верное, если f ограничена на П, е\ — измеримое одномерное
множество и интегралы / ••• /п ^ /^ (длялюбого х\ G ei) имеют
смысл. Х1
Доказательство. Поместим П в некоторый n-мерный прямо-
прямоугольник А = [ai, Ъ\] х А', где А' = {ctj ^ xj ^ hj] j = 2,..., п}. Это
возможно, потому что П измеримо, следовательно, ограничено.
Продолжим функцию / с П на А, положив
Г / на fi,
I 0 на А \ П.
Теперь имеем (пояснения ниже)
/
/(x)dx= / /(x)dx =
= /
Jai
f(x1,X2,...,xn)dx2...dxn =
= / ctei / f{xi,X2,...,xn)dx2...dx
Jex Jnxi
Первое равенство в этой цепи верно в силу того, что П и А измеримы,
= 0наА\Пи/ интегрируема на А.
410
Гл. 12. Кратные интегралы
Второе — по теореме 2. Ведь, кроме того, что функция / интег-
интегрируема на П, она при фиксированных допустимых х\ как функция от
(ж2,..., хп) интегрируема на QXl, следовательно, и на А', потому что
она равна нулю вне ?1Х1.
Третье равенство верно, потому что е\ измеримо, / = 0 для х\ 0 е\
и для х\ G ei, когда (ж2,..., хп) 0 QXl.
2 2
Пример 1. Площадь S эллипса W: ^2" + ?2" ^ 1 (а,Ь > 0) (рис. 12.6)
вычисляется следующим образом (пояснения ниже):
S = [[ ldxdy=[ dx I
JJw J-a J-ЪлД
— x2 dx = 2afr ( arcsin —I—^л
V a az
Первое равенство в этой цепи следует из того, что W — измеримое в двумер-
двумерном смысле множество, ведь его граница — гладкая кривая.
Второе — из доказанной выше леммы. Ведь [—a, a] есть измеримая проекция
W на ось ж, и сечение Wx эллипса прямой, параллельной оси у, проходящей через
точку х ? [а, Ь], есть отрезок [—b^/l — х2/а2 , Ьу/1 — х2/а2 ], т. е. измеримое в
одномерном смысле множество, на котором функция, равная 1, интегрируема.
Пример 2. На рис. 12.7 изображено замкнутое множество Q с грани-
границей Г, состоящей из двух кусочно гладких замкнутых контуров и точки. Та-
-Ъ
Рис. 12.6
Ъ х
Рис. 12.7
ким образом, О, измеримое в двумерном смысле. Его проекция на ось х есть
отрезок [a, b]. Любое его сечение ?1Х прямой, параллельной оси у, проходящей
через точку х ? [а, Ь], есть отрезок, или система двух отрезков, или точка, —
все измеримые в одномерном смысле замкнутые множества. Поэтому если /(ж, г/)
непрерывна на П, то она интегрируема на О и на любом указанном сечении О,х, и
к / применима доказанная лемма:
/ / / dxdy = I
J JQ Ja
= I dx
JO,,
f dy.
A0)
§12.10. Сведение к интегрированию по отдельным переменным 411
2 2 2
Пример 3. Объем \Q\ эллипсоидаП: ^г + тт + ^т ^ 1 (а.Ь.с > 0) может
быть вычислен следующим образом (пояснения ниже):
dx dydz= dx dy dz =
J-a JQ:
л ?j /* О A / 1 T* / Cl /* 0* A / 1 T* / ^jf *?У / \)
= / с/ж / c/|/ / c/^ =
i-a J-b^/l-x2/a2 J-c^/l-x2/a2-y2/b2
ra rb^/l-x2 /a2 ,
= / dx I 2cJl - x2/a2 - у2/Ъ2 dy =
J-a J-bv/l-x2/a2 V
= 2bc Г dx f X Jl-x2/a2 -z2dz =
J — a J — ^/l — x2/a2
fa 2 2 4
= be тгA — x /a ) dx = - Trabc.
J-a 3
При переходе к предпоследнему члену цепи сделана подстановка
х
z = а/1 о sin#.
а2
Множество Q измеримо, ведь граница Г состоит из двух непрерывных кусков
поверхности
о 9~ 2 2
xz yz x у
^_ |_ ^_ < 1
а2 Ь2 а2 Ъ2
каждый из которых проектируется взаимно однозначно на замкнутое ограничен-
ограниченное множество плоскости ж, у.
Измеримыми и замкнутыми являются также сечения Q плоскостями и пря-
прямыми, параллельными осям координат, соответственно в двумерном и одномерном
смысле, ведь они, если они не пусты, представляют собой при сечении плоскостями
эллипсы или точки, а при сечении прямыми — отрезки или точки.
Таким образом, функция 1 интегрируема на Q и на всех указанных сечениях Q
и равенство (9) применимо.
Если функция /(ж, у) ограничена и непрерывна на А = [a, b] x [с, d],
за исключением конечного числа точек, то для нее на основании теоре-
теоремы 1 имеет место
// f(x,y)dxdy = I dx j /(ж,
J JA J a J с
y)dy,
потому что для любого х G [а, Ь] функция /(ж, у) по у ограничена и имеет
на [с, d] разве что конечное число точек разрыва, следовательно, интег-
интегрируема на [с, d].
В частности, если
f(x,y) =ср(х)ф(у)
412 Гл. 12. Кратные интегралы
и функции ip(x) и ф(у) ограничены и имеют конечное число точек разры-
разрыва соответственно на отрезках [а, Ь], [с, d], то
р р рЪ pd pb pd
// ip(x)^(y)dxdy = I dx I cp(x)^(y)dy = / <p(x) dx / i/>(y)dy.
JJa Ja Jc Ja Jc
Распространение этих фактов на многомерный случай не представляет
труда.
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру
Рассмотрим интеграл
A)
= " J?(жь- • • ,хт,У1, • • • ,Уп) dyi ...dyn= / /(x,y)dy,
где П — измеримое множество n-мерного пространства точек у =
= B/i,..., уп), а функция /(х, у) интегрируема по у на П. Тогда ин-
интеграл A) есть функция F от точки х.
Простейший случай A), т.е. т = п = 1, есть
fd
F(x)= / f(x,y)dy.
J с
(i')
Следующая теорема дает критерий непрерывности F(x).
Теорема 1. Если функция /(х,у) непрерывна на множестве
GxQ, xeG, ye(], B)
(п+т)-мерного пространства точек (х, у) = (х\,..., хш, 2/i,..., 2/п)?
где G иП — замкнутые ограниченные множества в соответству-
соответствующих пространствах точек х г/у, то интеграл A) (т. е. i^(x)) есть
непрерывная функция от х Е G. В случае [V) G = [а, 6], П = [с, б?].
Доказательство. Обозначим через шF, /) модуль не-
непрерывности функции / на множестве B). Так как последнее замкнуто
и ограничено, а функция / непрерывна на нем, то шF, /) —>• О (S —>• 0).
Поэтому для х, х' Е G
и теорема доказана.
§12.11. Непрерывность интеграла по параметру 413
Теперь рассмотрим интеграл, обобщающий A) только в случае, ког-
когда у есть переменное число (не вектор):
= / f(xi,...,xm,y)dy= f(x,y)dy, xgG, C)
и докажем теорему.
Теорема 2. Если функция /(х,?/) непрерывна на множест-
множестве Н точек (х,?/) = (xi,... , жт,?/) (т + 1)-мерного пространст-
пространства, определяемых неравенствами <р(х) ^ 2/ ^ ^(х) (х ^ G), где
(^(х) г/ ?/>(х) — непрерывные функции на замкнутом ограниченном
т-мерном множестве G точек х = (xi,... ,жт), то функция F(x)
непрерывна на G.
Доказательство. Подстановка
у = у>(х) + t(^(x) - у>(х)), 0 ^ t ^ 1,
d2/ = (^(x)-^(x))dt,
приводит интеграл C) к виду
F(x) = ОКх) - ^(х)) / /(x,^(x)+t(^(x)-^(x)))dt. D)
Но г^(х) — ^(х) — непрерывная функция на G, а интеграл в D) тоже
есть непрерывная функция от х G G, что следует из теоремы 1. Ведь
подынтегральная функция есть непрерывная функция от (х, t) E G х
х [0,1]. Следовательно, F(x) непрерывна на G.
Пример 1. Пусть на единичном шаре и задана непрерывная функция
f(x,y,z). Интеграл от нее по и равен
fduj= dx dy I f(x,y,z
-X2-!,2
)dz.
Внутренний интеграл F(x, у) = Г , x o ^ o f(x, y, z) dz есть функция F от
-л/1-хг-у1
ж, у, определенная на круге а: х +у ^ 1. Она непрерывна на а. Действи-
Действительно, / непрерывна на замкнутом шаре и\ поверхности, его ограничивающие,
z = —y/l — х2 — у2 и z = y/l — х2 — у2 (ж2 + у2 ^ 1), описываются непре-
непрерывными на круге а функциями. Непрерывность F на а вытекает из доказанной
теоремы. Таким образом,
fdu>= dxl F(x,y)dy).
Juj J — l \J-\/l-x2 )
414
Гл. 12. Кратные интегралы
Интеграл Ф(ж) = f
F(x,y)dy в свою очередь есть непрерывная функ-
\
ция от х ? [—1, +1] на основании этой же теоремы. Действительно, F(x, у) не-
непрерывна на круге а (замкнутом ограниченном множестве точек (ж, г/)), а кривые
у = — у/1 — ж2, |/ = л/1 — х2 (—1 ^ ж ^ 1), ограничивающие а, непрерывны. По
теореме Ф(ж) непрерывна на [—1, +1].
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя
Зададим в плоскости прямоугольную систему координат xi, Ж2, как
на рис. 12.8, а и 12.8, б.
Мы предполагаем для определенности, что положительное направле-
направление оси Х2 получается из положительного направления оси х\ поворотом
Рис. 12.8, а
Рис. 12.8, б
оси х\ на угол 90° против часовой стрелки. Зададим два не равных
нулю вектора а = (ai, 02), b = (&i, 62), выходящих из нулевой точки,
с определителем
х2
А =
&2 ^2
A)
Если А > 0, то, чтобы получить направ-
направление вектора Ь, нужно повернуть (против
часовой стрелки) а на угол, меньший тг, а если
А < 0, то это связано с поворотом на угол,
Рис. 12.9 больший тг. В самом деле, очевидно, что а =
= |a|(cos<?i,sin<?i) и b = |6|(cos(^2,sin(p2),
где (^1,(^2 — Углы, образованные соответственно векторами а, Ь с
осью xi, откуда А = \а\ • \b\ sin((^2 — <?i)-
Величина | А| есть, очевидно, площадь параллелограмма, построен-
построенного на векторах а и Ь.
Рассмотрим теперь трехмерное пространство, где задана прямо-
прямоугольная система координат Ж1,Ж2,жз (см. рис. 12.9), и три вектора
а = (ai, a2, аз), b = F1, 62, 63), с = (ci, C2, С3) с определителем
д =
A2
аз
С2
§ 12.13. Замена переменных в кратном интеграле
415
Пусть ii = A,0,0), i2 = @,1,0), i3 = @,0,1) — орты осей xljx2jx3.
Их определитель
1 0 0
= 1 (>0)
Если А > 0, то можно определить три непрерывные вектор-функции
a{t) = (ai(t),a2(t),a3{t)),
1
0
0
0
1
0
0
0
1
такие, что будут удовлетворяться условия
а@)=а, /3@) =Ь, 7@) = с,
a(l)=ib /3A) = i2, 7A) =13
и при этом для любого t G [0,1] определитель
ai(t) o2(t) a3(t)
Ш Ш fo{t)
7i (t) 72(«) 73 (*)
B)
Если же А < 0, то невозможно построить три непрерывные
вектор-функции с указанными свойствами.
В случае А > 0 говорят, что упорядоченная тройка векторов а, Ь, с
ориентирована так же, как тройка ii, i2, i3, в то время как в случае
А < 0 тройка а, Ь, с ориентирована противоположно ориентации
тройки ii, i2, i3-
Подобная характеристика A-го и 2-го случаев) может быть дана и
для пар векторов а, b на плоскости (см. еще далее § 13.8, а также 4-е
издание этой книги, § 12.14).
§ 12.13. Замена переменных в кратном интеграле.
Простейший случай
Покажем, как видоизменяется интеграл
A)
если в нем произвести замену переменных
х1 = ах\
х2 = сх\
D =
а Ъ
с d
B)
416
Гл. 12. Кратные интегралы
Будем считать, что Q' — область с непрерывной кусочно гладкой
границей Г' (рис. 12.10).
Преобразование, обратное к B), отображает п' на некоторую
область П плоскости xi, ж 2 с непрерывной кусочно гладкой границей Г
(рис. 12.11), и на П определена функция
Введем на плоскости х\,Х2 прямоугольную сетку со сторонами
квадратов А длины h. Она отображается при помощи уравнений B),
х! ,
Рис. 12.10
г
(
\
\
ч
1—
и.
>
Рис. 12.11
вообще говоря, в косоугольную сетку, делящую плоскость х[, х2 на
равные параллелограммы А' (образы А), имеющие площадь
D =
а Ь
с d
C)
Тем самым определены разбиения р, р' соответственно областей П, Qf.
Имеем
(Xl,x2)eA. D)
Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распространена только на
полные квадраты А С П, соответственно первая — на соответствующие
им "полные" параллелограммы А' (см. теорему 3 в § 12.7). Переходя к
пределу в D) при h —>• 0, получим формулу
f{x'1,x'2)dx'1dx'2 =
F(x1,x2)\D\dx1dx2 = \D\ // F(x1,x2)dx1dx2. E)
n JJn
§ 12.14- Замена переменных в кратном интеграле 417
В этом рассуждении можно считать, что функция / непрерывна на
П , и тогда функция F будет непрерывной на П, и оба интеграла E)
существуют, а выше доказан факт равенства E). Достаточно, впрочем,
считать, что функция / интегрируема на Vt', и тогда первая сумма в D)
имеет предел, когда d(A') —> 0, что автоматически влечет существование
равного ему предела второй суммы, когда d(A) —>• 0, т. е. существование
второго интеграла E), равного первому. Обратно, существование ин-
интеграла в правой части E) влечет существование интеграла в левой.
В следующем параграфе дана более общая формула.
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 1. Пусть в п-мерном пространстве W1 точек
х = (х\,..., хп) задана измеримая область п и рассматривается еще
другое п-мерное пространство Rn/ точек х' = (х[,... ,xfn), а в нем
измеримая область п'.
Предположим, что точки xgD переходят в точки х' Е П при
помощи отображения (операции)
которое мы будем еще обозначать так:
х' = Ах. A')
Мы будем предполагать, что операция А обладает следующими
свойствами:
1) она взаимно однозначно отображает ft наП' :
П^П' B)
(взаимно однозначное соответствие при отображении А между
точками границ ft и ftf не требуется);
2) функции if j (x) непрерывны и имеют наП непрерывные частные
производные с якобианом
дх\ ''' дхп
C)
)х\ "' дхп
Пусть, далее, задана интегрируемая на п' функция
14 С.М.Никольский
418 Гл. 12. Кратные интегралы
преобразующаяся при помощи подстановок A) в функцию
(x),...,^n(x)), xe(!. D)
Тогда имеет место формула замены переменных в кратном
интеграле:
/ f (тс'\Aтсг — \ F(tc)\ D(tc)\ rin: (Ъ)
Если существует один из интегралов E), то существует второй
и они равны.
В частности, если функция f'(х') непрерывна наП , то непрерывна
также функция F на ft и оба интеграла в E) существуют, а
формула E) утверждает их равенство.
Замечание. В формуле E) можно заменить П, Q' соответственно
на П, П , потому что этим добавляются множества n-мерной меры нуль.
Трудность теоремы заключается в лемме, которая будет доказана в
§ 12.15. Мы ее сформулируем и сразу же покажем, как с ее помощью
доказывается равенство E).
Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы и А С Q есть
произвольный куб с ребром h, a Af = А(А) — его образ на П' при
помощи операции А. Тогда имеет место равенство
\A'\ = \D(X)\\A\+O(hnco(h)), F)
где D(x) — значение якобиана D в одной из точек х Е А, а
uj(h) = sup ujij(h),
= sup
G)
{модуль непрерывности -^- на ft) и константа С, входящая в О, не
зависит от h и положения А на п.
Важно заметить, что так как частные производные -^- по условию
теоремы непрерывны на ограниченном замкнутом множестве П, то их
модули непрерывности uoij{h) ^0 (h —>• 0), но тогда и
u(h) -^ 0, /i^O. (8)
Поэтому остаточный член в формуле F) удовлетворяет неравенству
\O(hnu;(h))\ ^ Chnu;(h) = o(/in), h -+ 0, (9)
§ 12.14- Замена переменных в кратном интеграле
419
и притом равномерно относительно х Е П, потому что правая часть (9)
не зависит от х Е П. Что касается первого члена правой части F), то он
равен
т.е.
Из этого равенства, в частности, следует, что для любого х Е О,
имеет место равенство (х Е А С П)
lim
показывающее, что величина |D(x)| с точностью до бесконечно
малых оA), ft- —>• 0, есть коэффициент увеличения элементарного
объема, сконцентрированного возле точки х при преобразовании его
посредством операции А.
Разобьем П /i-сеткой, состоящей из кубиков с ребрами длины h
(рис. 12.12). Часть сетки, содержащаяся в П, при помощи операции А
/
/
¦
..
Q
7
с
N
"
V
\
/
Рис. 12.12
Рис. 12.13
переходит в криволинейную сетку поверхностей, разбивающую (У на
измеримые части (см. рис. 12.13).
Например, плоскость х\ — х\ пересекает П по замкнутому огра-
ограниченному множеству Пхо Э (х^,Х2,..., жп), которое операция А пере-
переводит на поверхность (разбиения (У), непрерывно дифференцируемую,
(п — 1)-мерную. Ее n-мерная мера равна нулю (см. § 12.5, теорема 2).
Обозначим через А полные кубы сетки, входящие вместе со своими
границами в П. При помощи операции А открытое ядро А переходит
на открытое ядро А', а граница А — на границу А' (формально
это утверждение требует доказательства; см. 4-е издание этой книги,
§ 12.20).
При этом если h —>• 0, то максимальный диаметр частичных мно-
множеств соответствующего разбиения Vlr стремится к нулю, потому
что в преобразовании A) функции <?j(x) равномерно непрерывны на п.
14*
420 Гл. 12. Кратные интегралы
Учитывая лемму 1, выпишем равенство
(И)
где суммы распространены на все целые кубы Ас П, а х — произвольные
точки, х G А и Ах = х' G А'. Надо иметь в виду, что когда х
пробегает А, то х' соответственно пробегает все множество А'.
Так как входящая в ио константа одна и та же для всех А С П, то
: cKu(h) Y^ \А\ ^ сКи(К)Щ < г, |F(x)| ^ К,
при достаточно малом h.
Поэтому при | А| —> 0 имеет место равносходимость:
Если интеграл справа в E) существует, то сумма справа в A2)
стремится к числу, равному ему, при |А| —>• 0 и любом выборе точек
х G А. И так как эти точки взаимно однозначно соответствуют точкам
ж'еД' и при | А| —> 0 максимальный диаметр А' стремится к нулю,
то сумма в левой части A2) при любом выборе х' G А' стремится к
указанному числу. Но этого достаточно (см. § 12.7, теорема 2), чтобы
заключить, что интеграл слева в E) существует и равен указанному
числу. Обратно, если интеграл слева в E) существует, то сумма слева
в A2) стремится к нему при h —>• 0 и при любом выборе х' G А',
следовательно, и сумма справа стремится к нему же при любом выборе
х G А. Но тогда интеграл справа в E) существует и равен интегралу
слева.
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14
Рассматриваем операцию
х' = Ах, х G П. A)
Зададим произвольную точку х° G П и куб А С П:
А = {х: х\ ^ Xi < ж° + ft, г = 1,..., п},
с ребром /г.
Положим
х/0 =
и, пользуясь теоремой о среднем, операцию Ах запишем равенствами
где (ф)ср. — значение ф в некоторой точке ^ G А.
2.15. Доказательство леммы 1
421
Вводим еще другую (линейную) операцию
х" = Аох,
определяемую равенствами
C)
Ха —
-gi)(Xj-x°), г = 1,...,п, хеД, D)
где
0/0 ^()
Для точек х G А имеет место
откуда
nuj(S)h, S =
- х
потому что
Таким образом,
\hu(h), Л = п5/2,
nuj{h).
x'-x^l ^ Xhu(h), xg A,
E)
где константа Л не зависит от А С П.
Полагаем
х G П,
Пусть х и у — любые точки, принадлежащие А. Точка х" опре-
определяется равенствами D), а точка у" — равенствами
Уг —
/0
j=i
F)
422
Гл. 12. Кратные интегралы
Но тогда
li Уг
3=1
G)
х" - у"| ^ /i/i, х, у g A, /i = 2n3/2M.
В частности, получилось, что ребра А длины h переходят посредст-
посредством Aq в ребра параллелепипеда А" длины, не большей \ih (порядка К).
Х2
/
0
А2
Р
^
А
Г
J
с
Ai
^—у
\
)
/
хЦ
с»
х[
Рис. 12.14
Рис. 12.15
Рассмотрим плоский случай (п = 2). Кубик А в этом случае есть
квадрат. Он переходит при помощи операции Aq в параллелограмм А"
(см. рис. 12.14 и рис. 12.15), определяемый векторами
Р'А'{ =
дх
1/0
р/ л// _
Длины их имеют порядок
)
^ U, ^ U .
dx2jo""> \dx2jo
(8)
| Р'А'{ \
(см. G), но это видно и непосредственно из (8)).
Площадь А" равна
/i/l
fdip2\
\дХ1H
дх2у0 V ^Ж2
Элементарными методами аналитической геометрии устанавливаем,
что при помощи операций Aq квадрат А отображается на параллело-
параллелограмм А"'. Открытое ядро А переходит на открытое ядро А", а гра-
граница А — на границу А".
2.15. Доказательство леммы 1
423
Аналогично, операция А отображает А на некоторое множество А'
(рис. 12.15), называемое криволинейным параллелепипедом. При
этом открытое ядро А переходит в открытое ядро А', а граница А —
в границу А' (взаимно однозначно). Если D(x) > 0 на П, то это
утверждение следует из § 7.18. В общем случае D(x) ^ 0 потребовались
бы дальнейшие тонкие рассуждения, которые мы опускаем (см. 4-е
издание этой книги, т. II, § 12.17).
Границы А, А', А" обозначим соответственно через Г(А), Г(А'),
Г(Д"). Если х G Г(А), то х' е Г(Д'), х" е Г(Д"). При этом
х' — х"| ^ Afto;(x). Следовательно, х' на-
находится в круге радиуса \huj(h) с центром
вх".
Отсюда следует, что Г (А') принадле-
принадлежит множеству е, которое определяется как
объединение всех кругов радиуса Xhuj(h) с
центрами в точках х" Е Г(А//). Множество е
представляет собой содержащую Г (А') рам-
рамку, закругленную в углах A/f (рис. 12.16).
Такая рамка существует для любого А во
всяком случае, если высоты Hi параллелограмма А" удовлетворяют
неравенствам
Щ>2ХНи;(Н), г = 1,2. (9)
Рис. 12.16
На рис. 12.16 изображен такой параллелограмм А".
оценивается следующим образом:
ch2co(hJ.
Площадь е
A0)
Один из множителей и (К) во втором члене суммы заменен на константу.
Имеем
А"-есА'с А
е,
\в\
°)| h2 + O(h2u;(h)).
A1)
A2)
Остается рассмотреть случай, когда (9) не выполняется. Пусть,
например, Hi < 2hu(h). Тогда
или
2|е| < O(h2u>(h)),
|Д'| = \A"\+O(h2u(h))-
Таким образом, равенство A2) верно в любом случае ДсA.
424
Гл. 12. Кратные интегралы
Наконец, A2) можно заменить на равенство
где х — любая точка в А, потому что такая замена изменяет первый
член правой части A3) на величину порядка О{h2uo{h)). Ведь, например,
'дх2
дхг у ' дх2
дх2
дх2
х g A.
В трехмерном случае (п = 3) рамка е состоит из шести утолщенных
граней, общий объем которых не больше 12Xhuo(h)(/ihJ плюс объем
округлений (ребер и вершин), имеющий порядок O(h3uo(h)), h —> 0. Это
показывает, что при некотором с > 12A/i2
|е| ^ ch3u;(h).
Дальше рассуждения ведутся так же, как при получении A2).
Итак, во всех возможных случаях имеет место равенство B). При
этом константа, входящая в остаток правой его части, не зависит от h
их0 G П. Из примечаний, которые делались попутно, видно, что дока-
доказательство в общем случае п совершенно аналогично.
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости
Система уравнений
х — р cos в, У — Р sin в
A)
осуществляет преобразование полярных координат в декартовы. Правые
части A) — непрерывно дифференцируемые функции с якобианом
D =
D(p,0)
cos в sin в
—psinO pcosd
B)
Введем чисто формально новую плоскость с декартовой системой
р,6 и принадлежащую ей область
Л = {р > О, О<6>< 2тг}.
C)
Очевидно, преобразование A) взаимно однозначно отображает Л на Л' —
плоскость ж, у без луча в = 0. К тому же на Л якобиан D больше нуля.
Пусть в плоскости ж, у задана произвольная измеримая (в двумерном
смысле) область, а на ее замыкании — непрерывная функция f(x,y).
Выкинем из этой области точки луча в = 0, если они есть, и
оставшееся множество обозначим через Q'. Будем считать, что Q'
§12.16. Полярные координаты в плоскости 425
есть область или сумма конечного числа непересекающихся попарно
областей. Множеству п' соответствует в силу A) некоторое множество
1] С Л (которое предполагается измеримым), П ^ П'. Справедливо
равенство
// f(x,y)dxdy = ff f(p cos 0, sin O)pdpdO, D)
потому что мы находимся в условиях теоремы о замене переменных в
кратном интеграле (/ непрерывна на (У, преобразование A) непрерывно
дифференцируемо на П с якобианом р > 0 и Q ^± Qf).
В полученной формуле D) можно теперь заменить П, П' соответ-
соответственно на их замыкания П, П , потому что этим добавляются только
множества двумерной меры нуль.
Если область п имеет вид сектора, ограниченного лучами 0 = 0lj
О = #2 (#1 < #2 ^ #1 + 2тг) и непрерывной кривой р = т/>@), то
f(x,y)dxdy= / dO f(pcos6,psm6)pdp. E)
Впрочем, формулу D) можно получить из естественных геометри-
геометрических соображений, не прибегая к искусственной декартовой плоскости
р, в. Плоскость ж, у разбиваем на эле-
элементарные фигуры близкими концентри- У1
ческими окружностями и выходящими из
нулевой точки лучами (рис. 12.17). Пло-
Площадь каждой такой элементарной фигуры
(возле точки (р,в)), или, как говорят,
элемент площади в полярных координатах,
равна с точностью до бесконечно малых
высшего порядка AS ~ pdpdO. Поэто-
му, если наш интеграл просуммировать по О
этим элементам, получим Рис. 12.17
= ff
f f(p,O)pdpde.
П рим е р 1.
rR
2 2 /* /*-^7Г 2 2
ех +у dxdy= / / ер pdpd6 = 7r(eR -1).
Jo Jo
Замечание. Операция A) непрерывна на замыкании Л области
А = {0 < р < 1; 0 < в < 2тг} и устанавливает взаимно однозначное
соответствие Л ^ Л', но при этом взаимно однозначного соответствия
между границами Л и Л' нет (см. теорему 1 из § 12.14).
426
Гл. 12. Кратные интегралы
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты
в пространстве
Система уравнений
х = р cos в cos ср, У — р cos в sin ср, z = р sin в
A)
осуществляет переход от полярных координат в пространстве к декар-
декартовым (рис. 12.18). Здесь р — расстояние точки P(x,y,z) дона-
чала координат (полюса полярной системы), в — угол между радиус-
вектором р точки Р и его проекцией на плоскость
ж, у, а ер — угол между указанной проекцией
и положительным направлением оси ж. Его от-
отсчитывают в том направлении, в котором надо
вращать вокруг оси z положительно направ-
направленную ось ж, чтобы прийти к положительно
направленной оси у кратчайшим путем.
Функции справа в A) непрерывно дифферен-
дифференцируемы с якобианом
Рис. 12.18
D =
D(x,y,z)
D(p,<p,0)
= р2 cosO,
B)
Введем формально новое трехмерное пространство с декартовой
системой координат р, ср, в и в нем открытое множество
Л = \0<р, --<¦
C)
Преобразования A) взаимно однозначно отображают Л на Л', т.е.
на пространство ж, у, z с выкинутой полуплоскостью ср = 0 (множеством
точек (ж, 0, z), где ж ^ 0):
Л^Л'. D)
Пусть теперь в пространстве x,y,z задана произвольная измеримая
в трехмерном смысле область, а на ее замыкании — непрерывная
функция f(x,y,z). Выкинем из этой области точки полуплоскости ср = 0
и оставшееся множество обозначим через (У. Будем считать, что Qf
есть область или сумма конечного числа непересекающихся попарно
областей. Множеству Q' соответствует в силу D) некоторое множество
П С Л, которое мы будем предполагать измеримым.
Справедливо равенство
ff[f(x,y,z)dxdydz= Iff F(p,0^)p2cos0dpdedy, E)
где
F(p,6,ip) = f(p cos в cos ip,p cos в smip,psm6), F)
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве 427
потому что мы находимся в условиях теоремы о замене переменных в
кратном интеграле.
Теперь в E) можно при желании заменить П, П' на П, П потому, что
эти множества отличаются соответственно на множества трехмерной
меры нуль.
Пусть а есть поверхность, описываемая в полярных координатах
функцией р = т/>@, ф), @, ф) G о;, непрерывной на замыкании области а;,
и пусть П — трехмерная измеримая область пространства x,y,z,
ограниченная поверхностью а и конической поверхностью, лучи которой
выходят из нулевой точки и опираются на а. Тогда для непрерывной
на П функции f(x,y,z) имеет место
fdxdydz=
Fp2cos0dp.
O
В частности, если ш соответствует всей единичной сфере, то последний
интеграл равен
/ cos 0^0 / dip / F/o2d/o.
J-tt/2 Jo Jo
Чтобы наглядно получить элемент объема в полярных координатах,
рассечем пространство на малые части концентрическими шаровыми
поверхностями с центром в полярном полю-
полюсе (точке р = 0) плоскостями, проходящими
через ось z, и круговыми коническими по-
поверхностями, имеющими своей осью ось z.
Полученные ячейки имеют объем, равный с
точностью до бесконечно малых высшего по-
порядка Av ~ p2 cos 0 dp dO dtp, где (р, 0, ф) —
одна из точек ячейки.
Замечание. Операция A) не-
непрерывна на замыкании Л области Л =
= {0 < р < 1, -тг/2 < 0 < тг/2, 0 < <р < 2тг}
и устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие Л ^ Л'. Однако при этом нет взаимно однозначного соот-
соответствия точек границ Л и Л'.
Цилиндрические координаты (р, 0, ф) связаны с декартовыми коор-
координатами (ж, у, z) равенствами (см. рис. 12.19)
G)
Рис. 12.19
х — р cos (р, У — р sin (р,
Z — Z.
Здесь р — расстояние от проекции точки А — (x,y,z) на плоскость ж, у
до начала декартовой системы, а ср — угол радиус-вектора указанной
проекции с осью х. Якобиан преобразования G) равен
= Р-
428 Гл. 12. Кратные интегралы
§ 12.18. Гладкая поверхность
Функция
z = f(x,y), (х,у)еп, A)
непрерывно дифференцируемая на области п э (ж,?/), определяет
в евклидовом пространстве R3 э (x,y,z) гладкую поверхность 5,
заданную явно.
Непрерывная дифференцируемость / влечет существование каса-
касательной плоскости L к поверхности S в любой ее точке (жо, у о, / (хо, у о)),
(^(ьЗ/о) ? ^ — коротко, в точке (жо>2/о) (см. § 7.5).
Уравнение касательной L к S в точке (жо, 2/о)? как мы знаем5 имеет
вид
^j B/ — 2/о), (Ф)о=Ф(хо,уо). B)
Здесь x,y,z — текущие координаты L. Числа
JdJ_) JdJ.
пропорциональны соответствующим компонентам нормали к L (или, что
все равно, к S) в точке (жо?2/о)- Из этой точки можно выпустить две
единичные нормали к S:
±п0 =
C)
соответствующие знакам + и — перед корнем.
Мы видим, что так как по условию производные а^" и а
непрерывны, то каждая из этих единичных нормалей непрерывно
зависит от точки (жо, у о) поверхности S.
Сделаем общее определение, которое касается любых гладких
поверхностей, заданных явно и неявно.
Гладкая поверхность S называется ориентируемой, если из любой
ее точки можно выпустить единичную нормаль к ней, непрерывно
зависящую от положения этой точки на S.
Мы видим, что гладкая поверхность, заданная явно, ориентируема.
При этом существуют два способа ее ориентации — вектор по и
вектор —по — каждый из них непрерывно зависит от положения точки
(жо, уо, zq) на 5, из которой он выпущен.
2.18. Гладкая поверхность
429
Очевидно, и в общем случае если гладкая поверхность S ориентиру-
ориентируема, т. е. если для нее существует закон, следуя которому каждой точке S
соответствует выпущенный из нее единичный вектор п, непрерывно
зависящий от положения точки на 5, то, заменив п на — п, получим
второй закон ориентации S.
Таким образом, если поверхность S ориентируема, то существуют
две ее ориентации, называемые противоположными ориентациями S.
Если буква S означает ориентируемую поверхность, то ту же
поверхность, ориентированную противоположно, удобно обозначить
другим символом, например символом S-. Можно еще исходную ори-
ориентированную поверхность обозначить через S+, а ей противоположно
ориентированную поверхность — через S—.
Соответственно у S возникают две ее стороны.
Например, в случае поверхности A) естественно рассматривать ее
верхнюю сторону S+, соответствующую единичной нормали к ней, об-
образующей острый угол с осью z, и нижнюю сторону, соответствующую
нормали, образующей тупой угол с осью z.
Но гладкая поверхность S может быть задана параметрически как
геометрическое место точек (x,y,z) <Е~М,3 с координатами, определяемы-
определяемыми функциями
х = <р(и, v), у = ф(и, v),
(и, v) e П,
D)
непрерывно дифференцируемыми на некоторой области П параметров
(и, v). При этом предполагается выполнение добавочного условия
>0, (u,v)
E)
где
г =
— радиус-вектор текущей точки
водные соответственно по и и v.
Так как
5, а
и г!^ —
(б)
его частные произ-
дф . дх
G)
то
г„, =
i J k
дер дф дх
ди ди ди
dip дф дх
dv dv dv
,
D(u,v) D(u,v
- ,
D(u,v)
(8)
430 Гл. 12. Кратные интегралы
Из записи (9) неравенства E) следует, что для любой точки (и, v)
нашей поверхности S одно из слагаемых под знаком корня отлично от
нуля. Пусть в точке (щ, vo) будет
Q
D(u,v)o
Тогда на основании теоремы о неявных функциях существует окрестность
uj С П точки (г&о, г'о), на которой отображение
х = ip(u,v), у = ф(и,у), (u,v) E uj, A0)
обратимо:
и = А(ж, у), v = /л(ж, ^/), (ж, ^/) G р. A1)
Здесь А и /i непрерывно дифференцируемы на g 3 (ж, 2/). Но тогда
z =
,у)) = /(ж,?/), (ж,?/) G р,
где /(ж, ^/) — непрерывно дифференцируемая функция.
Таким образом, для любой точки (жо, уо, zo) гладкой поверхности 5,
заданной параметрически, существует шаровая поверхность с центром в
этой точке, вырезывающая из S гладкий кусок, определяемый одним из
равенств
z = fi(x,y), (x,y) G pi,
x = f2(y,z), (y,z)eg2, A2)
у = /з(з,ж), (г,ж) G 0з,
где функции /i, /2, /3 непрерывно дифференцируемы.
Одно из этих представлений S во всяком случае имеет место. Но
может быть и два или три.
Говорят еще, что гладкая поверхность, заданная параметрически,
локально проектируется на одну из плоскостей ж, 2/, y,z, z,x. Та-
Таким образом, некоторый кусок поверхности S в окрестности ее точки
(жо,2/о5?о) представляет собой гладкую поверхность, описываемую
явно. В любой его точке существует касательная плоскость к S.
Заметим, что любой вектор, исходящий из точки (жо,^/о5^о) ? S и
касающийся 5, принадлежит касательной плоскости L к S в этой точке.
Можно еще сказать, что L состоит из таких векторов. Но достаточно двух
таких векторов (неко л линеарных), чтобы они определили плоскость L.
§ 12.19. Площадь поверхности 431
В качестве таких векторов можно взять векторы
, дер . дф . 9у,
Оба они касаются S в точке (u,v). Они неколлинеарны, потому что
< х г; ф о.
Вектор т'и х г!^ нормален к L, а векторы
(u,v)eu, A4)
t X rv\
суть два единичных вектора нормали к S в точке (u,v) E П.
По условию вектор г имеет непрерывные производные по г&,17,
поэтому числитель в дроби A4) есть непрерывная вектор-функция, а
знаменатель — непрерывная скалярная функция от (u,v), отличная от
нуля. Но тогда единичная нормаль п есть непрерывная вектор-функция
от (u,v), т.е. п непрерывно изменяется вместе с изменением точки
(x,y,z) на S.
Это показывает, что вектор п ориентирует поверхность S. Вектор
же — п ориентирует S противоположным образом.
Таким образом, гладкая поверхность, заданная параметрически,
ориентируема.
§ 12.19. Площадь поверхности
Зададим в трехмерном пространстве R3, где определена прямо-
прямоугольная система координат x,y,z, поверхность 5, описываемую
уравнением
z = f(x,y), (x,y)eG. A)
Мы предполагаем, что G есть измеримая открытая область, а
функция / имеет непрерывные частные производные
df df
ох ду
на G (см. § 7.11). Мы еще будем называть нашу поверхность гладким
куском, проектируемым на плоскость z = 0.
Произведем разбиение G на конечное число измеримых (в двумерном
смысле) частей G = G\ + G2 + ... + Gjv, пересекающихся попарно разве
что по своим границам. Пусть (xj,yj) — произвольная точка Gj,
j = 1,..., N. Ей соответствует точка Pj E S с координатами (xj , yj, /j),
где fj = f(xj,yj). В точке Pj проведем плоскость Lj, касательную к S.
432
Гл. 12. Кратные интегралы
Обозначим через ej кусок Lj (ej С Lj), проекцией которого на
плоскость z = 0 служит множество Gj. Площадь еj обозначим через |
По определению площадью поверхности S называется предел
еj \.
\S\=
lim
N
^
Косинус острого угла нормали rij к S в точке Pj с осью z (см.
§ 7.5, F)) равен cos(rij,2:) = l/\/l + Pj + qij, где квадратный корень
взят со знаком +, a pj, щ обозначают результаты подстановки в
р, q значений xj, yj. Мера Gj равна |Gj| = \ej\ cos(nj,z), \ej\ =
TT^T^J, j = i,...,7V, и
iV
|5|= Hm
' ' d(G
lim
iV
Jl + p2.
2. +
-//¦
B)
Мы получили формулу площади поверхности, заданной в явном виде A).
Покажем, как преобразуется интеграл B), если сделать в нем
подстановку
х = <р(и, v), у = ф(щ v), (и, v) е П, C)
приводящую во взаимно однозначное соответствие измеримые области П
и G в предположении, что ip и ф непрерывно дифференцируемы наОи
якобиан
D(x,y)
D{u,v)
/ОнаО.
D)
Положим z = f((f, ф) = x(uiv)- На основании теоремы о замене
переменных в кратном интеграле получим равенство (см. § 7.26, D)).
