Text
                    Московский государственный университет имени М, В. Ломоносова КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
 е
Г, И. Архипов, В, А. Садовничий, В, Н. Чубариков
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Серия КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
основана в 2002 году по инициативе ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика РАН В.А. Садовничего
и посвящена
250-летию
Московского университета
КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
Редакционный совет серии:
Председатель совета ректор Московского университета В.А. Садовничий
Члены совета:
Виханский О.С., Голиченков А.К., Гусев М.В., Добренькое В.И., Доннов А.И., Засурский Я.Н., Зинченко Ю.П. (ответственный секретарь), Камзолов А.И. (ответственный секретарь), Карпов С.П., Касимов Н.С., Колесов В.П., Лободанов А.П., Лунин В.В., Лупанов О.Б., Мейер М.С., Миронов В.В. (заместитель председателя), Михалев А.В., Моисеев Е.И., Пушаровский Д.Ю., Раевская О.В., Ремнева М.Л., Розов Н.Х., Салеикий А.М. (заместитель председателя), Сурин А.В., Тер-Минасова С.Г., Ткачук В.А., Третьяков Ю.Д., Трухин В.И., Трофимов В.Т. (заместитель председателя), Шоба С.А.
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям физико-математического профиля
5-е издание, исправленное
Издательство Московского университета Издательство «Дрофа»
Москва 2004
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161я73
А87
Печатается по решению Ученого совета Московского университета
Серия «Классический университетский учебник»
Рецензент академик РАН С. М. Никольский
Архипов, Г. И.
А87 Лекции по математическому анализу : учеб, для вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков ; под ред.
В. А. Садовничего. — 5-е изд., испр. — М. : Дрофа, 2004. — 640 с. — (Классический университетский учебник).
ISBN 5-7107-8900-3
Книга является учебником по курсу математического анализа, посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных и соответствует программе для высших учебных заведений, рекомендованной Министерством образования РФ. В ее основу положены лекций, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса,
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математику,
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 5-7107-8900-3
© ООО «Дрофа», 2003
© МГУ им. М. В. Ломоносова, художественное оформление, 2003
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Вы открыли одну из замечательных книг, изданных в серии «Классический университетский учебник», посвященной 250-ле-тию Московского университета. Серия включает свыше 150 учебников и учебных пособий, рекомендованных к изданию учеными советами факультетов, редакционным советом серии и издаваемых к юбилею по решению Ученого совета МГУ.
Московский университет всегда славился своими профессорами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших гордость отечественной и мировой науки, культуры и образования.
Высокий уровень образования, которое дает Московский университет, в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала. В этих книгах аккумулируется бесценный опыт методики и методологии преподавания, который становится достоянием не только Московского университета, но и других университетов России и всего мира.
Издание серии «Классический университетский учебник» наглядно демонстрирует тот вклад, который вносит Московский университет в классическое университетское образование в нашей стране, и, несомненно, служит его развитию.
Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной помощи со стороны издательств, принявших участие в издании книг серии «Классический университетский учебник». Мы расцениваем это как поддержку ими позиции, которую занимает Московский университет в вопросах науки и образования. Это служит также свидетельством того, что 250-летний юбилей Московского университета — выдающееся событие в жизни всей нашей страны, мирового образовательного сообщества.
Ректор Московского университета
академик РАН, профессор	Л . вллл & А* Садовничий
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс лекций по математическому анализу представляет собой учебник, охватывающий программу по данному предмету на механико-математических факультетах университетов и педагогических вузов. Как показала практика, он может быть с успехом использован студентами технических вузов с углубленным изучением математики.
В учебнике среди прочих решается и задача выделения необходимого минимума сопутствующего материала, обеспечивающего усвоение основного содержания. Авторы стремились соединить доступность изложения, свойственную учебнику, с краткостью конспекта. С математического анализа как учебной дисциплины начинается процесс обучения высшей математике в вузе. Обилие и сложность новых понятий при этом часто подавляют творческое восприятие содержания курса. Для того чтобы правильно сориентировать читателя, мы сознательно допускаем определенную категоричность суждений — в процессе обучения он сам разберется во всем многообразии связей между различными аспектами предмета.
Авторы стремились прежде всего облегчить процесс усвоения знаний за счет доступного изложения и упрощения доказательств. Следует заметить, что краткость доказательства не всегда говорит о его простоте. Иногда более короткие доказательства бывают малодоступны и, по существу, затрудняют усвоение материала. В то же время мы исходим из того, что доказательство утверждений и примеры должны отличаться живостью, интересом, убедительностью и особенно краткостью. Для более краткой записи рассуждений и утверждений часто используют символику кванторов, что, однако, затрудняет непосредственное восприятие материала и ограничивает возможность следить за логикой рассуждений. Мы стараемся не злоупотреблять этой символикой, чтобы упростить сопоставление отвлеченных понятий со сходными явлениями из внешнего, доступного нашим чувствам мира, сделать понятия более наглядными.
В учебнике, по-видимому, впервые предлагаются такие аспекты, как общее понятие предела функции в смысле Гейне, простое излбже-ние формул суммирования Эйлера, Абеля и Пуассона, теоремы о связи измеримости по Жордану и интегрируемости по Риману, теоремы о связи кратных и последовательных пределов, критерий Маркова—Гордона о равенстве двух повторных пределов по базам множеств, теорема Пуанкаре о бесконечных определителях, изложения доказательства общей формулы Стокса на основе классического подхода, обобщающего классические теоремы трехмерного векторного анализа, и ряд других тем.
В заключение авторы выражают глубокую благодарность М. 3. Гараеву, Ф. М. Малышеву, А. М. Полосуеву, Е. А. Ширяеву и всем нашим коллегам за многочисленные полезные замечания по содержанию предыдущих изданий книги.
6
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
В основу данной части книги положены лекции первого из четырех семестров основного курса математического анализа, читаемого авторами в течение последних лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Ее содержание охватывает дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Следует обратить внимание на существенное различие между стилем изложения, принятым в учебнике и в конспекте лекций. Дело в том, что в учебнике, как правило, доказательство утверждений подготавливается предварительными разъяснениями и примерами, в то время как конспект в основном включает в себя формулировки и доказательства.
Понятие предела — основное в первой части книги. На нем, в частности, основано изучение теории непрерывных и дифференцируемых функций одной переменной.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Первые лекции по каждому из предметов, с которых начинается преподавание высшей математики (как правило, это математический анализ, алгебра и аналитическая геометрия), бывают посвящены изложению основ теории множеств. Подобный параллелизм создает у части студентов неверное впечатление о предмете «Математика» в целом и затрудняет восприятие материала. Положение усугубляется непривычной абстрактностью этих новых понятий. Выделение их в рамки одного предмета представляется нецелесообразным, поскольку в каждой дисциплине факты из теории множеств приводятся в расчете на излагаемый материал. Обычно в той или иной форме на эту особенность обращается внимание.
ГЛАВА 1
Введение
Лекция 1
$ 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.
ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Под термином «математический анализ» подразумевается прежде всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше. Сейчас его в значительной степени рассматривают как устоявшуюся учебную дисциплину. Однако из сказанного не следует делать вывод, что в математическом анализе не осталось тем для научных исследований и глубоких открытий. Дело в том, что составные части математического анализа настолько разрослись, что давно превратились в отдельные математические дисциплины, такие, как теория функций действительного переменного (ТФДП), теория функций комплексного переменного (ТФКП), теория вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая статистика, уравнения в частных производных, уравнения математической физики, вычислительная математика и т. д. В шйроком смысле математический анализ включает в себя все эти области, т. е. йочти нею математику.
В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая в настоящее время является общей для всех современных математических дисциплин. Поэтому приятна совершенно исключительная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний.
Не будет преувеличением сказать, что номинальным и стержневым понятием курса анализа является понятие предела во всевозможных его проявлениях. В общих чертах вы с ним уже знакомы из школьной математики. Тем не менее, получить ясное и
9
отчетливое представление о пределе — самая большая трудность при изучении курса анализа и самый важный его момент.
Каждый должен и может овладеть этим понятием, так как далее понятие используется в различных ситуациях. Тому, кто сумеет это сделать, в дальнейшем при изучении основного курса потребуется в большей степени усердие, чем способности.
Понятие предела является главным, но не единственным понятием анализа. Оно само опирается на понятия множества, отображения и функции.
Определение 1. Множество — это совокупность объектов любой природы.
На первый взгляд, это определение никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т. е. «множество», определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не определенных. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение определений — это вовсе не наведение логической строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость требуется только там, где нестрого введенные понятия приводят к недоразумениям.
Как решить, что приводит к недоразумениям, а что нет? У современной математики есть для этого только такие средства: логический анализ, практика и интуиция.
Имеется два типа определений: логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; описательное определение с помощью слов разговорного языка.
Определение множества является определением второго типа. В математике предпочитают, конечно, первый тип определений, но начальные понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно. Это плохо по многим причинам, и прежде всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено и приходится доверяться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать [19].
Определение 2. Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками.
Для обозначения различных множеств чаще всего будем использовать заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств — малые (строчные) буквы.
Определение 3. Два множества X и Y называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
10
Это записывают так:
Х = УилиУ = Х.
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут
а е А (или А эа).
Если а не принадлежит А, то этот факт записывают в виде
ае А (или а ё А).
Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то В называется подмножеством множества А и пишут9.
В с А (или A z> В).
Очевидно, что если В а А и А с В, то А = В.
Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества В, которое будем называть универсальным. Таким образом,
А с В для любого множества А.
Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве А (являющемся, как мы условились, подмножеством В), нужно иметь четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в А. Если обозначить это условие через а, то факт, что условие а порождает множество А, будем записывать следующим образом:
А « {a g В|а}.
Читается это так: множество А совпадает с множеством тех элементов (из множества В), которые удовлетворяют условию а.
Может оказаться, что для некоторого свойства а во всем множестве В вообще нет элементов, ему удовлетворяющих. Для единообразия считают, что и в этом случае запись А = {а е В (а} определяет особое множество, называемое пустым множеством. Пустое множество не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом 0. В наших обозначениях можно записать, например, так:
0 = {а е Е\а а}.
Здесь а — это свойство, что а и а.
краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические Знаки, называемые кванторами:
11
3 — «существует»;
3! — «существует строго один элемент» или «существует единственный элемент»;
V — «для всякого», «для всех»;
=> — «справедливо», «следует», «имеет место».
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее утверждение: VAcE=>0ciA. Здесь утверждается, что пустое множество является подмножеством любого множества из Е. Это утверждение следует из наших определений, так как означает, что если элемент принадлежит 0, то он принадлежит А, что действительно так, поскольку в пустом множестве 0 вообще нет ни одного элемента и для* доказательства справедливости этого утверждения его не надо проверять ни для одного элемента.
Определение 5. Множество С называется объединением (или суммой) множеств А и В, если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.
Объединение С множеств А и В обозначается так:
C=AUB.
Свойства объединения множеств
1°,AUB = BUA.
2°. A U (В U С) = (A U В) U С.
Определение 6. Пересечением множеств А и В называется множество С9 состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и А, и В, т. е. элементов, общих для этих множеств.
Свойства пересечения множеств
1°.ААВ = В А А.
2°. А А (В А С) = (А А В) А С.
Доказать равенство двух множеств — значит доказать^ что всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.
Для произвольной совокупности множеств Аа, где а пробегает все элементы некоторого множества I, пишут
С= UA=UA, ael « a a если С — объединение всех множеств Aa, а е I.
Аналогично,
c = QAx’
если С — пересечение всех множеств Аа.
12
Определение 7. Разностью С = А \ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В.
Множество А' = Е \ А называется дополнением А или дополнением до Е множества А. Если множество индексов I есть просто множество натуральных чисел, т. е. натуральный ряд 1, 2, 3, ... , то его обозначают I = N, а вместо U Аа и А Аа пишут оо	оо
U А и П А„.
Определение 8. Симметрической разностью С = А/\В двух множеств А и В назовем множество
С = (A U В) \ (А Л В).
Свойства операций над множествами
1°.АсА.'
2°. А а В, В а А => А = В.
3°.АсВ,ВсС^АсС.
4°. 0сАХ/А.
5«. (уАа)ПВ = у(АаПВ).
6». (ЛАа) U В = Л(Аа U В).
7°. А с В => A U B = В, А А В = А,
8°. A U А’ - Е, АЛ А' = 0.
9°. 0' = Е,Е' = 0.
10°. (UAJ'-ЛА'.
v<x а/	а а
11°. (AAa)' = UA'.
v а а'	а а
12°. АДВ = (А \ В) U (В \ А).
Все эти свойства доказываются весьма просто. Покажем для примера, каким образам доказывается последнее свойство. Надо доказать, что если Сх = (A U В) \ (А А В) и С2 = (А \ В) U (А \ В), то (\ = С2. Это значит, что надо доказать следующие утверждения:
1) Va е Сг => а е С2, откуда С\ а С2;
2) Va е С2 => a g С19 т. е. С2 a Cv
Ограничимся только доказательством утверждения 1, т. е. что Cr с С2. Пусть a g Сх; тогда а е A U В, но а ё А А В. Но если a G A U Ё, то или а е А, Или а ё В. Рассмотрим первый случай, т. е. a g А. В этом случае а ё В, так как иначе было бы a g А А В, что неверно. Тогда a g А \ В, откуда a g С2 = (А \ В) U (В \ А), что и требовалось доказать. В первом случае справедливость соотношения а. С2 мы доказали. Второй случай разбирается точно так же, только А и В меняются местами. Поэтому всегда Сг с С2.
Следующим после множества и тоже важнейшим понятием математики является понятие отображения, а также эквивалентное ему понятие функции. Но сначала дадим определение декартова произведения множеств.
13
Определение 9. Декартовым произведением С - Ах В множества А и В называют множество всех возможных пар (х, у), где первый элемент х каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В.
Определение 10. Подмножество F декартова произведения двух множеств Ах В называется отображением множества А в множество В, если выполнено следующее условие:
Vx € А 3! пара (х, у) е F.
ПРИМЕР. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4, 5}. Тогда подмножество F = {(1, 3), (2, 2), (3, 3)} множества А х В является отображением, а подмножество Ф = {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4)} не является отображением.
Понятия «отображение» и «функция» — синонимы. Они несколько отличаются только буквенной символикой и сферами употребления. Мы будем гораздо чаще употреблять термин «функция». Тот факт, что F является отображением А в В, записывают так:
F : А—> В или А Д В.
Определение 11. Пусть отображение F : А —> В определяется следующим образом: V х g А3\ у g В такое, что (х, у) g F. Тогда элемент у g В называется образом х при отображении F и это записывается так:
у = F(x).
Элемент х называется прообразом (одним из возможных) элемента у.
Множество F(A) всех элементов F(x) Vx g А называется образом множества А при отображении F, т. е.
F(A) = {у е В|у = Г(х), х е А}.
Для множества С = F(A) само множество А при отображении F называется (полным) прообразом множества С.
Как уже отмечалось, термины «отображение» и «функция» — синонимы, но при употреблении слова «функция» вся терминология обычно меняется. Множество А называется областью определения, а множество F(A) с В — множеством (или областью) значений. Каждый элемент х g А называется значением аргумента (или просто аргументом), а элемент у = F(x) — значением функции в точке х.
Для того чтобы конкретно задать какое-либо отображение, т. е. функцию, надо, вообще говоря, определить способ (правило), как из всего декартова произведения А х В выбрать множество F с нужными свойствами. Указание этого способа, по существу,
14
и задает функцию. Поэтому для функции очень часто дается следующее определение.
Определение 12. Функцией F называется правило, по которому каждому элементу х е А ставится в соответствие строго один элемент у множества В. При этом пишут у « В(х).
Недостатком этого определения является то обстоятельство, что функцией оказывается правило, а не множество, как в предыдущем случае, что неестественно, так как из школьного курса математики известно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с ними другие арифметические операции.
Считается, что употребление термина «отображение» больше свойственно геометрическому стилю изложения, а термина «функция» — аналитическому стилю.
Рассмотрим некоторые типы отображений, обратную функцию и взаимно однозначное соответствие.
Отображение F называется сюръективным, или отображением «на» (т. е. отображением А на В), или накрытием, если F(A) = В.
Отображение F называется инъективным, или вложением, если у каждой точки у = F(x) существует строго один прообраз, т. е. из условия у = F(xx) - В(х2) следует, что хх = х2.
Отображение F называется биективным, или взаимно однозначным, если оно является накрытием и вложением одновременно. В этом случае отображению F : А —> В можно поставить в соответствие обратное отображение F"1: В —> А по правилу: вместо пар (х, у) в декартовом произведении А х В надо рассмотреть соответствующие пары (у, х) из В х А, поменяв х и у местами. Очевидно, что В-1 — это также отображение. Кроме того,
В’ЧЛх)) = х V х € А и F(F~\y)) = yV у е В.
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным соответствием или биективным соответствием.
Лекция 2
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА.
МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Приведем некоторые из них:
N — множество всех чисел натурального ряда;
Z — множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль);
R — множество вещественных чисел на прямой;
RxR — множество точек на координатной плоскости.
О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных — нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества — это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» — синонимы.
Определение 13. Множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так*. А- В.
Свойства множеств
1°.А~А.
2°.А~В=>В~А.
3°.А~В,В~С=>А~С.
Другими словами, можно биективно отобразить одно множество на другое. Если А и В эквивалентны, то еще говорят, что они имеют одинаковую мощность.
Приведем важный пример эквивалентности бесконечных множеств.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Множество N (натуральных чисел) и множество Q (рациональных чисел, т. е. всех дробей ^,те Z,ne N, (т, п) = 1), эквивалентны.
Здесь символом (т, п) обозначен наибольший общий делитель чисел тип.
16
► Достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:
^ = Р/<Ь Р е qe N, (р, <?)= 1.
Такое представление единственно. Высотой рационального числа г = p/q назовем величину \р | + q = h. Эта высота сама является натуральным числом, т. е. принимает значения 1, 2, 3, ... и т. д. При фиксированном А > 1 существует не более 2А различных несократимых дробей, так как тогда знаменатель q может принимать значения 1,2, ... , h - 1 (число которых равно h - 1), а для данного q числитель р числа г может принимать не более двух значений: ±(й - q) (точнее* либо два, если дробь p/q получается несократимой, либо нуль, если она — сократима, так как тогда она имеет другое значение q в представлении в виде несократимой дроби). Таким образом, с данной высотой h число рациональных чисел не более 2(й - 1) < 2Л.
Будем нумеровать дроби в порядке возрастания А; при фиксированном й в порядке возрастания д, а при фиксированных hnq — в порядке возрастания р. Тогда получим
гг = 0/1 = 0 г2 = -1/1 = -1, г4 = -2/1 = -2, гв = -1/2, г8 = -3/1 = -3, Г1о = “1/3,	(Л = 1), г3 = 1/1 = 1 (Л = 2), г6 = 2/1 = 21 г7 = 1/2, J (А 3)’ г, = 3/1 = 31 „ -1/0 г(Л = 4)ит. д. ги-1/3, ]
Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1, 2, 3,... будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств QulN. ◄
Определение 14. Всякое множество, эквивалентное (равномощное) множеству натуральных- чисел, называется счетным множеством.
Таким является, как было показано, множество рациональных чисел.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.
► Занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на койечном шаге, то оно конечно, иначе — счетно. ◄
7
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств — счетное множество.
► Занумеруем элементы суммы множеств по следующей схеме:
Aj =	•••)>
А& = (а31» а32»	а339
......................ИТ.	д.
(при этом пропускаем уже встречавшиеся элементы). За 2г2 шагов будут заведомо занумерованы все элементы ak9l9 k 4-1 < г. ◄ Обратим внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1—3, оказались равномощными, точнее, счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 1. Совокупность Z = Q(X) всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X.
Эта теорема (точнее, ее модификация: N ~ R) была доказана Г. Кантором (1845—1918) в 1874 г.
► Воспользуемся методом от противного. Пусть Z ~ X. Значит, имеется биективное соответствие X 4 Z. Тогда, если а е Х9 то ему однозначно соответствует А € Z9 т. е. F(a) = A, F~X(A) = а. Теперь всякую точку a g X назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т. е., если а е F(a). В противном случае эту точку а мы будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество D с Х9 состоящее из всех особых точек а е X. Тогда ясно, что D является элементом множества Z. В силу наличия взаимно однозначного соответствия F между X и Z найдется такая точка d g X, что F(d) = D. При этом сама точка d обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда по определению правильной точки она принадлежала бы D = F(d), что невозможно, так как ко множеству D по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, так как тогда, с одной стороны, по определению особой точки d е F(d) = D, с другой стороны, тогда точка d, как особая точка, должна войти в дефект D по его построению.
Таким образом, предположение о существовании биекции между Z и X во всех случаях ведет к противоречию, т. ё. Z~X. ◄
18
Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы 1 справедливы и в частном случае, когда X — пустое множество 0. Тогда мощность множества X равна 0, а множество Z = £2(Х) состоит ровно из одного элемента, т. е. самого X и поэтому его мощность равна 1 = 2°. Заметим еще, что для конечного множества Х9 состоящего из k элементов, мощность множества Z = £2(Х) равна в точности 2*.
Определение 15. Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно N.
По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств N, значит, и множество последовательностей, составленных из 0 и 1 (fe-й член последовательности равен 1 или 0, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит число k подмножеству).
Прием, с помощью которого мы доказали теорему 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Г. Кантором в 1874 г. при доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве X взять натуральный ряд N, то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно X. Доказательству теоремы 1 в этом случае можно придать следующий вид.
► Предположим, что N ~ Z = £2(ЛГ). Тогда имеем взаимно однозначное соответствие
1	= (Лц, й12, ^13» •••)>
2 <->	= (^21» Л22» ^23’ •••)»
и т. д. (здесь символами Н19 Н29 ... обозначены некоторые различные последовательности из нулей и единиц).
Возьмем последовательность, составленную из «диагональных» элементов: (Л22, й12, h339 ...), и поменяем все разряды на противоположные, т. е. единицы заменим нулями, а нули — единицами. Получим: Н = (h119 й22, Л33, ...). Этот элемент не совпадает ни с одним из Нт9 т. е. он не занумерован. Имеет место противоречие. ◄
Определение 16. Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Множество I точек отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.
19
► В двоичной записи каждая точка единичного отрезка [0,1] может быть записана в виде О, Ах Л2 А3 ... , hk = | k = 1, 2, 3, ... . Такая запись единственна, за исключением чисел вида п/2Л, ft, п е Числам такого вида соответствуют в точности две запйси (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой — все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида п/2Л, установим соответствие следующим образом:
х = (хр х2, ...) <-> 0, ххх2 ... .
Так как множество точек вида n/2k счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0, 1] и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума. ◄
Лекция 3
$ 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Предметом изучения в курсе математического анализа преимущественно будут числовые функции, областью определения и множеством значений которых являются числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки на этой оси или какие-нибудь другие ее подмножества. При этом требуется более глубокое представление о вещественных числах, чем то, с которым имеет дело школьная программа по математике. Подчеркнем, однако, что мы будем целиком на нее опираться и уточним только то, что действительно требует большей ясности.
В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем. Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные числа, которые рациональными не являются, как известно, называются иррациональными.
Следует отметить, что вещественные числа, как рациональные, так и иррациональные, в природе не существуют. Они — абстракция и придуманы для практических нужд, о чем говорит здравый смысл. Можно сказать, что они «породили саму математику», а в дальнейшем она предъявила к числам свои требования. И оказалось, в частности, что одни только рациональные числа этим требованиям не отвечают.
Самое простое и естественное назначение чисел в математике — измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого отрезка должна измеряться вещественным числом. С другой стороны, заметим, например, что диагональ единичного квадрата на координатной плоскости не может измеряться рациональным числом а.
Действительно, если это число рациональное, то а = т/п, (тп, п) = 1, и по теореме Пифагора имеем а2 = т2/п2 = 2. Следовательно, т2 = 2п2. Рассмотрим возможные случаи: 1) т нечетно; 2) т четно.
1)	Если т нечетно, то т = 2k + 1, т2 = 4fe2 + 4Л + 1 нечетно и потому равенство т2 = 2п2 невозможно.
2)	Если т четно, то т = 2Л, т2 = 4fe2 и 2k2 = п2. Но тогда, рассуждая аналогично, получаем, что п тоже четно. А это значит, что оба числа /пип делятся на 2, откуда (тп, п) > 2, что противоречит условию. Значит, а — не рациональное число, что и требовалось доказать.
Задача измерения длины отрезка (относительно заранее заданного «эталонного» единичного отрезка) полностью решается
21
с помощью бесконечных десятичных дробей. Их-то мы и будем называть вещественными (действительными) числами.
Итак, вещественное число — это бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «плюс» или «минус».
Замечания. 1. Знак «плюс» в записи можно опустить.
2.	Десятично-рациональные числа, т. е. числа вида h/lQk имеют при этом два представления, которые нами отождествляются, и можно считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру 9 на всех местах, начиная с некоторого.
3.	Мы отождествляем вещественные числа и точки вещественной числовой оси, служащей изображением множества вещественных чисел.
4.	Множество всех вещественных чисел обозначается буквой А.
Основные свойства вещественных чисел
1°. Для а, Ъ имеем: или а = b9 b = а, или а > Ь, Ь < а, или а <Ь, Ь> а.
2°. Если а> Ь, Ь> с, то а> с. Если а = Ъ, Ъ = с, то а = с.
3°. Для а, Ь g R 3! число се R такое, что а + Ь = с.
4°. Для a9be R имеем (а + Ь) + с = а + (Ь + с).
5°. Для a9b е R имеем а + Ъ = Ь + а.
6°. 3! число 0 е R такое, что а + О = О + а = а.
7°. Для ае Я 3! (-а) е R такое, что а + (-а) = 0.
8°. Для а,Ь е RB\c е R такое, что аЬ = с.
9°. Для а,Ъ,се R имеем (ab)c = а(Ьс).
10°. Для a9be R имеем ab = Ьа.
11°. 3! число 1^0 такое, что а • 1 = 1 • а = а.
12°. Для а 5* 0 3! а-1 такое, что аа-1 = 1.
13°. (а 4- Ь)с = ас + Ъс.
14°. Если а> Ь, то а + с > Ъ + с.
15°. Если а> Ъ, с > 0, то ас > Ьс.
Указанные свойства призваны отражать количественные характеристики простейших математических объектов, таких, например, как длины отрезков, площади прямоугольников и объемы прямоугольных параллелепипедов, а также изменения этих величин при различных преобразованиях.
Запись числа в виде бесконечной дроби, которую мы отождествили с самим числом, можно было бы рассматривать как одно из подобных свойств. С другой стороны, свойствам 1°—15° обязаны отвечать рекуррентные процедуры определения последовательности десятичных знаков для результатов арифметических операций над двумя вещественными числами, заданными бесконечными десятичными дробями.
22
Эти процедуры могут быть заданы на основе правила сравнения величин бесконечных десятичных дробей, которое будет рассмотрено далее при доказательстве полноты множества вещественных чисел.
Априорность свойств вещественных чисел, т. е. тот факт, что они рассматриваются в качестве исходных для построения дальнейшей теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют (вместе с двумя другими свойствами) само множество вещественных чисел. Однако подобный подход нас не вполне устраивает, поскольку понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики, на которые мы опираемся в своих рассуждениях [19].
Подчеркнем, однако, исключительную плодотворность аксиоматического метода для обоснования исходных принципов в других областях математики. Прекрасным примером этого является идущая от Евклида аксиоматика элементарной геометрии.
Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К ним прежде всего относится аксиома Архимеда (287—212 гг. до н. э.), он сформулировал ее для отрезков:
16°. Для любого вещественного положительного числа а существует натуральное число п такое, что ап > 1.
► Если а > 1, то можно взять п = 1 и доказывать больше нечего. Если же 0 < а < 1, то
а = 0, 0 ... аЛаЛ+1...,	= ... = ak_x = 0, ak 0.
Тогда имеем
10*a = aft,aft+1...
т. е. свойство 16° имеет место при п = 10Л. ◄
Свойство 17° сформулируем и докажем позже.
Рассмотрим теперь только неотрицательные числа. Договоримся, что для десятично-рациональных чисел рассматривается только запись, заканчивающаяся нулями. Число, стоящее перед запятой в десятичной записи числа х, будет целым, и оно называется целой частью х или антье от х. Таким образом, целой частью числа х называется целое число п, удовлетворяющее неравенствам п < х < п 4- 1. Будем использовать стандартное обозначение: п = [х]. Тогда предыдущее неравенство можно записать в виде
[х] < х < [х] + 1 или х - 1 < [х] < х.
Число, стоящее после запятой в десятичной записи числа х, называется дробной частью х. Пишется так: {х}. Очевидно,
23
[х] + {х} = х. Итак, величина [х] есть наибольшее целое, не превосходящее х. Это свойство берется в качестве определения значения символа [х] при отрицательных х.
Примеры: [1, 5] = 1; [0, 3] = 0; [-0, 7] = -1; [-3, 5] = -4.
Далее, при х < 0 символу {х} дробной части числа х мы приписываем значение: {х} = х - [х]. Таким образом, при всех х значение символа {х} удовлетворяет условию 0 < {х} < 1.
Определим моду ль, или абсолютную величину числа х:
. I [ х, если х > 0, Iх I ~ ] -х, если х < 0
(|х| выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси); Имеет место следующее неравенство (неравенство треугольника):
\а 4- &| < \а| 4- |Ь|.
Докажем это неравенство. Имеем:
1) если аЬ > 0, то а + & | = |а| +1&|;
2) если аЬ < 0, то а 4- &| < |а| 4- |&|.
В качестве приложения введенных выше понятий докажем три утверждения.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Для любого целого числа а и любого натурального числа Ь существует единственная пара целых чисел q, г такая, что
a = bq + г, 0<г<Ь.
►	Действительно, неравенству q < | < g + 1, т. е. неравенству qb < а < (q 4-1)& удовлетворяет единственное число 9 я [|]* Тогда величина г определяется однозначно равенством г = а - bq и удовлетворяет неравенствам
0 < г = а -	< а - b^ - 1) =Ь. ◄
Отметим, что рассмотренное выше число г называется остатком от деления целого числа а на натуральное число Ь. Целое число q называется неполным частным.
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Любое натуральное число а при некотором натуральном п единственным способом представляется в виде
а = а0 + 10ах 4-... + 10иап,
где ат, тп = 0,..., и — целые числа с условиями 0 < ат < 9, ап > 1.
►	Заметим, что а < 10а. Действительно,
а= Е Г т = 0 m = 0
10е-1 9
< 10а.
10т =
24
Следовательно, найдется единственное неотрицательное целое число птакое, что
10" < а < 10n+1.
При 0 < т < п положим
а =Г-2-"|-10Г—-—1.
т LiomJ Li0'n +
Заметим, что все числа ат целые и справедливы неравенства
-1 = -£--1-10- —2— <ат< -£--10*(—2— -1) =10, 10m	10m + 1	10m kJQm + 1 J
т. e. 0 < am < 9;
так как 10n < а < 10n+1 и Г—-—| = 0. Далее имеем
L10» +1J
S 10-а = S 10m(T—l-iol—П = m-0 т т = 0	VL10mJ L10m + 1J^
= [a] - 10п+1Г—1 =а.
1 J Lion + 1J
Докажем единственность указанного в утверждении представления числа а. Пусть кроме представления а = ^Е 0 10т ат имеется k
другое представление а = ^Е 10w bm. Тогда при некотором з, не превосходящем максимума из чисел пик, справедливо равенство
0 = a - a = S _ Ютст, m = 0 m
s-l где ст = ат - 6m, |cj < 9, с, * 0. Отсюда имеем 108cs =	110mcm
и, следовательно,
10е < |с. • 10sI = I-	10mc J <	9•10m = 9• 10<,~l =
1 8	1 I m - 0 m| m = 0	10 “1
= 10s - 1 < 10s, что невозможно. ◄
Приведенное в утверждении 6 представление называется представлением числа в десятичной (позиционной) системе счисления. Числа ат называются цифрами данного числа. Число а записывается в виде а = ап ... а0. Число десять называется основанием данной позиционной системы счисления. Заметим,
25
что в качестве основания позиционной системы счисления можно взять любое натуральное число, большее единицы. В частности, в § 2 мы уже использовали двоичную систему счисления.
Определение 17. Будем говорить, что число а представимо в виде бесконечной десятичной дроби а0,	... ап ..., где
а0 = IaL 0<аЛ<9, А>1 — целые, если для любого натурального п справедливо неравенство
О < а - $л(а) < 10-п, где sn(a) называется округлением числа а до п-го знака после запятой.
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Для каждого вещественного числа а > 0 существует единственная запись в виде бесконечной десятичной дроби
а = а0,а1а2... аЛ..., удовлетворяющих при всех натуральных п условиям зп(а) = а0,а1а2 ...ап.
► Предположим противное, т. е. существует другое представление а = р, р0 ... Рп .... В силу того, что эти два представления различны, при некотором п имеет место неравенство
Ап = Од, ага2 ... ап * Ва = 0, 0О ... р„.
Из определения конечных десятичных дробей получим, что числа 10ЛАЛ и 10"ВЛ — целые. Кроме того, числа Ап и Вп представляют собой округление числа а до n-го знака, поэтому
О < a - Ап < 10"", 0 < a - Вп < 10"",
0 < 10"(a - Ап) < 1, 0 < 10"(а - Вп) < 1.
Из последних двух неравенств имеем, что целое число 10"(Ап - Вп) удовлетворяет неравенствам -1 < 10п(Ап - Bn) < 1. Следовательно, Ап = Вп, т. е. имеет место противоречие.
Теперь установим, что для каждого вещественного числа существует представление в виде бесконечной десятичной дроби. Опишем алгоритм нахождения десятичной записи вещественного числа а, удовлетворяющей условиям утверждения 7.
Положим а0 = [а], аЛ = [10na] - ЮЦО""1»]. В силу неравенства Р - 1 < [р] < Р при п > 1 имеем
-1 = (10"a - 1) - 10"а < ап < 10"а - ХОЦО""1» - 1) = 10,
т. е. 0 < ап < 9. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь а0, а1а2 ... ал ... . Покажем, что она является представлением
26
числа а. Для этого достаточно показать, что при любом натуральном п число Ап = а0, аха2 ... ап является округлением числа а до n-го знака. Преобразуя Ап, получаем
= а + -^
" а0 + 10 + 102
ап = r„i . у [10"»а] -10(10”»-1а] =
Ю»	m -1	Ю
= Га1 + Е f[10OTa] _	[Ю”а]
1 J m-lk 10"»	10"»-1 '	10"
Отсюда
a - 10~" = —~1 < A <	= a, t. e. a - 10" < An < a.
10* n 10й	n
Последнее неравенство и означает, что Ап является округлением числа а до n-го знака. ◄
Заметим, что для чисел a =
, где а и А — натуральные (та-
кие а называются десятично-рацональными числами), условию утверждения отвечают только конечные десятичные дроби.
Далее понадобятся следующие понятия и обозначения. Множество М точек х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < Ь, называют интервалом (пишут: М = (а, Ь));
а < х < Ь клы а < х < Ь — полуинтервалом (М = (а, Ь] или М = [а, &));
а < х < Ь — отрезком или сегментом (М = [а, &]). Каждое из этих множеств называется промежутком. Множество L точек х, определяемое соответствующим усло-
вием, называют:
х < а или х > а — открытым лучом (обозначения: L = (-°°, а) или L = (а, +°°));
х < а или х > а — замкнутым лучом (обозначения: L = (-°°, а] или L = [а, +°°)); а — вершина луча.
Здесь символ +°° читается плюс бесконечность, а символ -оо — минус бесконечность.
Множество всех точек х на вещественной оси, удовлетворяющих условию |х - а| < е, где а > 0 и а — некоторые фиксированные вещественные числа, называется ^-окрестностью (или просто окрестностью) точки а.
Множество всех точек х с условием |х| > е, где е > 0, называется ^-окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности.
Множество всех точек х с условием х > е, где е > 0, называется ^-окрестностью (или просто окрестностью) плюс бесконечности.
Множество всех точек х с условием х < -£, где е > 0, называется ^-окрестностью (или просто окрестностью) минус бесконечности.
В заключение отметим, что утверждения 5—7 имеют характер некоторых пояснений и уточнений.
27
Лекция 4
§ 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Определение 18. Непустое множество А на вещественной оси R называется ограниченным сверху, если существует число b е R такое, что для всех а е А выполняется неравенство а < Ь. Другими словами,
V ае А=> а< Ь.
Число Ъ называется верхней гранью множества А. У ограниченного сверху множества существует бесконечно много верхних граней, например Ь+1,Ь + 2ит. д.
Аналогично определяем нижнюю грань d непустого множества А:
V ае А => d < а.
Непустое множество А называется ограниченным, если существует Ь > 0 такое, что для всех а е А имеем |а| < Ь.
Множество В всех верхних граней Ъ непустого ограниченного сверху множества А является ограниченным снизу.
► Действительно, каждая верхняя грань Ь е В удовлетворяет неравенству а < Ь при любом фиксированном а из множества А. Это и означает, что а есть нижняя грань для В. ◄
Сформулируем теперь свойство полноты множества вещественных чисел R (свойство, упомянутое в лекции 3).
17°. Для всякого непустого ограниченного сверху множества А множество В его верхних граней Ь содержит минимальный элемент Ь', т. е. существует единственный элемент &' е В такой, что:
1) V — верхняя грань множества А, т. е. для всех ае А имеем Ъ' > а;
2) Ь' — наименьший элемент множества В, т. е. для всех be В справедливо неравенство Ь' < Ъ.
Элемент Ь' называется точной верхней гранью или супремумом множества А. (Обозначение: &' = sup А.)
Прежде чем доказывать это свойство, отметим, что точно так же обстоит дело и с множеством нижних граней D ограниченного снизу множества А, а именно: существует единственный элемент d' е D такой, что:
1) V а е А=> d' < а;
2) V d е D => d' > d; d' = inf А (читается: точная нижняя грань, или инфимум).
Докажем теперь свойство 17°.
28
► Построим число &' конструктивно. Можно считать 0 е А, и тогда для всех Ъ е В имеем Ъ > О. Действительно, возьмем какое-нибудь ах € А. Заметим, что для любой верхней грани Ъ е В выполнено неравенство Ь > а19 откуда Ь - аг > 0.
Теперь вместо множества А рассмотрим множество А' чисел вида а - av Если нам удастся доказать, что существует число &i = sup А', то тогда очевидно, что существует и число &' = sup А, причем &' = &х + ах и наоборот. Справедливо следующее правило.
Правило сравнения вещественных чисел
Если а > Ь > 0 и десятичная запись этих чисел имеет вид а ^q, ^1^2 ••• *** Ь &0, ^1^2 ”* *** * пъо либо aQ > либо найдется номер k такой, что а0, аха2 ... > &0, Ьх&2 •••
Договоримся далее все десятично-рациональные числа из множества А записывать только с нулями на бесконечности.
В множестве А возьмем подмножество Ад, состоящее из всех а е Ас условием а > 0, т. е. Aq = {a g А|а > 0}. Для каждого из чисел а е Ад рассмотрим его целую часть [а] = п0(а).
Так как 0 < [а] < а < Ь, то функция [а] при a g Ад принимает лишь конечное число значений. Наибольшее из этих значений обозначим через х0. Рассмотрим множество At с Ад, состоящее только из тех чисел a g Ад, для которых [а] = х0. Заметим, что для всех а ё Ах имеем неравенство а < х0.
На множестве Аг определим функцию пх(а), равную числовому значению первого десятичного знака после запятой у числа а. Всего она принимает не более десяти значений. Наибольшее из них обозначим через xv Образуем множество А2, состоящее из чисел, принадлежащих Ар у которых п^а) = xv Обозначим через $х(а) число, получаемое из а заменой всех, начиная со второго, десятичных знаков числа а нулями, т. е. если а = nQ, пг..., то sx(a) = Пд, nv Тогда для любого a g А2 имеем $х(а) = х0, хр но при всех а £ А2 выполнено неравенство а < х0, хх. Для всех a g А2 определим функцию n2(a), равную значению ее второго десятичного знака. Наибольшее его значение выразим через х2. Образуем множество А3 с: А2 такое, что для любого a g А3 n2(a) = х2. Тогда для s2(a), т. е. для числа, полученного заменой всех, начиная с третьего, десятичных знаков числа а нулями, справедливы соотношения s2(a) = Хд, ххх2 для любого a G А3; а < х0, ххх2 для любого а е А3. Продолжая этот процесс далее, на Л-м шаге, имеем
**(«) = *о> ЭД — X* V a е Ak+l;
а < х0, ххх2 ... xk V а £ Ak+1.
29
Таким образом, получена последовательность знаков, которые определяют число Ь'9 имеющее десятичную запись вида &' = х0, хгх2 ... .
Докажем теперь, что V является точной верхней гранью множества А, т. е. что V = sup А. Для этого надо проверить следующие условия:
1) У — верхняя грань, т. е. для всех ае А имеем а < Ъ'*
2) V — наименьшая из всех верхних граней, т. е. если Ъ < Ь'9 то существует ае А такое, что а > Ь.
Докажем условие 1). Допустим противное, т. е. что существует а е А такое, что а > V. Тогда из правила сравнения чисел имеем, что существует номер k такой, что
Ма) >х0,х1...хк = sk(b'),
8l это противоречит построению числа Ь'.
Докажем условие 2). Если b < Ь', то по правилу сравнения вещественных чисел существует номер ke N такой, что
Ьо> ... Ьк = sk(b) < sk(b') = xQ, хг... хк.
Будем считать, что в случае десятично-рационального числа Ь здесь использована запись с нулями на бесконечности. Но по построению найдется элемент а е АЛ+1 такой, что зл(а) = sk(b'). Отсюда имеем sk(b) < sk(a), b <а. ◄
Заметим, что число b' = sup А может принадлежать А, а может и не принадлежать.
В качестве примера рассмотрим множество А рациональных чисел а с условием а < 0 или а2 < 2 и множество В = Q \ А, составленное из положительных рациональных чисел b с условием Ь2>2.
В силу того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, имеем: 1) A U В = Q; 2) А А В = 0; 3) А и 0, В 5^ 0; 4) для любых чисел а е А и любых чисел b е В справедливо неравенство а < Ь.
Определение 19. Любое разбиение рациональных чисел на два множества со свойствами 1)—4) называется сечением (дедекиндовым сечением).
Множество В «ограничивает сверху» множество А, т. е. при любом фиксированном Ъ е В выполняется условие 4), и множество В исчерпывает все множество верхних граней множества А.
Покажем, что множество В не имеет наименьшего элемента, а множество А, являющееся множеством всех нижних граней для множества В, не имеет наибольшего элемента. Это означает, 30
что множество Q рациональных чисел не является «полным», т. е. для него не выполнено свойство 17°.
Действительно, предположим противное, т. е. что существует минимальное число bQ в множестве В. Рассмотрим число Ьо - й, &2 — 2 k е Q такое, что 0 < k < -2--- Тогда имеем
2&0
(Ь0-й)2 = Ь2 + Л(Л-2Ь0)>Ь§-й.2&0>&§- Ц^-2Ь0 = 2.
Следовательно, bQ - k е В, что противоречит минимальности числа Йд.
Допустим теперь, что а0 — максимальное число множества А. та	,	.	, 2-ag
Рассмотрим неотрицательное число h < 1 с условием h < -—
Тогда имеем
(а0 + й)2 = а% + й(2а0 + й)<	+ й(2а0 + 1) <	+ (2 - а2) = 2.
Таким образом, число о0 + й е А, что противоречит предположению о максимальности числа а0 в множестве А.
Понятие сечений в множестве рациональных чисел было введено Ю. В. Р. Дедекиндом (1831—1916) для* построения теории вещественных чисел (в его подходе вещественные числа отождествляются с сечениями). Хотя в данном курсе эта же задача решается с помощью бесконечных десятичных дробей, следует отметить, что дедекиндовы сечения оказываются полезными и в других вопросах. В частности, на них фактически опирается строгое определение степенной и показательной функций при произвольных значениях показателя степени и аргумента.
Свойство точной верхней грани
Если b = sup А, то для любого е > 0 существует элемент а из А такой, что а>Ь- е.
► Воспользуемся методом от противного. Предположим, что найдется е > 0 такое, что для всех а е А выполняется неравенство Ъ - а > е. Но тогда й' = й - е является верхней гранью множества А, которая меньше, чем й, а это невозможно, поскольку Ъ — наименьшая из верхних граней. 4
Докажем еще одно свойство вещественных чисел.
ЛЕММА 1. Для любых вещественных х, у е R с условием х < у существует рациональное число т/п е Q такое, что х < т/п < у.
►	В силу аксиомы Архимеда (свойство 16°) для положительного вещественного числа у - х существует натуральное число п та-
31
кое, что справедливо неравенство п(у - х) > 2. Отсюда следует, что интервал (лх, пу) имеет длину, превосходящую 2. Следовательно, на этом интервале найдется целое число т такое, что пх < т < пу (например, т = [п#] - 1). Согласно свойству 15° из последнего неравенства получим искомое неравенство. ◄
Замечание. Так же просто показывается, что между любыми числами 0 < х < у найдется иррациональное число. Действительно, в силу леммы 1 между числами x/j2 и y/j2 лежит некоторое рациональное число т/п. Но тогда иррациональное число mj2/n находится на интервале (х, у).
В заключение, опираясь на правило сравнения вещественных чисел между собой, сформулируем лемму 2, которая по существу дает способ последовательного вычисления десятичных знаков при выполнении арифметических операций над вещественными числами.
ЛЕММА 2. Пусть а, Ь > 0 — вещественные числа, с = sup (s„(a) ± Sn(b)), d = sup (s„(a)sn(b)), f = 8up	J, если sn(b) > 0.
Тогда имеем с = a±b9 d = ab, f при b > 0.
►	Доказательство этой леммы основано на следующих соображениях. 1) Очевидно, что во всех трех случаях точные верхние грани существуют. 2) Далее прямыми вычислениями проверяется выполнение свойств 1°—17°. ◄
§ 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ
ЛЕММА 3 (об отделимости множеств). Пусть АиВ - непустые множества на вещественной прямой, т. е. 0, В # 0, А с Я, В с Я. Пусть также для любых а € А и для любых be В выполнено неравенство а < Ь.
Тогда существует число х такое, что для всех а е А и для всех be В справедливо неравенство a < х < &.
► Из определения множества В следует, что каждая его точка является верхней гранью множества А. Положим х = sup А. Тогда, поскольку х — это верхняя грань, для всех а е А имеем неравенство а < х, и так как х — точная верхняя грань А, то х < b для любого Ъ е В, т. е. для всех а е А и для всех b е В имеем а < х < Ь. ◄
32
Определение 20. Системой вложенных отрезков называется множество М, элементами которого являются отрезки, причем для любых Др А2 g М выполнено одно из условий: Ах а. Л2 или Д2 с Др т. et все точки одного отрезка принадлежат другому отрезку.
Л EMMA 4 (о системе вложенных отрезков). Пусть М — система вложенных отрезков. Тогда существует число х такое, что для любого отрезка Ле М имеем, что х g Д. Это значит, что все отрезки А из множества М имеют общую точку х.
►	Пусть А — множество левых концов отрезков, принадлежащих М, В — множество их правых концов. Тогда для всех a g А и для всех Ь g В имеем а < Ь. Действительно, пусть а — левый конец отрезка [а, &'] g М и Ь — правый конец другого отрезка [a', b] g М.
Возможны два случая: 1) [а', &] с [а, &']; 2) [а', &] => [а, &']. В случае 1) имеем а < а' <&<&', а в случае 2) имеем а' < а < Ь' < Ь. Тогда в силу леммы об отделимости существует число х такое, что для любого отрезка [a, ft] g М справедливо неравенство а < х < Ь. ◄
Замечание. С помощью леммы 4 (о системе вложенных отрезков) можно доказать несчетность множества точек отрезка. (Указание. Предполагаем, что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три части. Тогда точка с номером один не принадлежит одному из этих отрезков. Делим его на три части. Точка с номером два не принадлежит одному из получившихся отрезков деления и т. д. По лемме 4 существует точках, принадлежащая сразу всем отрезкам, но эта точка не занумерована.) Определение 21. Система М вложенных отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если все эти отрезки занумерованы, причем любой отрезок с большим номером содержится в любом отрезке с меньшим номером.
Определение 22. Последовательность вложенных отрезков называется стягивающейся, если среди отрезков, в нее входящих, имеются отрезки сколь угодно малой длины. Другими словами, каково бы ни было положительное число е, в последовательности стягивающихся отрезков содержится и такой отрезок, длина которого меньше е.
ЛЕММА 5. Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом только одну.
►	Первая часть утверждения следует из леммы 4.
Докажем вторую часть этого утверждения. Если бы все отрезки содержали одновременно две различные точки а и Ь (а < Ь), то тогда длина каждого отрезка из М была бы больше, чем b - а > 0, но это не так, поскольку по определению в М есть отрезки и меньшей длины. ◄
33
2 - 4953
ГЛАВА 2
Предел последовательности
Лекция 5
§ 1.	МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
БИНОМ НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ
Для обоснования метода математической индукции будем использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел существует наименьшее число.
Убедимся в том, что данное свойство действительно имеет место. Для этого возьмем какой-нибудь его элемент (это можно сделать, так как данное подмножество не пусто). Если окажется, что выбранный элемент минимален, то свойство доказано. В противном случае число натуральных чисел, меньших данного числа, конечно. Рассматривая их последовательно, мы найдем требуемый минимальный элемент.
Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел п > 1, достаточно:
1)	доказать это утверждение для п = 1;
2)	предположить его справедливость при п = k и k > 1;
3)	основываясь на утверждении 1) и предположении, доказать, что оно верно при п = k + 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно для всех натуральных п. Допустим противное. Тогдд множество тех п, для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент т. Число т и 1, поскольку утверждение верно для п = 1. Число т не может быть больше 1, так как в этом случае утверждение верно для т - 1 и в силу п. 3 оно справедливо и для т, что противоречит выбору числа т.
Замечание. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при п > тп, где т > 1. В ходе доказательства надо заменить первый шаг: доказать утверждение при и = т, а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости использовать то, что п > тп.
34
Рассмотрим формулу бинома Ньютона. Определим величину n! = n(n - 1)... 2 • 1, 0! = 1 (л! читается: эн-факториал). В частности, имеем 1! = 1, 2! = 2 • 1 = 2, 3! = 3 • 2 • 1 = 6 и т. д.
ТЕОРЕМА 1. Имеет место следующее равенство [формула бинома Ньютона):
(1 + х)п = С° + С\х + ... + Cknxk + ... 4- С”хп.
Коротко эту формулу можно записать так:
(1 + х)*= Д0С*х*,
( п п\ где С" =	==----------биномиальный коэффициент.
\ к J kl(n — k)l
► Воспользуемся методом математической индукции.
1.	При п = 1 формула верна: 1 4- х = 1 4- х, поскольку
Р
Р
Г Р 10)
= 1.
2.	Пусть формула бинома Ньютона справедлива при п = ty t > 1.
3.	Докажем, что она верна при п = t 4- 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном коэффициенте: при 0 < k < п - 1 имеем
Г п 1
Л 4- 1 ч k 4- 1 J Действительно, и! п\ = k\(n-k)\ (k 4- l)!(n - k - 1)! = ra! f 1 + 1 ) = f n +1 М(в-Ы)Дп-* k + 1' l* + P Далее имеем
(1 + x)t+1 = (1 + x)*(l + x) =
t + i | + 0 J
t 4- 1 Lt _|_
t J V
t + 1 x#+1. t + 1)
35
2‘
Замечание. Аналогично доказывается и формула для полинома Ньютона от s неизвестных вида
(х + у + ... + zy -	Е _	х>>1 ук2 •” г*‘ ’
где ... , k8 — целые неотрицательные числа.
При изложении теории предела последовательности нам потребуется приводимое далее неравенство Бернулли.
ТЕОРЕМА 2. При х > -1, х * 0 и при целом п> 2 справедливо неравенство (неравенство Бернулли)
(1 + х)п > 1 + хп.
► Доказательство проведем по индукции. Сначала убедимся, что при п = 2 оно верно. Действительно,
(1 + х)2 = 1 + 2х + х2 > 1 + 2х.
Предположим, что для номера п = k оказалось, что утверждение справедливо:
(1 + х)* > 1 + fex, где k > 2. Докажем его при п = k + 1. Имеем
(1 + х)* +1 = (1 + x)k(l + х) > (1 + kx)(l + х) =
= 1 + (k + 1)х + kx2 > 1 + (k + l)x. ◄
Отметим, что метод математической индукции допускает многочисленные, иногда неожиданные, модификации. В качестве примера приведем доказательство одной теоремы из книги известного норвежского математика Т. Нагелля [34].
Под методом мультипликативной индукции будем понимать доказательство, которое проводится по следующей схеме.
1.	Опытным или каким-либо другим путем выдвигается гипотеза о том, что для каждого номера п (>1) выполнено свойство Е.
2.	Проверяется, что свойством Е обладают все простые числа р.
3.	Предполагается, что некоторое натуральное число т обладает свойством Е.
4.	Исходя из предположения индукции доказывается, что числа вида тр тоже обладают этим свойством.
5.	Отсюда по теореме об однозначности разложения на простые сомножители натуральных чисел, больших единицы, вытекает, что свойством Е обладают все натуральные числа, и тем самым установлена справедливость гипотезы из пункта 1 [34].
► Докажем методом мультипликативной индукции свойство мультипликативности функции Мёбиуса, определяемой на множестве натуральных чисел следующим образом:
36
)1, если n = 1, , О, если р2 делит и, (-1)г, если п=р1 ...pr9pk *pl9 k l91 < k9 К г.
Будем говорить, что функция f(n) натурального аргумента является мультипликативной^ если для любых взаимно простых чисел тип справедливо равенство f{mn) = f(m)f(n).
Достаточно доказать утверждение о мультипликативности функции Мёбиуса только для чисел т и п9 не делящихся на квадрат простого числа, т. е. бесквадратных чисел. Зафиксируем произвольное т. Покажем, что утверждение имеет место для п = р, где р — произвольное простое число. Действительно, так как (m,p) = 1, то ц(тпр) = (-1)г+1, если т =	... рг ир19 ... 9рг —
различные простые числа. Следовательно, ц(тпр) = ц(т)ц(р).
Пусть утверждение верно для п = k. Докажем его для п = kp9 где р — произвольное простое число. Так как и — бесквадратное число, то (fe, р) = 1. По условию (тп, n) = 1, поэтому (mk9 р) = 1. Тогда согласно доказанному утверждению для простых чисел и предположению индукции имеем цепочку равенств
ц(тпи) = p(mfep) = p(mfe)p(p) = p(m)p(fe)p(p) =
= и(тп)и(М = p(m)p(n). ◄
Заметим, что функция Мёбиуса встречается во многих областях математики, играя важную роль при изучении ее дискретных объектов.
$ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА
Определение 1. Функция9 определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения9 называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Обозначения: х19 х2, х39 ... , или, коротко, {хп}9 или, если это не вносит путаницы, просто хп. При каждом значении п число хп называется n-м членом последовательности.
ПРИМЕРЫ. 1. Последовательность 8П длин вложенных отрезков (см. определение 2 § 5) {Дп}, Дис Я, &n+i^nVne N.
2. хп — с при всех натуральных п (постоянная последовательность).
37
Определение 2. Если {хп} и {уп} — две числовые последовательности , то {хп + i/n} называется суммой двух числовых последовательностей, {хп - уп} — разностью двух числовых последовательностей, {хпуп} — произведением двух числовых последовательностей, при уп и 0 последовательность {хп/уп} называется частным двух числовых последовательностей.
Замечание. Обычно мы подразумеваем, что запись а/b сама по себе предполагает выполнение условия Ь 0.
Последовательности бывают:
1)	ограниченными сверху, если найдется а такое, что для всех членов последовательности выполняется хп < а;
2)	ограниченными снизу, если существует Ь такое, что хп> Ъ при всех п € N;
3)	ограниченными, если существует с такое, что для каждого номера п € N имеем |хп | < с.
Определение 3. Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого с > 0 множество тех членов последовательности, которые удовлетворяют неравенству |хп| < с, конечно.
Другими словами, это значит, что для всякого с > 0 существует номер и0 = п0(с) такой, что все члены последовательности {хп} с номерами, большими чем п0, удовлетворяют неравенству | хд| > с.
Коротко это определение записывается так:
V с > 0 3 п0 = nQ (с) такое, что V п > nQ имеем |хп| > с.
ПРИМЕР. Последовательности {уп = и} и {zn = -п} — бесконечно большие последовательности.
Определение 4. Последовательность {хд} называется бесконечно малой, если для всякого е > 0 множество членов последовательности {хд}, удовлетворяющих неравенству |хд| > е, конечно.
Коротко это определение записывается так:
V е > 0 3 nQ = nQ (е) такое, что V п > nQ => |хд| < е.