у 1 + р2 + q2 dx dy =
G
=//
\
D(u,v)
dudv,
из которого следует, что площадь поверхности S выражается формулой
dudv=
\yu x rv\ dudv. E)
§12.19. Площадь поверхности
433
Отметим равенство
где
ди
dv
ди
dv
ди)
dv
дх дх ду ду dz dz
ди dv ди dv ди dv
Формула E) может служить основанием для определения понятия
площади поверхности, заданной параметрически, не обязательно проек-
проектирующейся в целом на одну из плоскостей координат.
Гладкая поверхность S может быть задана параметрически при
помощи параметров (u,v):
г =
xrv
F)
где ft — измеримая область плоскости параметров u,v, а ср, ф, %
имеют непрерывные частные производные на П. Знак ^ указывает
на тот факт, что равенство F) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между точками Ct и S.
Так как П — измеримое множество, то оно ограничено и потому
имеет непустую границу 7- Она отображается при помощи равенства F)
на край Г = S — S нашей поверхности. Мы не требуем, чтобы отобра-
отображение 7 на Г было взаимно однозначным. Имеется много важных
примеров, когда этого нет (см. примеры ниже).
По определению назовем площадью S (или S) величину
«¦/X
ти х tv dudv.
G)
Перечислим ряд свойств интеграла G), показывающих естествен-
естественность введенного определения.
1) Величина \S\ инвариантна относительно допустимых преобразо-
преобразований параметров, т.е. если
и — \(u',v'), v — /jl(u',v'), (u',vf) G (]' ^ О,
где Л, \i непрерывно дифференцируемы на П , и
Р(\ц) , , ,
D(u',v') Уи >v )
434
Гл. 12. Кратные интегралы
то
II,
г и х rv du dv =
-IL
D(u,v)
+
(Р(У,
D(z,x)
D(uf,vf)
\D(u,v)
D(x,y)
D(u',v')
2\ 1/2
+ I _, ' ч 11 dudv =
D(u,v)
D(u,v)
D(uf,vf)
D(u,v)
D(u',v')
du' dv' =
¦/X
1%,/ X Г-,/
2) Пусть поверхность 5 проектируется на плоскость z — 0. Точнее,
пусть равенства
ж = <р(и, v), у = ^(и,г;),
G Э (ж,2/),
(8)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между измеримыми
областями П и G с якобианом
D{x,y)
D(u,v)
Тогда для функции z = f(x,y) = x(u(x,y),v(x,y)), (x,y) ^ G, где
и(х,у), v(x,y) — решения уравнений (8), в случае, если она имеет не
только непрерывные (как это следует из теоремы о неявных функциях),
но и равномерно непрерывные на G производные р = -^, q = -^-, имеет
место равенство
= //
dudv
= //
q2 dx dy.
A0)
Оно уже было доказано выше (см. E)).
Таким образом, новое определение площади поверхности совпадает
с исходным определением, если имеет место ситуация, возможная для
последнего.
Заметим, что если бы свойство равномерной непрерывностир и q на G
не соблюдалось, а р и q были только непрерывными и ограниченными
на G, то все равно выполнялось бы равенство A0), потому что все условия
для замены переменных в интеграле и в этом случае соблюдаются.
Больше того, если р и q непрерывны, но не ограничены на G (в то
время как функции ip, ф имеют непрерывные частные производные на Q),
§ 12.19. Площадь поверхности 435
то все равно равенство A0) остается верным, если понимать интеграл в
его правой части в несобственном смысле (см. ниже пример 1).
Выражение dS = \ru х rv\dudv называется дифференциальным
элементом поверхности S. Площадь части 5, соответствующей из-
изменению и от и до и + du и v от v до v + dv, равна
u-\-du pv-\-dv
AS = / / \ru x rv\dudv =
ru-\-du r
J и J v
ru x rv
V = T]
= (\ru x rv\ + s) du dv = dS + o(dudv), du, dv —> 0.
Во втором равенстве этой цепи применена теорема о среднем, в
третьем в выражении \ru x rv\ заменена точка (?,rj) на (u,v) за счет
прибавления слагаемого г, которое в силу непрерывности функции
ти х rv | стремится к нулю при du,dv —> 0.
Таким образом, dS можно определить как (единственную!) величину
вида Adudv, где А не зависит от du и dv, отличающуюся от AS на
o(dudv), du,dv ^ 0.
Пример 1. Площадь шаровой поверхности. Уравнения
х = cos в cos if, у = cos в sin if, 2 = sin0, A1)
re x rep I = cos#, П = {0 < if < 2тг, -тг/2 < 0 < тг/2},
определяют гладкую поверхность S — часть шара радиуса 1 с центром в нулевой
точке, из которого выброшен меридиан <р = 0, \9\ ^ тг/2. Условия F) здесь
выполняются. В частности, имеет место взаимно однозначное соответствие
Q ^ S. Однако уравнения A1) не устанавливают взаимно однозначного соот-
соответствия между 7 = ^~^ и Т = S — S. Край Г поверхности S есть указанный
выше меридиан. Каждому из его концов в силу равенств A1) соответсвует
бесконечное множество точек 7> заполняющих противоположные стороны П,
а каждой прочей точке Г соответствует пара точек j, лежащих на других
противоположных сторонах j.
Поверхность единичного шара есть замыкание S поверхности S, описанной
параметрически уравнениями A1). На основании формулы G)
|5| = \S\ = [[ \cos6\d6dtp = 2тг-2 Г cos(9d(9 = 47r.
J Jn Jo
Заметим, что площадь поверхности нашего единичного шара S можно
рассматривать как сумму площадей восьми конгруэнтных кусков, вырезаемых
из S координатными плоскостями. Один из них а, находящийся в положитель-
положительном октанте, описывается непрерывной функцией z = -\-\/l — х2 — у2 (ж, у ^ 0,
х + у ^ 1) с неограниченными частными производными
р= -x/y/l - х2 -у2, q = -y/y/l -x2 -
r
436 Гл. 12. Кратные интегралы
Мы уже отмечали, что в этом случае можно вычислить площадь а по
формуле B) площади поверхности в декартовых координатах, понимая, однако,
интеграл в несобственном смысле (см. конец § 13.13, замечание 1):
a\= lim // \J\ + p2 + q2 dx dy =
dxdy
= lim ff
P^JJx2
л/1-х2 - у2
x > 0, у > 0.
Формулу для элемента площади сферической поверхности радиуса R можно
усмотреть из геометрических соображений. Сеть близких друг к другу мери-
меридианов и параллелей разрезает нашу шаровую поверхность S на элементарные
частицы. Площадь AS такой частицы, близкой к точке А = (R,9,(p), 9 > 0,
может быть, очевидно, оценена следующим образом:
AS < Rcos9dipRd9.
Отсюда (9 <9f <9 + dO)
AS = R2 cos 9f dip d9 = R2 cos 9dipd9 + dip o{d0), dO -+ 0.
Пример 2. Площадь поверхности тора
х = (Ъ + a cos 9) cos ip, у = a sin в, 0 < а < 6,
2 = (b + a cos 0) sin ip, \ru x rv\ = a(b + a cos 0) > 0.
Чтобы воспользоваться приведенными выше рассуждениями, придется эту по-
поверхность рассматривать как замыкание Т гладкой поверхности Т, описываемой
уравнениями A2), где @, ip) пробегает область Q = {0 < 9, ср < 2тг}.
В этом случае соотношения F) и сопровождающие их условия непрерывной
дифференцируемое™ будут выполняться, если считать Т = S, поэтому
_ Г27' Г27' 9
|Г| = \Т\= dip а(Ъ + a cos 9) d9 = 2тгаBтг6 + 0) = 4тг аЬ.
Jo Jo
Пример 3. Рассмотрим круговой цилиндр радиуса R и высоты Н.
Его боковую поверхность обозначим через а, а ее площадь через \а .
Разрежем а равностоящими плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра,
так, чтобы соседние плоскости находились на расстоянии, равном H/N .
Эти плоскости пересекают а по окружностям Со, С\,... , Сдгз, которые мы
перенумеровали по порядку снизу вверх по направлению оси. Окружность Со
разделим равноотстоящими точками на 27V равных частей. Эти точки мы тоже
перенумеруем в порядке их следования по Со, кроме того, через каждую
из них проведем образующую нашей цилиндрической поверхности а, которая
пересечет окружность С& в некоторых точках. Полученные точки на С& мы
тоже занумеруем, руководствуясь правилом, что точки всех С&, лежащие на
одной и той же образующей, имеют один и тот же номер. Теперь на окруж-
окружностях С& с четными к оставим только точки с четными номерами, а на
§ 12.19. Площадь поверхности 437
окружностях С& с нечетными к — только точки с нечетными номерами. В резуль-
результате на поверхности а нанесено некоторое конечное число точек. Каждые три
соседние такие точки являются вершинами некоторого треугольника А, а вся
совокупность последних образует некоторую многогранную поверхность сгдг,
вписанную в а. Чтобы не было недоразумений, отметим, что две из любых трех
точек суть соседние точки, лежащие на С к, а третья лежит на Cj~+i или
Ck — ъ и образующая, к которой она принадлежит,находится между (в меньшем
центральном углу) образующими, к которым принадлежат первые две точки.
Число треугольников А, очевидно, равно 2N • N = 2N , площадь же
каждого А равна
RUl-cos^2 (H
Но тогда
Wn
несмотря на то, что при N —»• оо диаметр А стремится к нулю.
Мы видим, что площадь поверхности нельзя определить как предел площади
вписанной в нее многогранной поверхности со стремящимся к нулю максимальным
диаметром ее граней. Такое определение неэффективно даже для очень простых
поверхностей.
Глава 13
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода
Пусть в трехмерном пространстве Rn, где определена прямоуголь-
прямоугольная система координат x,y,z, задана непрерывная кусочно гладкая кри-
кривая Г:
x = <p(s), y = il>(s), z = x(s), O^s^A, A)
где параметром служит длина дуги s. Таким образом, функции if, ip, x
непрерывны на [О, Л] и отрезок [О, Л] можно разбить на конечное число
частей
О = so < si < ... < sn = Л
так, что на каждом (замкнутом) частичном отрезке [sj, Sj+i] функции ср,
ф, X имеют непрерывные производные, удовлетворяющие условию
^2(S)+/2(s)+X/2(s) = l, B)
считая, что в концевых точках Sj, Sj+i они понимаются соответственно
как правая и левая производные. Кривая Г соответственно делится на
конечное число гладких кусков: Г = J^1 Tj. Пусть еще на Г или на не-
некотором множестве, содержащем Г, задана функция F(x,y,z), непрерыв-
непрерывная на каждом гладком куске Fj, т.е. функция F(ip(s),ip(s),x(s)) если
имеет разрывы, то только в точках Sj и притом первого рода.
По определению выражение
F(x,y,z)ds= [ F(<p(s)Ms),x(s))ds C)
называется криволинейным интегралом первого рода от функции F
вдоль кривой Г (или по Г).
Левая часть C) есть обозначение криволинейного интеграла перво-
первого рода, а правая показывает, как его надо вычислять — это обычный
риманов интеграл. Например, если кривая Г обладает массой с плотнос-
плотностью распределения, равной F(x,y,z) в точках (x,y,z) E Г, то общая
масса кривой вычисляется посредством интеграла C).
§13.2. Криволинейный интеграл второго рода 439
Пусть теперь кривая Г гладкая и задана еще через параметр t:
где, таким образом, (fi,ipi,xi — непрерывно дифференцируемые функ-
функции, удовлетворяющие условию ipi + ip'i + Xi > 0 на [а, Ь]. Пусть
длина дуги s кривой Г выражается через t при помощи функции s = А(?),
а ^ t ^ 6, имеющей не равную нулю непрерывную производную, кото-
которую будем считать положительной, Xf(i) > 0. Тогда,
f F(x,y,z)da= f F(ip(s)^(s),x(s))ds =
г Jo
D)
= /
J а
, Xi{t) = X(A(*)),
Кривую Г можно также задать уравнениями х = <р(Л — s), у =
= ф(А — s), z = %(Л — s), 0 ^ s ^ Л, но величина интеграла C) от этого
не меняется:
Таким образом, криволинейный интеграл первого рода по Г не зави-
зависит от ориентации Г.
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода
Пусть в пространстве R3, где определена прямоугольная система ко-
координат x,y,z, задана ориентированная непрерывная кусочно гладкая
кривая Г с начальной точкой Aq и конечной А\. Если кривая замкнута,
то А\ совпадает с Aq. Пусть
x = <p(s), 2/ = -0(s), z = x(s), 0 ^ s ^ Л, A)
— уравнения Г, где s — длина дуги Г (см. § 10.3). При этом значению
s = 0 соответствует точка Aq, а значению s = Л — точка А\ и возраста-
возрастанию s соответствует ориентация Г.
440 Гл. 13. Теория поля
В каждой внутренней (не угловой) точке А любого гладкого куска Г
тогда однозначно определен единичный вектор т, касательный к Г (в
направлении возрастания s).
Пусть, кроме того, на Г или на некотором открытом множестве П,
содержащем Г, задано поле непрерывного вектора (или задан вектор)
а = Р(х, у, z)\ + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k,
где P,Q, R — непрерывные функции на Г (или п).
Доопределению криволинейным интегралом от вектора а вдоль
ориентированной кривой Г называется величина
/ (a (is) = / (Pdx + Qdy + Rdz) = / (ar) ds = (ar) ds.
Jv Jv Jv Jo
B)
Первый и второй члены в B) — это обозначения криволинейного интег-
интеграла от а по Г, а третий и четвертый являются его определением и указы-
указывают, как его вычислить. Функция (ат), вообще говоря, кусочно непре-
непрерывна с разрывами первого рода в угловых точках Г. Третий член есть
интеграл первого рода от нее по Г. Мы считаем ds = т ds, где ds есть
вектор, имеющий длину ds и направление т. Это объясняет обозначение
криволинейного интеграла, выражаемое первым членом в B).
Если Г_ — та же кривая, но с противоположной ориентацией, то еди-
единичный вектор ее касательной равен —т, поэтому /г (a ds) = — /г (a ds).
Так как cos(r,x) = ip'(s), cos(r,y) = ^'(s), cos(r,2:) = x'(s), то кри-
криволинейный интеграл B) может быть записан в виде
г г
/ (ads) = / (Р cos(t, х) + Q cos(r, у) + R cos(r, z))ds =
Jv Jv
Ms),x(s))x'(s))ds, C)
где правая часть представляет собой обычный определенный интеграл.
Ориентированную гладкую кривую Г можно задать при помощи не-
некоторого параметра t посредством уравнений
x = <p!(t), y = Mt), z = xi(t), to^t^To, D)
где t = X(s) — функция, имеющая на [0, Л] непрерывную производную
Xf(s) > 0. Тогда интеграл B) будет вычисляться по формуле
/(ads)=
Jr
/ °
t0
E)
§13.2. Криволинейный интеграл второго рода 441
Мы произвели замену переменной s на t в определенном интеграле,
стоящем справа в C). В силу этой замены, например,
ds = (Vl№ ?) (jf <tt) = №) dt.
Второе выражение в B) считается удобным обозначением криволи-
криволинейного интеграла от а по ориентированной кривой Г. Его еще называют
криволинейным интегралом второго рода. Оно не только обозначает
этот интеграл, но и указывает, что надо сделать, чтобы его вычислить.
Нужно кривую Г записать в виде уравнений D) с параметром ?, возраста-
возрастающим соответственно ориентации Г, положить в указанном выражении
х = (^i(t),... , dx = (pfi(t) dt,... и вычислить определенный интеграл
от полученной функции от t по отрезку [to, То].
Ориентированную кривую Г можно рассматривать как сумму двух
ориентированных кривых Fi, Г2, соответствующих изменению парамет-
параметра s на отрезках [0, s*], [s*, Л], 0 < s* < Л. Тогда, очевидно,
/ (Pdx + Qdy + Rdz) =
Jv
= / (Pdx + Qdy + Rdz) + / (Pdx + Qdy + Rdz).
Если ориентированный контур Г замкнут, то взятый вдоль него криво-
криволинейный интеграл от а называют еще циркуляцией вектора а по Г.
Бывает так, что имеется несколько ориентированных кривых Ci,...
..., Cm, вовсе не связанных друг с другом, и удобно обозначить через
С = С\ + ... + Сш их объединение — тоже ориентированную кривую.
Тогда по определению считают, что криволинейный интеграл от а по С
равен сумме криволинейных интегралов от а по Ck:
« т „
Jc k=1 Jck
Формула E) верна не только для гладкой, но и для кусочно глад-
гладкой непрерывной кривой D). Ведь тогда Г есть конечная сумма гладких
ориентированных кусков Fj, соответствующих отрезкам [sj,sj+i] или
[tj, tj+i] изменения дуги s или параметра t. Поэтому
110
j=1Jtj
где под интегралом справа подразумевается такое же выражение, как под
интегралом справа в E).
442 Гл. 13. Теория поля
Наконец, заметим, что если а есть поле некоторой силы, то интеграл
(криволинейный) от а по Г есть, очевидно, работа а вдоль ориентиро-
ориентированного пути Г.
§ 13.3. Поле потенциала
Очень важным случаем поля вектора а является тот, когда на облас-
области G, где задано поле, существует функция U(x, у, z), имеющая непре-
непрерывные частные производные, для которых выполняются равенства
аи _ аи п эи
— = Р, —=Q, — = R на G.
дх ду dz
Такую функцию U называют потенциальной функцией вектора а. Го-
Говорят еще (см. § 7.6), что вектор а есть градиент функции С/, и пишут
аи. аи. аил
__1 + __J + __k = a.
Докажем теорему.
Теорема 1. Пусть на области GcM3 задано поле вектора
а, непрерывного на G. Следующие утверждения эквивалентны:
1) существует на G однозначная функция U = U(x,y,z), имею-
имеющая непрерывные частные производные, для которой на G выпол-
выполняется равенство gradt/ = a;
2) интеграл от а по любому замкнутому непрерывному кусочно
гладкому контуру С, принадлежащему G, равен нулю:
L
(ads) =0;
с
3) если Aq — определенная фиксированная точка G, то интег-
интеграл Jc (a (is) no любой ориентированной кусочно гладкой кривой
Саоа С G с началом в Ао и с концом в А зависит от Ао и А, но не
зависит от ее формы; таким образом, при фиксированной точке Aq
I
САоа
Функция V(x,y,z) есть потенциальная функция вектора а на G
(однозначная). Она отличается от U на константу.
Доказательство. Из утверждения 1) следует 3). В самом
деле, пусть на G существует функция U, потенциальная для а.
§13.3. Поле потенциала
443
Зададим на G определенную точку А$ = (жо, уо, ^о) и переменную
точку А = (x,y,z). Соединим А$ с А непрерывной кусочно гладкой
кривой С = Саоа, определенной уравнениями
Таким образом, значениям to и t параметра т соответствуют точки
Ао и А.
Если подставить в U вместо x,y,z соответственно функции ср, ф, \->
то U будет непрерывной кусочно гладкой функцией от т. На основании
теоремы о производной сложной функции в точках гладкости С (где С
имеет касательную)
dU _ dU dcp dU di/j dU dX
dr dx dr dy dr dz dr
Отсюда следует, что
/ (Pdx + Qdy + Rdz) = / ^ dr =
Jc Jtn dr
= U(x,y,z) - U(xo,yo,zo) = U(A) - ЩАо) = V(A),
т. е. криволинейный интеграл при фиксированной точке Ао зависит толь-
только от положения точки А Е G, но не от пути, по которому она достигается
из точки Ао.
Наоборот, из 3) следует 1). В самом деле, зададим фиксированную
точку Ао Е G. Пусть известно, что данное поле вектора Ао таково, что
криволинейный интеграл по любой кусочно
гладкой кривой, соединяющей Ао с произ-
произвольной точкой А Е G, не зависит от этой
кривой, а зависит только от точки А. Та-
Таким образом, существует функция V(A) та-
такая, что
/ (Pdx + Qdy + Rdz) =
JС А„ Л
= V(A)=V(x,y,z).
Рис. 13.1
Чтобы доказать, что ^ = Р в точке А = (x,y,z), принадле-
принадлежащей G, будем рассуждать следующим образом. В пределах облас-
области G проведем отрезок А^А\^ параллельный оси ж, где A<i — (х2,у, z),
А\ — (#1,2/, г), Х2 < х < х\. Соединим Ао с А<2 произвольной не-
непрерывной кусочно гладкой ориентированной в направлении от Aq к А2
444 Гл. 13. Теория поля
кривой С\ и обозначим через С отрезок A<iA, ориентированный от A
к А. Тогда С = Ci + С" (рис. 13.1) и
V(x,y,z)= [ (Pdx + Qdy + Rdz)+ f Pdx, A)
f Pdx,
JC
так как очевидно, что Jc, Q dy = Jc, Rdz = 0.
Кривая С\ в дальнейшем рассуждении не будет изменяться, и потому
первый интеграл в правой части A) можно считать константой, которую
мы обозначим через К. Таким образом,
V(x,y,z) = K + f P(t,y,z
)dt.
Функция Р непрерывна, в частности, непрерывна по ж, поэтому ^ =
= P(x,y,z), и мы доказали нужное равенство. Аналогично докажем
равенства
9V _ п dV _
строя специальные, соединяющие точки А$ и Ai, кривые, заканчиваю-
заканчивающиеся при подходе к А\ отрезком, в первом случае параллельным оси у,
и во втором — оси z. Мы доказали 1) при U = V.
Эквивалентность 2) и 3) тривиальна. В самом деле, пусть имеет
место 2) и С = САоА, С" = СдоА — два принадлежащих G пути,
соединяющих точки Aq и А. Тогда С + C'L — замкнутый контур и
JC JC'J JC
О
I с
т. е. выполняется 3). Наоборот, если имеет место 3) и С С G — замкну-
замкнутый контур, то, представив его в виде суммы С = С' + С" каких-либо
контуров, получим
JC J С JC" J С JC"
так как С и С" соединяют одну и ту же пару точек.
Если определенный на открытом множестве G вектор
а = Pi + Qj + Rk
> 13.3. Поле потенциала 445
является не только непрерывным, но и имеет непрерывные частные про-
производные, то имеет смысл вектор
dR dQ\. (дР dR\. fdQ дР
UJ1+JJ+
называемый роторов вектора а.
Если для вектора а выполняется одно из утверждений 2) или 3) пре-
предыдущей теоремы, то на основании этой теоремы на G можно определить
однозначную (потенциальную) функцию U(x,y,z), имеющую непрерыв-
непрерывные частные производные, так что Щ^ —Р, Щ- = Q, <HL = R.
В таком случае если функции P,Q,R имеют на G непрерывные част-
частные производные, то U имеет непрерывные частные производные второго
порядка и имеют место равенства
0Q дР d2U d2U
дх ду дхду дудх
dR dQ _ d2U d2U
ду dz ~ dydz dzdy
дР_ dR _ d2U d2U
dz дх dzdx dxdz
= о,
= 0.
Мы пришли к следующей теореме.
Теорема 2. Если поле вектора а, имеющего на открытом
множестве G непрерывные частные производные, обладает тем
свойством, что для любого ориентированного кусочно гладкого за-
замкнутого контура С С G
/(ads)=0, B)
Jc
то
rota = 0 на G. C)
Обратная теорема для произвольного, пусть даже связного, множес-
множества G не верна. Но она верна во всяком случае, если G = {а\ ^ х ^
^ Ьъ а2 ^ У ^ ^2, &з ^ z ^ Ьз} есть прямоугольный параллелепипед.
В этом случае для определенного на G непрерывно дифференцируемого
вектора а, имеющего rot a = 0, эффективно строится его потенциал по
формуле
(x,y,z)= I P(u,yo,zo)du+ / Q(x,v,zo)dv+
Jx0 Jyo
/
J ZQ
U(xo,yo,zo), (x,y,z)eG, D)
446 Гл. 13. Теория поля
где (жо,^/о5^о) ? G — произвольная фиксированная точка и
U(xo,yo,zo) — произвольная константа. В самом деле (пояснения
ниже),
п, ^ [VdQ, w ГдЯ,
P{x,yo,zo) + / —{x,v,zo)dv+ / — (x,y,w)
ry gp rz gp
= P(x, yo,zo) + / — (ж,?;,2:о)б^ + / — (x,y,
Jyo dy Jzo dz
—
yo
x, y, z0) - P{x, yo, z0)) + (P{x, y, z) - P{x, y, z0)) =
= P(x,y,z),
где мы применили формулу Ньютона-Лейбница, свойство C) и, кроме
того, дифференцирование под знаком интеграла. То, что последнее в дан-
данном случае законно, будет обосновано позже (в § 13.12). Аналогично до-
доказывается, что Щ- = Q, ^ = R. Таким образом, gradt/ = а и,
следовательно, выполняются равенства B) для любого ориентирован-
ориентированного (замкнутого) контура С С G.
Заметим, что правая часть D) без последнего члена представляет
собой криволинейный интеграл от вектора вдоль трехзвенной ломаной.
Но имеет место более общая
Теорема 3. Пусть область G односвязна, т. е. такова, что
любой принадлежащий ей кусочно гладкий контур можно стянуть
в точку Р° С G так, что в процессе стягивания*) он будет на-
находиться в G. Тогда из того, что определенный на G непрерывно
дифференцируемый вектор а имеет rota = 0, следует выполнение
равенства B) для любого ориентированного замкнутого контура
С cG.
Таким образом, из теоремы 3 следует существование определенной
на G однозначной функции, потенциальной для вектора а на G.
Область, находящаяся между двумя концентрическими шаровыми
поверхностями, удовлетворяет условию теоремы, между тем как об-
область, представляющая собой все пространство без оси z, не удовлетво-
удовлетворяет этому условию, и в этом последнем случае можно указать пример
(см. ниже) поля вектора, для которого теорема 3 не верна.
Все понятия и теоремы, о которых была речь выше, легко переносят-
переносятся на плоский случай. В плоскости R2 рассматриваются произвольные
кусочно гладкие ориентированные кривые
х = ip(t), у = ip(t), a ^ t ^ Ъ, а <Ъ,
принадлежащие заданной области G. На G задается поле непрерывного
вектора а = Р(х,у) i + Q(x,y) j.
*) Математическое описание понятия "стягивание в одну точку" дается в
конце этого параграфа мелким шрифтом.
> 13.3. Поле потенциала 447
Криволинейный интеграл от а по кривой С определяется в точности
так же, как в трехмерном случае. Его можно рассматривать как частный
случай (см. § 13.2, C)), полагая
Д = 0, Р = Р(х,у), Q = Q(x,y).
Таким образом,
/ (ads) = / (Pdx + Qdy) =
Jс Jс
= f
J a
Теперь уже потенциальная функция U вектора а, если она существует
на G, есть однозначная, определенная на G функция U = U(x, у) от двух
переменных. Ее градиент равен:
ЛТТ 8U . 8U .
gradt/ = —-1+ -^-j = a.
дх ду
Таким образом, в плоском случае теоремы 1—3 могут быть сформу-
сформулированы следующим образом.
Теорема 1'. Для поля G Э (х,у) непрерывного вектора
(P(x,y),Q(x,y)) следующие утверждения равносильны:
1) Jr(ads) = 0 для любого (непрерывного кусочно гладкого) замк-
замкнутого контура Г С G;
2) интеграл fr(a.ds) зависит только от конечных точек Г;
3) на G для вектора а существует потенциальная функция
Щх,у).
Теорема 2'. Если вектор а непрерывно дифференцируем на G
и имеет на G потенциал, то
дх ду
Это вытекает из равенства
rota = Oi + Oj+ (^-^P\k = O на G
\дх ду J
(см. C)).
Теорема 3'. Если область G односвязна и на ней выполня-
выполняется тождественно E), то вектор а имеет на G потенциал.
448 Гл. 13. Теория поля
Это утверждение есть частный случай теоремы 3, доказываемой
ниже. Ее можно также наглядным образом получать из доказываемой
ниже теоремы Грина.
Пример 1. Вектор а с компонентами
Р(х,у) = -Q(xV) =
- , yz xz-\-yz
имеет непрерывные частные производные на области G, представляющей собой
плоскость с выкинутой нулевой точкой. Легко проверить, что rot a = 0 на G.
Область G не удовлетворяет условию теоремы 3, и сама теорема в данном случае
неверна.
В самом деле, введем область G*, полученную выкидыванием из плоскости
х,у отрицательного луча х ^ 0 оси х. На G* согласно теореме 3 существует
функция U с grad U = а. Ее можно определить в переменной точке (ж, г/), напри-
например, как криволинейный интеграл от а по любому пути С С G*, соединяющему
фиксированную точку, пусть A, 0) с (ж, у):
U\x->y) = / о~~ о •
Jc xz + yz
Однако эта функция не может быть продолжена с G* на всю плоскость
так, чтобы она была там однозначной и непрерывной.
В самом деле, значение U(x,y) в произвольной точке (cos #, sin в) ? G*
окружности радиуса 1 с центром в нулевой точке равно
[/(cos (9, sin в) = /
Jo
Чтобы прийти в точку (—1,0) (лежащую на выкинутом луче), мы можем дви-
двигаться по нашей окружности, увеличивая в до тг или уменьшая в до — тг. В первом
случае предельное значение U будет равно тг, а во втором — тг, т.е. функция U не
может быть продолжена нужным образом на всю плоскость.
Так как произвольная потенциальная для а на G функция должна отличать-
отличаться от рассмотренной функции U(x, у) на постоянную, то доказано, что вообще не
существует определенной на G однозначной функции, которая была бы потенци-
потенциальной для вектора а (всюду на G).
Мы сознательно провели сравнительно длинное рассуждение, чтобы обосно-
обосновать это утверждение. Его можно заменить следующим, более кратким. Сущест-
Существуют замкнутые, принадлежащие G гладкие контуры такие, что интегралы от на-
нашего вектора а по ним не равны нулю. Например, таким контуром является окруж-
окружность радиуса 1 с центром в нулевой точке — для нее
/>2тг
(ads) = / d6 = 2тг.
с Jo
Но тогда на G не может быть определена однозначная функция U, потенциальная
для а (всюду на G), потому что существование такой функции противоречило бы
теореме 1.
> 13.3. Поле потенциала
449
Доказательство теоремы 3. Оно основано на том, что
она верна, если G есть куб.
Зададим произвольный замкнутый кусочно гладкий контур Г С G:
0
Здесь параметр и пробегает отрезок [0,1], что, очевидно, не уменьша-
уменьшает общности. Тот факт, что контур Г указанным в теореме 3 образом
стягивается в точку, описывается так: существует поверхность S С G,
описываемая функциями
х = <р(и, ?),
у = ф
^ ?, 0
щ ?), z = х
t ^ 1} = А,
E)
непрерывными, дифференцируемыми по ? на треугольнике А и кусочно
гладкими непрерывными по и на [0, t] и такими, что
Так как S ограничена и замкнута, G открыто и S С G, то найдется
число d > 0 такое, что, какова бы ни была точка А Е 5, любой покрыва-
покрывающий ее куб с ребром длины d принадле-
принадлежит G. А ^ В
Будем обозначать через а кубы, принад-
принадлежащие G.
Будем говорить, что множество е' С S
есть образ множества е С А, если е' есть
совокупность точек, полученных как ото-
отображения точек е при помощи трех функ-
функций E).
Рассечем А прямоугольной сеткой (рис.
13.2), настолько густой, чтобы образы Л' по-
полученных частиц Л помещались в кубах а
с ребром d. Ориентируем соответственно " Рис. 13.2
границы 7 частиц Л (рис. 13.2). Им соот-
соответствуют замкнутые непрерывные кусочно гладкие кривые j' С G.
Каждая из них принадлежит некоторому кубу а (У С а С П), поэтому
(a (is) = 0.
О
15 СМ. Никольский
450
Гл. 13. Теория поля
Сумма всех таких интегралов равна нулю:
0 = V / (ads) = / (ads) + / (ads) + / (ads) = / (ads),
J<y' J(ABY J(BOy J(OAY JV
потому что (АВУ = Г, a {BO)f и {АО)' обозначают одну и ту же кривую,
ориентированную противоположно.
§ 13.4. Ориентация плоской области
В плоскости можно задать две прямоугольные системы координат,
изображенные на рис. 13.3 и 13.4.
Они существенно отличны друг от друга в том смысле, что невоз-
невозможно, передвигая обе геометрические системы в плоскости как твердые
тела, совместить их так, чтобы одновременно совпали положительные
направления их осей х и положительные направления их осей у.
Зададим в обеих системах координат круги с центром в точках 0. На
окружностях кругов считаем положительными направлениями обхода
Рис. 13.3
Рис. 13.4
такие, что, двигаясь по ним, проходится кратчайшее расстояние от по-
положительного направления оси х до положительного направления оси у
(четверть окружности, а не три четверти). В случае системы, изобра-
изображенной на рис. 13.3, для этого придется взять направление обхода круга
против часовой стрелки, а в случае рис. 13.4 — по часовой стрелке.
В первом случае, двигаясь по окружности в положительном направ-
направлении, мы оставляем внутренние точки обходимого круга слева, а во вто-
втором случае — справа. Это обстоятельство дает основание для дальней-
дальнейших обобщений.
Пусть задана область п с кусочно гладкой границей С, которая
может состоять из конечного числа замкнутых, самонепересекающихся
контуров, так что П находится внутри одного из них и вне остальных. За-
Зададим на С направление обхода так, чтобы при движении по С в этом на-
направлении область оставалась слева (см. рис. 13.3). Такое направление
обхода в случае первой системы называется положительным, а проти-
противоположное — отрицательным. Если область П задана во второй сис-
системе, положительное направление соответствует такому обходу, что при
этом область остается справа (см. рис. 13.4).
§13.5. Формула Грина
451
§ 13.5. Формула Грина *). Выражение площади
через криволинейный интеграл
Для достаточно общих плоских областей П с положительно ориен-
ориентированной границей Г справедлива формула
называемая формулой Грина. Здесь предполагается, что Р, Q, -^,
непрерывны на п.
У>
d
с
0
D
А
С
В
а Ъ х
Рис. 13.5
У
d
с
0
"У'
i
i
а 1
С
В
э х
Рис. 13.6
Докажем формулу Грина для прямоугольника (рис. 13.5) А =
= {а < х < Ъ] с < у < d}:
3dxdy=f[d^
[ [ )Q(x,y)dy= [ Q(x,y)dy,
rBC JtdaJ Jt
- ff ^dxdy = - f (P(x,d)-P(x,c))dx =
JJa ОУ Ja
f
rCD
= [ P(x,y)dx,
и формула A) доказана.
*) Д. Грин A793-1841) — английский математик. Другой вывод формулы
Грина см. в § 13.10.
15*
452 Гл. 13. Теория поля
Докажем теперь A) для области ио, изображенной на рис. 13.6, где
дуга АВ описывается непрерывной строго возрастающей на [а, Ъ] функ-
функцией у = \{х). Обратную к ней функцию обозначим через х = /л(у),
с ^ у ^ d. Имеем
^dxdy = J (Q(b,y)-Q(ji(y),y))dy =
11
= ( / - / J Q(x, y)dy = I Q(x, y) dy,
rb /*Л(ж) Qp rb
= -/ / —-dydx = - (P(x,X(x))-P(x,c))dx =
Ja J с Oy Ja
Of f \ f
+ / )P(x,y)dx= / P(x,y)dx,
откуда и следует A).
Если повернуть область uj как твердое тело вокруг начала коорди-
координат на угол тг/2, тг, Зтг/2, оставив систему координат неизменной, то мы
получим еще три множества, которые вместе с uj мы будем называть мно-
множествами типа uj. Заодно будем всякий прямоугольник называть об-
областью типа uj. По аналогии доказывается, что формула Грина имеет
место для любого множества типа uj.
Справедлива
Теорема. Пусть область ft с непрерывной кусочно гладкой
границей Г обладает тем свойством, что ее замыкание Q может
быть разрезано прямыми, параллельными осям координат х,у, на
конечное число частей, каждая из которых есть область типа uj.
Тогда для П справедлива формула Грина.
Доказательство. Пусть П = U/c=i °°к есть разбиение П
на части типа uj, и пусть Г& обозначает положительно ориентированный
контур ujk. Тогда в силу того, что для областей uj^ формула Грина верна,
получим
ду
N
N
У / (Pdx + Qdy) = / (Pdx + Qdy).
Поясним последнее равенство. Общая граница С всех uj^ состоит из Г
и суммы конечного числа отрезков, каждый из которых принадлежит П
§13.5. Формула Грина
453
и служит границей двух соседних областей типа и. При этом отрезок
обходится два раза в противоположных направлениях, и поэтому кри-
криволинейные интегралы, соответствующие этим обходам, компенсируют
друг друга. Остается только интеграл по Г.
На рисунке 13.7 изображена область (двухсвязная), разбитая на ко-
конечное число областей типа ио.
Замечание 1. В доказанной теореме, очевидно, можно всю-
всюду заменить кусочно гладкие непрерывные кривые на ломаные — непре-
непрерывные кривые, состоящие из конечного числа прямолинейных отрезков.
Если плоская область ограничена замкнутой ломаной, то ее можно раз-
разрезать прямыми, параллельными осям, на конечное число tj-областей, и
потому к такой области применима теорема Грина.
Пусть теперь некоторая плоская область П односвязна и на ней задан
вектор а, для которого -$^ — ^f- = 0. Зададим произвольный замкнутый
ломаный контур Г С П. Если он не самопересекается, то все точки внут-
внутри него принадлежат П и, следовательно,
по теореме Грина У1
8Q
dx
0= Г^--^-
дР
ду
Если же контур Г самопересекается, то он
образует конечное число петель. Интеграл
от а по контуру каждой петли, очевидно,
равен нулю, а в целом Jr(ads) = 0. Это
показывает, что вектор а на П имеет потен- Рис. 13.7
циальную функцию.
Замечание 2. На практике часто приходится иметь дело с фор-
формулой Грина в том случае, когда функции Р wQ непрерывны на П, а их
частные производные -^ и ^- непрерывны только на П, и тогда обычно
формула Грина A) верна, только кратный интеграл в ее левой части на-
надо понимать в несобственном смысле. Пусть в качестве примера п есть
круг х2 + у2 = 1. Обозначим через П? концентрический с ним круг
х2 + у2 = A — еJ (е > 0) с границей Г5 (окружностью радиуса 1 — е).
Тогда в силу уже доказанного
- sJ - x2 dx+
r
J—
l-s
1+e
г —
/
Jl—
—1+е
— 1+e
Q{-v/(l-eJ-y2,y)dy, e>0. B)
Так как Р(х,у) и Q(x,y) равномерно непрерывны на П, то правая
часть B) при е —> 0 стремится к пределу, равному результату
454 Гл. 13. Теория поля
подстановки в нее е = 0, но тогда и левая часть стремится в пределе к
несобственному кратному интегралу (с особенностями на Г, см. § 13.13,
замечание 1):
Пусть П есть плоская область, к которой применима формула Грина,
и Г — положительно ориентированная ее граница. Тогда площадь п
равна
\J ^JJ dxdy = \п\, C)
что следует из формулы Грина, если положить в ней Р = —у, Q = х.
Из формулы C), очевидно, следует равенство
\ f (xdy-ydx) = ±\U\, D)
где плюс соответствует случаю, когда контур Г ориентирован положи-
положительно (Г = Г+), а минус — когда контур Г ориентирован отрицательно
(Г = Г_).
Пример 1. Площадь эллипса, точнее, площадь внутренности эллипса,
заданного параметрически уравнениями ж = acos#, у = bsm6, 0 ^ в < 2тг,
равна
\п\
1 Г27Т nb Г27Т
= - (a cos в Ъ cos в -Ъ sin в {-a sin в)) <10 =— / dO = тгаЪ.
2 Jo 2 Jo
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода
Пусть гладкая поверхность S определяется уравнениями
r(u,v) = cpi + ф} + xk, (u,v)eQ,^S, \ru x rv\ > 0, A)
где П — измеримая область и (р,ф,х — непрерывно дифференцируемые
на П функции.
Пусть, далее, на S или в окрестности S задана непрерывная функция
F(x,y,z).
Интегралом первого рода функции F по поверхности S называется
выражение
/ F(x,y,z)ds= / F((p(u,v)^(u,v),x(uiv))\*u * fvldudv. B)
Js Jn
§13.6. Интеграл по поверхности первого рода
455
Слева в B) стоит обозначение интеграла первого рода от функции
F по 5, а справа — его определение. Чтобы вычислить этот интеграл,
надо в выражение слева подставить вместо x,y,z соответственно функ-
функции cp(u,v), ф(и,у), x(ujv) и считать, что (is = \ru x rv\dudv— диф-
дифференциальный элемент поверхности S (см. § 12.19).
Очевидно, если бы S представляла собой материальную поверхность
с плотностью распределения массы, равной
р = F(x, у, z) = F((p(u, у),ф(и, v),x(u, v)),
то при помощи интеграла B) вычислялась бы масса поверхности S.
Если поверхность S задана при помощи другой пары параметров
г =
где
и = A(V,г/), v = »(u',v'), (uf,vf) e П',
— непрерывно дифференцируемые на П функции, устанавливающие вза-
взаимно однозначное соответствие
с якобианом
(u,v) ^ (u',v'
D(u',v'
D(u,v)
0, (u,v) e и,
то формула B) остается инвариантной.
В самом деле, замена переменных u,v на uf,vf в интеграле B)
приводит к выражению
Fds=
dur dvr,
потому что
ru x iv
D(u,v)
D(u',vf)
= f(D(y,z) D(u,v)
\D(u,v) D(u',v')
D(z,x) D(u,v)
D(u,v) D(u',vr)
D(x,y) D(u,v)
D(u,v) D(u',vr)
2\ 1/2
D(z,x)
D(u',vr)
Yu, X Tvi
456 Гл. 13. Теория поля
Если гладкая поверхность S определяется уравнением z = f(x,y),
(х,у) G G, где / непрерывна вместе со своими частными производными
первого порядка на G, то можно считать, что она задана параметрически
через параметры ж, у:
х = х, у = у, z = f(x,y). C)
Тогда
и, следовательно,
F(x,y,z)ds = f F(x,yJ(x,y))y/r^PTq*dxdy. D)
Замечание. Если поверхность гладкая, т.е. описывается
параметрически уравнениями A) с указанными там свойствами функций
(р, ф, х и в т0 же время описывается уравнением вида C), то часто
функция z = f(x,y) непрерывна на G, но ее частные производные
непрерывны только на G и неограничены при подходе к границе G.
Например, такое явление имеет место при вычислении интеграла от F
по верхнему полушарию. В этом случае формула D) для интеграла от F
по S остается верной, но интеграл в правой ее части надо понимать в
несобственном смысле:
/ = lim / ,
Jg z>°Jg '
где G? — множество точек G, отстоящих до границы G на расстоянии,
большем, чем г > 0.
Интеграл по поверхности S (первого рода) функции F можно опреде-
определить еще и следующим образом.
Разобьем п на измеримые части, пересекающиеся попарно разве что
по своим границам. Каждой части uj соответствует определенный ку-
кусок Sj поверхности S. Пусть Aj = (xj,yj, Zj) — произвольная точка
на Sj. Составляем сумму
N
где | Sj | — площадь Sj (см. § 12.19). Предел ее равен интегралу от F по S:
N
lim Х>(А/I5*1 = / F(x,y,z)dS. E)
max d(Qj)^O .—* Jg
§13.7. Ориентация поверхностей
457
В самом деле, пусть Aj = (xj,yj,Zj) и Xj = ip(uj,Vj),
= ip(uj,Vj), Zj =x(u>j,Vj), j = 1,... ,N, (iij,Vj)euj. Тогда
N
iV
iV
3 = 1
0 JJn
кающее при применении теоремы о среднем число (nij
ниже). Ведь очевидно, что (К > \F(A)\)
N
\Щ
3 = 1
N
max d(Qj)^>0
где знак | \j обозначает, что в | | подставлена точка Aj, a \ij есть возни-
Mj — см.
Mj = sup
Kz2(M3 -тз) №э\ -* °j maxd(fij) -^ 0,
mj = inf
§ 13.7. Ориентация поверхностей
В трехмерном пространстве имеются две существенно различные
прямоугольные системы координат, изображенные на рис. 13.8 и 13.9.
Отличие их друг от друга заключается в том, что невозможно осущест-
Рис. 13.8
Рис. 13.9
вить такое движение одной из систем, чтобы в результате его оказались
совмещенными точки 0 и одноименные положительные полуоси x,y,z
обеих систем.
Первую систему (рис. 13.8) называют левой, вторую (рис. 13.9) —
правой. Если смотреть снизу вверх вдоль положительной оси z, то для
458
Гл. 13. Теория поля
совмещения положительной оси х с положительной осью у в кратчайшем
направлении в случае рис. 13.9 нужно вращать ось х в плоскости ж, у
слева направо, а в случае рис. 13.8 — справа налево (против часовой
стрелки).
С каждой из рассматриваемых двух систем естественно связать
штопор — комбинацию, состоящую из единичного, направленного в по-
положительном направлении оси z вектора и перпендикулярного к оси z
кружка (головки штопора), на границе которого (окружности) задано
направление обхода от оси х к оси у в кратчайшем направлении.
Если в случае рис. 13.9 считать, что ось z есть ось винта (штопора),
скрепленного с головкой и имеющего "правую нарезку", то, вращая го-
головку в направлении стрелки, мы заставим штопор двигаться в направ-
направлении положительной оси z. Того же эффекта мы достигнем в случае
рис. 13.8, если ось z будет осью винта, имеющего "левую нарезку".
Головка может быть искривлена, т. е. может представлять собой ку-
кусок гладкой поверхности, не обязательно плоской, но такой, что ось z есть
нормаль к этому куску в точке 0. И в этом случае комбинация из такой
головки, на которой задано направление обхода, и единичной нормали
образует штопор — правый или левый.
Наконец, можно представить себе такой штопор (правый или левый)
с нормальным вектором, идущим в произвольном направлении, не обяза-
обязательно совпадающем с осью z. Для дальнейшего будет важно предста-
представить себе следующую конструкцию. Пусть в трехмерном пространстве
Рис. 13.10
Рис. 13.11
задана прямоугольная система координат (правая или левая) и ориенти-
ориентированная поверхность S. Таким образом, из каждой точки Р Е S выпу-
выпущена единичная нормаль п(Р), непрерывно зависящая от Р. Шар V(P)
достаточно малого радиуса с центром в точке Р высекает из поверхнос-
поверхности S некоторый связный кусок <т(Р), содержащий точку Р. На контуре
(на краю) ^у(Р) этого куска определим направление обхода так, чтобы
вектор п(Р) и кусок сг(Р) образовали штопор, ориентированный так же,
как данная система координат, т. е. если система координат правая (ле-
(левая) , то и штопор должен быть правым (левым).
Если поверхность S имеет край Г, то созданная конструкция естес-
естественным образом приводит к определенному направлению обхода на Г
(рис. 13.10). Обратим, например, внимание на точку А контура Г. В
§13.7. Ориентация поверхностей
459
нейнаправления обхода по Г и по замкнутому искривленному принадле-
принадлежащему 5 кружочку 7 совпадают.
Если бы данная поверхность была ориентирована противоположным
образом, а система координат осталась прежней, то определенные выше
направления обхода нужно было бы заменить на противоположные.
На рис. 13.11 нарисована ориентированная поверхность с краем, со-
состоящим из двух замкнутых гладких кривых Fi и Г2.
Отметим еще следующий факт. Пусть ориентированная гладкая
поверхность 5 разрезана на две ориентированные так же поверхнос-
поверхности Si, 52 гладкой дугой h (рис. 13.12). Тогда направления обхода кон-
контуров Si и 52 вдоль дуги h противоположны.
Z
-У/
J
X
Рис. 13.12
Рис. 13.13
Это замечание будет руководящим для того, чтобы правильно опре-
определить понятие ориентированной кусочно гладкой поверхности.
Кусочно гладкая поверхность 5 называется ориентированной, если
каждый из ее гладких кусков ориентирован и возникающие при этом
направления обхода контуров этих кусков согласованы в том смысле, что
вдоль каждой дуги, где два таких контура совпадают, направления их
обхода противоположны.
На рис. 13.13 нарисован куб, поверхность которого ориентирована
при помощи ее внешней нормали.
Малые куски ориентированной поверхности (элементы поверхности)
удобно считать векторами.
Пусть 5 есть ориентированная гладкая поверхность; таким образом,
из каждой точки А Е 5 выпущена единичная нормаль п(А) к 5 в А, не-
непрерывно зависящая от А. Пусть а есть гладкий кусок 5. Будем считать,
что сг есть вектор, скалярная величина которого равна площади |сг| кус-
куска а, а направление определяется вектором п(А), где А есть какая-либо
точка а. Таким образом, сг — \о\ п(А).
Этим, конечно, вектор сг однозначно не определен. Однако если диа-
диаметр d{a) мал, то направление п(А) не выходит за пределы некоторого
малого конуса, и если а есть переменный кусок, постоянно содержащий
фиксированную точку Ао, то, очевидно, п(А) —>> n(A0), d(a) -^ 0, где
d(a) есть диаметр о¦, независимо от того, как выбиралась точка А Е <т
для каждого а.
Дифференциальный элемент ориентированной поверхности 5 в
точке А Е 5 естественно считать вектором dS = n(A) dS, который
460 Гл. 13. Теория поля
равен произведению дифференциального элемента площади S в точке А
на вектор единичной нормали п(А), определяющей ориентацию S.
Если S задана уравнением
г = r(u,v) = (pi + ф} + Xk, (w,u) e G,
то п(А) определяется одним из двух равенств:
^Ц^ A)
и dS = |fw x fv| dudv. Отсюда
dS = ±{ru x fv) diAdv. B)
В дальнейшем мы будем считать, что в A), B) выбран знак + . Это-
Этого всегда можно достигнуть, поменяв в случае необходимости местами
параметры uwv. Мы этим хотим сказать, что если задана определен-
определенная ориентированная гладкая поверхность 5, то всегда можно счи-
считать, что она описывается такой вектор-функцией г = r(u,v),
что единичная нормаль п(А), А Е 5, определяющая ориентацию 5,
выражается равенством
*" (з)
и соответственно
dS = (ги х f-y) dudv. D)
Если мы хотим, чтобы в этих выражениях при преобразовании пара-
параметров u,vb параметры u',v' не появился знак минус, то нужно, чтобы
якобиан преобразования дл^/'^/л был положительным. Действительно,
D(y,z) { | Д(г,ж) . | D(x,y)
v) D(uv) D(u
I
D(u,v)
D(y,z) . , Д(г,а;) . , D(x,y) ,, ?>(«
J J K
| / Д(г,а) V |
D(u,v)
D(u',v')J \D(u',v')J V^«v'),
fu/ x fv/ . D(u',v')
ru/ x tv/\ D(u,v)
§13.8. Интеграл по ориентированной плоской области 461
Таким образом, формула C) (со знаком +) для единичной норма-
нормали п(А) (а вместе с ней и формула D)) инвариантна только по от-
отношению к преобразованиям параметров, имеющим положитель-
положительный якобиан. Поэтому следует рекомендовать преобразования с поло-
положительным якобианом.
Однако иногда мы вынуждены рассматривать преобразования с от-
отрицательным якобианом. Тогда надо следить за правильностью знаков.
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области
Пусть в плоскости, где задана прямоугольная система координат ж, у,
определена область G с кусочно гладкой границей Г и на Г задано на-
направление обхода. Ориентированную таким образом область G обозна-
обозначим через G+ или G— в зависимости от того, ориентирован ли контур Г
положительно или отрицательно.
Пусть теперь на G задана интегрируемая функция f(x,y). Введем
понятие интеграла от f no ориентированной области. Именно, по-
положим
/ fdxdy= fdxdy = - fdxdy.
Jg+ Jg Jg-
Полезность этих определений можно видеть из следующего факта.
Зададим две плоскости, где заданы прямоугольные системы координат
ж, у и ж',?/, одинаково ориентированные. Пусть G обозначает ориенти-
ориентированную область плоскости ж, у с кусочно гладкой (ориентированной)
границей Г, и пусть непрерывно дифференцируемое преобразование
х' = (р(х,у), у' = ф(х,у), (ж,у) е G, A)
отображает взаимно однозначно область G на область G' плоскости
х',у' и Г на границу Г' области G'. Будем предполагать, что яко-
якобиан
При этом преобразовании обход Г индуцирует на Г' вполне опреде-
определенный обходи G' можно считать ориентированной областью.
Если D > 0, то при переходе от Г к Г' ориентация Г не меняется.
Если же D < 0, то обходы Г и Г' противоположны.
Докажем это утверждение в предположении, что ф дважды непре-
непрерывно дифференцируема. Пусть ориентированный контур Г определяет-
определяется кусочно гладкими непрерывными функциями ж = A(s), у = /i(s),
О ^ s ^ so; тогда соответствующий (тоже ориентированный) кон-
контур Г'определяется функциями х' — <p(A(s),/i(s)), у' —
О ^ s ^ s0.
462
Гл. 13. Теория поля
Будем для определенности считать, что контур Г' ориентирован по-
положительно, тогда (пояснения ниже)
Щ (\(s),n(s)) A'(s) +
da =
О < \G'\ = J х' dy' =
, ff (dip дф д^ дф\ ff
= ± ^~ "Б ^~ ^~ )dx dV = ± / / Ddxdy.
JJG\dx dy dy dxj JJG
В предпоследнем равенстве применена формула Грина, в силу кото-
которой перед кратным интегралом надо поставить +, если окажется, что Г
ориентировано положительно, или —, если Г ориентировано отрицатель-
отрицательно. Но это выражение в целом положительно, что может быть, лишь если
D > 0 и Г ориентировано положительно или D < 0 и Г ориентировано
отрицательно. Надо учесть, что дх ? = д ^х .
Из сказанного следует, что для любой функции f(x,y), непрерывной
на замыкании G ориентированной измеримой области G,
fffdxdy=ff f^^dx'dy',
JJg JJg> D(x,y)
где G' обозначает соответствующую G ориентированную область. В
этой формуле замены переменных якобиан не пишется под знаком абсо-
абсолютной величины.
У
У
Рис. 13.14
х
Рис. 13.15
х
Аналогично определяются интегралы для областей G+ и G_, опре-
определенных на других координатных плоскостях y,z и z,x.
Остановимся еще на связи ориентации Г со знаком D. В прямо-
прямоугольной системе координат ж, у зададим два неко л линеарных вектора
а' = (а^^а'о) и а" = (а'/,^'). Если определитель
А =
a'i
§13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность 463
положителен, то это указывает на тот факт, что система а', а" ориен-
ориентирована так же, как оси ж, у (рис. 13.14). Если же А < 0, то система
а', а" ориентирована противоположно (рис. 3.15)
Преобразование A) отображает прямоугольную сетку плоскости
ж, у в криволинейную (рис. 13.16-13.18). При этом могут иметь место
два характерных случая отображений, изображенных на рис. 13.17 и на
рис. 13.18.
Квадрат ABCD переходит в криволинейный параллелограмм
А'В'СD', вектор An переходит с точностью до бесконечно малых
высшего порядка в касательную к дуге А' В' в точке А', определяемую
вектором (^-, -^г), а вектор Аи — в касательную к дуге A'D'
У
0
/
А
D
С
\
1
X
У
Рис. 13.16
Рис. 13.17
Рис. 13.18
в точке А', определяемую вектором [р§- •> ~q~\ Если определитель
D' = щх'У\ > 0, то расположение этих векторов будет таким, как на
рис. 13.18, а это приводит к тому, что направления обхода у ABCD и
AfBfCfDf совпадают, а следовательно, и обхода Г и Г'.
Если же D' < 0, то расположение друг к другу касательных векто-
векторов к А'В' и A'D' меняется на противоположное, что влечет за собой
(рис. 13.17) тот факт, что обходы у Г и Г' делаются противоположными.
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность
В трехмерном пространстве R3 с прямоугольной системой координат
x,y,z дана область Н и на ней определено поле непрерывного вектора
A)
В Н задана ориентированная гладкая поверхность 5*:
г = r(u,v) = ср'1 + ф} + хК (u,v)eG, |г^хг„|>
где G — измеримая область в плоскости параметров u,v и
непрерывно дифференцируемые на G функции.
464 Гл. 13. Теория поля
Будем считать, что единичная нормаль к 5* определяется векторным
равенством (см. сказанное в связи с § 13.7, A), C))
и{А) = гцхг„
Тогда косинусы углов п = п(А) с осями x,y,z выражаются равенствами
D(y,z) D(z,x)
cos(n, x) = х — , cos(n, у) = х ¦— ,
D(u,v) D(u,v)
, ч D(x,y) 1 [ }
cos(n,2:) — x-
D(u,v)
Будем еще обозначать через S ту же поверхность, но не ориентиро-
ориентированную — с нее снята ориентация.
Потоком вектора а через ориентированную поверхность 5* на-
называется интеграл (первого рода) по S
/(adS*)= /(an) dS C)
от скалярного произведения
(an) = Р cos(n, x) + Q cos(n, у) + R cos(n, z)
вектора а поля и единичной нормали п, определяющей ориентацию 5*.
Так как (an) есть непрерывная функция от точки (и, v) E G, то
интеграл C) первого рода по S имеет смысл.
Например, пусть в поле Н имеет место стационарное течение жид-
жидкости, так что скорость ее а в какой-либо точке А Е Н зависит от А, но
не зависит от времени. Поток ее скорости через ориентированную по-
поверхность 5* есть количество ее, проходящее в единицу времени через S
в направлении, в котором ориентирована S.
Справедливо равенство
/ (an) ds = / (Pcos(n, x) + Q cos(n, у) + i?cos(n, z)) ds =
,4)
-11
где в правой части стоит обычный кратный интеграл по G, в котором
в Р, Q и R надо поставить вместо x,y,z соответственно функции (р,ф,х
от u,v.
Часто удобно вычислять интеграл D) в декартовых координатах.
Покажем, к каким вычислениям это приводит в предположении, что
§13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность 465
гладкий кусок S поверхности взаимно однозначно проектируется на из-
измеримые части всех трех плоскостей координат. Многие гладкие поверх-
поверхности можно разбить на конечное число таких кусков.
Итак, пусть гладкий кусок S описывается любой из трех функций:
х = fi(y,z), (y,z) e SXJ
у = f2(z,x), (z,x) eSy,
z = /з(ж,з/), (ж,у) е Sz,
D0
D")
непрерывных соответственно на проекциях S на плоскости х = О, у = О,
z = 0 и имеющих непрерывные частные производные, вообще говоря,
только на открытых измеримых ядрах Sx, Sy, Sz
этих проекций (т. е. на проекциях без их границ).
Обозначим еще через 5*, 5*, 5* соответ-
соответствующие ориентированные проекции ориентиро-
ориентированной поверхности 5* на плоскости х = 0, у = О,
z = 0. Обход контура 5* определяет при проек-
проектировании соответствующий обход площадок Sx,
Syi Sz (рис. 13.19). Нормаль п к S образует угол
с осью z, косинус которого равен
cos(n,2:) =
df3
Рис. 13.19
где надо взять + или — в зависимости от ориентации 5*. Имеем
i?cos(n,
-L
R(x,yJ3(x,y))
±1
л/l+P2 + Q2 d
= ±/ R(xJyJf3(xJy))dxdy= / R(x,y, /з(х,у)) dxdy =
Jsz Js*
= / R(x,y,z)dxdy, E)
is*
где предпоследний интеграл взят по ориентированной площадке 5* (см.
§ 13.8). Что касается последнего интеграла в этой цепи, то его надо рас-
рассматривать как обозначение предпоследнего. Это так называемый ин-
интеграл второго рода. Чтобы его вычислить, надо подставить /з(ж, у)
вместо z и проинтегрировать по ориентированной проекции 5*. Из §13.8
мы знаем, что
L-*L
466 Гл. 13. Теория поля
где надо взять + или — в зависимости от того, будет ли площадка 5J
ориентирована положительно или отрицательно. Аналогичные рассуж-
рассуждения могут быть проведены и в отношении остальных двух интегралов
(рис. 13.19):
[ Pcos(n,x)dS= [ P(f1(y,z),y,z)dydz= [ P(x,y,z) dydz,
Js Js* Js*
/ Q cos(n, y) dS = / Q(x,f2(z,x),z)dzdx= / Q(x,y,z) dzdx.
Js Js* Js*
Мы доказали, что поток вектора а через ориентированную поверх-
поверхность 5*, определяемую нормалью п, может быть вычислен по формуле
/ (an) dS = / (Р(х, у, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx+
Js Js*
+ R(x,y,z) dxdy). F)
Если поверхность 5* может быть разрезана на конечное число час-
частей, 5* = J2 $к •> кажДая из которых проектируется на все три координат-
координатные плоскости, то, чтобы вычислить поток а через 5*, можно вычислить
потоки а через каждый из кусков 5^ указанным способом и сложить их.
Правая часть F) называется интегралом по поверхности второ-
второго рода. Знак ее меняется на противоположный при изменении ориен-
ориентации 5*. Левую часть F) тоже называют интегралом по поверхности
второго рода (ориентированной вектором п). Впрочем, при заданном п
(на S) левая часть F) есть интеграл первого рода.
Шаровая поверхность с центром в нулевой точке естественно разре-
разрезается плоскостями координат на 8 кусков, обладающих указанным свой-
свойством. Тор, рассмотренный в примере 3 § 7.20, разрезается на шестна-
шестнадцать таких кусков плоскостями координат и еще цилиндрической кру-
круговой поверхностью радиуса Ъ с осью, идущей по оси у.
§13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского *)
Пусть R3 есть пространство, где задана прямоугольная система ко-
координат x,y,z, G СМ3 — область с кусочно гладкой границей S и на G
определено поле вектора
a(x,y,z) = Pi + Qj + i?k, (x,y,z) eG. A)
*) К.Ф. Гаусс A777-1855) — выдающийся немецкий математик XIX сто-
столетия. М. В. Остроградский — выдающийся русский математик, академик.
> 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского
467
Мы будем предполагать, что Р, Q, R, -|^-, -^, ^ непрерывны на G,
откуда следует, что для вектора а имеет смысл непрерывная функция
дР dQ 8R , ,
divа = — + — + — , (х,у,г)
<9ж ду dz
G,
B)
называемая дивергенцией вектора а.
Будем считать, что поверхность 5 ориентирована при помощи еди-
единичной нормали п, направленной во внешность G.
Целью нашей будет доказательство равенства
/ divadG = /(an) dS
Jg J s
C)
при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на G. Это равен-
равенство называют формулой Гаусса-Остроградского по имени математи-
математиков, ее доказавших.
Формула Гаусса-Остроградского говорит, что объемный интеграл
от дивергенции вектора по области G равен потоку вектора через
границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней
нормали.
Начнем с того, что рассмотрим область Л, изображенную на
рис. 13.20, которую мы будем называть элементарной Hz-областью.
Сверху и снизу Л ограничена поверх-
поверхностями Gi и G2 (с кусочно гладкими
краями), определяемыми соответственно
уравнениями
z = Ai
\i(x,y)
А2(ж,2/),
(х,у) е A
А
z=X2{x,y)
z=X1(x,y)
У
Рис. 13.20
где Л^ — плоская область с (кусочно
гладкой) границей 7, a Ai, A2 непрерывны
наЛ^и имеют непрерывные частные про-
производные на открытом множестве Az. С
боков Л ограничена цилиндрической поверхностью <7* с направляющей 7
и образующей, параллельной оси z.
Пусть 5* есть граница Л, ориентированная при помощи внешней к Л
нормали. Тем самым нижний и верхний куски а^, a^j так же как
боковая повехность а* области Л, соответственно ориентированы. Для
области Л имеют место равенства (пояснения ниже)
р р\ ту р р
—-dA= dxdy
Ja oz JJa
468 Гл. 13. Теория поля
= // {R(xJyJX2(xJy)) - R(xJyJX1(xJy))} dxdy =
R(x,y,X2(x,y))dxdy + // R(x,y,X1(x,y)) dxdy =
= ff ^R(x,y,z)dxdy. D)
Нормаль n к a J, a^ образует с осью z соответственно тупой и острый
углы, поэтому проекции af z, a^ z кусков af, а^ на плоскость z = О
ориентированы: первая отрицательно, а вторая положительно. Это обо-
обосновывает переход от третьего члена цепи D) к четвертому. К сумме,
составляющей четвертый член, можно формально добавить интеграл
Я.
R(x,y, z) dxdy — О,
равный нулю, потому что cos(n, z) = 0 вдоль а*. Но тогда полученная
сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в качестве последнего
члена цепи D) (потоку вектора (О, О, R) через 5*). В формуле C) звез-
звездочка при S опущена.
Этим мы доказали теорему Гаусса-Остроградского для элементар-
элементарной ^-области и вектора (О, О, R).
Назовем теперь область G Hz- областью, если ее замыкание G мож-
можно разрезать на конечное число замыканий элементарных i^-областей:
N
к=1
так, что нижний и верхний куски границы Gk суть части ориентирован-
ориентированной границы 5* области G, и докажем, что для G и вектора (О, О, R)
тоже справедлива теорема Гаусса-Остроградского.
В самом деле, обозначим соответственно через Si^, S^/c нижние
и верхние куски границ G& и через S& — боковые куски G&. Тогда
(пояснения ниже)
G k = lJGk k = lKJSl,k
+
/ R(x,y,z) dxdy + I R(x,y,z) dxdy ) = / R(x,y,z) dxdy,
Js*k Js*k J Js*
потому что интегралы по S^, очевидно, равны нулю, а куски S± kw SJ к
либо составляют в совокупности поверхность 5*, либо, если это не так,
множество
N N
к = 1 к = 1
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 469
есть часть S*, нормаль в любой точке которой перпендикулярна оси z.
Но тогда интеграл по а равен нулю.
По аналогии можно ввести понятия #ж-области и ^-области.
Например, Нх-область обладает тем свойством, что ее замыкание можно
разрезать на конечное число замыканий элементарных #ж-областей.
Элементарная же #ж-область определяется так же, как элементарная
i?z-область, только роль z теперь играет х. По аналогии доказывается,
что для Нх -области G имеет место равенство
т. е. формула Гаусса-Остроградского для вектора (Р, 0, 0), а для Ну-о6-
ласти G — формула
f ^-dG= [f Q(x,y,z)dzdx.
Jg °У JJs*
Если теперь G есть одновременно Нх-, Ну- и i^-область, то для нее,
очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградского для произвольного
непрерывно дифференцируемого на G вектора а = (Р, Q,R), т.е. верно
равенство
JJjG\dx ду dz J
= // (P(x,y,z)dxdy + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z) dxdy), E)
где интеграл справа есть интеграл по поверхности 5*, ориентированной
внешней нормалью к G.
Если в формуле Гаусса-Остроградского положить Р = ж, Q = у,
R = z, то получим выражение для объема области G:
\G\ = - / / [xdydz-\-ydzdx-\-z dx dy),
о JJs*
через интеграл по ее ориентированной (внешней нормалью) границе 5*.
Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являются
одновременно Нх-, Ну- и i^-областями.
Пример 1. Шар х +у + z ^1 есть Hz-область, даже элементарная
Hz-область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими друг
над другом гладкими на х + у < 1 поверхностями z = \J\ — х2 — у2,
z = — у 1 — х2 — у2, непрерывными на замкнутом круге х -\-у ^ 1, имеющем
гладкую границу. Очевидно, шар есть также Нх- и Ну-область.
470 Гл. 13. Теория поля
Пример 2. Возьмем тор Т, полученный вращением заданного в плоскости
ж, у круга (х — ЪJ + у2 = а2, 0 < а < 6, вокруг оси ?/. Чтобы убедиться в
том, что Т есть Ну-область, достаточно поверхность Т разделить на две части
плоскостью x,z. Далее, плоскости х = Ъ — а, х = а — Ъ рассекают Т на четыре
элементарные Hz-области, а плоскости z = Ъ — a, z = а — b — на четыре
элементарные Нх-области.
Формула Гаусса-Остроградского преобразует объемный интеграл
в интеграл по поверхности. В следующем параграфе доказывается
формула Стокса, при помощи которой при определенных условиях
интеграл по поверхности преобразуется в криволинейный интеграл.
Чтобы выяснить физическое значение понятия дивергенции, будем
считать, что в G имеет место стационарное течение жидкости, скорость
которой в произвольной точке (x,y,z) равна а = a.(x,y,z). Зададим
произвольную, но фиксированную точку i = (i,j/,2) gGh окружим
ее шаром V? С G радиуса г > 0. Пусть 5* есть его граница (шаровая
поверхность), ориентированная посредством внешней нормали. Тогда
на основании формулы Гаусса-Остроградского
// (ads) = /// diva.dxdy dz.
J J s? J J Jv?
Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вытекаю-
вытекающей из V? (вовне S?) за единицу времени.
Применяя к правой его части теорему о среднем, получим
//,
= |Ve|divai, F)
где \V?\ есть объем V?, a ai — скорость жидкости в некоторой точке
из V?. Разделив обе части полученного равенства на \V?\ и перейдя
к пределу при е —> 0, получим в силу непрерывности diva, что
существует предел, равный дивергенции а:
diva= lim // (ads) G)
в точке (x,y,z). Таким образом, diva представляет собой произ-
производительность источников, непрерывно распределенных по G, в точке
А = (ж, у, z). Если в точке А (или всюду на G) div a = 0, то это значит,
что в А (или всюду на G) производительность источников равна нулю.
Если div a < 0, то это означает, что на самом деле в соответствующей
точке имеет место сток.
Из физических соображений ясно, что div а есть инвариант отно-
относительно любых преобразований прямоугольных координат. Но это
заключение можно сделать и на основании математических сообра-
соображений, если учесть, что поток вектора через поверхность S? есть
инвариант.
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского 471
Этим доказано, что если одно и то же поле вектора определяется
в двух прямоугольных системах координат x,y,z и х*\у*\z' соответ-
соответственно функциями
а = Р(х,у,z) i + Q(x,y,z)} + R(x,y,z)k =
то в одной и той же точке
дР dQ OR дРг
diva= — + — + — = —— + —— + —— .
ox oy oz ox' oy' oz'
Конечно, это утверждение можно доказать непосредственно, не прибегая
к теореме Гаусса-Остроградского.
Дивергенцию а можно рассматривать еще как (символическое)
скалярное произведение оператора V Гамильтона на вектор а:
дах дау daz
div a = Va = —— + —^ + —— .
ox oy oz
С этой точки зрения указанную инвариантность можно доказать
следующим образом: V и а — векторы, а скалярное произведение двух
векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных
координат, поэтому этим свойством обладает и дивергенция Va.
Формулу Гаусса—Остроградского можно записать в плоском случае,
когда G есть область в плоскости ж, у и а(ж, у) = Р(х, у) i + Q(x, у) j —
определенное на ней поле. Если п(А) есть внешняя нормаль к кусочно
гладкому контуру Г области G (i G Г), то имеет место равенство
где ds — дифференциал дуги Г.
Если считать, что направление Т касательной в точке контура Г
совпадает с положительным направлением обхода по Г, вдоль которого
исчисляется также длина дуги контура Г, то
/ \ /гг. \ dy . ч .__ ч dx
cosfn, х) = cos(T, у) = — , cosfn, у) = — cos(T, х) = — — .
as as
Поэтому (an) ds = P dy — Q dx,
472 Гл. 13. Теория поля
Если в этой формуле заменить соответственно Р, Q на Q, — Р, то
мы придем к формуле Грина, которая уже была получена в § 13.5.
Пусть G есть ограниченная область с гладкой дважды непрерывно
дифференцируемой границей S и G\ — часть G, ограниченная поверхностью S\,
точки которой отстоят от S по направлению нормали к S на расстоянии Л > О
(см. § 7.25). Пусть еще задано поле вектора а, непрерывного на G и имеющего
непрерывные частные производные на G. Вблизи границы G последние могут
быть неограниченными. Будем считать, что область G\ при достаточно малом Л
удовлетворяет требованиям, которые предъявляются к областям, чтобы для них
была верна теорема Гаусса-Остроградского.
В этом случае формула Гаусса-Остроградского (х = (#]_, Ж2, жз))
/ div adx= lim / (an) ds (8)
Jg a^oJ5
остается верной, если ее левую часть понимать в следующем несобственном
смысле:
/
Jg
divadx= lim / divacbc. (9)
g a^o7Ga
Доказательство см. в 4-ом издании этой книги, § 13.10.
Вектор а называется соленоидалъным в области П э (ж, ?/, z), если
diva = 0 на п. A0)
Для того чтобы вектор а был соленоидальным в П, необходимо
и достаточно, чтобы поток вектора а через любую замкнутую
ориентированную поверхность S С П был равен нулю.
Необходимость следует из теоремы Гаусса-Остроградского, приме-
примененной к области G, внутренней к S.
Достаточность следует из формулы G), где интеграл справа равен
нулю для любого е > 0, что влечет A0).
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса *)
Пусть в некоторой области пространства R3 задано поле непрерывно
дифференцируемого вектора
а = Р(х, y,z)i + Q(x, y,z)j + R(x, y, z) k.
Ротор вектора а определяется равенством
dR dQ\ . (дР dR\ . fdQ дР
rota= ^i+j+^
dy dz) \dz дх) \дх ду
*) Д. Стоке A819-1903) — английский физик и математик.
§13.11. Ротор вектора. Формула Стокса 473
Его можно рассматривать как векторное произведение оператора
Гамильтона V и вектора а:
rot a = V х а.
Из векторной алгебры известно, что векторное произведение двух
векторов есть аксиальный вектор, т.е. оно инвариантно относительно
преобразований прямоугольных систем координат, имеющих одну и ту
же ориентацию, т.е. таких, что правая система переходит в правую, а
левая — в левую. Но мы знаем (см. § 7.6), что символ V можно рас-
рассматривать как вектор, потому что его компоненты ^, -J^, -^
преобразовываются при переходе от прямоугольной системы x,y,z
к другой прямоугольной системе xf,yf,zf по тем же правилам, по
которым преобразовываются компоненты обычных векторов. Поэтому
rot a = V х а есть аксиальный вектор, т.е. инвариантный относительно
преобразований прямоугольных систем координат, не меняющих их
ориентацию. Следовательно, мы можем, не вычисляя, сказать, что если
наш вектор а имеет в новой (так же ориентированной) прямоугольной
системе координат компоненты
то имеет место тождество
дол ., (di\ _ дял ., fdQi _ орл ,
dz> ) \ dz> dx> )J V дх' ду') '
( ( f
^ dy' dz> ) \ dz> dx> )J V дх' ду'
где Г, j', k7 — единичные орты в системе х', yr, z'.
Нам предстоит обосновать формулу Стокса *)
// (nrota)ds= /(adl), A)
JJs* Jv
выражающую, что поток вектора rota через ориентированную
поверхность 5* равен циркуляции а по контуру Г этой поверх-
поверхности, ориентированному соответственно ориентации 5*.
Начнем с доказательства теоремы Стокса для гладкого куска,
взаимно однозначно проектируемого на все три координатные плоскости.
*) Мы считаем, что S* означает ориентированную посредством нормали п
поверхность S. Левая часть A) есть интеграл по поверхности 1-го рода.
474 Гл. 13. Теория поля
Зададим ориентированный гладкий кусок 5* поверхности с кусочно
гладким краем Г, который можно записать тремя способами:
z = f(x,y), (x,y)eSz, x = <p(y,z), (y,z)eSx,
у = ip(z,x), (z,x) e Sy.
Предполагается, таким образом, что любое из этих уравнений разреша-
разрешается относительно любой из переменных, а функции /, ср, ф непрерывно
дифференцируемы на соответствующих проекциях S на координатные
плоскости.
Имеем
дР dR\ . . (dQ дР\ , Л ,
Ы " ^Jcos(n'у) + {-ш ~ wcos(n'z))ds-
Выберем в правой части B) члены, содержащие Р. Тогда (пояснения
ниже)
fffdP ( , дР Л
/ / v ~д~ cos^n'z; ~ ~д~ cos(n' у)) ds =
дР дР df\ , ч ,
^~ + ^~л~ cos(n, z) ds =
s\dy dz dyj
= - // -z-P(x,y,f(x,y))dxdy= / P(x,y,f(x,y))dx =
JJs*z °У Jvz
= /
Jo
/ {)
[°P(<p(s),>il>(s),x(s))<p'(s)ds= [ P(x,y,z)dx. C)
o Jv
Из пропорции
—- : — : (-1) = cos(n,x) :cos(n,2/) :cos(n,2:)
ox oy
следует, что
cos(n,2/) = -— cos(n,2:),
что влечет первое равенство в цепи C). Второе равенство см. § 13.9, E).
Третье равенство следует из формулы Грина.
§13.11. Ротор вектора. Формула Стокса 475
Последние три равенства в цепи C) справедливы, если считать, что
ориентированный контур Г определяется кусочно гладкими функциями
х = ip(s), у = V>0), z = x(s), 0 ^ s ^ «о-
Первые две из этих функций в свою очередь определяют Г^ —
проекцию Г на плоскость z = 0, соответственно ориентированную.
Надо учесть, что Г есть край поверхности 5, определяемой равенством
z = f(x,y), и потому хО) = f(v(s),il>(s)), 0 ^ s ^ s0.
По аналогии доказывается, что
— cos(n, г) - — cos(n, x))ds= / Q(x, у, z) dy, D)
^ f — cos(n, x) - — cos(n, y))ds= / Д(ж, ^/, 2:) (iz. E)
Из C)-E) следует формула Стокса A).
Мы доказали теорему Стокса для куска ориентированной поверх-
поверхности, одновременно проектирующегося на все три плоскости координат.
Имеется еще один важный простой случай, который непосредственно не
охвачен нашими рассмотрениями. Мы имеем в виду тот случай, когда а*
есть кусок, принадлежащий некоторой плоскости, параллельной одной
из осей координат. Для такого куска теорема Стокса тоже верна. В этом
можно убедиться непосредственными вычислениями, подобными C).
Но можно рассуждать так. Интегралы, входящие в формулу Стокса,
инвариантны относительно преобразований прямоугольных координат,
не меняющих ориентацию последних. Всегда можно подобрать преоб-
преобразование этого типа так, что а* будет проектироваться на любую из
плоскостей координат новой системы. А в этом случае теорема доказана.
Формула Стокса остается верной для любой ориентированной
поверхности 5* с кусочно гладким краем Г, которую можно разбить
при помощи кусочно гладких линий на конечное число гладких кусков,
проектирующихся на все три плоскости координат.
В самом деле, пусть 5* = а\ + а^ + ... + сг^ есть такое разбие-
разбиение, и пусть Fi,... , Гдг — соответственно ориентированные контуры
а\,... , а^. Тогда согласно доказанному выше
// (rot a do-) = "^2 (rotadcr) = ^ / (ads) = / (ads),
потому что части интегралов /г , j = 1,...,7V, берущихся вдоль
внутренних кусков Tj (не принадлежащих Г), проходятся два раза в
противоположном направлении и дают эффект, равный нулю.
Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное
число треугольников (плоских), называется полиэдральной поверхнос-
поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой
применима формула Стокса.
476 Гл. 13. Теория поля
Сделаем еще одно замечание. Пусть а* обозначает круглую
площадку с центром в точке А = (x,y,z) радиуса г с ориентирующим
ее единичным вектором п и 7е — ее ориентированный контур. Согласно
формуле Стокса
/ (a (is) = / (nrot a) da? = / rotn a (icre = |сге| rotnai,
J'y? J<j? J<J?
где rotn а есть скалярная функция, равная проекции rot а на направле-
направление n, a rotn ai есть значение этой функции в некоторой средней точке
а?. Отсюда следует, что значение функции rotn а в точке А равно
1 Г
rotn а = Нт -—г / (a(is),
е-Ю \(Те\ hF
F)
где при предельном переходе при е —>- 0 предполагается, что вектор п
неизменный. В любой правой (левой) системе координат правая часть F)
есть одно и то же число. Однако при замене правой системы на левую
и неизменном п направление обхода а изменяется на противоположное,
что влечет изменение знака в правой части F). Таким образом, мы
снова, но другим путем, убедились в инвариантности rot а относительно
преобразований прямоугольных координат, сохраняющих ориентацию
последних.