ПРИМЕРЫ. 1. Длины отрезков из последовательности стягивающихся отрезков (см. определение 3 § 5) образуют бесконечно малую последовательность.
2. хп = 1/п — бесконечно малая последовательность.
► Чтобы это доказать, надо для всякого е > 0 найти хотя бы одно натуральное число п0 = п0(е) такое, что для любого п > п0 име-38
ем |хд| < е. В качестве такого п0 = п0(е) возьмем число [1/е] + 1. Тогда для каждого п с условием
п > п0(е) = [1/е] +1 > 1/е имеем 1/п < е. ◄
Вообще, если надо доказать, что {хп} — бесконечно малая последовательность, то, по существу, надо найти хотя бы одно п0(е) с нужными свойствами, т. е. такое, что если п > п0(е), то выполняется неравенство |хд| < е, или хотя бы каким-либо образом доказать его существование.
ТЕОРЕМА 3. Бесконечно малая последовательность ограничена. ► Пусть {хд} — бесконечно малая последовательность. Тогда, например, неравенству |хд| > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей таких членов обозначим через с0. При этом считаем, что с0 = 0, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена хп имеем неравенство |xj < с = с0 + 1. Следовательно, бесконечно малая последовательность {хд} ограничена. ◄
ТЕОРЕМА 4. Если {хп} — бесконечно большая последовательность и хп^ 0, то {1/хд} — бесконечно малая последовательность , и наоборот, если {хд} — бесконечно малая последовательность и хп^ 0, то {1/хд} — бесконечно большая последовательность.
► Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом е > О неравенство 11 /хп | > е равносильно неравенству |хд| < с = 1/е, которому, в свою очередь, удовлетворяет лишь конечное множество членов, поскольку {хд} — бесконечно большая последовательность. Это значит, что {1/хд} — бесконечно малая последовательность. ◄
ТЕОРЕМА 5. 1. Если {хп} — бесконечно малая последовательность , то {|хд|} — бесконечно малая последовательность, и наоборот.
2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
► Первое утверждение теоремы непосредственно следует из определения бесконечно малой последовательности.
Докажем второе утверждение. Пусть {хд} и {уп} — бесконечно малая последовательность. Тогда для любого е > О существуют номера пг (е/2) и п2 (е/2) такие, что
v п > пг (е/2): |хп| < е/2 и V п > п2 (е/2): |у„| < е/2.
39
Тогда, полагая п0 = max (nt (е/2), п2 (е/2)), имеем
V n > ге0: |х„ ± j/n| < |хп| + |j/J < е/2 + е/2 = е.
Следовательно, {хп ± уп} — бесконечно малая последовательность. ◄
СЛЕДСТВИЕ. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство следствия очевидно.
ТЕОРЕМА 6. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
► Пусть {xk} — бесконечно малая последовательность, а последовательность {yk} ограничена. Тогда при некотором с > 0 имеем \уп\ < с для всех п € N. Далее, так как {xk} — бесконечно малая последовательность, то для всякого е > 0 найдется номер
с условием, что |хп| <	= г/с для всех п > п^г^). Поэтому, пола-
гая п0(е) = п^г/с), имеем
Vn>n0(e): |х„-г/п| < |хп|-с < |-с = е.
Другими словами, {хп уп} — бесконечно малая последовательность. ◄
СЛЕДСТВИЕ 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• ► Согласно теореме 3, одну из двух бесконечно малых последовательностей мы можем рассматривать как ограниченную последовательность. Тогда их произведение будет бесконечно малой последовательностью в силу теоремы 6. ◄
СЛЕДСТВИЕ 2. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство следствия получается очевидным последовательным применением предыдущего утверждения.
ТЕОРЕМА 7. Если {хп} — постоянная и бесконечно малая последовательность, то хп = 0.
► Действительно, если хп = с и 0, то в |с|/2-окрестности нуля нет ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что {хп} не является бесконечно малой последовательностью. ◄
40
ПРИМЕРЫ. 1. {<?"} — бесконечно малая последовательность при 1,1 <1.
► Действительно, если 0 < q < 1, то q = 1/(1 + Л), где h > 0. В силу неравенства Бернулли,
(1 + Л)л > 1 + nh при п > 2.
Отсюда
qn < 1/(1 + nh) < 1/nh.
Зададим теперь е > 0. Нам надо выбрать п0 = п0 (е) так, чтобы для каждого п > п0 выполнялось неравенство qn < е. Для этого достаточно, чтобы была справедлива следующая цепочка неравенств:
1/nh <E^nh> 1/е <=> п > 1/Ле.
Положим
п0 = п0 (£) = [1/*е] + 1-Покажем, что для всех п > nQ имеем qn < е. Это следует из цепочки неравенств
„ 1 1^1
4 nh + 1 noh следовательно, {qn} — бесконечно малая последовательность. ◄
2.	nqn — бесконечно малая последовательность при |g| < 1.
► Рассмотрим случай 0 < q < 1. Тогда q = . 1 . , где h > 0. Из п + 1
формулы бинома Ньютона имеем
(1 + Л)” > "( V^h? при п > 2.
Отсюда получаем , » п	2	..2	2	.,
4	(1+Л)	(п-1)Л2	еЛ2 еЛ2
Положим п0 = [2/ей2] + 2. Тогда для всех п > п0 имеем nqn < е. ◄
Лекция 6
$ 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 5. Последовательность {ап} называется сходящейся, если существует число I е R такое, что последовательность ап = ап - I является бесконечно малой последовательностью.
В этом случае говорят, что {ап} сходится или что {ап} имеет предел и этот предел равен I. Записывают это так:
lim а=1 или а„ -» I при п -» сю.
Это определение на «е-языке» можно записать следующим образом:
V е> 03 п0 = п0(е) такое, что V п > nQ имеем \ап - 1\ <е.
Будем говорить также, что последовательность {ап} расходится к «плюс бесконечности», если для любого с > 0 лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство ап< с. Обозначается это так:
lim а = + ею или а„ —> + оо при п —> оо. П —> ОО п	п
Последовательность {ап} расходится к «минус бесконечности», если для любого Ъ < 0 лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство ап > Ь. Обозначается это так:
lim а„ = -оо или а„ —> -оо при п —> оо. П->оо п	п	г
И, наконец, последовательность {ап} расходится к «бесконечности», если для любого с > 0 лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство |ад| < с. Обозначается это так:
lim а„ = оо или а„ —> °° при п —> оо. п —> оо п	п
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если последовательность {ап} сходится, то она имеет единственный предел.
►	Пусть это не так. Тогда существуют числа 1Х и 12 такие, что последовательности ап = ап - и Рд = ап - 12 являются бесконечно малыми последовательностями. Отсюда ап + = ап = Рп + 12, поэтому Zi - 12 = Рл -	— бесконечно малая последовательность.
Но тогда по теореме 7 § 2 имеем 1Х - 12 = 0, т. е. 1Х = 12. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Если {ап} — бесконечно малая последовательность, то lim а„ = 0.
42
►	Действительно, при I « О имеем: ап - 0 = ап есть бесконечно малая последовательность, т. е. предел {ап} при и —> оо равен нулю. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если последовательность {ап} сходится, то она ограничена.
►	Если последовательность {ап} сходится, то найдется число I такое, что аЛ = ап - I — бесконечно малая последовательность. Значит, существует с > 0 такое, что при всех натуральных п имеем |ап| < с. Но ап = I + ап, откуда
l°nl = R + а„| < и + |ап| < И + с = Ср
т. е. {ап} — ограниченная последовательность. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Если Шп^ ап = I и ап и О, I 0, то существует пое N такое, что при всех п> п0 имеем |an| > |Z|/2 [или, что то 1	2 ч
же самое,:—: < пг • |«n| RI >
Это означает, что последовательность {1/ал}, составленная из обратных величин, ограничена.
►	В силу условия имеем, что ссл = ап - I — бесконечно малая последовательность. Тогда вне |/|/2-окрестности нуля лежит только конечное число членов последовательности {ал}. Пусть п0 — самое большое значение номера таких членов; тогда при всех п > п0 имеем |ал| < |1|/2. Отсюда при этих п получаем (Z = ап - ссл):
И =1«п - а„| < |а„1 + |-а„| = |а„| + |а„|.
Следовательно, |ал| > |Z| - |а„| > |Z| -\11/2 = |Z|/2. 4
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Если ап-> lv Ьп-> 12 при п -> <», то сп = ал ± Ьл -> -> 1г ± 12 при п-^оо. Другими словами, для сходящихся последовательностей предел их суммы равен сумме их пределов.
►	Из условия имеем а„ = ап - 1Х,	= Ьп -12 — бесконечно малые
последовательности. Следовательно,
cn-(Z1±Z2) = (an±bn)-(Z1±Z2) = a„±Pn = Yn
— бесконечно малая последовательность. Значит, из определения предела имеем Итп^ сп = 1Г ± 12. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Если an^>lr,bn^> 12 при п^^,тосп = апЬп -»1±12 при п->°° (предел произведения равен произведению пределов).
43
►	Имеем an = ll + ап, bn = l2 + р„, сп = anbn = 1г12 +	+
+ алРл = 1г12 + уп. Но уп — бесконечно малая последовательность, так как она является суммой трех последовательностей, каждая из которых есть бесконечно малая последовательность. Отсюда lim сп~1Л9. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Пусть lim а_ = L, lim b„ = I. 0. Тогда (an/bn) = lr/l29 тп. e. если предел знаменателя не равен ну-люг то предел отношения равен отношению пределов.
►	Рассмотрим последовательности
Сп ьп
и
Z-i	li anl9 b„l-t
Уп = Сп~ Т = Т ~ Г = Ц > <*п = ап~ 11> Рп = Ьп ~ 12'
Из условия вытекает, что ап, Рп — бесконечно малые последовательности. Достаточно доказать, что величина уп тоже является бесконечно малой последовательностью. Для этого запишем уп в виде
__ (Zj + 0Сп)^2 ~ (^2 +	~ Ml 1
1п ' ЬЛ	h К
Теперь заметим, что последовательность (awZ2 “ М1)/^2 является бесконечно малой в силу утверждений 5 и 6, а последовательность 1/Ьп ограничена в силу утверждения 4. Но тогда по теореме 6 § 2 последовательность уп является бесконечно малой. Таким образом, сп = lr/l2. ◄
ПРИМЕР. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
► Пусть зп = а 4- aq + ... 4- aqn~x. Тогда qsn = aq + ... 4- aqn~x 4- aqn, sn = (a- aqn)/(l - q). Так как при |g| < 1 имеем {qn} — бесконечно малая последовательность, то
s = sn= a/(1 -	”
Величину s можно представить в виде
8 = 8п + гп = а/(1 - ?).
где sn =	ад*-1 называется п-й частичной суммой ряда,
а величина rn = s - sn — остатком ряда.
44
$ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ
УТВЕРЖДЕНИЕ 8. Пусть Ип^ ап = Z; тогда, если для всякого п имеет место неравенство ап> с (или ап > с), то I > с.
►	Из условия имеем, что ап = ап-1 — бесконечно малая последовательность, причем ад = ап -1 > с -I. Если допустить, что с -1 > О, то тогда при е = (с - 1)/2 получим, что е-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки последовательности {ад}. Это противоречит тому, что {ад} — бесконечно малая последовательность. Значит, с - Z < О, Z > с. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 9. Пусть Шп^ ап = Z; тогда, если ап< с (или ап < с) при всех пе N, то I < с.
►	Если Ьп = -ап, то bn —> -Z при п -» 00, Ьп > -с (или Ьп > -с). Тогда из утверждения 8 имеем, что - I > -с, т. е. Z < с. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 10. Пусть Jim^ ап = 119 Нп^ Ьп = 12. Тогда:
1)	если ап < Ьп, то Z2 < 12;
2)	если ап < Ьп, то lt < 12.
►	Рассмотрим последовательность сп = Ьп- ап. По условию сп > 0 (или сп > 0) при всех п и ch —> 8 = 12 - при п —> оо.
Согласно утверждению 8 в обоих случаях имеем 8 > 0, т. е. /2 1\» ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ И. Если {ад} — бесконечно малая последовательность и при всех натуральных п имеем |РД| < ад, то Рд — тоже бесконечно малая последовательность.
►	Из условия следует, что любая е-окрестность нуля вместе с точкой ад содержит и точку Рд, так что вне этой е-окрестности могут находиться Рд только с такими номерами, для которых |ад| > е. Но так как {ад} — бесконечно малая последовательность, то их число конечно, и поэтому {Рд} — тоже бесконечно малая последовательность. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 12. Пусть ап < сп < Ьп для всех п g N и пусть Jirn ап = Z, bn = I. Тогда предел сп существует и равен I. ► Из условия следует, что 0 < сп ~ ап < Ъп - ап. Но справедливо соотношение (Ьп - ад) —> 0, т. е. Ьп - ап — бесконечно малая последовательность. Но тогда по утверждению 4 имеем, что (сп - ап) — тоже бесконечно малая последовательность, т. е. (сп - ап) —» 0. Следовательно, с„ = (с„ ~ а„) + а„ -» 0 + I = I при п —> оо. ◄
ГА х г*	**
45
ПРИМЕРЫ. 1. Если а > 1, то lim nJa = 1.
П -> ОО
► Действительно, nJa = 1 + а„, ав > 0. Тогда
а = (1 + а„)" > 1 + па„, 0 < ап < (а - 1)/га.
По утверждению 5 имеем lim а_ = 0, откуда следует, что lim nJa =1. •«
П —> оо
2.	lim l/n = 1.
П —> ОО
► Действительно, положим nJn = 1 + аЛ. Тогда
- .	. п(п - 1) 9 п(п -1) о Л	/ 2~
n = 1 + па„ + Л~2	а„2 + ... > g- а*, 0 < а„ < J —.
По утверждению 5 имеем lim ага = 0, откуда следует, что lim'i/n = l. ◄ п —> оо
+ ... + ап
3.	Пусть lim ап = а. Тогда lim------------ а.
J п-^оо п	* п->оо п
► Действительно, пусть Ьп = ап - а. Тогда Шп^ Ьп = 0, и достаточ-
но доказать, что Jim^ ——~ = 0. Так как {Ьп} — бесконечно малая последовательность, то существует с > 0 такое, что при всех п имеем |&Л| < с. Кроме того, для любого е > 0 существует п0 = п0 (е) такое, что при всех п > nQ справедливо неравенство | Ьп | < е. Следовательно,
b-t + ... + b„ + Ь . 1 + ••• + Ьп
1	по п0 +1	п
п
cnQ + (п - п0)е п п
если только сп^/п <г,п> cnQ/t9 т. е. п > max {п0, сп0/е}. Отсюда уже легко следует требуемый результат. ◄
ТЕОРЕМА 8 (теорема Штольца). Пусты
i) Уп+i >Уп>0’>
2) lim уп = +оо;
X . - хп
3) существует lim -------2— = Тогда существует предел
П”>°° У п + 1 _ У п
М <хм=* 1-
Хп + 1 ~ хп
► Из условия теоремы вытекает, что-------— = + ап» гДе ап —
Уп +1 Уп
бесконечно малая последовательность. Поэтому для всякого е > О существует N = N(e) такое, что при всех п > N имеем |ап| < е/2.
46
Полагая значение номера равным последовательно ЛГ, ... , п9 получаем следующую систему равенств:
хп+1 - 1Уп+1 = хп~ 1уп + а» (Уп+1 - Уп)-
xn+i IVn+i~xn ^Ух + ах(Ух+1 Vn)‘
Сложим эти равенства
«п+1 - *Уп+1 = XN - lyN + «п (Уп+1 - Уп) + - + «X (Ух+1 " Vn>-Заметим, что все разности вида yk+1 - yk9 k = 1, ... N, в этом pa? венстве положительны. Поэтому, выполняя очевидные арифметические преобразования и переходя к неравенствам, получим
1«п+1 - 1Уп+1\ < 1«х - 1Vn\ + 1«п II Уп+1 - Уп1 + - + 1«х(Ух+1 - Ух)’ 1«п+1 - 1Уп+1 < 1*х + 1Vn\ + (£/2) (Уп+1 - Уп) + - + (£/2) (Ух+i " Ух)’
Хп + 1 _ / < Iх* ~*Ух| + £ Уп + 1 ~ Ух
Уп + 1	Уп +1	2 Уп +1
Поскольку уп = +оо, существует пг = пх(е) такое, что для I xn ~	. е
всех п > пх справедлива оценка 11	.
Положим nQ = max {п19 N}. Тогда для любого п > п0 имеем
Xn + l^J
Уп + 1
< е. Следовательно, xnfyn -» I при п —> °о. ◄
Лекция 7
§ 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА.
ЧИСЛО «е» И ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА
Определение 6. Последовательность называется:
невозрастающей, если хп+1 < хп для всех п е N (обозначение: хлФ);
неубывающей, если хп+1 > хп для всех натуральных п (обозначение: хлТ);
убывающей, если хп+1 < хп для всех п g N (обозначение: хп 44);
возрастающей, если хп+1 > хп (обозначение: хдТТ).
ТЕОРЕМА 9 (теорема Вейерштрасса). Пусть {ап} — неубывающая и ограниченная сверху последовательность. Тогда {ап} сходится и lim аи = sup {а„}.
П—>ОО п	п
► Так как последовательность {ап} ограничена сверху, то существует sup {ад}. Пусть I = sup {ап}. Покажем, что ап = L
Другими словами, требуется доказать, что ап = ап - I — бесконечно малая последовательность, т. е. что для любого £ > 0 существует номер п0 = п0 (б) такой, что при всех п > nQ имеем |ад | < < е. Но sup {ад} = 0. Это значит, что:
1) ад < 0 для любого п е N;
2) для любого £ > 0 найдется число k такое, что -£ < ak < 0. Но последовательность ak не убывает, поэтому при всех п > k имеем
-с < ак < а„ < 0, |а„| < |аА| < е.
Таким образом, в качестве п0 = п0 (е) можно взять указанное выше число k. ◄
ТЕОРЕМА 10. Невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет предел, равный inf {ап}.
► Вместо {ад} рассмотрим последовательность {Ьп}, Ъп = -ап. Тогда inf {ап} = -sup {Ьп} и теорема 10 следует из теоремы 9. ◄
ПРИМЕР. Итерационная формула Герона. Пусть
Ж»+1= |(Х»+
48
где а — фиксированное положительное число, хг — любое положительное число. Докажем, что {хп} — убывающая последовательность при п > 2, ограниченная снизу величиной Та, и что lim x=Ja. п->°о п
Действительно, имеем:
2) х - х +1 = х - \(х 4- — 1	> 0.
f п n+1 п 2V п хп; 2хп
Из предыдущих формул получаем х2 > ... > хп > Ja. Далее, в силу теоремы Вейерштрасса, для монотонной последовательности существует lim х_ = х > Ja > 0. Тогда справедливо равенство П —> оо '*
lim хпЧг1 = if lim хп 4-	—),
П^оо п+1 2Vn->oo п lim х J
П-><х> п
т. е. х = (х 4- а1х}12\ х= <Ja.
При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений допущена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически исправлена (саморегулирующийся итерационный процесс).
Приведем другое доказательство того, что xn -> Ja при п -» оо. Из равенства
г (хл±7а)2
имеем
Положим —------р = q. При хх > 0 имеем |g| < 1. Далее получаем
хх 4- Ja Х
ХП ~	_ д2л~1
xn + Ja
1 + 02"*
откуда хп-------,
49
Заметим, что Дл определяет скорость сходимости данного итерационного процесса. Далее, так как д2"’1 — бесконечно малая последовательность, то хЛ = Ja.
Перейдем к определению числа е.
ТЕОРЕМА 11. Последовательность ап = (1 + 1/п)п имеет предел.
► Сначала заметим, что при k > 1
fe! =	- 1)... 2 • 1 > 2fe~x.
По формуле бинома Ньютона получаем
п
1
п
п
1
п
± п
п21 2
п 1 П
= 2 + k =СТ;
I п
_ _ а I у 1 П П 1
П ~ fe + 1 п
но тогда
а„< 2+ JL — = 3-п	k = 2 2* -1
1
2п -1
Кроме того, в выражении о при k > 2 с ростом п возрастает fe-й член суммы и число членов всякий раз увеличивается на единицу, т. е. ап не убывает и последовательность {ап} ограничена. По теореме Вейерштрасса последовательность {ап} сходится. ◄
Следуя Эйлеру, предел этой последовательности обозначают через е. Известно, что е = 2,7 1828 1828 4590 45 ... . Постоянную е называют неперовым числом или числом Д. Непера (1550— 1617). Логарифм числа а по основанию е называется натуральным логарифмом числа а и обозначается символом In а.
(	п+1
Рассмотрим далее последовательность i+e . Имеем
lim Ь„ = lim f 1 +	• lim f 1 +	= e.
n->oo n n-t<x> \ Д/ n->OO \ Л/
Последовательность {bn} убывает. Действительно, из неравенства
Бернулли при п > 1 имеем
.	(1+1ГХ
Ьа = У п) /	1 у + 1 е п + 1
6п + 1 fi I 1 У + 2	п2 + 2п' п + 2
v п + 1'
п + 1 А е п + 1 = (п2 + Зп + 1)(п + 1) _ п3 4- 4п2 + 4п + 1 > п(п + 2)' п + 2 п(п + 2)2	п3+4п2 + 4п
50
Следовательно, bn > е. Так как Ьп> е> ап, то

Величина гп характеризует скорость сходимости последовательности {ап}.
Поскольку число е играет важную роль в анализе, приведем для него другое выражение.
ТЕОРЕМА 12. Пусть с„ = 1 4- Д + Д + ... + Д. Тогда lim с„ = е. 1! 2!	п\	п-юо п
► Последовательность {сЛ} является монотонно возрастающей и ограниченной. Действительно,
и +	4" ••• + —-— = 3 — —-— < 3.
2	22	2п~1	2Л-1
Следовательно, существует предел lim с„ = е*. Далее, так как
п —> оо	х
п

то е < ev При фиксированном з < п имеем
Отсюда
е = lim а„ > lim cL (п) = ся, т. е. е — верхняя грань для {с8}. Но так как Ит ca = sup {с,} =
то е > ех. Следовательно, е = ех. ◄
Заметим, что если е = сп 4- гп, то
0<r = S 1 <	1	Г1+ 1	4-	1	4- 1 =
п * = n+ifc! (n + i)| V	п + 2 (п + 2)2
=	1________1	= п + 2	< 1
(п + 1)! 1-1/(п + 2) (п + 1)(п + 1)!	п*п!*
ТЕОРЕМА 13. Число е — иррациональное.
► Допустим противное. Тогда е = p/q9 (р, q) = 1 и с учетом сделанного выше замечания имеем
51
Домножая обе части этого неравенства на д!, получаем, что А = ql(e - cq) — целое число и, в то же время, 0 < А < 1/д, что невозможно. ◄
Определим еще одну известную константу, играющую важную роль в математическом анализе.
ТЕОРЕМА 14. Пусть yn = 1 4- | 4-... 4- i - In п. Тогда существует предел у = уп.
► Последовательность {уп} монотонно убывает. Действительно,
Yn+1-Yn=TT7-^(ra + D + lnn=-|7 -1п(1 + 1)<0, так как /	п+1	/	1 \ n + 1
1 < In |^1 4- -J , поскольку е < |^1 + -J = 6П, что было уже доказано выше.
Далее покажем, что последовательность {уп} ограничена снизу числом 0. Из доказательства теоремы 11 имеем
1п(1 + 1Г<1,т.е.1„1±1 <1, V П/	п п
поэтому
Yn = 1 + z +...+ - — In П > In Y 4" In 5 4-... 4-In П 1 — In n = 1n 2 n	12	n
Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность {yn} имеет предел. ◄
Этот предел называется постоянной Л. Эйлера и обычно обозначается буквой у или буквой С. Для этой константы Эйлер вычислил 15 десятичных знаков после запятой, а именно, у = 0,5 7721 5664 9015 32... .
С арифметической природой постоянной Эйлера связан ряд «старых» математических проблем. В частности, до сих пор неизвестно, является ли константа у алгебраическим или трансцендентным числом. Попытки выразить эту константу через известные величины, например через л, е или логарифмы алгебр раических чисел, пока тоже не имели успеха. Число называется алгебраическим 9 если оно является корнем алгебраического многочлена с целыми коэффициентами. Если у этого многочлена коэффициент при старшей степени неизвестной равен единице, то данное число называется целым алгебраическим числом.
52
Очевидно, что к алгебраическим числам относятся все рациональные числа. Если же число не является алгебраическим, то оно называется трансцендентным.
В качестве еще одного приложения теоремы Вецерштрасса о пределе монотонной последовательности приведем пример последовательности, задаваемой с помощью простой формулы и принимающей только значения простых чисел.
ТЕОРЕМА 15 (теорема Миллера). Существует такое вещественное число а > 1, что если а = а0, 2а° = ар ..., 2а" = ап+1,... , то [осЛ] — простое число при всех n > 1. Другими словами, существует вещественное число а > 1 такое, что при всех и > 1
Г -,а“1
натуральные числа рп = 22‘ являются простыми числами при всех п > 1.
► Доказательство теоремы 15 опирается на знаменитую теорему П. Л. Чебышёва, известную так же как «постулат Бертрана» (см., например, [18]): для любого х > 1 существует простое число р такое, что х < р < 2х.
Построим последовательность рп = [ап] по индукции. Положим рг = 3. По теореме П. Л. Чебышёва существует простое число рп+19 удовлетворяющее условиям
2P"<Pn+i<Pn+i + l<2p» + 1.
Если pn+1 + 1 = 2Рп +1, то рп+1 = 2Р" +1 - 1 не может быть простым, так как оно имеет делитель 2(Рл +1)/2 - 1. Следовательно, 2Р"<Рп+1<Р„+1 + 1<2Рл + 1.
Положим
u„ = log2...log2p„, vn = log2...log2 (pn+1). и	n
Очевидно, из неравенств
Р» < log2P„+i < log2 (рл+1 + 1) <рп+1
имеем ип < ип+1 < vn+1 < vn, так что ип, vn — монотонные последовательности. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существует предел ип == а и ип < а < vn. Положим
а = log2 ... log2 а„. п
Тогда в силу монотонности функции у = log2 * получаем Рп<а„<Рп + 1»т. е.рп = [а„].	«
53
Лекция 8
§ 6. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО—ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 7. Пусть {ап} — некоторая последовательность и пусть {fen} — некоторая строго возрастающая последовательность, состоящая из натуральных чисел. Тогда последовательность Ь„ = аь называется подпоследовательностью по-следовательности ап.
Определение 8. Если существует предел Ъп = 19 то I называется частичным пределом или предельной точкой последовательности {ап}.
Образно говоря, каждая подпоследовательность получается из последовательности {ап} путем отбрасывания части ее членов с сохранением порядка следования оставшихся членов.
ТЕОРЕМА 16 (теорема Больцано—Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {ап} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
► По условию имеем, что найдется с > 0 такое, что |ап| < с для всех п. Разделим отрезок IQ = [-с, с] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Назовем его и в качестве первого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент ап^ е 119 т. е. положим Ьг = аП1. Затем отрезок снова разобьем на два и обозначим через 12 ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности {ап}. Среди них выберем такой член аЛг, номер которого п2 превосходит число п19 и. положим &2 = O'nz* Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку 129 получаем отрезок 13 а. 12 и. член Ь3 — аЛд с условием п3 > п2. Далее таким же образом найдем b4 = ап* еЦс I3, b5 = ап* е 15с:14 и т. д. В результате получим числовую последовательность {bk} и последовательность вложенных отрезков {Ik}9 причем bk е Ik9 bk = ап*9 nk < nk+1 при всех k g N. Другими словами, {bk} будет подпоследовательностью для {ak}.
Осталось показать, что последовательность {bk} сходится. Для этого заметим, что длина 8k отрезка Ik равна с • 2"fe+1, откуда 8fe —> О
54
при k —> 00• Это значит, что последовательность вложенных отрезков {Ik} стягивающаяся и все отрезки Ik имеют единственную общую точку I. Именно это число I и будет пределом для {bk}. Действительно, если Ik = [зЛ, fj, то sk < I < tk9 tk- 8k = 8fe, аЛ = = l - sk < 8fe, = tk -1 < 8Л. Но так как 8fe -> 0 при k —> 00, To ak —> 0 и _> 0, откуда sk = I - ak I, tk = I 4-	—> Z, и так как bk = an^
sk < аПк < tk, to bk = аПк -» l при k —> 00, что и требовалось доказать. «
Определение 9. Наибольший из частичных пределов последовательности называется ее верхним пределом, а наименьший — ее нижним пределом.
Заметим, что если последовательность ограничена, то она имеет верхний и нижний пределы. Рассмотрим, например, случай верхнего предела. В силу теоремы 16 множество L всех частичных пределов данной последовательности {ап} непусто. Кроме того, каждая ее подпоследовательность лежит в тех же границах, что и сама последовательность {ап}.
Таким образом, если при всех п справедливо неравенство т < ап < М, то для всякого I g L имеем т < I < М. Это значит, что множество L ограничено. Пусть X = sup L. Тогда для всякого натурального числа k на промежутке вида £-Х -	, Х] лежит по
крайней мере один из частичных пределов I = lk последовательности {ап}9 и, следовательно, неравенству lk -	< bk = удов-
летворяет некоторый член последовательности {ап}. При этом можно считать, что номера nk строго возрастают с ростом параметра k. Тогда числа bk образуют некоторую подпоследовательность, удовлетворяющую неравенствам X - | < bk < М.
Так как {bk} ограниченная последовательность, то по теореме 16 из нее тоже можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {bk }. Если lQ — ее предел, то имеют место неравенства
J™-£>'«
Но {bk } одновременно является подпоследовательностью для {ап}9 т. е. lQ g L. Но тогда lQ < X = sup L. Итак, X < Zo < X, т. е. X = lQ является частичным пределом для {ап}9 что и утверждалось выше.
55
§ 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно, что из теоремы 16 § 6 непосредственно вытекает следующее необходимое и достаточное условие сходимости последовательности .
Определение 10. Последовательность {ад} называется фундаментальной или последовательностью Коши, если выполнено условие:
V е > 0 3 п0 = п0 (е) такое, что V т, п > nQ имеем \ат - ап| < е.
ТЕОРЕМА 17 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {ап} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
► Необходимость. Если ап = I, то для любого е > 0 существует и0 = п0 (е) такое, что для всякого п > nQ имеем \ап - 1\ < е/2. Следовательно, для любых т, п > п0
l«n - «ml = 1(«в - 0 - («т " 01 < |в„ - П + 1«т “ *1 < е/2 + е/2 = S.
Поэтому {ап} — фундаментальная последовательность.
Достаточность. По условию последовательность {ап} является фундаментальной.
1. Докажем, что {ап} ограничена. В самом деле, возьмем е = 1. Тогда найдется n0 = nQ (1) такое, что для всех п > п0 имеем \ап - ап^\ < 1. Но в этом случае
|aJ < \ап - ап | + |ап | < 1 + |ап | = h.
1 №	। л ”о’	।
Отсюда
|a„| CmaxdaJ,..., |а„о|, h) = с.
2. В силу теоремы Больцано—Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность an^, ... , ап*, ... —> а при k —> оо.
Условие ее сходимости можно записать так:
V е > 0 3 kr e kr (е) такое, что V k > kr имеем \ап* - а| < е/2.
Пусть Nr = nk^ = max (п0 (е/2), Д^). Тогда для всех п > N и пк> N имеем
\ап - а| = \ап - ап + ап - а| < |а_ - ап | + \ап - а| < е/2 + е/2 = е, т. е. последовательность {ап} сходится. ◄
Важно отметить, что теорема 1 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных последовательностей.
56
ТЕОРЕМА 18. Для расходимости последовательности {ап} необходимо и достаточно, чтобыf она не была фундаментальной, т. е. существовало число е > О такое, что для каждого н0 g N нашлись бы номера т > nQ и п > п0, для которых выполнялось неравенство
\ат~ап\ >£-
ПРИМЕРЫ. 1. ап = 1 + | + ... + i . Возьмем е = 1/2. Тогда при любом т имеем неравенство
_	=	1	4-	4- — > — = 1
х2т хт m 4.1	2т ' 2т 2'
Последовательность {ап} расходится (здесь мы полагаем, что т = = n0, п = 2т).
2. Для решения уравнения Кеплера
х - a sin х = у (0 < а < 1) используют метод последовательных приближений:
хо =!/, xi = У + « sin х0,..., хп = у + а sin xn_v
Докажем, что существует £ = lim^ хп и что х = £ является единственным корнем уравнения Кеплера.
Согласно критерию Коши для любого е > 0 существует число п0 = по (£) такое, что при всех п > п0 и при всех р > 1 имеем |хЛ +р - хп| < е. Оценим модуль разности |хЛ +р - хп |. В силу неравенства |sin у\ < |z/| имеем
1«п+р " «nl = « lsin «п+р-1 - Sin «п-11 < « 1«п+р-1 - «п-11 < < а2 |х„+р_2 - х„_2| < а" 1«р ~ «01 = ап +1 |sin xp_J < ап+1.
Далее, поскольку |а| < 1, последовательность {ап+1} является бесконечно малой последовательностью. Поэтому для любого е > О существует « пг (е) такое, что при всех п > пг имеем |ап+1| < е.
Теперь в теореме 17 положим nQ = nv В результате получим, что последовательность является фундаментальной и, следовательно, сходится к некоторому числу £. Поэтому, переходя к пределу при п —> оо в равенстве хп = у + a sin хп_19 получаем £ ==у + a sin£, т. е. х = £ — решение уравнения Кеплера. Далее, если — другое его решение, то - £| = a |sin - sin £| < а - £|, и если то отсюда имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами, х = — единственный корень уравнения, что и требовалось доказать. Уравнение Кеплера ввел в рассмотрение И. Кеплер (1571—1630) при изучении движения планет по эллиптической орбите (задача двух тел).
57
ГЛАВА 3
Предел функции в точке
Лекция 9
§ 1.	ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ
Мы познакомились с понятием предела числовой последовательности. Последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Но еще большую роль в анализе играет понятие предела функции, определенной на всей числовой оси или на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем будет рассмотрен ряд понятий подобного рода. Эти понятия близки как между собой, так и с уже рассмотренным понятием предела последовательности. Перечислим наиболее важные из них:
1)	I = Jim f(x) — предел функции f(x) в точке х0;
2)	I = Jim + Дх) — правый предел функции Дх) в точке х0;
3)	I = Jim Дх) — левый предел функции Дх) в точке х0;
4)	I = Jim Дх) — предел функции Дх) при х -> °о;
5)	I = Jim^ Дх) — предел функции Дх) при х ±°°.
Считаем, что функция Дх), о пределе которой будем говорить, определена на всей числовой прямой R или на некотором множестве А, являющемся его подмножеством, т. е. А с: R. Этим множеством А, например, может быть интервал, отрезок, совокупность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно только, чтобы точка х0, к которой устремляется аргумент функции f (х) (т. е. х —> х0), являлась предельной точкой множества А, а именно: чтобы в любой 8-окрестности точки х0 содержалось бесконечно много точек из множества А. В случае х —> или х —> ± оо это означает, что множество А должно быть: не ограничено, если х —> сю; не ограничено сверху, если х -l-оо; не ограничено снизу, если х —> - сю.
В дальнейшем понадобится следующее определение.
Определение 1. Множество точек х, принадлежащих А и удовлетворяющих неравенству 0 < |х - х0| < 8, Называется проколотой ^-окрестностью точки х0 (относительно множества А).
58
При А = R проколотая 8-окрестность точки х0 состоит из двух интервалов: (Xq ~ 8, Xq) U (Xq, Xq + 8).
Определение предела	
По Коши	По Гейне
Число 1 называется пределом V е > 0 3 8 = 3(e) > 0 такое, что Vx: (х е А, 0 < |х - х0| < 8) => => 1ft*) — г| < е. Обозначение: 1 e lim Дх) х->х0	функции Дх) при х -» х0, если: для любой последовательности {*„}= Хп * Х0 V П 6 N Хп € А И хп —> х0 при п-><х> имеем f(xn) —>1. или f(x) -> 1 при х —> х0
Число 1 называется правым преде V е > 0 3 8 = 3(e) > 0 такое, что Vx: (х е А, 0 < х - х0 < 8) => => Iftx) - z| < е. Обозначение: 1 == lim f(x\ x->x0+'v	лом функции f(x) при х -» х0, если: для любой последовательности {х„}: хл > х0 V л е	€ А и хл —> х0 при п->°° имеем f(xn) -> 1. I или Дх) -> 1 при х -> х0+
Число 1 называется левым предел V е > 0 3 8 = 8(e) > 0 такое, что Vx: (х е А, -8 < х - х0 < 0) => => |ftx) - z| < е. Обозначение: 1 = lim fix] х->х0-	юм функции Дх) при х —»х0, если: для любой последовательности {*„}: х„ < х0 V п е N хп е А и хл -> х0 при п^оо имеем f(xn) -> 1. ) или Дх) -> 1 при х -» х0 -
Число 1 называется пределом V е > 0 3 с = с(е) > 0 такое, что Vx: (х е А, |х| > с) => | Дх) - l\ < е. Обозначение: 1 = lim Дх) X -» ОО	функции Дх) при х —> оо, если: для любой бесконечно большой последовательности {хл}: хп е А, при п-^<х) имеем f(xn) —> 1. или Дх) —> 1 при х —> оо
Число 1 называется пределом с V е > 0 3 с = с(е) > 0 такое, что Vx: (х е А, х > с) => | Дх) -1\ < е. Обозначение: 1 = lim fix] 	 Х-»+ОО	рункции Дх) при х -» +°о, если: для любой бесконечно большой последовательности хп > 0: хп е А, при п -> оо имеем fix*) -> L . 1 или Дх) -> 1 при х -> +оо
59
Окончание табл.
По Коши	По Гейне
Число 1 называется пределом ( V е > 0 3 с = с(е) < 0 такое, что Vx: (х е А, х < с) => |/(х) -1\ < £. Обозначение: 1 = lim f(x] X —> -ОО	рункции /(х) при х -» -оо, если: для любой бесконечно большой последовательности хп < 0: хп е А, при п->°° имеем f(xn) —> 1. I или /(х) —> 1 при X —> -ОО
Для всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогичные теоремам о пределах последовательности. Например, если /х(х) Zp f2(x) -» Z2 (при одном и том же виде стремления аргумента х), то:
1)Г1(х)±/2(х)^/1±/2;
3) fi(x)/f2(x) -> 1г/12, при 12 * 0.
Если с(х) — постоянная, т. е. с(х) = I для любого х е А, то с(х) -> I.
Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказательство утверждений для сходящихся последовательностей. Тем не менее, их надо провести, а это достаточно трудоемко. Поэтому дадим общее определение предела, под которое подходят все рассмотренные выше пределы, в том числе и предел последовательности. Речь идет о пределе по базе множеств.
§ 2. БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Определение 2. Пусть А есть область определения функции /(х). Тогда совокупность множеств {&} = В, где Ь а А, называется базой множеств или просто базой для множества А, если для ее элементов выполняются следующие условия:
1) В состоит из бесконечного числа непустых множеств {&};
2) V &р Ь2 е В 3 &3 g В такое, что Ъ3аЬ1П Ъ2.
(Здесь &х, Ъ2, Ь3 — подмножества множества А.) Элементы множества В называются окончаниями базы В. Само множество А будем называть основным множеством базы В. Далее для любых двух окончаний Ьх и Ь2 базы В с условием Ь2 а. Ьг будем говорить, что &2 следует за Ь19 а Ьг предшествует Ь2.
Определение 3. Число I называется пределом функции f(x) по базе В, если для любого е > 0 существует окончание Ь е В такое, что для всех х е & имеем неравенство |/(х) - 1\ < е.
60
Обозначение:
lim f(x) = l или f(x) —> l (по базе В). s'
В этом случае еще говорят, что f(x) сходится к Z по базе В. Аналогично определяются следующие пределы: lim f(x) = оо(±оо).
Заметим, что с точки зрения формальной корректности определения 3 предела функции по базе В требование бесконечности множества окончаний в базе В является избыточным. В случае конечного количества окончаний данное определение малосодержательно и не отражает в достаточной степени существа понятия предела.
Важно отметить, что если вместо основного множества А базы В взять любое ее окончание &0, то совокупность В' окончаний базы В, следующих за &0, с учетом сделанного выше замечания, тоже образует базу множеств. При этом из существования предела Inn f(x) = I следует, что существует предел lun f(x) = I и наоборот. В силу этого свойства на практике между базами В и В' фактически не делается различия.
ПРИМЕРЫ БАЗ.
1.	А = N. База Во (обозначение: п —> оо) состоит из множеств Ъ = Ns, s > 1, где Ns — множество натуральных чисел {$, s 4- 1, з 4- 2, ...}.
Тогда предел по базе Во — это предел последовательности {ап}:
х = п9 f(x) = апп Пт Дх) = Jim ап.
2.	А = R. База Вг состоит из всех проколотых 8-окрестностей точки х0, 8 > 0 (обозначение: х -> х0). Тогда lim Дх) — это предел при х -» х0, т. е.	, ,	,
limftx) = lim f(x).
By	X —» Xo
3.	A = R. База B2 (x —> x04-) состоит из всех интервалов вида (х0, х0 + 3), где 8 > О,
lim ftx) = lim Дх).
В2	Xх0+
4.	А = R. База В3 (х —> х0~) состоит из всех интервалов вида (х0 - 3, х0), где 8 > О,
lim ftx) = lim Дх).
Bg	X -» х0
5.	А = R. База В4 (х —> 00) состоит из всех множеств {&}, где Ъ есть объединение двух лучей: (-°°, -с) U (с, +°°), с > О,
lun ftx) = Jim ftx).
61
6.	A = R. База В5 (х -> 4-оо) состоит из всех лучей вида (с, +°о), где с > О,
Hm f(x) = hjn^ /(х).
7.	А = R. База Вб (х —> -оо) состоит из всех лучей вида (-°°, с), где с < О,
lim Дх) = lim Дх).
Легко убедиться в том, что все эти совокупности множеств Во, Вр В2, ...» Bq действительно удовлетворяют определению базы. Проверка всех этих множеств на соответствие определению базы однотипна. Поэтому ограничимся рассмотрением только множества В2.
1) В2 состоит из окончаний Ь = вида (х0 - 8, х0) U (х0, х0 + 8) и 0, где 8 — произвольное положительное число. Следовательно, В2 является бесконечным множеством, и каждое его окончание не пусто.
2) При всех 8Х < 82 имеем П &§2 =	, т. е. и второе условие
базы выполнено.
Таким образом, множество В2 является базой множеств.
Определение 4. Пусть множество D с А (где А — область определения Дх)) и пусть существует с > 0 такое, что |Дх)| < с при всех х е D. Тогда функция Дх) называется ограниченной (числом с) на множестве D.
Аналогично определяется ограниченность функции Дх) на множестве D сверху и снизу.
Определение 5. Функция, ограниченная (ограниченная сверху, снизу) на каком-либо окончании базы В, называется финально ограниченной (финально ограниченной сверху, снизу) относительно этой базы.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. а) Пусть Дх) = с при всех х е Ъ, где Ъ — некоторое окончание базы В. Тогда lim Дх) = с.
б)	Если предел функции по базе В существует, то он единствен.
► а) Для любого е > 0 возьмем окончание Ъ g В. Тогда при всех х g Ь имеем |Дх) - с| = 0 < е.
б) Допустим противное, т. е. что существуют и 12 такие, что lim Дх) = Zp lim Дх) = 12.
Возьмем е = |ZX - Z2|/2. Тогда:
62
3 &i =* &х(е) е В такое, что V х е Ъх имеем |Дх) - ZJ < е;
3 Ь2 = Ь2(г) е В такое, что V х g Ь2 имеем |Дх) - Z2| < £•
По определению базы, существует окончание базы Ь3 такое, что b3 а. br А Ь2. Выберем какое-нибудь х g Ь3. Тогда
1*1 - *21 = 1(Я«) - У - (Л*) -*1) I < 1Я*) - *г1 + 1ЯХ) - *11 < 2е =
= R1 “ ^г1»
что невозможно. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. а) Если lim f(x) = Z, то функция f(x) финально ограничена числом |/| + 1.
б) Если lim Дх) = I и I 0, то функция g(x) = 1/Дх) финально ограничена числом 2/\1\ на окончании Ъ(\1\/2), а функция Дх) на том же окончании имеет знак, совпадающий со знаком I.
Докажем это утверждение.
Для базы Вх (х —> х0)	В общем случае
► а) Возьмем е = 1. Тогда найдется 8 = 8(1) такое, что при всех х из проколотой 8-окрестности имеем | Дх) -1\ <1. Отсюда при всех х: 0 < |х - х0| <8 имеем |/(х)| =|(Г(Х)- 0 + Z| < |(flx) - Z| + + И < i + |z|.	► а) Возьмем е = 1. Тогда найдется Ъ = Ь(1) — окончание базы В такое, что при всех х g Ь имеем | Дх) - Z| <1. Отсюда при всех х g g Ъ получим |Дх)| = |(Дх) - Z) + Z| < < |(f(x)-Z| +|Z| < 1 + |Z|.
б) Разберем только случай Z > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем е = Z/2. Тогда найдется 8 « 8(e) > 0 такое, что при всех х: 0 < |х - х0| < 8 имеем |Дх) - Z| < е = Z/2. Следовательно, справедливы следующие неравенства: Дх) -Z > - Z/2, Дх) > Z/2 > 0, 0 < #(х) = 1/Дх) < 2/Z.	◄	б) Разберем только случай Z > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем е = Z/2. Тогда найдется b == &(е) — окончание базы В такое, что при всех х g Ъ имеем | Дх) - Z| < е = Z/2. Следовательно, справедливы следующие неравенства: Дх) - Z > -1/2, Дх) > Z/2 > 0, 0 < #(х) = 1/Дх) < 2/Z.	◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пусть существуют пределы lim Дх) = и lim g(x) = 12. Тогда справедливо равенство
lim (Дх) + g(x)) = + l2.
Не вполне строго можно сказать, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
63
* -» *0	В общем случае
► В качестве радиуса искомой 8-окрестности возьмем 8 = min(81(e/2),82(e/2)), где 8х(е/2) — это радиус проколотой 8г-окрестности точки х0, в которой |f(x) - / J < 6/2, а 82 — это радиус проколотой 82-окрестности точки х0, где |g(x) - Z2| < 6/2. Тогда проколотая 8-окрестность точки х0 содержится и в 8гок-рестности, и в 82-окрестности точки х0 с условием 0 < |х - х0| < < 8. Поэтому для х имеем: |(/(x) + g(x))-(Z1 + Z2)|< <|ftx)-zj+|g(x)-z2|<e. ◄	► В качестве окончания Ь(е) возьмем одно какое-либо окончание Ь3 такое, что Ь3^Ь1(е/2)ПЬ2(е/2), где Ь1(е/2) — окончание, на кото-ром I ftx) - zj < е/2, а Ь2 (е/2) — это окончание, на котором |g(x) - Z21 < е/2. Тогда V х е Ь3 имеем |(ftx) + g(x))-(Z1 + Z2)| < < Ift*)-*il +|g(x)-Z2| <е. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть f(x) = g(x) при всех xeb, где b — некоторое окончание базы В и lim f(x) = I. Тогда
В
lim g(x) = I.
15
►	Имеем g(x) = f(x) + (g(x) - f(x)). Так как g(x) - f(x) = 0 при всех x e b, то по утверждению 1 а) получим lim (g(x) - ftx)) = 0. Отсюда
lim g(x) = lim ftx) + lim (g(x) - ftx)) = I + 0 = I. 4 В	В	В
Определение 6. Если lim а(х) = 0, то функция а(х) называется бесконечно малой функцией по базе В.
Замечание. Из утверждений 1 а) и 3 следует, что условие существования предела lim f(x) = I эквивалентно условию, что функция
а(х) « f(x) - I
есть бесконечно малая по базе В.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Пусть функция а(х) является бесконечно малой по базе В, f(x) финально ограничена по той же базе,
IP(x)| < |a(x)ftx)|.
Тогда функция Р(х) будет бесконечно малой по базе В.
Докажем это утверждение.
64
* ->*о	В общем случае
► Для любого £ > 0 надо указать число 8 = 8(e) > 0 такое, что Vx: 0 < |х - х0| < 8 => |Р(х)| < £. В силу финальной ограниченности функции Дх) существует 8г > 0 такое, что V х: 0 < |х - х0| < 8г \fM\<c. Найдется 82 = 82(е/С) > 0 такое, что Vx: 0 < |х - х0| < 82 имеем |а(х)| < е/с. Положим 8 = min(81, 82(е/с)). Тогда Vx: о <1* - *ol < 8 имеем |Р(Х)| < |а(х)| • |/(х)| < < Е/С • С = £. ◄	► Для любого £ > 0 надо указать окончание Ъ = Ь(е) базы В такое, что при всех х е b => |р(х)| < е. В силу финальной ограниченности функции Дх) окончание Ьг такое, что при всех хе	| Дх)| < < С. Найдется Ь2 = Ь2(г/С) е В такое, что при всех хе Ъ2=$ => |а(х)| < е/С. Возьмем окончание &3 из условия Ь3 с. Ьг А &2(е/С). Тогда при всех хе Ъ3 имеем 1Р(х)| < |а(х)| • |/(х)| < < е/С • С - е. <
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Пусть lim f(x) = llt lim g(x) = l2. Тогда В	в
lim f(x)g(x) = 1г12. О
►	Имеем f(x) = + a(x), g(x) = l2 + P(x), где a(x), P(x) — бесконечно малые функции по базе В. Тогда получим
f(x)g(x) -1^2 - a(x)/2 + P(x)Zx + a(x)p(x)
— бесконечно малая. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Пусть lim f(x) = llt lim g(x) = l2, l2 и 0. Тогда
в g(x) l2
► Имеем
/(x) _ h = Zi +a(x) _ Zj = a(x)Z2 - P(x)Zx . 1 =
g(x) l2 i2 + P(x) l2	h	’ S(x)
Здесь (a(x)Z2 ~ Р(х)/х)//2 — бесконечно малая функция по базе В, 1/£(х) — финально ограниченная функция по той же базе, поэтому 7(х) есть бесконечно малая функция по базе В. ◄
3 - 4953
Лекция 10
$ 3. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ
УТВЕРЖДЕНИЕ 8. Пусть с е R, lim f(x) = I и, кроме того, f(x) > с (или f(x) > с) на некотором окончании b базы В. Тогда 1> с.
►	По условию а(х) = f(x) -I — бесконечно малая функция, причем для всех х е Ь
а(х) = f(x) - 1> с-1.
с — I
Допустим, что с - I > 0. Тогда для е = найдется окончание Ьх g В такое, что при всех х е имеет место неравенство |а(х)| < е. Заметим, что найдутся окончание Ь2 с b A Ьг и. точка х g &2» Для которой выполнены неравенства
е > |а(х)| > а(х) > с - I = 2е > 0.
Отсюда вытекает, что 0 < 2е < е, а это невозможно. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 9. Пусть lim Дх) = l19 lim g(x) = /2» /(х) < на некотором окончании b базы В. Тогда < 12.
►	Рассмотрим й(х) = g(x) - Дх). По условию й(х) > 0, lim й(х) = I = = l2 - lv Из утверждения 1 имеем I > 0, т. е. l2 > lv ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 10. Пусть Дх) < g(x) < Л(х) на некотором окончании базы В, lim Дх) = I, lim й(х) = I.
в	в
Тогда существует lim g(x) = I.
►	Из условия имеем
0 < g(x )-ftx) < й(х) - ftx), а(х) = h(x) - f(x) -> 0 (по базе В), т. е. а(х) — бесконечно малая функция по базе В.
Но так как |g(x) - /(х)| < а(х), то по утверждению 5 § 2 функция g(x) - f(x) — бесконечно малая функция по базе В. Тогда
lim g(x) = lim (g(x) - f(x)) + lim f(x) = 0 + 1 = 1. < В	В	в
§4. КРИТЕРИЙ КОШИ
СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
ТЕОРЕМА 1 (критерий Коши). Для существования предела функции f(x) по базе В необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало окончание Ь = &(е) такое, что при всех х, у g Ь справедливо неравенство |Дх) - f(y)\ < е.
66
► Необходимость. Пусть lim f(x) = L Тогда для любого е > 0 существует окончание Ьг = Ь1(е/2) е В такое, что при всех х, у е Ьг имеем
1Дх) - (|< е/2,\f(y) -1|< е/2.
Отсюда при всех х, у е Ьг
|Дх) - Ду)\ <\f(x) -l\ + \f(y) - 1\ < е/2 + е/2 - е.
Достаточность. Докажем, что Дх) финально ограничена. Действительно, возьмем е = 1. Тогда существует 6(1) € В такое, что при всех х, у е 6(1) имеем |Дх) - Ду)| < 1. Зафиксируем у. Тогда при всех х е 6(1)
1Дх)| < |Дх) - /<у)| + |Ду)| < 1 +|Ду)|.
В силу условия Коши для любого е > 0 существует 6(e) е В такое, что при всех х, у е 6(e) имеем |Дх) - Ду)| < е. Но это значит, что е — верхняя грань значений величины |Дх) - Ду)| для всех х, у е 6(e). Используя также финальную ограниченность Дх), получаем
тп(е) = inf Дх) е R, ЛГ(е) = sup Дх) е R, хе &(е)	х€
е > sup |Дх) - Ду)| = sup (Дх) - Ду)) = sup Дх) - inf Ду) = x,ye&(E)	x,ye&(e)	xeb(e)	0€О(е)
= М(е) - тп(е).
Положим е — гп = 1/п. Тогда можно считать, что 6(1/п2) с Ь(1/7гх) при всех п2 > nv Действительно, если, например, Ь(1/2) <7 6(1), то вместо 6(1/2) можно взять Ь3 из условия Ь3 а. 6(1) А 6(1/2) и т. д. В силу этого имеем
771(1/71!) < ТП(1/П2), M(l/nJ > М(1/П2).
Кроме того, при всех х е 6(e) справедливо неравенство
тп(е) < /(х) < М(е).
Каждому е = еп > 0 соответствует свой отрезок 1п = (тп(1/п), М(1/п)]. Вся совокупность отрезков 1п образует последовательность стягивающихся отрезков, так как при гп > е8
тп(еЛ)<тп(е8)<М(ев)<М(еЛ),
т. е. 18 а 1п. По лемме о последовательности стягивающихся отрезков существует точка I такая, что для любого номера п имеем I е 1п.
Докажем, что lim ftx) = I. Для этого надо доказать, что для любого е0 > 0 существует 6х(е0) е В такое, что при всех х е 6х(е0) справедливо неравенство |ftx) - 1\ < е0.
з*
67
В качестве ^(Eq) возьмем Ь(1/п), где п > Зе^1. Тогда при всех х, у е Ь1(е0) по условию Коши выполняется неравенство |ftx)-fty)| <1/п<е0/2
и при всех х е Ь1(е0) имеем
тп(1/п) < /(х) < М(1/п).
Кроме того, I е 1(1/п). Это значит, что
т(1/п) < I < М(1/п).
Отсюда
|/(х) - 1\ < М(1/п) - т(1/п) < е0/2 < е0. ◄
Определение 7. Две базы Вг и В2 называются эквивалентными, если любое окончание базы Вг содержится в некотором окончании базы В2 и наоборот.
Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах выполняются одновременно.
Лекция 11
$ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО КОШИ И ПО ГЕЙНЕ
ТЕОРЕМА 2. Сходимости функции f(x) по Коши и по Гейне при х —> х0 эквивалентны. Другими словами, существование предела функции по Коши при х —> х0 влечет за собой существование предела функции по Гейне по той же базе и наоборот, причем в обоих случаях значения пределов совпадают.
► 1. Пусть существует Jim Дх) по Коши. Докажем, что существует соответствующий предел по Гейне.
Действительно, из условия имеем, что
V е > 0 3 8 = 8(e) > 0 такое, что V х: 0 < |х -> х0| < 8 выполняется неравенство |Дх) - 1\ < е.
Пусть {хп} — произвольная последовательность, стремящаяся к х0 при п —> оо и хп и х0 при всех п € N. Тогда для любого 8 > О существует = АГХ(8) такое, что при всех п > Nr
о < |х„ - ХО1 < 8-
Так как 8 можно взять любым, то и для 8 = 8(e) справедливо то же утверждение.
Надо доказать, что для любого е > 0 найдется номер N(e) такой, что
V п > АГ(е) имеем | Дхп) - 1\ < е.
Положим АГ(е) = Nx(8(e)). Тогда, в силу того, что 0 < |хд - х0| < 8(e), имеем | Дхд) - 1\ < е.
2.	Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любой последовательности {хп} с условиями хп х0 и хп и х0 имеем f(xn) -> I при п -» оо.
Далее будем рассуждать от противного. Пусть I не является пределом функции Дх) по Коши. Это значит, что найдется е > О такое, что
V 8 > 0 3 х: 0 < |х - х0| < 8, для которого выполняется неравенство | Дх) - 1\ > е.