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру
Начнем с того, что докажем равенство
A)
где предполагается, что \I — замкнутое измеримое множество простран-
пространства точек у = (з/ъ ... ,2/m)? a f и ~дх непРеРЬ1ВНЫ на множестве
Н = [а, Ь] х П, ж G [а, Ь], у G П.
В частности, если П есть отрезок [с, d], то формула A) имеет вид
д fd fd д
— f(x,y)dy= —f(x,y)dy (Г)
в предположении, что / и -gL непрерывны на [a, b] x [с, d].
В самом деле, пусть
F{x)= f f(x,y)dy;
Jn
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру 477
тогда
F{x + h)-F{x) [ 1
h
потому что
[ *
Г df
Jndx
^ Uy =
где uj(S, -q^J —модуль непрерывности -^ на (замкнутом ограниченном)
множестве Н.
Формулу A) мы теперь обобщим, однако считая, что f(x,y) есть
функция от двух переменных чисел х,у.
Рассмотрим интеграл
/(ж)
F(x)= / f(x,y)dy, a^x^b, B)
где функции ср игр удовлетворяют неравенству ip(x) ^ 'ф(х), а ^ ж ^ Ь,
и непрерывно дифференцируемы, а функция f(x,y) от числовых
переменных ж, у непрерывна вместе со своей частной производной -^ на
множестве точек (ж, у) (см. еще § 7.11), удовлетворяющих неравенствам
ip(x) ^ у ^ tp(x), а ^ ж ^ Ъ. Покажем, что функция F(x) имеет
производную на [а, 6], определяемую по формуле
Гф{х) Q
F( rp\ ^— fine ihlnf*)] in (т* i 1A* (Г)\П1*\\ in i т* i —I— I 1A* 11) nil 1^1
Для этого введем вспомогательную функцию
Ф(х,и,у) = / f(x,y)dy, D)
заданную на множестве Н точек (ж, ix, и), определяемом неравенствами
(^(ж) ^ и ^ г; ^ ^(жM а ^ х ^Ь.
478 Гл. 13. Теория поля
Функцию z — F(x) можно рассматривать как сложную функцию:
z = Ф(х,и,у), и = ip(x), v = ф(х), а ^ х ^ Ь, и ее производную можно
вычислить по известной формуле:
где в правой части надо положить и = ip(x), v = ф(х).
Однако надо убедиться в том, что частные производные от Ф —
непрерывные функции от x,u,v, и выразить их через /, ср, ф.
Так как f(x,y) непрерывна по у, то в силу теоремы о производной по
верхнему и нижнему пределу интеграла из D) следует
дФ дФ
/() fM F)
и при этом правые части F) в силу непрерывности / непрерывны по
(ж, и, г?), соответственно и левые.
Так как -^ непрерывна по условию, то в силу A)
д Г Г д
-z-f(x,y)dy G)
(см., впрочем, замечание ниже). Далее, можно формально считать, что
-§^f(%,y) — j(xJuJv:>y) есть функция от переменных (x,u,v;y). Она,
очевидно, зависит непрерывно от этих переменных, а и и v можно
считать функциями от (x,u,v):
u = X(x,u,v), v = /jl(x,u,v), (x,u,v) g H,
тоже, очевидно, непрерывными. Поэтому в этих обозначениях
ЭФ _ г№№)
Следовательно, §^ есть непрерывная функция от (ж, и, v) (см. § 12.11,
теорему 2).
Мы обосновали равенство E).
Подстановка F) и G) в E) и замена и = ip(x), v = ф(х) приводит к
формуле C).
§ 13.13. Несобственный интеграл
Пусть G есть открытое измеримое множество n-мерного простран-
пространства и точка х° принадлежит замыканию G множества G (x° G G).
Обозначим через и(е) = {|х — х°| ^ г} шар (замкнутый с центром
в х° радиуса е > 0) и введем множество (открытое) G? = G\u(e).
§13.13. Несобственный интеграл
479
Согласимся говорить, что интеграл
/(x)dx
G
A)
имеет единственную особенность в х°, если функция / определена
на G, не ограничена на G, но ограничена и интегрируема (в частности,
непрерывна) на G?, как бы ни было мало г > 0.
Подчеркнем, что если интеграл A) имеет (единственную) особен-
особенность в точке х°, то подынтегральная функция /(х) не интегрируема по
Риману, ведь она не ограничена на измеримом открытом множестве G
(см. 4-е издание этой книги, § 12.10).
Рис. 13.21
Рис. 13.22
Если интеграл A) имеет единственную особенность в точке х°,
то говорят, что он существует как несобственный интеграл, если
существует предел
lim / /(x)dx= / /(x)dx.
?^°Jg, Jg
B)
При этом мы теперь уже приписываем выражению A) число, равное
этому пределу — несобственному интегралу / по G.
Так как при 0 < Si < 82
J Gk JGk J g
то на основании условия Коши существования предела несобственный
интеграл B) при описанных выше условиях существует в том и только
том случае, если для всякого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что для любых
Si,S2, где 0 < Si < 82 < S,
/(x)dx
< г.
480 Гл. 13. Теория поля
Отсюда ясно, что если П есть произвольное открытое измеримое мно-
множество, содержащее в себе точку х° и G\ = П П G, то интегралы
JG / dx и JG f dx одновременно существуют или одновременно не
существуют (рис. 13.21 и 13.22), потому что условие Коши для них одно
и то же.
Обратимся к одномерному случаю. Пусть на интервале (одномер-
(одномерном) (а, Ь) задана функция /(ж) такая, что интеграл Ja f{x)dx имеет
единственную особенность в точке х° Е [а, Ь].
Если х° = а или х° = Ь, то введенное здесь определение несоб-
несобственного интеграла есть обычное его определение, с которым мы уже
знакомы (см. § 9.12). Однако если х° Е (а, Ь), т. е. х° —внутренняя точка
отрезка [а, 6], то согласно введенному здесь определению несобственный
интеграл считается существующим, если существует предел
limf Г ? f(x)dx+ f f(x)dx) = / f(x)dx.
C)
Но это есть определение одномерного интеграла (по Коши) в
смысле главного значения (см. конец § 9.16), а не обычного (риманова)
несобственного интеграла, в силу которого требуется существование
пределов каждого из интегралов слева в C) при г —>• 0.
Имеет место очевидное равенство
f f f
/ (A/(x)+?<p(x))dx = А /(x)dx + ? / <p(x)dx D)
JG JG JG
(An В — постоянные), которое, как обычно, надо читать так: вместе
с несобственными интегралами в правой части равенства D)
существует также несобственный интеграл в левой его части,
равный правой части D).
Если функция / неотрицательна на G, то предел B), конечный
или бесконечный, всегда существует, потому что выражение под знаком
предела при монотонном стремлении ? к нулю не убывает.
В случае конечного предела принято писать:
/ /(х) <ix < ею,
JG
а в случае бесконечного —
Г
/(x)dx = сю.
/-¦
Ясно, что для неотрицательной функции одной переменной при х° Е
Е (а, Ь) определения интеграла в смысле главного значения и несобст-
несобственного риманова интегралов совпадают — из существования предела
§13.13. Несобственный интеграл 481
суммы слева в C) следует существование пределов каждого из двух
слагаемых этой суммы.
Можно еще, очевидно, сказать, что несобственный интеграл от
неотрицательной на G описанной выше функции существует тогда и
только тогда, когда выражение под знаком предела в B) ограничено
константой М, не зависящей от ? > 0.
Если на G заданы две неотрицательные функции / и ср, интегралы от
которых имеют единственную особенность в х°, и /(х) ^ ^(х), х е G,
то для любого г > 0
/ /(х) dx ^ /
Jg? Jg?
Обе части этого неравенства монотонно возрастают при убывании е,
поэтому после перехода к пределу при г —>• 0 получим неравенство
/ /(х) dx < / у>(х) dx, E)
J G J G
члены которого могут быть конечными и бесконечными. Из конечности
интеграла справа в E) следует конечность интеграла слева, а из
бесконечности интеграла слева в E) следует бесконечность интеграла
справа.
Интеграл A), имеющий единственную особенность в конечной
точке х°, называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
/ |/(x)|dx<oo F)
G
от абсолютной величины /(х). Если интеграл A) абсолютно сходится,
то он сходится, потому что из F) следует, что для любого е > 0 найдется
такое S > 0, что
е>
/(х)
52 < S.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
dx dy dz
/ ^F1, G)
Jn
где г = уж2 + у2 + z2 и Q — единичный шар в 3-мерном пространстве с
центром в начале координат.
16 С.М.Никольский
482 Гл. 13. Теория поля
При а > 0 G) есть, очевидно, несобственный интеграл с единственной осо-
особенностью в нулевой точке. Его величина определяется как предел f^ х га—- =
dx dy dz
e
Переход к полярным координатам (см. § 12.17) в Шп определяется следую-
следующими формулами:
Х\=Г COS <?>]_,
Х2 = г sin^i cos 922,
_1 = Г
с якобианом
т n—1 • п — 2 • n —3
J = r sm^ sin<?>
приводит к равенству
Ia =an Hm / r71""^, (8)
где an = 2тгп' /Г(п/2) есть площадь поверхности сферы единичного шара в
n-мерном пространстве.
Из (8) следует, что
Io, < оо, если a < п,
/а = оо, если a ^ п.
Этот пример можно обобщить, рассматривая интеграл
где ср — непрерывная функция на П. Положим
М = max |<^(x)|-
При а < п
I ^ М I — < сю,
т.е. интеграл (9) абсолютно сходится.
Пусть теперь а ^ п и \(f@)\ > 0. Тогда существует шар и с центром в
нулевой точке такой, что на нем |<^(х)| > |^@)|/2 = т > 0. Поэтому
f ^ldx = Г k^dx>m Г J_dx =
и, следовательно, интеграл (9) при а ^ п расходится.
§13.13. Несобственный интеграл 483
Понятие кратного интеграла в смысле Римана определяется для
измеримой, следовательно, ограниченной области. Если область неогра-
ничена, то при известных условиях можно ввести понятие несобственного
интеграла.
Пусть в n-мерном пространстве задано неограниченное множество G,
обладающее тем свойством, что вне любого шара u(R) с центром в
нулевой точке и радиуса R пересекается с G по измеримому множеству
G(R) = G П uo{R). Пусть, далее, на G определена функция /(х), ин-
интегрируемая на G(R) для любого R. В этом случае будем говорить,
что / имеет единственную особенность в бесконечно удаленной точке
(или на бесконечности), и определим несобственный интеграл от / на G
как предел
lim / /dx
= / /dx. A0)
Jg
Все, что мы говорили о несобственном интеграле с единственной
особенностью в конечной точке х°, можно повторить с понятными ви-
видоизменениями для несобственного интеграла, имеющего единственную
особенность на бесконечности. Нет необходимости это делать.
Пример 2. Интеграл
= f ^ = li
Jr>1 Га R^
f lim /
Jr>1 Га R^oo J1<r<R
с помощью введения полярных координат сводится к выражению
Ia=an Hm f\
А I ос,
Наконец, может быть более общий случай, когда замыкание
области G, где задана функция /, может быть разбито на конечное
число попарно пересекающихся разве что по своим границам замыканий
открытых множеств
G = Gi + ... + Giv. A1)
При этом каждый из интегралов JG / dx имеет единственную
особенность (особую точку xJ), и если G неограничена, то только один
из них имеет в качестве особой точки бесконечно удаленную. Кроме
того, все точки xJ различны.
Несобственный интеграл от / на G определяется как сумма:
N f
/ fd^ = ^ /Л. A2)
Jg j=1JGj
16*
484 Гл. 13. Теория поля
Если хотя бы один интеграл, входящий в эту сумму, расходится, то
интеграл слева в A2) считается расходящимся. Подобным образом этот
последний считается абсолютно сходящимся тогда и только тогда, когда
абсолютно сходятся все интегралы, входящие в сумму A2).
Мы не будем приводить простые рассуждения, показывающие, что
сделанное определение приводит к результату (числу), независимому от
возможных способов разбиения G на части.
Пример 3. Очевидно, что интеграл f^n -^, где Ш71 — все n-мерное про-
пространство, расходится при любом действительном а.
Пример 4. Интеграл
/ /
Jo Jo
о 2
е~х -у dxdy
можно определить как предел:
rN rN 2 2
/= lim / / е~х ~у dxdy =
N^ooJq Jq
rN 2 Г™ 2 / Г°° 2 \
= lim / е~х dx / е~у dy = [ е~х dx)
где несобственный интеграл от одной переменной справа сходится. Но если
Q(N) есть четверть круга из первого квадранта с центром в начальной точке
радиуса N и (р, 9) — полярные координаты точек плоскости, то
Г d6 Г е~р2 dp2
rr 2 Г^/2 1 Г1
1= lim // e~p pdpd6= lim / dO - / e~^dp^ = --- = -.
N^oc J Jq(N) N^oo Jo 2 Jo
Отсюда
e dx =—.
0 2
Пример 5. Функция ф(х), равная е~'х' в точках х = (#i,..., жп)
— 1x1
с иррациональными координатами и — е ' ' в остальных точках п-мерного
пространства IRn, не является интегрируемой, несмотря на то, что интеграл
JW
\ф\ с/х < оо
сходится. Ведь ^(х) всюду разрывна на Жп.
Упражнение. Проверить, сводя вопрос к полярным координатам, что для
фундаментального решения уравнения теплопроводности v (§ 7.7, упражнение)
г+оо г+оо г+оо
I I I vdxdydz = l,
J — oo </-oo i-oo
§13.14- Равномерная сходимость несобственного интеграла 485
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла
Пусть П С Мт и D С Мп — множества из т- и n-мерных прост-
пространств, a D, кроме того, измеримо. Пусть еще у0 <Е D и и§ обозначает
открытый шар радиуса S с центром в у0.
Рассмотрим интеграл
F(x)= / /(x,y)dy, хеП, A)
JD
имеющий единственную особенность в точке у0. Таким образом, /(х, у)
неограничена по у на D, однако ограничена и интегрируема на D \ оо$
при любом 5 > 0. По определению интеграл A) равномерно сходится
относительно xgD, если он сходится для любого х Е П и для любого
г > 0 можно указать So > 0 такое, что при любом ?, удовлетворяющем
неравенствам 0 < 5 < 5о, имеет место
/(x,y)dy
для любого х G П. Здесь важно, что #о (и $) не зависит от xg(].
Введем для положительного S > 0 интеграл
B)
очевидно, не имеющий особенностей. Неравенство B) можно переписать
так:
J UJ>
/(x,y)dy
и мы получим, что для любого е > 0 можно подобрать такое #о, что для
всех й, удовлетворяющих неравенствам 0 < S < So, и любых х Е П
|F(x)-Fd(x)|<e.
Но это свойство, как мы знаем, выражает, что
lim Fs(x) = F(x) равномерно на П. C)
5^0
Очевидно, и наоборот — из C) следует B).
Таким образом, равенство C) можно рассматривать как другое
эквивалентное определение равномерной сходимости интеграла A) на П.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Если функция /(х,у) непрерывна на П х D, за
исключением точек (х,у°), и интеграл A) равномерно сходится
относительно х Е П, mo ow есть непрерывная функция от х Е П.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что функция
/(х, у) непрерывна в точках (х, у), принадлежащих замкнутому ограни-
ограниченному множеству
nx(D\ios), D)
где D\^ к тому же измеримо.
486
Гл. 13. Теория поля
Поэтому функции F§{x) непрерывны на П (см. теорему 1 § 12.10).
Кроме того, Fs(x) -^ F(x) при S -^ 0 равномерно на п. Но тогда на
основании теоремы 2 § 11.7 функция F(x) непрерывна на п.
Правда, эта теорема была доказана для последовательности функций
{/п}, зависящих от натурального параметра п, но она, очевидно, верна
и доказательство ее аналогично, если считать, что п непрерывно
стремится к некоторому числу по.
Теорема 2. При условиях теоремы 1, если п измеримо (eRm),
функцию
/ хеП, E)
F)
F(x)= / /(x,y)dy, хеП,
JD
можно интегрировать по п под знаком интеграла:
F(x)dx= / dy //(x,y)dx.
D Jfi
Доказательство. Из доказательства теоремы 1 мы знаем, что
при условиях этой теоремы функции i^(x) и F(~x) непрерывны на П и
i^(x) -^ F(x.), Й^О, равномерно на П. Это значит, что
G)
(8)
Но тогда
потому что
L
F§ (x) dx
т
-L
Из (8) следует
= max
F(x)dx
Jn
F(x)\
F(x)
Mx)-
dx,
-F(x
. (9)
dy [ f(x,y)dx= [ dx [ /(x,y)dy =
\(jOS Jfi Jfi Jd\cos
= [ F*(x) dx ^ / F(x) dx= [ dx [ /(x,y) dy,
Jn Jn Jn Jd
A0)
что доказывает равенство F).
Первое равенство в цепи A0) при любом 5 > 0 представляет
собой обычную перестановку интегралов по х и у для функции
§13.14- Равномерная сходимость несобственного интеграла 487
/(х, у), непрерывной на замкнутом измеримом множестве П х (D
(см. §12.10).
Заметим, что интеграл по у в правой части F) есть несобственный
интеграл с единственной особой точкой у0 G О. Существование его
доказано.
Теорема 3. Пусть G есть открытое измеримое множество
пространства Rn, у0 Е G и [а,Ь] —отрезок изменения числовой
переменной х. Пусть, далее, функция f(x, у) непрерывна и имеет
непрерывную частную производную -g^ всюду на множестве [a,b]xG,
х Е [а,Ь], за исключением, быть может, точек вида (х, у0), в окрест-
окрестности которых f(x, у) вообще не ограничена.
Тогда если интеграл
F(x)= f f(x,y)dy, a^x^b, A1)
JG
сходится и интеграл
Fi(x)=j ^f(x,y)dy A2)
равномерно сходится относительно х Е [а, Ь], то интеграл A1) рав-
равномерно сходится на [а, Ь] и
F'(x) = Fi(x), A3)
т. е. законно дифференцировать F под знаком интеграла:
A4)
Доказательство этой теоремы основано на следующей теореме,
которая уже была доказана (см. § 11.8, теорема 3).
Теорема 4. Пусть задана последовательность непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а,Ь] функций Sn(x), n = 1,2,...,
сходящаяся по крайней мере в одной точке этого отрезка, и
пусть последовательность производных Srn(x) равномерно на [а,Ь]
сходится к некоторой функции ip(x). Тогда последовательность
{Sn(x)} сходится во всех точках [а,Ь] и притом равномерно на
[а, Ь] к некоторой непрерывно дифференцируемой функции S(x) и
S'(x) = ф).
В этой формулировке на самом деле можно считать, что п стремится
к некоторому числу tiq непрерывно или пробегая последовательность
чисел nk-
488 Гл. 13. Теория поля
Доказательство теоремы 3. Для S > 0 положим
Fs(x)= f f(x,y)dy.
JG\u5
Тогда (см. § 13.12)
потому что / и -gL непрерывны на G \ ои$.
По условию для некоторого х
Fs(x)^F(x), S^O, хе[а,Ъ]. A5)
Кроме того, в силу равномерной сходимости интеграла A2)
lim ^-Fs(x) = lim Fu(x) = Fx{x) A6)
6tO OX S^O
равномерно на [a, b].
Из A5) и A6) на основании теоремы 4 следует, что F{x) имеет на
[a, b] производную, равную F\(x).
Во всех доказанных теоремах существенную роль играло свойство
несобственного интеграла быть равномерно сходящимся относительно
параметра. Если это свойство не имеет места, то интеграл называется
неравномерно сходящимся относительно параметра. Для неравномерно
сходящихся интегралов, вообще говоря, указанные три теоремы не верны.
Важным критерием равномерной сходимости интеграла является
критерий Вейерштрасса. Его можно сформулировать в виде следую-
следующей теоремы.
Теорема 5. Пусть интеграл A) имеет особенность в точке
у0 G D для всех xgD, у G D. Пусть, кроме того, существует
неотрицательная функция tp(y) такая, что
|/(х,у)| ^ if (у) для всех х е П, A7)
и при этом несобственный интеграл
dy < ос A8)
D
существует. Тогда интеграл A) равномерно сходится относитель-
относительно х G П.
Доказательство. Из A8) следует, что для любого г > О
можно указать такое So > 0, что
§ 13.14- Равномерная сходимость несобственного интеграла 489
где и$ — шар с центром в у0 радиуса S. Поэтому в силу A7)
/(x,y)dy
для всех х G П. Теорема доказана.
Пример 1. Интеграл
/
< г
(а) = / Xй'1
Jo
ф(а) = / xa L dx, a > 0, A9)
Jo
существует для любых а > 0. При 0 < a < 1 точка х = 0 особая, а при
a ^ 1 на отрезке [0,1] подынтегральная функция непрерывна и интеграл никаких
особенностей не имеет. Но при исследовании остатка интеграла на равномерную
сходимость можно не думать о том, является ли точка х = 0 на самом деле особой
или нет. Здесь важно только знать, что если существует у интеграла особая
точка, то она есть х = 0.
Остаток интеграла, соответствующий точке х = 0, равен
va~ dx
Для произвольного е > 0 невозможно подобрать S > 0 так, чтобы остаток
был меньшим ? для всех a > 0, так как при любом фиксированном 6
lima^o(^a/a) = °° (а > 0). Поэтому интеграл A9) сходится неравномерно
относительно a > 0. Очевидно также, что он неравномерно сходится относительно
a ? @, ао), где ао — произвольное фиксированное положительное число.
Однако на полупрямой ао ^ а < оо (ао > 0), и тем более на конечном
отрезке [ao,ai], интеграл A9) сходится равномерно, что может быть доказано с
помощью признака Вейерштрасса. В самом деле, если ao ^ а, то на отрезке
[0,?],где 0 < S < 1, ха~г ^ ж00, а интеграл
гд
/ xa°~1dx<oo
Jo
сходится.
Функция ф(а) непрерывна для всех a > 0. В самом деле, зададим
произвольное ао > 0, и пусть
0 < cl\ < ао < а2-
Подынтегральная функция ха~ = (р(х,а) непрерывна на прямоугольнике
Д = {0 ^ х ^ 1, а\ ^ а ^ &2}-> за исключением, быть может, точек с х = 0,
интеграл A9) равномерно сходится относительно a ? [а\, аг]. Тогда на основании
теоремы 1 /0(а) непрерывна на [ai, 02] и, в частности, в точке a = ao-
Если a > 0, то справедлива формула
f1 д f1
ф'(а) = / — жа~ dx = ха~ \nxdx. B0)
Jo <?a Jo
490 Гл. 13. Теория поля
Снова, если мы хотим ее проверить для а = uq > 0, подбираем числа ai, a 2
такие, что 0 < а\ < а$ < а2, и, чтобы применить теорему 3, убеждаемся в
равномерной сходимости интеграла B0) относительно а ? [ai, а2]- Здесь удобно
применить признак Вейерштрасса.
Так как \imx^Q x \пх = 0, Л > 0, и функция ж In ж непрерывна на @,1],
то существует положительная константа С такая, что |ж 1пж| ^ С, 0 < ж ^ 1.
Поэтому при 0 < Л < а\ на отрезке [0,1] \ха~ 1пж| = \ха~ ~ х 1пж| ^
^ Сха~ ~ ^ Cxai~ ~ , a G [ai,a2], интеграл справа в B0) равномерно
сходится, так как интеграл
/'
Cxai~X~1dx<oo
сходится. Если учесть, что функция 7Ja^a — ха In ж непрерывна на
прямоугольнике [0,1] х [ai, 02], за исключением, быть может, точек @,а), то в
силу теоремы 3 равенство B0) верно.
Пример 2 (бэта-функция). Функция
В(а,Ъ)= xa~1(l-x)b~1dx B1)
называется 6эта-функцией. Интеграл B1) если имеет особенности, то только в
точках ж = 0 и ж = 1. Поэтому при изучении равномерной сходимости этого
интеграла удобно разложить его на два интеграла:
/>1/2
Bi(a,b) = / ха~ A — ж) ~~ с/ж,
Jo
pi
В2(а,Ь)= / xa~1(l-x)b~1dx.
Л/2
Интеграл В\ если имеет особую точку, то при ж = 0. Он сходится при а > 0 и
любом 6, потому что
/ ж A - ж) dx ^ Мь х dx < оо,
М^ = max A — ж) ~~ ,
и расходится при а ^ 0, потому что
Г1/2 L г1/2
/ О>—1/1 \О—1 7 ^ / О—1 т
I Jb ^± Оу } LLJL -^- llliQ I >*-< LLJL — UaJ ,
Jo Jo
тъ = min ~
Аналогично интеграл B2(a,b) сходится при b > 0 и расходится при b ^ 0.
Поэтому бэта-функция имеет смысл только при а > 0 и 6 > 0.
§13.15. Сходящийся интеграл для неограниченной области 491
Чтобы показать, что В\{а,Ъ) непрерывна (относительно (а, Ь)) в точке
(ао,Ьо), а0 > О, Ьо > 0, определим прямоугольник А = {а\ ^ а ^ а2; &i ^
^ b ^ &2}5 аЪ Ь\ > 0, строго внутри которого находится точка (а0, Ьо).
Остаток интеграла можно оценить следующим образом:
fs -1 ь—1 fs -I &a &ai
I x A-х) dx ^ Мь /ж dx = Mb — ^ Mb .
Jo Jo a ai
Можно для любого s > 0 указать такое ?0 > 0, что для 0 < S < So
Mbl — ^ Mbl -j- < e,
т.е. интеграл, определяющий Bi(a,b), равномерно сходится относительно
(а, Ъ) е А:
Г6 а-1 Ь-1
Jo
для любых (a,b) gAhO<^<^0, и так как под интегралом стоит непрерывная
функция от ж, а, 6, х > 0, (а, b) E А, то В\ непрерывна в точке (ао,6о).
Аналогично устанавливается непрерывность ??2(а, Ь).
Имеет место
^- [ xa-1(l-x)b-1dx= f xa-1lnx(l-x)b-1dx, a,6>0,
да Jo Jo
так как оба интеграла, входящие в это равенство, сходятся, второй же интеграл,
как нетрудно показать, равномерно сходится в достаточно малой окрестности
точки а и, кроме того, подынтегральная функция в правой части равенства
непрерывна относительно (ж, а), за исключением точек @, а). Легко установить,
рассуждая аналогично, что существует непрерывная на [а, Ь], а, Ь > 0, частная
производная
при любых А;, / = 0,1,...
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл
для неограниченной области
Будем рассматривать интеграл
F(x)= / /(x,y)dy, xgG, A)
J D
на неограниченной области D такой, что при любом х Е G он имеет
бесконечно удаленную точку в качестве единственной особой точки.
Говорят, что интеграл A) равномерно сходится относительно х G G,
492 Гл. 13. Теория поля
если он сходится для всех х Е G и для любого е > 0 можно указать
не зависящее от х достаточно большое Ro такое, что для любого R,
удовлетворяющего неравенству R > Ro,
/(x,y)dy
где ujr — шар радиуса R с центром в нулевой точке.
Если функция /(х,у) непрерывна на G x D и интеграл A)
равномерно сходится относительно х Е G, то функция F(x) непре-
непрерывна на G. Если, кроме того, G — измеримое множество, то
имеет место равенство
)dx = f dx [ /(x,y)dy = f dy f /(x,y)dx. B)
Jg Jd Jd Jg
g
Если теперь х есть числовая переменная, пробегающая отрезок
[а, Ъ], и f(x, у) непрерывна вместе со своей частной производной Ц
на [а, Ь] х D, интеграл A) сходится, а интеграл
равномерно сходится относительно х Е [а,Ь], то Ff(x) = Fi(x) или
Наконец, если для нашей функции /(х,у) выполняется неравен-
неравенство |/(х,у)| ^ ^(у), х Е G, и существует несобственный интеграл
JD if (у) dy, то интеграл A) сходится для любого х Е G и притом
равномерно (признак Вейерштрасса).
Указанные утверждения аналогичны соответствующим теоремам
1-4 предыдущего параграфа. Они и доказываются совершенно аналогич-
аналогично. Вообще эти утверждения аналогичны соответствующим теоремам
о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемое™ равномерно
сходящихся рядов функций. Их можно доказать единым образом, вводя
более общие несобственные интегралы (Стилтьеса), содержащие в себе
как частные случаи, с одной стороны, рассматриваемые здесь интегралы,
а с другой — бесконечные ряды.
Пример 1 (гамма-функция). Интеграл
Г(
а)= / xa-1e~xdx D)
Jo
§13.15. Сходящийся интеграл для неограниченной области 493
называется гамма-функцией или эйлеровым интегралом первого рода. Он
имеет особую точку х = оо, при 0 < а < 1 еще особую точку х = 0. Поэтому
при исследовании его свойств удобно разложить его на два интеграла:
f1 а-1 -х [°° а-1 -х
Jo А
Первый интеграл равномерно сходится для всех а ^ ао > 0, каково бы ни
было положительное число ао- В самом деле,
га~ а~х <С ^>а0~1 . 1 — ™а0~1 п <^ гр <С Л
и так как интеграл
I
жаос/ж<оо,
/о
то наше утверждение вытекает из критерия Вейерштрасса. Относительно всех
а > 0 первый интеграл сходится неравномерно, потому что при любом 6 < 1
Jo
с dx = )> оо, а —>• (J,
О а
m = min
таким образом, невозможно для любого s > 0 подобрать такое ^, чтобы остаток
первого интеграла был меньше е для всех а > 0.
Второй интеграл, очевидно, сходится для любого действительного а. Если
ао — любое число, то для а ^ ао
и так как
то по критерию Вейерштрасса второй интеграл равномерно сходится для всех
a ^ ao- Однако он не сходится равномерно для всех а, потому что для N > 1 и
а > 1
/ ж0"^"^ dx ^ TV0 / е"ж dx = Na-1e~N -+ оо, а
оо,
при любом фиксированном N.
Во всяком случае, доказано, что если ао > 0, то на отрезке [ai,a2], 0 <
< а\ < ао < а2, изменения а оба интеграла (fi(a) и <^2(а) равномерно
сходятся и в силу очевидных непрерывных свойств подынтегральной функции
гамма-функция непрерывна в ао (для любых ао > 0).
Легко проверяется, что интеграл
Jo da Jo
494 Гл. 13. Теория поля
распадается на два интеграла (от 0 до 1 и от 1 до оо), равномерно сходящихся
на любом отрезке [ai, а^ изменения а, где а\ > О, откуда в силу непрерывности
при х > 0 подынтегрального выражения E)
dx.
O
роо
Г'(а) = / xa~1\nxe
JO
Подобным образом доказывается, что
Г«(а)= Г xa
Jo
и, таким образом, Г (а) бесконечно дифференцируема (а > 0). На самом деле это
аналитическая функция от а.
Заметим, что при а > 1
Г(о)
=/ xa-1e~xdx= lira {-xa-1e-x +(a-l) / /"V^
JO ЛГ^оо\ 0 Jo
= (а-1)Г(о-1). F)
Поэтому при натуральном а = п
Г(п+ 1) = пГ(п) =
= п(п - 1) Г(п - 1) = ... = п! ГA) = п! / е~ж dx = п\, G)
откуда видно, что гамма-функцию естественно рассматривать как обобщение
факториала.
Пример 2. Интеграл
poo -q \х
А(Х) = / dx, -оо < Л < оо, (8)
^0 х
имеет особенности в бесконечно удаленных точках (х = ±оо) и сходится
для любого указанного Л. Однако он сходится равномерно на множестве
^0 ^ 1^1 < °°5 Ло > 0, и неравномерно на отрезке [0, Ао]. В самом деле, при
А > 0 его остаточный член
f°° smXx f°° smXx f
RnW= dx= ——d(Xx) =
Jn x Jn Xx Jfl
L
= lim -
NX z
M
cosz 7 \ cosTVA f°° cos zdz
J \
dz =
J
откуда
и (для Ao ^ A < oo)
\RN(X)\
§13.15. Сходящийся интеграл для неограниченной области 495
т.е. для любого е > 0 можно указать такое ЛГд, что |Лдг(А)| < е для всех
ЛГ > ЛГд, каково бы ни было Л ? [Ао,оо). С другой стороны, не может быть
неравенства
NX
<
при фиксированном, пусть очень большом, ЛГ и для всех Л ? [0, Ао], где е > 0 —
любое наперед заданное число. Ведь при фиксированном N и А —»• 0 левая
часть этого неравенства стремится (см. ниже A0)) к интегралу
г
Jo
А =
Имеют место равенства
А(Х) =
Чтобы убедиться в этом, при А ф 0 надо сделать в интеграле (8) подстановку
и = Хх.
Интеграл (8) равномерно сходится для А ? [ЛГ, iV7], где 0 < ЛГ < JV7,
поэтому, учитывая, что под интегралом стоит непрерывная функция от
(А, ж) ? [ЛГ, N'] х [0,оо), получим
00
sinAx 7 f°° 7 fN sinAx
J
¦ dx = I dx I dX =
In x
Г°° cosNx - cosN'x _ ,_.
^ с/ж. (9)
-Г
Мы считаем здесь, что функция 8Шц равна А при и = 0, и тогда очевидно,
что функция 8ШжЛж = S1^x А от (А, ж) непрерывна в любой точке (А, 0), где
А? [0,оо).
Равенство (9) верно и при Л^ = 0, хотя оно пока не доказано, потому что
интеграл (8) сходится неравномерно на [0, iV ]. Но его можно получить переходом
к пределу в (9) при Л^ —>• 0, что законно — ведь разность между значением при
Л^ = 0 интеграла, стоящего справа в (9), и значением его для какого-либо Л^
равна
r°°l-cos
/ -—^
Jo x
При этом Нтдг-^оо 1 (-^V") = 1@) = 0 в силу непрерывности функции
x~2sin2^x в точках (ЛГ, ж) ? [0,1] х [0,1] (теорема 1 § 12.11) и
Птдг^о ip2(N) = ^2@) = 0 в силу непрерывности этой функции в точках
(ЛГ, ж) ? [0,1] х [1,оо) и равномерной сходимости интеграла f^° относительно
N е [о, 1].
496 Гл.13. Теория поля
Если положить в(9) 7V = О, JV7 = 1 и учесть, что слева в (9) интеграл по х
равен А, то получим
(. х\ 2
Sm2 I
Пример З. Докажем равенство
I(s)= [ e~x2 cos sxdx= ^e~s2/4, -oo < s < +oo. A1)
Jo 2
В самом деле,
/*ОО 2
/ е~ж xsinsxdx. A2)
JO
Дифференцирование под знаком интеграла здесь законно, потому что несобствен-
несобственные интегралы A1), A2) подчиняются признаку Вейерштрасса:
2 2 Г°° 2
е~х cossxl ^ е~х , / е~х dx < оо,
2
ж xsinsxl < xe
/
io
2 Z400 2
x , / же~ж с/ж < оо,
J0
кроме того, подынтегральные функции в A1), A2) непрерывны по (s,x),s ?
? (—00,00), ж ? [0, оо).
Интегрируя A2) по частям, получим
Здесь
оо
= -е~х si
2
1/е
0
- /
2 Jo
)¦
Мы получили для I = I(s) дифференциальное уравнение
<П_ __?
ds~ 2 '
решив которое и приняв во внимание, что
(см. § 13.14, пример 4), получим I(s) = y^-e~s /4, т.е. A1).
Пример 4. Справедливо равенство
Jo
ОО о
— х
хе sin sx dx « ^— se '
О 2
(указание: проинтегрировать по частям интеграл и воспользоваться равен-
равенством A1)).
§13.15. Сходящийся интеграл для неограниченной области 497
Упражнения.
1. Проверить, что интеграл (Пуассона для верхней полуплоскости)
Щх,у) = - Г -'* УШ
где (p(t) — ограниченная интегрируемая на любом конечном отрезке функция,
равномерно сходится вместе со своими частными производными на любом
ограниченном замкнутом множестве точек (ж, г/), принадлежащем верхней
полуплоскости (г/ > 0). Доказать, что U — гармоническая в верхней полу-
полуплоскости функция. Учесть, что у/(х + у ) есть гармоническая функция для
х2 +у2 > 0.
2. Проверить, что интеграл (Пуассона для круга)
Щр, в) = - [ * Pp(t- O)ip(t) dt
к Jo
(см. § 11.8, пример 3), где (p(t) — периода 2тг интегрируемая на периоде функция,
равномерно сходится на любом круге р < ро (ро < 1) вместе со своими частными
производными (по р и в).
Глава 14
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций
Перед чтением этого параграфа рекомендуем еще раз прочесть
§ 6.1-6.3. К этому мы сделаем добавление о полноте пространства.
Пусть Е есть линейное нормированное пространство и последова-
последовательность элементов хп Е Е сходится к элементу х Е Е. Тогда для
любого е > 0 можно указать такое N > О, что выполняется неравенство
||xn-x||<|, n>N.
Поэтому если n, m > JV, то
II II — II II <- II II II II ? ? —
ЦХ77, -X-тЦ — ЦХ77, X + X X777, || ^ ЦХтт, Х|| + ||Х ХттгЦ ^ ~^ ~г ~ — S.
И мы доказали: если последовательность элементов Хтт, Е Е сходит-
сходится к некоторому элементу х Е .Б, то она удовлетворяет условию Коши:
для любого г > 0 можно указать такое JV, что выполняется неравенство
||хп — хт||<г при n,m>N.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Имеются примеры
таких линейных нормированных пространств, что в них можно указать
последовательности элементов {хтт,}, удовлетворяющие условию Коши,
но не сходящиеся к какому-либо элементу Е. С такими пространствами
мы будем иметь дело (пространства Z/, Lf2).
По определению линейное нормированное пространство Е называ-
называется полным, если любая принадлежащая Е последовательность {хтт,},
удовлетворяющая условию Коши, сходится к некоторому элементу
х е Е.
Полное линейное нормированное пространство называют еще бана-
банаховым пространством*). Некоторые примеры банахова пространства
нам хорошо известны. Это есть пространство R1 действительных чисел
и евклидово пространство Rn.
Пространство С. Пусть П есть замкнутое ограниченное множество
пространства Rn. Совокупность всех непрерывных на П действительных
*) С. Банах A892-1945) — польский математик, внесший большой вклад в
изучение нормированных пространств.
§14-1- Пространство С непрерывных функций 499
(комплексных*)) функций / = /(х), х Е П, обозначают символом
С = C(Q). При этом каждой функции / Е С приводят в соответствие
число
= тах|/(х)| A)
?Г2
— норму / в метрике (пространства) С.
Пространство С непрерывных (на Q) функций есть линейное
нормированное действительное (комплексное) пространство с ну-
нулевым элементом 0 = 0(х) = 0.
В самом деле, С есть линейное действительное (комплексное) мно-
множество (см. § 6.1). Кроме того (см. § 6.3),
1) 11/11 с ^ 0 и из равенства ||/||с = 0 следует, что / = 0;
2) ||а/||с = тах^ |а/(х)| = \а\ тах^ |/(х)| = \а\ \\f\\c]
3) ||/ + у>||с
1М|с
По определению A) для функций /, /i, /2,... из С имеют место ра-
равенства
||/-/fc||c=max|/(x)-/fc(x)|, k = 1,2,... B)
х?О
Если правая часть B) стремится к нулю при к —>• оо, то это значит (см.
§ 11.7), что последовательность функций {Д} равномерно сходится к /
на П. Таким образом, сходимость последовательности функций в
пространстве (метрике) С эквивалентна равномерной ее сходи-
сходимости на П.
Пусть теперь последовательность функций Д G С удовлетворяет (в
метрике С) условию Коши, т. е. для любого е > 0 найдется такое JV, что
s > ||Л - fi\\c = max|/fc(x) - /,(х)|
для всех k,l > N. Тогда, как было доказано в § 11.7, последовательность
{Л} равномерно, а следовательно, и по норме в С сходится к некоторой
функции / Е С:
||Л - /lie = max |Д(х) - /(х)| -> 0, к -+ оо.
Таким образом, из того, что последовательность функций Д Е С
удовлетворяет условию Коши, следует, что существует функция
*) Комплексная непрерывная функция определяется равенством /(х) =
= <^(х) + г^(х), где (pvLij) — действительные непрерывные функции. Следова-
Следовательно, maxxG^ |/(х)| = maxxG^(^2(x) + ф2(х)) / .
500 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
/ Е С, к которой эта последовательность сходится в метрике С,
т. е.
lim fk — f в метрике С.
к^оо
Мы доказали, что С есть линейное нормированное полное про-
пространство, т.е. банахово пространство.
§ 14.2. Пространство L' (L)
Пространство V — Lf(a, b) состоит из функций /, заданных на интер-
интервале (а, Ь) (или отрезке [а, Ь]), непрерывных, за исключением конечного
числа точек, абсолютно интегрируемых на этом интервале.
В V задается норма
= ll/llz/
= /
J а
\dx < оо,
где интеграл понимается в римановом, вообще несобственном, смысле.
При этом под нулевым элементом в V понимается любая функция в Е V,
для которой
f
J a
(x)\dx = Q.
Функция в(х) может отличаться от нуля только в ее точках разрыва. Та-
Таким образом, 6(х) =0 для всех ж, за исключением, быть может, конечно-
конечного числа значений х.
Пространство V может быть действительным, если оно состоит из
действительных функций /(ж), жЕ (а, Ь), или комплексным, и тогда
f(x) = (f(x) + г ip(x), х Е (а, 6),
где (риф действительные.
Ниже проверяются свойства нормы в Z/.
1) II/H = J^ \f(x)\ dx ^ 0, если же ||/|| = 0, то в силу сделанного
соглашения / = 0;
2) для любых f,(p<eLf
= Г|/(ж)+^)|« [b\f(x)\dx+[b\<p(x)\dx = \\f\\
Ja Ja J a
3) llc/ll = Ja \cf(x)\dx = \c\Ja\f(x)\dx = |c| Il/H, где с — произ-
произвольное число, действительное в действительном Z/ или комплексное в
комплексном V.
§14-2. Пространство Lf (L) 501
Пространство V не полно. Существует последовательность функций
fn Е I/, п = 1,2,..., удовлетворяющая условию Коши в метрике Z/,
т. е. такая, что для любого е > 0 найдется N такое, что
Wfn- frnWv <e, п,ш> N,
и при этом нет функции / Е I/', к которой fn стремится в метрике L (см.
4-е издание этой книги, § 19.7).
Классическим полным пространством является пространство L =
= L(a, b) функций, интегрируемых по Лебегу на (а, Ь), с нормой
11/11 = II/IU = fb\f(x)\dx,
J a
где интеграл понимается в лебеговом смысле.
В этой книге мы не пользуемся интегралами Лебега. Однако при по-
получении результатов, верных не только в I/, но и в L, мы будем отмечать
это (в скобках).
Носителем функции if{x) называют замыкание множества, на кото-
котором функция if отлична от нуля.
Замкнутое ограниченное множество точек х (действительных или
комплексных) называется компактом. Такое множество обладает тем
свойством, что из любой принадлежащей ему последовательности то-
точек Xk можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некото-
некоторой точке этого множества.
Функция if{x) называется финитной в интервале (а, 6), если она
определена на этом интервале и ее носитель принадлежит ему. Таким об-
образом, финитная в (а, Ь) функция равна нулю в некоторой правой окрест-
окрестности айв некоторой левой окрестности Ь.
Теорема 1. Если / Е L'(a, b) (L(a, Ь)), то для любого е > 0
найдется непрерывная финитная в (а, Ь) функция ц>(х), для которой
\\f-<p\\b= f \f{x)-<p{x)\dx<e. A)
J a
Можно еще сказать: функцию feLf(a,b) (L(a,b)) можно при-
приблизить в метрике V (L) с любой степенью точности указанной
выше функцией if.
Доказательство. 1) Для функции / (х), непрерывной на (конеч-
(конечном) отрезке (см. рис. 14.1), можно получить непрерывную финитную в
(а, Ь) функцию if следующим образом:
0 на [a,a + h], [b-h.b], h > 0,
= { f(x) на [a + 2h,b- 2ft],
линейная на [а + h,a + 2/i], [b — 2/i, b — h].
502
Гл. 14- Линейные нормированные пространства
Для достаточно малого /г, очевидно, выполняется A). График ip здесь и
далее изображается жирной линией.
У
У1
Ъ х
сЪ х
Рис. 14.1
Рис. 14.2
2) Теорема верна также для функции /, непрерывной на [а, Ь) или
(а, Ь]. В самом деле, в случае [а, 6), где b может быть конечным или бес-
бесконечным (см. рис. 14.2 и 14.3), по данному г > 0 определим число с,
а < с < Ь, так, чтобы
rb\f(x)\dx<?-,
и положим функцию (р(х) = 0 на [с, Ь], а на отрезке [а, с], где f(x) не-
непрерывна, определим функцию ц>(х) так, как сказано в 1):
f
J a
\f{x)-4>{x)\dx<-.
Но тогда
f \f(x) - v{x)\dx = Г \f(x) - <p(x)\dx + f \f(x)\d
Ja Ja Jc
Рассуждения для полуинтервала (a, b] аналогичны.
У1
Рис. 14.3
3) Теорема в общем виде доказывается на основании 1) и 2). При-
Принадлежащая к L'(a, b) функция / непрерывна на (a, b), за исключением
§14-2. Пространство Lf (L)
503
конечного числа точек (а, Ъ). Эти точки делят (а, Ъ) на конечное чис-
число частичных интервалов. Каждый из этих частичных интервалов мы
еще поделим пополам любыми промежуточными точками. Функция / в
этих дополнительных точках непрерывна. В результате интервал (а, Ъ)
hh
hh
Рис. 14.4
будет разделен на конечное число полуинтервалов вида [с, d) или (с, d],
на каждом из которых функция / непрерывна. Теперь мы можем при-
приблизить / в метрике L на каждом из этих полуинтервалов (пользуясь 2))
непрерывной финитной в этом интервале функцией ср.
Этим определена непрерывная функция ср, финитная на всем интер-
интервале (а, Ь).
На рис. 14.4 схематически показано приближение функции / Е
Е 1/@, оо), имеющей особенность в точках х = 1, оо, непрерывной функ-
функцией ер, финитной в @, оо); ср изображается жирной линией.
Теорема 2. Для функции f E L'{—оо, оо) = V
t^o.
B)
Доказательство. Зададим г > 0 и, пользуясь теоремой 1,
подберем непрерывную финитную в (—оо, оо) функцию (р(х) так, чтобы
\f(x)-<p(x)\dx< -.
Подстановка x = и + t дает
roc
L
или, формально заменяя и на х,
г
3'
C)
D)
504 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
Теперь имеем (пояснения ниже)
гоо гоо
/ \f(x + t) - /(ж)| dx ^ / \f(x + t) - ip(x + t)\dx+
</-oo </-oo
+ / |<р(ж + t)- ip(x)\dx + / |<р(ж) - /(ж)| cte <
</-oo •/—oo
если й достаточно мало.
Мы считаем, что с < а < b < d, где [а, Ь] — носитель функции у?, и
|?| ^ S = min(a — c,d — b). Это обеспечивает равенство
/ ^(ж+ «)-?>(»)| «to =/ \<p(x
J — СЮ «/С
для любого ?, удовлетворяющего неравенству 11| ^ 5, потому что в таком
случае для значений ж, не принадлежащих [с, а\, разность cp(x-\-t) — ip(x)
равна нулю.
Так как функция ср непрерывна и [с, d] — конечный отрезок, то этот
интеграл при достаточно малом 5 меньше г/3. Теорема 2 доказана.
§ 14.3. Пространство L'2 (L2)
Пусть пока (а, Ь) есть конечный интервал. Через Щ (а, Ь) = Щ обо-
обозначим пространство определенных на (a, b) функций ер, действительных,
ограниченных на (a, b) и непрерывных всюду, за исключением конечного
числа точек. Такие функции интегрируемы на (a, b) по Риману.
Для f,(fE L'2 вводим скалярное произведение
fb
= / <p(x)i/>(x)dx, A)
J a
представляющее собой обычный риманов (собственный) интеграл. Оно
удовлетворяет трем свойствам скалярного произведения (см. § 6.2). В
самом деле, для (р,ф Е Щ выполняется:
1) ((р,ф) = (pфdx = (ф,ф)]
J a
2) {pup + Рф, х) = <*(<Р, X) + Р(Ф, X);
3) (ф,ф) ^ Оииз равенства (ф,ф) = 0 следует, что ip(x) = 6(х)
(см. § 14.2, B)), где в — интегрируемая по Риману функция, интеграл от
квадрата модуля которой равен нулю.
§14-3. Пространство L2 (L2) 505
Но тогда, как было показано в § 6.2, для любых двух функций ср,
ф G L2 имеет место неравенство
b \l/2spb \ 1/2
Mx)\2dx) (j mx)\2dxj . B)
Примечание. Приведенное рассуждение остается верным также,
если заменить интервал (а, Ь) на любое ограниченное множество дейст-
действительной оси, состоящее из конечного числа интервалов.
Пусть теперь (а, Ь) — произвольный интервал, может быть неогра-
неограниченный. Обозначим через L2 = L2 (а, Ъ) совокупность определенных
на (а, Ъ) действительных функций /, интегрируемых абсолютно на (а, Ь),
вообще, в несобственном смысле, т. е.
' \f(x)\2 dx < оо.
Зададим две произвольные функции (р,ф G L2. Введем множество
Q?, г > 0, которое получается из (а, Ь) выкидыванием из него конечной
системы интервалов длины 2е с центрами в точках, где интегралы от ср
и ф имеют особенности, и если интервал (а, Ь) неограничен, то выкидыва-
выкидыванием также значений ж, удовлетворяющих неравенству |ж| ^ s—1. Если
интегралы от ip и ф вовсе не имеют особых точек, то считаем П? = (а, Ь).
Таким образом, (р,ф g L2 (Q?) при любом г > 0 и
\1/2/ р \1/2
№x)\2dx) Ц
1/2 / rb \ 1/2
Переходя в этом неравенстве к пределу при е —> 0, получим
ь / rb \ 1/2 / Гь \ 1/2
I / \ / / \ I 7 I I \ \1 1 \ I I \ I \1 1 \ /О\
/ Г\ ( "У* 1 1Л ( "У* 1 /1 "У* <^ I I \ ( Г\\ /1 <У* I I / \ 1П \ /1 <У* I | Q |
| {jJyJb) Ц) \Л>) | tliL -^ I 1 \у^\ *~Ь*Ь I I 1 | Ц) | ULJU I . \^/
\J a J \J a J
Интегралы справа в C) конечны, ведь (р,ф G Lf2, следовательно,
конечен и интеграл слева.
Мы доказали, что если ср,ф G L2, то (^^ G L' и выполняется
неравенство C). Таким образом, для любых ср,ф G Ь2(а,Ъ) имеет смысл
интеграл (абсолютно сходящийся)
= / (р(х)ф(х)Aх, D)
506 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
понимаемый в римановом, вообще несобственном, смысле. Легко прове-
проверяется, что он удовлетворяет трем свойствам скалярного произведения,
если считать, что нулевой элемент есть функция в = в(х) Е L2, для ко-
которой
\0(x)\2dx = 0
i
(см. предыдущий параграф).
Теперь можно, как это пояснено в § 6.2, 6.3, ввести для функций / Е
Е L2 норму
ГЪ \ 1/2
\f\2dx
'а
с которой L2 становится нормированным пространством. Если последо-
последовательность функций Д Е L2 сходится по норме к функции / Е L2, то
это значит, что
00.
Говорят в этом случае, что последовательность {/&} сходится к f
на [а, Ь] в смысле среднего квадратического.
Пространство L2 (так же как V) не полно. Полным является
пространство Li = Li(a,b) измеримых по Лебегу на (а,Ь) функ-
функций с интегрируемым по Лебегу квадратом их модуля. Простран-
Пространство Li называют гильбертовым пространством в честь Гильберта
A862—1943), одного из крупнейших немецких математиков.
Конечно, пространство Li более совершенно, чем L2, но оперирова-
оперирование с Li требует знания интеграла Лебега. С другой стороны, L2 охва-
охватывает достаточно широкий класс функций, часто только и нужных.
Заметим, что если / Е Lf2(a,b) и интервал (а, Ь) ограничен, то
/ Е L'(a, b). В самом деле,
11/11ь2 = / I/- Mdx ^
J a
Ь \ 1/2
\f\2dxj =|6-a|1/2||/||L,. E)
Например, функция х~а принадлежит L2@,1) С Z/@,1), если
а < 1/2. При условии же 1/2 ^ а < 1 функция х~а не принадле-
принадлежит 1/2@,1), но принадлежит 1/@,1). Далее, х~а Е L2(l,oo), если
а > 1/2, но х~а Е 1/A, оо), только если а > 1.
§14-6. Ортогональная система в пространстве 507
§ 14.4. Пространство Ь'р(П) (LP(Q))
Пусть П С Жп есть открытое множество, измеримое по Жордану, а
если оно не ограничено, то его пересечение с любым шаром измеримо по
Жордану. Обозначим через Lp(tl) = Lp совокупность действительных
функций /, интегралы от которых JQ / dx если имеют, то конечное число
особенностей (см. 4-е издание этой книги, § 13.13), и таких, что |/(х) \р Е
Е 1/(П). Положим
= J ьп =
A)
Можно доказать, что так определенное число ||/||z,p есть норма, и,
таким образом, Lp(Q) есть нормированное пространство.
Справедлива также следующая теорема.
Теорема 1. Если / Е Lp(u), то для любого е > 0 найдется
непрерывная финитная в п функция if такая, что
: г.
Теорема 2. Для f E Lp(Kn) справедливо свойство
jRn
§ 14.5. Полнота системы элементов
в банаховом пространстве
Система х\, Х2, хз,... элементов банахова пространства Е называ-
называется полной, если для любого х Е Е и любого г > 0 найдутся натураль-
натуральное N и числа «1,... , ajv? действительные в действительном простран-
пространстве Е и комплексные в комплексном Е, такие, что
N
Подчеркнем, что полнота последовательности элементов в Е и пол-
полнота Е — разные понятия.
§ 14.6. Ортогональная система
в пространстве со скалярным произведением
Пусть Н есть линейное (действительное) множество элементов
ер, ф, /,..., где введено скалярное произведение (ср, ф), ср,ф Е Н, под-
подчиняющееся, таким образом, свойствам 1)—3) скалярного произведения
(см. §6.2).
508 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
Сначала наши рассуждения будут относиться к произвольному не
обязательно полному пространству со скалярным произведением, каким
является, как мы знаем, пространство Lf2(fl).
Элемент ср Е Н называется нормальным, если \\cp\\ = (ср^срI/2 = 1.
Два элемента ср,ф E H называется ортогональными (друг к дру-
другу), если (ср, ф) = 0.
Система элементов
(?1,(^2,^3,... A)
(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если ее элемен-
элементы не нулевые (имеют положительную норму) и попарно ортогональны.
Наконец, система A) называется ортогональной и нормальной, или
ортонор мир о ванной, если
= skl = {
0, кф1,
т. е. она ортогональна и каждый ее элемент имеет единичную норму.
Всякая конечная ортогональная система cpi,... , ipw линейно неза-
независима в Н,т.е. из того, что
N
^akifk = 0,
к=1
где otk — числа, следует, что все ак = 0. В самом деле, если помножить
обе части этого равенства скалярно на ipi, I = 1, 2,..., N, то на основа-
основании линейных свойств скалярного произведения получим
N .
^2akifk,ifi \ = щ (ipuipi) = 0,
к=1 '
и так как (cpi, cpi) > 0, то оц = 0, I = 1, 2,..., N.
Если / Е Н — произвольный элемент, то число
¦(f,<Pk), к = 1,2,...,
называется коэффициентом Фурье / относительно элемента ср^ ортого-
ортогональной системы A).
Ряд
¦к B)
(порождаемый элементом / Е Н) называется рядом Фурье элемен-
элемента f no ортогональной системе A) (в честь французского математика
Ж. Б. Фурье A768-1830), которому принадлежат фундаментальные ис-
исследования, относящиеся к представлению функций тригонометрически-
тригонометрическими рядами).
§14-6. Ортогональная система в пространстве
509
Если система A) ортонормирована, то \\ipk\\ — 1? к = 1,2,..., и ряд
Фурье / Е Н записывается еще проще:
C)
к = 1
Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа (/, (рк). В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы A).
Переход от них к произвольным ортогональным системам носит техни-
технический характер.
Отметим уже сейчас, что тригонометрические функции
1, cos ж, sin ж, cos2x, sin2x, ...
образуют ортогональную систему в пространстве L2@,2tt) (или
Z/2@, 2тг)) функций с интегрируемым квадратом модуля на [0, 2тг]. Ряды
Фурье по этой конкретной системе будут специально изучаться нами в
гл. 15. Пространство Ь2@, 2тг) (Z/2@, 2тг)) есть частный случай линей-
линейного пространства Н со скалярным произведением, и все результаты,
которые мы получим в этой главе для Н, соответственно переносятся на
L2@,2tt) (L2@,2tt)).
Итак, пусть задана ортонормированная система элементов A) в Н.
Зададим еще элемент / Е Н и поставим задачу: требуется среди все-
всевозможных чисел «1, «2,... , «jv (действительных) найти такие, для
которых норма
N
f ~
к=1
D)
обращается в минимум.
Имеем
N
к=1
N
к = 1
N
1=1
N
N
1=1
1=1
N
N
N
1=1 1=1 1=1
При этом оценка справа достигается, очевидно, для чисел
а| = (/,^), / = 1,2,. ..,7V,
E)
510
Гл. 14- Линейные нормированные пространства
и только для них. Эти числа (/, ipi) мы назвали коэффициентами Фурье
элемента / относительно элементов ipi ортонормированной системы.
Полученный результат можно записать в виде цепи равенств:
= min
N
N
f ~
k = l
1/2
F)
Первый член этой цепи Е]у(/)н есть обозначение минимума по «&,
записанного во втором члене. Его называют наилучшим приближени-
приближением элемента / Е Н (в метрике Н) при помощи линейных комбина-
комбинаций вида J2i ак^к-> яде ак — произвольные действительные числа.
Третий член цепи выражает, что наилучшее приближение достигается,
когда числа а^ являются коэффициентами Фурье / относительно cpk, т. е.
при otk = (/, (fk)- Наконец последний, четвертый член дает явное выра-
выражение для наилучшего приближения / через (/, /) и коэффициенты Фу-
Фурье (f,ipk), к = 1,2,..., N.
Ясно, что En(J)h ^ 05 так как это число есть минимум неотрица-
неотрицательной нормы. Ясно также, что Е^(/)н не возрастает при возраста-
возрастании N. Это видно из последнего члена формулы F), но это видно и из
второго члена:
II JL и ^+1
EnU)h = min /-
k=l
mm
k=l
есть частный случаи суммы
при
потому что сумма 2_
= 0.
Из сказанного следует, что для любого элемента / Е Н существует
предел
А= lim EN(f)H =
\
N
(f,f)->J(f,<Pk)\2 =
к = 1
= lim
N
f -
0. G)
В частности, отсюда следует, что ряд, состоящий из квадратов
модулей коэффициентов Фурье элемента f E Н, сходится и выпол-
выполняется неравенство
Е
к = 1
1СЛЫ12
(8)
называемое неравенством Парсеваля для элемента /.
§14-6. Ортогональная система в пространстве
511
Термин "неравенство" здесь употребляется в том смысле, что утвер-
утверждается, что левая часть (8) не превышает правую. На самом деле мо-
может оказаться, что для тех или иных элементов /, а может быть и для
всех, соотношение (8) есть точное равенство. Тогда оно называется ра-
равенством Парсеваля*).
Условимся говорить, что ряд
^0 + У* + U2 + . . .
элементов Uk Е Н сходитсяв метрике Н к элементу / Е Н, если для его
n-й суммы sn (e H):
*п,
71 = 1,2,...,
имеет место соотношение
lim ||/-Sn||=0.
При этом пишут
= Up
U2
(9)
к=0
и говорят, что / есть сумма ряда, сходящегося к f в метрике Н.
Допустим, что в равенствах G) для данного элемента / случилось,
что Л = 0. Разберемся, что тогда выражает равенство нулю остальных
трехчленов G).
1) Равенство нулю второго члена G) может быть эквивалентно вы-
выражено на следующем языке: для любого е > 0 можно указать такое Nq
и числа а\,... , ajv0 , что
N0
к=1
< г.
A0)
В самом деле, если указанные числа Щ, а\,... , ajy0 найдены, то за-
зафиксируем Щ и возьмем минимум левой части по а^. Тогда получим
е > ENo(f)H ^ EN(f)H, N > No,
т.е. En(J)h -4-0, N —>• оо. Наоборот, из этого последнего свойства
следует, что для любого г > 0 можно указать N такое, что
е > EN(f)H =
N
k = l
*) М. Парсеваль — французский математик, получивший это неравенство в
1805 г. для тригонометрических систем.
512 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
2) Равенство нулю третьего члена G) выражает, что для рассматри-
рассматриваемого элемента / имеет место точное равенство Парсеваля.
3) Равенство же нулю четвертого члена G) выражает, что ряд Фурье
по системе A) сходится к / в смысле метрики, определенной в Н.
Так как свойства 1)-3) могут иметь место только одновре-
одновременно, то выполнение одного из них для какого-нибудь элемента
влечет за собой выполнение двух остальных.
Отметим, что если свойство 1) выполняется для всех элементов
/ Е Н, то в этом случае говорят, что система элементов ф1,ф2,фъ,- • •
полна в Н.
Из сказанного как следствие вытекает следующая важная
Теорема 1. Для того чтобы ортонормированная система
элементов ф1,ф2,фъ,- • • была полной в Н, необходимо и доста-
достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) ряд Фурье произвольного элемента / Е Н,
к = 1
сходится к f в метрике Н (и в этом соотношении можно заме-
заменить ~ на = ; см. (9));
б) для каждого элемента / Е Н имеет место равенство Пар-
Парсеваля:
k=l
Отметим лемму.
Лемма 1. Пусть имеет место равенство
/ = ио + и\ + U2 + ... ,
где fjUk Е Н и ряд сходится в метрике Н к /. Тогда для любого
элемента v Е Н
(f,v) = (uo,v) + (iii,г;) + (u2,v) + ... ,
где числовой ряд справа сходится к(/,у).
В самом деле,
N
с/» -
к=0
N
/-
к=0
I N II
/- ^2uk\\ \M ->0,
' k=O "
§14-6. Ортогональная система в пространстве 513
Следствие. Если ряд
оо
/ — / С^к^Рк-) (И)
k = l
где ак — числа, a ipi,ip2,--- — ортонормир о ванная система, схо-
сходится в метрике Н к некоторому элементу / Е Н, то числа as —
необходимо коэффициенты Фурье /:
m. e. разложение f в указанный ряд единственно.
Действительно, если умножить скалярно члены обеих частей равен-
равенства A1) на ifs, то на основании леммы 1 получим A2).
Введем еще одно определение. Ортонормированная система называ-
называется замкнутой, если из того, что для элемента ф Е Н выполняются
равенства (ф, срк) = 0, к = 1,2,..., следует, что ф есть нулевой элемент
в Я (ф = 0).
Из равенства Парсеваля для полной системы вытекает
Теорема 2. Из полноты ортонормир о ванной системы сле-
следует ее замкнутость.
Все утверждения, доказанные в этом параграфе выше, верны как для
полного, так и не полного *) пространства Н. В частности, они верны для
пространства L'(П), которое, как мы знаем, не полно.
Ниже мы приводим ряд утверждений, где от Н требуется полнота.
Итак, пусть Н есть полное линейное бесконечномерное пространст-
пространство со скалярным произведением — гильбертово пространство (таким
является пространство Z^O)).
Теорема 3. Ряд по ортонормир о ванной системе
оо
Е
k=l
где
оо
У \&к\ < °°5 A3)
сходится в метрике Н к некоторому элементу if Е Н.
Доказательство. Пусть
п
^п — / Qk^Pki Tl = 1, 2, . . .
k = l
*) Полная система в Н и полное пространство Н — разные вещи. Например,
система (рк может быть полной в неполном пространстве Н.
17 С.М.Никольский
514 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
В силу сходимости ряда A3) для всякого е > 0 найдется такое JV, что
для п > N и всякого р
п+р
71+1
п+р
?
71+1
2
= \\Sn+p ~Sn\
Это показывает, что последовательность элементов sn <E H удовлетво-
удовлетворяет условию Коши и вследствие полноты Н существует элемент ср Е Н,
к которому эта последовательность сходится (в метрике Н), что и дока-
доказывает теорему.
Теорема 4. Ряд Фурье
к A4)
k=i
произвольного элемента f E H сходится (в метрике Н) к некото-
некоторому элементу if Е Н и при этом элемент f — if ортогонален ко
всем ipk-
Доказательство. Согласно неравенству Парсеваля ряд
сходится. Поэтому в силу предыдущей теоремы ряд A4) сходится к неко-
некоторому элементу ср Е i?:
к=1
Итак,
к = 1
где справа стоит ряд, сходящийся в метрике Н. Помножим скалярно все
члены последнего равенства на элемент cps. Тогда получим
(f-<p,<pa) = (f,<pa)-(f,<pa)=O, в = 1,2,...
Утверждение доказано.
Докажем обратную теорему к теореме 2 (при условии полноты Н).
Теорема 5. Если Н полно, то из замкнутости ортонорми-
рованной системы A) следует ее полнота.
§14-7. Ортогонализация системы 515
Доказательство. Пусть система A) замкнута, но не полна.
Тогда на основании теоремы 1 должен найтись элемент / Е Н такой,
что его ряд Фурье не сходится к нему. Но он сходится, как было доказано
выше, к некоторому элементу ср Е Н, и элемент / — ср ортогонален ко
всем (/)&, к = 1,2,... Но вследствие замкнутости системы в таком случае
/ — ср = О, т. е. / = (^,и мы пришли к противоречию.
§ 14.7. Ортогонализация системы
Теорема 1. Пусть в действительном линейном простран-
пространстве Н со скалярным произведением задана линейно независимая
система элементов
Ф1,Ф2,ФЗ,--- A)
Существует и притом единственная, с точностью до знаков ор-
ортогональная и нормальная система элементов
B)
принадлежащих Н, обладающая следующим свойством.
При любом натуральном к
^fe = 5>?Vj, а^фО, C)
и, наоборот,
** = 1>5*Ц, /#°*0, D)
где otj \ Pj — числа (действительные).
Если система A) конечна и состоит из п элементов, то и
ортогональная система B) обладает этим свойством.
Выражение "единственная система cpi, ср2,... с точностью до зна-
знаков" надо понимать в том смысле, что если система B), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям теоремы, найдена и если все ipk помножить на 8k = =Ы,
где знаки ± могут зависеть от к, то полученные системы снова удовле-
удовлетворяют условиям теоремы, но никаких других удовлетворяющих усло-
условиям теоремы систем нет.
Доказательство. Элемент ф\ образует по условию линейно
независимую систему, состоящую из одного элемента, и потому
17*
516 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
так как должно быть cpi = C\ ipi, \\tpi\\ — 1, то C\ = db ¦¦ j^ ¦¦ G^ 0).
Тогда и г/?х = cq <?ь где a|j_ = ill^ill G^ 0)- Этим утверждение
доказано при к = 1.
Пусть теперь известно, что можно построить ортогональную и нор-
нормальную систему элементов cpi,... , ср^ и притом единственным образом
с точностью до знака, так что выполняются равенства C) и D). Пока-
Покажем, что эту систему можно пополнить элементом (fk+i и притом един-
единственным образом с точностью до знака так, что полученная система
cpi,... , tpk+i будет ортогональной и нормальной и будет удовлетворять
условиям C) и D), где надо заменить к на к + 1.
Искомый элемент (fk+i должен иметь вид
/с + 1 к
Во втором равенстве мы заменили ^i,... , ^ на равные им линейные
комбинации из (^j с индексами j ^ к, затем привели подобные при одина-
одинаковых cpj. Это возможно потому, что утверждение верно при к. По усло-
условию элемент (fk+i должен быть ортогональным ко всем cps, s = 1,..., к;
поэтому должно быть
5) +7s =0, S =
Но тогда, подставляя 7s B E), получим
Элемент
не может быть нулевым, потому что иначе элемент ipk+i был бы линей-
линейной комбинацией из элементов ipj, j = 1,..., к; но тогда на основании
уже доказанного при к элемент ^/с+i был бы также линейной комбина-
комбинацией из элементов ^j, j = 1,..., fc, что противоречило бы линейной
независимости системы ipi,... p
Итак,
Это позволяет удовлетворить требованию ||<?&+11| = 1, в силу которого
число pjk_|_i опРеДеляется с точностью до знака:
Теорема доказана.
§14-8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и Lf (L) 517
Процесс, при помощи которого строилась ортогональная и нормаль-
нормальная система B), в указанном выше смысле эквивалентная линейно неза-
независимой системе A), называется процессом ортогонализации (систе-
(системы A)).
Теорема 2. Системы элементов из Н
^1,^2,^3,-.. F)
связанные при любом к = 1, 2,... соотношениями C) и D), одновре-
одновременно полны или же не полны в Н.
Здесь Н можно считать произвольным нормированным пространст-
пространством, в котором может и не быть определено скалярное произведение.
В самом деле, пусть система F) полна вЯи/ — произвольный эле-
элемент Н. Тогда для любого е > 0 найдется сумма вида
N
Е
k=l
(8)
где ак — числа, такая, что
е >
N
к = 1
Но в силу равенств D) сумма (8) есть некая сумма вида J2i РкФк, гДе
(Зк — числа, поэтому система G) полна в Н.
Аналогично доказывается с помощью равенств C), что полнота сис-
системы G) влечет полноту системы F).
§14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и L' (L)
Теорема. Пусть п — открытое измеримое (ограниченное)
множество.
1) Если система функций ^1,^2?^з? • • • полна в С(П), то она
полна и в L2(O).
2) Если же она полна в L2(O), то полна и в Lf(Q).
Доказательство. Имеют место очевидные неравенства
2 \ 1/2
k = l
max
N
N
L
N
k = l
2 х 1/2
dxj
A)
B)
518 Гл. 14- Линейные нормированные пространства
(см. § 14.3, E)). Первое из них верно в предположении, что ipk,f ?
G С(п), а второе — что cfk,f G ^(П)^).
Если система (^ полна в С(П) (L^O) или 1/2(П)), то найдется ко-
конечная сумма 5^х Oih^Ph-, для которой правая часть в A) (соответственно
в B)) меньше е. Но тогда и левая меньше е.
Замечание. Приведенные здесь рассуждения для нас во всяком
случае обоснованы, когда П = (а, Ъ). В общем случае П С W1 (см. 4-е
издание этой книги).
Упражнения. _
1. Доказать более общее утверждение: если система A) полна в C(Q), то
полна и в Lp(Q), 1 ^ р < оо, если же она полна в Lpf (Q) и 1 ^ р < р < оо, то
полна также в Lp(fi), где П — измеримое (ограниченное) множество.
Глава 15
РЯДЫ ФУРЬЕ.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ
§ 15.1. Предварительные сведения
Система тригонометрических функций
-, cos ж, sin ж, cos2x, sin3x, ... A)
ортогональна на отрезке [0,2тг], т.е. интеграл на [0, 2тг] от произведе-
произведения двух разных функций этой системы равен нулю. Это вытекает из
равенств
/>2тг
/ coskx coslxdx = 0, кф\, к, I = 0,1,...,
Jo
/>2тг
/ sinkxsinlxdx = 0, кф1, к, / = 1,2,...,
Jo
/>2тг
/ coskxsmlxdx = 0, к = 0,1,..., / = 1,2,...,
Jo
f
/
Jo
2 f27T 2
cos kxdx— \ sin kxdx = тг, к = 1,2,...,
o i
Эта глава посвящена теории тригонометрических рядов и вопросам
приближения функций тригонометрическими полиномами.
Функция /(ж) называется периодической периода 2и > 0, если она
определена на всей действительной оси и для всякого х удовлетворяет
условию
Если для такой функции существует интеграл (собственный или несоб-
несобственный)
rZuj
/ Д;
Jo
x)dx,
520 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
то, каково бы ни было действительное число а,
pa-\-2uj p2uj
/ f(x)dx= / f(x)dx. B)
Ja Jo
Это видно из рис. 15.1: одинаково затушеванные площади равны.
0 a-2k(D 2co 2kco а 2(к+\)со а+2со х
Рис. 15.1
Но это можно доказать формально. Существует единственное нату-
натуральное число к такое, что 2кио ^ а < 2(к + 1)о; и, очевидно,
Складывая эти равенства, получим B).
Очень часто в случае функций периода 2и приходится употреблять
равенство
p2oj p2oj
/ f(t-x)dt= f(t)dt, B')
Jo Jo
где х может быть любым значением. Действительно, воспользовав-
воспользовавшись B), имеем
/ f(x)dx= f(x-2koo)dx= f(z)dz,
Ja Ja J a — 2ku)
ra-\-2oj pa — 2kuj
f(x)dx= f(x-2(k + l)uj)dx= f(z)dz.
f2Wf(t-x)dt= Г Xf(z)dz= Г f(t)
JO J-x JO
dt.
Это равенство будет часто употребляться без пояснений.
Функции системы A) являются периодическими периода 2тг. При
этом функции 1, cos ж, cos2x,... четные и функции sin ж, sin2x,...
нечетные.
Для четных функций /(ж)
ь рЪ
f(x)dx = 2 / f(x)dx
-ь Jo
§15.1. Предварительные сведения 521
и для нечетных
f(x)dx = 0.
Сумма вида
ak cos кх -Ь
где ak, bk — постоянные числа, называется тригонометрическим по-
полиномом порядка (или степени) п.
Тригонометрические полиномы мы будем считать простейшими пе-
периодическими функциями периода 2тг. Ими мы будем приближать дру-
другие более или менее произвольные функции периода 2тг.
Функцию f(x) периода 2и можно заменить функцией F(u) = /(ии/тг)
периода 2тг с помощью подстановки х = ии/тг, приблизить эту вторую
функцию некоторым тригонометрическим полиномом F(u) ~ Тп(и) и
затем вернуться к переменной х:
Условимся о некоторых обозначениях и терминологии. С (а, Ь) есть
(§ 14.1) пространство (класс) непрерывных на отрезке [а, Ь] функций / с
нормой
Н/Нс(а,ь) = max
С* есть пространство (класс) функций /, непрерывных на действи-
действительной оси и имеющих период 2тг, с нормой
ll/llc*= max \f(x)\= max \f(x)\
(а — произвольное действительное число).
Функцию / G С* можно считать принадлежащей С@,2тг) (С* С
С С@, 2тг)), рассматривая ее только на отрезке [0,2тг]. Однако при
этом получается не всякая функция пространства С@, 2тг), а такая, что
ее значения на концах периода равны между собой:
/@) = /Bтг). C)
Наоборот, функция / Е С@, 2тг), удовлетворяющая условию C),
после периодического продолжения с периодом 2тг превращается в функ-
функцию класса С*.
522 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
I/* есть пространство (класс) функций периода 2тг, которые, если
их рассматривать на отрезке [0,2тг], принадлежат 1/@, 2тг) с нормой
(см. § 14.2)
г2тт
= Ц/||Ь(О,2.) = / \f{x)\dx.
Jo
Про функцию /(ж) eL'* еще говорят, что она периодическая (перио-
(периода 2тг), абсолютно интегрируемая (на периоде) функция. Напомним, что
для функции / G 1/@, 2тг) имеет место равенство
/ f(x)dx= f f(x)dx. D)
JO J-тг
L2* есть пространство (класс) функций / периода 2тг, которые, ес-
если их рассматривать на отрезке [0, 2тг], принадлежат L2@, 2тг) с нормой
(см. § 14.3)
1/2 / Гтт \ 1/2
(j \f()\2dj
а2тг \ 1/2 / Гтт \
|/(x)|2^J = (j_ \f(x)\2dxj
Про функцию /(ж) G L2* говорят еще, что она периодическая (пери-
(периода 2тг) функция с интегрируемым квадратом модуля (на периоде) или
еще, в действительном случае, с интегрируемым квадратом. Напомним,
что функция / G Ь2@, 2тг) интегрируема по Риману на [0, 2тг], или если
ее интеграл D) имеет конечное число особых точек, то квадрат ее модуля
интегрируем в несобственном смысле. Подчеркнем еще, что L2* С I/*,
потому что если / G L2*, то
2тт / г2тт \ 1/2
\f(x)\dx^^j \f(x)\2dxj
В теории рядов Фурье более естественно рассматривать классы (про-
(пространства) L* и L2 функций периода 2тг, принадлежащих лебеговым
пространствам L@, 2тг) и соответственно ^@, 2тг).
Читатель уже заметил, что в наших обозначениях звездочка указы-
указывает на периодичность (с периодом 2тг) функций, составляющих класс.
Функции / указанных классов могут быть действительными и комп-
комплексными функциями f(x) = (f(x) + iip(x) от одной переменной ж, по-
поэтому, например, мы говорим "квадрат модуля" функции, а не просто
"квадрат функции", что только в действительном случае одно и то же.
Система тригонометрических функций A) ортогональна и, как мы
узнаем в дальнейшем, полна в L2* (L2) (и даже в С*). Каждой функции
§15.1. Предварительные сведения 523
/ Е L2* A/2) можно привести в соответствие ее ряд Фурье (см. § 14.6, B))
по системе A):
оо
/(ж) ~ 1- V^ (a/, cos кх + bk sin kx), E)
где
ак — — \ /(?) cos &? (it, /с = 0,1,..., F)
bk = - f(t)sinktdt, A: = 1,2,... G)
Отдельные функции ао/2, ai cos ж + Ь\ sin ж, а2 cos 2ж + 62 sin 2ж, ...,
входящие в правую часть E) при условиях F), G), называются членами
ряда Фурье функции / {гармониками /).
Заметим, что коэффициенты Фурье ак и bk (см. F) и G)) имеют на
самом деле смысл не только для функций / Е Ь2*, но и для функций
/ Е I/* (вообще/ Е I/*). Ведь функции cos/еж, sin/еж ограничены,
а функции / Е I/* абсолютно интегрируемы, но тогда и интегралы,
определяющие коэффициенты Фурье / Е 1/@, 2тг), абсолютно сходятся:
/Г /Г
/ |/(ж) сое/еж! б?ж ^ / |/(ж)|б?ж,
J — 7Г «/ — 7Г
/ \f(x)smkx\dx^ \f(x)\dx.
J — TV J —IT
Поэтому, имея в виду большую общность, мы будем по возможнос-
возможности рассматривать разложение в ряды Фурье функций, принадлежащих
!/*(?,*).
Итак, каждой функции / Е I/* (вообще f E L*) соответствует ее
ряд Фурье, независимо от того, сходится он в каких-либо точках ж или
нет. Существенно заметить, что если функцию f E L'* видоизменить,
прибавив к ней нулевую в Z/* (L*) функцию #(ж), т. е. такую, что
\0(x)\dx =
например видоизменить в конечном числе точек, то это не изменяет коэф-
коэффициенты Фурье /, а следовательно, и сам ряд Фурье функции /. Сово-
Совокупность коэффициентов Фурье функции называется ее спектром. Мно-
Многие колебательные процессы (колебания) в физике и технике описывают-
описываются периодическими функциями, вообще периода и, и тогда и есть время,
524 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
а у = F(u) есть ордината колеблющейся точки, силы, скорости, силы
тока, ... Если F есть тригонометрический полином, то
У = F{u) = -f
к = 1
cos
ктг
ктг
a0
и =
cos
(к7Г \
I
где А& = л/а| +Ь|, а срк определяются из уравнений a^ =
bk = ^4/c sin^fc, 0 ^ ifk < 2тг.