Рассмотрим последовательность 8П = 1/п. Тогда для любого п найдется число хп такое, что: 1) хп и х0; 2) |хл - х0| < 1/п, но 3) 1/(хл) - 1| > е. Числа {хп} образуют последовательность, сходящуюся к х0, следовательно, в силу сходимости по Гейне при п —> оо
69
существует предел Jirn^ /(хл) = I. Но тогда, переходя к пределу в неравенстве | f(xn) - 1\ > е, имеем 0 = \1 - 1\ > е. Полученное противоречие устанавливает справедливость второго утверждения теоремы. ◄
$ 6. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Напомним, что сложной функцией h(x) называют функцию вида
ft(x) = /(g(x)),
где f(y) и g(x) — некоторые функции такие, что область определения f(y) содержит все множество значений, принимаемых функцией g(x). Функцию h(x) еще называют композицией (или суперпозицией) функций / и g. Символически это записывается так: h = f ° g.
Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема: Пусть lim g(x) = yQ9 lim f(y) = l; тогда
x -> x0	у —> Уо
Jim f(g(x)) = l.
Это утверждение справедливо, например, для непрерывных функций. Однако в общем случае данная теорема неверна.
ПРИМЕР.
.. . f О, если х и 0, . v _ — j J, если х = о, g(x) — 0.
Тогда
lim g(x) = 0, lim Дх) = 0,	= 1 V х е R, lim f(g(x)) = 1.
X —> О	X —> О	X —> и
Тем не менее, справедливы следующие утверждения.
ТЕОРЕМА 3. Пусть lim g(x) = у0, lim f(y) = Др0). Тогда
lim f(g(x)) = f(y0).
x —» Xo
► Надо доказать, что для любого е > 0 существует 8 = 8(e) > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х - х0| < 8 имеем
lf(g(x)) - Др0)1 < £•
Далее, для любого заданного е > 0 существует 8Х = 8j(e) > 0 такое, что при всех у: |р - р0| < 8Х имеем |Др) - Ду0)| < е. Для этого 8Х существует 3 = 3(81) > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х - х0| < 3 имеем
1#(х) - Уо1 < 5Г
70
Полученное S и требовалось найти. Теперь при всех х с условием О < |х - х0| < 8 имеем |g(x) - yQ\ < 8V Следовательно, имеем |Г(£(х)>-Я!/о)1 <«• *
ТЕОРЕМА 4. Пусть lim х„ = a, lim f(y) = f(a). Тогда п —ь оо '1	у —> а
м	=/(а)-
► Надо доказать, что для любого е > 0 существует га0 = п0(е) такое, что при всех п > п0 выполняется неравенство
lft*n) - fta)l < £•
По условию имеем:
1) для любого е > 0 существует 8Х = 8х(е) > 0 такое, что при всех у с условием \у - а\ < 8Х выполняется неравенство
1ftУ) - fta)| < е;
2) существует п0 = п^б^ такое, что при всех п > п0 выполняется неравенство
|хп - а| < 5Р
Положим n0 = n^S^e)). Тогда при всех и > п0
|хп - а| < 8г и |ftxn) - fta)| < е. ◄
ТЕОРЕМА 5. Пусть Jim g(x) = у0, причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки х0 имеем g(x) и у0, и пусть lim f(y) = I. Тогда
lim ft#(x)) = Z. x -»x0
► Надо доказать, что для любого е > 0 существует 8 = 8(e) > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х - х0| <8 выполняется неравенство
|/U(x))-Z|<e.
По условию имеем, что для любого е > 0 существует такое 8t = = 8х(е) > 0, что при всех у с условием 0 < \у - ^/0| < 8Х выполняется неравенство \f(y) - l\ < е. Для заданного 8Х > 0 имеем также, что существует S2 = SCSjj > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х -- х0| < 82 выполняется неравенство |g(x) - у0| < 8Р Кроме того, согласно условию существует 83 > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х - х0| < 83 справедливо неравенство g(x) yQ. Тогда возьмем
8 = mln (83, 82(81(е))).
Получаем, что при этой величине 8 выполняется требуемое неравенство. ◄
71
Пусть теперь f(x) имеет предел по базе В. В каком случае сложная функция h(t) = f(g(t)) по некоторой другой базе D имеет тот же предел? Другими словами, когда в функции,, стоящей под знаком предела, разрешается делать замену переменной х на новую переменную (с соответствующей заменой базы В на новую базу D) так, чтобы значение предела сохранялось? Здесь имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6. Пусть lim f(x) = I. Тогда для того чтобы суще-ствовал предел
lim = I, достаточно, чтобы при отображении х = g(t) каждое окончание Ь базы В содержало (целиком!) образ некоторого окончания d базы D.
► В силу определения предела функции по базе В имеем, что для всякого е > 0 существует окончание b « Ь(б) е В такое, что при всех х е Ь имеем |/(х) - 1\ < е.
Из условия теоремы следует, что существует окончание de D такое, что g(d) с b, следовательно, для любого ted
1ЯМО)-*|<е, что и означает справедливость утверждения теоремы. ◄ ПРИМЕРЫ. 1. Пусть
lim f(x) = l,x = 1/t.
Тогда	* 00
lim f (= I.
t->o \t)
Действительно, любое окончание b = {x ||x| > с} базы В (x -» oo) содержит целиком образ окончания d = {t ||t| < 1/c} базы D (t —> 0).
2.	Пусть
.	= J1, если x = 0,
~ 10, если x 0, и g(t) = 0. Тогда
lira f(x) = 0, но lim = 1,
т. e. сложная функция имеет другой предел. В этом случае окончания Ь8 е В (х —> 0) имеют вид 0 < |х| < S, но образ любого окончания d е D, d = {t | 0 <|11 < 8Г}, имеет вид х = 0, т. е. в окончаний Ь8 базы В не содержится образ ни одного окончания базы D, т. е. не выполнены условия теоремы 1.
3.	Пусть /(х) -> I при х —> а и g(t) -» а при t -> Ь, причем g(t) * а в некоторой проколотой окрестности точки Ь. Тогда для сложной функции h(t) имеем h(t) = f(g(t)) -> I при t —> b.
72
Действительно, каждое окончание базы х -> а представляет собой некоторую проколотую окрестность точки х — а< Но в силу условия g(t) -> а и g(t) а при t —> Ъ эта окрестность содержит образ некоторой проколотой окрестности точки t — b при отображении х = g(t). Таким образом, здесь выполнены условия теоремы 6, и поэтому ft(t) -> I при t -> b, что и требовалось доказать.
Доказанные теоремы применяются при вычислении пределов функций.
4.	При х О
.. \ = *2 + 2х + 1 О2+ 2<0 + 1 = .. х3 + х + 1 О3+ 0 + 1
5.	При х —> 2
.	22 + 2<2 + 1 = _9_
/W -> 23 + 2 + 1	11 ’
6.	При х —>
.. . 1 l + 2/x + l/x2	_
- х  l +	+	°-
$ 7. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ
Определение 8. Пусть а(х), Р(х), т(х) — бесконечно малые функции по базе В, причем Р(х) # 0 на некотором окончании базы. Тогда, если а(х) представлена в виде
а(х) = р(х)у(х), то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок малости, чем Р(х).
Определение 9. Бесконечно малые функции а(х) и р(х) называются эквивалентными (по базе В), если разность
8(х) - а(х) - р(х) имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (или Р(х)). В этом случае пишут: а ~ р (по базе В).
УТВЕРЖДЕНИЕ 11. Следующие утверждения эквивалентны: 1) а ~ Р (по базе В): 2) p/а - 1 (по базе В), а/Р - 1 (по базе В).
► 1) По условию 8 = а - р имеет более высокий порядок малости, чем а, т. е. 8 = осу, где у — бесконечно малая функция. Следовательно, Р = а - 8,
р/а = (а - 8)/а = а(1 - у)/а = 1 - у —> 1.
2) Обратное утверждение доказывается аналогично. ◄
73
Определение 10. Пусть функция g(x) не обращается в нуль на некотором окончании базы В.
1.	Если функция Л(х) = f(x)/g(x) финально ограничена (по базе В), то пишут:	>
f(x) = O(g(x)) (по базе В).
Читают: f есть О большое от g по базе В и пишут:
f(x) < g(x) (по базе В).
В случае, когда f(x) g(x) Дх), говорят, что функции f(x) и g(x) имеют одинаковый порядок по базе В.
2.	Если функция Л(х) — бесконечно малая, то пишут: Дх) = = o(g(x)) и читают: f есть о малое от g.
3.	Если существуют число 8 > 0 такое, что для любого окончания Ь базы В найдется хе b условием |й(х)| > 8 > 0, то пишут:
Дх) = £2(g(x)) (по базе В).
Читают: f есть омега от g (по базе В).
4.	Функция Дх) = О(хт) при х —> 0 называется бесконечно малой порядка т.
Знаки O(g), o(g), £2(g) предложены Э. Ландау, а знак <К ввел И. М. Виноградов.
ПРИМЕРЫ. 1. При х -> оо имеем
(х + 1)/(х + 2) = О(1).
2.	При х —> °о имеем
sin х/х = о(1), sin х/х « 0(1/х), sin х/х e Q(l/x).
3.	При х —> 0+ имеем Jx - х ~ Jx.
4.	При х —> +°° имеем Jx - х —х.
ГЛАВА 4
Непрерывность функции в точке
Лекция 12
$ 1. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
1)V е>038 = 8(e) > 0 V х: |х - х0| < 8 => |/(х) - Дх0)| < е;
2)	Нт ftx) = /(х0);
3)	Нт /(х) = ft Нт х);
4)	f(x) = ftx0) + а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х —> х0, а(х0) = 0;
5)	для любого е > 0 имеем: г-окрестностъ точки ftx0) содержит образ (при отображении f) некоторой окрестности точки х0.
Эквивалентность этих определений следует из доказанных ранее теорем о пределах.
Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если
f(x0+) = lim f(x) = f(x0);
X —? XqT
непрерывной слева, если
Лхо_) = Л“ f(x) = f(x0).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Для того чтобы функция f(x) была непрерывной в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы она была одновременно непрерывна и справа, и слева.
► Необходимость. Если f(x) непрерывна, то f(x) -> ftx0) при х -» -> х0. Это значит, что для любого е > 0 существует 8 = 8(e) > 0 такое, что при всех х: |х - х0| <8 справедливо неравенство Iftx) - ftx0)| < е. Но тогда при всех х: -8 < х - х0 < 0 имеем Iftx) “ ft*0)l < е» т* е* Ях) непрерывна слева. Непрерывность справа устанавливается аналогично.
75
Достаточность. Функция /(х) непрерывна справа и слева при х —> х0. Тогда
V е > О Э 8Х = 8х(е) > О V х: 0 < х - х0 < 8Х => |/(х) - f(x0)\ < е;
3 62 = 32(е) > О V х: -32 < х - х0 < 0 =» |/(х) - f(x0)| < е.
Возьмем 8 = min (8Х, 32). Тогда для любого е > 0 существует 8 > О такое, что при всех х: |х - х0| < 8 имеем |Дх) - /(х0)| < е, т. е. функция Дх) непрерывна в точке х0. ◄
ПРИМЕР. Пусть функция Дх) непрерывна в каждой точке отрезка [а, &]. Тогда функция
тоже непрерывна в каждой точке отрезка [а, Ь] (непрерывность в концевых точках отрезка понимается как непрерывность справа или слева).
Действительно, имеем: функция F(x) непрерывна при х = х0, где х0 — нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки С(х) ?= cnf(ri)9 А(х) = *	* сп — постоянные. Пусть
х0 — целое число. Тогда
F(x0+) - Um + F(x) = а жоcnf(n) - f(x0) а<^х<сп = F(x0), F(x0-) = Um . F(x) = a < Jxo_ x cnf(n) - f(x0) * < cn = F(x0). В силу предыдущего утверждения функция F(x) непрерывна в точке х = х0.
Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих свойств пределов.
Пусть функции f и g непрерывны в точке х0. Тогда в точке х0 имеем:
а)	функция crf + c2g непрерывна для всех ср с2 е R;
б)	функция fg непрерывна;
в)	функция f/g непрерывна, если £(х0) и 0;
г)	если функция Дх0) и 0, то существует 8 > 0 такое, что
f(x)f(x0) > О V х е (х0 - 8, х0 + 8)
(т. е. функция Дх) сохраняет знак);
д)	функция Дх) ограничена в некоторой окрестности точки х0;
е)	если Дх) непрерывна в точке х0, g(y) непрерывна в точке j/0 = Лхо)’ то ^(х) = £(Д*)) непрерывна в точке х0.
76
$ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Перечислим элементарные функции.
1.	Р(х) — многочлен, Р(х) = aQxn + ... + ап.
2.	Рациональная функция f(x) = Q(x)/P(x), где Р(х), Q(x) — многочлены.
3.	Показательная функция /(х) = ах9 а > 0, а 1.
4.	Степенная функция Дх) = ха = еа1п х.
5.	Логарифмическая функция Дх) = loga х, а > 0, а # 1.
6.	Все тригонометрические функции.
7.	Всевозможные суперпозиции всех этих функций.
Эти функции называют элементарными потому, что только их рассматривают в рамках элементарной математики. Описание функциональных свойств этих функций существенным образом опирается на определение понятий показательной, степенной и логарифмической функций, а также на определения функций синус и косинус от вещественного аргумента. Следует сказать, что в элементарной математике свойства перечисленных функций устанавливаются, в основном, описательно, исходя из наглядных арифметических и геометрических соображений. В курсе математического анализа эти функции используют главным образом в качестве материала для применения общей теории, и мы могли бы оставаться на данной «наивной» точке зрения. Однако средства математического анализа позволяют дать вполне строгое определение всех основных элементарных функций. Для показательной, логарифмической и степенной функций это будет сделано сразу после изучения свойств монотонных функций. Несколько сложнее ситуация с тригонометрическими функциями, поскольку их определение должно опираться на понятие длины дуги окружности или на понятие степенного ряда. Пока же, отвлекаясь от строгих определений и опираясь на основные функциональные свойства, докажем непрерывность показательной функции у = ах и функции у = sin х.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. При любом х0 g R функция у = ах непрерывна.
► Пусть а > 1. Тогда надо доказать, что для любого е > О существует 8 = 8(e) > 0 такое, что при всех х с условием |х - х0| < 8 имеем |ах - ахо| < е, или, что то же самое, |а* " *<> - 11 < еа~х° = еР Заметим, что можно ограничиться случаем ех < 1. В качестве 8(e) возьмем число 8Х = 8х(ех) > 0 такое, что из неравенства |х - х0| < 8Х следует неравенство |а*“*о - 1| < еР Далее положим 8(e) = 81(е1) = ^/(а-1).
77
Имеем -8Х < х - х0 < 8Х. Так как а > 1, то а"81 < ах~х° < а81, а-81 -1<ах~х° -1 < а81 -1.
Сначала докажем, что а81 - 1 < ех. Положим
Тогда 1/8х > N, т. е. 8Х < 1/N. Так как
(1 + ех)х> 1 + exN> 1 + ех^ >а, ТО
1 + ех > a1/N > а81. Отсюда следует, что
Окончательно имеем
-ех < a"5i - 1 < ах-хо- 1 < a5i - 1 < ер следовательно, |ах-х<> - 1| < ер Тем самым доказана непрерывность f(x) = ах в точке х0. ◄ УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Функция f(x) = sin х непрерывна в точке х0. ► Вспомним, что |sin х| < |х|. Тогда имеем
.	х-х0 х-х0
|sm х - sin х0| = 2sm—— cos——
=|х - х0|.
< 2
х-х0 2
Таким образом, для любого е > О положим 8(e) = е, и получим |sin. х - sin х0| < е V х: |х - х0| < е.
Следовательно, функция Дх) = sin х непрерывна. ◄ Эти утверждения можно записать так:
sin х = sin х0 + а(х), ах = а*0 + 0(х), где а(х), р(х) — бесконечно малые функции.
Оказывается, что при х -> 0, т. е. при х0 = 0, имеют место более точные соотношения, которые называются замечательными пределами:
sinx J ех -1	1
х ~ ’ х
Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных свойств элементарных функций.
78
Лекция 13
$ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Имеют место следующие соотношения:
a)	lim (1 + 1/х)х = е;	в) lim
б)	lim (1 + х)1/х = е;	г) lim -—- = 1.
’ х-»0'	’	' х-*0 X
► а) Рассмотрим сначала случай х —> +°о. в силу свойства монотонности показательной функции справедливы неравенства
/	1	\[х]	/	1 \*	/	1 \ [х] + 1
(1 + ятг) +	
Но мы знаем, что
п
= е.
Отсюда
п
п + 1)	*
= е*
т. е. справедливы утверждения
Ve>03^»N1(e): Vn
3N2 = N2(e):Vn>N2^
1 \п
1 + —Ч) п + 1)
1 \ п + 1
Тогда при п > max (Nt, N2) имеем
1 \n + l
Если х > 1 + max (N19 N2) = N, то [x] > max (N19 N2) = N - 1. Следовательно, при x> N справедливы неравенства
/	1	/ I \x /	1 \i*] +1
e-e<(l + —-]	< 11 +	- I	< l +	Al	<e + e.
k [x] + l/ I	x) k	M)
Таким образом, получаем
Это значит, что (1 + 1/х)х —> е при х —> +°°.
79
Рассмотрим теперь случай х -> Положим у = -х. Тогда, используя теорему 6 гл. III о пределе сложной функции, имеем
(	1 XV	( и \У	/	1 Vs
е = lim 11 4----- | = lim I ] = lim 11 — | =
у -> 4-00 у	у - 1 ) У-^+со \у — 1 J У -++°° V у J
= lim fl + -1 • х —» —оо \	х )
Объединяя случаи х —> 4-оо и х —> -°°, приходим к соотношению
( IV
lim | 1 + - I = е.
Х->оо у	X )
Утверждение а) доказано.
б)	Для доказательства соотношения Jim (14- х)1/х = е воспользуемся той же теоремой 6 гл. III. Полагая х = 1/у, получаем
(1 V
14-- = lim (1 4- х)1/*. у) х->о v '
в)	Так как
(1 4- Х)1/х = gln(l+x)/x е ПрИ х —> О, то из непрерывности и монотонности функции у = ех следует, что
lim 1ПЦ+-5Е2 .1. х-»0 X
г)	Вновь воспользуемся теоремой о пределе сложной функции, полагая
g(x) = ех -1 -> 0 при х —> О,
/(y)=111-a"±iL) —>1приг/~>0, У
и, кроме того, /(0) = 1. Тогда имеем f(g(x)) = хЦех - 1) -> 1 при х —> 0. Отсюда следует утверждение г). <
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. lim = 1.
х-»0 X
► При 0 < х < л/2 рассмотрим сектор единичного круга, отвечающего дуге длины х, и два треугольника, один из которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит его, имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая площади этих фигур, имеем sin х/2 < х/2 < tgx/2. Отсюда получаем cos х < sin х/х < 1. Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они имеют место при 0 < |х| < л/2. Так как cos х — непрерывная функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах
sinx -hm------ = 1.
80
Рассмотрим примеры вычисления пределов.
fl +	- 1
ПРИМЕРЫ. 1. lim ------------а.
х-»0 X
(1 + х)а- 1 = galnd+x)-! = еах + о(х)-1 = 1 + дХ + о(х) - 1
= а + о(1) -> а при х —> 0.
Этот прием называется заменой бесконечно малой функции на эквивалентную ей.
Л ..	1 - cosx 1
2.	hm -----5— = о-
х->0 х2 2
1 - cosx	= 2sin2(x/2)	2(х/2 + о(х))2	_ х2/2 + о(х2)	_ 1
х2	х2	х2	х2	2	1 '*
Таким образом:
1)	(1 + х)а = 1 + ах + о(х) при х -> 0;
х2
2)	cos х = 1 - -у + о(х2) при х —> 0;
3)	Jirn^ (1 + xln}n = ех. Положим хп = х/п —> 0 при п —>	Тог-
да по теореме о пределе сложной функции имеем
X Um ln(1 + *>Л
lim (1 + х/п)п = lim ((1 + х_)1/ж» F = е п^°° *»	= ех.
П —> оо	и —> оо	п'	'
§ 4.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 3. Функция Дх) называется непрерывной на множестве А9 если она непрерывна во всякой точке х е А.
Если не все точки множества А входят в него с некоторой окрестностью, то это определение немного меняется.
Определение 3'. Функция Дх) называется непрерывной на отрезке [а, &], если она непрерывна при всех х0 с условием а < xQ<b, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Определение 4, Функция Дх) на множестве А называется: а) неубывающей (f Т на А), если f(a) < f(b) при всех значениях а, b е А9 а < Ь;
б)	невозрастающей (fl на А), если f(a) > f(b) при всех значениях а9Ье А9 а <Ь;
в)	(строго) возрастающей (/??), если f(a) < f(b) при всех значениях а9 b е А9 а < Ь;
г)	(строго) убывающей если f(a) > f(b) при всех значениях а9 be А9 а <Ь.
Если функция Дх) неубывающая, или невозрастающая9 или возрастающая9 или убывающая на А, то она называется монотонной функцией на А.
81
Определение 5. Если в своей области определения функция f(x) не является непрерывной в точке х0, то она называется разрывной в точке х0. Точка х0 называется точкой разрыва f(x).
Определение 6. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют конечные пределы Jim + f(x) и Jim __ Дх). В противном случае точка разрыва функции f(x) называется точкой разрыва второго рода.
ПРИМЕРЫ. 1. у = {х} имеет разрывы первого рода в целых точках.
2. у = sin (1/х) в точке х0, = 0 имеет разрыв второго рода. ^Рассмотреть две последовательности: х_ = — , уп =----.)
КП тс/2 + пп '
Определение 7. Разрыв первого рода в точке х0 называется устранимым, если существует lim Дх) = I, но I * f(xQ).
Этот разрыв устраняется, если по-новому определить (или, возможно, доопределить) Дх) в точке х = х0, положив Дх0) = = Jim Дх). Если функция Дх) -> I при х -> х0, но Дх) не определена при х = х0, то говорят также, что имеет место устранимый разрыв. В противном случае разрыв первого рода называется неустранимым.
ТЕОРЕМА 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке). Пусть функция Дх) — монотонная на отрезке [а, &]. Тогда она может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода. Более того, при всех х0 е [а, &] имеем
lim Дх) = inf Дх) = 1г, lim f(x) = sup Дх) = l2, l2<f(XQ)<lv
если f(x) не убывает. Если же функция f(x) не возрастает, то
lim Дх) = sup Дх) = 11г lim Дх) = inf Дх) = 12,
х -> Хо+	х > хо	X -> х0-	х < х0
Z1 < Дх0) < 12.
► Рассмотрим только один случай, когда функция Дх) не убывает (ft) на [а, &]. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Докажем теорему в этом случае. Имеем
lim Дх)= inf Дх) = 1Р
х —> Х0Т	х > х0
Аналогично доказывается, что
lim Дх) = sup Дх) = 12.
X х0-	X < х0
82
Так как — точная нижняя грань множества значений Дх)при х > х0, то:
l)7(x)>Z1Vx>x0;
2) V е > 0 3 хг > х0 такое, что Дхх) +
В силу того, что Дх) — неубывающая функция, имеем
Vx: х0 < х < хх => 1г < Дх) < 1г + е, следовательно, = Jim + Дх). Имеем еще, что число Дх0) — нижняя грань для {Дх)} при х > х0, откуда Дх0) < lv
Аналогично Дх0) > Z2, откуда 12 < Дх0) < lv ◄
ТЕОРЕМА! (критерий непрерывности монотонной функции). Пусть функция Дх) определена и монотонна на отрезке [а, &]. Тогда для непрерывности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого I е [Да), Д&)1 нашлась точка х0 g [а, &] такая, что Дх0) = I.
► Рассмотрим только случай неубывающей функции Дх) на отрезке [а, &].
Необходимость. Возьмем любое число I g [Да), Д&)]. Рассмотрим множество X = {х} cz [а, &], для которых Дх) > I, и пусть х0 = inf X. Тогда, поскольку Дх) неубывающая функция, имеем
lim Дх) = inf Дх) = lx > I.
При х < х0 (если х0 а) Дх) < I. Отсюда lim f(x) = l2<l, X —» х0
т. е. l2 < I < lv
Если функция Дх) непрерывна на [а, &], то она непрерывна в точке х0, т. е. 12 = = Дх0). Следовательно, I = 12 = 1г = Дх0).
Если же х0 = а, то Да) < I < 1Х, то из непрерывности функции Дх) в точке а слева следует, что Да) = Zp значит, I = Да) = lv
Достаточность. Будем рассуждать от противного. Пусть функция Дх) имеет разрыв в точке х0 и Дх) не убывает на [а, &]. Тогда для значений 1г = lim + Дх), l2 = lim _ Дх) выполняются неравенства l2 < Zi и 12 < Дх0) < lv
Возьмем I g (l2, IJnl?* Дх0). Имеем:
I > Дх) при х < х0, I < Дх) при х > х0, l^f(x) при х = х0, т. е. функция не принимает значение I на [а, &]• Таким образом, мы пришли к противоречию. «
83
ТЕОРЕМА 3 (об обратной функции). Пусть функция у = /(х) строго возрастает и непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда существует функция х = g(y), строго возрастающая, определенная на отрезке [/(а), /(&)] и непрерывная на нем, такая, что
= x9m.e.g = Л1.
► 1. Отображение [а, &]	[/(а), /(&)] инъективно, где [а, &] = 119
[/(а), /(&)] = 129 т. е. является вложением. Другими словами, для любых точек хг х2 имеем неравенство ftxj f(x2).
2. Отображение / сюръективно, т. е. является накрытием. Это имеет место по теореме 2, утверждающей, что для любого числа I е [/(а), /(&)] найдется точка х0 g [а, &] такая, что /(х0) = I. Следовательно, f есть биекция, т. е. f устанавливает взаимно однозначное соответствие между и 12. Тогда существует обратное отображение g9 т. е. обратная функция х = g(y).
1. Эта функция монотонно возрастает, так как если уг > у29 то gtyj = хх и g(y2) = х2, причем /(xj = угн f(x2) = у2. Отсюда хх > х2, поскольку /(х) монотонно возрастает.
2. Эта функция g(y) принимает все значения из [а, &], так как для каждого х существует у такое, что g(y) = х, и этим у является число /(х). Отсюда в силу теоремы 2 имеем, что функция g(y) непрерывна на отрезке 12. ◄
Используя доказанные выше теоремы о монотонных функциях, снова обратимся к изучению элементарных функций. Прежде всего, заметим, что при натуральном т функция Дх) = хт -= х ... х является непрерывной и строго возрастающей при х >0.
т раз
Действительно, если а > Ь > 0, то
ат > am~rb > ат~2Ъ2 > ... > аЬ"1"1 > Ьт.
Непрерывность же функции Дх) = хт следует из того, что она является произведением т непрерывных функций вида у = х.
По теореме 3 при всех х > 0 для нее существует обратная функция g(x), которая тоже непрерывна и строго возрастает. Для нее, как известно из курса элементарной математики, используется обозначение g(x) = mJx и она называется операцией извлечения корня тп-й степени. Зафиксируем теперь число х > 0 и натуральное т и рассмотрим числа у = mJx9 z = mJx^. Тогда ут = х, утп = хп, zm = хп* откуда имеем (уп)т = zm иуп = z9 т. е. (mJx)n = = "л/х". Это значит, что операция извлечения корня и возведе
84
ния в целую степень перестановочны, и для числа z возможно использовать обозначения вида z = xn/m и z~x *= x-n/m.
Пусть теперь г *= а/& и гх *= а1/Ь1 — рациональные числа, при? чем а, аг — целые числа, а &, Ьг — натуральные числа. Полагая d = имеем
xrxri =	=	+ «1* = х(аЬ1+а1Ь)/ЬЬ1 =	.
Аналогично получаем
(хг)Г1 = (da&i)ai/6i = daai = xaai^bbi) = xrri.
Таким образом, для рациональной степени фиксированного числа х выполняются те же функциональные соотношения, что и для целой степени того же числа %.
Далее, используя прежние обозначения, допустим, что г>т\ и х > 1. Тогда d > 1, abr > агЬ и dabi > daib, xr > xri.
Следовательно, при возрастании рационального числа г при х > 1 значение хг возрастают. Далее положим х — е. Ранее для любого натурального Ь были получены неравенства
(1+ l/b)b < е < (1 + 1/&)&+1.
Отсюда следует, что
е1/(&+1)<1 + 1/&<е1/&>
Выполняя очевидные преобразования, получаем
ei/(6+D < 1 + 1 = t	> 1 - 1/(& + 1).
Далее, пусть |r| < 1 и г = m/п. Тогда |т\ < п. Применяя неравенство Бернулли, приходим к неравенству
(е±1/Л)|т| > (1 ± |тп|/п), ет/п = > 1 + г.
Отсюда в случае 0 < г < 1 имеем
e~r> 1 - г, ег< 1/(1 - г) = 1 + г/(1 - г).
Пусть теперь а — иррациональное число и рациональные числа и г2 удовлетворяют неравенствам < а < г2. Тогда если {rj — множество всех рациональных чисел, определяемых условием т\ < а, то соответствующее ему множество чисел Mr = {eri} ограничено сверху числом егк Следовательно, существует число уг = sup {eri}. В силу аналогичных соображений относительно множества ЛГ2 = {еГ2} существует число у2 = inf {erz}.
Покажем, что на самом деле имеет место равенство yt = у2. Для этого сначала заметим, что каждое из чисел егг является верхней гранью множества М19 в то время как ух — точная верх
85
няя граць этого множества. Следовательно, для любого г2 > а выполнено неравенство ух < ег2. Это значит, что ух — нижняя грань множества М2. Но так как у2 — это точная нижняя грань данного множества, то ух < у2.
Выберем теперь некоторые значения т\ и г2 с условием
[а] < т\ < а < г2 < [а] + 1.
Тогда справедливы неравенства
О < Yo - у, < егз - eri = ег>(еГ2' r' ~ 1) < еМ+1—Гг ~ Г1— . '2	1	1-(г2-гх)
Но поскольку число у2 - ух — фиксировано, а число г2 - гх > О может быть сколь угодно малым (например, в качестве гх и г2 можно выбрать любые округления числа а с избытком и недостатком), отсюда следует, что у2 - ух = 0, т. е. у2 = ух. Указанную величину ух = у2 = у возьмем в качестве значения степени еа, т. е. по определению полагаем у = ух = у2 = еа. Тем самым мы определили функцию у = ех для всех возможных вещественных значений х.
Осталось показать, что эта функция строго возрастает и удовлетворяет функциональному уравнению вида	= e*i + *2.
Прежде всего следует отметить, что из ее определения вытекает, что если гх < а < г2, где гх и г2 — рациональные числа, то имеет место неравенство eri < еа < еЪ Но тогда, если а < 0, то на интервале (а, 0) найдется рациональное число г3 такое, что имеет место неравенство еа < егз <
Таким образом, строгая монотонность функции у = ех установлена. Пусть теперь ц = ос + 0. Заметим, что если ц — рациональное число, то и в этом случае при рациональных гх и г2 имеем
& = sup eri = inf егк П < И г2>ц
Доказательство последнего равенства по существу повторяет рассуждения, проведенные выше для иррационального числа ц.
Представим теперь число гх в виде rx = rj + /х', где /х < а и < 0, а число г2 — в виде г2 = г2 + г^, где > а и г2 > 0. Тогда будем иметь
eri —	+ г'{ <	< вг'2 + г2 — еГ2, егх < gg < er2e
Отсюда следует, что h = |е^ - еаеР| < егг -
Но ранее уже было показано, что данное неравенство при произвольных рациональных значениях гх и г2 с условием гх < Ц < г2 влечет за собой равенство Л = 0. Другими словами, это означает, что eg = ea + p = eaep>
86
и тем самым все требуемые свойства функции у = ех9 определенной ранее на всей вещественной оси доказаны полностью.
Тогда у функции /(х) = ех, отображающей вещественную ось R на луч (0, +°°), существует обратная функция g(x), отображающая луч (0, +°°) на всю вещественную ось Я. Эта функция называется натуральным логарифмом и обозначается так: g(x) = = In х. Она всюду непрерывна, строго возрастает и удовлетворяет условию: х = е1п х. Отсюда имеем
gin xy =	= gin Xgln у = gin x+ln у.
Поэтому справедливо равенство In xy = In х + In у. Тем самым установлено основное свойство функции у = In х.
Рассмотрим степенную функцию у = ха, где х > 0. Для рациональных значений а ее свойства уже описаны при определении показательной функции. Если же а — иррациональное число, то тогда эту функцию можно определить равенством ха = еа1пх. В этом случае все ее элементарные свойства следуют из уже рассмотренных свойств показательной и логарифмической функций.
Здесь снова уместно подчеркнуть, что строгое обоснование свойств тригонометрических функций в этой части курса проводиться не будет.
Рассмотрим несколько примеров на применение доказанных выше теорем.
ПРИМЕРЫ. 1. Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х — непрерывные на всей области их определения. Это утверждение является прямым следствием доказанных выше теорем.
2. Существует единственная функция х = х(у) (-°° < у < +°°), удовлетворяющая уравнению Кеплера
х - е sin х = у (0 < е < 1).
Действительно:
1) функция у(х) монотонно возрастает, так как при хх > х2
У1 - У 2 = Х1 “ Х2 ~ £(sin Х1 ~ sin Х2> =
Х1 ~ х2 Х1 + Х2
= «1 - х2 - 2е sin—g— cos ——
Xt - X, X, + Хп	X. - Хп
2esin—Ц5—- cos \ 2 < 2е-Ц—2 a	&	и
= £(*! - Х2),
У1 - у2 > (1 - £X*i - х2) > 0;
2) у(х) = х - е sin х — функция непрерывная.
По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < b существует единственная непрерывная функция х(у), удовлетворяющая уравнению Кеплера.
Лекция 14
§ 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
ТЕОРЕМА 4 (об обращении функции в нуль). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а, Ь] и на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0. Тогда существует с g (а, Ь) такое, что f(c) = 0.
►	Воспользуемся методом Больцано. Отрезок Jo = [а, Ь] разделим пополам точкой хх = (а + Ь)/2. Если Дхх) = 0, то все доказано. Если нет, то f(x^j имеет знак, отличный либо от Да), либо от /(&). Обозначим через тот из двух отрезков [а, или [хх, &], на концах которого Дх) принимает значения разных знаков. Теперь разделим Jx пополам точкой х2 и выберем отрезок J2 так, чтобы на концах его функция Дх) имела значения разных знаков. Поступая так и далее, получим последовательность вложенных отрезков Jq3 J2j ... . Это последовательность стягивающихся отрезков, так как длина Jn равна 8П = 8О/2П —> 0 при и -» оо. Пусть х0 — общая точка всех отрезков. Тогда если Jn = = [ап, Ьп], то ап -> х0 и Ьп -> х0 при п -> оо, и отсюда
/(«„) -> Лхо) и Л&п) -> f(xo) при п ОО.
Так как /(а„)/(Ь„) < 0, то Jim f(an)f(bn) = /2(х0) < 0. Следова-тельно, Дх0) = 0. ◄
ТЕОРЕМА 5 (о промежуточном значении непрерывной функции). Пусть функция Дх) непрерывна на [а, &], Да) = а, ДЬ) = 0 и пусть с — любое число, удовлетворяющее условию
а < с < р, если а < Р, Р < с < а, если р < а.
Тогда существует точка х0 g [а, Ь] такая, что Дх0) = с.
►	Рассмотрим функцию £(х) = Дх) - с. Если g(a) или g(b) = 0, то тогда х0 = а или х0 = Ь. Если же g(a)g(b) * 0, то g(a) и g(b) имеют значения разных знаков. По теореме 4 существует точка х0 g [а, Ь] такая, что £(х0) = 0, откуда Дх0) = с. ◄
ТЕОРЕМА 6 (об ограниченности непрерывной функции). Функция, непрерывная на [а, Ь], ограничена на этом отрезке.
►	Проведем доказательство методом Больцано. Предположим противное, т. е. пусть функция Дх) не ограничена. Тогда разде
88
лим отрезок JQ = [л, &J пополам. В качестве J\ выберем ту половину отрезка, где f(x) не ограничена. Снова делим пополам и выбираем в качестве J2 ту его половину, на которой Дх) не ограничена. Имеем JQ Z) J\ z> J2 Z)... Z) Jn z> ... . Получена последовательность стягивающихся отрезков. Пусть х0 — их общая точка. В ней функция Дх) непрерывна. Возьмем S(l) — окрестность точки х0, в которой |Дх) - Дх0)| < 1. Тогда
|Д*)1 = |(Дх) - Дх0)) + Дх0)| < |Дх) - /(х0)| +1 Дх0)| < 1 + | Дх0)|
и функция Дх) ограничена в 5(1)-окрестности точки х0. Поскольку 8(1) > 0, то в ней целиком содержится всякий отрезок Jn, если только его длина 8Л = (Ь - а}/2п < 8(1). Но тогда Дх) ограничена и на отрезке Jn, это противоречит построению {Jn}. ◄
ТЕОРЕМА 7 (о достижении непрерывной функцией точной верхней и нижней граней). Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей точной верхней грани и точной нижней грани, т. е.
хг е [а, &] такое, что sup Дх) = ДхЛ, х € [а, ft]
х2 е [а, Ь] такое, что inf =
Докажем теорему только для sup Дх), так как для случая inf Дх) можно рассмотреть функцию Д(х) = -Дх).
► Воспользуемся методом от противного. Пусть А = sup Дх), А 5^ Дх) при всех х g [а, &]. Тогда А > f(x) для любого х. Но тогда А - Дх) — непрерывная функция и А - Дх) > 0 при всех х g [а, &].
Следовательно, функция g(x) = 1/(А - Дх)) тоже непрерывна. Поэтому функция g(x) ограничена по теореме 3 и, значит, найдется В > 0 такое, что
А - f(x)
Отсюда
А - Дх) > 1/В, Дх) < А - 1/В,
т. е. число А - 1/В есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но это противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань. ◄
Так как для непрерывной функции Дх) на отрезке точная верхняя грань и точная нижняя грань достижимы, то А = sup Дх) называют максимальным значением f(x), а В = inf Дх) — минимальным значением Дх) и пишут:
А = max Дх), В = min Дх).
хе[а, ft]	хе [a, ft]
89
ПРИМЕР. Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [а, &] и пусть а = хг < х2 < ... < хп = Ь. Тогда существует точка £ е [л, Ь] такая, что выполняется равенство
= f(x1) + f(x2) + ...+f(xn)
Действительно, пусть
т = min (/(хх), Дх2)...ftxj), М = max (/(xj, ftx2),, f(xn)).
Тогда, очевидно, справедливо неравенство
/(ХХ) + Лх2) + ... + ftxn)
т <---------------------- = А < М.
п
Следовательно, в силу теоремы 5 о промежуточном значении непрерывной функции, отрезок [m, М] принадлежит области значений функции Дх), и поэтому существует точка £ е [а, &] такая, что Д£) = А. Это и есть искомая точка.
Лекция 15
§ 6. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Запишем определение функции, заданной на множестве X и непрерывной в точке х0 е X: для любого е > 0 существует такое 8 = 8(e) > 0, что при всех хе X и |х - х0| < 8 имеем | Дх) - Дх0)| < е.
Вообще говоря, при фиксированных е > 0 у каждой точки х0 будет свое значение величины 8(e), т. е. 8(e) зависит от х0 и это можно символически записать так: 8(e) = 8(е, х0).
Если оказалось, что для любого е > 0 и всякой точки х0 е X величина 8(e) не зависит от х0, то функция Дх) называется равномерно непрерывной на множестве X.
Запишем это определение более четко в эквивалентной форме. Определение 8. Функция Дх) называется равномерно непрерывной на X, если V е > 0 3 8 = 8(e) > 0 такое, что
V хр х2 е X : |xt - х2| < 5 => Iftxj) - ftx2)| < е.
ТЕОРЕМА 8 (теорема Гейне—Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
► Для доказательства воспользуемся методом от противного. Пусть функция Дх) непрерывна, но не является равномерно непрерывной на [а, &]. Тогда
3 е > О V 8 > 0 : Va, р е X : |а-Р| < 8 и |Да) - ДР)| > е.
Рассмотрим последовательность 8 = 8Л = 1/п. Каждому п тогда соответствует пара точек ад, Рп такая, что
|а„ - р„| < 1/п, |/(ап) -/(рл)| > е.
Последовательности {ап} и {р„} являются ограниченными. По теореме Больцано—Вейерштрасса из а„ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {а,,*}, т. е. an* -> х0 е X при k -»оо. Далее,
1% ~ < 1/га*’
следовательно,	- Рп* — бесконечно малая последовательность и Рп* х0 при ft -> оо. Но тогда yk =	Л*о)> ** =
= /(РП(к) Дх0) при ft оо, т. е. tk = \yk - 2 J -> О при ft -> оо. Но это противоречит тому, что tk — |yk - zk\ > е, так как, переходя в этом неравенстве к пределу при k —> оо, получаем 0 > е, что неверно. ◄
91
Доказательство теоремы Кантора аналогично и для множества X, которое не обязательно является отрезком. Достаточно, чтобы множество X было ограниченным и содержало все свои предельные точки.
$ 7. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ.
КОМПАКТ. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ
Определение 9. Множество точек (на вещественной прямой) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Напомним, что х0 — предельная точка множества А, если во всякой окрестности точки х0 находится бесконечно много точек, принадлежащих А (сама точка х0 может принадлежать или не принадлежать А).
Определение 10. Множество называется открытым, если каждая его точка содержится в ее 8-окрестности, целиком состоящей из точек этого множества.
ПРИМЕР. Ийтервал — открытое множество, а отрезок — замкнутое множество.
Определение 11. Ограниченное замкнутое множество (на вещественной прямой) называется компактом.
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. а) Если А — замкнутое множество, тоАг = R\ А открыто.
б) Если В открыто, то Br = R\ В замкнуто.
► а) Воспользуемся методом доказательства от противного. Если существует a g Ар у которой нет окрестности, целиком состоящей из точек множества Ар то во всякой S-окрестности точки а есть хотя бы одна точка из А, отличная от а, следовательно, и бесконечно много точек из А. Но тогда а — предельная точка множества А, и в силу замкнутости А имеем, что а е А, но а е АР Имеет место противоречие.
б) Пусть р — предельная точка для Вг и Р g В. Тогда в любой ее окрестности есть точки Вр а это противоречит тому, что у любой точки множества В есть окрестность, состоящая из одних только точек множества В. Это значит, что Р ё В, т. е. р g Вр следовательно, Вг замкнуто. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. о) Любое объединение открытых множеств открыто, конечное пересечение открытых множеств — тоже открытое множество.
92
б)	Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.
►	Пусть а е у Аа. Тогда существует номер а0 такой, что а е А^, и существует 8-окрестность точки а, целиком принадлежащая Аао- Обозначим ее О8(а). Тогда О8(а) с U Аа, т. е. U Аа открыто.
Пусть теперь а g . Ah. Тогда 3 Оя (а) cz Ат V т п при 8 = = min (8Р ...» 8т) имеем
°8<а> = *61 °з/а) С Л61А-
Таким образом, утверждение а) доказано, а утверждение б) следует из утверждения а). ◄
Определение 12. Пусть заданы множество А и система множеств {В}. Будем говорить, что В есть цокрытие А, если для любого а е А существует В е {В} такое, что а е В.
Следующее утверждение обычно считают определением компакта.
УТВЕРЖДЕНИЕ 8 (лемма Боре л я). Из любого покрытия компакта открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
► Используем метод доказательства от противного. Пусть А — компакт, тогда существует отрезок Jo такой, что А с Jo (поскольку А ограничено). Делением отрезка пополам строим систему стягивающихся отрезков Jo b z> ... Jk о ... с условием, что множества А П Jk не допускают конечного покрытия для любого k. Пусть xQ — их общая точка.
Поскольку Jk А А не допускает конечного покрытия, в каждом отрезке Jk есть точки из А. Это значит, что точка х0 е А, так как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым множеством из системы множеств {В}, т. е. существует множество В такое, что х0 е В. Далее, существует номер k такой, что JkczB, поскольку длина Jk -> 0, а множество В открыто. Тем самым В покрывает Jk и A A Jk допускает конечное покрытие. Имеет место противоречие. ◄
ТЕОРЕМА 9 (обобщение теоремы Гейне—Кантора). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.
►	Возьмем любое е > 0 и зафиксируем его. Каждую точку х0 е К накроем 8'-окрестностью радиуса 8' = |8^|, х0), где 8^|, х0) = 8 определяется из условия, что для любого х е К с условием
93
|х - х0| < 8 имеем |/(х) - /(х0)| < е/2. Каждая такая З'-окрест-ность — это открытое множество. По лемме Бореля выберем конечное подпокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов J\, ... , Jk с длинами соответственно 81, ... , 8fe и центрами аг, ... , ак. Положим 3(e) = min (8Р ..., 8к). Если теперь точки хх и х2 таковы, что |х2 - xj < 8(e), то при некотором а = ав имеем, что точка хх принадлежит |з(|, а j-окрестности точки а, т. е. |хх - а| < |	°)* Но < I а)’ ПОЭТОМУ
1*2 ~ а1 = 1(*2 “ xi) + <*1 ” а)1 < 1*2 “ *il +1xi “ °1 <	а).
Отсюда |/(х2) - /(а)| < е/2. Но так как |/(хх) - /(а)| < е/2, то
l/(*i) - /(х2)| = |(/(хх) - /(а)) + (/(а) - Дх2))| < <1Г(*1)-Г(а)| + |/(х2)-/(а)|<е.
Это и означает, что /(х) равномерно непрерывна на К. <
ПРИМЕРЫ. 1. Функция у = Jx равномерно непрерывна при х > 1. Действительно, для любых хр х2 > 1 имеем неравенство
। ГТ _ ГТ I = Iх! хг| < Iх! ~ хг| ( 8 = Ч 1д/х1 vx21 Г— , Г- 2 ^2 е/
Отсюда для любого е > 0 получим, что при 8 = 2е
V хр х2е (1, +оо) :|х1-х2| <8=> |7*i ~ 7*^1 <е.
2. Функция у = х2 не является равномерно непрерывной на R, поскольку при е = 1 справедливо неравенство для разности
у(п 4- 1/п) - у(п) = (п + 1/п)2 - п2 = 2 4- 1/n2 > 1 = е
при всех натуральных п, а это означает, что не существует числа 8(1) > 0 такого, что для любых двух точек, находящихся на расстоянии, меньшем 8(1), модуль разности значений функции х2 в этих точках был меньше 1.
Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства функции f(x) не быть равномерно непрерывной на множестве А.
ТЕОРЕМА 10. Функция f(x) не является равномерно непрерывной на множестве А, если можно указать такое е > 0, что при всяком 8 > 0 найдутся числа ах = ах(8) g А и а2 = а2(8) G А с условием |ах - а21 < 5» которых [/(ах) - /(а2)1 е*
94
Замечания. 1. В данном определении вместо всех 8 > 0 достаточно ограничиться только числами 8 вида 8 — 8П — 1/п.
2. Непрерывность функции в некоторой точке х0 предполагает, что функция f(x) определена в некоторой 8-окрестности этой точки. Доказанная выше теорема 1 справедлива в несколько более общей ситуации. Приведем соответствующее определение.
Определение 14. Функция /(х), определенная на множестве А, называется непрерывной в точке х0 относительно данного множества А, если для любого г > 0 найдется 8 = 8(e) > 0 такое, что при всех хе Ас условием |х - х0| < 8 выполнено неравенство |/(х) - /(х0)| < е.
С учетом сделанных ранее замечаний, данное определение непрерывности можно записать через предел функции по некоторой базе.
Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 9, остаются полностью справедливыми и в том случае, когда условие непрерывности функции в точке заменяется сформулированным выше определением непрерывности относительно множества А, если только множество А = К является компактом. ч
L
ГЛАВА 5
Дифференцирование функций одной переменной
Лекция 16
$ 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Свойство функции Дх) быть непрерывной в точке х = а равносильно тому, что разность а(х) = Дх) - Да) является бесконечно малой при х —> а. Другими словами, это означает, что
Дх) = Да) + а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х -> а.
Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке х = а имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т. е. формулу)	а(х) = Дх) - Да).
Это выражение называется приращением функции f(x) в точке х = а. Обозначение а(х) = А/(х). Данное обозначение используется даже и в том случае, когда f(x) не является непрерывной функцией в точке х = а.
Итак, если А/(х) -> 0 при х -> а, то функция f(x) непрерывна в точке х = а, и наоборот. Для простейшей функции f(x) = х ее приращение а(х) = х - а называется приращением аргумента, поскольку при Дх) = х значение функции /(х) равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение: а(х) = Ах. Имеем, что Ах -» 0 при х -> а.
Аргумент х можно выразить через его приращение Ах. Действительно, х = а + (х-а) = а + Ах. Следовательно, при фиксированном а приращение АДх) можно рассматривать как некоторую функцию от Ах, т. е.
а(х) = А/(х) = f(x) - f(a) = f(a + Ах) - f(a) = Р(Ах).
Когда хотят подчеркнуть, что значение А/(х) равно А при х = а и Ах = Ь, то пишут
Аь/(а)=А или А/(х)|	=А.
Ах = Ъ
ПРИМЕР. Если Дх) = х2, х = 1, Ах = 2, то
ДхН^Л = ((х + Ах)2 - х2)| х = 9 - 1 - 8.
Ах = 2
96
Теперь рассмотрим более подробно приращение ДДх) как функцию от приращения аргумента Дх. Очень важным для построения ’Курса математического анализа является случай, когда ДДх) бесконечно мала и при этом еще и эквивалентна линейной функции вида сДх, где с — некоторая вещественная постоянная. В этом случае говорят, что приращение ДДх) имеет линейную часть, называемую дифференциалом функции f(x) в точке х = а, а функцию Дх) называют дифференцируемой в точке х = а.
Другими словами, мы приходим к следующему определению. Пусть Дх) определена в некоторой 8-окрестности точки х = а.
Определение 1. Линейная функция £(Дх) = сДх называется дифференциалом приращения ДДх) (или дифференциалом самой функции Дх) в точке х = а), если
ДДх) ~ сДх при О, т. е.
ДДх) = сДх + т(Дх)Дх,
где се Ru у(Дх) 0 при &х —> 0.
Дифференциал функции Дх) обозначают df(x) или просто df. Из определения вытекает, что
Если при этом с 0, то
-С 1 при Дх -» 0.
Отметим, что функция у(Дх) определена в некоторой проколотой окрестности точки х = а, функция ДДх) определена в некоторой 8-окрестности этой точки, а функция df(x) = сДх определена для всех х е R. Нам удобно определить функцию т(Дх), полагая 7(0) = О. В результате в равенстве
ДДх) = df(x) + т(Дх)Дх, определяющем дифференциал df(x)9 все функции определены и непрерывна в^ненЬТорой окрестности точки Дх = 0. Далее, легко видеть, что Д*х^= dx.
Определение 2. Число с =	— называется производной
функции Дх) в точке х = а. Для производной используют следующие общепринятые обозначения:
c^f(a)=a-^ x = a = DfM\x__
4-4953
97
Если df(x) существует, то, исходя из определений 1 и 2, мы также можем написать
f'(a) = lim	=с,
х^а х-а т. е.
f(x) - f(a) ~ f'(a)(x - а) при х -> а.
Введенные выше понятия дифференциала и производной функции имеют не только глубокий аналитический смысл, но вполне определенный физический, точнее, механический, а также геометрический смысл.
Определение 3. Касательная, точнее, наклонная касательная к кривой у = f(x) в точке координатной плоскости с координатами х = а, у = f(a) — это такая прямая, которая проходит через точку (а, Да)), и ее угловой коэффициент k, т. е. тангенс угла ее наклона, равен пределу углового коэффициента А(Дх) «секущей» прямой, проходящей через точки (а, /(а)) и (а 4- Дх, f(a 4- Дх)) при Дх 0.
Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следующим ее свойством: число f’(d) есть "тангенс угла наклона касательной к кривой, задаваемой уравнением у = Дх), на координатной плоскости хОу в точке (a, f(a)).
Механическая интерпретация: если t — текущее время; s(t) — путь, пройденный телом за отрезок времени t - tQ, где tQ — начало отсчета, то Ав(011 = а — путь, пройденный телом за время от t = а до t = а 4- М, т. е. Дз(£) = s(a 4- М) - з(а).
Отношение	есть средняя скорость на отрезке време-
t-a
ни [а, а 4- Де], а предел этой скорости при Де -> 0 — мгновенная скорость тела в момент времени t = а. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля при его движении.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если функция f(x) дифференцируема в точке х = а, то она непрерывна в этой точке.
Действительно, тогда ~ df = сДх, поэтому Д/ бесконечно мала при Дх -> 0, значит, Дх) непрерывна в точке х = а.
ПРИМЕРЫ. 1. Пусть Дх) = х2, а = 2,5. Тогда
ДДх) = (а 4- Дх)2 - а2 = 2аДх 4- (Дх)2, Д/(2,5) = 5Дх 4- (Дх)2, Дх = dx, df(x) = 2adx, df(2, 5) = 5dx.
2. Пусть Дх) = Зх - 1, a = 2. Тогда
ДДх)|х = 2 = Д2 + Дх) - Д2) = ЗДх = df(2) = 3dx.
98
Дифференциал функции, если он существует, является линейной функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной частью приращения аргумента. Если f (а)	0, то
дифференциал в точке х = а называют еще главной частью приращения. Это название отражает свойство разности вида 0(Ах) = = А/ - df, которая есть о(Дх), следовательно, и o(df), т. е. = = o(df). Таким образом, эта разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем А/, и поэтому дифференциал df вносит при малых Ах главный вклад в значение приращения АД
Легко привести пример функции Дх), непрерывной в точке х = 0, но не дифференцируемой в этой точке (т. е. Дх) не» имеет дифференциала и производной в этой точке). Действительно, для функции
J х, если х > О, Дх) = IхI = । если х < О, имеем А(|х|) = |х + Ах| - |х|. Отсюда при х = 0 получаем
Д(1х1)1х-0 = l^l-Тогда
|Ах|/Ах -> 1 при Ах	0+, |Ах|/Ах -1 при Ах -> 0-,
т. е. JHm (|Ах|/Ах) не существует.
Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют. Они называются правой и левой производной функции.
Приведенный пример показывает, что непрерывная функция может и не иметь дифференциала. Для некоторого класса таких функций вводится более общее понятие односторонних производных.
Определение 4. Конечные пределы (если они существуют)
lim = lim	и Um = lim
Дх -> 0+ Дх х -» а+ X ~ а	Дх -> 0- Дх -> о-	х - а
называются соответственно правой и левой производной функции Дх) в точке х = а.
В рассмотренном выше случае у = |х| односторонние производные в точке х = 0 существуют, при этом правая производная в этой точке равна +1, а левая -1. Связь понятий односторонних и обычной производных между собой выражается следующим очевидным утверждением.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Функция Дх) имеет производную в точке х = а тогда и только тогда, когда существуют левая и правая производные и они равны между собой.
99
4*
Лекция 17
$ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция <p(t) дифференцируема в точке t — а, причем <р(а) = Ъ, <р'(а) = а. Далее, пусть функция fix) дифференцируема в точке х = Ь, причем f'(b) = 0. Тогда сложная функция g(t) = /(<p(t)) дифференцируема в точке t = а, причем g(t) = 0 • а.
► В силу дифференцируемости функций <p(t) и fix) имеем
Д<р(О = аД< + а^ДОД*, 04(G) = 0;
Д/(х) = рДх + Рх(Дх)Дх, Рх(0) = 0.
Здесь функции ах(Д<) и p/At) определены в некоторых окрестностях точек At = 0 и Дх = 0 соответственно и стремятся к нулю при At -> 0 и при Дх -> 0. Возьмем во втором равенстве величину Дх равной A<p(t). Тогда получим
Д/(х) = рДф(О + ДфСОРДДчКО) = = раД£ + Д^аР^ДфСО + ах(Д0Р1(Дф(0 + Рах(Д0).
Кроме того, имеем, что Д/(х) = Д£(0, т. е.
Д£(0 = РаДД + Д/т(ДО, где
7(Д0 = ар^ДфСО) + ах(Д0Р1(Дф(0) + ра^ДО-
Но Дф(0 0 как функция Д£ при Д£ -> 0, поскольку функция ф(£) дифференцируема в точке t = а. Отсюда по теореме о пределе сложной функции имеем, что Рх(Дф(О) и «1(Д0 есть бесконечно малые при At —> 0. Следовательно, функция у(Д^) — тоже бесконечно малая при Д£ —> 0, а это означает, что РаД£ — дифференциал функции g(t) в точке t = а, т. е.
dg(t) = РаД£ = Padf, = Ра. ◄
Замечание. Область определения функций ах(Д^) и рг(Дх)
Дф = аД* + ах(Д0Д*» Д/ = рДх + Рх(Дх)Дх целиком содержит некоторые окрестности точек Д£ = 0 и Дх = 0, поскольку при определении дифференциала мы доопределили эти функции в нуле по непрерывности, положив ах(0) = рх(0) « 0. Если этого не сделать, то рассуждения при доказательстве теоремы о дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как аг(Д£) может принимать значение, равное нулю, даже тогда, когда Д^ 0 для некоторых Д£, принадлежащих той окрестности точки 0, в которой была определена функция.