В физике говорят, что колебательный процесс у = F(u) распада-
распадается па простейшие колебательные процессы — гармонические ко-
колебания (гармоники)
(ктг \
Аксо8[ —u-ifk . (8)
Гармоника (8) имеет частоту к, амплитуду А^ и начальную
фазу ifk. На рис. 15.2 изображены три периодические периода 2тг функ-
функции: 52(ж) = sinх — sm22x (сплошной линией), 5з(ж) = sinх — sm22x +
sin3cc
(пунктиром) и 54 (х) = sin х — ... —
sin4cc
(точками).
Рис. 15.2
Для больших п график суммы
к=1
(9)
§15.2. Сумма Дирихле
525
схематически (не точно) изображен на рис. 15.3, что наводит на мысль,
и это будет в дальнейшем обосновано, что предельная функция
S(x) = lim Sn(x) A0)
п—>-оо
есть периодическая (периода 2тг) функция, определяемая равенствами
S(x) = ж, -тг < ж < тг, 5(тг) = 0. A1)
Функция S(ж) разрывна в точках ж& = Bfc + 1)тг, и потому последо-
последовательность непрерывных функций {Sn(x)j не может равномерно схо-
сходиться к5(ж), но она все же равномерно сходится на любом отрезке [а, Ь],
Рис. 15.3
принадлежащем интервалу (—тг,тг), вообще любом отрезке оси ж,
принадлежащем интервалу, на котором S(ж) непрерывна.
На рис. 15.3 еще показано, что график Sn(x) возле точек х\~ разрыва
предельной функции S(ж) делает всплески. Это характерное явление
для точек разрыва первого рода предельной кусочно гладкой функции
называется явлением Гиббса (см. 4-е издание этой книги, § 15.9).
§ 15.2. Сумма Дирихле
Пусть задана функция / Е L'* (вообще L*), и пусть
cos кх + bk sin kx)
A)
к=1
526 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
есть ее ряд Фурье, где, таким образом,
1
/(?) cos ktdt, k = 0,1,...,
1 Г
bk = - f(t) sin ktdt, k = 1, 2,...
^ У-7Г
Частичная п-я сумма этого ряда может быть преобразована так:
п
Sn (ж) = Ь ^^ (ctk cos /еж + 6/е sin kx) =
2 fc=l
y^— / f{t){cosktcoskx+ smktsmkx)dt =
?^[ К J-7T
I (l J2k(t))f(t)dt [ Dn(t-x)f(t)dt, B)
где (см. § 8.2, A6))
1 n 1 sin(n+ о )X
Dn(x) = - + ^coskx = - V д. J . C)
sin-
Мы получили компактное выражение для п-й суммы Фурье функ-
функции f(x):
Sn(x) = - [ Dn(t- x)f(t) dt= - I Dn(u)f(x + u) du.
К J-7T К J-7T
D)
В последнем равенстве мы воспользовались периодичностью подынтег-
подынтегральной функции.
Интеграл D) называется интегралом Дирихле порядка п, а поли-
полином Dn(x) — ядром Дирихле порядка п. Заметим, что при любом х и
012
- / Dn(t -x)dt = - I - + У^ cosk(t - х) I dt =
я" J-7T 7rJ_7T\2 ^ )
1
«A = l, E)
2
потому что
/ cosk(t — x)dt= / cosktdt = 0, k = 1,2,...
J — 7Г J —IT
§15.3. Формулы для остатка ряда Фурье 527
В последнем равенстве использована периодичность (период 2тг) функ-
функции cos kt и тот факт, что она ортогональна на отрезке [—тг, тг] к функции,
тождественно равной единице.
Всякий ряд вида
оо
Ь 2_,(ak coskx + Ck s'mkx), F)
k=i
где a^, /3k — постоянные числа (коэффициенты ряда), называется три-
тригонометрическим рядом.
Тригонометрический ряд становится рядом Фурье только тогда, ког-
когда существует функция / Е L*, коэффициентами Фурье которой являют-
являются соответственно числа а&, bk, ctk = <%k, bk = fik- Например, если
установлено, что ряд F) сходится в смысле среднего квадратического на
[О, 2тг] к некоторой функции / Е L'2* (или Щ), то он есть ряд Фурье этой
функции (см. следствие леммы 1 § 14.6).
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция
четная, в то время как произведение четной на нечетную функцию есть
функция нечетная. Поэтому если функция / Е L'* (или L*) четная, то ее
ряд Фурье имеет вид
f(x) ~ 1- V^ ak cos кх, ak = — / fit) cos kt dt,
2 k=i * Jo
k=i
потому что ее коэффициенты bk = 0, а если она нечетная, то ее ряд Фурье
имеет вид
*, , ^ 2 Г 1, ч
fix) ~ у, ®k sin кх, bk = — / f{t)smktdt,
потому что тогда ее коэффициенты ak = 0.
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье *)
Для функции / Е Lf* (вообще L*) из формул D) и E) предыдущего
параграфа следует, что
Sn(x)-f(x) = - Г Dn(u)(f(x + u)-f(x))du =
71" «У —тг
= - Г DnWAJ(xL, A)
71 ./-тг
*) Чтобы избежать ссылку на последующий параграф, можно сначала про-
прочитать § 15.4, затем приступить к чтению данного § 15.3.
528
Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
где
Auf(x) = f(x + u)-f(x) B)
(разность / в точке х с шагом и).
В этих преобразованиях мы воспользовались периодичностью подын-
подынтегральной функции.
Равенство A) дает выражение для остаточного члена ряда Фурье.
Выяснение вопроса, сходится или не сходится ряд Фурье функции / в
данной точке ж к ее значению /(ж), и связанные с этим вопросом оценки
сходимости сводятся к исследованию поведения интеграла A) при
п —>• оо.
Лемма 1. Пусть / Е Lf* и задано число г), удовлетворяющее
неравенствам 0 < г\ < тг. Тогда п-я сумма Фурье f в точке х
может быть представлена в виде
1
SN(f,x) = -
тг
sin и
C)
_T1
равномерно относительно ж, т. е. для любого е > О
10^AI <е, N>N0,
при достаточно большом Щ для любого х.
Доказательство. Условимся считать, что g,g\,gi суть огра-
ограниченные функции, принадлежащие Z/*. Доказательство основывается
на теореме 2 из § 15.4 (см. ниже), в силу которой имеет место
/
f(x + u)g{u)
N
оо,
D)
равномерно относительно любых х. Имеем (\и\ < тг, пояснения ниже)
Dn(u) =
sin Nu cos - + cos Nu sin -
л — =
2sin-
2tg-
i
- cos Nu =
2
s'mNu
h
1
= sin Nu
fi, о
< и
I 0, г]
sin Nu + - cos Nu =
0, 0<
= sin Nu
+ - cos Nu — sin Nu
sin Nu -\— cos Nu =
< ^ >+g2(u) sinNu +дг(и)
§15.3. Формулы для остатка ряда Фурье
529
Тот факт, что #2 (и) есть кусочно непрерывная ограниченная функ-
функция, очевиден.
Далее, для и
151 HI
Теперь имеем
<тг
1 1
2tg| «
«-2tg-
с из
2
sin
, ж) = - / ^ п^— /(ж + u)du =
71 J-тт 2 sin —
f(x + и) du +
-\
— / sin TVix • g{u)f{x + u) du + - / cos A^u • /(ж + га) cfoi =
ТГ / ¦" /
¦u)du + OiVjc(l) C)
sin TVix
равномерно относительно любых х.
Следствие 1. Для 0 < г) ^ тг
1 = -
D)
Доказательство. Надо положить в C) f(u) = 1.
Следствие 2. Для 0 < Т] ^ тг при любом х
/И = "
sin Nu
f(x)du + oNx(l)
E)
и притом равномерно относительно ж, принадлежащих отрезку
[а, Ь], на котором / ограничена (\f(x)\ ^ if).
В самом деле, умножая D) на /(ж), получим E), где величина
0jVccA) = /(ж)°лгA) стремится при 7V —>• оо к нулю при всяком ж. Если
же ж G [а,&], то
где правая часть не зависит от ж и все же стремится к нулю при N —>• оо,
а это и значит, что од/"жA) при 7V —>- схэ стремится к нулю равномерно
на [а, Ь].
530
Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Следствие 3. Имеет место равенство
roc sin Nt
2 Уо
¦dt.
F)
Оно вытекает из D), где в интеграле надо произвести замену пере-
переменной: и = Nt, и перейти к пределу при N —>• оо.
Лемма 2. Если функция / Е Lf* определена в точке ж и 0 <
< rj ^ тг, то
1
SN(f,x)-f(x) = -
7Г
G)
г/ притом равномерно относительно ж, принадлежащих отрезку,
на котором f ограничена.
Эта лемма непосредственно следует из леммы 1 и следствия 2.
Таким образом, вопрос о том, стремится ли левая часть G) к нулю
при N —>• оо в точке х или на отрезке [а, 6], всецело зависит от поведения
главного члена правой части G). Остаточный член уже стремится к
нулю.
Остановимся еще на важном свойстве рядов Фурье, называемом прин-
принципом локализации. Если мы хотим узнать, сходится или не сходится
ряд Фурье данной функции / Е Lf* (L*) на отрезке [а', Ъ'] или в точке жо,
достаточно знать ее свойства на каком-нибудь отрезке [а, Ь], строго внут-
внутри себя содержащем [а'', Ь'\ или соответственно х$.
В самом деле, положим г] = min(a/ — а,Ъ — hf). Тогда для точек
х Е [af, Ь'], для которых мы хотим исследовать сходимость ряда Фурье,
подынтегральное выражение в правой части G) зависит от значений /
только на [а, Ъ] (ведь если х Е [а/,6/]и0< \и\ < rj, тох,х+и,х—и Е [а, Ь]).
§ 15.4. Теоремы об осцилляции
Пусть функция / Е Ь'(—оо, оо) (вообще L(—оо, оо)); тогда при лю-
любом действительном Л
roc
/ f(x)cosXxdx
J — ОО
roc
/ f(x)smXxdx
J — со
В самом деле,
/»ОО Z4 ОО
/ /(ж) 8тЛжб?ж = /
J — оо J— ос
- /
2 re
- /
^ «/ —
7Г
+ v
/ f и + — 1 sin Xudu = —
-оо V 'V i-oo
dx,
dx.
(i)
( 7Г
/1 ж + -г-
V ^
§15.4- Теоремы об осцилляции
531
Поэтому
/ /0) sin
1 J — oo
Xx dx
1|
-i
roc
и
(
f(x)
-f
<
(
и
\
Ay
oo
-oo
A
| J sinAxdx
-fix)
dx.
Для косинуса рассуждение аналогично.
Теорема 1. Если f Е I/ = Lf(a,h), то
f
J a
cos Ax
sin Аж
В случае V — V{—оо,оо) эта теорема следует из неравенств A),
правые части которых, как мы знаем, стремятся к нулю при А —> оо.
Если же интервал (а, Ь) есть часть интервала (—оо, оо), то будем считать
функцию / продолженной с (а, Ь) на (—оо, оо), полагая /(ж) = 0 вне (а, Ь).
Тогда, например,
f
f(x) sin Xx dx =
/»оо
= / /(ж) si
./ — оо
sin Xx dx —>• О, А ^ оо.
Отметим, что для функции / Е I/* периода 2тг имеет место неравенство,
аналогичное A),
.cosNx
(ж) . ЛТ dx
1 Г
- /
A0
для натуральных 7V.
В самом деле, например,
Г Г ( 7Г \ / 7Г N
/ /(ж) sin Nx dx = / / f x + — J sin N f x + —
/ i> I ^ \ - AT 7 -I" / / Л/ \ /» / " \ \ • AT 7
I Til* —I— I Ql Tl /V 1* Hi* ^^ I I I I T* 1 I I 1* —I— I I Ql ХЛ /V T* /# 1*
— / ^ \ ДГ / iv x ax — i /^ж; / ( ж -t- лг j j sm iv ж аж,
J-ТГ V iV / Z J-7T \
откуда следует A'). Надо учесть, что во втором равенстве этой цепи
мы воспользовались периодичностью f(x) и sin Nx с периодом 2тг. Для
sin Nx это свойство при натуральном N верно.
Теорема 2. Пусть f,g E I/* г/ функция д ограничена
(\g(t)\ ^K). Тогда
1) g(t)
B7)
равномерно относительно всех х.
532
Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Сам факт стремления к нулю в B') при любом фиксированном х непо-
непосредственно следует из B), потому что при условии теоремы для любого
фиксированного х имеем/ (х+t) Е I/*, а также/(ж+?)#(?) Е I/*, потому
что #(?) ограничена. Но нас интересует равномерность сходимости B').
Доказательство. Зададим г > О, и пусть (/?(?) — непрерывная
периода 2тг функция, для которой
Г.
г
I.
Имеем
f(x + t) g(t) sin Ntdt
ip(x + t)g(t) sin Ntdt
(f(x + t) - <p(x + t))g(t)
Г7Т
К
J — 7Г
f(x
1
+ -
\f(t)-<p(t)\dt+-
— IT Z J— 7Г
¦*)^)
<p(x+t)\
4 ^v
M
К
dt<e, N > No, C)
при достаточно большом Щ для любого х.
Надо учесть, что в последнем неравенстве его левая часть не зависит
от ж — этим обеспечивается равномерная сходимость относительно лю-
любого х. Мы считали М ^ | cp{t) |. Для cos Nt рассуждения аналогичны.
Теорема 3. Пусть f Е V = V{—оо,оо) и функция g{t)
кусочно непрерывна и ограничена {\g{t)\ ^ К) на (—оо,оо). Тогда
D)
равномерно на любом конечном отрезке [а, Ь] Э х (пояснения ниже).
Доказательство. Задаем ? > 0 и подбираем финитную в
(—оо, оо) непрерывную функцию cp(t) так, чтобы
—
§15.4- Теоремы об осцилляции
533
Рассуждаем, как в C) (пояснения ниже):
1 Г°°
\ f(x +
\ У Vх т
\J-oo
+
«^ — оо
+
<? к
^ 3 +
2 7
t)g{t) sin Xtdt
1 Z400
< / (/(^+
\J-oo
ip(x + t) g(t) sin At (it
1 Z400
-L 1
^ J — СЮ
roc
(fl X + t + — I — <^(ж -
/>OO
— oo
V
J
, M
D
Ю
\-i
7Г
/\
i
У
Л^ +
1 1 /
\ \ V
)~9(t
rd—a
9
+
t)
¦+
)
Л
I
*)) 5(«)
-<уЭ(ж +
7Г\ 1
sin At dt
+
t)\dt+
- й+
A/1
9КЧ
CL
где TVo достаточно велико. Здесь М ^ | (p(t)|, отрезок [с, d] — носитель
функции if. Если t > б? — а и ж > а, то ж + t > б?и ср(х + t) =0, если
же t < с — bux < b, то x + t<cn ip(x + t) = 0. Поэтому в последнем
интеграле пределы (—оо, оо) заменены на (с — b, d — а). Отметим, что
из B) следует, что коэффициенты Фурье а&, Ъ^ функции / стремятся к
нулю при к —>• оо:
lim
= Hm
i/>«
Hm bk = Hm —
k—>-oo /с—>-оо 7Г
cos ktdt = 0,
sin ktdt = 0.
E)
F)
Заметим еще, что если функция / принадлежит L^* (или L^), то тот
факт, что ее коэффициенты Фурье а&, Ьд. стремятся к нулю, следует также
из неравенства Парсеваля
< оо.
Стремление к нулю интеграла B), соответствующего, например, си-
синусу, можно объяснить следующим образом. Несмотря на то, что функ-
функция / G V (L) может иметь много, даже (в случае L) бесконечное число
разрывов, она все же обладает многими свойствами непрерывных функ-
функций. Это проявляется в доказанных выше теоремах об осцилляции. Мно-
Множитель sin kx изгибает график /(ж) в график, состоящий из волн. Каж-
Каждая из них состоит из двух полуволн, которые в среднем хорошо компен-
компенсируют друг друга при интегрировании. Результат компенсации налицо:
интеграл E) стремится к нулю при к —> оо.
534
Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье.
Полнота тригонометрической системы функций
По определению функция /(ж) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] (интер-
(интервале (а, Ь)) условию Липшица степени а @ < а ^ 1), если для любых
ж, х' Е [а, Ь] (е (а, Ь)) выполняется неравенство
\f(x')-f(x)\^M\x'-x\a,
где М не зависит от ж, ж'. При а = 1 в этом случае просто говорят, что /
удовлетворяет условию Липшица.
Если, например, / — непрерывная и кусочно гладкая на [а, Ь] функ-
функция, то она удовлетворяет условию Липшица на [а, Ь], потому что
\f(x')-f(x)\ =
f'(t)dt
М\х' -
М.
Если функция / имеет на интервале (а, Ь) ограниченную производ-
производную (|/'| ^ М) и является непрерывной на [а, Ь], то и в этом случае мы,
применяя теорему Лагранжа, получим
ж — ж
(ж,жО,
и убедимся, что / удовлетворяет на [а, Ъ] условию Липшица.
Функция |ж|а, 0 < а ^ 1, удовлетворяет условию Липшица степени
а на всей действительной оси (тем более на любом отрезке), потому что
если считать, что 0 < |ж| < \х'\ и \хг/х\ = ?, 1 < t < oo, то получим
ж' Г - ж
ж' — ж
x' - ж
1, М =
При а = 1 последнее неравенство очевидно. При а < 1 это видно из
того, что функция от t в его левой части имеет предел, равный нулю при
t —>- 1 и равный 1 при ? —>• сю, и она имеет положительную производную
на A, оо) и, таким образом, возрастает на A, оо) *).
Теорема 1. Пусть функция / Е I/* (шш L*) и, кроме того,
она удовлетворяет условию Липшица степени а на отрезке [а, Ь]
(в частности, если f непрерывная кусочно гладкая на [а, Ь]). Тогда,
каковы бы ни были а!, У, удовлетворяющие неравенствам а < а' <
<Ъ' <Ъ, ряд Фурье f сходится на [af,bf] к f и притом равномерно.
Доказательство. Пусть S = minja' — a, b—b'} и 0 < r\ < S < тг.
Тогда для жЕ [а',Ь'] и 0
и потому
г\ точки ж, ж + и принадлежат [а,Ь],
u)-f(x)\^M\u
A)
*) В случае \х\ = \х'\ имеем \х'\а - \х\а = 0
§15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. 535
При найденном п воспользуемся формулой F) § 15.3:
1 rv f(x + и) — f(x)
Sn(x) — f(x) = — / sinnu—- — 6^ + 0A), n —> oo,
1 П .
= — / sir
7Г J-^
имеющей место равномерно относительно х Е [а, Ь]. Тогда для любого
е > 0 равномерно для всех ж Е [а', Ъ'] получим в силу A) оценку
1 Г1^ А/Г it a
\Sn(x)-f(x)\^-
-п \Щ
^^„« + ?<е n>N B)
^ тга 2
где г) выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 2Мпа /тга < г/2,
и затем N взято настолько большим, чтобы |оA)| < е/2 при п > N.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если функция /ЕС* непрерывная и кусочно глад-
гладкая на действительной оси, то ее ряд Фурье сходится к ней на всей
действительной оси и притом равномерно.
В самом деле, на отрезке [—е, 2тт + е], где е > 0, / непрерывная и ку-
кусочно гладкая, и потому ее ряд Фурье по предыдущей теореме равномер-
равномерно сходится к ней на [0, 2тг], следовательно, вследствие периодичности /
и членов ряда, и на всей действительной оси.
Теорема 3 (Вейерштрасса). Системы функций
1, cos ж, sin ж, cos2x, sin2x, ... , C)
1, cos ж, cos2x, ... , D)
sin ж, sin2x, ... E)
полны соответственно:
1) в пространстве G*;
2) в подпространстве С* четных функций, а также в G@, тг);
3) в подпространстве С* нечетных функций, а также в клас-
классе функций, принадлежащих G@, тг) и удовлетворяющих условию
/@) = /(тг) = 0.
Доказательство. В самом деле, пусть / — произвольная функ-
функция класса G*. Она равномерно непрерывна на отрезке [—тг, тг] и имеет
период 2тг. Поэтому для любого е > 0 можно указать полигональную
функцию П(ж) периода 2тг такую, что
|/(аО-П(аО|<| F)
для всех х. При этом если / — четная или нечетная функция, то можно
сделать так, что и П(ж) будет соответственно четная или нечетная. На-
Например, если точки графика / с абсциссами Xj = jh, j = 0, ±1, ±2,...,
536 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
h = тг/TV, где N — достаточно большое натуральное число, соединить
отрезками, то получим ломаную, описываемую нужной функцией П(ж).
Функция П(ж) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, потому п-я
ее сумма Фурье при достаточно большом п удовлетворяет неравенству
|П(ж) — Sn(x)\ < - длявсех х. G)
При этом если И(х) — четная или нечетная функция, то и Sn (x) соответ-
соответственно обладает одним из этих свойств.
Из F) и G) следует, что \f(x) — Sn(x)\ < s для всех х. Это доказы-
доказывает теорему, потому что Sn (х) — тригонометрический полином — ко-
конечная линейная комбинация из функций соответственно систем C)-E).
Отметим, что Sn есть сумма Фурье не /, а П.
Это утверждение не противоречит тому факту, что сущест-
существуют функции / G С*, ряды Фурье которых в отдельных точках
расходятся.
Надо еще иметь в виду, что если непрерывную на [0, тг] (принадле-
(принадлежащую G@, тг)) функцию продолжить четным образом, а затем перио-
периодически с периодом 2тг продолжить на действительную ось, то получим
четную функцию класса С*. Если же функцию, непрерывную на [0,тг],
удовлетворяющую условию /@) = /(тг) = 0, продолжить нечетным об-
образом, а затем периодически, то получим нечетную функцию класса С*.
Заметим, что из теоремы 3 следует, что для любой непрерывной пе-
периода 2тг функции / (/ ? С*) существует равномерно сходящаяся к
ней (на действительной оси) последовательность тригонометри-
тригонометрических полиномов Тп(х), п = 1,2,..., откуда следует, что функ-
функция / представима в виде равномерно сходящегося к ней ряда три-
тригонометрических полиномов:
k=0
Теорема 4. Ряд Фурье функции / G L'2* (вообще L2) сходится
к ней в смысле среднего квадратичного на периоде.
Доказательство. В самом деле, по предыдущей теореме
система C) тригонометрических функций полна в G*. Тем более она
полна в Lf2* (см. теорему § 14.9). Но тогда теорема верна на основании
теоремы 1 § 14.6 из общей теории ортогональных рядов.
В силу той же теоремы для полной ортогональной системы тригоно-
тригонометрических функций C) выполняется равенство Парсеваля
Г.
1 Г77 2
\f\2dx=— / fdx
27Г J-7T
оо
ТГ ^^
к = 1
f(t) cos ktdt
2
f(t) sin ktdt
§15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. 537
или
какова бы ни была функция / Е L'2* (или, более общо, Щ).
Пример 1. Функция ф(х) периода 2тг, определяемая равенством *)
^-?,0<х<2п, (д)
О, ж = О,
очевидно, принадлежит Lf*. Ее ряд Фурье имеет вид
,, ч v^ sin kx
k=l
потому что она нечетная, а
О /"тг _ л. 1
Ъъ = — / smktdt=—, к = 1,2,...
тг Jq 2 А;
Любой отрезок [а', ?/], не содержащий в себе точки ж^ = 2&тг, А; = 0, ±1,
±2,..., содержится строго внутри некоторого другого отрезка [а, Ь], а < а <
<ЪГ < Ь, на котором функция ф непрерывна вместе со своей производной, следо-
следовательно, — гладкая. Но тогда на основании теоремы 1 ряд Фурье A0) функции ф
сходится к ней равномерно на [а', Ъг]. Он, таким образом, сходится в любой точке
ж ф 2&тг, & = 0,±1,±2,... Но и в этих исключительных точках 2/стг он тоже схо-
сходится к ф, ведь в них ф = 0, так же как равны нулю все члены ряда A0). Однако
равномерная сходимость в любых окрестностях точек ж^ = 2ктг не имеет места.
Кроме того, очевидно, что ф Е L^*, и потому на основании теоремы 4 ряд
Фурье A0) функции ф сходится к ф в смысле среднего квадратического на [—тг, тг]:
. . ч >г^ sin А;ж \
^(ж) — > —г— ) «ж ^ 0, п -л оо.
fc = l 7
Функция ^(ж) представляет собой простейшую разрывную периода 2тг функ-
функцию, имеющую единственную точку разрыва (на периоде). Ее скачок в точке раз-
разрыва равен ^@ + 0) — ^@ — 0) = тг.
Очевидно, функция ф[х — жо), график которой сдвинут на величину жо в на-
направлении оси ж, имеет разрывы в точках жо + 2&тг, к = 0, ±1, ±2,..., со скач-
скачками, равными тг. Она разлагается в тригонометрический ряд:
ф(х - x0) = 2_^ K— — = 2^ —- cos kx + sin kx ,
k=l k=lv 7
*) Функция ф(х) и функция S(x), о которой говорилось в § 15.1 (см.
15.1, (И)), связаны равенством —ф(х) = ^ 5(ж — тг), поэтому графики — ф и
5 и их частных сумм Фурье получаются один из другого сдвигом на тг.
538 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
который является ее рядом Фурье, потому что он сходится в смысле среднего квад-
ратического к ф(х — xq) на @, 2тг) (см. следствие леммы 1 § 14.6).
Замечание. Функция ф дает нам интересный пример функции,
ряд Фурье которой сходится к ней не только в ее точках непрерывности,
но и в ее точках разрыва.
Следующая теорема дает общий класс функций, ряды Фурье кото-
которых сходятся к ним в их точках разрыва.
Теорема 5. Пусть функция / G f* (L*) кусочно гладкая
на отрезке [а, Ь] и имеет единственную точку разрыва жо Е (а, Ь).
Тогда ряд Фурье / сходится в точке хо к среднему арифметическому
правого и левого пределов в этой точке:
/(ж0) = — j~y^ = Y + 2^(afccosteo + bfcSinteo). A1)
Доказательство. Скачок функции / в точке хо обозначим
через
Положим /(ж) = ц>(х) + А (ж), где Л (ж) = ^ ф(х — жо) (см. пример 1).
Так как по условию
/Ы= 2 (/(^о + 0) + /(жо-0)),
то, очевидно,
Д^о + 0) - | = f(x0 - 0) + | = /(Жо).
Скачок функции Л (ж) в точке жо тоже равен числу я и
Л(ж0 + 0) - ^ = Л(ж0 - 0) + ^ = Л(ж0) = 0.
Имеем поэтому
^о + 0) = (/(хо) + f) " f =
Это показывает, что функция <р непрерывна в точке х$. Следова-
Следовательно, она кусочно гладкая, непрерывная в некоторой окрестности точ-
точки жо. Таким образом, ее сумма Фурье Sn ((/?, ж) сходится к ней в точке жо.
§15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. 539
Мы знаем также, что сумма Фурье 5П(Л, х) тоже сходится в точке хо к
А(жо) =0- Поэтому
lim Sn(f,xo)= Hm 5п((^,жо)+ lim 5п(Л,жо) =
= (р(х0) + Х(хо) = /(ж0) + 0 = /(ж0).
Мы доказали, что
lim Sn(f,x0) = /Оо),
что и требовалось доказать.
Ряд Фурье функции /, описанной в теореме 5 со скачком в точке
х = жо, хотя и сходится в этой точке и ее окрестности, но медленно и
притом неравномерно. Ряд же Фурье ц>(х) сходится лучше и уже во вся-
всяком случае равномерно в некоторой окрестности х$. С другой стороны,
функция аф(х — хо) выражается очень простой формулой, и, быть мо-
может, даже не будет необходимости разлагать ее в ряд Фурье. Во всяком
случае, ряд Фурье функции / очень хорошо изучен в специальной лите-
литературе.
Отметим некоторые факты, относящиеся к вопросу о сходимости и
расходимости рядов Фурье.
А.Н. Колмогоров *) привел пример функции, принадлежащей лебе-
лебегову классу L*, ряд Фурье которой расходится всюду на действительной
оси.
Л. А. Е. Карлесон **) показал, что, какова бы ни была функция, при-
принадлежащая лебегову классу Щ, ее ряд Фурье сходится к ней почти
всюду. Так как С* С Щ, то это утверждение Карлесона имеет место
и для всякой непрерывной на действительной оси функции периода 2тг.
Утверждение Карлесона верно и для функций / е L*, 1 < р < оо ***).
С другой стороны, известны (Дюбуа Реймон, Фейер) примеры непре-
непрерывных периодических функций / Е С*, ряды Фурье которых расходят-
расходятся на множестве всех рациональных точек. Они показывают, что если о
функции / известно только, что она непрерывна, то этого недостаточно,
чтобы сказать, что ее ряд Фурье сходится. Для сходимости нужно нало-
наложить на / еще некоторые добавочные условия. В доказанных выше тео-
теоремах таким добавочным условием было условие Липшица степени а. В
других более изысканных теориях это условие заменяется на более сла-
слабые достаточные признаки.
*) А. Н. Колмогоров A903-1986) — выдающийся русский математик, акаде-
академик, один из крупнейших ученых XX века.
**) Л. А. Е. Карлесон — выдающийся современный шведский математик.
***) Это доказал американский математик Р. Хант.
540
Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Полученные выше свойства рядов Фурье функций периода 2тг авто-
автоматически переносятся на ряды функций периода 2и:
J\x) = ~7Г +
2
у
ктг
ак cos —
у
ктг
/стг
cos
2
= —
и Jo
A2)
(is)
sin — tf(t)dt.
Таким образом, если функция / е L'@, 2cj) (L@,2а;)) периода
2а; удовлетворяет на отрезке [а, Ь] условию Липшица степени а, 0 <
< а ^ 1, то ее ряд Фурье A2) сходится к ней равномерно на любом
отрезке [а', Ъг] С (а, 6), если же / кусочно гладкая на [а, Ь], то в точках х
ее разрыва, принадлежащих (а, Ь), ее ряд Фурье сходится к | (/(ж + 0) +
+ /(х-0)).
Наконец, заметим, что если функция у = f(x) описывает физичес-
физическое колебание, представляющее собой сумму конечного или бесконечно-
бесконечного числа некоторых гармонических колебаний, соответствующих часто-
частотам к = 0,1, 2,..., то к-е колебание и^{х) = а& cos ^ х + bj* sin -^ x
можно легко получить, учитывая, что числа а&, Ъ^ суть коэффициенты
Фурье /, вычисляемые по формулам A3). С другой стороны, эти колеба-
колебания Uk (x) можно, как известно, физически получить из данного сложного
реального колебания у = f(x) при помощи специальных физических при-
приспособлений — резонаторов, и при этом соответствующие практические
результаты хорошо согласуются с математическими.
Приведенные в примерах функции имеют период 2тг.
Пример 1.
Д(ж) = sign ж,
< тг,
Пример 2.
. ч 4 ^>
/2(ж) = ж,
sinB?;
< тг,
к = 1
Пример 3. /з (ж) — четная функция, равная 7Т^Х на [0, тг],
тг 2
§15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье 541
Пример 4. /4 (х) — четная функция, равная 1 в @, h) и равная нулю в ин-
интервале (/&, тг), О < h < тг,
fc=l
Пример 5. /б (ж) — непрерывная четная функция, равная нулю в B/г, тг),
О < h ^ тг/2, равная 1 при ж = О и линейная в (О, 2/г),
Упражнения.
1. Выяснить, на каких отрезках или, может быть, на всей действительной оси
сходятся равномерно ряды из примеров 1-5.
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье
Пусть akwbk — коэффициенты Фурье функции / Е Lf* (или L*). На
основании формулы Эйлера
„гкх _|_ р — гкх „гкх ^ — гкх
ак cos кх + bk sin кх = ак \- bk — =
„ — ikx
где
_ ак - ibk _ ak + ibk
Отсюда
ск = — / (cosH - ismkt)f{t)dt =— / f(t)e~lktdt,
2тг Jo 27Г Jo
27Г
1 /'ZTT 1 /'ZTT
s_fc = — / (cos kt + г sin H)/(t) dt = — / f(t)eikt dt
2тт Jo 2тг Jo
и, таким образом, числа
1
t, к = 0, ±1, ±2,..., B)
вычисляются по единой формуле для всех к (в том числе и & = О,
с0 = ао/2).
542 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Важно заметить, что если / — действительная функция, то а& и bk
действительны, а числа с& ис_^ хотя вообще и комплексны, но взаимно
сопряжены:
с- к = с/с. C)
Наоборот, попарная комплексная сопряженность с& и с_ к влечет за
собой, очевидно, действительность коэффициентов Фурье а& и && функ-
функции /, а если это имеет место для всех к = 0,1,..., то и действитель-
действительность /.
В самом деле, если, например, / Е L'2*, то ряд Фурье / сходится к /
в смысле среднего квадратического. Но если его члены действительны,
то и /(ж) — действительная функция.
Очевидно, п-я сумма ряда Фурье / может быть записана в виде
п п
Sn(x) = у + ^2(ак coskx + bk sinkx) = Y1 ске*кх > D)
к=1 к=—п
а сам ряд Фурье / — в виде ряда
оо оо
f(x) ~ — + ^2 (ак cos кх + Ък sin kx) ~ ^2 Скегкх E)
к = 1 —сю
с двумя входами.
Мы будем говорить, что ряд E) сходится для данного значения ж,
если существует предел
п
lim
Таким образом, мы будем понимать сходимость ряда в правой час-
части E) в смысле главного значения. Ведь можно было бы считать его
сходящимся, если существует предел
lim
когда тип неограниченно возрастают независимо друг от друга.
Функции (комплексные)
1
, К — U, ±1, ztZ, . . . , ^DJ
образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке [0, 2тг], по-
потому что
f2lT 11 If2
/ —== егкх —== e~llx dx = — /
г2тг II i /»2тг
oj{k-l)x dx = Skl_
§15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье 543
Так как тригонометрические функции cos kx, sin kx, k = 0,1,2,...,
образуют полную систему в С*, тем более в Щ, L* (теорема 3 § 15.5),
то это же свойство имеет место и для системы elkx, k = 0, ±1, ±2,...,
потому что
cos кх = - (eikx + e~i/cx), sin kx = — (ei/c* - e~i/cx).
Заметим, что для комплексных функций ср(х), ф{х) периода 2тг их
скалярное произведение определяется по формуле
(ср,ф) = / ср(х)ф(х)о1х,
Jo
где ф — функция, сопряженная к ф. В частности, коэффициенты Фурье
функции if относительно функций ср^ вычисляются по формуле
р2тт
р2тт
= / <p(x)Tpk(x)dx.
Jo
Числа Ckj определяемые формулами B), являются коэффициен-
коэффициентами Фурье f относительно функций егкх.
Из сказанного следует, что ряд
/О) - > ске
ikx
/ ->
полученный в E) из обычного тригонометрического ряда Фурье, есть сам
по себе ряд Фурье функции / по функциям егкх. Его называют тригоно-
тригонометрическим рядом Фурье функции f в комплексной форме.
В силу полноты системы F) в Щ для любой функции / Е Щ имеет
место равенство Парсеваля:
2тг _ />2тг
f(x)f(x)dx =
о Jo
— оо ' N— оо
ОО СЮ СЮ
— У пт х /^7 /^ 7 — У пт х /^7 /^7 — У пт х
— СЮ —СЮ —СЮ
ИЛИ
G)
544 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
Пусть f(x) есть непрерывная кусочно гладкая функция периода 2тг.
К ее ненулевым коэффициентам Фурье можно применить формулу интег-
интегрирования по частям:
О
—ik
1 Г27Т \ 1
+ — / f'(t)e-iktdt\ = — crk, fc = ±l,±2,..., A)
где
4 = ^ Г f{t)e-Mdt. B)
Мы воспользовались периодичностью функций /(?) и ег/с*, в силу
которой
f(t)e-ikfon=0.
Производная /'(?) есть кусочно непрерывная периода 2тт функция,
возможно, разрывная с конечным числом разрывов первого рода на пери-
периоде. Она конечна, принадлежит I/* и для нее имеют смысл числа с'к —
комплексные коэффициенты Фурье /'.
Если функция f(x) периода 2тг непрерывна и имеет непрерывную ку-
кусочно гладкую производную порядка 1 — 1, то процесс A) интегрирова-
интегрирования по частям можно провести I раз. В результате получим равенство
1
1-1 -1-9 С\\
~Л (iky
где
— коэффициенты Фурье функции f") (ж) — производной от / порядка I.
Имеет место важная теорема.
Теорема 1. Если ряд Фурье непрерывной периода 2тг кусочно
гладкой функции
оо
f(x) = ]Г ckeikx D)
почленно продифференцировать, то получится ряд Фурье ее произ-
производной
оо оо
fix) ~ Y^c'keikx = Y,'(ik)Ckeikx • E)
— оо —оо
Здесь ^ обозначает, что в ряде нет нулевого коэффициента.
§15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье 545
Доказательство. В самом деле, f (х) — вообще кусочно
непрерывная функция, имеющая разрывы там, где / имеет разрывы про-
производной, но в точках xs разрыва /' существуют пределы f'(xs ± 0).
Такая функция может быть разложена в ряд Фурье:
f(x)~Y^c'keikxi F)
возможно, и не сходящийся к ней во многих точках. При этом
с'°= h С f'{t) dt = ^(/B7г) ~/@)) = °'
потому что / — непрерывная функция периода 2тг. С другой стороны,
для всех к ф 0 имеет место равенство A), и поэтому из F) следует E).
Ряд D) равномерно сходится к f(x) на основании теоремы 2 § 15.5.
Теорема 2. Если ряд Фурье кусочно непрерывной функции (с
разрывами первого рода)
^(ж) ^ У^ с'кегка\ с'о = 0, G)
проинтегрировать почленно (считая, что интеграл от егкх равен
(гк)~1егкх), то получим равномерно сходящийся ряд Фурье непре-
непрерывной кусочно гладкой функции
-^ />2тг °° ,
/(Ж) " 2^ Уо /(Ж) dX = ^ Ск6 ' (8)
U —СЮ
1 Г27Т
ск = — / f(t)e~ikt dt, к = ±1, ±2,...,
27Г Jo
где
f(x)= f\(t)dt. (9)
Jo
В самом деле, в силу (9) функция f(x) непрерывная и кусочно глад-
гладкая на [0, 2тг]. Кроме того, при периодическом продолжении она остается
непрерывной. Ведь
/Bтг)-/@)= j\(t)dt
Jo
2тг
= о,
о
18 С.М.Никольский
546 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
потому что
1 [27Т
— / 4>(t) dt = co = О,
и, следовательно, ряд Фурье / равномерно сходится к /, откуда следу-
следует (8). С другой стороны, правая часть (8) может быть в силу A) рас-
рассматриваема как результат указанного почленного интегрирования пра-
правой части G).
Заметим, что на основании теоремы 2 § 15.5 ряд Фурье кусочно глад-
гладкой функции / G С* сходится к ней на всей действительной оси и притом
равномерно. Поэтому в (8) написан знак равенства. Что же касается
функции /'(ж), то она кусочно непрерывна (на отрезке [0, 2тг]). Ее ряд
Фурье может расходиться (см. § 15.5, текст перед A2)). Поэтому в E)
написан знак ~.
Замечание. Теоремы 1 и 2 значительно расширяют в случае
рядов Фурье известные читателю из общей теории рядов критерии за-
законности почленного их дифференцирования и интегрирования. Но воз-
возможно и дальнейшее расширение этих критериев не только с помощью
аппарата интеграла Лебега, но и еще путем введения понятия обобщен-
обобщенной функции (см. далее § 16.11).
Упражения.
1. Доказать, что если функция f(x) периода 2тг имеет непрерывную кусочно
гладкую производную /' ' (ж) порядка (I — 1), то ее можно представить в виде
2 ^ J-
где
2. Пользуясь тем, что
^ / ч 'чг^ sin ки
и, таким образом, В\{и) = (и — тг)/2, 0 < гб < 2тт, показать, что при любом
/ = 1, 2, 3,... Bi(u) на отрезке [0, 2тг] представляет собой многочлен степени /
такой, что интеграл от него по [0, 2тг] равен нулю и В[^ = —Bi.
Эти многочлены называются многочленами Бернулли.