100
Отметим также, что мы говорим о производной функции f(x) в точке х = а только в том случае, когда эта точка — внутренняя точка области определения Дх). Если же говорится только о правой производной /Л(а+), то область определения Дх). должна содержать промежуток (а, а + 8), а если о левой — то (-8 + а, а).
Дифференциал df(x) функции Дх) в любой точке х « хд отрезка [а, Ь] является линейной функцией сДх от аргумента Дх. Здесь для каждого значения производная f '(х0) = с имеет свое собственное значение. Таким образом, процедура взятий дифференциала порождает отображение отрезка [а, Ь] в множество линейных функций. Это отображение не является числовой функцией, так как его образ состоит не из чисел, а из функций. За такими отображениями утвердилось название «оператор», в данном случае — дифференциальный оператор. Сама процедура отыскания дифференциала или производной функции в точке, как уже говорилось, называется операцией дифференцирования или просто дифференцированием. Напомним также, что функция, для которой существует производная в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке.
ПРИМЕР. Пусть Дх) = х2 при 0 < х < 1. Тогда имеем
f(x) = 2х при 0 < х < 1, /'(0+) = 0, Д(1-) = 2.
Докажем теперь теорему о производной обратной функции. Вообще говоря, правило дифференцирования обратной функции следует из теоремы о производной сложной функции, но мы докажем его при более слабых предположениях, не требуя заранее существования производной обратной функции.
ТЕОРЕМА 2 (о производной обратной функции). Пусть функция Дх), определенная и непрерывная на отрезке [а, &], имеет обратную функцию g(y), определенную на отрезке I, концами которого являются точки f(a) и f(b). Пусть х0 — внутренняя точка отрезка [а, &], a yQ — внутренняя точка отрезка /, причем Дх0) = yQ и g(yQ) = х0. Пусть в точке х = х0 функция f(x) имеет производную, отличную от нуля, т. е. f'(xQ) 0. Тогда в точке yQ функция g(y) имеет производную g'(yQ), причем
► Если известно, что g'(y0) существует, то, воспользовавшись предыдущей теоремой, получаем g(f(x)) = х, (g(f(x)))'x = 1, но
(g(f(x))yx = g'(.yQ)f'(x0), следовательно, g'(y0) =	.
101
Если существование производной заранее не предполагается, то доказательство проведем так. Заметим, что Дх) строго монотонна на [а, 6], следовательно, g(y) непрерывна на I и строго монотонна на нем. По определению производной,
„ ч V S(y)-g(yQ) g(y0) = lim----------,
У-^УО y-yQ
если этот предел существует.
В силу непрерывности Дх) в точке х = х0 и теоремы о пределе обратной функции имеем, что g(y) -> g(yQ) = х0 при у -> yQ.
Определим на [а, &] функцию F(x), полагая 2Дх0) = 1/Д(х0) и
х - х0
Тогда F(x) непрерывна в точке х — х0, поскольку
™ ч 1- х“хо	1	1
Х0 xl^of(X)-f(Xo) X^of(x)-f(xo)
х-х0
Сделаем замену переменной вида х = g(y)‘.
р . .. = g(y) ~ g(y0)	= g(y) ~ g(y0)
У	- f(g(.y0>) y~y0
Применяя теорему о пределе сложной функции, получаем, что
существует предел

X = <(1/0)
Но, с другой стороны,
1- и/ / V g(y)-g(go) ,, , lim F(g(y)) = lim --------------g (y0). ◄
У-^Уо	У-^Уо у Уо
ТЕОРЕМА 3 (об инвариантности формы первого дифференциала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в формулу для дифференциала df(x) функции Дх) подставить дифференциал некоторой функции х = ф(£), то полученное выражение окажется дифференциалом сложной функции g(t) = Д(р(О)«
Другими словами, пусть df = cxdx — дифференциал функции Дх) в точке х = a, dcp = cxdt — дифференциал <р(£) в точке t = а, причем (р(а) = а. Тогда функция = cxc2dt — дифференциал функции g(t) = Дф(О)в точке t = а.
102
► Эта теорема является прямым следствием теоремы о дифференцируемости сложной функции, так как согласно последней dg(t) = g'(t)dt = c1c2dt = c^cpO).
Смысл этой очень простой и, казалось бы, «пустой» теоремы станет понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности.
ПРИМЕР. Решение уравнения Кеплера х — х(у): х - е sin х = у, О < Е < 1 — дифференцируемая функция в силу теоремы о производной обратной функции, причем
х 1 - ecosx(y)'
$3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Рассмотрим правила дифференцирования.
Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы, се R. Тогда'.
1.	(cftx))' = cf\x).
2.	Если f(x) = const, то f'(x) = 0.
3.	(/(x) + g(x))' = f(x) + g'(x).
Эти утверждения следуют из определения производной. Докажем, например, утверждение 3. Имеем: А(/ + g) = &f + Ag. Откуда
A^.+	-> f + g' при Ax —> 0.
Ax Ax Ax '
4.	(ftx)g(x))' = /'(x)g(x) + ftx)g'(x).
► Имеем
A(/g) = f(x + Ax)g(x + Ax) - /(x)g(x) =
Ax	Ax
f(x + Ax)g(x + Ax) - f(x)g(x + Ax) + f(x)g(x + Ax) - /(x)g(x) Ax

-> g{x)f\x) + f(x)g'(x) при Ax -> 0, так как
g(x + Ax) -> g(x),	g'(x) при Дх —> 0. ◄
1 Y g(x))	g2(x)'
► Имеем
1_______1
A(l/g) = g(x + Ax) g(x) = g(x) - g(x + Ax)
Ax	Ax	Ax *g(x)g(x + Ax) g2
103
поскольку
g', ----------> при Дх -> 0.	<
Дх g(x + Дх) g(x)
СЛЕДСТВИЯ.
1. (gi-...’gny = J jSi • ... 'g'b- - ‘gn-
‘	g2
Производные элементарных функций х' — 1;
(хп)' = пхл-1;
, г>х + Дх_ рх	, лДх _ I
(ехУ = lim -— ------ = ех lun — = ех;
Дх -► 0 Дх	Дх -> 0 Дх
(sin xy = lim sin(* + A*)-sinx = '	Дх-»0	Дх
= lim 8in(A*/2) . cos (х +	) - cos х;
д*->о Дх/2 V 2 / (cos х)' = -sin х, так как cos х = sin (тг/2 - х);
(Inх)' =	, f(x) = Inx,
g’(f(x)) efM eXnx x g(x) = ex — обратная функция;
у = x“, a 0 — степенная функция, (xa)' = (ea to*)' = (oln x)' • ealn* = ax01"1;
(tgx)' e f sin*Y = cosx * cosx 4- sinx * sinx = 1	_ 2 x + 1*
\COSX/	cos2x	cos2x	9
(ctgx)' = ftgf - x)Y = —-— -----------f ~ - xY = ~  *- ;
v V2 J J cos2(n/2 - x) 2	/ sm2x
(arcsin x)' = ——i-;—- = ,	1.	= . * ;
cos(arcsinx) _ 8ina(arcsinx) 71 x2
(arccos x)' = f- arcsin x)' = - , 1	;
V2	7	71 -x2
(arctg x)' = —------------- = ——-;
tg2(arctgx) + 1	1 + x2
(arcctg x)' =	1— .
1 + X2
104
Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из правил дифференцирования следует:
(ахУ = (ех 1п аУ *= ех ln а(х In а)' = ах 1п а;
/1 w flnxY 1	1
( Oga %)	[ 1па J 1па х 9
<1п
(и0)' = (еоЪ1иУ = euln“(v In и)' = u^v'ln и + v j.
Замечание. Если Л(х) = f(g(x)), то символы f^.(g(x)) и /^(g(x)) определяются равенствами f'x(g(x)) = h'(x), f'^g(x)) = /х(г(х)), где f/x) = f(x).
Лекция 18
$ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция f(x) дифференцируема в каждой точке интервала (а, &). Тогда каждой точке х е (а, &) можно поставить в соответствие число — производную f'(x) в этой точке. Полученная функция называется функцией, производной от данной, и. обозначается f\x). Может случиться, что она сама имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной функции f(x). Обозначение: f'\x) — {f'(x})'.
Подобным образом определяются третья, четвертая и все последующие производные: f"'(x) = (f"(x)Y, fln\x) = (f(n-1)(x))'.
ПРИМЕР, (x3)" = ((x3)')' = (3x2)' = 6x.
ТЕОРЕМА 4 (формула Лейбница). Пусть и, v имеют п-е производные. Тогда справедлива формула
(uv)^ = U(n)l> + nu(n-1)v' +
n(rao 1) u<n-2>v" + ... + HV(n) = 4U
)
где u<°> = u, i/°> = u.
► Воспользуемся методом индукции. При п = 1 утверждение теоремы справедливо. Предположим, что оно верно при п = s > 1. Докажем его при п = s + 1. Имеем
8 ( 8 А (uu)<s+1) = ((iw)<s>)' = X \ т	=
771 ”v| f/v I
8 А	з ( 8
u(m+l)v(s-m)+ V Ш	m = 0	771
7	\
u(m)v(s-m+l) =
8 t ~ 1
u(0u(3-t+l) + V t = О I f'
ц(0)у(8+1) -|-
u(t)u(»-t+l) =
106
поскольку
Имеется еще одно обозначение для n-й производной:
и X
Последнее обозначение связано с понятием дифференциала высшего порядка, к определению которого мы приступаем.
Пусть функция f(x) дифференцируема на (а, &). Тогда существует ее дифференциал df(x) = f (x)dx.
Зафиксируем значение приращения аргумента dx = Дх = й. Тогда df(x) можно рассматривать как функцию от х, заданную на том же интервале (а, Ь). Если она дифференцируема, то дифференциал имеет вид
d(/'(x)ft) = Г '(х)йДх.
Если в этом случае значение Дх взять снова равным й, то получим
d(f'(x)h) = Г(х)й2 = f"(x)dx2.
Это выражение называется вторым дифференциалом и обозначается d2/(x), т. е.
d2/(x) = /"(x)dx2.
Аналогично определим:
d3f(x) = d(d2/(x)) = f "(x)dx3, dnf(x) = d(dn~ V(x)) = fn\x)dxn.
Очевидно, в силу такого определения можно записать:
’ 1 ’ dxn
Целесообразность введения понятия n-го дифференциала будет ясна позднее. Например, будет показано, что приращение Д/(х) во многих случаях можно представить в виде
(формула Бернулли). Смысл этого равенства будет уточнен при его доказательстве.
107
Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности. Действительно, если
f\x) = ^(х) и /"(х) = /2(х), то при х = g(t) имеем
(Лесо»» = (w)te'(o); = f2(g(t) • (gw+л(^о)г"(о-
Отсюда получаем
d2f(g(t)) = Wt)dt2 = Q(g(x))(dg(x))2 + f'g(g(x))d2g(x), в то время как второй дифференциал функции /(х) равен d2f(x) = f'xx(x)dx2,
и при подстановке в правую часть равенства функции g(t) получим выражение fgg(g(x))(dg(x))29 которое, как видим, отличается от правой части равенства для d2f(g(x)). Следовательно, свойство инвариантности для второго дифференциала не имеет места.
Для того чтобы глубже прояснить сущность свойства инвариантности дифференциала, рассмотрим несколько более общие понятия.
Будем называть дифференциальным мономом Dk порядка k от п функций /(х), g(x)9 ... , й(х), п < k9 одной переменной х следующее выражение:
Dk = сЛ«)(х)^Р)(х)... №\x)dxk9
где а + 0 + ...+у=й, причем а, 0, ... , у — натуральные числа и с — некоторая вещественная постоянная.
Всякая линейная комбинация дифференциальных мономов фиксированного порядка от одного и того же набора функций f9 g9 ... , h называется однородным дифференциальным выражением порядка k.
Неоднородным дифференциальным выражением называется линейная комбинация конечного числа мономов разного порядка, но от тех же функций f9 g9 ... , h.
Отметим, что любое дифференциальное выражение можно рассматривать как функцию двух независимых переменных, а именно: х и dx. Но в данный момент нас будет интересовать не функциональная, а алгебраическая сторона вопроса, точнее, свойство дифференциального выражения сохранять свою форму при замене независимой переменной х на функцию <р(0 и, соответственно, dx на dq(t) = y\t)dt. Поясним более четко, что конкретно имеется в виду. Бели подставить в однородное дифференциальное выражение D порядка k вместо х функцию ф(£), то вме-
108
сто дифференциала dxk будем иметь выражение (4ф(£))* = = (ф'(0)*(<^)Л, а вместо производных Ла)(*),	, hf$(x) —
выражения /^(9(0)» £^(ф(0)» ••• ,	(<№))> т. е. получим не-
которое дифференциальное выражение В19 зависящее от t и от dt. Другое дифференциальное выражение В2, зависящее от тех же величин t и dt9 получим, если то же однородное выражение D применим к функциям Д<р(О)> #(ф(0), ••• > Л(ф(О), т. е. вместо /*а)(х), g®\x)9 ... , №(х) рассмотрим /$р(ф(0),	(ф(0), ••• ,
(ф(0), а вместо (dx)k — выражение (dt)k. Если при этом оказывается, что вне зависимости от вида функции ф(£) имеет место равенство Вх — В2, то мы говорим, что дифференциальное выражение D обладает свойством инвариантности, или инвариантно относительно замены переменной. В противном случае считаем, что оно указанным свойством не обладает. Иными словами, инвариантность В означает возможность перестановки порядка выполнения операции замены переменной и операции вычисления этого дифференциального выражения, т. е. коммутативности этих двух операций.
В смысле введенных понятий дифференциалы первого и высших порядков являются однородными дифференциальными выражениями, причем первый дифференциал обладает свойством инвариантности (относительно любой замены переменной), а дифференциалы порядка, большего единицы, этим свойством не обладают. Заметим, однако, что в случае линейной замены переменной инвариантность все же имеет место.
Возникает вопрос, существуют ли дифференциальные выражения порядка, большего единицы, обладающие свойством инвариантности. Известно, что, вообще говоря, инвариантные дифференциальные выражения от нескольких функций существуют. Единственным инвариантным дифференциальным выражением, зависящим от одной функции, является первый дифференциал. Для двух функций f и g все инвариантные выражения порождаются двумя однородными дифференциальными выражениями Вг и. В2 вида Br = fg'dx29 В2 = (f"g' - f'g")dx3. Ф. М. Малышев в 1978 г. доказал общую теорему о конечности количества N(n) «образующих» однородных дифференциальных выражений от п функций и получил оценку N(n) < п\. Кроме того, для степени инвариантного дифференциального выражения имеет ме<?то неравенство k < п(п + 1)/2 [21].
Приведем еще одну теорему, которая касается производных высших порядков от сложной функции.
109
ТЕОРЕМА 5 (теорема Фаа ди Бруно). Пусть функции F(x) и и(х) имеют п-е производные. Тогда для п-й производной функции G(x) = F(u(x)) имеет место следующая формулах
G<»)(X)= X ^“+₽+ir+-Wa+₽+7+... >
а + 2р + Зу +... - п
п! (и'Х* (и"^ (и"у
Лх+р+у+... ccipiy! V1! J 12! J I 3! J
Суммирование в правой части ведется по всем целым неотрицательным числам а, р, у, ... , удовлетворяющим равенству а + 2р + Зу + ... = п.
► Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, приходим к равенству вида
G^\x)= ki1Ck(x)^Ku)9
где ck(x) — некоторые выражения, вид которых не зависит от конкретного задания функций у = F(u), и = f(x). Поэтому для определения точного выражения ck(x) через функцию и(х) можно использовать любые удобные функции. В силу этого будем считать, что F(u) и и(х) — многочлены n-й степени, записанные в виде
F'(u0)
F(u) = F(u0) + z-^
F^(u0) и!
u'(x0)	w(n)(*o)
u(x) = u(x0 + 0 = u(x0) +	+ ... +	.
Здесь мы полагаем, что переменные znt определены равенствами г = и - u0, uQ = u(x0), t = х - х0. В этом случае функция G(x) представляет собой многочлен степени п2, который можно запи-
сать в виде
G'(x0)
G(x) = G(x0)+4^ + ...+
Gn(x0)	G(n2)(*0)	2
—tn + — + "7-2u tn n\	(n2)!
а также в виде
F'(n0) / u'(Xq)	u^(Xq) \
G(x) = F(u0) +	(4^ t + ... + -^4t* J +
F^Huq) (u'(x0)	и(л)(*о) .n\n
+ n! Ul f n\ J
Раскрывая скобки в последнем равенстве с помощью полинома Ньютона (см. замечание к § 1 гл. 2) и сравнивая коэффициенты при tn в получившемся выражении с первым равенством, приходим к утверждению теоремы. ◄
110
§ 5.	ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть х0 — внутренняя точка области определения f(x).
Определение 5. Функция Дх) возрастает в точке х = х0, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
a)	f(x) > f(x0) при х > х0;
б)	/(х) < Дх0) при х < х0.
Ясно, что точка х = х0 является точкой возрастания функции Дх), если > 0 при Дх 0 в некоторой окрестности точки х = х0.
Определение 6. Функция f(x) убывает в точке х = х0, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
а)	Дх) < Дх0) при х > х0;
б)	Дх) > Дх0) при х < х0.
Точка х = х0 является точкой убывания функции Дх), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство
< 0 при Дх 0. Дх *
Определение 7. Функция имеет в точке локальный максимум (локальный минимум), если в некоторой проколотой окрестности этой точки выполняется неравенство f(xQ) > Дх) (соответственно f(xQ) < Дх)).
Определение 8. Функция Дх) имеет локальный экстремум в точке х = х0, если в этой точке она имеет или локальный максимум, или локальный минимум.
ТЕОРЕМА 6 (достаточное условие возрастания или убывания функции в точке).
1. Если f'(xQ) = с > 0, то точка х = х0 — точка возрастания функции f(x).
2. Если f'(xQ) = с < 0, то функция Дх) убывает в точке х = х0.
► 1. Так как
Г(*о) =
* * *0
Дх) - Дх0) х-х0
то существует число 8 = 8(с/2) > 0 такое, что неравенство
Дх) - Дх0)	с
х-х0	2
111
выполняется для всех точек проколотой 8-окрёстности точки х = х0. В этой окрестности имеем
с Дх) - Дх0) Зс < 2 < X - Xq 2
Следовательно, А/ имеет тот же знак, что и Ах, т. е. х0 — точка возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой Дх) на -Дх). ◄
Эта теорема называется леммой Дарбу.
Докажем несколько более общую теорему, а именно, теорему Ферма. Пусть, как и ранее, Дх) непрерывна на [а, Ь].
Определение 9. 1) Внутренняя точка х0 называется точкой несобственного локального максимума (или локального максимума в широком смысле), если существует проколотая 8-ок-рестностъ точки х0, в которой
АДх0) = Дх) - Дх0) < 0.
По аналогии определим, что такое точка несобственного локального минимума.
2) Функция Дх) имеет несобственный локальный минимум (локальный минимум в широком смысле) в точке х0, если существует проколотая Ъ-окрестность, в которой
ДДхо) = Дх)-Дхо)>О.
3) Точки несобственного локального минимума и максимума называются точками несобственного локального экстремума.
Ясно, что экстремальные точки можно рассматривать и как несобственные экстремальные точки, но не наоборот.
ТЕОРЕМА 9 (теорема Ферма). Пусть внутренняя точка х0 отрезка [а, &], на котором определена и непрерывна функция Дх), является точкой экстремума (в широком смысле) этой функции и пусть существует f'(xQ). Тогда имеем f'(x^) = 0.
► Точка х0 не может быть точкой возрастания (убывания), так как тогда в некоторой проколотой 8-окрестности этой точки АДх0) л /АДх0) л	\	.
> 0 I - д — < 0 соответственно 1. Но тогда неравенства Д(х0) > 0 (Г(хо) < 0) невозможны. Остается принять, что Д(х0) = = 0. ◄
Лекция 19
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА
ТЕОРЕМА 8 (теорема Ролля). Пусть функция /(х) непрерывна на [а, Ь] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Пусть также f(a) = /(&). Тогда на интервале (а, Ь) существует точка £ такая, что /'(£) = 0.
► Функция f(x) непрерывна на [а, &]. Следовательно, на этом отрезке найдется точка х19 в которой /(х) имеет максимум, а также точка х2, являющаяся точкой минимума для Дх). Если хх = х2, то Дх) постоянна на отрезке [а, &] и f'(x) = 0 всюду на [а, &]. Если же хг х2, то либо Дхх), либо Дх2) не равна Да) = f(b). И та точка из них, для которой равенство не имеет места, является внутренней точкой отрезка [а, &] и одновременно точкой локального экстремума. Обозначив ее через £, имеем по теореме 9 § 5 /'(£) = 0. ◄ ТЕОРЕМА 9 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, Ь] и дифференцируемы внутри него. Пусть g'(x) * 0 при всех х е (а, Ь). Тогда на интервале, (а, Ь) найдется точка с такая, что
fW-f(b) . Щ g(a)-g(b) g\cY
► Преобразуя эквивалентным образом требуемое равенство с учетом того, что g'(c) и 0, имеем
(Да) - f(b))g\c) - (g(a) - g(b))f(c) = 0.
Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение производной функции Н(х) в точке х = с, где
Н(х) = MxW) - ЛЬ)) - Г(х)&(а) - g(fe)).
Таким образом, достаточно доказать существование точки с, в которой Н'(с) = 0. Но функция Н(х) дифференцируема во внутренних точках отрезка [а, Ь] и
Н(а) = ЩЬ) = -g(a)f(b) + f(a)g(b).
Поэтому по теореме Ролля существует точка се (а, Ъ) такая, что Н\с) = 0. ◄
СЛЕДСТВИЕ (теорема Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &] и дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда имеет место формула
Да)-ДЬ) = Г(с)(а-&),
где с — некоторая внутренняя точка этого отрезка.
113
Утверждение следствия является частным случаем теоремы Коши при g(x) = х. Это следствие называется также формулой конечных приращений.
Замечания. 1. (О схеме доказательства леммы Дарбу.) Эта лемма утверждает, что если f(xQ) > 0, то в точке х0 функция f(x) возрастает. С другой стороны, ее возрастание означает, что приращение функции Д/(х) w f(x) - /(х0) и приращение аргумента Дх = х - х0 имеют одинаковый знак и Д/(х) И 0 при Дх * 0 в некоторой окрестности точки х0. Доказательство этого факта, по существу, основано на свойстве функции, имеющей положительный предел, быть положительной на некотором окончании базы. В данном случае
f(х0) = lim — г —»х0	X Xq
и поэтому в некоторой проколотой окрестности точки х0 имеем неравенство
Лх) - Дх0) х -х0
>0.
Это и означает, что в данной проколотой окрестности точки х0 значения ДДх) и Дх имеют одинаковый знак и Д/(х) И 0 при Дх 0.
2. а) (По поводу теоремы Коши.) Для справедливости утверждения теоремы, в частности, требуется, чтобы g'(x) И 0 для любого х, принадлежащего отрезку [а, Ь]. Отсюда следует, что g(a) - g(b) И 0, т. е. в знаменателе отношения в формулировке теоремы стоит ненулевое число. Действительно, если предположить, что g(a) = g(b), то по теореме Ролля существует число с такое, что g'(c) = 0, но по условию теоремы это не так.
б) (Геометрическая интерпретация теоремы Коши.) Пусть при а < t < b имеем
(х = /(0,
Тогда в некоторой точке с тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен тангенсу угла наклона хорды:
Т g(c) g(a)-g(b)
3. (По поводу теоремы Ролля.) Эта теорема, по существу, утверждает, что при некоторых дополнительных условиях между двумя «нулями» функции всегда лежит «нуль» ее производной. Доказательство теоремы основано на том, что если точка глобального экстремума является внутренней, то она не может быть точкой возрастания или убывания, а отсюда уже следует, что производная в этой точке обращается в нуль.
Докажем еще одну теорему об обращении в нуль производной.
114
ТЕОРЕМА 10. Пусть функция f(x) дифференцируема На (а, Ь), а < ах < Ъх < Ъ и f'(bj) < 0. Тогда существует такая точка е (alr bt), что /'(£) = 0.	'
►	Рассмотрим сначала случай f'(at) > 0. Пусть % — точка максимума на отрезке [ар &х]. Тогда она является внутренней для этого отрезка, так как ах — точка возрастания, а Ьх — точка убывания. Но в этом случае имеем /'(£) = 0. Случай /'(ах) < 0 сводится к первому с помощью замены функции f(x) на g(x) = -f(x). ◄ СЛЕДСТВИЕ (теоремаДарбу). Пусть функция f(x) дифференцируема на (а, Ь) и для некоторых ах, Ьг е (а, Ь):
/'(ах) = а, f(61) = p.
Тогда для всякого числа %, лежащего между а и 0, найдется точка х0 е [ах, Ьх] такая, что f'(x0) =
►	Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - х£. Имеем
Я'(ах) = а - g\bx) = р -
Но так как £ лежит между а и 0, тоа-£ир-£ имеют разные знаки. Тогда по теореме 10 существует точка х0 такая, что g\x$) = 0. Отсюда следует, что
f'(x0) - £ = 0, т. е. f'(x0) -	◄
ТЕОРЕМА 11. Функция g(x) « f'(x) не может иметь разрывов первого рода, т. е. если в некоторой окрестности точки х0 существует f\x) их^ — точка разрыва f\x), то х0 является точкой разрыва второго ряда.
►	Пусть f\x) -> а при х -ь х0+, f\x) -> Ь при х -> х0~. Докажем, что а = Ь. Предположим, что это не так. Тогда а и 6. Пусть
х„ = х0 + 1/п -> х0+, уп = х0 + 1/п -> х0—, тогда
Г(хп) а при п -> оо, f'(yn) -> Ъ при п -> оо.
Так как а и Ь, то или а и f'(xQ), или b и /'(х0).
Допустим, что имеет место случай а f'(xQ). Так как число (f(xn) 4- f'(x0))/2 находится между f'(xn) и f'(xQ), то, в силу теоремы Дарбу, существует сп с условием хп < сп < х0, кроме того,
Г'(сп) = (/'(хп) + /'(х0))/2.
Поскольку сп -» х0, согласно определению правого предела по Гейне имеем f(cn) -> а. Отсюда а = (а 4- f'(xn)/2, т. е. а = Г(х0), а это
115
противоречит тому, что /'(х0) # а. Следовательно, предположение, что а * Ь, неверно и а = Ь. Это значит, что функция f'(x) не может иметь разрывов первого рода.
Попутно мы доказали, что если f(x) -> г0 при х -> х0+ (или X ->Х0-), Т0 20 = /'(х0).	*
Рассмотрим пример точки разрыва производной.
ПРИМЕР. Положим
J х2 cos (1/х), если х и О, ’	— 10, если х = 0.
При х 0
f'(x) = 2х cos (1/х) + sin (1/х), а при х = 0 по определению производной
Г(0) _ lim	_ Um (A*)’eos(l/Ax) _
7 Дх-»0 Дх	Дх—>0	Дх
В точке х = 0 не существует ни правого, ни левого предела f\x). Определение 10. Если (Дх) - Дх0)/(х - х0) —>	оо при х -> х0,
то говорят, что Дх) в точке х0 имеет бесконечную производную, и пишут:
f'(x0) = (+оо.
То же самое говорят и пишут о правой и левой производных.
ПРИМЕР. f(x) = Jx. При х и 0 имеем f(x) = 1/(2 Jx). Тогда /'(0+) = lim ^*~° = +оо.
7 v 7 Дх-»О Дх
Лекция 20	< ।
§7. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
ТЕОРЕМА 12. Пусть f'(x) = 0 для всех х € (а, Ь). Тогда f(x) * = const =
►	По теореме Лагранжа имеем ../а + ЬА .. . .(аЛ-Ьу .( а+Ь\ п
= /(«)-/[ —2~) = f<c\x-2> = 0-
Отсюда
.. .	.(а + Ь\
ТЕОРЕМА 13. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а, Ъ). Тогда для того чтобы f(x) не убывала на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
f'(x) > 0 V х е (а, Ь).	‘	‘ ‘
►	Необходимость. Условие неубывания функции f(x) эквивалентно тому, что > 0- Переходя к пределу в неравенствах, получаем
Достаточность. Если f\x) > 0, то по теореме Лагранжа
=7'(с)>0
при некотором с е (а, Ь), т. е. функция Дх) не убывает на (а, &). ◄ ТЕОРЕМА 14. Если f\x) > 0 на интервале (а, &), то функция Дх) монотонно возрастает на (а, &).
►	По теореме Лагранжа имеем
АДх) = Д(с)Ах > 0 при Ах > 0. ◄
ТЕОРЕМА 15. Пусть функция Дх) дифференцируема на отрезке [а, &]. Тогда для того чтобы функция Дх) строго возрастала на нем, необходимо и достаточно, чтобы f\x) > 0 на интервале (а, Ь) и Д(х) не обращалась в нуль тождественно ни на каком отрезке [ар &J, лежащем внутри отрезка [а, &].
►	Необходимость. Воспользуемся методом доказательства от противного. Если условие теоремы не выполнено, то или Д(х0) < 0
117
I
для некоторой точки х0 е (а, &), или f\x) = 0 при всех х е [ар Ьг]. | Тогда в первом случае х0 — точка убывания функции Дх), а во I втором случае — Дх) = const на [ар 6J. Это противоречит уело- I вию возрастания функции Дх).	I
Достаточность. Так как по условию Д(х) > 0, то при любых I ai<b19 где a19b1e [а, Ь], имеем	:
Д&1)-Да1) = Г(с)(&1-а1)>0,
т. е. функция Дх) не убывает.	t
Докажем, что Дх) возрастает. Пусть это не так, и Дах) = Д&х)
при br > аг. Но тогда, в силу неубывания Дх) на отрезке [ар Ьх],	|
имеем, что Дх) = const на нем, и, следовательно, f(x) = 0 на (ар & J, | что противоречит условию теоремы. ◄
$ 8. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ТЕОРЕМА 16 (неравенствоЮнга). Пусть а, Р > 0, а + Р = 1. Тогда при х > 0 имеем	*
ха < ах + р.
► Рассмотрим функцию Дх) = ха - ах - р. Заметим, что /(1) =
= 1- а- р = 0. Далее, поскольку
f'(x) = а(ха-1 - 1) < 0 при х > 1,
при х > 1 функция Дх) убывает. Следовательно, при х > 1 выпол-
нено неравенство Дх) < Д1) = 0.	<
Если же 0 < х < 1, то
f\x) = а(ха-1 - 1) > 0.
Отсюда получаем, что Дх) < Д1) = 0 при 0 < х < 1. Таким образом, для всех х > 0 выполнено неравенство ха - ах - Р < 0, откуда следует справедливость теоремы. ◄
Положим х = а/Ъ > 0. Из неравенства Юнга имеем неравенство ааЬР < аа + Р&. Это неравенство справедливо при любых а, b > 0. Теперь положим
° x;=1uv1/a’ b и просуммируем по v от 1 до п. Получим У f	У ( Uv/P V-1 1лл=1“Г“) 118	uv, vv > 0, Л2 5 J <1, J
т. е.
Это неравенство называется неравенством Гельдера.
Пусть теперь выполняются следующие условия: р > 1; av,.&v > О, v = 1,... , и. Тогда
► Введем обозначение 1/р + 1/q = 1. Используя неравенство Гельдера, имеем
А = 1 х (av + bv)P = 1х av(av + b^1 + 1x &v(av + bv)P~l = B + C, В = av(av + bv)P-' < (Д x a₽)v₽	+ bjM -
С = Дх bv(av + &v)₽-i < (Д ft?XvSx(av +
Так как q(p - 1) = p9 to
откуда, поскольку 1 - 1/q = 1/р, имеем
,»;)« + ( <
Это неравенство называется неравенством Минковского.
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пусть <р(0 и у(£) — две функции, заданные и дифференцируемые на [0,1], и для всех t е [0,1] имеет место неравенство <p'(t) > О (или <р'(0 < 0). Тогда <p(t) строго возрастает (<p(t) строго убывает при <р' < 0) и эта функция имеет обратную функцию t = g(x). Совокупности пар (q>(t), ф(<)) задают функцию у = Дх) такую, что
(х, у) = (х, /(х)) = (<p(t), ф(0).
где х = ф(0, t = g(x), Дх) = y(g(x)).
Найдем производную этой функции. Имеем
поскольку
8	v^(z(z))'
119
Равенство для f\x) можно записать в следующем виде: 
что дает правило нахождения производной функции, заданной параметрически. Таким же образом можно вычислить производные любого порядка. Найдем, например, формулу для второй производной. Имеем
Их) = /^(Ф(О).
С одной стороны, справедливо равенство
(/'ф(ф(О));=г^(ф(О) • фчо,
с другой стороны,
Следовательно,
Лекция 2*1
$ 10. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
0
ТЕОРЕМА 17 (первое правило Лопиталя; неопределенность вида g при х а—). Пусты	’
1)	Дх) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале вида (а - 8Р а), 5Х > 0;
2)	Jim_ Дх) = Jim_ g(x) = 0;
3)	g'(x) 0 при всех х е (а - 82, а) при некотором 82 > 0;
4)	существует конечный или бесконечный предел при х —> а-f'(x)	г Г(х)
отношения , т. е. существует hm ЧтЛ.
g(X)	*	x-*a-g(X)
_ _	_	f(x)
Тогда существует предел отношения - и имеет место g\X)
равенство
и™ aa-umga. х-»а- g(x) x-*a-g(x)
► Можно считать, что предел f\x)/g\x) при х -» а- является конечным числом и равен I, поскольку если это не так, можно рассмотреть отношение g(x)/f(x).
Доопределим Дх) и g(x) в точке х в а, полагая /(а) = g(a) = 0. Тогда функции 7(х) и g(x) непрерывны в точке а слева. Поскольку t\x)/gfah при х -» а-, для любого е > 0 существует 83 = 83(е) > 0 такое, что при всех х е /(83) = (а - 83, а) имеем
ЙЦ-ке.
g<X)
Положим 8 = min(8p 82, 83). Тогда для каждого хе (а - 8, 8), используя теорему Коши, получим
/(х) - Да) = g(x) - g(a)
где с е (х, а) с (а - 8, а).	.
Таким образом, по определению предела Jim. = I-
СЛЕДСТВИЕ 1.В теореме 17 можно заменить условие х —> а-и интервал (а - 8, а) на условие х -> а+ и интервал (а, а + 8).
► Докажем этот факт. Достаточно сделать замену переменной у = 2a - х и применить теорему 17 к функциям Д(у) = Дх) и g^y) = = g(x). Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям теоремы, причем у = 2a - х —> а- при х -> а+. ◄
Г(с) g'(c)
g(x)
121
СЛЕДСТВИЕ 2 (первое правило Лопиталя; неопределенность ви-
да q при х -> а I. Пусты
1)	f(x) и g(x) определены на некотором интервале (а - 8, а 4- 8) и дифференцируемы на нем, за исключением,, быть может, точки х = а;
2)	lim /(х) = lim g(x) = 0;
3)	f'(x), g'(x) * 0 при хе (а - 8, а + 8), х -> а;
4)	существует конечный или бесконечный предел*, lira •
Тогда существует предел lim и имеет место равенство
lim —rr = lim .
x^ag(x) x->ag'(x)
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 17 и следствия 1.
тт	/(*)
Похожая теорема имеет место для предела отношения и
5\Х)
в том случае, когда функции f(x) и g(x) стремятся к оо при х —> а (неопределенность вида j. Однако доказательство в этом случае усложняется по причине, которая будет ясна дальше. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 18 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида ~ при х а-). Пусты.
1)	f(x) и g(x) дифференцируемы в интервале вида (а - h, а), й>0;
2)	f\x), g\x) # 0 при всех хе (a-h, а);
3)	f(x) -> оо, g(x) -> оо при х —> а-;
4)	существует конечный или бесконечный предел Jimp—.
Тогда предел отношения функций также существует и имеет место равенство
lim - Um 0*1.
x-+a-g(x) x->a-g (х) ► Очевидно, что можно считать lim е Я.
т. е. предел конечен. Действительно, если	= оо, то
lim 7^7 = 0.
122
f(x)
И вместо того чтобы доказывать, что lim -т-т — °° ^достаточно х->а g\X)
£г(х)
показать, что Jim_ = 0. Одновременно это будет означать,
/(х)
что Jim= сю. Как и при доказательстве теоремы 17, будем
использовать формулу Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем сразу отношение f(x)/g(x) заменить отношением ДДх)/Д£(х). Тем не менее, это можно сделать с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к нулю. Будем считать, что в некоторой полуокрестности (а - h19 а) точки а выполняется неравенство Дх) 0 и g(x) # 0. Это возможно, поскольку Дх) —> оо, g(x) -> оо при х —> а-.
Пусть ех — любое число, 0 < ех < 1/2. Возьмем 8Х = 81(е1) > 0 такое, чтобы неравенство
-1 < ev 8r < min (Л, hj)
выполнялось для всех х из интервала (а - 8Р а). Это возможно, так как	>
Нт = I е R
*^>a-g (X)
существует по условию. Пусть х0 — некоторая точка из этой окрестности. Поскольку Jim f(x) = оо, то найдется 82 = SgCeJ > 0 такое, что
|ДХ)| > V х е (а - 52, а).
Аналогично найдется 83 = 83(е) > 0 такое, что
|<(х)| > ^7^ v х € (а - 83, а).
С1
Пусть 84 = min (8Р 82, 83), 14 = {х| х е (а - 84, а)}. Тогда для любого х е 14 в силу теоремы Коши имеем
ДД*о) 4g(x0)
f(x) - ftx0) _ = f(C). g(x) - g(x0)	g'(c)
где c g (x, x0) с I4. Отсюда получим
Af(x0)
Д£(х0)
Д/(х0)
Д£(х0)
+ 1 <E1 + |Z| < 1 + |Z|.

123
Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств:
	/(х). g(x) S Д((хо)	, Г(х) _ Д/(х0 g(x) Ag(xc U) _ дАх0)	)	Д«х0) ,) Ag(x0) Д/(х0) _	-1 < < А + ег
< Но так как		г(х) Д£(х0) Ag(x0)/g(x)	1 Дд	
	Д£(х0)	Д/(х0)/Лх)		
Дя	.	£(*о)	‘	। ।
7 = 1“7^у = 1 + а’где 1а1 ei’
Д/	1	ЛХ0)	Ч	।	Q IQI
f	1	f(x)	1	+	Р’ гДе 1Р1 <	^1»
то
1 + а _ 1 = а - Р
1+р	1+р
2ei
<d=4£i-
Следовательно, получаем
-1 < (И + 1)4е1 + £i = e1(4|Z| + 5) = е.
Положим

Тогда для любого е = (О, (4|Z| 4- 5)/2) найдено 8 = 8(e) =
>4\4|Z| +5
такое, что для любого хе (а - 8, а) выполняется не-
равенство
f(x) 7	- ~
-у-- - I < е. Это значит, что g(x)
lim = I. x^a-g(x)
С Л Е ДСТВИ Е 1. Если в теореме 18 условия х а- и х е [a - h,a) заменить условиями х а+ и х е (а, а 4- Л), то утверждение теоремы остается в силе.
► Достаточно применить теорему 18 к функциям
Л(</) = Л(2а - X) = /(х), gr(y) = gi(2a - х) = g(x). ◄
СЛЕДСТВИЕ 2 ^второе правило Лопиталя; неопределенность вида
00	А „
— при х al. Пусть:
124
1)	/(x), g(x) определены и дифференцируемы в проколотой h-окрестности точки а;
2)	f'(x)9 g'(x) и 0 в той же окрестности точки а;
3)	f(x) -> °°, g(x) -> оо при х^а\
f'( х)
4)	существует предел отношения производных lim'Л х и g \Х)
f(x}
Тогда предел отношения функций -т— существует и равен g\X)
v /(*) г f(x) lim = lim . x-^ag(x) x^ag(x)
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из утверждений теоремы 18 и следствия 1.
Замечания. 1. В теоремах 17 и 18 условие х -» а- можно заменить условием х —> +°° или х —> а во вторых следствиях теорем 17 и 18 — условием х -» сю.
Доказательство проводится посредством подходящей замены пере-
менной. Например, в случае lim 37— надо положить х =	.
Х-»+оо g\X)	t
Тогда
= r;(-i/o/(i/^) =	= г; со
хав_1/е ^(-l/t)/d/t2)	g[W
f(x) g'M
Отсюда следует существование предела
lim -7-77- = I, t —»о— gi \Ч
и затем по теореме 17 имеем
Г	, Г Кх)
lim —7-т = I = lim 37-4 . х-»0- Я1(^)	х-»+оо g(x)*
2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух последовательностей позволяет существенно упростить довольно громоздкий вывод второго правила Лопиталя. Далее мы приведем еще один вариант доказательства теоремы 18, основанный на указанной выше идее.
► Докажем теорему 18. В силу определения предела по Гейне, /(*)/#(*) -> I при х -» а- означает выполнение условия f(xn)/g(xn) -> I для любой возрастающей последовательности {хп}, сходящейся к а, хп ** а. Но так как по условию теоремы g(x) —> 00 при х а-9 то и g(xn) —> сю при п —> оо, а это значит, что к отношению /(xn)/g(xn) можно применить теорему Штольца. Поэтому, используя еще и теорему Коши, имеем
r Кхп> = К*п + 1) -К*»)- Г(сп) g(xn) g(xn + Р - g(xn) п™ Я'(СЛ) ’
если только последний предел существует. Но для чисел сп здесь справедливы неравенства хп < сп < хп+19 откуда следует, что сп —> а при п —> сю, поэтому последний предел существует и равен Z.
125
Следует иметь в виду, что монотонность последовательности gtxn)9 необходимая для применения теоремы Штольца, обеспечивается условием g'(x) И 0 в некоторой левой полуокрестности точки х = а. ◄
i
ПРИМЕРЫ. 1. lim Xх = 1. По второму правилу Лопиталя имеем х-> 0+
In Xх = х In х — 77^ , 1/х’
lim 77^ = lim = Hm (~х) = 0, х-»0+1/Х	х->0+-1/Х2	х->0+	'
lim Xх = lim elnx* = eJ™o+xlnx = e° = 1. x -> 0+	x —» 0+
2. Используя первое правило Лопиталя, получаем х - sinx .. 1 - cosx	.. sinx	1
---з— = lim—т—о— = hm= £ .
X3	х-»0 3xz	хчО ОХ	О
lim x-»0
i
Лекция 22
§11. ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В качестве приложения докажем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, как ее еще называют, локальную формулу Тейлора.
Мы видим, что дифференциал df приближает приращение А/ с точностью до бесконечно малой порядка, большего 1. Это означает также, что ДДа) - df(x)\х = а = о(Дх), т. е.
f(x) - /(а) - f'(a)(x - а) = о(|х - а|) при х -> а.
Правило Лопиталя позволяет обобщить это утверждение.
Рассмотрим многочлен Тейлора степени п:
д(х) = /„(а, х) = /(а) + М Ах + М (Дх)2 + ... +	(Дх)«,
где Дх = х - а.
ТЕОРЕМА 19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть Дх) дифференцируема п - 1 раз в некоторой окрестности точки х = а и существует f(n\a). Тогда
г(х) = Дх) - fn(a9 х) = о((Дх)п) при Дх -> 0.
► Первое доказательство локальной формулы Тейлора. Применяем первое правило Лопиталя п - 1 раз при х -> а к отношению
а(х) “	» получаем
lim _да_ = lim —да-----------... = lim =
Х~*а(х-а)п Х^ап(х-а)п~1	Х~>ап!(х-а)
= J. цт	-q(n~1)(x) .
п! *-><» х-а
Далее имеем
5<п-1>(х) = /(п-1)(а) + /(п)(а)(х _ а).
Отсюда
lim а(х) = lim —r(n	=
х^а	х-»а ((x-a)n)(n-D
= 1 lim	_ /(п)(а)) = 1 (/(„)(а) _ /(«)(а))=о.
П\ х->а \	х — а	' п\
Другими словами, а(х) — бесконечно малая функция при х -> а. Следовательно, Да) = (х - а)па(х), где а(х) — бесконечно малая,
г(х) = о((х - а)»). ◄
127
Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для вычисления пределов. Действительно, при х —> О имеем, например,
sin х = х - gj- +	+ о(х5).
Отсюда
v sinx-x + x3/6	.. х5/120 + о(х5)	1
х->0 х5	х—>0	х5	120
Важно отметить, что локальная формула Тейлора имеет и глубокий содержательный смысл. В частности, она обобщает понятие дифференцируемости функции в точке, поскольку при п = 1 мы получаем из нее данное выше определение дифференциала функции.
Будем говорить, что при некотором п g N функции Дх) и g(x) имеют касание п-го порядка в точке х0, если при х —> х0 выполняется соотношение Дх) - g(x) = о((х - х0)Л). Тогда локальная формула Тейлора утверждает, что многочлен Тейлрра fn(x) имеет касание n-го порядка с функцией Дх).
Заметим, что если два многочлена n-й степени Рл(х) и Qn(x) имеют касание порядка п в некоторой точке х0 с какой-либо функцией £(х), то их коэффициенты совпадают и Рп(х) = Q„(x). Действительно, тогда
An(x) = Pn(x) - Qn(x) = (Рп(х) - £(х)) + (g(x) - Qn(x)) = о((х - х0)").
Но так как многочлен hn (х) имеет степень п, то, устремляя х х0, получаем, что все коэффициенты Лл(х) равны нулю. Это и означает, что Рп(х) и Qw(x) представляют собой один и тот же многочлен. Отсюда также следует, что многочлен Тейлора fn(x) = fn(a, х), из доказанной выше теоремы, определен однозначно. Производные функции Дх) в точке а выражаются через его коэффициенты ck по формулам
Д(а) = k\ck, k = 1, ... , n.
Интересно, что возможна ситуация, когда в точке а у функции Дх) вторая производная f"(a) уже не существует, и в то же время в этой точке имеет место касание порядка п > 2 этой функции и многочлена Рп(х) степени п. Тогда при k > 2 величины
= ^ck>
п
где ck — коэффициенты многочлена Pfe(x) = ck(x - a)A, можно рассматривать как обобщение понятия производной соответствующего порядка функции Дх) в точке х = а. Будем называть
128
эти числа метками k-го порядка функции Дх) в точке х = а и обозначать их через ЭЛ = dk(f(a)).
ПРИМЕР; Функция Дх) на отрезке [а, &] «почти всюду» разрывна, но в то же время она на «всюду плотном множестве» имеет не только производную первого порядка, но и метки ЭЛ(Дх)) любого порядка (точный смысл слов, взятых в кавычки, станет ясным ниже). Эта функция задается так:
J0, если х — иррациональное, д ~ [ и"п, если х = т/п9 (тп, п) = 1.
Ограничимся доказательством утверждения существования только первой производной данной функции.
Очевидно, что если х0 — рациональное число из отрезка [0, 1], то Дх) разрывна в точке х0. Если х0 — иррациональное число, то для любого е > 0 существует лишь конечное число дробей со знаменателями, не превосходящими N = [1/е] + 1, а именно, г19..., rk.
Пусть 8 = min|x0 - rj. Тогда для любого х с условием |х - х0| < 8 имеем
IГ(х) - Дх0)| -1Дх)| < N~N < АГ* < е.
Далее нам потребуются следующие определение и теорема.
Определение. Число а называется алгебраическим, если оно удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Оно будет иррациональным9 если любой многочлен первой степени с целыми коэффициентами не обращается в нуль.
Приведем без доказательств следующую теорему.
ТЕОРЕМА 20 (теорема Рота). Пусть £ — иррациональное алгебраическое число и р > 2 — произвольная постоянная. Тогда существует конечное число пар (р9 q) целых чисел9 q > 1, (р, д) = = 1 таких, что |£ - p/q\ < \/q~?
Пусть х0 — любое алгебраическое иррациональное число. По теореме Рота при р > 2 неравенство
\x~p/ql <l/qp.
имеет лишь конечное число решений. Обозначим эти решения черезPi/q19 ... , pr/qr* Зададимся произвольным е > 0 и положим
N = max (gp ..., gr, р, [1/е] + 1), 5 = min|x0 -рг/д4|.
Тогда, если |х - х0| < 5, то при х = т/п, (m, n) = 1, имеем
п > N, |тп/п - х0| > 1/гер, |/(х) - /(х0)| = 1/пв.
129
5 - 4953
Следовательно,
t(x) - f(x0)
n~P
х-х0
11
п <N
Если же х — иррациональное число, то
/(х) - /(х0) х -х0
= 0 < Е. ◄
Таким образом установлено, что при алгебраическом иррациональном числе х0 функция Дх) имеет производную, равную нулю.
Назовем множество А всюду плотным на отрезке [а, Ь], если для любой точки х е [а, Ь] в каждом интервале, содержащем х, находится хотя бы одна точка множества А.
Тогда указанная выше функция: 1) разрывна на всюду плотном множестве отрезка [0, 1]; 2) непрерывна на всюду плотном множестве в [0, 1]; 3) имеет производную на всюду плотном множестве в [0, 1] [34].
В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос: будет ли функция g(x) на отрезке [а, Ь] дифференцируема п раз, если в каждой точке этого отрезка у функции g(x) существует метка dng(x)? Пример функции у = е-1/*2 sine1/*2 дает отрицательный ответ.
В заключение приведем другое доказательство локальной формулы Тейлора, допускающее простое обобщение на случай функций от нескольких переменных.
► Второе доказательство локальной теоремы Тейлора. Воспользуемся методом математической индукции по параметру п. При п = 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что п > 1. Из условия теоре- i мы вытекает, что функция г(х) дифференцируема (и - 1) раз | в некоторой окрестности U точки х = а, и в самой точке диффе- « ренцируема п раз. Кроме того, в точке а сама функция и все ее 1 производные до n-го порядка включительно равны нулю.	|
Далее, пусть хе U и Ах = х - а. Обозначим через g(Z) функцию | вида g(t) = г(а + £Дх). Тогда имеем	|
r(x) = г(х) - r(a) = r(a + Ах) - r(a) = g(l) - £(0).	|
Отсюда, применяя формулу Лагранжа к функции g(t), при неко- I тором £, 0 < £ < 1, получаем	|
r(x) =	= г'х(а + £Дх)Дх.	I
130
Заметим, что точка а + ^Дх е U. Поэтому к производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменой значения параметра п на п - 1. Тогда
будем иметь
г'х(а + £Дх) = о(|х - а|Л~х).
Отсюда следует, что Дх) = о(|х - а|п). ◄
$ 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в окрестности точки можно записать приближенное равенство Дх) ~ /п(а, х). Оказывается, что многочлен /п(а, х) может хорошо приближать Дх) и в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки а. Более того, знание всех чисел fn\a)9 соответствующих только одной точке а, часто позволяет вычислить Дх) при любом х с любой требуемой степенью точности. Этот факт важен не столько для вычислений, сколько для построения теории. Точнее, мы сейчас докажем одну из важнейших теорем анализа, а именно, формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме (или в форме Шлемильха—Роша).
ТЕОРЕМА 21 (формула Тейлора). Пусть Дх) - (л + 1) раз дифференцируемая функция на интервале (х0, хх). Пусть а < Ъ — любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного а > 0 существует точка с9 лежащая между а и Ь такая, что
r.w - № - f.(a, ») -	•«, - е)"«.	.
Напомним, что
4(а, b) = f(a) + 0^ (Ь - а) + ... +	(6 - а)».
► Определим число Н равенством
f(b)-fn(a9b) И (Ь- а)а ’
По существу, надо доказать, что на интервале (а, Ъ) найдется точка с такая, что
Докажем это, опираясь на теорему Ролля. Равенство, определяющее число Н9 можно записать так:
Д&)-4(а, &)-Н(Ь-а)а = 0.
131
5*
Рассмотрим функцию ф(£), определенную на [а, 6] соотношением Ф(0 = /(&)-/„ (О b)-H(b-ty.
Тогда, очевидно, <р(а) = 0. Кроме того, имеем, что ф(0 дифференцируема на (а, Ь) и непрерывна на [а, Ь]. Далее, так как справедливо равенство fn(b, b) = f(b), то
<Р(Ь) = Г(Ь) - f(b) - ЩЬ - by = 0.
Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а, Ь) производная ф'(0 обращается в нуль в некоторой точке с, т. е. <pz(t) = 0 при t = с, с е (а, 6). Запишем <р'(0 в развернутой форме:
ф'(о--г„(о &)+ан(б-оа-1 =
= ’(7(0 + Ф (Ь - о + ... + (b - tyj + аН(Ь - О”’1.
Так как при s = 1, ... , п имеем
то
Ф'(0 = аН(Ь - 0“-1 - (Ъ - 0".
Отсюда при t = с получаем
ф'(с) = аЯ(Ь - сГ’1 - /(в+1)(с)(г> ~ с)" = 0.
Следовательно,
Н= ^±1(6-с)"+1-а. f(n + 1)<c) a v 7 (га + 1)!
СЛЕДСТВИЕ. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха—Роша верна и при а > Ь.
► 1. Если & = а, то fn(a9 Ь) = /(а), гп(Ь) = 0 и формула имеет место.
2. Если & < а, то применим теорему к функции g(x) = f(2a - х), &х = 2а - &. Тогда Ьг > а и справедливо равенство
£(&i) = Sn(a, 6Х) + RM.
Но легко убедиться в том, что gfbj) = /(&), gn(a, &х) = fn(a, 6), Яп(&х) = rn(b). Действительно, имеем
(Ьх - а)» = (а - ЬУ = (-l)s(& - а)®; 0 < s < п;
gn(a, &х) = g(a) +	(6Х - а) + ... +	(6Х - а)" =
= f(a) +	(& - а) + ... + (Ь - аУ = /„(а, &).
132
Далее, при некотором с19 а < сх < Ь, справедливо равенство.

71 + 1 а
Положим с = 2а - ср тогда b < с < а,
п + 1 а
ад)=

Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха—Роша в случае а > Ь имеет тот же вид, что и при а < Ь. ◄
Частные случаи формулы Тейлора
1. Остаточный член в форме Лагранжа (а = п + 1). В этом случае
-r+i/(n + 1)(c) _Г(в + 1)(с)
1	’ (п + 1)! (П +1)!
2. Остаток в форме Коши (а = 1):
с = а + 0(& - а), 0 < 0 < 1,1 - 0 =	,
о - а
гп(Ь) = (Ь- д)п+1(1 - 0)»/<П + 1)(а *е(& а)).
Замечания. 1. Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае а = 0 обычно называется формулой Маклорена.
2. Сравнивая формулы Тейлора с остаточными членами в общей форме и в форме Пеано, видим, что в первом случае имеем более точный результат, однако достигается это за счет более жестких требований к функции. В самом деле, в первом случае в окрестности точки, в кдторой рассматривается разложение, требуется существование (п + 1)-й производной данной функции, а во втором случае — только (п - 1)-й производной, т. е. на две производные меньше.
Лекция 23
$ 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ ФУНКЦИЯМ
1.	Показательная функция: Дх) = е*. Имеем
ДО) = /'(0) = ... = Дл)(0) = 1, /<л+1>(х) = ех.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид
у»	-у«2	<у»п	уП +1
^=1+^+^+... + ^ + ---• <ч,еЧ О < 0 < 1.
1!	2!	п! (п + 1)!
При любом фиксированном х остаток в ней стремится к нулю, поскольку
Хп + 1
2.	Функция Дх) — sin х. Имеем
Дл)(х) = sin (х + пл/2),
/(2*+1)(fbc) “ sin (Ox + {2k + 1)л/2) = (-1)* cos Ox.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает
-у»3	-у«5	v2k ~ 1	<у»2Д? +1
sin х - х -	+ й - ... + (-!>*-cos te.
3.	Функция Дх) = cos х. Имеем
Лп)(х) = cos (х + пл/2), /<2*)(0х) = cos (Ох + 2йл/2) = (-1)* cos 0х.
Тогда у2	v2k — 2	^2k
cos х _ ! _ £. + i_ .... +	+ (-ц.^ соа ex.
4.	Функция Дх) = In (1 + х). Имеем
Следовательно, у-2	-у»3
ln(l+x) = x- у+у - ...+(-l)n-1^- +Rn>
134
Заметим, что если |х| < 1, то Rn —> 0 при п —> ею. Кроме того:
а) если 0 < х < 1, то |ЯП | <
б) если -1 < -г < х < 0, то \Rn | <
рП + 1
^й’где
д = <~1)пx”+1 f1 ~9 V " П 1+0x11+0x7
(остаток в форме Коши).