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье
Теорема 1. Пусть функция f периода 2тг имеет па всей оси
пепрерывпую кусочпо гладкую производную f(l~^ порядка A — 1), а
ее производная /О подчиняется неравенству
dx^M2. A)
§15.8. Оценка остатка ряда Фурье 547
Тогда уклонение функции f(x) от ее (N — 1)-й суммы Фурье
оценивается следующим образом:
Доказательство. Из условия теоремы следует, что ряд Фурье
функции /(ж) сходится к ней на действительной оси. Отклонение /(ж) от
S/v-i (ж) может быть записано в виде
f(x) - Sn-^x) = J2(ckeikx + c-ke
N
~ikx)
N
где Ck — комплексные коэффициенты Фурье /, выраженные затем (в
третьем члене цепи) через коэффициенты Фурье ск производной /№ со-
согласно формуле C) предыдущего параграфа.
Если учесть, что \е | = 1 (ведь ж действительное) и равенство
Парсеваля для /^, то
N К
оо 1 х 1/2 / оо х 1/2
1/2 / Л Г7Т ч 1/2 / оо х 1/2
и мы получили первую оценку в B). Вторая же, более грубая, оценка
вытекает из неравенства
оо
?
N
1 Г°° dx _ 1 1
' 7 2/ ^^ / 2/ О/ 1 /^ 1\Т 1N
AC JN—l X ZL — i. [1\ — 1
Заметим, что можно доказать оценку
< С ^ sup
18*
548 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
где С — константа, не зависящая от п, но это потребовало бы более
сложных рассуждений.
Упражнения.
1. Показать, ограничившись для простоты случаем, когда / делится на 4, что
первая оценка в B) точная.
Указание. Из C) при х = 0 следует
оо
/@)-M0)=EFDZ)-cW),
и первое, так же как и второе неравенства D) достижимы, если числа с^ подо-
подобрать пропорциональными соответственно 1/к (см. замечание после (8) § 6.2).
§ 15.9. Алгебраические многочлены.
Многочлены Чебышева
Чтобы выяснить связь алгебраических многочленов с тригономет-
тригонометрическими полиномами, точнее, с четными тригонометрическими поли-
полиномами, обратимся к равенству
cos пв + i sin пв = (cos в + г sin в)п =
= (cos6>)n + г С* (cosflO1-1 sin в + г2 C2(cos6>)n-2 sin2 в + ...
Члены его правой части с четными степенями г действительны, а с
нечетными — мнимы. Кроме того, (sin#Jm = A — cos2#)m, m =
1, 2,... Из этого следует, что при любом натуральном п
соБпв = Qn(cos#),
где
Qn[x) = cosn arccosx = а^ + а™ х + ... + а^х71
— алгебраический многочлен степени п с действительными коэффициен-
коэффициентами. Он называется многочленом Чебышева степени п.
Очевидно,
Qo(x) = 1,
Qi(x) = cosarccosx = ж,
Q2(x) = 2(cosarccosxJ - 1 = 2x2 - 1,
Из сказанного следует, что всякий четный тригонометрический полином
п
Тп{в) = — + Va
2 *i
§15.10. Теорема Вейерштрасса 549
при помощи подстановки О = arccos х (или х = cos О), гомеоморфно (т. е.
взаимно однозначно и непрерывно) отображающей отрезок 0 ^ в ^ тг
на отрезок — 1 ^ х ^ 1, преобразуется в алгебраический многочлен
степени п:
п
Рп(х) = Тп (arccos х) = Ь У, ак cos к arccos ж.
к = 1
Важно, что, и обратно, подстановка х = cos#, 0 ^ в ^ тг, —1 ^ ж ^ 1,
преобразует произвольный алгебраический многочлен
Рп(х) = ао + а\х + ... + апх
степени п в четный тригонометрический полином (см. § 8.11, (8))
71
ТЬ\) ТЪ\ ) с\ / j К* '
к=1
где числа а^, к = 0,1,..., п, зависят от Рп.
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса
Теорема 1 (Вейерштрасса). Система функций
A)
полна в пространстве G(а, Ь) непрерывных функций. Иначе говоря,
для любой непрерывной на [а, Ь] функции f(x) и любого е > 0 найдет-
найдется алгебраический многочлен Рп(х) такой, что
\f(x) - Рп(х)\ < е для всех х е [а,Ь]. B)
Доказательство сначала проведем для отрезка [—1, +1].
Пусть на [—1, +1] задана непрерывная функция /(ж). Тогда /(cost) есть
непрерывная на отрезке [0, тг] функция, и так как система функций
1, cost, cos2t, ...
полна в G@, тг) (см. теорему 3 § 15.5), то для любого е > 0 найдется чет-
четный тригонометрический полином Тп (t) такой, что | / (cos t) — Tn(t)\ < г.
Но Тп (t) можно записать в виде Тп (t) = Pn (cos t), где Рп есть алгеб-
алгебраический многочлен степени п. Таким образом,
|/(cost) - Pn(cost)| < г, 0 ^ t ^ тт.
550 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Но тогда
\f(x)-Pn(x)\ <e, -l^x^l.
Теорема для отрезка [—1, +1] доказана.
Если теперь задана непрерывная функция f(x) на отрезке [а, Ь], то
сделаем подстановку
Ъ — а . _
x = a+^-(z + l),
линейно и взаимно однозначно отображающую отрезок [—1, +1] изме-
изменения z на отрезок [а, Ь] изменения х. Тогда функция F(z) = f(a +
+ ^^ (z + 1)) непрерывна на [—1, +1], и по доказанному выше для нее
найдется многочлен Pn{z) такой, что
\F(z) - Pn(z)\ < е, ze[-l,+l].
Обратная подстановка приводит к неравенству
\f(x)-Rn(x)\ <e, х е [а, Ь],
где Rn(x) = Рп( ъ-а ~ ¦'¦) есть5 очевидно, в свою очередь, многочлен.
Теорема доказана.
Заметим, что степень п многочлена Рп (х), для которого по данному е
выполняется неравенство B), зависит от г. При г —>• 0, вообще говоря,
п —>• оо.
§15.11. Многочлены Леж:андра
Рассмотрим функции
1 г1П(т2 — "ПП
l M) 12
A)
на отрезке [— 1, +1]. Ясно, что это многочлены степени п и притом строго
степени п. Дифференцируя (ж2 — 1)п = (х — 1)п(х + 1)п по правилу
Лейбница п раз, получим
лп/ 2 _ i\n
где не выписанные члены содержат множите ль ж—1. Поэтому Ln(l) = 1,
п = 0,1,... Полагая т < пи интегрируя по частям, получим
Г + 1 Г + 1 г1П(г2 — '])П
2пп\ / Ьп(х)хш dx= хш —Ц }— dx =
J-i J-i dxn
лп-1/ 2 _ i\
= X :
dx — l
C+l Cn—\(Jl_-\\n
§15.11. Многочлены Лежандра 551
Первое слагаемое в третьем члене цепи равно нулю, потому что (ж2 — 1)п
имеет числа +1 и —1 своими нулями кратности п и, следовательно, про-
производная -?^п(х2 — 1)п, т = 0,1,..., п — 1, при подстановке в нее +1
или —1 обращается в нуль. К последнему явно написанному интегралу,
содержащему хш~1 (вместо исходного хш), применяем снова интегриро-
интегрирование по частям, понижающее степень ж еще на единицу, и т. д. — это,
очевидно, приводит к нулю.
Полученное равенство показывает, что система A) ортогональна на
[-1.+1].
Вычислим интеграл от квадрата Ln(x) на [—1, +1]. Положим
ип(х) = (х2-1)п.
Тогда
г+1 Н-1
/ u^\x)u^\x)dx = - / u?
J-i J-i
= Г\?-2Чх)и<?+2\х)Aх = ... = (-1)п rl
J-l J-l
r+
= Bn)! /
J-i
Ho
/ (l-x)n(l + x)ndx = -^
J-i n +
Bn)!Bn + l)
Поэтому J_x L2n{x)dx — 2n+i и' слеловательно•> нормированные мно-
многочлены имеют вид
1 г1П(т2 — "ПП
1 d (ж 1)_
dxn ' v J
n = 0,l,...
С другой стороны, если произвести процесс ортогонализации систе-
системы 1, ж, ж2,... на отрезке [—1, +1], как это делалось в § 14.7, то мы по-
получим полную ортогональную на [—1, +1] систему многочленов Ро(х),
Pi (ж), Pi (ж),..., единственных с точностью до знака.
В этом процессе на п-м его этапе многочлен Рп(х) степени п зада-
задавался как, во-первых, нормальный f/_1 P2dx = 1), а во-вторых, ор-
ортогональный к Ро5 Pi-, • • • •> Pn-ii и этим он определялся с точностью
до знака. Но многочлен срп (ж) обладает всеми указанными свойствами,
и потому он тождественно равен одному из многочленов Рп (+Рп или
—Рп), именно тому, который имеет положительный коэффициент при хп,
потому что ^рп(х) обладает этим свойством.
552 Гл. 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами
Так как система Ро ? Pi •> • • • полна в С(—1, +1), то мы доказали, что
система функций
<А), <?ъ ^2, ... C)
не только ортогональна и нормальна на [—1, +1], но и полна вС(-1,+1)
(тем более в 1/2(—1, +1)).
Функции срп(х) называются многочленами (или полиномами) Ле-
Лежандра, нормальными на отрезке [—1, +1]. Функции Ln(x) также назы-
называются многочленами Лежандра, нормированными условием Ln(l) = 1,
п = 0,1,...
Таким образом, к полиномам Лежандра применима общая теория
ортогональных систем функций (см. § 14.6). В частности, любая функция
f(x) G L/2(—1,+1) разлагается в ряд Фурье:
по многочленам Лежандра ip^, сходящийся к f на [—1, +1] в смысле
среднего квадратического.
Для рядов по многочленам Лежандра возможно исследование вопро-
вопроса об обычной или равномерной сходимости их к функциям, как это де-
делалось нами для тригонометрических рядов Фурье. Например, известно,
что если функция / имеет на отрезке [—1, +1] непрерывную вторую про-
производную, то ее ряд по многочленам Лежандра равномерно на этом от-
отрезке сходится к ней. Как и для рядов Фурье, оценка остаточного члена
разложения / по многочленам Лежандра зависит от дифференциальных
свойств /. Вообще, если функция лучше, то и оценка лучше. Отметим
еще, что, как правило, сходимость рядов по полиномам Лежандра лучше
строго внутри отрезка [—1, +1] и хуже на его концах.
Глава 16
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье
В предыдущей главе мы рассматривали функции периода 2тг, при-
принадлежащие классу Lf* (вообще L*). Для любой такой функции имеет
смысл ее ряд Фурье
bk
Ск
ак-
= h У_,\ак cos kx + Ofc
2 1
1 /^
= - / f (t) cos ktdt, i
К J-7T
= - / f (t) sin ktdt, I
1 f27T
^ Jo
ibk ak + ibk
sin/еж) =
fe = 0,l,...
c = 1,2,...
k = 0,±l,
к -0,1,
-СЮ
±2,...,
2,...; Ьо
A)
B)
C)
D)
0
ск =
Нас теперь будут интересовать, вообще говоря, непериодические
функции, заданные на действительной оси, принадлежащие классу V =
= ?/(—оо, оо) или более общему классу L = L(—оо, оо) функций, интег-
интегрируемых на (—оо, оо) по Лебегу.
Каждая функция / Е U абсолютно интегрируема в римановом не-
несобственном смысле (см. § 14.2) на (—оо,оо), функции же / Е L абсо-
абсолютно интегрируемы в лебеговом смысле на действительной оси. Все,
что мы будем получать для /gL', верно и для / Е L, но для полного об-
обоснования требует знания интеграла Лебега. Если / Е I/, то при любом
действительном s имеют смысл интегралы
1 Г°°
a(s) = - / /(?) cos stdt, E)
Я" J-oo
1 Г00
b(s) = - / f(t) sin stdt, F)
^ J-oo
c(s) = ±- Г f(t)e-i8tdt, G)
^ J-oo
554 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
абсолютно сходящиеся. Ведь, например,
\f(t) cos st\^\f(t)\eL'. (8)
Функции a(s), b(s), c(s) непрерывны. Если / имеет конечное число
точек разрыва, то этот факт следует из равномерной сходимости интег-
интегралов E) — G), потому что функции, стоящие под их знаком, непрерывны
по (s, ?), за исключением тех ?, где / разрывна.
Поставим между точками разрыва функций /(?) еще по одной точке,
тем самым разделим ось t на конечное число полуинтервалов, для кото-
которых подынтегральная функция непрерывна по (s,t). Получим равномер-
равномерно сходящиеся интегралы по t с параметром s с одной особенностью. Они
непрерывны по s, а вместе с ними непрерывна их сумма, т. е. интеграл по
всей оси.
Функции a(s), b(s), c(s) являются аналогами соответственно коэффи-
коэффициентов Фурье dk, bk, Ck периодической функции, но последние определе-
определены для дискретных значений /с, в то время как функции a(s), b(s), c(s) —
для непрерывных s.
Имеют место свойства (см. теорему 1 § 15.4)
a(s) -^ 0, b(s) -^ 0, c(s) -^ 0, s -^ ею,
аналогичные соответствующим свойствам коэффициентов Фурье.
Функции a(s), b(s), c(s) естественно было бы назвать соответственно
косинус-, синус-преобразованием Фурье и комплексным преобразовани-
преобразованием Фурье функции /, но из соображений симметрии принято эти назва-
названия применять к интегралам, отличающимся от указанных на некоторые
коэ ф фициенты.
Аналогом члена ряда Фурье естественно считать функцию (от х и
параметра s)
1 [°°
a(s) cos sx + b(s) sin sx = — / /(?) cos s(t — x) dt =
Я" J-oo
1 C°°
= ^T /(*) (eis(t"x) + e""^-^) dt = c(s)eisx + c(-s)e-isx.
2^ J-oo
При этом если f(t) действительна, то c(—s) = c(s).
Аналогом суммы Фурье порядка N является простой интеграл Фу-
Фурье (пояснения ниже):
г IS
SN(x) = / (a(s) cossx + b(s) sinsx) ds =
Jo
= — / ds f{t) cos s(t — x) dt =
7Г Jo J-oo
§16.1. Понятие интеграла Фурье 555
1 poo pN
= - / f(t) dt / f(t) cos s(t -x)ds =
К J-oo JO
1 Z*77 sin /V/ 1 Z400
= - / f(x + t) dt+- f(x +
= -/ /(x
7Г J.^
sin/Vf
<ft + o(l), TV^oo, 77 > 0, (9)
где оA) -4- 0 равномерно относительно ж, принадлежащих любому от-
отрезку [а, Ь], и
0, |*|^,
Первый интеграл в цепи (9) существует, потому что подынтеграль-
подынтегральная функция непрерывна по s. В третьем равенстве (9) изменен порядок
интегрирования. В случае, если / имеет конечное число точек разрыва,
это следует из теоремы 2 § 13.14, потому что интеграл
ро
/
J —
f (t) cos s(t — x)dt
равномерно сходится относительно s G [О, TV], а подынтегральная функ-
функция непрерывна относительно (?, s), за исключением конечного числа то-
точек t. Наконец, в последнем равенстве остаток равен
-| /»ОО
- / f(x -\-t)g(t) sin Ntdt. A0)
J — oo
Здесь g(t), очевидно, ограниченная на действительной оси, кусочно
непрерывная функция. На основании B) § 15.4
/ОО
f(x + t)g(t) sin Ntdt = O A1)
равномерно на любом отрезке [а, Ь], что дает последнее равенство (9).
Функцию Sn(x) можно еще записать в комплексной форме:
pN pN
SN(x) = / (c(s)eisx + c(-s)e-isx) ds = / c(s)eisx ds =
Jo J-N
rN -i /•сю
pN i poo
/ eisxdSn= f(t)e-istdt. A2)
556 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье
к порождающей его функции
Важнейшим свойством простого интеграла Фурье является тот факт,
что при весьма общих условиях, налагаемых на порождающую его функ-
функцию /, он сходится к последней при N —> оо, т. е.
1 f°° sin Nt
f(x) = Hm SN(x) = Hm - / f(t + x) dt. A)
iV^oo iV^oo ТГ J_oo t
Это вытекает из доказываемой нами важной леммы, устанавливающей
глубокую связь между интегралами и рядами Фурье.
В дальнейшем мы будем говорить о сходимости простого интеграла в
произвольной фиксированной точке ж, не оговаривая особо равномерные
свойства сходимости.
Лемма. Пусть f E V и /* — функция периода 2тг, равная f на
интервале (х — тг,х + тг).
Тогда
где Stf(f*,x) есть N-я сумма Фурье функции /* в точке х.
Доказательство. Функция /*, очевидно, принадлежит I/*, и
потому для нее выполняется равенство (см. § 15.3, C))
О < г) < тг, C)
для любого фиксированного х. Так как
fit) = Uit), ж-тг<?<ж + тг,
то главный член в правой части C) полностью совпадает с главным чле-
членом правой части равенства
1 П sinTVt
SN(f,x) = - / ——f(t + x)dt + oN(l), D)
тг J-rj t
доказанного в § 16.1, (9). Но тогда
SN(f,x) -Sjh(f*,x) = oN(l) -ojvA) = oN(l), N -+ oo.
Введем теперь более узкий, чем L', класс L функций. Считаем, что
/ Е L, если / Е Z/ и в любой точке ж выполняется равенство
/Ос + 0) + /(ж - 0)
/(ж) = ^ ¦ E)
§16.2. Сходимость простого интеграла Фурье 557
В точках непрерывности / равенство E) выполняется автоматичес-
автоматически, ведь в таких точках f(x) = f(x + 0) = f(x — 0). Что же касается
точек разрыва функции f E L — это точки разрыва первого рода, и вы-
выполняется равенство E).
Теорема. Для любой функции / Е L и любой точки х
lim SN(f,x) = f(x). F)
Доказательство. Пусть / Е L и х — заданная точка, для
которой определяем функцию /*, как в предыдущей теореме. Тогда пе-
периодическая периода 2тг, совпадающая с / на интервале (х — тг, х + тг)
функция /* (?) будет кусочно гладкой в окрестности точки х и удовлетво-
ряющей свойству E). Поэтому сумма Фурье 5^(/*,ж) такой функции
в точке х (§ 15.5, теорема 5) стремится при N —>• оо к /*(ж). Следова-
Следовательно (см. B)),
lim SN(f,x)= lim 5^(/*,ж)+ lim (SN(f,x) - S*N(f*,x)) =
Мы доказали равенство F) в предположении, что при вычислении
предела N пробегает натуральные числа. Полученный результат может
быть обобщен на тот случай, когда N стремится к оо непрерывно.
Если учесть исходные формулы § 16.1, (9) и A2), для 5дг(ж), то для
функции /gL в любой точке х получим следующие равенства:
-| pN poo
f(x)= lim S/v(/, х) = lim — / ds cos s(t — x) fit) dt =
N^oo N^oo 7Г Jo J_oo
-i poo poo
= - / ds cos s(t - x) f(t) dt, G)
ТГ Jo J — oo
f(x)= lim SN(f,x)= lim — / eisx ds [°° e~istf(t) dt. (8)
N^oo N^oo 2ТГ J_n J_oo
Замечание. Из F) и § 16.1, (9) для/ Е L следует
S'N(f, 0) = - Г ^т^ /(*) dt > /@). (9)
ТГ J_oo t N^>oo
558 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье.
Косинус- и синус-преобразования Фурье
Заданная на действительной оси действительная или комплексная
функция /(ж) называется локально интегрируемой, если / Е Lf(a,h)
(L(a, Ь)), каков бы ни был конечный отрезок [а, Ь].
Если / Е V — Lf(—оо,оо), то / Е Lf(a,b), но, вообще говоря,
не наоборот. Например, непрерывная на действительной оси функция
локально интегрируема, но не обязательно принадлежт Lf(—oo, оо).
Если / локально интегрируема, то для нее для любого действитель-
действительного х и любого N > 0 имеют смысл интегралы
fN(x) = -L Г f{t)e-ixtdt, fN(x) = -L Г f(tyxtdt. A)
у2тг J-n v2tt J-jv
Пределы
lim fN(x)=f(x), lim /ЛГ(Ж) = /(Ж), B)
если они существуют, мы будем называть преобразованиями Фурье функ-
функции /, соответственно прямым и обратным. Мы их будем записывать
в виде
~ 1 г00 1 г00
/(х) = -= / f(t)e~ixl dt, f(x) = -= / f(tyxt dt, C)
л/2тг J-оо у2тг J-oo
но помнить, что интегралы C) надо понимать вообще в смысле главного
значения (limjv-юо f-N)-
Для функций / Е V их преобразования Фурье имеют смысл, и ин-
интегралы C) суть обычные абсолютно сходящиеся несобственные интег-
интегралы и их можно понимать как Нтдгдг/^оо /_др где N,Nf независимы
между собой.
В силу § 16.2, G), (8) для функции / Е L справедливы равенства
f(x) = -[ ds f f(t) cos s(t -x)dt = f(x) = J{x). D)
^ Jo J-oo
Они во всяком случае верны для / Е L. Причем внутренний интеграл
(по t) абсолютно сходится, а внешний (по s) сходится, но, может быть, не
абсолютно.
Кратный интеграл в D) называется повторным интегралом Фурье
функции /. Таким образом, повторный интеграл Фурье функции / Е L'
равен функции /.
§16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье 559
Третий член D) указывает, что / можно рассматривать как резуль-
результат двух операций — преобразования Фурье и затем обратного преобра-
преобразования Фурье, т.е. /.
Верно также равенство f(x) = f(x) при тех же условиях на /, потому
что
¦~ -| pN poo
Т(х)= lim — / e~isxds f(t)eistdt =
N^oo 2ТГ J_N J_oo
-i pN poo -
= lim — / eisxds f(t)e~istdt = f(x)
iV^oo 27Г J_N J_oo
(замена в интеграле s на — s).
Равенства ^ _
f{x)=%)=J{x) E)
на самом деле верны при более общих условиях, налагаемых на /, в осо-
особенности если соответствующим образом обобщить операции ~ и ^ пре-
преобразований Фурье (см. далее).
Из D) следует равенство
-| рос рос
f(x) = — / cos sxds I f(t) cos stdt+
К JO J-oc
-| poo poo
+ - / sin sxds / f(t) sin stdt D')
^ Jo J-oo
для / G L. Если при этом f(x) четная, то
о poo poo
f(x) = — / cos sxds / f(t) cos stdt, F)
^ Jo Л
если же f(x) нечетная, то
о poo poo
f(x) = — I sin sxds I f{t) sin stdt. G)
^ Jo Jo
В формулах F) и G) можно считать, что х ^ 0, а /(?) есть произ-
произвольная функция, принадлежащая L@,oo). Ведь в этих формулах ис-
используются только значения / на полуоси [0, оо). Поясним это замечание
подробнее.
Пусть задана функция / G 1/@, оо) такая, что /@) = /@ + 0). Про-
Продолжив ее на всю действительную ось четным образом, получим четную
560 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
функцию / Е !/(—оо, оо), для которой верна формула F); в частности,
она верна для х ^ 0.
Будем теперь считать, что для нашей функции / Е L@, оо) выпол-
выполняется равенство /@) = 0 (вообще /@ + 0) ф /@)). Продолжив /
нечетным образом на (—оо, оо), получим функцию / Е L(—оо, оо), для
которой верна формула G); в частности, она верна для х ^ 0. Подчерк-
Подчеркнем, что в формуле G) /@) = 0, в то время как в формуле F) значение
/@) = /@ + 0) может быть любым.
Интегралы
— / f{t) cos stdt, \ — / fit) sin stdt
^ JO V 7Г Jo
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье.
Из формул F) и G) непосредственно следует, что если к локально кусоч-
кусочно гладкой функции / Е 1/@, оо) применить последовательно два раза
косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функ-
функцию /. В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является
обратным самому себе.
Упражнения.
Доказать следующие формулы для локально кусочно гладких функций / Е
Е L(—оо,оо). Например,
=_L (' eilMteixt dt-±= f f(u)e~iutdu =
3. /(at) = i- / (^). 4. /(at) = ^ / f-Y a # 0.
5. e*^*/ = e ^M*/ =/(ж + /х), //действительное.
Пример 1. Справедливы равенства (пояснения ниже):
i\ jv \ /1, 0^|ж|<а1 2 Г00 sin as
1) f (ж) = < _' ' I r — — I cos sx ds;
; M ; \0, a< |ж| J тгУо s
3) f(x\ -J1' a < x <b 1 _ 1_ f°° sing(x-g) -sinsjx -b)
1 f°° _aA 1
4) — / e cos Ax ал = —^ ¦ ^-;
a Jo а + ж
§16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье 561
5) / е~а sin.XxdX =
О а2 + х2
Л -as 2а [°° cos sxdx
6) е = — / —ту ту-, а > О, О ^ s < оо;
тг Jo а^ + х2
2 f°° х
7) e~as = — / ^5 о sinsxds, 0 < s < оо;
тг Jo a2 + ж^
Г sin ж 1ж1 < тг1 2 Г00 sinsTr
8) /(Ж) = <п Г~ f = — ~л 9 8Ш5ЖС/5;
[О, |ж| >тг] тг Jo 1-s2
yj j yX j ^ in I \ 'ТГ i ^ / 9 COS /\Ж СьА;
(^ U, |ж > 2- J тг Jo 1 — Az
10) /(ж) =е~а|ж|со8/3ж =
a f°° f 1 1 \ _
= — I COS 5Ж ( —2 2 "I" 7 m2 2 ) ' a ^ '
4a/3 Z400 ssinsx
= / — — as, a > 0;
2 1 /*ОО 2 /и
12) f(x)=e~x =-±= / С08зже"8 /4
v ^
13)
При пользовании обычными методами теории неопределенных интегралов не
видно, как можно вычислить интегралы, стоящие в правых частях равенств 1)—3).
С другой стороны, функции 1)-3) кусочно гладкие и принадлежат L(—oo,oo).
Поэтому к ним применима формула D/). Эта фомула упрощается и имеет вид F),
если / — четная функция, а если / нечетная, то она имеет вид G); например,
функция 1) четная, и потому
2 f°° fa 2 f°
= — I cos sxdx / cos stdt = — /
^ Jo Jo ^ Jo
sinsa
COS SX i
где надо считать, что в точках разрыва /(ж) выполняется равенство /(ж) =
= 2 {f(x — 0) + /(ж + 0)). Интегралы 4), 5) вычисляются интегрированием по
частям.
Умножив 4) на ^р cos sx и проинтегрировав по ж на @, оо), получим
2а [« cossx 2 [°° [°° _аА , ,„ -<ф|
— / —Ту Ту dx = — / cos sxdx I e cos XxdX = e ' ',
тг Jo az + xz тг Jo Jo
где последнее равенство имеет место в силу формулы F), применимой потому, что
е~а ? Ь'@, оо) —гладкая функция.
562 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
Подобными рассуждениями получается формула 7) из 5), если применить
формулу G).
Функция 8) нечетная кусочно гладкая. Чтобы получить нужный интеграл,
представляем ее по формуле G), где внутренний интеграл равен
/ sin st f(t) dt = / sin st sin tdt = -
JO Jo !
Этот интеграл удобно вычислить интегрированием по частям два раза.
Представление функции 9) получается аналогично применением формулы F).
Функция 10) четная. Чтобы получить нужный интеграл, представляем ее по
формуле F), где внутренний интеграл равен
/ е~а cos fit cos stdt =- / e~a cos(/3 + s)tdt +
Jo 2 ^0
1 Г e-oLt ^_ ^tdt= « f 1 ,
2У 2V(/3 + J+2
Это получается интегрированием по частям два раза.
Аналогичные рассуждения проходят для функции 11), если воспользоваться
формулой G).
Функция 12) четная, и для нее верна формула F):
2 о Г00 Г00 2
е~х = — I cos sxds / cos ste~ dt.
к Jo Jo
Но (см. § 13.15, пример 3)
/*OO 2 /— 2
Jo C0SSU dt = ~e
откуда следует представление 12).
Представление 13) получается аналогично по формуле G).
§ 16.4. Производная преобразования Фурье
Теорема. Пусть / — непрерывная локально кусочно гладкая
функция и /, tf(t) G V — L1 {—оо, оо) (или L). Тогда f имеет
непрерывную производную (т. е. на самом деле она гладкая), равную
f{x) = itf(x) A)
(коротко f — itf).
§16.5. Обобщенные функции в смысле D 563
Доказательство. Так как / Е I/, то функция / всюду
непрерывна. Далее, из того, что tf Е I/, следует, что / Е I/, \t\ ^ 1, но
тогда/ Е 1/(—оо,оо),
4 /°° /(«)eia!Ud« B)
00
iuf(u)eixudu. C)
Дифференцирование под знаком интеграла законно, потому что в силу
неравенства
\iuj(u)e-ixu\ ^ \uj(u)\ eL'
интеграл C) равномерно сходится относительно х и, кроме того, подын-
подынтегральная функция в C) непрерывна по ж, и. Теорема доказана.
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D
Зададим произвольный интервал (а, Ь), конечный или бесконечный,
содержащий в себе точку ж = О, а < 0 < Ъ.
Пусть D = D(a,b) есть пространство функций (р(х), а < х < Ъ,
действительных или комплексных (и тогда ip(x) = y>i(x) + г ср2(х)), бес-
бесконечно дифференцируемых и финитных в (а, Ь).
D называют основным пространством для пространства Df
обобщенных функций, определенных на (а, Ъ).
Функция
ф(х) = [е^, х\<1,
I 0, х\>1
есть пример функции ip E D, если (а, b) D [—1,1] = supp-0. Она была
рассмотрена в примере 1 § 5.11. Ее бесконечная дифференцируемость на
интервалах |ж|<1, ж>1, х < — 1 очевидна. Непрерывность же ее
и ее производных в точках х = ±1 и равенство их нулю в этих точках
обнаружится, если учесть, что производная ф(к\х) любого порядка к
есть конечная сумма произведений вида г(х)ф(х), где г(х) — рациональ-
рациональные функции. При х —> ±1 функции г(х) стремятся к оо медленнее, чем
ф~г{х), и поэтому г{х)ф{х) —>• О, х —>• ±1.
Носитель функции ф есть
а на интервале (—1, +1) функция ф положительна.
При соответствующих числах а, C можно получить функцию
ф(х) = ф(аи + /3) е D,
564 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
имеющую своим носителем любой заданный отрезок [а, /3] С (а, Ъ), а на
интервале (c,d) —положительную (if(x) > О, х Е (с, d)).
Z) есть линейное множество, нормированное посредством равенства
\\(р\\ = max Ых)\, if e D.
Е(Ь)
Будем говорить, что последовательность функций срп ? D сходится в
смысле D к функции ср ? D и писать
ifN^if (D), A)
если:
1) существует отрезок [с, d] С (а, Ь), содержащий в себе носители
функций (^jv, (p:
supp (pN С [с, d], supp (р С [с, d];
2) для любого & = 0,1, 2,...
^\х)^ф), TV^oo, B)
равномерно на [с, d] (но тогда и на (а, Ь)).
Вместо B) можно написать:
М^ - VJvll-> 0, iV^^. B')
Если каждой функции (р <Е D приведено в соответствие число (дей-
(действительное для действительного D и комплексное для комплексного D),
то говорят, что этим определен функционал
Функционал непрерывный, если
(F,ipN) -> (F,if), ifN -+ip (D),
т.е. из того, что ifN -^ Ц> (D), следует, что (F, ср^) -^ (F, if).
Функционал линейный, если
(F, aif + (Зф) = a(F, if)
для действительных, соответственно комплексных а, C.
§16.5. Обобщенные функции в смысле D 565
Линейный непрерывный функционал на D называется обобщенной
функцией на D и обозначается:
F = (F,ф) = F(x), <peD, а<х < b.
Совокупность всех обобщенных функций, заданных на D, обозначают
через D' (F e Df).
Говорят, что Dr есть пространство обобщенных функций над D.
Приведем важные примеры обобщенных функций.
Пример 1. Пусть F(x) — обычная функция, локально интегрируемая на
(а, Ь), т. е. она принадлежит Z/(c, d) на любом отрезке [с, d] С (а, Ь).
Интеграл
(*»= / F(x)<p(x)dx, <peD, C)
есть линейный непрерывный функционал на Z), т. е. обобщенная функция.
В самом деле, интеграл C) определен для любой функции <р ? D. Ведь если
supp<? С [c,d] С (а, 6),
то
F(x)<p(x)dx
/
a
F(x)<p(x)dx
[
c
. D)
Линейность (относительно (р) интеграла C) очевидна, а непрерывность сле-
следует из D). Ведь если <pjy —>• <р {D), то существует один и тот же отрезок
[с, d] С (а, Ь) такой, что
[с, d], supp<^ С
Поэтому в силу D)
F(x)(<pN(x)-<p(x))dx
\F(x)\dx =
с
Мы получили, что каждая локально интегрируемая на (а, Ь) функ-
функция F порождает при помощи C) линейный непрерывный функцио-
функционал на D.
Существенно, что имеет место взаимная однозначность между ука-
указанными функциями F(x) и функционалами C), т. е. если два функциона-
функционала вида C), определенные локально интегрируемыми функциями F\ (x),
F2(x), равны:
(Fi,cp) = (F2j(p) для любых if e D, E)
566 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
то функции F\ (ж) и i<2 (х) равны между собой, т. е. F\ (ж) = F2 (х) во всех
точках х их непрерывности.
Ведь если положить Ф(ж) = F\(x) — F2(x), то из E) следует
fb
/ Q>{xL>{x)dx = 0 VtpeD. F)
J a
Но если ж о есть точка непрерывности Ф и Ф(жо) > 0, то существуют
содержащий жо отрезок [с, б?] С (а, Ь) и число г\ такие, что
Ф(ж) > г] > 0, же [с, б?].
Взяв в качестве tp <E D функцию с носителем, совпадающим с [с, d], та-
такую, что ^(ж) > 0, ж G (с, сГ), получим противоречие:
0 = / Ф(ж)(^(ж) dx > т] ip(t) dt > 0.
•/с ^с
Мы получили, что каждая локально интегрируемая на (а, Ь) функ-
функция F(x) определяет при помощи C) непрерывный линейный функционал
на D; разным таким функциям (отличающимся в некоторых их точках
непрерывности) соответствуют разные линейные непрерывные функци-
функционалы на D.
На основании этого утверждения локально интегрируемые на (а, Ъ)
функции идентифицируются (отождествляются) с обобщенными функ-
функциями на D (линейными непрерывными функционалами, определенными
посредством C)).
Пишут
ь
F(x)<p(x) dx = (F,<p)=F = F(x), ж G (а, Ъ), <р е D.
Таким образом, каждая локально интегрируемая на (a, b) функция
F(x) есть обобщенная функция (F G D').
Пример 2. Каждой функции ср G D приводится в соответствие число,
равное ее значению в точке х = 0:
y&D. G)
Функционал F, ф) линейный:
F, а<р + Рф) = а<р@) + (Зф@) = аF, ф) + CF, ф).
Он также непрерывен, ведь для <?дг —>• if (D)
max\(pN(x) - ip{x)\ = \\ipN -<p\\-tO, N
§16.5. Обобщенные функции в смысле D 567
Таким образом, функционал G) есть обобщенная функция F ? Df). Ее называют
д-функцией (д ельта-функцией).
Пишут также
хотя 6-функция не есть обычная функция. В самом деле, допустим, что 6(х)
есть обычная локально абсолютно интегрируемая функция. Тогда должно иметь
место равенство
ГЪ
6(x)<p(x)dx = <р@) для всех <р е D. (8)
Но если xq ф 0 — точка непрерывности этой функции, для которой S(xq) > 0, то
существовал бы содержащий xq отрезок [с, d] С (а, Ь) такой, что 0 < с < xq < d
и 6(х) > г] > 0 при некотором г].
Но для функции (р ? D, обладающей свойством
получилось бы
гЪ rd rd
- / S(x)<p(x)dx= / S(x)(p(x) dx > г] (p(x)dx>0.
J a J с J с
Подобным образом доказывается, что нет точки xq ф 0 непрерывности функции S,
для которой S(xq) < 0. Тогда функция S(x) равна нулю во всех точках ее непре-
непрерывности, отличных от нуля. Однако для такой функции 6(х) левая часть в (8)
равна нулю для всех (р ? D. Но есть же (р ? D, у которой ip@) Ф 0, т. е. равенст-
равенство (8) для всех (р ? D невозможно.
Итак, S-функция есть существенно обобщенная функция, она не есть
обычная функция.
Операция ф = Aip, отображающая функции ip ? D в ф ? D, называ-
называется непрерывной в смысле D, если из того, что ipw —> ip (D), следует
AipN -^ A-tp (D).
Операция ф = Аср линейна, если
А(онр + /Зф) = aAip + /ЗАф, (р,ф ? D.
Теорема 1. Операция производной порядка к
ф = р{к\ V^D, fe = l,2,..., (9)
линейна и непрерывна.
Доказательство. Линейность очевидна.
Пусть cpjsf -^ cp (D) и фм = 4>N ; тогда при любом s = 1, 2,...
W - Ф{8)\\ = \\<P(n+S) ~ V{k+S)\\ -^ 0, N -+ оо,
а это и значит, что фм —> ф (D).
568 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
Определение. Производная от F Е D' определяется как такая
обобщенная функция, обозначенная F', для которой
(F',ф) =-(F,v'). A0)
Данное определение корректно потому, что правая часть A0) есть
действительно линейный непрерывный функционал. Линейность его оче-
очевидна. Непрерывность же устанавливается так: операция ср' = ф непре-
непрерывно зависит от ер, а операция (F, ср') = (F, ф) непрерывно зависит от ф,
потому что F есть заданная обобщенная функция, т. е. непрерывный ли-
линейный функционал.
С другой стороны, определение A0) естественно, ведь для обычных
хороших функций оно имеет место. Например, если F(x) — непрерывно
дифференцируемая на (а, Ъ) функция и supp ip = [с, d], то
',y>)= / F'{x)ip{x)dx= [ Ff(x)ip(x)dx =
Ja Jс
Таким образом, любую обобщенную функцию F E D' можно диффе-
дифференцировать сколько угодно раз и получить снова обобщенные функции
?)* п0 формуле
A: = 1,2,... A1)
Например,
Определение. Последовательность обобщенных функций
Fjv E D' сходится к обобщенной функции F E D' в смысле (D), если
(Fn,p) -^ (F, ср) для любой ip E D.
При этом пишут Fn —> F (D).
Теорема 2. Если Fjy —>• F (D), то при любом к = 1,2,...
Доказательство. Пусть Fjv -^ i71 (-D). Тогда
§16.5. Обобщенные функции в смысле D 569
т.е.
Пример 3.
sinNx -^ О (D), N -^ оо,
потому что
rb rb
I (р(х) sin Nxdx —>> 0 = / 0-(p(x)dx
Ja Ja
(см. §15.4, B)).
Пример 4.
^ Six) (D), N -> oo,
7Г Ж
потому что
I / ?E?l± ф) dt -+ 99@), N -+ 00
^ J-00 *
(см. §16.2, (8)).
Пример 5.
= { Is
0,
x\ >e
(ж) CD),
потому что
rb
/ <ф?(х)(р(х)Aх= <фе(х)(р(х)Aх =
Ja J\x\<e
Примеры 4 и 5 дают представление о приближении 8-функции клас-
классическими обычными функциями в смысле (D).
Определение. Ряд обобщенных функций
1/0 + ^1+^2 + ..., ukeDf, /с = 0,1,...,
сходится kFgD'b смысле D, если
SV = ?/о + ^1+^2+ ... + ^iv ^.F (?>), N ^00. A2)
В этом случае пишут
F = uo + U1+U2 + ... (^). A3)
Теорема 3. Сходящийся в смысле D ряд можно почленно
дифференцировать любое число раз.
Ведь из A2) и A3) следует
WuW+u[k)+4k) + ---, k = 1,2,3,...