5.	Функция f(x) = (1 + х)“. Имеем
Дп)(х) = а(а - 1)... (а - п + 1)(1 + х)а-п, поэтому л ।	-1 ,	. а(а-1) , , а(а-1)(а-2) , ,
(1+ х)а = 1 + ах + -*-=—х2 + —-st------ х8 + ...
Z	о!
а(а-1) ... (а-га + 1) ... т	х -ГЛИ,
где
= а(а~Д)-1(«~п) х»+1(1 + 01х)“-"-\ 0 < ^ < 1
(остаток в форме Лагранжа),
д = а(а-1)...(а-п) +1(1 + 0 )а-/ J_Z М 0 < 02 < 1
п (п + 1)!	2	[1 +02xj	2
(остаток в форме Коши). Если |х| < 1, то Rn -> 0 при п -> °о.
Видим, что во всех этих случаях Rn —> 0 при п —> °©. Другими словами,
Ъ <0’ х>=
Это предельное выражение символически записывается так:
Г(х) = Да) + Q^(x - а) + ... +	- а)п + ...
и называется рядом Тейлора функций f(x) в точке х = а.
Заметим, что при всех п е N для n-го члена ряда имеет место равенство
fW(a)(x aV-dnfM - dnf(x) п\ '	' n! п\
х = а Дх = х - а
135
Поэтому ряд Тейлора можно переписать в следующем виде:
. , df +d2f 4-	4-	4-
AZ=1! +-2!" +- + ^ +--
Тем самым определен точный смысл равенства, приведенного ранее в лекции 18, § 4.
Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его функции.
ПРИМЕР.
f/x\ = I е“1/х2, если х# О, 10,	если х = 0.
Тогда при любом натуральном k имеем = 0.
Таким образом, видим, что ряд Тейлора нулевой, а породившая его функция отлична от тождественного нуля.
Лекция 24
§ 14.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ. ВЫПУКЛОСТЬ
Наша дальнейшая цель — применение построенной теории к решению задач, связанных с изучением поведения функций. Одна из них — задача отыскания локальных и глобальных экстремумов функций. Напомним некоторые уже доказанные утверждения подобного типа и приведем понятия, которые потребуются далее.
1.	Точки х, в которых f'(x) = 0, называются стационарными.
2.	Для того чтобы функция Дх) не убывала на (а, &), необходимо и достаточно, чтобы f(x) >0 на (а, Ь) (критерий возрастания в широком смысле на интервале (а, Ь) дифференцируемой функции).
3.	Для того чтобы функция f(x) строго возрастала на (а, &), необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на (а, &) и, кроме того, f(x) & 0 ни на каком интервале (а19 Ьг) зэ (а, Ь) (критерий возрастания в строгом смысле).
Отсюда имеем: для того чтобы Дх) строго возрастала, достаточно, чтобы f'(x) > 0 при всех х g (а, Ъ) (достаточное условие строгого возрастания).
4.	Если в точке х0 g (а, Ь) имеется несобственный локальный экстремум функции Дх), то х0 — стационарная точка (теорема Ферма).
Далее мы выведем несколько достаточных условий достижения функцией локального экстремума в заданной точке.
ТЕОРЕМА 22. Пусть функция Дх) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки х0 (т. е. в этой точке Д(х0) = 0). Тогда'.
1а) если f'(x) > 0 слева от х0 и f(x) < 0 справа от х0, то х0 — точка строгого локального максимума функции Дх);
16) если f'(x) < 0 слева от х0 и Дх) > 0 справа от х0, то х0 — точка строгого локального минимума Дх);
2) если f'(x) имеет справа и слева от точки х0 один и тот же знак, то х0 не является точкой экстремума ни в широком, ни в строгом смысле.
► 1а) По теореме Лагранжа имеем
f{x) = ftx0) + Л(с)(х - х0),
где точка с находится на интервале с концами х0 и х.
137
Из условия следует, что f'(c)(x - х0) < 0. Действительно, если х - х0 > 0, то с > х0 и, значит, f'(c) < 0, (х - х0)Д(с) < 0; если же х - х0 < 0, то f'(c) > 0 и (х - х0)Д(с) < 0. Отсюда получим, что Дх) < Дх0), что и требовалось доказать. Доказательство п. 16) проводится аналогично.
2. Если f'(x) > 0 справа и слева от х0, то f'(c)(x - х0) < 0 слева и больше нуля справа. Отсюда имеем Дхх) < Дх0) < Дх2) при хх < Xq < х2, что и требовалось доказать. Случаи f'(x) < 0 рассматривается аналогично. ◄
Доказанная теорема позволяет сформулировать следующее правило исследования стационарной точки на экстремум:
Если при переходе через стационарную точку слева направо производная меняет знак + на знак то функция имеет локальный максимум в этой точке, если знак - меняется на знак +, то функция имеет локальный минимум, и если производная не меняет знак, то локального экстремума нет.
ТЕОРЕМА 22'. Пусть функция Дх) непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Если f(x) меняет знак + на знак - при переходе через точку х0 слева направо, то Дх) имеет локальный максимум, если знак - на знак +, то локальный минимум, и если не меняет знак, то локального экстремума нет.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 22, так как там мы нигде не использовали существование производной функции Дх) в точке х = х0.
Приведем общее правило отыскания (локального и глобального) экстремума функции Дх) на отрезке в случае, когда Дх) непрерывна и кусочно-дифференцируема (т. е. дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек):
находим все стационарные точки и точки, в которых Г(х) не существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы.
ТЕОРЕМА 23 (второе достаточное условие экстремума). Пусть Д(х0) = 0 и существует f"(x^). Тогда:
1) если /"(х0) < 0, то точка х0 — точка (строгого) локального максимума;
2) если f"(xQ) > 0, то точка х0 — точка (строгого) локального минимума.
138
► 1. Так как f"(xQ) < 0, то f'(x) убывает в точке х == х0, и поскольку f'(xQ) = 0, то f'(x) меняет знак с + на - при переходе через xQ слева направо. Поэтому по теореме 22' точка х0 является локальным максимумом.
2. f"(xQ) > 0, поэтому f\x) возрастает в точке х = х0.
Из теоремы 22' тогда следует, что х0 — точка локального минимума. ◄
ТЕОРЕМА 24 (третье достаточное условие экстремума). Пусть
f\x0) =... =	= О, Л2*’(х0) и 0.
Тогда".
1)	если Л2Л)(х0) < 0’ то хо — точка локального максимума;
2)	если fl2k4x0) > 0, то х0 — точка локального минимума.
►	1. При k = 1 утверждение следует из теоремы 23. Пусть k > 1. Выразим f'(x) по формуле Тейлора:
f (х) = f (х0)+—j^—(х-х0) + ... + (2fe_3), (х-х0)2* 3 +
/(2*-!)(с) . _ -2Й-2 (2fe-2)!(* Х°}	•
Отсюда
Так как /(2ft)(x0) < 0, то /(2fc-1)(x) убывает и, следовательно, /(2*_1)(x) меняет знак + на - при переходе через точку х0, значит, и 1\х} меняет знак + на -. Поэтому х0 — точка локального максимума. Случай 2 рассматривается аналогично. ◄
Определение 11. Дифференцируемая в точке х = х0 функция f(x) называется выпуклой вверх в этой точке, если вспомогательная функция
g(x) = f(x) - f'(x0)(x - х0) имеет в ней локальный максимум.
При этом в случае строгого максимума выпуклость считается строгой, а для нестрогого максимума — нестрогой. Говорят еще, что функция у = Дх) в точке х = х0 имеет выпуклый график. Геометрически это означает, что график функции у = Дх) лежит «под касательной», т. е. что в некоторой проколотой окрестности точки х0 в строгом случае имеет место неравенство
/(х) < ftx0) - f\x0)(x - х0) < 0 или Af(x)|x _ Xq - df(x)|x - Х() < °,
139
а в нестрогом — неравенство
f(x) < f(x0) - f'(x^x - x0) < О или ДДх)|х _ Xq - </Дх)|х _ х<) < О, поскольку уравнение касательной к графику функции у = Дх) в точке х = х0 имеет вид у = Дх0) + f'(x0)(x - х0).
Аналогично определяются строгая и нестрогая выпуклость вниз в точке х = х0. Просто здесь знаки неравенств в определений 11 заменяются на противоположные. Выпуклая вверх или вниз функция в точке х = х0 называется просто выпуклой в этой точке соответственно в строгом или нестрогом смысле. Если без дополнительных оговорок употребляется термин «выпуклая функция», точнее, например, «функция, выпуклая вверх», то обычно имеется в виду строгая выпуклость.
Определение 12. Функция f(x) называется выпуклой вверх на множестве М a. R, если она выпукла вверх в каждой точке этого множества, как в строгом, так и в нестрогом смысле.
Точно также определяется и выпуклость вниз на множестве.
ТЕОРЕМА 25. Если f\x) строго убывает в точке х = х0, то функция Дх) строго выпукла вверх в этой точке.
►	В силу строгого убывания производной f\x) в точке х = х0 в некоторой проколотой окрестности слева от х0 имеем: g\x) = f\x) -- /'(*о) > 0, а справа f\x) - f'(xQ) < 0. Но тогда по теореме 22 функция g(x) = Дх) - f'(xQ)(x - х0) имеет в точке х = х0 строгий локальЦый максимум, поскольку ^(х) = f'(x) - f'(xQ) меняет знак в точке х0. ◄
СЛЕДСТВИЕ. Если f\x) строго возрастает в точке х = х0, то функция Дх) строго выпукла вниз в этой точке.
►	Достаточно вместо функции Дх) рассмотреть функцию Д(х) = = -Дх). ◄
ТЕОРЕМА 25'. 1) Если f"(x0) > 0, то функция f(x) выпукла вверх в точке х = х0.
2) Если f"(x0) < 0, то функция Дх) выпукла вниз в точке х = х0. ► Для функции g(x) = Дх) - f '(х0)(х - х0) имеем g\xQ) = 0, g'(х) = = £'(х0) + g’\xQ)(x - х0) + о((х - х0)2).
Следовательно, в некоторой окрестности точки х0 функция g\x) меняет знак в случае 1) с плюса на минус при переходе через точку х0, что согласно теореме 22 отвечает локальному максимуму функции g(x) в точке х0, и тем самым Дх) выпукла вверх в точке х0. Случай 2) рассматривается аналогично. ◄
140
Замечание 1. Нестрогая выпуклость функции Дх) в точке х х0 выводится из нестрогой монотонности ее производной в этой точке.
Замечание 2. Свойство функции Дх) быть выпуклой в точке х =*= х0 не изменится при замене f(x) на любую функцию вида f2(x) = f(x) + ax + b, где a, b е R, поскольку
Д(ах + b) = d(ax + b).
ТЕОРЕМА 26. Пусть Дх) непрерывна на отрезке Е = [а, 6], нестрого выпукла вверх на интервале (а, Ь) и f(a) = f(b) = 0. Тогда f(x) > 0 всюду на отрезке [а, &].
► Достаточно доказать неравенство Дх) > 0 на интервале (а, Ь). Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что найдется точка d g (л, b) такая, что f(d) < 0. Тогда т = min Дх) < < f(d) < 0. В силу непрерывности Дх) на Е по теореме Вейерштрасса существует точка х0 g Е такая, что Дх0) = т < 0. При этом х0 а nxQ^b, так как Да) = Д&) = 0. Заметим, что множество М с: Е состоит из всех точек х, удовлетворяющих условию Дх) = т < 0.
Пусть с = inf М. Далее, если оказалось, что с е М, то Де) = = т < 0. Покажем, что соотношение сё М невозможно. Действительно, тогда можно выбрать последовательность точек {xn} g М такую, что хп -»с при п -» оо. Следовательно, так как с g Е и Дх) непрерывна в точке х = с, то
lim f(xn) = ftlim г) = ft с).
Но f(xn) = т при всех п, поэтому Де) = тп, и тем самым с е М. Итак, Де) = т = min/(x), откуда f(c) = 0. А так как функция Дх) выпукла вверх при с g (а, Ь), то
Дх) < Де) - Д(с)(х - с) = тп < 0
в некоторой 8-окрестности (с) точки х = с.
Величина т является минимумом функции Дх) на отрезке Е. Отсюда следует, что в данной окрестности выполнены неравенства т < Дх) < тп, т. е. Дх) = тп, но это невозможно, поскольку с = = inf М, т. е. иъ(с) сМ. ◄
СЛЕДСТВИЕ. Если Дх) непрерывна на отрезке Е = [а, &] и выпукла вверх на интервале (а, &), то график функции у = Дх) лежит над «хордой», т. е. над отрезком, соединяющим точки (a, f(a)) и (b, f(b)) на плоскости хОу.
Другими словами, если данная хорда есть график функции у = Дх), заданной на отрезке Е, то g(x) = Дх) — 1(х) > 0 на этом отрезке.
►	Действительно, функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы 26. «
141
ТЕОРЕМА 26' Пусть f(x) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Тогда для любых точек хг < х2 из интервала (л, Ь) выполнено неравенство f\x^) > f'(x2), т. е. f(x) не возрастает на интервале (а, Ь).
►	Соединим точки А = (хх, Дхх)) и В = (х2, f(x2)) на плоскости хОу хордой L. Тогда по следствию теоремы 26 на отрезке [хх, х2] хорда L лежит «под кривой» у = Дх), а тем самым и под касательными к графику функции у = f(x) is. точках х = хг и х = х2. Если k — угловой коэффициент линейной функции у = 1(х)9 частью графика которой является хорда L, то
f\xr) >k> f\x2). ◄
Замечание. Из теоремы 27 следует, что всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, выпуклой вверх, лежит под ее графиком, а для функции, выпуклой вниз, она лежит над графиком. Это свойство часто берут в качестве исходного определения выпуклости функции (вверх или вниз соответственно).
Рассмотрим свойство подробнее на примере функции, выпуклой вверх. Запишем свойство выпуклости вверх функции в аналитической форме с помощью неравенств. Значения координат точки (х, у), находящейся на хорде с концами в точках (хх, ух), ух - Дхх) и (х2, у2)’ У2 = при хх и х2, принадлежащих интервалу (а, &), с условием хх < х2 можно записать в виде
X = ХхХх + Х2х2, у == ^1У1 + ^2^2’ где 1Х > О, Х2 > 0 и 1х + Х2 = 1. Поскольку величина у в этом случае не должна превосходить Дх), условие выпуклости вверх выражается следующим соотношением
ДХххх + Х2х2) у = ^1У1 + ^<2^2 = ^1Я^1) + ^г/(х2)«
В этом случае функция Дх) непрерывна на интервале (а, Ъ) и имеет на нем правую и левую производную. Далее мы докажем непрерывность функции и ограничимся рассмотрением только правой производной.
Сначала докажем непрерывность справа функции Дх) в любой точке х0 интервала (а, Ь). Прежде всего отметим следующий геометрический факт, состоящий в том, что всякая прямая пересекает график функции Дх) либо по некоторому отрезку, либо не более чем в двух точках. Действительно, если бы нашлись три такие точки А = (хх, ух), В = (х2, у2) и С = (х3, у3), хг < х2 < х3, то на интервале (хр х2) или на интервале (х2, х3) существовала бы точка х4, для которой точка D = (х4, Дх4)) не лежит на хорде с концами А и С. Но тогда при хе (хх, х2) точка D обязана лежать выше хорды АВ и хорда DC лежит выше точки В, что противоречит выпуклости вверх функции Дх). Если бы точка х4 лежала на интервале (х2, х3), то выше точки В проходила бы хорда AD.
Отсюда следует, что если точка х5 е (а, Ъ) лежит левее точки х0, то часть графика функции Дх), отвечающая точкам х > х0, лежит под про
142
должением хорды lv соединяющей точки (х5, Дх5)) и (х0, Дх0)). Это значит, что если kr — угловой коэффициент хорды 119 то при всех х > х0 имеем ДДх0) < fexAx, где Ах = х - г0. Следовательно, при Дх > 0 заключаем, что Д/(х0) = О(Дх) -» 0 при Дх —> 0+, т. е. функция Дх) непрерывна справа в точке х0 € (а, &). Подобным же образом можно установить, что функция Дх) в точке х0 непрерывна слева. Таким образом, во всех точках интервала (а, Ъ) эта функция является непрерывной.
Переходя к доказательству существования правой производной функции Дх) в точке х « х0, заметим, что для любых точек х6 и х7 с условием х0 < х6 < х7 хорда, соединяющая точки (х0, Дх0)) и (хб, Дх6)), лежит не ниже хорды, соединяющей точки (х0, Дх0)) и (х7, Дх7)), поэтому для угловых коэффициентов kQ и k7 этих хорд справедливо неравенство > ^7’ т*
, ДД*о) йв--дГ"
>
Ах = х6 - х0
Aftxp) Дас
-*7.
Ах =» х7 - х0
Таким образом, отношение ДДх0)/Дх не убывает при монотонном стремлении величины Лх к нулю справа. С другой стороны, это отношение ограничено величиной k19 рассмотренной выше при доказательстве непрерывности справа функции Дх) в точке х — х0. Следовательно, согласно свойству монотонных функций существует предел отношения Нт (ДДх0)/Дх), который по определению и называется правой производной функции Дх) в точке х0. Случай левой производной аналогичен.
Итак, мы доказали, что у выпуклой вверх функции правая и левая производные в любой внутренней точке отрезка [а, &] существуют, хотя они и не обязаны быть равными.
С другой стороны, мы установили, что правая производная функции Дх) в точке х0 не превосходит углового коэффициента k7. Но предел величины k7 при х7 —> х0 есть левая производная f'(xQ~) функции Дх) в точке х = х0, откуда следует, что в любой точке интервала правая производная не превосходит левой производной. Если же рассмотреть две различные точки х0 < х19 то угловой коэффициент k хорды, соединяющей точки (х0, Дх0)) и (xn f(x1))9 «разделяет» значения правой производной Дх0+) в точке х0 и левой производной /'(^i“)в точке х19 т. е.
f'(xQ+) > k >
Отсюда следует, что f'(x+) не возрастает на (а, &). То же справедливо и для левой производной. Поскольку обе эти функции монотонны, каждая из них имеет не более чем счетное множество точек разрыва первого рода. Все остальные точки интервала (а, Ь) являются точками непрерывности обеих функций. Но в этом случае в силу последнего неравенства их значения совпадают, и тогда функция Дх) имеет обычную производную
Г(х0) = f (х0+) = /'(«о-)» которая к тому же будет непрерывной и невозрастающей функцией в этой точке.
143
Лекция 25
§15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определение 13. Точку х0 из интервала (а, Ь) будем называть точкой перегиба дифференцируемой функции f(x) (или ее графика), если существует проколотая 8-окрестность точки х0 такая, что и в правой, и в левой ее полуокрестностях функция f(x) имеет выпуклый график, но направление выпуклости справа и слева разное.
ТЕОРЕМА 27 (необходимоеусловие перегиба). Если функция f(x) в точке х = х0 имеет вторую производную и точка х0 — точка перегиба, то
№о) = о.
►	По условию в точке х0 существует вторая производная f"(x^), поэтому f'(x) непрерывна в этой точке. Для определенности будем считать, что в правой полуокрестности точки х0 функция Дх) выпукла вверх, а в левой — выпукла вниз. Тогда по теореме 26' § 14 производная f'(x) правее точки х0 не возрастает, а левее ее — не убывает. Это значит, что в точке х0 она имеет локальный минимум. Применяя принцип Ферма, отсюда заключаем, что
(Г(Ж-^-Г(хо)-о. «
Далее будем говорить о точках перегиба только в строгом смысле, имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая выпуклость в обеих полуокрестностях.
ТЕОРЕМА 28 (первое достаточное условие строгого перегиба). Пусть функция Дх) дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки х = х0 и f'(x) имеет в ней разные знаки при х < х0 и х > х0. Тогда, если f"(xv) = 0 или f"(xv) не существует, то х0 — точка строгого перегиба графика функции Дх).
►	Так как f"(x) сохраняет знак при х < х0 и х > х0 в некоторой проколотой 8-окрестности, то Дх) имеет разные направления строгой выпуклости в этих частях 8-окрестности. По определению это означает, что х0 — точка строгого перегиба. ◄
Эту теорему можно сформулировать так: если f"(xQ) = 0 и f"(x) строго возрастает в точке х0, то х0 — точка строгого перегиба (то же и в случае Д'(х0) = 0, Д'(х) строго убывает).
ТЕОРЕМА 29 (второе достаточное условие строгого перегиба). Пусть функция Дх) дважды дифференцируема на (а, Ъ), f"(xQ) = 0 и существует f"'(xQ) и 0. Тогда х0 — точка строгого перегиба.
144
►	Так как Д3)(х0) 5^ 0, то либо Д3Х*о) > либо Д3)(х0) < 0. В первом случае f"(x) строго возрастает в точке х0, а во втором f"(x) строго убывает в этой точке. Поэтому из теоремы 2 в обоих случаях следует, что х0 — точка строгого перегиба. ◄
ТЕОРЕМА 30 (третьеусловие строгого перегиба). Пусть х0 е (а', Ъ) и пусть функция f(x) дифференцируема 2k раз на [а, 6]. Пусть существует Л2Л+1)(^о) * 0 и А2)(хо) = Л3)(хо) = - = fl2k)(xo) = °-Тогда х0 — точка строгого перегиба.
►	Заметим, что х0 в силу условия Д2*+1)(х0) # ® является точкой возрастания или убывания для f2k\x). Рассмотрим проколотую 5-окрестность U точки х0, в которой f2k\x) меняет знак при переходе через х0 и сохраняет знак внутри каждой из двух ее полуокрестностей.
Далее можно считать, что k > 2, так как при k = 1 теорема 30 следует из теоремы 29. Пусть х е U. По формуле Тейлора имеем
Л2)(х) = Л2)(х0) + ... + f((2fe (X - х0)2*-3 +	- *о)2*"2 =
f2*)(c) (2fe —2)!
(х - X0)2fe’2,
где с - с(х) е U и (х - х0)(с - х0) > 0. Но (х - x0)2fe"2 сохраняет знак при х е 17, a f2k\c) меняет знак. Поэтому и Д2)(х) меняет знак, следовательно, по теореме 28 точка х0 — точка строгого перегиба. ◄
ПРИМЕРЫ. 1. у = х3: точка х = 0 — точка Перегиба (строгого).
2. у = x2fe+1: точка х = 0 — точка перегиба (строгого).
Определение 14. Прямая х = а на плоскости хОу называется вертикальной асимптотой функции Дх), если один из пределов Jim Дх) или Jim+ Дх) равен ±оо.
ПРИМЕР, у = 1/х. Здесь прямая х = 0 — это вертикальная асимптота.
Определение 15. Прямая у = kx + Ь называется наклонной асимптотой функции Дх) (точнее^ графика функции у = Дх)) при х +оо, если
а(х) = Дх) - kx - Ь -» 0 при х -> +°°.
Аналогично определяется асимптота при х -оо.
ТЕОРЕМА 31. Для существования наклонной асимптоты у = kx + Ь при х +оо у функции Дх) необходимо и достаточ
145
но, чтобы при х —> +оо (одновременно) выполнялись следующие два условиях
1) Нт — = /г, /г е Я;
' х->+оо X
2) Нт (Дх) - kx) = b,be R.
X —> +оо
► Необходимость. Пусть y = kx + b — асимптота, тогда
а(х) = Дх) - kx - b —> 0 при х —> +оо.
Следовательно,
Дх) - kx - Ь А
-^-L--------> 0 при X -> +°°,
откуда
lim — = /г. х-»+оо X
Далее,
Wx) “ ftx) =	~kx~b) + b) = b.
Первая часть теоремы доказана.
Достаточность. Так как Jim^ (f(x) - kx) = 6, то
Jirn^ ot(x) = Jim^ (Дх) - kx - b) = Hrn^ ((f(x) - kx) - b) = b - b = 0.
Теорема доказана полностью. ◄
Если для функции f(x) выполнено условие 1 теоремы 31, то мы будем говорить, что прямая у = kx задает асимптотическое направление.
Приведем пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, заданной неявно.
ПРИМЕР. Рассмотрим уравнение кривой
х3 + у3 - Заху = 0.
Зададим ее параметризацию, полагая у = tx. Тогда получим
х3(1 + t3) - ЗахН = 0, 1 . л За* Л 3at ! + <-— -О,
Отсюда имеем: у/х = t = t(x) — ограниченная величина при х -> 00 и Дх) —> -1. Следовательно, t = -1, т. е. прямая у = -х задает асимптотическое направление. Найдем теперь значение параметра b в уравнении касательной у = -х + Ь. Имеем
у = -х + b + о(1), х3 + (-х + Ь)3 - Зах(-х + Ь) = о(х2), откуда
Зх2(Ь + а) + Зх(аЬ - Ь2) + Ь3 = о(х2), , ^ab-b2 Ь3 ... b + а Ч--------+ т—5 = о (1).
х Зх2 ' '
146
Переходя в последнем равенстве к пределу при х -» оо для постоянного Ь, получаем равенство b + а = 0, откуда Ь = -а, и, следовательно, искомое уравнение асимптоты при х —> оо имеет вид у = -х - а.
Краевой экстремум. Пусть функция Дх) задана на отрезке [а, &].
Определение 16. Точка а называется точкой краевого локального максимума (минимума), если существует интервал (а, а + 8) g [а, Ь], для всех точек х которого справедливо неравенство f(a) > Дх) (соответственно Дх) > Да)).
При Да) > Дх) имеет место несобственный (локальный) максимум; при Да) < Дх) — несобственный (локальный) минимум.
То же самое можно определить и для точки Ь9 только интервал (а, а + 8) надо заменить на интервал (Ь - 8, &).
Краевые максимум и минимум называются краевыми экстремумами.
ЛЕММА 1. Для существования (собственного) краевого экстремума в точке а (или Ь) достаточно, чтобы в этой точке существовала отличная от нуля односторонняя производная функции Дх).
► Доказательство аналогично доказательству леммы Дарбу.
Например, если f'(x) > 0 при хе (а, а + 8), то а — краевой минимум, поскольку при х е (а, а + 8) существует се (а, а + 8) такое, что Дх) - Да) = f'(c)(x - а) > 0, т. е. Дх) > Да). ◄
Общая схема построения графика функции Дх)
1.	Найти область определения функции Дх).
2.	Учесть особенности функции (четность, периодичность, знакопеременность). Найти пересечения графика с осями координат.
3.	Отметить значения функции на границе области определения и в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
4.	Найти наклонные асимптоты.
5.	Определить участки монотонности. Определить локальные и краевые экстремумы.
6.	Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
7.	Отобразить перечисленные особенности функции при построении ее графика.
Лекция 26
§ 16. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Целью интерполирования, или интерполяции, является приближенное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее производных в некоторых заданных точках области ее определения. Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число неизвестных параметров не превышает количества заданных значений функции и ее производных. Так, например, многочлен n-й степени имеет и + 1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен по значениям его в п + 1 различных точках.
Пусть в точках хр ... , хп многочлен Р(х) принимает соответственно значения /(хх), ... , /(хп).
ТЕОРЕМА 32. Существует единственный многочлен Р(х) степени п - 1 такой, что P(xk) = /(xfe), k = 1, ... , n.
► Имеем
Q zx)= /1’еСЛИХ = Х*’
**’ ’	10, еслих = хх, ...,xk_u xk + 1,... ,xn,
где
Q = (* ~ *i) -ix-xk_ x)(x - xft + x)... (x - x„) " (xk - xx)... (xft - xk _ x)(xfc - Xk + x)... (xk - x„) 
Тогда P(x) можно записать в виде
Р(х) = ftxJQ^x) + ... + /(xn)Qw(x).
Докажем, что многочлен Р(х) единствен. Действительно, допустим, что существует еще один многочлен с указанными свойствами, т. е. Q(xk) = f(xk). Отсюда получаем, что многочлен (п - 1)-й степени Р(х) = Р(х) - Q(x) имеет п корней, а именно, F(xfe) = О, k = 1, ... , п. Следовательно, F(x) = 0, т. е. многочлены Р(х) и Q(x) тождественно совпадают. ◄
Формула, задающая многочлен Р(х), называется интерполяционной формулой Лагранжа. При этом точки хр ... , хп называют узлами интерполяции.
Пусть Дх) — некоторая функция. Обозначим через Pfe(x) многочлен степени k - 1, принимающий в точках хр... , xk значения /(х1), ... , f(xk). Тогда интерполяционную формулу можно записать в виде
Р(х) = Рх(х) + ki2 (Pk(x) - Рк_г(х)) = Р„(х).
148
Многочлен РА(х) - P^-iC*) степени k - 1 в силу определения обращается в нуль в точках хр ... , xk_v Следовательно, он имеет вид Ak(x - х0) ... (х - xk_j). Коэффициент Ak совпадает со старшим коэффициентом многочлена Pk(x) и в силу интерполяционной формулы Лагранжа равен
А =__________________+
* (Xi -х2)... (Xj -Xk)
+__________f(x2)_________ +	+_________f(Xk)____
(х2-Х1)(х2-х3)... (х2-Xft) “	(xk-x1)... (xk-xk_1)‘
Таким образом, коэффициент Ak является некоторой функцией отГр ..., xk. Обозначим ее через Ak = fk(x19 ..., хл). Тогда интерполяционный многочлен Р(х) можно записать в виде
Р(х) = /1(х1) +
+ (X - х^/^Хр х2) + ... + (х - хх)... (х - Хл_1)/л(х1, ..., хп), где, очевидно, полагая х = хр имеем f^x^ = /(xj. Эта формула называется интерполяционной формулой Ньютона. Функции fk(x19 ..., xk)9 k = 1, ..., п, называются интерполирующими функциями.
Полагая в формуле Ньютона х = хп, получаем
/(x„) = P(x„) = /(x1) +
+ (х„ - х^Хр х2) + ... + (х„ - хх)... (х„ - Хд.^/Дхр ... , хл).
Здесь узел интерполяции хп — произвольное число, поэтому, заменяя хп на х, имеем
Г(х) =
= f(Xj) + (х - Х^Хр х2) + ... + (х - хр ... (х - Хп_1)/п(х1,..., х). Уменьшим количество узлов интерполяции на один, исключив точку хп_19 запишем эту формулу для узлов интерполяции хр..., хп_2, х и вычтем получившееся тождество из предыдущего. Тогда получим
...Xn-2’X)~fn-l<Xl....ХП-1>
4(Хр - , Х„_р X)---------------——------------------•
Х Хп -1
Таким образом, при п = 2, 3, ... имеют место соотношения
№.. *> -	. №.. Ъ	,
которые позволяют с помощью простого алгоритма вычислить интерполирующие функции. Для определения всех коэффици
149
ентов интерполяционного многочлена Ньютона (и - 1)-й степени 1 достаточно вычислить значения интерполирующих функций I в п(п - 1)/2 точках (с учетом кратности)* Здесь существенно, что I при добавлении новой точки интерполяции интерполирующие 1 функции, вычисленные ранее, сохраняются и надо только доба- I вить к ним значения интерполирующих функций в этой точке. |
ТЕОРЕМА 33. Пусть функция f(x) имеет п-ю производную на | отрезке [а, &], а < хг < х2 < ... < хп < Ь. Тогда имеет место формула /(б) = р„(&) + ад,
где R(b) =	~ (Ь- хх)... (Ь - хЛ), причем с — некоторая точка,
принадлежащая (а, &).
► Рассмотрим вспомогательную функцию
Я(х) = f(x) - Рп(х) - (х -Xj).. .(х - хп)Н, где Н — некоторое число, значение которого выберем ниже.	>
Имеем
Я(х1) = ...=В(хп) = О.
Величину Н найдем из соотношения R(b) = 0. Отсюда по теореме Ролля, примененной п раз, получаем, что существует число с е (а, 6), для которого Rtn\c) = 0, откуда
- п!Н = 0.
Следовательно,
Н-1^. <	!
п\
Лекция 27
§ 17. МЕТОД ХОРД И МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (МЕТОД НЬЮТОНА). БЫСТРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [а, 6]. Тогда функция f(x) непрерывна на [л, Ь] и по теореме Коши о промежуточном значении для любого а е Я, лежащего между числами f(d) и f(b)9 внутри отрезка [а, Ь] найдется точка с такая, что f(c) = = а. Естественной и важной задачей и в теоретическом, и в практическом смысле является задача вычисления приближенного значения числа с с наперед заданной точностью. Например, можно поставить вопрос о нахождении корня уравнения х2 = 2 с точностью до десяти знаков после запятой, т. е. для л/2 найти приближенное значение с0 такое, чтобы имело место неравенство 172 - с0| < 1О"10 и т. п.
Рассмотрим два естественных метода нахождения таких приближенных значений, а именно: метод хорд и метод касательных, который еще называют методом Ньютона, поскольку он первым его применил. Эти методы важны не столько сами по себе, сколько тем, что они являются простейшей моделью многих вычислительных процессов, применяемых в гораздо более сложных ситуациях. Оба метода итерационные, т. е. они состоят в последовательном вычислении некоторых чисел х19 х29 ••• 9 хп9 . При этом разность |с - хп| —> О при п —> оо, и поэтому, начиная с некоторого номера п0, она должна стать меньше наперед заданного значения, называемого заданной точностью или погрешностью вычисления.
Метод хорд. Число хг определим как абсциссу точки пересечения горизонтальной прямой у = а с «хордой* графика функции у = ftx), т. е. с отрезком, соединяющим точки (а, /(а)) и (Ь, ftb)). Обозначим отрезок [а, Ь] через /0. Полагая А = f(a) и В = ftb), исходя из подобия соответствующих треугольников для нахождения величины хг имеем уравнения:
а -А = В - а = а-В хг- a Ъ - хг хх - b ’
Отсюда находим
хх(а - А) - Ь(а - А) = хг(а - В) - а(а - В),
_ -а(а - В) + Ь(а -А)
В-А
151
Затем в качестве берем один из отрезков [л, xj или [хр &] так, чтобы число а вновь находилось между значениями f(x) на его концах, т. е. на концах отрезка функция Дх) - а имеет значения разных знаков. По тому же правилу находим 12 и т. д. Получим систему вложенных отрезков: IQ о о ... z) In z> ... Как известно, они содержат общую точку с.
Если, например, f'(x) > 0, то Дх) не убывает, и тогда из непрерывности Дх) следует, что Де) = а, поскольку на концах каждого из отрезков 1п функция g(x) = f(x) - а имеет значения разных знаков.
Метод касательных. Этот метод состоит в следующем. Пусть для простоты а = 0. (Если это не так, то вместо уравнения Дх) = а рассмотрим уравнение g(x) = 0, где g(x) = Дх) - а.) Величину хх определим из соотношения
f(b) =	. т r v f(b)
b - х, f (Ь)’ Тф е‘ X1 b f\b) •
При n > 1 имеем
Л*п) Х« f(x„)•
В обоих методах надо еще уметь определить момент, когда следует оборвать процесс вычислений. Чтобы упростить решение этого вопроса и сократить объем вычислений, применяют следующий комбинированный метод.
Метод хорд и касательных. Сущность этого метода состоит в нахождении пар точек xn, i/n, подчиненных следующему условию хп < с < уп. Схема вычисления величин хп и уп такова. Пусть f'\x) > 0 на IQ = [а, Ь]. Определим хх по методу хорд, а уг — по методу касательных. Тогда имеем хх < с < у19 и далее за принимаем отрезок [хр pj. Точно так же, находя х2 методом хорд, а у2 методом касательных, получаем отрезок 12 = [х2, у2] и т. д. Как только окажется, что |хЛ - уп\ < 8, на этом процесс вычисления с с точностью до 8 обрывают.
ПРИМЕР. Пусть Дх) = х2 - а, а = 0, а = 2. Применим метод касательных. Для определенности положим х0 = 1. Величина хп+1 находится по формуле
*п+1 Хп Г(Хп) Хп
= хп д 1
2х„	"	2 2хп 2
Для того чтобы выяснить, как быстро сходится этот вычислительный процесс, проведем оценку погрешности на (п 4- 1)-м шаге. Для этого обозначим через гп величину rn = \Ja - хп|. Тогда
г2п = (л/а - х„)2 = а - 2xnJa + х2,
152
откуда
Из неравенства -•* > Jab получаем, что при п > 1 &
хп+1 = 2	’
4 хп 7
следовательно, так как а = 2,
Отсюда можем заключить, что если хп приближает Ja с точностью до k десятичных знаков после запятой, т. е. rn < 10"fe, то хп+1 приближает Ja уже с точностью до 2k знаков, т. е. rw+1 < 10~2k. Если за х0 возьмем, например, число 1,4, которое, как известно, приближает J2 с точностью до одного знака, т. е. |Т2 - 1,4| < 10"1, то получим < 10”2, г2 < 10~4, ... , гп < 10~2", .... Видим, что за п шагов точность составит величину, не меньшую чем k знаков, где k = 2п. Так что для вычисления числа J2 с заданной точностью в k знаков достаточно выполнить п итераций, где п « [log2 А] + 1.
Такого же типа оценки для метода Ньютона имеют место и в общем случае решения уравнения f(x) = 0, если начальное приближение взято достаточно «хорошим». Доказательство этого утверждения основано на применении формулы Тейлора с разложением до второго члена.
Обратим внимание на следующий факт: при оценке эффект тивности вычислительного алгоритма надо обращать внимание не только на количество итераций, но и на количество арифметических операций в каждой итерации. Например, при вычислении Ja количество арифметических операций в каждой итерации равно 3: одно деление, одно сложение и одно умножение. Следовательно, для вычисления Ja с точностью до k знаков надо выполнить 3 [log2 &] + 3 арифметических операций. Но и это еще не все. Во-первых, надо иметь в виду, что нет необходимости в начальных итерациях учитывать все k знаков, так как точность приближения от этого не возрастает; во-вторых, проводить деление в столбик гораздо труднее, чем умножать числа, а умножать труднее, чем складывать.
153
Отметим, что метод Ньютона дает возможность заменить деление умножением. Действительно, f(x) = 1/х - а, х0 = 1. Тогда
f(x„)	1/х„-а
Хп+1 Хп f(xa) Хп -1/Х2 %Хп ^Хп"
Как и раньше, имеем 1 --------------------х„, г а п 9 1
•2 = 1/а2 - 2х„/а + х2,
п
аг2 = 1/а - (2хп + ах2) = г„+1.
Теперь, например, при а < 1 и г0 < 10 1 для величины п (количества итераций) при вычислении с точностью до k десятичных знаков после запятой имеем: п < [log2 А] + 1.
Еще более строгий подход к вопросу об эффективности вычислительного алгоритма состоит в учете операций над цифрами, с помощью которых записывается число. Тогда можно сказать, что, например, сложение двух n-значных натуральных чисел требует не более Зп операций, а «школьный» способ умножения чисел в столбик требует порядка п2 поразрядных умножений и порядка п2 сложений. Поэтому кажется естественным, что быстрее чем за О(п2) операций умножить два n-значных числа нельзя. В 50-х годах академик А. Н. Колмогоров поставил задачу доказать это, на первый взгляд, правильное утверждение. Но оказалось, что это не так.
В 1961 г. А. А. Карацуба доказал замечательную теорему, которая положила начало совершенно новому направлению в вычислительной математике — теории быстрых вычислений. Он доказал, что два n-значных числа можно умножить не за О(п2), аза О(п1ов23) операций.
ТЕОРЕМА 34 (теорема А. А. Карацубы). Существует алгоритм, позволяющий умножить два n-значных числа за О(г№2*) операций.
► Представим числа в двоичной записи: а = ап ... а19 Ь = Ъп ... рх. Заметим, что
аЬ = ((а + Ъ)2 - (а - &)2)/4.
Для деления числа на 4 достаточно сдвинуть его на 2 разряда вправо, это займет только О(п) операций. Так что достаточно доказать, что возведение в квадрат n-значного числа потребует указанного числа операций. Доказательство проведем по индукции. Пусть для простоты п = 2k и пусть
а = 2Л/2 • а + Р,
154
где а и Р — n/2-значные числа. Тогда имеет место тождество а2 = а2(2п - 2Л/2) + (а + р)22"/2 - р2(2"/2 - 1).
Если число операций для возведения в квадрат n-значного числа обозначить через К(п), то
К(п) < ЗК(п/2) + сп, К(п/2) < ЗЛГ(п/4) + сп/2,
, К(2) < 32С(1) + с,
К(п) < 3* + с(п + (Зп/2 + 32п/4 + ... + 3fe), где k = log2 п. Отсюда имеем
К(п) < 3Л(Зс + 1). ◄
В заключение укажем на соображение общего характера, лежащее в основе многих итерационных вычислительных алгоритмов. Пусть требуется найти значение функции в точке х0, т. е. вычислить /0 = /(х0). Обозначим через fn приближение к /0 с точностью Дп (до п десятичных знаков):
Дп = 14-Го1-
Допустим, что известна функция G(x) со следующим свойством: Gifo)-fo,G'(x)\x = frO.
Тогда имеем
G(fn) = ВД + G'( Wn - /о) + (fn ~ /о)2.
откуда |/0 - G(fn)| < сД2, где с = max —	. Теперь, полагая fn+1 =
= G(/n), получаем приближение к fQ с точностью порядка 2п десятичных знаков после запятой. Тем самым мы имеем быстро-сходящийся алгоритм для приближенного вычисления значения /0. Заметим, что рассмотренный выше алгоритм вычисления корня квадратного из числа х0 является частным случаем приведенного при /(х0) = и =	+ хо//"п)/2-
ГЛАВА 6
Неопределенный интеграл
Лекция 28
$ 1. ТОЧНАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция F(x) называется точной первообразной для функции f(x) на (а, Ь), если при любом х е (а, Ь) имеем F\x) = f(x), т. е. в каждой точке х интервала (а, Ь) значение функции f(x) является производной функции F(x).
ТЕОРЕМА 1. Пусть f(x) определена на (а, Ь) и Fr(x), F2(x) — две ее точные первообразные. Тогда существует число с е R такое, что при любом х е (а, Ь)
Fj(x) - F2(x) = с.
► Пусть функция
G(x) = F1(x)-F2(x).
Тогда G(x) — дифференцируемая функция, причем всюду на (а, Ь)
G'(x) = F'^x) - F'2(x) = Дх) - /(х) = 0.
Положим х0 = (а + 6)/2. Тогда по формуле Лагранжа конечных приращений имеем
G(x) - G(x0) = G'(^)(x - х0) = 0, т. е.
(?(х) = G(x0) V х е (а, &).
Но, полагая с = G(x0), получаем, что G(x) = с для всех точек х интервала (а, &).	◄
Замечание. Из теоремы 1 следует такое утверждение: любые две первообразные F(x) и G(x) функций /(х) и g(x) отличаются на константу тогда и только тогда, когда их производные совпадают, т. е. когдаF' = f = g = G'. Ранее было показано, что далеко не все функции, заданные на каком-либо интервале (а, &), имеют производную.
Аналогично обстоит дело и с первообразной, т. е. не все функции имеют производную. Но если функция /(х), определенная на (а, Ь), имеет первообразную, то она называется интегрируемой.
156
Прежде чем перейти к изучению класса интегрируемых функций, несколько обобщим понятие точной первообразной.
Определение 2. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а, Ь), если в каждой его точке х за исключением, быть может, конечного их числа, выполняется равенство F'(x) = f(x).
ТЕОРЕМА 2. Пусть Fr(x) и F2(x) — первообразные функции f(x) на (а, Ь). Тогда найдется число с такое, что всюду на этом интервале
F^x) - F2(x) = с.
► Пусть xv ... , хп — конечное множество точек, на котором не существует Fj(x) или F2(x). Тогда множество (а, Ь) состоит из конечного числа интервалов Ik, на которых производные обеих функций существуют. Следовательно, по теореме 1 их разность постоянна на каждом таком интервале. Кроме того, эта разность является непрерывной функцией на всей области определения. Отсюда следует, что в общей граничной точке любых двух смежных интервалов ее значение равно одновременно пределу справа и слева. Эти значения, в свою очередь, совпадают с ее значениями на смежных интервалах. А это значит, что функция на смежных интервалах, включая точку их общей границы, постоянна. Следовательно, она постоянна на всем интервале (а, Ь). ◄
Определение 3. Совокупность всех первообразных функций для какой-либо одной функции f(x) на интервале называется неопределенным интегралом от функции f(x). Эта совокупность обозначается символом J f(x)dx (читается*, интеграл от f(x)dx).
Из теоремы 2 следует, что все функции этой совокупности отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если F(x) какая-нибудь одна первообразная, то можно записать равенство
$ f(x)dx = F(x) + с,	(1)
где с — произвольное число. Это равенство надо понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, определенных на (а, Ъ), причем слева стоит совокупность, образующая неопределенный интеграл от f(x), а справа — совокупность функций, отличающаяся от функции F(x) на функцию, значение которой равно числу с для всех точек х этого интервала. (
ПРИМЕРЫ.
1.	J 1 • dx = х + с, так как х' = 1.
2.	J 0 • dx = с.
3.	J cos xdx = sin х + с, так как (sin х)' = cos х.
157
Для доказательства этих равенств надо продифференцировать правую часть и убедиться, что ее производная равна функции, записанной слева между знаком J и символом dx. Она называется подынтегральной функцией. Знак J называется знаком интеграла, а выражение, записываемое справа от него, — подынтегральным выражением.
Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что иное, как дифференциал любой первообразной функции для Дх). Действительно, если F(x) — первообразная Дх), т. е. F\x) = = Дх), то по определению дифференциала dF(x) = f(x)dx. А так как
J f(x)dx - F(x) + с, d(F(x) + с) = dF(x),	(1)
то можно записать равенства
J dF(x) = F(x) + с, d(I f(x)dx) = dF(x) = f(x)dx, (2) причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все функции, входящие в совокупность J f(x)dx, имеют один и тот же дифференциал dF(x). Также имеем
(J/(x)dx)' = f(x).	(3)
Определение 4. Нахождение неопределенного интеграла от функции Дх), заданной на (а, &), называется интегрированием этой функции. Саму задачу нахождения неопределенного интеграла можно рассматривать как обратную к задаче нахождения дифференциала функции.
Лекция 29
§ 2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Из правил дифференцирования функции и теоремы 2 следует ряд свойств неопределенного интеграла. Приведем некоторые из них, которые задаются равенствами и доказываются с помощью дифференцирования обеих частей этих равенств. Прежде всего докажем, что равенство точных первообразных
J f(x)dx = J g(x)dx	(4)
эквивалентно одному из следующих четырех равенств:
(J f(x)dx)' = (J g(x)dx)';
d(J f(x)dx) = d(J g(x)dx);
/(x) = g(x);
f(x)dx = g(x)dx,
которые имеют место при всех х е (а, Ъ).
В самом деле, в силу приведенных выше свойств (1)—(3) (см. лекцию 28) эти равенства действительно эквивалентны.; А равенство (4) означает лишь то, что любые две первообразные F, G для функций fug отличаются между собой на константу. Но согласно замечанию к теореме 1 для этого необходимо и достаточно, чтобы f = g.
Замечание. Свойство (4) дает критерий равенства двух неопределенных интегралов: они совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их производные или дифференциалы. Докажем теперь следующее свойство:
J (/(х) + g(x))dx = J f(x)dx + J g(x)dx,	(5)
f a/(x)dx = a J f(x)dx V a* 0.	(5')
Эти равенства надо понимать как совпадение двух совокупностей функций, стоящих в этих равенствах справа и слева. (Напомним, что два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.) Поясним, что совокупность
J f(x)dx -F J g(x)dx состоит из всевозможных функций, образованных суммами функций F(x) + G(x), где F(x) е J /(x)dx, G(x) е J g(x)dx, т. e.
J f(x)dx + J g(x)dx = {F(x) + G(x)}, где {F(x)} «J /(x)dx, {G(x)} = J g(x)dx.
Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно продифференцировать эти равенства. Доказательство закончено.
Отметим, что для простоты применения на символы / f(x)dx и J g(x)dx Удобно смотреть, как на обычные функции, подразумевая под ними некоторые первообразные функций f(x) и g(x) соответственно, а равенство
159
между выражениями, в которые они входят линейно, понимать с «точностью до постоянной», имея в виду, что правая и левая его части отличаются на функцию, постоянную на (а, Ь).
С помощью свойства (4) можно легко установить еще два свойства неопределенных интегралов, важных для непосредственного интегрирования.
Правило интегрирования по частям
u(x)v(x) - J u(x)dv(x) = J v(x)du(x)9	(6)
Правило замены переменной
Mx)dx = f/((p(O)<p'(O<ft,	(7)
где х = <р(0 — дифференцируемая функция от t9 определенная на интервале (а, Р), причем множество значений {<р(0} принадлежит интервалу (а, &). Мы предполагаем, что в обоих равенствах интегралы в левых частях действительно существуют; из этого следует существование интегралов и в правых частях этих равенств.
► Докажем свойство (6). Так как по условию интеграл в левой части равенства существует, то ее дифференциал равен
d(uv - J udv) = udv + vdu - udv = vdu.
Отсюда в силу свойства (4) следует справедливость свойства (6).
Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу дифференцирования сложной функции и согласно свойству (3) при х = <р(0 имеем
d f(x)dx)'t = d ftxydxyj&p = f(x)\x . *t) • ф' = Г(Ф«)Ф'(О).
Следовательно, согласно свойству (4) интеграл f f(x)dx при х = = ф(£) есть в то же время и неопределенный интеграл от функции /'(ф(О)ф'(О» Т. е.
J f(x)dx = J /((p(t)d(p(t)) = f /(<p(<))(p'(i)di. ◄
С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что справедливы следующие равенства для неопределенных интегралов от простейших элементарных функций:
1) J xndx = —-+1 + с9 п * -1; 3) f  = arctg х 4- с;
п + 1	1 + х2
2)f	=1п|х| +с;
4)f-^4 =1п
1-х1 2
1 + X 1-х
160
5)	J . dX— = arcsin x 4- c; 9) J cos xdx = sin x + c;
Jl-x2
6)	J . dx _ = ln|x 4- Jx2 ± 11 4- c; 10) J  dx  = -ctg x 4- c; sin2x
7)	J axdx = £—I- c, a > 0,	11) J = tg x 4- c;
7 J	Ina ’	9	J cos2x
a 1, J exdx = ex 4- c;	12) J In xdx = x In x - x 4- c.
8)	J sin xdx = - cos x 4- c;
Как уже было отмечено, не всякая функция имеет точную первообразную, так как не всякая функция является производной от другой функции. Рассмотрим, например, функцию
Л*)=
1,	если х g (0,1),
2,	если х = 1,
3,	если х g (1, 2).
Эта функция определена на (0, 2) и не может являться производной какой-либо функции F(x) на (0,2), так как по теореме Дарбу производная принимает все свои промежуточные значения, а функция f(x) — всего три значения: 1,2,3.
Далее будет доказана формула Ньютона—Лейбница, из которой следует, что функция, непрерывная на интервале, имеет первообразную, т. е. интегрируема. Поэтому все элементарные функции интегрируемы на всех интервалах, входящих в их области определения. Однако в результате интегрирования далеко не всегда получаются снова элементарные функции, как это имеет место при дифференцировании. Например, можно доказать, что функции
г dx
li х = J (интегральный логарифм),
f sinx , z	о ч
si х = J-- dx (интегральный синус)
не являются элементарными.
Фуйкции, сами не являющиеся элементарными, но определяемый через них с помощью аналитических соотношений типа интегрирования и дифференцирования, обычно называют специальными функциями. Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например, с вычислительной точки зрения специальные функции, вообще говоря, «ничуть не хуже», чем элементарные, а иногда и «лучше». Но все же простейшие элементарные Функции имеют преимущество, состоящее в простоте тех функциональных соотношений, которым они удовлетворяют.
161
6 - 4953
Еще раз подчеркнем, что единого метода интегрирования элементарных функций существовать не может, так как первообразная может и не быть элементарной функцией. Но для нахождения первообразной в явном виде имеется несколько приемов. Говоря о методах интегрирования, снова напомним, что для выяснения того, является ли известная нам функция F(x) первообразной Дх), нет необходимости «брать интеграл*, т. е. вычислять J f(x)dx, надо просто найти F\x) и сравнить ее с f(x).
ПРИМЕР. 1. Пусть функция Дх) имеет непрерывную производную на (а, &), С(х) = о х с„. Тогда
F(x)= о <Z< х cnf(n) - C(x)f(x) = -J C(x)f'(x)dx.
Действительно, если х — не целое число, то, поскольку С(х) и а х сп f(n) кусочно-постоянны на интервалах, не содержащих целых точек,
F'(x) = -С(х)Д(х).
Ранее мы убедились, что F(x) непрерывна на (а, Ь), так что F(x) есть первообразная функции C(x)f'(x).
2. Пусть функция Дх) имеет непрерывную производную на (а, &), р(х) =5 - {х}. Тогда имеет место формула
F(x) = а <Z< х f(n) - p(x)f(x) + p(a)f(a) = J (f(x) - p(x)f'(x))dx.
Действительно, если x — не целое число, то
F'(x) = (-p(x)ftx))' = f(x) - p(x)f'(x).
Далее, так как F(x) — непрерывная функция, то F(x) — первообразная функции Дх) - p(x)f'(x).
Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громоздкой процедурой, так что целесообразно с помощью различных приемов сводить процесс вычисления к табличным интегралам. Для того чтобы уверенно и быстро вычислять интегралы, необходим определенный навык применения стандартных приемов интегрирования. Самые простые и самые общие из этих приемов — это метод замены переменной и метод интегрирования по частям [см. свойства (5) и (6)].
Подробнее с различными методами интегрирования можно познакомиться, например, в [4, 7, 15, 16].
Лекция 30
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО ГЕЙНЕ НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ
Предметом настоящей лекции является распространение классического понятия предела функции по Гейне на общий случай сходимости по базе множеств. Как известно, построение курса математического анализа основано на двух эквивалентных понятиях сходимости: пределах по Коши и по Гейне. Одновременное использование обоих понятий в курсе мотивируется его содержанием. В частности, это позволяет унифицировать и сделать ясным использование пределов во всем их разнообразии, включая теорию интегрирования, функции многих переменных и др.
Необходимо отметить, что понятие сходимости по базе множеств впервые было сформулировано А. Крыжановским [22] (в несколько отличающейся терминологии). В 1937 г. В. И. Гли-венко [23] использовал это понятие для общего определения интеграла. Позже, как отмечал А. Н. Колмогоров, французская математическая школа пришла к тому же понятию в рамках теории фильтров.
В связи с успешным развитием теории сходимости по Коши возникла неотложная необходимость в соответствующем обобщении понятия предела функции по Гейне [24], [25]. Здесь мы решаем эту задачу. Введем понятие Н-предела по базе, которое совпадает с классическим определением предела по Гейне в простейших конкретных случаях. Затем установим эквивалентность понятия Н-предела по базе, введенного нами, и общепринятого определения предела функции по Коши. Наконец, как нетривиальный пример введенного понятия Н-сходимости по базе, продемонстрируем новый подход к определению и исследованию верхнего и нижнего пределов функции по базе.
1. Пусть А — основное множество элементов х, А = {х}, и В — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного числа окончаний Ь, т. е. b а А, Ь g В, удовлетворяющих следующим условиям:
1)	каждое окончание является непустым множеством;
2)	для любых двух окончаний Ь19 Ь2 существует окончание Ь3 такое, что b3 с br П b2.
Определение 1. Назовем последовательность {хп}> хп g А, фундаментальной по базе В, если для любого окончания Ь существует только лишь конечное число членов последовательности, которые не принадлежат Ь.
163
Определение 2. Фундаментальная последовательность называется монотонной (по базе В)9 если условие хп е Ъ влечет условие хд+1 g Ъ для каждого окончания Ь.
Далее ограничимся базами В, удовлетворяющими также следующим условиям:
3)	для любых двух окончаний Ь19 Ь2 имеем, что либо Ьг с 62, либо Ь2 с &р
4)	существует по крайней мере одна монотонная последовательность по базе множеств В;
5)	А & = 0.
2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей по базе.
ЛЕММА 1. Любая подпоследовательность {yk = хп*} монотонной последовательности {хп} сама является монотонной последовательностью.
► Пусть Ь — произвольное окончание из базы В. Тогда вне его лежит не более конечного числа членов последовательности {хд}. Следовательно, {yk = хд*}, не входящих в окончание &, также конечно. Выберем среди них член yk с максимальным значением
номера k = kQ. Тогда yk^ + 1е Ь. А если kx > kQ + 1, то nk^ > п^ + р откуда, в силу монотонности исходной последовательности {хд}, имеем yk^ = хПь g &, т. е. последовательность {yk} — монотонна. ◄
nk.
Л Е М М А 2. Пусть {хд} — монотонная последовательность по базе В. Тогда существуют ее подпоследовательность {yk}9 yk = хп*9 и последовательность окончаний Ьп g В, зависящая от {yk}9 такие, что хп* g bk9 но хп* £ bk^19 bk+1 с bk.
► В качестве выберем произвольное окончание из В. Существует только конечное число членов последовательности, которые не принадлежат Пусть хп^ g Ьр тогда для любого k > 0 имеем хп + k е Ъг (согласно свойству монотонности {хд}). В качестве Ь2 выберем некоторое окончание, которому не принадлежит хп^. Такое Ь2 существует, поскольку Нв = Аь € в Ъ = 0. Действительно, если хП1 g b для любого окончания 6, то хп^ е Нв. Но тогда Нв не будет пустым множеством. В качестве хп^ выберем член последовательности с минимальным индексом, начиная с которого все последующие члены последовательности принадлежат &2, и т* Д-
164
Таким образом, получаем две последовательности: элементов ys = хп и окончаний {68}, Ь8 е В таких, что хп g 6g, хп t b8+1 и b8+1 cz Ь8 для каждого s > 1. ◄
Последовательность {Ьп} назовем основной последовательностью окончаний.
ЛЕММА 3. Пусть {Ъп} — основная последовательность окончаний. Тогда для каждого окончания Ь g В существует окончание Ъп е В такое, что Ъп с Ь.
►	Пусть Ь — произвольное окончание из базы В. Вне этого окончания лежит не более конечного количества членов yk, т. е. найдется хотя бы одно значение k = kQ, при котором ykQ g Ь. Рассмотрим также окончание Ь^о+1 из основной последовательности окончаний.
По условиям, наложенным на базу В, имеет место одно из двух включений: 1) & с ЬЛо+1 или 2) Ь э ЬЛо+1. Однако первый случай невозможен, поскольку тогда имеют место соотношения yko 6 ba ЬЛо+1, или ykQ g ЬЛо+1, что невозможно, так как yk^ е bkQ, но уЛо ё ЬЛо+1 по построению последовательностей {ук} и {bk}. Следовательно, имеет место именно второй случай, т. е. Ъ о => Ч+1- <
Л Е М М А 4. Справедливо соотношение kQl bk = 0.
►	Предположим противное, т. е. что существует z g bk при всех натуральных k. Поскольку £ b = 0, найдется окончание Ъ, не содержащее z.
По лемме 3 существует bk^ такое, что bk^ а Ь. Отсюда следует, что z не входит и в окончание bk^, откуда z g k П J>k, что противоречит сделанному выше предложению. 4
Заметим, что в силу доказанных лемм основная последовательность окончаний сама образует некоторую базу Bk^ эквивалентную исходной базе В. Эквивалентные базы иногда называют еще конфинальными.
3. Пусть f(x) — вещественная функция, определенная на А. Мы называем число I С-пределом функции f(x) по базе В, если для всякого е > 0 существует окончание Ъ = &(е) такое, что для всех х g b имеем |/(х) - 1\ < е.
Обозначение: I = С-lim f(x) или просто I = lim f(x). в	в
У 65
Это соответствует определению предела функции по Коши. Дадим теперь аналогичное определение предела по Гейне.
Число I будем называть Hm-пределом функции f(x) по базе В, если для каждой монотонной последовательности {хп} по базе В
nh“oAxn) = t
Обозначение: I = Нт-lim f(x).
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы существовал C-lim f(x), необходимо и достаточно, чтобы существовал Hm-lim /(х); более того, Hm-lim f(x) = C-lim f(x).
В	в
Другими словами, понятия Нт-тгредела и С-предела функции по базе В являются эквивалентными.
► Необходимость. Пусть С-предел существует, т. е.
C-lim f(x) = I.
Тогда по определению для любого е > 0 существует Ь = &(е) такое, что при всех х g b справедливо неравенство \f(x) - 1\ < е.
Рассмотрим произвольную последовательность {хп}, монотонную по базе В. Из условия монотонности следует, что существует п0 такое, что для всех п > п0 имеет место соотношение хп е Ъ. Следовательно,
|Л*„) - z| < е V п > п0, т. е.
Достаточность. Предположим противное. Пусть Hm-lim f(x) = = Z, но С-предел не существует или не равен I. Это означает, что существует е > 0 такое, что для каждого окончания Ь g В найдется х g &, для которого |Дх) - 1\ > е.
Рассмотрим основную последовательность окончаний {Ьп}. Пусть g Ьг и |/(2х) -1\ > е. Так как Нв = П Ъ = 0, то существует окончание &(1) g В такое, что zx £ &(1). В силу леммы 3, при некотором пх имеем &Л1 с: &(1). Следовательно, zx £ Ьп^
Далее, существует точка z2 е Ьп^ такая, что |/(х2) - 1\ > е. Как и выше, находим окончание Ъп^ удовлетворяющее условию z2 £ <£ Ъп^. Затем выбираем z3 g Ъп^ такое, что |f(z3) - 1\ > £, и т. д. Таким образом, получаем последовательность {zn}, которая удов-
166
летворяет условиям zk g Ьп , zk £ Ьп , и последовательность k — 1	ь
окончаний = bn^ Z) Ьп^:э ... .
Покажем, что последовательность {zn} является фундаментальной и монотонной по базе В.
Фундаментальность. Возьмем любое окончание Ь* е В. По лемме 3 существует окончание bk такое, что bk а. Ъ*. Если п8 > k, то bn* <^bka b*. Окончанию Ьп* не принадлежат только элементы z19 ... , z8 последовательности {zn}9 и для любого п> з имеем zn е е Ьп с Ъ*. Значит, последовательность {znj является фундаментальной.
Монотонность. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует окончание ft* g В такое, что для некоторого номера k имеем zk е b*9 zk+1 ё Ъ*. Из построения последовательности {zn} получаем, что ё Ьп^. Следовательно, bn* z> Ъ* (согласно свойству 3 базы). Так как zk g Ь*, то zk g Ъп*. Однако это противоречит тому факту, что по построению последовательности {zk} справедливо условие zk<£ bn . Таким образом, последовательность {zk} является монотонной.
Далее, из того, что Hm-lim f(x) = Z, имеем f(zn) = l. Следовательно, можно перейти к пределу в неравенстве
|Дгп) - Z| > е > 0.
Получим 0 > е > 0, что невозможно. ◄
Будем говорить, что число I называется Н-пределом функции f(x) по базе В9 если для любой фундаментальной последовательности {хп} по базе В выполнено условие
lim f(xn) = I.
Обозначение: I = Д’-lim f(x).
ТЕОРЕМА 2. Следующие три понятия предела эквивалентны".
1)	lim Дх) = I;
2)	Н-1пл Дх) = Z;
3)	Hm-lim Дх) = I.
В
► Имеет место следующая цепочка утверждений: 1 => 2 => 3 =$ 1. Первые два из них очевидны, третье утверждение следует из теоремы 1. ◄
167
4. Докажем несколько свойств верхнего и нижнего предела по базе. Пусть {хЛ} — монотонная последовательность по базе В и пусть существует ДхЛ) = I* Тогда I называется частичным пределом по базе В. Наибольший из частичных пределов (если он существует) называется верхним пределом функции f(x) по базе В и обозначается lim Дх); подобным образом наименьший частичный предел называется нижним пределом по базе В и обозначается lim Дх).
в
Число 1Г называется верхним предельным числом, если
li = inf sup f(x), хе Ь
а число 12 — нижним предельным числом, если
L = sup inf Дх).
ЬеВ хеЬ
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция Дх) финально ограничена. Тогда верхний и нижний пределы f(x) по базе В существуют и
lim Дх) = inf sup Дх), lim Дх) = sup inf Дх).
В	ЬеВ хеь	&	xeb
► Для любых двух окончаний Ь19 Ь2 базы В имеем
inf Дх) < sup Дх).
хе bi	хе Ьг
Действительно, существует окончание Ь3 базы В с условием Ь3 а с П Ь2. Тогда
inf Дх) < inf Дх) < sup Дх) < sup Дх).
хе&1	хе^з	хеЬ3	хе&2
Следовательно, в силу финальной ограниченности Дх) по базе В существует такое число X, что
А, = inf sup Дх).
ЬеВ
Докажем, что
lim Дх) = X.
Шаг 1. Можно найти окончание b* g В, для которого Дх) < < X + 1 для любых х g &*. Из леммы 3 следует, что существует окончание Ьп^ е В с условием Ьп^ а Ь*. Покажем, что можно найти элемент xr g Ьп^ с условием X + 1 > Дхх) > X - 1. Достаточно показать, что
sup Дх) > ДхЛ > X - 1.
168
Если бы такого элемента хх не было, то V х е Ьп^ выполнялось неравенство f(x) < X - 1. Следовательно,
sup f(x) < X - 1, ^ьП1
откуда
X = inf sup f(x) < X - 1.
beB xeb
Имеет место противоречие.
Далее можно найти окончание такое, что хг ё Ь$\ (Такое окончание существует, поскольку Нв = ^ & = 0.)
Ш а г 2. Выберем окончание &(2) е В, подчиненное условию
f(x) < X + 1/2 V х g &<2).
Рассмотрим окончание Ц2) с Ь<2) П Ь$\ Окончанию Ц2) g В не принадлежит xv Далее, как и в шаге 1, существует окончание Ъп^ а Ь[2\ которое содержит точку х2 хг такую, что
X - 1/2 < f(x2) < X + 1/2,
и т. д. Наконец получаем последовательность {х8}, которая удовлетворяет условиям
xs е xs « \ _ 1’ Х “ 1/3 <	Х + 1/»-
Как и при доказательстве теоремы 1, устанавливаем, что {хп} — монотонная последовательность по базе В. Кроме того, при п оо справедливо равенство lim Дхп) = X, т. е. X — частичный предел по базе В.
Шаг 3. Покажем, что любой частичный предел функции Дх) по базе В не превосходит X. Из определения величины X имеем, что для любого £ > 0 существует окончание Ь с условием
sup Дх) < X + е.
xeb
Пусть {хЛ} — произвольная монотонная последовательность по базе В, для которой существует Шп^ f(xn). В силу фундаментальности последовательности {хп} только конечное число ее членов не принадлежат Ь, т. е. существует номер п0 такой, что для всех номеров п, больших п0, имеем Дхп) < X + £. Переходя к пределу при п -» °°, получаем
lim Дхи) < X + е.
В силу произвольности е > 0 имеем liir^ Дхп) < X. ◄
169
Пусть и 12, как и прежде, верхнее и нижнее предельные числа соответственно. Назовем число 12 -	> 0 колебанием функ-
ции f(x) по базе В и обозначим
osc f(x) = l2-lv
Критерий Коши в этих обозначениях формулируется следующим образом.
Для существования предела функции f(x) по базе В необходимо и достаточно, чтобы osc f(x) = 0.
В
Отметим, что из теоремы 3, в частности, имеем:
и щл =м sup л*);
х-Я-оо	Т > 0 х > Т
2) lim f(x) = inf sup f(x);
^°°	T>0 |x|>T
3) lim f(x) = inf sup f(x).
x—^Xq	5>0 0<|x-x0|<5
Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько сильнее, чем классическая теорема, утверждающая эквивалентность поточечной сходимости по Коши и Гейне, поскольку требуются только монотонные последовательности. Это, в свою очередь, иногда удобно в приложениях.
С другой стороны, можно рассматривать базы, для которых каждая фундаментальная последовательность не является монотонной. В этом случае, конечно, Hm-сходимость не определена, тем не менее, теорема 2, утверждающая эквивалентность Н- и С-сходимости, остается справедливой, так как ее доказательство, по существу, тождественно с выводом теоремы 1 при очевидной подстановке просто фундаментальной последовательности вместо монотонной.
2.	Необходимо подчеркнуть, что понятия Нт-, Н-сходимости могут быть определены в том случае, если существует по крайней мере одна монотонная фундаментальная последовательность по базе. Кроме того, как показано в лемме 2, для такой базы всегда существует основная последовательность окончаний, которая сама является счетной базой, кофинальной к первоначальной. На языке теории фильтров это означает, что проблема обобщения теоремы Гейне об эквивалентности Н- и С-сходимости может рассматриваться только для фильтров со счетной базой.
3.	Мы ограничиваемся рассмотрением понятия сходимости только для числовых функций. Однако результат теоремы 2 без труда может быть распространен на общий случай отображений двух баз тогда и только тогда, когда они допускают существование монотонных или просто фундаментальных последовательностей.
4.	Условие 3, налагаемое на базу В, иногда оказывается невыполненным. Обычно в этих случаях можно вместо базы В рассматривать базу D, удовлетворяющую этому условию, заданную на том же основном множестве и эквивалентную базе В в том смысле, что сходимость любой функции по одной из этих баз влечет за собой ее сходимость и по другой базе к тому же самому значению.
Примером эквивалентных баз являются база В и основная последовательность окончаний {Ьп} из леммы 2.
170
Интеграл Римана. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Эта часть курса математического анализа включает основы интегрального исчисления функций одной переменной и дифференциального исчисления в пространстве нескольких измерений. Обе темы объединяет появление в них геометрических понятий как главного объекта изучения.
Источником основных понятий математического анализа во многом являются представления о простейших свойствах геометрических объектов в реальном пространстве. В качестве примера можно привести метод вычисления площадей у Архимеда или метод «исчерпывания» Евдокса. Устанавливается взаимосвязь понятия интегрируемости функции по Риману и вопроса о существовании площади криволинейной трапеции, т. е. ее измеримости по Жордану.
Еще один источник понятий математического анализа — арифметика. Поэтому мы стремились к раскрытию арифметических аспектов математического анализа, понимая под этим, скорее, их обусловленность дискретными элементами, имеющими арифметическую природу, связанную, в конечном счете, со свойствами натуральных чисел. Сюда можно отнести доказываемые формулы суммирования Эйлера и Абеля, метод интегральных сумм, равномерные разбиения в теории интеграла Римана, критерий Г. Вейля для равномерного распределения последовательности по модулю единица, признак алгебраичности функций, данный А. Эйзенштейном. Отметим, что вывод формулы длины дуги кривой приведен в упрощенном варианте.
Рассмотрен ряд понятий, которые в дальнейшем более подробно изучаются в рамках других предметов. О них дается первое и в то же время достаточно отчетливое представление с тем, чтобы облегчить усвоение соответствующего материала в будущем, и, может быть, обеспечить понимание специальных курсов естественнонаучного содержания.
ГЛАВА 7
Определенный интеграл
Лекция 1
§1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть функция /(х) определена на интервале (а, Р), содержащем отрезок [а, Ь]. Определенным интегралом от функции /(х) на этом отрезке [а9 Ь] называется число, равное площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры, заключенной между прямыми х = а, х = &, I/ = 0 и кривой у = /(х), причем площадь той части, которая лежит выше оси абсцисс, берется со знаком + и ниже ее — со знаком -. Интеграл обозначается так:
f f(x) dx, а
где число а называется нижним 9 а число b — верхним пределами интегрирования.
В связи с данным определением интеграла возникает ряд вопросов.
1)	Что такое площадь? (Этому принципиальному вопросу далее уделяется много внимания.)
2)	Почему эта площадь обозначается почти так же, как и неопределенный интеграл?
3)	Какая связь существует между неопределенным и определенным интегралами?
Забегая вперед, ответим на последние вопросы.
Прежде всего, заметим, что определенный интеграл можно рассматривать как функцию верхнего (или нижнего) предела интегрирования, считая другой предел интегрирования фиксированным, т. е., если зафиксируем, скажем, число а, то при любом Ь g (а, Р) мы будем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке [а, &]. Тем самым, определяется некоторая функция F(&), заданная на интервале (а, Р). Оказывается, что если функция /(х) непрерывна на (а, Р), то из теоремы Ньютона—Лейбница, о которой будем говорить далее, следует, что функция F(x) является дифференцируемой, и, более того, она
173
является первообразной функции Дх), т. е. имеем F'(x) = Дх), и, кроме того, справедливо равенство
ъ
/ f(x)dx = F(b)-F(a). а
Пусть J\(x) — другая первообразная Дх). Тогда, поскольку Fr(x) = = F(x) + с, где с — некоторая постоянная,
ъ
F^b) - Ft(a) = F(b) + с - F(a) -с = F(b) - F(a) = J ftx) dx.
a
Другими словами, это равенство имеет место для любой первообразной из семейства, образующего неопределенный интеграл, т. е. теорема Ньютона—Лейбница указывает на то обстоятельство, что неопределенный и определенный интегралы — это тесно связанные между собой понятия. И для того чтобы их далее изучать, надо разобраться, какой же смысл вкладывается в понятие площадь криволинейной трапеции. К этому вопросу можно подходить по-разному, и в зависимости от этого у одной и той же трапеции площадь может существовать или не существовать. Но если в двух различных смыслах она существует, то всегда в обоих случаях она должна быть одной и той же величиной.
$ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Уже отмечалось, что понятие «определенный интеграл» по существу сводится к определению понятия «площадь криволинейной трапеции», т. е. площадь фигуры, лежащей в полосе а < х < Ъ и заключенной между графиком функции у = Дх) и осью абсцисс. Другими словами, эта фигура образована множеством А точек вида
{(х, 1/)| а < х < Ь, 0 < у < Дх)}, и множеством В
{(х, у)| а < х < b, f(x) < у < 0}.
Площадь всякой плоской фигуры D будем обозначать через ц(В). Заметим, что площадь любой фигуры на плоскости — это неотрицательное число. Определенный интеграл отличается от площади тем, что равен разности площадей фигур А и В, т. е.
ь
J Дх)</х = ц(А)-ц(В), а
а не их сумме, как можно было бы ожидать.
Из школьного курса геометрии известны следующие простейшие свойства фигур, имеющих площадь:
1)	Если Dx a D29 то ц(Вх) < р(В2).
174
2)	Если Dr A D2 = 0, то 11(1^ U D2) = p(Bx) + p(Z>2)’
3)	Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних его сторон.
Фигуры, составленные из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, имеют площадь. Такие фигуры назовем простейшими.
Теперь можно определить понятие площади криволинейной трапеции D, значит, и понятие определенного интеграла I от функции f(x) на отрезке [а, &] следующим образом. Для простоты рассуждений рассмотрим только случай, когда функция Дх) неотрицательна.
Впишем в фигуру D и опишем вокруг нее простейшие фигуры — соответственно Dr и D2. Для наглядности можно положить, что функция Дх) является непрерывной. Очевидно, Dr с D a. D2. Отметим также, что некоторые части границ фигур Dr и D2 являются. ступенчатыми функциями на отрезке [а, Ь]. Напомним, что функция Л(х) называется ступенчатой, если на каждом промежутке (х-_ р xf), i = 0, 1, ... , и, а = х0 < хх < ... < хп = Ь, она принимает постоянное значение ht. Пусть фигуре Dr отвечает ступенчатая функция Л(х), а фигуре D2 — ступенчатая функция g(x). Тогда имеем Л(х) < Дх) < g(x).
Интегралом от ступенчатой функции h(x) назовем величину
ДЙ)=.Е1 Мхг
Справедливо неравенство 1(h) < 1(g).
Рассмотрим два числовых множества А = {1(h)} и В = {№)}. В силу леммы об отделимости этих множеств найдется число I, их разделяющее. Если оно единственно, то назовем его интегралом от функции Дх) на отрезке [а, &], а саму функцию — интегрируемой на этом отрезке.
Известно, что если числа inf 1(g) я sup 1(h) совпадают, то их D2 z> D	Dxa. D
общее значение равно I. Поэтому справедлив следующий критерий интегрируемости ограниченной функции Дх) на [а, &].
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке функция Дх) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовали ступенчатые функции Л(х) и g(x) с условием h(x) < Дх) < g(x), и такие, что
1(g) - 1(h) < е.
Эту теорему доказывать сейчас не будем, поскольку построим теорию интеграла Римана, основываясь на более традиционном подходе, и в рамках этого подхода критерий интегрируемости
175
будет доказан. Тем самым покажем, что оба подхода к построению интеграла Римана дают один и тот же класс интегрируемых функций.
Отметим также, что рассмотренный выше подход дает возможность определить понятие площади фигуры D через вписанные и описанные простейшие фигуры. Подобным образом далее определим фигуры, измеримые по Жордану, и докажем, что для измеримости по Жордану криволинейной трапеции, отвечающей функции Дх), необходимо и достаточно, чтобы Дх) была интегрируема по Риману.
Существуют и другие конструкции, с помощью которых можно ввести понятие и площади, и определенного интеграла, интересующего нас в первую очередь. Смысл этих конструкций состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждой функции из некоторого класса свое число таким образом, чтобы при этом выполнялся ряд естественных свойств, которыми обладает площадь простейших фигур. Заметим, что чем сложнее конструкция, тем шире становится класс функций, для которых понятие «определенный интеграл» приобретает смысл. Будем рассматривать конструкцию, предложенную немецким математиком Б. Риманом, и поэтому соответствующий интеграл назовем интегралом Римана. Также познакомимся и с интегралом более общего вида: интегралом Лебега, но, в основном, будем заниматься интегралом Римана. Изложение оригинальной конструкции Б. Римана можно найти в статье «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда», написанной Риманом в 1853 г. Впервые эта статья была опубликована в 1867 г. На русском языке она была напечатана в 1914 г.
Например, интеграл Лебега является более общим, чем интеграл Римана, на том основании, что все функции, интегрируемые по Риману, также являются интегрируемыми по Лебегу, но не наоборот. Подчеркнем, что если функция интегрируема двумя разными способами, то значения интеграла всегда обязаны совпадать. Так что задача расширения понятия интеграла может состоять только в том, чтобы, приписать числовые значения определенным интегралам от все более широких классов функций, не меняя при этом значений интегралов для тех функций, у которых это значение установлено.
Переходим к изложению конструкции интеграла Римана. Будем считать, что функция Дх) определена на интервале (а, Р), содержащем отрезок [а, &].
Определение 1. Конечное множество Т точек х0, хр ... , хп называется (неразмеченным) разбиением отрезка [а, &], если п > 1 и а = х0 < хх < ... < хп = Ь.
V76
Определение 2. Будем говорить, что разбиение Т\ предшествует разбиению Т2 (или разбиение Т2 следует за разбиением 7\), если имеет место теоретико-множественное включение а Т2 (или Т\ =) Т2)* Разбиение Т2 называется измельчением разбиения Tv
Очевидно, справедливы следующие свойства.
1°. Всякое разбиение есть измельчение самого себя.
2°. Если Т3 = U Т2, то разбиение Т3 есть измельчение и разбиения Т1, и разбиения Т2.
Для любого разбиения Т = {х0, хр ... , хп} через АЛ обозначим отрезок вида [хЛ_р xj. Длину этого отрезка обозначим так:
Ах» = xk - x„_v
Определение 3. Величина Аг = ^ах^ Axfe называется диаметром разбиения Т.
На каждом из отрезков Afe выберем точку k = 1, ... , п, т. е.
**-!<£*<**♦
Определение4. Совокупность точек {х0, ... , хп, £р ..., ^п} называется размеченным разбиением отрезка [а, &].
Обозначим его через V, а соответствующее ему неразмеченное разбиение — через Т = T(V).
Определение 5. Сумма
G(V) = f(^X1 + ... + f(QAxn = kt1 f(^)bxk называется интегральной суммой функции Дх), соответствующей размеченному разбиению V.
Определение 6. Число I называется определенным интегралом (Римана) от функции Дх) на отрезке [а, &], если для всякого е > О существует 8 = 8(e) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V отрезка [а, &] с условием AF < 8 справедливо неравенство
\1-<5(У)\<г, т. е.
\I-ki1f(^k\<e.
Для интеграла I используют обозначение
ь
I = J f(x)dx.
177
Определение 7. Функция f(x), для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, &].
Легко доказать следующее утверждение: если существуют два числа 1Х и 12, удовлетворяющие определению интеграла Римана от функции f(x) на отрезке [а, Ь], то они совпадают, т. е. 1Г = 12.
► Действительно, если, например, 1Г < 12, то в качестве величины £ возьмем число, равное (12 -1^/2. Тогда в силу определения интеграла существует число 5 = 8(e) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения V с условием Дг < 8 имеем
|gf“/1I<£, |Оу~ /21 < следовательно,
Ц -11 = IA - Al < IA - <*vl + l<V- Al < 2е = А - А-
Отсюда получаем 12 - 1Г < 12 -1г, что невозможно, так что имеем А = А- «
ъ
Определенный интеграл J f(x)dx можно рассматривать как а
предел по некоторой базе. Определим эту базу, т. е. опишем множество окончаний, из которых она состоит.
Напомним определение базы В подмножеств Ь основного множества А. Окончания Ь с: А базы В, т. е. ее элементы, удовлетворяют следующим условиям:
1) пустое множество не является окончанием базы;
2) для любых двух окончаний Ь19 Ь2 базы В найдется окончание Ь3 € В с условием Ь3 с: П Ь2.
В качестве основного множества А возьмем множество всех размеченных разбиений отрезка [а, &]. Для каждого 8 > 0 рассмотрим множество Ь3 а А, состоящее изо всех размеченных разбиений с диаметром Дг меньшим, чем 8, т. е. Дг < 8. Совокупность множеств {&§} и будет искомой базой. Интегральная сумма g(V) является функцией, определенной на множестве А размеченных разбиений V. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [а, Ь] оказывается не чем иным, как пределом интегральных сумм g(V) по базе В, т. е.
ь
I = J f(x)dx = lim g(V).
Это равенство означает следующее: для всякого числа е > 0 существует окончание = Ь3(г) базы В такое, что для любого размеченного разбиения V е bs(e) имеет место неравенство |g(V) —1\ < е.
178
В предыдущем определении интеграла в качестве 8 — 8(e) > О надо взять величину 8, которая порождает окончание &§(е).
Так как интеграл — это предел интегральных сумм по базе В, то к нему применимы теоремы о пределе функции по базе множеств.
Докажем следующее важное свойство интегрируемых функций.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &]. Тогда она ограничена на нем.
► Предположим, что функция f(x) не ограничена на отрезке [а, &]. Возьмем любое разбиение Т: а = х0 < xt < ... < хп = Ь этого отрезка такое, что Дг < 8. Тогда существует отрезок Дг = [хг_р хг], на котором функция f(x) не ограничена. Покажем, что функция g(V) не ограничена. Возьмем любое число М > 0. Построим раз-метку V разбиения Т такую, что |g(V)I > М. С этой целью точки £р ... , £г_р £г+р ... , возьмем произвольно. Положим
А=
к в 1, к * г
Поскольку функция Дх) не ограничена на отрезке Дг, существует точка е Дг такая, что
Отсюда имеем
п	М + А
|o(V)| >|дидхг|- 2 ЯЦДх» > ^±*Дхг-А = М,
следовательно, o(V) не ограничена, т. е. функция f(x) — не интегрируема. ◄
Лекция 2
§3. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Установим критерий интегрируемости по Риману функции, ограниченной на отрезке.
Определение 8. Верхней суммой Дарбу функции f(x) на отрезке [а, Ы, отвечающей разбиению Т = {х0,	, хп}9 называется
сумма
где Mk = sup f(x)9	— отрезок [хл-1, xfe], а Axfe — его длина.
хе А*
Нижней суммой Дарбу называется сумма
s(T)=kii где mh = inf Дх). хе А*
Определение 9. Число Г = inf, S(T) называется верхним ин-тегралом9 а число I* = sup з(Т) — нижним интегралом от Те А'
функции Дх) на отрезке [а, &], где А' — множество всех разбиений [а, &].
ТЕОРЕМА 1 (критерий Римана интегрируемости функции на отрезке). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема на отрезке9 необходимо и достаточно9 чтобы выполнялось условие
lim (S(T)-s(T)) = O. дг —»о
Для доказательства этого критерия потребуются следующие свойства верхних и нижних сумм Дарбу.
ЛЕММА 1. Для любого размеченного разбиения V имеем s(T(V)) < a(V) < S(T(V)).
ЛЕММА 2. Пусть TQ — любое фиксированное разбиение и а(Т0) — множество разметок этого разбиения. Тогда
s(T0) - inf a(V), S(T0) = sup o(V).
V'eafTo)	Vea(T0)
Л E MM A 3. Для любых неразмеченных разбиений Тг и Т2 имеем з^КЖТг).
180
ЛЕММА 4. Для ограниченной функции верхний и нижний интегралы I* и Z* существуют, причем для любого разбиения Т справедливы неравенства
s(T)<Z*<Z*<S(T).
Л EMMA 5. Диаметры размеченного разбиения V и отвечающего ему неразмеченного разбиения Т = T(V) совпадают, поэтому если V е Ь§, то T(V) е &8. Здесь — окончание базы размеченных разбиений и &8 — окончание базы неразмеченных разбиений, отвечающие числу 8.
ЛЕММА 6. Для любого разбиения Т имеем
Z*-Z*< S(T) - s(T) = Q(T).
►	Доказательство этих утверждений не представляет большого труда. Поэтому докажем только леммы 3, 4 и 6.
Начнем с доказательства леммы 3. Отметим, что при измельчении разбиения Т нижняя сумма Дарбу з(Т) может разве что возрасти, а верхняя сумма S(T) разве что уменьшиться, поэтому возьмем разбиение Т3 = Тг U Т2 и получим, что
Лемма 3 доказана.
Доказательство леммы 4 по существу вытекает из леммы 3. Если мы образуем числовое множество Мг всех значений вели-чин з(Т) и множество М2 всех значений S(T), то утверждение леммы 3 означает, что любой элемент а е М2 есть верхняя грань для множества Mv Но тогда наименьшая верхняя грань множества Мр т. е. величина Z*, не превосходит а. Это означает, что Z* — нижняя грань множества М2, а по своему определению Г — точная нижняя грань множества М2, поэтому имеем
з(Т) </*</*< S(T).
Утверждение леммы 6 следует из цепочки неравенств
S(T) - з(Т) >Г- з(Т) >Г -Z*.
Утверждение лемм 1, 2 и 5 непосредственно следуют из определений. ◄
Теперь можно перейти к доказательству критерия интегрируемости функции по Риману.
►	Необходимость. Пусть Jim o(V) = I. Это значит, что для любого числа ет > О найдется число 8Х =	> 0 такое, что для любого
181
размеченного разбиения V с диаметром Дг < 8Х имеем |g(V) - Z| < ер т. е.
Z-e1<o(V)<Z + e1.	(1)
Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение Т с условием Дт < 5Р Имеем
s(T) = inf о(У), S(D = sup g(V).
Vea(T)	Vea(T)
Тогда из (1) вытекает, что
I - ех < з(Т) < I + ер I - ех < S(T) < I + Ер следовательно, числа з(Т) и S(T) лежат на одном и том же отрезке [I - Ер I 4- eJ длины 2ер т. е.
|S(T) - s(T)| < 2ег
Если взять ех = е/3 и 5 = 81(е/3), то получим, ЧТО ДЛЯ ВСЯКОГО Е > О существует 8 = 8(e) > 0 такое, что для всякого разбиения Т с условием Дт < 8(e) имеем неравенство |S(T) - з(Т)| < е, т. е.
lim (S(T)-s(T)) = O. дг —> о
Достаточность. Докажем, что из условия lim (S(T) - s(T)) = 0 дт —> о
следует существование предела lim g(V)-
Ду —»о
Сначала убедимся, что верхний и нижний интегралы Г и I* равны между собой. В силу леммы 6 имеем
0 < Z* - Z* < S(T) - з(Т).
Следовательно, при Дг —> 0 получаем h = Г - Z* —> 0, т. е. h = 0 и Z* = Z* = Z.
Осталось доказать, что lim g(V) = I. Зададимся произволь-Ду —> о
ным е > 0. Тогда существует 8 = 8(e) > 0 такое, что для любого разбиения Т с условием Дг < 8 выполняется неравенство
S(T) - з(Т) < е.
Но тогда для любого размеченного разбиения V с условием Ду < 8 имеем
S(T(V)) - s(T(V)) < Е, и, кроме того, s(T(V)) < g(V) < S(T(V)), s(T(V)) < I < S(T(V)), т. e. обе точки g(V) и I лежат на отрезке [s(T(V))> S(T(V))], длина которого меньше е, но это значит, что расстояние между любыми точками его меньше, чем е. Другими словами, для любого раз
182
биения V с условием Ду < 8 справедливо неравенство | q(V) -1\ < е, т. е. имеем lim g(V) = I. ◄
Av-> о
Замечание. При доказательстве достаточности в критерии интегрируемости установлена справедливость следующего утверждения.
Пусть для ограниченной функции выполняется условие
lim (S(T) - s(T)) = 0.
Ду —> и
Тогда имеет место равенство Г = /*.
ПРИМЕРЫ. 1. Функция Дирихле
/1,еслих — рациональное число, W । о, если х — иррациональное число,
не является интегрируемой по Риману на отрезке [а, &].
Действительно, возьмем любое разбиение Т этого отрезка. На любом промежутке Д* разбиения Т содержатся как рациональные точки, так и иррациональные, поэтому колебание функции на этом промежутке равно 1. Следовательно,
Й(Т) = S(T) - s(T) = цДх, = Д &x( = b- а.
Но согласно критерию интегрируемости функции по Риману должно выполняться условие
lim (S(T)~ s(T)) = 0.
—> о
Значит, функция Дирихле D(x) неинтегрируема по Риману.
2. Функция Римана
J 1/п, если х = m/п, (тп, п) = 1, W [ 0, если х — иррациональное число, интегрируема по Риману на отрезке [0,1].
Зададимся произвольным числом е > 0. Положим число N равным величине N = [2/е] + 1 и возьмем число 8 из условия 0 < 8 < е/2ДГ2. Возьмем теперь любое разбиение Т с условием Дг < 8. Колебание функции R(x) на любом промежутке Д* удовлетворяет условию 0 < о). < 1. Представим сумму £2(Т) = S(T) - s(T) в виде суммы двух слагаемых и О2 в соответствии с тем, что выполняется неравенство 0 < со. < 1/N и 1/N < со- < 1. В сумму Q2 входят промежутки Др содержащие рациональные точки со знаменателем, меньшим, чем N. Количество таких точек не превосходит N2. Поэтому получаем
Q(T) = Qj + Q2 <	+ 8№ < | + | = е,
183
где штрих и два штриха в знаке суммы означают, что промежутки Дх^ входят соответственно в суммы и Q2- Следовательно, функция Римана Я(х) интегрируема.
Замечание. Введенная в рассмотренных выше примерах величина п	п
£2(Т) = S(T) - s(T) SMk *	“ J
называется омега-суммой, соответствующей данному разбиению Т от* резка [а, Ь]. При этом величина cofc = Mk - mk называется колебанием функции f(x) на отрезке Д* == [хь-р XJ- Бели в определении величин Mk, mk cofc вместо отрезка ДЛ взять интервалы (xk_v xfe), то получим числа M'k = sup f(t)9 m'k = inf f(t) и (o'k = M'k - m'k, а также величину t e (x*-i» xk)	t € (xfc_p xk)
Q (T), которую тоже будем называть омега-суммой.
Лекция 3
$ 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТРЕХ УСЛОВИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Докажем критерий интегрируемости функции по Риману в трех эквивалентных формах.
ТЕОРЕМА 4. Для интегрируемости ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из трех эквивалентных условий: l)lim(S(T)-s(T)) = O;
Zlj, —> и
2)/* = /*;
3) inf (S(T) - 8(Т)) = 0. т
► Докажем, что имеет место следующая цепочка заключений: 1) => 2) => 3) => 1), откуда и следует искомая эквивалентность.
В силу замечания к теореме 1 § 3 получаем, что из 1) => 2). Докажем, что из 2) => 3). Справедливо следующее соотношение:
inf (S(T) - s(T))- h -1* - Д. T
а)	Сначала покажем, что h являемся нижней гранью множества S(T) - з(Т). Имеем
Г < S(T), -1* < -з(Т), следовательно, S(T) - s(T) >Г- Ц.
б)	Докажем теперь, что величина h является точной нижней гранью множества S(T) - з(Т), т. е. что для любого е > 0 число й + е не является нижней гранью. Из определения верхнего и нижнего интегралов следует, что найдутся разбиения 7\ я Т2 такие, что
S(7\) < Г + е/2, з(Т2) > Г - е/2.
Отсюда для разбиения Т3 = 7\ U Т2 имеем
S(T3) < S(Ti) < Г + е/2, з(Т3) > з(Т2) > Г - е/2, следовательно,
S(T3) - з(Т3) < Г -1* + е = й + е, т. е. й + е действительно не является нижней гранью множества значений S(T) - з(Т).
Так как утверждение 2) состоит в том, что й = 0, то из доказанного выше имеем inf (S(T) - s(T)) = 0. Таким образом, из утверждения 2) мы вывели утверждение 3).
185
Докажем теперь, что из 3) => 1). В силу условия 3) имеем, что для любого е > 0 существует разбиение 7\ такое, что S(TX) - 8(ТГ) < < е/2. Обозначим через п число точек разбиения Tv В силу ограниченности на отрезке функции Дх) существует число М > 0 такое, что для всех точек х из этого отрезка имеем | Дх) | < М. Положим 8 = e/(4nAf). Далее возьмем любое разбиение Т с условием Дг < 8. Тогда для разбиения Т2 = Т U Тг имеем
S(T2) - а(Т2) < S(7\) - з(Т\) < е/2,
или, что то же самое, £1(Т2) < Q(7\) < е/2. Аналогично, имеем Q(T2) < Q(T).
Оценим сверху величину Q(T). Поскольку
Q(T) = Q(T2) + (Q(T)-Q(T2)),
достаточно оценить Q(T) - £1(Т2). Разбиение Т2 является измельчением разбиения Т и получается из него так, что на некоторые промежутки разбиения Т добавляются точки разбиения Tv Количество таких промежутков не превосходит п, длина каждого из них меньше 8, а колебание функции Дх) на этих промежутках не превосходит 2М. Следовательно, Q(T) - Q(T2) 2Мп8.
Таким образом, получаем
Q(T) < е/2 + 2Мп8 = е.
Это означает, что для любого е > 0 существует 8 = е/4Мп такое, что для любого разбиения Т с условием Дг < 8 выполняется неравенство £2(Т) < е, т. е.
lim (S(T)-s(T)) = 0. ◄
—> о
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Верхнюю (соответственно нижнюю) сумму Дарбу функции Дх) на отрезке [а, &], отвечающую разбиению Тп отрезка [а, &] на п равных частей, обозначим через Sn (соответственно sn).
Докажем следующий специальный критерий интегрируемости функции по Риману.
ТЕОРЕМА 5. Для интегрируемости ограниченной функции Дх) на отрезке [а, Ь] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

186
► Необходимость следует из критерия Римана (теорема 1 § 4). Достаточность. Пусть
Z*=inf S(T), Z*=sup s(T).
Тогда для любого разбиения Т имеем
з(Т)	S(T).
Следовательно,
sn<h<r<Sn.
Отсюда получаем
Sn-sn> Г - !*> 0.
Но поскольку (Sn - sn) = 0, то Z* == Z* = Z, и в силу теоремы 2 § 4 (условие 2) функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &]. ◄
СЛЕДСТВИЕ. Для интегрируемости ограниченной функции на отрезке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих эквивалентных условий:
4)M(sn-sB) = °;
5) inf(Sn-8n) = O.
Очевидно, имеем цепочку заключений 5) => 3) =❖ 1) => 4) => 5). Следствие доказано.
Условия 4) и 5) дополняют условия 1), 2) и 3) теоремы 2 § 4.
ПРИМЕР. Рассмотрим последовательность {хп}9 0 < хп < 1. Пусть а и Р — любые числа с условием 0 < а < Р < 1. Обозначим через Nq количество членов последовательности {xk}9 1 < k < Q, попадающих на отрезок [а, р], т. е. а < xk < р, 1 < k < Q.
Будем говорить, что последовательность {хл} равномерно распределена по модулю единица (p.p. (mod 1)), если выполняется соотношение
Докажем следующий критерий равномерной распределенности, принадлежащий Г. Вейлю.
ТЕОРЕМА 6 (критерий Г. Вейля). Для того чтобы последовательность {хп} была равномерно распределена по модулю единица9 необходимо и достаточно9 чтобы для любой интегрируемой по Риману функции f(x) имело место равенство
1 Q	I
lim 5 Е f(xr) = J f(x) dx.	(1)
Q->oo r - 1	J
187
► Достаточность. Периодическая функция /(х) с периодом 1 „	[ 1, если а < х < Р,
/	= <PW “ [ 0 — в противном случае,
интегрируема на отрезке [0, 1]. Кроме того, имеем
Q	1
Nq = Е фСх,), J <p(x)dx = Р - а,
О следовательно,
N lim -77 = В - а, Q-4OO Q Г
т. е. последовательность {хп} равномерно распределена по моду* лю единица.
Необходимость. Пусть f(x) — произвольная интегрируемая по Риману функция на отрезке [0, 1]. Тогда в силу критерия интегрируемости для любого е > 0 существует разбиение Т такое, что
Q(T) - S(T) - s(T) < |, s(T) = /Е1 т{Дх(, S(T) =	М^.
Очевидно, справедливо неравенство
1 в(Т) < J f(x)dx < S(T).
О
Положим
[ 1, если х g Ф/(х)	[ 0, если х £ Др
ф(х) = .Ej mz(p;(x), Ф(х) = <si Мг(р;(х).
Заметим, что если равенство (1) выполняется для некоторых функций /\(х), f2(x), ...» fr(x)9 то оно справедливо и для функции g(x) = c{fx(x) + c2f2(x) + ... + crfr(x). Поэтому, исходя из определения равномерной распределенности, получаем
lim f ф(хг) = J (p(x)dx = s(T), W -»00	' a	q
lim i 1 Ф(хг) = J Ф(х)</х = S(T).
Q -» ооЦЛ г - 1	Q
Следовательно, для всякого е > О существует Qo = Q0(e) такое, что для всех Q > Qo имеем
8(T)-i Д,ф<хг)<£,
1	F
S(T)-1 Х,Ф(хг)<|.
188
Далее, поскольку имеет место неравенство <р(х) < ftx) < Ф(х), । । rl 1	। J1 । Л1 ф(*г) < S(T) +1.
1 Q	1
Следовательно, как g /(хг)> так и значение интеграла J f(x)dx ** г~	о
принадлежат отрезку [s(T) - е/3, S(T) + е/3]. Поэтому
1 Q	I	Ол
1 Q	}	Ос
± rE/(xr) - J f(x)dx < Q(T) + у < e.
Замечание. Легко видеть, что условия 1)—5) интегрируемости функции можно дополнить еще одним эквивалентным условием еле* дующего вида:
6)	inf О'( Л = 0. т
► Действительно, при всех х справедливы оценки < cofe, откуда Я'(Г) < Q(T). С другой стороны, очевидно, что при любом е > 0 к заданному разбиению можно добавить несколько новых точек так, чтобы для нового разбиения выполнялось неравенство П(7\) < Q'(T) + е, а это значит, что если inf Q'(T) = 0, то и inf Q(T1) = 0.	◄
Т	Т,
§ 6.	МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ
Метод интегральных сумм основан на следующей лемме.
Л EMMA 7. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &], и пусть {Vn} — любая последовательность размеченных разбиений с условием, что последовательность диаметров разбиений {Дг} —> 0 при п —> сю. Тогда при п —> °о имеем
a)Sn = S(T(V„))^I; Ъ) sn = S(T(Vn)) Ц в) а„ = о(И„) I.
► По определению интеграла и по критерию интегрируемости функции по Риману для всякого числа е > 0 существует число 8 = 8(e) > 0 такое, что если Д^ = &т<уп) < 5» то
|<т„ - /| < е/2, |$„ - /| < е/2 < е, |а„ -1| < е/2 < е.
Но так как последовательность {Дг} стремится к нулю при п —> то вне соответствующей 8-окрестности нуля лежит не более конечного числа п0(8) значений Дг. Поэтому вне 8-окрестности числа I тоже лежит не более, чем п0(8) значений величин on, Sn, 8п. Следовательно,
I = lim о„ = lim S„ = lim s„. ◄ n —> ОО	n OO rl nOO
189
b	1
ПРИМЕРЫ. 1. Имеем J exdx = eb-e°.	I
a	I
Поскольку функция ex непрерывна на отрезке [a, b], она ин- I тегрируема на нем. Для того чтобы найти значение интеграла, I остается только выбрать последовательность {Уп} и вычислить I предел lim a„.	|
п _> оо ri	I
Положим при k = 0,	, п	>
xk = а +	» ^>k = Л*-1’	= ~~ = Д, хк = а +	;
отсюда
= "Ё * ев+*д • Д = Де“(1 + е4 + ... +	=
= Aga1 ~е"А----Д_ (еЬ _ ga).
1	- ед	ед - 1
Так как при п -> °о справедливо равенство lim —-— = 1, то
П->ооеД _ |
Ъ lim ои = eb - еа = [ exdx. п^оо п	*
2.	Пусть 0 < а < Ь. Тогда имеем [	- т •
а х2 а Ъ
Возьмем произвольное разбиение отрезка [а, Ь], а именно
а = х0 < ... < хп = Ь и положим = Jxk _1xfe, k = 1, ... , n. Тогда для соответствующей интегральной суммы сгЛ имеем
СТп =
fe=e 1	xk^ a b
следовательно,
К Ja х2 а
1 b
3.	Найти предел lim f—— + —— 4-... + —1 = I. + 1 п + 2	п + п^
Очевидно, имеем
Z=lim t 1
n^oo * = 11+^ n Jl+x n
Отсюда по формуле Ньютона—Лейбница, которая будет доказана чуть позже, получим I = 1п 2.
190
В частности, используя это, найдем сумму ряда
s/-1)*'1 - lim (Д . lim {1 - 1 + 1 - ... - 1 1-
fe=l k	n —> oo \fe = 1	fa / n->oo\ 2	3	2п /
= lim f —+ —— + ... + —1— ) = In 2.
n->oo4n + i n + 2	n + n.'
4.	Справедливо следующее равенство:
fi zi о .	[2я1п|а|,если а >1,
J In (1 - 2acos x + a2)dx -	a < k
Положим xk = Tik/n9 %k = xk9 k = 19... 9 n; тогда имеем Axfe = л/п. Следовательно,
an = i Ml “ 2a cos xk + a2)^ = kL1 ln|(a - eixk)(a - e~Zx*)l =
= - In fenj(a - eixb)(a -	= я ln|a2n - 1| i .
Переходя к пределу при n -> сю, получаем искомое значение интеграла.
5.	Пусть /(х) не убывает и ограничена на отрезке [а, &]. Тогда для величины
справедливы неравенства
О < 8 < (f(b)-f(a))(b-a). п	п
Очевидно, имеем
£(Ь-а)
X..+;(6 ’ " «*>) dx *
±-(b - а)
* .t +>-“>)- +- “ф* -
	. (?(“ + ;(»-«))- f(a + V» -“)))- ^ т» - Л“».
а это и доказывает требуемое неравенство.
6.	Пусть функция /(х) имеет на отрезке [а, Ь] ограниченную и интегрируемую производную, и пусть символ 8П обозначает то же, что и в примере 5. Тогда
11m „8_ _ (>-«)</<»-/<»» .
п -> оо п	2
191
В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях, на каждом отрезке Afe = [xfe_p xj, k = 1, ... , n, для любой точки х е А* существует точка принадлежащая интервалу (xfe_1, xfe) такая, что f(a + | (Ь - а)) - /(х) = f | (Ь - а) - х} .
Пусть тк, Мк — соответственно нижняя и верхняя грани производной f'(x) на отрезке ДА. Тогда тк < /'(£*) <Мк.
Из определения 8Л имеем
£(Ь - а) + а
Sn = JL f (a+^(b-a)-x)№)dx.
* 1 A(6-a) + av	п	7
Отсюда следуют неравенства
HLi®)2 £	<5 < VLi®)2 £ м*.
2 \ п / k = 1 К п 2 v д 7 fc = i К
Домножая обе части неравенства на п и переходя к пределу, получаем требуемое предельное соотношение. Отсюда, в частности, для последовательности примера 3 имеем
lim п(—— 4- 1 4-... 4- —-— - In 21 = -7 .
П^°° чП4-1 п 4- 2	п 4- п '	4
7.	Пусть функция р(х) непрерывна и положительна на отрезке [О, 1]. Тогда справедливы неравенства
1
Jlnp(x)dx х
—-— < е°	< J p(x)dx.
f	0
k
Положим xk = - , k = 0,... , n. Тогда для соответствующих интегральных сумм в силу неравенств между средними гармоническим, геометрическим и арифметическим имеем
_—”—— <	+;
—— + ...+—— п
Р(^1)	Р(*п)
Переходя в этих неравенствах к пределу при и ^ °°, получаем искомое неравенство.
Лекция 4
$ 7. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА КАК ПРЕДЕЛА ПО БАЗЕ
Напомним данное в конце § 1 определение интеграла Римана как предела по некоторой базе.
Пусть А — совокупность всех размеченных разбиений отрезки [а, Ь]. Множество А будет основным множеством базы В. При всяком 8 > 0 окончаниями Ь — Ь8 е А этой базы В являются множества, состоящие изо всех размеченных разбиений V е А с диаметром разбиения Дг, меньшим 8. Другими словами, окончание &8 задается так:
&s = {Vg А|ДГ< 8}.
Пусть, как и ранее, g(V) — интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению V = {х0, хр ... , хп; ... , £п}, т. е.
всю-Ляцд*».
Тогда число I называется интегралом Римана от функции Дх) на отрезке [а, Ь], если I = lim a(V).
Другими словами, число I — интеграл от функции Дх) на от^ резке [а, 6], если для всякого е > 0 существует число 8 = 8(e) > О такое, что для любого размеченного разбиения V отрезка [а, 6] с условием Дг < 8 имеем \l - o(V)l < е.
Пусть теперь А' — совокупность неразмеченных разбиений отрезка [а, Ь]. Это множество А' является основным множеством базы В', состоящей из окончаний &§, причем состоит изо всех неразмеченных разбиений Т с диаметром Дг < 8.
Определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Пусть S(T) и s(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие неразмеченному разбиению Т и Q(T) = S(T) - s(T). Тогда число Г = inf, S(T) называется верхним пределом Дарбу, а число I* = sup s(T) — нижним пределом Дарбу от функции ТеА'
Дх) на отрезке [а, &].
Возьмем любое фиксированное неразмеченное разбиение То. Обозначим через а(Т0) множество всех тех размеченных разбиений V, которым соответствует одно и то же неразмеченное разбиение То, т. е. множество всех его разметок. Тогда, исходя из леммы 2 § 3, определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу можно записать и так:
Г = inf sup g(V), I* = sup inf g(V).
ТеА'Уеа(Т)	TeA' Vea(T)
Приведем несколько свойств введенных выше понятий.
193
7 - 4953
Л E M M A 8. Пусть размеченное разбиение V есть разметка разбиения То, т. e.V е а(Т0). Тогда, если V е 68, то:
1)	а(Т0) а Ь8;
► Действительно, имеем ДГо = Дг. Следовательно, для любого размеченного разбиения V\ е а(Т0) получаем = Дг < 8, поэтому а(Т0) с &§. Свойство 2) проверяется аналогично. ◄
Отметим теперь несколько свойств базы В. Кроме указанных ранее двух свойств:
1)	любое окончание базы — непустое множество;
2)	для любых окончаний Ьх и Ь2 существует окончание &3 с условием Ь3 с U Ь2> выполняются следующие три свойства:
3)	для любых окончаний и Ь2 выполняется одно из условий: либо а Ь29 либо Ь2 <z bv
4)	напомним определение фундаментальной и монотонной последовательности по базе множеств (см. лекцию 30, ч. I). Последовательность разбиений {Vn} называется фундаментальной по базе В9 если для любого окончания be В существует только конечное множество членов последовательности, не принадлежащих Ь. Фундаментальная последовательность {Vn} называется монотонной по базе В9 если для любого окончания b из условия Vn е b следует, что Vn+1 е Ь. В качестве монотонной последовательности по базе В можно взять последовательность {Vn} размеченных разбиений отрезка [а, Ь] таких, что Тп = T(Vn) является разбиением его на п равных частей;
5)Д6-0.
Введем следующие обозначения для верхнего и нижнего пределов по базе В:
J* = lim o(V), J* = limo(V).
в	в
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 7. Имеют место неравенства:
J* < I* < Г < J*.
Отсюда в силу критерия Коши получаем следующий критерий интегрируемости функции по Риману.
ТЕОРЕМА 8. Для того чтобы функция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно9 чтобы выполнялось равенство
194
► Из определения верхних интегралов Г и J* и свойств верхнего предела по базе множеств (теорема 3, лекция 30, ч. I) имеем
Г = inf S(T) = inf sup o(V) = inf inf sup a(V) <
T	T Уеа(Т)	5 > 0 AT < 6 Kg<x(T)
< inf inf sup o(V) * inf sup o(V) = Um o(V) = J*, 5 > 0 Ar < 5 Veb8	b8eB Veb6	В
т. e. I* < J*. Аналогично, получаем, что J* < /♦. ◄
Замечания. 1. Итак, критерий Римана для существования интеграла в форме Г = I* на языке понятия предела по базе, в сущности, эквивалентен критерию Коши существования предела по базе —> 0.
2.	Из эквивалентности понятий предела по Коши и по Гейне для базы Дт -» 0 вытекает, что функция интегрируема тогда и только тогда, когда для любой последовательности разбиений {Уп} с условием Ду -» 0 при п -> оо последовательность интегральных сумм {о(Уп)} является сходящейся последовательностью. С другой стороны, специальный критерий интегрируемости, который был доказан ранее» говорит о том, что здесь можно ограничиться лишь одной последовательностью равномерных разбиений отрезка интегрирования. В этом проявляется специфика рассматриваемой базы Дг -> 0.
Уточним теорему 7, а именно, покажем, что верхний предел по базе В интегральных сумм совпадает с верхним интегралом Дарбу. Для этого нам будут необходимы несколько лемм.
Л EMMA 9. Пусть модуль функции f(x) ограничен на отрезке Е = [а, &] числом М. Пусть Т — разбиение этого отрезка с диаметром 8 > 0. Пусть также разбиение Тг получается из Т добавлением к нему одной точки. Тогда для разности верхних сумм Дарбу S(T) и S(T^) имеем оценку
|8(7\) - S(T)| < 2М8.
►	Рассмотрим отрезок Ео = [а0, &0], являющийся отрезком разбиения Т и содержащий точку t е Т19 не входящую в разбиение Т. Тогда наборы точек т = {а0 < &0} и = {а0 < t < &0} можно рассматривать как неразмеченное разбиение отрезка Ео. Пусть при этом S(t) и SCq) — верхние суммы Дарбу на этом отрезке. Тогда из определения следует, что
S(T1)-S(T) = S(t1)-S(t).
Отсюда
|S(TX) - S(T)| = I S(Tj) - S(T)| < I Step I +1 S(T)| < Af5 + AfS = 2M8. ◄ ЛЕММА 10. Если в условиях леммы 9 разбиение Тг получается из разбиения Т добавлением не более, чем п точек, то имеет место оценка
|S(TX) - S(T)| < 2M5n.
195
7*
Справедливость леммы 3 устанавливается п кратным применением леммы 2.
ЛЕММА 11. Пусть разбиение Т отрезка Е = [а, д] удовлетворяет условию леммы 9, а разбиение Тг того же отрезка содержит не более п внутренних точек. Тогда справедливо неравенство
S(T) < S(Ti) + 2М5п.
►	Рассмотрим разбиение Т2 = Т U Tv Тогда, в силу основного свойства верхних сумм Дарбу, справедливы неравенства
S(T2)<S(T), stfycs^).
Далее, применяя лемму 10 к суммам S(T) и S(T2), получаем
S(T) - S(T2) < 2М8п.
Отсюда следует, что
S(T) < S(T2) + 2М5п < S(7\) + 2М8п. ◄
ТЕОРЕМА 9. Пусть модуль функции f(x) ограничен на отрезке Е = [а, &] числом М > 0. Пусть, далее, Г — верхний интеграл Дарбу от функции f(x), a g(V) — интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению V отрезка Е. Пусть также J* = Пт g(V). Тогда имеет место равенство J* = Z*.
Av —> 0
Замечание. В силу ограниченности функции f(x) числа Г и J* существуют.
►	Обозначим через T(V) неразмеченное разбиение отрезка Е, полученное из размеченного разбиения V отбрасыванием точек разметки, а через а(Т0) — множество всех размеченных разбиений V с условием T(V) = То.
Тогда непосредственно ий определений и свойств верхнего предела по базе и из леммы 8 вытекает, что
S(T0)= inf sup (g(V), Г = inf S(T) = inf inf S(T), Ar < 8 VeafT)	T	8>OAT<8
J* = lim g(V) = inf sup g(V) = Ay —> 0	5 > 0 Ar < 5
= inf sup sup g(V) = inf sup S(T).
8>0 Ar < 5 Vea(T)	8>OAr<8
Таким образом, всегда имеет место неравенство
Г = inf inf S(T) < inf sup S(T) = J*.
8 > 0 Ar < 8	8 > 0 A,, < 8
Нам надо доказать, что I* = J*. Заметим, что для любого числа е > 0 число I* + е уже не является нижней гранью множества значений S(T), поэтому существует разбиение То такое, что
Г < S(T0) < /* + е.