570 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
§ 16.6. Пространство S
По определению функция ср = (р(х) от одной переменной принадле-
принадлежит пространству S (Шварца*)), если она комплекснозначна {ср =
= ipi + гу?2? ^1 и ^2 действительны), бесконечно дифференцируема
на действительной оси и для любой пары неотрицательных чисел I, к
(к целое)
z^| = x{l,k,ip) <оо. A)
Из этого определения следует, что производная ср^ (х) при любом к
ограничена, стремится к нулю при х —> оо и принадлежит L^(—оо, оо),
1 ^ р < оо, потому что | tpW (х) | ^ 1+1 ж'р и интегРал Р"°й степени от
правой части этого неравенства конечен. Заметим, что всякая бесконеч-
бесконечно дифференцируемая финитная функция, очевидно, принадлежит S.
Если функции (рт, ср принадлежат 5, т = 1,2,..., и для любой
указанной пары G, fc)
хG, /с, (^т — (р) —>• 0, ш -^ оо,
то будем писать у?т —>- (р (S) и говорить, что срш стремится к ср в
смысле (S) (в топологии (S)).
Нам придется иметь дело с операциями Акр = ф, приводящими в
соответствие каждой функции ср G S некоторую функцию ф G S. Оче-
Очевидно, S — линейное множество.
Операция А называется линейной, если
каковы бы ни были комплексные числа а, E и функции (pi,(p2 ^ 5.
Операция А называется непрерывной, если, какова бы ни была по-
последовательность функций Lpk G 5, сходящаяся к некоторой функции
<р G 5 в смысле E), имеет место
,4^ ->> А(р (S).
Следующее утверждение может служить достаточным **) критери-
критерием непрерывности линейной операции: если, какова бы ни была пара
{1ч к) {неотрицательных целых чисел), найдется зависящая от нее
система пар {li,k\),... ,{1гп,кш) такая, что
x{l,k,A(p)
*) Л. Шварц — французский математик.
**) На самом деле этот критерий является также необходимым, но мы здесь
это не будем доказывать.
§16.6. Пространство S
571
для всех ср G S, где С\^ не зависит от ip, то операция А непрерывна.
В самом деле, если сри —>• ср E), то для любой пары G, fc)
-ф) -+ О,
оо.
Операция дифференцирования (р(^) ц раз функции ср отобража-
отображает S в S линейно. Она также непрерывна, потому что
для любой пары (/,&).
Про функцию Л = Л(ж), бесконечно дифференцируемую на (—оо, оо),
будем говорить, что она (вместе со своими производными) имеет полино-
полиномиальный рост, если для любого целого неотрицательного к найдутся
неотрицательное число 1(к) =1 и такая константа G, что
Например, функция (ix)s, где s неотрицательное целое, очевидно, беско-
бесконечно дифференцируема и имеет полиномиальный рост.
Произведение Хер = \(x)ip(x) есть линейная непрерывная опера-
операция, отображающая S в S. Тот факт, что она отображает S в 5, и ее
непрерывность вытекают из неравенств
3=0
^С
x\l^)(l + \x\l)\^k-J\x)\^
к
из которых следует
3=0
Линейность операции \ip очевидна.
Покажем, что преобразование Фурье
л/2^
V>(t)e~ixt dt
(/¦?)
B)
572
Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
есть линейная непрерывная операция, отображающая S на S и при-
притом взаимно однозначно.
В самом деле, если ср Е 5, то ср Е I/, и преобразование (р есть во
всяком случае непрерывная функция. Далее,
J
) = J i/>(t)e
-ixt
dt,
C)
=
При этом ijj(t) E 5 как произведение функции у? Е 5 на бесконечно диф-
дифференцируемую функцию полиномиального роста. Так как ф Е Z/, то
интеграл C) при любом fc равномерно сходится и дифференцирование B)
по х под знаком интеграла законно. Имеем, интегрируя по частям,
= [ i/j(t)e-ixt dt = — I<ф'(t)
J ix J
~ixt
dt =
(ixI
потому что ip(s\t)
Но тогда
0, t -^ ±00, s = 0,1,2,...
В частности,
^cxB,O,'0), и потому
хB,0,А<р)).
Следовательно, (р Е 5 и (J5 непрерывно зависит от А<р. Но Ау? не-
непрерывно зависит от ср, и потому ^непрерывно зависит от у? Е 5. Линей-
Линейность операции ^ очевидна. Мы пока доказали, что она отображает S
в S. Но если х — произвольная функция из 5, то в силу того, что она
гладкая и принадлежит Z/, ее можно рассматривать как преобразова-
преобразование Фурье от х ? S. Это показывает, что на самом деле преобразование
ср отображает S на S. Наконец, из равенства cpi = cp2, ipi, tp2 ^ 5, сле-
сле= 0 и (^i — (^2 = 0 = 0, т.е.
дует
что показывает,
p ^ ^ , p ^j
что операция ^ отображает 5 на 5 взаимно однозначно.
Для двух функций ср,ф ? S введем выражение
,ф) = / ср(х)ф(х)
dx
(без знака сопряжения над ф).
§16.6. Пространство S 573
Справедливо
(?>, ф) = J ф)ф(х) dx = j ф) -|= I ip{i)e-ixt dt =
= J ф(*) dt-j=j ф)е-*х* dx = (ф, ip) = (ф, ф), D)
и мы получили первое из равенств
(<Р,Ф) = ((р,ф), Ы) = (<Р,Ф). E)
Второе равенство доказывается аналогично *).
Замену порядка интегрирования в D) по х и t можно обосновать тем,
что
/ \ip(t)\dt / \4>(x)\dx < оо.
Отметим еще равенства
(<р',ф) = Jtp'(t)il>(t)dt = ^(t)VWI^oo - J<p(W(t)dt =
= -(<Р,ф'), ^,феБ, F)
ведь (p(t),ip(t) -^ 0 при t —>• ±оо. Наконец, еще отметим важные равен-
равенства ^-^_^
ре S. G)
Надо учесть, что если ср Е S, то ^ G S, и так как ix — бесконечно диф-
дифференцируемая функция полиномиального роста, то ixfi E S. Но тогда
if, ix(f E V и законно применить теорему § 16.4. Второе равенство G)
доказывается аналогично.
Для функций ip E 5, очевидно, верны утверждения 1)-5), приведен-
приведенные в конце § 16.3 (упражнения).
Пусть К Е V (или L), а <р Е 5. Операция
К * у? = -= / К(ж - ?)(/?(?) (it = -= / <р(х - t)K(t) dt = cp*K
называется сверткой функций К пер (или ср и К). Справедливы важные
равенства
(8)
Если бы мы считали, что (ц>,ф) = f ip(x)ip(x)dx, то тогда было бы
574 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
потому что, например (пояснения ниже),
? = —^гщ j eixs ds J K{u)e~isu du J ip(v
= 7tA^ I eixsds I K{u)du j\
Bтг)^ J J J
у5 J e%XS ds j K{u) du
XS ds j e~
= —= I K(u)<p(x - u) du. (9)
Первый член в этой цепи имеет смысл, потому что tp <E S, ^e SgL',
К G V', X — ограниченная непрерывная функция, и потому i^y? Е I/ —
непрерывная функция. В третьем равенстве произведена замена и на
? = од + и, в четвертом интегралы по ix и ? мы поменяли местами (см.
ниже теорему Фубини).
Теорема (Фубини). В кратном абсолютно сходящемся ин-
интеграле законно менять порядок интегрирования.
(См. 4-е издание этой книги, том П.)
Упражнения.
Показать, что следующие функции принадлежат S.
{ -^ТТ> \х\<1 И-§5.11, (8)),
1. е~х . 2. ф(х) = I e
{ 0, |ж| ^ 1.
§ 16.7. Пространство S' обобщенных функций
Если каждой функции ср Е S в силу некоторого закона приведено
в соответствие число (.F, ср), зависящее от ср линейно и непрерывно (в
смысле 5), то говоррят, что этим определен линейный функционал или
обобщенная функция F над S.
Таким образом, функционал F обладает следующими двумя свойст-
свойствами:
1) F — линейный функционал, т. е. для любой пары а, E комплексных
чисел и пары функций ср, ф Е S
2) F — непрерывный функционал:
(F,(pN) -+ (F,(p) (если (pN -+ ф) (S).
§16.7. Пространство Sf обобщенных функций 575
Совокупность всех указанных функционалов (обобщенных функ-
функций) F принято обозначать через S'.
Обычно не представляет труда установить, что конкретный функци-
функционал (F, ф) над S является линейным. Что же касается непрерывности,
то здесь очень важным является следующий достаточный критерий *).
Пусть найдутся константа С и конечная система пар (fci,Zi),...
... , (km, lm) такие, что выполняется неравенство
С $>&,*;,?>) A)
для всех функций ср Е S. Тогда функционал (F, ф) непрерывен, потому
что из того, что cpjsf -4- if E), следует
\(F,<pN)-(F,<p)\ = \{F,<pN-4>)\ ^
т
^ C^^x(lj,kj,(fN — ф) -^ О, N -^ ею.
Рассмотрим пример. Пусть F(x) есть локально интегрируемая, опре-
определенная на действительной оси комплекснозначная функция такая, что
для нее можно указать число / ^ 0, для которого \F(x)\ ^ GA + \х\1),
где С не зависит от х. Интеграл
есть функционал (обобщенная функция) F E Sf. В самом деле, ведь
откуда видно, что функционал B) определен для всех ip E 5 и непреры-
непрерывен. Линейность его очевидна.
Равенство B) определяет функционал F <e Sf также в случае, когда
функция F(x) принадлежит Ь'р (или Lp), 1 ^ р < оо. Если F(x) E L',
то непрерывность (F, у?) следует из неравенств
\(F,<p)\ ^ J \F(x)<p(x)\dx ^ J \F(x)\x@,0,<p)dx ^ Сх@,0,Ч>),
*) Можно доказать, что этот критерий также и необходим.
576 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
а если F(x) E Lfp, 1 < р < оо, то из неравенств
|(F, у>)|< J \F(x)<p(x)\ dx < У |F(a;)| ^— x(l, 0, tp) dx <
а\1/р ( Г dx \1/q
w*) (/)
,V), - + - = 1-
Важно отметить, что для того, чтобы две локально интегри-
интегрируемые (в римановом смысле) функции F\(x) и ^(ж) представ-
представляли при помощи равенств вида B) равные обобщенные функции
F\ = F2 Е S", необходимо и достаточно, чтобы имело место ра-
равенство F\{x) = F2(x) во всех точках непрерывности F\{x) и
F2(x).
Достаточность условия очевидна. Оно также необходимо.
Доказательство такое же, как в примере 1 § 16.5.
Более общее утверждение гласит: две локально интегрируемые
в лебеговом смысле функции если представляют, то один и тот
же линейный функционал тогда и только тогда, когда на любом
конечном отрезке [а, Ь] они равны между собой, за исключением
множества лебеговой меры нуль.
Обобщенную функцию, представляемую при помощи интеграла B)
обычной локально интегрируемой функцией F(x), отождествляют с
2
этой последней. Например, sinx, (sin ж)/ж, е~х , \n\x\, ^о akxk —
это обычные функции, но и обобщенные, принадлежащие S'.
С другой стороны, функция ех не принадлежит S' (не представляет
при помощи интеграла B) линейный функционал на S), потому что для
2
нее, например, не существует интеграл B) при ср(х) = е~х Е S.
Пример 1. Функционал
cpes, C)
называется S-функцией {дельта-функцией). Очевидно, 8 Е Sf ,ведь
Не существует локально интегрируемой функции, которая представ-
представляла бы 8-функцию. В этом смысле 8 есть подлинная (не обычная) обоб-
обобщенная функция.
Доказательство такое же, как в примере 2 § 16.5.
Можно доказать более общее утверждение: функционал C) не представ-
представляется в виде интеграла B), где F(x) — какая-либо локально интегриру-
интегрируемая в лебеговом смысле функция.
§16.7. Пространство Sf обобщенных функций 577
Однако функционал F, ф) можно записать в виде интеграла Стилтьеса *)
rb
/*оо rb
F, if) = ip@) = / (р{х) dO{x) = lim /
J — co cl—У — oo Ja
b
где
/ °> x
at л
6{x) = <
\ 1, x > 0,
— функция, которую еще называют функцией Хевисайда.
По определению
<p(x)dO(x)= lim
(
где отрезок [a, 6] разделен на части точками а = xq < х\ < ... < ждг = Ъ
и Xj — i ^ ?j ^ Xj, j = 1,...,ЛГ. Очевидно, если нулевая точка ж = 0
принадлежит отрезку [ж/_1, ж/] и не является его правым концом, то
N
^ 0.
Если же точка 0 есть правый конец [ж/_1, ж/], то наша сумма равняется <?>(?/) —>•
—>• у@), что дает тот же результат.
Пример 2. Обобщенная функция Р. — определяется как предел
, D)
т.е. интеграл справа в D) понимается в смысле главного значения (V.P. — vales
principal — главное значение). В обычном римановом (в лебеговом) смысле этот
интеграл в случае, если ц>@) Ф 0, не существует. С другой стороны, предел D)
можно записать в виде обычного риманова (несобственного) интеграла (у(ж) —
- (р(-х) = О(ж), х -> 0)
?>0
s^Oj?
Ф)-<*-
X Jo
E)
*) Т. И. Стилтьес A856-1894) — голландский математик.
19 С.М.Никольский
578
Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
Ясно, что этот функционал линейный. Непрерывность же его вытекает из
неравенства
ф) - <р(-х)
г
f
o x
ClX
Введем ряд важных операций над обобщенными функциями.
Если Л = Х(х) есть бесконечно дифференцируемая функция по-
полиномиального роста, то произведение ее на обобщенную функцию
F G S' записывается в виде XF = X(x)F(x) и определяется при по-
помощи равенства
(\F,<p) = (F,\<p)- F)
Это определение корректно, ведь Хер есть операция, непрерывная от-
относительно if G 5, a (F, Хер) есть функционал, непрерывный относитель-
относительно Xip, следовательно, и относительно ср. Линейность (F, Xip) no ip оче-
очевидна.
Это определение также естественно, потому что если функционал
F G S' представляется локально интегрируемой функцией F(x), то
функция X(x)F(x) тоже, очевидно, представляет функционал XF gS'h
(\F,ip) = ( \(x)F(xL>(x)dx = ( F(x)\(xL>(x)dx = (F,
\ip).
Производная от обобщенной функции F G S' по определению есть
обобщенная функция F', определяемая равенством
(F» = -(
G)
Так как ср' G 5 и есть непрерывная относительно <р операция и так как
(F,cpf) есть непрерывный функционал относительно у?', то (Ff,(p) есть
непрерывный функционал относительно (р. Линейность его очевидна.
Определение G) естественно, потому что если, например, функция
F(x) непрерывна вместе со своей производной и F,Ff ? L;, то
F'(xMx)dx =
= F(x)<p(x)\™oo-
§16.7. Пространство Sf обобщенных функций 579
Ведь F(x),ip(x) -^ 0, х —> оо, так как, например,
F(x')-F(x)= F'(t)dt^O, x,
J х
оо,
I х
и существует lim^^oo F(x), который не может быть отличным от нуля,
потому что F Е V.
Очевидно, что любая обобщенная функция F E S" имеет производ-
производную (обобщенную) какого угодно порядка, определяемую по индукции:
F{k) = (p(k-i)y я Таким образом,
Например,
) к(^) Vfe)), к = 1,2,..
т.е. в' = 6.
По определению последовательность обобщенных функций Fjy E S",
7V = 1, 2,..., сходится к функции F e Sf (FN -+ F (S")), если *)
lim (Fjv , ф) = (F, ф) для всех ip e S. (8)
Отсюда автоматически следует также, что последовательность про-
производных F'N сходится к производной F', потому что
(F'N,<p) = -(FN,v') ->¦ -{F,<p') = {F',<p), N -> оо.
Можно рассматривать ряд
F = щ + и2 + из + • • • (9)
функций Uk ? S", имеющий своей сумм ой функцию F E S', что надо
понимать в том смысле, что
N
^uk^F E0, iV^oo.
fc=i
*) Можно доказать, что если последовательность функций Fjy E 5* такова,
что для любой ср Е 5 последовательность чисел (Fa/-, 9?) удовлетворяет условию
Коши, то существует и притом единственная функция F Е 5', для которой выпол-
выполняется (8).
19*
580 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
Из сказанного, очевидно, следует, что ряд (9) можно почленно диф-
дифференцировать :
F' = и[ + и2 + и'3 + ...
Пример 3. Рассмотрим обычную функцию
0, х$@,е),
зависящую от параметра е > 0. Она есть в то же время и обобщенная функция f?.
Очевидно, для всех (р ? S
UeM = ~ I <p(x)dx
6 Jo
откуда следует, что
Hm fe =S(Sf).
Преобразованием (соответственно обратным преобразовани-
преобразованием) Фурье обобщенной функции F Е S' называется обобщенная функция
F (F), определяемая равенством
(F,4>) = (F,ip) ((F,<p) = (F,$)), ipeS. A0)
Это определение корректно: (р Е S и непрерывно зависит от ср, а
(F, (р) непрерывно зависит от ?>, поэтому и от ip; линейность (F, (р) по ip
очевидна. Оно естественно, так как согласуется, например, с равенством
(?>, ф) = (ip,ip) для ср,гр е S. Далее, F = F, так как (F, у?) = (F,!p) =
Преобразование F (F) непрерывно зависит от F E S". Это
значит, что если последовательность i^y ^ ^^ сходится к F Е 5'
(Fjv -^ F E0), той Fiv сходится к F (Fjy -^ F (S')). В самом
деле,
{FM (F$) -+ (F,(p) = (*>), TV ^ oo.
Отметим еще, что преобразование F (F) отображает Sf на Sf
взаимно однозначно. То, что имеет место отображение 5' в 5', мы
уже знаем, но если Ф Е 5' — произвольная обобщенная функция, то ее
можно представить в виде Ф = Ф, что доказывает, что на самом деле
наше преобразование отображает 5' на 5'. Наконец, если F\, F2 E 5' и
Fi = F2, то Fi — F2 = 0, Fi — F2 = 0 = 0 и Fi = F2, что показывает
взаимную однозначность отображения.
§16.7. Пространство S' обобщенных функций 581
Из A0)следует
F' = ixF = -ixF, A1)
потому что, например (см. § 16.6, G)),
Из A1) легко следует по индукции общая формула для производ-
производной fc-ro порядка
FW = (ix)kF = (-ix)kF, k = 0,1, 2,... A2)
Если К G S" есть обобщенная функция, преобразование if которой
есть обычная функция и притом бесконечно дифференцируемая полино-
полиномиального роста, то корректно определяется свертка К с произвольной
функцией F G S" при помощи равенства
K*F = K,F = K,F. A3)
Это определение пересекается с введенным в предыдущем параграфе
определением свертки.
^ 1
Пример 4. ? = ?= , потому что, например,
л/2тг
Следовательно,
^(fc) = (_гЖ)^?= _L(I^)fcl = ^(I^jfc5 A; = 0,1,2,...,
л/2тг л/2тг
поэтому
F(/c) = (-ix)kF = л/2^Жк)Р = V2^(S{k) * F).
Пример 5. Имеем (пояснения ниже)
(sign ж, ср) = (sign ж, ^) = -^= / signi6<ii6 / elut(p{t)dt =
^ 1 f°° du f^eiut _e-iut)dt =
у2тг Jo J
/У f fN
' — i lim / (p(t) dt I smutdu =
7Г N^ooJ Jo
/2 / l-cos7Vt
= \ - г hm / <p(t) dt =
V J t
[2 . у
= \ — г lim
V 7Г
= Л г V.P. Г g<*l Д, A4)
582 Гл. 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции
и мы получили формулу
signal = W-г V.P.i. A5)
V 7Г Ъ
Функция sign ж локально интегрируемая и ограниченная и, следовательно,
принадлежит Sf, поэтому имеет смысл первый член цепи A4), а вместе с ним вто-
второй и третий. При переходе к пятому члену изменен порядок интегрирования (при
конечном JV, см. § 13.15). При переходе к предпоследнему члену заметим, что
Шп
t
потому что гладкая функция (<p(t) — (p(—t))/t ? Z/@, oo). Последний член запи-
записан в виде сингулярного интеграла в смысле главного значения.
Отметим еще, что если F(x) G Sr и а ф 0 — действительное число,
то обобщенные функции F(a — х) и F(ax) определяются при помощи
равенств
Корректность этих определений следует из того, что операция перехода
от ср(х) G S к <р(а — х) или ср(х/а) непрерывна в смысле E), а естествен-
естественность легко выясняется на обычных локально интегрируемых функциях
F(x), являющихся в то же время обобщенными.
Упражнения. Доказать, что:
L isiniVx >6{x)(S). 2. J^e
7Г X N^oo гутг
Указание. Имеем
2/2 1 Г00 2 / 2
ж /е ()() ^ / е~х /? ф(х)Aх,
= <p(x) — <p@) (см. § 13.13, пример 4). Этот интеграл представляем в виде
суммы I\ +I2 интегралов по областям |ж|<1и|ж|>1. В первом интеграле
учесть, что |'0(ж)| ^ С1Ж|5 во втором учесть, что р(х) ограничена (|<^(ж)| ^ М).
3. —^— -^ тгтг^(ж) + Р.1 , е -+ 0 E) (см. D)).
Ж zt ZS
Если F e Sf, то:
4. F(-x) = F(x). 5. F(-x) = F(x).
6. F(^) = A^fY 7 &x) (
\a\ \aj \a\ \a
8. e^^F = e~i^tF = F(x + /i) (/i действительное; учесть, что ег^* —
бесконечно дифференцируемая функция полиномиального роста).
9. Доказать, что функция P{x)f{x) G «S7, если Р(ж) = ^2q a^x —произ-
—произвольный многочлен степени n, a f(x) G Ьр (или Lp, 1 ^ р < оо), или если f(x) —
локально интегрируемая ограниченная функция.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля преобразование 360
- теорема о сходимости степенного
ряда 375, 380
- теоремы о рядах 360
Абсолютная величина числа 46, 54
Абсолютно сходящийся интеграл
322, 330
- - ряд 350, 369
Аддитивность интеграла 310
- - Римана 403
Алгоритм Евклида 287
Амплитуда 524
Аналитическая функция 153, 382
Аппроксимация функции из Lp
непрерывной финитной 507
Аргумент (независимая
переменная) 14, 279
- комплексного числа 279
Арифметические действия над
числами 46, 278
Архимедово свойство чисел 51
Асимптота 163
Асимптотическое равенство 113
Ассоциативный закон сложения
чисел 50
- умножения чисел 50
Астроида 182
Банахово пространство 498
Бернулли многочлен 546
Бесконечная десятичная дробь 42
Бесконечно большая величина
(последовательность) 64
- малая величина
(последовательность) 64
Бесконечный интервал 12
- полуинтервал 12
- предел 64
Бином Ньютона 141
Биномиальный дифференциал 297
- коэффициент 141
Бинормаль кривой 189
Больцано-Вейерштрасса теорема
226
Бореля лемма (о покрытии) 233
Буняковского неравенство 174
Бэта-функция 490
Валлиса формула 332
Вейерштрасса признак равномерной
сходимости 358
- теорема об ограниченности
непрерывной функции 98
- об экстремальных значениях
непрерывной функции 99
Вектор-функция 177
- п-мерный 172
Верхний интеграл Римана 399
Верхняя грань точная 55
- интегральная сумма Римана 398
- сумма Дарбу 305
Вихрь (ротор) 444, 472
Вложенных отрезков лемма 69, 233
Внешняя мера Жордана 386
Внутренняя мера Жордана 386
- точка множества 201
Второго рода криволинейный
интеграл 439
Выпуклость кривой в точке 155
- на отрезке 157
Гамильтона оператор (набла) 471
Гамма-функция 492
Гармоника функции 523
Гармонические колебания 524
Гармонический ряд 328, 349
Геометрическая интерпретация
знака определителя 414
Гильбертово пространство 506, 513
584
Предметный указатель
Главная нормаль кривой 189
Главное значение интеграла по
Коши 331
Главный линейный член
приращения 122, 213, 223
- степенной член функции 115
Годограф вектор-функции 183
Градиент функции 217, 442
Граница множества 228
Граничная точка 228, 387
График функции 16
Грина формула 451
Даламбера признак сходимости
ряда 346
Дарбу интегральные суммы 305
Двойной интеграл Римана 384
Двумерная мера 383
Двукратный ряд 368
Действительная часть
комплексного числа 279
Дельта-функция 576
Десятичная дробь 42
Диаметр множества 383, 395
Дивергенция вектора 466, 473
Дирихле признак 326
- интеграл 526
- сумма 525
- функция 309
- ядро 282, 526
Дифференциал функции 122, 222
Дифференциалы высших порядков
131, 223
Дифференциальный бином 297
- элемент ориентированной
поверхности 459
Дифференцирование
гамма-функции 494
- интеграла по параметру 476, 487
- ряда Фурье 544
- рядов 362
Длина дуги кривой 185
Допустимые параметры гладкой
кривой 180
поверхности 281
Евклида алгоритм 287
Евклидово n-мерное пространство
173, 175
Единичные векторы 189
Единичный вектор бинормали 189
- главной нормали 189
е (число) 76, 120, 158
Жорданова мера множества 385
Зависимая переменная 14, 130, 222
Замена переменных в кратном
интеграле 417
Замкнутая кривая Жордана 181
Замкнутое множество 227
Замкнутость ортонормированной
системы 513
Замыкание множества 228
Значение интеграла по Коши 228
Измеримость множества по
Жордану 387
Изолированная точка множества
229
Изоморфизм 41
Инвариантность формы первого
дифференциала 225
Интеграл неопределенный 34, 272
- несобственный 319, 327
- определенный 37, 308
- от монотонной функции 310
- от непрерывной функции 309
- с переменным верхним пределом
314
- эллиптический 302
Интеграл, абсолютно сходящийся
322, 330
- Дирихле 526
- криволинейный второго рода 439
- первого рода 438
- неопределенный 34
- несобственный 319
- по ориентированной плоской
области 461
- по поверхности первого рода 454
Предметный указатель
585
Интеграл Пуассона 497
- Римана верхний 399
- нижний 399
- сходящийся равномерно 485
- п-кратный 384
- Стилтьеса 492, 577
- Фурье 553
Интегральная сумма Римана 303
- теорема о среднем 312, 318
Интегральные суммы Дарбу 305
Интегральный признак сходимости
рядов 381
Интегрирование по параметру 486
- подстановкой 273
- по частям 276, 325
- ряда Фурье 545
- рядов 363
- тригонометрических выражений
298
Интегрируемость модуля 406
- непрерывной функции 403
- произведения 404
- суммы 404
Интервал 12
- сходимости 378
Интерполяционный многочлен
Лагранжа 398
Иррациональное число 41
Касательная 28, 187
- плоскость 214
- к годографу в точке 183
Квадратурная формула Симпсона
341
- прямоугольников 340
Квадрируемое по Жордану
множество 390
Коммутативный закон сложения
чисел 50
- умножения чисел 50
Компакт 501
Комплексная форма ряда Фурье 541
Комплексное число 278
Комплекснозначная функция 284
Координаты полярные 23
Корень (нуль) многочлена 286
Косинус-преобразование Фурье 560
Коши вид остаточного члена
формулы Тейлора 142
- критерий для несобственных
интегралов 320
- для последовательностей 76
- для рядов 343
- для функций 85, 203
- равномерной сходимости 357
- неравенство 176
- признак сходимости ряда 347
- теорема о среднем 135
Коэффициент Фурье 508, 543
Кратный ряд 368
Кривая гладкая 180
- Жордана 181
- замкнутая 181
- , кусочно непрерывная 179
- непрерывная 179
- ориентированная 180
- плоская 179
- самонепересекающаяся 181
- спрямляемая 185
Кривизна кривой 193
Криволинейный интеграл второго
рода 440
- первого рода 438
Круг сходимости степенного ряда
373
Кручение кривой 197
Куб 200
Кусочно гладкая функция 171
Лагранжа вид остаточного члена
формулы Тейлора 142, 237
- теорема о среднем 136
Лапласа оператор 268
Лежандра многочлены 550
Лейбница формула 130
Лемма об осцилляции 530
Линейное множество 172, 177, 570
- нормированное пространство 175,
499
полное 499
- пространство со скалярным
произведением 174
586
Предметный указатель
Линейный функционал над S
(обобщенная функция) 574
Липшица условие 534
Локально интегрируемая функция
558
Локальный экстремум 134, 237
Лопиталя правило 163
Мгновенная скорость 27
Мера Жордана 385
- Лагранжа 339
Минковского неравенство 176
Мнимая часть комплексного числа
279
Многочлен 139
- Лагранжа 339
- степени п 21
- Тейлора 139
Многочлены Бернулли 546
- Лежандра 550
- Тейлора 139
- Чебышева 548
Множество 11
- замкнутое 227
- , измеримое по Жордану 388
- неограниченное 55, 226
- ограниченное 55, 226
- , - сверху 55
- , - снизу 55
- открытое 200
- счетное 77
Множителей Лагранжа метод 264
Модуль комплексного числа 279
- непрерывности 230
Начальная фаза гармоники 187
Наилучшее приближение элемента
510
Независимая переменная 14, 130,
223
Независимость криволинейного
интеграла первого рода от
ориентации кривой 440
от ориентации
поверхности 461
Необходимое условие
интегрируемости функции 304
- сходимости ряда 343
Неопределенностей раскрытие 159
Неперово число 68
Непрерывная вектор-функция 178
- кривая 179
- функция 25, 86
- комплексного переменного 283
Непрерывность кратного интеграла
по параметру 412
- равномерно сходящегося
интеграла 485
Неравенство Бернулли 105
- Буняковского 174
- Коши 176
- Минковского 176
- Парсеваля 510
- треугольника 177
- чисел 46
Неравномерно сходящийся
интеграл 488
Несобственные интегралы 319, 479
Несчетность действительных чисел
77
Неявная функция 20, 241
Нижний интеграл Дарбу 305
- - Римана 399
- предел последовательности 73
Нижняя грань точная 55
- интегральная сумма Римана 398
- сумма Дарбу 305
Норма элемента 176
- L' 500
- L'p 507
Нормаль (к кривой) 189, 192
- главная 189
Носитель функции 501
- компактный 501
Ньютона-Лейбница теорема 39, 316
n-кратный интеграл Римана 384
n-мерная мера 385
- - Жордана 387
n-я сумма Фурье функции 526
n-я частичная сумма ряда 343
Предметный указатель
587
Область определения функции 14
Обобщенная функция над D 563
- - над 5 570
- - над S' 574
--Р.? 580
Образ посредством функции 14
Обратная функция 101
Обратное преобразование Фурье 558
Обратные тригонометрические
функции 23, 102
Объединение (сумма) множеств 13
Объем 384
- тела вращения 334
Однозначная функция 14
Односторонние окрестности 94
- пределы 94
Окрестность символов оо, +оо, —оо
94
- точки 60, 83, 201
Операция дифференцирования 30
- интегрирования 37
- - по Риману 303, 384
Описание поверхности 431
Определенный интеграл Римана 303
Ориентация плоской области 450
- поверхности 457
Ориентированная кривая 180
Ортогонализация 515
Ортогональная система элементов
508
Ортонормированная система
элементов 507
замкнутая 513
полная 507
Особенность интеграла 479
Остаточный член формулы Тейлора
в интегральной форме 331
в форме Коши 142
Лагранжа 142, 237
Пеано 146, 237
Открытый куб 200
- прямоугольник 200
Отображение 251
Отрезок (числовой) 11
Оценка остатка ряда Фурье 546
Параметр кривой допустимый 180
Парсеваля неравенство 510
- равенство 511
Первообразная 33, 272
Переменная (величина) 14
- зависимая 14
- независимая 14
Переместительный
(коммутативный) закон
сложения 50
- (-) - умножения 50
Пересечение множеств 13, 201
Периодическая функция 519
Плоскость касательная 211
- соприкасающаяся 190, 191
Площадь в полярных координатах
333
- криволинейной фигуры 37
- поверхности 337, 431
- - тора 436
- шара 435
Поверхностный интеграл первого
рода 454
Поверхность гладкая 255, 428
- ориентированная 459
- ориентируемая 428
- параметрически заданная 429
Повторное интегрирование 406
Повторный интеграл Фурье 558
Подпоследовательность 71
Подстановки Эйлера 295
Показательная функция 22
Полином (многочлен) 21, 207, 299
Полная система в пространстве 507
Полное линейное нормированное
пространство 500
Полнота системы
тригонометрических функций
534
Полярные координаты 23
- в пространстве 426
- на плоскости 424
Порядок дифференцирования 129,
210
- переменной 112
Последовательность 46, 58
588
Предметный указатель
- бесконечно большая 64
- малая 64
- монотонная 52
- неубывающая 46
- ограниченная 60
- сверху 46
- равномерно сходящаяся 357
- стабилизирующаяся 47
- функций (функциональная) 356
Потенциальная функция вектора
442
Поток вектора через
ориентированную поверхность
464
Правило Лопиталя 163
Предел вектор-функции 178
- по направлению 203
- последовательности 59
- верхний 73
- нижний 73
- функции 80, 202
- слева 94
- справа 94
Предельная точка множества 227
Преобразование Абеля 360
Преобразование Фурье 558, 580
- обратное 558, 580
- прямое 558
Приближение в L'p непрерывными
функциями 507
- в I/ непрерывными финитными
функциями 501
Признак Вейерштрасса
равномерной сходимости
несобственного интеграла 492
Признак равномерной сходимости
Абеля 360
Вейерштрасса 358
Дирихле 326, 360
- сходимости Даламбера 346
- - Коши 347
- ряда (интегральный) 327
Принцип локализации 530
Приращение аргумента 24
Приращение функции 24, 90, 210
Произведение комплексных чисел
279
Производная 30, 117
- бесконечно большая 118
- в параметрическом виде 181
- вектор-функции 178
- высшего порядка 31, 129
- левая 30
- обобщенной функции 578
- обратной функции 125
- по направлению 216
- правая 30, 118
- преобразования Фурье 562
- суперпозиции (функции от
функции) 124, 215
- частная 210
Пространство Банаха 498
- евклидово (п-мерное) 175
- полное 498
- со скалярным произведением 174
-С 498
- D 563
- L' (L) 500
- L'p (Lp) 507
- L'2 (L2) 504
- n-мерное 19
- 5 570
- Sf Б74
Процесс ортогонализаций системы
элементов 515
Прямоугольник 200
Пуассона интеграл 497
Равенство Парсеваля 510
Равномерная непрерывность 230,
231
Равномерная сходимость интеграла
Фурье 556
- несобственного интеграла 485
- ряда Фурье 199
Равномерно сходящаяся
последовательность 356
- сходящийся ряд 356
Радиус кривизны 193
Радиус сходимости степенного ряда
535
Предметный указатель
589
Разность комплексных чисел 279
- множеств 13
- элементарных фигур 386
Разрыв второго рода 98
- первого рода 97
Расстояние между двумя
множествами 232
- от точки до множества 232
Рациональная функция 206
Рациональное число 39
Римана интегральная сумма 303
Ролля теорема о среднем 135
Ротор вектора 444
Ряд 151
- гармонический 328, 349
- кратный 368
- Лейбница 350
- равномерно сходящийся 358
- с неотрицательными членами 346
- степенной 152, 372, 380
- сходящийся 151
- абсолютно 350, 369
- безусловно 355
- условно 355
- Тейлора 151,
- функций 358
- Фурье 508,
- в комплексной форме 543
Свертка 573
Свойство Архимеда вещественных
чисел 51
Синус-преобразование Фурье 560
Система зависимых функций 270
Система элементов ортогональная
508
- полная 507, 517
Скалярное произведение 174, 504
Скорость мгновенная 27
Сочетательный (коммутативный)
закон сложения 50
умножения 50
Спектр функции 523
Спрямляемая кривая 185
Средняя скорость 27
Степенная функция 21, 109
Степенной ряд 152, 372
Стирлинга формула 332
Стокса формула 473
Строго возрастающая функция 133
- убывающая функция 133
Сумма Дарбу интегральная 305
- Дирихле 525
- (объединение) множеств 13
- Римана интегральная 303
- ряда 343, 511
- частичная 343
- Фурье 526
- элементарных фигур 385
Суммирование рядов 371
Суперпозиция функций 15
Существование л/а 104
- решений системы уравнений 247
Сходимость средне квадратическая
506
- простого интеграла Фурье 556
- равномерная несобственного
интеграла 485
Счетное множество 77
Таблица интегралов 273
- производных 128
Тейлора многочлен 139
- ряд 151
- формула 140, 331
Теорема Больцано-Вейерштрасса
226
- Вейерштрасса о равномерной
сходимости 358, 535, 549
- Гаусса-Остроградского 466
- Коши о промежуточных
значениях непрерывной функции
101
- о среднем 135
- Лагранжа о среднем 136
- Ньютона-Лейбница 316
- о среднем интегральная 313, 318
Ролля 135
590
Предметный указатель
Теорема основная (для кратного
интеграла) 405
- Ферма 134
- Фубини 574
- Чебышева 297
Точка выпуклости кверху 155
- книзу 155
- изолированная 229
- локального относительного
экстремума 260
- множества внутренняя 201
- граничная 244
- перегиба 155
- разрыва 26, 89
- второго рода 98
- первого рода 97
- стационарная 262
- устранимого разрыва 97
- n-мерного пространства 172
Тригонометрическая форма
комплексного числа 279
Тригонометрический полином 299,
521
- ряд 527
Тройной интеграл Римана 384
Условие Липшица 534
Фигура 385
Формула Валлиса 332
- Грина 451
- для остатка Фурье 527
- квадратурная 340
- Лейбница 130
- Маклорена 140
- Ньютона-Лейбница 39, 316
- прямоугольников 340
- Симпсона 341
- Стирлинга 332
- Стокса 473
- Тейлора 140, 331
- трапеций 340
- Френе 196
Фубини теорема 574
Фундаментальное решение
уравнения теплопроводности 222
Функции эквивалентные 113
Функционал 564
- линейный 564
- непрерывный 564
Функция 14, 22
- аналитическая 153, 382
- бесконечно дифференцируемая
154
- бэта 490
- гамма 492
- гладкая 170
- Дирихле 309
- дифференцируемая 122
- интегрируемая по Риману 396
- комплексного переменного 282
- комплекснозначная от
действительного переменного
284
- кусочно гладкая 171
- непрерывная 171
- логарифмическая 107
- многих переменных 19
- многозначная 18
- монотонная 51
- на множестве 229
- , непрерывная в точке 25, 88, 206
- , слева 96
- , справа 96
- , - на замкнутом ограниченном
множестве 229
- нечетная 16
- неявная 20, 241
- обратная 101
- периодическая 519
- показательная 104
- постоянная 21
- равномерно непрерывная 230
- , разрывная в точке 25, 89
- рациональная 21, 207
- сложная 15
- сопряженная 336
- степенная 21, 109
- тригонометрическая 22
- финитная 501
- Хевисайда 577
Предметный указатель
591
Функция четная 16
- элементарная 23, 208
- д(х) 576
Фурье интеграл 553
- коэффициент 508, 543
- преобразование 558, 580
- ряд 508
- (частичная) сумма 525
Центр кривизны 194
Циклоида 196
Цилиндрические координаты 427
Циркуляция вектора 441
Частичная сумма Фурье 525
Частная производная 210
Частота гармоники 524
Чебышева многочлен 548
Чисел аксиомы 50
- свойства 50
Число действительное 45
Число иррациональное 42, 44
- комплексное 278
- рациональное 41
- е 68, ПО
Член ряда Фурье 523
Шар 200
Эволюта кривой 194
Эйлера подстановки 295
Эквивалентные функции 113
Экстремум локальный 134, 237
Элемент нормальный 507
- последовательности 58
Элементарная фигура 385
Эллипс 182
Эллиптические интегралы в форме
Лежандра 302
Явление Гиббса 525
Ядро Дирихле 526
Якобиан 247
Учебное издание
НИКОЛЬСКИЙ Сергей Михайлович
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор И. И. Воронина
Оригинал-макет А.В. Захарова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 24.08.01.
Формат 60x90/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 37,0. Уч.-изд. л. 41,73. Тираж 5000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в Московской типографии № 6
Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24