196
Далее заметим, что величина sup S(T) как функция от 8 являет-
Дг < 5
ся неубывающей. Поэтому существует 80 > 0 такое, что для всякого 8 с условием 0 < 8 < 80 имеем
J* < sup S(T) < J* + е.
Ду < 5
Отсюда, в частности, следует, что существует разбиение Тг с условием ДГ1 < 8 такое, что
J* - е < S(7\) < J* + е.
Обозначим через п количество внутренних точек разбиения То. Тогда по лемме 11 справедлива оценка
S(7\) < S(T0) + 2М8п.
Следовательно,
J* - е < S(7\) < S(T0) + 2М8п < Г + е + 2М5п.
Поэтому справедливо неравенство
О < J* - Г < 2е + 2М8п.
Но так как числа е>0и0<8<80 можно выбрать сколь угодно малыми, то J* - Г = О, J* = Г. ◄
СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 9. Справедливо равенство J* = I*.
► Рассмотрим функцию g(x) = ~/(х). Тогда по теореме 3 имеем, что J\g) = /*(£), но J*(g) = и I*(g) = Отсюда получим J*(f) = Л(Г). «
§8. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО РИМАНУ
Докажем, что любая непрерывная на отрезке функция и любая монотонная на отрезке функция являются интегрируемыми на этом отрезке.
ТЕОРЕМА 10. Всякая функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.
► В силу теоремы Кантора функция f(x), непрерывная на отрезке [а, Ь], является равномерно непрерывной на нем. Поэтому для любого числа е > 0 найдется 8 = 8(e) > 0 такое, что для любых точек х, у е [а, &] с условием |х - у\ <8 выполняется неравенство
197
Возьмем любое разбиение Т отрезка [а, Ь] с диаметром Дт < 8. Тогда имеем
(йк - sup (ftx) - f(y)) <	6	.
х,уеДЛ	2(о — а)
Отсюда получаем
П(Т) = . S, окЛх, < —5— Axt = I < s. fc-i *	*	2(6-a)*"1	*	2
Следовательно, для всякого e > 0 мы нашли число 8 = 8(e) > О такое, что для любого разбиения Т с диаметром Дт < 8 выполняется неравенство Q(T) < 8, т. е. Jimo Q(T) = 0. Отсюда в силу критерия интегрируемости следует, что функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &]. ◄
ТЕОРЕМА 11. Всякая функция Дх), ограниченная и монотонная на отрезке [а, &], интегрируема на нем.
► Без ограничения общности можно рассмотреть только случай неубывающей на отрезке [а, Ь] функции Дх). Зададимся произвольным числом е > 0 и положим
8=-------------------,
f(b - О) - f(a + 0) + 1
<ak = sup (Дх) - f(y)) = f{xk - 0) - ftxft_x + 0). x, yeAfe
Тогда для любого разбиения Т : а = х0 < ... < хп = b с диаметром Дг < 8 имеем п	п
Q(T) = kZ1 wk\xk < 8 ю* < (Д& - 0) - Да + 0))8 < 8, т. e. получаем, что дИшо Q(T) = 0, и, значит, в силу критерия интегрируемости функция Дх) интегрируема на отрезке [а, &]. ◄ ТЕОРЕМА 12. Всякая ограниченная на отрезке [а, Ь] функция, непрерывная всюду, за исключением конечного числа разрывов, интегрируема на этом отрезке.
► В силу критерия интегрируемости функции Дх), в форме inf Q(T) = 0 достаточно для любого 8 > 0 построить разбиение Т с условием Q(T) < 8.
Пусть количество точек разрыва Дх) равно т и М = sup | Дх)|. хе[а, Ь] Каждую точку разрыва ds, s = 1, ... , т, окружим окрестностью вида А. = (d - ? -, d, + А ). Тогда в каждом из отрезков
s Vs 8Мт 8 8Мт )
198
[£ € “1
^-i + 8Mm ’ dr ~ 8MmJ’ r=1> — >m + 1’do = a> dm+i ~ b
функция f(x) непрерывна, значит, по теореме Кантора она является равномерно непрерывной на каждом из этих отрезков. Поэтому можно выбрать число 5 = 8(e) > 0 такое, что для любых точек х, у, принадлежащих этим отрезкам, и |х - у\ <8, выпол-
няется неравенство |/(х) - f(y)\ <
е
2(Ь-а)’
Построим теперь про-
извольное разбиение То указанных отрезков так, чтобы выполнялось условие ДГо < 8. Объединяя это разбиение То с построенными ранее окрестностями точек разрыва, получаем разбиение Т отрезка [а, &]. Далее имеем
Q(T) =	+ Q2,
= £ co^<2Mm-= I, 1 k = 1 »	«	4Mm 2
m	p	e
- A.&. M*4x* < № - °) •	 2 •
Следовательно, Я(Т) < e. ◄
Лекция 5
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим свойства интеграла, связанные с интегрируемостью на заданном фиксированном отрезке. Множество всех интегрируемых функций на отрезке [а, Ь] будем обозначать символом Я[а, Ь] или просто IR.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пусть функция f(x) отлична от нуля только в I точках. Тогда f е IR и
ь
J f(x)dx = 0.
а
► Пусть М = ^ах J/(x)|. Возьмем произвольное число е > 0 и положим 8 = г/(2М1). Тогда для любого размеченного разбиения V с условием Дг < 8 имеем
<е.
Мы воспользовались тем, что сумма <j(V) содержит не более I слагаемых, отличных от нуля, и тем, что Ахк < 8. В силу произвольности выбора числа е > 0, получаем, что
lim <j(V) = 0.	◄
Ду —> о
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть функции f(x) и £(х) интегрируемы на отрезке [а, &]. Тогда*.
1) функция f(x) 4- g(x) g Л[а, Ь] и
ь	ь	ь
J (/(*) + g(x))dx = f f(x)dx + J g(x)dx*.
a	a	a
2) для любого вещественного числа k функция kf(x) g Я[а, Ь] и ь	ь
J kf(x)dx = k J f(x)dx.
► 1) Поскольку f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, &] и для любого размеченного разбиения V: а = х0 < < хг < ... < < хп = Ь справедливы равенства
Переходя к пределу при Ду —> 0, видим, что предел левой части равенства существует, следовательно, существует и предел правой части, т. е. функция Дх) 4- g(x) интегрируема на отрезке [а, &], и, кроме того, имеет место равенство
ъ	ь	ь
J (ft*) + g(x))dx = J f(x)dx + f g(x)dx.
a	a	a
200
В случае 2) имеем: о^ДК) = fccfy(V). Из этого следует интегрируемость функции Дх) и выполнение равенства
ь	ъ
J kf(x)dx = k J f(x)dx. ◄ a	a
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. 1) Пусть функция Дх) интегрируема и неотрицательна на отрезке [а, &]. Тогда
ъ
f f(x)dx >0.
а
2) Пусть функция Дх) интегрируема и неотрицательна на отрезке [а, &], и пусть в точке х = х0 непрерывности Дх) выполнено неравенство f(xQ) > 0. Тогда
ь
J f(x)dx > 0.
а
► 1) Составим для любого размеченного разбиения V интегральную сумму o(V). Она неотрицательна, и, следовательно, интеграл как предел интегральных сумм будет величиной неотрицательной.
2) Поскольку х0 — точка непрерывности и Дх0) > 0, существует число 8 > 0 такое, что для всех х с условием |х - х0| < 8 имеет Дх) > Дх0)/2. Возьмем любое размеченное разбиение V с диаметром Af < 80/2. Тогда на интервале (х0 - 8, х0 + 8) будут содержаться полностью некоторые отрезки разбиения V с суммой длин не меньшей, чем 80. Отсюда получаем
80Дх0)
а(У)>-0М_^>0 Л
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть функция Дх) непрерывна и неотрица-ь
тельна на отрезке [а, Ь] и J f(x)dx = 0. Тогда для всех точек а
х е [а, &] имеем Дх) = 0.
► Воспользуемся методом от противного. Допустим, что существует точка х0 g [а, Ь] такая, что f(xQ) > 0. Тогда из утвержде-
ъ
ния 3 имеем, что J f(x)dx > 0. Это противоречит условию, что а
Ь
$f(x)dx = 0.	◄
а
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Пусть а<Ьи на отрезке [а, Ь] справедливо неравенство f(x) > g(x). Тогда имеем
ь	ь
f f(x)dx > J g<x)dx. а	a
201
►	Рассмотрим функцию Л(х) = f(x) - g(x) > 0. Из утверждения 3 ь
следует, что J h(x)dx >0, а из утверждения 2 имеем а
Ъ	Ь	Ь	Ь	Ь
J f(x)dx = J (й(х) + g(x))dx = J h(x)dx + J g(x)dx > f g(x)dx. ◄ a	a	a	a	a
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Пусть а<Ьи на отрезке [а, Ь] справедливо неравенство т < f(x) < М. Тогда имеем
ь т(Ъ - а) < J f(x)dx < М(Ь - а), а
Утверждение 6 является простым следствием утверждения 5.
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &]. Тогда функция [/(х)| интегрируема на нем и имеет место неравенство
ь	ь
J f(x)dx < J |ftx)|dx. а	а
►	Поскольку Iftx) - f(y)\ > |ftx)| - |fty)|,
sup Iftx) - ftj/)| > sup (|ftx)| - |ftj/)|), X, уеДЛ	x, уеДА
и, следовательно, соЛ(/) > cofe(|/|). Отсюда для любого разбиения Т имеем, что
QZ(T)>Q1Z|(T)
По условию функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ь], следовательно, существует разбиение Т такое, что ОДТ) < е. Отсюда имеем £2|f|(T) < е. А это согласно критерию интегрируемости означает, что функция |Дх)| интегрируема на отрезке [а, &].
Так как справедливо неравенство
-Ш < ft£)<
то для любого размеченного разбиения V получаем
-о|И(У) <	< <Т|И(К>-
Переходя в последнем неравенстве к пределу,
-J lftx)ld* с J ftx)dx < f |ftx)|dx, а	а	а
т. е.
ь	ь
J f(x)dx < f|ftx)|dx. а	а
◄
202
УТВЕРЖДЕНИЕ 8. Пусть f(x) е Я[а, Ь]. Тогда f\x) е В[а, &].
► Обозначим через М супремум функции | f(x)| на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство
\f2(x)-f^(y)\<2M\f(x)-f(y)\,
и, следовательно, со^С/2) < 2Mok(f). Отсюда получаем
af^T) < 2MQf(T), значит, согласно критерию интегрируемости функция ^(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. ◄
УТВЕРЖДЕНИЕ 9. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь]. Тогда их произведение f(x)g(x) также интегрируемо на отрезке [а, 6].
► Имеем
fe = ((f + £)2-(f-£)2)/4.
Тогда из утверждений 8 и 2 следует, что произведение функций f(x) и g(x) интегрируемо на отрезке [а, &]. ◄
ТЕОРЕМА 13 (об интегрируемости сложной функции). Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &], т = inf f(x)9
х е [а, Ь]
М = sup Дх), и пусть <р(х) непрерывна на отрезке [т, М]. х е [а, Ь]
Тогда сложная функция h(x) = <р(/(х)) интегрируема на [а, &].
► Возьмем произвольное е > 0. В силу равномерной непрерывности функции <р(х) на отрезке [т, М] имеем, что существует число S = 8(e) > 0 такое, что для любых хи х2 е [m, Af] с условием |хх - х2| < 8 выполняется неравенство |<р(хх) - ср(х2)| < е. Далее, в силу критерия интегрируемости функции Дх) на отрезке [а, Ь] найдется разбиение Т этого отрезка такое, что
п
ЩТ) = *£1Й)л(/)Дх*<е8, где <i»k(f) — колебание функции Дх) на отрезке ДА разбиения Т.
Разобьем все отрезки ДЛ, k = 1,..., п, разбиения Т на два класса. К первому классу отнесем те ДА, для которых справедливо неравенство соА(/) < 8. На этих отрезках также имеет место неравенство <s>k(h) < е. Ко второму классу отнесем все остальные отрезки разбиения Т, т. е. те, для которых соА(/) > 8. В связи с этим сумму ЙЛ(7Э представим в виде ЙА(Т) = Qx + П2, где
Qx = Е' шА(Л)ДхА, йх = Е" <оА(Л)ДхА, причем штрих в сумме означает, что суммирование ведется по k9 отвечающим отрезкам разбиения Т, относящимся к пер
203
вому классу, а два штриха в сумме £12 показывают, что суммирование ведется по числам k, отвечающим отрезкам ДЛ из второго класса.
Из определения суммы Qx имеем
Qi = 2' <оА(Л)Дхь < е Е' Дх* < е(& - а). k	k
Оценим сверху сумму длин отрезков Axfe, принадлежащих второму классу. Имеем
5Z" ДхЛ < S" o>ft(/)Axft < X <М/)Дх* = ЩГ) < 5е. К	к	к	'
Следовательно, Е" Axfe < е.
Пусть С — max |ф(х)|. Тогда для суммы получим оценку xe[m, М]
Q2 = Е" cofe(ft)Axfe < 2С Е" Дх* < 2Се. k	k
Таким образом, £lh(T) < е(Ь - а + 2С), т. е. в силу произвольности выбора числа е > О получим соотношение inf Q>h(T) = О, а это, в силу критерия интегрируемости, означает, что функция Л(х) = ср(Дх)) интегрируема на отрезке [а, &]. ◄
§ 10. АДДИТИВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Свойство аддитивности интеграла выражается следующим утверждением.
ТЕОРЕМА 14. Пусть функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда для любой точки с е [а, 6] она интегрируема на отрезках [а, с] и [с, &]. И наоборот, если f(x) интегрируема на [а, с] и [с, &], то она интегрируема на [а, &], причем
ebb
J f(x)dx + J f(x)dx = J f(x)dx.	(1)
аса
► Пусть функция Дх) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда в силу критерия интегрируемости имеем, что inf Q(T) = 0, т. е. для любого е > 0 существует разбиение Т такое, что О(Т) < е. Рассмотрим разбиение То = Т U {с} отрезка [а, Ь]. Получим £2(Т0) < £2(Т) < е. Разбиение То можно представить как объединение разбиений Тг отрезка [а, с] и Т2 отрезка [с, Ь]. Поэтому
n(T1) + Q(T2) = Q(T0)<e.
Следовательно,
Q(T1)<e, Я(Т2)<е.
204
В силу инфимум-критерия интегрируемости функции Дх) отсюда имеем, что Дх) интегрируема на отрезках [a, с] и [с, Ь].
Пусть теперь функция Дх) интегрируема на отрезках [а, с] и [с, Ь]. Тогда для любого е > 0 существует разбиение Тг отрезка [а, с] и разбиение Т2 отрезка [с, &] такие, что < е/2, Q(T2) < е/2* Следовательно, для разбиения Т = Тг U Т2 отрезка [а, &] имеем
Q(T) = Q(7\) + Q(T2) < е/2 + е/2 = е.
Отсюда, в силу инфимум-критерия интегрируемости функции Дх), следует, что Дх) является интегрируемой на [а, Ь]. Возьмем произвольные размеченные разбиения отрезка V\ отрезка [а, с} иУ2 отрезка [с, &], V « V\ U V2 отрезка [а, Ь]. Имеем равенство
a(V) = a(F1) + G(V2).
Переходя в последнем равенстве к пределу при Дг —> 0, получаем равенство (1). ◄
По определению, положим, а	Ь
J f(x)dx = | f(x)dx = 0. а	ь
Пусть функция Дх) интегрируема на отрезке [с, а]. Тогда при с < а, по определению, полагают
J f(x)dx = -f f(x)dx. а	с
В силу этого определения утверждение теоремы можно переформулировать так.
СЛЕДСТВИЕ. Пусть х0 < хр а, b, с е [х0, xj и функция /($) интегрируема на отрезке [х0, xj. Тогда
J f(x)dx + J f(x)dx + J f(x)dx = 0. а	с	ь
Здесь утверждается также, что интегралы на указанных отрезках с концами а, Ь, с существует.
Для доказательства справедливости равенства в силу симметричности равенства относительно точек а, &, с достаточно рассмотреть один случай а < с < Ь. Но это точно совпадает с утверждением теоремы.
ГЛАВА 8
Основные теоремы теории интеграла Римана
Лекция 6
$ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ФУНКЦИЯ ОТ ЕГО ВЕРХНЕГО (НИЖНЕГО) ПРЕДЕЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА
В 7 главе доказано, что если функция /(х) интегрируема на отрезке [а, Ь], то для любого х е [а, Ь] она интегрируема на отрезке [а, х], т. е. существует функция
F(x)= J f(u)du.
а
Докажем несколько свойств этой функции.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке
X
[а, &]. Тогда F(x) = J f(u)du является непрерывной функцией на а
этом отрезке.
► Из интегрируемости функции f(x) следует, что она ограничена на отрезке [а, &], т. е. найдется постоянная М > 0 такая, что для всех х е [а, &] выполняется неравенство |f(x)| < М. Возьмем любые точки х, х + Дх g [а, Ь]. Имеем
| AF(x)| =|F(x + Дх) - F(x)| =
f(u)du <
f |/(u)|du <М|Дх|.
Зададимся произвольным числом е > 0. Тогда для любой величины Дх с условием |Дх| < t/М имеем |ДГ(х)| < е. Следовательно, функция ДГ(х) является бесконечно малой при Дх —> 0, т. е. функция F(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. ◄
ТЕОРЕМА 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, &] и непрерывна во внутренней точке х0 этого отрез-X
ка. Тогда F(x) = jf(u)du дифференцируема в точке х = х0 и а
Р'(х0) = ftx0).
206
► В силу непрерывности функции Дх) в точке (х0) для всякого числа е > 0 существует 5 = 8(e) > 0 такое, что для всех и с условием \и - х0| <8 справедливы неравенства
v Дх0) - е < f(u) < Дх0) + е.
Возьмем любое |Дх| < 8 так, чтобы отрезок с концами х0 и х0 + Дх содержался бы в отрезке [а, &]. Интегрируя неравенства, получаем
1 *%+Ах л	Г(х0 + Дх) - F(x0)	1 *о + Д*
£ /	(f(x0)-e)du<	0	'---— f (f(x0) + e)du,
XQ	*0
т. е. при любом Дх с условием |Дх| <8 выполняются неравенства
/(х0)-е<	</(х0) + е.
Отсюда имеем
Г(х0)= Пт =/(х0).	«
$ 2. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА.
ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА И АБЕЛЯ
Формулу Ньютона—Лейбница называют основной теоремой интегрального исчисления, поскольку она связывает понятия определенного и неопределенного интегралов.
ТЕОРЕМА 3. (Формула Ньютона—Лейбница.) Пусть функция Дх) ограничена на отрезке [а, &] и имеет не более конечного числа
X
точек разрыва. Тогда функция F(x) = J f(u)du является перво-а
образной для функции Дх) на отрезке [а, &] и для любой первообразной Ф(х) справедлива формула
ь
J /(u)du = Ф(&) - Ф(а). а
► Из теорем 1 и 2 предыдущего параграфа следует, что функция X
F(x) = J f(u)du является непрерывной на отрезке [а, 6] и во всех а
точках непрерывности функции f(x) существует производная от F(x) и она равна f(x). Следовательно, функция F(x) является первообразной для функции f(x), кроме того, имеет место формула
Ь	а
J f{u)du = F(b) = F(b) - F(a), F(a) = J f(u)du = 0. a	a
207
Пусть Ф(х) — любая другая первообразная функция для Дх), Тогда согласно свойству первообразной функции существует такое число с, что Ф(х) = F(x) + с. Следовательно, имеет место равенство
ь
Ф(6) - Ф(а) = F(b) - F(d) = J f{u)du. ◄
a
В качестве приложения формулы Ньютона—Лейбница выведем формулы суммирования Эйлера и Абеля.
ТЕОРЕМА4 (формула суммирования Эйлера). Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, &], р(х) = = 1/2 - {х}. Тогда при любом х, принадлежащем отрезку [а, &], справедлива формула
Е f(n) - р(х)/(х) = f f(u)du - f p(u)f(u)du - р(а)Да).
a < n < x	а
► Обозначим левую часть последнего равенства через G(x). Легко видеть, что функция G(x) непрерывна на отрезке [а, &]. Действительно, если число х — нецелое, то она будет даже дифференцируема, а если число х = п — целое, то сумма в выражении для G(x) возрастает на величину Дп), а функция р(х)Дх) убывает ровно на Ди) при переходе через точку х = п, так что скачок суммы гасится скачком функции р(х)Дх). Следовательно, можно применить формулу Ньютона—Лейбница. Но тогда при нецелом х имеем
G(x) = G(a) + j G'(u)du = -p(a)f(a) + j (-p(u)f(u))'d« = a	a
= -p(a)f(a) + J f(u)du - J p(u)f'(u)du. ◄ a	a
Важность этой формулы состоит в том, что она позволяет приближенно заменить сумму на интеграл. Заметим, что часто удобно в качестве пределов суммирования брать полуцелые числа.
ПРИМЕР (упрощенная формула Стирлинга). При п > 2 справедливы неравенства
1 < п!е” < к
5 С	с 5-
Действительно, из формулы суммирования Эйлера получаем
In n! = In 1 + In 2 + ... + In п — X In т =
0,5 < т < п + 0,5 п + 0,5	п + 0,5 , ,ч
= J In t dt - J dt =
0,5	0,5 Г
= (n + 0,5) In (n + 0,5) - n - 0,5 - 0,51n 0,5 + 0,5 - r(n).
208
t
Оценим величину r(n). Полагая о(£) = J p(u) du, |о (t)| < о
|, имеем
n 4-0,5	4	n 4- 0,5
4»>- J 0,5	1	(
V’5 do(Q = 0(0 n+0,5 +n+f0’5 0(0 dt 0,5	*	*	0,5	°’5 t2
Следовательно, справедлива оценка |r(n)| < 2*2* 1/8 = 1/2. Таким образом, находим
1п п\ = (п + 0,5) 1п п - п + (и + 0,5) In f 1 + --1 + 0,5 In 2 - r(n),
|ln ra! - (n + 0,5) In n + n| < (n + 0,5) In (1 + JL) + 0,5 In 2 + |r(n)| <
< 0,5 In 2 + | < In 5. О
Потенцируя это неравенство, получаем сформулированную оценку. Заметим, что в случае, когда пределы суммирования в теореме 4 — целые числа, то ее можно переписать в несколько иной форме.
ТЕОРЕМА 5. Пусть а и Ъ — целые числа и функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, 6]< Тогда справедлива следующая формула*.
ь	ъ	ь
S f(n) - f(a) + f f(x) dx + J {x} f(x) dx. a	a
► Так как а и Ь — целые числа, то р(а) = р(Ь) = 1/2. Кроме того, имеем
J р(х) f '(х) dx = i f(b) - i f(a) - f {x} f (x) dx. a	"	a
Подставляя полученные выражения в формулу теоремы 4, приходим к утверждению теоремы 5. ◄
ПРИМЕР. При целом N > 1 имеет место соотношение
Jil=lnn + T+A.+ lA^+o(±).
В силу теоремы 5 получим
209
oo J- ,
Обозначим через у следующее выражение: у = 1 - J dx.
1 х Имеем
1 аг .	. 1 F dx Г Р(*) л 1 хг .	, 1 Г <*(*)
sN = In + у + J - J ‘тг dx = In N + У + 2N - [ “У ’
1 х
где р(х) = - - {х}, g (х) = J р (i) dt. Интегрируя последний интег-о
рал по частям, получаем
1 АТ _1_	.	1 О(ЛГ) ,of° °(Х) Л
sN = \nN + y+^	+ 2J dx.
1	х
И наконец, положим а0 (х) = о (х) - т? ,	(х) = J о0 (t) dt. Оче-
1Z	о
N
видно, имеем (N) = J о0 (О dt = 0. Интегрируем в последней о
формуле для sN интеграл по частям, находим
sN lnN + y+ 2N + 6 J x3 + 2 J t3 •
Отсюда получаем требуемую формулу для sN.
Докажем теперь формулу суммирования Абеля.
ТЕОРЕМА 6. Пусть функция Дх) имеет непрерывную производную на отрезке [а, &] и пусть А(х) = Е ат. Тогда при любом х е [а, &] имеем
„ х а„ f(n) - А(х) /(х) = -f A(t) f (0 dt.
► Обозначим через G(x) левую часть последнего равенства. Аналогично доказательству теоремы 2 функция G(x) имеет непрерывную производную в нецелых точках, а при целых значениях она является непрерывной функцией. Заметим также, что при нецелых значениях х имеет место равенство А'(х) = 0. Следовательно, продифференцировав G(x) при нецелых х, получим G'(x) = -А(х) f\x). Но и производная правой части рассматриваемого равенства равна той же функции. Тогда из формулы Ньютона—Лейбница имеем искомое равенство. ◄
Лекция 7
§ 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Важную роль при вычислении интегралов играют формулы замены переменной и интегрирования по частям. Они являются следствием формулы Ньютона—Лейбница. Имеет место следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 7 (теорема о замене переменной). Пусть функция /(х) непрерывна на некотором отрезке [х0, xj. Пусть также точки а9 b е [х0, хх], а < Ь9 ф (а) = а, ф (0) = b и множество значений функции ф (t) при а < t < 0 является подмножеством отрезка [х0, хх]. Пустъ9 кроме того, производная ф' (t) непрерывна на отрезке [а, 0]. Тогда справедлива формула
ь	Р
f f(x) dx = f Дф(О) ф' (О dt. а	а
► Так как функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &], то по теореме Ньютона—Лейбница существует ее первообразная F(x) ь
и F'(x) - f(x), Jftx) dx = F(b) - F(a). a
При всех t e [a, P] по условию теоремы определена функция G(t) = Г(фСО)> которая на этом отрезке имеет производную, причем
<?'(*) = F't (ф(0) = F; (ф(0) • Ф'(О = /(Ф(О) <₽'(*)•
Это значит, что функция G(t) является первообразной функции Дф(О) • ф'(0* Следовательно, имеет место равенство
Р	ъ
j Г(Ф(О)Ф'(О dt = F(<p(0)) - F(<p(a)) = F(b) - F(a) = J f(x)dx. ◄ a	a
TEOPEMA8 (формула интегрирования по частям). Пусть на отрезке [а, Ь] заданы гладкие функции f(x) и £(х). Тогда имеем
f /(X)g' (х) dx = f(x)g(x)\ba - f f'(x)g(x)dx, a	a
где символ й(х)|^ означает разность h(b) - h(a).
► Пусть й(х) = f(x) g(x). Тогда
Л'(х) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).
Следовательно, ь	b	b
J h'(x) dx= f f'(x) g(x) dx+ J f(x) g'(x) dx.
211
По теореме Ньютона—Лейбница имеем ъ J h'(x)dx = й(&) - Л(а) = f(x)g(x)\ba. а
Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую формулу. ◄
§ 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ИНТЕГРАЛА
ТЕОРЕМА 9 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, &]. Пусть также на этом отрезке функция g(x) неотрицательна, а для функции f(x) при некоторых вещественных числах т и М имеют место неравенства т < /(х) < М. Тогда найдется вещественное число ц с условием т < ц < М такое, что
ь	ь
J ftx) g(x) dx — ^if g(x)dx. а	а
► Поскольку неравенства
тп£(х) < f(x)g(x) < Mg(x)
Справедливы, интегрируя их, получим
b	ь	ь
m\g(x)dx < f f(x)g(x)dx < М\g(x)dx.	(1)
а	а	а
Ъ	Ь
Заметим, что f g(x)dx > 0, так как g(x) > 0. Тогда если \g(x)dx = 0, а	а
то из неравенства (1) имеем ь	ь
f f(x)g(x)dx = 0 = f g(x)dx а	а
и число ц можно положить равным т.
ь
Если f g(x)dx > 0, то получим а
Ь
J ftx)g(x)dx
т < ---------- < М.
ь jg(x)dx а
Положим отношение интегралов равным ц. Тогда имеем
ь	ь
f f(x)g(x)dx = ц f g(x)dx, а	а
где т < ц < М. ◄
212
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, &]. Пусть также на этом отрезке функция g(x) неположительна, а для функции f(x) при некоторых вещественных т и М имеют место неравенства т < f(x) < М. Тогда найдется вещественное число ц с условием т < р < М такое, что
ь	ь
/ f(x)g(x)dx = pf g(x)dx. a	a
► Положим
£1(х) = -g(x).	' , . ; '
Тогда функции f(x) и gt(x) удовлетворяют условиям теоремы 1 й мы имеем равенство
ь	ь
/ f(x>^i(x)dx = pf gx(x)dx, а	а
где т < ц < М. Подставляя в это равенство £х(х) = -g(x), получим утверждение следствия. ◄
СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и функция g(x) интегрируема на этом отрезке, причем для всех точек х е [а, &] функция g(x) неотрицательна. Тогда существует точка с е [а, &] такая, что
ь	ь
J f(x)g(x)dx = f(c)J g(x)dx. а	а
►	По теореме Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке существует точка с, а < с < Ь9 такая, что ц = = /(с), т < ц < М. Отсюда, в силу теоремы 1» получаем утверждение следствия. ◄
СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда на отрезке [а, &] найдется точка с такая, что
f f(x)dx = f(c)(b - а), а
►	Данное утверждение получается из следствия 2 при g(x) = 1. ◄
Замечание. Среднее арифметическое значений функций на отрезке [а, &] стремится к величине ъ
-i- J f(x)dx, ь -а а
поэтому говорят, что интеграл — это среднее значение функции /(х) на отрезке [а, &]. ◄
213
ТЕОРЕМА 10 (вторая теорема о среднем значении). Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь]. Пусть, далее, функция g(x) на этом отрезке неотрицательна и не убывает. Тогда на отрезке [а, &] найдется точка с такая, что
ь	ь
J f(x)g(x)dx = g(b) J f(x)dx. a	c
► Рассмотрим последовательность разбиений Tn : а = х0 < ... < < хп = Ь с условием, что диаметр Тп, равный 8П, стремится к нулю при п —> (Например, всегда можно считать, что разбиение Тп отрезка [а, &] есть разбиение на п равных частей и тогда 8П = = 1/п.) Положим
п	Xk
Qn = Z g(xk) J f(x)dx, M = sup |/(x)|, K ~ 1	x	xe[a, b]
= sup |g(x') - g(x")| = g(xk - 0) - g(.xk_i + 0). x', xg ДЛ
Имеем
(g(xk) - g(x))f(x)dx\ <
n	Xk	n
< x wk(g) J |f(x)|dx < M8n x wk(g) < M8ng(b). . xk-i
b
Следовательно, an = J f(x)g(x)dx.
Поскольку интеграл как функция нижнего предела есть непре-ь
рывная функция, функция F(x) = J f(t)dt является непрерывной х
и достигает своего минимального и максимального значений на отрезке [а, &], соответственно, в точках аир.
Теперь преобразуем сумму оЛ. Имеем
СТП =	f f(x)dx - f ftx)dx) =
Xk-1	xk
= Xrt**^**-!) - Jirt**)^**) =
= J ^xk+i)F(xk) - g(xk)F(xk) =
= gtxJFta) + x (g(xfe+1) - g(x))F(xk).
Так как для любого х е [а, &] справедливы неравенства
F(a) < F(&) < F(p), g(b) > 0, и функция g(x) не убывает, то из последнего неравенства для оЛ получим
F(a)g(b)<o„<F(P)g(&).
214
Переходя к пределу при п —> +оо, имеем
F(a) g(b) < J f(x)g(x)dx < F(P) g(b). a
Поскольку функция f(x) непрерывна на отрезке [a, &], по теореме Коши о промежуточном значении найдется точка с е [а, Ь] такая, что 1 ь
Лс) - J f(x)g{x)dx или	а
b	ь
J f(x)g(x)dx = g(b) J f(x)dx. ◄ a	c
ТЕОРЕМА 11. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы' на отрезке [a, Ь]. Пусть, далее, функция g(x) на этом отрезке неотрицательна и не возрастает. Тогда на отрезке [а, Ь] найдется точка с такая, что ь
J f(x)g(x)dx - g(a) J f(x)dx. a	a
►	Положим xt = -x, f^xj = f(-x), g1(x1) = g(-x). Тогда в силу того что g(x) не возрастает на отрезке [а, &], то функция ^(xj не убывает на отрезке [-&, -а]. Поэтому к функциям fx(x^) и ^(xj можно применить теорему 10. Отсюда следует, что на отрезке [-&, -а] найдется точка -с такая, что
J /i(xi)^i(«i)dxi = ^i(-a) J AOQdXi. -b	~c
В интегралах последнего равенства сделаем замену переменной вида х = -xv Получим
Ь	с
J f(x)g(x)dx = g(a) J f(x)dx. ◄ a	a
СЛЕДСТВИЕ. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, Ь]. Пусть, далее, функция g(x) монотонна на этом отрезке. Тогда на отрезке [а, &] найдется точка с такая, что
J f(x)g(x)dx = g(a) J f(x)dx + g(b) J f(x)dx. a	a	c
►	Пусть сначала функция g(x) не убывает на отрезке [а, Ь]. Тогда функция gi(x) = g(x) - g(a) будет неотрицательной и неубывающей на этом отрезке. Следовательно, по теореме 10 имеем
ь	ь
j /(x)gi(x)dx - g^b) J f(x)dx.
Подставляя в последнее равенство выражение для g^x), получаем утверждение следствия.
215
Пусть теперь функция g(x) не возрастает на отрезке [а, Ь]. Тогда положим g±(x) = g(x) - g(b). Функция £х(х) — неотрицательная и невозрастающая. Поэтому к функциям f(x) и £х(х) применима теорема 11. Отсюда и следует искомая формула. ◄
ПРИМЕР. Пусть Ь > а > 0. Тогда справедливо неравенство
?sinx .	2
I---- dx < - .
i х а
Действительно, функция 1/х — положительная и невозрастающая на отрезке [а, Ь]. Тогда по теореме 3 найдется такая точка с g [а, &], что
rsinx , If.	> Icosc-cosal	2
I---- dx = - I sin xdx = 1--------1 < - .
i x	a>a	a	a
Приведем теперь вариант доказательства второй теоремы о среднем для гладких функций.
ТЕОРЕМА 12. Пусть функция Дх) непрерывна и функция g(x) дифференцируема на отрезке [а, &], причем производная g'(x) на этом отрезке неотрицательна и непрерывна. Тогда на отрезке [а, &] найдется точка с такая, что
J f(xjg(x)dx = g(a) J f(x)dx + g(b) J f(x)dx. a	a	• c
► Пусть
F(t) = jf(x)dx. a
Тогда функция F(t) как функция верхнего предела является дифференцируемой, поскольку подынтегральная функция /(х) — непрерывна. Следовательно, имеем
ь	ъ
I = J f(x)g(x)dx = J g(x)dF(x). а	а
Интеграл I проинтегрируем по частям. Получим
ъ
I = g(x)dF(x)\ba~ $ F(x)dg(x). а
Но так как производная g'(x) неотрицательна, F(x) и g'(x) непрерывны на отрезке [а, Ь], то по первой теореме о среднем значении интеграла, имеем ъ	ь
J F(x)g'(x)dx = F(c) J g\x)dx = F(c)(g{b) - q(a)). a	a
Следовательно,
c	b
I = g(b)F(b) - g(b)F(c) + g(a)F(c) = g(a) j f(x)dx + g(b) j f(x)dx. « a	c
216
Лекция 8
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Равенство, которое доказывается в следующей теореме, называется формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
ТЕОРЕМА 13. Пусть п> 0 — целое число и пусть функция f(x) имеет (п + 1)-ю непрерывную производную на отрезке [а9 &]. Тогда имеет место формула
f(b)-fn(a9 &) + Яп(а, Ь), где fn(a9 b) — многочлен Тейлора, т. е.
fn(a, b) - f(d) +	(& - а) + ... + (Ь - а)",
а остаточный член Rn(a9 &) имеет вид
I Ь	Ч	К X	V ,
Я„(а, &) = ± J f<n+1W - Ondt./ . . ' ;
а <
► Воспользуемся методом математической индукции. При п « О должно иметь место равенство
f(b) = f(a)+^j fXt)dt = f(a) + j f'(t)dt.	‘
u- а	а
Это есть формула Ньютона—Лейбница. Так что при п = 0 теорема доказана.	.	'
Пусть при п = k утверждение теоремы уже доказано, т. е. справедливо равенство
/(&) = 4(а, Ь) + Я,(а, 6).
Докажем его при п = k + 1. Для этого проинтегрируем Rk(a9 b) по частям. Получаем
&) = А / Г(*+1)(О(Ь - t^dt = J f(k+1W(b - f)*+1 -а	{В JJ! а
=	/<fc+1)(0(b - 0*+1l* + J /(ft+2)(О<Ь - ty+'dt =
- 7ГИ7 '’ o)‘+1 + ЙГ? J ~
Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предположению индукции при п = k9 имеем
/(&) = fk+1 (a, b) + Rh+1 (а, Ь). ◄
217
Замечания. 1. В результате замены переменной интегрирования ви-да t = а + и (Ь - а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить в виде
Rn (a, b) = (b-y + 1 J Л"+1>(а + и (b - а))(1 - га)Ми.
О
2. Если применить к остатку Rn (а, Ъ) теорему о среднем, то можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха— Роша, но, правда, при более жестких условиях на функцию /(х). Действительно, при любом а > 0 имеем
1 ъ
Rn (а, Ь) = J /<л+1>(0(«’ - 0п+1-“(& -	-
П' а
=	Ля+1)(с)(& - c)»+1-“(fe - а)“,
где с — некоторая точка интервала (а, Ь).
В качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме для некоторых элементарных функций при а = 0 и Ь = х. В двух первых примерах воспользуемся формулой Тейлора из доказанной выше теоремы, а в остальных упростим ее вывод, применяя специальные приемы.
1.	Показательная функция. Из теоремы следует, что
уи
е* = 1 + х + 2[ +	+ п? +
где	i
Rn = Rn (0, х) = J е-(1 - и)п du.
2.	Тригонометрические функции. Имеем
(2*-1)!
n-1 (_]xkx2k
+ -R„, cos x =	^2k~y.	r"’
где
= (~l)»X2n + 1
" (2га + 1)!
п (2га)!
J (1 - u)2n~l cos их du, о
\Пх2п |
J (1 - u)2n cos их du. о
3.	Логарифмическая функция. Пусть f(x) = In (1 + x). Тогда no формуле суммы геометрической прогрессии получаем
Интегрируя это равенство пределах от 0 до х, найдем .
1(х) = 1П (1 + X) = J1 + Rn> Rn = (-1)" f fn • n i «	q 1 ~г Г
218
4.	Арктангенс. Пусть f(x) = arctg х. Тогда
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х. Получаем
Из теоремы о среднем следует, что существует величина 0 = 0(х) такая, что 0 < 0 < 1 и
р = С"1)” х2п + 1 п 14- 0х22п 4-1 ’
Отсюда имеем, что при |х| < 1 предел Rn равен 0 при п -> оо, т. е.
при |х| < 1 ряд	x2k+1 сходится и он равен arctg х.
л = о 2к 4- 1
5.	Формула бинома. Пусть Дх) = (14- х)а. Было доказано (ч. I, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора g(x) = gn_1 (х), п > 2, этой функции в окрестности точки х = 0 имеет вид
х ч	, а(а - 1)... (а - п 4- 2) „ t л^1 ь
g(x) = 1 + ах + ... +	------>- x-~l = ak x*,
и, более того, ряд Тейлора fcZoaAx* сходится при |х| < 1 и равен (14- х)а. Далее, функция Дх) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
аДх)-(14-х) Д(х) = 0.
Подставляя в это уравнение вместо функции Дх) ее ряд Тейлора и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях аргумента х, получаем равенства
kak - (а - k + 1) ak_x = 0, k > 1,
справедливость которых можно проверить непосредственно. Найдем формулу для выражения Л(х) = ag(x) - (1 + х) g'(x).
Имеем
Л(х) = a £oak х* - (1 + х) "?ойа* х*-1 =
= Ж“ ak x* ~	+ a*+i ** ~ х* =
п-2
= (aa0 - аг) + к?0((а - k) ak - (k + l)aft+1)x* + + («лп_1 - (n - l)a„_1)xn’1 = (a - n + l)a„_! x”"1 = nan x"’1. Следовательно, остаточный член R = Rn(x) = Дх) - g(x) формулы Тейлора удовлетворяет уравнению
aR - (1 4- х)Я' = пап хп-1,
219
т. е. справедливо равенство
/ R у пОдХ”-1 1(1+х)“;	(1+х)“ + 1’
интегрируя которое в пределах от 0 до х, получаем
R = RAx) = naAl + х)“ Г —--.
п	пУ > J (1 +t)a + l
Таким образом, доказано, что имеет место формула
, а(а - 1)... (а - п + 2) _ , ,
(1 + х)а = 1 + ах + ... + —--------------- хп 1 + г,
(п-1)!
а(а-1) ... (а-п + 1)	f un~ldu
(п-1)! U +Х) Х J(l+xn)« + i-
6.	Арксинус. Пусть /(х) = arcsin х. Тогда f'(x) = (1 - х2)-1/2. Отсюда по формуле бинома получаем
Г(х) - 1 -	+ ... +	х2п-2 + г,
г = (-1/2)(-1/2-1)...(-1/2-п + 1)	_ ~_1/2„2п | и»-Чи
 (п-1)!	*	’	J(l-x2w)“ + 1‘
Далее имеем
(-1/2)(-1/2-1)... (-1/2-fe + l) fc(2fe-l)!! fe(2/g - 1)!! k\	1 2kk\ 1 ' (2fe)!!
следовательно, । । < l(2n - 1)!! x2ra r1 un~xdu 2(2n - 2)11	- x2 0 Ji _u
Используя формулу понижения, получаем
j1 и* \du = 2 f ц _ t2y-idt = 2(2уг.2)!! .
6	о	(2п-1)!!
Отсюда имеем
Интегрируя формулу для f'(x)9 при некотором 0 = 0(х), |0| < 1 получаем
"v1 (2^-1)!! x2* + i
arcsin х = х + kL1	+ 0Я„,
где
220
Заметим, что предел последовательности {Вл} при п -> оо равен нулю, если |х| < 1. Следовательно, при |х| < 1 ряд Тейлора
х+ у (2fe-l)!! х2* + 1
к~1 (2*)!! 2k +1 сходится к функции arcsin х.
X .
7.	Интегральный синус. Пусть функция Дх) = J dt. Тогда Л	о *
из примера 2 имеем
Пх) = ^=
X	(2* -1)!
где
г = rn(x) = (g*)"*2” f (1 - «)2n+1 cos(ux)du.
Интегрируя равенство для f'(x) в пределах от 0 до х, получаем
Дх) = f dt = f	+
О t * = 1 (2* - 1)(2* -1)! к
где
|Я| < j\r(t)\dt <--------.
о	(2п + 1)!(2п + 1)(2п + 2)
Отсюда следует, что для любого х е R выражение R стремится к нулю при и Следовательно, для любого х е R имеет место разложение в ряд Тейлора
f sint _ у (~1)*~1х2ж~1
о t *“ Х(2Л - 1)(2А - 1)! ’
$ 6. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
ТЕОРЕМА 14 (неравенствоГельдера). Пустьр, q> 0, 1/р + 1/q = 1 и пусть Дх), g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство
f f(x)g(x)dx < QlAx^dx^QlgCx^dx)17’
► Функции |Дх)|^, |g(x)|? интегрируемы на отрезке [а, Ь] по теореме об интегрируемости сложной функции (теорема § 9 гл. 7). >
Рассмотрим разбиение Тп : а = х0 < ... < хп = Ь отрезка [а, &] на п равных частей. Тогда искомое неравенство получается предельным переходом в неравенстве для их интегральных сумм

221
или эквивалентном неравенстве

Последнее неравенство есть неравенство Гельдера для сумм (см. § 8 гл. 5). ◄
При р = q = 2 приведенное выше неравенство называется неравенством Коши—Буняковского.
ТЕОРЕМА 15 (неравенство Минковского — обобщенное неравенство треугольника). Пусть р > 1, и пусть /(х), g(x) интегрируемы на отрезке [а, Ь]. Тогда справедливо неравенство
( J|/(x) + g(x)\Pdxy/p < Q|f(x)|₽)dxy/₽ + Q|g(x)|₽dx j1/₽.
► Случай p = 1 очевиден. Возьмем, как и в предыдущей теореме 14, разбиение Тп отрезка [а, &] на п равных частей. Тогда достаточно доказать неравенство для соответствующих интегральных сумм
(,?Ж>+У" < (. ? Ж>1'^ У"+ у/р или
(.?>«=,) +	< (.£ J Л«)1')‘" + (,? >=01'У"-
Последнее же неравенство есть неравенство Минковского для сумм (см. § 8 гл. 5). ◄
ТЕОРЕМА 16. Пусть функция /^(х), ... , fm(x) интегрируемы на отрезке [а, &]. Тогда справедливо неравенство
(Ъ	\2	/&	\2	ь
\f^x)dx +... + Jfm(x)dx < ]jfl(x) + ... + /2(x)dxdx.
a	7	V	)	a
► Разделим отрезок [a, ft] на n равных частей и положим xk = = а + -—- /?,/? = 0,1,... , п. Для соответствующих интегральных
сумм должно иметь место неравенство
f v* £ / \b ।	। (	а \2
< (.?, л2(».>+•+№.) 4^ У-
222
Действительно, это неравенство выводится из следующей цепочки соотношений:
т z п	\о ш z и	\ z п	\
Ji (*5i	= ,5i Q,51	=
n n z m	\
= 1 1C - 1
Д Д I m	~	n f I m - \o
Заметим, что неравенство в этой цепочке соотношений следует из неравенства Коши. ◄
Лекция 9
§ 7.	КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Ранее мы уже доказали и неоднократно использовали критерий интегрируемости функции на отрезке, принадлежащий Риману. Этот критерий имеет следующий вид: ограниченная на отрезке функция интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место одно из эквивалентных соотношений:
a) Hm Q(T) = 0 или б) inf Q(T) = О,
где понятие омега-суммы определено ранее (лемма 6 § 3 главы 7).
Как видим, этот критерий непосредственно ничего не говорит о том, какие именно функции интегрируемы по Риману, а какие — нет. На данный вопрос и отвечает критерий Лебега.
Для его формулировки определим понятие множества, имеющего нулевую меру Лебега.
Определение 1. Множество А точек на числовой прямой имеет лебегову меру нуль, если для всякого числа е > О существует конечное или счетное покрытие А интервалами с общей длиной, не превосходящей е. Другими словами, для всякого е > О найдутся интервалы 119 ... , 1п, ... с длинами их соответственно 5Р ... , 8Л, ... такие, что А а ух 1п и для любого натурального п имеет место неравенство sn = 8г + ... + 8П < е.
Обозначение*. ц(А) = 0.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Любое не более чем счетное множество точек {хп} на числовой прямой имеет лебегову меру нуль.
Действительно, можно взять интервалы с центрами в этих точках и длинами 8Х = е/2,..., 8П = е/2л, .... Тогда имеем
sn = е/2 + ... + е/2п = е(1 - 1/2") < е.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пусть ВсАи ц(А) = 0. Тогда и ц(В) = 0.
► Утверждение следует из того, что всякое покрытие множества А интервалами является и покрытием для множества В. ◄
Теперь сформулируем критерий Лебега.
ТЕОРЕМА 17. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, &] функция Дх) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество А — точек разрыва этой функции имело лебегову меру нуль, т. е. ц(А) = 0.
Прежде чем доказывать этот критерий, рассмотрим его применения.
224
ТЕОРЕМА 18. Пусть функция g(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] и т = inf g(x), М = sup g(x), и пусть функция f(t) не-хе [а, 8]	хе [а, Ь]
прерывна на отрезке [т, М]. Тогда функция f(g(x)) интегрируема на [а, &].
► Пусть х0 — точка непрерывности функции g(x), тогда по теореме о непрерывности сложной функции Л(х) = f(g(x)) является непрерывной функцией в точке х0. Следовательно, точками разрыва функции Л(х) могут быть только точки разрыва функции g(x). Пусть А — множество точек разрыва g(x), а, В — множество точек разрыва Л(х). Тогда имеем В с А.
Поскольку функция g(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], по критерию Лебега получаем, что ц(А) = 0. Отсюда в силу утверждения 2 имеем ц(В) = 0. Таким образом, по тому же критерию Лебега, функция Л(х) = f(g(x)) является интегрируемой на отрезке [а, &]. ◄
ТЕОРЕМА 19. Пусть функция Дх) монотонна на отрезке [а, Ь]. Тогда она интегрируема на отрезке [а, Ь].
► Покажем, что множество точек разрыва функции Дх) является счетным. В гл. 4 § 4 (теорема 1) доказано, что Дх) имеет разрывы только первого рода. Пусть х0 — точка разрыва, тогда в этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы: Jim Дх) = l19 Jim + Дх) = 12, причем 1± # 12. На интервале с концами в точках и 12 можно выбрать рациональное число г, и это рациональное число поставить в соответствие данной точке х0. Множество всех выбранных таким образом рациональных чисел г, как подмножество всех рациональных чисел, является не более чем счетным. Согласно утверждению 1, не более чем счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю. Следовательно, согласно критерию Лебега, монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. 4
§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЯ ЛЕБЕГА
Пусть функция Дх) ограничена на отрезке [а, &]. Обозначим через I = Д8, х0) промежуток (х0 - 8, х0 + 8) П [а, &], если х0 — внутренняя точка отрезка [а, &], и, соответственно, промежуток [а, а + 8) или (Ь - 8, &], если х0 = а или х0 = 6.
Определение 2. Колебанием функции Дх) в точке х0 назовем величину
со(х0) = аь(х0) = inf sup (Дх)-Дг/)),
8> 0 х,уе/(8)
225
8-4953
другими словами, величина со(хо) определяется равенством w(x0) = inf (ЛГ8(х0) - т8(х0)), где
Ms(xQ) = sup f(x), m8(x0) = inf Дх). xe/(8)	xeZ(8)
Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке.
ЛЕММА 1. Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда колебание шДх0) функции Дх) в точке х0 равно нулю. ► Необходимость. Предположим противное, т. е. что имеет место равенство со/хо) = а > 0. Рассмотрим последовательность 8В = 1/п, п = 1, 2, ... . Пусть I = /(1/п). В силу определения инфимума имеем
sup (Дх) - Ду)) = ЛГ1/п(х0) - пг1/в(х0) > а. х, уе!
Далее, в силу определения супремума, получим, что существуют точки хп, уп е /(1/п) такие, что Дхв) - /(i/„) > СС/2 > 0. Но так как длина промежутка /(1/п) стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности, то имеем lim х_ = lim у„ = ха.
Переходя в последнем неравенстве к пределу, используя непрерывность функции f(x) в точке х0, получаем 0 > а/2 > 0. Имеет место противоречие. Следовательно, соДхо) = 0.
Достаточность. Дано, что со/хо) = 0. Но тогда для всякого е > 0 существует 8 = 8(e) > 0 такое, что для любых х, у е 1(8) имеем | Дх) - f(y)\ < е. Положим здесь у = х0. Тогда получим условие непрерывности функции Дх) в точке х0. ◄
Пусть В(а) обозначает множество точек отрезка (а, &], для которых выполнено неравенство ш(х) > а.
Л EMMA 2. Множество точек В(а) является замкнутым.
► Пусть х0 — предельная точка множества D(a). Тогда существует последовательность {хп}9 сходящаяся к х0 при п -» °°, причем колебание функции Дх) в точках хп не меньше, чем а, т. е. со/(хл) > а. Заметим, что каково бы ни было число 8 > 0, найдется член последовательности хп е I^xQ). Положим
Si = min (хв - х0 + 5, х0 + 5 - хв), т. е. величина 8j равна расстоянию от точки хв до границ интер-вала 16(х0). Тогда получим, что Г61(хп) a. I§(xQ). Отсюда
М5(х0) - т&(хо> >	- m8i(xn) > <0z(x„) > a.
226
Так как при произвольном числе 8 > 0 имеем неравенство М8(х0) “ я^о) > то
inf (М5(х0) - тп5(х0)) = <ty(x0) > а.
Следовательно, всякая предельная точка множества D(a) принадлежит ему самому, т. е. Р(а) — замкнуто. ◄
Докажем теперь критерий Лебега.
Необходимость. Дано, что функция f(x) интегрируема на отрезке [а,. &]. Надо доказать, что множество D точек разрыва функции f(x) имеет лебегову меру нуль.
Предположим противное, т. е. что множество D не является множеством нулевой меры. Так как D = U D(l/n), то найдется а — 1/тп такое, что D(l/m) не будет множеством нулевой меры. Тогда существует число е0 > 0 такое, что для любого множества интервалов, покрывающих множество D(a), В(а) а найдется натуральное число п0 с условием 8Х + ... + 8По > е0. Отметим, что число п0 зависит от последовательности интервалов {1п}.
Рассмотрим теперь любое разбиение Т отрезка [а, &]. Среди отрезков [Xfc-p xj разбиения Т выделим те, внутри которых содержится хотя бы одна точка множества Z)(a). На каждом таком отрезке [хл_р xk] колебание функции Дх) не меньше, чем а. Сумма длин этих отрезков будет не меньше, чем е0, поскольку множество D содержится в них, за исключением, быть может, конечного числа точек, попадающих в точки xk разбиения Т. (Если бы оказалось, что сумма длин указанных отрезков^-р хл] была бы меньше, чем е0, то, покрывая точки xk е D(d) конечным числом интервалов так, чтобы общая сумма длин всех интервалов, покрывающих D(a), оказалась меньше, чем е0, получим систему интервалов, покрывающих D(a) и имеющих общую длину, меньшую, чем е0, что невозможно.)
Таким образом, для любого разбиения Т отрезка [а, 8] имеем
Q(T) > ае0.
Следовательно, inf П(Т) > ае0 > 0, а это в силу критерия интегри-т
руемости функции по Риману означает, что функция Дх) не является интегрируемой. Имеет место противоречие. Необходимость доказана.
Достаточность. Для любого е > 0 построим разбиение Т такое, что П(Т) < е. Пусть М — max |Дх)|. Положим 8 = е/(4М), а = е/(2(Ь-а)).
227
8*
Так как множество Z)(a) с D и D имеет лебегову меру нуль, то П(а) также имеет лебегову меру нуль и его можно покрыть системой интервалов I, имеющих сумму длин меньшую, чем 5. В каждой точке xQ множества К = [а, Ь]\/ колебание функции f(x) равно 0, поэтому существует интервал, покрывающий эту точку х0, на котором колебание функции будет меньше, чем а. Итак, получим систему интервалов J, покрывающих множество К. Из системы интервалов I U J, покрывающих отрезок [а, &], можно выделить конечное покрытие [а, Ь]. В качестве точек xk разбиения Т возьмем концы интервалов этого конечного покрытия.
Сумму £1'(Т) представим в виде	+ Q2, где и Q2
представляют собой суммы слагаемых вида причем в первой сумме переменная суммирования k пробегает значения, удовлетворяющие условию [xfe_p xk] al, а все оставшиеся значения k входят во вторую сумму £12.
Тогда для £1'(Т) получим оценку вида
£1'(Т) =	+ Q2 < 2М8 + а(& - а) = е/2 + е/2 = е.
Отсюда в силу того, что inf Q'(T) = 0, следует интегрируемость т
функции f(x). Теорема доказана полностью. ◄
При использовании критерия Лебега (в частности, для доказательства неинтегрируемости функции по Риману) иногда бывает полезна другая его формулировка в виде приведенной ниже теоремы.
ТЕОРЕМА 20. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ь] функция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого а > 0 множество П(а) имело лебегову меру нуль.
► Необходимость. Поскольку f(x) интегрируема по Риману, по доказанному выше критерию Лебега мера множества точек разрыва ее равна нулю, ц(Р) = 0. Но для любого а > 0 имеет место следующее включение: В(а) a D. Следовательно, ц(В(а)) = 0.
Достаточность. Очевидно, D =	D(l/n). По условию тео-
ремы для любого натурального числа п имеем ц(П(1/п)) = 0. Следовательно, ц(П) = 0, и по критерию Лебега функция f(x) интегрируема. ◄
ГЛАВА 9
Несобственные интегралы
Лекция 10
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Дальнейшая цель состоит в распространении понятия интегрируемости функции по Риману на новые классы функций, а именно:
1) на функции, заданные на бесконечном промежутке;
2) на неограниченные функции.
Понятие предела, которым мы владеем, позволяет достичь этой цели без особого труда, а обобщение понятия интеграла Римана при этом называется несобственным интегралом.
Для первого случая интегралы типа
J f(x)dx, J f(x) dx, J f(x) dx a	-oo	-oo
называются несобственными интегралами первого рода, во втором случае, когда функция f(x) является неограниченной на ь
конечном отрезке [а, &], интеграл J f(x)dx называется несобст-а
венным интегралом второго рода.
Случай, когда и промежуток интегрирования, и сама функция не ограничены, не вносит ничего нового в эту проблематику, так как его можно свести к случаю несобственных интегралов первого и второго родов простым разбиением промежутка интегрирования на части, и потому отдельно мы его рассматривать не будем. Остановимся более подробно на понятии несобственного интеграла первого рода, при этом ограничимся только случаем оо
интегралов вида J f(x)dx.
а
Определение 1. Пусть а — вещественное число и пусть для любого А > а функция /(х) интегрируема по Риману на отрезке [а, А] и
F(A)= A\f{x)dx.
а
229
Если при. А —> +°о существует предел I =	F(A), то этот
предел называется несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на промежутке [а, +°о].
Для интеграла I используется следующее обозначение:
I = f f(x)dx (= J /*(x)dx). о	a
Если предел I существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует, то выра-оо
жение J f(x)dx понимают как некий символ, который тоже на* а
зывают несобственным интегралом, но говорят про него, что он расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл вида f f(x)dx= lim f f(x)dx, A^-oo
+OO а несобственный интеграл J f(x)dx понимают как сумму двух несобственных интегралов
J f(x)dx= J Дх)с/х4- J f(x)dx. -оо	-оо	о
Замечания. 1. В отличие от несобственных интегралов обычный интеграл Римана по конечному промежутку называется собственным.
2. Из свойств собственного интёграла и определения несобственного интеграла для любых вещественных а и Ь тривиально имеем
J f(x)dx + J f(x)dx - J f(x)dx. а	ъ	a
ПРИМЕРЫ. 1. При a > 0 справедливо равенство
00 , lim —— (А1" a - a1" a), если a # 1, J = M->+oo x_av
a xCL Jim^ (In A - In a), если a = 1.
Отсюда следует, что этот интеграл сходится при a > 1 и равен ..1— а1"01, и расходится при a < 1. a - 1
2. При натуральном числе п интегрированием по частям получаем
4-оо
J ^e^dt = и!.
о
230
$ 2. КРИТЕРИЙ КОШИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Из критерия Коши существования предела функции при А -> оо непосредственно получается следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1 (критерийсходимости несобственного интеграла перво* +ОО
го рода). Для сходимости интеграла J f(x)dx необходимо и до-а
статочно, чтобы выполнялось условие Коши, т. е. чтобы для всякого е > 0 существовало число В = В(е) > А такое, что для всех чисел Аг, А2, больших В, выполнялось неравенство
J f(x)dx
А
<£.
Символически это условие Коши можно записать так:
V е > 0 3 В = В(е) > 0 : V А19 А2 > В =>
^2
J f(x)dx
А
ТЕОРЕМА2 (общий признак сравнения). Пусть для всех х е [а, +°°)
4-ос
справедливо неравенство |Дх)| < g(x) и пусть интеграл J g(x)dx а
4-оо
сходится. Тогда будет сходиться интеграл J f(x)dx.
а
► Докажем, что выполнено условие Коши для сходимости несобственного интеграла от функции f(x). В силу сходимости интеграла от функции g(x) имеем, что для любого е > 0 существует В = В(е) > 0 такое, что при любых А2, АГ>А2> В справедливо А
неравенство J g(x)dx < е. Но поскольку Ai
Ag	А2	А2
f f(x)dx < J |/(x)|dx < J g(x)dx < £,
условие Коши выполняется и для интеграла от функции /(х) с тем же самым В = В(е). ◄
ПРИМЕР. Пусть при некотором а > 1 и при х —> оо выполняется неравенство
|/(х)| « 1/ха, т. е. существуют с > 0 и х0 = х0(с) > 0 такие, что |/(х)| < сх-апри х > х0. Тогда интеграл J f(x)dx сходится.
231
Действительно, имеем
J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx. a	a	x0
Первый из интегралов суммы является собственным, а второй +ОО
интеграл f f(x)dx сходится по признаку сравнения, поскольку
*о
Тdx	1
J — сходится при а > 1.
х
$ 3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ
Сначала дадим определения понятий абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
Определение 2. Несобственный интеграл J f(x)dx называет-
а
4-ос
ся абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J |/(x)|dx.
а
Определение 3. Несобственный интеграл J f(x)dx называет-
1 а
4-оо
ся условно сходящимся, если интеграл J f(x)dx сходится, а 4-оо	а
интеграл J |/(x)|dx расходится, а
Из общего признака сравнения непосредственно следует, что абсолютная сходимость интеграла влечет за собой его условную сходимость. Обратное неверно.
Как и ранее, будем считать, что функция /(х) интегрируема на отрезке [а, А] при любом А > а.
ТЕОРЕМА 3 (признак Дирихле). Пусть при любом х е [а,+°о) X
функция F(x) = J f(u)du ограничена, и пусть функция g(x) не-а
отрицательна, и, не возрастая, стремится к нулю при х —> +о°. 4-оо
Тогда интеграл I = J f(x)g(x)dx сходится, а
► Поскольку функция g(x) на плюс бесконечности не возрастает и стремится к нулю, для всякого ех > 0 существует В = В(е) > а такое, что для всех х > В имеем неравенство 0 < g(x) < ег Пусть,
232
далее, М = sup |F(x)|. Тогда по второй теореме о среднем для лю-х > а
бых А19 А2, А2> Ах> В найдется такое число А3, Аг<А3< А2, что
J f(x)g(x)dx
Al
g(Ai) J8 f(x)dx A
A
J f(x)dx
= 81
J f(x)dx-j f(x)dx
< 2егМ.
Если теперь мы зададимся произвольным е > О, то, взяв ех = e/(2Af), получим, что для любых Ар А2, А2 > Аг > выполнено неравенство
А
J f(x)g(x)dx
Al
< Е,
т. е. выполняется условие Коши, поэтому интеграл I сходится. ◄
4-оо
ТЕОРЕМА 4 (признак Абеля). Пусть интеграл J f(x)dx сходится а
и функция g(x) неотрицательна, монотонна и ограничена свер-4-00
ху на промежутке [а, +оо). Тогда интеграл I = J f(x)g(x)dx а
сходится.
4-оо
► Поскольку интеграл J f(x) dx сходится, в силу критерия Kott
ши имеем: для всякого ег > О существует В = B(eJ такое, что для всех Ар А2, А2 > Аг > В справедливо неравенство
А
J f{x)dx
Al
<еР
Далее, по второй теореме о среднем, существует такое число А3, Ах < А3 < А2, что
J /(х) g{x) dx = giAJ f ftx) dx + g(A2) J f(x) dx.
Ai	Ai	A3
Положим M = sup g(x). Но так как
x > a
то получим
j’f(x)dx
Ai
<ep
^2
f f(x) dx
^3
<ep
J2f(x)g(x) dx
A
<2Mer
233
Поэтому, взяв ех = e/(2Af), будем иметь, что для любых чисел Аг А2, А2> Ах> В (е/(2ЛГ)) справедливо неравенство
f f(x)g(x)dx
Ai
< е.
Следовательно, по критерию Коши интеграл I сходится. ◄
ПРИМЕРЫ. 1. Согласно признаку Дирихле при а > 0 сходится интег-4-оо .	А
рал J —— dx, так как для любого А > 1 функция F(A) = J sin х dx i х	1
ограничена, а при а > 0 и при х —> +°о функция х-01, монотонно убывая, стремится к нулю.
2. Пусть f(x) — многочлен степени большей, чем 1. Тогда схо-4-оо
дится интеграл J sin Дх) dx. о
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент многочлена Дх) положителен. Тогда, начиная с некоторого А > 0, производная его f'(x) будет положительна и монотонно возрастать к плюс бесконечности. Достаточно доказать, 4-оо
что сходится интеграл J sin Дх) dx. Для любого В > А в интегра в	А
ле J sin Дх) dx сделаем замену переменной интегрирования у = Дх), А
х = Л1 (у)- Получим интеграл
sin у
dy.
По второй теореме о среднем он ограничен величиной 2/Д(А) и при А —> +°о будет стремиться к нулю, а это и доказывает сходимость исходного интеграла.
Лекция 11
8 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Определение 4. Пусты
1)	функция f(x) задана на промежутке [а, Ъ) и не ограничена на нем;
2)	для любого а, а < а < &, функция f(x) ограничена и интегрируема на отрезке [а, а]; а
3)	существует предел I = lim J /(х) dx. а
Тогда этот предел I называется несобственным интегралом второго рода от функции f(x) на отрезке [а, &]. При этом для предела I используется обозначение
ь
I = ]f(x)dx. а
Замечания. 1. Точка Ь называется особой точкой интеграла I,
2.	Если предел / е R существует, то говорят, что несобственный ин-ъ
теграл J f(x) dx сходится, в противном случае говорят, что этот интеграл а
расходится. ъ
3.	Если особой точкой интеграла J f(x)dx является нижний предел а
интегрирования, то несобственный интеграл второго рода определяется аналогично.
4.	Если особая точка с лежит внутри отрезка [а, Ь], то несобст-ъ
венный интеграл J f(x) dx определяется как сумма двух несобственных а
интегралов: ь	ь	ь
J f(x) dx = f f(x) dx + J f(x) dx. a	a	c
ПРИМЕР. Справедливы следующие равенства:
г dx .. f dx J — = lim I — 5 xa a-»0+ i xa
lim „ 1 (1 - a1 ~ a), если a 1, a->o+ 1 - a
lim (-In a),	если a = 1.
i
Отсюда следует, что интеграл J о
1
& и расходится при a > 1.
— сходится при a < 1, равен
Рассмотрим основные свойства несобственного интеграла вто-ь
рого рода на примере интеграла J f(x) dx с единственной особой а
235
точкой b. Эти свойства аналогичны свойствам несобственных ин
тегралов первого рода.
1°. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода.	ь
Для сходимости интеграла J f(x)dx необходимо и достаточно, а
чтобы имело место условие Коши: для всякого 8 > 0 найдется число 8 = 8(8) > 0 такое, что при любых <хр а2 с условиями ар а2 е (Ь - 8, Ь) выполняется неравенство
f f(x)dx
а1
< 8.
2°. Общий признак сравнения.
Пусть для всех х е [а, Ъ) справедливо неравенство |/(х)| < g(x) ъ
и несобственный интеграл \g(x)dx сходится. Тогда сходится ИН-fl
Ь
теграл J f(x)dx. а	ь
3°. Несобственный интеграл второго рода J f(x)dx называем
ь
ется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J |Дх)| dx, и условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно, т. е. ь
интеграл J |Дх)| dx расходится, а
Можно сформулировать признаки, аналогичные признакам Абеля и Дирихле для интегралов первого рода.
И наконец, любой интеграл с бесконечными пределами интегрирования (или одним бесконечным пределом интегрирования) и конечным числом особых точек можно рассматривать как сумму несобственных интегралов, каждый из которых имеет одну особую точку, являющуюся границей отрезка интегрирования (точки +оо и -оо также можно считать особыми), т. е. исследование любого несобственного интеграла сводится к несобственным
интегралам первого и второго рода.
§ 5.	ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕСОБСТВЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
ТЕОРЕМА 5. Пусть производная <р'(0 непрерывна на отрезке [а, Р] и отлична от нуля на интервале (а, Р), и пусть функция f(x) непрерывна на интервале (ф(а), <р(Р)). Тогда имеет место формула
* * и ф(Р)	р
f Дх) dx = f ft<p(f)) <р'(*) dt
<р(а)	а
как для собственных, так и для несобственных интегралов.
236

► Пусть сначала точки аир являются конечными. Тогда особыми точками функций f(x) и /(<р(^)) могут быть концы соответствующих отрезков. В силу монотонности функции х = ф(0 каждое значение х принимается лишь один раз, когда переменная t изменяется на интервале (а, Р). Тогда для любых 8Х > 0 и е2 > 0 по теореме о замене переменной для собственного интеграла имеем
ф(Р - е2)	0 - е2
/ f(x)dx= f Дф(О) ф'(0
ф(а + Ej)	а + £j
Переходя к пределу в этом равенстве при 0 и s2 -> 0, получим искомую формулу.
Если же аир — бесконечны, то, взяв ар Рх g R и используя вновь теорему о замене переменной для собственного интеграла, получаем
Ф(Р1)	Pi
J f(x) dx = f /(ф(0) Ф'(0 dt.
фС«1)	ai
Отсюда, переходя к пределу при ах -оо и рх -> +°о, получаем искомое равенство. ◄
ТЕОРЕМА 6. Пусты
1) функции f'(x) и g'(x) — непрерывны на промежутке (а, +°°); 2) сходится хотя бы один из несобственных интегралов
f f(x) g'(x) dx и J f'(x) g(x) dx; a	a
3) существует предел	f(x) g(x), а в случае если a —
особая точка, то существует предел l2 = lun f(x)g(x).
Тогда существуют оба интеграла и имеет место равенство
4-оо	4-оо
J Дх) g'(x) dx = f(x) g(x)|+°° - J f'(x) g(x) dx. a	a
► Рассмотрим собственные интегралы на отрезке [a + £, &]. По теореме об интегрировании по частям в собственном интеграле имеем
ь	ь
J f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)\ba+s- f f'(x)g(x)dx. а + е	а + е
Устремив в этом равенстве е к нулю, а Ь — к плюс бесконечности, получим искомую формулу. ◄
Иногда полезными оказываются следующие специальные определения несобственного интеграла.
237
4-А
Определение 5. Вещественное число I — lim J f(x)dx называ-
А->+0° -А +ОО ется главным значением (по Коши) интеграла j f(x) dx и обо-
значается так:
4-оо I = v.p. J f(x) dx. —оо
Определение 6. Если с — особая точка несобственного интеграла второго рода от функции f(x) исе (а, Ь)9 то главное значение интеграла определяется так:
,с - 8	Ь
*1= lim ( J ftx)dx + f f(x)dx].
б->0 V а	с 4-8	/
ГЛАВА 10
Длина дуги кривой
Лекция 12
$ 1. КРИВЫЕ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Кривой L в пространстве Rm (пространственной кривой в т-мерном пространстве) называется множество точек М a Rm, состоящее из всех значений (фх(0, ••• > Фт(0) нс-которой вектор-функции хх = фх(0, ... , хт = фт(£), причем функции фх(^), ... , Фт(0 заданы на некотором промежутке I cR и непрерывны в каждой его точке.
Под промежутком мы понимаем либо конечные отрезки, интервалы и полуинтервалы, либо бесконечные интервалы и полуинтервалы.
Для простоты в дальнейшем будем рассматривать случаи I = [а, &]. Напомним, что в концах отрезка непрерывность понимается как односторонняя непрерывность.
Определение2. Точка с = (cv ..., ст) е L называется кратной точкой кривой L, если имеются по крайней мере две различные точки * t2 промежутка I такие, что ф1(^1) = ФхС^г) = =	...,	= <pTO(t2) = ст.
Точки кривой, не являющиеся кратными, называются простыми точками кривой.
Кривая L, имеющая только конечное число кратных точек, называется параметризуемой кривой.
Кривая L, не имеющая кратных точек, за исключением, быть может, концевых точек промежутка I, называется простой кривой.
Если только в концевых точках tr и t2 отрезка I значения функций фх(0> •••» Фт(0 совпадают, то простая кривая называется простой замкнутой кривой.
ЛЕММА 1. Всякую параметризуемую кривую можно представить в виде объединения конечного числа простых кривых.
Для доказательства достаточно отрезок I разбить на конечное число отрезков с концами в кратных точках исходной кривой.
239
Определение 3. Функция f(t), непрерывная на отрезке [а, &], называется кусочно-линейной [а, &], если для любого значения t е [а, &], за исключением конечного их числа: t19 ..., tn_19 имеем: f'(t) равна постоянному значению на каждом отрезке [£fe, tk + J, k = 0, ... , п. Это означает также, что на любом отрезке [Zfe, ZA+1] имеет вид f(t) = akt + bk (здесь tQ = a, tn = Ь).
Определение 4. Простая кривая L называется ломаной линией, если <рх(0» ••• > являются кусочно-линейными функциями.
Очевидно, что каждая ломаная состоит из отдельных отрезков, которые называются ее звеньями, а концы этих отрезков — точки Ар ... , Ап, называются ее узлами. Точки tQ, ... , tn, которым соответствуют эти узлы, образуют разбиение отрезка [а, &].
Рассмотрим одно звено ломаной с начальной точкой Аг (хх, ... , хт) и конечной точкой А2 (у19 ... , ут). По теореме Пифагора его длина |Z| равна величине
И = J(yi-X!)2 + ...+(ym-Xm)2 .
Если же точки Д) (хь 0, ..., хт , 0),..., Ап (хъ	хт „) являются
последовательными узлами ломаной I, то длина этой ломаной обозначается символом |Z| и, очевидно, она равна
п -----------------------------------
И = J(Xl,k ~Х1,\-1)2 + •” + (Xm,k	‘
Определение 5. Ломаная I, соответствующая разбиению Т отрезка [а, 6], называется вписанной в кривую L, задаваемую уравнениями хг = фх(0» ••• , хт = <pm(t), t е [а, &], если начальная точка звена совпадает с концом предыдущего и узлы ломаной I лежат на кривой L. При этом узлам ломаной и соответствующим точкам кривой отвечают одни и те же значения параметра.
Определение 6. Простая кривая L называется спрямляемой, если длины |Z| всех ломаных I, вписанных в кривую L, образуют ограниченное сверху множество.
Определение 7. Длиной \L| спрямляемой кривой L называется число, равное точной верхней грани длин всех ломаных, вписанных в данную кривую.
Замечания. 1. Очевидно, что если мы хотим правильно определить понятие длины кривой, то мы должны требовать, чтобы вписанная ломаная была короче самой кривой. В данном случае это так, поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками, как известно, достигается на отрезке прямой, проходящей через эти точки.
2. Бывают неспрямляемые кривые, но они задаются очень сложно, и поэтому примеры таких кривых мы приводить не будем.
240
§ 2. ТЕОРЕМА О ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции фДО, ••• * Фш(0» задающие простую кривую L, имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Тогда кривая L — спрямляема и ее длина |L| выражается формулой
ь __________________________
|l| = J 7(ф'1(о)2 + -+ (<p;(o)2 dt. а
► Покажем сначала, что длина любой ломаной не превосходит величины
ь ___________________________
А= J V^t))2 +... + (q>;(t))2dt. а
Пусть узлы ломаной I соответствуют точкам tQ, t19 ... , tn разбиения Т отрезка [а, &]: а =	< ... < tn = b. Тогда имеем
И = ,51	- I»2 + - +	- I»2 =
= J	+ ... + J <p'm(t)dt
Далее, в силу неравенства (см. гл. 8, § 6, теорема 16)
jfittydt + ... + jfm(t)dt < j Jfl(t) + ... + /2 (t) dt
«	7
получаем
И < t j’ 7((pi(o)2 +... + (ф;(о)2^=а.
Таким образом доказано, что A — верхняя грань длин всех ломаных Z, вписанных в кривую L, т. е. кривая L является спрямляемой.
Покажем, что А — точная верхняя грань длин таких ломаных, т. е. длина кривой L равна А.
Поскольку функции ч4(0, А = 1, ... , т, непрерывны на отрезке [а, Ь], по теореме Гейне—Кантора они являются равномерно непрерывными на этом отрезке.
Следовательно, при всех k = 1, ... , т для всякого е > О существует число 8 = 8(e) > 0 такое, что для всех f, t" е [а, &]: \t' - t"\ <8 выполняется неравенство
1<Р*(#Э - ф'*(*")| <	= е1-
*jm{b а)
241
Возьмем любое разбиение Т отрезка [а, Ь] с диаметром Дт < 8, Т: а = tG < tr ... < tn = Ь9 и пусть ломаная I соответствует этому разбиению Т.
Оценим теперь сверху разность А - |Z| >0. Имеем
А - |Z| = J VCcp'iCO)2 + ... 4- dt -а
п I иг
- л ~	=
П /в | / ТП ~ I тп гДф*(*„1Н2 1 .
Гв-1\	I	V	8-1	'	)
где Д <р* (Zg-i) = <pft (*8) - Фк (<8-i), Д *8-i = ts - te_v
Далее применим неравенство треугольника в следующем виде. Пусть заданы вершины О (0, ..., 0), А (ар ..., am)9 B(bv ..., Ьт) треугольника ОАВ. Тогда имеет место неравенство треугольника (неравенство Минковского при р = 2):
I / zn ~	/ тп ~I / т	~
Ш ? % - №. л21 *=	
Следовательно, получаем
I.	л. Л	i) \2
А - и с,?., ул (”«'’ --ХСГ-)
Л е8 I ТП	л	f8 Г~~
= ,?i I 7Л?1(<Р*(*)_	f ex7mdf =
= 6j Jm (b - a) = e,
где T|A, s — некоторая точка отрезка [£8_р tj. «
СЛЕДСТВИЕ. Пусть s = s(u) — длина дуги кривой L, задаваемой уравнениями хх = хг(<), ... , хт = xm(t), а < t < и. Тогда для дифференциала длины дуги кривой ds справедлива формула
(ds)2 = (dXj)2 + ... + (dxm)2.
► Из теоремы о длине дуги кривой имеем
s(u) = J7(х'1(О)2 + — + (X'n(t))2 dt. а
Дифференцируя это выражение, найдем
ds(u) = 7(«i(u))2 + ... +(x'2(u))2 du, или
ds = 7(dxx)2 + ... +(dxm)2 . ◄
242
Таким образом, квадрат дифференциала длины дуги плоской кривой (т = 2) в полярных координатах (г, <р) равен
ds2 = dr2 + г?</ф2, где координаты г и ф определяются по формулам х — rcos ф, у = г sin ф, г > 0, 0 < ф < 2л. Действительно, dx = cos ф</г - г sin qx/ф, dy = sin фйг + г cos ф</ф. Следовательно, получаем
ds2 = dx2 + dy2 = dr2 + т^скр2.
В частности, если уравнение эллипса задано в параметрической форме
г = г(ф) = (a cos ф, b sin ф), а > b > О, и угол ф между осью Ох и радиусом-вектором г изменяется от нуля до 2л, то для дифференциала длины дуги эллипса имеем ds = 7а28ш2ф + &2соз2ф dtp.
ПРИМЕР. Найти длину дуги кривой (циклоиды)
J х = R (t - sin t), [у = R (1 - cos t), где 0 < t < 2л. Имеем: ds2 = dx2 + dy2, ds2 = 4R2 sin2 ^(dt)2, вл
ds = 2R sin 5 dt. Следовательно,
s = s(0) = 4Я(1 - cos 0/2). Эта кривая задает траекторию движения точки на ободе катящегося колеса радиуса R.
ГЛАВА 11
Мера Жордана
Лекция 13
§ 1.	ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОБЪЕМ ТЕЛА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА
О площади плоской фигуры уже говорилось, когда вводилось понятие определенного интеграла как площади криволинейной трапеции. Причем, давая точное определение этого понятия, мы исходили из основных свойств площади фигуры, справедливых для площадей простейших фигур, например таких, которые являются объединением конечного числа прямоугольников и треугольников.
Сформулируем эти свойства. Обозначим через ц(Р) площадь фигуры Р.
1°. Для каждой фигуры Р, имеющей площадь, функция ц(Р) неотрицательна и однозначно определена.
2°. Площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна единице.
3°. Функция ц(Р) является аддитивной, т. е. если фигура Р разбита на две непересекающиеся фигуры Рг и Р2, Р = Рх U Р2, Pi А Р2 = 0, то
р(Р) = р(Р1) + р(Р2).
4°. Функция ц(Р) является инвариантной относительно всех движений плоскости.
Другими словами, если фигуры Рх и Р2 можно наложить одну на другую так, чтобы все их точки совпали, т. е. Рг и. Р2 можно совместить при помощи поворота плоскости вокруг некоторой неподвижной точки или параллельного переноса плоскости, то цСР^^цСР,).
5°. Функция ц(Р) является монотонной, т. е. если Рх с Р2, то [ДР^ < ц(Р2).
Эти свойства имеют место не только для площадей простых фигур, но и для объемов простых тел, а также для суммарных длин простейших множеств на прямой, т. е. множеств, составленных из конечного числа промежутков и отдельных точек.
244
В дальнейшем простейшей будем называть фигуру, являющуюся объединением конечного числа прямоугольников, стороны которых параллельны осям координат. Такие прямоугольники будем называть стандартными прямоугольниками.
Стандартный прямоугольник может включать в себя любое подмножество точек, лежащих на его сторонах. Как известно, каждый стандартный прямоугольник имеет площадь, равную произведению длин его смежных сторон.
При определении площади фигуры в общем случае, как и в случае криволинейной трапеции, можно действовать по аналогии с критерием Римана существования определенного интеграла.
Для этого естественно для плоской ограниченной фигуры Р ввести понятие верхней площади фигуры (по аналогии с верхней суммой Дарбу) как точной нижней грани площадей ц(Рх) всех простейших плоских фигур Рр описанных вокруг Р, т. е. Р с^Рг; а также нижнюю площадь этой фигуры как верхней грани площадей ц(Р2) всех простейших фигур Р2, вписанных в Р, т. е. Р2 с Р.
Обозначение: Ц*(Р) — верхняя площадь, Ц*(Р) — нижняя площадь.
Заметим, что для простейшей фигуры Р мр)=ц(р)=т.
Если для фигуры Р справедливо равенство р*(Р) = Ц*(Р), то эта величина называется площадью фигуры Р и обозначается через ц(Р). Точно так же обстоит дело и с объемом трехмерных фигур, т. е. аналогично определяются верхний и нижний объемы трехмерной фигуры. Для них используют те же обозначения: ц*(Р), ц*(Р) и ц(Р), где, по определению, для измеримой фигуры Р полагают ц(Р) = Ц*(Р) = Ц*(Р).
Введенное понятие площади фигуры называется мерой Жордана, а сами фигуры, которым с помощью этого определения приписывается значение площади (или объема в трехмерном пространстве) — квадрируемыми (или кубируемыми в случае объема) или измеримыми по Жордану. Для таких фигур вычисление площади (или объема) сводится к вычислению определенного интеграла Римана.
ПРИМЕРЫ. 1. Плоская мера Жордана отрезка I, параллельного одной из осей координат, равна нулю. Этот отрезок содержится внутри прямоугольника, одна из сторон которого имеет длину, равную нулю.
2.	Любой отрезок I имеет нулевую меру Жордана, так как этот отрезок можно поместить в простейшую фигуру сколь угодно малой площади.
245
3.	Пусть Р — простейшая фигура. Тогда мера Жордана ее границы ЭР равна нулю. Границей Р служат стороны прямоугольников, составляющих фигуру Р. Их конечное число, и каждый можно поместить в прямоугольник, одна сторона которого имеет длину, равную нулю.
4.	Объединение, пересечение и разность простейших фигур является простейшей фигурой.
Действительно, пересечение двух стандартных прямоугольников — стандартный прямоугольник. Поэтому для фигур А = U Pk и В = U Qt, состоящих из стандартных прямоугольников РЛ, Qz, их пересечение А П В = JJ* (Pk П Qz) — простейшей фигурой. Разность двух стандартных прямоугольников — простейшая фигура. Покажем, что разность А \ В двух простейших множеств А и В является простейшим множеством. Пусть Р — прямоугольник, содержащий A U В, тогда А \ В = А П (Р \ В).
§ 2. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА ПО ЖОРДАНУ
Как и в случае интеграла Римана, можно сформулировать критерий квадрируемости фигуры, аналогичный критерию Римана с омега-суммами (по форме он напоминает критерий Лебега). Для этого введем понятие границы ЭР фигуры Р, которое, в свою очередь, использует следующие понятия.
1.	Пусть 8 > 0. Тогда 8-окрестностью точки xQ на плоскости назовем множество точек х, лежащих внутри круга радиуса 8 с центром в точке х0.
2.	Точка х0 называется внутренней точкой множества Р, если найдется 8-окрестность Е(х0, 8) точки х0, целиком принадлежащая Р, т. е. Е(х0, 8) а Р.
3.	Точка xt называется внешней точкой множества Р, если существует окрестность Е(х19 8) такая, что Е(хг, 8)(УР = 0.
4.	Если точка х не является ни внутренней, ни внешней точкой множества Р, то она называется граничной точкой множества Р.
5.	Множество всех граничных точек фигуры Р называется его границей и обозначается через ЭР. Назовем фигуру Р замкнутой, если ЭР с: Р, и открытой, если ЭР П Р = 0. Множество ЭР U Р обозначается символом р и называется замыканием Р.
ТЕОРЕМА (критерий квадрируемости фигуры). Фигура Р квадрируема тогда и только тогда, когда мера ее границы равна нулю, т. е. ц(ЭР) = 0.
246
► Необходимость. Надо доказать, что если Р — квадрируемая фигура, то ц(ЭР) =т 0. Для этого достаточно при любом е > 0 указать простейшую фигуру Н такую, что ЭР с Н и ц(Н) < е.
Поскольку фигура Р — квадрируема, существует величина ц(Р) = ц*(Р) = р*(Р). Следовательно, для всякого ех > 0 найдутся открытая простейшая фигура Рг и замкнутая простейшая фигура Р2 такие, что Р2 с Р с Рх и, кроме того, справедливы неравенства
ц(Р) = р*(Р)<Ц(Р1)<М(Р) + е1, р(Р)-е1<ц(Р2)<ц(Р) = МР).
Рассмотрим фигуру Р3 = Рх \ Р2. Она является простейшей. Пусть Н == Р3. Тогда вне этой фигуры Н содержатся только внешние или внутренние точки фигуры Р. Поэтому ЭР с: Н. Далее, имеем Pr = Р2 U Р3, Р2 П Р3 = 0, следовательно, ц(Рх) = ц(Р2) + + ц(Р3), откуда
ц(Р3) = ^(Pi) - ц(Р2) < ц(Р) + ех - ц(Р) + ех = 2ег
Заметим, что ц(Р3) = ц(Р3), так как граница простейшей фигуры имеет нулевую меру.
Возьмем ег = е/2; получаем, что ц(И) < е, ЭР с Н9 следовательно, ц(ЭР) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Дано, что граница ЭР фигуры Р имеет нулевую меру. Надо доказать, что фигура Р измерима по Жордану, т. е. имеет место равенство Ц*(Р) = ц*(Р).
Для этого потребуется следующая лемма, полезная и сама по себе.
ЛЕММА 1 (о связности отрезка на плоскости). Пусть на плоскости заданы отрезок I с концами Аг и А2 и некоторое множество М, причем Аг е М, А2 <£ М. Тогда существует точка Aq е I такая, что Aq е дМ.
► Докажем эту лемму. Для каждой точки а е I рассмотрим функцию р(а), равную расстоянию от нее до точки Очевидно, что для любой точки а е I справедливо неравенство р(а) < \1\. Пусть В = IП М. Тогда множество В непусто, так как точка Аг принадлежит и отрезку Z, и множеству М. Пусть, далее, р0 = sup р(А).
Ае В
Рассмотрим точку (Xq, лежащую на расстоянии р0 от точки Любая точка а, удаленная от точки на расстояние р(а) > р0,,не принадлежит как В, так и М, поэтому а0 не может быть внутренней точкой множества М. С другой стороны, в любой окрестнос-
247
ти точки а0 на отрезке I найдется точка, принадлежащая В cz М. Поэтому точка а0 не является внешней точкой множества Af, следовательно, а0 е ЭМ. Лемма доказана.
Итак, пусть ц(ЭР) = 0. Это значит, что для любого е > 0 существует открытая простейшая фигура Р3 такая, что ЭР cz Р3, ц(Р3) < е. Граница ее ЭР3 состоит из конечного числа отрезков, параллельных осям координат. Заключим эти фигуры Р и Р3 в квадрат К со сторонами, параллельными осям координат. Далее, продолжим отрезки границы ЭР3, параллельные оси Ох, до пересечения со сторонами квадрата К. Тогда квадрат К и фигура Р3 разобьются на отдельные стандартные прямоугольники. Пусть это прямоугольники h19 ..., hm (каждый из них будем рассматривать без границы). Тогда прямоугольники Л8, s = 1, ..., тп, либо целиком принадлежат Р3, либо h8 А Р3 = 0.
Покажем, что если прямоугольник h8 не является подмножеством Р3, но имеет хотя бы одну общую точку с фигурой Р, то h8 а. Р. Действительно, если в этом прямоугольнике xr g Р, х2 g Р, то некоторые точки отрезка I, соединяющего эти точки (а он тоже целиком принадлежит прямоугольнику Л3), принадлежат Р, а некоторые точки не принадлежат Р. По лемме отрезок I содержит точку х0 g ЭР, т. е. точка х0 g hs9 х0 g ЭР с: Р3, а это значит, что hs cz Р3, что противоречит условию, что прямоугольник hs не является подмножеством Р3.
Таким образом, если hs П Р ё 0, то прямоугольник h8 целиком лежит в Р. Объединим все такие прямоугольники h8 во множество Р2. Очевидно, что Р2 с: Р.
Рассмотрим еще простейшую фигуру Рх = P2UP3. Докажем, что Р a. Pv Действительно, фигура Р, как и всякая фигура, состоит из внутренних точек, образующих множество Р \ ЭР, и некоторого подмножества Г cz ЭР, — множества своих граничных точек. Достаточно показать, что ЭР с Р19 Р \ ЭР с Pv
Включение ЭР с Рх следует из того, что ЭР с Р3 с Pv А всякая внутренняя точка множества Р по построению принадлежит: 1) либо Р3; 2) либо некоторому открытому прямоугольнику Л8; 3) либо его границе dh8. Но тогда в первом случае точка х g Р3 cz Р19 и, следовательно, она принадлежит Рх; во втором случае х g hs9 х g Р, а это значит, что h8 cz Р2 (по способу построения множества Р2), т. е. х g h8 cz Р2 cz Рх; в третьем случае имеем, что внутренняя точка множества Р лежит на границе открытого прямоуголь-248
ника hs. Но тогда некоторая е-окрестность этой точки целиком состоит из точек множества Р и в то же время в ней содержатся точки из прямоугольника hs. Тогда hs а. Р2, откуда dhs а Р2, поэтому х € ЭЛ8 cz Р2 с: Р. Отсюда имеем: Р cz Pv Далее имеем: Р2 А Р3 = 0, кроме того, Рр Р2 и Р3 — простейшие фигуры, поэтому
|Л(РХ) = р.(Р2) + ц(Р3) < ц(Р2) + е, следовательно,
ц(Р2) < щ(Р) < ц*(Р) < Ц(Р1) < Ц(Р2) + е-
Таким образом, получаем
О < ц*(Р) - щ(Р) < ц(Р2) + е - ц(Р2) = е.
Но так как е > 0 — произвольно, то, следовательно, р*(Р) = Ц*(Р),
т. е. фигура Р измерима по Жордану. <
Лекция 14
$ 3. СВОЙСТВА МЕРЫ ЖОРДАНА
Проверим, что неотрицательная функция ц(Р), определенная для измеримых фигур на плоскости, обладает свойствами монотонности, инвариантности относительно движений плоскости и аддитивности, имеющих место для простейших фигур.
Во-первых, покажем, что множество измеримых фигур замкнуто относительно теоретико-множественных операций: объединения, пересечения и разности множеств. Другими словами, если фигуры Рг и Р2 измеримы, то измеримыми по Жордану являются фигуры Рх U Р2, ?i П Р2, Pi \ Р2»
Докажем сначала измеримость объединения двух множеств. В силу критерия измеримости множества по Жордану достаточно показать, что U Р2)) = 0. Докажем, что
Э(РХ U Р2) с дРг U ЭР2.
Возьмем любое х е 9(Pt U Р2). Предположим, что х £ ЭРр х <£ дР2. Тогда точка х является либо внутренней точкой Р19 либо внутренней точкой Р2, либо внешней точкой и Рр и Р2. Отсюда следует, что точка х по отношению ко множеству Pr U Р2 является либо внутренней, либо внешней точкой. Но это противоречит тому факту, что точка х принадлежит границе множества Рх U Р2. Следовательно, граница объединения двух множеств является подмножеством объединения границ этих множеств.
Поместим измеримые множества Pt и Р2 в стандартный квадрат К. Тогда множества К \ Рг и К \ Р2 являются измеримыми по Жордану, так как их граница содержится в объединении границ множеств К9 Рг и Р2. Отсюда следует измеримость множеств
Pi\P29 P1AP2 = ^\(^\P1)U(^\P2).
Рассмотрим теперь свойства монотонности функции ц(Р). Если Pi а Р2, то всякая простейшая фигура, описанная вокруг Р2, содержит и Рр поэтому рЧ?!) < p*(P2)’ Но так как фигуры Рх и Р2 измеримы, то
ц(Р1) = ц*(Р1)<ц*(Р2) = И(Р2).
Это и означает, что функция ц(Р) является монотонной.
Инвариантность меры Жордана относительно параллельных переносов следует из того, что при параллельном переносе площадь простейшей фигуры не меняется, поэтому при сдвигах плоскости не меняется значение величин р*(Р) и ц*(Р).
250
Далее, по теореме Шаля все движения плоскости сводятся к симметриям, сдвигам и поворотам плоскости относительно некоторой неподвижной точки. Так что для завершения доказательства инвариантности меры Жордана относительно движений плоскости достаточно показать, что она инвариантна относительно поворотов плоскости вокруг некоторой неподвижной точки. Заметим, что при повороте плоскости площадь простейшей фигуры не меняется, но она уже перестает быть простейшей.
Итак, пусть задана измеримая по Жордану фигура Р. Тогда существуют простейшие фигуры Рр Р2 такие, что Рх с Р с Р2, причем
Ц(Л) < ЩР) < р(Рх) + е, ц(Р2) - е < |1(Р) < р(Р2),
и Рр Р2 можно представить в виде объединения конечного числа стандартных прямоугольников. При повороте плоскости вокруг неподвижной точки фигуры Р, Рх и Р2 перейдут соответственно в измеримые фигуры Q, Qx и Q2, причем Qx с Q с Q2. Очевидно, достаточно показать, что если стандартный прямоугольник при повороте переходит в прямоугольник П, то его можно заключить в открытую простейшую фигуру Пх и вписать в него замкнутую простейшую фигуру П2 такие, что П2 с П с Щ и разность ц(Пх) -- ц(П2) может быть сделана сколь угодно малой. Для этого обрамляем прямоугольник П прямоугольником По со сторонами, параллельными сторонам П и находящимися от них на достаточно малом расстоянии. Затем вписываем в По простейшую фигуру, которая содержит П. Она и будет искомой фигурой ПР Фигура П2 строится аналогично.
Докажем теперь свойство аддитивности меры Жордана. Заметим сначала, что для простейших фигур справедливо неравенство
g(A U В) < ц(А) + ц(В).
Далее, пусть фигуры Рх и Р2 измеримы по Жордану и пусть Р = Pr U Р2, Рг А Р2 = 0. Тогда по критерию измеримости множества фигура Р измерима, поскольку граница объединения двух множеств содержится в объединении границ самих множеств. Докажем, что имеет место равенство
р(Р) = ц(Р1) + ц(Р2).
В силу измеримости фигур Рг и Р2 для всякого е > 0 найдутся простейшие фигуры Qx и Q2, Rr и R2 такие, что
U(Qi) < H(-Pi) < g(Qi) + е, H(Q2) - е < u(Pi) < h(Q2)> и(7?1) < Ц(-Р2) < н(д1) + Е, |X(-R2) - е <	< Н(Я2)-
251
Кроме того, для простейших фигур Q1nR1c условием Qx П = 0 имеем p(Qx U Rj) = p(Qx) + а также |i(Q2 и ^2) < |XQ2)+ У-(Я2). Поэтому, учитывая теоретико-множественные включения
Q1UB1cP1UP2 = PgQ2UB2, получаем
g(Qi) +11(7?!) = p(Qx U RJ < ц(Р) < p(Q2 U Я2) < p(Q2) + ц(Я2) < < iXQj) + ii^) + 4 е.
Также очевидно, что
Ц(С1) + ц(^1) < Ц(Л) + н(р2) < H(Q1) + Н(Я1) + 2е.
Из последних неравенств найдем
|ц(Р)-ц(Р1)-р(Р2)|<4е.
В силу же произвольности выбора е > 0 имеем р(Р) = р(Р1) + р(Р2).
Это и доказывает свойство аддитивности меры Жордана.
§ 4. ИЗМЕРИМОСТЬ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ
Покажем, что если L — спрямляемая кривая, то ее плоская мера Жордана равна нулю. Значит, в силу критерия измеримости фигуры по Жордану, будет измеримой фигура, ограниченная спрямляемой кривой.
В дальнейшем потребуется следующая лемма о спрямляемых кривых.
ЛЕММА 2. Пусть кривая L задается уравнениями вида х = ср(О, у = у(0, t € [а, &] и является спрямляемой кривой. Тогда длина s(t) части этой кривой, соответствующей отрезку [а, J], где t е [а, Ь] — непрерывная и монотонно возрастающая функция параметра t.
► Возрастание функции s(t) следует из свойства аддитивности длины дуги кривой. Действительно, при < t2 имеем s(t2) — = s(^1) + s0, где s0 — длина дуги кривой, находящейся между точками Аг = (<p(£x), V(^!)) и А2 = (<р(£2),	т* е* величина s0 поло-
жительна. Отсюда имеем: s(t2) > s(^x).
Докажем, что функция s(t) не имеет разрывов. В самом деле, пусть в точке t0 функция s(t) имеет разрыв. Тогда в силу монотонности з(0 точка t0 является точкой разрыва первого рода со скачком h > 0. Значит, для любого отрезка t2], содержащего эту точку t0, длина дуги кривой, отвечающей этому отрезку t2], превосходит h.
Далее, исходная кривая L является спрямляемой, поэтому для всякого числа е > 0 существует вписанная ломаная I такая, что 0 < s(L) - s(l) < е. Эта ломаная порождает неразмеченное разбиение Т : а = tQ < tx < ... < tn = Ь отрезка [а, &], и каждая точка Ak =	W*)) отвечает некоторому узлу ломаной I. Очевидно,
для любого наперед заданного положительного числа 8 можно считать, что Дг < 8. Ясно, что длина lk звена ломаной с номером k удовлетворяет условию
Пусть точка tQ принадлежит некоторому интервалу (tk_19 tk+1). В силу равномерной непрерывности функций ф(£) и \|/(£) на отрезке [а, &] существует положительное число 8 такое, что для всех t', t" с условием - t"\ <8 выполняются неравенства
|ф(Г) - ф(Г)| < I, |ф(t') - y(t")| < | • Следовательно, имеем
lk = 7(Ф(Г) - Ф(П)2 + W') - ф(П)2 < Л/4, lk+l <h/4.
Отсюда и из условия спрямляемости кривой получаем
Л/2 = h — 2Л/4 <	~	~ (lk + ^fe+i) ” s(0 <
Последнее неравенство справедливо при любом е > 0, но при £ = й/2 > 0 оно противоречиво. Следовательно, предположение о разрывности функции s(t) не имеет места. ◄
ТЕОРЕМА 2. Пусть L — спрямляемая кривая. Тогда она имеет плоскую меру Жордана, равную нулю.
► Разделим кривую L на п дуг, длина каждой из которых равна а = s(L)/n. Это возможно, поскольку функция s(t) является монотонной и непрерывной. Тогда k-я дуга кривой L при k = 1, ... , п целиком лежит внутри квадрата со сторонами, параллельными осям координат и равными 2а, и центром в А-й точке деления кривой L. Объединение всех квадратов образует простейшую фигуру Р9 целиком покрывающую L, причем
ц(Р) < п(2а)2 = 4п • =	.
Устремим п к бесконечности. Получаем ц*(Ь) = 0, значит, и p(L) = = 0. ◄
СЛЕДСТВИЕ. Пусть граница фигуры Р является спрямляемой кривой. Тогда Р измерима по Жордану.
► В силу критерия измеримости и предыдущей теоремы получаем измеримость фигуры Р. ◄
253
$ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ И ИЗМЕРИМОСТЬЮ ПО ЖОРДАНУ ЕЕ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Рассмотрим криволинейную трапецию Р, ограниченную кривыми у = Дх), у — 0, х = а, х = Ь. Имеет место следующий критерий интегрируемости функции по Риману.
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x) ограничена и неотрицательна на отрезке \а9 &]. Тогда для интегрируемости функции f(x) по Риману необходимо и достаточно, чтобы криволинейная трапеция Р9 отвечающая кривой у = f(x), была измерима по Жордану.
► Необходимость. Дано, что функция Дх) интегрируема по Риману. Тогда в силу критерия интегрируемости имеем, что для любого е > 0 найдется разбиение отрезка [а, Ь] такое, что S(T) -- з(Т) < е, где S(T), s(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению Т.
Замкнутая простейшая фигура Р19 соответствующая верхней сумме Дарбу S(T), объемлет криволинейную трапецию Р, а замкнутая простейшая фигура Р2, соответствующая нижней сумме Дарбу з(Т), вписана в нее, т. е. имеют место теоретико-множественные включения Р2 сР сРх и отвечающие им неравенства
з(Т) = ц(Р2) < МР) < И*(Р) < И(Р1) - S(T).
Так как справедливо неравенство S(T) - s(T) = pCPJ - ц(Р2) < e, то p*(P) - p*(P) < e. Отсюда в силу произвольности выбора числа е > 0 имеем, что р*(Р) = ц*(Р), т- е- криволинейная трапеция Р измерима по Жордану. Необходимость доказана.
Достаточность. В силу критерия измеримости граница ЭР криволинейной трапеции Р имеет плоскую жорданову меру нуль. Следовательно, плоская мера Жордана ее части: кривой L вида у = Дх), а < х < Ь равна нулю. Поэтому для всякого е > 0 существует простейшая фигура Q такая, что L с Q, p(Q) < е. Продолжим вертикальные отрезки сторон стандартных прямоугольников, составляющих фигуру Q, до пересечения с осью Ох. Эти точки пересечения дадут разбиение Т отрезка [а, &]. Обозначим через Qt простейшую фигуру, лежащую под фигурой Q в области у > 0, а через Q2 обозначим фигуру Q U Qv Тогда имеем
Qi <= Р cz Q2, p(Q2) - pCQi) = p(Q) < e.
Заметим, что фигуре Qx соответствует нижняя сумма Дарбу, а фигуре Q2 — верхняя сумма Дарбу. Следовательно, S(T) - s(T) < е, т. е.
inf (S(T) - s(T)) = О,
254
значит, по критерию интегрируемости функция Дх) является интегрируемой. ◄
ПРИМЕРЫ. 1. Соображения, использованные при доказательстве первой части предыдущей теоремы, показывают, что площадь криволинейной трапеции
Р : у - Дх) > 0, у = 0, х = а9 х - &, равна
ц(Р)= jf(x)dx. а
2. Площадь криволинейного сектора Р, граница которого задана в полярных координатах уравнениями г — Дф), ф = а, ф = 0, определяется по формуле
1 ₽ И(Р) - 5 J ^ФМФ-
а
Доказательство этой формулы опирается на свойство монотонности меры Жордана. Разобьем отрезок [а, р] на п равных частей точками а = ф0 < фх < ... < фл = р. Кривая г = Дф) точками АЛ(гЛ, фА), = ДфЛ), разбивается на п дуг, а сектор Р — на п малых секторов Pk. Пусть
/* = min Лф), Fk = max Дф). Фе(ф*~1» Ф*]	фе[ф*_1,Ф*]
Тогда площадь ft-го криволинейного сектора содержит круговой сектор радиуса fk и находится внутри сектора радиуса Fk. Используя формулу площади кругового сектора и свойство монотонности пЛощади, имеем
| /*Аф* < iW < | **ДФ*» дФл = Ф*+1 ~ Фь-
Отсюда получаем 1 п	1 п
*п = I Л 42дф*< н(Р) < I =<8„.
Суммы sn и Sn являются нижними и верхними суммами Дарбу для интеграла
1 р 1=И/2(фМф-
Л а
Поскольку функция Дф) — непрерывна, /2(ф) непрерывна и интегрируема, при п -» оо имеем sn —> Z, Sn —> Z. Отсюда получаем |i(P) = Z. Утверждение доказано.
Аналогично можно вычислять и объемы различных фигур, вписывая в них и описывая вокруг них простейшие фигуры, за-
255
висящие от некоторого параметра п, и устремляя затем его к бесконечности. Подобным образом находил площади и объемы еще Ацхимед, т. е. мы применили метод исчерпывания, принадлежащий Архимеду.
Итак, понятие измеримости по Жордану позволяет значительно расширить класс фигур Р на плоскости и в пространстве, которым можно приписать значение площади или объема ц(Р). Однако легко можно привести пример плоского множества Р, не измеримого по Жордану. Рассмотрим, например, функцию Дирихле %(х) на отрезке [0, 1]:
_ J 1, если х — рациональное число, лхх) [0, если х — иррациональное число.
Пусть Р — криволинейная трапеция, соответствующая этой функции, т. е. множество точек (х, у) на плоскости хОу9 определяемое для всякого х, принадлежащего отрезку [0, 1], условиями 0 < у < %(х).
Очевидно, что любая простая фигура, содержащая Р, должна содержать единичный квадрат, и поэтому верхняя мера ее р*(Р) равна единице. Но в то же время простые фигуры, вписанные в Р, могут, очевидно, состоять только из конечного числа отрезков, и они имеют поэтому нулевую площадь, следовательно, нижняя мера фигуры Р равна нулю. Значит, фигура Р неизмерима по Жордану. Здравый смысл показывает, что фигуре Р, тем не менее, разумно приписать меру нуль, по следующей причине.
Как известно, рациональные точки отрезка можно занумеровать, поэтому фигура Р состоит из счетного числа отрезков. Возьмем любое е > 0 и накроем первый отрезок прямоугольником, площадь которого равна е/2, второй отрезок — прямоугольником площадью е/22 и т. д. Тогда вся фигура покроется счетным количеством стандартных прямоугольников, а их общая площадь не превышает величины
е/2 + е/22 + е/23 + ... = е.
Так как фигура Р накрыта прямоугольниками, общая площадь которых не превышает е, то естественно считать, что и площадь фигуры Р тоже не превосходит е, а это может быть только в том случае, если она равна нулю.
Тем самым теперь можно определить понятие площади даже для фигур, которые неизмеримы по Жордану. Развивая этот подход, приходим к понятию меры Лебега, которое можно построить для пространства любой фиксированной размерности, в том числе и для прямой R.
ГЛАВА 12
Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стильтьеса
Лекция 15
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА
Рассмотрим случай плоской меры Лебега.
Определение 1. Пусть ограниченная плоская фигура Р покрыта конечным или счетным множеством стандартных открытых прямоугольников hn, п = 1, ... . Совокупность Н = {hn} всех этих прямоугольников назовем покрытием плоского множества Р (или фигуры Р). Величину
назовем мерой покрытия Н. Открытую простейшую фигуру Н будем называть простейшим множеством.
Заметим, что величина ця всегда неотрицательна.
Определение 2. Число ц*(Р) = inf ця, где инфимум берется по всем возможным покрытиям простейшими множествами фигуры Р9 называется верхней мерой Лебега фигуры Р.
Очевидно, имеем 0 < ц*(Р) < +°°, поскольку в силу ограниченности фигуры Р найдется стандартный квадрат К со стороной I такой, что Р cz К. Отсюда получаем, что ц*(Р) < I2.
Определение 3. Пусть СР = К \ Р, где К — стандартный квадрат, покрывающий фигуру Р. Нижней мерой Лебега плоского множества Р назовем число
МР) = ц(^)-ц*(СР).
Определение 4. Плоское множество Р называется измеримым по Лебегу, если
ц*(Р) = МР) = ц(РЬ
а число ц(Р) называется плоской мерой Лебега.
Докажем следующий критерий измеримости множества по Лебегу.
9-4953
257
ТЕОРЕМА 1. Пусть А — ограниченное множество. Тогда для измеримости по Лебегу множества А необходимо и достаток’ но9 чтобы выполнялось следующее условие*, для всякого е > О существует простейшее множество В = В(ё) такое, что справедливо неравенство
ц*(АДВ) < е.
Это значит, что любое измеримое по Лебегу множество с любой степенью точности может быть аппроксимировано простейшими множествами.
► Необходимость. В силу ограниченности множества А существует стандартный квадрат К, покрывающий А, т. е. А с К. Дано, что множество А — измеримо, следовательно, Ц*(А) = Ц*(А), т. е. Р*(А) + и*(^\А) = и(ЛГ).
Из определения верхней меры Лебега имеем, что для любого е > 0 существует последовательность открытых стандартных прямоугольников {Сл}, покрывающая множество А, т. е. А с С = д U х Сп, и такая, что
p*(A)< J1g(C„)<p*(A) + e/2.
Аналогично, найдется последовательность стандартных прямоугольников {Dn} такая, что
К \ А с пи х Dn = D,Y(K \ А) < J1 рЦ)„) < J1U \ А) + е/2.
Отметим, что множества С и D образуют покрытие квадрата К. Так как ряд Ъ ц(С„) сходится, то существует номер k = fe(e/2) та-
кой, что . Z,, ц(С„) < е/2.
Положим
Заметим, что множества В и Р образуют покрытие множества А, т. е. В U Р z> А, и, следовательно, множество Р содержит А \ В. Имеем также, что множество Q содержит В \ А. В самом деле,
© = ВПВз>ВП(К\А) = В\А.
Таким образом,
Р U Q э (А \ В) U (В \ А) = А АВ.
Оценим сверху величину ц(Р U Q). Поскольку для любых двух простейших множеств FtilG справедливо равенство
ц(Р U G) = p(F) + ц(С) - p(F П G),
258
получаем
И(Р U Q) = Ц(С П D) = Ц(С) + |i(D) - ц(С U D) < < Ц*(А) + е/2 + |i*(tf \ А) + е/2 -	= е.
Следовательно, для любого е > 0 найдено множество В — В(е) такое, что
ц(АДВ) < |i(P U Q) < е.
Достаточность. Дано, что для любого е > 0 существует простейшее множество В = В(е/2) такое, что |1*(АДВ) < е/2. Далее, поскольку В А (А \ В) = 0, А Л (В \ А) = 0, справедливы неравенства
ц(В) + И*(А \ В) > Ц*(А), Ц*(А) + Ц*(В \ А) > р(В).
Отсюда и из условия А \ В сАЛВ, В \ А 4AR имеем
Ц*(А) - Ц(В) < Ц*(А \ В) < Ц*(АДВ) < е/2, |1(В) - Ц*(А) < Ц*(В \ А) < Ц*(АДВ) < е/2, т. е. |р*(А) - Ц(В)| < е/2.
Далее, поскольку множество А ограничено, существует стандартный квадрат К такой, что К э А. Очевидно, имеем
(К\А)ЩК\В)=АДВ.
Поэтому, как и раньше,
|nU \A)-p(tf\B)| <е/2.
Используя равенство |1(В) +	\ В) = p.(iT), получаем
|ц*(А) + № \ А) - МК)\ < IpU) - Ц(В)I +1 ии \ А) - р(К \ В)| < е, т. е. |р*(А) + р*(^ \ А) - ц(ЛГ)| < е. В силу произвольности выбора числа е > 0 отсюда следует, что
ц*(А) + ц*(^\А)-ц(^)==О,
т. е. Ц*(А) = ц(ЛГ) -	\ А) = ц*(А). Последнее равенство и озна-
чает, что множество А измеримо. ◄
Исходя из доказанного критерия, очевидно, имеем, что для любых измеримых множеств А и В их объединение, пересечение, разность и симметрическая разность являются измеримыми множествами. Более того, если измеримые множества А и В не пересекаются, то
ц(А U В) = ц(А) + ц(В).
Мы не будем детально изучать свойства множеств, измеримых по Лебегу, однако отметим, что это ненамного сложнее, чем изучение измеримости по Жордану. Тем не менее, мера Лебега обладает существенным преимуществом перед мерой Жордана,
259
9*
так как помимо свойств инвариантности относительно движений плоскости и монотонности, она обладает свойством счетной аддитивности взамен свойства конечной аддитивности, которым обладала мера Жордана.
ТЕОРЕМА 2. Пусть Av ... , Ап, ... — бесконечная последовательность непересекающихся множеств, измеримых по Лебе-оо
гу. Пусть их объединение А = л U х Ап является ограниченным множеством. Тогда множество А измеримо по Лебегу, причем
Ц(^) =	(MU1) + ... + |i(An)) = £ t |1(А„).
► Так как множество А ограничено, то существует стандартный квадрат К, содержащий А. В силу этого и свойства конечной аддитивности для любого фиксированного числа k > 1 имеем соотношения
п?1ц(Ап) = ц(лУ1Ап]<И(^).
Отсюда следует, что ряд ц(Ап) сходится, поэтому для любого е > 0 существует /?0 = /?0(е) такое, что для любого числа k > kQ вы-
полняется неравенство ц(Ап) < е/2.
Зафиксируем какое-нибудь число k, большее kQ. Тогда множе-k
ство С = п U Ап — измеримо, следовательно, по критерию измеримости (теорема 1) для всякого е > 0 существует простейшее множество В = В(е/2) такое, что р*(САВ) < е/2.
Очевидно, справедливо следующее соотношение:
AABc(CAB)uf U АЛ1
v ' Kn=fe+1 п)
Использ